1 fen ve mühendislikte matematik metotlar 6. kitap diferansiyel

1
FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR
6. KİTAP
DİFERANSİYEL DENKLEMLER II
DD II
2
İÇİNDEKİLER
I. İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLER
II. KERNEL SEÇİMİ
III. METOT
IV. g2  0 DURUMU
A) g2  0
B) Örnek DD
C) Sabit Katsayılı DD
V.
go  0 DURUMU
A) go  0
B) Euler DD
C) Rodrigues Formülü
VI. İki Özel Fonksiyon
A)   
B)    , 
VII. KHGDD
VIII. HGDD
EKLER VE NOTLAR
3
I. İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLER
Diferansiyel denklem çözümlerinin türev ifadelerini yok etmek olduğu ve bunun da integral
işlemi ile sağlandığı görülmüştü. Bu integral işlemlerini reel eksende ve bir takım kalıp
formüllerle yapmak yerine, kompleks düzlemde yol integrali metotları kullanıp, tekil
noktalardan ve dallanma kesiklerinden yararlanmak, doğal olarak daha ilginç sonuçlara yol
açacaktır. Bu aşamada sadece 2. mertebe LDD 'lerin integral dönüşüm metodu ile çözümleri
incelenecektir. Metodun, detaylar bir yana, temelde ikinci mertebe bir DD 'in birinci
mertebeye indirgenmesi olduğu görülecektir. En genel 2. mertebe homojen LDD
L
z
2

 p1  z 
 po  z 
2
z
z
 p2  z 
L
yazılabilir.
ifadesinde
z
d
dz
tanımıyla

z
yerine
L
z
w z  0
olarak
kullanılmasının gerekçesi kısa sürede
anlaşılacaktır. İlk adım, çözümü bir integral dönüşüm biçiminde
w z 
 d
K  z ,   v  
olarak yazmak olacaktır.
C
Burada C :

kompleks düzleminde açık veya kapalı bir yolu, K  z ,   : integral
dönüşümün Kernel’ini, v   ise w  z  'nin DD 'in çözümü olmasını sağlayacak bir
fonksiyonu ifade etmektedir. Bu noktada daha soyut düzeyde
dönüşümünün
 d 
ile skalar çarpımının yapıldığı ve
z


C
Çözüm
wz 
1
 d
K
w
ile

v
K 
arasına
tamamlık ifadesi yerleştirildiği sezilmektedir.
K  z ,   v  
ifadesinde üç tane seçime bağlı esneklik vardır :
C
C ,
L
z
K z ,  
w z  0
ve
v   . Öte yandan
w z
sonucunun DD 'i sağlaması, yani
olması gereği de bir kısıtlama olarak düşünülürse gerçekte sadece iki
tane seçime bağlı esneklik olduğu anlaşılır.
4
II. KERNEL SEÇİMİ
K z ,  
Bu seçimlerden ilki
K  z ,    exp  z 

kernel fonksiyonunun seçilmesidir; en yaygın iki seçim :
( Laplace ) ve
K z ,   
 z  

( Euler )
kernelleridir. Euler kernelinin  parametresi kesin olarak belirtilene kadar seçim hakkı
tamamen kullanılmış sayılmaz. Daha genel olan Euler kernelinden, uygun bir limit işlemi ile
Laplace kerneline geçiş yapmak da mümkündür.
p2  z   a2 z  b2
p1  z   a1 z  b1
;
p2  z   a2 z 2  a1 z  ao
;
,
po  z   ao z  bo
p1  z   b1 z  bo
,
po  z   co
durumunda Laplace,
durumunda ise
Euler kernellerinin uygun seçimler olduğu bilinmektedir. Metodun temel dayanak noktası
L
z
M
K z ,   
 g 2  
z
diferansiyel operatörü bulmaktır.
'den daha basit bir yapıda olup, birinci dereceye indirgenebilir olması asıl
g 2   = 0
amaçtır. Eğer
sağlayan bir
2

 g1  
 g o  
2


L
Bu operatörün
K z ,  
M
veya
g o   = 0
değilse yanlış kernel seçilmiş demektir
ve bu noktada durup yeni bir kernel denemek gerekir.
III. METOT
L
z
K z ,   
L
z
w z 
M
 d
K z ,  
eşitliği DD ’e yerleştirilince
v   L z K  z ,    0
denklemi
C
 d
v   M K  z ,    0
biçimine dönüşecektir.
C
2

d

v

g






 2

C

2
 g1  


 g o    K  z ,    0


5
Denklemi, parçalı integral metotları ile elde edilen :
 d  v   g   K  z ,  

o
C
 d
K  z ,   g o    v  
C

 d v   g   
1
K z ,   
C
F

 g1   v     g1   v   K  z ,    I

   d K  z ,  
C

d  v   g 2  
C
 d
K z ,  
C
2
K z ,   
 2
2
 g 2   K  z ,    
 2 

d  g2   v   
K  z ,  
 K z ,   
 g 2   v  


d

 I
F
özdeşlikleri kullanılarak
 d
K  z ,   M v   
C

d  g2   v  
K  z ,  
 K z ,   
 g1   v   K  z,  
 g 2   v  

d


M
biçimini alır. Burada yer alan
ifadesinin
M
 g 2  

 2  g2  
 2

2

 g1  
 g o  
2


eşleniği olduğu hatırlanacaktır. Elde kalan son esnekliği de

  go  
operatörünün hermitsel
M v  
 0
seçimi
v   fonksiyonunu belirlemek ikinci önemli adım
yaparak kullanmak ve böylece
olmaktadır. Bu durumda
  g1  
F

 =0
 I
 d
K  z ,   M v    0
olacağı için de
C


d  g2   v  
K  z ,  
 K z ,   
 g1   v   K  z,    = 0
 g 2   v  

d
 I

F
6
eşitliği C yolunun belirlenmesinde kullanılır. Bu metodun pratik olabilmesi için
g2   = 0 veya go   = 0
IV.
olması gereği vurgulanmıştı.
g2  0
A) Genel
g 2   = 0
Şimdi bu iki durum tek tek incelenebilir.
M v  
 0

d  g1 v 
 go v
d

v 
durumunda

1
g 
exp   d  o 
g1
g1 

olur.
F
Yol şartı için ise
 g1   v   K  z ,   I
F



g 
  exp   d  o  K  z ,    0
g1 


I
p2  z  w  p1  z  w  po  z  w  0
elde edilir. En genel örnek olarak
DD’inin
Laplace dönüşümü ile çözümü ele alınınca ilk adım
2



p
z
 p1  z   po  z  exp  z 


2
 2
z
z


eşitliğinden

2



g

 g1  
 g o   exp  z 


2
 2




p2  z  2  p1  z   po  z   g 2   z 2  g1   z  g o  
denklemine erişmektir. İkinci adımda bu eşitlik ve z ’ye göre ilk iki türevi
değerlendirilerek
g 2   
p2  0 
2
g1    p2  0   2  p1  0    po  0 
sonuçlarına ulaşılır. Bu denklemler
p2  0   p1 0   po  0 
2
,
p1 0 
2

po  0 
2
z  0 'da
,
g o    p2  0   2  p1  0    po  0 
g 2   = 0
sağlanması için
gerektiğini göstermektedir.

7
B) Özel Bir Örnek
Özel bir örnek olarak
a
2
z  b2  w   a1 z  b1  w   ao z  bo  w  0
DD 'inin
çözümüne geçilebilir. Yukarıda elde edilen formüllerden yararlanarak
g 2    0 , g1    a2  2  a1   ao
, g o    b2  2  b1   bo
bulunur.

b  2  b   bo 
exp   d  2 2 1
a2   a1   ao 

1
go 

,
v 
exp   d 
 
2
g1
g
a


a


a

1 
2
1
o
Artık v    fonksiyonu
F


b2  2  b1   bo  z  
exp
d



 e   0
2
a


a


a

2
1
o 

I
yol şartı ise
w z 
belirlenip
K  z ,   v  
 d
formülleri ile
çözüm ifadesine yerleştirilebilir.
C
Bu yaklaşıma ileride KHGDD çözümü ile tekrar dönülecektir.
C) Sabit Katsayılı DD
Ancak daha önce, çok basit görünümlü ama kendinden beklenmedik bir zorluk çıkartan,
ancak bu engel aşılınca da gene beklenmedik ilginç sonuçlar sergileyen sabit katsayılı
w   1  2  w  12 w  0 DD ’i çözülecektir. Bu DD 'in
a
2
z  b2  w   a1 z  b1  w   ao z  bo  w  0
a2  a1  ao  0
Bu da g 2 

DD 'i ile karşılaştırması
b2  1 , b1    1  2  , bo  12
;
 0 yanı sıra
g1    0
olması, dolayısıyla
v 
vermektedir.

ve yol şartı
bulmak için kullanılan denklemlerin geçersiz ve yararsız olması demektir. Ancak aynı DD ,
'Tamlık Çarpanı' kavramını andırır bir yolla z ile çarpılıp
zw   1  2  zw  12 zw  0
b2  b1  bo  0
Bu da
v   
demektir.
a2  1 , a1    1  2  , ao  12
;
1
   1  2    12
2
olarak yazılırsa, bu sefer

1
  1   1 
ve
olur.
exp  z   I  0
F
exp  z   analitik bir fonksiyon olduğu için tüm kapalı yollar yol şartını
8
exp  z  
 d          
w z
sağlar.
1
integrali için ise kompleks

2
düzleminde seçilebilecek topolojik açıdan farklı kapalı yollar vardır :
Co
yolu
w z
bir sonuçtur. C1
0 verir; bu DD ’i sağlayan, ama doğal olarak, çözüm sayılmayan
yolu
w z
exp  2 z 
wz
 d
w z
verir.
exp   z 
   
2
exp  1 z 
, eğer
2  1 ise C2 yolu
2 = 1 çokkatlılık durumunda ise integral ifade

wz
z exp  z  
bulunur.
Böylece çokkatlı kök durumunda, geçmişte Abel formülü kullanılarak bulunan ikinci çözüm,
kompleks düzlemde yol seçimi ile elde edilmektedir.
PROBLEMLER
P.IV.1 )
1 , 4 , 3 w
1 , 4 , 4 w
 0
 0
DD ’ini Laplace dönüşümü ile çözün. Aynı işlemleri bu sefer
DD ’ine uygulayın.
9
1 ,
P.IV.2 )
1 ,
 2 z , 2 w  0
 2 z ,  2 w  0
DD ’ine uygulayın.
2


1 , z , 1 jo  0
P.IV.3 )
DD ’ini Laplace dönüşümü ile çözün. Aynı işlemleri bu sefer
çarpın. Laplace kernelinin kullanılabilmesi için p ne olmalıdır ?
İkinci çözüm
no
exp  z   0
çözümünü bulun.
jo
M v  
 0
yanısıra
M v  
 1 de
sağlayacağı için geçerli bir çözüm verir. Bu yolla
 z 2 , 2 z , z 2  w  0 Küresel Bessel DD’i için
g
1
v    g o v   0

jo 
g
1
v    g o v   1

no 
İpucu :
için
jo
v  1 , C :
n o için v  tan 1
V.
,
sin z
z
sonucunu elde edin. Daha sonra
cos z
z
çözümüne erişin.
i
den i 'ye giden bir yol.
C : Kapalı yol
go  0 DURUMU
A) Genel
g o   = 0
durumunda ise
M v  
d 2  g2v
d 2
d  g1v
d
v 


ile
için Abel formülünü kullanın.
P.IV.4 ) Laplace dönüşümlerinde
 d
zp
, 0 ’ıncı mertebe Küresel Bessel fonksiyonunu önce


 0
denklemi

1
g 
exp   d  1 
g2
g2 

olur.
10
F
 K

K 
g1  

g
v

exp
d


  0
2



  I
g2   I


 
F
Yol şartı için ise
p2  z  w  p1  z  w  po  z  w  0
ifadesine erişilir. En genel örnek olarak
DD’inin Euler dönüşümü ile çözümü ele alınınca ilk adım
2



 p2  z  z 2  p1  z  z  po  z 


z  
2




  g 2   2  g1  
 g o     z   





p2  z      1 z   
denkleminden
 g2       1 z   
 2
 2
 p1  z    z   
 g1     z   
 1
 1
 po  z  z   


 go   z   

veya
p2  z      1  p1  z    z     po  z  z    
2
g2       1  g1     z     go   z   
2
eşitliklerini elde etmektir. İkinci adımda bu eşitlik ve z 'ye göre ilk iki türevi
g 2    p2  
değerlendirilerek
g o   
    1
g 2    0
2
z   'da
g1        1 p2    p1  
,
p2     p1    po  
,
ara sonuçları bulunur. Bu denklemlerden
olduğu, ancak akılcı bir  seçimiyle
g o   = 0
sağlanabileceği
2
görülmektedir.
g 2    p2  
olmaktadır.
 1 p 
 1 p  2 p
   1    1   o
p2
 2 p2 
 2 p2 
,

 1 p 
g1      1 
 2 p2 

ile verilen bu akılcı tercih sonucu
2

 1 p1  2 po 
       p2  p1
p2
 2 p2 

,
g o    0
11
B) Euler DD
a z
Özel bir örnek olarak
2
2
 a1 z  ao  w   b1z  bo  w  co w  0
DD’inin
çözümüne geçilebilir. Yukarıda elde edilen formüllerden yararlanarak
2
1 b 
    1  
 2 2a2 
g1  
 1 b1 
co
 
 
 2 2a2  a2

1 b 
   1 
  2 2 a2 

2

 1 b1 
co 
 
 
 2 2a2  a2 
g 2    a2 2  a1  ao
 K

 
bulunur. Artık
 2 a 2
kullanılarak
 a1  
,
 b1
 bo  ,

1
g 
exp   d  1 
g2
g2 

v 
F

g 
exp   d  1    0
g2   I

g o    0

w z 
 d
ve yol şartı
K  z ,   v  
C
bulunabilir. Bu yaklaşıma ileride HGDD çözümü ile dönülecektir.
C) Rodrigues Formülü
Ancak daha önce, bir anlamda HGDD 'in özel hali olan Legendre DD 'ini incelemek öğretici
olur.
1  z  P 2 zP  
 1 P  0
2
DD 'in genel Euler DD 'i ile karşılaştırılmasından
b1   2 , bo  0 ; co 
gerektirir. Böylece

 1
;
=0,1,2,...
a2  1 , a1  0 , ao  1
bulunur. Bu da
g 2  1   2 , g1   2   1 
formüllere yerleştirilmesi ise
v 
ile verilen bu
     1 tercihini
olmaktadır. Bunların ilgili

1
g 
exp   d  1   1   2 
g2
g2 

ve
12
 K

 
F
 1   2  1 

g1  
exp   d 
 0
2 
  
g 2   I
  z     I

F
P z

d
C

2
 1
  z 
1
formülü kullanılarak,   z
P  z

sonuçlarını verir. Bu ara sonuç
olarak yazılırsa, kompleks  düzleminde yol integrali
içeren herhangi bir kapalı yol için

2
2 i d   1

!
d
veya
P 1  1
sağlayan bir çözüm için
 z
d
1
P z 
2
!
z
2
 1
dz
Rodrigues formülüne erişilir. Bu yaklaşım
1  z 2 ,  m z , n  n  m  1  Gn m   0 Gegenbauer DD ’ine genelleştirilebilir,
ancak m  Tek Tamsayı 'larda , mesela m  1 Chebyshev I DD ’i için, formül
Chebyshev polinomları Tn  x 
yerine onlarla ilintili Vn  x 
fonksiyonlarını verir.
PROBLEMLER
P.V.1 )
 z 2 , z , z 2  J o  0 , Sıfırıncı mertebe Bessel DD ’ini Laplace dönüşümü ile
çözün. Uygun bir değişken dönüşümü ile
Jo  z  
1
2

2
0
d  exp  i z cos  
P.V.2 ) Euler dönüşümü kullanarak
Jo  0  1
sağlayan çözüm için
olduğunu gösterin.
1  z 2 ,  m z , n  n  m  1  Gn m   0
Gegenbauer DD ’i çözümünün integral ifadesini elde edin. Chebyshev I DD’i Gegenbauer
DD’inin
gösterin.
m  1 özel halidir; İntegral ifadenin Chebyshev I polinomlarını vermediğini
13
VI. İKİ ÖZEL FONKSİYON
A)
  
Eldeki metotla KHGDD ve HGDD çözümlerine geçmeden önce iki özel fonksiyonu yakından
tanımak gerekecektir. 1 'den n 'e kadar tamsayıların çarpımı olarak tanımlanan
n!
ifadesini, tüm reel, hatta kompleks sayılara genelleştirmek amacıyla Gauss tarafından
   
geliştirilen Gamma fonksiyonu
   1
B)

0
du u 1 exp  u 
ifadesinin Parçalı İntegral metodu ile açılımından
olarak tanımlanır.
   1     
  1 özel halinden de  1  1 özdeşliği elde edilir;
bağıntısı, integralin
böylece

  n  1  n !
olmaktadır.
  , 
   ,  
İki değişkenli Beta fonksiyonu ise

1
0
du u  1 1  u 
 1
olarak tanımlanır.
Bu fonksiyonun Gamma fonksiyonu ile ilişkisini görebilmek için
 

s  x2
, t  y2

0
ds s  1 exp   s 
        4
ve
   


0
dt t 1 exp  t 
değişken dönüşümleri yapılarak


0
iki katlı integrale erişilir.
dx


0
dy x 2  1 y 2 1 exp    x 2  y 2 
Bu noktada önce polar koordinatlar
x  r cos  , y  r sin  ; dx dy  r dr d
        4


0
2
yardımıyla
d cos2  1  sin 2 1  0 r dr r 2   1 exp  r 2 
ara sonucuna ulaşılır, sonra da
dolayısıyla
ifadelerinde

  r 2 ;   sin2 
d  2 sin  cos 
yerleştirilerek
 1    cos2 
,
14
       

1
0
d  1   
 1
   ,  
elde edilir. Böylece
  1


0
d    1 exp        ,       
      
olmaktadır.
    
PROBLEMLER

0
P.VI.2 )

0
1

P.VI.3 )
 n 1
dx exp   x n    

 n 

P.VI.1 )
dx

2
0

n x
n

d sin n  
P.VI.4 ) D-Boyutta SO  D 
A
edilebilir
1
 1
n
olduğunu gösterin.
  n  1
olduğunu gösterin.
 n 1
 

 2 
n2
 

 2 

2
olduğunu gösterin.
simetrik hacım elemanı
A D r D 1 dr
 1 , A 2  2 , A 3  4 , . . .

.
AD
olarak ifade
katsayısını Gamma
fonksiyonları cinsinden hesaplayın.
P.VI.5 )
Lim
x 0
  ax 
  x
 ?
;
Lim
x 0
x   x  5  ?
P.VI.6 ) Psi veya Digamma fonksiyonu   z  
  z  1
için
  z
d  n   z  
dz
olarak tanımlanır.
ve temel fonksiyonlar içeren bir bağıntı bulun.
15
P.VI.7 )
n  N
için
Cn :
z  n  0.1 exp  i   ile verilen
küçük bir dairesel kapalı yol olmak üzere,
dz   z 

z  n
etrafında
integralini hesaplayın.
Cn
P.VI.8 )
    1 ,       ,   1 ifadesini sadeleştirin.
  k  1
 
1
k      k 1 k!


 
P.VI.9 ) Binom açılımı katsayısı
 1
k   k ,  
, k : Tamsayı
k
ifadesinin
P.VI.10 )
1
1
  ,  fonksiyonunun integral ifadesinde uygun bir trigonometrik
2 2
1
  
2
dönüşüm yaparak
P.VI.11 )
P.VI.12 )
ifadesine eşdeğer olduğunu gösterin.
1
2



2
0
1
x 6 dx
0
1  x2

olduğunu gösterin.
 
 1 
d
4 
 
sin 
8

5
32
2
olduğunu gösterin.
olduğunu gösterin.
16
d  n  n ! 
P.VI.13 )
dn
çıkarak
d  n  n !
dn
dolayısıyla Stirling benzeri



n n 1
2
n  N !
formülünü elde edin. Gerçek Stirling :
P.VI.14 )


n  n  1 !  n  n  1 !
2 
2 


1


N
1
d  n  n !
yaklaşık ifadesinden yola

N
1

dn n n  1
2

 N  12  n  N   N  3 2 1  n  3 2 
n  N !
 N  12  n  N   N  n  2 
N  1 olmak üzere N seçmenli bir toplulukta iki alternatife eşit oy çıkma
ihtimalinin yaklaşık olarak
2
N
olduğunu gösterin.
İpucu : Stirling formülü
VII. KHGDD
g 2    0
durumuna uygun bir örnek
zw     z  w   w  0
ile verilen KHGDD 'in Laplace dönüşümü ile çözümüdür.
a
2
z  b2  w   a1 z  b1  w   ao z  bo  w  0
denklemi ile karşılaştırma
sonucu elde edilen
a2  1 , b2  0 ; a1  1 , b1   ; ao  0 , bo  
parametrelerinden
g 2    0 , g1     2  
, g o       
bulunur. Artık v    fonksiyonu
   

exp   d 

 2   
1
go 
  1

v 
exp   d 

   1   1

2
g1
g1 
 

17
     1  exp  z    0

I
F
yol şartı ise
formülleri ile belirlenebilir.
Re   Re   0 durumunda, reel eksen üzerinde  0 , 1 aralığının uygun bir yol
wz  A
olduğu görülmektedir.(1) Böylece çözüm
w 0  1
olmaktadır.
w 0  A
kullanılarak

1
0
  
       
         
1
0

Bu noktada
exp  z   = 
k 0
w z  

1
0
  
       
d    k 1 1   
  1
0
d  exp  z     1 1   
  1
= A   ,    
  1
  
wz 

sağlayacak bir çözüm için
d    1 1   
A 
1




d  exp  z     1 1   
  1
zk  k
k!
 
k 0
elde edilir ve çözüm önce :
1
0
d 
integralinin
olarak çözüme yerleştirilmesi ile
olarak yazılır.
açılımı integrale yerleştirilerek
  k 1
1   
  1
 zk
 k!

   k ,     
w  z   1 F1  z  
  
  


k 0
bulunur.
   k      
   k 
   k  z k

   k  k !
   1 z 2
   1  2  z 3
 z
 1


 ...
 1!
   1 2!
   1  2  3!
KHG Serisine ulaşılır. 
parametresinin negatif bir tamsayı olması halinde çözümün bir
polinom olacağı görülmektedir.
18
VIII. HGDD
g o    0
durumuna uygun bir örnek
z 1  z  w    1      z  w   w  0
ile verilen HGDD ’in Euler dönüşümü ile çözümüdür. HGDD ’in parametrizasyonu ilk bakışta
tuhaf bulunsa bile, ileride bunun çözüm estetiği uğruna DD estetiğinden fedakarlık
  
edilmesinden kaynaklandığı görülecektir. Ayrıca DD ’in
a z
değişmediği de gözlenmektedir.
2
2
değişimi altında
 a1 z  ao  w   b1 z  bo  w  co w  0
denklemi ile karşılaştırma sonucu elde edilen
a2   1 , a1  1 , ao  0 ; b1   1      , bo   ; co    
1 b 
    1  
 2 2a2 
parametrelerinden
ve tarihsel sebeplerle

2
 1 b1 
co
 
 
 2 2a2  a2
tercih edilir. Bu tercih sonucu
g1        1        1
,

exp   d 

1
g 

v 
exp   d  1  
g2
g2 

g o    0
  ,  
g 2     1   
,
olmaktadır. Bu durumda
    1        1 

 1   

 1   
    1 1     

  0
 1
z  

 I
bulunur
    1   
  1
F
yol şartı ise
wz 
   1   
  1

d
z   
C
 
ile belirlenir ve
1
u
 d  
 u 1  u   
 0

 1 
 1  u z   I
olur. Bu noktada hesap kolaylığı açısından

du
u2
değişken dönüşümü yapılırsa yol şartı
F
için, reel eksen üzerinde
w z   A

1
0
halini alır ve KHGDD ile aynı biçimde Re   Re   0
 0 , 1
du u 1 1  u 
aralığı uygun olur.(2) Böylece çözüm
  1
1  u z 

olmaktadır.
;
19
w 0  1
sağlayacak bir çözüm için
w  0  1  A

1
0
du u 1 1  u 
  
kullanılarak w  z  
1  u z 
Bu noktada
1  u z 
  1
        
1
0


  
 A 
       
du u 1 1  u 
  1
1  u z 

yazılır.
ifadesinin binom açılımını biraz dolambaçlı bir biçimde yapmak
gerekir.
1  x 
n


n!
xk
=
 n  k ! k !

k 0
1  u z 




k 0
     1    


k 0
 1   
 1    k 

sin    
 1  n 
 1  n  k 
 1

k
uk zk
k!
ifadesi

sin    k 
1

  k  
 1    k 

 1   
xk
k!

1

sin      
 1
k
sin  

  k 
1  u z 
kullanılarak



ve

k 0
    k  uk zk
 
k!
olarak basitleşir. Bu açılım çözüme yerleştirilince
w z 

1
0

  


        
du u k 1 1  u 
  1


k 0
  k 
 
integralinin

1
0
du u
  k 1
1  u 
   k ,     
  1
 zk

 k !
bulunur.
   k      
   k 
olarak çözüme yerleştirilmesi ile
w z  
  
      


k 0
   k      k  z k

   k 
k!
  z    1     1 z 2    1  2      1   2  z 3
 1


 ...
 1!
   1
2!
   1  2 
3!
20
HG Serisine ulaşılır. 

veya
parametrelerinden herhangi birinin negatif tamsayı
olması halinde çözümün bir polinom olacağı görülmektedir. KHGDD 'in HGDD 'in, KHG
serinin de HG serinin özel birer limiti oldukları DD I kitapçığında görülmüştü. Benzer bir
limit işleminin integral dönüşüm metodunda da geçerli olması doğaldır.
2
  
       
F1  ,  ,  ; z  

du u 1 1  u 
  1
1
0
1  uz 

ifadesinde
s   z değişken dönüşümünün sonucu
  

s

2 F1   ,  ,  ;


       

Lim


 u s
1   


F  ,  ; s  
1 1




Lim

2

  
       
Lim


1
0

1
0
du u
 u s
1   


 1


us
1  u 
us
 exp  u s 
  

s
F1   ,  ,  ;  

       

du u 1 1  u 
  1
eu s
 u s
1   


  1

1
0

olur.
kullanılarak
du u 1 1  u 
  1
exp  u s 
elde edilir.
EKLER VE NOTLAR
(1,2) Re    Re    0
olmayan durumlarda, çoğu kapalı olmak üzere değişik yollar
kullanılır. Bunların en karmaşığı her iki tekil noktanın etrafında iki kere ve ters yönlerde
dolanan Poschhammer yoludur.