Uygulama - 80.251.40.59

6. Uygulama
Hatırlatma:
Rasgele Değişkenlerde Beklenen Değer Kavramı
X bir rasgele değişken ve g : R → R bir fonksiyon olmak üzere,
i)
X kesikli ve
∑ g ( x ) f ( x ) < ∞ olduğunda E ( g ( X ) ) = ∑ g ( x ) f ( x ) sayısına,
x∈DX
ii)
X sürekli ve
x∈DX
∞
∞
−∞
−∞
∫ g ( x ) f ( x ) dx < ∞ olduğunda E ( g ( X ) ) = ∫ g ( x ) f ( x ) dx sayısına
g ( X ) in beklenen değeri denir.
c ∈ R ve k bir doğal sayı olmak üzere:
*
E ( X − c ) değerine X ‘in c ye göre k ‘inci momenti denir.
*
E  X k  değerine X ‘in k ‘inci momenti denir.
*
E ( X ) değerine X ‘in beklenen değeri denir.
*
E ( X − E ( X ) ) değerine X ‘in varyansı denir.
k
2
Alışagelmiş olarak bir X rasgele değişkenin beklenen değeri µ X veya sadece µ , varyansı ise
Var ( X ) , σ X2 veya sadece σ 2 ile de gösterilmektedir. Varyansın kareköküne standart sapma
denir ve bir X rasgele değişkenin standart sapması σ X veya sadece σ ile gösterilmektedir.
*
E  X ( X − 1)( X − 2 )⋯ ( X − k + 1)  değerine X ‘in k ‘inci çarpımsal
*
momenti denir.
Var olması halinde, M X (t ) = E (etX ) , − h < t < h (h > 0) fonksiyonuna X ‘in
moment üreten fonksiyonu veya moment çıkaran fonksiyonu denir.
*
ϕ X (t ) = E (eitX ) , t < R
fonksiyonuna X ‘in moment karakteristik fonksiyonu denir.
Ragele Vektörlerde Beklenen Değer Kavramı
( X 1 , X 2 ..., X n ) bir rasgele vektör ve g : R n → R ye bir fonksiyon olmak üzere, kesikli
dağılımlarda,
∑∑ ... ∑ g ( x1 , x2 ,..., xn ) f X1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn ) < ∞
x1
x2
xn
ve sürekli dağılımlarda,
∞ ∞
∞
−∞ −∞
−∞
∫
∫ ...
∫ g ( x , x ,..., x ) f
1
2
n
X 1 , X 2 ,..., X n
( x1 , x2 ,..., xn ) dx1dx2 ...dxn < ∞
olması halinde,
∑∑ ... ∑ g ( x1 , x2 ,..., xn ) f X1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn )
 x1 x2
xn
E  g ( X 1 , X 2 ,..., X n )  =  ∞ ∞ ∞
 ∫ ∫ ... ∫ g ( x1 , x2 ,..., xn ) f X , X ,..., X ( x1 , x2 ,..., xn ) dx1dx2 ...dxn
1
2
n
 −∞ −∞ −∞
sayısına g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ‘nin beklenen değeri denir.
* ( X 1 , X 2 ..., X n ) bir rasgele vektör olmak üzere, j = 1, 2,..., n için



E ( X j )= 


...∑ ∑ ... ∑ x j f X , X ,..., X
∑
x
x
x
x
j−1
1
∞ ∞
∞
−∞ −∞
−∞
∫
∫ ...
1
j +1
∫x
j
2
n
( x1, x2 ,..., xn )
n
f X1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn ) dx1...dx j −1dx j +1...dxn
∑
 x j f X (x j )
j
 xj

= ∞

x f x dx j
 −∞ j X j j
sayısı X j nin beklenen değeri olmak üzere,
( )
∫
Cov( X i , X j ) = E (( X i − E ( X i )) ( X j − E ( X j ))) , i, j = 1, 2,..., n
sayısına X i ile X j ‘nin kovaryansı ve
 Cov( X 1 , X 1 ) Cov( X 1 , X 2 ) ⋯ Cov( X 1 , X n ) 


Cov( X 2 , X 1 ) Cov( X 2 , X 2 ) ⋯ Cov( X 2 , X n )

Σ = 

⋮
⋮
⋮


Cov( X , X ) Cov( X , X ) ⋯ Cov( X , X )
n
1
n
2
n
n 

matrisine X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenlerinin varyans-kovaryans matrisi denir.
. Cov( X i , X j ) sayısı σij
( σij = Cov( X i , X j ) ) ile de gösterilmektedir. j = 1, 2,..., n için
σ jj = Cov( X j , X j ) = Var ( X j ) dır.
( X 1 , X 2 ..., X n ) bir rasgele vektör ve
Cov( X i , X j )
ρXi , X j =
, i, j = 1, 2,..., n
Var ( X i )Var ( X j )
X i ile X j arasındaki korelasyon katsayısı olmak üzere,
 1

ρ
X ,X
R =  2 1
 ⋮

 ρ X n , X1
ρ X1 , X 2
1
⋮
ρXn ,X2
⋯ ρ X1 , X n 

⋯ ρ X 2 , X n 

⋮ 

⋯
1 
matrisine X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenlerinin korelasyon matrisi denir.
* ( X 1 , X 2 ..., X n ) bir rasgele vektör olmak üzere (var olması halinde),
M X1 , X 2 ..., X n (t1 , t2 ..., tn ) = E (et1 X1 +t2 X 2 +...+tn X n ) ) , − h < t1 , t2 ..., tn < h
fonksiyonuna ( X 1 , X 2 ..., X n ) vektörünün moment çıkaran fonksiyonu veya X 1 , X 2 ..., X n rasgele
değişkenlerinin ortak dağılımının moment çıkaran fonksiyonu denir.
* ( X 1 , X 2 ..., X n ) bir rasgele vektör olmak üzere,
ϕ X1 , X 2 ..., X n (t1 , t2 ..., tn ) = E (ei (t1 X1 +t2 X 2 +...+tn X n ) ) , t1 , t2 ..., tn ∈ R
fonksiyonuna ( X 1 , X 2 ..., X n ) rasgele vektörünün karakteristik fonksiyonu denir.
Alıştırmalar:
1. a)
a, b ∈ R olmak üzere,


∑ (a + bx) f ( x) = a ∑ f ( x) + b ∑ xf ( x) = a + bE ( X )
x x  x
E( X )
1


E (a + bX ) = 

∞
∞
 ∞
 ∫ (a + bx) f ( x)dx = a ∫ f ( x)dx + b ∫ xf ( x)dx = a + bE ( X )
−∞
−∞
−∞

1
E( X )

= aE ( X ) + b
b) Var (aX + b) = E (aX + b − E (aX + b)) = E (aX + b − aE ( X ) − b)
2
2
= E (aX − aE ( X )) = a 2 E ( X − E ( X ))
2
= a 2Var ( X )
2
c)
(
Var ( X ) = E ( X − E ( X ) ) = E X 2 − 2 XE ( X ) + ( E ( X ) )
2
= E  X 2  − 2 E ( X ) E ( X ) + ( E ( X ) )
= E  X 2  − ( E ( X ) )
2
)
2
2
d) Cov( X , Y ) = E [( X − E ( X ))(Y − E (Y )) ]
= E [ XY − E ( X )Y − XE (Y ) + E ( X ) E (Y )]
= E ( XY ) − E ( E ( X )Y ) − E ( XE (Y )) + E ( E ( X ) E (Y ))
= E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) − E (Y ) E ( X ) + E ( X ) E (Y )
= E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
X ile Y bağımsız olduğunda,
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = E ( X ) E (Y ) − E ( X ) E (Y ) = 0
dır.
e) Ortak dağılıma sahip olan X , Y gibi iki rasgele değişken için tanımlanan,
Cov( X , Y )
Var ( X )Var (Y )
ρ X ,Y =
korelasyon katsayısına, Pearson korelasyon katsayısı denir. ρ X ,Y
korelasyon katsayısı
X ile Y rasgele değişkenleri arasındaki lineer ilişkinin bir ölçüsüdür. Şimdi,
−1 ≤ ρ X ,Y ≤ 1
olduğunun ispatlayalım.
E ( X − tY )2 = E ( X 2 ) − 2tE ( XY ) + t 2 E (Y 2 ) ≥ 0
Buna göre,
E (Y 2 ) t 2 − 2 E ( XY ) t + E ( X 2 ) = 0
denkleminin diskriminantı
4 ( E ( XY )) − 4 E (Y 2 ) E ( X 2 ) ≤ 0
2
olup,
( E ( XY ))
2
≤ E (Y 2 ) E ( X 2 )
dır (Schwartz Eşitsizliği). Buradan,
 E (( X − E ( X ))(Y − E (Y ))) ≤ E (Y 2 ) E ( X 2 )


2
E (( X − E ( X ))(Y − E (Y ))) ≤ E (Y 2 ) E ( X 2 )
, t∈R
E (( X − E ( X ))(Y − E (Y )))
E (Y
2
) E( X
2
≤1
)
ρ X ,Y ≤ 1
elde edilir. Eşitlik olması için gerek ve yeter şart X = cY (c ∈ R ) olmasıdır.
ρ X ,Y = 0 olduğunda X ile Y rasgele değişkenlerine doğrusal ilişkisizdir veya kısaca
ilişkisizdir denir. ρ X ,Y korelasyon katsayısı 1 yakın olduğunda X ile Y arasında güçlü pozitif
ilişki, -1 ‘e yakın olduğunda güçlü negatif ilişki vardır denir.
X ileY bağımsız ⇒ ρ X ,Y = 0 ( X ileY doğrusal ilişkisiz )
f) a, b, c, d ∈ R olmak üzere,
Cov(aX i + b, cX j + d ) = E (aX i + b)(cX j + d ) − E (aX i + b) E (cX j + d )


= acE ( X i X j ) + adE ( X i ) + bcE ( X j ) + bd − acE ( X i ) E ( X j ) − adE ( X i ) − bcE ( X j ) − bd
= acE ( X i X j ) − acE ( X i ) E ( X j )
= acCov( X i , X j )
g)
ρaX +b,cX
i
j
=
+b
=
=
Cov(aX i + b, cX j + b)
Var (aX i + b)Var (cX j + b)
acCov( X i , X j )
a 2Var ( X i )c 2Var ( X j )
ac
a c
ρX , X
i
j
dır.
h) X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenlerin beklenen değerleri ve kovaryansları mevcut olsun.
a1 , a2 ,..., an ∈ R olmak üzere,
n
 n

E ∑ ai X i  = ∑ ai E ( X i )
 i=1
 i=1
n
n
n
n
n
 n

Var ∑ ai X i  = ∑∑ ai a j Cov( X i , X j ) =∑ ai2Var ( X i ) + 2∑ ∑ ai a j Cov( X i , X j )
 i=1
 i=1 j=1
i =1
i =1 j =i +1
dır.
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız olduğunda kovaryanslar sıfır olacağından,
n
 n

Var ∑ ai X i  = ∑ ai2Var ( X i )
 i=1
 i=1
n
 n

Var ∑ X i  = ∑ Var ( X i )
 i=1  i=1
Var ( X 1 ± X 2 ) = Var ( X 1 ) + Var ( X 2 )
1
ve ai = , i = 1, 2,..., n için
n
n
 n



X i  ∑ Var ( X i )
 ∑
 i=1
i =1
Var 
 =
n2
 n 



dır.
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri aynı ( µ ) ortalamalı, aynı ( σ 2 ) varyanslı ve bağımsız
olduklarında,
 n

 n

X
∑
i


 ∑ Xi  σ 2
 = µ , Var ( X n ) = Var  i =1
=
E ( X n ) = E  i =1
 n 
 n  n








dır.
2. Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu varsa,
dn
M X (t ) = E ( X n ) , n = 1, 2…
n
dt
t =0
dır.
Beklenen değer işleci (operatörü) E, sürekli rasgele değişkenlerde integral, kesikli rasgele
d
değişkenlerde toplam olmak üzere, aşağıda E ile
türev alma işlemlerinin yer
dt
değiştirebileceği varsayılsın.
 d k tX 
dk
dk
tX
k tX
=
=
M
(
t
)
E
(
e
)
E
 k e  = E ( X e ) , k=1,2,3,...
X
k
k
dt
dt
 dt

olmak üzere,
dk
M X (t ) = E ( X k etX ) = E ( X k ) , k=1,2,3,...
k
t =0
dt
t =0
dır. Benzer yoldan,
∂ k M X1 , X 2 ..., X n (t1 , t2 ..., tn )
∂t
k
i
= E ( X ik )
t1 = 0,t2 =0,...,tn =0
∂M X1 , X 2 ..., X n (t1 , t2 ..., tn )
∂ti ∂t j
= E(Xi X j )
t1 =0,t2 =0,...,tn =0
elde edilir.
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız olduğunda,
M X1 , X 2 ..., X n (t1 , t2 ..., tn ) = E (et1 X1 et2 X 2 ...etn X n ) ) = E (et1 X1 ) E (et2 X 2 )...E (etn X n )
= M X1 (t1 ) M X 2 (t2 )...M X n (tn )
dır.
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı dağılımlı (aynı ortalamalı ve aynı
n
n
varyanslı) olursa ,
∑ X i ve X n =
i =1
∑X
i =1
n
i
rasgele değişkenlerinin dağılımlarını elde etmek
oldukça kolay olmaktadır.
n
M
n
∑ Xi
i=1
(
)
(t ) = ∏ M X i (t ) = M X1 (t )
i =1
n
n
sonucundan
∑X
i
‘nin dağılımı ve
i =1
n

t
t
t 
M X (t ) = M n (t ) = M n ( ) = ∏ M X i ( ) =  M X1 ( )
n


n
n 
i =1
∑ Xi
∑ Xi n
n
i=1
i=1
n
sonucundan X n ‘nin dağılımı bulunabilir.
X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
e−λ λ x
f ( x) =
, x = 0,1, 2,… (λ > 0)
x!
−λ x
∞
k e λ
olsun. k=1,2,3,.. için ∑ x
< ∞ olduğundan X in bütün momentleri vardır. X ‘in
x!
x =0
beklenen değeri,
∞
∞
e−λλ x
e−λλ x
E( X ) = ∑ x
=∑x
x!
x!
x=0
x=1
3.
∞
= λe−λ ∑
x=1
∞
λ x−1
λn
= λe−λ ∑
( x −1)!
n=0 n!
=λ
dır. X = X ( X − 1) + X ifadesinden faydalanarak,
2
E  X 2  = E  X ( X − 1)  + E ( X )
x ( x − 1) e − λ λ x
=∑
+λ
x!
x =0
∞
x ( x − 1) e − λ λ x
=∑
+λ
x!
x =2
∞
∞
= λ 2e− λ ∑
x =2
λ x −2
( x − 2 )!
+λ
= λ2 + λ
elde edilir. Buradan,
Var ( X ) = E  X 2  − ( EX ) = λ
2
bulunur.
X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu,
∞
∞
t
e− λ λ x
e − λ (e t λ ) x
(e t λ ) x
−λ
M X (t ) = ∑ e
=∑
=e ∑
= e − λ ee λ
x!
x!
x!
x =0
x=0
x =0
∞
tx
= eλ ( e −1) , t ∈ R
t
dır. X ‘in beklenen değeri,
E( X ) =
ikinci momenti,
dM X (t )
|t =0 = λ et eλ (t −1) |t =0 = λ
dt
d 2 M X (t )
|t =0
dt 2
=[λeteλ (et −1) +(λet )2 eλ (et −1) ]|t =0 = λ +λ 2
E( X 2 ) =
ve varyansı,
Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( EX ) = λ + λ 2 − ( λ ) = λ
2
2
olarak elde edilir.
Örneğin, bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu,
∞
t
etx
M X (t ) = e( e −1) = ∑
x = 0 x!
ise X in olasılık fonksiyonu,
e −1
f ( x) =
, x = 0,1, 2,…
x!
dır.
4. Bir günde 5 parça işleyen bir torna makinası için kusursuz olarak işlediği parçaların sayısı X
olsun. X in olasılık fonksiyonunun
x
5− x
 5 4   1 
f ( x ) =      , x = 0,1, 2, 3, 4, 5
 x  5   5 
x
x
 5 4   1 
f ( x ) =     
 x  5   5 
0
1
3125
5− x
1
20
3125
2
160
3125
3
640
3125
4
1280
3125
5
1024
3125
olduğu bilinsin. Bir günde üretilen kusursuz parça sayısının beklenen değeri (ortalaması),
5
E ( X ) = ∑ xf ( x) = 0 ×
x =0
1
3125
+ 1×
20
3125
+ 2×
160
3125
+ 3×
640
3125
+ 4×
1280
3125
+ 5×
1024
3125
=4
varyansı,
5
Var ( X ) = E (( X − 4)2 ) = ∑ ( x − 4) 2 f ( x)
x =0
2
= (0 − 4) ×
1
3125
=
4
2
+ (1 − 4) ×
20
3125
2
+ (2 − 4) ×
160
3125
2
+ (3 − 4) ×
640
3125
2
+ (4 − 4) ×
1280
3125
2
+ (5 − 4) ×
1024
3125
= 0.8
5
dır. Đşlenmemiş parçanın alış değeri a , işleme masrafı b , kusurlu işlenmiş parçanın hurda
değeri c ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri d olmak üzere günlük kazancın beklenen
değeri nedir?
K rasgele değişkeni günlük kazancı göstermek üzere,
K = −5 ( a + b ) + ( 5 − X ) c + Xd = 5(c − a − b) + (d − c) X
olarak ifade edilebilir.
E ( K ) = E ( 5(c − a − b) + (d − c) X ) = 5(c − a − b) + (d − c) E ( X )
Var ( X ) = Var ( 5(c − a − b) + (d − c) X ) = (d − c)2 Var ( X )
olmak üzere, örneğin işlenmemiş parçanın alış değeri a =100 TL, işleme masrafı b =100 TL,
kusurlu işlenmiş parçanın hurda değeri c =10 TL ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri
d =310 TL olduğunda,
K = 5(c − a − b) + (d − c) X = −950 + 300 X
E ( K ) = −950 + 300 E ( X ) = −950 + 300 × 4 = 250
Var ( X ) = 300 2 Var ( X ) = 300 2 ×
4
= 72000
5
σ X = 72000 = 268.3
Günlük kazancın beklenen değeri, başka bir ifade ile ortalama günlük
Günlük kazancın olasılık dağılımı,
x
0
1
2
3
1
20
160
640
P ( X = x)
3125
3125
3125
3125
-950
-650
-350
-50
k = −950 + 300 x
1
20
160
640
P( K = k )
3125
3125
3125
3125
kazanç 250 TL dir.
4
1280
3125
250
1280
3125
5
1024
3125
550
1024
3125
olmak üzere, bazı günlerde 550 TL kazanç olduğu gibi, 950, 650 ya da 350 TL kayıp söz konusu
olabilir.
5. X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu,
x1 = 1, 2
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) =
x2 = 0,1, 2
1
x1 ( x2 + x3 ) ,
45
x3 = 1, 2
olsun.
2
2
2
E ( X 1 ) = ∑∑∑ x1 f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) =∑ ∑ ∑ x1
x1
=
x2
x3
x1 =1 x2 = 0 x3 =1
1
x1 ( x2 + x3 )
45
1 2 2 2 2
1 2 2 2
1 2
5
x
(
x
+
x
)
=
x
(2
x
+
3)
=
15 x12 =
∑
∑
∑
∑
∑
∑
1
2
3
1
2
45 x1 =1 x2 =0 x3 =1
45 x1 =1 x2 =0
45 x1 =1
3
olmak üzere, bu beklenen değeri X 1 ‘in marjinal dağılımından da hezaplayabiliriz. X 1 ‘in
marjinal olasılık fonksiyonu,
2
2
x
1
f X1 ( x1 ) = ∑ ∑ x1 ( x2 + x3 ) = 1
, x1 = 1, 2
3
x2 =0 x3 =1 45
ve olasılık tablosu,
1
2
x1
f X1 ( x1 )
olup
1/3
2/3
1
2 5
E ( X 1 ) = 1× + 2× =
3
3 3
dır.
E ( X 1 X 2 ) değerini hesaplayalım.
2
2
2
E ( X 1 X 2 ) = ∑∑∑ x1 x2 f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) =∑ ∑ ∑ x1 x2
x1
x2
x1 =1 x2 =0 x3 =1
x3
1
x1 ( x2 + x3 )
45
=
1 2 2 2 2 2
1 2 2 2
x
(
x
+
x
x
)
=
x1 (2 x22 + 3 x2 )
∑ ∑ ∑ 1 2 2 3 45 ∑
∑
45 x1 =1 x2 =0 x3 =1
x1 =1 x2 =0
=
19 2 2 19
∑ x1 = 9
45 x1 =1
olmak üzere, bu değeri ( X 1 , X 2 ) vektörünün marjinal dağılımından ( X 1 ile X 2 ‘nin marjinal
ortak dağılımından) da bulabiliriz. X 1 ile X 2 ‘nin marjinal ortak olasılık fonksiyonu,
2
1
x1 ( x2 + x3 )
x3 =1 45
f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) = ∑ f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) = ∑
x3
x = 1, 2
1
x1 (2 x2 + 3) , 1
x2 = 0,1, 2
45
olmak üzere, olasılık tablosu
0
1
2
x
x
=
1
f X1 ( x1 ) = P( X 1 = x1 )
2
1
2
f X 2 ( x2 ) = P( X 2 = x2 )
3/45
6/45
9/45
5/45
10/45
15/45
7/45
14/45
21/45
15/45
30/45
1
olup,
2
2
E ( X 1 X 2 ) = ∑ ∑ x1 x2 f X1 , X 2 ( x1 , x2 )
x1 =1 x2 =0
= 1× 0× f X1 , X 2 (1, 0) + 1×1× f X1 , X 2 (1,1) + 1× 2× f X1 , X 2 (1, 2) + 2× 0× f X1 , X 2 (2, 0)
+ 2×1× f X1 , X 2 (2,1) + 2× 2× f X1 , X 2 (2, 2)
3
5
7
6
10
14
+1×1× +1×2× + 2×0× + 2×1× + 2×2×
45
45
45
45
45
45
95 19
=
=
45 9
=1×0×
dır.
Tablodan görüldüğü gibi, X 2 ‘nin marjinal dağılımının olasılık tablosu,
olup,
x2
0
f X 2 ( x2 )
9/45
1
2
15/45 21/45
9
15
21 57
+ 1× + 2× =
45
45
45 45
9
15
21 99
E ( X 22 ) = 02 × + 12 × + 2 2 × =
45
45
45 45
99
57
1206
Var ( X 22 ) = E ( X 22 ) − ( E ( X 2 )) 2 = − ( ) 2 =
45 45
2025
E ( X 2 ) = 0×
dır.
Şimdi X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin varyans-kovaryans matrisini hesaplamaya
çalışalım. Đlk önce ikişerli marjinal dağılımları elde edelim. Yukarıda, X 1 ile X 2 ‘nin marjinal
ortak olasılık fonksiyonu,
2
1
f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) = ∑ f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) = ∑ x1 ( x2 + x3 )
x3
x3 =1 45
x = 1, 2
1
x1 (2 x2 + 3) , 1
x2 = 0,1, 2
45
=
olmak üzere, olasılık tablosu
0
x1
x2
1
3/45
2
6/45
9/45
f X 2 ( x2 ) = P( X 2 = x2 )
1
2
f X1 ( x1 ) = P( X 1 = x1 )
5/45
10/45
15/45
7/45
14/45
21/45
15/45
30/45
1
olduğunu bulmuştuk. Ayrıca,
5
2
E( X1) =
, E ( X 12 ) = 3 , Var ( X 1 ) =
3
9
57
76
171
E( X 2 ) =
, E ( X 22 ) =
, Var ( X 2 ) =
45
45
2025
19
32
E( X1 X 2 ) =
, Cov( X 1 , X 2 ) = E ( X 1 X 2 ) − E ( X 1 ) E ( X 2 ) =
9
21
değerlerini böyle bir tablodan kolayca hesaplayabiliriz.
Benzer şekilde, X 2 ile X 3 ‘ün marjinal ortak olasılık fonksiyonu,
2
1
x1 ( x2 + x3 )
x1 =1 45
f X 2 , X 3 ( x2 , x3 ) = ∑ f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) = ∑
x1
=
olup, olasılık tablosu,
x3
x2
1
2
f X 2 ( x2 ) = P( X 2 = x2 )
ve
1
( x2 + x3 ) ,
15
x2 = 0,1, 2 , x3 = 1, 2
0
1
2
f X 3 ( x3 ) = P( X 3 = x3 )
1/15
2/15
3/15
2/15
3/15
5/15
3/15
4/15
7/15
6/15
9/15
1
19
24 8
42 14
6
, E( X 3 ) =
=
, E ( X 32 ) =
=
, Var ( X 3 ) =
15
15 5
15
5
25
30
2
E( X 2 X 3 ) =
= 2 , Cov( X 2 , X 3 ) = E ( X 2 X 3 ) − E ( X 2 ) E ( X 3 ) = −
15
75
dır.
E( X 2 ) =
X 1 ile X 3 ‘ün marjinal ortak olasılık fonksiyonu,
2
1
x1 ( x2 + x3 )
x2 =0 45
f X1 , X 3 ( x2 , x3 ) = ∑ f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) = ∑
x2
=
1
x1 (1 + x3 ) , x1 = 1, 2 , x3 = 1, 2
15
olup, olasılık tablosu,
x3
x1
1
2
f X1 ( x1 ) = P( X 1 = x1 )
1
2
f X 3 ( x3 ) = P( X 3 = x3 )
2/15
3/15
5/15
4/15
6/15
10/15
6/15
9/15
1
ve
40
15
40 5 8
Cov( X 1 , X 3 ) = E ( X 1 X 3 ) − E ( X 1 ) E ( X 3 ) = − × = 0
15 3 5
E( X1) =
5
3
,
E( X3 ) =
8
5
,
E( X1 X 2 ) =
dır.
X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin varyans-kovaryans matrisi
 Cov( X 1 , X 1 ) Cov( X 1 , X 2 ) Cov( X 1 , X 3 ) 


Σ = Cov( X 2 , X 1 ) Cov( X 2 , X 2 ) Cov( X 2 , X 3 )


 Cov( X , X ) Cov( X , X ) Cov( X , X ) 
3
1
3
2
3
3 

 Var ( X 1 )
Cov( X 1 , X 2 ) Cov( X 1 , X 3 ) 


= Cov( X 2 , X 1 )
Var ( X 2 )
Cov( X 2 , X 3 )


 Cov( X , X ) Cov( X , X )

Var
(
X
)
3
1
3
2
3


2

9

 32
=
 21

0



32
0 
  0.22222
21

0.084444
0


171
2  
−  = 0.084444
0.59556 −0.026667

2025
75  
0
−0.026667
0.24 
 
2
6 
−

75
25 
ve koralasyon matrisi,










R = 














0





2
−


75

171
6 
×

2025
25 




1



32
21
2
171
×
9
2025
1
32
21
2
171
×
9
2025
1
2
75
171
6
×
2025
25
−
0
 1
0.61644
0 


= 0.61644
1
−0.18732


 0

−
0.18732
1


olarak elde edilir.
6. ( X , Y ) rasgele vektörünün dağılımı, başka bir ifade ile X , Y rasgele değişkenlerinin ortak
dağılımı aşağıdaki olasılık tablosu ile verilsin.
x
0
1
2
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
1/8
1/8
1/8
3/8
1/8
0
1/8
2/8
1/8
1/8
1/8
3/8
3/8
2/8
3/8
1
2
,
8
fY (1) =
f X ,Y (1,1) = 0 , f X (1) =
olmak üzere,
2
8
f X ,Y (1,1) ≠ f X (1) fY (1)
olduğundan X ile Y bağımsız değildir. Fakat,
14
6
, Var ( X ) =
8
8
14
6
E (Y ) = 1
, E (Y 2 ) =
, Var (Y ) =
8
8
E ( XY ) = 1 , Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 0
E( X ) = 1
, E( X 2 ) =
olup,
ρ X ,Y = 0
dır. Görüldüğü gibi korelasyon katsayısı ρ X ,Y = 0 olan iki rasgele değişken bağımsız
olmayabilir.
Korelasyon katsayısının büyüklüğünü irdeleyelim
x
0
1
2
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
3/8
0
0
3/8
0
2/8
0
2/8
0
0
3/8
3/8
3/8
2/8
3/8
1
E( X ) = 1
,
E (Y ) = 1
,
E ( XY ) =
14
,
8
14
8
14
E (Y 2 ) =
8
E( X 2 ) =
,
,
6
8
6
Var (Y ) =
8
Var ( X ) =
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) =
6
8
olup,
ρ X ,Y =
6
8 =1
6 6
×
8 8
dır. Görüldüğü gibi, P( X = Y ) = P( X − Y = 0) = 1 , yani X ile Y arasında tam bir lineer ilişki
olmak üzere, korelasyon katsayısı ρ X ,Y = 1 dır. X ile Y rasgele değişkenleri arasında pozitif
bir ilişki söz konusudur. Rasgele değişkenlerden biri büyük değer aldığında diğeri de büyük, biri
küçük değer aldığında diğeri de küçük değer almaktadır.
x
0
1
2
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
2/8
1/8
0
3/8
1/8
1/8
0
2/8
0
0
3/8
3/8
3/8
2/8
3/8
1
olması durumunda,
E( X ) = 1
,
E (Y ) = 1
,
E ( XY ) =
13
,
8
14
8
14
E (Y 2 ) =
8
E( X 2 ) =
,
,
6
8
6
Var (Y ) =
8
Var ( X ) =
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) =
5
8
olup,
5
5
ρ X ,Y = 8 = ≈ 0.83 = %83
6 6 6
×
8 8
dır. X ile Y rasgele değişkenleri arasında oldukça güçlü pozitif bir lineer ilişki söz konusudur.
x
0
1
2
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
0
0
3/8
3/8
1/8
1/8
0
2/8
2/8
1/8
0
3/8
3/8
2/8
3/8
1
olması durumunda,
E( X ) = 1
,
E (Y ) = 1
,
E ( XY ) =
3
8
,
14
8
14
E (Y 2 ) =
8
E( X 2 ) =
6
8
6
Var (Y ) =
8
Var ( X ) =
,
,
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = −
5
8
olup,
ρ X ,Y =
−
5
8
5
= − ≈ −0.83 = −%83
6
6 6
×
8 8
dır. X ile Y rasgele değişkenleri arasında oldukça güçlü negatif bir lineer ilişki söz konusudur.
x
0
1
2
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
0
0
3/8
3/8
0
2/8
0
2/8
3/8
0
0
3/8
3/8
2/8
3/8
1
olması durumunda,
E( X ) = 1
,
E (Y ) = 1
,
E ( XY ) =
2
8
,
14
8
14
E (Y 2 ) =
8
E( X 2 ) =
,
,
6
8
6
Var (Y ) =
8
Var ( X ) =
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = −
6
8
olup,
ρ X ,Y =
−
6
8
= −1
6 6
×
8 8
dır. X ile Y rasgele değişkenleri arasında tam negatif bir lineer ilişki söz konusudur.
x
0
1
2
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
1/8
0
2/8
3/8
1/8
1/8
0
2/8
1/8
1/8
1/8
3/8
3/8
2/8
3/8
1
olması durumunda,
E( X ) = 1
,
E (Y ) = 1
,
E ( XY ) =
7
8
,
14
8
14
E (Y 2 ) =
8
E( X 2 ) =
6
8
6
Var (Y ) =
8
Var ( X ) =
,
,
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = −
1
8
olup,
ρ X ,Y =
−
2
8
1
= − ≈ −0.33=-%33
3
6 6
×
8 8
dır. X ile Y rasgele değişkenleri arasında zayıf, negatif bir lineer ilişki söz konusudur.
Marjinal dağılımları aynı olan yukarıdaki olasılık dağılımlarını, korelasyon katsayıları ile
birlikte bir kez daha göz önüne alalım.
x
0
1
2
y
x
0
1
2
y
x
0
1
2
y
0
1
2
3/8
0
0
0
2/8
0
0
0
3/8
0
1
2
0
0
3/8
0
2/8
0
3/8
0
0
0
1
2
2/8
1/8
0
1/8
1/8
0
0
0
3/8
ρ X ,Y = 1
ρ X ,Y = −1
ρ X ,Y = %83
x
0
1
2
y
x
0
1
2
y
x
0
1
2
y
0
1
2
0
0
3/8
1/8
1/8
0
2/8
1/8
0
0
1
2
1/8
0
2/8
1/8
1/8
0
1/8
1/8
1/8
0
1
2
1/8
1/8
1/8
1/8
0
1/8
1/8
1/8
1/8
ρ X ,Y =0
0
1
2
f X ( x)
9/64
6/64
9/64
3/8
6/64
4/64
6/64
2/8
9/64
6/64
9/64
3/8
3/8
2/8
3/8
1
ρ X ,Y = −%83
ρ X ,Y = - %33
ve
x y
0
1
2
fY ( y )
olması durumunda X ile Y rasgele değişkenleri bağımsız (ortak olasılıklar marjinallerin
çarpımı) olduğundan ρ X ,Y =0 dır.
7. ( X , Y , Z ) rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu,
( x + y )e − z , 0 < x < 1 , 0 < y < 1 , z > 0
f X ,Y , Z ( x, y, z ) = 
, d . y.
0
olsun. ve ( X , Y , Z ) vektörünün varyans-kovaryans matrisi ile korelasyon matrisini bulalım.
X ‘in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1 ∞
f X ( x) = ∫
0
1
∫ ( x + y)e
−z
dydz
0
∞
1
= ∫ ( x + y ) dy ∫ e dz = ∫ ( x + y )dy =
−z
0
0
0
( x + y)2
2
1
= y+
y =0
1
2
,
0<y<1
ve
∞
1
−∞
0
E ( X ) = ∫ xf X ( x)dx = ∫
∞
 x3 1 x 2 
1
7
 =
x( x + )dx =  +
 3 2 2 x=0 12
2
1
1
E ( X ) = ∫ x f X ( x)dx = ∫
2
2
−∞
0
 x 4 1 x3 
1
5
 =
x ( x + )dx =  +


2
 4 2 3 x=0 12
1
2
Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ))2 =
5
7
11
− ( )2 =
12 12
144
dır.
Y ‘nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1 ∞
fY ( y ) = ∫
0
1
∫ ( x + y)e
−z
dxdz
0
∞
1
= ∫ ( x + y ) dy ∫ e dz = ∫ ( x + y ) dx =
−z
0
0
( x + y)2
2
0
1
= y+
x=0
1
2
,
0<x<1
ve
∞
1
−∞
0
E (Y ) = ∫ yfY ( y)dy = ∫
 y 3 1 y 2 
1
7
 =
y ( y + )dy =  +


2
 3 2 2  y=0 12
1
E (Y ) = ∫ y fY ( y )dy = ∫
 y 4 1 y 3 
1
5
 =
y ( y + )dy =  +

2
 4 2 3  y=0 12
Var (Y ) = E (Y 2 ) − ( E (Y ))2 =
5
7
11
− ( )2 =
12 12
144
∞
1
2
2
−∞
0
1
2
dır.
Z ‘nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1
f Z ( z) = ∫
0
1
∫ ( x + y )e
−z
−z
dxdy =e
0

 ( x + y )2
=e ∫ 
 2
1
−z
0
1
1
0
0
∫ ∫ ( x + y)dxdy
1


1
−z
−z
 dy == e ∫  y +  dy = e , z > 0

2

x=0 
0
1
olup, Z rasgele değişkeni θ = 1 parametreli üstel dağılıma sahiptir ve
E(Z ) = 1
Var ( Z ) = 1
dır.
X ile Y nin ortak marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
∞
f X ,Y ( x, y ) = ∫ ( x + y )e− z dz = x + y , 0 < x < 1 , 0 < y < 1
0
olmak üzere,
f X ,Y , Z ( x, y, z ) = f X ,Y ( x, y ) f Z ( z )
dır. Z rasgele değişkeni X ile Y rasgele değişkenlerinden bağımsızdır. Buna göre,
Cov( X , Z ) = 0
Cov(Y , Z ) = 0
dır.
Cov( X , Y ) hesabına gelince,
∞ ∞
E ( XY ) = ∫
∫
−∞ −∞
1
=∫
0
1
=∫
0
1
xyf X ,Y ( x, y)dxdy
1
∫ xy ( x + y )dxdy = ∫
0
0
1
 x2

x2

y ( + y )  dy
 3
2 x=0 
1
1 y 
y 2 y3
1
y  +  dy = ( + )
=
 3 2 
6
6 y =0 3
olmak üzere,
1 7 7
1
Cov( XY ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = − × = −
3 12 12
48
dır.
( X , Y , Z ) rasgele vektörünün varyans-kovaryans matrisi
 Var ( X )
Cov( X , Y ) Cov( X , Z )


Σ =  Cov(Y , X )
Var (Y )
Cov(Y , Z ) 


Cov( Z , X ) Cov( Z , Y )

Var
(
Z
)


ve koralasyon matrisi,
 11 −1

144 48

 −1 11
=
 48 144

 0
0



0



0


1

25 



1





−1


48
R=
 11 11

×
 144 144


0






−1
48
11 11
×
144 144
1
0


0




 
1
-0.27273 0

 
1
0
0 =  -0.27273

 

 
0
0
1

 

1






olarak elde edilir.
8. a) X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı λ parametreli Poisson dağılıma sahip
olsun.
M X i (t ) = eλ (e −1) , i = 1, 2,..., n
t
olmak üzere,
k
M
k
∑ Xi
(t ) = ∏ M X i (t ) = (eλ ( e −1) ) n = enλ (e −1)
t
t
i =1
i=1
k
olup,
∑X
i
rasgele değişkeni parametresi nλ olan Poisson dağılımına sahiptir.
i =1
b) X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı θ parametreli üstel dağılıma sahip olsun.
M X i (t ) = (1− θt )−1 , i = 1,2,..., n
olmak üzere,
k
M
k
∑ Xi
(t ) = ∏ M X i (t ) = ((1− θt )−1 ) = (1− θt )−n
n
i =1
i=1
k
olup,
∑X
i
rasgele değişkeni parametreleri α = n ve β = θ olan gamma dağılımına sahiptir.
i =1
k
∑X
i
∼ Γ(n, θ ) dır.
i =1


t 
n 
n
t
n
θ
n
M X (t ) =  M X ( ) = (1− θ )−n = (1− t )−n
n
1
θ
olup, X n ∼ Γ(α = n, β = ) dır.
n
c) X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız, aynı µ ortalamalı ve aynı σ 2 varyanslı
N (µ, σ 2 ) normal dağılımına sahip olsun.
M X i (t ) = e
2 2
µt+σ t
2
, i = 1,2,..., n
olmak üzere,
2 2
 µ t +σ 2 t 2 
nµ t + nσ t

2
2

M k (t ) = ∏ M X i (t ) = e
 = e


i
=
1
X

∑ i
n
k
i=1
k
olup,
∑X
i
∼ N (nµ, nσ 2 ) dır.
i =1

 2 
σ2 t2
 t σ 2  nt  
n
µt + n


t   µ +
2
M X (t ) =  M X1 ( ) = e n 2  = e
n



n  



n
olup, X n ∼ N (µ,
9.
σ2
) dır.
n
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı b(1, p ) Bernoulli dağılımına sahip
n
olduğunda, Y = ∑ X i ∼ b(n, p ) rasgele değişkeninin aldığı değerler, y = 0,1, 2,..., n olmak
i =1
üzere olasılık fonksiyonu,
n
n 
fY ( y ) = P (Y = y ) = P (∑ X i = y ) =   p y q n− y , y = 0,1, 2,..., n
 y 
i =1
n
∑X
i
Y
1 2 3
rasgele değişkeninin aldığı değerler, xn = 0, , , ,...,1 olup, bu
n
n
n n n
değerleri alması olasılıkları
dır. X n =
i =1
=
n
n
i =1
i =1
f X n ( xn ) = P( X n = xn ) = P(∑ X i = nxn ) = P(∑ X i = y )
n 
1 2 3
=   p y q n− y , xn = 0, , , ,...,1

 y 
n n n
dır.
10. a) Belli bir tür pil için dayanma süresinin N ( µ = 35( saat ), σ 2 = 16) dağılımına sahip
olduğu bilinsin. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,
0. 1
0. 08
0. 06
0. 04
0. 02
0
20
25
30
35
40
45
50
dır. Bu piller arasından rasgele seçilen 10 pilin dayanma sürelerinin ortalamasını göz önüne
alalım. 10 tane pilin dayanma süreleri X 1 , X 2 ..., X 10 rasgele değişkenleri olmak üzere, bu rasgele
değişkenlerin her biri
bağımsız ise,
N ( µ = 35, σ 2 = 16) dağılımına sahiptir. Ayrıca,
X10 ∼ N (µX = 36, σ X2 =
10
10
16
10
X 1 , X 2 ..., X 10 ‘ler
)
dır. X 10 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
20
25
30
35
40
45
50
dır.
X 20 ∼ N (µX = 36, σ X2 =
20
20
16
20
)
rasgele
değişkeninin
fonksiyonunun grafiği,
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
20
dır.
25
30
35
40
45
50
olasılık
yoğunluk
b) Belli bir tür elektronik parça için dayanma süresinin aynı θ = 5 yıl ortalama ile üstel
dağılıma sahip olduğu bilinsin. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
dır.
Bu parçalar arasından rasgele seçilen 10 tanesinin dayanma sürelerinin ortalamasını göz
önüne alalım. 10 tane parçanın dayanma süreleri X 1 , X 2 ..., X 10 rasgele değişkenleri olmak üzere,
bu rasgele değişkenlerin her biri
θ = 5 parametreli üstel dağılıma sahiptir. Ayrıca,
X 1 , X 2 ..., X 10 ‘ler bağımsız ise,
5
X 10 ∼ Γ(α = 10, β = )
10
dır. X 10 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
dır.
X 20 ∼ Γ(α = 20, β =
5
) rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,
20
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
dır.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20