2 LİMİT VE SÜREKLİLİK Limit ve Süreklilik ......................................................................................................118 Bir Fonksiyonun Limiti .............................................................................................. 119 Özel Tanımlı Fonksiyonların Limiti ........................................................................... 133 Parçalı Fonksiyonların Limiti ...................................................................133 Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti ...................................................... 137 Limit Özellikleri ......................................................................................................... 143 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z Genişletilmiş Gerçel Sayılar Kümesinde Limit ......................................................... 152 Belirsizlikler .............................................................................................................. 158 0 Belirsizliği ........................................................................................... 158 0 3 Belirsizliği .......................................................................................... 162 3 0. 3 Belirsizliği ...................................................................................... 165 3 – 3 Belirsizliği ................................................................................... 168 1 3 Belirsizliği ....................................................................................... 173 Bir Dizinin Limiti ....................................................................................................... 195 Seriler ................................................................................................................ 203 Süreklilik ................................................................................................................225 Fonksiyonlarda Süreklilik ..........................................................................................225 Sürekli Fonksiyonların Özellikleri ............................................................................. 233 Sınırlı Fonksiyonlar .................................................................................................. 239 EBAS, EKÜS ......................................................................................... 239 Kapalı Aralıkta Sürekli Bir Fonksiyonun Özellikleri ................................ 241 y y y 1 –π 4 π 0 – π 2 1 –1 π 2 kök 2π 3π 2 x x 3 2 –1 2 –1 y= – 1 2 1 0 f(x) 1 2 3 x BÖLÜM KAVRAMSAL ADIM Limit, bilim içinde önemli role sahip kavramlardan biridir. Türev ve integral kavramlarını öğrenebilmek için limit kavramını eksiksiz öğrenmek gerekir. Limit kavramını anlamak için şu örneği verelim. Soldan ve Sağdan Yaklaşma a ∈ R sayısı verilsin. Bir x değişkeni a reel sayısına a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa bu yaklaşmaya soldan yaklaşma adı verilir ve x → a– ile gösterilir. x değişkeni a reel sayısına, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu yaklaşmaya sağdan yaklaşma adı verilir ve x → a+ ile gösterilir. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. LİMİT VE SÜREKLİLİK Arşimet, bir çemberin çevresini ve sınırladığı böl- 3 x x genin alanını hesaplamaya çalışırken köşeleri Soldan yaklaflma çember üzerinde olan düzgün çokgenler çizmiş- Sa€dan yaklaflma tir. Bu çokgenlerin kenar sayısı arttıkça çevresindeki ve alanındaki artışları gözlemlemiştir. Bu çokgenlerin kenar sayısına bağlı olarak alanını ve çevresini veren fonksiyonları yazalım. O x 2 4 2,5 3,5 2,9 3,1 2,99 3,01 2,999 3.001 ........... ........... x → 3– x → 3+ B r π/n π/n x M r A Pn C Çokgenin çevresi: Pn = n.2r.sin π n Çokgenin alanı: r r A n = n.r 2 . sin n . cos n olup Pn r .r. cos n dir. 2 % r m^ AOMh = n olup Limit kavramına geçmeden önce aşağıdaki örneği inceleyiniz. An = ÖRNEK r n yeteri kadar büyütüldüğünde n sıfıra yaklaşır. f: R → R, y = f(x) = x + 1 fonksiyonu veriliyor. x in 2 ye yaklaşması durumunda y nin hangi sayıya yaklaştığını bulalım. Bu durumda | OM | r cos a n k = değeri 1'e yaklaşır. | OA | ÇÖZÜM n yeteri kadar büyütüldüğünde Pn, Ç = 2πr ye ve An, A = c 2rr m .r. (1) = rr 2 ye yaklaşır. 2 Bu ise dairenin alanıdır. 118 x 1,9 1,99 1,999 2 ... 2,001 2,01 2,1 y 2,9 2,99 2,999 3 ... 3.001 3,01 3,1 Tablo incelendiğinde 2 den küçük değerlerle 2 ye yaklaşıldığında y sayısının 3 e yaklaştığı görülür. KAVRAMSAL ADIM x2 – 1 fonksiyonunun x = 1 civarındaki x –1 davranışını inceleyelim. Yani x ile 2 arasındaki farkın mutlak değeri çok küçükken y ile 3 arasındaki farkın mutlak değeri de çok küçüktür. f (x) = y y=x+1 3,1 3+ 3,01 3,001 3 f fonksiyonu x = 1 dışında tanımlıdır. 2,999 x ! 1 için (x – 1) (x + 1) f (x) = = x +1 x –1 dir. 3– 2,99 2,9 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z f nin grafiği y = x + 1 doğrusunun grafiğinden 0 x 2,1 2,01 2,001 2 2– x 1 1,999 0 2 1,9 y 1,99 (1, 2) noktası silinerek elde edilir. 2+ Grafik incelendiğinde x → 2– için y = f(x) 3 sayısına yaklaşmaktadır. 3 sayısına f fonksiyonunun x = 2 noktasındaki soldan limiti denir ve lim – f (x) = 3 şeklinde gös- f(1) tanımlı değildir. terilir. x 1 e yaklaşırken Benzer şekilde x → 2+ için y = f(x) 3 sayısına yaklaşmaktadır. 3 sayısına f fonk- f(x) 2 ye yaklaşmaktadır. siyonunun x = 2 noktasındaki sağdan limiti denir ve O halde 2 lim f (x) = 2 veya x$1 x"2 lim x$1 x –1 = 2 dir. x –1 lim x " 2+ f (x) = 3 şeklinde göste- rilir. BİR FONKSİYONUN LİMİTİ A ⊂ R, f: A → R veya f: A – {a} → R bir fonksiyon olsun. a– a+ a x değişkeni a sayısına soldan yaklaştığında f(x) de bir L1 reel sayısına yaklaşıyorsa, L1 sayısına f fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan limiti denir ve ETKİNLİK lim f (x) = L 1 x " a– f(x) = x2 – 4 fonksiyonunun x = 2 noktasınx–2 daki limitini bulunuz. şeklinde gösterilir. x değişkeni a sayısına sağdan yaklaştığında f(x) de bir L2 reel sayısına yaklaşıyorsa, L2 sayısına f fonksiyonunun x = a noktasındaki sağdan limiti denir ve lim f (x) = L 2 x " a+ şeklinde gösterilir. f fonksiyonunun x = a noktasında limitinin var olması için gerek ve yeter koşul bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin mevcut ve birbirine eşit olmasıdır. O halde L1 = L2 = L ise lim f (x) = L şeklinde gösterilir. x"a 119 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 2 den büyük değerlerle 2 ye yaklaşıldığında y sayısının 3 e yaklaştığı görülür. ETKİNLİK 1. y 3. y=f(x) Şekilde y = f(x) fonksiyo- y nunun grafiği verilmiştir. 3 2 2 3/2 a) lim f (x) 1 x"0 0 2 x b) f: R – {2} → R , y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. Buna göre, lim f (x) değerini (varsa) bulalım. x → 2– iken f(x) → 3– olduğundan x→ 2+ lim – f(x) = 3 tür. x"2 iken f(x) → olduğundan 3+ x"2 y=f(x) x "1 a) x → 3 3– 0– y iken 2+ 2 f(x) → 1+ olduğundan 2– 0 2 x 2+ 3/2 – 3 2 lim –f (x) = 1 dir. 1+ 1– 0+ x"0 x→ 0+ iken – + – –1 –1 0– 0– 0 1 0 f(x) → 1– olduğundan f fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti vardır. lim f (x) = 3 bulunur. x"2 c) lim f (x) Çözüm 3+ lim f (x) = lim +f (x) olduğundan x " 2– lim f (x) = 1 dir. x"0 b) x → –1– iken f(x) → 2+ olduğundan 2. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y lim f (x) = 2 dir. x " –1 – x → –1+ iken f(x) → 1 lim f (x) x "1 1 0 değerini (varsa) bulunuz. x lim f (x) = x " –1 + –2 O halde Çözüm f( ) x → 1– iken f(x) → 1+ 3– olduğundan 2 3 dir. 2 lim f (x) ! lim +f (x) olduğundan x " –1 x " –1 – lim f (x) yoktur. y x " –1 olduğundan lim –f (x) = 1 dir. x "1 x → 1+ iken f(x) → –2 – olduğundan lim f (x) = –2 dir. x " 1+ 1+ 1 0 1– 1+ x x "1 olduğundan f fonksiyonunun x = 1 noktasında limiti yoktur. 120 c) x → 1– iken f(x) → 0+ olduğundan lim f (x) = 0 dır. –2 –2– lim f (x) ! lim +f (x) x " 1– x 1 0 y lim f (x) = 3 tür. x " 2+ –1 değerlerini (varsa) bulunuz. x"2 Çözüm lim f (x) x " –1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI x " 1– x → 1+ iken f(x) → 0– olduğundan lim f (x) = lim +f (x) = lim f (x) = 0 dır. x " 1– x "1 x"1 1 1+ x y=f(x) 4. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, 6. y Şekilde y = f(x) y fonksiyonunun grafiği verilmiştir. lim f (x) değerini x " –1 y=f(x) 2 3 (varsa) bulunuz. lim f (x) 2 x"3 1 –1 değerini (varsa) x 3 0 bulunuz. x 0 Çözüm x→ –1– x → 3– iken y=f(x) Çözüm iken y f(x) → 1– olduğundan lim f (x) = 2 dir. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z lim f (x) = 1 dir. x " 3– 3+ 3 x → 3+ iken x → –1+ iken f(x) → 3+ 2 f(x) → olduğundan 1 1– x " 3+ x " –1 – lim f (x) = 3 x " –1 + tür. y f(x) → 2– olduğundan 2+ y=f(x) 2+ 2 2– 3– 3 0 x 3+ olduğundan lim f (x) = 2 dir. x –1– –1 –1+ 0 O halde lim f (x) = 2 dir. x"3 lim –f (x) ! lim +f (x) x " –1 x " –1 olduğundan y=f(x) lim f (x) yoktur. x " –1 7. f: [x1, x2] → [y1, y2] y = f(x) fonksiyonunun y y2 grafiği verilmiştir. a) 5. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. lim f (x) değerini (varsa) x"2 y b) 2 0 lim f (x) ifadelerini x x1 x2 x " x2 x Çözüm f fonksiyonunun tanım kümesi, y [x1, x2] olduğundan, f x1 in soy2 lunda, x2 nin sağında tanımlı y2– değildir. Ancak x1 ve x2 noktalay1+ y1 rındaki limiti incelenirken x1 noktasındaki limit için sadece 0 sağdan limite bakılır, x2 noktasındaki limit için sadece soldan limite bakılır. Yani, yukarıdaki grafiğe göre Çözüm x → 2– iken y f(x) → 2+ olduğundan dir. 2+ 2 x → 2+ iken f(x) → 1– 1 1– olduğundan 0 lim f (x) = 1 dir. x " 2+ 2– 2 2+ x1 x1+ x2– x2 x a) lim –f (x) ! lim +f (x) x"2 x " x1 belirleyiniz. 2 0 lim f (x) = 2 y1 1 bulunuz. x " 2– lim f (x) lim f (x) = lim +f (x) = y 1 x " x1 x " x1 x"2 b) olduğundan lim f (x) yoktur. x"2 lim f (x) = lim - f (x) = y 2 dir. x " x2 x " x2 121 x ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 8. f: (x1, x2) → (y1, y2) y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. a) b) 10. y = f(x) fonksiyonunun grafiği y y verilmiştir. y2 lim f (x) değerini (varsa) lim f (x) x " x1 x"0 y1 lim f (x) değerlerini x2 x1 0 x " x2 bulunuz. x x 0 y=f(x) bulunuz. Çözüm Çözüm x" a) f(x) → +∞ y x +1 iken f (x) " y +1 ve f: (x1, x2) → (y1, y2) olduğundan lim f (x) = x " x1 y2 lim f (x) = y 1 dir. x " x+ 1 x " 0– y1+ x1 x1+ x2– 0 x x2 olduğundan lim f (x) = + 3 y=f(x) x " 0+ dur. lim –f (x) = lim +f (x) = + 3 x"0 x"0 olduğundan lim f (x) = lim –f (x) = y 2 dir. x " x2 lim f (x) = + 3 yazılır. x"0 Ancak limit bir gerçel sayı olmalıdır. Bu nedenle x = 0 noktasında f fonksiyonunun limiti yoktur. 11. y = f(x) fonksiyonunun 9. x 0– 0 0+ x → 0+ iken f(x) → +∞ y1 f: (x1, x2) → (y1, y2) olduğundan x " x2 olduğundan lim f (x) = + 3 y2– x " x –2 iken f (x) " y 2– ve b) y x → 0– iken w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y grafiği verilmiştir. y y=f(x) lim f (x) değerini (varsa) x"3 lim f (x) değerini (varsa) bulu- x"0 bulunuz. nuz. 0 x 3 x 0 Çözüm x → 0– iken Çözüm f(x) → +∞ olduğundan x → 3– iken y f(x) → –∞ lim f (x) = + 3 olur. x " 0– olduğundan lim f (x) = –3 dur. x " 3– x → 0+ iken f(x) → –∞ olduğundan y 0– 0 0+ x olduğundan lim f (x) ≠ lim +f (x) tir. dur. O halde x " 0– x"0 O halde lim f (x) yoktur. x"0 3 x → 3+ iken f(x) → –∞ lim f (x) = –3 dur. x " 0+ 3– 0 lim f (x) = –3 x " 3+ – lim f (x) = lim +f (x) olduğundan lim f (x) = –3 yazılır. x " 3– x"3 x"3 Ancak –∞ bir reel sayı olmadığından lim f (x) yoktur. x"3 122 – x 12. Şekilde y = f(x) UYARI 1. Bir f: D ⊂ IR $ |R fonksiyonunun a ∈ D noktasında limitinin olması için gerek ve yeter koşul soldan ve sağdan limitlerinin eşit olmasıdır. Yani veriliyor. lim f (x) değerini x"a x"a y=f(x) Çözüm x"a x"a lim f (x) = lim +f (x) = 2 olduğundan lim f (x) = 2 dir. x " 1– x"1 x"1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 3. x 1 0 (varsa) bulunuz. lim f (x) ! lim +f (x) ise lim f (x) yoktur. x " a– 2 x"1 lim f (x) = lim +f (x) = , + lim f (x) = , dir. x " a– 2. y fonksiyonunun grafiği f fonksiyonu x = 1 noktasında tanımsız olduğu halde bu noktada limiti vardır. f: D ⊂ IR → IR fonksiyonunun a ∈ D noktasındaki limiti ise bu değer a nın görüntüsüne eşit olmak zorunda değildir. Aşağıdaki grafiği inceleyiniz. SONUÇ – 2 y k f Bir f(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu x = a noktası kritik nokta değilse, f fonksiyonunun x = a noktasındaki limiti bu noktadaki görüntüsüne eşittir. m a b x Yani; lim f (x) = f (a) dır. x"a Yukarıdaki grafikte f fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan ve sağdan limiti ye eşit olduğundan lim f (x) = lim +f (x) = , dir. x " a– x"a Fakat f(a) = k olup k ≠ dir. Aynı grafikte x = b noktasındaki soldan ve sağdan limitler m ye eşit olduğundan 13. y 2 lim f (x) = m dir. x"b –3 x = b de f(b) = m dir. 0 y=f(x) x Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. lim f (x) değerini (varsa) bulunuz. SONUÇ – 1 x " –3 Bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasında limitinin olması için bu noktada tanımlı olması gerekmez. Bu noktanın civarında (komşuluğunda) tanımlı olması gereklidir. Çözüm lim f (x) = lim +f (x) = f (–3) = 2 dir. x " –3 – x " –3 123 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 14. x+3 x2 + 6 bulunuz. y 15. f (x) = 3 fonksiyonunun x = –1 noktasındaki limitini 2 1 5 1 –3 –2 –1 –1 3 4 x Çözüm f fonksiyonu x = –1 noktasında tanımlı olduğundan bu nokta kritik nokta değildir. Yukarıda f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Aşağıdakileri bulunuz. A) B) lim f (x) x " 1– C) lim f (x) D) x"0 E) G) F) lim f (x) x " –2 + H) lim f (x) x " –3 I) f(–1).f(1).f(–2) Çözüm A) B) C) x"1 D) E) lim f (x) = 2 lim f (x) x " –2 – lim f (x) x"5 lim f (x) x " –1 16. limr (x2 + cosx) değerini bulunuz. x" 2 lim –f (x) = – x"0 r değeri f(x) = x2 + cosx fonksiyonu için bir kritik nokta 2 değildir. 3 3 olduğundan ve lim +f (x) = – 4 4 x"0 lim f (x) = 1 dir. x " –2 – Bu nedenle r r r lim f (x) = f ( ) = ( ) 2 + cos r 2 2 2 x" 3 tür. 4 2 lim f (x) = 1 dir. x " –2 + (D ve E den F) lim f (x) x " 1+ x= x " 1+ lim f (x) = – –1 + 3 2 bulunur. = (–1) 2 + 6 7 Çözüm lim –f (x) = –1 x"0 lim f (x) = f (–1) = x " –1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI = r2 +0 4 = r2 bulunur. 4 lim f (x) = 1 olduğunu görünüz.) x " –2 lim f (x) = 0 ve lim +f (x) = 0 olduğundan x " 5– x"5 lim f (x) = 0 dır. x"5 G) H) lim f (x) = 0 x " –3 lim f (x) = 1 ve x " –1 – lim f (x) = 1 olduğundan x " –1 + lim f (x) = 1 dir. x " –1 I) f(–1) = 1, f(1) = 2, f(–2) = 3 olduğundan f(–1).f(1).f(2) = 1.2.(3) = 6 dır. 17. f(x) = x2 – 3x + 5 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki limitini bulunuz. Çözüm f(x) = x2 – 3x + 5 fonksiyonu x = 2 noktasında tanımlıdır. Bu nedenle lim f (x) = f (2) = 2 2 – 3.2 + 5 x"2 =3 124 bulunur. 18. lim x"2 1 limitini hesaplayınız. x–2 Çözüm x = 2 için lim x"a 1 =3 2–2 lim x " 2– h>0 1 1 = lim x – 2 h " 0 (2 + h) – 2 h>0 = lim h"0 h>0 1 20. a) lim x x"0 (n ! Z +) , 1 b) lim x x " –3 a) x " 0+ ve 1 1 lim x ! lim + x x"0 olduğundan dir. 1 lim x b) lim f (x) = lim +f (x) = 3 olması x = a da limitin varlığı x " a– x"a anlamına gelmez. Çünkü limit gerçel sayıdır. ∞ (ya da –∞) bir gerçel sayı değildir. x 0 x " 0– x"0 UYARI y 1 1 lim = – = –3 0 x " 0– x 1 1 lim x = + = + 3 0 1 =3 h 1 1 ] lim + x–2 x"2 x – 2 1 c) lim x x "+3 limitlerini hesaplayınız. Çözüm olup limiti yoktur. Çünkü lim 1 =0 (x – a ) n lim x "!3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z h>0 x " 2– n çift sayı n tek say› 1 1 = lim x–2 h " 0 (2–h) –2 1 = lim (– ) = –3 olur. h h"0 lim + , +3 1 = * ( x – a) n yoktur , olduğundan x = 2 kritik noktadır. O halde bu noktada soldan ve sağdan limitlerine bakılır. x"2 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI c) yoktur. 1 lim x = 0 x " –3 1 lim x = 0 dır. Grafiği inceleyiniz. x "+3 21. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. 4 19. lim limitini hesaplayınız. x " 3 (3 – x) 2 Çözüm x = 3 için 4 = 3 olduğundan x = 3 kritik noktadır. ( 3 – 3) 2 a) lim x"2 x"3 4 4 = lim (3 – x) 2 h " 0 [3 – (3 – h)] 2 h>0 b) lim x"3 1 x–2 c) lim x " –3 1 x–2 Çözüm f(x) = Bu nedenle bu noktada soldan ve sağdan limite bakılır. lim – 1 x –2 1 nin grafiği x–2 y yandaki gibidir. a) lim – x"2 4 = lim =3 h " 0 h2 1 1 = = –3 x – 2 0– lim 1 1 = =+3 x – 2 0+ lim 1 1 ! lim + x–2 x"2 x – 2 x " 2+ 0 x 2 1 2 h>0 4 4 lim = lim h " 0 [3– (3 + h)] 2 x " 3 + (3 – x) 2 h>0 = lim h"0 h>0 olup lim x"3 x " 2– 4 =3 h2 4 = 3 dur. Ancak limit gerçel sayı olmak (3 – x) 2 zorunda olduğundan x = 3 de limit yoktur. olduğundan lim x"2 1 x–2 b) lim 1 =0 x–2 c) 1 = 0 dır. x–2 x"3 lim x " –3 yoktur. 125 UYARI a) lim 3 3 3 = = =+3 x 2 (0 –) 2 0 + lim 3 3 3 = = =+3 x 2 (0 +) 2 0 + x " 0– a ∈ R ve a ≠ 0 olsun. • a 0 a = 1 , a = 0, a " 3 = " 3 x " 0+ • 3+3=3, ve • a < 0 ise 3.3 = 3 x"0 b) c) 3 1 1 = = =0 x 2 (3) 2 3 lim x " –3 3 1 1 = = =0 x 2 (–3) 2 3 2 limitini (x – 1) 2 23. lim x"1 0 0 "0 , – "0 0+ 0 • a 0+ 0– !3 , , , 0 0 0 0 • 0+ 0+ y hesaplayınız. Çözüm ifadeleri tanımsızdır. f (x) = 3 , 0.3 , 3 , 3–3 , 1 3 , 3°, 0° ifadeleri belirsizliktir. lim x"3 3 = + 3 dur. x2 dır. • , 3 3 = lim =+3 x2 x " 0– x2 olduğundan lim a " –3 0+ a "+3 0– a 3 3 " 0, a " –3 a.3 " –3 a a > 0 ise "+3 0+ a " –3 0– a 3 3 "0 , a "3 a.3 " 3 0– 0– lim x " 0+ w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 2 2 fonksiyonu(x – 1) 2 x = 1 değeri f(x) = 2 fonksiyonunun bir kritik noktası( x – 1) 2 lim 2 2 2 = = =3 (x – 1) 2 (0 –) 2 0 + lim 2 2 2 = = =3 (x – 1) 2 (0 +) 2 0 + x " 1– x " 1+ olduğundan lim x"1 22. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. x"0 3 x2 b) lim x"3 Çözüm c) lim x " –3 3 x2 a) y b) 3 f(x) = 2 fonksiyonunun x c) grafiği yandaki gibidir. x = 0, f (x) = 3 fonksiyox2 nunun bir kritik noktasıdır. 126 2 = 3 dur. (x – 1) 2 24. Aşağıdaki örnek çözümleri inceleyiniz. 3 x2 0 x nun grafiği yandaki gibidir. dır. a) lim 0 1 1 1 lim x = – = –3 0 x " 0– 3 3 lim x = + = + 3 0 x " 0+ lim x+3 0+3 3 = – 3 = – = –3 0 x3 (0 ) lim + 10 – x 2 10 – 0 10 = = =+3 2.3 x – 2 2.1 + –2 0 + x " 0– x d) x"0 e) 1 1 lim (3 + x ) = 3 + 3 = 3 + 0 = 3 4 26. lim ( ) x limitinin değeri nedir? x"3 3 x"3 3 3 lim (2 – x ) = 2 – 3 = 2 – 0 = 2 f) Çözüm x"3 g) x2 + 1 x2 + 1 32 + 1 10 lim – 2 = lim – = – = =+3 2 x " 3 x –6x + 9 x " 3 (x – 3) (3 – 3) 2 0 + k) 2.x 2 – 3 2.2 2 – 3 5 5 = – = = =+3 lim | 2 – 2 | | 0– | 0+ x " 2– | x – 2 | l) lim – x"5 4 4x 3 lim ( ) x = lim x = =3 x"3 3 3 A x"3 dur. (A bir reel sayı) x2 – 5 52 – 5 20 20 = = = =+3 | 5 – x | | 5 – 5– | | 0+ | 0+ 2 27. lim ( ) –x limitinin değeri nedir? x"3 5 Çözüm 2 5 lim ( ) –x = lim ( ) x x"3 2 5 UYARI x"3 • a > 1 ise lim a x = 3 , • |a| < 1 =0 x"3 x " –3 ise ax = lim lim a x = 0 x"3 lim w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z rx r e sin . e 1 1 2e = 2 m) lim – = = =+3 2 – 2.1 – 2 – 2 – 0 + x " e 2 – 2,nx sin x"3 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI lim a x = 3 , x " –3 lim a x yoktur, • | a | > 1 ise 5x = 3 dur. 2x x"3 lim x " –3 ax = 0 3 28. lim (– ) x limitinin değeri nedir? x"3 4 Çözüm 2 25. lim ( ) x x"3 3 |– y 3 | < 1 olduğundan 4 3 lim (– ) x = 0 dır. 4 x"3 limitinin değeri kaçtır? 1 0 x y=( 2 ) 3 x 29. lim (–3) x limitinin değeri nedir? x"3 Çözüm Çözüm x (2) 3 x 1 2 3 4 .... → + ∞ 2 3 4 9 8 27 16 81 .... → 0 |–3| > 1 olduğundan lim (–3) x yoktur. x"3 2 2x lim ( ) x = lim x"3 3 x " 3 3x 3 > 2 olduğundan 3x , 2x den daha çabuk sonsuza yaklaşır. Ya da şöyle söylenebilir. 2x henüz sonsuza yaklaşmadan, 3x sonsuza yaklaşır. Yani 2x, sayı iken 3x sonsuza yaklaşır. Bu durumda 2x A lim = 3 = 0 olur. (A ≠ 0) x " 3 3x SIKIŞTIRMA TEOREMİ f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) olmak üzere lim f (x) = lim g (x) = , x"a x"a ise lim h (x) = , dir. x"a 127 30. lim x"3 cos x limitinin değeri nedir? x 33. x ! 0 için 6 – x2 ≤ u(x) ≤ 6 + x2 Çözüm 1 cos x 1 –1 ≤ cosx ≤ 1 olduğundan – x ≤ x ≤ x ve 1 cos x 1 lim (– x ) ≤ lim ( ) x ≤ xlim x"3 x"3 "3 x 0 ≤ lim x"3 cos x x ≤0 olduğundan lim x"3 olduğuna göre, lim u (x) değerini bulunuz. x"0 Çözüm lim (6 – x 2) = 6 x"0 lim (6 + x 2) = 6 x"0 cos x x = 0 bulunur. olup sıkıştırma teoremine göre lim u (x) = 6 dır. x"0 31. lim x"3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI sin x x limitinin değeri nedir? 34. lim | f (x) | = 0 ise x"a lim f (x) = 0 olduğunu gösteriniz. x"a Çözüm 1 sin x 1 –1 ≤ sinx ≤ 1 olduğundan – x ≤ x ≤ x 1 a– k ≤ ve xlim x "3 lim x"3 sin x 0 ≤ lim x ≤ 0 x"3 olduğundan lim x"3 sin x 1 ( ) x ≤ xlim "3 x Çözüm –|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| ve lim | f (x) | = 0 ve lim (– | f (x) |) = 0 x"a x"a olduğundan sıkıştırma teoremine göre sin x x =0 lim f (x) = 0 dır. x"a bulunur. 35. x ∈ [–1, 1] ve 32. lim x"3 cos 2x limitinin değeri nedir? x2 5 – 2x 2 ≤ f (x) ≤ 5 – x 2 olmak üzere, lim f (x) değerini bulunuz. x"0 Çözüm –1 ≤ cos2x ≤ 1 olduğundan –1 cos 2x 1 1 cos 2x 1 ≤ ≤ 2 & lim (– 2 ) ≤ lim ≤ lim 2 x"3 x"3 x"3 x x2 x2 x x x2 0 ≤ lim x"3 cos 2x ≤0 x2 cos 2x olup lim = 0 dır. x"3 x2 128 Çözüm lim 5 – 2x 2 = 5 lim 5 – x2 = 5 x"0 x"0 olup sıkıştırma teoremine göre lim f (x) = 5 bulunur. x"0 1. Şekilde y = f(x) 3. y y=f(x) fonksiyonunun grafiği a) b) c) –3 0 a) x 1 b) lim f (x) değerlerini varsa bulunuz. x"0 x " –3 1 lim f (x) x " –1 lim f (x) y=f(x) 2 verilmiştir. 1 lim f (x) x"1 y fonksiyonunun grafiği 2 verilmiştir. Şekilde y = f(x) –1 x 1 0 lim f (x) x"1 –2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z değerlerini (varsa) bulunuz. a) yoktur. b) 0 a) 1 b) 2 c) 0 2. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. a) b) c) lim f (x) x"1 4. y 2 verilmiştir. 1 1 3 x 4 lim f (x) x"3 y fonksiyonunun grafiği 2 0 Şekilde y = f(x) a) b) y=f(x) lim f (x) c) x"0 değerlerini bulunuz. x"3 lim f (x) y=f(x) 1 lim f (x) –1 –2 0 1 –1 x x " –1 lim f (x) x " –2 değerlerini (varsa) bulunuz. a) 1 b) 1 c) 2 a) 1 b) –1 c) 0 129 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 5. 8. lim (x 2 + 4x – 3) değerini bulunuz. x"3 f(x) = log2x fonksiyonunun x = 64 noktasındaki limiti kaçtır? 6 18 6. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 9. lim (x2 + ax + 2) = 7 olduğuna göre, a kaçtır? x " –1 –4 7. x2 – 6 – x fonksiyonunun x = –2 noktasındaki limiti x +1 kaçtır? f (x ) = f (x) = x 2 – 4x fonksiyonunun x = 2 noktasındaki limitini (varsa) bulunuz. Yoktur. 10. f(x) = 2x–1 fonksiyonunun x = –3 noktasındaki limitini (varsa) bulunuz. 1 –– 16 4 130 11. Şekilde y = f(x) 13. y fonksiyonunun grafiği lim 3 4 3 verilmiştir. x"2 y y=f(x) f (x) – x ifadesinin değerini f (0) + x 2 1 2 0 4 x –1 0 bulunuz. x 6 3 1 –1 Şekilde grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? lim f (x) = 1 x " 3+ w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z A) B) C) D) 2 –– 5 E) lim f (x) = 2 x"1 x = –1 de limit 0 dır. lim f (x) = 0 x"4 lim f (x) = –1 x " 6+ 14. 12. Şekildeki grafik y y = f(x) fonksiyonuna aittir. lim x " (–3) – f (x) + lim f (f (x)) toplamının değeri kaçtır? y 4 2 –3 y=f(x) y=f(x) 3 x " (–3) + E –2 0 –1 1 4 x x 0 Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. –3 g(x) = (fof)(x) ise, lim g (x) + lim + g(x) toplamını bulunuz. x " 1– x"1 5 0 131 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 17. 15. y 4 4 3 2 –3 3 2 y=f(x) 2 –2 x 3 0 3 0 x 4 –3 –4 Grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. A) lim –f (x) = 4 B) lim + f (x) = 0 A) lim –f (x) = –3 B) lim + f (x) = 2 D) lim f (x) = 3 E) lim f (x) = 3 D) lim – f (x) = 3 E) lim + f (x) = 1 x " –2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI x " –2 x"4 Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? C) lim f (x) = –4 x"2 x"0 x " –3 C) lim + f (x) = 0 x"0 x"3 x"4 x"3 E 18. 16. y y 0 0 1 2 3 x"2 c) lim g (x) x"3 a) limit yok b) 1 c) 0 132 7 x Grafiği verilen f fonksiyonu için a) lim f (x) x"3 b) lim g (x) 3 x y = g(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. Buna göre, limitlerini bulunuz. x"1 f y=g(x) 1 a) lim g (x) E b) lim – f (x) x"7 için ne söylenebilir? a) Limit yok, f(x) → ∞ b) Limit yok, f(x) → –∞ KAVRAMSAL ADIM 1. Parçalı Fonksiyonların Limiti f:R→R Z 2 ]] x + 1 f (x) = [ 3 ]] 2 \k – x x < 2 ise x=2 x>2 fonksiyonunun x → 2 için limiti varsa k değeri kaçtır? lim – f (x) = lim (x 2 + 1) = 5 lim f (x) = lim (k – x 2) x"2 x " 2+ =k–4 lim f (x) x"2 limitinin olması için gerek ve yeter koşul lim f (x) = lim f (x) olmasıdır. x " 2– x " 2+ Yani f(x) fonksiyonu Zf (x) ]] 1 f (x) = [ m ]] f (x) \2 , x<a , x=a , x>a biçiminde parçalı olarak verilmişse x = a noktasındaki soldan limit: w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z x"2 x"2 Parçalı fonksiyonların kritik noktalarında ve fonksiyonun sonsuz (∞ ) olduğu (yani kesirli fonksiyonun paydasını sıfır yapan) noktalarda soldan ve sağdan limit alınır. lim f (x) = lim f1 (x) = f1 (a) x " a– x"a sağdan limit: lim f (x) = lim f2 (x) = f2 (a) ile bulunur. x " a+ x"a Eğer f(x) fonksiyonu parçalı olarak verilmemişse x = a kritik noktasındaki sol ve sağ limitleri daha önce verilene denk olmak üzere lim f (x) = lim f (a – h) O halde 5 = k – 4 & k = 9 olarak bulunur. x " a– h"0 h>0 lim f (x) = lim f (a + h) x " a+ h"0 h>0 kuralları ile de bulunabilir. ETKİNLİK |x | , x ≠ 0 ise f (x) = * x , x = 0 ise 3 fonksiyonu için, lim x " 0+ f (x) = a, ETKİNLİK f:R→R f (x) = * x–m 1 – xm x < 3 ise x≥3 lim f (x) = b x " 0– olduğuna göre, a – b farkı kaçtır? fonksiyonu veriliyor. lim f (x) limitinin olması için m kaç olmalıdır? x"3 133 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ ETKİNLİK 1. f (x) = ) x2 – 4 , x ≥ 3 2x + 1 , x < 3 3. fonksiyonu için f (x) = * x3 + x + 1 , x ≥ 1 2 2x – 1 , x <1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limitini (varsa) bulunuz. A) lim f (x) B) lim f (x) x"4 x"3 C) lim f (x) Çözüm x"2 x = 1 noktası f fonksiyonunun kritik noktasıdır. limitlerini bulunuz. x < 1 için f(x) = 22X – 1 olduğundan lim f (x) = lim –(2 2x – 1) = 2 2.1 – 1 = 3 tür. Çözüm x " 1– A) x = 4 kritik nokta değildir ve x ≥ 3 yani [3, ∞) aralığına düşüyor. x ≥ 1 için f(x) = x3 + x + 1 olduğundan lim f (x) = lim +(x 3 + x + 1) = (1 3 + 1 + 1) = 3 x " 1+ lim f (x) = lim (x 2 – 4) = 4 2 – 4 = 12 x"4 x"1 x"1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI x"4 ve B) x = 3 kritik noktadır. Bu nedenle soldan ve sağdan limitlere bakılır. lim f (x) = lim + f (x) = 3 olduğundan x " 1– x"1 lim f (x) = 3 tür. x"1 lim f (x) = lim (2x + 1) = 2.3 + 1 = 7 x " 3– x"3 lim f (x) = lim (x 2 – 4) = 3 2 – 4 = 5 bulunur. x " 3+ x"3 lim f (x) ! lim + f (x) (7 ! 5) olduğundan x " 3– x"3 4. lim f (x) yoktur. x"3 f (x) = * x2 + x – ,nx 1 , x<0 x3 , x>0 fonksiyonunun x = 0 noktasındaki limitini (varsa) bulunuz. C) x = 2 kritik nokta değildir ve x < 3 yani (–∞, 3) aralığına düşüyor. O halde x = 0 noktası f fonksiyonunun kritik noktasıdır. lim f (x) = lim (2x + 1) = 2.2 + 1 = 5 bulunur. x"2 Çözüm 1 olduğundan, x3 x < 0 için f(x) = x2 + x – x"2 lim f (x) = lim –(x 2 + x – x " 0– x"0 1 1 )=0+0– – =+3 0 x3 x > 0 için f(x) = nx olduğundan lim f (x) = lim +,nx = ,n0 + = –3 x " 0+ x"0 dur. lim f (x) ! lim +f (x) x " 0– 2. f (x) = ) x"0 olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında limiti yoktur. x2 + 3 , x≤0 Arc tan x , x > 0 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limitini bulunuz. y Çözüm y=nx x > 0 için f(x) = Arctanx olup x = 1 kritik nokta olmadığından lim f (x) = f (1) = Arc tan 1 = x"1 134 r bulunur. 4 0+ 0 1 x 5. f (x) = * x 2 + ax + 3 3x – 1 , , x≤2 x>2 x≥ ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI r r için f(x) = cos ( – x) = sin x olduğundan 2 2 lim+ f (x) = lim+ (sin x) = 1 dir. fonksiyonunun x = 2 noktasında limitinin olması için a kaç olmalıdır? x" r 2 x" r 2 Çözüm x ≤ 2 için f(x) = x2 + ax + 3 olduğundan y lim – f (x) = lim –(x 2 + ax + 3) = 2 2 + 2a + 3 = 2a + 7 x"2 1 x"2 x > 2 için f(x) = 3X – 1 olduğundan lim f (x) = lim +(3 x –1) = 3 2 – 1 = 8 dir. π 2 0 x"2 π 3π 2 2π x w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z x " 2+ f fonksiyonunun x = 2 noktasında limitinin olması için, –1 lim –f (x) = lim + f (x) olmalıdır. x"2 x"2 Yani, y = sinxʼin grafiği lim – f (x) ≠ 2a + 7 = 8 & 2a = 1 & 6. Z ] tan x f (x) = [ ] cos ( r – x) 2 \ fonksiyonunun x = , , a= x" 1 bulunur. 2 r 2 r noktasındaki limitini (varsa) bulunuz. 2 x< r için f(x) = tanx olduğundan 2 f:R→R Z x ]] 2 + k.2 f (x) = [ 4 ]] x \2 – 2 , , x<3 x=3 , x>3 fonksiyonunun x = 3 noktasında limiti varsa, k kaçtır? lim – f (x) = lim – tan x = + 3 x" lim f (x) yoktur. x" r 2 r x≥ 2 r noktası f fonksiyonunun kritik noktasıdır. 2 r 2 r 2 x< x= x" lim+ f (x) x" olduğundan, 7. Çözüm r 2 r 2 Çözüm lim f (x) = lim (2 + k.2 x) = 2 + k.2 3 x " 3– y x"3 = 8k + 2 lim f (x) = lim (2 – 2 x) = 2 – 2 3 = –6 0 π 2 π x x " 3+ x"3 lim f (x) = lim + f (x) olacağından x " 3– x"3 8k + 2 = –6 y = tanxʼin grafiği 8k = –8 & k = –1 bulunur. 135 1. f (x) = * x2 – x + 3 2x + a , x ≥ 0 ise , x < 0 ise 4. fonksiyonunun x = 0 noktasında limitinin olması için a kaç olmalıdır? f (x) = * –x 2 + mx + 2n x 2 + mx + 6 , x≤2 , x<2 ise ise fonksiyonu veriliyor. lim f (x) = 2 olduğuna göre, n – m kaçtır? x"2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 2 2. 1 f (x) = * x ,nx , x<0 , x > 0 ise 5. ise f (x) = * 2,nx –p,nx , , x<e x≥e ise ise fonksiyonunun x = e noktasındaki limitinin olması için, p kaç olmalıdır? fonksiyonunun x = 0 noktasındaki limitini bulunuz. yoktur. 3. f (x) = * ax – 1 , x<2 x 2 + 3x – b , x>2 6. fonksiyonu veriliyor. Z ] 1 + 2 cos x f (x ) = [ ] 2 sin x – 1 \ fonksiyonunun x = lim f (x) = 3 ise, a + b nin değeri kaçtır? x"2 9 136 11 , , –2 r 2 r x≥ 2 x< r noktasındaki limitini bulunuz. 2 1 KAVRAMSAL ADIM f(x) = |g(x)| fonksiyonu verilsin. f(x) in kritik noktalarındaki (g(x) = 0 denkleminin köklerinde) limiti sıfırdır. f:R→R Z 2 ]] | x – 4 | + k + 1 , f (x) = [ 3 , ]] |x – 1 | + 3 , \ x<2 x=2 y y 4 x>2 2 fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti olduğuna göre, k nın değeri kaçtır? eşit olması gerekir. x"2 x"2 =k+1 lim f (x) = x " 2+ x = 2 kritik noktadır. x = –2 ve x = 2 x"2 x"2 dır. lim | x – 1 | + 3 x " 2+ 2 0 f(x) = |4 – x2| lim f (x) = lim | x – 2 | = 0 lim – f (x) = lim | x 2 – 4 | + k + 1 –2 f(x) = |x – 2| w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z f nin x = 2 deki soldan limitinin sağdan limitine x 2 0 kritik noktalardır. lim f (x) = lim | 4 – x 2 | = 0 x " –2 x " –2 lim f (x) = lim | 4 – x 2 | = 0 dır. x"2 x"2 = lim (x – 1 + 3) x"2 y y = lim (x + 2) x"2 =4 y=|x2+2x| y=|nx| olup k + 1 = 4 & k = 3 olmalıdır. 0 x 1 –2 0 f(x) = |nx| f(x) = |x2 + 2X| x = 1 kritik noktadır. x = –2 ve x = 0 lim f (x) = lim | ,nx | = 0 x"1 x"1 x kritik noktalardır. lim f (x) = lim | x 2 + 2x | = 0 x " –2 x " –2 lim f (x) = lim | x 2 + 2x | = 0 dır. x"0 ETKİNLİK lim b x " 1– |1– x | l değeri kaçtır? 1– x x"0 lim | x 2 – 1 | = | 1 2 – 1 | = 0 x"1 lim | 2x + 4 | = | 2. (–2) + 4 | = 0 x " –2 lim | x 3 + 1 | = | (–1) 3 + 1 | = 0 x " –1 lim | ,n (2x – 1) | = | ,n (2.1 – 1) | = | ,n1 | = 0 x"1 lim | x 2 – 4x + 3 | + | x – 1 | = | 1 2 – 4.1 + 3 | + | 1 – 1 | = 0 x"1 137 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 2. Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti ETKİNLİK KAVRAMSAL ADIM lim | 1. g (x) = * |x | 2 x" x!0 , , r 2 r cos cos x 2 | = 0 dır. = | | r2 x2 4 x=0 lim | f (x) | = | lim f (x) | x"a fonksiyonu için x"a lim g (x) değerini belirleyiniz. x"0 lim | x 2 – 4x + 6 | = | lim (x 2 – 4x + 6) | x"2 x"2 = | 2 2 – 4.2 + 6 | w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK ETKİNLİK =2 2. Z ]] | x – 1 | f (x) = [ 0 ]] |1– x | \ fonksiyonu için , , , bulunur. lim | x 3 –3x + 6 | = | lim (x 3 – 3x + 6) | x < –1 x " –3 x = –1 x " –3 x > –1 = | (–3) 3 – 3 (–3) + 6 | = | –27 + 9 + 6 | = | –12 | = 12 dir. lim f (x) değerini belirleyiniz. x " –1 lim x " –2 | x2 – 6 | | x 2 – 6 | xlim = " –2 x+3 lim (x + 3) x " –2 | lim (x 2 – 6) | = x " –2 lim (x + 3) x " –2 3. Z ]] a | x + 1 | + 2 2 f (x) = [ ]] bx – 2 \ , , , x < –2 = x = –2 | (–2) 2 – 6 | | –2 | = = 2 dir. –2 + 3 1 x > –2 fonksiyonu veriliyor. a + b = 2 ise lim f (x) limitinin olması için a ve b ne x " –2 olmalıdır? lim x"4 | x 2 – 16 | +x|x – 2| |x – 4 | = lim x"4 |x – 4 |.| x + 4 | +x|x – 2| |x – 4 | = lim |x + 4| + x|x – 2| = |4 + 4| + 4.|4 – 2| x"4 = 8 + 8 = 16 olur. 138 1. f: IR → IR, f (x) = 1+ x | x | fonksiyonu için 1+ | x | 4. 1 4x – 1 0 " IR, f (x) = 2 2x + 1 fonksiyonu için, lim f (x) kaçtır? lim f (x) kaçtır? x " 0– x " –1 Çözüm Çözüm x = 0 fonksiyonunun kritik noktası olmadığından x = –1 noktası fonksiyonun kritik noktası olmadığından limit x"0 1+ x | x | 1+ 0 | 0 | =1 = 1+ | x | 1+ | 0 | lim f (x) = f (–1) = dir. x " –1 5. x f: IR – {0} → IR, f(x) = fonksiyonu için lim f (x) nedir? |x | x"0 tir. |x – 4 | 4–x bulunuz. lim x"4 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki limitini Çözüm Çözüm x ∈ IR – {0} için, f (x) = 4. (–1) – 1 =|5|=5 2 (–1) + 1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z x = 0 için f(0) = lim 2. f: IR – & – –1 x = ) |x | 1 biçiminde yazılır. x = 3 noktası fonksiyonun kritik noktası değildir. , x < 0 ise , x > 0 ise lim f (x) = lim x"3 x"3 = |x – 4 | 4–x | 3 – 4 | | –1 | = = 1 bulunur. 4–3 1 lim f (x) = lim –(–1) = –1 x " 0– x"0 lim f (x) = lim +(1) = 1 dir. x " 0+ x"0 lim f (x) ! lim +f (x) x " 0– x"0 6. olduğundan lim f (x) yoktur. x"0 |x – 3 | fonksiyonunun x = 3 noktasındaki limitini x–3 (varsa) bulunuz. f(x) = Çözüm x = 3 noktası f fonksiyonunun bir kritik noktasıdır. Soldan ve sağdan limitine bakalım. lim f (x) = lim – x " 3– x"3 |x – 3 | x–3 ve x → 3– iken x – 3 < 0 olduğundan 3. f: IR → IR, f(x) = x – 2|x – 2| fonksiyonu için lim f (x) x " –2 Çözüm x = –2 noktası fonksiyonun kritik noktası değildir. (Kritik nokta x = 2 dir.) Bir nedenle fonksiyonda x = –2 yazılarak limit bulunur. lim f (x) = lim (x – 2 | x – 2 |) x " –2 lim x " 3– kaçtır? x " –2 |x – 3 | – (x – 3) = lim – = –1 x–3 x–3 x"3 lim f (x) = lim + x " 3+ x"3 dir. |x – 3 | x–3 ve x → 3+ iken x – 3 > 0 olduğundan lim x " 3+ |x – 3 | x–3 = lim + = 1 dir. x–3 x"3 x – 3 lim f (x) ≠ lim + f (x) = –2 – 2|–2 – 2| x " 3– = –2 – 2.4 = –10 dur. olduğundan f fonksiyonunun x = 3 noktasında limiti yoktur. x"3 139 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 7. x"2 | x3 – 8 | | x2 – 4 | Çözüm = lim + x3 – 8 x2 – 4 x = 4 noktası f fonksiyonunun paydasını sıfır yaptığından bir kritik noktadır. = lim + (x – 2) (x 2 + 2x + 4) (x – 2) (x + 2) Tablo yapalım. = lim + x 2 + 2x + 4 2 2 + 2.2 + 4 = = 3 tür. x+2 2+2 | x 2 – 6x + 8 | fonksiyonunun x = 4 x 2 – 16 soldan limitini bulunuz. f(x) = noktasındaki lim f (x) = lim + x " 2+ x"2 x |x2 –6x+8| x"2 –∞ x " 2– x"2 + – x2 –6x+8 lim f (x) = lim + f (x) = 3 +∞ 4 2 + x2 –6x+8 x"2 olduğundan lim f (x) = 3 bulunur. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI –x2 +6x–8 x"2 x2 –6x+8 x → 4– iken x2 – 6x + 8 < 0 olduğundan | x 2 – 6x + 8 | – (x 2 –6x + 8) = lim – 2 x"4 x – 16 x 2 – 16 lim – f (x) = lim – x"4 x"4 9. |g(x) – 2| ≤ 3(x – 1)2 koşulunu sağlayan g fonksiyonu tanımlanıyor. = lim – – (x – 2) (x – 4) (x – 4) (x + 4) = lim – – (x – 2) – (4 – 2) = x+4 4+4 Çözüm bulunur. –3(x – 1)2 ≤ g(x) – 2 ≤ 3(x – 1)2 x"4 x"4 =– 1 4 lim g (x) değerini bulunuz. x"1 | g(x) – 2 | ≤ 3(x – 1)2 ise olup –3(x – 1)2 + 2 ≤ g(x) ≤ 3(x – 1)2 + 2 f(x) = –3(x – 1)2 + 2 ve h(x) = 3(x – 1)2 dir. +2 denilirse 8. | x3 – 8 | f(x) = fonksiyonunun x = 2 noktasındaki limitini | x2 – 4 | (varsa) bulunuz. lim f (x) = 2 ve lim h (x) = 2 x"1 x"1 olup sıkıştırma teoremine göre lim g (x) = 2 bulunur. x"1 Çözüm x = 2 noktası f fonksiyonunun kritik noktasıdır. Soldan ve sağdan limitine bakalım. x → 2– x3 – 8 < 0 ve x2 – 4 < 0 10. f(x) = olduğundan lim – f (x) = lim – x"2 x"2 – (x 3 – 8) – (x 2 – 4) = lim – (x – 2) (x 2 + 2x + 4) ( x – 2) ( x + 2 ) x"2 x"2 Çözüm f (x) = 140 x 4 – 81 | (x 2 – 9) (x 2 + 9) | = x–3 |x – 3 | = x 2 + 2x + 4 2 2 + 2.2 + 4 = lim – = =3 x+2 2+2 x"2 x → 2+ için x3 – 8 > 0 ve x2 – 4 > 0 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki soldan limitini bulunuz. | x3 – 8 | | x2 – 4 | = lim – x 4 – 81 x–3 olduğundan | x – 3 | . | x + 3 | . | x2 + 9 | = | x + 3 | . | x2 + 9 | |x – 3 | lim – | x + 3 | . | x 2 + 9 | = (3 + 3) . (3 2 + 9) x"3 = 6.18 = 108 bulunur. 1. lim | x 2 – 9x + 2 | 4. x"2 limitinin değeri kaçtır? lim x " 5– ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI |x – 5 | 5–x limitinin değeri kaçtır? 12 lim x"3 – 3x | w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 2. | x2 1 5. lim x " –2 – | x2 – 4 | x+2 limitinin (varsa) değeri kaçtır? limitinin değeri kaçtır? –4 0 3. lim | x 3 + 3x + 1 | 6. x " –2 f (x) = | x 2 + 5x + 6 | x2 – 4 fonksiyonunun x = –2 noktasındaki soldan limitini bulunuz. limitinin değeri kaçtır? 1 – 4 13 141 7. lim | x 2 – 4x + 4 | + 2 | x + 2 | – 4 10. x"2 limitinin değeri kaçtır? lim x " 2– ( x 2 – 1) ( x – 2) | x2 – 4 | limitinin değeri kaçtır? 4 8. | x2 – x + 3 | lim x+2 x " –1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI sin ( 11. lim x" r 2 r – x) 2 x limitinin değeri kaçtır? limitinin değeri kaçtır? 5 9. lim x " –4 0 12. lim | x 2 + 4x + 3 | 2 | x 2 – 16 | –2|x –4| x+2 x"2 limitinin değeri kaçtır? limitinin değeri kaçtır? –16 142 3 –– 4 225 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK LİMİT ÖZELLİKLERİ ETKİNLİK SAYI TUT OYUNU Aklınızdan bir sayı tutunuz. Arkadaşınızın , 1 , , 2 ! IR ve lim f (x) = , 1 , x"a lim g (x) = , 2 olsun. x"a bu sayıyı tahmin etmesini isteyiniz. Arkadaşınızın tahmin ettiği sayı, tuttuğunuz sayıdan 1. küçükse "yukarı" diye yönlendiriniz. Tahmini sayıdan büyükse "aşağı" diye yönlendiriniz. Bu işleme devam edildiğinde aralık gittikçe 2. 3. lim 6 f (x) ! g (x) @ = lim f (x) ! lim g (x) = , 1 ! , 2 x"a x"a x"a lim ^ f (x) .g (x)h = _ lim f (x) i . _ lim g (x) i = , 1 ., 2 x"a x"a x"a k bir gerçel sayı olmak üzere daralacak, sağdan ve soldan tutulan sayıya yak- lim 6 k.f (x) @ = k. lim f (x) = k., 1 x"a Limit kavramında da fonksiyona soldan ve sağdan belirli bir değerle yaklaşmak yoluyla fonksiyonun limiti bulunur. x"a w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z laşılacak ve sonuçta tutulan sayı bulunacaktır. lim ^ f (x)h m = _ lim f (x) i m = , m 1 x"a 4. m ∈ IN+ için 5. f sınırlı bir fonksiyon ve lim g (x) = 0 ise x"a x"a lim ^ f (x) .g (x)h = 0 dır. x"a 6. ETKİNLİK a) f (x) = * x–5 , x ≠1 7 , x =1 7. tırınız. x"a lim 8. dir. x"a k bir gerçel sayı olmak üzere x"a fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limitini araş- lim f (x) , f (x) = x"a = 1 g (x) lim g (x) , 2 , 2 ≠ 0 olmak üzere lim k k k = = f (x) lim f (x) , 1 dir. x"a n tek doğal sayı ise lim x"a n f (x) = n lim f (x) = n , 1 x"a n çift doğal sayı ve f(x) ≥ 0 ise lim x"a 9. b) lim (x 2 + 4) 3 10. n f (x) = n lim f (x) = n , 1 lim f (x) = lim f (x) = , 1 x"a t bir gerçel sayı olmak üzere, lim t f (x) = t lim f (x) x"a x"a 11. dir. x"a x"2 limitini hesaplayınız. dir. x"a = t ,1 dir. f, g, h fonksiyonları bir A kümesinde tanımlı ve ∀x ∈ A için f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ve lim f (x) = lim g (x) = , x"a x"a ise lim h (x) = , dir. (Buna sıkıştırma özelliği denir.) x"a 143 KAVRAMSAL ADIM a ∈ IR olmak üzere; 1. OAB üçgeninin alanı 1 1 |AB| . |OB| = .sinx.cosx 2 2 AOD daire diliminin alanı lim sin x = sin a 1 x 2 x"a 2. COD üçgeninin alanı lim cos x = cos a x"a 3. 1 1 |OD|.|DC| = .1.tanx 2 2 lim tan x = tan a (cos a ≠ 0) x"a 4. = lim cot x = cot a (sin a ≠ 0) dır. x"a 1 .tanx 2 olur. Alanlar arasındaki sıralamayı göz önünde bulundurursak, 1 1 1 . sin x. cos x < x < tan x yazarız. 2 2 2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK Trigonometrik Fonksiyonların Limiti Trigonometrik limitlerin hesaplanmasında aşağıdaki limitlerin bilinmesi kolaylık sağlayacaktır. 1. lim x"a U (x) sin U (x) = lim =1 x " a sin U (x) U (x) cos x < U (x) tan U (x) lim = lim =1 x " a U (x) x " a tan U (x) 2. lim lim x"0 x " 0+ sin x x =1 x = xlim " 0 sin x x"0 1 < lim + x"0 tan x x = 1 dir. x = xlim " 0 tan x Eğer – ÖRNEK lim x"0 x 1 & < lim sin x x " 0 + cos x x x = 1 olur. < 1 & lim + sin x x " 0 sin x r < x < 0 alırsak benzer işlemlerle, 2 lim x = 1 olur. O halde, sin x lim x = 1 olur. sin x x " 0– sin x x = 1 olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM x 1 < & sin x cos x lim cos x < lim + Özel olarak a = 0, U(x) = x alınırsa x"0 sin x & sin x. cos x < x < cos x & x"0 cos x < x 1 < sin x cos x eşitsizliği y A 1 sin x cos x > x > cos x C eşitsizliğini gerektirdiğinden, x B 0 D x lim x"0 Şekildeki birim çemberde 0 < x < r dir. 2 |AB| = sinx, |DC| = tanx, |AD| = x |OB| = cosx, |OD| = 1 dir. 144 sin x x = 1 bulunur. SONUÇ lim f (x) " 0 f (x) sin f (x) = lim =1 f (x) f (x) " 0 sin f (x) 1. f(x) = (1 – x2)3.(1 – x3)2 fonksiyonu için Böylece lim f (x) limitini x " –2 hesaplayınız. 1 lim x sin 2 x = 0. sin\2 3 x"0 Çözüm r lim f (x) = lim 6 (1 – x 2) 3 . (1 – x 3) 2 @ x " –2 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI = 0.r = 0 dır. x " –2 (Burada r ∈ [0, 1] dir.) = lim (1 – x 2) 3 . lim (1 – x 3) 2 x " –2 x " –2 = (1 – (–2) 2) 3 . (1 – (–2) 3) 2 = (–27).81 = –33.34 = –37 bulunur. 4. r a 1– sin 2 k x lim ^ 3 h x"3 limitini hesaplayınız. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z Çözüm r a 1– sin 2 k x =^ r a 1– sin 2 k 3 lim ^ 3 h x"3 2. lim f 3 x"2 5 x2 + 4 kx 2 ise, k sayısı + p limitinin değeri 3 1 + kx x3 + 1 kaçtır? 3h = 3 2 f 1– c 3 m p 2 1 b l 4 4 = = ^ 3h Çözüm 3 = 8 3 tür. lim 3 x 2 + 4 kx 2 x2 + 4 kx 2 x"2 lim f + + lim p= 1 + kx x"2 lim x 3 + 1 x " 2 1 – kx x3 + 1 3 x"2 & & 3 5. 22 + 4 k.2 2 5 + = 1 + k.2 3 23 + 1 2 4k 5 + = 3 1 + 2k 3 3 limitini hesaplayınız. lim –3 x + 3 x " –3 Çözüm 3 3 lim – 3 x + 3 = lim 3 –3–h + 3 h"0 h>0 x " –3 4k 5–2 4k = & =1 3 1 + 2k 1 + 2k 3 lim b – h l & 4k = 1 + 2k h"0 & 2k = 1 &k= =3 1 dir. 2 =3 6. 3. 1 lim x. sin 2 x limitini hesaplayınız. x"0 Çözüm lim +b x"1 h>0 – 3 0 =3 –3 = 1 =0 33 dır. 1 23 x–1 limitini hesaplayınız. l 24 Çözüm 1 1 23 23 lim +b l x–1 = lim b l 1 + h–1 h " 0 24 x " 1 24 h>0 x " 0 için sin 2 1 –1 ≤ sin x ≤ 1 1 2 x " sin 3 olur. 1 olduğundan 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 dir. 1 O halde sin 2 x sınırlıdır. 1 lim h =b 23 l 24 = b h " 0+ h>0 23 + 3 l = 0 dır. 24 145 7. lim x"0 x + cos x limitini hesaplayınız. 1 + sin x 11. lim x"0 Çözüm lim x"0 x + sin x tan x limitini hesaplayınız. Çözüm x + cos x 0 + cos 0 0 + 1 = = =1 1+ 0 1 + sin x 1 + sin 0 lim x"0 x + sin x x sin x + lim tan x tan x = xlim x"0 " 0 tan x dir. = 1 + lim cos x x"0 =1+1=2 8. dir. tan 2 x + x. cos x lim limitini hesaplayınız. 1 + cos x x"0 Çözüm lim x"0 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI tan 2 x + x. cos x tan 2 0 + 0. cos 0 = 1 + cos x 1 + cos 0 = 0 + 0.1 0 = =0 1+ 1 2 dır. 12. lim x"0 tan 2 x limitini hesaplayınız 4x 2 Çözüm 9. lim x"0 sin px limitini hesaplayınız. x Çözüm x → 0 için px → 0 ve lim x"0 lim x"0 sin px px = 1 lim x"0 tan 2 x 1 tan 2 x = lim 2 4 x " 0 x2 4x sin px = p. lim px x"0 =p = 1 tan x 2 lim 4 bx " 0 x l = 1 2 1 .1 = 4 4 tür. dir. x 10. lim limitini hesaplayınız. x " 0 tan px sin px 13. lim tan qx limitini hesaplayınız. x"0 Çözüm Çözüm px x → 0 için px → 0 ve lim = 1 olduğundan x " 0 tan px x 1 px lim = lim p . tan px x " 0 tan px x"0 px 1 = p . lim x " 0 tan px 1 =p sin px sin px x lim tan qx = lim c x . tan qx m x"0 x"0 qx sin px 1 = lim ;c px .p m . c tan qx . qx mE x"0 = c lim x"0 qx sin px 1 . m px .p m . c xlim " 0 tan qx q = p c lim 1 = p .1 146 1 tan x 2 l lim b 4 x"0 x olduğundan sin px sin px .p x = xlim " 0 px = p.1 = x"0 bulunur. qx sin px 1 l. px m . b xlim " 0 tan qx q 1 p = p. q = q dur. sin x limitini hesaplayınız. x 14. lim 3 x"0 sin x sin x x = lim d . n x"0 x 3 x x lim x"0 1 – cos x limitini hesaplayınız. x2 Çözüm Çözüm 3 x"0 17. lim = c lim x"0 1 1 – sin x x2 3m x m . c xlim "0 x x olduğundan 1. Yol: 1 – cosx = 1 – a 1– 2 sin 2 k = 2 sin 2 2 2 lim x"0 x 2 sin 2 1 – cos x 2 = lim x"0 x2 x2 1 sin x . c lim lim x 6 m x"0 x x"0 = x"0 dır. sin x 15. lim limitini hesaplayınız. x " 0 sin x Çözüm lim x"0 = lim x"0 x"0 = lim x"0 sin x x n x md xlim " 0 sin x = 16. limr x" 2 x2 4 2x 2 sin 2 . 4 x2 4 x 2 sin 1 2 = . f lim x p 2 x"0 2 sin x x n x . d xlim " 0 sin x = 1 .1 = 1 x 2 J 2xN 1 K sin 2 O = lim . K 2 O x"0 2 K x O L 4 P sin x sin x . x = lim d n sin x x " 0 x sin x = c lim 4. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z = 1 .0 = 0 sin 2 = lim 2 . 1. 2 1 1 = 2 2 dir. dir. cot x r limitini hesaplayınız. x– 2 Çözüm cot x = tan a 2. Yol: lim x"0 (1 – cos x) (1 + cos x) 1 – cos x = lim x"0 x2 x 2 (1 + cos x) r – x k olduğundan 2 1 – cos 2 x = lim limr x" 2 r tan a – x k cot x 2 = lim r x" r r x– x– 2 2 2 = limr x" 2 r tan a – x k 2 r –a – xk 2 r tan a – x k 2 = – f limr p r x" –x 2 2 = –1 bulunur. x " 0 x 2 (1 + cos x) sin 2 x = lim x " 0 x 2 (1 + cos x) = d lim sin 2 x 1 n . c lim 1 + cos x m x"0 x2 = c lim sin x 2 1 m x m . c xlim " 0 1 + cos x x"0 x"0 = 12 . 1 1 = 1+ 1 2 dir. 147 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 18. lim x"0 sin (sin x) limitini hesaplayınız. x 21. lim x"0 Çözüm lim x"0 1– cos x 2 x 2 . sin x 2 limitini hesaplayınız. Çözüm sin (sin x) sin (sin x) . sin x m = lim c x x " 0 x. sin x = lim c x"0 sin (sin x) . sin x x m sin x = lim c x"0 1 – cos x 2 = 1 – c 1 – 2 sin 2 = 2 sin 2 sin (sin x) x m . c lim sin m = 1.1 = 1 dir. sin x x"0 x x2 2 x2 m 2 olduğundan x2 2 sin 2 1 – cos x 2 2 lim = lim 2 x " 0 x 2 . sin x 2 x " 0 x . sin x 2 x2 x2 . sin 2 2 = lim x"0 2 x2 . x2 x .2 sin cos 2 2 2. sin 19. lim x" r 2 1 + cos 2x 2 r a – xk 2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI limitini hesaplayınız. = lim x"0 Çözüm tan x 2 =1 x2 bulunur. 1 + cos2x = 1 + (1 – 2sin2x) olduğundan lim r x" 2 1 + cos 2x 2 – 2 sin 2 x 2 = limr r 2 r x" a – xk 2 a 2 – xk 2 = lim r x" 2 22. lim 2^ 1 – sin 2 xh 2 r a – xk 2 x"a sin (x – a) sin x – sin a Çözüm sinx – sina = 2sin = 2. limr x" ve cosx = sin a 2 cos x fr – xp 2 r – x k olduğundan 2 limitini hesaplayınız. 2 x –a. x+a olduğundan cos 2 2 x –a. x–a 2 sin cos sin (x – a) 2 2 lim x –a. x + a = xlim x –a. x+a x"a "a cos cos 2 sin 2 sin 2 2 2 2 2 r sin a – x k cos x 2 = 2 . limr r = 2. lim > r 2 H f p r x" x" a – xk 2 2 –x 2 2 x–a 2 x+a cos 2 cos = lim x"a 1 = cos a = sec a bulunur. = 2.1 = 2 dir. arcsin x 20. lim x x"0 limitini hesaplayınız. 23. lim x"3 sin ^ x 2 – 9h x–3 limitini hesaplayınız. Çözüm Çözüm arcsinx = y & x = siny lim x"3 sin ^ x 2 – 9h sin ^ x 2 – 9h . (x + 3) G = lim = x–3 ( x – 3) (x + 3) x"3 x → 0 & y → 0 dır. = lim = O halde lim x"0 y arcsin x = lim =1 x y " 0 sin y x"3 dir. = lim x"3 sin ^ x 2 – 9h . (x + 3) G x2 – 9 sin ^ x 2 – 9h . lim (x + 3) x"3 x2 – 9 = 1(3 + 3) = 6 dır. 148 1. x+2 4. lim 3 x–1 x"2 lim 3 x"3 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI x 4 + 3x + 35 limitinin değeri kaçtır? 5 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z limitinin değeri kaçtır? 81 x+2 2. 1 x+1 lim b l x " –2 2 5. lim x " –2 x 4 – 2x + 5 3 10 + x limitinin değeri kaçtır? limitinin değeri kaçtır? 5 – 2 1 3. lim x"2 6. x 3 + 2x + 4 sin 2 x lim cos x r x" 4 limitinin değeri kaçtır? limitinin değeri kaçtır? 4 2 2 149 7. lim b x"3 x +1 x l x –1 10. lim x"0 limitinin değeri kaçtır? sin x 2 x limitinin değeri kaçtır? 8 8. lim x " –2 ^ x 2 + 2h 3 –x + 1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 11. lim x"2 0 sin (x – 2) x limitinin değeri kaçtır? limitinin değeri kaçtır? 0 6 2 9. 1 .k = lim sin rx 6 x"3 lim (x + 1) 2 12. lim x"0 x"2 sin x 2 sin x limitinin değeri kaçtır? eşitliğinde k nın değeri kaçtır? 1 2 9 150 13. lim x"4 x x x 16. lim x"0 limitinin değeri kaçtır? ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI tan 3x sin 6x limitinin değeri kaçtır? w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ^ 2. 4 8 h 17. lim 14. lim x"0 x. sin x sin x x"1 1 2 sin 2 (x – 1) (x 2 – 1) 2 limitinin değeri kaçtır? limitinin değeri kaçtır? 1 4 0 15. lim x"2 sin (x – 2) x2 – 4 18. lim x"0 x + sin 2x x + tan 3x limitinin değeri kaçtır? limitinin değeri kaçtır? 1 4 3 4 151 KAVRAMSAL ADIM TANIM x → ! 3 iken Sonlu Limitler R gerçel sayılar kümesine – 3 ve + 3 un katılmasıyla elde edilen kümeye y y= genişletilmiş reel sayılar kümesi denir. ve R ile gösterilir. 1 x x 0 Yani R = R , {–3, + 3} dur. Şimdiye kadar a ∈ R olmak üzere x → a için limitler alındı. Bundan sonra x → – 3 , x → + 3 için de limitleri hesaplayacağız. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK GENİŞLETİLMİŞ GERÇEL SAYILAR KÜMESİNDE LİMİT ETKİNLİK Sonsuzluk için kullanılan ( 3 ) sembolü bir reel sayı belirtmez. 3 sembolünü bir fonksiyonun tanım kümesindeki veya değer kümesindeki değerler her sonlu sınırını aştığındaki davranışını tanımlamak için kullanılır. Örneğin 1 y = x fonksiyonu her x ! 0 için 1 tanımlıdır. x pozitif olarak giderek büyürken, x giderek küçülür. x negatif iken büyüklüğü giderek artarken, 1 x yine küçülür. Bu gözlemleri UYARI : 1 anxn + an–1xn–1 + ... +a1x + a0 bir polinom olmak üzere lim (a n x n + a n–1 x n–1 + ... + a 1 x + a 0) = lim ^ a n x nh dir. x "!3 x"! Yani polinomun x → ! 3 için limiti, o polinomun en yüksek dereceli teriminin x → ! 3 için limitidir. 1 x $ ! 3 iken f (x) = x in limiti 0 dır. Veya 1 f (x) = x in sonsuzda ve (+) negatif sonsuzda limiti sıfırdır şeklinde özetleyebiliriz. ETKİNLİK 3 1 lim a 2 + x k . a cos x k limitini hesaplayınız. x "!3 UYARI : 2 Z0 , n < m ise ] ] an a n + a n–1 + ... + a 1 x + a 0 lim , n = m ise m–1 + ... + b x + b = [ b x " 3 b xm + b x ] m m m–1 1 0 ] ?3 , n > m ise \ an olur. ? yerine nin işareti yazılır. bm xn ETKİNLİK lim c x"3 152 x n–1 5 1 1 – cos x m . a 2 + sin x k limitini hesaplayınız. x2 1. lim (2x 2 – 5x + 3) limitini hesaplayınız. x "+3 5. Çözüm 2x2 – 5x + 3 olduğundan lim ^ 2x 2 – 5x + 3h = lim 2x 2 = + 3 x "+3 Kesirli ifadenin pay ve paydasında bulunan polinomların dereceleri eşit olduğundan limit dur. lim d 3x 4 – x 3 – 4 3 n=–2 –2x 4 + x 2 – 1 6. lim (5 – 4x – x 2) limitini hesaplayınız. x "+3 Çözüm lim x " –3 x "+3 7. Çözüm dır. 1 – x2 – x4 n limitini hesaplayınız. x 2 – 2x – 1 Çözüm Payın derecesi (4) olduğundan limit (–3x3 + 4x – 2) polinomunda en yüksek dereceli terim (–3x3) olduğundan lim (–3x 3 x " –3 x2 + 4 =0 x3 + 5 lim d x "+3 lim (–3x 3 + 4x – 2) limitini hesaplayınız. x " –3 x2 + 4 n limitini hesaplayınız. x3 + 5 Payın derecesi (2) paydanın derecesinden (3) küçük olduğundan lim (5 – 4x – x 2) = lim (–x 2) = –3 dur. 3. lim d x " –3 Çözüm (5 – 4x – x2) polinomunda en yüksek dereceli terim (–x2) olduğundan x "+3 dir. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z x "+3 2. 3x 4 – x 3 – 4 n limitini hesaplayınız. –2x 4 + x 2 – 1 Çözüm polinomunun en yüksek dereceli terimi 2x2 x "+3 lim d x "+3 + 4x – 2) = lim lim ^ –3x 3h x " –3 x "+3 paydanın derecesinden (2) büyük 1 – x2 – x4 –x 4 = lim x 2 – 2x – 1 x " + 3 x 2 = lim – x 2 = –3^ –3h 3 = + 3 olur. x "+3 = –^ 3h 2 = –3 dur. 8. 4. lim ^ –x 4 + 3x 2 + 1h limitini hesaplayınız. x "+3 Çözüm lim ^ –x 4 + 3x 2 + 1h = lim ^ –x 4h x "+3 x "+3 lim x "+3 (1 + a) x 2 – 3x – a (2a – 3) x 2 + 2x – 1 limitinin değeri 3 ise a kaçtır? Çözüm Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğundan limit en büyük dereceli terimlerin katsayıları oranıdır. Yani lim (1 + a) x 2 – 3x – a 1+ a = =3 – 3) x 2 + 2x – 1 2a – 3 x " + 3 (2a = –^ + 3h 4 = –3 dur. 153 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI & 1 + a = 6a – 9 & 5a = 10 & a = 2 9. bulunur. x 2 – 5x limitini hesaplayınız. x4 – x3 – 1 lim x "+3 1 = –3 = 0 dır. 11. Çözüm Çözüm x " –3 , x " + 3 için limitlerde genellikle pay ve payda en x 2 – 5x = lim x4 – x3 – 1 x " + 3 lim = lim x "+3 x4 sin x 1 x ≤ x 0≤ yüksek dereceli terimlerin parantezine alınır. x "+3 sin x lim a 3 + x k limitini hesaplayınız. x"3 x 2 – 5x 1 1 c1 – x – 4 m x ve lim x " !3 1 x = 0 olduğundan sıkıştırma teoremi gereğince sin x lim a 3 + x k = 3 + 0 = 3 bulunur. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI x " !3 5 x2 b1 – x l 1 1 x2 1 – x – 4 x 5 b1 – x l 1 1 1– x – 4 x ^ 6x ! IR için | x 2 | = x 2h = lim x "+3 12. lim x " –3 1 cos x limitini hesaplayınız. 1 1+ x Çözüm = 1– 0 =1 1– 0 – 0 dir. lim x " –3 3 10. lim x " –3 4 x2 – 1 limitini hesaplayınız. x4 + 1 Çözüm 3 lim x " –3 4 1 1 lim cos x cos x = x " –3 1 1 1+ x lim a 1 + x k x " –3 x2 – 1 = lim x 4 + 1 x " –3 3 4 1 m x2 1 x4 c1+ 4 m x = 1 cos a lim x k x " –3 1 1 + lim a x k x " –3 = cos 0 1 = = 1 dir. 1+ 0 1 x2 c1 – x + cos x k 13. lim a limitini hesaplayınız. x x"3 = 2 1 x 3 . 3 1 – x2 | x | . 4 1+ Çözüm 1 x4 x + cos x k cos x = lim a 1+ x k olur. lim a x x"3 2 (x < 0 için |x| = –x) = lim x " –3 x3 .3 3 = lim x " –3 154 lim cos x = M diyelim. 1 1– 2 x –x 4 1 + x"3 1 x4 1+ M ∈ [–1, 1] dir. O halde cos x M lim a 1+ x k = 1+ lim x x"3 x"3 1 x2 –x 1/3 . 4 1 – x"3 1 x4 =1+0=1 bulunur. 1. lim ^ x 3 + 2x 2 – 5x + 1h x "+3 4. lim d x " –3 limitinin değeri nedir? 2x 2 + 4x – 3 n (x + 1) 2 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 3 limitinin değeri nedir? 2. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z +∞ lim ^ 2x 3 – 3x 2 – 1h x " –3 5. lim x " –3 8 3x + 4 –x + 1 limitinin değeri nedir? limitinin değeri nedir? –3 –∞ 3. lim d x "+3 x 2 – 6x + 1 n 3x 3 – 2x + 3 6. lim x "+3 x 2 + 6x + 8 –2x + 3 limitinin değeri nedir? limitinin değeri nedir? – 0 155 1 2 7. lim x "+3 x x 2 + 1 + 2x + 1 x 4x 2 + 3 – 3x – 1 10. lim x "+3 limitinin değeri nedir? 2x 2 –1 2 e x +2 limitinin değeri nedir? 1 – 2 8. lim x " –3 x 5 – 2x + 1 x 4 + 3x + 2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 11. limitinin değeri nedir? lim log 3 d x "+3 e2 9x 2 + 6x + 2 n x 2 + 4x + 1 limitinin değeri nedir? –∞ 9. lim x"3 x (x + 1) 2 x 2 (x + 1) 12. limitinin değeri nedir? 2x 2 + 1 4x + 1 limitinin değeri nedir? 1 156 lim x "+3 2 2 4 13. lim x " –3 3 x2 + 1 16. lim c + ax + b m = 0 x"3 x +1 9x 2 + 2x + 1 x 3 + 2x + 1 olduğuna göre, a ve b yi bulunuz. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z limitinin değeri nedir? –3 14. lim x "+3 3 5x + 1 x2 + 2 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 3 17. limitinin değeri nedir? lim x " +3 6 a = –1 b=1 x 2 + 2x + 1 x 4 + 2x + 1 limitinin değeri nedir? 0 5 18. (m + 1) x 3 + (n + 1) x 2 + 1 2 15. lim = x " + 3 (3m – 1) x 3 – (n – 1) x 2 + 2 3 lim x " –3 3 1 (1 + x) 3 + x (1 + x) 2 + x limitinin değeri nedir? olduğuna göre, m kaçtır? 5 3 1 157 KAVRAMSAL ADIM lim f (x) limiti araştırılırken x yerine a yazıldığında f(a) değeri x"a 5+x – 5 ifadesinin sonucu kaçtır? x lim x"0 0 3 , , 0.3 , 0 3 3 – 3 , 0 0 , 1 3 , 3 0 durumlarından biri olabilir. Bunlardan her birine belirsizlik denir. 0 3 , , 0.3 ve 3 – 3 belirsizliklerine değineceğiz. 0 3 lim 5+x – 5 0 olduğundan, = x 0 Burada sadece lim 5+x– 5 = lim x x"0 Bu dört belirsizliği ve diğerlerini türev konusunda tekrar inceleyeceğiz. = lim 5+x – 5 1 = lim x^ 5 + x + 5 h x " 0 5 + x + 5 x"0 x"0 x"0 = 5+x – 5 5+x + 5 . x 5+x + 5 1 1 bulunur. = 5+ 5 2 5 0 0 1. lim BELİRSİZLİĞİ f (x) f (x) 0 = limitini hesaplamak için x yerine a yazılır. oluyorsa g (x) g (x) 0 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK BELİRSİZLİKLER ETKİNLİK x"a bu durumda f(x) ve g(x) fonksiyonları (x – a) çarpımına sahip demektir. Yani f(x) = (x – a).f1(x) g(x) = (x – a).g1(x) biçimindedir. Buradan lim x"a (x – a) f1 (x) f (x) = lim g (x) x " a (x – a) .g 1 (x) = lim x"a Eğer lim x 2 – 3x + 2 limitinin değeri nedir? x2 – 1 f1 (a) f (x) f (x) bir belirsizlik ise için yukarıda yapılan işlemler 1 g 1 (a ) g 1 ( x) g (x) ETKİNLİK lim x "1 x yerine 1 yazarsak bulunur. için yapılır. ETKİNLİK x"1 f1 (x) f (a) = 1 g 1 ( x) g 1 (a ) 0 belirsizliği elde edilir. 0 x2 – x limitini hesaplayınız. x– x Çözüm x yerine 1 yazarsak Pay ve payda (x – 1) ile sadeleştirilecektir. çarparak x – 1 ile bölünmeyi sağlayalım. 2 (x – 1) (x – 2) x – 3x + 2 = lim lim x"1 x " 1 (x – 1) (x + 1) x2 – 1 x – 2 1 – 2 –1 = lim = = 2 1+ 1 x "1 x +1 bulunur. 0 belirsizliği elde edilir. Pay ve payda terimlerinin eşleniği ile 0 lim x "1 ^x 2 – x h^x 2 + x h^x + x h x2 – x = lim x " 1 ^ x – x h^ x + x h^ x 2 + x h x– x ^ x 4 – xh^ x + x h x " 1 ^ x 2 – xh^ x 2 + x h = lim = lim x4 – x . x+ x lim x2 – x x " 1 x2 + x = lim x^ x 3 – 1h 2 x3 – 1 . = lim x^ x – 1h 2 x " 1 x – 1 x "1 x "1 ^ x – 1h^ x 2 + x + 1h x –1 x "1 = lim = lim ^ x 2 + x + 1h = 1 + 1 + 1 = 3 bulunur. x "1 158 1. lim x"2 x2 – 4 x3 – 8 3. limitini hesaplayınız. x"2 lim x"2 x –1 28 – x – 3 limitini hesaplayınız. Çözüm Çözüm lim lim x"1 3 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 0 belirsizliği vardır. 28 – x = y3 dönüşümü yapılır. 0 x2 – 4 4 – 4 0 belirsizliği vardır. = = x3 – 8 8 – 8 0 x "1 & y " 3 ( x – 2) ( x + 2) –4 = lim x 3 – 8 x " 2 (x – 2) (x 2 + 2x + 4) tür. ^ 3 – y) (9 – 3y + y 2h 27 – y 3 = lim 3 y–3 y – 3 y"3 x2 lim y"3 3 = –(9 – 3.3 + 32) 2+2 4 = 4 + 4 + 4 3.4 1 = bulunur. 3 = bulunur. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z = –9 4. limr x" r k 6 3 – 2 cos x sin a x – 6 limitini hesaplayınız. Çözüm 0 belirsizliği vardır. 0 lim x"1 x 3 – 6x 2 + 11x – 6 x 3 – 7x + 6 Çözüm lim x"1 limitini hesaplayınız. r = y dönüşümü vardır. 6 x= r r + y olur ve x " için y " 0 6 6 0 = 0 lim r x" 6 6x 2 – + 11x – 6 –x 3 ! x 2 x –1 x 2 – 5x + 6 –5x 2 + 11x – 6 x 3 – 7x + 6 x – 1 x2 + x – 6 x 2 – 7x + 6 – x2 ! x 5x y"0 –x 3 ! x 2 6x – 6 6x ! 6 – 6x + 6 ! 6x 6 0 0 ! ! 5x 2 sin y 3 – 2 cos a sin y 3 – 3 cos y + sin y = lim sin y 3 (1 – cos y) + sin y y"0 y"0 = lim y"0 O halde dir. 3 : 1 – b 1 – 2 sin 2 y lD + sin y 2 y y 2 sin . cos 2 2 y y y 2 3 sin 2 + 2 sin cos 2 2 2 = lim y cos 1 2 y y = 1 =1 3 sin + cos 2 2 y"0 1– 5 + 6 2 1 = =– 1 + 1 – 6 –4 2 sin y = lim (x – 1) (x 2 – 5x + 6) x 3 – 6x 2 + 11x – 6 lim = lim 3 x"1 x " 1 (x – 1) (x 2 + x – 6) x – 7x + 6 y"0 r + yk 6 sin y 3 . cos y – 1 . sin y E 3 – 2; 2 2 = lim olur. = r k 6 = lim 3 – 2 cos x y " 0 sin a x – belirsizliği vardır. = lim x3 dır. O halde x 3 – 6x 2 + 11x – 6 1 – 6 + 11 – 6 = 1– 7 + 6 x 3 – 7x + 6 ! 2. x– bulunur. 159 5. lim x"2 1 – 9 – 4x x–2 limitini hesaplayınız. 8. Çözüm x2 – a2 limitinin değeri nedir? x– a lim x"a Çözüm 0 elde edilir. Pay ve payda x – a ile bö0 lim 1 – 9 – 4x 0 belirsizliği vardır. = x–2 0 x yerine a yazarsak lim ^1 – 9 – 4x h^1 + 9 – 4x h 1– 9 – 4x = lim x–2 x"2 ^x – 2h^1 + 9 – 4x h lünmelidir. Önce paydayı eşleniği ile çarparak paydayı rasyonel yapalım. x"2 x"2 ^ x 2 – a 2h .^ x + a h x2 – a2 = lim x " a ^ x – a h^ x + a h x– a = lim 1 – (9 – 4x) (x – 2) (1 + 9 – 4x ) x"a = lim 4x – 8 (x – 2) (1 + 9 – 4x ) = lim = lim 4 (x – 2) (x – 2) (1 + 9 – 4x ) = lim ^ x + ah .^ x + a h x"a = lim 4 4 = 1 + 9 – 4x 1 + 1 = ^ a + ah .^ a + a h = ^ 2ah .^ 2 a h = 4a a x"2 x"2 lim x"a ^ x – ah^ x + ah^ x + a h x–a w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI x"2 x"2 bulunur. = 2 bulunur. 6. lim x"1 x3 – 1 x –1 limitini hesaplayınız. Çözüm lim x"1 x3 – 1 1 – 1 0 = = belirsizliği vardır. x –1 1– 1 0 9. (x – 1) (x 2 + x + 1) x3 – 1 lim = lim x – 1 x –1 x"1 x"1 = lim ^ x 2 + x + 1h = 3 x"1 bulunur. 1 + cos 2x limitini bulunuz. 1 – sin x lim r 2 x" Çözüm x yerine r 0 yazarsak belirsizliği elde edilir. Belirsizliği kal2 0 dırmak için 7. lim x"5 x 3 – 8x 2 + 15x limitini hesaplayınız. x 2 – 3x – 10 lim x"5 x3 r x" 2 8x 2 – + 15x = x 2 – 3x – 10 53 – + 15.5 5 2 – 3.5 – 10 x" r x" 2 x ( x – 3 ) (x – 5 ) x 3 – 8x 2 + 15x = lim x " 5 (x + 2) (x – 5) x 2 – 3x – 10 x (x – 3) 5. (5 – 3) 10 bulunur. = lim = = 7 x+2 5+2 x"5 160 2 = lim lim belirsizliği vardır. x"5 1 + cos 2x 2 cos 2 x = lim r 1 – sin x 1 – sin x x" 8.5 2 0 = 0 lim Veya cosx ile sadeleştirme yapmalıyız. lim Çözüm sinh şekillerinden birine ulaşmamız gerekiyor. h r 2 2 cos 2 x^ 1 + sin xh 2 cos 2 x^ 1 + sin xh = lim ^ 1 – sin xh^ 1 + sin xh x " r 1 – sin 2 x 2 2 cos 2 x.^ 1 + sin xh cos 2 x lim 2^ 1 + sin xh = 2^ 1 + 1h = 4 bulunur. r x" 2 1. lim x"1 2x 2 – 2 3x – 3 4. x– a x–a lim x"a limitini hesaplayınız. limitini hesaplayınız. lim x"1 x4 – 1 x +1 limitini hesaplayınız. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 4 – 3 2. ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 5. lim x"1 1 2 a xn – 1 x –1 limitini hesaplayınız. 0 3 3. lim x"1 3 3 x –1 x2 – 1 6. lim x"1 n x –1 x –1 limitini hesaplayınız. limitini hesaplayınız. 2 – 3 1 – 2 161 KAVRAMSAL ADIM 3 3 BELİRSİZLİĞİ Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. a) x 2 + 3x + 1 + 4x x+2 lim x"3 a ! IR olsun. x " a için f (x) ifadesinde g (x) +3 –3 –3 + 3 + 3 , + 3 , –3 , –3 durumlarından biri varsa lim x"a 3 limitinde 3 belirsizliği vardır denir. f (x) g (x) ÖRNEK – 1 3 b) lim x"3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 2. ETKİNLİK x 3 + 3x 2 + 1 + x 2x + 1 lim x"3 6x + x 2 – x + 1 değeri kaçtır? 3x + 1 ÇÖZÜM 1 1 x2 c1 – x + 2 m x 3x + 1 6x + lim x"3 c) lim x " 0+ 2 – x2 x +1 6x + x lim x"3 xc6 + lim x"3 d) x3 + 8 x " –2 x + 2 lim 1 1 1– x + 2 x 3x + 1 1 1 1– x + 2 m 7 x = bulunur. 1 3 a k x 3+ x ÖRNEK – 2 lim x"3 x 3 + x 2 – 2x + 1 in değeri nedir? 1 3 x +x–3 6 ÇÖZÜM e) lim x "1 x+8 – 3 x –1 lim x"3 x 3 + x 2 – 2x + 1 3 =3 1 3 x +x–3 6 olup, 1 2 1 x3 c1+ x – 2 + 3 m x x 1 lim = = 6 bulunur. x"3 1 1 3 3 1 x c + 2 – 3m 6 6 x x 162 1. x 2 – 2x x –1 lim x "+3 3. limitini hesaplayınız. Çözüm x 2 – 2x +3 3 = + 3 = 3 belirsizliği vardır. x –1 lim x 2 – 2x = lim x "+3 x –1 x "+3 x 2 – x + 1 – 3x limitini hesaplayınız. 2x – 1 + x 2 + 1 Çözüm lim x "+3 lim x " –3 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI lim x " –3 2 x2 b1 – x l x –1 = lim x " –3 2 | x | . 1– x = lim x "+3 1 xb1 – x l 1 1 x 2 (1 – x + 2 ) – 3x x 1 2 2x – 1 + x (1 + 2 ) x 1 1 1 – x + 2 – 3x x 1 2x – 1 + | x | . 1 + 2 x |x | . w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z = lim x " –3 2 x. 1 – x = lim x "+3 1 xb1 – x l = x 2 – x + 1 – 3x 2x – 1 + x 2 + 1 1 1 1 – x + 2 – 3x x 1 2x – 1 – x 1 + 2 x –x = lim x " –3 1– 0 = 1 dir. 1– 0 xc– 1 1 1 – x + 2 – 3m x 1 1 xc2 – x – 1 – 2 m x = lim x " –3 = 2. 9 + 4x 2 – x limitini hesaplayınız. x – 1+ x2 lim x " –3 Çözüm 3 3 belirsizliği vardır. lim x " –3 9 x2 c 2 + 4m – x x 9 + 4x 2 – x = lim x " –3 1 x – 1+ x2 x – x2 c 2 + 1m x 4. 9 +4 – x x2 = lim x " –3 1 x – (–x) . +1 x2 –x. = lim x "+3 = –x c x " –3 1 – x2 limitini hesaplayınız. 4x 3 + 5 1 x 2 ( 2 – 1) 1 – x2 x = lim lim x " + 3 4x 3 + 5 x "+3 3 5 x (4 + 3 ) x 9 +4 – x x2 = lim x " –3 1 x –|x|. +1 x2 9 + 4 + 1m x2 4 +1 3 =– =– 2 1 + 1 1 x c1+ +1m x2 lim x "+3 Çözüm |x | . = lim – 1+ 0 – 3 = –4 bulunur. 2 – 0 – 1+ 0 1 –1 x2 5 x (4 + 3 ) x 0–1 –1 = =0 3 (4 + 0) 3 bulunur. bulunur. 163 1. lim x"3 x 2 – 2x + 3 2x 2 – x + 1 4. limitini hesaplayınız. lim x "+3 1 + x – 4x 2 – 1 2x – x 2 + 3x + 4 limitini hesaplayınız. 1 – 2 2. lim x " –3 x3 + 3 3 – x2 limitini hesaplayınız. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 5. lim x"3 x 2 + 3x 2x + 1 limitini hesaplayınız. +∞ 3. lim x " –3 9x 2 + 3x + 1 – 2x x +1 6. lim x " –3 1 – 2 | x | + 2 4x 2 – x + 1 3 | x | + 2x + 1 limitini hesaplayınız. limitini hesaplayınız. –5 164 –1 5 KAVRAMSAL ADIM lim ^ 6x. cot xh limitinin değeri kaçtır? lim f (x) .g (x) limitini hesaplarken 0. 3 biçiminde belirsizliklerle karşılaşılabilir. Bu x"a x"0 belirsizliği gidermek için çarpanlardan birinin çarpmaya göre tersi paydaya yazılarak lim ^ 6x. cot xh = 6.0. cot 0 = 0.3 dır. verilen ifade x"0 lim 6x. x"0 cos x x = lim .6. cos x sin x x " 0 sin x = 1.6. cos 0 = 1.6.1 = 6 bulunur. 0 3 ya da 3 türünde bir belirsizliğe dönüştürerek limit hesaplanır. Yani 0 lim 6 f (x) .g (x) @ = lim f (x) ya da 1 g (x) lim 6 f (x) .g (x) @ = lim g (x) 1 f (x) x"a x"a x"a w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z x"a biçiminde yazılarak limit hesaplanır. ETKİNLİK ETKİNLİK a) lim (x – 1) . tan a x "1 rx k limitinin değerini bulunuz. 2 1 lim a 3x. sin x k limitinin değeri kaçtır? x"3 1 lim a 3x. sin x k = 3.0 x"3 O halde J 1N K sin x O durumuna gelir. lim 3 K x"3 K 1 O O L x P x"3 1 ise x " 0 olur. 1 sin x Buna göre lim =1 x"3 1 x Yani b) 4 lim x. sin x x"3 limitinin değerini bulunuz. lim f (x) = 3 olur. x"3 165 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 3. 0. 3 BELİRSİZLİĞİ ETKİNLİK 1. 1 lim x 2 . sin x x "+3 limitini hesaplayınız. 4. lim cos x. f r x" 2 sin 2 x + 1 r p limitini hesaplayınız. x– 2 Çözüm Çözüm 1 lim x 2 . sin x = 3. sin 0 x "+3 = 3.0 belirsizliği vardır. lim cos x. f sin 2 x + 1 r p = 0.3 belirsizliği vardır. x– 2 lim cos x. f sin 2 x + 1 sin 2 x + 1 r p = xlim r r " x– x– 2 2 2 cos x x" 1 sin x 1 lim x 2 . sin x = lim .x x "+3 x "+3 1 x J 1N sin x O K = K lim O_ lim x i Kx "+3 1 O x "+3 x P L r 2 r x" 2 x– r r = y denilirse x " için y " 0 olacağından 2 2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI = 1.^ + 3h = + 3 bulunur. lim y"0 2. r + yk + 1 cos 2 y + 1 2 = lim y y y"0 r y – sin cos a + y k 2 sin 2 a lim ^ cos 2 y + 1h x lim a 1 + tan x. tan k . cos x limitini hesaplayınız. r 2 x" 2 Çözüm lim y"0 x lim a 1 + tan x. tan k . cos x = 3.0 r 2 x" 2 =– y"0 =– dır. –y sin y 1+ 1 = –2 dir. 1 x lim a cos x + sin x. tan k = 0 + 1.1 = 1 bulunur. r 2 x" 3. 2 x lim tan x a 1 – tan k limitini hesaplayınız. r 2 x" 2 Çözüm x lim tan x a 1 – tan k = 3.0 r 2 x" dır. 2 x 2 tan x x 2 tan x = tan a + k = x 2 2 1 – tan 2 2 eşitliği kullanılırsa x x 2 a 1 – tan x k lim tan x a 1 – tan k = lim x r r 2 2 x" x " 1 – tan 2 2 2 2 2 tan x 2 = lim x r x " 1 + tan 2 2 2 tan 2 = = 1 bulunur. 1+ 1 166 5. 1 lim x . (2x 2 – 1) limitini hesaplayınız. x " –3 Çözüm 1 lim x = 0 ve x " –3 lim (2x 2 – 1) = + 3 olduğundan x " –3 0.3 belirsizliği vardır. 1 2x 2 – 1 lim x . (2x 2 – 1) = lim x x " –3 x " –3 = lim x " –3 1 x (2x – x ) x 1 = lim (2x – x ) = –3 bulunur. x " –3 1. lim (1 – x) . tan x"1 rx 2 4. limitini hesaplayınız. lim 9 tan x. a tan r x" ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI x – 1 kC 2 2 limitini hesaplayınız. 2. 7 lim x. sin x x"3 limitini hesaplayınız. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 2 – π 5. –1 lim x. cot x x"0 limitini hesaplayınız. 7 3. lim –6 (2x – r) . tan x @ x" r 2 6. lim ; x"3 1 3 x +1 .b lE 2x + 1 4 limitini hesaplayınız. limitini hesaplayınız. 3 – 8 –2 167 KAVRAMSAL ADIM lim ^ x 2 + x – 1 – xh limitinin değerini bulu- lim f (x) = 3 ve x " x0 lim g (x) = 3 ise x " x0 x$3 lim 6 f (x) – g (x) @ = 3 – 3 şeklindeki belirsizliklerdir. nuz. x " x0 Bu durumda ifade, eşleniği ile çarpılıp bölünerek, lim ^ x 2 + x – 1 – xh = 3 – 3 dur. x$3 f (x) – g (x) = 3 ifadeyi eşleniği ile çarpıp bölerek 3 durumuna = lim = lim x$3 = lim x$3 f xc = lim x$3 x f (x) + g (x) 1 getirelim. ^ x 2 + x – 1 – xh^ x 2 + x – 1 + xh x$3 ^ x 2 + x – 1 + xh 6 f (x) @2 – 6 g (x) @2 = 6 g (x) @2 – 1 6 f (x) @2 şeklinde yazılır. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 4. 3 – 3 BELİRSİZLİĞİ ETKİNLİK x2 + x – 1 – x2 1 1 2 x c 1+ x – 2 m + x p x x –1 1 1 1+ x – 2 + 1 m x 1 xa1 – x k 1 1 = = 1+ 1 2 1 1 1+ x – 2 + 1 x bulunur. 1 1 + f (x) . 6 g (x) @2 6 f (x) @2 .g (x) 3 – 3 belirsizliği 0 şekline dönüştürülmüş olur. 0 ÖRNEK lim ^ ax 2 + b – x"3 cx 2 + b h limitinin değerini bulunuz. ÇÖZÜM lim ^ ax 2 + b – x"3 = lim x"3 ETKİNLİK ^ ax 2 + b – cx 2 + b h^ ax 2 + b + cx 2 + b h ax 2 + b + cx 2 + b ax 2 + b – cx 2 – b b b x2 ca + 2 m + x2 cc + 2 m x x = lim x"3 lim x"3 x 2 – 4x + 3 – cx 2 + b h = 3 – 3 dur. x 2 – 5x + 1 limitinin değerini bulunuz. = lim x"3 = lim x"3 xc x 2 ( a – c) b b a+ 2 + c+ 2m x x x (a – c ) = lim 6 x^ a – c h@ a + c x"3 lim ^ ax 2 + b – x"3 168 cx 2 + b h = 3 dur. 1. lim ^ x 2 + ax + b – x 2 – cx + d h limitini hesaplayınız. x"3 3. Çözüm lim x"3 ^ x 2 + ax + b + ^ x 2 + cx + d h^ x 2 + ax + b + x 2 + ax + b + x 2 + cx + d h x 2 + cx + d h 3 – 3 belirsizliği vardır. lim ^ x 2 + x – xh ise eşleniği ile çarpıp bölelim. x "+3 x 2 + ax + b – x 2 – cx – d x 2 + ax + b + x 2 + cx + d x"3 = lim x "+3 xba – c + xc = lim x"3 = b–d x l a b c d 1+ x + 2 + 1+ x + 2 m x x a–c+ x "+3 b–d x a b 1+ x + 2 + x a–c a–c = 2 1+ 1 = lim ^ x 2 + x – xh^ x 2 + x + xh x2 + x – x2 = lim x " + 3 2 x +x +x x2 + x + x = lim x "+3 |x | . c d 1+ x + 2 x lim ^ 3x 2 + 4 – Çözüm lim ^ 3x 2 + 4 – x "+3 x 2 – 1 h limitini hesaplayınız. x "+3 ^ 3x 2 + 4h – ^x 2 – 1h 3x 2 + 4 + x 2 – 1 = lim 2x 2 + 5 3x 2 + 4 + x 2 – 1 x "+3 x2 c2 + = lim x "+3 x2 c3 + x2 c2 + = lim x "+3 = |x |; 5 m x2 4 3+ 2 + x +3 =+3 3 +1 olur. x2 c1 – 1 1– 2 E x lim ^ x 2 + 2 – xh limitini hesaplayınız. x "+3 x "+3 =3–3 belirsizliği vardır. lim ^ x 2 + 2 – xh x "+3 = lim ^ x 2 + 2 – xh^ x 2 + 2 + xh x2 + 2 + x = lim x2 + 2 – x2 x2 + 2 + x x "+3 5 m x2 4 m+ x2 4. lim ^ x 2 + 2 – xh = + 3 – 3 ^ 3x 2 + 4 – x 2 – 1 h .^ 3x 2 + 4 + x 2 – 1 h 3x 2 + 4 + x 2 – 1 = lim x "+3 olur. Çözüm lim ^ 3x 2 + 4 – x 2 – 1 h x "+3 = lim 1 1 = 1+ 0 + 1 2 x2 – 1 h = + 3 – + 3 =3–3 belirsizliği vardır. = x 1 1+ x + x 1 1 1+ x + 1 x "+3 x "+3 1 xl + x 1 xb 1+ x + 1l x "+3 olur. x2 b 1+ x = lim = lim 2. x x = lim x2 + x + x x " + 3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z x"3 lim ^ x 2 + x – xh limitini hesaplayınız. x "+3 Çözüm = lim = lim ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI x "+3 1 m x2 2 = lim x "+3 x2 |x | c1+ 2 m+x x2 2 = lim x "+3 2 m+x x2 2 = lim x "+3 c 1+ x= 2 c 1+ 2 m + 1 G x = 2 1 = =0 + 3.2 + 3 olur. 169 5. lim ^ x 2 – x 4 – x 2 – 1 h limitini hesaplayınız. x "+3 7. Çözüm lim ^ x 2 – Çözüm x4 – x2 – 1 h = 3 – 3 = 3 – 3 x "+3 lim ^ x 2 – lim x "+3 lim x "+3 > x4 – x2 – 1 h x "+3 x2 + 1 x4 c1 – lim x "+3 x2 + x2 lim = x2 c1+ x+ 3 –2 3 = lim x–3 x"3 x– 3 0 = x–3 0 belirsizliği vardır. lim x"3 1 1 – m x2 x4 ^ x – 3 h^ x + 3 h ^ x – 3h^ x + 3 h = lim x " 3 (x x–3 = – 3)^ x + 3 h 1 1 = 3+ 3 2 3 bulunur. 1 m x2 1 1 1– 2 – 4 m x x x2 c1+ x "+3 1 2 3 – G x – 3 x–3 x"3 1 m x2 1 1 1– 2 – 4 x x x2 c1+ lim = = lim x 4 – ^ x 4 – x 2 – 1h x2 + x4 – x2 – 1 x2 + 1 2 3 – G = 3 – 3 belirsizliği vardır. x – 3 x–3 x"3 ^ x 2 – x 4 – x 2 – 1 h^ x 2 + x 4 – x 2 – 1 h H x2 + x4 – x2 – 1 lim lim = x"3 belirsizliği vardır. x "+3 1 2 3 – G limitini hesaplayınız. x – 3 x–3 lim = x"3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 1+ 0 1 1 = = 1+ 1 – 0 – 0 1+ 1 2 bulunur. 8. lim x "+3 1 + 2x – 1 + x limitini hesaplayınız. 1 + 3x – 1 + 2x Çözüm 6. lim x "+3 4x + 1 – 2x limitini hesaplayınız. x+2 + x –1 Çözüm lim x "+3 lim x "+3 4x + 1 – 2x 3–3 = x+2 + x –1 3–3 lim 1 + 2x – 1 + x 3–3 = olduğundan 1 + 3x – 1 + 2x 3 – 3 lim 1 + 2x – 1 + x 1 + 3x – 1 + 2x x "+3 x "+3 olup 1 = lim 4x + 1 – 2x x+2 + x –1 x "+3 x2 1 x2 1 2 x +2 – x 1 1 x +1 1 1 x +2 1 2 x +3 – x 1 1 1 2 x2 4+ x – x 2 = lim 1 1 x "+3 1 2 2 1– x x 2 1+ x + x 1 x2 = lim x "+3 ; 4+ 1 – 2E x = lim = x " + 3 12 ; 1+ 2 + 1– 1 E x x x = bulunur. 170 4– 2 1+ 1 2– 2 2 = 1 x +2 – 1 x +1 1 x +3 – 1 x +2 ^ 2 – 1h^ 3 + 2 h 2 –1 = 3 – 2 ^ 3 – 2 h^ 3 + 2 h = 6 +2 – 3 – 2 dir. 1. lim ^ x 2 + 2 – x "+3 x2 – 2 h 4. limitini hesaplayınız. lim ^ x 2 + x – 2 – x "+3 2x 2 + 1 h limitini hesaplayınız. lim c x "+3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 0 2. 3 1 + m 1 – x3 x – 1 limitini hesaplayınız. ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 5. –∞ lim x^ x 2 + 2 – xh x "+3 limitini hesaplayınız. 1 0 3. lim ^ x 2 + 6x – 2 + xh 6. x " –3 limitini hesaplayınız. lim d x "+3 9x – 1 – x n 4x + 1 – x + 2 limitini hesaplayınız. –3 2 171 7. lim d x "+3 10. lim c x3 x2 – n 3x 2 – 4 3x + 2 x"2 12 1 – m x3 – 8 x – 2 limitini hesaplayınız. limitini hesaplayınız. 2 – 9 8. lim ^ 9x 2 + 1 – 3xh x "+3 limitini hesaplayınız. – w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 11. 1 2 lim ^ 2x 2 – 4x + 1 – 2 xh x"3 limitini hesaplayınız. 0 – 2 12. lim ^ x 2 – 4x + 1 – x + 5h 9. lim ^ x " –3 2x 2 x"3 – 3 – 5xh limitini hesaplayınız. limitini hesaplayınız. 3 +∞ 172 KAVRAMSAL ADIM lim 6 1 + f (x) @ g (x) ifadesinde lim f (x) = 0 , lim g (x) = 3 ise, 1 3 belirsizliği vardır. x"a x"a x"a limitini hesaplayalım. x$1 f (x) = x, g (x) = lim f (x) .g (x) = , olmak üzere, x"a 1 alalım. x –1 lim 6 1 + f (x) @ g (x) = e , x"a lim f (x) = lim x = 1 x$1 x$1 lim g (x) = x$1 lim x$1 1 $3 x –1 dir. Ancak 1 3 belirsizliği her zaman rinde ortaya çıkmaz. Bu nedenle genel olarak, 1 3 belirsizliği var. g (x)^ f (x)–1h ; lim f (x) g (x) = lim ^ 1 + f (x) – 1hf (x)–1 E x$1 lim 6 f (x) @ g (x) w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 1 x$1 x"a ifadesinde lim f (x) = 1, =e lim g (x).^f (x)–1h x$1 =e x"a lim g (x) = 3 x"a lim 6 f (x) @ g (x) = lim " 1 + 6 f (x) – 1 @, g (x) x"a ise, 1 lim .(x–1) x $ 1 x–1 lim 6 1 + f (x) @ g (x) şeklindeki limit problemle- x"a x"a ^f (x)–1hg (x) = lim &6 1 + ^ f (x) – 1h@ f (x)–1 0 1 = e bulunur. x"a lim ^ f (x) – 1h.g (x) = ex " a ETKİNLİK Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. x 3 a) lim a 1+ k 9 x x"3 (e = 2,71828...) dir. ÖRNEK 3 x+1 lim a 1 + x k limitinin değerini bulunuz. x"3 ÇÖZÜM lim .^ x + 1h 3 x+1 lim b 1+ x l = e x " 3x 3 x"3 = e3 b) lim b 1 – x"3 bulunur. x 9 l3 x • • • 1 1 x lim b 1 + x l = lim ^ 1 + ah a = e a"0 x"3 1 1 x lim b 1 – x l = lim ^ 1 – ah a = e –1 a"0 x"3 k mx lim b 1 + x l = e km x"3 173 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK lim x 1 x–1 1∞ BELİRSİZLİĞİ 5. ETKİNLİK 1. 1 6x lim b 1 + x l limitini hesaplayınız. x"3 4. Çözüm 13 lim c 1 + x"3 Çözüm belirsizliği var. 2 1 6x 1 x lim b 1 + x l = lim ;b 1 + x l E x"3 x"3 6 1 lim x = ex " 3 1 = ; lim b 1 + x l E x"3 = lim x"0 e6 = e 0 = 1 bulunur. dır. 5. 1 ^ 1 + x h 3x 1 1 x 1 x x lim c 1 + 2 m = lim >c 1 + 2 m H x"3 x"3 x x x 6 2. 1 x m limitini hesaplayınız. x2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI limitini hesaplayınız. lim d x"3 2x 2 + 3 n 2x 2 + 5 8x 2 + 3 limitini hesaplayınız. Çözüm Çözüm 1 3 belirsizliği var. lim ^ 1 + xh 3x = 1 x"0 1 3 belirsizliği var. lim d x"3 1 1 3 lim b^ 1 + xh x l x"0 2x 2 + 3 n 2x 2 + 5 8x 2 + 3 x"3 –2 lim =e lim a 6. 1 3 belirsizliği var. lim a x 2x 1 + x – 1 2x k = lim b l x"3 1+ x 1+ x H 8x 2 + 3 2x 2 + 5 bulunur. = lim ;b 1 – x"3 Çözüm – lim =e a a ax lim a 1+ x k = ^ e a h = e a ise, x"3 2x 1 1 + xE 1 + x l 1+ x 2x x"3 1+x = e –2 olur. a ax lim a 1+ x k = e a olduğuna göre, a sayısını bulunuz x"3 (a > 0) 1 2x = lim b 1 – l x"3 1+ x 174 2+5 x 2x limitini hesaplayınız. k 1+ x Çözüm x"3 2+3 8x 2 + 3 2x 2 + 5 = e –2.4 = e –8 x"3 8x 2 m +5 8x 2 + 3 2x 2 2x 2 = lim >c 1 – m x"3 2x 2 + 5 = e3 = 3 e 3. 2x 2 + 3 + 2 – 2 n 2x 2 + 5 = lim c 1 – x"3 1 1 3 = ; lim ^ 1 + xh x E x"0 1 = lim d 2 ea = ea & a2 = a & a^ a – 1h = 0 & a = 0 , a =1 a > 0 olduğundan a = 1 dir. 1. 3 2x lim b 1 + x l 4. x"3 limitini hesaplayınız. lim b x"3 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI x x+3 2 l x +1 limitini hesaplayınız. 2. lim ^ 1 + xh x 3 x"0 limitini hesaplayınız. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z e6 5. e lim ^ 1 + sin xh cot x x"0 limitini hesaplayınız. e3 3. lim b x"3 2+ x x l 1+ x 6. limitini hesaplayınız. e lim ^ 1 + tan xh tan x 1 x"0 limitini hesaplayınız. e e 175 7. lim d x"3 2x 2 + 5 n 2x 2 + 8 4x 2 + 1 sin x sin x 10. lim b x l x– sin x x"0 limitini hesaplayınız. limitini hesaplayınız. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI e–6 8. lim b x"a 1 sin x x–a l sin a 11. lim ^ cos x + sin xh x 1 x"0 limitini hesaplayınız. limitini hesaplayınız. (a ≠ kπ, k ∈ Z) ecota 9. lim ^ 1 + sin rxh cot rx 12. lim ^ cos x + a. sin bxh x limitini hesaplayınız. limitini hesaplayınız. e 1 x"1 x"0 e–1 176 1 eab SINAMA ADIMI f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. 4. lim cos x değeri kaçtır? x " r– y B) – A) –1 y=f(x) 1 2 C) 0 1 2 E) 1 D) 4 E) 6 D) 3 2 1 –4 –3 0 x 1 5. Aşağıdaki bilgilerden kaç tanesi doğrudur? IV. x " –4 II. lim f (x) = 2 limitinin değeri kaçtır? B) 2 A) 1 lim f (x) = 3 x " –3 – x"1 III. lim – f (x) = 3 VI. lim f (x) = 3 x"0 x"1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. lim x"2 2x 3 + 1 x3 – 1 limitinin değeri kaçtır? A) 2 2. lim + x"1 C) 3 V. lim + f (x) = 3 x " –3 + A) 1 x2 – 9 x–3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z I. lim f (x) = 0 lim x"3 |x – 1 | + 3 x +1 B) 1 C) 7 2 D) 11 7 E) 17 7 limitinin değeri kaçtır? A) 3. 1 2 lim x " 2+ A) –1 3 2 B) |x – 2 | x–2 C) 1 D) 2 E) 5 2 7. 1 2 lim c 3 + x + 2 m x x"3 limitinin değeri kaçtır? A) 0 B) 1 lim 3x 2 + 5x – 2 1 = (k + 1) x 2 + 1 3 A) 9 B) 8 C) 2 D) 3 E) 4 değeri kaçtır? B) 0 1. D C) 1 2. B D) 3. C 3 2 8. E) 2 x"3 4. A 5. E olduğuna göre, k kaçtır? C) 6 6. E 7. D D) 5 8. B E) 4 177 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. 1 SINAMA ADIMI y 3 + 4y 2 + 4y (y + 2) (y – 3) lim y " –2 A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 13. lim x"0 E) 1 A) 10. lim x"0 A) sin 4x 3x 2 3 limitinin değeri kaçtır? B) 4 3 sin (5 – x) 11. lim x " 5 x 2 – 25 A) 1 10 B) C) 16 9 14. 2 3 D) E) 1 3 12. lim x"0 A) 3 178 x2 x 1 25 lim x " –1 A) – B) limitinin değeri kaçtır? A) 1 5 1 5 sin (x + 1) 2 ( x + 1) 1 2 C) C) – 1 10 D) – 1 5 E) e 2 1 10 2 5 D) E) 0 limitinin değeri kaçtır? B) –1 2 x 15. lim b 1 + x l x"3 C) 0 D) 1 2 E) 1 limitinin değeri kaçtır? 1 B) e C) e 2 D) 1 e3 E) e 3 –1 2 16. sin x 3 x 5 limitinin değeri kaçtır? 2 sin 2 limitinin değeri kaçtır? w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 9. 1 lim x "+3 3 x2 – 1 x3 + 1 limitinin değeri kaçtır? limitinin değeri kaçtır? A) 3 B) 2 9. D C) 1 10. B 1 D) 2 11. C 1 3 B) 1 2 C) 1 E) 0 12. E 13. A 14. D 15. C 16. C D) 2 3 E) 0 SINAMA ADIMI A) – 3 5 B) – 2 5 5. limitinin değeri kaçtır? C) – 1 3 D) – 1 5 E) – 1 2 2. A) 3x2 lim x"0 A) 0 tan 2x sin x B) –3x2 C) 0 D) x2 A) m C) 1 3 E) 1. B 12 5 tan x + sin x x A) 1 B) D) 2 m2 C) 2 2. A m2 D) 4 3. E 4. C D) – 17 5 E) – 12 7 limitinin değeri kaçtır? 1 2 C) 2 D) E) 0 2 2 lim x"0 tan x tan x limitinin değeri kaçtır? B) 1 2 C) 1 D) 2 E) 2 E) 2 2 E) 2 limitinin değeri kaçtır? B) 0 C) – lim A) 0 1 – cos mx lim x"0 x2 17 6 x"0 limitinin değeri kaçtır? 1 B) 2 limitinin değeri kaçtır? 3x 2 8. 4. B) – limitinin değeri kaçtır? 7. 3. 17 12 A) – 6. (x + h) 3 – x 3 lim h h"0 8 + x – 3x x2 – 1 lim x"1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z y 3 + 3y 2 + 2y y2 – y – 6 lim y " –2 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. 2 limr x" 4 1 – tan x 2 – 2. sin x A) – 2 B) – E) 1 5. A 6. C limitinin değeri kaçtır? 2 2 7. C C) –1 8. E D) – 1 2 179 SINAMA ADIMI lim x"0 (1 – cos x) 2 x2 A) –2 10. lim B) –1 3 4 C) 0 y6 – 1 – 1) 1 2 E) 1 x"3 A) –6 180 2 1 + 2 tan x B) 1 3 B) y 2 C) B) 1 9. C C) 1 2 3 2 D) D) 0 4 5 E) 5 8 A) –1 E) – 1 2 x > 1 ise x = 1 ise x < 1 ise B) 0 C) 1 lim f (x) kaçtır? x " 1– D) 2 E) 4 15. lim 8_ log 20x 2 + 3x i – log 2x 2 + 2x + 1 B x"3 limitinin değeri kaçtır? ifadesinin değeri hangisidir? C) 3 (x + 1) (2x + 1) (3x + 1) 2 – x3 B) –4 ifadesinin değeri kaçtır? biçiminde tanımlanan fonksiyonda D) 2 E) 1 16. 12. lim r 2 A) 2 limitinin değeri kaçtır? 3 (y – x) + 2 (y – x) 2 11. lim y " x (y – x) + 3 (y – x) 2 A) 3y D) lim + x" Z 2 ] x + 1; 14. f (x) = [ 3; ] \ x – 2; y " 1 y 2 . (y 4 A) 13. limitinin değeri kaçtır? w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 9. 2 limitinin değeri kaçtır? C) –3 10. C D) 3 11. C E) 6 12. A A) 0 B) lim |x – 3 | x–3 x " 3+ 1 2 C) 1 4 D) 10 2 E) 3 ifadesinin değeri hangisidir? A) –3 13. A B) 4 14. A C) 3 15. B 16. E D) 2 E) 1 SINAMA ADIMI lim c x"2 ax + 3 m = 3 ise, a kaçtır? x2 + 1 A) 8 B) 6 5. C) 4 D) 3 E) 1 x2 x lim c – m 2x – 1 2 x"3 ifadesinin değeri hangisidir? A) – 2. x " 2+ a lim 6. log 1 (x – 2) k B) – 1 2 C) 1 D) 1 2 E) 1 4 lim ^ x 2 – 2x + 1 + 2xh x"1 2 ifadesinin değeri hangisidir? B) –1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ifadesinin değeri hangisidir? A ) –3 1 4 C) 0 A) – E) + 3 D) 1 2 3 B) – 1 2 7. 3. C) 0 D) 1 2 E) 2 y 4 y 3 4 2 3 2 –3 –1 0 1 x"0 x 2 3 –3 B) lim – f (x) = 3 Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun –1, 0, 1, 2, 3 apsisli noktaları için var olan limitler toplamı kaçtır? D) lim f (x) = 0 A) 0 x"1 x"2 x 2 –2 x"1 C) lim – f (x) = 1 1 –1 Şekilde f(x) fonksiyonunun (–1, 2] aralığındaki grafiği verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) lim f (x) = 1 0 –1 1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 D) –3 E) –4 E) lim f (x) = 0 x " –3 4. 8. lim (3x. cot 2x) x"0 ifadesinin değeri hangisidir? A) 0 B) 1 3 C) Zax + 3 ; ]] f (x) = [ 9; ]] 2 x + 3; \ 2. E ise ise x > –4 ise fonksiyonu veriliyor. 2 3 D) 3 2 E) 3 f (x) k ! R ise, a kaçtır? a xlim " –4 A) 0 1. B x < –4 x = –4 3. D 4. D 5. E B) –1 6. E C) –2 7. D 8. E 181 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. 3 SINAMA ADIMI f lim x" r 6 12. lim ^ x 2 – 3x + 6 – sin x + cos x r p –x 3 x 2 + mx + 7 h = 4 ise, m kaçtır? x"3 A) –11 B) –10 C) –6 D) 4 E) 6 D) 2 E) 3 ifadesinin değeri hangisidir? A) 0 B) 3 – 2 C) 3 D ) r (1 + 3 ) 10. lim + x " –1 E) r 3 1^ 1+ 3 h 2 3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 9. 3 13. lim |x + 1 | + | x | + 1 x2 + 1 x"r sin r – sin x cos x – 1 ifadesinin değeri hangisidir? limitinin değeri kaçtır? A) –3 A) –2 1 B) – 2 11. 2 D) 3 C) 1 C) 0 B) –1 3 E) 2 14. y y y=f(x) f(x) 3 2 1 1 0 –1 x 1 –4 –3 –2 0 –1 R den R’ye verilen y = f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) lim – f (x) = –3 B) lim f (x) = 1 C) f (1) = 3 D) lim f (x) = yok A) 4 B) 5 C) 6 x"1 x"0 E) f (0) = –1 182 9. D 10. C 2 x Grafiği verilen f(x) fonksiyonunun x’in –4, –3, –2, –1, 0, 1 ve 2 değerleri için var olan limitler toplamı kaçtır? –3 x"0 1 11. B 12. A 13. C 14. B D) 7 E) 8 SINAMA ADIMI 4. y y 3 4 2 3 1 2 1 0 1 2 2 x 3 x 3 –2 A) lim – f (x) = 4 B) lim – f (x) = 2 A) lim + f (x) = 3 B) D) lim f (x) = 0 C) lim + f (x) = –2 D) lim f (x) = 2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z R – {–2, 1, 2} de tanımlanmış f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? x"0 x"1 C) lim + f (x) = 4 x"0 x"4 lim c sin x + xm | sin x | A) –1 + π 5. işleminin sonucu kaçtır? B) 1 + π A) –2 C) 1 – π işleminin değeri kaçtır? lim (sin 2x. cot x) x " 2r B) –1 C) 0 D) 2 E) 3 E) π D) –π |x | lim c x + x + 1 m x " 0+ A) 0 f ( x) = 0 E) lim + f (x) = 0 E) lim f (x) = 1 x " r+ lim x " –2 – x"2 x " –2 x"3 x"2 3. 1 Grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? x"0 2. 0 –2 f(x) B) 1 6. işleminin sonucu kaçtır? C) 2 1. D 2. A D) 3 3. C E) 4 x"3 lim ; x. sin b 5 lE x–2 A) 0 B) 4. D 1 2 işleminin sonucu kaçtır? C) 5. D 5 2 6. E D) 4 3 E) 5 183 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. 4 SINAMA ADIMI 9. y y 3 2 f(x) 2 –2 x 0 –2 1 0 –2 2 x 3 –1 y g(x) 3 0 –4 Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. x in –2, 0, 2 ve 3 değerleri için var olan limitleri toplamı kaçtır? x 4 A) –3 B) –2 C) 0 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 7. 4 D) 1 E) 2 R’de tanımlanan f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. lim [(fog) (x) + (gof) (x)] kaçtır? x " 2+ A) 2 B) 3 C) 5 8. D) 7 E) 8 x"0 sin (r + 3x) cos 2x – sin x – 1 A) 3 B) 11. lim sin (x 2 – 4) 3x – 6 1 6 B) 10. lim y limitinin değeri kaçtır? 3 3 2 C) 1 2 D) – 1 2 E) – 3 4 E) 4 3 1 0 2 4 x Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) B) lim + f (x) = –3 lim f (x) = 0 x " –3 x"0 C) lim – f (x) = 3 D) lim f (x) = 3 x"0 x"0 x"2 E) lim + f (x) = 1 x"2 184 7. C A) 8. D 9. E limitinin değeri kaçtır? 1 3 C) 10. A 2 3 11. E D) 3 4 SINAMA ADIMI 2x 2 + a – 4 = b ise, a.b kaçtır? x+3 lim x " –3 B) 1 C) 1 3 D) – 3 4 E) –3 lim x " 1+ tan (x – 1) ifadesinin eşiti kaçtır? tan x – 1 A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 3 E) – 3. lim x " –1 3 A) –6 4. +1 x +1 B) – r 4 B) –3 C) –1 D) 3 E) 9 8. sin 2 x 2 x . cos x işleminin değeri kaçtır? A) – 1 2 1 3 1. A C) 0 2. B D) 3. E 1 2 4. E sin 2x – tan 4x r x– 2 2 A) 6 B) 4 lim x. tan (r – x) x– r x"r A) B) – r 8 limr x" limitinin değeri kaçtır? lim x"0 limitinin değeri kaçtır? C) 0 D) r 2 E) E) 1 r 2 C) 2 D) –3 E) –6 lim (1 – x) tan x"1 2 A) r limitinin değeri kaçtır? B) 2r rx 2 B) 5. B C) r D) 2 r E) –2r r limitinin değeri kaçtır? r 2 C) 0 6. E r 4 limitinin değeri kaçtır? 1 2 7. x3 x"1 A) – 6. 2. lim w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z A) 3 r x 2 2 x –1 cos 5. 7. E D) 1 8. A E) – r 2 185 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. 5 SINAMA ADIMI lim sin (x – r.a) x a –r a A) r r B) a x " r.a 10. lim x"0 A) sin 2 x sin x 1 2 13. limitinin değeri kaçtır? C) a D) r E) 1 x 1 – cos x A) 2 B) lim 1 2 C) x" D) 1 E) 0 4 A ) –2 15. lim x"1 sin x – sin p 11. lim x–p x"p D) tanp 12. lim x"1 A) 186 2 3 B) –1 C) 0 cos 2 ax – cos 2 ax 2 x2 – 1 16. lim 1 3 9. C C) 1 2 10. E B) D) – 11. C x"0 1 2 E) – 12. A 1 3 sin 2 x x A) –1 13. A E) 3 D) 1 2 E) 2 limitinin değeri kaçtır? a cos 2a 2 C) a sin 2a 2 E) αtanα D) sin2α E) cotp D) 2 2 limitinin değeri kaçtır? C) cosp limitinin değeri kaçtır? B) C) 1 A) αsinα B) –cosp x –1 x –1 1 2 limitinin değeri kaçtır? A) –sinp 3 limitinin değeri kaçtır? sin 2 x – cos 2 x r x– 4 14. limr limitinin değeri kaçtır? B) 2 x " 0+ w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 9. 5 limitinin değeri kaçtır? B) 0 14. E C) 15. C 1 2 16. B D) 1 E) 2 SINAMA ADIMI ^ cos rxh + 1 x2 – x A) –2 2. 5. limitinin değeri kaçtır? B) –1 C) 0 sin x – sin x 0 lim x " x 0 cos x – cos x 0 A) tanx0 D) 1 6. eşiti nedir? B) 0 D) sinx0 E) 2 3. x – sin x x3 A) – 1 2 lim : n"3 A) –2 C) –cotx0 1 B) cos 2 y sec3x lim x"0 sin ^ tan 2 xh sec 2 x – 1 A) –2 C) 1 6 D) 1 3 E) 1 2 1 + 2 + 3 + ... + n n + 1 – D limitinin değeri kaçtır? n+2 2 B) –1 C) – 1 2 D) 0 E) 1 x limitinin değeri kaçtır? x+ x+ x limitinin değeri kaçtır? D) cosec3y 4. B) 0 lim x "+3 A) 0 A) limitinin değeri kaçtır? E) cosx0 7. tan x – tan y lim x " y sin x – sin y lim x"0 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z lim x"1 C) cos2y 1. C 1 2 C) 1 D) 2 E) + 3 E) sec3y 8. limitinin değeri kaçtır? B) –1 B) C) 1 2. C D) 2 3. E E) 4 4. C lim 8 x 2 + 6x + 14 – (x + 2) B x "+3 A) 3 B) 0 5. C C) 1 6. B 7. C limitinin değeri kaçtır? D) 2 8. C E) 3 187 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. 6 SINAMA ADIMI lim 6 x 2 – 8x + 20 + x + 3 @ limitinin değeri kaçtır? x " –3 A) –3 13. lim x"0 B) 1 C) 3 D) 4 sin 2 x sin x 2 E) 7 B) A) 0 1 k 10. lim cos b l 2 k"3 B) –1 C) 0 B) – E) + 3 D) 1 15. lim x"0 limitinin değeri kaçtır? sin (sin x) x A) –1 12. lim x" r 4 3 B) –1 cos (r tan x) C) – 1 2 D) 0 188 D) 1 E) + 3 limitinin değeri kaçtır? B) –1 9. E x"0 limitinin değeri kaçtır? 10. D 1 D) 2 11. D C) 0 D) 1 E) 1 2 limitinin değeri kaçtır? B) 0 16. lim cos b C) 0 1 2 C) 1 2 D) 1 E) 1 4 E) 1 A) –1 A) –2 1 2 C) limitinin değeri kaçtır? r 11. lim a – arctan k k k"3 2 A) –2 1 4 r – arccos x 14. lim 2 x x"0 A ) –1 A) –3 limitinin değeri kaçtır? w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 9. 6 r sin x l 2x B) – limitinin değeri kaçtır? 1 2 C) 0 D) E) 1 12. B 13. D 14. D 15. D 16. C 1 2 E) 1 SINAMA ADIMI sin (1 – x) x2 – 1 A) –2 2. B) –1 3. lim x" r 3 C) – 1 2 5. D) 0 E) 2 limitinin değeri kaçtır? B) –1 sin 2x + sin x cos 2x – cos x C) 0 D) 1 E) 3 7. limitinin değeri kaçtır? B) – 3 C) – x2 m x2 + 2 cos c r m 4 3 x x cos r – sin r 3 2 3 2 D) 1 x"1 A) 0 B) – 1 2 C) – 1. C limitinin değeri kaçtır? B) 1 2 C) ^ x 2 – 1h 2 ^ x 2 – xh x " 1 ^ x 3 – 1h^ x 4 – 1h lim A) 0 B) lim 4 x + 1 – 64 4 x – 16 x"2 2 2 2. D limitinin değeri kaçtır? 8. f (x) = A) 8 D) – 2 3. B 1 6 1 4 D) 1 16 E) 3 8 limitinin değeri kaçtır? C) 1 4 D) 1 2 E) 1 limitinin değeri kaçtır? B) 4 C) 8 D) 16 E) 64 D) 5 E) 4 E) 3 sin c r lim x 4 x2 x"0 A) 2 A) –2 3 4. lim A) 16 6. 3 x + 3 –x lim x " 3 3 x – 3 –x A) –3 tan 2 limitinin değeri kaçtır? w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z lim x"1 2x + 1 ve lim f –1 (x) kaçtır? x–2 x"3 B) 7 C) 6 E) –2 2 4. E 5. D 6. A 7. B 8. B 189 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. 7 SINAMA ADIMI r k limitinin değeri kaçtır? 2 lim ^ tan yh . a y – r y" x y" 2 2 A) 1 B) 0 1 3 C) – D) – 8y 3 – 4y 2 x – 2yx 2 + x 3 x – 2y 13. lim 1 2 E) –1 A) –x B) – 3 14. lim ^ tan x – 1h 10. lim limitinin değeri kaçtır? r cot 2x x" 4 A) 1 B) 11. lim c x"1 A) 0 12. lim x"a A) 190 1 2 1 2 a x –x a x2 – a2 –1 2a C) 0 D) – x"3 A) 1 3 B) C) 1 D) 9. E C) –1 8a 10. E D) 11. B 1 162 3 2 15. f (x) = B) 16. –1 4a E) 12. E –1 4 a x –1 x +1 C) 0 D) 1 2 E) 1 limitinin değeri kaçtır? 1 81 C) 1 54 ise, lim ^ fofh (x) D) 1 27 E) 1 18 değeri kaçtır? x"1 B) –1 A) –2 E) 2 limitinin değeri kaçtır? –1 8 a x + 24 – 3 x2 – 9 limitinin değeri kaçtır? E) –1 2 1 – m limitinin değeri kaçtır? x2 – 1 x2 – x B) x 2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 9. 7 C) – 1 2 D) 0 E) 1 x2 + 1 lim c – ax – b m = 0 olduğuna göre, a + b kaçtır? x +1 x "+3 B) –1 A) –2 13. C 14. A C) 0 15. B D) 1 16. C E) 2 SINAMA ADIMI lim ^ x 2 – x + 1 – ax – bh = 0 olduğuna göre, a + b x " –3 5. kaçtır? A) –2y B) –1 1 D) 2 C) 0 6. 2. n elemanlı bir kümenin r–li permütasyonlarının kümesi P(n, r), r–li kombinasyonlarının kümesi C(n, r) ile gösterildiğine göre, A) 0 B) lim n"3 1 2 lim – x"3 A) –6 P (n, 4) .C (n, 1) değeri kaçtır? P (n, 3) .C (n, 2) C) 1 D) 2 4. arcsin x lim x x"0 A) –1 C) 0 lim x"2 E) 1 D) 2 3. A D) 14 E) 16 1 2 x +1 + + ... + 2 m limitinin değeri kaçtır? x2 x2 x 1 6 lim x"2 A) 0 2. D C) 12 B) 1 4 C) 1 2 D) 1 E) 2 E) 6 limitinin değeri kaçtır? 1. E B) 10 lim c n"3 A) D) 3 C) 0 E) 2y 5 2 8. 1 B) – 2 D) y 4 – m+x limitinin var olabilmesi için m ne x–2 A) 8 | x2 – 9 | limitinin değeri kaçtır? x–3 B) –3 C) 0 olmalıdır? 7. 3. B) –y 3 E) 2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z A) –2 ^ x – yh 2 – y 2 limitinin değeri kaçtır? x x"0 lim sin (x – 2) limitinin değeri kaçtır? 2x – 2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 E) 1 4. E 5. A 6. D 7. C 8. C 191 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. 8 SINAMA ADIMI lim x " –8 12. x +2 limitinin değeri kaçtır? x+8 y 3 1 A) 2 1 B) 3 1 C) 4 1 D) 12 2 1 E) 24 –2 –3 0 2 4 6 x Şekilde f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f fonksiyonunun –3, –2, 0, 2, 4, 6 noktalarından bazılarında var olan limitlerin toplamı kaçtır? A) 9 10. lim log 3 d x"3 A) 13. lim ; x2 – 9 n limitinin değeri kaçtır? x– 3 2 + 2 log 3 2 3 D) B) 8 C) 7 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 3 9. 8 B) 2 log 3 4 3 3 + log 3 4 2 x"0 C) E) 3 log 3 4 2 A) 1 6 D) 6 E) 4 1 1 – E limitinin değeri kaçtır? sin 2 x x 2 B) 1 4 C) 1 3 D) 1 2 E) 2 5 3 + log 3 4 4 ,nx 14. lim cot x limitinin değeri kaçtır? x"0 11. lim n"3 A) –2 192 4n! limitinin değeri kaçtır? n! – (n + 1) ! B) –1 9. D C) 0 10. D D) 4 11. C A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 8 12. C 13. C 14. C E) 2 SINAMA ADIMI 1 12 B) C) 1 6 D) 1 3 E) 1 2 B) –1 lim ^ x + x"3 3 1 – 2 cos x limitinin değeri kaçtır? r–3x lim x" r 3 A) – 6. 1+ h – 1 – h limitinin değeri kaçtır? h lim h"0 A) –2 3. 1 9 5. 1 3 B) – 1 D) 2 C) 0 7. B) –1 C) 0 D) 1 D) 2 2 E) 3 3 2 B) – r 2 D) r C) r 3 E) r 1 f (x) = x fonksiyonu veriliyor. h"3 E) 2 8. lim sin x – cos x limitinin değeri kaçtır? 1 – tan x A) – 2 2 r 4 1 2 1 – x2 limitinin değeri kaçtır? sin rx 1 A) – r E) 1 1 – x 3 h limitinin değeri kaçtır? lim x"1 1 A) – x x" C) lim 6 f (x + h) – f (x) @ değeri nedir? A) –2 4. 3 3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z A) 2. 1 1 – G limitinin değeri kaçtır? 2^ 1 – x h 3^ 1 – 3 x h lim = x"1 1 2 C) 0 1. A 2. E B) – D) 3. C 1 B) x C) 0 D) 1 x2 E) – 1 x2 lim (f.g) (x) = – 2 ise, lim f (x) = 3 ve x" 2 x" 2 lim g (x) kaçtır? x" 2 2 2 E) 4. A 2 4 A) 2 3 B) 5. B 3 2 C) 6. D 1 3 7. A D) – 8. E 2 2 E) – 2 3 193 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. 9 SINAMA ADIMI a > 0 olmak üzere lim x"0 a+x – a–x + a x – a2 – x2 limitinin değeri 13. lim x"0 sin sin x limitinin değeri kaçtır? x kaçtır? A) 0 a B) a 1 A) 2a a C) 2a D) a x"1 3 A) B) 1– 11. lim x"1 1– A ) –2 x"1 x –4 x limitinin değeri kaçtır? x –5 x 1 8 3 8 C) 2 – 4 – 3x 1 2– 3 – 2x B) – 3 2 lim R"3 A) 0 7 8 D) A) –1 10 8 E) 194 1 T 1 4 D) 2 3 E) 1 1 2 C) 0 D) 1 2 E) 1 15. A x = 3. 3 . 4 3 . 8 3 ... 2x 3 olduğuna göre, lim A x değeri limitinin değeri kaçtır? x"3 kaçtır? C) –1 C) 9. B B) – 15 8 D) 0 E) 3 2 P.V + R limitinin değeri kaçtır? n.R.T + 1 B) C) tan (ln x) limitinin değeri kaçtır? ln x A) 1 16. f(x + 1) = 12. 1 2 E) 2 a 14. lim 10. lim B) w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 9. 9 1 n.T 10. E C) 9 D) 27 p 1 ; f (x) + E ve p > 0, f(1) > 0 2 f (x) E) 81 olduğuna göre, lim f (x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? x"3 1 D) n 11. B B) 3 12. C E) 3 A) p 2 13. E B) 2p 14. E C) p 15. C 16. C D) p 2 E) 2 p 2. BÖLÜM KAVRAMSAL ADIM BİR DİZİNİN LİMİTİ ÖRNEK Bir Gerçel Sayının Komşuluğu n+1 1 ^ a n h = b n + 2 l dizisinin kaç terimi 1 in 2 dışındadır? x, a ∈ |R ve ε > 0 olmak üzere, w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z K = {x ∈ IR: |x – a| < ε} kümesine a nın ε (epsilon) komşuluğu denir. |x – a| < ε + –ε < x – a < ε + a – ε < x < a + ε x ∈ (a – ε, a + ε) dur. açık komşuluğu O halde a nın ε komşuluğu (a – ε, a + ε) açık aralığıdır. ÇÖZÜM an – 1 = n+1 1 –1 1 –1 < & < n+ 2 2 n+ 2 2 1 1 < & n+ 2 > 2 + n > 0 n+ 2 2 ÖRNEK 4 ün olup dizinin hiç bir terimi komşuluk dışında değildir. 1 komşuluğunu bulalım. 2 LİMİT (an) bir gerçel sayı dizisi olsun. Her ε > 0 için (an) dizisinin sonlu ÇÖZÜM sayıda terimi hariç, diğer tüm terimleri (hemen hemen her terimi) a = 4, ε = 1 olur. 2 bir a ∈ IR sayısının ε komşuluğu içinde ise, (an) dizisinin limiti 1 1 7 9 ^ a – ε, a + ε h = b 4 – 2 , 4 + 2 l = b 2 , 2 l dir. n"3 ( 72 , 92 ) 1 2 3 (2, 3) aralığı a nın ε komşuluğu ise, a ve ε u bulunuz. ÇÖZÜM a+ε=3 5 1 4 a = 2 , ε = 2 dir. 2a = 5 HEMEN HEMEN HER TERİM Bir dizinin sonlu sayıdaki terimleri hariç, diğer tüm terimlerine dizinin hemen hemen her terimi denir. (an) → a yazılır. Yakınsak olmayan dizilere ıraksak dizi denir. 4 ÖRNEK a – ε=2 n"3 lim a n = a ise, (an) dizisi a noktasının yakınsıyor denir. Sayı doğrusunda gösterelim. 0 a dır denir. lim a n = a yazılır. ÖRNEK lim n"3 2n – 1 = 2 olduğunu gösteriniz. n+1 ÇÖZÜM 6ε > 0 için |an – 2| < ε olduğunu göstermeliyiz. 2n – 1 –3 1 –2 = < ε ve ε = > 0 seçilirse n+1 n+1 2 3 1 < & n + 1> 6 & n > 5 olup a1, a2 , a3, a4, a5 dışındaki n+1 2 tüm terimler dizinin 195 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK BİR DİZİNİN LİMİTİ – SERİLER b2 – 1 1 , 2+ l 2 2 DİZİLERİN LİMİTLERİNE İLİŞKİN ÖZELLİKLER (an), (bn) ve (cn) gerçel sayı dizileri ve k ∈ IR olsun. 3 5 =b , l 2 2 komşuluğundadır. O halde dizinin sonlu sayıda terimi dışındaki 3 5 tüm terimler b , l komşuluğunda olduğundan dizi 2 noktasına 2 2 yakınsar lim a n = 2 Yani x"3 dir. ÖRNEK 1. (an) → a & (an –a) → 0 2. (an) → a, (bn) → b & (an + bn) → a + b 3. (an) → a, (bn) → b & (an – bn) → a – b 4. (an) → a, (bn) → b & (an . bn) → a . b 5. a a (an) → a, (bn) → b, (bn) ! 0, b ! 0 & d n n " a k bn b w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM (an) = (–1)n dizisinin limitini (varsa) bulunuz. 6. (an) → a, (k.an) → k.a 7. (an) → a, (bn) → a ve 6n ! IN + için an ≤ cn ≤ bn ise (cn) → a (Sandviç özelliği) ÇÖZÜM (an) = (–1, 1, –1, ..... (–1)2, ... ) olup dizinin terimleri –1 ve 1 den 1 oluşur. Dizinin limitini –1 kabul edelim. –1 in komşuluğu içinde 10 dizinin sonsuz tane terimi (hemen hemen her terimi (–1 ler) vardır. Fakat dizin sonsuz sayıda terimi (1 ler) de komşuluğu dışında kal- maktadır. O halde dizinin limiti –1 veya 1 olamaz. Limit yoktur. Yani dizi ıraksaktır. 8. (an) → a & _ a k i " a n 9. |a| < 1 & (an) → 0 10. (an) → a & |an| → |a| 11. a ∈ IR+ , (bn) → b ise ^ a (b n) h → ab 12. a > 0 ise _ a n i " 1 1 13. (an) pozitif terimli bir dizi ve ALT LİMİT – ÜST LİMİT a lim = an + 1 = r n n"3 Bir (an) dizisinin yakınsak alt dizilerinin limitleri sonlu sayıda ise bunların en küçüğüne dizinin alt limiti, en büyüğüne dizinin üst limiti denir. lim n"3 n ise, a n = r dir. 14. P tek doğal sayı ve (an) → a & P a n " P a 15. P çift sayma sayısı ve 6n ! IN + için a n ≥ 0 olsun. Alt limit lim a n , üst limit lim a n ile gösterilir. (a n) " a & P a n " lim a n = lim a n = a + (a n) dizinin limiti var ve lim (a n) = a dır. n"3 lim a n ] lim a n + ^ a n h dizisinin limiti yoktur. 16. P a 1 n lim b 1+ n l = e n"3 17. (an) → 0, (bn) → 3 ve (a n .b n) " c & _ (1+ a n) b n i " e c UYARI Yakınsak bir (an) dizisinin tüm alt dizileri de yakınsaktır ve (an) dizisinin yakınsadığı noktaya yakınsar, fakat bunun karşıtı doğru değildir. 18. (an) → a ise, lim n"3 19. lim a n = 0 ise, n"3 sin a lim = a n = 1, n n"3 196 a 1+ a 2 + ... + a n = a dır. n lim = n"3 tan a n a n = 1 dir. ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM GENİŞLETİLMİŞ REEL (GERÇEL) SAYILAR 5. A) (+ 3 ).(+ 3 ) = + 3 KÜMESİNDE İŞLEMLER B) (– 3 ).(– 3 ) = + 3 Reel sayılar kümesine artı sonsuz (+ 3 ) ve eksi sonsuz (– 3 ) ek- C) (+ 3 ).(– 3 ) = – 3 lenerek elde edilen yeni sayı kümesine genişletilmiş reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. IR = (– 3 , 3 ) ve 6. 6n ! IN + için (+ 3) n =+ 3 7. 6n ! IN + için (–3) n = * 8. 6n ! IN + için 9. 6n ! IN + ve n tek sayı ise IR = IR , {–3, 3} = [–3, 3] dur. + 3 ve – 3 Benzer şekilde lim a n = –3 ve dizi – 3 'a ıraksıyor denir. n"3 IR KÜMESİNDE İŞLEMLER 1. Her a ∈ IR için + 3 =+ 3 n –3 = –3 reel sayı değildir. Bu nedenle lim a n = 3 ise, dizi ıraksaktır ya da 3 'a ıraksıyor denir. n"3 - 3 , n tek sayı ise w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z NOT: n + 3 , n çift sayı ise 10. A) (+ 3) + (–3)_ b b belirsiz durumlar. B) 0. (! 3) ` b "3 C) " 3 b a SINIRLI DİZİLER, ALT VE ÜST SINIR Her n ∈ N+ için an ≤ M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (an) A) (+ 3 ) + a = + 3 dizisi üstten sınırlıdır denir. M ve M den büyük her sayıya dizinin bir üst sınırı denir. B) (– 3 ) + a = – 3 Her n ∈ IR+ için T ≤ an olacak şekilde bir T reel sayısı varsa 2. 3. (an) dizisi alttan sınırlıdır denir. T ve T den küçük her sayıya di- a ∈ IR \ {0} için zinin bir alt sınırı denir. Her n ∈ IN+ için |an| ≤ M olacak biçimde A) a. (+ 3) = * +3 , a > 0 ise pozitif bir M reel sayısı varsa (an) dizisi sınırlıdır denir. |an| ≤ M –3 , a < 0 ise olmak üzere (an) dizisi sınırlı ise, –M ve M reel sayıları dizinin sıra B) a. (–3) = * –3 , a > 0 ise ile alt ve üst sınırlarıdır. +3 , a < 0 ise a > 0 ise C) +3 a =* +3 , –3 , a < 0 ise D) –3 a =* –3 , a > 0 ise +3 , a < 0 ise 6a ! IR için a A) + 3 = 0 4. En Küçük Üst Sınır: Üstten sınırlı bir (an) dizisinin üst sınırlarının en küçüğüne (an) dizisinin en küçük üst sınırı denir ve EKÜS(an) ile gösterilir. EKÜS diziye ait değil ise buna dizinin en küçük elamanı denir. En Büyük Alt Sınır: Alttan sınırlı bir (an) dizisinin alt sınırlarının en büyüğüne (an) dizisinin en büyük alt sınırı denir ve EBAS(an) ile gösterilir. EBAS diziye ait ise bir dizinin en küçük elemanı denir. a B) –3 = 0 ÖRNEK A) (+ 3 ) + (+ 3 ) = + 3 (an) = (5 – 3n) dizisi için EKÜS(an), EBAS(an) nedir? B) (– 3 ) + (– 3 ) = – 3 197 ÇÖZÜM ÇÖZÜM (an) = (2, –1, –4, –7, ... , 5 – 3n, ...) dizisinde her n ∈ IN+ için 3 4 5 6 (a n) = b –2, , – , , – , ........ l 2 3 4 5 gösterilirse an ≤ 2 dir. Yani dizi üstten sınırlıdır. EKÜS(an) = 2 olup 2, dizinin bir elemanı olduğundan en büyük 4 3 elemanı 2 dir. Dizi alttan sınırlı olmadığından EBAS(an) yoktur. –2 olup terimler sayı doğrusunda 6 5 5 4 –1 0 3 2 1 3 3 olup EKÜS(an) = dir. her n ∈ IN+ için a n ≤ 2 2 ÖRNEK 6n ! IN + için an ≥ –2 olup EBAS(an) = –2 dir. (an) = (4n + 1) dizisi için EKÜS(an), EBAS(an) nedir? ÇÖZÜM 3 ve –2 dizinin bir elemanı olduğundan dizinin en büyük ele2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM (an) = (5, 9, 13, 17, ... 4n + 1, ...) dizisine her n ∈ IN+ için an ≥ 5 manı 3 , en küçük elemanı –2 dir. 2 UYARI olup dizi alttan sınırlıdır. EBAS(an) = 5 olup 5, dizinin bir elemanı 1. Yakınsak her dizi sınırlıdır. olduğundan en küçük elemanı 5 tir. Dizi üstten sınırlı olmadığından 2. Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul sınırlı olmasıdır. EKÜS(an) yoktur. ÖRNEK n+ 2 (an) = b n l dizisinin EBAS ve EKÜS'ünü bulunuz. ÇÖZÜM n+ 2 2 (a n) = b n l = b 1+ n l 2 2 2 2 (a n) = b 3, 2, 1+ , 1+ , ..., 1+ , ... , 1+ n ... l 3 4 100 3. Yakınsak bir dizinin limiti tektir. UYARI (a n) = b a.n + b biçiminde olan dizi için: c.n + d l d a+ b a ve c sayılarından A) n = – c < 1 ise a1 = c+d büyük olan EKÜS, küçük olan EBAS'tır. d d B) n = – c > 1 ise – c ye en yakın olan iki doğal sayı k ve k + 1 ise, ak ve ak+1 terimlerinin küçüğü EBAS, büyüğü EKÜS'tür. dizisinde her n ∈ IN+ için 1 < an ≤ 3 tür. O halde dizi sınırlıdır ve EKÜS(an) = 3 EBAS(an) = 1 dir. 3, dizinin bir elemanı olduğundan dizinin en büyük elemanıdır. Fakat 1, dizinin bir elemanı olmadığından dizinin en küçük elemanı yoktur. ÖRNEK UYARI (a n) = (a.n 2 + b.n + c) Parabolik dizi de a > 0 ise EBAS vardır, EKÜS yoktur. a < 0 ise EKÜS vardır, EBAS yoktur. Ayrıca A) – b < 1 ise EBAS ya da EKÜS a1'e eşittir. 2a B) – b > 1 ise tepe noktasına en yakın sayı k olmak 2a üzere ak EKÜS ya da EBAS tır. C) – n+1 (a n) = b (–1) n . n l dizinin EKÜS ve EBAS'ını bulunuz. 198 dizisine parabolik dizi denir. b b için an , 1 den büyük tamsayı ve n = – 2a 2a değeri EBAS ya da EKÜS'tür. 1. (an) = (n2 – 2n) dizisinin EBAS'ı nedir? 4. Çözüm (an) = (n2 + 5n) dizisinin limiti nedir? Çözüm (an) = (–1, 0, 5, 8, ...) (an) = (1.n2 + 5n) ↓ 1>0 y a=1>0 – 3 2 b –2 =– =1 2a 2.1 1 olup dizi için 0 –1 EBAS(an) = –1 dir. –2 1 2 3 4 lim a n = lim (n 2 + 5n) =+ 3 dur. x n"3 Her n ∈ IN+ için an ≥ –1 n"3 UYARI olduğundan dizi alttan sınırlıdır. n"3 n"3 dizisinin limiti nedir? Çözüm Z ]+ 3 , ] =[ ] ] –3 , \ 22 +1 5 lim a = 2 ise lim b n = 3 = dur. n"3 n n"3 2 +1 9 5. 3. lim a n = –1 ise n"3 b m n m + b m–1n m–1+ ... + b 1n + b 0 Z" 3 , ] ]] a =[ k , ] bm ] 0 , \ lim a n = 2 ise , a 2 +1 (b n) = f n3 p an + 1 a k n k + a k–1n k–1+ ... + a 1n + a 0 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z lim 2. ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI lim a (n 2 + 1) kaçtır? n"3 Çözüm (a n) = c k > m ise k = p ise k < m ise ak > 0 ise bm ak < 0 ise bm 3 m ise 5n lim (a ) n"3 n nedir? Çözüm 1 n 1 (a n) = 3 b l olup < 1 olduğundan 5 5 ^ a (n 2 + 1) h dizisi (a n) in (k n) = (n 2 + 1) ait dizisi olup (a n) ile ^ a (n 2 + 1) h dizilerinin limitleri aynıdır. 1 n lim (a n) = lim 3 b l = 0 dir. n"3 n"3 5 Yani a n 2 + 1= –1 dir. 6. UYARI P(n) = ak Çözüm nk + ak–1 lim P (n) = * n"3 a ∈ IR+ (an) → a ve an2 – 4an+2 = 5 ise, a kaçtır? nk–1 + ... + a1n + a0 polinomu için + 3 , a k > 0 ise –3 , a k < 0 ise (an) → a ise, an+2 → a dır. O halde a2 – 4a – 5 = 0 ise dir. (a + 1)(a – 5) = 0 & a = –1 veya a = 5 tir. a > 0 koşulu verildiğinden a= 5 tir. 199 7. sin n lim b n l nedir? 10. (a n) = c n"3 2.3 n + 3 –n m dizisinin limiti nedir? 3.4 n + 4 –n Çözüm Çözüm 1 sin n 1 –1 ≤ sin n ≤ 1 olduğundan – n ≤ n ≤ n dir. Pay ve paydayı 3–n ile çarpalım. 1 sin n 1 lim b – n l ≤ lim b n l ≤ lim b n l n"3 n"3 n"3 . 5 sin n 0 ≤ lim n ≤ 0 n"3 sin n n = 0 dır. (Sandviç özelliği) & lim n"3 ^ an h = f 2 + 3 –2n p 4 n 3 b l + 12 –n 3 3 –2n = c 1 n 1 n m =b 9 l 2 3 4 n 4 4 n > 1 olduğundan c m " 3 dur. b l, 3 3 3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI O halde lim a = n " 3^ n h 8. 2+0 =0 3+0 dır. 2 n ^ a n h = c b 1+ n l m dizisinin limiti nedir? Çözüm 1 n lim b 1+ n l = e özelliğini kullanacağız. n"3 11. ^ a n h = ^ 2n 2 + 3n – 2 n h dizisinin limiti nedir? Çözüm 2 n lim a = lim b 1+ n l n"3 n n"3 n 2 n yerine 3 yazılırsa 2 n = 3 – 3 belirsizliği ile karşılaşılır. 2 = lim = b 1+ n l 2 G n"3 Bu durumda, = e2 bölünür. dir. 2n 2 + 3n – 2n 2 + 3n – 2 n ifadesi eşleniği ile çarpılır ve Yani lim n"3 2n 2 + 3n – 2n ^ 2n 2 + 3n – 2 n h .^ 2n 2 + 3n + 2 n h n"3 2n 2 + 3n + 2 n = lim 9. ^ an h = d 1 3 + 2 3 + 3 2 + ... + n 3 n dizisinin limiti nedir? 5n 4 – 3n 2 = lim n"3 2n 2 + 3n – 2n 2 2n 2 + 3n + 2 n Çözüm n (n + 1) 2 E olduğundan 1 3 + 2 3 + 3 3 + .. + n 3 = ; 2 n (n + 1) 2 (n 2 + n) 2 E 2 4 lim = lim n " 3 5n 4 – 3n 2 n " 3 5n 4 – 3n 2 ; n 4 + 2n 3 + n 2 1 lim = dir. n " 3 20n 4 – 12n 2 20 200 3n 3 n l+ 2n = lim n2 b 2 + n"3 = lim n"3 = nb 3n 3 2+ n + 2 l 3 3 dir. = 2+ 2 2 2 1. Aşağıdaki dizilerden hangisi yakınsaktır? A) (2 n) D) d n3 +1 n n2 +1 B) a cos n k n 4. C) b 2n + 3 l 2 n–2 ^ a n h = c (–1) n b n + 1 l m dizisinin EBAS ve EKÜS toplamı nedir? E) ^ e ln n h 0 2. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z B 3n 1 b 4 + n l dizisinin 3 ün 2 açık komşuluğu dışında kaç terimi vardır? 5. ^ an h = f 1 n 2 p ise n sin lim a x " 3^ n h kaçtır? 0 20 3. sin n 2 ^ a n h = c b n l m dizisinin limiti nedir? 6. ^ an h = a 2 sin b n+1 rl 2n k dizisinin limiti nedir? 0 2 201 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI ^ an h = > C f n+1 n p H ise, 1 10. lim b lim ^ a n h kaçtır? n"3 n"3 2n + 3 n + 5 limitinin değeri kaçtır? 2n + 5 l 1 – e e 8. ^ a n h = f c 1+ w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1 7. m n 2 + 2n 1 (n + 1 ) 2 p dizisinin limiti nedir? 11. (an) pozitif terimli bir dizidir. _ a 22n + 2a n + 1+ 1i dizisinin limiti 4 ise, (an) dizisinin limiti nedir? e 9. ^ a n h = d c 1+ 3n + 4n + 1 m ise, lim(an) nedir? 12. ^ a n h = c 3.4 n – 3 n 1 n m n dizisinin limiti nedir? n2 1 202 1 4 – 3 ➢ SERİLER r < 1 olmak üzere (an) = (a1, a2, a3, … , an) dizisinin elemanlarının toplamına seri denir. (an) bir dizi olmak üzere seri 3 / n.r n–1= 1+ 2r + 3r 2 + 4r 3 + . . . A= n=1 3 / a n = a1+ a 2 + a 3 + ... + a n + ... n=1 serisinin değeri 3 / n.r n–1= (1 –1r) 2 dir. Bu eşitliğin doğruluğunu n=1 şeklinde gösterilir. Burada an ye serinin genel terimi denir. Genel terimi aritmetik dizi olan seriye aritmetik seri, genel terimi geometrik dizi olan seriye geometrik seri denir. Bu bölümde geometrik serileri inceleyeceğiz. görelim. A = 1 + 2r + 3r2 + 4r3 + … eşitliğinin her iki tarafını r ile çarpalım. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z (an) bir geometrik dizi olsun. (an) dizisiyle oluşturulan seri Ar = r + 2r 2 + 3r 3 + 4r 4 + . . . 3 / ak k=1 olur. dır. (an) geometrik dizisinin ortak çarpanı r ise seri 3 3 k=1 k=1 A – Ar = 1+ r + r 2 + r 3 + . . . / a k = / a1. r k –1 A (1– r) = 1+ r + r 2 + . . . şeklindedir. Bu konu içerisinde çok kullanılacak olan n A (1 – r) = n / a1r k–1= a1+ a1r + a1r 2 + ... + a1r n–1= a1 11––rr k=1 bağıntısını hatırlayınız. k bulunur. UYARI k / a1r n–1= a1+ a1r + a1r 2 + ... + a1r n–1= a1 11––rr n=1 3 xn n! n=0 / 3 n=1 / a1r n–1 / n=0 dir. UYARI 3 serisinin değeri 3 toplamında k → ∞ için rk → 0 olduğundan / a1r n–1= a1 1 –1 r 1 1 & A= 1– r ( 1 – r) 2 n x =ex n! dir. 3 sonsuz toplamında xn = e x eşitliğinde n! n=0 ➢ r < 1 ise toplam bir reel sayıdır. ➢ x = 1 yazılarak / n=1 ➢ r ≥ 1 ise toplam sonsuza yaklaşır. 3 / n=0 Seri kavramı, bir dizinin sonsuz çoklukta teriminin toplamı için kullanıldığından bu toplam serinin değeridir. Bu nedenle bu bölümde sonsuz toplam için serinin değeri kavramını kullanacağız. 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + ... = e1 = e n! 1! 2! 2! 3! ➢ x = –1 yazılarak 3 (–1) n 1 1 1 1 = 1+ + – + ... = e –1 = e n! 1! 2! 3! n=0 / bulunur. Burada e = 2,71828… dir. 203 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM 1. 3 n–1 / b 31 l serisinin değerini bulalım. n=1 Çözüm Çözüm 3 n–1 = 1+ n=1 a1 = 1, r = 3 n–1 / b 31 l = 3 a1 = 1– r n–1 / b 52 l 1 1– 3 n–1 / b 52 l = 1+ n–1 / b 52 l = n=1 3 n–1 / 3. b 72 l dir. = n=1 5. 3 2 < 1 olduğundan 7 r = a1 = 1– r 3 1– 2 7 = 21 olur. 5 n–1 / b – 92 l serisinin değerini bulalım. 3 a1 = 1– r 2 ve 5 1 2 1– 5 = r = n=1 2 < 1 olduğundan 5 3 serisinin değerini bulalım. 6. 3 3 2 a1 = b l , 4 3 2 3 3 3 4 = b l + b l + b l + ... serisinde 4 4 4 r= 3 , 4 r = 3 < 1 olduğundan 4 3 2 9 b l 4 3 n+1 a 16 / b 4 l = 1 – r = 3 = 1 = 94 n=1 1– 4 4 n / b – 43 l n=1 1 2 1 – b– l 9 = 9 olur. 11 serisinin değerini bulalım. 3 –3 2 3 3 = b- l + b l + b – l + ... serisinde 4 4 4 3 3 3 a 1= – , r = – ve r = – < 1 olduğundan 4 4 4 3 olur. a1 = 1– r n / b – 43 l 3 2 2 ve r = – < 1 olduğundan 9 9 = n=1 Çözüm n=1 n–1 / b – 92 l 5 olur. 3 Çözüm n–1 2 2 2 2 3 = 1+ b- l + b – l + b – l + ... serisinde 9 9 9 a 1= 1, r = – n=1 / b 34 l n–1 / b – 92 l n=1 204 2 , 7 a1 = 3, r = n+1 / b 34 l 3 2 2 2 = 3 + 3. + 3. b l + ... serisinde 7 7 n=1 2 2 2 2 3 + b l + b l + ... 5 5 5 serisinde a1 = 1, r = 3 n–1 / 3. b 72 l Çözüm n=1 3 3 2 serisinin değerini bulalım. n=1 Çözüm 3 = serisinin değerini bulalım. n=1 3 1 n–1 3 1 1 2 1 3 + b l + b l + ... + 3 3 3 1 1 ve r = < 1 olduğundan 3 3 n=1 3. 3 / 3. b 72 l n=1 / b 31 l 2. 4. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI n / b – 43 l n=1 = a1 = 1– r 3 3 – 4 = 4 = – 3 olur. 7 7 3 1 – b– l 4 4 – 7. 3 n+2 / b 31 l serisinin değerini bulalım. 10. n n=3 n=2 Çözüm Çözüm 3 / n=3 3 1 n+2 1 5 1 6 1 7 = c m + c m + c m + ... serisinde c3 m 3 3 3 n / 3 b – 21 l n=2 serisinin değerini bulalım. 1 2 1 3 1 4 = 3 b – l + 3 b – l + 3 b – l + ... serisinde 2 2 2 1 5 1 1 a 1= b l , r = ve r = < 1 olduğundan 3 3 3 1 2 1 a1= 3 b – l , r = – , 2 2 1 5 1 5 b l b l a1 3 1 1 n+2 dir. / b 3 l = 1 - r = 1 = 32 = 315 . 32 = 162 n=3 13 3 1 2 3b– l a1 2 1 n / 3b– 2 l = 1 – r = 1 n=2 1 – b– l 2 3 r = – 3 3 2 1 = 4 = . = 1 4 3 2 1+ 2 3 /c n=6 3 n=6 olur. 1 n m serisinin değerini bulalım. 3 Çözüm /c 1 < 1 olup 2 3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 8. 3 / 3 b – 21 l 1 n 1 6 1 7 m =c m +c m + ... serisinde 3 3 3 11. 7 7 7 7 + + + ... + n + ... serisinin değerini bulalım. 10 10 2 10 3 10 Çözüm a1= c 6 1 1 m , r= 3 3 ve r < 1 < 1 olduğundan 3 3 7 7 7 7 7 n + + + ... + n + ... / 7 b l 10 10 2 10 3 10 10 n=1 1 6 1 m a / c 1 m = 1 –1r = 3 1 = 271 3 n=6 1– 1– 3 3 3 = 9. c n 3 1 3 3+ 3 . = 27 3 – 1 54 n+1 / b – 31 l olup serisinde a1= 7 1 , r= , 10 10 r = 1 < 1 olduğundan 10 7 7 a1 1 n 10 10 / 7 b 10 l = 1 – r = 1 = 9 = 79 olur. n=1 1– 10 10 olur. 3 serisinin değerini bulalım. n=3 Çözüm 3 12. n+1 / b – 31 l n=3 / n=3 n+1 1 c– 3 m 5 serisinin değerini bulalım. 6 1 1 1 = b – l + b – l + b – l + ... serisinde 3 3 3 1 4 a1= b – l , 3 3 4 9 9 9 + + ... + n 100 10000 10 1 1 r = – ve r = – < 1 olduğundan 3 3 1 1 4 c– 3 m 4 a1 1 3 1 3 = = = = 4. = dir. 1– r 1 4 324 1 1 – c – m 1+ 3 3 3 Çözüm 3 9 9 9 1 n + + ... + n = / 9 b l serisinde 100 10000 100 10 n=1 a1= 9 , 100 r= 1 , 100 r = 1 < 1 olduğundan 100 9 a1 1 n 9 100 1 100 . = = olur. / 9 b 100 l = 1 – r = 1 100 99 11 n=1 1– 100 3 205 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 13. 3 / n = –3 3 / sin n x Çözüm 3 / n=1 2 1–n = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1+ 1+ n=2 1 1 2 1 3 + b l + b l + ... 2 2 2 serisinin değerini bulalım. Çözüm serisinde a1 = 24 , 3 / π olmak üzere, 2 16. 0 < x < 2 1–n serisinin değerini bulalım. 3 1 r= ve 2 2 1–n = n = –2 / sin n x = sin x + sin 2 x + sin 3 x + ... 1 r = < 1 olup 2 r = sin x ve 0 < x < a 1= sin x , a1 24 = = 2 5 bulunur. 1– r 1 1– 2 3 = n=1 3 a1 sin x bulunur. = 1 – r 1 – sin x 2n + 3n serisinin değerini bulalım. 7n n=1 / Çözüm 17. 3 / c3 n=0 3 / c2 n=1 3 n + 3n 2n m= n n 7 n = 17 / 2 3 + 3 n / 73n J 2 N J 3 N K O K O = K 7 O + K 7 O= 2 3 K 1– O K 1– O 7P L 7P L 2n + 2 3n m 16 n serisinin değerini bulalım. Çözüm 3 n=1 2 / c3 3 2 2 2 3 3 3 = ; + b l + b l + ...E + ; + b l + b l + ...E 7 7 7 7 7 7 2 3 7 + 7 = 2 + 3 = 23 5 4 5 4 20 7 7 n=0 3 2n + 2 3n 3 2n m= n n 16 16 n=0 / = olur. 3 n=1 n + 4n m 5n 3 n=1 = 3 = 3 3 n 9 / b 16 l 3 3 n + 4n 3n 4n m= 2c n m + 2c n m n 5 5 5 n=1 n=1 / / 2 b 35 l n=1 + 3 / n / 2 b 45 l n=1 3 3 2 4 4 2 = ; 2 b l + 2 b l + ...E + ;2 b l + 2 b l + ...E 5 5 5 5 R 3 V R 4 V S 2 b l W S 2. b l W 5 W 6.5 8.5 5 W S =S + = + S1– 3 W S 1– 4 W 5 2 5 1 S W S W 5 5 T X T X = 3 + 8 = 11 olur. 206 + n=0 18. n 2 3n n 16 n=0 3 n / b 21 l n=0 9 9 2 1 1 2 + b l + ...E + ;1+ + b l + ...E 16 16 2 2 1 9 1– 16 + 1 1 1– 2 = 16 30 + 2= 7 7 serisinin değerini bulalım. Çözüm / 2c 3 3 / 3 9n 8n n + / 16 n 16 n=0 n=0 = / 2c 3 + / = ;1+ 15. π olduğundan 2 r = sin x < 1 olup / sin n x 14. serisinde n=1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 3 / 5 1–n .2 2n + 3 serisinin değerini bulalım. n=1 Çözüm 3 3 3 n=1 n=1 n=1 n / 51–n .2 2n + 3 = / 5.5 –n .2 2n .2 3 = / 40 b 45 l serisinde n = 1 için 4 a 1= 40. = 32 , 5 r= 4 ve 5 r <1 olduğundan toplamın değeri 3 n / 40. b 45 l n=1 = a1 32 = = 160 bulunur. 4 1– r 1– 5 bulunur. 19. 3 / Çözüm 2 –n serisinin değerini bulalım. 3 n = –40 / n=0 Çözüm 3 / 2 –n = 2 40 + 2 39 + 2 38 + ... + 1+ n = –40 1 1 2 + b l + ... 2 2 2 n = –40 20. 3 / n=3 3 n=3 3 / a1 – a1 4 n x k = 1– r = n=0 22. 4 1 – a1 – x k = x bulunur. 4 2 3 2 4 2 5 = 2 c m + 2 c m + 2 c m + ... 3 3 3 3 % 3 2–n sonsuz çarpımının değerini bulalım. n=0 3 3 2n + 1 2n 2 n n = / n .2 = / 2 c 3 m 3 n=3 3 n=3 Çözüm olduğundan 3 % 3 1 n c m 2 n=0 2 3 2 2 a1 = 2c m , r = , | r | = < 1 dir. 3 3 3 O halde serisinin değeri 2 3 2c m 3 8 16 = olur. / 2 c 23 m = 1a–1r = 3 2 = 6 c 23 m = 6. 27 9 n=3 1– 3 3 1 serisinin değerini bulalım. Çözüm / r < 1 dir. O halde serisinin değeri; 2 40 a = 1 = = 2 41 bulunur. 1 1– r 1– 2 2n + 1 3n dir. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z / –n 4 n 4 4 2 x k = 1+ a 1 – x k + a 1 – x k + ... serisinde 4 x > 4 için 1 – x < 1 olduğundan 1 1 ve r = < r 2 2 olduğundan 3 a1 – 4 a 1 = 1, r = 1 – x serisinde a 1= 2 40 , r = ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI n =3 3 n=0 1 2 = 3 .3 .3 3 1 n / a k n=0 n / 1 1 2 c m 2 ... (1) 1 n 1 1 2 c 2 m = 1+ 2 + c 2 m + ... serisinde a 1 = 1, r = 3 / n=0 1 3 1 1 2 1 3 .3 c m ... = 1+ + c m + c m + ... 2 2 2 2 a 1 n c 2 m = 1 –1r = 1 , 2 1 1– 1 2 r = 1 < 1 olduğundan 2 = 2... (2) olur. (2) deki değer (1) de yerine yazılarak 21. x > 4 olmak üzere, 3 / n=0 a1 – 4 n xk serisinin değerini bulalım. 3 %3 2–n n=0 = 3 %3 n=0 1 n c m 2 =3 3 1 n / a k n=0 2 = 32 = 9 bulunur. 207 23. 3 % 53 (3–2n) sonsuz çarpımının değerini bulalım. 3 / 25. n = –1 n=1 % 53 3 (3–2n) = 53 n=0 5 (3–2.1) .5 3 (3–2.2) .5 3 / (3–2.3) n=1 (–3) n = (–3) –1 + (–3) 0 + (–3) 1 + (–3) 2 + ... =– 3 (3–2.1) serisini inceleyelim. Çözüm Çözüm 3 ^ –3hn + 3 3 (3–2.2) 3 (3–2.3) 1 + 1+ (–3) + 9 ... 3 serisinde r = –3 ve 3 n nin tek sayı değerlerinde / 3 (3 – 2 n ) =5n=1 r = –3 > 1 olduğundan ... (1) dır. n nin çift sayı değerlerinde 3 / n=1 3 (3–2n) = 3 / n=1 3 / n = –1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 3 3 .3 –2n – 3 / n=1 3 n 33 3 1 2n = / 3 c 9 m 3 n=1 3 / n = –1 ^ –3hn " –3 ^ –3hn " + 3 olur. 1 1 2 1 3 = 3 3 c m + 3 3 c m + 3 2 c m + ... 9 9 9 1 1 1 serisinde a 1 = 3 3 c m, r = ve r = < r olduğundan 9 9 9 26. k=1 3 / k=1 3 %5 3 (3–2n) n=0 =5 / 3 (3–2n) n–1 =5 27 8 r–k = bulunur. 3 k a a1k = 1 = r –r 1 n=1 3 / k=1 3 / 2 n serisini inceleyelim. n=1 3 / 3 n=1 r = 2 ve 208 k=1 2 n = 2 + 2 2 + 2 3 + ... " 3 dur. r = 2 > 1 olduğundan toplam sonsuza yaklaşır. 1 r = 1 olur. 1 r –1 1– r ( 3 + p) k toplamının bir reel sayı olması için p hangi aralıkta olmalıdır? Çözüm / Çözüm k=1 k 2 3 a 1 k = 1 + a 1 k + a 1 k + ... r r r r / 27. 24. 3 / 1 1 1 serisinde a 1 = r , r = r ve r = r < r olduğundan serinin değeri olup (2) deki bu değer (1) de yerine yazılırsa 3 r–k serisinin değerini bulalım. Çözüm 3 1 3 c m a1 9 3 27 3 – 2n ... (2) = = = = /3 – r 1 8 8 1 n=1 1– 9 9 3 3 / (3 + p) k = (3 + p) + (3 + p) 2 + ... toplamının bir reel sayıya eşit olması için r = 3+p <1 olmalıdır. 3 + p < 1 + – 1 < 3 + p < 1 + – 4 < p < – 2 olmalıdır. 3 / m > 1 ve 28. k=1 a m n–1 = 16 m+1 k 30. 3x = 4y ise n=1 olduğuna göre, m nin değerini bulalım. y 3 3x = 4y & x = olup yerine yazılırsa 4 3 / a mm+ 1 kn–1 = 1+ a mm+ 1 k + a mm+ 1 k2 + ... k=n 3 3 y n–1 3 n–1 3 3 2 3 3 a k = / c m = 1+ + c m + c m + ... x 4 4 4 4 n=1 n=1 / serisinde m ve m > 1 için m+1 r = m <1 m+1 serisinde a 1 = 1, r = olduğundan n=1 a a1 m n–1 1 = = = 16 m+1 k 1– r 1– m m+1 3 3 3 ve r = < 1 olduğundan 4 4 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 3 / y n–1 a k serisinin değerini bulalım. x Çözüm Çözüm a 1 = 1, r = 3 / & m + 1 = 16 & m = 15 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI / n=1 a 3 n–1 = 1 = c4m 1– r 1 1– 3 4 = 4 olur. bulunur. 31. 24 metre yükseklikten bırakılan bir lastik top, yere her düştüğünde bir önceki yüksekliğinin 3 / 29. 0 < y < 1 ve n=1 (y 2 – 2y + 1) n = 5 i kadar tekrar yükseliyor. 8 Buna göre, topun duruncaya kadar aldığı dikey yol uzunluğunu bulalım. 9 7 Çözüm olduğuna göre, y nin değerlerinin toplamını bulalım. Çözüm y2 – 2y + 1 = (y – 1)2 ve 0 < y < 1 ise –1 < y – 1 < 0 ve (y – 1) 2 > 1 dir. O halde 3 / n=1 n 24 m 9 (y – 1) 2 C = (y – 1) 2 + (y – 1) 4 + (y – 1) 6 + ... serisinde a 1 = (y – 1) 2 , r = (y – 1) 2 ve r = y –1 24 2 5 8 24 ( 58 ) 2 <1 3 24 ( 58 ) olduğundan 3 / n=1 n 9 (y – 1) 2 C = 2 a1 (y – 1) 9 = = 1 – r 1 – (y – 1) 2 7 & 7. (y – 1) 2 = 9 9 1 – (y – 1) 2 C & 16.(y – 1)2 = 9 & (y – & y – 1= 1)2 9 & = 16 3 3 veya y – 1= – 4 4 & y = 1+ 3 7 3 1 = veya y = 1 – = 4 4 4 4 7 1 olmalıdır. > 1 olduğunda y = 4 4 Topun aldığı dikey yolların toplamı T ise 2 3 T = 24 + 2 ; 24. c 5 m + 24. c 5 m + 24 c 5 m + ... E 8 8 8 2 = 24 + 48. 5 . ; 1 + 5 + c 5 m + ... E 8 8 8 1 = 24 + 30. 1 5 3 1– 8 8 8 = 24 + 30. = 104m 3 = 24 + 30. bulunur. 209 32. C 0 B A O merkezli ve |OA| = 1 yarıçapı daire içine O merkez ve yarıçapı bir önceki dairenin yarıçapının yarısı olacak şekiled iç içe daireler çiziliyor. Bu işleme sonsuz kadar devam edilirse elde edilen tüm dairelerin 34. A A1 A2 A3 h1 h3 h2 h4 h5 a) Alanlarının toplamını bulalım. 30° B B1 b) Çevrelerinin toplamını bulalım. a) Yarıçapı r olan dairenin alanı πr2 dir. Dairenin alanları toplamı A olsun. 1 2 1 2 1 2 A = r.1 2 + r c m + r c m + r c m + ... 2 4 8 = r c 1+ 1 1 1 + + + ... m 4 16 64 = r > 1+ 1 1 2 1 3 + c m + c m + ... H 4 4 4 1 1 1– 4 = 4r cm 2 bulunur. 3 1 1 1 Ç = 2r.1+ 2r + 2r. + 2r. + ... 2 4 8 Ç = 2r c 1+ = 2r > 1+ Ç = 2r Üçgenin B köşesinden [AC] kenarına çizilen dikme h1, oluşan CBA, dik üçgeninin A1 köşesinden [BC] kenarına çizilen dikme h2 olup bu şekilde her yeni dik üçgenin dik açılı köşesinden hipotenüsüne daireler çizilerek işlem sonsuza kadar sürdürülüyor. Buna göre, a) Çizilen h1, h2, h3, … yüksekliklerinin toplamını bulalım. b) Dikmeler içinde oluşturulan tüm dik üçgenlerin alanlarının toplamının ABC dik üçgeninin alanına eşit olduğunu gösterelim. Çözüm b) Yarıçapı r olan dairenin çevresi 2πr dir. Dairenin çevrelerinin toplamı Ç olsun. 33. 1 1 1 + - + ... m 2 4 8 1 1 2 1 3 +c m +c m H+ 2 2 2 1 1– 1 2 = 4r cm bulunur. a) Çizilen dikmelerin uzunlukları h1 = H = h 1 + h 2 + h 3 + h 4 = ... = c 3 3c 3c 3 9c + + + + ... 2 4 8 18 = c 3> 3m c 3m c 3m 1+ c + + + ... H 2 2 2 2 = c 3 . 2 = c 3 .^ 2 + 3 h 4–3 3 1 n–1 n. c m serisinin değerini bulalım. 3 n=1 Çözüm / n.r n–1 = 3 n–1 n=1 / n=1 210 1 n. c m 3 1 olduğundan ^ 1 – rh2 = 1 9 = bulunur. 1 2 4 c1 – 3 m c 3 3c 3c 3 9c , h2 = , h3 = , h4 = ... 2 4 8 16 dır. Bu yükseklikleri toplamı H ile gösterelim. / 3 C % ABC dik üçgeninde, m^ BCAh = 30° ve AB = C cm Çözüm = r. B2 ......... w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 2 1 3 1– 2 = c 3 2– 3 = c 3 .^ 2 + 3 h = c.^ 2 3 + 3h cm bulunur. 3 b) Çizilen dikmelerle oluşan dik üçgenlerin alanlarının 36. n=1 toplamını A ile gösterelim. & & & & A = A a ABA 1 k + A a A 1 BB 1 k + A a B 1 A 1 A 2 k + A a A 2 B 1 B 2 k + ... AA 1 . BA = 1 2 BB + 1 3 / 3 / n=1 AA 1 h 1 BB 1 h 2 A 1 A 2 .h 3 B1 B2 h4 = + + + + ... 2 2 2 2 = 3c 3 9c 3c 3c 3 c c 3 c 3 3c . . . . 8 + 16 16 + ... 4 + 8 = 2 2 + 4 2 2 2 2 = c2 3 > 3 3 2 3 3 1 + + c m + c m + ... H 8 4 4 4 = c2 3 1 c2 3 4 c2 3 . = . = cm 2 3 8 1 2 8 1– 4 3 n 1 n 1 3 1 n–1 1 = . n = / n c 5 m = 5 / n. c 5 m 5 5 n=1 n=1 1 25 5 . = 5 16 16 1 1 2 c1 – 5 m bulunur. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z c 2 3 c 2 3 3 c 2 .9 3 c 2 .27 3 + + + + ... 8 32 128 512 n toplamının değerini bulalım. 5n Çözüm . A B A A2 . B A2 B B . A2 B2 1 1 1 1 1 2 = + + ... 2 2 2 = ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 37. 3 1 n+2 serisinin değerini bulalım. nc m 3 n=2 / Çözüm dir. & A^ ABCh = 3 1 n+2 1 4 1 5 1 6 1 7 nc m = 2 c m + 3 c m + 4 c m + 5 c m + ... 3 3 3 3 3 n=2 / AB . BC c.c 3 c2 3 = = cm 2 2 2 2 olup dikmelerle oluşturulan tüm dik üçgenlerin alanlarının toplamı ABC dik üçgeninin alanına eşittir. toplamına A diyelim. 1 4 1 2 1 6 1 7 A = 2 c m + 3 c m + 4 c m + 5 c m + ... 3 3 3 3 eşitliğinin her iki tarafını 1 1 5 1 5 1 2 1 3 A = 2 c m + 3 c m + 4 c m + 5 c m + ... olur. 3 3 3 3 3 n^4n + 3nh 35. / toplamının değerini bulalım. 5n n=1 3 Şimdi A – Çözüm 3 / n=1 3 3 n.4 n + n.3 n = / n. 4 n + / n. 3 n c m c m 5 5 5n n=1 n=1 3 = 4 / nc 4 m 5 n=1 5 = 4. 5 n–1 1 4 2 c1 – m 5 +3 5 + 3. 5 3 / A– n–1 n=1 nc 3 m 5 1 c1 – 1 ile çarpalım. 3 3 2 m 5 = 4 .25 + 3 . 25 = 20 + 15 = 95 5 5 4 4 4 A ü bulalım. 3 A 1 4 1 5 1 6 1 7 = 2 c m + c m + c m + c m + ... 3 3 3 3 3 2A 1 1 5 1 1 2 = 2. + c m > 1+ c m + c m + ... H 3 81 3 3 3 1 2A 2 1 = + . 1 3 81 3 5 1– 3 2A 2 1 3 2A 2 1 = + = + . & 3 81 3 5 2 3 81 162 2A 5 5 5 = & 2A = & A= 3 162 54 108 bulunur. olur. 211 38. 3 / n=0 n 2 n! toplamını bulalım. / n=0 3 / n=0 3 / n=2 n–1 toplamını bulalım. n! Çözüm Çözüm 3 41. 3 n x = e x idi Bu eşitlikte x = 2 yazılırsa n! / n=2 3 3 n–1 n 1 – / = / n! n ! n! n=2 n=2 = n 2 = e 2 olur. n! 3 3 1 1 – / n ! ! n – 1 ^ h n=2 n=2 / =c 1 1 1 1 1 1 + + + ... m – c + + + ... m 1! 2! 3! 2! 3! 4! = (e – 1) – (e – 2) w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI = 1 bulunur. 39. 3 / n=0 1 toplamını bulalım. 3 n .n! Çözüm 3 3 1 n c3m 3 n 1 x yazılırsa = e x eşitliğinde x = 3 n! n=0 3 / n=0 1 n c3m n* 2 2 sonsuz toplamının (serisinin) değerini bulalım. 1 = / 3 n .n! n = 0 n! / x x 2 x n S = 1+ x 1 + c x 1 m + ... + c x 1 m + ... 2 / n=0 42. x2 – 4mx + 3m2 = 0 denkleminde m > 1 ve x1 < x2 dir. olup Çözüm x2 – 4mx + 3m2 = 0 & (x – m)(x – 3m) = 0 & x1 = m, x2 = 3m (x1 < x2) dir. x1 m 1 x 2 = 3m = 3 olup = e 1/3 = 3 e bulunur. 3 / n=1 x n–1 c x1 m = 2 3 / n=1 1 n–1 c3m = 1 1 1– 3 = 3 bulunur. 2 ETKİNLİK 40. 3 / 1 n = 2 ^ n + 1h ! / ^n +11h! = 31! + 41! + 51! + ... dır. n=2 1 1 1 1 1 1 + + + + + + ... = e olduğundan 1! 4 442!3 3! 4! 5! 10!4 44 2 1 3 = 2 2 3 1 5 dir. =e – 2 n + 2 ! ^ h n=2 212 1 ... 3 / y=6x toplamını bulalım. Çözüm 1+ 1+ y –3 x –2 –1 0 Şekilde y = 6x fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bir köşesi y = 6x fonksiyonunun grafiği üzerinde ve bir kenarın uzunluğu 1 birim olan tüm dikdörtgenlerin alanlarının toplamını bulunuz. 1. 3 5 n-1 serisinin değerini bulunuz. a k 7 n=1 / 5. 0 < x < 9 olmak üzere, 3 / n=1 1+ x n 11 = 8 9n olduğuna göre, x i bulunuz. 7 2 a n-1 a > 1 olmak üzere, / a = 12 olduğuna göre, 3 + ak n=1 3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 2. 5 3 6. / n=1 a nın değerini bulunuz. 1 serisinin değerini bulunuz. 5 2n 1 24 33 3. 3 / 3x2 – 10xy + 3y2 = 0 olduğuna göre, n=1 c n+1 2y m x 7. 3 / n=1 c 3 m serisinin değerini bulunuz. 2n serisinin değerini bulunuz. 4 3 4. 1 < x < y olmak üzere, 3 / n=1 n-2 x c 10y m = 625 olduğuna göre, 24 x ile y arasındaki bağıntıyı bulunuz. 3 8. 0 < a < b olmak üzere, a + a2 a3 a4 + 2 + 3 + ... toplamının b b b eşitini bulunuz. 5x = 2y a.b b–a 213 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 3 / 9. n=1 1 1 eşitliğini sağlayan a değerini bulunuz. = a n 23 13. 0 < x < 6 olmak üzere, 3 / n=1 x +1 n 4 olduğuna göre, c 7 m = 3 x in değerini bulunuz. 3 24 10. 3 % 4 ^5 –nh w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 14. sonsuz çarpımının değerini bulunuz. n=1 13 13 13 13 + + + ... + + ... toplamının değerini 10 100 1000 10 n bulunuz. 13 9 2 15. x2 – 6x + 8 = 0 denkleminini kökleri x1 ve x2 dir. 3 / 11. 3 / 8 –n serisinin değerini bulunuz. n = –10 n=1 1 1 n–1 serisinin değerini bulunuz. cx + x m 1 2 4 1 33 .2 7 12. 3 / n=2 n 16. 0 < x < n 3 +5 m serisinin değerini bulunuz. c 8n 3 / n=1 cos n x = 2 olduğuna göre, x'i bulunuz. 19 15 214 r olmak üzere, 2 r 3 1. 3 / n=3 4. 3 –n ^ –1hn . c 2 m serisinin değerini bulunuz. ............ Yarıçapı 30 cm olan bir çembere şekildeki gibi sonsuz çoklukta teğet çemberler çiziliyor. Her çemberin yarıçapı solun– daki çemberin yarıçapının 8 45 1 ü kadar olduğuna göre, 4 a) Tüm çemberlerin çevreleri toplamını bulunuz. 2. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z b) Tüm çemberlerin sınırladığı alanların toplamını bulunuz. a + 3b = 3 olduğuna göre, 3b – a 3 / n=2 b n+1 a k toplamını bulunuz. a a) 80 π b) 1200 π cm2 5. 3. Bir kenarı 8 birim olan eşkenar üçgenin kenarlarının orta noktaları, yeni eşkenar üçgenin köşeleri olmak üzere bir üçgen çiziliyor. Bu işeme sonsuza kadar devam edilirse elde edilen üçgenin: Bir kenarı a birim olan karenin kenarlarının orta noktaları, yeni karenin köşeleri olmak üzere bir kare çiziliyor. Bu işleme sonsuza kadar devam edilirse elde edilen karelerin 8 9 a a a) Çevrelerinin toplamını bulunuz. a) Çevrelerinin toplamını bulunuz 8 b) Alanlarının toplamını bulunuz. b) Alanlarının toplamını bulunuz. a) 48 br 64 3 b) 3 a) 4a. (2 + 2 ) b) 2a 215 2 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PROBLEMLER 6. Bir köşesi d: x + y – 24 = 0 doğrusu üzerinde, bir kenarı 0x ekseni üzerinde şekildeki gibi kareler çiziliyor. Bu işleme sonsuza kadar devam edilirse elde edilen tüm karelerin y 8. x 0 h h 2 a) Çevrelerinin toplamı kaçtır? b) Alanlarının toplamı kaçtır? h 4 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PROBLEMLER .......... h metre yükseklikten bırakılan bir top, her seferinde bir önceki yüksekliğinin yarısı kadar yükselebilmektedir. Topun duruncaya kadar aldığı dikey yolların toplamı 36 metre olduğuna göre, h kaçtır? a) 96 birim 7. y 1 0 1 2 3 4 b) 192 br2 12 x 1 x Şekilde f (x) = c m fonksiyonunun grafiği veriliyor. Bir köşesi 5 f fonksiyonunun grafiği üzerinde, 1 birim uzunluğundaki kenarları 0x ekseni üzerinde olan dikdörtgenler çiziliyor. Bu işleme sonsuza kadar devam edilirse elde edilen dikdörtgenlerin alanlarının toplamı kaç birim karedir? 1 4 216 9. – 1 2 3 4 + – + – ... 5 52 53 54 serisinin genel terimini bulunuz. n n (–1) . n 5 SINAMA ADIMI n=3 1 n c4m n = –3 3 16 B) 1 15 C) 1 48 D) 1 24 E) 1 16 A) 343 4 B) 2 1–k k=1 A) 2 1 B) 2 3 / 6. serisinin değeri kaçtır? k=2 3 D) 4 C) 1 1 E) 2 3 / k=1 8 7 B) 2 C) 4 D) 5 B) C) 1 8 D) 1 56 E) 1 63 3 1 k–3 a. c m = 1 4 n=4 1 15 C) 1) C 2) A B) 5 3 / 8. n=1 toplamının değeri kaçtır? 1 2 1 7 ise, a nedir? E) 6 1 2 4 8 – + – + ...... 9 27 81 243 A) B) / 7. A) 6 4. 1 3k c2m 4x – 9 k c 15 m toplamının bir reel sayı olması için x en büyük hangi tamsayı değerini almalıdır? A) 1 27 4 toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 3. 262 3 C) E) w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 3 / 243 4 81 4 D) 2. 1 n-1 c– 3 m serisinin değeri kaçtır? serisinin değeri kaçtır? A) 3 / 5. ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 3 / 1. 1 c C) 4 D) 3 E) 2 C) –1 D) –2 E) –3 2 3 n – nm 3 2 serisinin değeri kaçtır? 1 48 D) 3) D 1 24 4) B E) 1 16 A) 2 B) 1 5) B 6) D 7) D 8) D 217 SINAMA ADIMI 13. x < 1 için 0, 27 devirli ondalık açılımının değeri kaçtır? A) 25 99 5 18 B) C) 3 10 D) 1 6 E) 3 7 18 / n=1 ^ k – 1h x k serisinin değeri kaçtır? A) x 1– x B) C) a 1 1– x 1 ^ 1 – xh2 D) E) x 2 k 1– x x2 1– x 10. x > 0 olmak üzere, 3 / n=0 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 9. 1 3–x n 2 c3+xm = 3 olduğuna göre, x kaçtır? A) 2 B) 4 3 n n 2 +5 n 10 / 14. n=1 C) 6 D) 8 E) 9 serisinin değeri kaçtır? A) 1 2 B) 3 4 C) 1 5 4 E) 3 2 D) 1 E) 2 3 D) 60 E) 75 D) 15. m ∈ R+ x2 – mx – 6m2 = 0 3 / 11. n=2 f k k–1 3 –2 k–1 4 p denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 < x2 olduğuna göre , ifadesinin değeri nedir? A) 2 B) 4 3 C) 6 D) 8 / E) 10 n=1 x n–1 c x1 m 2 serisinin değeri kaçtır? A) 4 3 / 12. B) 3 3 / toplamının değeri 218 C) 2 5 16. 0° < α < 90° olmak üzere, a–k n=0 A) 3 3 5 B) 4 9) B n=1 243 ise, a kaçtır? 2 C) 5 10) E 1 3 ise, α açısı kaç derecedir? D) 6 11) D cos 2n a = 12) B E) 7 A) 15 13) C B) 30 14) D C) 45 15) B 16) D SINAMA ADIMI n=2 1 k–1 c– 2 m serisinin değeri nedir? B) – 1 2 C) – 1 D) – 4 k=6 A) coseca 1 3 D) cota 3. 1 6 1 k–5 c3m 1 5 B) a 4x – y E) sina 3 6 n 7 n .A = / (–1) n 9 3 n=0 n=1 ise, A ∈ R sayısı aşağıdakilerden hangisidir? 1 3 1 2 D) A) E) 1 3 2k 3 / 6. C) 0 < y < x ise, 2 C) tana E) –3 serisinin değeri nedir? A) B) seca w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 3 / 2. sin a (cos 2 a) k k=0 serisinin değeri kaçtır? A) –1 3 / 5. ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 3 / 1. 2 3 7 B) 3 / 7. 2k / a 2yx k k=0 6 7 C) 7 D) 9 E) 15 15 1–n .2 2n + 1 n=1 serisinin değeri kaçtır? serisinin değeri kaçtır? A) x A) 2 B) 4x 2 – y 2 4x2 – y2 C) 2x2 145 2 B) 120 11 D) 1 4 D) 3 / 4. k=1 C) E) 127 2 109 2 E) 4x2 k 3 –1 k 5 3 B) 2 1) C 3 / 8. n=0 serisinin değeri nedir? 5 A) 4 135 2 4 n/2 c9m serisinin değeri nedir? 2 C) 3 2) D 1 D) 2 3) E 4) A 1 E) 3 A) 1 B) 2 5) A 6) C C) 3 7) D D) 4 8) C E) 5 219 SINAMA ADIMI k=1 A) c a 3 k+1 + 16 5 4 B) 3 23 5 k k=1 ise, C) 3 +4 5k / 10. k–2 m = a b a oranı kaçtır? b 32 5 D) 27 4 B) 4,9 2 –n n = –29 E) serisinin değeri neye eşittir? 48 5 A) 238 B) 236 C) 232 D) 230 E) 229 D) 2e E) e2 k 3 / 14. toplamının değeri kaçtır? A) 5,5 3 / 13. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 3 / 9. 2 1 n! n=0 C) 4,5 D) 3,9 E) 3,5 serisinin değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) e 1 – (0,25) + (0, 25)2 – (0, 25)3 + .... 11. serisinin değeri kaçtır? A) 2 5 B) 3 5 C) 4 5 D) 1 E) 6 5 3 % 15. 1 k–1 3c3m k=1 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) ∞ B) 3 3 D) 1 C) 3 E) 2 3 12. |x| < 1 için 3 / kx k–1 k=1 serisinin eşiti nedir? A) 1 x –1 B) D) 220 x 1– x x2 1– x 9) C 3 / 16. C) E) 10) A x ^ 1 – xh2 1 ^ 1 – xh2 11) C n=2 3n+1 – 2 p 5 n–1 serisinin değeri nedir? A) 12) E f 15 2 13) D B) 21 2 14) C C) 13 15) B D) 18 16) C E) 26 SINAMA ADIMI k=1 f x + 3 n–1 p 5 n–1 B) 5 1+ 2. ifadesinin toplamı kaçtır? C) 6 D) 7 1 3 3 4 B) 3 / n=1 2 3 k k=1 C) 1 D) 3 2 2 3 C) 3 +2 6k / D) 3 2 E) 3 k serisinin değeri nedir? E) 2 1 3 1 2 B) 3 4 D) 3 2 E) 5 3 C) 1 D) 9 10 E) 7 10 C) n+2 3n işleminin sonucu nedir? A) 10 1 2 B) 6. A) 3. 1 3 1 1 1 + + + ........ 3 32 33 serisinin toplamı kaçtır? A) A) E) 8 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z A) 4 1 4k k=1 25 ise x kaçtır? 2 serisinin değeri 3 / 5. ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 3 / 1. 3 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 3 / 7. 2 3n n=0 + 3 2n (24) n serisinin değeri kaçtır? A) 4. 3, 2 8 7 B) 31 10 sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 + 2 2 2 + + + ... 10 2 10 3 10 4 B) 5 – 2 2 2 – – ... 10 10 2 10 3 C) 3 – 2 2 2 – – 10 10 2 10 3 D) 5 + 2 2 2 + + + ... 10 10 2 10 3 k=1 2) D c k –1 k–1 m 3 serisinin değeri kaçtır? A) – 2 2 2 + + + ... E) 3 + 10 10 2 10 3 1) E 3 / 8. 3) B 4) E 15 64 5) A B) 3 8 6) D C) 7) B 3 4 D) 1 8) C E) 3 2 221 SINAMA ADIMI n=0 (a.3 –n + b.4 –n) = 17 B) 7 1 n–1 nc m 3 n=1 serisinin değeri kaçtır? ve a + b = 12 ise, a kaçtır? A) 8 3 / 13. C) 6 D) 5 E) 4 A) 14. 9 4 B) 9 8 C) D 4 3 D) 4 9 E) 1 9 ABCD bir karedir. C |AB| = 8 br dir. 10. x > w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 3 / 9. 3 Karenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek iç içe yeni kareler oluşturuluyor. Elde edilen karelerin alanları A1, A2, A3, .... An dir. 3 3y k 5 3 2x + 3 , x + y = 3 ve / c x m = 7 2 k=0 A x kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 B n → ∞ için karelerin alanları toplamı kaçtır? E) 3 A) 64 B) 84 3 / 15. n=1 3 / 11. n=3 C) 98 D) 128 E) 256 n 4n serisinin değeri kaçtır? 1 n+1 nc m 3 A) 1 9 B) 2 9 C) 1 3 D) 4 9 E) 5 9 serisinin değeri kaçtır? A) 4 27 B) 7 108 C) 5 108 D) 5 54 E) 2 27 16. 6 Şekildeki gibi yarıçapı 6 cm olan bir çember ile çembere dış3 / 12. n=0 n 3 +2 5n 2n tan teğet, her biri bir önceki çemberin yarıçapının çemberler çiziliyor. Oluşan bu çemberlerin çevreleri toplamı kaç π dir? serisinin değeri kaçtır? A) 222 15 2 B) 8 9) C 2 ü olan 3 17 2 D) 10) C 11) B C) 19 2 E) 10 12) A A) 40 13) A B) 36 14) D C) 24 15) D D) 20 16) B E) 18 SINAMA ADIMI n=5 1 2n n=1 1 2 B) 1 4 C) 1 8 1 16 D) E) 1 32 A) 3 2 B) 3 / 3 / k=1 c k=1 3x – 5 k m 7 B) 2 C) 3 D) 4 A) 3 / 1 4 B) 3 1 3 C) C) 54 D) 64 B) 4 4 3 9 4 D) E) 8 3 3 / x n–1 – (x – 1) 3 n=1 n–1 n–1 n=1 A) B) 10,5 a1 – 4 n mk C) 15,75 m–4 8 B) D) D) 18,75 1) D E) 3 serisinin değeri neye eşittir? ifadesinin değeri nedir? A) 8,75 D) 3–x m > 4 olmak üzere / 6.3 n – 5 5n C) 4–x E) 74 3 n=0 3 8 0 < x < 1 ise, A) 12 8. 3 E) serisinin değeri kaçtır? B) 44 / 3 4 k 3 2–n .2 n + 1 ifadesinin değeri nedir? 4. D) k–1 m ^ x 2 – 7x + 12h n=0 A) 34 c C) 1 E) 5 7. 3. 5 4 serisinin toplamı kaçtır? toplamı reel bir sayıya eşit ise, x tamsayısı kaç farklı değer alır? A) 1 n–1 m 3 n–1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 6. 2. c serisinin değeri kaçtır? toplamı kaçtır? A) 3 / 5. ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 3 / 1. 4 E) 21,25 2) D 3) C 4) A 5) D m–4 9 6) D m–4 2 C) E) 7) E 8) C m–4 4 m–4 12 223 SINAMA ADIMI n=0 1 2 n .n! 13. M= serisinin değeri nedir? A) 1 B) e D) 3 3 / n=3 A) 8 E) 3 e B) 4 C) 2 E) 2 3 2 n 2 n! serisinin değeri kaçtır? A) e2 – 2 B) e2 – 3 D) 1 c nm 3 n=1 D) 10. 2 ifadesinin değeri kaçtır? C) e e2 3 % w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 3 / 9. 4 e2 3 C) e2 – 5 E) 3 / 14. n=1 e2 6 c 2n – 1 m n! serisinin değeri kaçtır? A) e + 1 B) e – 1 C) 2e – 1 D) 2e + 1 E) 2e – 2 11. Bir top 32 metre yükseklikten bırakılıyor. Top yere her çarpışında bir önceki yüksekliğinin yarısı kadar yükseğe çıkabiliyor. Top n kez sıçradığına göre topun iniş ve çıkışlarda aldığı yolun uzunluğu kaç metredir? A) 32 B) 64 C) 96 D) 108 E) 132 3 / 15. m 3 k=1 k+1 + P 4 k–2 =m m ise, p oranı kaçtır? 12. Yarıçapı |OA| = 4 birim olan çeyrek çemberin içine şekildeki gibi sırayla kare ve çeyrek çemberi çiziliyor. B O A 4 B) 6 + 3 3 6+2 2 224 9) B C) 8 + 8 2 6+4 2 10) C 48 5 B) 3 / 16. Bu işleme devam edildiğinde elde edilen karelerin köşegenleri toplamı kaç birimdir? A) 6 + 3 2 A) 11) C k=0 32 5 C) 16 5 23 5 E) r k a sin k 4 serisinin değeri kaçtır? A) 4 2 B) 2 2 13) D 14) A C) 2 E) 2 + 2 D) 2 – 2 12) C C) 15) B 16) E 27 4 BÖLÜM KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK FONKSİYONLARDA SÜREKLİLİK 2 f (x) = * x + 1 , x+3 , TANIM x<2 x≥2 olmadığını araştıralım. ÇÖZÜM 1. x$2 x $ 2+ f(a) tanımlı olmalı 2. 3. lim f (x) = lim (x + 3) = 5 x $ 2+ f: D " IR ve a ! D olsun. f nin x = a apsisli noktada sürekli olması için lim f (x) = lim – (x 2 + 1) = 5 x $ 2– D 3 IR , w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z fonksiyonunun x = 2 noktasında sürekli olup lim f (x) = lim + f (x) yani lim f (x) olmalı x " a– x"a x"a lim f (x) = f (a) olmalıdır. x"a Bu koşullardan en az biri sağlanmazsa f lim f (x) = 5 olur. Ayrıca f(2) = 2 + 3 = 5 tir. x$2 x = a da süreksizdir denir. f fonksi- yonu D tanım kümesinin her noktasında sürekli ise f ye D kümesinde süreklidir denir. O halde lim f (x) = f (2) olur ki; f(x) fonksiyonu x = 2 x$2 noktasında süreklidir. Soldan ve Sağdan Süreklilik lim f (x) = f (a) ise f x = a da soldan süreklidir. lim f (x) = f (a) ise f x = a da sağdan süreklidir. x " a– Aynı şekilde fonksiyonun grafiğini çizerek x " a+ inceleyelim. y ETKİNLİK 5 a) f (x) = 9 – x 2 b) f (x) = fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz. 1 0 x x=2 Grafikte de görüldüğü gibi x = 2 noktasına sağdan veya soldan yaklaşılması halinde fonksiyon 5 değerine yaklaşmaktadır. Ayrıca fonksiyon x = 2 için tanımlıdır. 2x 2 + 3x + 9 fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz. x 2 – 4x + 3 Yani f(2) = 5 tir. O halde f(x) fonksiyonu x = 2 noktasında sürekli bir fonksiyondur. 225 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 3. SÜREKLİLİK Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz. y –1 0 x x = –1 de sürekli x 2 0 x = 2 de süreksiz x 0 x = 0 da süreksiz y y 0 y y w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM y y=ax+b 2 x x = 2 de süreksiz x 0 x 0 ∀x ∈ R için f(x) = ax+b sürekli ∀x ∈ R için f(x) = ax2 + bx + c sürekli bir fonksiyon bir fonksiyon y y y=ax y c y=c 1 0 x 0 x 0 ∀x ∈ R için f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ∀x ∈ R için f(x) = c sürekli bir ∀x ∈ R için f(x) = ax sürekli bir sürekli bir fonksiyon fonksiyon fonksiyon 226 x ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz. y w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z y x 0 x = 0 d›fl›nda her yerde süreklidir. x 0 –2 x = –2 d›fl›nda her yerde süreklidir. y y 1 –1 0 1 x x = –1 ve x = 1 d›fl›nda her yerde süreklidir. –1 0 1 x x = –1 ve x = 1 d›fl›nda her yerde süreklidir. 227 Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz. y 1 5π 2 –3π –2π 3π 2 π 2 –π 0 π 2 x π 3π 2 2π 5π 2 3π f(x)=sinx –1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM ∀x ∈ R için f(x) = sinx fonksiyonu süreklidir. y 1 5π 2 –3π –2π 3π 2 π 2 –π 0 π 2 π 3π 2 2π x 3π 5π 2 –1 ∀x ∈ R için f(x) = cosx fonksiyonu süreklidir. y y 2π 2π –3π 2 –π π 2 0 ∀x ∈ R – {kπ + π π , k ∈ Z} için 2 f(x) = tanx süreklidir. 228 π 2 3π 2 x –2π – 3π 2 –π π 2 0 π 2 ∀x ∈ R – {kπ , k ∈ Z} için f(x) = cotx süreklidir. π 3π 2 2π x 1. f: IR → IR, c ∈ IR sabit olmak üzere f(x) = c sabit fonksiyonu sürekli midir? Çözüm x = a, x = 0 ve x = b noktalarında sürekli olup olmadığnı inceleyelim. Çözüm lim f (x) = c Daha önce limit konusunu işlerken f(x) = c sabit fonksiyonu lim f (x) = c 4 x " a– için lim f (x) = c olduğunu görmüştük. Diğer taraftan f(a) = c x"a olduğundan & lim f (x) = c x"a x " a+ lim f (x) = f (a) elde edilir. O halde f fonksiyonu x$a dir. Fakat f(a) tanımlı olmadığından f fonksiyonu x = a noktasında sürekli değildir. x = a noktasında süreklidir. lim f (x) = c x " 0– lim f: IR → IR, f(x) = x birim fonksiyonu süreklidir. Gösteriniz. x " b+ lim f (x) = lim x = a ve f (a) = a olduğundan x"a lim f (x) = f (a) dır. x"a x"0 dir. lim f (x) = d lim x"a & lim f (x) = c Fakat f(0) = d ≠ c olduğundan f, x = 0 da süreksizdir. x " b– Çözüm f (x) = c 4 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 2. x " 0+ f (x) = d 4 & lim f (x) = d x"b Fakat f(b) = e ≠ d süreksizdir. dir. olduğundan f fonksiyonu x = b de O halde f(x) = x fonksiyonu 6a ! IR için x = a noktasında süreklidir. 3. f: IR → IR, f(x) = anxn + an–1xn–1 + ..... + a1x + a0 polinom fonksiyonunun x = t noktasında sürekli olduğunu gösteriniz. Çözüm 5. Aşağıda grafiği verilen f fonksiyonunun x = a ve x = 0 noktalarında sürekli olup olmadığını araştırınız. y lim f (x) = lim _ a n x n + a n–1 x n–1 + ... + a 1 x + a 0 i x"t x"1 = a n t n + a n–1 t n–1 + ... + a 1 t + a 0 = f(t) b c f a x 0 –c olduğundan f fonksiyonu 6 ! IR için x = t noktasında süreklidir. Çözüm lim f (x) = b x " a– 4. Aşağıda grafiği verilen f fonksiyonunun x = a, x = 0 ve lim f (x) = b x " a+ x = b noktalarında sürekli olup olmadığını araştırınız. olduğundan y f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir. f e lim f (x) = c x " 0– d c a 0 lim f (x) = b dir. Ayrıca f(a) = b olduğundan x"a lim x " 0+ b x f (x ) = c 4 & lim f (x) = c x"0 dir. Fakat f(0) = –c ≠ c olduğundan f, x = 0 da sürekli değildir. 229 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 8. UYARI y Grafiği verilen bir fonksiyonun sürekliliği sorulduğunda o nok- f a tada limit olmalı ve o noktanın görüntüsü grafik üzerinde olbiçiminde boş nokta olma– malıdır. Yani grafikte x 0 b malıdır. Bu tür durumlarda o noktada fonksiyon süreksizdir. c Şekildeki f fonksiyonu x = a noktasında sürekli midir? Çözüm lim f (x) = b x " a– 6. y lim f (x) = c w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI x " a+ c ve b a 0 f lim f (x) ≠ lim + f (x) olduğundan limit yoktur. x " a– x"a O halde f , x = a da sürekli değildir. Fakat x = a noktasında soldan süreklidir. x Şekildeki f fonksiyonu x = a noktasında sürekli midir? Çözüm lim f (x) = c x " a– lim f (x) = b x " a+ ve 9. lim f (x) ≠ lim + f (x) olduğundan f fonksiyonunun x = a x " a– x"a noktasında limiti yoktur. O halde f, x = a da sürekli değildir. f, x = a da soldan süreklidir. f: IR → IR f (x) = * 1 , x < 1 ise 2x 2 –1 , x ≥1 ise fonksiyonu x = 1 de sürekli midir? Çözüm lim f (x) = lim 1 = 1 x"1 x " 1– 7. lim f (x) = lim ^ 2x 2 – 1h = 2.1 2 – 1 = 1 y x"1 x " 1+ 3 olup lim f (x) = 1 dir. x"1 2 f(1) = 2.12 – 1 = 1 olup f 0 x 1 lim f (x) = f (1) = 1 olduğundan f fonksiyonu x = 1 de sürek- x"1 Şekildeki f fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli midir? lidir. Grafiği inceleyiniz. Çözüm lim – f (x) = 2 x"1 lim x " 1+ f (x) = 2 y 4 & lim f (x) = 2 x"1 Fakat f(1) = 3 olup lim f (x) ≠ f (x) olduğundan f fonksi- x"1 yonu x = 1 de sürekli değildir. 230 dir. f 1 0 1 x 12. f: IR → IR 10. f: IR → IR Zx + 2 ]] f (x) = [ 4 ]] 2 \x + 4 Z ]] 2x – | x – 1 | f (x) = [ 2 ]] mx + 4 \ , x > 2 ise , x = 2 ise , x < 2 ise ,x >1 ,x =1 , x <1 fonksiyonu x = 2 de sürekli midir? fonksiyonunun x = 1 de sürekli olması için m ne olmalıdır? Çözüm Çözüm lim f (x) = lim ^ x 2 + 4h = 2 2 + 4 = 8 x " 2– lim f (x) = lim (x + 2) = 2 + 2 = 4 x"2 lim f (x) ≠ lim + f (x) x " 2– x"2 x"1 lim f (x) = lim ^ 2x – | x – 1 |h olup x"1 x " 1+ (x " 1 + için x > 1 dir.) w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z x " 2+ lim f (x) = lim (mx + 4) = m + 4 x " 1– x"2 = lim ^ 2x – (x – 1)h olduğundan f x = 2 de sürekli değildir. x"1 = lim ^ x + 1h = 2 Fakat f(2) = 4 olduğundan f, x = 2 de sağdan süreklidir. Grafiği inceleyiniz. x"1 olup f(1) = 2 olduğundan fonksiyonun x = 1 de sürekli olması için x = 1 de soldan sağdan limitleri eşit olmalıdır. y 8 Yani m + 4 = 2 & m = –2 olmalıdır. 4 0 11. f: IR → IR Zcos x ]] f (x) = [ 1 ]] 2 \x + 1 x 2 13. f: R → R Z ]] | 2x – 5 | f (x) = [ ax + 1 ]] 3x – 9 \ , x < 0 ise , x = 0 ise ,x>0 şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun x = 4 noktasında sürekli olması için a reel sayısı kaç olmalıdır? ise Çözüm fonksiyonu x = 0 da sürekli midir? lim f (x) = lim | 2x – 5 | x " 4– Çözüm lim f (x) = lim cos x = cos 0 = 1 x " 0– x"4 x x"0 5 2 –∞ – |2x–5| lim f (x) = lim f (x) = 1 dir. x " 0+ , x < 4 ise , x = 4 ise , x > 4 ise +∞ 4 + + x"0 Ayrıca f(0) = 1 olduğundan lim f (x) = f (0) = 1 x"0 dir. lim | 2x – 5 | = lim 2x – 5 x"4 x"4 Yani f, x = 0 da süreklidir. = 2.4 – 5 = 3 Grafiği inceleyiniz. lim f (x) = lim 3x – 9 x " 4+ x"4 y = 3.4 – 9 = 3 lim f (x) = 3 1 x"4 0 –π –π 2 –1 x olup , f nin x = 4 de sürekli olması için f(4) = 3 olmalıdır. f(4) = 4a + 1 = 3 & 4a = 2 & a = 1 2 olmalıdır. 231 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 16. f: IR → IR 14. f: R → R f (x) = x2 x2 + 3 şeklinde tanımlı f fonksiyonunun R de + mx + 9 sürekli olması için m hangi koşulu sağlamalıdır? Çözüm f (x) = x2 + 3 fonksiyonunun 6x ! R noktasında süx 2 + mx + 9 rekli olması için f nin her x ∈ R noktasında tanımlı olması gerekir. Bu nedenle f fonksiyonunu tanımsız yapan bir x değerinin olmaması için paydanın sıfır olmaması gerekir. Yani, x2 + mx + 9 ≠ 0 olmalıdır. Bunun için, f (x) = ) 4x – 3 1– x , x≥2 , x<2 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki sürekliliğini inceleyiniz. Bu noktadaki sıçrama miktarı nedir? Çözüm x = 2 fonksiyonun kritik noktasıdır. lim f (x) = lim ^ 1– xh = 1 – 2 = –1 x"2 x " 2– lim f (x) = lim ^ 4x – 3h = 4.2 – 3 = 5 x"2 x " 2+ tir. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI Δ = b2 – 4ac < 0 olmalıdır. Δ = m2 – 4.1.9 < 0 & m2 < 36 lim f (x) ≠ lim + f (x) x " 2– x"2 olduğundan f x = 2 de & |m| < 6 sürekli değildir. & –6 < m < 6 Fonksiyonun x = 2 deki sıçrama miktarı |–1 –5| = 6 dır. & m ∈(–6, 6) olmalıdır. f(x) = sinx gösteriniz. x2 – x + 1 x 2 – 3x + 2 kümeyi bulunuz. 17. f (x) = 15. f: IR → [–1, 1] fonksiyonunun ∀a ∈ IR için sürekli olduğunu fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş Çözüm Çözüm f (x) = f(a) = sina dır. x2 – x + 1 x 2 – 3x + 2 fonksiyonunun paydasını sıfır yapan lim f (x) = f (a) olduğunu yani, x değerlerinde f tanımsızdır. f fonksiyonu tanımsız olduğu noktalarda sürekli değildir. lim sin x = sin a olduğunu göstermeliyiz. Bunun için x2 – 3x + 2 = 0 & (x – 1)(x – 2) = 0 lim sin x – sin a = 0 olmalı. x = 1 veya x = 2. x"a x"a x$a O halde f nin sürekli olduğu en geniş küme x –a. x+a lim sin x – sin a = lim 2 sin cos x"a x"a 2 2 = 2.sin0.cosa = 0 R – {1, 2} dir. olup, lim (sin x – sin a) = 0 x"a & lim sin x = sin a x"0 dır. UYARI 18. f (x) = 16 – x 2 + x + 1 fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz. Çözüm g (x) f (x) = * h (x) fonksiyonu , x≤a , x>a x = a f (x) = 16 – x 2 + x + 1 fonksiyonu noktasında süreksiz ise bu noktadaki sıçrama miktarı |g(a) – h(a)| dır. 16 – x 2 fonksiyonunun sürekli olduğu her yerde süreklidir. 16 – x2 ≥ 0 & X2 ≤ 16 & x ∈ [–4, 4] olup f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi [–4, 4] kümesidir. 232 Sürekli Fonksiyonların Özellikleri ETKİNLİK 1. Z2 + sin x , x>r ]] f (x) = [ 3 + cos x , x=r ]] 2 2 \ sin x + 3 cos x , x < r ise ise 1. D ⊂ IR, a ∈ D ve f: D → IR g: D → IR fonksiyonları x = a noktasında sürekli olsunlar. Bu durumda ise fonksiyonunun x = π noktasındaki süreklili- a) f + g ve f – g ve f.g fonksiyonları x = a da süreklidir. b) ∀n ∈ IN+ için fn, gn fonksiyonları x = a da süreklidir. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ğini inceleyiniz. c) k ∈ IR bir reel sayı olmak üzere k.f, k.g fonksiyonları da x = a da süreklidir. 2. 6x ! R için f (x) = 4 x 2 – 4x + m – 3 fonksiyonu d) sürekli ise m nin değeri için ne söylenebilir? 1 1 fonksiyonunun sürekli + cos x sin x olmadığı noktaları bulunuz. 3. f (x) = f ∀x ∈ D için g(x) ≠ 0 olmak üzere g fonksiyonu x = a da süreklidir. f (x) Ya da fonksiyonu g(x) = 0 g (x) denkleminin köklerinde süreksizdir. e) | f |, | g | fonksiyonları x = a da süreklidir. f) n ∈ IN+ için g) n çift doğal sayı olmak üzere 6 x ∈ D için f(x) ≥ 0 ise, n 4. f(x) = etanx fonksiyonunun sürekli olmadığı 2n + 1 f (x) , x = a da süreklidir. f (x) fonksiyonu x = a da süreklidir. h) tf(x) üstel fonksiyonu x = a da süreklidir. k) f: A → IR, g: B → IR fonksiyonları ve a ∈ A, b ∈ IR ve f(a) = b noktaları bulunuz. verilmiş olsun. f fonksiyonu a, g fonksiyonu b de sürekli ise, gof bileşke fonksiyonu a noktasında süreklidir. l) f: A → B, f bire bir ve örten bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu A kümesinde sürekli ise f–1 fonksiyonu da B kümesi üzerinde süreklidir. 233 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM 1. x2 – x fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme x2 – 4 nedir? f (x ) = Çözüm f (x ) = x2 – x fonksiyonu x2 – 4 = 0 x2 – 4 denkleminin kökleri 4. f: IR → IR Z x ; x<0 ] sin 3x ] ; x=0 f (x) = [ 2a + 1 ] b + cos x ] ; x>0 \ x +1 fonksiyonunun IR de sürekli olması için (a, b) ikilisi ne olmalıdır? dışında her yerde süreklidir. O halde x 2 – 4 = 0 & x 2 = 4 & x = " 2 olup f fonksiyonunun sürekli olduğu IR nin en geniş alt kümesi IR – {–2, 2} dir. Çözüm f nin IR de sürekli olması için x = 0 da sürekli olması gerekir. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI f fonksiyonu x < 0 için süreklidir. x > 0 için f (x) = b + cos x x +1 dir. b + cos x fonksiyonu süreksizdir. x +1 x = –1 de Fakat x = –1, x > 0 aralığında olmadığından x > 0 için 2. x. sin x fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme x2 + 1 nedir? f (x) = Çözüm f (x) = f (x) = b + cos x fonksiyonu süreklidir. x +1 O halde x"0 x. sin x fonksiyonunda h1(x) = x, h2(x) = sinx fonksix2 + 1 = yonları her yerde sürekli olduklarından paydadaki h3(x) = x2 + 1 fonksiyonuna bakılır. Her x ∈ IR için x2 + 1 > 0 olduğundan x2 + 1 = 0 denkleminin reel kökleri yoktur. O halde f (x) = x. sin x fonksiyonu x2 + 1 ∀x ∈ IR için süreklidir. Yani süreklilik kümesi IR dir. lim f (x) = lim x"0 x " 0– f nin x = 0 da sürekli olması için sol ve sağ limitler eşit olmalıdır. Yani 1 2 & b=– 3 3 lim f (x) = 2a + 1 = Çözüm Her x ∈ R için g(x) = ex–1 fonksiyonu süreklidir. h(x) = sinx fonksiyonu da R de sürekli olduğundan f(x) = (h o g)(x) = sin(ex–1) fonksiyonu da R de süreklidir. O halde f nin sürekli olmadığı nokta yoktur. 234 1 x = sin 3x 3 ve f(0) = 2a + 1 dir. x"0 f(x) = sin(ex–1) fonksiyonunun sürekli olmadığı noktaları bulunuz. b + cos 0 b + 1 = 0 +1 1 =b+1 b + 1= 3. b + cos x x +1 lim f (x) = lim x " 0+ 1 = f (0) dan 3 1 2 & 2a = – 3 3 & a=– 1 3 olur. 1 2 O halde (a, b) = b – , – l bulunur. 3 3 5. f: IR → IR 7. Z x ] ] |x | f (x) = [ ]] \0 f(x) = ,n (2sinx + 1) fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz. , x ≠ 0 ise Çözüm , x = 0 ise 2sinx + 1 > 0 olmalıdır. Buradan fonksiyonu x = 0 da sürekli midir? Neden? sinx > – 1 dir. 2 sin x > – 1 2 Çözüm x x x < 0 ise f (x) = = = –1 | x | –x 7r 11r , 2r m bulunur. m, c 6 6 x ! ; 0, w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z x x x > 0 ise f (x) = = = 1 olup |x | x 7r 11r ise x ! 6 0, 2r @ – c , m veya 6 6 lim f (x) = lim – –1 = –1 x " 0– lim x " 0+ x"0 y f (x) = lim + 1 = 1 dir. Öyleyse x"0 lim f (x) ≠ lim + f (x) olup lim f (x) yoktur. x " 0– x x"0 x"0 Dolayısıyla f, x = 0 da sürekli değildir. y= – 1 2 –1 f fonksiyonu IR – {0} da süreklidir. Aşağıdaki grafiği inceleyiniz. y 1 x 0 8. f: IR → IR, f(x) = –1 lim (cos 2n x) fonksiyonunun süreksiz n "+3 olduğu noktaların kümesi nedir? Çözüm f (x) = lim (cos 2 x) n yazalım. n "+3 k ∈ Z için x = kπ & cos2 x = 1 6. 1 ve g (x) = x ise fog fonksiyonunun süreksiz 1 1+ x –1 olduğu noktaların kümesi nedir? f (x) = 1 lim (cos 2 x) n = 1 x "+3 x ≠ kπ için cos2X < 1 lim (cos 2 x) n = 0 x "+3 Çözüm olduğundan dır. O halde fog(x) = f(g(x)) 1 = fb x l = = olduğundan 1 1+ 1 1 x –1 1 x = 1 = 1– x 1+ 1– x 1– x 1 f (x) = ) 1 0 , x = kr , k ! Z , x ≠ kr , k ! Z ve k ∈ Z olmak üzere, lim f (x) = 0 olmasına rağmen f(kπ) = 1 olduğundan x " kr f, x = kπ noktasında sürekli değildir. (fog)(x) = 1 – x fonksiyonu ∀x ∈ IR için süreklidir. O halde f nin sürekli olmadığı noktaların kümesi Yani süreksiz olduğu noktaların kümesi Q dir. K = {x | x = kπ, k ∈ Z} dir. 235 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 9. x 2 – 5x + 6 fonksiyonunun x 2 + mx + m + 3 IR de sürekli olması için m nin alabileceği değerler kümesi m ∈ IR olmak üzere f (x) = 11. f (x) = ,n (x – 2) + 1 fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz. Çözüm nedir? ,n (x – 2) + 1 ≥ 0 ve x – 2 > 0 olmalıdır. Çözüm ,n (x – 2) ≥ –1 & x > 2 x2 – 5x + 6 ve x2 + mx + m + 3 fonksiyonları IR de sürek- x – 2 ≥ e–1 lidir. f nin IR de sürekli olması için x2 + mx + m + 3 ≠ 0 1 x ≥ 2 + e ve ayrıca olmalıdır. Bunun için Δ= m2 x–2>0 –4(m + 3) < 0 olmalıdır. Buradan m2 – 4m – 12 < 0 olup f nin sürekli olduğu en geniş küme w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI 1 9 2 + e , + 3 k dur. & (m + 2)(m – 6) < 0 & m1 = –2 m2 = 6 –2 m –∞ m2–4m–12 + +∞ 6 1 fonksiyonu veriliyor. (fofof)(x) fonksiyonunun 1– x sürekli olduğu en geniş küme nedir? + – 12. f (x) = f nin IR de sürekli olması için m ∈ (–2, 6) olmalıdır. Çözüm f (x) = 1 1– x 1 (fof) (x) = 1– 1 1– x 1– x x – 1 = –x = x 1 x –1 = 1– x = x (fofof) (x) = 1 – x 1 1 1– x 1– x her yerde süreklidir. Yani IR de süreklidir. 10. f (x) = 2 – 3 | x | kümeyi bulunuz. fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş Çözüm Kök kuvveti çift olduğundan 2 – 3|x| ≥ 0 olmalıdır. Buradan 1 2≥3|x| & |x|≤ x ! :– f Çözüm 2 2 , D tür. 3 3 fonksiyonu süreklidir. 236 13. f (x) = e x–e fonksiyonu hangi noktada süreksizdir? 2 2 2 olup + – ≤x≤ 3 3 3 S = & x | x ! IR, – 2 2 ≤x≤ 0 3 3 1 1 f (x) = e x–e fonksiyonu ile g (x) = x – e fonksiyonu aynı nok- kümesinde tada süreksizdir. O halde g(x), x = e de süreksiz olduğundan f(x) de x = e süreksizdir. 1. Z 2x + 3 ] 2 ] x +1 f (x) = [ ]] –5 2 \ x – 16 , x>2 4. , x≤2 fonksiyonunun süreksiz olduğu x değeri kaçtır? ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI Zx – 4 , x < –1 ]] f (x) = [ mx + n , –1≤ x ≤ 1 ]] 2 , x ≥1 \x + 3 olmak üzere y = f(x) fonksiyonu Rʼde süreklidir. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z Buna göre, m2 – n2 ʻnin değeri kaçtır? –4 5. 2. f (x) = x–2 x 2 + 3x + 2 20 f: R → R fonksiyonu f (x) = * x3 + 1 x +1 k+4 , x < –1 , x ≥ –1 olarak tanımlanıyor. ile tanımlı f fonksiyonunun sürekli olduğu kümeyi bulunuz. f fonksiyonunun Rʼde sürekli olması için k kaç olmalıdır? [2, +∞) 3. Zbx , x < –1 ] ] f (x) = a , x = –1 [ ] 2x + 1 , x > –1 ] 3x \ y = f(x) fonksiyonu x = –1 noktasında sürekli ise, 6. Z ] –2 sin x ]] f (x) = [ a sin x + b ] ]] cos x \ , , , x<– –1 r 2 r r ≤x≤ 2 2 r x> 2 – fonksiyonu 6 x ∈ R için sürekli olduğuna göre, (a, b) ikilisini bulunuz. “a.b” nin değeri kaçtır? – 1 9 (a, b) = (–1, 1) 237 7. 9. y f (x) = 3 2 –2 f: R → R 5x 2 + 6 ile tanımlı f fonksiyonunun R de sürekli + ax + 1 x2 olması için a reel sayısı hangi koşulu sağlamalıdır? 1 0 2 3 4 x Grafiği verilen fonksiyonda, limiti olmasına rağmen süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamını bulunuz. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK PEKİŞTİRME ADIMI 5 (–2 < a < 2) Zx , x > –2 ]] 7 10. f (x) = [ ]] x2 + 3 , x ≤ –2 \ x – 12 fonksiyonunun süreksiz olduğu x değeri kaçtır? 8. –2 3 y 1 –2 0 3 5 x 11. f (x) = Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun R de süreksiz olduğu noktaların apsislerinin toplamı kaçtır? 1 238 3x + 1 9x 2 + mx + 4 fonksiyonunun bir tek noktada süreksiz olması için m nin pozitif değeri kaç olmalıdır? 12 SINIRLI FONKSİYONLAR ETKİNLİK D ⊆ IR ve f: D → IR a) 1 f(x) = x.cos x fonksiyonu verilsin. a) ∀x ∈ D için m ≤ f(x) olacak şekilde en az bir m reel sayısı varsa f fonksiyonu alttan sınırlıdır denir ve m sayısına f fonksiyonunun alt sınırı denir. m sayısından küçük her reel sayı f nin bir alt sınırıdır. b) ∀x ∈ D için f(x) ≤ M olacak şekilde en az bir M reel sayısı varsa f fonksiyonuna üstten sınırlıdır denir ve M ye f nin üst sınırı denir. M den büyük her reel sayı f nin bir üst sınırıdır. C) ∀x ∈ D için m ≤ f(x) ≤ M olacak şekilde m ve M reel sayıları varsa f fonksiyonuna sınırlı fonksiyon denir. fonksiyonu sınırlı mıdır? w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z İnceleyiniz. EBAS (f), EKÜS (f) Alttan sınırlı bir f fonksiyonunun alt sınırlarının en büyüğüne f fonksiyonunun en büyük alt sınırı denir ve Ebas (f) ile gösterilir. b) f(x) = sin (,nx) fonksiyonu sınırlı mıdır? İnceleyiniz. Üstten sınırlı bir f fonksiyonunun üst sınırlarının en küçüğüne f fonksiyonunun en küçük üst sınırı denir ve Eküs (f) ile gösterilir. EN KÜÇÜK, EN BÜYÜK ELEMAN D ⊆ IR, f: D → IR a) sınırlı fonksiyon Ebas(f) = m, Eküs (f) = M olsun. m ∈ f(D) ise m reel sayısına f nin D kümesindeki en küçük (minimum) değeri denir. b) M ∈ f(D) ise M reel sayısına f nin D kümesindeki en büyük (maksimum) değeri denir. lim f (x) = 0 ve g, a nın bir komşuluğunda sınırlı ise x$a lim f(x) . g(x) = 0 dır. x$a 1 c) f(x) = x2.cos2 x fonksiyonu sınırlı mıdır? İnceleyiniz. ÖRNEK 1 lim x 2 . sin x limitinin değeri nedir? x"0 ÇÖZÜM 1 lim x 2 = 0 ve g (x) = sin x x"0 1 lim x 2 . sin x = 0 x"0 sınırlı bir fonksiyon olduğundan, olur. 239 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM 1. f: IR → IR, f(x) = x2 fonksiyonunun sınırlılığını araştırınız. Çözüm 9 UYARI Ebas (f) = – , Eküs (f) = 10 dur. 4 1) Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır. 2) Kapalı bir aralıkta süreksiz olan bir fonksiyon bu aralıkta sınırlı olabilir. 3. Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun bu aralıkta en küçük ve en büyük değeri vardır. 4. f: [a, b] → IR sürekli bir fonksiyon ve m = min(f) y f(x) = x2 x 0 6 x ∈ IR için x2 ≥ 0 olduğundan f(x) ≥ 0 dır. M = maks(f) ise O halde f alttan sınırlıdır ve alt sınırı Ebas(f) = 0 dır. w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK UYGULAMA ADIMI f([a, b]) = [m, M] dir. Şekilden de görüldüğü gibi f fonksiyonu üstten sınırlı değildir. ETKİNLİK a) 2. f: IR+ → IR, f(x) = cosx fonksiyonunun sınırlılığını araştırınız. Çözüm 1 fonksiyonunun sınırlı olup olmadığını belirtiniz. x2 Grafikten görüldüğü gibi y –1 ≤ cosx ≤ 1 olduğundan f(x) = cosx fonksiyonu 1 0 f(x) = π 2 π 3π 2 –1 x 2π sınırlıdır ve Ebas(f) = –1 Eküs(f) = 1 dir. b) f: [2, 5] $ R, f(x) = x3 fonksiyonu sınırlı mıdır? Neden? 3. f: [–1, 4] → IR, f(x) = x2 – 5x + 4 araştırınız. fonksiyonunun sınırlılığını Çözüm y 10 c) f(x) = x3 + 1, g(x) = 1 x3 4 1 –1 4 x –9 4 –1 ≤ x ≤ 4 için sınırlıdır. 240 –9 ≤ f (x) ≤ 10 olduğundan f fonksiyonu 4 olduğuna göre, (fog)(x) fonksiyonu sınırlı mıdır? Neden? Kapalı Aralıkta Sürekli Bir Fonksiyonun Özellikleri ETKİNLİK I. f fonksiyonu, [a, b] kapalı aralığında sürekli olsun. Bu durumda (1) f(x), [a, b] de sınırlıdır. fonksi- (2) f(x), [a, b] de maksimum ve minimum değerlere sahiptir. yonunun sürekli ve artan olduğu aralığı bulalım. (3) m = min {f (x)} _ b a ≤ x ≤ b b olmak üzere m ≤ A ≤ M koşulunu sağlayan ` M = maks {f (x)}b her A için f(x0) = A olacak şekilde 7 x0 ∈ [a, b] vardır. a≤ x ≤b b a f(x) = x3 fonksiyonu A = [0, 2] aralığı üzerinde sürekli ve artan bir fonksiyondur. f–1(x) y 8 y=x3 Özel olarak, f(a).f(b) < 0 ise a < c < b olmak üzere, f(c) = 0 olacak şekilde bir c x 2 0 noktası bulunabilir. y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığı üzerinde tanımlı, sürekli ve kesin artan veya w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z II. kesin azalan ise f nin tersi vardır ve x = ϕ(y) ters fonksiyonu f–1([a, b]) y üzerinde kesin azalan veya kesin artandır ve süreklidir. 3 y= x 2 0 8 ÖRNEK x f –1 (x) = 3 x fonksiyonu f –1 ^ [0, 2]h = [0, 8] kümesi üzerinde sürekli ve artandır. f: R → R, f(x) = x + 1 kesin artandır. f–1(x) = x – 1 ters fonksiyonu da kesin artandır. ÖRNEK y = x fonksiyonu A = [0, 3 ) kümesi üzerinde artandır. f (x) = x ise f–1(x) = x2 fonksiyonu da f–1 ([0, 3 ) = [0, 3 ) üzerinde artandır. y ETKİNLİK y y= x x 0 Aşağıdaki fonksiyonların artan olduğunu gösteriniz. x 0 f–1(x) artan f(x) artan a) f(x) = log2(x + 1) b) g(x) = 2x + 1 c) y=x2 ÖRNEK h(x) = x f: (0, 3 ) → R, f (x) = ,nx artandır. f–1(x) = ex , f–1: R → (0, 3 ) artandır. y y f(x) = nx f–1(x) = ex 1 0 x 1 0 x 241 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK ETKİNLİK a) f(x) = cosx – x +1=0 3 denkleminin (0, 2π] aralığındaki kök sayısını f(x) = sinx – x + 1 = 0 denkleminin bir kökü var mıdır? ÇÖZÜM bulunuz. f(x) = sinx – x + 1 süreklidir. 3r 3r 3r 3r f(0) = 1, f b l = – olup f (0) . f b l = 1. b – l 2 2 2 2 f (0) . f b olduğundan : 0, b) f(x) = 2x – tanx 3r l<0 2 3r D aralığında en az bir kökü vardır. 2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM fonksiyonunun (0, 2π] aralığındaki kök II. Yol: sayısını bulunuz. f(x) = sinx y 1 g(x) = x – 1 alınırsa sinx = x – 1 in 3r : 0, 2 D de bir kökü vadır. c) x3 + 3x – 6 = 0 denkleminin (–1, 2) –π π 0 π – 2 1 π 2 kök 2π 3π 2 x –1 ÖRNEK aralığında en az bir kökü olduğunu gösteriniz. x3 + 2x – 5 = 0 denkleminin (–1, 2) aralığında en az bir kökünün olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM f(x) = x3 + 2x – 5 olsun. f(–1) = (–1)3 + 2.(–1) – 5 = –8 < 0 f(2) = 23 + 2.2 – 5 = 7 > 0 d) x3 + x2 + x – 2 = 0 denkleminin (0, 1) aralığında en az bir kökünün olduğunu gösteriniz. olup f(–1) . f(2) < 0 olduğundan f(x) fonksiyonunun grafiği x eksenini (–1, 2) aralığında en az bir kez keser. Yani x3 + 2x – 5 = 0 denkleminin (–1, 2) aralığında en az bir tane kökü vardır. ÖRNEK a0, o1, ..., a2n+1 reel sayılar olmak üzere, a2n+1 x2n+1 + a2nxan ... + a1x + a0 = 0 denkleminin en az bir reel kökü olduğunu gösteriniz. 242 ÇÖZÜM ETKİNLİK a) f(x) = x – sinx + 1 = 0 denkleminin (0, 2π) aralığındaki köklerinin f(x) = a2n+1x2n+1 + a2nx2n + ... + a1x + a0 fonksiyonunu oluşturalım. f fonksiyonu R üzerinde süreklidir. a2n+1 > 0 olsun. Bu durumda sayısını bulunuz. lim f (x) = + 3 x "+3 ve lim f (x) = –3 x " –3 dur. Bu ise fonksiyonunun grafiğinin uçlarının I. ve III. bölgede olduğunu gösterir. O halde, a < b olmak üzere, f(a) < 0 ve f(b) > 0 olacak şekilde a ve b reel sayıları bulunabilir. Buradan f(a).f(b) < 0 olduğundan a < c < b ve f(c) = 0 olacak şekilde bir c ∈ R b) 2 f (x) = 3 x – x 3 – 2 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z vardır. fonksiyonunun (0, 2 ) aralığında en az bir kökü olduğunu gösteriniz. ÖRNEK Z x ]] 2 + 1 f (x) = [ 2 x ]] x \2 – 1 , , , –1 ≤ x < 0 x=0 0<x ≤1 ise ise ise biçiminde tanımlı f fonksiyonunun minimum veya maksimum değerinin olmadığnı gösteriniz. ÇÖZÜM c) fonksiyonunun (0, 2 ) aralığında Fonksiyonun grafiği şekildeki gibidir. 3 [–1, 0) aralığında f fonksiyonu den 2 ye 2 kadar artan, (0, 1] aralığında f fonksiyonu x eksenini bir kez kestiğini gösteriniz. 0 dan 1ʼe kadar artandır. f(x) = x2 – 2 x – 1 x = 0 y 2 3 2 1 noktasında fonksiyon süreksizdir. –1 0 x 1 [–1, 1] aralığında fonksiyon sınırlıdır. Ancak alt ve üst sınırlarına hiçbir zaman ulaşamaz. Bu nedenle f nin minimum veya maksimum değeri yoktur. ETKİNLİK d) f (x) = ,nx + 2 fonksiyonunun en küçük değeri var mıdır? Neden? Z ] 2 + sin 2 x ] f (x ) = [ 3 ]] \ 1 – cos x , , , r <x<r 2 x=r r < x < 2r fonksiyonunun maksimum veya minimum değerlerinin olup olmadığını belirleyiniz. 243 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz. f–1 f y y f(x) = 2x f–1(x) = log2x 1 x 0 0 x 1 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM ∀x ∈ R için f(x) = 2x süreklidir. ∀x ∈ R+ için f(x) = log2x süreklidir. f–1 f y y y=x2 ∀x ∈ R için f(x) = x2 süreklidir. ∀x ∈ R+ ∪ {0} için f–1(x) = x süreklidir. f y f–1 f(x)=x3 y f–1(x) = 0 0 ∀x ∈ R için f(x) = x3 244 x x 0 x 0 f–1(x) = x x x süreklidir. 3 3 ∀x ∈ R için f–1(x) = x süreklidir. ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK KAVRAMSAL ADIM [a, b] aralığında tanımlı, sürekli bir fonksiyonun minimum ve maksimum değerleri ile ilgili aşağıdaki grafikleri inceleyiniz. y y maks f(b) maks a x b 0 f(a) b 0 f(a) x a min f(b) w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z min (a, f(a)) minimum noktas›, (a, f(a)) maksimum noktas›, (b, f(b)) minimum noktas› (b, f(b)) maksimum noktas› y y maks f(d) maks f(c) c a a 0 c b x 0 d x b f(a) min f(c) min (a, f(a)) minimum noktas› (c, f(c)) maksimum noktas› (c, f(c)) minimum noktas›, (d, f(d)) maksimum noktas› y a 0 y b x a f, [a, b] de s›n›rl› ve süreklidir. 0 c b x f s›n›rl›, fakat sürekli de€ildir. 245 SINAMA ADIMI f (x ) = x 2 – 3x + 2 x 2 – mx + 4 fonksiyonunun R de sürekli olması 5. için hangisi doğrudur? B) m ∈ R – [–4, 4] A) –4 < m < 4 D) m ∈ (–∞, 4) log 1 (2x + 1) 2. f (x) = 2 1 A) b – , 3 l 2 x 2 + (m – 1) x + 3 x 2 – (2m + 2) x + 7m + 1 fonksiyonunun bir x değerinde süreksiz olduğu bilindiğine göre m kaç olmalıdır? C) –2 < m < 2 A) 1 E) m ∈ R – [–2, 2] fonksiyonu hangi kümede süreklidir? log (x 2 – 4) f (x) = B) 2 C) 3 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. 1 B) b – 1 , 3 l – {2} 2 6. C) (–2, 2) E) (–2, ∞) D) (2,∞ ) –3 3. , x <1 f(x) 1 0 x 1 B) lim + f (x) = 2 C) lim – f (x) = 1 D) f, x = 2 de süreklidir. x " –1 x " –1 E) f, x = 1 de süreklidir. C) 5 D) 6 E) 7 r 2 r , x= 2 , x≠ 7. f(x) fonksiyonunun sürekli olması için a aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? 246 2 x " –3 , x >1 Z ] 4 sin x – r f (x) = [ ] ax + 3 \ D) r – 3 , x =1 B) 3 2 A) r y A) lim f (x) = f (–3) f(x) fonksiyonu sürekli ise, m+n kaçtır? 4. E) 5 Şekilde R de tanımlanan f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? Z 2 + mx ] ] 3 f (x) = [ x 2 + 1 ] 1 + nx ] \ 2 A) 2 –2 –1 D) 4 2r 3 1. A 2 B) – r C) E) 2. D 2 – 2r r 3. E 2 + 2r r 4. E Zax + b ; x < 2 ] f (x) = [ a ; x=2 ] \ 3bx + c ; x > 2 fonksiyonunun sürekli olması için c; a’nın kaç katı olmalıdır? A) 5 5. E B) 6 6. E C) 7 7. C D) 9 E) 10 SINAMA ADIMI 12. x <1 y x ≥1 2 1 1 fonksiyonu hangi x değeri için süreksizdir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 3 –4 E) –1 –3 –2 –1 0 1 2 x 3 y=f(x) Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun, limiti olan ama sürekli olmayan x tam sayı değerleri kaç tanedir? A) 7 ; x < –1 ; ; x = –1 x > –1 fonksiyonunun x = –1 noktasında sürekli olması için a + b kaçtır? a) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2 13. f: R → R f(x) = D) 4 E) 3 x 2 – 4x + m fonksiyonu her x reel sayısı x 2 + mx + 9 için sürekli olduğuna göre, değerlerinin sayısı kaçtır? A) 2 Z2x + m ] 10. f (x) = [ 16 ] \ –x + n + 2 C) 5 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 9. Z ax + 1 ] ] 3 f (x) = [ 2 ]] \ b + 2x B) 6 B) 3 C) 4 m’nin alabileceği tam sayı D) 5 E) 7 , x<3 , x=3 , x>3 fonksiyonu x = 3 noktasında sürekli olduğuna göre, m – n toplamı kaçtır? A) 7 B) 5 14. f (x) = C) –3 D) –5 E) –7 cos (x + 1) cos x + cos 2 x dir? r + k2r V x = r + k2r, k ! Z / 2 A) R – % x = " B) R – % x = Zmx + k ]] 5 11. f (x) = [ ]] 2 x + m \ ; ; 1< x x =1 ise ise ; x <1 ise fonksiyonu R’de sürekli olduğuna göre, k kaçtır? A) –2 B) –1 8. A C) 0 9. C D) 1 10. E r + k2r V x = k2r, k ! Z / 2 C) R – % x = – r + k.2r V x = –r + k2r, k ! Z / 2 D) R – % x = " r + k2r V x = k2r, k ! Z / 2 E) R – % x = " r r + k2r V x = k , k ! Z / 2 2 E) 2 11. D fonksiyonu hangi aralıkta sürekli- 12. E 13. A 14. A 247 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 8. Z 1 ] , ]x – 3 f (x) = [ x , ]] log 2 (x + 1) – 3 \ 1 SINAMA ADIMI 4. ; x < 0 ise f (x) = 1 x–2 olduğuna göre (fofof)(x) fonksiyonunun ; x = 0 ise süreksizlik noktası aşağıdakilerden hangisidir? ; x > 0 ise A) 2 B) 5 2 C) 5 12 D) 12 7 E) 12 5 f(x) fonksiyonu aşağıdaki noktalardan hangisinde süreksizdir? A) –4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0 w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. Z 1 ] 2 ]x – 9 ] 1 f (x) = [ ]x – 4 ]x –1 ]x+4 \ 2 5. f : [0, 3] → |R, f(x) = x2 – 2x fonksiyonu için f([0, 3]) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [–1, 2] B) [–1, 0] D) [–1, 3] 2. Z 2 ] 3x + 1 ]] x 2 + x – 2 r [ f (x) = ] tan x ]] 2 x – 16 \ C) [–1, 2] E) [–1, 4] ; x < –1 ise ; –1 ≤ x < 3 ise ; x≥3 ise biçiminde tanımlı f(x) fonksiyonu x’in kaç farklı tam sayı değeri için süreksizdir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. f (x) = –2x 2 x2 + 6 fonksiyonu R’de sürekli ise, – 3x + a + 1 a aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz? A) –2 x3 – 1 3. f (x) = * x2 – 1 , x ≠1 a –1 , x =1 7. f (x) = kuralıyla verilen f fonksiyonunun sürekli olması için a ne olmalıdır? 3 A) 2 248 5 B) 2 7 D) 2 C) 3 1. B 2. D 3. B E) 4 A) : B) –3 C) –4 D) –5 E) –6 |x | fonksiyonu hangi aralıkta süreklidir? 2x + 1 log b l 2 1 , 3l 2 B) b – D) b 4. E 1 , 3l 2 1 , 3l 2 5. D C) : – E) b – 6. A 1 1 , l 2 2 7. D 1 , 3l 2 SINAMA ADIMI Z ] –2 sin x ]] 12. f: IR → IR , f (x) = [ a sin x + b ] ]] cos x \ fonksiyonunda x = e deki sıçrama miktarı nedir? A) 2e – 1 2 B) D) – 2e – 1 2e 5e 2 C) E) 5 2 2e – 1 3e 3+1 ise r r <x< ise 2 2 r ≤ x ise 2 , – , (a, b) kaçtır? A) (0, 1) B) (–1, 1) C) (0, –1) E) (1, 1) w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z 1 f (x) = 2 x r 2 fonksiyonu veriliyor. f, R de sürekli olduğuna göre, D) (–1, 0) 9. , x≤– fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir? A) R – {–1, 1} C) ∅ B) R – {1} D) R – {0} E) R – {–1} 13. f (x) = x2 x2 + x + 1 fonksiyonunun IR de sürekli olması – 2mx + 3m için m hangi aralığın elemanı olmalıdır? A) ( 3 , 3) B) (– 3 , 3 ) (0, 3 ) C) (0, 3) E) (0, 1) 10. f(x) = cosx fonksiyonunun süreksizlik kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) R – (–1, 1) B) R – [–1, 1] r D) R – % / 2 11. f (x) = x 2 – mx + m – 1 C) R – {0} E) ∅ fonksiyonunun R de sürekli ol- duğu bilindiğine göre m’nin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 8. C 9. E D) 2 10. E 14. f (x) = x +1 x 2 + 2 (a + 1) x + a + 4 fonksiyonunun IR de sürekli olması için a aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) –5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1 E) 1 11. D 12. B 13. C 14. E 249 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 8. Z2x – 2 , x<e ]] f (x) = [ 2 , x=e ]] \ ln x + 2x , x > e 2 SINAMA ADIMI 4. , x <1 , x =1 , x >1 f: IR → IR , f(x) = |x| fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir? A) R – Q B) R – N şeklinde tanımlanan f fonksiyonu IR de sürekli ise, C) R – Z D) R – {0} E) R a + b kaçtır? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 5. f (x) = x2 x 2 – 5x + 6 + 2mx + m + 6 fonksiyonunun IR de sürekli ol- ması için m nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç olmalıdır? w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 1. Z ]] | x – 3 | f: IR " IR , f (x) = [ 4a + 6 ]] 12 – 5bx \ 3 B) 0 A) –1 2. f (x) = ) 4.5 x 5x + 9a D) 2 E) 3 , x<2 , x≥2 şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun IR de sürekli olması için a kaç olmalıdır? A) 6 C) 1 B) 7 C) 8 D) 9 6. f (x) = E) 10 x2 x2 – 1 – 2x – 3 fonksiyonunun sürekli olduğu küme aşağıdakilerden hangisidir? A) (– 3 , – 1) ∪ ([1, 3 ) – {3}) B) (– 3 , –1) ∪ [1, 3 ) C) (– 3 , –1) ∪ (3, 3 ) D) (– 3 , –1) ∪ [1, 3) E) (– 3 , –1) ∪ (–1, 3 ) 3. y 7. 3 1 0 –2 3 4 5 Şekildeki grafiğe göre fonksiyon –1, 0, 1, 2, 3 noktalarından hangisinde süreklidir? y 4 3 2 x –1 0 1 2 3 x Şekilde verilen fonksiyonun kaç noktada limiti yoktur? A) 1 250 B) 2 C) 3 1. D 2. E D) 4 3. B E) 5 A) –1 B) 0 4. E C) 1 5. D 6. A D) 2 7. D E) 3 SINAMA ADIMI Aşağıdaki fonksiyonların hangisi x = 1 de süreklidir? A) f (x) = x2 –1 1 B) f (x) = A) [–3, 3] – {–1} B) [–3, 3] – {1} D) (–3, 3) – {1} 1 1 – x2 C) (–3, 3) – {–1, 1} E) [–3, 3] w w EZ w.m G u İ G ra Ü t-ko LE c R .co YÜ m Z E ) f (x) = fonksiyonunun sürekli olması için x hangi aralıkta olmalıdır? x2 – 1 cos r + 1 D ) f (x ) = log x |x – 1 | C ) f ( x) = 2 x – 2x + 1 9 – x2 x 2 + 2x + 1 11. f (x) = 12. f(x) fonksiyonu (a, b) açık aralığında sürekli bir fonksiyon olmak üzere aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi (a, b) aralığında süreklidir? A) 9. 1 f (x) C) ,nf (x) B) f (x) D ) | f (x ) | y E) 1 1 + f (x ) 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 1 2 x 3 Şekildeki grafiğe göre fonksiyonun x = –3, x = –1, x = 1, x = 2, x = 3 noktalarından sürekli olanların ordinatları toplamı kaçtır? A) –1 B) –3 C) 2 D) 3 E) 4 13. f (x) = * x 2 – 16 x–4 m x≠4 x=4 fonksiyonunun x = 4 apsisli noktada sürekli olması için m ne olmalıdır? A) 4 10. f (x) = 3 x2 – 9 x 3 – x 2 – 6x B) 5 B) {–2, 0} D) {–3, 0, 2, 3} C) {–2, 3} E) {–3, 2, 3} 14. f (x) = E) 8 9. E 10. A x2 x3 + 1 fonksiyonu x = –1 de süreksiz oldu+ 3x + a ğuna göre, a kaçtır? A) –2 8. A D) 7 fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalarının apsisleri aşağıdakilerden hangisidir? A) {–2, 0, 3} C) 6 B) –1 11. A C) 0 12. D 13. E D) 1 14. E E) 2 251 ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK 8. 3