N. K. Ekinci Ekim 2015 İktisadi Analiz Ders Notu: Doğrusal Üretim

N. K. Ekinci
Ekim 2015
İktisadi Analiz Ders Notu: Doğrusal Üretim Modelleri ve Sraffa Sistemi
1. Tek Sektörlü Ekonomide Gelir Dağılımı
Tek mal (buğday) üreten bir ekonomi ele alalım. 1 birim buğday üretimi (birim alanda) a11 kadar buğday girdisi ve l kadar emek girdisi gerektiriyor olsun:
(a11/dönem, l/dönem) → 1 birim buğday/dönem.
Karışıklığa yol açmadıkça bundan sonra birimlerde dönem belirtilmeyecektir. Buna göre (bir dönem
için) net buğday üretimi = 1 – a11 olacaktır. Burada genel olarak
Q = brüt üretim
Y = net (nihai) üretim dersek
Q = a11Q + Y = ara girdi kullanımı + Net (nihai) üretim
(1.1)
olmak üzere
Y = Q – a11Q = (1 – a11)Q
ya da
(1.2)
olur. Dolayısı ile bu ekonomi ancak ve ancak a11 < 1 ise üretkendir, yani herhangi bir pozitif nihai
üretim mümkündür. Başka bir anlatımla bir ekonomi üretken ise artık üretim (pozitif net üretim)
mümkündür.
Şimdi, bir birim brüt üretim l birim emek girdisi gerektirdiğine, 1 birim brüt üretim (1 – a11) nihai üretim yarattığına göre 1 birim nihai üretim
λ = l/(1 – a11)
kadar emek içerecektir. Yani λ bir birim nihai üretimin içerdiği doğrudan ve dolaylı emek miktarıdır
ve emek değer teorisine göre buğdayın değeridir.
Şimdi bu sistemin fiyat denklemini, ücretin dönem sonunda ödendiği varsayımı ile
p = buğdayın nominal fiyatı
w = nominal ücret
r = kâr oranı
olmak üzere
p = (1 + r)pa11 + wl
(1.3)
olarak yazabiliriz. Ücret dönem sonunda ödendiği için birim sermaye gereksinimi içinde değildir.1
Birim sermaye gereksinimi sadece ara girdi maliyeti olan pa11 dir ve kâr bunun üzerinden hesaplanır.
Bu fiyatlamayı farklı şekilde ifade edersek
1
Eğer ücret dönem başında ödenseydi p = (1 + r)(pa 11 + wl) olurdu.
p(1 – a11) = rpa11 + wl
(1.3’)
yani katma değer = sermayenin payı + ücretin payı
olmak üzere bildiğimiz bir biçim alırdı. Şimdi, (1.3) denkleminden ilk olarak:
A) r = 0 ise
p = pa11 + wl
p(1 – a11) = wl
w/p = (1 – a11)/l = 1/λ
(1.4)
olacaktır. Buna göre bu ekonomide ödenebilecek maksimum (buğday cinsinden) reel ücret (w/p) bir
birim emeğin üretebileceği net buğday miktarı olan 1/λ kadar olabilir. Tersinden bakarsak
p/w = buğdayın ücret cinsinden reel fiyatı = λ
demektir ki bu da r = 0 olduğunda malın (ücret cinsinden) reel fiyatı içerdiği toplam (doğrudan dolaylı) emek miktarına eşit olur demek olur.
b) w = 0 ise
p = (1 + r)pa11
1 = (1 + r)a11
rm = 1/a11 – 1 = (1 – a11)/a11
(1.5)
olur ki bu da bu ekonomide elde edilebilecek en yüksek kâr oranıdır. Doğal olarak ekonomi hiç bir
zaman bu kâr oranına ulaşamayacaktır. Öyleyse bu ekonominin reel ücret-kâr oranı çizelgesi (bölüşüm
olanakları çizelgesi, faktör fiyat çizelgesi) Şekil 1.1’deki gibi olacaktır.
r = kâr oranı
rm
ro
vo
1/ λ
w/p = reel
ücret
Şekil 1.1 Tek Sektörlü Ekonomide Gelir Bölüşümü Olanakları
Dikkat edilirse bu kurguda bölüşüm olanakları çizelgesi doğrusaldır, reel ücret arttıkça kâr oranı aynı
oranda düşer. Çizelgenin denklemi (1.3) fiyat denklemini yeniden düzenleyerek:
p = (1 + r)pa11 + wl
1 = (1 + r)a11 + (w/p)l
(1 – a11) – (w/p)l = ra11
( –
)
(1.6)
olarak elde edilir.
Şimdi, maksimum ücret düzeyinde ( r = 0 iken) p/w = λ olduğunu gördük. Ama kâr oranı pozitif olunca (ücret cinsinden) reel fiyat değerden farklılaşacaktır. (1.3) denklemini düzenlersek:
p = (1 + r)pa11 + wl
p/w = (1 + r)(p/w)a11 + l
(p/w)[1 – (1 + r)a11] = l
(p/w) = l/[1 – (1 + r)a11] = l/[1 – a11 – ra11]
(p/w) =
–
–
(1.7)
olur. Kâr oranı (r) pozitif ise p/w > λ olur ve r arttıkça p/w artar.2 (1.7) denkleminin paydasındaki
a11/(1 – a11) bir birim net üretimin gerektirdiği doğrudan dolaylı ara girdi miktarı ya da bir birim net
üretimin sermaye gereksinimidir. Bu sermaye üzerinden kâr hesaplanması reel fiyatın değerden sapmasına yol açmaktadır. Başka bir anlatımla kapitalist fiyatlama veri bir kâr oranına göre gelir dağılımını birim sermaye kullanımı ile orantılı kâr yaratacak şekilde belirlemek üzere yapılır. Kâr oranı
ve/veya birim sermaye kullanımı yüksekse (ücret cinsinden) fiyat içerilen emek değerinden büyüktür.
Örnek 1.1: Üretim tekniği (a11, l) = (0.5, 3) → 1 birim buğday olsun. Ekonomide nominal ücret w = 2
olsun. Buradan
λ = l/(1 – a11) = 3/0.5 = 6
olur. Yani bir birim brüt buğday üretimi 3 birim emek gerektirirken, her brüt birim 0.5 net üretim yarattığından, bir birim net buğday üretimi doğrudan ve dolaylı toplam 6 birim emek girdisi gerektirir.
Ekonominin fiyat denklemi
p = (1 + r)0.5p + 3w
= 6/[0.5(1 – r)]
olur. Buradan Şekil 1.1’de (maksimum kâr oranı) rm = (1 – a11)/a11 = 0.5/0.5 = 1 (ya da %100) olur. Bu
ekonominin ödeyebileceği maksimum reel ücret 1/λ = 1/6 olacaktır. Şimdi, fiyat denklemini kullanarak aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz:
Kâr Oranı (r) Fiyat (p) Reel Ücret (w/p) p/w
1
∞
0
∞
0.99
1200
0.00
600
0.8
60
0.03
30
0.6
30
0.07
15
0.4
20
0.10
10
0
12
0.17 = 1/6
6
Görüldüğü gibi p/w kâr oranı ile sürekli artmaktadır.
2
r arttıkça (7) ifadesinin payı aynı kalırken, paydası azalır, yani p/w artar. Daha formel olarak (7) ifadesinin r’ye
göre türevini alarak d(p/w)/dr > 0 olduğu gösterebiliriz.
2. İki Sektörlü Ekonomi Miktar Denklemleri
İki mal (birinci mal x ve ikinci mal y) üreten bir ekonomide girdi gereksinimleri (bir dönem için oldukları unutulmadan)
(a11, a21, l1) → 1 birim x,
(a12, a22, l2) → 1 birim y,
olsun. Buna göre x üretimi a11 kadar kendinden, a21 kadar y-sektöründen ara girdi ve l1 kadar doğrudan
emek kullanarak 1 birim brüt üretim yapar. y-üretiminin girdi gereksinimleri benzer şekilde yorumlanır. Ara girdi gereksinimleri sütunları her sektörün girdileri olacak şekilde matris olarak yazılırsa girdi-çıktı katsayı matrisi elde edilir:
[
]
Şimdi,
[
]
iki malın herhangi bir miktarda brüt üretimini göstermek üzere
[
][
]
[
]
elde edilir ki AQ’nün elemanları Q1 kadar x, Q2 kadar y-malı brüt üretiminin her mal için toplam ara
girdi kullanımını verir. Q1 = 1, Q2 = 1 koyarsak, A matrisinin satır toplamlarını elde etmiş oluruz ki
bunlar da bize ilgili malın tüm sektörlerce birer birim brüt üretim yapıldığından toplam ara girdi olarak
kullanımını verir. Örneğin birinci satır toplamı (a11 + a12) 1 birim x, 1 birim y-malı brüt üretimi yapıldığında x-malının toplam ara girdi olarak kullanımıdır. Öyleyse,
[
]
[
]
[ ]
olmak üzere
Q = AQ + Y
(2.1)
ya da I birim matris olmak üzere
Y = Q – AQ = (I – A)Q
(2.2)
bize her mal için veri bir brüt üretim miktarlarına karşı gelen nihai üretim miktarlarını gösteren nihai
üretim vektörünü (Y) verir. Bu ifade (1.2)’nin genel durumdaki halidir (burada n-sektör olsaydı da A
nxn olmak üzere aynı ilişki geçerli olacaktı).
Örnek 2.1:
[
]
–
[
]–[
]
[
–
–
]
olur. O halde Q = (1, 1) olmak üzere her maldan bir birim brüt üretim yapılırsa nihai üretim miktarları
(
)
–
[
–
][ ]
[
]
olur. Çünkü A’nın birinci satır toplamı 0.9’dir. Öyleyse birer birim brüt üretim yapılırsa 0.1 birim net
x-malı kalır. A’nın ikinci satır toplamı da 0.9’dir. Öyleyse birer birim brüt üretim yapılırsa 0.1 birim
net x-malı kalır.
Şimdi bu ekonomi hangi koşullarda üretken olur? Yani herhangi bir pozitif
[ ] nihai üretim
vektörünü üretmek hangi koşullarda mümkündür? (2.2)’den
Q = (I – A)–1Y
(2.3)
olduğuna göre bir ekonomi üretken ise keyfi bir (pozitif) Y vektörüne karşı gelen brüt üretim vektörü
Q pozitif olmalıdır. Bu da ancak (I – A)–1 ters matrisinin bütün elemanları pozitif ise olabilir.
Örnek 2.2:
[
Bir ekonomide
olur. Şimdi
–
]
]–[
[
]
–
[
–
]
[ ] yani sadece bir birim x-malı nihai üretimi yapılmak istensin. (2.2)’den
(
[ ]
)
[
–
][
–
]
[
]
olmalıdır. Yani aradığımız brüt üretim miktarları
0.5Q1 – 0.3Q2 = 1
–0.4Q1 + 0.2Q2 = 0
denkleminin çözümüdür. İlk denklemi dört ile ikinciyi beş ile çarparak
2Q1 – 1.2Q2 = 4
–2Q1 + Q2 = 0
olur. Bu iki denklemi toplarsak
–0.2Q2 = 4
→
cak şekilde pozitif
Q2 = –20 olacaktır. İşlemi sürdürürsek Q1 = –10. Dolayısı ile
[
[ ]
ola-
] brüt üretim miktarları yoktur ve bu ekonomi üretken değildir: bir maldan
bir birim nihai üretim bile yapamaz. Aslında
(
)
[
–
–
]
[
–
–
]
olduğundan yani (I – A) matrisinin tersinin tüm elemanları eksi olduğundan, bu ekonomi hiçbir pozitif
nihai üretimi gerçekleştiremez.
Örnek 2.3:
Örnek 2.1’deki teknoloji matrisi ile
[
–
]
]–[
[
]
[
–
–
]
olduğunu biliyoruz. Burada
(
)
[
]
olur. Buna göre bu ekonomi her nihai üretimi yapabilir. Çünkü
Q = (I – A)–1Y
denklemi her Y pozitif Y vektörü için pozitif Q vektörü verir. Örneğin bu ekonomide
nihai üretimi
(
)
[
][ ]
[
[ ]
] olmak üzere mümkündür. Dikkat edilirse
[ ] nihai üretimi için gerekli brüt üretim (I – A)–1 matrisinin birinci sütunudur ve bir birim net xüretimi için gerekli doğrudan ve dolaylı toplam brüt üretim miktarlarını gösterir. Yani ekonomi Q =
] üretimi yaparsa bunun
[
[ ] kadarı nihai üretim, Q – Y = [
nımı olacaktır. Benzer şekilde
[ ] olsaydı
[
] kadarı ise ara girdi kulla-
] olmak üzere ters matrisin ikinci sütunudur
ve bir birim net y-üretimi için gerekli doğrudan ve dolaylı toplam brüt üretim miktarlarını gösterir.

A matrisinin sütunları karşı gelen malın 1 birim brüt üretimi için gerekli doğrudan girdi miktarlarını verirken, (I – A)–1 matrisinin sütunları karşı gelen malın 1 birim nihai üretimi için gerekli doğrudan ve dolaylı brüt üretim miktarlarını verir. Burada dolaylılık her aşamada gerekli
doğrudan girdiyi üretmek için gerekli girdileri içermek anlamındadır.
Peki bir ekonominin üretken olması teknoloji için nasıl bir kısıt getirir. Tek sektörlü durumda üretkenlik için 1 – a11 > 0 olması gerektiğini gördük. Burada da benzer koşullar geçerlidir. Şimdi,
–
[
] olduğuna göre det(I – A) = (1 –a11)(1 –a22) – (a12a21) ve
–
( – )
[
]
olur. Öyleyse ters matrisin elemanlarının negatif olmaması yani ekonominin üretken olması için


det(I – A) = (1 – a11)(1 – a22) – (a12a21) > 0
(1 – a11) > 0 ve (1 – a22) > 0 ya da a11 < 1 ve a22 < 1
olmalıdır (a12 ve a21 tanım gereği pozitiftir).3 İkinci koşul gayet açıktır: her sektör kendi doğrudan girdi
kullanımından daha fazla üretim yapabilmelidir. Determinant koşulunu daha okunabilir hale getirmek
için
s1 = a11 + a12 = A’nın birinci satır toplamı
s2 = a21 + a22 = A’nın ikinci satır toplamı
tanımlaması yaparsak koşul
det(I – A) = (1 – a11)(1 – a22) – (s1 – a11)( s2 – a22) > 0
halini alır ve sağlanması için yeterli bir koşul
s1 < 1 ve s2 < 1
olmasıdır. Yani her iki satır toplamı birden küçük olan bir A matrisi üretken bir ekonomiyi tanımlar.
Her iki satır toplamı bire eşit ise det(I – A) = 0 olur ve ters matris yoktur, ekonomi üretken olamaz. Bu
koşulun her iki satır toplamı da birden büyük iken sağlanamayacağı da açıktır. Ama bir satır toplamı
birden büyük, diğeri küçük iken sağlanabilir. Örneğin,
[
–
]
[
–
–
]
(
)
[
]
olur. Ancak satır toplamları arttıkça koşul bir noktadan sonra sağlanamaz, dolayısı ile satır toplamlarından biri birden küçük iken, birden büyük olan diğeri “çok” büyük olmamalıdır.
3. Değerler
Şimdi yukarıda belirtildiği gibi l =(l1, l2) emek girdi vektörü
girdilerini gösterir. Üretken ekonomide bir
[ ] için gerekli olan doğrudan emek
[ ] için gerekli doğrudan ve dolaylı üretim miktarları
Q = (I – A)–1Y olduğuna göre
λ =(λ1, λ2) = l(I – A)–1Y
(3.1)
bize her maldan birer birim nihai üretim yapıldığında her mal için kullanılacak doğrudan ve dolaylı
emek miktarlarını yani emek değer teorisi açısından değerleri verir.
Örnek 3.1: Örnek 2.3’teki sistemde l =(l1, l2) = (1, 1.2) olsun. Buna göre
(
)
(
)[
]
(
)
olacaktır. Bir birim nihai x-malı üretimi toplamda 9.5 birim, y-üretimi ise 12.5 birim emek girdisi gerektirir. Emek değer teorisine göre birinci malın ikincisi cinsinden değeri (göreli fiyatı) içerdikleri
toplam emeklerin oranı olan:
λ1/λ2 = 9.5/12.5 = 0.76
olur.
3
Bu koşul Hawkins-Simon koşulu olarak bilinen genel koşulların 2x2 için halidir.
4. İki Sektörlü Ekonomi Sraffa Sistemi ya da Fiyat Denklemleri
Şimdi girdi katsayıları
] ve l =(l1, l2) olan üretken bir ekonomide (1.3) fiyat denklemi-
[
nin karşılığı
p1 = x-malının nominal fiyatı
p2 = y-malının nominal fiyatı
w = nominal ücret
r = kâr oranı
olmak üzere
p1 = (1 + r)(p1a11 + p2a21) + wl1
p2 = (1 + r)(p1a12 + p2a22) + wl2
(4.1)
olur. Burada yine ücretlerin dönem sonunda ödendiğini varsaydık. Her iki sektörde kadim klasik varsayım gereği kâr oranları eşitlenmek gerektiğinden aynı kâr oranı kullanılmıştır. Birinci mal için (p1a11
+ p2a21) kullanılan doğrudan birim girdilerin değeridir ve bu modelde de malın üretiminde kullanılan
birim sermayeyi gösterir. Denklemleri
p1 – (p1a11 + p2a21) = r(p1a11 + p2a21) + wl1
p2 – (p1a11 + p2a21) = r(p1a12 + p2a22) + wl2
katma değer biçiminde ifade edersek, sol taraflar birim katma değeri, sağ tarafla ise bunun ücret ve kâr
arasında dağılımını gösterir. Dikkat edilirse sermayenin payı kâr oranı (r) ile kullanılan sermayenin
çarpımıdır. Sraffa sisteminde klasik anlayışta olduğu gibi fiyatlandırma katma değeri veri olan kâr
oranı ve nominal ücrete göre emek ve sermaye arasında dağıtmak üzere yapılmaktadır. Dolayısı ile kâr
oranı değiştikçe fiyatlar ve göreli fiyatlar da değişecek ve değerlerden farklılaşacaktır. Şimdi (2.4)
sistemini matris notasyonu ile yazarsak
p = (p1, p2)
satır nominal fiyat vektörü olmak üzere
(
)(
)[
(
]
)
(4.2)
elde ederiz. Buradan
–(
)(
( –(
)[
) )
]
(
(
)
)
(4.3)
olur. Şimdi,
A. r = 0 ise (4.3)
( – )
(
(
)( – )
) halini alır ve buradan da ekonomi üretken olduğuna göre
(
)
(
)( – )
(
)
olmak üzere ücret cinsinden göreli fiyatlar içerilen toplam emek miktarlarına eşit olur ve
p1/p2 = λ1/λ2
olur. Yani kâr oranı sıfır ise malların birbirleri cinsinden göreli fiyatları emek değer teorisi uyarınca
belirlenir.
B. w = 0 ise (4.3) ( – (
) )
halini alır. Burada p sıfırdan farklı olmak gerektiğine göre bu
homojen denklem sistemi a.v.a det(I – (1 + r)A) = 0 ise sıfırdan farklı çözüm üretir. Yani öyle bir rm >
0 olmalıdır ki
det(I – (1 + rm)A) = 0
olsun. Bu da bu ekonominin sağlayabileceği en yüksek kâr oranı olacaktır. Örneğin Örnek 2.3’teki
[
] matrisi için rm = 0.1111 (yani %11.11) olur, çünkü:
[
–(
]
)
[
–
–
]
olur ki bu matrisin determinantı sıfırdır. Bu ekonomide ücret sıfır olduğunda kâr oranı en çok %11.1
olabilir. Üretken her A matrisi için rm > 0 vardır ve tektir.
r = kâr oranı
rm
ro
w/s = reel ücret
vo
1/ λ
Şekil 4.1. İki Sektörlü Ekonomide Gelir Bölüşümü Olanakları
Şimdi Şekil 1.1’in benzerini burada da gösterebilmek için “reel ücret” eksenini tanımlamamız gerekiyor. Tek mallı modelde reel ücreti o mal cinsinden ifade ettik. Burada w/p 1, w/p2 ya da p = ap1 + bp2
gibi bir fiyat endeksi ile w/p hesaplayabiliriz. Bunların hepsi r = r m olduğunda reel ücret = 0 olacaktır,
ama maksimum reel ücret her durumda farklı olacağından Gelir Bölüşümü Olanakları Eğrisi farklılaşacaktır. Yani gelir dağılımı olanakları “numeraire” (birim) seçiminden bağımsız değildir. Keyfi bir birim ile gelir dağılımı olanakları eğrisi doğrusal olmayabilir. Kâr oranı arttıkça reel ücret her birim
cinsinden düşer ama bu düşüş bir doğru üzerinde olmayabilir. Sraffa gösterdi ki A matrisi ile verilen
teknoloji için özel olan bir ağırlıklandırma ile seçilen bir fiyat endeksi cinsinden gelir dağılımı olanakları doğrusal olacaktır. Burada a* ve b* A teknolojisine bağlı olarak elde edilen özebir (unique) ağırlıklar olmak üzere4
s = a*p1 + b*p2
fiyat endeksi için gelir dağılım olanakları Şekil 4.1’de gösterilmiştir. Sraffa fiyat sisteminin genel çözümü (2.6)’dan veri bir nominal ücret w için
(
4
)( – (
) )
(2.7)
z = 1/(1 + rm) olmak üzere Ax = zx koşulunu sağlayan x = (a*, b*) vektörü arzu edilen katsayıları verir.
olacaktır. Buradaki ters matris “r” ile değişeceğine göre çözüm de genel olarak öngörülemeyecek şekilde değişir. Genel olarak kâr oranı arttıkça hangi malın göreli fiyatının artacağını öngöremeyiz. Örnek 2.3’teki
[
] matrisi ve w = 1 için hesaplamalar aşağıda özetlenmiştir. Burada w = 1
olduğundan fiyatlar p/w olmak üzere emek cinsindendir ve doğrudan değerler ile karşılaştırılabilir.
Kâr
0
2
4
6
oranı(%)
p1
11.57
14.80
20.57
9.5
p2
15.26
19.57
27.26
12.5
w/p1
0.105
0.086
0.068
0.049
w/p2
0.080
0.066
0.051
0.037
w/s
0.045
0.037
0.029
0.021
s = p1 + p2 (bu teknoloji için z = 0.9, a* = b* = 1 olur)
8
10
33.75
44.83
0.030
0.022
0.013
94.36
125.64
0.011
0.008
0.005
5. Değerlendirme
Sraffa sistemini sonuçlarını toparlarsak:
1. Sraffa klasik anlamda sektörler arası kâr oranlarını eşitleyecek şekilde bir fiyat sisteminin mümkün
olduğunu göstermiştir. Kâr oranı sıfır iken göreli fiyatlar emek değer teorisi ile belirlenir. Kâr oranı
arttıkça göreli fiyatlar emek değerlerinden farklılaşır ama genel olarak hangi malın göreli fiyatının
nasıl değişeceğini bilemeyiz.
2. Bunun nedeni, kâr oranı arttıkça fiyatlar değişmekte, fiyatlar değiştikçe birim sermaye kullanımları
değişmektedir. Tek sektörlü ekonomide biri sermaye kullanımı (a11) fiyatlardan bağımsızdır, kâr oranı
arttıkça fiyat monoton doğrusal artar. Ama mevcut durumda birim sermaye kullanımları
K1 = (p1a11 + p2a21)
K2 = (p1a11 + p2a21)
olduğundan kâr oranı değiştikçe fiyatlar, buna bağlı olarak da birim sermaye kullanımları değişecektir.
Bu değişmeler düzenli olmadığından sektörler arası sermaye yoğunluğu ve eşit kâr oranı ile orantılı
kâr dağılımları değişeceğinden göreli fiyatların ne yönde değişeceği belirsizdir.
3. Sraffa sisteminin en önemli sonuçlarından birisi bu son gözlemden kaynaklanır. Sermaye yoğunluğu
tanımlayabilmek için fiyatları, fiyatları belirleyebilmek için kâr (faiz) oranını bilmemiz gerekir. Dolayısı ile sermaye mallarının da A matrisi uyarınca mallarla üretildiği bir dünyada neoklasik iktisadın Y
= F(K, L) biçimindeki üretim fonksiyonunda yer aldığı biçimiyle bir “K = sermaye” tanımlamak, ve
bu K’nın “marjinal üretkenliği” üzerinden kâr oranını “belirlemek” döngüsel muhakeme yürütmek
demektir.