ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI 1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, x2 + cx + 4d = 0 denkleminin kökleri a ve b, x2 + ax + 4b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz. 2. sin 4 x + 4 cos 2 x − cos 4 x + 4 sin 2 x ifadesinin en sade halini bulunuz. 3. x,y ∈ R ve x ≥ 0 olmak üzere, x3 + 3y2 = 6x x + 15y eşitliğini sağlayan en büyük y değerini bulunuz. 4. a ≠ 0 ve a,b,c ∈ R olmak üzere ax2 + bx + c 〉 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (-1,3) açık aralığıdır. Buna göre, cx2 + bx + a 〈 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 5. a 〉 0 olmak üzere, denklemi y = ax2 + bx + c olan parabolün tepe noktasının 1 5 koordinatı ( ,− ) dır. a + b + c toplamı bir tamsayı olduğuna göre, 2 3 a’ nın alabileceği en küçük değeri bulunuz. 6. P(x) = a 50 x 50 + a 49 x 49 + ...... + a1x + a 0 polinomunda der [P( x )] = 50, a 50 〉 a 49 〉.....〉 a 2 〉 a1 ve her i ∈ {1,2,3...,50} için a i terimleri 3’ün katı olan ardışık tek sayılardır. P(x) polinomunun sabit terimi 5 olduğuna göre, bu polinomun x + 1 ile bölümünden kalanı bulunuz. ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI 7. Yandaki şekilde ABC üçgen [AB] ⊥ [AC] , [PK ] ⊥ [BC] , ∧ ∧ BK = KC , m( ATP ) =m( PTC ) , AT = 3 cm, BT = 5 cm olduğuna göre, CT nin kaç cm olduğunu bulunuz. → → → 8. ABC üçgeninin iç bölgesinde bir P noktası alınıyor. PA + 2 PB +3 PC = 0 olduğuna göre, ABC üçgeninin alanının, APC üçgeninin alanının kaç katı olduğunu bulunuz. 9. Yandaki şekilde ABC üçgen ∧ ∧ ∧ m( BAC) =1100, m( BDA ) =600, m( BCA ) =400, AB = 2 cm olduğuna göre, DC nin kaç cm olduğunu bulunuz. 10. Yandaki şekilde ABC üçgen TK doğrusu [BC] doğru parçasının orta dikme doğrusudur. [AK ] ve [TK ], ABC üçgeninin çevrel çember üzerindeki K noktasında ∧ ∧ kesişmektedirler. m( ABC) =510, m( ACB) =210 ∧ ∧ olduğuna göre, sin( TKA ) +cos( TKA ) ifadesinin sayısal değerini bulunuz. ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ 1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, x2 + cx + 4d = 0 denkleminin kökleri a ve b, x2 + ax + 4b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz. Çözüm: x 2 + cx + 4d = 0 ⇒ a + b = −c ⇒ a + c = −b ⇒b=d x 2 + ax + 4b = 0 ⇒ c + d = −a ⇒ a + c = −d a ⋅ b = 4d ⇒ a = 4 ⇒ b = −8 ve c ⋅ d = 4b ⇒ c = 4 2. sin 4 x + 4 cos 2 x − d = −8 ⇒ b + d = −16 Cevap: -16 cos 4 x + 4 sin 2 x ifadesinin en sade halini bulunuz. Çözüm: (sin 2 x ) 2 + 4 cos 2 x − (cos 2 x ) 2 + 4 sin 2 x = (1 − cos 2 x ) 2 + 4 cos 2 x − (1 − sin 2 x ) 2 + 4 sin 2 x = cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 − sin 4 x + 2 sin 2 x + 1 = cos 2 x + 1 − sin 2 x + 1 = cos 2 x + 1 − sin 2 x − 1 = cos 2 x − sin 2 x = cos 2x Cevap: cos 2x ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ 3. x,y ∈ R ve x ≥ 0 olmak üzere, x3 + 3y2 = 6x x + 15y eşitliğini sağlayan en büyük y değerini bulunuz. Çözüm: x 3 − 6 x 3 + 3 y 2 − 15 y = 0 5 75 =0 ( x 3 − 3) 2 − 9 + 3( y − ) 2 − 2 4 5 111 ( x 3− 3 ) 2 + 3( y − ) 2 = 2 4 min max 5 111 x 3 − 3 = 0 ⇒ 3( y − ) 2 = 2 4 ⇒y= 5 37 + 2 2 Cevap: 5 37 + 2 2 4. a ≠ 0 ve a,b,c ∈ R olmak üzere ax2 + bx + c 〉 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (-1,3) açık aralığıdır. Buna göre, cx2 + bx + a 〈 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: y b c x 2 + x + = ( x + 1)( x − 3) < 0 ⇒ x 2 − 2x − 3 < 0 a a b ⇒ = −2 ve a -1 0 3 a<0 olmalıdır. x cx 2 + bx + a < 0 ⇒ c = −3 a c 2 b x + x +1> 0 a a ⇒ −3 x 2 − 2x + 1 > 0 ⇒ (3x - 1)(x + 1) < 0 1 ⇒ Ç.K = x ∈ R : −1 < x < 3 1 Cevap: Ç.K = x ∈ R : −1 < x < 3 ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ 5. a 〉 0 olmak üzere, denklemi y = ax2 + bx + c olan parabolün tepe noktasının 1 5 koordinatı ( ,− ) dır. a + b + c toplamı bir tamsayı olduğuna göre, 2 3 a’ nın alabileceği en küçük değeri bulunuz. Çözüm: 1 5 y = ax 2 + bx + c = a( x − ) 2 − 2 3 x = 1⇒ a + b + c = a Diğer taraftan, − 1 5 3a − 20 − = ∈Ζ 4 3 12 5 fonksiyonun alabileceği en küçük değer olduğuna göre 3 a+b+c ≥ − 5 3a − 20 ≅ −1,6 ⇒ ≥ −1 ⇒ 3a − 20 ≥ −12 3 12 ⇒ 3a ≥ 8 8 ⇒a≥ 3 Cevap: 8 3 6. P(x) = a 50 x 50 + a 49 x 49 + ...... + a1x + a 0 polinomunda der [P( x )] = 50, a 50 〉 a 49 〉.....〉 a 2 〉 a1 ve her i ∈ {1,2,3...,50} için a i terimleri 3’ün katı olan ardışık tek sayılardır. P(x) polinomunun sabit terimi 5 olduğuna göre, bu polinomun x + 1 ile bölümünden kalanı bulunuz. Çözüm: a 50 − a 49 = 6 a 48 − a 47 = 6 25 tane a 2 − a1 = 6 P(-1) = 25 ⋅ 6 + 5 = 155 Cevap: 155 ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ 7. Yandaki şekilde ABC üçgen [AB] ⊥ [AC] , [PK ] ⊥ [BC] , ∧ ∧ BK = KC , m( ATP ) =m( PTC ) , AT = 3 cm, BT = 5 cm olduğuna göre, CT nin kaç cm olduğunu bulunuz. Çözüm: Cevap:11 ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ → → → 8. ABC üçgeninin iç bölgesinde bir P noktası alınıyor. PA + 2 PB +3 PC = 0 olduğuna göre, ABC üçgeninin alanının, APC üçgeninin alanının kaç katı olduğunu bulunuz. Çözüm: D ve E noktaları sırasıyla AC ve BC kenarlarının orta noktası olsun. → → → PA + PC = 2.PD → → → 2( PB+ PC) = 4.PE → → → → → PA + 2PB+ 3 PC = 2.(PD+ 2 PE) = 0 → → O halde PD ve PE vektörleri doğrusal ve PD = 2 PE olur. Alan( ABC) 12S = =3 Alan( APC) 4S Cevap:3 ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ 9. Yandaki şekilde ABC üçgen ∧ ∧ ∧ m( BAC) =1100, m( BDA ) =600, m( BCA ) =400, AB = 2 cm olduğuna göre, DC nin kaç cm olduğunu bulunuz. Çözüm: 1 3 2 3 Cevap: 2 3 ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ Yandaki şekilde ABC üçgen 10. TK doğrusu [BC] doğru parçasının orta dikme doğrusudur. [AK ] ve [TK ], ABC üçgeninin çevrel çember üzerindeki K noktasında ∧ ∧ kesişmektedirler. m( ABC) =510, m( ACB) =210 ∧ ∧ olduğuna göre, sin( TKA ) +cos( TKA ) ifadesinin sayısal değerini bulunuz. Çözüm: sin150 + cos150 = x ⇒ sin2150 + 2.sin150.cos150 + cos2150 = x2 1 + sin300 = x2 1+ 1 2 3 6 =x ⇒ = x2 ⇒ x = 2 2 2 Cevap: 6 2