Document

5. ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN FONKSİYONLARININ DAĞILIMI
Pek çok alanda tanımlanan ve kullanılan tesadüf değişkenlerin büyük bir kısmı bir başka
tesadüfü değişken ya da değişkenlerin fonksiyonları olabilir. Bu bölümde bir ya da daha fazla
şans değişkeninin fonksiyonu olan bir şans değişkenine ait olasılık ya da dağılım
fonksiyonunun bulunması ile ilgilenilecektir. Diğer bir deyişle, X1, X2,…,Xn rassal değişkenler
kümesi ve bunların ortak olasılık dağılımı ya da yoğunluğu f(X1, X2,…,Xn) verilmişken,
Y=g(X1, X2,…,Xn) gibi rassal bir değişkenin olasılık dağılımı ya da yoğunluğu veya Yj=gj(X1,
X2,…,Xn), j=1,…,k, gibi birden fazla rassal değişkenin ortak olasılık dağılımı ya da yoğunluğu
bulunmaya çalışacaktır. Şans değişkenlerinin fonksiyonlarının dağılışı, dağılış teorisinin temel
aşamalarından birisidir. Bu amaçla kullanılan üç temel teknik:
1. Kümülatif dağılım fonksiyonu tekniği
2. Moment türeten fonksiyon tekniği
3. Transformasyon tekniği
5.1 Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Tekniği
Eğer X1, X2,…,Xn şans değişkenlerinin ortak dağılımı F xi  verilmiş ise Yj=gj(X1, X2,…,Xn)
olmak üzere Y1,Y2,…,Yk şans değişkenlerinin ortak dağılımı belirlenebilir. İlk olarak Y=g(X1,
X2,…,Xn) şeklinde tek bir şans değişkeni ele alınsın:
Fy  y   PrY  y   Prg xi   y 
olup bu olay her gerçel y değeri için,
Ay  x : g xi   y
şeklinde bir küme ile tanımlanabilir. Diğer bir ifade ile [Y≤y] ve [xAy] olayları denktir. Bu
durumda,
Fy  y   PrY  y   Prg xi   y 
olasılığı eğer X sürekli bir şans değişkeni ise Ay kümesi üzerinden f(xi) ortak olasılık
fonksiyonunun integrali ile ya da X kesikli şans değişkeni ise f(xi) ortak olasılık
fonksiyonunun toplanması ile elde edilir. Bununla birlikte [g(xi)≤y] olayı [x1≤X≤x2] ile
tanımlanan bir denk olay ile de ifade edilebilir. Burada hem x1 hem de x2 sınırları y
değişkenine bağımlıdır. Sürekli durum için;
Fy  y   PrY  y   Prg xi   y 


 Pr x  Ay  Prx1  X  x2 

x2
 f xi dx1  dxn
x1
 FX i x2   FX i x1 
yazılabilir.
Sürekli rassal değişkenlerden oluşan bir fonksiyonun olasılık yoğunluğunu elde etmenin
yollarından biri önce dağılım fonksiyonunu bulup türevini alarak,
f ( y) 
dF ( y )
dy
olasılık yoğunluğuna ulaşmaktır.
Örnek: X sürekli bir şans değişkeni olsun. y=x2 ile tanımlanan şans değişkeninin kümülatif
dağılım fonksiyonunu ve olasılık fonksiyonunu bulunuz.
 

Çözüm: Fy  y   PrY  y  Pr x 2  y  Pr  y  x  y

olasılıklar sol uç nokta baz alınarak
Fy  y   FX
 y   F  y 
X
şans değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu ise,
f y y 
  y   F  y 
d
FX
dy
 fX

X
 y  dyd  y   f  y  dyd  y 
1
2 y
X
 f  y   f  y 
X
X
Görüldüğü gibi Y şans değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu y=x2’ nin monoton olduğu
aralıkların temsil ettiği iki parçanın toplamı olarak ifade edilmiştir.
Teorem: X1, X2,…,Xn şans değişkenleri olmak üzere ortak olasılık yoğunluk fonksiyonları
f(x1, x2,…,xn) ise ve Y=g(xi) olarak tanımlanmış ise,
Fy  y   PrY  y  Prg xi   y
    f x1 , , x n dx1  dxn
Ay
Burada Ay  x : g xi   y.
Eğer şans değişkenlerinin sayısı birden fazla ise, Y1,Y2,…,Yk
için ortak kümülatif dağılım
fonksiyonu;
Fy  y1 ,, y k   PrY1  y1 ;; Yk  y k 
olarak tanımlanır. Burada her bir y1,y2,…,yk için,
Y1  y1 ;;Yk
 y k   g1  X 1 ,, X n   y1 ;; g k  X 1 ,, X n   yk 
olayları denktir. Burada denkliğin sağındaki olay verilen gj(X1, X2,…,Xn) fonksiyonlarına ve
verilen X1, X2,…,Xn şans değişkenlerine göre tanımlanmıştır. X1, X2,…,Xn ortak dağılımı
bilindiği için g1  X1 ,, X n   y1;; g k  X1 ,, X n   yk  olayının olasılığı hesaplanabilir ve
sonuç olarak,
Fy  y1 ,, yk 
belirlenebilir. Y1,Y2,…,Yk şans değişkenlerinin ortak dağılımını belirlemek için tanımlanan bu
teknik kümülatif dağılım fonksiyonu tekniği olarak adlandırılır.
Örnek: X şans değişkenininin olasılık yoğunluğu;
f x   6 x1  x  , 0  x  1
ile tanımlanmış ise, Y=X3’ ün olasılık yoğunluğunu bulun.
Çözüm: Y şans değişkeninin dağılım fonksiyonu Fy  y  ile tanımlanmış ise,



Fy  y   PrY  y   Pr x 3  y  Pr x  y1 3

y1 3
0

6 x1  x dx
 3y 2 3  2 y
elde edilir. Y şans değişkeninin tanım aralığı 0<x<1 için 0<y<1 olup olasılık yoğunluk
fonksiyonu,


g  y   2 y 1 3  1
0<y<1.
Kümülatif dağılım fonksiyonu tekniği,
a. Şans değişkeninin maksimum ve minumumunun dağılımının bulunmasında,
b. İki şans değişkeninin toplam ve farklarının dağılımının bulunmasında
c. Şans değişkenlernin çarpım ve bölümlerinin dağılımının bulunmasında oldukça
faydalıdır.
5.1.1 Şans Değişkeninin Minimum Ve Maksimum Dağılımı
X1, X2,…,Xn şans değişkenleri olsun. Bu şans değişkenleri üzerinde Y1  min X 1 ,, X n  ve
Yn  max X 1 ,, X n  şeklinde iki yeni şans değişkeni tanımlansın. Her bir Xi değeri S ile
tanımlanan bir şans deneyinin örnek uzayının bir fonksiyondur. Bu nedenle her bir eS için
Xi(e) bir gerçel sayıdır. Burada Yn bir şans değişkenidir. Diğer bir deyişle verilen bir e için,
tanımlanan Yn e  max X 1 e,, X n e şans değişkeni X 1 e,, X n e gerçel sayıların en
büyüğüdür.
Amaç Y1 ve Yn değişkenlerinin dağılışının bulunmasıdır. Eğer yalnız ve yalnız tüm Xi
değerleri bir y değerinden küçük ya da eşit ise Xi değerlerinin en büyüğü de bu y değerinden
küçük ya da eşit olacağı için;
FYn  y   PrYn  y  PrX 1  y;; X n  y
yazılabilir. Eğer bütün Xi şans değişkenleri birbirinden bağımsız ise,
n
n
i 1
i 1
PrX 1  y;; X n  y    PrX i  y    FX i  y 
Eğer tüm Xi şans değişkenleri aynı kümülatif dağılıma sahip ise,
n
 F  y   F  y 
n
X
Xi
i 1
bulunur.
Teorem: Eğer X1,X2,…,Xn birbirinden bağımsız şans değişkenleri ise ve Yn  max X 1 ,, X n 
ise:
n
FYn  y    FX i  y  .
i 1
Eğer X1,X2,…,Xn kümülatif dağılım fonksiyonu FX  y  olan birbirinden bağımsız özdeş
dağılmış ise,
FYn  y   FX  y 
n
olarak tanımlanır.
Çıkarım: Eğer X1,X2,…,Xn olasılık yoğunluk fonksiyonu fX ve kümülatif dağılım fonksiyonu
FX olan birbirinden bağımsız özdeş dağılmış sürekli şans değişkenleri ise,
f Yn  y   nFX  y 
n 1
f X y
olarak tanımlanır.
Yukarıda açıklananlara benzer olarak,
FY1  y   PrY1  y  1  PrY1  y  1  PrX 1  y;; X n  y
ve eğer X1,X2,…,Xn birbirinden bağımsız ise,
n
n
i 1
i 1


1  PrX 1  y;; X n  y   1   PrX i  y   1   1  FX i  y 
eğer özdeş dağılmışlar ise,
n


1   1  FX i  y   1  1  FX  y 
i 1
olarak tanımlanır.
n
Teorem: Eğer X1,X2,…,Xn birbirinden bağımsız şans değişkenleri ise ve Y1  min X 1 ,, X n 
ise:
n


FY1  y   1   1  FX i  y  .
i 1
Eğer X1,X2,…,Xn kümülatif dağılım fonksiyonu FX  y  olan birbirinden bağımsız özdeş
dağılmış ise,
FY1  y   1  1  FX  y 
n
olarak tanımlanır.
Çıkarım: Eğer X1,X2,…,Xn olasılık yoğunluk fonksiyonu fX ve kümülatif dağılım fonksiyonu
FX olan birbirinden bağımsız özdeş dağılmış sürekli şans değişkenleri ise,
f Y1  y   n1  FX  y 
n 1
f X y
olarak tanımlanır.
5.1.2 İki Şans Değişkeninin Toplam Ve Farklarının Dağılımı
Teorem: Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f X ,Y x, y  olan sürekli şans değişkenleri X ve Y
olsun. İki yeni şans değişkeni Z=X+Y ve V=X-Y olsun. Bu durumda,

f Z z  

 f x, z  x dx   f z  y, y dy
X ,Y

X ,Y

ve
f V v  


f X ,Y x, x  v dx 


 f v  y, y dy
X ,Y

İspat: Sadece ilk eşitlik ispat edilecektir.
FZ z   PrZ  z   PrX  Y  z  
 f x, y dxdy
X ,Y
x y z
zx

    f X ,Y x, y dy dx
   


z

    f X ,Y  x, u  x du dx
   


Burada y=u-x dönüşümü yapılmıştır. Şimdi,
z 
 
dFz z  d 
 

f Z z  
     f X ,Y x, u  x dxdu 
dz
dz 
 




 f z  y, y dy
X ,Y

Çıkarım: Eğer X ve Y birbirinden bağımsız sürekli şans değişkenleri ve Z=X+Y ise,
f Z z   f X Y z  


 f z  x f x dx   f z  y  f  y dy
Y

X
X
Y

5.2 DÖNÜŞTÜRME (DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME) TEKNİĞİ
Şans değişkenlerinin fonksiyonlarının dağılımlarını belirlemede kullanılabilecek bir diğer
yöntem dönüştürme (transformation) ya da değişken değiştirme (change of variables)
yöntemi olarak adlandırılır.
Şans değişkeni X’den Y=g(x) ‘e bir dönüşüm gerçekleştirildiğinde dönüşüme ait özelliklerin
şans değişkenlerinin örnek uzayları üzerindeki etkisinin dikkate alınması oldukça önemlidir.
En uygun yaklaşım A={x: f(x)>0} ve B={y:y=g(x) bazı xA}şeklindedir. Burada X şans
değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu sadece A kümesi için pozitiftir, diğer durumlar
için 0 değerini alır. Böyle bir küme dağılımın tanım kümesi olarak adlandırılır. Bu terminoloji
herhangi bir negatif olmayan fonksiyon için kesikli ve sürekli şans değişkenlerinin olasılık
fonksiyonlarına da uygulanabilir.
Yöntem ilk olarak tek boyutlu durum açısından kesikli ve sürekli şans değişkenleri için ayrı
ayrı ele alınacak daha sonra çok boyutlu durum incelenecektir.
5.2.1 Kesikli Şans Değişkenleri İçin Dönüştürme Tekniği
Eğer X olasılık kütle fonksiyonu f(x) olan bir şans değişkeni ise X şans değişkeninin Y=g(x)
şeklindeki bir fonksiyonu da bir şans değişkenidir. Y şans değişkeni X’in bir fonksiyonu
olduğundan Y’nin olasılıksal davranışları X’e göre tanımlanabilir. Herhangi bir A kümesi için,
Pr y  A  Prg x   A
eşitliğinden görüldüğü gibi Y’nin dağılımı f(x) ve g fonksiyonlarına bağımlıdır. Y=g(x)
eşitliğinde g(x) fonksiyonu X’in orijinal örnek uzayı A’dan şans değişkeni Y’nin örnek uzayı
B’ye bir dönüşüm,
g x  : A  B
tanımlar. Bu fonksiyonun ters fonksiyonu w(y)ise B uzayının alt kümelerinden A uzayının alt
kümelerine bir dönüşüm;
w y  : B  A
tanımlar.
Konu basit bir örnek üzerinde açıklanmaya çalışılacaktır. X şans değişkeni Poisson
dağılımına;
f x  
e  x
x!
x=0,1,β,…
sahip olsun. Şans değişkeninin tanım kümesi:
A={x:x=0,1,β,…}
Yeni bir şans değişkeni Y=4X olarak tanımlansın. Amaç dönüştürme tekniği ile Y şans
değişkeninin olasılık kütle fonksiyonunun belirlenmesidir. Y=4X eşitliği X değişkenini Y
değişkenine dönüştürmektedir ve A uzayından B={y:y=0,4,8,…} uzayına bir geçiş tanımlar.
B uzayı Y=4X eşitliği (dönüşümü) dikkate alınarak A uzayındaki her bir noktanın
dönüştürülmesi ile elde edilir. Uygulanan dönüşümde dikkat edilmesi gereken iki önemli
durum söz konusudur. İlki A uzayındaki her bir nokta B uzayındaki bir ve yalnız bir noktaya
dönüşmektedir. İkincisi, ters fonksiyon dikkate alındığında B uzayındaki her bir nokta A
uzayındaki bir ve yalnız bir noktaya dönüşmektedir. Diğer bir deyişle Y=4X dönüşümü, A ve
B uzaylarının noktaları arasında bire bir ilişki oluşturacak şekilde tanımlanmıştır. A uzayını B
uzayına elemanları arasında bire bir ilişki olacak şekilde dönüştüren her hangi bir y=u(x)
fonksiyonuna bire bir dönüşüm adı verilir. Bire bir dönüşümlerde X değişkeni Y değişkeninin
tek değerli fonksiyonudur. Verilen örnek dikkate alındığında y=4x için ters fonksiyon
x=(1/4)y olup tek değerlidir. Problem Y=4X kesikli şans değişkeni için h(y) olasılık kütle
fonksiyonunun bulunmasıdır. Kesikli şans değişkeni için h(y)=Pr[Y=y]. A ve B uzayları
arasında bire bir ilişki olduğundan Y=y ya da 4X=Y olayı ancak ve ancak X=(1/4)Y
oluştuğunda ortaya çıkabilir. Bu iki olay denk olaylardır ve aynı olasılığa sahiptirler:
e   1 4  y
h y   PrY  y   PrX  1 4 y  
1 4y!
y=0,4,8,…
Elde edilen sonuçlar aşağıdaki teorem ile özetlenmiştir.
Teorem: X kesikli şans değişkeni ve f(x) onun olasılık kütle fonksiyonu olmak üzere, yeni bir
şans değişkeni Y=g(x) bire bir dönüşümünün üzerine tanımlanmış olsun. Dönüşümün ters
fonksiyonu X=w(y) olmak üzere Y şans değişkenin olasılık kütle fonksiyonu:
h y   PrY  y  PrX  w y   f w y  yB,
Burada B={y: h(y)>0}.
Bu olasılık dağılımı Kolmogorov Aksiyomlarını sağlamaktadır. Eğer şans değişkeni X kesikli
ise A sayılabilir elemanlıdır. Bu durumda Y=g(x) şans değişkeninin örnek uzayı olan
B={y:y=g(x), xA}’da sayılabilir elemanlıdır. Sonuç olarak Y bir kesikli şans değişkenidir.
Kesikli şans değişkenleri için, Y’nin olasılık fonksiyonunun bulunması oldukça basittir.
Yapılması gereken her bir yB için w(y) değerinin (yani x değerinin) belirlenmesi ve bu x
değerlerine ait olasılıkların toplanmasıdır.
5.2.2 Sürekli Şans Değişkenleri İçin Dönüştürme Tekniği
Sürekli şans değişkenleri için Y=g(x) şeklinde bire bir dönüşüm özelliğine sahip en basit g(x)
fonksiyonu yapısı monoton fonksiyonlardır. Bu tip fonksiyonlara ait tanım aşağıda verilmiştir.
Tanım: a ve b gerçel sayılar g(.) bir fonksiyon olsun. a>b olmak üzere, g(a)>g(b) ise
fonksiyon monoton artan ya da a<b olmak üzere, g(a)>g(b) ise fonksiyon monoton azalandır.
Eğer x→g(x) dönüşümü monoton ise bu dönüşüm X değişkeninin A uzayından Y değişkeninin
B uzayına bire bir ve örtendir. Diğer bir deyişle her bir x değeri için sadece bir tek y değeri
karşılık gelir ve her bir y en fazla bir x değerinden gelir (birebir), ayrıca her bir yB için
g(x)=y eşitliğini sağlayan bir xA vardır (örten). Sonuç olarak g dönüşümü x ve y değerlerini
eşsiz çiftler olarak belirler. Eğer g(.) monoton fonksiyon ise ters fonksiyonu w(.) tek
değerlidir. Diğer bir deyişle sadece ve sadece y=g(x) ise w(y)=x olur.
Konu basit bir örnek üzerinde açıklanmaya çalışılacaktır. X sürekli şans değişkeni;
f x   2 x
0  x 1
dağılımına sahip olsun. Şans değişkeninin tanım kümesi; A={x:0<x<1} olup bu aralıkta
f(x)>0. Yeni şans değişkeni Y=8X3 dönüşümü ile tanımlanmış olsun. Bu dönüşüm A kümesini
B={y:0<y<8} kümesine dönüştürüp bire bir olarak tanımlanmıştır. Dönüşümün bire bir olması
nedeni ile 0<a<b<8 eşitsizliğini sağlayan her a ve b sabiti için a<y<b olayı ancak ve ancak,
1 23 a  x  1 23 b
olayı gerçekleştiğinde ortaya çıkar. Sonuç olara;

Pra  y  b  Pr 1 23 a  x  1 23 b
3

3

b 2
 2 xdx
a 2
X şans değişkenine göre tanımlanan integral Y şans değişkenine göre yazılabilmesi için ilk
olarak ters fonksiyon x  w y   1 23 y ve daha sonra diferansiyel;
dx
1
 23
dy 6 y
elde edilerek,
 3 y  1 

dy
Pra  y  b   2
 2  6 y 2 3 
a 

b
b
1
dy
13
a 6y

Bulunan sonuç her 0<a<b<8 aralığı için geçerli olduğundan Y şans değişkenine ait olasılık
yoğunluk fonksiyonu integral içindeki integranda (integrali alınan fonksiyona) eşittir:
h y  
Uygulanan
1
6y2 3
0  y  8.
yöntem
matematikte
belirli
integral
konusundaki
değişken
değiştirme
yönteminden başka bir şey değildir. Yöntem iki aşamadan oluşur:
1. İlk olarak verilen dönüşüm için g x  : A  B görüntü kümesi B belirlenir ve
dönüşümün bire bir olup olmadığı kontrol edilir.
2. Ters fonksiyon x=w(y) ve (dx/dy) türevi bulunarak g(y) fonksiyonu elde edilir.
Yöntem aşağıdaki teorem ile özetlenmiştir.
Teorem: X şans değişkeninin sürekli ve olasılık yoğunluk fonksiyonun f(x) olduğu
varsayılsın. Y=g(x) dönüşümünün A:{x:f(x)>0} kümesinden B={y:h(y)>0} kümesine, ters
fonksiyonu x=w(y) olan bire bir dönüşüm tanımladığı varsayımı altında eğer [dw(y)/dy] türevi
B üzerinde sürekli ve sıfırdan farklı ise Y şans değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu:
h y   f w y 
d
w y 
dy
yB.
İspat: Y=g(x) dönüşümü bire bir dönüşüm ise monoton artan ya da monoton azalandır. İlk
olarak monoton artan olduğu varsayılsın. Bu durumda g(x)y koşulu ancak ve ancak xw(y)
koşulu ile gerçekleşir ve dağılım fonksiyonu kullanılarak,
FY  y   Prg x   y  PrX  w y   FX w y 
olasılık fonksiyonu;
h y  
d
d
d
FX w y  w y 
FX w y  
dy
dw y 
dy
 f X w y 
d
w y 
dy
Burada monoton artan fonksiyon söz konusu olduğu için [dw(y)/dy]>0.
İkici olarak monoton azalan olduğu varsayılsın. Bu durumda g(x)y koşulu ancak ve ancak
xw(y) koşulu ile gerçekleşir ve dağılım fonksiyonu kullanılarak,
FY  y   Prg x   y  PrX  w y   1  FX w y 
olasılık fonksiyonu;
h y  
d
d
d
FX w y  w y 
FX w y   
dy
dw y 
dy
 f X w y 
d
w y 
dy
Burada monoton azalan fonksiyon söz konusu olduğu için [dw(y)/dy]<0.
Dönüşüm için hesaplanan (dw(y)/dy) türevi dönüşümün Jakobian’ı olarak adlandırılır ve
genellikle J ile gösterilir.
5.3 MOMENT TÜRETEN FONKSİYON TEKNİĞİ
Ortak yoğunlukları f X i xi  olarak tanımlanmış, X1,X2,…,Xn şans değişkenleri ve verilen gj(X1,
X2,…,Xn), j=1,…,k fonksiyonları için Yj=gj(X1, X2,…,Xn) şans değişkenlerinin ortak dağılımının
bulunması probleminin çözümünde kullanılabilecek yöntemlerden biri de moment türeten
fonksiyon tekniğidir. Mevcut olması durumunda ilk olarak Y1,…,Yk şans değişkenlerinin ortak
moment türeten fonksiyonu,

M Y1 ,,Yk t1 ,, t k   E e t1Y1 tkYk
   e

t g1  x1 ,, xn t k g k  x1 ,, xn 
f x1 ,, xn x1 ,, xn dx1 dxn
tanımlanır. İntegral işlemi uygulandıktan sonra, elde edilen t1,…,tk parametrelerine bağlı
fonksiyon, bilinen bir ortak dağılımın ortak moment türeten fonksiyonu olarak ortaya çıkmış
ise Y1,…,Yk ortak dağılışı belirlenmiş olur çünkü moment türeten fonksiyon eşsizdir ve
dağılımı belirler.
Bu metot k>1 için sınırlı kullanıma sahiptir çünkü sadece birkaç tane ortak moment türeten
fonksiyon tanınmaktadır. Moment türeten fonksiyon tekniğinin kullanıldığı en faydalı durum,
birbirinden bağımsız şans değişkenlerinin toplamlarının dağılımının bulunmasıdır.
Birbirinden Bağımsız Şans Değişkenlerinin Toplamlarının Dağılımı
Teorem: Eğer X1,X2,…,Xn birbirinden bağımsız şans değişkenleri ise ve h>0 için –h<t<h
aralığında her birinin moment türeten fonksiyonu mevcut ise,
n
Y   Xi
i 1
şans değişkeni için,
   M
M Y t   E e 
t
Xi
n
i 1
tanımlanır.
 
İspat: M Y t   E e 
t
Xi
Xi
t  ,
–h<t<h

 n
 E  e tX i 

 i 1
 
n
  E e tX i
i 1
n
  M X i t 
i 1
Eğer
n
 M X i t  bilinen bir dağılıma ait moment türeten fonksiyon ise
i 1
n
X
i 1
i
şans
değişkeninin dağılımı bulunmuştur.
Örnek: Şans değişkeni Z ortalaması 0 varyansı 1 olan standart normal şans değişkeni ise Y=Z2
olmak üzere Y şans değişkeninin dağılımını bulunuz.
 
Çözüm: M Y t   E e ty

 e
1
tz 2
2


1

2
e
e
1
 z2
2
dz
1
 z 2 1 2t 
2
dz

Burada, normal dağılımdan,

e

1 x2
2 2
 2 

olduğu hatırlanarak,
M Y t  
1
2
2 1  2t 
 1 


 1  2t 
12
12
bulunur. Elde edilen moment türeten fonksiyon α=1/2, β=β olan bir gama dağılışı diğer bir
ifade ile 1 serbestlik dereceli ki-kare dağılışının moment türeten fonksiyonu olduğundan Y
şans değişkeni 1 serbestlik dereceli ki-kare dağılımı gösterir.
Bazı durumlarda
kümesinin tanımlanması ve bu bölge üzerinden
fonksiyonunun integralinin alınması zor olabilir.
Bu sonuçlar aşağıdaki teorem ile özetlenebilir.
Teorem : Şans değişkeni x’in kümülatif dağılım fonksiyonu
ve Y=y(x) ve örnek
uzayları χ ve olsun.
a) Eğer y örnek uzayı χ üzerinde artan fonksiyon ise
için.
b) Eğer y örnek uzayı χ üzerinde azalan bir fonksiyon ve x sürekli bir şans değişkeni ise;
için.
7.5 BEKLEM ÜRETEN FONKSİYON TEKNİĞİ
ÖRNEK:
Saraçoğlu, B., Çevik, F., Matematiksel istatistik, S: γ4γ)
x1, x2, ........., xn n tane bernoulli değişkeni ise y= x1+x2+.....+xn’ in My(t)=?
F(x)
P,
x=1
Q,
x=0
O,
diğer x değerleri için
My(t) = E[e txi ]   e txi ( fx i )  e t p 1  e p 1  e t .o q  e t p  q
x
n
My(t) =
 ( p.e  q)  ( p.e  q)
t
t
n
j 1
ÖRNEK:
( Freund, J. E. Araştırmalar 7.59, syf: β64)
Teorem 7.γ’ ün şu genellemesini kanıtlayın: x1, x2, ......, xn bağımsız rassal
değişkenlerse ve y = a1x1 + a2x2+..........., anxn ise
n
My(t) =
M
j 1
xi
(a; t )
My(t) = E (ety) = E (et ( a1x1 ,a2 x2 ,....,an xn ) )




........


(e ( a1x1 ,a2 x2 ,....,an xn )t ) .f (x1, x2, ............,xn). dx1, dx2, dx3




(et ( a1x1 )t ) .f1 (x1). dx1 .......


(et ( an xn )t ) . fn (xn). dn
n
  Mxi (a i t )
j 1
KURAL :
M cx(t) = Mx(ct)
= E (e cx(t) )
ÖRNEK :
( Freund, J.E, Alıştırmalar 7.60, syf β64)
n bağımsız rassal xi değişkeni ortalaması mi, standart sapması Ti olan normal dağılıma
uyuyorsa Y= a1x1 + a2x2 + ...........anxn’ de bir normal dağılma uyar. Bu dağılımın ortalama ve
standart sapması nedir?
ÇÖZÜM :
( HOGG, CRAIG, sf: 193 Örnek 12)
xi  N ( M i , i )
M x (t )  e
2
1
mt   2t 2
2
ai xi  N (ai M i  ai2 i2 )
ve
M a x (t )  e
1
( ai M it   i 2ai2t 2 )
2
i i
n
M  a x ( t )   M a x (t )  e
i i
n

i i
i 1
n
n
 a x  N  a  , a 
i 1
i
i
1
1

2 2 2
 (  ai i ) t  2 (  ai  i ) t 


i
i
1
2
2
i
i

7.3 DÖNÜŞTÜRME (DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME) TEKNİĞİ
ÖRNEK:
(Kaynak: HOGG,R.V.,CRAIG, A.T.,Introduction to Mathematical Statistics, s:203,
örnek21)
(x1, x2, x3) kesikli olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda ki gibi verilmiştir.
(x1, x2, x3) (0,0,0)
(0,0,1)
(0,1,1)
(1,0,1)
(1,1,0)
(1,1,1)
Fx1,x2,x3
3/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
(x1, x2, x3)
Y1=g1(x1, x2, x3)= x1+ x2+ x3 ve y2=g2(x1, x2, x3)=| x3- x2|’ yi bulun.
Fy1, y2(0,0) = Fx1, x2, x3(0,0,0) = 1/8
Fy1, y2(1,1) = Fx1, x2, x3(0,0,1) = 3/8
Fy1, y2(2,0) = Fx1, x2, x3(0,1,1) = 1/8
Fy1, y2(2,1) = Fx1, x2, x3(1,0,1) + Fx1 x2 x3(1,1,0)=2/8
Fy1, y2(3,0) = Fx1, x2, x3(1,1,1) = 1/8
7.3.2 SÜREKLİ TESADÜFİ DEĞİŞKENLER İÇİN
Sürekli Tesadüfi Değişkenler İçin y=u(x)’ in olasılığının yoğunluk fonksiyonu
g(y)=f[w(y)].|w’(y)|, y Є B
x tek boyutlu tesadüfi değişken ise w(y) 
dx
 j olup |w’(y)|=j’ dir.
dy
Değişken dönüştürmeyi sürekli durumda uygulayabilmek için;
1) y=u(x) biçiminde verilen fonksiyonun türevinin alınabildiğini
β) x’ in f(x) ≠ 0 aralığında ki bütün değerleri için ya arttığını ya da azaldığını
böylelikle x=w(y) ile gösterilen ters fonksiyonunun ilgili bütün y değerleri için varolduğunu
ve u’(x) = 0 dışında türevinin alınabildiğini varsayacağız.
TEOREM 7.1
Sürekli rassal değişken x’in olasılık yoğunluğunun x’ te ki değeri f(x) olsun. Y=u(x)
ile gösterilen fonksiyonunun
Türevi alınabiliyorsa
x’ in f(x) ≠ 0 aralığında ki bütün değerlerinde artan ya da azalan bir fonksiyonsa
x’ in bu değerleri için y=u(x) eşitliğin x=w(y) biçiminde tek bir çözümü vardır. y’ nin
karşılık gelen değerleri için y=u(x) olasılık yoğunluğu şöyle gösterilir.
u(x)  0 olması koşuluyla g (y) = f [ w(y)] [ w(y)]
Aksi halde g(y) = 0’ dır.
KANIT
Önce y=u (x)’ in artan bir fonksiyon olduğu durumu kanıtlayalım.
X
y=u(x)
b
a
x
w(a)
artan fonksiyon
w(b)
Yandaki şekilde de görüldüğü gibi y a ile b arasında bir değer aldığında x de w(a) ile
w(b) arasında bir değer almak zorundadır.
P(a yb ) = P [(w (a) x  w(b)]
w(b )

=
f(x)d x
w( a )
b
=

f[ w(y)] w’(y) dy’ dur.
a
Burada tümlevde y=u(x)’ i x= w(y) ile değiştirdik. Tanım γ.4 e göre bu tümlev w(y)
var olduğu sürece Y’ nin olasılık yoğunluğunu verir, bunu da şöyle yazabiliriz.
g(y) = f[w(y)]w’(y)
y
b
a
w(b)
w(a)
x
azalan fonksiyon
P(a y b)
= P[w(b)  x  w(a)]
w( a )

=
. f(x) dx
w(b )
a
=

f [w(y)] w'(y).dy.
b
a
=-

f [w(y)].[w'(y)].dy
b
g(y)
= - f [w(y)].[w’(y)]
y=u(x) artan bir fonksiyon olduğu zaman +w'(y) =
dy
1
=
artı bir değer aldığında y
dy
dx
dx
= u(x) gibi azalan bir fonksiyon olduğu zaman –w'(y) artı değer aldığına göre durumu şöyle
birleştirip yazabiliriz:
g(y) = f [w (y)].w'(y)
ÖRNEK :
Saraçoğlu, B., Çevik, F., Matematiksel İstatistik, s:118 x sürekli tesadüfi değişkeninin
olasılık fonksiyonu şöyle olsun.
1 , 0  x  1için
f ( x)  
0 , diğer x değerleri için
y= -2  n x şeklinde tanımlanmış olsun. Y’ nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu
buluruz.
ÇÖZÜM:
g(y) = f [w(y)]. w'(y) , YB
x= e-y/2
Y= -2  nx
A : { x : 0  x 1 
B: { y: 0  y  
dx
1
  e - y/2
dy
2
 
g ( y )  f e - y/2 
g ( y) 
1 - y/2
e
2
1 - y/2
e , o  y   icin
2
o
diger y deg erleri icin
TEOREM 7.2
x1 ve x2 sürekli rassal değişkenlerin ortak olasılık yoğunluğunun (x1 ve x2)’deki değeri
f(x1, x2)olsun y1= u1 (x1,x2) ve y2= u2 (x1,x2) fonksiyonlarının hem x1’ e hem de x2’ ye göre
türevi alınabiliyorsa ve f(x1,x2)≠d, sağlayan bütün x1 ve x2 değerlerinde birebir dönüştürme
gösteriyorsa, o zaman y1= u1 (x1,x2) ve y2= U2 (x1,x2) fonksiyonlarının, bu değerlerde x 1 ve x
2
için x1 = w1(y1,y2)
x2= w2(y1,y2) sonuçlarını veren çözümleri bulunmaktadır. Bunlara
karşılık gelen y1 ve y2 değerleri için y1= u1 (x1,x2) ve y2= u2 (x1,x2)’ nin ortak olasılık
yoğunluğu şöyledir.
g(y1,y2)=f[w,(y1,y2),w2(y1,y2)].j
dx1
dy
J 1
dx 2
dy1
dx1
dy 2
diğer durumlarda g(y1,y2)=0’ dır.
dx 2
dy 2
Diyelim ki x1 ve x2 rassal değişkenlerin ortak dağılımı verilmiş olsun, biz y1= u1
(x1,x2) rassal değişkenlerin ortak olasılık dağılımını ya da olasılık yoğunluğunu bilmek
istiyoruz. Eğer x2 sabit tutulurken y ile x1 arasında ki ilişki ya da x1 sabit tutulurken y ile x2
arasında ki ilişki izin veriyorsa, y ile x2 ya da y ile x1’ in ortak dağılımını bulmak için kesikli
tek değişkenlerle de yaptıklarımızı yapabilir, daha sonra da y’ nin marjinal dağılımını elde
etmek için önceki rassal değişkenin değerlerini toplayabiliriz.
Sürekli durumda önce;
g ( y1 , x1 )  f ( x1 , x 2 ).
dx1
dy
ya da
g ( x 1 , y )  f ( x1 , x 2 ).
dx 2
dy
Biçimlerinde yazılan dönüştürme formülleriyle teorem 7.1’ i kullanınız.
ÖRNEK:
(Freund, J.E., s:250, örnek7.11)
x1 ve x2’ nin ortak olasılık yoğunluğu
e  ( X 1 X 2)
f ( x1 , x 2 )  
 o
y
x1  o
x2  o
deg ilse
ise
x1
’ nin olasılık yoğunluğunu bulun.
x1  x 2
ÇÖZÜM
y
x1
x1  x2
x2  x1 .
1 y
y
dx2
x
  12
dy
y
x1  0 ve 0  y  1 icin ;
g ( x1 , y )  e  X / Y 
1
x1
x1  X / Y
.e

y2 y2
1


x1  X / Y
.
e
dx

u.e u .du  (2)  1

1
2
o y
o

h( y )  
1
u
ÖRNEK:
(Bir önce ki örnekteki verileri kullanarak) (7.β teoremi uygulaması)
a) y1=x1+x2 ve
y2=
x1
’nin ortak yoğunluğunu
x1  x 2
b) y2’nin marjinal yoğunluğunu bulun.
ÇÖZÜM:
a) y1  x 1  x 2 ve y 2 
x1
‘yi x1 ve x2 için çözersek
x1  x 2
x1=(y1+ y2) x2= y1(1-y2) buluruz.
J
y2
y1
1  y2
 y1
  y1
Dönüştürme birebir olduğundan x1, x2 düzleminde ki x1>o ve x2>o bölgesini y1
y2düzleminde ki y1>0 0< y2<1 bölgesine aktarırsak teorem 7.β’ yi kullanıp y1>0, 0< y2<1 için
g(y1, y2)=e-y1.|-y1|=y1. e-y1 diğer durumlarda g(y1, y2)=0 buluruz.

h(y 2 )   g ( y1 , y 2 )dy1
o

b)
  y1 .e  y1 .dy1
o
 (2)
1
ÖRNEK:
(7.β teoremi uygulanması) (kaynak:HOGG,R.V.,CRAIG A.T., s:β07, örnek:βγ)
x1 ve x2 iki bağımsız, standart normal dağılıma sahip, tesadüfi değişken.
a) y1= x1+ x2 ve y2= x1/x2 ortak yoğunluğunu
b) y2’ nin marjinal yoğunluğunu bulunuz.
ÇÖZÜM
x1 
y1 y 2
ve
1  y2
y2
1  y2
J
1
1  y2
x2 
y1
1  y2
y1
y ( y  1)
y1
(1  y 2 ) 2
 1 2 3 
2
y1


1
y
)
1
y
2
2

(1  y 2 ) 2
2

y12  

 1  ( y1 y 2 )

 
2 
2
(1  y 2 )  


 2  (1  y 2 )
f ( y1 , y 2 ) 
1
.e
(1  y 2 ) 2
y1
2
 1 (1  y 22 ) y12 
| y1 |
1
.
exp 

2 
2 (1  y 2 ) 2
 2 (1  y 2 ) 
b) y2’ nin marjinal yoğunluğu,

f ( y2 ) 
 fy , y
1
2
( y1 , y 2 ).dy1


1
1
.
2 (1  y 2 ) 2


y
1
e
1 (1  y 22 ) y12
.dy1
2 (1  y 2 ) 2

2
du=
(1  y 2 )
.y1.dy1
(1  y 2 ) 2
f(y2) =
(1  y 2 ) 2
1
1
.
.
.(2)
2 (1  y 2 ) 2
1  y 22


e-u.du =
0
1
1
.
 1  y 22
Cauchy dağılımıdır.
İki bağımsız, standart normal dağılıma sahip, tesadüfi değişken oranı cauchy
dağılımına sahiptir.
BİR KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİNİN FONKSİYONLARININ DAĞILIMI
ÖRNEK:
Günde 1 ton saf şekerin rafine edildiği bir süreçte, meydana gelen makine arızaları ve
diğer yavaşlamalar nedeniyle y, tesadüfi değişken olarak alınmıştır.
Y’ nin olasılık dağılımı;
2 y 0  y  1
f ( y)  

Diger 
0
Şirket’ te rafine edilmiş şeker için ton başına γ00$ ödenmektedir. Şirketin ise günlük
maliyeti 100$. Günlük kâr U = 3y – 1. olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulun.
u 1
3
u  1  u  1 / 3  0  p( y  u  1 / 3)  0
F (u )  F (u  u )  P(3 y  1  u )  P( y 
u  2  u  1 / 3  1  p ( y  u  1 / 3)  1
 1  u  2  P( y 
f (u ) 
u 1
( u 1) / 3
 u 1
)   ( u 1) / 3 2 y.dy  y


3
 3 
o
o
dF (u ) 2
 (u  1)
du
9
2
2 / 9(u ) 1  u  2
F (u )  
Diger
 o
Kİ-KARE DAĞILIMI
Şans değişkeni
olsun. Burada
, ortalamaları
ve varyansları
olan bağımsız normal şans değişkenleri
Şans değişkeninin dağılımı ile ilgileniyor ise
Olarak tanımlandığında u şans değişkeni için
yazılabilir. Moment türeten fonksiyon
tekniği kullanılarak u şans değişkeninin dağılışı belirlenebilir. Şans değişkeni
bir standart
normal dağılışa sahip olduğu için
Bu katlı integral, şans değişkenleri birbirinden bağımsız olduğu için
İntegrallerinin çarpımı olarak ifade edilebilir. Bu integralin değeri
olduğundan
bulunur. Elde edilen moment türeten fonksiyon parametreleri
olan
bir gama dağılışının
Moment türeten fonksiyonlardır. Gama dağılışının bu özel yapısı k serbestlik dereceli ki-kare
dağılımı olarak adlandırılır ve u değişkeni;
Şeklinde tanımlanır. Bu toplamdaki birbirinden bağımsız karelerin sayısı serbestlik derecesi
olarak ifade edilir ve bu olasılık dağılışının k parametresinin adıdır.
Teorem : Ortalaması 0 varyansı 1 olan bir normal dağılımdan alınan şans örneği
olsun. Bu durumda
sahiptir.
şans değişkeni n serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımına
Teorem : (Cochran teoremi) eğer
birbirinden bağımsız
dereceli ki-kare şans değişkenleri ise onların toplamları
serbestlik derecesi
yine bir
serbestlik
değişkeni olup
olur
Kümülatif Fonksiyon Tekniği
Kare Transformasyonu ;
Teorem : z bir standart normal şans değişkeni olsun. Y=z 2 şans değişkeni bir serbestlik
dereceli χ 2 dağılımına sahiptir.
İspat : F Y (y) = P[x 2 ≤ y ] = P[- y ≤ x ≤
y ) simetri nedeniyle
F Y (y) = β P[0 ≤ x ≤ y ]
2
=
2 y
.fx( y )
Bu durum,
Kümülatif Fonksiyon Tekniği
y
1

F Y (y) = 2
2
0
t
1

=2
2
0
t
=

0
1

.
e
.
1
 z2
2
dz
1
2 y
1
2y
e
e
1
 y
2
1
 y
2
dy
1
t
=
dy
1
1
 y
1
1
0  (1 / 2) . (2)1 / 2 . y 2 e 2 dy
her iki tarafın türevi alınarak,
1
1
1
 y
1
1
2
2
f Y (y) =
.
.
y
e
 (1 / 2) (2)1 / 2
bu α = ½ ve
= β olan bir gama dağılımı olup aynı zamanda bir serbestlik dereceli ki-kare
dağılımına özdeştir.
Eğer g artan fonksiyon ise:
Ve azalan ise:
şeklinde olup eğer
g(x) artan fonksiyon ise,
Azalan fonksiyon ise,