UZAY GEOMETRÝ Matematikte nokta, doðru, düzlem ve uzay gibi bazý kavramlar tanýmsýz olarak kabul edilir. * Paralel farklý iki doðru bir düzlem belirtir. Her parallel iki doðrudan bir tek düzlem geçer. * Kesiþen farklý iki doðru bir düzlem belirtir. Her kesiþen farklý iki doðrudan bir tek düzlem geçer. 1. Düzlemle Doðrunun Durumlarý Cetvelin kenarý ile bir doðru çizebiliriz. Sýnýfýn duvar, pencere camý birer düzlemdir. Odanýn içerisi, herhangi bir cismin kapladýðý yer birer uzay belirtirler. Nokta ‹‹ . ›› Biçiminde ifade edilir ve genellikle büyük harfle gösterilir. Nokta boyutsuzdur. ‹‹ . ›› nokta, ‹‹ .A ›› A noktasý Doðru Ýki ucuna ok iþareti koyulmuþ düz bir çizgi ile gösterilir. Doðru küçük harfle veya üzerindeki iki nokta ile gösterilir. B A d (d doðrusu) veya AB doðrusu diye okunur. Buradaki A ve B noktalarý doðrunun birer elemanýdýr. AÎ d ve BÎ d biçiminde yazýlýr. * Farklý iki noktadan bir tek doðru geçer. * Farklý iki nokta bir doðru belirtir. Doðru bir boyutludur. Yani sadece uzunluk söz konusudur. Düzlem Her yöne doðru sonsuza uzayýp giden düz bir yüzeydir. Düzlem iki boyutludur. Sayfa üzerinde paralelkenar gibi gösterilebilir. Paralelkenarýn köþesine harfle ismi yazýlabilir. A B E C d Þekildeki düzlem E düzlemi diye isimlendirilir. Burada A,B ve C noktalarý E düzlemi üzerindedir. Dolayýsýyla B ve C noktalarýndan geçen d doðrusu da E düzlemi üzerindedir. AÎ E , BÎ E , CÎ E ve dÌ E yazýlabilir. * Ayný doðru üzerinde olmayan farklý üç nokta bir düzlem belirtir. * Bir doðru ile, bu doðru üzerinde olmayan bir nokta, bir düzlem belirtir. * Bir doðrunun farklý iki noktasý bir düzlem üzerinde ise bu doðru (doðrunun bütün noktalarý) bu düzlem üzerindedir. K d1 b a d d2 Bir doðru düzlemin ya üzerinde, ya dýþýnda veya düzlemi bir noktada keser. d1 Ç a = d1 , d2 Ç a =Æ ve dÇ b = {K} olur. K noktasý, kesiþen bir doðru ile bir düzlemin arakesitidir. 2. Düzlemle Ýki Doðrunun Durumlarý * Bir düzlemde farklý iki doðru ya paraleldir, ya da bir noktada kesiþirler. d1 d1 d2 A a d2 a 3. Düzlemde Üç Doðrunun Durumlarý d1 d2 d3 Üç doðru paralel olabilir. d1 // d2 // d3 ve d1 Ç d2 Ç d3 = Æ a * Düzlemde paralel iki doðrudan birine paralel olan doðru diðerine de paraleldir. d1 // d2 ve d2 // d3 ise d1 // d3 olur. Yalnýz ikisi paralel l 3 ise, üçüncü doðru A l 1 paralel doðrularý B birer noktada keser. l 2 l 1 // l 2 // l 3 = {A} ise a l l 2 Ç 3 = {B} gibi *Düzlemde paralel iki doðrudan birini kesen bir doðru, diðerini de keser. *Düzlemde paralel iki doðrudan birini dik kesen bir doðru, diðerini de dik keser. k1 Üç doðru bir noktada kesiþebilir. k1 Ç k2 Ç k3 ={P} k2 P 1. Uzay Belirtme Aksiyomlarý k3 a t2 t3 B a Üç doðru ikiþer ikiþer kesiþebilir. t1 Ç t2 = {A} t1 Ç t3 = {B} t2 Ç t3 = {A} t1 Ç t2 Ç t3 = Æ t1 A C * Düzlemde doðrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doðruya dik olan bir tek doðru çizilebilir. * Doðrunun dýþýndaki bir noktadan geçen ve bu doðruya dik olan bir tek doðru çizilebilir. * Doðrunun dýþýndaki bir noktadan geçen ve bu doðruya paralel olan bir tek doðru çizilebilir. * Dördü ayný düzlemde bulunmayan farklý dört nokta uzay belirtir. Uzayda herhangi üç nokta daima ayný düzlemin içindedir. (Üç nokta uzay belirtmez) * Bir düzlem ile bu düzlemin dýþýndaki bir nokta, uzay belirtir. * Bir düzlem ve düzlem üzerinde olmayan bir doðru uzay belirtir. * Farklý iki düzlem daima uzay belirtir. Doðrularýn Düzlemde Ayýrdýðý Bölge Sayýsý Genel olarak, n adet doðru bir düzlemi; ? en az (n +1) bölgeye (paralellik hali) 2 ? en fazla n +n +2 2 ÖRNEK : 4 doðru için 2 6 1 5 3 7 bölgeye ayýrýr. 1 2 3 4 8 9 11 10 a a 4 5 UZAYDA DOÐRU ve DÜZLEMLER Cisimlerin kapladýðý yer ve içinde bulunduðu mekan uzaydýr. Doðruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve geniþlik sözkonusu idi. Uzayda ise uzunluk ve geniþliðin yanýnda bir de yükseklik kavramý vardýr. (Derinlik de denilebilir.) Dolayýsýyla uzay üç boyutludur. Uzayda x,y,z eksenleriolduðu için kartezyen koordinat olarak RxRxR veya R3 ile sembolize edilir. Aþaðýda üç boyutlu cisimlerin bazýlarý belirtilmiþtir. z y KÜP x SÝLÝNDÝR KONÝ * Uzayda farklý iki düzlem ya paraleldir ya da kesiþirler. * Paralel olmayan farklý iki düzlem daima kesiþir. *Kesiþen iki düzlemin ortak noktalarýnýn oluþturduðu doðruya arakesit doðrusu denir. Farklý K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F düzlemlerinin kesiþim kümesi d doðrusudur. EÇ F = d dir. 2. Uzayda Doðrularýn Durumlarý Uzayda iki doðru için üç durum söz konusudur. * Ýki doðru uzayda paralel olabilir. * Ýki doðru uzayda kesiþebilir. * Ýki doðru uzayda aykýrý olabilir. (Aykýrý doðrular, kesiþmeyen ve paralel olmayan doðrulardýr.) * Uzayda bir doðruya dýþýndaki bir noktadan sadece bir tane dik doðru çizilebilir. * Uzayda bir doðruya, üzerindeki bir noktadan sonsuz sayýda dik doðru çizilebilir. * Aykýrý doðrular düzlem belirlemez. Aykýrý doðrular düzlemsel olmadýðýndan uzay belirtir. * Aykýrý iki doðruya dik olan sadece bir tane doðru vardýr. * Uzayda üç doðru paralel olabilir. * Uzayda paralel doðrulardan birine paralel olan bir doðru diðerlerine de paraleldir. * Uzayda paralel üç doðru ayný düzlemin elemaný olmak zorunda deðildir. *Uzayda paralel iki doðrudan birini kesen bir doðru diðerini kesmeyebilir. *Paralel iki doðrunun ikisini de kesen bir doðru birini dik kesiyorsa diðerini de dik keser. * Bir düzleme, dýþýndaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doðru çizilebilir. * Paralel düzlemler kendilerini kesen doðrularý ayný oranda bölerler. * Bir düzleme, dýþýndaki bir noktadan sonsuz tane paralel doðru çizilir. Bu doðrular bir düzlem oluþtururlar. a ,b ,g paralel düzlemlerinde * Uzayda üç doðru düzlemsel veya düzlemsel olmayan bir noktda kesiþebilir. * Bir düzlem paralel düzlemlerden birini keserse, diðerini de keser. * Bir düzlem paralel düzlemlerden birine dik ise diðerine de diktir. * Paralel düzlemleri kesen düzlemlerin arakesit doðrularý paraleldir. * Bir düzlemin, dýþýndaki bir noktadan geçen ve bu düzleme paralel olan bir tek düzlem vardýr. * Uzayda ikiþer ikiþer kesiþen üç doðru bir düzlem belirtir. * Uzayda bir doðru, kesiþen iki doðrunun ikisini de kesmeyebilir. * Uzayda kesiþen iki doðrunun kesiþim kümesi bir noktadýr. * Uzayda paralel ve aykýrý doðrularýn kesiþim kümesi boþ kümedir. 3. Uzayda Düzlemlerin Durumu a // b ve AB // CD dir. * Bir doðru paralel düzlemlerden birini keserse diðerlerini de keser. * Bir doðru paralel düzlemlerden birini dik keserse diðerlerini de dik keser. * Bir doðruya dik olan farklý düzlemler paraleldirler. * Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diðerine de paraleldir. * Bir düzleme, üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doðru çizilebilir. L düzlemi dýþýndaki M noktasýndan geçen ve L düzlemine paralel olan bir tek K düzlemi vardýr. * Bir düzlemin üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem olabilir. * Bir düzlemin dýþýndaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem çizilebilir. * Üç düzlem bir doðru boyunca kesiþebilir. a düzlemi dýþýndaki P noktasýndan geçen ve a düzlemine dik olan b ve g düzlemleri gibi çok sayýda düzlem olabilir. dÎ a , [AB] ^ d ve [AC] ^ a ise a düzlemi üzerindeki K noktasýndan geçen ve a düzlemine dik olan sonsuz sayýda düzlem vardýr. l^ d olur. a ,b ,g düzlemleri bir doðru boyunca kesiþirse d doðrusuna dik [AB] nin dik izdüþümünün üzerinde olduðu l doðrusu d doðrusuna diktir. a Ç b Ç g = d olur. DÝK ÝZDÜÞÜM 1. Doðru Parçasýnýn Ýzdüþümü [AB] nýn, a açýsý yaptýðý d doðrusu üzerine dik izdüþümü[A’B’] olur. * n tane düzlem uzayý en az n + 1 bölgeye ayýrýr. * Üç düzlem uzayý en az dört, en çok sekiz bölgeye ayýrýr. Düzlemlerin uzayý en az bölgeye ayýrdýðý durum, paralel olduklarý durumdur. Üç düzlemin uzayý sekiz bölgeye ayýrdýðý durumu görmek için bir elmayý üç býçak darbesi ile nasýl sekize bölebileceðimizi düþünelim. Doðru parçasý ile izdüþümünün uzunluklarý oraný a açýsýnýn kosinüsüdür. Yani, |A’B’|=|AB|.cosa olur. 4. Temel Diklik Teoremi Bir düzlemin kesiþen iki doðrusuna, kesiþme noktasýnda dik olan bir doðru, bu düzleme diktir. 2. Düzlemin Ýzdüþümü d1 Î a , d2 Î a , lÇ d1Ç d2Ç a ={A} veriliyor. açýsý yapan ABCD l^ d1 ve l^ d2 ise l^ a E düzlemi ile a dikdörtgeninin E düzlemi üzerindeki dik olur. izdüþümü A’B’C’D’ dikdörtgenidir. * Paralel doðrularýn dik izdüþümü yine paraleldir. [AB] // [DC] ? [A’B’] // [D’C’] [AD] // [BC] ? [A’D’] // [B’C’] olur. 5. Üç Dikme Teoremi Bir düzlemin dýþýnda bulunan bir noktadan, bu düzleme ve düzlem içindeki bir doðruya birer dikme çizilirse, iki dikme ayaðýný birleþtiren doðru düzlem içindeki doðruya diktir. * Eþit uzunluktaki doðru parçalarýnýn dik izdüþümleri yine eþit uzunluktadýr. |AB|=|DC| ? |A’B’|=|D’C’| |AD|=|BC| ? |A’D’|=|B’C’| olur. * Düzlemle açý oluþturan uzunluklar ve alanlar cosa oranýnda küçülür. |A’B’|=|AB|.cosa S’=S.cosa