ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
SPİN GRUPLARI VE SPİNÖR UZAYLARI
Özcan CANBAY
FİZİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2012
Her hakkı saklıdır
TEZ ONAYI
Özcan CANBAY tarafından hazırlanan ‘‘Spin Grupları ve Spinör Uzayları’’ adlı tez
çalışması 24/01/2012 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS
TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman : Prof. Dr. Abdullah VERÇİN
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik A.B.D
Jüri Üyeleri:
Başkan
: Prof. Dr. Satılmış ATAĞ
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik A.B.D
Üye
: Prof. Dr. Abdullah VERÇİN
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik A.B.D
Üye
: Prof. Dr. Metin ÖNDER
Hacettepe Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Fizik Mühendisliği A.B.D
Yukarıdaki sonucu onaylarım
Prof.Dr.Özer KOLSARICI
Enstitü Müdürü
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
SPİN GRUPLARI VE SPİNÖR UZAYLARI
Özcan CANBAY
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Abdullah VERÇİN
Bu tez çalışmasında; gerçel sayılar alanı üzerinde kurulmuş ve iki pozitif p, q
tamsayısıyla karakterize edilen imzaya sahip bir metrik uzayın, olası bütün p ve q
değerleri için kurulan gerçel Clifford cebirleri, ortogonal gruplar ve onların Pin ve Spin
gibi altgruplarının örtme grupları olan Clifford grupları ayrıntılı olarak incelenmiştir.
Clifford cebirinin indirgenemez temsilleri olan spinör temsilleri, minimal sol idealler
üzerindeki
iç-çarpımlar
ve
bunların
sınıflandırılmaları
ele
alınmıştır.
Kompleksleştirilmiş Clifford cebirlerinin spinör temsilleri ve Dirac tipi, Majorana tipi
spinörler de ayrıntılı olarak irdelenmiştir. Özellikle Lorentz metriğine sahip dört boyutlu
gerçel ortogonal uzay üzerinde kurulan Clifford cebiri incelenmiş ve yine bu cebirin
kompleksleştirilmişi üzerinde spinör temsilleri çalışılmıştır.
2012, 107 Sayfa
Anahtar Kelimeler: Clifford Cebirleri, Clifford Grupları, Pin Grupları, Spin Grupları,
Spinörler
i
ABSTRACT
M.S. Thesis
SPIN GROUPS AND SPINOR SPACES
Özcan CANBAY
Ankara University
Graduate School of Natural Sciences
Department of Physics
Supervisor: Prof. Dr. Abdullah VERÇİN
In this thesis; real Clifford algebras and Clifford groups which are covering groups of
orthogonal groups and their subgroups such as Pin and Spin groups of a real metric
space with signature characterized by two positive integers p, q are constructed and
studied in detail for all possible values of p and q. The spinors which are irreducible
representation of Clifford algebras, inner products that can be defined on the minimal
left ideals and their classifications have been considered. The spinor representations of
complexified Clifford algebras, Majorana and Dirac types spinors have been studied as
well. In particular, the Clifford algebra of the four dimensional real orthogonal space
with Lorentzian metric and spinor representation of its complexified algebra have also
been studied.
2012, 107 pages
Key Words: Clifford Algebras, Clifford Groups, Pin Groups, Spin Groups, Spinors
ii
TEŞEKKÜR
Beni Clifford cebirlerini çalışmaya teşvik eden ve bu konuda göstermiş olduğu
hassasiyetten dolayı danışman hocam, sayın Prof. Dr. Abdullah VERÇİN’e teşekkür
ederim.
Özcan CANBAY
Ankara, Ocak 2012
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET
i
ABSTRACT
ii
TEŞEKKÜR
iii
SİMGELER DİZİNİ
vi
ÇİZELGELER DİZİNİ
vii
1.GİRİŞ
1
2.TENSÖR CEBİRİ VE DIŞ CEBİR
4
2.1 Tensör Cebiri
4
2.2 Dış Formlar Uzayı
6
2.3 Dış Cebir
8
3.CLIFFORD CEBİRLERİ
11
3.1 Clifford Çarpımı ve Formlar Uzayında İndüklenen Metrikler
11
3.2 Gerçel Clifford Cebirlerinin Yapısı
13
3.2.1 Düşük boyutlu bazı Clifford cebirlerinin yapı analizi
13
3.2.2 Clifford cebirleri tekrarlama bağıntıları
17
3.2.3 Clifford cebirlerinin genel yapısı
18
3.3
21
,
Cebiri
23
3.4 Çift Altcebir
3.5
,
Cebiri
24
4.CLIFFORD GRUBU
28
4.1 Clifford Grubunun Vektör Temsili
28
4.2 Grup Elemanlarının Kanonik Formu
30
4.3 Clifford Grubunun Kıvrık Vektör Temsili
32
4.4
Grubunun Norm Bağıntıları
34
4.5
Grubunun Altgrupları: Pin ve Spin Grupları
35
4.6 Birim Normlu Altgrupların Kıvrık Temsil Altındaki Görüntüleri
37
4.7 Clifford Grubunun Lie Grup Yapısı
40
4.7.1 Uygulama:
42
,
cebiri
5. SPİNÖRLER
45
5.1 Çift Altcebirin Temsilleri ve Spinör Temsillerinin Sınıflandırılması
46
iv
5.2 Clifford Cebirinin Minimal Sağ İdeal Temsilleri
49
6. SPİN-DEĞİŞMEZ İÇ-ÇARPIMLAR
52
6.1 Basit Cebirler için Spin-değişmez İç-çarpımlar
52
6.1.1 Basit cebirler için spin-değişmez iç-çarpımların sınıflandırılması
55
6.2 Yarıbasit Cebirler için Spin-değişmez İç-çarpımlar
58
6.3
60
Grubu Altında Değişmez Kalan Çarpımlar
6.4 İnvolüsyonların Tensör Çarpımı ve Çarpım Sınıfları
62
6.5 Faktörlerin Tensör Çarpımı Üzerindeki İnvolüsyonların
Çarpım Sınıfları
63
6.6 Gerçel Clifford Cebirlerinin
ve
İnvolüsyonlarının
65
Çarpım Sınıfları
7. KOMPLEKSLEŞTİRİLMİŞ CLIFFORD CEBİRLERİ
70
7.1 Kompleksleştirilmiş Clifford Cebirlerinde Kompleks Eşlenik İşlemi
70
7.2 Kompleksleştirilmiş Clifford Cebirinin Spinör Temsilleri
74
7.3 Kompleksleştirilmiş Clifford Cebirlerinin İnvolüsyonlarının
75
Çarpım Sınıfları
7.4
,
ve
Cebirlerinin -matris Temsilleri
,
7.4.1 Uygulama:
,
cebiri
76
79
7.5 Clifford Cebirlerinde Tr Fonksiyoneli
80
7.6 Dirac Spinörleri
82
7.7 Majorana Spinörleri
87
7.8
88
,
Cebiri
8. SONUÇ VE TARTIŞMA
92
KAYNAKLAR
93
EKLER
94
ÖZGEÇMİŞ
107
v
SİMGELER DİZİNİ
Cisim (Sayı alanı, Field)
V
Vektör uzayı
V
Dual vektör uzayı
T V
. dereceden tensörlerin vektör uzayı
Λ V
-formların vektör uzayı
T V
Tensör cebiri
Λ V
Dış cebir
İmzası
ve
olan metrik
C
,
Keyfi
ve
için gerçel Clifford cebiri
C
,
Keyfi
ve
için gerçel Clifford çift altcebiri
üzerindeki . mertebeden toplam matris cebiri
GL
,
Genel çizgisel grup
SL
,
Özel çizgisel grup
Gerçel sayılar cebiri
Kompleks sayılar cebiri
Kuaterniyon cebiri
Γ
Clifford grubu
O ,
Keyfi
ve
için ortogonal grup
SO ,
Keyfi
ve
için özel ortogonal grup
C
C
,
Gerçel Clifford cebirinin otomorfizm grubu
,
,
Gerçel Clifford cebirinin endomorfizm cebiri
Simplektik grup
C
Keyfi
için kompleks Clifford cebiri
C
Keyfi
için kompleks Clifford çift altcebiri
V
Kompleksleştirilmiş vektör uzayı
C
,
Kompleksleştirilmiş Clifford cebiri
C
,
Kompleksleştirilmiş Clifford çift altcebiri
. Dirac -matrisi
vi
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 3.1 C
,
cebiri için baz çarpım tablosu
15
Çizelge 3.2 C
,
cebiri için baz çarpım tablosu
15
Çizelge 3.3 C
,
cebiri için baz çarpım tablosu
16
Çizelge 3.4 Gerçel Clifford cebirlerinin yapısı
20
Çizelge 3.5 C
22
cebiri için matris bazı
,
Çizelge 3.6
ve
Çizelge 3.7 C
24
cebirlerinin yapısı
cebiri için matris bazı
,
26
Çizelge 4.1 Γ grubunun bazı altgrupları ve özel adları
35
Çizelge 4.2 Clifford grubunun ve ortogonal grupların altgrupları
arasındaki ilişki
39
Çizelge 5.1 Clifford cebiri ve onun çift altcebirinin indirgenemez
temsillerinin boyutu
Çizelge 6.1 Basit cebirler için
48
-simetrik ya da
-antisimetrik
çarpım sınıfları
56
Çizelge 6.2 Tensör çarpımı involüsyonların çarpım sınıfları
65
Çizelge 6.3 Düşük boyutlu bazı gerçel Clifford cebirlerindeki standart
involüsyonların çarpım sınıfları
67
Çizelge 6.4 Gerçel Clifford cebirlerinin standart involüsyonlarının
çarpım sınıfları
68
5 için Γ ’nın otomorfizm grupları
Çizelge 6.5
69
Çizelge 7.1 Kompleksleştirilmiş Clifford cebirlerinin involüsyonlarının
75
çarpım sınıfları
Çizelge 7.2
ve
’nın C
,
’de ve
çarpım sınıfları
Çizelge 7.3 C
,
’ın C
,
’de ki
76
için bir matris bazı
80
vii
1.GİRİŞ
Clifford cebirleri; matematiğin değişik alanlarında, özellikle cebirde klasik grupların ve
bunların Lie cebirlerinin analizinde kullanılan yoğun bir araştırma konusudur. Kuantum
istatistik mekanikteki tam çözülebilir sistemlerde yüksek boyutlu Clifford cebirlerinin
matris temsilleri kullanılmaktadır (Baker 2002). Diğer önemli uygulama alanları
Dirac’ın göreli elektron teorisi, Einstein’ın genel görelilik teorisi ve alan teorileridir
(Tucker 1988, Lounesto 2003). Bu uygulamalarda Clifford cebirleri, yeni geliştirmelere
olanak sağlayan en uygun matematiksel yapıları oluştururlar.
Cebirler, üzerinde bir cebir çarpımı tanımlanmış vektör uzaylarıdır. Bu uzayın vektörleri
cebirlerin
üreticileridirler.
Clifford
cebirleri,
üzerinde
pozitif-tanımlı
olması
gerekmeyen bir iç-çarpımın (daha doğru bir deyişle metriğin) tanımlanmış olduğu
vektör uzaylarında tanımlanırlar. Bu metrik uzayın elemanları Clifford cebirlerini
üretirler. Bir ortogonal bazda, imzası
tane (+) ve
herhangi bir gerçel çizgisel uzay üzerinde kurulan, C
tane ( )’den oluşan metriğe sahip
,
gerçel Clifford cebirlerinin
yapıları tamamen bu imzaya bağlıdır. Bu tezde tensör cebirleri ve dış cebirler 2.
Bölüm’de kısaca tanıtılmıştır. 3. Bölüm’de düşük boyutlu Clifford cebiri örnekleri
tartışıldıktan sonra olası tüm
ve
’ları kapsayacak biçimde tekrarlama bağıntıları
verilmiş ve en genel sınıflandırma yapılmıştır.
Clifford cebirinin tüm terslenebilir elemanları Clifford cebir çarpımına göre, Clifford
grubunu da içeren bir grup oluştururlar. Özel olarak, üretici vektör uzayının elemanları
üzerinde eşlenik etkilerle tanımlanan dönüşümlerin oluşturduğu ortogonal gruplar
Clifford grubu olarak bilinirler. Clifford cebirinin terslenebilir bir elemanı
üzere, vektör uzayının her
uzayında kalıyorsa böyle
vektörünün eşlenik
olmak
etkisiyle dönüşmüşü de vektör
elemanları Clifford grubunu oluştururlar.1 Buradaki gibi bir
eşlenik etki vektör uzayında bir ortogonal dönüşüm oluşturur. Bölüm 4’de ayrıntılı
olarak tanıtılacak olan Clifford grubu ve bu grubun altgrupları olan Pin ve Spin grupları,
1
Başta ile gösterilecek olan Clifford çarpımı yerine elemanlar arasında hiçbir sembol kullanmadan bu
ifadesindeki gibi elemanlar arasında daima bir Clifford çarpım anlaşması
çarpım temsil edilecektir:
kullanılacaktır.
1
üretici vektör uzayı üzerindeki ortogonal grubun çok katlı bir örtüsünü oluştururlar ve
ortogonal dönüşümlerin sistematik bir biçimde incelenmesine olanak sağlarlar. Burada
kullanılacak gruplar ve temsilleri aşağıda verilmiştir:
Γ
Clifford Grubu,
Γ
PIN ,
Γ
SPIN ,
Γ
SPIN
,
,
,
.
Son üç grup, sembollerinin sol-alt taraflarında gösterilen ve Bölüm 4’de tanımlanan
norm özelliğiyle birbirlerinden ayrılırlar. Sembollerin sağ-üst tarafındaki işaretler de
tekliği (-) ve çiftliği (+) belirtirler. Ayrıca aynı bölümde Clifford cebirlerinin Lie cebiri
yapısı ve Clifford gruplarının da Lie grup yapısı tartışılmıştır.
Fizikte çokça karşılaşılan spinör kavramı Clifford cebirinin bir minimal sol idealinin
elemanları olarak tanımlanır. Bu sol ideale de spinör uzayı denir. Minimal sol idealler
üzerinde,
minimal
sağ
ideal
temsillerinden
de
yararlanılarak
iç-çarpımlar
tanımlanabilmektedir. Spinörlerin tartışıldığı 5. Bölüm’den sonra 6. Bölüm’de spindeğişmez iç-çarpımlarının aşağıdaki şemada gösterildiği gibi on farklı sınıfta
karakterize edilebileceği gösterilmektedir:
simetrik çarpım indeksli
antisimetrik çarpım sadece çift boyutlarda
trampa,
simetrik çarpım
antisimetrik çarpım sadece çift boyutlarda
simetrik çarpım indeksli
trampa,
Kuaterniyon eşlenik simetrik çarpım indeksli
Kuaterniyon evirtim antisimetrik çarpım sadece çift boyutlarda
trampa.
Burada
,
ve
sırasıyla gerçel, kompleks ve kuaterniyon sayı alanlarını (cisimlerini)
göstermektedir. İndeks kavramı ve şemadaki diğer kavramlar 6. Bölüm’de
tanımlanmıştır. Bu iç-çarpımları koruyan dönüşümlerin oluşturduğu gruplar tüm bilinen
klasik grup ailelerini kapsarlar. Clifford grupları bunların örtme gruplarıdır. Bu yüzden
klasik grupların rahatlıkla ve birlikte incelenebilecekleri en doğal matematiksel yapı
Clifford cebirleri ve Clifford gruplarıdır.
2
Clifford cebirleri herhangi bir sayı alanı üzerinde kurulabilirler. Bunların içinde
kompleks sayı alanı önemlidir. Kompleks sayı alanı üzerinde tanımlanacak bir iççarpım (ya da metrik) imzayla karakterize edilemeyeceğinden, bu alan üzerinde kurulan
Clifford cebirlerinin yapısı sadece kompleks ortogonal uzayın boyutuna bağlıdır. Bir
gerçel ortoganal uzay ve üzerinde tanımlanan metriğin kompleksleştirilmesiyle
kompleksleştirilmiş Clifford cebirleri elde edilir. Kompleks eşenlik işlemi gerçel
kompleks cebirde iyi tanımlıdır. Fakat kompleksleştirilmiş Clifford cebirlerinde
kompleks eşlenik işlemi gerçel kompleks cebirde yapıldığı gibi tanımlanmaz. Bölüm
7.1’de kompleksleştirilmiş Clifford cebirinde kompleks eşlenik işlemi incelenmiştir.
Fizikte sıklıkla kullanılan Dirac spinörleri; kompleksleştirilmiş Clifford cebirinin bir
indirgenemez temsilini taşıyan vektör uzayının elemanlarıdır. Bölüm 6’da incelenen
spin-değişmez çarpımlar bilgisinden yaralanarak Dirac spinörlerinin eşlenik spinörleri
tanımlanırlar. Dirac spinörleri gerçel altcebirin indirgenebilir temsillerini taşıdıklarında
indirgenemez altuzayların elemanlarına Majarona spinörleri denir. Dirac eşlenik
spinörlerin tanımlamasına benzer olarak Majorana eşlenik spinörler de tanımlanırlar.
Bunlar Bölüm 7’de ayrıntılı olarak incelenmiştir.
Clifford cebirleri ve gruplarıyla ilgili olarak 5. referansta gösterilen kaynak (Benn,
Tucker 1988) temel alınmıştır. Tezde kullanılan notasyon da bu kaynaktakilerle
uyuşumludur. Spin grupları ve spinörlerle ilgili örnekler 4. ve 7. referanslarda belirtilen
kaynaklardan (Lounesto 2003, Carmeli ve Malin 2006) çalışılmıştır. Grup teorisi ve Lie
gruplarının temel özellikleri için 2. referansta gösterilen kaynaktan (Baker 2002)
yararlanmıştır.
3
2. TENSÖR CEBİRİ VE DIŞ CEBİR
2.1 Tensör Cebiri
V,
cisimi üzerindeki bir vektör uzayı ve V da, V’nin dual uzayı olmak üzere:
V
çarpımından
V’nin
V
…
V ( -kere)
’ye çoklu-çizgisel (multilinear) gönderimlere
V
tensörler denir.
gösterilir. V,
V
’den
. dereceden kovaryant
. dereceden tüm tensörlerin kümesi T V
’ye
boyutluysa T V kümesi
ile
boyutlu bir vektör uzayı yapısına sahiptir.
tane elemanı, sonuç bir skaler olacak şekilde
. dereceden bir tensör ile
ilişkilendirilebilir. Bu ilişki:
V,
1, . . . ,
ve
V ,
1, . . . ,
olmak üzere,
…
,
,… ,
,
…
bağıntılarıyla tanımlanır. Eğer V vektör uzayının bir bazı
(2.2.1)
ise,
|1
elemanlı
T V vektör uzayının bundan türetilen bazı şu şekildedir:
…
T V vektör uzayı
1
.
,1
kere V’nin tensör çarpımı olarak adlandırılır ve bu özellik
T V
V
V
…
V
V
ile gösterilir.
En genel anlamda tensör çarpımı farklı derecelerden tensörler arasında da:
T V
T V
T
,
bir gönderim tanımlar.
V
(2.2.2)
,
dereceli
tensörünün
,… ,
,… ,
V
’nin bir elemanına
etkisi aşağıdaki gibidir:
,
Tüm
,… ,
’ler için T V
,
,… ,
.
(2.2.3)
vektör uzaylarının dışsal direk ( : external direct sum)
toplamıyla sonsuz boyutlu bir vektör uzayı kurulabilir. Bu şekilde kurulan vektör uzayı
tensör çarpımı altında, T V ile gösterilen bir boyutlu ve birim eleman tarafından
4
gerilen altuzayla birlikte birleşmeli (assosiyatif) olan, fakat sıradeğişimli (komütatif)
olmayan bir cebir tanımlar. Bu cebire tensör cebiri denilir ve T V ile gösterilir:
T V
∑∞
Birim eleman tarafında gerilen altuzay
T V .
(2.2.4)
cisminin cebirdeki kopyasıdır. Tensör cebiri V
uzayı ve birim eleman (1) tarafından üretilir. Bu cebirin herhangi bir elemanı, V’nin
elemanlarının tensör çarpımlarının toplamıyla birim elemanın skaler katının bir toplamı
biçiminde yazılabilir. V’nin elemanlarının çarpımı biçiminde yazılabilen tensörlere,
basitçe ayrıştırılabilir (decomposible) tensörler denir.
Tensör cebiri
-dereceli bir cebirdir. T V
altuzayının elemanları
. dereceden
ayrıştırılabilir tensörlerin toplamı şeklinde olup, bu elemanlara . derceden homojen
tensörler denir. Sıfır eleman her derecede homojendir. Tensör cebirinin
-dereceli
olması homojen elemanlar üzerinde bir involüter otomorfizm olan ’nın tanımlanmasına
olanak tanır. Homojen bir
elemanına ’nın etkisi,
(2.2.5)
1
olarak tanımlanır. Bu etki bazen
ile belirtilir. ’nın involüter olması tensör cebiri
üzerinde karesi özdeşlik gönderimi; yani
homojen eleman
ve
olduğu anlamındadır. İki
olmak üzere, ’nın
’ye etkisi aşağıdaki gibidir:
.
(2.2.6)
, tamsayıların mod2 denklik bağıntısına göre toplamsal grubunu tanımlıyor olsun.
İnvolüter , -dereceli tensör cebiri üzerinde
-derecelenmesine neden olur. Bu, tensör
cebirinin iki ayrık altuzayının;
T V
∑
∑
T V
ç
T V
(2.2.7)
direk toplamı olarak yazılmasına izin verir.
Tensör cebiri kendi ters (opposite) cebirine izomorftur. Bu nedenle tensör cebiri
ile
gösterilen bir involüter anti-otomorfizm (kısaca involüsyon) gönderimini de kabul eder.
Homojen elemanlar üzerinde bu
…
(2.2.8)
…
etkisiyle tanımlanır. ’nin bir involüter anti-otomorfizm olduğu doğrudan görülebilir.
Homojen elemanlar
ve
olmak üzere ’nin
’ye etkisi aşağıdaki gibidir:
.
5
(2.2.9)
V olmak üzere,
’e göre iç-türev
ile gösterilir. İç-türevin homojen
ve
elemanlarının tensör çarpımına etkisi;
(2.2.10)
olarak tanımlanır. İç-türevin ’ya göre bir anti-türev özelliği vardır. Eğer
ise iç-türev
ve
V ve
0 özelliklerine sahip bir çizgisel gönderimdir.
Dolayısıyla iç-türev T V üzerinde ( -derecelenmesine göre)
1. dereceden homojen
çizgisel bir gönderimdir. Bu özellik iç-türevi tamamen karakterize eder. İç-türev
bağıntısını sağlar. Her ,
işlemcisi ’ya göre bir anti-türev olduğundan
V* olmak üzere
işlemi T V üzerinde bir türevdir.
V ya da
bir skaler ise
0 olur. Dolayısıyla tüm a cebir elemanları için
(2.2.11)
0
olur ve özel olarak
0 özelliği sağlanır.
2.2 Dış Formlar Uzayı
Tensörler, vektörlerin kartezyen çarpım uzayları üzerinde çoklu-çizgisel gönderimlerdir.
Vektörlerin sıralanışı genel olarak önemlidir. P
S
|
1, 2 , … ,
olmak üzere bu kümenin,
ile gösterilen permütasyon gurubunu göz önüne
alalım. Bu grup, tensörlerin simetri analizlerinde de önemli bir role sahiptir. S
grubunun bir değiş-tokuş ‘
’ permütasyonunun (transpozisyon, 2-devir) P kümesi
üzerindeki etkisi aşağıdaki gibi tanımlanır:
,
,
,
.
Eğer bir T tensörü için
T
eşitliği sağlanıyorsa; ,
denir. Olası tüm
,
,… ,
T
,
,… ,
girişlerine göre + için simetrik ve
için antisimetrik tensör
’lar altında simetrik (antisimetrik) olan bir tensöre tamamen
simetrik (tamamen antisimetrik) tensör denir.
6
Tensör cebiri içinde tamamen antisimetrik -tensörlerin altuzayı Λ V ile gösterilir. Bu
uzayın elamanlarına dış -formlar ya da kısaca -formlar denir. V’nin boyutu
ise
tamamen antisimetrik olan -formların uzayının boyutu:
; 0
Λ V
(2.2.1)
ile ifade edilir. Bu durumda aşağıdaki ifadeler rahatlıkla doğrulanabilir:
(i)
için
Λ V
0 ve böyle -formlardan söz edilemez,
(ii)
için
Λ V
1,
0 için
Λ V
1 ve Λ V
(iii)
denkliği tanımlanabilir.
Verilen keyfi bir a, -tensörü için tamamen antisimetrik
,… ,
!
∑
,…,
ile tanımlanan, tamamen antisimetrikleştirme
Yukarıdaki toplama işlemi tüm
gönderimi, çift tek
S
,
(2.2.2)
işlemi aracılığıyla oluşturulur.
permütasyonları üzerindendir. Ayrıca
permütasyonlar için
gönderiminin T V ’nin bir
-formu:
1 ( 1) olan işaret gönderimidir.
elemanına etkisi onu tamamen antisimetrikleştirir ve
olması dolayısıyla tamamen antisimetriklik özelliği korunur.
Kısaca
gönderimi aşağıdaki iz-düşüm işlemcisidir:
:T V
Λ V
(2.2.3)
.
Tamamen antisimetrik ve dereceli tensörler için
Λ V
Λ V
Λ
tensör çarpımı, tamamen antisimetrik
V
dereceli bir tensör oluşturmaz. Bu nedenle
tamamen antisimetrik tensörler uzayında, dış-çarpım denilen yeni bir gönderim
tanımlanır. Bir -form ile bir -formu
forma götürecek bir gönderim
ve
gönderimleri kullanılarak dış formların uzayında aşağıdaki gibi tanımlanır:
Λ V
Λ V
Λ
,
V
.
(2.2.4)
‘ ’ gönderimine dış çarpım denir. Bir s-formla bir t-formun dış çarpıma göre
1
(2.2.5)
sıradeğişim bağıntısını sağladığı da gösterilebilir. Bu bağıntıya göre formlardan birinin
7
derecesi çift ise, dış çarpım sıradeğişmelidir. Tensör çarpımının birleşmeli (assosiyatif)
olmasının doğal bir sonucu olarak dış çarpım da birleşme özelliğine sahiptir2:
(2.2.6)
.
2.3 Dış Cebir
Dış çarpıma göre olası tüm -form uzaylarının dışsal direk toplamı,
Λ V
∑
(2.3.1)
Λ
olarak kurulan cebire dış cebir denir ve Λ V ile gösterilir. Ayrıca dış cebir tensör
cebirinin bir bölüm cebiri olarak da incelenebilir (bakınız Ek1). Eğer V’nin boyutu
ise
dış cebirin boyutu
Λ V
∑
(2.3.2)
2
0
olarak bulunur. Dış cebir tamamen antisimetrik tensörlerin cebiridir: Bu nedenle
dereceli bir cebirdir.
-
gönderimi tensör cebiri üzerinde sıfırıncı dereceden bir
homojen gönderim olduğundan , dış cebirin de bir otomorfizmidir:
(2.3.3)
.
Tensör cebirinde olduğu gibi dış cebirde de
olur. Ayrıca
ile
gönderimi
-derecelenmesine neden
gönderimi sıradeğişimli olduklarından,
dış cebirin de bir
involüsyonudur. Yani
Λ
,
,… ,
,… ,
V ,
ve
1, … ,
olmak üzere;
,
,… ,
ve
,
,… ,
,… ,
,… ,
olduğundan,
,… ,
2
1
,… ,
1
;
çift
; tek
tensörü için
= 0 ise, her
T V için,
0
sağlanır.
gönderimi bir iz-düşüm işlemcisi olduğundan 1
işlemcisi de bir iz-düşüm işlemcisidir.
Böylece
tamamen simetrik bir tensör olmak üzere, 1
yazılabilir. Buradan
bulunur. Bu özellikler kullanılarak, aşağıdaki bağıntılar doğrulanabilir:
da
Bir
.
8
yazılabilir. Buradan da
,… ,
⁄
1
olduğu kolayca görülebilir. Burada
tam değer fonksiyonu olup,
’nin
’ye etkisi
aşağıdaki gibi yazılabilir:
⁄
1
(2.3.4)
.
Her dış-form bir tensör olduğundan, iç-türev ‘ ’ dış formlar üzerinde de tanımlanabilir.
Bunun için
ile
gönderimlerinin sıradeğişimli olduklarını göstermek yeterlidir.
Bunu görmek için ayrışabilir,
T
…
V için
tensörünü göz önüne alalım.
T
,
’in T’ye etkisi:
…
…
1
…
,
(2.3.5)
şeklindedir. Şimdi
1, 2, … , , … ,
permütasyonunu ve onun
2, 3, … ,
işaret gönderimini kullanarak,
T
∑
,… ,
yazılabilir. Eğer burada T yerine
T
sonucuna ulaşılır.
,… ,
(2.3.6)
T yazılırsa,
,… ,
T
,… ,
,… ,
elde edilir. Son iki denklem
ile
T
(2.3.7)
gönderiminin tanımından yararlanılarak da,
T
bunlar
1, 1, , … ,
,… ,
2 tane keyfi
(2.3.8)
vektörü için geçerlidir: Bu yüzden
gönderimlerinin sıradeğişimli olduklarını gösterir.
Denklem 2.3.5. iç-türevin dış cebirde de anti-türev olduğunu belirtir:
Λ
(2.3.9)
Λ
.
İç-türevin ,
Λ V olmak üzere, (
)’ye etkisi aşağıdaki gibidir:
.
Eğer
|1
, V’ nin bir bazı ise;
I
, ,… ,
|
indeks kümesi olmak üzere,
…
|
9
,..
I
(2.3.10)
kümesi de
-formlar uzayının bir bazıdır. Herhangi bir
-formu, çoklu indeks
notasyonu kullanarak aşağıdaki gibi yazılabilir:
∑
Burada
…
…
…
skalerleri
∑
.
’nin bu bazdaki bileşenleridir. Eğer I indeks kümesi
üzerinde bir kısıtlama yoksa, bu toplama işleminde -formun ! katı elde edilir. Toplam
anlaşmasına göre
en genel anlamda,
!
…
…
(2.3.11)
şeklinde yazılabilir. Burada tekrarlı indisler üzerinde kısıtlamasız toplama anlaşması
kullanılmıştır. Bu anlaşma aksi belirtilmediği sürece tezin diğer bölümlerinde de
kullanılacaktır.
10
3. CLIFFORD CEBİRLERİ
V,
cisimi üzerinde
metriğine sahip bir çizgisel uzay olsun. Eğer V ortogonal bir
uzay ise, vektör uzayının her
tanımlanır. Bu norm kavramıyla
elemanının metrik normunun karesi
cisminin bir kopyası, C V,
,
ile
ile gösterilen birleşmeli
bir -cebir olan Clifford cebiri içine vektör altuzayı olarak gömülebilir. Dış cebir, tensör
cebirinin bir bölüm cebiri olarak incelenediği gibi benzer biçimde Clifford cebiri de
tensör cebirinin bir bölüm cebiri olarak incelenebilir (bakınız Ek2). Bunun yerine
Clifford cebirleri doğrudan ‘ ’ Clifford çarpımıyla tanımlanacaktır.
Bu bölümde önce Clifford çarpımı tanıtılacak ve gerçel düşük boyutlu bazı Clifford
cebirlerinin yapı analizleri yapılacaktır. Bu inceleme 3.2.2 kesiminde türetilen
tekrarlama bağıntılarıyla birlikte yüksek boyutlu gerçel Clifford cebirlerinin, onların çift
altcebirlerinin ve dördüncü bölümde ele alınacak olan Clifford gruplarının genel
yapılarının belirlenmesinde önemli rol oynar. Bu bölümün son 3 kesiminde Lorentz
metriğine sahip vektör uzayının bazları tarafından üretilen ve fizik uygulamaları
açısından önemli olan 16 boyutlu gerçel Clifford cebirinin yapısı ayrıntılı olarak
incelenmektedir. Bu cebirin kompleksleştirilmişi ise 7. Bölüm’de ele alınmıştır.
3.1 Clifford Çarpımı ve Formlar Uzayında İndüklenen Metrikler
Verilen , -formu ve , 1-formunun Clifford çarpımları,
(3.1.1)
(3.1.2)
bağıntılarıyla tanımlanır. Burada , ’in metrik duali olup her
vektörü için geçerli
,
bağıntısıyla tanımlanır. Dış formların vektör uzayı ‘ ’ çarpımıyla dış cebiri
oluştururken, aynı uzay ‘ ’ çarpımıyla Clifford cebirine dönüşür. Yukarıdaki iki
denklemde
yerine
, 1-formu yazılarak sonuç bağıntılar taraf tarafa toplanırsa
Clifford cebirleri için daha aşina olunan
2
,
bağıntısına ulaşılır.
11
,
V
(3.1.3)
Birleşme özelliği 1-formlar için açıktır. Clifford cebiri 1-formaların uzayı tarafından
üretildiğinden tüm cebir birleşmelidir. Denklem 3.1.3. V üzerindeki ortogonal
dönüşümleri çalışmak için uygun bir yapı oluştur. Aksi belirtilmediği sürece Clifford
cebiri denildiğinde Denklem 3.1.1. ile verilen çarpımla birlikte dış formların vektör
uzayı anlaşılmalıdır. Ayrıca bundan sonra ‘ ’ notasyonu yerine dış formların art arda
yazılmasıyla Clifford çarpımı yapılacaktır. Örnek olarak; Denklem 3.1.3. bundan sonra
2
Clifford cebiri
şeklinde yazılacaktır.
,
-dereceli bir cebir olmadığı halde dış formların vektör uzayı
-
derecelidir. Dolayısıyla Clifford cebiri -homojen altuzayların toplamı:
∑
C V,
(3.1.4)
C V,
olarak yazılabilir. Toplamdaki n, V uzayının boyutu ve
altuzaylarına iz-düşüm işlemcisidir. Eğer
ve
ise
-formların homojen
sırasıyla . ve . dereceden homojen
iseler bunların Clifford çarpımları
|
halinde ayrışır. Eğer
ve
cebirin keyfi elemanlarıysa bir önceki denklem kullanılarak
∑
,
olduğu görülür. Burada
indüklediği metrik
(3.1.5)
|
(3.1.6)
kuralı kullanılmıştır.
metriğinin
-formlarda
ile gösterilirse, homojen olmayan formlarda bir G metriği;
G
∑
,
(3.1.7)
,
ile tanımlanabilir. Bu durumda G homojen altuzaylarda köşegendir. Formlardaki bu
metrik, Clifford çarpımıyla aşağıdaki gibi ilişkilendirilebilir3:
G
.
,
Hesaplamalar için önemli diğer bir sonuç
(3.1.8)
metriğinin simetrisinin sonucu olan,
(3.1.9)
bağıntısıdır. Keyfi bir Clifford cebiri elemanını G-ortonormal bazda genişletmek
, V’nin bir ortonormal bazı ise o zaman
genellikle kullanışlıdır. Eğer
3
da
Bu ifade homojen iki -form için rahatlıkla doğrulanabilir:
,
. Bu başarıldığında
G’nin çizgiselliğinden dolayı, Denklem 3.1.8. ispatlanmış olacaktır. Ortonormal 1-formların çarpımı
…
ve
…
ise
Denklem
3.1.1.
kullanılarak
olarak
…
…
…
şeklinde yazılabilir ve böylece
…
yazılabilir.
,
,
ve
…
,
ortonormal baz olduğundan sağ taraf
… ,
…
.
bağıntısı doğrulanmış olur.
,
12
Clifford cebirinin bir G-ortonormal bazıdır.
çoklu-indeksi, doğal olarak farklı
indislerin sıralı dizisi üzerinden değer alır ve bundan sonra kullanılacak notasyon şudur:
…
,
ve
e
…
…
de ters matrisi gösterirse,
bağıntısını verir. Buradaki
,
ve
.
yazılabilir. Bu
için
çoklu-indisleri aynı iken 1, diğer bütün
durumlarda sıfır değerini alan Krönercker sembolüdür. Clifford cebirinin herhangi bir
elamanı seçilen bir bazda aşağıdaki gibi açılabilir:
∑
.
(3.1.10)
3.2 Gerçel Clifford Cebirlerinin Yapısı
Cisim olarak
gerçel sayılar cismi alınarak oluşturulan Clifford cebirlerine gerçel
Clifford cebirleri denir. Bu cebirlerin yapısı;
tane (+) ve
imzasına sahip gerçel dejenere olmayan simetrik
sonra gerçel Clifford cebirleri C
,
tane ( )’den oluşan ( , )
metrikleriyle belirlenir. Bundan
ile gösterilecektir. Clifford cebirlerinin boyutu
üzerinde kurulduğu vektör uzayının boyutuyla belirlenir. Buna göre; V’nin boyutu
ise
Clifford cebirinin boyutu 2 olur. V’nin verilen bir bazı için Denklem 3.1.1.
tekrarlı kullanılarak Clifford cebirleri için bir çarpım tablosu oluşturulabilir.
İncelemelerde V’nin bir ortonormal baz kümesi
,
,
1 olmak
üzere aşağıdaki gibi gösterilecektir:
,
Bu bazda hacim form da
|
1, … , ,
…
1, … ,
.
ile belirtilecektir.
…
3.2.1 Düşük boyutlu bazı gerçel Clifford cebirlerinin yapı analizi
Bu kesimde
0,
1,2,3,4 ve
1,
0,1 değerlerine karşılık gelen gerçel
Clifford cebirlerinin yapıları sırayla belirlenecektir. Bu inceleme gelecek kesimde
türetilen tekrarlama bağıntılarıyla birlikte yüksek boyutlu Clifford cebirlerinin genel
yapı analizlerinde büyük kolaylıklar sağlar.
,
cebirinin yapısı: Bu cebirin boyutu
13
C
olup, üretici kümesi V’nin
2
,
2
baz elemanıdır ve cebirin bazı da 1,
ibaretir. Denklem 3.1.1.’de tanımlanan Clifford çarpımına göre
kümesinden
1 olup, ‘i’
kompleks (sanal) sayısına cebirsel olarak eşdeğerdir. Bu durumda
( ) kompleks
sayılar cebiri olmak üzere aşağıdaki izomorfizm sağlanır:
C
,
.
,
(3.2.1.1)
cebirinin yapısı: Bu cebirin boyutu da 2 olup üretici kümesi V’nin
baz
kümesidir. Bu cebir doğrudan rahatça tanınabilir bir
elemanıdır ve cebirin bazı da 1,
cebir değildir. Bir cebirin bütün elemanlarıyla sıradeğişen elamanlarının kümesine o
cebirin merkezi denilir. 1,
kümesi C
’nin bütün elemanlarıyla sıradeğiştiğinden,
,
bu cebirin merkezini de gerer. Yani bu cebirin merkezi kendisidir. Cebir içinde
olacak şekilde
elemanları varsa, bu tür elemanlara idempotent denir. Eğer bir cebirin
idempotentleri
0,
koşulunu
sağlıyorsa,
bunlara
ortogonal
(dik)
idempotentler denilir. İki ortogonal idempotentin toplamı biçiminde yazılamayan
idempotentlere ise ilkel (primitif) idempotentler denir. Bir cebirin merkezinde,
toplamları cebirin birimini verecek şekilde iki ortogonal idempotent varsa, cebir
altcebirlerinin direk toplamı biçiminde yazılabilir. C
1
,
,
için
1
idemopotentlerinin toplamı cebirin birimi olduğundan, bu cebir altcebirlerinin direk
toplamı olarak yazılabilir:
C
C
,
ve C
C
,
C
,
,
.
altcebirleri sırasıyla ’ye izomorf olduklarından,
,
C
(3.2.1.2)
,
yazılabilir.
,
cebirinin yapısı: Bu cebir 2
kümesidir. Burada
,
4 boyutlu olup, cebirin bazı
vektör uzayını baz elemanlarını,
1, , ,
bu bazdaki hacim
formdur. Çizelge 3.1. de bu cebirin baz çarpım tablosu verilmiştir. Bu cebirin merkezi
birimin gerçel gerimi olduğundan (bakınız Ek3), indirgenebilir bir cebir değildir. Bu
cebirin yapısını belirlemek için; gerçel elemanlı 2
1, 2 bazını göz önüne alalım. Şimdi
2’li matrislerin standart
1 olacak şekilde
14
|,
0 1
,
1 0
1 0
,
0 1
1
0
1
1
,
0
1 0
,
0 1
(3.2.1.3)
karşı-gelimleri ve
C
(3.2.1.4)
,
izomorfizmi yazılabilir. Bu izomorfizm Ek4’de incelenen Wedderburn ayrışım
teoreminden de öngörülebilir.
Çizelge 3.1 C
,
cebiri için baz çarpım tablosu
1
1
1
1
1
1
cebirinin yapısı: Bu dört boyutlu cebirin üretici kümesi V’nin
,
Cebirin bazı ise 1,
,
,
bazıdır.
,
kümesidir. Cebirin baz çarpım tablosu Çizelge 3.2. de
verilmiştir. Eğer verilen çizelge de
,
ve
karşı gelimleri yapılırsa,
bunun kuaterniyonlar için standart bir baz çarpım tablosu olduğu görülür. Dolayısıyla
C
(3.2.1.5)
,
izomorfizmi sağlanır.
Çizelge 3.2 C
,
cebiri için baz çarpım tablosu
1
1
1
1
1
1
,
cebirinin yapısı: Bu cebirin boyutu 8 olup, üretici kümesi V’nin
bazıdır ve cebirin bazı
15
,
,
1,
kümesidir. Buradaki
,
,
,
,
,
,
hacim formu cebirin tüm üreticilerle sıradeğişir. Dolayısıyla bu
cebirin merkezi 1 ve ’nin gerimidir ve
1
1’dir. Ayrıca
1
,
merkezi ortogonal idempotentlerdir ve toplamları cebirin birimini verir. Bu yüzden
cebir aşağıdaki gibi indirgenebilir:
C
C
C
,
.
,
altcebirinin bazı;
,
,
olduğundan
,
,
Çizelge 3.3 C
C
C
,
,
kümesidir.
,
cebiri için baz çarpım tablosu
,
altcebirinin birimi
,
bazı
,
için
,
,
,
’dir. Çizelge 3.3.’den görüleceği üzere bu cebir; standart
olan,
kuaterniyon cebiridir. Tüm Clifford cebirleri
gönderimi bir otomorfizmdir. Dolayısıyla bu cebirin de bir otomorfizimidir ve
olduğundan cebirin bir bileşenini diğer bileşenine dönüştürür:
C
,
C
,
.
Buna göre aşağıdaki cebir izomorfizmi yazılabilir:
C
.
,
(3.2.1.6)
cebirinin yapısı: Bu cebirin boyutu 16 olup, üretici kümesi V’nin
,
,
,
kareleri
,
bazıdır. Bu üreticiler karşılıklı olarak antisıradeğişimli (anticommute) ve
1’dir. Eğer bu üreticilerin karşılıklı olarak sıradeğişen iki altkümesi
yazılabilirse, bu altkümeler cebirin karşılıklı olarak sıradeğişen altcebirlerini üretirler.
Eğer bu altcebirlerin boyutları çarpımı cebirin boyutuna eşitse, cebir bu altcebirlerinin
tensör çarpımı olarak yazılabilir. Hacim form
16
ile birlikte
, ,
,
kümesi
istenileni sağlar. Bu kümenin kendi aralarında antisıradeğişimli ilk iki ve son iki
elemanı karşılıklı olarak sıradeğişirler. Fakat bu kümenin tüm cebiri ürettiği kontrol
edilmelidir. Yani;
,
,
olduğundan bu kümenin elemanlarından orijinal üretici kümesinin elemanları elde
ve
edilir. Dolayısıyla tüm cebir üretilir.
’ye izomorf olan C
elemanlar
için
1 olduğundan, bu
cebirini üretirler. Kareleri
,
ise kuaterniyon cebirini üretir.
ve
1 olan
ve
dört boyutlu cebirler olduklarından
cebir izomorfizmi aşağıdaki gibi yazılabilir:
C
.
,
(3.2.1.7)
3.2.2 Clifford cebirleri tekrarlama bağıntıları
Buraya kadar düşük boyutlu bazı gerçel Clifford cebirlerinin yapısı incelendi. Bu
inceleme, aşağıda türetilen tekrarlama bağıntılarıyla birlikte yüksek boyutlu Clifford
cebirlerinin yapısının belirlenmesini sağlar.
,
cebir izomorfizmi: C
,
|
,
1, … ,
cebirinin üretici kümesi V’nin
1,
1, … ,
baz kümesidir. Bu cebir için alternatif bir üretici küme aşağıdaki gibi seçilebilir:
,
,
|
1, … , ,
1, … ,
.
Bu kümenin elemanlarının çarpımlarıyla baştaki üreticiler rahatlıkla elde edilir.
Kümenin elemanları karşılıklı olarak antisıradeğişimli olup
1,
1,
1 tane (+) ve
olduğundan,
1, … , ,
1, … ,
tane ( ) işarete sahiptir. Böylece:
C
C
,
.
,
(3.2.2.1)
cebir izomorfizmi kurulmuş olur.
,
cebir izomorfizmi: Bu cebirinin üretici kümesi V’nin
,
|
1, … ,
1,
1, … ,
1
baz kümesi olup cebir için alternatif bir üretici küme aşağıdaki gibi alınabilir:
,
,
,
|
17
1, … , ,
1, … ,
.
Bu kümenin elemanlarından da baştaki üreticiler elde edilebilir. Alternatif üretici
kümenin, kendi aralarında antisıradeğişimli olan ilk iki ve son iki elemanı sıradeğişir ve
1,
1,
1, … , ,
bağıntılarını sağlarlar. Dolayısıyla ilk iki eleman C
C
cebirini üretirken, diğerleri
,
cebirini üretir. Karşılıklı olarak sıradeğişen bu altcebirlerin boyutlarının çarpımı
,
C
1, … ,
cebirini boyutuna eşit olduğundan, cebir bu altcebirlerin tensör çarpımı
,
olarak aşağıdaki gibi yazılır:
C
C
,
C
,
(3.2.2.2)
.
,
cebir izomorfizmi: Bu cebir
,
,
,
,
,
,
|
1, … , ,
1, … ,
1, … , ,
1, … ,
kümesinden üretilir. Alternatif bir üretici küme
̂ , ̂
,
,
,
,
olarak alınabilir. Burada ̂
tanımı yapılmıştır. Kendi içlerinde
antisıradeğişimli ve karşılıklı olarak sıradeğişimli olan
ve
̂ , ̂
Altkümeleri; sırasıyla, C
,
ve C
,
,
,
cebirlerini üretirler. Dolayısıyla cebir
,
izomorfizmi aşağıdaki gibi yazılabilir:
C
C
,
C
,
.
,
(3.2.2.3)
Benzer şekilde aşağıdaki izomorfizimde sağlanır:
C
C
,
C
,
(3.2.2.4)
.
,
3.2.3 Clifford cebirlerinin genel yapısı
Yukardaki tekrarlama bağıntılarından yararlanarak ve
ayrı değerlendirilerek C
için
durumları ayrı
cebirinin genel yapısı artık belirlenebilir.
,
’nin yapısı: Cebire Denklem 3.2.2.2. -kere uygulanırsa,
,
C
yazılabilir. Eğer
ile
C
,
4
C
,
ve
,
…
C
,
(3.2.3.1)
4 ise o zaman Denklem 3.2.2.3. kullanılarak
18
C
C
,
C
,
…
,
C
C
,
sonucuna ulaşılır. Clifford cebirlerinin yapısı
…
,
C
(3.2.3.2)
,
4 için bilindiğinden;
durumu
için cebirin yapısı son denklemle belirlenmiş olur.
için
’nin yapısı: Denklem 3.2.2.2.’nin -kere kullanımıyla
,
C
C
,
C
,
…
,
C
(3.2.3.3)
,
ve Denklem 3.2.2.1.’den de yararlanarak
C
C
,
elde edilir. Eğer
C
,
1 veya 2 ise, C
Bu durumda
,
…
C
(3.2.3.4)
,
cebiri ya C
,
ya da C
,
için cebirinin yapısı belirlenmiş olunur. Eğer
olur.
,
1 veya 2 değil
ise, Denklem 3.2.2.1. bir kere daha uygulanarak
C
C
,
yazılabilir. Eğer
C
,
2
,
ve
4
…
C
.
,
(3.2.3.5)
4 ise bu durumda Denklem 3.2.2.3.
uygulanarak
C
C
,
,
C
…
,
sonucuna ulaşılır. Böylece
C
,
C
,
C
,
…
C
,
(3.2.3.6)
için cebirin yapı incelenmesi tamamlanmış olur.
cebirinin tekrarlı çarpımları bir toplam matris cebirine izomorftur. Bu,
izomorfizminden doğrudan görülebilir. Ayrıca
C
ve
,
olduğundan (bakınız Ek5); C
,
’nin çift sayıda tensör çarpımı, bir toplam matris
cebirine izomorftur. Eğer bu sayı tek ise, sonuç kuaterniyon cebiriyle bir toplam matris
cebirinin tensör çarpımıdır. Böylelikle herhangi bir Clifford cebiri için şu üç durum söz
konusu olur:
(i) Bir toplam matris cebirine izomorftur,
(ii) C
,
;
4 ile bir toplam matris cebirinin tensör çarpımına izomorftur,
(iii) Kuaterniyon cebiri ile bir toplam matris cebrinin tensör çarpımına izomorftur.
19
Birinci durum açıktır. İkinci durum için (3.2.1.1), (3.2.1.5) ve (3.2.1.6) denklemlerinden
yararlanılarak,
C
,
,
(3.2.3.7)
,
sonucuna ulaşılır. Burada ve aşağıdaki 3.2.3.8. ve 3.2.3.9 denklemlerinde
2
eşitliği geçerlidir. Üçüncü durum için
ve
izomorfizmleri göz önünde bulundurularak,
C
,
, ,
(3.2.3.8)
sonucuna ulaşılır. Tüm bu durumlar birleştirilerek herhangi bir Clifford cebiri için en
genel durum aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
C
,
,
,
,
,
.
(3.2.3.9)
Clifford cebirlerinin yapıları son üç denklemde, tensör çarpım yapılarının ilk çarpanı
olarak görünen
belirler.
cebirleriyle karakterize edilir. Açıkca
farkları
cebirini
cebirinin olası durumları da Clifford cebirlerinin; basit ya da yarıbasit olup
olmadığını belirler. Eğer Clifford cebiri C
biçimdeyse Denklem 3.2.2.3. art arda
,
iki kere uygulanarak;
C
C ,
C ,
C ,
,
C
C
,
,
C
,
(3.2.3.10)
elde edilir. Buna göre
cebirinin yapısı
8 ile belirlenir:
Çizelge 3.4 Gerçel Clifford cebirlerinin yapısı
8
0, 2
3, 7
4, 6
1
5
20
Çizelge 3.4’e göre: Eğer
bir çift sayıysa, Clifford cebirleri basit merkezli ve
indirgenemezlerdir. Bu çizelgedeki 0, 2, 4 ve 6 durumlarına karşı gelir. Eğer
bir
tek sayıysa o zaman iki durum söz konusudur:
(i)
1 ise, cebirin merkezi
’ye izomorftur ve indirgenemezdir. Bu
çizelgedeki 3, 7 durumlarına karşı gelir.
(ii)
ise,
1
cebirin
merkezi
direk
toplamına
izomorftur
ve
indirgenebilirdir. Bu çizelgedeki 1, 5 durumlarına karşı gelir.
3.3
Cebiri
,
Çizelge 3.4.’den bu cebir basit merkezli ve 4
olduğu görülebilir. Dolayısıyla cebir e | ,
4’lü gerçel matrisler cebirine izomorf
1, … , 4 standart matris bazını, bir baz
olarak kabul eder. Ayrıca cebiri matris bazlarından oluşturmak, basit cebirler için
Wedderburn yapı teoremine somut bir örnek teşkil eder (bakınız Ek4). Birim matrisin
rankı 4 olduğundan cebir içinde 4 tane karşılıklı ortogonal ilkel idempotent aranmalıdır.
Eğer
ve
ilkel idempotent
1,
Eğer
1 koşullarını sağlayan cebirin iki elemanı bulunabilirse, bu 4
1
2
1
1
2
biçiminde yazılabilir. Cebirin üretici kümesi;
1
1, i = 1, 2, 3 olmak üzere,
,
|
0, 1, 2, 3
şeklinde gösterilir.
seçimi yapılırsa, aranılan ortogonal dört ilkel idempotent için:
1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
,
(3.3.1)
bulunur. Bunların dördü de benzerdir:
,
,
(3.3.2)
.
Böylece
C ,
C ,
C ,
,
,
,
olur ve matris bazlarına göre aşağıdaki karşı gelimler yazılabilir:
21
e
e
e
e
,
(3.3.3)
,
,
.
Denklem 3.3.2.’de yapılan işlemler ters sıradan yapılırsa;
e
e
e
e
,
(3.3.4)
,
,
,
matris baz elemanları bulunmuş olur. e
e
e e
C
,
ve e e
olduğundan
bağıntısı kullanılarak diğer tüm matris bazlarının karşılıkları yazılabilir:
Çizelge 3.5 C
,
cebiri için matris bazı
Cebirin herhangi bir elemanı, özellikle üreticileri olan 1-formlar bu bazlarda açılabilir:
∑,
e
,
1, … , 4.
(3.3.5)
Bileşenlerin sıralanmasıyla Dirac -matrislerinin bir gerçel temsili (Majorana temsili);
∑ e
e
(3.3.6)
elde edilir. Denklem 3.3.1.’den
olduğu görülebilir. Bu durumda
bileşenlerini matris olarak düzenlemek için
e
e
e
Denklem 3.3.6.’da yazılırsa,
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
sonucuna ulaşılır. Benzer şekilde Denklem 3.3.1.’den
elde edilir. Bu eşitlik soldan
ile çarpılarak
22
(3.3.7)
e
bulunur. Bu durumda
e
e
e
0
1
0
0
1
0
0
0
e
e
e
e
matrisi
0
0
0
1
0
0
1
0
(3.3.8)
yazılır. Yine benzer şekilde
bulunur ve
ve
e
e
e ,
e ,
matrisleri de aşağıdaki gibi yazılır:
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0 ,
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1 .
0
0
(3.3.9)
Ayrıca bu cebir basit merkezli olduğundan, üzerindeki tüm otomorfizmler bir içotomorfizmdir. Bu durumda
matris cebiri üzerindeki
involüsyonuyla Clifford cebirinde tanımlanan
transpoziyon
involüsyonu,
C
elemanı
bağıntısıyla ilişkilendirilir (bakınız Ek8). Buradaki
(3.3.10)
,
olacak biçimde
bir merkez elemanı katsayısı farkıyla belirlenir.
3.4 Çift Altcebir
-dereceli olması dolayısıyla cebirin çift dereceli elemanları C
Clifford cebirinin
,
ile gösterilen bir altcebir oluştururlar. Clifford cebiri V’den üretildiğinden, çift altcebir
de 2-formlardan üretilmelidir. Ancak tüm iki formlar kümesinde bir baz için gerekenden
daha fazla eleman vardır. Dolayısıyla 2-formların bir altkümesi çift altcebiri üretir. Eğer
V’nin baz kümesi,
{ ,
ise, bundan C
|
1, … ,
1,
1, … , } ve
1
cebiri üretilebilir ve çift altcebiri için
,
{
,
|
1, … , ,
1, … , },
kümesi bir baz olarak alınabilir. Bu kümenin elemanları ve bunların birbiriyle Clifford
çarpımları da birer 2-formdur. Gerçekten;
kümeden C
,
olduğundan, bu
cebiri üretilebilir. Bu üreticiler karşılıklı olarak antisıradeğişimli ve
23
1,
1
özelliklerini sağladıklarından
C
C
,
(3.4.1)
,
cebir izomorfizmi yazılabilir. Clifford cebirleri, C
sahip olduklarından çift altcebiri için de C
durumda
genel yapısına
,
yazılabilmelidir. Bu
,
cebiri Çizelge 3.4. kullanılarak belirlenir.
Çizelge 3.6
ve
cebirlerinin yapısı
8
0
1
2
3
4
5
6
7
Çift altcebirin boyutu için aşağıdaki bağıntıları doğrulamak zor değildir:
C
Sonuç olarak
3.5
,
ve
1
,
2
C
,
,
cebirlerinin yapısı
2
8’e göre
.
farkıyla belirlenir.
Cebiri
Bu çift altcebirin 2
2’li kompleks elemanlı matrislerin cebirine izomorf olduğu
Çizelge 3.6.’dan görülebilir. Cebirin merkezi,
olduğundan 1,
ana cebirin hacim formu ve
1
kümesinin gerimi olan kompleks sayılar cebiridir. Cebirin merkezi ξ
involüsyonu altında değişmezdir ve ξ bu cebir üzerinde matris cebirindeki transpozisyon
involüsyonuna benzer bir involüsyon indükler. Yani, eğer
24
| ,
1, 2 bir matris
bazıysa, kompleks sayılar cebiri üzerindeki
Dolayısıyla
ile tanımlanır.
involüsyonu
ile birlikte
C
(3.5.1)
,
sağlanacak şekilde (bakınız Ek8) bir merkez katsayısı farkıyla belirlenen çift altcebirin
bir
elemanı vardır. Merkez elemanları ξ altından değişmez kaldığından
ve ξ benzer olmalarına rağmen
seçimi yapılmalıdır. Böylece , bir 2-form olmalıdır.
olduğundan eşdeğer değillerdir. Denklem 3.5.1.’deki
tanımlı olacak şekilde genişletilebilir. Eğer
için
ana cebir üzerinde
ana cebirin terslenebilir herhangi bir tek
elemanıysa
C
ile tanımlanan
(3.5.2)
,
involüsyonu çift altcebir üzerinde bir involüsyon indükler. Bu durumda
merkezde 1’in gerimi olan gerçel kısım korunur.
olduğundan bu involüsyon
çift altcebirdeki Hermitesel eşlenik işlemine benzerdir. Yani; C
ile tanımlanmış bir involüsyon † ise, o zaman
C
koşullarını da sağlayan çift altcebirin bir
’de,
,
üzerinde
ile birlikte
(3.5.3)
,
elemanı vardır. Merkez kompleks sayılar
cebirine izomorf olduğundan, ’nin her iki işareti de kullanılabilir. Doğal olarak son
denklemle † işlemi ana cebir üzerinde tanımlanacak biçimde genişletilebilir. Denklem
3.5.1.’den Denklem 3.5.3.’e kadar olan denklemler çift altcebirdeki transpozisyon ve
Hermitiesel eşlenik işlemlerinin ana cebirdeki bir iç-otomorfizm kadar farklı olduklarını
gösterir. Bu otomorfizm çift altcebirin bir iç-otomorfizmi değildir. Buradan † ve
işlemleri,
olmak üzere
(3.5.4)
bağıntısını sağlarlar. Ana cebirdeki iç-otomorfizm
altcebir üzerindeki
şeklinde olup, çift
involüter dış-otomorfizmini indükler: Burada
,
bazındaki
matris bileşenleri üzerindeki kompleks eşlenik işlemidir. Denklem 3.5.1.’deki uygun bir
elemanının (2-form) seçimiyle
C
olacak şekilde birim normlu bir
bazı tek ’ler için
,
ve
(3.5.5)
1-formu bulunabilir. Çünkü Denklem 3.5.5.’e göre
olur ve
1 olduğundan,
25
çift altcebirin merkezinde
olmalıdır. Varsayalım ki
yazılsın. Bu durumdaki
ve
, 1-formları için
biçiminde
elemanı
için
2
bulunur. Bu yazımda ilk iki terim 0-form iken son terim 2-formdur. O halde
gerçel sayı olmak üzere,
olmalıdır. Böylece
merkezinin elemanı olduğundan bütün çift
0 olduğundan,
Ayrıca
ve buradan
olduğundan,
0 yazılabilir. Dolayısıyla
altcebirin de bulunmalıdır.
bulunur.
| ⁄
1 bulunur.
böylece
çift altcebirin
elemanları için
0 olur. O halde
|
olmak üzere
ve
0 ve
,
matris bazlarıyla sıradeğişir ve
’in ortogonal tümleyeninin çift
1 ise, ’in ortogonal tümleyeni i = 1, 2, 3 ve
olmak üzere { } kümesi tarafından gerilir. Bu küme C
1
,
cebirini üretir: Bunun da
çift altcebiri kuaterniyon cebirine izomorftur. Bu nedenle
1 olmalıdır. Bu durumda
’in ortogonal tümleyeni i =1, 2 ve
kümesinin gerimidir. Bu küme C
1,
1 olmak üzere
cebirini üretir: Bu cebrin çift altcebiri de 2
,
elemanı C
gerçel matrisler cebiridir. Denklem 3.5.1.’deki
Denklem 3.5.5. de istenilen
,
2’li
’den seçilerek
,
eşitliği sağlanır. Bu durum için artık açık bir örnek
verilebilir.
C
,
cebiri için
{1,
,
,
,
,
,
,
kümesi bir bazdır ve ana cebirinin matris bazlarını kurmak için daha önceden izlenen
yol bu cebir için de izlenilerek, matris bazları Çizelge 3.7.’de gösterildiği gibi
kurulabilir.
Çizelge 3.7 C
,
cebiri için matris bazı
1
2
1
02
1
2
26
1
02
Bu bazlar, { ,
elemanı
,
} tarafından gerilen çift altcebirini de gererler. Denklem 3.5.1.’deki
olarak seçilebilir. Denklem 3.5.5.’deki
sıradeğişen ve karesi bir olan
elemanı için matris bazlarıyla
1-formu seçilebilir. Bu elemanla birlikte çift altcebirin
ilkelleri kullanılarak bütün cebirin ilkelleri elde edilir. Örneğin;
1
C
,
,
1
,
1
,
1
’nin karşılıklı olarak ortogonal ilkelleridir. Bu ilkel idempotentler Çizelge
3.5.’de verilen matris bazlarını kurmak için kullanılan ilkellerdir. Matris bazlarındaki
transpozisyon işlemiyle uyuşan involüsyonun, çift altcebirin bazlarında Hermitesel
eşlenik işlemini indüklediğine dikkat edilmelidir.
27
4. CLIFFORD GRUBU
Clifford cebirinin terslenebilir bütün elemanları C
,
ile gösterilen bir grup
oluştururlar. Clifford grubu olarak bilinen grup bunun bir altgrubudur. Clifford cebirinin
üretici uzayı V’nin her
vektörünü;
bırakan terslenebilir bütün
eşlenik etkisiyle yine vektör uzayında
elemanları, C
,
’nin bir altgurubunu oluştururlar. Bu
altgruba Clifford Grubu denir. Bundan sonra bu grup Γ ile gösterilecektir.
Bu bölümde; önce Clifford grubunun vektör temsili tanıtılacaktır. Grup elemanlarının
kanonik formu gösterildikten sonra; grubun kıvrık (twisted) temsili, norm bağıntıları,
Pin ve Spin grupları tanıtılacaktır. Ayrıca Clifford grubunun ortogonal grup ve onun
altgruplarıyla olan ilişkisi incelenecektir. Clifford cebirinin ve grubunun, Lie cebiri ve
Lie grubu yapıları kesim 4.7.’de gösterilmektedir. Bu bölümün sonunda, Lorentz
metriğine sahip ortogonal uzay üzerinde kurulmuş 16 boyutlu gerçel Clifford cebiri bir
uygulama olarak ele alınacaktır.
4.1 Clifford Grubunun Vektör Temsili
Clifford grubunun vektör temsili; Γ’yı Clifford cebirinin otomorfizm grubuna gönderen
:Γ
C
,
burada
(4.1.1)
homomorfizmidir (bakınız Ek7). Grubunun elemanları
2
,
2
özelliğini sağladıklarından,
O ,
V’nin
,
Clifford grubunu ortogonal gruba gönderir. Yani
’ler
ortogonal grubunun elemanıdırlar. Görüntü elemanlarının daha iyi belirlenmesi
boyutuna bağlıdır. V üzerinde bir ortogonal dönüşüm
O ,
olsun. V,
Clifford cebirini ürettiğinden , cebirin bir otomorfizmine
,
…
,… ,
şeklinde tek olarak genelleştirilebilir.
ç
: Bu durumda Clifford cebiri merkezi basit bir cebirdir ve bütün otomorfizmleri
birer iç-otomorfizmdir. Bu
’nın da Clifford cebirinin bir iç-otomorfizmi olduğunu
28
gösterir. Yani
Γ ve bu durumda O ,
Γ olur.
Γ
O ,
ve O ,
Γ olduğundan, kümelerin eşitliğinden aşağıdaki sonuç yazılır:
ç
O ,
Γ
(4.1.2)
.
: Bu durumda ise Clifford cebirinin merkezi birim ve
gerilir.
olduğundan,
hacim -formu tarafından
hacim koruyan bir dönüşümdür. Hacim
özel ortogonal grup
koruyan dönüşümlerin determinantı 1’dir. Dolayısıyla SO ,
olmak üzere, Clifford grubunun elemanlarının
grubun elemanlarıdır. Bu durumda grubun her
olarak hacim
altındaki görüntüleri özel ortogonal
elemanı için
Γ
SO ,
olur. Açık
-formu değişmez bırakmayan bir ortogonal otomorfizm bir iç-
otomorfizm olamaz. Çünkü Clifford cebiri basitse, merkez üzerindeki bütün
otomorfizmler birer iç-otomorfizmdir. Eğer Clifford cebiri basit değilse basit merkezli
iki bileşenin direk toplamı olarak
C
yazılabilir. Buradaki
,
ve
C
C
,
,
merkezi ortogonal idempotontlerdir. Eğer
değişmez bırakan bir ortogonal otomorfizmse o zaman
merkezi
basit bileşenler üzerinde birer
otomorfizm indükler. İndüklenen bu otomorfizmler, bileşen cebirlerin basit merkezli
olmaları dolayısıyla birer iç-otomorfizmdir. Bu herhangi bir
i = 1, 2
,
olmak üzere, C
’ler
olur. Burada
ise
elemanı için
’lerin birimidir. Eğer
,
olmak zorundadır. Çünkü
,
1
ve dolayısıyla
olur. Bu durumda ’nın bir
elemanına etkisi aşağıdaki gibidir:
.
Böylelikle,
’nin tek olma durumunda bile merkezi değişmez bırakan bir ortogonal
otomorfizm bir iç-otomorfizmdir. Bu
Γ
SO ,
ve SO ,
Γ için SO ,
Γ olduğunu gösterir.
Γ olması dolayısıyla aşağıdaki sonuç elde edilir:
SO ,
Γ
29
.
(4.1.3)
4.2 Grup Elemanlarının Kanonik Formu
Ortogonal grubun herhangi bir elemanı yansımaların çarpımı biçiminde yazılabilir. Bu
yazım Clifford grubu elemanlarının bir standart formu olmasını gerektirir. Bu nedenle
ortogonal grubun elemanlarının yansımaların çarpımı biçiminde nasıl yazıldığı
incelenmelidir.
non-null (ya da non-isotropik) bir vektör; yani
vektörüne ortogonal hiper-düzleme göre bir
2
bağıntısıyla tanımlanır. ,
0 ise o zaman
,
vektörünün yansıması,
,
(4.2.1)
V
’ye dik ise,
,
yazılarak,
,
bulunur.
’nin bir
vektörüne göre yazılan bu ifadesi yansımanın bilinen
notasyonuyla uyuşur ve onun bir ortogonal dönüşüm olduğu görülür:
,
,
4
,
,
4
,
,
,
.
Şimdi boyları aynı olan iki non-null vektör göz önünde bulundurulsun. Yani
non-null vektörleri için
bu iki vektör;
,
,
0 olsun. Bu durumda
,
,
ve
de non-null ise,
için
,
,
,
,
,
,
,
–
–
bağıntılarıyla gösterildiği bir yansımayla birbirine bağlanabilirler. Eğer
zaman
null ise o
null değildir. Bu durumda,
,
,
ve
yansımayla
elde edilir. Böylece non-null iki vektör en fazla iki
birbirine
bağlanabileceği
gösterilmiş
oldu.
Şimdi
bu
gözlemin
genelleştirilmişi olarak; aşağıdaki önerme tüme varım yöntemiyle ispatlanacaktır.
30
Üzerinde dejenere olmayan iki-çizgisel form tanımlanmış sonlu
(4.2.2)
boyutlu bir vektör uzayındaki herhangi bir ortogonal dönüşüm
sonlu sayıda yansımaların çarpımı olarak ifade edilebilir.
İspat: V,
1 boyutlu bir uzay olmak üzere, (4.2.2)’nin doğruluğu tüm
1 için (4.2.2) açık olarak doğrudur. Eğer
ortogonal uzaylar için kabul edilsin.
V’nin herhangi bir non-null vektörüyse,
vektörlerin uzayı),
non-null olduğundan non-dejenere
uzayına kısıtlanmışı da non-dejenerdir. Eğer
aynı boyda olan
vardır.
,
’nin
boyutlu ortogonal
vektörünün eşlenik
, V’de bir ortogonal dönüşümse,
vektörü en fazla iki yansımanın çarpımıyla
bağlanabilir. Yani
olacak biçimde yansımaların çarpımı olan bir
’yi değişmez bıraktığından
dönüştürmelidir. Yani
dönüşümü, bu
dönüşümdür. Hipoteze göre
,
’nin eşlenik uzayı ( ’ye ortogonal tüm
non-dejenere (dejenere olmayan) olduğundan
bir uzaydır. Ayrıca
boyutlu
ile
vektörüne
dönüşümü
’nin eşlenik uzayını da kendine
boyutlu ortogonal uzayda da bir ortogonal
olup ve yansımaların bir çarpımıdır. Dolayısıyla
de yansımaların çarpımıdır. Böylece genel doğruluk tümevarım yöntemiyle
ispatlanmış olur.
Şimdi de aşağıdaki önermeyi gözönüne alalım:
Null olmayan her
vektörü için
yazılabilir.
İspat: Bu önermenin ispatında, bir
vektörü için
yeterlidir. Bu durumda,
0 olduğundan,
2
,
,
2
(4.2.3)
olduğunu göstermek
⁄
,
tanımlanarak
,
yazılabilir. Böylece
,
,
elde edilir ve
bağıntısı ispatlanmış olur.
Yukarda ispatlanan iki önermenin yardımıyla, Clifford grubunun herhangi bir elemanı
artık kanonik formda yazılabilir. Fakat bu yazımda cebirin üretici uzayının boyutunun
31
tek veya çift olması önemli olduğundan bu durumlar; aşağıdaki sonuç önermesinin
ispatında ayrı ayrı incelenmelidir.
Merkezin bir elemanı ’ler V’nin non-isotropik
ve
vektörleri olmak üzere Γ’nın her
…
elemanı
(4.2.4)
kanonik formunda yazılabilir.
İspat: (i)
ise Clifford grubunun
olmasından dolayı
elemanı için
SO ,
olur.
1
çift sayıda yansımanın çarpımı olarak yazılabilir. Eğer
( çift)
…
ise o zaman (4.2.3)’den
…
yazılabilir. Vektör temsilinin çekirdeği açıkca cebirin merkezi olduğundan
tek için
(4.2.4) doğrulanır.
(ii)
ç
ise
hacim
-form için
ve
olur.
, n 1 tane non-
isotropik vektörün çarpımı biçimde yazılabileceğinden Clifford grubunun herhangi bir
elemanı için
…
yazılabilir. Burada
tek veya çift olabilir. Böylelikle
çift için (4.2.4) doğrulanır.
4.3 Clifford Grubunun Kıvrık Vektör Temsili
Üretici uzayı V’nin boyutu (
çift iken Clifford cebirleri merkezi basit cebirlerdir ve
dolayısıyla Clifford grubunun elemanları tek veya çifttir. Clifford grubunun tek ve çift
elemanlarının birlikte oluşturduğu altgrup Γ ile gösterilsin.
çift iken Γ
Γ ve
tek
iken Clifford grubunun vektör temsili tüm ortogonal gruba değil özel ortogonal grup
üzerine bir gönderimdir. Clifford grubunun kıvrık (twisted) vektör temsili ’nin tek veya
çift olmasına bakılmaksızın ortogonal grup üzerine bir gönderimdir ve her
Γ
ile tanımlanır.
C
,
V için
(4.3.1)
,
’nin V’nin elemanlarına etkisi Clifford çarpımı biçimindedir. Eğer
tersinir bir vektörse o zaman
Γ olup, bir
32
vektörü için
olarak uyuşur. Clifford grubunun herhangi bir elemanı yansımaların çarpımı şeklinde
yazılabildiğinden, uzayın boyutunun tek veya çift olması ayrı ayrı incelenerek
Γ
O ,
(4.3.2)
bulunur.
Eğer
ç
ise cebirin merkezi birimin gerimidir. Bu durumda
Γ
skaleri ve
ve böylece
…
…
yazılır. Burada
…
tek veya çifttir. Böylelikle Γ
Γ olup, Denklem 4.3.2. sağlanır. Açık
olarak ’nin çekirdeği sıfırdan farklı gerçel sayıların çarpımsal grubu olan
’dır.
Eğer
,
ise cebirin merkezi 1,
Burada
Eğer
kümesinin gerimidir ve
için iki durum söz konusudur.
ya da ,
…
ya merkezin çift kısmı olan
gerçelse, Γ ’nin her
eleman için
tek iken
SO ,
dolayısıyla Denklem 4.3.2. sağlanır.
olduğundan
’nin çekirdeği ise, her
katıdır:
için sağlanan
olur ve
O ,
vektörü için
çift ve
olacak şekilde elemanlarından oluşur. ’nin çekirdeğindeki bir elemanı
tek olmak üzere
için
şeklinde ayrıştırılabilir.
yazılabilir. Bu,
olduğundan, her
yararlanılarak
ve
olduğundan, her
’nın merkezin çift kısmı olan
için
vektörü
’da olduğunu gösterir.
0 olur. Denklem 3.1. ve 3.2.’den
çarpımları açıkca yazılırsa, her
0 olmalıdır. O halde
.
yazılabilir. Eğer
SO ,
ise, hacim form tek olduğundan de tektir. Bu durumda, her
eşitliği yazılabilir.
çifttir.
’nin elemanıdır
’nin bir elemanı olmak üzere merkezin tek kısmı olan ’nin
durumda
için
’nin çekirdeği
Clifford grubunun çift elemanları Γ
için
tek iken de
0 olur: Bu
’dır.
ile gösterilen bir altgrup oluştururlar ve bu
durumda kıvrık temsille vektör temsili uyuşur:
Γ
Eğer
ç
…
SO ,
ve , Γ ’ının bir elemanıysa,
(4.3.3)
.
gerçel ve
çift olmak üzere (4.2.4)’den
bulunur. Ayrıca Denklem 4.2.3. kullanılarak
33
1
…
olduğu görülebilir. Yani
Γ
olduğunu gösterir.
SO ,
Eğer
ise
olmalıdır. Eğer
olduğundan:
SO ,
Γ
Γ
’nun bir altgrubu
tek olduğundan
’ler için
tek ise hacim -formuyla birlikte
…
olur.
da SO ,
Clifford grubunun elemanıysa, (4.2.4)’den bazı
yazılabilir. Eğer
…
çift sayıda yansımanın çarpımıdır ve bu
çift iken
…
cebirin merkezindedir ve
…
çifttir. Dolayısıyla
çarpımı Γ ’nın içindedir. Bu
Γ
SO ,
Γ
olduğunu gösterir. Artık aşağıdaki önerme de rahatlıkla ispatlanabilir.
Eğer
Γ ve n çift ise o zaman
çift sayında singüler
olmayan 1-formun çarpımı ve eğer n tek ise
singüler
(4.3.4)
olmayan (n 1)-formun çarpımı şeklindedir.
İspat: ’nin çift olduğu durum (4.2.4)’den görülür. ’nin tek olduğu durumda merkez
elemanı
ve
ile birlikte
…
…
yazılabilir.
çift olduğunda, eğer
yazılabilir. Bu durumda
yeniden tanımlanarak yok edilebilir. Eğer
orantılı olmalıdır. Yani
ve
de çift ise
merkezde olduğundan
tek ise o zaman
çarpanı,
çarpanı hacim formla
olur. Bu durumda
…
yazılarak,
…
olduğu görülür. Böylece (4.3.4) doğrulanmış olur.
4.4
Grubunun Norm Bağıntıları
, kıvrık temsilin ve ’nin çift olduğu durumda vektör temsilinin çekirdeğidir. Γ ’nin
elemanları uygun biçimde normalize edilerek temsiller altında görüntüleri Γ
ile aynı
olan bir altgrup elde edilebilir. Tek fark temsillerin bu altgruba kısıtlandıklarında
çekirdeklerinin küçülmesidir. Bir grup homomorfzmi olan -normu
Γ
(4.4.1)
,
34
ile tanımlanır. Eğer
tersinebilir bir elemansa,
Clifford grubunun elemanıysa, her
ve böylece
merkezdedir. Eğer
’nin içine gönderir. Ayrıca
Γ
. Eğer
vektörü için
bulunur. V cebiri ürettiğinden
çiftir ve , Γ ’yi
de tersinebilir:
çift veya tek ise
normdan biraz farklı -normu da
(4.4.2)
,
ile tanımlanır. Son yazılan norm bağıntısında involüter otomorfizm
veya çift olma durumuna göre
varlığı ’nin tek
olmasını sağlar. Tanımlanan -norm ve -
norm bağıntıları yardımıyla artık Γ ’nin altgrupları incelenebilir.
4.5
Grubunun Altgrupları: Pin ve Spin Grupları
Γ ’nin -normları
1 olan elemanlarının oluşturduğu altgrup
elemanlarının oluşturduğu altgrup da Γ
Γ ve birim -normlu
ile gösterilir. Γ ve Γ benzer biçimde
tanımlanırlar ve aşağıdaki çizgelde gösterilen özel adlarıyla anılırlar.
Çizelge 4.1 Γ grubunun bazı altgrupları ve özel adları
Γ
PIN ,
Γ
SPIN ,
Γ
SPIN
,
Eğer , Γ ’nın bir eleman ise,
|
Γ
|
yazılabilir. Bu durumda
gruptur.
Γ
’nin çekirdeği yine
|
grubunun
|
altındaki görüntüsü gerçekten ortogonal
1 elemanlarından oluşan
’nin çekirdeği de
biçimde Γ grubunun
ve
grubuna izomorftur. Benzer
altındaki görüntüsü ise özel ortoganal gruptur. Bu durumda
’dir. Ayrıca -normu +1 olan elemanlar Γ ile gösterilen bir
altgrup oluşturur.
olduğundan, Γ
Γ yazılabilir. Γ
grubunun farklı
altgrupları aşağıdaki diyagramla (Tucker, sayfa 46) tanıtılabilir:
Γ ◄
Γ
Γ
Γ
Γ
35
► Γ .
(4.5.1)
ve ► ile
Bu diyagramda kullanılan ◄ ile
sembolleri normal altgrubu
göstermek üzere aynı anlamda kullanılmıştır. Normal altgrup olma geçişme özelliğine
sahip olmadığından, kullanılan semboller bir kereye mahsustur. Burada
Γ ’nın
Γ ◄ Γ :
Γ ’nin bir normal altgrubu olduğunu ifade etmektedir. Normal altgrup ana
gruptaki bütün elemanların eşleniklerini içerir. Yani
Γ ’nın elemanıysa,
,
olduğundan
Γ ’nın elemanı ve
de
yazılabilir. Ayrıca
1 olur. Bu Γ ’nın Γ ’nin bir normal altgrubu olduğunu
1 ve dolayısıyla
gösterir. Buna göre (4.5.1) diyagramından, Γ modülüne göre oluşturulabilecek olan;
Γ ⁄ Γ
Γ ⁄ Γ
,
Γ ⁄ Γ
,
,
Γ ⁄ Γ ,
dört bölüm grubu ve yine bu diyagrama göre oluşturulan,
Γ ⁄ Γ
,
Γ ⁄ Γ
,
Γ
Γ ,
üç bölüm grubuyla birlikte toplamda yedi tane bölüm grubu oluşturulabilir. Örnek
olması açısından ikinci izomorfizm teoremi aşağıdaki izomorfizmi verir:
Γ ⁄ Γ
.
⁄
(4.5.2)
Yukarıda tanıtılan bu bölüm gruplarına örnek olarak,
Γ ⁄ Γ
göz önünde
bulundurulsun. Eğer burada birim normlu tek eleman yoksa, açık olarak Γ
olur. Tersine
tek ve
,
ile bağıntılıdır. Benzer şekilde
Böylece
Γ ⁄ Γ ,
, Γ ’nın herhangi bir tek elamanıysa,
1 olsun. Eğer
yazılabilir. Burada
Γ
normu
1 olan bir çift elmandır. Dolayısıyla
herhangi bir çift elemansa,
1 ile bağıntılıdır.
’ye izomorftur. Yapılan bu inceleme tamamen aynı yolla
Γ ⁄ Γ ve Γ ⁄ Γ bölüm grupları içinde yapılırsa, her iki bölüm grubunun da
izomorf olduğu görülebilir. En genel durumda Γ grubu; -normu
ile gösterilen çift elemanları, yine -normu 1 olan ve
elemanları içerir. Bu durumda Γ ⁄ Γ
bölüm grubunun
,
1 olan ve
’ye
,
ile gösterilen tek
,
,
ve
ile verilen dört eleman sınıfından oluştuğu kolayca görülebilir. Bu eleman
sınıflarında bulunan her bir eleman
1 değerlerini alan indislerin sıralı ikilisiyle
etiketlenmiştir. Bu elemanlar arasındaki çarpım kuralı aynı konumdaki indislerin
çarpımıyla tanımlanır. Buna göre Γ ⁄ Γ bölüm grubu
Γ ⁄ Γ
.
36
izomorftur:
(4.5.3)
Bazı özel durumlarda bu bölüm gurubu dörtten az elemana sahip olabilir. Denklem
4.5.2.’den aşağıdaki sonuç yazılabilir:
Γ ⁄ Γ
.
⁄
(4.5.4)
4.6 Birim Normlu Altgrupların Kıvrık Temsil Altındaki Görüntüleri
Eğer , V’nin bir non-singüler vektörüyse,
Γ ’nin birim -normlu elamanlarının
ve
,
olur. Dolayısıyla
altındaki görüntüleri negatif boylu ‘zamansal’
vektörlere dik olan düzlemlere göre olan yansımalardan çift sayıda içerir. Böyle
ortogonal dönüşümlere ortochronous dönüşümler denir. Ortochronous dönüşümlerin
altgrubu O
ile gösterilir. Yani
,
vektörü için
O ,
Γ
olduğundan, birim
,
ve
O
Γ
olur. V’nin
,
-normlu elemanların ortogonal
gruptaki görüntüleri pozitif boylu ‘uzaysal’ vektörlere dik olan düzlemlere göre olan
yansımalardan çift sayıda içerir. Böyle ortogonal dönüşümlere ise, parite koruyan
dönüşümler denir ve altgrup olarak O
Eğer SO ,
,
O
Γ
olduğundan SO
Γ
Γ
notasyonu kullanılır. Farklı altgrupların
Γ
O ,
Γ
O
Γ
O
Γ
SO ,
Γ
SO
,
SO
görüntüleri aynıdır. Bu durumda
,
(4.6.1)
,
,
ve
görüntüleri aynı olur. Eğer
tek iken
Γ
ve
sz
O
,
ve
altındaki
çift ise, hacim form birim normludur:
1. Eğer , Γ’nın çift elemanıysa
sz
olup
,
altındaki görüntüleri:
ile özetlenebilir. Eğer V’nin boyutu çift ise, Clifford grubunun
çift iken
olur.
,
’nun elamanları ortochronous ise, aynı zamanda parite koruyan da
olmalıdır. Dolayısıyla
SO
ile gösterilir. Yani
,
, tek elemanıysa
yazılabilir.
olduğundan, altgrupların
tek ise,
sz
ve
yazılabilir. Dolayısıyla
olur.
37
ve
altındaki
olur. Böylece
Γ
O
,
ve
O
ve O
,
grupları sırasıyla zamansal ve uzaysal düzlemlerde çift sayıda
,
yansımalar içeren elemanların oluşturduğu altgruplarla özdeşleştirilirler. Zamansal
(uzaysal) bir düzlem zamansal (uzaysal) bir vektörün eşlenik uzayı olarak tanımlanır.
Dolayısıyla bu gruplar V’nin zamansal ve uzaysal yönelimlerini korurlar. Bu durumlar
aşağıdaki gibi anlatılabilir.
V sırasıyla -boyutlu pozitif tanımlı ortogonal uzay ve -boyutlu negatif tanımlı eşlenik
şeklinde yazılsın. Eğer
uzayın direk toplamı olarak, V
elemanıysa,
ortogonal grubun
üzerinde bir çizgisel gönderim
:
tanımlanabilir. Buradaki
altuzayı üzerinde bir
,
altuzayı üzerine iz-düşüm işlemcisidir. Benzer şekilde
çizgisel gönderimi tanımlayarak
tanımlanabilir. Burada
bir dönüşüm olduğundan
bire-birdir. Çünkü
0 ise
sıfırdır. Böylece
Q ve
ortogonal
0 bulunur. Aynı durum
0) ise ’nın V’nin uzaysal (zamansal)
0(
için de geçerlidir. Eğer
iz-düşüm işlemcisi de
yönelimini koruduğu söylenir. Bu tanımların anlamlı olabilmesi için V’nin seçilen
ortogonal ayrışımından bağımsız olması gerekir. Eğer
,
,
,
,
yazılabilir.
,
ortogonal grubun elemanı olduğundan,
yerine V’nin bir non-singüler vektörü
. Böylece
simetrik
için
alınabilir. Yansımalar involüterdir:
ve buradan da yansımalarla ilişkili çizgisel
olduğu
köşegenleştirilebildiğinden
rahatça
görülebilir.
Her
simetrik
matris
de köşegenleştirilebilir ve determinantı öz-
değerlerinin çarpımıdır. Eğer V’nin non-singüler
ve
,
’de indüklenen pozitiv-tanımlı metriğe göre eşlenik gönderimi
gösterise,
dönüşümlerin
ise;
,
,
bulunur ve
,
olacak şekilde
vektörü ortogonal ayrışımda sırasıyla
olarak yazılırsa, ’nin her
,
,
,
,
elemanı için
ve buradan da
,
,
38
(4.6.2)
yazılabilir.
’nin içinde
Bunlar açık olarak
yerine
1 tane çizgisel bağımsız vektör vardır.
’ya ortogonal
’nin
1 öz-değerli öz-vektörleridir. Denklem 4.6.2.’deki
yazılırsa, öz-vektörlerin
,
1
,
,
,
,
bir bazı elde edilebilir. Böylece
,
,
(4.6.3)
,
olduğu görülür. Denklem 4.6.3.’deki pay negatiftir. Eğer
0 ise, bu durumda
,
0 olur. Bu
yönelimi değiştirdiğini gösterir. Eğer
0 olur. Bu
durumda
vektörü uzaysalsa; yani
ortogonal dönüşümünün uzaysal
vektörü zamansalsa; yani
,
0 ise, bu
’nin uzaysal yönelimi koruduğunu gösterir. Benzer
şekilde Q uzayı üzerinde de aynı işlemler yapılırsa;
,
,
(4.6.4)
,
olduğu görülebilir. Son denklemdeki pay pozitiftir. Bu durumda y vektörünün sırasıyla
uzaysal ve zamansal olmasına göre
Eğer
0 ise,
durumda
0 ve
0 sonuçlarına ulaşılır.
zamansal yönelimi korur. Eğer
0 ise, bu
zamansal yönelimi değiştirir.
Genel anlamda ortogonal grup , ,
ve
ile temsil edilen bağlantısız dört parçadan
oluşur. Yani ortogonal grup,
O ,
ile anlatılabilir. Burada
( ) uzaysal (zamansal) yönelimi değiştirirken zamansal
(uzaysal) yönelimi koruyan dönüşümlerin bulunduğu parçayı betimlemektedir. Ayrıca
,
ve
birer altgrup olmayıp sadece birimle ( ) birlikte bir altgrup yapısına sahip
olurlar.
Çizelge 4.2 Clifford grubunun ve ortogonal grupların altgrupları arasındaki ilişki
( Γ ) = SO (p, q)
SO (p, q) =
( Γ )
( Γ )
,
O (p, q)
=
( Γ )
( Γ )
,
O (p, q)
=
( Γ )
SO(p, q)
=
( Γ )
( Γ )
,
39
4.7 Clifford Grubunun Lie Grup Yapısı
Clifford grubu bir Lie grubudur ve onun Lie cebiri Clifford cebirinin bir altcebiriyle
özdeşleştirilir. Lie çarpımı ise, Clifford komütatörüdür. Clifford cebirinin düzenli
(regüler) temsili onun endomorfizm cebiri içine bir gönderimidir. Clifford cebirinin
terslenebilir
elemanlarının
oluşturduğu
C
grubuyla
,
Clifford
grubu
ve
altgruplarının düzenli temsil altındaki görüntüleri genel çizgisel grubun bir altgrubudur.
Genel çizgisel grup bir Lie grubudur. Clifford cebirinin bir toplam matris cebirinin bir
altcebirine izomorf olmasından dolayı burada üstel gönderim
∑
tanımlanabilir.
C
!
olduğundan, üstel gönderim Clifford cebirini tüm
terslenebilir elemanların grubu olan C
,
’ye gönderir. Böylece Clifford komütasyon
çarpımıyla Clifford cebirinin vektör uzayı, C
Bu özdeşleştirmeyle C
’nin Lie cebiriyle özdeşleştirilebilir.
,
’nin vektör temsili , grubu Lie cebirinin otomorfizm grubu
,
içine gönderir. Bu durumda C
her
(4.7.1)
,
’nin adjoint temsili olan
,
gönderimi C
’nin
,
elemanı için
C
C
,
,
(4.7.2)
;
ile tanımlanan grup homomorfizmine karşı gelir. Benzer şekilde C
,
’nin her
elemanı için
C
C
,
,
,
;
tanımlanırsa,
gönderimi C
Ayrıca (4.7.3)’de tanımlanan
(4.7.3)
’nin Lie cebirinin ek (adjoint) temsiline karşı gelir.
,
,
Clifford komütatörüdür:
,
. Clifford
grubu, terslenebilir bütün elemanların oluşturduğu grubun bir Lie altgurubudur ve onun
Lie cebiri Clifford cebirinin bir altuzayı olmalıdır. Eğer
elemanıysa,
Γ olduğundan her
vektörü ve
, Γ’nın Lie cebirinin bir
skaleri için
(4.7.4)
V
yazılabilir. Grup teorisinde standart bir sonuç olan
neticesiyle (4.7.4)’ün her
için sağlanabilmesi,
V’nin içinde kalmasıyla mümkündür. Bu sabit bir
40
ve
ve
’in Clifford komütatörünün
için Clifford-cebir-değerli
fonksiyonu tanımlanarak doğrudan görülebilir. Buradan da
yazılabilir. Eğer
0 civarında
Taylor serisine açılırsa,
,
elde edilir. Açık olarak
!
,
…
’nın bir vektör olabilmesi;
sonucunun bir vektör olmasıyla sağlanır. Eğer
,
yazılır ve
yazılırsa, her
,
komütatör çarpımının
,
tek ve çift parçaların toplamı olarak;
komütatörü Denklem 3.1.’den yararlanılarak açıkça
vektörü için
0
ve
yazılabilir. V’nin boyutu çift olduğunda,
V
(4.7.5)
çarpımının sıfır olabilmesi için
form ve tek olduğunda hacim n-form olmalıdır. Her iki durumda da
merkezindedir.
’nın bir vektör olabilmesi için de
0cebirin
0-formlarla 2-formların
çizgisel kombinasyonu şeklinde olmalıdır.
Çift elemanların üstelleri de çift olurken, n tek iken hacim n-form tarafından üretilen bir
parametreli altgrupta genellikle ne çift ne de tek elemanlar bulunur. Böylece Γ ’nin Lie
cebiri birim ve
1 tane 2-formdan oluşan eleman içermelidir. Eğer
Lie cebirinin bir elemanıysa
Benzer biçimde eğer
,
olduğundan
, Γ ’nın
olmalıdır.
Γ ’nin Lie cebirinin elemanıysa bu durumda
olmalıdır. Dolayısıyla bu grupların Lie cebiri 2-formların komütatör cebiridir.
Üstel gönderim Lie cebirini birimle bağlantılı olan grup bileşenine gönderir. Bu
bağlantılı parça bir altgruptur ve üstellerin çarpımı birimle bağlantılıdır. Tersine, birimle
bağlantılı grup bileşeninin her elemanı üstellerin sonlu sayıda çarpımı olarak yazılabilir.
2-formlar
altında çift,
altında tek olduklarından üstel gönderim Γ ’nın Lie cebirini
Γ ’nın içine gönderir. Dolayısıyla üstel gönderimin görüntüsü
Γ ’nın birimle
bağlantılı parçasını içermelidir. Ayrıca 2 boyutta belirsiz (indefinit) metrik dışında Γ
grubu bağlantılıdır (bakınız Ek6).
Uygun düşük boyutlarda spin gruplarını tanımlamak, yapılacak incelemelerde kolaylık
sağlar. Bu nedenle aşağıdaki önerme önemlidir.
41
5 için Γ ’nin her
V
ve
elemanı
(4.7.6)
özelliklerini sağlarlar.
İspat: Önermenin ispatında; istenilen özellikleri sağlayan
vektörünü
elemanlarının her
eşlenik dönüşümüyle yine vektör uzayında bıraktığının konturol
edilmesi yeterlidir. Eğer
olarak kabul edilirse, bu durumda
olur. Buna göre beş veya beşden daha küçük boyutlarda
ve
altında tek,
altında
çift olacak elemanlar aranır. Böyle elemanlar en genel anlamda 1-formlarla 5-formların
5 için (4.7.6) kuşku götürmezdir.
çizgisel kombinasyonlarıdır.
form cebirin merkezindedir ve eğer
yazılırsa,
olur. Burada
2
çarpımı bir 4-formdur. Fakat
de 5-form olmak üzere
ve
’nin her ikisi birer 0-form iken
bir 0-form ve
olduğundan
0 olmalıdır. Bu ise, ya
formdur ve böylece
sağlanır. Ancak
1-form,
sıfır olursa,
V’nin elemanı olduğundan
4.7.1 Uygulama:
5 olduğunda 5-
ve
’nın ya da
’nin sıfır olmasıyla
olduğundan
olurdu. Fakat
,
0 olmalıdır. Böylece (4.7.6) doğrulanmış olunur.
cebiri
,
Bu bölümün sonuçları C
cebiri incelenerek anlatılmaya çalışılacaktır. Cebirin
,
Γ olur. V için bir
üzerinde kurulduğu V ortogonal uzayının boyutu 4 olduğundan, Γ
1 ve i = 1, 2, 3 olmak üzere
ortonormal baz
verilebilir.
de bir 0-
ve
|
0, 1, 2, 3
ile
olarak seçilirse,
,
(4.7.1.1)
,
yazılabilir. Bu durumda
ve ’nin
ve -normları;
1,
1
1,
olur. Dolayısıyla
ve
,
1
Γ’nın elemanı olurken iken
1 olacak şekilde Γ’nin bir
de
Γ’nın elemanı olur. Şimdi
elemanı seçilirse,
ve
,
1
yazılabilir. Dolayısıyla
, Γ ’nın elemanı olmak üzere
Benzer şekilde;
ve
1 olacak şekilde
42
Γ’nin bir
ile anlatılabilir.
elemanı seçilirse,
ve eğer
1 olacak şekilde Γ’nin bir
ve
ile anlatılabilir. Dolayısıyla
ve
elemanı seçilirse,
de Γ ’nın elemaları olur.
Γ ’nın Lie cebiri altı tane 2-formdan üretilir ve Lie çarpımı Clifford komütatörüdür.
, o zaman
İki uzaysal 1-formun çarpımı alınırsa, örneğin
cos
1 ve
sin
yazılabilir. Böyle elemanlar dönmeleri üretirler ve Clifford komütatörleri bilinen dönme
grubunun Lie cebiridir; örneğin
,
. Eğer
2
cosh
gibi elemanlar alınırsa,
cosh
olduğundan, böyle elemanlar boostları üretirler. İki boostun komütatörü ise, bir
dönmeyi verir, örneğin
,
. Geri kalan yapı sabitleri, bir dönmeyle
2
boostun komütatörüne bakılarak belirlenirler. Γ grubunun bir matris grubu olduğu
Γ ’nın C
(4.7.6)’dan görülebilir. Bu sonuç
’nin birim normlu tersinir
,
elemanlarının grubu olduğunu gösterir. Daha önce C
,
’nin 2
matriler cebirine izomorf olduğu gösterilmişti. Dolayısıyla
elemanlardan oluşan GL 2,
2’li kompleks
Γ , birim normlu
’nin bir altgrubu olmalıdır. Çizelge 3.7.’den C
için
,
kurulan matris bazlarında normun determinanta karşı geldiği görülebilir. Eğer
,
Çizelge 3.7.’de verilen matris bazlarıysa,
,
bağıntıları sağlanır. Böylece
,
, kompleks skalerleri için
∑
,
yazılabilir. Denklem 3.4.1.’den de yararlanılarak,
1
(4.7.1.2)
olduğu görülebilir. Yani bu dört boyutlu Lorentz metriğine sahip ortogonal uzayda
kurulan Clifford cebirinin Γ grubu SL 2,
karşı gelmesinden dolayı determinantı
Γ
SL 2,
. PIN grubu,
1 olan matrislerin grubu Γ ’ye izomorf olur:
Γ, açık olarak GL 4,
matris grubuyla özdeşleşleştirilmesinden,
grubun çarpımıyla belirlenebilir.
elemanıyla ,
,
ya da
’ye izomorftur. -normun determinanta
’nin bir altgrubudur. Γ ’nın bir
Γ grubu bir matris grubuyla kesikli bir
Γ grubunun herhangi bir elemanının
ile çarpılarak yazılabileceği görülmüştü.
Γ ’nın bir
1
olduğundan bunlar bir altgrup yapısına sahip değillerdir. Eğer birim normlu 1-form olan
43
bir
elemanı tanıtılırsa, Ω ile gösterilen 1,
kümesi
oluşturur. Eğer , Γ’nin herhangi bir elemanıysa,
şekilde yazılabilir:
. Bu durumda
olarak yazılabilir.
,
dolayısıyla
Ω
ve
’ye izomorf olan bir altgrup
Γ ve
Ω olmak üzere
tek
gibi iki elemanın çarpımı
Γ ’ye bir dış-otomorfizm biçiminde etki etmektedir ve
Ω yazılabilir. Eşdeğer olarak
Γ’nin elemanları yarı-direk çarpım
olarak bilinen Γ ve Ω’nın elemanlarının sıralı çiftlerinin çarpımı olarak
,
,
,
ile tanımlanabilir. Böylece Γ, Γ ile otomorfizmler grubu
olarak tanınabilir ve Γ
ile gösterilebilir. Γ
Γ
otomorfizm grubunun üreticisi
’in
Γ ’nin
’nin yarı-direk çarpımı
SL 2,
elemanını
(3.4.5)’de tanımlanan bir 1-formunun her zaman bulunabilmesi, yani
Γ
olmasından ve
’e göndermesiyle
olması,
(4.7.1.3)
SL 2,
izomorfizmin yazılmasına olanak sağlar.
44
5. SPİNÖRLER
Clifford cebiri ve onun çift altcebirinin indirgenemez temsillerinden Clifford grubunun
indirgenemez temsilleri olan spinör temsilleri elde edilir. Düzenli temsil; Clifford
cebirinden, onun vektör uzayı yapısı üzerindeki tüm çizgisel gönderimlerin cebiri olan
endomorfizm cebiri içine bir gönderimdir (bakınız Ek7). Bu temsil, soldan çarpım
altında korunan ve sol ideal denilen belirli altcebirlerde indirgenemezdir.
Eğer Clifford cebiri basitse, düzenli temsil herhangi bir minimal sol ideal üzerinde sadık
(faithful) bir temsil indükler. Herhangi bir minimal sol idealin, düzenli temsil tarafından
endomorfizm cebiri içine indüklenen gönderimine basit Clifford cebirinin spinör temsili
denir. Bu minimal sol ideale de spinörlerin uzayı denir. Farklı minimal sol idealler,
diğer eşdeğer temsilleri verir.
Eğer Clifford cebiri basit değilse, iki basit bileşen cebirin direk toplamı şeklindedir. Bu
durumda herhangi bir minimal sol ideal, bu basit bileşenlerin birinde bulunur. Basit
olmayan bir Clifford cebirinin düzenli temsili, her biri sadece bir basit bileşende
bulunan iki minimal sol idealin toplamı olan bir sol ideal üzerinde sadık bir temsil
indükler. Düzenli temsil tarafından endomorfizm cebiri içine indüklenen böyle bir
gönderime basit olmayan Clifford cebirinin spinör temsili denir. Böyle bir ideale de
spinor uzayı denir. Minimal sol ideallere ise yarı-spinör uzayları denir ve düzenli temsil
tarafından böyle bir minimal sol ideal üzerinde indüklenen gönderime de Clifford
cebirinin yarı-spinör temsili denir. Böyle bir temsilin çekirdeği açık olarak yarı-spinör
uzayını içermeyen basit bileşen cebiridir. Böylece basit olmayan bir Clifford cebirinin
spinör temsili, iki eşdeğer olmayan yarı-spinör temsilinin toplamı olan indirgenebilir bir
temsildir. Spinör temsili cebirin herhangi bir altkümesine kısıtlanırsa, o altkümenin bir
temsili ve dolayısıyla Clifford grubunun da bir temsili elde edilir.
Böylece aşağıdaki önerme kurulabilir.
Clifford cebirinin indirgenemez temsilleri, Clifford
gurubunun indirgenemez temsillerini indükler.
Burada Clifford grubuyla PIN grubu yer değiştiğinde ifade doğruluğunu korur.
45
(5.1)
5.1 Çift Altcebirin Temsilleri ve Spinör Temsillerinin Sınıflandırılması
Bu kesime aşağıdaki önermenin ispatıyla başlanacaktır.
Eğer Clifford cebirinin bir indirgenemez temsili; çift
(5.1.1)
altcebirin indirgenebilir bir temsilini indüklerse, indüklenen
bu temsil iki indirgenemez temsilin toplamıdır.
İspat: Çift altcebirin sol çarpım altında iki değişmez altuzaya ayrışabilen Clifford
cebirinin bir minimal sol ideali I ve W bu iki değişmez altuzayın en düşük boyutlusu
olsun. Eğer
terslenebilir ve tek ise, W
X için
W olur. Eğer S
X
W
X
ise, S Clifford cebirinin sol çarpımı altında korunacaktır. Ayrıca buradaki toplam direktoplam olmak zorunda değildir. Çünkü;
C
C
,
C
,
,
yazılırsa,
C
W
,
C
,
W
C
W
,
W
W
S
olur ve buradan da
C
,
bulunur. I minimal sol ideal ve S
ve X’in her ikisi de C
,
W
C
W
,
I olduğundan S
I olmalıdır. Eğer W
ile soldan çarpım altında korunduklarından, C
olur. Fakat W en küçük boyutlu değişmez altuzay olduğundan ya Y
iki değişmez altuzayın toplamıdır) ya da Y
W
Y ise, W
X
,
Y
Y
0 (Bu durumda I
I olur. Böylece I indirgenemez olarak
dönüşür ve ispat tamamlanmış olur.
Öncelikle çift altcebirin indirgenebilir olduğu varsayılsın. Bu, Clifford cebirinin basit
olduğu çift boyutlarda, yani Çizelge 3.6.’ya göre
0, 4
8 olduğu durumlarda
ortaya çıkar. Dolayısıyla Clifford cebirinin spinör temsili çift altcebirin çekirdeği sıfır
olan sadık bir temsilini indükler. Bu nedenle indirgenebilir altcebirin bir indirgenebilir
temsili, çekirdekleri farklı basit idealler olan iki eşdeğer-olmayan indirgenemez temsilin
toplamı şeklindedir. Ayrıca basit olmayan çift altcebirin indirgenemez temsillerine de
yine o cebirin yarı-spinör temsilleri denir.
46
Şimdi Clifford cebirinin indirgenebilir olduğu varsayılsın. Bu sadece çift altcebirin basit
olduğu, yani Çizelge 3.6.’ya göre
8 durumlarında ortaya çıkar. Bu
1, 5
durumda yarı-spinör temsilleri çift altcebirin indirgenemez temsillerini indüklerler. I bir
minimal sol ideal (yarı-spinör uzayı) ve
temsilinin çekirdeği C
basit ideali ise, yarı-spinör uzayı hacim formun 1
1
,
de hacim form olsun. Eğer yarı-spinör
özdeğerli bir öz-uzayıdır. Yani I’nın her
eleman için
olur. Hacim form
tek
ve terslenebilir olduğundan,
C
C
,
C
,
,
yazılabilir. Bu durumda
C
olur. Böylece I’nın C
,
I
C
,
I
ile soldan çarpımı altında değişmez altuzaylarının olmadığı
,
görülür.
Clifford cebirinin indirgenemez temsilleri çift altcebir basit olsa da onun indirgenebilir
temsillerini indükleyebilir. Bunun için genel kriter aşağıdaki önermeyle verilir.
Clifford
cebirinin
indirgenmez
temsillerinin
altcebirin
indirgenebilir temsillerini indüklemesi için, gerek ve yeter
(5.1.2)
koşul altcebirdeki ilkellerin ana cebirde de ilkel olmasıdır.
İspat: İspat için gösterilmesi gereken şudur: Ana cebirin minimal sol ideallerin boyutu;
çift altcebirin minimal sol ideallerinin boyutunun iki katı olması için gerek ve yeter
koşul, altcebirin ilkellerinin ana cebirde de ilkel olmasıdır. Bunu ispatlamak için;
C
’nin bir ilkel idempotenti olsun. C
,
,
bir sol ideal olduğundan, terslenebilir
,
bir x tek elemanı için
C
yazılabilir.
ve C
,
C
,
bir ilkel olduğundan; C
’nın boyutu C
,
C
,
,
, çift altcebirin bir minimal sol idealidir
,
’deki minimal sol ideallerin boyutunun iki katıdır.
Dolayısıyla, ana cebirin minimal sol ideallerinin boyutu altcebirdekilerin boyutunun iki
katı olması için, gerek ve yeter koşul C
ancak ve ancak
ana C
,
bir minimal sol ideal olmasıdır. Bu da
,
cebirinde bir ilkelse geçerlidir. Eğer ana cebirin bir
minimal sol ideali altcebirin bir ilkeliyle iz-düşürülürse, o zaman C
,
altında
indirgenemez altuzaylar açık olarak çift ve tek elemanların oluşturduğu altuzaylardır.
47
Clifford cebirinin indirgenemez temsilleri Clifford grubunun temsillerini indüklediği
gibi çift altcebirin indirgenemez temsilleri de Clifford grubunun temsillerini indükler.
Γ
Çift altcebirin indirgenemez temsilleri,
(5.1.3)
grubunun indirgenemez temsillerini indükler.
(5.3) ifadesi C
’nin Γ ’dan üretildiği bilgisinden rahatlıkla görülebilir. Bunun için
,
öncelikle Clifford cebirinin aynı normlu tekil olmayan vektörlerden üretildiğine dikkat
edilmelidir. Eğer
,
|
1, … , ,
kümesi bir ortonormal baz ve
1, … ,
ise, birim normlu vektörler için yeni bir baz
C
0
kümesi alınabilir. Böylece
, √2
birim normlu vektörlerden üretilir ve böyle çarpımlar Γ ’nın içindedir.
,
Buraya kadar yapılan incelemelere göre Clifford cebiri ve onun çift altcebirinin
indirgenemez temsilleri arasındaki ilişki aşağıdaki çizelgeyle özetlenebilir.
Çizelge 5.1 Clifford cebiri ve onun çift altcebirinin indirgenemez temsillerinin boyutu
8
0
Boyut
2 2
1
2
3
⁄
C
C
2
2
⁄
⁄
C
C
S
C
S⁄S
C
S
C
C
S
4
S
C
5
S
S
C
6, 7
C
S⁄S
C
S
S⁄S
C
S
C
S
S
S⁄S
,
,
Çizelge 5.1.’de kullanılan C
S⁄S sembolü Clifford cebirinin bir indirgenmez temsili
olan yarı-spinör temsilini ve C
S ise, çift altcebirde indüklenen spinör temsilini
anlatmaktadır. Diğer iki durumda benzer anlatımdadır.
⁄2 sembolüyle de
⁄2’nin
tamsayı kısmı anlatılmaktadır. Ayrıca bu çizelgenin Çizelge 3.6.’nın doğrudan bir
sonucu olduğu rahatlıkla görülebilir.
48
Gerçel sayılar cismi üzerindeki cebirlerle ilgilenildiğinden, buradaki spinör uzayları
-çizgisel vektör uzaylardır ve bu uzayların boyutları Çizelge 5.1.’de verilmiştir. Spinör
uzayları sol C
modülleri olduğu kadar ayrıca sağ
,
Çizelge 3.6.’da verilen cebirlerdir. Oysa
-modüllerdir. Buradaki
,
sağdan çarpım altında korunurken, genelde
sağ çarpma bir sol ideali korumaz. Clifford cebiri basit olduğunda
bir bölümlü
şeklinde olup,
(division) cebirdir. Oysa Clifford cebiri basit değilken
bölümlü cebirdir. Bu durumda yarı-spinör uzayları sağ
-mödüllerdir. Bu birleşme
özelliğinin doğrudan bir sonucu olup soldan çarpma minimal sol ideallerde bir
-
çizgisel dönüşüm indükler. Benzer olarak çift altcebirin indirgenemez temsilleri
-
çizgisel dönüşümler olarak kabul edilebilirler. Buradaki
,
ya da
’dır. d(
)=
olduğundan
bir gerçel bölümlü cebir olan
-çizgisel uzaylar olarak göz önünde
bulundurulan spinör ve yarı-spinör uzaylarının boyutları Çizelge 5.1 ve 3.6.’dan
bulunabilirler.
Merkezleri ’ye izomorf olan Clifford cebirleri için spinör uzayları,
hacim formuyla
sağdan (ya da soldan) çarpmayla oluşturulan kompleks yapı kullanılarak bir -çizgisel
uzay olarak göz önünde bulundurulabilirler. Örneğin
birimle çarpma i
ya da i
bir spinör olmak üzere, sanal
ile tanımlanabilir. Bir basit cebirin bütün
indirgenemez temsilleri eşdeğer iken bir -çizgisel uzay üzerindeki bir basit -cebirinin
temsillerinin eşdeğerliği konusunda dikkatli davranılmalıdır. Eğer
şeklindeki herhangi bir basit
V üzerindeki temsilleriyse, V ’den V’ye
olacak şekilde bir
elemanı için i
durumda
’nın her
;
-çizgisel uzaylar olan V ve
cebirinin,
’nın her
ve
elemanı için
-çizgisel dönüşümü vardır. V ve V uzaylarına, V’nin her
dönüşümüyle kompleks vektör uzayları olarak bakılabilir. Bu
elemanı için
dönüşümü vardır. Böylece
olacak şekilde bir
i ve
i tanımlarıyla bir basit
-çizgisel
-cebirinin
iki eşdeğer olmayan kompleks temsili elde edilir. Artık kompleks vektör uzayı olarak
kabul edilen V, kompleksleştirilmiş cebirin (
taşır.
olduğundan
) bir indirgenemez temsilini
indirgenebilidir ve onun indirgenemez
temsillerinin çekirdeği ise, basit cebir bileşenlerinin birinde bulunan idealerdir. Bu
durumda indirgenemez temsillerin eşdeğer olabilmesi için gerek ve yeter şart aynı
çekirdeğe sahip olmalarıdır. Eğer
i
49
ise,
1
i
0 olur ve bu durumda
’nun çekirdeği
i
ise,
1
merkezi idempotentiyle izdüşürülür. Bununla birlikte eğer
i
1
çeğirdektedir. Dolayısıyla
i
ve
,
’nin eşdeğer olmayan
temsilleridir.
Spinör uzayı bir sağ
-modül olduğunda, yine bir kompleks vektör uzayı olarak
incelenebilir. Bu kompleks yapı kuaterniyonların herhangi bir kompleks altcebirinin
seçimiyle sağlanır. Bu durumda spinörler uzayında kompleks sayılarla çarpma,
özelliğini sağlayan bir
kuaterniyonuyla i
1
şeklinde tanımlanabilir. Tekrardan
kompleks vektör uzayları olarak göz önünde bulundurulan bu minimal sol idealler çizgisellikle spinör temsillerine genişletilen kompleksleştirilmiş cebirin indirgenemez
olduğundan kompleksleştirilmiş cebir basittir ve
temsillerini taşırlar.
buradan da bütün indirgenemez temsilleri eşdeğerdir. Böylece bu durumda kompleks
vektör uzaylarındaki basit
-cebirinin bütün indirgenemez temsilleri kompleks
eşdeğerdir. Kompleksleştirilmiş Clifford cebirlerinin spinör temsilleri Bölüm 7.2.’de
incelencektir.
5.2 Clifford Cebirinin Minimal Sağ İdeal Temsilleri
Buraya kadar, Clifford cebirinin sol ideal temsilleri ve buradan da Clifford grubunun
temsilleri incelendi. Ayrıca cebirin sağ ideal temsilleri de oluşturulabilir. Bu, çizgisel
dönüşümle ilişkili cebirin her elemanını sağdan çarpmayla endomorfizm cebiri içine bir
gönderimin tanımlanmasıyla sağlanır. Öyle ki;
C
C
,
,
(5.2.1)
;
ile tanımlanırsa,
olduğundan bu temsil bir cebir izomorfizmiyle uyuşmaz. Clifford cebirinin verilen bir
involüsyonu kullanılarak tanımlanan
C
,
temsiliyle bu uyuşum sağlanabilir:
C
,
Ayrıca
50
,
.
(5.2.2)
olduğundan,
bir temsildir. Açık olarak minimal sağ idealler bu temsil altında
indirgenemez olarak dönüşürler. Minimal sol idealler sağ
önünde bulundurulduğu gibi minimal sağ idealler de sol
-modüller olarak göz
-modüller olarak kabul
edilirler.
Doğal olarak bir minimal sağ ideal, bir minimal sol idealdeki
gönderimlerin uzayıyla özdeşleştirilebilir. Çünkü
idealin
Φ
olarak
’nin
-çizgisel
ilkeliyle oluşturulan bir minimal sol
ile oluşturulmuş bir minimal sağ idealin Φ elemanı için
elemanıyla yine
yazılabilir. Burada Φ
-değerli
Φ
’nin elemanı olup,
,
elemanları için Φ
(5.2.3)
Φ
C
bağıntısı vardır. Açık
,
olur. Benzer biçimde Clifford cebirinin
Φ
kendisi (ya da ondaki bir basit bileşen) bir minimal sol ve sağ idealin elemanlarının
Kartezyen çarpımlarıyla,
Çünkü Φ,
-değerli çizgisel dönüşümlerin uzayıyla özdeşleştirilebilir.
ve cebirinin herhangi bir
minimal sol ideal
elemanı için
Φ,
Φ
temsilini ve minimal sağ ideal de
yazılabilir. Eğer
temsilini taşırsa, Clifford
cebirinde bir temsili aşağıda gösterildiği gibi indüklenebilir:
Φ
Eğer
seçilirse,
uyuşur. Bu durumda
Φ
Γ için
ve
Φ
olur ve Γ ’da
.
temsiliyle
(5.2.4)
vektör temsili
temsilleri Γ ’nın contragradient temsillerini indükler.
Minimal sağ idealin minimal sol idealin dual uzayıyla nasıl özdeşleştirildiği
görüldüğünden, artık
-değerli Γ -değişmez çarpımlar kurulabilir.
51
6. SPİN-DEĞİŞMEZ İÇ-ÇARPIMLAR
Bu bölümde; önce basit cebirler üzerindeki spin-değişmez iç-çarpımlar tanıtılacaktır.
Bunların yarıbasit cebirlere genellemeleri yapılarak olası tüm iç-çarpımlar da
sınıflandırılacaktır.
Minimal sol ideallerin elemanları spinörler olarak tespit edildikten sonra, böyle iki
elemanın spin-değişmez iç-çarpımları incelenebilir. Bu iç-çarpımlar doğal olarak
spinörlerle dualleri arasında bire-bir karşı gelim kurmayı sağlar. Soldan Clifford çarpımı
spinör uzayında bir çizgisel dönüşüm tanımladığından, dual uzayda karşılık gelen
çarpım dönüşümün ekidir. Bu sayede ek (adjoint) involüsyon denilen bir involüsyon
tanımlanabilir. Ayrıca
ve
spinörlerinin çarpımları, Γ grubunun elemanları altında
değişmez kalcak şekilde kurulabilir. Böyle bir çarpımın ek involüsyonları, sadece
da
olabilir. Tersine
ya da
ya
’nın ek involüsyon olduğu bir minimal sol ideal
üzerindeki herhangi bir çarpım (en azından) Γ grubu altında değişmez kalır. Γ
grubu altında değişmez kalan iç-çarpımların ek involüsyonlarının
ve
olduğu
görüldükten sonra; faktörlerin tensör çarpımı üzerindeki involüsyonların çarpım
bilgisinden yararlanılarak, Clifford cebirinin standart involüsyonları olan
çarpım sınıfları
ve
’nın
8’e göre tüm Clifford cebirleri ve onların çift altcebirleri için
sınıflandırılacaktır. Bölümün sonunda
5 için
Γ
grubunun otomorfizm
grupları görülecektir.
6.1 Basit Cebirler için Spin-değişmez İç-çarpımlar
,
üzerinde basit bir cebir ve ’de bu cebirin bir involüsyonu olsun. Bu durumda
aşağıdaki önerme doğrulanmalıdır.
Bir
ilkel idempotenti;
elemanlarıyla birlikte
İspat: Eğer
ve
1 özelliklerini sağlayan
bağıntısını sağlar.
merkezin elemanlarını değişmez bırakan ve
(6.1.1)
de bir matris bazında
transpozisyon işlemi yapan involüsyonlarsa, bu durumda P köşegendir ve
olacak şekilde
cebirinin her
elemanı için
52
yazılabilir (bakınız Ek8).
Böylece
olacak şekilde bazı
elemanları garantilenir. Eğer cebirin
merkezi kompleks sayılar cismine izomorf ve
de kompleks eşlenik işlemini
indükleyen bir involüsyonsa, yapılan kanıtlama transpozisyon yerine Hermitesel
eşlenikle tekrarlanır.
,
minimal sol idealinin elemanı olsun. Bu durumda
’de
minimal sağ
idealinin elemanıdır. Dolayısıyla minimal sol ideal üzerinde bir çarpım
,
(6.1.2)
,
,
ile tanımlanabilir. Burada ’ye bu çarpımın ek involüsyonu denir.
bir
cebirinin herhangi
elemanı için
,
(6.1.3)
,
özelliği sağlanır. Ayrıca minimal sol ideal olan
elemanları çarpımda ikinci girişe göre
,
-modül olduğundan
’nin
-çizgiseldir:
,
’de bir involüsyonu
bir sağ
(6.1.4)
.
ile tanımlanabilir. Bu durumda
,
(6.1.5)
,
,
bağıntısı sağlanır ve involüsyonunun
çarpımına etkisi aşağıdaki gibidir:
,
.
Böylece çarpım üzerindeki bu etki
,
bağıntısıyla anlatılabilir ve çarpıma
sırasıyla
-simetrik ya da
.
,
(6.1.6)
’nun alacağı
1 ya da
1 değerlerine göre
-antisimetrik bir çarpım denir.
Minimal sol idealden onun dual uzayına bir gönderim, minimal sol ideal üzerindeki
çarpım kullanılarak tanımlanabilir. Eğer
gönderimlerin uzayıysa,
’den
,
,
,
’den
’ye
-çizgisel
’ye bir gönderim
,
,
,
(6.1.7)
olarak tanımlanabilir ve ’ya ’nin çarpıma göre eşleniği denir. Böylece
(6.1.8)
yazılabilir.
53
Cebirin seçilen bir minimal sol idealinde tanımlanan çarpımla yine aynı cebirin diğer bir
minimal sol idealindeki bir çarpım elde edilebilir. Eğer
ve
ilkellerse,
’nın
olacak şekilde bir S elamanının varlığını garantiler. Böylece
basitliği
Denklem 6.1.2.’de verilen çarpım
,
,
,
,
şeklinde tanımlanabilir. Bu durumda
yazılabilir. Bu
olmak üzere
bağıntısını sağlar.
involüsyon vardır ve
bir
(6.1.9)
.
’nün her
’de
,
’deki involüsyonuna eşdeğer
elemanı için
şeklinde
yazılabilir. Böylece aşağıdaki özellikler sağlanır:
,
,
,
,
,
Denklem 6.1.2.’de tanımlanan çarpım bir
.
involüsyonunu ve (6.1.1)’de tanımlanan
elemanlarını gerektirir. Açık olarak böyle bir
tek değildir.
olduğu kabul edilsin. O zaman
ve dolayısıyla
olur. Burada
için
’dir ve
olduğundan
(6.1.10)
sonucuna ulaşılır. Eğer
ise,
,
,
ve
,
olduğundan aşağıdaki bağıntı yazılabilir:
,
,
.
bölümlü (division) cebiri gerçel sayılar cebirine izomorf olduğunda;
(6.1.11)
involüsyonu
gerçel sayılar cebirinin tek involüsyonu olan özdeşlik gönderimidir. Dolayısıyla
olur ve tanımlanan çarpımlar da gerçel katsayılarla ilişkilendirilir. Kompleks sayılarda
iki farklı involüsyon vardır. Bunlar kompleks eşlenik işlemi ve özdeşlik gönderimidir.
özdeşlik gönderimi olduğunda çarpımlar bir kompleks katsayıyla ilişkilendirilir.
kompleks eşlenik işlemi olduğunda,
bir gerçel sayı farkıyla belirlenen (pseudo-)
54
Hermitesel-simetrik çarpımın ya da eşdeğer olarak bir sanal birim katsayısı farkıyla
belirlenen Hermitesel-antisimetrik çarpımın ekidir. Kuaterniyonlarda iki eşdeğer
olmayan involüsyon vardır. Bunlar kuaterniyon eşlenik ve evirtim (reversion)’dir. Bir
kuaterniyonunun eşleniği
^
ile evirtimi ise
ile gösterilir. Ayrıca kuaterniyonlarda
eşlenik işlemi kendi eşdeğerlik sınıfınındaki tek involüsyon iken evirtim involüsyonuna
eşdeğer farklı involüsyonlar vardır. Bu durum aşağıda yapılan incelemeyle anlatılabilir.
,
,
^
olduğu kabul edilsin. Bu durumda
,
^
,
^
bağıntıları sağlanır.
^
,
olur. Buradan da;
eşdeğer bir
bir
^
^
,
,
,
^
yazılabilir. Böylece
^
-simetrik (ya da antisimetrik) çarpımın eki ise, evirtime
involüsyonuyla tanımlanan
eki olduğu görülebilir. Eğer
için
,
olduğundan bazı ’ler için
^
^
-simetrik (ya da antisimetrik) çarpımın da
kuaterniyon-eşlenik-simetrik çarpımın ekiyse o zaman bir
vektör kuaterniyon çarpımıyla elde edilen evirtim-antisimetrik çarpımında ekidir.
Eşlenik-antisimetrik ve evirtim-simetrik çarpımlarda benzer biçimde ilişkilendirilir.
6.1.1 Basit cebirler için spin-değişmez iç-çarpımların sınıflandırılması
-simetrik ya
Buraya kadar basit cebirlerin minimal sol idealleri üzerinde tanımlanan
da
-antisimetrik çarpımların, nasıl bir ek involüsyona sahip olduğu gösterildi. Bu
çarpımların bazıları imzalarıyla etiketlendirilir. Öncelikle bu çarpımların dejenere
olmadıklarına dikkat edilmelidir. Çünkü
’nin her
’nın basitliğinden dolayı düzenli temsili
-simetrik,
0 ise,
’nın herhangi bir minimal sol idealinde
0 olur. Şimdi bir sağ
sadık bir temsil indükler ve dolayısıyla
dejenere olmayan bir
elemanı için
-simetrik çarpım göz önünde bulundurulsun. Eğer
-modülde
’den
’nin
, niceliklerinin kümesine tanımlanan gönderim örtense, burada
birim-normlu elemanların ortogonal bir bazı vardır. Eğer bu gönderim örten değil fakat
herhangi bir -simetrik nicelik
olarak yazılabilirse, burada
1 ya da
1’e
normalize edilebilen elemanların ortogonal bir bazı vardır. Bu, bir gerçel simetrik
çarpım için bir otonormal bazı garanti eden sonucun tam olarak açık bir
genellenmesidir. Sıfırdan farklı normlu bir niceliğin normalizasyonunda iki farklı
55
durum ortaya çıkar.
olur. Eğer
olduğu kabul edilsin. Eğer çarpım
,
’nin bazı
birim normludur.
=
elemanları
’nin sırasıyla
,
-simetrik ise,
şeklinde yazılabilirse, bu durumda
ya da
kompleks ve kuaterniyon eşlenik olduğu durumlarda,
ve ’nin de sırasıyla özdeşlik,
’den -simetrik niceliklere
gönderimi örten değildir. Bir ortogonal bazdaki pozitif- ve negatif-normlu
elemanların sayısına o çarpımın imzası denir ve bu iki sayını en küçüğüne de Witt
indeksi ya da kısaca indeks denilir. Böylece
-,
- ve
-simetrik çarpımlar onların
imzalarıyla karakterize edilirler. Herhangi bir kompleks sayı bir kompleks sayının
karesi olarak yazılabildiği gibi herhangi bir evirtim-simetrik kuaterniyon da bir evirtimsimetrik niceliğin karesi olarak yazılabilir. Böylece
-simetrik ya da
^
-simetrik
çarpımın, birim normlu elemanlarının ortogonal olduğu bir baz vardır. -antisimetrik ya
da -antisimetrik çarpımlar sadece vektör uzayının boyutu çift iken dejenere değillerdir.
Bu durumda burada i = 1, … ,
Basit cebirlerin
için bir
-simetrik ya da
,
kanonik bazı vardır ve
,
’dir.
-antisimetrik çarpımlarının (ilaveten indeksle
etiketlendirilen) ek involüsyonlarının bir ve sadece bir sınıfa nasıl yerleştirildiği
gösterildi. Çizelge 6.1.’de bu çarpım sınıfları verilmiştir.
Çizelge 6.1 Basit cebirler için
-simetrik ya da
-antisimetrik çarpım sınıfları
(1)
-simetrik çarpım,
(2)
-antisimetrik çarpım (sadece çift boyutlarda)
(3)
-simetrik çarpım
(4)
-antisimetrik çarpım (sadece çift boyutlarda)
(5)
-simetrik çarpım,
(6)
(7)
-simetrik çarpım,
^
indeksli
indeksli
indeksli
-simetrik çarpım
Çizelge 6.1.’de, örneğin, bir
-antisimetrik çarpım yerine
-simetrik çarpım
seçilebilir. Aynı nedenle çarpımlar imzalarından ziyade indeksleriyle sınıflandırılır. Bu
çarpım sınıfları ilişkili involüsyonlarda bir eşdeğerlik bağıntısı tanımlar. Eğer
eşdeğer involüsyonlarsa,
’nın her
elemanı için
56
ve
olacak şekilde bir
otomorfizmi vardır. Bu denklikle aşağıdaki önerme ispat edilebilir.
İki involüsyon ancak ve ancak onların
(6.1.1)
eşdeğer çarpımlarının eki ise eşdeğerdir.
İspat: Eğer Çizelge 6.1.’deki çarpımlardan ikisi aynı yedi ana türden birinde ve uygun
olarak aynı indeksliyse, eşdeğerdir.
O zaman ek involüsyonları
ve
ve
eşdeğer çarpımların ek involüsyonları olsun.
olacak şekilde aynı imzalı iki tane
-antisimetrik çarpım tanıtılabilir: ,
ve ,
-simetrik ya da
. Bu çarpımlar aynı türden bir kanonik
bazı kabul ederler. Bazlardaki değişim tersinir bir elemanla soldan Clifford çarpımı
etkisiyle olur. Her iki çarpım birinci değişkene göre -çizgisel ve ikinci değişkene göre
de çizgisel olduğundan, burada minimal sol idealin her
σ ,σ
,
elemanı için
,
olacak şekilde tersinir bir σ elemanı vardır. Bu
σ
olduğunu gösterir. Eğer bir
σ
σ σ
σ σ σ σ
σ σ
involüsyonu
’nın her
σ σ
ile tanımlanırsa,
ve
elemanı için
σ σ
yazılabilir. Bu durum
σ σ
ve böylece minimal sol idealin her ,
,
elemanı için
,
bağıntısı sağlanır. Fakat
,
,
ise, bu
ve
,
0 verir. Bu bağıntı
,
yazılabilir ve bu da
ve
olacak biçimde bir
,
’nin her
0, ve
olduğundan, çarpım dejenere değildir:
olur. Bu durumda
,
elemanı için doğru
’nın her
involüsyonunun tanımından
elemanı için
σ
σ σ
involüsyonlarının eşdeğer olduğunu gösterir. Tersine
otomorfiziminin olduğu kabul edilsin. Eğer
,
olacak şekilde
ek involüsyonuyla tanımlanan bir çarpımsa, o zaman
,
olacak şekilde
,
,
σ
çarpımı tanımlanabilir. Dolayısıyla bu çarpım
57
,
,
,
,
bağıntılarını sağlar. Benzer şekilde; eğer
,
,
yazılabilir. Burada
çarpımla,
ile
,
ise,
,
,
,
,
,
olup ’ya eşdeğerdir. Böylece
ile
’de tanımlanan
’de tanımlanan çarpım aynı türdendir. Daha önceden belirtildiği gibi
bir minimal sol idealdeki çarpımla diğer bir minimal sol idealde eşdeğer bir çarpım
tanımlanabilir. Böylece eğer
ise,
ve
herhangi bir minimal sol idealdeki
eşdeğer çarpımların ek involüsyonlarıdır ve ispat tamamlanmış olur.
6.2 Yarıbasit Cebirler için Spin-değişmez İç-çarpımlar
Her Clifford cebiri basit olmadığından şimdi iki basit bileşene sahip yarıbasit Clifford
cebirlerinin involüsyonları göz önünde bulundurulacaktır.
ve
bir
cebirinin merkezinde, toplamları cebirin birimini verecek şekilde iki
ortogonal idempotent olsun. Bu durumda cebir;
üzere,
yine
olarak yazılabilir. Eğer
ve
,
basit cebirler olmak
’nın bir involüsyonuysa,
ve
da
’nın merkezi ortogonal idempotentlerdir. Dolayısıyla
şeklinde yazılabilir. Yarıbasit cebirlerin, basit cebir bileşenlerinin toplamının sıralanışı
farkıyla tek olarak anlatılabilmesinden dolayı
ve
ve
ya da
olarak alınabilir. Böylece yarıbasit cebirlerde tanımlanacak çarpımların
sınıflandırılmasında iki durum ortaya çıkar. Birinci durumda
,
ve
cebirlerinde bir
involüsyon indükler ve daha önceki gibi sınıflandırılabilir. İkinci durumda
elamanı ’ye gönderilir. Bu durum ise sadece ,
olduğunda orta çıkar:
’nin her
’nin ters (opposite) cebirine izomorf
. Dolayısıyla burada aslında eşdeğerlik farkıyla böyle
sadece bir involüsyon vardır ve aşağıdaki önerme yazılabilir.
Eğer
iki basit cebirin direk toplamı,
ve
da bu basit bileşenleri
değişmez bırakmayan involüsyonlarsa, o zaman
İspat: Eğer
ve
tanımlanmışsa o zaman
bileşenlerinde bir otomorfizm indükler.
,
eşdeğerdir.
(6.2.1)
’nın bir otomorfizmidir ve basit
’nın bir
58
ve
otomorfizmi ’nin her
ve
elemanı
için
,
ve ’nin her
elemanı için de
’nın bir otomorfizmidir ve
olacak şekilde tanıtılabilir. O halde
için
yazılabilir. Bu durumda
, ’nin
elemanıdır. Dolayısıyla
yazılabilir. Benzer şekilde
yazılabilir. Böylece
ve
için
ve
involüsyonlarının eşdeğerliği kurulur ve ispat tamamlanır.
bölümlü cebiri kendi ters cebirine izomorf ve de
ile anlatılan bir
involüsyona
bir toplam matris cebiri ise,
cebirinde, basit cebir bileşenlerini korumayan sınıftaki bir
-trampa (swap) involüsyon denir. Gerçel bölümlü cebirler olan
kendi ters cebirlerine izomorftur. Böylelikle üç
,
ve
-trampa involüsyon yazılabilir:
-trampa,
-trampa,
-trampa .
(6.2.2)
Böyle bir involüsyon her biri farklı iki basit bileşenin birinde bulunan, iki minimal sol
idealin direk toplamı şeklinde olan bir idealdeki dejenere olmayan bir çarpımın ek
involüsyonudur.
şart olarak basit bileşenlerin birinde bulunan bir ilkel idempotent
olsun. Bu durumda bir
-trampa
. Bu
yazılabilir:
involüsyonuyla bir
-simetrik idempotent
idempotentiyle kurulan bir sol idealdeki çarpım
,
(6.2.3)
,
,
ile tanımlanabilir. Böyle bir çarpım dejenere değildir. Çünkü her
’nın seçimi basit bileşenlerden birinde olduğunda
olmalıdır. Buradan da
’nın bileşeni diğerinde sıfır
,
,
,
(6.2.4)
,
,
.
Farklı simetriyle aynı dereceden bir çarpım dikkatlice tanıtılabilir.
elemanının tersi
0 ise,
= 0 olur. Ayrıca tanımlanan çarpım aşağıdaki özellikleri sağlar:
,
elemanı için
için
1 ve
olsun. Bu durumda
ve dolayısıyla
59
’nin tersinir bir
’nin -antisimetrik
1
1
1
yazılabilir. Böylece çarpım
,
,
(6.2.5)
,
bağıntısıyla tanımlanabilir ve aşağıdaki özellikleri sağlar:
,
,
,
,
,
,
,
,
(6.2.6)
.
Grubu Altında Değişmez Kalan Çarpımlar
6.3
Γ grubu altında değişmez kalan çarpımları bulmak için Γ ’nın her
ettiğinde
ve
şartını sağlayan
elemanına etki
involüsyonlarını bulmak yeterlidir. Doğal olarak
böyle involüsyonlardır (bunlar eşdeğer olabilir ya da olmayabilir). İlişkili
çarpımlar sınıflandırılmadan önce Γ
grubu altında değişmez kalan çarpımların ek
involüsyonlarının eşdeğerlik farkıyla sadece
ve
olduğu gösterilmelidir. Bunun için
Clifford cebirinin üretici uzayının çift ve tek boyutlu durumlarının göz önünde
bulundurulması uygundur.
ç
: Clifford cebiri merkezi basittir. Dolayısıyla
involüsyonsa burada
yerine
Eğer
Böylece
Γ
ve
grubunun
Γ ’nın her
cebirin herhangi bir
olacak şekilde bazı
elemanları vardır.
elemanı alınırsa,
elemanı için
yazılabilir.
olması ancak ve ancak
koşuluyla sağlanır. (5.3)’ün ispatında Γ grubu çift altcebiri üretmişti. Dolayısıyla
çift altcebirin bütün elemanlarıyla da sıradeğişmelidir. Bu özelliklere sahip
çift ve tek parçalarına ayrılabilir. Fakat
elemanları
hacim -formu çift ve bütün tek elemanlarla
antisıradeğişimli olduğundan ’nin tek parçası sıfır olmalıdır. Bu da ’nin çift altcebirin
merkezinde olduğunu gösterir. Merkez 1,
kümesi tarafından gerildiğinden, inceleme
’ye göre yapılmalıdır.
(i) Eğer
da
ise,
gerçel katsayısıyla
yazılabilir ve
olduğunda
ya gerçeldir (Bu durumda
olur. Böylece cebirin herhangi bir
olur.
60
olur) ya
elemanı için
ve
(ii) Eğer
izomorftur. Bu durumda
1 ise, çift altcebirin merkezi kompleks sayılar cebirine
bir kompleks sayı ise, kompleks sayılar cebiri cebirsel olarak
kapalı olduğundan, diğer bir
yazılabilir. Bu
kompleks sayısı için
ve
’nin ’ye eşdeğer olduğunu gösterir.
1 olduğundan çift altcebir
indirgenebilirdir. Bu durumda çift altcebirin merkezi
tarafından gerilir:
. Eğer
1
olmak üzere
tersinirse,
yazılabilir. Eğer
ve
ortogonal idempotentleri
ve
sıfırdan farklı gerçel sayılar
aynı işaretliyse, ’nin merkezin bir
elemanıyla çarpılması ’yi değiştirmeyeceğinden, burada işaretleri pozitif olarak kabul
etmek genelliği bozmaz. Böylece
yazılabilir ve , ’ye eşdeğerdir. Benzer şekilde eğer
bozulmamasıyla birlikte
ve
ters işaretliyse, genelliğin
yazılabilir. Eğer
ise,
yazılabilir ve böylece
bağıntıları sağlanır. Dolayısıyla ,
Γ ’nın her
ya da
elemanının
’ya eşdeğerdir.
durumunda
şartını sağlayabilmesi için ’nin
0 ise, Γ ’nin bir ‘tek’
’ya eşdeğer olması gerektiği gösterildi. Ancak
elemanı vardır ve bu durumda
involüsyonu
Γ ’nın her
elemanı için
olarak belirlenir. Çünkü
bağıntısında
yazılırsa, bu ’nin tek elemanın
kuvvetleriyle sıradeğişiminin sıfır olmasını gerektirir. Benzer biçimde eğer
0 ise,
olarak belirlenir.
: Bu durumda ise Clifford cebirinin merkezi 1,
kümesinin gerimi, onun
olduğundan
çift altcebirinin merkezi de birimin gerimidir.
ve
involüsyonlarından biri merkezi değişmez bırakırken diğeri bırakmaz. Böylece bir
involüsyon için
Γ ’nın her
elemanı için
ve
ya da
ve
yazılabilir.
gereksinimi; ’nin çift altcebirin her elemanıyla
sıradeğişimli olması gerektirdiği gösterilmişti. Eğer
61
,
’nin tek form parçasıysa,
şeklinde yazılabilir. Hacim form
ancak ve ancak
şeklinde yazılırsa çift altcebirin elemanlarıyla sıradeğişir. Çift
altcebir basit merkezli olduğundan
,
ile orantılı olmalıdır. O halde
Tam olarak aynı yol takip edilirek; Γ ’nın her
olacak şekilde
Clifford
olarak belirlenir.
cebirinin merkezindedir ve bu durumda
Buraya kadar
her elemanla sıradeğiştiğinden
elemanı için
ve
olduğu da bulunabilir.
Γ
grubu altında değişmez kalan çarpımların ek involüsyonlarının
eşdeğerlik farkıyla
ya da
olduğu gösterildi. Clifford cebirinin üretici uzayının çift
ve tek olma durumlarına göre yapılan bu incelemeler neticesinde aşağıdaki önerme
ispatsız olarak yazılabilir:
Γ ’nın her
elemanı için
involüsyonu ya
ya da
durumlarında ise,
ve
bağıntısını sağlayan
’ya eşdeğerdir. Ancak
ya da
4
(6.3.1)
4
olur.
involüsyonları çift altcebirde aynı involüsyonu indüklerler. İndüklenen böyle
bir involüsyon sadece
Γ ’nın elemanlarını tersler. Çünkü
basit merkezli bir çift
altcebirin herhangi bir involüsyonuysa, bazı ‘çift’ ’ler için
Böylece
sadece merkezdeyse Γ ’nın her
elemanı için
verir. Eğer çift altcebir basit merkezli değilse:
değişmez bırakır, tek ise
durumda sadece
yazılabilir.
bağıntısı
ve
çift ise;
’yi
merkezi
merkezde aşikar olmayan bir otomorfizm indükler. İlk
ve Γ ’nın her
elemanı için
olduğu görüldü. Burada
ikici bir kategoriye giren ve bu özellikleri taşıyan başkaca bir involüsyon yoktur. Çünkü
’nin bütün tek elemanlarla antisıradeğişimli olmasından dolayı, burada çift altcebirin
elemanlarıyla sıradeğişen tek eleman yoktur.
6.4 İnvolüsyonların Tensör Çarpımı ve Çarpım Sınıfları
,
üzerinde basit bir cebir ve
üzere bir
de
cebiri
’de mertebesi n olan gerçel matrisler cebiri olmak
şeklinde olsun. Ayrıca ,
involüsyonlarını indükleyen
üzerinde
ve
üzerinde
’nın bir involüsyonu olsun. Bu durumda
62
involüsyonu
olarak yazılabilir. Eğer
–antisimetrikse, ’nin simetrisi
durumda çarpım ya
ve
’da ilkeldir. Eğer
, -antisimetrikse; ,
’nin
’de ve
simetrik, eğer
-simetrik ve
,
ve
farklı simetrilere sahipse
-simetrik ya da
,
-antisimetrik ve
-antisimetriktir. Şimdi
,
-simetrik olduğu durum için imza araştırılabilir. Eğer
,
ve
’de
ve ’nin her ikisi de
-simetriktir ve diğer durumlarda ise
involüsyonuyla tanımlanmış bir çarpımsa,
’de
ise, o zaman
olduğundan, eğer
simetrik ya da antisimetrikse;
,
,
ve
yazılabilir.
antisimetriktir. Böylece;
-simetrik ya da
involüsyonlarının simetrileriyle belirlenir. Bu
-simetrik ya da -antisimetriktir. Eğer
’de
ilkellerse,
ve
ve
,
,
’de
ek
için
,
bağıntıları sağlanır.
ile
,
’nın sıradeğişen altcebirleri olduğundan,
,
,
(6.4.1)
,
yazılabilir. Sağ taraftaki çarpımlar altcebirlerdeki ilişkili involüsyonlarıyla belirtilmiştir.
Böylece eğer ,
çarpımı imzası
eden simetrik bir çarpım ve ,
sahip bir çarpım ise,
,
tane 1,
tane 1 olan bir ortonormal bazı kabul
çarpımı da imzası
çarpımının
tane 1,
tane 1 olan bir baza
tane pozitif normlu ve
negatif normlu imzaya sahip bir bazı vardır. Benzer biçimde, eğer ,
ve ,
-antisimetrik ise, ,
tane
-antisimetrik
çarpımı pozitif ve negatif normlu imzaya sahip bir
ortonormal bazı kabul eder. Bu durumlar aşağıdaki gibi özetlenebilir:
(i) Eğer
,
-antisimetrik ve
,
-simetrik ya da
,
-antisimetrik ve
-simetrik ve
-antisimetrik;
, -antisimetrik ise o zaman ,
(ii) Eğer
,
,
-antisimetrik ise o zaman
,
- (6.4.2)
antisimetrik ve indeks maksimum;
(iii) Eğer
,
ve
imzasıyla
simetrik ise o zaman ,
+
-simetrik ve
ve
+
,
ve
imzasıyla
imzasıyla
-
-simetriktir.
6.5 Faktörlerin Tensör Çarpımı Üzerindeki İnvolüsyonların Çarpım Sınıfları
Bir önceki bölümde, bir basit gerçel cebirle bir matris cebirinin tensör çarpımı
üzerindeki
bir
involüsyonun,
faktörlerdeki
63
involüsyonlar
bakımından
nasıl
sınıflandırılabileceği görüldü. Şimdi iki basit cebirin tensör çarpımı üzerindeki
involüsyonların faktörlerdeki involüsyonlar bakımından çarpım sınıfları bulunacaktır.
Bu bölümde yapılacak sınıflandırmalarda sadece bölümlü cebirler üzerideki
involüsyonlar göz önünde bulundurulur. Bu bölümlü cebirlerinden biri gerçel sayılar
cebirinin kendisiyse yapacak bir şey kalmaz. Kompleks sayıların kopyası şeklindeki iki
cebirin tensör çarpımınıysa, bu durumda
özdeşlik
özdeşlik
eşlenik
özdeşlik
eşlenik
eşlenik
özdeşlik özdeşlik
-trampa
eşlenik eşlenik
(6.5.1)
olarak ifade edilir. Kontrol ise faktörlerin bazları seçilerek yapılır (bakınız Ek5). Eğer
ve 1,
1,
,
faktörlerin standart bazı ise,
bileşenlerin bazıdır:
kümeleri basit
. Benzer olarak
1
özdeşlik kuaterniyon eşlenik
özdeşlik kuaterniyon evirtim
kompleks eşlenik kuaterniyon eşlenik
kompleks eşlenik kuaterniyon evirtim
ile ifade edilir. Eğer 1,
,
ve
ve 1, , ,
-antisimetrik
-simetrik
-simetrik, indeks sıfır
-simetrik, indeks bir.
(6.5.2)
faktörlerin standart bazı ise, o zaman e
matris
bazı için
e
1
,e
ve e
1
e
e
, e
e
e
yazılabilir. Son olarak
eşlenik
evirtim
eşlenik
eşlenik
evirtim
evirtim
-simetrik, indeks sıfır
-simetrik, indeks iki
-asimetrik.
(6.5.3)
yazılır. Kontrol ise, yine aynı şekilde faktörlerin bazları yazılarak yapılır. Bunun için
faktörlerin standart bazları 1, , ,
ve 1, , ,
1
1
ilkeline dikkat etmek yeterlidir. Bu durumda
,
,
,
olmak üzere
’nin bir minimal sol idealinin bazı
olur ve simetrik çarpımların indeksi açık olarak değer alır.
64
Artık basit cebirlerdeki ya da bunun gibi iki cebirin direk toplamındaki bütün
involüsyonlar sınıflandırılabilir. Eğer
involüsyonunun çarpım sınıfını
ve
ise, Çizelge 6.2.
ve ’nin sınıfları bakımından verir.
Çizelge 6.2 Tensör çarpımı involüsyonların çarpım sınıfları
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
1
4
3
5
7
6
8
9
10
3
3
4
3 3
4 4
10
4
3
10
10
4
4
3
4 4
3 3
10
3
4
10
10
5
5
5
10
10
5 5
5
5
10
10
6
6
7
4
3
5
1
2
9
8
10
7
7
6
3
4
5
2
1
9
8
10
8
8
8
10
10
10
9
9
9
9
9
10
10
10
8
8
10
10
10
10
10
Çizelge 6.2.’deki bu sınıflar Çizelge 6.1.’in türlerinde şifrelenmişlerdir.
sembolüyle
cebirlerin direk toplamındaki bir involüsyonun bileşenlerde indüklediği involüsyonlar
gösterilmiştir. Kullanılan (8), (9) ve (10) ise, sırasıyla (6.2.2)’de tanıtılan
involüsyonlardır. Çizelgede
-trampa
’nın çarpım sınıfı satır ile belirlenirken ’nin ki ise sütun
ile belirtilmiştir. Bunların kesişimi
’nin çarpım sınıfını vermektedir. Çizelgenin
gerçeğini yansıtır. (6.4.2), çizelgedeki ilk iki satır ve sütunda
simetrisi
şifrelenmişken üç ve dördüncü satır ve sütunların kesişimi olan diyagonal blok ise
(6.4.2) ve (6.5.1)’i verir. İkiden fazla bileşene indirgenebilen bir cebirin faktörlerinin
tensör çarpımıysa çizelgedeki boş olan yerlerle uyuşur.
6.6 Gerçel Clifford Cebirlerinin
ve
İnvolüsyonlarının Çarpım Sınıfları
Bu bölümde Bölüm 6.5.’de yapılanlar kullanılarak gerçel Clifford cebirlerinin standart
involüsyonları olan
ve
’nın çarpım sınıfları belirlenecektir. Bunun için Bölüm 3.’de
65
incelenen tekrarlama bağıntıları ve düşük boyutlu bazı Clifford cebirleri üzerindeki
ve
involüsyonlarını çarpım sınıfları bilgisinden yararlanılacaktır.
Gerçel Clifford cebirlerinin genel yapısı Bölüm 3.’de tekrarlama bağıntıları ve bazı
düşük boyutlu gerçel Clifford cebirlerinin bilgisi kullanılarak belirlenmişti. Kurulan bu
tekrarlama bağıntılarının izomorfizmlerinin araştırılması, (3.2.2.1) bağıntısının sol
tarafında
ve
involüsyonlarının faktörler üzerinde bu involüsyonlardan birini
indüklemediğini gösterir. Oysa (3.2.2.2), (3.2.2.3) ve (3.2.2.4) denklemleri çarpımdaki
ve faktörlerdeki standart involüsyonlar arasında bir bağıntı verir:
C
C
,
C
,
,
(6.6.1)
,
C
C
,
C
,
,
(6.6.2)
,
C
C
,
C
,
,
(6.6.3)
.
Düşük boyutlu bazı gerçel Clifford cebirlerinin standart involüsyonlarının çarpım
sınıfları konturol edilerek Çizelge 6.3’de verilmiştir. Bu çarpımların bazıları ek olarak
indeksle etiketlenmiş ve bu etiketlendirmede sadece indeksi sıfır olan çarpımlar
belirtilmiştir. Bu takip eden teoremi doğrular:
, Clifford cebirinin indeksle etiketlenmiş bir spinör çarpımının ek
involüsyonu olsun: Eğer
0 ise, indeks maksimum;
indeks sıfırdır. Benzer biçimde
0 iken maksimum,
İspat: , ,
{ },
ile ilişkili herhangi bir indeks
(6.6.4)
0 olduğunda sıfırdır.
ek involüsyonuyla birlikte bir sol ideal üzerinde tanımlanmış bir çarpım ve
tane pozitif ve
burada
0 ise,
tane negatif normlu bir ortonormal baz olsun. Eğer
1 olan bir
vektörü vardır. Bu durumda
bazdır ve
66
0 ise,
sol ideali için yeni bir
,
,
yazılabilir. Böylece bu bazda
,
tane negatif ve
Dolayısıyla imza iyi tanımlanmışsa
,
tane pozitif normlu vektör vardır.
olmalıdır. Yani
0 iken indeks
maksimumdur. Çizelge 6.3 ve (6.6.3) bağıntısı tekrarlı kullanılarak
sıfır olduğu doğrulanabilir.
0 için indeksin
involüsyonu içinde tam olarak aynı yol izlenir.
Çizelge 6.3 Düşük boyutlu bazı gerçel Clifford cebirlerindeki standart involüsyonların
çarpım sınıfları
C
,
1 1
8
C
,
1 (sıfır indeksli)
2
C
,
5 (sıfır indeksli)
4
C
,
6 (sıfır indeksli)
6
C
,
3
5
C
,
7
6
C
,
9
6 6
C
,
6
6 (sıfır indeksli)
C
,
1
2
Şimdi bütün gerçel Clifford cebirleri için
bu sınıfların sadece
8 ve
ve
’nın çarpım sınıfları verilebilir. Fakat
8’e bağlı olduğuna dikkat edilmelidir. Bu sınıflar
(6.6.1), (6.6.2), (6.6.3) bağıntılarıyla birlikte Çizelge 6.2. ve 6.3. kullanılarak
oluşturulan Çizelge 6.4.’de verilmiştir. Ayrıca Çizelge 6.4.’de verilen
göre birinci giriş ’nin ikici giriş
ve
değerlerine
’nın ve üçüncü giriş ise, çift altcebirde indüklenen
involüsyonun çarpım sınıfı gösterilmektedir. (
0 dejenere durumdur.)
Denklem 3.4.1.’nin türetilmesine ilgi
C
,
C
,
(6.6.5)
bağıntısını doğrular. Böylece çift altcebirdeki involüsyonun çarpım sınıfı
tekrardan sınıflandırılmasıyla elde edilir.
67
’nın
Çizelge 6.4 Gerçel Clifford cebirlerinin standart involüsyonlarının çarpım sınıfları
|
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
3
5
1
1
2
8
8
7
6
5
5
4
2
2
2
9
6
6
4
5
6
6
7
9
9
2
1
5
5
3
7
7
7
8
1 1
1 1
8
1
1
2
5
5
4
6
6
6
6 6
6 6
9
6
6
7
5
5
3
1
1
2
3
4
5
6
7
2 2
2
2
2
4
4
5
6
6
7
9
9
7 7
7
7
7
3
6 6
6
6
6
4
4
5
2
2
1
8
8
1
1 1
1
1
3
3
5
7
7
6
9
2 2
2 2
8
2
2
1
5
5
3
7
7
7
7 7
7 7
9
7
5 olduğu durumlarda çift altcebirde
6 6
6 6
9
6
6
7
5
5
3
1
1
1
1 1
1 1
8
1
1
2
5
5
4
6
7 7
7
7
7
3
3
5
1
1
2
8
8
2 2
2
2
2
4
7 7
7 7
9
7
7
6
5
5
4
2
2
2
2 2
2 2
8
2
1 1
1
1
1
3
3
5
7
7
6
9
9
6 6
6
6
6
4
4
5
2
2
1
8
involüsyonunun sınıflandırılması Γ ’nın
ilişkili çarpımın otomorfizm grubu olarak elde edilmesini sağlar. Bu (4.7.6)’nın doğal
sonucudur. n-boyutlu bir vektör uzayında bir -antisimetrik çarpımın otomorfizm grubu
ile gösterilir. Benzer biçimde
,
grubudur. İmzası ,
imzasıyla birlikte bir
olan bir
,
,
-asimetrik çarpımın otomorfizm
-simetrik çarpımın otomorfizm grubu U ,
-simetrik çarpımın otomorfizm grubu
0 olduğu durumlarda kısaca U
ve
,
yazılır.
, ,
iken
ile belirtilir.
-trampa involüsyonuyla
ilişkili çarpımların otomorfizm grubu genel çizgisel gruptur. Çünkü (6.2.3)’deki çarpım
alınırsa,
’in tersinir
elemanıyla otomorfizm grubunun genel elemanı
olur. Bu spin gruplarının otomorfizm grupları Çizelge 6.5.’da düzenlenmiştir.
68
5 için Γ ’nın otomorfizm grupları
Çizelge 6.5
0
1
2
3
4
5
0
1
1
U 1
1,
1,
2,
1
1
2,
2,
1,1,
2
U 1
2,
2,
4,
3
1,
2,
4,
4
1,
1,1,
5
2,
|
Çizelge 6.5’de
2,
2,
olarak belirtilmiştir. Aynı ifade
C
,
için
Γ
2,
2,
içinde geçerlidir. Ayrıca dikkat edilirse
1,
iken Bölüm 4’ün sonunda
Γ
SL 2,
olarak
gösterilmişti. Gerçekte bu gruplar izomorftur ve bu izomorfizmler aşağıdaki gibidir:
1,
2,
2,
SU 2 ,
SL 2, ,
SL 2, .
69
(6.6.7)
7. KOMPLEKSLEŞTİRİLMİŞ CLIFFORD CEBİRLERİ
Buraya kadar gerçel ortogonal uzaylar ve onların ilişkili olduğu Clifford cebirleri ele
alındı. Yapılan bu tartışmalar herhangi bir sayı alanı üzerinde tekrarlanabilir. Bunlar
içinde kompleks sayı alanı önemlidir. Kompleks değerli, simetrik ve dejenere olmayan
-çizgisel bir
formu tanımlanmış bir W vektör uzayında Clifford cebiri, Bölüm
3.1.’de yapıldığı gibi kurulur. Ayrıca
imzayla karakterize edilmediğinden Clifford
cebirinin yapısı sadece ’ye bağlıdır ve cebir C
ile gösterilir. Cebirin yapısı ise,
Bölüm 3.2.’de yapıldığı gibi belirlenir:
C
C
C
(7.1)
(7.2)
(7.3)
,
,
C
C
.
Bu izomorfizmler (3.2.2.2), (3.2.1.2) ve (3.2.1.4) bağıntılarının incelenmesiyle ispat
edilebilirler. Bu bağıntılar kullanılarak bütün C
belirlenebilir. Eğer
çift ise;
C
ve eğer
cebirlerinin genel yapısı
(7.4)
⁄
tek ise,
C
⁄
(7.5)
⁄
yazılabilir. Çift altcebirin yapısı Denklem 3.4.1.’den
C
olduğu bulunabilir. Bu durumda eğer
C
ve eğer
(7.6)
C
çift ise;
⁄
(7.7)
⁄
tek ise,
C
(7.8)
⁄
yazılabilir.
7.1 Kompleksleştirilmiş Cifford Cebirlerinde Kompleks Eşlenik İşlemi
Kompleksleştirilmiş Clifford cebirlerinde kompleks eşlenik işlemini tanımlamadan önce
kompleks Clifford cebirlerinin gerçel ortogonal uzaylarla ilişkisi gösterilmelidir. V’nin
kompleksleştirilmişi V ile gösterilsin. Eğer V iki-çizgisel form olan
boyutlu bir gerçel ortogonal uzay ise; V ,
70
ile birlikte -
-boyutlu bir kompleks vektör uzayıdır.
Gerçel iki-çizgisel form olan , -çizgisellikle V ’de bir -iki-çizgisel form olan
genişletilebilir. Eğer
’ye
’de dejenere değildir. Eğer V 2 -boyutlu
dejenere değilse,
bir gerçel vektör uzayı olarak kabul edilirse, V onun
-boyutlu bir altuzayıyla
özdeşleştirilebilir. Bu durumda kompleks cebir olan C V ,
,2
-boyutlu gerçel cebir
olarak kabul edilir. Altcebir olarak kabul edilen C V,
ise, kompleks sayı alanı
üzerinde birimle üretilen altcebirle sıradeğişir. Dolayısıyla
C V ,
(7.1.1)
C V,
izomorfizmi yazılabilir. C V,
ile gösterilir. V ’de
’de kısaca C V,
kompleks eşleniğin ‘*’ ile gösterilen çizgisel-eşlenik işlemi tanımlanabilir. V ’nin bir
elemanı V’nin
ve
elemanlarıyla
i
ve eşleniği de
i
yazılabilir. Kompleks eşlenik bir gerçel cebir olarak kabul edilen C V ,
olarak
’nin bir
otomorfizmine genişletilebilir. Eğer gerçel altcebir kompleks eşlenikleri kendilerine eşit
elemanlardan oluşuyorsa, C V ,
’nin gerçel altcebiri de doğal olarak C V,
olur.
Çünkü bir kompleks vektör uzayında doğal olarak tanımlanmış kompleks eşlenik işlemi
yoktur. Fakat burada kompleks vektör uzayı altta yatan gerçel bir vektör uzayının
kompleksleştirilmesinden elde edildiğinden, kompleks eşlenik işlemi iyi tanımlıdır.
Herhangi bir kompleks Clifford cebiri bir kompleks matris cebirine yada bunun gibi iki
cebirin direk toplamına izomorf olduğundan kompleks eşlenik işlemi zorunlu olarak bu
matris bileşenlerinde de tanımlanmalıdır.
şeklinde bir cebir ve *’da bu cebirin merkezinde aşikar
olmayan bir otomorfizm indükleyen involüter bir otomorfizm olsun. Ayrıca ’de gerçel
altcebir olsun. Yani
’nin her
elemanı için
olur.
’nın bir
ve sanal kısımların toplamı şeklinde yazılabileceğinden,
Buradan da
cebirler
cebiri ya
=
yazılabilir. Bu ifade
,
ya da
’ye ya da
olmak üzere
⁄
elemanı gerçel
yazılabilir.
basit olduğu sürece doğrudur. Basit
şeklinde yazılabilirler. Bu durumda
izomorf olmalıdır. Bazı özel matris altcebirleri için
yazılırsa, merkezin elemanlarını eşlenikleştiren ve
’nin elemanlarını
değişmez bırakan diğer bir involüter otomorfizim ‘ ’ tanımlanabilir. Eğer e },
’nin
standart bir matris bazı ise, e } de diğer bir standart bazıdır. Wedderburn ayrışımının
tekliğinden
’nın bazı
elemanları için e
yazılabilir. Dolayısıyla
∑,
e
71
olarak yazılırsa,
∑,
∑,
e
e
yazılabilir. Buradan
(7.1.2)
bulunur. ‘*’ ve ‘ ’ otomorfizmleri involüter olduklarından Denklem 7.1.2.
bağıntısını sağlar. Burada
merkez elemanıdır. ‘*’ ve ‘ ’ otomorfizmleri
bağıntılarını sağladıklarından merkezde aynı otomorfizmleri indüklerler. Bu şu anlam
gelir:
ve
gerçeldir.
’nin Denklem 7.1.2.’deki tanım özelliği bir merkez
1 ya da
katsayısı farkıyla belirlenmesi sağlar. Uygun bir ölçeklendirmeyle
1 olarak düzenlenebilir (Eşdeğer olarak:
1 ya da
1
yazılabilir). Bu durumlar aşağıdaki önermenin ispatında daha rahat anlaşılır.
Eğer ‘*’ ve ‘ ’ otomorfizmleri
şeklideki bir cebirin
merkezini eşlenikleştirip sırasıyla
bırakıyorlarsa;
1
İspat: Yukarıdaki önermede
⁄
,
1
olarak seçilebilir.
için birbirini dışarlayan sadece iki olasılık vardır. Bu
’ler için bunlardan birini ispatlamak yeterlidir. Çünkü
olduğu ispatlanırsa,
1
olduğu kabul edilsin. Eğer b
bazlarıysa,
altcebirlerini değişmez(7.1.3)
yazılabilir ve bu durumda
ya da
durumda benzer
ve
⁄
ve e } sırasıyla
’nın bir elemanı için e
∑,
1
olmalıdır. İlk önce
ve
’nin standart matris
yazılabilir. Eğer
e
yazılırsa,
∑,
∑,
b
∑,
b
e
bulunur. Bu şu anlama gelir:
olarak seçilirse
olur. Tersine
’da
bir -eşlenik-çizgisel dönüşüm
ile tanımlanabilir. Böylece
involüterdir ve
’nın bir
dönüşümü
’nin sütunlarını korur. Eğer
elemanı
72
ise,
olararak yazılabilir. Özellikle,
olduklarından
’nın minimal sol idealleri
’nin öz-uzaylarına ayrıştırılabilirler.
’nin
’nin sütunları
’nın bir minimal sol idealinin
gerçel boyutu 2 olduğundan bu öz-uzaylar -boyutludur.
elemanı olsun. O zaman
girişli
elemanları için
bu öz-uzayların birinin
çarpımı
’nın minimal sol
idealindedir ve
olduğundan gerçekte öz-uzaydadır. Dolayısıyla bu öz-uzaylar ’nin temsillerini taşırlar.
ise,
Bu şu anlam gelir: Eğer
’nın indirgenemez temsilleri
indirgenebilir temsillerini indüklerler. Fakat
ise; bu durumda onun
indirgenemez temsilleri -boyutludur ya da
2 -boyutludur. Böylece
⁄
ile
’nin
ise, indirgenemez temsilleri
ima edilir. Böylelikle ispat tamamlanmış
olur. İspatta yapılanların tartışması aşağıdaki gibi özetlenebilir (Tucker, sayfa 83):
=
=1
(7.1.4)
’nın indirgenemez temsilleri
’nin indirgenebilir temsillerini
indükler.
=1
=
= 1
=
⁄
.
Çift boyutlu bir ortogonal uzayla ilişkili gerçel Clifford cebirinin kompleksleştirilmişi
kompleks matrisler cebirine izomorftur. Gerçel cebir bir toplam matris cebiri olduğunda
kompleks eşlenik işlemi bu matrislerin bileşenlerini eşlenikleştiren bir otomorfizme
eşdeğerdir. Bu durumda kompleks eşlenik işlemi sadece uygun bir bazdaki bileşenleri
eşlenikleştirir.
Tek boyutlu bir gerçel ortogonal uzayın kompleksleştirilmesiyle ilişkili cebir iki matris
cebirinin direk toplamıdır. Gerçel cebir iki toplam matris cebirinin toplamıysa,
kompleks eşlenik işlemi ancak ve ancak bu matrislerin bileşenlerini eşlenikleştiren bir
otomorfizme eşdeğerdir. Gerçel cebir iki basit cebirin direk toplamı olduğunda, cebirin
73
Wedderburn ayrışımı kuaterniyonları gerektirir. Bu durumda kompleks eşlenik işlemi
kompleksleştirilmiş cebirin basit bileşenlerinde bir otomorfizm indükler ve bu matris
bileşenleri eşlenikleştirmeye göre eşdeğer değildir. Gerçel cebir kompleks matrisler
cebirine izomorf olduğunda ise, kompleksleştirilmiş cebirin kompleks eşlenik işlemi
basit bileşenleri değiş-tokuş eder.
7.2 Kompleksleştirilmiş Clifford Cebirinin Spinör Temsilleri
Kompleks cebirlerin indirgenemez temsillerine de spinör ya da cebir indirgenebilir
olduğunda yarı-spinör temsilleri denir. Spinör (ya da yarı spinör) uzayları minimal sol
ideallerle özdeşleştirilirler. Açık olarak bu minimal sol idealler 2
boyutludur ve
⁄2
burada
⁄2’nin tamsayı kısmını belirtir.
eşdeğerlik farkıyla sadece bir tek temsil vardır.
⁄
kompleks
çift olduğunda
tek olduğunda ise, eşdeğer olmayan
iki yarı-spinör temsil vardır.
C V ,
’nin indirgenemez temsilleri, C V,
’nin indirgenebilir ya da indirgenemez
temsillerini indükler. Bu temsillerin indirgenebilirlik sorusu Bölüm 5.’den bir yere
kadar sezilebilir. Ayrıca Bölüm 5.’de gerçel Clifford cebirinin (ya da o cebirin bir basit
bileşeninin) Wedderburn ayrışımında
ya da
bölümlü cebirleri ortaya çıktığıda;
spinör (ya da yarı-spinör) uzaylarının, kompleks altcebirin üreticisi tarafından sağdan
çarpmayla bir kompleks vektör uzayı olarak kabul edilmesine olanak sağladığı
görülmüştü. Bu durumda gerçel Clifford cebirinin indirgenemez temsilleri
-
çizgisellikle kompleksleştirilmiş cebirin temsillerine genişletilebilir. Gerçel Clifford
cebiri gerçel matrisler cebirine, ya da onun gibi iki cebirin direk toplamına izomorfsa,
onun indirgenemez temsillerinin gerçel boyutu 2
⁄
olur. Bu kompleksleştirilmiş
cebirin indirgenemez temsillerinin gerçel boyutunun yarısıdır. Böylece, bu durumlarda
kompleksleştirilmiş cebirin indirgenemez temsilleri gerçel cebirin indirgenebilir
temsillerini indükler. Bu indirgeme (7.1.3)’ün verilen ispatından yapılabilir. Gerçel çift
altcebirin
indüklenen
temsilleride
tam
olarak
aynı
yolla
davranabilir.
Kompleksleştirilmiş cebirin çift altcebirinin indirgenemez temsillerinin gerçel boyutu
2 2
⁄
iken gerçel çift altcebirin indirgenemez temsilllerinin boyutları Çizelge
5.1.’de verilmişti.
74
7.3 Kompleksleştirilmiş Clifford Cebirlerinin İnvolüsyonlarının Çarpım Sınıfları
Kompleksleştirilmiş cebirin
-çizgisel involüyonlar olan
ve
gerçel altcebirin
standart involüsyonlarını indüklerler. Bunlar Bölüm 6.’da sınıflandırılmıştı. Böylece
kompleksleştirilmiş cebirdeki bu involüsyonlar, faktörlerin tensör çarpımında
indüklediği involüsyonların bilgisinden sınıflandırılabilir. Faktör
’de indüklenen
involüsyonun sınıfı 3 olur. Dolayısıyla Çizelge 6.4.’deki girişler 3 ile çarpılır ve Çizelge
6.2.’deki çarpımlar kullanılırsa,
ve
’nın kompleksleştirilmiş cebirin ve onun çift
altcebirinde indükledikleri involüsyonların çarpım sınıfları elde edilebilir. Bu
involüsyonlar kompleks vektör uzayı V ile ilişkili Clifford cebirinin involüsyonlarıdır.
Bunların sınıfları ’nin imzasına değil sadece V’nin boyutuna bağlıdır. Çizelge 7.1.’de
’nin mod8’e bağlı bu sınıfları verilmiştir.
Çizelge 7.1 Kompleksleştirilmiş Clifford cebirlerinin involüsyonlarının çarpım sınıfları
C
mod8
’ de
,
1
3 3
10
3
2
3
4
10
3
10
4 4
4
4
4
4
4 4
5
4 4
10
4
6
4
3
10
7
10
3 3
3
8
3
3
3 3
ve
kompleks eşlenik işlemiyle sıradeğiştiklerinden bunların
ve
şeklindeki
involüsyonları oluşturulabilir. Bunlar gerçel altcebirde tekrardan standart involüsyonları
indüklerler. Bu involüsyonlar kuşkusuz bir kompleks cebir olarak kabul edilen
C V ,
’nin involüsyonları değillerdir: Gerçel cebir involüsyonlarıdır. Çizelge
6.4.’deki girişler 5 ile çarpılır ve Çizelge 6.2.’deki çarpımlar kullanılırsa, bu sınıflar elde
edilir. Basit cebirlerde bu involüsyonlar sadece sınıf 5’de iken, indirgenebilir cebirin
75
bileşenlerinde ya sınıf 5’in involüyonlarıdır ya da bu bileşenleri değiş tokuş ederler.
mod2 ve
mod2’ye bağlı bu sınıflar Çizelge 7.2.’de verilmiştir.
’nın C
Çizelge 7.2
ve
mod2 |
mod2
’ın C
’de ve
,
0
’de ki çarpım sınıfları
,
0
1
5
5
10
5 5
5
5
5
10
5 5
5 5
10
5
1
Daha önce (6.6.4)’de gerçel Clifford cebirleri için
spinör çarpımlarınının indeksi
şekilde;
yeter şart
ve
ve
involüsyonlarıyla ilişkili
’nun durumlarına göre incelenmişti. Benzer
bir sıfır indeksli Hermitesel-simetrik çarpımın eki olabilmesi için gerek ve
0 olmasıdır. Diğer durumlarda indeks maksimumdur. Yine benzer şekilde;
bir sıfır indeksli çarpımın eki olabilmesi için gerek ve yeter şart
0 olmasıdır.
Diğer durumlarda indeks maksimumdur.
7.4
,
ve
,
Dirac matrisleri ya da
Cebirlerinin
-matris Temsilleri
-matrisleri genellikle minimum mertebeli kompleks karesel
matrisler olarak tanımlanırlar ve
(7.4.1)
2
özelliğini sağlarlar. Burada ,
matristir. Eğer
tane girişi
1 ve
tane giriş
ise, bu matrislerin mertebeleri 2
⁄
1 olan köşegen bir
ile belirlenir. Ayrıca bu
matrislerin genellikle belirli Hermitesellik özelliklere sahip olduğu varsayılır. Bu
özellikler kısaca incelenecektir. Burada dikkat edilmesi gereken, böyle işlemlerin
varlığının -çizgisel olmadığıdır. Bu -matris cebirinin bir kompleks cebir olmadığının
anlaşılması için yeterlidir. Aslında Denklem 7.4. ve 7.5.’den bu matrislerin
kompleksleştirilmiş Clifford cebirine ya da tek boyutta bu cebirin bir basit bileşenine
izomorf olan bir cebiri ürettiği doğrudan tanınabilir.
76
’nin çift olduğu durumlarda C
olur. Eğer
⁄
,
, C
cebirini
,
üreten gerçel vektör uzayının bir baz ise,
∑ ,⁄
yazılabilir. Buradaki
(7.4.2)
e
kompleksleştirilmiş cebir için standart bir matris bazıdır.
Kompleks bileşenlerin dizilişleri,
, olağan matris çarpımı kuralıyla Denklem 7.4.1’i
sağlar. Kompleksleştirilmiş cebirin bütün matris bazları bir iç-otomorfizmle birbirlerine
bağlıdırlar. Bu durumda matris bazlarının değiştirilmesi, {
} için matris bileşenlerinin
yeni bir kümesini verir. Böylece -matrilerinin bir eşdeğer temsili elde edilebilir.
Öncelikle
’nin tek olduğu durumlar için C
cebiri kompleksleştirilerek
,
matrislerinin bir ‘standart’ temsilinin nasıl elde edildiği görülecektir.
C
yazılabilir. Buradan C
⁄
,
tek için
⁄
cebirinin bir toplam matris cebirine izomorf ve C
,
-
’nin
,
ise, onun mertebeleri yarı olan iki matris cebirinin direk toplamı şeklinde olan bir
altcebiri olduğu görülebilir. Dolayısıyla C
altcebirinin elemanları, uygun bir
,
matris bazında blok-köşegendir. Cebirin iki basit bileşen cebiri ise, matris bileşenlerinde
sadece üst ya da alt bloklardadır. Bu mertebeleri 2
0 ,
Σ
0
şeklinde anlatılabilir. Çizelge 7.2.’den
⁄
olan
ve Σ matrisleriyle
1, … ,
’ın C
,
’de sıfır-indeksli bir
-simetrik
çarpımın ek involüsyonu olduğu kolayca görülebilir. Bu Hermitesel eşleniğe eşdeğer
olduğu anlamına gelir. Böylece
köşegen bloklarda Hermitesel eşleniği indükleyecek
(doğal olarak sıfır köşegen bloklar hariç) C
ve Σ Hermitesel olur. Eğer ̌
bazda
ve
idempotentleri C
1
̌ ve
,
,
’de bir baz düzenlenirse, böyle bir
1 olacak şekilde ̌
…
yazılırsa,
cebirinin basit bileşenlerinin birimleri olur. Burada
1 ya da i. Eğer ̌
olduğundan
…
yazılırsa,
0
0
ile ifade edilebilir. Fakat
, ̌ ile antisıradeğişimlidir. Dolayısıyla
sadece köşegen bloklar haricinde olabilir.
’ın bilşenleri
1 olduğundan tersinir bir
için
0
0
77
matrisi
yazılabilmelidir. Bu durumda
bütün
bağıntısı sağlanır. Eğer
Σ
matrisi ve ters matrisi
i
,
i
√
’lerle antisıradeğişimli olduğundan
i
i
√
dönüşümüyle değiştirilirse, -matrislerinin ‘standart’
olmak üzere baz;
temsiline varılır:
0
i
Burada
’ler ve
0
,
0
’ler Hermitesel olurken
(7.4.3)
anti-Hermitesel olur. C
yerine
durumu da benzer davranışlıdır. Burada
Hermitesel eşleniğe eşdeğerdir. C
.
0
involüsyonu C
cebirinin ‘standart’ temsiline ise, C
,
için yapılan işlemler takip edilerek ulaşılabilir. Fakat burada
olup, ‘i’ faktörü
tek
,
,
,
’de
,
cebiri
’ler anti-Hermitesel
’ın temsilinde kalkar. Bu defa yapılan bu işlemlerde
pozitif
normlu vektörü belirtir.
Tek boyutlarda -matrislerinin iki eşdeğer olmayan temsili vardır. Bunlar cebirin basit
bileşenlerinin birine iz-düşürülen {
}’nın matris bileşenleridir. -matrislerinin standart
’nin çift olduğu durumlarda C
temsilinin
için nasıl kurulduğu kısaca
,
gösterilebilir. Bu durumda
C
ve C
⁄
,
iken C
⁄
,
olur.
⁄
involüsyonu C
’nin bileşenlerini değiş-tokuş yapar. C
,
seçilirse, bu bazda
’de Hermitesel eşleniğe eşdeğer
,
,
için e
Hermitesel eşlenikle uyuşur. Eğer
, C
bileşenlerine iz-düşüren merkezi idempotentleri ve e
bileşenler için matris bazıdır. C
,
matris bazı olarak
cebirinin basit
,
ise, e
e
’de kompleks faktörleri eşlenikleştiren bir †
involüsyonu tanımlanırsa, bu gerçel altcebirin üreticileri için
özelliklerini sağlar. Böylece † involüsyonu C
uyuşur ve e
’da C
,
, i = 1, …,
’deki
,
bazında Hermitesel eşlenik işlemi olur. Eğer
4 için
2
1
iken
bu basit
4 için
0
i
’nin bileşenlerini değiş-tokuş yaptığından,
olur. † cebirin basit bileşenlerinin matris bazları olan e
78
involüsyonuyla
ise, o zaman
…
1
ve
olur.
ve
ve dolayısıyla
’de Hermitesel
eşleniği indükler.
bazları Hermitesel matrislerle temsil edilirken
Hermitesel matrislerle temsil edilirler. Aslında
iken
2
4 için
7.4.1 Uygulama:
4 için
0
…
cebiri
,
rahatça anlaşılabilir. Bu inceleme için öncelikle C
seçilir. Bu durumda
,
i
yazılabilir.
…
-matrisleri ve daha soyut yaklaşımı olan Clifford cebirleri, C
C
’de anti-
,
,
cebiri incelenerek
’nin basit bileşenlerinin bir bazı
Hermitesel eşlenikle uyuşur ve Hermitesel
’leri verir.
cebiri indirgenebilir olduğundan, bu cebirin karşılıklı olarak sıradeğişen merkezi
idempotentleri için
i
1
yazılabilir. Böylece
i
yazılabilir. Eğer
i
olması istenirse,
i
’ler C
olduğundan,
‘deki
,
’lerin bileşenleri olmalıdır. Artık matris bazlarının kurulmasına başlamak için
altında değişmez kalan karşılıklı olarak ortogonal idempotentlerin bir çifti
araştırılmalıdır. Ayrıca bu idempotentler
’ın Hermitesel eşleniği indükleyeceği bir
bazın köşegenlerini oluşturmalıdır. Bu durumda seçimler
olarak yapılırsa, e
e
1
e
1
(7.4.1.1)
olacağından geri kalan diğer matris baz elemanları
e
e
e
e
e
e
(7.4.1.2)
e
bağıntılarıyla tamamlanır. Burada
e
olur. Ayrıca
, C
e
‘nin elemanı olduğundan
,
∑
,
yazılırsa,
∑
bulunur. Buranda da
(7.4.1.3)
matrisleri aşağıdaki gibi yazılır:
0
i
i
,
0
0
1
1
,
0
79
1
0
0
.
1
(7.4.1.4)
Bu matrisler kullanılarak -matrislerinin bir standart temsili elde edilebilir. Bu noktada
sorgulama tersine çevrilir ve bu bileşenlerle uyuşan matris bazları kurulur. Böylece
’dan ilkel olamayan idempotentlerin bir çifti kurulabilir:
0
0
i
1
,
1
i
1
.
0
1
(7.4.1.5)
0
(7.4.1.4)’deki sonuçlar (7.4.3)’de kullanılarak idempotent matrislerin diğer bir çifti
0
1
i
1
,
0
i
1
0
1
(7.4.1.6)
0
yazılabilir. Dört ilkel, bu idempotentlerin çarpımlarından elde edilir. Eğer (7.4.2)’deki
toplamda üst sınıra 4 yazılırsa;
e
e
1
1
2
e
e
1
2
i
1
i
1
i
1
i
1
i
1
i
1
i
1
i
0 1
2
0 1
2
elde edilir. Tam olarak aynı yolla bütün
ve
12
(7.4.1.7)
12
girişleri için geri kalan matris bazları
Çizelge 7.3’deki gibidir.
Çizelge 7.3 C
,
için bir matris bazı
e
e
e
e
e
i e
i e
e
e
i e
i e
e
e
e
e
e
7.5 Clifford Cebirlerinde Tr Fonksiyoneli
Tr ile gösterilen temsil bağımsız ‘ ’ işlemcisi, bir matris cebirini birim tarafından
gerilen altuzaya iz-düşüren bir işlemcidir. Clifford cebirini 0-formlar uzayına iz-düşüren
80
ile -matrislerinin izi arasında bir bağıntı vardır. Çift boyutlarda Clifford cebirinin
herhangi bir elamanı matris bazında
∑,
olacak şekilde açılabilir. Burada
e
’ler (kompleks) 0-formlar olduğundan
∑,
ile anlatılabilir.
⁄
⁄
e
ve indisleri üzerinde toplam olmayacak biçimde (3.1.9)’dan
e
e e e
e e e
e
elde edilebilir. Matris bazındaki köşegenler çiftler ortogonal ilkel idemopetentlerin bir
kümesidir ve bunların hepsi benzerdir. Dolayısıyla tersinir bir için
e
e
yazılabilir. Böylece
e
e
ve birim ilkellerin toplamı olacak şekilde
1
e
e
e
ve
2
⁄
anlatılabilir. Bu durumda indisi üzerinde toplam olmayacak şekilde
⁄
1⁄2
e
olur. Böylece
⁄
∑
⁄
(7.5.1)
Tr
sonucu elde edilir.
tek boyutlarda merkezi idempotentleri belirtsin. Eğer e
birimi
olan basit bir
cebirin matris bazıysa,
e
e
e
ve
⁄
2
olarak anlatılabilir. Bu durumda
olduğundan,
e
⁄
1⁄ 2 2
yazılabilir ve bu
1⁄ 2 2
⁄
Tr
verir. Böylece aşağıdaki sonuç yazılabilir:
⁄
Tr
Tr
81
.
(7.5.2)
7.6 Dirac Spinörleri
Fizikte, kompleksleştirilmiş Clifford cebirinin bir indirgenemez temsilini taşıyan vektör
uzayının elemanlarına Dirac spinörleri denir. Açık olarak Dirac spinörleri bir minimal
⁄
sol idealle özdeşleştirilen 2
-boyutlu bir kompleks vektör uzayının elemanlarıdır.
çift olduğunda bütün farklı minimal sol idealler eşdeğer temsilleri taşırken,
tek
olduğunda farklı basit cebir bileşenlerinde bulunan minimal sol idealler tarafından iki
eşdeğer olmayan temsil taşınır. Herhangi bir minimal sol ideal bir matris bazının ilk
sütunu olarak alınabilir. Bir
olacak şekilde bir e
elemanı alınarak e
Eğer tersinir bir
ilkeliyle oluşturulan C
için
yazılırsa;
minimal sol idealinin bir
matris bazında
,e
∑
∑
,
e
∑
alınırsa
e yazılabilir.
olmak üzere e
Se
bazının birinci sütununda olur. Dolayısıyla
∑
e
matris
yazılabilir ve
olur. Böylece sağdan Clifford çarpımı etkisi
minimal sol idealde bir değişiklik oluşturmamasına rağmen, matris bazlarının ilk
sütunları şeklindeki spinörlerde soldan matris çarpımı etkisi oluştururlar.
Spin-değişmez çarpımların tanımlanmasına olanak sağlayan
Dirac eşlenik-spinörü bir satır spinördür. Çizelge 7.2.’den
ile gösterilen
’nin tek ve
’nun çift
’ın pseudo-Hermitesel çarpımın ek involüsyonu olduğu
olmadığı durumlarda,
rahatça görülebilir. Yine Çizelge 7.2.’den
ise,
’nin
’nin tek ve ’nun çift olduğu durumlarda
’ın pseudo-Hermitesel çarpımın ek involüsyonu olduğu görülebilir. Şimdi bu
durumlar incelenecektir.
’nin tek ve ’nun çift olmadığı durumlar: † uygun bir matris bazında Hermitesel
eşleniğin ek involüsyonu olsun. (Tek boyutlarda ise, † cebirin basit bileşenlerinde
Hermitesel eşleniği indüklesin.) O zaman † ile
olacak şekilde C
,
’nin her
,
ya da eşdeğer olarak
elemanı için aşağıdaki gibi ilişkilendirilebilir:
(7.6.1)
ve
Dirac spinörleri olsun. Bu durumda bir spin-değişmez çarpım
(7.6.2)
,
82
ile tanımlanabilir. Açıkca
ek involüsyonuyla tanımlanan bu çarpım Γ
altında
değişmez kalır. Bu (6.1.2)’de tanımlanan çarpımın özel bir durumudur. Böyle çarpımlar
birimi e
ilkeli olan kompleks sayılar cebirinden değerler alırlar. Bu durumda açık
olarak değerlerini alta yatan kompleks sayı alanından alan bir çarpım elde edilebilir.
Çünkü
,
,
ise,
e
,
Tr
(7.6.3)
,
yazılabilir. Denklem 7.6.2.’deki çarpıma göre
’nin Dirac eşleniği aşağıdaki gibi
tanımlanabilir:
.
’nın Denklem 7.6.1.’deki tanımı bir e
eşleniği gerektirir. Eğer e
durumda e
Se
matris bazında tanımlanan Hermitesel
olacak biçimde e
olur. Böylece
e
(7.6.4)
ise, e
diğer bir matris bazıysa, bu
e
yazılabilir ve † bu
bazda da Hermitesel eşleniği indükler. Dolayısıyla † involüsyonu ve buradan da
Denklem 7.6.1., üniter dönüşümlerle ilişkili bazların bir sınıfını gerektirir. C
için matris bazının sınıfı göz önünde bulundurulsun. Bu durumda
üzere
ve
ve böyle bir bazda
,
cebiri
1, … ,
olmak
olur. Yine Denklem 7.6.1.’den
i
yazılabilir
olarak seçilebilir. Bu seçimle aşağıdaki bağıntı yazılabilir:
(7.6.5)
i
C
durumu için yapılacak incelemede ise, ‘i’ faktörü bulunmaz. Buraya kadar ’nin
,
tek ve
’nun çift olduğu durumlar dışlandı. Dışlanan bu durumlarda
pseudo-
Hermitesel çarpımın ek involüsyonudur.
’nin çift ve ’nun tek olmadığı durumlar: Denklem 7.6.1.’e benzeşimle
olacak şekilde C
,
’nin her
elemanı için
(7.6.6)
bağıntısı tanımlanabilir. Denklem 7.6.4.’deki bağıntının yerine ise,
(7.6.7)
tanımlanabilir. Burada ki Dirac eşlenik bir Γ -değişmez çarpıma göre tanımlıdır.
ve
Dirac spinörleri için (5.2.4)’de;
ile tanımlanan
temsili
kullanılabilir. Bu durumda eğer Dirac eşlenik spinörü Denklem 7.6.4.’deki gibi
83
yazılabilir. Böylece Γ ’nın
tanımlanmışsa,
elemanları için
temsiliyle vektör temsili uyuşur. Yani
olur. ’nun tek olduğu durumlarda Γ ’nin vektör temsili altındaki görüntüsü zamansal
yönelimi koruyan ortogonal grubun altgrubu iken,
’nun çift olduğu durumlarda bu
uzaysal yönelimi koruyan bir altgruptur. Clifford grubunun vektör temsili altında
-
formlar indirgenemez olarak dönüşürler. (3.1.9) ve (3.1.10) denklemleri kullanılarak
çarpımı -formların toplamı olarak açılabilir:
∑
∑
.
Bu son ifade (7.6.2) ya da (7.6.3)’de tanımlanan çarpımların terimlerindeki -form
bileşenlerini verir:
∑
,
e
.
(7.6.8)
Denklem 7.6.8., C
,
özel durumu için açılırsa aşağıdaki sonuçlar elde edilir:
skaler,
vektör,
tensör,
Tr
Tr
4
4
4
Tr
4
4
Tr
Tr
(7.6.9)
pseudo-vektör,
pseudo-skaler.
Bu homojen form bileşenleri skaler, vektör, tensör, pseudo-vektör ve pseudo-skalerler
olarak bilinirler. Daha önceden de belirtildiği gibi, ’deki spinör temsili bu ikiçizgisellerde
temsilini indükler. Özellikle
vektör temsilini indükler.
Γ ’nın spinör temsili iki-çizgisellerde
Γ ’nın vektör temsili altındaki görüntüsü orthochronous
ortogonal dönüşümlerin grubudur. Bu, örneğin skaler ve pseudo-skaler arasındaki ayrım
parite dönüşümü altındaki davranıştır. Zamanın yönelimini değiştiren Clifford grubunun
elemanlarının vektör temsili, spinör temsilinde bu iki-çizgiselleri indüklemeyebilir.
Bir Dirac spinörünün pseudo-Hermitesel çarpımlarla ilişkili eşleniği
ve
involüsyonlarıyla tanımlanırlar. Ayrıca ek involüsyonları, -çizgisel involüsyonlar olan
ve
da
olan spin-değişmez çarpımlarda tanımlanabilir. Çizelge 7.1.’den;
5
haricinde ise
8 olmadığı durumlarda
,
3
8 ya da
7
1
8 ya
8 durumları
involüsyonu indirgenebilir Clifford cebirlerinin basit bileşenlerinde bir
84
involüsyon indükler.
bir matris bazındaki transpozisyon işlemini belirten bir
involüsyon olsun. ’ye göre bu durumlar aşağıdaki gibi incelenebilir.
ya da
elemanı için
harici durumlar: Bu durumlar için C
’nin her
,
olacak şekilde
(7.6.10)
bağıntısı tanımlanabilir. ’nin simetrisi ise,
(7.6.11)
,
ile tanımlanan kompleks iki-çizgisel çarpımın simetrisiyle belirlenir. Buradaki
ve
,
’nin transpozisyon işlemi yaptığı matris bazının ilk sütununda bulunan Dirac
spinörleridir. ’nin Denklem 7.6.10’daki tanımlanan özelliğiyle
bağıntısı yazılabilir ve matris bileşenleri genellikle yük eşenlik matrisin (charge
conjugation matrix) tanımı olarak alınırlar. Eğer
,
’nin Denklem 7.6.11.’deki
çarpıma göre eşenliği ise,
(7.6.12)
olarak yazılabilir. Bu eşlenik spinöre genelde Majorana eşlenik denir.
ya da
elemanı için
harici durumlar: Bu durumlarda ise, C
,
’nin her
olacak şekilde
(7.6.13)
bağıntısı tanımlanabilir. Bu ise,
verir ve çarpım aşağıdaki gibi tanımlanabilir:
.
,
Denklem 7.6.14’de tanımlanan çarpıma göre
karışıklık olasılığı bulduğundan
(7.6.14)
’nin eşleniği
ile belirtilecektir. Ayrıca
kullanılırken ilgili çarpımın da belirtilmesi yararlıdır.
Kompleks eşlenik işlemi olarak anılan ‘*’ otomorfizmini, ‘ ’ otomorfizminden
ayırmakta dikkatli olunmalıdır. Kompleks eşlenik; imzası ,
uzaydan üretilen gerçel altcebiri değişmez bırakırken,
85
olan gerçel ortogonal
bir matris bazındaki matris
bileşenlerinin kompleks eşlenik işlemi olarak tanımlaşmıştır. Yani
’nın tanımı bir
matris bazının seçimine bağlıdır. Gerçel altcebirin kompleks matrisler cebirine izomorf
olması haricinde; (7.1.3)’de bu iki otomorfizm cebirin her
elemanı için
çarpımının hangi durumlarda
olarak birbiriyle ilişkililendirilmişti ve
1
değerlerinde birini alabileceği görülmüştü. Gerçel altcebir kompleks matrisler cebirine
izomorfsa; yani
3
8 ise, bu durumda kompleksleştirilmiş cebirin
7
kompleks eşlenik işlemi cebirin basit bileşenlerini değiş-tokuş eder. Bu istisnai durum
dışında, iki otomorfizm arasındaki bağıntı kullanılarak
ile gösterilen yük eşlenik
spinor (charge conjugate spinor) tanımlanabilir:
(7.6.15)
Bu ifade Dirac eşlenik ve yük eşlenik matris açısından yeniden yazılabilir. Çizelge 7.1.
ve 7.2.’den;
1
8, ya da
5
’nin tek ve ’nun çift olmadığı durumlarda
(7.6.1) ve (7.6.10) denklemleri kullanılarak
yazılabilir. Kompleks eşlenik
ile sıradeğiştiğinden ve
†
†
olduğundan
ve
yazılabilir. Burada
(7.6.16)
olarak kullanılır. Uygun bir
elemanı seçilerek
olarak ayarlanabilir. Bu durumda (7.6.15) ve (7.6.16)’da verilen
1
ile birlikte yük
eşlenik spinör
=
(7.6.17)
ile tanımlanabilir. Tam olarak aynı yolla, hariç tutulan
3
7
8, ya da ’nin
çift ve ’nu tek olduğu durumlar için Denklem 7.6.15.
(7.6.18)
olarak yazılabilir. Burada kullanılan
(7.6.17) ve (7.6.18) denklemleri
1
5
3
ise Denklem 7.6.7’de verilen eşlenik spinördür.
3
7
8 ile
’nun çift, ya da
8 ile ’nun tek olduğu durumlar için kullanılamazlar. Bu durumlar sadece
7
8 olduğu durumlarda ortaya çıkarlar ve yük eşlenik spinörün
tanımı bu durumların dışındadır.
86
7.7 Majorana Spinörleri
Dirac spinörleri gerçel altcebirin indirgenebilir temsillerini taşıdıkları zaman
indirgenemez altuzayların elemanlarına Majorana spinörleri denir. Bu durumlar gerçel
altcebirin bir gerçel matris cebiri ya da bunun gibi iki cebirin direk toplamı olduğunda
ortaya çıkarlar. Bu Çizelge 3.6.’da ki
0, 1, 2
8 durumlarına karşı gelir. Bu
boyutlarda Dirac spinörlerinin uzayı, yük eşlenik işlemcinin öz-uzaylarına ayrışırlar.
Böylece bir Majorana spinör yük eşlenik işlemcinin bir öz-spinörü olarak yazılabilir:
(7.7.1)
.
Bu son ifade (7.6.17) ya da (7.6.18) denklemleri kullanılarak Dirac ve Majorana
eşlenikleri bakımından yazılabilir.
Çift boyutlarda kompleksleştirilmiş Clifford cebirinin indirgenemez temsilileri çift
altcebirin indirgenebilir temsillerini indükler. Bu durumda spinör temsili, çift altcebirin
iki eşdeğer olmayan yarı-spinör temsiline ayrılır.
çift altcebiri basit bileşenlerine iz-düşürür. Burada
olmak üzere ̌
ya da ̌
i
1
̌ merkezi idempotentleri
hacim -formuyla birlikte ̌
olarak tanımlanmıştır. Eğer
1
bir Dirac spinörüyse, çift
altcebirin indirgenemez dönüşümleri altında altuzaylarına ayrılabilir:
burada
(7.7.2)
yarı-spinörlerine Weyl ya da chiral spinörleri denir. Weyl spinörleri çift altcebirin
bir indirgenebilir temsilini taşıyabilirler. Bu Çizelge 5.1.’de ki
0
8
durumunda ortaya çıkar. Bu durumda gerçel çift altcebir iki gerçel matris cebirinin direk
toplamıdır ve
1
ana cebirin gerçel merkezi idempotentleridir. Denklem
7.7.1’de verilen Majorana koşulu ve 7.7.2’de verilen Weyl koşuluyla birlikte bir Dirac
spinörü gerçel çift altcebirin indirgenemez dönüşümü altında altuzaylarına ayrılabilir.
Bu durumdaki sonuç spinörlere Majorana-Weyl spinörleri denir.
Tek boyutlarda kompleksleştirilmiş Clifford cebirinin indirgenemez temsilleri çift
altcebirinin indirgenemez temsillerini indüklerler. Ayrıca bu temsiller gerçel altcebirinin
bir indirgenebilir bir temsilinide indükleyebilirler. Bu açıkca Çizelge 5.1.’deki
1
8 durumudur. Bu durumda Dirac spinörleri bütün gerçel cebirin indirgenebilir
temsilini taşırlar. Çizelge 5.1.’den
7
87
8 durumunda ise, Dirac spinörleri
gerçel altcebir ve ounu çift altcebirinin indirgenemez temsillerini taşırlar. Bununla
birlikte gerçel çift altcebirin bir indirgenebilir temsilini de taşıyabilirler. Çünkü
8 durumunda
7
C
,
⁄
,
C
⁄
,
olur. Böylece Clifford cebiri için bir matris bazı seçilebilir ve bu bazda
otomorfizmi
basitçe bileşenlerin kompleks eşleniğidir. Ayrıca bu durumda kompleksleştirilmiş cebir
C
indirgenebilirdir ve
,
basit bileşenleri değiş-tokuş eder. Kompleks eşlenik
işlemi olan ‘*’ de cebir bileşenlerini değiş-tokuş eder. Böylece
basit bileşenleri
korur. (6.5.1)’den de; uygun bir bazda matris bileşenlerinin kompleks eşlenik işlemiyle
’ın uyuşuduğu görülebilir. Bir
Dirac spinörü gerçel çift altcebirin indirgenemez
dönüşümü altında spinörlere ayrışabilir:
ve
7.8
(7.7.3)
.
Cebiri
,
Bölüm 3.5.’de C
matris bazındaki
olduğu görülmüştü. Yine aynı bölümde bir
,
transpozisyon involüsyonuyla cebirin
bağıntısı vardı ve burada
ile sıradeğişen 1-formdu. Böylece
bir 2-formdu. Ayrıca
involüsyonu arasında,
karesi 1 olan,
ve
gerçel bileşenlere sahip olmalıdır ve bir 2-form
olduğundan antisimetriktir. Dolayısıyla seçim yapılırken bileşenleri standart simplektik
matrisden
∑
0 1
1 0
burada
,
yazılabilir. Kompleksleştirilmiş cebirin çift altcebiri 2
(7.8.1)
2’li iki kompleks matris
cebirinin direk toplamıdır:
C
Eğer
hacim 4-form ve
.
,
1
merkezi idempotentlerse,
ve
basit cebir bileşenlerinin bazları olurlar. Ana cebirin kompleksleştirilmişi 4
4’lü
kompleks matrisler cebirine izomorftur. Dolayısıyla seçilen matris bazında çift altcebir
blok köşegendir. Böyle bir bazda herhangi bir tek eleman bu blok köşegen dışındaki
bileşenlerde bulunmak zorundadır. Eğer Dirac spinörlerinin uzayı her zamanki gibi
minimal sol idealin birinci sütunuyla özdeşleştirilirse, spinörün üst iki ve alt iki bileşeni
88
çift altcebirin indirgenemezliği altında dönüşürler. Bunlar spinörün tek ve çift
parçalarıdır ve iki eşdeğer olmayan Weyl spinörü şeklindedirler. Bu parçalar bispinör
olarakta adlandırılırlar ve bunlar SL 2,
durum C
için bir {e
,
’nin bir indirgenebilir temsilini taşırlar. Bu
matris bazında blok köşegen elemanları dışında bulunan bir
elamanı kullanılarak aşağıdaki gibi gösterilebilir:
e
(7.8.2)
.
Bu bazdaki köşegen bloklar, köşegen dışı bloklarda olduğu gibi kompleks eşlenikle
ilişkilidirler. Eğer
bu matris bazında transpozu belirtirse,
ve ’nin Denklem 3.5.1.’deki tanım özelliğinden
( çift olduğundan)
bağıntıları yazılabilir. Benzer biçimde
ve
( , ile sıra değiştiğinden)
(
olduğundan)
yazılabilir. Dolayısıyla C
,
’nin her
elemanı için
(7.8.3)
bağıntısı doğrulanır. Eğer
olarak
=
+
bir Dirac spinörü ise,
tek ve çift parçalarının toplamı
şeklinde yazılabilir. Eğer notasyon
(7.8.4)
olacak şekilde kullanılırsa,
,
için
,
yazılabilir. Matris
bazındaki ilk satır doğal olarak ilk sütunun dual uzayıyla özdeşleşir. Eğer
(7.8.5)
ile tanımlanırsalar,
89
,
0,
,
0
bağıntıları sağlanır. ’nin Majorana eşleniği ise,
(7.8.6)
ile tanımlanırsa,
yazılabilir. Şimdi
(7.8.7)
tanıtılırsa, Denklem 7.8.1. ile birlikte
yazılabilir. Bu durumda Majorana eşlenik
yazılabilir ve burada, örneğin,
olur. Bu, indekslerin simplektik matrisin
bileşenleriyle indirildiği anlamına gelir. Eğer
tek ve çift parçaların toplamı olarak
şeklinde yazılan diğer bir Dirac spinörü ise,
çarpımı aşağıdaki gibidir:
.
Böylece Dirac spinörlerinin bu çarpımı Weyl spinörlerinde SL 2,
-değişmez
simplektik çarpımları indükler. Matris bazının herhangi bir elemanı ilk sütunla ilk
satırın çarpımı: e
e e
olarak yazılabilirler. Bu yeni etiketlendirmeyle tüm baz
(7.8.8)
ile ifade edilebilir. Sağ taraftaki noktasız ya da iki noktalı çarpımlar çift iken karışık
noktalı indisler tektir. Kompleks eşlenik altında noktalı bir indeks noktasız bir indeksle
yer değiştirir ve bunun terside geçerlidir. Ayrıca bu terimlerin
vardır. Örneğin
90
altında basit özellikleri
ve benzer biçimde bütün küme
(7.8.9)
yazılabilir. Eğer
herhangi bir gerçel tek form ise
olarak yazılabilir. Dolayısıyla eğer
bir 1-form ise,
altında çift ve
’olur.
Bu, bileşenlerin bir anti-Hermitesel matris olarak düzenlenebileceği anlamına gelir.
Özellikle 1-formlar matris bazında
olarak açılabilir. Anti-Hermitesel matrisler,
, ‘vektör’ ve ‘rank-iki spinör’
arasındaki uyuşumu verir. Benzer biçimde bir gerçel 3-formun bileşenleri de bir
Hermitesel matris şeklindedir. Eğer
yazılabilir ve bu
gerçel ve çift ise,
altında tek olmayı gerektiren bir 2-forma eşdeğerdir. (7.8.9)’dan
devam edilirse,
olur. Açık olarak 0-form ya da 4-formun bileşenleri
antisimetrik matris şeklinde olmalıdır. Bu durumda
ve
ve
ilkeli için
i
olur. Bu ise
olduğundan
olacak şekilde tanıtılır ve
Böylece doğrudan
i
verir. Ayrıca
yazılabilir. Eğer ters matris
antisimetrikse, bir kompleks
2 Re iken
için
2 Imλz olduğu görülebilir.
91
olur.
8. SONUÇ VE TARTIŞMA
Bu tez çalışmasında; önce tensör cebiri ve tamamen antisimetrik tensörlerin cebiri olan
dış cebir incelenmiştir. Keyfi bir sayı alanı üzerinde Clifford cebirlerinin nasıl
kurulduğu gösterildikten sonra gerçel sayılar cismi için gerçel Clifford cebirleri
incelenmiştir. Kompleks sayı alanı üzerinde Clifford cebirleri de kurularak incelenmiş
ve kompleksleştirilmiş gerçel Clifford cebirinin temsillerinden Dirac tipi ve Majorana
tipi spinörler tanıtılmıştır. Ayrıca Clifford grubu ve bu grubun altgrupları olan Pin ve
Spin grupları incelenmiş ve bunların ortogonal grup ve altgruplarının örtme grupları
olduğu vurgulanmıştır.
Fizik ve matematikte önemli bir yeri olan spinörler, Clifford cebirlerinin minimal sol
ideallerdir. Clifford grubu ile çift altcebirin spinör temsilleri verildikten sonra minimal
sağ ideal temsilleriyle minimal sol ideallerde olası tüm iç-çarpımların sınıflandırılması
yapılmıştır. Tüm bu sınıfların spin-değişmez iç-çarpımların adjoint (ek) involüsyonları
belirlenmiş ve Clifford cebirinin standart involüsyonlarının çarpım sınıfları verilmiştir.
Yapılan bu tez çalışmasında temel amaç; kuramsal fiziğin pek çok alanında ve
matematikte sıklıkla kullanılan Spin, Pin ve Spin+ gruplarını anlamak ve aralarındaki
ilişkileri belirleyerek, spinör kavramını da yine Clifford cebirleri yapısı içinde
incelemektir. Bu tezde ilgili cebir ve gruplarla ilgili pek çok örnek verilmiş fakat;
elektrodinamik, kütle çekim ve alan teorisindeki uygulamalara hiç girilmemiştir. Ayrıca
uygulama açısından önemli düşük boyutlu bazı Clifford cebirleri ve karşılık gelen
Clifford grupları daha ayrıntılı incelenebilirdi. Son yıllarda Clifford grupları ve (bu
tezde hiç değinilmeyen) üniter temsilleri, geleneksel uygulama alanları dışında özellikle
kuatum bilişim kuramında sıkça kullanılmaktadır. Bu tezde yapılanlar ancak böyle
uygulamalarla gerçek değerini bulacaktır.
92
KAYNAKLAR
Açık, Ö., 2004. Clifford cebirleri ve fizikteki uygulamaları. Yüksek lisans tezi. Ankara
Üniversitesi, 98 s., Ankara.
Baker, A. 2002. Matrix groups an introduction to Lie group theory. Springer, 330 s.,
London.
Chevalley, C. 1997. Algebraic theory of spinors and Clifford algebras. Springer, 214 s.,
Berlin.
Carmeli, M. and Malin, S. 2006. Theory of Spinors. World Scientific, 212 s., Singapore.
Francis, M. R. and Kosowsky, A. 2005. The construction of spinors in geometric
algebra. Annals of Physics, 317, 383–409.
Benn, I. M. and Tucker, R. W. 1988. An introduction to spinors and geometry with
applications in Physics. Adam Hillger, 372 s., England.
Lounesto, P. 2003. Clifford Algebras and Spinors. Cambridge University Press, 338 s.,
Cambridge.
93
EKLER
Ek1: Tensör Cebirinin Bir Bölüm Cebiri Olarak Dış Cebir
95
Ek2: Tensör Cebirinin Bir Bölüm Cebiri Olarak Clifford Cebiri
96
Ek3:
,
Cebirinin Basitliği
97
Ek4: Wedderburn Ayrışım Teoremi
99
Ek5: Bazı Yardımcı İzomorfizmler
101
Ek6:
102
Grubunun Bağlantılılığı
Ek7: Grup ve Cebir Temsilleri
104
Ek8: Basit Bir Cebirin İnvolüsyonları Arasındaki İlişki
106
94
Ek1: Tensör Cebirinin Bir Bölüm Cebiri Olarak Dış Cebir
V bir
cismi üzerindeki bir vektör uzayı ve T V de bu uzay üzerinde oluşturulan
tensör cebiri olsun. Buna göre
bir vektör,
ve
de tensörler olmak üzere, elemanları
şeklinde tensör cebirinin bir ideali I olsun. Bu durumda dış cebir tensör cebirinin bir
bölüm cebiri
Λ(V) = T V ⁄I
(E1.1)
olarak tanımlanır ve Λ(V) ile gösterilir. Yani Λ(V)’nin elemanları T V ’nin eşdeğerlik
sınıfları olup bu sınıflar;
~
(E1.2)
I
şeklindeki eşdeğerlik bağıntısıyla tanımlanırlar.
ve
tensör,
da
cisminin elemanı
olmak üzere, dış cebirin vektör uzayı yapısı aşağıdaki gibi gösterilir:
(E1.3)
(E1.4)
b,
.
I tensör cebirinin
g
-dereceli bir altuzayıdır. Dolayısıyla dış cebir,
-derecelenmesini
g olacak şekilde tensör cebirinden miras alır. I ideali ,
ve
işlemleri
altında korunur. Dolayısıyla bu işlemler
,
(E1.5)
ve
olacak şekilde dış cebir üzerine genişletilebilirler.
V’nin ,
vektörleri için
yazılabilir. Denklemdeki kıvrık parantez içindeki terimler I’nın elemanları olduğundan
(E1.6)
~
bağıntısı sağlanır. Bu
b
anlamına gelir. Daha genel olarak I ideali
yazılabilir. Bu nedenle her
gönderiminin çekirdeğidir. Dolayısıyla
vektörü ve
dış-formu için
.
~
bağıntısı yazılabilir. Böylelikle tensör cebirinin;
(E1.7)
gönderimimin çekirdeği olan I
idealine göre bölüm cebirinin, dış cebir ile olan ilişkisi kısaca gösterilmiş olunur.
95
Ek2: Tensör Cebirinin Bir Bölüm Cebiri Olarak Clifford Cebiri
Üzerinde dejenere olmayan simetrik bir
metriği tanımlanmış bir vektör uzayı V ve
elemanları,
,
şeklinde tensör cebirinin bir ideali olsun. Burada
Clifford cebiri C V,
bir vektör
ve
de tensörlerdir.
ile gösterilen tensör cebirinin bir bölüm cebiri olarak
T V ⁄
C V,
(E2.1)
ile tanımlanır. Burada Clifford cebir çarpımı ‘ ’ notasyonuyla gösterilip,
(E2.2)
bağıntısını sağlar.
ideali -dereceli bir altuzay olmadığından, Clifford cebiri de
dereceli değildir. Fakat
altuzay olduğundan,
miras kalır.
,
de
ideali ,
tensör cebirine göre
-dereceli homojen bir
-derecelidir. Bu nedenle Clifford cebirine
ve
-
2-derecelenmesi
işlemleri altında korunduğundan, Clifford cebiri içinde de
bu işlemler aynı sembollerle üretilirler. V’nin ,
vektörleri için
,
–
,
,
,y
yazılabilir. Denklemdeki kıvrık parantez içindeki terimler ’nin elemanları olduğundan
~
eşdeğerliği sağlanır.
,
-form ve
,
(E2.3)
de 1-form (vektör) olmak üzere daha genel
eşdeğerlik:
~
~
,
bağıntılarıyla tanımlanır. Burada ,
,
elemanındır ve
’ya
(E2.4)
(E2.5)
,
ile tanımlanan V’nin dual uzayının
’in metrik duali denir. Sonuç olarak dış formlar uzayının baz
elemanlarının eşdeğerlik sınıfları Clifford cebiri için de baz oluştururlar. C V,
bölüm
uzayının sınıf temsilcileri dış formlar olup, yapı olarak dış formlar uzayı ile aynı
yapıdadır. ‘ ’ çarpımıyla dış formların uzayını Clifford cebirine dönüştürmenin doğal
bir yolu vardır. Eğer
ve
dış formlarsa, bu dış formların ‘ ’ çarpımı
ile tanımlanabilir. Böylece Clifford cebiri tensör cebirinin bir bölüm cebiri
olduğu kısaca gösterilmiş olunur.
96
Ek3:
Cebirinin Basitliği
,
Merkezi; birimin gerimi olan cebirlere, merkezi basit (central simple) cebirler denir.
C
,
cebirinin merkezi birim tarafından gerildiğinden, C
cebirdir. Dolayısıyla C
merkezi basit bir
,
indirgenebilir bir cebir değildir. Eğer cebir indirgenebilir
,
bir cebir olsaydı cebirin birimi bileşen cebirlerin birimleri toplamı şeklinde yazılabilirdi.
Dolayısıyla bileşen cebirlerin birimleri anacebirin merkezinde olmak zorundadır.
C
,
cebiri indirgenebilir olmadığından Wedderburn Yapı Teoremine (bakınız Ek4)
göre ya bir radikali vardır ya da basittir. C
’nin bazının 1,
,
’ye izomorf olan cebirleri gererler. 1,
durumda C
,
’nin
ve 1,
altkümesi ise,
altkümeleri
’ye izomorftur. Bu
’ye izomorf olan altcebirlerinden birinde yazılacak
ortogonal idempotenlerle cebir iki tane sol idealin toplamı biçiminde yazılabilirdi.
Örneğin aranılan iki idempotent
ve
1
1
olarak seçilirse,
C
yazılabilirdi.
C
,
ve
C
,
,
olduğundan
bir baz olurdu. Benzer şekilde C
sol ideali içinde
,
Bu durumda bu yeni bazlara göre C
Yeni bazlara göre yazılan C
,
kümesi C
,
,
,
kümesi bir baz olurdu.
,
’nin çarpım tablosu aşağıdaki gibi olurdu.
için çarpım tablosu
0
0
0
0
0
0
0
0
Tablodan da anlaşılacağı gibi C
,
ve C
,
idealleri minimaldir. Yani
kendilerinden daha küçük boyutlu sol idealler içermezler. Bu durumda
idempotentlerdir. Eğer
sol ideali için
ilkel olmasaydı
ve
ilkel
ortogonal idempotentlerin toplamı
şeklinde yazılabilirdi. Bu durumda
97
C
C
,
yazılabilirdi. Eğer bazı
ve
C
,
,
elemanları için
olsaydı,
ve
ortogonal
0 olurdu. Bu durumda
idempotentler olduğundan
0
olmalıdır. Böylece toplam direk vektör uzayı toplamı olur. Sonuç olarak
değilse, C
sol ideali daha küçük boyutlu sol ideallerin toplamı şeklinde
,
yazılabilirdi ve bu C
C
I olsun. Bu durumda
yönlü ideali ve
biçimde
ideal C
C
,
’nin minimal olmasıyla çelişirdi.
,
’nin iki yönlü bir ideali olup olmadığı sorusu önemlidir. I, C
,
ilkel
olarak yazılabilir.
, C
,
C
C
ve
,
olmalıdır. Eğer
vardır ve dolayısıyla
0 ise,
ve
de I’nın içindendir. Fakat
yine cebirin içinde kalacağından, iki yönlü I ideali C
cebirin kendisidir. Bu da C
,
,
ile kurulacak sol
elemanı
’in ’dan dolayı I’nın
olacak şekilde bir
ve
,
’in sağdan
ile çarpımı
’nin kendisine eşittir. Eğer
’nin iki yönlü idealleri, sıfır ve
’nin basit bir cebir olduğunu gösterir.
98
olacak
minimal olduğundan
,
olur. Bu da
0 ise, yine aynı durum geçerlidir. Böylece C
,
olacak şekilde bir
içinde olması gerektiğini gösterir. Benzer şekilde
elemanı olacağından
C
olduğundan
,
tarafından içerilmelidir. Fakat C
,
,
C
’nin bir iki
,
Ek4: Wedderburn Ayrışım Teoremi
bir bölümlü cebir ve
basit bir
de bir toplam matris cebiri olmak üzere,
cebiri ancak ve ancak
İspat: Öncelikle
olduğu varsayılsın. O zaman
∑,
idealinin sıfır olmayan elemanı olsun. O zaman
’de sıfırdan farklı bir katsayı (buna
dolayısıyla ∑
olması
e
verir. Dolayısıyla
e
yazılabilir ve en azından
∑ e
denilsin) vardır. Ancak
e
ve
ve ’nin bir ideal
basittir.
basit ise birim elamanı vardır. { } karşılıklı olarak ortogonal ilkel
Tersine, eğer
idempotentlerin kümesi olmak üzere, birim 1
ise,
’nın bir birimi vardır. ,
1 olur. Bu şu anlam gelir: 1
e
(E4.1)
şeklinde yazılabilir.
∑
şeklindedir. Eğer
altuzaylardır ve çarpım altında kapalı olduklarından cebirleridir. Bu durumda
farklı iki cebrin çarpımı
iki-taraflı bir idealdir ve
olarak yazılabilir.
Dolayısıyla
’nın basitliği
verir ve bu durumda
yazılabilir. Özellikle herhangi bir
olmalıdır. Eğer e
e
e
e e
için
olacak şekilde e
olduğundan e e
’yi içerdiğinden sıfır değildir.
,e
e e
olur.
ve e
,
’in elemanı
elemanları sırasıyla
olarak tanımlanırsa, o zaman
e
ve
de
e
ve
yazılabilir. Bu ise,
e
e
e e
e e e e
verir. Özel olarak e ’ler idempotentlerdir. Fakat
olur. Dolayısıyla
e e
e
’ler ilkel olmak üzere e
sadece bir tek idempotent içerir. Bu nedenle e
Dolayısıyla e ’ler birimi ∑ e
diyelim) gererler. Ayrıca bu
∑
yazılabilir.
1 olan bir toplam matris cebirini (Buna
’nın birimidir.
99
Her
ilkel olduğundan
için
, birimi
olan bir bölümlü cebiridir. Her
’in bir izomorfik kopyasıdır. Eğer
tanımlanırsa,
,
alınırsa,
’nin
e
’den
izomorfizmdir.
için
e
e
için
e
yazılabilir.
ise
,
e
e
e
e e
e
’ya olan bu gönderim açık olarak tersinebilir. Dolayısıyla bir
’deki bütün elemanların
’daki görüntüleriyle direkt toplamı
’in diğer bir kopyası elde edilir. Buna
denilsin. Eğer
ise,
elemanı
…
olarak tanımlanabilir. Buradan
olduğu doğrudan görülebilir.
’nin elemanlarıyla sıradeğişir. Çünkü
∑
e
e
e e
ise,
e
e
e e
e
∑ e
için
e
e
’nin elemanları
e
e
e
bağıntıları doğrulanır. Her
e e
ve dolayısıyla
∑,
e e
e
e
e
’ler
’nin elemanları olmak üzere
e
∑,
,
∑, e
elde edilir. Bu her
e
e e
∑,
e
∑, e
e
için doğru olduğundan,
matris cebiri olmak üzere
ise,
∑
yazılabilir. Böylece
∑,
bir bölümlü cebir ve
de bir toplam
şeklinde yazılabilir. Böylece ispat tamamlanır.
100
Ek5: Bazı Yardımcı İzomorfizmler
cebiri: Bu cebir için 1, i, j, ij kümesi bir baz olarak alınabilir. Burada i ve j
birbiriyle sıradeğişen, i
j
1 özelliğini sağlayan bileşen cebirlerin üreticileridir.
özelliğini sağlayan ortogonal idempotentler
Dolayısıyla 1
1
ve
ij
1
ij
yazılabilir. Bu durumda ,
cebirinin birimidir ve
yazılabilir. Benzer şekilde;
içinde aynı işlemler yapılırsa,
ve
ortogonal
idempotentler olduğundan,
yazılabilir.
,i
kümesi
Benzer şekilde
için bir baz olarak seçilebilirse,
olur.
yazılabilir. Sonuç olarak aşağıdaki izomorfizm sağlanır:
.
(E5.1)
cebiri: Bu cebir içinde 1, z, i, j, k, zi, zj, zk kümesi bir baz olarak alınabilir.
Burada 1, z kümesi: {1, i, j, k} tarafından gerilen kuaterniyon altcebiriyle sıradeğişen
cebiri z, i, j ’den üretilebilir. 1, z
kompleks altcebrin bir bazıdır. Dolayısıyla
altkümesi
’ye izomorf olan merkezi gerer. Eğer 1
e
e
özelliğini sağlayan
ortogonal idempotentler
e
olarak seçilirse, e
je
1
ve e
i
e j ve e
1
i
e j yazılabilir. Yani e ’ler
je
’nin standart bir bazıdır ve dolayısyla aşağıdaki izomorfizm yazılabilir:
.
(E5.2)
cebiri: Bu cebir bir önceki cebir izomorfizm yazılırken yapılan işlemlerin
benzeri yapılarak kurulabilir; ya da izomorf olma geçişme özelliğine sahip olduğundan,
’den doğrudan aşağıdaki gibi yazılabilir:
.
Açık olarak
,
ve
olur.
101
(E5.3)
Ek6:
Grubunun Bağlantılılığı
, Γ grubunun elemanı olsun. ,
’ın ve
’ler de Clifford cebirinin üretici uzayı,
yani V’nin terslenebilir vektörleri olmak üzere,
Burada
katsayısı uygun biçimde ayarlanarak
zaman
ve
…
1 bağıntısı sağlanabilir. O
çift sayıda negatif normlu vektörü içerir. Bu durumda
1 olması gerektiğinden
tarafta toplanabilir. Örneğin
şeklinde yazılabilir.
…
1 olmalıdır. Negatif normlu elemanlar sol
1 ve
1 ise,
ve buradan da
1
yeniden tanımlanarak yok edilebilir.
yazılabilir. Bütün artı ya da eksi faktörler
Böylece
yazılabilir. Buradaki her ,
…
V,
,
(E6.1)
1
biçimindedir. Γ ’nın her elemanının birimle bağlantılı olması için gerek ve yeter şart
olası bütün çarpımlardaki vektörlerin 1’e bağlantılı olmasıdır. Çünkü her için
1
yazılabilir. Eğer
ise,
yazılabilir ve dolayısıyla Γ ’nın 1 ile bağlantılı
olabilmesi içinde öncelikle +1 ile bağlantılı olması gerekir. 2-boyutta bir indefinit
metrik için Γ ’nın Lie cebiri
durumda
’nin her ,
hacim 2-formu tarafından gerilir ve
= 1’dir. Bu
elemanı için
(E6.2)
yazılabilir. Eğer 1, +1 ile bağlantılı olsaydı üstel olarak yazılabilirdi. Fakat
cosh
ve her
için
sinh
0 olduğundan, bu durum mümkün değildir. Bu nedenle 2-
boyutta indefinit metrik için Γ grubu bağlantılı değildir. İstisnai bu durum dışında her
zaman
1 olacak şekilde ortogonal
1 olur ve
,
vektörleri bulunabilir. Böylelikle
1 olduğundan birim eleman
altgrup aracılığıyla bağlantılıdır. Genel bir
gösterilmesine için üç durum söz konusudur:
102
1 ile bir-parametreli
elemanının birimle bağlantısının
(i) Eğer
ve
çizgisel bağımsız, pozitif ya da negatif tanımlı bir metriğe sahip bir
ortogonal düzlemi geren vektörlerse,
,
olduğundan
ortonormal bazı vardır.
cos
yazılabilir. Bu durumda
+1 veya
(ii) Eğer
şekilde bir
ise,
cos
sin
1 olduğundan
olur. Bu
1’in +1’e bağlantılı olduğu
dejenere olmayan bir ortogonal düzlemi
ortonormal bazıyla geriyorlarsa, o zaman
cosh
yazılabilir. Bu bütün
ve
olacak
1 olur. Bu durumda
olmalıdır. Dolayısıyla
sinh
cosh
(iii) Eğer
’nin
birimle bağlantılıdır.
ve
,
ve
sin
1’e bağlantılı olduğunu gösterir. Daha önce
gösterildiğinde,
,
1 olacak biçimde bir
sinh
çarpanlarının birimle bağlantılı olduğunu söyler.
izotropik bir düzlemi geriyor ve
ortogonal bir izotropik vektörse, o zaman
,
bir baz öyle ki
,
’e
ve
1
yazılabilir.
nilpotent olduğundan
ile bağlantılı olduğundan
yazılabilir. Dolayısıyla
1, +1
birimle bağlantılıdır.
Böylece istisnai durum olan iki-boyutta indefinit metrik dışında
Γ
grubunun
bağlantılı bir Lie grubu olduğu gösterildi. İstisnai durum dışında Γ , ortogonal grubun
birimle bağlantılı olan parçasının iki kere örtenidir.
103
Ek7: Grup ve Cebir Temsilleri
Grup temsili: G keyfi bir grup, V de herhangi bir vektör uzayı olmak üzere, G’yi V’nin
V’nin içine gönderen bir homomorfizme G’nin bir temsili
otomorfizm grubu olan
denir. V bu temsilin taşıyıcısıdır ve boyutuna da temsilin boyutu denir. Eğer bu
homomorfizm bire-bir ise, temsile sadık (faithful) denir. Eğer G’nin temsil altındaki
görüntüsü V’nin aşikar-olmayan altuzaylarını değişmez bırakmıyorsa, o zaman temsile
indirgenemez (irreducible) denir. Eğer V, altuzaylarına ayrışabilir ve bu altuzaylar da
G’nin temsili altında değişmez kalırlarsa, böyle bir temsile indirgenebilir (reducible)
denir.
V ve W sırasıyla
şekilde bir
ve
temsillerini taşısınlar ve V’den W’ye izomorfizm olacak
gönderimi olsun. Eğer G’nin her g ve V’nin de her
elemanı için aşağıdaki
diyagram sıradeğişimliyse, bu temsillere eşdeğer (equivalent) temsiller denir.
g
g
g
(E7.1)
g
Cebir temsili:
keyfi bir cebir, V de herhangi bir vektör uzayı olmak üzere
’yı V’nin
V’nin içine gönderen bir homomorfizme
’nın bir
endomorfizm cebiri olan
temsili denir. Cebir temsillerinde de sadık, indirgenmez, indirgenebilir ve eşdeğerlik
kavramları grup temsillerindeki gibi tanımlanırlar.
zamanda bir vektör uzayıdır ve dolayısıyla
olmak üzere,
bir cebir olduğundan aynı
ile ilişkilidir. Bu ilişki;
ve
’nın her d elemanı için
(E7.2)
ile tanımlanır. Eğer ,
’dan End ’ya
(E7.2)
olacak şekilde bir çizgisel gönderimse,
denir. Eğer
her d için
homomorfizmine düzenli (regüler) temsil
’nın birim elemanı varsa, düzenli temsil sadıktır. Çünkü
0 olur.
1 alınırsa,
104
ise,
bulunur. Yani düzenli temsil bire-
birdir. Böylece
’nın her
elemanı için
kümesi, yani
,
’ya eşdeğer bir
cebir yapısındadır. Benzer olarak
(E7.3)
olacak şekilde bir
temsili de tanımlanabilir. Eğer cebirin birim elemanı var ve
(E7.4)
ise;
birleşme
,
’nın ters (opposite) cebirine izomorftur. Böylece
özelliğinden
dolayı,
cebirinin
karşılıklı
altcebirleridir:
.
105
ve
olarak
,
’nın
sıradeğişen
Ek8: Basit Bir Cebirin İnvolüsyonları Arasındaki İlişki
,
üzerinde basit bir cebir ve
merkezindeki
de bu cebirin bir involüsyonu olsun. O zaman cebirin
-simetrik, yani
olan elemanlar bir altcisim oluştururlar. Bu
altcisim ile gösterilsin. Bu durumda aşağıdaki önerme ispatlanabilir:
, üzerinde bir involüsyon olsun. Bu durumda
bağıntısını sağlayacak
(E8.1)
elemanları ancak
şeklindedir.
ve ancak
İspat: Öncelikle
olsun. O zaman
yazılabilir. Eğer
ise,
bir anti-otomorfizimdir. Dolayısıyla,
bir involüsyondur. İç-otomorfizmler merkezin
elemanlarını değişmez bıraktıklarından;
,
üzerinde bir involüsyonsa,
de bir
involüsyondur.
Tersine ,
üzerinde bir involüsyon olsun. O zaman
,
üzerinde bir otomorfizimdir.
Basit merkezli cebirlerin bütün otomorfizmleri bir iç-otomorfizm olduğundan,
g
g bağıntısını sağlayacak bir g elemanı vardır. Yani
g
g
g
g
ve bir involüsyon olduğundan
g g
g
yazılabilir. Yazılan son bağıntı her
Burada
g g
için doğru olduğundan, g g
merkezin bir elemanıdır. Eğer
ise, istenilen özelliğe sahip ’ler
g g
g
yazılabilir.
1 ise, yapacak bir şey kalmaz. Eğer değil
g
g 1
şeklindedir. Açık olarak böyle
elemanlarının seçimi, bir merkez elemanı katsayısı çarpımı farkıyla belirlenir. Böylece
ispat tamamlanmış olur.
106
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı: Özcan Canbay
Doğum Yeri: Malatya
Doğum Tarihi: 14.04.1980
Medeni Hali: Bekar
Yabancı Dili: Almanca, İngilizce
Eğitim Durumu
Lise
: Malatya Yeşiltepe Lisesi 1996
Lisans
: Hacettepe Üniversitesi Fizik Öğretmenliği 2003
107