matematik-2 - WordPress.com

1-FONKSĠYONLAR
Uygulamalı bilimlerde değiĢebilen büyüklükler arasında bazı bağıntıların bulunması, bazı
olayların incelenmesini oldukça kolaylaĢtırır. Örneğin belli sıcaklıkta tutulan bir gazın basıncı, bu
gazın kapladığı hacme ve bu hacimdeki moleküllerin sayısına sıkıca bağlıdır. Benzer olarak bir
iletkenin direnci o iletkenin sıcaklığına bağlılığına ve bir hareketlinin aldığı yolun o hareketlinin
hızına ve geçen zamana bağlı olduğunu biliyoruz. ĠĢte bu gibi, hallerde değiĢebilen büyüklükler
arasındaki matematiksel bağıntının sağladığı özelliklerin bilinmesinin oldukça faydalıdır. ĠĢte bu özel
bağıntılar matematikte fonksiyonlar olarak incelenir. Fonksiyonlar konusuna geçmeden önce bazı
temel kavramların bilinmesi faydalıdır. ġimdi bunları sırasıyla görmeye çalıĢalım.
1. SIRALI ĠKĠLĠ :
a ve b herhangi bir nesne olmak üzere yazılıĢ sırası önemli olmak Ģartıyla yazılan
 a, b  ikilisine sıralı ikili denir.  a, b  ikilisin de a ya birinci bileĢen (apsis), b ye ikinci
bileĢen (ordinat) denir. Benzer Ģekilde  a, b, c  sıralı üçlü ve  x1 , x2 , x3 ,..., xn  sıralı n  li
olarak tanımlanabilir.
 a, b  ve  c, d  iki sıralı ikili olmak üzere  a, b    c, d   a  c ve b  d
dir.
Örnek :
1.
1,3 ,  1, 4 , 

2, 3 5 , 10.34,  4.456  sıralı ikili


adı , soyadı  ,  adı , soyadı  ,  adı , soyadı  sıralı ikili
 Mehmet
ŞEKERCĠ   Kemal YILDIZ   Bülent DAĞGEZ 

3.  Kemal , ÇalıĢkan, Malatya,  ,  Mustafa , Eren, Kayseri  sıralı üçlü ye örnek verilebilir.
2.
2- KARTEZYEN ÇARPIM :
A ve B boĢ kümeden farklı olmak üzere, birinci bileĢeni A da ve ikinci bileĢeni B de olmak
üzere oluĢturulan tüm sıralı ikililer kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir. A  B
Ģeklinde gösterilir. Buna göre,
A  B   x, y  / x  A ve y  B dir.
1
Örnek :
A  {1, 2} ve B  {a, b, c} ise A  B  {1, a  , 1, b  , 1, c  ,  2, a  ,  2, b  ,  2, c }
E  x, y, z ve F  2,8,10 ise
E  F   x, 2  ,  x,8 ,  x,10  ,  y, 2  ,  y,8 ,  y,10  ,  z, 2  ,  z,8  ,  z,10  ve
F  E   2, x  ,  2, y  ,  2, z  , 8, x  , 8, y  , 8, z  , 10, x  , 10, y  , 10, z  dir.
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
1. Sıralı ikililerde elemanların yazılıĢ sırası önemli olduğundan A  B  B  A dır.
2.
 A, B, C kümeleri için  A  B   C  A   B  C  dir. Kartezyen çarpımda birleĢme
özelliği vardır.
3. Kartezyen çarpımın eleman sayısı, verilen kümelerin eleman sayıları çarpımına eĢittir. Yani,
S ( A  B)  S ( A)  S ( B)
4.
A herhangi bir küme olmak üzere, A  A  A2 , A  A  A  A3 Ģeklinde yazılabilir.
Özel olarak, A  (  Reel sayılar kümesi ) olsun.   2 ( 2-boyutlu reel uzay) ve
 

3
( 3- boyutlu reel uzay )
Kartezyen Çarpımın grafiği :
Örnek :
A  {1, 2,3} , B  {2, 4,6,8} olsun. A  B nin grafiğini çiziniz.
2
8


6

4



2



1
2
3
A  B nin grafiği


Örnek :
A  1,5 , B  2,3, 4 kümeleri için A  B nin grafiğini çiziniz.
4
3
2
1
5
Örnek :
A   2,5 ve B   1,3 kümeleri için A  B nin grafiğini çiziniz.
3
3
1
2
5
NoT: Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi ,
1. Kümelerin ikiside sonlu ise grafik noktalarla gösterilebilir.
2. Kümelerden sadece biri sonlu ise grafik doğru parçalarıyla,
3. Kümelerin ikiside sonsuz ise grafik dikdörtgensel bölge ile gösterilir.
3- BAĞINTI :
A ve B boĢ kümeden farklı iki küme olsun. A  B nin her bir alt kümesine A dan B ye bir
bağıntı denir. A  A nın her alt kümesine A da bir bağıntı denir. Bağıntı  sembolüyle gösterilir.
Ayrıca bağıntı kümelerde olduğu gibi üç farklı Ģekilde gösterilir.
1. Liste biçiminde
2. ġemayla
3. Ortak özellik yöntemiyle gösterilir.
Örnek :
A  {1, 2,3, 4} ve B  {a, b, f } olsun. A dan B ye birkaç bağıntı yazınız. Öncelikle A  B
kümesini yazarak bu kümenin birkaç alt kümesini alalım.
A  B  1, a  , 1, b  , 1, f  ,  2, a  ,  2, b  ,  2, f  , 3, a  , 3, b  , 3, f  ,  4, a  ,  4, b  ,  4, f 
1  1, a  , 1, b  , 1, f  ,  2, a 
 2   3, a  ,  4, a  ,  4, b  ,  4, f 
3   2, b 
4  
5  A  B
.
.
.
4
Yukarıdaki bağıntıların yazılıĢ Ģekli liste biçimidir.
Örnek :

.a
.1
.2
.3
.4
.6
.7
.4
. 2
A
B


Yukarıdaki Ģemaya göre A  1, 2,3, 4 ve B  a, 4,6,7, 2 ve   1,7  ,  2, 4  ,  3,6  ,  4, 2 
dir.
Örnek :

.a
.c
.b
A
Yukarıda A kümesinde bir  bağıntısı verilmiĢtir.  bağıntısı liste biçiminde  
 a, c  , b, b 
olarak yazılabilir.
Örnek :
A  {1, 2,3, 4,5, 6, 7} olamk üzere A da  bağıntısı   { x, y  / x  y  5} Ģeklinde
tanımlanıyor.  bağıntısını liste biçiminde yazalım.
  1,1 , 1, 2  , 1,3 ,  2,1 ,  2, 2  , 3,1 olarak yazılabilir.
5
4- TERS BAĞINTI
 , A dan B ye bir bağınyı olmak üzere  bağıntısına ait tüm sıralı ikililerin
bileşenlerinin yer değiĢtirmesiyle oluĢan yeni bağıntıya  nın ters bağıntısı denir.
 1 ile gösterilir. 1 bağıntısı B den A ya olan bir bağıntıdır.
Örnek :
A  a, b, 2 ve B  1, 2, c, f  olsun.  =  a,1 ,  b, c  ,  2, 2  ,  2, f

ise
 1 = 1, a  ,  c, b  ,  2, 2  ,  f , 2  dir.
5- FONKSĠYON
A   ve B   olmak üzere iki küme olsun. f , A dan B ye bir bağıntı olmak üzere f bağıntısı
aşağıdaki Ģartları sağlıyor ise f ye A dan B ye bir fonksiyon denir.
f : AB
x  y  f ( x) şeklinde gösterilir.
1  A kümesindeki her elemanın B de bir karĢılığı vardır.
2- A kümesindeki herhangi bir eleman B kümesinde sadece bir elemana karşılık gelir.
f :A B
x  y  f ( x) yazılıĢında
A  tanım kümesi, x bağımsız değiĢken
B  Değerler kümesi, y bağımlı değiĢken
A kümesindeki tüm elemanların görüntülerinin oluĢturduğu kümeye f ( x) in görüntü kümesi denir.
Ve f ( A) Ģeklinde gösterilir. Fonksiyonlar genel olarak f , g , h,... gibi küçük harflerle, değiĢkenler ise
x, y, z,... harfleriyle gösterilir.
6
Bir fonksiyonun iyi tanımlı olması için üç Ģeyin verilmiĢ olması gerekir.
1. Tanım Kümesi
2. Görüntü veya değerler kümesi
3. EĢleĢtirme kuralı
Tanım kümesinin her bir elemanını değer kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eĢleyen kural
herhangi bir Ģekilde verilebilir. den ye olan bir fonksiyonun eĢleĢtirme kuralını
''her sayıya karesini karĢılık getirme'' olarak alabiliriz. Bu Ģekilde tanımlanan bir fonksiyon
f : x  x 2 veya y  x 2 Ģeklinde yazılabilir.
x, f ( x) ve f farklı Ģeylerdir. x tanım kümesinin elemanı, f ( x) değerler kümesinin
elemanı ve f de bir eĢleĢtirme kuralıdır.
f
x
A
y  f ( x)
B
Eğer bir f fonksiyonunun tanım ve değerler kümesi reel sayılar kümesinin bir alt
kümesi ise , f ye reel değiĢkenli ve reel değerli fonksiyon denir.
f ( x)  0 eĢitliğini sağlayan x elemanlarına f fonksiyonun sıfır yerleri denir.
f ve g aynı küme üzerinde tanımlı fonksiyonlar ve bu kümenin x elemanı için
f ( x)  g( x) ise f ve g fonksiyonlarına eĢit fonksiyonlar denir.Ve f  g Ģeklide yazılır.
Örnek :
f .g :

Çünkü, x 
ve f ( x)  x 2  1 ve g ( x)   x  1 x  1 fonksiyonları eĢittir.
için x 2  1   x  1 x  1 dir.
FONKSĠYONLARDA ARĠTMETĠK ĠġLEMLER
f ve g iki fonksiyon olsun.
7
1   f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)
2   f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)
3   f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)
 f 
f ( x)
4    ( x) 
, g( x)  0
g ( x)
g
5   c  f  ( x)  c  f ( x) , c  şeklinde tanımlanır.
Örnek :
f ,g :

ve f ( x)  x 2  x , g ( x)  2 x  3 olsun.
 f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)  x 2  x  2 x  3  x 2  x  3
 f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)  x 2  x   2 x  3  x 2  x  2 x  3  x 2  3x
 f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)   x 2  x    2 x  3  2 x3  3x 2  2 x 2  3x  2 x 3  x 2  3x
 f 
f ( x) x 2  x
(
x
)


, g( x)  2 x  3
 
g ( x) 2 x  3
g
 4  f  ( x)  4   x 2  x   4 x 2  4 x
Tanım :
f : A  B bir fonksiyon olsun. G   x, f ( x)  / x  A   A  B kümesine
f fonksiyonunun grafiği denir.
f nin grafiği
y  f ( x)

A B
x
Örnek :
8
f :  ve f ( x)  x 2  2 fonksiyonunun ;
Tamın kümesi  Doğal sayılar kümesi 
Değerler Kümesi  reel sayılar kümesi 
2 sayısının görüntüsü  f (2)  22  2  2
(3) sayısının görüntüsü  f (3)  (3) 2  2  9  2  7 olacaktır.
Örnek :
f:
/2
f (4) 
/ 3 ve f ( x) 
3x  a
fonksiyonuna göre f (4)  1 ise a =?
x2
3 4  a
12  a
1
 1  12  a  2  a  12  2  10 dur.
42
2
FONKSĠYONLARLA ĠLGĠLĠ TANIMLAR
Sabit Fonksiyon:
f : A  B ye bir fonksiyon olmak üzere f ( x ) fonksiyonu, x  A için f ( x)  c  sbt
şartını sağlarsa f ( x) fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
f ( x)  4 , g ( x)  6 , h( x)  2 , l ( x) 
2
fonksiyonları birer sabit fonksiyondur.
3
y

0
-4
y4
x
x

y  2
9
1. Birim Fonksiyon :
A  B ve f : A  B tanımlı bir fonksiyon olmak üzere f ( x)  x fonksiyonuna birim fonksiyon denir.
Birim fonksiyon bazen I x ile de gösterilebilir.
yx
yx
2. Birebir Fonksiyon :
f : A  B ye tanımlı bir fonksiyon olsun. f ( x) fonksiyonuna göre farklı elemanların
görüntüleride farklı ise veya görüntüleri aynı olan elemanların kendileri de eĢit ise
f ( x) fonksiyonuna birebir fonksiyon denir.
Bu tanıma göre,
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) oluyorsa veya f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 ifadelerinden birisi
doğru olmalıdır.
ġekil yardımıyla vermeye çalıĢalım.
g
f
.1
.a
.2
.b
.c
.3
.4
f birebir
.a
.b
.c
.1
.2
.3
.4
g birebir değil
10
Örnek :
f:

ve f ( x)  3x  1 fonksiyonu birebir midir?
Çözüm :
 x1  x2  3x1  3x2  3x1  1  3x2  1  f ( x1 )  f ( x2 ) dir.
O halde f ( x) fonksiyonu birebirdir.
Örnek :
f:

,
f ( x)  x2  4 fonksiyonu birebir midir?
Çözüm :
 x1  x2 olduğunda x11  x2 2 olarak yazılamayacığından f ( x)  x 2  4
fonksiyonu birebir değildir.
4- Örten Fonksiyon :
Görüntü kümesi değerler kümesine eĢit olan fonksiyona örten fonksiyon denir. Yani,
f : A  B fonksiyonu örten ise f ( A)  B dir.
Ayrıca , y  B için y  f ( x) şartını sağlayan x  A varsa f ye örtendir denir.
f
x
y
A
x
A
B
f ( A)  B olduğundan f örten değil
f ( A)
f
f ( A)
y
B
f ( A)  B olduğundan örten
Örnek :
f:

,
f ( x)  x4 fonksiyonu örten midir?
Çözüm :
Fonksiyonun değerler kümesi
dir. Fakat f ( x) in görüntüsünde negatif sayı yoktur.
Fonksiyonun görüntü kümesi ile değerler kümesi birbirinden farklı olduğundan f ( x) örten
değildir. f ( ) 
dir.
11
Örnek :

f:
, f ( x)  x  5 fonksiyonu örten midir?
Çözüm :
y  için  x 
y  3  x  2
y  2  x  7
.
.
olacağından f ( x) fonksiyonu örtendir.
Yani y için enaz bir x 
vardır.
Örnek :
f ,g :

, f ( x)  x 2 , g ( x)  2 x  1 fonksiyonlarını inceleyiniz.
Çözüm :
y
y  x2
0
x


1
2
x
 -1
f ( x)  x2 fonksiyonu içine fonksiyon , g( x)  2 x  1 fonksiyonu örten dir.
5- Ters Fonksiyon :
y  f ( x) birebir ve örten fonksiyon olsun. y  f ( x ) fonksiyonu ile tanım kümesindeki eleman
belli iken bu elemanın görüntüsü olan değerler kümesindeki eleman bulunabilir.
Değerler kümesindeki eleman belli iken görüntüsü bu eleman olan tanım kümesindeki elemanı
bulmamızı sağlayacakfonksiyon y  f ( x ) fonksiyonunun ters fonksiyonudur. ve f 1 ( x ) ile
gösterilir.
12
f
y  f ( x)
x
f 1
NoT:
1. Sadece birebir ve örten fonksiyonların tersleri vardır.
2. f (a)  b  f 1 (b)  a
3. y  f ( x) ifadesi y bilinmeyenine göre çözülmüĢ denklemdir. Bu denklemi x bilinmeyenine
göre çözdüğümüzde f ( x) fonksiyonun tersi olan f 1 ( x) fonksiyonunu buluruz.
Örnek :

f:
ve y  f ( x)  5x  3 fonksiyonunu tersini bulunuz.
Çözüm :
y 3
y 3
 x x
5
5
Şimdi burada x ve y nin rollerini değiĢelim.
y  5x  3  y  3  5x 
y
x3
x3
 f 1 ( x) 
dir.
5
5
Örnek :
f:
/ 2 
/ 3 ve y  f ( x) 
3x  1
fonksiyonun ters fonksiyonunu bulunuz.
x2
Çözüm :
3x  1
3x  1
y
 y   x  2   3x  1
x2
x2
yx  2 y  3x  1  yx  3x  2 y  1  x  y  3  2 y  1
y  f ( x) 
2 y 1
olarak yazılır ve değiĢkenlerin rolleri değiĢtirilir.
y 3
2x 1
2x 1
Yani, y 
 f 1 ( x) 
dir.
x3
x3
x
13
Örnek :
f ( x)  2 x 1  3 fonksiyonu için f (2)  f 1 (19) toplamını bulunuz.
Çözüm :
f (2)  221  3  5
f 1 (19)  b  f (b)  19 olarak yazılabilir.
f (b)  2b 1  3  19 
2b
2b

3

19

 19  3
21
21
 2b  2 16
 2b  32
 2b  25
 b  5 bulunur.
f (2)  f 1 (19)  5  5  10
6- BĠLEġKE FONKSĠYON
f : AB
x  y  f ( x)
g :B C
y  z  g ( y)
birer fonksiyon olmak üzere,
g f : AC
x  z   g f  ( x)
fonksiyonuna g ( x) ile f ( x) in bileĢke fonksiyonu denir.
BileĢke fonksiyon iki ayrı fonksiyonla elde edilen sonucu tek bir fonksiyonla elde etmemizi
sağlar.
g
f  ( x) fonksiyonu , g ( x) fonksiyonunda x yerine f ( x) yazmamızla elde dederiz.
g
f
x
A
y  f ( x)
B
z  g ( f ( x))
C
( g f )( x)
14
Örnek :
f ,g:
f

ve f ( x)  2 x  3 ve g( x)  5 x  2 olsun.
g   ? ve  g f  yi bulunuz.
Çözüm :
f
g
g   f  g ( x)   f  5 x  2   2   5 x  2   3  10 x  4  3  10 x  1
f   g  f ( x)   g  2 x  3  5   2 x  3  2  10 x  15  2  10 x  13
Örnek f :
/ 1 
/ 1 ve f ( x) 
x
fonksiyonu için  f
x 1
f  ( x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm :
f
x
x
x
x 1 x
f  ( x)  x  1 = x  1 =

=  x bulunur.
x
x  x 1 x 1 1
1
1
x 1
x 1
BĠLEġKE FONKSĠYONLARIN ÖZELLĠKLERĠ
f
1.
g  g f 
Fonksiyonlarda bileĢke iĢleminin değiĢme özelliği yoktur.
f  g h    f g  h Fonksiyonlarda bileĢke iĢleminin birleĢim özelliği vardır.
Bir fonksiyonun birim fonksiyonla bileĢkesi kendisine eĢittir.
f I I f  f
1
1
Bir fonksiyonla tersinin bileĢkesi birim fonksiyona eĢittir.
f f f
f I
2.
3.
4.
Örnek :
f ( x)  4 x  2 ve  f g   8x  6 ise g( x)  ?
Çözüm :
I.Yol :
f
g  ( x)  f (g( x))  8 x  6  4  g ( x)  2  8 x  6  2  4  g ( x)
 4  g ( x)  8 x  4  g ( x) 
8x  4
4
 g ( x)  2 x  1 dir.
15
II. Yol :
f g  h diyelim. Burada f ve h belli iken g fonksiyonu bulunacaktır.
Eşitliğin her iki yanına f 1 fonksiyonunun bileşkesini ekleyelim.
f 1 f g  f 1 h  ( f 1 f ) g  f 1 h
 I g  f 1 h
 g  f 1 h olarak yazılır.
O halde öncelikle f 1 ( x) fonksiyonunu bulmamız gerekir.
f ( x)  4 x  2  f 1 ( x) 
x2
4
 g ( x)  f 1 ( h( x))  f 1 (8 x  6) 
 g ( x) 
8x  6  2
4
8x  4
 2 x  1 bulunur.
4
Örnek :
g ( x)  2 x  3 ve  f g  ( x)  6 x  5 ise f ( x)  ?
Çözüm :
f g  h diyelim. Eşitliğin her iki yanına g 1 fonksiyonunu soldan ekleyelim.
f ( g g 1 )  h g 1  f I  h g 1  f  h g 1 dir.
x 3
bulunur.
2
x 3
x 3
f ( x)  h(g 1 ( x))  h(
) 6
 5  3  ( x  3)  5  3x  4
2
2
g ( x)  2 x  3  g 1 ( x) 
Örnek :
f (4 x  1)  8x  9 ise f ( x)  ?
Çözüm :
g ( x)  4 x  1  g 1 ( x) 
f ( x)  8 
x 1
4
x 1
 9  f ( x)  2 x  2  9  2 x  7
4
16
Örnek :
f ( x)  3x  2 , g ( x) 
1
ve h( x)  f ( x)  g( x)  4 g ( x) olduğuna göre
x2
h(2)  ?
Çözüm :
 1 
 1 
h(2)  f (2)  g(2)  4 g (2)   3  2  2   
  4

 22
 22
1
1
h(2)  8   4   2  1  1
4
4
Örnek :
f ( x)  2 x 3 ise
f ( x  2)
 f (7) olduğunu gösteriniz.
f ( x  2)
Çözüm :
f ( x  2) 2 x  23 2 x 1
 x  23  x 5  2 x 1 x 5  24 olarak bulunur.
f ( x  2) 2
2
f ( x  2)
f (7)  2 x 3  27 3  24 tür. O halde
 f (7) dir.
f ( x  2)
Örnek :
f ( x)  3x  1 ise
f ( x  h)  f ( x )
işleminin sonucunu bulunuz
h
Çözüm :
f ( x  h)  f ( x) 3( x  h)  1  (3x  1) 3x  3h 1  3x  1


h
h
h
^
3h

 3 tür.
h
17
Örnek :
f ( x)  ax  b ve  f
f  ( x)  9 x  8 denklem sistemini sağlayan f ( x) fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm :
f
f  ( x)  f  f ( x) 
9 x  8  a (ax  b)  b  9 x  8  a 2 x  ab  a dır.
Bu durumda, a  9 ve ab  b  8 olmalıdır.
a  9  a  3
3b  b  8  b  2  f ( x)  3x  2
3b  b  8  b  4  f ( x)  3x  4 bulunur.
Örnek :
f ( x  2)  f ( x)  x  2 ve f (1)  3 ise f (7)  ?
Çözüm :
f ( x  2)  f ( x)  x  2 şeklindeki fonksiyonlara indirgemeli fonksiyonlar denir.
Bu tür sorularda istenilen sonuca ardıĢığı cinsinden yazarak baĢlangıç değerine ulaşmak gerekir.
f ( x  2)  f ( x)  x  2 fonksiyonunda x  5 yazalım. f (7)  f (5)  5  2  I.
x  3 yazalım. f (5)  f (3)  3  2  II.
x  1 yazalım. f (3)  f (1)  1  2  III.
Elde ettiğimiz denklemleri taraf tarafa toplayalım.
f (7)  f (5)  5  2
f (5)  f (3)  3  2
f (3)  f (1)  1  2
f (7)  f (5)  f (3)  f (5)  f (3)  f (1)  3
f (7)  f (1)  3 ve f (1)  3 olduğundan f (7)  0 dır.
18
Tanım :
X
ve f : X 
bir fonksiyon olsun. X in bir A alt kümesinin x1  x2 şartını sağlayan
x1 , x2 elemanları için f ( x1 )  f ( x2 ) ise f fonksiyonu A üzerinden artandır. Eğer, f ( x1 )  f ( x2 )
ise f azalmayandır. Benzer şekilde, bir A alt kümesinin x1  x2 şartını sağlayan
x1 , x2 elemanları için f ( x1 )  f ( x2 ) ise f fonksiyonu A üzerinden azalandır. Eğer, f ( x1 )  f ( x2 )
ise f artmayandır.
f ( x2 )
f
x1


f ( x1 )


x1
f

x2

f ( x2 )
f ( x1 )
f artan
x2
f azalan
Tanım :
Eğer, x  X olduğunda   x   X oluyorsa X kümesine bir simetrik küme denir. Simetrik bir
X kümesi üzerinde tanımlanan bir f fonksiyonu için f ( x)  f ( x) oluyorsa f fonksiyonuna
çift fonksiyon denir. Eğer x  X için f ( x)   f ( x) oluyorsa f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
Örnek :
f ( x)  x 2 olsun. f ( x)  f ( x) ise f çift dir.
x2    x 
2
x 2  x 2 olacağından f çift tir.
g ( x)  x3 olsun. g( x)   g ( x) ise g tek dir.
x3    x 
3
x3   x3 olacağından g tek tir
Tanım :
f : X  Y fonksiyonu reel değerli fonksiyon olsun.
 f ( x) , f ( x)  0
f ( x)  f ( x)  
 f ( x) , f ( x)  0
şeklinde tanımlanan f fonksiyonuna mutlâk değer fonksiyonu denir.
19
Örnek :
f ( x)  x3 ve f ( x)  x3 grafiklerini çiziniz.
Çözüm :
f ( x)  x 3
f ( x)  x 3
f in grafiği x  ekseninin altına düĢmez
Örnekler :
1.
f:
/ {2} 
/ 3 , f ( x) 
3x  m
ve f (1)  1  m  ?
x2
Çözüm :
f (1) 
2.
3 1  m
3 m
1
 1  3  m   1   1
1 2
1
 3  m  1  m  2 dir.
f:

, f ( x)  (a  3) x  2a  1 sabit fonksiyon ise f (8)  ?
Çözüm :
f ( x)  (a  3) x  2a  1 fonksiyonu sabit fonksiyon ise a  3  0
a  3 tür. f ( x)  2  3  1  7 dir. Bu durumda f (8)  7 olacaktır.
3.
f:

, f ( x)  (m  n  7) x  m  n  4 birim fonksiyon ise m  n  ?
Çözüm :
(m  n  7)  1  m  n  8

Bu durumda, (m  n  4)  0  m n  4
2 m  4  m  2 ve n  6  m  n  2  6  12
20
4. f : 
Çözüm :
, f ( x)  7 x  6 fonksiyonunun tersini bulunuz.
y  f ( x)  7 x  6  y  7 x  6  y  6  7 x  x 
x ve y nin rollerini değiĢelim, y  f 1 ( x) 
5.
f:
/ {1} 
/ {3} , f ( x) 
y 6
7
x6
7
3x  7
 f 1 ( x)  ?
x 1
Çözüm :
3x  7
3x  7
y
olarak yazalım. y   x  1  3x  7
x 1
x 1
y7
yx  y  3x  7  yx  3x  y  7  x( y  3)  y  7  x 
y 3
x7
x ve y nin rollerini değiĢelim. Bu durumda y  f 1 ( x) 
bulunur.
x3
y  f ( x) 
6. f ( x)  12  2x 1  2 x1 ise f 1 (14)  ?
Çözüm :
2x
 2  2x  y  6  2x  2  2x
2
y
y
y
 y  8  2 x  2 x   x  log 2   x 
8
8
8  log 2
x
x
14
y
olarak bulunur. f 1 ( x) 
 f 1 (14) 
?
8
8
log 2
log 2
log 28
y  12  2 x 1  2 x 1  y  12 
7.
f:
/ 4 
/ 2 olmak üzere f ( x) 
2x  n
fonksiyonu için f 1 (3)  1  n  ?
x4
Çözüm :
2x  n
 y   x  4   2 x  n  yx  4 y  2 x  n  yx  2 x  (n  4 y )
x4
( n  4 y )
(n  4 y )
(n  4 x)
x   y  2   ( n  4 y )  x 
x
 f 1 ( x)  
olur.
 y  2
 y  2
 x  2
y
 f 1 (3)  
(n  4  3)
(n  12)
=1  
1
1
3  2
 n  12  1  n  13 tür.
21
8.
f ( x)  2 x  3 ve g( x)  3x 
1
olmak üzere  f g  ve  g f  fonksiyonlarını bulunuz.
5
Çözüm :
1
1
2


g   f  g( x)   f  3x    2   3x    3  6 x   3
5
5
5


2  15
13
13 

 6 x 
 6 x     6 x  
5
5
5

1
1
46
 g f  ( x)  g  f ( x)   3   2 x  3   6 x  9   6 x 
5
5
5
f
9.
f:
/ 2 
/ 2 , f ( x) 
x
fonksiyonu için  f
x2
1
f  x   ? ve f ( )
x
fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm :
f

 x 
f  ( x)  f  f ( x)   f 

 x2
x
x
x
x
x2 
x2
 x2  x2
x
x  2  x  2 x  2x  4  x  4
2
x2
x2
x2
x2
x
x2
x


x  2 x  4 x  4
1
x
1
1
x
1
1
f  
 x  

dir.
 x  1  2 1  2x x 1  2x 1  2x
x
x
22
Tanım:
A
olsun.
f ( x)  x
şeklinde tanımlanan f : A 
fonksiyonuna tam kısm fonksiyonu
veya tam değer fonksiyonu denir. Burada, x , x sayısından büyük olmayan
tamsayıların en büyüğünü göstermektedir.
x , n  x eşitsizliğini gerçekleyen n tamsayıların en büyüğünü gösterdiğinden,
p bir tamsayı olmak üzere, p  x  p  1eĢitsizliğini sağlayan x reel sayıları için
x  p dir.
Buna göre,
3  x  2  x  3
2  x  1  x  2
 1  x  0  x  1
0  x 1 x  0
1 x  2  x 1
2  x  3 x  2
3  3 olacağından,
f ( x)  x fonksiyonunun f :  3,3 
fonksiyonunun grafiği çizilebilir.
3
-3
-2
-1
0
2
1
2
3
1
-1
-2
-3
23
Tanım:
n bir doğal sayı ve a0 , a1 , a2 , a3 ,..., an lerde a0  0 olmak üzere,
sabit sayılar olsun. p( x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an 1 x1  an x 0
veya
p( x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an 1 x  an x
şeklinde tanımlanan p :

fonksiyonuna bir polinom fonksiyon denir.
Polinomlarla ilgili aĢağıdaki özellikler verilebilir.
1. Ġki polinomun toplamı ve çarpımı yine bir polinomdur.
2. Bir polinomun bir skaler ile çarpımı yine bir polinomdur.
3. Eğer r sayısı n. dereceden bir polinomun m katlı bir sıfır yeri ise  n  m  . dereceden öyle
bir q  x  polinomu vardır ki, x 
4.
için , p  x    x  r   q  x  dir.
m
n. yinci dereceden, reel katsayılı bir polinomun en fazla n  tane fraklı reel kökü vardır.
Örnek:
p  x   x 6  x5  x 4  x3  x3  x  1  x 2  1 eşitliği ile verilen bir p polinomunun
reek kökleri ( sıfır yerleri ) x1  x2  x3  0 ve x4  1 dir. Diğer iki kök reel değildir.
Tanım:
q  x   0 olmak üzere, p  x  ve q  x  iki polinom olsun.
f ( x) 
p  x
q  x
şeklinde tanımlanan f fonksiyonuna rasyonel fonksiyon denir.
Bu fonksiyon q  x  polinomunun sıfır yerleri hariç diğer tüm noktalarda tanımlıdır.
f  x 
3x  2
x 4  x3  x 2
, g  x 
4x  5
x 3
, h x  x 
x
fonksiyonları birer rasyonel
1
fonksiyondur.
Her rasyonel fonksiyon ortak böleni olmayan iki polinomun oranı Ģeklinde yazılabilir.
Örnek:
f  x 
 x  2  x  2  x  2
x2  4


olarak yazılabilir.
2
x  3x  2  x  2   x  1  x  1
Görüleceği gibi tanım kümesi geniĢletilmiş olur.
24
Tanım:
f : A  B ye tanımlı olsun.x  A için f  x  T   f  x  olacak Ģekilde bir pozitif T kreel
sayısı varsa, f ye periyodik fonksiyon denir. T sayısına f nin bir periyodu denir. Bu periyod
ların en küçüğüne fonksiyonun asli periyodu denir.
Periyodik fonksiyonların en fazla kullanılanı trigonometrik fonksiyonlar ve dairesel
fonksiyonlardır. Trigonometrik fonksiyonları görmeye çalıĢalım.
Merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çember çizelim. Çember üzerinde 1,0  noktasında
baĢlayarak t birim ilerleyelim. ( Eğer t  0 ise saat yönünün tersine doğru, t  0 ise saat
yönünde ilerlenir. ) Bu durumda çember üzerinde bir p  x, y  noktası elde edilecektir.
x  cos t , y  sin t olarak tanımlanır. Böylece her bir t sayısına bir cos t ve sin t karĢılık gelir.
A
p  x  cos t , y  sin t 

r
t 0
t
0
B
1  sin t  1 ve  1  cos t  1 dir.
Ayrıca, tan t 
sin t
1
cos t
1

, cot t 

Ģeklinde tanımlanır.
cos t cot t
sin t tan t
Aynı zamanda,
y
, r  OP
r
x
cos t 
r
y
tan t 
x
x
cot t 
olarak yazarız.
y
sin t 
25
Trigonometrik ifadeler arasındaki bazı bağıntıları verelim.
1.
2.
3.
 sin t    cos t   1 veya sin 2 t  cos2 t  1 dir.
sin  t  z   sin t cos z  cos t sin z
cos  t  z   cos t cos z  sin t sin z
2
2
8.
tan t  tan z
1  tan t  tan z
1
cos t cos z  cos  t  z   cos  t  z 
2
1
sin t sin z  cos  t  z   cos  t  z  
2
1
sin t cos z  sin  t  z   sin  t  z 
2
sin  t  2   sin t
9.
cos  t  2   cos t
4.
5.
6.
7.
tan  t  z  
10. tan  t     tan t
11. cot  t     cot t
dir.
Bazı özel ( t ’ radyan alalım.) değerler için trigonometrik cetvelde verilebilir.
t
sin t
cost
tant
cot t
0
0
1
0
tanımsız

1
2
1
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
0
tanımsız
0
6

4

3

2
2
3
3
4
5
6

3
3
1
3
1
1
3
3
2
2
2
1
2
1
2
 3
1
 2
2
 3
2
-1
-1
1
 3
0
-1
3
3
0
tanımsız
26
Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini inceleyelim.
I.
   
, sin x :  ,    1,1 aldığımızda
 2 2
f ( x)  sin x
   
 2 , 2  arasındaki y  sin x in grafiği


1



0
2
2
-1

3
2
2

3
2
2
1

II.


0
2
2
-1
, cosx : 0,    1,1 aldığımızda
f ( x)  cos x
0,  de
f ( x)  cos x
1


2
0
-1

2

3
2
2
27
f ( x)  cos x in grafiği
1


2

0
2
-1
3
2

2
   
,  aralığına kısıtlanması olan tanjant
 2 2
III. Aynı Ģekilde tanjant fonksiyonunun 
fonksiyonunun grafiğine bakalım.
y  tan x
1



0
2
2
-1
IV.
 0,  arasında kotanjant fonksiyonunun grafiğini çizelim.
1


2
0
-1

2

28
Tanım:
a  1 herhangi bir pozitif reel sayı olsun. f ( x)  a x Ģeklinde tanımlanan f :

fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.
a  1 için fonksiyon monoton artan
1.
1
0
a  1 için fonksiyon monoton artan
2.
1
0
Üslü fonksiyonlarda , f ( x)  a x olduğundan,
f (0)  1
f (1)  a
ve ayrıca f ( x  t )  f ( x)  f (t ) ve f (  x) 
1
dir.
f ( x)
Tanım:
f:


, y  a x fonksiyonu birebir ve örten olduğundan, dolasıyla
f 1 :   olarak tanımlanan ters fonksiyonu mevcuttur.Bu ters fonksiyona,
logaritma fonksiyonu denir.Ve y  log a x biçiminde yazılır. Demek ki, x  0
için y  log a x  x  a y dir.
29
y  log a x
y  log a x
a 1

1
a 1
1
AĢağıdaki özellikleri de kısaca yazabiliriz.
log a a  1
2. log a 1  0
1.
3.
log a  x  y   log a x  loga y
x
log a    log a x  log a y
 y
5. log a x n  n  log a x
1
6. log a x 
dir.
log x a
4.
Pratikte en çok kullanılan logaritma doğal ( tabii ) logaritmadır. Burada taban
e  2,7182818... dır . Eğer taban e  2,7182818... ise yazılıĢta küçük bir değiĢiklik yapılır.
Yani,
loge x  ln x ve log10 x  log x olarak gösterilir.
y  ln x  x  e y dir.
Tanım: ( Eğrilerin Parametrik Gösterimi )
Bir f : A  B ve y  f ( x) fonksiyonu başka şekillerde de verilebilir.
x  g (t ) olarak alınırsa x değiĢkeni A kümesini taradığında t de belli bir
C kümesini tarar. Aynı zamanda y  f  g (t )  olur. Demek ki f fonksiyonu,
 x  u (t )
, t C

 y  v(t )
şeklinde verilebilir.
30
Örnek:
r yarıçaplı merkezi x 2  y 2  r 2 çemberinin parametrik denklemi,
 x  r cos t
, 0  t  2 olacaktır.

 y  r sin t
Burada t , çember üzerindeki bir P  x, y  noktasını orijine birleĢtiren doğru ile
x  ekseni tarafında oluturulan pozitif açının ölçüsüdür.
Örnek:
Bir doğru üzerinde yuvarlanan a yarıçaplı bir çemberi göz önüne alalım. Çember üzerinde
alınan bir P  x  cos t , y  sin t  noktasının geometrik yeri olan eğrinin parametrik denklemini
bulalım.
Çözüm:
Bu eğriye cycloid ( sikloid ) eğrisi denir ve parametrik denklemi,

 x  a  t  sin t 
dir


 y  A  t  cos t 
Tanım:
Bir fonksiyon y  f ( x) kuralı ile verilmiĢse buna açık fonksiyon denir. Eğer,
F  x, y   0 Ģeklinde bir denklemle verilmiĢse bu fonksiyona kapalı fonksiyon denir.
Açık fonksiyon kapalı fonksiyon Ģeklinde ve kapalı fonksiyonda genelde açık fonksiyon
Ģeklinde gösterilebilir.
Örnek:
a  F  x, y   0  x  y 2  1  0  y 2  1  x  y  1  x
b  x  y  e x  y  0 fonksiyonunda x çekilemez.
31
Tanım:

f:
bir fonksiyon olsun.
 f ( x)
, f ( x)  0

g ( x)   f ( x)
0
, f ( x)  0

şeklinde tanımlanan g ( x) fonksiyonuna f nin işaret fonksiyonu denir.
sgn  f ( x)  ile gösterilir.
f reel değerli olduğundan bir x noktasında
f ( x)  0 yada f ( x)  0 veya f ( x)  0 dır.
f ( x)  0 
f ( x)
f ( x)  0 
f ( x)
f ( x)
f ( x)
1
 1
olacağından,
 1 , f ( x)  0
 sgn f  ( x)  sgn  f ( x)   1 , f ( x)  0 şeklinde tanımlanır.
 0 , f ( x)  0

Örnek:
f :  3,3 
, f ( x)  x2  x  2 fonksiyonu veriliyor. sgn f ( x) 'in grafğini çiziniz.
Çözüm:
Öncelikle f nin işaretini inceleyelim. x2  x  2  0 denkleminin kökleri x1  1 ve x2  2 dir.
ĠĢaret tablosunu oluĢturalım.
x
f ( x)
-3

-1
0

2
3

 1 , x   3, 1   2,3

sgn f ( x)  sgn  x 2  x  2    0 , x  1, 2

1 , x   1, 2 
olarak yazılıp grafik çizilir.
32
y  sgn  x 2  x  2  nin
1
-3
-1
0
2
3
grafiği
-1
33
2-BÖLÜM
II. Ve III. DERECEDEN DENKLEMLER
II. Dereceden Denklemler
a  0 olmak üzere ax 2  bx  c  0 şeklindeki denklemlere II. dereceden denklemler denir.
Denklemin kökleri x1 ve x2 ile gösterilir.
II. Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri
1- Diskriminant Yöntemi
ax 2  bx  c  0 denkleminin her iki tarafını a ya bölelim.
ax 2  bx  c 0
ax 2 bx c
bx c
 
   0  x2    0
a
a
a
a a
a a
bx
c
x2 
  eşitliğin sol tarafını tam kareye tamamlamak için her iki tarafa
a
a
2
2
2
2
bx  b 
c  b 
b 
c  b 
 b 

2
  terimini ekleyelim. x            x 
    
a  2a 
a  2a 
2a 
a  2a 
 2a 

b 
c b2
b  b 2  4ac 
b 


x





x

x



 
 
2
2
2a 
a 4a
2a 
4a
2a 



(4 a) (1)
2
  b 2  4ac olarak alırsak x 
2
b

2a
2
b 2  4ac
2a

olarak yazılır.
2a
b
 b  
b
 b  


ve x2  


dir.
2a 2a
2a
2a 2a
2a
Burada,   b 2  4ac ye denklemin diskiriminant'ı denir.
x1  
 nın durumuna göre denklemin yorumu;
1-   0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır.
2-   0 ise denklemin iki reel kökü olmasına karĢılık bu kökler eĢittir.
3-   0 reel kök yoktur. Kompleks kök bulunabilir.
Örnek :
7 x2  4 x  3  0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
34
Çözüm :
a  7 , b  4 , c  3
  b 2  4ac   4   4  7   3  16  84  100    100
2
b     4   100 4  10 14



1
2a
27
14
14
b     4   100 4  10 6
3
3

x2 



   Ç  1 ,  
2a
27
14
14
7
7

x1 
Örnek :
x2  2 x  5  0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
a  1 , b  2 , c  5    b 2  4ac  22  4  1   5   4  20  24  0 dır.
O halde denklemin iki reel köküvardır.

b   2  24 2  2 6


 1  6 

2a
2 1
2
  Ç  1  6 ,  1  6
b   2  24 2  2 6
x2 


 1  6 
2a
2 1
2

x1 


Örnek:
x2  x  3  0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm :
a 1, b 1, c  3
  b 2  4ac  12  4  1  3  1  12  11
  0 olduğundan reel kökü yoktur.
2. Çarpanlara Ayırma Yöntemi .
ax2  bx  c  0 dekleminin sol tarafı çarpanlara ayrılarak denklemin çözümü yapılır.
Örnek :
x2  2 x  8  0 denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunuz.
Çözüm :
x2  2 x  8  0   x  4   x  2  0
 x  4   0  x1  4 
  Ç  4 ,  2
 x  2   0  x2  2
35
Örnek :
5x2  3x  2  0 denklemini çözünüz.
Çözüm :
5 x  3x  2  0   5 x  2    x  1  0 
2
2
2


, x2  1
5  Ç   x1 
5


 0  x2  1
 5x  2   0  x1 
 x  1
II. Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı ĠliĢkileri
ax 2  bx  c  0 denkleminde   b 2  4ac olmak üzere, denklemin kökleri,
b  
b  
ve x2 
dir. Burada kökleri ayrı ayrı bulmadan toplamını
2a
2a
ve çarpımını bulmaya çalıĢalım.
x1 
1-Kökler Toplamı
x1  x2 
b   b   b 


2a
2a
 b
2a


 2b
b
  dır.
a
2a
2-Kökler Çarpımı :
 b     b    b 2   b 2  b2  4 ac
ac
c
x1  x2  



  
 
2
2
4a
4a
a a a
 2a   2a 
Örnek :
x2  3x  5  0 denklemi için x1  x2  ? ve x1  x2  ?
Çözüm :
a  1 , b  3 , c  5 olduğuna göre,
x1  x2  
b
3
c 5

 3 ve x1  x2  
 5 tir.
a
1
a 1
Örnek :
2 x 2  x  4  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere
1 1
  ? , x12  x2 2  ?
x1 x2
36
Çözüm :
1
1 1 x1  x2
1
 
 2 
x1 x2
x1  x2 2
4
( x2 ) ( x1 )
2
1
17
1
x  x2   x1  x2   2 x1 x2     2   2    4 
4
4
2
2
1
2
Örnek :
x 2  ax  2a  1  0 denkleminin kökleri x1 , x2 olmak üzere 3x1  x2 ( x1  3)
olduğuna göre a  ?
Çözüm :
3x1  x2 ( x1  3)  3 x1  x1  x2  3 x2  3 x1  3 x2  x1  x2  3  x1  x2   x1  x2
 3  a  2a  1
 3a  2a  1
 a  1
III. Dereceden Denklemler
a  0 olmak üzere ax3  bx2  cx  d  0 Ģeklindeki denklemlere 3. derceden denklemler
denir. Denklemin kökleri x1 , x2 , x3 tür. Derecesi 3 ve daha büyük olan denklemleri çözmemizi
sağlayacak standart bir formül veya yöntem yoktur. Bu denklemlerde katsayılar kullanılarak kökler
arasındaki iliĢki bulunabilir veya verilecek ek bilgi yardımıyla köklerden birisi bulanarak çözüme
devam edilir.
III. Dereceden Denklemlerle Ġlgili özellikler
1  ax3  bx 2  cx  d  0 denkleminin kökleri x1 , x2 , x3 ile katsayılar arasındaki iliĢkiler,
x1  x2  x3 
b
c
d
, x1  x2  x2  x3  x1  x3  , x1  x2  x3 
a
a
a
2  Üçüncü dereceden denklemde kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,
x1  x3
 x2  x1  x3  2  x2  Kökler toplamı formülünden
2
b
b
b
x1  x2  x3 
, 3x2 
 x2 
a
a
3a
37
3  Üçüncü dereceden bir denklemde kökler geometrik bir dizi oluşturuyorsa,
x1  x3  x2  x1  x3   x2  kökler çarpımı formülünden
2
x1  x2  x3 
d 3 d
d
, x2 
x3
dır.
a
a
a
Polinom Denklemin genel Özellikleri
1. Denklemin derecesi tek sayı ise en az bir reel kökü vardır.
2. Denklemin katsayıları toplamı 0 ise köklerden en az birisi 1 dir.
3. P( x)  0 polinom denklem,  ,   olmak üzere P( ) ile P(  ) ters iĢaretli ise yani,
P( )  P( )  0 ise denklemin  ile  arasında mutlaka bir reel kökü vardır.
4. Katsayıları tamsayı olan bir polinom denklemde tamsayı bir kök varsa bu kök mutlaka
sabit terimin bir çarpanıdır.
5. Katsayıları rasyonel olan bir polinom denklemde köklerden biri a  b ise diğer bir kök
a  b Ģeklindedir.( kökler birbirinin eĢleniğidir.)
Örnek :
x3  3x 2  5 x  4  0 denklemi için
1 1 1
  ?
x1 x2 x3
Çözüm :
a  1 , b  3 , c  5 ve d  4 olarak yazılır.
b (3)

3
a
1
c (5)
x1  x2  x2  x3  x1  x3  
 5
a
1
d 4
x1  x2  x3 

 4
a
1
1
1
1
( x  x )  ( x1  x3 ) + ( x1  x2 ) 5 5


 2 3

 tür.
x1
x2
x3
x1  x2  x3
4 4
x1  x2  x3 
( x2  x3 )
( x1  x3 ) ( x1  x2 )
Örnek :
x3  2 x  3  0 denkleminin tamsayı kökü var mıdır?
38
Çözüm :
Denklemin katsayıları tamsayı olduğundan, denklemin tamsayı kökü varsa bu kök sabit
terimin çarpanı olmalıdır. Denklemde sabit terim -3 ve çarpanları
1 ve 3 tür. Bu dört sayının denklemin kökü olup olmadığı kontrol edilecektir.
x  1   1  2   1  3  2
3
x  1  1  2  1  3  0
3
x  3   3  2   3  3  12
3
x  3   3  2   3  3  42
3
O halde denklemin tamsayı kökü x  1 dir.
II. Derece Denkleme DönüĢebilen Denklemler
Bazı denklemler cebirsel iĢlemler sonucunda veya değiĢken değiĢtirme yardımıyla ikinci
dereceden denkleme dönüĢebilirler. Burada dikkat edilmesi gereken üç önemlinokta vardır.
1. Kesirli denklemin paydasını 0 yapan değerler kök değildir.
2. Köklü denklemlerde kökün derecesi çift sayı ise kök içini negatif yapan değer kök değildir.
3. Ġkinci derece denkleme dönüĢtürülerek çözülen bazı denklemlerde bulunan kökler asıl
denklemin kökü olmayabilir. Bu durumu kontrol etmek için bulunan kökler asıl denklemde
yerine yazılarak kontrol edilir.
Örnek :
x 1
3

 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x2 x2
Çözüm :
 x  1  ( x  2)  3  ( x  2)  x 2  2 x  x  2  3x  6
x 1
3

0
x2
x2
( x  2)  ( x  2)
( x  2)  ( x  2)
( x  2)
( x  2)

x2  4 x  8
 0  x 2  4 x  8  0 denklemi elde edilir.
( x  2)  ( x  2)
  b 2  4ac  42  4  1(8)  16  32  48
b   4  48 4  4 3


 2  2 3
2a
2 1
2
b   4  48 4  4 3
x2 


 2  2 3 olarak bulunur. Ç  {x1  2  2 3, x2  2  2 3}
2a
2 1
2
x1 
Örnek:
39
x4  5x2  36  0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Burada bir değiĢken değiĢtirmesi yapalım. x 2  a olsun. Bu durumda,
x 4  5 x 2  36  0  a 2  5a  36  0 denklemi elde edilmiş olur.
a 2  5a  36  0   a  9    a  4   0  a1  9 ve a2  4 buluncaktır.
a1  9  x 2  9 olamayacağından -9 kök olarak kabul edilemiyecektir.
a2  4  x 2  4  x1  2 ve x2  2 dir. Ve çözüm kümesi Ç  2, 2 dir.
Örnek:
x2  y 2  3
x  y  2 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
2
x y  2 y 
2
4
2
 x2  y 2  x2     x2  2  3  x4  4  3  x2
x
x
 x
 x 4  3  x 2  4  0 denklemi elde edilir. x 2  a olsun. a 2  3a  4  0
(a  4)   a  1  0  a  4 ve a  1 kökleri bulunur.a  1 için kök yoktur.
2
2
2
den y1   1 ve y2 
 1 dir.
x
2
2
O halde çözüm kümesi, Ç   2,1 ,  2, 1 dir.
a  4  x1  2 , x2  2 bulunur. y 
Kökleri Belli Olan II. Ve III. Dereceden Denklemler
I. Kökleri
x1 ve x2 olan II. dercede denklemi   x  x1    x  x2   0 şeklinde veya
T  x1  x2 ve P  x1  x2 olmak aynı denklem x 2  Tx  P  0 Ģeklinde yazılabilir.
II. Kökleri x1 , x2 , x3 olan üçüncü derece denklemi  x  x1    x  x2    x  x3   0 şeklindedir.
Örnek:
Kökleri 5 ve 3 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.
Çözüm:
x1  5 ve x2  3  T  x1  x2  5  3  2 ve P  x1  x2  (5)  3  15,
x 2  Tx  P  0  x 2  (2) x  15  0  x 2  4 x  15  0 denklemi elde edilir.
Örnek:
40
Katsayıları tamsayı olan 2.dereceden bir polinom denklemde köklerden birisi 2  3 ise bu
denklemi yazınız.
Çözüm:
Katsayılar tamsayı ise kökler birbirinin eĢleniğidir.
x1  2  3 ve x2  2  3 dir.

 

 2  3  2  3  1
T  x1  x2 = 2  3  2  3  4
P  x1  x2
x 2  Tx  P  0  x 2  4 x  1  0 dir.
Örnek:
Kökleri 1,1 ve 3 olan 3. derece denklemi yazınız.
Çözüm:
 x  x1    x  x2    x  x3   0   x  1   x  1   x  3  0
 x3  3x 2  x  3  0 dır.
Örnek:
mx2  (2m  3) x  m  1  0 denkleminin iki farklı,iki reel kökü varsa m sayısı hangi
aralıkta yer almalıdır?
Çözüm:
Farklı iki reel kökü varsa   0 olmalıdır.
a  m, b  2m  3, c  m  1
  b 2  4ac   2m  3  4  m   m  1  4m 2  12m  9  4m2  4m  16m  9  0
2
 16m  9  16m  9  m 
9
dır.
16
Örnek:
2 x2  4 x  a  7  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. 2 x1  x2  8  a  ?
b
 2
a
x1  x2  2
x1  x2 
Çözüm:
x1  2  2  22  4  2  a  7  0
 8  8  a  7  0  a  22
2 x1  x2  8
3x1  6  x1  2
Örnek:
41
x2  2 x2  2  6  0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
x 2  2  a ise x 2  2  a 2  x 2  a 2  2 sonucunu denklemde yerine yazalım.
a 2  2  2a  6  0  a 2  2a  8  0   a  4    a  2   0  a  4, a  2
a  4 için
x 2  2  4  x 2  2  16  x 2  14  x1   14 ve x2   14
a  2 için çözüm yoktur.
Örnek:
x3  3x2  2 x  2  0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
sabit -2 olduundan denklemin tamsayı kökü
2 veya 1 olabilir.
x  1 için (-1)3  3(1) 2  2(1)  2  0 olur. Yani denklemi sağlamıĢ olur.
Denklemin bir kökü x  1 dir. O halde, x3  3x 2  2 x  2 polinomu ( x  1) 'e tam bölünür.
x3  3x 2  2 x  2
 x3
x2
 4 x2  2 x  2
 4 x2  4 x
x 1
x 3  3 x 2  2 x  2   x  1   x 2  4 x  2 
x2  4 x  2
 x  1  0  x  1 ve
x
2
 4x  2  0
  x 2  4 x  2   0 ise
   b 2  4ac  ( 4) 2  4  1  2  16  8  8
2x  2
x1 
b   (4)  8 4  2 2


 2 2
2a
2 1
2
 2x 2
x2 
b   (4)  8 4  2 2


2 2
2a
2 1
2
0
Ç  {1, 2  2, 2  2} dir.
AlıĢtırmalar
42
1. AĢağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) x2  4 x  4  0 b) x2  6 x  9  0 c) 4 x2  x  3  0 d ) x2  2 x  4  0
2.
3.
4.
5.
6.
x2   a  4 x  3a  5  0 denkleminin köklerinden biri 1 ise diğer kökü kaçtır?
mx 2   2m  3 x  m  1  0 denkleminin farklı iki reel kökü varsa,
m sayısı hangi aralıkta yer almalıdır?
x2  5x  2  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, x1   x2  2  x2  x1  2  ?
x2  2 x  3  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, x12  x22  ?
1
1
x 2  2 x  1  0denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. 3  3  ?
x1
x2
7.
2 x2  4 x  a  7  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, 2x1  x2  8  a  ?
8.
9.
x3  x2  x  1  0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Ġki reel sayının toplamları 10 ve çarpımları 15 ise bu reel sayıyı bulunuz.
x4  25x2  144  0 denklemini çözünüz.
x
5 x  10

 6 denklemini çözünüz.
x2
x
x 2  y 2  0
 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
xy  2

3
2
x  3x  2 x  2  0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
10.
11.
12.
13.
14. x3  3x2  x  1  0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
43
3-BÖLÜM
LOGARĠTMA
Tanım:
a, b 

ve a  b olmak üzere a x  b denklemini sağlayan x sayısına b nin a tabanına
göre logaritması denir. logb a  x Ģeklinde gösterilir. logb a ifadesinde a ya taban,
b ye logaritması alınacak sayı denir.
Örnek:
1  32  9  log 3 9  2
2  43  64  log 4 64  3
3  log 2 16  4  24  16 olarak yazılır.
Bayağı Ve Doğal Logaritma
Tabanı 10 sayısı olan logaritmaya bayağı logaritma denir. Bunu, log10 x olarak yazarız.
Taban 10 ise bu yazılmaz ve log x Ģeklinde yazılır.
e  2,718... sayısı olmak üzere taban e ise bu logaritmaya doğal logaritma denir.
log e x  nx şeklinde gösterilir.
Logaritmanın Özellikleri
1.
log a 0 ( Belirsiz )
2.
log a 1  0
3.
log a a  1
log a bn  n  log a b
1
5. log an b   log a b
n
log a  x  y   log a x  log a y
4.
 Çarpımın logaritması 
x
log a    log a x  log a y  Bölümün logaritması 
 y
1
log c b
7. log a b 
ve log a b 
 taban değiĢtirme 
logb a
log c a
6.
44
Örnekler:
1  log3 25  log3 52  2  log3 5
1
2
2  log 2 2  log 2 2 
1
1
1
 log 2 2   1 
2
2
2
3  log 1 27  log31 27 
3
1
 log3 27  1  log3 33  3  log3 3  3
1
4  log3 5 25  log 1 52 
53
1
 log 5 52  3  2  log 5 5  6
1
3
 
1
1
1 3
5  log5 5 5  log5 5  log5 5  1  log5 5 2  1   log 5 5  1  
2
2 2
1
1
37
3
3
6  log 7 
  log 7 7  log 7 7  log 7 7  log 7 7 2
7


1
1
1 1 1
1
  log 7 7   log 7 7   

3
2
3 2 6
6
7  log3 2 
1
log 2 3
8  log3 2 
1
log 2 3
9  log5 10 
log 2 10
log 2 5
 taban değiĢtirme 
 2 tabanında yazma 
Örnek:
log2 3  a ve log 2 5  b ise log 2 150 sayısını a ve b cinsinden yazınız.
Çözüm:
150  52  3  2  log 2 150  log 2  52  3  2  
log 2 52  log 2 3  log 2 2  2  log 2 5  log 2 3  log 2 2  2b  a  1 dir.
Örnek:
log 2 5  log5 8  ? çarpımının sonucunu bulunuz.
45
Çözüm:
log5 8 
log 2 8
log 2 8
 log 2 5 
 log 2 8  log 2 23  3  log 2 2  3  1  3
log 2 5
log 2 5
Örnek:
log 4 3  k  log8 9  k  ?
Çözüm:
1
2
 log 2 3 ve log8 9  2  log8 3  2  log 23 3   log 2 3 olarak yazılabilir.
2
3
1
2
1
2
3
 log 2 3  k   log 2 3   k   k 
2
3
2
3
4
log 4 3  log 22 3 
Örnek:
log2 3  a  log6 12 nin a cinsinden değeri nedir?
Çözüm:
2
log 2 12 log 2  2  3 2log 2 2  log 2 3 2  a
log 6 12 



dır.
log 2 6
log 2  2  3
log 2 2  log 2 3 1  a
ÜSLÜ VE LOGARĠTMALI DENKLEMLER
Üslü ve logaritmalı denklemlerde, logaritmanın özelliklerini kullanarak veya değiĢken
değiĢtirmesi yaparak polinom denkleme dönüĢtürülür ve denklem çözülür.
Örnek:
x
olmak üzere 2x 1  4x  8 denkleminin çözümünü yapınız.
Çözüm:
2 x 1  4 x  8  2 x  21   22    2   2 x  21   2 x    2  olarak yazalım.
x
3
2
3
2 x  a olsun. Bu durumda, 2a  a 2  8  a 2  2a  8  0   a  4    a  2   0
a  4  0  a  4 ve a  2  0  a  2 dir.
a  4 için 2 x  4  x  2
a  2 için 2 x  2 denkleminin reel çözümü yoktur. O halde, Ç={2} dir.
46
Örnek:
9x  6  5  3x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
9 x  6  5  3x   3x   5  3x  6  0
2
3x  a olsun.  3x   5  3x  6  0 denklemi a 2  5  a  6  0
2
 a  3   a  2   0  a  3 ve a  2 dir.

 Ç  1 , log 3 2 dir.
a  2  3x  2  x  log 3 2 
a  3  3x  3  x  1
Örnek:
x
log  x  y   5 ve log    1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
 y
Çözüm:
log  x  y   5  log x  log y  5

x
 taraf tarafa toplayalım.
log    1  log x  log y  1 
 y

2log x  6

 Ç  1000,100
log y  2  y  10 2  100 
log x  3  x  103  1000
Örnek:
log x 2 
15
 11 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
log x
Çözüm:
log x 2 
15
15
 11  2  log x 
 11  log x  a olsun.
log x
log x
15
 11  2a 2  11a  15  0   2a  5    a  3  0
a
5

5
5
 52 3 
2a  5  0  a   log x   x  10 2

Ç

2
2

10 , 10 


a  3  0  a  3  log x  3  x  103  1000 
2a 
47
ALIġTIRMALAR
log9 2  k  log3 16  k  ?
2. log3 0,04  ?
1.
3.
x
log  x  y   5 ve log    1 denklem sistemini çözünüz.
 y
4 3 2
4. log 2
ifadesini en sade biçimde yazınız.
a2
5. log3 2  a  log 4 27 ifadesini a cinsinden yazınız.
6.
log5 x  log x 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
7.
5
8.
log  x  y   log x  log y eşitliğinde x ile y arasındaki bağıntı nedir?
9.
log 2 x  log x 2 
10.
log25  x 2
 16 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
log  35  x3 
log  5  x 
17
denkleminin kökler çarpımı nedir?
4
 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
11. log  x  1  log  x  5  2  log x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
12. 9x 1  3x  2  810 denklemini çözünüz.
64
 257 denkleminde x kaçtır?
4x
14. log 2 0,25  log 25 125 toplamı kaçtır?
15. log5 0,04  log8 16 toplamı nedir?
x 1
13. 4 
16. 62 x 1  12  3  6x 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
48
4-BÖLÜM
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLLERĠ
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLLERĠ
1.
Toplam Sembolü   : Sigma  :
Toplam sembolü, birbiri ilr iliĢkili terimlerin toplamını kısa Ģekilde yazmamızı sağlar.
n, k 
ve a1 , a2 , a3 ,..., an 
olmak üzere,
n
a1  a2  a3  ...  an   ak şeklinde yazılabilir.
k 1
Örnek:
3
  2k  5   ?
k 1
Çözüm:
k ya 1 den başlamak üzere 3'e kadar değer vereceğiz.
3
  2k  5   2  1  5   2  2  5   2  3  5   2  5   4  5   6  5    3   1  1  3
k 1
Örnek:
4

1
  3k  2   ?
k 1
Çözüm:
4

1

1 
1 
1 
1
  3k  2    3  1  2    3  2  2    3  3  2    3  4  2  
k 1
1 
1 
1 
1

  3     6     9    12  
2 
2 
2 
2

 5   11   17   23  5  11  17  23 56
     

 28
2
2
2  2   2   2 
49
Toplam Sembolünün Özellikleri
n
n
olmak üzere  c  n  c ve  c   n  1  c
c
1.
k 1
n
c  a
c ,
2.
n
b
k 1
n
n  p 1
kp
k 1
 ak 
4.
n
bk    ak
k
k 1
k 1
n
 a
3.
 c   ak
k
k 1
k 0
n
a
k  p 1
k 1
k
dir.
En Fazla Kullanılan Toplam Formülleri
n  n  1
n
 k  1  2  3  ...  n 
1.
2
k 1
n
 2k  2  4  6  ...  2n  n  n  1
2.
k 1
n
 (2k  1)  1  3  5  ...  (2n  1)  n
3.
k 1
n
k
4.
2
2
n  n  1 2n  1
 12  22  32  ...  n2 
6
k 1
 n  n  1 
5.  k  1  2  3  ...  n  

2 
k 1

n
1 rn
k 1
2
3
n 1
6.
r

1

r

r

r

...

r


1 r
k 1
2
n
3
3
3
3
3
Örnek:
k
20
2
k 1
 5k  4   ? toplamını bulunuz.
Çözüm:
k
20
k 1
2
 5k  4    k 2   5k   4   k 2  5 k   4
20
20
20
20
20
20
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
Yukarıda verilen toplam formülleri kullanılır.
20
20
20
n  n  1 2n  1
k 1
k 1
k 1
6
  k 2  5 k   4 

20  20  1 2  20  1
6
 5
20  20  1
2
 5
n  n  1
2
 n4 
 20  4  2870  1050  80  1900
50
Örnek:
10
  3k  n   105  n  ?
k 1
Çözüm:
Toplam sembolünde değiĢken k olduğuna göre n sabit olarak alınmalıdır.
10
10
10
10
10
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
  3k  n   3k  n  3   k  n  3 
10  11
 10  n  165  10  n  105
2
60  10n
n6
Örnek:
6
3
  kp  p  işleminin sonucunu bulunuz.
k 1 p 1
Çözüm:
3
3
 3
 6  3
 6  3 4 3 4 6

   6k  6 
 kp  p     kp   p    k   p   p    k 

2
2  k 1
k 1 p 1
k 1  p 1
p 1 
k 1 
p 1
p 1 
k 1 
6
6
6
67
6
k

6

6

k

6  6
 6  6  3  6  7  36  126  36  90 dır.





2
k 1
k 1
k 1
6
3
6
Örnek:
29
  3k  4   ?
k 5
Çözüm:
29
29  4
25
25
25
k 5
k 5 4
k 1
k 1
k 1
  3k  4     3 k  4   4     3k  8  3 k   8  3 
25  26
 25  8  675
2
Örnek:
x 2  5 x  4  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.  x1  x2  ve f ( x )  4 x  1 olduğuna göre
2
x
k 1
k
 f ( xk ) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
x 2  5 x  4  0  x1  1 , x2  4
2
x
k 1
k
 f ( xk )  x1  f  x1   x2  f  x2   1  f 1  4  f  4   1  3  4  15  63
51
2. Çarpım Sembolü   : Pi 
Çarpım sembolü , birbiri ile iliĢkili terimlerin çarpımını kısa Ģekilde yazmamızı sağlar.
n, k 
ve a1 , a2 , a3 ,..., an 
olmak üzere,
n
a1  a2  a3  ...  an   ak şeklinde yazılır.
k 1
Örnek:
4
  2k  1 işleminin
sonucunu bulunuz.
k 1
Çözüm:
4
  2k  1   2  1  1   2  2  1   2  3  1   2  4  1  3  5  7  9  905
k 1
Çarpım Sembolünün Özellikleri, c 
1
olmak üzere,
n
c  c
n
k 1
n
n
2   c  ak  c n  ak
k 1
k 1
n
n
n
k 1
k 1
3    ak bk    ak   bk
k 1
n
n
 ak
4   c ak  c k 1
k 1
n
5   k  1  2  3  ...  n  n!
k 1
Örnek:
80

1
 1  k  işleminin sonucunu bulunuz.
k 3
Çözüm:
81 81
 1  80  k  1  4 5 6
  27 olur.

1     
     ... 
k  k 3  k  3 4 5
3
80
k 3 
80
Örnek:
10
k
 25  ?
k 1
52
Çözüm:
10
10
2
k
5
2
5
10
k
k 1
2

1
k
5 k 1
2
1  1011 


5 2 
 211  2048
k 1
Örnek:
2
20
  k  p   ?
k 1 p 1
Çözüm:
 2

 k  p      k  p  


k 1 p 1
k 1  p 1

2
20
20
   k  1   k  2      k 2  3k  2 
20
20
k 1
k 1
p ye 1 den başlayarak 2 ye kadar
değer vereceğiz.
20
20
20
k 1
k 1
k 1
  k 2  3 k   2 
20  21  41
20  21
 3
 20  2  2870  630  40  2280
6
2
Örnekler:
17
3
1    k  2t  1 işleminin sonucunu bulunuz.
k  3 t 1
Çözüm:
17
3
17

3

17
  k  2t  1     k  2t  1    k  2  1   k  4  1   k  6  1
k  3 t 1
k 3
t 1
k 3
t ye 1 den 3 'e kadar değer
vereceğiz.
17
17
 17

17  31

   k  1   k  3   k  5      3k  9   3    k  3   3     k  3  1  3 
k 3
k 3
 k 3

 k 1

k  3 başladığına göre
bunu 1 den başlatalım.
p  3 olarak alınırsa ,
n
n  p 1
k p
k 1
 ak  
ak  p 1
formülünü kullanarak


15  16

 3    k  1   3 
 15  1  3120  15  3  105  315
 2

 k 1

15
53
12
2    2k  1 
k 4
 n
8
2
n 2
 9  ?
Çözüm:
  2k  1    n
12
8
k 4
2
n 2
p4
12  4 1
8   2  1
k 1
n 1
  2(k  4  1)  1     n   2   1
 9 
2
9

p 2
9
11
k 1
n 1


9
11
k 1
n 1

   2k  7     n  3   9    2k  7    n 2  6n  9  9
2

2
9
9
11
11
k 1
k 1
n 1
n 1
 2 k   7   n 2  6 n  2 
9  10
11  12  23
 97 
 6  11
2
6
 90  63  506  66  593
3 f ,g :

aşağıda tanımlanan Ģekilde iki fonksiyon olsun.
x
x
n 1
n 1
f  x    n , g  x    n2   f
g  4   ?
Çözüm:
f
30
30  31
 4

 459 
g  4   f  g  4    f   n 2   f 

f
30

n
 465




2
 6 
n 1
 n 1 
Örnek:
20
  2  na   70  a  ?
n 1
Çözüm:
20
20
20
n 1
n 1
n 1
  2  na   70   2  na  2  20  a 
20  21
 70
2
 40  210a  70  210a  70  40  30  210a  30  a 
30
3 1


210 21 7
Örnek:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
  yi  1  n  1 ve   xi  a yi  0 olduğuna göre  xi yi  ?
Çözüm:
54
n
 y
i 1
i
n
 y
i 1
i
n
n
 1  n  1 ve   xi  a yi  0 olduğuna göre  xi yi  ?
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
 1  n  1   yi  1  nyi  1  n  n  1  nyi  n  n  1  nyi  1
n
n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
  xi  a yi  0   xi yi   ayi  0   xi yi   ayi  a yi  a   nyi   0
a  1  0 dır.
n
O halde,
x y
i 1
i
i
 0 dır.
55
5-BÖLÜM
LĠMĠT
Bu bölümde matematiğin en temel konularından biri olan limiti verelim. Limit konusu,
süreklilik, türev ve integral konularında oldukça gereklidir. Matematik ve diğer pozitif bilimlerde
oldukça fazla kullanım alanı vardır.
Bir fonksiyonun limitine geçmeden önce, özel bir fonksiyon olan dizilerde limiti inceleyelim
ve daha sonra fonksiyonlarda limit konusunu verelim.
Bir Dizinin Limiti
Tanım:
Tanım kümesi doğal sayılar kümesi olan her fonksiyona bir dizi fonksiyonu denir. Veya kısaca
dizi denir. Yani,
s:

Ģeklinde fonksiyonlardır. Eğer bir dizinin değerler kümesi
ise bu diziye reel terimli dizi,
(
rasyonel sayılar kümesi ) ise bu diziye rasyonel terimli dizi denir.
s 1 , s  2  , s  3 ,....s  n  reel sayılarına dizinin birinci,ikinci,üçüncü,…terimleri ve s  n  terimine
ise dizinin genel terimi denir. Biz s  n  yerine sn gösterimini kullanacağız. Ayrıca, genel terimi sn
olan diziyi  sn  ile göstereceğiz. Bir dizinin iyi belirtilmesi için genel teriminin mutlaka verilmiĢ
olması gerekir.
Örnek:
 an    2n  1   2  1  1, 2  2  1, 2  3  1,..., 2n  1  3,5,7,..., 2n  1
n  2   1  2 2  2 3  2
 n  2   1 0 1
n  2 
,
,
,...,

   , , ,...,

n 1   2 3 4
n 1 
 n 1   11 2 1 3 1
 bn   
 cn   
 
2n 
 
2  1, 2  2, 2  3,..., 2n 
 
2, 4, 6,..., 2 n 
2, 2, 6,..., 2 n

Tanım:
n 
için sn  tn ise  sn  ile  tn  dizileri birbirine eĢittir denir. Ve  sn    tn  yazılır.
Örnek:
 an    2n  1 ile  bn    n2  dizileri biribirine eşit midir?
Çözüm:
 an    2n  1  1,3,5,...,2n  1
 bn    n2   1,4,9,..., n2 
o halde bu iki dizi birbirine eĢit değildir.
56
Tanım:
 sn  ve tn  birer dizi ve  
olsun.
 sn   tn    sn tn 
 sn    tn    sn  tn 
   sn      sn 
Ģeklinde tanımlanır.
Örnek:
 sn   1   1
n


ve  tn   1   1
 sn    tn    sn  tn  
1   1
 sn    tn    sn  tn    1   1

n
n
n

olsun.
 1   1
n
   2
 

  1   1n   1   12 n  1  1   0 
 

 
n
n
3   sn    3  sn   3  1   1   3  3  1



olarak yazılır.
Tanım:
n 
sınırlıdır denir. M 
n 
sayısı varsa,  sn  dizisine üstten
sayısı için sn  M olacak Ģekilde bir M 
sayısına da bu dizinin bir üst sınırı denir.
sayısı için sn  m olacak Ģekilde bir m 
sınırlıdır denir. m 
sayısı varsa,  sn  dizisine alttan
sayısına da bu dizinin bir alt sınırı denir.
Örnek:
 an    n    1, 2, 3, 4,..., n 
olarak yazılır. an  1 dir. O halde  an  dizisi üstten sınırlıdır.
 bn    n2  1   2,5,10,17,..., n2  1 olarak yazılır.
bn  2 olduğundan  bn  dizisi alttan sınırlıdır.
Tanım:
n 
için sn  K olacak Ģekilde bir K 

sayısı varsa  sn  dizisine sınırlı dizi denir.
sn  K   K  sn  K yazılacağından  sn  dizisi sınırlıdır.
Örnek:
  1n 
s

 dizisi sınırlı mıdır?
 n  

n


57
Çözüm:
 1
 1  1 dir.
1
  1 , -1 
n
n
n
n
n
n
2
 1
dizisi sınırlı değildir. Zira, n 
n
bir sayı bulamayız.
n
için
2
 1
n
 K olacak şekilde
Tanım:
Bir dizi üstten sınırlı ise üst sınırların en küçüğüne en küçük üst sınır (EKÜS veya supremum)
denir.
Bir dizi alttan sınırlı ise alt sınırların en büyüğüne en büyük alt sınır (EBAS veya infimum)
denir.
Örnek:
 an     1
n

n 
 dizisinin EKÜS ve EBAS' nı bulunuz.
n 1
Çözüm:
 an     1
n
n   1 2 3 4 
    , ,  , ,...  dir.
n 1  2 3 4 5 

 1 2 3 4 
 , ,  , ,... Bu kümenin ne en küçük elemanı mve nede en büyük elemanı vardır.
 2 3 4 5 
EKÜS  an   1 ve EBAS  an   1 dir. -1 ve 1 kümeye dahil değildir.
Tanım:
  epsilon  sayısının özelliği sıfıra oldukça yakın bir sayı, 
  0 ve a 
olsun.
K   x / | x  a |  , x 
 kümesine a nın   komĢuluğu denir.
| x  a |   a    x  a    x   a   , a    dir.
O halde a ' nın   komĢuluğu  a   , a    dir.
Örnek:
a  2 nin 1 =
1
3
ve  2 
komşuluğunu bulunuz.
100
1000
58
Çözüm:
 a   , a      2 

1
1   199 201 
,2 
,

  1.99 , 2.01
100
100   100 100 
2
2.01
1.99
 a   , a      2 

3
3   1997 2003 
,2 
,

  1.997 , 2.003
1000
1000   1000 1000 
2
2.003
1.997
Tanım:
 sn  bir reel sayı dizisi olsun.   0 için  sn  dizisinin sonlu sayıdaki terimleri hariç
diğer tüm terimleri bir s reel sayısının  -komşuluğunda bulunuyorsa  sn  dizisinin limiti s
dir denir. Ve,
lim sn  s veya  sn   s şeklinde gösterilir.
n 
Bu tanımdan Ģu sonuç çıkarılabilir.  s   , s    aralığında dizinin sonlu sayıda terimi var
olduğundan bu terimlerin en büyük indisli olanı bulunabilir. En büyük indisli terimi n0 ile gösterelim.
O halde , n  n0 olduğunda dizinin kalan tüm terimleri  s   , s    aralığı içine düĢer.
Örnek:
 an   
1
 dizisini inceleyelim.
n
1  1 1 1 1  
  1, , , , ,....   1, 0.5 , 0.333... , 0.25 , 0.2 , 0.16... , 0.1, 0.99,...
 n   2 3 4 5  
10-tane terim
11. ve diğer terimler
olduğu açık olarak yazılabilir.
 an   
s  0 ve  
1
olsun.
10
 s   , s      0 

0


1
1  1 1
,0      ,    0.1 , 0.1 dir.
10
10   10 10 

O halde ilk 10 terim  0.1 , 0.1 komşuluğunun dıĢında diğer tüm terimler verilen komşuluğun içine düĢer. n0  n ifadesi n0  10  n  11 olarak yazılılabilir..
59
Tanım:
 sn  bir reel sayı dizisi ve s 
olsun.   0 için n  n0 olduğunda |sn  s|<
kalacak şekilde  'na bağlı bir n0 sayısı bulunabiliyorsa  sn  dizisi s limitine
yakınsaktır denir. Ve,
lim sn  s veya  sn   s şeklinde gösterilir.
n
Örnek:
3n  7 
3
 dizisinin limitinin olduğunu gösteriniz.
2
 2n  3 
 bn   
Çözüm:
3n  5 3
3n  5
3(2n  3)
6n  10  6n  9
1
  




2n  3 2
2(2n  3) (2n  3)  2
4n  6
4n  6
1
6
1
1
1
1  6

   4n  6   4n   6  n  
n
olur.
4n  6


4
4

1
1  6
1  6  (0.01)
olsun. n 
n
 n  23,5 dir.
100
4
4  (0.01)
n0  23,5  23 dür. Demek ki verilen dizinin 23. terimden sonraki tüm terimleri
3
1
' nin  
komşuluğunda kalır.
2
100
Tanım:
Eğer bir dizinin terimleri sınırsız olarak artıyorsa bu dizi  (sonsuza) ıraksıyor denir.
 an 
dizisi sonsuza ıraksıyorsa,
lim an   şeklinde ifade edilir.
n 
Eğer bir dizinin terimleri sınırsız olarak azalıyorsa bu dizi  sonsuza ıraksıyor denir.
 bn 
dizisi sonsuza ıraksıyorsa,
lim bn   şeklinde ifade edilir.
n 
60
Bir Fonksiyonun Limiti:
Tanım:
A
, f :A
bir fonksiyon ve a da A kümesinin bir yığılma noktası olsun.
Terimleri A  {a} kümesine ait olan ve a noktasına yakınsayan   xn  dizisi için
elde edilen  f  xn   görüntü dizisi aynı bir L sayısına yakınsıyorsa bu L sayısına
f ( x) fonksiyonunun a noktasındaki limiti denir. Ve,
lim f ( x)  L şeklinde gösterilir.
xa
a noktasının A kümesine ait olma zorunluluğu yoktur.
Örnek:
 x2 , x  0
f ( x)  
şeklinde tanımlanıyor.
2 , x  0
Bu fonksiyonunun a1  2 ve a2  0 noktasındaki limitlerine bakınız.
f:

fonksiyonu
Çözüm:
Terimleri
 2 de olan ve 2 noktasına yakınsayan herhangi bir dizi  xn  olsun.
Bu dizinin sonlu sayıdaki terimleri hariç diğer tüm terimleri 2’nin bir   komĢuluğuna düĢmektedir.
Dolayısıyla bu dizinin sonlu sayıdaki terimleri hariç diğer tüm terimleri pozitiftir. O halde, sonlu
sayıdaki xn terimleri hariç ,
f ( x)   xn   x 2 n dir.  xn   2 olduğundan  f  xn    4 olacağından
2
lim f ( x)  lim x 2  22  4 ' tür.
x 2
x 2
a2  0 için limite bakalım.
0 noktasına yakınsayan iki farklı dizi alalım.
 xn   
1
 1
 ve  tn      olsun.
n
 n
1
1 1
 0 olduğundan f  xn   f    2 olur.
n
n n
f  xn   0 dır.
1
 1
-  0 olduğundan f  xn   f     2 dir.
n
 n
O halde f ’ nin 0 noktasında limiti yoktur.
Tanım:
 ’a ıraksayan her  xn  dizisi için  f  xn   dizisi bir L sayısına yakınsıyorsa f nin 
daki limiti L dir denir. Ve,
61
lim f ( x)  L
x 
Ģeklinde gösterilir.
Aynı Ģekilde,
 ’a ıraksayan her  xn  dizisi için  f  xn   dizisi bir L sayısına yakınsıyorsa f nin 
daki limiti L dir denir. Ve,
lim f ( x)  L
x  
Ģeklinde gösterilir.
Örnek:

f:
2 x 2  3x
fonksiyonu f ( x)  2
şeklinde tanımlanıyor. lim f ( x)  ?
x 
x 1
Çözüm:
 xn  ,  ’a ıraksayan pozitif terimli bir dizi olsun.
3 2

2 xn  3xn
3xn  2
xn xn
f  xn  
 2 2
2
2
1
xn 2  1
xn  1
1 2
xn
2
2
O halde,  f  xn    2dir. Yani, lim f ( x)  2 olur.
x 
Limitle Ġlgili Özellikler
A , f : A
ve g : A 
birer fonksiyon ve a 
olsun. Eğer,
lim f ( x) ve lim g ( x) limitleri mevcut ise,
x a
x a
1.
lim  f  g  x   lim f ( x)  lim g ( x)
2.
lim  f  g  x   lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x  A için g ( x)  0 ve lim g ( x)  0 ise,
xa
3.
lim f ( x)
lim
xa
f ( x) x  a

g ( x) lim g ( x)
xa
4.
 
için lim   f  x     lim f  x  dir.
x a
x a
62


5. lim  f  x    lim f  x  
x a
 x a 
n
n
6.
lim n f  x   n lim f  x 
x a
x a
lim f  x 
f  x
 b x a
7.
lim b
8.
limlogb f  x   logb lim f  x  dir.
x a
 x a

x a
Örnek:

f ,g :
, f  x   5x  1 , g  x   x2  3 olsun. Aşağıdaki limitleri hesaplayalım.
Çözüm:
lim  f  g  x   lim f ( x)  lim g ( x)  lim  5 x  1  lim( x 2  3)  6  4  10
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
lim  f  g  x   lim f ( x)  lim g ( x)  lim  5 x  1  lim( x 2  3)  6  4  24
x 1
lim
x 1
x 1
x 1
 5 x  1 6 3
f ( x) lim
 x 1 2
 
g ( x) lim  x  3 4 2
x 1
x 1
x 1
lim 3 f  x    3 lim  5 x  1   3  6  18
x 1
 x 1

2
2
lim  f  x    lim  5 x  1   62  36
x 1
 x 1

lim f  x 
lim 2 f  x   2 x1
x 1
lim  5 x 1
 2 x1
 26  64
lim log 6 f  x   log 6 lim f  x    log 6 lim  5 x  1   log 6 6  1
x 1
 x 1

 x 1

lim 5 x  1  lim  5 x  1  36  6 olarak bulunacaktır.
x 7
x 7
BAZI ÖZEL LĠMĠTLER
1  a  1  lim a x   , lim a x  0
x 
x 
a  1  lim a  0 , lim a x  
x
x 
x 
sin x
cos x
 0 , lim
0
x

x
x
lim sin x  0 , lim cos x  1
lim
x 
x 0
x 0
sin x
lim
1
x 0
x
x
 1
lim 1    e  2.7182....
x 
 x
63
Örnek:
 x2  1
, x  1

f :  fonksiyonu, f  x    x  1
şeklinde tanımlanıyor
2
, x  1

lim f  x   ?
x 1
Çözüm:
Terimleri -1 den farkı ve -1 sayısına yakınsayan herhangi bir dizi  xn  olsun.
f  xn  
xn 2  1  xn  1  xn  1

 xn  1 olduğundan  f  xn    2 dir.
xn  1
xn  1
Yani, lim f  xn   2 dir.
x 1
Eğer f fonksiyonu  a, b
 açık aralığında
tanımlı ise a ve b noktaları tanım kümesine ait
değilidir. Fakat birer yığılma noktasıdır. Terimleri  a, b  aralığında alınan ve a noktasına
yakınsayan dizilerin terimleri a 'dan büyük olan dizilerdir. benzer olarak terimleri  a, b 
aralığında alınan ve b ye yakınsayan dizilerin terimleri b 'den küçük olmak zorundadır.
Tanım:
A
, f : A
bir fonksiyon ve a da A kümesinin bir yığılma noktası olsun.
1  Terimleri A kümesinden alınan ve her n 
için xn  a bağıntısını sağlayan
ve a noktasına yakınsayan her  xn  dizisi için  f  xn   dizisi bir L1 sayısına
yakınsıyorsa bu L1 sayısına f fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti
denir. Ve, lim f  x  şeklinde gösterilir.
xa
2  Terimleri A kümesinden alınan ve her n 
için xn  a bağıntısını sağlayan
ve a noktasına yakınsayan her  xn  dizisi için  f  xn   dizisi bir L2 sayısına
yakınsıyorsa bu L2 sayısına f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti
denir. Ve, lim f  x  şeklinde gösterilir.
xa
Bir f fonksiyonunun bir noktada limitinin olması için gerek ve yeter Ģart o noktada sağ ve sol
limitlerinin olması ve bu limit değerlerinin birbirine eĢit olması gerekir.
64
Limit, kavramını Ģekille açıklamaya çalıĢalım.
y  f  x
f  x '1 
f  x '2 
L
f  x2 
f  x1 
a
x1 x2 …
a ya soldan yaklaşım
x ' 2 x '1
a ya sağdan yaklaĢım
Şekilde görüldüğü gibi x ler a ya soldan ve sağdan yaklaĢtığında,
f  x  lerde bir L sayısına yaklaĢmaktadır. O halde,
lim f  x   L dir.
xa
NoT:
Sağdan ve soldan limitlere aĢağıdaki durumlardan biri söz konusu olunca bakılmasına gerek vardır.
1.
2.
3.
4.
Fonksiyonun tanımsız olduğu noktalarda,
Mutlâk değer veya iĢaret fonksiyonunu sıfır yapan değerlerde,
Tam değer fonksiyonunu tam sayı yapan değerlerde,
Parçalı fonksiyonların sınır noktalarında
Örnek:
lim  3x 2  5 x  3  ?
x 2
Çözüm:
lim  3x 2  5 x  3 ,  3x 2  5 x  3 bir polinom fonksiyon olduğu için x 
x2
de
tanımlıdır. O halde limit değerini bulmak için yapacağımız x yerine 2 yazmaktır.
lim  3x 2  5 x  3  3  22  5  2  3  12  10  3  5 dir.
x2
Örnek:
 4 x3  3x  1 
lim 
?
x4
 2x  1 
65
Çözüm:
 4 x3  3x  1   4  43  3  4  1  4  64  12  1 257  12 245
lim 




x 4
2  4 1 
8 1
7
7
 2x  1  
Örnek:
 x2 
lim 
  ? limiti bulunuz.
x 2
 x2 
Çözüm:
 x2 
x2
lim 
 ? , f  x 
fonksiyonu x  2 de tanımsızdır. O halde sağdan ve soldan

x2
x2
 x2 
limitlere bakmalıyız.
 x ' e soldan yaklaşalım.

 x2 

  xlim

 
2
 x2 
 x  2  x  2  0  x  2  0    x  2  dir.
   x  2 
  x  2 
lim 
  lim 

  1
x2
x2
 x2 
 x2 
 x ' e sağdan yaklaĢalım.

 x2 

  xlim


 2
 x  2  x  2  0  x  2  0   x  2  dir.
 x2 
  x  2 
  x  2 
lim 
 lim 

  1 dir.
x2
 x  2  x2  x  2 
Soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan bu noktada limit yoktur.
Örnek:
lim  x  1  x   ?
x 3
Çözüm:
x  3 sayısı tamdeğer fonksiyonunu tamsayı yapmaktadır.
Bu nedenle soldan ve sağdan limite bakmalıyız.
x  3  x  1  4 
x  3  x  1  3 
x  1  4  lim  x  1  x   lim  4  x   1
x 3
x 3
x 3
x 3
x  1  3  lim  x  1  x   lim  3  x   0
Sağdan ve soldan limit değerleri farklı olduğu için bu noktada
limit yoktur.
66
Örnek:
f :  2, 2 
fonksiyonu,
2  x ,  2  x  1

f  x   3
,
x 1
x 1 , 1  x  2

şeklinde tanımlanıyor. f  x  'in a  1 deki limiti nedir?
Çözüm: ġimdi öncelikle sağ ve sol limitlere bakmalıyız.
1  Sağ limit:
 1
1'e azalan değerlerle yakınsayan bir dizi  xn   1   olsun.
 n
f ( xn )   2  xn  olduğundan  f ( xn )   1 olacaktır. Yani,
lim f ( x)  1 dir.
x 1
2  Sol limit:
 1
1'e artan değerlerle yakınsayan bir dizi  x 'n   1   olsun.
 n
f ( x 'n )   x 'n  1 olduğundan  f ( x 'n )   0 olacaktır. Yani,
lim f ( x)  0 dir.
x 1
O halde , lim f ( x)  lim f ( x) dir. Kısaca a  1 de limit yoktur.
x 1
x 1
Örnek:
, 1  1  2
x
, f  x  
4  x , 2  x  5
şeklinde tanımlanıyor. lim f  x  ve lim f  x  limitlerini bulunuz.
f :  1,5 
x2
x2
Çözüm:
Terimleri  1, 2  aralığında bulunan ve 2 sayısına yakınsayan her  xn  dizisi için
f  xn   xn olacağından  f  xn    2 dir. Yine,
Terimleri  2,5 aralığında bulunan ve 2 sayısına yakınsayan her  x 'n  dizisi için


f  x 'n   4 x 'n  2 olacağından f  x 'n   2 dir. O halde, lim f  x   lim f  x  dir.
x2
x2
Yani, x  2 de limit mevcuttur ve 2' eşittir.
67
Örnek:
 x 2 , x  0
fonksiyonu, f ( x)  
 lim f  x   ?
x 0
x
,
x

0


f:
Çözüm:
Sağdan ve soldan limitlere bakalım.
Terimleri  ,0  da olan ve 0 noktasına yakınsayan   xn  dizisi için ,
 f  x     x   0 olduğundan ,
2
n
n
lim f  x   0 ve
x  0
Terimleri  0,   da olan ve 0 noktasına yakınsayan   xn '  dizisi için ,
 f  x   
'
n

x 'n  0 olduğundan , lim f  x   0 dır. O halde,
lim f  x   lim f  x   0 dır.
x  0
x 0
x 0
Örnek:
f:

| x |
, x0

fonksiyonu, f ( x)   x
 lim f  x   ?
x 0
0
, x0
Çözüm:
| x| x
| x | x
  1 ve x  0 olduğundan |x|   x 

 1 dir.
x
x
x
x
| x| x
| x | x
lim f  x   lim
  1 , lim f  x   lim

 1 dir.
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
O halde, sağ ve sol limitler birbirinden farklı olduğu için x  0 da limit yoktur.
x  0 olduğundan |x|  x 
Örnek:
, 
tan  x
limitini hesaplayınız.
x  0 tan  x
olmak üzere lim
Çözüm:
sin  x
 sin  x cos  x 
tan  x
sin  x
cos  x

lim
 lim 

 lim
 lim
 lim  x 

x  0 tan  x
x  0 cos  x sin  x

 x  0 sin  x x  0 cos  x x  0 sin  x 
x
1  
   dir.
1  
68
lim f  x   L olduğunda a nokatsına yakınsayan   xn  dizisi için  f  xn   görüntü
xa
dizileri de L sayısına yakınsar. Yani,   0 için bir  > 0 sayısı vardir ki, x  a  
olduğunda f  xn   L   kalır. O halde  sayısı yeterince küçük alındığınada
f  xn  ile L arasındaki fark istenildiği kadar küçük yapılabilir. x değiĢkeni  xn  dizisi
olarak düşünülürse aşağıdaki tanım verilebilir.
Tanım:
A , f :A
bir fonksiyon ve a da A kümesinin bir yığılma noktası olsun.
 >0 için eğer x  a   olduğunda f  x   L   kalacak Ģekilde bir  >0
sayısı bulunabiliyorsa x, a ya yaklaĢtığında f nin limiti L dir denir.
lim f  x   L olarak yazılabilir.
xa
Burada dikkat edilirse,  sayısı  sayısına bağlıdır. Yani, bir    sayısının varlığıdır.
Örnek:
lim  x 2  3  3 olduğunu gösteriniz.
x 0
Çözüm:
x
2


 3  3    x 2  3  3    x 2   olması için x   kalması
1
1
 104 ise  =
 102
10000
100
olacaktır. Yani,  bağlı olarak bir  sayısı bulmuĢ olduk. O halde, lim  x 2  3  3 dir.
yeterli olacaktır. O halde    olmalıdır.  
x 0
Örnek:
lim  3x  1  7 olduğunu gösteriniz.
x 2
Çözüm:
Yukarıdaki limitin doğru olduğunu göstermek için,
  0 verildiğinde öyle bir  >0 sayısı bulunmalıdır ki, x  2   olduğunda
 3x  1  7
 3x  6   olmalıdır. x  2      x  2    2    x  2  
6  3  3 x  6  3  6  3  6  3 x  6  6  3  6  3  3 x  6  3
3x  6  3   olarak yazılabilir.  

3
olarak yazılır. O halde, lim  3x  1  7 dir.
x2
69
Örnek:
1 1
 olduğunu gösteriniz.
x 3 x
3
lim
Çözüm:
x3  
1 1
   olacak şekilde bir     sayısı bulmalıyız.
x 3
3 x
1 1
3 x

  


olur.
x 3
3x
3x
3x
Diğer taraftan, x  3    x  3   dır. 3x  3 x  3  3     9  3
olacağında
1 1


 
kalacaktır.O halde  
olur.
x 3 9  3
9  3
LĠMĠTTE BELĠRSĠZ DURUMLAR
y  f  x  fonksiyonu x  a için,
0 
, ,   ,   ,1 ,0 veya 00 sonuçlarından birisi karĢımıza çıkıyor ise
0 
0 
x  a da f  x  fonksiyonu belirsiz şekildedir denir. , belirsiz şekilleri görelim.
0 
1-
0
belirsiz durumu:
0
lim
x a
p  x
q  x

p  x
0
ise
kesri sadeleştirilerek belirsizlik giderilmeye çalıĢılır.
0
q  x
Örnek:
x2  4
?
x 2 x  2
lim
Çözüm:
 x  2  x  2
x2  4
 lim
 lim  x  2   4
x 2 x  2
x 2
x 2
x2
lim


Örnek:
 x  1  x 2  x  1
x3  1
lim
 lim
 lim  x 2  x  1  3
x 1 x  1
x 1
x 1
 x  1
70
Örnek:


x  x  2
 x2  2 x 
x
2 1

  lim
lim  3

lim



2
2
x 2
 x  8  x  2   x  2   x  2 x  4   x  2  x  2 x  4  12 6
2-

belirsiz durumu

lim
x 
p  x
q  x


ise kesrin payının en büyük üssü n ve paydanın en büyük üssü m

olsun.
, nm
0

lim
 
, nm
 BKO  Baş Katsayılar Oranı 
x  q  x 
 BKO , n  m dir.

p  x
Örnek:
 x3  1 
 x3  1 
lim  2
,
n

3

m

2

n

m
olduğundan
lim


 
x  3 x  2
x  3 x 2  2




 x 6  4 x3  1 
 x 6  4 x3  1 
lim  8
,
n

6

m

8

n

m
olduğundan
lim


 0
x  3 x  3 x 4  2
x  3 x 8  3 x 4  2




 6 x4  2 x2  1 
 6x4  2x2  1 
lim  4
 , n  4  m  4  n  m olduğundan lim

 
x  3 x  x 3  2 x
x  3 x 4  x 3  2 x




Örnekler:
2
3
n 1
1
 n  n  ...  n   ?
n
2
2
2 
2
1
1 1 1
2) lim     ...  n   ?
n 2
4 8
2 

n 1 1 
 1 1
3) lim 1    ...   1
?
n 
3n 1 
 3 9
1) lim 
n 
4) lim
n 


n 1  n  ?
n sin n!
?
n  n 2  1
2n 1  3n 1
?
6) lim n
n  2  3n
1
 1 1 1
1     ...   dizisinin monoton artan ve sınırlı olduğunu gösteriniz.

7)  1! 2! 3!
n! 
ayrıca bu dizi yakınsak mıdır?
5) lim
71
 3n 
 dizisinin EKÜS ve EBAS 'nı bulunuz.
 2n  7 
8) 
 1n 
9)  n   1 olduğunu gösteriniz.
 
5n
5n
 1
a  lim 1    ?
 n
 4
b  lim 1    ?
n 
 n
n 
10)
n
 1
c  lim 1    ?
n 
 n
 1
d  lim 1  
n n
 3
2n 3
?
11) Aşağıdaki fonksiyonların limitlerini bulunuz.
a f :
b f :
c f :
 ,
 ,
 ,
2 x  1

f ( x)  3
4 x  1

3x  1

f ( x)  5
4 x  3

x4  1
f ( x)  2
x 1
, x 1
, x  1 , x  1 'de
, x 1
, x 1
, x  1 , x  2 'de
, x 1
, x 1
12) Aşağıdaki fonksiyonların limitlerini bulunuz.
a f :
b f :
 0  ,

2x
f  x 
, x  0 da limite bakınız.
x
x

 2
, f  x   0
1

 2
, x 1
, x  1 , x  1 de limite bakınız.
x 1
,
13) Aşağıdaki limitleri bulunuz.
2
1
a  lim 2

?
x 1 x  1
x 1
3 x 3 a
?
xa
xa
d  lim
b  lim
x
1
2
e)  lim
h 0
2x
x
?
x2  8
c  lim
?
x 2 x  2
xh  x
 ? f  lim x 2  5 x  6  x  ?
x 
h
72
14) Aşağıdaki limitleri bulunuz.
sin x
sin ax
a  lim
?
b  lim
?

x

0
x
bx
x
2
d  lim
x 1
sin  x 2  1
x 1
?
c  lim
x 0
1  cos ax
?
x2
sin  cos x 
sin(tan x)
 ? f  lim
?

x 0
sin x
cos x
x
e)  lim
2
15  f  x   9 x  5 olsun. Bir   0 sayısı bulunuz ki x  1   olduğunda
f  x  4 
1
kalsın.
10
73
6-BÖLÜM
SÜREKLĠLĠK
Bu kısımda matematiğin çok önemli kavramlarından biri olan sürekliliği göreceğiz.
Tanım:
A
, f : A
bir fonksiyon ve a  A olsun. Eğer, lim f  x   f  a  ise
xa
f fonksiyonu a noktasında süreklidir denir. Eğer f fonksiyonu A kümesinin
tamamında sürekli ise fonksiyon A üzerinde süreklidir.
Yukarıdaki tanıma göre, bir f fonksiyonunun bir a noktasında sürekli olması için,
a) f fonksiyonu a noktasında tanımlı olmalıdır.
b) f fonksiyonun a noktasında limiti olmalıdır.
c) Fonksiyonunun a noktasındaki limit değeri ile fonksiyon değeri birbirine eĢit olmalıdır.
Tanım:
A
, f :A
bir fonksiyon ve a  A olsun.
 > 0 için en az bir  > 0 sayısı vardır öyleki x  a <  olduğunda
f  x   f  a  <   f fonksiyonu a noktasında süreklidir.
Örnek:
f:

, f  x   c şeklinde tanımlanan sabit fonksiyon
de
süreklidir. Gösterelim.
Çözüm:
Tanım kümesi
olduğundan keyfi olarak alacağımız bir noktada sürekli olduğunu göstermek yeterli
olacaktır. x  a olsun,
lim f  x   lim c  c  f  a  dır.
x a
x a
de sürekli olacağından f  x  'e
x 
de süreklidir diyebiliriz.
Örnek:
f:

 x 2

, f ( x )  0
1

, x0
, x0
, x0
şeklinde tanımlanan f ( x) fonksiyonu x  0 da sürekli midir?
74
Çözüm:
y 1
1
0
y   x2
Öncelikle x  0 da sağdan ve soldan limitlere bakalım.
lim f  x   lim 1  1 ve lim f  x   lim   x 2   0 dır.
x 0
x 0
x 0
x 0
x  0 da limit olmadığından dolayısıyla x  0 da sürekli değildir.
Örnek:
 x2  1 , x  0

f :  , f  x   1
, x0
 x3  1 , x  0

şeklinde tanımlanan f fonksiyonu x  0 da sürekli midir?
Çözüm:
Öncelikle sağdan ve soldan limit değerlerine bakalım.
lim f  x   lim  x3  1  1 , lim f  x   lim  x 2  1  1
x  0
x 0
x 0
sağdan limit
x 0
soldan limit
O halde, lim f  x  =1 bulunacaktır. f  0   1 olduğundan fonksiyon
x 0
x  0 da süreklidir.
y  x3  1
y  x 1
2
x0
75
Örnek:
 x  1 , x  1
f  x  
2
 x  2  , x  1
fonksiyonu x  0 da sürekli midir?
f:

,
Çözüm:
Öncelikle sağdan ve soldan limit değerlerine bakalım.
lim f  x   lim  x  2   1 , lim f  x   lim   x  1  0
2
x 1
x 1
x 1
sağdan limit
x 1
soldan limit
O halde, lim f  x  yoktur.
x 1
x  1 da sürekli değildir. Fakat fonksiyon sıçrama süreksizliğine sahiptir.

 x  2 , x  1
f  x  
,
2

 x  2  , x  1
olarak alınmıĢ olsaydı fonksiyon sürekli olurdu.
f:
1
2

,
Örnek:
f  x 
1
fonksiyonu x  1 de sürekli midir?
x 1
Çözüm:
Fonksiyon x  0 da tanımsız olduğu için bu noktada süreksizdir.
sağdan ve soldan limit değerlerine bakalım.
1
1
lim f  x   lim
  , lim f  x   lim
 
x 1
x 1 x  1
x 1
x 1 x  1
sağdan limit
soldan limit
sağdan ve soldan limitler sonsuz olduğundan fonksiyon x  0 da sonsuz
süreksizliğe sahiğtir.
.
Örnek:
f:

 x 2  1 , x  1

, f  x   2
, x  1 fonksiyonu x  1 noktasında süreli midir?
2 x  1 , x  1

76
Çözüm:
Fonksiyon grafiğini çizerek görmeye çalıĢalım.
Sağdan ve soldan limit değerleri aynı olmasına
karşın fonksiyonun verilen noktadaki değeri
farklı olduğu için x  1 de sürekli değildir.
Fakat kaldırılabilir süreksizdir.
3
2
1
Tanım:
A
, f :A
tanımlı bir fonksiyon ve a  A olsun.
1  lim f  x   f  a   f , a noktasında sağdan süreklidir.
xa
2  lim f  x   f  a   f , a noktasında soldan süreklidir.
xa
Örnek:
f:

 x 2  1

, f ( x)   1
 x2  1

, x0
, x0
x0
,
şeklinde tanımlanan f ( x) fonksiyonu x  0 da sürekli midir?
Çözüm:
Öncelikle x  0 da sağdan ve soldan limitlere bakalım.
lim f  x   lim  x 2  1  1 ve lim f  x   lim   x 2  1  1 dır.
x  0
x 0
x 0
x 0
ve f 1  1 olduğundan fonksiyon x  0 da süreklidir.
1
y  x2  1
y   x2  1
77
Not: Bir fonksiyonun x  a sürekli olması için gerek ve yeter Ģart a noktasında sağdan ve
soldan sürekli olmasıdır.
Tanım:
Bir f : A 
fonksiyonu a  A noktasında sürekli değilse, fonksiyon bu noktada
süreksizdir.
Bir fonksiyon bir a noktasında süreksiz ise, Ģu durumlardan biri mevcuttur.
1.
lim f  x  mevcuttur. Fakat bu limit değeri fonksiyonun bu noktadaki değerinden farklı
x a
olabilir. Bu durumdaki fonksiyonun süreksizliğine kaldırılabilir süreksizlik denir. Bu
fonksiyonun a noktasındaki değeri limit değerine eĢit olarak alınırsa elde edilen yeni
fonksiyon sürekli olur.
2. x  a daki sağ ve sol limit değerleri mevcut fakat farklı olabilirler. Bu durumdaki
süreksizliğe sıçrama süreksizliği denir.
3. Sağ ve sol limit değerlerinden biri  veya   ise, bu fonksiyon sonsuz süreksizliğe
sahiptir denir.
Bunları aĢağıdaki Ģekiller yardımıyla vermeye çalıĢalım.
y  ekseni

f (a)
f
xa
x  ekseni
x  0 da kaldırılabilir
süreksizlik var
0

x  0 da sıçrama süreksizliği
mevcuttur.
x  0 da sonsuz
süreksizlik
mevcuttur.
Süreksizlikle Ġlgili Bazı Özellikler
1.
A
, f : A
ile g : A 
fonksiyonları a  A da sürekli ve  , 
olsun.
78
 f   g  x 
,
 f  g  x 
f 
ve    x  fonksiyonları da x  a da süreklidir.
g
f fonksiyonu x  a da sürekli ve f  a   0 olsun. a nın öyle bir  -komşuluğu
2.
vardır ki, bu aralıktaki x  A için f  x  ile f  a  aynı iĢaretlidir. Bu özelliğe
işaret koruma özelliği denir.
x1 x  a
a 
f  x1   f  a   0
a 
f  x1 
f a
3.
f fonksiyonu  a, b kapalı aralığında sürekli ve f  a  ile f  b  zıt iĢaretli ise
 a, b  açık aralığında öyle bir c vardırki, f  c   0 dır.
f a
f
c
a
b
f b
f c  0
f :  a, b  
4.
fonksiyonu sürekli olsun. a, b  de x1  x2 ve f  x1   f  x2 
olacak şekilde herhangi iki x1 , x2 noktası verildiğinde f fonksiyonu  x1 , x2 
aralığında f  x1  ile f  x2  arasındaki her değeri en az bir defa alır.
79
f  x1  ile f  x2  arasındaki değerleri
en az bir defa almaktadır.
f  x1 
x1
x2
f  x2 
3 defa değer almaktadır.
f  x1 
x1
x2
f  x2 
Tanım:
A
, f :A
tanımlı bir fonksiyon ve c  A olsun.
1
x  c   şartını sağlayan x  A için f  x   f  c  olacak Ģekilde
bir   0 sayısı varsa, f fonksiyonuna c noktasında bir yerel  local  maksimuma
sahiptir denir.
2
x  d   şartını sağlayan x  A için f  x   f  d  olacak Ģekilde
bir   0 sayısı varsa, f fonksiyonuna c noktasında bir yerel  local  minimuma
sahiptir denir.
Yerel maksimum ve minimum değerlerine fonksiyonun ekstremum ları veya ekstrem değerleri
denir.
80
Eğer,
x  A için f  x   f  p  olacak şekilde bir p  A varsa bu p noktasında bir mutlâk
maksimuma sahiptir denir.
x  A için f  x   f  r  olacak şekilde bir r  A varsa bu r noktasında bir mutlâk
minimuma sahiptir denir.
Yerel maksimum
mutlâk maksimum
Yerel minimum
Yerel minimum
mutlâk minimum
mutlâk minimum

0

mutlâk minimum
yerel minimum
2
f : 0,   
, f  x   sin x
f:

, f  x  | x |
Mutlak
Yerel
maksimum
maksimum
-1
y  x3
2
0
Mutlâk
1
Yerel
0
minimum
Mutlak maksimum ve
minimum
f :  1,2  , f  x   x 1  x 
Mutlak minimum yoktur.
2
f:
 , f  x   x3
Tanım:
A  , f : A  tanımlı bir fonksiyon olsun.
A daki süreksizlik noktaları sayısı sonlu ise f fonksiyonuna A üzerinden
parçalı süreklidir denir.
81
Örnek:
f:
 x2 , x  0
, f  x  
1 , x  0

fonksiyonunun süreksizlik noktalarının sayısı 1 olduğundan fonksiyon parçalı
süreklidir.
süreksiz olduğu nokta yalnızca bir noktadır.
O halde f  x  fonksiyonu parçalı süreklidir.
x  0 da süreksizdir.
Örnekler:
1.
 x2  1
, x  1

f  x   x  1
2
, x  1

fonksiyonu x  1 de sürekli midir?
4x  3
fonksiyonu hangi noktalarda sürekli değildir. Araştırınız.
x  x6
 sin 3x
, x0


, f  x   x
fonksiyonu de sürekli midir?
3
, x0
2

, x0
x

, f  x  
fonksiyonu x  0 da sürekli midir?

 x , x0
2.
f  x 
3.
f:
4.
f:
2
82
7-BÖLÜM
ÖZEL TANIMLI BAZI FONKSĠYONLAR
1. Birinci Dereceden Fonksiyonlar (Doğrusal Fonksiyonlar)
f :  , y  f ( x)  mx  n fonksiyonuna 1.dereceden fonksiyon denir.
y  mx  n fonksiyonun, genel gösterimi ax  by  c  0 dır.
y  mx  n denklemin deki m 
sayısı bize bu doğrunun eğimini verir.
Denklemi Verilen Bir Doğrunun Grafiğinin Çizimi:
Bir doğrunu grafiği çizilerken doğrunun geçtiği iki nokta bulunur. Eğer noktalar orijinden
geçmiyor ise bu noktaları doğrunun eksenleri kestiği noktalar olarak alarak fonksiyonun grafiği çizilir.
Örnek:
AĢağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
1  y  3x  6
2
2x  3 y  4  0
3  y  3x
4 y 3
Çözüm:
1-
y  3x  6   0, 6  ,  2,0  dır.
2
-6
2-
4
3
2
 4
2 x  3 y  4  0   0,  ,  2,0 
 3
83
3-
1,3
y  3x   0,0  , 1,3 ,  1, 3
 0,0 
 1,3
4-
y4
x  a , y  eksenine paralel doğruyu, y  b ise x  eksenine paralel doğruyu
gösterir.
Ġkinci dereceden Fonksiyonlar (PARABOLLER)
f  x   ax 2  bx  c şeklindeki fonksiyonlara ikinci dereceden fonksiyon denir.
Bu fonksiyonda ,
b
4ac  b 2
2
, k
olarak alınırsa, y  ax 2  bx  c ifadesi y  a  x  r   k
2
2a
4a
şeklinde yazılır. Burada , T  r , k  noktası fonksiyonun tepe noktasıdır.
r
a  ise tepe noktası fonksiyonun minimum noktasıdır.
a  ise tepe noktası fonksiyonun maksimum noktasıdır.
Denklemi Verilen Ġkinci Dereceden Fonksiyonun Grafiğinin Çizimi
1  Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.
2- Fonksiyonun tepe noktası bulunur.
3- a  0 ise grafiğinin kolları yukarı doğru, a  0 ise kollar aşağı doğrudur.
84
Örnek:
AĢağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
1  y  x2  2x  8
2  y   x2  4x  6
3  y  4x2  4x  1
4  y  4  x2
5  y  x2  6x
6  y  5x2
Çözüm:
1  y  x 2  2 x  8 önce fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y   x  4  x  2   0 olsun. x1  4 , x2  2 dir. a  1, b  2 , c  8
   2  4  1   8    2 2 
 b 4ac  b 2 
 2 32  4 
T  r, k   T  ,
,
 T ,
  T 

2
2

4a
4 1
4 
2
 2a

 2 1

T 1, 9 
,
a  1  0 olduğundan kollar yukarı doğrudur.
-2
4
8
1, 9 
2  y   x 2  4 x  6 önce fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
 0, 6  dir.
a  1, b  4 , c  6    b 2  4ac  42  4   1   6   16  24  8  0
  0 olduğundan denklemim reel kökü yoktur. Ve x  eksenini kesmeyecektir.
   4  4   1   6   42 
 b 4ac  b 2 
 4 24  16 
T  r, k   T  ,
,
 T ,
  T 

2
2

4a
4 
 2
4   1
 2a

 2   1

T  2, 2 
,
a  1  0 olduğundan kollar aĢağı doğrudur.
85
y
T  2, 2 
x
-6
3  y  4 x 2 +4x  1 , fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
 0,1 ,  
1 
,0 
 2 
  b 2  4ac  42  4  4  1  16  16  0    0 olduğundan
b
4
4
1

    dir.
2a
24
8
2
2
2
 b 4ac  b 
 4 4  4  1  4 
 4 16  16 
T  r, k   T  ,
,
 T
 T ,
2
2
2 
4a
4 1
 8 44 
 2a

 24

çakıĢık iki reel köke sahiptir. x1  x2  
 1 
T   ,0 
 2 
a  4  0 olduğundan kollar yukarı doğrudur.
,
1

1
2
4  y  4  x 2 fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y  4  x 2   2  x  2  x   0 . x1  2 , x2  2 dir.  0, 4  ,  2,0  ve  2,0 
a  1, b  0, c  4
 0 4   1  4   0 2 
 b 4ac  b 2 
 0 16  0 
T  r, k   T  ,
,
 T ,
  T 

2
2

4a
4 
8
4   1
 2a

 24

T  0, 4 
,
a  1  0 olduğundan kollar aĢağı doğrudur.
86
4
-2
2
Grafiği Verilen Ġkinci dereceden Fonksiyonun Denklemini Bulma
Bir grafiğin ait olduğu denklemi bulmak için aĢağıda verilen üç yöntemden biri uygulanır.
1. Grafiğin x  eksenini kestiği noktalar belli ise, y  a  x  x1  x  x2  denklemi kullanılır.
x1 ve x2 grafiğin x  eksenini kestiği noktalardır.
2. Grafiğin tepe noktası belli ise y  a  x  r   k denklemi kullanılır.
2
3. Grafik üzerinde herhangi üç nokta belli ise bu noktalar y  ax 2  bx  c denkleminde
yerlerine yazılarak üç bilinmeyenli denklem elde edilir ve çözüm yapılarak denklem elde
edilir.
Örnek:
x1  1 , x2  3
y  a  x  x1  x  x2   a  x  1 x  3
-1
3
denkleminde y  eksenini kestiği nokta  0, 6 
olduğundan ,
-6
6  a  x  1 x  3  6  a  0  1 0  3
 6  3a  a  2 bulunur. O halde denklem,
y  2  x  1 x  3  y  2 x 2  4 x  6 dır.
87
Örnek:
Fonksiyonun tepe noktası T  2,3 dir.
15
r  2 ve k  3 yazabiliriz.
y  a  x  r   k  15  a  x   2    3
2
2
 15  a  0  2   3  15  4a  3  a  3
3
2
y  a  x  r   k denkleminde yerlerine yazarsak
2
-2
y  3  x  2   3  y  3 x 2  12 x  15 bulunacaktır.
2
Örnek:
Ġkinci dereceden bir fonksiyon  0, 1 , 1, 1 ,  1,1 noktalarında geçtiğine göre,
denklemi nedir?
Çözüm:
 0, 1  a  02  b  0  c  1 

1, 1  a  12  b  1  c  1  denkl.çöz.

2
 1,1  a  1  b  1  c  1
 1,1
1
1, 1
c  1, b  1 ve a  1 bulunur.
y  ax 2  bx  c  y  x 2  x  1 bulunur.
ÜSTEL FONKSĠYON VE LOGARĠTMA FONKSĠYONU
1- Üstel Fonksiyon
a  0 ve a  0 olmak üzere
f:


, y  f ( x)  a x şeklindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir.
Örnek:
y  4 x , y  32 x 1 , y  e
3x 
1
2
 5 Ģeklindeki fonksiyonlar birer üstel fonksiyondur.
Tabanı 1 den büyük olan üslü sayılarda üs büyüdükçe sayıda artar. Tabanı 1 den küçük
sayılarda üs büyüdükçe sayı küçülür.Buna göre,
a  1  x büyüdükçe y de büyür. a  1  x büyüdükçe y küçülür.
88
Üstel Fonksiyonun Grafiği
a
a
1
1
a 1
1
a 1
2- Logaritma Fonksiyonu
Logaritmanın temel kuralında y  a x  x  log a y dir. Üstel fonksiyonun, tersi logaritma
fonksiyonudur.
f  x   a x  f 1  x   log a x yazılabilir.
Örnek:
y  log3  3x  2  , y  log  x 2  1 , y  ln 2 x fonksiyonları birer logaritma
fonksiyonudur.
Örnek:
f  x   3x  2  5  f 1  x   ?
Çözüm:
f  x   3x  2  5  y  3x  2  5  y  5  3x  2   y  5   3x  32
  y  5 
log 
 y  5  3x  log   y  5   x  log3  x   9   x  log  y  5


9
log3
27
 9 
NOt : Taban 10 dur.
89
Örnek:
f  x   ln  4 x  1  2 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm:
y  ln  4 x  1  2  y  2  ln  4 x  1  e y  2  eln  4 x 1
4x  1  e y2  4x  e y2  1  x 
e y2  1
e y2  1
 f 1  x  
dir.
4
4
Logaritma Fonksiyonun Grafiği
1
1
1
a
1
a
a 1
a 1
TRĠGONOMETRĠK FONKSĠYONLAR
Dik Üçgende Trigonometrik Bağıntılar
C
a
b

c
A
Karşı dik kenar
b
 sin  
hipotenüs
a
Komşu dik kenar
c
cos 
 cos  
hipotenüs
a
Karşı dik kenar
b
tan  
 tan  
Komşu dik kenar
c
Komşu dik kenar
c
cot  
 cot  
Komşu dik kenar
b
sin  
B
Yukarıdaki ABC diküçgeninde

ABC   açısına ait sinüs,cosinüs
tanjant ve cotanjant trigonometrik
oranları yanda verilen Ģelikde tanımlanır.
Dik üçgenin özellikleri kullanılarak trigonometrik oranlar arasındaki aĢağıdaki bağıntılar
yazılabilir.
90


1  sin  90     sin      cos
2



2  tan  90     tan      cot 
2

3  sin 2   cos 2   1
4  tan   cot   1
sin 
cos
cos
6  cot  
sin 
5  tan  
Örnek:
C
3
4
3
4
, cos  , tan   , cot  
5
5
4
3
olarak yazılabilir.
sin  
a5
b3

c4
A
B
30 ,45 ve 60 açılarının trigonometrik Oranları
1- 45 'nin trigonometrik Oranları
1
2

1
2

, cos 45  cos 

2
2
2
2
2
2
 1
 1
tan 45  tan   1
, cot 45  cot   1
2 1
2 1
sin 45  sin
C
1
45
2
45
A 1


B
91
2- 30 ve 60 açılarının trigonometrik Oranları
A
AHC dik üçgenind,
30 30
2
3
60
B
60
1
H
1

3
3
2
 1
cos 60  cos 
3 2
sin 60  sin
2
C
tan 60  tan

3


3
 3
1
1
ABC nin de  AH  yüksekliği cot 60  cot  
3
3
hem açı ortay ve hemde kenar
ortay olduğundan
 AH  
sin 30  sin

6
cos30  cos
tan 30  tan
cot 60  cot

6

6

3

1
2
3
2
1



3
3
 3
1
3 tür.
Trigonometrik Fonksiyonlarla ilgili bazı tanımlar
Yönlü Açı: Trigonometrik fonksiyonlarda saatin dönme yönünün tersi pozitif yön olarak alınır.
B
O


m  AOB   





, m  BOA   


A
Birim Çember:
Merkezi orijin ve yarıçapı 1br olan çembere birim çember denir.
92
1
r 1
-1
Birim çember denklemi ,
1
M  0, 0 
x 2  y 2  1 , r 2  1 dir.
-1
Açı Ölçü Birimleri
1- Derece: Birim çemberin çevre uzunluğunun 360 br alan ölçü birimidir.
2- Radyan: Birim çemberin çevresini 2 br alan ölçü birimidir.
3- Grad: Birim çemberin çevresini 400br alan ölçü birimidir.
Açı ölçü birimleri arasında,
D
R
G
 
bağıntısı vardır.
180  200
Örnek:
30 ,45 ,60 ve 90 nin radyan cinsinde değerini bulunuz.
Çözüm:
D
R
 formülünü kullanacağız.
180 
30 R
30  

30 
 R
R
180 
6
180
6
45 
45 R
45  

 R
R
180 
4
180
4
60 
60 R
60  

 R
R
180 
3
180
3
90 
90 R
90  

 R
 R  dir.
180 
2
180
2
Örnek:
 2 6
,
5 7
,
5
,3 ,
 
,
açılarının derece cinsinde değerini bulunuz.
10 50
93
Çözüm:
D
R
 formülünü kullanacağız.
180 


180 
D
5
5  D  180    36
 D
180 

5 
2
2
180 
D
7  D  180  2   51, 428
 7 D
180 

7 
6
6
180 
D
5  D  180  6   216
 5 D
180 

5 
D 3
180  3
180  3 

D
D
 540
180 



D 10

D
180 

D
 50  D 
180 
180 

10  D  180    18

10  
180 

50  D  180    3,6

50  
Esas ölçü:
Bir açı derece cinsinden verilmiĢ ise 360’a bölümünden kalan, radyan cinsinde ise 2 ye
bölümünde kalan açının esas ölçüsüdür.Eğer açı 360 den veya 2 den küçük ise pozitif açı ise esas
ölçüdür.
Örnek:
1680 ve
37
in esas ölçüsünü bulunuz.
5
Çözüm:
94
1680 360
 1680  4  360  240
1440 4
Esas ölçü
240
37
2
2
2 7
 7 
 6   
 

dir.
5
5
5
5
5
Esas ölçü
Periyodik Fonksiyon:
T

olmak üzere bir f  x  fonksiyonu bazı T sayıları için f  x  k  T   f  x 
şartını k 
için sağlıyor ise f  x  fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir.
Bu şartı sağlayan T 

sayılarının en küçüğüne fonksiyonun periyodu denir.
En belirgin periyodik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonlardır. Bunları
görmeye çalıĢalım.
TRĠGONOMETRĠK FONKSĠYONLAR
1. Kosinüs Fonksiyonu:
Orijinden geçen ve x  ekseni ile  açısı yapan ıĢının birim çemberi kestiği noktanın apsisine
o açının kosinüsü denir.
f : 0,     1,1
, y  f  x   cos x , y  cos x in periyodu 2 dir.

2


 x, y    cos ,sin  
0
3
2
95
x
0
cos x
1

2
0

1
3
2
0
2
y  cos x fonksiyonunda,
x  0  y  cos 0  1
1
x
2
 y  cos

2
0
x    y  cos   1
3
3
x
 y  cos
0
2
2
x  2  y  cos 2  1
1
0


2

3
2
2
-1
y  cos x fonksiyonunun ters fonksiyonu
f :  0,     1,1
f 1 :  1,1   0,  
y  f  x   cos x için,
y  f 1  x   arc cos x  cos 1 x dir.
Örnek:
 1
1 
 
1
f  x   cos x  f    cos  ise f 1    arccos  tür.
3 2
2 3
3
2

1
1
1
 60 dir.Yani, f  x   cos x  f  60   cos 60  ise f 1    arccos  60 dir.
3
2
2
2
2- Sinüs Fonksiyonu:
Orijinden geçen ve x  ekseni ile  açısı yapan ıĢının birim çemberi kestiği noktanın
ordinatına o açının sinüsü denir.
f : 0,     1,1
, y  f  x   sin x , y  sin x in periyodu 2 dir.
96

2


 x, y    cos ,sin  
0
3
2
x

0
sin x

2
1
0
0
3
2
1
2
y  cos x fonksiyonunda,
x  0  y  sin 0  0
0
x
2
 y  sin

2
1
x    y  sin   0
3
3
x
 y  sin
 1
2
2
x  2  y  sin 2  0
1
0



2
3
2
2
-1
y  sin x fonksiyonunun Ters Fonksiyonu
f :  0, 2    1,1
y  f  x   sin x için,
  
f 1 :   ,    1,1
 2 2
y  f 1  x   arcsin x  sin 1 x dir.
Örnek:

3
 
f  x   sin x fonksiyonunda f    sin 
olduğundan,
3
2
3
 3 
arcsin 
  olur.
 2  3
97
3-Tanjant Fonksiyonu
Orijinden geçen ve x  ekseni ile  açısı yapan ıĢının x  1 doğrusunu kestiği noktanın
ordinatına açının tanjantı denir.
 x, y    tan , y 
  
f :  ,  
, y  f  x   tan x
 2 2
fonksiyonunun periyodu  dir

x 1
y  tan x in grafiği
y  tan x 
sin x
cos x

sin 0 0
x  0  y  tan 0 
 0
cos 0 1


sin

2  1    tanımsız 
2
2 cos  0
2
sin 
0
x    y  tan  

0
cos  1
3
sin
3
3
2  1    tanımsız 
x
 y  tan

2
3 cos 3
0
2
sin 2 0
x  2  y  tan 2 
 0
cos 2 1
x
 y  tan

2
'nin komşuluğundaki x değerleri için
x

2
 tan x   , x 

2
 tan x  
3
3
 x  tan x  ,  x  tan x  
2
2
0

2

3
2
2
98
y  tan x in ters fonksiyonu
f 1 :
  
   ,  , f 1  x   arctan x şeklindedir.
 2 2
Örnek:

 
f  x   tan x  f    tan  1
4
4
arctan1 

4
olur.
4-Kotanjant Fonksiyonu
Orijinden geçen ve x  ekseni ile  açısı yapan ıĢının y  1 doğrusunu kestiği noktanın
apsisine açının tanjantı denir
f :  0,   
y 1
 x, y    x,cot  
, y  f  x   cot x
fonksiyonunun periyodu  dir

0'nin komşuluğundaki x değerleri için
y  cot x in grafiği
x  0  cot x  
 'nin komşuluğundaki x ler için
x    cot x  ,
x    cot x  
2 'nin komşuluğundaki xler için
x  2  cot x  
99
y  cot x 
cos x
sin x
x  0  y  cot 0 


cos 0 1
    tanımsız 
sin 0 0
cos

2  00
2
2 sin  1
2
cos  1
x    y  tan  

   tanımsız 
sin 
0
3
cos
3
3
2  0 0
x
 y  tan

3 1
2
3
sin
2
cos 2 1
x  2  y  tan 2 
 
sin 2 0
x
 y  cot


0
3
2

2
2
y  cot x 'in ters fonksiyonu
f:
  0,    y  f  x   cot x olmak üzere,
f 1 :  0,   
 y  f 1  x   arc cot x şeklindedir.
4- Secant ve Cosecant Fonksiyonları
cosinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi secant, sinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi
cosecant fonksiyonudur.Yani,
1



 x   2k  1 , k   ,
cos x 
2

1 


f  x   cos ecx  csc x 
x  k ,k 
sin x 
2

f  x   sec x 
y  sec x
y  csc x
y 1
y  1
y 1


2
0

2

3
2
2
3
y  1
100
Trigonometrik ÖzdeĢlikler
Toplam ve fark formülleri
1  sin  x
y   sin x cos y sin y cos x
2  cos  x
y   sin x sin y cos x cos y
3  tan  x
y 
4  cot  x
tan x tan y
1  tan x tan y
cot x cot y  1
y 
cot x cot y
Yarım açı Formülleri
1  sin 2 x  2sin x cos x
2  cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2cos 2 x  1  1  2sin 2 x
2 tan x
1  tan 2 x
cot 2 x  1
4  cot 2 x 
2cot x
3  tan 2 x 
Dönüşüm Formülleri
1
sin  x  y   sin  x  y  
2
1
2  cos x cos y  cos  x  y   cos  x  y  
2
1
3  cos x sin y  sin  x  y   sin  x  y  
2
1
4  sin x sin y   cos  x  y   cos  x  y  
2
x
1  cos x
x
1  cos x
5  sin 
, cos 
2
2
2
2
1  sin x cos y 
tan
x

2
1  cos x
1  cos x
, cot
x

2
1  cos x
1  cos x
PARÇALI FONKSĠYONLAR
Eğer bir fonksiyon farklı tanım kümeleriyle belirtilmiĢse, bu fonksiyon parçalı fonksiyondur.
101
Örnek:
, x 1
2 x

f  x   3
, x  2 fonksiyonu 3 parçadan ibarettir.
 x  1 , x  1

O halde 3 parçalı fonksiyondur.
1.parça 
2x
, x 1
2.parça 
3
, x2
3.parça 
 x  1 , x  1 dir.
Örnek:


, x
sin x
g  x  
2 fonksiyonu 2 parçadan ibarettir.
 cos x  1 , x  1
O halde 2 parçalı fonksiyondur.
1.parça 
2.parça 
sin x
, x

 cos x  1 , x 
2

2
dir.
Örnek:
x
2  3 , x  2
f  x   2
 x  4 , x  2
 f 1  f  3  ?
Çözüm:
1 sayısı x  2 aralığına ait olduğundan f 1  21  3  5
3 sayısı x  2 aralığına ait olduğundan f  3  32  4  13 bulunur.
f 1  f  3  5  13  18 dir.
Örnek:
 x2  1 , x  1
f  x  
parçalı fonksiyonun grafiğini çiziniz.
1  x , x  1
Çözüm:
y  x 2 -1 ve y  1  x fonksiyonların grafiklerini
tanım kümelerini dikkate alarak çizmeliyiz.
y  x 2 -1   0, 1 ,  1,0  , 1,0  noktalarında geçmektedir
ve T  0, 1 , a  1  0 olduğundan kollar yukarı,
y  1  x   0,1 ve 1,0  dır.

x 1
102
1
x 1
Örnek:
2 , x  0
f  x   x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
e
,
x

0

Çözüm:
y  ex
y2
y2
1
MUTLÂK DEĞER FONKSĠYONU
Mutlâk değer fonksiyonu ,

 f  x
y | f  x  | 

 f  x 
, f  x  0
, f  x  0
şeklinde tanımlanır.
Örnek:
y  x  4 fonksiyonunu parçalı olarak yazarak grafiğini çiziniz.
Çözüm:
x  4 nın iĢaretini inceleyelim.
x40 x4
x
x4

4
0
+
y  x  4
 x  4 , x  4
f  x  
x  4 , x  4
y   x  4   0, 4  ,  4,0 
y  x4
4
y  x  4   0, 4  ,  4,0  dir.
103
x4 x40
x 4 x40
Örnek:
y  x 2  4 x  3 mutlâk değer fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
Öncelikle x 2  4 x  3 ifadesinin iĢaretini inceleyelim.
x2  4 x  3  0   x  3 x  1  0  x1  3, x2  1 dir.
x
1
3
 x  3



 x  1






 x  3 x  1
2

 x  4 x  3 , 1  x  3
y  f  x   2

 x  4 x  3 , x  1 ve 3  x
şekilinde yazılır.
1
3
y1   x 2  4 x  3 , 1  x  3 ve y 2  x 2  4 x  3 , x  1 ve 3  x
fonksiyonlarının grafikleri verilen aralıkta çizilir.
Örnek:
y  x  1  3 fonksiyonun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
x  1 in işaretini inceleyelim.
x 1  0  x  1
x
x 1
1

0 
y  x  4
y x2
104
x  1  y  x  1  3  x  4
x  1 y  x 1 3  x  2
 x  4 , x  1
f  x  
x  2 , x  1
y1   x  4 , x  1   0, 4  ,  4,0 
y2  x  2
3
-2
11
4
, x  1   0, 2  ,  2,0 
8-BÖLÜM
ÖZEL TANIMLI FONKSĠYONLAR
ĠġARET (ĠġARET)FONKSĠYONU
ĠĢaret fonksiyonu,
1 , f  x   0

y  sgn  f  x    0 , f  x   0 şeklinde tanımlanır.

1, f  x   0
sgn  8   1 , sgn  5   1 , sgn  0   0
Örnek:
y  sgn  x  2 fonksiyonun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
x  2 nin işaretini inceleyelim.
x  2  0  x  2
x
2
x2
 0 
x  2  x  2  0 ve y  sgn  x  2   0 
1 , x  2


x  2  x  2  0 ve y  sgn  x  2   0   f  x   0 , x  0

1 , x  2
x  2  x  2  0 ve y  sgn  x  2   0 

y  1 ve y  1 doğrularının grafikleri çizilecektir.
105
1
-2
-1
Örnek:
y  sgn  x 2 2 x  3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
x 2  2 x  3  0 ise
 x  3 x  1  0 dır.
x1  3 , x2  1 olarak bulunur.
1
x
1 ,  1  x  3

y  f  x   0 , x  1 ve x  3
1 , x  1 ve x  3

3
x3
x 1



0 
x2  2 x  3


0



y 1
-1

3

y  1
Örnek:
y  x  sgn  x  2  fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
106
x  2 nin işaretini inceleyelim.
x20 x2
x
3
 2,2 
2
x2


0
2
x 1 , x  2

f  x   2
, x2
x  1 , x  2

2
1
şeklinde yazılabilir.
TAM DEĞER FONKSĠYONU
Tanım: x 
olmak üzere , x den büyük olmayan en büyük tam sayıya x ' in tam değeri denir. x ' in
tam değeri x Ģeklinde gösterilir.
Örnek:
3 3 ,
5  5 , 3,7  3 , 12,345  12
0,123  0 ,
5,6  6 , 3,457  4 , 0,345  1
356,789  356 ,
1,3435  2 , 93,7  93 , 12,345  12
Örnek:
x2
 6 denklemini çözünüz.
3
Çözüm:
x2
x2
66
 7  18  x  2  21  18  2  x  21  2
3
3
 16  x  19  Ç  16,19 
107
Örnek:
3x  5
 2 denklemini çözünüz.
x 1
Çözüm:
3x  5
3x  5
22
 3  2 x  2  3x  5  3x  3  2  5  x  2 x  3x  3  5
x 1
x 1
7
7
7

 7  4 x  8  7  4 x  8    x  2  2  x    Ç   2,   tür.
4
4
4

Örnek:
y  x fonksiyonunun 1,5 aralığında grafiğini çiziniz.
Çözüm.
4
1 x  2  y 1
2 x 3 y  2
3 x  4 y 3
x  4  y  4   x, y    4, 4 
3
2
1
1
2
3
4
Örnek:
f  x 
x3   3
sgn  e  x   3
fonksiyonu için f  5  ?
Çözüm:
f  x 

x3   3
sgn  e  x   3
2  1,86
sgn  2, 282   3

 f  5 
2   2 
1  3

5  3  3,14  5
sgn  2,718  5   3
4
2
2
FONKSĠYONLARIN EN GENĠġ TANIM KÜMESĠ
1. Polinom fonksiyonlar x  de tanımlıdır.
2. Kesirli fonksiyonlar paydayı 0 (sıfır) yapan değerler hariç tüm
108
reel sayılarda tanımlıdır.
3.
4.
y  2n f  x  fonksiyonu f  x   0 için tanımlıdır.
y  2 n 1 f  x  fonksiyonunun tanım kümesi,
f  x  fonksiyonunun tanım kümesi ile aynıdır.
5. y  log a f  x  fonksiyonu f  x   0 için tanımlıdır.
Örnek:
y  f  x   x  3  4 5  x fonksiyonunun
en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
y  f  x   x  3  4 5  x fonksiyonunda,
x  3  x  3  0  x  3

  3  x  5  f  x  'in tanım kümesi  3,5 dir.
4
5  x  5  x  0  5  x

ALIġTIRMALAR
1  f  x   x 2  x fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
2  f  x  x  3 
x
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
x 1
3  f  x   log3  4  x 2  fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
4  f  x   x | x | fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
5  f  x   x  2  x  2 fonksiyonunu grafiğini çiziniz.
6  f  x   log3 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
7 f :

/ {0}, f  x  
x
fonksiyonunu parçalı biçimde yazınız.
x
8  0,2  aralığında f  x   sin x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
9  0,2  aralığında f  x   cos x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
109
 x 1 
10  f  x   sgn 
 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
 x 3
11 
x3
 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3
12  sgn  3x  9   1 denklemini çözünüz.
13  f  x  
14 
x
 sgn 1  x   cos x olarak tanımlandığına göre f    ?
2
y  x2  6 x  12 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
110
111