Sayısal Hesabı Kötü Koşullu Analitik Bir Formülasyonun

URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Sayısal Hesabı Kötü Koşullu Analitik Bir Formülasyonun
Düzgünleştirilmesi: İki Dairesel Empedans Silindirinden Saçılma
Emrah Sever, Fatih Dikmen, Farhad Mazlumi*
Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü
Elektronik Mühendisliği Bölümü
Çayırova, Kocaeli
emrahsever@gyte.edu.tr, dikmen@gyte.edu.tr,
*Civil Aviation Technology College
Aviation Electronics Department
Tehran, Iran
mazlumi@yahoo.com
Özet: Bu çalışmada, komşu iki dairesel empedans silindirden monokromatik elektromanyetik dalga saçılma
problemine dair iyi bilinen analitik formülasyonun düzgünleştirilmesi sunulmuştur. Bu çalışma, mükemmel
iletken dairesel komşu iki silindirden saçılma problemi için yapılan çalışmanın iyileştirmesi ve uzantısıdır.
Sonuçlar, sonsuz uzunluktaki cebirsel denklem sisteminin ancak düzgünleştirme işlemi sonrasında kesilmeye
karşı güvenli olduğunu ve çözümün de bu durumda düşük kesme sayılarında bile daha güvenilir olduğunu
göstermektedir.
Abstract: In this study the regularization of the well-known analytical formulation of the monochromatic
electromagnetic wave scattering problem from two neighbour impedance circular cylinder system is presented.
It is the improvement and extension of the work done for scattering from two perfectly conducting circular
cylinders. Results show that it is numerically much safer to solve the obtained infinite algebraic system at a
lower truncation number also by ensuring the reliability of the solution.
1. Giriş
Temel bilimlere veya mühendislik dallarına ilişkin birtakım problemlerin analitik olarak elde edilen çözümleri
sayısal olarak çözülmek istendiğinde, çözümün kararlılığı, güvenilirliği gibi birtakım temel sorunlar üzerinde
durulması gereken hususlardır. Bu sorunlar, problemin kendi doğasından kaynaklanabileceği gibi çözümün
sayısal olarak hesaplandığı bilgisayarların yuvarlama hatalarından veya sonsuz uzunluktaki serilerin oluşturduğu
bir sistemin belli bir değerde kesilerek yeteri kadar terim alınamamasından da kaynaklanabilmektedir [1,2]. Bu
çalışmada, analitik çözümü bilinen, çok basit bir geometrik yapısı olan ancak nano-teknoloji ve meta-malzeme
bilimi için önemli olan [3], komşu iki dairesel empedans silindirden oluşan bir sistemden monokromatik
elektromanyetik dalga saçılma problemi ele alınmaktadır. Burada ele alınan probleme ilişkin formülasyon, [1]
'deki integral formülasyona (IF) karşılık gelir ve birinci tür sonsuz lineer cebrik denklem sistemi (LCDS1) olarak
ifade edilecektir. Bu tür bir sistemde matrisin ters almaya duyarlılığı, artan kesme sayısı ile kötüleşmekte ve
sistem kararsız olmaktadır [2]. Çalışmanın amacı, sayısal hesaplamalar için kötü koşullu olan bu sistemi, bir
düzgünleştirme operasyonu ile sayısal hesaplamalara daha elverişli bir sisteme dönüştürmektir. Bu problemin
düzgünleştirilmesi, [4]’de mükemmel iletken komşu dairesel iki silindir için uygulanan iyi-koşullama
stratejisinin genişletmesidir. Düzgünleştirme işlemi sonrasında elde edilen lineer cebrik denklem sistemi l2
uzayında, I birim operatör ve K kompakt bir operatör olmak üzere, (I+K)y=g biçiminde ikinci türden bir lineer
cebrik denklem sistemidir (LCDS2) [2]. Bu tür bir sistemde matrisin ters almaya duyarlılığı artan kesme sayısı
ile sınırlı kalmakta ve elde edilen çözüm güvenilir olmaktadır [5]. İlerleyen bölümlerde bu düzgünleştirme
işleminin detayları anlatılacak ve LCDS1 ile LCDS2 karşılaştırılarak bu regülarizasyon işlemin gerekliliği
üzerinde durulacaktır. Ayrıca TM polarizasyon ve TE polarizasyon durumları için formülasyon benzer
olduğundan sadece TM polarizasyon durumu ele alınacaktır.
2. Problemin Geometrisi ve Formülasyon
Şekil 1’de çalışmanın konusunu teşkil eden, Oz ekseni boyunca paralel ve homojen olan dairesel iki empedans
silindirdin oluşturduğu geometri gösterilmiştir. Silindirlerin, E-polarizeli (TM) Ez = Ezgelen gelen alanı ile
aydınlatıldığı ve ω açısal frekans olmak üzere zamana bağlılılığın e-iωt olduğu varsayılmıştır.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Şekil 1. Komşu dairesel iki silindirden oluşan system
Silindirlerin sınırları üzerindeki empedans sınır koşulları, n̂ yüzeyden dışa doğru birim vektör ve Zm m. sınıra
ilişkin empedans olmak üzere, aşağıdaki gibi verilir.
nˆ × E = Z m nˆ × nˆ × H , m = 1, 2
(1)
(
)
Bilindiği gibi silindirik koordinatlarda, bir elektromanyetik dalga TM ve TE polarizeli dalgaların süperpozisyonu
olarak ifade edilebilir [6]. Ayrıca empedans silindirleri z ekseni boyunca sonsuz uzunlukta olduklarından
problem z’den bağımsız olacak ve iki boyuta indirgenecektir. Bu durumda TM dalganın bileşenlerinin tümü, Ez
bileşeni cinsinden Eρ=Eϕ=Hz=0; Hϕ=i∂Ez/(ωµ∂ρ); Hϕ=-i∂Ez/(ωµρ∂ϕ) şeklinde ifade edilir. Burada µ ortamın
manyetik geçirgenliğini ve (ρ,φ,z) ise ilişkili silindirik koordinatları ifade etmektedir. Ancak problem z’den
bağımsız olduğundan koordinatları sadece (ρ,φ) şeklinde almak yeterli olacaktır. Bu durumda her bir silindire
ilişkin koordinat sistemi m=1,2 olmak üzere Omz ile ifade edilecek ve koordinat noktaları (ρm,φm) şeklinde ifade
edilecektir. (2) denklemindeki ifade (1) denkleminde yerine konulacak olursa m. silindirin sınırında aşağıdaki
bağıntı geçerli olacaktır.
⎡ E t − Z (i ωµ ) (∂E t ∂ρ ) ⎤
m
z
m
⎣ z
⎦
=0
m = 1, 2
(2)
ρ m = am
(2) bağıntısında, am m. silindirin yarıçapını, Ezt= Ezgelen+ Ezsc olmak üzere gelen ve saçılan alanların toplamını
ifade etmektedir. Ortamın dalga sayısı k=ω(εµ)1/2 ve Tn bilinen bir katsayı[5] olmak üzere m. silindirin sınırına
gelen alan ifadesi aşağıdaki gibi seriler ile gösterilebilir.
∞
inϕ
(3)
E zgelen ρ m , ϕ m = ∑ Tn J n k ρ m e m ;
(
)
n =−∞
(
)
Herhangi bir (ρm,φm) noktasındaki saçılan alan ifadesi, Rn(m) m. silindirden saçılan alanın katsayısı olmak üzere
(4) denklemindeki gibi olacaktır. Bu denklemden de görüldüğü gibi saçılan alan ifadesi, iki silindirden saçılan
alanların toplamı şeklinde olmaktadır.
(
)
2
E sc ρ m , ϕ m = ∑
∞
(
)
( m ) (1)
∑ Rn H n k ρ m e
m =1 n =−∞
inϕ m
, ρ m > am
(4)
İki silindir farklı koordinat sistemlerine sahip olduklarından, bir silindirin sınırı üzerinde, o silindirin koordinat
sistemine göre yazılan sınır koşulunda, diğer silindirden saçılarak bu sınıra gelen alanı ifade etmek için Graf’ın
Bessel ve Hankel fonksiyonları için (5) denklemi ile verilen toplama teoremi [7] kullanılır.
(1) k ρ einϕm = ∑∞ J k ρ H (1) kd ei( n − s )( 1−υ π +θmυ ) , n = 0, ±1, ±2,...
( m)
s(
m ) n− s (
mυ )
Hn
(5)
s =−∞
Burada {m,ν} {1,2}, m≠ν silindirlere ilişkin indis numaralarını belirtmek üzere, iki merkezi birleştiren vektör
dmν=Oν-Om şeklinde tanımlanmıştır ve dmν koordinat merkezleri arasındaki uzaklık, θmν ise bu merkezkeri
birleştiren doğrunun x ekseni ile yaptığı açının ölçüsüdür. (5) denklemindeki ifade, silindirlerin sınırlarının çok
yakın civarında, d>ρm olduğu her noktada geçerlidir. Böyle bir civar, Şekil1’deki geometrisi için sınırlar
kesişmediği sürece d>a1+a2 olduğundan her zaman mevcuttur. Bu nedenle bu yakın civardaki saçılan alan ifadesi
(4) ve (5) denklemleri kullanılarak aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir.
∞
∞
i ( s − n )( 1−υ π +θ mυ ) ⎫
⎧ m 1
υ
1
E sc ( ρ m , ϕ m ) = ∑ eisϕm ⎨ Rs( ) H s( ) ( k ρ m ) + ∑ Rn( ) H s(−)n ( kd mυ ) J s ( k ρ m ) e
⎬ (6)
s =−∞
n =−∞
⎩
⎭
İki silindirin sınırları için (3) denklemindeki gelen alan ifadesi ile (6) denklemindeki saçılan alan ifadesinin (2)
denkleminde yazılmasıyla aşağıdaki sonsuz LCDS1 elde edilir.
⎡ (1)m
⎤ ⎡ (m) ⎤ ⎡
m
m
⎤
⎢ H n ( am ) J n , s ( am ) ⎥ ⎢ Rn ⎥ = ⎢ −Tn J n ( am ) ⎥ ; n, s ∈ −∞, ∞ , m,υ ∈ 1, 2
(
)
{ }
⎢ υ
(1)υ a ⎥ ⎢ (υ ) ⎥ ⎢ −Tn J nυ ( aυ ) ⎥
J
a
H
R
(
)
(
)
⎥ ⎣⎢ n ⎦⎥ ⎣
υ ⎦
n
⎦
⎣⎢ n , s υ
(7)
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Burada tek alt-indisli elemanlar, vektör blokları veya diagonal bir matrisi oluşturan girişler, çift alt-indisli
elemanlar ise aşağıdaki forma sahip matis girişlerdir.
⎛
⎞
i s − n 1− υ , m π +α
( m,υ )
(1) ⎛
⎞ ( )⎜⎝ ( ) ( mυ ,υ m ) ⎟⎠
J n , s = J n ka( m,υ ) H s − n ⎜ kd mυ ,υ m ⎟ e
(
)
)
(
⎝
(8)
⎠
(7) denklemindeki her matris girişi ve sağ taraf bloğundaki vektörler için B herhangi bir Bessel veya Hankel
fonksiyonu olmak üzere Bnm(ρm)= Bn(kρm)-iζBn`(kρm) bağıntısı ( ' argümana göre türevi belirtmek üzere)
geçerlidir. Burada Z=(µ/ε)1/2 ortamın iç empedansı ve ζ=Zm/Z ortamın empedansına göre normalize empedansı
ifade etmektedir.
3. Regülarizasyon
Yukarıda elde edilen ve (7) denklemi ile ifade edilen Ax=b formundaki LCDS1, Bessel ve Hankel
fonksiyonlarının asimptotik davranışları ve asimptotik Stirling formülü uyarınca n→∞ için bir üst sınır değerine
yakınsayacaklardır. Bu sonuçlar sonsuz genişlikteki A matrisinin Öklit normunun sınırsız olmasından dolayı
LCDS1’in sayısal hesaplamalar için kesilmesinin kötü koşullu olduğunu göstermektedir. Bu nedenle bu forma
sahip bir LCDS1’in çözümleri yuvarlama hatalarına karşı korumasızdır [5]. [4] kaynağında, komşu iki
mükemmel iletken silindir için, bilinmeyen katsayıların uygun bir şekilde ölçeklenmesinin, LCDS1’i regülarize
ederek LCDS2 formuna dönüştürdüğü gösterilmiştir. Bu çalışmanın amacı da bu yöntemi empedans
silindirlerine uygulayacak şekilde genişletmektir. Bir integral formülasyona [1] ilişkin (4) denkleminde yer alan
saçılan alan katsayılarının yapısını anlamak, uygun öleçkleme işlemini gerçekleştirmek için kullanışlı olacaktır.
Bu katsayılar, n→∞ için çok hızlı azalan bir davranışa sahiptirler [5]. Bu nedenle ölçekleme işlemi, katsayıların
davranışına benzer asimptotik davranışa sahip fonksiyonları köşegeninde bulunduran bir R operatörü ile x=Ry
şeklinde gerçekleştirilir.
x = Ry →
⎡ ( m) ⎤ ⎡ F m ( a )
⎢ Rn ⎥ = ⎢ n m
⎢ R (υ ) ⎥ ⎣⎢ 0
⎣ n ⎦
⎤ ⎡ R ( m ) ⎤
⎥ ⎢ n ⎥;
υ
Fn ( aυ )⎥ ⎢ R (υ ) ⎥
⎦⎣ n ⎦
0
m
Fn (t )
⎧⎪ m
= ⎨ J n (t ) ≤
⎩⎪
(
⎧⎡
Λ=⎨
⎩⎢⎣
m
Jn
( am ))
−1
Im t
⎛t⎞
⎜ ⎟
( n − 1)! ⎝ 2 ⎠
e
(1) m
Hn
n −1
( am )
Im t
⎛t⎞
≤
veya
⎜ ⎟
(1)m
Hn
(t ) ( n − 1) ! ⎝ 2 ⎠
1
(
υ
Jn
( aυ ))
e
−1
(1)υ
Hn
n
( aυ )⎤⎥ veya [ I I ]
⎦
(9)
Denklem (9)’da verilen formülasyonda iki farklı Fnm(am) seçimi ile oluşturulan sağ yan operatörü R ve ona
ilişkin olarak seçilen sol yan operatörü L=diag(Λ), Ax=b formundaki LCDS1’i (I+K)y=g formundaki LCDS2’ye
dönüştürür. Burada I birim matris operatörü, (I+K)=LAR, (I+K)y=g ve y,g∈l2, y=R-1x ve g=Lb şeklindedir.
Eğer Λ1,2 asimptotik analizin reel değerli bazı sabitleri olursa (9) denklemindeki her iki Fnm(am) fonksiyonu,
K’nın sıfırdan farklı tüm girişlerinin üst sınırları için (10) denklemindeki eşitsizlik sonuçlarını verir ve
dmυ>am+aυ olduğu sürece K’nın l2’de kompakt bir öperatör olduğunu ıspatlar (eşitsizlik ifadesi kns(1) için
sırasıyla Λ1, a ve b alınacağını, kns(2) için ise sırasıyla Λ2, b ve a alınacağını ifade etmektedir). Bu çalışmadaki
problem için bu koşul kendiliğinden sağlandığından, ikinci tür sistemin kesmeye bağlı olmadığı ve çözümlerinin
güvenilir olduğu ıspatlanmış olur.
⎡
⎢
K=⎢
0
( )⎥
kns
⎥
1 ⎤
() 0
⎢ 2
⎢⎣ kns
⎥
⎥⎦
;
(1)
kns
⎞
⎛ Λ1 ⎞ ⎡ ( n + s ) ! ⎤ ⎛ ⎛ a ⎞
<⎜
⎥ ⎜ ⎜ ⎟ d mmN ⎟
⎟* ⎢
2 ) ⎝ Λ 2 ⎠ ⎢⎣ n − 1! s − 1!⎥⎦ ⎝ ⎝ b ⎠
(
⎠
kns
n
⎛⎛b ⎞
⎞
⎜ ⎜ ⎟ d mmN ⎟
a
⎝
⎠
⎝
⎠
s
(10)
4. Kaynaklar
[1]. R.H.T. Bates, “Analytic Constraints on Electromagnetic Field Computations”. IEEE Trans. Microwave
Theo. Tech. vol 23, pp. 605-623, 1975.
[2]. Poyedinchuk A. Ye., Tuchkin Yu. A., Shestopalov V.P., New Numerical-Analytical Methods in Diffraction
Theory, Math. & Comp. Modeling, 32, 1029-1046, 2000.
[3]. M.A. Salem and, A.H. Kamel, “Scattering by an Impedance Cylinder Immersed Halfway Between
Dielectric-Metamaterial Half-Spaces”, in Proc. EMTS 2013, paper 21PM2D-01, p.287.
[4]. Ivanov E. A. (1968), Diffraction of Waves from Two Bodies, Nauka i Tekhnika, Minsk, (Rusça ve İngilizce
çevirisi NASA TT F-597 olmak üzere).
[5]. Sever E., F. Dikmen, O.A. Suvorova, ve Yu.A. Tuchkin (2014), ‘An analytical formulation with illconditioned numerical scheme and its remedy: Scattering by two circular impedance cylinders’, Turk. J. Elec.
Eng. & Comp. Sci., available online; DOI: 10.3906/elk-1312-262.
[6]. Balanis, C.A., Advanced Engineering Electromagnetics, John Wiley & Sons Inc., New York, NY, 1989.
[7]. Chew W.C., Waves and Fields in Inhomogeneous Media, Wiley-IEEE Press, January 1999.