Sayılar Teorisi Kitabı Soru Çözümleri

ÖABT Sayılar Teorisi
KONU TESTİ
3.
ÇÖZÜMLER
Tam Sayılarda Bölünebilme
123, 111  3
ve 3 3
olduğundan
sonsuz
çözüm vardır.
1.

a b ve b a  a  b , a, b 


123  111 . 1  12  123  111  12

111  12.9  3  111  12.9  3
olduğundan
ab
 111  9 123  111  3
a b ve b c  a c
 123  9   11110   3
a b ve c d ise  a  c  b  d olmayabilir.
1 3 ve 3 12
a
b
a  9
 b  10
4 15
Cevap: C
ab 1
Cevap: D
2.
Euclid bölme algoritması yardımıyla,
2013  427.4  305
427  305.1  122
4.
305  122.2  61  ebob
p asal ve  p  2  de asal ise p,  p  2  sayıları
ikiz asaldır.
122  61.2  0
3 ve 5
II. yol
5 ve 7
11 ve 13
17 ve 19
Cevap: C
Cevap: D
ÖABT Sayılar Teorisi
5.
KONU TESTİ
Goldbach Konjüktürü 2 den büyük her çift sayı
8.
iki tane asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir.
Tam Sayılarda Bölünebilme
p asal sayı olmak üzere,
n  p2
Şıklarda sadece 25 tek sayıdır. Bu yüzden
Şeklinde olmalıdır. Asal sayıların kareleri ince-
Goldbach Konjüktürü bu sayı için gerçeklen-
lendiğinde,
mez.
16  11  5,
28  23  5
32  9
20  13  7,
36  19  17
52  25 
 sadece n  25 ve n  49 sayıları bulunur
72  49 
112  121
Cevap: C
Cevap: A
6.
Mm  2m  1  Mersenne sayısı
P asal sayı olmak üzere,
Mp  2p  1  Mersenne asalı
1 ekleyince 2 nin kuvveti olan 63 ve 127 sayıla-
9.
rı vardır.
a, b, c asal; m, n, k 
 1 bn  1  1 c k  1  1
.
.
a 1
b 1
c 1
Bu iki sayıyı inceleyelim.
63  26  1  6 asal değildir.
Şıklardaki
127  2  1  7 asal sayı olduğundan
28  22.7
127 sayısı Mersenne asalıdır.
  28     22.7   2
28
olmak üzere,
m 1
  am .bn.c k   a
7

sayısına
bakacak
olursak,
 1 72  1
48
.
7
2 1 7 1
6
 56  2.28
3
Cevap: D
Cevap: D
7.
2, 3, 5, 7, 11  12
5 tan e
10.
 12  5
Cevap: C
6  1, 2, 3, 6  3  6   13  23  33  63
 252
Cevap: E
ÖABT Sayılar Teorisi
KONU TESTİ
12. I)  2,n   1 olduğundan
11. 240  24.3.5

Tam Sayılarda Bölünebilme
 


  240    24.3.5  24  23 . 31  30 . 51  50

  2n     2  .  n 
  2n     n 
 8.2.4  64
Cevap: C
 
II)  2k  2k 1 
2k n

2 2
III)   n   3k, k  0, 1, 2, ... koşulunu sağlayan
sonsuz tane   n  vardır.
Cevap E
ÖABT Sayılar Teorisi
Tam Sayılarda Bölünebilme
KONU TARAMI SINAVI - 1
ÇÖZÜMLER
5.
24
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
1.
  24   8
3116  943.3  287
  24   1  2  3  4  6  8  12  24  60
943  287.3  82
287  82.3  41
82  41.2  0
  24     24   8  60  68
Cevap D
 3116,943  41
Cevap D
6.
2.
 a,b   a,b  a.b
x  y  x.y
y  xy  x
a ve b asal
a5 ,
a2.b,
a2.b,
a2.b,
a2.b
25
22.3
32.2
52.2
7 2.2
22.5
32.5
52.3
22.7
32.7
22.11
32.11
y  x  y  1
22.13
1
y 1
22.17
x  1
22.19
 2,2
y  2 için x  2
22.23
Cevap B
Cevap C
7.
3.
43x  37y  1


 22  21 33  32
43  37.1  6  6  43  37.1
37  6.6  1
   
 108    22 . 33
 2.18  36
37  6  43  1.37   1
37  6.43  6.37  1
7.37  6. 43  1  x  y  1
y

Cevap C
x
Cevap D
8.
4.
M10  210  1  1023
1023  3.341
 3.11.31
I, II, III
Cevap E
Cevap D
ÖABT Sayılar Teorisi
KONU TESTİ
ÇÖZÜMLER
1.
3.
Kongrüanslar
x3  y3  a mod 7


  x  y  x 2  xy  y 2  a mod7 
I ve II öncülleri kongrüans özelliklerinden dolayı
2
  x  y   x  y   3xy   a  mod 7 


doğrudur.


 2 22  3.6  a mod 7 
III. öncül  c,m   1 durumunda doğru olur.
 28  a mod 7 
 a  0 mod 7 
a b
m
 c, m  d ise   mod  olduğundan.
c c
d
a07
Cevap: C
2.
1101  2101  ...  100101  ? mod 101
Cevap: E
4.
72 ile aralarında asal olan ve 72 den küçük
sayılar indirgenmiş kalanlardır.
100  1 mod 101
  72   ?
99  2  mod 101
   
 3  3 . 2  2 
   72     9.8    32 .  23
.
.
2
.
 51  ...  99
1  2  ...  50
  50   ...   2    1  ?  mod101
101
101
101
101
101
101
101
 100
 ?  mod101
1  2  ...  50
101
3
2
 6.4  24
51  50  mod 101
101
1
101
101
101
0  ?  mod101  kalan 0 olur.
Cevap: A
Cevap: D
ÖABT Sayılar Teorisi
5.
KONU TESTİ
13 asal ve 13 † 2 ve 13 † 3  olduğundan
7.
Kongrüanslar
p asal olmak üzere,
Fermat teoremi gereğince,
p  1 !  1mod p  dir.  Wilson Teoremi 
212  1mod 13 ve 312  1mod 13 olur.
11 asal olduğundan,
11  1 !  1mod 11
 10!  10 mod 11
 9!.10  10 mod 11
 9!  1mod 11
225  326  x mod 13 
2 
12
2
 
.2  312 .32  x  mod 13 
2
2  9   mod 13   x  11mod 13 
min x 
 11
Cevap: B
Cevap: E
6.
 7, 120   1
olduğundan Euler teoremi gereğin-
ce,
7
 120 
 1 mod 120  olur.


 . 5
 120    23.3.5


 23  22 . 31  30
 4.2.4  32
7 
32
3


1
0  32
 5  7  1mod 120 



.7 4  ?  mod 120 
8.
2014  1mod m 
 2014  1  km, k 
 2013  km

 74  ?  mod 120 

2013
 m  2013 ün pozitif bölen sayısına bakılır 
k
2013  3.11.61  2.2.2  8 tan e m  1değeri
 343.7  ? mod 120 
var dır. m  1 çıkarılırsa 7 tan e m değeri olur.
 103.7  ? mod 120 
 721  ? mod 120 
 ?  1 mod 120 
Cevap:D
Cevap: A
ÖABT Sayılar Teorisi
9.
KONU TESTİ
x2  2x  3 mod p 
Kongrüanslar
11. 6 asal olmadığından tüm kalan sınıflarına tek
tek bakılır.
 x 2  2x  3  0  mod p 
x  0 için 0  0  0  mod 6 
  x  1 .  x  3   0 mod p 
 x  1  0  mod p  veya x  3  0 mod p 
 x  1 mod p  veya x  3 mod p 
 x  1 mod p  veya x  p  3 mod p 
Cevap: B
x  1 için 1  1  2  mod 6 
x  2 için 4  2  0 mod 6 
x  3 için 9  3  0  mod 6 
x  4 için 16  4  2 mod 6 
x  5 için 25  5  0  mod 6 


Ç.K.  0, 2, 3, 5
4 tan e var dır.
Cevap: D
10. 385  ? mod 100
 3, 100   1 ise
3
 100 
 1 mod 100  Euler Teoremi 

 

 100    22.52  22  21 . 52  5

 2.20  40
 3 40  1mod 100 
3
85
 ? mod 100  ve 3
 
 3
40
2
40
12. x4  1  0 mod 5
 1mod 100 
x
.3  ? mod 100 
5
 35  ? mod 100   243  ? mod 100 
 ?  43 mod 100 
2


 1 x 2  1  0 mod 5 
 x  1 x  1  x 2  4   0 mod 5 
 x1  1
 x 2   1 4
 x3  2
 x  1 x  1 x  2  x  2   0 mod5   x 4   2  3
4.3  12
Cevap: C
Cevap: E
ÖABT Sayılar Teorisi
KONU TESTİ
13. 3x  1  x  4 mod 7 
16.
 2x  3  0 mod 7 

olduğundan 17x  1 mod 101
olur.
17x  1mod 101
 2  x  2   0  mod 7 
max  x  
17, 101  1
kongrüans denkleminin çözümü 17 nin tersi
 2x  4  0 mod 7 
 x  2 mod 7 
Kongrüanslar
 6  17x   6  1mod 101
x  2  5
 2 ve min  x  

102x  6 mod 101  x  6 mod 101
5
x6
 2  5  3
Cevap: A
Cevap: C
14. 5x  7  mod 11
  9  5x   9  7 mod 11
 45x  63 mod 11
 x  8  mod 11  x  8  11k, k 
k  1 için,
x  8  11  19 ise 1  9  10
Cevap: D
17. ax  by  c mod m  olmak üzere,
 a, b, m   d
ve d c
ise denklemin birbirine
kongrüent olmayan md tane çözümü vardır.
 3, 5, 8   1
ve 11 olduğundan
1.8 = 8 tane birbirine kongrüent olmayan çözüm
vardır.
15. 18x  30 mod 48 
18, 48   6
3x  5 mod8 
3.3x  3.5 mod8 
1x  7  mod8 
x  7  8k
x  7, 15, 23
7  23  15  45
Çözümleri bulmak istersek,
 y  0 için  3,0 
 y  1 için  4,1

 3x  9  3y mod 8   :
:
 :
:
 x  3  y mod 8  
 y  7 için  2,7 
3x  1  5y mod 8 
Cevap: C
ÖABT Sayılar Teorisi
KONU TESTİ
18. x  1  2k  2  3p  4  5q, k, p, q 
 x  1 2  2k  3  3 p  5  5 q

Kongrüanslar
19. a2  b2 mod p  a2  b2  0 mod p
  a  b  a  b   0 mod p 
 2, 3, 5   30
 p  a  b  veya p  a  b 
 x  1  30 m, m 
m  4 için x  1  120 ise x  119
I. öncül yanlış olur.
1.1.9  9
a  b
p
Bu soru Çin Kalan Teoremi yardımıyla da çözü-
p
p
 p 
p
   ap    ap 1.b  ...   1  .a.bp 1    bp
a
 1
p 
b
p nin katı olduğundan p ile bölümünden kalan
0 dır.
lebilir.
  a  b   ap  bp mod p 
p
m1  2
m2  3
m3  5
M1 
M
m1
M1  15

a1  1 

a2  2  M  2.3.5  30

a3  4 

M2 
M
m2
M2  10
II. öncül doğru olur.
 a,5   1 ise
a
 5
 1mod 5  Euler Teoremi 
  5   51  50  4
M3 
M
m3
a4  1mod 5   a8  1mod 5 
 a8  1  0  mod 5 
M3  6
M1.y1  1 mod 2   15y1  1mod 2   y1  1mod 2 




M2 .y 2  1 mod3   10y 2  1mod3   y 2  1mod3 


M3 .y 3  1mod5   6y 3  1mod5   y 3  1mod5 
 x  a1.M1.y1  a2.M2.y 2  a3 .M3 .y 3 mod M 
a8 1 5 ile tam bölünür
III. öncül doğrudur.
Cevap: E
20. 53
23
 ? mod 23  , 23 asal ve 23 † 5 olduğun-
dan,
 x  1.15.1  2.10.1  4.6.1 mod 30 
522  1mod 23  (Fermat Teoreminden)
 x  15  20  24 mod 30 
 x  29  mod 30  ise x  29  30k, k 
323  ?  mod 22  bulalım.
k  3 için x  119 ve 1.1.9  9
 3,22   1 3  22  1mod 22  Euler Teore min den



  22     2.11  21  20 111  110  1.10  10
Cevap: C
310  1 mod 22 
 
323  ?  mod 22   310 .33  ? mod 22 
2
 27  ?  mod 22 
 ?  5  mod 22 
55  ?  mod 23 
125.25  ? mod 23   10.2  ? mod 23 
 ?  20  mod 23 
?  20
Cevap: E
ÖABT Sayılar Teorisi
KONU TESTİ
21. x 4  x 2  0 mod5 

Kongrüanslar
  

23.  35


x 2 x 2  1  0  mod5 
x 2  0, x 2  1  5
7 5



3  
35
x2  4
x  2, x  2  5
x  2, x  3
35 35
..
7.

 3
35


35 35
...
 ? mod 10 
 3,10   1 olduğundan
3
 10 

 2, 5   1,  3,5   1
...
 1 mod 10  ,


 10     2,5   21  20 51  50  4
Cevap: C
 
34  1  mod 10   335  3 4 .33  33  7 mod 10 
 7,10   1 olduğundan
7
8
 10 
 1 mod 10 
 74  1mod 10 
 
735  7 4 .73  343  3 mod 10 


  35 35 
3  
  7  
 3 
8
..
35 .
Bu sayının birler basamağı
3 veya 7 olabilir.
7
Cevap: D
24. a  b  mod m  ise a  b  km,
k
22.
 3, 1000   1  3 1000  1 mod 1000 

 

 1000    23.53  23  22 53  52

 4.100  400  3 400  1mod1000 
3 
400
25
 b  a  km
 a, m    a  km, m   b, m 
I. öncül doğrudur.
a  b  mod m  ve d m ise
k, q  
a  b  km ve m  dq
 1mod 1000 
a  b  k .d.q  b  d.k .q
 310000  1 mod 1000 
a  b  d. t,
 3.39999  1 mod 1000 
 3.?  1mod 1000   3 ?  1 1001 2001
3 ünkatı
3 ?  2001  ?  667
t  
t
a  b  mod d
II. öncül doğrudur.
Teorem gereği III. öncülde doğrudur.
Cevap: B
Cevap: E
ÖABT Sayılar Teorisi
KONU TARAMA SINAVI - 2
ÇÖZÜMLER
1.
5.
Kongrüanslar
 x  1 .  x 2  x  1  0 mod13 
x  1mod13  ,
1000  1  0 modm 
x 2  x  1  0 mod13 
x 2  x  12  0 mod13 
1001  0 modm 
 x  4.  x  3  0
1001
m
m  1, 7, 11, 13, 7.11, 7.13, 11.13, 7.11.13
m  1 olduğu için 7 tan e değeri var dır.
x  4, x  3
x9
9.3.1  27
Cevap C
Cevap D
6.
2.
23x  1 mod 73 
54.23x  54 mod 73 
 
  90     2  . 32 .  5 
x  54  mod 73 
 1.6.4
 24
Cevap D
Cevap E
7.
3.
x  1  3k  3  5t  5  7z
x  2  105k
x  2  105
x  103
1 0  3  4
12!  1 mod13 
12.11.10!  1 mod 13 
k, t, z  
k  1 için
1.  2  .10!  1mod 13 
Cevap B
2.10!  1 mod 13 
10!  6 mod 13 
8.
Cevap D
 13   12
521  x  mod 12 
   
  2  2 . 3  3 
 12    22 . 31
2
4.
3  3 mod24 
1
4  4 mod24 
1
  24   8
 
3
32  9 mod24 
42  16 mod24  58 .51  5 mod24 
3  3 mod24 
4  16 mod24 
34  9 mod24 
:
3
3
1
1
0
 2.2
4
5 
4
5
.51  x mod 12 
5x
3  x  mod 13 
5
:
33  1mod 13 
33.32  9  mod 13 
3  16  5  x mod24 
9  1  10
0  x mod24 
Cevap C
Cevap B
ÖABT Sayılar Teorisi
KONU TESTİ
ÇÖZÜMLER
1.
 7,11  1,
3.
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
eksma  k ise ak  1mod m
an  1mod m  n  k.p, p 
 11  10
olmalıdır.
k k.p  k n olur.
eks117  11 olduğundan eks117  1, 2, 5, 10
I. öncül doğru
sayılarından biri olacaktır. 7 nin bütün kuvvetlerine bakmaya gerek yoktur.
 a, m  1 ise a m  1mod m , Euler teoremi 
71  7  mod 11
eksma  1  ak  1mod m 
72  5 mod 11
  m   kq, q 
75  10 mod 11
 k kq  k  m 
710  1mod 11  eks117  10
olur.
II. öncül de doğru
III. öncülde ilkel kökün tanımı verilmiştir.
Cevap: E
III. öncül de doğru.
Cevap: E
2.
Bu sayılar 9 ile aralarında asal olacaklarından
sadece 1, 2, 4, 5, 7, 8 sayıları incelenir.
11  1 mod 9   eks91  1
23  8  mod 9   eks9 2  3
4.
41  4  mod 9  


42  7  mod 9   eks9 4  3

43  1 mod 9  
indga  k  gk  a mod m
indg a
g
 gk  a mod m 
I. öncül doğrudur.
 m
g
 1mod m   indgg  1  q m  , q 
 indgg  1mod  m  
53  8  mod 9   eks9 5  3
71  7  mod 9  


72  4  mod 9   eks9 7  3

73  1 mod 9  
II. öncül doğrudur.
81  8  mod 9  

 eks9 8  2
2
8  1mod 9  
gkn  an mod m   indgan  nk mod  m  
Bu koşula 4 ve 7 uymaktadır. 2 tanedir.
III. öncül doğrudur.
indga  k olsun.
gk  a mod m 
 indgan  n.indga mod  m  
Cevap: B
Cevap: E
ÖABT Sayılar Teorisi
5.
KONU TESTİ
73 modülüne göre birbirine kongrüent olmayan
7.
ilkel köklerin sayısı =     73  

    73      72    23.32


18 ile aralarında asal olanlara bakılır.
 5,18   1

 23  22 . 32  31
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
ve  7,18   1
5 ve 7 incelenir.




 18    2.32   2  1 . 32  3  6 kuvvetler

1, 2, 3, 6 olmalı
 4.6  24
Cevap: C
51  5 mod 18 
71  7 mod 18 
52  7 mod 18 
72  13 mod 18 
53  1mod 18 
73  1mod 18 
56  1mod 18 
7 pirimitif kök değildir
5 pirimitif köktür
Cevap: C
8.
6.
p, tek asal sayı ve n 

olmak üzere,
2, 4, pn, 2.pn  tipindeki sayıların ilkel kökü
vardır.
p  3, n  2 alınırsa pn  32  9 sayısının ilkel
kökü vardır.
Cevap: B
12  1  mod 13  


22  4 mod 13  
 1  4  9  3  12  10
32  9  mod 13  
6 tan edir


p  1 13  1
2
4  3  mod 13   Kısaca

 6 tan e

2
2

52  12 mod 13  

62  10  mod 13  
72   6   10 mod 13  


2
2
8   5   12 mod 13   aynı kalanlar

:
 tekrar eder
.

2
122   1  1  mod 13  
2
Cevap: D
ÖABT Sayılar Teorisi
KONU TESTİ
9.
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
11. Quadratik rezidü sayısı 
13  1mod 7  

23  1mod 7  

33  6  mod 7  
 1  6  2 tan edir.
43  1mod 7  

53  6  mod 7  
63  6  mod 7  
p  1 17  1

 8 tane
2
2
Tüm rezidüler  1, 2, ... ,16
16 a det
16  8  8 tane kuadratik olmayan rezidü vardır.
Cevap: D
Cevap: B
12.
13  1  mod 11
23  8 mod 11
33  5  mod 11
43  9  mod 11
53  4  mod 11
63   5   53  4  7 mod 11
3
73   4   43  9  2  mod 11
3
10.
83   3   33  5  6  mod 11
3
14  1 mod 5  

24  1 mod 5  
 sadece 1 vardır.
3 4  1 mod 5  

4 4  1 mod 5  
93   2   23  8  3 mod 11
3
103   1  13  1  10 mod 11
3
Kübik rezidüler  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Cevap: B
ayrıca bunlar tüm rezidülerdir.
Yani kübik olmayan 0 (sıfır) tane rezidü vardır.
Cevap: A
ÖABT Sayılar Teorisi
KONU TARAMA SINAVI - 3
ÇÖZÜMLER
5.
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler
I, II, III
Cevap E
1.
101  10 mod 11
102  1mod 11
11 modülüne göre mertebesi 2 olan tek sayı
10’dur.
6.
Cevap A
2.
  6     2  .  3 
 1.2
2
verilen seçeneklerde
51  5  mod 6 
52  1 mod 6 
sağlar.
Cevap E
3.
p  1 23  1

 11
2
2
Cevap B
4.
   
   101    100    22 . 52


 22  21 . 52  51

 2.20
 40
Cevap C
I, II, III
Cevap E
ÖABT Sayılar Teorisi
GENEL TARAMA SINAVI
ÇÖZÜMLER
5.
18
11  7
1.
Cevap C
I, II, III
Cevap E
2.
493  377.1 116
6.
377  116.3  29
116  29.4  0
Mp  2p  1
M5  25  1  31
3 1 4
 493,377   29
Cevap B
Cevap E
7.
3.
seçeneklerde
 x  8
denklemini
sağlayan en büyük x tamsayısı 22 dir.
115x  95y  5
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
23x  19y  1
23  19.1  4  4  23  19.1
19  4.4  3  3  19  4.4
4  3.1  1 
Verilen
  22  8
Cevap D
4  119  4.4   1
4  1.19  4.4  1
5.4  1.19  1
5  23  19.1  1.19  1
8.
5.23  5.19  1.19  1
5.23  6.19  1
x
15 in pozitif tam sayı bölenleri
1, 3, 5, 15
2 15   12  32  52  152
y
x  y  1
 1  9  25  225
 260
Cevap B
Cevap D
4.
p, p  2  ikiz asal
9.
3, 5
5, 7
     
  720    24 . 32 . 51



 24  23 . 32  31 . 51  50
11, 13

 8.6.4
 192
17, 19
29,31
Cevap E
41, 43
Cevap C
ÖABT Sayılar Teorisi
GENEL TARAMA SINAVI
   
10. 6 nın pozitif bölenleri 1, 2, 3, 6
15.  144    24 . 32
1  2  3  6  12

  6   12

 24  23 . 32  31

 8.6
 48
Cevap A
Cevap D
1 1
11. 2013  31.11.61
 1  1 . 1  1 . 1  1
16.
 2.2.2
8
p  1 !  1mod p 
 10!  1 mod 11
10.9!  1 mod 11
Cevap D
9!  1 mod 11
 10.9.8!  1 mod 11
 1 .  2 .8!  1mod 11
2.8!  1mod11
2.8!  10  mod 11
8!  5  mod11
12. I, II, III
Cevap E
8! 9!  5  1  6
Cevap C
m

13. a.c  b.c modm ise a  b  mod  olmalıydı.
d

II ve III daima doğrudur.
Cevap D
17.
p  1 !  1mod p 
p  1 . p  2 . p  3  . p  4  !  1mod p 
1.  2  .  3  . p  4  !  1mod p 
6. p  4  !  1mod p 
Cevap D
14. x 
1
9
x
x 2  1  9x
18. x 4  1  0
2
x  9x  1  0
x 2  9x  10  0
x4  1
 x  10  .  x  1  0
x 2  1, x 2  1  7
x2  1
x  10  11k
k  0 için
x  10  1  0  1
Cevap A
x 2  6 buradan kök gelmez 
x  1, x  1
x  1  7, x  1
x  6,
x 1
Cevap B
ÖABT Sayılar Teorisi
GENEL TARAMA SINAVI
23. 19x  1 mod 101
19. 4142  4243  mod 43 
16.19x  16 mod 101
  43   42
42
41
 1 mod 43  42
42
x  16  mod 101
 1mod 43 
4243  1 mod 43 
42
42
41
 42
43
Cevap B
 42 mod 43 
43
1  42  0  mod 43 
Cevap C
24. x  4  5a  5  6b  6  7c
x  1  5  5a  6  6b  7  7c
 5,6,7   210
20. x  x  6  0 mod p 
2
x  1  210k  x  1  210
x  209  2  0  9  11
 x  3  x  2   0 mod p 
x  2  mod p  veya x  p  3  mod p 
Cevap E
Cevap B
21.
 x  y 2  x2  2xy  y2
25.
12,27   3
4x  7  mod9 
a  x 2  y 2  2xy
a  5  2.4
7.4x  7.7 mod 9 
a  13 mod 11
1x  4 mod 9 
a  2 mod 11
x  4  9k
x  4, 13, 22
4  13  22  39
Cevap B
Cevap D
22. 7x  5 mod 17 
5.7x  5.5  mod 17 
x  8 mod 17 
x  8  17k
x  1 için
x  25  2  5  7
26.
 6, 8, 16   2
2
10 olduğu için 2.16 = 32 tane
birbirine kongrüent olmayan kök vardır.
Cevap E
Cevap D
ÖABT Sayılar Teorisi
GENEL TARAMA SINAVI
  
27.     289      172
30.
p  1 11  1

5
2
2
   272 
Cevap C
   
  2  2  . 17  17 
  24 . 171
4
3
1
0
 8.16
 128
Cevap E
31. a12  1mod13 
a12  a2  a  0 mod13 
28.  13   12
12 nin çarpanları olan 1, 2, 3, 4, 6, 12 kuvvetlerine bakmak yeterlidir.
1  a2  a  0 mod13 
a2  a  1mod13 
a2  a  12 mod13 
6  6  mod13 
 a  4  a  3   0 mod13 
1
6  10  mod13 
a  4  13k  a  9  13k
a  3  13k k  7 için
a  94
9  4  13
2
6  8  mod13 
3
6 4  9  mod13 
Cevap B
66  12  mod13 
612  1 mod13 
Cevap E
32.  11  10
349  x mod10 
 10     2  .  5 
29. 21  2 mod7 
31  3 mod7 
2  4 mod7 
3  2 mod7 
2  1mod7 
33  6 mod7 
5  x mod11
3  1 mod7 
53  4 mod11
2
3
3 
4
 1.4
2
34  1mod10 
12
.31  3 mod10 
4
3
6
Cevap C
41  4 mod7 
51  5 mod7 
42  2 mod7 
52  11mod7 
43  1mod7 
53  4 mod7 
33. 12 Mayıs 2013
5  3  mod7 
6
2014 2015
Pazartesi
57  1 mod7 
Salı
2016
2017
Perşembe Cuma

4 ün katı
olan yıllarda
2 gün artar
61  6 mod7 
62  1mod7 
7 modülüne göre mertebesi 2 olan sayı 6 dır.
Cevap A
12 Mayıs 2017 Cuma ise 15 Mayıs 2017 Pazartesi
Cevap C
ÖABT Sayılar Teorisi
34.
GENEL TARAMA SINAVI
 6, 4  okek  12
7.12  84
38.
1234567  6.70  5.71  4.72  3.73  2.74  1.75
nöbetin pazartesi olması için 7 ' nin katı olmalı
 634527
 27
84 4
21
 8
04
 4
0
21  1  22. nöbeti olur.
27  x mod8 
x3
Cevap D
Cevap C
35. 3 x  2 mod5 
31  3 mod5 
33.38  2 mod5 
32  4 mod5 
311  2 mod5 
33  2 mod5 
1 1  2
39.
7
 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
0 0
11
34  1mod5 
4 2
38  1mod5 
27  9  3
Cevap C
36.
Cevap B
2000  100a  10b  c
1000a
 100b  10c  1

1100a  110b  11c  2001
11100a  10b  c   2001  x mod11
11abc  2001  x  mod11
2abc  abc1  10  mod11
40. S  K  M  Y  T  Y  M  K S  K ...
8
8
Cevap E
2015 8
251
 16

99
37. 1
99
99
 ...  98
99
 ...   1
2
1 2
99
99
 99
99
99
0
99
 100
99
1
 x mod99 
 1mod99 

41
40
15
8
7
2015. sırada yanıp sönen lamba mavidir.
Cevap B
Cevap C
ÖABT Sayılar Teorisi
41.
GENEL TARAMA SINAVI
11,1000   1
 1000 
11
 

42.  735

 1mod1000 


25
 x  mod10 
7 4  1 mod10 
 125
7 
4
.11  11000 
9999
11
35...


 10   4
11400  1mod1000 
11400
35 
8
.73  x  mod10 
1.73  3  mod10 
11x  1  1000, k, k 
x  91
3 
35
Cevap B
35...
 x  mod10 
3 4  1 mod10 
3 
4
8
.33  x  mod10 
1.33  x mod10 
33  7  mod10 
sayısının birler basamağı 3 ve 7 değerlerini alır.
3.7  21
Cevap D