KOMB NATOR K TOPOLOJ ARA SINAV CEVAP ANAHTARI Çözüm

20.11.2009
KOMBNATORK TOPOLOJ ARA SINAV CEVAP ANAHTARI
1.
τ1 , R
τ2 , R
üzerinde üst limit toplojisi ve
U ∈ τ2
Çözüm:
olsun.
x∈U
alalm. Ayrca
üzerinde sonlu tümleyen topolo jisi olsun. Bu topolo jileri kyaslaynz.
x1 , x2 , . . . , xn ∈ R − U
olsun.
ε = min{|x1 − x|, |x2 − x|, . . . , |xn − x|}
seçelim. O zaman
(0, 1] ∈ τ1
ve
(x − ε, x + ε] ⊆ U
x = 1
kendisidir. Dolasyla
2.
A
B, X
ve
U ∈ τ1 ,
tarafndan içerilen ve
yani
1
τ2 ⊆ τ1 .
noktasn içeren kümenin tümleyeni ne sonlu nede
R
nin
τ1 * τ2 .
C ⊂ A ∩ B, A
topolojik uzaynda alt kümeler olmak üzere
O zaman
C, A ∪ B
Çözüm:
C ⊂ A ∩ B, A
C =V ∩B
(0, 1]
olsun.
dir. Böylece
ve
B
nin herbirinde kapal alt kümesi olsun.
de kapaldr. Gösteriniz.
B
ve
nin herbirinde kapal oldu§undan
U
ve
V, X
de kapal olmak üzere
C = U ∩A
ve
³eklinde ifade edebiliriz.
(U ∩ V ) ∩ (A ∪ B) = (U ∩ V ) ∩ A ∪ (U ∩ V ) ∩ B = C.
C, A ∪ B
Böylece
3.
de kapaldr.
Y = [−1, 1] ⊂ R
olsun.
E = {x | 0 < |x| < 1
ve
E = {x | 0 < |x| < 1
ve
1
x
Çözüm:
∈ Z+ }
kümesi
Y 'de
açk m?
R'de
∞
[
1
1
1
(
∈ Z+ } = (−1, 0) ∪
, )
x
k+1 k
açk m? Açklaynz.
dir
.
k=1
E, R
deki açk aralklarn birle³imi ³eklinde yazld§ndan
E, R
de açktr. Üstelik
E =E∩Y
oldu§undan
E, Y
de
açktr.
4.
X
herhangi bir topolojik uzay ve
A = {x ∈ X | f (x) = g(x) }
Çözüm:
X
kümesi
Y
Housdor topolo jik uzay olmak üzere
X
f, g : X −→ Y
dönü³ümleri sürekli olsun.
de kapaldr. Gösteriniz.
herhangi bir topolo jik uzay ve
Y
Housdor topolo jik uzay olmak üzere
f, g : X −→ Y
dönü³ümleri sürekli
olsun.
φ : X −→ Y × Y
dönü³ümü tanmlansn.
f
ve
g
sürekli oldu§undan
φ
x 7−→ φ(x) = (f (x), g(x))
süreklidir.
Y
Housdor oldu§undan
V = {(f (x), g(x)) ∈ Y × Y | f (x) = g(x) }
kümesi
Y ×Y
de kapaldr.
φ
sürekli oldu§undan
φ−1 (V ), X
de kapaldr. Yani
φ−1 (V ) = {x ∈ X | f (x) = g(x) } = A.
5.
τ2 , R
üzerinde sonlu tümleyen topolojisi olsun.
Çözüm:
x∈R
için
x
K = { n1 |n ∈ Z+ }
elemann içerecek açk küme
F
kümesinin kapan³n belirleyiniz.
sonlu küme olmak üzere
R−F
dir.
K
sonlu olmad§ndan
(R − F ) ∩ (K − {x}) 6= ∅.
Buda bize
6.
R×R
K=R
oldu§unu gösterir.
üzerindeki sözlük sralama topolojisi
τ0
olsun.
τd , R
üzerinde diskrit topoloji ve
τs , R
üzerinde standart
topoloji ise
τ0
Çözüm:
τo = τd × τs 'dir.
Gösteriniz.
nin tipik baz elemanlar
{a} × (b, ∞) ∪ (a, c) × R ∪ {c} × (−∞, d)
formundadr. Buda
τd × τs
de açktr. Böylece
τo ⊆ τd × τs 'dir. τd × τs
{a} × (b, c)
Buda
7.
τ0
açktr. Yani
τd × τs ⊆ τ0 .
Cr , R2 'de (r, 0) merkezli r
Çözüm:
τ
ve
τ 0, X
X, Y
nin tipik baz elemanlar
.
dir
τo = τd × τs 'dir.
yarçapl bir çember olsun.
X , R de kapal ve snrl oldu§undan X
de§ildir. Sonuç olarak
8.
Sonuç olarak
.
dir
X = ∪n∈Z+ C1/n , Y = ∪n∈Z+ Cn
kompaktr.
uzaylar homeomorf mudur?
Y , R de kapal fakat snrl de§ildir. Böylece Y
kompakt
ye homeomorf de§ildir.
üzerinde iki topoloji olsun.
τ ⊂ τ0
ise
X
topolojik uzaynn ba§lantll§ konusunda neler söylenebilir?
Açklaynz.
Çözüm:
τ0
ya göre
X
ba§lantl ise
τ
ya göre
a³ikar topolo ji alalm. Diskret topoljiye göre
9.
1
f : S −→ R
sürekli dönü³üm olsun.
X
X
ba§lantldr. Fakat tersi do§ru de§ildir.
τ0 =
diskret topolo ji
τ =
ba§lantl olurken a³ikar topolo jiye göre ba§lantl de§ildir.
f (x) = f (−x)
olacak ³ekilde
x ∈ S1
eleman vardr. Gösteriniz.
Çözüm:
g : S 1 −→ R
x 7−→ g(x) = f (x) − f (−x)
³eklinde dönü³üm tanmlansn.
Durum 1: Sabit
Durum 2: Sabit
(ADT)
g(y) = 0
g(y) = 0
τ2 , R
Çözüm:
g(x) = 0
için
x∈S
1
için
olacak ³ekilde
Tüm durumlarda
10.
x∈S
için
1
olacak ³ekilde
Durum 3: Sabit
(ADT)
x ∈ S1
ise ispatlanacak bir durum yok.
g(x) < 0
y ∈ S1
f (x) = f (−x)
g
tek fonksiyon oldu§undan
g(−x) > 0
dir. Ara De§er Teoreminden
g
tek fonksiyon oldu§undan
g(−x) < 0
dir. Ara De§er Teoreminden
vardr.
g(x) > 0
y ∈ S1
olsun.
olsun.
vardr.
olacak ³ekilde
x ∈ S1
üzerinde sonlu tümleyen topolo jisi olsun.
A⊆R
olsun.
U = {Uα }α∈J , A
R
eleman vardr.
nin her alt kümesi kompaktr. Gösteriniz.
nn açk örtüsü olsun.
kümesinin sonlu sayda noktalar vardr. lk durum mevcut ise
A
Uα0 ∈ U
A
için
kompakttr.
ai ∈ Uαi
olacak ³ekilde
Uα1 , Uα2 , . . . , Uαn
Uα0 A
y örter yada
A − Uα0
kompakttr. Son durumda ise
a1 , a2 , . . . , an ∈ A − Uα0
i = 1, . . . , n
alalm. Ya
olsun
.
seçelim. Bu açk örtü
A
y örter ve sonlu saydadr. Yani