mza: 405024142006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP

26.11.2013
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Toplam
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
105
Alnan Puan
405024142006.1 CEBRSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI
SORULARI
(ÖRGÜN ևRETM)
Not: Süre
1.
Y
topolojik uzay,
X
90
Dakika. stedi§iniz
p : X −→ Y , q : Y −→ Z
k : X −→ Z
soruyu cevaplaynz.
Z
topolojik uzaynn identikasyon uzay ve
identikasyon uzay olsun. Bu takdirde
Cevap :
7
identikasyon
Z, X
topolojik uzay
Y
uzaynn
in identikasyon uzaydr. Gösteriniz.
identikasyon dönü³ümü olsun.
dönü³ümdür
⇔ (∀V ⊂ Z
de
açk
⇔ k −1 (V ) ⊂ X
de
açktr
)
önermesini kullanalm.
(⇒:) V, Z
de açk olsun.
k = q ◦ p : X −→ Z
dir.
k −1 (V ) = (q ◦ p)−1 (V ) = p−1 (q −1 (V ))
q
identikasyon dönü³üm oldu§undan
dan
p−1 (q −1 (V )), X
(⇐:) k −1 (V ), X de
gerekmektedir.
2. a)
X
q
q −1 (V ), Y
de açktr. O halde
açk olsun.
de açktr.
k −1 (V ), X de
kompakt,
Y
Hausdor,
f : X −→ Y
identikasyon dönü³üm oldu§un-
açktr.
k −1 (V ) = p−1 (q −1 (V ))
identikasyon dönü³üm oldu§undan
p
açk olmas için
V ⊂Z
q −1 (V )
nin açk olmas
de açktr.
dönü³ümü sürekli ve örtense bu takdirde
dönü³ümü identikasyon dönü³ümüdür. Gösteriniz.
f
b)
S 1 ⊂ R2
birim çember olmak üzere
g : [0, 2π] −→ S 1 , t 7−→ eit
dönü³ümünün identi-
kasyon dönü³üm olup olmad§n belirleyiniz.
Cevap : a)
olsun.
X
f
dönü³ümünün kapal oldu§unu göstermemiz yeterlidir.
A⊂X
kapal alt küme
uzay kompakt ve kompakt uzaylarn kapal alt uzaylar da kompakt oldu§undan
kompaktr. Bu durumda kompaktlk sürekli dönü³üm altnda korunaca§ndan
f (A) ⊂ Y
mesi de kompakt olur. Hausdor uzaylarda kompakt kümeler kapal olaca§ndan
olur.
f
f (A)
A
da
alt kü-
da kapal
dönü³ümü sürekli, örten ve kapal oldu§undan identikasyon dönü³ümdür.
[0, 2π] ⊂ R
b)
kapal ve snrl oldu§undan Heine Borel Teoremi'nden kompaktr.
Ayrca Hausdor uzay olma özelli§i kaltsal özellik oldu§undan
uzaydr. Geriye
g
S 1 ⊂ R2
çemberi de Hausdor
dönü³ümünün sürekli ve örten oldu§unu göstermek kalyor.
g(t) = eit = (cos t, sin t)
fonksiyonu trigonometrik fonksiyonlar sürekli oldu§undan süreklidir. “imdi de
örten oldu§unu görelim.
oldu§undan
∃θ ∈ [0, 2π)
z ∈ S1
noktasn alalm. Bu durumda
z
g
dönü³ümünün
noktas birim çember üzerinde
için
z = (cos θ, sin θ)
dr. Ba³ka bir deyi³le
g(θ) = z
dir. O halde
g
dönü³ümü örtendir. Bu durumda
a)
³kkndan
g
dönü³ümü identikasyon dönü-
³ümdür.
3. Ekli uzay tanmlaynz ve bir örnek veriniz.
Cevap :
olsun.
X
a ∈ A
X ∪ Y /a∼f (a)
Örne§in
ve
Y
topolojik uzaylar ve
noktalarn
f (a) ∈ Y
bölüm uzayna
X = [0, 1], Y = {∗}
fonksiyonu süreklidir.
Y
ve
x ∼ f (x)
nin
A⊂X
kapal altuzay ve
noktalaryla özde³ klalm. Yani
X
0 ∼ ∗, 1 ∼ ∗
noktalarn alalm.
sürekli bir dönü³üm
a ∼ f (a), ∀a ∈ A
uzayna eklenmi³ uzay denir ve
A = {0, 1} ⊂ X
yani
f :A→Y
X ∪f Y
'
ile gösterilir.
f : A → Y, f (x) = ∗
denk klalm. O halde
homotopi ba§ntsnn bir denklik ba§nts oldu§unu gösteriniz.
sabit
[0, 1] ∪f {∗}/0∼∗,1∼∗
Geometrik olarak aral§a bir nokta ekleyerek elde edilen ekli uzay çember olur.
4.
olsun.
dir.
Cevap :
• '
f : X −→ Y
ba§nts yansmaldr:
sürekli dönü³üm olsun. O zaman
H : X × I −→ Y,
dönü³ümü de süreklidir. Ayrca
f 'f
H(x, 0) = f (x)
ve
H(x, 1) = f (x)
ko³ullar sa§lanr. Buradan
dir.
• '
f 'g
(x, t) 7−→ H(x, t) = f (x)
ba§nts simetriktir:
olsun. O zaman
H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x)
olacak ³ekilde
H : X × I −→ Y
sürekli dönü³ümü vardr.
F : X × I −→ Y , F (x, t) = H(x, 1 − t)
sürekli dönü³ümünü tanmlayalm.
F (x, 0) = H(x, 1) = g(x)
sa§land§ için ve
H
sürekli oldu§undan
F
ve
F (x, 1) = H(x, 0) = f (x)
de süreklidir ve
• ' ba§nts geçi³melidir: h, g, f : X −→ Y
g'f
dir.
sürekli dönü³ümler olsun.
f 'g
ve
g ' h olsun.
O zaman
H(x, 0) = f (x),
olacak ³ekilde
H : X × I −→ Y
H(x, 1) = g(x)
sürekli dönü³ümü ve
G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x)
olacak ³ekilde
G : X × I −→ Y
sürekli dönü³ümü vardr.

 H(x, 2t),
K(x, t) =
 G(x, 2t − 1),
K : X × I −→ Y,
sürekli dönü³ümünü tanmlayalm.
lar sa§lanr. Ayrca
Böylece
5.
X
f 'h
H
ve
G
K(x, 0) = H(x, 0) = f (x)
ve
0 ≤ t ≤ 1/2
1/2 ≤ t ≤ 1
K(x, 1) = G(x, 1) = h(x)
sürekli oldu§u için Pasting Lemma dan
K
³art-
dönü³ümü de süreklidir.
dir.
bir topolojik uzay,
D 2 ⊂ R2
birim disk olmak üzere
[X, D2 ], X
den
D2
ye giden sürekli
dönü³ümlerin homotopi ba§nts altndaki denklik snarnn kümesi olsun. Bu takdirde
[X, D2 ]
kümesinin kardinalitesinin
Cevap:
D2
1
oldu§unu gösteriniz.
diski büzülebilir oldu§undan
c(x) = x0 ∀x ∈ D2
1D2 : D2 −→ D2
birim dönü³ümü
c : D2 −→ D2 ,
sabit dönü³üme homotoptur.
f : X −→ D2
herhangi bir sürekli dönü³üm olsun.
1D 2 ' c
oldu§undan
1D 2 ◦ f ' c ◦ f
homotopi ba§nts bile³ke altnda korunacaktr. Buradan
1D 2 ◦ f = f
ve
c◦f
dönü³ümü sabit oldu§undan
oldu§undan
halde
X
X
uzayndan
D2
den
bir topolojik uzay ve
Π1 (Y, y2 )
dönü³ümü nullhomotoptur.
f
dönü³ümünün seçimi key
diskine giden sürekli tüm dönü³ümler nullhomotop olacaktr. O
ye giden sürekli dönü³ümlerin homotopi snarnn kümesi tek elemanldr.
6. a) Yol ba§lantl bir
ile
D2
f
X
topolojik uzaynn temel grubunun
y1 , y2 ∈ Y
olsun. E§er
Y
ile
X
Π1 (X) ∼
= Z2
oldu§u biliniyor.
homeomorf uzaylar ise bu takdirde
Y
Π1 (Y, y1 )
temel gruplar arasndaki ili³ki nedir? Açklaynz.
b) Temel gruplar izomorf olup birbirine homeomorf olmayan iki uzay örne§i veriniz.
Cevap : a)
Bu durumda
Y
uzay yol ba§lantl
X
uzayna homeomorf oldu§undan
Π1 (Y, y1 ) ile Π1 (Y, y2 ) temel gruplar baz
Y
de yol ba§lantldr.
noktasndan ba§mszdr. Üstelik
Y
ile
X
uzay hoemomorf oldu§undan temel gruplar izomorftur. O halde
Π1 (Y, y1 ) ∼
= Π1 (X) ∼
= Π1 (Y, y2 ) ∼
= Z2 .
b)
D2 ⊂ R2 diski ile R yi ele alalm. Bu iki uzay da konveks oldu§undan temel gruplar
izomorf olacaktr. Ancak
7.
D2
diski kompakt olmasna ra§men
R
uzay kompakt de§ildir.
S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +y 2 +z 2 = 1} ⊂ R3 birim küresinden E = {(x, y, z) ∈ S 2 : z = 0}
ekvatoral çemberinin çkarlmasyla elde edilen yeni uzay
temel grubunu hesaplaynz.
X
olsun. Bu durumda
Π1 (X, (0, 0, 1))
Cevap :
X = S 2 − E = {(x, y, z) ∈ S 2 : z 6= 1}
olu³ur. Bu iki yar küre ayrk oldu§undan
X
X
uzay kürenin üst ve alt yar kürelerinden
uzay ba§lantszdr. Ba³ka bir deyi³le
E+
ve
E−,
uzaynn srasyla üst ve alt yar küresi olsun. Bu durumda
X = E+ t E−
olur ve
Π1 (X, (1, 0, 0)) ∼
= Π1 (E + , (1, 0, 0)).
E + = {(x, y, z) ∈ S 2 : z > 0} üst yar küresi diskin içine homeomorf oldu§undan temel guruplar
izomorftur. Diskin içi konveks oldu§undan temel grubu a³ikardr. Bu durumda
Π1 (X, (1, 0, 0)) ∼
= Π1 (E + , (1, 0, 0)) = {0}
elde edilir.
8.
X
bir yol ba§lantl topolojik uzay,
a 7→ i(a) = a, ∀a ∈ A
A ⊂ X
kapsama dönü³ümü için
yol ba§lantl alt kümesi olsun.
r ◦ i = 1A
dönü³ümünün var oldu§unu kabul edelim. E§er
olacak ³ekilde bir
Π1 (X) ∼
= (Z, +)
i : A ,→ X ,
r : X −→ A
ise bu durumda
sürekli
Π1 (A)
temel
grubunun olas tüm grup yaplarn belirleyiniz.
Cevap :
r ◦ i = 1A
oldu§undan indirgenmi³ homomorzmas da
(r ◦ i)∗ = (1A )∗
⇐⇒
r∗ ◦ i∗ = 1Π1 (A)
³eklindedir. Bu durum
r∗ : Π1 (X) −→ Π1 (A)
homomorzmasnn surjektif ve
i∗ : Π1 (A) −→ Π1 (X)
homomorzmasnn ise injektif oldu§unu gerektirir.
i∗ [f ] = [i ◦ f ] = [f ]
injektif oldu§undan ve
oldu§undan birinci izomorzma teoreminden
grubunun alt gurubudur.
oldu§undan
i∗
Π1 (A) ∼
= nZ
A
∀[f ] ∈ Π1 (A)
nn temel grubu
X
için
in temel
Π1 (X) ∼
= Z ve Z nin tüm alt guruplar n ∈ N olmak üzere nZ formunda
olacaktr.
9. a) Büzülebilir olup kompakt olmayan bir uzay örne§i veriniz.
b) Kompakt olup büzülebilir olmayan bir uzay örne§i veriniz.
Cevap : a)
uzay snrl olmad§ndan kompakt de§ildir. Ancak konveks oldu§undan
R
R
üze-
rinde herhangi iki sürekli dönü³üm homotop olaca§ndan birim ve sabit dönü³üm de homotoptur,
yani
R
büzülebilirdir.
b)
X = [0, 1] ∪ {2} ⊂ R
uzayn ele alalm. Heine Borel Teoremi'nden
kompaktr. Kompakt uzaylarn birle³imleri de kompakt oldu§undan
yn büzülebilir olmad§n açklayalm.
ba§lantl uzay olurdu. Ancak
X
X
X
[0, 1]
ve
{2}
de kompaktr. Bu uza-
uzay büzülebilir olsayd yol ba§lantl dolaysyla da
uzaynda
[0, 1]
ve
{2}
açk alt kümeler oldu§undan
açklarn birle³imi ³eklindedir. Yani ba§lantldr. O halde
X
X
ayrk
uzay büzülebilir de§ildir.
10. Her homeomorzma örtü dönü³ümüdür gösteriniz. Tersinin do§ru olmad§na bir örnek
veriniz.
Cevap :
X
ve
Y
topolojik uzaylar ve
f : X −→ Y
homeomorzma olsun.
f
homeomorzma
oldu§undan sürekli ve örtendir.
•
Süreklilikten dolay
• f
U ⊂Y
açk için
homeomorzm oldu§undan
Bu durumda
f
f |V
f −1 (U ) = V ⊂ X
açktr.
homeomorzmadr.
homeomorzmas örtü dönü³ümü özelliklerini sa§lar.
p : R −→ S 1 , t 7→ p(t) = e2πit = (cos2πt, sin2πt) ³eklinde tanml p dönü³ümü örtü dönü³ümü
idi. Ancak
R kompakt de§ilken S 1
olamaz. O halde
p
çemberi kompakt oldu§undan bu iki uzay birbirine homeomorf
dönü³ümü homeomorzma de§ildir.
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA