Untitled

İŞ : Şekil yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine
r
etkiyen F kuvvetini göstermektedir. Parçacık A noktasından
r
geçerken r konum
vektörü
ölçülmektedir ve
r
dr
uygun
bir
O
orijininden
A’ dan A′’ ne diferansiyel yer
değiştirmedir. Bu yer değiştirme boyunca kuvvetin yaptığı iş
r r
dU = F ⋅ dr
olarak tanımlanır.
yörünge
Skaler (nokta) çarpımın şiddeti dU=Fdscosα
α olup
r
burada ds dr ‘nin şiddetidir. Bu ifade yer değiştirme
doğrultusundaki Ft=Fcos α kuvvet bileşeni ile yer
değiştirmenin çarpımı şeklinde de yorumlanabilir.
İşin bu tanımı ile, yer değiştirmeye dik olan Fn=Fsinα
normal kuvvet bileşeninin iş yapmadığı görülmektedir.
SI birim sisteminde işin
birimleri kuvvetin birimi
(N) ile yer değiştirmenin
biriminin (m) çarpımı
olan N.m’dir. Bu birim
joule
(J)
olarak
verilmektedir.
İşin Hesaplanması
Bir kuvvetin uygulama noktasının sonlu bir hareketi
süresince, kuvvetin yaptığı iş
r r
U = F ⋅ dr =
∫
∫ (F dx + F dy + F dz )
x
y
z
veya
∫
U = Ft ds
Bu integrasyonu belirlemek için, kuvvet bileşenleri ile ilgili
koordinatların veya Ft ve s arasındaki bağıntının bilinmesi
gereklidir.
F kuvvetinin etkisi altında eğrisel bir yörünge izleyen m kütleli parçacık üzerine
yapılan işi inceleyelim. Burada F parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin
bileşkesidir.
Parçacığın 1’den 2’ye sonlu bir hareketi için F kuvvetinin işi
2
U 1− 2
r r 2
= F ⋅ dr = Ft ds
∫
∫
1
1
Newton’un ikinci yasası yerine yazılırsa,
2
U1− 2
r r 2 r r
= F ⋅ d r = ma ⋅ d r
∫
∫
1
1
r r
a ⋅ dr = at ds
burada at ivmenin teğetsel bileşenidir. Hız cinsinden atds=vdv olur. Böylece iş
ifadesi aşağıdaki gibi olmaktadır.
U 1− 2
2
v
∫
∫
(
r r 2
1
= F ⋅ dr = mvdv = m v22 − v12
2
1
v1
)
Kinetik enerji T aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:
T=
1 2
mv
2
Hareketsiz parçacığı v hızına getirmek için yapılması gerek iş olarak tanımlanabilir.
Kinetik enerji skaler bir büyüklük olup SI birim sisteminde birimi Nm veya Joule
(J)’dir. Kinetik enerji, hızın yönüne bakılmaksızın her zaman pozitiftir.
İş ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir:
U 1− 2 = T2 − T1 = ∆T
Bu ifade iş-enerji eşitli olarak adlandırılır. 1’den 2’ye hareket
ederken tüm kuvvetlerin bir parçacık üzerine yaptığı toplam iş,
parçacığın kinetik enerjisindeki değişime eşittir. T her zaman pozitif
olmasına karşın ∆T değişimi negatif, pozitif veya sıfır olabilir.
İlk olarak, dünya yüzeyine yakın bir bölgede bulunan m kütleli bir parçacığın
hareketini, yerçekimi ivmesinin sabit olduğu durum için göz önüne alalım.
Parçacığın yer çekimi potansiyel enerjisi Vg aşağıdaki gibi tanımlanır:
V g = mgh
Potansiyel enerjideki değişim
∆V g = mg (h2 − h1 ) = mg∆h
Potansiyel enerjini ikinci örneği, yay gibi elastik bir cismin deformasyonu ile
oluşur. Bu durumda potansiyel enerji
x
1 2
Ve = kxdx = kx
2
∫
0
Potansiyel enerjideki değişim
(
1
2
2
∆Ve = k x2 − x1
2
)
Elastik eleman içeren bir sistemin iş-enerji denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir:
U1−2 = ∆T + ∆Vg + ∆Ve
veya
T1 + Vg1 + Ve1 + U1− 2 = T2 + V g 2 + Ve 2
Alternatif olarak,
(
U1−2 = ∆ T + V g + Ve
)
Burada E=T+Vg+Ve parçacığın toplam mekanik enerjisidir. U1-2 teriminin sıfır
olduğu problemler için enerji denklemi
∆E = 0
veya
E=sabit
olur. Bu ifade “dinamik enerjinin korunumu yasası” nı ifade eder.
GÜÇ (Power)
Bir makinanın kapasitesi, iş görme hızı veya enerji iletme
hızı ile ölçülür. Sadece toplam iş veya enerji çıktısı
kapasite ölçüsü için yeterli değildir. Çünkü, örneğin bir
motor küçük de olsa yeterince uzun süre çalıştırılırsa
büyük miktarda enerji üretebilir. Bu nedenle; güç, iş
yapma hızı olarak adlandırılır.
v
Eğer U, F ‘in yaptığı işi simgelerse, bu kuvvet tarafından
geliştirilen güç P,
v v
dU F ⋅ dr
P=
=
dt
dt
v v
P = F ⋅v
r r
veya
P = M ⋅ω
v
dr v
=v
dt
Güç skaler bir büyüklüktür.
SI birim sisteminde birimi N·m/s=Joule/s=Watt (W).
1. 7 kg kütleli A bileziği sürtünmesiz sabit düşey şaft üzerinde kaymaktadır.
Şekilde görülen en alt konumda hareketsiz iken, kabloya uygulanan sabit
F=200 N değerindeki kuvvet etkisi altında şaft üzerinde yukarı doğru hareket
etmektedir. Yayın maksimum sıkışma miktarı 75 mm ile sınırlandırılmış ise yay
sabiti k’yı hesaplayınız. B’deki küçük makaranın yeri sabittir.
2. 2 kg bilezik A’dan serbest bırakılmakta ve düşey düzlemde eğimli sabit
çubuk üzerinde aşağı doğru kaymaktadır. Kinetik sürtünme katsayısı 0.4’tür.
(a) Yaya tam çarptığı anda bileziğin v hızını ve (b) yayın maksimum kısalması x’i
hesaplayınız.
3. Küçük metal bloklar üstteki konveyör bandı ile 0.45 m/s hızla rampaya
aktarılmaktadır. Bloklar ve rampa arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.3 ise
0.15 m/s hızla hareket eden alttaki banda kaymadan aktarılmaları için
rampanın yatayla yapması gereken θ açısı ne olmalıdır?
4. 1.2 kg kayar eleman A konumunda hareketsizdir ve düşey düzlemdeki
sürtünmesiz kılavuz boyunca kaymaktadır. (a) B noktasından geçerken vB hıznı
ve (b) yayın maksimum δ deformasyonunu hesaplayınız.
5. Hafif çubuk O noktası etrafında dönmekte ve 2 kg ve 4 kg’lık kütleleri
taşımaktadır. θ=60o iken serbest bırakılıyor ve düşey düzlemde salınım
hareketi yapıyorlarsa (a) 2 kg kütleli parçacığın kesikli çizgi ile gösterilen
konumda yaya çarpmadan hemen önceki hızını ve (b) yayın maksimum
kısalmasını hesaplayınız. Yay kısaldığında çubuğun konumunun yatay kalacak
kadar x deformasyon miktarının küçük olduğunu kabul ediniz.
6. Mekanizma, 4 kg kütleli burcun alt kısmı yay sabiti k=900 N/m ve serbest
konumda olan yaya değmekte olduğu θ=180o iken serbest bırakılmaktadır.
Yayın maksimum kısalmasına karşılık gelen θ açısını belirleyiniz. Hareket düşey
düzlemde yer almakta ve bağlantı elemanlarının
edilmektedir.
(link) kütlesi ihmal
7. 0.6-kg kayar eleman A noktasından serbest bırakılmakta ve düşey
düzlemde yer alan sürtünmesiz parabolik kılavuz üzerinde kendi ağırlığı ve 120
N/m sabitli yayın etkisi ile aşağı doğru kaymaktadır. B’den geçerken hızını ve
kılavuzdan etkiyen normal kuvveti hesaplayınız. Yayın serbest boyu 200
mm’dir.
8. Şekildeki sistem φ=0 iken dengededir. Başlangıçta φ=90o konumunda
durmakta iken C bloğu hafifçe itiliyor. φ=37o konumundan geçerken C bloğunun
hızını hesaplayınız. Çubuğun kütlesini ihmal ediniz.
9. İnce dairesel bir çubuk düşey düzlemde A noktasından mesnetlenmiştir.
Mesnete bağlanmış ve çubuğa gevşek biçinde sarılmış olan k=45 N/m yay sabitine
sahip yayın uzamamış boyu AB dairesel yayına eşittir. Yaya bağlı olmayan 220
gram’lık C bileziği çubuk üzerinde sürtünmesiz kayabilmektedir. Bileziğin,
θ=30o’de duruştan harekete bırakıldığı bilindiğine göre (a) bileziğin B noktasının
yukarısında erişebileceği maksimum yüksekliği, (b) bileziğin maksimum hızını
belirleyiniz.
10. 25 kg’lık kayar blok görülen konumda eğimli ray üzerinde 0.6 m/s’lik
başlangıç hızına sahip olup yer çekimi ve sürtünmenin etkisi altında
kaymaktadır. Blok ile ray arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.5’dir. yayın
x=100 mm sıkışmasına karşılık gelen konumu geçerken bloğun hızını
hesaplayınız.