KAFESLERDE TÜMLEYENLER Matematik Anabilim Dalı Bilim Dalı

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
(DOKTORA TEZİ)
KAFESLERDE TÜMLEYENLER
Sultan Eylem TOKSOY
Matematik Anabilim Dalı
Bilim Dalı Kodu: 403.04.01
Sunuş Tarihi: 12 / 09 / 2008
Tez Danışmanları:
Prof. Dr. Gülhan ASLIM
Prof. Dr. Rafail ALİZADE
Bornova-İZMİR
III
Sayın Sultan Eylem TOKSOY tarafından DOKTORA TEZİ olarak
sunulan “KAFESLERDE TÜMLEYENLER” başlıklı bu çalışma
E.Ü. Lisansüstü Eğitim ve Öğretim Yönetmeliği ile E.Ü. Fen Bilimleri
Enstitüsü Eğitim ve Öğretim Yönergesinin ilgili hükümleri uyarınca
tarafımızdan değerlendirilerek savunmaya değer bulunmuş ve 12.09.2008
tarihinde yapılan tez savunma sınavında aday oybirliği/oyçokluğu ile
başarılı bulunmuştur.
Jüri Üyeleri:
İmza
Jüri Başkanı: Prof. Dr. Gülhan ASLIM
............................
Raportör Üye: Prof. Dr. Rafail ALİZADE
............................
Üye: Prof. Dr. Mehmet TERZİLER
............................
Üye: Prof. Dr. Nurcan ARGAÇ
............................
Üye: Prof. Dr. Ali PANCAR
............................
Üye: Yard. Doç. Dr. Engin MERMUT
............................
V
ÖZET
KAFESLERDE TÜMLEYENLER
TOKSOY, Sultan Eylem
Doktora Tezi, Matematik Bölümü
Tez Danışmanı: Prof. Dr. Gülhan ASLIM, Prof. Dr. Rafail ALİZADE
Eylül 2008, 82 sayfa
Bu tezde temel olarak tümlenmiş, zayıf tümlenmiş, bol tümlenmiş, eşsonlu tümlenmiş, eşsonlu zayıf tümlenmiş ve bol eşsonlu tümlenmiş modüller hakkında bilinen sonuçların kafes teorisine genelleştirilmesi üzerine
çalışılması amaçlanmıştır. L, en büyük elemanı 1 en küçük elemanı 0
olan tam modüler bir kafes olsun. Bir modülün herhangi bir küçük alt
modülünün bir modül homomorﬁzması altındaki görüntüsü de küçük alt
modüldür. Bu özellik kafeslerde her zaman doğru değildir. Bir modülün alt modülleri kafesi pseudo-bütünlenmiştir. Bu özellik her kafes için
sağlanmak zorunda değildir. 1/a ve a/0 bölüm alt kafesleri zayıf tümlenmiştir ve a’nın L’de bir zayıf tümleyeni varsa L kafesi de zayıf tümlenmiştir. L kafesinin bol tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul
zayıf tümlenmiş olması ve L’nin her elemanının L’de bir eşkapanışının
var olmasıdır. L kafesinin eşsonlu tümlenmiş (zayıf tümlenmiş) olması
için gerek ve yeter koşul her maksimal elemanının L’de bir tümleyeninin
(zayıf tümleyeninin) olmasıdır. Sonlu sayıda eşsonlu tümlenmiş (zayıf
tümlenmiş) kafeslerin supremumu da eşsonlu tümlenmiştir (zayıf tümlenmiştir). a/0, L’nin eşsonlu tümlenmiş (zayıf tümlenmiş) bir alt kafesi ve
1/a’da hiç maksimal eleman yok ise L kafesi de eşsonlu tümlenmiştir (zayıf tümlenmiştir). Kompakt üretilmiş kafeslerde eşsonlu elemanların zayıf
tümleyenleri kompakt elemanlar olarak kabul edilebilir. Bu özellik kompakt üretilmiş olmayan kafesler için doğru değildir. L kafesinin bol eş-
VI
sonlu tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul her maksimal elemanının
L’de bol tümleyenlerinin olmasıdır. Kompakt bir L kafesinin bol tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul her maksimal elemanının L’de bol
tümleyenlerinin olmasıdır.
Anahtar Sözcükler: Tümlenmiş, zayıf tümlenmiş, bol tümlenmiş, eşsonlu eleman, eşkapanış, eşsonlu tümlenmiş, eşsonlu zayıf tümlenmiş, bol
eşsonlu tümlenmiş, kompakt üretilmiş, kompakt.
VII
ABSTRACT
SUPPLEMENTS IN LATTICES
TOKSOY, Sultan Eylem
PhD in Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Gülhan ASLIM, Prof. Dr. Rafail ALİZADE
September 2008, 82 pages
The main purpose of this thesis is to generalize some known results about
supplemented, weakly supplemented, amply supplemented, coﬁnitely supplemented, coﬁnitely weak supplemented and amply coﬁnitely supplemented modules to lattices. Let L be a complete modular lattice with
smallest element 0 and greatest element 1. A homomorphic image of a
small element under a lattice homomorphism need not be small unlike the
module case. It is well known that the lattice of submodules of every module is pseudo-complemented. This fact need not be true in an arbitrary
lattice. If 1/a and a/0 are weakly supplemented and a has a weak supplement in L, then L is also weakly supplemented. L is amply supplemented
if and only if it is weakly supplemented and every element of L has a coclosure in L. L is a coﬁnitely (respectively weak) supplemented lattices if and
only if every maximal element of L has a supplement (respectively weak
supplement) in L. A ﬁnite join of coﬁnitely supplemented (respectively
weak supplemented) lattice is coﬁnitely supplemented (respectively weak
supplemented). If a/0 is a coﬁnitely supplemented (respectively coﬁnitely
weak supplemented) sublattice of L and 1/a has no maximal element, then
L is also a coﬁnitely supplemented (respectively coﬁnitely weak supplemented) lattice. For compactly generated lattices, without loss of generality, weak supplements of coﬁnite elements can be regarded as compact
elements. This property need not be true for lattices that are not compactly generated. L is amply coﬁnitely supplemented if and only if every
VIII
maximal element of L has ample supplements in L. A compact lattice L
is amply supplemented if and only if every maximal element has ample
supplements in L.
Key Words: Supplemented, weakly supplemented, amply supplemented, coﬁnite element, coclosure, coﬁnitely supplemented, coﬁnitely
weak supplemented, amply coﬁnitely supplemented, compactly generated,
compact.
IX
TEŞEKKÜR
Bu çalışma süresince değerli bilgisini, desteğini ve yardımını benden
esirgemeyen, bana yol gösteren, beni cesaretlendiren tez danışmanlarım
sayın Prof. Dr. Rafail ALİZADE’ye ve sayın Prof. Dr. Gülhan ASLIM’a
sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
S ULTAN E YLEM TOKSOY
Ege Üniversitesi
Eylül 2008
XI
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET
V
ABSTRACT
VII
TEŞEKKÜR
IX
ŞEKİLLER DİZİNİ
XIII
SİMGELER DİZİNİ
XVI
1
GİRİŞ
1
2
GENEL BİLGİLER
3
2.1
Sıralı Kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Kafesler ve Tam Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Kafes Homomorﬁzmaları . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Modüler Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.5
Kompakt Üretilmiş Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.6
Küçük ve Büyük Elemanlar . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.7
Bütünlenmiş Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.8
Eşküçük Eşitsizlikler, Eşkapalı Elemanlar . . . . . . . . .
28
3
TÜMLENMİŞ KAFESLER
30
3.1
Tümlenmiş Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2
Zayıf Tümlenmiş Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.3
Bol Tümlenmiş Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
XII
4
5
EŞSONLU TÜMLENMİŞ KAFESLER
51
4.1
Eşsonlu Tümlenmiş Kafesler . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.2
Eşsonlu Zayıf Tümlenmiş Kafesler . . . . . . . . . . . . .
56
4.3
Bol Eşsonlu Tümlenmiş Kafesler . . . . . . . . . . . . . .
63
SONUÇ
68
KAYNAKLAR DİZİNİ
70
DİZİN
78
XIII
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil
Sayfa
2.1
(A,|) ve (B,|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.1
(L, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
XV
SİMGELER DİZİNİ
Simge
Açıklama
N
doğal sayılar kümesi
N◦
N ∪ {0}
R2
Min P
reel sayı düzlemi
P ’nin eşi
P ’nin bütün maksimal elemanlarının kümesi
P ’nin bütün minimal elemanlarının kümesi
okek{x, y}
x ve y ’nin en küçük ortak katı
obeb{x, y}
x ve y ’nin en büyük ortak böleni
Su
S ’nin bütün üst sınırlarının kümesi
Sl
S ’nin bütün alt sınırlarının kümesi
P(X)
X ’in kuvvet kümesi
X
X ’in kapanışı
rad(L)
L’nin radikali
A(L)
L’deki bütün atomların kümesi
E(L)
L’nin bütün büyük elemanlarının kümesi
≤
≤P
bir kısmi sıralama
P kümesi üzerindeki bir kısmi sıralama
x<y
x ≤ y ve x = y
x≺y
y tarafından örtülen eleman x
x ∨ y = sup{x, y}
x ve y ’nin en küçük üst sınırı
x ∧ y = inf{x, y}
X
X
x ve y ’nin en büyük alt sınırı
b/a
bölüm alt kafesi (aralık)
x böler y
P◦
Max P
x|y
X kümesinin en küçük üst sınırı
X kümesinin en büyük alt sınırı
XVI
Simge Açıklama
⊆
birleşme işlemi
kesişme işlemi
alt küme
krs.
küçük eleman
büyük eleman
izomorﬁzma
bakınız
karşılaştırınız
vd.
ve diğerleri
∼
=
bkz.
1
1. GİRİŞ
Bir L tam kafesinde verilen bir a elemanı için L’nin a ∧ b = 0 özelliğine
göre maksimal olan bir b elemanına pseudo-bütünleyen eleman denir.
L’nin bir M modülünün alt modüllerinin kafesi olması durumunda eğer bir
N alt modülü L’de bir pseudo-bütünleyen ise N bir bütünleyen alt modül
olarak adlandırılır. Eş olarak N , L’nin eşi L◦ ’da bir pseudo-bütünleyen
ise N ’ye M ’nin bir tümleyen alt modülü denir. Bir modülün alt modülleri kafesi üstten sürekli olduğundan bütünleyen alt modüller her zaman
vardır. Ancak bir modülün alt modülleri kafesinin eşi üstten sürekli olmak
zorunda olmadığından tümleyen alt modüllerin varlığı garanti edilemez.
Tarihsel olarak tümleyen alt modüller ilk defa Kasch and Mares
(1966) tarafından tanımlanmıştır.
1974’ten itibaren H.Zöschinger’in
makalelerinde tümleyen alt modüller hakkında yoğun bir çalışma
sürdürülmüştür (Zöschinger, 1974a,b,c, 1976, 1978, 1979, 1980, 1981,
1982a,b, 1986, 1994).
80’li yılların sonlarına doğru araştırmalar
bütünleyen alt modüllere kaymıştır.
90’lı yılların ikinci yarısından
günümüze araştırmalar yeniden tümleyen alt modüller ve bunların zayıf
tümleyenler, eşsonlu tümleyenler vb. gibi değişik genellemeleri üzerine
yoğunlaşmıştır: Alizade ve Büyükaşık (2008); Keskin Tütüncü (2008);
Koşan (2007a,b); Orhan vd. (2007); Bilhan (2007); Wang (2007); Wang
and Sun (2007); Al-Takhman et. al. (2006); Wang and Ding (2006); Zeng
(2006); Koşan ve Harmanci (2006); Çalışıcı ve Pancar (2005, 2004); Alizade ve Mermut (2004); Talebi and Vanaja (2004); Koşan ve Harmanci
(2004); Nebiyev ve Pancar (2003); Orhan (2003); Kuratomi (2003); Keskin Tütüncü ve Orhan (2003); Idelhadj and Tribak (2003b,a); Güngöroglu
ve Keskin Tütüncü (2003); Alizade ve Büyükaşık (2003); Tuganbaev
2
(2002); Talebi and Vanaja (2002); Keskin (2002b,a); Ganesan and Vanaja
(2002); Keskin and Xue (2001); Alizade vd. (2001); Smith (2000); Keskin (2000b,a); Lomp (1999); Keskin et al. (1999); Harmancı et al. (1999);
Oshiro and Wisbauer (1995); Xin (1994); Vanaja (1993); Fieldhouse
(1985); Oshiro (1984b,a); Hausen (1982). Bu gelişmeler sırasıyla Wisbauer (1991), Dung et. al. (1994) ve Clark et. al. (2006) tarafından monograﬂara dönüştürülmüştür.
1970’lerden günümüze modül teorisi üzerine yazılan kitaplarda bazı
sonuçların modüler kafeslere genelleşmelerine dikkat çekmek ve kanıtlarını yapmak oldukça yaygınlaştı. Tümleyen, zayıf tümleyen ve bol
tümleyen modüllerin bir çok özelliği herhangi bir kafes için de doğrudur
ve bazen bunların kanıtları modüllerdeki kanıtlarını düzenleyerek elde
edilebilir. Bu tezde tümlenmiş, zayıf tümlenmiş, bol tümlenmiş, eşsonlu
tümlenmiş, eşsonlu zayıf tümlenmiş ve bol eşsonlu tümlenmiş modüller
hakkında bilinen bazı özellik ve sonuçların kafeslere genelleşmesi üzerine
çalışılmıştır. Her genelleşmenin doğru olmadığını gösteren örnekler verilmiş ve sonuçlardan kafeslerdeki kanıtları modüllerdekinden farklı olanlarının bu farklı kanıtları yapılmıştır. Kafesler için kanıtlanan bazı sonuçlar
modüller için yeni sonuçlar oluşturdu. Ayrıca bazı sonuçların kafesler için
yapılan kanıtları ile bu sonuçların modüller için bilinen kanıtlarından daha
kolay kanıtlar elde edilmiştir.
3
2. GENEL BİLGİLER
Bu bölümde tezin diğer bölümlerinde kullanacağımız temel sonuçların
yanısıra kafesler ile ilgili terminolojimizi vereceğiz.
Kafesler ile il-
gili burada vereceğimiz temel kavramlar hakkında daha ayrıntılı bilgi
edinebilmek için şu kitaplara bakınız: Birkhoff (1967); Cǎlugǎreanu
(2000); Donnellan (2002); Crawley and Dilworth (1973); Davey and
Priestley (2002); Grätzer et. al. (2003).
2.1
Sıralı Kümeler
Tanım 2.1.1. P bir küme olsun. P ’nin her x, y, z elemanı için aşağıdaki
özellikler sağlanıyorsa P kümesi üzerinde tanımlanan “ ≤ ” ile gösterilen
bir ikili bağıntıya kısmi sıralama denir.
(i) x ≤ x;
(ii) x ≤ y ve y ≤ x ise x = y;
(iii) x ≤ y ve y ≤ z ise x ≤ z.
Bu özellikler sırasıyla yansıma özelliği, ters simetri özelliği ve geçişme
özelliği olarak adlandırılır.
Tanım 2.1.2. Üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı tanımlı olan bir P
kümesine kısmi sıralı küme denir ve (P, ≤) ile gösterilir ya da kısaca P
bir kısmi sıralı küme olsun denir.
Tanım 2.1.3. P bir kısmi sıralı küme olsun. Her x, y ∈ P için x ≤ y ya
da y ≤ x ise P kümesine bir zincir denir
4
Tanım 2.1.4. P bir kısmi sıralı küme olsun. P ’nin bir P alt kümesi P ’deki
sıralama bağıntısına göre kısmi sıralı ise P kümesine P ’nin alt kısmi sıralı
kümesi denir. Burada x ≤P x olması için gerek ve yeter koşul x, x ∈ P
ve x ≤P x olmasıdır.
Tanım 2.1.5. P bir kısmi sıralı küme ve x, y ∈ P olsun. Bu durumda
x < y ancak ve ancak x ≤ y ve x = y’dir.
Tanım 2.1.6. P bir kısmi sıralı küme olsun. x, y ∈ P için x < y ve
x ≤ z < y iken x = z oluyorsa, denk olarak P ’nin x < z < y olacak
şekilde bir z elemanı yoksa x, y tarafından örtülür (veya y, x’i örter) denir
ve x ≺ y ile gösterilir.
Tanım 2.1.7. Verilen bir P sıralı kümesinden x ≤P ◦ y ancak ve ancak
y ≤P x koşulu ile yeni bir sıralı küme P ◦ elde etmek mümkündür. Bu P ◦
kümesine P kümesinin eşi denir.
Tanım 2.1.8. P bir kısmi sıralı küme, Q ⊆ P ve a ∈ Q olsun. Her
x ∈ Q için a ≤ x iken a = x oluyorsa a’ya Q’nun bir maksimal elemanı
denir. Q’nun bütün maksimal elemanlarının kümesi Max Q ile gösterilir.
Q, P ’den bir sıralama bağıntısı alır: x, y ∈ Q iken x ≤Q y olması için
gerek ve yeter koşul x ≤P y olmasıdır. Bu durumda Q, P ’den alınan
sıralamaya sahiptir. P ’den alınan sıralama ile Q’nun her x ∈ Q için x ≤ olacak şekilde bir elemanı var ise Max Q = {}’dir. Bu durumda ’ye
Q’nun en büyük (maksimum) elemanı denir.
Tanım 2.1.9. P bir kısmi sıralı küme, Q ⊆ P ve a ∈ Q olsun. Her x ∈ Q
için x ≤ a iken a = x oluyorsa a’ya Q’nun bir minimal elemanı denir.
Q’nun bütün minimal elemanlarının kümesi Min Q ile gösterilir. P ’den
alınan sıralama ile Q’nun her x ∈ Q için ⊥ ≤ x koşulunu sağlayan bir
⊥ elemanı var ise Min Q = {⊥}’dur. Bu durumda ⊥’ye Q’nun en küçük
(minimum) elemanı denir.
5
2.2
Kafesler ve Tam Kafesler
Tanım 2.2.1. P bir kısmi sıralı küme ve S ⊆ P olsun. Her s ∈ S için
s ≤ x oluyorsa x ∈ P ’ye S’nin bir üst sınırı denir. Benzer şekilde, her
s ∈ S için x ≤ s oluyorsa x ∈ P ’ye S’nin bir alt sınırı denir. S’nin
bütün üst sınırlarının kümesi S u ile, bütün alt sınırlarının kümesi de S l ile
gösterilir.
S u = {x ∈ P | ∀s ∈ S, s ≤ x};
S l = {x ∈ P | ∀s ∈ S, s ≥ x}.
Tanım 2.2.2. P bir kısmi sıralı küme ve S ⊆ P olsun. S’nin bütün üst
sınırlarının kümesi S u ’nun bir en küçük elemanı x var ise bu x elemanına
S’nin en küçük üst sınırı (veya supremumu) denir ve sup S =
S ile
gösterilir. Denk olarak,
(i) x, S’nin bir üst sınırı ise ve
(ii) S’nin her üst sınırı y için x ≤ y oluyorsa,
x, S’nin en küçük üst sınırıdır. Eğer sup S var ise tektir (Davey and Priestley (2002)’ye bakınız). Özel olarak S = {x, y} ise sup{x, y} = x ∨ y ile
gösterilir.
Tanım 2.2.3. P bir kısmi sıralı küme ve S ⊆ P olsun. S’nin bütün alt
sınırlarının kümesi S l ’nin bir en büyük elemanı x var ise, x’e S’nin en
büyük alt sınırı (veya infimumu) denir ve inf S = S ile gösterilir. Denk
olarak,
(i) x, S’nin bir alt sınırı ise ve
(ii) S’nin her alt sınırı y için y ≤ x oluyorsa,
x, S’nin en büyük alt sınırıdır. Eğer inf S var ise tektir (Davey and Priestley (2002)’ye bakınız). Özel olarak S = {x, y} ise inf{x, y} = x ∧ y ile
gösterilir.
6
Tanım 2.2.4. P boş olmayan sıralı bir küme olsun.
(i) Her x, y ∈ P için x ∨ y ve x ∧ y var ise P ’ye bir kafes denir.
(ii) Her S ⊆ P için
S ve
S var ise P ’ye bir tam kafes denir.
Y.Teorem 2.2.5. (Davey and Priestley, 2002, 2.8) L bir kafes ve a, b ∈ L
olsun. Aşağıdakiler denktir:
(i) a ≤ b.
(ii) a ∨ b = b.
(iii) a ∧ b = a.
Teorem 2.2.6. (Cohn, 2002, Proposition 3.1.1) L bir kafes olsun. O zaman
her a, b, c ∈ L için aşağıdaki özellikler sağlanır:
(i) a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c ;
(ii) a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a;
(iii) a ∧ (a ∨ b) = a, a ∨ (a ∧ b) = a;
(iv) a ∨ a = a, a ∧ a = a .
Tersine L üzerinde (i)-(iii) özelliklerini sağlayan iki ikili işlem ∨, ∧ tanımlı
bir küme olsun. O zaman (iv) özelliği de sağlanır ve L üzerinde bir kısmi
sıralama şu şekilde tanımlanabilir: a ≤ b olması için a ∨ b = b olması
gerek ve yeterlidir. Bu kısmi sıralamaya göre L, a ∨ b = sup{a, b} ve
a ∧ b = inf{a, b} olan bir kafestir.
Kanıt. (ii) sup{a, b} = a ∨ b tek olduğundan, a ∨ b’yi b ∨ a olarak yazabiliriz. Aynı durum inf{a, b} = a ∧ b için de geçerlidir.
(i) Aynı şekilde {a, b, c}’nin supremumunu a ∨ (b ∨ c) ya da (a ∨ b) ∨ c
olarak yazılabilir.
7
(iii) a ∧ b ≤ a ≤ a ∨ b olduğundan Y.Teorem 2.2.5’e göre (iii) sağlanır.
(iv) (iii)’te b yerine a ∧ a yazarsak
a = a ∧ [a ∨ (a ∧ a)] = a ∧ a
olur. Benzer şekilde a ∨ a = a olduğu kolayca elde edilebilir.
Şimdi bir L kümesi üzerinde tanımlı ∨ ve ∧ ikili işlemler (i)-(iii) özelliklerini sağlasın. O zaman ∨ ve ∧ işlemleri (iv)’ü de sağlar ve ayrıca a∨b = b
olması için gerek ve yeter koşul a ∧ b = a olmasıdır. a ∨ b = b ise (iii)’ten
a ∧ b = a ∧ (a ∨ b) = a
ve a ∧ b = a ise yine (iii)’ten
a ∨ b = (a ∧ b) ∨ b = b
olduğu görülür. “ ≤ ” bağıntısını a ≤ b olması için gerek ve yeter koşul
a ∨ b = b olması olarak tanımlarsak aşağıdaki özellik vardır:
a ≤ b ve b ≤ c ise a ∨ b = b ve b ∨ c = c;
buradan (i)’e göre
c = b ∨ c = (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) = a ∨ c
böylece a ≤ c’dir. Ayrıca (iv)’ten a ≤ a ve (ii)’den a ≤ b, b ≤ a ise
b=a∨b=b∨a=a
olduğu elde edilir.
Teorem 2.2.7. (Cǎlugǎreanu, 2000, Theorem 1.2) Kısmi sıralı L
kümesinin bir tam kafes olması için gerek ve yeter koşul L’nin her alt
kümesinin (boş küme de dahil) infimumunun var olmasıdır.
8
Kanıt. (⇒) Tam kafes tanımından açıktır.
(⇐) B, L’nin herhangi bir alt kümesi ve
C = {x ∈ L | ∀b ∈ B, b ≤ x}
B’nin L’deki bütün üst sınırlarının kümesi olsun. u = inf C alırsak C’nin
her c elemanı için u ≤ c’dir ve eğer C’nin her c elemanı ve L’nin bir d
elemanı için d ≤ c ise d ≤ u’dur. C’nin tanımından her b ∈ B için b ≤ u
olur. Eğer e ∈ L, B’nin bir üst sınırı ise tanım gereği e ∈ C’dir ve u ≤ e
olur. O zaman u = sup B’dir.
Bu teoremin eşi aşağıdaki gibidir:
Teorem 2.2.8. Kısmi sıralı L kümesinin bir tam kafes olması için gerek
ve yeter koşul L’nin her alt kümesinin (boş küme de dahil) supremumunun
var olmasıdır.
Bir L kafesinde her boş olmayan sonlu alt kümenin supremumu ve inﬁmumu vardır. Daha açık olarak söylersek, L kafesinin {a1 , a2 , . . . , an }
sonlu alt kümesinin supremum ve inﬁmumu sırasıyla a1 ∨ a2 ∨ . . . ∨ an ve
a1 ∧ a2 ∧ . . . ∧ an ’dir. Burada ∨ ve ∧ ikili işlemlerinin Teorem 2.2.6 (i)
ile verilen birleşme özelliğini sağlaması nedeniyle parantez koymadık, (iv)
özelliğini sağlaması nedeniyle elemanları tekrar tekrar yazmadık ve (ii)
ile verilen değişme özelliğini sağlaması nedeniyle de elemanları sıralayabildik. Sonuç olarak bir kafesin boş olmayan sonlu bir F alt kümesi için
F ve F vardır.
Tanım 2.2.9. L bir kafes olsun. Her a ∈ L için a ∧ 1 = a olacak şekilde
1 ∈ L var ise L’nin biri vardır denir. Benzer olarak her a ∈ L için a∨0 = a
olacak şekilde 0 ∈ L var ise L’nin sıfırı vardır denir. Biri ve sıfırı olan bir
L kafesine sınırlı kafes denir.
Bir L kısmi sıralı kümesinin herhangi bir S alt kümesi de kısmi
sıralıdır. Fakat L kafes olsa bile S’nin kafes olması gerekmez.
9
Tanım 2.2.10. Bir L kafesinin bir S alt kümesi L’deki ∨ ve ∧ işlemleri
altında kapalıysa yani verilen a, b ∈ S için a ∨ b, a ∧ b ∈ S ise S, L’nin bir
alt kafesidir. Bu durumda S de bir kafestir (bakınız Cohn (2002)).
2.3
Kafes Homomorﬁzmaları
Tanım 2.3.1. P ve Q iki kısmi sıralı küme ϕ, P ’den Q’ya bir dönüşüm
olsun.
(i) Her x, y ∈ P için P ’de x ≤ y iken Q’da ϕ(x) ≤ ϕ(y) oluyorsa ϕ’ye
sıralama koruyan (veya monoton) dönüşüm denir.
(ii) Her x, y ∈ P için P ’de x ≤ y olması için gerek ve yeter koşul Q’da
ϕ(x) ≤ ϕ(y) olması ise ϕ’ye sıralama gömmesi denir.
(iii) ϕ, P ’den Q’ya örten sıralama gömmesi ise ϕ’ye sıralama eşlemesi
veya sıralama izomorfizması denir. Eğer P ’den Q’ya tanımlı bir
sıralama izomorﬁzması varsa P ve Q’ya sıralı izomorf kümeler
denir.
Y.Teorem 2.3.2. (Davey and Priestley, 2002, 1.17) P ve Q sonlu sıralı
kümeler ve ϕ : P → Q bijektif bir dönüşüm olsun. O zaman aşağıdakiler
denktir:
(i) ϕ bir sıralama izomorfizmasıdır.
(ii) x < y ∈ P olması için gerek ve yeter koşul ϕ(x) < ϕ(y) ∈ Q
olmasıdır.
(iii) x ≺ y olması için gerek ve yeter koşul ϕ(x) ≺ ϕ(y) ∈ Q olmasıdır.
Kanıt. (i) ⇔ (ii) Tanımdan açıktır.
(ii) ⇒ (iii) x ≺ y ∈ P olsun. O zaman x < y dolayısıyla (ii)’den
ϕ(x) < ϕ(y) ∈ Q’dur. ϕ(x) < w < ϕ(y) olacak şekilde bir w ∈ Q
10
olduğunu varsayalım. ϕ örten olduğundan, w = ϕ(u) olacak şekilde bir
u ∈ P vardır. (ii)’den x < u < y olur. Bu bir çelişkidir. O zaman
ϕ(x) ≺ ϕ(y)’dir. Tersine ϕ(x) ≺ ϕ(y) ∈ Q olsun. O zaman ϕ(x) < ϕ(y)
dolayısıyla (ii)’den x < y ∈ P ’dir. x < u < y olacak şekilde bir u ∈ P
olduğunu varsayalım. ϕ bire-bir olduğundan, ϕ(x) < ϕ(u) < ϕ(y) olur.
Bu ϕ(x) ≺ ϕ(y) olması ile çelişir. O zaman x ≺ y’dir.
(iii) ⇒ (ii) x < y ∈ P olsun. O zaman
x = x 0 ≺ x1 ≺ . . . ≺ x n = y
olacak şekilde elemanlar vardır. (iii)’den
ϕ(x) = ϕ(x0 ) ≺ ϕ(x1 ) ≺ . . . ≺ ϕ(xn ) = ϕ(y)
olur. Buradan ϕ(x) < ϕ(y)’dir. Tersi ϕ’nin örten olması kullanılarak
benzer şekilde kanıtlanabilir.
Tanım 2.3.3. L ve K iki kafes f , L’den K’ya bir dönüşüm olsun. Her
a, b ∈ L için aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa f ’ye kafes homomorfizması
denir.
1. f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b);
2. f (a ∧ b) = f (a) ∧ f (b).
Bijektif kafes homomorﬁzmasına kafes izomorfizması denir. L’den K’ya
f kafes homomorﬁzması bire-bir ise K’nın f (L) alt kafesi L kafesine
izomorftur. Bu f homomorﬁzmasına L’yi K’ya gömme homomorfizması
denir.
Önerme 2.3.4. (Cǎlugǎreanu, 2000, Remark 1.3) Bir kafes izomorfizmasının tersi de kafes izomorfizmasıdır.
Kanıt. f : L → K bir kafes izomorﬁzması ve a, b ∈ L olsun. O zaman
f (f −1 (a ∨ b)) = a ∨ b = f (f −1 (a)) ∨ f (f −1 (b)) ve
11
f (f −1 (a ∧ b)) = a ∧ b = f (f −1 (a)) ∧ f (f −1 (b)) olduğundan
f −1 (a ∨ b) = f −1 (a) ∨ f −1 (b) ve f −1 (a ∧ b) = f −1 (a) ∧ f −1 (b) olur.
Önerme 2.3.5. (Cǎlugǎreanu, 2000, Remark 1.4) Her kafes homomorfizması bir sıralama koruyan homomorfizmadır.
Kanıt. f : L → K bir kafes homomorﬁzması olsun. O zaman her a, b ∈ L
için aşağıdaki eşitlikler sağlanır:
f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b) ve f (a ∧ b) = f (a) ∧ f (b).
Y.Teorem 2.2.5’ten biliyoruz ki, a ≤ b olması için gerek ve yeter koşul
a ∨ b = b olması ve a ∨ b = b olması için gerek ve yeter koşul a ∧ b = a
olmasıdır. O zaman f (b) = f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b) olması için gerek ve
yeter koşul f (a) ≤ f (b) olmasıdır.
Önerme 2.3.6. (Cǎlugǎreanu, 2000, Remark 1.5) L ve K kafesleri arasındaki bir f fonksiyonunun sıralama izomorfizması olması için gerek ve yeter
koşul f ’nin bir kafes izomorfizması olmasıdır.
Kanıt. (⇒) f : L → K bir sıralama izomorﬁzması olsun. a ∧ b ≤ a ve
a ∧ b ≤ b olduğundan,
f (a ∧ b) ≤ f (a) ve f (a ∧ b) ≤ f (b)
olur. O zaman f (a ∧ b), f (a) ve f (b) için bir alt sınırdır. Eğer c , f (a) ve
f (b) için başka bir alt sınır ise c ≤ f (a) ve c ≤ f (b)’dir. f (c) = c olacak
şekilde bir c ∈ L olsun. f −1 ’de sıralama izomorﬁzması olduğundan,
c = f −1 (c ) ≤ f −1 (f (a)) = a ve c = f −1 (c ) ≤ f −1 (f (b)) = b
böylece a ∧ b ≤ c’dir. f bir sıralama izomorﬁzması olduğundan,
f (a ∧ b) ≤ f (c) = c
12
olur. Buradan
f (a ∧ b) = inf{f (a), f (b)}
olduğu görülür. Benzer şekilde a ≤ a ∨ b ve b ≤ a ∨ b olduğundan,
f (a) ≤ f (a ∨ b) ve f (b) ≤ f (a ∨ b)
olur. O zaman f (a ∨ b), f (a) ve f (b) için bir üst sınırdır. Eğer d , f (a) ve
f (b) için başka bir üst sınır ise f (a) ≤ d ve f (b) ≤ d ’dür. f (d) = d olacak şekilde bir d ∈ L olsun. f −1 de sıralama izomorﬁzması olduğundan,
a = f −1 (f (a)) ≤ f −1 (d ) = d ve b = f −1 (f (b)) ≤ f −1 (d ) = d
böylece d ≤ a ∨ b’dir. f bir sıralama izomorﬁzması olduğundan,
d = f (d) ≤ f (a ∨ b)
olur. Buradan
f (a ∨ b) = sup{f (a), f (b)}
olduğu görülür.
(⇐) Önerme 2.3.5’ten açıktır.
2.4
Modüler Kafesler
Y.Teorem 2.4.1. (Davey and Priestley, 2002, Lemma 4.1) L bir kafes
a, b, c ∈ L olsun. O zaman aşağıdaki özellikler sağlanır:
(i) a ∧ (b ∨ c) ≥ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c);
(ii) a ≥ c ise a ∧ (b ∨ c) ≥ (a ∧ b) ∨ c;
(iii) (a ∧ b) ∨ (b ∧ c) ∨ (c ∧ a) ≤ (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) ∧ (c ∨ a).
13
Kanıt. (i) a ∧ b ≤ b ∨ c ve a ∧ c ≤ b ∨ c. Ayrıca a ∧ b ≤ a ve a ∧ c ≤ a.
Buradan aşağıdaki eşitsizlikler yazılabilir:
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ≤ (b ∨ c),
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ≤ a.
O halde bu iki eşitsizlikten
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ≤ a ∧ (b ∨ c)
olduğu elde edilir.
(ii) c ≤ a olsun. c ≤ b ∨ c, a ∧ b ≤ a ve a ∧ b ≤ b ≤ b ∨ c olduğundan
aşağıdaki eşitsizlikler yazılabilir:
c ≤ a ∧ (b ∨ c),
a ∧ b ≤ a ∧ (b ∨ c).
O halde bu iki eşitsizlikten
(a ∧ b) ∨ c ≤ a ∧ (b ∨ c)
olduğu elde edilir.
(iii) a ∧ b ≤ a ∨ b, a ∧ b ≤ b ∨ c ve a ∧ b ≤ c ∨ a olduğundan
a ∧ b ≤ (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) ∧ (c ∨ a)
olur. b ∧ c ≤ a ∨ b, a ∧ b ≤ b ∨ c ve a ∧ b ≤ c ∨ a olduğundan
b ∧ c ≤ (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) ∧ (c ∨ a)
olur. Benzer şekilde c∧a ≤ a∨b, c∧a ≤ b∨c ve c∧a ≤ c∨a olduğundan
c ∧ a ≤ (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) ∧ (c ∨ a)
olur. O halde bu üç eşitsizlikten
(a ∧ b) ∨ (b ∧ c) ∨ (c ∧ a) ≤ (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) ∧ (c ∨ a)
olduğu sonucu elde edilir.
14
Tanım 2.4.2. Bir L kafesi modüler kural olarak adlandırılan aşağıdaki kuralı sağlıyorsa L’ye modüler kafes denir.
Modüler kural: Her a, b, c ∈ L için a ≥ c ise a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ c.
Örnek 2.4.3. M bir sol R-modül ve S(M ), M ’nin bütün alt modüllerinin
kümesi olsun. (S(M ), ≤) kümesi kısmi sıralı bir kümedir (burada ≤ ile alt
modül olma gösterilmektedir). N, K ∈ S(M ) için
N ∨ K = N + K, N ∧ K = N ∩ K
ile tanımlanan ∨ ve ∧ işlemlerine göre S(M ) bir tam modüler kafestir.
Y.Teorem 2.4.1(ii)’den biliyoruz ki her a, b, c ∈ L için a ≥ c ise
a ∧ (b ∨ c) ≥ (a ∧ b) ∨ c
eşitsizliği doğrudur. Bu nedenle her a, b, c ∈ L için a ≥ c iken
a ∧ (b ∨ c) ≤ (a ∧ b) ∨ c
oluyorsa L kafesi modülerdir.
Önerme 2.4.4. (Donnellan, 2002, Teorem 85 ve Teorem 89) L bir modüler
kafes olsun.
(i) L kafesinin her alt kafesi de modülerdir.
(ii) L kafesinin kafes homomorfizması altındaki görüntüsü de modülerdir.
Kanıt. (i) L modüler kafesinin bir alt kafesi S ve b ≤ a olacak şekilde
a, b, c ∈ S olsun. L modüler olduğundan
a ∧ (b ∨ c) = b ∨ (a ∧ c)
eşitliği sağlanır. S bir alt kafes olduğundan S’den alınan a, b, c elemanları
için
a ∧ (b ∨ c) = b ∨ (a ∧ c) ∈ S
15
olmak zorundadır. O zaman modüler kural S’de de sağlanır. Yani S de bir
modüler kafestir.
(ii) K, L’nin bir f kafes homomorﬁzması altındaki görüntüsü ve x, y, z ∈
K olsun. K’nın modüler olduğunu göstermek için x ≥ y iken
x ∧ (y ∨ z) ≤ (x ∧ z) ∨ y
olduğunu göstermek yeterlidir. a, c ∈ L için f (a) = x ve f (c) = z olsun. f kafes homomorﬁzması sıralama koruyan homomorﬁzma olduğundan f (b) = y ve a ≥ b olacak şekilde en az bir b ∈ L vardır. L modüler
olduğundan,
a ∧ (b ∨ c) ≤ b ∨ (a ∧ c)
eşitsizliği sağlanır. O zaman
f (a ∧ (b ∨ c)) ≤ f ((a ∧ c) ∨ b)
olur.
f (a∧(b∨c)) = f (a)∧(f (b)∨f (c)) ≤ (f (a)∧f (c))∨f (b) = f ((a∧c)∨b)
bu x ∧ (y ∨ z) ≤ (x ∧ z) ∨ y demektir. O halde K da modülerdir.
Y.Teorem 2.4.5. (Cǎlugǎreanu, 2000, Lemma 12.3) Bir L modüler
kafesinin her b, c, d elemanı için aşağıdaki eşitsizlik sağlanır:
[(c ∨ d) ∧ b] ≤ [c ∧ (b ∨ d)] ∨ [d ∧ (b ∨ c)].
Kanıt. c∧(b∨d) ≤ b∨c olduğundan modüler kurala göre aşağıdaki eşitliği
yazabiliriz:
[c ∧ (b ∨ d)] ∨ [d ∧ (b ∨ c)] = [(c ∧ (b ∨ d)) ∨ d] ∧ (b ∨ c).
d ≤ b ∨ d olduğunu kullanarak tekrar modüler kuralı kullanırsak
[(c ∧ (b ∨ d)) ∨ d] = (c ∨ d) ∧ (b ∨ d)
16
eşitliğini yazabiliriz. Yukarıdaki iki eşitliken
[c∧(b∨d)]∨[d∧(b∨c)] = [(c∧(b∨d))∨d]∧(b∨c) = [(c∨d)∧(b∨d)]∧(b∨c)
elde edilir. b ≤ (b ∨ d) ∧ (b ∨ c) olduğundan
(c ∨ d) ∧ b ≤ [(c ∨ d) ∧ (b ∨ d)] ∧ (b ∨ c)
olur. O halde buradan
[(c ∨ d) ∧ b] ≤ [c ∧ (b ∨ d)] ∨ [d ∧ (b ∨ c)]
olduğu sonucuna varılır.
Tanım 2.4.6. Bir L kafesinin {x ∈ L | a ≤ x ≤ b} alt kafesi bölüm alt
kafes olarak adlandırılır ve b/a ile gösterilir.
Teorem 2.4.7. (Cǎlugǎreanu, 2000, Theorem 1.5) L bir modüler kafes
a, b ∈ L olsun. O zaman L’nin (a ∨ b)/b ve a/(a ∧ b) bölüm kafesleri
izomorftur.
Kanıt. Her x ∈ (a ∨ b)/b için f (x) = x ∧ a olacak şekilde
f : (a ∨ b)/b → a/(a ∧ b)
ve her y ∈ a/(a ∧ b) için g(y) = y ∨ b olacak şekilde
g : a/(a ∧ b) → (a ∨ b)/b
tanımlansın. Bu durumda f ve g birbirinin tersi olan iki kafes homomorﬁzmasıdır. O halde
(a ∨ b)/b ∼
= a/(a ∧ b)
olur.
17
2.5
Kompakt Üretilmiş Kafesler
Tanım 2.5.1. (Walendziak, 2000) Bir L tam kafesinin bir p elemanı 0’ı
örtüyor ise (0 ≺ p) p’ye atom denir. L kafesinin bütün atomlarının kümesi
A(L) ile gösterilir.
Tanım 2.5.2. Bir L tam kafesinde 1 atomların supremumu ise L’ye
yarıatomik kafes denir.
Tanım 2.5.3. (Walendziak, 2000) L bir tam kafes olsun. Her a ∈ L için
ve L’deki her C zinciri için
(a ∧ x)
a ∧ ( C) =
x∈C
oluyorsa L’ye üstten sürekli kafes denir.
Tanım 2.5.4. (Head, 1966) Bir L kafesinin c ≤ S koşulunu sağlayan
her S alt kümesinin c ≤ F olacak şekilde sonlu bir F alt kümesi var ise
c ∈ L’ye kompakt eleman denir.
Y.Teorem 2.5.5. (Dilworth and Crawley, 1960) L bir tam kafes, c1 ve c2 ,
L’nin kompakt iki elemanı olsun. O zaman c1 ∨ c2 ∈ L de kompakttır.
Kanıt. L’de bir C zinciri için c1 ∨ c2 ≤ C olsun. O zaman c1 ≤ C
ve c2 ≤ C’dir. c1 ve c2 kompakt olduğu için c1 ≤ F1 ve c2 ≤ F2
olacak şekilde F1 , F2 ⊆ C sonlua alt kümeleri vardır. Bu durumda
c1 ∨ c2 ≤ ( F1 ) ∨ ( F2 ) = (F1 ∨ F2 )
olur. Burada F1 ∨ F2 ⊆ C sonludur.
Sonuç 2.5.6. (Dilworth and Crawley, 1960, Lemma 2.1) Bir L kafesinde
sonlu sayıda kompakt elemanın supremumu da kompakttır.
Tanım 2.5.7. Bir L tam kafesinde 1 ∈ L kompakt ise L’ye kompakt kafes
denir.
18
Y.Teorem 2.5.8. (Cǎlugǎreanu, 2000, Lemma 2.4) L bir kompakt kafes
ve 1 = a ∈ L olsun. O zaman 1/a alt kafesinde birden farklı en az bir
maksimal eleman vardır.
Kanıt. Hipotez gereği a = 1 olduğundan S = 1/a − {1} = ∅. Ayrıca
1 kompakt olduğundan S kendisine ait zincirlerin supremumlarını içerir.
Dolayısıyla Zorn’un Lemması uygulanabilir. Gerçekten C ⊆ S herhangi
bir zincir olmak üzere C = 1’dir: C = 1 olduğunu varsayalım. O
zaman 1 kompakt olduğundan 1 ≤ c0 veya 1 = c0 olacak şekilde en az bir
c0 ∈ C vardır ve bu bir çelişkidir. O halde 1/a’da birden farklı en az bir
maksimal eleman vardır.
Tanım 2.5.9. (Head, 1966) Bir L tam kafesinde her eleman kompakt elemanların supremumu ise L’ye kompakt üretilmiş kafes denir.
Önerme 2.5.10. (Crawley, 1959, Lemma 2) Her kompakt üretilmiş kafes
üstten süreklidir.
Kanıt. Herhangi bir L kafesi ve L’deki her C zinciri için
x∈C
(a ∧ x) ≤ a ∧ ( C)
eşitsizliği her zaman doğrudur. Kompakt üretilmiş kafesler için bu eşitsizliğin tersini özel bir yol kullanarak elde edelim: L’nin her kompakt
elemanı c ve herhangi iki elemanı x, y için c ≤ x olması c ≤ y olmasını
gerektiriyor ise x ≤ y’dir (çünkü her eleman kompakt elemanların supre
mumudur). c, L’nin c ≤ a∧( C) koşulunu sağlayan bir kompakt elemanı
olsun. O zaman c ≤ C ve böylece uygun bir x0 ∈ C için c ≤ x0 ’dır.
Ayrıca c ≤ a’dır. Buradan
c ≤ a ∧ x0 ≤
olur.
x∈C
(a ∧ x)
19
Y.Teorem 2.5.11. (Cǎlugǎreanu, 2000, Exercise 2.6) Bir L tam kafesi üstten sürekli olsun. a ∈ L için a/0 alt kafesinin kompakt elemanları tam
olarak L kafesinin a/0’ın da elemanları olan kompakt elemanlarıdır.
Kanıt. c ∈ a/0, L’de kompakt olsun. O zaman a/0’da da kompakttır.
Tersine c ∈ a/0 sadece a/0’da kompakt olsun. Bir C ⊆ L zinciri için
c ≤ C ise
(a ∧ x)
c = a ∧ c ≤ a ∧ ( C) =
olur. Yani
x∈C
x∈C
(a ∧ x), c’nin a/0’da bir örtüsüdür. O zaman
c≤a∧
x∈F
(a ∧ x)
olacak şekilde bir F ⊆ C sonlu alt zinciri vardır. Bu durumda bir x0 ∈ F
için
x∈F
(a ∧ x) = a ∧ (
x∈F
x) = a ∧ x0
olur. Yani c ≤ a ∧ x0 ’dır.
Y.Teorem 2.5.12. (Cǎlugǎreanu, 2000, Exercise 2.7) L kompakt üretilmiş
bir kafes, a ∈ L olsun. O zaman a/0’da kompakt üretilmiştir.
Kanıt. Önerme 2.5.10’a göre her kompakt üretilmiş kafes üstten süreklidir. O zaman Y.Teorem 2.5.11’den biliyoruz ki her a ∈ L için a/0 alt
kafesinin kompakt elemanları tam olarak L kafesinin a/0’ın da elemanları
olan kompakt elemanlarıdır. Bu durumda a/0 da kompakt üretilmiştir.
Y.Teorem 2.5.13. (Cǎlugǎreanu, 2000, Exercise 2.9)
(i) L bir tam kafes ve c, L’nin bir kompakt elemanı ise c ∨ a da 1/a
bölüm kafesinin bir kompakt elemanıdır.
(ii) L bir kompakt kafes ve a ∈ L ise 1/a da kompakt bir kafestir.
20
(iii) L bir kompakt üretilmiş kafes ise her a ∈ L için 1/a da kompakt
üretilmiştir.
Kanıt. (i) c ∈ L kompakt ve {ai }i∈I ⊆ 1/a için c ∨ a ≤
ai olsun. Bu
i∈I
durumda c ≤
ai olur. c elemanı L’de kompakt olduğundan c ≤
ai
i∈I
olacak şekilde sonlu bir F ⊆ I vardır. O zaman
ai
c ∨ a ≤ ( ai ) ∨ a =
i∈F
i∈F
i∈F
olur.
(ii) c = 1 alırsak bu (i) şıkkının özel durumudur.
(iii) x ∈ 1/a olsun. L kompakt üretilmiş bir kafes ve x ∈ L olduğundan
ci ’dir. Buradan
{ci }i∈I ⊆ L kompakt elemanlar olmak üzere x =
x=x∨a=(
i∈I
ci ) ∨ a =
i∈I
i∈I
(ci ∨ a)
yazılabilir. Her i ∈ I için ci elemanı L’de kompakt ise (i) şıkkından dolayı
ci ∨ a elemanı da 1/a’da kompakttır.
2.6
Küçük ve Büyük Elemanlar
Bu bölümde küçük ve büyük eleman tanımları ile birlikte bu elemanların
daha sonraki kısımlarda kullanılacak bazı özelliklerini vereceğiz. Küçük
ve büyük elemanlarla ilgili daha fazla bilgi için Anderson and Fuller
(1992)’nin 2. bölümüne ve Alizade ve Pancar (1999)’un 9. bölümüne
bakınız.
Tanım 2.6.1. Bir L kafesinin 1’den farklı her b elemanı için a ∨ b de 1’den
farklı oluyorsa (diğer bir deyişle her b ∈ L için a∨b = 1 eşitliğinden b = 1
elde ediliyorsa), a’ya L’nin küçük elemanı denir ve a L ile gösterilir.
Küçük elemanlar ile ilgili aşağıda verilen özellikleri sonraki bölümlerdeki ispatlarda sık sık kullanacağız. a < b ile a ≤ b ve a = b olan
elemanları gösterdiğimizi hatırlayalım.
21
Y.Teorem 2.6.2. (Cǎlugǎreanu, 2000, Lemma 7.2) Bir L modüler
kafesinin a < b koşulunu sağlayan iki elemanını alalım. a b/0 ise
L nin her c elemanı için a ∨ c (b ∨ c)/c dir.
Kanıt. Bir x ∈ (b ∨ c)/c için (a ∨ c) ∨ x = b ∨ c olsun. O zaman
[(a ∨ c) ∨ x] ∧ b = (b ∨ c) ∧ b = b
olur. Modüler kurala göre aşağıdaki eşitlik sağlanır:
b = a ∨ [(c ∨ x) ∧ b].
a b/0 olduğundan, (c ∨ x) ∧ b = b’dir. Bu b ≤ c ∨ x = x demektir. O
zaman b ∨ c ≤ x böylece b ∨ c = x olur.
Y.Teorem 2.6.3. (Cǎlugǎreanu, 2000, Lemma 7.3) L’nin a < b koşulunu
sağlayan iki elemanını alalım. b L olması için gerek ve yeter koşul
a L ve b 1/a olmasıdır.
Kanıt. (⇒) b L ve bir x ∈ L için a ∨ x = 1 olsun. a < b olduğundan
b ∨ x = 1 ve b L olduğundan x = 1 olur. Böylece a L’dir. Ayrıca bir
y ∈ 1/a için b∨y = 1 olsun. y aynı zamanda L’nin de elemanı olduğundan
ve b L olduğundan y = 1’dir. Böylece b 1/a olur.
(⇐) a L ve b 1/a olsun. Bir c ∈ L için b ∨ c = 1 ise b ∨ (a ∨ c) = 1
ve b 1/a olduğundan a ∨ c = 1’dir. Ayrıca a L olduğundan c = 1
elde edilir.
Y.Teorem 2.6.4. (Cǎlugǎreanu, 2000, Lemma 7.4) Bir L modüler
kafesinin a < b koşulunu sağlayan iki elemanını alalım. a b/0 ise
a L’dir.
Kanıt. Bir u ∈ L için a ∨ u = 1 olsun. Modüler kurala göre,
b = b ∧ 1 = b ∧ (a ∨ u) = a ∨ (b ∧ u)
olur. O zaman a b/0 olduğundan b∧u = b, böylece b ≤ u olur. Buradan
a < b ≤ u ve u = a ∨ u = 1’dir.
22
Y.Teorem 2.6.5. (Cǎlugǎreanu, 2000, Lemma 12.4) Bir L modüler
kafesinde c c/0 ve d d/0 ise o zaman c ∨ d (c ∨ d)/0’dır.
Kanıt. c c/0 ve d d/0 ise Y.Teorem 2.6.4’e göre
c (c ∨ d)/0 ve d (c ∨ d)/0
olur. Bir x ∈ (c ∨ d)/0 için
(c ∨ d ) ∨ x = c ∨ d
ise d ∨ x = c ∨ d ve dolayısıyla x = c ∨ d olduğu elde edilir. Buradan
c ∨ d (c ∨ d)/0
olduğu elde edilmiş olur.
Bir modülün herhangi bir küçük alt modülünün modül homomorﬁzması altındaki görüntüsünün de küçük alt modül olduğu iyi bilinen bir
özelliktir. Aşağıdaki örnekte bu özelliğin kafeslerde her zaman doğru olmadığı gösterilmektedir.
Örnek 2.6.6. A = {1, 2, 3, 6, 12} ve B = {1, 2, 3, 6} iki küme (A, |) ve
(B, |) iki kafes olsun. Burada | ile bölüm bağıntısı gösterilmektedir: x | y,
x böler y anlamına gelir.
f : (A, |) → (B, |), k = 1, 2, 3, 6 için f (k) = k ve f (12) = 6 ile
tanımlı bir kafes homomorﬁzması olsun. Her x = 12 için 2 ∨ x = 12
olduğundan, 2 A’dır. Fakat 2 ∨ 3 = 6 iken 3 = 6 olduğundan f (2) =
2 B’dir.
Tanım 2.6.7. Bir L kafesinin 0’dan farklı her b elemanı için a ∧ b de 0’dan
farklı oluyorsa (diğer bir deyişle her b ∈ L için a ∧ b = 0 eşitliğinden
b = 0 elde ediliyorsa), a elemanına L’nin büyük elemanı denir ve a L
ile gösterilir. L’nin büyük elemanlarının kümesi E(L) ile gösterilir (bkz.
Galvão and Smith (1998)).
23
12
6
6
3
2
2
1
3
1
Şekil 2.1: (A,|) ve (B,|)
Y.Teorem 2.6.8. (Cǎlugǎreanu, 2000, Exercise 4.5) a L ise L’nin her b
elemanı için a ∧ b b/0’dır.
Kanıt. b/0’ın bir c elemanı için (a ∧ b) ∧ c = 0 olduğunu varsayalım. a L
olduğundan, c = b ∧ c = 0’dır.
2.7
Bütünlenmiş Kafesler
Tanım 2.7.1. L’nin bir a elemanı için a ∨ b = 1 ve a ∧ b = 0 oluyorsa
a’ya b’nin bir bütünleyeni denir. L’deki her elemanın bir bütünleyeni var
ise L’ye bütünlenmiş kafes denir (bkz. Davey and Priestley (2002)).
Y.Teorem 2.7.2. Bir L modüler kafesi bütünlenmiş ise L’nin her a elemanı
için a/0 da bütünlenmiştir.
Kanıt. x, a/0’ın bir elemanı olsun. L bütünlenmiş olduğundan, L’de
x ∨ y = 1 ve x ∧ y = 0
olacak şekilde bir y elemanı vardır. O zaman
a ∧ (x ∧ y) = 0
24
olduğu açıktır. Modüler kurala göre,
a = a ∧ 1 = a ∧ (x ∨ y) = x ∨ (a ∧ y)
olur. Yani (a ∧ y), a/0’da x’nin bir bütünleyenidir.
Tanım 2.7.3. L’nin sıfırdan farklı elemanlarının bir kümesi {ai }∈I olsun.
Her i ∈ I için
ai ∧ (
j=i, j∈I
aj ) = 0
oluyorsa {ai }∈I kümesine bağımsız denir.
Y.Teorem 2.7.4. (Cǎlugǎreanu, 2000, Lemma 6.1) L üstten sürekli bir
kafes olsun. L’nin bir A alt kümesinin bağımsız olması için gerek ve yeter
koşul A’daki her sonlu alt kümenin bağımsız olmasıdır.
Teorem 2.7.5. (Cǎlugǎreanu, 2000, Theorem 6.6) Üstten sürekli
yarıatomik her modüler kafes bütünlenmiş bir kafestir.
Kanıt. a = 1, L’nin bir elemanı olsun. O zaman L’de a ∧ s = 0 olacak
şekilde s atomları vardır. Aksi taktirde a ∧ s = s veya L’deki her s atomu
için s ≤ a ve böylece L yarıatomik olduğundan a = 1 olurdu. {si }i∈I
kümesi L’deki bütün atomların kümesi olsun.
P = {J ⊆ I | {si }i∈I bağımsız ve a ∧ (
i∈J
si ) = 0}
kümesi boş değildir ve kapsama bağıntısına göre kısmi sıralıdır. O zaman Zorn’un Lemmasını kullanırsak: Y.Theorem 2.7.4 gereği bağımsız alt
kümelerin zinciri {{si }i∈Jk }k∈K ’nın birleşimi yine bağımsızdır ve
bk =
si
i∈Jk
ise her k ∈ K için a ∧ bk = 0 olması
a∧(
bk ) = 0
k∈K
25
olmasını gerektirir. Burada {bk }k∈K bir zincirdir. O halde atomların
a ∧ ( si ) = 0
i∈J
koşulunu sağlayan bir maksimal bağımsız kümesi {si }i∈J vardır. c =
i∈J
si
olsun. O zaman a ∨ c = 1 olduğunu yani c’nin L’de a’nın bir bütünleyeni
olduğunu gösterelim: L yarıatomik olduğundan a ∨ c’nin L’deki bütün
atomlardan daha büyük olduğunu göstermemiz yeterlidir. t ≤ a ∨ c olacak
şekilde bir t ∈ L atomu olduğunu varsayalım. O zaman
t ∧ (a ∨ c) = 0
olduğu açıktır. Modüler kurala göre,
a ∧ (c ∨ t) ≤ (a ∨ c) ∧ (c ∨ t) = [(a ∨ c) ∧ t] ∨ c = c
ve dolayısıyla
a ∧ (c ∨ t) ≤ a ∧ c
olur.
t ∧ c ≤ t ∧ (a ∨ c) = 0
olduğundan ve Y.Teorem 2.7.4’e göre {t} ∪ {si }i∈J alt kümesi P’de bir alt
kümeye karşılık gelir. Bu J’nin maksimal olması ile çelişir.
Y.Teorem 2.7.6. (Cǎlugǎreanu, 2000, Exercise 1.37) Bütünlenmiş modüler bir L kafesinde bir a elemanının bir atom olması için gerek ve yeter
koşul a’nın L’deki bütünleyeninin L’de maksimal olmasıdır.
Kanıt. (⇒) a ∈ L bir atom ve b ∈ L, a’nın bir bütünleyeni olsun. Yani
a ∨ b = 1 ve a ∧ b = 0
olsun. a bir atom olduğundan tanım gereği a/0 basittir ve aşağıdaki
izomorﬁzma yazılabilir:
a/0 = a/(a ∧ b) ∼
= (a ∨ b)/b = 1/b.
26
Bu durumda 1/b de basittir ve dolayısıyla b maksimaldir.
(⇐) Bir a ∈ L’nin L’deki her bütünleyeninin bir maksimal eleman
olduğunu varsayalım. b, L’de a’nın bir bütünleyeni olsun. O zaman b,
L’de maksimaldir. O zaman 1/b alt kafesi basittir.
1/b = (a ∨ b)/b ∼
= a/(a ∧ b) = a/0,
buradan a/0 alt kafesi de basittir. O halde a, L’de bir atomdur.
Teorem 2.7.7. (Cǎlugǎreanu, 2000, Theorem 6.7) Kompakt üretilmiş
bütünlenmiş her modüler kafes yarıatomiktir.
Kanıt. L’nin sıfırdan farklı her elemanı a için a/0’da bir atom vardır: L
kompakt üretilmiş olduğundan bu özelliği sadece kompakt elemanlar için
göstermemiz yeterlidir. a/0 kompakt ise Y.Teorem 2.5.8’e göre a/0’da bir
maksimal eleman m vardır. L bütünlenmiş olduğundan Y.Teorem 2.7.2’ye
göre a/0’da bütünlenmiştir. O halde m’nin a/0’da bir bütünleyeni n vardır.
Yani,
m ∨ n = a ve m ∧ n = 0.
O halde Y.Teorem 2.7.6’ya göre n, a/0’da bir atomdur. L’deki bütün atomların supremumu s(L) ile gösterilsin. s(L) = 1 ve v, s(L)’nin L’de bir
bütünleyeni olsun. v/0’da bir atom vardır. Bu s(L) ∧ v = 0 olması ile
çelişir. O zaman s(L) = 1 dolayısıyla L yarıatomiktir.
Aşağıdaki sonuç Cǎlugǎreanu (2000)’deki Theorem 6.8’in daha sonraki bölümlerde kullanacağımız kısmıdır.
Sonuç 2.7.8. Kompakt üretilmiş bir modüler L kafesi için aşağıdakiler
denktir:
(i) L bütünlenmiştir.
(ii) L yarıatomiktir.
27
Kanıt. (i) ⇒ (ii) Teorem 2.7.7’den açıktır.
(ii) ⇒ (i) Önerme 2.5.10’a göre her kompakt üretilmiş kafes üstten süreklidir. O zaman Teorem 2.7.5’ten açıktır.
Tanım 2.7.9. L’nin bir c elemanı için b ∧ c = 0 ve c bu özelliği sağlayan
maksimal eleman ise c’ye b’nin L’de bir pseudo-bütünleyeni denir. L’nin
her elemanının L’de bir pseudo-bütünleyeni var ise L pseudo-bütünlenmiş
kafes olarak adlandırılır.
Tanım 2.7.10. L’nin bir b elemanı için a ∧ b = 0 ve a ∨ b L ise b’ye a’nın
L’de bir E-bütünleyeni denir. L’nin her elemanının L’de bir E-bütünleyeni
var ise L’ye E-bütünlenmiş kafes denir. Pseudo-bütünlenmiş kafesler Ebütünlenmiştir (Keskin (2002a)’ye bakınız).
Bir modülün alt modülleri kafesinin pseudo-bütünlenmiş olduğu
biliniyor. Aşağıdaki örnek bu özelliğin her kafes için sağlanmak zorunda
olmadığını göstermektedir.
Örnek 2.7.11. Üzerinde doğal topoloji tanımlanmış [0, 1] aralığını alalım.
[0, 1] aralığının kapalı alt kümelerinin kümesi C aşağıda tanımlanan işlemlere göre bir tam kafestir: C’nin bir alt kümesi {Ci }i∈I için
i∈I
(burada
i∈I
Ci ile
i∈I
Ci =
i∈I
Ci ve
i∈I
Ci =
i∈I
Ci
Ci ’nin kapanışı gösterilmektedir).
A’nın {0}’ın
C’deki pseudo-bütünleyeni olduğunu varsayalım. Yani {0} ∩ A = ∅
ve A bu özelliğe göre maksimal olsun. A kapalı bir küme olduğundan,
a = inf A ∈ A’dır. Bundan dolayı a > 0 olur. Böylece
a a A ⊆ [a, 1] ⊂ , 1 ve {0} ∩ , 1 = ∅
2
2
olur. Bu A’nın maksimalliği ile çelişki oluşturur. O zaman bu kafes
pseudo-bütünlenmiş değildir.
28
2.8
Eşküçük Eşitsizlikler, Eşkapalı Elemanlar
Bu bölümde eşküçük eşitsizlik ve eşkapalı eleman tanımlarını ve bunların
daha sonraki bölümlerdeki sonuçları kanıtlamak için kullanacağımız özelliklerini vereceğiz. Eşküçük eşitsizlik ve eşkapalı elemanlarla ilgili burada
veremediğimiz özellikler için Clark et. al. (2006, 3.2 ve 3.7)’ye bakınız.
Tanım 2.8.1. L’nin a ≤ b olacak şekildeki iki elemanı a, b için b 1/a
ise a ≤ b eşitsizliğine L’de eşküçük eşitsizlik denir.
Tanım 2.8.2. L’de a ≤ c eşitsizliğini eşküçük eşitsizlik yapan c/0’ın bir
öz elemanı a yok ise diğer bir deyişle a ≤ c eşitsizliğinin eşküçük olması
a = c olmasını gerektiriyor ise c’ye L’nin bir eşkapalı elemanı denir.
Tanım 2.8.3. b ∈ L olsun. a ≤ b eşitsizliği L’de eşküşük ve a elemanı
L’de eşkapalı eleman ise a’ya L’de b’nin eşkapanışı denir.
Clark et. al. (2006)’daki 3.2 (1) ve 3.7 (3)’ün kafeslere genelleşmeleri
aşağıdaki iki y.teorem ile verilmiştir.
Y.Teorem 2.8.4. L’nin a ≤ b olacak şekilde iki elemanı a, b olsun. O
zaman aşağıdakiler denktir:
(a) a ≤ b eşitsizliği L’de eşküçüktür.
(b) L’nin herhangi bir x elemanı için b ∨ x = 1 olması a ∨ x = 1
olmasını gerektirir.
Kanıt. (a) ⇒ (b) Bir x ∈ L için b ∨ x = 1 olsun. O zaman
b∨x∨a=1
olur. a ≤ b eşitsizliği eşküçük olduğundan, b 1/a’dır. Bu durumda
a ∨ x = 1’dir.
29
(b) ⇒ (a) Bir y ∈ 1/a için b ∨ y = 1 olduğunu varsayalım. Kabulümüz
gereği a ∨ y = 1’dir. Buradan
1=a∨y =y
olur. Bu b 1/a olduğu anlamına gelir, diğer bir deyişle a ≤ b eşitsizliği
L’de eşküçüktür.
Y.Teorem 2.8.5. L’de a ≤ b koşulunu sağlayan iki eleman a ve b olsun. b
elemanı L’de eşkapalı ise a L olması a b/0 olmasını gerektirir.
Kanıt. b elemanı L’de eşkapalı ve a L olsun. Bir a ∈ b/0 için b = a∨a
olduğunu varsayalım. Eğer a = b ise kanıtlanacak birşey yoktur. Karşıt
olarak a = b olduğunu varsayalım. b elemanı L’de eşkapalı olduğundan,
b ∨ b = 1 fakat a ∨ b = 1 olacak şekilde bir b ∈ L vardır.
1 = b ∨ b = a ∨ a ∨ b .
a L olduğundan, a ∨ b = 1’dir ve bu bir çelişkidir.
30
3. TÜMLENMİŞ KAFESLER
Bu bölümde tümlenmiş modüller hakkında Zöschinger (1974a)’da verilen
özellik ve sonuçlardan bazılarının Cǎlugǎreanu (2000) tarafından yapılan
kafeslere genelleşmelerini vereceğiz. Ayrıca zayıf tümlenmiş modüller
(bkz. Zöschinger (1978), Lomp (1996), Lomp (1999), Clark et. al. (2006))
ve bol tümlenmiş modüller (bkz. Zöschinger (1974b), Wisbauer (1991))
ile ilgili bilinen bazı sonuçların kafeslere genelleşmelerini yapacağız.
Bu tezin bu bölümden itibaren olan kısmında L ile en büyük elemanı 1
en küçük elemanı 0 olan tam modüler kafes gösterilecektir.
3.1
Tümlenmiş Kafesler
Bir L kafesinin herhangi bir a elemanı için a ∨ b = 1 ve a bu koşula göre
minimal oluyorsa a’ya b ∈ L’nin bir tümleyeni denir. Eğer L’nin her elemanının L’de bir tümleyeni var ise L tümlenmiş kafes olarak adlandırılır.
Aşağıdaki Y.Teorem tümleyen elemanların iyi bilinen önemli bir karakterizasyonudur (Kasch and Mares (1966)’ya veya Zöschinger (1974a)’ya
bakınız).
Y.Teorem 3.1.1. Bir a elemanının L’de b’nin bir tümleyeni olması için
gerek ve yeter koşul a ∨ b = 1 ve a ∧ b a/0 olmasıdır.
Kanıt. (⇒) L’nin (a ∧ b) ∨ c = a koşulunu sağlayan c ≤ a olacak şekilde
bir c elemanını alalım. O zaman
1 = a ∨ b = (a ∧ b) ∨ c ∨ b = c ∨ b
31
olur. a, L’de b’nin bir tümleyeni olduğundan tanım gereği a ∨ b = 1
koşulunu sağlayan minimal elemandır. O halde a = c olmalıdır.
(⇐) a ∨ b = 1 ve a ∧ b a/0 olsun. c ∨ b = 1 olacak şekilde herhangi
bir c ≤ a elemanı için modüler kurala göre aşağıdaki eşitlik yazılabilir:
a = a ∧ 1 = a ∧ (c ∨ b) = (a ∧ b) ∨ c.
a ∧ b a/0 olduğundan a = c’dir.
Bölümün başında da söylediğimiz gibi tümlenmiş modüller ile ilgili
Zöschinger (1974a)’da verilen özellik ve sonuçların bazılarının kafeslere
genelleşmesi Cǎlugǎreanu (2000)’de yapılmıştır.
Y.Teorem 3.1.2. (Cǎlugǎreanu, 2000, Lemma 12.2) L kompakt üretilmiş
kompakt bir kafes ve a ∨ b = 1 olsun. O zaman L’nin a ∨ b = 1 olacak
şekilde a ≤ a ve b ≤ b koşulunu sağlayan kompakt elemanları a , b
vardır.
Kanıt. L kompakt üretilmiş olduğundan {ai }i∈I ve {bj }j∈J kompakt ele
manlar için a = ( ai ) ve b = ( bj )’dir.
i∈I
j∈J
1=a∨b=(
i∈I
ai ) ∨ (
j∈J
bj ).
L kompakt olduğundan F1 ⊆ I ve F2 ⊆ J sonlu alt kümeleri için
1=(
ai ) ∨ (
bj )
olur. Sonuç 2.5.6 gereği (
i∈F1
i∈F1
ai ) ve (
j∈F2
j∈F2
bj ) kompakttır.
Aşağıdaki üç önerme Cǎlugǎreanu (2000)’deki Proposition 12.2 ile
verilmiştir.
Önerme 3.1.3. L kompakt üretilmiş bir kafes ve c, L’de b’nin bir tümleyeni
olsun. O zaman a ≤ b ve a ∨ c = 1 ise c, L’de a’nın bir tümleyenidir.
Kanıt. Bir c ≤ c için a ∨ c = 1 olsun. a ≤ b olduğundan b ∨ c = 1
dolayısıyla c’nin minimalliğinden c = c’dir.
32
Önerme 3.1.4. L kompakt üretilmiş kompakt bir kafes ve c, L’de b’nin bir
tümleyeni olsun. O zaman c kompakttır.
Kanıt. c, L’de b’nin bir tümleyeni olduğundan tanım gereği b ∨ c = 1 ve c
bu koşulu sağlayan minimal elemandır. Y.Teorem 3.1.2 gereği b ∨ c = 1
olacak şekilde L’nin bir c kompakt elemanı vardır. c’nin minimalliğinden
c = c olur.
Önerme 3.1.5. L kompakt üretilmiş bir kafes ve c, L’de b’nin bir tümleyeni
olsun. O zaman a, L’de küçük ise c, a ∨ b’nin L’de bir tümleyenidir.
Kanıt. (a ∨ b) ∨ c = 1 olacak şekilde c ≤ c olsun. a, L’de küçük
olduğundan b ∨ c = 1 ve c’nin minimalliğinden c = c’dir.
Tanım 3.1.6. L’deki 1’den farklı maksimal elemanların inﬁmumuna L’nin
radikali denir ve rad(L) ile gösterilir. (Stenström, 1969)
a L ve m, L’de bir maksimal eleman ise, m ∨ a = 1, böylece
m ∨ a = m ve buradan da a ≤ m olur. Bu L’nin radikalinin L’nin
bütün küçük elemanlarından daha büyük olduğu anlamına gelir (Stenström
(1969, Proposition 6)’ya bakınız).
Teorem 3.1.7. (Stenström, 1969, Theorem 8) L kompakt üretilmiş bir kafes
ise L’nin radikali bütün küçük elemanlarının supremumuna eşittir.
Önerme 3.1.8. (Stenström, 1969, Proposition 9 (iii)) L bir kompakt kafes
ise L’nin radikali rad(L), L’de küçüktür.
Kanıt. Bir a ∈ L için a ∨ rad(L) = 1 ise rad(1/a) = 1 olur. 1 kompakt
iken a = 1 olmadığı sürece bu mümkün değildir. O halde a = 1 dolayısıyla
rad(L) L’dir.
Önerme 3.1.9. (Cǎlugǎreanu, 2000, Proposition 12.2(5)) L kompakt
üretilmiş kompakt bir kafes ve c, L’de b’nin bir tümleyeni olsun. O zaman
a, L’de küçük ise a ∧ c de c/0’da küçüktür ve rad(c/0) = c ∧ rad(L)’dir.
33
Kanıt. c ≤ c ve (a ∧ c) ∨ c = c olsun. a ∧ c ≤ a ve a, L’de küçük
olduğundan Y.Teorem 2.6.3 gereği a ∧ c de L’de küçüktür. O zaman
1 = b ∨ c = b ∨ [(a ∧ c) ∨ c ] = b ∨ c
ve dolayısıyla c = c olur.
rad(c/0) ≤ c∧rad(L) eşitsizliği her zaman doğrudur. L kompakt olduğundan Önerme 3.1.8 gereği rad(L), L’de küçüktür. Ayrıca Önerme 3.1.5
gereği c, L’de rad(L) ∨ b’nin de bir tümleyenidir. Yani Y.Teorem 3.1.1’e
göre
(rad(L) ∨ b) ∨ c = 1 ve (rad(L) ∨ b) ∧ c c/0
olur. O halde
rad(L) ∧ c ≤ (rad(L) ∨ b) ∧ c ≤ rad(c/0)
olur.
Önerme 3.1.10. (Cǎlugǎreanu, 2000, Corollary 12.1) L kompakt
üretilmiş, tümlenmiş bir kafes ise her a ∈ L için 1/a da tümlenmiştir.
Kanıt. b ∈ 1/a olsun. b ∈ L olduğundan b’nin L’de bir tümleyeni c vardır.
Yani Y.Teorem 3.1.1 gereği
b ∨ c = 1 ve b ∧ c c/0.
Modüler kurala ve Y.Teorem 2.6.2’ye göre
b ∧ (a ∨ c) = a ∨ (b ∧ c) (a ∨ c)/a
olur.
Önerme 3.1.12’nin kanıtını yapabilmek için öncelikle aşağıdaki
Y.Teorem 3.1.11’i kanıtlayacağız.
Y.Teorem 3.1.11. (Cǎlugǎreanu, 2000, Proposition 12.3(1)) L kompakt
üretilmiş bir kafes olsun. a, b ∈ L, a/0 tümlenmiş ve a ∨ b’nin L’de bir
tümleyeni var ise b’nin de L’de bir tümleyeni vardır.
34
Kanıt. c, L’de a ∨ b’nin bir tümleyeni ve d, a/0’da (c ∨ b) ∧ a’nin bir
tümleyeni olsun. O zaman Y.Teorem 3.1.1 gereği
a ∨ b ∨ c = 1 ve (a ∨ b) ∧ c c/0,
[(c ∨ b) ∧ a] ∨ d = a ve [(c ∨ b) ∧ a] ∧ d d/0
olur.
1 = a ∨ b ∨ c = [(c ∨ b) ∧ a] ∨ d ∨ b ∨ c = d ∨ b ∨ c ve
(c ∨ b) ∧ d = (c ∨ b) ∧ d ∧ a = [(c ∨ b) ∧ a] ∧ d d/0
olduğundan Y.Teorem 3.1.1 gereği d, L’de b ∨ c’nin bir tümleyenidir. d ∈
a/0 olduğundan d ≤ a ve dolayısıyla b ∨ d ≤ a ∨ b’dir. Ayrıca
(a ∨ b) ∨ c = (b ∨ d) ∨ c = 1
ve c, L’de a ∨ b’nin bir tümleyeni olduğundan Önerme 3.1.3 gereği c, L’de
b ∨ d’nin de bir tümleyenidir. O zaman Y.Teroem 3.1.1’e göre
b ∨ d ∨ c = 1 ve (b ∨ d) ∧ c c/0
olur. Y.Teroem 2.6.5 ve Y.Teorem 2.4.5 kullanılarak aşağıdaki sonuç elde
edilir:
b ∧ (c ∨ d) ≤ [c ∧ (b ∨ d)] ∨ [d ∧ (b ∨ c)] (c ∨ d)/0.
O halde c ∨ d, L’de b’nin bir tümleyenidir.
Önerme 3.1.12. (Cǎlugǎreanu, 2000, Proposition 12.3(2)) L kompakt
üretilmiş bir kafes olsun. 1 = a1 ∨ a2 ve a1 /0, a2 /0 alt kafesleri tümlenmiş ise L de tümlenmiştir.
Kanıt. L’nin herhangi bir b elemanı için a1 ∨ (a2 ∨ b) = 1’in L’de bir
tümleyeni vardır. a1 /0 tümlenmiş olduğundan Y.Teorem 3.1.11 gereği
a2 ∨ b’nin L’de bir tümleyeni vardır. a2 /0 tümlenmiş olduğundan yine
Y.Teorem 3.1.11 gereği b’nin L’de bir tümleyeni vardır.
35
Y.Teorem 3.1.13. L kompakt bir kafes ise L’nin her a elemanı için a ≤ m
olacak şekilde bir m maksimal elemanı vardır.
Kanıt.
Ω = {x ∈ L | a ≤ x, x = 1}
kümesini tanımlayalım.
Γ = {xλ | λ ∈ Λ},
Ω’da bir zincir olsun. x =
dan, a ≤ x’dir.
λ∈Λ
xλ alalım. Her λ ∈ Λ için a ≤ xλ olduğun-
1=x=
λ∈Λ
xλ
ise L kompakt bir kafes olduğundan, Λ’nın
1=x=
λ∈F
xλ = xλ0
olacak şekilde bir F sonlu alt kümesi ve bir λ0 ∈ F vardır. Bu bir
çelişkidir. O halde x ∈ Ω’dır. Ayrıca x, Γ için bir üst sınırdır. Böylece
Zorn’un Lemması gereği Ω’da a ≤ m olacak şekilde bir maksimal eleman
m vardır.
Tanım 3.1.14. Bir L kafesinde 1’den farklı elemanlar kümesinin bir en
büyük elemanı var ise L’ye lokal kafes denir. L’nin bir l elemanı için l/0
bölüm alt kafesi lokal ise l’ye bir lokal eleman denir.
Tanım 3.1.15. L’nin her b ve c elemanı için b ∧ c = a olması b = a veya
c = a olmasını gerektiriyor ise a’ya oyuk eleman denir. Bir L kafesinin
her elemanı L’de küçük ise L’ye oyuk kafes denir.
Teorem 3.1.16. (Cǎlugǎreanu, 2000, Corollary 12.2)
1. L bir kompakt kafes olsun. O zaman aşağıdakiler denktir:
36
(i) L tümlenmiştir.
(ii) L’nin her maksimal elemanının L’de bir tümleyeni vardır.
(iii) 1 oyuk elemanların supremumudur.
(iv) I sonlu, her i ∈ I için li lokal eleman ve her i ∈ I için
lj <
li olacak şekilde 1 =
li ’dir.
j=i, j∈I
i∈I
i∈I
2. L tümlenmiş ve rad(L), L’de küçük ise I sonlu, her i ∈ I için li
lokal eleman ve her i ∈ I için
lj <
li olacak şekilde 1 =
i∈I
j
=
i,
j∈I
li ’dir.
i∈I
3.2
Zayıf Tümlenmiş Kafesler
Tanım 3.2.1. L kafesinin bir a elemanı için a∨b = 1 ve a∧b L ise a’ya
b’nin L’de zayıf tümleyeni denir. Burada aynı zamanda b de a’nın L’de bir
zayıf tümleyenidir. L kafesinin her elemanının L’de bir zayıf tümleyeni
var ise L’ye zayıf tümlenmiş kafes denir (krş. Zöschinger (1978)).
Bölüm 2.6’da modüllerdekinin aksine bir kafesin herhangi bir küçük
elemanının bir kafes homomorﬁzması altındaki görüntüsünün küçük olmak zorunda olmadığına bir örnek vermiştik. Bu nedenle aşağıdaki önermeyi bu özelliği kullanarak değil küçük elemanların başka bazı özelliklerini kullanarak kanıtlayacağız.
Önerme 3.2.2. L zayıf tümlenmiş bir kafes ise L’nin her a elemanı için
bölüm alt kafesi 1/a da zayıf tümlenmiştir.
Kanıt. b, 1/a’nın bir elemanı olsun. L zayıf tümlenmiş olduğundan L’de
b’nin bir zayıf tümleyeni x vardır. Başka bir deyişle,
x ∨ b = 1 ve x ∧ b L = 1/0.
37
Buradan (a ∨ x) ∨ b = 1 olduğu açıkça görülür. Y.Teorem 2.6.2’den
(a ∨ x) ∧ b = (b ∧ x) ∨ a (1 ∨ a)/a = 1/a
olur.
Zayıf tümlenmiş bir modülün küçük örtüsü de zayıf tümlenmiştir (bkz.
Clark et. al. (2006, 17.13)). Bu özellik kafesler için de doğrudur.
Önerme 3.2.3. Bir a L elemanı için 1/a alt kafesi L’nin zayıf tümlenmiş bir alt kafesi ise L de zayıf tümlenmiştir.
Kanıt. L’nin her x elemanı için 1/a’da x ∨ a nın bir zayıf tümleyeni y
vardır. O zaman,
y ∨ (x ∨ a) = 1 ve y ∧ (x ∨ a) 1/a
olur. Y.Teorem 2.6.3’ten y ∧ (x ∨ a) L olur. Buradan,
y ∧ x ≤ y ∧ (x ∨ a) L
olduğu elde edilir. O zaman y, x’in L’de bir zayıf tümleyenidir.
Önerme 3.2.4. (krş. (Lomp, 1999, Proposition 2.2 (5)), bkz. (Clark et. al.,
2006, 17.13 ve 20.3)) Zayıf tümlenmiş L kafesinde a bir tümleyen eleman
olsun. O zaman a/0 da zayıf tümlenmiştir.
Kanıt. a, L’de b’nin bir tümleyeni olsun. O zaman Y.Teorem 3.1.1 gereği
a ∨ b = 1 ve a ∧ b a/0
olur. Önerme 3.2.2’den
1/b = (a ∨ b)/b ∼
= a/(a ∧ b)
zayıf tümlenmiştir. Sonuç olarak Önerme 3.2.3’ten a/0 zayıf tümlenmiştir.
38
Önerme 3.2.5. (krş. (Alizade ve Büyükaşık, 2003, Proposition 2.7)) L’de
b’nin bir zayıf tümleyeni a ve c L ise b, L’de a∨c’nin bir zayıf tümleyenidir.
Kanıt. (a ∨ c) ∨ b = 1 olduğu açıktır. d = a ∧ b ve u = (a ∨ c) ∧ b
olsun. L’nin bir y elemanı için u ∨ y = 1 olduğunu varsayalım. O zaman
x = y ∨ d olacak şekilde u ∨ x = 1 olduğu açıktır. Buradan
b = b ∧ 1 = b ∧ (u ∨ x) = u ∨ (b ∧ x) ve
1 = a ∨ b = a ∨ u ∨ (b ∧ x) = a ∨ [(a ∨ c) ∧ b] ∨ (b ∧ x)
olur. Modüler kurala göre,
1 = [(a ∨ c) ∧ (a ∨ b)] ∨ (b ∧ x) = a ∨ c ∨ (b ∧ x)
olur. c L olduğundan 1 = a ∨ (b ∧ x)’tir. O zaman,
b = b ∧ 1 = b ∧ [a ∨ (b ∧ x)] = (b ∧ x) ∨ (b ∧ a)
modüler kurala göre
b = b ∧ [x ∨ (b ∧ a)] = b ∧ [y ∨ (b ∧ a)] = b ∧ x
yani b ≤ x’tir.
1=u∨x≤b∨x≤x
yani x = 1’dir. d L olduğu için y = 1 olur. Sonuç olarak b, L’de
a ∨ c’nin bir zayıf tümleyenidir.
Aşağıdaki önermenin kanıtı modüllerdeki ile aynıdır (bkz. Clark et. al.
(2006, 17.9(6))).
Önerme 3.2.6. a ve b, zayıf tümlenmiş L kafesinin a∨b = 1 olacak şekilde
iki elemanı olsun. O zaman a’nın L’de c ≤ b olacak şekilde bir zayıf
tümleyeni c vardır.
39
Kanıt. a ∨ b = 1 olsun. L zayıf tümlenmiş olduğundan
(a ∧ b) ∨ x = 1 ve (a ∧ b) ∧ x L
olacak şekilde bir x ∈ L vardır. Modüler kurala göre aşağıdaki eşitlik
yazılabilir:
b = b ∧ 1 = b ∧ [(a ∧ b) ∨ x] = (a ∧ b) ∨ (b ∧ x).
Buradan aşağıdaki eşitlik elde edilir:
1 = a ∨ b = a ∨ (a ∧ b) ∨ (b ∧ x) = a ∨ (b ∧ x).
O halde b ∧ x, a’nın L’de bir zayıf tümleyenidir.
Önerme 3.2.8’in kanıtını yapabilmek için öncelikle Y.Teorem 3.2.7’yi
kanıtlayacağız. Y.Teorem 3.2.7 ve Önerme 3.2.8’in kanıtı modüllerdeki ile
aynıdır (bkz. Clark et. al. (2006, 17.11 ve 17.12)).
Y.Teorem 3.2.7. L’nin c L koşulunu sağlayan bir c ≤ b elemanı için
b/c bölüm alt kafesi zayıf tümlenmiş olsun. L’nin bir a elemanı için a ∨
b’nin L’de bir zayıf tümleyeni var ise a’nın da L’de bir zayıf tümleyeni
vardır.
Kanıt. a ∨ b’nin L’deki zayıf tümleyeni x olsun. Başka bir deyişle,
x ∨ (a ∨ b) = 1 ve x ∧ (a ∨ b) L
olsun.
b ∧ (a ∨ x) ≤ c L
ise Y.Teorem 2.4.5 ve Y.Teorem 2.6.5 kullanılarak
[a ∧ (b ∨ x)] ≤ [b ∧ (a ∨ x)] ∨ [x ∧ (a ∨ b)] L
olduğu elde edilir. Bu nedenle b ∨ x, L’de a’nın bir zayıf tümleyenidir.
b ∧ (a ∨ x) ≤ c
40
olduğunu varsayalım. b/c zayıf tümlenmiş olduğundan c ∨ [b ∧ (a ∨ x)]’in
b/c’de bir zayıf tümleyeni y vardır. Yani,
b = y ∨ c ∨ [b ∧ (a ∨ x)] = y ∨ [b ∧ (a ∨ x)] ve
[y ∧ [c ∨ [b ∧ (a ∨ x)]]] b/c ⊆ 1/c.
Ayrıca aşağıdaki eşitlikler sağlanır:
y∧[c∨(a∨x)] = c∨[y∧(a∨x)] = c∨[y∧b∧(a∨x)] = y∧[c∨[b∧(a∨x)]].
O zaman Y.Teorem 2.6.3’e göre,
y ∧ (a ∨ x) ≤ y ∧ [c ∨ (a ∨ x)] = y ∧ [c ∨ [b ∧ (a ∨ x)]] L
olur. Ayrıca Y.Teorem 2.4.5 ve Y.Teorem 2.6.5’ten,
[a∧(y ∨x)] ≤ [y ∧(a∨x)]∨[x∧(a∨y)] ≤ [y ∧(a∨x)]∨[x∧(a∨b)] L.
O halde y ∨ x, L’de a’nın bir zayıf tümleyenidir.
Önerme 3.2.8. L’nin a1 ve a2 gibi a1 ∨ a2 = 1 koşulunu sağlayan iki
elemanı için a1 /0 ve a2 /0 alt kafesleri zayıf tümlenmiş ise L kafesi de zayıf
tümlenmiştir.
Kanıt. L’nin her b elemanı için a1 ∨ (a2 ∨ b) = 1’in bir zayıf tümleyeni
vardır. a1 /0 zayıf tümlenmiş olduğundan, Y.Teorem 3.2.7’ye göre a2 ∨
b’nin L’de bir zayıf tümleyeni vardır. a2 /0 zayıf tümlenmiş olduğundan,
yine Y.Teorem 3.2.7’ye göre b’nin L’de bir zayıf tümleyeni vardır.
Aşağıdaki teorem Alizade ve Büyükaşık (2008)’deki Teorem 2.1’in
kafeslere bir genelleşmesidir.
Teorem 3.2.9. 1/a ve a/0 zayıf tümlenmiş ve a’nın L’de bir zayıf tümleyeni
var ise L kafesi de zayıf tümlenmiştir.
41
Kanıt. b, L’de a’nın bir zayıf tümleyeni olsun. a/0 zayıf tümlenmiş
olduğundan Önerme 3.2.2’ye göre a/(a ∧ b) de zayıf tümlenmiştir. Ayrıca
b/(a ∧ b) ∼
= (a ∨ b)/a ∼
= 1/a
olduğundan b/(a ∧ b) de zayıf tümlenmiştir. Önerme 3.2.8’e göre
1/(a ∧ b) = [a/(a ∧ b)] ∨ [b/(a ∧ b)]
zayıf tümlenmiştir. Sonuç olarak Önerme 3.2.3’ten L zayıf tümlenmiştir.
Önerme 3.2.10. L bir pseudo-bütünlenmiş kafes ve a elemanı L’de sıfırdan ve birden farklı bir eleman olsun. L’nin bölüm alt kafesi 1/a bütünlenmiş ise b1 , L’de b2 ’nin bütünleyeni, b1 /0 bütünlenmiş, a b2 /0 ve b2 /a
bütünlenmiş olacak şekilde iki elemanı b1 ve b2 vardır.
Eğer L kompakt üretilmiş ise tersi de doğrudur.
Kanıt. Pseudo-bütünlenmiş kafesler E-bütünlenmiş olduğundan b1 ∧a = 0
ve b1 ∨ a L olacak şekilde L’nin bir elemanı b1 vardır. 1/a bütünlenmiş
olduğundan, b1 ∨ a’nın 1/a’da bir bütünleyeni b2 vardır. O zaman,
1 = (b1 ∨ a) ∨ b2 = b1 ∨ b2
ve modüler kurala göre,
0 = b1 ∧a = b1 ∧[(b1 ∨a)∧b2 ] = b1 ∧[(b1 ∧b2 )∨a] = (b1 ∧b2 )∨(b1 ∧a) = b1 ∧b2
olur. Ayrıca aşağıdaki izomorﬁzmayı yazabiliriz:
b1 /0 = b1 /(b1 ∧ a) ∼
= (b1 ∨ a)/a.
Buradan Y.Teorem 2.7.2’ye göre b2 /a ve b1 /0 bütünlenmiştir. b1 ∨ a L
olduğundan Y.Teorem 2.6.8’e göre
a = (b1 ∧ b2 ) ∨ a = (b1 ∨ a) ∧ b2 b2 /0
42
olduğunu elde ederiz.
Şimdi L’nin kompakt üretilmiş olduğunu ve b1 , b2 ’nin L’de koşulları
sağlayan iki eleman olduğunu kabul edelim. Y.Teorem 2.5.12 ve Y.Teorem
2.5.13(iii)’e göre (b1 ∨ a)/a ve b2 /a alt kafesleri kompakt üretilmiştir.
Kabulümüz gereği
(b1 ∨ a)/a ∼
= b1 /(b1 ∧ a) = b1 /0
bütünlenmiştir. Sonuç 2.7.8’e göre kompakt üretilmiş bütünlenmiş (b1 ∨
a)/a ve b2 /a kafesleri yarıatomiktir. Buradan
1/a = (b1 ∨ b2 )/a = (b1 ∨ a)/a ∨ b2 /a
yarıatomiktir ve L kompakt üretilmiş olduğundan, Y.Teorem 2.5.13(iii)’e
göre 1/a da kompakt üretilmiştir. Böylece yine Sonuç 2.7.8’e göre 1/a
bütünlenmiştir.
Y.Teorem 3.2.11. L bir pseudo-bütünlenmiş kafes ve a elemanı L’de sıfırdan ve birden farklı bir eleman olsun. L’nin bölüm alt kafesi 1/a’nın
bütünlenmiş olması için gerek ve yeter koşul L’nin b ∨ c = 1 ve b ∧ c ≤ a
olacak şekilde bir c elemanının var olmasıdır.
Kanıt. (⇒) b, L’nin bir elemanı olsun. b ∨ a da 1/a’nın elemanı olduğundan, 1/a’da bir bütünleyeni c vardır. Yani
(b ∧ c) ∨ a = (b ∨ a) ∧ c = a,
böylece
b ∧ c ≤ a ve b ∨ c = (b ∨ a) ∨ c = 1
olur.
(⇐) b ∈ 1/a olsun. L’de b ∨ c = 1 ve b ∧ c ≤ a olacak şekilde bir c vardır.
Buradan
b ∨ (c ∨ a) = b ∨ c = 1 ve b ∧ (c ∨ a) = (b ∧ c) ∨ a = a,
yani c ∨ a, b’nin 1/a’da bir bütünleyenidir. O zaman 1/a bütünlenmiştir.
43
Tanım 3.2.12. L’nin bir bölüm alt kafesi 1/ rad(L) bütünlenmiş ise L bir
yarılokal kafes olarak adlandırılır (krş. Clark et. al. (2006, 17.1)).
Teorem 3.2.13. L pseudo-bütünlenmiş zayıf tümlenmiş bir kafes ise
yarılokaldir ve L’nin b1 , b2 ’nin bütünleyeni, b1 /0 bütünlenmiş ve rad(L) b2 /0 koşullarını sağlayan iki elemanı b1 ve b2 vardır.
Kanıt. L zayıf tümlenmiş olduğundan, L’deki her b elemanı için
b ∨ c = 1 ve b ∧ c L
olacak şekilde bir c elemanı vardır, dolayısıyla b ∧ c ≤ rad(L)’dir. O
zaman a = rad(L) alırsak Y.Teorem 3.2.11’in yeter koşulu sağlanmış
olur. Böylece 1/ rad(L) bütünlenmiştir. Teoremin kalan kısmı Önerme
3.2.10’dan çıkar.
Sonuç 3.2.14. L radikali küçük olan pseudo-bütünlenmiş bir kafes olsun.
O zaman L’nin zayıf tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul yarılokal
olmasıdır.
Kanıt. (⇒) Teorem 3.2.13’ten kolayca görülür.
(⇐) L yarılokal olsun, yani 1/ rad(L) bütünlenmiş olsun. Y.Teorem
3.2.11’den L’nin her a elemanı için
a ∨ b = 1 ve a ∧ b ≤ rad(L) L
olacak şekilde bir b elemanı vardır. Buradan b, a’nın L’de bir zayıf
tümleyenidir.
Sonuç 3.2.15. Radikali sıfır olan pseudo-bütünlenmiş bir L kafesinin zayıf
tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul bütünlenmiş olmasıdır.
44
3.3
Bol Tümlenmiş Kafesler
Tanım 3.3.1. Bir L kafesinin a∨b = 1 eşitliğini sağlayan her b elemanı için
b/0 alt kafesi a’nın bir tümleyenini içeriyorsa a’nın L’de bol tümleyenleri
vardır denir. L’nin her elemanının L’de bol tümleyenleri var ise L’ye bol
tümlenmiş kafes denir (krş. Golan (1971)).
Önerme 3.3.2. L bol tümlenmiş bir kafes ise L’nin her a elemanı için
bölüm alt kafesi 1/a da bol tümlenmiştir.
Kanıt. 1/a’nın bir elemanı x olsun. L bol tümlenmiş olduğundan bir y ∈
1/a için x ∨ y = 1 oluyorsa x’in L’de y ≤ y olacak şekilde bir tümleyeni
vardır, yani Y.Teorem 3.1.1’e göre
x ∨ y = 1 ve x ∧ y y /0.
O zaman
(x ∨ y ) ∨ a = 1
olur. Modüler kurala göre aşağıdaki eşitlik yazılabilir:
x ∧ (y ∨ a) = a ∨ (x ∧ y )
ve
x ∧ y y /0
olduğundan Y.Teorem 2.6.2’ye göre
a ∨ (x ∧ y ) (y ∨ a)/a
olur. Buradan y ∨a, x’in 1/a’da y ∨a ≤ y olacak şekilde bir tümleyenidir.
Önerme 3.3.3. Bol tümlenmiş L kafesinin bir elemanının tümleyeni a olsun. O zaman a/0 da bol tümlenmiştir.
45
Kanıt. b’nin L’de bir tümleyeni a ve bazı x, y ∈ L için a = x ∨ y olsun. O
zaman
1=a∨b=x∨y∨b
olur. L bol tümlenmiş olduğundan b ∨ x’in L’de y ≤ y koşulunu sağlayan
bir tümleyeni y vardır. Buradan Y.Teorem 3.1.1’e göre
b ∨ x ∨ y = 1 ve (b ∨ x) ∧ y y /0.
x ≤ b ∨ x olduğundan
x ∧ y ≤ (b ∨ x) ∧ y y /0
olur.
a = 1 ∧ a = (b ∨ x ∨ y ) ∧ a = (x ∨ y ) ∨ (b ∧ a).
b ∧ a a/0 olduğundan x ∨ y = a’dır. Başka bir ifadeyle y , a/0’da x’in
bir tümleyenidir. Böylece a/0 bol tümlenmiştir.
Sonuç 3.3.4. L bol tümlenmiş bir kafes ise L’nin her bütünleyen elemanı
a için a/0 bölüm alt kafesi de bol tümlenmiştir.
Kanıt. Bir b ∈ L için a ∨ b = 1 ve a ∧ b = 0 olsun. O zaman a bütünleyen
elemanı L’de b’nin bir tümleyenidir. Bundan dolayı Önerme 3.3.3’e göre,
a/0 bol tümlenmiştir.
Önerme 3.3.5. (krş. (Wisbauer, 1991, 41.8)) a ve b, L’nin a ∨ b = 1
koşulunu sağlayan iki elemanı olsun. a ve b’nin L’de bol tümleyenleri var
ise a ∧ b’nin de L’de bol tümleyenleri vardır.
Kanıt. Bir c ∈ L için (a ∧ b) ∨ c = 1 olsun.
a = a ∧ 1 = a ∧ [(a ∧ b) ∨ c] = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ve
b = b ∧ 1 = b ∧ [(a ∧ b) ∨ c] = (a ∧ b) ∨ (b ∧ c),
1 = a ∨ b = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ b = b ∨ (a ∧ c) ve
46
1 = a ∨ b = a ∨ (a ∧ b) ∨ (b ∧ c) = a ∨ (b ∧ c).
b’nin L’de bol tümleyenleri olduğundan b’nin c ≤ a ∧ c olacak şekilde
L’de bir tümleyeni c vardır. Buradan Y.Teorem 3.1.1’e göre
b ∨ c = 1 ve b ∧ c c /0
olur. Benzer şekilde, a’nın L’de c ≤ b∧c koşulunu sağlayan bir tümleyeni
c vardır, yani Y.Teorem 3.1.1’e göre
a ∨ c = 1 ve a ∧ c c /0.
c ≤ a ∧ c ve c ≤ b ∧ c olduğundan,
c ∨ c ≤ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≤ (a ∨ b) ∧ c = 1 ∧ c = c
elde edilir. Modüler kurala göre,
(a ∧ b) ∨ (c ∨ c ) = [(a ∧ b) ∨ c ] ∨ c = [a ∧ (b ∨ c )] ∨ c = a ∨ c = 1
olur. Y.Teorem 2.6.5’e göre
(c ∨ c ) ∧ (a ∧ b) = (c ∧ b) ∨ (c ∧ a) (c ∨ c )/0
olduğu görülür. Bu nedenle c ∨ c , a ∧ b’nün L’de c ∨ c c koşulunu
sağlayan bir tümleyenidir.
Önerme 3.3.6. Bir L kompakt üretilmiş kompakt kafesi bol tümlenmiş ise
lj <
li koşulunu sağlayan öyle li lokal
I sonlu ve her i ∈ I için
i∈I
j
=i, j∈I
li , 1 = a ∨ b ve rad(b/0) = b’dir.
elemanları vardır ki a =
i∈I
Kanıt. L bol tümlenmiş olduğu için tümlenmiştir. O zaman L’nin her
elemanının L’de bir tümleyeni vardır. a, rad(L)’nin L’de bir tümleyeni
olsun, bu durumda Y.Teorem 3.1.1 gereği
rad(L) ∨ a = 1 ve rad(L) ∧ a a/0
47
olur. Ayrıca a bir tümleyen eleman olduğundan Önerme 3.3.3’e göre a/0
bol tümlenmiştir, dolayısıyla tümlenmiştir.
rad(a/0) ≤ a ∧ rad(L) a/0
olması
rad(a/0) a/0
olmasını gerektirir. Buradan Teorem 3.1.16 gereği I sonlu ve her i ∈ I için
lj <
li koşulunu sağlayan li lokal elemanları için a =
li ’dir.
j=i, j∈I
i∈I
i∈I
L bol tümlenmiş olduğundan a’nın L’de b ≤ rad(L) olacak şekilde bir b
tümleyeni vardır. Buradan Y.Teorem 3.1.1’e göre
a ∨ b = 1 ve a ∧ b b/0
olur. b, L’de bir tümleyen olduğundan Önerme 3.1.9 gereği rad(b/0) =
b ∧ rad(L) = b’dir.
Önerme 3.3.7. Bir L kafesi için aşağıdakiler denktir:
(i) L bol tümlenmiştir.
(ii) L’nin her a elemanı x/0 tümlenmiş ve y L olacak şekilde a =
x ∨ y biçimindedir.
(iii) L’nin her a elemanı için, x ≤ a eşitsizliği L’de eşküçük ve x/0
bölüm alt kafesi L’de tümlenmiş alt kafes olacak şekilde bir x ≤ a
elemanı vardır.
Kanıt. (i) ⇒ (ii) b, a’nın L’de bir tümleyeni olsun, yani Y.Teorem 3.1.1’e
göre
a ∨ b = 1 ve a ∧ b b/0
olsun. O zaman Y.Teorem 2.6.4 gereği
a∧bL
48
olur. L bol tümlenmiş olduğundan b’nin L’de x ≤ a olacak şekilde bir x
tümleyeni vardır, bu durumda Y.Teorem 3.1.1’e göre
x ∨ b = 1 ve x ∧ b x/0
olur. Yani x elemanı L’de bir tümleyendir. O zaman Y.Teorem 3.3.3’e
göre, x/0 bol tümlenmiş dolayısıyla tümlenmiştir. Ayrıca modüler kurala
göre aşağıdaki eşitlik yazılabilir:
a = a ∧ 1 = a ∧ (b ∨ x) = x ∨ (a ∧ b).
(ii) ⇒ (iii) Bir x ∈ 1/x için a ∨ x = 1 olduğunu varsayalım. (ii)’ye
göre, a = x ∨ y ve y L’dir. Buradan
1 = a ∨ x = x ∨ y ∨ x = y ∨ x
olur. y L olduğundan x = 1’dir.
(iii) ⇒ (i) a ∨ b = 1 ve x/0, x ≤ a eşitsizliği L’de eşküçük eşitsizlik
olacak şekildeis L’nin tümlenmiş bir bölüm alt kafesi olsun. Yani a 1/x
ise, Y.Teorem 2.8.4’den b ∨ x = 1’dir. b ∧ x’in x/0’daki bir tümleyeni a
1 = b ∨ x = b ∨ a ∨ (b ∧ x) = b ∨ a ve
b ∧ a = (b ∧ x) ∧ a a /0,
yani a ≤ a, b’nin L’de bir tümleyenidir.
Sonuç 3.3.8. L’nin her a elemanı için a/0 bölüm alt kafesi tümlenmiş ise
L bol tümlenmiştir.
Aşağıdaki y.teorem Clark et. al. (2006)’daki 20.3’ün kafeslere bir
genelleşmesidir.
Y.Teorem 3.3.9. Zayıf tümlenmiş L kafesinin bir b elemanı için aşağıdakiler denktir:
49
(i) b, L’nin bir tümleyen elemanıdır.
(ii) b, L’de eşkapalıdır.
Kanıt. (i) ⇒ (ii) b, L’de a’nın bir tümleyeni olsun. b ≤ b eşitsizliği
L’de eşküçük eşitsizlik olacak şekilde her b ≤ b elemanı için Y.Teorem
2.8.4 gereği b ∨ a = 1 olması b ∨ a = 1 olmasını gerektirir. b ∨ a = 1
özelliğine göre b’nin minimal olmasından b = b olur. Bu durumda b, L’de
eşkapalıdır.
(ii) ⇒ (i) b, L’de eşkapalı ve a, L’de b’nin zayıf tümleyeni olsun. O
zaman a ∧ b L ve buradan Y.Teorem 2.8.5’e göre a ∧ b b/0’dır. O
halde b, L’de a’nın bir tümleyenidir.
Aşağıdaki teorem Clark et. al. (2006)’daki 20.25’in kafeslere bir
genelleşmesidir.
Teorem 3.3.10. Bir L kafesinin bol tümlenmiş olması için gerek ve yeter
koşul zayıf tümlenmiş olması ve L’nin her elemanının L’de bir eşkapanışının olmasıdır.
Kanıt. (⇒) L bol tümlenmiş olsun. O zaman tümlenmiş ve zayıf tümlenmiş olduğu açıktır. b, a’nın L’de bir tümleyeni olsun. Buradan Y.Teorem
3.1.1’e göre
a ∨ b = 1 ve a ∧ b b/0
ve dolayısıyla Y.Teorem 2.6.4 gereği a ∧ b L olur. L bol tümlenmiş
olduğundan b’nin L’de a ≤ a olacak şekilde bir tümleyeni a vardır. Bu
nedenle Y.Teorem 3.1.1’e göre
1 = a ∨ b ve a ∧ b a /0
olur. Bir tümleyen eleman olarak a , Y.Teorem 3.3.9 gereği L’de eşkapalıdır. Modüler kurala göre aşağıdaki eşitlik yazılabilir:
a = 1 ∧ a = (a ∨ b) ∧ a = a ∨ (a ∧ b).
50
Bir x ∈ 1/a için a ∨ x = 1 olsun. O zaman aşağıdaki eşitlik elde edilir:
1 = a ∨ (a ∧ b) ∨ x.
x ∈ 1/a olmasından
1 = a ∨ (a ∧ b) ∨ x = (a ∧ b) ∨ x
ve a ∧ b L olduğundan x = 1’dir. Bu a 1/a olması anlamına gelir.
Başka bir ifadeyle, a ≤ a eşitsizliği L’de eşküçüktür.
(⇐) L kafesinin zayıf tümlenmiş olduğunu ve L’nin her elemanının L’de
bir eşkapanışının var olduğunu varsayalım. a ∨ b = 1 olacak şekilde a, b ∈
L olsun. L zayıf tümlenmiş olduğundan Y.Teorem 3.2.6 gereği a’nın L’de
c ≤ b olacak şekilde bir zayıf tümleyeni c vardır. Buradan
1 = a ∨ c ve a ∧ c L
elde edilir. c, L’de eşkapalı olduğundan Y.Teorem 2.8.5’e göre
a ∧ c c/0
olur. O halde c, a’nın L’de c ≤ b koşulunu sağlayan bir tümleyenidir.
51
4. EŞSONLU TÜMLENMİŞ KAFESLER
Bu bölümde eşsonlu tümlenmiş modüller (bkz.
Bilhan (1999), Ali-
zade vd. (2001)) ile ilgili bazı sonuçların Çetindil (2005)’teki kafeslere
genelleşmelerini vereceğiz. Daha sonra eşsonlu zayıf tümlenmiş modüller (bkz. Büyükaşık (2001), Alizade ve Büyükaşık (2003), Alizade ve
Büyükaşık (2008)) ile ilgili bazı özellik ve sonuçları kafeslere genelleştireceğiz. Ayrıca bol eşsonlu tümlenmiş modüller (bkz. Alizade vd. (2001))
ile ilgili bazı özellik ve sonuçların kafeslere genelleşmelerini vereceğiz.
4.1
Eşsonlu Tümlenmiş Kafesler
Tanım 4.1.1. L’nin bölüm alt kafesi 1/a kompakt ise a bir eşsonlu eleman
olarak adlandırılır. Bir L kafesinde eşsonlu elemanların tümleyeni var ise
L’ye eşsonlu tümlenmiş kafes denir.
Önerme 4.1.2. (Çetindil, 2005, Lemma 5.3.7) L eşsonlu tümlenmiş bir
kafes ise L’nin her a elemanı için 1/a da eşsonlu tümlenmiştir.
Kanıt. b, 1/a’da bir eşsonlu eleman olsun. O zaman 1/b alt kafesi 1/a’nın
dolayısıyla L’nin bir kompakt bölüm alt kafesidir. O zaman b, L’de
bir eşsonlu elemandır. L eşsonlu tümlenmiş olduğundan, L’de b’nin bir
tümleyeni x vardır. O zaman Y.Teorem 3.1.1’e göre
b ∨ x = 1 ve b ∧ x x/0.
Modüler kural ve Y.Teorem 2.6.2’ye göre
(x ∨ a) ∧ b = (x ∧ b) ∨ a (x ∨ a)/a
52
olur. Yani Y.Teorem 3.1.1’e göre x ∨ a, 1/a’da b’nin bir tümleyenidir.
Aşağıdaki y.teoremin modüller için olan kanıtı kafesler için de geçerlidir (Alizade vd., 2001, Lemma 2.2).
Y.Teorem 4.1.3. (Çetindil, 2005, Lemma 5.3.15) L’nin iki elemanı a ve
b için b, L’de bir eşsonlu eleman ve a/0, L’nin bir eşsonlu tümlenmiş alt
kafesi olsun. O zaman a ∨ b’nin L’de bir tümleyeni var ise b’nin de L’de
bir tümleyeni vardır.
Kanıt. x, L’de a ∨ b’nin bir tümleyeni olsun. O zaman Y.Teorem 3.1.1’e
göre
a ∨ b ∨ x = 1 ve (a ∨ b) ∧ x x/0
olur.
a/[a ∧ (b ∨ x)] ∼
= (a ∨ b ∨ x)/(b ∨ x) = 1/(b ∨ x).
Bu durumda [a ∧ (b ∨ x)], a/0’ın bir eşsonlu elemanıdır. a/0 eşsonlu
tümlenmiş olduğundan, [a ∧ (b ∨ x)]’in a/0’da bir tümleyeni y vardır. O
zaman Y.Teorem 3.1.1’den
[a ∧ (b ∨ x)] ∨ y = a ve [a ∧ (b ∨ x)] ∧ y y/0
olur. Modüler kurala göre aşağıdaki eşitlikler yazılabilir:
a = [a ∧ (b ∨ x)] ∨ y = a ∧ [(b ∨ x) ∨ y]
1 = a∨b∨x = [a∧(b∨x∨y)]∨(b∨x) = [a∨(b∨x)]∧(b∨x∨y) = b∨x∨y.
Y.Teorem 2.4.5’e göre
[b ∧ (x ∨ y)] ≤ [x ∧ (b ∨ y)] ∨ [y ∧ (b ∨ x)] ≤ [x ∧ (b ∨ a)] ∨ [y ∧ (b ∨ x)]
ve Y.Teorem 2.6.5’e göre
[b ∧ (x ∨ y)] (x ∨ y)/0
olur. O zaman Y.Teorem 3.1.1’e göre x ∨ y, L’de b’nin bir tümleyenidir.
Aşağıdaki y.teoremi Teorem 4.1.6 ve Teorem 4.3.6’nın kanıtında kullanacağız.
53
Y.Teorem 4.1.4. (krş. (Alizade vd., 2001, Lemma 2.9)) {li /0}i∈I , I =
{1, . . . , m}, L’nin sonlu sayıda lokal alt kafeslerinin bir kümesi, a ∈ L ve
b, L’de a ∨ ( li )’nin bir tümleyeni olsun. O zaman I’nın bir alt kümesi
i∈I
J için b ∨ ( li ), a’nın L’de bir tümleyenidir.
i∈J
Kanıt. m üzerinde tümevarım yapacağız.
m = 1 için b, a ∨ l1 ’in bir tümleyenidir, yani Y.Teorem 3.1.1’e göre
b ∨ (a ∨ l1 ) = 1 ve b ∧ (a ∨ l1 ) b/0.
c = (a ∨ b) ∧ l1 alalım. c = l1 ise, l1 ≤ a ∨ b’dir. O zaman
1 = b ∨ (a ∨ l1 ) = a ∨ b ve
b ∧ a ≤ b ∧ (a ∨ l1 ) b/0
olur. Buradan Y.Teorem 3.1.1’e göre b, L’de a’nın bir tümleyenidir. c = l1
ise, b ∨ l1 ’in a’nın bir tümleyeni olduğunu gösterebiliriz: Bir d ∈ l1 /0 için
c ∨ d = l1 olsun. Modüler kurala göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz:
l1 = (c ∨ d) = [(a ∨ b) ∧ l1 ] ∨ d = l1 ∧ (a ∨ b ∨ d).
Böylece d = l1 ’dir. Buradan
(a ∨ b) ∧ l1 = c l1 /0
olduğu elde edilir. Y.Teorem 2.4.5’e göre aşağıdaki eşitsizlik yazılabilir:
[a ∧ (b ∨ l1 )] ≤ [b ∧ (a ∨ l1 )] ∨ [l1 ∧ (a ∨ b)].
O halde Y.Teorem 2.6.5’ten
a ∧ (b ∨ l1 ) (b ∨ l1 )/0
olur. m > 1 ve b’nin L’de a = a ∨ l1 olacak şekilde a ∨ (
m
li )’nin bir
tümleyeni olduğunu varsayalım. Tümevarım hipotezinden b = b ∨ ( li ),
i=2
i∈I 54
a ’nün tümleyeni olacak şekilde I ⊆ {2, . . . , m} vardır. b , a = a ∨
l1 ’in bir tümleyenidir, m = 1 olması durumunda b veya b ∨ l1 , a’nın bir
tümleyenidir. Böylece kanıt tamamlanmış olur.
Y.Teorem 4.1.5. m, L’de bir maksimal eleman olsun.
l, m’nin bir
tümleyeni ise l/0 lokaldir. Üstelik l ∧ m, l/0’ın l’den farklı en büyük elemanıdır.
Kanıt. Y.Teorem 3.1.1’e göre l’nin, m’nin bir tümleyeni olması için gerek
ve yeter koşul l ∨ m = 1 ve l ∧ m l/0 olmasıdır. x ∈ l/0 ve x = l
olsun. x ≤ m ise, x ≤ l ∧ m’dir. x ≤ m (x ≤ l ∧ m) ise, m maksimal
olduğundan x ∨ m = 1’dir.
l = l ∧ 1 = l ∧ (x ∨ m) = x ∨ (l ∧ m).
Ayrıca l ∧ m l/0 olduğundan x = l’dir. Bu x = l olmasıyla çelişir. O
halde l ∧ m = l, l/0’ın en büyük elemanıdır.
Teorem 4.1.6. Bir L kafesinin eşsonlu tümlenmiş olması için gerek ve yeter
koşul L’nin her maksimal elemanının L’de bir tümleyeninin olmasıdır.
Kanıt. (⇒) m, L’de bir maksimal eleman olsun. O zaman 1/m’de sadece
iki eleman vardır: 1, m. Böylece her maksimal eleman eşsonludur. L eşsonlu tümlenmiş olduğundan m’nin L’de bir tümleyeni vardır.
(⇐) Loc(L) ile L’nin lokal elemanlarının supremumu gösterilsin. İlk
olarak 1/ Loc(L)’nin hiç maksimal elemanı olmadığını gösterelim. m,
1/ Loc(L)’de bir maksimal eleman olsun. O zaman m, L’nin de bir maksimal elemanıdır. Kabulümüz gereği m’nin L’de bir tümleyeni b vardır.
Yani Y.Teorem 3.1.1’e göre
m ∨ b = 1 ve m ∧ b b/0
olur. Y.Teorem 4.1.5’e göre b/0 bir lokal alt kafestir. Bu durumda b,
L’de bir lokal elemandır. O zaman b ≤ Loc(L) ≤ m’dir. Buradan
55
1 = m ∨ b = m olur. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla 1/ Loc(L)’de hiç
maksimal eleman yoktur. a, L’de bir eşsonlu eleman olsun. O zaman
a ∨ Loc(L) de L’de eşsonludur. 1/ Loc(L)’de hiç maksimal eleman olmadığından 1/(a∨Loc(L))’de de yoktur fakat Y.Teorem 2.5.8’e göre sıfırdan farklı her kompakt kafesin en az bir maksimal elemanı vardır. O halde
a ∨ Loc(L) = 1 olmak zorundadır. 1/a kompakt olduğundan L’nin bazı
lokal elemanları l1 , . . . , ln için aşağıdaki eşitlik doğrudur:
a ∨ (l1 ∨ . . . ∨ ln ) = 1.
0, a ∨ (l1 ∨ . . . ∨ ln )’nin L’de bir tümleyenidir. Sonuç olarak Y.Teorem
4.1.4’e göre a’nın L’de bir tümleyeni vardır.
Teorem 4.1.6’yı kullanarak aşağıdaki teoremi Çetindil (2005)’deki
Lemma 5.3.16’dan farklı bir yolla kanıtlayacağız.
ai koşulunu sağlayan eşsonlu tümTeorem 4.1.7. {ai /0}i∈I , L’nin 1 =
i∈I
lenmiş alt kafeslerinin bir kümesi olsun. O zaman L de eşsonlu tümlenmiş
bir kafestir.
Kanıt. m, L’nin bir maksimal elemanı olsun. Her i ∈ I için ai ≤ m ise
ai ≤ m’dir. Bu bir çelişkidir. O zaman aj ≤ m olacak şekilde bir
1=
i∈I
j ∈ I vardır. Buradan 1 = aj ∨ m’dir.
aj /(aj ∧ m) ∼
= (aj ∨ m)/m = 1/m
olduğundan (aj ∧ m), aj /0’da bir maksimal elemandır. Hipotez gereği
aj ∧ m’nin aj /0’da bir tümleyeni c vardır. Yani Y.Teorem 3.1.1’e göre
(aj ∧ m) ∨ c = aj ve (aj ∧ m) ∧ c c/0
olur. c ≤ m ise aj = (aj ∧ m) ∨ c ≤ m’dir. Bu bir çelişkidir. Böylece
c ≤ m olur. Buradan 1 = m ∨ c ve m ∧ c c/0 olduğu görülür. O zaman
Y.Teorem 3.1.1’e göre c, L’de m’nin bir tümleyenidir. O halde Teorem
4.1.6’ya göre L eşsonlu tümlenmiş bir kafestir.
56
Modüller için yeni bir sonuç olan aşağıdaki teoremi kanıtlamak için
yine Teorem 4.1.6’yı kullanacağız.
Teorem 4.1.8. a/0, L’nin eşsonlu tümlenmiş bir altkafesi ve 1/a’da hiç
maksimal eleman yok ise, L de eşsonlu tümlenmiş bir kafestir.
Kanıt. b, L’nin bir maksimal elemanı olsun. a ≤ b ise b, 1/a’nın bir
maksimal elemanıdır, fakat 1/a’da hiç maksimal eleman yoktur. Buradan
a ≤ b’dir, böylece a ∨ b = 1 ve
a/(a ∧ b) ∼
= (a ∨ b)/b = 1/b
olur. b, L’nin maksimal elemanı olduğundan a ∧ b de a/0’da maksimaldir
ve dolayısıyla a ∧ b’nin a/0’da bir tümleyeni vardır. a ∧ b’nin a/0’da bir
tümleyeni c olsun. Yani Y.Teorem 3.1.1 gereği
(a ∧ b) ∨ c = a ve (a ∧ b) ∧ c c/0
olsun. c ∈ a/0 olduğundan
c ∧ b = c ∧ (a ∧ b) c/0
olur. Ayrıca aşağıdaki eşitlik doğrudur:
c ∨ b = c ∨ (a ∧ b) ∨ b = a ∨ b = 1.
O halde Y.Teorem 3.1.1’e göre c, L’de b’nin bir tümleyenidir. Sonuç olarak
Teorem 4.1.6’ya göre L eşsonlu tümlenmiştir.
4.2
Eşsonlu Zayıf Tümlenmiş Kafesler
Tanım 4.2.1. Bir L kafesinde eşsonlu elemanların zayıf tümleyeni var ise
L’ye eşsonlu zayıf tümlenmiş kafes denir.
57
Kompakt üretilmiş kafeslerde eşsonlu elemanların zayıf tümleyenleri
kompakt elemanlar olarak kabul edilebilir.
Y.Teorem 4.2.2. (krş. (Alizade ve Büyükaşık, 2003, Lemma 2.1)) L kompakt üretilmiş bir kafes ve a, L’nin eşsonlu bir elemanı olsun. b, a’nın L’de
bir zayıf tümleyeni ise a’nın L’de c ≤ b olacak şekilde bir kompakt zayıf
tümleyeni vardır.
Kanıt. L kompakt üretilmiş olduğundan her ci bir kompakt eleman olmak
ci ’dir. Buradan
üzere b =
i∈I
1=a∨b=a∨(
i∈I
ci ) =
i∈I
(a ∨ ci )
olur. 1/a kompakt olduğundan I’nın bir sonlu alt kümesi F için
1=
i∈F
(a ∨ ci ) = a ∨ (
i∈F
eşitliği yazılabilir. Sonuç 2.5.6’ya göre c =
manının a’nın zayıf tümleyeni olduğu açıktır.
ci )
i∈F
ci kompakttır ve c ele-
Aşağıdaki örnek Y.Teorem 4.2.2’nin kompakt üretilmiş olmayan
kafesler için doğru olmadığını gösterir.
Örnek 4.2.3.
L = {(x, 0) | x ∈ [0, 1]} ∪ {(0, y) | y ∈ [0, 1]} ⊆ R2
olsun ve L’deki sıralama bağıntısı aşağıdaki gibi tanımlansın:


 b = d = 0 ve a ≤ c ise veya;
(a, b) (c, d) eğer
a = c = 0 ve b ≤ d ise veya;


b = c = 0 ve a ≤ d ise.
L’nin en büyük elemanı (0, 1) en küçük elemanı (0, 0) olan tam modüler bir kafes olduğu kolayca görülür. (0, 1)/(1, 0) bölüm alt kafesi
58
basit olduğundan kompakttır. Yani (1, 0), L’nin bir eşsonlu elemanıdır.
0 < a < 1 bir reel sayı olsun.
(0, a) ∨ (1, 0) = (0, 1) ve (0, a) ∧ (1, 0) = (a, 0) L,
yani (0, a), (1, 0)’ın L’de bir zayıf tümleyenidir. Diğer taraftan, L’de (0, 0)
dışında kompakt eleman yoktur, bundan dolayı (1, 0)’ın L’de
(b, c) (0, a)
olacak şekilde bir kompakt zayıf tümleyeni (b, c) yoktur.
(0,1)
(0,0)
(1,0)
Şekil 4.1: (L, )
Önerme 4.2.4. L eşsonlu zayıf tümlenmiş bir kafes ise L’nin her a elemanı
için 1/a da eşsonlu zayıf tümlenmiştir.
Kanıt. 1/a’nın bir eşsonlu elemanı b olsun. O zaman 1/b alt kafesi 1/a’nın
kompakt bir alt kafesidir, bu nedenle 1/b, L’de bir kompakt bölüm alt kafesidir. Bu b’nin L’de bir eşsonlu eleman olduğu anlamına gelir. L eşsonlu
zayıf tümlenmiş olduğundan L’de b’nin bir zayıf tümleyeni x vardır, yani
x ∨ b = 1 ve x ∧ b L.
59
x ∧ b L olduğundan Modüler Kural ve Y.Teorem 2.6.2’ye göre
(x ∨ a) ∧ b = (x ∧ b) ∨ a (1 ∨ a)/a = 1/a
olur. Bu nedenle x ∨ a, 1/a’da b’nin bir zayıf tümleyenidir.
L’nin bir eşsonlu zayıf tümlenmiş kafes olması için gerek ve yeter
koşulun her maksimal elemanının bir zayıf tümleyeninin olması olduğunu
kanıtlayacağız. Bu sonucu Alizade ve Büyükaşık (2003) modüller için
kanıtlamıştır. Aşağıdaki y.teoremin modüller için olan kanıtı kafesler için
de geçerlidir (Alizade ve Büyükaşık, 2003, Lemma 2.15).
Y.Teorem 4.2.5. m, L’nin bir maksimal elemanı, b, m’nin L’de bir zayıf
tümleyeni ve a ∈ L olsun. a ∨ b’nin L’de bir zayıf tümleyeni var ise a’nın
da L’de bir zayıf tümleyeni vardır.
Kanıt. b, L’de m’nin bir zayıf tümleyeni olduğundan
b ∨ m = 1 ve b ∧ m L
olur. x, a ∨ b’nin L’de bir zayıf tümleyeni olsun, bu durumda
x ∨ (a ∨ b) = 1 ve x ∧ (a ∨ b) L
olur. b∧(x∨a) ≤ b∧m L ise, Y.Teorem 2.6.3 gereği b∧(x∨a) L’dir.
Y.Teorem 2.4.5 ve Y.Teorem 2.6.5’e göre
[a ∧ (x ∨ b)] ≤ [x ∧ (a ∨ b)] ∨ [b ∧ (a ∨ x)] L
olur. O zaman x ∨ b, a’nın bir zayıf tümleyenidir.
b ∧ (x ∨ a) b ∧ m
olduğunu varsayalım.
b/(b ∧ m) ∼
= (b ∨ m)/m = 1/m.
60
Buradan b ∧ m, b/0’de maksimaldir. Böylece
(b ∧ m) ∨ (b ∧ (x ∨ a)) = b
olur. x ∧ a ≤ x ∧ (a ∨ b) L olduğundan Y.Teorem 2.6.3’e göre x ∧ a L’dir. Ayrıca
b ∧ (x ∨ a) ≤ x ∨ a ve b ∧ m L
olduğundan
1 = x ∨ a ∨ b = x ∨ a ∨ (b ∧ m) ∨ [b ∧ (x ∨ a)] = x ∨ a
olur. O zaman x, a’nın L’de bir zayıf tümleyenidir. Yani her iki durumda
da a’nın L’de bir zayıf tümleyeni vardır.
Γ ile L’deki maksimal elemanların zayıf tümleyenlerinin kümesi ve
cws(L) ile de Γ’nın elemanlarının supremumu gösterilsin.
Teorem 4.2.6. Bir L kafesinin eşsonlu zayıf tümlenmiş kafes olması
için gerek ve yeter koşul L’nin her maksimal elemanının L’de bir zayıf
tümleyeninin olmasıdır.
Kanıt. (⇒) Her maksimal eleman eşsonlu olduğundan kanıtın bu kısmı
açıktır.
(⇐) İlk olarak 1/ cws(L)’nin hiç maksimal elemanı olmadığını gösterelim. m’nin 1/ cws(L)’nin bir maksimal elemanı olduğunu varsayalım. O
zaman m, L’nin de bir maksimal elemanıdır. Kabulümüz gereği m’nin
L’de bir zayıf tümleyeni b vardır. b ∈ Γ olduğundan b ≤ cws(L) ≤ m’dir.
O zaman 1 = m ∨ b = m olur. Bu bir çelişkidir. a, L’nin bir eşsonlu
elemanı olsun. Bu durumda a ∨ cws(L) de eşsonludur. 1/ cws(L)’de
maksimal eleman olmadığından 1/(a ∨ cws(L))’de de maksimal eleman yoktur. Fakat Y.Teorem 2.5.8’e göre sıfırdan farklı her kompakt
kafesin en az bir maksimal elemanı vardır. Böylece a ∨ cws(L) = 1’dir.
1/a’nın kompaktlığından L’nin Γ’ya ait bazı b1 , . . . , bn elemanları için
61
1 = a ∨ b1 ∨ b2 ∨ . . . ∨ bn ’dir. 0, 1 = a ∨ b1 ∨ b2 ∨ . . . ∨ bn ’nin L’de bir zayıf
tümleyenidir. O halde Y.Teorem 4.2.5’e göre a ∨ b1 ∨ b2 ∨ . . . ∨ bn−1 ’in de
L’de bir zayıf tümleyeni vardır. Bu şekilde devam edersek a’nın L’de bir
zayıf tümleyeni olduğu sonucunu elde ederiz.
Teorem 4.2.7. {ai /0}i∈I , L’nin 1 =
i∈I
ai koşulunu sağlayan eşsonlu zayıf
tümlenmiş alt kafeslerinin bir kümesi olsun. O zaman L de eşsonlu zayıf
tümlenmiş bir kafestir.
Kanıt. m, L’nin bir maksimal elemanı olsun. Her i ∈ I için ai ≤ m ise,
ai ≤ m’dir ki bu bir çelişkidir. O zaman aj m olacak şekilde bir
1=
i∈I
j ∈ I vardır. Buradan 1 = aj ∨ m’dir.
aj /(aj ∧ m) ∼
= (aj ∨ m)/m = 1/m
olduğundan aj ∧ m, aj /0’da bir maksimal elemandır. Hipotez gereği aj ∧
m’nin aj /0’da bir zayıf tümleyeni c vardır. Başka bir deyişle
(aj ∧ m) ∨ c = aj ve aj ∧ m ∧ c aj /0.
c ≤ m ise aj = (aj ∧m)∨c ≤ m’dir. Bu bir çelişkidir. Böylece c m’dir.
Buradan 1 = m ∨ c ve Y.Teroem 2.6.4’e göre
m ∧ c = aj ∧ m ∧ c L
olur. O zaman c, L’de m’nin bir zayıf tümleyenidir. Teorem 4.2.6’ya göre
L eşsonlu zayıf tümlenmiş bir kafestir.
Teorem 4.2.6 modüller için yeni bir sonuç olan aşağıdaki teoremi kanıtlamak için kullanılır.
Teorem 4.2.8. a/0, L’nin eşsonlu zayıf tümlenmiş bir altkafesi ve 1/a’nın
maksimal elemanı yok ise, L de eşsonlu zayıf tümlenmiş bir kafestir.
62
Kanıt. b, L’nin bir maksimal elemanı olsun. a ≤ b ise b, 1/a’nın bir
maksimal elemanıdır, fakat 1/a’nın maksimal elemanı yoktur. Buradan
a b’dir, böylece
a ∨ b = 1 ve a/(a ∧ b) ∼
= (a ∨ b)/b = 1/b
olur. b, L’nin maksimal elemanı olduğundan a ∧ b de maksimaldir ve
dolayısıyla a/0’ın bir eşsonlu elemanıdır. O zaman a ∧ b’nin a/0’da bir
zayıf tümleyeni c vardır, yani
(a ∧ b) ∨ c = a ve (a ∧ b) ∧ c a/0.
c ∈ a/0 olduğundan
c ∧ b = c ∧ (a ∧ b) L
olur. Ayrıca
c ∨ b = c ∨ (a ∧ b) ∨ b = a ∨ b = 1’dir.
O halde c, L’de b’nin bir zayıf tümleyenidir. Sonuç olarak Teorem 4.2.6
gereği L bir eşsonlu zayıf tümlenmiş kafestir.
Y.Teorem 4.2.9. L kompakt üretilmiş bir kafes ve a, L’nin bir eşsonlu
elemanı olsun. a’nın L’de bir zayıf tümleyeni b var ve c ≤ b koşulunu
sağlayan her kompakt eleman c için rad(c/0) = c ∧ rad(L) oluyorsa a’nın
L’de bir kompakt tümleyeni vardır.
Kanıt. a eşsonlu olduğundan 1/a kompakttır. Y.Teorem 4.2.2’den a’nın
c ≤ b olacak şekilde bir kompakt zayıf tümleyeni c vardır, yani
1 = a ∨ c ve a ∧ c L.
O zaman a ∧ c ≤ rad(L)’dir. Buradan
a ∧ c ≤ c ∧ rad(L) = rad(c/0)
63
olur. c kompakt olduğundan Önerme 3.1.8’e göre rad(c/0) c/0’dır. O
zaman a ∧ c c/0’dır. Bu nedenle Y.Teorem 3.1.1’e göre c, L’de a’nın
bir tümleyenidir.
Y.Teorem 4.2.9’u kullanarak Teorem 4.2.10 ve Sonuç 4.2.11’i kanıtlamak için (Alizade ve Büyükaşık, 2003, Theorem 2.19) ve (Alizade ve
Büyükaşık, 2003, Corollary 2.20)’nin kanıtlarını kolayca uyarlayabiliriz.
Teorem 4.2.10. L her kompakt elemanı c için rad(c/0) = c ∧ rad(L)
eşitliği sağlanan kompakt üretilmiş bir kafes olsun. O zaman L’nin eşsonlu zayıf tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul eşsonlu tümlenmiş
olmasıdır.
Kanıt. (⇒) a, L’de bir eşsonlu eleman olsun. L eşsonlu zayıf tümlenmiş
olduğundan a’nın L’de bir zayıf tümleyeni b vardır. Y.Teorem 4.2.9’a göre
a’nın L’de bir tümleyeni vardır. O zaman L eşsonlu tümlenmiş bir kafestir.
(⇐) Kanıtın bu kısmı açıktır.
Sonuç 4.2.11. L her kompakt elemanı c için rad(c/0) = c∧rad(L) eşitliği
sağlanan kompakt üretilmiş kompakt bir kafes olsun. O zaman L’nin zayıf
tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşul tümlenmiş olmasıdır. Üstelik bu
durumda L’nin her kompakt elemanı bir tümleyendir.
Kanıt. Kompakt bir kafeste her eleman eşsonlu olduğundan Teorem 4.2.10
gereği ilk kısım açıktır. Eğer c, L’de bir kompakt eleman ise c’nin L’de bir
zayıf tümleyeni b vardır, dolayısıyla c ∨ b = 1 ve
c ∧ b ≤ c ∧ rad(L) = rad(c/0) c/0.
Yani Y.Teorem 3.1.1 gereği c, L’de b’nin bir tümleyenidir.
4.3
Bol Eşsonlu Tümlenmiş Kafesler
Tanım 4.3.1. Bir L kafesinde eşsonlu elemanların bol tümleyenleri var ise
L’ye bol eşsonlu tümlenmiş kafes denir.
64
Önerme 4.3.2. L bol eşsonlu tümlenmiş ise L’nin her a elemanı için 1/a
da bol eşsonlu tümlenmiştir.
Kanıt. b, 1/a’nın bir eşsonlu elemanı olsun. O zaman 1/b kompakttır.
Bu nedenle b, L’nin bir eşsonlu elemanıdır. Bir c ∈ 1/a için b ∨ c = 1
olduğunu varsayalım. L bol eşsonlu tümlenmiş olduğundan, c/0’da içerilen b’nin L’de bir tümleyeni x vardır. Yani
b ∨ x = 1 ve b ∧ x x/0
olur. b ∨ c = 1 olduğundan a ∨ b ∨ c = 1’dir. Ayrıca a ∨ x ≤ a ∨ c
olduğundan a ∨ x ∈ (a ∨ c)/a’dır. Y.Teorem 2.6.2’den
(a ∨ x) ∧ b = (b ∧ x) ∨ a (x ∨ a)/a
diğer bir deyişle, Y.Teorem 3.1.1’e göre x ∨ a, b’nin 1/a’da bir tümleyenidir. Bu durumda 1/a bol eşsonlu tümlenmiştir.
Y.Teorem 4.3.3. L bir kompakt üretilmiş kafes, a bir eşsonlu eleman ve
a ∨ b = 1 olsun. O zaman b ≤ b koşulunu sağlayan L’nin bir kompakt
elemanı b için a ∨ b = 1’dir.
Kanıt. L kompakt üretilmiş olduğundan bi , i ∈ I kompakt elemanları için
b=
i∈I
bi
olur. O zaman
1=a∨b=a∨(
i∈I
bi ) =
i∈I
(a ∨ bi )
olur. 1/a kompakt olduğundan I’nın sonlu bir alt kümesi F için
1=
Bu durumda
i∈F
(a ∨ bi ) = a ∨ (
i∈F
bi ).
65
b =
i∈F
bi ≤ b
kompakt elemanı için a ∨ b = 1 elde edilmiş olur.
Önerme 4.3.4. L kompakt üretilmiş bir kafes, a bir eşsonlu eleman ve b,
a’nın L’de bir tümleyeni olsun. O zaman b kompakttır.
Kanıt. Y.Teorem 4.3.3’ten b ≤ b koşulunu sağlayan bir b elemanı vardır
ve a ∨ b = 1’dir. O zaman b’nin minimal olmasından b = b ’dür.
Y.Teorem 4.3.5. a, L’nin bir eşsonlu elemanı olsun. O zaman L’nin a ≤
m olacak şekilde bir maksimal elemanı m vardır.
Kanıt. a, L’de bir eşsonlu eleman olduğundan tanım gereği 1/a bir kompakt alt kafestir. O halde Y.Teorem 3.1.13 gereği L’nin a ≤ m olacak
şekilde bir maksimal elemanı m vardır.
Aşağıdaki sonuç modüller için kanıtlanmıştır (bkz.
Alizade ve
Büyükaşık (2003, Theorem 2.10)).
Teorem 4.3.6. Bir L kafesi için aşağıdakiler denktir:
(i) L bol eşsonlu tümlenmiştir.
(ii) L’nin her maksimal elemanının L’de bol tümleyenleri vardır.
(iii) b, L’nin herhangi bir elemanı olsun. L’nin a ∨ b = 1 koşulunu
sağlayan her eşsonlu elemanı a için F sonlu bir küme ve her i ∈ F
için li ’ler b/0’ın lokal elemanları olmak üzere a ∨ c = 1 olacak
li elemanı vardır.
şekilde bir c =
i∈F
Kanıt. (i) ⇒ (ii) Her maksimal eleman eşsonlu olduğundan kanıtın bu
kısmı açıktır.
(ii) ⇒ (iii) a, L’nin bir eşsonlu elemanı, b ∈ L ve a ∨ b = 1 olsun.
C = {c ∈ b/0 | c =
i∈F
li , F sonlu, li lokal}
66
olsun. Her c ∈ C için a ∨ c = 1 olduğunu varsayalım. Ω ile L’nin a ≤ x
koşulunu sağlayan x elemanlarının kümesi gösterilsin ve her c ∈ C için
x ∨ c = 1 olsun.
Γ = {xλ | λ ∈ Λ},
Ω’da bir zincir ve
x=
λ∈Λ
xλ
olsun. Her λ için xλ ∈ Ω olduğundan a ≤ xλ ’dır. O zaman
a≤
λ∈Λ
xλ = x
olur. Böylece x, Γ için bir üst sınırdır. Bir c ∈ C için
(
λ∈Λ
xλ ) ∨ c = 1
olduğunu varsayalım. 1/a kompakt olduğundan
(
λ∈F
xλ ) ∨ c = 1
olacak şekilde Λ’nın sonlu bir alt kümesi F vardır. Buradan bir λ0 ∈ F
için
i∈F
xλ = xλ0
olur, böylece xλ0 ∨ c = 1’dir. Bu bir çelişkidir. O halde
x=
λ∈Λ
xλ ∈ Ω
olmalıdır. Zorn’un Lemmasına göre Ω’da bir maksimal eleman u = 1
vardır. a eşsonlu olduğundan 1/a kompakttır ve a ≤ u olduğundan 1/u
kompakttır, yani u eşsonludur. Y.Teorem 4.3.5’ten, u ≤ m olacak şekilde L’nin bir maksimal elemanı m vardır ve m ∨ b = 1’dir. m’nin bol
tümleyenleri olduğundan L’de y, m’nin tümleyeni olacak şekilde y ∈ b/0
67
vardır. Y.Teorem 4.1.5’e göre, y/0 lokaldir. y ≤ m olduğundan y ≤ u,
böylece u = u ∨ y’dir. u’nun seçiminden
1 = (u ∨ y) ∨ v
olacak şekilde v ∈ C vardır. Burada y ∨ v sonlu sayıdaki lokal elemanların
supremumu ve y ∨ v ≤ b’dir. Bu u ∈ Ω olması ile çelişir.
(iii) ⇒ (i) a’nın bir eşsonlu eleman ve bir b ∈ L için a ∨ b = 1 olduğunu
varsayalım. a’nın b/0’da bir tümleyeninin var olduğunu göstermek istiyoruz. Hipoteze göre bir F sonlu kümesi ve b/0’ın her lokal elemanı li için
li vardır. 0 elemanı 1 = a ∨ c’nın
a ∨ c = 1 olacak şekilde bir c =
i∈F
li , b/0’da a’nın tümleyeni
tümleyeni olduğundan Y.Teorem 4.1.4’e göre
olacak şekilde bir J ⊆ F alt kümesi vardır.
i∈J
Bir kompakt kafesin her elemanı bir eşsonlu elemandır. Bu durumda
aşağıdaki sonucu yazabiliriz.
Sonuç 4.3.7. Bir L kompakt kafesinin bol tümlenmiş olması için gerek ve
yeter koşul L’nin her maksimal elemanının L’de bol tümleyenlerinin olmasıdır.
68
5. SONUÇ
Bir modülün herhangi bir küçük alt modülünün bir modül homomorﬁzması altındaki görüntüsü de küçük alt modüldür. Bölüm 2.6’da bu özelliğin
kafesler için her zaman doğru olmadığına dair bir örnek verilmiştir (bkz.
Örnek 2.6.6). Bir modülün alt modülleri kafesi pseudo-bütünlenmiştir.
Bölüm 2.7’de bu özelliğin her kafes için doğru olmadığına dair bir örnek
verilmiştir (bkz. Örnek 2.7.11).
Üçüncü bölümde zayıf tümlenmiş ve bol tümlenmiş kafesler üzerine çalışılmıştır. Bölüm 3.2 Teorem 3.2.9 ile Alizade ve Büyükaşık
(2008)’deki Teorem 2.1’in kafeslere bir genelleşmesi yapılmıştır. Bölüm
3.3 Theorem 3.3.10 ile de Clark et. al. (2006)’daki 20.25’in kafeslere bir
genelleşmesi kanıtlanmıştır.
Dördüncü bölümde eşsonlu zayıf tümlenmiş ve bol eşsonlu tümlenmiş
kafesler üzerine çalışılmıştır. Bölüm 4.1’deki Teorem 4.1.6 ile L’nin bir eşsonlu tümlenmiş kafes olması için gerek ve yeter koşulun L’deki her maksimal elemanın L de bir tümleyeni olması olduğu kanıtlanmıştır. Teorem
4.1.7’de Çetindil (2005)’deki Lemma 5.3.16’nın Teorem 4.1.6 kullanılarak
farklı bir yolla kanıtı yapılmıştır. Ayrıca modüller için yeni bir sonuç olan
Teorem 4.1.8 (a/0, L’nin eşsonlu tümlenmiş bir altkafesi ve 1/a’da hiç
maksimal elemanı yok ise, L’nin de eşsonlu tümlenmiş bir kafes olduğu)
kanıtlanmıştır. Bölüm 4.2’de kompakt üretilmiş kafeslerde eşsonlu elemanların zayıf tümleyenlerinin kompakt elemanlar olarak kabul edilebileceği fakat bunun kompakt üretilmiş olmayan kafeslerde doğru olmadığı
gösterilmiştir (bkz. Örnek 4.2.3). L kafesinin eşsonlu zayıf tümlenmiş
olması için gerek ve yeter koşulun L’nin her maksimal elemanının L’de
bir zayıf tümleyeninin olması olduğu kanıtlanmıştır (bkz. Teorem 4.2.6).
69
Bu sonuç kullanılarak eşsonlu zayıf tümlenmiş alt kafeslerden oluşan her
kümenin supremumunun da eşsonlu zayıf tümlenmiş olduğunu gösteren
Teorem 4.2.7 kanıtlanmıştır. Yine modüller için yeni olan a/0, L’nin eşsonlu zayıf tümlenmiş bir alt kafesi ve 1/a’nın maksimal elemanı yok ise,
L’nin de eşsonlu zayıf tümlenmiş bir kafes olduğu sonucu kanıtlanmıştır
(bkz. Teorem 4.2.8). En son bölümde yani Bölüm 4.3’te ise (Alizade ve
Büyükaşık, 2003)’deki Theorem 2.10’un kafeslere bir genelleşmesi kanıtlanmıştır (bkz. Teorem 4.3.6). Ayrıca Teorem 4.3.6’dan bir L kompakt
kafesinin bol tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşulun her maksimal
elemanının L’de bol tümleyenleri olması olduğu sonucu elde edilmiştir.
70
KAYNAKLAR DİZİNİ
Alizade, R. ve Pancar, A., 1999, Homoloji Cebire Giriş, Ondokuz Mayıs
Üniversitesi Yayınları, Samsun.
Alizade, R., Bilhan, G., Smith, P.F., 2001, Modules whose maximal
submodules have supplements. Comm. Algebra, 29(6): 2389-2405.
Alizade, R. ve Büyükaşık, E., 2003, Coﬁnitely weak supplemented modules, Comm. Algebra, 31 (11): 5377-5390.
Alizade, R., Mermut, E., 2004, The inductive closure of supplements,
Journal of the Faculty of Science Ege University, 27: 33-48.
Alizade, R. ve Büyükaşık, E., 2008, Extensions of weakly supplemented
modules, Math. Scand., 103: 1-8.
Al-Takhman, K., Lomp, C., Wisbauer, R., 2006, τ -complemented and
τ -supplemented modules, Algebra Discrete Math., 3: 1-16.
Anderson, F. W. and Fuller, K. R., 1992, Rings and Categories of Modules, Springer, New-York.
Bilhan, G., 1999, Coﬁnitely Supplemented Modules, Doktora Tezi,
Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, İzmir.
Bilhan, G., 2007, Totally coﬁnitely supplemented modules, Int. Electron.
J. Algebra, 2: 106-113.
Birkhoff, G., 1967, Lattice Theory, AMS Colloquium Publications, vol.
XXV, Third Edition.
Büyükaşık, E., 2001, Weakly Coﬁnitely Supplemented Modules, Yüksek Lisans Tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Bilimleri Estitüsü, İzmir.
71
Călugăreanu, G., 2000, Lattice Concepts of Module Theory, Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 225p.
Clark, J., Lomp, C., Vanaja, N., Wisbauer, R., 2006, Lifting Modules.
Supplements and Projectivity in Module Theory, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser, Basel, 406p.
Cohn, P. M., 2002, Basic Algebra: Groups, Rings and Fields, SpringerVerlag, London.
Crawley P., 1959, The isomorphism theorem in compactly generated lattices, Bull. Amer. Math. Soc., 65:377-379.
Crawley, P. and Dilworth, R. P., 1973, Algebraic Theory of Lattices,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.
Çalışıcı, H., Pancar, A., 2005, Finitely ⊕-supplemented modules, Int. J.
Pure Appl. Math., 21(1): 55-61.
Çalışıcı, H., Pancar, A., 2004, ⊕-coﬁnitely supplemented modules,
Czechoslovak Math. J., 54(4): 1083-1088.
Çetindil, Y., 2005, Generalizations of Coﬁnitely Supplemented Modules
to Lattices, Yüksek Lisans Tezi, İzmir Institute of Technology, İzmir.
Davey, B. A. and Priestley, H. A., 2002, Introduction to Lattices and
Order, Second Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 298p.
Dilworth, R. P. and Crawley P., 1960, Decomposition theory for lattices
without chain conditions, Trans.Amer.Math.Soc. 96:1-22.
Donnellan, T., 2002, Kafes Teorisi, Ege Üniversitesi Basımevi, Bornovaİzmir, 220s, (İngilizceden çevirenler: Terziler, M. ve Öner, T.).
72
Dung, N. V., Huynh, D., smith, P. F. and Wisbauer, R., 1994, Extending
Modules, Putman Research Notes in Mathematics Series, Harlow, Longman.
Fieldhouse, D. J., 1985, Semiperfect and F -semiperfect modules, Internat. J. Math. Math. Sci., 8(3): 545-548.
Galvão, M. L. and Smith, P. F., 1998, Chain conditions in modular lattices, Coll. Math., 76 (1): 85-98.
Ganesan, L., Vanaja, N., 2002, Modules for which every submodule has
a unique coclosure, Comm. Algebra, 30(5): 2355-2377.
Golan, J.S., 1971, Quasiperfect modules, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2),
22: 178-182.
Grätzer, G., 2003, General Lattice Theory, Birkhäuser Basel, Second
Edition, 663p.
Güngöroglu, G., Keskin Tütüncü, D., 2003, Copolyform and lifting
modules, Far East J. Math. Sci. (FJMS), 9(2): 159-165.
Harmancı, A., Keskin, D., Smith, P. F., 1999, On ⊕-supplemented modules, Acta Math. Hungar., 83(1-2): 161-169.
Hausen, J., 1982, Supplemented modules over Dedekind domains, Pacific J. Math., 100(2): 387-402.
Head, T.J., 1966, Purity in compactly generated modular lattices, Acta
Math. Acad. Sci. Hungar, 17: 55-59.
Idelhadj, A., Tribak, R., 2003a, On injective ⊕-supplemented modules,
In Comptes rendus d. l. p. r. m.-a. s. l. alg. et l. appl. (Tétouan, 2001):
166-180, Univ. Abdelmalek Essaâdi. Fac. Sci. Tétouan, Tétouan.
73
Idelhadj, A., Tribak, R., 2003b, On some properties of ⊕-supplemented
modules, Int. J. Math. Math. Sci., (69): 4373-4387.
Kasch, F. and Mares, E.A., 1966, Eine Kennzeichnung semiperfekter
Moduln, Nagoya Math. J., 27: 525-529.
Keskin, D., Smith, P. F., Xue, W., 1999, Rings whose modules are ⊕supplemented, J. Algebra, 218(2): 470-487.
Keskin, D., 2000a, Characterizations of right perfect rings by ⊕supplemented modules, In Algebra and its applications (Athens, OH,
1999), vol. 259 of Contemp. Math.: 313-318, Providence, RI: Amer.
Math. Soc.
Keskin, D., 2000b, On lifting modules, Comm. Alg., 28(7): 3427-3440.
Keskin, D., Xue, W., 2001, Generalizations of lifting modules, Acta
Math. Hungar., 91(3): 253-261.
Keskin D., 2002a, An approach to extending and lifting modules by modular lattices, Indian J. Pure Appl. Math., 33 (1): 81-86.
Keskin, D., 2002b, Discrete and quasi-discrete modules, Comm. Algebra,
30(11): 5273-5282.
Keskin Tütüncü, D., & Orhan, N., 2003, CCSR-modules and weak lifting modules, East-West J. Math., 5(1): 89-96.
Keskin Tütüncü, D., 2008, On non-M -cosingular completely
-
supplemented modules, Appl. Categ. Structures, 16 (1-2): 249-254.
Koşan, T., Harmanci, A., 2004, Modules supplemented relative to a torsion theory, Turkish J. Math., 28(2): 177-184.
Koşan, T., Harmanci, A., 2006, ⊕-supplemented modules relative to a
torsion theory, New Zealand J. Math., 35(1): 63-75.
74
Koşan, M. T., 2007a, τ -supplemeted modules and τ -weakly supplemented modules, Arch. Math., 43(4): 251-257.
Koşan, M. T., 2007b, H-coﬁnitely supplemented modules, Vietnam J.
Math., 35(2): 215-222.
Kuratomi, Y., 2003, Direct sums of lifting modules. In Proc. of the
35th Symposium on Ring Theory and Representation Theory (Okayama,
2002): 165-169, Symp. Ring Theory Represent Theory Organ. Comm.,
Okayama.
Lomp, C., 1996, On Dual Goldie Dimension, Diplomarbeit (Yüksek
Lisans Tezi), Mathametischen Institut der Heinrich-Heine Univrsität,
Düsseldorf. Revised version (2000).
Lomp, C., 1999, On Semilocal Modules and Rings, Comm. Algebra, 27
(4): 1921-1935.
Nebiyev, C., & Pancar, A., 2003, On amply supplemented modules, Int.
J. Appl. Math., 12(3): 213-220.
Orhan, N., 2003, Some characterizations of lifting modules in terms of
preradicals, Hacet. J. Math. Stat., 32: 13-15.
Orhan, N., Keskin Tütüncü , D., Tribak, R., 2007, Direct summands of
⊕-supplemented modules, Algebra Colloq., 14(4): 625-630.
Oshiro, K., 1984a, Lifting modules, extending modules and their applications to generalized uniserial rings, Hokkaido Math. J., 13(3): 339-346.
Oshiro, K., 1984b, Lifting modules, extending modules and their applications to QF-rings, Hokkaido Math. J., 13(3): 310-338.
Oshiro, K., Wisbauer, R., 1995, Modules with every subgenerated module lifting, Osaka J. Math., 32(2): 513-519.
75
Smith, P. F., 2000, Finitely generated supplemented modules are amply
supplemented Arab. J. Sci. Eng. Sect. C Theme Issues, 25(2): 69-79.
Stenström, B., 1969, Radicals and socles of lattices, Arch. Math., XX:
258-261.
Talebi, Y., Vanaja, N., 2002, The torsion theory cogenerated by M -small
modules, Comm. Algebra, 30(3): 1449-1460.
Talebi, Y., Vanaja, N., 2004, Copolyform Σ-lifting modules, Vietnam J.
Math., 32(1): 49-64.
Tuganbaev, A. A., 2002, Semiregular, weakly regular, and π-regular
rings, J. Math. Sci. (New York), 109(3): 1509-1588. Algebra, 16.
Vanaja, N., 1993, Characterizations of rings using extending and lifting
modules, In Ring theory (Granville, OH, 1992), pp. 329-342, River Edge,
NJ: World Sci. Publishing.
Walendziak, A., 2000, On characterizations of atomistic lattices, Algebra
Universalis, 43: 31-39.
Wang, Y., 2007, δ-small submodules and δ-supplemented modules, Int.
J. Math. Math. Sci., Art. ID 58132, 8 pp.
Wang, Y., Sun, Q., 2007, A note on ⊕-coﬁnitely supplemented modules,
Int. J. Math. Math. Sci., Art. ID 10836, 5 pp.
Wang, Y., Ding, N.,2006, Generalized supplemented modules, Vietnam
J. Math., 10(6): 1589-1601.
Wisbauer, R., 1991, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon
and Breach, Reading, 606p.
Xin, L., 1994, A note on dual Goldie dimension over perfect rings, Kobe
J. Math., 11(1): 21-24.
76
Zeng, Q., 2006, Closed weak supplemented modules, Vietnam J. Math.,
34(1):17-30.
Zöschinger, H., 1974a, Komplementierte Moduln über Dedekindringen,
J. Algebra, 29: 42-56.
Zöschinger, H., 1974b, Komplemente als direkte Summanden, Arch.
Math., 25: 241-253.
Zöschinger, H., 1974c, Moduln, die in jeder Erweiterung ein Komplement haben, Math. Scand., 35: 267–287.
Zöschinger, H., 1976, Basis-Untermoduln und Quasi-kotorsions-Moduln
über diskreten Bewertungsringen, Bayer. Akad. Wiss. Math-Nat. Kl.
Sitzungsber.: 9–16.
Zöschinger, H., 1978, Invarianten wesentlicher überdeckungen, Math.
Annalen, 237: 193-202.
Zöschinger, H., 1979, Komplemente für zyklische Moduln über
Dedekindringen, Arch. Math. (Basel), 32(2): 143-148.
Zöschinger, H., 1980, Die κ-Elemente von Ext1 R (C, Rn ), Hokkaido
Math. J., 9(2): 155-174.
Zöschinger, H., 1981, Projektive Moduln mit endlich erzeugtem
Radikalfaktormodul Math. Ann., 255(2): 199-206.
Zöschinger, H., 1982a, Komplemente als direkte Summanden. II, Arch.
Math. (Basel), 38(4): 324-334.
Zöschinger, H., 1982b, Gelfandringe und koabgeschlossene Untermoduln, Bayer. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Sitzungsber.: 43-70 (1983).
Zöschinger, H., 1986, Komplemente als direkte Summanden. III, Arch.
Math. (Basel), 46(2): 125–135.
77
Zöschinger, H., 1994, Die globale Transformation eines lokalen Ringes,
J. Algebra, 168(3): 877-902.
DİZİN
örtü, 4
atom, 17
bütünleyen, 23
–E-bütünleyen, 27
dönüşüm
–monoton dönüşüm, 9
–sıralama eşlemesi, 9
–sıralama gömmesi, 9
–sıralama izomorﬁzması, 9
–sıralama koruyan dönüşüm, 9
homomorﬁzma
–gömme homomorﬁzması, 10
–kafes homomorﬁzması, 10
inﬁmum, 5
izomorﬁzma
–kafes izomorﬁzması, 10
küme
–alt kısmi sıralı küme, 4
–bağımsız, 24
–kısmi sıralı küme, 3
–sıralı izomorf küme, 9
kafes, 6
eş, 4
–E-bütünlenmiş kafes, 27
eşküçük eşitsizlik, 28
–üstten sürekli kafes, 17
eşkapanış, 28
–alt kafes, 9
eleman
–bölüm alt kafes, 16
–büyük eleman, 22
–bütünlenmiş kafes, 23
–eşkapalı eleman, 28
–bol eşsonlu tümlenmiş kafes,
–eşsonlu eleman, 51
63
–en büyük(maksimum) eleman,
–bol tümlenmiş kafes, 44
4
–eşsonlu tümlenmiş kafes, 51
–en küçük(minimum) eleman, 4
–eşsonlu zayıf tümlenmiş kafes,
–küçük eleman, 20
56
–kompakt eleman, 17
–kompakt
üretilmiş kafes, 18
–lokal eleman, 35
–kompakt kafes, 17
–maksimal eleman, 4
–lokal kafes, 35
–minimal eleman, 4
–modüler kafes, 14
–oyuk eleman, 35
–oyuk kafes, 35
geçişme özelliği, 3
–pseudo-bütünlenmiş kafes, 27
79
–sınırlı kafes, 8
–tümlenmiş kafes, 30
–tam kafes, 6
–yarıatomik kafes, 17
–yarılokal kafes, 43
–zayıf tümlenmiş kafes, 36
modüler kural, 14
pseudo-bütünleyen, 27
radikal, 32
sınır
–üst sınır, 5
–alt sınır, 5
–en büyük alt sınır, 5
–en küçük üst sınır, 5
sıralama
–kısmi sıralama, 3
supremum, 5
tümleyen, 30
–bol tümleyen, 44
–zayıf tümleyen, 36
ters simetri özelliği, 3
yansıma özelliği, 3
zincir, 3
80
ÖZGEÇMİŞ
EĞİTİM
Doktora: Ege Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik
Anabilim Dalı, 2004-2008.
Yüksek Lisans: İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Fen ve Mühendislik Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, 2001-2004.
Lisans: Ege Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, 19962000.
AKADEMİK GÖREVLER
1. İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Uluslararası İlişkiler Oﬁsi, Koordinatör Asistanı, 2004-2005.
2. İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Fen Fakültesi, Matematik
Bölümü, Araştırma Görevlisi, 2000-Devam ediyor.
BİLİMSEL ETKİNLİKLER
1. "Extensions of weakly supplemented lattices", Alizade, R., Toksoy,
S. E., Antalya Cebir Günleri X, 28 Mayıs-1 Haziran 2008, Antalya,
Türkiye. (TÜBİTAK tarafından desteklendi).
2. "Weak Supplements in Lattices", Alizade, R., Toksoy, S. E., Antalya
Cebir Günleri IX, 22-27 Mayıs 2007, Antalya, Türkiye.
81
3. "Coﬁnitely Weak Supplemented Lattices", Alizade, R., Toksoy, S.
E., International Conference on Modules and Comodules, Dedicated
to Robert Wisbauer, 8-10 Eylül 2006, Porto, Portugal. (TÜBİTAK
tarafından desteklendi).
4. "Amply Coﬁnitely Supplemented Lattices", Alizade, R., Toksoy, S.
E., Antalya Cebir Günleri VIII, 17-21 Mayıs 2006, Antalya, Türkiye.
5. Scuola Matematica Interuniversitaria, Summer Course in Mathematics 2005, 31 Temmuz-3 Eylül 2005, Perugia, Italy. Alınan dersler:
Algebra, Prof. J. Alev, University of Reims, Algebraic Geometry,
Prof. P. Ellia, University of Ferrara.
6. "Absolutely Supplement Modules", Alizade, R., Toksoy, S. E., Antalya Cebir Günleri VII, 18-22 Mayıs 2005, Antalya, Türkiye.
7. Summer School on Elliptic Curve Essentials and Cryptography, 9-11
Eylül 2003, İzmir, Türkiye.
ARAŞTIRMA PROJELERİ
1. İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Bilimsel Araştırma Projesi 2008,
"Zayıf Tümlenmiş Kafesler", Proje Yürütücüsü: Prof. Dr. Rafail
Alizade, Araştırmacılar: S. Eylem Toksoy.
2. İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Bilimsel Araştırma Projesi 2007,
"Kafeslerde Tümleyenler", Proje Yürütücüsü: Prof. Dr. Rafail Alizade, Araştırmacılar: S. Eylem Toksoy.
3. İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Bilimsel Araştırma Projesi 2006,
"Dual Sonlu Tümlenmiş Kafesler", Proje Yürütücüsü: Prof. Dr.
Rafail Alizade, Araştırmacılar: S. Eylem Toksoy.
4. İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Bilimsel Araştırma Projesi 2005,
"Tamamen Zayıf Tümleyen Modüller", Proje Yürütücüsü: Prof. Dr.
Rafail Alizade, Araştırmacılar: Engin Büyükaşık, S. Eylem Toksoy.
82
5. İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Bilimsel Araştırma Projesi 2004,
"Tümleyen Modüller", Proje Yürütücüsü: Prof. Dr. Rafail Alizade,
Araştırmacılar: Engin Büyükaşık, S. Eylem Toksoy.
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Absolutely Supplement and Absolutely Complement Modules.

KAFESLERDE TÜMLEYENLER Matematik Anabilim Dalı Bilim Dalı

Related documents

Products

Support

KAFESLERDE TÜMLEYENLER Matematik Anabilim Dalı Bilim Dalı

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib