TOPOLOJİK GRUP-2-GRUPOİDLER Doktora Tezi

Doktora Tezi
Sedat TEMEL
T.C.
ERCİYES ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
TOPOLOJİK GRUP-2-GRUPOİDLER
Hazırlayan
Sedat TEMEL
Matematik Anabilim Dalı
Danışman
Yrd. Doç. Dr. Nazmiye ALEMDAR
Doktora Tezi
Ocak 2016
KAYSERİ
2016
T.C.
ERCİYES ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
TOPOLOJİK GRUP-2-GRUPOİDLER
Hazırlayan
Sedat TEMEL
Danışman
Yrd. Doç. Dr. Nazmiye ALEMDAR
Doktora Tezi
Ocak 2016
KAYSERİ
T.C.
ERCİYES ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
TOPOLOJİK GRUP-2-GRUPOİDLER
Hazırlayan
Sedat TEMEL
Danışman
Yrd. Doç. Dr. Nazmiye ALEMDAR
Doktora Tezi
Ocak 2016
KAYSERİ
iv
TEŞEKKÜR
“Topolojik
grup-2-grupoidler”
konulu
tez
çalışmasının
seçiminde,
yürütülmesinde, sonuçlandırılmasında ve sonuçlarının değerlendirilmesinde
değerli zamanını feda ederek, her türlü destek ve yardımlarını esirgemeyen,
engin bilgisi ile beni yönlendiren değerli hocam sayın Yrd. Doç. Dr. Nazmiye
ALEMDAR’a, tez izleme komitesi üyeliğini kabul ederek, tezi hazırlamamda
yönlendiren, tecrübelerini benimle paylaşan ve beni yanlız bırakmayan sayın
Prof.
Dr.
Osman MUCUK’a ve sayın Doç.
Dr.
Hacı AKTAŞ’a sonsuz
teşekkürlerimi sunarım.
Yapılan çalışmalarda her türlü yardımı yapan, zaman ayıran, emek veren,
tecrübesini paylaşan, tezimi daha kolay ve düzenli yazabilmem için kullandığım
LATEX programında karşılaştığım problemlerde bana yardımcı olan çok kıymetli
dostlarım sayın Yrd. Doç. Dr. Tunçar ŞAHAN ve sayın Araş. Gör. Ebutalib
ÇELİK’e teşekkür ederim.
Kayseri’de kaldığım sürece memleket hasretimi hafifleten, hemen her konuda
yardımlarıyla ve dostluklarıyla yanımda olan kıymetli mesai arkadaşlarıma ve
dostlarıma teşekkür ederim.
Hayatımın her safhasında bana verdikleri maddi-manevi destek, göstermiş
oldukları sınırsız sevgi, sabır ve anlayıştan dolayı aileme teşekkür ederim.
Doktora eğitimim boyunca verdiği her türlü destekten ötürü TÜBİTAK’a
teşekkür ederim.
v
TOPOLOJİK GRUP-2-GRUPOİDLER
Sedat TEMEL
Erciyes Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü
Doktora Tezi, Ocak 2016
Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Nazmiye ALEMDAR
ÖZET
Grupoidlerin kategorisindeki bir grup objeye bir grup-grupoid (2-grup) denir.
Grupların kategorisindeki iç kategoriler de birer grup-grupoiddirler.
Bu
tezde 2-grupoidlerin kategorisinde bir grup obje elde edilmiş ve bu yapı
grup-2-grupoid olarak adlandırılmıştır.
iç
2-kategorilerin
tanımı
olduğu gösterilmiştir.
yapılarak
Ayrıca grupların kategorisindeki
bunların
da
birer
grup-2-grupoid
Grup-grupoidlerin daha basit cebirsel yapılar olan
çaprazlanmış modüllere kategorik anlamda denk olduğunu biliyoruz.
Bu
tezde grup-2-grupoidlerin denk olduğu cebirsel yapı olarak 2G-çaprazlanmış
modül tanımı yapılmıştır.
Ayrıca bu yapılar topolojik anlamda incelenerek
kategorilerinin denk oldukları gösterilmiştir.
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, diğer bölümlerde
kullanılacak olan temel kavramlar ve bazı teoremler ifade edilmiştir.
İkinci
bölümde 2-grupoid kavramı hatırlatılıp, grup-2-grupoid ve 2G-çaprazlanmış
modül yapıları tanımlanmış ve kategorilerinin denk oldukları gösterilmiştir.
Üçüncü bölümde topolojik grup-2-grupoid ve topolojik 2G-çaprazlanmış modül
yapıları tanımlanmış ve kategorilerinin denk oldukları gösterilmiştir. Dördüncü
bölümde ise elde edilen sonuçlar yorumlanmış ve konuyla ilgili yapılabilecek
çalışmalar önerilmiştir.
Anahtar Kelimeler: 2-grupoid,
grup-2-grupoid,
2G-çaprazlanmış
modül,
topolojik 2-grupoid, topolojik grup-2-grupoid, topolojik
2G-çaprazlanmış modül.
vi
TOPOLOGICAL GROUP-2-GROUPOIDS
Sedat TEMEL
Erciyes University, Graduate School of Natural and Applied Sciences
Ph.D. Thesis, January 2016
Thesis Supervisor: Assist. Prof. Nazmiye ALEMDAR
ABSTRACT
A group object in the category of groupoids is called group-groupoid or 2-group.
Internal categories in the category of groups are also group-groupoids. In this
thesis, a group object was obtained in the category of 2-groupoids and this
structure was called group-2-groupoid. Moreover internal 2-categories in the
category of groups were defined and it was proved that these structures are also
group-2-groupoids. We know that there exists a categorical equivalence between
group-groupoids and crossed modules which are simple algebraic structures.
In this thesis, 2G-crossed module which is equivalent to group-2-groupoids
as algebraic structures is defined. Moreover the topological aspects of these
structures was investigated and the categorical equivalence was proved between
them.
This thesis consists of four chapters. In the first chapter, fundamental notions
and some theorems which will be used in other chapters have been expressed.
In the second chapter, 2-groupoid notion has been reminded, structures of
group-2-groupoid and of 2G-crossed module have been defined and the
equivalence of their categories was shown. In the third chapter, structure of
topological group-2-groupoid and of topological 2G-crossed module have been
defined and the equivalence of their categories was proved.
In the fourth
chapter, obtained results has been commentated and some future studies has
been suggested.
Keywords: 2-groupoid, group-2-groupoid, 2G-crossed module, topological
2-groupoid, topological group-2-groupoid, topological 2G-crossed
module.
İÇİNDEKİLER
TOPOLOJİK GRUP-2-GRUPOİDLER
BİLİMSEL ETİĞE UYGUNLUK SAYFASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
YÖNERGEYE UYGUNLUK SAYFASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
KABUL VE ONAY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
İÇİNDEKİLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1. BÖLÜM
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
1.1. Cebirsel ve Topolojik Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Kategori, Grupoid ve Topolojik Grupoidler . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3. İç Kategoriler ve Grup Objeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.4. Grup-Grupoidler ve Topolojik Grup-grupoidler . . . . . . . . . . .
30
1.5. Çaprazlanmış Modüller ve Topolojik Çaprazlanmış Modüller . . .
35
2. BÖLÜM
GRUP-2-GRUPOİDLER
2.1. 2-Kategori ve 2-Grupoidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.2. 2-Kategoriler Olarak Grup-Grupoidler . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.3. Grup-2-Grupoidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.4. 2G-Çaprazlanmış Modüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.5. Kategori Denkliği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3. BÖLÜM
TOPOLOJİK GRUP-2-GRUPOİDLER
3.1. Topolojik 2-Grupoidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.2. Topolojik Grup-2-Grupoidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.3. Topolojik 2G-Çaprazlanmış Modüller . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.4. Kategori Denkliği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4. BÖLÜM
SONUÇLAR VE ÖNERİLER
4.1. Sonuçlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2. Öneriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
ÖZGEÇMİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
GİRİŞ
Kategori teorisinin veya kategorifikasyonun (categorification) temel amacı
matematikte küme kavramının yerine kategori kavramını kullanarak bazı
problemlere çözüm bulmaktır.
Burada küme kavramının yerini kategoriler,
elemanların yerini objeler, fonksiyonların yerini ise fanktorlar (functors)
almaktadır. Kategori kavramı monoidden daha genel bir kavram olarak çok
objeli bir monoid şeklinde düşünülebilir ve bunun tersine her bir monoid
tek objeli bir kategori olarak düşünülebilir [1].
Kategorifikasyon ile fizikte
çözülemeyen bazı problemlerin daha yüksek boyutlu alanlara taşınarak çözülme
yolları bulunmuştur [2]. Basitçe objeleri 0-boyutlu noktalarla ve morfizmleri
1-boyutlu oklar şeklinde aşağıdaki biçimde gösterebiliriz [2].
•
f
/
•
Her bir morfizminin tersi mevcut olan kategoriye grupoid denir. Grupoidler
grupların daha genel bir hali olarak düşünülebilir [3].
Grupoidlerle ilgili
çalışmaların bibliyografisi için Brown [4] referansına bakılabilir.
Bir kategori veya grupoid içindeki bazı objeler bir grup yapısı barındırabilir.
Böylece grup obje kavramı ortaya çıkar. Bu kavram kullanılarak grup-grupoid
kavramı (bu yapı 2-grup [5] veya G-grupoid [6] olarak da adlandırılır)
kategorilerin (veya grupoidlerin) kategorisinde bir grup obje olarak tanımlanır
[6]. Bir grup-grupoid aslında bir grup gibidir ancak grup yapısını oluşturan
dönüşümler burada birer grupoid morfizmi olacak şekilde verilmiştir. Bu sebeple
grup-grupoidler "kategorik gruplar" olarak da bilinirler [7]. O hâlde Baez [7]
referansına göre grupların kategorisinde bir grupoid obje yine bir grup-grupoid
olacaktır.
Grup-grupoidleri anlamanın bir diğer yolu ise onları çaprazlanmış modüller
olarak ele almaktır. Gerçekten her çaprazlanmış modülden bir grup-grupoid
2
elde edilir ve bunun tersi de doğrudur. 2-boyutlu gruplar olarak da bilinen [8]
çaprazlanmış modüller 1946’da Whitehead tarafından tanımlanmıştır [9, 10]. Bir
çaprazlanmış modül bir N grubunun bir M grubu üzerine etkimesi ve bazı
şartları sağlayan ve sınır dönüşümü olarak adlandırılan bir ∂ : M → N grup
homomorfizmi ile birlikte (M, N, ∂) üçlüsünden oluşur [10]. Grup-grupoidler
ile çaprazlanmış modüllerin kategorilerinin denkliği 1976’da Brown ve Spencer
tarafından gösterilmiştir [6]. Çaprazlanmış modüller grup-grupoidlere göre daha
basit cebirsel yapılar olduklarından bu denklik kullanılarak grup-grupoidlerdeki
bazı hesaplamalar ve yapılandırmalar çaprazlanmış modüller üzerinden daha
kolay yapılabilmektedir.
Objelerinin sınıfı ve morfizmlerinin sınıfı birer topolojik uzay olan ve grupoid
yapısını oluşturan yapı dönüşümleri sürekli olan bir grupoide topolojik grupoid
denir.
Topolojik grupoidlerin kategorisinde bir grup obje ise bir topolojik
grup-grupoid olacaktır. Topolojik çaprazlanmış modül ise topolojik gruplar,
sürekli etkime ve sürekli grup homomorfizmi ile birlikte (M, N, ∂) üçlüsüdür.
Topolojik grup-grupoidlerin kategorisi ile topolojik çaprazlanmış modüllerin
kategorisinin denk kategoriler oldukları Baez tarafından [7] referansında
gösterilmiştir.
Kategoriler arasındaki dönüşümler fanktorlar olarak adlandırılırlar. O hâlde
kategoriler ve fanktorlar da bir kategori yapısı oluşturacaktır.
Kategorilerin
kategorisi olarak adlandırılan bu kategori C AT ile gösterilir.
Herhangi iki
kategorinin denkliği gösterilirken doğal dönüşümler kullanılır.
Fanktorlar
arasındaki bu doğal dönüşümler 2-boyutlu oklar olarak aşağıdaki şekilde
gösterilebilirler [2].
F
C
S
G
)
5 C0
Böylece 2-kategori kavramı ortaya çıkmış ve C AT tüm 2-kategorilerin anası
olarak bilinegelmiştir [11]. İlk olarak 1967 yılında Bénabou tarafından tanımlanan
2-kategori yapısı objeler, morfizmler (1-morfizmler) ve morfizmler objeler gibi
düşünüldüğünde morfizmler arası morfizmler olan 2-morfizmlerden oluşur [12].
2-kategori ve genel olarak n−kategorilerle ilgili çalışmaların ve bu çalışmaların
3
fizikte nasıl karşılık bulduğunun bir bibliyografisi için Baez ve Lauda [13]
referansına bakılabilir. 2-kategori yapısı kategoriden daha genel bir kavram
olup her kategori bir 2-kategori olarak da ele alınabilir. Baez [2] referansında
grup-grupoidleri bir çeşit özel tek objeli 2-kategoriler olarak ele alıp çaprazlanmış
modül elde etmiştir. Grup-grupoidlere 2-kategorik yaklaşım daha güçlü bir
kavramsal araçtır. Bu yaklaşım bir gruba tek objeli bir grupoid gözüyle bakmak
gibidir.
Her bir 1-morfizmi ve 2-morfizmi terslenebilir olan 2-kategoriye 2-grupoid denir
[14]. Topolojik 2-grupoid yapısı da topolojik grupoid yapısına benzer şekilde
[15] referansında verilmiştir.
Topolojik 2-grupoidlerle topolojik grupoidler
üzerindeki çaprazlanmış modüllerin denkliği Gürsoy, İçen ve Özcan tarafından
[16] referansında gösterilmiştir.
Bu tez çalışmasında [6] referansındakine benzer yöntem ile 2-grupoidlerin
kategorisindeki grup objeler kullanılarak grup-2-grupoid kavramı elde
edilmiştir.
Grup-2-grupoidlerin karşılık geldiği daha basit cebirsel yapı
olarak çaprazlanmış modül kavramı üzerine kurulan 2G-çaprazlanmış modüller
tanımlanmış ve kategorik anlamda grup-2-grupoidlerle 2G-çaprazlanmış
modüllerin denk oldukları gösterilmiştir. Ayrıca [17, 18] referanslarındaki benzer
düşünce tarzı ile iç 2-kategori tanımı yapılarak grupların kategorisindeki iç
2-kategorilerin birer grup-2-grupoid oldukları gösterilmiştir. Topolojik anlamda
[7] dekine benzer şekilde topolojik grup-2-grupoidler tanımlanmıştır. Topolojik
2G-çaprazlanmış modül tanımı da yapılarak kategorik anlamda denklik
gösterilmiştir. Ayrıca topolojik grupların kategorisindeki iç 2-kategorilerin birer
topolojik grup-2-grupoid olduğu da ispat edilmiştir.
1. BÖLÜM
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
1.1.
Cebirsel ve Topolojik Kavramlar
Tanım 1.1.1. X herhangi bir cümle ve G bir grup olsun. Eğer
ρ : G × X −→ X,
(g, x) 7−→ ρ(g, x) = g • x
dönüşümü aşağıdaki şartları sağlıyorsa G grubu X cümlesi üzerine (soldan)
etkir denir ve bu dönüşüme de soldan etkime (left action) denir. Bu etkime
ile birlikte X bir G−cümle adını alır [18–20].
(i) Her x ∈ X ve g, g1 ∈ G için g • (g1 • x) = (gg1 ) • x
(ii) Her x ∈ X ve e ∈ G birim elemanı için e • x = x
Etkime şartları değişmeli diyagramlar cinsinden aşağıdaki şekilde ifade
edilebilirler.
G×G×X
m×1X
1G ×ρ
G×X
/
G×X
ρ
1×X
ρ
e×1X
∼
=
/X
/
G×X
% ρ
X
Örnek 1.1.1. Bir G grubunun bir X cümlesi üzerine
g•x=x
şeklinde tanımlanan etkimesi aşikar etkime olarak adlandırılır [19].
Örnek 1.1.2. Her grup kendi üzerine kendi grup işlemi ile etkir [19].
5
Tanım 1.1.2. G ve H birer grup olsun. Eğer
ρ : G × H −→ H,
(g, h) 7−→ ρ(g, h) = g • h
dönüşümü aşağıdaki şartları sağlıyorsa G grubu H grubu üzerine (soldan) etkir
denir ve bu dönüşüme de soldan etkime denir. Bu etkime ile birlikte H bir
G−grup adını alır [21].
(i) Her g, g1 ∈ G ve h ∈ H için g • (g1 • h) = (gg1 ) • h
(ii) Her g ∈ G ve h, h1 ∈ H için g • (hh1 ) = (g • h)(g • h1 )
(iii) Her h ∈ H ve eG ∈ G birim elemanı için eG • h = h
(iv) g • eH = eH
Dördüncü şart diğer şartlardan kolayca elde edilebileceğinden bazı kaynaklarda
yer almaz.
Bir grubun bir grup üzerine etkime şartları değişmeli diyagramlar cinsinden
G ∗ H ∗ G ∗ H = {(g, h, g, h1 )g ∈ G, h, h1 ∈ H} olmak üzere aşağıdaki şekilde
ifade edilir.
G×G×H
mG ×1H
1G ×ρ
G×H
ρ
/
G×H
/
ρ
H
1×H
e×1H
∼
=
/
G×H
% ρ
ρ×ρ
G∗H ∗G∗H
p1 ×p2 ×p4
/
H ×H
G×H ×H
H
1G ×mH
mH
G×H
ρ
/
H
Örnek 1.1.3. Her grup kendi üzerine konjugasyon (eşlenik) etkime
(conjugation) adı verilen
G × G → G, g • g1 = gg1 g −1
etkimesi ile etkir [19]. Burada g, g1 , g2 ∈ G olmak üzere
g • (g1 • g2 ) = g • (g1 g2 g1−1 ) = g(g1 g2 g1−1 )g −1 = (gg1 )g2 (gg1 )−1 = (gg1 ) • g2 ,
6
(g • g1 )(g • g2 ) = gg1 g −1 gg2 g −1 = gg1 g2 g −1 = g • (g1 g2 )
ve
e • g = ege−1 = g
olup G bir G−gruptur.
Örnek 1.1.4. G bir grup ve N de G nin bir normal altgrubu olsun.
G × N → N, (g, n) 7→ g • n = gng −1
bir etkime olup N bir G−gruptur. Buradan her grubun normal alt grubu üzerine
konjugasyon etkimesi ile etkidiği anlaşılır [19].
Örnek 1.1.5. Z toplamsal grubu R nin altgrubu olarak ele alınsın. R nin Z üzerine
konjugasyon etkimesi
R × Z −→ Z
(x, z) 7−→ x • z = x + z − x = z
bir aşikar etkimedir. Böylece Z bir R−gruptur.
Örnek 1.1.6. G bir grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. Bu takdirde H alt grubu
G üzerine
H × G −→ G,
(h, g) 7−→ hg
şeklinde tanımlanan etkimesi ile etkir. Etkime şartları grup şartlarından kolayca
görülebilir. O hâlde G bir H−grup olup buradan her alt grubun kendi grubu
üzerine etkidiği anlaşılır.
Tanım 1.1.3. G ve H iki grup ve G × H → H, (g, h) 7→ g • h bir etkime olsun.
(G × H) × (G × H) −→ G × H
(g, h), (g1 , h1 ) 7−→ gg1 , h(g • h1 )
işlemine göre elde edilen gruba G ile H nın yarı-direkt çarpımı (semi-direct
product) denir ve G n H ile gösterilir. Bu grubun birim elemanı e = (eG , eH )
ve herhangi bir (g, h) ∈ G n H için ters eleman (g, h)−1 = (g −1 , g −1 • h−1 ) dir [18].
7
Benzer şekilde G, H, K grupları ve G × H → H, (g, h) 7→ g • h, G × K → K,
(g, k) 7→ g . k etkimeleri için
(G × H × K) × (G × H × K) −→ G × H × K
(g, h, k), (g1 , h1 , k1 ) 7−→ gg1 , h(g • h1 ), k(g . k1 )
işlemine göre de G, H ve K gruplarının yarı-direkt çarpım grubu G n H n K
elde edilir. Bu grubun birim elemanı e = (eG , eH , eK ) ve herhangi bir (g, h, k) ∈
GnHnK için ters eleman (g, h, k)−1 = (g −1 , g −1 •h−1 , g −1 .k −1 ) şeklinde tanımlıdır.
Tanım 1.1.4. G bir grup ve τ da G üzerinde bir topoloji olsun. G × G kartezyen
çarpımı üzerindeki topoloji çarpım topolojisi olmak üzere, eğer G üzerindeki
grup yapısını oluşturan
m : G × G → G, (g1 , g2 ) 7→ g1 g2
ve
n : G → G, g 7→ g −1
dönüşümleri sürekli iseler, (G, m, τ ) yapısına bir topolojik grup denir ve kısaca
G ile gösterilir [20, 22].
Önerme 1.1.1. Bir G grubu ve G üzerinde bir topoloji verilsin. Bu durumda
m : G × G → G, (g1 , g2 ) 7→ g1 g2 ve n : G → G, g 7→ g −1 fonksiyonları süreklidir
ancak ve ancak fark fonksiyonu olarak adlandırılan
δ : G × G → G, (g1 , g2 ) 7→ g1 g2−1
dönüşümü süreklidir [20, 22].
Not 1.1.1. Bir G topolojik grubunda ters eleman dönüşümü n : G → G, g 7→ g −1
bir homeomorfizmdir [22].
Örnek 1.1.7. (R, +) toplamsal grubu alışılmış topolojiye göre bir topolojik
gruptur. Burada R deki bir (a, b) açık aralığı için
δ −1 (a, b) = {(x, y) ∈ R2 a < x − y < b}
ters görüntüsü R2 de açık bir cümle olup δ : R × R → R, (a, b) 7→ a − b fark
fonksiyonu süreklidir [22].
8
Örnek 1.1.8. R∗ = R−{0} olmak üzere (R∗ , ·) çarpımsal grubu alışılmış topolojiye
göre bir topolojik gruptur. Gerçekten R∗ deki bir (a, b) açık aralığı için
δ −1 (a, b) = {(x, y) ∈ R∗ × R∗ a < xy −1 < b}
ters görüntüsü R∗ × R∗ de açık bir cümle olup δ : R∗ × R∗ → R∗ , (a, b) 7→ ab−1 fark
fonksiyonu süreklidir [22].
Önerme 1.1.2. X bir topolojik uzay ve G bir topolojik grup olsun. f, g : X → G
fonksiyonları sürekli iseler (f g)(x) = f (x)g(x) şeklinde tanımlanan f g : X → G
fonksiyonu da süreklidir [22].
Örnek 1.1.9. Bir G topolojik grubunda verilen α, β : I → G eğrileri için s ∈ I
olmak üzere (αβ)(s) = α(s)β(s) şeklinde tanımlanan αβ : I → G dönüşümü de
bir eğridir.
Önerme 1.1.3. X ve Y iki topolojik uzay olmak üzere
c: X × Y
−→ Y × X
(x, y) 7−→ (y, x)
şeklinde tanımlanmış fonksiyon süreklidir.
Önerme 1.1.4. Bir topolojik grubun bir alt grubu da bir topolojik gruptur. Bu alt
gruba alt topolojik grup denir [22].
İspat: G bir topolojik grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. δ : G × G → G fark
fonksiyonunu kısıtlaması olan δ H : H × H → H da sürekli olup H bir topolojik
gruptur.
Örnek 1.1.10. (Z, +), (R, +, U) topolojik grubunun alt grubu olarak ayrıktır [22].
Önerme 1.1.5. Bir G topolojik grubunda her a ∈ G için Ra : G → G, x 7→ xa
ve La : G → G, x 7→ ax şeklinde tanımlanan sağ ve sol dönüşümleri birer
homeomorfizmdir [22].
İspat: Açıktır ki Ra birebir ve örten olup tersi Ra−1 = Ra−1 dir. Diğer taraftan
s : G → {a} sabit dönüşüm olmak üzere
9
Ra
G
x
(1G , s)
G×G
m
(x, a)
G
xa
olup Ra süreklidir. La için de benzer şekilde ispat yapılır.
Sonuç 1.1.1. Bir G topolojik grubunda her a ∈ G için fa : G → G, x 7→ axa−1
dönüşümü bir homeomorfizmdir [22].
Önerme 1.1.6. İki topolojik grubun direkt çarpımı yine bir topolojik gruptur [22].
İspat: G ve H birer topolojik grup olmak üzere
(G × H) × (G × H) −→ G × H
(g, h), (g1 , h1 ) 7−→ gg1 , hh1
işlemi ile G × H bir gruptur. Bu grubun birim elemanı e = (eG , eH ) ve herhangi
bir (g, h) ∈ G × H için ters eleman (g, h)−1 = (g −1 , h−1 ) dir. Diğer taraftan
δ : (G × H) × (G × H) −→ G × H
(g, h), (g1 , h1 ) 7−→ gg1−1 , hh−1
1
fark fonksiyonunun sürekliliği ise G ve H topolojik gruplarında grup işlemlerinin
sürekliliğinden gelir. O hâlde G × H bir topolojik gruptur.
Bu önerme keyfî sayıda topolojik grupların çarpımı için de benzer şekilde
ispatlanabilir.
Tanım 1.1.5. G ve H topolojik gruplar olmak üzere f : G −→ H grup
homomorfizmi sürekli ise bir topolojik grup homomorfizmi adını alır [22].
Örnek 1.1.11. Herhangi bir G topolojik grubu için 1G : G → G birim fonksiyonu
bir topolojik grup homomorfizmidir [22].
Önerme 1.1.7. Eğer f : G → H ve g : H → K birer topolojik grup homomorfizmi
ise g ◦ f : G → K de bir topolojik grup homomorfizmidir [22].
10
Tanım 1.1.6. X bir topolojik uzay ve G bir topolojik grup olsun. Eğer
ρ : G × X −→ X,
(g, x) 7−→ ρ(g, x) = g • x
sürekli dönüşümü aşağıdaki şartları sağlıyorsa G topolojik grubu X uzayı
üzerine (soldan) etkir denir ve bu etkime ile birlikte X bir G−uzayı olarak
adlandırılır [20, 22].
(i) Her x ∈ X ve g, g1 ∈ G için g • (g1 • x) = (gg1 ) • x
(ii) Her x ∈ X ve e ∈ G birim elemanı için e • x = x
Örnek 1.1.12. Bir G topolojik grubu bir X topolojik uzayı üzerine
g•x=x
etkimesi ile aşikar olarak etkir. Burada izdüşüm fonksiyonu ile verilen etkime
sürekli olup X bir G−uzayıdır [22].
Örnek 1.1.13. Her topolojik grup kendi grup işlemiyle birlikte kendi üzerine
etkir.
Önerme 1.1.8. G bir topolojik grup ve X bir G-uzayı olmak üzere her a ∈ G için
Ra : X −→ X
x 7−→ a • x
ile tanımlanan Ra sağ dönüşümü bir homeomorfizmdir [22].
İspat:
Ra birebir, örten ve tersi Ra−1 = Ra−1 olduğu aşikârdır. X bir G-uzayı
olduğundan G × X → X, (a, x) 7→ a • x etkime dönüşümü sürekli olup, bu
dönüşümün kısıtlaması olan {a}×X → X, (a, x) 7→ a•x dönüşümü de süreklidir.
Tanım 1.1.7. G ve H birer topolojik grup olsun. Eğer
ρ : G × H −→ H,
(g, h) 7−→ ρ(g, h) = g • h
11
sürekli dönüşümü aşağıdaki şartları sağlıyorsa G topolojik grubu H topolojik
grubu üzerine (soldan) etkir denir [7].
(i) Her g, g1 ∈ G ve h ∈ H için g • (g1 • h) = (gg1 ) • h
(ii) Her g ∈ G ve h, h1 ∈ H için g • (hh1 ) = (g • h)(g • h1 )
(iii) Her h ∈ H ve eG ∈ G birim elemanı için eG • h = h
Bu etkime ile birlikte H topolojik grubu bir G−grup olarak adlandırılabilir.
Örnek 1.1.14. Her topolojik grup kendi üzerine G × G → G, g • g1 = gg1 g −1
konjugasyon etkimesi ile etkir. Sonuç 1.1.1 den bu etkime sürekli olup G topolojik
grubu bir G−gruptur.
Örnek 1.1.15. Örnek 1.1.6 ve Örnek 1.1.10 dan R toplamsal topolojik grubu bir
Z-gruptur.
Örnek 1.1.16. G bir topolojik grup ve N normal alt grup olsun. Bu durumda
fa : G × N −→ N
(a, x) 7−→ a • x = axa−1
şeklinde tanımlanan konjugasyon etkimesi ile N normal alt grubu bir G-gruptur.
Örnek 1.1.17. G bir topolojik grup ve H da bir alt grup olsun. Bu takdirde
H × G −→ G
(a, x) 7−→ a • x = ax
fonksiyonu sürekli olup Örnek 1.1.6 dan G bir H−gruptur.
Önerme 1.1.9. G ve H iki topolojik grup ve G × H → H, (g, h) 7→ g • h bir sürekli
etkime olsun.
(G × H) × (G × H) −→ G × H
(g, h), (g1 , h1 ) 7−→ gg1 , h(g • h1 )
işlemine göre elde edilen G n H yarı-direkt çarpımı bir topolojik gruptur [7].
12
İspat:
δ : (G n H) × (G n H) −→ G n H
(g, h), (g1 , h1 ) 7−→ (g, h) · (g1 , h1 )−1 = gg1 −1 , h(gg1 −1 • h1 −1 )
fark fonksiyonunun sürekliliğini göstermemiz yeterlidir.
δ
GnH ×GnH
GnH
p1
p1 × p3
G×G
δG
G
ve G nin H üzerine etkime dönüşümünü ρ ile gösterirsek
δ
GnH ×GnH
GnH
p2
(c × 1G × 1H )
(1H × δG × ηH )
H ×G×G×H
H ×G×H
(1H × ρ)
H ×H
mH
H
diyagramları değişmeli olduğundan, bu diyagramların kısıtlaması olan
δ : (G n H) × (G n H) −→ G n H
fark fonksiyonu süreklidir.
Benzer şekilde G, H, K topolojik grupları ve bu topolojik gruplar üzerinde
G × H → H, (g, h) 7→ g • h, G × K → K, (g, k) 7→ g . k
sürekli etkimeleri ele alındığında
(G × H × K) × (G × H × K) −→ G × H × K
(g, h, k), (g1 , h1 , k1 ) 7−→ gg1 , h(g • h1 ), k(g . k1 )
işlemine göre elde edilen G n H n K yarı-direkt çarpım grubu bir topolojik
gruptur.
13
Tanım 1.1.8. X, Y topolojik uzayları ve f, g : X → Y sürekli fonksiyonları
verilsin.
F (x, 0) = f (x),
F (x, 1) = g(x)
şartlarını sağlayan sürekli bir F : X × [0, 1] → Y fonksiyonuna bir homotopi
(homotopy), f ve g fonksiyonlarına da homotopik (homotopic) denir ve F : f ' g
veya f ' g şeklinde gösterilir [22].
Burada F0 = f ve F1 = g olmak üzere her bir t ∈ [0, 1] için Ft (x) = F (x, t) şeklinde
gösterilen Ft : X → Y sürekli bir fonksiyon olup bu sürekli fonksiyonlar
{Ft 0 6 t 6 1}
homotopi sınıfını oluştururlar. Bir başka deyişle f ve g fonksiyonlarının arası
aynı tür fonksiyonlarla doldurulabiliyorsa bu fonksiyonlar homotopiktirler.
Örnek 1.1.18. Alışılmış topolojik uzayda f : R → R, x 7→ x2 ve g : R → R, x 7→
x2 + 1 sürekli fonksiyonları verilsin. Buna göre
F : R × [0, 1] −→ R,
(x, t) 7−→ F (x, t) = Ft (x) = x2 + t
şeklinde tanımlanan F dönüşümü f ile g fonksiyonlarının homotopi sınıfıdır.
Önerme 1.1.10. X, Y topolojik uzaylar olmak üzere X den Y ye tüm
sürekli fonksiyonların sınıfı üzerinde tanımlanan fonksiyonların homotopik olma
bağıntısı bir denklik bağıntısıdır [22].
14
İspat: Ft (x) = F (x, t) = f (x) şeklinde tanımlanabileceğinden F : f ' f olacaktır.
F : f ' g olsun. Bu durumda Gt (x) = F1−t şeklinde tanımlanan G sürekli bir
homotopi olup G : g ' f olacaktır. Son olarak F : f ' g ve G : g ' h olsun.


0 6 t 6 21
F (x, 2t)
Ht =


G(x, 2t − 1) 12 6 t 6 1
şeklinde tanımlanan H sürekli bir homotopi olup H : f ' h olacaktır.
Önerme 1.1.11. X, Y, Z topolojik uzayları ve f0 , f1 : X → Y, g0 , g1 : Y → Z
sürekli fonksiyonları verilsin. Eğer f0 ' f1 ve g0 ' g1 ise g0 ◦ f0 ' g1 ◦ f1 dir.
İspat: F : f0 ' f1 ve G : g0 ' g1 olsun. Buna göre
H : X × [0, 1] −→ Z,
(x, t) 7−→ G(f0 (x), t)
şeklinde tanımlanan fonksiyon sürekli olup, H0 = G(f0 (x), 0) = g0 (f0 (x)) ve
H1 = G(f0 (x), 1) = g1 (f0 (x)) olduğundan H : g0 ◦ f0 ' g1 ◦ f0 dır. Diğer taraftan
K = g1 ◦ F : X × [0, 1] → Z
şeklinde tanımlanan fonksiyon sürekli olup, K0 = g1 ◦ F0 = g1 ◦ f0 ve K1 = g1 ◦ f1
olduğundan g1 ◦ f0 ' g1 ◦ f1 olacaktır. O hâlde g0 ◦ f0 ' g1 ◦ f1 dir.
Tanım 1.1.9. X bir topolojik uzay olmak üzere a, b : I → X, a(1) = b(0) olacak
şekilde iki eğri olsun. Bu durumda
(b ◦ a) : I −→ X
(
a(2t),
0 6 t 6 21
t 7−→ (b ◦ a)(t) =
b(2t − 1), 12 6 t 6 1
şeklinde tanımlanan (b ◦ a) fonksiyonu yapıştırma lemmasından sürekli olup X
de bir eğridir. Bu eğriye a ile b eğrilerinin bileşkesi denir [23].
Tanım 1.1.10. X bir topolojik uzay, x, y ∈ X ve a, b : [0, r] → X, a(0) = b(0) = x
ve a(r) = b(r) = y olacak şekilde sürekli fonksiyonlar olsunlar. s ∈ [0, r], t ∈ [0, q]
Prove that the following conditions are equivalent: (i) f is an isomorphism, (ii) fX is
a bijection for each X in Ob(C), (iii) fX is a bijection for each X in Ob(C). Prove also
that f is monic if fX is injective for all X, and f is epic if and only if fX is injective
for all X. Under what conditions is fX surjective for all X, fX surjective for all X?
15
6.2 Construction of the fundamental groupoid
olmak üzere eğer
The fundamental groupoid πX will be a groupoid such that the set πX(x, y)
is a set of equivalence classes of PX(x, y). In order to define the equivalence
F (s, 0) = a(s),
relation, we consider first two paths a, b in PX(x, y) of the same length r.
A homotopy rel end points of
length
from a to b is defined to be a map
F (s,
q) =qb(s),
F (0,
: [0,t)r]=×x,[0, q] → X
F
such that
F (r, t) = y
F(s, 0) = a(s),
F(s, q) = b(s),
s ∈ [0, r]
(6.2.1)
olacak şekilde sürekli
bir
F
:
[0,
r]
×
[0,
q]
→
X
fonksiyonu
varsa
F(0, t) = x,
F(r, t) = y,
t ∈ [0,
q]. F fonksiyonuna
a dan b ye q uzunluğunda eğrilerin uç noktalarına göre homotopisi denir [20].
(0, q)
(r, q)
b
F
x
(0, 0)
(r, 0)
y
a
Fig. 6.1
Burada her t ∈ [0, q] için Ft : s 7→ Ft (s) = F (s, t), x den y ye bir eğri ve F0 = a,
Notice that for each t in [0, q] the path Ft : s 7→ F(s, t) is a path in
Fq = b dir.
a dan
b yefamily
homotopi
F : abe'thought
b ile gösterilir.
PX(x,
y); the
(Ft ) can
of as a ‘continuous family of paths’
between F0 = a and F1 = b. Alternatively, we can think of F as a ‘deformation’ of a into b.
Eğer yukarıdaki
r = 1 ve
alırsak
aşağıdaki
elde ederiz.
We usetanımda
the notation
F : qa=∼1 b
to mean
that F tanımı
is a homotopy
rel end
points from a to b (of some length). There is a unique homotopy of length
Tanım 01.1.11.
üzere
noktaları
x ve bitiş
from aXtobir
a. topolojik
If F : a ∼ uzay
b is a olmak
homotopy
of başlangıç
length q, then
−F, defined
by
noktaları y olan a, b eğrileri verilsin. s, t ∈ [0, 1] için
F (s, 0) = a(s),
F (s, 1) = b(s),
F (0, t) = x,
F (1, t) = y
olacak şekilde sürekli bir F : [0, 1] × [0, 1] → X fonksiyonuna a dan b ye (uç
noktalarına göre) bir homotopi denir. Eğer böyle bir homotopi varsa a ve b
eğrileri (uç noktalarına göre) homotopik denir ve a ' b yazılır.
Tezin devamında eğrilerin homotopisi için yukarıdaki tanım kullanılacaktır.
Önerme 1.1.12. Bir X topolojik uzayında x, y ∈ X için x den y ye birim uzunluklu
eğrilerin uç noktalarına göre homotopik olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
16
Buna göre bir a : I → X eğrisinin denklik sınıfına a nın eğri sınıfı veya homotopi
sınıfı denir ve [a] ile gösterilir.
Teorem 1.1.1. a0 , a1 , b0 , b1 : I → X fonksiyonları X uzayında birer eğri, a0 ' a1 ve
b0 ' b1 olsun. Eğer a0 (1) = a1 (1) = b0 (0) = b1 (0) ise
b 0 ◦ a0 ' b 1 ◦ a1
olur [23].
İspat: F : a0 ' a1 ve G : b0 ' b1 homotopileri ele alınsın. Buna göre
(
F (2s, t),
0 6 s 6 21
H(s, t) =
G(2s − 1, t), 21 6 s 6 1
şeklinde tanımlanırsa H : b0 ◦ a0 ' b1 ◦ a1 olacaktır.
Tanım 1.1.12. Bir X topolojik uzayında x0 ∈ X sabit bir nokta olsun. x0 ∈ X
noktasındaki kapalı eğrilerin homotopi sınıflarının cümlesi π1 (X, x0 )
[a][b] = [b ◦ a]
işlemine göre bir gruptur. Bu gruba X topolojik uzayının x0 noktasındaki temel
grubu denir.
1.2.
Kategori, Grupoid ve Topolojik Grupoidler
Tanım 1.2.1. X, Y, Z, ... objelerinin sınıfı C0 ve X
f
/
g
Y
/
Z şeklinde objeler
arasındaki morfizmlerin sınıfı C1 olmak üzere aşağıdaki dönüşümlerle birlikte
C = (C0 , C1 , s, t, ε, ◦) yapısına bir kategori (category) denir [22, 24]:
(i) s : C1 → C0 , s(f ) = X, s(g) = Y şeklinde tanımlı başlangıç dönüşümü,
(ii) t : C1 → C0 , t(f ) = Y, t(g) = Z şeklinde tanımlı bitiş dönüşümü,
(iii) C1 ×C0 C1 = {(g, f ) ∈ C1 × C1 | t(f ) = s(g)} olmak üzere birleşmeli olacak
şekilde ◦ : C1 ×C0 C1 → C1 biçiminde tanımlı kısmî bileşke işlemi
X
f
/
Y
g
/
Z = X
g◦f
/
Z,
17
(iv) her bir objeyi f ◦1X = f = 1Y ◦f ve s◦ε = t◦ε = 1C0 şartı sağlanacak şekilde
birim morfizmine dönüştüren ve birim morfizm (identity) dönüşümü
olarak adlandırılan ε : C0 → C1 , ε(X) = 1X , ε(Y ) = 1Y
1X
f
7X
/
Y g
1Y
.
Yapı dönüşümleri (structure maps) olarak adlandırılan bu dönüşümler aşağıdaki
şekilde gösterilebilir:
C1 ×C0 C1
◦
/
C1O
s
t
//
C0
ε
Bir C kategorisinde X ve Y objeler olmak üzere X den Y ye tüm morfizmlerin
sınıfı C(X, Y ) ile gösterilir.
Önerme 1.2.1. Bir C kategorisinde her bir X objesi için 1X birim morfizmi tektir
[22].
Aşağıda çok kullanılan bazı kategori örnekleri verilmiştir [22].
Örnek 1.2.1. Tüm cümlelerin sınıfı, cümleler arasındaki fonksiyonlar bilinen
bileşke işlemiyle morfizmler olarak ele alınırsa bir kategori oluşturur. Her bir
A cümlesi için birim morfizm 1A : A → A birim fonksiyonu olan bu kategori S ET
ile gösterilir.
Örnek 1.2.2. Topolojik uzayların sınıfı topolojik uzaylar arasındaki sürekli
fonksiyonlarla birlikte bir kategori oluşturur. Sürekli fonksiyonların bileşkeleri
de sürekli olduğundan bu kategoride kısmi işlem tanımlıdır. Bu kategori T OP ile
gösterilir.
Örnek 1.2.3. Objeleri gruplar, morfizmleri grup homomorfizmleri ve kısmi işlem
ise grup homomorfizmlerin bileşkesi olarak alındığında elde edilen kategori G P
ile gösterilir.
Benzer şekilde halkalar ve halka homomorfizmleri de bir kategori oluşturur. Bu
kategori de R ING ile gösterilir.
18
Örnek 1.2.4. Objeler topolojik gruplar ve morfizmler ise sürekli grup
homomorfizmleri alınarak elde edilen topolojik grupların kategorisi TG P ile
gösterilir.
Örnek 1.2.5. Her monoid tek objeli bir kategori olarak düşünülebilir [1]. Bir
M monoidi verildiğinde monoid elemanları morfizmler, monoid işlemi de kısmî
işlem olarak düşünüldüğünde M bir kategoriye dönüşür.
?
m
/
?
n
/?
=
?
n+m /
?
Burada her m ∈ M için s(m) = t(m) = ? ve ε(?) = e şeklinde tanımlıdır.
Örnek 1.2.6. Objeleri monoidler, morfizmleri monoid homomorfizmleri olan
kategori M ON ile gösterilir.
Tanım 1.2.2. C ve D birer kategori olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa D
kategorisine C kategorisinin bir alt kategorisi denir [22].
(i) D0 sınıfı C0 sınıfının bir alt sınıfıdır.
(ii) Her bir X, Y ∈ D0 için D(X, Y ) ⊆ C(X, Y ) dir.
(iii) D kategorisindeki morfizmlerin bileşkesi, C kategorisindeki morfizmlerin
bileşkesi ile aynıdır.
(iv) Her bir X ∈ D0 için D deki 1X birim morfizmi, C deki birim morfizm ile
aynıdır.
Örnek 1.2.7. Abelyan grupların kategorisi, grupların kategorisi G P de bir alt
kategoridir [22].
Tanım 1.2.3. C kategorisinde f : X → Y morfizmi verilsin. Eğer g ◦ f = 1X ve
f ◦ g = 1Y olacak şekilde C de bir g : Y → X morfizmi varsa f morfizmine bir
izomorfizm, X ile Y objelerine izomorftur denir ve X ∼
= Y şeklinde gösterilir
[22].
Burada g morfizmine f morfizminin tersi denir ve f ile gösterilir. Ayrıca f de bir
izomorfizmdir [22].
19
Tanım 1.2.4. C bir kategori ve A ∈ C0 olsun. Eğer her X ∈ C0 objesi için bir tek
A → X morfizmi varsa bu A objesine bir başlangıç objesi denir [22].
Örnek 1.2.8. S ET kategorisinde boş küme, G P kategorisinde tek elemanlı grup,
küçük kategorilerin kategorisi olan C AT de tek objeli ve tek morfizmli kategori
başlangıç objesidir [22].
Tanım 1.2.5. C bir kategori ve A ∈ C0 olsun. Eğer her X ∈ C0 objesi için bir tek
X → A morfizmi varsa bu A objesine bir bitiş objesi veya final objesi (terminal
object) denir [22].
Örnek 1.2.9. S ET kategorisinde tek elemanlı küme, G P kategorisinde tek
elemanlı grup, C AT kategorisinde tek objeli ve tek morfizmli kategori bitiş
objesidir [22].
Tanım 1.2.6. C kategorisinde bir A objesi hem başlangıç hem de bitiş objesi ise
sıfır obje adını alır [22].
Örnek 1.2.10. Grupların kategorisi G P de tek elemanlı grup, C AT de tek objeli ve
tek morfizmli kategori sıfır objedir [22].
Bir kategoride başlangıç, bitiş ve böylece sıfır objeleri izomorfizme göre tektir
[22].
Tanım 1.2.7. Bir C kategorisinde morfizmlerin bir
X
k
f
Z
h
/
/
Y
g
T
diyagramı verilsin. Eğer başlangıç ve bitişleri aynı olan bileşke morfizmleri eşit
ise yani g ◦ f = h ◦ k oluyorsa bu diyagrama değişmeli diyagram denir [22].
Tanım 1.2.8. C bir kategori ve f : A → C, g : B → C ise C de iki morfizm olsun.
Bir P ∈ C0 objesi ve p1 : P → A, p2 : P → B morfizmleri için
(i) f p1 = gp2 dir.
20
(ii) her X ∈ C0 objesi ve f q1 = gq2 olacak şekildeki her q1 : X → A, q2 : X → B
morfizmleri için p1 ϕ = q1 ve p2 ϕ = q2 olacak şekilde bir tek ϕ : X → P
morfizmi vardır
şartları sağlanıyorsa (P, p1 , p2 ) üçlüsüne f nin g üzerinden (veya g nin f
üzerinden) geri çekilmesi (pullback) denir [22].
X
q1
ϕ
#
P
q2
p1
p2
B
g
/
/
A
f
C
Örnek 1.2.11. S ET kategorisinde f : A → C ve g : B → C iki fonksiyon
olmak üzere f nin g üzerinden geri çekilmesi p1 ve p2 birinci ve ikinci izdüşüm
fonksiyonları olmak üzere (P = {(a, b) | f (a) = g(b)}) dir.
Tanım 1.2.9. C bir kategori, I bir küme ve {Ai }i∈I ise C de objelerin bir sınıfı olsun.
Bir P ∈ C0 objesi ve her i ∈ I için pi : P → Ai morfizmleri için bir X ∈ C0 objesi
ve her i ∈ I için fi : X → Ai morfizmleri verildiğinde pi ϕ = fi olacak şekilde
bir tek ϕ : X → P varsa (P, {pi }i∈I ) ikilisine {Ai }i∈I objelerinin çarpımı (product)
denir [22].
PO
pi
/
> Ai
ϕ
fi
X
Örneğin S ET kategorisinde iki objenin çarpımı bilinen anlamda kartezyen
çarpımlarıdır. Grupların kategorisi G P de iki objenin çarpımı direkt çarpımdır.
Eğer bir kategoride herhangi iki objenin çarpımı mevcutsa bu kategoriye sonlu
çarpıma sahip bir kategori denir.
Kategoriler arasındaki dönüşümler aşağıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 1.2.10. C, C 0 birer kategori olsun. C nin her bir X objesini C 0 nin bir F (X)
objesine, C nin her bir f : X → Y morfizmini ise C 0 nin bir F (f ) : F (X) → F (Y )
morfizmine dönüştüren ve aşağıdaki şartları sağlayan bir F dönüşümüne C den
C 0 ne bir fanktor denir ve F : C → C 0 olarak yazılır [22, 24].
21
(i) F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f ),
X
f
/
Y
g
/
7−→
ZO
F (X)
g◦f
(ii) F (1X ) = 1F (X)
F (f )
/
F (g)
F (Y )
/
F (Z)
O
F (g◦f )=F (g)◦F (f )
X
1X
/X
7−→
F (X)
F (1X )
/
F (X)
O
1F (X)
Örnek 1.2.12. U : T OP→S ET dönüşümü, bir topolojik uzayı, üzerinde tanımlı
olduğu cümleye götüren bir fanktordur. Bu şekildeki objeler üzerindeki yapıyı
unutan fanktora unutkan fanktor denir.
İki fanktorun bileşkesinin yine bir fanktor olduğu kolayca görülür. Böylece
objeleri küçük kategoriler, morfizmleri ise kategoriler arasındaki fanktorlar
alınarak bir kategori elde edilir. Bu kategoriye küçük kategorilerin kategorisi
denir ve C AT ile gösterilir [22].
Tanım 1.2.11. C ve D birer kategori ve F, G : C → D iki fanktor olsun. C nin
her A ∈ C0 objesini D nin bir SA : F (A) → G(A) morfizmine dönüştüren bir
S : C0 → D1 dönüşümü verilsin. Eğer C nin her bir f : A → B morfizmi için
F (A)
SA
F (f )
F (B)
G(A)
/
G(f )
SB
/ G(B)
diyagramı değişmeli ise S ye bir doğal dönüşüm denir ve S : F → G olarak
gösterilir.
22
Tanım 1.2.12. F, G : C → D fanktorları verilsin.
Bir S : F
→ G doğal
dönüşümünde her bir A ∈ C0 için SA : F (A) → G(A), D de bir izomorfizm ise
S ye bir doğal izomorfizm, F ile G ye de doğal olarak denktir denir ve F ' G
şeklinde gösterilir [22].
Teorem 1.2.1. F, G : C → D fanktorları verilsin. F ' G ancak ve ancak S ◦ T = 1G
ve T ◦ S = 1F olacak şekilde S : F → G ve T : G → F doğal dönüşümleri vardır
[22].
Tanım 1.2.13. F : C → D fanktoru verilsin. Eğer G ◦ F ' 1C ve F ◦ G ' 1D olacak
şekilde G : D → C fanktoru varsa bu kategorilere doğal olarak denktir denir ve
C ' D olarak yazılır [22].
Tanım 1.2.14. G0 objelerin sınıfı, G1 tüm morfizmlerin sınıfı ve x, y ∈ G0 için
x den y ye morfizmlerin sınıfı G(x, y) olmak üzere G = (G0 , G1 , s, t, ε, η, ◦)
kategorisi, f ◦ f = 1x , f ◦ f = 1y şartını sağlamak üzere η : G1 → G1 , η(f ) = f
şeklinde tanımlı ters eleman dönüşümü olarak adlandırılan dönüşümle birlikte
bir grupoid (groupoid) adını alır [25]:
f
1x
*
9xj
y
f
Kısaca, her morfizmi bir izomorfizm olan kategoriye grupoid denir. Grupoid
yapısını oluşturan dönüşümler şu şekilde gösterilebilir:
η
G1 ×G0 G1
◦
/
GO1
s
t
//
G0
ε
Önerme 1.2.2. Bir G grupoidinde bir f ∈ G(x, y) için aşağıdaki ifadeler geçerlidir.
(i) Her x ∈ G0 için 1x birim morfizmi tektir.
(ii) Her f ∈ G1 morfizmi için f tektir.
(iii) g ◦ f = f ise g = 1y dir.
(iv) f ◦ h = f ise h = 1x dir.
(v) g ◦ f = 1x ise g = f dir.
23
(vi) f ◦ h = 1y ise h = f dir [22].
Aşağıda [22] referansında geçen grupoid örnekleri verilmiştir.
Örnek 1.2.13. Objeleri tüm cümleler, morfizmleri ise birebir ve örten fonkiyonlar
alınarak elde edilen kategori bir grupoid olur.
Örnek 1.2.14. Objeleri topolojik uzaylar, morfizmleri ise homeomorfizmler olan
kategori bir grupoiddir.
Örnek 1.2.15. Her grup tek objeli bir grupoid olarak düşünülebilir [3]. Bir G
grubu verildiğinde grup elemanları morfizmler, grup işlemi de kısmî işlem olarak
ele alınırsa G bir grupoid olacaktır.
?
g
/
?
h
/?
=
hg
?
/
?
Örnek 1.2.16. X herhangi bir cümle ve x, y, z ∈ X olsun. (x, y) ikilisi x den y
ye bir morfizm olarak ele alınır ve bileşke işlemi (y, z) ◦ (x, y) = (x, z) şeklinde
tanımlanırsa, G = (X, X × X) yapısı bir grupoid olur.
x
(x,y)
/
y
(y,z)
/
z
=
x
(x,z)
/
z
Burada bir (x, y) morfizmi için yapı dönüşümleri s(x, y) = x, t(x, y) = y, ε(x) =
1x = (x, x), η(x, y) = (y, x) şeklinde tanımlıdır.
Örnek 1.2.17. X herhangi bir cümle ve G bir grup olmak üzere x, y, z ∈ X ve
g, h ∈ G için (x, g, y) üçlüsü x den y ye bir morfizm olarak ele alınır ve bileşke
işlemi (y, h, z) ◦ (x, g, y) = (x, hg, z) şeklinde tanımlanırsa, (X, X × G × X) yapısı
bir grupoid olur.
x
(x,g,y)
/
y
(y,h,z)
/
z
=
x
(x,hg,z)
/
z
Burada bir (x, g, y) morfizmi için yapı dönüşümleri s(x, g, y) = x, t(x, g, y) =
y, 1x = (x, e, x), η(x, g, y) = (y, g −1 , x) şeklinde tanımlıdır. Bu grupoid aşikâr
grupoid (trivial groupoid) olarak adlandırılır [22, 25].
Örnek 1.2.18. X bir cümle, G bir grup ve G × X → X, (g, x) 7→ g • x bir etkime
olsun. (g, x) ikilisi başlangıcı x, bitişi g • x olan bir morfizm olarak ele alınırsa ve
kısmi işlem ise y = g • x ve z = h • y olmak üzere
(h, y) ◦ (g, x) = (hg, x)
24
şeklinde tanımlanırsa, (X, G × X) bir grupoid olur. Burada bir (g, x) morfizmi
için yapı dönüşümleri s(g, x) = x, t(g, x) = g • x, 1x = (e, x), η(g, x) = (g −1 , g • x)
şeklinde tanımlıdır.
(g,x)
x
/g
(h,g•x)
•x
/
(hg • x)
Yukarıdaki şekilde oluşturulan grupoide etkime grupoidi (action groupoid)
denir. Böylece her G-cümleden bu yolla bir grupoid elde edilmiş olur [22].
Tanım 1.2.15. X bir topolojik uzay ve X üzerindeki eğrilerin (uç noktalarına göre)
homotopi sınıflarının cümlesi π1 (X) olsun. Bu durumda eğrilerin bileşkesi işlemi
homotopi sınıfları üzerinde bir bileşke oluşturur. Burada eğer α : x → y bir eğri
ise [α] homotopi sınıfı x den y ye bir morfizm olarak alınır. Yapı dönüşümleri
s : π1 (X) → X,
s([α]) = α(0),
t : π1 (X) → X,
t([α]) = α(1),
bir x ∈ X için x noktasındaki sabit eğri 1x olmak üzere
ε : X → π1 (X),
ε(x) = [1x ]
ve α−1 (t) = α(1 − t) olmak üzere
η : π1 (X) → π1 (X,
η([α]) = [α] = [α−1 ]
şeklinde olup, α nın bitiş noktası ile β nın başlangıç noktası aynı olmak üzere
kısmî bileşke işlemi
◦ : π1 (X) s ×t π1 (X) → π1 (X),
([β], [α]) 7→ [β] ◦ [α] = [β ◦ α]
ile tanımlanır. Bu şekilde tanımlanan işlem iyi tanımlıdır. Çünkü α ' α0 ve β ' β 0
ise β ◦α ' β 0 ◦α0 dir. Bu şekilde π1 (X) üzerinde oluşturulan grupoide X topolojik
uzayının temel grupoidi (the fundamental groupoid of X) denir [22].
Önerme 1.2.3. G bir grupoid olmak üzere herhangi bir x ∈ G0 objesi için x den x
e tüm morfizmlerin sınıfı
G(x) = {f f ∈ G(x, x)}
25
ile gösterilsin. Buna göre grupoiddeki morfizmlerin bileşke işlemiyle birlikte
(G(x), ◦) bir gruptur. Bu gruba x noktasındaki obje grubu (object group) denir.
Bu grubun birim elemanı 1x ve her f ∈ G(x) için ters eleman f −1 = f dir [20, 22].
Tanım 1.2.16. G bir grupoid, H ise G nin bir alt kategorisi olsun. Eğer f ∈ H1
iken f ∈ H1 oluyorsa H grupoidine G grupoidinin bir alt grupoidi denir. Eğer
H0 = G0 ise H grupoidine geniş alt grupoid denir [22].
Tanım 1.2.17. G ve H birer grupoid olmak üzere eğer G ve H ın kategorileri
üzerinde F : G −→ H bir fanktor ise F ye bir grupoid morfizmi denir [4].
Buna göre objeleri tüm grupoidler ve morfizmleri ise grupoidler arasındaki
fanktorlar olan bir kategori elde edilir. Bu kategoriye grupoidlerin kategorisi
denir ve G PD ile gösterilir [4].
Önerme 1.2.4. G ve H birer grupoid ve F : G −→ H bir grupoid morfizmi olsun.
Bu durumda
(i) Her f ∈ G1 için F (f ) = F (f ) dir;
(ii) Her f ∈ G1 morfizmi için F −1 (f ) ile F −1 (f ) izomorftur [22].
İspat: (i) f morfizmi için
F (f ) ◦ F (f ) = F (f ◦ f ) = F (1s(f ) ) = 1F (s(f ))
ve
F (f ) ◦ F (f ) = F (f ◦ f ) = F (1t(f ) ) = 1F (t(f ))
olup F (f ) = F (f ) dir.
(ii) Her a ∈ F −1 (f ) için Fa : F −1 (f ) → F −1 (f ), a 7→ a dönüşümü birebir
ve örtendir.
İki grupoidin kartezyen çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 1.2.18. G ve H iki grupoid olmak üzere G × H, objelerinin sınıfı G0 × H0 ve
morfizmlerinin sınıfı G1 × H1 olan bir grupoiddir. Bu grupoid çarpım grupoidi
26
olarak adlandırılır.
g ∈ G1 , h ∈ H1 olmak üzere x
g
/ x1
ve y
h
/ y1
objeleri ve morfizmleri için, G × H çarpım grupoidinin objeleri ve morfizmleri
(x, y)
(g,h)
/
(x1 , y1 ) şeklindedir. Morfizmlerin bileşke işlemi ise (g, h), (g1 , h1 ) ∈
G1 × H1 olmak üzere
(g1 , h1 ) ◦ (g, h) = (g1 ◦ g, h1 ◦ h)
şeklinde tanımlıdır. Bir (g, h) morfizminin tersi (g, h) = (g, h) dır. Herhangi bir
(x, y) ∈ G0 × H0 için birim morfizm 1(x,y) = (1x , 1y ) şeklinde tanımlıdır [22].
Tanım 1.2.19. Bir G grupoidinde G0 , G1 topolojik uzaylar ve grupoid yapısını
oluşturan s, t, ε, η, ◦ dönüşümleri sürekli ise G ye bir topolojik grupoid denir [26].
Örnek 1.2.19. Her topolojik grup tek objeli bir topolojik grupoiddir [26].
Örnek 1.2.20. X bir topolojik uzay olmak üzere Örnek 1.2.16 da verilen yapısıyla
G = (X, X × X) bir topolojik grupoiddir [27, 28].
Örnek 1.2.21. X bir topolojik uzay ve G bir topolojik grup olmak üzere Örnek
1.2.17 de verilen yapısıyla (X, X × G × X) yapısı bir topolojik grupoiddir [29]. Bu
topolojik grupoid aşikâr topolojik grupoid (trivial topological groupoid) olarak
adlandırılır.
Örnek 1.2.22. X bir topolojik uzay ve G bir topolojik grup olmak üzere
Örnek 1.2.18 de verilen yapısıyla (X, G × X) yapısı bir topolojik grupoiddir.
Bu topolojik grupoid topolojik etkime grupoidi (topological action groupoid)
olarak adlandırılır. Böylece her G−uzayından bir topolojik grupoid elde edilmiş
olur.
Örnek 1.2.23. X bir topolojik uzay olmak üzere bazı özel şartlar altında π1 (X)
temel grupoidi bir topolojik grupoiddir [20, 27, 28].
Tanım 1.2.20. G, G0 birer topolojik grupoid ve F = (f0 , f1 ) : G → G0 fanktor
olmak üzere f0 : G0 → G00 ve f1 : G1 → G01 dönüşümleri sürekli ise F bir topolojik
grupoid morfizmi olarak adlandırılır [7, 29].
Böylece objeleri tüm topolojik grupoidler ve morfizmleri ise topolojik grupoid
morfizmleri olan bir kategori elde edilir. Bu kategoriye topolojik grupoidlerin
kategorisi denir ve TG PD ile gösterilir.
27
Önerme 1.2.5. G bir topolojik grupoid ise her x ∈ G0 için G(x) obje grubu bir
topolojik gruptur.
1.3.
İç Kategoriler ve Grup Objeler
Herhangi bir kategori içindeki objeler kendi aralarında bir kategori yapısı
barındırabilir. Böylece iç kategori kavramı ortaya çıkar.
Tanım 1.3.1. C sonlu çarpımlara sahip bir kategori olsun. A, B ∈ C0 olmak
üzere A ve B objeleri arasında C kategorisinin morfizmleri olarak aşağıdaki
dönüşümler verilsin:
(i) başlangıç dönüşümü olarak adlandırılan s : A → B,
(ii) bitiş dönüşümü olarak adlandırılan t : A → B,
(iii) A ×B A = {(a1 , a2 ) ∈ A × At(a1 ) = s(a2 )} olmak üzere
p2
A ×B A
p1
/
A
A
s
/B
t
pullback diyagramı üzerinde tanımlı ve
A ×B A ×B A
1A ×m
m×1A
/
A ×B A
A ×B A
/
m
m
A
diyagramı değişmeli (yani birleşimli) olacak şekilde tanımlı kısmî bileşke
işlemi olarak adlandırılan m : A ×B A → A,
(iv) sε = tε = 1B ve
B
1B
×s A
ε×1A
∼
=
/
A×Ao
m
& x
1A ×ε
A t ×1B B
∼
=
A
diyagramı değişmeli olacak şekilde tanımlı birim dönüşüm olarak
adlandırılan ε : B → A, birim morfizm (identity) dönüşümü (böylece ε, her
b ∈ B için 1b birim morfizmini verecektir).
28
Bu dönüşümlerle birlikte A okların objesi (object of arrows) ve B objelerin
D = (B, A, s, t, ε, m) altılısı
objesi (object of objects) olarak adlandırılır.
ise kategori aksiyomlarını sağlar ve bir iç kategori (internal category) olarak
adlandırılır [1, 18].
/
m
A ×B A
A
//
s
i
t
B
ε
Örnek 1.3.1. X herhangi bir küme olmak üzere Örnek 1.2.16 de verilen yapıyla
(X, X × X) grupoidi S ET de bir iç grupoiddir.
Herhangi bir kategori içindeki herhangi bir obje kendi içinde bir grup yapısına
sahip olabilir. Böylece grup obje kavramı aşağıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 1.3.2. C, sonlu çarpımlara ve 1 final objesine sahip bir kategori ve
A ∈ C0 olsun. A objesi üzerinde C kategorisinin morfizmleri olarak aşağıdaki
dönüşümler verilsin:
(i) ikili işlem (binary operation) veya grup işlemi (product) olarak adlandırılan
ve
m×1A
A×A×A
1A ×m
/
A×A
A×A
/
m
m
A
diyagramı değişmeli (yani birleşimli) olacak şekilde tanımlı m : A × A → A
dönüşümü,
(ii) 1 final objesinden A objesine
id×1A
/
1×A
A×Ao
1A ×id
m
∼
=
A×1
∼
=
% y
A
diyagramı değişmeli olacak şekilde tanımlı id : 1 → A birim eleman
(identity) dönüşümü (böylece id, A nın birim elemanını verecektir),
(iii) 4 : A → A × A, a 7→ (a, a) olmak üzere
A
∃!
4
/
A×A
1
id
inv×id/
A×A
/
m
A
A
∃!
4
/
A×A
1
id
id×inv/
A×A
/
m
A
29
diyagramları değişmeli olacak şekilde ters eleman dönüşümü (inverse map)
olarak adlandırılan inv : A → A dönüşümü.
Bu dönüşümlerle birlikte A objesi grup aksiyomlarını sağlar ve C kategorisinde
bir grup obje (group object) adını alır [18, 22].
Örnek 1.3.2. S ET de her grup obje bir gruptur.
Örnek 1.3.3. Topolojik uzayların kategorisinde her grup obje bir topolojik
gruptur.
Önerme 1.3.1. Grupların kategorisi G P de her grup obje bir Abel grubudur [18,
22].
İspat: Grupların kategorisinde bir G grup obje olarak ele alınsın. Bu durumda
G × G kartezyen çarpımı da grupların direkt çarpımı ile G P de bir obje olacaktır.
Buna göre G nin kendi grup işlemi m : G × G → G, (x, y) 7→ x + y bir grup
homomorfizmi olacaktır. O hâlde
m((x, y) + (x0 , y 0 )) = m(x + x0 , y + y 0 ) = (x + x0 ) + (y + y 0 )
ve m grup homomorfizmi olduğundan
m((x, y) + (x0 , y 0 )) = m(x, y) + m(x0 , y 0 ) = (x + y) + (x0 + y 0 )
olup
(x + y) + (x0 + y 0 ) = (x + x0 ) + (y + y 0 )
olacaktır ki bu eşitlik yerdeğişim kuralı (interchange law) olarak adlandırılır.
Burada G ve G × G grupları tek objeli kategoriler olarak ele alınırsa m bir fanktor
vazifesi göreceğinden yerdeğişim kuralı benzer yolla aynı şekilde elde edilebilir.
Şu hâlde yerdeğişim kuralının bir uygulaması olarak
x + y = (e + x) + (y + e) = (e + y) + (x + e) = y + x
elde edilir.
Örnek 1.3.4. Monoidlerin kategorisi M ON da her grup obje bir Abel grubudur.
30
1.4.
Grup-Grupoidler ve Topolojik Grup-grupoidler
Önerme 1.4.1. Tüm küçük kategorilerin kategorisi C AT de her grup obje bir
grupoiddir [27].
İspat: G kategorisi C AT de bir grup obje olsun. Bu durumda
f
• m : G × G → G, x
• inv : G → G, x
f
• id : {∗} → G, ∗
/
y
/
y , x0
x−1
7→
7→ e
f0
1e
/e
/ y0
7→
f −1
/ y −1
xx0
ff0
/
yy 0 ,
,
(Burada {∗} tek objeli ve tek morfizmli bir
kategoridir)
dönüşümleri birer fanktor olarak grup aksiyomlarını sağlayacak şekilde
mevcutturlar. O hâlde
m((g, g 0 ) ◦ (f, f 0 )) = m((g ◦ f ), (g 0 ◦ f 0 )) = (g ◦ f )(g 0 ◦ f 0 )
ve
m((g, g 0 ) ◦ (f, f 0 )) = m(g, g 0 ) ◦ m(f, f 0 ) = (gg 0 ) ◦ (f f 0 )
olup morfizmlerin bileşke işlemi ile grup işlemi arasında
(g ◦ f )(g 0 ◦ f 0 ) = (gg 0 ) ◦ (f f 0 )
şeklinde yerdeğişim kuralı elde edilir. Buna göre
1y
x
f
/
y
g
/
z
morfizmleri için yerdeğişim kuralı aşağıdaki gibi uygulanırsa
−1
−1
g ◦ f = (g1e ) ◦ 1y (1−1
y f ) = (g ◦ 1y )(1e ◦ (1y f )) = g1y f
ve
−1
g ◦ f = 1y (1−1
g)
◦ (f 1e ) = (1y ◦ f )((1−1
y
y g) ◦ 1e ) = f 1y g
31
olacaktır. Buradan
−1
g ◦ f = g1−1
y f = f 1y g
(1.1)
elde edilir ve böylece bileşke işlemi grup işlemi cinsinden ifade edilmiş olur.
Şimdi f ◦ f = 1x ve f ◦ f = 1y olacak şekilde bir y
f
/x
morfizminin varlığını
araştıralım.
−1
f ◦ f = 1x ⇒ f 1−1
1y
y f = 1x ⇒ f = 1x f
(1.2)
Böylece her bir f morfizminin tersi mevcut olup G bir grupoid olacaktır. Bu
grupoide grup-grupoid (group-groupoid) [28] veya 2-grup (2-group) [5] denir.
1.1 eşitliğinde y = e alınırsa gf = f g elde edilir ki bu Kers ile Kert nin
elemanlarının değişmeli olduğu anlamına gelir [27].
Ayrıca 1.2 eşitliğinden
f = 1x f −1 1e = 1x f −1 elde edilir. Buradan aşağıdaki sonuç verilebilir.
Sonuç 1.4.1. f, h ∈ Ker s ve t(f ) = x olmak üzere f hf −1 = 1x h1−1
x ∈ Ker s dir [27].
İspat: f, h ∈ Ker s ve t(f ) = x, t(h) = y olsun. 1.2 den f = 1e f −1 1x = f −1 1x dir.
1e
f
1x
9xj
*
e
h
/
y
f
Buna göre h ∈ Ker s ve f ∈ Ker t olup
hf = f h ⇒ hf −1 1x = f −1 1x h ⇒ f hf −1 = 1x h1−1
x
elde edilir. Diğer taraftan
−1
−1
s(1x h1−1
=e
x ) = s(1x )s(h)s(1x ) = xex
olup f hf −1 = 1x h1−1
x ∈ Ker s dir.
Örnek 1.4.1. Grupoidlerin kategorisi G PD de bir grup obje grup-grupoiddir [22].
Bir grup-grupoidin sağladığı özellikleri aşağıdaki önermede verilmiştir [28].
Önerme 1.4.2. G bir grup-grupoid olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler vardır.
32
(i) a, b ∈ G1 için ab = ab
(ii) (a, b) ∈ G1 ×G0 G1 için (a ◦ b)−1 = a−1 ◦ b−1
(iii) x, y ∈ G0 için 1x 1y = 1xy
(iv) a ∈ G1 için (a−1 ) = (a)−1
(v) x ∈ G0 için 1−1
x = 1x−1
"Kategorik gruplar" olarak da adlandırılan grup-grupoidler [5], grupların
kategorisi G P de birer iç kategori olarak da düşünülebilirler.
Önerme 1.4.3. Grupların kategorisi G P de her iç kategori grup-grupoiddir [18].
İspat: (A, +), (B, ·) birer grup ve C = (B, A, s, t, ε, ◦) grupların kategorisi G P de
bir iç kategori olsun. Bu durumda
A×A
s×s
+
B×B
/
A
·
s
/B
diyagramı değişmeli olup
µ: C × C → C
fanktoru bir grup homomorfizmi olarak objeler üzerinde B nin grup işlemi,
morfizmler üzerinde ise A nın grup işlemi ile tanımlansın.
b1
a
b1 · b01
/ b2
ve b01
a+a0
/ b2
a0
/ b0
2
Buna göre
objelerinin ve morfizmlerinin µ altındaki görüntüsü
· b02 şeklinde olacaktır. eA ve eB sırasıyla A ve B gruplarının
birim elemanları olmak üzere birim eleman dönüşümü
eA
/ eB
7→ b−1
1
a−1
id : {∗} → C, ∗ 7→ eB
ve ters eleman dönüşümü
inv : C → C, b1
şeklinde tanımlanır.
a
/ b2
/ b−1
2
33
Örnek 1.4.2. (X, +) değişmeli bir grup olmak üzere Örnek 1.2.16 de verilen
yapısıyla ve
• ⊕ : G × G → G, (x, y) ⊕ (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
• id : {∗} → G, e = 0, 1e = (0, 0), 0
• inv : G → G, x
(x,y)
/
y
7→
(0,0)
/
0
(−x,−y)
−x
/ −y
şeklinde tanımlı fanktorlarla birlikte G = (X, X × X) bir grup-grupoiddir [22].
Örnek 1.4.3. (X, +) bir grup ve (G, ·) bir Abel grubu olmak üzere Örnek 1.2.17 de
verilen yapısıyla ve
• : G × G → G, (x, g, y) (x0 , g 0 , y 0 ) = (x + x0 , g · g 0 , y + y 0 )
• id : {∗} → G, eX
• inv : G → G, x
(eX ,eG ,eX )
(x,g,y)
/
y
/ eX
7→
−x
(−x,g −1 ,−y)
şeklinde tanımlı fanktorlarla birlikte G
=
/ −y
(X, X × G × X) yapısı bir
grup-grupoiddir.
Önerme 1.4.4. X bir topolojik grup ise π1 (X) bir grup-grupoiddir [20, 26, 28].
İspat: (X, +) bir topolojik grup ve π1 (X), Tanım 1.2.15 deki yapısıyla X in temel
grupoidi olsun. Bu durumda (α + α0 )(t) = α(t) + α0 (t) olmak üzere
⊕ : π1 (X) × π1 (X) → π1 (X),
([α], [α0 ]) 7→ [α] ⊕ [α0 ] = [α + α0 ]
işlemi ile (π1 (X), +) bir gruptur. X in birim elemanı e ve 1e , e den e ye sabit
eğri olmak üzere [1e ] homotopi sınıfı (π1 (X), +) nın birim elemanıdır. Her α ∈
π1 (X) için [α]−1 = [−α] ters elemandır. Buradan π1 (X) temel grupoidinin yapı
dönüşümleri s, t, ε, η ve bileşke işleminin birer grup homomorfizmi oldukları
34
kolayca görülebilir. Şimdi α ' α0 , β ' β 0 iken α+β ' α0 +β 0 olacağını gösterelim.
H1 : α ' α0 ve H2 : β ' β 0 olsun.
F : [0, 1] × [0, 1] → X,
(t, s) 7→ F (t, s) = H1 (t, s) + H2 (t, s)
şeklinde tanımlı F sürekli olup F : α + β ' α0 + β 0 olacaktır. O hâlde π1 (X) bir
grup-grupoiddir.
Tanım 1.4.1. G ve H birer grup-grupoid ve f : G → H bir grupoid morfizmi olmak
üzere eğer f grup yapılarını da koruyorsa bir grup-grupoid morfizmi adını alır
[30].
Grup-grupoidlerin
bir
morfizmi,
grup
yapısını
koruyan
grupoidlerin
bir morfizmidir.
O halde objeleri grup-grupoidler ve morfizmleri ise
grup-grupoidler arasındaki morfizmler olan bir kategori elde edilir.
Bu
kategoriye grup-grupoidlerin kategorisi denir ve 2G P [14] veya G P G D [30] ile
gösterilir.
Tanım 1.4.2. Topolojik grupoidlerin kategorisi TG PD de bir grup objeye
topolojik grup-grupoid denir [7]. Başka bir ifade ile bir topolojik grup-grupoid,
grup aksiyomlarını sağlayan
a
(i) m : G × G → G, x
(ii) inv : G → G, x
(iii) id : {∗} → G, ∗
/
y , x0
/y
7→
7→ e
1e
a
a0
/
x−1
/ y0
7→
a−1
/ y −1
xx0
aa0
/
yy 0 ,
,
e
sürekli fanktorları ile birlikte bir topolojik grupoiddir [28].
Örnek 1.4.4. Her Abelyan topolojik grup bir topolojik grup-grupoiddir [28].
Örnek 1.4.5. (X, +) bir topolojik grup olmak üzere Örnek 1.2.20 de verilen
yapısıyla ve
• ⊕ : G × G → G, (x, y) ⊕ (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
35
• id : {∗} → G, e = 0, 1e = (0, 0), 0
(x,y)
• inv : G → X , x
/
y
7→
(0,0)
/
0
(−x,−y)
−x
/
−y
şeklinde tanımlı sürekli fanktorlarla birlikte G = (X, X × X) bir topolojik
grup-grupoiddir [28].
Örnek 1.4.6. (X, +) bir topolojik grup ve (G, ·) bir topolojik Abel grubu olmak
üzere Örnek 1.2.21 de verilen yapısıyla ve
• : G × G → G, (x, g, y) (x0 , g 0 , y 0 ) = (x + x0 , g · g 0 , y + y 0 )
• id : {∗} → G, eX
• inv : G → G, x
(eX ,eG ,eX )
(x,g,y)
/
y
/ eX
7→
−x
(−x,g −1 ,−y)
/ −y
şeklinde tanımlı sürekli fanktorlarla birlikte G = (X, X × G × X) yapısı bir
topolojik grup-grupoiddir.
Örnek 1.4.7. X bir topolojik grup olmak üzere bazı özel şartlar altında π1 (X) bir
topolojik grup-grupoiddir [20, 26, 28].
Tanım 1.4.3. G ve H birer topolojik grup-grupoid ve f0 : G0 → H0 , f1 : G1 → H1
topolojik grupların homomorfizmleri olsunlar. Bu durumda F = (f0 , f1 ) : G → H
şeklinde tanımlı sürekli fanktor topolojik grup-grupoidlerin bir homomorfizmi
adını alır [7]. Böylece TG P G D veya TG RP G PD [28] ile gösterilen topolojik
grup-grupoidlerin kategorisi elde edilir.
1.5.
Çaprazlanmış Modüller ve Topolojik Çaprazlanmış Modüller
Tanım 1.5.1. M ve N iki grup ve ∂ : M → N sınır dönüşümü olarak adlandırılan
bir grup homomorfizmi olsun. N nin M üzerine (sol) etkimesi
ρ : N × M → M,
(n, m) 7→ n • m
ile verilsin. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa (M, N, ∂, •) yapısına (bir grup
üzerinde) bir çaprazlanmış modül (crossed module) denir [21].
36
(i) Her m ∈ M ve n ∈ N için ∂(n • m) = n∂(m)n−1
(equivariance axiom)
(ii) Her m, m1 ∈ M için ∂(m) • m1 = mm1 m−1
(Peiffer identity)
Çaprazlanmış modül şartları değişmeli diyagramlar cinsinden de ifade edilebilir.
ψM , M üzerindeki, ψN de N üzerindeki konjügasyon etkimesini göstermek üzere
M ×M
∂×1M
ρ
ψN
N ×M
1N ×∂
ψM
N ×N
/
M
1M
/
/
M
∂
N
diyagramı değişmeli ise (M, N, ∂, •) bir çaprazlanmış modül olur. Bu yapı bazı
kaynaklarda (M, N, ∂, ρ) veya (M, N, ∂) ile de gösterilir.
Örnek 1.5.1. G bir grup ve N , G nin normal altgrubu olsun. G grubunun N
üzerine konjugasyon etkimesi
G × N → N, (g, n) 7→ g • n = gng −1
ve
∂ : N → G, n 7→ ∂(n) = n
şeklinde tanımlanan grup homomorfizmi ile birlikte (N, G, ∂, •) dörtlüsü bir
çaprazlanmış modül olur. Bu çaprazlanmış modüle konjugasyon çaprazlanmış
modül (conjugation crossed module) denir [21].
Örnek 1.5.2. M bir grup ve M nin fn (m) = nmn−1 şeklinde otomorfizmlerinin
sınıfı Aut(M ) olmak üzere
Aut(M ) × M −→ M
(fn , m) 7−→ fn • m = fn (m) = nmn−1
etkimesi ve
∂ : M −→ Aut(M )
n 7−→ fn
37
grup homomorfizmi ile (M, Aut(M ), ∂) bir çaprazlanmış modüldür.
Bu
çaprazlanmış modüle M nin otomorfizm çaprazlanmış modülü (automorphism
crossed module) denir [21]. Burada
∂(fn • m) = ∂(nmn−1 ) = fnmn−1 = fn fm fn−1 = fn ∂(m)fn−1
ve
∂(n) • m = fn • m = nmn−1
olup etkime şartları sağlanır.
Örnek 1.5.3. M bir abel grubu ve G herhangi bir grup olsun. Bu durumda
herhangi bir ∂ : M → G homomorfizmi ve
G × M −→ M
(g, m) 7−→ g • m = m
aşikar etkimesi ile birlikte (M, G, ∂) üçlüsü bir çaprazlanmış modül olacaktır [21].
Örnek 1.5.4. Her gruptan, grubun kendi üzerine konjugasyon etkimesi ve
1G : G −→ G
g 7−→ g
grup homomorfizmi ile (G, G, 1G ) çaprazlanmış modülü elde edilebilir. Çünkü
1G (g • g1 ) = gg1 g −1 = g1G (g1 )g −1 ve 1G (g) • g1 = g • g1 = gg1 g −1 yazılabilir.
Önerme 1.5.1. (A, B, ∂, .) çaprazlanmış modülü verilsin. Ker∂ = N ve A/N
bölüm grubu olmak üzere (A/N, B, ϕ, •) dörtlüsü
ρ : B × A/N −→ A/N,
(b, a + N ) 7−→ b • (a + N ) = (b . a) + N
etkimesi ve
ϕ : A/N −→ B,
a + N 7−→ ϕ(a + N ) = ∂(a)
dönüşümü ile birlikte bir çaprazlanmış modüldür.
38
İspat: İlk olarak ρ nun bir etkime olduğunu gösterelim.
b• b1 •(a+N ) = b• (b1 .a)+N = b.(b1 .a) +N = (bb1 ).a +N = bb1 •(a+N ),
b • (aa1 ) + N = b . (aa1 ) + N = (b . a) + (b . a1 ) + N
= (b . a) + N + (b . a1 ) + N
= (b • (a + N )) + (b • (a1 + N ))
ve
eB • (a + N ) = (eB . a) + N = a + N
olup ρ bir etkimedir. Diğer taraftan
ϕ(b • (a + N )) = ϕ((b . a) + N ) = ∂(b . a) = b∂(a)b−1 = bϕ(a + N )b−1
ve
ϕ(a + N ) • (a1 + N ) = ∂(a) • (a1 + N ) = (∂(a) . a1 ) + N
= (a + a1 + a−1 ) + N
= (a + N ) + (a1 + N ) + (a + N )−1
olup (A/N, B, ϕ, •) dörtlüsü çaprazlanmış modül şartlarını sağlar.
Tanım 1.5.2. (M, N, ∂) ve (M 0 , N 0 , ∂ 0 ) iki çaprazlanmış modül ve f1 : M → M 0 ,
f2 : N → N 0 iki grup homomorfizmi olmak üzere
(i) f2 ∂ = ∂ 0 f1
(ii) Her n ∈ N ve m ∈ M için f1 (n • m) = f2 (n) •0 f1 (m)
şartlarını sağlayan f = (f1 , f2 ) ikilisine çaprazlanmış modül morfizmi denir [31].
Bir başka ifade ile
N ×M
f2 ×f1
N0 × M0
/M
•
•0
/
∂
f1
M0
/
N
∂0
f2
/ N0
değişmeli diyagramı çaprazlanmış modül morfizmidir ve
< f1 , f2 > : (M, N, ∂) −→ (M 0 , N 0 , ∂ 0 )
39
şeklinde gösterilir.
Böylece objeleri çaprazlanmış modüller, morfizmleri ise çaprazlanmış modül
morfizmleri olan bir kategori oluşturulabilir.
Bu kategoriye çaprazlanmış
modüllerin kategorisi denir [6] ve XM OD ile gösterilir.
Önerme 1.5.2. G bir grup-grupoid, A = Ker s ve B = G0 olsun. Bu durumda t
bitiş dönüşümü olmak üzere ∂ = t|A : A −→ B kısıtlaması ve
B × A −→ A
(x, a) 7−→ x • a = 1x a1−1
x
şeklinde tanımlanan etkime ile (A, B, ∂) üçlüsü bir çaprazlanmış modüldür [6].
İspat:
A = Ker s ve B = G0 birer grup olup, t bitiş dönüşümü bir grup
homomorfizmi olduğundan ∂ = t|A kısıtlaması da bir grup homomorfizmidir.
Şimdi
B × A −→ A
(x, a) 7−→ x • a = 1x a1−1
x
şeklinde tanımlanan işlemin B nin A üzerine bir etkimesi olduğunu gösterelim.
−1 −1
−1 −1
(xx1 ) • a = 1xx1 a1−1
xx1 = 1x 1x1 a1x1 1x = 1x (1x1 a1x1 )1x = x • (x1 • a)
−1
−1
−1
−1
x • (aa1 ) = 1x (aa1 )1−1
x = 1x a(1x 1x )a1 1x = (1x a1x )(1x a1 1x ) = (x • a)(x • a1 )
ve
1e • a = 1−1
e a1e = a
olup etkime şartları sağlanır. Diğer taraftan
−1
−1
∂(x • a) = ∂(1x a1−1
x ) = ∂(1x )∂(a)∂(1x ) = ∂(1x )∂(a)∂(1x−1 ) = x∂(a)x
ve Sonuç 1.4.1 den
−1
−1
−1
∂(a) • a1 = 1∂(a) a1 1−1
∂(a) = 1t(a) a1 1t(a) = 1x a1 1x = aa1 a
olur ki böylece (A, B, ∂) üçlüsü bir çaprazlanmış modül olur.
Tersine olarak, bir çaprazlanmış modülden bir grup-grupoid aşağıdaki gibi elde
edilir.
40
Önerme 1.5.3. (A, B, ∂) üçlüsü bir çaprazlanmış modül olsun. Objelerinin grubu
B, morfizmlerinin grubu B n A yarı-direkt çarpımı olmak üzere aşağıdaki yapı
dönüşümleri ile birlikte G = (B, B n A) yapısı bir grup-grupoiddir [6].
(i) başlangıç dönüşümü s : B n A → B, (b, a) 7→ s(b, a) = b
(ii) bitiş dönüşümü t : B n A → B, (b, a) 7→ t(b, a) = ∂(a)b
b
(b,a)
/
∂(a)b
(b, a), (b1 , a1 ) →
7 (b, a) ◦ (b1 , a1 ) = (b, a1 a)
(iii) ◦ : B n A ×B B n A → B n A,
şeklinde tanımlı kısmî bileşke işlemi
b
(b,a)
/
(∂(a)b,a1 )
∂(a)b
/
∂(aO 1 a)b
(b,a1 a)
(iv) birim morfizm dönüşümü ε : B → B n A, b 7→ ε(b) = (b, eA ),
(v) ters eleman dönüşümü η : B n A → B n A, (b, a) 7→ (b, a) = (∂(a)b, a−1 )
(b,a)
(b,eA )
8
b
,
k
∂(a)b
(∂(a)b,a−1 )
Yapı dönüşümleri aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
η
B n A ×B B n A
·
◦
//
s
B nO A
t
//
B
ε
İspat:
İlk olarak yapı dönüşümlerinin birer grup homomorfizmi olduklarını
gösterelim.
(B n A) × (B n A) −→ B n A
(b, a), (b1 , a1 ) 7−→ bb1 , a(b • a1 )
işlemine göre B n A yarı-direkt çarpımı bir grup idi.
s (b, a) · (b1 , a1 ) = s bb1 , a(b • a1 ) = bb1 = s(b, a) · s(b1 , a1 ),
41
t (b, a) · (b1 , a1 ) = t bb1 , a(b • a1 ) = ∂ a(b • a1 ) bb1
= ∂(a)∂(b • a1 )bb1
= ∂(a)b∂(a1 )b−1 bb1
= ∂(a)b∂(a1 )b1
= t(b, a) · t(b1 , a1 )
ε(b)ε(b1 ) = (b, eA ) · (b1 , eA ) = bb1 , eA (b • eA ) = (bb1 , eA eA ) = (bb1 , eA ) = ε(bb1 )
ve (b • a)−1 = b • a−1 eşitliği kullanılarak
η((b, a) · (b1 , a1 )) = η(bb1 , a(b • a1 )) = ∂(a)∂(b • a1 )bb1 , (a(b • a1 ))−1
−1
−1 −1
= ∂(a)b∂(a1 )b bb1 , (b • a1 ) a
−1
−1 −1
= ∂(a)b∂(a1 )b1 , a a(b • a1 ) a
= ∂(a)b∂(a1 )b1 , a−1 (∂(a) • (b • a−1
))
1
= ∂(a)b∂(a1 )b1 , a−1 ((∂(a)b) • a−1
)
1
= ∂(a)b, a−1 · ∂(a1 )b1 , a−1
1
= η(b, a) · η(b1 , a1 )
olup yapı dönüşümleri birer grup homomorfizmidirler. Diğer taraftan
◦ : B n A × B n A −→ B n A
(b, a), (b1 , a1 ) 7−→ (b1 , a1 ) ◦ (b, a) = (b, a1 a)
şeklinde tanımlanan bileşke işleminin yerdeğişim kuralını sağladığını gösterelim.
(b1 , a1 ) ◦ (b, a) · (b3 , a3 ) ◦ (b2 , a2 ) = (b, a1 a) · (b2 , a3 a2 )
= bb2 , a1 a b • (a3 a2 )
=
bb2 , a1 a(b • a3 )(b • a2 )
42
ve b1 = ∂(a)b, b3 = ∂(a2 )b2 eşitlikleri kullanılarak
(b1 , a1 ) · (b3 , a3 ) ◦ (b, a) · (b2 , a2 ) =
=
bb2 , a(b • a2 ) ◦ b1 b3 , a1 (b1 • a3 )
bb2 , (a1 (b1 • a3 )) · (a(b • a2 ))
=
bb2 , (a1 ((∂(a)b) • a3 )) · (a(b • a2 ))
=
bb2 , (a1 ((∂(a) • (b • a3 )))) · (a(b • a2 ))
bb2 , a1 a(b • a3 )a−1 a(b • a2 )
bb2 , a1 a(b • a3 )(b • a2 )
=
=
olduğundan
(b1 , a1 ) ◦ (b, a) · (b3 , a3 ) ◦ (b2 , a2 ) = (b1 , a1 ) · (b3 , a3 ) ◦ (b, a) · (b2 , a2 )
dir. Böylece G bir grup-grupoid olur.
Buraya
kadar
bir
çaprazlanmış
modülden
bir
grup-grupoid
grup-grupoidden de bir çapraz modül elde edilebileceğini gördük.
ve
bir
Şimdi
grup-grupoidlerin kategorisi ile çaprazlanmış modüllerin kategorisinin denk
olduğunu [6] referansında verildiği gibi gösterelim.
Teorem 1.5.1. Grup-grupoidlerin kategorisi G P G D ile çaprazlanmış modüllerin
kategorisi XM OD denk kategorilerdir.
İspat: M = (A, B, ∂) ve M 0 = (A0 , B 0 , ∂ 0 ) iki çaprazlanmış modül, f1 : A −→ A0
ve f2 : B −→ B 0 olacak şekilde < f1 , f2 > çaprazlanmış modül morfizmi olsun.
Buna göre θ(M ) = (B, B n A) olacak şekilde ve morfizmler üzerinde
θ : XM OD −→ G P G D
(f1 , f2 ) 7−→ (f2 × f1 , f2 )
şeklinde tanımlı θ bir fanktordur.
BnA
f2 ×f1
B 0 n A0
//
s
t
s
t
//
B
f2
B0
43
Tersine G = (G0 , G1 ) ve H = (H0 , H1 ) iki grup-grupoid ve f = (f0 , f1 ) : G → H
grup-grupoid morfizmi olsun. Buna göre δ(G) = (Ker s, G0 , t|Ker s ) olacak şekilde
ve morfizmler üzerinde
δ : G P G D −→ XM OD
(f0 , f1 ) 7−→ (f1 |Ker s , f0 )
şeklinde tanımlı δ bir fanktordur.
Ker s
f1 |Ker s
t|Ker s
Ker s
/
G0
/
f0
H0
t|Ker s
Şimdi δθ ' 1XM OD ve θδ ' 1G P G D olduğunu gösterelim. Kategoriler arasındaki
dönüşümler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
GPGD
θδ
1G P G D
//
GPGD
f : G −→ H grup-grupoid morfizmi olmak üzere S : 1G P G D −→ θδ doğal
dönüşümü şu şekilde tanımlanır:
1G P G D (G)
SG
1(f )
1G P G D (H)
θδ(G)
θδ(f )
SH
θδ(H)
Burada SG objeler üzerinde birim, a : x −→ y morfizmi için SG (a) = (x, a1−1
x )
şeklinde tanımlanır. Açıktır ki SG 1-morfizmler üzerinde birebir ve örtendir. SG
nin bileşke işlemlerini ve grup işlemini koruduğunu gösterelim. x
a
/
y
b
/z
olmak üzere
−1
−1
−1
−1
SG (b ◦ a) = SG (b1−1
y a) = (x, b1y a1x ) = (y, b1y ) ◦ (x, a1x ) = SG (b) ◦ SG (a)
ve x
a
/y
ve x1
a1
/
y1 olmak üzere
−1
−1
−1
−1
−1 −1
SG (a)SG (a1 ) = (x, a1−1
x )(x1 , a1 1x1 ) = (xx1 , a1x (x • a1 1x1 )) = (xx1 , a1x (1x a1 1x1 1x ))
= (xx1 , aa1 1−1
xx1 )
= SG (aa1 )
44
olacaktır. Diğer taraftan kategoriler arasındaki dönüşümler
XM OD
δθ
1XM OD
//
XM OD
şeklinde olup, δθ = 1XM OD < f1 , f2 >: M −→ M 0 çaprazlanmış modül morfizmi
için T : 1XM OD −→ δθ doğal dönüşümü şu şekilde tanımlanır:
1XM OD (M )
TM
δθ(M )
1(f1 , f2 )
1XM OD (M 0 )
δθ(f1 , f2 )
TM 0
δθ(M 0 )
Burada TM , B üzerinde birim, A üzerinde ise a 7−→ (eB , a) şeklinde tanımlıdır. O
hâlde kategoriler denktirler.
Tanım 1.5.3. M ve N iki topolojik grup ve ∂ : M → N sürekli grup homomorfizmi
olmak üzere N nin M üzerine sürekli (sol) etkimesi
ρ : N × M → M, (n, m) 7→ n • m
ile verilsin. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa (M, N, ∂, •) yapısına (bir topolojik
grup üzerinde) bir topolojik çaprazlanmış modül (topological crossed module)
denir [7].
(i) Her m ∈ M ve n ∈ N için ∂(n • m) = n∂(m)n−1
(ii) Her m, m1 ∈ M için ∂(m) • m1 = mm1 m−1
Yukarıda verdiğimiz çaprazlanmış modül örnekleri, topolojik gruplarla birlikte
birer topolojik çaprazlanmış modül örnekleri olarak elde edilebilirler.
Tanım 1.5.4. (M, N, ∂) ve (M 0 , N 0 , ∂ 0 ) iki topolojik çaprazlanmış modül ve
f1 : M → M 0 , f2 : N → N 0 sürekli grup homomorfizmleri olmak üzere < f1 , f2 >
çaprazlanmış modül morfizmine bir topolojik çaprazlanmış modül morfizmi
denir [7].
45
Böylece objeleri topolojik çaprazlanmış modüller, morfizmleri ise topolojik
çaprazlanmış modül morfizmleri olan bir kategori oluşturulabilir. Bu kategoriye
topolojik çaprazlanmış modüllerin kategorisi denir ve TXM OD ile gösterilir.
Önerme 1.5.4. G bir topolojik grup-grupoid, A = Ker s ⊂ G1 ve B = G0 alalım.
Bu durumda t sürekli bitiş dönüşümünün kısıtlaması olan ∂ = t |A : A −→ B ve
ρ : B × A −→ A
(x, a) 7−→ x • a = 1x a1−1
x
şeklinde tanımlanan sürekli etkime ile (A, B, ∂) üçlüsü bir topolojik çaprazlanmış
modüldür [7].
İspat:
A ve B topolojik gruplar olup, bitiş dönüşümü t sürekli grup
homomorfizmi olduğundan kısıtlaması olan ∂ = t |A : A −→ B dönüşümü de
sürekli grup homomorfizmidir. Diğer taraftan ε : G0 → G1 ,
x 7→ 1x birim
morfizm dönüşümü sürekli grup homomorfizmi olup
ρ
B×A
(x, a)
(ε × 1A )
B×A
(1x , a)
f1 x
A
1x a1x −1
şeklinde B nin A üzerine etkimesi, Sonuç 1.1.1 den f1x sürekli olduğundan
süreklidir.
Şimdi tersine bir topolojik çaprazlanmış modülden bir topolojik grup-grupoid
elde edelim.
Önerme 1.5.5. (A, B, ∂) bir topolojik çaprazlanmış modül olsun.
Objelerin
topolojik grubu B ve morfizmlerin topolojik grubu B n A yarı-direkt çarpımı
olmak üzere aşağıdaki sürekli yapı dönüşümleri ile birlikte G = (B, B n A) yapısı
bir topolojik grup-grupoiddir [7].
(i) başlangıç dönüşümü s : B n A → B, (b, a) 7→ s(b, a) = b
46
(ii) bitiş dönüşümü t : B n A → B, (b, a) 7→ t(b, a) = ∂(a)b
(iii) ◦ : B n A ×B B n A → B n A,
(b, a), (b1 , a1 ) →
7 (b, a) ◦ (b1 , a1 ) = (b, a1 a)
şeklinde tanımlı kısmî bileşke işlemi
(iv) birim morfizm dönüşümü ε : B → B n A, b 7→ ε(b) = (b, eA ),
(v) ters eleman dönüşümü η : B n A → B n A, (b, a) 7→ (b, a) = (∂(a)b, a−1 )
İspat:
Yapı dönüşümlerinin ve bileşke işleminin sürekli olduğunu göstermek
yeterlidir.
Başlangıç dönüşümü s birinci izdüşüm fonksiyonu olduğundan
süreklidir. Bitiş dönüşümü t
t
BnA
(b, a)
(1B × ∂)
BnB
b, ∂(a)
cB
BnB
∂(a), b
mB
B
∂(a)b
sürekli fonksiyonların bileşkesi olup süreklidir. Birim morfizm dönüşümü ε
birim ve sabit fonksiyonlardan oluşup süreklidir. Bileşke işleminin sürekliliği
birinci izdüşüm fonksiyonunun ve grup işleminin sürekliliğinden gelir. Ters
morfizm dönüşümünün sürekliliği ise sınır dönüşümü ve topolojik grup
işlemlerinin sürekliliğinden gelir.
Buraya kadar bir topolojik çaprazlanmış modülden bir topolojik grup-grupoid
ve bir topolojik grup-grupoidden de bir topolojik çaprazlanmış modül elde
edildi. Şimdi topolojik grup-grupoidlerin kategorisi ile topolojik çaprazlanmış
modüllerin kategorisinin birbirine denk olduğunu gösterelim.
Teorem 1.5.2. Topolojik grup-grupoidlerin kategorisi TG P G D ile topolojik
çaprazlanmış modüllerin kategorisi TXM OD denk kategorilerdir [7].
İspat:
M = (A, B, ∂) ve M 0 = (A0 , B 0 , ∂ 0 ) iki topolojik çaprazlanmış modül,
f1 : A −→ A0 ve f2 : B −→ B 0 olacak şekilde (f1 , f2 ) topolojik çaprazlanmış modül
47
morfizmi olsun. Buna göre θ(M ) = (B, B n A) olacak şekilde ve morfizmler
üzerinde
θ : TXM OD −→ TG P G D
(f1 , f2 ) 7−→ (f2 × f1 , f2 )
şeklinde tanımlı θ bir fanktordur. Tersine G = (G0 , G1 ) ve H = (H0 , H1 ) iki
topolojik grup-grupoid ve f = (f0 , f1 ) : G → H bir topolojik grup-grupoid
morfizmi olsun. Buna göre δ(G) = (Ker s, G0 , t|Ker s ) olacak şekilde ve morfizmler
üzerinde
δ : TG P G D −→ TXM OD
(f0 , f1 ) 7−→ (f1 |Ker s , f0 )
şeklinde tanımlı δ bir fanktordur. Şimdi δθ ' 1TXM OD ve θδ ' 1TG P G D olduğunu
gösterelim. Kategoriler arasındaki dönüşümler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
TG P G D
θδ
//
1TG P G D
TG P G D
f : G −→ H topolojik grup-grupoid morfizmi olmak üzere S : 1TG P G D −→ θδ
doğal dönüşümü şu şekilde tanımlanır:
1TG P G D (G)
SG
θδ(G)
1(f )
θδ(f )
1TG P G D (H)
SH
θδ(H)
Burada SG objeler üzerinde birim, a : x −→ y morfizmi için SG (a) = (x, a1−1
x )
şeklinde tanımlanır.
x
a
/
y 7→ x
(x,a1−1
x )
/
y
Açıktır ki SG 1-morfizmler üzerinde birebir ve örten olup bileşke işlemlerini ve
grup işlemini korur. O hâlde kategoriler denktir.
2. BÖLÜM
GRUP-2-GRUPOİDLER
Bu bölümde önce 2-kategori, 2-grupoid tanımları yapılacak ve grup-2-grupoidler,
2-grupoidlerin kategorisinde bir grup obje olarak elde edilecektir. İlk bölümde
verilen grup-grupoidler, Baez’in [2] referansında ele aldığı gibi tek objeli
2-kategoriler olarak elde edilip çaprazlanmış modüllere denkliği incelenecektir.
Grup-2-grupoidlerin denk olduğu cebirsel yapılar olarak 2G-çaprazlanmış
modül tanımı yapılacak ve kategorilerinin denkliği gösterilecektir. Ayrıca iç
kategori yapısına benzer olarak iç 2-kategori yapısı tanımlanarak, grupların
kategorisindeki iç 2-kategorilerin birer grup-2-grupoid yapısı oluşturduğu ispat
edilecektir. Bu bölümde elde edilen sonuçlar [33] referansında verilmiştir.
2.1.
2-Kategori ve 2-Grupoidler
2-kategori tanımını [2] deki gibi verelim:
Tanım 2.1.1. x, y, z, ... objelerinin sınıfı C0 , x
f
/y
g
/
z şeklinde objeler
arasında 1-morfizm olarak adlandırılan morfizmlerin sınıfı C1 ve 1-morfizmler
objeler gibi düşünüldüğünde
f
x
α
(
6y
g
şeklinde 2-morfizm olarak adlandırılan morfizmlerin sınıfı C2 olmak üzere
aşağıdaki yapı dönüşümleri ve bileşke işlemleri ile birlikte C = (C0 , C1 , C2 )
yapısına bir 2-kategori (strict 2-category) denir.
(i) s : C1 → C0 , s(f ) = x, sh : C2 → C0 , sh (α) = x, sv : C2 → C1 , sv (α) = f,
şeklinde tanımlı başlangıç dönüşümleri,
49
(ii) t : C1 → C0 , t(f ) = y, th : C2 → C0 , th (α) = y, tv : C2 → C1 , tv (α) = g,
şeklinde tanımlı bitiş dönüşümleri,
(iii) 1-morfizmler arasında bilinen kategorilerde olduğu gibi tanımlı kısmî
bileşke işlemi,
(iv) C2 ×C0 C2 = {(β, α) ∈ C2 × C2 | th (α) = sh (β)} olmak üzere birleşimli olacak
şekilde 2-morfizmler arasında ◦h : C2 ×C0 C2 → C2 şeklinde tanımlı yatay
bileşke işlemi (horizontal composition),
f
x
f1
(
6y
α
6z
β
g
f1 ◦f
(
=
(
β◦h α 6 z
x
g1 ◦g
g1
(v) C2 ×C1 C2 = {(δ, α) ∈ C2 × C2 | tv (α) = sv (δ)} olmak üzere birleşimli olacak
şekilde 2-morfizmler arasında ◦v : C2 ×C1 C2 → C2 şeklinde tanımlı dikey
bileşke işlemi (vertical composition),
f
α
g
x
/
δ
f
!
<y
=
(
δ◦v α 6 y
x
h
h
(vi) her objeyi f ◦ 1x = f = 1y ◦ f ve s ◦ ε = t ◦ ε = 1C0 şartları sağlanacak şekilde
birim 1-morfizmine dönüştüren ve birim morfizm dönüşümü (identity
map) olarak adlandırılan ε : C0 → C1 , ε(x) = 1x , ε(y) = 1y dönüşümü,
9x
1x
f
/
ye
1y
(vii) her bir objeyi α ◦h 11x = α = 11y ◦h α ve sh ◦ εh = th ◦ εh = 1C0 şartı sağlanacak
şekilde birim 2-morfizmine dönüştüren ve yatay birim morfizm dönüşümü
olarak adlandırılan εh : C0 → C2 , εh (x) = 11x , εh (y) = 11y dönüşümü,
1x
x
1x
11x
f
(
6x
α
f0
1y
(
6y
11y
(
6y
1y
(viii) her bir 1-morfizmi α ◦v 1f = α = 1g ◦v α ve sv ◦ εv = tv ◦ εv = 1C1
şartı sağlanacak şekilde birim 2-morfizmine dönüştüren ve düşey birim
50
morfizm dönüşümü olarak adlandırılan εv : C1 → C2 , εv (f ) = 1f , εv (g) = 1g
dönüşümü.
f
x
f
1f
f
α
/
f
!
<y
=
x
(
6y
α
=
x
g
g
α
g
1g
/
!
<y
g
Bir 2-kategoride yapı dönüşümlerinin oluşturduğu aşağıdaki diyagram
değişmeli olmalıdır:
εh
r
sh
C2
T
tv
εv
// C
EE 0
th
t
sv
s
ε
C1
Aynı zamanda birer fanktor olan yatay ve düşey bileşke işlemleri arasında
aşağıdaki gibi tanımlı yerdeğişim kuralı sağlanmalıdır:
(θ ◦v β) ◦h (δ ◦v α) = (θ ◦h δ) ◦v (β ◦h α).
f
f1
α
x
/
g
δ
!
<y
β
g1
θ
/
!
<z
h1
h
2-kategori yapısını oluşturan dönüşümler ve bileşke işlemleri aşağıdaki şekilde
gösterilebilirler.
◦
C1 ×C0 C1
/
I CO 1O
ε v sv
C2 ×C1 C2
◦v
/
t
tv
C2
ε
s
t
//
CO 0O U
sh
th εh
C2 o
◦h
C2 ×C0 C2
Örnek 2.1.1. (Zn , ·) monoid (veya grup) olmak üzere C0 = Zn , C1 = Zn × Z ve
C2 = Zn × Z × Z olacak şekilde bir C 2-kategorisi şu şekilde tanımlanır. k ∈ Z
için (x, y) ve (x, y + kn) ikilileri x den xy ye 1-morfizmler, (x, y, y + kn) üçlüsü ise
(x, y) den (x, y + kn) ye 2-morfizm olarak ele alınsın.
(x,y)
x
(x,y,y+kn)
(x,y+kn)
3+ xy
51
Bileşke işlemleri, k, k1 ∈ Z için
(xy, z) ◦ (x, y) = (x, yz),
(x, y + kn, y + k1 n) ◦v (x, y, y + kn) = (x, y, y + k1 n)
ve
(xy, z, z + k1 n) ◦h (x, y, y + kn) = x, yz, yz + (kz + k1 y + kk1 n)n
şeklinde tanımlanmak üzere bir x ∈ C0 için 1x = (x, 1) ve 11x = (x, 1, 1) ve (x, y)
1-morfizmi için 1(x,y) = (x, y, y) şeklinde tanımlanır.
Örnek 2.1.2. Yukarıdaki örnekte C0 = Z6 alınsın. 0, 1 ve 3 objeleri arasında
(1,3)
1
*4
(1,3,9)
(3,2)
3
(3,2,8)
(1,9)
*4
0
(3,8)
şeklinde verilen 1-morfizmler ve 2-morfizmler için 1-morfizmler arasındaki
bileşke işlemi
(3, 2) ◦ (1, 3) = (1, 6),
(3, 8) ◦ (1, 9) = (1, 72)
ve 2-morfizmler arasındaki yatay bileşke işlemi
(3, 2, 8) ◦h (1, 3, 9) = (1, 6, 72)
şeklinde olacaktır.
(1,3)
1
(1,3,9)
*4
(3,2)
3
(1,9)
(3,2,8)
*4
(1,6)
0 = 1
(3,8)
(1,72)
Dikey bileşke işlemi ise
(1,3)
1
(1,3,9)
(1,9)
(1,9,15)
(1,6,72)
/ '7 3
(1,15)
şeklinde verilen 2-morfizmler için
(1, 9, 15) ◦v (1, 3, 9) = (1, 3, 15)
*4
0
52
şeklinde olacaktır.
(1,3)
1
(1,3,9)
(1,9)
(1,9,15)
/ '7 3
(1,3)
= 1
(1,3,15)
*4
3
(1,15)
(1,15)
Herhangi bir z ∈ Z6 için birim 1-morfizm (z, 1), birim 2-morfizm ise (z, 1, 1) dir.
Herhangi bir (z, z1 ) 1-morfizmi için birim 2-morfizm (z, z1 , z1 ) dir.
Örnek 2.1.3. Objeleri topolojik uzaylar, morfizmleri sürekli fonksiyonlar
ve 2-morfizmleri sürekli fonksiyonlar arasındaki homotopiler olan T OP bir
2-kategoridir [32]. Bu 2-kategoride bileşke işlemleri şu şekilde tanımlanır. X, Y, Z
topolojik uzaylar, f, f1 , f2 : X → Y ve g, g1 , g2 : Y → Z sürekli fonksiyonlar ve
F : f ' f1 , F1 : f1 ' f2 , G : g ' g1 , G1 : g1 ' g2 aşağıdaki şekilde gösterilen
homotopiler olsunlar.
g
f
F
X
f1
F1
/
#
;Y
#
G
g1
G1
/Z
<
g2
f2
2-morfizmler olarak ele alınan homotopilerin yatay bileşkeleri Önerme 1.1.11 den
G ◦h F : g ◦ f ' g1 ◦ f1
şeklinde, dikey bileşkeleri ise
F 1 ◦v F =


F (x, 2t)
06t6


1
2
F1 (x, 1 − 2t)
1
2
6t61
şeklinde tanımlanır.
Örnek 2.1.4. Objeleri kategoriler, 1-morfizmleri kategoriler arasındaki fanktorlar
ve 2-morfizmleri ise doğal dönüşümler olan kategorilerin kategorisi C AT bir
2-kategoridir [32]. Bu 2-kategoride 2-morfizmler arasındaki yatay bileşke şu
şekilde tanımlanır: C, D ve E birer kategori, F, G : C → D ve F1 , G1 : D → E
birer fanktor ve S : F → G ve P : F1 → G1 doğal dönüşümler olmak üzere S
ile P doğal dönüşümlerinin yatay bileşkesi (P ◦h S)A = G1 (SA ) ◦ PF (A) ve benzer
biçimde (P ◦h S)B = G1 (SB ) ◦ PF (B) olmak üzere
53
olup P ◦h S : F1 ◦ F → G1 ◦ G bir doğal dönüşümdür [34] (Bu bileşke "Godement
Product" olarak adlandırılır).
Diğer taraftan S : F → G ve T : G → H
doğal dönüşümler olmak üzere 2-morfizmler olarak ele alınan S ile T doğal
dönüşümlerinin dikey bileşkesi ise (T ◦v S)A = TA ◦ SA ve benzer biçimde
(T ◦v S)B = TB ◦ SB olmak üzere aşağıdaki gibi gösterilebilir.
54
O hâlde T ◦v S : F → H bir doğal dönüşümdür [34].
Örnek 2.1.5. Her bir kategori, 2-morfizmleri birim 2-morfizmler olan bir
2-kategori olarak düşünülebilir [14].
Tanım 2.1.2. C ve D birer 2-kategori olsunlar. Eğer F : C −→ D dönüşümü
objeleri objelere, 1-morfizmleri yine 1-morfizmlere ve 2-morfizmleri de aynı yapı
ile 2-morfizmlere dönüştürüyorsa bir 2-fanktor adını alır [14, 32].
Bu tanıma göre bir C 2-kategorisinde f, g : x → y 1-morfizmler ve α : f → g
bir 2-morfizm olmak üzere, F : C → D bir 2-fanktor ise, bu durumda D
2-kategorisinde F (f ), F (g) : F (x) → F (y) 1-morfizmler ve F (α) : F (f ) → F (g)
şeklinde bir 2-morfizm olacaktır.
f
x
g
α
)5
F (f )
y 7→ F (x)
F (α)
+
3 F (y)
F (g)
O hâlde bir 2-fanktor aşağıdaki özelliklere sahiptir [32]:
(i) her f : x → y ve g : y → z 1-morfizmleri için F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f )
(ii) her α : f1 → f2 ve β : f2 → f3 2-morfizmleri için F (β ◦v α) = F (β) ◦v F (α)
(iii) her f1 , f2 : x → y ve g1 , g2 : y → z 1-morfizmleri için α : f1 → f2 ve
δ : g1 → g2 2-morfizmler olmak üzere F (δ ◦h α) = F (δ) ◦h F (α)
(iv) F (1f ) = 1F (f ) ve F (11x ) = 1F (1x ) = 11F (x)
55
2-fanktorların bileşkeleri yine bir 2-fanktor olup, objeleri küçük 2-kategoriler,
morfizmleri ise 2-fanktorlar olan ve 2C AT ile gösterilen 2-kategorilerin
kategorisi elde edilir [14].
2-fanktorlar arasındaki doğal dönüşümler aşağıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 2.1.3. C ve D birer kategori ve F, G : C → D 2-fanktorlar olsun. C nin
her A ∈ C0 objesini D nin bir SA : F (A) → G(A) morfizmine dönüştüren bir
f
S : C0 → D1 dönüşümü verilsin. Eğer C nin her bir A
için D kategorisinde
F (f )
F (A)
+
F (α) 3
α
)
5B
morfizmleri
g
F (B)
F (g)
SA
SB
+
G(α) 3 G(B)
G(f )
G(A)
G(g)
diyagramı değişmeli oluyorsa S ye 2-fanktorlar arası 2-doğal dönüşüm
(2-transformation between 2-functors) denir ve S : F ⇒ G olarak gösterilir [14].
Tanım 2.1.4. G0 objelerin sınıfı, G1 tüm 1-morfizmlerin sınıfı ve G2 tüm
2-morfizmlerin sınıfı olmak üzere G = (G0 , G1 , G2 ) 2-kategorisi aşağıdaki şekilde
tanımlı dönüşümlerle birlikte bir 2-grupoid (2-groupoid) adını alır [14].
(i) a ◦ a = 1x , a ◦ a = 1y şartını sağlamak üzere η : G1 → G1 , η(a) = a,
(ii) αh ◦ α = 11x , α ◦ αh = 11y şartını sağlamak üzere ηh : G2 → G2 , ηh (α) = αh ,
f
x
f
(
6y
α
g
αh
(
6x
1x
=
x
11x
g
(
6x
1x
(iii) αv ◦v α = 1f , α ◦v αv = 1g şartını sağlamak üzere ηv : G2 → G2 , ηv (α) = αv
f
x
α
g
f
ᾱv
/%9 y
f
=
x
1f
f
*4
y
56
2-grupoid yapısını oluşturan dönüşümler şu şekilde gösterilebilir:
η
G1 ×G0 G1
◦
/
I GO O1
εv sv
G2 ×G1 G2
◦v
t
tv
ε
s
t
//
GO O0 U
sh
th εh
/ G2
G
o
G
G 2
ηv
ηh
◦h
G2 ×G0 G2
Kısaca, her bir 1-morfizminin tersi ve her bir 2-morfizminin hem yatay hem düşey
tersi mevcut olan 2-kategoriye bir 2-grupoid denir. x, y ∈ G0 için x den y ye
tüm 1-morfizmlerin sınıfı G(x, y), x den y ye tüm 2-morfizmlerin sınıfı G0 (x, y) ve
a, b ∈ G1 için a dan b ye tüm 2-morfizmlerin sınıfı G(a, b) ile gösterilir.
Önerme 2.1.1. Bir G 2-grupoidinde bir α ∈ G0 (x, y) için aşağıdaki ifadeler
geçerlidir.
(i) Her x ∈ G0 için 11x birim morfizmi tektir.
(ii) Her α ∈ G2 morfizmi için αh tektir.
(iii) β ◦h α = α ise β = 11y dir.
(iv) α ◦h θ = α ise θ = 11x dir.
(v) β ◦h α = 11x ise β = αh dır.
(vi) α ◦h θ = 11y ise θ = αh dır.
Önerme 2.1.2. Bir G 2-grupoidinde bir α ∈ G(f, g) için aşağıdaki ifadeler
geçerlidir.
(i) Her f ∈ G1 için 1f birim morfizmi tektir.
(ii) Her α ∈ G2 morfizmi için αv tektir.
(iii) β ◦v α = α ise β = 1g dir.
(iv) α ◦v θ = α ise θ = 1f dir.
(v) β ◦v α = 1f ise β = αv dir.
57
(vi) α ◦v θ = 1g ise θ = αv dir.
Örnek 2.1.6. X herhangi bir cümle ve G bir grup olmak üzere x, y, z ∈ X ve
g1 , g2 , g3 , h1 , h2 , h3 ∈ G için (x, g1 , y), (x, g2 , y) üçlüleri x den y ye birer morfizm
olarak ele alınsın. (x, g1 , g2 , y) dörtlüsü ise (x, g1 , y) den (x, g2 , y) ye 2-morfizm
olarak tanımlansın.
(x,g1 ,y)
+
(x,g1 ,g2 ,y) 3 y
x
(x,g2 ,y)
Bu durumda
s(x, g1 , y) = x, sh (x, g1 , g2 , y) = x, sv (x, g1 , g2 , y) = (x, g1 , y)
şeklinde tanımlı başlangıç dönüşümleri,
t(x, g1 , y) = y, th (x, g1 , g2 , y) = y, tv (x, g1 , g2 , y) = (x, g2 , y),
şeklinde tanımlı bitiş dönüşümleri,
(y, h1 , z) ◦ (x, g1 , y) = (x, h1 g1 , z), (y, h1 , h2 , z) ◦h (x, g1 , g2 , y) = (x, h1 g1 , h2 g2 , z)
(x,g1 ,y)
x
(x,g1 ,g2 ,y)
(x,g2 ,y)
+3 y
(y,h1 ,y)
(y,h1 ,h2 ,z)
+3
(x,h1 g1 ,z)
z = x
(y,h2 ,y)
(x,h1 g1 ,h2 g2 ,z)
,2
z
(x,h2 g2 ,z)
ve
(x, g2 , g3 , y) ◦v (x, g1 , g2 , y) = (x, g1 , g3 , y)
şeklinde tanımlı bileşke işlemlerine göre
ε(x) = (x, e, x), εh (x) = (x, e, e, x), εv (x, g, x) = (x, g, g, x)
şeklinde tanımlı birim morfizm dönüşümleri ve
η(x, g, y) = (y, g −1 , x), ηh (x, g1 , g2 , y) = (y, g1−1 , g2−1 , x), ηv (x, g1 , g2 , y) = (x, g2 , g1 , y)
biçiminde tanımlı ters morfizm dönüşümleri ile birlikte
G = (X, X × G × X, X × G × G × X)
bir 2-grupoid olacaktır. Bu 2-grupoid aşikâr 2-grupoid olarak adlandırılır.
58
Örnek 2.1.7. G0 = Zn , G1 = Zn × Z ve G2 = Zn × Z × Z olmak üzere bir G
2-grupoidi şu şekilde tanımlanır. k ∈ Z için (x, y) ve (x, y + kn) ikilileri x den
x + y ye 1-morfizmler, (x, y, y + kn) ise (x, y) den (x, y + kn) ye 2-morfizm olarak
ele alınsın. Buna göre
(x,y)
x
(x+y,z)
-
1x+y
(x,y,y+kn)
(x+y,z,z+k1 n)
(x,y+kn)
1
-
x+y+z
(x+y,z+k1 n)
şeklinde verilen 1-morfizmler ve 2-morizmler için 1-morfizmler arasındaki
bileşke işlemi
(x + y, z) ◦ (x, y) = (x, y + z)
ve 2-morfizmler arasındaki yatay bileşke işlemi
(x + y, z, z + k1 n) ◦h (x, y, y + kn) = x, y + z, y + z + (k + k1 )n
şeklinde tanımlansın. Dikey bileşke ise
(x,y)
(x,y,y+kn)
(x,y+kn)
0
(x,y+kn,y+k n)
x
/
*
4x+y
(x,y+k0 n)
şeklinde verilen 2-morfizmler için
(x, y + kn, y + k 0 n) ◦v (x, y, y + kn) = (x, y, y + k 0 n)
şeklinde tanımlansın. Buna göre bir x ∈ G0 için 1x = (x, 0) ve 11x = (x, 0, 0) ve bir
(x, y) 1-morfizmi için 1(x,y) = (x, y, y) şeklinde tanımlanır. Bir (x, y) morfizminin ◦
işlemi altında tersi (x, y) = (x + y, −y) biçiminde, bir (x, y, y + kn) 2-morfizminin
h
◦h işlemi altında tersi (x, y, y + kn) = (x + y, −y, −y − kn) biçiminde ve ◦v işlemi
v
altında tersi ise (x, y, y + kn) = (x, y + kn, y) biçiminde tanımlanır.
Örnek 2.1.8. Yukarıdaki örnekte G0 = Z5 alınsın. 1, 3 ve 4 objeleri arasında
(1,2)
1
(1,2,7)
*4
(3,1)
3
(1,7)
(3,1,6)
*4
4
(3,6)
şeklinde verilen 1-morfizmler ve 2-morfizmler için 1-morfizmler arasındaki
bileşke işlemi
(3, 1) ◦ (1, 2) = (1, 3) ,
(3, 6) ◦ (1, 7) = (1, 13)
59
ve 2-morfizmler arasındaki yatay bileşke işlemi
(3, 1, 6) ◦h (1, 2, 7) = (1, 3, 13)
şeklinde olacaktır.
(1,2)
1
(1,2,7)
*4
(3,1)
3
(1,7)
(3,1,6)
*4
(1,3)
4 = 1
(1,3,13)
(3,6)
*4
4
(1,13)
Dikey bileşke ise
(1,2)
(1,2,7)
(1,7)
(1,7,12)
1
/ '7 3
(1,12)
şeklinde verilen 2-morfizmler için
(1, 7, 12) ◦v (1, 2, 7) = (1, 2, 12)
şeklinde olacaktır.
(1,2)
1
(1,2,7)
(1,7)
(1,7,12)
/ 7' 3
(1,2)
= 1
(1,2,12)
+3 3
(1,12)
(1,12)
(1, 2) 1-morfizminin tersi (3, −2), (1, 7) 1-morfizminin tersi ise (3, −7) ve (1, 2, 7)
2-morfizminin yatay tersi (3, −2, −7), dikey tersi ise (1, 7, 2) olacaktır. Herhangi
bir n ∈ Z5 için birim 1-morfizm (n, 0), birim 2-morfizm ise (n, 0, 0) dır.
Tanım 2.1.5. G ve H birer 2-grupoid olmak üzere eğer G ve H ın 2-kategorileri
üzerinde F : G −→ H bir 2-fanktor ise F ye bir 2-grupoid morfizmi denir [14].
Buna göre objeleri tüm 2-grupoidler ve morfizmleri ise 2-grupoidler arasındaki
2-fanktorlar olan bir kategori elde edilir. Bu kategoriye 2-grupoidlerin kategorisi
denir ve 2G PD ile gösterilir [14].
Önerme 2.1.3. G ve H birer 2-grupoid ve F : G −→ H bir 2-grupoid morfizmi
h
v
olsun. Bu durumda her α ∈ G2 için F (αh ) = F (α) ve α ∈ G2 için F (αv ) = F (α)
dir
60
İspat: Herhangi bir α 2-morfizmi için
F (αh ) ◦h F (α) = F (αh ◦h α) = F (1sh (α) ) = 1F (sh (α))
ve
F (α) ◦h F (αh ) = F (α ◦h αh ) = F (1th (α) ) = 1F (th (α))
h
v
olup F (αh ) = F (α) dir. Benzer şekilde F (αv ) = F (α) olduğu gösterilebilir.
Lemma 2.1.1. G bir 2-grupoid, C bir 2-kategori ve F : G → C bir 2-fanktor olsun.
Eğer F tüm morfizmler üzerinde örten ise C bir 2-grupoiddir.
İspat:
F 2-fanktoru morfizmler üzerinde örten ise herhangi bir α ∈ C 0 (x, y)
morfizmi için F (β) = α olacak şekilde bir β ∈ G0 (f, g) morfizmi vardır. G bir
2-grupoid olduğundan β nın yatay tersi mevcut olup
h
h
h
F (β ◦h β ) = F (β) ◦h F (β ) = α ◦h F (β) = 11y
ve
h
h
h
F (β ◦h β) = F (β ) ◦h F (β) = F (β) ◦h α = 11x
olduğundan her 2-morfizmin C de yatay tersi mevcuttur.
Benzer yolla her
2-morfizmin dikey tersinin de C de mevcut olduğu gösterilebilir. O hâlde C bir
2-grupoiddir.
İki 2-grupoidin kartezyen çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 2.1.6. G ve H 2-grupoidler olmak üzere G × H çarpımı objelerinin sınıfı
G0 × H0 , 1-morfizmlerinin sınıfı G1 × H1 ve 2-morfizmlerinin sınıfı G2 × H2 olan
bir 2-grupoiddir.
g1
x
α
g2
h1
)
5 x1
, y
β
(g1 ,h1 )
)
5 y1
h2
⇒
,
(α,β) 2 (x1 , y1 )
(x, y)
(g2 ,h2 )
Burada (g, h), (g1 , h1 ) ∈ G1 × H1 olmak üzere 1-morfizmlerin bileşkesi
(g1 , h1 ) ◦ (g, h) = (g1 ◦ g, h1 ◦ h)
şeklinde, 2-morfizmlerin yatay bileşkesi
(α1 , β1 ) ◦h (α, β) = (α1 ◦h α, β1 ◦h β)
61
ve dikey bileşkeleri ise
(θ, δ) ◦v (α, β) = (θ ◦v α, δ ◦v β)
şeklinde tanımlıdır.
Bir (g, h) 1-morfizminin tersi (g, h) = (g, h), bir (α, β)
h
h
= (αh , β ) ve dikey tersi (α, β)
2-morfizminin yatay tersi (α, β)
v
v
= (αv , β )
şeklinde tanımlıdır. Herhangi bir (x, y) ∈ G0 × H0 için birim 1-morfizm 1(x,y) =
(1x , 1y ) ve birim 2-morfizm 11(x,y) = (11x , 11y ) şeklinde, (g, h) ∈ G1 × H1 için birim
2-morfizm 1(g,h) = (1g , 1h ) şeklinde tanımlıdır.
Önerme 2.1.4. Herhangi bir G = (G0 , G1 , G2 ) 2-groupoidi verildiğinde, G
nin objelerinin sınıfı ile 1-morfizmlerinin sınıfı G1
=
(G0 , G1 , s, t, ε, η, ◦)
grupoidini, G nin 1-morfizmlerinin sınıfı ile 2-morfizmlerinin sınıfı ise G3 =
(G1 , G2 , sv , tv , εv , ηv , ◦v ) grupoidini oluştururlar [15].
Benzer biçimde G nin
objelerinin sınıfı ile 2-morfizmlerinin sınıfı G2
(G0 , G2 , sh , th , εh , ηh , ◦h )
=
grupoidini oluştururlar.
Herhangi bir kategori içindeki iç kategoriler bir 2-kategori yapısı oluşturabilirler.
Böylece iç 2-kategori kavramı ortaya çıkar.
Önerme 2.1.5. C herhangi bir kategori, A, B, C ∈ C0 ve D1 = (B, A, s1 , t1 , e1 , m1 ),
D2 = (B, C, s2 , t2 , e2 , m2 ), D3 = (A, C, s3 , t3 , e3 , m3 ) yapıları C içinde iç kategoriler
olsunlar. Eğer
e2
s
S
s2
C
e3
// F B
F
t2
s3
t1
t3
s1
e1
A
diyagramı değişmeli ve C ∗ C ∗ C ∗ C = {(c1 , c2 , c3 , c4 ) ∈ C × C × C × C : t3 (c2 ) =
s3 (c1 ), t3 (c4 ) = s3 (c3 ), t2 (c3 ) = s2 (c1 ), t2 (c4 ) = s2 (c2 )}
a1
b1
c4
a2
c3
a3
&
a4
/
8 b2
c2
a5
c1
a6
&
/
8 b3
62
olmak üzere
C ∗C ∗C ∗C o
m2 ×m2
C ∗C
m2
1C ×c×1C
/Co
/
C ∗C ∗C ∗C
m3
m3 ×m3
C ∗C
diyagramı değişmeli ise D = (B, A, C) üçlüsü 2-kategori şartlarını sağlar. Bu
2-kategori C içinde bir iç 2-kategori (internal 2-category) olarak adlandırılır.
İspat:
Açıktır ki D objelerinin sınıfı B, 1-morfizmlerinin sınıfı A ve
2-morfizmlerinin sınıfı C olan; 1-morfizmlerin bileşke işlemi m1 , 2-morfizmlerin
yatay bileşke işlemi m2 ve dikey bileşke işlemi m3 olan bir 2-kategoridir. Bu
2-kategoride yatay ve düşey bileşke arasındaki yerdeğişim kuralı yukarıda
verilen diyagramla mevcuttur.
2.2.
2-Kategoriler Olarak Grup-Grupoidler
Bir grup-grupoidin grup aksiyomları sağlanacak şekilde grup işlemi ile
donanmış bir kategori olduğunu biliyoruz. Ancak bir grup-grupoid için daha
kuvvetli bir yaklaşım, grup-grupoidi özel bir çeşit 2-kategori olarak düşünmektir.
Her grubun tek objeli bir kategori olabileceğini göstermiştik. Bu kısımda her
2-grup (grup-grupoid), [2] referansında gösterildiği gibi tek objeli bir 2-kategori
olarak ele alınıp çaprazlanmış modüllere denkliği incelenecektir.
G bir 2-grupoid olmak üzere herhangi bir x ∈ G0 objesi için x den x e tüm
1-morfizmlerin sınıfının 1-morfizmlerin bileşke işlemiyle birlikte (G(x), ◦) obje
grubunu oluşturduğunu Önerme 1.2.3 den biliyoruz.
Benzer şekilde yatay
bileşke işleminin oluşturduğu grup aşağıdaki önermede verilmiştir.
Önerme 2.2.1. G bir 2-grupoid olsun. Herhangi bir x ∈ G0 objesi için x den x e
tüm 2-morfizmlerin sınıfı G0 (x, x) = {αsh (α) = th (α)} olmak üzere
G0 (x) = {αα ∈ G0 (x, x)}
ile gösterilsin.
Buna göre 2-morfizmlerin yatay bileşke işlemiyle birlikte
(G0 (x), ◦h ) bir gruptur [5]. Bu gruba x noktasındaki 2-morfizmlerin obje grubu
63
denir.
a
x
5)
α
c
x
)5
β
b
c◦a
)
β◦h α 5
x = x
d
x
d◦b
0
Bu grubun birim elemanı 11x ve her α ∈ G (x) için ters eleman α−1 = αh dır.
a
x
5)
α
1x
x
a
a
x = x
5)
α
b
x
b
a
x
)5
α
1x
b
x
)5
1 1x
5)
αh
1x
x = x
11x
)5
x
1x
b
Önerme 2.2.2. Tek objeli her 2-grupoid bir grup-grupoiddir [14, 32].
İspat:
Tek objeli bir G grupoidi aşağıdaki gibi 1-morfizmlerden ve
2-morfizmlerden oluşur.
x
?
(
6?
f
y
1-morfizmlerin sınıfı X ve 2-morfizmlerin sınıfı A olmak üzere G
=
(X, A, sv , tv , εv , ηv , ◦v ) yapısının bir grupoid olduğunu biliyoruz. Buna göre (X, ◦)
ve (A, ◦h ) obje gruplarının grup işlemleri ile ve
f
• m : G × G → G, x
• inv : G → G, x
f
/
y
• id : {∗} → G, ∗ 7→ 1?
/
y , x0
7→
x
11?
/ 1?
f0
f
/ y0
h
/
x ◦ x0
7→
f ◦h f 0
/
y ◦ y0 ,
y,
şeklinde tanımlı fanktorlarla birlikte G bir grup-grupoiddir.
Grup-grupoidlere 2-kategorik yaklaşım çok güçlü bir kavramsal araçtır. Ancak
onlara çaprazlanmış modüller (crossed module) olarak bakmak hesaplamalarda
kolaylıklar sağlayacaktır.
Önerme 2.2.3. Bir G grup-grupoidi tek objeli bir 2-grupoid olarak verilsin. Bu
durumda G nin 1-morfizmlerinin grubu G, başlangıcı birim 1-morfizm olan tüm
2-morfizmlerin grubu H,
1
?
h
g
(
6?
64
∂ : H −→ G tüm h ∈ H 2-morfizmlerini bitişleri olan morfizme dönüştüren grup
homomorfizmi
1
?
(
6?
h
∂(h):=g
ve g . h = 1−1
g h1g şeklinde tanımlı "yatay konjugasyon" ile G nin H üzerine
aşağıdaki şekilde gösterilen . etkimesi ile (G, H, ∂, .) yapısı bir çaprazlanmış
modüldür [2].
g −1
1g−1
1
(
g.h 6 ?
?
:= ?
g∂(h)g −1
1
(
6?
g −1
h
g
(
6?
1g
(
6?
g
∂(h)=g
İspat: İlk olarak H ın bir grup olduğunu gösterelim. h, h0 ∈ H ve g, g 0 ∈ G olmak
üzere
s(h0 h) = s(h0 )s(h) = 1 · 1 = 1
1
?
h
1
(
6?
(
6?
h0
olup kapalılık özelliği sağlanır.
11
1
ise ?
h−1
6?
Birleşme özelliğinin sağlandığı kolayca
1
1
(
g0 g
görülebilir. Birim eleman 11 olup ?
için ters eleman h
h0 h
g0
g
−1
1
= ?
(
6?
(
6?
şeklinde gösterilir. Her h ∈ H
şeklinde gösterilir. O hâlde H bir gruptur.
g −1
∂ : H −→ G bitiş dönüşümü için
∂(h0 h) = g 0 g = ∂(h0 )∂(h)
olup ∂ bir grup homomorfizmidir. Diğer taraftan g1 ∈ G ve h1 ∈ H olmak üzere
−1
0
−1 −1
0
g . (g 0 . h) = 1−1
g (g . h)1g = 1g 1g 0 h1g 0 1g = 1gg 0 h1gg 0 = (gg ) . h
ve
0
−1
−1 0
0
g . (hh0 ) = 1−1
g (hh )1g = 1g h1g 1g h 1g = (g . h)(g . h )
olup etkime şartları sağlanır. Son olarak
−1
∂(g . h) = ∂(1−1
g h1g ) = g ∂(h)g
ve Sonuç 1.4.1 den
0
−1 0
−1 0
∂(h) . h0 = 1−1
∂(h) h 1∂(h) = 1g h 1g = h h h
65
olup (G, H, ∂, .) bir çaprazlanmış modül olur.
Bir çaprazlanmış modülden tek objeli 2-grupoid olarak bir grup-grupoid
aşağıdaki yöntemle elde edilir.
Önerme 2.2.4. Bir (G, H, ∂, .) çaprazlanmış modülü verilsin.
g
? objesi ile birlikte 1-morfizmleri ?
/
Bu durumda
? şeklinde g ∈ G elemanları ve
2-morfizmleri g den ∂(h)g ye giden (g, h) ∈ G × H ikilileri olarak ele alınsın.
g
(
(g,h) 6 ?
?
g 0 =∂(h)g
1-morfizmler arasındaki bileşke işlemi G nin grup çarpımı olarak, 2-morfizmler
arasındaki bileşke işlemi ise yarı-direkt çarpım grubunun işlemi olarak aşağıdaki
şekilde tanımlansın.
g
?
(g,h)
*4
g1
?
(g1 ,h1 )
*4
g1 g
? = ?
(g1 g,h1 (g1 .h))
g10
g0
,2 ?
g10 g 0
Bu durumda G n H yarı-direkt çarpımı,
(g1 , h1 ) ◦ (g, h) = (g1 g, h1 (g1 . h))
şeklinde tanımlanan grup çarpımı ile 2-morfizmlerin grubunu oluşturacaktır.
2-morfizmler arasındaki dikey bileşke işlemi H ın grup çarpımı olarak aşağıdaki
gibi tanımlansın.
g
?
(g,h)
g0
0 0
(g ,h )
/%9 ?
g
=
?
g 00
0
(g,h h)
*4
?
g 00
Burada g 0 = ∂(h)g ve g 00 = ∂(h0 )∂(h)g = ∂(h0 h) olup u = (g, h) u0 = (g 0 , h0 )
2-morfizmlerinin dikey bileşkesi
u0 u = (g 0 , h0 )(g, h) = (g, h0 h)
şeklinde olacaktır. Yukarıda tanımlanan işlemlerle birlikte G = (G, G n H) yapısı
bir grup-grupoiddir [2].
66
İspat:
Yerdeğişim kuralını göstermemiz yeterlidir.
u1 = (g1 , h1 ),
u01 =
(g10 , h01 ), u2 = (g2 , h2 ), u02 = (g20 , h02 ), olmak üzere
g1
g2
/%9 ?
h1
g10
?
h01
/%9 ?
h2
g20
g100
h02
g200
şeklinde olup
(u02 u2 ) ◦ (u01 u1 ) = (g2 , h02 h2 )(g1 , h01 h1 ) = (g2 g1 , h02 h2 (g2 . h01 h1 ))
ve
(u02 ◦ u01 )(u2 ◦ u1 ) = (g20 g10 , h02 (g20 . h01 ))(g2 g1 , h2 (g2 . h1 ))
= (g2 g1 , h02 (∂(h2 )g2 . h01 )h2 (g2 . h1 )
= (g2 g1 , h02 (∂(h2 ) . (g2 . h01 ))h2 (g2 . h1 )
= (g2 g1 , h02 h2 (g2 . h01 )h2 −1 h2 (g2 . h1 )
= (g2 g1 , h02 h2 (g2 . h01 h1 ))
olduğundan
(u02 u2 ) ◦ (u01 u1 ) = (u02 ◦ u01 )(u2 u1 )
olacaktır.
2.3.
Grup-2-Grupoidler
Kategorilerin kategorisi C AT de bir grup objenin bir grupoid olduğunu ve bu
grupoidin grup-grupoid olarak adlandırıldığını biliyoruz. Benzer şekilde bu
kısımda 2-kategorilerin kategorisi 2C AT içinde grup objeler incelenecektir.
Önerme 2.3.1. Tüm küçük 2-kategorilerin kategorisi 2C AT de her grup obje bir
2-grupoiddir.
İspat: G 2-kategorisi 2C AT de bir grup obje olsun. Bu durumda
a
(i) m : G × G → G, x
α
b
a0
(
6y
0
, x
b0
α0
) 0
5y
a·a0
7→ x · x
0
+
α·α0 3 y
b·b0
· y0 ,
67
a
(ii) inv : G → G, x
a−1
(
6y
α
b
7→ x
* −1
α−1 4 y
−1
b−1
1e
(iii) id : {∗} → G, id({∗}) =
e
(
6
11e
1e
e (burada {∗} tek objeli, tek
1-morfizmli ve tek 2-morfizmli 2-kategoridir)
dönüşümleri birer 2-fanktor olarak grup şartlarını sağlayacak şekilde
mevcutturlar. Önerme 1.4.1 de
(b ◦ a) · (b0 ◦ a0 ) = (b · b0 ) ◦ (a · a0 )
şeklinde gösterilen yerdeğişim kuralının sağlandığını göstermiştik.
Benzer
yöntemle
m((β, β 0 ) ◦h (α, α0 )) = m((β ◦h α), (β 0 ◦h α0 )) = (β ◦h α) · (β 0 ◦h α0 )
ve
m((β, β 0 ) ◦h (α, α0 )) = m(β, β 0 ) ◦h m(α, α0 ) = (β · β 0 ) ◦h (α · α0 )
olup 2-morfizmlerin yatay bileşke işlemi ile grup işlemi arasında
(β ◦h α) · (β 0 ◦h α0 ) = (β · β 0 ) ◦h (α · α0 )
şeklinde gösterilen yerdeğişim kuralı sağlanır.
a
x
c
(
6y
α
)
5 y0
α0
b0
αα0
d◦b
c0
4
yy 0
0
ββ
c0 ◦a0
=
x
0
0) 0
β ◦h α 5 z
0
d0 ◦b0
4
(c0 ◦a0 )(c◦a)
*
zz 0
=
xx0
(ββ 0 )◦h (αα0 )
(d0 d)◦(b0 b)
, 0
0
0
(β ◦h α )(β◦h α) 2 zz
(d0 ◦b0 )(d◦b)
dd0
(c0 c)◦(a0 a)
⇒ xx
) 0
5z
β0
cc0
*
bb0
0
(
β◦h α 6 z
x
d0
aa0
⇒ xx0
=
d
a0
x
6z
β
b
0
c◦a
(
,2
(c0 ◦a0 )(c◦a)
zz
0
=
xx
0
, 0
0
0
(β ◦h α )(β◦h α) 2 zz
(d0 ◦b0 )(d◦b)
Benzer şekilde
m((θ, θ0 ) ◦v (α, α0 )) = m((θ ◦v α), (θ0 ◦v α0 )) = (θ ◦v α) · (θ0 ◦v α0 )
68
ve
m((θ, θ0 ) ◦v (α, α0 )) = m(θ, θ0 ) ◦v m(α, α0 ) = (θ · θ0 ) ◦v (α · α0 )
olup 2-morfizmlerin dikey bileşke işlemi ile grup işlemi arasında
(θ ◦v α) · (θ0 ◦v α0 ) = (θ · θ0 ) ◦v (α · α0 )
şeklinde yerdeğişim kuralı sağlanır.
a
/%9 y
α
x
b
θ
a
=
x
θ◦v α
*4
y
c
c
a0
x
/%9 y 0
0 α0
0
b
θ0
a0
=
x
0
0
0
θ ◦v α
c0
c0
a·a0
⇒ x·x
0
0α·α0
b·b
a·a0
/
(
6y
θ·θ0
·y
0
·y
0
=
x·x
0
a·a0
⇒ x·x
θ·θ0 ◦v α·α0
x·x
0
0
0
,
0
0
,
(θ◦v α)·(θ ◦v α )
a·a0
+
3y
c·c0
=
2y
· y0
2y
· y0
c·c0
c·c0
0
*4 0
y
(θ◦v α)·(θ ◦v α )
c·c0
Önerme 1.4.1 de yerdeğişim kuralı kullanılarak a 1-morfizminin ◦ işlemi altında
tersinin
a = 1x · a−1 · 1y
olduğu gösterilmişti. Benzer yöntemle
a
x
α
1y
(
6y
b
1y
11y
c
(
6y
β
(
6z
d
2-morfizmleri için yatay bileşke ile grup işlemi arasında mevcut yerdeğişim
kuralı aşağıdaki gibi uygulanırsa
−1
−1
β ◦h α = (β · 11e ) ◦h (11y · 1−1
1y · α) = (β ◦h 11y ) · (11e ◦h (11y · α)) = β · 11y · α
ve
−1
−1
β ◦h α = ((11y · 1−1
1y ) · β) ◦h (α · 11e ) = (11y ◦h α) · ((11y · β) ◦h 11e ) = α · 11y · β
69
olup buradan
−1
β ◦h α = α · 1−1
1y · β = β · 11y · α
(2.1)
olacaktır. Böylece yatay bileşke işlemi grup işlemi cinsinden ifade edilmiş olur.
a
h
Şimdi α ◦h α = 11x ve α ◦h α
h
= 11y olacak şekilde bir y
αh
(
6
x
b
2-morfizminin varlığını araştıralım.
h
−1
αh ◦h α = 11x ⇒ αh · 1−1
· 11y
1y · α = 11x ⇒ α = 11x · α
(2.2)
Böylece her bir α 2-morfizminin yatay bileşke işlemine göre tersi mevcut
olacaktır. Diğer taraftan dikey bileşke için
a
x
α
b
θ
/
!
<y , x
b
1b
(
6y
b
c
2-morfizmleri ele alınarak yerdeğişim kuralı aşağıdaki gibi uygulanırsa
−1
−1
θ ◦v α = (θ · 11e ) ◦v (1b · 1−1
b · α) = (θ ◦v 1b ) · (11e ◦v (1b · α)) = θ · 1b · α
ve
−1
−1
θ ◦v α = (1b · 1−1
b · θ) ◦v (α · 11e ) = (1b ◦v α) · ((1b · θ) ◦v 11e ) = α · 1b · θ
olup buradan
−1
θ ◦v α = α · 1−1
b · θ = θ · 1b · α
(2.3)
olacaktır. Böylece dikey bileşke işlemi grup işlemi cinsinden ifade edilmiş olur.
b
Şimdi αv ◦v α = 1a ve α◦v αv = 1b olacak şekilde bir x
(
6y
2-morfizminin
v
−1
αv ◦v α = 1a ⇒ αv · 1−1
· 1b
b · α = 1a ⇒ α = 1a · α
(2.4)
v
α
a
varlığını araştıralım.
Böylece her bir α 2-morfizminin dikey bileşke işlemine göre tersi mevcut
olacaktır. O hâlde G bir 2-grupoiddir. Bu 2-grupoid, grup-2-grupoid olarak
adlandırılır.
70
2.1 eşitliğinde y = e alınırsa α · β = β · α elde edilir ki bu Kersh ile Kerth
nin elemanlarının değişmeli olduğu anlamına gelir. Yine y = e alınırsa 2.2
eşitliğinden αh = 11x · α−1 · 11e = 11x · α−1 elde edilir. Buradan aşağıdaki sonuç
verilebilir.
Sonuç 2.3.1. Bir G grup-2-grupoidi verildiğinde α, α1 ∈ Kersh ve th (α) = x olmak
üzere α · α1 · α−1 = 11x · α1 · 1−1
1x ∈ Kersh dir.
İspat: α ∈ Kersh olduğundan αh ∈ Kerth ve 2.2 den αh = 11e · α−1 · 11x olacaktır.
a
e
6x
α
a1
a
(
αh
b
(
6
e
α1
)
5 x1
b1
b
Buna göre
α1 · αh = αh · α1 ⇒ α1 · 11e α−1 · 11x = 11e · α−1 · 11x · α1
⇒
α1 · α−1 · 11x = α−1 · 11x · α1
⇒
α · α1 · α−1 = 11x · α1 · 1−1
1x
olacaktır.
a
e
a1
)
5 x,
α
e
α1
a−1
)
5 x1 ,
e
* −1
x
4
aa1 a−1
=
e
αα1 α
−1
,
xx1 x−1
2
bb1 b−1
b−1
b1
b
α−1
1x a1 1−1
x
=
e
αα1 α
−1
,
2
xx1 x−1
1x b1 1−1
x
1x
x
'
11x 7 x
1x
a1
e
(
α1 6 x1
1−1
x
x
−1
b1
1−1
1x
1−1
x
4
* −1
x
1x a1 1−1
x
=
e
,
−1
−1
11x α1 11x 2 xx1 x
1x b1 1−1
x
Sonuç 2.3.2. Bir G grup-2-grupoidi verildiğinde α, θ ∈ Kersv ve tv (α) = a olmak
üzere αθα−1 = 1a θ1−1
a ∈ Kersv dir.
İspat: Eğer 2.3 eşitliğinde b = 1e alınırsa αθ = θα olacaktır. Bu da Kersv ve Kertv
ün elemanlarının değişmeli olduğu anlamına gelir. Buna göre α, θ ∈ Kersv için
71
αv ∈ Kertv olacaktır.
θαv = αv θ ⇒ θ1e α−1 1a = 11e α−1 1a β
⇒
θα−1 1a = α−1 1a θ
⇒
αθα−1 = 1a θ1−1
a
olacaktır.
1e
e
α
1e
(
6
e e
a
1a
6
e e
a1
a
e
θ
1e
(
1e
(
6
e e
a
θ
a1
α−1
6
1e
(
e = e
a1e a−1
6
a−1
e e
1−1
a
*4 e
aa1 a−1
a−1
(
αθα−1
6
(
e = e
−1
1a θ1a
*4 e
aa1 a−1
a−1
1e
= e
−1
1a θ1a
*4 e
aa1 a−1
Önerme 2.3.2. 2-grupoidlerin kategorisi 2G PD de bir grup obje bir
grup-2-grupoiddir.
Örnek 2.3.1. (X, +) bir grup ve (G, ·) bir abel grubu olsun. Örnek 2.1.6 da verilen
2-grupoid yapısıyla ve
• m : G × G → G, (x, g, h, y) + (x0 , g 0 , h0 , y 0 ) = (x + x0 , g · g 0 , h · h0 , y + y 0 )
• id : {∗} −→ G, e = 0, 1e = (0, 1, 0), 11e = (0, 1, 1, 0)
• inv : G −→ G, (x, g, h, y)−1 = (−x, g −1 , h−1 , −y).
şeklinde tanımlı 2-fanktorlarla birlikte G = (X, X × G × X, X × G × G × X) yapısı
bir grup-2-grupoiddir.
Örnek 2.3.2. (Zn , +) ve (Z, +) gruplarının direkt çarpım grupları ele alınsın. Bu
durumda Örnek 2.1.7 de verilen 2-grupoid yapısıyla ve
• ⊕ : G × G → G, (z, z1 , z2 ) ⊕ (z 0 , z10 , z20 ) = (z + z 0 , z1 + z10 , z2 + z20 )
72
• id : {∗} −→ G, e = 0, 1e = (0, 0), 11e = (0, 0, 0)
• inv : G −→ G, (z, z1 , z2 )−1 = (n − z, −z1 , −z2 )
şeklinde tanımlı 2-fanktorlarla birlikte G = (Zn , Zn × Z, Zn × Z × Z) yapısı bir
grup-2-grupoiddir.
Bir grup-2-grupoidin sağladığı özellikleri aşağıdaki önermede verelim.
Önerme 2.3.3. G bir grup-2-grupoid olsun.
a
x
)5
α
a0
x0
y
α0
* 0
4y
b0
b
olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır.
(i) a, b ∈ G(x, y) ve a0 , b0 ∈ G(x0 , y 0 ) ise aa0 , bb0 ∈ G(xx0 , yy 0 )
(ii) α ∈ G(a, b) ve α0 ∈ G(a0 , b0 ) ise αα0 ∈ G(aa0 , bb0 )
aa0
xx
0
αα0
*
4 yy 0
bb0
(iii) a, b ∈ G(x, y) ve α ∈ G(a, b) ise a−1 , b−1 ∈ G(x−1 , y −1 ) ve α−1 ∈ G(a−1 , b−1 )
a
x
5)
α
a−1
y =⇒ x
−1
+ −1
y
3
α−1
b−1
b
(iv) a, b ∈ G(x, y) için a, b ∈ G(y, x) ve αh ∈ G(a, b) dir.
a
x
α
5) y
a
=⇒ y
αh
b
)5
x
b
(v) Her a, b ∈ G(x, y) için α ∈ G(a, b) olmak üzere αv ∈ G(b, a) dır.
a
x
α
b
αv
/%9 y
a
(vi) Bileşkeler tanımlı olmak üzere (a1 ◦a)−1 = a1 −1 ◦a−1 , (α1 ◦h α)−1 = α1 −1 ◦h α−1
ve (β ◦v α)−1 = β −1 ◦v α−1 dir.
73
(vii) x, y ∈ G0 için 1x 1y = 1xy , 11x 11y = 11xy ve a, b ∈ G1 için 1a 1b = 1ab dir.
(viii) a ∈ G1 ve α ∈ G2 için (a−1 ) = a
−1
v
, (α−1 ) = αv
−1
h
ve (α−1 ) = αh
−1
dir.
Tanım 2.3.1. G ve H birer grup-2-grupoid ve f = (f0 , f1 , f2 ) : G −→ H bir
2-grupoid morfizmi olmak üzere eğer f grup yapılarını koruyorsa f ye bir
grup-2-grupoid morfizmi denir.
sh
H2 f
th
f2
sh
G2
th
tv
tv
sv
f0
sv
!!
//
t
s
= =G0
/8/ ? H0
?
t
s
G1
f1
H1
Böylece objeleri grup-2-grupoidler ve morfizmleri grup-2-grupoid morfizmleri
olan kategoriye grup-2-grupoidlerin kategorisi denir ve G P 2G D ile gösterilir.
Bir grup-2-grupoidin barındırdığı grup-grupoid yapıları aşağıdaki önermede
verilmiştir.
Önerme 2.3.4. Herhangi bir G = (G0 , G1 , G2 ) grup-2-groupoidi verildiğinde, G
nin objelerinin sınıfı ile 1-morfizmlerinin sınıfı G1 = (G0 , G1 ) grup-grupoidini,
objelerinin sınıfı ile 2-morfizmlerinin sınıfı G2 = (G0 , G2 ) grup-grupoidini
ve 1-morfizmlerinin sınıfı ile 2-morfizmlerinin sınıfı ise G3
=
(G1 , G2 )
grup-grupoidini oluştururlar.
Bir grup-2-grupoid, grupların kategorisi G P deki iç kategoriler kullanılarak
aşağıdaki şekilde elde edilebilir.
Önerme
2.3.5.
(A, ·A ),
(B, ·B ),
(C, ·C )
birer
grup,
(B, A, s, t, ε, ◦),
(B, C, sh , th , εh , ◦h ), (A, C, sv , tv , εv , ◦v ) grupların kategorisi G P de birer iç
74
kategori olsunlar. Eğer
εh
s
S
sh
C
εv
// B
FF
th
tv
sv
t
s
ε
A
diyagramı değişmeli ise D = (B, A, C) yapısı bir grup-2-grupoiddir.
İspat:
Açıktır ki D, objelerinin cümlesi B, 1-morfizmlerinin cümlesi
A ve 2-morfizmlerinin cümlesi C olan bir 2-grupoiddir.
Bu 2-grupoidde
1-morfizmlerin bileşke işlemi ◦ ile, 2-morfizmlerin yatay bileşke işlemi ◦h ile
ve 2-morfizmlerin düşey bileşke işlemi ◦v ile tanımlıdır. ◦h ile ◦v birer grup
homomorfizmi olduğundan, c1 , c2 , c3 , c4 ∈ C olmak üzere bileşkeler tanımlı
olduğunda
(c4 ◦h c2 ) ◦v (c3 ◦h c1 ) = (c4 ◦v c3 ) ◦h (c2 ◦v c1 )
şeklinde yerdeğişim kuralını sağlarlar. Diğer taraftan
a
• m : D × D → D, b
c
6 b1
, b0
c0
a01
a1
a
• inv : G → G, b
a0
(
α
( 0
b
a·A a0
6 1
7→ b ·B b0
,
0
0
c·C c 2 b1 ·B b1
,
a1 ·A a01
a−1
)
5 b1
a1
7→ b
eA
• id : {∗} → G, id({∗}) = eB
* −1
α−1 4 b1
−1
eC
and
a−1
1
)
5 eB
eA
şeklinde tanımlı 2-fanktorlar ile birlikte D = (B, A, C) bir grup-2-grupoiddir. 2.4.
2G-Çaprazlanmış Modüller
Grupların kategorisinde bir iç kategori verildiğinde bir çaprazlanmış modül
elde edilebileceğini biliyoruz (Önerme 1.4.3).
Buna göre bir G = (B, A, C)
grup-2-grupoidi verildiğinde, bu grup-2-grupoidden elde edilen (B, A, s, t, ε, η)
ve (B, C, sh , th , εh , ηh ) grupoidleri birer grup-grupoid olacaktır.
Bu grup
75
grupoidlerden aşağıdaki diyagram değişmeli olacak şekilde (Kers, B, t|Kers ) ve
(Kersh , B, th |Kersh ) çaprazlanmış modülleri elde edilir.
th |Kersh
Kersh
%
tv |Kersh
/
<B
t|Kers
Kers
Bu diyagramla her grup-2-grupoidden çaprazlanmış modüllerle ilişkili
cebirsel yapılar elde edilebileceği anlaşılır.
Grup-grupoidlere çaprazlanmış
modüller gözüyle bakmak hesaplamalarda kolaylıklar sağlar. Buna göre bir
grup-2-grupoide de cebirsel yapı gözüyle bakmak daha kolay hesaplamalar için
bize yol gösterecektir. O hâlde çaprazlanmış modül yapısından faydalanarak,
grup-2-grupoidlerle bağlantılı olarak 2G-çaprazlanmış modül tanımını aşağıdaki
gibi verelim.
Tanım 2.4.1. L, M ve N birer grup, ∂1 : M −→ N , ∂2 : L −→ N sınır dönüşümü
olarak adlandırılan grup morfizmleri ve N grubunun M ve L grupları üzerine
N × M −→ M, (n, m) 7−→ n • m
ve
N × L −→ L, (n, l) 7−→ n I l
şeklinde verilen sol etkimeleri ile birlikte (M, N, ∂1 , •) ve (L, N, ∂2 , I)
çaprazlanmış modülleri verilsin. Eğer
(i) ∂2 = ∂1 ◦ ∂3
∂2
L
/
∂3
>N
∂1
M
(ii) ∂3 (n I l) = n • ∂3 (l)
N ×L
1N ×∂3
N ×M
I
•
/
L
∂3
/M
76
olacak şekilde örten bir ∂3 : L → M grup homomorfizmi varsa (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 )
yapısına bir 2G-çaprazlanmış modül denir.
I
N ×L
∂3
/L
∂2
N
/M o •
~
N ×M
∂1
2G-çaprazlanmış modül şartları değişmeli diyagramlar cinsinden de ifade
edilebilir. ψL , L üzerindeki, ψM , M üzerindeki ve ψN , N üzerindeki konjügasyon
etkimesini göstermek üzere aşağıdaki diyagram değişmeli ise (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 )
bir 2G-çaprazlanmış modül olur.
L×L
∂2 ×1L
/
1N ×∂3
N ×L
%
1N ×∂2
∂1 ×1M
N ×M o
M ×M
/
x
1N ×∂1
N ×N
ψL
I
ψN
8
•
Nf
∂2
L
1L
ψM
∂1
∂3
/L
/
Mo
1M
M
Örnek 2.4.1. Önerme 1.5.1 de verilen yapıları ile (A, B, ∂, .) ve (A/N, B, ϕ, •)
çaprazlanmış modülleri
p : A → A/N,
a 7→ a + N
grup homomorfizmi ile (A, A/N, B, ϕ, ∂, p) yapısı bir 2G-çaprazlanmış modüldür.
/
∂
A
p
=B
ϕ
!
A/N
Burada p(b . a) = (b . a) + N = b • (a + N ) = b • p(a) olup (ii) şartı sağlanır.
Örnek 2.4.2. Herhangi bir (M, N, ∂) çaprazlanmış modülü verildiğinde 1M birim
dönüşümü ile (M, M, N, ∂, ∂, 1M ) 2G-çaprazlanmış modülü elde edilir.
/N
>
∂
M
1M
!
∂
M
Böylece her çaprazlanmış modül bir 2G-çaprazlanmış modül belirler.
77
Tanım 2.4.2. (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) ve (L0 , M 0 , N 0 , ∂10 , ∂20 , ∂30 ) birer 2G-çaprazlanmış
modül olsunlar. Buna göre θ ◦ ∂3 = ∂30 ◦ φ olmak üzere
∂20
L0 f
/
ψ
φ
∂2
L
∂30
∂3
8N
?
0
/N
=
∂10
∂1
M
θ
M0
diyagramı değişmeli olacak şekilde (φ, ψ) ve (θ, ψ) çaprazlanmış modül
morfizmleri varsa, (φ, θ, ψ) üçlüsüne bir 2G-çaprazlanmış modül morfizmi denir
ve
< φ, θ, ψ > : (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) −→ (L0 , M 0 , N 0 , ∂10 , ∂20 , ∂30 )
şeklinde gösterilir. Eğer < φ, θ, ψ > : (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) → (L0 , M 0 , N 0 , ∂10 , ∂20 , ∂30 )
bir 2G-çaprazlanmış modül morfizmi ise aşağıdaki özellikler sağlanır:
(i) ψ ◦ ∂2 = ∂20 ◦ φ
(ii) ψ ◦ ∂1 = ∂10 ◦ θ
Tanım
2.4.3.
2G-çaprazlanmış
Objeleri
modül
2G-çaprazlanmış
morfizmleri
modüller,
olan
morfizmleri
kategoriye
ise
2G-çaprazlanmış
modüllerin kategorisi denir ve 2GXM OD ile gösterilir.
Önerme 2.4.1. G = (G0 , G1 , G2 ) bir grup-2-grupoid ve B = G0 , A = Kers ve
C = Kersh olsun. ∂1 = tA , ∂2 = th C ve ∂3 = tv C olmak üzere
ρ1 : B × A −→ A, (x, a) 7−→ x • a = 1x a1−1
x
ve
ρ2 : B × C −→ C, (x, α) 7−→ x I α = 11x α1−1
1x
etkimeleriyle birlikte (A, B, ∂1 , •) ve (C, B, ∂2 , I) yapıları birer çaprazlanmış
modül olup (C, A, B, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) yapısı bir 2G-çaprazlanmış modüldür.
C
tv |C
th |C
/
?B
t|A
A
78
İspat:
Önerme 1.5.2 den (A, B, ∂1 , •) dörtlüsünün bir çaprazlanmış modül
olduğunu biliyoruz. Benzer şekilde G = (G0 , G2 ) bir grup-grupoid olup ve
(C, B, ∂2 , I) dörtlüsü de bir çaprazlanmış modüldür. Gerçekten Sonuç 2.3.1 den
11x α1−1
1x ∈ C olup
−1 −1
−1
(xx1 ) I α = 11xx1 α1−1
1xx1 = 11x 1x1 α11x 1x1 = 11x 11x1 α11x1 11x = x I (x1 I α)
−1
−1
x I (αα1 ) = 11x (αα1 )1−1
1x = 11x α11x 11x α1 11x = (x I α)(x I α1 )
ve
e I α = 11e α1−1
1e = α
olduğundan ρ2 , B nin C üzerine bir etkimesidir. Diğer taraftan ∂2 = th C
dönüşümü bir grup homomorfizmi olup,
−1
−1
∂2 (x I α) = ∂2 (11x α1−1
1x ) = ∂2 (11x )∂2 (α)∂2 (11x ) = x∂2 (α)x
ve Sonuç 2.3.1 den
−1
−1
∂2 (α) I α1 = 11∂2 (α) α1 1−1
1∂ (α) = 11x α1 11x = αα1 α
2
olduğundan (C, B, ∂2 , I) bir çaprazlanmış modül olur. Diğer taraftan G bir
grup-2-grupoid olduğundan th = t ◦ tv olup, buradan th C = tA ◦ tv C ve
−1
∂3 (x I α) = tv (11x )∂3 (α)tv (1−1
1x ) = 1x ∂3 (α)1x = x • ∂3 (α)
olacaktır. Son olarak her a ∈ A için ∂3 (α) = tv (α) = a olacak şekilde en az
bir α ∈ C bulunabileceğinden ∂3 örtendir. O hâlde (C, A, B, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) yapısı bir
2G-çaprazlanmış modüldür.
2.5.
Kategori Denkliği
Bu kısımda grup-2-grupoidler ile 2G-Çaprazlanmış modüllerin kategorilerinin
denkliği incelenecektir. Yukarıda bir grup-2-grupoidden bir 2G-çaprazlanmış
modül elde edilmişti.
Şimdi tersine bir 2G-çaprazlanmış modülden bir
grup-2-grupoid elde edelim.
Önerme 2.5.1. (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) bir 2G-çaprazlanmış modül olsun.
Bu
durumda objelerinin grubu N , 1-morfizmlerinin grubu N n M yarı-direkt
79
çarpımı ve 2-morfizmlerinin grubu N n M n L yarı-direkt çarpımı olmak üzere
aşağıdaki yapı dönüşümleri ile birlikte G = (N, N n M, N n M n L) yapısı bir
grup-2-grupoiddir.
Burada 1-morfizmler arasındaki işlemler ve yapı dönüşümleri Önerme 1.5.3 deki
şekilde tanımlanır. l, k ∈ L olmak üzere eğer ∂2 (l) = ∂2 (k) ise (n, ∂3 (l), k) üçlüsü
(n, ∂3 (l)) den (n, ∂3 (k)) ya bir 2-morfizm olarak ele alınır.
(n,∂3 (l))
n
(n,∂3 (l),k)
,
2 ∂2 (l)n
(n,∂3 (k))
∂3 (L) = M olduğundan L grubunun elemanlarını kullanarak yapı dönüşümlerini
tanımlamak daha kolay olacaktır. Bu şekilde tanımlı morfizmlere göre yapı
dönüşümleri aşağıdaki gibi tanımlanır.
(i)
s : N n M → N, (n, ∂3 (l)) 7→ n,
sh : N n M n L → N, (n, ∂3 (l), k) 7→ n
ve
sv : N n M n L → N n M, (n, ∂3 (l), k) 7→ (n, ∂3 (l))
şeklinde tanımlı başlangıç dönüşümleri,
(ii)
t : N n M → N, (n, ∂3 (l)) 7→ ∂1 (∂3 (l))n = ∂2 (l)n,
th : N n M n L → N, (n, ∂3 (l), k) 7→ ∂2 (l)n = ∂2 (k)n
ve
tv : N n M n L → N n M, (n, ∂3 (l), k) 7→ n, ∂3 (k)
şeklinde tanımlı bitiş dönüşümleri,
(iii) n1 = ∂2 (l)n olmak üzere
◦ : N n M × N n M → N n M,
(n, ∂3 (l)), (n1 , ∂3 (l1 )) 7→ (n1 , ∂3 (l1 )) ◦ (n, ∂3 (l)) = (n, ∂3 (l1 l)),
80
◦h : N n M n L × N n M n L → N n M n L,
(n, ∂3 (l), k), (n1 , ∂3 (l1 ), k1 ) 7→ (n1 , ∂3 (l1 ), k1 ) ◦h (n, ∂3 (l), k) = (n, ∂3 (l1 l), k1 k)
(n,∂3 (l))
n
(n,∂3 (l),k)
(n1 ,∂3 (l1 ))
,
(n1 ,∂3 (l),k1 ) 2 ∂2 (l1 )n1
,
2 ∂2 (l)n
(n,∂3 (k))
(n1 ,∂3 (k1 ))
(n,∂3 (l1 l))
=
n
1 ∂2 (l1 l)n
(n,∂3 (l1 l),k1 k)
(n,∂3 (k1 k))
ve
◦v : N n M n L × N n M n L → N n M n L
(n, ∂3 (k), h), (n, ∂3 (l), k) 7→ (n, ∂3 (k), h) ◦v (n, ∂3 (l), k) = (n, ∂3 (l), h)
(n,∂3 (l))
n
)
/ ∂2 (l)n
(n,∂3 (k))
5
(n,∂3 (k),h)
(n,∂3 (l),k)
(n,∂3 (l))
=
n
(n,∂3 (l),h)
(n,∂3 (h))
(n,∂3 (h))
şeklinde tanımlı kısmî bileşke işlemleri
(iv)
ε : N → N n M, n 7→ (n, eM ),
εh : N → N n M n L, n 7→ (n, eM , eL )
(n,eM )
n
(n,eM ,eL )
3+ n
(n,eM )
ve
εv : N n M → N n M n L, (n, ∂3 (l)) 7→ (n, ∂3 (l), l)
(n,∂3 (l))
n
,
(n,∂3 (l),l) 2 ∂2 (l)n
(n,∂3 (l))
şeklinde tanımlı birim morfizm dönüşümleri ve
(v)
η : N n M → N n M,
(n, ∂3 (l)) 7→ (n, ∂3 (l)) = (∂2 (l)n, ∂3 (l−1 )),
,
2 ∂2 (l)n
81
ηh : N n M n L → N n M n L,
h
(n, ∂3 (l), k) 7→ (n, ∂3 (l), k) = (∂2 (l)n, ∂3 (l−1 ), k −1 )
(n,∂3 (l))
n
(n1 ,∂3 (l−1 ))
,
2 ∂2 (l)n
(n,∂3 (l),k)
(n,∂3 (k))
(n1 ,∂3
(n,eM )
= n
(n,eM ,eL )
2, n
−1
−1
(n
1 ,∂3 (l ),k )
(k−1 ))
+3 n
(n,eM )
ve
ηv : N n M n L → N n M n L,
v
(n, ∂3 (l), k) 7→ (n, ∂3 (l), k) = (n, ∂3 (k), l)
(n,∂3 (l))
(n,∂3 (l),k)
(n,∂3 (k))
(n,∂3 (k),l)
n
)/
5
n1
(n,∂3 (l))
şeklinde tanımlı ters morfizm dönüşümleri.
Yapı dönüşümleri aşağıdaki gibi gösterilebilir.
η
q
N
5 K n
OO M
◦
N n M ×N N n M
◦v
ε v sv
ε
s
//
t
N
OO T
sh
tv
th εh
N 5 n FM n L
N n8 F M n L
ηv
ηh
◦h
N n M n L ×N nM N n M n L
İspat:
N n M n L ×N N n M n L
N n M ve N n M n L yarı-direkt çarpımlarının birer grup olduğunu
biliyoruz. s, sh ve sv başlangıç fonksiyonları için ∂3 (l) = m ve ∂3 (l0 ) = m0 olmak
üzere
s((n, m)(n0 , m0 )) = s(nn0 , m(n • m0 )) = nn0 = s(n, m)s(n0 , m0 )
sh ((n, m, k)(n0 , m0 , k 0 )) = sh (nn0 , m(n•m0 ), k(n I k 0 )) = nn0 = sh (n, m, k)sh (n0 , m0 , k 0 )
82
sv ((n, m, k)(n0 , m0 , k 0 )) = sv (nn0 , m(n • m0 ), k(n I k 0 )) = (nn0 , m(n • m0 ))
= (n, m)(n0 , m0 )
= sv (n, m, k)sv (n0 , m0 , k 0 )
ve t, th ve tv bitiş fonksiyonları için
t((n, m)(n0 , m0 )) = ∂1 (m(n • m0 ))nn0 = ∂1 (m)∂1 (n • m0 )nn0 = ∂1 (m)n∂1 (m0 )n−1 nn0
= ∂1 (m)n∂1 (m0 )n0
= t(n, m)t(n0 , m0 )
th ((n, m, k)(n0 , m0 , k 0 )) = th (nn0 , m(n • m0 ), k(n I k 0 )) = ∂1 (m(n • m0 ))nn0
= ∂1 (m)n∂1 (m0 )n0
= th (n, m, k)th (n0 , m0 , k 0 )
tv ((n, m, k)(n0 , m0 , k 0 )) = tv (nn0 , m(n • m0 ), l(n I l0 )) = (nn0 , ∂3 (k(n I k 0 )))
= (nn0 , ∂3 (k)∂3 (n I k 0 ))
= (nn0 , ∂3 (k)(n • ∂3 (k 0 )))
= (n, ∂3 (k))(n0 , ∂3 (k 0 ))
= tv (n, m, k)tv (n0 , m0 , k 0 )
olup başlangıç ve bitiş dönüşümleri birer grup homomorfizmidirler. Yatay ve
dikey bileşke işlemleri için m = ∂3 (l), m1 = ∂3 (l1 ) ve
(n,m)
(n,m,k)
(n,∂3 (k))
(n,∂3 (k),h)
n
(n,∂3 (h))
(n1 ,m1 )
5
)/
n1
(n1 ,m1 ,k1 )
(n1 ,∂3 (k1 ))
(n1 ,∂3 (k1 ),k1 )
/)5 n2
(n1 ,∂3 (k1 ))
olmak üzere
(n1 , ∂3 (k1 ), h1 ) ◦v (n1 , m1 , k1 ) ◦h (n, ∂3 (k), h) ◦v (n, m, k)
= (n1 , m1 , h1 ) ◦h (n, m, h)
= (n, m1 m, h1 h)
83
(n1 , ∂3 (k1 ), h1 ) ◦h (n, ∂3 (k), h) ◦v (n1 , m1 , k1 ) ◦h (n, m, k)
= (n, ∂3 (k1 k), h1 h) ◦v (n, m1 m, k1 k)
= (n, m1 m, h1 h)
olduğundan
(n1 , ∂3 (k1 ), h1 ) ◦v (n1 , m1 , k1 ) ◦h (n, ∂3 (k), h) ◦v (n, m, k)
= (n1 , ∂3 (k1 ), h1 ) ◦h (n, ∂3 (k), h) ◦v (n1 , m1 , k1 ) ◦h (n, m, k)
olup yerdeğişim (interchange) kuralı sağlanır. Şimdi de m0 = ∂3 (l0 ), m01 = ∂3 (l10 )
ve
(n01 ,m01 )
(n0 ,m0 )
n
0
0 0
(n ,m ,k )
(n0 ,∂3 (k0 ))
0
0
0
(n ,∂3 (k ),h )
0
/)5 n0
1
0
0 0
(n1 ,m1 ,k1 )
(n01 ,∂3 (k10 ))
0
0
0
(n1 ,∂3 (k1 ),h1 )
/ )5 n 0
2
(n01 ,∂3 (h01 ))
(n0 ,∂3 (h0 ))
olmak üzere grup işlemi ile yatay ve dikey bileşke işlemlerinin yerdeğişim
kuralını sağladığını gösterelim.
(n1 , m1 , k1 ) ◦h (n, m, k)
(n01 , m01 , k10 ) ◦h (n0 , m0 , k 0 )
= (n, m1 m, k1 l)(n0 , m01 m0 , k10 k 0 )
= (nn0 , m1 m(n • m01 m0 )), k1 k(n I k10 k 0 ))
ve
0
0
0
0
0
0
(n1 , m1 , k1 )(n1 , m1 , k1 ) ◦h (n, m, k)(n , m , k )
= (n1 n01 , m1 (n1 • m01 ), k1 (n1 I k10 )) ◦h (nn0 , m(n • m0 ), k(n I k 0 ))
= (nn0 , m1 (n1 • m01 )m(n • m0 ), k1 (n1 I k10 )k(n I k 0 ))
= (nn0 , m1 m(n • m01 m0 ), k1 (∂1 (m)n I k10 )k(n I k 0 ))
= (nn0 , m1 m(n • m01 m0 ), k1 (∂2 (k)n I k10 )k(n I k 0 ))
= (nn0 , m1 m(n • m01 m0 ), k1 ∂2 (k) I (n I k10 ) k(n I k 0 ))
= (nn0 , m1 m(n • m01 m0 ), k1 k(n I k10 )k −1 k(n I k 0 )
= (nn0 , m1 m(n • m01 m0 ), k1 k(n I k10 )(n I k 0 )
= (nn0 , m1 m(n • m01 m0 ), k1 k(n I k10 k 0 )
84
olup yatay bileşke ile grup-2-grupoid işlemi yerdeğişimlidir. Diğer taraftan
(n, ∂3 (k), h) ◦v (n, m, k) (n0 , ∂3 (k 0 ), h0 ) ◦v (n0 , m0 , k 0 ) = (n, m, h)(n0 , m0 , h0 )
= (nn0 , m(n • m0 ), h(n I h0 ))
ve
0
0
0
0
0
0
(n, ∂3 (k), h)(n , ∂(k ), h ) ◦v (n, m, k)(n , m , k )
= nn0 , ∂3 (k)(n • ∂(k 0 )), h(n I h0 ) ◦v nn0 , m(n • m0 ), k(n I k 0 )
= (nn0 , m(n • m0 ), h(n I h0 ))
olup dikey bileşke ile grup-2-grupoid işlemi yerdeğişimlidir. Birim morfizm
dönüşümleri için
ε(n)ε(n0 ) = (n, eM )(n0 , eM ) = (nn0 , eM (n • eM )) = (nn0 , eM eM ) = (nn0 , eM ) = ε(nn0 )
ve
εh (n)εh (n0 ) = (n, eM , eL )(n0 , eM , eL ) = (nn0 , eM (n • eM ), eL (n I eL ) = (nn0 , eM eM , eL eL )
= (nn0 , eM , eL )
= εh (nn0 )
olup ε ve εh birer grup homomorfizmidirler. εv için
∂3 (l(n I l0 )) = ∂3 (l)∂3 (n I l0 ) = ∂3 (l)(n • ∂3 (l0 ))
eşitliği kullanılarak
0
0
0
0
εv (n, ∂3 (l))(n , ∂3 (l )) = εv nn , ∂3 (l)(n • ∂3 (l ))
0
0
= εv nn , ∂3 (l)∂3 (n I l )
= εv nn0 , ∂3 (l(n I l0 ))
= nn0 , ∂3 (l(n I l0 ), l(n I l0 ))
ve
εv
0
0
0
0
0
n, ∂3 (l) εv n , ∂3 (l ) = n, ∂3 (l), l n , ∂3 (l ), l
0
0
0
= nn , ∂3 (l)(n • ∂3 (l )), l(n I l )
= nn0 , ∂3 (l(n I l0 ), l(n I l0 ))
85
olduğundan εv de bir grup homomorfizmidir.
Son olarak ters morfizm
dönüşümleri için
η (n, ∂3 (l))(n0 , ∂3 (l0 )) = η nn0 , ∂3 (l)(n • ∂3 (l0 ))
= η nn0 , ∂3 (l)∂3 (n I l0 )
0
0
0 −1
−1
= ∂2 (l(n I l ))nn , ∂3 ((n I l ) )∂3 (l )
0
−1
0
−1
0−1
−1
= ∂2 (l)n∂2 (l )n nn , ∂3 (l l)∂3 (n I l )∂3 (l )
= ∂2 (l)n∂2 (l0 )n0 , ∂3 (l−1 )∂3 (l)∂3 (n I l0−1 )∂3 (l−1 )
= ∂2 (l)n∂2 (l0 )n0 , ∂3 (l−1 )(∂2 (l) • ∂3 (n I l0−1 ))
= ∂2 (l)n∂2 (l0 )n0 , ∂3 (l−1 ) ∂2 (l) • (n • ∂3 (l0−1 ))
= ∂2 (l)n∂2 (l0 )n0 , ∂3 (l−1 ) ∂2 (l)n • ∂3 (l0−1 )
−1
0
0
0 −1
= ∂2 (l)n, ∂3 (l)
∂2 (l )n , ∂3 (l )
= η(n, ∂3 (l))η(n0 , ∂3 (l0 )),
benzer ispat yöntemiyle
0
0
0
ηh (n, ∂3 (l), k)(n , ∂3 (l ), k ) = ηh (n, ∂3 (l), k)η(n0 , ∂3 (l0 ), k 0 )
ve
ηv (n, ∂3 (l), k)(n0 , ∂3 (l0 ), k 0 ) = ηv nn0 , ∂3 (l)(n • ∂3 (l0 )), k(n I k 0 )
0
0
0
= ηv nn , ∂3 (l)∂3 (n I l ), k(n I k )
0
0
0
= ηv nn , ∂3 (l(n I l )), k(n I k )
= nn0 , ∂3 (k(n I k 0 )), l(n I l0 )
= nn0 , ∂3 (k)(n • ∂3 (k 0 )), l(n I l0 )
= (n, ∂3 (k), l)(n0 , ∂3 (k 0 ), l0 )
= ηv (n, ∂3 (l), k)ηv (n0 , ∂3 (l0 ), k 0 )
olup birer grup homomorfizmidirler. O hâlde G bir grup-2-grupoiddir.
Aşağıda bu önermenin bir uygulaması olarak bir çaprazlanmış modülden bir
grup-2-grupoid elde edilmiştir.
86
Örnek 2.5.1. (Z, +) ve (Z5 , +) gruplarını ele alalım.
∂ : Z → Z5 ,
z 7→ z
grup homomorfizmi ve
ρ : Z5 × Z → Z,
(z, z1 ) 7→ z • z1 = z1
etkimesi ile (Z, Z5 , ∂, •) bir çaprazlanmış modüldür. Bu çaprazlanmış modülden
Örnek 2.4.2 teki yöntemle (Z, Z, Z5 , ∂, ∂, 1Z ) 2G-çaprazlanmış modülü kolayca
elde edilir.
/
∂
Z
1Z
? Z5
∂
Z
Bu yolla elde edilen 2G-çaprazlanmış modülünden (Z5 , Z5 n Z, Z5 n Z n Z)
grup-2-grupoidi Önerme 2.5.1 deki yöntem kullanılarak şu şekilde elde edilir.
∂(z) = ∂(z + 5k) ifadesi kullanılarak (z1 , z) ve (z1 , z + 5k) ikilileri z1 den z1 + z
ye 1-morfizmler olarak ele alınırlar. (z1 , z) den (z1 , z + 5k) ye 2-morfizm ise
(z1 , z, z + 5k) üçlüsü olarak ele alınır.
(z1 ,z)
z1
(z1 ,z,z+5k)
,
2 z1
+z .
(z1 ,z+5k)
Burada 2-morfizmlerin yatay bileşkesi
(z1 + z, z2 , z2 + 5t) ◦h (z1 , z, z + 5k) = (z1 , z + z2 , z + z2 + 5(k + t))
şeklinde, dikey bileşkesi ise
(z1 , z + 5k, z + 5p) ◦v (z1 , z, z + 5k) = (z1 , z, z + 5p)
şeklinde tanımlanır. Herhangi bir z1 ∈ Z için birim 1-morfizm z1 = (z1 , 0), birim
2-morfism ise z1 h = (z1 , 0, 0) şeklinde, herhangi bir (z1 , z) 1-morfizminin birim
2-morfizmi (z1 , z, z) şeklinde tanımlanır. 2-morfizmlerin grup çarpımları ise
(z1 , z, z + 5k)(z10 , z 0 , z 0 + 5k 0 ) = (z1 + z10 , z + z 0 , z + z 0 + 5(k + k 0 ))
şeklinde tanımlanır.
87
Teorem 2.5.1. Grup-2-grupoidlerin kategorisi G P 2G D ile 2G-çaprazlanmış
modüllerin kategorisi 2GXM OD denk kategorilerdir.
İspat:
K
=
(L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) ve K 0
=
(L0 , M 0 , N 0 , ∂10 , ∂20 , ∂30 ) birer
2G-çaprazlanmış modül ve
< f1 , f2 , f3 > : (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) −→ (L0 , M 0 , N 0 , ∂10 , ∂20 , ∂30 )
bir 2G-çaprazlanmış modül morfizmi olsun. Bu durumda
θ : 2GXM OD −→ G P 2G D
(f1 , f2 , f3 ) 7−→ θ(f1 , f2 , f3 ) = (f3 , f3 × f2 , f3 × f2 × f1 )
şeklinde tanımlı θ fanktoru için
(i) θ(K) nın objelerinin grubu N ,
(ii) θ(K) nın 1-morfizmlerinin grubu N n M ve grup işlemi
(n, m)(n0 , m0 ) = (nn0 , m(n • m0 ))
(iii) θ(K) nın 2-morfizmlerinin grubu N n M n L ve grup işlemi m = ∂3 (l) ve
m0 = ∂3 (l0 ) olmak üzere
(n, m, k)(n0 , m0 , k 0 ) = (nn0 , m(n • m0 ), k(n I k 0 ))
(iv) bileşke işlemleri
◦ : N n M × N n M −→ N n M
(n, m), (n1 , m1 ) 7−→ (n1 , m1 ) ◦ (n, m) = (n, m1 m)
◦h : N n M n L × N n M n L −→ N n M n L
(n, m, k), (n1 , m1 , k1 ) 7−→ (n1 , m1 , k1 ) ◦h (n, m, k) = (n, m1 m, k1 k)
◦v : N n M n L × N n M n L −→ N n M n L
(n, m, k), (n, ∂3 (k), h) 7−→ (n, ∂3 (k), h) ◦v (n, m, k) = (n, m, h)
88
olup θ(K) bir grup-2-grupoiddir.
N 0 n M 0 n j L0
sh
th
f3 ×f2 ×f1
f1
sh
N nM nL
th
tv
tv
sv
/
:/: N
t
t
''
sv
/ 0
8/ > N
>
s
s
N nM
&&
f2 ×f1
N0 n M0
Tersine G = (G0 , G1 , G2 ) ve H = (H0 , H1 , H2 ) birer grup-2-grupoid ve (f0 , f1 , f2 )
bir grup-2-grupoid morfizmi olsun. Bu durumda
δ(G) = (Kersh , Kers, G0 , f2 Kers , f1 Kers , f0 )
h
bir 2G-çaprazlanmış modül olup
δ : G P 2G D −→ 2GXM OD
(f0 , f1 , f2 ) 7−→ δ(f0 , f1 , f2 ) = (f2 Kers , f1 Kers , f0 )
h
şeklinde tanımlı δ bir fanktordur.
Kersh
∂20
f2 Kers
H0
h
f0
∂2
Kersh
∂30
G0
∂3
∂10
∂1
Kers
f1 Kers
Kers
Kategoriler arasındaki dönüşümler
G P 2G D
f : G −→ H grup-2-grupoid morfizmi olmak üzere
S : 1G P 2G D −→ θδ
doğal dönüşümü şu şekilde tanımlanır:
θδ
//
1G P 2G D
G P 2G D şeklinde olup,
89
SG
1G P 2G D (G)
θδ(G)
1(f )
θδ(f )
1G P 2G D (H)
θδ(H)
SH
Burada SG objeler üzerinde birim, a : x −→ x1 1-morfizmi için SG (a) = (x, a1−1
x )
a
ve x
)
5 x1
α
−1
olmak üzere α 2-morfizmi için SG (α) = (x, a1−1
x , α11x )
b
şeklinde tanımlanır.
(x,a1−1
x )
−1
−1
(x,a1x ,α11x )
x
-
1 x1
(x,b1−1
x )
Açıktır ki SG 1-morfizmler ve 2-morfizmler üzerinde birebir ve örtendir. SG nin
a
bileşke işlemlerini ve grup işlemini koruduğunu gösterelim. x
α
)
5 x1
ve
b
a0
x0
α0
) 0
5 x1
olmak üzere
b0
−1
0 0 −1
0 −1
SG (α)SG (α0 ) = (x, a1−1
x , α11x )(x , a 1x0 , α 11x0 )
=
=
=
0 −1
0 −1
−1
xx0 , a1−1
x (x • a 1x0 ), α11x (x I α 11x0 )
0 −1 −1
−1
0 −1 −1
xx0 , a1−1
1
a
1
1
,
α1
1
α
1
1
0
x
1
x
x
x
1x
1x0 1x
x
0 −1
xx0 , aa0 1−1
xx0 , αα 11xx0
= SG (αα0 )
olup SG grup işlemini korur.
a1
a
x
α
b
β
c
$
/ x1
9
α1
b1
β1
a0
$
/ x2
9
ve
c1
x0
α0
b0
0
β
%
/ x0
9 1
olmak
üzere
c0
(x0 ,a0 1−1
)
x0
1-morfizmler ve 2-morfizmler
x0
−1
0 0 −1
(x ,a 1x0 ,α11x0 )
(x0 ,b0 1x0 −1 ) −1
(x0 ,b0 1x0 ,β1−1
1 0)
(x0 ,c0 1−1
)
x0
x
/ 4* x 0
1
ve
90
(x1 ,a1−1
x1 )
(x,a1−1
x )
−1
(x,a1−1
x ,α11x )
−1
(x,b1x )
−1
(x,b1−1
x ,β11x )
−1
(x,c1x )
x
−1
−1
1 ,a1 1x1 ,α11x )
(x−1
1
/ 4* x 1
(x1 ,b1 1x1 )
−1
−1
(x1 ,b1 1x1 ,β11x )
/*4 x2
1
(x1 ,c1 1−1
x1 )
şeklinde olacaktır.
−1
−1
−1
−1
SG (a1 ◦ a) = SG (a1 1−1
x1 a) = (x, a1 1x1 a1x ) = (x1 , a1 1x1 ) ◦ (x, a1x ) = SG (a1 ) ◦ SG (a),
yatay bileşke için
−1
−1
−1
−1
SG (α1 ◦h α) = SG (α1 1−1
1x1 α) = (x, a1 1x1 a1x , α1 11x1 α11x ) = SG (α1 ) ◦h SG (α)
ve dikey bileşke için
(x,b1−1
x )
,
−1
−1
(x,b1x ,1b 11x ) 2 x1
x
(x,b1−1
x )
olmak üzere 2.3 eşitliği kullanılarak
−1
SG (β ◦v α) = SG (β1−1
b α) = SG (β)SG (1b )SG (α)
−1
−1
−1 −1
−1
−1
= (x, b1−1
x , β11x )(x, b1x , 1b 11x ) (x, a1x , α11x )
= SG (β) ◦v SG (α)
olduğu görülür. Diğer taraftan kategoriler arasında yukarıdaki şekilde gösterilen
dönüşümler için
2GXM OD
δθ
//
2GXM OD
12GXM OD
şeklinde olup f = (f1 , f2 , f3 ) : K −→ K 0 bir 2G-çaprazlanmış modül morfizmi
olmak üzere T : 12GXM OD −→ δθ doğal dönüşümü şu şekilde tanımlanır:
12GXM OD (K)
TK
1(f )
12GXM OD (K 0 )
δθ(K)
δθ(f )
TK 0
θδ(K 0 )
Burada TK dönüşümü N üzerinde birim, M üzerinde m 7−→ (eN , m) ve L
üzerinde l 7−→ (eN , eM , l) şeklinde tanımlıdır. O hâlde kategoriler denktir.
3. BÖLÜM
TOPOLOJİK GRUP-2-GRUPOİDLER
Bu bölümde ilk olarak grup-2-grupoid yapısına benzer şekilde topolojik
2-grupoid yapısı kullanılarak topolojik grup-2-grupoid yapısı elde edilecektir.
Daha sonra topolojik çaprazlanmış modüller üzerinde topolojik 2G-çaprazlanmış
modül yapısı inşa edilip, topolojik grup-2-grupoidlerin kategorisi ile topolojik
2G-çaprazlanmış modüllerin kategorisinin denk kategoriler oldukları ispat
edilecektir. Bu bölümde elde edilen sonuçlar [35] referansında verilmiştir.
3.1.
Topolojik 2-Grupoidler
Tanım 3.1.1. Bir G = (G0 , G1 , G2 ) 2-grupoidinde G0 , G1 ve G2 topolojik uzaylar
ve 2-grupoid yapısını oluşturan yapı dönüşümleri ve bileşke işlemlerinin her biri
sürekli ise, G ye bir topolojik 2-grupoid denir [15].
η
G1 ×G0 G1
◦
/
I GO O1
εv sv
G2 ×G1 G2
◦v
t
tv
ε
s
t
//
GO O0 U
sh
th εh
/ G2
G
o
G
G 2
ηv
ηh
◦h
G2 ×G0 G2
Aşikâr topolojik grupoid (trivial groupoid) yapısı kullanılarak bir topolojik
2-grupoid yapısı aşağıdaki örnekte elde edilmiştir.
Örnek 3.1.1. X bir topolojik uzay ve G bir topolojik grup olmak üzere Örnek 2.1.6
da verilen yapısıyla G = (X, X ×G×X, X ×G×G×X) bir topolojik 2-grupoiddir.
(x,g1 ,y)
x
+
(x,g1 ,g2 ,y) 3 y
(x,g2 ,y)
92
Topolojik 2-grupoid yapısını oluşturan
(i) s(x, g, y) = x, sh (x, g1 , g2 , y) = x, sv (x, g1 , g2 , y) = (x, g1 , y),
(ii) t(x, g, y) = y, th (x, g1 , g2 , y) = y, tv (x, g1 , g2 , y) = (x, g2 , y),
(iii) ε(x) = (x, e, x), εh (x) = (x, e, e, x), εv (x, g, x) = (x, g, g, x),
(iv) η(x, g, y) = (y, g −1 , x), ηh (x, g1 , g2 , y) = (y, g1−1 , g2−1 , x),
ηv (x, g1 , g2 , y) = (x, g2 , g1 , y)
şeklinde tanımlı dönüşümlerin ve
(i) (y, h, z) ◦ (x, g, y) = (x, gh, z),
(ii) (y, h1 , h2 , z) ◦h (x, g1 , g2 , y) = (x, g1 h1 , g2 h2 , z),
(iii) (x, g2 , g3 , y) ◦v (x, g1 , g2 , y) = (x, g1 , g3 , y).
şeklinde tanımlı bileşke işlemlerinin sürekli oldukları kolayca görülebilir.
Örnek 3.1.2. G bir topolojik grup olmak üzere G = G × G tek objeli bir topolojik
2-grupoiddir. Burada (g1 , g2 ) ikilisi g1 den g2 ye bir 2-morfizm olarak aşağıdaki
gibi ele alınır:
g1
∗
)
(g1 ,g2 ) 5 ∗
g2
Topolojik 2-grupoid yapısını oluşturan sürekli dönüşümler
(i) sv (g1 , g2 ) = g1 ,
(ii) tv (x, g1 , g2 , y) = (x, g2 , y),
(iii) εh (∗) = e, εh (∗) = (e, e), εv (g) = (g, g),
(iv) η(g) = g −1 , ηh (g1 , g2 ) = (g1−1 , g2−1 ), ηv (g1 , g2 ) = (g2 , g1 )
ve sürekli bileşkeler
93
(i) h ◦ g = hg,
(ii) (h1 , h2 ) ◦h (g1 , g2 ) = (h1 g1 , h2 g2 ) ve
(iii) (g2 , g3 ) ◦v (g1 , g2 ) = (g1 , g3 )
şeklinde tanımlanırlar.
Tanım 3.1.2. G ve H birer topolojik 2-grupoid olsunlar.
Eğer G ve H ın
2-kategorileri üzerinde F = (f0 , f1 , f2 ) : G −→ H bir 2-fanktor olmak üzere
eğer f0 : G0 → H0 , f1 : G1 → H1 ve f2 : G2 → H2 dönüşümleri sürekli ise F
ye bir topolojik 2-grupoid morfizmi denir. Buna göre objeleri tüm topolojik
2-grupoidler ve morfizmleri ise topolojik 2-grupoidler arasındaki 2-fanktorlar
olan bir kategori elde edilir. Bu kategoriye topolojik 2-grupoidlerin kategorisi
denir ve T2G PD ile gösterilir.
Önerme 3.1.1. G bir topolojik 2-grupoid olmak üzere herhangi bir x ∈ G0 objesi
için x den x e tüm 2-morfizmlerin sınıfı
G0 (x) = {αα ∈ G0 (x, x)}
ile gösterilsin.
Buna göre 2-morfizmlerin yatay bileşke işlemiyle birlikte x
noktasındaki 2-morfizmlerin obje grubu (G0 (x), ◦h ) bir topolojik gruptur.
a
x
α
5)
c
x
b
)5
β
c◦a
x = x
d
)
β◦h α 5
x
d◦b
Önerme 3.1.2. Tek objeli her topolojik 2-grupoid bir topolojik grup-grupoiddir.
Önerme 3.1.3. Bir (G, H, ∂, .) topolojik çaprazlanmış modülü verilsin.
durumda ? objesi ile birlikte 1-morfizmleri ?
g
/
Bu
? şeklinde g ∈ G elemanları
ve 2-morfizmleri g den ∂(h)g ye giden (g, h) ∈ G × H ikilileri olarak ele alınsın.
g
(
(g,h) 6 ?
?
g 0 =∂(h)g
1-morfizmler arasındaki yatay bileşke işlemi G nin grup çarpımı olarak,
2-morfizmler arasındaki bileşke işlemi ise yarı-direkt çarpım grubunun işlemi
olarak aşağıdaki şekilde tanımlansın.
g
?
(g,h)
g0
*4
g1
?
(g1 ,h1 )
g10
*4
g1 g
? = ?
(g1 g,h1 (g1 .h))
g10 g 0
2, ?
94
Bu durumda G n H yarı-direkt çarpımı,
(g2 , h2 ) ◦ (g1 , h1 ) = (g2 g1 , h2 (g2 . h1 ))
şeklinde tanımlanan grup çarpımı ile 2-morfizmlerin topolojik grubunu
oluşturacaktır. 2-morfizmler arasındaki dikey bileşke işlemi H ın grup çarpımı
olarak aşağıdaki gibi tanımlansın.
g
g
/%9 ?
(g,h)
g0
0 0
(g ,h )
?
=
?
*4
0
(g,h h)
?
g 00
g 00
Burada g 0 = ∂(h)g ve g 00 = ∂(h0 )∂(h)g = ∂(h0 h) olup u = (g, h) u0 = (g 0 , h0 )
2-morfizmlerinin dikey bileşkesi
u0 u = (g 0 , h0 )(g, h) = (g, h0 h)
şeklinde olacaktır. Yukarıda tanımlanan işlemlerle birlikte G = (G, G n H) yapısı
bir topolojik grup-grupoiddir [7].
3.2.
Topolojik Grup-2-Grupoidler
Tanım 3.2.1. Topolojik 2-grupoidlerin kategorisindeki bir grup objeye bir
topolojik grup-2-grupoid denir. Bir başka ifade ile topolojik 2-grupoidlerin
kategorisinde bir küçük topolojik 2-grupoid G olsun. Grup şartları sağlanacak
şekilde aşağıdaki 2-fanktorlarla birlikte G ye bir topolojik grup-2-grupoid denir.
f
(i) m : G × G → G, x
α
6y
0
, x
α0
α
g
ff0
7→ xx
0
αα0
*
4
yy 0 ,
gg 0
f −1
(
6y
7→ x
* −1
α−1 4 y
−1
11e
ve
g −1
1e
(iii) id : {∗} → G, id{∗} = e
)
5 y0
g0
g
f
(ii) n : G → G, x
f0
(
6
(
e
1e
Bir topolojik grup-2-grupoid yapısı grup-2-grupoidlerin tüm yapısal özelliklerini
sağlar.
95
Örnek 3.2.1. X bir topolojik grup ve G bir değişmeli topolojik grup olmak üzere
Örnek 2.1.6 daki yapısıyla ve aşağıdaki 2-fanktorlarla birlikte G = (X, X × G ×
X, X × G × G × X) bir topolojik grup-2-grupoiddir.
• m : G × G → G, (x, g, h, y)(x0 , g 0 , h0 , y 0 ) = (x + x0 , gg 0 , hh0 , y + y 0 )
• id : {∗} −→ G, e = 0, 1e = (0, 1, 0), 11e = (0, 1, 1, 0)
• n : G −→ G, (x, g, h, y)−1 = (−x, g −1 , h−1 , −y).
Burada G bir değişmeli topolojik grup olduğundan bir 2-fanktor olan m ile
bileşke işlemleri arasında yerdeğişim kuralının (interchange law) sağlandığı
kolayca görülebilir.
Örnek 3.2.2. G değişmeli bir topolojik grup olmak üzere Örnek 3.1.2 deki
yapısıyla G = G × G tek objeli bir topolojik grup-2-grupoiddir. Burada (g1 , g2 )
ikilisi g1 den g2 ye bir 2-morfizm olarak aşağıdaki gibi ele alınır:
g1
)
(g1 ,g2 ) 5
?
?
g2
Topolojik grup-2-grupoid yapısını oluşturan 2-fanktorlar ise
(i) m : G × G → G,
g10
g1
?
)
(g1 ,g2 ) 5
?, ?
)5
g20
g2
g
(ii) n : G → G, ?
(g10 ,g20 )
(g,h)
h
*4
g1 g10
? 7→
0
0
(g1 g1 ,g2 g2 )
?
2?
,
g2 g20
g −1
? 7→ ?
,
(g
−1 ,h−1 )
+3 ?
ve
h−1
e
(iii) id : {∗} → G, id{∗} = ?
(
(e,e) 6 ?
e
şeklinde tanımlanırlar.
Tanım 3.2.2. G, H topolojik grup-2-grupoidler olmak üzere bir f : G → H
grup-2-grupoid morfizmine topolojik grup-2-grupoid morfizmi denir.
Şu
96
hâlde topolojik grup-2-grupoidler ve morfizmleri bir kategori oluşturacaktır.
Bu kategori topolojik grup-2-grupoidlerin kategorisi olarak adlandırılır ve
TG P 2G D ile gösterilir.
Bir topolojik grup-2-grupoid, topolojik grupların kategorisinde bir 2-grupoid
olarak da düşünülebilir.
Ya da bir başka ifade ile topolojik grupların
kategorisindeki iç kategoriler aşağıdaki önermede gösterildiği gibi bir topolojik
grup-2-grupoid yapısı oluşturabilir.
Önerme
Topolojik
3.2.1.
grupların
kategorisinde
(B, A, s, t, ε, ◦),
(B, C, sh , th , εh , ◦h ) ve (A, C, sv , tv , εv , ◦v ) iç kategorileri verilsin. Eğer
εh
s
S
sh
C
//
th
sv
εv
tv
t
s
FB
F
ε
A
diyagramı değişmeli ise,
bu durumda D
=
(B, A, C) bir topolojik
grup-2-grupoiddir.
İspat: Burada D, objelerinin topolojik grubu B, 1-morfizmlerinin topolojik grubu
A ve 2-morfizmlerinin topolojik grubu C olan bir topolojik 2-grupoiddir. Bu
topolojik 2-grupoidde 1-morfizmlerim bileşke işlemi ◦ ile, 2-morfizmlerin yatay
bileşkesi ◦h ile ve 2-morfizmlerin dikey bileşkesi ise ◦v ile tanımlıdır. ◦h ile
◦v birer topolojik grup homomorfizmi olduklarından aşağıdaki gibi gösterilen
yerdeğişim kuralını sağlarlar.
(c4 ◦h c2 ) ◦v (c3 ◦h c1 ) = (c4 ◦v c3 ) ◦h (c2 ◦v c1 )
a1
b1
c4
a2
c3
a3
a4
#
/
; b2
c2
a5
c1
#
/
; b3
a6
A, B, C topolojik gruplarının sürekli grup işlemleri sırasıyla ·A , ·B , ·C olmak
üzere, D üzerinde m : D × D → D 2-fanktoru objeler üzerinde m = ·B ,
97
1-morfizmler üzerinde m = ·A ve 2-morfizmler üzerinde m = ·C olacak şekilde
tanımlansın. Bu şekilde tanımlanan 2-fanktor, grup işlemlerinin birer topolojik
grup homomorfizmi olmasından dolayı aşağıdaki gibi gösterilen yerdeğişim
kuralını sağlar:
(a2 ◦ a1 ) ·A (a02 ◦ a01 ) = (a2 ·A a02 ) ◦ (a1 ·A a01 ),
(c3 ◦h c1 ) ·C (c03 ◦h c01 ) = (c3 ·C c03 ) ◦h (c1 ·C c01 ),
(c2 ◦v c1 ) ·C (c02 ◦v c01 ) = (c2 ·C c02 ) ◦v (c1 ·C c01 )
a01
a1
b1
c4
a2
c3
a3
#
/
; b2
,
b01
c04
a02
c03
0
a3
#
a1 ·A a01
/ b0
7→
; 2
0
c4 ·C c4
a2 ·A a02
0
c3 ·C c3
b1 ·B b01
)
/ b2 ·B b0
2
5
a3 ·A a03
eA
)
eC 5 eB
Diğer taraftan id : {∗} → D, ∗ 7→ eB
olacak şekilde tanımlıdır. O
eA
hâlde D = (B, A, C) bir topolojik grup-2-grupoiddir.
3.3.
Topolojik 2G-Çaprazlanmış Modüller
Herhangi bir topolojik grupoidden bir topolojik çaprazlanmış modül elde
edilebileceğini biliyoruz. O hâlde Önerme 3.2.1 de verilen iç kategorilerden
(Kers, B, t|Kers ) ve (Kersh , B, th |Kersh ) topolojik çaprazlanmış modülleri
aşağıdaki diyagram değişmeli olacak şekilde elde edilebilir.
Kersh
tv |Kersh
th |Kersh
%
/
<B
t|Kers
Kers
Böylece topolojik 2G-çaprazlanmış modülü aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
Tanım 3.3.1. L, M ve N birer topolojik grup, ∂1 : M −→ N , ∂2 : L −→ N sınır
dönüşümü olarak adlandırılan topolojik grup homomorfizmleri ve N topolojik
grubunun M ve L topolojik grupları üzerine
N × M −→ M, (n, m) 7−→ n • m
ve
N × L −→ L, (n, l) 7−→ n I l
98
şeklinde verilen sürekli sol etkimeleri ile birlikte (M, N, ∂1 , •) ve (L, N, ∂2 , I)
topolojik çaprazlanmış modülleri verilsin. Eğer
(i) ∂2 = ∂1 ◦ ∂3
∂2
L
/
∂3
>N
∂1
M
(ii) ∂3 (n I l) = n • ∂3 (l)
N ×L
1N ×∂3
N ×M
/
I
L
∂3
/M
•
olacak şekilde sürekli ve örten bir ∂3 : L → M grup homomorfizmi varsa
(L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) yapısına bir topolojik 2G-çaprazlanmış modül denir.
I
N ×L
∂3
/L
∂2
N
/M o •
~
N ×M
∂1
Topolojik 2G-çaprazlanmış modül şartları değişmeli diyagramlar cinsinden de
ifade edilebilir. ψL , L üzerindeki, ψM , M üzerindeki ve ψN , N üzerindeki sürekli
konjügasyon etkimesini göstermek üzere
L×L
∂2 ×1L
/N
1N ×∂3
×L
1N ×∂2
%
x
/
∂1 ×1M
N ×M o
M ×M
1N ×∂1
N ×N
ψL
I
ψN
8
L
1L
/L
ψM
Nf
∂2
•
∂1
∂3
/
Mo
1M
M
diyagramı değişmeli ise (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) bir topolojik 2G-çaprazlanmış modül
olur.
Örnek 3.3.1. (A, B, ∂, .) topolojik çaprazlanmış modülü verilsin. Ker∂ = N
olmak üzere (A/N, B, ϕ) yapısının
• : B × A/N → A/N, b • (a + N ) = (b . a) + N
99
sürekli etkimesi ve ϕ(a + N ) = ∂(a) sürekli dönüşümü ile birlikte bir topolojik
çaprazlanmış modül olduğunu biliyoruz. O hâlde p : A → A/N, a 7→ a + N
sürekli grup homomorfizmi ile birlikte (A, A/N, B, ϕ, ∂, p) yapısı bir topolojik
2G-çaprazlanmış modüldür.
/
∂
A
p
=B
ϕ
!
A/N
Böylece her topolojik çaprazlanmış modülden bir topolojik 2G-çaprazlanmış
modül elde edilmiş olur. Yine aşağıdaki örnekte her topolojik çaprazlanmış
modülden yine bir topolojik 2G-çaprazlanmış modül farklı bir yolla elde
edilmiştir.
Örnek 3.3.2. (M, N, ∂) bir topolojik çaprazlanmış modül olsun. Bu durumda
(M, M, N, ∂, ∂, 1M ) topolojik 2G-çaprazlanmış modülü aşağıdaki diyagramda
gösterildiği gibi elde edilir.
1M
Tanım
/N
>
∂
M
3.3.2. (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 )
2G-çaprazlanmış modül olsunlar.
!
∂
M
(L0 , M 0 , N 0 , ∂10 , ∂20 , ∂30 )
ve
birer
topolojik
Buna göre θ ◦ ∂3 = ∂30 ◦ φ olmak üzere
eğer
∂20
L0 f
/
ψ
φ
∂2
L
∂30
∂3
8N
?
0
/N
=
∂1
∂10
M
θ
M0
diyagramı değişmeli olacak şekilde < φ, ψ > ve < θ, ψ > topolojik çaprazlanmış
modül homomorfizmleri varsa, (φ, θ, ψ) üçlüsüne bir topolojik 2G-çaprazlanmış
modül homomorfizmi denir ve
< φ, θ, ψ > : (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) −→ (L0 , M 0 , N 0 , ∂10 , ∂20 , ∂30 )
100
şeklinde gösterilir.
Eğer < φ, θ, ψ > : (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) −→ (L0 , M 0 , N 0 , ∂10 , ∂20 , ∂30 ) bir topolojik
2G-çaprazlanmış modül homomorfizmi ise aşağıdaki özellikler sağlanır:
(i) ψ ◦ ∂2 = ∂20 ◦ φ
(ii) ψ ◦ ∂1 = ∂10 ◦ θ
Tanım 3.3.3. Objeleri topolojik 2G-çaprazlanmış modüller, morfizmleri ise
topolojik 2G-çaprazlanmış modül morfizmleri olan kategoriye topolojik
2G-çaprazlanmış modüllerin kategorisi denir ve T2GXM OD ile gösterilir.
Önerme 3.3.1. G = (G0 , G1 , G2 ) bir topolojik grup-2-grupoid ve B = G0 , A =
Kers ve C = Kersh olsun. ∂1 = tA , ∂2 = th C ve ∂3 = tv C olmak üzere
ρ1 : B × A −→ A, (x, a) 7−→ x • a = 1x a1−1
x
ve
ρ2 : B × C −→ C, (x, α) 7−→ x I α = 11x α1−1
1x
sürekli etkimeleriyle birlikte (A, B, ∂1 , •) ve (C, B, ∂2 , I) yapıları birer topolojik
çaprazlanmış modül olup (C, A, B, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) yapısı bir topolojik 2G-çaprazlanmış
modüldür.
C
tv |C
İspat:
th |C
/
?B
t|A
A
Önerme 1.5.4 ten (A, B, ∂1 , •) dörtlüsünün bir topolojik çaprazlanmış
modül olduğunu biliyoruz.
Diğer taraftan Önerme 2.4.1 de (C, B, ∂2 , I)
dörtlüsünün bir çaprazlanmış modül olduğu gösterilmişti.
Burada sadece
süreklilikleri göstermek yeterli olacaktır. ρ2 dönüşümünün sürekliliği
I
B×C
(x, α)
(εh × 1C )
B×C
(11x , α)
f11x
C
11x α1−1
1x
101
diyagramından görülür. Diğer taraftan ∂2 = th C ve ∂3 = tv C kısıtlamaları da
sürekli olacaktır. O hâlde (C, B, ∂2 , I) dörtlüsü de bir topolojik çaprazlanmış
modül olup (C, A, B, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) yapısı bir topolojik 2G-çaprazlanmış modüldür.
3.4.
Kategori Denkliği
Bu
bölümde
topolojik
grup-2-grupoidlerin
kategorisi
ile
topolojik
2G-Çaprazlanmış modüllerin kategorisinin denk oldukları gösterilecektir.
2.
bölümde her grup-2-grupoidden bir 2G-çaprazlanmış modül elde edilebileceğini
ve bunun tersinin de doğru olduğunu göstermiştik. Bu kısımda ise orada elde
edilen dönüşümlerin süreklilikleri gösterilerek topolojik anlamda denk oldukları
ispat edilecektir.
Önerme 3.4.1. (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) bir 2G-çaprazlanmış modül olsun.
Bu
durumda objelerinin topolojik grubu N , 1-morfizmlerinin topolojik grubu N n M
yarı-direkt çarpımı ve 2-morfizmlerinin topolojik grubu N n M n L yarı-direkt
çarpımı olmak üzere aşağıda verilen sürekli grup homomorfizmleriyle birlikte
G = (N, N n M, N n M n L) yapısı bir topolojik grup-2-grupoiddir. Burada
1-morfizmler arasındaki işlemler ve yapı dönüşümleri Önerme 1.5.5 deki şekilde
tanımlanır. l, k ∈ L olmak üzere eğer ∂2 (l) = ∂2 (k) ise (n, ∂3 (l), k) üçlüsü (n, ∂3 (l))
den (n, ∂3 (k)) ya bir 2-morfizm olarak ele alınır.
(n,∂3 (l))
n
(n,∂3 (l),k)
,
2 ∂2 (l)n
(n,∂3 (k))
∂3 (L) = M olduğundan L topolojik grubunun elemanlarını kullanarak yapı
dönüşümlerini tanımlamak daha kolay olacaktır. Bu şekilde tanımlı morfizmlere
göre yapı dönüşümleri aşağıdaki gibi tanımlanır.
(i)
s : N n M → N, (n, ∂3 (l)) 7→ n,
sh : N n M n L → N, (n, ∂3 (l), k) 7→ n
ve
sv : N n M n L → N n M, (n, ∂3 (l), k) 7→ (n, ∂3 (l))
102
şeklinde tanımlı sürekli başlangıç dönüşümleri,
(ii)
t : N n M → N, (n, ∂3 (l)) 7→ ∂2 (l)n,
th : N n M n L → N, (n, ∂3 (l), k) 7→ ∂2 (l)n = ∂2 (k)n
ve
tv : N n M n L → N n M, (n, ∂3 (l), k) 7→ n, ∂3 (k)
şeklinde tanımlı sürekli bitiş dönüşümleri,
(iii) n1 = ∂2 (l)n olmak üzere
◦ : N n M × N n M → N n M,
(n, ∂3 (l)), (n1 , ∂3 (l1 )) 7→ (n1 , ∂3 (l1 )) ◦ (n, ∂3 (l)) = (n, ∂3 (l1 l)),
◦h : N n M n L × N n M n L → N n M n L,
(n, ∂3 (l), k), (n1 , ∂3 (l1 ), k1 ) 7→ (n1 , ∂3 (l1 ), k1 ) ◦h (n, ∂3 (l), k) = (n, ∂3 (l1 l), k1 k)
(n,∂3 (l))
n
(n,∂3 (l),k)
(n1 ,∂3 (l1 ))
,
(n1 ,∂3 (l),k1 ) 2 ∂2 (l1 )n1
,
2 ∂2 (l)n
(n,∂3 (k))
(n1 ,∂3 (k1 ))
(n,∂3 (l1 l))
=
n
1 ∂2 (l1 l)n
(n,∂3 (l1 l),k1 k)
(n,∂3 (k1 k))
ve
◦v : N n M n L × N n M n L → N n M n L
(n, ∂3 (k), h), (n, ∂3 (l), k) 7→ (n, ∂3 (k), h) ◦v (n, ∂3 (l), k) = (n, ∂3 (l), h)
(n,∂3 (l))
n
(n,∂3 (l),k)
(n,∂3 (k))
(n,∂3 (k),h)
)
/ ∂2 (l)n
5
(n,∂3 (l))
=
n
(n,∂3 (h))
şeklinde tanımlı sürekli kısmî bileşke işlemleri
(iv)
ε : N → N n M, n 7→ (n, eM ),
(n,∂3 (l),h)
(n,∂3 (h))
,
2 ∂2 (l)n
103
εh : N → N n M n L, n 7→ (n, eM , eL )
(n,eM )
n
(n,eM ,eL )
+3 n
(n,eM )
ve
εv : N n M → N n M n L, (n, ∂3 (l)) 7→ (n, ∂3 (l), l)
(n,∂3 (l))
,
(n,∂3 (l),l) 2 ∂2 (l)n
n
(n,∂3 (l))
şeklinde tanımlı sürekli birim morfizm dönüşümleri ve
(v)
η : N n M → N n M,
(n, ∂3 (l)) 7→ (n, ∂3 (l)) = (∂2 (l)n, ∂3 (l−1 )),
ηh : N n M n L → N n M n L,
h
(n, ∂3 (l), k) 7→ (n, ∂3 (l), k) = (∂2 (l)n, ∂3 (l−1 ), k −1 )
(n,∂3 (l))
n
(n,∂3 (l),k)
(n1 ,∂3 (l−1 ))
,
2 ∂2 (l)n
−1
−1
(n
1 ,∂3 (l ),k )
(n1 ,∂3 (k−1 ))
(n,∂3 (k))
(n,eM )
= n
(n,eM ,eL )
+3 n
(n,eM )
ve
ηv : N n M n L → N n M n L,
v
(n, ∂3 (l), k) 7→ (n, ∂3 (l), k) = (n, ∂3 (k), l)
(n,∂3 (l))
n
(n,∂3 (l),k)
(n,∂3 (k))
(n,∂3 (k),l)
)/
5
(n,∂3 (l))
şeklinde tanımlı sürekli ters morfizm dönüşümleri.
n1
2, n
104
Yapı dönüşümleri aşağıdaki gibi gösterilebilir.
η
ε
s
q
N
5 K n
OO M
◦
ε v sv
N n M ×N N n M
//
t
N
OO T
sh
tv
th εh
N 5 n FM n L
N n8 F M n L
ηv
ηh
◦v
◦h
N n M n L ×N nM N n M n L
N n M n L ×N N n M n L
İspat: Sürekliliklerin var olduğunu göstermek yeterlidir. Başlangıç dönüşümleri
s, sh , sv , izdüşüm fonksiyonları olarak ele alınabileceklerinden süreklidirler. Bitiş
dönüşümleri için
t
N nM
(1N × ∂1 )
(n, m)
N nN
cN
N nN
n, ∂1 (m)
mN
∂1 (m), n
N
∂1 (m)n
sürekli fonksiyonların bileşkesi olan t süreklidir. Benzer şekilde th de süreklidir.
tv nin sürekliliği ise ∂3 ün sürekliliğinden gelir. Diğer taraftan
◦
N n M ×N N n M
(n, m), (n1 , m1 )
p1 × p2 × p4
N ×M ×M
n, m, m1
1N × cM
diyagramı değişmeli olup ◦ işlemi süreklidir.
N nM ×M
n, m1 , m
1N × mM
N ×M
(n, m1 m)
Benzer diyagram ◦h için de
oluşturulabileceğinden yatay bileşke de süreklidir. Dikey bileşkenin sürekliliği
ise izdüşüm fonksiyonlarının sürekliliğinden gelir. Kısmî işlem için
δ : N n M n L × N n M n L −→ N n M n L
((n, m, k), (n0 , m0 , k 0 )) 7−→ (n, m, k)(n0 , m0 , k 0 )−1
105
(n, m, k)(n0 , m0 , k 0 )−1 = (n, m, k)(n0−1 , n0−1 • m0−1 , n0−1 I k 0−1 )
= (nn0−1 , m(nn0−1 • m0 ), k(nn0−1 I k 0 ))
fark fonksiyonunun sürekliliği grup çarpımları, ters eleman dönüşümleri ve
etkimelerin sürekliliğinden kolaylıkla görülür. Birim morfizm dönüşümü εv nin
sürekliliği
N nL
(1N ×∂3 )
/
N nM
(1N ×∂3 ,1L )
'
εv
N nM nL
diyagramından görülür.
Son olarak ters morfizm dönüşümlerinin sürekli
olduklarını gösterelim.
ηh
N nM nL
(∂1 , 1 × 1 × 1)
mN × nM × nL
(n, m, l)
N nM nL
∂1 (m)n, m, l
N nM nL
∂1 (m)n, m−1 , l−1
ve
N nLnL
(1N ×1L ×∂3 )
N nLnM
(1N ×∂3 ×1L )
(1N ×cL )
/
/
N nM nL
ηv
N nM nL
diyagramları değişmelidir. O hâlde G bir topolojik grup-2-grupoiddir.
Teorem 3.4.1. Topolojik grup-2-grupoidlerin kategorisi TG P 2G D ile topolojik
2G-çaprazlanmış modüllerin kategorisi T2GXM OD denk kategorilerdir.
İspat:
K = (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) ve K 0 = (L0 , M 0 , N 0 , ∂10 , ∂20 , ∂30 ) birer topolojik
2G-çaprazlanmış modül ve
< f1 , f2 , f3 > : (L, M, N, ∂1 , ∂2 , ∂3 ) −→ (L0 , M 0 , N 0 , ∂10 , ∂20 , ∂30 )
bir topolojik 2G-çaprazlanmış modül homomorfizmi olsun. Bu durumda
θ : T2GXM OD −→ TG P 2G D
(f1 , f2 , f3 ) 7−→ θ(f1 , f2 , f3 ) = (f3 , f3 × f2 , f3 × f2 × f1 )
şeklinde tanımlı θ fanktoru için
106
(i) θ(K) nın objelerinin topolojik grubu N ,
(ii) θ(K) nın 1-morfizmlerinin topolojik grubu N n M ve sürekli grup işlemi
(n, m)(n0 , m0 ) = (nn0 , m(n • m0 ))
(iii) θ(K) nın 2-morfizmlerinin topolojik grubu N n M n L ve sürekli grup işlemi
(n, m, k)(n0 , m0 , k 0 ) = (nn0 , m(n • m0 ), l(n I l0 ))
(iv) sürekli bileşke işlemleri
◦ : N n M × N n M −→ N n M
(n, m), (n1 , m1 ) 7−→ (n1 , m1 ) ◦ (n, m) = (n, m1 m)
◦h : N n M n L × N n M n L −→ N n M n L
(n, m, l), (n1 , m1 , l1 ) 7−→ (n1 , m1 , l1 ) ◦h (n, m, l) = (n, m1 m, l1 l)
◦v : N n M n L × N n M n L −→ N n M n L
(n, m, l), (n, ∂3 (l), k) 7−→ (n, ∂3 (l), k) ◦v (n, m, l) = (n, m, k)
olmak üzere θ(K) bir topolojik grup-2-grupoiddir.
N 0 n M 0 n j L0
sh
th
f3 ×f2 ×f1
f1
sh
N nM nL
tv
tv
sv
th
sv
/
:/: N
t
''
/ 0
8/ > N
>
t
s
s
N nM
&&
f2 ×f1
N0 n M0
Tersine G = (G0 , G1 , G2 ) ve H = (H0 , H1 , H2 ) birer topolojik grup-2-grupoid ve
(f0 , f1 , f2 ) bir topolojik grup-2-grupoid homomorfizmi olsun. Bu durumda
δ(G) = (Kersh , Kers, G0 , f2 Kers , f1 Kers , f0 )
h
107
bir topolojik 2G-çaprazlanmış modül olup
δ : TG P 2G D −→ T2GXM OD
(f0 , f1 , f2 ) 7−→ δ(f0 , f1 , f2 ) = (f2 Kers , f1 Kers , f0 )
h
şeklinde tanımlı δ bir fanktordur.
Kersh
∂20
H0
f2 Kersh
f0
∂2
Kersh
∂30
G0
∂3
∂10
∂1
Kers
f1 Kers
Kers
Kategoriler arasındaki dönüşümler
TG P 2G D
θδ
//
1TG P 2G D
TG P 2G D şeklinde
olup, f : G −→ H topolojik grup-2-grupoid morfizmi olmak üzere
S : 1TG P 2G D −→ θδ
doğal dönüşümü şu şekilde tanımlanır:
1TG P 2G D (G)
SG
1(f )
θδ(G)
θδ(f )
1TG P 2G D (H)
SH
θδ(H)
Burada SG objeler üzerinde birim, a : x −→ y 1-morfizmi için SG (a) = (x, a1−1
x ) ve
a
x
α
(
6y
−1
olmak üzere α 2-morfizmi için SG (α) = (x, a1−1
x , α11x ) şeklinde
b
tanımlanır.
(x,a1−1
x )
x
−1
−1
(x,a1x ,α11x )
2y
(x,b1−1
x )
SG nin 1-morfizmler ve 2-morfizmler üzerinde birebir ve örten olduğunu, bileşke
işlemlerini ve grup işlemini koruduğunu biliyoruz. O hâlde kategoriler denktir.
4. BÖLÜM
SONUÇLAR VE ÖNERİLER
4.1.
Sonuçlar
Kategori teorisinde grup objelerin ve kategori denkliklerinin önemli bir
yeri vardır.
Örneğin grup-grupoidlerde karşılaşılan bir problem kategori
denkliği sayesinde çaprazlanmış modüllere aktarılıp daha kolay çözüme
kavuşturulabilir.
Topolojik grup-grupoidlerde de durum böyledir.
Ancak
literatürde 2-grupoidlerin kategorisindeki grup objeler üzerine herhangi
bir çalışma yapılmamıştır.
çalışılmış,
olarak
Bu tezde literatürdeki bu boşluk giderilmeye
2-grupoidlerin kategorisindeki grup objeler grup-2-grupoidler
tanımlanmıştır.
Grup-2-grupoidlere
karşılık
gelebilecek
daha
basit cebirsel yapılar olarak çaprazlanmış modül benzeri bir yapı olan
2G-çaprazlanmış modüller tanımlanarak kategori denkliği gösterilmiştir.
Böylece grup-2-grupoidlerde karşılaşılan herhangi bir problem 2G-çaprazlanmış
modüllerin kategorisine taşınarak daha kolay çözüme ulaştırılabilecektir.
Topolojik grup-2-grupoidler için de durum bu şekildedir.
4.2.
Öneriler
Bu çalışmada tanımlanan iç 2-kategori kavramı ile monoidlerin kategorisindeki
Schreier iç 2-kategori kavramı elde edilebilir.
Benzer şekilde çaprazlanmış
modül kavramı üzerine kurulan 2G-çaprazlanmış modül yapısına benzer şekilde
çaprazlanmış yarı-modüller kullanılarak yeni bir yapı tanımlanabilir.
2-grupoidlerin kategorisinde ve grup-2-grupoidlerin kategorisinde normallik
ve bölüm kavramları araştırılabilir.
Normallik ve bölüm kavramları
109
2G-çaprazlanmış modüllerin kategorisinde de tanımlanarak kategori denklikleri
gösterilebilir.
Bazı özel şartlar altında bir temel grupoidin bir topolojik grup-grupoid olduğunu
biliyoruz. Benzer biçimde temel 2-grupoid tanımı yapılabilir ve hangi şartlar
altında bir topolojik grup-2-grupoid belirlediği araştırılabilir.
110
KAYNAKLAR
1. McLane, S., 1971. Categories For The Working Mathematician, Graduate
Texts in Mathematics, Volume 5, Springer-Verlag, New York, 314.
2. Baez, J., Baratin, A., Freidel, L., ve Wise, D., 2012. Infinite Dimensional
Representations of 2-Groups, Volume 219, Number 1032, Memoirs of
American Mathematical Society, 115.
3. Brown, R. ve Loday, J.L., 1987. Homotopical excision, and Hurwicz theorems,
for n-cubes of spaces, Proceedings of the London Mathematical Society,
54(3):176 – 192.
4. Brown, R., 1987. From groups to groupoids: a brief survey, Bulletin of the
London Mathematical Society, 19:113 – 134.
5. Baez, J.C. ve Lauda, A.D., 2004. Higher-dimensional algebra V: 2-Groups,
Theory and Applications of Categories, 12:423 – 491.
6. Brown, R. ve Spencer, C.B., 1976. G-groupoids, crossed modules and
the fundamental groupoid of a topological group, Proceedings of the
Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen series A,
79(4):296 – 302.
7. Baez, J.C. ve Stevenson, D., 2009. The classifying spaces of a topological
2-group, Algebraic Topology Abel Symposia, 4:1–31.
8. Brown, R., 1999. Groupoids and crossed objects in algebraic topology,
Homology, Homotopy and Applications, 1(1):1 – 78.
9. Whitehead, J.H.C., 1946. Note on a previous paper entitled "On adding
relations to homotopy group", Annals of Mathematics, 47(4):806 – 810.
10. Whitehead, J.H.C., 1949. Combinatorial homotopy II, Bulletin of the
American Mathematical Society, 55:453 – 496.
11. Lack, S., 2010. Towards Higher Categories, Volume 152 of The IMA Volumes
in Mathematics and Its Applications, Springer, 105–190.
111
12. Bénabou, J., 1967. Introduction to bicategories, Reports of the Midwest
Category Seminar Lecture Notes in Mathematics, 47(1):1–77.
13. Baez, J.C. ve Lauda, A.D., 2008. A Prehistory of n-Categorical Physics, to
appear in Deep Beauty:, Mathematical Innovation and the Search for an
Underlying Intelligibility of the QuantumWorld, Cambridge University
Press, 129.
14. Noohi, B., 2007. Notes on 2-Groupoids, 2-Groups and Crossed Modules,
Homology Homotopy Application, 9(1):75–106.
15. Amini, M., 2014. C*-algebras of 2-groupoids, Rocky Mountain Journal of
Mathematic, forthcoming(1).
16. Gürsoy, M.H., İçen, İ. ve Özcan, A.F., 2005. The equivalence of topological
2-groupoids and topological crossed modules, Algebras, Groups and
Geometries, 22(447):447–456.
17. Porter, T., 1987. Extensions, crossed modules and internal categories in
categories of groups with operations, Proceedings of the Edinburgh
Mathematical Society, 30:373 – 381.
18. Forrester-Barker,
M.,
2002. Group objects and internal categories,
arxiv:math/0212065v1[mathCT].
19. Eie, M. ve Chang, S.T., 2010. A Course on Abstract Algebra, World Scientific
Publishing, 665.
20. Brown, R., 2006. Topology and Groupoids, BookSurge LLC, North Carolina.
21. Brown, R., Higgins, P.J., ve Sivera, R., 2011. Nonabelian Algebraic Topology:
Filter sapaces, crossed complexes and cubical homotopy groupoids,
volume 15 of Tracts in Mathematics, European Mathematical Society, 668.
22. Mucuk, O., 2010. Topoloji ve Kategori, Nobel Yayın Dağıtım, 462.
23. Rotman, J.J., 1988. An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag
New York Inc, 433.
112
24. Awodey, S., 2006. Category Theory, Oxford University Press, 311.
25. Mackenzie, K.C.H., 1987. Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential
Geometry, volume 124 of London Mathematical Society Lecture Note
Series, Cambridge University Press, 327.
26. Brown, R. ve Danesh-Naruie, G., 1975. The fundamental groupoid as
a topological groupoid, Proceedings of the Edinburgh Mathematical
Society, 19(2):237 –244.
27. Brown, R. ve Hardy, J.P.L., 1976. Topological groupoids I: Universal
constructions„ Mathematische Nachrichten, 71:273 – 286.
28. Mucuk, O., Kılıçarslan, B., Şahan, T., ve Alemdar, N., 2011. Group-groupoid
and monodromy groupoid, Topology and Its Applications, 158:2034 – 42.
29. Gürsoy, M.H. ve İçen, İ., 2014. The Homomorphisms of Topological
Groupoids, Novi Sad Journal of Mathematics, 44(1):129–141.
30. Mucuk, O., Şahan, T., ve Alemdar, N., 2015. Normality and quotients in
crossed modules and group-groupoids, Applied Categorical Structures,
23:415–428.
31. Norrie, K., 1990. Actions and automorphisms of crossed modules, Bulletin
de la Société Mathématique de France, 118(2):129 – 146.
32. Baez, J.C., 1997. An introduction to n-categories, Category Theory and
Computer Science, 1290(6):1–33.
33. Alemdar, N. ve Temel, S. Group-2-groupoids and 2G-crossed modules,
(İncelemede).
34. Ivancevic, V. ve Ivancevic, T., 2007. Applied Differential Geometry A Modern
Introduction, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1346.
35. Temel, S. ve Alemdar, N. Topological group-2-groupoids and topological
2G-crossed modules, (İncelemede).
113
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
Adı, Soyadı : Sedat TEMEL
Uyruğu: Türkiye (TC)
Doğum Tarihi ve Yeri: 31 Ekim 1981, Ankara
Medeni Durumu: Bekar
Tel: +90 352 207 66 66-33207
email: stemel@erciyes.edu.tr
Yazışma Adresi: Erciyes Üni., Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 38039 KAYSERİ
EĞİTİM
Derece
Yüksek Lisans
Lisans
Lise
Kurum
Mezuniyet Tarihi
Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 2012
Ankara Üni. Fen Fak. Matematik Bölümü
2003
Ankara Açıköğretim Lisesi, Ankara
1999
İŞ DENEYİMLERİ
Yıl
2011–Halen
2011–2011
2011–2011
2008–2010
2007–2008
2005–2007
Kurum
Görev
Erciyes Üni. Fen Fak. Matematik Bölümü
Araştırma Görevlisi
Rize Üni. Fen Fakültesi Matematik Bölümü Araştırma Görevlisi
Ankara Özel Simetri Dershanesi
Matematik Öğretmeni
Ankara Özel Aziziye Lisesi
Matematik Öğretmeni
Ankara Özel Mezun Dershanesi
Matematik Öğretmeni
Ankara Özel PiAnalitik Dershanesi
Matematik Öğretmeni
YABANCI DİL
İngilizce