Slayt 1

www.sakarya.edu.tr
MUKAVEMET
Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ
www.sakarya.edu.tr
1
Şekil değiştiren katı cisimler mekaniği, temel kavramlar, Rijit cisim, Hook cismi, Elastik ve plastik cisim
kavramlarının açıklanması
2
Taşıyıcı sistemlerin temel yükleme durumları, emniyet katsayısı ve emniyet gerilmelerinin belirlenmesi.
3
Gerilmenin tanımı ve gerilme çeşitleri,
4
Taşıyıcı sistemlerde değişik yükleme tiplerine gör Kesit Tesiri Diyagramlarının çizilmesi.
5
Gerilme ve uzama arasındaki ilişkiler –Elastisite modülü ve Poisson oranı
6
Eksenel Normal gerilme analizi ve uygulamaları. Boyutlandırma ve şekil değiştirme hesaplamaları
7
Eksenel Normal gerilmede termal etki, üç mafsallı çubuk taşıyıcı sistemleri,ince cidarlı halka vb. etkilerin
hesaplanması
8
Kesme -Kayma- gerilmesi analizi ve uygulamaları
9 Burulma gerilmesi ve uygulamaları
10 ARA SINAV
11 Burulma gerilmesi ve uygulamaları
12 Basit eğilme gerilmesi, elastik eğri metotları ve uygulamaları
13 Birleşik gerilmeler ve uygulamaları
14 Burkulma ve uygulamaları
www.sakarya.edu.tr
TEMEL KAVRAMLAR
www.sakarya.edu.tr
MADDE VE ÖZELLİKLERİ
MADDE
• Uzayda yer kaplayan, kütlesi olan, eylemsizliğe
uyan varlıklara madde denir.
• Madde katı, sıvı ve gaz halinde bulunabilir.
• Maddenin şekil almış haline cisim denir.
www.sakarya.edu.tr
MADDE VE ÖZELLİKLERİ
MADDENİN ORTAK ÖZELLİKLERİ
1.
2.
3.
Kütle: Değişmeyen madde miktarıdır. “m” ile gösterilir. Birimi kg.
dır. Terazi ile ölçülür. Skaler büyüklüktür.
Hacim: Maddelerin uzayda kapladığı yerdir. V ile gösterilir. Birimi
m³ tür. Skaler büyüklüktür. Katıların belirli bir hacmi ve şekli vardır.
Sıvıların belirli bir hacmi vardır fakat şekli yoktur içinde
bulundukları kabın şeklini alırlar. Gazların belirli bir şekli ve
hacimleri yoktur içinde bulundukları kabın hacmini ve şeklini
alırlar. Katı ve sıvılar sıkıştırılamazken gazlar sıkıştırılabilir.
Eylemsizlik: Bir maddenin hareket durumunu koruma eğilimidir.
Örneğin aniden fren yapan bir araçtaki yolcular öne savrulur.
Duran madde durmaya devam eder hareket eden hareketini
devam ettirmek ister.
www.sakarya.edu.tr
MADDE VE ÖZELLİKLERİ
AĞIRLIK
• Bir maddeye bulunduğu noktada etki eden kütle
çekim kuvvetidir. G ile gösterilir. Vektörel
büyüklüktür. Birimi Newton (kg.m/s²) dur.
Dinamometre ile ölçülür.
• Kütlesi m olan bir cismin ağırlığı G=m.g eşitliği ile
hesaplanır.
• Yeryüzünde yer çekimi ivmesinin değeri g=9,81
m/s² dir. (Yeryüzünde en büyük çekim kutuplarda
en küçük çekim ekvatordadır.)
www.sakarya.edu.tr
MADDE VE ÖZELLİKLERİ
AĞIRLIK
• Farklı kütledeki x,y,z cisimlerinin çekim ivmesinin farklı
olduğu iki ayrı noktadaki ağırlıkları;
x
y
z
mx =5 kg.
my =10 kg.
mz =15 kg.
g1 = 10 m/s²
Gx =50N. Gy =100N. Gz=150N.
g2 = 5 m/s²
Gx =25N. Gy =50N.
Gz =75N.
www.sakarya.edu.tr
ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER
• A herhangi bir sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere
An=A.A.A.........A (n tane) sayısı A’ nın n inci kuvvetidir.
• Üslü işlemlerin kuralları
A0=1
A1=A
A n. A m = A n+m
A n / A m = A n-m
A 1/n =
(An)m = An.m
(A.B)n = A n . B n
www.sakarya.edu.tr
ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER
10 SAYISI İLE İLGİLİ ÜSLÜ İŞLEMLER
•
100=1
Bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.
• 103 =1000 1 sayısının sağına 3 sıfır (kuvvet değeri kadar) yazılır.
• 10-3 =0,001 1 sayısının soluna 3 sıfır (kuvvet değeri kadar) yazılır.
•
Tabanlar aynı ise üstler toplanır.
• 104.102=104+2=106
• 104.10-2=104-2=102
•
Sayının kuvveti ile parantez üstündeki sayı çarpılır.
• (103) 2=103.2=106
•
Paydadaki kuvvet işaret değiştirerek üste çıkar
• 1 / A3 = A-3
• 1 / A-3 = A3
www.sakarya.edu.tr
ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER
10 SAYISI İLE İLGİLİ ÜSLÜ İŞLEMLER
Örnek:
İşleminin sonucunu bulunuz.
= 3.103 =3000
www.sakarya.edu.tr
ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER
10 SAYISININ ALT VE ÜST KATLARI
Altkat
Önek
Kısaltma
Üstkat
Önek
Kısaltma
10-18
atto
a
10
deka
da
10-15
femto
f
102
hekto
h
10-12
pico
p
103
kilo
k
10-9
nano
n
106
mega
m
10-6
mikro
µ
109
giga
g
10-3
mili
m
1012
tera
t
10-2
centi
c
1015
peta
p
10-1
desi
d
1018
exa
e
www.sakarya.edu.tr
ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER
10 SAYISININ ALT VE ÜST KATLARI
15 mA = …..A
= 15.10-3 A
= 0,015 A
25 kV = ….. V
=25.103 V
=25000 V
750 µV = …..mV
=750.10-6 V
=0,75 m V
5400 kW = …..MW
= 5400.103 W
= 5,4.103.103 W
= 5,4.106 W
= 5,4 MW
0,56 mH = …..µH
= 0,56.10-3 H
= 0,56.10-3.103 H
= 0,56.10-6.103, H
= 0,56.103.10-6 H
= 0,56.103 µH
= 560 µH
0,36 MHz = …..kHz
= 0,36.106 Hz
= 0,36.103.103 Hz
= 0,36.103 kHz
= 360 kHz
www.sakarya.edu.tr
ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER
Örnek : 90 km/saat kaç m/s eder ?
Örnek :15 m/s kaç km/saat eder ?
www.sakarya.edu.tr
KÖKLÜ SAYILARLA İŞLEMLER
1)
2) n
ifadesine A sayısının n inci dereceden kökü denir.
Örnek:
= 41/2 = 22/2 = 2
Köklü İşlemlerin Kuralları
= A1/n
= 91/2 = 32/2 = 3
1/3 = 23/3 = 2
m
=
8
m/n
=
A
A
3) n A
n
4)
5)
=A
=
n
A
B
=
.
n
n
A
B
www.sakarya.edu.tr
PİSAGOR TEOREMİ
• ABC dik üçgeninde;
bağıntısına “Pisagor Teoremi” denir.
a: Hipotenüs
b: Dik kenar
c: Dik kenar
Örnek:
Şekildeki üçgende
b = 3 ve c = 4 ise a=?
a2 = 3 2 + 4 2
a2 = 9 + 16 = 25 = 52
a=5
www.sakarya.edu.tr
TRİGONOMETRİK İFADELER
a:Hipotenüs
b:Karşı Dik kenar (ϴ açısına göre)
c:Komşu Dik kenar (ϴ açısına göre)
Sin =
Sinϴ =
,
Sinβ=
Cos=
Cosϴ=
,
Cosβ=
Tan=
Tanϴ=
,
Tanβ=
www.sakarya.edu.tr
MEKANİK
KATI
CİSİMLERİN
MEKANİĞİ
RİJİT CİSİMLER
STATİK
AKIŞKANLAR
MEKANİĞİ
ŞEKİL
DEĞİŞTİREN
CİSİMLER
Mekanik; Dış
kuvvetlerin
etkisi altındaki
cisimlerin
hareketini ve
dengesini
araştıran bir
bilim dalıdır.
DİNAMİK
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
• Statik duran yada düzgün hareket yapan cisimlerin
durumlarını ve birbirleri ile etkileşimlerini inceleyen
bilim dalıdır. Statikte cisimlerin rijit olduğu, yani
kuvvetlerin tatbiki ile cisimlerde herhangi bir şekil
değişmesinin olmadığı kabul edilir. Bu kabul bazı
cisimler taş, demir vs. için ihmal edilebilir hatalar
meydana getirmekte ise de bir çok malzemeler lastik,
mantar, ağaç vs. için büyük hatalar doğurmaktadır.
• Cisimlerin tatbik edilen kuvvetlerden ötürü, şekil
değiştirmesi, değişme miktarı ve bununla ilgili kanunlar
«cisimlerin mukavemetini» meydana getirir.
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
• Fizikte büyüklükler skaler ve vektörel olmak üzere
ikiye ayrılır.
• Sayısal büyüklüğü ve birimi ile tam olarak ifade
edilebilen büyüklükler skaler büyüklüklerdir.
• Sayısal büyüklüğü, birimi, doğrultusu ve yönü ile tam
olarak ifade edilebilen büyüklükler vektörel
büyüklüklerdir.
• Kuvvet şiddetinin yanında yönü ve doğrultusu ile
belirtilen bir büyüklüktür. Bu bakımdan kuvvet
vektörel bir büyüklüktür.
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
KUVVET
• Kuvvet, bir cismin diğer bir cismin durumunu veya
şeklini değiştirme etkisidir. Bu kavram, etkiyi yapan
cisme karşı diğer cismin de bir tepkisi olacağını ortaya
koyar. Bu Newton’un meşhur «etki tepkiye eşittir»
kanunudur.
• Bir cisme tatbik edilen kuvvet, o cismin ya şeklini ya
hareketini veya her ikisini değiştirmesine sebep olur.
Şekil değiştirmenin ihmal edilebilecek düzeyde
olması, tepki kuvvetlerinin hesabını kolaylaştırır.
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
KUVVETLERİN ÖZELLİKLERİ
• Yön,doğrultu, büyüklük ve birimleri aynı olan
kuvvetlere eşit kuvvetler denir.
• Doğrultu, büyüklük, birimleri aynı fakat yönleri zıt
olan kuvvetlere zıt kuvvetler denir (bir kuvvet -1 ile
çarpılırsa zıttı elde edilir).
F1
F4
F1 = F2 = -F3
F2
F3
F1 ve F2 kuvvetleri birbirine
eşit ve F3 kuvvetine zıttır. F4
kuvveti ise sadece büyüklük
olarak onlara eşittir.
-F3
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
KUVVETLERİN ÖZELLİKLERİ
• Bir F kuvveti pozitif skaler bir k sayısı ile çarpılırsa, F
ile aynı yönde k.I F I büyüklüğünde bir kuvvet olur.
• Bir F kuvveti negatif skaler bir -k sayısı ile çarpılırsa, F
ile zıt yönde k.I F I büyüklüğünde bir vektör olur.
F1
2F1
F2
F3
-3F2
-F3
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
• İki yada daha fazla kuvvetin yaptığı etkiyi tek
başına yapan kuvvete bileşke kuvvet denir.
 F1 + F2 + F3 = R gibi bir eşitlikte F1, F2, F3
kuvvetleri bileşen R kuvveti bileşkedir.
Bileşke kuvvet bulma yöntemleri;
• Uç uca ekleme yöntemi
• Paralel kenar yöntemi
• Dik bileşenlere ayırma yöntemi
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
Uç uca ekleme yöntemi
Örnek:
Örnek:
F2
F2
F3
I F1I = 3N.
F1
R
F1
R
I F2I = 4N.
F4
F1 + F 2 + F3 + F4
F1 + F2 = R
2
I F1I = 3N.
I F2I = 2N.
I F3I = 2
I F4I =
2
I R I = I F1I
2
I R I = 32 +
I RI = 5
+
I F2I
42 =
2
9+16 = 25
N.
N.
= R
R nin büyüklüğü pisagor bağıntısından hesaplanır.
1
2
2
R
IR I = 12 +
IR I =
22
=
1+4=5
N.
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
Uç uca ekleme yöntemi
Örnek:
F2
F1
Not: Bu üç kuvvetten herhangi ikisinin
bileşkesi her zaman üçüncüye eşit ve zıttır.
F3
F1 + F2 + F3 = 0
F1 + F2 = - F3
F1 + F2
F1 + F3 = - F2
F1
F2 + F3 = - F1
F3
F2
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
Uç uca ekleme yöntemi
Örnek:
Örnek:
F2
F2
F3
F1
- F4
F1
F3
- F3
F5
F4
F4
F1 + F2 + F3 = F4
F1 + F2 + F3 = 0
F1 + F2 + F3 - F4 = 0
F1 + F2 + F3 + F4 = 2 F4
F3 + F4 + F5 = 0
F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = - F3
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
Paralel kenar yöntemi
Paralel kenar yönteminin
nasıl uygulanacağını gösteren
animasyon için tıklayınız.
F1 + F2 = R
α = 0 ise vektörler aynı yönlü ve bileşke en büyük değerdedir. R = F1 + F2
α = 180 ise vektörler zıt yönlü ve bileşke en küçük değerdedir. R = F1 - F2
α = 90 ise vektörler birbirine dik ve bileşke
şeklinde hesaplanır.
Bu durumda bileşke
aralığında değerler alır.
Açı büyüdükçe bileşke küçülür.
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
Paralel kenar yöntemi
• Örnek: 2 N ve 5 N luk iki kuvvetin bileşkesi kaç N olabilir?
Çözüm: |2 - 5| ≤ R ≤ |2 + 5 |= │-3│≤ R ≤ │7│= 3 ≤ R ≤ 7
• Örnek: 2 N, 5 N, 5N luk üç kuvvetin bileşkesi 0 olabilirmi?
Çözüm: Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi, 2 ve 5 N luk iki kuvvetin
bileşkesi 5 N olabildiğine göre, üçüncü 5 N luk kuvvet bu ikisinin
bileşkesi olan 5 N‘ a ters yönlü alındığında üç kuvvetin bileşkesi 0
olabilir.
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
•
BİLEŞKE KUVVET
Paralel kenar yöntemi
Özel Durum: Özel açı ve eşit
• Örnek:
kuvvetler olması hali
F1 + F 2 + F 3 = R
ise R = ?
ve F1 = F2 = F3 = 5 N.
F1
120
90
F1 + F 2
120
120
F3
F2
F1 = F2 = F3 olduğundan F1 + F2 = -F3 tür. Bunun için de
F1 + F2 + F3 = R ifadesi -F3 + F3 = R
olduğundan R = 0 dır.
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
Dik bileşenlere ayırma yöntemi
• Bir vektörün dik bileşenleri vektörün başlangıç ve bitim
noktalarından o eksene dik inilerek elde edilir.
y
Fy
0
F = Fx + Fy
A vektörünün x ekseni üzerindeki izdüşümü; yani A
vektörünün yatay bileşeni,
F
Fx
F x = F . cos α
x
A vektörünün y ekseni üzerindeki izdüşümü; yani A
vektörünün düşey bileşeni,
F y = F . sin α
F vektörünün büyüklüğü
F2 = Fx2 + Fy2 dir.
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
Dik bileşenlere ayırma yöntemi
Örnek:
y
F6
x
F1
F2
F5
x
F4
F3
F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 = R
y
y
F1
+1 +2
F2
+3 +1
F3
+2
-1 Ry
F4
0
-1
F5
-2
0
F6
-1
+3
Rx
R
3
4
R2 = Rx2 + Ry2
tanα = 4 / 3
R
α = 53 ͦ
x
R2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
R= 5
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
Dik bileşenlere ayırma yöntemi
• Bir noktada kesişen kuvvetlerin bileşkesi;
F1 + F2 + F3 = R
F1x = F1 . Cos θ F1y = F1 . sin θ
F2x = -F2
F2y = 0
F3x = 0
F3y = -F3
θ
X ve y doğrultusundaki bileşenlerin cebrik
toplamı
ve
Bileşke
yaptığı açı α;
, bileşkenin x ekseni ile
bağıntısıyla hesaplanır.
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
Dik bileşenlere ayırma yöntemi
F1 + F2 + F3 = R
ve
F1 = 10 N. F2 = 5 N. F3 = 2 N.
F1x = F1 . Cos 37 = 10 . 0,8 = 8N.
F2x = F2 = 5N.
F3x = 0
θ
F1y = F1 . sin 37 = 10 . 0,6 = 6N.
F2y = 0
F3y = F3 = 2N.
y
θ=37
Sin 37 = 0,6
Cos 37 = 0,8
Ry = 4N.
Örnek:
R
α
Rx = 3N.
x
x
y
F1
+8 +6
F2
-5
0
F3
0
-2
R
3
4
R2 = 32 + 42 = 9 + 16
R2 = 25 N.
R=5
Tan α = 4 / 3
α = 53 ͦ
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
BİLEŞKE KUVVET
ÖDEV:
F1 + F2 + F3 = R
ve
F1 = 15 N. F2 = 5 N. F3 = 9 N.
F1y = ?
F2y = ?
F3y = ?
F1x = ?
F2x = ?
F3x = ?
θ
θ=53
Sin 53 = 0,8
Cos 53 = 0,6
R bileşke kuvveti
grafik üzerinde
gösteriniz?
x
y
F1
F2
F3
R
R2 = Rx2 + Ry2
R=?
y
x
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
KUVVET VE VAZİYET PLANLARI
• Bir cisim üzerine tatbik edilen kuvvetleri serbest vektörler halinde
göstermeğe kuvvet planı denir. Cisim durmakta veya düzgün harekette
bulunuyorsa kuvvet poligonu kapalıdır.
• Vaziyet planı ise kuvvetlerin tatbik noktaları dahil, yönlerini cisim
üzerinde gösteren plandır.
• Aşağıdaki yüklü sistemin vaziyet ve kuvvet planlarını gösterelim.
Vaziyet planı
Kuvvet planı
G
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
MOMENT (TORK)
• Moment (Tork): Kuvvetin döndürücü etkisidir.
M ile gösterilir. Vektörel büyüklüktür.
F4
F3
.
O
F2 F1
F3
F4
.O
F4
Saat yönüne ters
yönde döner
F1
F3
F1
F3
F2
.
O
F1
F4
F4
F4
F2
F3
.
O
F2
F1
F1
.O
F2
Saat yönünde döner
.O
F2
F3
Kuvvetlerin doğrultusu dönme
noktasından geçerse sistem dönmez.
(M=0)
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
MOMENT (TORK)
Yandaki şekilde gösterilen ve bir cıvata başlığını
döndürmeye çalışan anahtar üzerinde moment kavramını
irdelemeye çalışalım. Anahtarın koluna P ve Q gibi eşit iki
kuvvet etki etsinler. Bu iki kuvvetten anahtar koluna dik
olarak etki eden, P kuvvetinin, şiddetçe Q kuvvetine eşit
olmasına rağmen daha önemli olduğu söylenebilir. Bu
durum bize bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin
şiddetinin ölçüsünü anlamada yardımcı olacaktır ve
göreceğiz ki kuvvetin momentinin şiddeti, kuvvetin
moment merkezine olan dik uzaklığıyla doğru orantılıdır.
Bir momentin şiddeti, kuvvetin şiddeti ile, cismin dönme noktasının etki doğrusuna olan uzaklığının
çarpımı olarak ifade edilir. Bu uzaklık kuvvet kolu olarak da adlandırılır. Kuvvet kolunun dik uzaklık olduğu
unutulmamalıdır.
Moment = Kuvvet x Kuvvet kolu
(Birimi: Newton x metre)
M= F x L
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
MOMENT (TORK)
• Örnek:
• Örnek:
O noktası etrafında dönebilen çubuk şekildeki
gibi 10 N. luk bir kuvvet etkisinde kaç N.m lik
bir moment etkisinde kalır?
(Sin 37 = 0,6
O noktası etrafında dönebilen çubuk şekildeki
gibi 10 N. luk bir kuvvet etkisinde kaç N.m lik
bir moment etkisinde kalır?
O
.
d = 5m.
O
.
.
F = 10N.
F
F = 10N.
M = F x d = 10N. x 5m. = 50 Nm
Cos 37 = 0,8 )
d = 5m.
Fx
α = 37
.
Fy
F
Fx = F.Cos37
= 10 . 0,8 = 8N.
Fy = F.sin 37
= 10 . 0,6 = 6N.
Mx = 0
My = Fy .d
= 6.5 = 30 N.m.
∑ M = 30 N.m
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
DENGE
•
•
Herhangi bir cisme etki eden kuvvetlerin x ve y yönündeki izdüşümlerinin cebrik
toplamının sıfır olması cismin denge şartlarıydı. Burada cisme etki eden
kuvvetlerin, cisme olan etkisinin, onu doğrusal olarak harekete zorladığı
varsayımına dayanıyordu. Halbuki bir cisme etki eden kuvvetler, cisme döndürme
etkisi de yapabilir. Bu durumda, bir kuvvetin bir cismi sabit bir nokta etrafında
döndürme etkisi üzerinde durulmalıdır. Çünkü kuvvet etkisindeki bir cismin ,
kuvvetin etkisi doğrultusunda hareket eğiliminde bulunması yanında , kuvvet
cismi, kuvvetin etki çizgisi (doğrultusu) ile kesişmeyen bir eksen etrafında
döndürmekte ister.
Bir maddesel noktanın dengede olması demek hiçbir hareket özelliği taşımaması
demektir. Bunun için ana (temel) doğrultular olan X doğrultusu ve Y
doğrultusunda hareket etmemesi gerektiği gibi, olduğu yerde dönmemesi de
gerekmektedir. Kısacası aşağıdaki şartları taşımalıdır.
1) ∑Fx = 0 ( x doğrultusunda hareket olmaması için)
2) ∑Fy = 0 ( y doğrultusunda hareket olmaması için )
3) ∑M = 0 ( Dönme olmaması için)
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
DENGE
PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ VE DENGESİ
Aynı yönlü paralel kuvvetler
T =-R
.
O
d1
d2
F1
F2
R = F 1 + F2
Aynı yönlü paralel kuvvetlerin bileşkesi,
kuvvetler eşit ise tam ortada farklı ise büyük olan
kuvvete daha yakın olacak şekilde kuvvetler
arasında, kuvvetlerle aynı yönde ve kuvvetlerin
toplamı kadar olur.
Sistemi dengelemek için bileşkenin olduğu
yerden asmak gerekir.
İpte bileşkeye eşit şiddette bir gerilme
oluşacağından bileşkenin sıfır olma şartı sağlanır.
İpteki gerilme; T = F1 + F2 dir.
Sistem bileşkenin olduğu yerden asılarak dönme
engellenmiş olur ve toplam momentin sıfır olma
şartı sağlanır.
∑M = 0 ; F1 . d1 = F2 . d2
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
DENGE
PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ VE DENGESİ
Zıt yönlü paralel kuvvetler
a)F1 ˃ F2 ise
b) F1 ˂ F2 ise
F1 R = F + F
1
2
T =-R
.
d2
F2
d1
O
F2
d1
R = F1 + F2
F1
d2
.
O
T =-R
Zıt yönlü paralel kuvvetlerin
bileşkesi, kuvvetlerin dışında büyük
kuvvet tarafında ve yönünde ve
kuvvetlerin farkı kadardır.
Sistemi dengelemek için bileşkenin
olduğu yerden asmak gerekir.
İpte bileşkeye eşit şiddette bir
gerilme oluşacağından bileşkenin
sıfır olma şartı sağlanır.
Sistem bileşkenin olduğu yerden
asılarak dönme engellenmiş olur ve
toplam momentin sıfır olma şartı
sağlanır.
1) ∑F= 0 ; T = R = F1 - F2
2) ∑M = 0 ; F1 . d1 = F2 . d2
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
DENGE
PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ VE DENGESİ
Kuvvet Çifti
c)F1 = F2 = F ise
F2
.
O
d
F1
d
Aynı şiddette olan ve tesir çizgileri (doğrultuları) paralel ve yönleri
ters (zıt) olan kuvvetlere kuvvet çifti denir veya böyle kuvvetler bir
kuvvet çifti oluştururlar
Bu iki kuvvetin her hangi bir doğrultudaki bileşenleri toplamı
sıfırdır. Buna karşın, bu iki kuvvetin verilen bir noktaya göre
momentleri toplamı sıfır değildir. Böyle iki kuvvet etki ettikleri rijit
cisim üzerinde öteleme değil, döndürme etkisi meydana getirirler.
Bu iki kuvvetin bulunduğu düzlemdeki , bir O noktasından geçen ve
bu düzleme dik olan bir eksene göre , bu kuvvetlerin momentleri,
kuvvet çifti olarak tanımlanır ve şiddeti;
∑M= F . d + F . d = 2Fd
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
DENGE
PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ VE DENGESİ
Örnek:
Ağırlığı önemsiz çubuk üzerine şekildeki gibi 10N. luk x, y cisimleri asıldığında
a) Dengede kalması için çubuğu hangi noktadan asarız?
b) İpte kaç N. gerilme oluşur?
Çözüm:
a) X ve Y eşit ağırlıkta olduğundan bileşke
T = R = 20N.
ağırlık tam ortada toplanacaktır bu durumda
A B C O D E
F
dengede kalması için çubuğu tam ortadan
asmamız gerekir.
b) İpteki gerilmede cisimlerin toplam ağırlığı
kadar olur.
y
x
 T = R = 20 ; ∑F= 0
10N.
10N.
 Mx = My = 30 ; ∑M = 0
R = 20N.
My = 10.3 =30
M = 10.3 = 30
x
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
DENGE
PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ VE DENGESİ
Örnek:
Ağırlığı önemsiz çubuk üzerine 10N. luk x cismi ve ağırlığı bilinmeyen y cismi asıldığında
şekildeki gibi dengede kalmaktadır bu durumda
a) Y nin ağırlığı kaç N. Dur?
b) İpte kaç N. gerilme oluşur?
Çözüm:
a) ∑M = 0 ; Mx = My
T =?
10.4 = Gy . 2
A B C O D E
F
Gy = 20N.
b) ∑F= 0 ; T = R = 10+20 = 30N.
y
x
10N.
Gy = ?
www.sakarya.edu.tr
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
DENGE
• Örnek: Ağırlığı 2 kN olan homojen dikdörtgenler prizmasının
devrilmemesi için F kuvveti en fazla kaç kN olmalıdır?
Çözüm : Devrilmesi için dönme zemindeki köşe
etrafında olacağından, bu köşeye göre toplam
moment sıfır olursa dengede olur.
Devrilme A noktası etrafında olacağından
devrilmemesi için
A
;F.80=W.20 , F.80=2.20 , F=0,5 kN
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
DENGE
• Örnek: Şekildeki AB çubuğunun ağırlığı W=100 N. F=50 N ise A
ve B mafsallarındaki reaksiyon (tepki) kuvvetinin değeri kaç N
dur?
Sin 53 = 0,8 Cos 53 = 0,6
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
DENGE
• Çözüm:
∑Fx = 0; Ax = Fx = 30N.
Fx = F . Cos 53 = 50 . 0,6 = 30N.
Fy = F . sin 53 = 50 . 0,8 = 40N.
; By . 4= 100.2 + 40.3
By .4= 320
By = 80 N dır.
∑FY = 0; AY + BY = W + FY
AY + 80 = 100 + 40
AY = 140 – 80 = 60N.
A2 = Ax 2 + AY 2
A2 = 302 + 602 = 900 + 3600
A2 = 4500 N. A = 67N.
STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
DENGE
• ÖDEV: Şekildeki AB çubuğunun ağırlığı W=50 N. F=25 N ise A
ve B mafsalındaki reaksiyon (tepki) kuvvetinin değeri kaç N
dur?
Sin 53 = 0,8 Cos 53 = 0,6