ünite 1. - Dersyap

TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
1. ÜNİTE
TEMEL GEOMETRİK
KAVRAMLAR VE
KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
+
+
+
+
Nokta, Doğru, Doğru Parçası, Işın, Düzlem ve Uzay Kavramları
Koordinat Doğrusu ve Uygulamaları
Düzlemde Dik Koordinat Sistemi ve Uygulamaları
Analitik Düzlemde Vektör, Vektörlerde Toplama ve Vektörün Gerçek
Sayı ile Çarpım İşlemleri
+ Açı, Açı Ölçüsü ve Uygulamaları
+ Analitik Düzlemde Bir Doğrunun Denklemleri ve Uygulamaları
Ufuk çizgisinin hangi geometrik yapıya model
olabileceğini tartışınız.
1
1. ÜNİTE
NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY
Yandaki resmi inceleyiniz.
Voleybol sahasının çizgilerini bir
kroki ile gösteriniz. Her iki takım
oyuncularının kendi sahalarındaki
konumunu bu kroki üzerinde
işaretleyiniz.
Kroki üzerinde oyuncuların konumunu hangi işaret ile gösterdiniz?
Mavi formalı voleybol oyuncularından file önündeki üç oyuncunun birbirine göre konumları için ne
söyleyebilirsiniz?
1
Harita üzerindeki işaretleri inceleyiniz. Bu işaretlerin neyi gösterdiğini söyleyiniz.
Kullanılan farklı işaretler gibi nokta modeli olan örnekler veriniz.
İzmir ile Uşak şehirlerinin yerlerini belirten noktaları bir cetvel yardımıyla birleştiriniz.
Oluşan bu çizgiyi her iki yöne sınırsızca uzattığınızda elde ettiğiniz doğru modeline
günlük hayattan örnekler veriniz.
Harita üzerinde belirtilen yerleşim merkezlerinden hangilerinin bu doğru üzerinde
bulunduğunu hangilerinin bulunmadığını söyleyiniz.
İki şehrin cetvel ile birleştirilmesinin farklı biçimde olup olamayacağını tartışınız.
Aynı doğru üzerinde bulunan noktaları nasıl adlandırdığınızı hatırlayınız.
2
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
Nokta, herhangi bir büyüklüğü olmayan ve yer belirten geometrik terimdir. Büyük
harflerle isimlendirilir. A noktası,
A
biçiminde gösterilir.
Doğru, düz ve uzunluğu sürekli iki yöne sınırsız uzatılabilen, kalınlığı bulunmayan
geometrik terimdir. Doğrular, üzerinde bulunan iki nokta ile ya da seçilen küçük harflerle
ifade edilir.
A
B
d
AB
d doğrusu
Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara doğrusal (doğrudaş) noktalar denir. Nokta
olarak iz, doğru olarak düz çizgi modeli kullanılır.
Aşağıdaki resimlerde nokta ve doğru modellerini belirleyelim.
ÇÖZÜM:
Bir futbol sahasında penaltı atışı için topun konulduğu yer bir nokta modelidir.
Gergin bir elektrik teli doğruya; tel üzerindeki kuşlar da doğrusal noktalara model olarak alınabilir.
2
A
B
Verilen AB nda, A noktasının solunda kalan noktaları silelim.
A
B
şeklinde oluşan yeni yapıya ne ad verildiğini hatırlayınız.
3
1. ÜNİTE
Her iki geometrik kavram için belli bir uzunluktan söz edilebilir mi?
B noktasının sağında kalan noktaları silelim.
A
B
şeklinde oluşan yeni yapının hangi isimle anıldığını söyleyiniz ve ölçülebilir olup olmadığını
tartışınız.
Bir doğru üzerinde alınan herhangi iki noktanın sınırladığı geometrik şekle ne ad verilir?
Bir doğrunun bir noktasından başlayıp düz olarak sürekli tek yöne uzatılabilen
uzunluğu sınırsız, kalınlığı bulunmayan geometrik terime ışın denir.
Bir doğrunun herhangi bir parçasına doğru parçası denir. [AB] nın uzunluğu |AB|
olarak ifade edilir.
Yandaki resimde yıldızların
hangi geometrik kavrama model
olabileceğini söyleyelim. Büyük
ayı takım yıldızını oluştururken
hangi geometrik yapıyı kullanacağımızı bulalım.
ÇÖZÜM:
Yandaki resimde de görüldüğü
gibi yıldızlar noktaya modeldir.
Büyük ayıyı oluştururken kullandığımız geometrik yapı ise
doğru parçasıdır.
4
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
Yandaki resimlerde ışın ve doğru
parçası modellerini belirleyelim.
ÇÖZÜM:
Açık bir el fenerinden çıkan ışık
demetinin her bir ögesi bir ışın modeli
oluşturur.
Kalem, gergin bir ip parçası, cetvel doğru parçasına örnek olarak verilebilir.
3
Futbol, voleybol, basketbol sahalarını ve yazı tahtasını her yöne sınırsızca genişlettiğinizi varsayınız.
Aynı varsayımı masanın yüzeyi ya da bir binanın cephesi için de düşününüz.
Verilen ve benzer olarak seçilebilecek örneklerin kaç boyutlu olduğunu ve geometrinin
hangi temel kavramını hatırlattığını söyleyiniz.
A
D
Şimdi de yandaki gibi bir kâğıt üzerinde A, B, C, D ve
E noktaları alınız.
B
E
C
1. Şekil
5
1. ÜNİTE
A
Bu kâğıdı yandaki şekildeki gibi katlayınız.
B
C
D
E
Noktaların 1 ve 2. şekildeki durumlarını karşılaştırınız.
2. Şekil
Katlanmış kâğıdın arasına 3. şekildeki gibi bir kalem
yerleştiriniz. Kalemin üzerinde bulunan H noktası kâğıdın
hangi yüzeyine aittir?
H
Aynı biçimde sınıfınızın tabanına, duvarına ve tavanına
ait olmayan noktaların yerini düşününüz.
3. Şekil
Bu noktaların hepsini içeren geometrik yapıyı söyleyiniz.
Düzlem uzunluğu ve genişliği, düz ve sınırsız genişletilebilen fakat kalınlığı bulunmayan geometrik terim olarak ele alınır. Düzlem olarak paralelkenarsal bölge modeli
kullanılır. Tüm noktalar kümesine uzay denir.
R
K
Y
X
M
Z
L
T
D
C
A
Sınıfınızdaki iki duvar ve zeminin birleştiği yer, yandaki
şekilde modellenmiştir. Bu modelde işaretlenen noktalardan düzlemsel olan veya olmayan bazı noktaları bulalım.
B
E
ÇÖZÜM:
X, Y, Z ve T aynı düzlemde olduğu için düzlemseldir.
A, C ve D aynı düzlemde olduğu için düzlemseldir.
M, R ve K aynı düzlemde olduğu için düzlemseldir.
Bu noktaların dışında da düzlemsel noktalar vardır. X, Y, Z ve K aynı düzlemde
olmadıklarından düzlemsel değildir.
6
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
NELER ÖĞRENDİK?
TERİM
AÇIKLAMA
NOKTA
Boyutsuzdur.
DOĞRU
İki yöne sınırsızca uzayan düz
çizgidir.
A
B
A
B
İSİMLENDİRME
A Noktası
AB
veya
d doğrusu
d
Bir boyutludur.
Belli bir noktadan bir yöne doğru
sınırsızca uzatılan çizgidir.
IŞIN
Bir doğrunun herhangi iki noktası
ile sınırlı parçasıdır.
DOĞRU
PARÇASI
A
[AB
B
[AB]
Uzunluğu ölçülebilir ve [AB] nın
uzunluğu |AB| ile gösterilir.
Her yöne sınırsızca genişletilen
düz yüzeydir.
P Düzlemi
DÜZLEM
İki boyutludur.Paralelkenarsal
bölge ile gösterilir.
P
Uzunluğu, genişliği ve yüksekliği
sınırsızca genişletilen, bütün
noktaları içinde bulunduran bir
yapıdır.
UZAY
1. Aşağıdaki şekli inceleyiniz. Doğruları, ışınları, doğru parçalarını isimlendiriniz. Doğrusal
noktaları belirtiniz.
E3 Uzayı
3.
H
G
E
d3
d1
G
A
A
E
B
C
F
D
H
D
F
GÖSTERİM
A
C
B
d2
2. Farklı dört düzlemi;
a) Bir ortak doğruları olacak,
b) Bir tek ortak noktaları olacak,
c) Hiç ortak noktaları olmayacak,
ç) Dördünün ortak noktası olmayacak ve dört
farklı doğruda kesişecek biçimde çiziniz.
Yukarıdaki şekilde işaretlenen A, B, C, D, E,
F, G, H noktaları bir dik prizmanın köşeleridir.
Buna göre aşağıdakilerden hangileri doğrudur, neden?
a) B, C, G, F düzlemseldir.
b) E, F, C, G düzlemseldir.
c) E, A, C, G düzlemseldir.
ç) C, D, E, F düzlemseldir.
d) A, B, C doğrusaldır.
7
1. ÜNİTE
KOORDİNAT DOĞRUSU
4
Asansör kabinindeki düğmeleri incelediğinizde her katın bir sayı ile
eşlendiğini hatırlayınız. Genellikle zemin kat “0” ile, zeminin altındaki katlar
negatif, üst katlar ise pozitif sayılarla eşlenir.
Benzer yaklaşımla
-4, -2, -1, 0, 1, 3 sayılarını
d
doğrusu üzerinde seçeceğiniz noktalarla eşleyiniz.
Bu eşlemede pozitif sayıları hangi yöne, negatif sayıları hangi yöne yerleştirdiniz?
Bunun için hangi noktadan faydalandınız?
Eğer, −3 ve −5 sayılarını aynı doğru üzerinde birer noktaya eşlemek isterseniz nelere
dikkat edersiniz?
Tüm tam sayıların bir doğru üzerindeki noktalarla eşlenip eşlenemeyeceğini tartışınız.
Tüm gerçek sayıların bir doğru üzerindeki noktalarla eşlenip eşlenemeyeceğini
tartışınız.
Gerçek sayıların, bir doğrunun noktaları ile bire bir eşlenmesi ile oluşturulan sayı
doğrusuna koordinat doğrusu, “0” sayısına karşılık gelen noktaya da başlangıç noktası
(orijin) denir. Başlangıç noktasının bir tarafı pozitif diğer tarafı negatif yön olarak alınır. Herhangi bir noktaya karşılık gelen gerçek sayıya bu noktanın koordinatı adı verilir.
Buna göre,
A
−2
B
−1
0
C
1
2
x
3
x doğrusu üzerindeki A, B, C noktaları koordinatlarıyla beraber A(−2), B(0) ve C(3)
olarak ifade edilir.
3
−2, − , 0, 1 ve 2 sayılarını aşağıdaki d doğrusu üzerinde bazı noktalar ile
2
eşleyelim.
8
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
ÇÖZÜM:
−2
−
3
2
0
1 2
d
5
Aşağıda verilen koordinat doğrusu üzerindeki noktaların başlangıç noktasına olan
uzaklıklarını söyleyiniz.
D(−4)
C(−2)
O(0)
A(3)
B(6)
A noktasının koordinatı ile orijine olan uzaklığını karşılaştırınız.
C noktasının koordinatı ile orijine olan uzaklığını karşılaştırınız.
Yaptığınız çalışma size hangi kavramı hatırlatmaktadır?
A ile B noktaları arasındaki uzaklığı söyleyiniz.
A ile B noktalarının koordinatlar farkını bulunuz.
D ile C noktaları arasındaki uzaklığı söyleyiniz.
D ile C noktalarının koordinatları farkını bulunuz.
A ile C noktaları arasındaki uzaklığı söyleyiniz.
A ile C noktalarının koordinatları farkını bulunuz.
C ile D, O ile A, O ile C ve A ile B noktaları arasıdaki uzaklıkları bulunuz ve karşılaştırınız.
İki nokta arasındaki uzaklığı, bu noktaların koordinatları farkını ve mutlak değer
kavramını ilişkilendirerek bir kural oluşturunuz.
Bir a gerçek sayısının, koordinat doğrusu üzerinde eşlendiği noktanın başlangıç
noktasına olan uzaklığına a sayısının mutlak değeri denir ve |a| ile gösterilir.
a, b ∈ R olmak üzere,
i) |a| ≥ 0
ii) a ≥ 0 ise |a| = a
a ≤ 0 ise |a| = −a
iii) |a−b| = |b−a| dır.
Koordinatları A(a) ve B(b) olan iki nokta arasındaki uzaklık, d(A,B) olarak ifade edilir
ve aşağıdaki gibi hesaplanır:
d(A,B) = |b−a|
Uzunluğu eşit olan doğru parçalarına eş doğru parçaları denir.
9
1. ÜNİTE
Koordinat doğrusu üzerinde A ve B noktalarının koordinatları A(−1) ve B(4) olarak
veriliyor. Bu iki nokta arasındaki uzaklığı bulalım.
ÇÖZÜM:
A ile B arasındaki uzaklık :|4−(−1)| = | 4+1| = |5| =5br dir.
A
B
C
D
E
F
G
H
K
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x
Yukarıda verilen x koordinat doğrusu üzerindeki [AD], [CE], [FK], [BC], [DF], [HK], [CF]
ve [EF] dan eş olanları gruplandıralım.
ÇÖZÜM:
1. grup: [AD], [CF] ve [FK]
2. grup: [CE] ve [DF]
3. grup: [BC], [HK] ve [EF]
|a−3|+|11−a| toplamının alabileceği en büyük değeri bulalım.
ÇÖZÜM:
Mutlak değer ifadesinin iki nokta arasındaki uzaklık anlamına geldiğinden hareketle
3
a
11
x
çizelim. Buradan |a−3|+|11−a| nın alabileceği en büyük değeri |11−3|=8 olarak buluruz.
10
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
6
Hava sıcaklığındaki 5 oC lik değişim için termometredeki sıvının hareketini
tartışınız.
Yukarıdaki şekilde aynı doğrusal yol üzerinde bulunan üç şehir A, B ve C
noktalarıyla gösterilmiştir. |BC|=36km ve |CA|=|AB| dır.
Buna göre, A dan hareket eden bir aracın 18 km sonra hangi şehirde olacağını
tartışınız.
Tartışmalarınız sonucunda yukarıda verilen her iki problemin yanıtının bilinebilmesi
için gereken bilgiyi söyleyiniz.
Şimdi iki hava yolu şirketinin D ve E şehirleri arasında x ve y uçakları ile karşılıklı
uçtuğunu varsayınız.
x uçağının D den kalkıp E şehrine varması olayında uçuşun başlangıç ve bitiş
noktaları hangileridir? İkinci hava yolu şirketinin uçuşu için bu noktaları belirleyiniz. İki uçuşu
karşılaştırınız.
Uçuşları ifade etmeniz gerekirse hangi şekil veya sembol ile ifade edersiniz?
Bir hareketin yönünün, başlangıç ve bitiş noktalarının niçin önemli olduğunu tartışınız.
Tartışmalarınızdan hareketle aşağıdaki koordinat doğrusunda verilen koordinatlara
göre, verilen çizelgedeki noktalı yerleri örneklere uygun biçimde doldurunuz.
M
L
K
H
A
B
C
D
E
F
G
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
x
11
1. ÜNİTE
Başlangıç
Noktası
Bitim Noktası
Uzunluğu
Gösterimi
B
E
3 br
BE
B
K
3 br
BK
H
B
.....
.....
E
C
.....
.....
C
F
.....
.....
G
D
.....
.....
K
A
.....
.....
B
H
.....
.....
Uzunlukları eşit olan doğru parçalarını gruplandırınız. Gruplarda bulunan doğru
parçalarından yönleri aynı olanları küme içinde yazınız.
Yönü aynı olan eş doğru parçalarına eş yönlü doğru parçaları, eş yönlü doğru
parçalarının kümesine de vektör denir. Bu küme, elemanlarından herhangi biri ile temsil
edilir.
|PM| = |RS| = |TK| olmak üzere,
P
M
S
R
x
K
T
PM, RS ve TK eş yönlü doğru parçaları PM ile temsil edilebilir.
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
Yukarıdaki koordinat doğrusundaki vektörleri yazalım.
ÇÖZÜM:
Bu vektörler BD, FE, HF ve HM dür.
12
M
N
x
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
7
H
G
F
E
O
A
B
C
D
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x
Koordinat doğrusu üzerinde uzunluğu 1 br olan birkaç vektör işaretleyiniz.
Başlangıç noktası orijin olan bazı vektörler yazınız. Yazdığınız bu vektörlerin başka
hangi vektörleri temsil ettiklerini bulunuz.
FA , OC, AD vektörlerinin uzunluklarını ve yönlerini karşılaştırınız.
OF, CA, DB vektörlerinin uzunluklarını ve yönlerini karşılaştırınız.
Uzunlukları ve yönleri aynı olan vektörlerin kümesini temsil edebilecek bir vektör
seçmek istenirse nelere dikkat edilir? Tartışınız.
Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör, başlangıç noktası orijinde olan OA ne
A noktasının yer vektörü denir. Bir AB vektörünün boyu, bu vektörün temsil ettiği herhangi
bir yönlü doğru parçasının uzunluğuna eşittir ve |AB| ile gösterilir.
Koordinat doğrusu üzerinde A(x) ve B(y) noktaları veriliyor. A ve B noktalarının belirttiği
vektör, birim vektör ve x+y=11 ise x ve y nin alabileceği değerleri bulalım.
ÇÖZÜM:
Birim vektör AB veya BA olabilir. Bu durumda |x-y|=1 dir. O hâlde,
x − y = −1⎫
x−y =1 ⎫
x=5
x=6
veya
⎬⇒
⎬⇒
dır.
y=6
y=5
x + y = 11⎭
x + y = 11⎭
8
x
A(a)
x koordinat doğrusu üzerinde
C(c)
B(b)

| AC |
 = k (k > 0)
| CB |
13
1. ÜNİTE
şartına uyan C noktasının koordinatını a, b ve k cinsinden bulmaya çalışalım.
Edindiğimiz bilgilere göre AC ve nu | AC |= | c − a | olarak yazabiliriz.
Sizler de |CB| nu yazınız. Aşağıdaki noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz.

| AC |
 = k
| CB |
⇒
| c−a|
=k
.........
c−a
=k
........
⇒
⇒ c= .......... olur.
..........
Benzer yaklaşımla,
A(a)
B(b)
x
C(c)
x koordinat doğrusu üzerinde

| AC |
 = k (k ≠ 1)
| BC |
şartına uyan C noktasının koordinatını a, b ve k cinsinden bulunuz.
Her iki durumda C noktasının [AB] na göre konumunu karşılaştırınız.
A(a), B(b) ve C(c) olmak üzere [AB] nı
| AC |
= k olacak biçimde;
| CB |
a + kb
,
1+ k
a − kb
Dıştan bölen C noktasının koordinatı: c =
dır.
1− k
Özel olarak, [AB] nı k=1 olacak biçimde içten bölen bir C noktası, [AB] nın orta
noktasıdır.
İçten bölen C noktasının koordinatı: c =
A(2)
C(c)
B(5)
x

| AC |
Yukarıdaki x koordinat doğrusu üzerinde verilen A, B ve C noktaları için  = 2
| CB |
olacak biçimde alınan C noktasının koordinatlarını bulalım.
ÇÖZÜM:
|AC| = c−2 ve |CB| = 5−c
⇒
⇒ c = 4 bulunur.
⇒ 3c = 12
14

| AC | c − 2
 =
= 2 ⇒ c−2 = 10−2c
| CB | 5 − c
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
D(4)
C
Yandaki şekilde koordinatları verilen nokta

| AC | 1
| DC | 1
lar için  =
ve  = oranları verilmiştir.
| CB | 2
| CE | 3
B(x)
A(1)
E(12)
Buna göre B noktasının koordinatı olan x i bulalım.
ÇÖZÜM:

y−4 1
| DC | 1
= ⇒y=6
 = ⇒
12
−y 3
| CE | 3
ve
1. Koordinat doğrusunda N(3x−5) ve
M(6x−30) noktaları arasındaki uzaklık 55br
ve B(2x-3) verildiğine göre en kısa |BM| nu
bulunuz.
2. Koordinat doğrusu üzerinde B noktasının
koordinatı 2 dir. |AB|=5 br olacak biçimde
alınan A noktasının koordinatının alabileceği
değerler kaçtır?
ifadesinin eşitini bulunuz.
4. Ağrı Dağı’nın zirvesi deniz seviyesinin 5137
metre üzerinde, Lut Gölü’nün dibi ise deniz
seviyesinin 422 metre altında olduğuna göre;
a) Bu iki uç nokta arasındaki fark kaç metredir?
b) Bu problemde, başlangıç noktası olarak
nereyi aldınız?
5.
B(0)
C(4)
6.
A(-3)
B(1)
D(5)
C(3)
E(7)
Yukarıda koordinat doğrusunda A, B, C, D ve
E noktaları verilmiştir. AB, DE ve DC lerinin
uzunluğunu bulunuz.
7.
A
B
Yukarıdaki koordinat doğrusu üzerinde verilen A ve B noktalarının koordinatları A(x)
ve B(3) tür. |AB|=7 olduğuna göre x değeri
kaçtır?
3. a < b < 0 < c olduğuna göre,
| a −b|+|b− c|
− | −a | − | c |
A(-4)

6 −1 1
| AC | 1
= ⇒ x = 16 bulunur.
 = ⇒
x−6 2
| CB | 2
E(7)
Yukarıdaki koordinat doğrusunda koordinatlarıyla birlikte A, B, C ve E noktaları verilmiştir.
|AB|, |AC|, |BE| ve |AE| uzunluklarını bulunuz.
8.
A(2)
C(x)
B(7)
Yukarıdaki koordinat doğrusu üzerinde ve
| AC | 3
olacak
rilen A, B, C noktaları için  =
| CB | 2
biçimde alınan C noktasının koordinatı olan x
değeri kaçtır?
9. Bir kâğıda -10 ve +10 aralığını kapsayacak biçimde bir koordinat doğrusu çiziniz.
Daha sonra bu koordinat doğrusunu K(-3) ve
M(5) noktalarından kesin. Oluşan [KM] doğru
parçasını tam ortadan ikiye katlayın. Buna
göre orta noktanın koordinatını bulunuz.
15
1. ÜNİTE
10.
11.
B(6)
G(10)
E
D(3)
A(x)
C(4)
B(4)
C(5)
K(8)
L
F(5)
Yukarıdaki koordinat doğrusu üzerinde ve
| AC |
rilen A, B ve C noktaları için  = 3 olacak
| BC |
A(1)
Yukarıdaki doğrular üzerinde noktalar veril| GE | | AL |
| DC |
| KF | 3
=
ve
miştir.
= ise
| GF | | AB |
| CE |
| FL | 2
biçimde alınan A noktasının koordinatı olan x
değeri kaçtır?
oranı kaçtır?
KOORDİNAT DÜZLEMİ
Satranç tahtasındaki siyah atın bulunduğu yeri belirtiniz.
Sinema salonundaki boş koltukların yerlerini söyleyiniz.
Yapacağınız belirlemelerde yanılma payınız var mıdır?
9
B
A
−4
−3
−2
x
−1
0
1
2
3
4
5
6
A noktasının yerini söyleyiniz.
B noktasının yerini tam olarak söyleyip söyleyemeyeceğinizi tartışınız.
Düzlemde bir koordinat doğrusu üzerinde olmayan bir B noktasının yerini tam olarak
belirlemek için neye ihtiyaç duyulacağını düşününüz.
Yukarıdaki sayı doğrusuna, O(0) noktasında dik kesişecek biçimde bir sayı doğrusu
daha çiziniz.
Şimdi B noktasının yerini söyleyiniz.
16
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
Düzlemde herhangi bir noktanın konumunu tam olarak belirlemek için kaç koordinat
doğrusuna ihtiyaç vardır?
Analitik düzlemde E noktasının yeri E(2,1)
olarak verilmiştir. Sizler de A, B ve P noktalarının
yerlerini yazınız.
y
6
5 B
P
4
Başlangıç noktaları orijinde olan eksenler
üzerinde 1br uzunluğundaki e1 ve e2 vektörlerini göz önüne alarak;
3
2
E(2,1)
1
e2
A
x
−3 −2 −1 O e1 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
OA ve OB nü çiziniz ve bu vektörleri sırasıyla
e1 ve e2 ile ilişkilendiriniz.
OP nü çiziniz ve bu vektörü OA ve OB ile
ilişkilendirip e1 ve e2 vektörleri cinsinden yazılıp
yazılamayacağını tartışınız.
−3
−4
Analitik düzlemde herhangi bir noktanın e1 ve e2 vektörleri ile ilişkisini, herhangi bir
vektörün de e1 ve e2 cinsinden yazılıp yazılamayacağını tartışınız.
O noktasında dik kesişen iki koordinat doğrusunun
oluşturduğu yapıya dik koordinat sistemi, bu sistemin
belirttiği düzleme analitik düzlem ve O noktasına da orijin
denir.
y
B
5
4
3
2
1
A
−5 −4 −3 −2 −1 O
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
x
Koordinat sistemini oluşturan doğrulardan yatay
olanına x ekseni (apsisler ekseni) düşey olanına y ekseni
(ordinatlar ekseni) adı verilir.
A(x,y) gösteriminde, x, A noktasının apsisini; y,
A noktasının ordinatı belirtir.
(x,y) ise A noktasının koordinatları olarak adlandırılır.
Koordinat sistemi {0, e1, e2} ile de gösterilir.
Düzlemde herhangi bir [AB] doğru parçasını içten veya dıştan bölen bir C
noktasının apsisi A ve B noktalarının apsislerinden, ordinatı ise A ve B noktalarının
ordinatlarından yararlanarak hesaplanır.
17
1. ÜNİTE
Analitik düzlemde A(-2,1) ve B(7,13) noktaları ile verilen [AB] nı içten bölen C noktası
| AC |
= 2 dir. Buna göre C(x0, y0) noktasının koordinatlarını bulalım.
için
| CB |
ÇÖZÜM:
−2 + 2.7
x0 =
| AC |
1+ 2
=2 ⇒
| CB |
x0 = 4
1+ 2.13
1+ 2 bulunur.
y0 = 9
y0 =
Doğrusal hareket eden
bir karınca A noktasında bulduğu yemi yuvasına götürmek istiyor.
B
noktasına
vardığında
yuvasına
kadar alacağı yol,
geldiği yolun yarı-sına
eşit olduğuna göre
karıncanın yuvasının
hangi renkle gösterilen
noktada
olduğunu
bula-lım.
B
A
ÇÖZÜM:
y
6
O A
Karıncanın yürüdüğü zemin üzerinde
koordinat eksenlerini çizelim. A noktasını orijin kabul edersek B(8,6) olur.
Karıncanın yuvasını Y(x0,y0) alalım.
| AY |
Buna göre k=
= 3 tür.
| BY |
B
8
x
0 − 3.8 −24
=
= 12 ve
1− 3
−2
0 − 3.6 −18
y0 =
=
= 9 bulunur.
1− 3
−2
x0 =
O hâlde karıncanın yuvası sarı renk ile gösterilen Y(12,9) noktasıdır.
18
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
1.
6.
y
y
5
4
3
2
1
5
A
4
B
3
G
E
2
D
C1 R
S
H
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−1
K
N
L −2
−3
P
M −4
−5
F
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
x
Koordinatları A(2,4), B(4,2), C(-2,-3),
D(-3,-2), E(-2,3), F(3,-2), G(5,0), H(-2,0),
K(0,3), L(0,-2) olan noktaları yukarıdaki analitik düzlemde işaretleyiniz.
x
Yukarıdaki analitik düzlemde işaretlenmiş A,
B, C, D, E, F, G, H, K, L, M, N, P, R ve S
noktalarının koordinatlarını belirtiniz.
7.
2.
y
y
B(8,9)
B(-1,8)
C
A(−1,2)
C
A(1,2)
B
Yukarıdaki şekilde verilen analitik düzlemde
A(−1,2) noktası veriliyor.
a) Apsis ve ordinat eksenlerini çiziniz.
b) B noktasının koordinatlarını bulunuz.
1. Şekil

| AC | 4
 =
| CB | 3
x
2. Şekil

| BC | 5
 =
| CA | 2
y
y
B(5,4)
C(x,y)
C(x,y)
B(1,2)
A(1,2)
3.a) x eksenindeki noktaların ordinatı kaçtır?
b) y eksenindeki noktaların apsisi kaçtır?
c) Eksenler üzerindeki noktaların koordinatlarıyla ilgili bir genelleme yapınız.
4.A(m, m-n) noktası analitik düzlemde ikinci
bölgede olduğuna göre B(mn, n-m) noktası
hangi bölgededir?
5. Dördüncü bölgedeki A(a+1,b+7) noktasının
x eksenine uzaklığı 4br, y eksenine uzaklığı
3br ise a+b kaçtır?
A(6,1)
x
x
x
A(4,-1)
3. Şekil

| AC |
 = 3
| BC |
4. Şekil

| BC | 5
 =
| CA | 2
Yukarıda [AB] nı 1 ve 2. şekilde içten; 3 ve
4. şekilde dıştan bölen C noktasının hangi
oranda böldüğü şekil altında verilmiştir. Her
bir şekil için C noktasının koordinatlarını bulunuz.
19
1. ÜNİTE
VEKTÖR
10
Analitik düzlemde, OA yönlü doğru parçası,
x ve y eksenlerindeki değişimi göz önüne
alınarak (2,1) bileşenleri ile gösterilmiştir.
y
5
F
L
D
4
3
E
2
e1
−3
H
K
6
−2
C
−1 O
B
M
G
A(2,1)
1
e2 1
2
3
4
5
6
−1
J
−2
7
x
Bu gösterimi, OA yönlü doğru parçasının
başlangıç ve bitiş noktası ile ilişkilendiriniz. Bu
ilişkiyi düşünerek OC yönlü doğru parçasının
nasıl gösterileceğini tartışınız.
Yönlü doğru parçalarının gösterimi için bir
genelleme yapmaya çalışınız.
Z
OA, EF ve LK yönlü doğru parçalarının
bileşenlerini karşılaştırınız.
−4
OA, EF ve LK yönlü doğru parçalarının
T
R
N
uzunluklarını Pisagor bağıntısını kullanarak
bulunuz ve karşılaştırınız.
Bu üç yönlü doğru parçasının bir temsilciyle gösterilip gösterilemeyeceğini ve eğer
gösterilebiliyorsa bunun hangisi olacağını tartışınız.
Benzer yaklaşımla, önceki sayfada bulunan analitik düzlemde bir temsilciyle gösterilebilecek yönlü doğru parçalarını gruplayınız.
Bu temsilcilere ne ad verildiğini hatırlayınız.
P
−3
S
MN ve PR yönlü doğru parçalarını bileşenleri ile yazınız.
MN ve PR yönlü doğru parçalarının birbirleri cinsinden yazılıp yazılamayacağını
tartışınız.
Herhangi iki yönlü doğru parçasının hangi durumda birbiri cinsinden yazılıp
yazılamayacağını tartışınız.
A(x1 , y1) ve B(x2 , y2) olmak üzere AB yönlü doğru parçası, bileşenleri olan
(x2−x1 , y2−y1)
ikilisi ile ifade edilir.
Bileşenleri aynı olan yönlü doğru parçalarının kümesine vektör, bu kümenin herhangi bir elemanına da bu vektörün doğrultusu, başlangıç noktası koordinat sisteminin orijininde olan OP vektörüne P noktasının yer vektörü denir.
Başlangıç ve bitim noktası aynı olan AA vektörüne sıfır vektörü denir. Sıfır vektörü
0=(0,0) biçiminde gösterilir.
Bir vektörün uzunluğu, başlangıç ve bitim noktaları arası uzaklıktır. Uzunluğu 1
birim olan vektöre birim vektör denir.
Doğrultuları aynı olan vektörler birbirinin gerçek sayı katı cinsinden yazılabilir.
20
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
Yandaki analitik düzlemde a, b, c, d ve f ü ve K
noktası verilmiştir. Vektörlerin bileşenlerini yazalım ve
y

a

b

d

f

g

c
O
x
a) Uzunlukları aynı yönleri farklı,
b) Uzunlukları farklı yönleri aynı,
c) Doğrultuları farklı
vektörleri belirtelim. d nün yer vektörünü ve sıfır vektörünü
yazalım.
K
ÇÖZÜM:
a=(2,4), b=(2,4), c=(−2,−4), d=(−1,−2), f=(−1,−2), g=(2,2)
a) a ile c, b ile c uzunlukları aynı yönleri farklı vektörlerdir.
b) d ile c, f ile c uzunlukları farklı yönleri aynı vektörlerdir.
c) g ile diğer vektörlerin doğrultuları farklıdır.
d nün yer vektörü f dür. KK=(0,0) sıfır vektörüdür.
11
Antalya’dan kalkan bir uçağın
Diyarbakır aktarmasıyla Kars’a
ulaştığını, başka bir uçağın
Antalya’dan
kalkıp
direkt
Kars’a uçtuğunu düşünelim.
Her iki uçuşun başlangıç ve
bitiş noktalarını karşılaştırınız.
Bu iki uçuşu aşağıdaki analitik düzleme taşıyalım.
y
4
OK nü OD ve DK ile ilişkilendiriniz.
K
OK, OD ve DK bileşenlerini bulunuz ve OK nün bileşenleri
ile OD ve DK nün bileşenleri arasında ilişki kurunuz.
2
D
O
5
7
x
Toplanan iki vektörün bileşenleri ile toplam vektörünün
bileşenleri arasında bir genelleme yapınız.
21
1. ÜNİTE
Herhangi iki vektör u=(u1,u2) ve v=(v1,v2) olmak üzere u+ v =(u1+v1,u2+v2) dir.
Akış doğrultusu, yönü ve şiddeti u=(−3,3)
vektörü ile temsil edilen nehrin kıyısında duran
Şenol A noktasındadır. Şenol’un hareketinin doğrultusu, yönü ve hızı v=(−2,−2) vektörü ile temsil
edildiğine göre, Şenol’un nehrin karşı kıyısına
çıktığında hangi noktada olacağını bulalım.
y
A
x
ÇÖZÜM:
Nehrin akış hızından etkilenen Şenol’un aldığı yolu
veren toplam vektörü
u+v = (−3+(−2), 3+(−2))=(−5,1)= t olur.
y
B
A
Bulunduğu konum olan A(6,4) itibaren t kadar
yüzeceğinden Şenol B(1,5) noktasında olur.
x
12
Aşağıdaki çizelgelerde verilen noktalı yerleri doldurunuz. Çizelgelerin altındaki soruları
cevaplayınız.
u
v
u + v
(2 , 1)
(−5 , 4)
(−3 , 5)
(−4 , 3)
(−2 , 7)
(..... , .....)
(−7 , 4)
(−2 , 4)
(..... , .....)
(−5 , −3)
(2 , 8)
(..... , .....)
(2010 , 2009)
(0 , 2)
(.......... , ..........)
İki vektörün toplamı bir vektör müdür? Tartışınız.
22
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
u
v
u + v
v + u
(3 , 2)
(4 , 7)
(3+4 , 2+7) = (7 , 9)
(4+3 , 7+2) = (7 , 9)
(5 , 1)
(2 , 3)
(..... , .....)
(..... , .....) = (..... , .....)
(−3 , 4)
(9 , −2)
(..... , .....)
(..... , .....) = (..... , .....)
(−1 , −1)
(−3 , 4)
(..... , .....)
(..... , .....) = (..... , .....)
u + v ile v + u nun bileşenlerini karşılaştırınız.
u
v
w
( u+v )+ w
u +(v + w)
(4 , 1)
(2 , 3)
(6 , 5)
(6 , 4) + (6 , 5) = (12 , 9)
(4 , 1) + (8 , 8) = (12 , 9)
(−2 , −3)
(1 , 5)
(9 , −7)
(... , ...) + (... , ...) = (... , ...) (... , ...) + (... , ...) = (... , ...)
(5 , -3)
(4 , −4)
(2 , −2)
(... , ...) + (... , ...) = (... , ...) (... , ...) + (... , ...) = (... , ...)
(−2 , 4)
(−6 , −5)
(−3, , 0)
(... , ...) + (... , ...) = (... , ...) (... , ...) + (... , ...) = (... , ...)
(u + v )+ w ile u + (v+ w) nun bileşenlerini karşılaştırınız.
u
0
u + 0
0 + u
(3 , 5)
(0 , 0)
(3+0 , 5+0) = (3 , 5)
(0+3 , 0+5) = (3 , 5)
(−2 , −3)
(0 , 0)
(..... , .....) = (..... , .....)
(..... , .....) = (..... , .....)
(4 , −1)
(0 , 0)
(..... , .....) = (..... , .....)
(..... , .....) = (..... , .....)
(−2 , 7)
(0 , 0)
(..... , .....) = (..... , .....)
(..... , .....) = (..... , .....)
u + 0 ile 0 + u nun bileşenlerini karşılaştırınız.
u
v
u +v
v+ u
(2 , 3)
(−2 , −3)
(2−2 , 3−3) = (0 , 0)
(−2+2 , −3+3) = (0 , 0)
(−1 , 4)
(1 , −4)
(..... , .....)
(..... , .....) = (..... , .....)
(5 , −6)
(−5 , 6)
(..... , .....)
(..... , .....) = (..... , .....)
(−7 , −8)
(7 , 8)
(..... , .....)
(..... , .....) = (..... , .....)
u + v ile v + u yu karşılaştırınız.
u ile v arasında bir bağıntı kurmaya çalışınız.
Her bir çizelgeyi değerlendirerek vektörlerin toplama işlemine göre; kapalılık,
değişme, birleşme, birim (etkisiz) eleman ve ters eleman özellikleriyle ilgili çıkarımlarda bulunmaya çalışınız.
23
1. ÜNİTE
u, v ve w herhangi üç vektör olmak üzere,
u+ v yine bir vektördür.
u + v = v+ u
(u+ v)+ w = v +(u+ w)
u+ 0 = 0+ u
u+ v = v + u = 0
(Toplama işleminin kapalılık özellliği)
(Toplama işleminin değişme özelliği)
(Toplama işleminin birleşme özelliği)
(0 vektörü toplama işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.)
(v vektörü u vektörünün toplamaya göre tersidir. v=−u )
u + ( v + w) = (12,10) ve u + w = (5,2) ise v nü bulalım.
ÇÖZÜM:
u + ( v + w) = u + ( w + v)
u + ( w + v) = (u + w )+ v
(5,2) + v = (12,10)
v = (12,10) − (5,2)
v = (7,8)
(Değişme özelliği)
(Birleşme özelliği)
13
u = (3,4) vektörü için aşağıda verilen çizelgedeki noktalı yerleri örneğe uygun biçimde
doldurunuz.
u + u =(3 , 4) + (3 , 4) = (6 , 8) 2. u = 2(3 , 4) = (2.3 , 2.4) = (6 , 8)
u + u + u=............................... 3. u =..............................................
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
u + u + u + u=......................... 4. u =..............................................


u + ...+ u = .............................. k. u =..............................................
k tane
Yaptığınız işlemlerden sonra aynı satırdaki sonuçları karşılaştırınız.
k = −1 ise k. u vektörünün bileşenlerindeki değişimi söyleyiniz. −1.u ile −u nü karşılaştırınız.
24
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
Şimdi de aşağıda verilen çizelgedeki noktalı yerleri doldurunuz.
u
v
−v
u +(−v)
(3 , 2)
(4 , 8)
(−4 , −8)
(3+(−4) , 2+(−8)) = (−1 , −6)
(5 , 7)
(2 , 1)
(..... , .....) (.......... , ..........) = (..... , .....)
(−2 , −4)
(−3 , −5)
(..... , .....) (.......... , ..........) = (..... , .....)
(−1 , 4)
(5 , −9)
(..... , .....) (.......... , ..........) = (..... , .....)
Çizelgede verilen u ve v vektörlerinin bileşenleri arasında fark işlemi yaparak aynı
sonuçları elde etmeye çalışınız.
k ∈ R ve u =(u1 , u2) ve v=(v1 , v2) herhangi iki vektör olmak üzere;
k.u = k.(u1 , u2) = (k.u1 , k.u2) ,
u − v = u + (−v) dir.
u=(m−k,−4), v=(5,m+2k) dir. v nün 2 katının toplamaya göre tersi u olduğuna göre m
ve k değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM:
u+2v= 0 ⇒ (m−k,−4) + 2(5,m+2k)=(0,0) ⇒ (m−k,−4) + (10,2m+4k)=(0,0)
⇒ m−k+10=0 ve −4+2m+4k=0 ⇒ m=−6 ve k=4 bulunur.
1. Aşağıdaki analitik düzlemde verilen vektörlerin bileşenlerini bulunuz.
y

d

e

c

b
2. Aşağıdaki analitik düzlemde verilen vektörlerin yer vektörlerini çiziniz ve bileşenleri ile
ifade ediniz.
y

b

a

a

O k

f

g

d

e
O
x

h

c
x

h

f

g

k
25
1. ÜNİTE
3. A(2,1), B(1,4), C(-2,3) ve D(6,18) noktaları
veriliyor. AB ve CD vektörlerinin uzunluklarını
bulunuz.
9. Aşağıdaki analitik düzlemde verilen vektörlerin uzunluklarını bulunuz.
4. u=(2,1), v=(1,4), a=(−3,−5), b=(−2,4),
x=(4,7), y=(5,6), p=(−1,3), q=(−4,2) vektörleri
için u+v, a+b, x−y ve p−q lerini bulunuz.
5. A(1,5), B(−2 , 0), C(3,−1) noktaları veriliyor.
AB +  BC toplam vektörü ile AC vektörünün
bileşenlerini bulunuz. Bulduğunuz sonuçları
karşılaştırınız.
6. a=(−1,2) vektörü için a+ b= 0 olacak şekilde
b vektörünü bulunuz.
7. a = (2,5) ve b =(6 , m) vektörleri için
2a+kb=0 ise k+m kaçtır?
8. a =(−4,12), b =(2,−1) ve c=(−2,3) leri için
a=xb+yc eşitliğini sağlayan x ve y gerçek
sayılarını bulunuz.

b

a

c

e

d

f
10. u =(3,1), v =(−1 , 4) ve t =(12,−5) vektörleri için;
a) 2u+3v=w ise w nü bulunuz.
b) 3u+kv=t olacak biçimde k ∈ R bulunuz.
AÇI
Resimleri inceleyiniz.
Resimlerdeki ortak yanları bulmaya çalışınız. Daha sonra aşağıdaki sorulara karşılık
bulunuz.
Birinci resimdeki kişinin görebileceği ve göremeyeceği cisimleri belirtiniz. Neden
göremeyeceğini tartışınız.
İkinci resimdeki kalecinin serbest atışta baraj kurdururken neleri göz önüne alacağını
tartışınız.
Üçüncü resimde görülen saatteki akrep ve yelkovanın konumu için neler söylenebileceğini düşününüz.
26
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
14
A
C
B
r=1br
Yanda yarıçapı 1br olan birim çember üzerinde köşesi çemberin
merkezinde olan [OA ve [OB larının birleşimiyle oluşan açıyı inceleyelim.
Birim çemberde 1br lik yay uzunluğu ve bu yayı gören açının
ölçüsü 1 radyan olmak üzere, çemberin tamamını gören açının
radyan cinsinden ölçüsünü bulunuz.
O
Birim çemberin uzunluğu 360 eş parçaya ayırıldığında 1 parçayı
gören merkez açının 1 derece olduğunu göz önüne alarak çemberin tamamını gören açının
kaç derece olduğunu söyleyiniz.
Bir yayı gören açının ölçüsü hem radyan hem de derece cinsinden ifade edilebildiğine
göre radyan ve derece arasında bir bağıntı kurmaya çalışınız.
A
Yandaki çember üzerinde A noktasından B noktasına giderken
izlenen yön ile B noktasından A noktasına giderken izlenen yönü
karşılaştırınız. Bu yönler ile yayı gören merkez açıyı ilişkilendiriniz.
O
B
Bu yönleri saat yönü ile ilişkilendiriniz.
Düzlemde sabit bir noktadan 1br uzaklıktaki noktaların geometrik yerine birim
çember denir.
Yanda oluşturulan şekil iki ışının birleşimidir. Bu şekle açı denir.
P


Açıyı oluşturan RT ve RP ışınlarına açının kenarları ve ortak olan R
ye açının köşesi adı verilir. Şekildeki açı PRT, TRP veya R gösterimleR
rinden biri ile ifade edilir.
T
Yandaki şekilde görüldüğü gibi köşesi birim çemberin
A
merkezinde bulunan açı, çember üzerinde 1 br uzunluğunda yay ayır=1br
rıyorsa bu yaya 1 radyan denir. Açının birim çemberi kestiği noktalar
1br arasındaki yay uzunluğuna da açının radyan cinsinden ölçüsü adı veriα
O
lir.
Birim çemberin çevre uzunluğunu 360 eş parçaya ayırarak her
B
bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve 10 biçiα = 1 radyan
minde gösterilir.
27
1. ÜNİTE
Aynı açının derece cinsinden ölçüsü D, radyan cinsinden ölçüsü R olmak üzere,
D
R
=
dir.
1800 π
Herhangi bir açının bir kenarından diğer kenarına saat yönünün ters yönünde
gidildiğinde, açı pozitif yönlü, saat yönü ile aynı yönde gidildiğinde açı negatif yönlüdür,
denir. Bu durum aşağıdaki şekillerde olduğu gibi verilir:
B
B
A
C
Pozitif Yön
C
Negatif Yön
Yandaki C, K, L ve M noktalarının ABC na ait olup olmadığını
A
bulalım.
L
K
B
C
A
ÇÖZÜM :
C noktası [BC üzerinde olduğu için L noktası ise [BA üzerinde olduğu
için ABC na aittir.
M
K ve M noktaları ABC nı oluşturan ışınlar üzerinde olmadığından ABC na ait değildir.
π
Şekilde verilen AOB nın radyan cinsinden ölçüsü m(AOB)=
4
olduğuna göre ACB uzunluğunu bulalım.
A
r= 8cm
C
O
ÇÖZÜM:
B
Çemberin çevresinin 2πr = 2π.8 = 16π olmasından yola çıkabiliriz.
Orantı özelliklerinden;
16π cm ise
2π radyanlık merkez açı
π radyanlık merkez açı
x cm olur
4
----------------------------------------------------------------π
bağıntısı bulunur ve buradan, x.2π = .16π ise x = 2π elde edilir.
4
28
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
Yukarıdaki resimlerde değirmende suyun çarkı döndürmesi, musluğun açılıp
kapatılması, şişe kapağının açılıp kapatılması ile otomobilin hızlanma ve yavaşlama anındaki
hız ibresinin hareket yönünü belirleyelim.
ÇÖZÜM:
Suyun çarkı döndürme hareketi soldan bakıldığında negatif yönlüdür.
Musluğun açılması pozitif, kapatılması negatif yönlüdür.
Şişe kapağının açılması pozitif, kapatılması negatif yönlüdür.
Araba hızlanırken ibre yönü negatif, yavaşlarken pozitif yönlüdür.
15
Şekildeki birim çember üzerinde alınan P(x,y) noktasıyla O ve C
noktalarının oluşturduğu POC dik üçgeninde cos θ ve sin θ
değerlerini hesaplayınız.
y
1
P(x,y)
S
θ
−1
C
O
x
1
Hesapladığınız sin θ ve cos θ
koordinatları ile ilişkilendiriniz.
değerlerini P noktasının
−1
Şimdi de OP nü uzatalım.
y
y=1
B 1
K(k,1)
[OP nın,
x=1 doğrusunu kestiği nokta T(1,t) ve
y=1 doğrusunu kestiği nokta K(k,1) olsun.
θ
T(1,t)
S
P
θ
A
θ
O
C
1
x=1
x
TOA dik üçgeninde tanθ değerini, KOB dik üçgeninde
cot θ değerini hesaplayınız.
x=1 ve y=1 doğrusunu cot θ ve tanθ değerleriyle
ilişkilendiriniz.
29
1. ÜNİTE
y
x ekseni ile pozitif yönde θ açısı yapacak biçimde
birim çember üzerinde seçilen bir P(x,y) noktası için,
cos θ = x ve sinθ = y
y=1
1 B
kotanjant
ekseni
olur.
[OP nin
x=1 doğrusu ile kesiştiği nokta T(1,t) ve
y=1 doğrusu ile kesiştiği nokta K(k,1) ise
K(k,1)
t
s
P
T(1,t)
1
r=
kosinüs
ekseni
θ
O
sinüs
C 1 k
x
tanjant
ekseni
ekseni
x=1
tanθ = t ve cotθ = k olur.
Bu yüzden x eksenine (y=0 doğrusuna) kosinüs ekseni, y eksenine (x=0
doğrusuna) sinüs ekseni, y=1 doğrusuna kotanjant ekseni, x=1 doğrusuna tanjant ekseni
adı verilir.
Geniş açıların trigonometrik oranları için bu açıların bütünler açılarının trigonometrik oranları bulunur. Geniş açının;
Sinüs yerine bütünlerinin sinüsü,
Kosinüsü yerine bütünlerinin kosinüsünün −1 katı,
Tanjantı yerine bütünlerinin tanjantının −1 katı,
Kotanjantı yerine bütünlerinin kotanjantının −1 katı alınır.
Yandaki şekilde birim çember üzerinde x ekseni ile pozitif yönde 120o lik açı yapan bir
y
K
P
−
3 −1
2
3
3
2
liyor. Bu çizimden faydalanarak cos 1200 , sin1200,
tan1200 ve cot1200 değerlerini bulalım.
120o
L
−1
1 3
P(− ,
) noktası işaretlenerek OP doğrusu çizi2 2
1
O
1
60o
x
ÇÖZÜM:
−1
− 3
30o
cos1200 = − cos 600 = −
T
sin1200 = sin600 =
tan1200 = − tan600 = − 3
30
ve
1
2
3
2
cot1200 = − cot 600 = −
3
3
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
sin1500 + cos1200 .tan1350
oranını hesaplayalım.
sin300 − cos 600 .cot1350
ÇÖZÜM:
1 ,
1 ,
sin1200 = − cos 600 = −
tan1350 = − tan450 = −1
2
2
1
1
sin1500 + cos1200 .tan1350 2 + (− 2 )(−1)
0
0
cot135 = − cot 45 = −1 ⇒
= 1 bulunur.
=
1 1
sin300 − cos 600 .cot1350
− (−1)
2 2
sin1500 = sin300 =
16
A
C
B
E
D
β
F α
Yanda birbirine paralel d1 ve d2 doğruları ile bunları kesen
k doğrusu verilmiştir. m(CFG)= α ve m(ACD)= β dir.
k
d1
Birim kareleri kullanarak α ve β değerlerini karşılaştırınız.
G
d2
CFG ve ACD nın birbiri ile ilişkisini kullanarak ACB, BCF,
DCF, CFE, EFH ve GFH açılarını α ile ilişkilendiriniz.
H
Birbirine paralel d1 ve d2 doğrularının k keseni ile oluşturdukları açılar arasında ilişki
kurunuz.
D
E
F
By
z
G
x
t
A
b a
c
d
DAC ile EAB ters açıdır. a = c
DAE ile CAB ters açıdır. b = d
k
C
H
d1
d1 // d2 ise;
DAC ile ABH yöndeş açılardır. a = x
DAE ile ABF yöndeş açılardır. b = y
d2
CAB ile HBG yöndeş açılardır. d = t
EAB ile FBG yöndeş açılardır. c = z
31
1. ÜNİTE
EAB ile FBA karşı durumlu açılardır. c+y=180o
CAB ile HBA karşı durumlu açılardır. d+x= 180o
EAB ile ABH iç ters açılardır.
c=x
DAC ile FBG dış ters açılardır. a = z
Yandaki şekilde [AE//[CD dir. m(EAB)=5x,
m(ABC)=2x ve m(BCD)=1200 olduğuna göre x in
kaç derece olduğunu bulalım.
A
E
5x
D
C
CAB ile ABF iç ters açılardır.
d=y
DAE ile HBG dış ters açılardır. b = t
1200
2x
B
ÇÖZÜM:
A
E
5x
[CD//[BF çizelim.
D
C
1200
m(CBF)=600
m(EAB)=m(ABF)
2x
600
F
(BCD ile karşı durumlu)
(İç ters açılar)
B
5x = 2x + 600 ise x = 200 bulunur.
d3
x−10
3x+10
3x+10
3x+10
32
Yandaki şekilde verilenlere göre x değerini bulalım.
d4
d1
d2
ÇÖZÜM:
İç ters durumundaki açıların ölçülerinin eşit olması kesilen
doğruların paralel olmasıyla mümkün olacağından d1//d2 ve
d3//d4 tür.
3x+10 + x−10 = 180
(d1//d2)
x=45 tir.
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
Yandaki şekilde aynı renkli doğru parçaları birbirine paraleldir. Verilenlere göre x+2y toplamını bulalım.
5x
11y
ÇÖZÜM:
4x−7
19y-7
Yandaki trabzan resminde d1//d2 ve d3//d4 tür. m(ABC)=3y,
m(CBD)=720, m(BDE)=x0, m(DFG)=3z+180 olduğuna göre x, y
ve z değerlerini bulalım.
d3
d4
G
F
ÇÖZÜM:
d1
A
x+720=1800
x=1080=3y
x=1080=3z+180
B
D
C
d2
E
x=1080
y=360
z=300
(Karşı durumlu açılar)
(Yöndeş açılar)
(Yöndeş açılar)
bulunur.
Yandaki şekilde ışık bir sıvının içine kırılarak girmekte,
tabandaki aynadan yansımakta ve sonra da sıvıyı terk etmektedir. Buna göre x i bulalım.
x
550
5x=19y−7
(İç ters açı)
11y=4x−7
(İç ters açı)
x=10 ve y=3 bulunur.
x+2y=10+2.3 = 16 olur.
400
ÇÖZÜM:
K
L
A
C
KC ⊥ AT çizelim. Işık aynaya geldiği açı ile yansıyacağından
T
m(ABE)= m(CBD)
E
B D
33
1. ÜNİTE
m(ABE)+ m(ABC)+ m(CBD)=1800
m(ABE)+ 400+ m(CBD)=1800 ⇒ m(ABE)=m(CBD)=700 dir.
m(CBD)= m(BCA)=700 (Yöndeş açı)
Işık aynı açıyla yüzeye ulaşacağından m(LCT)=550 olur.
m(KCL)=900 − m(LCT) = 900 − 550 = 350 olur.
x = m(BCA) + m(ACK) + m(KCL) = 700 + 900 + 350 = 1950 bulunur.
1. Analitik düzlemde merkezi M(-3, 4) ve
yarıçapı 2 br olan çemberi çiziniz.
4. Tümler iki açıdan birinin ölçüsü, diğerinin
ölçüsünün 3 katından 10 eksik olduğuna göre
bu açının bütünlerinin ölçüsü kaç derecedir?
2.
.......
900
0
....... 120
....... 1450
....... 1500
600 .......
450 .......
5. Bir açının bütünleyeninin ölçüsünün yarısı,
tümlerinin ölçüsünün 3 katından 200 eksiktir.
Bu açının ölçüsünü bulunuz.
300 .......
6.
3300 .......
3150 .......
3000 .......
....... 2100
....... 2250
....... 2400
0
270
.......
a) Yukarıdaki çember üzerinde derece cinsinden verilmiş açıların radyan cinsinden
karşılığını yanlarındaki noktalı yerlere yazınız.
b) Ölçüsü 8π radyan olan açının derece cin3
sinden değerini bulunuz.
3.
k
A
C
B
A, B, C noktaları doğrusal olmak üzere
3.m(ABD)=2.m(DBE) ve m(EBC)= 1 m(EBA)
2
ise m(DBE) kaç derecedir?
7.
K
L
N
M
P
R
E
T
C
Şekildeki BAC ile k doğrusunun kesişimini
bulunuz.
34
E
B
D
A
D
00 .......
....... 1800
Şekilde [KM // [PR dir. m(LKM) = (3x-25)0,
m(RPT)=(2x+15)0, m(KNP)=700 ise m(RPN)
kaç derecedir?
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
8.
, cos 3π , tan 1500 ve cot 1350 nin
4
değerlerini bulunuz.
11.
A
B
300
C
y
x
G
D
radyanlık açı arasında kalan dar açının
E 700
200 F
ölçüsü kaç radyandır?
[AB // [FG dir. Şekilde verilenlere göre x−y
farkını bulunuz.
13.
A
F
9.
B
A
B
G
7π
radyanlık açı ile
9
12. Birim çemberde
5y
2y
C D
Yandaki şekilde A, B,
C ve D doğrusal noktalar, [BF // [CE,
m(ECD)=6x,
m(CBG)=2y,
m(FBG)=5y ve
y=2x ise m(ECB) nü
hesaplayınız.
G
F
C
E
E
[AB // [CD // [EF, [AG] // [CE],
m(BAG)=700 , m(AGE)=3.m(GEF) olduğuna
göre m(ECD) nin ölçüsünü bulunuz.
6x
D
10.
x0
14.
A
C
200
1000
250
300
350
700
500
B
x
a
E
b
D
Yukarıdaki şekilde verilenlere göre x kaçtır?
[BA // [DE dir. a+b=2900 olduğuna göre x
kaçtır?
35
1. ÜNİTE
DOĞRU DENKLEMLERİ
17
Yandaki şekilde A(4,3) noktasından geçen,
üzerinde değişken bir B(x,y) noktası olan AB
doğrusunun denklemini yazmaya çalışalım.
y
B(x,y)
3
AB nün yer vektörünü bulunuz.

Bu yer vektörünü aynı doğrultudaki u = (2,3) ve k
gerçek sayısı ile ilişkilendiriniz.
A(4,3)

u
O
Bulduğunuz eşitliği bileşenler cinsinden yazınız.
Eşitliğin
her iki yanındaki vektörlerin bileşenlerini
2
4
karşılıklı olarak eşitleyip x ve y değişkenlerini k cinsinden yazmaya çalışınız.
k değerini kullanarak x ve y arasında bir bağıntı kurmaya çalışınız.
x
Genel olarak düzlemde bir A(x1,y1)

noktasından geçen ve yer vektörü u = (u1,u2 )

olan doğrunun,
vektörel denklemi:
(x-x1,y-y1 ) = k. (u1, u2)

doğrultman vektörü : u = (u1,u2 )
parametrik denklemi : x = x1+u1.k
y = y1+u2.k
y
y
B(x,y)
A(x1,y1)
y1
u2

u
O
u1
x
x1
x
şeklinde verilir. Parametrik denklemden elde edilen k değerleri eşitlenerek doğrunun
kapalı formdaki denklemi a,b,c ∈ R olmak üzere,
ax + by + c = 0
biçiminde yazılır.
Düzlemde (2,-3) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemi (x−2,y+3)=k(1,4)
olarak verilmiştir. Bu doğrunun doğrultman vektörünü, k parametresine bağlı parametrik denklemini ve kapalı formdaki denklemini bulalım.
36
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
ÇÖZÜM:

Doğrultman vektörü : u(1,4) tür.
(x−2,y+3)=(k,4k) ⇒ x−2=k
x=k+2
Parametrik denklem : x=k+2
y=4k−3
ve
ve
y+3=4k
y=4k−3
x−2=k olduğundan y=4k+3 ⇒ y=4(x−2)−3
⇒ kapalı formdaki denklem: 4x−y−11=0
Düzlemde bir doğrunun parametrik denklemi x=−2k+5, y=7k−3 olarak verilmiştir. Bu
doğrunun vektörel denklemini, doğrultman vektörünü ve kapalı formdaki denklemini bulalım.
ÇÖZÜM:
x = −2k + 5⎫ −2k = x − 5⎫
⎬ ⇒ (x − 5,y + 3) = (−2k,7k)
⎬⇒
y = 7k − 3 ⎭ 7k = y + 3 ⎭
Vektörel denklem : (x−5,y+3)=k(−2,7)

Doğrultman vektörü : u(−2,7)
x−5
x−5
) ⇒ 7x + 2y + 41= 0 kapalı formdaki denkolur. y + 3 = 7(
−2k = x − 5 ⇒ k =
−2
−2
lemi bulunur.
Düzlemde bir doğru kapalı formda 4x−3y−2=0 olarak verilmiştir. Bu doğrunun
doğrultman vektörünü, vektörel denklemini ve k parametresine bağlı parametrik denklemini
bulalım.
ÇÖZÜM:
1
x−
4x − 2 3y
4x − 2
2 = y tür.
4x − 2 = 3y ⇒
=
⇒
=y⇒
3
3
3
3
4
1
x−

2 = y = k ⇒ x − 1 = 3k ve y = 4k olduğundan
Doğrultman vektörü : u = (3,4) tür.
3
4
2
Parametrik denklem : x = 3k +
1
dir. (x − ,y) = (3k,4k) olduğundan
2
2
1
y = 4k
Vektörel denklem
1
: (x − ,y) = k(3,4) olarak bulunur.
2
37
1. ÜNİTE
1. Düzlemde A(−5,1) noktasından geçen
doğrunun vektörel denklemi,
2. Düzlemde, bir doğrunun parametrik denklemi,
x = 3 + 4k
y = −1 + 5k
olarak verilmiştir. Bu doğrunun vektörel denklemini, üzerindeki herhangi bir noktasını,
doğrultman vektörünü, kapalı formdaki denklemini bulunuz.
(x+5 , y−1) = k. (3 , 2)
olarak verilmiştir. Bu denklemden faydalanarak doğrunun doğrultman vektörünü, k ∈ R olmak üzere k parametresine bağlı parametrik
denklemini, kapalı formdaki denklemini bulunuz. Doğru B(−8,m) noktasından geçerse
m değeri kaç olur?
3. Düzlemde, bir doğru kapalı formda
3x−5y+12=0 olarak verilmiştir. Bu doğrunun
vektörel denklemini, doğrultman vektörünü
ve k ∈ R olmak üzere k parametresine bağlı
parametrik denklemini bulunuz.
EĞİM
A noktasındaki Kaan, AC yolunu, B
noktasındaki Miray da BC yolunu, kullanarak C noktasına tırmanacaktır.
İkisinin de tırmanışlarda aldığı yolu
hesaplayınız.
Kaan ve Miray’dan hangisi tırmanışlarda daha çok zorlanmıştır? Bu
zorluğun sebebi sizce ne olabilir?
Buradaki olayı daha önce öğrendiğiniz hangi kavram ile ilişkilendirebilirsiniz?
18
y
C
6
B
3
A
O
38
Yandaki analitik düzlemde
bir d doğrusu, A, B ve C noktaları
doğru üzerinde olmak üzere A, B,
C, D ve E noktaları işaretlenmiştir.
d doğrusu x ekseni ile pozitif yönde
θo lik açı yaptığına göre;
d
3
D
θ
7
E
11
x
d doğrusu üzerinde alınan A, B
ve C noktalarının koordinatlarını
yazınız.
ABD ve ACE dik üçgenlerinden
tanθ değerlerini bulunuz.
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
A, B, C noktalarının herhangi ikisinin ordinatlarındaki değişimin apsislerdeki değişme
oranı ile bulduğunuz tanθ değerini ilişkilendiriniz.
Bir doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantı, doğru üzerinde seçilen
herhangi iki noktanın ordinatlarındaki değişimin, apsislerindeki değişime oranıdır.
Bu orana doğrunun eğimi denir ve eğim m ile gösterilir.
Doğrunun, x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı θo ise eğim,
m = tanθ
olarak ifade edilir.
Doğru üzerinde seçilen noktalar değişse de eğimde değişiklik olmaz.
y
d
B
3
1 birim
2
A
1 birim
θ
3 birim C
θ
x
O
−3
3
3 birim
Yanda verilen koordinat düzlemindeki d doğrusunun üzerinde
bulunan A ve B noktalarının
koordinatları A(3,2) ve B(6,3) tür.
Buna göre d doğrusunun eğimini
bulalım.
6
ÇÖZÜM:
m = tanθ =
| BC | 1
=
olur.
| AC | 3
HATIRLATMA
90 < θ < 180 ve
θ + β = 180 ise tanθ = tan(180 − β) = − tanβ
Yanda verilen koordinat düzlemindeki d
doğrusunun üzerinde bulunan A ve B noktalarının
koordinatları A(-1,2) ve B(-3,3) tür. Buna göre d
doğrusunun eğimini bulalım.
y
B
1 birim
C
β
θ
3
1 birim
2
ÇÖZÜM:
2 birim A
−3
θ
β
2 birim
−1 O
3
x
d
m = tanθ = tan(180 − β) = − tanβ = −
| BC |
1
=−
| CA |
2
olur.
39
1. ÜNİTE
İzmir’den Trabzon’a giden bir uçak Ordu üzerinde alçalmaya
başlıyor. Ordu üzerindeyken uçak 8000m yüksekliktedir.Ordu’nun
Trabzon’a uzaklığı 180km olduğuna göre Trabzon’a uzaklığı
135km olan Giresun üzerinde, uçağın kaç metre yükseklikte
olacağını bulalım.
A
8000m
B
x
C
45km
Ordu
Giresun
135km
Trabzon
ÇÖZÜM :
Uçak aynı doğrultuda alçaldığından dolayı mCA=mCB ise,
8
x ⇒ x=6km=6000m olur.
=
180 135
19
y
Analitik düzlemde A(3,1) ve B(5,2) noktalarından
geçen d doğrusunun eğimini bulunuz.
d
D(x,y)
y
B(5,2)
2
A(3,1)
1
E(x,2)
C(5,1)
θ
O
Şimdi de aynı doğru üzerinde değişken bir
D(x,y) noktası seçerek eğimi, B ve D noktalarının
koordinatlarını kullanarak bulunuz.
θ
θ
3
5
x
x
mAB ve mBD lerini ilişkilendirip x ve y arasında bir
bağıntı kurunuz.
İki noktası bilinen doğrunun kapalı formdaki denklemini veren bir bağıntı bulmaya
çalışınız.
40
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
y
D(x,y)
y
C(x2,y2)
y2
y1
B(x1,y1)
θ
y−y2
x−x1
y2−y1
θ
tanθ =
x2−x1
θ
O
Yandaki düzlemde verildiği gibi x ekseni
ile pozitif yönde θ açısı yapan ve B(x1,y1), C(x2,y2)
ve D(x , y) noktalarından geçen d doğrusu için,
d
x
x2
x1
x
y − y 2 y 2 − y1
=
=m
x − x 2 x 2 − x1
olur. Yukarıdaki eşitlikte orantı özellikleri kullanılarak,
x − x2
y − y2
=
(Üzerindeki iki noktası bilinen doğru denklemi)
y 2 − y1 x 2 − x1
y − y 2 = m(x − x 2 ) (Eğimi ve üzerindeki bir noktası bilinen doğru denklemi)
eşitliklerine ulaşılır. Doğrunun denklemi, y − y 2 = m(x − x 2 ) eşitliğinde dağılma özelliği
kullanılarak,
y = mx − mx 2 + y 2
( −mx 2 + y 2 = n olmak üzere )
y = mx + n biçiminde de yazılabilir.
A(1,4) noktasından geçen ve eğimi −3 olan doğrunun denklemini yazalım.
ÇÖZÜM:
y−y1=m(x−x1) ⇒ y−4=−3(x−1)
⇒
y=−3x+7 bulunur.
Koordinat düzleminde K(4,6) ve L(7,8) noktalarından geçen doğru denklemini
bulalım.
ÇÖZÜM:
x−7 y −8
=
7−4 8−6
⇒
x−7 y −8 ⇒
=
2
3
2x−14 = 3y−24 ⇒ 2x−3y+10 = 0
olarak bulunur. Ayrıca bu doğrunun eğimi: m = −
3y = 2x +10 ⇒ y =
2 2
= tür. Bu doğruyu
−3 3
2
10
biçiminde de ifade edebiliriz.
x+
3
3
41
1. ÜNİTE
20
Kapalı formdaki denklemleri d1 : −x + 2y − 2 = 0 ve d2 : x − 2y − 4 = 0 olan doğruların
aşağıdaki grafiklerini inceleyelim.
y
Denklemlerden faydalanarak her iki doğrunun
eğimlerini bulunuz ve karşılaştırınız.
d1
d2
x
O
Eğimlerden faydalanarak doğruların x ekseni
ile pozitif yönde yaptığı açıların ölçüleri için ne
söyleyebilirsiniz?
Açı ölçülerinden faydalanarak doğruların grafiklerinin birbirine göre durumları için ne söyleyebilirsiniz?
Eğimleri eşit olan iki doğrunun birbirlerine göre konumunu tartışınız.
Şimdi de kapalı formdaki denklemleri
d2
y
d1 : 2x + 3y − 6 = 0
d2 : −3x + 2y + 3 = 0
R
K
β
O
θ
α
M
L
P
x
d1
olan doğruların yandaki grafiklerini inceleyelim.
Denklemlerden faydalanarak her iki doğrunun
eğimini bulunuz.
d2 doğrusunun eğiminden tanβ değerini, d1 doğrusunun eğiminden tanα değerini
yazınız.
tanα ve tanθ değerlerini ilişkilendiriniz.
HATIRLATMA
C
b
A
c
a
B
A ile C tümler açılar ise
tan A =
a
c
tanC =
c
a
dır.
tanθ ve tanβ değerlerinden ve hatırlatmadan faydalanarak m(LKM) nü bulunuz.
d1 ve d2 doğrularının grafiklerinin birbirine göre durumu için ne söyleyebilirsiniz?
d1 ve d2 doğrularının eğimleri çarpımını bulunuz.
Eğimleri çarpımı −1 olan doğruların birbirlerine göre durumunu tartışınız.
42
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
Düzlemde iki doğrunun eğimleri eşit ise doğrular birbirine paraleldir. Bu durum,
m1=m2 ⇔ d1 // d2
biçiminde ifade edilir.
Düzlemde iki doğrunun eğimleri çarpımı −1 ise doğrular birbirine diktir. Bu durum,
m1 . m2 = −1 ⇔ d1 ⊥ d2
biçiminde ifade edilir.
x−2y+4=0 doğrusuna paralel olan ve A(1,−3) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım.
ÇÖZÜM:
1
d1: x−2y+4=0 ⇒ m1= − 1 = 1 dir. m1=m2= olduğundan,
2
−2 2
1
d2: y−(−3)= (x−1) ⇒ d2: x−2y−7=0 bulunur.
2
x−2y−1=0 doğrusuna dik olan (k−1)x+y−n=0 doğrusu A(2,−1) noktasından geçmektedir. Buna göre k.n değerini hesaplayalım.
ÇÖZÜM:
d1: x−2y−1=0 ⇒ m1 =
1
ve d1 ⊥ d2 olduğundan m1.m2=−1 ⇒ m2=−2
2
d2: (k−1)x+y−n=0 ⇒ m2= −
k −1
⇒ −2 =−(k−1) ⇒ k=3 ve A(2,−1) doğrusunu sağlar.
1
d2: 2x+y−n=0 ⇒ 2(2)−1−n=0 ⇒ n=3 bulunur. O hâlde, k.n = 3.3 = 9 dur.
21
d1 : 2x - 3y + 5 = 0
d2 : 4x - 6y + 7 = 0
denklem sistemini oluşturan kapalı formda verilmiş d1 ve d2 doğrularının grafiklerini çiziniz.
Bu doğruların grafiklerinin birbirine göre konumları için ne söylenebilir?
Doğru denklemlerindeki x değişkeninin kat sayılarının oranını, y değişkeninin kat
sayılarının oranını ve sabit terimlerin oranını karşılaştırınız.
Bu oranlarla doğruların grafiklerinin birbirine göre durumunu karşılaştırınız.
43
1. ÜNİTE
d1 : 3x - 4y + 7 = 0
d2 : 6x - 8y + 14 = 0
denklem sistemini oluşturan kapalı formda verilmiş d1 ve d2 doğrularının grafiklerini çiziniz.
Bu doğruların grafiklerinin birbirine göre konumları için ne söylenebilir?
Doğru denklemlerindeki x değişkeninin kat sayılarının oranını, y değişkeninin kat
sayılarının oranını ve sabit terimlerin oranını karşılaştırınız.
Bu oranlarla doğruların grafiklerinin birbirine göre durumunu karşılaştırınız.
d1 : x + 3y - 5 = 0
d2 : 4x - 2y + 6 = 0
denklem sistemini oluşturan kapalı formda verilmiş d1 ve d2 doğrularının grafiklerini çiziniz.
Bu doğruların grafiklerinin birbirine göre konumları için ne söylenebilir?
Doğru denklemlerindeki x değişkeninin kat sayılarının oranını, y değişkeninin kat
sayılarının oranını ve sabit terimlerin oranını karşılaştırınız.
.
Bu oranlarla doğruların grafiklerinin birbirine göre durumunu karşılaştırınız.
Düzlemde, a1, a2, b1, b2 , c1 ve c2 ∈ R olmak üzere kapalı formları
d1 : a1x + b1y + c1 = 0
d2 : a2x + b2y + c2 = 0
olan doğrular için;
i)
a1 b1 c1
ise d1 ile d2 paralel,
=
≠
a 2 b2 c 2
ii)
a1 b1 c1
=
=
ise d1 ile d2 çakışık ve
a 2 b2 c 2
a1 b1
iii) a ≠ b ise d1 ile d2 bir noktada kesişir.
2
2
(a−3)x+10y+4=0 ve (b−5)x−5y−7=0 doğrularının birbirine göre paralel olması için a
ile b arasındaki bağıntıyı yazalım.
ÇÖZÜM:
a − 3 10 4
=
≠
b − 5 −5 7
44
⇒
a − 3 = −2b +10
⇒
a = −2b +13 olur.
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
(1−k)x+3y+m−2=0 doğrusu ile 8x−4y+3k−1=0 doğrusu çakışık ise m+k toplamının
kaç olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:
24 = −4 + 4k
1− k 3 m − 2 ⎫
=
=
⎬ ⇒
60 = −4m + 8
8
−4 3k −1 ⎭
⇒ k=7 ⎫
⎬
⇒ m= −13⎭
⇒ m + k = −6 bulunur.
2x−3y−5=0 ve 4x+my+11=0 doğruları bir noktada kesişiyorsa m nin hangi değeri
alamayacağını bulalım.
ÇÖZÜM:
2 −3
≠
4 m
⇒
2m ≠ −12
⇒
m ≠ −6

1. P(2,5) noktasından geçen u = (3,4) vektörüne paralel olan doğrunun, vektörel,
parametrik ve kapalı formdaki denklemlerini
yazınız.
2. Parametrik denklemi x=−3+2t ve
y=1−3t olan doğrunun vektörel denklemini,
doğrultman vektörünü ve kapalı formdaki
denklemini yazınız.
3. Kapalı formdaki denklemi −x+3y−17=0 olan
doğru P(−5,m) noktasından geçtiğine göre
bu doğrunun vektörel denklemini, doğrultman
vektörünü ve parametrik denklemini yazınız.
4. A(5,10) ve B(−3,4) noktalarından geçen
doğruyu çiziniz. Bu doğrunun denklemini
yazınız. Eğimini söyleyiniz.
olur.
5. A(3,2) noktasından geçen ve eğimi −4 olan
doğrunun denklemini yazınız.
6.Aşağıdaki
seçeneklerde
koordinatları
verilen A ve B noktalarından geçen her bir
doğrunun varsa eğimlerini bulunuz.
a) A(1,2), B(3,5)
b) A(0,0), B(−2,3)
c) A(−1,4), B(−3,4)
ç) A(−3,7), B(−3,14)
7. 2x − 3y + 4 = 0 ile 6x − ky + 9 = 0 doğrularının
paralel olması için k kaç olmalıdır?
8. 4x − 8y + 11 = 0 doğrusu kx − 5y + 6 = 0
doğrusuna dik ise k kaçtır?
9. 3x − 4y + 5 = 0 ve −4x − 3y + 10 = 0
doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve
−2x + y + 3 = 0 doğrusuna paralel olan
doğrunun denklemini yazınız.
45
1. ÜNİTE
10.
Yukarıdaki şekilde de verildiği gibi analitik düzlemde x eksenini A(4,0) ve y eksenini B(0,−2) noktasında kesen d1
doğrusu C(0,3) noktasından geçen d2 doğrusuna diktir. d2
doğrusunun denklemini yazınız.
y
d2
3
d1
4
x
−2
11. 4x − 6y + 9 = 0 doğrusu ile mx + ny − 7=0 doğruları çakışık ise m+n kaçtır?
12. Aşağıda grafikleri verilen doğrulardan hangisinin eğiminin pozitif, hangisinin eğiminin
negatif, hangisinin eğiminin sıfır olduğunu ve hangisinin eğiminin olmadığını noktalı yerlere
yazınız.
y
y
y
d
y
d
d
d
x
......................
x
......................
x
......................
x
......................
ÜNİTE SONU ÖLÇME SORULARI
1. Sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktalar;
a) Koordinat doğrusunda,
b) Koordinat düzleminde,
c) Uzayda
ne belirtir?
2. Köşelerinin koordinatları A(−2,5), B(4,1) ve C(−2,3) olan ABC üçgenindeki [BC] nın orta
noktasını başlangıç noktası, A köşesini de bitiş noktası kabul eden vektörün bileşenleri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (−4,0)
B) (−3,3)
C) (0,3)
D) (2,−1)
E) (−2,0)
3. Bileşenleri (−3,3) ve ( 2 3,2 ) olan iki yer vektörü arasındaki açı kaç derecedir?
A) 750
B) 900
C) 1050
D) 1350
E) 1500
4. A(m+1,n+5) ve B(−2+n,m−2) noktalarından geçen doğrunun,
a) Eğiminin sıfır olması için
b) Eğiminin olmaması için m ve n arasındaki bağıntıyı bulunuz.
5. (k−1)y+(p+3)x+c=0 doğru denkleminde k yi bulmak için aşağıdakilerden hangisini ya da
hangilerini bilmek yeterlidir?
I) Doğru, x eksenine paraleldir.
II) Doğru, y eksenine paraleldir.
III) c nin değerini
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve III
E) Hiçbiri
46
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
6. −(2k+2)x+(k−5)y+t=0 denklemi ile verilen doğrunun x ekseni ile saat yönünün tersi yönünde
geniş açı yaptığına göre k tam sayılarının toplamı kaçtır?
B) 9
C) 10
D) 14
E) 15
A) 0
7.
Yandaki şekilde verilen 6 noktadan kaç doğru geçer?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
8. Aşağıdaki noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz.
Düzlemde bir noktanın x eksenine uzaklığı, bu noktanın ......................
Düzlemde bir noktanın y eksenine uzaklığı, bu noktanın ......................
9.A(−1,4), B(k,−2) ve C(5,−8) noktaları doğrusal ise k kaçtır?
A) 0
B)1
C)2
D)3
E)4
10. Köşelerinin koordinatları A(−1,5), B(−2,1) ve C(6,3) olan ABC üçgeninin BC kenarına ait
yüksekliği taşıyan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y=−4x+1
B) y=x−4
C) y=4x+9 D) y=−4x−9
E) y=9x+1
11. Köşelerinin koordinatları A(-1,6), B(1,-2) ve C(5,4) olan ABC üçgenindeki BC kenarına ait
kenarortayı taşıyan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x+7y−19=0
B) 4x−5y−29=0
C) 3x−7y+19=0
D) 5x+4y+29=0
E) 5x+4y−19=0
12. Taksimetresi açılış ücreti olarak 2,3TL yazan ve her 100m de 20Krş artan taksi ile yolculuk
yapılacaktır. Gidilen yol x(metre) ve ödenen ücret y(TL) ile gösterilirse;
a) İki değişken arasındaki denklemi yazınız.
b) Eğimin ne anlama geldiğini söyleyiniz.
c) 5km lik yolculuk için kaç TL ödeneceğini hesaplayınız.
13. Parametrik denklemi x=2+3k ve y=1−2k bağıntılarıyla verilen doğrunun;
a) Vektörel denklemini,
b) Doğrultman vektörünü,
c) Kapalı formunu yazınız.
14. u=(3,−2), v=(−4,5) ve w=(−15,24) veriliyor. xu + yv = w eşitliği sağlandığına göre y−x
kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
15. Analitik düzlemde [AB] nın uç noktalarının koordinatları A(−2,2) ve B(5,9) dur. [AB] nı
| CA | 3
= oranında içten bölen C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
| CB | 4
A) (3,4)
B)(4,3)
C)(5,1)
D)(1,5)
E)(3,7)
16. u=(3,−4) ve w=(−7,8) vektörleri veriliyor. −5u + 4v = w eşitliğini sağlayan v aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (1,2)
B)(2,−3)
C)(3,−2)
D)(−2,3)
E)(1,−3)
47
2. ÜNİTE
ÇOKGENLER
VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
+
+
+
+
+
Çokgenler, Çokgenlerin İç ve Dış Açıları Ölçüleri
Çokgenlerin Çevreleri ve Çokgensel Bölgelerin Alanları
Üçgenlerde Eşlik Teoremleri
Düzlemde Dönüşümler ve Çokgenlerle Kaplama
Üçgenlerde Benzerlik Teoremleri
Doğada var olan cisimlere ait
geometrik şekiller üzerinde düşününüz.
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
ÇOKGENLER
Yandaki şekilleri inceleyiniz.
Birleştirilmiş doğru parçalarının birinin uç
noktasından başlayarak tekrar başladığınız noktaya ulaşmanın geometrik anlamını tartışınız.
Deniz yıldızı ve kırık metredeki ortak ve farklı
yanları tartışınız.
1
Yandaki resimde görülen harflerle belirtilen arazilerin geometrik şekillerini inceleyiniz.
Sınır sayılarını karşılaştırınız.
Benzer şekilleri oluşturmak için
en az kaç sınır gerekir?
Doğru parçalarının uç uca eklenmesiyle oluşturulan kapalı şekle ne ad verildiğini
söyleyiniz.
n ≥ 3 ve n ∈ N olmak üzere aynı düzlemde ardışık üç tanesi doğrusal olmayan A1,
A2 , ...., An noktalarının oluşturduğu [A1 A2], [A2 A3], ..., [An-1 An], [An A1] doğru parçalarının
birleşim kümesine çokgen adı verilir.
A1, A2, ..., An noktalarına çokgenin köşeleri,
[A1 A2], [A2 A3], ..., [An-1 An], [An A1] doğru parçalarına çokgenin kenarları denir.
A
E
iç
bölge
B
C
dış
bölge
D
P
49
2. ÜNİTE
Aşağıdaki şekillerden çokgen olanların, altındaki kutuların içine işareti koyunuz.
Nedenlerini açıklayınız.
2
Aşağıdaki çokgenleri inceleyiniz.
1. Şekil
2. Şekil
3. Şekil
4. Şekil
5. Şekil
Bu çokgenlerin her birinin iç bölgesinde alacağınız herhangi iki noktadan geçen doğru
parçaları çiziniz.
Hangi şekillerde, çizilebilen tüm doğru parçalarının her noktası şeklin içinde kalır? İçinde
kalanlar ile kalmayanları gruplandırınız.
Bir doğru parçası ile bir çokgenin birbirlerine göre durumunu göz önüne alarak çokgenleri
nasıl sınıflandırırsınız?
Çokgenin iç bölgesinde seçilen herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası daima
çokgenin iç bölgesinde kalıyorsa bu çokgene dışbükey çokgen denir. Tersi oluştuğu zaman
bu çokgene içbükey çokgen denir.
50
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
ÇOKGENDE AÇILAR
3
Aşağıdaki ABC üçgenini inceleyiniz.
ABC nin B ve C köşelerinden geçen d1 doğrusunu
çiziniz.
K
d2
A noktasından geçen d1 doğrusuna paralel olan
başka bir d2 doğrusu çiziniz.
y
A
P
z
y
N
x
B noktasındaki ABC ile iç ters olan açıyı d2 doğrusu
üzerinde işaretleyiniz.
d1
L
C noktasındaki ACB ile iç ters olan açıyı d2 doğrusu
üzerinde işaretleyiniz.
z
y
B
C
M
ABC nin iç açılarının ölçüleri toplamı ile A köşesinde
oluşan PAB, BAC ve CAN açılarının ölçüleri toplamını karşılaştırınız.
m(ABL) nü y cinsinden, m(ACM) nü z cinsinden ve m(KAC) nü y ve z cinsinden
yazınız.
ABC nin dış açılarının ölçüleri toplamı olan m(ABL) + m(ACM) + m(KAC) toplamını
bulunuz.
ABC nde B ve C köşelerindeki iç açıların ölçülerinin toplamı ile A köşesindeki dış
açının ölçüsünü ilişkilendiriniz.
Üç kenarlı çokgene üçgen denir. Aşağıda verilen üçgen örneği, ABC üçgeni olarak isimlendirilir ve ABC diye gösterilir. [AB], [BC] ve [AC] na ABC nin kenarları; A, B ve C
noktalarına da üçgenin köşeleri adı verilir. Aşağıdaki şekillerde üçgenin iç ve dış açıları
gösterilmiştir. Herhangi bir üçgende bir köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir.
A
D
A
A
C
E
C
B
ABC
B
B
C
ABC, ACB ve BAC
iç açılar
F
DAC, BCF ve ABE
dış açılar
(B, A, D; E, B, C ve
A, C, F doğrusal )
51
2. ÜNİTE
Herhangi bir üçgendeki iç açıların ölçüleri toplamı 1800 ve dış açıların ölçüleri
toplamı 3600 dir.
Bir üçgenin herhangi bir dış açısının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının
ölçüleri toplamına eşittir.
Bir ABC nde iç açıların ölçüleri arasında 3.m(ABC)=2.m(BCA)=6.m(BAC) bağıntısı
vardır. Buna göre en büyük iç açının ölçüsünü bulalım.
ÇÖZÜM :
Bağıntıdaki kat sayılardan m(BAC)=k ise m(ABC)=2k ve m(BCA)=3k olur.
m(BAC) + m(ABC) + m(BCA) = 1800 ⇒ k + 2k + 3k = 1800 ⇒ k = 300 bulunur.
En büyük
ölçüsü m(BCA) = 3k = 900 dir.
y içç açının
ç
Yandaki şekilde verilen üçgendeki m(ACF)=x açısının
ölçüsünü bulalım.
D
1100
A
ÇÖZÜM:
Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı 3600 olduğundan
x
B
120
0
C
1100 + 1200 + x = 3600
x = 1300 dir.
F
E
4
Bir çokgende ardışık iki köşeyi birleştiren doğru parçasına kenar, ardışık olmayan
köşeleri birleştiren doğru parçasına köşegen dediğinizi hatırlayınız.
Aşağıda verilen her bir çokgende bir köşeden çizilen köşegenleri inceleyiniz.
D
C
E
D
C
E
A
B
A
B
D
F
C
A
B
Her bir çokgenin kenar sayısı ile bir köşesinden çizilen köşegen sayısını
ilişkilendiriniz.
52
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
Bir köşeden çizilen köşegenler ile çokgenin kaç farklı üçgene ayrıldığını görünüz.
Farklı üçgenlerin sayısı ile çokgenin kenar sayısı arasında nasıl bir ilişki olduğunu araştırınız.
Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamından yola çıkarak herhangi bir çokgenin iç
açılarının ölçüleri toplamı ile ilgili bir kural oluşturmaya çalışınız. Ulaştığınız sonucun genel
olup olmadığını tartışınız.
Dörtgende iç açıların ölçüleri toplamı : (4 − 2). 1800 = 3600 dir.
Beşgende iç açıların ölçüleri toplamı : (5 − 2). 1800 = 5400 dir.
Altıgende iç açıların ölçüleri toplamı : (6 − 2). 1800 = 7200 dir.
n kenarlı bir çokgende iç açıların ölçüleri toplamı : (n − 2). 1800
Altıgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulalım.
E
ÇÖZÜM:
D
F
F
C
A
B
E
D
1
2
3
C
4
A
B
Altıgenin bir köşesinden çizilen köşegen sayısının 3 olduğunu söyleyebiliriz.
Bu sayı, kenar sayısından 3 çıkarılarak da bulunabilir.
6−3=3
Bu köşegenler ile altıgen dört farklı üçgene ayrılır. Üçgen sayısı, kenar sayısından iki çıkarılarak da bulunabilir.
6−2=4
Altıgende iç açıların ölçüleri toplamı
(6 - 2).1800 = 4. 1800 = 7200 olur.
Bir çokgende ardışık iki iç açının ölçüsü 1400 ve 1600 dir. Diğer açıların ölçüleri birbirine eşit ve 1500 olan bu çokgenin kaç kenarlı olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:
Çokgen n kenarlı olsun. İç açılarının ölçüleri toplamından
(n−2).1800 = 1400 + 1600 + (n−2). 1500
n = 12 bulunur.
53
2. ÜNİTE
KARE VE DİKDÖRTGEN
5
Aşağıda verilen ABCD karesini ve KLMN dikdörtgenini inceleyiniz.
D
4 br
C
N
5 br
M
4 br
K
B
A
L
Karede ve dikdörtgende köşelerdeki iç açıların ve dış açıların ölçülerini bulunuz ve
karşılaştırınız.
Kare ve dikdörtgenin kenar uzunluklarını karşılaştırınız ve farklılıklarını belirtiniz.
D
C
N
M
B
K
L
O
A
Pisagor bağıntsından yararlanarak her bir dörtgendeki köşegen uzunluklarını bulunuz ve karşılaştırınız.
DAB ninde m(ADB) ile m(ABD) nü bulunuz.
DAC ninde m(DAC) ile m(ACD) nü bulunuz.
Bu sonuçlardan yararlanarak m(AOD) nü hesaplayınız.
Kare ve dikdörtgende köşegen uzunlukları ve köşegenler arasındaki açı ölçüleri için
bir genelleme yapmaya çalışınız.
Karenin ve dikdörtgenin her bir iç açısı ve her bir dış açısının ölçüsü 900 dir.
Karede köşegenlerin uzunlukları eşit ve köşegenler birbirine diktir.
Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir.
54
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
D
Yandaki şekilde ABCD kare, BCE eşkenar üçgendir.
Verilenleri kullanarak m(EAD) nü bulalım.
C
E
A
ÇÖZÜM:
m(ABC) = 900 (Kare)
m(EBC) = 600 (Eşkenar üçgen)
B
m(ABE) = 900 + 600 = 1500
D
C
m(EAB) = m(BEA)
= 150
(İkizkenar üçgen)
E
m(EAD) = 900 − 150
= 750
bulunur.
600
A
B
D
C
A
B
D
C
Yandaki şekilde ABCD kare; A, B ve E noktaları doğrusal
ve |AE| = |BD| olduğuna göre m(AEC) nü bulalım.
E
ÇÖZÜM:
[AC] köşegenini çizelim.
|AC| = |BD|
4
45
A
(Köşegen uzunlukları eşit)
0
B
E
0
0
m(AEC) = 180 − 45
2
(AEC ikizkenar üçgen)
= 67,50 bulunur.
55
2. ÜNİTE
EŞKENAR DÖRTGEN VE PARALELKENAR
6
T
P
T
P
S
D
C
R
A
B
S
D
B
A
R
C
Karedeki T ve R köşelerini, dikdörtgendeki D ve B köşelerini bir
kırık metrenin bağlantı yerleri gibi
düşünerek birbirine doğru bastırdığınızı düşününüz.
Elde edilen yeni şekilleri
PRST eşkenar dörtgeni ve ABCD
paralelkenarı ile ilişkilendiriniz.
Eşkenar dörtgenin ve paralelkenarın kenar uzunluklarının değişip
değişmediğini tartışınız.
Eşkenar dörtgende T ile R ve P
ile S köşelerindeki iç açıların, paralelkenarda da A ile C ve B ile D
köşelerindeki iç açıların ölçülerini
karşılaştırınız.
Her iki şekilde ard arda gelen açıların ölçüleri toplamının ne olabileceğini söyleyiniz.
T
P
S
D
A
R
C
Yanda PRST eşkenar dörtgeninin
ve ABCD paralelkenarının köşegenleri çizilmiştir. Şekilleri inceleyiniz.
B
PRS ni kenar uzunluklarına göre isimlendiriniz.
RPS ve RSP nın iç ters açılarını işaretleyiniz.
Benzer çalışmaları TRS için yapınız.
O
Eşkenar dörtgende köşegenlerin aynı zamanda açıortayları
olduğunu göz önüne alarak köşegenlerin kesiştiği noktada oluşan açıyı bulunuz.
R
P
Benzer yaklaşımla paralelkenarda köşegenler arasındaki
açının ölçüsü bulunup bulunamayacağını tartışınız.
Eşkenar dörtgende köşegenler arasındaki açının ölçüsü için bir genelleme yapmaya çalışınız.
T
S
Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır ve köşegenler arasındaki açı 900 dir.
56
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
D
C
Yanda verilen ABCD eşkenar dörtgeninde m(CAB) = 200
olarak verilmektedir.
m(ADC) = x değerini hesaplayalım.
200
B
A
D
C
200
ADC ikizkenar üçgen olduğu için ,
200
200
A
ÇÖZÜM:
Eşkenar dörtgende köşegenler ile oluşan CAB ile ACD iç ters
açılardır.
m(CAB) = m(ACD)
B
x + 200 + 200 = 1800
ise x = 1400
bulunur.
İKİZKENAR YAMUK
Ressamlar, resimlerine derinlik vermek için perspektif kullanırlar.
Kaçış
Noktası
Perspektif çizimlerinde zemine dik
olan doğrular birbirine paralel gibi
kalırken yatay doğrular devam ettikçe
belli bir noktada (Kaçış Noktası) buluşur
görüntüsü verirler.
(Kaybolunan Nokta)
Yukarıdaki resmin perspektif kullanılarak yapılan çiziminde oluşan KLMN dörtgenini inceleyiniz. Bu dörtgende birbirine paralel
olan kenarlar ile uzunlukları eşit olan kenarları söyleyebilir misiniz?
7
Aşağıda verilen ikizkenar üçgeni inceleyiniz. AB ve AC kenarlarını D ve E noktalarında
kesen ve d1 doğrusuna paralel olan bir d2 doğrusu çizelim.
A
A
D
d2
E
d1
B
C
d1
B
C
57
2. ÜNİTE
ABC ve ACB ile yöndeş olan açıları söyleyiniz.
ABC ve ACB ile karşı durumlu olan açıları söyleyiniz.
ADE nin ikizkenar üçgen olduğunu göz önüne alarak |BD| ile |EC| nu karşılaştırınız.
BCED dörtgeninde paralel olan kenarları belirtiniz.
BCED dörtgeni size ilköğretimde öğrendiğiniz hangi dörtgeni hatırlatmaktadır?
D
Yan kenarlarının uzunluğu birbirine eşit olan yamuğa
ikizkenar yamuk denir. Paralel olan kenarlara yamuğun
tabanları adı verilir. İkizkenar yamukta;
bir yan kenarla tabanların oluşturduğu açılar bütünler,
(m(ABC)+ m(BCD)=1800 ve m(BAD)+ m(ADC)=1800)
ve taban açıları birbirine eşittir.
(m(DAB) = m(CBA) ve m(ADC) = m(BCD) )
C
A
B
Yandaki resimde görülen basketbol
sahasında ikizkenar yamuk biçimindeki
boyalı alan üzerinde m(DAB)=x ve
m(DCB)=x+400 olduğuna göre x i
bulalım.
D
A
C
B
ÇÖZÜM:
ABCD bir ikizkenar yamuk olduğundan
m(CBA) = m(DAB) = x tir.
m(DCB) + m(CBA) = 1800 ise
x + 400 + x = 1800 ise x=700 bulunur.
DİK YAMUK
8
Bir sonraki sayfada solda verilen dik üçgeni inceleyelim.
AB ve AC kenarlarını D ve E noktalarında kesen, d1 doğrusuna paralel olan bir d2
doğrusu çizelim.
58
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
A
A
D
d1
E
d1
d1
C
B
B
C
DBC ve ECB ile yöndeş olan açıları söyleyiniz.
DBC ve ECB ile karşı durumlu olan açıları söyleyiniz.
BCED dörtgeninde paralel olan kenarları belirtiniz.
BCED dörtgeninde paralel olan kenarlara dik olan kenarı yazınız.
BCED dörtgeninde paralel olmayan kenar uzunluklarını karşılaştırınız.
BCED dörtgenini açı ve kenarlarını göz önünde bulundurarak isimlendirmeye
çalışınız.
D
C
Yan kenarlarından biri tabanlarına dik olan yamuğa dik yamuk
denir.
Yandaki şekilde verilen ABCD dörtgeni dik yamuktur.
B
A
Yanda verilen ABCD dik yamuğunun yan kenarı üzerine
BEFC karesi çizilmiştir. m(DCF) = 1200 ise m(ABC) nü
bulalım.
F
D
1200
C
E
ÇÖZÜM:
x
A
B
m(ABC) = x olsun.
m(DCB) = 180 − x olur.
(Dik yamuk)
C noktasında oluşan açılar toplamı 3600 olacağından,
m(DCB) + m(BCF) + m(DCF) = 3600
(1800 − x) + 900 + 1200 = 3600
x = 300 bulunur.
59
2. ÜNİTE
DÜZGÜN ÇOKGEN
9
C
D
M
N
U
E
T
H
S
V
B
A
K
L
G
F
P
R
1. Resim
C
N
D
M
U
E
T
H
S
V
0
0
A
B
K
L
F
G
P
R
2. Resim
1 ve 2. resimlerdeki kenar sayıları aynı olan çokgenleri kendi aralarında karşılaştırınız.
2. resimdeki tüm kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlerin ortak ve farklı yönlerini tartışınız.
2. resimdeki beşgeni inceleyiniz.
Beşgenin iç açılarının ölçüleri toplamından faydalanarak her
D
bir iç açısının ölçüsünü bulunuz.
Köşelerde oluşan bütünler açılardan faydalanarak her bir dış
E
H
açının ölçüsünü bulunuz.
Bu dış açıların ölçüleri toplamını hesaplayınız.
Benzer basamakları izleyerek 2. resimdeki altıgenin, bir
G
F
iç açısının ölçüsünü, bir dış açısının ölçüsünü ve dış açıların
ölçüleri toplamını bulunuz.
Bulduğunuz sonuçlardan genellemeler yapmaya çalışınız.
Kenar uzunlukları birbirine ve açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere
düzgün çokgenler denir.
Düzgün beşgende
3600
(5 − 2).1800
= 720 dir.
bir iç açının ölçüsü
= 1080 ve bir dış açının ölçüsü
5
5
Düzgün altıgende
(6 − 2).1800
3600
bir iç açının ölçüsü
= 1200 bir dış açısının ölçüsü
= 600 dir.
6
6
60
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
n kenarlı bir düzgün çokgende
0
bir iç açının ölçüsü (n − 2).180 = 1200 bir dış açısının ölçüsü 360 dir.
n
n
Eşkenar dörtgenin düzgün çokgen olup olmadığını inceleyelim.
ÇÖZÜM:
Tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olmasına rağmen iç açılarının ölçüleri birbirine eşit
olmadığından eşkenar dörtgen düzgün çokgen değildir.
Yandaki şekilde ABCDE düzgün beşgen, BGFC kare olarak
verilmektedir. m(BGA) nü bulalım.
D
E
C
F
B
A
x
G
ÇÖZÜM :
|AB| = |BC| (Düzgün beşgen)
|BG| = |BC| (Kare)
|AB| = |BG| ve ABG ikizkenar üçgendir.
m(BGA) = x olsun. m(BAG) = x olur.
m(ABG) = 180 − 2x (İkizkenar üçgen)
B noktasında oluşan açılar toplamı 3600 olacağından,
m(ABC) + m(CBG) + m(ABG) = 3600
1080 + 900 + (1800−2x) = 3600
x = 90 bulunur.
Bir dış açısının ölçüsünün 3 katı bir iç açısının ölçüsünün iki katına eşit olan çokgenin
kaç kenarlı olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:
Çokgenin iç açısının ölçüsü x, dış açısının ölçüsü y olsun.
3
3
3y = 2x ise x = y yazılabilir. x + y = 1800 ise y + y = 1800
2
ve y = 720 olur. 2
x
y
Kenar sayısı =
3600
= 5 ⇒ çokgen 5 kenarlıdır.
720
61
2. ÜNİTE
1. Aşağıdaki çizelgede verilen özelliklerden uygun olanları çokgenin altındaki kutucuğa X
işareti koyarak belirleyiniz.
PARALELKENAR
DİKDÖRTGEN
KARE
İKİZKENAR
YAMUK
EŞKENAR DÖRTGEN
Tüm iç açılarının
ölçüleri eşittir.
Tüm kenar uzunlukları
eşittir.
Ardışık açılar bütünlerdir.
Köşegenler açıortaydır.
Karşılıklı kenarlar eşittir.
Köşegen uzunlukları
birbirine eşittir
7.
2.
C
300
F
A
α
D
1100
E
D
x
1200
B
700
G
A
Yandaki ABCD dörtgeninde [AD] // [BC],
m(DCA)=300, m(CDA)=1100 ve |AB|=|BC|
ise m(ABC)=x kaç derecedir?
3.
B
C
Yukarıdaki şekilde |BC|=|DC|, |DE|=|EC|,
m(ABC)=700 ve m(DEC)=1200 ise m(CAF)
kaç derecedir?
8.
A
E
D
G
3x
D
B
700
F
E
C
F
1500
8x
B
2x
A
750
C
Şekilde verilen açı ölçülerine göre x değerini
hesaplayınız.
ADEFG düzgün beşgendir. A, D, B noktaları
ve A, G, C noktaları doğrusaldır. Buna göre
| BE | + | FC |
oranı kaçtır?
| DG|
9.
B
4. Bir düzgün çokgende bir iç açısının ölçüsü,
dış açısının ölçüsünün 5 katı olduğuna göre
düzgün çokgen kaç kenarlıdır?
5. Bir üçgende dış açıların ölçüleri 2x+100,
4x−100 ve 3x0 ise bu üçgenin en küçük iç
açısının ölçüsünü bulunuz.
6. Bir düzgün altıgenin en uzun köşegen
uzunluğu bir kenarın kaç katıdır?
62
G
A
C
200
D
E
F
Şekilde ABCDEF... düzgün bir çokgendir.
A, B, G ve F, E, G noktaları doğrusaldır.
m(BGE)=200 ise düzgün çokgen kaç
kenarlıdır?
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
14.
10.
A
C
D
600
600
O
800
x
E B
C
B
A
D
Yukarıdaki şekilde E, B, C ve D noktaları
doğrusaldır. m(BAC)=600 ve
5.m(ABC)=7.m(ACB) ise m(ACD) nü bulunuz.
ABCD paralelkenarında m(CDB)=600,
m(COB)=800 olduğuna göre m(BAC)=x ise x
kaç derecedir?
15.
D
11.
C
1500
x
400
D
C
x
B
A
1200
A
750
B
ABCD dörtgeninde dış açıların ölçüleri 1200,
750, x ve 400 dir. x kaç derecedir?
ABCD yamuğunda [DC] // [AB] dir.
m(CBD) = m(DBA) , m(DCB) = 1500 ve
|AD| = |DC| ise m(ADB) = x kaç derecedir?
16.
C
D
200
E
12.
A
y
600
B
A
Yukarıdaki şekilde ABCD kare, |BE| = |AB|,
m(ECD) = 200 ve m(CBE) = y ise y kaçtır?
17.
C
x
250
1200
D
B
C
D
0
Yukarıdaki dörtgende m(BAD) = 60 ,
m(ADC) = 250 ve m(BCD) = 1200 ise
m(ABC) = x kaç derecedir?
300
B
A
13.
K
D
C
ABCD dik yamuk, m(DCA) = m(ACB) ise
m(DAC) ölçüsünü bulunuz.
18.
C
D
2x+100
0
100
A
B
ABCD karesinde A, C ve K noktaları doğrusaldır. |AC|=|BK| olduğuna göre m(CBK) kaç
derecedir?
A
8x+
B
ABCD eşkenar dörtgeninde m(DCA) = 2x+100
ve m(ABC)= 8x+1000 ise x kaçtır?
63
2. ÜNİTE
ÇOKGENDE ÇEVRE VE ÇOKGENSEL BÖLGELERDE ALAN
Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.
Tarım yapılacak bir tarlanın, pulun zarf üzerine yapıştığı bölgenin, cam ile kaplanacak
sehpanın, boyanacak bir binanın duvarının, satın alınacak bir halının büyüklüğünü nasıl ifade
edersiniz?
10
−1
1 cm
−1
0
0 1 cm 1 2
1 cm
2
1
−1
1. Şekil
1 cm2
1 cm
0 1 cm 1 2
2.Şekil
Yukarıdaki şekilleri inceleyiniz.
1 cm ile 1 cm2 nin kullanım alanlarını tartışınız.
2. şeklin çevresinin (etrafının) uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.
Aşağıda verilen her şeklin alanının kaç tane 1cm2 lik karelerden oluştuğunu noktalı
yerlere yazınız.
A
D
1 br
K
B
P
T
R
S
1 br
C
L
..............
1. Şekil
64
N
1 br
M
..............
2. Şekil
..............
3. Şekil
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
1. şekilde bulduğunuz alanı |AB| ve |BC| ile,
2. şekilde bulduğunuz alanı |KL| ve |LM| ile,
3. şekilde bulduğunuz alanı |PR| ve |RS| ile ilişkilendiriniz.
1. şeklin çevre uzunluğunu bulunuz ve bu uzunluğu |AB| ve |BC| ile,
2. şeklin çevre uzunluğunu bulunuz ve bu uzunluğu |LM| ile,
3. şeklin çevre uzunluğunu bulunuz ve bu uzunluğu |PR| ve |RS| ile ilişkilendiriniz.
Kare ve dikdörtgenin çevre uzunluğu ve alan bağıntıları ile ilgili bir genelleme yapmaya çalışınız.
Kenar uzunluğu 1br olan karesel bölgenin alanı 1br2 dir. Bir çokgensel bölgenin
alanı bu 1br2 lik karelerden oluşur. Dolayısıyla a, b ∈ R+ olmak üzere bir kenar uzunluğu
a br olan karesel bölgenin alanı a.a = a2 br2, ardışık iki kenar uzunluğu a ve b br olan dikdörtgensel bölgenin alanı a.b br2 olarak belirlenir.
A
A(ABCD) = a.a
= a2 br2
a br
B
N
D
a br
M
A(KLMN) = a.b br2
a br
C
b br
K
L
Ayrıca, kare ve dikdörtgende köşegenler, aşağıdaki şekillerde gösterildiği gibi karesel bölgeyi ve dikdörtgensel bölgeyi birbirine eş dik üçgensel bölgelere ayırır.
A
D
D
A
A
S
S
B
A
B
C
D
C
C
D
A
A
M
M
B
C
B
C
C
Bir karenin çevresi bir kenar uzunluğunun 4 katı ve bir dikdörtgenin çevresi ardışık
iki kenar uzunluğunun toplamının 2 katı olur. Bu durumda yukarıdaki kare ve dikdörtgenin
çevreleri için,
Ç(ABCD) = 4a br
Ç(KLMN) = 2.(a+b) br
eşitlikleri kullanılabilir.
65
2. ÜNİTE
11
M
N
1 br
C
D
A
B
E
K
L
P
Yukarıdaki her iki şekilde de zemindeki karelerin kenar uzunluğu 1 birimdir.
BCE ve LMP nde Pisagor bağıntısından faydalanarak |BC| ve |LM| nu bulunuz.
ABCD ve KLMN paralelkenarlarında çevre uzunluklarını hesaplayınız.
Paralelkenarda çevre uzunluğu ile kenarlar arasındaki bağıntıyı tartışınız.
ABCD ve KLMN paralelkenarlarının sınırladığı iç bölgenin kaç br2 olduğunu bulmaya çalışınız.
KLMN paralelkenarsal bölgesinin alanını hesaplarken birim
M
N
karelerin sayısını bulmak zor olabilir. Bunun yerine başka bir
yöntem geliştirilebilir mi?
KLMN paralelkenarından kesilen KPN ile MLR ni karşılaştırınız.
Her iki üçgenin aynı olduğunu görünüz.
K
PRMN dikdörtgensel bölgenin alanı kaç br2 dir?
P
R
L
KLMN paralelkenarsal bölgenin alanı ile PRMN dikdörtgensel
bölgenin alanı için ne söylenebilir?
D
C
a br
hb
b br
K
ha
A
H
D
B
C
9 cm
4 cm
3 cm
A
66
H
B
Herhangi bir paralelkenarsal bölgenin alanı, bir kenar
uzunluğu ile bu kenara ait yükseklik uzunluğunun çarpımına
eşittir. Bu durum aşağıdaki şekilde,
A(ABCD) = a. ha = b. hb
biçiminde verilir. ABCD paralelkenarının çevresi ise,
Ç(ABCD) = 2. (|AB| + |BC|)
= 2. (a + b)
eşitliği ile tanımlanır.
Yandaki şekilde verilen ABCD paralelkenarında |DC| = 9cm,
|DH| = 4cm, |AH| = 3cm ve [DH] ⊥ [AB] dir.Buna göre paralelkenarsal bölgenin alanını ve çevre uzunluğunu bulalım.
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
D
ÇÖZÜM:
ABCD paralelkenarsal bölgesinin alanı HTCD dikdörtgensel
bölgesinin alanına eşittir. O hâlde,
A(ABCD) = A(HTCD) = 4. 9 = 36 cm2 olur.
Bu kez, ABCD paralelkenarının çevresini bulmak için AHD de
Pisagor bağıntısını uygulayarak |AD|=5 cm olduğunu bulmamız
gerekir. Buradan çevre tanımına göre,
Ç(ABCD) = 2. (5 + 9) = 2. 14 = 28 cm bulunur.
C
9 cm
4 cm
A
3 cm H
B
T
12
C
D
ha br
ha br
A
H a br
B
K
Paralelkenarsal bölgenin alanının a.ha olduğunu biliyoruz.
Kağıttan yapılmış bu paralelkenarsal bölgeyi BD köşegeni
boyunca ikiye ayırınız.
AD kenarı, BC kenarının üzerine ve AB kenarı DC kenarının
üzerine gelecek biçimde üst üste koyunuz.
Her iki parçanın alanını karşılaştırınız.
Paralelkenarsal bölgeden köşegen ile ayrılan ABD ve BCD
üçgensel bölgelerinin alanını, ABCD paralelkenarsal bölgesinin
alanı ile ilişkilendiriniz.
A
A
b
ha
ha
b
c
hb
C
a
hc
C
a
D
c
B
hc
hb
B
Yandaki şekillerde verilen
ABC üçgensel bölgelerinin alanı,
C
5 cm
A(ABC) =
a.ha b.hb c.hc
=
=
2
2
2
çevresi,
Ç(ABC) = a + b + c olarak bulunur.
Yandaki şekilde verilen ABCD paralelkenarında |DC|=5cm,
|CH|=4cm ve [CH] ⊥ [AH] dir. Buna göre ABD üçgensel bölgesinin alanını hesaplayalım.
4 cm
ÇÖZÜM :
A
B
H
ABD üçgensel bölgesinin alanı, ABCD paralelkenarsal bölgesinin alanının yarısına eşittir. O hâlde,
1
5. 4 = 10 br2 bulunur.
A(ABD) = 1 . A(ABCD) =
2
2
67
2. ÜNİTE
Yandaki şekilde |AB| = c = 3 cm, |CH| = hc = 4 cm ve
[CH] ⊥ [AH] dir. Buna göre ABC üçgensel bölgesinin alanını
bulalım.
C
hc=4 cm
ÇÖZÜM:
A
c=3 cm
H
B
A(ABC) =
1.
c.hc 3.4
=
= 6 cm2 bulunur.
2
2
4.
D
A
450
4 2
F
A
E
18
C
B
C
ABC üçgeninde m(BAC)=450, |AB|= 4 2 cm
ve |AC|=18cm ise A(ABC) kaç cm2 dir?
B
ABCD dörtgeninde |AC| = 4 cm,
| DE |
A(ACD)=10cm2 ve A(ABC)=12cm2 ise
| BF |
oranı kaçtır?
2.
5.
D
E
A
d1
A
B
B
12 cm
D
C
9 cm
ABC üçgeninde |AB| = |AD| =10cm, |DC|=9cm
ve |BD|=12cm ise ADC üçgensel bölgesinin
çevresini ve alanını bulunuz.
C
d2
Şekilde d1 // d2 olduğuna göre A(DBC),
A(ABC), A(EBC) arasında nasıl bir ilişki
vardır?
6.
3.
D
C
E
C
G
B
D
A
A
H
B
ABC üçgeninde [CH] ⊥ [AB], |CD|=8cm,
|AB|=10 cm ise ADBC dörtgensel bölgesinin
alanı kaç cm2 dir?
68
F
ABCD dikdörtgeninde E ∈ [DC], 5|FG|=3|AB|
ve A(ABCD)=60 br2 ise A(FEG) kaç br2 dir?
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
7.
11.
C
D
D
C
E
E
B
A
B
A
ABCD karesinde 6|AE|=|AC| , |AD|= 3 2 cm
ise ADE üçgensel bölgesinin çevresini ve
alanını bulunuz.
ABCD kare, BEC eşkenar üçgendir.
A(BEC)=100 3 cm2 ise ABCD dörtgensel
bölgesinin çevresini ve alanını bulunuz.
12.
E
D
8.
D
C
2 5
12
8
A
E
A
B
C
ABCD karesinde |DE|=|EC|, |EB|= 2 5 cm ise
Ç(ABCD) kaç cm dir?
13.
B
C
D
ABCD dörtgeninde [AD] ⊥ [DC], |DE|=4|EB|
ise A(ABC) kaç br2 dir?
E
9.
A
A
P
ABCD karesinde A(BEC)=30 cm2 ve
A(ABCD)=169cm2 ise ABECD beşgeninin
çevresi kaç cm dir?
14.
R
S
T
U
B
L
K
B
C
D
C
7
ABC üçgeninde |BL| = |LK| = |KC|,
|AP| = |PR| = |RS| = |ST| = |TU| = |UC| ise
A(KSU)
oranını bulunuz.
A(ABC)
A
B
4
E
ABCD dikdörtgeninde |AE|=4cm, |BC|=7cm,
m(DCE)=m(BCE) ise |AB| kaç cm dir?
10.
D
F
C
15.
D
12
C
15
E
A
E
B
ABCD dikdörtgeninde |AE|=1cm, |ED|=2cm,
|DF|=3cm, |FC|=5cm ise A(BEF) kaç cm2
dir?
A
20
B
ABCD dikdörtgeninde |AB|=20cm, |AD|=15cm,
|EC|=12cm ise |AE| kaç cm dir?
69
2. ÜNİTE
16.
18.
C
D
A
B
E
A
ABCD paralelkenarında 4|EB|=3|DC|,
A(AED)=16 cm2 ise A(BCD) kaç cm2 dir?
P
D
K
R S
L
T
U
C
B
ABCD paralelkenarında |AK|=|KL|=|LB|,
|DP|=|PR|=|RS|=|ST|=|TU| = |UC| ise
A(DAK)
oranını bulunuz.
A(RUB)
13
D
N
A
M
C
L
O
K
B
Baklava dilimlerinin belirttiği çokgensel bölgeleri yorumlayınız.
Yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi ABCD dikdörtgeninin kenar orta noktaları K, L, M ve
N olarak isimlendirilmiştir.
[KL], [LM], [MN] ve [NK] doğru parçalarını çizerek ve uç uca birleştirerek KLMN
eşkenar dörtgenini oluşturalım. Oluşan eşkenar dörtgenin köşegenleri olan [MK] ile [NL] nın
kesim noktası O noktası olsun.
Meydana gelen AKON, KBLO, OLCM ve NOMD dikdörtgensel bölgelerinin alanlarını
ve bu alanların toplamını ABCD dikdörtgensel bölgesinin alanı ile karşılaştırınız.
M
D
C
S
S
AKON, KBLO, OLCM ve NOMD dikdörtgenlerinde köşegenler
(eşkenar dörtgenin kenarları) bu dikdörtgensel bölgeleri eşit
alanlı (S) dik üçgensel bölgelere ayırmaktadır.
ABCD dikdörtgeninin [AB] kenarı ile KLMN eşkenar dörtgeninin [NL] köşegenini karşılaştırınız.
N
L
ABCD dikdörtgeninin [BC] kenarı ile KLMN eşkenar dörtgeO
ninin [MK] köşegenini karşılaştırınız.
S
S
ABCD dikdörtgensel bölgesinin alanını KLMN eşkenar dörtgeninin köşegen uzunluklarını kullanarak bulunuz.
S
KLMN eşkenar dörtgensel bölgesinin alanını, ABCD dikdörtS
gensel bölgesinin alanı ile ilişkilendiriniz.
A
B
|NL|= e ve |MK| = f alındığında KLMN eşkenar dörtgensel
K
bölgesinin alanını veren bir bağıntı oluşturunuz.
Bu bağıntının her eşkenar dörtgensel bölgesinin alanı için
geçerli olup olmadığını tartışınız.
S
70
S
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
a
D
C
e
a
f
a
A
a
O
B
ha
Bir kenarının uzunluğu a, |CH| = ha,
|DB| = e ve |AC| = f olarak verilen eşkenar dörtgende
A(ABCD) = a.ha br2 veya A(ABCD) = e.f br2
2
Ç(ABCD) = 4a br
H
bağıntıları ile verilir.
Yandaki ABCD eşkenar dörtgeninde |DB|=10cm ve |AC|=24cm dir.
Buna göre ABCD eşkenar dörtgensel bölgesinin alanını ve çevre
uzunluğunu bulalım.
C
D
O
B
ÇÖZÜM:
A(ABCD) =
A
10.24
= 120 cm2 bulunur.
2
[AC] ve [BD] köşegenleri birbirini dik ortaladığından |AO|=12cm ve
|BO|=5cm olur. BOA dik üçgeninde Pisagor bağıntısından,
|AB|2 = |AO|2 + |OB|2 =122 + 52=169 ⇒ |AB| = 13cm dir.
Buradan da, Ç(ABCD) = 4. 13 = 52 cm bulunur.
14
D
C
c
M
b
d
A
N
a
B
K
L
Yukarıdaki resimde kanun üzerinde siyah renkle belirtilen dörtgeni inceleyiniz.
Birim karelerden oluşan zemin üzerine çizilmiş ABCD ve KLMN dik yamuklarının
kenar uzunluklarını bulunuz.
ABCD ve KLMN yamuklarının kenar uzunluklarını karşılaştırınız.
Birbiri ile aynı olan ABCD ve KLMN dik yamuklarını aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi
birleştirelim.
71
2. ÜNİTE
C
c
D
d
L
b
b
A
K
a
M
B
a
d
c
N
D
c
C L
d
a
K
d
b
A
a
BM
c
N
Oluşan ANKD dikdörtgensel bölgesinin alanını bulunuz.
Bulunan ANKD dikdörtgensel bölgesinin alanı ile ABCD dik yamuksal bölgesinin
alanını karşılaştırınız.
ANKD dikdörtgeninde |AN|, ABCD dik yamuğundaki hangi kenar uzunluklarının
toplamına eşit olur?
ABCD dik yamuksal bölgesinin alanını, ANKD dikdörtgensel bölgesinin alan
bağıntısından faydalanarak,
A(ANKD) | AN| .| AD | | AN|
| AB | + | CD |
=
=
.| AD |=
.| AD |
A(ABCD) =
2
2
2
2
biçiminde yazabiliriz.
Sizler de bu bağıntıyı a, b, c, d cinsinden yazınız.
c
D
C
b
h
A
B
a
D
4 cm
Yandaki ABCD dik yamuğunda |AD|=8cm, |AB|=10cm ve
|DC|=4cm dir. Buna göre ABCD dik yamuksal bölgesinin çevresini
ve alanını bulalım.
C
8 cm
A
D
8 cm
A
B
10 cm
4 cm
ÇÖZÜM:
C
8 cm
4 cm
H
Şekildeki gibi kenar uzunlukları a, b, c ve h
birim olan dik yamuksal bölgenin çevresi,
Ç(ABCD) = (a + b + c + h) br
alanı,
(a + c).h 2
A(ABCD) =
br dir.
2
6 cm
B
Yandaki şekilde, CHB nde Pisagor bağıntısından,
|BC| = 10 cm bulunur.
Ç(ABCD) = |AB| + |BC| + |CD| + |AD|
= 10 + 10 + 4 + 8 = 32 cm bulunur.
A(ABCD) =
72
(10 + 4).8
= 56 cm2 olur.
2
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
15
c
D
b
A
M
b
ha
H
N
C
a
B
K
L
Yukarıdaki resimde otomobilin arka camı üzerinde kırmızı renkle belirtilen dörtgenin
özelliklerini inceleyiniz.
Birim karelerden oluşan zemin üzerine çizilmiş ABCD ve KLMN ikizkenar yamuklarının kenar uzunluklarını bulunuz.
ABCD ve KLMN ikizkenar yamuklarının kenar uzunluklarını karşılaştırınız.
ABCD ikizkenar yamuğunun yüksekliği için ne söyleyebilirsiniz?
ABCD ikizkenar yamuğunun çevresini bulunuz.
ABCD ikizkenar yamuğu ile eş olan KLMN ikizkenar yamuğunu aşağıdaki şekilde
olduğu gibi ters çevirerek birleştiriniz.
D
C
c
D
K
b
b
b
a
L
b
b
ha
A
H
B
a
c
M
N
A
c
K
a
b
b
ha
H
C L
a
B M
c
N
Oluşan ANKD dörtgeninin özelliklerini inceleyiniz.
Oluşan paralelkenarsal bölgenin alanı ile ABCD ikizkenar yamuksal bölgesinin
alanını karşılaştırınız.
Oluşan paralelkenarın kenar uzunluklarını ve yükseklik uzunluğunu kullanarak alan
bağıntısını oluşturunuz.
ABCD ikizkenar yamuksal bölgesinin alan bağıntısını taban uzunlukları ve yükseklik uzunluğu cinsinden bulunuz.
D
c
C
Herhangi bir ikizkenar yamuğun çevresi kenar uzunluklarının toplamına eşittir.
b
b
h
A
a
B
İkizkenar yamuksal bölgenin alanı ise
taban uzunlukları toplamının yükseklik uzunluğu ile
çarpımının yarısına eşit olur.
73
2. ÜNİTE
Bu durum kenar uzunlukları sırasıyla a, b, c, b ve yüksekliği h ile ifade edilen ikizkenar yamuksal bir bölge için,
(a + c).h 2
Ç(ABCD) = (a+2b+c) br
ve
A(ABCD) =
br biçiminde ifade edilir.
2
6 cm
D
Yandaki ABCD ikizkenar yamuğunda |AH| = 3cm,
|DH| = 4 cm ve |DC|= 6 cm dir. ABCD ikizkenar yamuksal bölgesinin çevresini ve alanını bulalım.
C
4 cm
A
6 cm
D
ÇÖZÜM:
C noktasından [AB] ⊥ [CK] olacak biçimde [CK] çizelim.
ABCD ikizkenar yamuk olduğundan |AH| = |KB| = 3 cm,
|DC| = |HK| = 6 cm dir.
Pisagor bağıntısından faydalanarak,
|AD| = |BC| = 5 cm olur. O hâlde,
Ç(ABCD) = |AB| + |BC| + |CD| + |DA|
= 12 + 5 + 6 + 5 = 28 cm bulunur.
(| AB | + | DC |).| DH| (12 + 6).4
=
= 36 cm2 bulunur.
A(ABCD) =
2
2
B
3 cm H
C
4 cm
A
3 cm H 6 cm K 3 cm
B
16
E
D
N
M
P
F
C
O1
A
O2
B
K
L
1. Şekil
2.Şekil
Yukarıda 1 ve 2. şekilde köşeleri O1 ve O2 merkezli çemberler üzerinde bulunan ABCDEF düzgün altıgeni ile KLMNP düzgün
beşgeni verilmektedir. Çizimleri inceleyiniz.
E
A
74
D
O1
F
Yandaki şekilde görüldüğü gibi O1 noktasını altıgenin
köşelerine birleştirelim.
C
B
|O1A|, |O1B|, |O1C|, |O1D|, |O1E| ve |O1F| uzunluklarını karşılaştırınız.
İlköğretim 6. sınıf matematik dersinde öğrendiğiniz eş üçgenlerin özelliklerini hatırlayarak köşeleri O1 noktası olan DO1C,
DO1E, EO1F, FO1A, AO1B, ve BO1C açılarının ölçülerini karşılaştırınız.
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
Açıların ölçülerini inceleyerek AO1B, BO1C, CO1D, DO1E, EO1F ve FO1A üçgenlerini
karşılaştırınız.
ABCDEF düzgün altıgensel bölgenin alanını, altıgeni oluşturan üçgensel bölgelerin
alanları ile ilişkilendiriniz.
Düzgün altıgensel bölgenin çevre uzunluğu ve alanı için genellemelerde bulununuz.
Benzer çalışmaları yandaki şekildeki gibi O2 noktasını KLMNP
düzgün beşgeninin köşelerini birleştirerek yapınız.
N
M
P
O2
L
K
E
a
a
D
a
a
N
F
a
a
A
a
M
P
C
O2
a
a
a
a
a
a
O1
K
B
a
a
L
Yandaki şekillerde verildiği gibi herhangi bir düzgün
altıgensel bölgenin alanı, altı
tane eşkenar üçgensel bölgenin
alanından; çevresi ise bir kenar uzunluğunun altı katından
oluşur.
Benzer düşünce ile,
Herhangi bir düzgün beşgensel bölgenin alanı, beş tane ikizkenar üçgensel bölgenin alanından; çevresi ise bir kenar uzunluğunun 5 katından oluşur. Bu durum,
a2 3
) br2
A(ABCDEF) = 6. (ABO1) = 6.(
A(KLMNP) = 5. (KLO2) br2
4
Ç(ABCDEF) = 6. |AB| = 6a br
olarak ifade edilir.
E
Yandaki şekilde verilen ABCDEF düzgün altıgeninde
|AB|=5cm ise düzgün altıgensel bölgenin çevre uzunluğunu ve
alanını bulalım.
D
F
Ç(KLMNP) = 5. |KL|
C
A
5 cm
B
ÇÖZÜM :
A(ABCDEF) = 6. A(OAB) olduğunu görmüştük.
Eşkenar üçgende h yükseklik uzunluğu Pisagor bağıntısından
yararlanarak,
75
2. ÜNİTE
E
D
5
52 = ( )2 + h2
olur. 2
O
O
F
5
3 cm
2
300 300
C
h
600
600
A
h=
⇒
B
A
B
H
A(ABCDEF) = 6. A(OAB) = 6.
5.
A(OAB) =
tür.
5 3
2 = 25 3
2
4
cm3
25
75
3=
3 cm2
4
2
Ç(ABCDEF) = 6.5 = 30 cm bulunur.
Yandaki şekilde köşeleri O merkezli çember üzerinde olan
ABCDE düzgün beşgeninde [OH] ⊥ [AB], |AB|=x ve |OH|=y dir.
Buna göre düzgün beşgensel bölgenin alanını x ve y, çevresini
x cinsinden bulalım.
D
x
E
x
C
O
y
ÇÖZÜM:
H
A
B
Ç(ABCDE) = 5. |AB| = 5x br
x
E
A(ABCDE) = 5. A(AOB)
x.y
= 5.
2
O
D
x
C
360 360
O
y
B
A
A
=
540
540
B
H
x
1.
5xy 2
br
2
2.
D
4 cm
D
C
6 cm
13 cm
3 cm
C
5 cm
600
A
B
ABCD dik yamuğunda |AD|=6 cm, |DC|=4cm
ve m(DAB) = 600 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
76
A
B
ABCD dik yamuğunda |AD|=13 cm, |DC|=3cm
ve |BC|=5cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
3. Köşegen uzunlukları 16cm ve 30cm olan
eşkenar dörtgensel bölgenin çevresini ve
alanını bulunuz. Bir kenarına ait yüksekliğinin
uzunluğunu bulunuz.
8. Alanı 96 3 cm2 olan düzgün altıgenin bir
kenar uzunluğu kaç cm dir?
9.
4. Bir kenar uzunluğu 10cm ve alanı 96cm2
olan eşkenar dörtgende köşegen uzunlukları
toplamı kaç cm dir?
C
D
E
F
A
B
5.
2 cm
D
C
4 cm
A
B
ABCD dik yamuğunda |DC|=2cm, |AD|=4cm
ve |AB|=|BC| ise ABCD yamuksal bölgenin
alanını ve çevresini bulunuz.
ABCD dikdörtgensel bölgeden kenar uzunluğu 4 cm olan eşkenar üçgensel bölgeler
çıkarılıyor. |EF| = 4 3 cm ise kalan şeklin
alanını ve çevresini bulunuz.
10.
D
C
E
6.
C
D
A
2 cm
F
y
x
E
1 cm
A
B
ABCD dikdörtgen A(CDEF) = 5 , |EA| =1cm,
A(ABFE) 3
B
ABCD ikizkenar yamuğunda [AE] açıortay ve
[BC] ⊥ [AE] dir. |DC|=5cm ve
A(ABCD)= 66 3 cm2 ise Ç(ABCD) kaç cm
dir?
11.
|CF|=2cm, |DE|=y cm, |BF|=x cm ise xy
çarpımını bulunuz.
E
D
F
C
7.
D
A
C
8 cm
A
9 cm
E
B
ABCDEF düzgün altıgeninde |AB|=4cm ise
A(ABCDEF) kaç cm2 dir?
B
ABCD ikizkenar yamuk, [DC] // [AB] ,
[CE] ⊥ [AB], |AE|=9cm, |CD|=8cm ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
77
2. ÜNİTE
ÜÇGENLERDE EŞLİK
Resimleri inceleyiniz. Her bir resimdeki nesnelerin ortak ve farklı yanlarını belirleyiniz. Aralarındaki ilişkiyi görmeye çalışınız.
17
1. Resim
2. Resim
3. Resim
Yukarıdaki her bir resimde verilen geometrik şekilleri kendi aralarında karşılaştırınız.
Aşağıda verilen üçgenin aynısını yanındaki boşluğa çiziniz.
A
B
C
Çizdiğiniz üçgen ile ABC nin açı ölçülerini ve kenar uzunluklarını karşılaştırınız.
Birbirinin aynısı olan üçgenlerin kenar uzunlukları ve açı ölçüleri için bir genelleme
yapınız.
78
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
Herhangi iki ABC ve DEF için
|AB| = |DE|
A ≅ D
|AC| = |DF|
ve
B ≅ E
|BC| = |EF|
C ≅ F
koşulları sağlanıyorsa bu iki üçgene
eş üçgenler denir ve ABC ≅ DEF biçiminde ifade edilir. Bu durum yandaki
gibi gösterilir:
A
D
α
x
b
c
β
B
y
θ
a
e
f
z
d
C E
F
Aşağıda verilen üçgenlerden hangilerinin birbirine eş olduğunu bulalım.
A
P
K
300
600
300
6 cm
6 cm
600
B
3 cm
L
3 cm
600
600
600
C
6 cm
6 cm
3 3 cm
3 3 cm
M
R
6 cm
T
ÇÖZÜM :
ABC ile KLM birbirine eştir. Çünkü;
|BC|=|LM|=3cm
|AC|=|KM|=6cm
ve
|AB|=|KL|= 3 3 cm
eşitlikleri vardır.
m(A) = m(K) = 300,
m(B) = m(L) = 300,
m(C) = m(M) = 300
18
A
B
C
D
E
F
Yandaki şekilde |AB|=|DE|, |BC|=|EF| ve
m(ABC)=m(DEF) olarak verilmektedir.
A ile C ve D ile F noktalarını birleştirerek
oluşturulan ABC ve DEF ni ilişkilendiriniz.
Üçgenlerdeki |AC| ile |DF| uzunluklarını karşılaştırınız.
m(BAC) ile m(EDF) ve m(BCA) ile
m(EFD) nü karşılaştırınız.
ABC ile DEF nin eş olup olmadığını belirleyiniz.
79
2. ÜNİTE
Herhangi iki üçgenin ardışık iki kenar uzunlukları ve bu kenarların aralarında kalan
açıların ölçüleri birbirine eşit ise bu üçgenler birbirine eştir denir. Bu durum ABC ve DEF
için,
|AB| = |DE|
A
D
|BC| = |EF| ve
m(ABC) = m(DEF) ise
ABC ≅ DEF
B
F
C E
biçiminde ifade edilir.
Üçgenlerin eşliğinin bu şekilde ortaya konulmasına Kenar Açı Kenar eşlik aksiyomu
(K. A. K.) denir.
Aşağıda verilen üçgenlerden hangilerinin birbirine eş olduğunu bulalım.
F
K
400
D
A
6 cm
5 cm
5 cm
5 cm
M
6 cm
500
400
6 cm
B
C
E
L
ÇÖZÜM:
Çizimleri incelediğimizde |AB|=|MK|=5cm, |BC|=|KL|=6cm ve m(ABC)=m(MKL)=400
eşitliklerini görürüz.
g
Buradan da ABC ile MKL eştir.
Paralelkenarda bir köşegenin ayırdığı üçgenlerin eşlik durumunu inceleyelim.
ÇÖZÜM :
D
A
80
C
B
ABCD paralelkenarının BD köşegenini çizelim.
Elde edilen şekilde,
|AD|=|BC|, |AB|=|DE| ve m(DAB)=m(BCD) ise
DAB ≅ BCD olur.
Buradan; köşegen, paralelkenarı iki eş üçgene ayırır,
çıkarımını yapabiliriz.
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
19
|AB|=6cm olarak verilmektedir.
6 cm
A
B
İletki yardımı ile köşesi A
noktası ve ölçüsü 600 olan
CAB nı çizelim.
Şimdi de köşesi B noktası
ve ölçüsü 300 olan KBA nı
çizelim.
[AC] ve [BK] nı uzatarak L
noktasında kesiştirelim.
Oluşan LAB ni inceleyiniz.
L
C
L
C
K
600
600
6 cm
A
B
A
a
b
600
300
6 cm
B
A
300
6 cm
Dar açıları 300 ve 600 olan LAB nde b ve a kenar uzunluklarını bulunuz.
Yanda uzunluğu 6cm olan [DE] nı kullanarak;
Köşesi D noktası ve ölçüsü 600 olan NDE nı çiziniz.
Köşesi E noktası ve ölçüsü 300 olan FED nı çiziniz.
[DN] ve [EF] nı uzatarak M noktasında kesiştiriniz.
Oluşan MDE nde |MD| ve |ME| nu hesaplayınız.
D
6 cm
E
Yaptığınız çalışmalardan sonra LAB ile MDE nin
eşliğini sorgulayınız.
Herhangi iki üçgenin karşılıklı ikişer açıları eş ve bu açıların ortak kenar uzunlukları
da eşit ise üçgenler eştir.
A
ABC ve DEF için;
D
m(ABC)=m(DEF),
|BC| = |EF| ve
m(ACB)=m(DFE)
B
C E
F
ise ABC ≅ DEF tir.
Üçgenlerin bu şekilde eşliğinin ortaya konmasına Açı Kenar Açı (A. K. A.) eşlik teoremi denir.
81
2. ÜNİTE
Aşağıda verilen üçgenlerden hangilerinin eş olduğunu bulalım.
K
A
D
E
400
500
C
M
700
4 cm
700
700
4 cm
40
F
0
4 cm
L
B
ÇÖZÜM:
Bu üçgenlerden DFE ile LMK eştir. Çünkü,
m(E
( DF)) = m(K
( LM), |DF|=|LM| ve m(EFD) = m(KML) dır.
20
D
A
B
C
H
E
F
K
Birim karelerden oluşan zemin üzerine çizilmiş ABC ve DEF ni inceleyiniz.
Pisagor bağıntısından faydalanarak |AB|, |AC|, |DE| ve |DF| nu bulunuz.
ABH nden tan(B) ile DEK nden tan(E)nin eşitlerini yazarak B ile E nı karşılaştırınız.
AHC nden tan(C) ile DKF nden tan(F)nin eşitlerini yazarak C ile F nı karşılaştırınız.
Üçgende iç açıların ölçüleri toplamını kullanarak A ile D larının arasındaki ilişkiyi
söyleyiniz.
Karşılıklı üçer kenar uzunluğu eşit olan üçgenlerin karşılıklı açılarının ölçülerini
tartışınız.
Üçgenlerin karşılıklı üçer kenar uzunluğunun eşit olması ile üçgenlerin eşliğini
sorgulayınız.
Aşağıdaki üçgenleri karşılaştırınız.
D
A
1 cm
600
600
2 cm
4 cm
2 cm
300
B
3 cm
C
300
E
2 3 cm
Açıların eşliği ile üçgenlerin eşliği arasında ilişki kurunuz.
82
F
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
Herhangi iki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu birbirine eşitse bu üçgenler eştir.
A
ABC ve DEF için,
D
|AB| = |DE|
|BC| = |EF|
|AC| = |DF|
B
F
C E
ise ABC ≅ DEF tir.
Üçgenlerin eşliğinin bu şekilde ortaya konmasına Kenar Kenar Kenar (K.K.K) eşlik
teoremi denir.
Aşağıda verilen üçgenlerden hangilerinin eş olduğunu bulalım.
K
A
8 cm
L
M
7 cm
C
E
6 cm
8 cm
7 cm
B
8 cm
D
7 cm
6 cm
F
9 cm
ÇÖZÜM :
|AB|=|MK|, |AC|=|ML| ve |BC|=|KL| olduğundan ABC ≅ MKL dir.
21
A
D
E
B
F
C
Yukarıda verilen ABC ve DEF nin kenar uzunluklarını birim kareleri kullanarak bulunuz.
m(C) ile m(F) nü karşılaştırınız.
Bu üçgenlerin eşliği için ne söyleyebilirsiniz?
İki üçgenin eş olabilmesi için iki kenar uzunluğu ile herhangi birer açılarının aynı
ölçüde olmasının yeterli olup olmadığını tartışınız.
İkişer kenar uzunlukları eşit iki üçgenin eş olabilmesi için hangi şartların gerekli
olduğunu tartışınız.
Karşılıklı ikişer kenar uzunluğu eşit olan üçgenler çiziniz. Bunların eş olma şartlarını
sorgulayınız.
83
2. ÜNİTE
İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasında olmayan bir açısının ölçüsü verilen üçgene eş olacak şekilde bir üçgen çizilmek istenirse çizilebilecek üçgen bir tane değildir.
Çizilmesi istenen üçgeni net bir şekilde belirlemek için verilen iki kenarın oluşturduğu
açının ölçüsünün bilinmesi gerekir.
A, B ve C doğrusal noktalar olmak üzere zemindeki
birim kareler üzerine çizilmiş ADC ile BDC nin eşliğini
araştıralım.
A
B
C
D
ÇÖZÜM:
|AD| = |BD| (Birim kareler kullanılarak Pisagor bağıntısı)
|DC| = |DC|
(Ortak kenar)
m(DCA)= m(DCB) (Ortak açı)
Eşitliklerine
rağmen
ADC ile BDC eş değildir. Çünkü m(ADC) ≠ m(BDC) dir.
ş
ğ
1.
ABC ikizkenar üçgeninde A tepe açısı olarak verilmiştir. A nın
açıortayı aynı zamanda tabana ait kenarortayı ve yüksekliği
belirtir. Bunu göstermek için verilen eşitliklerin gerekçelerini
yanlarında bulunan noktalı yerlere yazınız.
A
B
C
|AB|=|AC|
m(BAH)=m(CAH)= α
|AH|=|AH|
O hâlde, BAH ≅ CAH
A
α
α
β
β
B
H
C
.....................................................
.....................................................
.....................................................
.....................................................
Dolayısıyla |BH|=|CH| ⇒ [AH] kenarortaydır.
m(HBA) = m(HCA) = β .....................................................
0
ve ABC de iç açıları toplamından, 2α + 2β = 1800 ⇒ α + β = 90
m(BHA) = m(CHA) = 900 .....................................................
⇒ [AH] yüksekliktir.
84
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
Benzer yaklaşımla bir ikizkenar üçgende;
a) Tabana ait kenarortayın hem tabana ait yükseklik hem de tepe açısının açıortayı
olduğunu,
b) Tabana ait yüksekliğin de hem tepe açısının açıortayı hem de tabana ait kenarortay
olduğunu gösteriniz.
2.
Tepe noktası A olan bir ABC nde [AB] kenarının orta
noktasından geçen ve [BC] kenarına paralel olan doğrunun
[AC] kenarını da orta noktasından keser, önermesini ispatlayabiliriz. Verilen eşitliklerin gerekçelerini yanlarında bulunan
noktalı yerlere yazınız. Bu orta noktalar arası uzaklık ile [BC]
nu ilişkilendiriniz.
A
d
B
C
A
θ
D
α
d
β E
β
α
α
K
θ
β
B
C
|BD| = |CK|
C noktasından AB kenarına paralel ve d doğrusunu K
noktasında kesen [CK çizelim.
m(ABC) = m(ADE) = α
........................................
m(ADE) = m(DKC) = α
........................................
m(BCE) = m(DEA) = β
........................................
m(DEA) = m(CEK) = β
........................................
m(DAE) = m(ECK) = θ
...............................
.........
........................................
ADE ≅ CKE
........................................
Dolayısıyla |AE| = |EC| ise E noktası [AC] nın orta noktasıdır.
|DE| = |EK|
|DE| + |EK|=|DK|=|BC|
1
|DE| = |BC|
2
......................................
......................................
......................................
3. m(A)=900 olan ABC dik üçgeninde, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüs
uzunluğunun yarısına eşittir. Verilen eşitliklerin gerekçelerini yanlarında bulunan noktalı yerlere yazınız.
D noktasıdan AB kenarına paralel ve
noktasında kesen [DT çizelim.
A
T
B
D
C
m(BAC) = m(DTC) = 900
|AT| = |TC|
ADC ikizkenar üçgen
|AD| = |DC|
|AD| = 1 |BC|
2
AC kenarını T
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
85
2. ÜNİTE
4.
Bir kenar uzunluğu a br olan eşkenar üçgende BC
kenarına ait kenarortayı çiziniz. İkizkenar üçgen için
yaptıklarınızı kullanarak çizdiğiniz kenarortayın, A nın
açıortayı ve BC kenarına ait yükseklik olduğunu gösteriniz.
Oluşan dik üçgenlerden birini seçerek yükseklik
uzunluğunu a cinsinden bulunuz. Seçtiğiniz dik üçgendeki
açı ölçüleri ile kenar uzunluklarını ilişkilendirerek kenar
uzunlukları arasında genellemeler yapınız. Eşkenar üçgensel bölgenin alanını a cinsinden belirleyiniz.
A
600
a
a
600
600
B
C
a
5.
ABC ≅ FED verilmektedir.
D
A
800
F
|AB|=2x-7 ve |EF|=x+1 olduğuna göre
x kaçtır?
400
B
C
E
6. Bir düzlem içinde bir doğru parçasının orta dikmesi üzerindeki her noktanın, bu doğru
parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta olduğunu gösteriniz.
7. ABC ≅ DEF ise aşağıdaki ifadelerin doğru
ya da yanlış olduklarını noktalı yerlere belirtiniz.
a) ABC ≅ FED
.....................
≅
b) CAB FDE
.....................
≅
c) BAC EDF
.....................
ç) m(CBA) = m(FED) .....................
d) m(BCA) = m(EDF) .....................
e) |AB| = |DE|
.....................
f) |AC| = |EF|
.....................
8.
9.
D
C
T
B
A
ABCD dik yamuğunda |AB|=|BC|=12 cm,
|AT|=5cm olduğuna göre |AD| kaç cm dir?
10.
D
A
E
C
B
A
B
B, C, E noktaları doğrusal, m(DBC)=m(ABC),
m(DCE)=m(ACE), |BD|=3x−8 ve |AB|=x−2
olduğuna göre |DB| kaç birimdir?
86
D
E
C
ABC nde |AB|=|AC| ve |BD|=|EC| dir. ADE nin
ikizkenar üçgen olduğunu gösteriniz.
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
11.
13.
D
C
D
C
15
8
A
B
E
A
A, E, B noktaları doğrusal,
m(DAE)=m(DEC)=m(EBC)=900, |DE|=|EC|,
|AD|=15cm ve |BC|=8cm olduğuna göre |AB|
kaç cm dir?
12.
A
E
C
B
D
Yandaki şekilde m(BAD)=m(CAE),
|AB|=|AE|, |AD|=|AC|, |BC|=x+3 cm,
|DE|=2x−1 cm olduğuna göre x kaç cm dir?
K
L
B
ABCD ikizkenar yamuğunda [DK] ⊥ [AB],
[CL] ⊥ [AB] olduğuna göre ADK ve BCL nin
eş olduğunu gösteriniz.
Geometri, zekâyı aydınlatır ve aklı doğru
yola sokar. Onun bütün kanıtları açık
ve düzenlidir. Çok iyi düzenlendiğinden
geometrik mantık yürütmeye hata girmesi
neredeyse imkânsızdır. Bu nedenle sürekli
geometriye başvuran bir aklın hataya
düşmesi çok nadirdir. Buna göre de geometri bilen kişi zekâ kazanır. Eflatun’un
kapısında aşağıdaki sözlerin yazılı olduğu
nakledilir:
“Geometrici olmayan evimize giremez!”
İbn Haldun (1332 - 1406)
DÜZLEMDE DÖNÜŞÜMLER
Yandaki resimlerde;
Kelebek ile dağ resmindeki ortak
yanları,
Bir geminin dümeni ile dönme dolabın
hareketini,
Fermuarın dişleri ile havlu kenarındaki
motiflerin birbirine göre konumlarını
ve
Yolda kalan bir arabanın itilmesi ile
salyangozun yer değiştirmesini inceleyiniz.
İlköğretim bilgilerinizden yararlanarak yansıma, dönme, öteleme
ve ötelemeli yansıma dönüşümlerini
resimlerle ilişkilendiriniz.
87
2. ÜNİTE
DÜZLEMDE KAPLAMALAR
22
A
B
2. Resim
1. Resim
Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.
Her bir resmin oluşmasında kaç farklı geometrik şekil kullanılmıştır?
Her bir resmin oluşmasında hangi dönüşümler kullanılmıştır?
A ve B köşelerinin etrafında oluşan açıların ölçüleri toplamı kaç derecedir? Bu
toplamın farklı değerleri için resimlerde oluşabilecek durumları tartışınız.
Bir düzlemsel bölge bir veya daha fazla figürle örtüldüğünde figürlerin birleştiği bir
köşede oluşan açıların ölçüleri toplamı için bir genellemede bulunmaya çalışınız.
Bir düzlemsel bölge boşluk kalmayacak ve figürler üst üste gelmeyecek biçimde
yansıma, dönme, öteleme ve ötelemeli yansıma dönüşümleri yardımıyla bir figür kullanılarak
örtülüyorsa buna düzgün kaplama, birden fazla figür yardımıyla örtülüyorsa yarı düzgün kaplama denir.
Kaplamaların herhangi bir köşesinde oluşan açıların ölçüleri toplamı 3600 dir.
Aşağıda verilen eşkenar üçgensel figüre K noktası etrafında dönme dönüşümü uygulayarak ABCDEF düzgün altıgensel bölgesini kaplayalım.
E
D
K
F
C
A
88
B
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
ÇÖZÜM :
Düzgün altıgensel bölge aşağıdaki gibi kaplanır.
E
D
K
F
C
A
B
Bir kenar uzunluğu 1br olan eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgenlerden yarı düzgün
kaplama oluşturalım.
ÇÖZÜM:
Bu figürlerle aşağıdaki yarı düzgün kaplama oluşturulur.
Bir düzlemsel bölgenin, düzgün beşgensel figür kullanılarak düzgün kaplanıp kaplanamayacağını araştıralım.
ÇÖZÜM:
Düzgün beşgende bir iç açının ölçüsü 1080 olduğundan bir köşede oluşan açıların
ölçüleri toplamı 3x108=3240 dir. Bu nedenle düzgün beşgensel bölge ile düzgün kaplama
yapılamaz.
D
A
C
B
Yanda verilen karenin DC kenarının orta noktasını kesen
şekildeki gibi bir eğri çizelim. Bu eğri yardımıyla bir motif oluşturup
kaplama yapalım.
ÇÖZÜM :
Verilen eğriyi sırasıyla C, B ve A köşeleri etrafında 900 döndürelim.
Daha sonra oluşan şekildeki kareye ait kenarları silelim.
89
2. ÜNİTE
D
C
D
C
D
C
A
B
A
B
A
B
Şimdi de oluşturduğumuz figüre dönüşümler yaparak aşağıdaki kaplamayı meydana
getirelim.
Bu kez de döndürme ve ötelemeyle başka bir kaplama yapalım.
1. İlk Figür
2. Dönme
3.
5. Yansıma
6.
9. Kaplama
7.
8.
4. İkinci Figür
Bu çalışma ünlü ressam ve grafik sanatçısı Escher(Eşer)’in geliştirdiği teknik ile yapılmıştır.
90
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
1.
4.
Yandaki şekle dönüşümler
yaparak kaplama oluşturmaya çalışınız.
5.
Yukarıdaki resimlerdeki ayak izleri ve kilidi
açan anahtarın hareketi hangi dönüşümlere
örnektir?
2.
Yukarıdaki dikdörtgensel bölgeyi düzgün
beşgen yardımıyla düzgün kaplamaya çalışınız.
6. Dönüşümleri kullanarak logo, rozet vb.
özgün tasarımlar oluşturmaya çalışınız.
7.
Kaleydeskop, içine bakıldığında renkli desenler görülen bir cihazdır. Bu desenler ışığın
yansımasıyla elde edilir ve dürbün hareket ettirildikçe sürekli değişir. Televizyonda kamera
hilesi olarak kullanılan “bulanıklaştırma efekti” olarak da teknolojik kullanımı yaygındır.
Yukarıdaki kaleydeskop ile yapılan şekilde
hangi dönüşümler vardır?
3.
Yukarıdaki dikdörtgensel bölgeyi seçeceğiniz
figürle düzgün kaplama yapınız.
Yukarıdaki dikdörtgensel bölgeyi seçeceğiniz
figürlerle yarı düzgün kaplama yapınız.
8.
Yukarıdaki düzgün altıgensel bölgeyi seçeceğiniz figürlerle yarı düzgün kaplama yapınız.
91
2. ÜNİTE
ÜÇGENLERDE BENZERLİK
Yanda verilen resimleri inceleyiniz.
1. resimdeki köpek kulübesi
ile kulübenin kapısında hangi
çokgen kullanılmıştır? Bu çokgenlerin ortak ve farklı yanlarını
söyleyiniz.
2. resimde verilen 1276
yılında Kayseri’de Alaaddin
Keykubat’ın kızı Şah Cihan Hatun için yaptırılan Döner Kümbet ile İstanbul Miniatürk’teki modelini karşılaştırınız.
Elde ettiğiniz
ğ
sonuçları tartışınız.
1. Resim
2. Resim
23
K
600
A
6 cm
60
0
3 cm
2 cm
1 cm
300
300
B
3
C
cm
L
3 3
M
cm
Yukarıda açı ölçüleri ve kenar uzunlukları verilen ABC ile KLM ni inceleyiniz.
Her iki üçgende de eşit ölçülere sahip açıları eşleştiriniz.
Eşit açıların karşılarındaki kenar uzunluklarını karşılaştırınız.
Bu kez açı ölçüleri 300 , 600 ve 900 olan aşağıdaki üçgenleri inceleyiniz.
S
P
D
600
10 cm
600
600
4 cm
8 cm
4 cm
2 cm
5 cm
2 3
cm
300
300
300
E
F
Q
4 3
cm
R
T
5 3
cm
V
İlköğretim 8. sınıfta öğrendiğiniz bilgilerden faydalanarak çizilen üçgenlerin ABC ne
benzer üçgenler olup olmadığını tartışınız.
92
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
D
A
e
f
b
c
E
C
a
B
F
d
Yapılan çalışmalardan yukarıdaki ABC ve DEF nde k ∈ R olmak üzere,
m(A) = m(D)
m(B) = m(E)
m(C) = m(F)
ve
|AB| = k. |DE|
|AC| = k. |DF|
|BC| = k. |EF|
şartları sağlanıyorsa DEF, ABC ne benzerdir ve ABC  DEF yazılır. k gerçek sayısına da
benzerlik oranı adı verilir. Buna göre ABC  DEF ise karşılıklı kenarları arasında
| AB | | AC | | BC |
=
=
=k
| DE | | DF | | EF |
orantısı yazılır.
M
A
12 br
x br
B
6 br
4 br
L
C
6 br
K
9 br
Yukarıdaki şekilde benzer üçgenler verilmiştir. Verilen kenar uzunluklarına göre |AB|=x
değerini bulalım.
ÇÖZÜM:
İşaretlenen açılardan
yazılabilir. Buradan,
| AB | | AC | | BC |
=
=
| ML | | MK | | LK |
ABC  MLK
⇒
x 4 6
= =
12 6 9
⇒ 6x = 48 ⇒ x = 8 br olarak bulunur.
93
2. ÜNİTE
24
A
K
A
H
E
D
h
d1
K
E
D
H
h
h
h
d2
d2
C
B
d1
C
B
Yukarıda verilen üçgende d1//d2 alındığında A(BED) ile A(CED) ni karşılaştırınız.
A
A
K
H
h2
h1
d1
E
D
d1
E
D
d2
d2
C
B
ABC nde d1//d2 olması durumunda
A(BED)
A(ADE)
C
B
=
A(CED)
A(ADE)
orantısı yazılabilir. Buradan alan formülleri yazılarak,
| BD | | EC |
=
| AD | | AE |
orantısı elde edilir. Orantı özelliği kullanılarak,
| AD | | AE |
=
| BD | | EC |
orantısına ulaşılır.
d3//d4 ve d5//d6 olmak üzere aşağıda verilen üçgenlerdeki benzer oranları yazmaya
çalışınız.
K
d3
d6
d4
E
L
N
P
D
d5
N
F
R
T
Bir üçgende bir kenara çizilen paralel bir doğru diğer kenarları hangi oranlarda
böler?
94
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
Yandaki şekilde verildiği gibi bir ABC nde
[DE]//[BC] olmak üzere,
A
| AD | | AE |
=
| BD | | CE |
d1
E
D
d2
orantısı vardır. Matematikte bu eşitliğe Temel Orantı Teoremi adı verilir.
C
B
Yandaki şekilde [DE] // [BC] , |BD| = 6 cm, |AE| = 3 cm
ve |EC| = 9 cm ise |AD|=x değerini bulalım.
A
x
3
E
D
9
6
C
B
ÇÖZÜM:
Temel orantı teoreminden,
| AD | | AE |
x 3
=
⇒ =
| BD | | EC |
6 9
x = 2 cm bulunur.
25
600
300
4 cm
B
600
300
C
F
8 cm
E
D
A
600
300
B
4 cm
600
300
C
E
8 cm
F
Yukarıda 4 cm uzunluğunda [BC] ve 8 cm uzunluğunda [EF] nın uç noktalarından
300 ve 600 lik açılar ölçülerek ABC ve DEF çizilmiştir. Oluşan üçgenleri inceleyiniz.
Her iki üçgenin A ve D köşelerindeki açı ölçülerini bulunuz.
|AB|, |AC|, |DE| ve |DF| uzunluklarını bulunuz.
| AC | | AB |
| BC | oranlarını hesaplayarak karşılaştırınız.
,
ve
| DF | | DE |
| EF |
İkişer açıları eş olan üçgenlerin benzerliğini tartışınız.
95
2. ÜNİTE
D
α
A
α
β
β
E
C
B
F
Yukarıdaki ABC ve DEF
lerinde olduğu gibi karşılıklı iki
açısı birbirine eşit olan üçgenler benzerdir. Bu benzerliğe Açı
Açı (A.A.) benzerlik aksiyomu
denir.
.
A
Yandaki resimde görülen çatı iskeletinde
[AB]//[DC],
[AC]//[DE],
|DE|=1,5m,
|AC|=2m ve |DC|=1,8m ise |AB| nun kaç
metre olduğunu bulalım.
D
B
C
ÇÖZÜM:
[AB]//[DC] ⇒ m(ABC) = m(DCE)
[AC]//[DE] ⇒ m(ACB) = m(DEC)
(Yöndeş açılar)
(Yöndeş açılar)
Dolayısıyla A(ABC) A(DEC)
(Açı açı benzerliği)
O hâlde,
x
2
| AB | | AC |
=
⇒
=
⇒ x = 2,4m bulunur.
1,8 1,5
| DC | | DE |
E
A
12
B
96
E
x
13
C
24
D
Yandaki şekilde [AB] ⊥ [BC], [AC] ⊥ [CE] ve
[CD] ⊥ [DE] dir. B, C ve D doğrusal noktalar,
|AB|=12cm, |AC|=13 cm ve |CD|=24cm olduğuna
göre |CE|=x değerini bulalım.
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
E
A
α
m(ACB)= α ve m(ECD)= β olsun. C köşesinde
oluşan açıların ölçüleri toplamı ile üçgende iç açıların
ölçüleri toplamının eşitliğinden,
β
x
12
13
α
B
ÇÖZÜM :
β
D
24
C
m(BAC)= β ve m(CED)= α olur. Dolayısıyla,
ABC  CDE (Açı Açı benzerlik teoremi) O hâlde,
| AB |
| CD |
=
| AC |
| CE |
⇒
12 13
=
⇒ x = 26 olur.
24 x
26
D
A
4 cm
6 cm
8 cm
3 cm
B
C
F
E
Çizilen ABC ve DEF dik üçgenlerini inceleyiniz.
Pisagor bağıntısı kullanarak bilinmeyen kenarları bulunuz. Bu üçgenleri aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi A, D ile çakışacak biçimde dik açıları çakıştırarak üst üste
yerleştirelim.
A D
4 cm
B
A
4 cm
B
C
C
4 cm
3 cm
E
3 cm
5 cm
10 cm
3 cm
F
B ve C noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğu için [BC], [EF] na paralel
olur.
m(B) ile m(E), m(C) ile m(F) ölçüsünü karşılaştırınız.
| AB | | AC |
| BC | oranlarını inceleyiniz ve orantı sabitini bulunuz.
,
ve
| DE | | DF |
| EF |
Karşılıklı ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu orantılı kenarların oluşturduğu açılarının
ölçüleri eşit olan üçgenlerin benzer olup olmadıklarını tartışınız.
97
2. ÜNİTE
D
A
k.c
c
α
α
E
C
a
B
k.a
F
Daha genel olarak
aşağıda gösterildiği gibi
karşılıklı iki kenar uzunluğu orantılı, bu kenarların
belirttiği açıları eş olan
üçgenler benzerdir. Bu
benzerliğe Kenar Açı Kenar (K. A.K.) benzerlik teoremi denir.
Yandaki resimde görülen elektrik direğinde m(ABC)=m(DEF) dir.
|AB|=2,4m, |BC|=3,2m, |AC|=5,2m, |DE|=3,6m ve |EF|=4,8m ise
[DF] bağlantı demirinin kaç metre olduğunu bulalım.
A
ÇÖZÜM:
| AB | | BC |
2,4 3,2 2
=
⇒
=
= ve m(ABC)=m(DEF) olduğundan
| DE | | EF |
3,6 4,8 3
B
ABC  DEF dir. (K. A. K. benzerliği).
O hâlde,
| AB | | BC | | AC |
2,4 3,2 5,2
=
=
⇒
=
=
⇒ x = 7,8m olur.
| DE | | EF | | DF |
3,6 4,8
x
C
D
E
F
27
A
B
H
D
C
E
98
K
F
Yandaki şekilde birim karelerden
oluşan zemin üzerine çizilmiş ABC ile
DEF ni inceleyiniz.
Pisagor bağıntısını kullanarak |AB|,
|AC|, |DE| ve |DF| nu, birim kareleri
sayarak |BC| ve |EF| nu bulunuz.
Karşılıklı eş açıları bulunuz.
| AB | | AC |
| BC | oranlarını
,
ve
| DE | | DF |
| EF |
karşılaştırınız.
Karşılıklı üçer kenar uzunluğu orantılı
olan üçgenlerin benzer olup
olmadıklarını tartışınız.
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
D
A
k.b
k.c
b
c
B
a
M
S
F
CE
F
k.a
Yandaki resimde görülen teknenin S ve M yelkenlerinin
kenar uzunlukları |AB|=15m, |BC|=8m, |DE|=18m ve
|EF|=9,6m dir. m(ABC)= m(DEF)=900 olduğuna göre
yelkenlerin belirttiği ABC ile DEF nin benzerliğini
sorgulayalım.
D
A
B
E
C
Aşağıdaki şekilde de
görüldüğü gibi karşılıklı
üç kenar uzunluğu orantılı
olan üçgenler benzerdir.
Bu benzerliğe Kenar Kenar
Kenar (K. K. K) benzerlik
teoremi denir.
ÇÖZÜM:
Her iki üçgende Pisagor bağıntısından |AC|=17m ve
|DF|=20,4m bulunur.
15
8
17
5
=
=
= olduğundan K.K.K. benzerlik teoremine göre ABC  DEF dir.
18 9,6 20,4 6
28
D
A
B
C
H
E
K
F
Yanda birbirine benzer olan
ABC ile DEF nde kenar uzunluklarını bulunuz.
ABC ile DEF nin benzerlik oranını
yazınız.
ABC nin ve DEF nin alanlarını
hesaplayınız.
Hesapladığınız alanların oranı ile
benzerlik oranını karşılaştırınız.
Bu kez farklı oranlarda birbirine
benzeyen üçgenler alarak benzer
işlemleri yaparak benzerlik oranı ile
alanlar oranını karşılaştırınız.
Yaptığınız çalışmaları gözden geçirerek benzer üçgenlerde benzerlik oranı ile alanlar
oranı arasında bir genelleme yapmaya çalışınız.
99
2. ÜNİTE
k ∈ R olmak üzere, ABC  DEF
için,
| AB | | AC | | BC |
=
=
= k ise
| DE | | DF | | EF |
D
A
A(ABC)
C
B
E
A(DEF)
F
D
A
Yanda verilen A(ABC) nde
A(ABC)=8cm2 dir. Verilen açı ve
uzunluk ölçülerine göre A(DEF)
kaç cm2 olduğunu bulalım.
5 cm
2 cm
C
B
E
= k2 olur.
F
ÇÖZÜM:
ABC  DEF (A. A.) ⇒
A(ABC)
= k2 = ( 2 )2
5
A(DEF)
⇒
| AC | 2
= = k (Benzerlik Oranı)
| DF | 5
8
A(DEF)
=
4
⇒ A(DEF) = 50 cm2 bulunur.
25
29
B
C
100
d1
d2
A
D
Yandaki şekilde görüldüğü gibi birbirine paralel k1, k2 ve
k3 doğruları ile bu doğruları sırasıyla A, B, C ve D, E, F
noktalarında kesen d1 ve d2 doğrularını inceleyiniz.
k1
k2
E
F
A ile F noktalarını birleştiren [AF] nı çizelim.
k3
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
d1
d2
A
D
Çizdiğimiz [AF] ile k2 doğrusunun kesim noktasına G
diyelim.
k1
Oluşan ABG ve ACF nde temel orantı teoremini yazınız.
G
B
k2
E
Bu kez FEG ve FDA nde temel orantı teoremini
yazınız.
k3
F
C
Bu iki orantıdan çıkarılabilecek sonucu tartışınız.
d1
A
k1
D
B
k2
E
F
C
A
d1
D
d2
B
C
Birbirine paralel en az üç doğru, verilen iki doğruyu
kestiğinde bu iki doğru üzerinde orantılı doğru parçaları
ayırır. Bu durum,
k1 // k2 // k3 ise | AB | = | DE |
| BC | | EF |
d2
k3
biçiminde ifade edilir. Bu teoremi bulan kişi Thales (Tales)
olduğu için verilen kural 1. Tales Teoremi olarak isimlendirilmektedir.
Yandaki resim şövalesi üzerinde B ve C noktaları arasındaki çıta
kırılmıştır. Kırık çıta sağlam çıta ile değiştirilecektir. d1//d2//d3, |DE|=60cm,
|EF|=40cm ve |AB|=45cm olduğuna göre |BC| nun kaç cm olduğunu
bulalım.
E
d3
F
ÇÖZÜM:
1. Tales teoreminden,
| AB | | DE |
45 60
=
⇒
=
⇒ x = 30cm olur.
| BC | | EF |
x 40
101
2. ÜNİTE
30
d2
d1
B
E
d2
d1
A
k1
E
B
A
F
C
k2
k1
C
F
1. Şekil
k2
2. Şekil
Yukarıdaki şekillerde A noktasında kesişen d1 ve d2 doğrularını kesen birbirine paralel
k1 ve k2 doğruları çizilmiştir. Oluşan şekilleri inceleyiniz.
Şekillerdeki eş açıları belirleyiniz.
Eş açılardan faydalanarak benzer üçgenleri yazınız.
Benzer üçgenler arasında benzerlik oranını yazınız.
Buradan kenar uzunlukları arasında bir orantı yazmaya çalışınız.
Kesişen iki doğruyu, paralel iki doğru kestiğinde oluşan üçgenlerin karşılıklı kenarları
orantılıdır. Bu durum,
d2
d1
B
E
A
k1
B
A
C
d2
d1
F
k2
E
C
k1
F
1. Şekil
2. Şekil
| AB | | AE | | BE |
=
=
| AC | | AF | | CF |
| AB | | AE | | BE |
=
=
| AC | | AF | | CF |
k2
biçiminde ifade edilir. Bu teoremi bulan kişi Thales (Tales) olduğu için 2. Tales Teoremi
olarak isimlendirilir.
102
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
Yandaki resimde 1,6m boyundaki Ömer’in gölgesi zemin
üzerinde 2m ölçülmektedir.
Aynı anda gölgesi 50m olan
Dikilitaş’ın boyunun kaç m
olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:
2. Tales teoreminden,
E
B
2 1,6
| DC | | BC |
=
=
⇒
50 x
| DF | | EF |
x
1,6 m
A
2m
D
48 m
C
C
E
F
A
G
L
2|CF|=|FB| ⇒ |CF|=k için |FB|=2k dır. (k ∈ R)
D
ABC de 2. Tales teoreminden
C
E
F
G
14
2k
| CD |
=
| CF |
| CB |
=
1
olur.
3
ABC de 2. Tales teoreminden,
| BK |
6
K
| CG |
Dolayısıyla, |CG|=m için |GD|=2m dir. (m ∈ R)
y
m
k
A
Yandaki şekilde [AC]//[KF], [FG]//[BD] ve
[GL]//[CE] dır. 2|CF|=|FB|, |AK|=6cm, |GL|=14cm,
|KB|=x cm ve |CE|=y cm olduğuna göre
x+y toplamının kaç cm olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:
K
B
x = 40 m bulunur.
F
L
2m
x
| BA |
=
| BF |
| BC |
⇒
x
2k
=
⇒ x = 12 cm olur.
x + 6 3k
CDE de 2. Tales teoreminden,
B
D
| DG |
| DC |
=
| GL |
| CE |
⇒
2m 14
=
⇒ y = 21cm dir.
3m y
Buradan x+y = 12+21 = 33 cm bulunur.
103
2. ÜNİTE
31
Yanda A dik olan ABC dik üçgeninde hipotenüse ait
[AH] yüksekliği verilmektedir.
A
b
c
h
B
β
α
p
k
H
C
a
A
α
β
c
b
h
B
β
α
p
k
H
C
a, b, c, h, p ve k gerçek sayılar olmak üzere oluşan
üçgenlerin kenar uzunlukları a, b, c, h, p ve k olarak verilsin.
m(ABH) = α ve m(ACH) = β olarak alalım.
α + β = 900 , m(BAH)= β ve m(CAH)= α olur.
Benzer üçgenleri bulunuz.
Benzerlik oranından;
c nin p ve a cinsinden,
b nin k ve a cinsinden,
h nin p ve k cinsinden değerlerini bulunuz.
a
ABC üçgensel bölgesinin alan bağıntılarını kullanarak a, b, c ve h arasında bir ilişki
kurunuz.
Genel olarak a, b, c, h, p ve k gerçek sayılar,
m(A) = 900 olmak üzere kenar uzunlukları yandaki şekilde
verilen dik üçgende,
b
c
h
c2 = p.a (Dik kenar bağıntısı)
b2 = k.a (Dik kenar bağıntısı)
B
p
k
h2 = p.k (Yükseklik bağıntısı)
H
C
a
b.c = a.h (Alan bağıntısı) dir.
Bu bağıntıları bulan kişi Euclide (Öklid) olduğu için Öklid Bağıntıları olarak isimlendirilir.
A
Yandaki ABC dik üçgeninde [BA] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC],
|BH|=9cm ve |HC|=16cm ise |AH|=x, |AB|=y ve |AC|=z
uzunluklarını bulalım.
A
z
y
x
B
104
9 cm
H
16 cm
C
ÇÖZÜM:
Öklid yükseklik bağıntısından,
x2 = 9. 16 ise x = 12 cm
Öklid dik kenar bağıntılarından,
y2 = 9. (9 + 16)
ve
z2 = 16. (16 + 9)
y = 15 cm
z = 20 cm
bulunur.
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
Yandaki şekilde [BA] ⊥ [AD], |AB|=|AC|=10cm ve
|BC|=16cm ise |DC|=x değerini bulalım.
A
10
10
ÇÖZÜM:
B
D
x
C
x
C
[AH] ⊥ [BC] çizelim.
|BH|=|HC|=8cm
(ABC ikizkenar üçgen)
|HD|=8−x
|AH|= 6cm
(Pisagor bağıntısı)
ABD üçgeninden
|AH|2=|BH|.|HD| ⇒ 62=8.(8−x)
(Öklid bağıntısı)
7
⇒ x = cm bulunur.
2
A
10
10
B
H
D
3.
1.
x
D
C
6 cm
E
F
6m
4m
10 cm
A
xm
4m, x m ve 6m uzunluğundaki üç
ağaç yukarıdaki şekildeki gibi iplerle
bağlanabiliyorsa ortadaki ağacın boyu kaç m
olabilir?
B
[DC] // [EF] // [AB], | DE | = 1 , |EF|=6cm,
| DA | 3
|AB|=10cm olduğuna göre |DC| = x kaç cm
dir?
2.
A
x
D
4.
3 cm
A
E
4 cm
6 cm
12 cm
y
B
12 cm
F
C
3 cm
D
ABC ve ADE nde m(ADE) =m(ACB),
|AD|=x cm, |DB|=y cm, |BC|=12 cm,
|EC|=15cm, |AE|=3cm, |DE|=4cm olduğuna
göre x−y farkı kaç cm dir?
E
x
B
C
ABC nde [DF] // [BE] ve [DE] // [BC], |AF|=6cm,
|FE|=3cm olduğuna göre |EC|=x kaç cm dir?
105
2. ÜNİTE
10.
5.
A
A
4 cm
D
6 cm
E
D
5 cm
8 cm
B
B
E
2 cm
C
x
ABC nde |AD|=4cm, |DE|=5cm, |EA|=6cm,
|DB|=14cm, |EC|=4cm olduğuna göre
|BC|=x cm dir?
6.
C
| AD | 4
= ,
| DB | 5
A(ADE)=16cm2 olduğuna göre BCED dörtgeninin alanı kaç cm2 dir?
11.
ABC nde [DE] // [BC],
A
c
D
6 cm
D
C
H
h
E
4 cm
B
A
C
ABC nde [DE] ⊥ [AC], [BC] ⊥ [AC], |AD|=6cm,
10
|DB|=4cm ve |BC|, |DE| ndan
cm fazla
olduğuna göre |DE| kaç cm dir? 3
7.
ABCD dik yamuğunda köşegenler dik
kesişiyorsa h uzunluğunu, a ve c cinsinden
bulunuz.
12.
A
x
D
A
x
4 cm
B
E
4 cm
8 cm
H
C
B
ABC nde [AB] ⊥ [AC] ve [AH] ⊥ [BC] dır.
|AH|=4cm, |HC|=8cm olduğuna göre
|AB|=x kaç cm dir?
8.
A
ABC nde [DE] // [BC], m(DBE)=m(EBC),
|BD|=4cm, |BC|=12cm olduğuna göre
|AD|=x kaç cm dir?
13.
A
7 cm
G
D
D
F
9 cm
3 cm
10 cm
B 2 cm E
B
C
ABC nde |AD|=5cm, |DB|=3cm, |BE|=2cm,
|EC|=10cm, |AE|=8cm olduğuna göre
|DC|=x kaç cm dir?
9.
X
20
F
E
C
ABC nde [AB] ⊥ [AC] , DEFG kare, |AG|=7cm,
|BD|=9cm olduğuna göre A(DEFG) kaç cm2
dir?
14.
A
A
B
C
12 cm
5 cm
D
B
a
3
P
8
E
B
9
R
C
2 K
N
D
6
C
2
ABC nde [DE] // [BC], A(APE)=3cm ,
A(DBRP)=20 cm2, A(PRCE) = 9cm2 olduğuna
göre A(ADP)=x kaç cm2 dir?
106
ABD ve BDC nde [AB] ⊥ [AD], [BC] ⊥ [CD],
[AN] ⊥ [BD], [KC] ⊥ [BD], |AN|=8cm,|BK|=2cm,
|KC|=6cm olduğuna göre |KN| kaç cm dir?
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
PROJE
Bir eşkenar üçgen üzerinde aşağıdaki işlemleri yapınız.
1. İşlem
2. İşlem
3. İşlem
4. İşlem
Birinci işlem: Bir kenarı üç eşit parçaya ayırınız.
İkinci işlem : Ortadaki parça taban olacak şekilde ilk üçgenin dışında bir eşkenar üçgen çiziniz.
Üçüncü işlem: Bir önceki işlemdeki eşkenar üçgenin tabanı olan ortadaki parçayı siliniz.
Dördüncü işlem: Önceki işlemleri diğer kenarlar üzerinde de yapınız.
Bu şekilde elde edilen kenarlar üzerinde aynı işlemler yapıldığında;
+ =
+ =
1. Kar Tanesi
2. Kar Tanesi
oluşur. Bu biçimde oluşturulan şekle Koch (Koh) Kar Tanesi adı verilir. İşlem sayılarını artırarak
değişik boyutlarda Koh kar taneleri oluşturabilirsiniz.
Dördüncü işlemde oluşan kar tanesini birinci kar tanesi diye isimlendirirsek n inci
kar tanesinin kenar sayısını, çevre uzunluğunu ve alanını veren bir genellemeye ulaşmaya
çalışınız.
ÜNİTE SONU ÖLÇME SORULARI
1. Eşkenar dörtgen ile kare arasındaki fark nedir?
2. Hangi dörtgenlerde köşegen uzunlukları birbirine eşittir?
3. Hangi dörtgenlerde köşegenler her zaman birbirine diktir?
4. Herhangi bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek hangi dörtgen elde edilir?
5. ABCD paralelkenarında AC köşegenini çiziniz. B ve D noktalarından AC köşegenine
indireceğiniz dikme uzunlukları için ne söyleyebilirsiniz?
6. Her bir iç açısının ölçüsü 1800 den küçük olan çokgen ....... bükey çokgendir.
7. En az bir iç açısının ölçüsü 1800 den büyük olan çokgen ........bükey çokgendir.
8. Bir düzgün çokgenin iç açısının ölçüsü en az kaç derece olabilir?
107
2. ÜNİTE
13.
9.
C
d2
d1
d3
D
1500
6 cm
A
1200
d4
x
400
Yukarıdaki şekilde d1, d2, d3 ve d4 doğrularının
oluşturduğu bazı açı ölçüleri verilmiştir. x kaç
derecedir?
A) 45
B) 50 C) 60 D) 75
E) 90
2 cm
B
4 cm
E
ABCD dörtgeninde [DE]//[BC] ve
[DA] ⊥ [AB] dir. |DA|=6cm, |AE|=2cm ve
|EB|=4cm ise A(AECD) kaç cm2 dir?
A) 18 B) 16
C) 14
D) 12
E) 10
14.
D
C
F
10.
K
A
E
D
x
300
F
A
B
ABCD paralelkenar, A, F ve E doğrusaldır.
|EF|=|EC| , m(DAE)=m(EAB) ve m(FCB)=300
ise m(ADE)=x kaç derecedir?
A) 120 B) 130 C) 140 D) 150 E) 160
B
E
C
ABCD karesinin bir kenar uzunluğu 8 cm dir.
E ve F bulundukları kenarların orta noktaları
olduğuna göre A(ADK) kaç cm2 dir?
B) 8
C) 16 D) 32
E) 64
A) 4
5
5
5
5
5
15.
D P R S
T U C
11.
D
C
A K
L
M
N
B
ABCD paralelkenarında
|DP|=|PR|=|RS|=|ST|=|TU|=|UC| ve
A
B
ABCD ikizkenar yamuğunda [AB] // [DC] dir.
m(DCB)=2.m(DAB) ise m(ADC) kaç derecedir?
A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150
12.
A(KNSR)
|AK|=|KL|=|LM|=|MN|=|NB| ise
A(ABCD)
oranı kaçtır?
23
19
17
23
19
A)
D)
E)
B)
C)
60
60
30
30
30
16.
C
D
A
F
E
D
2x+3
E
A
B
Yukarıdaki ABCD paralelkenarında
[EC] ⊥ [BF] dir. |EC|=16cm, |BF|=2x+3 cm dir.
A(ABCD)=176cm2 ise x kaç cm dir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
108
B
F
C
Şekilde ABD ≅ BCE ≅ CAF olduğuna göre
DEF nın ölçüsü kaç derecedir?
A) 30 B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
ÇOKGENLER VE DÜZLEMDE KAPLAMALAR
21.
17.
6 3
D
B
A
C
C
300
D
A
E
B
18 3
Yukarıdaki ABCD ikizkenar yamuğunda
|AD|=|BC|, m(DAB)=300, |DC|= 6 3 cm ve
|AB|=18 3 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 36 3
B) 48 3
C) 56 3
D) 60 3
E) 72 3
18.
AB // DE, A, C, E ve B, C, D doğrusaldır.
| AC | 4
= , |BD|=27cm olduğuna göre |BC|=x
| CE | 5
kaç cm dir?
A) 3
B) 6
22.
C) 9
D) 12
C
D
4
F
D
300
E
E) 15
1100
1200
C
E
x
A
B
8 3
Yukarıdaki şekilde ABCD dikdörtgen, A, F ve E
noktaları doğrusaldır. m(EFC)=300, |EF|=4cm
ve |AB|= 8 3 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
B) 36 3
C) 48 3
A) 32 3
D) 60 3
E) 72 3
19.
A
B
ABCD dörtgeninde m(ADC) = 1200
m(DCB)=1100 dir. [BE] ve [AE] açıortay ise
m(AEB) = x kaç derecedir?
A) 100 B)110 C) 115 D) 120 E) 125
23.
C
D
A
1300
3
4
E
6
E
x
D
x
2
B
F
C
y
300
A
Yukarıdaki ABC nde m(ADE)=m(ACB),
|AD|=4cm, |AE|=3cm, |DB|=2cm, |DE|=6cm,
|EC|=x cm ve |BC|=y cm ise x+y kaç cm
olur?
A) 17
B) 16 C) 15 D) 14
E) 13
20.
D
E
A
6
10
16
C
B
ABCD dörtgeninde m(DAB) = 300,
m(DCB) = 1300, m(ADE) = m(CDE) ,
m(ABE) = m(CBE) ise m(FEB) = x kaç derecedir?
A) 50
B) 60 C) 70 D) 80 E) 90
24. Escher (Eşer) ‘in aşağıdaki eserinde hangi
dönüşümler vardır?
F
B
Yukarıdaki ABCD dörtgeninde
[AB]//[CD]//[EF] dir. |DC|=6cm, |EF|=10cm ve
| CF |
|AB|=16cm ise
oranı kaçtır?
3 | BF | 4
5
6
2
A)
B)
C)
D)
E)
4
5
6
7
3
109
3. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR
VE PİRAMİTLER
+
+
+
+
İzometrik ve Ortografik Çizimler ve Hacimleri
Dik Prizma ve Piramit Kavramları
Dik Prizma ve Düzgün Piramit Yüzey Alanları Bağıntıları
Dik Prizma ve Düzgün Piramit Hacim Bağıntıları
Muhteşem yapıları çizerken kullanılan
basit geometrik şekilleri inceleyiniz.
5. ÜNİTE
Üçgenler
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
İZOMETRİK VE ORTOGRAFİK ÇİZİMLER
l2
1.Resim
l1
l3
l4
d1
d1
d2
l1
l2
l3
l4
d3
d4
d2
d3
2.Resim
d1
d2
l1
d3
l2
d4
l3
3.Resim
l4
Yukarıdaki resimlerde görülen yapıların bazı kenarlarını taşıyan ışınlar çizilmiştir
Hangi resimdeki d1, d2, d3 ve d4 ışınları kesişmez?
Hangi resimdeki d1, d2, d3 ve d4 ışınları kesişir gibi görünürler?
Aynı soruları l1, l2, l3 ve l4 ışınları için cevaplayınız.
Işınların paralel olmasının veya kesişir gibi görünmesinin resme nasıl bir katkı
sağladığını tartışınız.
Yapıların veya 3 boyutlu cisimlerin kâğıt üzerindeki çizimlerinde, kenarlarını taşıyan ışınlar daima paralel görünüyorsa bu çizime izometrik çizim, kesişir gibi görünüyorsa
bu çizime perspektif çizim adı verilir.
İzometrik çizimde perspektif dikkate alınmaz. Çizim bir bütün olarak izometrik kâğıtlar kullanılarak yapılır.
111
5. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Üçgenler
ÖRNEK
Aşağıda verilen yapıyı ve yanda verilen izometrik çizimini inceleyelim.
300
300
İzometrik çizimde perspektif olmadığını görebiliriz.
Gökyüzündeki bulutu ve yeryüzündeki gölgesini inceleyiniz.
Gölgenin görünümünü bulutun görünümüyle karşılaştırınız.
1
Yanda birim küplerden yapılmış L harfine benzeyen yapıyı
inceleyelim.
Bu yapıya önden baktığınızda gördüğünüz çokgeni çiziniz.
Aynı çalışmayı sol yandan ve üstten bakarak yapınız.
Bulduğunuz sonuçları aşağıdaki şekillerle karşılaştırınız.
112
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Önden görünüm
Sol yandan görünüm
Üçgenler
Üstten görünüm
Bu cismin sağ yandan görünümünün nasıl olacağını tartışınız.
Üç boyutlu yapılara tek bir yönden bakarak görünümlerin iki boyutlu çizilmesine dik
görüntü (ortografik) çizimi denir.
Bu çizimde yapının iki boyutlu görüntüsüne ortografik izdüşüm adı verilir.
İzdüşüm çiziminde farklı düzlemler düz bir çizgi ile gösterilir. Görünmeyen farklı düzlemler ise kesik bir çizgi ile gösterilir.
Yandaki yapının önden, üstten ve sağ yandan ortografik
izdüşümlerini çizelim.
ÇÖZÜM:
Yapının önden, üstten ve sağ yandan görünümleri aşağıdaki
gibidir.
Önden Görünüm
Üstten Görünüm
Sağ Yandan Görünüm
113
5. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Üçgenler
Yanda izometrik çizimi verilen şeklin ortografik çizimini
yapalım.
ÇÖZÜM:
Verilen izometrik çizimin ortografik çizimi sağdaki gibidir.
Önden
görünüm
Sağ yandan Üstten
görünüm
görünüm
Yanda ortografik çizimi verilen
yapının izometrik çizimini yapalım.
Önden
görünüm
ÇÖZÜM:
114
Sağ yandan
görünüm
Üstten
görünüm
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Üçgenler
Yanda ortografik olarak üstten, önden ve
sağdan görünümleri verilen yapının izometrik çizimini yapalım.
Üstten
Önden
Sağdan
ÇÖZÜM :
Üstten
Verilen ortografik çizimin görünümleri sol tarafta renklendirilmiştir.
Buna göre izometrik çizim sağ taraftaki çizim gibidir.
Sağdan
Önden
2
Yandaki şekillerde verilen ölçü birimlerini karşılaştırınız.
1br
1br
1br
1br
1 br3
1br
1br
1 br2
1 br
Yandaki şekillerin boyutlarını karşılaştırınız. Hangisinin
hacim kavramı ile ilişkilendirilebileceğini tartışınız.
Şimdi de izometrik çizimi yanda verilen eş birim küplerden oluşmuş yapının hacmini bulalım.
Cismin hacmi ile birim küplerin sayısını karşılaştırınız.
115
5. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Üçgenler
İzometrik çizimleri verilen yapıların hacminin hesaplanmasında, her bir katta bulunan birim küplerin sayıları bulunur. Bulunan birim küp sayıları toplanarak yapının hacmi
hesaplanır.
Yanda izometrik çizimi verilen birim küplerden oluşmuş
yapının hacminin kaç br3 olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:
Yapının;
1. katında 4 br3,
2. katında 2 br3,
3. katında 1 br3 vardır. O hâlde yapının hacmi
4 + 2 + 1 = 7 br3 olarak bulunur.
1. Aşağıdaki yapıların izometrik çizimlerini yapınız.
a)
c)
b)
ç)
2. İzometrik kağıda altı adet birim küp kullanarak üç farklı yapı oluşturunuz.
116
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
3. Aşağıda izometrik çizimi verilen 1. şekildeki
yapıdan hangi yapı çıkarılırsa 2. şekildeki
yapı elde edilir?
1. Şekil
2. Şekil
Üçgenler
5. A, B, C yapılarının her birine aşağıda verilen Ç, D, E, F, G ve Ğ yapılarından hangileri
eştir?
A
4. Aşağıda izometrik çizimleri verilen yapıların
belirtilen ok yönünden ortografik izdüşümlerini
çiziniz.
a)
B
B
A
b)
A
C
C
B
c)
B
Ç
A
117
5. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Üçgenler
6. İzometrik çizimi aşağıda verilen yapının ortografik çizimini yapınız.
D
7. Ortografik çizimi aşağıdaki şıklarda verilen
yapıların izometrik çizimlerini yapınız.
E
a)
Üstten görünüm
Önden görünüm
Sağdan
görünüm
b)
F
Üstten
görünüm
Önden
görünüm
Sağdan
görünüm
G
c)
Üstten
görünüm
Ğ
Önden görünüm
118
Sağdan görünüm
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Üçgenler
8. Aşağıda izometrik çizimleri verilen A ve B yapıları kullanılarak X, Y ve Z yapılarından
hangisi oluşturulur?
B
Y
X
A
Z
9. Aşağıdaki her bir yapı kaç birim küpten oluşmuştur?
a)
b)
c)
ç)
d)
e)
f)
119
5. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Üçgenler
DİK PRİZMA VE DİK PİRAMİT
Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.
Resimlerdeki üç boyutlu cisimlerin ya da yapıların birbirine benzer ve farklı yanları
sorgulayınız.
İlköğretim bilgilerinizden bu cisimlerin hangi isimlerle anıldığını hatırlamaya çalışınız.
3
Yanda verilen kolon resmini inceleyiniz.
Kolonun alt ve üst yüzeylerindeki dörtgensel bölgeleri
karşılaştırınız.
Bu yüzeylerin birbirine göre konumlarını karşılaştırınız.
Kolonun yan yüzeylerini geometrik şekillerle ilişkilendiriniz.
Kolunu oluşturan demirlerin uzunluklarını ve konumlarını karşılaştırınız.
Oluşan kapalı cismin hangi geometrik yapıya dönüştüğünü söyleyiniz.
120
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Uzayda bir E düzleminde bulunan
bir çokgen (ABCD dörtgeni) ile E düzleminde bulunmayan ve E düzlemini kesen bir l
doğrusu alalım.
d
l
Üçgenler
l doğrusuna paralel olan ABCD
dörtgeninin kenarlarından birini kesen bir
d doğrusu çizelim.
d doğrusunu ilk konumuna paralel olarak ABCD dörtgeninin kenarları
üzerinde kaydıralım.
C
D
Bu biçimde oluşan yüzeye prizmatik yüzey, bu yüzeyin belirlediği uzay
parçasına da prizmatik bölge denir.
B
A
E
Oluşturulan ve E düzlemindeki
ABCD dörtgeni ile alttan A/B/C/D/ dörtgeni
ile üstten sınırlanan kapalı prizmatik bölgeye prizma, prizmayı sınırlayan yüzey
parçalarına da prizma yüzeyi adı verilir.
d
l
C/
D/
B/
A/
P
A
E düzlemindeki ABCD dörtgenine
prizmanın alt yüzeyi, P düzlemindeki
A/B/C/D/ dörtgenine prizmanın üst yüzeyi
denir.
Ayrıca d doğrusuna
prizmanın ana doğrusu denir.
C
D
Şimdi de E düzlemine paralel bir P
düzlemi ile prizmatik yüzeyi kesiştirelim.
B
E
da
bu
Etkinlikte ele alınan masa yüzeyi
ve zemindeki KLMN dikdörtgensel bölgesi ile sınırlanan prizmatik bölge prizma,
zemindeki dikdörtgensel bölge ve örtülerin kapladığı yüzey prizma yüzeyi ve
masa ayaklarından birini taşıyan doğru da
prizmanın ana doğrusu olarak alınabilir.
121
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
D/
Herhangi bir prizmanın birbirine paralel
olan alt ve üst yüzeylerine tabanları, tabanların
kenarlarına da taban ayrıtları denir.
C/
O/
A/
Yandaki prizmada, tabanlar ABCD ve
A/B/C/D/ dikdörtgenleridir. Taban ayrıtları ise [AB],
[BC], [CD], [DA], [A/B/], [B/C/], [C/D/], [D/A/] dır.
B/
D
Tabanların karşılıklı köşelerini birleştiren
[AA/], [BB/], [CC/] ve [DD/] na yanal ayrıtlar,
C
ABB/A/, BCC/B/, CDD/C/ ve DAA/D/ dikdörtgenlerine yanal yüzler adı verilir.
O
A
İki taban arasındaki uzaklığa da |OO/|
prizmanın yüksekliği denir.
B
D/
C
D
C
/
Yandaki dik prizma biçimindeki parfüm kutusunun taban ayrıtlarını, yanal yüzlerini ve yüksekliğini
yazalım.
ÇÖZÜM:
Taban ayrıtları:
[AB], [BC], [CD], [DA]
Yanal yüzleri:
ABB/A/ dikdörtgeni
BCC/B/ dikdörtgeni
CDD/C/ dikdörtgeni
DAA/D/ dikdörtgeni
A/
A
B/
B
122
Yüksekliği:
[AA/], [BB/], [CC/], [DD/]
5. ÜNİTE
Üçgenler
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
4
P
D/
C
B/
A/
P
N/
/
M
X/
L/
K/
E
D
A
ABCD
KARE
1. Şekil
Y/
E
N
C
B
P
Z/
/
K
KLMN
DİKDÖRTGEN
2. Şekil
E
Z
M
L
X
Y
XYZ
EŞKENAR ÜÇGEN
3. Şekil
Yukarıda 1, 2 ve 3. şekillerdeki prizmaları inceleyelim.
Prizmaların yanal ayrıtları ile taban düzlemleri arasındaki açıların ölçüsü için ne söyleyebilirsiniz?
Prizmaların tabanlarındaki çokgenleri karşılaştırınız.
İsimlendirme yapılırken prizmanın hangi özelliklerinin dikkate alınacağını tartışınız.
Yanal ayrıtları taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma denir. Prizmalar
tabanlarındaki çokgenlere göre isimlendirilir.
Tabanları düzgün çokgen olan bir dik prizmaya düzgün prizma denir.
Yanda verilen resimlerdeki prizmaları isimlendirelim ve hangilerinin
düzgün prizma olduğunu söyleyelim.
ÇÖZÜM:
1. şekil : Düzgün altıgen dik prizma
2. şekil : Dikdörtgen dik prizma
3. şekil: Eşkenar üçgen dik prizma
1 ve 3. şekillerdeki prizmaların tabanları düzgün çokgen olduğundan düzgün
prizmadırlar.
123
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
5
D
T
C
A
B
Yanda inşa edilecek bir evin maketi görülmektedir.
T noktası ile ABCD karesel bölgesinin içinde
bulunduğu düzlemin konumunu karşılaştırınız.
Çatının yanal yüzlerindeki çokgenleri söyleyiniz.
Çatının yüksekliğini çiziniz.
|TB|, |TC|, |TA| ve |TD| nı hesaplamak için
hangi yolun izleneceğini tartışınız.
Çatının hangi geometrik yapıya dönüştüğünü
ve isimlendirme yapılırken yapının hangi özelliklerinin dikkate alınacağını söyleyiniz.
Uzayda herhangi bir düzlem ve bu
düzlemde bir çokgen verilsin. Verilen düzlemin dışında sabit bir T noktası alalım.
T noktası ile çokgenin kenarları
üzerindeki her bir noktadan geçen doğruların oluşturduğu yüzeye piramidal yüzey, bu yüzeyin sınırladığı bölgeye de piramidal bölge denir.
T
T
Herhangi bir piramitte, hem tepe
noktasından hem de tabandaki çokgensel
bölgenin ağırlık merkezinden geçen doğru,
taban düzlemine dik ise bu piramide dik piramit, tabanı düzgün çokgensel bölge olan
piramide de düzgün piramit denir.
T
N
M
O
K
124
Verilen çokgenin içinde bulunduğu düzleme paralel bir düzlem ve T
noktası arasındaki piramidal bölgeye de
piramit adı verilir.
L
Dolayısıyla her düzgün piramit, dik piramittir. Piramitler de prizmalarda olduğu gibi tabanlarındaki çokgensel bölgeye göre isimlendirilir.
Yandaki şekilde verildiği gibi tabanı KLMN karesel bölgesi ve tepe noktası T olan kare dik piramitte yükseklik [TO] dır.
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Üçgenler
Yandaki şekilde kenar uzunlukları
|AB|=8m ve |BC|=6m olan ABCD dikdörtgensel bölgesinin O ağırlık merkezine |TO|=12m
olan bir direk dikilerek piramit biçiminde bir
çadırda |TB| nu bulunuz.
T
C
D
ÇÖZÜM:
ABCD dikdörtgeninde,
|BD|=10m
|DO|=|OB|=5m
O
A
B
TOB dik üçgeninde,
|TB|=13m bulunur.
(Pisagor bağıntısı)
(Pisagor bağıntısı)
6
Aşağıda 1. şekilde bir kenar uzunluğu |AB|=10cm ve |TO|=12cm olan düzgün kare
piramit verilmektedir.
Tabandaki köşegen uzunluklarını |AC|=|BD|= 10 2 cm
alarak |AO|, |OC|, |OB|, |OD| nu bulunuz.
T
12 cm
D
C
O
A
10 cm
B
10 cm
Yanal yüzlerdeki kenar uzunluklarını göz önüne alarak
üçgensel bölgeleri sorgulayınız.
1.Şekil
Bu kez tabandaki O noktasından [BC] na [OH]
dikmesini çizelim.
|OH| ve |TH| uzunluğunu bulunuz.
T
D
12 cm
C
O
A
10 cm
Bu sonuçlara göre,
AOT dik üçgeninden |AT|=?
BOT dik üçgeninden |TB|=?
COT dik üçgeninden |TC|=?
DOT dik üçgeninden |TD|=?
Bulduğunuz yanal ayrıtları karşılaştırınız.
H
B
TBC nin yükseklik uzunluğunu bulunuz.
Benzer işlemleri yaparak O noktasından [AB], [AD] ve
[DC] nın orta noktalarına dikmeler çiziniz.
Diğer yanal yüz yükseklik uzunluklarını bulunuz.
Düzgün piramitlerde yanal yüzlerin özelliklerini söyleyiniz.
2. Şekil
125
5. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Üçgenler
Düzgün piramitlerde yanal yüzler birbirine eş ikizkenar üçgensel bölgelerden oluşur.
Dolayısıyla bu ikizkenar üçgensel bölgelerin eş olan kenarları, piramidin yanal ayrıtlarıdır
ve uzunlukları birbirine eşittir.
Ayrıca yanal yüzlerde bulunan eş ikizkenar üçgensel bölgelerin yükseklikleri de
birbirine eşit olur.
Aşağıdaki şekillerde verilen piramitlerin hangilerinde yanal yüzlerin birbirine eş ikizkenar üçgenlerden oluştuğunu yazalım.
T
T
T
T
C
D
A
C
D
B
A
D
C
A
B
B
B
A
ABCD DİKDÖRTGEN
DİK PİRAMİT
ABCD İKİZKENAR
YAMUK DİK PİRAMİT
ABC EŞKENAR ÜÇGEN
DİK PİRAMİT
ABCD DİK YAMUK
DİK PİRAMİT
1. Şekil
2. Şekil
3. Şekil
4. Şekil
T
T
T
D
C
E
D
E
A
B
C
A
C
B
D
F
C
A
B
ABCD PARALELKENAR
DİK PİRAMİT
ABCDE DÜZGEN
BEŞGEN DİK PİRAMİT
ABCDEF DÜZGÜN
ALTIGEN DİK PİRAMİT
5. Şekil
6. Şekil
7. Şekil
ÇÖZÜM:
3, 6 ve 7 şekillerdeki prizmaların tabanları düzgün çokgen olduğu için bu prizmaların
tüm yanal yüzleri eş ikizkenar üçgendir.
126
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Üçgenler
1. Aşağıdaki şekillerden hangileri dik prizma veya dik piramittir?
............................
............................
............................
............................
............................
............................
2. Yanal yüzleri eş kareler olan üçgen dik prizma çiziniz.
3. Bir prizmanın en az kaç köşesi vardır?
4.
5.
Değişik yüzleri farklı renklerde boyanmış
yukarıdaki küpün karşılıklı yüzlerindeki renkleri söyleyiniz. Açınımını çiziniz.
Şekildeki eşkenar üçgen dik piramidin diğer
bir yüzeyi üzerine yatırılmasıyla oluşan piramit dik piramit midir? Neden?
127
5. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Üçgenler
6. Aşağıdaki şekilleri isimlendirerek soruları cevaplayınız.
A
D
B
E
C
F
Ç
G
a) Tabanları, aynı çokgensel bölge olan şekiller hangileridir?
b) Yan yüzleri dikdörtgen olan şekilller hangileridir?
c) Yan yüzleri üçgen olan şekiller hangileridir?
d) Yan yüzleri ikizkenar üçgen olan şekiller hangileridir?
DİK PRİZMALARIN VE DİK PİRAMİTLERİN YÜZEY ALANLARI
Yandaki resimde görülen binanın duvarları
sıvanacaktır.
Sıvanacak bölgenin alanının nasıl hesaplanabileceğini tartışınız.
128
5. ÜNİTE
Üçgenler
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
7
Çay üreticisi bir firma elma, nane ve limon aromalı üç ürününü aşağıdaki şekillerde verilen kare, dikdörtgen ve eşkenar üçgen tabanlı prizma biçimindeki karton kutulara ambalajlayıp
satışa sunmak istemektedir.
D/
S/
M/
C/
ELMALI
ÇAY
A/
R/
LİMONLU
ÇAY
NANELİ
ÇAY
B/
K/
P7
Q/
L/
M
C
D
A
L
K
B
R
S
Q
P
Kutu ambalajı yapan firmaya verilen siparişlerde;
Kare dik prizmanın boyutlarının |AB|=|BC|=8cm ve |AA/|=10cm,
Eşkenar üçgen dik prizmanın boyutlarının |KL|=|LM|=6cm ve |KK/|=10cm,
Dikdörtgen dik prizmanın boyutlarının |PQ|=8cm, |QR|=6cm, |PP/|=10cm olması istenmektedir.
Her bir kutu için kaç cm2 karton kullanılacağını bulunuz.
Kare prizma biçimindeki kutunun açınımını çiziniz.
C/
D/
C/
D/
A/
B/
C/
D
A
B
C
D
C
D/
D/
C/
D/
C/
C/
A/
A
D
/
C
B/
C
B/
D
A
A
B
C/
C
D
C
B
C
Kare prizmanın açınımında hangi geometrik şekiller bulunur?
Kare prizmanın yüzey alanını bulunuz ve kutuda kaç cm2 karton kullanılacağını söyleyiniz.
Kare dik prizma yüzeyinin alanını veren bir bağıntı oluşturmaya çalışınız.
129
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
Eşkenar üçgen, dik prizma ve dikdörtgen dik prizmanın açınımlarını çizelim.
Q/
K/
P/
K/
M/
L/
K/
P/
Q/
R/
S/
P/
K
M
L
K
P
Q
R
S
P
Q
K
Eşkenar üçgen dik prizma açınımı
P
Dikdörtgen dik prizma açınımı
Benzer çalışmalar yaparak eşkenar üçgen dik prizmanın ve dikdörtgen dik prizmanın
yüzey alanlarını bularak kaçar cm2 karton gerektiğini hesaplayınız.
Eşkenar üçgen dik prizmanın ve dikdörtgen dik prizmanın yüzey alanlarını veren birer
bağıntı oluşturmaya çalışınız.
8
Bir oyuncak fabrikasında tabanları paralelkenar, dik yamuk, ikizkenar dik yamuk,
düzgün beşgen, düzgün altıgen olan prizmalar ve küp biçiminde oyuncaklar imal edilmektedir.
Bu oyuncaklardan açınımı aşağıda gösterilen paralelkenar dik prizma biçimindeki oyuncağı
inceleyiniz.
A/
D
/
C
A
7cm
3cm
K
A/
D/
C/
A
D
C
B/
A/
B
8cm
D
C
B
A
Paralelkenar dik prizma
Oyuncağın yüzey alanını bulunuz.
130
B/
/
8cm
A
7cm
5cm
5cm
5cm
/
3cm K
/
B
B
Paralelkenar dik prizma açınımı
A
5. ÜNİTE
Üçgenler
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Şimdi de boyutları ve açınımları verilen dik yamuk tabanlı ve ikizkenar yamuk tabanlı
dik ve düzgün çokgen prizma biçimindeki diğer oyuncakları inceleyiniz ve yüzey alanlarını
bulunuz.
|AB|=6cm
A/
/
D
|AD|=4cm
/
/
D
C
B/
A/
/
D/
|DC|=3cm
A
C/
|DD/|=8cm
A/
B/
C
D
C
B
A
D
D
A
Dik yamuk dik prizma
A
Dik yamuk dik prizma açınımı
A/
D/
D/
C/
A
B/
D/
C
A/
A
B
/
B/
D
C
C
D
A
B
A
B
A
D
A
İkizkenar yamuk dik prizma açınımı
İkizkenar yamuk
dik prizma
A/
E/
A/
|AB|=9cm
|AD|=5cm
|DC|=3cm
|DD/|=8cm
|BC|=5cm
/
F
D/
C/
A/
B/
E
D
F
|AB| = 4 cm
|DD/| = 8 cm
C/
A
B
C/
D/
E/
F/
G/
A
B
C
D
E
F
G
/
F/
B/
/
C
A
B
Düzgün altıgen dik
prizma
E
B
A
F
Düzgün altıgen dik prizma açınımı
131
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
|AB| = 4 cm
|DD/| = 8 cm
D/
/
E
D/
/
E
C/
A/
B/
C/
D/
E/
A/
B/
C/
D/
D
E
A
B
C
D
D
C
E
B
A
D
Düzgün beşgen dik
prizma
D/
Düzgün beşgen dik prizma açınımı
A/
B/
A/
D/
C/
B/
A
D
C
B
A
B
C/
B/
A/
C
E
|AB| = 4 cm
/
B
D
C
A
B
B
Küp
Küp açınımı
Her bir prizmada tabanlardaki çokgensel bölgeleri ve yanal yüzlerdeki dikdörtgensel
bölgeleri kendi aralarında karşılaştırınız.
Her bir prizmada tabandaki çokgenin çevre uzunluğu ve yükseklik uzunluğu ile yan
yüzlerdeki dikdörtgensel bölgelerin alanları toplamını ilişkilendiriniz.
Dik prizmaların yüzey alanlarını veren bir genelleme yapmaya çalışınız.
Son iki etkinlikte yapılan çalışmalar göz önüne alındığında dik prizmalarda yüzey
alanı, birbirine eş olan alt ve üst tabandaki çokgensel bölgelerin alanları toplamı ile yan yüzlerdeki dikdörtgensel bölgelerin alanları toplamından oluşur. Yan yüzlerdeki dikdörtgensel
bölgelerin alanları toplamı ise taban çevresi ile yükseklik uzunluğu çarpımına eşittir.
C/
Yandaki prizmanın yüzey alanı;
A/
B/
2 A(ABC) + Ç(ABC) . |AA/|
C
biçiminde ifade edilir.
A
132
B
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Dikdörtgenler prizması biçimindeki bir çikolata kutusunun
kapağından, planlanan yeni tasarımı için, yanda verilen resimdeki gibi ABCD dikdörtgensel bölgesi çıkartılıyor. |EF|=12cm,
|HF|=8cm, |FG|=8cm, |AB|=4cm ve |CB|=6cm olduğuna göre
kutunun yeni tasarımının yüzey alanını bulalım.
H
D
Üçgenler
C
E
A
B
F
G
ÇÖZÜM:
Prizmanın yüzey alanı = 2 (2.12 + 8.2 + 12.8)=272 cm2 dir.
A(ABCD) = 6.4 = 24 cm2 dir.
Kalan yüzey
y
y alanı = Prizma yüzey alanı - A(ABCD) = 272 - 24 = 248 cm2 bulunur.
5m
5m
6m
Yanda uzunlukları verilen seranın yüzeyini kaplamak
için kaç m2 cam kullanıldığını bulalım.
ÇÖZÜM:
7m
Cam yüzey ikişer tane S1, S2, S3 dikdörtgensel bölgeden
ve ikişer tane S4 ikizkenar üçgensel bölgeden oluşur.
8m
S1= 6.7 = 42m2 ise 2S1= 84m2
S2= 7.8 = 56m2 ise 2S2= 112m2
S3= 5.8 = 40m2 ise 2S3= 80m2
A
S3
B
S2
S4
H
S1
C
S4 için ABC nde [AH] çizelim.
|BH|=|HC|=3m
(İkizkenar üçgen)
ABH nde |AH|=4m
(Pisagor bağıntısı)
6.4
= 12m2 ise 2S4=24m2
S4=
2
Cam yüzeyin
y
y toplam
p
alanı= 2S1+ 2S2+ 2S3+ 2S4= 84+112+80+24 = 300m2 bulunur.
Ayrıt uzunlukları tam sayı olan ve farklı üç yüzeyinin alanları 20, 24 ve 30cm2 olan
dikdörtgen dik prizmanın ayrıt uzunluklarını bulalım.
ÇÖZÜM:
Ayrıt uzunlukları x, y ve z olmak üzere farklı yüzeyler:
x.y=20, y.z=24, x.z=30 ve x, y, z tam sayı olduğundan
5.4=20, 4.6=24 ve 5.6=30 dur. x=5cm, y=4cm ve z=6cm bulunur.
133
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
9
T
D
C
O
A
B
Yukarıdaki resimde yer alan havuzun, bir kenar uzunluğu |AB|=16m ve yükseklik
uzunluğu |TO|=15m olan kare piramit biçiminde çatısı vardır.
Bu çatının yüzeyi, güneş ışığından yararlanmak için cam ile kaplanacaktır. Kaç m2
cam kullanılacağını bulmaya çalışalım.
Tabanın ağırlık merkezi olan O noktasından [BC] nın orta noktası olan H noktasına
OH dikmesini çizerek bu dikmenin uzunluğunu bulunuz.
T
TOH dik üçgeninde |TH| nu bulunuz.
TBC ikizkenar üçgeninin yüksekliğini bulunuz.
D
C
15
H
O
A
Şimdi bu kare piramidin aşağıdaki açınımını inceleyelim.
B
16
T
T
T
T
T
D
D
C
C
T
8
B
A
A
B
T
134
H
17
T
5. ÜNİTE
3.
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Üçgenler
Kare piramidin yüzeyi hangi geometrik şekillerden oluşmuştur?
Taban çevresi ile yanal yüz yükseklik uzunluğunu kullanarak ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamını bulunuz.
Havuzun piramit biçimindeki çatısında kaç m2 cam kullanılacağını bulunuz.
Dik kare piramidin yüzey alanını veren bir bağıntı bulmaya çalışınız.
Kare piramitte yüzey alanı, tabandaki karesel bölgenin alanı ile yan yüzlerdeki
ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamına eşittir.
Sözü edilen yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamı, taban
çevresi ile yan yüz yükseklik uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.
T
Genel olarak, yandaki kare piramitte yüzey
alanı;
h/
D
C
h
A(ABCD) + Ç(ABCD) . |TH| .
1
1
= a2 + 4ah/.
2
2
= a2 + 2ah/
H
O
A
B
T
M
Yandaki kare dik piramitte |TM|=|MN|=|NA| ve
[MR]//[NL]//[AB] dir. |AB|=18cm ve piramidin yükseklik uzunluğu
12cm olduğuna göre piramidin yüzeyindeki yeşil şeridin alanını
bulalım.
R
D
C
L
N
A
B
T
M
R
D
C
L
N
H
18
9
A
eşitliği ile verilir.
K
B
ÇÖZÜM:
THK dik üçgenini çizelim.
|KH|=9cm
(ABCD kare)
TKH dik üçgeninde,
|TK|=15cm
(Pisagor bağıntısı)
A(TAB)=135cm2
TAB nde
A(TMR)=S ⇒ A(MNLR)=3S ve
A(NABL)=5S ⇒ A(TAB)=9S dir. (Benzerlik)
A(TAB)=9S ⇒ S=15cm2 ve
A(MNLR)= 3.15 = 45cm2 dir.
Yeşil şeridin toplam alanı = 4. A(MNLR)
= 4. 45 = 180cm2 bulunur.
135
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
10
T
Yanda tabanının bir kenar uzunluğu |AB|=12m ve yükseklik
uzunluğu |TG|=2m olan eşkenar üçgen dik piramidin yüzey
alanını bulmaya çalışalım.
C
G noktasının ağırlık merkezi olduğunu göz önünde bulundurarak |GE| ve |TE| nu bulunuz.
F
A
G
E
Ele aldığımız eşkenar üçgen piramidin aşağıdaki açınımını
inceleyelim.
D
B
T
T
T
T
T
4
4
F
6
A
G
6
D
C
C
6
6
E
D
6
6
4
B
6
E
G
A
A
C
F 6
6
4
T
6
B
B
T
Yanal yüzeyler hangi geometrik şekillerden oluşur?
Piramidin yüzey alanını hesaplayınız.
Eşkenar üçgen dik piramidin yanal yüz alanları toplamını taban çevresi ve yanal yüz
yüksekliği ile ilişkilendiriniz.
Eşkanar üçgen dik piramidin yüzey alanını veren bir bağıntı bulmaya çalışınız.
T
Yandaki şekilde verildiği gibi tabanı eşkenar üçgen olan dik
piramidin yüzey alanı, tabandaki eşkenar üçgensel bölgenin alanı
ile birbirine eş olan yan yüzlerdeki üç ikizkenar üçgensel bölgenin
C alanı toplanarak bulunur.
F
Yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları
toplamı ise taban çevresi ile piramidin tepe noktasından yan yüzlerA
G
E den birinin tabanına çizilen yan yüz yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Genel olarak, bu durum yukarıdaki şekildeki gibi bir eşkenar
D
üçgen dik piramitin yüzey alanı,
B
A(ABC) + [ Ç(ABC) . |TE| . 1 ]
2
biçiminde ifade edilir.
136
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Üçgenler
Tabanının bir kenar uzunluğu 6 3 cm olan eşkenar üçgen dik piramidin yanal yüz
yüksekliği taban düzlemi ile 600 lik açı yapmaktadır. Bu piramidin yüzey alanını hesaplayalım.
ÇÖZÜM:
T
[AE] ⊥ [BC],
|BE|=|EC|= 3 3 cm,
6
3 3
6 3 3
=9cm ve
2
1
1
|GE|= |AE|= .9=3cm
3
3
|AE|=
C
F
A
3 3
600
G
E
3
|TE|=6cm
üçgen)
Yüzey alanı;
3 3
D
(ABC eşkenar üçgen)
(TEG, açılarının ölçüleri 300, 600 ve 900 olan
1
(6 3)2 . 3
1
A(ABC) + Ç(ABC).|TE|. =
+18 3.6. = 81 3 cm2
2
4
2
olur.
B
11
T
Yandaki şekilde tabanın bir kenar uzunluğu |BC|=4m ve yükseklik
uzunluğu |TO|=6m olan düzgün altıgen dik piramidin yüzey alanını
bulalım.
E
F
A
Önce taban alanını oluşturan eşkenar üçgenlerden birinin alanını bulunuz. Toplam taban alanını hesaplayınız.
D
O
B
C
Yandaki AOB nde |OH| nu bulunuz.
E
F
A
4
600
2
A
D
O
B
O
300
300
H
4
2 600
C
T
B
TOH dik üçgeninde |TH| uzunluğunu bulunuz.
A
H
B
O
C
137
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
Ele aldığımız düzgün altıgen piramidin açınımını inceleyelim.
T
T
TT
T T T T
T
F
F
E
A
D
E
A
D
C
B
T
D
F
T
B
E
C
A
B
T
C
T
Düzgün altıgen dik piramidin yanal yüzleri hangi geometrik şekillerden oluşur?
Verilen ve elde ettiğimiz uzunlukları kullanarak düzgün altıgen dik piramitte yanal
yüzey alanını ve tüm yüzey alanını bulmaya çalışınız.
Yanal yüz alan toplamını taban çevresi ve yanal yüz yükseklik uzunluğu ile
ilişkilendiriniz.
Düzgün altıgen dik piramidin yüzey alanını veren bir bağıntı bulmaya çalışınız.
Yandaki şekilde verildiği gibi tabanı düzgün altıgen olan
dik piramitte yüzey alanı, tabandaki düzgün altıgensel bölgenin
alanı ile birbirine eş olan yan yüzlerdeki altı ikizkenar üçgensel
bölgenin alanı toplanarak bulunur.
T
E
F
A
D
O
H
B
C
Yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları
toplamı ise tabandaki düzgün altıgenin çevresi ile yan yüzlerdeki eş ikizkenar üçgenlerden birinin tabanına ait yükseklik
uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.
Genel olarak bu durum yukarıdaki şekildeki gibi bir düzgün altıgen dik piramitte
yüzey alanı;
A(ABCDEF) + [ Ç(ABCDEF) . |TH| . 1 ]
2
biçiminde ifade edilir.
T
Yanda verilen düzgün altıgen dik piramitte piramidin yükseklik
uzunluğu |TO|=4cm ve tabanın bir kenar uzunluğu |BC|= 2 3 cm dir.
Buna göre bu dik piramidin yüzey alanını bulalım.
F
E
A
D
O
H
B
138
C
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Üçgenler
ÇÖZÜM:
T
|AB|=|BC|= 2 3 cm
(Düzgün altıgen)
|AH|=|HB|= 3 cm
F
4
(TAB ikizkenar üçgen )
2 3. 3
[HO] ⊥ [AB] ve |HO|=
= 3 cm (ABO eşkenar üçgeninde yüksek2
lik uzunluğu)
E
5
A
3
D
3 O
H
3
B
2 3
[TH] ⊥ [AB] (TAB ikizkenar üçgen)
|TH|2=|TO|2+|HO|2 ⇒ |TH|=5cm (TOH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı)
C
Yüzey alanı,
A(ABCDEF) + Ç(ABCDEF). |TH|.
1
1
(2 3)2 . 3
= 6.
+ 6.2 3.5. = 48 3 cm2 bulunur.
2
4
2
1. Aşağıdaki cisimlerin açınımlarını yapmaya çalışınız.
Dörtyüzlü
Sekizyüzlü
2. Aşağıda açınımları verilen cisimlerin her biri eş şekillerden oluşmuştur. Bu açınımları bir
kâğıda çiziniz. Çizdiğiniz açınımları çevrelerinden keserek ve çizgilerden katlayarak kapalı
cisimler oluşturmaya çalışınız.
Onikiyüzlü
açınımı
Yirmiyüzlü
açınımı
139
5. ÜNİTE
3. ÜNİTE
Üçgenler
3. Eş düzgün çokgenlerden oluşan, her bir köşesinde buluşan, yüzey sayısı aynı olan cisimlere
düzgün çok yüzlü denir. Düzgün çok yüzlülerden 1 ve 2. sorulardaki dörtyüzlü, küp, sekizyüzlü,
onikiyüzlü ve yirmiyüzlü olan cisimlere Platonik Cisimler denir. Buna göre;
a) Platonik cisimlerin her bir köşesinde buluşan yüzeylerin oluşturduğu açıların ölçüleri toplamı
için ne söyleyebiliriz?
b) Platonik cisimlerde her bir köşesinde buluşan yüzeylerin oluşturduğu açıların ölçüleri toplamı
3600 olursa ne olur?
4. Aşağıdaki cisimlerin içbükey ya da dışbükeyliğini tartışınız.
5.
Şekildeki 3x3x3 küpün yüzey alanı değişmeyecek şekilde birim küp
çıkartmak istersek hangi birim küp çıkarılmalıdır?
6. Aşağıdaki şekillerin her biri, dört eşit küpten oluşmuştur. Bu şekillerin hangisinin yüzey alanı
daha büyüktür?
7. Aşağıda ayrıt uzunlukları verilen cisimlerin yüzey alanlarını bulunuz.
17
4
15
5
8
12
15
5
15
3 1
3
3
1
9
140
2
3
6
2
6
8
6
3
10
5. ÜNİTE
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
Üçgenler
8.
A
4cm
4cm
B
Yanda tabanı verilen ve yan yüksekliği 6 cm olan dik piramidin taban
alanını, yanal alanını ve tüm alanını bulunuz.
4cm
C
9.Taban çevresi 24br, yüksekliği 4br olan kare dik piramidin yüzey alanını bulunuz.
10. Köşegen uzunluğu 8br olan kare piramidin yan yüz yüksekliği 8 3 br ise kare piramidin
yüzey alanını bulunuz.
11. Ayrıtlarının uzunlukları toplamı 48br, yükseklik uzunluğu taban uzunluğunun 2 katı olan
kare prizmanın yüzey alanını bulunuz.
12. Tabanın bir kenar uzunluğu 8cm ve yan yüzeyinin taban yüzeyi ile yaptığı açının ölçüsü 300
olan eşkenar üçgen dik piramidin yüzey alanını bulunuz.
13. Aşağıda açınımı verilen küp kapalı duşeklinin bulunduğu
ruma getirildiğinde
kenar hangi şekil ile çakışır?
15.
Yandaki şekil
4x4x4 boyutunda
bir küptür.
a) 4 adet yeşil küp
çıkardığımızda geriye kalan cismin
yüzey alanı kaç
br2 dir?
b) 4 adet mavi küp çıkarıldığında geriye
kalan cismin yüzey alanı kaç br2 dir?
c) a ve b seçeneklerinde her birinde 4 adet
küp çıkarılmasına rağmen cevaplarının
farklı olmasının nedenini açıklayınız.
14. Cubo-Octahedron (Küp-sekizyüzlü) ayrıt
uzunlukları eşit 6 kare ve 8 eşkenar üçgenden oluşmuştur.
16.
a) Şeklin açınımını yapmaya çalışınız.
b) Her bir kenarı 4 cm olan küp-sekizyüzlünün yüzey alanını bulunuz.
Yukarıdaki şekil 5x5x5 boyutunda bir küptür. Kırmızı çizgiler boyunca ayrılıp çıkarılan
parçalardan sonra ortada kalan cismin
yüzey alanı kaç br2 dir?
141
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
20.
17.
G
C
D
H
F
B
A
E
Yukarıda açınımı verilen piramidin ayrıt
uzunlukları eşittir. Bu piramidin tepe noktası
hangi noktadadır?
Yukarıdaki piramitten tabanı düzgün altıgen
olan şekil çıkarıldığında;
18.
A
b) Geriye kalan piramidin açınımını çiziniz.
6cm
6cm
B
a) Çıkarılan cismin açınımını,
6cm
C
21.
F
Şekilde ABC eşkenar üçgeninin kenar orta
noktalarını işaretleyiniz. Orta noktaların
birleşmesiyle oluşan doğrulardan katlayınız.
Oluşan piramidin yan yüzey alanı kaç cm2
dir?
E
A
D
19.
B
C
Tabanı ABCDE düzgün beşgen piramit ve yan
yüzlerinden biri EDF ikizkenar üçgeni olan bir
piramit oluşturulmak isteniyor. Bu piramidin
dik piramit olmaması için diğer yan yüzlerin
kenar uzunlukları için ne söylenebilir?
Kesit yüzeyin ikizkenar yamuk olabilmesi için
üstteki piramit nasıl kesilmelidir?
142
5. ÜNİTE
Üçgenler
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
DİK PRİZMALARIN VE DİK PİRAMİTLERİN HACİMLERİ
1. Resim
2.Resim
1. resimde verilen lokum paketlerinin ve 2. resimde verilen peynir tenekelerinin hangi
prizmalar olduklarını söyleyiniz.
Boş bir lokum kutusunun kaç adet lokum alacağını ya da peynir tenekesinin kaç kalıp
peynir alacağını bilmek için kutu ve teneke ile ilgili hangi bilgiye ihtiyaç vardır?
12
C/
D/
B/
A/
C
D
A
B
Bir şeker fabrikasında bir kenarının uzunluğu 1cm olan küp biçiminde şekerler üretilmektedir. Üretilen şekerler, taban ayrıt uzunlukları |AB|=12cm ve |AD|=7cm, yanal ayrıt uzunluğu
|DD/|=4cm olan dikdörtgen dik prizma biçimindeki kutulara konularak satışa sunulacaktır.
Her bir kutuya kaç adet küp şeker konulduğunu ve bir kutunun hacmini hesaplayalım.
Bunun için şekli inceleyerek aşağıdaki soruları cevaplayınız.
[AB] boyunca bir sırada kaç tane küp şeker vardır?
[AD] boyunca bir sırada kaç tane küp şeker vardır?
ABCD dikdörtgensel bölgesinin üzeri tamamen şekerle kaplandığında kaç adet küp
şeker konulduğunu söyleyiniz.
Şekerleri üst üstte dizerek kutu kaç kat şeker ile doldurulabilir?
Bu kutuda kaç adet 1 cm3 hacminde küp şeker olduğunu bulunuz.
Kutunun taban alanı ile yükseklik uzunluğunu ilişkilendirerek dikdörtgen dik prizmanın
hacmini veren bir bağıntı bulmaya çalışınız.
143
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
C/
D/
B/
A/
C
D
a
A
c
b
Herhangi bir dikdörtgen dik
prizmada hacim, tabandaki dikdörtgensel bölgenin alanı ile dikdörtgen
dik prizmanın yüksekliğinin çarpımına
eşittir.
B
Daha genel olarak, yukarıdaki şekilde verildiği gibi a, b, c ∈ R olmak üzere
taban ayrıtları a br, b br, yanal ayrıt uzunluğu c br olan dikdörtgen dik prizmanın hacmi,
V=a.b.c br3
bağıntısı ile hesaplanır.
C/
D/
B/
A/
Taban ayrıtları 3cm ve 4cm, yanal ayrıt uzunluğu
5cm olan dikdörtgen dik prizmaya 1cm3 lük şekerlerden kaç
tane sığdığını bulalım.
5
ÇÖZÜM:
C
D
3
4
A
G
H
F
E
D
B
V = 4.3.5 = 60 cm3 kutunun hacmi olur. Öyleyse kutuya 60
adet küp şeker sığar.
Yandaki şekilde verildiği gibi dikdörtgen dik prizma biçimindeki cam bir
kapta hacminin beşte biri kadar sıvı vardır. |AB|=10cm, |BC|=16cm ve
|CG|=20cm dir. Bu prizma BCGF yüzeyi üzerine yatırılıyor. Bu durumdaki
sıvının yükseklik uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım.
C
ÇÖZÜM :
A
B
İlk durumda,
1
1
Vsıvı = . Vprizma = . 10.16.20 = 640 cm3 olur.
5
5
İkinci durumda,
Vsıvı = 16. 20. x
640 = 320. x ⇒ x=2 cm bulunur.
144
5. ÜNİTE
Üçgenler
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
13
C/
D/
N/
R/
S/
M/
D/
E/
M/
C/
F/
B/
A/
L/
X/
P/
Q/
C
D
4
2
X
B
4
5
M
3
L
4
P
7
R
N
T
3. Şekil
E
M
5
4
Q
B/
A/
6
6
5
4
2. Şekil
1. Şekil
S
B/
A/
6
6
6
A
V/
T/
C/
D/
7
4. Şekil
D
C
F
V
D
A
3
B
5. Şekil
C
5
A
4
B
6. Şekil
Yukarıdaki prizmaları isimlendiriniz.
Bu prizmaların her birini bir dikdörtgen dik prizmaya tamamlayıp tamamlayamayacağınızı ya da dikdörtgen dik prizmaya dönüştürüp dönüştüremeyeceğinizi tartışınız.
Buradan dik prizmaların hacim bağıntısını oluşturmaya çalışınız.
C/
Dik prizmalarda hacim, tabandaki çokgensel bölgenin alanı
ile prizmanın yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir.
B/
A/
Üçgen dik prizmanın hacmi,
C
V = A(ABC) . |AA/|
A
B
biçiminde verilir.
145
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
E
Sinem Hanım bahçesindeki ikizkenar yamuk dik prizma
biçimindeki saksısının toprağını değiştirmek istiyor. Beton
kalınlığı 3cm olan saksıda |AB|=20cm, |DC|=50cm, |CE|=60cm
ve |AH|=30cm dir. Saksının tamamen dolması için kaç cm3
toprak satın alacağını bulalım.
ÇÖZÜM:
D
H
C
3cm beton kalınlığını göz önüne alarak toprağın hacmini belirleyen prizmanın ayrıtları şöyle olur:
İkizkenar yamuğun taban ayrıtları;
20−2.3=14cm ve 50−(2.3)=44cm iken yükseklik uzunluğu da
30−3=27cm olur. Prizmanın yüksekliği ise 60−(2.3)=54cm dir.
A
V=Taban alanı x yükseklik uzunluğu
V= 44 +14 .27.54 = 42282 cm3 bulunur.
2
B
E
D
C
Marangoz Burhan usta resimde
görülen düzgün altıgen dik prizma
biçimindeki keresteyi noktalı çizgiler
boyunca keserek ortadaki parçayı
kullanmak istemektedir. |DC|=15cm
ve |DE|=50cm olduğuna göre kullanılacak parçanın hacmini bulalım.
A
B
ÇÖZÜM:
|AD|=|BC|= 15 3 cm
m(ADC)= m(DCB)= m(CBA)= m(BAD)=900
(Düzgün altıgen)
Vkesilen=A(ABCD).|DE|=15.15 3 .50= 11250 3 cm3 bulunur.
146
5. ÜNİTE
Üçgenler
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
14
D/
A/
D/
C/
H1/
D/
A/
B/
O
a
B/
a
2
O
H2
H1
C
a
a
2
H3
D
a
2
A
C/
B/
H2/
D
A/
C/
D
A
A
a
C
a
a
O
H
a
B
B
H3/
C
B
/
/
/
/
Yukarıda verilen bir kenarı |AB|=a br olan küpün AC , BD , CA ve DB köşegenleri O
noktasında kesişmiştir. İnceleyiniz. Oluşan piramitler kullanılarak bu küpün açınımı aşağıdaki
biçimde verilebilir:
C/ O
D/
a
2
H3/
O
H1/
H2
a
2
B/
a
2
O
a
2
B
a
2
H2/
A
a
2
C/
CO
H1
D
O
D/
C/ O
A/
H3
B/
A/
B/
Küpün hacmi ile açınımda görülen kare dik piramitlerin hacimlerini ilişkilendiriniz.
Küpün hacim bağıntısını kullanarak bir kare dik piramidin hacmini hesaplayınız.
Bu sonucu kare piramidin yükseklik uzunluğu ve taban alanı cinsinden bulunuz.
Kare dik piramidin hacmini veren bağıntıyı yazmaya çalışınız.
Benzer çalışmalar yaparak tabanı farklı çokgenlerden oluşan dik piramitlerin hacim
bağıntılarının ne olabileceğini tartışınız.
T
B
C
V = A(ABCD) . |TO| .
O
A
Yapılan çalışmalardan dik piramitlerde hacim, tabandaki çokgensel bölgenin alanı ile piramidin yüksekliğinin
çarpılıp üçe bölünmesinden bulunur. Bu durumda yandaki
piramidin hacmi,
1
biçiminde ifade edilir.
3
B
147
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
80
D
C
O
40
A
B
60
Yandaki resimde görülen
zeytinyağı şişeleme makinesinde kullanılan dikdörtgen dik
piramit biçimindeki sıvı toplama
kabında |AD|=40cm, |DC|=80cm
ve |OT|=60cm dir. Bu kabın kaç
cm3 zeytinyağı toplayabileceğini
hesaplayalım.
T
ÇÖZÜM:
1
V = A(ABCD) . |TO| . 1 = 40.80.60. = 64000 cm3 olur.
3
3
T
6
C
6
4
A
Yanda 1. şekilde eşkenar üçgen dik piramit
ve 2. şekilde düzgün altıgen dik piramit verilmiştir.
Verilen birim uzunluklara göre her iki piramidin hacimlerini bulmaya çalışalım.
K
4
O
A
4
2
B
1. Şekil
B
F
E
2
2
D
M
2
2. Şekil
2
C
ÇÖZÜM:
1 42 3
1
.6 = 8 3 br3
V1= A(ABC).|TO|= .
3 4
3
1 22 3
.6 = 12 3 br3
V2= 1 .A(ABCDEF).|KM|= .6.
4
3
3
Yanda açık hâli verilen karton ambalaj kapatılarak kare dik piramit
biçiminde çikolata kutusu yapılmak isteniyor. Tüm ayrıt uzunlukları
12cm olan piramidin kaç cm3 çikolata alacağını bulalım.
ÇÖZÜM:
12 3
=6 3
2
Piramit yükseklik uzunluğu: 6 2
Yanal yüz yükseklik uzunluğu:
(Eşkenar üçgen)
(Pisagor bağıntısı)
1
Piramidin hacmi: V=Taban Alanı x Yükseklik Uzunluğu x
3
1
= 122. 6 2 . = 288 2 cm3 bulunur.
3
148
5. ÜNİTE
Üçgenler
DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER
1. Aşağıdaki katı cisimlerin hacimlerini hesaplayınız.
F
E
F
H
D
H
G
E
F
G
D
E
F
10
20
16
C
D
6
D
C
5
C
C
6
2
B
T
6 6
6
E
8
6
A
B
5
20
D
8
8
A
10
A
B
B
A
6
B
O
8
A
8
B
A
C
12
C
5
8
8
3
4
B
2. Taban ayrıtları 4cm ile 5cm ve hacmi 180cm3 olan dikdörtgen dik prizmasının yanal alanı
kaç cm2 olur?
3. Dik üçgen dik prizmada dik kenarlardan biri %10 azaltılıp diğeri %5 artırılırken, prizmanın
yüksekliği %10 artırılıyor. Yeni şeklin hacmi % kaç değişir?
4. Taban ayrıtları tam sayı, hacmi 72cm3, yükseklik uzunluğu 6cm olan kaç farklı dikdörtgen
dik piramit vardır?
5.
H
G
Şekildeki ayrıt uzunluğu 10cm olan bir küpten K, L ve M noktaları içeren bir düzlem boyunca kesilerek piramit biçiminde bir parça çıkarılıyor.
|KF|=3cm, |FL|=5cm, |FM|=4cm ise;
C
a) Çıkan piramidin hacminin kaç cm3 olduğunu bulunuz.
b) Piramit çıkarıldıktan sonra kalan katı cismin hacminin kaç cm3
olduğunu belirleyiniz.
L
K
F
E
D
A
M
B
6. Yükseklik uzunluğu değişmeyen tabandaki bir kenar uzunluğu bir gerçek sayıya eşit olan
düzgün prizmalarda tabandaki kenar sayısı arttıkça prizmanın hacmindeki değişim için ne
söylenebilir?
7.
Yanda değişik iki yan yüzü verilmiş küpün 1. yüz
konumundayken ok yönünde çevrildiğinde yeni
durumunu çiziniz.
1. Yüz
2. Yüz
149
5. ÜNİTE
Üçgenler
3. ÜNİTE
ÜNİTE SONU ÖLÇME SORULARI
1. Tüm prizma ve piramitlerde köşe sayısı K, yüzey sayısı Y ve ayrıt sayısı A olmak üzere K,
Y ve A arasında aşağıdaki bağıntı vardır:
K+Y−A=2
Yukarıda verilen açıklamaya göre aşağıdaki soruları cevaplayınız:
a) Köşe sayısı 10, yüzey sayısı 7 olan bir prizmanın ayrıt sayısı kaçtır? Bu prizma nasıl
isimlendirilir?
b) Tabanı kare olan bir piramidin ayrıt sayısı kaçtır?
c) K + Y = 20 eşitliğini sağlayan prizmanın tabanı nedir?
ç) 4 köşesi olan bir prizma çizilebilir mi?
d) 8 köşeli ve 8 yüzlü bir prizma da çizilebilir mi?
2.
B
A
C
Şekildeki gibi boyalı ahşap bir küpte A, B ve C noktaları bulundukları
ayrıtların orta noktalarıdır.Küp, bu noktaları içeren bir düzlem boyunca
kesilerek piramit biçiminde bir parça çıkarılıyor. Piramit önce boyasız
yüzey üzerine oturtulup yükseklik uzunluğu ölçülüyor. Daha sonra boyalı
yüzlerden biri üzerine oturtulup yeni yükseklik uzunluğu ölçülüyor. Hangi
durumda yükseklik daha fazladır?
3. Yan yüz yükseklik uzunluğu 5, tabanının bir kenarının uzunluğu 8cm olan kare dik piramidin
hacmi kaç cm3 tür?
4. Bir küpün ayrıtları iki kat artırılırsa hacmi kaç kat artar?
A) 2
B) 4
C) 7
D) 26
E) 27
5. Kenarları tam sayı ve yüksekliği tabanının kısa kenar uzunluğunun iki katı olan dikdörtgen
dik prizmada ayrıtlarının uzunlukları toplamı 76cm dir. Dikdörtgen dik prizmanın hacminin en
büyük değeri kaç cm3 tür?
A) 210
B) 216
C) 224
D) 232
E) 240
6. Bir kenarı 8m ve yüksekliği 3m olan kare dik piramit biçiminde çadır için kaç m2 çadır bezi
gereklidir?
A) 60
B) 64
C) 72
D) 80
E) 92
7.
Kare biçimindeki pembe renkli kâğıdın iki köşesi düzgün altıgen dik
prizma biçimindeki kalemliğin iki yanal ayrıtını ortalayacak şekilde tüm
yan yüzlere yerleştiriliyor. Prizmanın taban ayrıt uzunluğu 8cm, yanal
ayrıt uzunluğu 16cm ise prizmanın tüm dış yüzeyinde kullanılan pembe
renkli kağıdın kapladığı alan kaç cm2 dir?
A) 192
150
B) 196
C) 202
D) 206
E) 212
4. ÜNİTE
ÇEMBER
VE DAİRE
+ Çember ve Çemberde Açı
+ Çemberde Çevre Uzunluğu
+ Daire ve Daire Diliminin Alanı
Maç başlarken topun konulduğu noktayı ve sadece
oyunu başlatan futbolcuların bulunabildiği alanı
geometrik kavramlarla ilişkilendiriniz.
4. ÜNİTE
ÇEMBER VE ÇEMBERDE AÇI
1.Resim
2.Resim
3. Resim
Yukarıdaki resimleri inceleyiniz. Üç resimde ortak olan yanları belirleyiniz.
Birinci resimdeki basketbol potasında filenin bağlandığı demir halka, ikinci resimdeki
alyanslar sizlere hangi geometrik şekli hatırlatmaktadır?
Üçüncü resimdeki bir otomobilin hız göstergesindeki ibrenin uzunluğu ve ibrenin
bağlantı noktası için ne söylenebilir?
1
Yandaki resimde bir bisiklet tekerleğinin
jantı ve bu jantla tekerlek göbeğini birbirine
bağlayan jant telleri görülmektedir.
Jant tellerinin uzunluklarını karşılaştırınız.
Buradan yola çıkarak jant üzerindeki her
noktanın tekerleğin göbeğine olan uzaklıkları
için ne söylenebilir?
Tekerlek hangi geometrik şekle modeldir?
Şimdi de yandaki şekilde verilen O merkezli çemberi
inceleyiniz.
L
A
K
H
B
O
G
C
F
D
152
E
Verilen ADH, BOL, EOG ve KCF açılarını, köşelerinin
konumuna göre sınıflandırınız.
Bu sınıflandırmaya göre çemberdeki açıları isimlendirmeye çalışınız.
ÇEMBER VE DAİRE
Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan
noktaların geometrik yerine çember, sabit olan noktaya çemberin merkezi ve eşit olan uzaklığa da bu çemberin yarıçapı
adı verilir. r ∈ R olmak üzere r birim yarıçaplı O merkezli çember yandaki gibi gösterilir.
r
O
Köşesi çemberin merkezinde olan ve ışınları çemberde yay ayıran açılara
merkez açı, köşesi çemberin üzerinde olan ve ışınları çemberden yay ayıran açılara
çevre açı denir.
2
r
C
A
O
A
O
C
O
A
D
D
1. Şekil
B
B
B
2. Şekil
3. Şekil
C
O
A
D
4. Şekil
Yukarıdaki şekillerde O merkezli |OA| = r yarıçaplı çemberler görülmektedir.
1. şekildeki [OA], O noktası etrafında O sabit tutularak bir tam tur attığında A noktasının
çizdiği yay ile oluşan merkez açıyı ilişkilendiriniz.
2, 3 ve 4. şekillerde görüldüğü gibi bu çemberi O noktasında kesişen [AC] ve [BD] ile
dört eş parçaya ayıralım.
2. şekildeki AB, tam çember yayının kaçta kaçıdır? Bunu gören m(AOB) merkez
açısının ölçüsü kaçtır?
Benzer yaklaşımla 3 ve 4. şekillerde renklendirilmiş AOC ve AOD merkez açılarının
ölçülerini bulunuz.
Çemberde merkez açının ölçüsü ile bu açının gördüğü yayın ölçüsü arasında bir
bağıntı yazmaya çalışınız.
Yandaki şekilde olduğu gibi O merkezli çemberde
AXB yayına AOB merkez açısının gördüğü yay denir ve AOB
merkez açısının ölçüsü ile AXB nın ölçüsü birbirine eşittir.
A
X
O
B
Bu durum,
m(AOB) = m(AXB)
biçiminde ifade edilir.
153
4. ÜNİTE
X
A
Yandaki şekilde O merkezli çemberde verilen AXB, tüm çember
1
yayının
üne eşit ise m(AOB) nün kaç derece olduğunu bulalım.
3
B
O
ÇÖZÜM:
Çember yayının ölçüsü 3600 olduğundan;
1
= 1200 dir. Dolayısıyla,
m(AXB) = 360 .
3
m(AXB) = m(AOB) = 1200 bulunur.
A
R
Yandaki resimde görülen teker üzerinde eşit
aralıklarla A, B, ..., R noktaları işaretlenmiştir.
m(AOE) nü bulalım.
B
C
P
ÇÖZÜM:
D
N
O
M
E
F
L
K
m(AB)= m(BC)=....= m(RA) =
H
m(AOB)= m(AB)=
3600 1800
=
7
14
1800
7
G
m(AOE)=4. m(AOB) =
7200
bulunur.
7
3
Yandaki O merkezli çemberde verilen BAC çevre açısı ile BOC
merkez açısını inceleyiniz.
B
A
O
D
m(BOC) ile m(BDC) nı karşılaştırınız.
m(BAC) ile m(BDC) nı karşılaştırınız.
C
B
A
O
D
C
154
m(BAC) ile m(BOC) arasındaki bağıntıyı, BAO ve AOC nin açı
bağıntılarını kullanarak bulmaya çalışınız.
Aynı yayı gören BOC ile BAC çevre açısı arasındaki ilişkiyi söyleyiniz.
ÇEMBER VE DAİRE
B
A
α
O
2α
D
O merkezli çemberde de görüldüğü gibi bir çevre açının
ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. Dolayısı ile bu
çevre açının ölçüsü aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün
de yarısına eşit olur.
Bu durum,
C
m(BAC) =
A
1
1
.m(BDC) ve m(BAC) = .m(BOC) biçiminde verilir.
2
2
Yandaki O merkezli çemberde m(AXB) = 560 verilmektedir. m(AOB)
ile m(ACB) nü bulalım.
X
B
O
ÇÖZÜM:
C
A
m(AOB) = m(AXB) ve m(ACB) =
X
B
O
m(AOB) = 560 ve
m(ACB) = 1 .560 = 280 bulunur.
2
C
D
A
Yandaki O merkezli [AC] çaplı çemberde m(DAC)=400 dir.
Buna göre m(ADC), m(ABC) ve m(ABD) değerlerini hesaplayalım.
X
Y
400
B
1
. m(AXB) olduğundan
2
C
ÇÖZÜM:
m(ABC)=1800
(Yarım çember yayının ölçüsü)
1
1
m(ADC)= .m(ABC)= .1800=900
(Çevre açı)
2
2
155
4. ÜNİTE
m(ADC)=1800
1
1
m(ABC)= .m(ADC)= .1800=900
2
2
(Yarım çember yayının ölçüsü)
(Çevre açı)
1
1
.m(DXC) ⇒ 400= .m(DXC) ⇒ m(DXC) =800
2
2
m(ADC)= m(AYD)+m(DXC) ⇒ 1800= m(AYD)+800 ⇒ m(AYD)=1000
1
1
m(ABD)= .m(AYD)= .1000=500
2
2
m(DAC)=
(Çevre açı)
(Çevre açı)
A
Şekildeki ABC nde [DE] ⊥ [AC], [DB] ⊥ [BC] ve
|DE|=|EC| ise m(DBE) nü bulalım.
E
C
A
D
ÇÖZÜM:
B
m(DEC)=900 dir.
(A, E, C doğrusal)
E
m(DEC)= m(DBC)=900 olduğundan D, E, C ve B
köşelerinden bir çember geçer ve [DC] da çap olur.
C
(DEC ikizkenar dik üçgen)
m(ECD)=450
m(DE)=900
(m(ECD)=450)
m(DBE)=450 bulunur. (m(DE)=900)
D
B
Yandaki resimde lokomotifin çember biçimindeki tekeri üzerinde gösterilen çevre açının
ölçüsünü hesaplayalım.
ÇÖZÜM:
A
C
B
156
Çember 8 eşit yaydan oluşmuştur. Her bir yayın
0
ölçüsü 360 = 450 dir. ABC nın gördüğü yayın
8
0
ölçüsü 5.450=2250 ise m(ABC)= 225 = 112,50
2
bulunur.
ÇEMBER VE DAİRE
4
Şekildeki gibi yarıçap uzunluğu 30m olan çembersel pist
üzerinde A ve B noktaları 1200 lik merkez açı ile belirlenmektedir.
X
A
1200
O
A noktasında bulunan Gülcenaz saat yönünde koşacaktır.
B
r = 30m
Gülcenaz, çembersel pist üzerinde tam tur koşarsa ne kadar
yol alır?
Gülcenaz 1200 lik merkez açının gördüğü AB yolunu koşarsa
ne kadar yol alır?
Gülcenaz’ın aldığı yolun uzunluğunu, bu yolu gören merkez açının ölçüsü ve yarıçap
uzunluğu ile ilişkilendiriniz.
AXB nı gören merkez açının ölçüsünü, koşulan yol uzunluğunu ve yarıçap uzunluğunu
kullanarak hesaplamaya çalışınız.
Bir çemberde yay uzunluğunu, bu yayı gören merkez açı ve yarıçap uzunluğu ile
ilişkilendirerek genel bir bağıntı bulmaya çalışınız.
Yandaki gibi O merkezli r br yarıçaplı bir çemberin
çevre uzunluğu 2πr br dir.
A
X
α
O
B
Ayrıca bu çember üzerindeki AXB nı gören merkez
açının ölçüsü α ise AXB nın uzunluğu
| AXB | =
α
.2πr br olur.
3600
Yukarıdaki bağıntıda 3600= 2π radyan olarak alınırsa
merkez açının ölçüsü,
α = | AXB | radyandır.
r
3π
cm ve α =450 ise çem4
berin yarıçap uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım.
A
Yandaki O merkezli çemberde |AXB| =
X
O
α
B
ÇÖZÜM:
α = 450 =
π
radyan ise,
4
3π
| AXB | = π ⇒ 4 = π
r
4
r
4
⇒ r = 3 cm olur.
157
4. ÜNİTE
1. Aşağıda O merkezli çemberdeki verilenlere göre α , a, b, c, d açılarının ölçülerini bulunuz.
b)
450
α
C
55
B
O
c)
ç)
B
0
O
O
60
0
d
170
a
B
α
A
α
F
b
460
C
c
E
A
A
B
G
d)
B A
230
α
O
A
C
C
D
C
a)
D
2.
A
B
Şekildeki tekerlek 24π br uzunluğundaki AB yolunu 3 tur atarak aldığına göre tekerleğin
yarıçapı kaç br dir?
3. O merkez olmak üzere aşağıdaki çemberlerde x değerlerini bulunuz.
C
C
(9x+5)0
a)
b)
c) D
C
(2x-7)0
O
O
(3x
-25
A
(3x+10)0
(2x−20)0
B
A
)0
B
O
(4x+5)0
B
A
4.
D
0
125
y
A
800
C
x
B
158
Yandaki şekilde A, B, C, D noktaları çember üzerindedir. x ve y
değerlerini bulunuz.
ÇEMBER VE DAİRE
5. Aşağıda köşeleri bir çember üzerinde verilen yıldızılların, her birinin köşelerindeki iç açıların
ölçüleri birbirine eşittir. Bu köşelerdeki iç açıların ölçüleri toplamını bulunuz.
6.
B
A
M
O
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
O noktasında bulunan ve yarıçap uzunluğu 2br olan tekerleğin merkezinde oluşan açıların
ölçüleri eşittir. Tekerleği saat yönüne doğru çevirerek ilerlettiğimizde B noktasının cetvel
üzerinde değdiği yer hangi iki tam sayı arasındadır? (Cetvelde iki tam sayı arası 1br dir.)
7. Saat 08:00 e en yakın hangi zamanda akrep ile yelkovan doğru açı oluşturur?
8.
A
100m
B
30m
30m
O1
O2
Yandaki şekilde atletizm sahasının krokisi görülmektedir.
|AB|=100m, O1 ve O2 yarıçap uzunluğu 30m olan çemberlerin
merkezleri olduğuna göre pistin çevresinin uzunluğunu
hesaplayınız.
9.
C
D
4
B
A
Yandaki şekilde 2br ve 6br yarıçaplı ve O merkezli iki çemberin bir
bölümü verilmiştir. m(AOB)=300 olduğuna göre ABCD kapalı bölgesinin
çevre uzunluğu kaç br dir? AB yayı uzunluğunun DC yayı uzunluğuna
oranını, yarıçapların oranı ile karşılaştırınız.
2
O
10. Akrebinin uzunluğu 0,6cm olan bir saatte, yelkovanının uzunluğu akrebin uzunluğunun 1,5
katıdır. Saat tam 13:00 ü gösteriyorken 45 dakika sonra yelkovanın uç noktasının çizdiği yay
uzunluğu kaç cm dir?
159
4. ÜNİTE
12.
13.
A
C
B
Yiğit ve Pelin masadaki çember
biçimindeki
pizzayı
L
şeklindeki
araçla eşit
iki parçaya
nasıl
ayırabilir?
Yanlarına iki arkadaş daha gelirse dört eşit
parçaya ayırmak için nasıl bir araca ihtiyaç
vardır?
Şekildeki A, B ve C merkezli dişlilerin attıkları
tur sayıları sırasıyla 1, 3 ve 4 sayıları ile
orantılıdır. A dişlisinin yarıçap uzunluğu 12cm
ise B ve C dişlilerinin yarıçap uzunluklarını
bulunuz.
14. Aşağıdaki şeklin çevresi kaç br dir?
Pi sayısı için, ilk gerçek değer
Archimedes (Arşimet) tarafından kullanılmıştır. Bugünkü değerine çok yakın
bir değerdir. Babilliler çok eski zamanlardan beri Pi sayısı için 3 değerini
kullanıyorlardı. Mezopotamyalılar ise
daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek
istedikleri zaman Pi=3,125 değerini
uygularlardı.
15. yüzyıl Türk-İslam dünyası ünlü matematik ve astronomi bilgini Gıyaseddin
Cemşid, Pi sayısının değerini, 16 ondalığa kadar doğru hesaplayan ilk kişidir. Cemşid’in
Pi sayısı için verdiği değer 3,1415926535898732 dir. Bu değer bugün kabul edilen
değere göre doğrudur. Pi sayısının değeri hesaplanmaya devam etmektedir. π sembolünü ilk kez kullanan Euler (Öyler)’dir.
Matematik Tarihi ve Türk İslâm Matematikçilerinin Yeri Göker, L. MEB, İstanbul
1997.
160
ÇEMBER VE DAİRE
DAİRE VE DAİRE DİLİMİ
1. Resim
2. Resim
3. Resim
Yukarıda 1. resimde verilen havuç dilimli baklavayı inceleyiniz.
Baklava dilimleri ile tepsi yüzeyinin tamamen kaplandığı görülmektedir.
Baklavalar ile kaplanan yüzeyin hangi geometrik şekli oluşturduğunu söyleyiniz.
Bu kez 2. resimdeki kasnağı inceleyiniz.
Kasnağın iç kısmında kalan yüzeyin kumaş ile tamamen örtüldüğünü gözlemleyiniz.
2 ve 3. resimlerdeki düzlemsel yüzeylerin çember ile sınırlı, kapalı bir düzlem bölgesi
olduğu söylenebilir. Öyleyse her iki bölgenin bir alanı vardır.
Çember ile sınırlı daire adı verilen bu kapalı bölgelerin alanlarını hesaplamaya
çalışalım.
5
Börek yapmak için açılmış daire biçimindeki bir
yufkayı aşağıdaki gibi eş parçalara ayıralım:
D
E
A
Yarım yufkadan kesilen
F
K
C
L
şeklindeki parçalar sıralandıkça
B
şekli
daha çok paralelkenarsal bölgeye dönüşmektedir.
D
C
r
h
A
H B
161
4. ÜNİTE
DE, EF, ..., AK, KL, ... yaylarının uzunlukları toplamını bulmaya çalışınız.
|AB| ve |CD| taban uzunluklarının yaklaşık değerlerini dairenin çevresi ile karşılaştırınız.
Dilimlerin sayısı arttıkça h yüksekliği şekildeki hangi uzunluğa yaklaşır?
Paralelkenarsal bölgenin alanını bularak dairenin alanını veren bağıntıyı oluşturmaya
çalışınız.
Bir dairenin alanını veren genel bağıntıyı bulmaya çalışınız.
O
Yandaki şekilde verildiği gibi yarıçapı r br olan
dairenin alanı,
r
πr 2 br2 olur.
Şekildeki radar göstergesinin yarıçap uzunluğu 4cm ise
göstergenin alanını hesaplayalım.
ÇÖZÜM:
2
Dairenin alanı = πr = π .42 = 16 π cm2 bulunur.
D
C
O
12br
Yandaki şekilde verilen ABCD karesinin bir kenar uzunluğu 12br
dir. Bu karenin içine, kenarlarına teğet olacak biçimde O merkezli
bir daire çiziliyor. Taralı alanın kaç br2 olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM :
A
B
Taralı Alan = Karenin Alanı − Dairenin Alanı
= 122 − π 62
= 144 − 36 π br2 bulunur.
162
ÇEMBER VE DAİRE
6
D
E
F
r=12
Yarıçap uzunluğu r=12cm olan bir metal levha yandaki
şekildeki gibi altı eş daire dilimine ayrılarak farklı renklerde boyanacaktır.
C
O
Her bir dilimin alanının kaç cm2 olduğunu bulmaya çalışınız.
Bunun için aşağıdaki daire dilimini ele alınız.
B
A
O
r=12
r=12
A
B
m(AOB) nü bulunuz.
Dairenin alanının πr 2 olduğunu biliyorsunuz. Bununla beraber m(AOB) ile 3600 arasındaki oranı kullanarak dilimin alanının nasıl
bulunacağını tartışınız.
Daire dilimlerinin, merkez açılarının ölçüleri 600 yerine 300, 450 ve 1200 olarak alınırsa
her bir dilimin alanını bulmaya çalışınız.
Daire diliminin alanını veren bir genelleme yapmaya çalışınız.
Şekilde verildiği gibi O merkezli r yarıçaplı daireden
kesilen ve m(AOB) = α olan daire diliminin alanı,
O
α
r
A
∇
A(A O B) =
r
α
.πr 2 dir.
3600
B
O merkezli r=27cm yarıçaplı daireden elde edilen daire diliminde
∇
m(AOB) = 400 ise A(A O B) nın kaç cm2 olduğunu bulalım.
O
400
A
r=27
B
ÇÖZÜM:
∇
A(A O B) =
1
400
.π272 = .π.27.27 = 81π cm2 bulunur.
0
9
360
163
4. ÜNİTE
Yandaki şekilde O merkezli ve yarıçap uzunluğu r=6m olan dairedeki
B
∇
taralı bölgenin alanı A(A O B) =15π m2 ise m(AOB)= α nın kaç derece
olduğunu bulalım.
O
r=6
α
ÇÖZÜM:
A
α
α
α
.π.62 ⇒ 15π = .π
.π.r 2 ⇒ 15π =
0
0
360
360
10
0
bulunur.
α
=
150
⇒
∇
A(A O B) =
E
O merkezli çeyrek daire ile OABC dikdörtgeni şekildeki gibi verilmiştir.
|EC|=2cm ve |CO|=3cm olduğuna göre taralı bölgelerin alanları toplamını
bulalım.
2cm
B
C
3cm
O
D
A
ÇÖZÜM:
|EO|=|OB|=5cm
|CE|=4cm
E
2cm
B
C
Taralı alan = Çeyrek daire alanı − Dikdörtgensel bölgenin alanı
25π
900 π 2
=
. 5 - 3.4 =
−12 cm2 bulunur.
0
4
360
3cm
O
(Yarıçap)
(OCE dik üçgeninde Pisagor bağıntısı)
A
D
Yanda verilen resimdeki arabanın arka cam
sileceğinin uzunluğu 40cm dir. Sileceğin
silebileceği en büyük alanı bulalım. (Camın alt
kenarı doğrusaldır.)
O
ÇÖZÜM:
Silecek merkezi O noktasında ve yarıçap
uzunluğu r=40cm olan yarım daire biçiminde bir
alan siler.
Yarım dairenin alanı =
164
πr 2 π402
=
= 800π cm2 dir.
2
2
ÇEMBER VE DAİRE
1. Çevre uzunluğu 50 π olan bir dairenin alanı kaç cm2 dir?
1
2. Çevre uzunlukları oranı
olan dairelerin alanları oranı kaçtır?
3
3. Aşağıda taralı olan daire dilimi alanlarını bulunuz.
a)
b)
r=8br
c)
ç)
r=9
1080
br
O
O
320
0
O
O
r=5
r=6
br
br
4. Aşağıdaki şekillerde taralı alanları bulunuz.
a)
b)
6br
D
6br
6br
A
2br
O3
6br
B
6br
6br
ç)
C
6br
6br
c)
A
C
O1
2br
B
1200
A
O2
2br
ABC eşkenar üçgen
r=6br
O
B
A
K
3
3
3
3
O
L
B
C
A, K, O, L ve B doğrusal,
K, O, L merkez
5.
K
KLM nin her bir kenarına yarım daireler çizilmiştir. O1, O2 ve
O3 yarım dairelerin içinde yazılanlar alanları gösterdiğine
göre LKM nın ölçüsü için ne söylenebilir?
B
A
O2
O1
O3
L
M
A+B
6.
A 3
Yanda |AB|=3m, |AD|=|BC|=8m olmak üzere sabit bir
noktaya 5m lik iple bağlı olan Sarıkız’ın otlama alanını
bulunuz.
B
8
D
C
165
4. ÜNİTE
7. Aşağıda belirtilen taralı alanları bulunuz.
a)
b)
A
c)
A
ç)
D
E
O
C
O1
O2
r=6
br
F
O
r=4br
B O
r=8br
B
B
r1=r2=12br
10. Kenar uzunluğu 4br olan düzgün altıgenin
kenarları üzerine eş yarım daireler çizilmiştir.
Buna göre taralı alan kaç br2 dir?
2b
r
8.
a) Aşağıdaki şekilde verilenlere göre oluşan
halkanın alanı kaç br2 dir?
A
5b
{
OO
r
b) Aynı merkezli iki dairenin yarıçap
uzunlukları farkı 7br ise oluşan halkanın alanı
kaç br2 dir?
9. Aşağıdaki şekilde verilenlere göre taralı
alanı bulunuz.
O
πbr
12. Bir kare içine karenin kenarlarına teğet
olacak biçimde 16br yarıçap uzunluğunda
bir daire çiziliyor. İkinci adımda bu kare 4
eşit kareye ayrılıyor. Her bir karenin içine
kenarlara teğet olacak biçimde eş daireler çiziliyor. Üçüncü adımda bu kare 16 eş kareye
ayrılarak aynı işleme devam ediliyor.
a) Her bir adımdaki dairelerin alanları toplamı
için ne söylenebilir? Nedenini açıklayınız.
4br
b) İlk dört adımdaki daire sayısı kaç tanedir
ve dairelerin yarıçap uzunlukları kaç br dir?
2πbr
166
c) Yirminci adımdaki dairenin yarıçap uzunluğunu ve dairelerin sayısını bulunuz.
ÇEMBER VE DAİRE
ÜNİTE SONU ÖLÇME SORULARI
1. Düzlemde aynı yayı gören kaç tane çevre açı çizilebilir?
2. Düzlemde aynı yayı gören aynı yarıçaplı .............. tane merkez açı çizilebilir.
3. ABCD paralelkenarının köşeleri O merkezli bir çember üzerindedir. Buna göre B açısının
ölçüsünü bulunuz.
4. Aşağıdaki dörtgenlerden hangilerinin köşeleri her zaman bir çember üzerindedir?
I) Kare
II) Paralelkenar
III) Yamuk
IV) İkizkenar Yamuk
V) Eşkenar Dörtgen
A) Yalnız I B) II ve V
C) III ve IV
D) I ve IV
E) Yalnız IV
5. Aşağıda verilenlere göre taralı alanları bulunuz.
a)
b)
8
D
c)
D
C
C
12
4
D
C
1br
8
B
A
O
ABCD Dikdörtgen
4
A
ç)
20
A
B
ABCD Kare
6.
ABCD Kare
O Merkez
O
8.
D
E
200
B
O
O
F
C
A
B
A
Yukarıda bir daire içine düzgün altıgen
çizilmiştir. Alınacak bir noktanın taralı
bölgeden olma olasılığı kaçtır?
9.
B
B
A
C
B
| AH|
O merkezli çemberde [OH] ⊥ [AB] ise
|
HB |
oranı kaçtır?
A
7.
H
O
D
O merkezli çemberde |AB|=|CD| ise |AB| ve
|CD| için ne söylenebilir?
C
D
Yukarıdaki çemberde [AB]//[CD] ise |AB| ve
|CD| için ne söylenebilir?
167
5. ÜNİTE
DİK DAİRESEL SİLİNDİR
KONİ VE KÜRE
+ Dik Dairesel Silindir, Yüzey Alanı ve Hacmi
+ Dik Dairesel Koni, Yüzey Alanı ve Hacmi
+ Küre, Yüzey Alanı ve Hacmi
Dünyamızın ve diğer gezegenlerin hangi
geometrik yapıya model olabileceğini düşününüz.
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
DİK DAiRESEL SİLİNDİRİN YÜZEY ALANI VE HACMİ
Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.
Resimlerdeki üç boyutlu cisimlerin benzer yanlarını söyleyiniz.
İlköğretim bilgilerinizden salça kutusunun, zeytinyağı tenekesinin ve süt tanklarının
hangi geometrik yapıyı hatırlattığını söyleyiniz.
1
Yandaki konserve kutusunu inceleyiniz.
Tabandaki ve kapaktaki daireleri karşılaştırınız. Bu dairelerin birbirine göre durumlarını
tartışınız.
Konserve kutusunun şekli hangi geometrik
cisme modeldir?
l
Uzayda herhangi bir E düzleminde bulunan bir s kapalı eğrisi ile E düzleminde bulunmayan ve E düzlemini kesen bir l doğrusu
alalım.
d
s
E
l doğrusuna paralel olan ve s eğrisini
kesen bir d doğrusu çizelim. d doğrusunu ilk
konumuna paralel olarak s eğrisi üzerinde
kaydıralım. Bu biçimde oluşan yüzeye silindirik yüzey, s eğrisine bu yüzeyin dayanak eğrisi,
yüzeyi oluşturan d doğrusuna bu yüzeyin ana
doğrusu denir.
169
5. ÜNİTE
C
L
A
P
M
s
D
K
B
E
Silindir
Silindir yüzeyi
Şimdi de E düzlemine paralel bir P düzlemi ile yukarıdaki silindirik yüzeyi kesiştirelim.
E ve P düzlemleri ile alttan ve üstten sınırlanan kapalı silindirik yüzey parçasına silindir
yüzeyi adı verilir.
Belli bir alanı sınırlandıran kendini kesmeyen dayanak eğrisine (s) sahip olan silindir yüzeyinin sınırladığı bölgeye silindirik bölge, silindirik bölgenin E ve P düzlemleri ile
sınırlı kesitine silindir, E ve P düzlemlerinin sınırladığı ana doğrudan elde edilen [AB] na
silindirin elemanı, iki düzlem arasındai uzaklığı veren [CD] na silindirin yüksekliği, K ve L
kesitlerine alt ve üst taban yüzeyleri, silindirik yüzey parçasına (M) silindirin yanal yüzeyi
ve taban yüzeylerinin merkezlerini birleştiren doğruya da silindirin ekseni denir.
Ana doğrusu, dayanak eğrisinin bulunduğu düzleme dik olan silindire dik silindir,
alt ve üst tabanları daire olan dik silindire de dik dairesel silindir adı verilir. Şimdi de bu
söylediklerimizi silindir biçimindeki konserve kutusu üzerinde gösterelim.
d
C
A
L
Silindir
ekseni
O1
L
M
P
Silindir
yüksekliği
Silindirik
bölge
M
D
B
O2
K
K
S
E
Silindir
elemanı
170
Dayanak
eğrisi
üst
taban
Yanal
yüz
alt
taban
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
2
Ahmet Bey, köydeki evinin çatısına metal su deposu
yaptıracaktır.
Su deposu imal eden işletmeye taban yarıçapı
r=60cm, yüksekliği 150cm olan dik dairesel silindir biçiminde su deposu siparişi verir.
Deponun imalatında kullanılacak metalin kaç cm2
olacağını kat yerleri ve çıkıntılar ihmal edilerek aşağıdaki
açınım yardımıyla hesaplayınız.
Su deposu
B/
B
B
r=60
B/
A/
A
O
r=60
B
150
A
O
A
A/
r=60
r=60
Açınımdaki |AA/| uzunluğunu bulunuz.
Dairenin alanı ve dik dairesel bölgenin alanıyla ilgili bilgilerinizi kullanarak dik dairesel
silindir biçimindeki deponun yüzey alanını hesaplayınız ve kaç cm2 metal kullanılacağını bulunuz.
Dik dairesel silindirin yüzey alanı ile ilgili bağıntı oluşturmaya çalışınız.
Taban yarıçapı r br ve yüksekliği h br olan dik dairesel silindirde alan, bir yanal
yüz (dikdörtgensel bölge) alanı ile iki tane birbirine eş daire alanının toplamından oluşur.
Yanal yüzdeki dikdörtgensel bölgenin bir kenarı h br, diğer kenar uzunluğu ise
tabandaki dairenin çevresi olan 2πr br dir.
171
5. ÜNİTE
r
B/
O r
B
Bu durumda dik dairesel silindirin alanı,
h
2πr.h + 2πr 2
h
2πr
A
A/
r
bağıntısı ile hesaplanır.
O
C
B
A
25m
Yandaki resimde
|OA|=|OB|=10m,
|AC|=25m ve
m(BOA)=300 dir. Binanın
çatısının kaç m2 olduğunu
bulalım.
ÇÖZÜM:
Binanın çatısı silindir yanal
yüzeyinin 300 lik kısmıdır.
Silindirin yanal alanı : A = 2πr.h = 2π.10.25 = 500π m2
300
O
500π m2 ise
3600 silindirin yanal alanı
0
30 silindirin yanal alanı
x m2
--------------------------------------------------------------------500π 125π m2 bulunur.
x=
=
12
3
Taban yarıçapı r=3m olan dik dairesel silindir biçimindeki bir tankın yüzey alanı
60π m2 ise yükseklik uzunluğunun kaç m olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:
60π = 2π.r.h + 2π.r 2 ⇒ 60π = 2π.3.h + 2π.32 ⇒ h = 7m bulunur.
172
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
Yandaki resimde görülen bir asfalt silindirinin
yarıçap uzunluğu 40cm dir. Silindir her seferinde
150cm genişliğindeki alanı düzleştiriyor. Bu silindirin
3 tam tur sonunda kaç m2 alanı düzleştireceğini
hesaplayalım.
40cm
150cm
ÇÖZÜM :
Silindir tek bir tam tur attığında yanal alanıyla eşit
alana sahip bir bölgeyi düzleştirir.
Silindirin yanal alanı:
A = 2π.r.h = 2π.40.150 = 12000 cm2 bulunur.
3 tam tur atıldığında 12000.3 = 36000 cm2 = 3,6m2 alan düzleştirilir.
Taban yarıçapı r=2m, uzunluğu 8m olan dik dairesel
silindir biçimindeki akaryakıt tankının yüzeyi
boyanacaktır. Boyanacak yüzeyin kaç m2 olduğunu
bulalım.
ÇÖZÜM:
Yanal yüz alanı: 2πr. h = 2π.2.8 = 32π m2
2
2
2 adet taban yüzeyi alanı: 2πr = 2π.2 = 8π m2
Dik dairesel silindir yüzey alanı : 32π + 8π = 40π m2 bulunur.
173
5. ÜNİTE
3
Beril yaş gününde konuklarına ikram etmek
için dik dairesel silindir biçiminde pasta almıştır. Bu
pastayı aşağıdaki gibi eş dilimlere ayıralım.
Pastanın her bir yarısından kesilerek
D
şeklinde dilimler sıralandıkça oluşan
K
C
C/
h
D/
Ah
A/
r
H
h
B
B/
şekildeki ABCD ve A/B/C/D/ yüzeyleri paralelkenarsal bölgeye dönüşür. Bu bölgelerden birinin
alanını bulunuz.
Tabanları paralelkenarsal bölge ve yükseklik uzunluğu h olan bu cismin hangi geometrik cisme dönüştüğünü söyleyiniz ve hacmini bulunuz.
Bu adımlardan yararlanarak dik dairesel silindirin hacmini veren bağıntıyı yazmaya
çalışınız.
174
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
O/
r
A/
h
O
r
Yandaki şekilde verildiği gibi taban yarıçapının uzunluğu r br ve yükseklik uzunluğu h br olan dik dairesel silindirin hacmi, taban dairesinin alanı ile yükseklik uzunluğunun
çarpımına eşittir.
Bu durumda, dik dairesel silindirin hacmi,
V = πr 2 .h br3
A
bağıntısıyla hesaplanır.
O/
O
r
r
A/
Yandaki şekilde verilen dik dairesel silindirin taban yarıçapı |OA|=4cm
ve yükseklik uzunluğu |AA/|=h=5cm ise hacminin kaç cm3 olduğunu
bulalım.
h
ÇÖZÜM :
A
V = π r2.h
= π .42.5
= 80 π cm3 bulunur.
Yandaki dik dairesel silindir biçimindeki su tankının taban
yarıçapı r=0,8m ve hacmi V = 3,2π m3 ise yükseklik uzunluğunu
hesaplayalım.
ÇÖZÜM :
V = π r2.h
3,2 π = π (0,8)2.h
h= 5m bulunur.
175
5. ÜNİTE
Sivas Lisesi’nde Geometri Dersi
“
Atatürk, Sivas Kongresi’nin
toplandığı Sivas Lisesi’ne,
Lise Müdürü ve matematik
öğretmeni Ömer Beygo ve baş
yardımcısı felsefe öğretmeni
Faik Dranaz ve öteki ilgililerle kongre salonuna geldiler.
Burada önce, 4 Eylül 1919’da
tarihi kongrenin toplandığı
kongre salonunu ve özel
odasını gezdi ve o günkü dekoru aynen korunan bu oda ve
salonda o güne ait hatıralarını
anlattı. Sonra topluluk halinde lisenin 9-A sınıfında programdaki Hendese (Geometri)
dersine girdi. Bu derste bir kız öğrenciyi tahtaya kaldırdı. Öğrenci tahtada çizdiği koşut
iki çizginin başka iki koşut çizginin kesişmesinden oluşan açıların Arapça adlarını söylemekte zorluk çekiyor ve yanlışlıklar yapıyordu. Bu durumdan etkilenen Atatürk, tepkisini
“Bu anlaşılmaz Arapça terimlerle, öğrencilere bilgi verilemez. Dersler Türkçe yeni terimlerle anlatılmalıdır.” dedi ve tebeşiri eline alıp tahtada çizimlerle “zaviye”nin karşılığı
olarak “açı”, “dılı” nın karşılığı olarak “kenar”, “müselles” in karşılığı olarak da “üçgen”
gibi Türkçe yeni terimler kullanarak bir takım geometri konularını ve bu arada Pythagoras
(Pisagor) teoremini anlattı.
Atatürk, dilimize karşılığı “koşut” olan “muvazi” kelimesinin yerine kullandığı
“paralel” teriminin kökenini açıklarken Orta Asyadaki Türklerin, kağnının iki tekerleğinin
bir dingile bağlı olarak duruş biçimine “para” adını verdiklerini anlattı.
Atatürk, bu derste aynı zamanda ders kitaplarının birkaç ay içinde Türkçe terimlerle yazdırılıp bütün okullara ulaştırılmasını emir buyurdu.
“
Önerkol: “Tarihsel Bir Anı”, Bilim ve Teknik: Kasım 1981, Sayı:180, s.16
“
Bu kitabı Atatürk, ölümünden bir buçuk yıl kadar
önce, III. Türk Dil Kurultayı’ndan hemen sonra 19361937 yılı kış aylarında Dolmabahçe Sarayı’nda kendi
eliyle yazmıştır.
1936 sonbaharında bir gün Atatürk beni, Özel Kalem Müdürü Süreyya Anderiman’ın yanına katarak
Beyoğlu’ndaki Haşet Kitabevi’ne gönderip uygun
gördüğümüz Fransızca geometri kitaplarından birer
tane aldırttı. Bunlar Atatürk’le birlikte gözden geçirildikten sonra, yazılacak geometri kitabının genel tasarısı
çizildi. Bir süre sonra ben ayrıldım ve kış aylarında bu
yapıt üzerinde çalıştı. Bu kitapçık bu emeğin ürünüdür.
“
Ön sözden: Türk Dil Kurumu Baş uzmanı A. Dilaçar
176
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
Yandaki resimde görülen dolabın kapağının eni
55cm ve boyu 120cm dir. Kapak 900 açıldığında,
kapağın taradığı bölgenin hacmini hesaplayalım.
55cm
ÇÖZÜM:
Kapağın 3600 döndürülmesiyle oluşan bölge silindirdir. 900 döndürüldüğünde oluşan şeklin hacmi
ise bu silindirin hacminin dörtte biri kadardır.
Cismin hacmi : V =
bulunur.
πr 2 .h π552 .120
=
= 1650π cm3
4
4
,
1. Aşağıdaki cisimlerde verilenlere göre yüzey alanlarını ve hacimlerini bulunuz.
r=6br
1800
1200
br
1800
15br
12br
r=6
8br
10br
18br
15br
4br
5br
10br
6br
1800
r=3br 3br 1br 3br
3br 1br 3br
3br
3br
5br
4br
12br
1800
r=3br 3br 1br 3br
3br 1br 3br
3br
177
5. ÜNİTE
2. Tabanının bir kenar uzunluğu 10cm ve yükseklik uzunluğu 12cm olan kare prizmanın içine
çizilebilecek en büyük silindirin yüzey alanını ve hacmini bulunuz.
3. Taban yarıçapı uzunluğu 8cm ve yükseklik uzunluğu 15cm olan silindirin içine çizilebilecek
en büyük kare prizmanın yüzey alanını ve hacmini bulunuz.
4.
D
A
5br
C
Yandaki şekilde verilenlere göre ABCD dikdörtgeni;
2br
a) AB kenarı boyunca,
b) BC kenarı boyunca
B
3600 döndürüldüğünde oluşan cisimlerin yüzey
alanlarını ve hacimlerini bulunuz.
5.
10br
600
8br
5br
8br
5br
20br
Yukarıdaki verilenlere göre rampanın boyalı yüzey alanını bulunuz.
6.
D
C
Yarıçap uzunluğu 9br ve yükseklik uzunluğu 20br olan silindir yukarıda
verilmiştir. P noktası [AD] nın orta noktasıdır.
P
20br
a) A noktasından hareket eden bir karınca silindirin yüzeyi üzerinde C
noktasına uğradıktan sonra A noktasına, en kısa yolu alarak gelmiştir.
A
9br B
b) B noktasından hareket eden başka bir karınca silindirin yüzeyi üzerinde
P noktasına uğradıktan sonra B noktasına, en kısa yolu alarak gelmiştir.
Her bir karıncanın aldığı yol ile silindirin alt tabanının sınırladığı çokgensel bölgenin alanını bulunuz.
178
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
7. Pasta yapmak isteyen Derin, taban ayrıt uzunlukları 24 ve 36cm olan dikdörtgen dik prizma
biçimindeki tepside bulunan kekin üzerine muhallebi ekleyecektir. Yarıçap uzunluğu 3cm olan
dik silindir kap içindeki muhallebinin yükseklik uzunluğu kaç cm olmalıdır ki kekin üzerine 2cm
kalınlığında muhallebi ekleyebilsin?
8.
Yandaki silindirin yarıçap uzunluğu 12br yükseklik uzunluğu 18br dir. İçinde
su bulunan silindirin içine bir kenarı 4br olan bir küp atıldığında suyun yükseklik uzunluğu kaç br artar?
18br
12br
9.
Yarıçap uzunluğu 6br ve yükseklik uzunluğu 18br olan silindir üst
kısmından şekildeki gibi kesilmiştir. Kalan cismin hacmini bulunuz.
450
18br
6br
10. Yarıçap uzunluğu 5 br olan bir silindirin içi, kenar uzunluğu 1br olan küp şekerlerle doldurulmak isteniyor. Yükseklik uzunluğu 12br olan bu silindirin içine en fazla kaç tane küp şeker
sığar?
11.
r
O
A
1. Şekil
1. şekilde içinde su bulunan 16br
yükseklik uzunluğu olan silindirde
m(AOB)=900 dir. Silindir 1. şekilden
2. şekildeki konuma getirildiğinde
suyun yükseklik uzunluğu kaç br
olur?
B
2. Şekil
179
5. ÜNİTE
12.
10cm
12cm
Şekilde iç yarıçap uzunluğu 10cm, dış yarıçap uzunluğu 12cm
ve yükseklik uzunluğu 16cm olan borunun yüzey alanını ve hacmini bulunuz.
DİK DAiRESEL KONİNİN YÜZEY ALANI VE HACMİ
1. Resim
2. Resim
3. Resim
Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.
1. resimdeki şakül, 2. resimdeki ada ve 3. resimdeki abajurun hangi geometrik yapıyı
hatırlattığını söyleyiniz.
4
Yandaki dondurma külahının içini dondurma ile tamamen doldurup üzerini bir karton ile kapatalım.
A noktasının karton üzerindeki iz düşümünün nerede olacağını
tartışınız.
Şekildeki dondurma külahı hangi geometrik yapıya modeldir.
180
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
ln
l1
l3
l2
Herhangi bir E düzlemindeki kapalı
bir s eğrisini kesen ve E düzlemi dışındaki
sabit bir T noktasından geçen doğruların
oluşturduğu yüzeye konisel yüzey, s
eğrisine de bu yüzeyin dayanak eğrisi
denir.
d
T
Bu konisel yüzeyi oluştururken çizilen ilk doğruya (d) konisel yüzeyin üreteci, her bir doğruya (l1, l2, ..., ln) da konisel
yüzeyin elemanları adı verilir.
A
(s)
E
Seçilen sabit T noktasına konisel yüzeyin tepe noktası ve tepe noktasının altında
ve üstünde oluşan konisel yüzey parçalarına da konisel yüzeyin kanatları denir.
T
Konisel
yüzey ekseni
T
s/
P
O
s
s
E
E
1. Şekil
2. Şekil
Dayanak eğrisi s olan konisel yüzeyin tepe noktası T den ve s nin merkezinden
geçen doğru, konisel yüzeyin ekseni olarak isimlendirilir.
Konisel yüzeyin bir kanadının sınırladığı bölgeyi, s dayanak eğrisinin düzlemine
paralel ve tepe noktasından geçmeyen bir P düzlemi ile 2. şekilde görüldüğü gibi keselim.
P düzlemi ile sınırlı bu konisel yüzey parçasına koni yüzeyi, P düzlemi ile konisel yüzeyin
kesişiminden elde edilen kesite koni yüzeyinin tabanı, diğer kısmına da koni yüzeyinin
yanal yüzeyi denir.
181
5. ÜNİTE
Koninin
ekseni
T
T
T
Koni yanal
yüzeyi
O
B
s
Koni yüzeyinin
tabanı
s
A
s
E
Koni yüzeyi ile sınırlı bölgeye koni adı verilir.
Koninin tabanının merkezi ve tepe noktası T den geçen doğruya koninin ekseni
denir. Eğer koninin ekseni taban düzlemine dik ise bu koniye dik koni, dik koninin tepe
noktası ile taban düzlemi arasındaki [TO] dikme parçasına dik koninin yüksekliği ve tabanı
daire olan dik koniye de dik dairesel koni denir.
Dik dairesel konide T tepe noktasını, tabandaki dairenin çevresi üzerindeki bir A
noktasına birleştiren [TA] na da koninin ana doğru parçası adı verilir.
5
A
B
Tuzluk imalatı yapan bir atölyede
metal malzeme kullanılarak şekildeki gibi
dik dairesel koni biçiminde tuzluk üretilecektir.
C
|BC|=12cm ve |AB|=8cm olacak biçimde üretilen her bir tuzlukta, üst üste gelen
yerler ihmal edilerek kaç cm2 metal kullanılacağını bulalım.
182
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
Bunun için dik dairesel koninin aşağıdaki açınımını inceleyelim.
A
A
A
α
l
l
F
B
F
C
l
l
l
B
l
C
D
E
C
C
B
D
D E
2. Şekil
1. Şekil
r=12
C
3. Şekil
Dik dairesel koninin açınımı
Dik dairesel koninin açınımında yanal yüz ve taban hangi geometrik şekillerden
oluşmaktadır?
Yanal yüzdeki |DE| nu bulunuz ve yarıçap uzunluğu r ile ilişkilendiriniz.
α
Bu ilişkideki
oranını r ve l cinsinden yazınız. Bu orandan faydalanarak dik dairesel
360
koninin yanal yüzey alanını veren bağıntıyı r ve l cinsinden yazınız.
Verilen ölçülerden, bu tuzlukta kullanılacak metalin kaç cm2 olduğunu söyleyiniz.
Dik dairesel koninin yüzey alanı için bir bağıntı yazınız.
Bir dik dairesel koninin yanal yüzey alanı,
taban çevresinin yarısı ile ana doğru parçasının
uzunluğunun çarpımına eşittir.
A
l
h
r
Bu dik dairesel koninin tüm yüzey alanı ise
taban alanı ile yanal yüzey alanının toplamıdır.
B
D
Bu durum, yandaki gibi yüksekliği h br, taban
yarıçapı r br ve ana doğru parçası l br olan dik dairesel konide;
Yanal yüzey alanı : πrl
Taban alanı : πr 2
2
Tüm yüzey alanı : πrl + πr
biçiminde ifade edilir.
A
l
α
2πr
l
Ayrıca, bu koninin açınımındaki yanal yüzeyi oluşturan
aşağıdaki daire diliminde merkez açının ölçüsü α0
kullanılarak r ile l arasında,
α
r
=
360 l
bağıntısı kurulur.
183
5. ÜNİTE
Yandaki dik dairesel koni biçimindeki karton şapkanın tabanının çap
uzunluğu 16cm, ana doğru parçasının uzunluğu 10cm dir. Şapkayı yapmak için kaç cm2 karton gerekli olduğunu bulalım.
10cm
ÇÖZÜM:
r = 16 = 8cm
2
İstenilen bölge, dik dairesel koninin yanal yüzeyine karşılık gelmektedir.
Yanal yüzey alanı: π rl = π . 8. 10 = 80 π cm2 bulunur.
A
Yanda açınımı verilen konide m(BAC)=600 ve taban
dairesinin yarıçapı |OD|=r=6cm alındığında koninin
alanının kaç cm2 olduğunu bulalım.
α
B
C
O
r=6
D
ÇÖZÜM:
|AC|=l alalım.
60 6
α
r
= ise l=36cm olur.
=
bağıntısından
360 l
360 l
Yanal yüzey alanı : πrl = π6.36 = 216π cm2
Taban dairesnini alanı : πr 2 = π62 = 36π cm2
Koni yüzey alanı : 216π + 36π = 252π cm2 bulunur.
184
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
6
O
A
r
A
B
O
D
T
1. Şekil
B
h
h
h
h
r
r
T
Yandaki şekilde plastik koni ve silindirin her ikisinin taban yarıçap uzunluğu r
br ve yükseklik uzunluğu h br dir. Koni biçimindeki kap kullanılarak silindir biçimindeki
kap su ile doldurulacaktır.
C
2. Şekil
Bu silindir biçimindeki kabın, koni biçimindeki kaç kap ile dolacağını uygulayarak
bulunuz.
Dik dairesel silindirin hacmi ile ilişkilendirerek dik dairesel koninin hacminin ne
olabileceğini tartışınız.
Dik dairesel koninin hacim bağıntısını bulmaya çalışınız.
Herhangi bir dik dairesel koninin hacmi, taban daire1
üne eşittir.
sinin alanı ile yüksekliğinin çarpımının
3
A
l
h
C
r
B
Bu durum yandaki şekilde verilen merkezi O noktası,
yarıçapı r br ve yükseklik uzunluğu h br olan dik dairesel koninin hacmi,
1
V = .πr 2 .h br3
3
bağıntısı ile verilir.
Yandaki resimde görülen bir deorantın püskürtme düğmesine basıldığı
anda havada oluşan cismin ve bir yüzeye sıkıldığında yüzeyde oluşan cismin ne olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:
Havada oluşan cisim koni, yüzeyde oluşan şekil ise bir koninin tabanı
olan dairedir.
185
5. ÜNİTE
A
O
4cm
6cm
Yandaki dik dairesel koni biçimindeki bardağın ağzının
yarıçap uzunluğu 4cm ve yükseklik uzunluğu 6cm olduğuna göre
bardağın kaç cm3 sıvı alacağını bulalım.
T
ÇÖZÜM :
V=
B
C
1 2
1
πr h = π42 .6 = 32π cm3 bulunur.
3
3
Yanda açınımı verilen dik dairesel konide r = 6cm ve merkez
açının ölçüsü 2160 ise bu koninin hacmini hesaplayalım.
A
2160
ÇÖZÜM :
|AC| = l diyelim.
r=6
2160 r
2160 6
= ise
= ise l = 10cm dir.
0
360
3600 l
l
Bu koninin kapalı biçimi yandaki gibidir.
A
Pisagor bağıntısından,
h2 + r2 = l2 ise h = 8cm bulunur.
h
C
l=10
Bu durumda koninin hacmi:
r=6
B
1 2
πr h
3
1
V = π62 8
3
V=
V = 96π cm3 olur.
186
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
1. Aşağıdaki elemanları verilen konilerin alanlarını ve hacimlerini bulunuz.
4br
60
1200
0
15br
17br
17br
8br
5br
2 3
br
5br
4br
2br
2. Aşağıda uzunlukları verilen cisimlerin yüzey alanlarını ve hacimlerini bulunuz.
içi boş
koni
8br
içi boş
koni
4br
14br
8br
9br
72
0
6br
r=15br
3. Aşağıda bulunan 1. şekildeki koninin açınımı 2. şekilde verilmiştir. 2. şekil yan yüzeyi birbirine eş dilimlere ayrılarak daha önce dairenin alanını bulmaya çalışırken kullandığımız yöntemle 3. şekil elde ediliyor.
l
b
a
r
1. Şekil
2. Şekil
3. Şekil
187
5. ÜNİTE
Buna göre;
a) 3. şeklin hangi çokgene benzediğini söyleyiniz.
b) a ve b yi r ve l cinsinden bulunuz.
c) 3. şekildeki alanı r ve l cinsinden bulunuz.
4. Yanal yüzey alanı 65π br2 ve yarıçap uzunluğu 5br olan silindirin hacmini bulunuz.
5.
5br
18br
Günde 50π br3 kedi maması yiyen bir kedinin, koni ve silindirden oluşan yemek makinesinin uzunlukları yanda verilmiştir. Kedi, tamamı doldurulmuş makinedeki mamayı kaç
günde bitirir?
13br
6.
a)
b)
c)
a seçeneğinde cismin, üç düzlem üzerine düşen gölgeleri çizilmiştir. Sizler de b ve c
seçeneğindeki cisimlerin düzlemler üzerine düşen gölgelerini çiziniz.
7.
a)
b)
c)
Üç düzlem üzerinde gölgeleri verilen cisimleri çizmeye çalışınız.
188
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
8. Aşağıdaki çokgenler şekilde belirtilen kırmızı renkli eksenler etrafında verilen ölçülerde
döndürülünce oluşan cisimleri çizmeye çalışınız.
3600
3600
1800
1800
1800
1800
3600
9.
Yandaki koni şeklindeki tepenin
eğim açısının ölçüsü 300 ve yükseklik
uzunluğu 500m dir. Buna göre bu dağın
hacmi kaç m3 tür?
KÜRENİN YÜZEY ALANI VE HACMİ
Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.
Cisimleri hangi geometrik yapı ile ilişkilendirilebilirsiniz?
7
Bir karpuzu tam ortadan yatay olarak keselim. Kesik parçaların
üzerinde hangi geometrik yapıların olduğunu tartışınız.
Kabuk üzerindeki her noktanın karpuzun merkezine olan
uzaklığı için ne söyleyebilirsiniz?
189
5. ÜNİTE
Yandaki şekilde görüldüğü gibi karpuzda, dilim sayıları
çoğaltıldığında oluşan kesitlerin büyüklüklerini inceleyiniz.
En büyük alan ve çevreye sahip daire hangi kesittedir?
Yandaki karpuzun hangi geometrik şekle model olduğunu söyleyiniz.
B
r
r
O
A
Uzayda sabit bir O noktasından eşit uzaklıktaki
noktaların belirttiği yüzeye küre yüzeyi, sabit olan o
noktasına küre yüzeyinin merkezi, merkezden küre
yüzeyine olan eşit uzaklığa da küre yüzeyinin yarıçapı ve
küre yüzeyinin sınırladığı bölgeye de küre denir.
8
r
r
r
O2
2r
r
O1
r
O2
r
Yarıçap uzunluğu r br olan küre biçimindeki bir kap tam ortadan kesilerek eş
yarım kürelere ayrılıyor. Yarım kürelerden birinin içi kızılcık şerbeti ile doldurularak 1. şekildeki r yarıçaplı yükseklik
uzunluğu 2r br olan silindir kaba aktarılıyor.
r
1. Şekil
2. Şekil
Silindirin hacmini bulunuz.
Silindir biçimindeki kabın yarım küre biçimindeki kaç kap ile dolacağını uygulayarak bulunuz.
Silindirin hacminden yararlanarak kürenin
hacmini bulunuz.
Kürenin hacmini veren bir bağıntı yazmaya
çalışınız.
O1
190
r
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
B
Şekilde verilen O merkezli r br yarıçaplı
kürenin hacmi,
r
O
r
A
V=
4 3
πr
3
eşitliği ile elde edilir.
Yarıçapı r = 30cm olan küre biçimindeki bir deniz topunun
içinde kaç cm3 hava olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM :
V=
4 3 4
πr = π30 3 = 36000π cm3 hava bulunur.
3
3
Hacmi 288π cm3 olan küre biçimindeki bir güllenin yarıçap
uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM :
4 3
πr
3
4
288π = πr 3 ise r3=216 ise r=6cm bulunur.
3
V=
191
5. ÜNİTE
Yandaki resimde görülen küre biçimindeki yün çileden
2cm kalınlığında dikdörtgen biçiminde bir örtü
yapılacaktır. Kürenin yarıçap uzunluğu 12cm ise örtünün
yüzünün kaç cm2 yer kaplayacağını bulalım.
ÇÖZÜM :
Yumağın hacmi ile örülen dikdörtgen dik prizmanın hacmi eşittir. S, dikdörtgen dik prizma biçimindeki örtünün
taban alanı olmak üzere;
Vyum ak =
4 3 4
πr = π12 3 = 2304π cm3 tür.
3
3
Vörtü = 2.S
S
Vörtü = Vyum ak ⇒ 2.S = 2304π ⇒ S = 1152π cm2
bulunur.
9
C
D
r
A
B
r
O
O
1. Şekil
2. Şekil
Yukarıdaki 1. şekilde verilen O merkezli r yarıçaplı bir küre 2. şekilde görüldüğü gibi
tabanı ABCD yüzeyi, yüksekliği r olan küre dilimlerinden oluşur.
Küre dilimindeki ABCD yüzeyinin küçüldükçe hangi geometrik yapıya dönüştüğünü
tartışınız. Bu durumda küre diliminin hangi geometrik cisme dönüştüğünü söyleyiniz.
Bu cismin yükseklik uzunluğu ile kürenin yarıçap uzunluğunu karşılaştırınız.
192
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
Bu cisimlerin hacimleri toplamının kürenin hacmi ile ilişkisini tartışınız.
Bu ilişkiyi cisim sayısını n, cisimlerin taban alanını s alarak yazmaya çalışınız.
n tane s toplamını küre yüzeyinin alanı ile ilişkilendiriniz.
Yazdığınız eşitlikteki hacim bağıntısından küre yüzeyinin alanını veren bir genellemeye ulaşmaya çalışınız.
B
Yandaki şekilde verilen O merkezli r br
yarıçaplı küre yüzeyinin alanı,
r
O
r
A
Alan = 4πr 2 br2
eşitliği ile elde edilir.
Resimdeki gibi çap uzunluğu 46cm olan küre biçimindeki bir
mangalın yapımında kaç cm2 sac kullanıldığını bulalım. (Mangalın tutacağı
ve ayakları ihmal edilecektir)
ÇÖZÜM:
A = A = 4πr 2 = 4π232 = 2116 cm2 bulunur.
1
Yarıçapı r = cm olan bir bilyenin yüzey alanının kaç cm2 olduğunu
2
bulalım.
ÇÖZÜM :
1
A = 4πr 2 = 4π( )2 = π cm2 bulunur.
2
193
5. ÜNİTE
Yüzey alanı 576π cm2 olan basketbol topunun yarıçapının kaç cm
olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM :
2
Alan = 4πr
576π = 4πr 2
ise r2 = 144 ⇒
r= 12cm bulunur.
Yanda dört tenis topu üst üste konarak kabın tüm yüzeylerine değecek
şekilde yerleştiriliyor. Tenis toplarının kapladığı hacmin silindir biçimindeki
kabın hacmine oranını bulalım.
ÇÖZÜM:
Tenis topunun yarıçap uzunluğu r olduğunda,
Silindir kabın yarıçap uzunluğu r,
r
Silindirin yükseklik uzunluğu 4. 2r = 8r olur.
r
4
O hâlde, Vtop = 4. π.r 3
3
r
Vtop
r
194
Vkap
ve Vkap = π.r 2 .h = π.r 2 .8r olur.
4
4. πr 3
2
= 32
= bulunur.
πr .8r 3
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
1. Kürelerden kesilerek elde edilen aşağıdaki parçaların hacmini bulunuz.
12br
13br
6br
2. Aşağıdaki cisimlerin yüzey alanlarını bulunuz.
3br
14br
13br
20br
5br
14br
4br
4br
4br
3. Bir kenarının uzunluğu 8m olan bir küpün içine yüzeylere teğet olacak biçimde yerleştirilen
kürenin hacmini bulunuz.
4. Yükseklik uzunluğu 8cm olan dik dairesel koninin içine yarıçap uzunluğu 3cm olan, tabana
ve kenarlara teğet olacak biçimde bir küre çiziliyor. Kürenin hacmini bulunuz.
5. Bir kürenin içine merkezinden 4cm uzaklıkta yarıçap uzunluğu 3cm olacak şekilde çizilebilecek en büyük koninin hacmini bulunuz.
6.
2br
14br
İç yarıçap uzunluğu 14br ve kalınlığı 2br olan şekildeki cismin yüzey
alanını ve hacmini bulunuz.
195
5. ÜNİTE
ÜNİTE SONU ÖLÇME SORULARI
1. Kürenin en büyük dairesinin yarıçap uzunluğu ile kürenin yarıçap uzunluğu arasında nasıl
bir ilişki vardır?
2. Yükseklik uzunluğu taban yarıçap uzunluğunun iki katına eşit olan silindir bir kap ile aynı
yarıçap uzunluğuna sahip küre biçiminde bir kap veriliyor. Ayran dolu 12 adet küre kap ile kaç
adet silindir kabı doldurabilirsiniz?
3. Dik dairesel konide koninin yükseklik uzunluğu, ana doğru uzunluğundan daima küçük
müdür?
4. Dik silindirden kesitler alındığında kesit yüzeylerinde hangi geometrik şekiller oluşur?
5.
T1
T2
B
A
L
K
1. Şekil
Yandaki şekilde koniler kırmızı çizgiler boyunca
kesilmektedir. Oluşan kesitleri çiziniz.
2. Şekil
6. Bir dik üçgenin bir dik kenarı etrafında 3600 döndürülmesiyle ................ oluşur.
7. Bir kareyi bir kenarı etrafında 1800 döndürülmesiyle .......................... oluşur.
8. Bir ikizkenar yamuğu alt tabanı etrafında 3600 döndürülmesiyle ................... oluşur.
9. Yarıçap uzunluğu 3br olan kürenin hacmi ile aynı hacimli dik dairesel silindir, yükseklikleri ve
yarıçap uzunlukları tam sayı olmak üzere kaç farklı biçimde çizilebilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
10.
1 kat mesafesi
196
Yükseklik uzunluğu 6 π m olan beş katlı binanın yangın merdiveninden inmek isteyen Haydar’ın merdivenin direğine olan
uzaklığı 80cm dir. Haydar’ın yürüyeceği yol uzunluğu kaç metredir?
A) 4 π
B) 6 π
C) 8 π
D)10 π
E)12 π
DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE
11.
Yandaki koni şeklindeki cismin içinde yükseklik
uzunluğu 12br olan bir miktar sıvı vardır. Verilenlere göre
sıvının hacmini hesaplayınız. Koninin içine yarıçap uzunluğu
61 br ve yükseklik uzunluğu 16 br olan silindir biçimindeki
bir cisim atıldığında sıvının yükseklik uzunluğu kaç br artar?
24br
18br
A) 1
12 br
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12. Kurşundan yapılmış bir küre eritilerek 8 eş küre yapılıyor. Eritilen kürenin yarıçap
uzunluğunun küçük kürelerden birinin yarıçap uzunluğuna oranı kaçtır?
A)1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8
13.
l
O
Açınımı yanda verilen dik dairesel koninin yanal yüz alanı 60π cm2 ve
merkez açısının ölçüsü 2160 dir. Bu dik dairesel koninin hacmi kaç
cm3 tür?
2160
60π
B) 60π
A) 48π
C) 72π
D) 90π
E) 96π
r
14.
G
H
E
Yandaki şekilde görüldüğü gibi bir kenar uzunluğu
30cm olan küpün içine kenarlarına teğet olacak
biçimde bir küre konuyor. Daha sonra küpün içi
sıvı ile dolduruluyor.
F
a) Küpün bir köşesinin küre yüzeyine olan en kısa
uzaklığı kaç cm dir?
O
D
C
b) Küpün içine doldurulan sıvının hacmi kaç cm3
tür?
30
A
30
B
197
ÜNİTE SONU ÖLÇME SORULARININ CEVAPLARI
ÜNİTE 1:
1) a)İki nokta b)Çember c)Küre
2) B(−3,3)
3) C
4) a)m−n=7
5) B
6) C
7) C
8) a) Ordinatı b) Apsisi
9) C
10) A 11) E
12) a) y=2,3+0,002x
b) Eğim her 100 metrede ödenen 0,2TL nin 0,01 idir.
13) a) (x−2,y-1)=k.(3,−2)
b) u=(3,−2)
c) 2x+3y−7=0 14) D 15) D
ÜNİTE 2:
1) Tüm iç açıları farklıdır.
3) Eşkenar dörtgen, kare
10) C
7) İç
8) 600 9) B
18) C 19) A 20) A 21) D
3π
6
ÜNİTE 4:
1) Sonsuz
6)
3 3
2π
ÜNİTE 5:
1) Eşittir.
6) Koni
12) B 13) E
198
3) 64cm3
2) Bir
4) D
3) 900 4) D
7) Eşittir.
c)y=12,3TL
16) B
2) Dikdörtgen, kare, ikizkenar yamuk
4) Paralelkenar
5) Eşittir.
6) Dış
11) B 12) D 13) A 14)E 15) B 16) C 17) E
22) C 23) A 24)Yansıma, ötelemeli yansıma, dönme
ÜNİTE 3:
1) a) 15 ayrıtı vardır. Tabanı beşgen olan prizmadır.
ç) Çizilemez.
d) Çizilemez.
2)
b) n−m=3
8) 1
2) 8
3) Evet
7) Yarım silindir
14) a) 15( 3 −1) cm
5) C
6) D
5) a) 64 −16π
b) 7
c) Altıgen
7) A
b) 50π − 96 c) 200π − 400 ç) 7π
6
9) Eşittir.
4) Daire, Dikdörtgen
5)
8) İki koni ve bir silindir 9) C
b) (27000−4500 π )cm3
10) D
11) C
SÖZLÜK
analitik düzlem: Dik kesişen iki koordinat doğrusunun oluşturduğu yapının belirttiği düzlem.
birim çember: Düzlemde sabit bir noktadan 1 birim uzaklıkta olan noktaların kumesi.
birim vektör: Uzunluğu 1 birim olan vektör.
çember: Düzlemde sabit bir noktadan r birim uzaklıkta olan noktaların kümesi.
çevre açı: Köşesi çemberin üzerinde olan ve ışınları çemberden yay ayıran açı.
çokgen: n≥3 ve n Doğal sayı olmak üzere aynı düzlemde ardışık üç tanesi doğrusal olmayan
A1, A2, ...., An noktalarının oluşturduğu [A1A2], [A2 A3], ..., [An-1 An], [An A1] doğru parçalarının
birleşim kümesi.
çokgensel bölge: Bir çokgenin sınırladığı bölge.
derece: Birim çemberin çevre uzunluğunu 360 eş parçaya ayırarak her bir parçayı gören
merkez açının ölçüsü.
dışbükey çokgen: Çokgenin iç bölgesinde seçilen herhangi iki noktayı birleştiren doğru
parçası daima çokgenin iç bölgesinde kaldığı çokgen.
dik görüntü çizimi: Üç boyutlu yapılara tek bir yönden bakarak görünümlerin iki boyutlu
çizilmesi.
dik yamuk: Yan kenarlarından biri tabanlarına dik olan yamuk.
dik prizma: Yanal ayrıtları taban düzlemine dik olan prizma.
doğru: Düz ve uzunluğu sürekli iki yöne sınırsız uzatılabilen, kalınlığı bulunmayan geometrik
terim.
doğru parçası: Bir doğrunun herhangi bir parçası.
doğrunun eğimi: Doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantı.
düzgün çokgen: Kenar uzunlukları birbirine ve açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgen.
düzgün kaplama: Bir düzlemsel bölgenin boşluk kalmayacak ve figürler üst üste gelmeyecek
biçimde yansıma, dönme, öteleme ve ötelemeli yansıma dönüşümleri yardımıyla bir figür
kullanılarak örtülmesi.
düzgün prizma: Tabanları düzgün çokgen olan bir dik prizma.
düzlem:Uzunluğu ve genişliği, düz sınırsız genişletilebilen fakat kalınlığı bulunmayan
geometrik terim.
eş yönlü doğru parçaları: Yönü aynı olan eş doğru parçaları.
ışın: Bir doğrunun belirli bir yerinden başlayıp düz olarak sürekli tek yöne uzatılabilen,
uzunluğu sınırsız, kalınlığı bulunmayan geometrik terim.
199
ikizkenar yamuk: Yan kenarlarının uzunluğu birbirine eşit olan yamuk.
izometrik çizim: Yapıların veya 3 boyutlu cisimlerin kâğıt üzerindeki çizimlerinde, kenarları
taşıyan doğruların daima paralel göründüğü çizim.
koni: Koni yüzeyi ile sınırlı bölge.
koordinat doğrusu: Gerçek sayıların, bir doğrunun noktaları ile bire bir eşlenmesi ile
oluşturulan sayı doğrusu.
küre: Küre yüzeyinin sınırlandığı bölge.
merkez açı: Köşesi çemberin merkezinde olan ve ışınları çemberde yay ayıran açı.
negatif yön: Herhangi bir açının bir kenarından diğer kenarına saat yönünün ters yönünde
gidildiğinde oluşan açının yönü.
nokta:Herhangi büyüklüğü olmayan ve yer belirten bir geometrik terim.
ortografik iz düşüm: Bu çizimde yapının iki boyutlu görüntüsü.
perspektif çizim: Yapıların veya 3 boyutlu cisimlerin kâğıt üzerindeki çizimlerinde, kenarları
taşıyan doğruların kesişir gibi göründüğü çizim.
piramit: Bir çokgenin düzleminin dışındaki sabit bir T noktası ile çokgenin düzlemine paralel T
noktasının ait olmadığı bir düzlem arasındaki piramidal bölge.
pozitif yön: Herhangi bir açının bir kenarından diğer kenarına saat yönünün ters yönünde
gidildiğinde oluşan açının yönü.
prizma: İki paralel düzlem ile sınırlanan kapalı prizmatik bölge.
radyan: Köşesi birim çemberin merkezinde bulunan açının çember üzerinde ayırdığı 1 br
uzunluğundaki yay.
sıfır vektörü: Başlangıç ve bitim noktası aynı olan vektör.
silindir: Paralel iki düzlem arasında kalan silindirik bölge.
uzay: Uzunluğu, genişliği ve yüksekliği, düz sınırsız genişletilebilen geometrik terim.
üçgen: Üç kenarlı çokgen.
vektör: Koordinat doğrusu üzerinde eş yönlü doğru parçalarının kümesi.
yarı düzgün kaplama: Bir düzlemsel bölgenin boşluk kalmayacak ve figürler üst üste
gelmeyecek biçimde yansıma, dönme, öteleme ve ötelemeli yansıma dönüşümleri yardımıyla
birden fazla figür yardımıyla örtülmesi.
yer vektörü: Başlangıç noktası orijinde olan vektör.
200
KAYNAKÇA
1. T.C. Millî Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı Ortaöğretim Geometri
Dersi 9-10. Sınıf Öğretim Programı, Ankara, 2010
2. T.C Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı Ortaöğretim Matematik
(9,10,11,12.sınıflar) Dersi Öğretim Programı, Ankara, 2005
3. T.C Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı İlköğretim Matematik
Dersi 6-8. Sınıflar Öğretim Programı, Ankara, 2005
4. Yazım Kılavuzu, Türk Dil Kurumu, Ankara, 2005
5. Geometry, Larson, R., Boswell, L., Kanold, T. D., Stiff, L., McDougal Littell, 2007.
6. Discovering Geometry An Investigate Approach Key Curriculum, Serra, M., 2008.
7. Geometry, Gantert, X. A., AMCSO, 2008.
8. Geometry Integration Applications Connections, Glencoe, 1998.
9. Mathematics, Billstein, R., Williamson, J., McDougal Littell, 2008.
10. Geometry, Jurgensen, R. C., Brown, R. G., Jurgensen, J. W., Houghton, USA, 1988.
11. Elementary Linear Algebra, Anton, H., John Wiley&Sons, Canada, 1991.
12. Geometri, Atatürk, M. K., Örgün, 2006.
13. The Graphic Work, Escher, M.C., Germany, 1996.
14. Matematik Tarihi ve Türk İslam Matematikçilerinin Yeri, Göker, L., MEB, İstanbul,
1997.
15. Pentapleks Kaplamalar, Arık, M.,Sancak, M., TUBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara,
2007.
16. Platon’un ve Arşimet’in Çokyüzlü Cisimleri, Sutton, D., ne Kitaplar, 2004.
17. Matematiksel Düşünme, Yıldırım, C, Remzi, 1996.
18. Geometrinin Gizli Dünyası, Wells, D., Doruk Yayınları, 2002.
201
300 İZOMETRİK KÂĞIT
202