Doğuş Ü. Mat. Yarışması Bireysel soru ve yanıtlar

Matematik Dünyas›, 2004 K›fl
Do¤ufl Üniversitesi Matematik Kulübü
Matematik Bireysel Yar›flmas› 2004
Soru ve Yan›tlar
Soru 1. S›f›rdan farkl› bir a say›s› için sonsuz
ondal›klarla oluflan
ifadesinin de¤eri nedir?
ise,
Soru 2. −10 < x < 10 olmak üzere
5x + 3 ≡ 4 (mod 6)
denkli¤inin çözüm kümesi nedir?
Yan›t: 5x ≡ 5x + 3 + 3 ≡ 4 + 3 ≡ 1 (mod 6) oldu¤undan, x ≡ 5 (mod 6) ve x = −7, −1, 5.
ifadesinin en büyük tamsay› de¤eri nedir?
ifadeleri topland›¤›nda
elde edilir. E¤er x = 1/a + 1/b + 1/c ise, bundan
7/2 < x < 6 bulunur. [7/2, 6] aral›¤›nda x2 − x
fonksiyonu en büyük de¤eri x = 6’da al›r ve bu
de¤er de 62 − 6 = 30’dur. Dolay›s›yla (7/2, 6)
aç›k aral›¤›nda
Buradan da 2x + 1 − (x − 3)/2 = 3(2x − 1) ve x =
11/9 bulunur.
Soru 4. Befl basamakl› abc19 say›s› üç basamakl› abc’ye bölündü¤ünde bölüm ve kalan›n toplam› kaçt›r?
Yan›t: abc19 = 100(abc) + 19 fleklinde yaz›labilir. Böylece bölüm 100 ve kalan 19 olur. Toplam
100 + 19 = 119 bulunur.
say›s›n›n en büyük tamsay› de¤eri 29’dur.
Yan›t: x ≠ 7 ve x ≠ 15 olmal›. Buradan
Soru 5. x, y = xx, z = x(xx), t = (xx)x say›lar› veriliyor. 1/2 < x < 1 iken x, y, z ve t’nin büyüklük s›ralan›fl› nedir?
Yan›t: x < z = x(xx) < y = xx < t = (xx)x olmal›d›r.
ve
bulunur. Demek ki 4x − 20 = 0 ve x = 5 olmal›.
Soru 6. A, B, C, D pozitif tamsay›lar› için A5 =
C3 = D2 ve C = A + 19 ise D − B kaçt›r?
Yan›t: n ve m pozitif tamsay›lar› için, A = m4, B
5
= m ve C = n2, D = n3 olmal›. Böylece 19 = C − A
= n2 − m4 = (n − m2)(n + m2); buradan da n − m2 =
1 ve n + m2 = 19, dolay›s›yla n = 10, m = 3 bulunur.
Soru 9. 2x + 2−x = 5 ise 8x + 8−x kaçt›r?
Yan›t: 53 = (2x + 2−x)3 = 23x + 2−3x +
3·2x2−x(2x + 2−x) = 8x + 8−x + 3·5 eflitli¤inden,
8x + 8−x = 125 − 15 = 110 bulunur.
B4,
87
Matematik Dünyas›, 2004 K›fl
Soru 10. 375 × 2511 × 166 say›s› kaç basamakl›d›r?
Yan›t: 375·2511·166 = (3·53)(52)11(24)6 =
25
3·5 ·224 = 15·1024 oldu¤undan, verilen say› 26
basamakl›d›r.
Soru 15. 813 − 613 say›s›n›n 49’a bölümünden
kalan kaçt›r?
Yan›t: 8 = (7 + 1) ve 6 = 7 − 1 eflitliklerini ve
binom aç›l›m›n› kullanaca¤›z:
Soru 11. x ⊗ y = 2x + 2y + xy + 2 iflleminde, 2
say›s›n›n tersi var m›d›r, varsa nedir?
Yan›t: ‹fllemin de¤iflmeli oldu¤una dikkatinizi
çekeriz. Önce etkisiz eleman var m› yok mu bakal›m. Etkisiz eleman›n oldu¤unu varsay›p bu elemana e diyelim. Her x için, x = x ⊗ e = 2x + 2e + xe
+ 2 eflitli¤inden dolay›, x = 0 alarak, e = −1 buluruz. fiimdi −1’in gerçekten etkisiz eleman oldu¤unu
kontrol edelim: x ⊗ (−1) = 2x + 2(−1) + x(−1) + 2
= x. Demek ki −1 gerçekten etkisiz elemanm›fl.
fiimdi 2 ⊗ y = −1 denklemini çözmeye çal›flal›m:
−1 = 2 ⊗ y = 2·2 + 2y + 2y + 2
ve y = −7/4. Demek ki −7/4, 2’nin tersiymifl.
ve
oldu¤undan, sonuç 14 − 12 = 2’dir.
Soru 16. p, 3’ten büyük bir asal say› ise, p2 say›s›n›n 12’ye bölümünden kalanlar kümesi nedir?
Yan›t: p > 3 ve asal oldu¤undan, modülo 12, p,
1’e, 5’e, 7’ye ya da 11’e eflit olabilir. Öte yandan,
12 ≡ 52 ≡ 72 ≡ 112 ≡ 1 mod 12,
Dolay›s›yla p2, 12’ye bölündü¤ünde 1 kal›r.
Soru 17. n pozitif bir tamsay›ysa, n3 − n say›s›n›n 3’e bölümünden kalanlar kümesi nedir?
Yan›t: n3 − n = (n − 1)n(n + 1) eflitli¤inden,
3
n − n say›s›n›n üç ard›fl›k say›n›n çarp›m› oldu¤u
ç›kar. Demek ki kalan 0’d›r.
Soru 12. |x − 2| − |x + 3| ≥ 1 eflitsizli¤inin çözüm
kümesi nedir?
Yan›t: E¤er x ≥ 2 ise, (x − 2) − (x + 3) ≥ 1 ve
bu durumda çözüm yok.
E¤er −3 ≤ x ≤ 2 ise, (2 − x) − (x + 3) ≥ 1, yani
−2x − 1 ≥ 1, yani −2x ≥ 2, yani x ≤ −1. Demek ki
bu durumda çözüm kümesi [−3, −1].
E¤er x ≤ −3 ise, (2 − x) + (x + 3) ≥ 1, yani her
x bir çözüm.
Demek ki çözüm kümesi (−∞, −1].
Soru 18. x, y, z, t do¤al say›lar oldu¤una göre,
xz − yt = 1
xt + 4yz = 3
denklem çiftinin tüm (x, y, z, t) çözümlerini bulunuz.
Yan›t: E¤er hem y hem z ≠ 0 ise, ikinci denklem
çözümün olmad›¤›n› söyler. Demek ki ya y = 0 ya da
z = 0. ‹kinci fl›kta −yt = 1 yüzünden çözüm yoktur.
Birinci fl›kta xz = 1 ve xt = 3 denklemlerini çözmeliyiz: x = z = 1 ve t = 3. Tek çözüm var: (1, 0, 1, 3).
Soru 13. 0 < p < 25 olmak üzere p ≤ x ≤ 25 aral›¤›nda bulunan x de¤erleri için
|x − p| + |x − 25| + |x − p − 25|
ifadesinin minimum de¤erini bulunuz.
Yan›t: |x − p| = x − p, |x − 25| = 25 − x ve |x −
p − 25| = 25 − (x − p) olur. Dolay›s›yla ifade,
(x − p) + (25 − x) + (25 − (x − p))
ifadesine eflittir, yani 50 − x’e. Minimum de¤ere x
= 25 ile ulafl›l›r, yan›t da 50 − 25 = 25 olur.
Soru 19. k > 1 bir tamsay› ve k è 9 (mod 17)
ise, 2k − 1 ve 9k + 4 tamsay›lar›n›n en büyük ortak böleni olabilecek bütün pozitif tamsay›lar›n
toplam› kaçt›r?
Yan›t: 2k − 1 ve 9k + 4 say›lar›n›n obeb’ine d
diyelim. Demek ki belli n ve m do¤al say›lar› için,
9k + 4 = nd ve 2k − 1 = md.
Bundan 2nd − 9md = 17 ve d’nin ancak 1 ya da 17
olabilece¤i ç›kar. E¤er d = 17 ise, 2k = 17m + 1, 2k
≡ 1 mod 17 ve k ≡ 9 mod 17, yasaklanan durum.
Demek ki d sadece 1 olabilir. k = 2 è 9 mod 17 oldu¤unda, 2k − 1 = 3 ve 9k + 4 = 22 oldu¤undan, d
gerçekten de 1 olabilir. Yan›t 1’dir.
Soru 14. (7√2 + 3√x)10 ifadesinin aç›l›m›nda
x’in katsay›s›n› bulunuz.
ifadesinden x’in katsay›s› k = 3 için bulunur. Sonuç:
88
Matematik Dünyas›, 2004 K›fl
Soru 20. 245 ile 601 aras›nda 13 ya da 15’e
bölünen kaç say› vard›r?
Yan›t: 18 < 245/13 ve 601/13 < 47 oldu¤undan, 13k’nin 245 ile 601 aras›nda olmas› için k =
19, 20, ..., 46 olmal›d›r. Demek ki 245 ile 601 aras›nda 46 − 19 + 1 = 28 tane 13’e bölünen say› vard›r. Ayn› ak›l yürütmeyle 245 ile 601 aras›nda 24
tane 15’e ve 2 tane 13 × 15’e bölünen say› oldu¤u
ç›kar. Sonuç 28 + 24 − 2 = 50’dir.
A
oran |AB|/|DE| = (y + x)/x olax
cakt›r. CAD aç›s› 36° oldu¤unE x
dan, ACD ve DEC benzer ikizy−x
D
C x
kenar üçgenlerdir. Bundan,
x
(y − x)/x = x/y,
B
yani u = y/x için u2 − u − 1 = 0
bulunur. Buradan da u = y/x = (1 + √5)/2 ç›kar. Demek ki (y + x)/x = (3 + √5)/2.
Soru 24. 2 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 6
x1 + 2 x2 + x3 + x4 + x5 = 12
x1 + x2 + 2 x3 + x4 + x5 = 24
x1 + x2 + x3 + 2 x4 + x5 = 48
2 x1 + x2 + x3 + x4 + 2 x5 = 96
oldu¤una göre, 3x4 + 2x5 kaçt›r?
Yan›t: Bütün eflitlikler altalta topland›¤›nda,
6(x1 + x2 + x3 + x4 + x5) = 186,
buradan da,
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 31
bulunur. Dördüncü ve beflinci eflitlikler kullan›larak x4 = 17, x5 = 65 bulunur. Dolay›s›yla
3x4 + 2x5 = 3 × 17 + 2 × 65 = 181.
Soru 21. Gerçel say›lardan tamsay›lara giden ƒ
fonksiyonu, n ∈ Z olmak üzere, n ≤ x < n + 1 iken,
ƒ(x) = n olarak tan›mlan›yor. Örne¤in ƒ(5/2) = 2,
ƒ(π) = 3, ƒ(4) = 4. Buna göre,
ise, n kaçt›r?
oldu¤undan, n = 10 bulunur.
Soru 25. a, b, c pozitif tamsay›lar› verilmifl. b
say›s›, a ile c’nin geometrik ortalamas›d›r. b − a bir
tamkare ve log6 a + log6 b + log6 c = 6 ise, a + b + c
ifadesinin de¤eri nedir?
Yan›t: log6 a + log6 b + log6 c = 6 eflitli¤inden
abc = 66 elde edilir. Verilen b2 = ac eflitli¤iyle birlikte, b3 = 66 ve b = 36 bulunur. b − a bir tamkaredir, öyleyse a = 11, 20, 27, 32, 35 say›lar›ndan
biri olmal›d›r. a say›s› 64’ü bölece¤inden a = 27,
buradan da c = 48 bulunur. Demek ki,
a + b + c = 27 + 36 + 48 = 111.
oldu¤una göre, a + 2b + 3c = g(x) ise,
toplam›n›n a, b, c türünden de¤eri kaçt›r?
Yan›t: x yerine 1/(1−x) ve (x−1)/x koydu¤umuzda s›ras›yla
elde edilir ve
Soru 26. x2 − 2x2 + 4x + 5 = 0 denkleminin
kökleri a, b, c oldu¤una göre, a3 + b3 + c3 ifadesinin de¤eri nedir?
Yan›t: a, b, c denklemin kökleri oldu¤undan,
abc = −5,
ab + ac + bc = 4,
a+b+c=2
sa¤lan›r. Bunlar,
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3
+ 3(a + b + c)(ab + ac + bc) − 3abc
eflitli¤inde yerlerine kondu¤unda,
23 = a3 + b3 + c3 + 3×2×4 − 3×(−5),
ve a3 + b3 + c3 = −31 bulunur.
bulunur.
A
E
C
B
D
Soru 23. Yandaki flekildeki
düzgün y›ld›zlardan büyük olan›n
çevresi küçük olan›n kaç kat›d›r?
Yan›t: fiekildeki harflendirmeyi kabul edelim. Kolayl›kla
EAD ve EDA aç›lar›n›n 72° oldu¤u bulunur. Demek ki AED
ikizkenar bir üçgen. Dolay›s›yla
|DE| = |AE|. Bu uzunlu¤a x diyelim. |EC| de y olsun. Aranan
89
Matematik Dünyas›, 2004 K›fl
Soru 27. a/b − b/a = 0 ise,
a/b + a2/b2 + ... + a15/b15
toplam›n›n alabilece¤i de¤erlerin toplam› nedir?
Yan›t: a2 = b2 olaca¤›ndan, a = ±b’dir. E¤er a
= b ise, toplam 15’tir elbet. E¤er a = −b ise sadeleflmeler olur ve toplam›n −1 oldu¤u görülür. Yan›t
15 − 1 = 14.
Soru 32. (m+3)x2 + (7−m)y2 − 5mx + 20y − 20
= 0 denklemi düzlemde bir çember belirtti¤ine göre,
merkezinin koordinatlar›n› ve yar›çap›n› bulunuz.
Yan›t: Denklem bir çember verdi¤ine göre,
m + 3 = 7 − m, yani, m = 2 olmal›. Denklem,
x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0
halini al›r. Bu da,
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 9
denklemine denktir. Demek ki (1, −2) noktas› merkezdir, yar›çap da 3’tür.
Soru 28. (abc)5 + (bca)5 + (cab)5 = (2220)5 oldu¤una göre a + b + c say›s› 3’lük tabanda nas›l yaz›l›r?
Yan›t: (abc)5 + (bca)5 + (cab)5 say›s›, kolayca
görülece¤i üzere, (52 + 5 + 1)(a + b + c), yani
31(a + b + c)
say›s›na eflittir. Öte yandan,
(2220)5 = (53 + 52 + 5) × 2 = 155 × 2 = 310.
Demek ki a + b + c = 10 = 32 + 1 = (101)3.
C
Soru 33. fiekildeki A, B,
B
C ve D noktalar›ndan geçen Y
çemberde, X ve Y yaylar›
12
X
6
için, 3m(AXB) = m(CYD),
|AB| = 6 cm ve |CD| =12 cm D
A
oldu¤una göre çemberin yar›çap› kaç cm’dir?
Yan›t: O merkezinden dikler indirilerek oluflturulan aç›lar veriye göre α ve 3α biçiminde yaz›-
Soru 29. ƒ(x) = x − 1 + ƒ(x − 1) ve ƒ(1) = 19
oldu¤una göre ƒ(19) kaçt›r?
Yan›t: Birer birer eksilterek,
ƒ(n) = (n − 1) + (n − 2) + ... + 1 + ƒ(1)
buluruz. Demek ki,
ƒ(19) = 18 + 17 + ... + 1 + 19 = 19×20/2 = 190.
C
Y
B
6
r
3α
r
α
3
X
O
D
Soru 30. log5(24!) + log5(25!) = m ve 25! = 5x
ise x’in m türünden de¤eri nedir?
Yan›t: log5(5m) = m = log5(24!) + log5(25!) =
log5(24!×25!) eflitli¤inden, 5m = 24!×25! ve bundan da 5m+2 = 5m × 25 = (25!)2 = 52x ç›kar. Demek
ki 2x = m + 2 ve x = m/2 + 1.
A
l›rlar. fiekilden de anlafl›laca¤› üzere sin α = 3/r ve
sin 3α = 6/r. Demek ki,
6/r = sin 3α = 3sin α − 4sin3 α = 3(3/r) − 4(3/r)3,
ve sadelefltirerek r2 = 36, r = 6 bulunur.
Soru 31. Bir turist grubunda 10 Alman ve 5
Frans›z turist bulunmaktad›r. Bu gruptan rastgele
seçilen 3 turistten ikisinin ayn›, birinin farkl› ülkeden olma olas›l›¤› kaçt›r?
Yan›t: ‹ki Alman bir Frans›z için,
Soru 34. [AB] – [AC], m(CAD) = 45°, |AC| =
9 cm ve |AB| = 12 cm olsun. Bu verilere göre ACD
üçgeninin alan› kaç cm2 olur?
A
45°
12
ve iki Alman bir Frans›z için,
9
C
B
D
Yan›t: Pisagor Teoremi’nden dolay› |BC| =
15’tir. E¤er |CD| = x ise, C’den AB’ye çekilen paralelle elde edilen üçgen, ABD üçgenine benzer olaca¤›ndan, x/(x+15) = |DC|/|DB| = 9/12 = 3/4. Demek
ki x = 45. fiimdi ACD’nin h yüksekli¤ini bulal›m.
tane seçenek vard›r. Üç turisti,
de¤iflik biçimde seçebiliriz. Demek ki olas›l›k,
A
12
dir.
B
90
9
45°
C
45°
9
D
Matematik Dünyas›, 2004 K›fl
Bu yükseklik ABC’nin de yüksekli¤i oldu¤undan,
ABC üçgeninin alan›n› iki de¤iflik flekilde hesaplayarak, 9×12/2 = 15×h/2, yani h = 36/5 buluruz.
Demek ki alan 45×36/10 = 162 cm2.
ç›kar ve istenilen alanlar oran›
Soru 35. P, ABC üçgeninin içinde bir noktad›r.
PA do¤rusu BC’yi D’de, benzer flekilde PB ve PC
do¤rular› CA’y› ve AB’yi s›ras›yla E’de ve F’de kesmektedir. E¤er |PD| = |PE| = |PF| = 1 ve |PA| + |PB|
+ |PC| = a ise, |PA||PB||PC| çarp›m› nedir?
olarak bulunur.
Soru 37. 15’e asal iki basamakl› kaç say› vard›r?
Yan›t: 15’e asal say›lar hem 3’e hem de 5’e asal
olmak zorundalar.
3’e bölünenlerden 33 − 3 = 30 tane var.
5’e bölünenlerden 19 − 1 = 18 tane var.
15’e bölünenlerden 6 − 0 = 6 tane var.
Demek ki toplam 30 + 18 − 6 = 42 tane ya 3’e ya
da 5’e bölünen iki basamakl› say› var. Böylece aranan yan›t 90 − 42 = 48 bulunur.
A
x
F
E
P
1
y
B
1
1
z
C
D
Soru 38. (52 + 6√43)3/2 − (52 − 6√43)3/2 = ?
Yan›t: (3 ± √43)2 = 9 ± 6√43 + 43 = 52 ± 6√43,
buradan da
(52 + 6√43)3/2 − (52 − 6√43)3/2
= (3 + √43)3 − (√43 − 3)3
= 2(33 + 3·3·43) = 828
ç›kar.
Yan›t: x, y ve z flekildeki gibi olsunlar. ABC ve
ABP üçgenlerinin tabanlar› ayn› oldu¤undan alanlar›n›n oran› yüksekliklerinin oran›na eflittir. Bunu
di¤er üçgenlerle de yapt›¤›m›zda,
Soru 39. Çelik bir çubu¤a 5 tane küre biçiminde ve ayn› büyüklükte boncuk dizilerek üretim yap›lmaktad›r. Çelik çubuk, boncuklarla tümüyle
kapland›¤›na ve üç boncuk beyaz iki boncuk siyah
oldu¤una göre kaç de¤iflik ürün elde edilir?
Yan›t: 5’in 2’li (ya da 3’lü) kombinasyonlar›ndan simetriden dolay› yilenen çözümleri ç›karmak
gerekir. Yan›t:
oldu¤undan, üç eflitli¤i toplayarak,
bulunur. Payday› eflitleyip çarp›mlar› yap›p verilen
x+y+z = a eflitli¤i kullan›nca, xyz = 2 + a ç›k›yor.
Soru 36. fiekildeki üçgenlerde |AB| = √30, |BC|
= √15, |CA| = √6, |EB| = |EC| ve m(ADB) = 90° ise
ADB üçgeninin alan›n›n ABC üçgeninin alan›na
oran› nedir?
√6
C
Soru 40. Kaç b gerçel say›s› için x2 + bx + 2b
polinomunun her iki kökü de tamsay› olur?
Yan›t: b bir tamsay› ve
polinomun diskriminant›
b2 − 8b bir tamkare, diyelim n2 olmal›. Buradan,
(b − 4)2 = n2 + 16 ve dolay›s›yla, (b − 4 − n)(b − 4 + n)
= 16 = (±1)(±16) = (±2)(±8)
= (±4)(±4) ç›kar ve b ∈ {−1,
0, 8, 9} elde edilir. ♣
D
E
√15
A
√30
B
Yan›t: Kenarortay ba¤›nt›s›ndan,
|AE|2 = (b2 + c2)/2 − a2/4 = (6 + 30)/2 − 15/4 = 57/4.
Öte yandan e¤er α, DAB aç›s›ysa, kosinüs teoreminden, 15/4 = 57/4 + 30 − 2 × √57 / 2 × √30 × cos α ve
buradan cos α’n›n de¤eri bulunur. Böylece
91