İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Teknoloji

advertisement
İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Teknoloji Destekli
Geometri Dersindeki Geometrik Oluşum Edinimleri1
Nilüfer Y. KÖSE2, Dilek TANIŞLI3, Emel Ö. ERDOĞAN4 & Tuba Y. ADA5
Özet- Bu çalışma kapsamında ilköğretim matematik öğretmenliği öğrencilerinin oluşum problemlerinin
çözümünde, oluşum araçlarını (hesap makinesi ve geometrik çizim araçları) nasıl kullandıklarına ve oluşumu
gerçekleştirirken var olan geometrik ilişkilere dayalı nasıl muhakeme yaptıklarına odaklanılmıştır. Bu bağlamda
çalışmanın genel amacı, TI-Nspire CAS kullanımı ile desteklenmiş bir öğretim sürecinin, öğrencilerin istenilen
geometrik oluşumlarda var olan geometrik ilişkilere dayalı muhakemeler yoluyla oluşumu gerçekleştirmelerine
etkisini incelemektir. Ayrıca bu öğretim sürecinin öğrencilerin kullandıkları stratejiler üzerindeki etkisi de ele
alınmıştır. Nitel araştırma yöntemlerinin kullanıldığı bu araştırmada 77 ilköğretim matematik öğretmenliği birinci
sınıf öğrencisi katılımcı olarak belirlenmiştir. Çalışmanın verileri, her biri açık uçlu üçer sorudan oluşan ön test
ve son test aracılığıyla toplanmış, nitel olarak analiz edilmiştir. Çalışma sonunda öntest ve sontest sonuçlarına
göre, öğrencilerin geometrik oluşum problemlerinin çözümündeki muhakeme becerilerinde ve kullandıkları
stratejilerde gelişim gösterdikleri görülmüş ve bu gelişimde TI-Nspire CAS ile desteklenmiş bir öğretim
sürecinin, kâğıt kalem ortamında gerçekleştirilen geometrik oluşumlarda etkili olduğu sonucuna ulaşılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Geometrik oluşum, dinamik geometri, geometrik muhakeme.
Abstract- Preservice Elementary Mathematics Teachers’ Geometric Construction Acquisitions in Techonology
Integrated Geometry Course. This study investigated how pre-service elementary mathematics teachers used
constructing tools (calculator and geometric drawing tools) in solving problems and how they did reasoning
based on existing relationships while performing the construction. In this sense, the overall aim of this study was
to examine the impact of an instructional process supported by the use of TI-Nspire CAS on pre-service teachers’
performance during constructions and their reasoning based on the geometric relationships existing in the desired
constructions. The study also dealt with the effect of this instructional process on the strategies used by the preservice teachers. Using qualitative research methods, this study enrolled a total of 77 freshman elementary preservice teachers. The research data were collected through pre-test and post-test, each of which consisted of three
open-ended questions and analyzed qualitatively. The pre-test and post-test results showed that the students
achieved a progress in the reasoning skills and strategies they used in solving geometric construction problems
and that an instructional process supported with TI-Nspire CAS had an impact in the geometric constructions
performed with paper-pencil medium.
Keywords : Geometric construction, dynamic geometry, geometric reasoning.
Giriş
Uzun yıllardır insanların büyülendiği, özellikle sanatta ve mimaride etkisinin en çok gözlendiği konu
alanlarından biri olan geometri, dış dünyanın anlamlandırılmasında ve karakterize edilmesinde
önemli bir role sahiptir. Geometri matematik programına girişte birleştirici bir tema olduğu gibi
aritmetik, cebir, istatistik, analiz gibi konu alanlarında da kavramları görselleştirmede zengin bir
kaynaktır ve temel matematik becerilerinden biridir (Napitupulu, 2001). Aynı zamanda eleştirel
düşünme, problem çözme, uzamsal ve görsel düşünme, muhakeme gibi farklı düşünme yollarını
geliştiren, matematiksel kavramların anlaşılmasını, kavranmasını ve genişletilmesini sağlayan ideal
bir araçtır (Goldenberg, Cuoco, & Mark, 1998).
Geometri çalışmalarının temelinde geometrik kavramların ve şekillerin görselleştirilmesi,
çizilmesi (oluşum) ve bunlara dayalı genellemelerin oluşturulması yer alır (Köse, 2008). Duval
(1998) geometrik düşünmeyi görselleştirme (visualisation), oluşum (construction) ve muhakeme
yapma (reasoning) olmak üzere üç bilişsel süreçte ele almaktadır. Görselleştirme süreci, geometrik
ifadenin görsel temsili ya da karmaşık geometrik bir durumun sezgisel ya da deneysel keşfidir.
Oluşum süreci, geometrik araçların kullanımıyla geometrik yapıların oluşturulmasıdır. Bu süreç
temsil edilen ve sunulan yapılarla ilgili gözlenen sonuçlar üzerine gerçekleştirilen eylemleri içerir.
Muhakeme süreci ise, bilginin açıklanması, kanıtlanması ve içeriğinin genişletilmesi gibi eylemleri
içeren çoğunlukla söylemsel (discoursive) süreçlerdir. Duval bu süreçlerin birbirinden ayrı
gerçekleştirilebileceğine işaret eder. Örneğin, görselleştirme mutlaka oluşum sürecine bağlı değildir.
1
Bir bölümü “ACTM 2011”de sözlü bildiri olarak sunulan bu çalışma Anadolu Üniversitesi Bilimsel Araştırma
Projeleri Komisyonunca kabul edilen 1002E49 nolu proje kapsamında desteklenmiştir.
2
Yard. Doç. Dr, Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi ABD.,<nyavuzsoy@anadolu.edu.tr>
3
Yard. Doç. Dr, Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi ABD.,<dtanisli@anadolu.edu.tr>
4
Yard. Doç. Dr, Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi ABD.,<eoerdogan@anadolu.edu.tr>
5
Yard. Doç. Dr, Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi ABD.,<tyuzugul@anadolu.edu.tr>.
Mersin Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012, ss. 102-121.
Mersin University Journal of the Faculty of Education, Vol. 8, Issue 3, December 2012, pp. 102-121.
KÖSE, TANIŞLI, ERDOĞAN & ADA
Benzer şekilde, oluşum görselleştirmeye yol açsa bile oluşum süreçleri sadece matematiksel
özellikler ve kullanılan araçların teknik özellikleri arasındaki ilişkilere bağlı bir süreçtir. Diğer
yandan görselleştirme bir kanıtın bulunması için bazen gerekli sezgisel bir yardım sağlasa bile
muhakeme yalnızca uygun olan önermelerin bütününe (tanımlar, aksiyomlar ve teoremler) dayanır.
Bazı durumlarda ise, görselleştirme yanıltıcı ya da imkânsız olabilir. Ancak Duval bilişsel süreçlerin
bu üç çeşidinin birbiriyle yakından ilişkili olduğunu ve onların sinerjisinin bilişsel olarak
geometrideki yeterlilikler için gerekli olduğunu savunmaktadır. Şekil 1 (Duval, 1998)’de bu üç
bilişsel sürecin birbiriyle olan ilişkisi daha net görülmektedir.
GÖRSELLEŞTİRME
2
4
1
3
OLUŞUM
MUHAKEME
5A
5B
Şekil 1. Geometrik Çalışmaların İçerdiği Bilişsel Etkileşim
Şekil 1’de bilişsel sürecin bir çeşidi ile temsil edilen her ok herhangi bir geometri etkinliğinde
bir sürecin diğer süreçleri desteklediğini göstermektedir. Noktalı olarak gösterilen ok
görselleştirmenin her zaman muhakemeye yardımcı olmadığını, 5A ve 5B okları ise muhakeme
yapmanın, oluşumdan ya da görselleştirmeden bağımsız bir biçimde gelişebildiğini örnekler. Diğer
taraftan 2-5B-3 yönü verilen bir şekil için oluşum sıralamasını bulma, 4-2-5A ya da 5B yönü oluşum
sıralamasını tanımlama yolunu temsil edebilir (Duval, 1998; Jones, 1998). Şüphesiz Duval’in ortaya
koyduğu tüm bu süreçler öğrencilerin geometrik çıkarımlar yapabilmelerinde, geometrik özellikleri
ve teoremleri kullanarak geometrik becerilerini, uzamsal yeteneklerini, geometrik sezgi ve hayal
güçlerini geliştirebilmelerinde, geometrik şekiller arasındaki dönüşümleri keşfedebilmelerinde ve
kavramlar arasında bağ kurabilmelerinde (MEB, 2005) önemli rol oynar. Ne yazık ki, pek çok
öğrenci geometriyi öğrenmede aşırı zorlanmaktadır. Bunun nedenlerinin başında geometri
derslerinde, öğrencilerin anlamaları sağlanmadan geometrik kavramların, şekillerin, özelliklerin ve
kanıtların ezberletilmesi gelmektedir. O halde Duval’in de yaptığı araştırmalarda ortaya koyduğu
çerçeve ışığında, bu üç süreç bağımsız olarak geliştirilebilir ve ardından bu üç sürecin birbiriyle olan
ilişkisi gözlemlenebilir.
Bu çalışmada ise öncelikle geometrik düşünmenin gelişiminin sağlanmasında önemli bir rolü
olduğu düşünülen geometrik oluşum üzerinde durulmuş ve bu oluşum sürecindeki öğrencilerin
muhakeme becerilerine odaklanılmıştır. Çalışma, öğretmen eğitiminde teknoloji kullanımının
matematik öğretimine entegrasyonunun sağlanması ile ilgili uzun soluklu bir projenin önemli bir
bölümünü oluşturmaktadır. Bu projenin önemli parçalarından biri de teknolojinin geometri
öğretimine entegrasyonudur. Bilindiği üzere günümüzde teknolojinin gelişmesiyle birlikte geometri
için öğretim araç ve gereçlerinin çeşitliliği de artmıştır. Bu araç gereçlerden biri de geometrik
çizimlerin yapılabildiği dinamik geometri yazılımlarını içeren hesap makineleridir. Bu araçlar
matematik eğitimi alanında önemli çalışmaların yapıldığı çeşitli ülkelerde (örneğin; A.B.D.,
İngiltere, Fransa, Kanada, Hong-Kong, Hollanda) birer öğretim aracı olarak sınıf içinde öğretmenler
tarafından kullanılmaktadır (Guin, Ruthven, & Trouche, 2005). Diğer taraftan hesap makinelerinin
taşınabilirliği ve günden güne fiyatlarının herkes tarafından ulaşılabilir hale gelmesi bu araçların
matematik ve geometri öğretiminde kullanılabilirliğini de artırmaktadır. Proje kapsamında öncelikle
geometrik çizimlerin yapılabildiği hesap makineleri kullanılarak çeşitli geometrik oluşum
etkinlikleri gerçekleştirilmiştir. Sonrasında hesap makinesi kullanımının kâğıt-kalem ortamındaki
(geometrik çizim araçlarının kullanımı) geometrik oluşum becerilerine ne kadar katkı sağladığı
araştırılmıştır.
Türkiye’de ilköğretim ve ortaöğretim matematik programlarında sınıf ortamında teknoloji
kullanımının gerekliliği ve önemi vurgulanmakta ancak bu durumun sadece internet, sunum araçları
(power point, projeksiyon) ve metin yazım yazılımları (word) ile sınırlı kaldığı da bilinmektedir. Ne
yazık ki öğretmenlerin (hem örgün hem de hizmet içi) bu konudaki eğitimleri bu durumun
103
Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012
MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ TEKNOLOJİ DESTEKLİ GEOMETRİ DERSİNDEKİ
GEOMETRİK OLUŞUM EDİNİMLERİ
nedenlerinden biri olarak düşünülebilir. Diğer taraftan Türkiye’de ilköğretim matematik ve
ortaöğretim geometri programlarında geometrik çizimlerde teknolojinin yanı sıra kâğıt-kalem
ortamında öğrencilerin çeşitli geometrik oluşumlar gerçekleştirmeleri gerekliliği de önemle
vurgulamakta ve temel geometrik çizimlerden bazıları her sınıf düzeyinde yer almaktadır. Oysa
ulusal seçme ve yerleştirme sınavları ile ders süresinin yetersizliği gibi pek çok nedenlerden dolayı
sınıflarda oluşum sürecine yeterince yer verilemediği de düşünülmektedir. Bu bağlamda, bu eğitim
sürecinden geçen geleceğin matematik öğretmenleri araştırma kapsamına alınmış ve bu öğrenciler
ile geometri derslerinde öncelikle hesap makineleri aracılığıyla geometrik oluşum çalışmaları
gerçekleştirilmiştir. Sonrasında öğretmen adaylarının kazanabildikleri oluşum becerilerini kâğıtkalem ortamı geometrik çizim araçlarını kullanarak yapmaları gereken çizimlere ne kadar
yansıtabildikleri incelenmiştir. Ayrıca alanyazında geometrik çizim araçlarıyla gerçekleştirilen
oluşum çalışmalarının az sayıda olması da bu çalışmanın gerçekleştirilmesinde etkili olmuştur.
Uluslararası alanyazında geometrik çizim araçlarının öğrenme-öğretme sürecindeki
kullanımıyla geometrik yapıların oluşumuna ilişkin bir tek Napitupulu (2001)’nun, Türkiye’de ise
Erduran ve Yeşildere (2010)’nin çalışmalarına rastlanmıştır. Napitupulu çalışmasında, öğrencilerin
pergel ve çizgeç kullanarak geometrik yapılar oluşturmaları sonucunda öğrencilerin Van Hiele
geometrik düşünme düzeyleri ile geometrik bilgileri ve bu düzeyler ile geometrik oluşumları
kavramaları arasındaki ilişkiyi araştırmıştır. Erduran ve Yeşildere ise üç matematik öğretmeninin
pergel ve çizgeç kullanarak geometrik yapıları oluşturma süreçlerini ve derslerde öğretmen-öğrenciaraç üçlüsü arasındaki etkileşimi incelemişlerdir.
Geometrik Oluşum
Euclid (Öklid) tarafından yazılan “Elements” adlı kitabın her bölümü teoremler ve problemler olmak
üzere iki tip önermeden oluşur. Genel olarak teorem, kanıtı verilen bir seri postulat ve daha önceden
kanıtlanmış teoremlere dayalı ikna edici delil sunan bir durumdur. Euclid (Öklid) geometrisinde
problem ise verilen bir takım özelliklere dayalı oluşturulan yeni geometrik yapılardır. Böylesi bir
problemin çözümü oluşum olarak adlandırılır. Bu oluşum kanıt gerektiren bir teoremin kendisi de
olabilir. Diğer bir deyişle, oluşum bir algoritma gerektiren teoremin özel bir biçimidir (Martin,
1998). Smart (1998) ise, oluşumu belirli geometrik problemleri belirlenmiş kurallar kümesine göre
çözmek için oluşturulan yöntemler olarak açıklar. Ona göre gerçekleştirilen bir oluşumda problem,
belirli koşulları sağlayan bir şekli çizmek değil, sadece pergel ve çizgeç kullanarak teorik olarak
kesin bir çözüm elde etmektir.
Geometrik bir oluşum öncelikle temel oluşumlar olarak da adlandırılan bir dizi basit/ilkel
aşamalardan oluşur. Örneğin; cetvel ile iki noktadan geçen bir doğru çizimi, iki doğrunun
kesişimindeki nokta (eğer öyle bir nokta varsa), pergel ile bir noktası merkez olarak verilen ve ikinci
bir noktadan geçen bir çember, pergel ile iki noktayı birleştiren bir doğru parçası, verilen bir doğru
ve bir çember arasındaki kesişimi oluşturma (eğer öyle bir nokta varsa), vb. (Janicic, 2006). Bu
basit/ilkel oluşumların kullanılmasıyla daha kapsamlı ve karmaşık oluşumlar da tanımlanabilir.
Örneğin, bir doğruya bir noktadan dik bir doğru oluşturma, bir açıortay oluşturma, bir açıyı
kopyalama, iki komşu kenarı ve bir açısı verilen bir üçgen oluşturma, üç kenarı verilen bir üçgen
oluşturma, bir dairede bir noktadan teğet oluşturma ve verilen bir doğruya dışındaki bir noktadan
paralel doğru oluşturma gibi (Napitupulu, 2001). Ancak geometrik araçların kullanımıyla geometrik
bir yapının oluşumunda nereden başlanması gerektiğinin ilk bakışta görülememesi bir problemdir ve
bu durum bir takım matematiksel becerilerin kullanımını zorunlu kılmaktadır. Örneğin, bir doğru
parçasına eş bir doğru parçası oluşturmada araç olarak cetvelin kullanılması sadece cetvelin
kullanımıyla ilgili psikomotor beceriyi gerektirmektedir. Ancak bu yapıyı oluşturmada araç olarak
pergelin kullanılması, söz konusu çizimi gerçekleştirmek için geometrik düşünmeyi gerektirir
(Erduran & Yeşildere, 2010).
Smart (1998) pergel ve çizgeç kullanarak herhangi bir oluşum probleminin çözümünde gerekli
olan dört farklı adımı aşağıdaki şekilde önermiştir:
1. Analiz
: Bu adımda, çözücü oluşumu gerçekleştirdiğini varsayar, daha sonra
şekildeki bilinmeyen öğe ve orjinal problemde verilen gerçekler arasındaki gerekli
bağlantıları bulmak için çözümün tamamlanmış resmini analiz eder.
2. Oluşum
: Bu adımın sonucunda çizgeç ve pergel ile oluşum gerçekleştirilir.
3. Kanıt
: Oluşturulan şeklin oluşumunun kanıtı gereklidir.
4. Tartışma
: Olası çözüm sayısı ve herhangi bir olası çözümün koşulları bu adımda
açıklanır (s.215).
104
Mersin Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi
KÖSE, TANIŞLI, ERDOĞAN & ADA
Kısacası ilk adımda verilen bilgilere dayalı kabataslak çizim yapılır. Sonra şekil analiz edilerek,
kabataslak çizime uygun verilen bilgiler ışığında ve uygun araçlarla belirli bir şeklin oluşumu için
bir yöntem bulunur. Bu süreçte şekillerin özellikleri kullanılarak ya da ilgili teoremler uygulanarak
oluşum tamamlanır. Daha sonra gerekli özelliklere sahip bir şekli oluşturmada kullanılan yöntem
kanıtlanır ve olası çözüm sayısı tartışılır (Napitupulu, 2001).
Bu çalışmada da, Smart’ın (1998) geometrik oluşum için öne sürdüğü dört aşamadan
yararlanılmış ancak öğretmen adaylarının oluşturulan şekli kanıtlamalarından daha çok oluşum
problemlerinin çözümünde, oluşum araçlarını (hesap makinesi ve geometrik çizim araçları; cetvel,
iletki, gönye ve pergel) nasıl kullandıklarına ve oluşumu gerçekleştirirken var olan geometrik
ilişkilere dayalı nasıl muhakeme yaptıklarına odaklanılmıştır. Bu muhakemelerde kullanılan
stratejiler de sınıf ortamında tartışılmıştır. Bu bağlamda bu çalışmanın genel amacı, TI-Nspire CAS
kullanımı ile desteklenmiş bir öğretim sürecinin, öğrencilerin istenilen geometrik oluşumlarda var
olan geometrik ilişkilere dayalı muhakemeler yoluyla oluşumu gerçekleştirmelerine katkısını
incelemektir. Ayrıca bu öğretim sürecinin öğrencilerin kullandıkları stratejiler üzerindeki etkisi de
ele alınmaktadır. Bu genel amaç kapsamında aşağıdaki soruya yanıt aranmıştır:
• Dinamik geometri yazılımlarını içeren hesap makineleriyle gerçekleştirilen öğretim
sürecindeki geometrik oluşum çalışmalarının, kâğıt-kalem ortamında gerçekleştirilen
geometrik oluşumlara, muhakeme yollarına ve kullanılan stratejilere katkısı nedir?
Yöntem
Bu araştırmanın katılımcılarının belirlenmesinde, verilerin toplanmasında, çözümlenmesinde ve
yorumlanmasında nitel araştırma yöntemi benimsenmiştir.
Katılımcılar
Çalışmanın katılımcılarını Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Programı birinci
sınıf öğrencileri oluşturmaktadır. Bu çalışma öğretmen eğitiminde teknoloji kullanımının matematik
öğretimine entegrasyonunun sağlanmasına yönelik, bilimsel araştırma projeleri kapsamında
desteklenen, uzun soluklu bir projenin parçasıdır. Proje güz ve bahar dönemlerindeki “Genel
Matematik” ve “Geometri” dersleri kapsamında yürütülmüş, bu nedenle katılımcılar 1. sınıf
öğrencileri arasından seçilmiştir. Ancak bu araştırma kapsamında Geometri dersini alan, güz
döneminde Genel Matematik dersinde TI-Nspire CAS cebirsel hesap makinalarını kullanmada
olumlu tutum gösteren, aynı zamanda ön ve son testlerde gönüllü olan toplam 77 öğrenci
araştırmaya dâhil edilmiştir.
Verilerin Toplanması
Çalışmanın verileri, her biri açık uçlu üçer sorudan oluşan bir ön test ve son test aracılığıyla
toplanmıştır. Ön ve son testin hazırlanmasında öncelikle alanyazın taranmış, Türkiye’deki ilköğretim
matematik dersi ve ortaöğretim geometri öğretim programları incelenmiş ve her bir test için dörder
sorunun yeterli olacağına karar verilmiştir. Hazırlanan sorular üç alan uzmanının görüşüne
sunulmuş, alınan dönütler sonucunda her iki testten birer soru çıkarılmıştır. Hazırlanan açık uçlu
testlerin pilot uygulaması yapılmış, soruların anlaşılırlığı, güçlük derecesi yönünde herhangi bir
sorunla karşılaşılmamıştır. Ön test uygulanırken öğrencilere cetvel, iletki, gönye ve pergelden oluşan
geometri çizim seti dağıtılarak onlardan bir saatlik sürede paralelkenar, düzgün çokgen ve
köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamuk oluşturmaları istenmiştir. Daha sonra öğrencilerin
geometrik oluşum becerilerini geliştirmek amacıyla Cabri Geometri II yazılımını içeren TI-Nspire
CAS hesap makinelerinin kullanımı ile desteklenmiş geometri dersleri işlenmiştir. Derslerde
Smart’ın (1998) ortaya koyduğu analiz, oluşum, kanıt ve tartışma aşamaları dikkate alınmıştır.
Ancak kâğıt-kalem ortamında gerçekleştirilen ön ve son testlerdeki oluşum problemlerinde
öğrencilerin sadece analiz ve oluşum aşamalarındaki muhakemeleri ve kullandıkları stratejilere
odaklanıldığından, öğrencilerden oluşumlara ilişkin kanıtlar istenmemiştir. Dönem süresince
gerçekleştirilen etkinlikler sonunda ise öğrencilere son test uygulanmış, onlardan benzer şekilde
geometrik çizim setini kullanarak bir saatlik sürede kare, eşkenar dörtgen ve köşegenleri dik kesişen
ikizkenar yamuk oluşturmaları istenmiştir. Her iki testte de köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamuk
oluşumuna (Leikin, 2004) yer verilmesinin sebebi; oluşumda istenilen yamuğun “köşegenlerinin
kesişim noktasının karşılıklı paralel kenarların orta dikmesinin üzerinde olması” gibi farklı
özelliklere sahip olmasıdır. Ayrıca Leikin’in araştırmasındaki öğretmenlerden birinin “Bir çember
içine köşegenleri dik kesişen bir ikizkenar yamuk çizilebilir mi?” sorusu bizi bu oluşum problemine
ilişkin daha farklı yollar olduğu konusunda cesaretlendirmiştir.
105
Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012
MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ TEKNOLOJİ DESTEKLİ GEOMETRİ DERSİNDEKİ
GEOMETRİK OLUŞUM EDİNİMLERİ
Çalışmada ön ve son testlerde geometrik çizim setinin kullanılmasının amacı ise öğretim
sürecinin dinamik geometri yazılımlarının kullanımını içermesidir. Çünkü bu yazılımlar uzunluk,
alan, çevre ve açı gibi ölçümlerin yapılmasını kapsamaktadır.
Öğretim Süreci
Cabri Geometri II yazılımını içeren TI-Nspire CAS hesap makinelerinin kullanımı ile desteklenmiş
geometri derslerinde ilk olarak öğrencilere hesap makinesinin kullanımı tanıtılmış, menüler ve menü
özellikleri ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Derslerde her öğrencinin bir TI-Nspire CAS kullandığı dört
alan uzmanı tarafından hazırlanan çeşitli geometrik oluşumlara ilişkin toplam 6 öğretim etkinliği
gerçekleştirilmiştir. Bu öğretim etkinliklerinin hazırlanmasında çokgenleri (iki üçgen etkinliği, dört
dörtgen etkinliği) içeren Cabri Geometry II ve Geometer’s Sketchpad gibi dinamik geometri
yazılımlarının sınıf içi kullanımına yönelik çalışmalardan yararlanılmıştır (Bennett, 2002; Cecconi,
Capponi &Bellemain, 2003; Keyton, 1997). Öğretim etkinliklerinde kullanılan çalışma yaprakları
hem öğrenciler için, hem de dersi yürüten öğretim üyesi için ayrı ayrı hazırlanmıştır (Öğrenci
çalışma yaprağından bir örnek Ek-1’de sunulmuştur). Çalışma yapraklarında öğrencilerin bir oluşum
problemini çözerken Ek-1’de verilen Napolyon üçgeni ile ilgili etkinlikte öğrencinin öncelikle
geometrik ilişkileri görerek bir muhakeme yapması ve bu muhakemeye dayalı analiz yaparak
oluşuma geçmesi beklenmiştir. Örneğin, herhangi bir ABC üçgeninin her bir kenarına eşkenar
üçgenlerin yerleştirilmesinde öğrencilerin “çember kullanımı”, “ışın, açılar kullanılarak ölçüm
aktarımı” ve “orta dikme ile çember kullanımı” gibi pek çok yolu düşünerek oluşum aşamasına
geçmesi sağlanmıştır. Oluşan üçgenlerin eşkenar üçgen olduğundan emin olduktan sonra, her bir
üçgene ait ağırlık merkezinin nasıl bulunabileceği tartışılmıştır. Ağırlık merkezlerini köşe kabul eden
“Dış Napolyon” üçgeninin oluşumu gerçekleştirildikten sonra bu üçgenin incelenmesi istenmiş,
ABC üçgeninin köşe noktaları her bir eşkenar üçgenin köşe noktasının birleşmesi ile oluşan doğru
parçaları hakkında öğrencilerin varsayımlarını oluşturmaları ve varsayımlarını ispatlamaları
beklenmiş, sınıf tartışması ile çalışma son bulmuştur.
Bireysel ya da iki kişilik gruplar ile gerçekleştirilen etkinliklerde öğrenciler düşüncelerini
açıklamaları, buldukları yolları belirtmeleri ve farklı yollar denemeleri konusunda cesaretlendirilmiş,
tartışma ortamı yaratılmıştır. Bulunan farklı yollar araştırmacının hesap makinesinin bağlı olduğu
projektör/tepegöz aracılığıyla diğer öğrencilerle paylaşılmıştır. Sınıf içi uygulamalardan örnek
kareler Şekil 2’de sunulmuştur.
Şekil 2. Öğretim sürecinden kareler
Verilerin Analizi
Araştırmada elde edilen veriler nitel olarak analiz edilmiştir. Öncelikle açık uçlu sorulardan oluşan
ön ve son testte verilen yanıtlar dört araştırmacı tarafından bağımsız olarak incelenmiş ve veriler
kodlanmıştır. Bu kodlamalara dayalı olarak dört araştırmacı bağımsız olarak temaları ve alt temaları
oluşturmuşlardır (Bogdan & Biklen, 1998). Ön ve son testler geometrik özelliklere ve ölçüme dayalı,
farklı geometrik şekillere dayalı, geometrik dönüşümlere dayalı, rastgele ve yanıtsız biçimindeki ana
temalar altında toplanmıştır. Bu ana temalar altında her bir soru için kullanılan stratejilerdeki ortak
noktalar birer alt başlık altında gruplanmış, bu başlıklar alt tema olarak belirlenmiştir. Temalar ve alt
temalar için güvenirlik çalışması yapılarak analiz sonuçlarının güvenirliği sağlanmıştır. Kodlama
güvenirlik hesaplaması için, Miles ve Huberman (1994)’ın önerdiği uyuşum yüzdesi kullanılmıştır.
Bunun için, alan uzmanlarının belirledikleri kodlar için “görüş birliği”, “görüş ayrılığı” sayıları
belirlenmiş ve yapılan hesaplamalar sonucunda uyuşum yüzdesi ön test için %90, son test için %92
olarak bulunmuştur. Daha sonra belirlenen tema ve alt temaların frekans ve yüzdeleri hesaplanmış,
yorumlanmış ve veriler tablo yoluyla görselleştirilerek sunulmuştur.
Bulgular ve Yorum
İlköğretim matematik öğretmenliği birinci sınıf öğrencilerinin istenilen geometrik yapıları
oluşturmaları hesap makinesi kullanımından önce ve sonra olmak üzere iki bölümde verilmiştir.
106
Mersin Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi
KÖSE, TANIŞLI, ERDOĞAN & ADA
Ön Oluşum Becerileri
Öğrencilerin geometrik yapıları geometrik çizim seti kullanarak nasıl oluşturduklarının incelendiği
bu aşamada, öğrencilerden paralelkenar (Soru 1), düzgün çokgen (Soru 2) ve köşegenleri dik kesişen
ikizkenar yamuk (Soru 3) oluşturmaları istenmiş, elde edilen bulgular Tablo 1’de sunulmuştur.
Tablo 1: Öğrencilerin Geometrik Yapıları Oluşturmaları
Geometrik özelliklere ve ölçüme dayalı
Tek özellik
S1
Dikme
Açı
Farklı geometrik şekillere
dayalı
Tüm
özellikler
Kenar
f:77
%
S2
f
%
15
%19,5
11
%14,3
-
7
%9,1
S3
Diklik
Açı
Orta
dikme
f
%
7
%9,1
5
%6,5
3
%3,9
Geometrik
dönüşümlere
dayalı
Ötele
Dön
me
me
Rastgele
Yanıtsız
4
%5,2
2
%2,6
13
%16,88
5
%6,5
1
%1,3
14
%18,2
11
%14,3
30
%38,96
4
%5,2
Çember
19
%24,68
15
%19,48
21
%27,27
Çember
34
%44,16
1
%1,3
Üçgen
1
%1,3
Dörtgen
1
%1,3
Çember
Üçgen
Kare
4
%5,19
2
%2,6
1
%1,3
-
-
Paralelkenar
Herhangi bir paralelkenar oluşturulmasının istendiği birinci soruda öğrencilerin yaklaşık %69’unun
paralelkenarın geometrik özelliklerine ve ölçüme dayalı oluşum yaptıkları, sadece bir öğrencinin
paralelkenarın oluşumu için farklı geometrik şekillerden yararlandığı ve çok az sayıda öğrencinin
geometrik dönüşümlerden öteleme ve dönmeye dayalı çizimler gerçekleştirdikleri saptanmıştır.
Paralelkenarın tek bir özelliğine dayalı oluşum yapan öğrencilerin çoğunluğu paralelkenarın
paralellik özelliğini çizdikleri doğru parçasından eşit uzunlukta dikmeler çizerek sağlamış
(çoğunluğu sadece bir çift kenar için), cetvel yardımıyla çizimlerini tamamlamışlardır. Bu süreci
gerçekleştiren öğrencilerden 10’ unun ise, “dikdörtgenin aynı zamanda paralelkenarın özel bir hali
olduğu” düşüncesi ile oluşumlarını dikdörtgen olarak bıraktıkları görülmüştür. Öğrencilerin
muhakemelerinde “bir doğru üzerindeki noktalardan çıkılan eş dikmelerin dikme ayaklarından geçen
doğru ilk doğruya paraleldir” düşüncesinin olduğu söylenebilir. Bazı adaylar ise açılardan yola
çıkarak iç ters ya da yöndeş açılardan yararlanmış, bu açıların bütünler olmasına dikkat ederek cetvel
ve açıölçer aracılığıyla paralelkenarı oluşturmuşlardır. Bu öğrencilerin “paralel iki doğru üçüncü bir
doğru ile kesildiğinde oluşan iç ters ve yöndeş açılar eştir” düşüncesi ile hareket ettikleri
söylenebilir. Az sayıda öğrencinin ise bu süreçte sadece karşılıklı kenar uzunluklarının eşitliğini
dikkate aldığı saptanmıştır. Bu öğrencilerin çizimleri dikkate alındığında paralelkenarın tek bir
özelliğine odaklandıkları ve oluşumu araçlar ile tamamen ölçüme dayalı bir biçimde tamamladıkları
görülmüştür (Şekil 3-I). Dolayısıyla sadece dikmeler, açı ya da kenar özelliklerine dayalı oluşum
yapan öğrencilerin paralelkenarın diğer özelliklerini ihmal ettikleri görülmüştür. Bu nedenle
gerçekleştirilen oluşumun paralelkenar olup olmadığı şüphelidir. Buna karşın bu öğrencilerden 19’
unun paralelkenarı oluştururken sadece bir özelliğe odaklanmak yerine paralellik, kenar uzunluğu ve
açı özelliklerinin tümüne odaklandıkları ve çizimlerini ölçüme dayalı biçimde tamamladıkları
belirlenmiştir. Geometrik özelliklere ve ölçüme dayalı gerçekleştirilen bu oluşumda öğrencilerin
aldıkları bir doğru parçasından başlayarak, açıları belirledikleri ve böylelikle paralelliği sağladıkları,
diğer kenar uzunluklarını ise cetvel ile belirledikleri görülmüştür. Şekil 3’te öğrenci çizimlerinden
örnekler ve bu süreçteki muhakemeleri sunulmuştur.
I. Tek özellik
• Önce AB doğru parçası çizdim. AB
doğrusuna dik ve eşit 3 nokta seçtim. E, F, G
noktalarından geçen bir doğru çizdim.
AB//EG olmuş oldu.
• EG doğrusu üzerinde bir C noktası ve D
noktası aldım. | | = | | ve aynı zamanda
| | = | |olacak şekilde çizdim.
• Böylelikle ABCD bir paralelkenar olmuş
oldu.
107
Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012
MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ TEKNOLOJİ DESTEKLİ GEOMETRİ DERSİNDEKİ
GEOMETRİK OLUŞUM EDİNİMLERİ
II. Tüm özellikler
• Önce AB kenarını 6 cm olarak çizdim.
• A köşesine açıölçeri koyarak 120° lik bir
açısı çizdim.
• Paralelkenar olmasını istediğimden B
köşesindeki açı 60° olmalıdır. B köşesine de
açıölçeri koyup 60° lik bir açı çizdim.
• | | = | | olacak şekilde | | ve | |
kenarlarını çizdim. C ve D yi birleştirdim ve
bunun da 6 cm olduğunu gördüm. Yani
paralelkenarım doğru olmuş oldu.
• | | = | |, | | = | |, m( )= m( ),
m( )= m( ) olduğundan | |//| |,
| |//| | ve ABCD bir paralelkenardır.
Şekil 3. Geometrik özelliklere dayalı oluşum (tek ve tüm özellikler)
Paralelkenarın oluşumunda sadece bir öğrenci farklı geometrik şekillere dayalı olarak
çemberden yararlanmış, ancak oluşumunu paralelkenar yerine paralelkenarın özel bir durumu olan
dikdörtgen olarak bırakmıştır. Öğrencinin muhakemesinde iki çapın kesişiminden elde edilen ters
açıların eşliğinden yararlanarak “eş açıların karşısındaki yayların eşliğini” kullandığı görülmektedir.
Ancak öğrencinin bu yayları gören kirişlerin neden paralel olduğunu ifade edemediği ve çapı gören
çevre açının 90° olduğundan hareketle paralelkenarın özel bir durumu olan dikdörtgeni oluşturduğu
görülmüştür. Şekil 4’te oluşumu sunulan öğrencinin muhakemesi şöyledir:
“Pergel ile bir çember çizdim. Bu çemberin merkezinden geçen iki farklı doğru çizdim.
m(1)= m(2) ve 1 ve 2 merkez açı olduğu için bu açıların gördüğü yaylar da eşittir. D ile A yı,
C ile de B’yi birleştirdim. CB ile AD yayları eşit olduğu için |DA|//|CB| dir. m(3)= m(4) ve 3
ve 4 merkez açı olduğundan DC ve AB yayları da eşittir. DC, AB yayına eşit olduğu için
|DC|//|AB| olur. Dolayısıyla ABCD bir paralelkenardır.”
Şekil 4. Farklı geometrik şekillere (çembere) dayalı oluşum
Paralelkenar oluşumunda çok az sayıda öğrenci öteleme ve dönme gibi geometrik
dönüşümlerden yararlanmışlardır. Ancak bu öğrencilerden sadece birinin oluşum süreci ile istenilen
dörtgen elde edilebilmektedir. Şekil 5’te öğrencinin muhakemesi ve oluşumu sunulmuştur. Bu
oluşumda öğrenci diğer öğrencilerin aksine öncelikle çizilen dikmeler ile paralelliği sağlamış,
ardından eşit uzunluklarda öteleme ile paralelkenarı oluşturmuştur.
• İlk önce d doğrusunu alalım.
• d doğrusu üzerinde bir A noktası alalım. A
noktasından 5cm dik uzaklıkta bir A’ noktası
belirleyelim.
• d üzerinde bir B noktası alalım. B noktasına 5cm dik
uzaklıkta bir B’ noktasını belirleriz.
• A’ ve B’ birleştirilir. d doğrusuna paralel bir k
doğrusu elde edilir.
• A’ den C ye bir doğru çizilir.
• | ′ ′|uzaklığına eşit olacak şekilde (| ′ ′| =
| ′| = 5,5 ) d doğrusu üzerinde bir C’ noktası
alınır.
• Bu durumda A’C ve B’C de paralel olur. A’CC’B
paralelkenarı elde edilir.
Şekil 5. Geometrik dönüşümlere dayalı oluşum
108
Mersin Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi
KÖSE, TANIŞLI, ERDOĞAN
ĞAN & ADA
Düzgün Çokgen
Düzgün bir çokgenin oluşturulmasının
şturulmasının istendiği
istendi ikinci soruda öğrencilerin
rencilerin yyaklaşık %20’sinin
düzgün çokgenin tüm kenarlarının ve açılarının eşliğine
e
dayalı oluşum
şum yaptıkları, ööğrencilerin
yarısına yakının ise düzgün çokgenin oluşumu
olu
için çember, eşkenar
kenar üçgen gibi farklı geometrik
şekillerden
ekillerden yararlandıkları belirlenmiştir.
belirlenmi
Tüm geometrik özelliklere dayalı oluşum
olu
yapan
öğrencilerin
rencilerin ölçüme dayalı olarak cetvelle istedikleri uzunlukta do
doğru
ru parçası aldıkları, seçtikleri
düzgün çokgenin açısına göre açıölçer ile açıları belirleyerek oluşumu
olu umu tamamladıkları görülmüştür.
görülmü
Örneğin, düzgün altıgen çiziminde
çizimi
öğrencilerin doğrudan iç açıları 120°, dışş açıları 60° aldıkları ve
herhangi bir muhakemede bulunmadıkları belirlenmiştir.
belirlenmi
Dolayısıyla, buu süreç seçilen çokgene özel
olarak gerçekleştiğinden
inden dolayı zayıf bir oluşum olarak nitelendirilebilir.
Öğrencilerin yaklaşık
şık %44’
%44’ü tarafından düzgün çokgenin oluşumunda kullanılan çemberin ise
ağırlıklı olarak (26 aday) merkez açısı
açıs eş parçalara bölünerek Şekil 6’da sunulduğu
sunulduğ gibi istenilen
düzgün çokgen oluşturulmuştur.
ştur. Öğrencilerin bu oluşumdaki muhakemelerinde ağırlıklı
ağ
olarak “eş
açıların karşısındaki
ısındaki yayların eşliğini”
eş ğ
kullandıkları söylenebilir.
• Merkezi O olan bir çember oluşturulur.
• Sonra çemberi 6 eş parçaya bölelim. Açıölçer
yardımıyla çember 6 eş parçaya ayrılabilir. Sonra bu
noktaları sırasıyla birleştirelim
tirelim cetvel yardımıyla.
• Sonuçta düzgün altıgen oluşmuşş oldu. BCDEFA
altıgeni.
• | | = | | = | | = | | = | | olur.
Şekil 6.
6 Farklı geometrik şekillere dayalı oluşum
Çemberi kullanan öğrencilerden
ğrencilerden be
beşi çember üzerinde eş yaylardan yararlanırken, ikisi merkez
açı yerine eş kirişlerden
lerden yararlanmıştır.
yararlanmı
Eş kirişlerden yararlanan bu öğrencilerden
ğrencilerden birinin dik
kesişen çapları kullanarakk bir kare oluşturduğu
olu
(Şekil 7-I), muhakemesinde ise “bir çemberde
birbirini dik kesen iki çap birbirini ortalar” düşüncesinin olduğu söylenebilir. Diğ
iğer öğrenci ise AB
kirişine
ine dayalı olarak orta dikmeler ile eeş kirişler oluşturarak altıgenini (Şekil
Şekil 77-II) oluşturmuştur.
Üçgenlerden yararlanan bir öğrenci
öğ
altı eşkenar
kenar üçgeni bir nokta etrafında birleş
birleştirmiş, teğetler
dörtgeninden yararlanan bir öğrenci
ğrenci ise bir kare olu
oluşturmuştur.
I
II
Şekil 7. Farklı geometrik şekillere dayalı oluşum
Köşegenleri Dik Kesişen İkizkenar Yamuk
Köşegenleri dik kesişen
şen ikizkenar bir yamuğun
yamu
oluşturulmasının istendiği
ği son soruda ööğrencilerin
%46’sının şeklin
eklin geometrik özelliklerine dayalı bir oluşum
olu
gerçekleştirdikleri
tirdikleri belirlenmiştir.
belirlenmi
Ancak
bu öğrencilerden sadece köşegenlerin
şegenlerin dik kkesişmesine ya da sadece köşegenlerin
şegenlerin taban ile yaptı
yaptığı
açıya dayalı çizim yapanların ikizkenar yamuk oluşturamadıkları
olu
görülmüştür. Örneğin,
Örneğ Şekil 8-I’de
köşegenlerin dik kesişimine
şimine dayalı çizimini gerçekle
gerçekleştiren öğrencinin oluşturduğ
şturduğu şeklin taban
açıları ölçüldüğünde
ünde açıların eş olmadığıı dolayısıyla ikizkenar yamuk belirtmediği
belirtmediğ görülmektedir.
Ancak bu ölçüm öğrenci
renci tarafından olu
oluşum sırasında yapılmadığı için öğrenci
ğrenci oluşumu
olu
ikizkenar
yamuk olarak almıştır. Şekil 8--II örneğinde ise öğrenci açılara dayalı çizim yapmasına karşın
kar taban
açılarının eşliğini sağlayacak
cak bir yol düşünemediğinden
dü
dolayı ikizkenar yamuk oluşturamamıştır.
oluş
109
Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012
MATEMATİK ÖĞRETMEN
RETMEN ADAYLARININ TEKNOLOJİ
TEKNOLOJ DESTEKLİ GEOMETR
GEOMETRİ DERSİNDEKİ
GEOMETRİK OLUŞŞUM EDİNİMLERİ
I
II
Şekil 8.. Geometrik özelliklere ve ölçüme dayalı oluşum
um (diklik, açı ve orta dikme)
Buna karşın öğrencilerin
rencilerin yaklaşık
yakla % 27’sinin şeklin
eklin tüm geometrik özelliklerini (kö
(köşegenlerin
dik kesişmesi ve eşliği
ş ği ile tabanla yaptıkları açıların eeşliği)
i) dikkate alarak olu
oluşumlarını
tamamladıkları saptanmıştır.
ştır. Öğ
Öğrencilerden 3’ü ise bu oluşumlarında
umlarında ayrıca tabana ait orta dikmeden
de yararlanmış,, bu dikmenin köşegenlerin
köşegenlerin kesim noktasından geçmesine dikkat ederek olu
oluşumlarını
Şekil 9’daki
ki gibi tamamlamıştır.
tamamlamış
Ancak öğrencinin oluşumdaki
umdaki muhakemesi incelendi
incelendiğinde
yamuğun köşegenlerini neden eş çizdiğini ve orta dikmeyi neden kullandığ
dığını belirtmediği
görülmüştür. Benzer oluşumu
şumu gerçekle
gerçekleştiren öğrencilerden çoğunun da köşegen
şegen uzunluklarını ve
köşegenlerin kesişim
im noktasından (O) yamu
yamuğun köşee noktalarına (A ve B) olan uzaklıkları neden eşit
aldıklarını (OA=OB gibi) belirtmedikleri görülmüştür.
• Açıölçer yardımıyla birbirine dik BC ve AD
doğrularını çizdim.
• Sonra açıölçer ve cetvel yardımıyla bu doğrular
do
arasında kalan farklı uzunlukta ve birbirine paralel
iki doğru parçası çizdim.
• Daha sonra cetvel yardımıyla bu doğruların
ğruların uçlarını
birleştirince ikizkenar bir yamuk oluştu.
ştu.
Şekil 9.. Geometrik özelliklere dayalı oluşum
olu um (diklik, açı ve orta dikme)
Öğrencilerin
rencilerin sadece 7’si oluş
oluşumlarını farklı geometrik şekillere
ekillere dayalı olarak çember, üçgen ve
kareden yararlanarak gerçekleştirmişlerdir.
gerçekleştirmi
Çemberden yararlanan öğrencilerden
rencilerden sadece 2’si istenen
oluşumu tamamlamış, bu öğrencilerden
ğrencilerden biri
birinin oluşumu örnek olarak Şekil 10-II de sunulmuştur.
sunulmu
Bu
öğrenci öncelikle A merkezli bir çember çizerek bu çemberin çapını (P) belirlemiş,
belirlemi çapın uç
noktalarından geçen teğet doğrularını
ğrularını olu
oluşturmuştur. Bu yol ile öğrencinin teğet
ğet doğ
doğrularının (d1 ve
d2) paralelliğini sağladığı
ğı söylenebilir. Ardından çapla (P) 45’şer derecelik açı yapan iki doğru
do
(dz ve
db) çizerek köşegenlerin
nlerin dikliğini sağlamıştır.
sa
Son olarak yamuğun
un alt tabanını oluş
oluşturacak doğrunun
paralelliğini ise “bir doğru
ğru üzerindeki noktalardan çıkılan eeş dikmelerin dikme ayaklarından geçen
doğru ilk doğruya
ruya paraleldir” dü
düşüncesi ile oluşturduğu gözlenmiştir.
tir. Dolayısıyla kö
köşegenleri dik
kesişenn QYGH ikizkenar yamuğunu
yamuğ
oluşturmuştur. Üçgenlerden yararlanan 2 öğrenci
ğrenci, ikizkenar dik
üçgeni ve 3-4-55 üçgenini (Şekil
(Ş
10-II) kullanmıştır. Bu öğrencilerin
rencilerin dik kesi
kesişen 2 doğruyu
kullanarak dik üçgenler elde ettiği
etti i ve Pisagor teoremine dayalı olarak da kkenar uzunluklarını
belirledikleri, bunlara bağlı
ğlı olarak ikizkenar yamuğu
yamu oluşturdukları söylenebilir. Farklı geometrik
şekillerden kareye
ye dayalı oluşumu
oluş
gerçekleştiren 1 öğrenci ise karenin köşegenlerinin
şegenlerinin kesi
kesişim
noktasından
an yararlanarak ikizkenar yamuğu
yamu oluşturmuştur.
I
II
Şekil 10. Farklı geometrik şekillere dayalı oluşum
110
Mersin Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi
KÖSE, TANIŞLI, ERDOĞAN & ADA
Tablo 1 incelendiğinde özellikle son soruda olmak üzere öğrencilerin büyük bir çoğunluğunun
rastgele oluşum yaptıkları, herhangi bir çizim yapamayarak soruyu yanıtsız bıraktıkları görülmüştür.
Rastgele oluşum öğrencilerin geometrik yapıların oluşumunda geometrik özellikleri ve teoremleri
dikkate almaksızın gerçekleştirdikleri oluşum olarak tanımlanabilir. Şekil 11’de rastgele oluşumlara
örnekler sunulmuştur. Rastgele oluşum yapan bir öğrencin muhakemesine ise “Öncelikle iletki
yardımıyla bir AB doğru parçası çizelim. Daha sonra bu doğruya paralel bir CD doğru parçası
çizelim. A ile D, B ile C noktalarını öyle birleştirelim ki ACD açısı ile BDC açısı eşit olsun. Bunu da
gönye yardımıyla ayarlayabiliriz” biçimindeki ifadeleri örnek olarak verilebilir. Öğrencilerin
yaptıkları açıklamalarda bazı geometrik özellikleri (paralel doğru çizimi gibi) ifade etmelerine karşın
oluşumda çizimin göz kararı yani rastgele gerçekleştirdiği açıkça görülmektedir.
Şekil 11. Rastgele oluşum
Tablo 2: Öğrencilerin Geometrik Yapıları Oluşturmaları
Geometrik özelliklere ve ölçüme
dayalı
Farklı geometrik şekillere dayalı
Soru 1
Tüm özellikler
Çember
Teğetler dörtgeni
f(77)
%
11
%14,28
50
%64,94
11
%14,28
Soru 2
Tüm özellikler
Çember
Altıgen
Üçgen
f
%
23
%29,87
39
%50,64
9
%11,69
2
%2,6
Tüm
özellikler
Çember
Üçgen
Kare
16
%20,78
31
%40,26
4
%5,19
3
%3,9
Soru 3
f
%
Tek özellik
Diklik
Orta dikme
3
3
%3,9
%3,9
Rastgele
Yanıtsız
3
%3,9
2
%2,6
2
%2,6
2
%2,6
16
%20,78
1
%1,29
Son Oluşum Becerileri
Öğretim sürecinin ardından öğrencilerin geometrik yapıları (kare, eşkenar dörtgen ve köşegenleri dik
kesişen ikizkenar yamuk) çizim araçlarını kullanarak nasıl oluşturduklarının ve hangi stratejileri
kullandıklarının tekrar incelendiği bu son aşamadan elde edilen bulgular Tablo 2’de sunulmuştur.
Düzgün Çokgen (Kare)
Herhangi bir kare oluşturulmasının istendiği birinci soruda öğrencilerin yaklaşık %80 inin karenin
geometrik özelliklerine dayalı oluşum yapmak yerine farklı geometrik şekillere özellikle de çembere
dayalı çizimler gerçekleştirdikleri saptanmıştır. Özellikle çembere dayalı oluşumlar incelendiğinde
öğrencilerin merkez açı, yarıçap, çap, çevrel çember ve birden fazla eş çemberin kesişimine dayalı
oldukça çeşitli stratejiler geliştirdikleri de görülmüştür. Örneğin, öğrencilerin 31’i Şekil 12-I de
görüldüğü gibi çizdiği çemberin çaplarını dik kesiştirerek kare oluştururken, 13’ü merkez açıyı önce
sekizgen olacak şekilde eş parçalara bölüp ardından kareyi Şekil 12-II de sunulduğu gibi
oluşturmuşlardır. Çemberin çaplarının dik kesişimi ile oluşan dörtgendeki köşegenlerin ayırdığı
üçgenler üzerine muhakeme kuran öğrencilerin çoğunluğunun oluşan üçgenlerin ikizkenar üçgen
olduğunu ifade ettikleri ve kenar-açı-kenar eşlik aksiyomunu kullanarak eş üçgenlerin oluşturduğu
dörtgenin bir kare olduğunu belirttikleri görülmüştür. Bazı öğrencilerin ise muhakemelerinde
çapların dik kesişimi ile oluşan dörtgenin köşe noktalarının açı ölçüsünün “çapı gören çevre açı
90°dir” özelliğine ve köşegenlerin eşliğini çapa dayalı olarak dörtgenin kare olduğunu vurguladıkları
belirlenmiştir. Çemberin merkez açısını bölerek kare oluşturan öğrencilerin muhakemelerinde ise
öğrencilerin bazılarının Şekil 12-II’deki ilk açıklamada sunulduğu gibi eş yaylar-eş kirişler
üzerinden muhakeme yürütmelerine karşın bazı öğrencilerin oluşumun bir kare olduğunu daha çok
ölçüme dayalı olarak ikinci açıklamadaki gibi belirttikleri saptanmıştır. Birinci açıklamada bulunan
111
Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012
MATEMATİK ÖĞRETMEN
RETMEN ADAYLARININ TEKNOLOJİ
TEKNOLOJ DESTEKLİ GEOMETR
GEOMETRİ DERSİNDEKİ
GEOMETRİK OLUŞŞUM EDİNİMLERİ
öğrencilerin öncelikle “eşş açıların kar
karşısındaki yayların eşliğine”
ine” dayalı olarak düzgün sekizgeni
oluşturdukları görülmüştür.
ştür. Düzgün sekizgenin köşegenlerini
egenlerini (GC ve AE) çizerek bu eş
köşegenlerin/çaplarının
egenlerin/çaplarının uç noktalarını birle
birleştirerek dörtgeni elde etmiştir.
ştir. Bu dörtgenin
köşegenlerinin dik kesişmesine
şmesine ve “çapı gören çevre açı 90°dir” özelli
özelliğine
ine dayalı olarak öğrencilerin
ö
bu dörtgenin kare olduğunu ifade ettikleri söylenebilir. Şekil 12’de bu oluşumlar
şumlar ve ööğrencilerin
muhakemelerden örnekler sunulmuştur.
sunulmu
I.
• Öncelikle pergel yardımıyla bir çember çizelim. Merkezi O
olan bu çembere gönye yardımıyla bir çap çizelim.
Sonrasında iletki yardımıyla çizdiğim
im çapa dik olacak
şekilde ikinci bir çap çizelim. Bu çapların çemberle
birleşen uçlarını birleştirelim.
∆
• KOM üçgeni
geni ikizkenar üçgendir ve O açısı 90° olduğundan
oldu
dolayı
=
= 45° olurlar. Benzer şekilde
∆
∆
∆
∆
∆
KON , NOL , LOM üçgenleri için de aynı olur. Dolayısıyla
K, N, L, M köşeleri 90° olmuş olur. Ayrıca görüldüğü
görüldü gibi
II.
∆
∆
KOM , KON , NOL , LOM üçgenleri eş olduklarından dolayı
|
| | | | | | | olur. Sonunda KNLM karesi
oluşmuş olur.
1. Açıklama:
• Pergel ile bir çember çizdim. Daha sonra çember yayını
açıölçer ile 8 eş parçaya ayırdım.
• Daha sonra bu noktaları cetvel yardımıyla birleştirdim
birle
ve
düzgün sekizgen elde ettim.
"
"
"
"
"
"
• "! !"
• Eşit yayı gören kirişlerin uzunlukları eşittir.
egenleri aynı zamanda çaptır ve çapı gören
• |! |ve | |köşegenleri
çevre açı 90°dir.
•
!
!
!
90°
• Bu verilere dayanarak AGEC bir karedir.
2. Açıklama: Ölçüme dayalı
• Önce pergel ile yarıçapı 3,3 cm olan çember çizdim. Bu
çemberden yararlanarak çemberi önce dört eş dilim şekline
sonra sekiz eş dilim şekline
ekline ayırıp çemberin üzerindeki 8
noktayı işaretledim
aretledim (açıölçer ile) daha sonra bu 8 noktayı
birleştirerek düzgün sekizgen oluşturdum.
• Oluşan
an düzgün sekizgende (ABCDEFGH) A ile G noktasını,
G ile E noktasını, E ile C noktasını ve C ile A noktasını
birleştirerek kare oluşturdum. Kontrol ettiğimde
ğimde;
| !| |! | | | | | 4,5 ,
!
!
!
90° olur.
Şekil 12. Farklı geometrik şekillere dayalı oluşum
Karenin oluşumunda öğrencilerin
ğrencilerin 3’ü
3’ çevrel çemberden, 1 öğrenci
renci yarıçaplardan yarar
yararlanırken,
1 öğrenci iki (Şekil 13-I), 2 öğrenci
ğrenci ise dört eeş çemberden (Şekil 13-II)) yararlanmışlardır.
yararlanmış
I
II
Şekil 13. Farklı geometrik şekillere dayalı oluşum
112
Mersin Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi
KÖSE, TANIŞLI, ERDOĞAN & ADA
Bu soruda farklı geometrik şekillere dayalı oluşum kapsamında öğrencilerin bazılarının
kullandığı diğer bir strateji ise çembere dayalı olarak teğetler dörtgenini oluşturarak kareye
ulaşmaktır.
Öğrencilerin %14’ünün ise karenin oluşumunu geometrik özelliklere dayalı olarak
tamamladıkları görülmüştür. Bu oluşumlar incelendiğinde dikkati çeken en önemli nokta, ön testin
aksine, öğrencilerin tamamının istenen yapının oluşumunda tek bir özelliğine odaklanmak yerine
tüm açı ve kenar özelliklerine odaklanmalarıdır. Eşkenar dörtgenin oluşturulmasının istendiği ikinci
soruda da benzer şekilde öğrencilerin % 31’inin geometrik özelliklere dayalı oluşum
gerçekleştirdikleri saptanmıştır. Her ne kadar bu öğrenciler oluşumlarını ölçüme dayalı olarak
tamamlamış olsalar da kenarları teşkil edecek doğrular arasında kalan yöndeş-içters açıların
eşliğinden paralelliği ifade etmeleri daha doğru bir biçimde muhakeme yaptıklarının bir
göstergesidir.
Eşkenar Dörtgen
Eşkenar dörtgenin oluşumunda öğrencilerin yaklaşık % 64’ünün ağırlıklı çember olmak üzere farklı
geometrik şekillerden yararlandıkları görülmüştür. Bu oluşumlarda, karenin oluşumunda olduğu
gibi, çembere dayalı çizimlerde öğrencilerin birden fazla çemberin kesişimine, merkez açıya, çember
içinde oluşturulan altıgene ve çapların dikliğine dayalı çeşitli stratejiler geliştirdikleri saptanmıştır.
Ayrıca bazı öğrencilerin altıgenden ve eşkenar üçgenden yararlanarak eşkenar dörtgene ulaştıkları da
görülmüştür. Eşkenar dörtgen oluşumunda ağırlıklı olarak yararlanılan çemberdeki farklı stratejiler
incelendiğinde, öğrencilerin 17’sinin çizdikleri çemberin merkez açısından, 20’sinin ise birden fazla
çemberin kesişiminden yararlanarak altıgen oluşturdukları belirlenmiştir. Merkez açıdan yararlanan
öğrencilerin Şekil 14’de sunulduğu gibi merkez açıyı açı ölçer kullanarak 6 eş parçaya böldüğü ve
açıların çemberi kestiği noktaları belirleyerek bu noktaların birleşiminden düzgün altıgen elde ettiği
görülmüştür. Öğrencilerin daha sonra düzgün altıgen içinden seçtiği tabanları ortak iki eşkenar
üçgenden yararlanarak eşkenar dörtgen oluşturdukları saptanmıştır. Öğrencilerin bu oluşumdaki
muhakemelerinde öncelikle “bir üçgenin iki kenarı eş ise bu kenarlar karşısındaki açılarda eştir”
teoremini kullandıkları söylenebilir. Şekil 14’te bu stratejiyi kullanan öğrencilerden birinin
muhakeme süreci sunulmuştur:
•
•
Bir O noktası aldım, çemberimi pergelle çizdim. Önce altıgen
oluşturup, eşkenar dörtgene öyle geçeceğim için çemberi merkez
açıda 6 eş parçaya böldüm. 360/6=60° lik parçalara ayırdım.
Bunun için çember üzerinde açıölçerle noktaları belirledim.
Belirlediğim noktaları karşılıklı birleştirdim. 3 tane birbirini
yalnız O noktasında kesen doğru parçaları elde ettim. Bu doğru
parçalarının çemberi kestiği noktaları art arda birleştirip
düzgün altıgen elde ettim.
Altıgenin içinden seçtiğim 2 eşkenar üçgen birleşince bir dörtgen
elde edilir. Bu dörtgenin bütün kenarları eş olduğu için eşkenar
dörtgen olur. ABCO dörtgenini eşkenar dörtgen olarak buldum.
Şekil 14. Çemberdeki merkez açıya dayalı oluşum
Eşkenar dörtgen oluşumunda birden fazla çemberin kesişiminden yararlanan öğrencilerin 15’i
iki eş çemberi, 3’ü üç eş çemberi ve 2’si dört eş çemberi kullanmışlardır. Öğrencilerin eşkenar
dörtgen oluşumunda bu çemberleri kullanmalarındaki farklılık dikkat çekicidir. Şekil 15-I deki
öğrenci iki eş çemberi oluşturduktan sonra bu çemberleri 3 eş parçaya bölmüş, eş parçaların
birleşiminden açıölçer ile tepe açısı 60° olan iki üçgen elde etmiştir. Daha sonra bu üçgenlerin tepe
noktalarından ve çemberlerin merkezlerinden geçen doğruyu göz önüne alarak eşkenar üçgenler elde
etmiştir. Eşkenar üçgenlerin oluşumunda öğrencinin “kesişen iki çemberin merkezlerinden geçen
doğru, ortak kirişin orta dikmesidir” teoremini dikkate aldığı gözlenmektedir. Ardından öğrenci iki
eşkenar üçgenden oluşan dörtgeni eşkenar dörtgen olarak adlandırmıştır. Bunun yanı sıra 2 eş
çemberin kesişimini kullanan öğrencilerin çoğunluğunun Şekil 15-II de örneği sunulan öğrenci gibi
eş çemberleri oluşturduktan sonra yarıçaplardan ve iki çemberin kesişim noktalarından yararlanarak
oluşumlarını tamamladıkları, bu oluşumda dörtgenin üç kenar uzunluğunun eşliğini ortak
yarıçaplardan, paralelliği ise ölçüme dayalı olarak yani açıların 60° ve 120° olmasını dikkate alarak
sağladıkları, paralellik koşulundan yola çıkarak da dördüncü kenarın eşliğini kabul ettikleri
belirlenmiştir. Şekil 15-III deki öğrenci ise eş çemberlerin yarıçaplarını çemberlerin kesişim
113
Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012
MATEMATİK ÖĞRETMEN
RETMEN ADAYLARININ TEKNOLOJİ
TEKNOLOJ DESTEKLİ GEOMETR
GEOMETRİ DERSİNDEKİ
GEOMETRİK OLUŞŞUM EDİNİMLERİ
noktaları ile birleştirerek
tirerek oluşumunu gerç
gerçekleştirmiş “kesişen
en iki çemberin merkezlerinden geçen
doğru, ortak kirişin
in orta dikmesidir” teoremini ve olu
oluşan dörtgenin eşş kenar uzunlukları ile AB
kirişinin merkez doğruyu
ğruyu ortaladı
ortaladığı özelliğini dikkate alarak oluşumunu
umunu gerekçelendirmi
gerekçelendirmiştir.
Öğrencinin ifadesi şu şekildedir;
“Bir doğru
ru üzerinde yarıçap uzunlukları eeşit, birbiriyle kesişen
en iki çember çizdik. O1 ve O2
merkezli çemberlerin yarıçapları eşittir.
e
Çemberlerin kesişim
im noktasını O1’den A’ya
birleştirdiğimizde bu O1in yarıçapı olmuş
olmu olur. Aynı şekilde O2den A’ya birleştirilen
birleş
[doğru
parçası] O2nin yarıçapı olacaktır. Bu O1 ve O2 merkezli çemberlerin yarıçapları eşit
e
olduğundan
undan orta alanda oluşan
oluş O1AO2B bir eşkenar
kenar dörtgendir. Merkezler doğ
doğru üzerinde ve
A’dan B’ye çizilen dikme yani eşkenar
e
dörtgenin köşegenleri
egenleri birbirini dik kesmiş olur.”
I
II
Şekil 15.
15 İki eş çemberin kesişimine dayalı oluşum
III
Eşkenar dörtgen oluşumunda
şumunda 3 ööğrenci üç eş çemberin kesişiminden (Şekil
Şekil 16-I)
16 yararlanırken,
2 öğrenci çapların dikliğinden
ğinden (Ş
(Şekil 16-II) yararlanmışlardır. Üç eş çemberi kullanan öğrenciler,
ö
Şekil 15-II’de iki eşş çember kullanarak oluşumu
umu daha çok ölçmeye dayalı gerçekleştiren
öğrencilerden farklı bir uygulama gerçekleştirmişlerdir.
gerçekle
Her ne kadar oluşturdukları
şturdukları dörtgenin
kenarlarının paralelliğini
ğini gerekçelendirmemi
gerekçelendirmemiş olsalar da merkezleri aynı doğru
ğru üzerinde ve eeş
yarıçaplı üç çemberin kesişiminden
şiminden oluşan KLPR dörtgeni eşkenar
kenar dörtgendir. Çapların dikliğini
kullanan öğrenciler ise, ölçüme
me dayalı olarak merkezden eşit
e it uzaklıkta F ve F’ noktalarını belirlemi
belirlemiş,
bu noktaları CD çapının uçları ile birleştirerek
birle
oluşumu tamamlamıştır. İlginç oluşumlardan
olu
bir
diğeri ise bir çemberin içine oluşturulan
olu
eşkenar üçgenin A köşesinin
esinin üçgenin tabanına
tabanın göre
simetriğinin alınarak E köşesinin
şesinin belirlendiği oluşumdur (Şekil 16-III). Bu oluşumda
olu
öğrenci,
açıölçer kullanarak 360°’lik yayı üç eş
e yaya bölmüş ve böldüğüü noktalardan geçen eeşkenar üçgeni
oluşturmuştur. Öğrencinin
rencinin “bir çemberde çevre açının ölçüsü gördüğüü yayın ölçüsünün yarısına
eşittir” özelliğini
ini kullanarak olu
oluşan üçgenin eşkenar üçgen olduğunu
unu kabul etti
ettiği söylenebilir.
Ardından bu öğrenci, oluşan
şan eşkenar
eş
üçgenin BC kenarına göre simetriğini
ğini alarak eşkenar dörtgeni
oluşturmuştur.
I.
• Önce pergel ile yarıçapı 2 cm olan K, L,
M çemberleri çizdim. K ve M çemberleri
birbirine teğet olacak şekilde.
• K ve L merkezli çemberlerin kesiştikleri
kesi
noktaları P ve S, M ve M merkezli
çemberlerin kesiştikleri
tikleri noktaları R ve N
olarak isimlendirdim.
• Eşkenar dörtgenin oluşması
ması için P ile R
noktalarını, R ile L noktalarını, L ile K
II.
• Pergel ile r=3 cm olan bir
çember çizdim.
• Cetvel ile CD çapını
çizdim.
• CD nin orta dikmesi olan
ve çemberin çapı olan
AB’yi çizdim.
• CD üzerinde merkeze 2 cm
III.
• Öncelikle pergel ile bir
çember çizeriz. Çember yayı
tam
açı
olaca
olacağından
360°’dir.
Daha
sonra
çember
üzerinde
120°
114
Mersin Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi
KÖSE, TANIŞLI, ERDOĞAN & ADA
noktalarını, K ile P noktalarını
birleştirdim. Oluşan şekil eşkenar
dörtgen oldu çünkü:
[PR]//[KL] ve [PK]//[RL]
|PR|=|RL|=|KL|=|KP|=2 cm
∧
∧
m( PKL) = m( LRP) = 60o ve
∧
uzaklıkta F ve F’ noktaları
belirledim.
• F, C, F’, D noktalarını
birleştirdim. FCF’D bir
eşkenar dörtgen oldu.
[FF’] ile [CD] birbirine
diktir ve köşegendir.
∧
m( KPR) = m( KLR) = 120o
aralıkla, eşit uzaklıkta 3
nokta
alıp
onları
birleştirelim ve eşkenar
üçgen oluşturalım.
• Eşkenar
üçgenin
BC
kenarına göre simetrisini
alıp eşkenar dörtgen elde
edelim.
Şekil 16. Farklı geometrik şekillere dayalı oluşum
Bazı öğrencilerin (9 aday) ise oluşumda tüm geometrik özelliklerine dayalı olarak öncelikle bir
düzgün altıgen oluşturdukları ve ardından bu altıgenin köşegenlerini çizerek, içteki eşkenar
üçgenlerin birleşiminden Şekil 17’deki gibi bir eşkenar dörtgen oluşturdukları belirlenmiştir.
Şekil 17. Düzgün altıgene dayalı oluşum
Köşegenleri Dik Kesişen İkizkenar Yamuk
Köşegenleri dik kesişen ikizkenar bir yamuğun oluşturulması ile ilgili soru ön testte öğrencilerin
yaklaşık %44’ünün oluşumu rastgele yapması ya da yanıtsız bırakması nedeniyle son testte tekrar
sorulmuştur. Geometrik özelliklere dayalı oluşum yapan öğrencilerin yaklaşık %21’inin çizimlerinde
köşegenlerin dik kesişmesi, köşegenlerin eşliği, taban açıların eşliği gibi tüm özellikleri dikkate
aldıkları saptanmıştır. Tek özelliğe dayalı oluşum yapan (köşegenlerin dik kesişmesi) öğrenci
sayısının ise oldukça azaldığı, ayrıca öğrencilerden hiçbirinin köşegenlerin taban ile yaptığı açıya
dayalı oluşum yapmadıkları belirlenmiştir.
Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamuk oluşumunda ön testte daha çok geometrik özelliklere
dayalı oluşum yapan öğrencilerin son testte ağırlıklı olarak farklı geometrik şekillerden
yararlandıkları saptanmıştır. Farklı geometrik şekillere dayalı oluşum yapan öğrencilerin
çizimlerinde ise ağırlıklı olarak çemberin kullanıldığı görülmüştür. Çembere dayalı oluşumlar
incelendiğinde ise öğrencilerin iki eş çember, üç eş çember, üç eş çember ve 1 küçük çember ve çap
olmak üzere çeşitli stratejiler geliştirdikleri belirlenmiştir. Öğrencilerin 25’i çemberi, yamuğun
köşegenlerin dik kesişmesini ve eşit uzunlukta olmasını sağlamak amacıyla çoğunlukla Şekil 18’deki
gibi olmak üzere 2 farklı şekilde kullanmışlardır. Şekil 18-I’de öğrenci bir çemberde çapların
dikliğinden yola çıkarak, yarıçaplar üzerinde orta noktaları belirleyip, çaplar üzerinde orantılı
parçalar ayırmıştır. Bu yol ile öğrencinin AB nin DC ye paralelliğini sağladığı söylenebilir. Daha
sonra öğrenci |BC|=|AD| eşitliğini OCB ile ODA üçgenlerin eşliğinden ifade etmiştir.
I
•
•
•
•
•
•
•
O merkezli bir çember çizelim
A ve B noktalarından çapları çizelim[dik olacak
şekilde]
C ve D noktalarını yarıçapların orta noktası olacak
şekilde belirleyelim.
Şimdi C ve D yi birleştirelim.
|AB|//|CD| dir.
|BC|=|AD| dir. OCB ile ODA üçgenlerinin eşliğinden
A, B, C, D yi birleştirelim. Soru yanıtlanır.
115
Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012
MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ TEKNOLOJİ DESTEKLİ GEOMETRİ DERSİNDEKİ
GEOMETRİK OLUŞUM EDİNİMLERİ
II
•
•
Pergel yardımıyla [O merkezli] çember çizelim.
[AB]çap olsun. Bu çapa dik, iletki yardımıyla, bir çap
daha çizelim. Bu çap da [CD]olsun. Daha sonra [CD]
çapına 45°lik açı yapacak 2 eş doğru parçası daha
çizelim (|XĞ|=|HZ|). Bu doğrular çemberi X, Y ve Z, K
noktalarında kessin.
Daha sonra X,Z,H,Ğ noktalarını birleştirelim.
∧
•
XOZ açısı 90°dir.[XĞ] ve [HZ] yamuğun köşegenleri
olduğundan köşegenler birbirine dik olur.
•
•
HOĞ ters açıdan 90°dir.
|XO|=|OZ| yarıçap olduğundan, doğru parçalarını eş
aldığımdan |XĞ|=|HZ| dir.
|XĞ=|XO|+|OĞ|=|HZ|=|HO|+|OZ| ise |OH|=|OĞ|
olur. İkizkenarlıktan H1=Ğ1=45 ve X1=Z1=45 olur.
Dolayısıyla |XZ|//|HĞ| olmuş olur ve XZĞH ikizkenar
yamuk olur.
∧
Şekil 18. Çembere dayalı oluşum
Şekil 18-II’deki oluşumu gerçekleştiren öğrenci ise, o merkezli çemberde ölçüme dayalı
birbirini dik kesen iki çap alarak 45’şer derecelik açı yapan iki doğru çizmiş ve yamuğun
köşegenlerinin dikliğini sağlamıştır. Daha sonra öğrenci |XĞ|=|HZ| eşitliği ile oluşuma başladığı
için |OH|=|OĞ| eşitliğini göstermiştir. XZ//HĞ paralelliğini ise oluşan OHĞ ve OXZ ikizkenar
üçgenlerdeki taban açılarının eşliğine (iç ters açılar) dayalı olarak ifade etmiştir. Çembere dayalı
oluşum gerçekleştiren 3 öğrenci çapı gören çevre açıdan yararlanarak çizimini Şekil 19-I’de
görüldüğü gibi iki farklı çembere göre tamamlarken, iki öğrenci üç eş çemberin kesişiminden ve çapı
orta taban alarak çizimini Şekil 19-II’deki gibi tamamlamıştır. Son olarak en ilginç oluşumlardan biri
ise sadece bir öğrenci tarafından kullanılan üç eş çemberin kesişimine ve bu kesişim noktasını
merkez alan bir küçük çembere dayalı olarak gerçekleştirilen, Şekil 19-III’de muhakemesi ile
birlikte sunulan ikizkenar yamuk oluşumudur.
II
I
III
• Önce pergel yardımı ile yarıçapları 2’şer cm olan
K, L ve M olmak üzere 3 çember çizdim. K ile L
merkezli çemberleri teğet olacak şekilde.
• K ile L merkezli çemberinin teğet geçtiği nokta (O)
ile |AB| arasındaki mesafenin orta noktasını alıp
(M) yarıçapı |OM|=2=r olacak şekilde M merkezli
çemberi çizdim. Hepsinin kesiştiği O noktasından
yarıçapı 1 cm olacak şekilde O merkezli bir
çemberi de çizdim.
• O merkezi çemberin üzerinden D ve C noktalarını
alıp birleştirdim. Daha sonra D ile A, A ile B, B ile
C noktalarını birleştirdiğimde oluşan kapalı şekil
ikizkenar yamuk oldu. Çünkü |AD|=|CB|=3 cm ,
[DC]//[AB] olduğu için de.
• Köşegenleri çizdiğimde dik kesiştiler.
Şekil 19. Çembere dayalı oluşum
116
Mersin Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi
KÖSE, TANIŞLI, ERDOĞAN & ADA
Öğrencilerden bazıları çember yerine ön testte olduğu gibi ikizkenar dik üçgen ve 3-4-5
üçgeninden de yararlanmışlardır. Ayrıca kareden yararlanan öğrenci sayısında da artış olduğu
görülmüştür. Şekil 20’de sunulan bu oluşum örneğinde öğrencilerin karenin köşegenlerinin dik
kesişmesinden yararlanarak pratik ve yaratıcı bir biçimde istenilen oluşumu tamamladıkları
belirlenmiştir.
Şekil 20. Kareye dayalı oluşum
Diğer önemli bir bulgu ise ön testte rastgele oluşum yapan öğrencilerden 9’unun son testte
doğru bir oluşum gerçekleştirememelerine karşın çemberi kullanmaya çalışmalarıdır. Tablo 2 her üç
soru için incelendiğinde öğrencilerin çok azının soruları yanıtsız bıraktıkları, rastgele oluşum yapan
öğrenci sayısında ise ön teste göre oldukça önemli miktarda azalma olduğu belirlenmiştir.
Tartışma, Sonuç ve Öneriler
Bu araştırmada, TI-Nspire CAS kullanımı ile desteklenmiş bir öğretim süreci öncesinde ve
sonrasında öğrencilerin istenilen geometrik oluşumlarda var olan geometrik ilişkilerle muhakemeler
yoluyla oluşumu nasıl gerçekleştirdikleri ve bu süreçte hangi stratejileri kullandıkları üzerinde
durulmuştur. Bu bölümde öğrencilerin öğretim süreci öncesi ve sonrası gerçekleştirdikleri geometrik
oluşumlara dayalı gelişimleri ve teknolojinin bu gelişimdeki katkısı tartışılacaktır.
Çalışmanın en önemli sonuçlardan biri öğretim süreci öncesine ve sonrasına bağlı olarak
geometrik oluşumlara ilişkin öğrencilerde görülen gelişimdir. Bu sonuca, öğrencilerin ön testte
ağırlıklı olarak deneysel (ölçüme dayalı), son testte ise ağırlıklı olarak teorik (farklı bir geometrik
şeklin kullanılması) oluşumlar gerçekleştirmelerine ve bu bağlamda muhakeme becerilerine ve
kullandıkları stratejilerin çeşitliğine dayalı olarak ulaşılmıştır. Ön ve son testten elde edilen sonuçlar
karşılaştırıldığında, ön testte öğrencilerin çoğunluğu tümevarımsal bir muhakeme yoluyla, geometrik
özelliklere ve ölçüme dayalı ve bu süreçte de ellerinde geometrik araç seti olmasına karşın tüm
özellikleri dikkate almak yerine tek bir özelliğe dayalı geçersiz oluşumlar gerçekleştirmişlerdir.
Sadece bir soruda farklı geometrik şekilleri kullanarak teorik oluşum gerçekleştiren bazı öğrenciler
ise bir strateji ile oluşumlarını tamamlamışlardır. Ayrıca ön testte rastgele oluşumlar yapan ya da
herhangi bir oluşum yapamayan öğrenci sayısının fazlalığı da dikkat çekicidir. Bu durum
öğrencilerin ortaöğretimde geometri derslerinde geometrik oluşum becerilerinin eksikliği ile
açıklanabilir (Napitupulu, 2001). Teknoloji destekli öğretim süreci sonrası gerçekleştirilen son testte
ise, öğrencilerin büyük bir çoğunluğu tümevarımsal bir muhakeme yoluyla farklı geometrik şekillere
dayalı teorik oluşumlar gerçekleştirmişler, ölçüme dayalı oluşum gerçekleştiren az sayıda öğrenci de
ön testten farklı olarak tüm geometrik özellikleri dikkate almıştır. Teorik oluşum gerçekleştiren
öğrenciler ise ağırlıklı olarak çemberin ve çemberin yarıçap, çap, merkez açı gibi çeşitli öğelerini
dikkate almışlar, birden fazla eş çemberin kesişiminden yararlanarak oldukça farklı stratejiler
kullanmışlardır. Uygulanan bu testler karşılaştırıldığında öğrencilerin geometrik özelliklere dayalı
oluşumlardan çember, üçgen çeşitleri, kare, altıgen gibi farklı geometrik şekillerin kullanıldığı
oluşumlara doğru yönelmeleri araştırmanın en önemli sonuçlarından biridir. Öğrencilerin
oluşumlarında farklı geometrik şekillerden yararlanarak teorik oluşumlar gerçekleştirmeleri onların
bu şekiller arasındaki ilişkilere dayalı tümevarımsal muhakemelerinin gelişmesi ve dolayısıyla daha
zengin bir bakış açısı kazanabilmeleri açısından önemlidir. Diğer taraftan farklı geometrik yapıları
kullanan öğrenciler her ne kadar tümevarımsal bir muhakeme ile oluşumlarını gerçekleştirseler de bu
durum onların daha sonra tümdengelimsel bir muhakemeyle formal geometrik ispatları
gerçekleştirmelerine bir geçiş sağlayabilecektir.
Çalışmanın bir diğer önemli sonucu ise, TI-Nspire CAS ile desteklenmiş bir öğretimin kâğıt
kalem ortamında gerçekleştirilen geometrik oluşumlara ve öğrencilerin bu süreçte geometrik
ilişkilere dayalı muhakeme becerilerinin gelişimine aynı zamanda çeşitli ve etkili strateji
kullanmalarına olan katkısıdır. Çalışmada, dinamik geometri ortamlarının kullanıldığı öğretim süreci
117
Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012
MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ TEKNOLOJİ DESTEKLİ GEOMETRİ DERSİNDEKİ
GEOMETRİK OLUŞUM EDİNİMLERİ
ile öğrencilerin geometrik yapıları algılamaları, bu yapılardaki geometrik özellikleri programın temel
araçlarını, sürükleme çeşitlerini (sürükleme testi) kullanarak keşfetmeleri ve keşfettikleri ilişkileri
test ederek oluşumlarını doğrulamaları sağlanmıştır. Diğer taraftan menüdeki ölçüm araçları da
kullanılmış ancak öğrenciler teorik oluşumlar gerçekleştirmeleri için farklı geometrik yapıları
kullanmalarına ilişkin yönlendirilmiştir. Bu yönlendirme öğrencilerin kâğıt kalem ortamındaki son
testteki geometrik oluşumlarda kullanılan stratejilerin çeşitlenmesi, çoğunlukla farklı geometrik
yapıların kullanılması ile kendini göstermiştir. Yapılan çalışmalara da bu sonucu destekler
niteliktedir. Nitekim Hanna (2000) dinamik geometri yazılımlarının kullanıldığı öğrenme
ortamlarının öğrencilerin yüksek oranda doğru geometrik oluşumları gerçekleştirmelerine izin
verdiğini, onların geometrik önermeleri anlamalarına yardımcı olduğunu ve önermelerin önemini
görmelerini kolaylaştırdığını savunur. Ayrıca Hanna öğrencilerin bu süreçte ürettikleri oluşumların
verilen özelliklerini keşfetme ve hatta yeni özellikler bulma yoluyla varsayımlarını kolayca test
edebildiklerini de belirtmektedir. Stylianides ve Stylianides (2005) ise dinamik geometri
ortamlarındaki oluşum problemlerinin çözümünün doğrulanmasında özellikle sürükleme özelliğinin
ve sürükleme testinin temel kriter olduğunu önemle vurgulanmaktadırlar.
Bu çalışmanın sonuçları doğrultusunda öğretmenlere ve öğretmen eğitimcilerine öğrencilerinin
geometrik muhakemelerinin gelişimini desteklemek amacıyla öğretim ortamlarında geometrik
oluşumlara ilişkin problemlerde hem dinamik geometri yazılımlarını hem de klasik geometrik
araçları kullanmaları önerilebilir. Bu doğrultuda eğitim fakültelerinde teknoloji destekli geometri
öğretimine yönelik seçmeli derslere programlarda yer verilebilir. Ayrıca bu çalışmaya benzer bir
çalışma öğretmenler üzerinde de gerçekleştirilebilir. Bu doğrultuda öğretmenlerin teknoloji ve
geometri bilgilerini bütünleştirici hizmet içi eğitimler sunulabilir.
Kaynaklar
Bennett, D. (2002). Exploring geometry with the Geometer’s Sketchpad. California: Key Curriculum
Press
Bogdan, R. C. & Biklen, S. K. (1998). Qualitative research for education: An ıntroduction to theory
and methods. 3rd ed-Boston: Allyn and Bacon.
Cecconi, S., Capponi, B., & Bellemain, F. (2003). Cabri classe II. Nice: CRDP Académie de Nice
Les Editions Archimède.
Duval, R. (1998), Geometry from a cognitive point of view. In C. Mammana and V. Villani (Eds.),
Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century: An ICMI study. ( pp.37-52).
Dordrecht: Kluwer.
Erduran, A. & Yeşildere, S. (2010). Geometrik yapıların inşasında pergel ve çizgecin kullanımı.
İlköğretim Online, 9(1), 331-345. http://ilkogretim-online.org.tr
Goldenberg, E. P., Cuoco, A. A. & Mark, J. (1998). A role for geometry in general education. In R.
Lehrer & D. Chazan (Eds.), Designing Learning Environments for Developing Understanding
of Geometry and Space (pp. 3-44). Mahwah: Lawrence Erlbaum A.
Guin, D., Ruthven, K.,& Trouche, L. (2005) The didactical challenge of symbolic calculators.
Springer
Hanna, G. (2000). Proof, explanation and exploration: An overview. Educational Studies in
Mathematics, 44, 5–23.
Janicic, P. (2006). GCLC-A Tool for constructive euclidean geometry and more than that. In A.
Iglesias &N. Takayama (Eds.), Mathematical Software-ICMS 2006 Second International
Congress on Mathematical Software (pp. 58-73). Castro Urdiales, Spain.
Jones, K. (1998). Theoretical frameworks for the learning of geometrical reasoning. Proceedings of
the British Society for Research into Learning Mathematics, 18(1&2), 29-34.
Keyton, M. (1997). Students discovering geometry using dynamic geometry software. In King, J. &
Schattschneider, D. (Eds.). Geometry Turned On (pp.63-68). Washington: Mathematical
Association of America.
Köse, N. Y. (2008). İlköğretim 5. sınıf öğrencilerinin dinamik geometri yazılımı cabri geometriyle
simetriyi anlamlandırmalarının belirlenmesi: Bir eylem araştırması. (Anadolu Üniversitesi
Eğitim Bilimleri Enstitüsü Yayınlanmamış doktora tezi). Eskişehir.
Leikin, R. (2004). Towards high quality geometrical tasks: reformulation of a proof problem,
Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education, Vol 3, 209-216.
118
Mersin Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi
KÖSE, TANIŞLI, ERDOĞAN & ADA
Martin, G .E. (1998). Geometric constructions. New York: Springer.
Miles M., & Huberman, M. (1994). An expanded sourcebook qualitative data analysis (2nd Ed.).
California: Sage Publications.
Milli Eğitim Bakanlığı (MEB, 2005). İlköğretim matematik dersi 1-5. sınıflar öğretim programı.
Ankara: MEB.
Napitupulu, B. (2001). An exploration of students’ understanding and van Hiele levels of thinking on
geometric constructions. (Simon Fraser University Unpublished Master Dissertation).
Canada.
Smart, J. R. (1998). Modern geometries (5th ed.). CA: Brooks/Cole Publishing Company, Pacific
Grove.
Stylianides, G. J. & Stylianides, A. J. (2005). Validation of solutions of construction problems in
dynamic geometry environments. International Journal of Computers for Mathematical
Learning, 10, 31-47.
Ek-1
Adı- Soyadı:
Öğrenci No:
Problem 2: “Napolyon Üçgeni”ni araştıralım.
9/2-“Shapes” menüsünden “triangles”
aracı ile bir üçgen oluşturarak ABC olarak
isimlendiriniz.
ABC üçgeninin her bir kenarına,
menüdeki “Regular Polygon” aracını
kullanmadan, yandaki gibi eşkenar
üçgenler oluşturunuz. Oluştururken
eşkenar üçgenin özelliklerini dikkate alınız
ve her bir eşkenar üçgenin bir kenarının
ABC üçgenine çakışık olmasına dikkat
ediniz.
Oluşum için kullandığınız ek çizimleri
1/3-“Actions menüsündeki Hide/Show”
aracı ile gizleyiniz.
Oluşturduğunuz eşkenar üçgenlerin ağırlık
merkezlerini belirleyerek D, E ve F olarak
isimlendiriniz.
Oluşum için kullandığınız ek çizimleri
1/3-“Actions menüsündeki Hide/Show”
aracı ile gizleyiniz.
119
Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012
MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ TEKNOLOJİ DESTEKLİ GEOMETRİ DERSİNDEKİ
GEOMETRİK OLUŞUM EDİNİMLERİ
9/2- “Shapes” menüsünden “triangle”
aracını kullanarak belirlediğiniz ağırlık
merkezlerinden geçen bir DEF üçgeni
oluşturunuz.
ABC üçgeninin bir köşesinden tutarak sürükleyiniz. DEF üçgeninin değişimini gözlemleyiniz. Dış napolyon
üçgeni olarak isimlendirilen bu üçgen nasıl bir üçgendir? Nasıl bulduğunuzu yazınız.
…
ABC üçgeninin köşe noktalarını tam
karşılarındaki eşkenar üçgenlerin tepe
noktalarını 7/5-“points&lines”
menüsünden “segment” aracılığıyla
birleştirerek 3 doğru parçası oluşturunuz.
Doğru parçalarının kesişim noktasını O
olarak isimlendiriniz.
Oluşan bu doğru parçaları hakkında ne söylenebilir? Varsayımınız nedir? Varsayımınızı nasıl ispatlarsınız?
…
Extended Abstract
Visualization and drawing (construction) of geometric concepts and creation of generalizations
based on them is the basis of geometry studies (Köse, 2008). Duval (1998) identified three
categories of cognitive processes of geometric thinking: visualization, construction and reasoning.
This study first discussed geometric construction, which is considered to have a key role in ensuring
the development of geometric thinking and then focused on students’ reasoning skills. The present
study is an important part of a long-term project about the integration of technology use in teacher
training into mathematics education. One of the primary objectives of this project is to realize the
integration of technology in geometry teaching. Today, the development of technology has increased
the variety of teaching tools and materials for geometry. An example of these tools is calculators that
contain dynamic geometry software by which geometric drawings can be made. These tools are used
in the classroom by teachers in several countries where important studies in the field of mathematics
education are conducted (Guin, Ruthven, & Trouche, 2005). The first step of the project was to
investigate the extent to which the calculators performing geometric drawings affect the
development of geometric construction skills and then to determine the extent to which the use of
calculators contribute to geometric construction skills in paper-pencil medium (the use of geometric
drawing tools). Therefore, the overall aim of this study was to investigate the impact of an
instructional process supported by the use of TI-Nspire CAS on students’ performing constructions
through reasoning based on the geometric relationships existing in the desired constructions.
The qualitative method was used for choosing the participants, data collection and data
analysis and interpretation. The participants consisted of a total of 77 students in their first year
studying Elementary Mathematics Education in Faculty of Education. Data were collected through a
120
Mersin Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi
KÖSE, TANIŞLI, ERDOĞAN & ADA
pre-test and a post-test, each of which consisted of three open-ended questions. During the pre-test,
the students were given a drawing set consisting of a ruler, protractor, set square and compasses and
they were asked to construct a parallelogram, a regular polygon and a trapezoid with perpendicular
diagonals in an hour. Then, in order to, develop the students’ geometric construction skills, the
geometry courses were taught with the support of TI-Nspire CAS calculators with Cabri Geometry II
software. These activities were carried out during the term and the students were administered the
post-test at the end of the term. In this post-test, the students were asked to construct a square, a
rhombus and a trapezoid with perpendicular diagonals in an hour by using the geometric drawing
set. The data obtained in this study were analyzed qualitatively.
One important result of this research was the development observed with students about
geometric constructions before and after the instructional process. The students performed mainly
experimental (based on measurement) constructions in the pre-test and mainly theoretical (the use of
a different geometric shape) constructions in the post-test and therefore they used reasoning skills
and a variety of strategies. Comparison of the results from the pre-test and post-test revealed that,
instead of taking all the features into consideration, the majority of the students performed invalid
constructions according to a single feature through inductive reasoning despite they had a geometric
drawing set in this process based on geometric features and measurement. On the other hand, some
students who performed a theoretical construct by using different geometrical shapes in just one
question completed the constructions with a strategy. In addition, a noticeable number of the
students performed either random constructions or no construction at all in the pre-test. This
situation can be explained by the inadequacy of students’ geometric construction skills in the
geometry courses in secondary education (Napitupulu, 2001). In the post-test conducted after the
instructional process, on the other hand, the vast majority of the students performed theoretical
constructions based on various geometric shapes by means of inductive reasoning and few students
who performed constructions based on measurement took all the geometric features into account in
the post-test unlike the pre-test. Those students who performed theoretical constructions mainly took
circle and elements of circle into consideration and used very different strategies by using the
intersection of multiple circles. Comparison of these tests showed that students turned from
constructions based on geometric constructions toward constructions with different geometric shapes
such as circle, types of triangles, square, and hexagon. Although students who used different
geometric structures performed their drawing by means of inductive reasoning, this situation was
regarded as a stage of transition for performing formal geometric proofs through deductive reasoning
later.
Another important result of this study was that instruction supported with TI-Nspire CAS had impact
both on constructions performed in paper-pencil medium and the development of students’ reasoning
skills based on geometric relationships in this process and on their use various and effective
strategies. In this study, by means of instructional process using dynamic geometry media, the
students perceived geometric structures, they discovered the geometric features of these structures
by using the basic tools of the program and dragging types (dragging test) and confirmed their
constructions by testing the relationships which they discovered.
121
Cilt 8, Sayı 3, Aralık 2012
Download