sayılar konu anlatımı

SAYILAR
DOĞAL VE TAM SAYILAR
RAKAM:
Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine
rakam denir.
Soru:
a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri
bulunuz.
SAYI:
Rakamların tek başına yada birlikte bir çokluk ifade edecek biçimde kullanılmasına sayı denir.
Bu tanıma göre her rakam bir sayıdır . Fakat her sayının bir rakam olması gerekmez.
ÖRNEK:
a) 4 hem rakam hem sayıdır.
b) 27 sayıdır fakat rakam değildir.
DOĞAL SAYILAR
Sonlu bir kümenin eleman sayısını belirten sayıya doğal sayı denir.
A = ∅ ⇒ s ( A) = 0
A = {a1} ⇒ s ( A ) = 1
A = {a1 , a2 } ⇒ s ( A ) = 2
A = {a1 , a2 , a3 } ⇒ s ( A ) = 3
....................................................
....................................................
A = {a1 , a2 ,..., an } ⇒ s ( A) = n , sayılarının her birine doğal sayı, bu sayılardan oluşan
ℕ = {0,1, 2,3, 4,..., n,...} kümesine doğal sayılar kümesi denir.
SAYMA SAYILARI
Sayma işlemine 1’ den başladığımız için ℕ + = S = {1, 2,3, 4,..., n,...} kümesine sayma sayılar
kümesi denir. ℕ + kümesine pozitif doğal sayılar kümesi de denir.
Tanım: {0, 2, 4, 6,8,..., 2n,...} kümesine çift doğal sayılar kümesi denir.
Tanım: {1,3,5, 7,..., 2n − 1,...} kümesine tek doğal sayılar kümesi denir.
1
SAYILARIN EŞİTLİĞİ
Değerleri aynı olan iki sayıya eşit sayılar denir. 2 = 2 , 8 = 8 , 37 = 37 ..... gibi.
Değerleri farklı olan iki sayıya eşit değildir denir. 2 ≠ 3 , 5 ≠ 8 , 17 ≠ 23 ...... gibi.
EŞİTLİĞİN ÖZELLİKLERİ
Her a, b, c doğal sayısı için
1. a = a dır.
2. a = b ise b = a dır.
3. a = b ve b = c ise a = c dir.
( Yansıma özelliği )
( Simetri özelliği )
( Geçişme özelliği )
∴ Doğal Sayılar kümesinde eşitlik bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
DOĞAL SAYILAR KÜMESİNDE DÖRT İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
Toplama İşleminin Özellikleri
i) Kapalılık Özelliği:
∀a, b ∈ ℕ için
( a + b) ∈ ℕ
dır. Yani doğal sayılar kümesi “+” işlemine göre kapalıdır.
ii) Değişme özelliği:
∀a, b ∈ ℕ için a + b = b + a dır. Yani doğal sayılar kümesinde “+” işleminin değişme özelliği
vardır.
iii) Birleşme özelliği:
∀a, b, c ∈ ℕ için a + ( b + c ) = ( a + b ) + c dir. Yani doğal sayılar kümesinin “+” işlemine göre
birleşme özelliği vardır.
iv) Birim ( Etkisiz ) Eleman:
∀a ∈ ℕ için a + 0 = 0 + a = a dır. Yani doğal sayılar kümesinde “+” işleminin birim elemanı 0
dır.
v) Sadeleştirme Özelliği:
∀a, b, c ∈ ℕ için
(a + c = b + c) ⇔ a = b
dir.
2
Çıkarma İşleminin Özellikleri
i) Doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir.
ii) Doğal sayılar kümesinde çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur.
iii) Doğal sayılar kümesinde çıkarma işleminin birleşme özelliği yoktur.
Örnek:
a) 2 − 5 ∉ ℕ
b) 3 –1 ≠ 1 – 3
c)
7 − (4 − 3) = 7 − 1 = 6 
 ⇒ 7 − (4 − 3) ≠ (7 − 4) − 3 dür.
( 7 − 4) − 3 = 3 − 3 = 0 
ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
i) Kapalılık Özelliği:
∀a, b ∈ ℕ için ( a.b ) ∈ ℕ dır.
ii) Değişme özelliği:
∀a, b ∈ ℕ için a.b = b.a dır.
iii) Birleşme özelliği:
∀a, b, c ∈ ℕ için a. ( b.c ) = ( a.b ) .c dir.
iv) Birim ( Etkisiz ) Eleman:
∀a ∈ ℕ için a.1 = 1.a = a dır. Yani doğal sayılar kümesinde “.” işleminin birim elemanı 1 dir.
v) Çarpımın Sadeleşme Özelliği:
∀a, b, c ∈ ℕ ve c ≠ 0 için ( a . c = b . c ) ⇔ a = b dir.
3
Dağılma Özellikleri
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği:
∀a, b, c ∈ ℕ için a . ( b + c ) = a . b + a . c dir.
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği:
∀a, b, c ∈ ℕ için ( a + b ) . c = a . c + b . c dir.
Soru:
x ∈ ℕ , 3 x + 12 = 14 açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
Çözüm:
3 x + 2 = 14 ⇒ 3 x + 2 = 12 + 2
⇒ 3 x = 12
⇒ 3 x = 3.4
⇒x=4
( + nın tanımı )
( + nın sadeleştirme özelliği )
( Çarpımın nın tanımı )
(Çarpımın sadeleştirme özelliği)
Açık önermenin doğruluk kümesi {4} tür.
DOĞAL SAYILARIN KUVVETİ
Tanım:
x ve n birer doğal sayı ve n ≠ 0 olmak üzere, x . x . x . x . ..... . x = x n dir.
n tan e
x n de, x ’ e taban, n ’ e üs ya da kuvvet denir.
x n “ x üssü n” ya da “ x ‘in n-inci kuvveti” diye okunur.
Tanım:
x sıfırdan farklı bir doğal sayı olmak üzere, x 0 = 1 dir. 00 belirsizdir.
Örnek:
a) 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81
b) 40 = 60 = 80 = 140 = 1 dir.
4
ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ
x, y ∈ ℕ ve m , n sıfırdan farklı doğal sayılar olmak üzere ,
x m. x n = x m+n
x m . y m = (x . y)m
(xm)n = x m . n dir.
İspat:
1. x m .x n = x . x .........x . x . x ........x
m tan e
(Üslü sayıların tanımı)
n tan e
= x . x . x ........... x = x(
m+ n)
m + n tan e
2. x m . y m = x . x .......... x . y . y ......... y ( Üslü sayıların tanımı)
m tan e
m tan e
= ( x. y ).( x. y ). ......... .( x. y ) ( Çarpmanın değişme özelliği)
m tan e
= ( x. y )
m
3. ( x m ) n = x m .x m . ........ .x m
( Çarpmanın tanımı )
n tan e
n tan e
= x m + m +.........+ m (1. Özellikten)
= x m.n
Soru: 2n.4n+1 = 165 ise n kaçtır?
Soru: 84.256 sayısının sondan kaç rakamı sıfırdır?
Soru: a ve b pozitif doğal sayıları için 54.a = b 4 ise a + b nin en küçük değeri kaçtır?
Soru: n ∈ ℕ olmak üzere, 2n = x ise 82 n+1 sayısının x cinsinden ifadesi nedir?
BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
i) Doğal sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.
ii) Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin değişme özelliği yoktur.
iii) Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.
5
BÖLME VE KALAN ÖZELLİKLERİ
B ≠ 0 ve A , B , C , K tamsayılar olmak üzere,
Şeklinde verilen bir bölme işleminde ,
A
:
:
–
B
A’ ya
B’ ye
C’ ye
K’ ya
C
K
bölünen ,
bölen ,
bölüm ,
kalan denir.
Burada ,
A = B .C + K eşitliğine bölme özdeşliği denir.
Kalan , bölenden küçüktür. ( K < B )
K = 0 ise A , B’ ye tam bölünür.
Bir A doğal sayısının B ile bölümünden kalan 0, 1, 2, ....., ( B – 1 ) olabilir.
Kalan , bölümden de küçük ise bölenle bölüm yer değiştirirse kalan değişmez. Yani,
K < B ve K < C ise
–
A
:
:
K
B
C
ve
–
A
:
:
K
C
B
olur.
Soru: a doğal sayısının b ile bölümü 10 kalan 8 dir. a doğal sayısının 5 ile bölümünden elde edilen
bölümü ve kalanı bulunuz.
Soru: 16’ ya bölündüğünde bölüm a , kalan a 2 olan en büyük doğal sayıyı bulunuz. ( a ∈ ℕ )
Uyarı: Bir a sayısının n ile bölümünden kalan x , bir b sayısının n ile bölümünden kalan y ise;
1. ( a + b ) nin n ile bölümünden kalan ( x + y ) dir.
2. ( a.b ) nin n ile bölümünden kalan ( x. y ) dir.
Eğer ( x + y ) veya ( x. y ) n ’ den büyükse tekrar n ’ e bölerek kalan bulunur.
Soru: x sayısının 5 ile bölümünden kalan 3, y sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 ise ( x + y ) sayısının
5 ile bölümünden kalan kaçtır?
6
TABAN ARİTMETİĞİ
DOĞAL SAYININ BASAMAKLARI
Bir doğal sayının rakamları kadar basamağı vardır denir.
Örnek: a, b, c, d birer rakam ve a sıfırdan farklı olmak üzere
a
ab
abc
abcd
sayısı bir basamaklı
sayısı iki basamaklı
sayısı üç basamaklı
dört basamaklıdır.
Taban: Bir A doğal sayısı a, b, c, d < x olmak üzere, A = a.x 3 + b.x 2 + c.x1 + d .x 0 = ( abcd ) x biçiminde
yazılabiliyorsa A sayısı x tabanına göre yazılmıştır denir.
Buna göre ,
6 = 6.100 = ( 6 )10
24 = 2.101 + 4.100 = ( 24 )10
325 = 3.102 + 2.101 + 5.100 = ( 325)10
(13402 )5 = 1.54 + 3.53 + 4.52 + 0.51 + 2.50 = 625 + 375 + 100 + 0 + 2 = (1102 )10 dur.
Buna göre 6,24,325 sayılarının tabanı 10 dur. Bu işlemi tüm doğal sayılar için yapabildiğimizden
tüm doğal sayılar 10 tabanına göre yazılmıştır. Bu yüzden doğal sayılara ayrıca 10 tabanı yazılmaz.
Uyarı:
ab = 10.a + b
abc = 102.a + 10.b + c
abcd = 103.a + 102.b + 10c + d
abcde = 104.a + 103.b + 102.c + 10.d + e
Uyarı:
abcde
beş basamaklı doğal sayısı için ,
a b c d e = a.104 + b.103 + c.102 + d.101 + e.100
100 = 1
: Birler basamağı
101 = 10
: Onlar basamağı
102 = 100
: Yüzler basamağı
103 = 1000
: Binler basamağı
104 = 10000
: On binler basamağı
7
Soru: ab ve ba iki basamaklı sayılardır. ab + ba = 88 ise a .b nin en küçük değeri kaçtır?
Soru: abc , bca , cab üç basamaklı sayılardır. abc + bca + cab = 1221 ise a + b + c = ?
Soru: abc ve cba üç basamaklı sayılar, a = 3 .c ve abc – cba = 594 ise abc biçiminda kaç tane sayı
yazılabilir?
Soru: ab iki basamaklı sayısı rakamları toplamının 7 katına eşit olduğuna göre , bu sayılardan kaç tane
vardır?
Teorem:
Bir A doğal sayısının x ler basamağı k kadar artar ya da azalır ise sayı k .x kadar artar ya da
azalır.
İspat:
Sayı A = ( an , an −1 , an − 2 ,..., a2 , a1 ) n basamaklı doğal sayı olsun.
x ’ ler basamağındaki rakam a p ve bu rakam k kadar artmış ya da azalmış ise ,
A = an .10n −1 + an −1.10 n − 2 + ... + ( a p ∓ k ) .10 p −1 + ... + a1.100 ; ( x = 10 p −1 )
= ( an .10.n −1 + an −1.10n − 2 + ... + a p .10 p −1 + ... + a1.100 ) ∓ k .10 p −1
A = ∓ k .10 p −1 = A ∓ ( k .x ) dir.
Soru: A doğal sayısının birler basamağı 2 azaltılır, onlar basamağı 4 azaltılır ve yüzler basamağı 3
artırılırsa A sayısında nasıl bir değişme olur?
Soru: A, 3 basamaklı bir doğal sayıdır. A . 84 . 256 sayısı kaç basamaklıdır?
Soru: 18.32.57 sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
10 Tabanında Verilen Bir Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması
10 tabanında varilen bir sayıyı başka bir tabanda yazmak için verilen sayıyı ardışık olara istenen
tabana böleriz.
Soru: 13 sayısını 2 tabanında yazınız.
Soru: ( 93)10 = ( x )3 ise x = ?
8
Herhangi Bir Tabanda Verilen Bir Sayının 10 Tabanında Yazılması
( abcde ) x
sayısını
( abcde ) x = a.x 4 + b.x3 + c.x 2 + d .x1 + e.x0 biçiminde 10 tabanına çeviririz.
Soru:
( 2102 )3 = ( x )10
Soru:
( 231)4 = ( x )5
ise x = ?
ise x = ?
Soru: (101)2 = ( a5)6 ise a ’ nın değeri kaçtır?
Soru: 6 tabanındaki 3 basamaklı basamakları farklı en büyük sayıdan , 6 tabanındaki iki basamaklı en
küçük sayıyı çıkardığımızda yine bu tabanda hangi sayıyı elde ederiz?
Soru: ( 35 )6 + ( 24 )6 = ( x )6 ise x kaçtır?
Soru: ( 31)4 − (12 ) 4 = ( x )4 ise x kaçtır?
Soru: ( 34 )5 . ( 24 )5 = ( x )5 ise x kaçtır?
FAKTÖRİYEL
1 ‘den n ‘e kadar olan tüm sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! Biçiminde gösterilir.
0! = 1
1! = 1
2! =2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
8! = 8.7!
12! = 12.11.10!
:
:
n! = n .(n-1)!
n! = n.(n-1).(n-2).......3.2.1 dir.
(n+2)! = (n+2) .(n+1) .n! biçimindedir.
Soru: Aşağıdakileri hesap ediniz.
a) 10! = k .8! ise k kaçtır?
b) (n+3)! = k .(n+1)! ise k nedir?
c) (n+1)! = k .(n-2)! ise k nedir?
Soru:
( n + 3)! − ( n + 2 ) ! = 42. ( n + 1)!+ n !
ise n kaçtır?
Soru: A ve n birer doğal sayı ve 25! = a.3n ise en büyük n doğal sayısı kaçtır?
9
Uyarı: a ve x birer doğal sayı olmak üzere a ≥ x ve a ! içinde x çarpanlarının sayısı x ’ in en büyük
asal çarpanının a ! içindeki sayısına eşittir.
Soru: 42! içinde kaç tane 6 çarpanı vardır?
Soru: 56! sayısının sondan kaç rakamı sıfırdır?
Asal Sayı
Bir ve kendisinden başka tam böleni olmayan , 1’ den büyük doğal sayılara , asal sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, ............... sayıları birer asal sayıdır.
BİR SAYININ ASAL ÇARPANLARI
A bir doğal sayı x, y, z asal sayılar ; n, m, p doğal sayı olmak üzere A = xn . ym . zp yazılışına A
sayısının asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazılışı denir.
Soru: 12 ve 1400 sayılarını asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazınız.
Soru: a, b ve c asal doğal sayılar olmak üzere, a .b = 21 , a .c = 15 , c .d = 40 ise a +b +c +d =?
Uyarı:
a) 1 asal sayı değildir.
b) 2 sayısı hem en küçük asal sayı hem de çift olan tek asal sayıdır.
c) Herhangi bir asal sayının bölenlerinin kümesi iki elemanlıdır.
BÖLÜNEBİLME KURALLARI
2 İle Bölünebilme:
Birler basamağı çift olan doğal sayılar 2 ile tam bölünür.
Soru: 15a üç basamaklı sayısı 2 ile tam bölünüyor ise a ‘nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
3 İle Bölünebilme:
Rakamları toplamı 3 ‘ün katı olan sayılar 3 ‘e tam bölünür.
Soru: 2a5 üç basamaklı sayısı 3 ile tam bölünüyor ise a ‘nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
4 İle Bölünebilme:
Son iki basamağının (onlar ve birler) belirttiği sayı 4 ile tam bölünebilen doğal sayılar, 4 ile tam
bölünür.
Soru: 5a2 üç basamaklı sayısı 4 ile tam bölünebiliyor ise , a ‘nın yerine kaç farklı rakam yazılabilir?
10
5 İle Bölünebilme:
Birler basamağında 0 veya 5 olan doğal sayılar 5 ile tam bölünebilir.
Soru: 5ab üç basamaklı sayı ve 5 ile tam bölünüyor. Bu sayı aynı zamanda 3 ile tam bölünüyor ise a
‘nın yerine kaç farklı rakam yazılabilir.
6 İle Bölünebilme:
Bir doğal sayı hem 2 hem de 3 ‘e tam olarak bölünürse 6 ‘ya tam bölünür.
Soru: 54a üç basamaklı sayısı 6 ‘ya tam bölünüyor ise a ‘nın yerine kaç farklı rakam yazılabilir?
7 İle Bölünebilme:
I. Yol:
a0 , a1 , a2 , ........, an birer rakam ve A = (an an-1 ........ a1 a 0 ) n +1 basamaklı bir sayı olmak
üzere ( a 0 + 3.a1 + 2.a2 ) – ( a3 +3.a4 + 2a5 ) + ............. sayısı 7 ‘nin tam katı ise verilen sayı 7 ile tam
bölünür.
II. Yol:
A doğal sayısı A = 10 .a + b biçiminde yazıldığında a – 2 .b sayısı 7 ‘nin katı ise A sayısı 7 ye
tam bölünür.
Soru: 1309 sayısı 7 ile tam bölünebilir mi ?
Soru: 2a46 dört basamaklı sayısı 7 ile tam bölünüyor ise a kaç olmalıdır?
8 İle Bölünebilme:
Bir sayının son üç basamağındaki sayı ( yüzler , onlar ve birler basamağındaki rakamların
oluşturduğu sayı ) 8’ e tam bölünüyor ise verilen sayı 8’ e tam bölünür.
Soru: 25000 , 30008 , 52160 sayılarının 8 ile bölünüp bölünmediğini belirtiniz.
9 İle Bölünebilme:
Rakamları toplamı 9 ‘un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Soru: 23a67 beş basamaklı sayısı 9 ile tam bölündüğüne göre , a ‘nın yerine kaç farklı rakam
yazılabilir?
Soru: a bir rakam olmak üzere 25 basamaklı aaaa........a sayısının 9 ile bölümünden kalan 4
ise a kaçtır?
10 İle Bölünebilme:
Birler basamağındaki rakamı sıfır olan her sayı 10 ile tam bölünür.
11
11 İle Bölünebilme:
n ∈ ℕ olmak üzere a0 , a1 , a2 ,..., an birer rakam, A = ( an an −1 ... a2 a1 a0 ) n + 1 basamaklı bir sayı
olsun. A sayısı 11 ile tam bölünebiliyorsa
11’ in katıdır.
( a0 + a2 + a4 + ... + a2 k + ...) − ( a1 + a3 + a5 + ... + a2 k +1 + ...)
farkı
Soru: 31254a , 6 basamaklı sayısı 11 ile tam bölünebiliyor ise a ne olmalıdır?
13 İle Bölünebilme:
A doğal sayısı 10.a + b biçiminde yazıldığında a + 4.b sayısı 13 ile tam bölünebiliyor ise A
doğal sayısı da 13 ile tam bölünür. Eğer a + 4.b sayısı hala çok büyük ise aynı kural tekrar uygulanabilir.
Soru: 4095 sayısı 13 ile tam bölünebilir mi ?
17 İle Bölünebilme:
A doğal sayısı 10.a + b biçiminde yazıldığında a - 5.b sayısı 17 ile tam bölünebiliyor ise A
doğal sayısı da 17 ile tam bölünür. Eğer a + 4.b sayısı hala çok büyük ise aynı kural tekrar uygulanabilir.
Soru: 714 sayısı 17 ile tam bölünebilir mi ?
19 İle Bölünebilme:
A doğal sayısı 10.a + b biçiminde yazıldığında a + 2.b sayısı 19 ile tam bölünebiliyor ise A
doğal sayısı da 19 ile tam bölünür. Eğer a + 2.b sayısı hala çok büyük ise aynı kural tekrar uygulanabilir.
Soru: 456 sayısı 19 ile tam bölünebilir mi ?
Uyarı:
a) Bir A doğal sayısı çarpanlarına tam bölünür.
b) Bir A doğal sayısının en az bir tane pozitif tam böleni vardır.
Soru: Bir sayının aşağıdaki sayılara tam bölünebilmesi için hangi koşullar gereklidir?
a) 12
b) 14
c) 15
d) 30
e) 42
( 12 = 3 .4
( 14 = 2 .7
( 15 = 3 .5
( 30 = 5 .6
( 42 = 6 .7
ise hem 3’e hem de 4’e bölünmelidir)
ise hem 2’ye hem de 7’e bölünmelidir)
ise hem 3’e hem de 5’e bölünmelidir)
ise hem 5’e hem de 6’ya bölünmelidir)
ise hem 6’ya hem de 7’e bölünmelidir)
Soru: 24 ‘e tam bölünebilen 3 basamaklı kaç tane doğal sayı vardır?
Soru: 34ab 4 basamaklı doğal sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 ‘dir. 34ab doğal sayısı 12 ile tam
bölünüyor ise kaç tane ( a , b ) ikilisi vardır?
12
ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ
İki ya da ikiden fazla doğal sayının her birini tam bölen sayıların en büyüğüne , bu sayıların ortak
bölenlerin en büyüğü OBEB ‘i denir.
Soru: 60 ve 252 sayılarının OBEB ‘ini bulunuz.
Soru: Kenarlarının uzunlukları 200 cm ve 560 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir karton kesilerek eşit
ve en büyük boyutlu karelere ayrılacaktır. Bu kartondan bu koşula uyan kaç tane kare elde edilir?
ARALARINDA ASAL SAYILAR
Birden başka ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.
Örnek: 3 ile 5 , 4 ile 7 , 8 ile 15 aralarında asal sayılardır.
Uyarı: İki sayının kendileri asal olmadıkları halde bu iki sayı aralarında asal olabilir.
Soru: x ve y birer pozitif doğal sayı olmak üzere x + 1 ve y + 2 sayıları aralarında asaldır.
( x + 1) . ( y + 2 ) = 40
ise x + y ’ nin değeri kaçtır?
Uyarı: a ve b aralarında asal sayılar ise OBEB(a , b) = 1 dir.
ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ
İki ya da ikiden fazla doğal sayının her birinin katı olan doğal sayılardan en küçüğüne ,
Bu sayıların ortak katlarının en küçüğü OKEK ‘i denir.
Soru: 40 ve 270 sayılarının OKEK ‘ ini bulunuz.
Soru: Kenarları 40 cm ve 60 cm olan dikdörtgen biçimindeki levhalardan en az kaç tanesi bir araya
getirilerek bir kare elde edilir?
Soru: 6 ile bölündüğünde 4 , 10 ile bölündüğünde 8 , 14 ile bölündüğünde 12 kalanını veren üç
basamaklı en küçük iki doğal sayının toplamı kaçtırr?
Uyarı:
1. a ve b aralarında asal iki doğal sayı ise OKEK(a , b) = a .b dir.
2. a ve b doğal sayıları için a < b ise OBEB(a , b) ≤ a < b ≤ OKEK(a , b) dir.
3. a ve b doğal sayıları için a .b = OBEB (a ,b) . OKEK(a , b) dir.
Soru: OBEB(24 , x) = 6, OKEK(24 , x) = 168 ise x kaçtır?
Soru: OBEB(30, 48, x) = 6, OKEK(30, 48, x) = 5040 ise en küçük x doğal sayısı kaçtır?
13
BİR SAYININ DOĞAL SAYI OLAN BÖLENLERİNİN SAYISI VE TOPLAMI
A doğal sayısı a1 , a2 , a3 ..... asal sayı x1 , x2 , x3 .... ∈ ℕ olmak üzere A = a1x1 .a2 x2 .a3 x3 .... biçiminde
yazılsın.
A’ nın doğal sayı olan bölenlerinin sayısı = ( x1 + 1) . ( x2 + 1) . ( x3 + 1) .... dır.
A’ nın doğal sayı olan bölenlerinin toplamı =
a1x1 +1 − 1 a2 x2 +1 − 1 a3 x3 +1 − 1
.
.
.... dır.
a1 − 1
a2 − 1
a3 − 1
Soru: 120 sayısının pozitif bölenlerinin sayısını ve toplamını bulunuz?
Soru: n ∈ ℕ , A = 10 . 6n sayısının doğal sayı olan bölenlerinin sayısı 60 ise n = ?
BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF BÖLENLERİNİN ÇARPIMI
A doğal sayısının pozitif bölenlerinin sayısı n ise A sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı
n
2
= A dir.
Soru: 12’ nin pozitif tam bölenlerinin çarpımı kaçtır?
Soru: Asal olmayan pozitif bölenleri toplamı 11 olan en küçük doğal sayının pozitif bölenlerinin
çarpımı kaçtır?
Soru: Üç basamaklı ve 6 ile bölünebilen en küçük sayının pozitif bölenlerinin çarpımı kaçtır?
TAM SAYILAR
n ∈ ℕ + olmak üzere x + n = 0 açık önermesinin doğal sayılar kümesinde çözümü yoktur.
x + n = 0 açık önermesini sağlayan sayı - n ile gösterilir . – n doğal sayı değildir. Hem n ∈ ℕ ları
hem de - n leri kapsayan yeni bir sayı çeşidi gereklidir. Bu sayı çeşidine Tam Sayılar denir.
Tam sayılar kümesi ℤ = {..., − n,..., −2, −1, 0,1, 2,..., n,...} dir.
Pozitif tam sayılar kümesi ℤ + = {1, 2,3, 4,..., n,...}
Negatif tam sayılar kümesi ℤ − = {..., − n,..., −4, −3, −2, −1} dir.
Dikkat edilecek olursa 0 ne negatif ne de pozitif tam sayıdır.
ℤ = ℤ − ∪ {0} ∪ ℤ + dir.
14
Uyarı:
∀n ∈ ℕ için n ∈ ℤ olduğundan ℕ ⊂ ℤ dir.
ℕ + = {1, 2,3, 4,..., n,...} = ℤ + dir.
TAM SAYILAR KÜMESİNDE İŞLEMLER
1. Toplama İşlemi
İki tam sayı toplanırken;
a) İşaretleri aynı ise sayıları işaretsiz toplar , toplamın önüne işareti yazılır.
b) İşaretleri farklı ise işaretsiz olarak büyük sayıdan küçüğünü çıkarır , büyük olanın işaretini bu
sonucun önüne yazarız.
Örnek:
a) (+8) + (+3) = + (8 + 3) = + 11
b) (-8) + (-3) = - (8 + 3) = - 11
c) ( 8 ) + ( -3) = + ( 8 – 3) = + 5
d) ( -8 ) + ( 3 ) = - ( 8 – 3) = - 5
Toplama İşleminin Özellikleri
1.Kapalılık Özelliği: ∀a, b ∈ ℤ için a + b ∈ ℤ dir.
2.Değişme Özelliği: ∀a, b ∈ ℤ için a + b = b + a dır.
3.Birleşme Özelliği: ∀a, b, c ∈ ℤ için a + ( b + c ) = ( a + b ) + c dir.
4. Birim ( Etkisiz ) Eleman: ∀a ∈ ℤ için a + 0 = 0 + a = a olduğundan 0 “+” işleminin birim
(Etkisiz) elemanıdır.
5. Ters Eleman: ∀a ∈ ℤ için a + ( − a ) = ( − a ) + a = 0 olduğundan a ‘nın “+” işlemine göre tersi –a
‘dır.
Bu beş özellik sağlandığından ( ℤ, + ) sistemi Değişmeli gruptur.
2. Çarpma İşlemi
İki tam sayıyı çarparken önce sayıları işaretsiz olarak iki doğal sayının çarpımı gibi çarparız; şayet
sayıların işaretleri aynı ise çarpımın önüne ( + ), sayıların işaretleri farklı ise çarpımın önüne ( – )
yazarız.
15
Örnek:
a) (+4) . (+7) = + ( 4 .7) = + 28
b) (-4) . (-7) = + ( 4 .7) = + 28
c) (+4) . (-7) = - ( 4 .7) = - 28
d) (-4) . (+7) = - ( 4 .7) = - 28
Çarpma İşleminin Özellikleri
1. Kapalılık Özelliği: ∀a, b ∈ ℤ için a.b ∈ ℤ dir.
2. Değişme Özelliği: ∀a, b ∈ ℤ için a.b = b.a dır.
3. Birleşme Özelliği: ∀a, b, c ∈ ℤ için a. ( b.c ) = ( a.b ) .c dir.
4. Birim ( Etkisiz ) Eleman: ∀a ∈ ℤ için a.1 = 1.a = a olduğundan 1 çarpma işleminin birim (Etkisiz )
elemanıdır.
Örnek: 3 .x = 1 açık önermesini doğru yapan tam sayı yoktur. O halde tam sayılar kümesinde 3 ‘ün
tersi yoktur.
Uyarı: Tam sayılar kümesinde çarpma işlemine göre her elemanın tersi olmadığından, ( Z, •) sistemi
grup değildir.
Soru: a , b , c negatif tam sayılar 3 .a = 2 .b , b = 2 .c ise a + b + c ‘nin en büyük değeri kaçtır?
3. Bölme İşlemi
a’nın b’ye bölümünde ;
a ve b aynı işaretli ise sonuç pozitiftir,
a ve b ters işaretli ise sonuç negatiftir.
Örnek:
a) (+6) : (+2) = +(6:2) = +3
b) (-6) : (-2) = +(6:2) = +3
c) (-6) : (+2) = -(6:2) = -3
d) (+6) : (-2) = -(6:2) = -3
Uyarı:
1. Tam sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.
2. Tam sayılar kümesinde bölme işleminin değişme özelliği yoktur.
3. Tam sayılar kümesinde bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.
16
Örnek:
3
a.   ∉ ℤ
2
4
2
b.   ∈ ℤ →   ∉ ℤ
2
4
12 : (6 : 2) = (12 : 3) = 4 
c.
 ⇒ 12 : (6 : 2) ≠ (12 : 6) : 2
(12 : 6) : 2 = (2 : 2) = 1 
dir.
İşlem Sırası
İşlem yaparken öncelik sırası;
1. Parantez içleri
2. Kuvvet alma
3. Bölme, çarpma
4. Toplama , çıkarma biçimindedir.
Soru: (3 2 − 1) 2 : (3.2 + 10) = ?
Soru: (12 : 3 – 8 ) . ( 3 .4 + 8) = ?
3
Soru: ( −2 ) + 3 . (18 : 3 − 8 ) = ?


Uyarı: Bir a tek sayısının tam bölenlerinin sayısı doğal sayı bölenlerinin sayısının 2 katıdır.
Soru: 675 sayısının kaç tane tam sayı böleni vardır?
TEK VE ÇİFT SAYILAR
Tek Sayı: n ∈ ℤ olmak üzere 2n − 1 kuralı ile elde ettiğimiz ...., −3, −1,1, 3,..., 2n − 1... sayılarının her
birine tek sayı denir.
T = { x : x = 2n − 1, n ∈ ℤ} = {..., −5, −3, −1,1,3,5,..., 2n − 1,...}
Çift Sayı: n ∈ ℤ olmak üzere 2n kuralı ile elde ettiğimiz ...., −4, −2, 2, 4,..., 2n... sayılarının her birine
çift sayı denir.
Ç = { x : x = 2n, n ∈ ℤ} = {..., −4, −2, 2, 4, 6,..., 2n,...}
Uyarı: 2 ile tam bölündüğünde 0 kalanını veren ( 2 ile tam bölünebilen ) tam sayılara çift tam sayı denir.
17
Tek ve Çift Tamsayılar İle İlgili Özellikler
1.İki tek tamsayının toplamı ve farkı çift tamsayıdır.
2.İki tek tamsayının çarpımı tek tamsayıdır.
3.Biri tek ve diğeri çift olan iki tam sayının toplamı ve farkı tek tamsayıdır.
4.Biri tek ve diğeri çift olan iki tam sayının çarpımı çift tamsayıdır.
5.İki çift tamsayının toplamı , farkı ve çarpımı yine bir çift sayıdır.
İspat: m, n, p, r ∈ ℤ olmak üzere x = 2n − 1 , y = 2m − 1 , a = 2 p , b = 2r tam sayılarını alalım.


x. y = ( 2n − 1) . ( 2m − 1) = 4.n.m − 2n − 2m + 1 = 2.  2n.m − n − m  + 1 = 2.k + 1 tek sayıdır.

k



x.a = ( 2n − 1) .2. p = 2.  2 pn − p  = 2.t çift tamsayıdır.


t


Özet:
Tek tam sayıyı T, Çift tam sayıyı Ç ile gösterelim. n ∈ ℕ olmak üzere
(Ç)n = Ç
T.Ç=Ç
T.T=T
Ç.Ç=Ç
T±T=T
T±Ç=T
DZÇ=Ç
(T) n = T
Soru: a tek b çift doğal sayı olmak üzere aşağıdaki sayıların tek ya da çift olup olmadıklarını
belirtiniz.
I. a 3 + b 3
II .
(a )b
2
− (b )
III . (a + 1) + b 5
a2
b2
IV. a 5 − (b − 1)
4
DİZİ
Tanım: Belli bir kurala göre artan ya da azalan sayılar grubuna dizi denir. Sonlu bir dizide n terim
sayısı olmak üzere
n=
( son sayı ) − ( ilk sayı )
Artım miktarı
+1
dir.
Soru: 8 ‘den 20 ‘ye kadar kaç tane tam sayı vardır?
Soru: -6 dan 20 ‘ye kadar kaç tane çift sayı vardır?
Soru: 7, 10, 13, .......... , 94
dizisinde kaç tane sayı varrdır?
18
ARDIŞIK TAM SAYILAR
n ∈ ℤ olmak üzere n, n + 1, n + 2,.... sayılarına ardışık tam sayılar denir.
Ardışık Tam Sayıların Toplamı:
1 + 2 + 3 + 4 + ......... + n =
İspat:
n.(n + 1)
2
dir.
T = 1 + 2 + ............. + (n – 1) + n
+ T = n + (n-1) + .............+ 2 + 1
2T = (n +1) + (n +1) + ........... + (n +1) = n . ( n +1 ) ise T =
n . (n + 1)
dir.
2
Uyarı: Bir a sayısının tam sayı olan tam bölenlerinin toplamı sıfırdır.
Soru: 1 + 2 + 3 + 4 + ........ + 40 toplamı kaçtır?
Soru: 1’ den n ’ e kadar olan tam sayıların toplamı a, 5’ den n’ e kadar olan tam sayılarınn toplamı b
dır. a + b = 410 olduğuna göre n kaçtır?
Soru: 100 ‘den büyük 4 farklı doğal sayının toplamı 426 ise en büyük sayı en çok kaç olur?
ARDIŞIK TEK TAM SAYILAR
n ∈ ℤ olmak üzere 2n − 1, 2n + 1, 2n + 3,.... sayılarına ardışık tek tam sayılar denir.
Ardışık Tek Tam Sayıların Toplamı:
1 + 3 + 5 + 7 + ........... + (2n – 1) = n2
dir.
Soru: 1 + 3 + 5 + ............. + 29 = ?
Soru: 21 + 23 + 25 + ............ + 59 = ?
ARDIŞIK ÇİFT TAM SAYILAR
n ∈ ℤ olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4,.... sayılarına ardışık çift tam sayılar denir.
Ardışık Çift Tam Sayıların Toplamı:
2 + 4 + 6 + ............... + 2n = n . (n + 1) dir.
Soru: 10 + 12 + 14 + ............... + 40 = ?
Soru: Ardışık 12 çift tam sayının toplamı 372 olduğuna göre en küçük sayı kaçtır ?
19
Uyarı:
3 ‘ün katı olan ardışık sayılar 3k , 3k + 3 , 3k + 6 , 3k + 9 , ....... biçiminde
4 ‘ün katı olan ardışık sayılar 4k , 4k + 4 , 4k + 8 , 4k + 12 , ....... biçiminde
...........................
n ‘in katı olan ardışık sayılar nk , nk + 1.n , nk + 2n , nk + 3n , ....... biçimindedir.
Soru: 4’ün katı olan ardışık 11 tam sayının toplamı 660 ise en büyük sayı kaçtır ?
Soru: 5 ile bölündüğünde 3 kalanını veren 500 den küçük olan doğal sayıların toplamı kaçtır?
Soru: 5 ile bölündüğünde 3, 4 ile bölündüğünde 2 kalanını veren ardışık en küçük 10 doğal sayının
toplamı kaçtır?
20
Dosya adı:
Dizin:
Şablon:
SAYILAR KONU ANLATIMI
C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET
C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor
mal.dotm
Başlık:
SAYILAR
Konu:
Yazar:
EGESU
Anahtar Sözcük:
Açıklamalar:
Oluşturma Tarihi:
08.01.2017 15:30:00
Düzeltme Sayısı:
2
Son Kayıt:
08.01.2017 15:30:00
Son Kaydeden:
TOLGA
Düzenleme Süresi: 3 Dakika
Son Yazdırma Tarihi: 08.01.2017 15:30:00
En Son Tüm Yazdırmada
Sayfa Sayısı:
20
Sözcük Sayısı:
4.397(yaklaşık)
Karakter Sayısı: 25.065(yaklaşık)