SÜREKLĠ ÇOĞUL-DEĞERLĠ FONKSĠYONLAR ÜZERĠNE BĠR

T.C.
SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
 -SÜREKLĠ ÇOĞUL-DEĞERLĠ
FONKSĠYONLAR ÜZERĠNE BĠR ÇALIġMA
Ahmet UĞUR
YÜKSEK LĠSANS
Matematik Anabilim Dalı
Temmuz-2012
KONYA
Her Hakkı Saklıdır
ÖZET
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
 -SÜREKLĠ ÇOĞUL-DEĞERLĠ
FONKSĠYONLAR ÜZERĠNE BĠR ÇALIġMA
Ahmet UĞUR
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
DanıĢman: Doç. Dr. Aynur Keskin KAYMAKCI
2012, 45 Sayfa
Jüri
Doç. Dr. Aynur Keskin KAYMAKCI
Prof. Dr. EĢref HATIR
Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK
(,) bir topolojik uzay, (,U) bir kuasi-uniform uzay olmak üzere;
F:  çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. Y kümesinin herhangi bir  örtüsü için,
Spakowski (2001)  tipi alttan yarı sürekliliği (-ays) tanımlamıĢtır. -ays nin, iyi
bilinen süreklilik çeĢitleri olan Vietoris ve Hausdorff ile iliĢkisini çalıĢmıĢ ve -ays
çoğul-değerli fonksiyonlarda temel iĢlemleri incelemiĢtir. Bu araĢtırmada,  tipi yarı
süreklilik ve  topolojiden yararlanarak, H- ve V- tipleri ile yakın iliĢkiye sahip -
tipi yarı süreklilik kavramı elde edilmiĢtir. Küme, kartezyen çarpım ve toplama
iĢlemlerinin, - -yarı sürekliliği koruması için yeter Ģartları verdik. F in grafik
fonksiyonunun, - -alttan yarı sürekliliği üzerine çalıĢtık. Ayrıca,  in kapalı örtüsü
{Vi | iI } için, F in - -ays olması ile her i I için, F |Vi, kısıtlanıĢ fonksiyonunun
- -ays olmasının eĢ değer olduğunu bulduk. Önemli bir sonuç olarak, H-yarı sürekli
çoğul-değerli fark fonksiyonlarının karakterizasyonları verilmiĢtir. Hausdorff yarı
sürekli çoğul-değerli fonksiyonlar üzerinde bileĢke iĢlemini de inceledik.
Anahtar Kelimeler: çoğul-değerli fonksiyonlar, kuasi-uniform uzay,  -sürekli, Vietoris -
yarı sürekli, Hausdorff-yarı sürekli, -yarı sürekli.
iv
ABSTRACT
MS THESIS
A STUDY ON  -CONTINUOUS MULTIFUNCTIONS
Ahmet UĞUR
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF
SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE
IN MATHEMATICS
Advisor: Assoc. Prof. Dr. Aynur Keskin KAYMAKCI
2012, 45 Pages
Jury
Assoc. Prof. Dr. Aynur Keskin KAYMAKCI
Prof. Dr. EĢref HATIR
Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK
For a topological space (,) and a quasi-uniform space (,U), let the
multifunction F:   be given. For a cover  of Y, Spakowski (2001) defined
 lower semicontinuity of F. He studied its relation to the well-known types of
continuity Vietoris and Hausdorff and investigated basic operations on such
multifunctions. In this study, unifying  semicontinuity and  topology, the concept of
-- semicontinuity that has close relation to the types H- and V- has been obtained.
We have given the sufficient conditions for set, cartesian product and sum operations to
preserve - -semicontinuity. We have studied - -lower semicontinuity of graph of
F. Moreover, we have found out that for a closed cover of , {Vi | iI }, F is - -lsc if
and only if for all iI, the restriction function F |Vi is - -lsc. As an important result,
the characterizations of H-semicontinuous complement multifunctions have been given.
We have also examined the composition operation on Hausdorff semicontinuous
multifunctions.
Keywords: multifunctions (multi-valued functions), quasi-uniform space,  -continuous,
Vietoris-semicontinuous, Hausdorff-semicontinuos,  -semicontinuous
v
ÖNSÖZ
Bu tezde, var olan teoriyi bir baĢka alana uygulayabileceğimi düĢünerek yola
çıktım. Sonrasında temel kavramların irdelenmesi ile özgün sonuçların ortaya çıktığını
gördüm. Umutsuzluğa düĢtüğüm anlarda ilhamlarımın yardımıyla ve kararlılıkla
problemin üzerine giderek yeni fikirler elde ettim. Bana güvenen aileme, araĢtırma
boyunca gösterdiği sabır, içtenlik ve ilgiden dolayı değerli hocam Doç. Dr. Aynur
Keskin KAYMAKCI’ya ve maddi desteği ile her zaman yanımda olan TÜBĠTAK’a en
içten teĢekkürlerimi sunarım.
Ahmet UĞUR
KONYA-2012
vi
ĠÇĠNDEKĠLER
ÖZET .............................................................................................................................. iv
ABSTRACT ..................................................................................................................... v
ÖNSÖZ ........................................................................................................................... vi
ĠÇĠNDEKĠLER ............................................................................................................. vii
SĠMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................ viii
1. GĠRĠġ ........................................................................................................................... 1
2. KAYNAK ARAġTIRMASI ....................................................................................... 2
2.1. Topolojik ve Kuasi-Uniform Uzaylar .................................................................... 2
2.2.  -Süreklilik ve Yarı Süreklilik............................................................................. 5
3. TEORĠK ESASLAR ................................................................................................... 8
4. ARAġTIRMA SONUÇLARI VE TARTIġMA ........................................................ 9
4.1. Kuasi-Uniform Uzaylarda Çoğul-Değerli Yarı Sürekli Fonksiyonlar ................... 9
4.2. Topolojik Vektör Uzaylarda Çoğul-Değerli Yarı Sürekli Fonksiyonlar ............. 13
4.3. Kuasi-Uniform ve Topolojik Vektör Uzaylarda Çoğul-Değerli  -Yarı Sürekli
Fonksiyonlar ............................................................................................................... 16
5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ................................................................................. 42
5.1 Sonuçlar ................................................................................................................ 42
5.2 Öneriler ................................................................................................................. 42
KAYNAKLAR .............................................................................................................. 43
ÖZGEÇMĠġ .................................................................................................................. 44
vii
SĠMGELER VE KISALTMALAR
Simgeler
A-B
2A
A
A













:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
A fark B
A kümesinin güç kümesi
A kümesinin içi
A kümesinin kapanıĢı
BirleĢim
BoĢ küme
Elemanıdır
Elemanı değildir
EĢittir
EĢit değildir
Gerek Ģart
Her
Kartezyen çarpım
KesiĢim
Öyle ki
Öylesi vardır ki
Yeter Ģart
Kısaltmalar
ays
H
üys
V
: Alttan yarı sürekli(lik)
: Hausdorff
: Üstten yarı sürekli(lik)
: Vietoris
viii
1
1. GĠRĠġ
Sürekli fonksiyonlar, nokta-küme topolojisinde yaygın bir çalıĢma konusudur.
Bu alanda; sürekli fonksiyonlar üzerine olan birçok teori, çoğul-değerli fonksiyonlara
genelleĢtirilmiĢtir. Alttan yarı süreklilik kavramının kesiĢim özellikleri, optimizasyon
(eniyileme) teorisinde uygulama alanına sahiptir (Penot, 1993). Çoğul-değerli
fonksiyonlar, bir uzayın niteliğini ortaya koymak ya da yeni uzay çeĢitleri bulmak adına
önem taĢır. Topolojik vektör uzayları, topoloji ve doğrusal cebirin birleĢtiği noktadadır.
Bu nedenle, üzerinde çalıĢacağımız çoğul-değerli fonksiyonlar, bu iki dal arasındaki
iliĢkiyi ortaya koyacaktır. Sonuçta; çoğul-değerli bir fonksiyonun davranıĢı hakkında
bilgi edinmek, tanım ve görüntü uzayları hakkında fikir yürütmekle eĢ değerdir.
Bu tezde; (X,) topolojik uzayı ve Y kümesi için, F: X çoğul-değerli
fonksiyonu (Y,) uzayının sırası ile kuasi-uniform ve topolojik vektör uzay olması
durumunda çalıĢılmıĢtır. Spakowski (2001) tarafından ortaya atılıp Hausdorff ve
Vietoris tipi süreklilikle iliĢkisi incelenen -süreklilik, bilinen θ-süreklilikle
birleĢtirilmiĢ ve -θ-süreklilik kavramı elde edilmiĢtir. Kuasi-uniform uzaylarda çoğuldeğerli fonksiyonlar için θ ve θ * tipi alttan yarı süreklilik denk olduğundan -ays nin
Spakowski’nin (2001) belirttiği özelliklerinin, aynı Ģekilde -θ-ays için de geçerli
olduğu görülür. Bu denklik, aynı zamanda -θ-ays nin -ays den daha güçlü bir
süreklilik olduğu sonucuna götürür. -θ-alttan yarı sürekli çoğul-değerli fonksiyonlar
üzerinde birleĢim, kartezyen çarpım ve kesiĢim iĢlemlerinde, -θ-ays nin hangi
durumlarda korunduğu irdelenmiĢtir ve bu denklik kullanılmadan doğrudan ispat
yapılmıĢtır. F in kısıtlanıĢ, grafik ve fark fonksiyonlarının karakterizasyonları
çalıĢılmıĢtır. Kuasi-uniform uzaylarda süreklilik ile küme bileĢke iĢleminin yakın
iliĢkisinden
yola
çıkarak
grafik
fonksiyonu
cinsinden,
belirli
çoğul-değerli
fonksiyonların sağladığı cebirsel bir özellik verilmiĢtir. Bu sonuç, belirli özelliği
sağlayan kuasi-uniform uzayda değerli, F: XX Ģeklinde verilen çoğul-değerli
fonksiyonların Hausdorff-üstten sürekli olduğu en küçük değer uzayını bulmada önem
taĢır. Elde edilen özelliğe sahip fonksiyonların, cebirsel anlamda birim elemanlı bir yarı
grup oluĢturduğu görülmüĢtür. Ayrıca, X topolojik uzay, Y topolojik vektör uzayı ve
F,G: XY olmak üzere; F ile G çoğul-değerli fonksiyonlarının vektörel toplamının, θyarı süreklilik çeĢitlerini koruması için yeter Ģartlar verilmiĢtir.
2
2. KAYNAK ARAġTIRMASI
2.1. Topolojik ve Kuasi-Uniform Uzaylar
Bu bölümde; literatürde iyi bilinen topolojik ve kuasi-uniform uzay kavramları
hakkında araĢtırmamızda gerekli olan temel bilgiler verilmiĢtir.
2.1.1 Tanım
BoĢ olmayan bir  kümesi için,   2 ailesi aĢağıdaki Ģartları sağlasın. O
hâlde; (,) ikilisine topolojik uzay denir.
a)  ,   ;
b) iJ (J herhangi bir küme) için; Ai için,
c) iJ (J sonlu) için; Ai için,
 Ai  ;
iJ
 Ai  .
iJ
2.1.2. Tanım
(,) topolojik uzayı ve V  verilsin. v ={ UV | U } ailesinin oluĢturduğu
topolojiye, alt uzay topololojisi denir. Böylelikle, (V,v) topolojik alt uzayı elde edilir.
2.1.3. Tanım
(,) topolojik uzayı verilsin. Her V ve xV için, U V olacak biçimde bir
U varsa  , regüler uzaydır denir.
2.1.4. Tanım
, boĢ olmayan bir küme olmak üzere;   2 ailesi, aĢağıdaki koĢulları sağlarsa
 ailesine, ideal denir.
a) A, B için, AB ;
b) B için; C B için, C (Kuratowski, 1966).
3
2.1.5. Tanım
 için, aĢağıdaki özellikleri sağlayan U 2 ailesi verilsin:
a) UU ve y için, (y,y)U;
b) U, VU için, UVU ;
c) UU için,  VU  VV U ( VV {(x,y)|  z  (x,z),(z,y) V} );
d) UU için; U V için, VU.
Bu takdirde; U ailesine,  üzerinde bir kuasi-uniformite ve (,U) ikilisine,
kuasi-uniform uzay adı verilir. Her UU için, U-1{(y,x)|(x,y) U}U ise (, U),
uniform uzaydır denir.
2.1.6. Tanım
(,U), bir kuasi-uniform uzay olmak üzere; A ve WU verilsin.
W(A) {y |  xA  (x,y)W } kümesine, A nın W-komĢuluğu denir. Bu çalıĢmada;
W,  kümesinin herhangi bir alt kümesi olması durumunda da W(A) kümesini aynı
Ģekilde kullanacağız.
2.1.7. Tanım
 kümesi ve Σ  Ρ( ) ailesi verilsin. Σ  {  Ai | AiΣ, J herhangi bir küme}
iJ
ailesine, Σ ailesinin ürettiği aile denir.
2.1.8. Önerme
(,U), kuasi-uniform uzayı verilsin. Σ{U(y) | UU, y }, bir topoloji üreten
komĢuluklar ailesidir.
4
2.1.9. Tanım
(,U), kuasi-uniform uzay olmak üzere; Λ 2
ailesi verilsin. Λ ailesi
kümelerinin herhangi bir kesiĢimine eĢit olan kümeler ailesi, U kuasi-uniformitesini
üretiyorsa Λ ailesine, U için bir alt tabandır denir.
Her
topolojik
uzayın
kuasi-uniformize
edilebilir
olduğu
ispatlanmıĢtır
( Pervin, 1962; Murdeshwar ve Naimpally, 1966).
2.1.10. Teorem
(,), bir topolojik uzay olmak üzere; her U için, Su (UU)  ((-U) )
Ģeklinde tanımlansın. O hâlde; Λ{ Su | U } ailesi,  topolojisini üreten kuasiuniformite için alt taban oluĢturur. (Pervin, 1962).
2.1.11. Önerme
(,), bir topolojik uzay ve U,  topolojisini üreten,  üzerinde bir kuasi-uniformite
olsun. A kümesinin kapanıĢı, A {  W-1(A) | WU } olur (Spakowski, 2001).
2.1.12. Uyarı
Herhangi
bir
A
için,
W-1(A)A
olduğu
açıktır.
Bu
nedenle
A{  B | BA   -B  } ifadesi ile yukarıdaki önerme arasındaki benzerlik
dikkate değerdir.
2.1.13. Tanım
(,U), kuasi-uniform uzay ve A olsun. Her WU için, BA ve A W-1(B)
Ģartını sağlayan bir B sonlu kümesi varsa A, tamamen sınırlıdır denir.
5
2.2.  -Süreklilik ve Yarı Süreklilik
2.2.1. Tanım
(,) topolojik uzayı ve A  verilsin. Her aA için, aU U A olacak
Ģekilde bir U açık kümesi varsa A,  -açıktır denir (Velicko, 1968).
2.2.2. Uyarı
(,) topolojik uzayı ve açık U  alt kümesi verilsin. Bu takdirde; yukarıdaki
tanım gereği, U kümesi, her zaman  -açık olur.
2.2.3. Tanım
(,) ve (,), topolojik uzaylar olmak üzere; bir f:  fonksiyonu ve x
noktası verilsin. f(x) in her V açık komĢuluğu için, f(U) V olacak Ģekilde bir U açık
komĢuluğu varsa f fonksiyonu, x noktasında  -süreklidir denir (Fomin, 1943).
AĢağıdaki teorem, her sürekli fonksiyonun  -sürekli olduğunu göstermektedir.
2.2.4. Teorem
(,) ve (,) topolojik uzayları ile sürekli olan bir f: 
verilsin.
Bu
takdirde;
her
V
-açık
kümesi
için,
f-1(V),
fonksiyonu
-açık
olur
(Long ve Herrington,1982).
2.2.5. Tanım
 ve  kümeleri verilsin. F,  kümesindeki her noktayı  kümesinin boĢ
olmayan bir alt kümesine götürüyorsa F kuralına çoğul-değerli fonksiyon denir.
F:  Ģeklinde gösterilir.
6
2.2.6. Tanım
A ve F: Y verilsin. A kümesinin, F çoğul-değerli fonksiyonu altında
üstten
ters
görüntüsü;
F+(A)={xX
|
F(x)A}
ve
alttan
ters
görüntüsü;
F-(A)={xX | F(x)  A≠ Ø } Ģeklinde tanımlanır (Berge, 1959; Banzaru, 1972).
2.2.7. Tanım
(,) ve (,) topolojik uzayları ile F:  Y çoğul-değerli fonksiyonu verilsin.
F in çoğul-değerli grafik fonksiyonu olan GF, Ģu Ģekildedir: GF:  
 x
için, GF(x)={x}F(x) . { {x}F(x) | x } kümesine F in grafiği denir. KarıĢıklık
olmaması adına F in grafiğini FG sembolü ile göstereceğiz.
2.2.8. Tanım
(,) ve (,), topolojik uzaylar olmak üzere; F: Y çoğul-değerli
fonksiyonu ile x noktası verilsin.
a) F(x)  V  Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F (x)  V 
olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Vietoris tipi
alttan yarı süreklidir denir. Kısaca, V-ays Ģeklinde gösterilir.
b) F(x)  V Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F (x)  V olacak
Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Vietoris tipi üstten
yarı süreklidir denir. Kısaca, V-üys Ģeklinde gösterilir.
2.2.9. Uyarı
Spakowski (2001), Vietoris tipi yarı süreklilik ile bilinen yarı süreklilik
kavramlarını çoğul-değerli fonksiyonlar için aynı anlamda kullanmıĢtır. Biz de, bu
çalıĢmada, topolojik uzaylarda çoğul-değerli fonksiyonlar için süreklilik ve -süreklilik
kavramlarını buna uyumlu Ģekilde kullanacağız.
 -süreklilik çoğul-değerli fonksiyonlara, tekil-değerlidekine uygun olarak daha
önceden Ģu Ģekilde geniĢletilmiĢtir:
7
2.2.10. Tanım
(,) ve (,), topolojik uzaylar olmak üzere; F: Y çoğul-değerli
fonksiyonu ile x noktası verilsin.
a) F(x)  V  Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F(x)  V 
olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Vietoris tipi
alttan  -yarı süreklidir denir. Kısaca, V- -ays Ģeklinde gösterilir.
b) F(x)  V Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F(x)  V olacak
Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Vietoris tipi üstten
 -yarı süreklidir denir. Kısaca, V- -üys Ģeklinde gösterilir
2.2.11. Tanım
(,) ve (,), topolojik uzaylar olmak üzere; F: Y çoğul-değerli
fonksiyonu ile x noktası verilsin.
a) F(x)  V  Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F(x)  V 
olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa
F fonksiyonuna, x noktasında alttan
 *-yarı süreklidir denir.
b) F(x)  V Ģartını sağlayan her V  için; xU(x) için, F(x)  V olacak
Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında üstten  *-yarı
süreklidir denir (Mukherjee ve ark., 2002).
2.2.12. Uyarı
Üzerinde çalıĢacağımız diğer süreklilik çeĢitleri ile uygun olması adına alttan
*-yarı sürekliliği V-*-ays; üstten *-yarı sürekliliği ise V-*-üys ile göstereceğiz.
8
3. TEORĠK ESASLAR
θ -sürekliliğin tarihsel geliĢimi ve kuasi-uniform uzaylarda süreklilik kavramları
üzerine yapılan araĢtırmalar, tez için gerekli ve yeterli ön bilgiyi oluĢturacak Ģekilde
değerlendirilmiĢtir. Kuasi-uniform ve topolojik uzaylar arasındaki güçlü iliĢki temel
teorilerin kuasi-uniform uzayda da uygulanabileceğine ilham kaynağı olmuĢtur.
Topolojik uzaylardaki komĢuluk kavramı ile kuasi-uniform uzaylardaki bilinen
komĢuluk arasındaki yakın bağ, V ile  ya da H tipi süreklilik arasındaki geçiĢte olduğu
gibi iki uzay arasındaki geçiĢte de önem taĢımıĢtır.
9
4. ARAġTIRMA SONUÇLARI VE TARTIġMA
4.1. Kuasi-Uniform Uzaylarda Çoğul-Değerli Yarı Sürekli Fonksiyonlar
Bu bölümde; (,) topolojik ve (,U), kuasi-uniform uzay olmak üzere;
F : çoğul-değerli fonksiyonu incelenmiĢtir.
Spakowski (2001), görüntü kümesi kuasi-uniform uzay olan çoğul-değerli
fonksiyonlar için, Hausdorff tipi alttan yarı sürekliliği çalıĢmıĢtır.
4.1.1. Tanım
F:  çoğul-değerli fonksiyonu ve x  noktası verilsin.
a) Her WU için; xU(x) için, F(x)  W-1(F(x)) olacak Ģekilde bir U(x)
komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Hausdorff tipi alttan yarı süreklidir
denir. Kısaca, H-ays Ģeklinde gösterilir.
b) Her WU için; xU(x) için, F(x)  W(F(x)) olacak Ģekilde bir U(x)
komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Hausdorff tipi üstten yarı süreklidir
denir. Kısaca, H-üys Ģeklinde gösterilir.
c) F, x noktasında H-ays ve H-üys ise x noktasında Hausdorff yarı süreklidir
(H-ys) denir.
Penot (1993); topolojik uzaydan normlu uzaya tanımlı, sınırlı, alttan yarı sürekli
çoğul-değerli fonksiyonları tanıtmıĢtır. Spakowski (2001) ise  kümesinin herhangi bir
 örtüsü için,  tipi alttan yarı sürekliliği tanımlayarak; V-ays ile H-ays kavramlarını
birleĢtirmiĢ ve Penot’un kavramını genelleĢtirmiĢtir. Ayrıca,  tipi üstten yarı sürekliliği
benzer Ģekilde tanımlamıĢtır.
4.1.2. Tanım
 kümesinin bir  örtüsü verilsin.
a) Her WU ve B
için; xU(x) için, F(x)  B  W-1(F(x)) olacak
biçimde bir U(x) komĢuluğu varsa F:  çoğul-değerli fonksiyonu, x noktasında 
tipi alttan yarı süreklidir denir. Kısaca -ays Ģeklinde gösterilir.
10
b) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x)  B  W(F(x)) olacak biçimde
bir U(x) komĢuluğu varsa F:  çoğul-değerli fonksiyonu, x noktasında  tipi
üstten yarı süreklidir denir. -üys Ģeklinde gösterilir. (Spakowski, 2001).
4.1.3. Uyarı
 ailesini, en kaba örtü { } aldığımızda; -ays ile H-ays nin eĢ değerliği
aĢikârdır. Spakowski (2001), yaptığı çalıĢmada;  ailesinin en ince örtü {{y}| y }
olması durumunda; -ays ile V-ays eĢitliğini göstermiĢtir. Böylece, ortaya attığı -ays
ile diğer iki süreklilik çeĢidini birleĢtirmiĢtir.
AĢağıdaki teorem, söz konusu üç süreklilik çeĢidi arasındaki iliĢkiyi ortaya
koymaktadır.
4.1.4. Teorem
Y kümesinin bir  örtüsü, (,) topolojik uzayı, (,U) kuasi-uniform uzayı ve
F:  çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. Bu takdirde; aĢağıdaki önerme sağlanır:
F, x noktasında H-ays dir  F, x noktasında -ays dir  F, x noktasında
V-ays dir. Ters yönlü önermelerin doğru olması gerekmez (Spakowski, 2001).
4.1.5. Teorem
F:  çoğul-değerli fonksiyonu ve  {{y}| y } örtüsü verilsin. O hâlde;
F fonksiyonunun x noktasında V-ays olması için gerek ve yeter Ģart x noktasında
-ays olmasıdır (Spakowski, 2001).
4.1.6. Tanım
 kümesinin bir  örtüsü, (,U) kuasi-uniform uzayı ve A  verilsin. Her
B için, AB tamamen sınırlı ise A kümesine, -tamamen sınırlı denir
(Spakowski, 2001).
11
4.1.7. Uyarı
 { } ise tamamen sınırlılık ve -tamamen sınırlılık kavramları aynıdır.
 {{y}| y } ise tek elemanlı küme her zaman tamamen sınırlı olduğundan  nin
her alt kümesi, -tamamen sınırlı bulunur. Buradan yola çıkarak; aĢağıdaki teorem,
4.1.5. Teoreme daha genel yeter Ģart eklemiĢtir (Spakowski, 2001).
4.1.8. Teorem
F:  çoğul-değerli fonksiyonu, x noktası ve  kümesinin bir  örtüsü
verilsin. F( x), -tamamen sınırlı ise F fonksiyonunun x noktasında V-ays olması için
gerek ve yeter Ģart x noktasında -ays olmasıdır (Spakowski, 2001).
4.1.9. Uyarı
-ays ve -üys tanımları birbirinin ters yönlüsü olduğundan V-üys-üys
ifadesi doğrudur. Dolayısıyla, önermenin yönü üstten yarı süreklilik durumunda değiĢir.
Ancak F(x) kümesinin -tamamen sınırlı olması, tersinin doğru olmasını gerektirmez.
Spakowski (2001) tarafından -ays çeĢidi ile birleĢim iĢlemi arasındaki iliĢki
aĢağıdaki gibi ortaya konmuĢtur.
4.1.10. Tanım
,  uzayları ve Fi: , i J çoğul-değerli fonksiyonları verilsin. BirleĢim
fonksiyonu, F  Fi ; x için, F(x):   Fi(x) Ģeklinde tanımlanır.
iJ
iJ
4.1.11. Teorem
(,) topolojik ve (,U), kuasi-uniform uzay olmak üzere; F1, F2 : 
çoğul-değerli fonksiyonları, x  noktasında -ays ise; bu takdirde, F F1  F2 x
noktasında -ays olur.
12
Çarpım topolojisi, literatürde bilinen bir kavramdır. AĢağıda, çarpım
kuasi-uniformitesi tanımlanmıĢtır (Spakowski, 2001).
4.1.12. Tanım
(i,Ui) i1, 2, kuasi-uniform uzaylar olsun. Pi :12 i  i1, 2; izdüĢüm
fonksiyonları ise 12 için, çarpım kuasi-uniformitesi, UU1U2  
;
aĢağıdaki belirtilen Ģekilde kümeler tarafından üretilir:
[W1,W2]{(z1,z2) | (Pi(z1), Pi(z2))Wi, i1, 2}, WiUi
AĢağıdaki yardımcı teorem, -ays nin çarpım iĢleminde korunduğunu
ispatlamada kullanılmıĢtır.
4.1.13. Teorem
(i,Ui) iI{1, 2} kuasi-uniform uzayları ve iI için, Ai i kümeleri verilsin.
O hâlde; Ģu özellikler sağlanır:
a) [W1,W2] (A1A2) W1 (A1) W2 (A2)
b) [W1,W2]-1 (A1A2) W1-1(A1) W2-1(A2) (Spakowski, 2001).
4.1.14. Uyarı
Yukarıdaki teoremin I, herhangi bir küme olduğunda da geçerli olduğu
görülebilir.
4.1.15. Teorem
(,); topolojik uzayı, (i,Ui) iI;
kuasi-uniform uzaylar ailesi, iI için,
i kümesinin bir i örtüsü verilsin. iI için, çoğul-değerli Fi : i fonksiyonlarının,
x noktasında -ays olması için gerek ve yeter Ģart
fonksiyonunun x noktasında
 Fi, çoğul-değerli çarpım
iI
 i-ays olmasıdır (Spakowski, 2001).
iI
13
4.2. Topolojik Vektör Uzaylarda Çoğul-Değerli Yarı Sürekli Fonksiyonlar
4.2.1. Tanım
 ; üzerinde topoloji tanımlanan bir vektör uzay ve vektör uzayın toplama
iĢlemi; +:
sürekli bir fonksiyon ise  topolojik vektör uzaydır denir
( Schaefer, 1986).
4.2.2. Uyarı
(,) topolojik vektör uzayı ve F:  çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. U,
0 vektörünün komĢuluklarından üretilen kuasi-uniformite olsun. Bu takdirde; F(x) in
(,U) uzayındaki komĢulukları, F(x) ile 0 ın komĢuluklarının vektörel toplamı bulunur.
Dolayısıyla, bu özel durumda, H-ays nin tanımı aĢağıdaki gibi olur.
0 ın her V komĢuluğu için; x U(x) için, F(x)  F(x) + V olacak Ģekilde bir
U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonu, x noktasında H-ays dir. (Spakowski, 2001).
Takip eden iki yardımcı teorem, kesiĢim iĢleminde -ays çeĢidinin korunması
için yeter Ģartları oluĢturmada kullanılmıĢtır.
4.2.3. Teorem
; normlu uzayı, A ; konveks ve sınırlı kümesi verilsin. A, A kümesinin içi
olmak üzere; A sağlansın. Bu takdirde; B(r); r>0, r yarıçaplı yuvarı ifade etmek
üzere; her >0 için, C+B()  A  C+B() olacak Ģekilde bir C  A kümesi ve >0
vardır (Lechicki ve Spakowski, 1985).
4.2.4. Teorem
Herhangi bir A kümesi, B; sınırlı kümesi ve boĢ olmayan C kapalı ve konveks
kümesi,  topolojik vektör uzayına ait olsun. Bu takdirde; A+B  (C+B)  A  C
olur (Rabinovich, 1967; Urbánski, 1976).
14
4.2.5. Tanım
(,) topolojik uzay ve  , topolojik vektör uzay olmak üzere; F:  
çoğul-değerli fonksiyonu ile x
noktası verilsin. Her xU için, F(x) kümesi
konveks (kapalı) olacak Ģekilde bir U açık kümesi varsa F, x noktasında yerel konveks
(kapalı) değerlidir denir.
4.2.6. Teorem
(,); topolojik uzayı ve  ; normlu uzayı ile  kümesinin bir {B(r)| r>0}
örtüsü verilsin. F1, F2 :
çoğul-değerli fonksiyonları, x
noktasında;
-ays, yerel konveks, yerel kapalı değerli ve F(x) ise F  F1  F2 fonksiyonu, x
noktasında -ays dir; dolayısıyla V-ays dir (Spakowski, 2001).
AĢağıda; vektör uzayda çoğul-değerli fonksiyonlar için toplama iĢlemi, bilinen
Minkowski tipi küme toplaması olarak verilmiĢtir.
4.2.7. Tanım
(,), topolojik ve  , topolojik vektör uzay olmak üzere; F1, F2 : 
çoğul-değerli fonksiyonları verilsin. F1 ile F2 nin vektörel toplamı, x için,
(F1+F2)(x)  F1(x)+F2(x) { a+b| aF1(x), bF2(x) } Ģeklinde tanımlanır.
Spakowski (2001), vektörel toplamın Hausdorff alttan yarı sürekliliğinin daha
önce ispatlandığını belirtmiĢtir.
4.2.8. Uyarı
(,), topolojik ve ,
topolojik vektör uzay olsun. F1, F2 : 
çoğul-değerli fonksiyonları, x noktasında H-ays ise; bu takdirde, F1+F2 vektörel
toplam fonksiyonu da, x noktasında H-ays dir.
15
4.2.9. Teorem
F1, F2 :  çoğul-değerli fonksiyonları x noktasında V-ays ise F1+F2,
x noktasında V-ays olur (Spakowski, 2001).
4.2.10. Tanım
, topolojik vektör uzay ve ,  nin bir örtüsü olmak üzere; her B ve her
v için, B+v  ise  örtüsüne, öteleme değiĢmez örtü denir.
4.2.11. Teorem
,  nin öteleme değiĢmez bir örtüsü, x noktasında F : -ays ve
f:  sürekli ise F + f, x noktasında -ays olur (Spakowski, 2001).
AĢağıdaki örnek, -ays olma özelliğinin vektörel toplama iĢleminde
korunmadığını gösterir.
4.2.12. Örnek
3 ve , {y  x} düzlemi ve onun ötelemelerinden meydana gelen örtü
olsun. F1(t), {z  ty, x  0} ve F2(t), {y  0, z  0}, t  0 doğruları olsun. Bu takdirde;
F1 ve F2 -ays dir, fakat F1+F2; her noktada -ays değildir (Spakowski, 2001).
4.2.13. Tanım
(,), topolojik uzay, , topolojik vektör uzay ve F :  çoğul-değerli bir
fonksiyon olsun. x için, F(x) i içeren en küçük konveks kümeyi konv(F(x)) ile
gösterelim. F in konveks kabuğu konv(F)(x) : ; her x için,
konv(F)(x)
konv(F(x)) Ģeklinde tanımlanır.
Konveks kabuk kavramı ile ilgili olarak Spakowski (2001) tarafından verilen
teoremi ele alalım.
16
4.2.14. Teorem
, yerel konveks uzay olmak üzere; F : çoğul-değerli fonksiyonu, x
noktasında –ays ise; o hâlde, konv(F), x noktasında –ays dir (Spakowski, 2001).
4.3. Kuasi-Uniform ve Topolojik Vektör Uzaylarda Çoğul-Değerli  -Yarı Sürekli
Fonksiyonlar
Bu bölümde; kuasi-uniform uzaylarda yarı süreklilik ile ilgili elde edilen
özelliklerin  -yarı süreklilikle iliĢkisi incelendi. (,) topolojik ve (,U) kuasi-uniform
uzay olarak alındı.
Hausdorff tipi  * ve  -yarı sürekliliği, bilinen  * ve  -yarı süreklilikle uyumlu
olarak kuasi-uniform uzaylarda çoğul-değerli fonksiyonlar için Ģu Ģekilde tanımlanır:
4.3.1. Tanım
F:  çoğul-değerli fonksiyonu ve x noktası verilsin.
a) Her WU için; xU(x) için, F(x)  W-1(F(x) olacak Ģekilde bir U(x)
komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Hausdorff tipi alttan  *-yarı
süreklidir denir. H- *-ays Ģeklinde gösterilir.
b) Her WU için; xU(x) için, F(x)  W(F(x)) olacak Ģekilde bir U(x)
komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Hausdorff tipi üstten  *-yarı
süreklidir denir. H- *-üys Ģeklinde gösterilir.
c) Her WU için; xU(x) için, F(x)  W-1(F(x) olacak Ģekilde bir U(x)
komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Hausdorff tipi alttan  -yarı
süreklidir denir. H- -ays Ģeklinde gösterilir.
d) Her WU için; xU(x) için, F(x)  W(F(x)) olacak Ģekilde bir U(x)
komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Hausdorff tipi üstten  -yarı
süreklidir denir. H- -üys Ģeklinde gösterilir.
ġimdi de; örtü kavramı yardımıyla  tipi  * ve  yarı süreklilik kavramlarını
tanımlayalım.
17
4.3.2. Tanım
F : çoğul-değerli fonksiyonu,  kümesinin bir  örtüsü ve bir x 
noktası verilsin.
a) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x)  B  W-1(F(x)) olacak
biçimde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonu, x noktasında  tipi alttan  *-yarı
süreklidir denir. - *-ays Ģeklinde gösterilir.
b) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x)  B  W(F(x)) olacak biçimde
bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonu, x noktasında  tipi üstten
 *-yarı
süreklidir denir. - *-üys Ģeklinde gösterilir.
c) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x)  B  W-1(F(x))

olacak
biçimde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonu, x noktasında  tipi alttan  -yarı
süreklidir denir. - -ays Ģeklinde gösterilir.
d) Her W U ve B için; xU(x) için, F(x)  B  W(F(x)) olacak
biçimde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonu, x noktasında  tipi üstten  -yarı
süreklidir denir. - -üys Ģeklinde gösterilir.
Spakowski (2001) yaptığı çalıĢmada, kuasi-uniform uzayda çoğul-değerli olan
bir fonksiyonun Hausdorff alttan yarı sürekliliği ile kapanıĢ fonksiyonun Hausdorff
alttan yarı sürekliliğinin denk olduğuna dikkat çekmiĢtir. Buradan yola çıkarak,
aĢağıdaki teoremde F fonksiyonuna ya da W-1(F(x)) komĢuluğuna kapanıĢ operatörü
uyguladığımızda,  -alttan yarı sürekliliğe denk tanımlar ortaya çıktığı görülmüĢtür.
4.3.3. Teorem
F : çoğul-değerli fonksiyonu,  kümesinin bir  örtüsü ve bir x 
noktası verilsin. Bu takdirde; aĢağıdaki ifadeler eĢ değerdir:
a) F fonksiyonu, x noktasında - *-ays dir;
b) Her WU ve B için; xU(x) için, (F(x)  B)  W-1(F(x)) olacak
biçimde bir U(x) komĢuluğu vardır;
c) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x)  B  W-1(F(x)) olacak
biçimde bir U(x) komĢuluğu vardır;
d) F fonksiyonu, x noktasında - -ays dir.
18
Ġspat: a)  b) : WU ve B verilsin. VV W olacak biçimde bir V U
kümesi vardır. 2.1.11. Önerme gereğince; (F(x)B) V-1(F(x)B) bulunur. F x
noktasında - *-ays olduğundan xU(x) için,
V-1(F(x)B)  V-1 (V-1(F(x)))
olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu vardır. O hâlde; her xU(x) için,
(F(x)B)  V-1 (V-1(F(x))) = (V-1V-1)( F(x))  W-1(F(x) olur.
b)  c) : F(x)  B  (F(x)  B) ve W-1(F(x)) W-1(F(x)) olduğundan ispat
açıktır.
c)  d) : WU için, VV W olacak biçimde bir VU kümesi buluruz.
B için; xU(x) için, F(x)  B  V-1(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu
vardır. F(x)   V-1(F(x)) olduğundan;
V-1(F(x))  V-1(V-1(F(x)))  W-1(F(x))  W-1(F(x)) ifadesi gereği, istenilen
sonuç elde edilir.
d)  a) : W U için, VV W olacak biçimde bir VU kümesi vardır. F x
noktasında - -ays olduğundan;
xU(x) için, F(x)B  V-1(F(x))   V-1(V-1(F(x))  W-1(F(x))
olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu vardır. Dolayısıyla, F x noktasında - *-ays dir.
4.3.4. Sonuç
F : çoğul-değerli fonksiyonu, bir x noktası verilsin. Bu takdirde;
aĢağıdaki ifadeler eĢ değerdir:
a) F fonksiyonu, x noktasında H- *-ays dir;
b) F fonksiyonu, x noktasında H- -ays dir.
Ġspat: Yukarıdaki teoremde   { } alırsak sonuç elde edilir.
Böylelikle, kuasi-uniform uzayda çoğul-değerli fonksiyonlar için Spakowski’nin
(2001) ortaya attığı -ays sürekliliğe benzer Ģekilde - *-ays ile - ays çeĢitlerini
tanımladığımızda birbirine denk kavramlar elde edildiğini gördük.
- *-ays  -ays gerektirmesi açıktır. Bunun tersinin doğru olmadığını bir
örnekle gösterelim.
19
4.3.5. Örnek
 {1,2,3}  {1,2} kümeleri ve 
nin  {{1}, } örtüsü verilsin. 
üzerindeki topoloji,  {,  , {1,3}} olsun.  üzerinde,  {,, {2}} topolojisine
karĢılık gelen kuasi-uniformiteyi U ile gösterelim. O hâlde; 2.1.10. Teorem sonucu,
U  { {(1,1), (1,2), (2,2)}, {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}} bulunur. F :  çoğul-değerli
fonksiyonunu Ģu Ģekilde tanımlayalım:
F(1)  ,
F(2) {1}
ve
F(3) {2}
F fonksiyonu, x 1 noktasında -ays dir; fakat - *-ays değildir. Ayrıca, H-ays dir;
fakat H- *-ays değildir.
4.3.6. Önerme
a) { } olması durumunda H- -yarı süreklilik ile - -yarı süreklilik denktir.
b) ,  nin bir örtüsü ve 1,  ailesine ait kümelerin sonlu birleĢimlerinden
oluĢan örtü ise; bu takdirde, aĢağıdaki gerektirmeler geçerlidir:
1) - -ays  1 - -ays
2) - -üys  1 - -üys
4.3.7. Önerme
;  nin bir örtüsü, F :  bir çoğul-değerli fonksiyon ve x
olsun.
 ={A |  sonlu I  A  Bi ve iI için Bi } Ģeklinde tanımlanan aile bir idealdir.
iI
Ayrıca, F, x noktasında  - -ays ise F, x noktasında  - -ays olur.
Ġspat: A

Bi ve C
i I
kümesi için, AC 
kK
C


Bj alt kümeleri verilsin. O hâlde; K=IJ indis
i J
Bk olduğundan
AC bulunur. A

Bi ve CA ise
i I
Bi olur. Dolayısıyla, , bir idealdir.
i I
W U ve A kümeleri verilsin. verilsin. A B=  i Ģartını sağlayan i
iI
kümeleri vardır. 4.3.6. b) 1) Önerme gereği, x U(x) için, F (x)  B  W-1 (F (x)) 
20
olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu bulunur. F (x)  A  F (x)  B olduğundan F,
x noktasında  - -ays olur.
4.3.3. Teoremi dikkate alırsak, 4.1.4. Teorem ile ifade edilen süreklilik çeĢitleri
arasındaki iliĢkilerin  -alttan yarı süreklilik için de geçerli olduğu sonucuna varmada,
Spakowski’nin (2001) verdiği ispatları kullanabiliriz. Fakat biz,  ve  *-alttan yarı
sürekliliğin denkliğini kullanmadan bu iliĢkiyi doğrudan ispatlayacağız.
4.3.8. Teorem
; Y kümesinin bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasi-uniform uzayı ve
F:  çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. AĢağıdaki ifadeleri göz önüne alalım:
a) F, x noktasında H- *-ays dir.
b) F, x noktasında - -ays dir.
c) F, x noktasında V- *-ays dir. O hâlde; (a)  (b) (c) elde edilir.
Ġspat: a) b): F(x)  B  F(x)  W-1(F(x))  W-1(F(x)) olduğundan ispat
aĢikârdır.
b)  c) :  y
 yF(x)  G olacak Ģekilde bir G açık kümesi verilsin.
W(y)  G ve y B Ģartını sağlayan WU ve B kümelerini seçelim. Bu takdirde,
kuasi-uniform uzayın tanımından VV W olacak Ģekilde bir VU kümesi vardır.
Dolayısıyla, (VV)(y)  W(y)  G bulunur. F, - -ays olduğundan her xU(x)
için, F(x)B  V-1(F(x))
olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu vardır.
yV-1(F(x) olduğundan her UU için, yV-1(F(x))  U(y) olacak Ģekilde bir y
elemanı vardır. UV alırsak, yV(y) ve yV(y) olacak Ģekilde yF(x) ve y
noktalarını elde ederiz. Fakat bu, (y,y)V ve (y,y)V olması demektir. 2.1.5. Tanım
gereği, (y,y)VV, diğer bir ifade ile y(VV)(y)  W(y)  G bulunur. Sonuç
olarak; her xU(x) için, yF(x)  G Ģartını sağlayan bir y noktası var olduğundan
F, x noktasında V- *-ays dir.
21
AĢağıdaki önermeler, - *-ays ve V- -ays nin denkliği için gerekli Ģartı
kurmada kullanılmıĢtır.
4.3.9. Önerme
(,) topolojik uzay, A ve B ise A  B  (AB) bulunur.
4.3.10. Önerme
F(x)W(y)  ve F(x), bir açık küme ise yW-1(F(x)) olur.
Ġspat:
F(x)
açık
olduğundan
bir yF(x)  W(y)  [F(x)  W(y)]
4.3.9.
Önerme
kullanılarak
noktası bulunur. UU için,
y F(x)  W(y)  U(y) olacak Ģekilde bir y noktası bulunur. Bu takdirde;
yW-1(y)  W-1(F(x)) sonucu ortaya çıkar.
AĢağıdaki teorem, - *-ays (- -ays) ve V- -ays nin ne zaman çakıĢık
olduklarını ortaya koyması bakımından önemlidir.
4.3.11. Teorem
 ; Y kümesinin tek noktalardan oluĢan bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasiuniform uzayı ve bir F:  fonksiyonu verilsin. Her x için, F(x) açık bir küme
ise F in x noktasında - *-ays (- -ays) olması için gerek ve yeter Ģart V- -ays
olmasıdır.
Ġspat: 4.3.8. Teoremden ve - *-ays - -ays ile V- *-ays V- -ays
gerektirmeleri var olduğundan sadece diğer yönlü ispat yapmak yeterlidir.
 : B{y} ve WU verilsin. F(x)  B ise ispat açıktır. O hâlde; F(x)  B{y}
olsun. W(y) açık bir küme ve yW(y) dır. F(x)  W(y)  ve F, V- -ays olarak
verildiğinden xU(x) için, F(x)  W(y)  Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu
vardır. y F(x)W(y)
olduğunu kabul edelim. F(x), bir açık küme olduğundan
4.3.10. Önerme kullanılarak {y}F(x)  B  W-1(F(x)) bulunur.
22
4.3.12. Uyarı
; Y kümesinin tek noktalardan oluĢan bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasiuniform uzayı ve bir F:  fonksiyonu verilsin. Bu takdirde; F in, x noktasında
- -ays olması için gerek ve yeter Ģart F in, x noktasında V- *-ays olmasıdır.
Ġspat: 4.3.8. Teoremin (b)(c) gerektirmesi nedeni ile sadece yeter Ģart
ispatlanılmalıdır. 4.1.5. Teorem için Spakowski’nin (2001) ispatı, V- *-ays  B - *ays önermesini ispatlamada kullanılabilir. B - *-ays  B - -ays gerektirmesi sonucu,
yeter Ģart ispatlanmıĢ olur.
AĢağıdaki
önerme,
4.3.11.
Teoremin
genelleĢtirilmesinin
ispatında
kullanılacaktır.
4.3.13. Önerme
V, W  ve A için (VW)(A)=W(V(A)) eĢitliği geçerlidir.
Ġspat: p(VW)(A) ise (q,p) VW olacak Ģekilde qA vardır. O hâlde;
(q,r)V ve (r,p)W Ģartını sağlayan bir r noktası vardır. . Bu nedenle, pW(r) ve
rV(q)  V(A) olduğundan p W(V(A)) bulunur. Diğer yön için ispat tam tersidir.
AĢağıdaki teoremde, Spakowski (2001) tarafından 4.1.8. ile ortaya konulan
-ays ve V-ays arasındaki iliĢkinin benzerini - *-ays (- -ays) ile V- -ays arasında
kurmak için ek Ģarta ihtiyaç duyulmuĢtur.
4.3.14. Teorem
; Y kümesinin bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasi-uniform uzay olmak üzere; bir
F:   çoğul-değerli fonksiyonu ve bir x noktası verilsin. F(x),  -tamamen
sınırlı bir küme ve her x  için, F(x) açık bir küme ise F in x noktasında - *-ays
(- -ays) olması için gerek ve yeter Ģart F in x noktasında V- -ays olmasıdır.
Ġspat: Gerek Ģart 4.3.11. Teoremde ele alındığından sadece yeter Ģart
ispatlanılmalıdır.
 : B ve WU kümeleri verilsin. VV  W olacak biçimde bir VU kümesi
vardır. O hâlde; V-1V-1  W-1 dir. F(x)  B, tamamen sınırlı olduğundan V kümesi
23
n
için, F(x)  B 

i 1
V-1(yi) Ģartını sağlayan y1, y2, …, ynF(x) noktaları vardır. F, x
noktasında V- -ays, i1, 2, …, n için, yi F(x)V(yi ) ve V(yi) açık küme olduğundan
xU(x) iken F(x)  V(yi)  ifadesine uyan bir U(x) komĢuluğu vardır.
yF(x)V(yi)
ise
açık
F(x)
küme
olduğundan
4.3.10.
Önerme
gereği
yiV-1(y) V-1(F(x)) bulunur. Sonuçta; 4.3.13. Önermeden,
F(x)  B 
n

i 1
V-1(yi) 
n

i 1
V-1(V-1(F(x)) 
n

i 1
(V-1V-1)(F(x))  W-1(F(x))
ifadesi sağlanır.
ġimdi, (, ) regüler uzay olması durumunda aynı formdaki (, H, V ) * -yarı
süreklilikle yarı süreklilik kavramlarının denkliğini görelim.
4.3.15. Önerme
; Y kümesinin bir örtüsü , (,); regüler, (,U); kuasi-uniform uzayı olmak
üzere bir F:  çoğul-değerli fonksiyonu ve bir x noktası verilsin. Bu takdirde;
F in x noktasında
- *-ays (- *-üys) olması için gerek ve yeter Ģart F in x
noktasında -ays (-üys) olmasıdır.
Ġspat: Ġspatı sadece alttan yarı süreklilik için yapalım.
: Tanım gereği açıktır.
: Her WU ve B için; xU(x) için, F(x)  B  W-1(F(x)) Ģartını
sağlayan bir U(x) komĢuluğu vardır. KomĢuluk tanımı gereği, x noktasını ihtiva eden
bir U  U(x) açık kümesi vardır. (, ) regüler olduğundan xV  U olacak Ģekilde
bir V açık kümesini bulabiliriz. O hâlde; her W U için; xV için,
F(x)  B  W-1(F(x)) ifadesi sağlanır.
Yukarıdaki önermede ={Y} aldığımızda, H- *-ays ve H–ays eĢitliğini elde
etmiĢ oluruz.
4.3.16. Sonuç
(,); regüler, (,U); kuasi-uniform uzayı, olmak üzere; bir F:  çoğuldeğerli fonksiyonu ve x
noktası verilsin. Bu takdirde; F in x
noktasında
24
H- *-ays (H- *-üys) olması için gerek ve yeter Ģart F in x noktasında H-ays (H -üys)
olmasıdır.
4.3.17. Uyarı
(, ) nin regüler uzay olması durumunda, iyi bilinen süreklilik çeĢitleri V - * yarı süreklilik ile V-yarı süreklilik eĢ değerliği benzer yöntemle gösterilebilir.
(,U) kuasi-uniform uzayı üzerinde en ince topoloji; ={U | U   }
aldığımızda, aynı formdaki (, H, V ) *-yarı süreklilikle -yarı süreklilik kavramlarının
denkliği aĢağıdaki gibi gösterilebilir.
4.3.18. Önerme
 ; Y kümesinin bir örtüsü , (,); topolojik uzay ve (,U); kuasi-uniform uzayı
olsun. ,  kümesi üzerinde en ince topoloji olmak üzere; bir F:  çoğul-değerli
fonksiyonu ve x verilsin. Bu takdirde; F in x noktasında - *-üys olması için
gerek ve yeter Ģart F in x noktasında - -üys olmasıdır.
Ġspat: : Tanım gereği aĢikârdır.
: Her WU ve BB için; xU(x) için, F(x)  B  W(F(x))- Ģartını sağlayan bir
U(x) komĢuluğu vardır.  en ince topoloji olduğundan nin her alt kümesi kapalıdır.
O hâlde; W(F(x))- W(F(x)) eĢitliği gereği, aynı U(x) komĢuluğunu alırsak istenilen
sonuç elde edilir.
4.3.19. Uyarı
, en ince topoloji alındığında, diğer süreklilik çeĢitleri H- *-yarı süreklilik ile
H- -yarı süreklilik ve V- *-yarı süreklilik ile V- -yarı süreklilik eĢ değerliği aynı
Ģekilde ortaya çıkar.
(,) uzayının regüler ve  topolojisinin  kümesi üzerinde en ince topoloji
olması Ģartlarının her ikisi de sağlandığında, aynı formdaki  -yarı süreklilik ile
Spakowski (2001) tarafından çalıĢılan yarı süreklilik denk olur.
25
4.3.20. Teorem
; Y kümesinin bir örtüsü , (,); regüler uzay ve (,U); kuasi-uniform uzayı
olsun. ,  kümesi üzerinde en ince topoloji olmak üzere; bir F:  çoğul-değerli
fonksiyonu ve x noktası verilsin. O hâlde; F in x noktasında - -üys (- -ays)
olması için gerek ve yeter Ģart F in x noktasında  -üys (-ays) olmasıdır.
4.1.4. Teorem ile belirtilen, Spakowski (2001) tarafından H, B ve V-ays ile ilgili
elde edilen iliĢkilere daha önce bilinenleri ve kendi bulgularımızı da eklersek, aĢağıdaki
Ģekil ortaya çıkar.
H-  -ays
H- *-ays
H-ays
- -ays
- *-ays
-ays
V-  * -ays
V-ays
V- -ays
ġekil 4.1. Kuasi-uniform uzayda çoğul-değerli alttan yarı süreklilik çeĢitleri arasındaki iliĢki
2.2.4. Teorem ile tekil-değerli fonksiyonlar için sürekliliğin  -sürekliliğe
geniĢletilmesi, çoğul-değerli üstten yarı sürekli fonksiyonlar için de geçerlidir.
4.3.21. Önerme
; Y kümesinin bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasi-uniform uzayı, olmak
üzere; bir F:  çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. F, x noktasında V-üys ise F, x
noktasında, V- -üys dir.
Takip eden teoremde, üstten yarı süreklilik durumunda alttan yarı süreklilikte
elde edilen iliĢkinin tersinin söz konusu olduğu görülmektedir.
26
4.3.22. Teorem
; Y kümesinin bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasi-uniform uzayı ve
bir F:  çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. AĢağıdaki ifadeleri göz önüne alalım:
a) F x noktasında V- -üys dir.
b) F x noktasında H- -üys dir.
c) F x noktasında - -üys dir. O hâlde; a)  b)  c) elde edilir.
Ġspat: a)  b): F, x noktasında V- -üys ise WU için, F(x)  W(F(x)) ve
W(F(x)), açık küme olduğundan xU(x) için, F(x)  W(F(x)) Ģartını sağlayan bir
U(x) komĢuluğu vardır. Dolayısıyla; F, x noktasında H- -üys dir.
b)  c): F(x)  B  F(x)  W(F(x)) olduğundan istenilen sonuç elde edilir.
Belirtilen iliĢkinin tersini kurabilmek için takip eden iki önerme önemlidir.
4.3.23. Önerme
(,U) kuasi-uniform uzay ve WU olsun. J, boĢtan farklı bir küme olmak üzere;
iJ için, Ai kümeleri verilsin. O hâlde; W(  Ai) 
iJ

iJ
W(Ai) elde edilir.
Ġspat: Her iJ için, W(Ai)  W(  Ai) olduğundan
iJ

iJ
W(Ai)  W(  Ai)
iJ
bulunur. Diğer taraftan; x W(  Ai) ise (y,x)W olacak Ģekilde bir y
iJ

iJ
O hâlde; yAi olacak biçimde bir iJ bulunur. Dolayısıyla, xW(Ai) 
Ai vardır.

iJ
W(Ai)
ifadesi gerçekleĢir. Böylece ispat tamamlanır.
4.3.24. Önerme
(,U); kuasi-uniform uzay, J; boĢtan farklı bir küme olmak üzere; iJ için,
WiU ve A  kümeleri verilsin. Bu takdirde; (  Wi)(A) 
iJ
Ġspat: x (  Wi)(A) verilsin. (y,x)
iJ

iJ
vardır. Bu nedenle, her iJ için, xWi(A) bulunur

iJ
Wi(A) olur.
Wi olacak biçimde bir yA noktası
27
AĢağıdaki teoremi, 4.3.22. Teorem ile beraber ele aldığımızda, H- -üys ile V- üys eĢ değerliği için gerek ve yeter koĢul elde edilmiĢ olur.
4.3.25. Teorem
(,); topolojik ve (,U); kuasi-uniform uzayı verilsin. F:   çoğul-değerli
fonksiyonu x  noktasında H- -üys olsun. F(x) sonlu bir küme ise; bu takdirde, F,
x noktasında V- -üys dir.
Ġspat: F(x){y1, y2, …,yn}  G olacak biçimde G açık kümesi verilsin.
i1,2, .., n, için, Wi(yi)  G ifadesini gerçekleyen Wi kümeleri vardır. O hâlde;
n

i 1
n
Wi(yi) G elde edilir. W  Wj kümesi sonlu bir kesiĢim olduğundan kuasij1
uniformitenin tanımı gereği, WU olur. Bu takdirde; H- -üys nin tanımından,
xU(x) için, F(x)  W(F(x)) Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu vardır. Diğer
yandan, 4.3.23. ve 4.3.24. Önermeden;
n
W(F(x))= (  Wj )(
j1
n

i 1
n
n
i 1
j1
{yi} )=  (  Wj)(yi) 
n

i 1
n
(  Wj (yi)) 
j1
n

i 1
Wi(yi) olur.
n
Sonuçta; her xU(x) için, F(x)  [  Wi(yi)]  G ifadesi gerçekleĢtiğinden;
i 1
F, x noktasında V- -üys olur.
Üstten  -yarı süreklilik çeĢitleri arasında aĢağıdaki Ģekil elde edilebilir.
V-üys
V-  -üys
V- * -üys
H- -üys
H- *-üys
H-üys
-  -üys
- *-üys
-üys
ġekil 4.2. Kuasi-uniform uzayda çoğul-değerli üstten yarı süreklilik çeĢitleri arasındaki iliĢki
28
ġimdi, - -yarı sürekliliğin sonlu birleĢim iĢlemi üzerinde kapalı olduğunu
görelim.
4.3.26. Uyarı
W ile W-1 kümeleri simetrik olduğundan
4.3.23. Önermeye benzer Ģekilde
A ve B için W-1(AB)  W-1(A)  W-1(B) eĢitliği elde edilir.
4.3.27. Teorem
(,);
topolojik
F1, F2 : 
uzay
ve
(,U);
kuasi-uniform
çoğul-değerli fonksiyonları, x 
uzay,
olmak
üzere;
noktasında - -ays ise
F F1 F2 , x noktasında - -ays olur.
Ġspat: B ve WU kümeleri verilsin. F1 ve F2 fonksiyonları, x noktasında -
 -ays olduğundan i1,2 için; xUi(x) için, F(x)  B  W-1(Fi(x)) Ģartını sağlayan
Ui
kümeleri vardır. Her xU1U2 için, F(x)B  W-1(F1(x))  W-1(F2(x))
sonucu elde edilir. Diğer yandan; x(U1U2)U1U2 ve de 4.3.26. Uyarıdan,
W-1 (F1 (x))   W-1 (F2 (x))   [ W-1 (F1 (x))  W-1 (F2 (x)) ]   W-1 (F1 (x)  F2 (x)) 
olduğunu biliyoruz. O hâlde;
her x(U1U2) için, F(x)B  W-1(F1(x)F2(x))W-1(F (x))
ifadesi sağlandığından, F  F1  F2, x noktasında - -ays bulunur.
4.3.28. Teorem
(,);
topolojik
uzay
ve
(,U);
kuasi-uniform
uzay,
olmak
üzere;
F1, F2 : çoğul-değerli fonksiyonları, x noktasında - -üys ise; bu takdirde,
F F1 F2, fonksiyonu, x noktasında - -üys olur.
4.3.29. Uyarı
4.3.27. ve 4.3.28.
Teoremleri sonlu sayıdaki fonksiyonların birleĢimine
genelleĢtirebilir. Ancak Ui açık kümelerinin sonsuz sayıdaki kesiĢimi her zaman açık
29
olmadığından; herhangi bir sayıda Fi çoğul-değerli fonksiyonların birleĢimine
genelleĢtirme yapamayız.
Takip eden kısımda; herhangi bir çoğul-değerli fonksiyon ile onun kısıtlanıĢ
fonksiyonunun - -alttan yarı sürekliliği arasındaki iliĢki incelenmiĢtir.
AĢağıdaki iki kavramın literatürde sıklıkla üzerinde durulmuĢtur.
4.3.30. Tanım
F: (,) ve V  olmak üzere F in V kümesine kısıtlanıĢ fonksiyonu,
F |V :(, v)  ; vV için, (F |V)(v)= F(v) Ģeklinde tanımlanır.
4.3.31. Tanım
(,) bir topolojik uzay ve U  V   olmak üzere; U = T  V olacak Ģekilde
bir T kümesi varsa U, V-açıktır denir.
4.3.32. Önerme
(,) topolojik uzayı ve V  için (V,v) verilsin. V,  te kapalı bir küme ise;
bu takdirde, R V kümesinin (V,v) uzayındaki kapanıĢı RV ; (,) uzayındaki
kapanıĢı R ye eĢit bulunur.
Ġspat: VR olduğundan RV=  {UV | U kapalı

ve UVR}=
{UV| U kapalı ve UR} bulunur. V kapalı olduğundan bir U kapalı kümesi için,
UV kapalı olur. O hâlde;
R=  {U | U kapalı ve UR} =
eĢitliği elde edilir.

{UV | U kapalı ve UR}= RV
30
4.3.33. Teorem
{Vi | iI };  in kapalı örtüsü ve ;  nin herhangi bir örtüsü, olmak üzere;
F :  çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. F in - -ays olması için gerek ve yeter
Ģart her iI için, F | Vi fonksiyonunun - -ays olmasıdır.
Ġspat: : xVi olmak üzere; B ve WU verilsin. F, x noktasında
- -ays olduğundan xU(x) için, F(x)  B  W-1(F(x)) olacak Ģekilde U(x)
komĢuluğu vardır. R(x) = U(x)Vi
olsun. Bu takdirde;
Vi
kapalı olduğundan
R(x)Vi = R(x)  U(x) bulunur. O hâlde;
her xR(x) Vi için, (F | Vi )(x)  B  W-1(F(x))  = W-1(F | Vi (x))
ifadesi elde edilir.
: xVi olacak Ģekilde bir Vi kapalı kümesi vardır. B ve WU verilsin.
F | Vi , - -ays olduğundan xR(x) Vi için, (F |Vi )(x)  B  W-1(F | Vi (x))  olacak
Ģekilde R(x) komĢuluğu vardır. R(x) = U(x)Vi Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu
vardır. Bu takdirde; U(x)=U(x)Vi  R(x) aldığımızda, xU(x) için, F(x)  B 
W-1(F(x)) olur.
Çarpım fonksiyonunun -ays
olması durumu Spakowski (2001) tarafından
çalıĢılmıĢtır. 4.3.3. Teorem gereği, - -ays için de aynı durumun söz konusu olduğu
sonucuna, Spakowski (2001) tarafından verilen ispat yoluyla varılabilir. AĢağıdaki
önerme, çarpım
topolojisi
ve
- -ays
süreklilik
iliĢkisinin doğrudan
çözümlenmesinde kullanılmıĢtır.
4.3.34. Önerme
(1, 1), (2, 2), (12, 1 2) topolojik uzayları ve A1 ve B2 kümeleri
verilsin. Bu takdirde; (AB) AB eĢitliği geçerlidir.
31
4.3.35. Teorem
(,); topolojik uzay, iI (I sonlu) için, (i,Ui); kuasi-uniform uzaylar ailesi, i;
i kümesinin örtüsü, olmak üzere; Fi :i çoğul-değerli fonksiyonları verilsin.
Fi :i fonksiyonlarının, x noktasında - -ays olması için gerek ve yeter Ģart
 Fi , çoğul-değerli çarpım fonksiyonunun x noktasında  i - -ays olmasıdır.
iI
iI
Ġspat: : W  Ui ve B  i olsun. Çarpım kuasi-uniformitesinin
iI
iI
tanımından, bir [W1,W2,…] W alt kümesi vardır. Her iI için, Fi : i ; x
--ays
noktasında
Fi(x)  Bi  Wi-1(Fi(x))
xU(x)=[ 
iI
olduğundan

Bii
aldığımızda,
xUi(x)
için,
olacak Ģekilde bir Ui(x) komĢuluğu vardır. O hâlde; her
Ui(x)] için,
 Fi(x)Bi  
iI
iI
4.1.14. Uyarı ve 4.3.34. Önerme gereği,
Wi-1(Fi(x))

ifadesi sağlanır.
-1
-1

 Fi(x)Bi  [W1 ,W2 ,…](  Fi(x))
iI
iI
olur. [W1,W2,…]W olduğundan ve kesiĢim kümerinin çarpımının özelliği gereği;
-1
-1

-1
 Fi(x)  Bi   Fi(x) B [W1 ,W2 ,…](  Fi(x)) W (  Fi(x))
iI
iI
iI
iI
sonucu ortaya çıkar. Dolayısıyla,

iI
 Fi , x noktasında  i - -ays dir.
iI
: iI için, WiUi ve Bii
iI
verilsin. O hâlde; [W1,W2,…] 
 Ui
iI
ve
 Bi   i aldığımızda,  Fi , x noktasında  i– -ays olduğundan her
iI
iI
xU(x) için,
iI
iI
-1
-1

 Fi(x)   Bi  [W1 ,W2 ,…](  Fi(x)) Ģartını sağlayan bir
iI
iI
U(x) komĢuluğu vardır. Bu takdirde;
iI
-1

 Fi(x)  Bi   Wi (Fi(x)) bulunur.
iI
iI
Kartezyen çarpımın gereği, her xU(x) için, Fi(x)  Bi  Wi-1(Fi(x)) olur.
4.3.36. Sonuç
(,) topolojik uzayı ve (,U) kuasi-uniform uzayı verilsin.  ve  sırası ile
 ve 
uzayının bir örtüsü ve F: 
çoğul-değerli bir fonksiyon olsun.
GF :   , x noktasında    - -ays olması için gerek ve yeter Ģart f(x)=x ve
F fonksiyonlarının, x noktasında sırası ile  - -ays ve  - -ays olmasıdır.
32
Ġspat: Yukarıdaki teoremde 1=, 2=, F1(x)=x ve F2(x)= F(x) alırsak,
istenilen sonuç elde edilir.
Spakowski (2001) tarafından -alttan yarı sürekliliğin sonlu kesiĢim iĢleminde
kapalı olabilmesi için oluĢturulan yeter Ģartların, --ays için de geçerliliğini koruduğu
aĢağıda gösterilmiĢtir.
4.3.37. Teorem
(,); topolojik, ; normlu uzayları ve  kümesinin {B(r)| r>0}Ģeklinde bir
örtüsü verilsin. I sonlu bir küme olmak üzere; Fi:  çoğul-değerli fonksiyonları
x noktasında - -ays olsun. AĢağıdaki Ģartlar sağlansın:
i) Her iI için, Fi(x);
ii) Her iI için, xVi(x) için Fi(x) kapalı ve konveks olacak Ģekilde bir
Vi(x) komĢuluğu vardır;
iii) Her r>0 için, F(x)  B(r)  ve F(x)   (F(x)  B(r))  . Bu
takdirde; F  Fi fonksiyonu, x noktasında - *-ays dir; dolayısıyla - -ays dir.
iI
Ġspat: >0 ve r>0 verilsin. F(x)  B(r)  ise ispat aĢikârdır. F(x)  B(r) 
durumunu göz önüne alalım. F(x) [  Fi(x)]  Fi(x) eĢitliğinden, F(x) 
iI
iI
bulunur. O hâlde; 4.2.3. Teoremi AF(x) B(r) için uyguladığımızda;
C+B()  F(x) B(r)  C+B() Ģartını sağlayan bir >0 ve bir C  (F(x) B(r))
alt kümesi vardır. Her iI için, Fi, --ays olduğundan;
xUi(x) için, C+B()Fi(x) B(r)[Fi(x)+B()] olacak Ģekilde Ui(x) kümeleri
vardır.
U(x)

iI
Ui(x)Vi(x) alırsak, her xU(x) için, Fi(x)B(r)  [Fi(x)+B()]
eĢitsizliği geçerliliğini korur. 4.2.4. Teoremden iI için, C  Fi(x) olur. Dolayısıyla,
F(x)B(r)  C+B() 

iI
Fi(x) +B() olduğundan F:  Fi , x noktasında B- *iI
ays dir; dolayısı ile - -ays dir.
Fark fonksiyonunun Hausdorff yarı sürekliliği komĢuluğun tümleyeni ve
tümleyenin komĢuluğu arasındaki iliĢkiye yönelttiğinden dikkate değerdir.
33
4.3.38. Tanım
 ve  kümeleri için F:   bir fonksiyon olmak üzere; fark fonksiyonu
F ; x için, F (x):   -F (x) Ģeklinde tanımlanır.
De Blasi ve Pianigiani’nin (1983), fark fonksiyonunun sürekliliği ile ilgili elde
ettikleri yeter Ģart aĢağıda belirtilmiĢtir.
4.3.39. Teorem
 ; reel normlu uzayı ve {A2 -{}| A kapalı, konveks ve sınırlı } kümeler
ailesi ve x noktası verilsin. F:   , x noktasında H-ys ise F:   , x
noktasında H-ys olur.
4.3.40. Önerme
(,U); kuasi-uniform uzay, A olmak üzere; -W-1(A)  W-1(-A) sağlanır.
Eğer W-1(A)  W-1( -A)  ise eĢitlik durumu, -W-1(A)  W-1(-A) elde edilir.
Ġspat: w-W-1(A) noktası verilsin. Kuasi-uniformitenin tanımı gereği, WU
ve y için (y,y)W olduğundan AW(A), dolayısıyla AW–1(A) elde edilir. O
hâlde; w-W–1(A)  -A elde edilir ki, bu ise w W-1(-A) olması demektir.
Diğer yandan; wW-1(-A) ve W-1(A)W-1( -A)  ise wW-1(A), diğer
bir ifade ile w-W-1(A) elde edilir.
4.3.41. Teorem
(,) topolojik ve
(,U), kuasi-uniform uzay olmak üzere; F: 
çoğul-değerli fonksiyonu ve x noktası verilsin. Her WU için; xU(x) için,
W-1(F(x)) F(x) olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F, x noktasında H-ays
olur.
Ġspat: WU verilsin. xU(x) için, -F(x)  -W-1(F(x)) olacak Ģekilde bir
U(x)
komĢuluğu
vardır.
Diğer
yandan;
yukarıdaki
önerme
gereği,
34
-W-1(F(x))  W-1(-F(x)) sağlanır. xU(x) için, F(x)  W-1(F(x)) ifadesi
gerçekleĢtiğinden; F, x noktasında H-ays olur.
Yukarıdaki teoremde x ve x elemanlarının rolleri değiĢtirir ve 4.3.40. Önermede
W-1 yerine W koyarsak, aynı yöntemle F fonksiyonunun H-üys olması için yeter Ģart
elde edilir.
4.3.42. Teorem
(,) topolojik ve (,U), kuasi-uniform uzay olmak üzere; bir F:  çoğuldeğerli fonksiyonu ve x noktası verilsin. Her WU için; xU(x) için,
W(F(x))  F(x) olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F, x noktasında H-üys
olur.
Yukarıdaki teoremin tersini gerçekleĢtiren koĢul aĢağıda belirtilmiĢtir.
4.3.43. Teorem
(,) topolojik ve
(,U), kuasi-uniform uzay olmak üzere; bir F: 
çoğul-değerli fonksiyonu ve x noktası verilsin. F, x noktasında H-üys ve
W(F(x)) W(F(x))  ise; bu takdirde, xU(x) için, W(F(x))  F(x) olacak
Ģekilde bir U(x) komĢuluğu vardır.
Ġspat: WU olsun. F
F(x)W(F(x))
Ģartını
x noktasında H-üys verildiğinden xU(x) için,
sağlayan
bir
U(x)
komĢuluğu
vardır.
O
hâlde;
-W(F(x))  -F(x) bulunur. W(F(x))  W(F(x))  olduğundan 4.3.40. Önerme
gereği; -W(F(x)  W(-F(x))  W(F(x)) elde edilir. Sonuçta; her xU(x) için,
W(F(x))  F(x) ifadesi geçerli olur.
Takip eden bölümde; Hausdorff yarı süreklilik ve bileĢke fonksiyon iliĢkisi
incelenmiĢtir. BileĢke fonksiyonun H-üys olması, üstten yarı sürekli fonksiyonların
bileĢkesinin sürekli olmasına benzer Ģekilde ispatlanabilir. Fakat H-ays ve H--üys, bu
açıdan incelenmeye değerdir.
35
4.3.44. Uyarı
(,) topolojik ve (,U), kuasi-uniform uzay olmak üzere; bir F:  2-{}
fonksiyonu için daha önce verilen süreklilik tanımlarını, kümeyi kümeye götüren,
G: 2-{} 2-{}Ģeklinde verilen fonksiyonlara geniĢletelim. Böylelikle, GF,
kendisi ve sürekliliği iyi tanımlı çoğul-değerli bir fonksiyon olur.
.
4.3.45. Teorem
(, U); topolojik uzay, (, U) ve (, U) kuasi-uniform uzaylar, olmak üzere;
F:  2-{}, G: 2-{} 2-{} fonksiyonları ve x noktası verilsin. Her
VU
için; xT(x) için, V(F(x))  F(x) olacak Ģekilde bir T(x) komĢuluğu
bulunsun. Bu takdirde; GF, x noktasında H-ays olur.
Ġspat: WU verilsin. VU için, G(F(x)) W-1(G(F(x))) W-1(G(V(F(x))))
ifadesi her durumda sağlanır. xT(x) için, V(F(x))  F(x) olacak biçimde bir T(x)
komĢuluğu var olduğundan;
xT(x) için, G(F(x))  W-1(G(V(F(x))))  W-1(G(F(x))) sonucu ortaya çıkar.
4.3.43. ve 4.3.45. Teorem birlikte değerlendirildiğinde aĢağıdaki sonuç ortaya
çıkar.
4.3.46. Sonuç
(,U); topolojik uzay, (,U) ve (,U) kuasi-uniform uzaylar, olmak üzere;
F:  2-{}, G: 2-{} 2-{} fonksiyonları ve x noktası verilsin. F , x
noktasında H-üys olsun ve her VU
için, V-1(F(x))  V-1(F( x))  ifadesi
sağlansın. Bu takdirde; GF, x noktasında H-ays olur.
4.3.47. Teorem
(,); topolojik uzay, (, U) ve (, U) kuasi-uniform uzaylar, olmak üzere;
F:  2-{}, G: 2-{} 2-{} fonksiyonları ve x noktası verilsin.  nin
topolojisi, U tarafından üretilen topoloji olsun. F(x) sonlu, F x noktasında H- -üys
ve G, F (x) kümesi üzerinde H- -üys ise GF, x noktasında H- -üys olur.
36
Ġspat: WU verilsin. yF (x) için; yVy için, G (y)  W(G (y )) olacak
Ģekilde y noktasının bir Vy komĢuluğu vardır. V=  Vy aldığımızda, F(x) kümesi sonlu
olduğundan V=  Vy bulunur. O hâlde; yV için, G (y)  W(G (F (x))) Ģartı
sağlanır. Dolayısıyla, G(V(F(x)))  W(G (F (x))) ifadesi elde edilir. (*)
F, x noktasında H- -üys olduğundan xT için, F (x)  V(F(x)) olacak
biçimde x noktasının bir T komĢuluğu vardır. Bu ifadenin iki tarafına G fonksiyonunu
uygularsak,
(*)
ile
birlikte
değerlendirdiğimizde,
her
xT
için,
(GF) (x)  G(V(F(x)))  W(G (F (x))) sonucunu elde ederiz.
4.3.48. Uyarı
Yukarıdaki teoremde, F(x) kümesi sonlu olması önemli bir unsurdur. Herhangi
bir sayıda Vy
kümeleri için,

y
V
y

 [ V
y]

=V ifadesi geçerlidir
y
(Kuratowski, 1966). Bu nedenle, F(x) kümesinin herhangi sayıda eleman içermesi
durumunda,
y V için G (y)  W(G (F (x))) Ģartı her zaman sağlanmamıĢ olur.
Kuasi-uniform uzay kümeleri üzerindeki “”
iĢleminin fonksiyonlar için
tanımlanan bileĢke iĢlemi ile uyumlu olması dikkate değerdir. 4.3.13. Önermeyi de göz
önüne alırsak, Hausdorff yarı süreklilik tanımında yer alan x üzerindeki W(F(x))
iĢlemininin bizi küme ve fonksiyon bileĢkesinin aynı anda söz konusu olduğu sonucuna
götürür. O hâlde; Hausdorff yarı süreklilik için baĢka özellikler elde edebiliriz.
Hausdorff üstten yarı süreklilik tanımındaki F(U(x))  W(F(x)) ifadesini
çarpım uzayındaki bileĢke iĢlemine taĢımak için FG ={{x}F(x)| x } ve
F G ={ F(x) {x} | x } grafik kümelerini kullanacağız.
4.3.49. Önerme
F:  çoğul-değerli fonksiyonu, A  ve B verilsin. FG(A) ve F G- (B),
sırası ile A kümesinin FG komĢuluğunu; B kümesinin F G- komĢuluğunu ifade etmek
üzere; FG(A)=F(A) ve F G- (B)= F - (B) eĢitlikleri geçerlidir.
37
Ġspat: y FG(A)   aA  (a,y) FG  yF(a) F(A). Diğer durum için,
x  F G- (B)   bB  (x,b) FG  F(x)B.
4.3.50. Teorem
(,U); kuasi-uniform uzay ve  ; U tarafından üretilen topoloji olmak üzere;
F: (, )  tekil-değerli fonksiyonu verilsin. Her WU için, FG W F G- U ise F,
 kümesinin her noktasında H-üys olur.
Ġspat:
x
ve
WU
verilsin.
FG
W F G-
U
olduğundan
U  UU  FG W F G- olacak biçimde bir U U kümesi vardır. Bu takdirde;
U(x)
ve U(x)(FGW F G- )(x) bulunur. 4.3.13. Önerme, her xU(x) için,
{x} F G- (W(FG(x))) olmasını gerektirir. EĢitsizliğin her iki tarafına F fonksiyonunu
uygularsak ve F fonksiyonunun tekil-değerli olduğunu göz önüne alırsak, her xU(x)
için, F(x)  F( F G- (W(FG (x))))  W(FG(x))  W(F(x)) bulunur.
4.3.51. Teorem
(,U); kuasi-uniform uzay ve  ; U tarafından üretilen topoloji olmak üzere;
F: (, )  çoğul-değerli fonksiyonu ve x noktası verilsin. Ayrıca, U, W U
için, U(x) W(x) ise U W olsun. Bu takdirde; F, x noktasında H-üys ise her WU
için, FG W F G- U ifadesi sağlanır.
Ġspat: WU verilsin. F, x noktasında H-üys olduğundan her xU(x) için,
F(x) W(F(x)) Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu vardır. EĢitsizliğin her iki tarafına
F- operatörünü uyguladığımızda, 4.3.13. Önerme gereği,
U(x) F-(F(U(x)))  F-(W(F(x))) = F G- (W(FG(x)))  (FGW F G- )(x)
bulunur. Dolayısıyla, U FGW F G- ve U U olduğundan FGW F G-  U bulunur
38
4.3.52. Sonuç
(,U); kuasi-uniform uzay ve  ; U tarafından üretilen topoloji olmak üzere;
F: (,) herhangi bir çoğul-değerli fonksiyon olsun. U, W U için, U(x) W(x)
ise U W olsun. F in x noktasında Hausdorff üstten sürekli olduğu, (,U) uzayını
ihtiva eden en küçük uzayı (,U* ) ile gösterelim. Bu takdirde; U* kuasi-uniformitesi,
WU olmak üzere FG W F G- kümeleri ile iliĢkilidir.
4.3.53. Önerme
(,U) kuasi-uniform uzay olmak üzere; W U ve A    için, A  AW
ve A  WA olur.
Ġspat: (x,y)A verilsin. WU olduğundan (y,y)W, dolayısıyla, (x,y) AW
bulunur. Diğer durum için, (x,x)W verisi kullanılır.
4.3.54. Teorem
(,U) kuasi-uniform uzay olmak üzere; bir F: (,) fonksiyonu ve x
noktası verilsin. Her WU için, W F G-  U ve F(x), x noktasını ihtiva eden bir açık
küme ise F, x noktasında H-üys olur.
Ġspat: x ve WU verilsin. Yukarıdaki önerme gereği, FG  FG W F Golduğundan U(x) F (x) aldığımızda xU(x) için, {x}  (FG W F G- )(x) Ģartı
sağlanır. EĢitsizliğin iki tarafına F fonksiyonunu uygularsak, her xU(x) için,
F(x) F( F G- (W(FG (x))))
elde edilir. 4.3.50. Teoremin ispatındaki gibi devam
edersek, F, x noktasında H-üys olduğu sonucu çıkar.
ġimdi, 4.3.44. Uyarı ve H-üys iliĢkili FG W F G- iĢleminden yola çıkarak, bir
yarı grup elde edeceğiz.
39
4.3.55. Teorem
(,U); kuasi-uniform uzay olmak üzere; F: 2-{} 2-{} Ģeklindeki
fonksiyonlar
kümesini
T
ile
gösterelim.
Bu
takdirde;
S={FT | WU için, FG W F G-  U } kümesi, bilinen fonksiyon bileĢke iĢlemi, 
altında birim elemanı olan bir yarı gruptur.
-
Ġspat: I, birim fonksiyonu ifade etsin. IG W I G =W U ve açıkça IT olduğundan
-
-
IS bulunur. F ,H S verilsin. (F  H)G W (F  H)G = HG FG W F G-  H G eĢitliği
elde edilir. F, S kümesinin elemanı olduğundan U= FG W F G- U bulunur. Ayrıca,
-
H S olduğundan HG U H G  U ifadesi geçerlidir. Sonuçta; F  H S olur. Son
olarak, F, H ve J fonksiyonları için, (F  H)  J=F  (H  J) eĢitliğinin geçerli olduğu
açıktır.
Spakowski (2001) tarafından ortaya konulan topolojik vektör uzaylardaki alttan
yarı sürekliliğin özelliklerinin, üzerinde çalıĢtığımız  -alttan yarı süreklilik kavramına
uygulanmasında, aĢağıdaki önerme sıkça baĢvurduğumuz bir araç oldu.
4.3.56. Önerme
 , bir topolojik vektör uzay ve A, B  ise A+B  (A+B)  olur.
Ġspat: y A+B için y a + b olacak Ģekilde aA ve bB vardır. Ayrıca,
sırası ile a ve b noktalarına yakınsayan {an}n A ve {bn}n  B dizileri bulabiliriz.
O hâlde; topolojik vektörel uzayda vektörel toplam sürekli olduğundan { an+bn }n 
A+B dizisi a + b noktasına yakınsar. Dolayısıyla, a + b (A+B)  elde edilir.
4.3.57. Teorem
(,); topolojik uzay, ; topolojik vektör uzay ve U; 0 vektörünün
komĢuluklarından üretilen kuasi-uniformite olsun. F1, F2 :  çoğul-değerli
fonksiyonları, x noktasında H- -ays ise; bu takdirde, F1+F2 vektörel toplamı, x
noktasında H- -ays olur.
40
Ġspat: 0 ın komĢuluğu olan V kümesi verilsin. i1,2 için; xUi(x) için,
Fi(x) [Fi(x)+V] Ģartını sağlayan Ui(x) komĢulukları vardır. U(x): U1(x)  U2(x)
kümesini ele alalım. Böylelikle, xU(x) için,
F1(x) + F2(x)  [F1(x)+V] + [F2(x)+V] ifadesi elde edilir.
4.3.56. Önerme gereği, her xU(x) için, F1(x) + F2(x)  [F1(x)+ F2(x)+V] olur.
4.3.58. Teorem
(,); topolojik uzay, ; topolojik vektör uzayı ve U; 0 vektörünün
komĢuluklarından üretilen kuasi-uniformite olsun. F1, F2 :  çoğul-değerli
fonksiyonları, x noktasında V- *-ays ise F1+F2 , x noktasında V- *-ays olur.
Ġspat: 4.3.12. Uyarı gereği V- *-ays ile  en ince örtü olmak üzere; - -ays eĢ
değerdir. [F1(x)+F2 (x)] {b} verilsin. O hâlde; b1F1(x)
b2F2( x)

b1+ b2b ifadesini gerçekleyen noktalar vardır. V 0 ın bir komĢuluğu olmak üzere; i1,2
için;
Fi
x
noktasında
--ays
olduğundan
xUi(x)
için,
Fi (x) {bi}  [Fi (x)+V] Ģartını sağlayan Ui(x) komĢuluğu vardır. O hâlde;
U(x) U1(x)U2(x) ise xU(x) için; i1,2 için, Fi (x)  {bi}  [Fi ( x)+V]
geçerliliğini korur. Dolayısıyla, her xU(x) için, b1+ b2  [F1( x)+V] + [F2 ( x)+V]
bulunur. 4.3.56. Önermeden, her xU(x) için,
[F1 ( x)+F2 (x)]{b} b1+ b2  [F1( x)+V + F2 ( x)+V] ifadesi elde edilir.
4.3.59. Teorem
(,); topolojik uzay, ;
topolojik vektör uzayı ve U; 0 vektörünün
komĢuluklarından üretilen kuasi-uniformite olsun F1, F2 : 
çoğul-değerli
fonksiyonları, x noktasında V- -ays ve her xX için, F1(x), F2(x) ve (F1+F2)(x)
açık küme ise F1+F2 , x noktasında V- -ays olur.
Ġspat: 4.3.11. Teoremden V- -ays ile  en ince örtü olmak üzere - *-ays eĢ
değerdir. Spakowski (2001) 4.2.9. Teoremin ispatında kullandığı aynı yöntemle sonuç
elde edilir.
41
4.3.60. Teorem
;  nin öteleme değiĢmez bir örtüsü, x noktasında F:  çoğul-değerli
fonksiyonu; - -ays ve G :  çoğul-değerli fonksiyonu; V- -ays ise vektörel
toplam F+G de, x noktasında - -ays dir.
Ġspat: B
ve 0 ın bir komĢuluğu verilsin.  öteleme değiĢmez örtü
olduğundan B- G(x) olur. Diğer yandan; F, x noktasında - -ays verildiği için
xUF(x) için, F ( x)  (B- G(x))  [F(x)+V] olacak Ģekilde bir UF(x) komĢuluğu
vardır. Bu takdirde; her xUF(x) için,
[F(x) + G(x)]  B F( x) (B- G(x))+ G(x)  (F (x)+V) + G(x) bulunur.
G, x noktasında V- -ays olduğundan;
xUG (x) için, (F(x)+V) + G(x) (F (x)+V)+ (G(x)+V)
Ģartını sağlayan bir UG(x) komĢuluğu vardır. 4.3.56. Önerme gereği,
her x U(x) [UF (x)  UG (x)] için, (F (x)+ G(x))  B  (F (x)+ G(x)+V+V)
sonucu elde edilir.
AĢağıda, konveks kabuk fonksiyonunun - -alttan yarı sürekliliği, - -ays ile
- * -ays nin denk olması kullanılmadan ispatlanmıĢtır.
4.3.61. Teorem
 ; yerel konveks uzay olmak üzere; F : çoğul-değerli fonksiyonu x
noktasında – -ays ise konv(F ), x noktasında - -ays dir.
Ġspat: 0 ın bir konveks komĢuluğu V  verilsin. O hâlde; xU(x) için,
F(x)  B [F(x)+V] Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu vardır. y konv(F(x)B
ve y+V, y noktasının bir komĢuluğu verilsin. Bu takdirde; y t1y1+ t2y2+..+ tnyn ve
t1+ t2+..+tn1 olacak biçimde y1, y2,.., yn F(x) ve t1, t2,.., tn pozitif sayıları bulunur.
1in
için
yi
[F(x)+V]
olduğundan
z1, z2,.., zn F(x), v1, v2,.., vn V

yi
yizi + vi
+V
komĢuluğu
için,
ifadesi gerçekleĢir. Sonuçta;
yt1z1 +t2z2+…+tnzn+ t1v1 +t2v2+…+tnvn konv(F(x))+V elde edilir. O hâlde;
y[konv(F(x))+V] olur.
42
5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER
5.1 Sonuçlar
Bu tezde, Spakowski (2001) tarafından tanımlanan 
tipi süreklilik ve
literatürde bilinen  -süreklilik birleĢtirilmiĢ; - -süreklilik kavramı elde edilmiĢtir. 
tipi sürekliliğin, diğer süreklilik çeĢitleri ile iliĢkisinin ve Spakowski (2001) tarafından
belirtilen kuasi-uniform uzaylarda birleĢim ve çarpım; topolojik vektör uzaylarda
kesiĢim ve toplam iĢlemleri ile iliĢkisinin yeni durumda geçerliliği doğrudan ispat
yöntemi kullanılarak araĢtırılmıĢtır. Herhangi bir çoğul-değerli fonksiyonun - sürekliliğinin, onun kısıtlanıĢ fonksiyonunun aracılığı ile karakterizasyonu bulunmuĢtur.
Fark fonksiyonunun Hausdorff sürekliliği ilgili gerek ve yeter Ģartlar belirtilmiĢtir.
Ayrıca, 4.3.22. ve 4.3.25 Teorem sonucu, kuasi-uniform uzaylarda çoğul-değerli
fonksiyonlar için, Hausdorff- -üstten süreklilikle Vietoris- -üstten sürekliliğin denk
olması için gerek ve yeter Ģart elde edilmiĢtir.
5.2 Öneriler
Tanımladığımız - tipi sürekliliğin, diğer süreklilik çeĢitleriyle iliĢkisini ortaya
koyma adına çeĢitli karĢı örnekler elde edilebilir.  nin özel bir örtü olması durumunda;
 - -sürekliliğin davranıĢı incelenebilir. FG W F G-  U Ģartını sağlayan F çoğuldeğerli fonksiyonlarının bir yarı grup oluĢturması ve F in U
kuasi-uniformitesini
normalize eden küme gibi davranması; cebirsel yönden araĢtırma adına bir baĢlangıç
noktası olabilir.
43
KAYNAKLAR
Berge, C., 1959, Espaces topologiques fonctions multivoques, Dunod, Paris.
De Blasi, F. S. and Pianigiani, G., 1983, Remarks on Hausdorff continuous
multifunction and selections, Commentationes Mathematicae Universitatis
Carolinae, 24, 3.
Fomin, S. V., 1943, Extension of topological spaces, Ann. Of Maths., 44, 471-480.
Kuratowski, K., 1966, Topology, Volume 1, Translated from French by J. Jaworowski,
Polish Scientific Publishers, Warszawa, 6 ve 39.
Lechicki, A. and Spakowski A., 1985, A note on intersection of lower semicontinuous
multifunctions, Proc. Amer. Math. Soc., 95 (1), no. 1, 119-122.
Long, P. E. and Herrington L. L., 1982, The Τθ topology and faintly continuous
functions, Kyungpook Math. J., 22, 7-14.
Mukherjee, M. N., Raychaudhuri, S. and Sinha, P., 2002, On Upper and Lower
-Continuous Multifunctions, Southeast Asian Bulletin of Mathematics
Studies, 26, 841-855.
Murdeshwar, M. G. and Naimpally, S. A., 1966, Quasi-uniform topological spaces, P.
Noordhoof Ltd., Groningen.
Penot, J. P., 1993, Preservation of persistence and stability under intersections and
operations, I. Persistence, J. Optim. Theory Appl., 79 (3), 525-550.
Pervin, W. J., 1962, Quasi-uniformization of topological spaces, Math. Ann., 147, 316317.
Rabinovich, M. G., 1967, Some classes of spaces of convex sets and their extensions,
Siberian Math J., 8, 1064-1070.
Schaefer, H. H., 1986, Topological Vector Spaces, Springer-Verlag, New York.
Spakowski, A., 2001, On lower semicontinous multifunctions in quasi-uniform and
vector spaces, Ninth Prague Topological Symposium, Prague, Czech Republic,
309-319.
Urbánski, R., 1976, A generalization of the Minkowski-Radström-Hörmander theorem,
Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., 24 ( 9), 709-715.
Velicko, N. V., 1968, H-closed topological spaces, Amer. Math. Soc. Transl., 78, 103118.
44
ÖZGEÇMĠġ
KĠġĠSEL BĠLGĠLER
Adı Soyadı
Uyruğu
Doğum Yeri ve Tarihi
Telefon
Faks
e-mail
:
:
:
:
:
:
Ahmet UĞUR
T.C.
KELES 04.06.1986
5377632450
hmtugur@gmail.com
EĞĠTĠM
Derece
Lise
Adı, Ġlçe, Ġl
: Milli Piyango Anadolu Lisesi, Nilüfer, Bursa
Bitirme Yılı
2004
Üniversite
: Bilkent Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik
Bölümü (Burslu), Çankaya, Ankara
2008
2. Üniversite : Necmettin Erbakan Üniversitesi Tıp Fakültesi,
Meram, Konya
Yüksek Lisans : Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü,
Matematik, Selçuklu, Konya
Ġġ DENEYĠMLERĠ
Yıl
2006-2008
Kurum
Bilkent Üniversitesi
Görevi
Asistan Öğrenci
UZMANLIK ALANI
Topoloji
YABANCI DĠLLER
Ġyi derecede Ġngilizce, baĢlangıç düzeyinde Fransızca
BELĠRTMEK ĠSTEĞĠNĠZ DĠĞER ÖZELLĠKLER
BĠTĠM AġAMASINDAKĠ ÇALIġMALAR
Güngör, A. D. and Uğur A., Ordinary sum indices of graphs.
Uğur, A. and Kaymakcı, A. K., Quasi-uniform space valued  -semicontinuous
multifunctions (Yüksek Lisans Tezinden Yapılacaktır).
45
SEMĠNERLER
Uğur, A. and Kaymakcı, A. K., 2011, On upper and lower faintly -precontinuous
multifunctions, The 24th International Conference of Jangjeon Mathematical Society,
Konya, Turkey.
ÖDÜLLER
Haziran 2004, Milli Piyango Anadolu Lisesi Okul Dördüncüsü
2007-2008 yılı Bilkent Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Birincisi
2010-hâlen Tübitak Yurt Ġçi Yüksek Lisans Bursiyeri