DAL GERİLİMLERİ YÖNTEMİ Qt i = 0 (Temel kesitleme denklemleri) Öte yandan, eleman gerilimleri v, dal gerilimleri v1 cinsinden v v U [B1 U ] ⎡⎢ 1 ⎤⎥ = 0 → v 2 = − B1v1 → ⎡⎢ 1 ⎤⎥ = ⎡⎢ ⎤⎥ v1 → v = Qt T v1 ⎣ v2 ⎦ ⎣− B1 ⎦ ⎣ v2 ⎦ nd − 1 ⎡Qt ne ⎢ 0 ⎢ nd − 1 ⎢⎣ N 0 U M 0 ⎤⎡ i ⎤ ⎡0 ⎤ − Qt T ⎥ ⎢ v ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ v1 ⎥⎦ ⎢⎣w ⎥⎦ Mv+Ni=w ne tane eleman tanım bağıntısı 2nd-2+ne denklem ve 2nd-2+ne bilinmeyen Bu denklemleri yerine koyma yöntemiyle çözmeye Dal Gerilimleri Yöntemi denir. Örnekle açıklama: e2 + R4 e1 + 2 R9 R7 j10 4 R5 e3 R6 9 + R8 1 7 5 3 6 10 Adım 1: Devre grafı çizilerek, uygun bir ağaç seçilir. Adım 2: Temel kesitleme denklemleri yazılır. i4 = -i7 - i9 - i10 i5 = -i8 - i9 i6 = i8 - i10 Not: Bağımsız gerilim kaynağına ilişkin denklemi yazmaya gerek yok. 8 Adım 3: Dirençlere ilişkin uç denklemlerini 2. adımdaki denklemlerde yerine koy. G4v4 = - G9v9 – G7v7 - j10 G5v5 = - G8v8 - G9v9 G6v6 = G8v8 - j10 Adım 4: Temel çevre denklemleri ile kiriş gerilimlerini dal gerilimleri cinsinden yaz. G4v4 = - G9(v4 + v5 - e2) – G7 (v4 - e1) - j10 G5v5 = - G8(v5 + e3 - v6) - G9(v4 + v5 - e2) G6v6 = G8(v5 + e3 - v6) - j10 Ara adım: v7 = v4 - v1 = v4 - e1 v8 = v5 + v3 - v6 = v5 + e3 - v6 v9 = v4 + v5 - v2 = v4 + v5 - e2 v10 = v4 + v6 - v1 = v4 + v6 - e1 Bilinmeyenler bir tarafa, bilinenler diğer tarafa toplanırsa (G4+G7+G9)v4 + G9v5 = G7 e1 - G9e2 - j10 G9v4 + (G5+G8+G9)v5 – G8v6 = G9e2 –G8e3 -G8v5 + (G6+G8)v6 = G8e3 – j10 ⎡G4 + G7 + G9 ⎢ G9 ⎢ ⎢⎣ 0 G9 G5 + G6 + G8 − G5 0 ⎤ ⎡v4 ⎤ ⎡G7 − G8 ⎥ ⎢v5 ⎥ = ⎢ 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ G6 + G8 ⎥⎦ ⎢⎣v6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 Buradan dal gerilimleri elde edilebilir. − G9 G9 0 0 − G8 G8 ⎡e ⎤ − 1⎤ ⎢ 1 ⎥ e 0 ⎥⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ e3 ⎥ − 1⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ j10 ⎦ DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ Devrede sadece 2-uçlu direnç ve bağımsız akım kaynakları olsun. Ai=0 nd-1 tane düğüm denklemleri nd-1 tane KGY v=ATe ne tane eleman tanım bağıntıları Mv+Ni=w (w=kaynaklar) ⎡A ⎢0 ⎢ ⎢⎣ N 0 U M 0 ⎤⎡ i ⎤ ⎡ 0 ⎤ − AT ⎥ ⎢ v ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ e ⎥⎦ ⎢⎣w ⎥⎦ R6 1 2 3 R4 R2 j1 R1 R3 R5 j2 4 Adım 1: Düğümler için KAY Ai=0 -i1 + i2 + i6 + j1 = 0 -i2 + i3 + i6 = 0 -i4 - i5 - j2 - i6 = 0 Adım 3: KGY v=ATe v1=-e1, v2=e1-e2, v3=e2, v4=e2-e3, v5=-e3, v6=e1-e3 Adım 2: Tanım bağ. gerilim kontrollü yaz. i=Gv -G1v1 + G2v2 + G6v6 + j1 = 0 -G2v2 + G3v3 + G6v6 = 0 -G4v4 - G5v5 - G6v6 - j2 = 0 Adım 4: Bunları 2' deki denklemlerde yerine koy. -G1(-e1) + G2(e1-e2) + G6(e1-e3) + j1 = 0 -G2(e1-e2) + G3(e2) + G6(e1-e3) = 0 -G4(e2-e3) - G5(-e3) - G6(e1-e3) - j2 = 0 (G1+G2+G6)e1 - G2e2 - G6e3 + j1 = 0 -G2e1 + (G2+G3+G6)e2 - G4e3 = 0 -G6e1 - G4e2 + (G4+G5+G6)e3 - j2 = 0 Not: Düğüm Gerilimleri Yöntemi aynı şekilde, devrede tanım bağıntıları i=Gtbv olarak yazılabilen elemanlar varsa da, uygulanabilir. Genel olarak, bu yöntem sonucunda elde edilen denklemleri Ge + Tj=0 şeklinde yazabiliriz. G: Gii: i. düğüme bağlı dirençlerin iletkenliklerinin toplamı Gij: i. ve j. düğüme ortak olan dirençlerin iletkenliklerin toplamının ters işaretlisi T: Tip: i. düğüme bağlı olann p. akım kaynağının yönü düğümden dışarı doğru ise (+1), aksi halde (-1) olur. Bu düğüme akım kaynağı bağlı değil ise, değeri 0 olur. GENELLEŞTİRİLMİŞ DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ Devrede direnç, gerilim ve akım kaynakları ile diğer cebirsel lineer çok-uçlular olsun. Bu elemanları iki grupta toplayalım. 1) Bağımsız akım kaynakları, lineer dirençler 2) Diğer elemanlar (bağımsız gerilim kaynakları, cebirsel çok-uçlular, …) (nd − 1) Ai = 0 [A1 A2 ⎡ iR ⎤ ⎢ ⎥ A3 ]⎢ j ⎥ = 0 ⎢i diğer ⎥ ⎣ ⎦ A1iR + A2j + A3idiğer = 0 iR=GvR A1GvR + A2j + A3idiğer = 0 ⎡ v R ⎤ ⎡ A1T ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ T⎥ v ⎢ j ⎥ = ⎢ A2 ⎥e ⎢ v diğiğ ⎥ ⎢ A3T ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇒ A1GA1Te + A3 idiğer = -A2j (nd-1 denklem) M vdiğer + N idiğer = w M A3T e + N idiğer = w (diğer elemanların tanım bağıntıları) ⎡ A1GA1T ⎢ T ⎣⎢ MA3 A3 ⎤ ⎡ e ⎤ ⎡− A2 j⎤ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ N ⎦⎥ ⎣i diğer ⎦ ⎣ w ⎦ G1 Örnek 1: 1 G2 + vb 2 G3 − + − j4 v5 G7 j6 4 [e; idiğer] = [e1, e2, e3; i5, i8] 1.düğüm i1 + i2 + i5 –i4 = 0 G1v2 + G2v2 + i5 – i4 = 0 G1(e1-e3) + G2(e1-e2) + i5 = j4 3 v8 + − G9 i4 = j4 A v5 = cos t V i6 = j6 A v8 = 7vb 2.düğüm -i2 + i3 + i7 - i5 - i6 = 0 -G2v2 + G3v3 + G7v2 - i5 - i6 = 0 -G2(e1-e2) + G3(e2-e3) + G7e2 - i5 - i6 = 0 3.düğüm -i1 - i3 + i9 + i8 = 0 -G1v1 - G3v3 + G9v9 + i8 = 0 -G1(e1-e3) - G3(e2-e3) + G9e3 + i8 = 0 Eleman tanım bağıntıları (Ek denklemler) ED1 v5 = e1 - e2 ED2 v8 = 7vb e3 = 7(e1 - e3) Örnek 2: i1 1 i3 + 10 sin t 2v6 + − i2 i4 2 1:2 + 2i8 4 i6 i5 + v5 v6 − − 3 i8 1Ω i7 5Ω [e; idiğer] = [e1, e2, e3, e4; i1, i2, i3, i5, i6] düğüm 1 2 3 4 i1 + i2 + i3 = 0 -i3 + i5 + i4 = 0 -i4 + i6 + i8 = 0 -i2 – i1 – i5 + i7 = 0 4 denklem, 9 bilinmeyen i1 +i2 +i3 = 0 -i3 + i5 = -i4 i6 + e3 = i4 -i2 - i1 - i5 + e4/5 = 0 Transformatör T.B. ⎡v6 ⎤ ⎡ 0 2⎤ ⎡ i6 ⎤ ⎢ i ⎥ = ⎢ − 2 0 ⎥ ⎢v ⎥ ⎦⎣ 5 ⎦ ⎣ 5⎦ ⎣ Tanım bağıntıları (Ek Denklemler) e1 - e4 = 10 sint ED1 ED2 i2 = 2i8 = 2e3 ED3 e1 - e2 = 2e3 e3 = 2(e2-e4) ED4 ED5 i5 = -i6 0 0 1 1 1 0 ⎡0 0 ⎢0 0 0 0 0 0 −1 1 ⎢ 1 0 0 0 0 0 ⎢0 0 ⎢ 0 1/ 5 −1 −1 0 −1 ⎢0 0 ⎢1 0 0 −1 0 0 0 0 ⎢ 2 0 0 −1 0 0 ⎢0 0 ⎢1 − 1 − 2 0 0 0 0 0 ⎢ 0 0 0 0 0 1 ⎢0 0 ⎢⎣0 − 2 − 1 − 2 0 0 0 0 0⎤ ⎡ e1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ 0⎥ ⎢e2 ⎥ ⎢ − 2 ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢e3 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢e4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0⎥ ⎢ i1 ⎥ = ⎢10 sin t ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ i2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0⎥ ⎢ i3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ i5 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0⎥⎦ ⎢⎣ i6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ÇEVRE AKIMLARI YÖNTEMİ Göz: Bir devrenin bir çevresini, çevreye girmeyen elemanlar bölmüyorsa, o çevreye göz denir. Çevre akımı: Bir devrenin herhangi bir çevresi boyunca, çevre yönü çizgisi doğrultusunda dolaştığı düşünülen akıma denir. e2 R7 iÇ3 + R4 e1 + iÇ1 R5 R6 j10 iÇ2 e3 + R8 Yukarıdaki şekilde gözler ve gözlere ilişkin çevre akımları belirlenmiştir. Tüm eleman akımlarını çevre akımları cinsinden yazmak mümkündür. Örneğin iR6=iÇ1-iÇ2 iR5=iÇ2-iÇ3 Bir devrede göz sayısı: ne - nd + 1 dir. (ne: eleman sayısı, nd: düğüm sayısı) Bir devreye karşı gelen grafta temel çevreler için yazılan denklem sayısı ne - nd + 1 idi. Aynı şekilde ne - nd + 1 tane göze ilişkin KGY bağımsız denklem takımı oluşturur. Bu denklemler Bv = 0 şeklinde yazılabilir. Öte yandan eleman akımları çevre akımları cinsinden yazıldığında elde edilen katsayı matrisinin BT olduğu görülür. Yani i = BTiÇ eşitliği yazılabilir. Öte yandan eleman tanım bağıntıları da aşağıdaki gibi yazılsın. Mv + Ni = 0 ⎡B ⎢0 ⎢ ⎢⎣ N 0 U M 0 ⎤⎡ v ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ − BT ⎥ ⎢ i ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎦ ⎣iÇ ⎦ ⎢⎣w ⎥⎦ Sadece 2-uçlu direnç ve bağımsız gerilim kaynakları içeren devreleri karşı gelen yukarıdaki denklemleri yerine koyma şeklinde çözmek için geliştirilen yönteme Çevre Akımları Yöntemi denir. Çevre Akımları Yöntemi aşağıdaki adımlarla verilebilir: 1: 2: 3: Bv = 0 B [ Z i + vk ] = 0 (Eleman tanım bağıntıları v = Z i + vk şeklinde olsun) B Z i = -B vk i = BT iÇ B Z BT iÇ = -B vk Her iki tarafta B Z BT tersiyle çarpılırsa, iÇ çözülebilir. Örnekle açıklama: e2 R7 iÇ3 + R4 e1 + iÇ1 R9 R5 R6 iÇ2 e3 + R8 Şekildeki devreye ilişkin devre denklemlerini Çevre Akımları Yöntemiyle elde ediniz. 1: Bv = 0 v4+v6-v9-v1=0 v5+v3-v8-v6=0 v2+v7-v5-v4=0 2: B [ Z i + vk ] = 0 (Eleman tanım bağıntıları v = Z i + vk şeklinde olsun. v1=e1, v2=e2, v3=e3, v4=R4i4, v5=R5i5, v6=R6i6, v7=R7i7, v8=R8i8, v9=R9i9) R4i4+ R6i6-R9i9-e1=0 R5i5+e3- R8i8- R6i6=0 e2+ R7i7- R5i5- R4i4=0 B Z i = -B vk 3: i = BT iÇ i1=-iÇ1, i2=iÇ3, i3=iÇ2, i4=iÇ1-iÇ3, i5=iÇ2-iÇ3, i6=iÇ1-iÇ2, i7=iÇ3, i8=-iÇ2, i9=-iÇ1 B Z BT iÇ = -B vk R4(iÇ1-iÇ3)+ R6(iÇ1-iÇ2)-R9iÇ1-e1=0 R5(iÇ2-iÇ3)+e3+ R8iÇ2- R6(iÇ1-iÇ2)=0 e2- R7iÇ3- R5(iÇ2-iÇ3)- R4(iÇ1-iÇ3)=0 Bu denklemler aşağıdaki gibi düzenlenebilir. (R4+R6-R9)iÇ1-R4iÇ3- R6iÇ2 =e1 R6iÇ1 + (R6+R5+R8)iÇ2- R5iÇ3= -e3 -R4iÇ1- R5iÇ2- (R4+R5-R7) iÇ3=-e2 Bu üç lineer bağımsız denklemden iÇ1, iÇ2 ve iÇ3 çözülebilir. Bir kere çevre akımları belirlendikten sonra, tüm eleman akımları ve tanım bağıntıları yardımıyla da tüm eleman gerilimleri kolaylıkla bulunabilir.