bölüm 5 - Ogretmenler.com

BÖLÜM 5

5- İNTEGRAL KAVRAMI
5-1 İlkel Fonksiyon veya Belirsiz İntegral
Bir fonksiyonun türevinin nasıl alındığını biliyoruz.Bu bölümde türevi alınmış bir
fonksiyonun ilkelinin(önceki halinin) nasıl bulunacağını inceleyeceğiz.Yapacağımız
bu işleme “İntegral alma” veya fonksiyonun ilkelini bulma işlemi denir.Bu işlem türev
alma işleminin tersidir.
Tanım
Türevi F(x) yada diferansiyeli f(x)dx olan f(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonun bir
ilkeli ya da belirsiz integrali denir ve ∫ f ( x)dx = F ( x) şeklinde gösterilir.Yani
F’(x)=f(x)
Örnek
F ( x) =
x3
fonksiyonu (-∞,∞) aralığında f(x)=x2 fonksiyonunun bir ilkelidir.Çünkü
3
Ι
 x3 
1
1
F ( x) =   = ⋅ ( x 3 ) ı = ⋅ 3 x 2 = x 2 = f ( x)
3
3
 3 
ı
Örnek
F ( x) = 2 x fonksiyonu (0,∞) aralığında f ( x) =
1
x
fonksiyonunun bir ilkelidir.
1 1
1
Çünkü F ı ( x) = (2 x ) ı = 2 ⋅ ( x ) ı = 2 ⋅ ⋅
=
= f ( x)
2 x
x
Örnek
1
1
fonksiyonu (-∞,∞) aralığında f ( x) = − 2 fonksiyonunun ilkeli değil
x
x
ı
Çünkü F (x) = f(x) eşitliği x = 0 için sağlanmıyor.
(-∞,0) aralığında F(x) fonksiyonu f(x) fonksiyonunun ilkelidir.
F ( x) =
1
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
ALIŞTIRMALAR
F(x) fonksiyonu f(x) fonksiyonunun ilkelimidir?
a) F(x) = x5, f(x) = 5x4, x∈ (-∞,∞)
1
3
b) F ( x) = 3 , f(x) = - 4 , x ∈ (-∞, ∞)
x
x
1
c) F ( x) = ⋅ x 7 , f(x) = x 6 , x ∈ (-∞, ∞)
7
1
1
d) F ( x) = − 6 , f(x) = 7 , x ∈ (0, ∞)
6x
x
e) F(x) = 3-sin(x) , f(x) = cosx , x∈ (-∞,∞)
f) F(x) =5-x4,f(x)=-4x3,x∈ (-∞,∞)
g) F(x) = cosx-4 , f(x) = -sinx , x∈ (-∞,∞)
1
1
h) F ( x) = 2 + 2 , f(x) = 3 , x ∈ (-∞,0)
x
2x
5-2 Başlangıç Şartları ve Özel Çözümler.
Biz biliyoruz ki ;
f(x) = x2,
f(x) = x2+1
f(x) = x2-4
ise
ise
ise
f’(x) = 2x
f’(x) = 2x
f’(x) = 2x
Bu türevleri tersinden düşünelim.
Yani f(x) = 2x ise f(x) = x2+C
Çünkü F’(x) = (x2+C)’ = 2x = f(x)
Yukarıda üç aynı fonksiyonun türevi alındığında tek bir fonksiyon elde edildiğini
(sabitin türevi sıfır olduğundan) biliyoruz.Bu türevi alınmış fonksiyonlar integralleri
alındığında aynı fonksiyonu elde edebilmek için bir C sabitinin olduğunu düşünmek
zorundayız.Tamamen keyfi bir değer alan bu C sabitine integral sabiti denir.
Demek ki ∫ f ( x)dx integralinin hesaplanması türevi f(x) olan fonksiyonunun
bulunmasıdır.O halde belirsiz integrallerde mutlaka bir integral sabitinin var olduğunu
unutmamalıyız.
2
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
f ( x) = − x 3
, x ∈ (− ∝, ∝) fonksiyonunun ilkelinin genel şekli nedir?
Çözüm
f(x) = -x3 ise
F ı ( x) = −
F ı ( x) = (−
Çünkü
x4
+C
4
x4 ı
) + C ı = −x3
4
Örnek
f ( x) =
1
, x ∈ (0, ∞) fonksiyonunun (1,1) noktasından geçen ilkelini bulunuz.
x2
Çözüm
1
1
ise F ( x) = − + C
2
x
x
Eğer
x = 1 ise F(1) = 1
1
f (1) = − + C = 1
1
-1 + C = 1
C =2
f ( x) =
Yani (1,1) noktasından geçen ilkeli F ( x) = −
1
+2
x
5-3 Belirsiz İntegralin Özellikleri
1) Belirsiz integralin türevi , integrali alınan fonksiyona eşittir.
d
Yani
[ f ( x)dx] = f ( x) dir.
dx ∫
2) Belirsiz integralin diferansiyeli integral işareti altındaki ifadeye eşittir.
Yani d [ ∫ f ( x)dx] = f ( x)dx dir.
3) Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali , bu fonksiyona C sabitini
eklemekle elde edilir.
Yani ∫ df ( x) = f ( x) + c dir.
4) İki fonksiyonun toplamı veya farkının integrali , bu fonksiyonların integrallerinin
toplamına veya farkına eşittir.
Yani ∫ [ f ( x) m g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx m ∫ g ( x)dx dir.
3
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
5) Bir sabitle bir fonksiyonun çarpımının integrali , o sabitle fonksiyonun integralinin
çarpımına eşittir.
Yani ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx dir.
Bazı İntegral Formülleri
1)
2)
∫ dx = x + C
∫ kdx = kx + C
, k = sabit
x n +1
+ C , n ≠ −1
n +1
dx
x − n +1
,n ≠ 1
4) ∫ n =
+C
− n +1
x
dx
= ln x + C
5) ∫
x
6) ∫ e x dx = e x + C
3)
n
∫ x dx =
ax
+C
ln a
8) ∫ sin xdx = − cos x + C
7)
x
∫ a dx =
9)
∫ cos xdx = sin x + C
10) ∫ tan xdx = − ln cos x + C
11) ∫ cot xdx = ln sin x + C
12) ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C
13) ∫ cos ecxdx = − ln cos ecx + cot x + C
14) ∫ sec 2 xdx = tan x + C
15) ∫ cos ec 2 xdx = − cot x + C
16) ∫
dx
1
x
= arctan + C
2
a +x
a
a
17) ∫
dx
1
x−a
=
+C
ln
2
2a x + a
a −x
2
2
4
MATEMATİK-II
dx
18) ∫
a2 − x2
dx
19) ∫
20) ∫
21) ∫
2
x ma
2
= arcsin
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
x
+C
a
= ln x + x 2 m a 2 + C
f ' ( x)
dx = ln f ( x) + C
f ( x)
2
[
f ( x)]
f ( x). f ' ( x)dx =
22) ∫ f
2
n
+C
n +1
[
f ( x)]
( x). f ' ( x)dx =
+C
n +1
cos mx
23) ∫ sin mxdx = −
+C
m
sin mx
24) ∫ cos mxdx =
+C
m
e kx
kx
25) ∫ e dx =
+C
k
26) ∫ a kx dx =
(n ≠ -1)
a kx
+C
k ln a
ALIŞTIRMALAR
1) f(x) fonksiyonunun ilkelinin genel şekli nedir.?
a) f(x) = 2-x4
b) f(x) = 4x
c) f(x) = x6
d) f(x) = x + cos x
1
e) f ( x) = 1 − 4
x
f) f(x) = -3
1
g) f ( x) = 3 + 4 x
x
1
h) f ( x) =
cos 2 x
5
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
2) f(x) fonksiyonunun M noktasından geçen ilkelini bulunuz.
b) f(x) = 1-x2,
f ( x) = sin( x +
c)
d) f ( x) =
π
) ,
3
1
x4
e) f ( x) = 3x +
π
,1)
2
M(-3,9)
2π
M ( ,−1)
3
1
M ( ,3)
2
M (−
a) f(x) = 2cosx ,
,
1
x2
,
M(-1,4)
f) f(x) = 1-2x ,
M(3,2)
1
g) f ( x) = 3 − 10 x 4 + 3 , M(1,5)
x
h) f(x) = x 3 +2 , M(2,15)
3) Aşağıda verilen integralleri hesaplayınız.
1
)dx
x3
1)
∫ (2 −x
2)
∫(x
3)
∫ (x + x + cos x)dx
∫ (5 x −1)dx
∫ (2 x − 5)dx
∫ (3 sin 2 x)dx
1
x π
∫ [(− 3 cos( 3 − 4 )]dx
4)
5)
6)
7)
8)
1
+
3
13) ∫ [
14) ∫ 5e x dx
− sin x)dx
2
2
∫ 2.3 dx
16) ∫ 4 dx
1
17) ∫ [ e + 1]dx
2
18) ∫ e dx
19) ∫ 2 dx
2
x
x
3− x
−19 x
2
)dx
2 π
cos ( − x)
3
2
1
9) ∫ [ − 5 +
]dx
2
x
cos (3 x − 1)
10) ∫ [(1 − cos 3 x + 2 sin(
11) ∫ [
1
2
sin 4 x
+
x
15)
5
∫(
1
π
+ 2 cos( − x)]dx
3− x
4
π
− x)]dx
3
1
− 3 x 2 ]dx
2− x
6
20)
∫ (2.0,9
21)
∫ (e
3x
x
− 5,6 − x )dx
+ 2,31+ x )dx
MATEMATİK-II
12) ∫ [
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
2
− 3 sin( 4 − x ) + 2x ]dx
cos (3x + 1)
2
5-3 İNTEGRAL ALMA METODLARI
Göstermiş olduğumuz integral alma kuralına benzemeyen fonksiyonların integralini
farklı metotlarla bulmak mümkündür.
5-3-1 Değişken Değiştirme metodu
Örnek
∫ (2 x − 3)
5
dx = ?
Çözüm
2x-3 = u
dersek ve diferansiyelini alırsak
1
2dx = du ⇒ dx = du
2
(2 x − 3) 6
1 5
1 u6
u6
5
5 1
(
2
x
−
3
)
dx
=
u
.
du
=
u
du
=
.
+
C
=
+
C
=
+C
∫
∫ 2
2∫
2 6
12
12
Örnek
∫
1
2− x
dx =?
Çözüm
2-x = u
-dx = du ⇒ dx = -du
∫
1
2− x
dx =
∫
1
1
.(−du ) = − ∫ u du = − 2 + C = −2 u + C = −2 2 − x + C
1
u
2
−
1
2
u
Örnek
3
∫ (4 − 15 x) 4 dx =?
7
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Çözüm
4 -15x = u
1
du
15
3
3
1
3
1 u −3
1
1
−4
.(
)
.
dx
=
−
du
=
−
u
du
=
−
+C=
+C=
+C
∫ (4 − 15x) 4
∫ u 4 15
∫
3
15
5 −3
15u
15.(4 − 15 x) 3
− 15 xdx = du ⇒ dx = -
ALIŞTIRMALAR
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
∫ (1 − 3x) dx
∫ 9 + 4 x dx
∫ x (1 + x ) dx
∫ x 1 − x dx
∫ 5 sin 4 x cos 4 x.dx
∫ sin x. cos xdx
1
∫ x (1 + x ) dx
9
3
3
4 5
3
2
3
2
2
8)
∫
9)
∫ (2 x + 3)
10)
x (1 + x ) 3 dx
7
∫
3
dx
24
6x + 7
dx
11) ∫ 3x 2 4 + x 3 dx
3x
12)
∫
14)
∫ x(x + 1)
15)
x + 2x 3
∫ ( x 4 + x 2 ) 3 dx
dx
1 + 3x 2
13) ∫ x 2 cos 4 x 3 dx
16)
∫
14
2x3
1+ x4
2x + 1
17)
dx
x2 + x
dx
8
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
ln x
∫ x dx
19) ∫ e dx
cos x
20) ∫
dx
1 + sin x
18)
−3 x
∫e
22) ∫ e
21)
x 2 − 2 x +1
sin x
( x − 1)dx
cos xdx
cos(ln x)
dx
x
x
dx
24) ∫
1 − 9x 2
23)
∫
25)
∫ (1 + sin x)
5
cos xdx
(ln x)10
26) ∫
dx
x
ln x
dx
27) ∫
x
(1 + x) 4
28)
∫
29)
∫ 5 + 2x
30)
x
5x
∫
e
2
dx
dx
x+4
dx
x+4
sin xdx
31) ∫
3. cos x + 7
5-3-2 Kısmi İntegrasyon Metodu
∫ f ( x).g ( x).dx
biçiminde iki fonksiyonun çarpımının integrali bazen güç olabilir. Böyle
fonksiyonların daha kolayca integrallenebilmesi amacıyla kısmi integralleme
aşağıdaki gibi yapılır.
(uv )l
= u l v + uv l
d (uv)
du
dv
=v
+u
dx
dx
dx
d (uv) = vdu + udv
∫ d (uv) = ∫ vdu + ∫ udv
9
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
uv = ∫ vdu + ∫ udv
∫ udv = uv − ∫ vdu
Örnek
∫ xe
x
dx = ?
Çözüm
x = u ⇒ dx = du
e x dx = dv ⇒ e x = v
x
x
x
x
x
∫ xe dx = ∫ udv = U ⋅ V − ∫ vdu = xe − ∫ e dx = xe − e + C
Örnek
∫x
2
e x dx = ?
Çözüm
x 2 = u ⇒ du = 2 xdx
e x dx = dv ⇒ v = e x
2 x
2 x
x
∫ x e dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x e − ∫ e 2 xdx
= x 2 e x − 2∫ xe x dx = x 2 e x − 2∫ udv = x 2 e x − 2(uv − ∫ vdu )
= u ⇒ du = dx
e x dx = dv ⇒ v = e x
x 2 e x − 2( xe x − ∫ e x dx) = x 2 e x − 2 xe x + 2e x + C
Örnek
∫e
2x
sin 3xdx =?
Çözüm
sin 3 x = u ⇒ du = 3 cos 3 xdx
e2x
e 2 x dx = dv ⇒ v =
2
2x
∫ e sin 3xdx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = sin 3x.
e2x
e2x
−∫
.3 cos 3 xdx
2
2
10
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
e 2 x sin 3 x 3 2 x
− ∫ e cos 3 xdx =B
2
2
cos 3 x = u ⇒ du = −3 sin 3xdx
e2x
e 2 x dx = dv ⇒ v =
2
2x
e sin 3 x 3
e 2 x sin 3x 3
B=
− .∫ udv =
− . uv − ∫ vdu
2
2
2
2
2x
2x
e sin 3 x 3e cos 3 x 9 2 x
B=
−
− ∫ e sin 3 xdx yani
2
4
4
2x
e sin 3 x 3e 2 x cos 3 x 9 2 x
2x
e
sin
3
xdx
=
−
− ∫ e sin 3 xdx
∫
2
4
4
2x
∫ e sin 3xdx = A dersek
=
(
e 2 x sin 3 x 3e 2 x cos 3 x 9
A=
−
− .A
2
4
4
2x
2x
13
e sin 3 x 3e cos 3 x
.A =
−
4
13
4
2x
2x
2e sin 3 x 3e cos 3x
A=
−
13
13
2x
e (2 sin x − 3 cos 3 x )
2x
+C
∫ e sin 3xdx =
13
ALIŞTIRMALAR
∫ x ln xdx
2) ∫ x cos 3xdx
3) ∫ x sin xdx
4) ∫ x ln xdx
5) ∫ x x + 1 dx
6) ∫ x x + 3 dx
7) ∫ x sin x dx
8) ∫ (ln x ) dx
9) ∫ x ln xdx
10) ∫ x cos x 4dx
ln x
11) ∫
dx
x x
1)
3
2
5
3
2
2
2
7
11
)
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
12) ∫ e 2 x cos 2 xdx
13) ∫ x cos 2 xdx
14) ∫ ln (1 − x )dx
15) ∫ x sin 3xdx
16) ∫ x 2 e 3 x dx
17) ∫ cos 2 xdx
18) ∫ x 2x + 1 dx
19) ∫ arcsin xdx
20) ∫ arctan xdx
5-3-3 İndirgeme formülleri
Diferansiyelinde sin n x ve cos n x gibi ifadeler bulunan integrallerde kısmi
integrasyon metodu art arda uygulanırsa aşağıdaki indirgeme formülleri elde edilir.
1
n −1
xdx = − sin n −1 x cos x +
sin n − 2 xdx
n
n ∫
n −1
1
n
n −1
n−2
∫ cos xdx = n cos xdx + n ∫ cos xdx
∫ sin
n
Örnek
∫ sin
6
xdx = ?
Çözüm
1
5
xdx = − sin 5 x cos x + ∫ sin 4 xdx
6
6
5
sin x cos x 5  x 5
3

=−
+ .− sin x cos x + ∫ sin 2 xdx 
6
6 4
4

∫ sin
6
sin 5 x cos x 5 sin 5 x cos x 5
−
+ ∫ sin 2 xdx
6
24
8
5
5
sin x cos x 5 sin x cos x 5  1
1

=−
−
+ . − sin x cos x + ∫ dx 
6
24
8 2
2

=−
12
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
sin 5 x cos x 5 sin 5 x cos x 5 sin x cos x 5 x
=−
−
−
+
+C
6
24
16
16
Örnek
∫ cos
5
xdx = ?
Çözüm
1
4
cos 4 x sin x + ∫ cos 3 xdx
5
5
4
cos x sin x 4  1
2

=
+ . cos 2 x sin x + ∫ cos xdx 
5
5 3
3

4
2
cos x sin x 4 cos x sin x 8 sin x
=
+
+
+C
5
15
15
∫ cos
5
xdx =
ALIŞTIRMALAR
∫ 3 cos
1)
4
xdx
sin 7 x
∫ 4 dx
3
6
∫ 2 sin x + 5 cos x dx
2)
(
3)
)
5-3-4 Basit Kesirlere Ayırma Metodu
Bu metot rasyonel fonksiyonların integrasyonunda kullanılan bir metoddur.
k
∫ ax + b dx
a)
hali
Bu tür kesirlerde paydanın türevi pay kısmında varsa logaritmalı formülden
yararlanılabilir.
k
k
a
k
∫ ax + b dx = a ∫ ax + b dx = a
=
k
⋅ ln ax + b + C
a
13
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
7
7
2
7
∫ 2 x − 5 dx = 2 ∫ 2 x − 5 dx = 2 ln 2 x − 5 + C
Örnek
x −1
1
2x − 2
1
2
∫ x 2 − 2 x + 7 dx = 2 ∫ x 2 − 2 x + 7 dx = 2 ln x − 2 x + 7 + c
b)
k
∫ (ax + b )
n
dx hali u = ax + b dönüşümüyle çözülür.
u = ax + b ise du = adx ve dx =
k
∫ (ax + b )
=
∫ (4 x − 5)
∫ (2 − x )
c)
3
dx = ∫
k 1
k 1
. du = ∫ n du
n
a u
u a
k u − n +1
k
.
+C =
+C
a − n +1
a (− n + 1)u n −1
Örnek
3
Örnek
4
n
1
du
a
6
dx =
dx =
f ( x) =
3
5
+C=−
2
+C=
4(− 6 + 1)(
. 4 x − 5)
4
− 1.(− 3 + 1)(
. 2 − x)
p( x)
Q( x)
3
20(4 x − 5)
2
(2 − x )2
5
+C
+C
hali
Rasyonel ifadesinde payın derecesi paydanın derecesinden büyük ve ya eşit ise pay
paydaya bölünür.
f ( x) =
P( x)
R( x)
= T ( x) +
Q( x)
Q( x)
şeklinde yazılır ve sonra ayrı ayrı integralleri alınır.
14
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
3x 2 + 2 x + 3
∫ x 2 + 1 dx = ?
Çözüm
3x 2 + 2 x + 3
x2 +1
3x 2 + 3
3
_
2x
3x 2 + 2 x + 3
3( x 2 + 1) + 2 x
dx
=
∫ x2 +1
∫ x 2 + 1 dx =
2x 
2x

= ∫ 3 + 2
dx = 3x + ln x 2 + 1 + C
dx = ∫ 3dx + ∫ 2
x +1
x + 1

Örnek
x 4 + 2x 2 + x
∫ x 3 + 1 dx = ?
Çözüm
x 4 + 2x 2 + x
x3 + 1
x4 + x
x
2x 2
(
)

x 4 + 2x 2 + x
x x3 + 1 + 2x 2
2x 2 

dx
dx
x
=
=
+
∫ x3 + 1
∫ x3 + 1
∫  x 3 + 1 dx
2x 2
x 2 2 3x 2
x2 2
= ∫ xdx + ∫ 3
dx =
+ ∫ 3
dx =
+ . ln x 3 + 1 + C
2 3 x +1
2 3
x +1
15
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
x
∫ x − 2 dx = ?
Çözüm
x
∫ x − 2 dx = ∫
= ∫ dx + ∫
d)
x−2+2
2 

dx = ∫ 1 +
dx =
x−2
 x −2
2
dx = x + 2. ln x − 2 + C
x−2
∫ ax
2
dx
+ bx + c
hali
Eğer ax 2 + bx + c polinomu çarpımlarına ayrılıyorsa ifade basit kesirlere ayrılarak
integre edilir. Basit kesirlerine ayrılmıyorsa arctan x formulüne benzetilerek çözülür.
Şimdi birkaç rasyonel fonksiyonu basit kesirlere ayıralım.
Örnek
1
1
A
B
=
=
+
x − 4 (x − 2)( x + 2) x − 2 x + 2
2
1 = A( x + 2 ) + B( x − 2)
1 = Ax + 2 A + Bx − 2 B
1 = ( A + B) x + (2 A − 2 B)
A+ B = 0
2 A − 2B = 1
⇒B=−
yani
1
4
} ⇒ − 2 A − 2B = 0
2 A − 2B = 1
ve
A=
} ⇒ −4 B = 1
1
4
1
1
−
1
1
1
= 4 + 4 =
−
2
x − 4 x − 2 x + 2 4( x − 2) 4( x + 2)
16
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
−
2x + 1
2x + 1
A
Bx + C
=
=
+ 2
3
2
x + 27 ( x + 3)( x − 3 x + 9) x + 3 x − 3 x + 9
2 x + 1 = A( x 2 − 3x + 9) + ( Bx + C )( x + 3)
2 x + 1 = Ax 2 − 3 Ax + 9 A + Bx 2 + 3Bx + Cx + 3C
2 x + 1 = ( A + B) x 2 + (−3 A + 3B + C ) x + (9 A + 3C )
A+ B = 0
− 3 A + 3B + C = 2
9 A + 3C = 1
⇒
− 3A − 3A +
B = −A
]
− 3 A + 3.(− A) +
C=
1− 9A
=2
3
1− 9A
3
1− 9A
=2
3
− 18 A + 1 − 9 A = 6
− 27 A = 5
5
27
5
B=
27
A=−
C=
5
5
) 1+
27 =
3 = 3+5 = 8
3
3
9
9
1 − 9(−
yani
=−
5
5
8
−
x+
2x + 1
9
= 27 = 27
3
2
x + 27 x + 3 x − 3 x + 9
5
5 x + 24
+
27( x + 3) 27( x 2 − 3 x + 9)
17
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
x3 + 3
A
B
C
Dx + E
= +
+
+ 2
2
2
2
x( x + 1) ( x + 1) x x + 1 ( x + 1)
x +1
x 3 + 3 = A( x + 1) 2 ( x 2 + 1) + Bx( x + 1)( x 2 + 1) + Cx( x 2 + 1) + ( Dx + E ) x( x + 1) 2
x 3 + 3 = A( x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1) + B( x 4 + x 3 + x 2 + x) + Cx 3 + Cx + Dx 4 + 2 Dx 3 + Dx 2 +
+ Ex 3 + 2 Ex 2 + Ex
x 3 + 3 = Ax 4 + 2 Ax 3 + 2 Ax 2 + 2 Ax + A + Bx 4 + Bx 3 + Bx 2 + Bx + Cx 3 + Cx + Dx 4 + 2 Dx 3 + Dx 2 +
+ Ex 3 + 2 Ex 2 + Ex
x 3 + 3 = ( A + B + D) x 4 + (2 A + B + C + 2 D + E ) x 3 + (2 A + B + D + 2 E ) x 2 +
+ (2 A + B + C + E ) x + B
A+ B+ D = 0
2 A + B + C + 2D + E = 1
2 A + B + D + 2E = 0
2A + B + C + E = 0
A=3
⇒ B = −3 −
B + D = −3
B + C + 2 D + E = −5
⇒
B + D + 2 E = −6
B + C + E = −6
1
7
7 1
3
= − ⇒ 2 E = −6 + − = −3 ⇒ E = −
2
2
2 2
2
⇒ C = −2 A − B − E = −6 +
A=3
7
B=−
2
C = −1
1
D=
2
3
E=−
ve
2
7 3
+ = −1
2 2
yani
7
1
3
−
x−
x3 + 3
3
−
1
= + 2 +
+22 2
x( x + 1) 2 ( x 2 + 1) x x + 1 ( x + 1) 2
x +1
=
2 D = −5 + 6
⇒ 2D = 1
1
D=
2
3
7
1
x−3
−
−
+
2
x 2( x + 1) ( x + 1)
2( x 2 + 1)
18
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Rasyonel ifadeler yukarıda görüldüğü gibi basit kesirlere ayrılır ve integral
parçalanarak kolaylaştırılır.
Örnek
3x − 1
dx = ?
2
−1
∫x
Çözüm
3x − 1
3x − 1
A
B
=
=
+
2
x − 1 ( x − 1)( x + 1) x − 1 x + 1
3 x + 1 = A( x + 1) + B( x − 1)
3 x + 1 = Ax + A + Bx − B
3x + 1 = ( A + B) x + ( A − B)
A+ B = 3
A− B =1
} ⇒ 2A = 4 ⇒ A = 2
B =1
3x − 1
B 
2
1
 A
dx = ∫ 
+
dx + ∫
dx
dx = ∫
2
x −1
x +1
−1
 x −1 x +1
∫x
= ln x − 1 + ln x + 1 + C = ln (x − 1) ( x + 1) + C
2
Örnek
∫ (x
2
3x − 1
dx = ?
− 2 x − 3)
Çözüm
3x − 1
3x − 1
A
B
=
=
+
x − 2 x − 3 ( x + 1)( x − 1) x + 1 x − 3
2
3 x − 1 = A( x − 3) + B ( x + 1)
3 x − 1 = Ax − 3 A + Bx + B
3 x − 1 = ( A + B ) x + ( −3 A + B )
A+ B = 3
− A − B = −3
⇒
− 3 A + B = −1
− 3 A + B = −1
⇒ − 4A = −4 ⇒
19
A =1
B=2
MATEMATİK-II
∫x
2
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
3x − 1
B 
1
2
 A
dx = ∫ 
+
dx + ∫
dx
dx = ∫
x +1
x−3
− 2x − 3
 x +1 x − 3
= ln x + 1 + 2 ln x − 3 + C = ln ( x + 1)( x − 3) 2 + C
Örnek
x +1
dx = ?
3
−1
∫x
Çözüm
x +1
x +1
A
Bx + C
=
=
+ 2
3
2
x − 1 ( x − 1)( x + x + 1) x − 1 x + x + 1
x + 1 = A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1)
x + 1 = Ax 2 + Ax + A + Bx 2 − Bx + Cx − C
x + 1 = ( A + B) x 2 + ( A − B + C ) x + ( A − C )
A+ B = 0
A− B +C =1
A− B =1
A=
2A + C = 1
A−C =1
]⇒
2
3
] ⇒ 3A = 2 ⇒ B = − 2
3
1
C=−
3
x +1
Bx + C 
 A
dx = ∫ 
+ 2
dx =
3
−1
 x −1 x + x + 1
2
2
1
− x−
3 dx = 2 ln x − 1 − 1 ln x 2 + x + 1 + C
= ∫ 3 dx + ∫ 2 3
x −1
3
3
x + x +1
∫x
e)
∫
dx
+ bx + c
ayrıyrılmı sa ∆ > 0
dt
1
t
= ⋅ arctan + C
2
2
A
A
A +t
eğer
dx
∫1+ x
2
∫ ax
= arctan x + C
ax 2 + bx + c
halinde
2
çarpanlarına
veya
formülünden yararlanarak çözüm yapılır.
20
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
dx
dx
1 1
x
1
x
=∫
= . arctan + C = arctan + C
x
9 1
3
3
3
+9
9(1 + ( ) 2 )
3
3
Örnek
∫x
2
∫x
2
dx
=?
+ 4x + 5
Çözüm
x 2 + 4 x + 5 çarpanlarına ayrılmıyor.
dx
dx
∫ x 2 + 4 x + 5 = ∫ ( x + 2) 2 + 1 = arctan(x + 2) + C
Alıştırmalar
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
x −1
∫ x dx
12)
x−x
∫ x 2 dx
x
∫ x 2 + 4 dx
x2 − x − 2
∫ x + 2 dx
x2 + 3
∫ x 2 + 1 dx
x2
∫ 1 + x 6 dx
1
∫ x 2 + 2 x + 2 dx
13)
14)
15)
16)
17)
18)
x2 + 4
∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 2) dx
x3 − 2x
∫ x 2 + 2 x + 2 dx
3x + 2
∫ x 3 + x 2 − 2dx
1
∫ x 3 + 8 dx
x 4 + 2x 2
∫ x 3 − 1 dx
5 x + 31
∫ 3x 2 − 4 x + 11 dx
8x 2 − 4 x + 7
∫ ( x 2 + 1)(4 x + 1) dx
x 2 + 2x + 2
19) ∫
dx
( x + 1) 3
1
∫ 9 x 2 + 6 x + 5 dx
4x 3 − x + 1
20) ∫
dx
x3 + 1
x 4 + 2x + 2
21) ∫
dx
x5 + x4
2 x 3 + 3x 2 + 4
22) ∫
dx
( x + 1) 4
1
9)
∫ x 2 + 4 x − 5 dx
5 − 3x
10)
∫ x 2 + 4 x − 5 dx
x +1
11) ∫ 2
dx
( x + 4 x − 5) 2
21
MATEMATİK-II
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
3x + 2
dx
+ 4x + 3
1
∫ 3 + 2 x − x 2 dx
2x − 1
∫ 4 x 2 + 4 x − 15 dx
2x − 5
∫ x 2 + 2 x + 2 dx
2x + 3
∫ 4 x 2 + 12 x + 13 dx
3x − 1
∫ x 2 + x + 1 dx
x2 +1
∫ x 3 + x 2 + x dx
x −1
∫ ( x 2 + 1) 2 dx
∫ 4x
2
x2 + 2
∫ ( x 2 + 1) 2 dx
x3 + x 2 + 2x + 1
∫ x 4 + 2 x 2 + 1 dx
2x 2 − 5x − 1
dx
33) ∫ 3
x − 2x 2 − x + 2
32)
5-4 BELİRLİ İNTEGRAL
5-4-1 RİEMANN ANLAMINDA BELİRLİ İNTEGRAL
[a,b] aralığında sürekli olan bir y = f(x) fonksiyonunu göz önüne alalım.Bu
fonksiyonun bu aralıktaki mutlak minimum ve maksimum değerleri sırasıyla m ve M
olsun. [a,b] aralığını n alt aralığa ayıralım.
a = x0,x1,x3,....... xn= b
b−a
eşittir.
n
f(x) fonksiyonunun her alt aralığındaki en küçük ve en büyük değerleri sırasıyla
mk ve M K olsun.
Bu alt aralıkların uzunlukları ∆x =
22
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Bu halde;
n
S (n) = m1 ∆x1 + m2 ∆x 2 + ..........mn ∆x n = ∑ mk ∆x k
(alt toplam)
K =1
n
S (n) = M 1 ∆x1 + M 2 ∆x 2 + ..........M n ∆x n = ∑ M k ∆x K (üst toplam)
K =1
s(n) ≤S(n)
Çünkü m k ≤ M K
Eğer f(x)=sabit ise s(n)= S(n)
Alt toplam alttan sınırlı bir dizi ,üst toplam da üstten sınırlı bir dizidir.
Gerçekten, y =f (x) fonksiyonunun [ a, b ] aralığındaki mutlak minimum m ve
mutlak maksimum M olduğundan ;
m< m1, m<m2,......, mn ve M>M1, M>M2,..., M>Mn ve
s(n) = m1∆x1 + m2∆x2 + ........+mn∆xu >M (∆x 1 +∆x 2 +......+∆xu) = m(b-a)
Yani
s(n) ≥ m( b –a)
S(u) = M1 ∆x1 + M2 ∆x 2 + ......... + Mn ∆ xn< M(∆x 1 +∆x2+...+∆Χn=M(b-a)
Yani
S(n) ≤ M(b-a)
Yukarıda elde ettiğimiz eşitsizlikleri dikkate alırsak;
m(b-a) ≤s(n) ≤ S(n) ≤ M(b-a)
23
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
[a,b] aralığını [x0,x1],[x1,x2],.......,[xn-1,xn] aralıklarına bölelim.Alt aralıkların her birinden
bir nokta seçelim c1,c2,......cn (şekil-2). Bu noktalarda y = f(x) fonksiyonunun aldığı
değerler sırasıyla f(c1),f(c2),.....f(cn) olsun.
Buna göre her dikdörtgenin alanı;
S k = f (c k ) ⋅ ∆x k
Alanların toplamı ise;
n
S (n) = f (c1 )∆x1 ∆x1 + f (c 2 )∆x 2 + ......... + f (cu )∆xu = ∑ f (c k )∆x k
K =1
Her bir mk ≤ f (c k ) ≤ M k ve ∆x k > 0 için
mk ∆x k ≤ f (c K )∆x k ≤ M k ∆x k ve
u
u
u
k =1
k =1
k =1
∑ mk ∆xk ≤ ∑ f (ck )∆xk ≤∑ M k ∆xk
Yani
s(n) ≤Sn ≤ S(n)
24
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Tanım
y = f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon olsun.[a,b] aralığını n
tane alt aralığa bölelim ve her aralığın uzunluğu ∆x olsun.
Eğer
u
lim ∑ f (c
∆x →0 k =1
k
)∆x k = L
ise bu limite y = f(x) fonksiyonunun a ve b sınırları
arasındaki belirli integrali denir ve
u
lim ∑
∆x →0 k =1
b
f (c K )∆x k =
∫ f ( x)dx
şeklinde gösterilir.
a
a sayısına integralin alt sınırı, b sayısına integralin üst sınırı , [a,b] aralığına
integrasyon aralığı ,x değişkenine de integrasyon değişkeni denir.
Tanım
y = f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon
olsun.Bu takdirde f fonksiyonunun eğrisi, Ox ekseni, x=a ve x=b doğruları
arasında kalan alan A ise;
b
A = ∫ f ( x)dx
a
5-4-2 BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
a
1- Eğer f(x) fonksiyonu x=a noktasında tanımlı ise ∫ f ( x )dx = 0
a
2-Eğer f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon ise ;
b
∫
a
a
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b
3- Eğer f(x) fonksiyonu [a,c] ve [c,b] aralığında integrallenebiliyorsa;_
b
c
b
a
a
c
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x )dx
4- f ve g [a,b] aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ve k bir sabit olsun.Bu takdirde;
b
b
a
a
a) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
b
b
b
a
a
a
b) ∫ [ f ( x) m g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx m ∫ g ( x)dx
25
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
5-4-3 İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ
Teorem
y = f(x) fonksiyonu [a,b] arlığında sürekli bir fonksiyon ,F(x) fonksiyonu da her bir
x ∈ [a, b] için f(x)=Fı(x) şartını sağlayan bir fonksiyon olsun.Bu takdirde ;
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
a
Örnek
4
∫ x dx =
x 5 2 2 5 (−1) 5 32 + 1 33
| =
−
=
=
= 6,6
5 −1 5
5
5
5
Örnek
π
2
π
2
π
∫ cos xdx = sin x | = sin 2 − sin 0 = 1 − 0 = 1
0
0
Örnek
π
4
π
4
dx
π
=
tan
x
| = tan − tan 0 = 1 − 0 = 1
∫0 cos 2 x
4
0
Örnek
2
2
dx
(2 x + 1) −1 1 2
1
1
1
=
.
|
=
−
(
| = −(
)−
)
∫1 (2 x + 1) 2
21
2(2 x + 1) 1
2(2.1 + 1) 2.(2.1 + 1)
−1
= −(
1 1
−2
1
− ) = −( ) =
10 6
30
15
Örnek
π
x
xπ
xπ
π
3
cos
dx
3
.
2
sin
6
sin
=
=
= 6(sin − sin 0) = 6.(1 − 0) = 6
|
|
∫0
2
20
20
2
Örnek
4
x
∫1 ( x + x ) dx =
4
∫ (x + x
1
−1
2
1
2
4
x
x 4
x2
+
+ 2 x)| =
) dx = (
) =(
1 |1
2
2
1
2
2
26
MATEMATİK-II
(
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
42
12
1
1
1 19
+ 2 4 ) − ( + 2 1) = (8 + 4) − ( + 2) = 8 + 4 − − 2 = 10 − =
2
2
2
2
2 2
Örnek
1
x
∫ 0.5 dx =
0
0.5 x 1 0.51
0.5 0
0.5 − 1 − 0.5
1
=
−
=
=
=
|
ln 0.5 0 ln 0.5 ln 0.5 ln 0.5 ln 0.5 ln 4
Örnek
1
e2x 1 e2 e0 e − 1
∫0 e dx = 2 |0 = 2 − 2 = 2
2x
Örnek
1
2
2
2
7
x
4
∫−22 dx = ln 2 −|2 = ln 2 − ln 2 = ln 2 = 4 ln 2
1
x
1
−2
2−
Örnek
7
7
2dx
∫1 x = 2 ln x |1 = 2(ln 7 − ln 1) = 2 ln 7
Örnek
1
1
dx
1
1
=
−
ln
3
−
2
x
= − .(ln 3 − 2 − ln 3 + 2
|
∫−1 3 − 2x 2
2
−1
1
1
ln 5
= − (ln 1 − ln 5) = ln 5 =
= ln 5
2
2
2
Örnek
e
e
dx
=
ln
x
= ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1
|
∫1 x
1
ALIŞTIRMALAR
2
1) ∫ dx
−1
1
17) ∫ (2 x 2 − 5 x − 7)dx
−1
7
3
2) ∫ 5dx
0
18)
dx
∫x
2
2
27
MATEMATİK-II
5
3) ∫ xdx
−2
1
4) ∫ x dx
2
0
4
5) ∫ (3 − 2 x)dx
1
1
6) ∫ ( x 2 + 1)dx
0
0
7) ∫ ( x + 2 x)dx
2
−1
π
4
8)
x
x
∫0 sin 2 cos 2 dx
π
2
dx
9) ∫
2x
x
π sin
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
2
dx
6
1 3x
19) ∫
2
2 x 3 + 3x − 2
20) ∫
dx
x5
1
π
21) ∫ sin 5 xdx
0
π
2
22) ∫ cos xdx
π
6
2π
x
23) ∫ sin dx
3
−π
2
24) ∫
−2
π
∫ (sin x − 3 cos x − x)dx
0
1
11) ∫
0
dx
x +1
ln 2
12) ∫ e 2 x dx
0
1
13) ∫ 1 − x dx
0
2x + 5
3π
dx
0
cos 2
6
dx
25) ∫
4
10)
dx
26) ∫
−2
2π
3
x+3
27) ∫ (sin
0
x
9
x
x
+ cos ) 2 dx
4
4
π
2
28) ∫ (1 + cos 2 x)dx
0
2
29) ∫ (1 + 2 x) 3 dx
0
28
MATEMATİK-II
8
14) ∫
3
dx
x +1
3
dx
15) ∫
3x + 1
0
2
16) ∫ 3 x dx
−1
2
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
2
30) ∫ xe x dx
2
0
e
31) ∫
1
x2 − 2
dx
x
π
4
32) ∫ tan 2 xdx
0
5-5 Nümerik İntegral
Bazı fonksiyonlar var ki, onların integralini bulmakta sıkıntı çekebiliriz. Yani, hiçbir
kuralı kullanmak olmuyor. Böyle hallerde belirli integralin yaklaşık değerini bulmak
işimize yarar. Belirli integralin yaklaşık değerini bulmak için biz iki yöntem
araştıracağız.
5-5-1 Yamuk Kuralı
f (x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ve pozitif değerler alan bir fonksiyon olsun.
b
y =f (x) eğrisi, x=a, x=b ve ox ekseni ile sınırlı olan bölgenin alanı=
∫ f (x )dx
olsun.
a
[a,b] aralığını n tane eşit parçaya bölelim. Her bir aralığın genişliği ∆x =
1 yamuğun alanı
29
b−a
olacak.
n
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
f ( x0 ) + f ( x1 ) b − a
⋅
n
2
f (x1 ) + f ( x 2 ) b − a
⋅
A2 =
2
n
A1 =
An =
A = A1 + A2 + ....... + An =
=
f ( x n −1 ) + f ( x n ) b − a
⋅
n
2
b − a f ( x 0 ) + f (x1 ) + f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n −1 ) + f ( x n )
⋅
2
n
b−a
⋅ ( f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x 2 ) + .... + 2 f ( x n −1 ) + f (x n ))
2n
Böylece,
b
∫ f (x )dx =
a
b−a
⋅ ( f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + .... + 2 f ( x n −1 ) + f (x n ))
2n
Örnek
1
A = ∫ 2 x + 1dx
∆x =
0
1− 0 1
1
1
3
= , x1 = , x 2 = , x3 = , x 4 = 1
4
4
4
2
4
a) n=4 için yamuk kuralına göre A=?
Çözüm
1
A = ∫ 2 x + 1dx =
0

1 − 0 
1
1
3
⋅  2 ⋅ 0 + 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ + 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ + 1 + 2 2 ⋅ + 1 + 2 ⋅ 1 + 1
2⋅4 
4
2
4

 1
1
3
5
= 1 + 2 ⋅
+ 2⋅ 2 + 2⋅
+ 3  = ⋅ (1 + 2,5 + 2,8 + 3,2 + 1,7 ) = 1,4
8
2
2
 8
3
(2 x + 1) 2
∫ 2 x + 1dx = ∫ (2 x + 1) dx = 3
1
1
0
1
2
0
(2x + 1)
2
3 1
=
3
b) n = 6
∫
0
=
1
⋅
1
2 ∫0
33 1 3 3 − 1
− =
= 1,4
3
3
3
∆x =
1− 0 1
=
6
6
30
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Çözüm


1
2
3
4
 2 ⋅ 0 +1 + 2 ⋅ 2 ⋅ +1 + 2 ⋅ 2 ⋅ +1 + 2 ⋅ 2 ⋅ +1 + 2 ⋅ 2 ⋅ +1 +
1− 0 
6
6
6
6

A = ∫ 2 x + 1dx =
⋅

2⋅6
0
 2 ⋅ 2 ⋅ 5 + 1 + 2 ⋅ 6 + 1

6
6



1 
4
5
7
8
= ⋅ 1 +
+ 2⋅
+ 2⋅ 2 + 2⋅
+ 2⋅
+ 3 
12 
3
3
3
3

1
1
= ⋅ (1 + 2,4 + 2,6 + 2,8 + 3,1 + 3,3 + 1,7 ) = ⋅ 16,9 = 1,4
12
12
1
Örnek
1
∫
x 2 + 1dx
n=4
∆x =
0
b−a 1
=
n
4
Çözüm
2
2
2

1 − 0  2
1
1
3
2

0
1
2
1
2
1
2
+
1
+
1
+
1
⋅
+
+
⋅
+
+
+
+
⋅
 
 
 
∫0


2⋅4
4
2
4



1 
17
5
25
= ⋅ 1 + 2 ⋅
+ 2⋅
+ 2⋅
+ 2 
16
4
16
8 

 1
1 
17
5
1
= ⋅ 1 +
+ 5 + + 2  = ⋅ (1 + 2,1 + 2,2 + 2,5 + 1,4) = ⋅ 9,2 = 2,3 = 1,2
8 
2
2
8
 8
1
x 2 + 1dx =
Örnek
2
∫
0
dx
1+ x
3
,
n=4
∆x =
b−a 2−0 1
=
=
n
4
2
Çözüm
2
∫
0


dx
1  1
1
1
1
1
=
+ 2⋅
+ 2⋅
+ 2⋅
+

3
3
1 − x 3 2 ⋅ 2  1 + 03
1 + 13
1 + 23
3
1
1
+
1
+
 
 

2
2

31



=



MATEMATİK-II
=
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
1  2⋅2 3
2
2⋅2 2 1 1 
1
⋅ 1 +
+
+
+  = ⋅ 1 + 1,9 + 1,4 + 0,9 +  = 1,4
4 
3
3 4 
3
2
35
Örnek
1
∫x
0
dx
,
+1
2
n=6
∆x =
b − a 1− 0 1
=
=
n
6
6
Çözüm








1
dx
1− 0  1
1
1
1
1
1
1 
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
2
2
2
2
2
=
∫0 x 2 + 1 2 ⋅ 6  02 + 1  1  2
2
2
2
2
12 + 1 
 2
 3
 4
5
  +1
  +1
  +1
  +1
  +1


 6
6
 6
6
6






1  72 9 8 18 72 1  1
⋅ 1 +
+ + + +
+  = ⋅ (1 + 1,9 + 1,8 + 1,6 + 1,4 + 1,2 + 0,5)
12  37 5 5 13 61 2  12
1
= ⋅ 9,4 = 0,783 ≈ 0,8
12
=
Örnek
5
∫
1
x −1
dx ,
x
n=4
∆x =
5 −1
=1
4
Çözüm
x −1
5 − 1  1 − 1
2 −1
3 −1
4 −1
5 − 1 
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
dx
2
2
2
∫ x
2 ⋅ 4  1
2
3
4
5 
14
1 
2 2
3 2  1
1
= ⋅  0 + 1 +
+
+  = ⋅ (1 + 0,94 + 0,86 + 0,4 ) = ⋅ 3,2 = 1,6
2 
3
2 5 2
2
5
32
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
5-5-2 Simpson Kuralı
Belirli integralin yaklaşık değerini hesaplamak için kullanılan yöntemlerden birisi de
Simpson kuralıdır. Simpson kuralına göre
y = f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon ise
b
b−a
∫a f (x )dx = 3n ⋅ ( f (x0 ) + 4 f (x1 ) + 2 f (x2 ) + 4 f (x3 ) + .... + f (xn ))
Örnek
1
A = ∫ 2 x + 1dx
0
a) n = 4
∆x =
b − a 1− 0 1
=
=
n
4
4
Çözüm
1
A = ∫ 2 x + 1dx =
0
=

1− 0 
1
2
3
⋅  2 ⋅ 0 + 1 + 4 ⋅ 2 ⋅ + 1 + 2 2 ⋅ + 1 + 4 ⋅ 2 ⋅ + 1 + 2 ⋅ 1 + 1 
3⋅ 4 
4
4
4

 1
1  4 3
4 5
⋅ 1 +
+2 2+
+ 3  = ⋅ (1 + 4,9 + 2,8 + 6,3 + 1,7 ) = 1,4
12 
2
2
 12
b) n = 6
∆x =
b − a 1− 0 1
=
=
n
6
6
Çözüm




1

1− 0 
1
2
3
4
5
∫0 2x +1dx = 3⋅ 6 ⋅  2⋅ 0 +1 + 4⋅ 2⋅ 6 +1 + 2⋅ 2⋅ 6 +1 + 4⋅ 2⋅ 6 +1 + 2⋅ 2⋅ 6 +1 + 4⋅ 2⋅ 6 +1 + 2⋅1+1 =






 1
1 
8
5
7
2
= ⋅ 1 +
+2
+4 2+2
+8
+ 3  = ⋅ (1 + 4,6 + 2,6 + 5,6 + 3,1 + 6,5 + 1,7 )
18 
3
3
3
3
 18
1
= ⋅ 25,1 = 1,4
18
33
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
5
∫
1
x −1
dx ,
x
n=4
∆x =
b − a 5 −1
=
=1
n
4
Çözüm
5
∫
1
=
5 −1  1−1
2 −1
3 −1
4 −1
5 −1 
x −1

dx =
⋅ 
+ 4⋅
+ 2⋅
+ 4⋅
+
x
3⋅ 4  1
2
3
4
5 
1 
2 2
2 1
1
⋅  0 + 2 +
+ 3 +  = ⋅ (2 + 0,94 + 1,73 + 0,4 ) = ⋅ 5 = 1,67
3 
3
5 3
3
ALIŞTIRMALAR
Aşağıdaki belirli integrallerin yaklaşık değerlerini yamuk kuralı ve Simpson kuralı ile
bulunuz.
4
1)
3x
∫ x + 4 dx ,
n = 4 için
0
2
2)
∫
1 + x 5 dx ,
n = 6 için
0
4
3)
∫x
2
1 − x 3 dx ,
n = 6 için
0
1
4)
x2
∫ 4 dx ,
−1 x + 1
5
5)
∫
1
x2 −1
dx ,
x2
n = 4 için
n = 4 için
34
MATEMATİK-II
1)
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
∫ sin 2 x dx = ?
1
2
B) − cos 2x + c
A) − cos 2 x + c
C) 2cos 2x + c
D)
1
cos x + c
2
E) cos x + c
Cevap A
2) sin ( 3 x + 4 ) dx = ?
∫
1
+c
3
E) cos ( 3 x + 4 ) + c
A) − cos ( 3 x + 4 ) + c
B) cos ( 4 x + 3) ⋅
D) −3cos ( 3 x + 4 ) + c
C) − cos ( 3 x + 4 ) ⋅
1
+c
3
Cevap C
3) sin ( ax + b ) dx = ?
∫
A) cos ( ax + b ) ⋅
1
+c
a
1
+ c C) − a cos ( ax + b ) + c
b
1
E) − cos ( ax + b ) ⋅ + c
a
B) − cos ( ax + b ) ⋅
D) cos ( ax + b ) + c
Cevap E
4)
∫ ( sin
2
x − cos 2 x ) dx = ?
A) − sin 2x + c
1
2
1
2
B) − sin 2 x + c
C)
1
sin x + c
2
D) 2sin
x
+c
2
E) − sin x + c
Cevap B
∫
5) cos3 x dx = ?
1
3
E) −3sin x + c
A) − sin x + c
B) −3sin 3x + c
C) 3sin
x
+c
3
D)
1
sin 3 x + c
3
Cevap D
35
MATEMATİK-II

∫
6)  cos
2
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
x
x
− sin 2  dx = ?
2
2
A) sin x + c
E) sin 2x + c
B) − sin x + c
C) − cos 2x + c
D) cos x + c
2
Cevap A
∫
7) sin x dx = ?
2
x 1
− sin 2 x + c
4 4
x 1
D) + sin 2 x + c
2 4
x 1
+ sin x + c
2 4
x 1
E) − sin 2 x + c
4 2
A)
B)
C)
x 1
− sin 2 x + c
2 4
Cevap C
2
8)
sin x
∫ 1 + cos x dx = ?
A) x + cos x + c
B) x −
E) x − sin x + c
1
sin x + c C) x + sin x + c
2
D) x − cos x + c
Cevap E
∫
9) tan x dx = ?
2
A) tan x + x + c
B) tan x − x + c
E)
1
tan x − x + c
2
10)
∫ ( cot an x + 3) dx = ?
C) − tan x + x + c
D) − tan x − x + c
Cevap B
2
A) cot anx − x + c
B) − cot anx − 2 x + c
D) − cot anx + 2 x + c
E) − cot anx +
x
+c
2
36
C) cot anx + 2 x + c
Cevap D
MATEMATİK-II
∫
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
∫
11) cos 2 x dx − sin 2 x dx = ?
1
4
2
A) sin 4 x + c
2
B)
1
2
1
sin 4 x + c
2
1
4
C) − sin 4 x + c
D) −2sin 4x + c
E) − sin 4 x + c
Cevap A
∫
12) tan x dx = ?
4
A) tan x + x + c
B) tan x − cot anx + c
3
C) tan x − x + c
D) tan x − x + c
3
3
1 3
tan x − tan x + x + c
3
E)
Cevap E
2
x
x

13) ∫π  sin + cos  dx = ?
2
2
2
π
π
A)
B)
π
2
C)
1
4
D)
π
+1
2
E)
π −2
2
Cevap D
14)
A)
π
3
π
4
∫
1
2
dx
=?
tan x cos 2 x
B) 3
C) ln 2
D) ln 3
E)
1
ln 3
2
Cevap E
37
MATEMATİK-II
15)
∫
π
π
2
A) −
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
cos x
dx = ?
1 + sin 2 x
π
4
B)
π
2
C)
1
4
D)
π
4
E)
2π
3
Cevap A
∫
16) cos x dx = ?
3
A) 3sin x − sin x + c
3
1
3
D) sin x − sin x + c
3
1 3
sin x + c
3
1 3
E) cos x − cos x + c
3
B) sin x −
C) sin x −
3
1
sin x + c
3
Cevap B
∫
17) sin x cos x dx = ?
1
3
2
A) sin x −
3
3
1 4
sin x + c
4
D) 3sin x − 5sin x + c
3
5
B) sin x + cos x + c
3
1
5
E) sin x −
5
4
1
3
C) sin x −
3
1 5
sin x + c
5
1 3
sin x + c
3
Cevap C
18)
∫
cos x − 1
dx = ?
sin 2 x
1
− cot anx + c
sin x
D) tan x + cot anx + c
A)
1
+ cot anx + c C) sin x + cot anx + c
sin x
E) x + cos x − cot anx + c
B) −
CevapB
38
MATEMATİK-II
19)
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
1
∫ 1 − cos x dx = ?
A) − cot anx −
D) cot anx −
1
+c
sin x
B) cot anx − sin x + c
1
+c
cos x
E)
C) − tan x −
1
+c
sin x
1
+c
sin x
Cevap A
20)
∫ ( sin x − cos a ) dx = ?
A) cos x + sin a + c
B) − cos x + x cos a + c
D) − cos x − x cos a + c
E) − cos x − sin a + c
C) x sin a − sin x + c
Cevap D
1

21. ∫ 1 − x +  dx
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x

A) x − x 2 + x + c
B) x + x 2 + x 3 + c
1
1
C) x − x 3 + 2 + c
D) 2 x − x 2 + ln x + c
2
x
1
E) x − x 2 + ln x + c
2
CEVAP : E
22.
∫ (2 x + 3) dx
A) x 2 + 3 + c
C) x 2 + 3x + c
integralinin sonucu nedir?
B) 2 x 2 + 3x + c
2
D) x 3 + 3x + c
3
E) x + 3x 2 + c
CEVAP : C
39
MATEMATİK-II
23.
∫ (3 − x )
2
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
dx aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1
B) x 3 − 3 x 2 + 9 x + c
3
1
D)
+c
3− x
A) (3 − x ) + c
3
C) x 3 + x 2 − x + c
E) 3 x 3 + 2 x 2 − x + c
CEVAP : B
24. Aşağıdakilerden hangisi f(x)= 1 – 2x fonksiyonunun bir integrali değildir?
A) f ( x) = x − x 2
B) f ( x) = 1 + x − x 2
C) f ( x) = 3 + x − x 2
D) f ( x) = 2 + x − x 2
E) f ( x) = 2 x − x 2
CEVAP : E
25. Türevi f ( x) = 3 x 2 + 5 olan g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) x 3 + 5 x
B) x 3 + 5 x − 2
C) x 3 + 5 x + 4
D) x 3 + 5 x + 5000
E) x 3 + 5 x 2 + x
CEVAP : E
26.
∫ (x − 2)(x + 2) dx
(
)(
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
)
A) x 2 − 2 x 2 + 2 + c
C) x 3 − 4 x + c
(
)(
)
B) x 2 − 4 + c
1
D) x 3 − 4 x + c
3
E) x 2 − 2 x x 2 + 2 x + c
CEVAP : D
27.
∫ (3x + 5)
40
dx integralini hesaplamak için en uygun değişken değişikliği
aşağıdakilerden hangisiyle yapılır?
A) u = 3 x + 5
D) u = 3 x − 5
B) u = 3 x
E) u = x − 5
C) u = x + 5
CEVAP : A
40
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
x2
∫ 4 x3 + 5 dx integralini kolay hesaplamak için en uygun değişken değişikliği
aşağıdakilerden hangisidir?
28.
A) u = x 3
B) u = 4 x 3 + 1
C) u = x 3 + 5
D) u = x 3 + 20
E) u = 4 x 3 + 5
CEVAP : E
29. G ( x) =
∫ (e
x
)
+ 2 x dx olmak üzere, G(0) =2 başlangıç koşulunu sağlayan c
integral sabiti kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
CEVAP : B
(
)
30. F (1) = 2 ise F ( x) = ∫ 3 x 2 − 2 x + 1 dx integrali sonucundaki c değeri kaçtır?
A) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
CEVAP : D
31.
∫ (2 x + 3) dx
5
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1
(2 x + 3)6 + c
12
4
C) 5(2 x + 3) + c
A)
1
(2 x + 3)6 + c
6
4
D) 10(2x + 3) + c
B)
E) (2 x + 3) + c
6
CEVAP : A
32.
3 dx
∫ 3x + 2
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ln 3x + 2 + c
B) ln 3 x + 2 + c
C) (3 x + 2) + c
D)
2
3 2
x + 2x + c
2
E) 3x 2 + 2 x + c
CEVAP : A
41
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
33. A ve B uygun sayılar olmak üzere , f ( x) =
x2 − 4
fonksiyonu
x2 − 1
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A
B
+
+1
x x −1
A
B
C) +
x x−4
A B
E) + 2 + 1
x x
A
+
x−2
A
D)
+
x −1
A)
B)
B
+1
x−2
B
+1
x +1
CEVAP : Ds
34.
y
4
-2
x
2
0
y= 4-x
2
Şekilde, denklemi y = 4 − x 2 olan parabolün grafiği ve x- ekseniyle sınırlı taralı
bölgenin alanı kaç birim karedir?
A) 3
B) 16
C) 32
D)
16
3
E)
32
3
CEVAP : E
35.
y
2
y= 3x -6x
x
0
2
-3
y = 3x 2 − 6 x fonksiyonu ile x – ekseninin sınırladığı ve şekilde taralı olarak gösterilen
alan kaç birim karedir?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
CEVAP : C
42