ANALİZ 1.) a) sgnx. sgn(x − 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. b) f ( x ) x 3 2x 2 1 fonksiyonu veriliyor. c ( 0 , 3) olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. x4 2.) y 2 fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çiziniz. x 1 x2 −3x−4 3.) a) y = f(x) = x2 −ax eğrisinin x ‒ eksenini kestiği noktalardaki teğetlerinin birbirine dik olması için a ne olmalıdır? Araştırınız. b) f(x) = x 3 + 2x 2 + cx + d fonksiyonunun IR de artan bir fonksiyon olması için c ne olmalıdır? Araştırınız. 4.) x x Şekilde görüldüğü gibi bir kenarının uzunluğu 20cm x x olan kare biçimindeki bir karton levhanın köşelerinden , bir kenarı x cm olan kare parçalar kesilip atılıyor. Geri kalan parça, çizgiler boyunca katlanarak üstü açık bir kare prizma yapılmak isteniyor. Bu kare prizmanın hacminin en büyük olması için x kaç cm olmalıdır? Bu durumdaki hacmini hesaplayınız. x x x x 20cm a) e 0,1 sayısının değerini diferansiyel yardımı ile yaklaşık olarak bulunuz. 3 x 2 b) lim =? Limitini Hospital kuralını kullanmadan hesaplayınız. x 8 x 2 2 6.) Aşağıdaki integralleri hesaplayınız. arcsin x 𝐝𝐱 𝐝𝐱 dx ? a) b) ∫ c) ∫ 𝐞𝟐𝐱−𝟐𝐞𝐱 𝟑 2 √𝐱+𝟏+(√𝐱+𝟏) x 2t x 3e 7. ) parametrik denklemleriyle verilen eğrinin t 0 dan t = ln5 ‘e kadar y 4e 2 t olan yayının uzunluğunu bulunuz. x 2 8 x 19 8.) y f ( x) fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çziniz x 5 8.) Tabanı kare ve üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde bir su deposu yapılmak İsteniyor. 1200 dm 2 lik bir saç levhadan yapılacak en büyük su deposunun hacmini türev yardımıyla bulunuz. 9.) y = 6 + 4x − x 2 eğrisi ve y = 2x − 2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanını şekil çizerek integral yardımıyla bulunuz. 10.) (0 < 𝑎 < 𝑏) olmak üzere x 2 ( y b) 2 a 2 eğrisinin x - ekseni etrafında döndürülmesinde meydana gelen cismin hacmini şekil çizerek integral yardımıyla bulunuz. 5.) 1 t 1 t2 , ) t t ile tanımlanan eğrinin (1, 0, 0 ) noktasındaki Frenet vektörlerini Gram-Schmidt 11) : IR E 3 , t (t ) (t , ortonormalleştirme metodunu kullanarak bulunuz. 12) 𝑉 ve 𝑊, 𝐸 3 Öklid uzayındaki her bir noktada lineer bağımsız olacak şekilde iki ̃ 𝑉 ̃ = 𝑊 − (𝑊. 𝐸1 )𝐸1 , 𝐸2 = 𝑊 , 𝐸3 = 𝐸1 ×𝐸2 vektör alanı olmak üzere 𝐸1 = ‖𝑉‖, 𝑊 ̃‖ ‖𝑊 vektör alanları tanımlanıyor. ∀𝑃 ∈ 𝐸 3 noktası için {𝐸1 (𝑃), 𝐸2 (𝑃), 𝐸3 (𝑃) } kümesinin bir çatı oluşturup oluşturmadığını araştırınız. 1 1 13) : I E 3 , t t , , 2 ln t eğrisinin birim hızlı olup olmadığını araştırınız. 2 t Eğer birim hızlı değil ise yay parametresi cinsinden ifade ediniz. 14.) f ( x ) x 3 2x 2 1 fonksiyonu veriliyor. c ( 0 , 3) olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. 15.) 4 623 nin değerini diferansiyel yardımıyla yaklaşık olarak hesaplayınız. 16.) (𝑎𝑛 ) = ( (−𝟏)𝒏 𝒏𝟑 ) dizisinin alt ve üst limitlerini bulup, (𝑎𝑛 ) dizisinin limitinin olup olmadığını araştırınız. 17.) 𝑅22 de 𝑆 = { [ bağımsız 1 −1 2 ], [ −1 1 1 −1 1 1 −1 −1 ],[ ],[ ] } kümesinin lineer 2 −1 −1 1 1 olup olmadığını araştırınız. Eğer lineer bağımlı ise, vektörler arasındaki bağıntıyı bulunuz. 0 1 1 18.) 𝑈 = {[1], [1] , [2] } kümesi veriliyor. 0 1 3 a) 𝑈 kümesinin𝑅13 vektör uzayının bir tabanı olup olmadığını araştırınız(10 P.). 1 b) 𝑈 bir taban ise 𝐴 = [3] vektörünü bu taban vektörlerin lineer birleşimi olarak yazınız. 2 19.) 𝑥+𝑦−𝑧=2 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3 𝑥 + 𝑦 + (𝑡 2 − 5)𝑧 = 2 lineer denklem sistemi veriliyor. Bu lineer denklem sisteminin a) Çözümünün olmaması, b) Tek çözümünün olması, c) Sonsuz sayıda çözümünün olması için 𝑡 ne olmalıdır, araştırınız. 20.) y x3 x 2 fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çiziniz. x ANALİTİK GEOMETRİ 1.) a) 𝐴(1, 0), 𝐵(−2, 3) ve C (−1, 1) olmak üzere, 𝐴𝐵𝐶 üçgeninde [𝐵𝐶] kenarına ait yüksekliğin uzunluğunu bulunuz. b) 𝐴(2,1) noktasından geçen ve 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 doğrusu ile 45° lik açı yapan doğruların denklemlerini bulunuz. 2.) x yz 2 x 2y z 3 x y (t 2 5) z t lineer denklem sistemi veriliyor. Bu lineer denklem sisteminin a) Çözümünün olmaması, b) Tek çözümünün olması, c) Sonsuz sayıda çözümünün olması için 𝑡 ne olmalıdır, araştırınız. 3.) a) 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) noktasının 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 doğrusuna olan en kısa uzaklığı 𝑑 ise, 𝑑= | 𝑎𝑥1 +𝑏𝑦1 +𝑐 | √𝑎2 +𝑏2 olduğunu gösteriniz. ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = b) Merkezi O olan bir ABCDEF düzgün altıgeni veriliyor. 𝐴𝐵 𝐴𝐸 + 𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ 6𝐴𝑂 olduğunu gösteriniz. 4.) 1 3 5 4 2 1 2 4 0 0 B 1 0 4 3 1 5 1 9 2 1 matrisini satırca indirgenmiş eşelon forma getiriniz. 5.) a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 çemberi ile 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 çemberinin kesim noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz. b) 2𝑥 + 𝑎𝑦 + 6 = 0 ve 3𝑎𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0 doğruları 𝑦 = 𝑥 doğrusu üzerinde kesiştiklerine göre 𝑎 kaçtır? a) 𝐴 = (5, 12) vektörü ile aynı doğrultu fakat zıt yönlü birim vektörü bulunuz. b) 𝐴(−1, 2) ve 𝐵(3,1) noktaları ile 𝐶 = (𝑎, 3) vektörü veriliyor. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐶 ise 𝑎 kaçtır? 7.) a) 𝐴 = (−3, 4) vektörüne dik birim vektörleri bulunuz. b) Köşeleri 𝐴(2,0) , 𝐴′(−2, 0) olan ve 𝐾(√2, 1) noktasından geçen elipsin denklemini bulunuz. 2 8.) 9𝑥 + 25𝑦 2 = 225 elipsinin a) Eksen uzunluklarını. b) Odaklar arası uzaklığını bulunuz. 9.) a) 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4 elipsine 𝐾(4, 0) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını bulunuz. 6.) 𝑥2 𝑦2 b) 16 + 9 = 1 elipsinin 𝑦 = 3𝑥 − 1 doğrusuna paralel olan teğetlerinin denklemlerini bulunuz. 10.) a) Odakları 𝐹′(−2, 0) ve 𝐹(2, 0) olan ve 𝑃(−2, 3) noktasından geçe hiperbolün denklemini bulunuz. b) 𝑥 2 − 4𝑦 2 = 1 hiperbolüne 𝑃(2, −1) noktasından çizilen teğetin eğimini, normalin eğimini, teğetin denklemini ve normalin denklemini bulunuz. LİNEER CEBİR 1. Aşağıdaki denklem sistemini ters matris metodu yardımıyla çözünüz. x 2 y z 4, 3x 5 y 3z 1, 2 x 7 y z 8. 2. Aşağıdaki denklem sistemini Gauss metodu yardımıyla çözünüz: 2 x y z 5, x 2 y 2 z 5, 7 x y z 10. 3. Aşağıdaki denklem sistemini Cramer metodu yardımıyla çözünüz: 3x 2 y 2 z 1, x 3 y z 0, 5 x 3 y 4 z 1. 4. Aşağıdaki matrisin rankını bulunuz: 1 2 1 4 А 0 5 1 4 1 3 4 6 5. Aşağıdaki denklem sisteminin tekliğini araştırınız: 2 x y z u 5, x 2 y 2 z 3u 6, 3x y z 2u 1. 6. Aşağıdaki denklemin x2 5 0 [2,2; 2,3] aralığındaki kökünü Newton metodu yardımıyla çözünüz. 7. Matrisin öz değer ve öz vektörünü bulunuz. 1 4 А 9 1 8. Aşağıdaki kuadratik formu kanonik hale getiriniz. L( x1, x2 ) x12 4 x22 6 x1x2 . 9. Aşağıdaki kuadratik formun pozitif veya negatifliğini Silvester kriterleri yardımıyla araştırınız. L( x1, x2 , x3 ) 2 x12 3x22 3x32 2 x1x2 2 x1x3 4x2 x3 . 10. Aşağıdaki denklemin köklerini bulunuz: x3 3x2 x 3 0 . 11. Aşağıdaki denklem sistemini ters matris metodu yardımıyla çözünüz: 3x 2 y 2 z 1, x 3 y z 0, 5 x 3 y 4 z 1. 12. Aşağıdaki denklem sistemini Gauss metodu yardımıyla çözünüz: 2 x y z 3, x 2 y 2 z 3, 7 x y z 6. 13. Aşağıdaki denklem sistemini Cramer metodu yardımıyla çözünüz: x 2 y z 4, 3x 5 y 3z 1, 2 x 7 y z 8. 14. Aşağıdaki matrisin rankını bulunuz: 1 3 1 5 А 0 5 1 4 1 5 4 8 15. Aşağıdaki denklem sisteminin tekliğini araştırınız: 2 x y 3z u 3, x 2 y 4 z 5u 6, 3x y z 4u 1. 16. Aşağıdaki denklemin x2 5 0 [-2,3; -2,2] aralığındaki kökünü Newton metodu yardımıyla çözünüz. 17. Matrisin özdeğer ve özvektörünü bulunuz. 3 4 А 9 3 18. Aşağıdaki kuadratik formu kanonik hale getiriniz: L( x1, x2 ) x12 6 x22 8x1x2 . 19. . Aşağıdaki kuadratik formun pozitif veya negatifliğini Silvester kriterleri yardımıyla araştırınız: L( x1, x2 , x3 ) 3x12 4 x22 3x32 2 x1x2 2 x1x3 2x2 x3 . 20. Aşağıdaki denklemin köklerini bulunuz: x3 4 x 2 x 4 0 . DİFERANSİYEL DENKLEMLER 1. Aşağıdaki değişkenlerine ayırılabilen diferansiyel denklemi çözünüz: ( x 2 1) y 2 xy 2 0 , y(0) 1 . 2. Aşağıdaki deiferansiyel denklemi çözünüz: ( y 2 2 xy )dx x 2 dy 0 . 3. Aşağıdaki diferansiyel denklemi Bernoulli veya Langrange metodları yardımıyla çözünüz: y ytgx sec x . 4. Aşağıdaki Bernoulli diferansiyel denklemini çözünüz: y 4 x 3 y 3 2 xy 0 . 5. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz: x 2 y 2 x dx ydy 0 6. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz: y xy ( y) 2 . 7. Aşağıdaki diferansiyel denklemi Euler metodu yardımıyla çözünüz: y IV 8 y 9 y 0 . 8. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz: y 6 y 9 y 8 xe x . 9. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz: y y 4x cos x . 10. Aşağıdaki Riccati diferansiyel denklemini çözünüz: ye x y 2 2 ye x 1 e 2 x , y1 e x . 11. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz: xy IY y e x . 12. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz: yy 3 yy 0 . 13. Aşağıdaki sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü bulunuz: dx dt 5 x 3 y, dy 3 x y. dt 14. Aşağıdaki Cauchy problemini çözünüz: y 2 y y 0 , y (2) 1 , y(2) 2 . 15. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü Euler metodu yardımıyla bulunuz: dx dt 3 x 2 y dy 2 x 3 y dt 16. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü Euler metodu yardımıyla bulunuz: dx dt 4 x y z dy x 2y z dt dz x y 2z dt 17. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin çözümünün faz yörüngelerini oluşturunuz: dx dt 5 x 3 y, dy 3 x y. dt 18. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü varyasyyon metodu yardımıyla bulunuz: dx t dt x y e , dy x y et . dt 19. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin çözümünün kararlılığını araştırınız x 2 x 3 y x5 2 y x y y 20. Aşağıdaki lineer diferansiyel denklemi karakterize edici denklemlerinin köklerini belirleyip, çözümlerinin kararlılığını araştırınız y y y 2 y 0 KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 1. Denklemi çözünüz: а) 7 u u 32 0; x y б) ( x 2 y ) u u y 0. x y 2. Denklemin türünü belirleyip kanonik hale getiriniz. utt 2utx sin 7 x uxx cos2 7 x 0. 3. Cauchy problemini çözünüz : utt 36u xx , 1 2 u (0, x) 13 x 2, ut (0, x) 9 x 2 49 . 4. Drichlet problemini çözünüz: u (r , ) 0, 0 r 3, 2 u (3, ) sin 2 , 0 2 . 5. Deknlemin türünü belirleyip kanonik hale getiriniz: 5x2utt 4txutx 3x2uxx 0 (t, x 0). 6. Fourier metodu yardımıyla çözünüz : utt 49u xx , 0 x 5, 0 t , u (t , 0) 0, u (t ,5) 0, u (0, x) 3x, u (0, x) 19. t 7. Drichlet problemini çözünüz: u (r , ) 0, 8 r , u (8, ) cos 6 , 0 2 . 8. Cauchy problemini çözünüz: u 2 u 2 ( ) ( ) 15, а) x б) y u (2, y ) 3 y 8; u u 6u 11xy, x y x 4, u 18 y 1. 9. Denklemi çözünüz: utt 25u xx e 9t sin(23 x), u (t , 0) 0, u (t ,10) 0, u (0, x) 0, u (0, x) 0. t 10. Cauchy problemini çözünüz: ut 4u xx 17 cos 2 5t , t [0, ], x R1 , 60 u (t , 0) 16, t [0, ]. 60