kuantum noktasında elektrik alan ve sıcaklığın bağlanma enerjisine

KUANTUM NOKTASINDA ELEKTRİK ALAN VE
SICAKLIĞIN BAĞLANMA ENERJİSİNE
ETKİLERİ
SERDİNÇ YENİ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Hasan AKBAŞ
Edirne - 2009
T.C.
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KUANTUM NOKTASINDA ELEKTRİK ALAN VE
SICAKLIĞIN BAĞLANMA ENERJİSİNE
ETKİLERİ
SERDİNÇ YENİ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
Tez Yöneticisi : Prof. Dr. HASAN AKBAŞ
EDİRNE – 2009
T.C.
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KUANTUM NOKTASINDA ELEKTRİK ALAN VE
SICAKLIĞIN BAĞLANMA ENERJİSİNE
ETKİLERİ
Serdinç YENİ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
Bu Tez 15 / 09 / 2009 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından kabul edilmiştir.
Prof.Dr. Hasan AKBAŞ
Danışman
Yrd.Doç.Dr. Cengiz DANE
Üye
Yrd.Doç.Dr. İlhan ERDOĞAN
Üye
i
TEŞEKKÜR
Tez çalışmamda, danışmanlığımı üstlenerek aydınlatıcı bilgilerinin yanında manevi
desteğini benden esirgemeyen Trakya Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölüm
Başkanı Prof. Dr. Hasan AKBAŞ ' a, her zaman yardımlarını gördüğüm Yrd. Doç. Dr. İlhan
ERDOĞAN ' a katkılarından dolayı sonsuz teşekkürler…
Çalışmalarımda benden desteğini esirgemeyen, bilgilerinden faydalandığım, emeği
geçen Olcay YAMAN ' a ,değerli eşim Suzan YENİ ' ye ve Trakya Üniversitesi Fizik Bölümü
Öğretim Üyelerine teşekkür ederim.
ii
İÇİNDEKİLER
1.Giriş...………………………………………………………………………….. 1
2.Küresel Kuantum Noktası………………………………………....…….…… 2
3.Sonsuz Potansiyel Engelli GaAs/AlAs Küresel Kuantum Noktası…………5
4.GaAs/AlAs Küresel Kuantum Noktasına Elektrik Alan Etkisi………..……7
5.GaAs/AlAs Küresel Kuantum Noktasında Donor Yabancı Atomu……......12
a.Donor Yabancı Atomu Küre Merkezinde (GaAs)……………….….…...12
b.Donor Yabancı Atomu Küre Merkezin Dışında (AlAs)………….….....15
6.Sonsuz Potansiyel Engeli GaAs/AlAs Küre Kuantum Noktasında Düzgün
Sabit Elektrik Alanın Bağlanma Enerjisine Etkisi………………………..….21
7.Donor Atomlu Sonsuz Potansiyel Engeli GaAs/AlAs Kuantum Küresinde
Sıcaklığın Bağlanma Enerjisine Etkisi…………..…………………………..24
SONUÇ VE TARTIŞMA……………..……………………………………...29
KAYNAKLAR…………………………..…………………………….….…..30
ÖZGEÇMİŞ…………………………..…………………………….……..…..32
iii
SİMGELER DİZİNİ
m*
Elektronun etkin kütlesi

Dalga fonksiyonu

Minimizasyon sabiti
E
Enerji
a
Küre yarıçapı
a*
Etkin Bohr yarıçapı
ao
Bohr yarıçapı

Hamiltonyendeki elektrik alan terimi
F
Elektrik alan şiddeti

Varyasyonel parametre sabiti

Laplasyen
ε
Dielektrik sabiti
iv
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1. Küresel Koordinatlarda değişkenlerin gösterimi…………………………….........2
Şekil 3.1. Sonsuz küre kuantum noktası……………………………………………………..5
Şekil 4.1. Sonsuz kürede elektrik alan……………………………………………………….7
Şekil 5.1. Sonsuz kürede yabancı atom merkezde………………………………………….12
Şekil 5.2. Merkez dışında, o  ri  a ,yabancı atomlu kuantum küre noktası………………….15
v
GRAFİKLER DİZİNİ
Grafik 4.1.
Sonsuz kürede enerjinin küre yarıçapına göre değişimi………….…………...10
Grafik 4.2.
Sonsuz kuantum küresinde temel durum subband enerjisinin dört farklı a küre
yarıçapı için F elektrik alana göre değişim grafiği………………………….11
Grafik 5.1.
Sonsuz kürede yabancı atom merkezde iken bağlanma enerjisinin küre
Yarıçapına göre değişimi……………………………………………………..18
Grafik 5.2.
Bağlanma enerjisinin a küre yarıçapına bağlı olarak değişimi……………....19
Grafik 5.3.
Bağlanma enerjisinin yabancı atom konumuna bağlı olarak değişimi………..20
Grafik 6.1.
Yabancı atomun bağlanma enerjisinin farklı elektrik alanlara göre değişimi....23
Grafik 7.1.
Bağlanma enerjisinin iki farklı yabancı atom konumu ve iki farklı sıcaklık için
küre yarıçapına bağlı olarak değişimi………………………………………...27
Grafik 7.2.
Bağlanma enerjisinin sıcaklıkla değişim grafiği……………………………....28
1
1.GİRİŞ
Laboratuar koşullarında MBE (Molecular Beam Epitaxy) ve LPE (Liquid Phase Epitaxy)
teknikleri ile kuantum kuyu, tel ve nokta özelliğinde elektronik devre elemanları üretmek
mümkündür. Bu tür devre elemanları yüksek hızlı, yani kısa sürede işlem yapabilmektedirler.
Günümüzde üretilen ve geliştirilen bu devre elemanları, fizik ve elektronik dünyasında çok
büyük ilgi görmektedir.
Bu çalışmada, teknolojide çok kullanılan ve gelecek vaad eden kuantum noktası
çalışılmıştır. Kuantum noktası sonsuz potansiyeli GaAs/AlAs küresel nokta olarak seçilmiş,
yabancı atomun yokluğunda ve varlığında bir elektronun alabileceği en düşük (taban durum)
enerji, küre geometrisine ve yabancı atom konumuna bağlı olarak hesaplanmıştır.
Çalışmamızda dış etken olarak düzgün sabit elektrik alan ve sıcaklık göz önüne alınmıştır.
Elektrik alanın ve sıcaklığın temel durum ve bağlanma enerjisine etkileri hesaplanmıştır.
Hesaplarımızda kuantum mekaniği esas alınmış olup, bir elektronlu sistemimiz için
zamandan bağımsız Schrödinger denklemi yaklaşık çözümlerden varyasyonel çözüm yöntemi
kullanılarak nümerik ağırlıklı çözülmüştür.
Nümerik hesaplarda FORTRAN dili kullanılmış olup, programların hepsi tarafımızdan
yazılmıştır.
2
2. KÜRESEL KUANTUM NOKTASI
Küre kuantum noktasında hapsedilen m* etkin kütleli bir parçacık için zamandan
bağımsız Schrödinger denklemi :
H 0  E0
(2.1)
olup, parçacığın H0 Hamiltoniyeni :
H0 = 
2   2
2
2 



  V  x, y, z 
2m *  x 2 y 2 z 2 
(2.2)
olarak yazılır. Burada V  x, y, z  küre engel potansiyelidir.
V  x, y, z  potansiyeli küresel koordinatlarda yazılır ve bu potansiyel yalnız parçacığın r
konumuna bağlı olursa, Schrödinger denkleminin çözümü daha kolay olur. Bu çalışmamızda
dış etkinin yokluğunda küre potansiyel enerjisi, V , küresel simetriye sahip yani yalnız r
konumunun fonksiyonu olacak şekilde seçilecektir.
Genel anlamda, küresel koordinatlarda, potansiyel enerji V (r , ,  ) olmak üzere
hamiltoniyen ifadesi aşağıdaki gibi özetlenebilir:
Şekil 2.1. Küresel koordinatlarda değişkenlerin gösterimi
3
Şekil 2.1. de gösterildiği gibi r, kürenin yarıçapını, θ kutup açısını, φ de boylam açısını
ifade eder. Bunların küresel koordinatlarda x, y ve z’nin karşılıkları :
x= r sinθ cosφ
y= r sinθ sin φ
(2.3 )
z= r cos θ
şeklinde yazılmaktadır.
Schrödinger denklemini küresel koordinatlarda yazmak için önce kısmi türevleri r,
 ,  değişkenleri cinsinden yazmak gerekir. x değişkeni ile r,  ,  değişkenleri arasında
zincir kuralı uygulayıp  / x operatörü için bunu hesaplarsak :
  r    



x
r x  x  x
Her kutupsal r,  , 
(2.4.)
koordinatlarının, her (x,y,z) koordinatına göre kısmi türevinin
bulunması gerekir. Burada r,  ,  değişkenlerinin (x,y,z) cinsinden ifadesi
r2  x2  y2  z 2
(2.5.)
cos  
z
r
(2.6.)
tan  
y
x
(2.7.)
şeklindedir. Bu denklemlerin diferansiyelleri alınırsa:
rdr  xdx  ydy  zdz
 sin  d 
rdz  zdr zxdx  zydy  ( z 2  r 2 )dz

r2
r3
1
xdy  ydx
d 
2
x2
cos 
r / x kısmi türevini bulmak için (2.2.) eşitliklerinde, y ve z değerleri sabit tutulursa
(2.8.)
(2.9.)
(2.10.)
4
dy = dz = 0
olur. Bu eşitliklerin son hali;
r x
  sin  cos 
x r
( 2.11.)

zx
cos  cos 
 3

x r sin 
r
( 2.12.)

y
sin 
  2 cos 2   
x
x
r sin 
( 2.13.)
şekline dönüşür. Tüm bu denklemler (2.3) eşitliğinde yerine konulduğunda :

 cos  cos   sin  
 sin  cos 


x
r
r
 r sin  
(2.14.)
eşitliği elde edilir. Buradan
d 2
,
dx 2
d 2
,
dy 2
d 2
dz 2
( 2.15.)
ifadelerinin karşılıkları bulunur ve küresel koordinatlarda Hamiltoniyen ve zamandan bağımsız
Schrödinger denklemi sırası ile :
H 
2  1   2  
1
d 
d
r
 2
 sin 

2
2m *  r r  r  r sin  d 
d
1
d2 


 V (r ,  )
 2 2
2
 r sin  d 
(2.16.)
ve

1
d 
d 
1
d2 
2  1   2  
r
sin




 V (r ,  )  r , ,   E0  r , , 




2m *  r 2 r  r  r 2 sin  d 
d  r 2 sin 2  d 2   r , , 
( 2.17.)
şeklinde yazılır. Burada  dalga fonksiyonu, r,  ,  koordinatlarının bir fonksiyonudur.
5
3. SONSUZ POTANSİYEL ENGELLİ GaAs/AlAs KÜRESEL KUANTUM
NOKTASI
Şekil 3.1. Sonsuz küre kuantum noktası
GaAs/AlAs sonsuz potansiyel küresel kuantum noktası şekil (3.1.) ' de verilmiştir. Böyle
bir kuantum küre noktası içinde bulunan bir parçacığın V potansiyel enerjisi ,
0 r  a
V r  
 r  a
olur. Sistem için zamandan bağımsız Schrödinger denklemindeki V potansiyel enerjisinin
yalnız r konumuna bağlı olduğundan  dalga fonksiyonu da yalnız r konumunun fonksiyonu
olacaktır. Başka bir deyimle Hamiltoniyenin yalnız radyal kısmı ile işlem yapılacaktır.
Temel durum için, l  0 , radyal Schrödinger denklemi
 2  d 2 2 d  

 2
  R10  r   E10 R10  r 
r dr  
 2m *  dr
olur. Denklemin çözümü Bessel fonksiyonlarıdır.[Karaoğlu B.,1994]
Temel durum, l =0 için parçacık E10 enerjisi :
(3.1.)
6
2   
E10 
 
2m *  a 
2
(3.2.)
ve RE0 radyal dalga fonksiyonu :
R10 (r) =


 sin a r
N
r



0

ra
(3.3.)
ra
olur.[ Paredes-Gutierrez vd.,1993]
E10 enerjisi
 2  1 d  2 d   
H 0  
r
 
 2
 2m *  r dr  dr   
(3.4.)
olmak üzere enerjinin beklenen değeri olarak
  10  r  H  10  r 
E10  
  10  r   10  r 
İfadelerinden bulunabilir.



(3.5.)
7
4. GaAs/AlAs KUANTUM NOKTASINA ELEKTRİK ALAN ETKİSİ
Şekil 4.1. Sonsuz kürede elektrik alan
Şekil 4.1. ' deki gibi küre kuantum noktası düzgün sabit bir elektrik alan içinde ise küre
içinde hapsedilmiş elektron için Schrödinger denklemindeki Hamiltoniyen elektrik alanın
varlığından dolayı
H  H 0 + e F r cos 
(4.1.)
olacaktır [Vazquez vd., 2004] . Burada e elektron yükü, F elektrik alanın büyüklüğü ve 
elektron konum vektör doğrultusu ile z ekseni arasındaki açı, yani  kutup açısıdır. Böyle bir
elektrik alan varlığında sistemin Schrödinger denklemi:
H  r ,    E  r , 
(4.2.)
veya
 2 2

 r ,  eFr cos    r ,   E  r , 

 2m *

(4.3.)
olur.
Nümerik hesaplarda enerjiler R* etkin Rydberg, uzunluklar a* etkin Bohr yarıçapı
biriminde seçilmiştir. Bu birim sisteminde
8
R* 
2 1
2m * a *2
(4.4.)
ve
 2
a* 
m * e2
(4.5.)
dir. Bu birim sisteminde,
2
1
2m *
(4.6.)
olur ve nümerik hesaplarda kolaylık sağlar. Hesaplarımızda GaAs için  dielektrik sabiti
  12,5
ve m* elektron etkin kütlesi
m*=0.067 m0
olmak üzere
a * =98.73 Ao
ve
R*=5.83 meV
hesaplanmıştır. Bu birim sisteminde Schrödinger denklemi :
 
2
r ,
  r cos    r ,   E  r , 
(4.7.)
olur. Burada
  eF
(4.8.)
ve a* ,R* birim sisteminde F elektrik alan, kV/cm biriminde olmak şartıyla
  0.01 F (kV / cm)
dir. Denklem (4.7.) ' nin çözümü için, varyasyonel çözüm ,

r
a e  r cos
r
sin
 (r , )  N
(4.9.)
9
deneme fonksiyonu kullanılmıştır[Perez vd.,2007]. Burada  pozitif reel ,
1
biriminde
a*
varyasyonel parametredir. Denklemdeki Laplasyen :
 2r , 
 
 
1 d  2  
1
r
 2
 sin 

2
 
r dr  r  r sin   
(4.10.)
olur. Herhangi bir  değeri için enerjinin E beklenen değeri, subband enerjisi,
a

  dV * H
E 
r 0   0
a 
(4.11.)
  dV *
r  0  0
olup, burada dV hacim elemanı,
dV  2 r 2 sin  drd
(4.12.)
dir.
Denklem (4.11.) 'i kullanarak çok küçük artımlar , d   0.001 , için çok sayıda E enerji
değeri nümerik olarak bilgisayarda FORTRAN dilini kullanarak hesaplanmıştır.
Bu enerji değerlerinden en küçüğü aranan enerji değerimizdir. Başka bir deyimle,
Ecevap  E  min E

dir. Bu şartlarda ve anlatılan yöntemle dört farklı elektrik alan büyüklüğü için taban durum
enerjisinin
a küre yarıçapına bağlı değişimleri hesaplanmış ve bulgular Grafik 4.1. 'de
verilmiştir. Grafik 4.2.'de dört sabit a küre yarıçapı için taban durum enerjisinin F elektrik
alan büyüklüğüne bağlı olarak değişimi verilmiştir.
10
12
F=0 kV/cm
F=25 kV/cm
F=50 kV/cm
F=75 kV/cm
E(R*)
8
4
0
1.00
1.20
1.40
1.60
a(a*)
Grafik 4.1. Sonsuz Kuantum kürede dört farklı elektrik alan büyüklüğü için temel durum
subband küre yarıçapına göre değişimi.
11
40
a=0,5 a*
E(R*)
30
20
a=0,75 a*
10
a=1 a*
a=1,25 a*
0
0
20
40
F(kV/cm)
Grafik 4.2.
Sonsuz kuantum küresinde temel durum subband enerjisinin dört farklı
a küre yarıçapı için F elektrik alana göre değişim grafiği
60
12
5. GaAs/AlAs KÜRESEL KUANTUM NOKTASINDA DONOR
YABANCI ATOMU
Donor atomlu kuantum noktaların fiziğini anlamada bağlanma enerjisi çok önemlidir.
Donor bağlanma enerjisi sistemin (elektronun) yabancı atomsuz ve yabancı atomlu durumdaki
enerji farkı olarak tanımlanır.
a. Yabancı Atomu Küre Merkezinde
Şekil 5.1.Sonsuz kürede yabancı atom (merkezde)
Küre ve yabancı atom Şekil 5.1. de verilmiştir. Küre merkezine yerleşmiş donor atomu
elektronun potansiyel enerjisine katkıda bulunur. Sistemin Hamiltoniyeni, etkin kütle
yaklaşımına uygun olarak,
H 
2
2  U  r 
2m *
(5.1.)
olur. Burada
e2
U (r )  V (r ) 
r
(5.2.)
 0 ra
V r  
 r  a
(5.3.)
ve
a * , R* birim sisteminde ve r  a için yukarıdaki Hamiltoniyen
13
H   2 
2
r
(5.4.)
olarak yazılır. Zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin radyal kısmı, temel durum için,
 1 d  2 d 
  r 2 dr  r dr  



2
  r   E  r 
r 
(5.5.)
olur. Bu denklemin analitik çözümü yoktur. Denklem varyasyonel yöntemle çözülecektir.
Temel durum için deneme dalga fonksiyonu

r
a e  r
r
sin
 r  N
(5.6.)
Olur[Bose vd., 1999]. N, normalizasyon katsayı sabitidir. E temel durum enerjisi, herhangi bir
 değeri için,
E 
 r  H  r 
a

(5.7.)
 r  r
2
 1 d 2
r    r 2 dr

2
dr
r
 *  r
0
a
 *  r
2
(5.8.)
dr
0
ve E taban durum enerjisi
E  min E

olur. Bu çalışmada integral ve minimizasyon işlemleri nümerik olarak bilgisayarda
hesaplanmıştır.
Eb donor bağlanma enerjisi,
Eb = yabancı atomsuz sistemin enerjisi - yabancı atomlu sistemin enerjisi
(5.9.)
14
veya
2
 
Eb =    min E

a
(5.10.)
olur [Mikhail, 2007]. 0,6 - 1,5 a* kuantum küre yarıçap aralığında a* ve R* birim sisteminde,
denklem (5.10.) kullanarak bilgisayarda
Eb enerjileri nümerik olarak hesaplandı ve
Eb
bağlanma enerjisinin a kuantum küre yarıçapına göre değişim grafiği, Grafik 5.1.' deki gibi
bulundu.
15
b. Yabancı Atom Küre Merkezi Dışında (AlAs) :
Şekil 5.2. Merkez dışında, 0 ri  a , yabancı atomlu kuantum küre noktası
Küre ve yabancı atom Şekil 5.2 de verilmiştir. Yabancı atomun küre merkezinin dışında
ve GaAs bölgesi içinde olması, yabancı atom probleminin çözümünü merkezdeki yabancı atom
problemine göre zorlaştırır.
Bu çalışmada yabancı atomun konumu xi  yi  0 ve zi   0, a  olacak şekilde



seçilmiştir. Buna göre,  r elektron-donor mesafesi , r elektronun ve ri yabancı atomun
konum vektörü olmak üzere:

 
r   r  ri  0
(5.11.)

 
 r  ri  r
(5.12.)
veya
veya

 
 r  ri  r 
r 2  ri 2  2rri cos 
(5.13.)
 
olur. Burada cos ri , r  cos  yani  açısı küresel koordinatlardaki kutup (uzay) açısıdır.
 
a * ve R* birim sisteminde ve r  a için sistemimiz için zamandan bağımsız Schrödinger
denklemi :
16
 1 d  d 
d 
d 
1
2
 2
r
 2
 sin 

d 
 r dr  dr  r sin  d 

  E
r 2  ri 2  2rri cos  
2
(5.14.)
olur. Denklemin analitik çözümü yoktur. Denklem yaklaşık çözümlerden varyasyonel çözüm
yöntemi kullanılarak çözülecektir. Temel durum için dalga fonksiyonu,

r
a e
r
sin
  r ,   N
r 2  ri2  2 rri cos
(5.15.)
olur. N normalizasyon katsayı sabitidir. E temel durum enerjisi , herhangi bir  değeri için
E 
a
  r ,  H   r , 
  r ,    r , 
(5.16.)

 
r 2 sin  drd *  r ,   H  r ,  
= r  0a  0
(5.17.)
r 2 sin  drd *  r ,    r ,  
 
r  0  0
ve E taban durum enerjisi
E  min E

(5.18.)
olur. Bu durumda, yabancı atom küre merkezi dışında, Eb donor bağlanma enerjisi
2
 
Eb     min E

a
(5.19.)
olur. 0,2-2a* kuantum küre yarıçap aralığında, a * ve R* birim sisteminde, denklem (5.19.)
kullanarak, Eb bağlanma enerjisinin a küre yarıçapına bağlı değişimi dört farklı yabancı atom
konumu için, Grafik (5.2.) de verilmiştir.
17
Donor atomlu kuantum noktalarının fiziğini anlamada durum yoğunluğu da önemli bir
parametredir. Küre kuantum noktası için durum yoğunluğu :
g  Eb  
3ri 1
a 3 dEb
dri
(5.20)
olarak tanımlanmıştır [ Montenegro vd.,1993].Bu bağıntıdan durum yoğunluğunun bağlanma
enerjisinin yabancı atom konumuna göre birinci türevinin tersi ile orantılı olduğu
görülmektedir. Başka bir deyimle;
Eb donor bağlanma enerjisinin
ri
yabancı atom konumuna göre değişim grafiği donorlu
kuantum kuyularını tanımada önemlidir. Bu nedenden dolayı Eb bağlanma enerjisinin
ri
donor yabancı atomuna göre değişim grafiği üç farklı a kuantum küre yarıçapı için
hesaplanmış ve Grafik 5.3. de verilmiştir.
18
8
7
Eb(R*)
6
5
4
3
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
a(a*)
Grafik 5.1. Sonsuz kürede yabancı atom merkezde iken bağlanma enerjisinin küre
yarıçapına göre değişimi
1.60
19
25
ri=0.00a
ri=0.50a
20
ri=0.75a
ri=1.00a
Eb(R*)
15
Sonsuz potansiyeli kuresel kuantum noktasi, GaAs/AlAs
10
5
0
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
a(a*)
Grafik 5.2. Bağlanma enerjisinin a küre yarıçapına bağlı olarak değişimi
2.0
20
10
a=0.5a*
a=1.0a*
8
a=3.0a*
Eb(R*)
6
4
2
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
ri/a
Grafik 5.3. Bağlanma enerjisinin yabancı atom konumuna bağlı olarak değişimi
1.0
21
6.SONSUZ POTANSİYEL ENGELİ GaAs/AlAs KÜRE KUANTUM NOKTASINDA
DÜZGÜN SABİT ELEKTRİK ALANIN BAĞLANMA ENERJİSİNE ETKİSİ
Kuantum noktalarının anlaşılmasında en önemli olaylardan biri Stark olayıdır. [Esqueda
vd., 2005, Vazquez vd., 2006]. Stark olayı özet olarak elektrik alanla enerjinin değişmesidir. Bu
nedenle bağlanma enerjisinin elektrik alanla değişimi önemlidir. Bu nedenden dolayı bağlanma
enerjisinin elektrik alanla değişimini bulmak anlamlı olacaktır.

F elektrik alanı z ekseni doğrultusunda seçilmiştir. Çalışmanın bu kısmında böyle bir
elektrik alanın yalnız küre merkezine yerleşmiş bir donor için Eb bağlanma enerjisini nasıl
etkilediğini araştırmak olacaktır. Daha önce
2
 H
  
E b    

 a 
Eb bağlanma enerjisi iki enerji farkı olarak


 F  0
2

 
tanımlanmıştı. F elektrik alanı her iki enerjisi,   subbant
a
(6.1.)
enerjisini ve elektronun
2
yabancı atom varlığındaki enerjisini etkileyecektir. Önce subbant enerjisinin ,
 
  'nin
a
elektrik alandan nasıl etkilendiğini bu çalışmada daha önce göstermiştik.
Küre merkezine yerleşmiş yabancı atomlu ve elektrik alanlı sonsuz kuantum küre
sisteminin E enerjisi ( a * ,R* birim sisteminde )
2
 2

   r ,     r cos    r ,    EF  r , 
r


(6.2.)
veya
H  r ,    E F  r , 
zamandan bağımsız Schrödinger denkleminden bulunacaktır. Bu denklemin çözümü
varyasyonel yöntemle yaklaşık olarak çözülecektir. Temel durum için deneme dalga
fonksiyonu
(6.3.)
22
 
sin  r 
 a  e   r cos e   r
  r ,   N
r
olarak seçilmiştir. Burada  ve
(6.4.)
 varyasyonel parametrelerdir. N normalizasyon katsayı
sabitidir. E F temel durum donor enerjisi, herhangi bir  ve  farklı değerleri için
EF  
  r ,  H   r , 
(6.5.)
  r ,    r , 
olur. Burada
H 
d 
d  2
1 d  2 d 
1
r
 2
 sin 
    r cos 
2
r dr  dr  r sin  d 
d  r
(6.6.)
ve
a
 H 

 
r 2 sin  drd * ( r , ) H ( r , )
(6.7.)
r 0  0
ve
EF  min EF 
(6.8.)
 ,
olur. Hesaplarda  ve  'ya göre yani çift parametreli varyasyon işlemi, Fortran programı ile
yapılmıştır.

F  0 ve ri  0 için bağlanma enerjisi
Eb  E0  F   E F
bağıntısı kullanılarak hesaplanmıştır. Burada
(6.9.)

F  0 için E0  F  temel durum subband
enerjisini ifade etmektedir. (6.9.) denklemini kullanarak, merkezde yerleşmiş donor için ve
dört farklı elektrik alan değeri için bağlanma enerjisinin a kuantum küre yarıçapına bağlı
olarak değişim grafiği Grafik (6.1.) 'de verilmiştir.
23
20.0
F=0 kV/cm
F=25 kV/cm
16.0
F=50 kV/cm
F=75 kV/cm
Eb(R*)
12.0
8.0
4.0
0.0
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
a(a*)
Grafik 6.1. Yabancı atomun bağlanma enerjisinin farklı elektrik alanlara göre değişimi
24
7. DONOR ATOMLU SONSUZ POTANSİYEL ENGELİ GaAs/AlAs KUANTUM
KÜRESİNDE SICAKLIĞIN BAĞLANMA ENERJİSİNE ETKİSİ
Sistemimizde, sıcaklıkla m* elektron etkin kütlesi,  dielektrik sabit ve a kuantum küre
yarıçapı sıcaklıkla değişir. Problemin sadeliği ve kolaylığı bakımından a küre yarıçapının
sıcaklıkla değişimi ihmal edilebilir büyüklüktedir. Başka bir deyimle bu çalışmada
dm*
0
dT
,
d
0
dT
ve
da
0
dT
için
H T  ET
(7.1.)
Schrödinger denklemi çözülecek ve
2
2   
Eb 
   ET
2 m*  T   a 
(7.2.)
donor bağlanma enerjisi hesaplanacaktır. ET enerjisinin hesabında kullanılan Schrödinger
denklemi
2
1
2m *
birim sisteminde ve r  a için yazılırsa
(7.3.)
25

2
1
e2
2
 


 
r ,
*
 2 m T 
  T  r  ri


  r ,   ET  r , 


(7.4.)
olur. Burada  dielektrik sabitinin ( T  200 K ) ve elektron etkin kütlesinin sıcaklığa
bağlılıkları sırası ile
 T   (12, 74) exp 9, 4.10 5 T  75, 6  
(7.5.)
ve
m * T  
m0
 2

1
1  E    

 Eg
E g T    0 

(7.6.)
olarak alınmıştır. m* T  ' nin tanımda
E   7,51eV
ve
 0  0,341eV
ve
E g T   1,519 
5, 405.10 4 T 2
T  204
(7.7.)
Olup[Peter vd., 2007] , E g  T  ' nin birimi meV ve T ' nin birimi K olarak seçilmektedir.
Denklem (7.4.)' ün çözümü varyasyonel yöntemle çözülecektir. Temel durum için deneme
dalga fonksiyonu

r
a e
r
sin
  r ,   N
r 2  ri2  2 rri cos
(7.8.)
26
olarak seçilmiştir. Burada  varyasyonel parametredir. ET temel durum donor enerjisi,
herhangi bir  değeri için
ET  
  r ,  H   r , 
(7.9.)
  r ,    r , 
olur. Burada
H 
1
e2
2 2


 
r ,
*
2m
 T  r  ri
(7.10.)
dir. E F enerjisi
EF  min ET 
(7.11.)

bağıntısından ve Eb enerjisi de
2
2   
Eb 
   EF
2 m*  T   a 
(7.12.)
bağıntısından bilgisayar yardımı ile hesaplanmıştır. Eb bağlanma enerjisinin a
 A  küre
o
yarıçapına bağlı olarak değişim grafiği iki farklı sıcaklık ve iki farklı yabancı atom konumu
için hesaplanmış ve sonuçlar Grafik 7.1.olarak verilmiştir.
Ayrıca Eb bağlanma enerjisinin
T  K  sıcaklığına bağlı olarak değişim grafiği a  50 Ao yarıçapı ve dört farklı yabancı atom
konumları ( ri / a =0.0 , 0.5 ,1.0) için Grafik 7.2' de verilmiştir.
27
70
T=0 K : ri /a = 0.0
60
T=200 K : ri /a = 0.0
50
Eb(meV)
T=0 K : ri /a = 0.5
T=200 K : ri /a = 0.5
40
30
20
40
60
80
a(Ao)
Grafik 7.1. Bağlanma enerjisinin iki farklı yabancı atom konumu ve iki farklı
Sıcaklık için küre yarıçapına bağlı olarak değişimi
100
28
60
Eb(meV)
50
40
a=50Ao ; ri/a=0.0
a=50Ao ; ri/a=0.50
30
a=50Ao ; ri/a=1.0
20
40
80
120
160
T(K)
Grafik 7.2. Bağlanma enerjisinin sıcaklıkla değişim grafiği
200
29
SONUÇ VE TARTIŞMA
Bu çalışmada sonsuz potansiyeli GaAs/AlAs kuantum küresi incelenmiştir. Çalışmanın
birinci kısmında, küre içinde hapsedilmiş bir elektronun temel durum enerjisi yani subband
enerjisi a küre yarıçapına bağlı olarak hesaplanmıştır. Grafik 4.1.'den görüldüğü gibi enerji
artan yarıçapla azalmaktadır. Sisteme düzgün elektrik alan uygulanmış ve subband enerjisini
artan elektrik alanla azaldığı görülmüştür. Grafik 4.1. sonuç literatürü ile uyumludur.[Dane
vd.,2008]
Çalışmanın ikinci kısmında sisteme yabancı atom katılmıştır. Bağlanma enerjisinin yabancı
atomun merkezden uzaklaşması ile azaldığı gözlenmiştir. Grafik 5.1,Grafik 5.2. ve Grafik
5.3.sonuç literatürle uyumludur[Wu vd.,2008, Porras vd., 1993]. Küre merkezinde yabancı
atomu olan sistem düzgün dış elektrik alan içinde konulmuş ve elektrik alanın bağlanma
enerjisine etkisi araştırılmıştır. Artan elektrik alanın takriben a 0.6 a* bölgesinde etkili
olmadığı ve a 0.6 a* bölgesinde bağlanma enerjisini azalttığı bulunmuştur. Sonuç literatür ile
uyumludur. [ Elabsy,A.M.,1992].
Son olarak yabancı atomlu elektrik alansız sistemin sıcaklığı arttırılmış ve sistemdeki
değişim donor bağlanma enerjisindeki değişim olarak verilmiştir. Grafik 7.1. ve Grafik 7.2.
'den görüldüğü gibi artan sıcaklık bağlanma enerjisini azaltmaktadır. Sonuç literatürle uyum
içindedir[ Elabsy,A.M.,1998 ].
30
KAYNAKLAR
1.
BOSE C.,SARKAR C.K.,1999,”Binding energy of Impurity States in Spherical
GaAs-Ga1-xAlxAs Quantum Dots”,phys.stat.sol.(b)218,461.
2. DANE C.,AKBAŞ H.,MİNEZ S.,GULEROGLU A.,2008,”Electric field effect in a
GaAs/AlAs spherical quantum dot”,Physica E.
3. ELABSY,A.M.,1992,”Temperature Dependence of Shallow Donor States in
GaAs-
AlxGa1-xAs Composiyional Superlattice”,Physica Scripta.Vol 46,473-475.
4. ELABSY,A.M.,1998,”Effect of Temperature on the Binding Energy of a Confined
Impurity to a Spherical Semiconductor Quantum Dot”,Physica Scripta Vol.59,328-330.
5. ESQUEDA J.A.R.,MENDOZA C.I.,MUSSOT M.D.C.,VAZQUEZ G.J.,2005,”Stark
effect in a wedge-shaped quantum box”,Physica E 28 (2005) 365-373..
6. KARAOGLU B.,1994,”Kuantum Mekaniğine Giriş”,Bilgitek yayıncılık,İstanbul.
7. MİKHAİL F.I.,ISMAİL M.M.,2007,”Binding energy of an off-centre hydrogenic
donor impurity in a spherical quantum dot”, Phys.Stat.Sol.(b)244,No.16, 3647-3659.
8. MONTENEGRO P.N,PEREZ-MERCHANCANO PEREZ S.T.,1993,”Binding
energies and density of İmpurity States in spherical GaAs-(Ga,Al)As quantum
dots.”,J.Appl.Phys.74 (12).
9. MONTENEGRO N.P.,MERCHANCANO S.T.P.,1993,”Binding energies and
density of impurity States in spherical GaAs-(Ga,Al)As quantum dots”,J.Appl.Phys.74
(12).
10. PARADES-GUTİERREZ H., CUERO –YEPEZ J.C.,and PORRASMONTENEGRO N.,1994,”Effect of spatially dependent screening on the binding
energy of shallow impurities GaAs-(Ga,Al)As quantum dots, J.Appl.Phys.75 (10).
11. PEREZ –MERCHANCANO S.T.,FRANCO R.,VALENCİA J.S.,2007,”Impurity
States in a spherical GaAs-Ga1-xAlxAs quantum dots:Effects of hydrostatic
pressure”,Mikroelectronics Journal 39 (2008) 383-386.
12. PETER A.J.,NAVANEETHAKRİSHNAN K.,2007,”Simultaneous Effects of
pressure and temperature on donors in a GaAlAs/GaAs quantum well”,Superlattices and
mikrostructures 438 (2008) 63-71.
31
13. VAZQUEZ G.J.,MUSSOT M.D.C.,MENDOZA C.I.,SPECTOR
H.N.,2004,”Spherical quantum dot under an electric field”Phys.stat.sol.(c)1,No.S1,S54S57.
14. VAZQUEZ G.J.,MUSSOT M.D.C.,MONTEMAYOR-ALDRETE J.A.,SPECTOR
H.,MENDOZA C.I.,2006,”Transverse Stark effect of electrons in a hollow
semiconducting quantum wire”,Physica E.
15. WU H.,WANG H.,JİANG L.,GONG Q.,FENG S.,2008,”The electric field effect on
binding energy of hydrogenic impurity in zinc-blende GaN/AlxGa1-xN spherical
quantum dot”,Physica B 404(2009)122-126.
32
ÖZGEÇMİŞ
1971 yılının Ağustos ayında Edirne’de doğdum. İlk, orta ve lise tahsilimi Edirne’de
tamamladıktan sonra,1989 yılında Trakya Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik bölümüne
girdim,1995 yılının Ocak ayında mezun oldum. Aynı yıl Fizik Öğretmenliği’ne başladım.
Halen Edirne Anadolu Kız Teknik ve Meslek Lisesi’nde Fizik Öğretmenliği görevime devam
etmekteyim.