Fizik 101: Ders 20 Ajanda = I konusunda yorumlar Bir sistemin açısal momentumu için genel ifade Kayan kiriş örneği Açısal momentum vektörü Bisiklet tekeri ve döner iskemle Jiroskobik hareket Hareketli dönme hakkında yorum Ders 20, Soru 1 Açısal Momentum Dönen iki disk aynı açısal momentuma sahipken disk 1, disk 2den daha çok kinetik enerjiye sahiptir. Hangisinin eylemsizlik momenti daha büyüktür?? (a) disk 1 (b) disk 2 (c) veri yetersiz Ders 20, Soru 1 Çözüm 1 2 1 1 K I I 2 2 L2 2 2I 2I (L = I kullanarak) L ikisinde de aynı ise en büyük I ya sahip olanın kinetik enerjisi en az olacaktır. L I1 1 L I2 2 1 2 I1 disk 1 < I2 disk 2 = I eşitliği ne zaman geçersiz ? Anımsatma: dL dt Rotasyonun anlaşılmasında bu en temel denklemdir. Eğer L = I yazarsak: τ DIŞ dL d I dI d dI I I dt dt dt dt dt τ DIŞ Iα dI ω dt Eylemsizlik momenti değişirse = I denklemi geçersizdir! = I eşitliği ne zaman geçersiz ? τ DIŞ Iα dI ω dt Farzı muhal DIŞ = 0 : I dI 0 dt dI I dt Ancak bu durumda dış tork olmadan açısal ivme vardır! Örnek... Eğer düzgün dairesel hareket yapan bir hokey topunun eylemsizlik momenti değişirse, topa açısal ivme etki edecektir. Yarıçapını değiştirmek eylemsizlik momentini değiştirecek ama hiç bir tork meydana gelmez, zira kuvvet radyal yöndedir. (yani rx F = 0) I1 > I2 1 2 2 > 1 Top dış tork olmadan ivmelenir!! Tekrar: Açısal Momentum τ DIŞ dL burada dt L r p Dışardan etki eden tork yoksa: ve τ DIŞ r FDIŞ τ DIŞ dL 0 dt Toplam açısal momentum korunur! Bu bir vektör denklemidir. Her bir bileşeni için geçerlidir. Tekrar... Genel olarak sabit bir (z) ekseni etrafında dönen bir cisim için LZ = I yazabiliriz! Açısal momentumun LZ sağ el kuralı ile verilir. z LZ I Tekrar... Serbestçe hareket eden bir parçacık herhangi bir eksen etrafında belirli bir açısal momentuma sahiptir. Parçacığa dışardan bir tork etki etmiyorsa açısal momentumu korunur. Aşağıda verilen örnekte L nin yönü z ekseni boyuncadır ve büyüklüğü LZ = pd = mvd ile verilir! y x d m v Ders 20, Soru 2 Rotasyon Sürtünmesiz yatay bir masada, bir hokey topu masanın ortasından geçirilen bir ipe bağlı olarak sabit bir uzaklıkta (yarıçapta) düzgün dairesel hareket yapmaktadır. Eğer ipi çekip yarıçap yarısına düşerse topun açısal momentumu hangi faktörle artar? (a) 2 (b) 4 (c) 8 Ders 20, Soru 2 Çözüm İp dönme merkezindeki bir delikten çekildiğinden tork yoktur, dolayısıyla açısal momentum korunur. 2 L1 = I11 = mR21 = mR21 = m 1 1 = 2 4 m R 1 L2 = I22 = m R 2 2 1 2 R 2 4 2 =41 m R/2 2 Bir sistemin açısal momentumu için genel bir ifade: Bir parçacıklar sistemi için açısal momentum: L ri pi m i ri v i i i Konum ve hızı KM ne göre ifade edersek: ri = Rkm + ri* Burada ri* ve v*i KM gözlem çerçevesinde konum ve hız. vi = Vkm + v*i r* Rcm r Bir sistemin açısal momentumu için genel bir ifade... Yerine koyarsak: L R km r *i m i Vkm v *i i Açarsak: L R km m i Vkm R km m i v *i r *i m i Vkm r *i m i v *i i i i i Sadeleştirirsek: L R km M top Vkm Lkm R km m i v *i m i r *i Vkm r *i m i v *i i i i =MV*km = 0 =MR*km = 0 L* Bir sistemin açısal momentumu için genel bir ifade... Sonuç olarak elde ettiğimiz ifade Burada L KM R KM PKM L = Lkm+ L* KM’nin açısal momentumu! ve L* KM etrafındaki açısal momentum. Bir sistemin verilen bir eksene göre açısal momentumu, bu eksene göre KMnin açısal momentumu ve kütle merkezinden gecen bir eksene göre açısal momentumun toplamına eşittir. Bir sistemin açısal momentumu için genel bir ifade... Gösterdik ki: L = Lkm+ L* Bunun resmi: y Orijin (eksen) x d m,I KM L I kˆ * KM etrafında dönmeden dolayı v LKM mvd kˆ KMzinin hareketinden dolayı Örnek 1 Uzunluğu d ve kütlesi m1 olan bir çubuk sürtünmesiz bir yüzeyde şekilde gösterildiği gibi vo hızı ile dönmeden kaymaktadır. Durgun halde bulunan m2, kütleli bir blok çubuk kayarken ucuna takılır. Blok çubuk sisteminin son durumdaki açısal hızı F nedir? vo d F m2 m1 Önce (tepe bakışı) km sonra(tepe bakışı) Örnek 1 Orijini bloğun çarpışmadan önceki konumunda seçelim. KMnin çarpışmadan önceki y-pozisyonunu belirleyebiliriz. y vo d/2 x m1 Önce (tepe bakış) Örnek 1... Açısal momentumun z bileşenini (0,ykm) noktası etrafında almak en uygunudur. Çubuk dönmediğinden çarpışmadan önceki açısal momentum tamamen çubuğun KM hareketinden dolayıdır. y vo d/2 ykm x m1 Önce (tepe bakış) d y 2 km Örnek 1... Çarpışmadan sonra, (0,ykm) noktası etrafında açısal momentumun z bileşeni çubuk+blok sisteminin KM etrafındaki dönmesinden dolayıdır. LZ , f L * Z, f L km Z, f 0 I km F y Ikm vF F (0,ykm) x sonra (tepe bakış) Örnek 1... Sistemin KM etrafındaki eylemsizlik momentini Ikm bilmeliyiz. d/2 d/2 - ykm m1 Çubuğun KM Sistemin KM ykm m2 Örnek 1... Açısal momentum korunumunu kullanarak: ve Ikm ve ykm için yerine koyarsak Ikm vF F m1vo d m1 1 F 2 I km m1 m2 y ykm x sonra (tepe bakış) Örnek 1... Farzedelim ki: m1 = 2m2 = 2m I km 1 md 2 3 önce F vo d sonra vo Ikm d F m 2m km Açısal momentum bir vektördür! Bisiklet tekerleğini döndermek Bir öğrenci dönebilen bir tabureye oturur ve eline aldığı bisiklet tekerini yatay olarak döndürür. Sonra dönme eksenini 180o döndürdüğünde kendisinin de dönmeye başladığını görür. Sizce ne oluyor? Bisiklet tekerleği döndürmek... Öğrenci tabure sistemine etki eden dış tork olmadığından açısal momentum korunur. Önce: LI= LW,I Sonra: LF = LW,F + LS LS LW,I LW,I = LW,F + LS LW,F Ders 20, Soru 2 Rotasyon Dönebilen bir taburede oturan öğrenci başlangıçta durgun ve elinde şekil (1)deki gibi dönen bir bisiklet tekeri tutmaktadır. Sonra tekerin dönme eksenini şekil (2)deki gibi değiştirir. Son adımda geri çevirir şekil (3)teki gibi döndürür. Kendi dönmesi nasıldır? (a) dönmez (b) 2 katlanır (c) aynı kalır ?? (1) (2) (3) Ders 20, Soru 2 Çözüm LNET LW [1] LNET LW [2] LS LNET LW [3] Dönmez! Jiroskop Hareketi: Aşağıda verilen jiroskop düzeneğini döndürdüğümüzü farz edelim. Eğer sağdaki destek çekilirse ne olur? ? destek g eksen Jiroskop Hareketi... Aşağıda verilen jiroskop düzeneğini döndürdüğümüzü farz edelim. Eğer sağdaki destek çekilirse ne olur? Jiroskop düşmez!! g eksen Jiroskop Hareketi... ... Dönme ekseni etrafında presesyon hareketi yapar! Bu olayı açısal momentum ve de tork kullanılarak anlayabiliriz. eksen Jiroskop Hareketi... Dönme ekseni etrafında torkun büyüklüğü: = mgd. Sağ eli kuralını kullanarak torkun yönünü bu anda sayfadan dışa buluruz. Bu anda açısal momentumdaki değişimde sayfadan dışa doğru olmalıdır. d dL dt L mg eksen Jiroskop Hareketi... Jiroskop’a tepeden bakarsak: dt zamanında açısal momentumun büyüklüğü dL = Ld. Dolayısıyla dL d L L dt dt Burada “presesyon frekansıdır” L(t) dL d L(t+dt) Tepe bakış eksen Jiroskop Hareketi... dL L dt L Bu örnekte, = mgd ve L = I: mgd I Presesyonun yönünü bulmak için sağ el kuralını uygularız ve buradan ve dL/dt yönüde bulunur. d L mg pivot