Bölüm 7.2: Matrisler Transpoz Konjuge Adjoint

Transpoz
Bölüm 7.2: Matrisler
Bugünkü dersimizde matris teorisini tekrar
edeceğiz.
Matris A, m x n boyutunda dikdörtgen
elemanlardan oluşan bir elemandır (m satır ve n
sütun)
⎛ a11
⎜
⎜a
A = ( a i j ) = ⎜ 21
⎜
⎜a
⎝ m1
a12
a22
am 2
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
⎟
⎟
amn ⎟⎠
⎛ a11
⎜
⎜a
A = ⎜ 21
⎜
⎜a
⎝ m1
a12
a22
am 2
a1n ⎞
⎛ a11
⎟
⎜
a2 n ⎟
⎜ a12
T
⎟⇒ A =⎜
⎟
⎜
⎜a
amn ⎟⎠
⎝ 1n
a21
a22
a2 n
am1 ⎞
⎟
am 2 ⎟
⎟
⎟
amn ⎟⎠
Örnek,
⎛ 1 4⎞
⎜
⎟
⎛1 2⎞
⎛1 3⎞
⎛ 1 2 3⎞
⎟⎟ ⇒ A T = ⎜⎜
⎟⎟, B = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒ BT = ⎜ 2 5 ⎟
A = ⎜⎜
⎝3 4⎠
⎝ 2 4⎠
⎝ 4 5 6⎠
⎜ 3 6⎟
⎝
⎠
Bazı örnek matrisler aşağıdadır:
3 − 2i ⎞
⎛1 2⎞
⎛ 1 3⎞
⎛ 1
⎟⎟, B = ⎜⎜
⎟⎟, C = ⎜⎜
⎟
A = ⎜⎜
3
4
2
4
4
+
5
i
6
− 7i ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
Konjuge
Adjoint
A = (aij) nın Konjugesi A = (aij) dır.
⎛ a11
⎜
⎜a
A = ⎜ 21
⎜
⎜a
⎝ m1
A = (aij) nın transpozu AT = (aji) dır.
a12
a22
am 2
a1n ⎞
⎛ a11
⎟
⎜
a2 n ⎟
⎜ a21
⇒
=
A
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜a
amn ⎠
⎝ m1
A nın adjointi AT dır, ve A* ile gösterilir.
a12
a22
am 2
Örnek,
2 + 3i ⎞
2 − 3i ⎞
⎛ 1
⎛ 1
⎟
A = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒ A = ⎜⎜ 3 + 4i
i
3
−
4
4
4 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
⎟
⎟
amn ⎟⎠
⎛ a11
⎜
⎜a
A = ⎜ 21
⎜
⎜a
⎝ m1
a12
a22
am 2
a1n ⎞
⎛ a11
⎟
⎜
a2 n ⎟
⎜ a12
*
⇒
=
A
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜a
amn ⎠
⎝ 1n
a21
a22
a2 n
am1 ⎞
⎟
am 2 ⎟
⎟
⎟
amn ⎟⎠
Örnek,
2 + 3i ⎞
3 + 4i ⎞
⎛ 1
⎛ 1
*
⎟
A = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒ A = ⎜⎜ 2 − 3i
i
3
−
4
4
4 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
1
Kare matrisler
Vektörler
Bir kare matris A aynı satırlar ve sütun sayısına sahip
matristir. Yani, A n x n dir. Bu durumda, A matrisi n.
mertebedir.
⎛ a11
⎜
⎜a
A = ⎜ 21
⎜
⎜a
⎝ n1
Örnek,
a12
a22
an 2
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
⎟
⎟
ann ⎟⎠
⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
⎛1 2⎞
⎟⎟, B = ⎜ 4 5 6 ⎟
A = ⎜⎜
3
4
⎝
⎠
⎜7 8 9⎟
⎝
⎠
Sıfır matris
Sıfır matris şu şekilde tanımlanır 0 = (0), boyutları
değişken olabilir. Örnek,
⎛ 0 0⎞
⎟
⎜
⎛ 0 0⎞
⎛ 0 0 0⎞
⎟⎟, 0 = ⎜⎜
⎟⎟, 0 = ⎜ 0 0 ⎟, …
0 = ⎜⎜
⎝ 0 0⎠
⎝ 0 0 0⎠
⎜ 0 0⎟
⎠
⎝
Sütun vektör x, bir n x 1 matristir. Örnek,
⎛1⎞
⎜ ⎟
x = ⎜ 2⎟
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
Bir satır vektör x, 1 x n matristir. Örnek,
y = (1 2 3)
Dikkat edilmelidir ki, y = xT dir. Eğer x sütun vektör ise, xT
satır vektördür.
Matris eşitliği
İki matris A = (aij) ve B = (bij) eşit ise o zaman tüm i ve j
için aij = bij dir. Örnek,
⎛1 2⎞
⎛1 2⎞
⎟⎟, B = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒ A = B
A = ⎜⎜
3
4
⎝
⎠
⎝3 4⎠
2
Matris – skaler Çarpımı
A = (aij) ve k bir sabit olmak üzere, matrisin skaler ile
çarpımı, kA = (kaij) dır. Örnek,
⎛ 1 2 3⎞
⎛ − 5 − 10 − 15 ⎞
⎟⎟ ⇒ −5A = ⎜⎜
⎟⎟
A = ⎜⎜
4
5
6
⎝
⎠
⎝ − 20 − 25 − 30 ⎠
Matris Toplama ve Çıkarma
m x n boyutunda A = (aij) ve B = (bij) matrislerinin toplamı
A + B = (aij + bij) dır. Örnek,
⎛1 2⎞
⎛ 5 6⎞
⎛6 8⎞
⎟⎟, B = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒ A + B = ⎜⎜
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝3 4⎠
⎝7 8⎠
⎝10 12 ⎠
m x n boyutunda A = (aij) ve B = (bij) matrislerinin farkı
A - B = (aij - bij) dır. Örnek,
⎛1 2⎞
⎛ 5 6⎞
⎛ − 4 − 4⎞
⎟⎟, B = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒ A − B = ⎜⎜
⎟⎟
A = ⎜⎜
3
4
7
8
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ − 4 − 4⎠
Matris Çarpımı
Vektör Çarpımı
m x n matris A = (aij) ve n x r matris B = (bij) nin çarpımı
matris C = (cij) dir, burada
n x 1 boyutlu vektörler x & y nin noktasal çarpımı
n
xT y = ∑ xi y j
n
cij = ∑ aik bkj
k =1
k =1
n x 1 boyutlu vektörler x & y nin iç çarpımı
örnekler (Dikkat: AB ve BA eşit olmak zorunda değil):
⎛ 1 + 4 3 + 8 ⎞ ⎛ 5 11 ⎞
⎛1 2⎞
⎛1 3⎞
⎟⎟ ⇒ AB = ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟, B = ⎜⎜
A = ⎜⎜
⎝ 2 4⎠
⎝ 3 + 8 9 + 16 ⎠ ⎝11 25 ⎠
⎝3 4⎠
⎛ 1 + 9 2 + 12 ⎞ ⎛10 14 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⇒ BA = ⎜⎜
⎝ 2 + 12 4 + 16 ⎠ ⎝14 20 ⎠
⎛ 3 0⎞
⎜
⎟
⎛ 1 2 3⎞
⎛ 3 + 2 + 0 0 + 4 − 3 ⎞ ⎛ 5 1⎞
⎟⎟, D = ⎜ 1 2 ⎟ ⇒ CD = ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
C = ⎜⎜
⎝ 4 5 6⎠
⎝12 + 5 + 0 0 + 10 − 6 ⎠ ⎝17 4 ⎠
⎜ 0 − 1⎟
⎝
⎠
n
(x,y ) = xT y = ∑ xi y j
k =1
örnek:
⎛1⎞
⎛ −1 ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
x = ⎜ 2 ⎟, y = ⎜ 2 − 3i ⎟ ⇒ xT y = (1)(−1) + (2)(2 − 3i ) + (3i )(5 + 5i ) = −12 + 9i
⎜ 3i ⎟
⎜ 5 + 5i ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
T
⇒ (x, y ) = x y = (1)(−1) + (2)(2 + 3i ) + (3i )(5 − 5i ) = 18 + 21i
3
Vektör uzunluğu
Diklik
n x 1 vektör x in uzunluğu
x = (x,x )
1/ 2
⎡
⎤
= ⎢ ∑ xk xk ⎥
⎣ k =1
⎦
n
1/ 2
⎡
= ⎢ ∑ | xk
⎣ k =1
n
⎤
|2 ⎥
⎦
1/ 2
Dikkat edilmelidir ki, eğer x = a + bi, ise
x ⋅ x = (a + bi )(a − bi ) = a 2 + b 2 = x
2
iki n x 1 vektör x & y dik ise, (x,y) = 0.
örnek:
⎛1⎞
⎛ 11⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x = ⎜ 2 ⎟ y = ⎜ − 4 ⎟ ⇒ (x, y ) = (1)(11) + ( 2)(−4) + (3)(−1) = 0
⎜ 3⎟
⎜ − 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
örnek:
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
1/ 2
x = ⎜ 2 ⎟ ⇒ x = (x, x ) = (1)(1) + ( 2)(2) + (3 + 4i )(3 − 4i )
⎜ 3 + 4i ⎟
⎝
⎠
= 1 + 4 + (9 + 16) = 30
Birim matris
Matris Tersi
Çarpıma göre birim matris I, bir n x n matristir
⎛1 0
⎜
⎜0 1
I=⎜
⎜
⎜0 0
⎝
0⎞
⎟
0⎟
⎟
⎟
1 ⎟⎠
Kare matris A için, AI = IA = A dır.
Örnek,
⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 1 2 3 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎛ 1 2 ⎞⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟, IB = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ 4 5 6 ⎟ = ⎜ 4 5 6 ⎟
AI = ⎜⎜
3
4
0
1
3
4
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
⎜ 0 0 1 ⎟⎜ 7 8 9 ⎟ ⎜ 7 8 9 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
Bir kare matris A için AB = BA = I koşulunu
sağlayan bir B matrisi varsa o zaman A matrisine
tekil olmayan, veya tersi alınabilir denebilir. Aksi
takdirde A tekildir.
Matris B nin eğer tersi varsa tek dir ve A-1 ile
gösterilir. A nın tersi olarak adlandırılır.
A-1 vardır iff detA ≠ 0, ve A-1 satır küçültme ile
bulunabilir (ayrıca Gaussian eliminasyon olarak
adlandırılır) bir sonraki yansıdaki örneğe bakın.
Üç temel satır işlemleri:
İki satırın yer değiştirmesi.
Satırı sıfır olmayan skaler ile çarpmak.
Bir satırın katının diğer bir satır ile toplanması.
4
Örnek:
Örnek devam:
Satır küçültmeyi kullanarak matris A nın tersini –
eğer varsa- bulunuz.
1 2⎞
⎛0
⎜
⎟
A=⎜1
0 3⎟
⎜ 4 − 3 8⎟
⎝
⎠
Çözüm: Temel satır işlemleri ile küçültme (A|I),
1 2 1 0 0⎞
⎟
0 3 0 1 0⎟,
⎜ 4 − 3 8 0 0 1⎟
⎠
⎝
⎛0
⎜
(A I ) = ⎜ 1
öyle ki sol taraf birim matris haline gelsin,ve sağ
taraf A-1 olsun.
Matris foksiyonları
⎛ x1 (t ) ⎞
⎛ a11 (t ) a12 (t )
⎜
⎟
⎜
⎜ x2 (t ) ⎟
⎜ a21 (t ) a22 (t )
=
x(t ) = ⎜
A
t
,
(
)
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎜ x (t ) ⎟
⎜ a (t ) a (t )
m2
⎝ m ⎠
⎝ m1
a1n (t ) ⎞
⎟
a2 n (t ) ⎟
⎟
⎟
amn (t ) ⎟⎠
Böyle bir matris bir nokta, veya bir arada (a, b) sürekli
olması için her elemenın orada sürekli olması gerekir.
Benzer şekilde türev alma ve integrasyon:
⎞
⎟⎟,
⎠
∫
b
a
öyle ise
7 − 3 / 2⎞
⎛−9/ 2
⎜
⎟
4
− 1⎟
A −1 = ⎜ − 2
⎜ 3/ 2 − 2
1 / 2 ⎟⎠
⎝
örnek & türev alma kuralları
Matrisin elemanları reel değişkenli fonksiyonlar olabilir.
Bu durumda,
dA ⎛ daij
=⎜
dt ⎜⎝ dt
1 2 1 0 0⎞ ⎛ 1
0 3 0 1 0⎞
⎟
⎟ ⎜
0 3 0 1 0⎟ → ⎜ 0
1 2 1 0 0⎟
⎜ 4 − 3 8 0 0 1⎟ ⎜ 4 − 3 8 0 0 1⎟
⎠
⎠ ⎝
⎝
0
3 0
1 0⎞ ⎛ 1 0 3 0
1 0⎞
⎛1
⎜
⎟ ⎜
⎟
→ ⎜0
1
2 1
0 0⎟ → ⎜0 1 2 1
0 0⎟
⎜ 0 − 3 − 4 0 − 4 1⎟ ⎜ 0 0 2 3 − 4 1⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
0
1 0⎞ ⎛ 1 0 0 − 9 / 2
7 − 3 / 2⎞
⎛1 0 3
⎜
⎟ ⎜
⎟
→ ⎜0 1 0 − 2
−2
− 1⎟
4 − 1⎟ → ⎜ 0 1 0
4
⎜0 0 2
⎟
⎜
3 −4
1⎠ ⎝ 0 0 1
3/ 2 − 2
1 / 2 ⎟⎠
⎝
⎛0
⎜
(A I ) = ⎜ 1
A (t )dt = ⎛⎜ ∫ aij (t ) dt ⎞⎟
⎝ a
⎠
b
örnek:
cos t ⎞
⎛ 3t 2 sin t ⎞ dA ⎛ 6t
⎟⇒
⎟,
= ⎜⎜
A(t ) = ⎜⎜
⎟
t
−
sin
0 ⎟⎠
dt
t
cos
4
⎝
⎠
⎝
π
⎛π 3 0 ⎞
⎟
⇒ ∫ A(t )dt =⎜⎜
⎟
0
⎝ − 1 4π ⎠
Örnek:
d ( CA )
dA
, C sabit bir matristir
=C
dt
dt
d ( A + B ) dA d B
=
+
dt
dt
dt
d ( AB ) ⎛ dA ⎞
⎛dB⎞
=⎜
⎟B+ A⎜
⎟
dt
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
5
Bölüm 7.3: Lineer denklem Sistemleri,
Lineer bağımsızlık, Eigendeğerler
n değişkenli, n lineer denklem sistemi,
a1,1 x1 + a1, 2 x2 +
+ a1,n xn = b1
a2,1 x1 + a2, 2 x2 +
+ a2,n xn = b2
an ,1 x1 + an , 2 x2 +
+ an ,n xn = bn ,
matris olarak ifade edilebilir: Ax = b:
⎛ a1,1
⎜
⎜ a2,1
⎜
⎜
⎜a
⎝ n ,1
a1, 2
a2, 2
an , 2
a1,n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a2,n ⎟⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
an ,n ⎟⎠⎜⎝ xn ⎟⎠ ⎜⎝ bn ⎟⎠
tekil olmayan durum
Eğer katsayı matrisi A tekil değilse, tersi alınabilir ve
Ax = b denkleminden x’i çözebiliriz:
Ax = b ⇒ A −1Ax = A −1b ⇒ Ix = A −1b ⇒ x = A −1b
Bu çözüm tekdir. Ayrıca, eğer b = 0, bu tek çözüm Ax =
0 is x = A-10 = 0.
Eğer A tekil değilse, tek çözüm to Ax = 0 i sağlayan adi
çözüm x = 0 olacaktır.
eğer b = 0, ise sistem homojen; aksi takdirde homojen
olmayandır.
örnek : tekil olmayan durum
Şimdi homojen olmayan lineer sistem Ax = b ni, A-1
kullanarak çözelim :
0 x1 + x2 + 2 x3 = 2
örnek : tekil olmayan durum
Ayrıca, homojen olmayan lineer denklem sistem Ax = b
satır küçültme ile çözülebilir.
0 x1 + x2 + 2 x3 = 2
1x1 + 0 x2 + 3x3 = −2
1x1 + 0 x2 + 3x3 = −2
4 x1 − 3 x2 + 8 x3 = 0
Bu denklem sistemi Ax = b olarak yazılabilir
1 2⎞
⎛0
⎛ x1 ⎞
⎛ 2⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
0 3 ⎟, x = ⎜ x2 ⎟, b = ⎜ − 2 ⎟
A=⎜1
⎜ 4 − 3 8⎟
⎜x ⎟
⎜ 0⎟
⎝
⎠
⎝ 3⎠
⎝ ⎠
öyle ise
7 − 3 / 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ − 23 ⎞
⎛−9/ 2
⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜
⎜
x = A −1b = ⎜ − 2
4
− 1⎟⎜ − 2 ⎟ = ⎜ − 12 ⎟
⎜ 3/ 2 − 2
1 / 2 ⎟⎠⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 ⎟⎠
⎝
4 x1 − 3 x2 + 8 x3 = 0
Bunun için augmente matris (A|b) oluşturulmalı ve temel
satır işlemleri ile küçültme yapılmalıdır.
1 2
2⎞ ⎛ 1
0 3 − 2⎞ ⎛ 1
0
⎟ ⎜
⎟ ⎜
0 3 − 2⎟ → ⎜ 0
1 2
2⎟ → ⎜0
1
⎜4 −3 8
0 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 − 3 8
0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 − 3
⎝
+ 3 x3
⎛ 1 0 3 − 2 ⎞ ⎛ 1 0 3 − 2 ⎞ x1
⎟
⎟ ⎜
⎜
x2 + 2 x3
→ ⎜0 1 2
2⎟ → ⎜0 1 2
2⎟ →
⎜ 0 0 2 14 ⎟ ⎜ 0 0 1
x3
7 ⎟⎠
⎠ ⎝
⎝
⎛0
⎜
(A b ) = ⎜ 1
3 − 2⎞
⎟
2⎟
8 ⎟⎠
−4
= −2
⎛ − 23 ⎞
⎟
⎜
= 2 → x = ⎜ − 12 ⎟
⎟
⎜
= 7
⎝ 7⎠
2
6
Tekil durum
örnek 2: tekil durum (1 of 3)
Eğer katsayı matris A tekilse, A-1 yoktur, ya Ax = b
çözümü bulunmaz, veya birden fazla çözüm vardır
(tek değil).
Dahası, homojen sistem Ax = 0 birden fazla
çözüme sahiptir. Yani, adi çözüm x = 0 e ek olarak,
sonsuz sayıda çözüm vardır.
Homojen olmayan durum Ax = b, (b, y) = 0
olmazsa çözümsüzdür, A*y = 0 denklemini
sağlayan tüm y vektörleri, (A*, A nın adjointi).
Bu durumda, Ax = b sonsuz çözüme sahiptir, her
bir çözüm x = x(0) + ξ, şeklindedir ve burada x(0)
Ax = b nin bir özel çözümü, ve ξ, Ax = 0 in bir
homojen çözümüdür.
örnek 2: tekil durum (2 of 3)
Homojen olmayan lineer denklem sistemi Ax = b satır
küçültme ile çözelim.
1x1 − 2 x2 − 1x3 = b1
− 1x1 + 5 x2 + 6 x3 = b2
5 x1 − 4 x2 + 5 x3 = b3
b1 ⎞
⎛ 1 − 2 − 1 b1 ⎞ ⎛ 1 − 2 − 1
⎜
⎟ ⎜
⎟
(A b ) = ⎜ − 1 5 6 b2 ⎟ → ⎜ 0 3 5 b2 + b1 ⎟
⎜ 5 − 4 5 b ⎟ ⎜0
6 10 b3 − 5b1 ⎟⎠
3⎠
⎝
⎝
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎜ 1 − 2 −1
b1 ⎟ ⎜ 1 − 2 − 1
b1 ⎟
⎟
⎜
⎟ ⎜
3 5
3 5
b2 + b1 ⎟ → ⎜ 0
→ ⎜0
b2 + b1 ⎟ → b3 − 2b2 − 7b1 = 0
1
5 ⎟ ⎜
1
7 ⎟
⎜
3 5
0 0
b3 − b1 ⎟ ⎜ 0
b3 − b2 − b1 ⎟
⎜0
2
2 ⎠ ⎝
2
2 ⎠
⎝
Homojen olmayan lineer denklem sistemi Ax = b satır
küçültme ile çözelim.
1x1 − 2 x2 − 1x3 = 1
− 1x1 + 5 x2 + 6 x3 = 0
5 x1 − 4 x2 + 5 x3 = −1
Augmented matris (A|b) yi oluşturup, temel satır işlemleri
ile küçültelim.
⎛ 1 −2 −1 1⎞ ⎛ 1 −2 −1 1⎞ ⎛ 1 −2 −1 1⎞
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
5 6 0⎟ → ⎜ 0
3 5
1⎟ → ⎜ 0
3 5
1⎟
⎜ 5 −4 5 −1⎟ ⎜ 0 6 10 −6 ⎟ ⎜ 0
3 5 −3 ⎟⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
− x3 = 1
⎛ 1 −2 −1 1⎞ ⎛ 1 −2 −1 1⎞ x1 −2 x2
⎜
⎟ ⎜
⎟
→ ⎜0
3 5
1⎟ → ⎜ 0
3 5 1⎟ →
3 x2 + 5 x3 = 1 → çözümü _ yok
⎜ 0 0 0 −4 ⎟ ⎜ 0 0 0 1⎟
0 x3 = 1
⎝
⎠ ⎝
⎠
( A b ) = ⎜⎜ −1
örnek 2: tekil durum (3 of 3)
Önceki yansıdan,
b3 − 2b2 − 7b1 = 0
varsayalım
b1 = 1, b2 = −1, b3 = 5
öyle ise küçültülmüş augmented matris (A|b):
⎛
⎞
⎜ 1 − 2 −1
b1 ⎟ x1 − 2 x2 − 1x3 = 1
⎜
⎟
b2 + b1 ⎟ →
3 5
3 x2 + 5 x3 = 0
⎜0
1
7 ⎟
⎜
0 x3 = 0
b
b
b
0
0
0
−
−
⎜
3
2
1⎟
2
2 ⎠
⎝
⎛ 1⎞ ⎛ 7 ⎞
⎛ − 7 / 3⎞
⎛ 1⎞
⎛1 − 7 x3 / 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜
→ x = ⎜ − 5 x3 / 3 ⎟ → x = ⎜ 0 ⎟ + x3 ⎜ − 5 / 3 ⎟ =→ x = ⎜ 0 ⎟ + c ⎜ 5 ⎟ = x ( 0 ) + ξ
⎜ 0 ⎟ ⎜ − 3⎟
⎜
⎜ 0⎟
⎜
x3 ⎟⎠
1⎟⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝
⎝ ⎠
⎝
7
Lineer Bağımlılık ve Bağımsızlık
Vektörler x(1), x(2),…, x(n) lineer bağımlı olmaları için
gereken şart, aşağıdaki denklemi sağlayan ve hepsi sıfır
olmayan skalerler c1, c2,…, cn, lerin var olmasıdır.
c1x (1) + c2 x ( 2 ) +
Aşağıdaki vektörlerin lineer bağımlı veya lineer bağımsız
olduklarını bulunuz.
⎛ 0⎞
⎛ 1⎞
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x (1) = ⎜ 1⎟, x ( 2 ) = ⎜ 0 ⎟, x ( 3) = ⎜ 3 ⎟
⎜ 4⎟
⎜ − 3⎟
⎜ 8⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
+ cn x ( n ) = 0
Eğer tek çözüm
c1x (1) + c2 x ( 2 ) +
örnek 3: lineer bağımsızlık (1 of 2)
+ cn x ( n ) = 0
is c1= c2 = …= cn = 0, öyle ise x(1), x(2),…, x(n) lineer
bağımsızdır.
Çözmeliyiz
c1x (1) + c2 x ( 2 ) + c3 x (3) = 0
veya
1 2 ⎞⎛ c1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛ 0⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛0
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 3 ⎟⎜ c2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟
c1 ⎜ 1⎟ + c2 ⎜ 0 ⎟ + c⎜ 3 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⇔ ⎜ 1
⎜ 4⎟
⎜ − 3⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ 4 − 3 8 ⎟⎜ c ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
örnek 3: lineer bağımsızlık (2 of 2)
Augmented matrisi yazalım.
1 2 0⎞ ⎛ 1 0 3 0⎞
⎛0
⎜
⎟ ⎜
⎟
(A b ) = ⎜ 1 0 3 0 ⎟ → ⎜ 0 1 2 0 ⎟
⎜ 4 − 3 8 0⎟ ⎜ 0 0 1 0⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
+ 3c3
=0
c1
⎛0⎞
⎜ ⎟
→
c2 + 2c3 = 0 → c = ⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
c3 = 0
⎝ ⎠
öyle ise tek çözüm c1= c2 = …= cn = 0 dir, ve bu yüzden
orjinal vektörler lineer bağımsızdıe.
örnek 4: lineer Bağımlılık (1 of 2)
Aşağıdaki vektörlerin lineer bağımlı veya lineer bağımsız
olduklarını bulunuz.
⎛ 1⎞
⎛ − 2⎞
⎛ − 1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x (1) = ⎜ − 1⎟, x ( 2 ) = ⎜ 5 ⎟, x (3) = ⎜ 6 ⎟
⎜ 5⎟
⎜ − 4⎟
⎜ 5⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Çözmeliyiz
c1x (1) + c2 x ( 2 ) + c3 x (3) = 0
veya
⎛ 1⎞
⎛ − 2⎞
⎛ − 1⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛ 1 − 2 − 1⎞⎛ c1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
5 6 ⎟⎜ c2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟
c1 ⎜ − 1⎟ + c2 ⎜ 5 ⎟ + c3 ⎜ 6 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⇔ ⎜ − 1
⎜ 5⎟
⎜ − 4⎟
⎜ 5⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ 5 − 4 5 ⎟⎜ c ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
8
örnek 4: lineer Bağımlılık (2 of 2)
Önceki iki örneği inceleyelim:
Augmente matrisi yazalım.
⎛ 1 − 2 −1 0 ⎞ ⎛ 1 − 2 −1 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
(A b ) = ⎜ − 1 5 6 0 ⎟ → ⎜ 0 3 5 0 ⎟
⎜ 5 − 4 5 0⎟ ⎜0
0 0 0 ⎟⎠
⎝
⎠ ⎝
c1 − 2c2 − 1c3 = 0
⎛ 7⎞
⎛ − 7c3 / 3 ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
3c2 + 5c3 = 0 → c = ⎜ − 5c3 / 3 ⎟ → c = k ⎜ 5 ⎟
→
⎜
⎟
⎜ − 3⎟
0c3 = 0
c3 ⎠
⎝
⎝ ⎠
öyle ise orjinal vektörler lineer bağımlıdır.
⎛ 1⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
7 ⎜ − 1⎟ + 5 ⎜ 5 ⎟ − 3 ⎜ 6 ⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜ 5⎟ ⎜ − 4 ⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lineer Bağımlılık & vektör foksiyonları
Şimdi vektör foksiyonlarını inceleyelim x(1)(t), x(2)(t),…,
x(n)(t),
(k )
⎛ x1 (t ) ⎞
⎜ (k ) ⎟
⎜ x (t ) ⎟
x (k ) (t ) = ⎜ 2
⎟, k = 1, 2,… , n,
⎜
⎟
⎜ x ( k ) (t ) ⎟
⎝ m
⎠
t ∈ I = (α , β )
x(1)(t), x(2)(t),…, x(n)(t) I aralığında lineer bağımlı olması için
gerekli koşul hepsi sıfır olmayan skalerler c1, c2,…, cn, lerin
var olmasıdır.
c1x (1) (t ) + c2 x ( 2 ) (t ) +
Lineer bağımsızlık ve Dönüştürülebilirlik
ilk matris tekil olmayan, ve sütun vektörleri lineer
bağımsızdır.
ikinci matris tekil, ve sütun vektörleri lineer bağımlıdır.
A nın sütunları (veya satırları) lineer bağımsız iff A
tekil olmayan iff A-1 vardır.
Ayrıca, A tekil olmayan iff detA ≠ 0.
Dahası, eğer A = BC, ise det(C) = det(A)det(B).
Öyle ise eğer A ve B nin sütunları (veya satırları)
lineer bağımsız ise, C nin sütunları (veya satırları) da
lineer bağımsızdır.
Eigendeğerler ve Eigenvektörler
Denklem Ax = y bir lineer dönüşüm olarak düşünülebilir
(x in yeni bir vektör y ye dönüşmesi).
öyle ise şu denklemi çözelim: Ax = λx veya, (A-λI)x = 0.
Bu denklem sıfır olmayan çözüme sahiptir olması için λ nin
şu şekilde seçimi gereklidir det(A-λI) = 0.
Bu tip λ değerlerine A nın eigendeğerleri, ve sıfır olmayan
x çözümlerine de eigenvektörler denir.
+ cn x ( n ) (t ) = 0, for all t ∈ I
aksi takdirde x(1)(t), x(2)(t),…, x(n)(t) lineer bağımsızdır.
9
örnek 5: eigendeğerler (1 of 3)
örnek 5: ilk Eigenvektör (2 of 3)
Matris A nın eigendeğerler ve eigenvektörlerini bulun.
3⎞
⎛2
⎟⎟
A = ⎜⎜
3
−
6
⎝
⎠
çözüm: λ yi det(A-λI) = 0 olacak şekilde seçelim.
(A − λI )x = 0
⎛⎛2
3⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎞
⎟⎟ − λ ⎜⎜
⎟⎟ ⎟⎟
det (A − λI ) = det⎜⎜ ⎜⎜
−
3
6
⎠ ⎝0 0⎠⎠
⎝⎝
3⎞
⎛2− λ
⎟
= det⎜⎜
3 − 6 − λ ⎟⎠
⎝
3 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛ −1
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
−
3
9
⎠⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝
1x − 3 x2
3 0⎞ ⎛ 1 − 3 0⎞ ⎛ 1 − 3 0⎞
⎛ −1
⎜⎜
⎟⎟ → ⎜⎜
⎟⎟ → ⎜⎜
⎟→ 1
0 x2
0 0 ⎟⎠
⎝ 3 − 9 0⎠ ⎝3 − 9 0⎠ ⎝ 0
3
x
3
3
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
→ x (1) = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = c ⎜⎜ ⎟⎟, c arbitrary → choose x (1) = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1⎠
⎝1⎠
⎝ x2 ⎠
= λ2 + 4λ − 21 = (λ − 3)(λ + 7 )
⇒ λ = 3, λ = −7
örnek 5: ikinci Eigenvektör (3 of 3)
Eigenvektör için λ = -7: çözelim
3 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛2+ 7
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔
⇔ ⎜⎜
3 − 6 + 7 ⎟⎠⎜⎝ x2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎝
3 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛2 −3
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔
⇔ ⎜⎜
3
−
6
−
3 ⎟⎠⎜⎝ x2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎝
satır küçültme ile:
= (2 − λ )(− 6 − λ ) − (3)(3)
(A − λI )x = 0
Eigenvektörleri bulmak için (A-λI)x = 0 denklemini
çözmeliyiz.
λ = 3 ve λ = -7 değerleri için.
Eigenvektör için λ = 3: çözelim
⎛ 9 3 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜⎜
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3 1⎠⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠
satır küçültme ile:
1x1 +1/ 3 x2 = 0
⎛ 9 3 0 ⎞ ⎛ 1 1/ 3 0 ⎞ ⎛ 1 1/ 3 0 ⎞
⎜
⎟→⎜
⎟→⎜
⎟→
0 x2 = 0
1 0⎠ ⎝0
0 0⎠
⎝ 3 1 0⎠ ⎝3
x
1/
3
−
1/
3
−
−1⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
2
(2)
→ x (2) = ⎜
⎟ = c⎜
⎟ , c rastgele → seç x = ⎜ ⎟
x
1
3⎠
⎝
⎠
⎝
2⎠
⎝
=0
=0
Normalize edilmiş Eigenvektörler
Önceki örnekte gördüğümüz gibi, eigenvektörler sıfır
olmayan çarpan bir sabitle yazıldılar.
Eğer bu sabit belirlenmiş ise eigenvektör Normalize
edilmiş denir.
Örnek, eigenvektörler bazen ||x|| = (x, x)½ = 1 denkleminin
sağlanması ile normalize edilirler.
10
Cebirsel ve Geometrik Çarpan
n x n matris A nın eigendeğerler λ larını bulmak için,
det(A-λI) = 0 denklemini çözeriz.
Ancak bu n x n matrisin determinantını bulmayı, n.ci derece
bir polinomun köklerini bulmayı gerektirir.
Bu eigendeğerlere, λ1, λ2, …, λn diyelim.
Eğer bir eigendeğer m kere tekrarlıyorsa,onun cebirsel
çarpanı m dir.
Eğer eigendeğer en az bir eigenvektöre sahip, ve bir
eigendeğerin çebirsel çarpanı m, q lineer bağımsız
eigevektörlere sahip ise, 1 ≤ q ≤ m, q ya eigendeğerin
geometrik çarpanı denir.
örnek 6: eigendeğerler (1 of 5)
Matris A nın eigendeğer ve eigenvektörlerini bulun.
⎛0 1 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜1 0 1⎟
⎜1 1 0⎟
⎝
⎠
çözüm: det(A-λI) = 0.
1
1⎞
⎛− λ
⎜
⎟
det (A − λI ) = det⎜ 1 − λ
1⎟
⎜ 1
1 − λ ⎟⎠
⎝
3
= −λ + 3λ + 2
= (λ − 2)(λ + 1) 2
⇒ λ1 = 2, λ2 = −1, λ2 = −1
Eigenvektörler ve lineer bağımsızlık
Eğer bir eigendeğerin λ cebirsel çarpanı 1 ise, o
zaman basitdir, ve geometrik çarpanı da 1 dir.
Eğer n x n matris A nın her eigendeğeri basit ise, A
n birbirinden farklı eigendeğerlere sahiptir. Ayrıca
bu n eigendeğerler karşılık gelen n eigenvektör
lineer bağımsızdır.
Eğer bir eigendeğer bir veya daha fazla tekrarlı
eigendeğere sahip ise, n den daha az lineer
bağımsız eigenvektörler var olabilir. Bu
diferansiyel denklem sistemlerinin çözümünde
sorun yaratabilir.
örnek 6: ilk Eigenvektör (2 of 5)
Eigenvektör λ = 2: çöz (A-λI)x = 0.
1 1 0⎞ ⎛ 1
⎛ −2
⎜
⎟ ⎜
−
1
2
1 0⎟ → ⎜ 1
⎜
⎜ 1 1 −2 0 ⎟ ⎜ −2
⎝
⎠ ⎝
⎛ 1 1 −2 0 ⎞ ⎛ 1
⎜
⎟ ⎜
→ ⎜ 0 1 −1 0 ⎟ → ⎜ 0
⎜0 0 0 0⎟ ⎜0
⎝
⎠ ⎝
1 −2 0 ⎞ ⎛ 1 1
⎟ ⎜
−2
1 0 ⎟ → ⎜ 0 −3
1 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 3
0 −1 0 ⎞
1x1
⎟
1 −1 0 ⎟ →
1x2
0 0 0 ⎟⎠
−2 0 ⎞
⎟
3 0⎟
−3 0 ⎟⎠
−1x3 = 0
−1x3 = 0
0 x3 = 0
⎛ 1⎞
⎛ x3 ⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
→ x (1) = ⎜ x3 ⎟ = c ⎜1⎟ , c rastgele → seç x(1) = ⎜1⎟
⎜ 1⎟
⎜x ⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ 3⎠
⎝ ⎠
11
örnek 6: 2nci ve 3ncü Eigenvektörler (3 of 5)
Eigenvektör λ = -1: çöz (A-λI)x = 0.
öyle ise A nın üç eigenvektörü
1x1 +1x2 +1x3
⎛1 1 1 0 ⎞ ⎛ 1 1 1 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
→
→
1
1
1
0
0
0
0
0
0 x2
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜1 1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟
0 x3
⎝
⎠ ⎝
⎠
−
−
−
−
x
x
1
1
⎛ 2 3⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
→ x (2) = ⎜ x2 ⎟ = x2 ⎜ 1⎟ + x3 ⎜ 0 ⎟ , where x2 , x3
⎜ x
⎟
⎜ 0⎟
⎜ 1⎟
3
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 1⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
→ seç x (2) = ⎜ 0 ⎟ , x(3) = ⎜ 1⎟
⎜ −1⎟
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
örnek 6: Eigenvektörler
=0
=0
=0
rastgele
(5 of 5)
Aynı zamanda şu da seçilebilirdi.
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x (1) = ⎜1⎟, x ( 2) = ⎜ 0 ⎟ , x (3) = ⎜ − 2 ⎟
⎜ 1⎟
⎜ − 1⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
öyle ise eigenvektörler diktir, çünkü
(x
(1)
)
(
)
(
örnek 6: Eigenvektörler (4 of 5)
)
, x ( 2) = 0, x (1) , x ( 3) = 0, x ( 2) , x ( 3) = 0
öyle ise A 3 real eigendeğerli ve 3 lineer bağımsız dik
eigenvektörlü bir 3 x 3 simetrik matristir.
⎛ 0⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x (1) = ⎜1⎟, x ( 2) = ⎜ 0 ⎟ , x ( 3) = ⎜ 1⎟
⎜ − 1⎟
⎜ − 1⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
burada x(2), x(3) karşılık gelen çift eigendeğer λ = - 1.
x(1), x(2), x(3) are lineer bağımsızdır.
A 3 real eigendeğerli ve 3 lineer bağımsız eigenvektörlü bir
3 x 3 simetrik matrisdir (A = AT ) .
⎛0 1 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜1 0 1⎟
⎜1 1 0⎟
⎝
⎠
Hermitian matrisler
Bir Hermitian matris, A = A* , denklemini sağlar.
(A* = AT ).
öyle ise Hermitian matris için, aij = aji.
Eğer A reel elemanlara sahip ve simetrik ise, A Hermitian
dır.
Bir n x n Hermitian matris A aşağıdaki özelliklere sahiptir:
Tüm eigendeğerleri reeldir.
n lineer bağımsız eigenvektörleri vardır.
Eğer x(1) ve x(2) farklı eigendeğerlere karşılık gelen eigenvektörler
ise x(1) ve x(2) diktir.
Cebirsel çarpanı m olan bir eigendeğer için, m birbirine dik
eigenvektörler seçmek mümkündür, ve A n lineer bağımsız dik
eigenvektörlere sahiptir.
12