Amaç Birkaç Vektör Uzay Kavramı

Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısına Giden Uzun-Kısa
Yol
Zafer ERCAN
Doğal sayılar kümesi, tamsayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi ve gerçel sayılar kümesi,
her zaman olduğu gibi, sırasıyla, N, Z, Q ve R ile gösterilecek.
Bu yazıda okurun yabancı olmadığı varsayılan kavramlara kısaca değinilse de ayrıntılara girilmeyecektir. Bunun yanında okuyucunun ulaşabileceği kaynaklar verilecektir. Yaygın
olarak bilinen bazı matematiksel ifadelerin okurlar tarafından da bilindikleri varsayılmıştır.
Verilen alıştırmaların yazının hacmini küçültmesi yanında eğitici olabileceği düşünülmüştür.

Amaç
R × R’den R’ye tanımlı toplama fonksiyonunu t ile gösterelim. Yani
t(x, y) = x + y
olarak tanımlansın. İleri Analiz derslerinde geçen süreklilik kavramına göre t fonksiyonu süreklidir. Diğer taraftan bu anlamda verilen süreklilik bir topolojiye göre denk olarak tarif
edilebilir. Dolayısıyla “R üzerine konulacak farklı topolojilere göre de bu fonksiyon sürekli
olabilir mi?" sorusu anlamlıdır. Ayrıca bu tür topolojilerin ne kadar çok olduğununun yanıtı da anlamlı olacaktır. Bu yazının amacı bu ve benzeri konulardır. Yazının bütünlüğü,
aynı zamanda da topoloji ve topolojiye göre süreklilik kavramlarının daha az bilinir olması
nedeniyle bu kavram aşağıda tanımlanacaktır.

Birkaç Vektör Uzay Kavramı
Bir X kümesinin altkümelerinin kümesine X’nin kuvvet kümesi denir ve ℘(X) ile gösterilir.
Bir kümenin kardinalitesini matematiksel olarak burada tanımlamayacağız. Buna karşın iki
kümenin kardinaliteleri arasındaki ilişkiyi verebiliriz: X ve Y iki küme olmak üzere X’den
Y ’e tanımlı en az bir birebir fonksiyon varsa |X| 6 |Y | yazarız. |X| 6 |Y | ve |Y | 6 |X| oluyorsa X’den Y ’e tanımlı birebir ve örten fonksiyon vardır (Cantor-Bernstein ya da Schröder
Teoremi olarak bilinir) ve bu durumda |X| = |Y | yazılır. |X| = |Y | olmaması durumunda
|X| =
6 |Y | yazılır. Burada geçen |X|’e X’nin kardinalitesi denir. |X| =
6 |Y | ve |X| 6 |Y
ise |X| < |Y | yazılır. R’nin kardinalitesi c ile ve N’nin kardinalitesi ℵ0 ile gösterilir. ℵ0 < c
dir. ℘(X) kümesinin kardinalitesi 2|X| ile gösterilir. Kardinaliteler hakkında geniş ve yeterli
kaynak Matematik Dünyası dergisinin ilgili sayılarındadır.
Bu yazıda geçen vektör uzay reel (gerçel) vektör uzaydır. Vektör uzayda tanımlı toplama
işlemi, genelde + ve skalerle çarpma işlem de genelde · ile gösterilir. Okurun vektör uzayı, vektör altuzayı, vektör uzayın tabanı ve boyutu , vektör uzaylarının izomorfik olma kavramları,
vektör uzayları ailesinin çarpım uzayı ve direkt toplamı gibi kavramları bildiği varsayılacaktır. Bir X vektör uzayının boyutu bir kardinal sayıdır ve dim(X) ile gösterilir. E vektör

Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gölköy Kampüsü , Bolu
Her vektör uzayın bir tabanının olduğu []’te kanıtsız olarak ifade edilmiştir. Bunun kanıtı, gerçel sayıların
rasyonel sayılar üzerinde vektör uzayı olduğunun, Hamel [] tarafından verilen, ilgili uzayın tabanı olduğunun
kanıtıyla birebir aynıdır.

Bu kavramın başlangıç evrelerinde vektör uzayın boyutunu Löwig []’de “affine dimesion" olarak adlandırmıştır. Ayrıca Löwig, bir E vektör uzayı için c < |X| ise dim(E) = |X| olduğunu [] ’de kanıtlamıştır.


uzayının A ⊂ E tarafından üretilen
Q vektör altuzayı span(A) ile gösterilir. Bir (Ei )i∈I vektör
uzayları ailesinin çarpım uzayı
i∈I Ei ve direkt toplamı ⊕i∈I Ei ile gösterilir. Her i ∈ I için
Q
Ei = E olması durumunda i∈I Ei yerine EI yazarız. B bir E vektör uzayının tabanı ise E
ve ⊕b∈B R vektör uzayları izomorfiktirler. Bu konular için [] yeterli bir kaynaktır.
Alıştırma .. R ve ⊕a∈A Q izomorfik olacak biçimde ve |A| = c özelliğinde A ⊂ R altkümesinin olduğunu gösterin. Ayrıca B ve C kümelerinin kardinaliteleri eşitse ⊕b∈A Q ve ⊕c∈C Q
gruplarının grup izomorfik olduklarını gösterin.
Alıştırma .. A ve B kümelerinin kardinalitelerininin eşit olmalarının ⊕a∈A R ve ⊕a∈A R
vektör uzaylarının izomorfik olması için yeterli olmadığını gösterin.

Biraz Topoloji
f : X → Y bir fonksiyon olmak üzere, A ⊂ X ve B ⊂ Y için
f (A) = {f (a) : a ∈ A},
f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}
gösterimlerini kullanırız. Ayrıca F ⊂ ℘(X) ve G ⊂ ℘(Y ) için
f (F) = {f (A) : A ∈ F},
f −1 (F) = {f −1 (B) : B ∈ G},
yazarız.
R’de x 7→ |x| olarak tanımlanan mutlak değer metriğine göre toplama ve çarpma işlemlerinin sürekli olduklarını biliyoruz. Yani R × R’den R’ye tanımlı
(x, y) → x − y ve (x, y) → xy
fonksiyonları süreklidir. Bu özellikteki topoloji kavramı aşağıda verilen tanımla genellenebilir.
Öncelikle topoloji ve süreklilik kavramını tanım düzeyinde hatırlayalım.
X boş olmayan bir küme olmak üzere aşağıdaki özellikleri sağlayan τ ⊂ ℘(X) kümesine
X üzerinde bir topoloji denir.
i. ∅, X ∈ τ .
ii. U , V ∈ τ ise U
T
V ∈ τ.
iii. Her i ∈ I için Ui ∈ τ ise
S
i∈I
Ui ∈ τ .
τ , X üzerinde bir topoloji ise (X, τ ) ikilisine topolojik uzay denir. Bir topolojinin elemanları
açık olarak adlandırılır; açık kümenin tümleyenine kapalı denir.
(X, τ ) bir topolojik uzaysa, x ∈ X elemanını içeren açık kümelerin kümesini τ (x) ile
gösterelim.
τX , ve τY , sırasıyla X ve Y kümeleri üzerinde topolojiler olsunlar. f : X → Y fonksiyonunun x ∈ X noktasında sürekli olması
f −1 (τY (f (x))) ⊂ τX (x)

olmasıdır. f fonksiyonu X’in her noktasında sürekliyse f ’ye sürekli denir. f ’nin sürekli
olması için gerekli ve yeterli koşulun f −1 (τY ) ⊂ τX içermesinin sağlanması olduğu kolaylıkla
gösterilebilir.
X boş olmayan bir küme olmak üzere verilen bir U ⊂ ℘(X) kümesinin bir topoloji olması
gerekmese de, bu küme, şu anlamda bir topoloji üretir: τ0 , U’nun sonlu elemanlarının arakesiti
olmak üzere, elemanları τ0 ’nın altkümelerinin birleşimi olan ve X’i içeren τ , X üzerinde bir
topolojidir. Bu topolojiye U tarafından üretilen topoloji denir ve < U > ile gösterilir.
Bir vektör uzayında tanımlanan önemli topolojilerden biri norm topolojisidir: X bir vektör uzayı ve k · k : E → R fonksiyonu, her x, y ∈ E ve α ∈ R için,
i. ||x|| = 0 ⇔ x = 0,
ii. ||αx|| = |α||x||,
iii. ||x + y|| 6 ||x|| + ||y||
koşullarını sağlıyorsa k · k fonksiyonuna bir norm ve E’ye bir normlu uzay denir. Ayrıca
her a ∈ E ve r > 0 için
B(a, r) = {x ∈ E : ||x − a|| < r}
olmak üzere, U = {B(a, r) : a ∈ E, r > 0} tarafından üretilen < U > topolojisine norm
topolojisi denir.
Alıştırma .. f : R → R fonksiyonu için aşağıdakilerin denk olduğunu gösterin.
i. f bir normdur.
ii. Her x ∈ R için f (x) = c|x| olacak biçimde c > 0 vardır.
R’de c kadar farklı norm olmuş olsa da norm topolojisi için durum aynı değildir.
Alıştırma .. R’de yalnızca bir tane norm topolojisi olduğunu gösterin.
(X, τX ) ve (X, τY ) topolojik uzaylar olmak üzere X × Y ’de τX × τY tarafından üretilen
topolojiye çarpım topolojisi denir. Çarpım topolojisiyle donatılmış X ×X’e, X’nin çarpım
uzayı adı verilir.
E vektör uzayı bir τ topolojisiyle donatılsın ve E × E, E’in çarpım uzayı olsun. t :
E × E → E, t(x, y) = x + y fonksiyonu sürekliyse, t’ye τ topolojisine göre uyumlu denir.
Alıştırma .. X vektör uzayında tanımlı her norm topolojisinin toplama fonksiyonuna
uyumlu olduğunu gösterin.
R, F = {(a, b) : a, b ∈ R} tarafından üretilen τ topolojiyle donatılsın (bu topolojiye
d(x, y) = |x − y| metriği tarafından üretilen topoloji de denir).
t : R × R → R, t(x, y) = x + y
fonksiyonu süreklidir. Yani t, bu topolojiye uyumludur. Burada R × R’nin τ × τ tarafından
üretilen topolojiyle donatıldığını varsayıyoruz.
F ⊂ RX ve U = {f −1 (U ) : f ∈ F, U ⊂ R açık } olmak üzere, U tarafından üretilen
topolojiye F tarafından üretilen topoloji denir ve σ(X, F ) ile gösterilir. Bu topoloji aşağıdaki
tanım anlamında bir grup topolojisidir.

Tanım .. Bir vektör uzayının, toplamaya uyumlu ve
x → −x
fonksiyonlarını sürekli yapan topolojiye grup topolojisi denir.
Alıştırma .. R vektör uzayında aşağıdaki özellikleri sağlayan τ1 ve τ2 topoloji örnekleri
veriniz.
i. τ1 topolojisine göre (x, y) → x + y sürekli, x → −x sürekli değil.
ii. τ2 topolojisine göre (x, y) → x + y sürekli değil ve x → −x sürekli.
Alıştırma .. E vektör uzayında tanımlı τ topolojisi için aşağıdakilerini denkliğini gösteriniz.
i. τ group topolojidir.
ii. (x, y) → x − y fonksiyonu süreklidir.

Temel Teorem
“Verilen bir vektör uzayın üzerinde tanımlı ne kadar çok grup topolojisi vardır?” sorusu
oldukça anlamlıdır. Bu sorunun yanıtını verebilmek için basit vektör uzaylardan başlamak
anlamlı olabilir. En basit vektör uzayı olarak sıfır vektör uzayını alırsak, bu uzayın üzerinde
sadece bir tane grup topolojisi vardır. E = R üzerinde de hemen iki tane farklı grup topolojisi
örneği verebiliriz: d(x, y) = |x−y| metriği tarafından üretilen topoloji ve τ = ℘(X) topolojisi.
Peki, bunlardan başka var mıdır? Hem de çok var, açık seçik yazamasak da. Bu yazının temel
amacı şudur:
Teorem .. T , R vektör uzayında tanımlı grup topolojilerin kümesi olmak üzere,
c
|T | = 22
olur.
Bu teoremin kanıtı için biraz daha hazırlık yapmaya devam edelim.

Vektör Uzayında Tanımlı Grup Topolojilerinin Sayısı
Bir E vektör uzayından R’ye tanımlı f fonksiyonu her x,y ∈ E ve λ ∈ R için
f (x + y) = f (x) + f (y) ve f (λx) = λf (x)
özelliğini sağlıyorsa f ’ye fonksiyonel denir. E’nin fonksiyonellerinin kümesi E ∗ ile gösterilir. E ∗ noktasal cebirsel işlemler altında vektör uzaydır ve E’nin cebirsel duali olarak
adlandırılır. E ve F iki vektör uzayı olmak üzere ϕ : E × F → R fonksiyonu, her a ∈ E ve
b ∈ F için
x 7→ ϕ(x, b) ve y 7→ ϕ(a, y)
olarak tanımlanan fonksiyonlar fonksiyoneller ise, ikili fonksiyonel olarak isimlendirilir.

Alıştırma .. E bir vektör uzayı olmak üzere,
ϕ(x, f ) = f (x)
eştliğiyle tanımlanan fonksiyonun E×E ∗ çarpım uzayında ikili fonksiyonel olduğunu gösterin.
Ayrıca, verilen bir x ∈ E ve her f ∈ E ∗ için ϕ(x, f ) = 0 olması için gerekli ve yeterli koşulun
x = 0 olması gerektiğini gösterin. Benzer biçimde, verilen bir f ∈ E ∗ ve her x ∈ E için
ϕ(x, f ) = 0 olması için gerekli ve yeterli koşulun f = 0 olması gerektiğini gösterin.
Aşağıdaki önemli ve kanıtı oldukça kolay olan teoremin kanıtı okura bırakılmıştır.
Alıştırma .. E vektör uzayı bir norm topolojisiyle donatısın. f ∈ E ∗ için aşağıdakiler
denktir.
i. f süreklidir.
ii. Her x ∈ E için |f (x)| 6 M ||x|| özelliğinde M > 0 vardır.
f ∈ E ∗ ’nin çekirdeği f −1 (0) olarak tanımlanır ve ker(f ) ile gösterilir. Okur aşağıdaki
teoreme aşina olmayabilir.
Teorem .. E vektör uzayı olmak üzere f , f1 , ..., fn ∈ E ∗ verilsin. Aşağıdakiler denktir.
i. f ∈ span({f1 , ..., fn }).
T
ii. ni=1 ker(fi ) ⊂ ker(f ).
Kanıt. (i)’in gerçeklendiğini varsayalım. u : E → Rn fonksiyonu
u(x) = (f1 (x), ..., fn (x))
eşitliğiyle tanımlansın. u(X), Rn ’nin bir vektör altuzayıdır. u(a) = u(b) olması durumunda
her 1 6 i 6 n için a − b ∈ ker(fi ) olacağından, a − b ∈ ker(f ) ve dolayısıyla f (a) = f (b)
olur. Bu gözlemin sonucu olarak
v : u(X) → R, v(u(x)) = f (x)
fonksiyonunu tanımlayabiliriz. v’nin Rn ’ye bir v genişlemesi vardır. her x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn
için
n
X
v(x) =
λi xi
i=1
olacak biçimde λi ∈ R’ler de bulunur. Şimdi
f=
n
X
λi fi
i=1
olduğu da açık.
Gerektirmenin diğer yönüde açık. Kanıt tamamlanır.
Vektör uzayın boyutuyla cebirsel dualinin boyutu arasındaki ilişi aşağıdaki gibirdir. Kanıtı
okura bırakıyoruz.
Teorem .. (Erdös-Kaplansky Theoremi) E vektör uzay olsun.
dim(E ∗ ) = 2dim(E)

olur.
Bir vektör uzayında tanımlı birçok grup topolojisi üretilebilir.
Teorem .. E bir normlu uzay ve Φ, E ∗ ’nin bir vektör alt uzayı olsun. σ(E, Φ) bir grup
topolojisidir.
Kanıt. ϕ : E × E → R fonksiyonu ϕ(x, y) = x + y olarak tanımlansın.
f1 ,...,fn ∈ φ, x1 ,...,xn ∈ E ve ε1 , ..., εn > 0 verilsin.
T
U = ϕ−1 ( ni=1 fi−1 ((xi − εi , xi + εi )))
diyelim.
T
U = Tni=1 {(x, y) : x + y ∈ fi−1 (xi − εi , xi + εi )}
= Tni=1 {(x,
y) : xi − εi < fi (x) + fi (y) < xi + εi }
n S
=
{(x, y) : xi − δ < fi (x) < xi + δ, −εi + δ < fi (y) < εi − δ}
Tni=1 Sδ∈(0,εi ) −1
−1
=
i=1
δ∈(0,εi ) fi ((xi − δ, xi + δ)) × fi ((−εi + δ, εi − δ))
olur. V , σ(E, Φ)’de açık olsun. V , yukarıda tanımlanan U kümelerinin birleşimi olarak yazılabileceğinden ϕ−1 (V ) kümesi E × E uzayında açıktır. Ayrıca E’den E’ye tanımlı x 7→ −x
fonksiyonunun σ(X, Φ) topolojisine göre sürekliliği de açıktır. Böylece kanıt tamamlanır.
E vektör uzayında tanımlı grup topolojilerinin çokluğu aşağıdaki teoremle test edilebilir.
Teorem .. E bir vektör uzayı ve B, E’nin cebirsel duali olan E ∗ ’ın tabanı olsun. Her R,
S ⊂ B için, aşağıdakiler denktir.
i. R = S.
ii. span(S) = span(R).
Kanıt. (i =⇒ ii) olduğu açık. (ii)’nin gerçeklendiğini varsayalım. f ∈ R verilsin. f , σ(E, span(R))
topolojisine göre süreklidir ve varsayım gereği σ(E, span(S)) topolojine göre de sürekli olur.
Dolayısıyla f −1 ((−1, 1)) ∈ σ(E, span(S)) gerçeklenir. Tanımı gereği
∩ni=1 ker(fi ) ⊂ ∩ni=1 fi −1 (Vi ) ⊂ f −1 ((−1, 1))
özelliğinde fi ∈ span(S)’ler vardır. Üstelik
∩ni=1 ker(fi ) ⊂ f −1 ((−1, 1))
özelliğindeki fi ’leri S kümesinden seçebiliriz (neden?). Theorem . uyarınca f ∈ span(S)
olur. Yani span(R) ⊂ span(S) olduğu gösterilmiş olunur. Kapsamanın diğer yönü de benzer
biçimde elde edilir. Dolayısıyla span(R) = span(S) olduğu gösterilmiş olunur.
Bir E vöktör uzayı için Erdös-Kaplansky Teoremi’nden dim(E ∗ ) = 2dim(E) olduğundan,
dim(E)
E’de tanımlı grup topolojilerinin sayısı 22
’den büyük ya da eşittir. Bu ve yukarıdaki
teoremim sonucu olarak, aşağıdaki sonuç elde edilir.
Sonuç .. E bir vektör uzayı olsun. |E| = dim(E) ise E’de tanımlı grup topolojilerinin
|E|
kardinalitesi 22 olur.
Yukarıdaki teoremin sonucu olarak aşağıdaki sonuç elde edilir.
∗
Sonuç .. E vektör uzayı olsun. E’deki grup topolojileri kümesinin kardinalitesi 2dim(E ) ’den
büyük ya da eşittir.

c0 Dizi Uzayının Cebirsel Boyutu

Belli bir terimden sonraki bütün terimleri sıfır olan dizilerin kümesini c00 ile gösterelim. Yani
(xn ) ∈ c00 olması için gerekli ve yeterli koşul, her n > m için xn = 0 olacak biçimde m
olmasıdır. Ayrıca sınırlı dizilerin kümesini l∞ ile gösterelim. c, yakınsak dizilerin kümesini
ve c0 , sıfıra yakınsayan dizilerin kümesi olsun. Noktasal cebirsel işlemler altında, l∞ kümesi
RN ’nin, c0 kümesi l∞ ’un, c00 kümesi c0 ’ın, ve c0 da c’nin vektör altuzayıdır.
Alıştırma .. c ve c0 vektör uzaylarının izomorfik olduklarını gösterin.
c00 vektör uzayının boyutu ℵ0 olduğundan, c0 vektör uzayının boyutu en az ℵ0 ’dır. Ayrıca
|R | = c (neden?) olduğundan, c0 ’ın boyutu en fazla c olur. Dolayısıyla c0 ’ın boyutu ℵ0 ya
da c olur. İkiye indeirgenen bu durumu bire de indirebileceğiz.
c0 , l∞ ’un vektör altuzayı olmasına karşın, l∞ , c0 ’ın bir vektör altuzayına izomorfiktir. Bu
ilginç durumu teorem olarak vermeden önce iki noktayı alıştırmalar başlığıyla hatırlayalım.
N
Alıştırma .. F , E’nin bir vektör altuzayı ve f : F → R bir fonksiyonel olsun. f ’nin bir
f : E → R fonksiyonel genişlemesinin var olduğunu gösteriniz.
Alıştırma .. F , E normlu uzayının altuzayı olsun. f : F → R sürekli bir fonksiyonel ise
f ’nin bir sürekli f : E → R fonksiyonel genişlemesinin var olduğunu gösteriniz.
(E, ||.||) normlu uzay olsun. (xn ), E’de bir dizi olmak üzere, verilen her ε > 0 için
n > m ⇔ ||xn − xm || < ε
olacak biçimde m varsa (xn ) dizisine Cauchy denir; eğer E’deki her Cauchy dizisi yakınsak
ise, E bir Banach uzayı olarak adlandırılır.
Alıştırma .. ||(xn )||∞ = supn |xn | normuna göre c0 , c ve l∞ ’un Banach uzayları olduklarını
gösterin.
Alıştırma .. ||(xn )||∞ = supn |xn | normuna göre c00 ’ın Banach uzayı olmadığını gösterin.
Teorem .. (Mackey []) E sonsuz-boyutlu birm Banach uzayı ise, l∞ uzayı E’nin bir
vektör altuzayına izomorfiktir.
Kanıt. Bu kanıtta yer alan normlu bir uzayaın kapalı bir altuzayının ne olduğunun bildiğini
varsayıyoruz. Ayrıca bir normlu uzaydan tanımlı sürekli bir fonksiyonelin çeirdeğinin kapalı
olduğunu da bilelim. E sonsuz boyutlu olduğundan,
x1 ∈ E r Ker(f ) ve ||x1 || = 1
özelliğinde sürekli bir f : E → R seçebiliriz.
M1 = Ker(f )
diyelim. M1 ’in sıfırdan farklı olması nedeniyle,
x2 ∈ M1 r Ker(f2 ) ve ||x2 || =

1
2
özelliğinde sürekli bir f1 : M1 → R ve bir x2 ∈ E de seçebiliriz.
M2 = Ker(f1 )
diyelim. Bu argüman kullanılarak E’nin kapalı ve (kapsamaya göre) azalan (Mn ) altuzay
dizisini ve her n için xn ∈ M1 ve her n > 2 için
xn ∈ Mn−1 r Mn
özelliğinde (xn ) dizisi elde edilir. (λn ) ∈ l∞ verilsin. Her n için
yn =
n
X
λk xk
k=1
olarak tanımlanan (yn ) dizisi X’de P
bir Cauchy dizisidir. E Banach uzayı olduğundan bu dizi
yakınsaktır ve yakınsadığı noktayı ∞
n=1 λn xk ile gösterelim. Böylece l∞ ’dan E’ye
(λn ) →
∞
X
λ k xk
n=1
fonksiyonunu tanımlayabiliriz. Bu fonksiyonu ϕ ile gösterelim. ϕ’nin lineer olduğunu göstermek kolay. Birebir olduğunu gösterelim. ϕ(λn ) = 0 olsun. Buradan M2 kapalı olduğundan
−λ1 x1 =
∞
X
(λn xn ) ∈ M2
n=2
olur. x2 6∈ M2 olacağından λ1 = 0 olur. Aynı argüman kullanılarak (λn ) = (0) olduğu görülür.
Yani ϕ birebirdir. Bu kanıtı tamamlar.
Alıştırma .. Her 0 < t < 1 için ft ∈ l∞ fonksiyonu ft (n) = tn olarak tanımlansın.
{ft : 0 < t < 1} kümesinin l∞ uzayının içinde doğrusal bağımsız olduğunu gösterin. Ayrıca
dim(l∞ ) = c olduğunu da gösterin.
Şimdi aşağıdaki teoremi verebiliriz.
Teorem .. dim(c) = c olur.
Kanıt. c Banach uzayı olduğundan l∞ , c’nin bir altuzayına izomorfiktir. Buradan
c = dim(l∞ ) 6 dim(c) 6 |c| 6 c
eşitsizliğinden dim(c) = c elde edilir.
Alıştırma .. dim(RN ) = c olduğunu gösterin.

“Aaa Ne Kadar İlginç” Dedirten Bir Durum
Aşağıdaki soruyla başlayalım.
Alıştırma .. n, m ∈ N ve n 6= m olmak üzere Rn ve Rm vektör uzaylarının izomorfik
olmadıklarını gösteriniz.

Dolayısıyla R ve R2 vektör uzayları izomorfik değillerdir. Buna karşın “Aaaa ne kadar
ilginç” dedirtecek bir soru hizmetinizde...
Alıştırma .. (Ward) (R, +) ve (R2 , +) gruplarının izomorfik olduklarını gösterin.
Aslında yukarı soruda verilen sorunun çok daha genel bir hâli de doğru.
Teorem .. (Chuan-Liu []) E bir vektör uzayı ve dim(E) 6 c olsun. O zaman E ve R
grup izomorfiktirler.
Kanıt. A, E’nin bir tabanı ve R’nin Q vektör uzayı olarak bir tabanı B ⊂ R olsun. Dolayısıyla
E = ⊕a∈A R
ve
R = ⊕a∈B Q
yazabiliriz. Buradan da
E = ⊕c∈AB Q
olduğu bâriz. Diğer taraftan
c = |B| 6 |AB| 6 cc = c
olduğundan
|AB| = c
olur. Buradan da, Alıştırma . kullanılarak, R = ⊕b∈B Q ve E = ⊕c∈AB Q yapılarının grup
izomorfik oldukları kanıtlanmış olur.

Teorem .’in Kanıtı
Alıştırma . gereği
dim(RN ) = c = |RN |
olur. Sonuç . gereğince de, RN grubundaki topolojik grupların sayısı 22 olur. Teorem
. kullanıldığında da, RN ve R grupları izomorfik olduklarından, R grubunda tanımlı grup
c
topolojilerinin sayısının 22 olduğu gosterilmiş olur.
c
Aynı küme üzerinde tanımlı iki topolojinin farklı olmasıyla homeomorfik olmamaları farklı
kavramlardır. Birbirlerine homemorfik olmayan iki topoloji farklı olmak zorundadır. Aşağıdaki netice, Teorem .’i geneller.
Teorem .. T , R grubunda tanımlı grup topolojilerin kümesi olsun. τ1 , τ2 ∈ T için
τ1 ≡ τ2 ⇐⇒ τ1 ve τ2 homeomorfik
olarak tanımlana ≡, bir denklik bağıntısıdır. [τ ], τ ∈ T ’nin denklik sınıfı olmak üzere
c
|{[τ ] : τ ∈ T }| = 22
olur.

Ward tarafından sorulan bu soru Amer. Math. Monthly dergisinde ’üncü sorudur. Bu soruya verilen
yanıtlardan biri ([]) Ward ve Ellis’e aittir.

Kanıt.
[T ] = {[τ ] : τ ∈ T }
olmak üzere, her τ ∈ T için |[τ ]| 6 2c olduğundan (neden?),
c
22 = |T | = | ∪[τ ]∈[T ] [τ ]| 6 2c |[T ]|
gerçeklenir. Buradan da,
olur. Ayrıca
c
22 6 |[T ]|
c
|[T ]| 6 22
olduğundan kanıt tamamlanır.

Yerel Konveks Hausdorff Uzaylarının Sayısı
Aşağıdaki problem okuyucu tarafından kolaylıkla çözülebilir.
Alıştırma .. E bir vektör uzayı ve Φ, E ∗ vektör uzayının bir altuzayı olsun. Her f ∈ E ∗
için ϕf ∈ E ∗ ,
ϕf (x) = |f (x)|
olarak tanımlansın. {ϕf : f ∈ Φ} tarafından üretilen topoloji σ(E, Φ)’ye eşittir.
Bir E vektör uzayından R’ye tanımlı bir p fonksiyonu norm olma koşullarından
p(x) = 0 =⇒ x = 0
dışındaki koşulları sağlıyorsa p’ye yarı-norm denir. Her f ∈ E ∗ için
ϕf (x) = |f (x)|
olarak tanımlanan fonksiyon bir yarı-norm olur. (pi )i∈I , E üzerindeki yarı-normların bir ailesiyse bu yarı-normlar tarafından üretilen toplojiye yarı-normlar topolojisi denir. Yukarıdaki son problemde geçen E ∗ ’nün her Φ altuzayı için, σ(X, Φ) bir yarı-normlar topolojisidir.
Alıştırma .. Bir E vektör uzayında tanımlı her yarı-normlar topolojisi bir grup topolojisidir.
Aşağıdaki teoremin kanıtı oldukça kolaydır ve bu nedenle okuyucuya bırakılmıştır.
Teorem .. R’de tanımlı, birbirlerine homeomorfik olmayan yarı-normlar topolojilerinin
c
sayısı 22 olur.
Topolojideki önemli kavramlardan birisi de Hausdorff özelliğidir. Bir X topolojik uzayındaki birbirinden farklı her x ve y noktası için, x ∈ U ve y ∈ V olacak biçimde ayrık ve açık
U ve V kümeleri varsa, X’e bir Hausdorff uzayı denir.
Alıştırma .. X vektör uzay üzerinde τ , (pi )i∈I yarı-normlarınca belirlenen yarı-norm
topolojiyle donatılsın. Aşağıdakilerin denk olsuğunu gösterin.
i. X bir Hausdorff uzayıdır.
ii. x ∈ X olmak üzere, her i ∈ I için pi (x) = 0 olduğunda x = 0 olur.

Madem ki Hausdorff olmak önemlidir ve yarı-norm topolojileri doğal yapılardır, o hâlde
R’de ne kadar çok Hausdorff yarı-norm topolojisinin var olduğunu anlamak yerindedir. E
0
bir normlu uzay ve E , E’nin norm duali, yani E’den R’ye tanımlı sürekli fonksiyonellerin
0
vektör uzayı olsun. X kümesi,
||f || = sup |f (x)|
||x||61
0
normu ile donatıldığında bir Banach uzayıdır. Ayrıca x ∈ X olmak üzere, her f ∈ X için
f (x) = 0 ise x = 0 olmak zorundadır. Bu klasik sonuçlar AVM’ler dışında birçok yerde
bulunabilir. RN vektör uzayının bir altuzayı olan
X
l1 = {(an ) ∈ RN :
|xn | < ∞}
n
kümesi de
||(xn )|| =
X
|xn |
n
normu altında bir Banach uzayıdır.
Alıştırma .. dim(l1 ) = c olduğunu gösterin.
Alıştırma .. Her (xn ) ∈ l1 ve (an ) ∈ c0 için
φ((xn ))((an )) =
X
an x n
n
0
olarak tanımlanan φ : l1 → c0 fonksiyonunun bir izomorfizma olduğunu ve ||ϕ((xn )|| =
||(xn )|| eşitliğinin sağlandığını gösterin.
Teorem .. c0 üzerinde tanımlı Hausdorff yarı-norm topolojilerin sayısı 22 ’dir.
c
Kanıt. A, l1 ’in tabanı ve A ⊂ B olacak biçimde, c∗0 ’ın bir B tabanını seçebiliriz.
|A| = c ve |B| = 2c
olduğundan,
olur. Dolayısıyla
|{S : A ⊂ S ⊂ B}| = 22
c
c
|{span(S) : A ⊂ S ⊂ B}| = 22
gerçeklenir. Ayrıca A ⊂ S ⊂ B için σ(c0 , span(S)) yapısı bir Hausdorff yarı-norm topolojisidir. Bu gözlem de kanıtı tamamlar.
c0 ve R’nin grup izomorfik oldukları kullanılarak aşağıdaki teorem elde edilir.
Teorem .. R vektör uzayında birbirlerine homeomorfik olmayan Hausdorff grup topolojic
lerinin sayısı 22 olur.
Yaşca benden epey küçük olup bu konuyla ilgilenenler “Zafer abi, ne güzel anlattın, hepsi
bu kadar mı?” diye soruyor olabilirler. Devam edeceğiz çocuklar ve burada da kalmayacağız;
Nâzım yoldaşın dediği gibi, “Motorları maviliklere süreceğiz çocuklar.”

Kaynaklar
[] S. Banach, Théorie des Opérations Linéaires, Monografie Matematyczne , Warszawa,
.
[] Jên Chung Ch’üan & Li Liu, “Group topologies on the real line,” J. Math. Anal. Appl.
 (), no. , –.
[] M. Çağlar & Z. Ercan, “Hamel tabanı ve Boyut Teoremi,” Matematik Dünyası, -III,
–.
[] G. Hamel, “Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung: f (x) + f (y) = f (x + y),” Math. Ann.  (), no. , –.
[] H. Löwig, “Über die Dimension linearer Räume,” Studia Math.  (), –.
[] George W. Mackey, “On infinite dimensional linear spaces,” Trans. Amer. Math. Soc.
 (), –.
[] L.E., Jr. Ward & J.W. Ellis, “Additive Isomorphism,” [Advanced Problems and Solutions:
Solutions: ], Amer. Math. Monthly  (), no. , .
