Prof. Dr. Yıldıray Ozan - Türevlenebilir Manifoldlara Giriş

2
Türevlenebilir Manifoldlara Giri³
Yldray Ozan
Orta Do§u Teknik Üniversitesi
Matematik Bölümü
19 Mays 2015
Sevgili anne ve babamn hatrasna
Önsöz
E§riler ve yüzeyler tarih boyunca insanlarn zihnini me³gul etmi³tir. Benzerleri
Neolitik ça§larda dahi bilinen Platonik cisimlerin snandrlmas Antik Yunan
uygarl§nda yaplm³t. E§ri ve yüzeylerin modern anlamda tanmlanp temel
özelliklerinin ortaya konmas ise Gauss ve Riemann gibi devleri bekledi. Riemann Gauss'un yüzey ve e§riler üzerine yapt§ çal³malar mükemmelle³tirip
yüksek boyutlara ta³yarak bugün artk diferansiyel geometri ve Riemann geometrisi olarak bilinen alanlarn temellerini att. Poincaré topolojik uzaylarn
teorisine temel grup ve homoloji gibi cebirsel nesneleri katarak geometri ve
topoloji çal³malarndaki matematiksel kesinlik düzeyini artrd. Homoloji teorisi yüzeyler için bilinen Euler formülünün çok daha genel bir özellik oldu§unu
ortaya koydu. Yüzeylerin cebirsel topolojik ve diferansiyel geometrik özellikleri
arasndaki ili³ki, matematik tarihinin en güzel teoremlerinden biri olan GaussBonnet Teoremi'yle taçlandrld. Günümüz modern geometri ve topolojisinin
Riemann-Roch ve Endeks Teoremleri gibi en güzel ve kuvvetli sonuçlar GaussBonnet Teoremi'nin derinle³mi³ genellemeleri olarak görülebilir.
Bu kitabn yazm yazarn Gauss-Bonnet Teoremi'nin anla³labilir bir kantn fazlaca diferansiyel geometri kullanmadan sadece türevlenebilir manifoldlar
teorisi dilinde yazma arzusu ile 2010 yl Haziran aynda ba³lam³tr. lk ba³ta
sadece yazarn ODTÜ'de vermi³ oldu§u Calculus on Manifolds ve Dierentiable Manifolds derslerine ait notlarn kapsaml bir ³ekilde elden geçirilerek
yazlmas amaçlanm³t. Daha sonra ise Gauss-Bonnet Teoremi'nin genel hali
ve bunu yapmak için gerekli teorilerin de kitaba dahil edilmesine karar verildi.
Olu³turulan bu teorilerin di§er birçok sonucunu da kitaba eklememek olmazd.
Böylece kitap vektör demetlerinin karakteristik snar ve çe³itli uygulamalaryla son buldu. “unu belirtelim ki Guillemin ve Pollack'n Dierential To-
pology ([15]) adl kitab yazarn model ald§ kaynaklarndan biridir. Bu kitap
sadece içeri§i bakmndan de§il yazm üslubu açsndan da vazgeçilmez. Özellikle birçok önemli teoremin kantlarnn küçük parçalar halinde okuyucuya
yaptrlmas e§itsel açdan da çok do§ru bir yakla³mdr.
Birinci ünite bu kitab okuyabilmek için gerekli olan topoloji, analiz ve
do§rusal cebir konularnn bir özetini içermektedir. Her ne kadar bu konularn
hemen hemen hepsi lisans derslerinde görülmü³ olsa da, ö§rencilerin lisans üstü
e§itime birçok eksikle ba³lad§ göze çarpmaktadr. Örne§in matematikteki en
önemli yaplardan biri olan bölüm kümeleri, gruplar, uzaylar gibi çok temel
konular doktora ö§rencilerinin zihninde dahi tam oturmam³ olabiliyor. Bunun
iii
iv
Önsöz
yannda lisans e§itiminin ilk yllarnda görülen do§rusal cebir konularnn hzlca gözden geçirilmesi yerinde olabilir. Kitabn bütünlü§ünü korumak amacyla
bu ünitede, Diferansiyel Denklemlerin Varlk ve Teklik Teoremi, Ters Fonksiyon Teoremi ve Do§rusal Operatörlerin Temel Formlar kantlaryla verilmi³tir. Ünite içinde yer kalmad§ için bahsedemedi§imiz baz önemli detaylar
ise al³trmalarda kar³nza çkacaktr.
kinci ünite ise kitabn temel unsurlar olan manifoldlarn tanm ile ba³lyor. Te§et vektör ve te§et vektör demetinin yaps verildikten sonra, manifoldlarn Öklit uzayna gömülmesi için hazrlk yapyoruz. Bu kapsamda sonraki
ünitelerde de sürekli yararlanaca§mz Sard Teoremi'ni kant ile verece§iz. Tkz manifoldlarn gömülmesi i³lemini bu ünite içinde yaparken, tkz olmayanlarn gömülmesi i³lemini al³trmalarda okuyucuya yaptraca§z. Bu i³lemler
için gerekli olan Birimin Ayr³m Teoremi'ni de kantyla sunaca§z. Daha sonra manifoldlar üzerinde türevlenebilir formlar ve Stokes' Teoremi'ni verece§iz.
Bunu yaparken vektör uzaylarnn ve manifoldlarn yönlendirilmesi konusunu
son derece dikkatle yapmaya çal³aca§z. Bu ba§lamda karma³k manifoldlar
üzerindeki do§al yönlendirmeden bahsedecek ve bu do§al yönlendirmenin çarpc sonuçlarndan bir iki örnek sunaca§z. Öklit uzay içindeki disk ve kürelerin
hacimlerini hesaplama i³ini de bu üniteye sk³traca§z.
Üçüncü ünite manifoldlarn Euler snfnn manifold üzerindeki herhangi bir
Riemann metri§inin e§rili§i cinsinden ifade edilebilmesi için gerekli alt yapy
olu³turmak amacyla yazlm³tr. lk önce manifold üzerinde verilen bir vektör
alannn integralinin varl§n gösterdik. Daha sonra bunu kullanarak Lie türevini tanmladk ve Lie türevinin temel özelliklerini çkardk. Di§er taraftan,
manifold üzerine Riemann metri§i koyduktan sonra jeodeziklerden bahsetmemek olmazd. Jeodezik e§ri diferansiyel denkleminin Fourier Serileri yardmyla standart olmayan bir kantn da bu üniteye koyduk. Ayrca manifoldlar
üzerinde jeodezik-konveks kom³uluklarn varl§n Spivak'n kitabndaki sunumu ([32]) takip ederek yaptk. Daha sonra vektör demetlerini ve demetlerin aritmeti§ini tanmladk. Te§et vektör demetinde oldu§u gibi bu demetler üzerine
de metrik koyarak demetlerin geometrisini ba§lant ve e§rilik formlar yardmyla anlamaya çal³tk. E§rilik formunu altnc ünitede Euler snfn tanmlamak için kullanaca§z. Bu ünite, Poincaré Yar Düzlemi'nin jeodeziklerinin
belirlenmesi ve jeodeziklerin bir uygulamas olan Tüp Kom³uluk Teoremi ile
sona erdi.
Dördüncü ünite De Rham kohomolojinin tanm ile ba³lyor. Çemberin kohomolojisini do§rudan hesapladktan sonra bunun uygulamas olarak sarlma,
dönme ve geçi³me saylarn tanmlayp çe³itli hesaplamalar yapaca§z. Daha
sonra iki boyutlu kürenin kohomolojilerini do§rudan hesaplayp burada kullanlan kirleri homolojik cebirle birle³tirerek Mayer-Vietoris dizisini olu³turaca§z. Bu dizi yardmyla kürelerin ve baz di§er manifoldlarn kohomoloji
vektör uzaylarn belirledik. Poincaré izomorzmasn kantlayabilmek için tkz destekli kohomolojiyi tanmlayaca§z ve bu kohomoloji teorisini kullanarak
manifoldlar arasndaki fonksiyonlarn derecesini tanmlayp hesaplamalar ya-
v
paca§z. Bu hesaplamalardan birisi daha çok cebirsel topoloji kitaplarnda bulunan, bir küreden kendisine giden ve derecesi sfr olan fonksiyonlarn sabite
homotopik oldu§unun kantlanmasdr. Bu kant oldukça teknik oldu§u için,
bu sonucun çemberler için olan özel hali, ayn kirler yardmyla al³trmalarda kantlanmaktadr. Bu ünite Poincaré zomorzmas ve baz uygulamalar ile
bitecektir.
Be³inci ünite kesi³im teorisinin kurulu³u ile ba³layacaktr. Daha sonra alt
manifoldlarn Poincaré dualini tanmlayp, bunu alt manifoldlarn kesi³imlerinden yararlanarak kohomoloji halkalarnn hesaplanmasnda kullanaca§z. Ayrca alt manifoldlarn Poincaré dualini kullanarak Gysin Tam Dizisi'ni olu³turaca§z. Bu diziyi ise Leray-Hirsch ve Künneth teoremlerini kantlamakta kullanaca§z. Bu ünitede ayrca Poincaré-Hopf ve Lefschetz Sabit Nokta Teoremi'ni
kantlayaca§z. Temel baz örneklerde alt manifoldlarn kesi³imlerini do§rudan
hesaplayaca§z. Bunlarn içinde karma³k projektif uzay içindeki alt manifoldlarn kesi³imleri ve gerçel projektif düzlemin karma³k düzlem içinde kendisi ile
kesi³imi yer alacaktr. Cebirsel e§riler teorisinin en temel sonuçlarndan olan
Bezout's Teoremi, Riemann-Hurwitz Teoremi ve Hurwitz Teoremi'nin kantlar
ile bu üniteyi bitirece§iz. Cebirsel e§riler ve yüzeyler cebirsel geometrinin yan
sra diferansiyel geometri ve topoloji açsndan da çok zengin bir örnek kayna§dr. Bu bölümün al³trmalar kuadratik formlarn Arf de§i³mezinin ve bunun
uygulamas olan topolojik Arf de§i³mezinin bir sunumunu da içermektedir.
Altnc ve son ünite Euler karakteristik snfnn kurulu³u ile ba³layacak.
Gauss-Bonnet Teoremi'nin kantn verdikten sonra karma³k vektör demetlerinin Chern karakteristik snarn tanmlayaca§z. Chern snarnn bir uygulamas olarak yan yana gelme e³itli§ini verece§iz. Buradan da Derece-Genus
formülünü elde edece§iz. Aslnda de§i³ik kirler içerdi§i için Derece-Genus
formülünün Chern karakteristik snarn kullanmayan bir ba³ka kantn da
sunaca§z. Bu yakla³m ayn dereceye sahip tüm cebirsel e§rilerin olu³turdu§u uzayn (bir çe³it Moduli Uzay) incelenmesine dayanr ve e§riler d³ndaki di§er cebirsel (yüzeyler veya yüksek boyutlu) nesnelere de uygulanabilir.
Son olarak türevlenebilir manifoldlarn Pontryagin karakteristik snarn ve
saylarn tanmlayp bu saylarn baz topolojik uygulamalarn görece§iz. Bu
uygulamalardan en dikkat çekici olan Milnor'un 1962 ylnda kendisine Fields
Madalyas kazandran çal³malarndan biri olan 7-boyutlu egzotik küreler ile
ilgili 1956 tarihli çal³masdr ([25]). Annals of Mathematics dergisinde yaynlanan 6 sayfalk makale son derece anla³labilir olmakla beraber tekil homoloji
dilini kulland§ için kitaba do§rudan konulamad. Milnor'un makalesini takip
ederken tekil homoloji içeren bölümlerini kitabn bütünlü§ünü korumak adna
De Rham kohomoloji ile de§i³tirece§iz.
Dikkatli okuyucularmz Gauss-Bonnet Teoremi'nin yaygn olarak bilinen
ve Gauss'un jeodezik üçgenlerle ilgili sonucunu kullanan kantn vermedi§imizi
fark edeceklerdir. Bunun önemli bir nedeni bu kantn tkz yüzeylerin bir üçgenleme kabul etti§i gerçe§ini kullanmasdr. Bu sonuç ilk olarak 1925 ylnda
Rado tarafndan kantlanm³tr. Fakat Rado'nun vermi³ oldu§u kant oldukça
vi
Önsöz
zordur ve içerik olarak bu kitabn alannn d³nda kalr.
Bu kitabn ele ald§ tüm konular klasik saylabilir. Bu nedenle kitabn
içindeki muhtemel matematiksel hatalar ve yazm yanl³lar d³ndaki hiçbir
ifadenin özgünlü§ü iddia edilmemektedir.
.
.
.
.
.
.
Son olarak, beni her zaman destekleyen sevgili e³ime, ilham kaynaklarm
olan o§lum ve kzma, yakla³k otuz yldr mensubu olmaktan gurur duydu§um
ve bana kattklar için kendimi hep borçlu hissetti§im Orta Do§u Teknik Üniversitesi'ne minnettarm.
Yldray Ozan
O.D.T.Ü. Ankara
Kitabn Kullanm ve Yazm ile lgili Notlar
Kitab okumak isteyen veya derslerinde kullanmak isteyen akademisyenlere faydal olabilecek birkaç noktay belirtmek istiyorum: Birinci ünite kitab rahat ³ekilde takip edebilmek için gerekli alt yapy olu³turmak için yazlm³tr. Dolaysyla, gerekli alt yapya sahip okuyucular do§rudan bir sonraki bölüme geçebilirler. Di§er taraftan lisans derslerinde pek zaman ayrlamayan Ters Fonksiyon
Teoremi ile Diferansiyel Denklemlerin Varlk ve Teklik Teoremi'ni kantlaryla
sunuyoruz. Ayrca boyutu sonlu olan vektör uzaylar üzerinde tanml do§rusal
operatörlerin temel formlar detaylaryla okuyucuya sunulmu³tur.
Bir dönemlik türevlenebilir manifoldlar dersi için ³öyle bir yol izlenebilir:
Birinci ünitenin gerekli görülen yerleri hzlca yapldktan sonra ikinci ünite
detaylaryla yaplmaldr. Üçüncü üniteden sadece 3.1 yaplarak yola devam
edilebilir. Dördüncü üniteden ise sadece 4.1, 4.2 ve 4.3.1 i³lenerek ders bitirilebilir. Diferansiyel geometri derslerinden Gauss e§rili§ini görmü³ bir ö§renci
grubuna Sonuç 6.1.11 (Gauss-Bonnet Teoremi) ve bunu takip eden kant da
verilebilir.
E§er iki dönemlik bir plan yaplmak isteniyorsa tüm kitap okunabilir. Yine
ö§rencilerin di§er derslerde görmü³ olduklar konular hzl bir ³ekilde hatrlatlarak geçilebilir. Bu kitab çal³an bir ö§renci türevlenebilir manifoldlarn temel
özelliklerinin yan sra vektör demetleri ve karakteristik snar konusunda da
temel bilgilere kavu³mu³ olacaklardr. Ayrca cebirsel topolojinin konular olan
tkz destekli kohomoloji, derece teorisi, Leray-Hirsch ve Künneth teoremlerini
de görmü³ olacaklardr. Di§er taraftan, cebirsel topoloji derslerinde önemli bir
yer tutan Temel Grup ve Örtü Uzaylar ise kitabmzda yer almamaktadr.
Ülkemizdeki bir çok lisans üstü program cebir ve diferansiyel geometri alanlarnda oldukça kuvvetlidir. Di§er taraftan, diferansiyel topoloji, cebirsel topoloji ve cebirsel geometri konularnda büyük eksiklikler vardr. Bu nedenle
üçüncü ünite birçok okulda hzl bir ³ekilde i³lenebilece§ine kitabn geri kalan daha dikkatli okunmaldr. Muhtemel zaman darlklarndan dolay baz
teoremlerin kantlar ö§rencilere braklabilir. Ayrca al³trmalar ö§rencilerin
en fazla zaman harcamas gereken yerlerdir. Al³trmalar ö§renci tarafndan
konular özümsemek adna birer frsat olarak görülmelidir. Problem çözmeden
matematik ö§renmeyi beklemek, yüzmeyi veya bisiklete binmeyi iyi yüzebilen
veya bisiklete binebilen birini seyrederek ö§renmeyi beklemeye benzer. Bunun
ise pek mümkün olmad§ tecrübelerimizle sabittir.
A
L TEX ile Türkçe Matematik Kitab Yazmak
vii
viii
Kitabn Kullanm ve Yazm ile lgili Notlar
Yakla³k yirmi yl önce ülkemiz matematikçileri tarafndan da kullanlmaya
A
ba³lanan L TEX çok geli³mi³ bir yazlm olmasna ra§men Türkçe makale veya
kitap hazrlama konusunda halen ciddi eksikliklere sahiptir. Bu kitabn yazm
srasnda kar³la³tklarmdan bazlar ³unlardr:
1. Türkçe karakterlerin yazm konusundaki zorluklar;
2. Türkçe yazm hatalarnn yazlm tarafndan otomatik ³ekilde kontrol edilememesi ve kelimelerin satr sonlarnda do§ru ³ekilde bölünmemesi;
3. Türkçe karakterlerin alfabetik sralamada do§ru yerde olmamas nedeniyle dizin hazrlama konusuna ya³anan zorluklar;
4. “ekillerin kitaba yerle³tirilmesi.
A
Bilgisayarlar ve L TEX alannda yeterli bilgi ve beceriye sahip olmayan biri
olarak yukarda bahsetti§im zorluklarn sistematik biçimde üstesinden gelme
konusunda kir ortaya koyamam. Di§er yandan, benzer zorluklarla kar³la³an
meslekta³larma zaman kazandrabilir dü³üncesiyle, uzun süren u§ra³lar sonunda ula³t§m derme çatma çözümlerden bahsedebilirim.
Aslnda birinci madde konusunda herhangi bir çözümüm yok. Bir cümle
içinde bile üç be³ defa klavyenin dilini Türkçe'den ngilizce'ye ya da ngilizce'den Türkçe'ye de§i³tirerek yazmak elbette pek kolay olmad. Benzer ³ekilde
ikinci madde için de bir çözüm bulamadm. Türkçe kelimelerin do§ru hecelenmesi için hecelemeyi açkça yazmak d³nda bir yol görünmüyor. Örne§in, satr
sonuna gelen ve do§ru ³ekilde bölünmeyen dosyann kelimesini dos\ − ya\ −
nn olarak yazmalyz. Ya da daha sistematik bir çözüm için ana dosyann
içine
\begin{document}
komutundan önce \hyphenation{dos
− ya − nn}
komutunu koyabiliriz. Bu durumda bütün doküman boyunca dosyann kelimesi ancak gösterdi§imiz yerlerden bölünecektir. Bu i³i kitabn en son halinin
çktsn almadan yapmakta fayda oldu§u açktr. Bu kitap için hecelemesini
açkça yazmak zorunda kald§m kelime says yakla³k 120 oldu. Kitabn yazm tamamlandktan sonra baz editörlerin Türkçe sözlük ile çal³abildi§ini
ö§rendim. Bu sayede gözden kaçan saysz yazm hatasn düzeltme frsatm
oldu.
Üçüncü madde için makul bir çözüm buldu§umu söyleyebilirim. Burada
\index{A@B}
komutunu kullandm. Bu komut ³u ³ekilde çal³yor: Program ilk önce dizin
içinde ngilizce karakterlerin alfabetik sralamasna göre (sadece ngilizce karakterle yazlm³ olan)
kelimesi yerine
B
A
kelimesinin yerini buluyor ve daha sonra dizine
kelimesini yazyor. Örne§in dizinde
Ters görüntü
A
ix
ifadesinin do§ru yerde çkmas için bu ifadenin geçti§i yere
\index{Ters
gozruzzntuzz@Ters görüntü}
yazabiliriz. Benzer ³ekilde dizin içinde
Bölüm .
.
.
kümesi
ifadesinin gözükmesi için
\index{Bozluzzm@Bölüm!kuzzmesi@kümesi}
yazarz. Fikir gerçekten basit: Örne§in, dizine koymak istedi§imiz bir kelimenin
içinde
ç
har geçiyorsa bu harf yerine
sralama yaplrken sra
ile
d
cz
cz
yazyoruz ve böylece alfabetik
ikilisine gelince, program bu kelimeyi
harnin arasna koyuyor. Aslnda a³a§daki tablo
Türkçe karakterlerin
A
B
c
har
kelimesi içindeki
içinde nasl yazlmas gerekti§ini gösteriyor:
Dizin Yazma Sözlü§ü
A
cz
gz
hz
i
oz
sz
uzz
B
ç
§
i
ö
³
ü
A
CZ
GZ
HZ
HZZZ
OZ
SZ
UZZ
B
Ç
‡
I

Ö
“
Ü
Gerekirse harerin sonuna eklenen
z
harerinin saysn artrabilirsiniz.
Biraz da ³ekillerden bahsedelim. “ekilleri herhangi bir programda çizebilirsiniz. nternetten ücretsiz olarak indirip kullanabilece§iniz birçok program
var. Ben Graph isimli program kullandm. Lisansta ö§rendi§iniz analitik geometriyi hatrlamak için oldukça iyi bir frsat sa§lyor. “ekilleri çizdikten sonra
jpeg uzants ile kaydedebilirsiniz. Daha sonra bu dosyay bir resim editörü
ile açp bo³ alanlar mümkün oldu§unca krpmakta fayda var. Bu dosyay yine internet üzerinde ücretsiz bulunan on line programlar yardmyla eps
dosyasna çevirmeniz gerekiyor. Sonuçta, örne§in, Figure3.5.jpeg ve Figu-
A
re3.5.eps isimli iki ³ekliniz olacak. Son olarak bunlar kitabnzn L TEX dosyasn içeren büyük dosyann içine koyabilirsiniz. Program kitabn pdf çkts
için resimlerin jpeg, dvi çkts için de eps dosyalarn kullanacaktr.
Kitabn içine ³ekil yerle³tirme konusunda da bir önerim olacak. E§er kitap yerine makale yazyorsanz ³ekillerinizi istedi§iniz ölçülerde metnin içine
yerle³tirme konusunda bir zorluk çekmeyeceksiniz. Di§er taraftan doküman snfnz
A
{book}
ise ³eklin boyutlarn ayarlamak mümkün olmayacak, çünkü
L TEX ³ekillerin altna yazlacak açklamalarn hangi dilde yazlaca§ bilgisini
isteyecektir. Bu problemi çözmek için doküman snfn
\documentclass[11pt,a4paper,turkish]{book}
x
Kitabn Kullanm ve Yazm ile lgili Notlar
A
seçebilirsiniz. Fakat L TEX programnn Türkçe yazm konusundaki yardmc
unsurlar içindeki baz problemlerden dolay sistem yine hata mesaj verecektir.
Di§er taraftan, doküman snfn ba³ka bir dilde, örne§in
\documentclass[11pt,a4paper,ku³dili]{book}
olarak seçerseniz sistem hata vermeden çal³acaktr. Fakat bu durumda da ³ekillerin altnda, örne§in, “ekil 3.2 yerine bunun Ku³dili kar³l§ olan Cikg
3.2
yazacaktr. Bunu düzeltmek için ise
\Miktex2.??\tex\generic\babel\ku³dili.ldf
dosyasn uygun bir editör ile açp Cikg yerine “ekil yazmanz gerekiyor.
Ayn ³ekilde Kaynakça ve Semboller
kelimelerini de Ku³dili kar³lklar-
nn yerine yazmalsnz. Bu de§i³iklikleri yapabilmek için bilgisayar oturumunu
Administrator olarak açmanz gerekebilir.
Kapak Sayfalar Hakknda
Ön kapaktaki resimde yer alan heykel ODTÜ Mimarlk Fakültesi önünde
bulunmaktadr. `Yok' isimli bu heykel 1982 ylnda Rolf Westphal tarafndan
yaplm³tr. Heykel uzayda herhangi ikisi aykr olan üç do§rudan olu³maktadr.
Uzayda herhangi ikisi aykr olan
n
do§runun durumlar (kongürasyonlar)
önemli ve zor bir problemdir. Problemin ancak
n ≤ 7
oldu§u durumlar-
da çözümü vardr. Bu konuyla ilgili kapsaml bir makale [38] nolu referansta
bulunmaktadr. Arka kapakta ise ODTÜ Devrim Stadyumu yer almaktadr.
Elektronik Kopyann Kullanm
Kitabn yazm büyük ölçüde tamamlanm³ olsa da henüz basma hazr hale
gelmedi. Buna ra§men isteyenlerin kullanma açmann uygun oldu§una karar
verdim. Bu nedenle internet sayfamda (http
: //www.metu.edu.tr/ ∼ ozan/)
kitabn `pdf ' kopyas isteyenlerin kullanmna açktr. Kitabn `pdf ' kopyalarn sayfama koydu§um tarih ile numaralandraca§m. Yeni bir kopyasn koydu§umda eski versiyonlarn sayfamda bir süre daha tutmay planlyorum. Kitapla ilgili öneri ve düzeltmelerinizi memnuniyetle kar³larm.
çindekiler
i
Önsöz
iii
Kitabn Kullanm ve Yazm ile lgili Notlar
1
Yardmc Bilgiler
1.1
1.2
1.3
1.4
2
vii
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Topolojik Uzaylar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.3
Tkz, Ba§lantl Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.4
Metriklenebilir Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.1
Türevlenebilme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.2
Ters Fonksiyon Teoremi
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.3
Diferansiyel Denklemlerin Varlk ve Teklik Teoremi . . .
25
Genel Topoloji
Analiz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.3.1
Determinant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.3.2
Tensörler
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.3.3
Temel Formlar ve Baz Uygulamalar . . . . . . . . . . .
35
1.3.4
Örnek Kantlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Do§rusal Cebir
Al³trmalar
Türevlenebilir Manifoldlar
63
2.1
63
2.2
2.3
Türevlenebilir Manifoldlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
Temel Tanmlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.1.2
Te§et Uzay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.1.3
Te§et Demeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.1.4
Bölüm Manifoldlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.1.5
Rank Teoremleri
75
Manifoldlarn Gömülmesi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.2.1
Birimin Ayr³m
2.2.2
Sard Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.2.3
Manifoldlarn Gömülmesi
. . . . . . . . . . . . . . . . .
88
. . . . . . . . . . . .
90
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
xi
xii
ÇNDEKLER
2.4
3
Türevlenebilir Formlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.3.2
Geri Çekme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.3.3
Manifoldlar Üzerinde Türevlenebilir Formlar . . . . . . .
93
2.3.4
D³ Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.3.5
Manifoldlarn Yönlendirilmesi . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.3.6
Stokes Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
2.3.7
Disk ve Kürenin Hacimleri . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
2.3.8
Karma³k Manifoldlar Üzerinde Özel Formlar
. . . . . .
115
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
Al³trmalar
Vektör Alanlar ve Demetleri
3.1
3.2
3.3
3.4
4
2.3.1
. . . . . . . . .
127
3.1.1
Vektör Alanlarnn ntegralleri . . . . . . . . . . . . . . .
127
3.1.2
Lie Türevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
Vektör Alanlarnn ntegralleri ve Lie Türevleri
Jeodezikler
3.2.1
Jeodezik Denklemi
3.2.2
Hacim Eleman ve Yldz Operatörü
Vektör Demetleri
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
. . . . . . . . . . .
154
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
3.3.1
Temel Tanmlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
3.3.2
Vektör Demetleri Üzerinde ³lemler . . . . . . . . . . . .
163
3.3.3
Vektör Demetleri Üzerinde Ba§lantlar . . . . . . . . . .
171
3.3.4
Poincaré Yar Düzlemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
3.3.5
Normal Demet ve Tüp Kom³uluk Teoremi . . . . . . . .
184
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
Al³trmalar
De Rham Kohomoloji
4.1
De Rham Kohomoloji
4.1.1
5
127
195
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De Rham Kohomolojinin Tanm
. . . . . . . . . . . . .
196
196
4.2
Poincaré Yardmc Teoremi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
4.3
Hesaplamalar ve Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
4.3.1
Sarlma, Dönme ve Geçi³me Saylar
. . . . . . . . . . .
206
4.3.2
Mayer-Vietoris Dizisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
4.3.3
Tkz Destekli Kohomoloji . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
4.4
Poincaré zomorzmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
4.5
Al³trmalar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
Kesi³im Teorisi
253
5.1
Dik Kesi³im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
5.2
Alt Manifoldlarn Kesi³imi ve Poincaré Duali
. . . . . . . . . .
258
5.3
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
. . . . . . . . . . .
265
. . . . . . . .
265
5.3.1
Vektör Demetlerinin Euler Karakteristi§i
5.3.2
Gysin Tam Dizisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270
5.3.3
Leray-Hirsch ve Künneth Teoremleri
. . . . . . . . . . .
272
5.3.4
Poincaré-Hopf Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
5.4
6
5.3.5
Lefschetz Sabit Nokta Teoremi
. . . . . . . . . . . . . .
279
5.3.6
Riemann-Hurwitz Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
Al³trmalar
Karakteristik Snar
301
6.1
Euler Karakteristik Snf
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
6.2
Chern Karakteristik Snar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322
6.2.1
Chern Snarnn Özellikleri
326
6.2.2
Uygulamalar
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
328
6.3
Pontryagin Karakteristik Snar
. . . . . . . . . . . . . . . . .
335
6.4
7-Boyutlu Egzotik Küreler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
6.5
Al³trmalar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
350
Kaynakça
365
Semboller
368
Dizin
373
xiv
çindekiler
Kendinizi balkç de§il bahçvan olarak görün.
Balkç bal§ neyin çekece§ini bilir. Bahçvan
ise gerekli ortam hazrlar ve bitkilerin büyümesini sa§lar. Matematik takm kurarken en
iyi ö§rencileri alp kazanmaya çal³mayn; bunun yerine alabildi§iniz kadar çok ö§renci alp
onlar matematikte daha iyi yapmak için elinizden gelen her ³eyi yapn.
-Ashley Reiter
1
Yardmc Bilgiler
Bu ünitede türevlenebilir manifoldlarn genel teorisini anlayabilmek için gerekli
olan temel bilgiler sunulacaktr. Srasyla genel topoloji, analiz ve do§rusal cebir
ba³lklar altnda toplayaca§mz bu bilgilere hakim olan okuyucular do§rudan
bir sonraki üniteye geçebilirler. Bu ünitenin amac, genel topoloji, analiz veya
do§rusal cebir konularn daha önceden görmemi³ olan okuyuculara ö§retmek
de§ildir. Tersine bu konular daha önce çal³m³ olanlara biraz hatrlatmak,
varsa eksik bilgilerini kapatabilmeleri için frsat sunmaktr. Her matematik ders
kitabnda oldu§u gibi al³trmalar ksm ö§rencilerin en fazla zaman harcamas
beklenen bölümdür. Genel topoloji ve analiz alanlarnda daha kapsaml ve
detayl bilgi için [28, 30, 31, 34, 35] numaral referanslara bakabilirsiniz.
1.1
Genel Topoloji
1.1.1
Kümeler
Topolojinin tanmn vermeden önce kümeler ve fonksiyonlara dair baz temel
X kümesi ve onun bir A ⊆ X alt kümesini alalm.
X − A = {x ∈ X | x ̸∈ A} olarak tanmlayaca§z.
E§er f : X → Y , X kümesinden Y kümesine bir fonksiyon ve B ⊆ Y
bir alt küme ise B alt kümesinin f
fonksiyonu altndaki ters görüntüsü
f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} olarak tanmlanr.
{Aα }α∈Λ X kümesinin bir alt kümeler ailesi olsun. Bu durumda
bilgileri hatrlayalm. Bir
X
fark
A
kümesini
f (∪α∈Λ Aα ) = ∪α∈Λ f (Aα )
oldu§u halde, söz konusu alt kümelerin görüntülerinin ara kesitleri olunca sadece
f (∩α∈Λ Aα ) ⊆ ∩α∈Λ f (Aα )
içermesi do§rudur. Ba³ka bir deyi³le, bir alt
1
2
Yardmc Bilgiler
kümeler ailesinin ara kesitlerinin görüntüsü görüntülerin ara kesitinin alt kümesidir ve genelde bu iki küme farkl olabilir. Ters görüntü alma i³lemi ise hem
arakesit hem de birle³im i³lemi ile yer de§i³tirebilir:
{Bα }α∈Λ , Y
kümesinin
bir alt kümeler ailesi olsun. Bu durumda,
f −1 (∪α∈Λ Bα ) = ∪α∈Λ f −1 (Bα )
ve
f −1 (∩α∈Λ Bα ) = ∩α∈Λ f −1 (Bα )
olur.
X bir küme ve ∼ bu küme üzerinde bir denklik ba§nts olsun. P : X →
X/ ∼ bölüm fonksiyonu olmak üzere her Y kümesi ve f : X → Y fonksiyonu
için f = f˜ ◦ P e³itli§ini sa§layacak ³ekilde bir f˜ : X/ ∼→ Y fonksiyonun
var olmas için gerek ve yeter ³art her x, y ∈ X , x ∼ y , için f (x) = f (y)
olmasdr. Bu durumda f : X → Y fonksiyonu bölüm kümesinde tanmlanr
denir. f˜ : X/ ∼→ Y
fonksiyonuna ise f : X → Y tarafndan belirlenen
fonksiyon diyece§iz.
f :X→Y
x ∼ y ancak ve
Örnek 1.1.1.
örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda her
X
ancak
x, y ∈
f (x) = f (y) ³eklinde tanmlanan ba§nt
f : X → Y fonksiyonu bu ba§ntnn bölüm
kümesinden Y kümesine bire bir f˜ : X/ ∼→ Y e³lemesini verir.
1
Daha somut bir örnek için f : R → S , f (t) = (cos 2πt, sin 2πt), t ∈ R,
1
fonksiyonunu dü³ünelim. Burada S
düzlemdeki birim çemberi göstermektedir. Bu örten fonksiyona kar³lk gelen ba§nt, her s, t ∈ R için s ∼ t ancak
ve ancak s − t ∈ Z ³eklinde tanmlanr. Aslnda ayn örnek bölüm gruplar
konusunda da verilebilirdi: R kümesi toplama i³lemi ile de§i³meli bir grup
1 fonksiyonu ise tam saylarn olu³turdu§u Z normal
olu³turur. f : R → S
1 bialt grubuna kar³lk gelen bölüm homomorzmasdr. Bölüm grubu, S
için
bir denklik ba§ntsdr. Ayrca,
rim çemberi, üzerindeki i³lemin karma³k saylarn üzerindeki çarpma i³lemi
oldu§unun gösterilmesini okuyucuya brakyoruz (bkz. “ekil 1.1).
“ekil 1.1: Bölüm uzay
1.1.2
Topolojik Uzaylar
Tanm 1.1.2.
X
bir küme olmak üzere bu kümenin kuvvet kümesinin a³a§daki
ko³ullar sa§layan herhangi bir
τ
alt kümesine
X
üzerinde bir topolojidir denir:
3
Genel Topolo ji
1.
∅∈τ
2.
Λ bir endeks
∪α∈Λ Oα ∈ τ ,
3. Her
ve
X ∈ τ,
kümesi olmak üzere her
Oi ∈ τ , i = 1, . . . k ,
(X, τ )
Bu durumda
için
α ∈ Λ
için bir
Oα ∈ τ
var ise
∩ki=1 Oi ∈ τ .
ikilisine topolojik uzay,
τ
topolojisinin elemanlarna
(bu topolojinin) açk kümeler, açk kümelerin tümleyenlerine de (bu topolojinin) kapal kümeler denir.
Bir küme üzerinde birden fazla topoloji tanmlanabilece§i açktr.
τ1
ve
τ2
verilen bir X kümesi üzerinde iki topoloji olsun. E§er τ1 ⊆ τ2 ise τ2 topolojisine
τ1 topolojisinden daha ince ya da daha kuvvetli denir. Bu durumda τ2 topolojisi
τ1 topolojisinden daha zayf ya da daha kaba da denir.
Topolojik uzaylar kategorisinin gönderimleri sürekli fonksiyonlardr. Herhangi iki
(X, τX )
ve
(Y, τY )
topolojik uzaylar arasnda herhangi bir
f : (X, τX ) → (Y, τY )
U ∈ τY kümesinin f altndaki ters görüntüsü
f −1 (U ) ∈ τX , f fonksiyonuna süreklidir denir.
fonksiyonu alalm. E§er her açk
X
içinde açk bir küme ise,
E§er, sürekli
f
fonksiyonunun sürekli bir ters fonksiyonu varsa bu fonksiyona
bir homeomorzma denir. Bu durumda
(X, τX ) ve (Y, τY ) topolojik uzaylarna
homeomork uzaylar denir.
Hatrlatma 1.1.3. Süreklilik tanmndaki `açk kümeler' ifadesi yerine `kapal
kümeler' yazarak süreklili§in bir ba³ka (denk) tanmn elde ederiz, çünkü her
B ⊆ Y alt kümesi için X − f −1 (B) = f −1 (Y − B) dir.
Rn , (n ≥ 0), üzerindeki standart topolojinin açk kümeleri
n
³u ³ekilde tanmlanr: Bir U ⊆ R alt küme olmak üzere her x ∈ U için
n
B(x, r) = {y ∈ R | ∥y − x∥ < r} ⊆ U olacak ³ekilde
says
∑n bir r > 0 gerçel
2 1/2 ifadesi
var ise U alt kümesine açktr denir. (∥x − y∥ = ( i=1 (xi − yi ) )
x = (x1 , . . . , xn ) ve y = (y1 , . . . , yn ) noktalar arasndaki Öklit uzakl§n gösÖrnek 1.1.4.
termektedir). Aksi söylenmedi§i sürece Öklit uzayn her zaman bu topolojisi ile
beraber dü³ünece§iz.
(X, τ ) bir topolojik uzay ve A ⊆ X bir alt küme olsun. Bu
durumda τA = {U ∩ A | U ∈ τ } koleksiyonu A alt kümesi üzerinde bir topoloji
belirler ve bu topolojiye alt uzay topolojisi veya (X, τ ) uzayndan miras kalan
Örnek 1.1.5.
topoloji denir.
Bu örnek elimizdeki bir topolojik uzaydan yeni topolojik uzaylar elde etmenin bir yolu olarak da görülebilir.
4
Yardmc Bilgiler
Verilen topolojik uzaylardan yeni bir topolojik uzay üretmenin bir yolu
çarpm topolojisidir. Çarpm topolojisini tanmlamadan önce bir topolojinin
(X, τ ) bir topolojik uzay ve β ⊆ τ bir alt aile olsun.
E§er X = ∪U ∈β U ve her V ∈ τ ve x ∈ V için x ∈ U ⊆ V olacak ³ekilde
bir U ∈ β açk kümesi varsa β ailesine bu topolojinin bir tabandr denir.
“imdi de β bir herhangi bir X kümesinin alt kümelerinin bir ailesi olsun. Bu aileye X , ∅ ve β ailesinin sonlu saydaki elemanlarnn ara kesitlerinin
tabanndan bahsedelim:
rastgele birle³imlerinden olu³an alt kümelerini de ekleyerek bir topoloji olu³turabiliriz. Bu topolojiye
(X, τX )
ve
(Y, τY )
β
tarafndan üretilen topoloji denir.
iki topolojik uzay olsun.
β = τX × τY
ailesinin
X ×Y
kümesi üzerinde üretti§i topolojiye bu iki uzayn çarpm topolojisi denir. Daha
genel olarak e§er
{(Xi , τi )}i∈I
Ui ∈ τi ve I endeks
Ui = Xi olacak
çarpmlarnn olu³turdu§u β
bir topolojik uzaylar ailesi ise
kümesinin sonlu sayda eleman d³ndaki tüm elemanlar için
³ekilde seçilen
Ui
açk kümelerinin
ailesinin üretti§i topolojiye
∏
Xi
∏
Ui
direk
çarpm kümesi üzerindeki çarpm topolojisi
denir.
Hatrlatma 1.1.6. 1) Çarpm topolojisi, çarpm kümesinden çarpm olu³tu-
ran uzaylara tanmlanan her bir iz dü³üm fonksiyonunu sürekli yapan en zayf
(kaba) topolojidir.
2)Yukardaki tanmda topolojimizin tabann tüm
da alabilirdik. Fakat bu durumda
∏
Xi
∏
Ui , Ui ∈ τi ,
çarpmlar
çarpm kümesi üzerinde elde edilecek to-
poloji gere§inden fazla kuvvetli olaca§ için kullan³l olmayacaktr. (Bkz. Al³trma 5) Kutu topolojisi olarak adlandrlan bu topoloji çarpm kümesi üzerindeki her bir iz dü³üm fonksiyonunu sürekli yapan en kuvvetli (ince) topolojidir.
3) Gerçel saylar kümesi üzerindeki standart topolojinin açk kümeleri say-
labilir çoklukta ayrk açk aral§n birle³imidir (Ba§lantl uzaylar bölümüne
baknz). Dolaysyla, bu ³ekildeki iki açk kümenin çarpm da düzlemde yine
saylabilir çoklukta ayrk açk dikdörtgen bölgenin birle³imi olacaktr. Bu nedenle düzlemdeki bir çok açk küme, örne§in yuvarlar, gerçel saylar kümesinin
açklarnn bir çarpm olamazlar. Di§er taraftan, düzlemdeki her açk küme
saylabilir çoklukta açk dikdörtgen bölgenin birle³imi (genelde ayrk olmayan)
olarak yazlabilir.
Yeni topolojik uzaylar elde etmenin bir di§er yolu ise bölüm uzaylardr:
f : X → Y örten bir küme fonksiyonu ve τX X üzerinde bir topoloji olsun.
f : X → Y örten fonksiyonunun vermi³ oldu§u P : X → X/ ∼ bölüm kümesini
ve f˜ : X/ ∼→ Y bire bir e³lemesini dü³ünelim (bkz. Örnek 1.1.1). X/ ∼ bölüm
kümesi üzerine koyabilece§imiz ve P bölüm fonksiyonunu sürekli yapacak en
kuvvetli topolojiye bölüm topolojisi denir. Benzer ³ekilde Y kümesi üzerinde
f fonksiyonunu sürekli yapan en kuvvetli topolojiyi τY ile gösterelim. Bu
durumda f˜ : X/ ∼→ Y fonksiyonu bir homeomorzma olur.
Önerme 1.1.7. P : X → X/ ∼ bir bölüm uzay,
f : X → Y ve f˜ :
˜
X/ ∼→ Y , f = f ◦ P , ko³ulunu sa§layan fonksiyonlar olsun. Bu durumda
5
Genel Topolo ji
f :X→Y
fonksiyonunun sürekli olmas için gerek ve yeter ³art
f˜ : X/ ∼→ Y
fonksiyonunun sürekli olmasdr.
Örnek 1.1.8. Bir önceki bölümde ele ald§mz
f : R → S 1 , f (t) = (cos 2πt, sin 2πt) , t ∈ R,
f˜ : R/ ∼→ S 1 homeomozmasn verecektir. Burada R/ ∼
1
1
ve dolaysyla S üzerindeki topoloji bölüm uzay topolojisidir. S üzerindeki
1
bu topoloji ile S 'in düzlemden ald§ alt uzay topolojisinin ayn oldu§unun
fonksiyonu bize
gösterilmesini okuyucuya al³trma olarak brakyoruz.
Bir (X, τ ) topolojik uzay olsun. E§er her x, y ∈ X için x ∈ U , y ∈ V ve
U ∩ V = ∅ olacak ³ekilde U ve V açk kümeleri varsa bu uzaya Hausdor (veya
T2 uzay) denir.
Rn standart topolojisiyle bir Hausdor uzaydr. Hausdor uzaylarn Kartezyen çarpmlar da Hausdor uzaylardr. Bir Hausdor uzayn tüm alt uzaylar da benzer ³ekilde Hausdor 'tur. Di§er taraftan Hausdor olma özelli§i
bölüm uzaylarna geçmeyebilir.
X = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ R, y ∈ {−1, 1}}
alt uzayn dü³üne2
lim. R üzerindeki standart topoloji Hausdor oldu§u için X uzay da HausÖrnek 1.1.9.
dor 'tur.
X
üzerinde bir
∼
denklik ba§nts tanmlayalm:
(x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 )
ancak ve ancak (x1
= x2
ve
y1 = y2 )
veya (x1
= x2 ̸= 0).
Bu denklik ba§n-
tsndan elde edilen bölüm uzay Hausdor de§ildir. Bunu görmek için bölüm
uzaynda
(0, 1)
ve
(0, −1)
noktalarnn denklik snarnn farkl olduklarn
fakat bu iki noktay ayr ayr içeren herhangi iki açk kümenin ayrk olamayaca§n görmek yeterlidir.
A³a§da bir topolojik uzay için Hausdor olmann kullan³l bir karakterizasyonunu verece§iz.
X topolojik uzaynn Hausdor olmas için gerek ve yeter
△ = {(x, x) | x ∈ X} kö³egen alt kümesinin X × X çarpm uzay içinde
Önerme 1.1.10.
³art
kapal olmasdr.
△ = {(x, x) | x ∈ X} kö³egen alt kümesinin X × X çarpm
uzay içinde kapal oldu§unu kabul edelim. x, y ∈ X ve x ̸= y olacak ³ekilde
iki nokta alalm. O halde (x, y) ̸∈ △ olur. △ kapal bir alt küme oldu§u için
X içinde x ∈ U , y ∈ V ve (U × V ) ∩ △ = ∅ olacak ³ekilde U ve V açk alt
kümeleri bulabiliriz. Fakat (U × V ) ∩ △ = ∅ tam olarak U ∩ V = ∅ anlamna
gelir. O halde, X uzay Hausdor 'tur. Bu kantn tüm admlar kolayca ters
çevrilebilece§i için di§er yönün kantn okuyucuya brakaca§z. 2
Kant : lk önce
6
Yardmc Bilgiler
1.1.3
(X, τ )
Tkz, Ba§lantl Uzaylar
bir topolojik uzay olsun.
kümelerinden olu³an bir
Tanm 1.1.11. Bir
{Ui }i∈I
(X, τ )
X = ∪i∈I Ui
X 'in
ailesine
olacak ³ekilde
X
uzaynn açk
bir açk örtüsü denir.
topolojik uzaynn her açk örtüsünün sonlu bir alt
örtüsü varsa bu uzaya tkzdr denir.
ise
X bir topolojik uzay ve A ⊆ X
A'ya X 'in tkz bir alt kümesidir
bir alt uzay olsun. E§er
A
alt uzay tkz
denir.
Örnek 1.1.12. 1) Gerçel saylar kümesi (standart topolojisi ile) tkz de§ildir
çünkü
2)
{(n − 1, n + 1)}n∈Z açk örtüsünün sonlu bir
Benzer ³ekilde (0, 1] ⊆ R aral§ tkz de§ildir
alt örtüsü yoktur.
çünkü
{(1/n, 1]}n∈Z+
açk
örtüsünün sonlu bir alt örtüsü yoktur.
3)
0
X = {x ∈ R | x = 0
veya
x = 1/n, n ∈ Z+ }
alt kümesi tkzdr çünkü
noktasn içeren her açk küme bu kümenin sadece sonlu elemann d³arda
brakr (lim 1/n
=0
oldu§undan dolay) ve bu sebepten dolay bu kümenin her
açk örtüsünün bir sonlu alt örtüsü vardr.
Yukardaki örnekler Öklit uzaynn bir alt kümesinin tkz olmas için bu
alt kümenin snrl ve kapal olmas (y§lma noktalarn içermesi) gerekti§ini vurgulamaktadr. Heine-Borel Teoremi de aslnda tam olarak bunu ifade
etmektedir.
Teorem 1.1.13 (Heine-Borel Teoremi).
X ⊆ Rn
olsun.
X
alt kümesinin Öklit
uzayndan gelen topolojisi ile tkz bir uzay olmas için gerek ve yeter ³art
X
alt kümesinin snrl ve kapal olmasdr.
A³a§daki önermelerin kantlar okuyucuya al³trma olarak braklm³tr.
Önerme 1.1.14. Tkz bir uzayn her kapal alt kümesi tkzdr. Di§er taraftan,
Hausdor bir uzayn her tkz alt kümesi kapaldr.
f : X → Y tkz bir X uzayndan Y
f (X) ⊆ Y alt kümesi de tkzdr.
Önerme 1.1.15.
fonksiyon ise
uzayna sürekli bir
Bu sonucu Heine-Borel teoremi ile birle³tirirsek ³u sonucu buluruz.
Sonuç 1.1.16. Tkz bir
X
uzaynda tanml her gerçel say de§erli
f :X→R
sürekli fonksiyonunun en büyük (maksimum) ve en küçük (minimum) de§eri
vardr.
A³a§daki örnek bire bir, örten ve sürekli bir fonksiyonun homeomorzma
olmasnn gerekmedi§ini göstermektedir.
Örnek 1.1.17.
τ1
ile
R
üzerindeki standart topolojiyi,
τ2
ile de taban a³a§-
daki aile olan topolojiyi gösterelim:
β = {(a, b) | a, b ∈ R, ab > 0} ∪ {(a, b) ∪ (c, ∞) | a, b, c ∈ R, a < 0 < b}.
7
Genel Topolo ji
f : (R, τ1 ) → (R, τ2 ), f (x) = x, x ∈ R, fonksiyonunu dü³ünelim. f 'in
β ⊆ τ1 oldu§undan dolay f süreklidir. Di§er
taraftan (−1, 1) ∈ τ1 ve (−1, 1) ̸∈ τ2 oldu§undan f 'in tersi sürekli de§ildir.
“imdi
bire bir ve örten oldu§u açktr.
Di§er taraftan a³a§daki sonuç baz durumlarda ters fonksiyonun da sürekli
olaca§n gösteriyor.
Önerme 1.1.18.
siyon olsun. E§er
X , Y topolojik uzaylar ve f : X → Y bire bir sürekli bir fonkX tkz ve Y Hausdor ise f fonksiyonu görüntüsü üzerine
bir homeomorzmadr.
Kant : A = f (X) ile f 'in görüntüsünü ifade edersek tek yapmamz gereken
f −1 : A → X ters fonksiyonunun sürekli oldu§unu göstermektir. O halde, bir
kapal C ⊆ X alt kümesi alalm. X tkz ve C de kapal küme oldu§undan
C kümesi de tkz olur. f sürekli oldu§u için (f −1 )−1 (C) = f (C) kümesi Y
−1
Hausdor uzay içinde tkz ve dolaysyla kapal bir küme olur. O halde, f
ters fonksiyonu süreklidir. 2
E§er bir f : X → Y fonksiyonu görüntüsü üzerine bir homeomorzma ise
f 'ye topolojik gömme fonksiyonu denir.
X = R3 − {(0, 0, 0)}
X
(x1 , x2 , x3 ) ∼ (y1 , y2 , y3 )
+ says
ancak ve ancak (y1 , y2 , y3 ) = λ(x1 , x2 , x3 ) olacak ³ekilde bir λ ∈ R
2
vardr. X uzayndan iki boyutlu birim küreye, S , tanmlanan F (x) = x/∥x∥,
x ∈ X , ∥x∥2 = x21 + x22 + x23 , fonksiyonu bölüm uzayna inerek F̃ : X/ ∼→ S 2
Örnek 1.1.19.
üzerinde
∼
uzay (Öklit topolojisi ile) olsun ve
denklik ba§nts ³u ³ekilde tanmlansn:
fonksiyonunu verecektir. Bu fonksiyonun bire bir ve örten oldu§u açktr. Her
F ve dolaysyla F̃ süreklidir. P :
X → X/ ∼ bölüm fonksiyonu olsun. P (X) = P (S 2 ) oldu§u için X/ ∼= P (S 2 )
2
bölüm uzay tkzdr. O halde, yukardaki önerme gere§ince F̃ : X/ ∼→ S
3
fonksiyonu bir homeomorzmadr (aslnda bölüm uzaynn R 'e bir gömülme-
bir koordinat fonksiyonu sürekli oldu§u için
sini verir). (Bkz. Al³trma 13)
f : X → Y
C⊆Y
her tkz
topolojik uzaylarn sürekli bir fonksiyonu olmak üzere e§er
alt kümesi için
f −1 (C)
ters görüntüsü de tkz oluyorsa
f 'ye
düzgün bir fonksiyondur denir. Düzgün fonksiyonlarn en önemli özelliklerinden
biri a³a§daki sonuçtur.
Önerme 1.1.20.
X
bir Hausdor topolojik uzay ve
f : X → Rn
düzgün ve
sürekli bir fonksiyon olsun. O zaman f kapal bir fonksiyondur. E§er
n
bire bir ise f : X → R bir topolojik gömme fonksiyonudur.
f
ayrca
A ⊆ X içinde kapal bir alt küme olsun. f (A) alt kümesinin kay0 ∈ f (A) ⊆ Rn noktas alalm. O halde, f (A) içinde y0 noktasna yaknsayan bir (yn ), (n > 0), dizisi vardr. Örnek 1.1.12(3)'den dolay
C = {yn | n = 0, 1, · · · } alt kümesi tkzdr. O halde f −1 (C) ve dolaysyla
f −1 (C) ∩ A alt kümesi X içinde tkzdr. Bu durumda (yn ), (n > 0), dizisi
f (f −1 (C) ∩ A) tkz kümesinin içindedir. Bu tkz küme ayn zamanda kapal
Kant :
pan³nda bir
8
Yardmc Bilgiler
oldu§undan dolay
f (A)
y0 = lim yn ∈ f (A)
kinci ksmn kant
lir.
sonucunu elde ederiz. Di§er bir deyi³le
kapaldr.
f 'nin kapal bir fonksiyon olmasndan kolayca elde edi-
2
Tanm 1.1.21. Bir
(X, τ )
topolojik uzay bo³ olmayan iki açk alt kümesinin
ayrk birle³imi olarak yazlamyorsa bu uzaya ba§lantldr denir. Ba§lantl olmayan uzaylara ba§lantsz uzaylar denir.
(X, τ ) topolojik uzaynn verilen her iki x, y ∈ X noktas için γ(a) = x,
γ(b) = y olacak ³ekilde sürekli bir γ : [a, b] → X fonksiyonu varsa bu uzaya yol
ba§lantldr denir.
ise
X bir topolojik uzay ve A ⊆ X bir alt uzay olsun. E§er A alt uzay ba§lantl
A'ya X 'in ba§lantl bir alt kümesidir denir.
Örnek 1.1.22. 1) Gerçel saylar (standart topolojisi ile) uzaynn her aral§
X = [0, 1] aral§nn ba§lantl oldu§unu gösterelim.
X içinde U ̸= ∅ ̸= V , U ∩ V = ∅ ve X = U ∪ V olacak ³ekilde açk kümelerin
var oldu§unu kabul edelim. 0 ∈ U olsun ve a = sup{x | [0, x] ⊆ U } saysn
göstersin. a ∈ (0, 1) oldu§u kolayca görülür. E§er a ∈ U ise U açk bir küme
oldu§u için a ∈ (a − ϵ, a + ϵ) ⊆ U olacak ³ekilde pozitif ϵ gerçel says vardr. O
halde, a+ϵ/2 ∈ U olacaktr ve bu a saysnn seçimiyle çeli³ir. E§er a ̸∈ U ise
a ∈ V olur ve yine V açk bir küme oldu§u için a − ϵ/2 ∈ V olacak ³ekilde bir
(ba³ka) pozitif ϵ says vardr. Fakat bu durum da tekrar a saysnn seçimi ile
çeli³ir. O halde en ba³ta yapt§mz kabul yanl³tr ve dolaysyla [0, 1] aral§
ba§lantldr. Örnek olarak
ba§lantldr.
2)
A⊆R
a∈R
öyle bir
A
A bir aralk de§ilse
A ∩ (−∞, a) ̸= ∅ ̸= (a, ∞) ∩ A olur ve dolaysyla
olamaz. O halde, R'nin ba§lantl alt kümeleri sadece
bo³ kümeden farkl bir alt küme olsun. E§er
says vardr ki
ba§lantl bir küme
aralklardr.
Yukardaki örne§in ilk ksmn kullanarak yol ba§lantl bir uzayn ayn
zamanda ba§lantl oldu§unu görebiliriz (bkz. Al³trma 14).
Tkzlk konusunda oldu§u gibi kantlar al³trma niteli§inde olan a³a§daki
sonuçlarn kantlarn okuyucuya brakyoruz.
Önerme 1.1.23. Ba§lantl bir uzayn sürekli bir fonksiyon altndaki görüntüsü
de ba§lantldr.
f :X→R
X uzaynda
tanmlanan gerçel say de§erli sürekli bir fonksiyon olsun. E§er f (x) < c <
f (y) olacak ³ekilde x, y ∈ X elemanlar ve c ∈ R gerçel says varsa, c = f (z)
olacak ³ekilde en az bir z ∈ X eleman vardr.
Teorem 1.1.24 (Ara de§er teoremi).
{Eλ }λ ∈ Λ, Eλ ⊆ X ba§lantl alt kümelerin
E§er ∩λ Eλ ̸= ∅ ise ∪λ Eλ ba§lantl bir kümedir.
Örnek 1.1.25. 1)
bir aile olsun.
ba§lantl bir
olu³turdu§u
9
Genel Topolo ji
Ba§lantl alt kümelerden ortak bir elemanlar varsa bu alt kümelerin birle³imi de ba§lantldr.
2)
E⊆X
ba§lantl bir alt küme ve
E⊆F ⊆E
ise
F
alt kümesi de
ba§lantldr.
3)
A topolojik X
uzaynn ba§lantl bir alt kümesi olmak üzere,
ko³ulunu sa§layan her
B
A ⊆ B ⊆ Ā
alt kümesi de ba§lantldr (kant okuyucuya brakl-
m³tr). Topolojist sinüs e§risi olarak bilinen
S = {(x, sin(1/x)) ∈ R2 | x > 0}
e§risi yol ba§lantl oldu§u için düzlemin ba§lantl bir alt kümesidir. Bu kümenin kapan³
y -ekseni
{(0, y) | − 1 ≤ y ≤ 1}
ile birle³iminden olu³an alt uzay,
kümesini içerdi§i için
S̃ ,
S
e§risinin
ba§lantldr ama yol ba§lantl
de§ildir. Bunu ³u ³ekilde görebiliriz.
“ekil 1.2: Topolojistin Sinüs E§risi. Sinüs fonksiyonunun her periyodu içinde
±1
de§erlerini almas gerekirken bu grakte en büyük de§erler bazen birin altnda kalyor.
Bir süre u§ra³tktan sonra bilgisayara do§ru gra§i çizdirmenin pek kolay olmad§n
gördüm ve grakteki bu hatann siz de§erli okuyucularn hayal gücüyle düzeltilebilece§ine karar verdim.
S̃ = {(x, sin(1/x)) ∈ R2 | x > 0} ∪ {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}
kümesi yol ba§lantl olsun. γ(0) = (0, 0) ve γ(1) = (1/π, 0) olacak ³ekilde
sürekli bir γ : [0, 1] → S̃, t 7→ γ(t) = (x(t), y(t)), e§risi alalm. x(t) sürekli
−1
fonksiyonu için, x(0) = 0 ve x(1) = 1/π oldu§undan x ((0, ∞)) açk ters
görüntü kümesinin 1 noktasn içeren bile³eni (a, 1], 1 > a ≥ 0, ³eklinde bir
−1
aralktr. Ayrca, x(a) = 0 olmaldr çünkü a ̸∈ x ((0, ∞)) olacak ³ekilde
seçilmi³tir. Fakat her t ∈ (a, 1) için x(t) > 0 oldu§undan
Diyelim ki,
y(a) = lim y(t) = lim sin(1/x(t)) = lim sin(1/x)
t→a+
t→a+
x→0+
10
Yardmc Bilgiler
elde ederiz. Fakat en son yazd§mz limitin de§eri yoktur, dolaysyla bu bir
çeli³kidir.
X
X üzerinde ∼ denklik ba§ntsn ³u ³ex ∼ y ancak ve ancak x ve y noktalarnn her ikisini birden
ba§lantl C ⊆ X alt kümesi vardr. (Aslnda bu ba§ntnn geçi³me
bir topolojik uzay olmak üzere
kilde tanmlayalm:
içeren bir
özelli§i oldu§unu göstermek için yukardaki örne§in ilk ksmn kullanmamz
gerekir.) Bu ba§lantnn denklik snarna
nir. Her denklik snf,
X
X
uzaynn ba§lantl bile³enleri de-
uzaynn, bu denklik snfnn herhangi bir noktasn
içeren en büyük ba§lantl alt kümesidir.
Önerme 1.1.26.
X
bir topolojik uzay olmak üzere,
X 'in
topolojik bile³enleri
birer kapal alt kümedir. Di§er taraftan, bu uzayn hem açk hem de kapal
her alt kümesi bir topolojik bile³endir. Ayrca,
X
uzay ba§lantl bile³enlerinin
ayrk birle³imi olarak tek bir ³ekilde yazlabilir.
f : X → R fonkx ∈ X için, f (x) = f (y), her y ∈ Ux için, olacak
³ekilde bir x ∈ Ux ⊆ X açk kümesi varsa bu fonksiyona yerel olarak sabit
fonksiyon denir. E§er fonksiyon sürekli ve yerel sabit ise X 'in her ba§lantl
bile³eninde sabit olmaldr. Bunu ³u ³ekilde görebiliriz: a ∈ R alalm. {a} ⊆ R
−1 (a) ⊆ X kapaldr. Di§er taraftan yerel olarak
kümesi kapal oldu§undan f
−1 (a) ⊆ X alt kümesi açk bir kümedir.
sabit fonksiyon olmann tanmndan f
−1 (a) ⊆ X alt kümesi X uzaynn ba§lantl bir parçasdr. Buna göre
O halde f
∼ ayn ba§lantl parçann içinde olma ba§nts ise (Önerme 1.1.26'in öncesindeki paragrafa baknz) f : X → R fonksiyonu bize sürekli bir f˜ : X/ ∼→ R
Örnek 1.1.27.
X
topolojik uzaynda gerçel say de§erli bir
siyonu alalm. E§er her
sürekli fonksiyonu verecektir.
1.1.4
Metriklenebilir Uzaylar
Bo³ olmayan bir
X→R
X
kümesi üzerinde a³a§daki ko³ullar sa§layan bir
fonksiyonu alalm: Her
x, y, z ∈ X
1.
d(x, y) = d(y, x);
2.
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z);
3.
d(x, y) ≥ 0
d:X×
için
dr ve e³itlik ancak ve ancak
x=y
durumunda sa§lanr.
d fonksiyonuna X üzerinde bir metrik ve (X, d) ikilisine ise metrik
x, y ∈ X için, d(x, y) ≤ C olacak ³ekilde bir C > 0 gerçel
says varsa bu metri§e snrldr denir.
(X, d) bir metrik uzay ve x ∈ X ve
r pozitif bir gerçel say olsun. B(x, r) = {y ∈ X | d(x, y) < r} alt kümesine
x merkezli ve r yarçapl yuvar denir. Bir metrik uzayn tüm açk yuvarlarnn
üretti§i topolojiye metrik uzay topolojisi denir. X kümesi üzerindeki bir τ topolojisi bu küme üzerindeki bir metrik tarafndan üretilen topoloji ise (X, τ )
Bu durumda
uzay denir. E§er her
topolojisine metriklenebilir topoloji denir.
11
Genel Topolo ji
d1 ve d2
x, y ∈ X için
bir
X
kümesi üzerinde tanmlanan metrikler olmak üzere her
m d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ M d1 (x, y) ,
ko³ulunu sa§layan
m, M > 0 gerçel saylar varsa bu iki metri§e denk
metrikler
denir. Denk metriklerin ayn topolojiyi ürettiklerinin gösterilmesini al³trmalara brakyoruz.
Örnek 1.1.28. lk bölümde ele ald§mz,
Rn
üzerindeki Öklit topolojisi Öklit
metri§i tarafndan üretilen topolojidir.
y ∈ X bir nokta ve (xn ) bu uzay içinde bir dizi
ϵ > 0 gerçel says için, ( n ≥ N ⇒ d(xn , y) < ϵ ) olacak
³ekilde bir N do§al says varsa (xn ) dizisi y noktasna yaknsyor denir ve
lim xn = y olarak yazlr. E§er verilen her ϵ > 0 gerçel says için (m, n ≥ N ⇒
d(xm , xn ) < ϵ) olacak ³ekilde bir N do§al says varsa (xn ) dizisine Cauchy
(X, d)
bir metrik uzay,
olsun. E§er verilen her
dizisi denir. Kolayca görülece§i gibi her yaknsak dizi bir Cauchy dizisidir.
(X, d) metrik uzayndaki her Cauchy dizisi ayn zamanda yaknsak ise bu uzaya
tam uzay denir.
Topolojik özellikler metrik uzaylarda sadece diziler yardm ile ifade edilebilir. A³a§daki ifadelerin kantlarn okuyucuya brakyoruz.
Önerme 1.1.29.
A
(X, d)
1.
bir metrik uzay ve
bir alt küme olsun.
alt kümesinin kapal olmas için gerek ve yeter ³art
yaknsak dizinin limitinin de
2.
A⊆X
(X, d)
A
tam bir metrik uzay ve
kapaldr ancak ve ancak
A
A'nn
içindeki her
içinde olmasdr.
A⊆X
olsun. Bu durumda
A
alt kümesi
alt uzay da tam bir metrik uzaydr.
3. Metrik uzaylar arasndaki bir
f : (X, dX ) → (Y, dY ) fonksiyonun sürekli
X içindeki her yaknsak (xn ) dizisi için
olmas için gerek ve yeter ³art
(f (xn ))
(X, d)
dizisinin
(Y, dY )
içinde yaknsak olmasdr.
metrik uzay içindeki her dizinin yaknsak bir alt dizisi varsa bu
metrik uzaya dizisel tkz metrik uzay denir.
Teorem 1.1.30.
(X, d)
bir metrik uzay olsun.
A)
(X, d)
dizisel tkz bir uzay ise snrl ve tamdr.
B)
(X, d)
metrik uzaynn tkz olmas için gerek ve yeter ³art bu uzayn
dizisel tkz olmasdr.
Bu teoremin kantn topolojik ve metrik uzaylara ait bir çok kri ve tekni§i
içerdi§i için burada verece§iz.
X dizisel tkz bir uzay olsun. E§er X snrl de§il ise her x ∈ X
n ∈ N için B(x, n) ̸= X olacaktr. Buna göre sabit bir x ∈ X için xn ∈ X −
Kant : A)
ve
12
Yardmc Bilgiler
B(x, n)
olacak ³ekilde seçilen
z0
Çünkü limiti
(xn )
dizisinin yaknsak alt dizisi olmayacaktr.
(zn ) dizisi için limn→∞ d(zn , x) = d(z0 , x)
durumumuzda d(xn , x) ≥ n'dir. O halde X metrik uzay
olan yaknsak bir
olacaktr fakat bizim
snrldr.
X
“imdi de
metrik uzaynn tam oldu§unu görelim.
X
uzay içinde bir
(xn ) Cauchy dizisi alalm. X dizisel tkz oldu§undan bu dizinin yaknsak bir
(xkn ) alt dizisi vardr. lim xkn = x0 olsun. Buna göre verilen her ϵ > 0 gerçel
says için, öyle bir n0 do§al says vardr ki, her m, n ≥ n0 tam saylar için
d(xm , xn ) < ϵ/2 ve d(xkn , x0 ) < ϵ/2 e³itsizlikleri sa§lanr. Son olarak üçgen
e³itsizli§ini kullanarak d(xn , x0 ) ≤ d(xn , xkn ) + d(xkn , x0 ) < ϵ, n ≥ n0 , elde
ederiz. O halde, (xn ) dizisi de x0 noktasna yaknsamaktadr ve dolaysyla
(X, d) metrik uzay tam bir uzaydr.
B) lk önce (X, d) uzaynn tkz oldu§unu kabul edelim ve bu uzayn dizisel
tkz oldu§unu gösterelim. X içinde bir (xn ) dizisi alalm. “imdilik her x ∈ X
eleman için, {n ∈ N | xn ∈ B(x, rx )} kümesi sonlu bir küme olacak ³ekilde
bir rx > 0 gerçel saysnn varl§n kabul edelim. {B(x, rx )}x∈X ailesi X tkz
uzaynn açk bir örtüsü oldu§u için bu ailenin sonlu eleman da X uzayn
örtecektir. Bu ise do§al saylar kümesinin sonlu olmas çeli³kisine yol açacaktr.
X öyle bir x0 ∈ X noktas vardr ki, her r > 0 gerçel says için
{n ∈ N | xn ∈ B(x, r)} kümesi sonsuzdur. Bu durumda (xn ) dizisinin x0
noktasna yaknsayan bir alt dizisi vardr. Ba³ka bir deyi³le (X, d) metrik uzay
O halde,
dizisel tkzdr.
“imdi de
(X, d)
metrik uzaynn dizisel tkz oldu§unu kabul edelim ve bu
topolojik uzayn tkz oldu§unu gösterelim. Diyelim ki,
halde,
X
uzaynn sonlu alt örtüsü olmayan bir
dizisel tkz oldu§u için
olacak ³ekilde
x∈X
A = {r > 0 |
X
tam ve snrldr.
noktas ve
baz
R>0
x1 , · · · , x k ∈ X
X
{Uα }
X
tkz olmasn. O
X uzay
X ⊆ B(x, R)
örtüsü vardr.
snrl oldu§u için
gerçel says vardr. O halde,
için
X ⊆ B(x1 , r) ∪ · · · ∪ B(xk , r)}
gerçel saylarn bo³ olmayan alttan snrl bir alt kümesidir.
δ = inf A
olsun. E§er
δ ̸= 0
olsayd hiç bir alt dizisi Cauchy dizisi olmayan
ϵ = δ/2 alalm. Buna göre ϵ ̸∈ A olur. x1 ∈ X
B(x1 , ϵ) yuvarn dü³ünelim. ϵ ̸∈ A oldu§u için X − B(x1 , ϵ) ̸= ∅ olur.
O halde x2 ∈ X − B(x1 , ϵ) seçebiliriz. Benzer ³ekilde x3 ∈ X − (B(x1 , ϵ) ∪
B(x2 , ϵ)) ve tümevarm metodu ile xn ∈ X − (B(x1 , ϵ) ∪ · · · ∪ B(xn−1 , ϵ))
seçebiliriz. Her m ̸= n do§al say çifti için d(xn , xm ) > ϵ oldu§u için bu dizinin
hiç bir alt dizisi Cauchy de§ildir. Fakat bu durumda (X, d) metrik uzaynn
dizisel tkz olmas ile çeli³ir. O halde, δ = 0 olmaldr.
lk önce r = 1 alalm. O halde X ⊆ B(x1 , 1) ∪ · · · ∪ B(xk , 1) olacak ³ekilde baz x1 , · · · , xk ∈ X noktalar vardr. {Uα } örtüsünün hiç bir sonlu alt
örtüsü X 'i örtemedi§i için bir birim yarçapl bu yuvarlardan birini de örtemeyecektir. Diyelim ki bu yuvar B(x1 , 1) olsun. “imdi r = 1/2 alalm. Bu
durumda B(x1 , 1) ⊆ B(y1 , 1/2) ∪ · · · ∪ B(yl , 1/2) olacak ³ekilde y1 , · · · , yl ∈
X noktalar vardr. Benzer ³ekilde B(yi , 1/2) yuvarlarndan birisi, diyelim ki
bir diziyi ³u ³ekilde kurabilirdik:
alalm ve
13
Genel Topolo ji
B(y1 , 1/2), {Uα } örtüsünün hiç bir sonlu alt örtüsü tarafndan örtülemeyecektir
ve B(x1 , 1) ∩ B(y1 , 1/2) ̸= ∅ olacaktr. Bu durumda üçgen e³itsizli§ini kullanarak d(x1 , y1 ) ≤ 1 + 1/2 = 3/2 e³itsizli§ini elde ederiz. Daha sonra r = 1/4
alarak bir z1 ∈ X noktas bulabiliriz, öyleki B(z1 , 1/4) yuvar {Uα } örtüsünün
hiç bir sonlu alt örtüsü tarafndan örtülemez ve B(y1 , 1/2) ∩ B(z1 , 1/4) ̸= ∅.
Dolaysyla d(y1 , z1 ) ≤ 1/2 + 1/4 = 3/4 olur. Bu i³leme devam ederek ve elde
etti§imiz dizinin terimlerinin gerekirse isimlerini de§i³tirerek a³a§daki özelliklere sahip bir
1)
B(xi , 1/2i )
(xn )
dizisi elde ederiz:
yuvar
{Uα }
örtüsünün hiç bir sonlu alt örtüsü tarafndan örtü-
lemez;
2) Her
i
için,
d(xi , xi+1 ) < 1/2i−1 + 1/2i < 1/2i−2
olur.
n < m için, d(xn , xm ) < 1/2n−3 oldu§unu kolayca görebiliriz. O halde, (xn ) dizisi Cauchy'dir. Dizisel tkzlk
tam uzay olmay gerektirdi§i için bu dizinin x0 gibi bir limiti olacaktr.
Son olarak, x0 ∈ Uα0 olacak ³ekilde bir α0 seçelim. Uα0 açk bir küme oldu§u
için B(x0 , ρ) ⊂ Uα0 olacak ³ekilde bir ρ > 0 gerçel says bulabiliriz. Yeterince
n
büyük bir n do§al says için d(xn , x0 ) < ρ/2 ve 1/2 < ρ/2 e³itsizliklerini elde
n
ederiz. Fakat bu bize B(xn , 1/2 ) ⊆ B(x0 , ρ) ⊆ Uα0 çeli³kisini verecektir. Bu
çeli³ki kant tamamlar. 2
Üçgen e³itsizli§ini kullanarak her
{Uα }α∈Λ tkz (X, d) metrik uzaynn bir
B(x, rx ) ⊆ Uαx olacak ³ekilde rx > 0
ve αx ∈ Λ seçelim. X uzay tkz oldu§u için {(B(x, rx /2)}x∈X açk örtün
sünün, {B(xi , rxi /2)}i=1 gibi sonlu bir alt örtüsü X uzayn örtecektir. δ =
min{rxi /2 | i = 1, . . . , n} olsun. “imdi herhangi bir y ∈ X için B(y, δ) yuvarn
ele alalm. lk önce, d(xi , y) < rxi /2 olacak ³ekilde bir i ∈ {1, . . . , n} vardr. Buna göre her z ∈ B(y, δ) için üçgen e³itsizli§inden d(z, xi ) ≤ d(z, y) + d(y, xi ) <
δ + rxi /2 ≤ rxi elde ederiz. O halde, z ∈ B(xi , rxi ) ⊆ Uαxi ve dolaysyla
B(y, δ) ⊆ Uαxi olur. Ba³ka bir deyi³le rastgele bir noktann etrafna çizilebilecek δ yarçapl yuvar açk örtünün elemanlarnn birinin içinde kalacaktr. Bu
sayya açk {Uα }α∈Λ örtüsünün bir Lebesgue says denir.
Örnek 1.1.31 (Lebesgue says).
açk örtüsü olsun. Her
x ∈ X
için
Lebesgue saysnn bir uygulamas olarak a³a§daki önermeyi kantlayalm.
Önerme 1.1.32. Tkz bir metrik uzaydan ba³ka bir metrik uzaya giden her
sürekli fonksiyon düzgün süreklidir.
Kant:
(X, d1 )
tkz bir uzay olmak üzere sürekli bir
fonksiyonu alalm. Bir
ϵ>0
f : (X, d1 ) → (Y, d2 )
x ∈ X noktas
says verilsin. Bu durumda her
için,
d1 (x, y) < δx ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ϵ/2
olacak ³ekilde bir pozitif
{B(x, δx ) | x ∈ X}
δx > 0
(X, d1 ) uzaynn
λ > 0 olsun. “imdi
gerçel says vardr. Tkz
açk örtüsünün bir Lebesgue says
14
Yardmc Bilgiler
d1 (x, y) < λ olacak ³ekilde herhangi
B(z, δz ) olacak ³ekilde bir z ∈ X
B(z, δz ) oldu§undan
iki nokta alalm. O halde,
y ∈ B(x, λ) ⊆
x, y ∈
noktas bulabiliriz. Son olarak,
d2 (f (x), f (y)) ≤ d2 (f (x), f (z)) + d2 (f (z), f (y)) < ϵ/2 + ϵ/2 = ϵ
elde ederiz.
2
(X, d) metrik uzay ve f : X → X bir fonksiyon olsun. Her
d(f (x), f (y)) ≤ λ d(x, y) olacak ³ekilde bir 1 > λ ≥ 0 gerçel
says varsa f fonksiyonuna bir daraltma fonksiyonu, λ katsaysna ise daraltma
Tanm 1.1.33.
x, y ∈ X
için
katsays denir.
Bir daraltma fonksiyonunun sürekli oldu§u açktr.
Teorem 1.1.34 (Banach Daraltma Prensibi).
f :X →X
bir daraltma fonksiyonu ise
f
(X, d)
tam bir metrik uzay ve
fonksiyonunun bir ve tek bir sabit
noktas vardr.
Kant: Bu teorem üçgen e³itsizli§inin basit bir uygulamasdr. Herhangi bir
x1 ∈ X
önüne alalm.
n≥1
xn+1 = f (xn ), n ≥ 1, ile tanmlanan diziyi göz
0 ≤ λ < 1 gerçel says f fonksiyonunun daraltma sabiti ise, her
noktas seçelim ve
tam says için
d(xn , xn−1 ) ≤ λ d(xn−1 , xn−2 ) ≤ · · · ≤ λn−2 d(x2 , x1 )
elde edilir. Di§er taraftan, üçgen e³itsizli§ini kullanarak, her
n≥1
tam says
için
d(xn , x1 ) ≤ d(xn , xn−1 ) + d(xn−1 , xn−2 ) + · · · + d(x2 , x1 )
ve dolaysyla
d(xn , x1 ) ≤ (λn−2 + λn−3 + · · · + 1) d(x2 , x1 ) ≤
buluruz. Son olarak her
m>n≥1
1
d(x2 , x1 )
1−λ
tam say çifti için,
d(xm , xn ) ≤ λ d(xm−1 , xn−1 ) ≤ · · ·
≤ λn−1 d(xm−n+1 , x1 ) ≤
elde edilir. Son e³itsizlik ve
0 ≤ λ < 1
olmas
(xn )'nin
bir Cauchy dizisi ol-
(xn ) Cauchy dizisinin
x0 gibi bir limit noktas vardr: lim xn = x0 . f : X → X sürekli oldu§u için
f (x0 ) = f (lim xn ) = lim f (xn ) = lim xn+1 = x0 elde ederiz. Dolaysyla, x0
noktas f : X → X fonksiyonunun bir sabit noktasdr.
Son olarak, e§er f : X → X fonksiyonunun y0 ̸= x0 ∈ X gibi bir ba³ka sabit
noktas daha olsayd 0 < d(x0 , y0 ) = d(f (x0 ), f (y0 )) ≤ λd(x0 , y0 ) < d(x0 , y0 )
çeli³kisini elde ederdik. Dolaysyla, f
fonksiyonunun sadece tek bir sabit
noktas vardr. 2
du§unu gösterir.
(X, d)
λn−1
d(x2 , x1 )
1−λ
tam bir metrik uzay oldu§u için
15
Genel Topolo ji
Hatrlatma 1.1.35. Yukardaki kant tekni§i ayn zamanda sabit noktann
nasl bulunaca§n da gösteriyor. stedi§iniz
xn+1 = f (xn ), n > 1,
x1 ∈ X
formülü ile tanmlad§mz
noktasndan ba³layarak
(xn )
dizisi varl§n ve
tekli§ini kantlad§mz sabit noktaya yaknsayacaktr.
Banach Daraltma Prensibi bir metrik uzay üzerinde tanmlanan denklemleri çözmek için kullanlabilir. Bu i³ için ilk önce uygun metrik uzaylarn kurulmas gerekmektedir.
(X, d)
bir metrik uzay olmak üzere
B(X)
ile
X
uzaynda
tanml gerçel (veya karma³k) say de§erli snrl fonksiyonlar kümesini dü³ünelim. Bu küme üzerindeki supremum metri§i ³u ³ekilde tanmlanr:
f, g ∈ B(X)
ise
dsup (f, g) = sup{ ∥f (x) − g(x)∥ | x ∈ X} .
B(X) kümesi bu metrik ile tam metrik uzay olur. Ayrca, B(X) içindeki sürekli
fonksiyonlar alt kümesi, C(X) ∩ B(X), bu uzayn kapal bir alt kümesidir ve
dolaysyla da tam bir metrik uzay olu³turur. E§er X uzay tkz ise C(X) ⊆
B(X) (Sonuç 1.1.16) olaca§ndan C(X) alt uzaynn kendisi tam bir metrik
uzaydr. Bu paragraftaki iddialarn kantlar okuyucuya braklm³tr.
Örnek 1.1.36.
(an ), an ≥ 0,
toplam
α=
∑∞
n=0 an < 1 olan yaknsak bir dizi
B(N) tam metrik uzay üzerinde,
olsun. Supremum metrik ile donatlm³ olan
her
(xn ) ∈ B(N)
için,
∞
∑
Θ((xn ))(m) = 1 +
ak−1 · xk ,
k=m+1
ile tanmlanan
Θ : B(N) → B(N)
fonksiyonunu dü³ünelim.
dsup (Θ((xn )), Θ((yn ))) = sup {|
m∈N
∞
∑
ak−1 · (xk − yk )|}
k=m+1
≤ α dsup ((xn ), (yn ))
oldu§undan bu bir daraltma fonksiyonudur. O halde, Banach daraltma teore∑∞
minden, her n ≥ 0 için, xn = 1 +
k=n+1 ak−1 · xk ko³ulunu sa§layan tek bir
(xn ) dizisinin var oldu§unu görürüz. Di§er taraftan, bu örne§i biraz de§i³tirerek, her
n≥0
için,
xn = 1 +
∞
∑
ak−1 · x(n+1)k
k=n+1
ko³ulunu sa§layan tek bir
(xn )
dizisinin varl§n kantlayabiliriz. Bu dizinin
varl§n Banach daraltma teoremini kullanmadan kantlamay deneyiniz!
16
Yardmc Bilgiler
1.2
Analiz
1.2.1
Türevlenebilme
Türevlenebilir bir manifold yerel olarak (herhangi bir noktasnn bir kom³ulu§u) Öklit uzayna homeomorktir. Dolaysyla, Öklit uzaylarna dair tüm
kavram ve bilgilerimizi manifoldlara ta³may dü³ünebiliriz. Öklit uzay üzerinde analiz yaparken kullanlan en önemli kavramlardan ikisi türev ve integraldir.
Bu iki kavram manifoldlara ta³yabilmek için gerekli olan alt yapy bu bölümde sunmaya çal³aca§z.
V
ve
W
ile gerçel ya da karma³k say cismi üzerinde tanml Banach
uzaylarn (tam normlu vektör uzay) gösterelim. Sonlu boyutlu olmas durumunda bu uzaylar do§rudan
Rn
veya
Cn
(Öklit veya Hermityan normuyla
beraber) alaca§z.
Tanm 1.2.1.
V
ve
bir fonksiyon olsun.
üzere her
h∈V
W Banach
L:V →W
uzaylar,
x0 ∈ V
bir nokta ve
F : V → W
sürekli (snrl) bir do§rusal dönü³üm olmak
için
F (x0 + h) = F (x0 ) + L(h) + ∥h∥ a(x0 , h)
lim a(x0 , h) = 0 olacak ³ekilde bir a(x0 , h)
h→0
noktasnda türevlenebilir denir. Bu durumda L
ve
de
F 'nin x0
noktasndaki türevi denir ve
∈W
varsa
F
fonksiyonuna
x0
: V → W do§rusal dönü³ümüne
DF (x0 ) veya F ′ (x0 ) ile gösterilir.
Yukardaki tanmn gösterimini kullanarak her noktada türevlenebilir bir
F :V →W
fonksiyonu bize, her
x0 ∈ V
için,
DF (x0 )(h)
ile tanmlanan
DF : V → hom(V, W )
türev fonksiyonunu verir (burada
hom(V, W )
ile Banach uzaylar arasndaki
snrl do§rusal dönü³ümlerin olu³turdu§u Banach uzayn kastediyoruz). E§er
F ∈ C 1 (V, W ) diye yazarz ve F C 1 'dir diye okuruz.
k
k+1 (V, W )
Benzer ³ekilde, e§er DF ∈ C (V, hom(V, W )), k ∈ N, ise F ∈ C
k
∞
diye yazarz. E§er, her k ∈ N için F ∈ C (V, W ) ise F ∈ C (V, W ) diye
yazarz ve F sonsuz türevlenebilirdir deriz.
bu fonksiyon sürekli ise
Banach uzaylar arasnda tanml bir fonksiyonun türevi ayn uzaylar arasnda tanml sürekli bir do§rusal dönü³ümdür. Aslnda a³a§da görece§imiz
gibi bir fonksiyonun türevi, e§er varsa, kendisine en yakn (sürekli) do§rusal
dönü³ümdür.
Hatrlatma 1.2.2. 1) E§er
F
ve
a(x0 , v) = 0 alarak F
F :V →W
do§rusal sürekli bir fonksiyon ise
L=
fonksiyonunun türevlenebilir oldu§unu ve türevinin
kendisine e³it oldu§unu görürüz.. Ba³ka bir deyi³le do§rusal bir dönü³ümüne
en yakn do§rusal dönü³üm yine kendisidir.
17
Analiz
2) E§er
F : V → W
bir
x0
noktasnda türevlenebilirse
F
fonksiyonu
x0
noktasnda süreklidir:
lim ∥F (x0 + h) − F (x0 )∥ ≤ lim ∥L(h)∥ + lim ∥h∥∥a(x0 , h)∥ = 0.
h→0
h→0
Örnek 1.2.3. 1)
x0 ∈ R
h→0
f : R → R, f (x) = x2 ,
ile verilen fonksiyonun herhangi bir
noktasnda türevlenebilir oldu§unu görelim:
f (x0 + h) = f (x0 ) + 2x0 h + h2
L : R → R, L(h) = 2x0 h, h ∈ R, do§rusal dönü³ümü ve
fonksiyonu alarak f 'nin türevlenebilir oldu§unu görürüz.
2
2
2) Benzer ³ekilde g : R → R, g(x, y) = x + 3xy + 5y − 6 ifadesi ile veri2
len fonksiyonun herhangi bir (x0 , y0 ) ∈ R noktasnda türevlenebilir oldu§unu
2
görebiliriz: L : R → R,
oldu§undan
a(x0 , h) = |h|
L(h1 , h2 ) = ((2x0 + 3y0 ) h1 , (3x0 + 5) h2 ), (h1 , h2 ) ∈ R2
do§rusal dönü³ümü ve
 2
 h1 + 3h1 h2
a((x0 , y0 ), (h1 , h2 )) =
∥(h1 , h2 )∥

0
, (h1 , h2 ) ̸= (0, 0)
, (h1 , h2 ) = (0, 0) ,
fonksiyonu olmak üzere
g(x0 + h1 , y0 + h2 ) = g(x0 , y0 ) + L(h1 , h2 ) + ∥(h1 , h2 )∥a((x0 , y0 ), (h1 , h2 ))
olur ve dolaysyla
g 'nin
türevlenebilir oldu§unu görürüz.
[0, 1] aral§nda tanml gerçel de§erli
C 0 ([0, 1]) Banach uzay üzerinde, her
Φ : B → B fonksiyonunu dü³ünelim.
Yukardaki örne§e benzer ³ekilde L : B →
3) Supremum normu ile donatlm³,
sürekli fonksiyonlarn olu³turdu§u B =
f ∈ B için Φ(f ) = f 2 ile tanmlanan
f0 ∈ B fonksiyonu alalm.
B , L(h) = 2f0 h, h ∈ B , do§rusal dönü³ümü snrl ve
Aslnda ∥L(h)∥ ≤ 2∥f0 ∥∥h∥ olur. Yine benzer ³ekilde
 2
 h
, h ̸= 0
a(f0 , h) =
∥h∥

0
, h=0
Bir
sürekli dönü³ümünü alarak
Φ
fonksiyonunun
f0 ∈ B
dolaysyla süreklidir.
noktasnda türevlene-
bilir oldu§unu görürüz.
f : B1 → B2 , g : B2 → B3 ,
x0 ∈ B1 olsun. E§er f
y0 = f (x0 ) noktasnda türevlenebilir
4)
olsun ve
Banach uzaylar arasnda fonksiyonlar
x0 ve g fonksiyonu da
g ◦ f : B1 → B3 fonksiyonu da x0
fonksiyonu
ise
noktasnda türevlenebilirdir ve türevi
D(g ◦ f ) : B1 → B3 , D(g ◦ f ) = Dg(y0 ) ◦ Df (x0 ) ,
18
Yardmc Bilgiler
bile³ke fonksiyonudur: Bunu görmek için ilk önce tanm kullanarak
f (x0 + h1 ) = f (x0 ) + Dfx0 (h1 ) + ∥h1 ∥ a(x0 , h1 )
ve
g(y0 + h2 ) = g(y0 ) + Dgy0 (h2 ) + ∥h2 ∥ b(y0 , h2 ) ,
yazalm. O halde, bile³ke fonksiyon için
(g ◦ f )(x0 + h1 ) = (g ◦ f )(x0 ) + Dgy0 (Dfx0 (h1 ) + ∥h1 ∥ a(x0 , h1 ))
+∥Dfx0 (h1 ) + ∥h1 ∥ a(x0 , h1 )∥ b(y0 , Dfx0 (h1 ) + ∥h1 ∥ a(x0 , h1 ))
= (g ◦ f )(x0 ) + (Dgy0 ◦ Dfx0 )(h1 ) + ∥h1 ∥ c(x0 , h1 )
elde ederiz, öyle ki, hata terimi (h1
̸= 0
için)
c(x0 , h1 ) = Dgy0 (a(x0 , h1 )) + ∥Dfx0 (h1 /∥h1 ∥) + a(x0 , h1 )∥
b(y0 , Dfx0 (h1 ) + ∥h1 ∥ a(x0 , h1 ))
ile verilir. Son olarak,
lim c(x0 , h1 ) = 0
h1 →0
Dfx0
do§rusal dönü³ümü snrl oldu§undan kolayca
e³itli§i elde edilir.
F : Rn → Rm herhangi bir x0 noktasnda türevn
m türev fonksiyonunun standart
lenebilir bir fonksiyon ise DF (x0 ) : R → R
tabanlardaki matris gösterimini F fonksiyonunun x0 noktasndaki Jakobiyen
Hatrlatma 1.2.4. E§er
matrisi olacaktr. Bunun kantn okuyucuya brakyoruz.
Sayfa 68'de manifoldlar arasnda tanml fonksiyonlarn türevini ele alaca§z.
1.2.2
Ters Fonksiyon Teoremi
U ⊆ B1 , V ⊆ B2
F : U → V bire
F −1 : V →
F : U → V fonksiyonu bir
Banach uzaylar içinde açk kümeler ve
bir örten ve sonsuz kere türevlenebilir bir fonksiyon olsun. E§er
U
fonksiyonu da sonsuz defa türevlenebilirse
difeomorzmadr denir.
Analizin en temel sonuçlarndan biri olarak kabul edilen Ters Fonksiyon
Teoremi türevlenebilir bir fonksiyonun türevinin bir izomorzma olmas durumunda fonksiyonun kendisinin de, en azndan yerel olarak, bir difeomorzma
oldu§unu göstermektedir. Bu teoremi vermeden önce kant içinde kullanaca§-
B1 , B2 Banach uzaylar ve T : B1 → B2 do§rusal
∥T (v)∥B2 ≤ M ∥v∥B1 , her v ∈ B1 için, olacak ³eM gerçel says varsa T operatörüne snrldr denir. Ayrca,
mz ³u sonucu kantlayalm.
bir dönü³üm olsun. E§er
kilde pozitif bir
T
dönü³ümü snrl ise
inf{M > 0 | ∥T (v)∥B2 ≤ M ∥v∥B1 , v ∈ B1 }
gerçel saysna dönü³ümün normu denir ve
∥T ∥
ile gösterilir.
19
Analiz
Önerme 1.2.5.
B
bir Banach uzay ve
operatör olsun. E§er,
∥T ∥ = λ < 1
ise
T : B → B snrl do§rusal bir
IdB − T : B → B operatörünün
snrl bir tersi vardr. Dolaysyla, snrl ve tersi olan operatörlerin, tüm snrl
operatörler uzay içinde olu³turdu§u U alt kümesi açktr.
−1 , sonsuz kere türevlenebilir bir fonksiyondur.
Ayrca, ϕ : U → U , T 7→ T
Kant :
Tn = T ◦ ··· ◦ T
operatörünün normu
sa§lad§ndan
L : B → B, x 7→
∞
∑
e³itsizli§ini
T n (x)
n=0
operatörü iyi tanmldr ve snrldr:
∥T n ∥ ≤ λn
∥L∥ ≤
∑∞
n
n=0 λ
= 1/(1 − λ).
Di§er
taraftan,
L ◦ (IdB − T ) = IdB = (IdB − T ) ◦ L
oldu§u kolayca görülür. kinci iddiann kant ilk admdan dolay açktr.
ϕ
fonksiyonunun tersi kendisine e³it oldu§undan bu fonksiyon ayn za-
manda bire bir ve örtendir. O halde, kant tamamlamak için bu fonksiyonun
sonsuz kere türevlenebilir oldu§unu söylemek yeterlidir.
bir operatör ise yeterince küçük bir
h:B→B
T :B→B
tersi olan
operatörü için
ϕ(T + h) = ϕ(T (IdB + T −1 h))
= (IdB + T −1 h)−1 T −1
[
]
= IdB − (T −1 h) + (T −1 h)2 − (T −1 h)3 + · · · T −1
= T −1 − (T −1 h) T −1 + (T −1 h)2 T −1 − (T −1 h)3 T −1 + · · ·
= ϕ(T ) − (T −1 h) T −1 + (T −1 h)2 T −1 − (T −1 h)3 T −1 + · · ·
LT : B → B , LT (h) = −T −1 h T −1 , ve

 (T −1 h)2 T −1 − (T −1 h)3 T −1 + · · ·
, h ̸= 0
a(T, h) =
∥h∥

0
, h=0
elde edilir. O halde,
ϕ : U → U fonksiyonunun T operatöründe türevli oldu§unu görürüz
a(T, h) = 0 oldu§unun gösterilmesini okuyucuya brakyoruz). (E§er
−2 h olurdu. Bunu f (x) = 1/x
operatörler yer de§i³tirilebilseydi LT (h) = −T
fonksiyonunun türeviyle kar³la³trn!) ϕ'nin ikinci kez türevlenebilir oldu§unu
alarak
(limh→0
görmek için
Dϕ : U → hom(hom(B, B), hom(B, B)) ,
Dϕ(T ) = LT : hom(B, B) → hom(B, B) , LT (h) = −T −1 h T −1
dönü³ümünün türevlenebilir oldu§unu görmeliyiz. Do§rudan hesap yaparak bunun türevinin
D2 ϕ : U → hom(hom2 (B, B), hom(B, B)) ,
D2 ϕT (h, k) = T −1 h(T −1 k)T −1 + (T −1 k)T −1 hT −1
oldu§unu görürüz. Kantn geri kalann okuyucuya brakyoruz.
2
20
Yardmc Bilgiler
Hatrlatma 1.2.6. E§er
ald§mz
ϕ(T ) = T −1
B
Banach uzay sonlu boyutlu ise yukarda ele
fonksiyonu Kramer kuralndan dolay
T 'nin
matris
gösteriminin elemanlarnn rasyonel bir ifadesidir ve dolaysyla sonsuz kere
türevlenebilir oldu§u açktr.
B1 , B2 Banach uzaylar, x0 ∈ B1
F : B1 → B2 bir C k , k > 0, fonksiyon olsun. E§er DF (x0 ) : B1 →
B2 bir izomorzma ise x0 ∈ U ⊆ B1 , y0 = F (x0 ) ∈ V ⊆ B2 olmak üzere öyle
açk kümeler vardr ki, F fonksiyonunun U kümesine kstlan³nn tersi vardr
−1 : V → U ters fonksiyonu da C k snfndandr.
ve F
Teorem 1.2.7 (Ters Fonksiyon Teoremi).
bir nokta ve
T1 : B1 → B1 , T1 (x) = x + x0 ve T2 : B2 → B2 , T2 (x) = y − y0
F fonksiyonunu T2 ◦ F ◦ T1 bile³ke fonksiyonu ile de§i³tirerek, genellikten bir ³ey kaybetmeden (T1 ve T2 fonksiyonlar
difeomorzma olduklarndan dolay), x0 = 0 ve y0 = 0 oldu§unu kabul edebiliriz. Benzer ³ekilde L = DF (x0 ) : B1 → B2 de bir difeomorzma oldu§u için
−1 ◦ F : B → B bile³ke fonksiyonu için kantlamak yeterteoremi F yerine L
1
1
li olacaktr. Bu bile³ke fonksiyonun türevini x0 noktasnda zincir kuralndan
hesaplarsak B1 Banach uzaynn birim fonksiyonunu buluruz. O halde, teoremi
F (0) = 0 ve DF (0) = IB1 ko³ullarn sa§layan bir F : B1 → B1 fonksiyonu
Kant :
an öteleme fonksiyonlar olmak üzere
için kantlamak yeterlidir.
DF (0) = IB1 oldu§undan, her x ∈ B[0, r1 ] için, F (x) = x + ∥x∥ a(x) ve
∥a(x)∥ ≤ 1/2 olacak ³ekilde bir r1 > 0 gerçel says ve a : B[0, r1 ] → B1
fonksiyonu bulabiliriz. Ayrca yine DF (0) = IB1 oldu§u için, gerekirse r1 > 0
saysn küçülterek, her x ∈ B[0, r1 ] için ∥IB1 − DF (x)∥ ≤ 1/2 oldu§unu kabul
edebiliriz (burada ∥IB1 − DF (x)∥ ≤ 1/2 ile Banach uzayndan kendisine giden
IB1 − DF (x) do§rusal operatörünün normunu kastediyoruz).
“imdi y ∈ B[0, r1 /2] olmak üzere y = F (x) = x + ∥x∥ a(x) denklemini
göz önüne alalm. lk önce bu denklemin her y ∈ B[0, r1 /2] için sadece tek
bir x ∈ B[0, r1 ] çözümü oldu§unu gösterece§iz: Bunun için bir y ∈ B[0, r1 /2]
.
noktas sabitleyelim ve θ(x) = y +x−F (x) = y −∥x∥ a(x) ifadesini dü³ünelim.
Bu durumda, her x ∈ B[0, r1 ] için
∥θ(x)∥ ≤ ∥y∥ + ∥x∥∥a(x)∥ ≤ r1 /2 + r1 /2 = r1
olur ve dolaysyla
(*)
θ'y B[0, r1 ] yuvarndan kendisine bir fonksiyon olarak dü³ü-
nebiliriz.
θ(x) =
y + x − F (x) fonksiyonu tanm gere§i türevlenebilirdir ve türevi Dθ(x0 ) =
IB1 − DF (x0 ) olur. r1 > 0 gerçel saysnn seçiminden dolay ∥Dθ(x0 )∥ ≤
1/2'dir. Son olarak x1 , x2 ∈ B[0, r1 ] alalm ve γ(t) = (1 − t)x2 + tx1 bu yuvarn
.
içinde kalan do§ru parças olmak üzere h(t) = θ(γ(t)) olarak tanmlanan h :
[0, 1] → B1 fonksiyonunu dü³ünelim. Zincir kuralndan h′ (t) = Dθ(γ(t))(x1 −
x2 ) yazabiliriz. Analizin Temel Teoremi'ni kullanarak
∫ 1
θ(x1 ) − θ(x2 ) = h(1) − h(0) =
h′ (t) dt
“imdi de bu fonksiyonun bir daraltma fonksiyonu oldu§unu görelim.
0
21
Analiz
ve buradan da
∫
1
∥θ(x1 ) − θ(x2 )∥ ≤
∥Dθ(γ(t))∥ ∥x1 − x2 ∥ dt ≤
0
e³itsizli§ini buluruz. O halde,
θ
∥x1 − x2 ∥
2
bir daraltma fonksiyonudur. Bir daraltma
y ∈ B[0, r1 /2] için
y = F (x) olacak ³ekilde tek bir x ∈ B[0, r1 ] noktas vardr. Aslnda yukardaki (∗) e³itsizli§ine tekrar dönersek, her ∥y∥ < r2 < r1 /2 için y = F (x)
denklemini çözen x noktasnn ∥x∥ ≤ r2 + r1 /2 < r1 e³itsizli§ini sa§lad§n
−1 (V ) açk kümeleri
görürüz. Dolaysyla, V = B(0, r1 /2) ve U = B(0, r1 ) ∩ F
k
için F : U → V bire bir ve örten bir C fonksiyon olur.
−1
Kantn bitmesi için son olarak F
: V → U ters fonksiyonunun da C k
oldu§unu göstermeliyiz. Bunun için kantn ba³nda yazd§mz y = x+∥x∥ a(x)
denklemine dönelim. Biliyoruz ki her ∥y∥ < r1 /2 için bu denklemi sa§layan
−1 (y)
sadece tek bir ∥x∥ < r1 vardr. Ayrca bu iki nokta için y = F (x) ve x = F
dir. O halde, x = y + x − F (x) = y − ∥x∥ a(x) denklemini kullanarak
fonksiyonunun sadece bir sabit noktas oldu§undan, her
∥x∥ ≤ ∥y∥ + ∥x∥∥a(x)∥ ≤ ∥y∥ +
ve buradan da
elde ederiz. Ayrca,
1
∥x∥ ≤ ∥y∥
2
y = F (x) = x + ∥x∥ a(x)
∥y∥ ≤ ∥x∥ +
∥x∥
2
denkleminden
3∥x∥
∥x∥
=
2
2
buluruz. Buna göre
x = 0 dr ancak ve ancak y = 0'dr;
2) x → 0 ancak ve ancak y → 0;
2
∥x∥
∥y∥
3
1
3) E§er x ̸= 0 ̸= y ise,
≤
≤ 2 ve
≤
≤
3
∥y∥
2
∥x∥
2
“imdi

 −a(x)∥x∥
, y ̸= 0
b(0, y) =
∥y∥

0
, y=0
1)
fonksiyonunu dü³ünelim (x
= F −1 (y)
oldu§undan bu ifade gerçekten
bir fonksiyonudur). (1), (2) ve (3)'ü kullanarak kolayca
y=0
olur.
b(0, y)
y 'nin
fonksiyonunun
noktasnda sürekli oldu§unu görebiliriz. Bu fonksiyonun tanmndan
x = y + ∥y∥ b(0, y)
F −1
ters fonksiyonu y = 0 noktasnda türevlidir.
x ∈ B[0, r1 ] için ∥IB1 − DF (x)∥ ≤ 1/2 oldu§undan U kümesinin
her noktasnda DF 'in izomorzma oldu§unu biliyoruz (bkz. Önerme 1.2.5). Do−1 ters fonksiyonunun V üzerinde türevlenebilir oldu§unu
laysyla ayn kant F
elde ederiz. O halde,
Her
22
Yardmc Bilgiler
gösterecektir. Son olarak, zincir kuraln
gulayarak
F (F −1 (y)) = y , y ∈ V ,
e³itli§ine uy-
DF −1 (y) = (DF (F −1 (y)))−1
elde ederiz. Buradan kolayca
F −1
ters fonksiyonunun da
Ck
oldu§unu görürüz,
çünkü tersi var olan operatörler açk alt uzaynda, tersini alma i³lemi sonsuz
türevlenebilir bir fonksiyondur (bkz. Önerme 1.2.5).
Hatrlatma 1.2.8.
2
F : Cn → Cn türevlenebilir (analitik) bir fonksiyon ve
n
n
olsun. E§er DF (z0 ) : C → C türev fonksiyonun tersi
z0 ∈ Cn bir nokta
varsa F analitik fonksiyonunun
yine analitik yerel bir tersi oldu§unu görürüz.
A³a§da verece§imiz Kapal Fonksiyon Teoremi Ters Fonksiyon Teoremi'nin
bir sonucudur (aslnda bu iki teorem birbirine denktir! Bkz. Al³trma 26):
B1 , B2 Banach uzaylar (x0 , y0 ) ∈
F : B1 ×B2 → B2 türevlenebilir ve türevi
F (x0 , y0 ) = 0 oldu§unu kabul edelim. E§er bu
Sonuç 1.2.9 (Kapal Fonksiyon Teoremi).
B1 ×B2
çarpm uzay içinde nokta ve
sürekli olan bir fonksiyon olsun.
noktada
F 'nin
ikinci de§i³kene göre türevi
∂F
(x0 , y0 ) : {0} × B2 → B2
∂y
bir izomorzma ise
üzerinde tanml bir
x0 ∈ U ⊆ B1 olacak ³ekilde bir açk
ϕ : U → B2 fonksiyonu vardr; öyle ki,
ϕ(x0 ) = y0 ve
x ∈ U için F (x, ϕ(x)) = 0
olur. Ba³ka bir deyi³le, (x0 , y0 ) noktasnn bir
denkleminin y = ϕ(x) gibi bir çözümü vardr.
küme ve bu küme
1)
2) her
Kant :
(x0 , y0 )
kom³ulu§unda
G : B1 × B2 → B1 × B2 , (x, y) 7→ (x, F (x, y)),
F (x, y) = 0
fonksiyonunun
noktasndaki türevi
DG(x0 , y0 ) : B1 × B2 → B1 × B2
her
(u, v) ∈ B1 × B2
için,
DG(x0 , y0 )(u, v) = (u,
∂F
∂F
(x0 , y0 )(u) +
(x0 , y0 )(v))
∂x
∂y
ile verilmektedir. Buna göre, e§er bir
(u, v) ∈ B1 × B2
DG(x0 , y0 )(u, v) = 0
ise
u=0
ve dolaysyla da
∂F
(x0 , y0 )(v) = 0
∂y
vektörü için
23
Analiz
olmaldr. Di§er taraftan,
∂F
(x0 , y0 ) : {0} × B2 → B2
∂y
v = 0 olmaldr. Ba³ka bir deyi³le, DG(x0 , y0 ) bir
1
Ters Fonksiyon Teoremi'nden G'nin C snfndan
bir izomorzma oldu§undan
izomorzmadr. O halde,
yerel bir ters fonksiyonu vardr:
G−1 : U × V → W
((x0 , 0)
∈ U × V ). G−1 (x, y) = (Ψ(x, y), Φ(x, y))
olsun. Her
(x, y) ∈ W
için
(x, y) = G(G−1 (x, y)) = G(Ψ(x, y), Φ(x, y)) = (Ψ(x, y), F (Ψ(x, y), Φ(x, y)))
Ψ(x, y) = x ve y = F (x, Φ(x, y)) elde ederiz. “imdi y = 0 alarak
her x ∈ U için F (x, Φ(x, 0)) = 0 oldu§unu görürüz. O halde ϕ(x) = Φ(x, 0)
olarak tanmlanrsa her x ∈ U için F (x, ϕ(x)) = 0 olur. Ayrca (x0 , y0 ) =
G−1 (x0 , 0) = (x0 , Φ(x0 , 0)) = (x0 , ϕ(x0 )) oldu§u için y0 = ϕ(x0 ) elde edilir. 2
oldu§undan
Bu bölümü daha sonra bir çok defa kullanaca§mz Taylor Teoremi ile bitirelim.
f : Rn → R çok
(α1 , · · · , αn ) ∈ Nn
de§i³kenli bir fonksiyon
x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn
ve
α =
olmak üzere,
.
Dα f =
ksmi türevini,
∂ |α| f
· · · ∂xαnn
∂xα1 1
.
xα = xα1 1 · · · xαnn ,
.
α! = α1 ! · · · αn !
çarpmlarn ve son olarak
.
|α| = α1 + · · · + αn
toplamn göstersin.
Teorem 1.2.10 (Taylor Teoremi).
(k + 1)'inci dereceden
x, x0 ∈ I için,
I ⊆ R
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) f ′ (x0 ) + · · · +
olur. Burada
Rk (x)
açk bir aralk ve
f : I → R,
türevi sürekli olan bir fonksiyon olsun. Bu durumda her,
(x − x0 )k f (k) (x0 )
+ Rk (x)
k!
a³a§daki formülle verilir:
∫
x
Rk (x) =
x0
(x − t)k f (k+1) (t) dt
.
k!
24
Yardmc Bilgiler
U ⊆ Rn
konveks bir küme olmak üzere,
türevlenebilir bir fonksiyon ise, her
x, x0 ∈ U
f : U → R, (k + 1)
k
∑
∑
(x − x0 )α (Dα f )(x0 )
f (x) =
+
α!
Rβ (x) (x − x0 )β
|β|=k+1
|α|=0
olur. Yine burada
Rβ (x) =
sürekli
için,
|β|
β!
∫
1
(Dβ f )(x0 + t(x − x0 )) (1 − t)|β|−1 dt
0
ile verilir.
Rk (x)
Dolaysyla,
ve
Rβ (x)
kalan fonksiyonlar
(x, x0 )
ikilisinin sürekli
fonksiyonlardr.
Teoremin ilk ksmnn kant tümevarm yöntemiyle yaplr. Tümevarmn geçi³
adm kalan terime ksmi integral uygulayarak tamamlanabilir. Teoremin ikinci
ksmn kant için ise
g : [0, 1] → R , g(t) = f (tx + (1 − t)x0 )
fonksiyonuna teoremin ilk ksmn uygulamak yeterlidir.
Son olarak kalan terim için a³a§daki sonucu verece§iz:
Önerme 1.2.11.
Rk (x)
yukarda tek de§i³kenli fonksiyonlar için verilen Tay-
lor açlmnn kalan terimi olmak üzere, sürekli bir
C(x) ≥ 0
fonksiyonu
için
|Rk (x)| ≤ C(x) |x − x0 |k+1
e³itsizli§i sa§lanr.
Benzer ³ekilde çok de§i³kenli fonksiyonlarn
k 'nc
dereceden Taylor açl-
mnn kalan için,
∑
β
Rβ (x) (x − x0 ) ≤ C(x) ∥x − x0 ∥k+1
|β|=k+1
C(x) ≥ 0
e³itsizli§ini sa§layan sürekli bir
fonksiyonu vardr.
Kant : Sadece ilk ksmn kantn verece§iz. kinci ksmn kantn al³trma
olarak size brakyoruz.
∫
x
Rk (x) =
x0
olmak üzere
tanmlansn:
C(x)
(x − t)k f (k+1) (t) dt
k!
fonksiyonu a³a§daki fonksiyonun mutlak de§eri olarak




Rk (x)
(x − x0 )k+1
C̃(x) =
f (k+1) (x0 )



(k + 1)!
, x ̸= x0
, x = x0 .
25
Analiz
f (k+1) : I → R
baknz) C(x)
fonksiyonu sürekli oldu§undan (Taylor Teoremi'nin hipotezine
fonksiyonunun
x ̸= x0
durumunda sürekli oldu§u açktr. O
halde, kant tamamlamak için a³a§daki limiti hesaplamalyz:
Rk (x)
lim
x→x0 (x − x0 )k+1
Limit
0/0
∫x
=
lim
x0 (x
− t)k f (k+1) (t) dt
k! (x − x0 )k+1
x→x0
.
belirsizlik durumunda oldu§undan L'Hopital kuraln kullanabiliriz.
Bunun için ilk önce payn türevini hesaplamalyz. Fonksiyonu iki de§i³kenli
fonksiyon gibi görerek türevini alabiliriz:
∫
y
g(x, y) =
x0
Rk (x) = g(x, x)
hesaplayalm. E§er k ≥ 1 ise
olmak üzere
(x − t)k f (k+1) (t) dt
k!
olacaktr. “imdi
y = y(x) = x
alarak türevi
d
g(x, y(x))
dx
= gx (x, x) + gy (x, x) y ′ (x)
∫ x
(x − t)k−1 f (k+1) (t) dt
=
(k − 1)!
x0
Rk′ (x) =
olarak hesaplanr, çünkü ikinci terim sfrdr. “imdi L'Hopital kuraln
(k + 1)
defa ard ardna kullanarak
Rk (x)
lim
x→x0 (x − x0 )k+1
∫x
=
=
=
buluruz. Böylece kant tamamlanr.
1.2.3
lim
x→x0
lim
x→x0
x0 (x
− t)k f (k+1) (t) dt
k! (x − x0 )k+1
f (k+1) (x)
(k + 1)!
f (k+1) (x0 )
(k + 1)!
2
Diferansiyel Denklemlerin Varlk ve Teklik Teoremi
Bu bölümde ba³langç de§er problemlerinin çözümlerinin varl§ ve tekli§i ve
ba³langç de§erlerine ba§ll§ üzerine sonuçlar elde edece§iz. Bir önceki bölümde oldu§u gibi yine Banach Daraltma Prensibi'ni kullanaca§z.
U ⊆ B bir açk alt küme ve f : U → B bir fonksiyon
x, y ∈ U için ∥f (x) − f (y)∥ ≤ λ ∥x − y∥ olacak ³ekilde bir
λ > 0 sabiti varsa f fonksiyonuna bir Lipschitz fonksiyonu ve λ'ya da Lipschitz
B
bir Banach uzay,
olsun. E§er her
sabiti denir.
26
Yardmc Bilgiler
Teorem 1.2.12.
B
I⊆R
bir Banach uzay,
açk bir aralk ve
f : I ×B → B
sürekli ve ikinci de§i³kene göre Lipschitz olan bir fonksiyon olsun. Bu durumda
her
t0 ∈ I
ve
y0 ∈ B
için,
y ′ (t) = f (t, y) ,
y(t0 ) = y0
(t0 −ϵ, t0 +ϵ) ⊆ I alt aral§nf fonksiyonu C k snfndan ise
ba³langç de§er probleminin t0 noktasn içeren bir
da tanml tek bir çözümü vardr. Ayrca e§er
k+1 snfndandr.
çözüm fonksiyonu C
Kant :
y ′ (t) = f (t, y), y(t0 ) = y0
ba³langç de§er problemi
∫
t
y(t) = y0 +
f (s, y(s)) ds
t0
integral denklemine denk oldu§undan bundan sonra bu integral denkleminin
λ > 0 ile f fonksiyonun Lipschitz sabitini gösterelim.
ϵλ = α < 1 olacak ³ekilde bir ϵ > 0 gerçel says seçelim. Bu durumda
[t0 − ϵ, t0 + ϵ] aral§nda tanml B Banach uzay de§erli snrl ve sürekli fonk0
siyonlar uzay B1 = C ([t0 − ϵ, t0 + ϵ], B) (supremum normu ile beraber) yine
üzerinde çal³aca§z.
Ayrca,
bir Banach uzaydr.
“imdi
B1
Banach uzay üzerinde ³u fonksiyonu tanmlayalm:
∫
Θ : B1 → B1 ,
t
Θ(y)(t) = y0 +
f (s, y(s)) ds,
y(t) ∈ B1 .
t0
Aslnda
Θ
bir daraltma fonksiyonudur:
∫
∥Θ(y1 )(t) − Θ(y2 )(t)∥ = ∥
t
(f (s, y1 (s)) − f (s, y2 (s))) ds∥
t0
≤ |t − t0 | ∥f (s, y1 (s)) − f (s, y2 (s))∥
≤ ϵλ ∥y1 (t) − y2 (t)∥
≤ α ∥y1 (t) − y2 (t)∥
Bu daraltma fonksiyonunun sabit noktas olan fonksiyon aranan çözüm olacaktr.
Son olarak, e§er
f
fonksiyonu
Ck
y ′ (t) = f (t, y)
oldu§unu görürüz. 2
snfndan ise
k+1 snfndan
dan çözüm fonksiyonunun C
ba§ntsn-
Yukardaki kantn gösterimini kullanarak yine teoremin ifadesinde verilen
(t1 , y1 ) ∈ I × B ba³langç
de§er ko³ulu için elde edilen çözümün B1 =
0 − ϵ, t0 + ϵ], B) Banach uzay
içinde kald§n kabul edebiliriz. “imdi (t0 , y0 ), (t0 + h1 , y0 + h2 ) ∈ I × B gibi
0
h çözümlerinin arasndaki
iki ba³langç de§er ko³uluna kar³lk gelen y ve y
fark inceleyelim. Aslnda, Ψ : I × B → B1 , (t1 , y1 ) 7→ Ψ(t1 , y1 ) ifadesi (t1 , y1 )
I
açk aral§n yeterince küçük alarak verilen her
C 0 ([t
noktasndaki ba³langç de§er ko³uluna kar³lk gelen çözümü veren fonksiyonu
gösterirse bu fonksiyonun sürekli oldu§unu görebiliriz: lk önce
f
fonksiyonun
27
Analiz
normunun sonlu oldu§unu kabul edelim (örne§in, e§er
B
Banach uzay tkz
ise bu ko³ul açk ³ekilde sa§lanr).
∥Ψ(t0 + h1 , y0 + h2 ) − Ψ(t0 , y0 )∥ = ∥y h − y 0 ∥
= ∥Θ(y h ) − Θ(y 0 )∥
∫ t0 +h1
= ∥h2 +
f (s, y 0 (s)) ds
∫
t0
t
(f (s, y h (s)) − f (s, y 0 (s))) ds ∥
+
t0 +h1
≤ ∥h2 ∥ + |h1 | ∥f ∥ + α ∥y h − y 0 ∥
ve buradan da
∥y h − y 0 ∥ ≤
Ψ
elde ederiz. O halde,
süreklidir. “imdi de
f (s, y 0 (s))
f
∥h2 ∥ + |h1 | ∥f ∥
1−α
fonksiyonu ba³langç de§er ko³ullarna göre düzgün
fonksiyonun snrl olmad§n dü³ünelim. Bu durumda,
fonksiyonu
I
tkz aral§nda snrl olaca§ndan
∫
t0 +h1
f (s, y 0 (s)) ds
t0
M |h1 | gibi pozitif bir saydan küçük olacaktr.
Ψ fonksiyonu (t0 , y0 ) noktasnda süreklidir.
integralinin mutlak de§eri yine
Ba³ka bir deyi³le,
Hatrlatma 1.2.13. 1) Teoremin kantndan elde edilen çözümün tanml ol-
du§u aral§n boyunun,
2ϵ,
tamamen
λ
Lipschitz sabiti ile belirlendi§ini gördük.
Dolaysyla varlk teklik teoremini arka arkaya kullanarak çözümün
I
aral§nn
tamamnda tanml oldu§unu görürüz.
l
k
k
2) f = f (x, y) : R × R → R sürekli bir fonksiyon olsun. E§er bu fonksiyonun ikinci de§i³kene göre türevi de sürekli ise
f
fonksiyonu her snrl
bölgede ikinci de§i³kene göre Lipschitz fonksiyon olacaktr.
Örnek 1.2.14. Bu teoremin bir uygulamas olarak gerçel saylardan gerçel
saylara giden fonksiyonlar için ters görüntü teoreminin (biraz zayf bir halik
nin) bir ba³ka kantn verelim: f : R → R C , k ≥ 2, snfndan bir fonksiyon
′
ve a ∈ R, f (a) ̸= 0, ko³ulunu sa§layan bir nokta olsun. Bu durumda x = a
noktasnn açk bir kom³ulu§unda fonksiyonumuz hep artan veya hep azalan
olacaktr. Ba³ka bir deyi³le
lu§undan
f (a)
f
fonksiyonu
x = a
noktasnn açk bir kom³u-
noktasnn açk bir kom³ulu§una bire bir örten bir fonksiyon
verir (bkz. Al³trma 25). “imdi bu ters fonksiyonun türevlenebilir oldu§unu
görelim. Bunun için a³a§daki ba³langç de§er problemini dü³ünelim:
olmak üzere
y ′ (x) =
1
,
f ′ (y(x))
y(b) = a.
b = f (a)
28
Yardmc Bilgiler
(a) ki vektörün belirledi§i paralelkenarn alan:
(b) Dejenere paralelkenarn alan
A(u, v)
sfrdr:
A(u, u) = 0
“ekil 1.3
f ∈ Ck, k ≥ 2
ve
f ′ (a) ̸= 0
oldu§u için
1/f ′ (x)
fonksiyonunun türevi
′
noktasnn kapal bir kom³ulu§unda sürekli olacaktr. Dolaysyla,
1/f (x)
x=a
fonk-
siyonu bu aralkta Lipschitz olur. O halde, yukardaki ba³langç de§er probleminin
b
y = y(x)
y (x)f (y(x)) = 1
noktas etrafnda tanml tek bir
′
′
taraftan, diferansiyel denklemi
yerel çözümü vardr. Di§er
′
veya (f (y(x))) = 1 diye
f (y(x)) = x + C çözümünü buluruz. Ayrca y(b) = a ba³langç ko³ub = f (a) = f (y(b)) = b + C e³itli§i ve buradan da C = 0 bulunur. O
halde, x = b noktasnn açk bir kom³ulu§undaki her x de§eri için f (y(x)) = x
elde edilir. Ba³ka bir deyi³le x = b noktas etrafnda f fonksiyonunun türev′
′
lenebilir yerel bir tersi vardr. Son olarak, y (x) = 1/f (y(x)) denkleminin
−1 fonksiyonunun da
türevini alarak (ve tümevarm metodunu kullanarak) f
k
C snfndan oldu§unu görürüz.
yazarak
lundan
1.3
Do§rusal Cebir
1.3.1
Determinant Fonksiyonu
Bir koordinat düzleminde verilen iki vektörün belirledi§i paralelkenarn alann
bulmaya çal³alm:
A : R2 × R2 → R
fonksiyonu
u = (x1 , y1 )
ve
v = (x2 , y2 )
düzlemde vektörler olmak üzere
A(u, v) = u
ve v vektörlerinin belirledi§i paralelkenarn alan
olarak tanmlansn (“ekil 1.3a).
Bu tür bir fonksiyonun sa§lamasn bekledi§imiz birkaç özeli§i sralayalm:
1) Ayn iki vektörün belirledi§i paralelkenar aslnda bir do§runun içinde
kalaca§ndan paralelkenarn alan sfr olsun: Her
u ∈ R2
için
A(u, u) = 0
(“ekil 1.3b).
λ ∈ R katna çA(λu, v) = λA(u, v) = A(u, λv) (“e-
2) Bir paralelkenarn kenarlarndan birinin uzunlu§unu
karrsak alan da ayn oranda de§i³sin:
kil 1.4).
Bu fonksiyonun sa§lamasn istedi§imiz bir di§er özellik ise ³udur:
29
Do§rusal Cebir
“ekil 1.4: Bir kenarn skaler ile çarpm:
v vektörleri ile belirlenen paralelkenarn kenarlarndan
birinin herhangi bir λ ∈ R katn di§erine eklersek bu paralelkenarn yüksekli§i
de§i³meyece§inden alan da de§i³meyecektir: A(u, v + λu) = A(u, v) = A(u +
λv, v) (“ekil 1.5).
3) Verilen iki
u
A(λu, v) = λA(u, v)
ve
“ekil 1.5: Bir kenarn skaler katnn di§erine eklenmesi:
A(u, v) = A(u, v + λu)
“imdi de birer kenarlar ortak iki paralelkenar alalm:
(u, v1 )
ve
(u, v2 ).
Her ikisinin de yüksekliklerini (dolaysyla alanlarn) de§i³tirmeden bu paralelkenarlar dikdörtgen haline getirelim. Bunu yapmak için
u
vi
vektörlerinden
vektörünün bunlar üzerine iz dü³ümlerini çkartmak yeterlidir. Elde edilen
dikdörtgen bölgeler
(u, v1 − λ1 u) ve (u, v2 − λ2 u)
vektör çiftleriyle verilsin (“e-
kil 1.6). Bu iki dikdörtgeni üst üste koyarak alanlar toplamndan
“ekil 1.6: Paralelkenar ile e³it alana sahip dikdörtgen:
A(u, v) = A(u, v − λu)
A(u, v1 ) + A(u, v2 ) = A(u, v1 − λ1 u) + A(u, v2 − λ2 u)
= A(u, v1 + v2 − (λ1 + λ2 )u) = A(u, v1 + v2 )
30
Yardmc Bilgiler
sonucunu elde ederiz (“ekil 1.7). (Yukardaki son e³itlik (3) numaral özelli§in
sonucudur.) O halde düzlemde verilen herhangi
u, v1
ve
v2
vektörleri için
“ekil 1.7: Ortak kenarl iki paralelkenarn toplam:
A(u, v1 ) + A(u, v2 ) = A(u, v1 + v2 )
A(u, v1 + v2 ) = A(u, v1 ) + A(u, v2 )
olmaldr. Benzer ³ekilde
u1 , u2
ve
v
vektörleri için
A(u1 + u2 , v) = A(u1 , v) + A(u2 , v)
oldu§u görülür. Bunu (2) ile birle³tirirsek
A : R2 × R2 → R
fonksiyonun
her iki de§i³kene göre de do§rusal (bilineer) oldu§u sonucuna varrz:
u, u1 , u2 , v, v1 , v2
vektörleri ve
λ∈R
Her
gerçel says için
A(u1 + λu2 , v) = A(u1 , v) + λA(u2 , v)
ve
A(u, v1 + λv2 ) = A(u, v1 ) + λA(u, v2 )
e³itlikleri do§rudur. Di§er taraftan (2) numaral özellikten
0 = A(u + v, u + v)
= A(u, u) + A(u, v) + A(v, u) + A(v, v)
= A(u, v) + A(v, u)
ve dolaysyla
A(u, v) = −A(v, u)
elde ederiz. Bu son e³itli§i sa§layan bilineer
fonksiyonlara de§i³meli fonksiyonlar denir. Aslnda sralad§mz di§er bütün
özellikler bu iki özellikten türetilebilir.
e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) olmak üzere u = (a, b) = ae1 + be2 ve
v = (c, d) = ce1 + de2 gibi iki vektörün belirledi§i paralelkenarn alann he“imdi
saplayalm:
A(u, v) = A(ae1 + be2 , ce1 + de2 )
= ad A(e1 , e2 ) + bc A(e2 , e1 ) + ac A(e1 , e1 ) + bd A(e2 , e2 )
= (ad − bc) A(e1 , e2 )
31
Do§rusal Cebir
olarak elde ederiz. O halde bu paralelkenarn alan birim karenin alannn
bc)
(ad−
katdr.
E§er birim karenin alann bir birim olarak alrsak,
ad − bc
olur. Dikkat edersek bu say satrlar
u
ve
v
A(e1 , e2 ) = 1, A(u, v) =
β = {e1 , e2 }
vektörlerinin
sral tabanndaki koordinat vektörleri olan
(
a b
c d
)
matrisinin determinantndan ba³ka bir ³ey de§ildir.
Ba³ka bir deyi³le, birim karenin alannn ne oldu§una karar verdikten sonra her paralelkenarn alann hesaplayabiliriz. Paralelkenarn alan birim karenin alan ile satrlar, paralelkenarn kenarlarn olu³turan vektörlerin standart
tabandaki koordinat vektörleri olan matrisin determinantnn çarpmdr.
Hatrlatma 1.3.1. Alan hesabn yukardaki gibi aksiyomatik bir ³ekilde yap-
mann bir bedeli olarak baz paralelkenarlarn alanlar negatif olacaktr. Aslnda
A(u, v) = −A(v, u)
e³itli§i bize alan hesab yaparken kenarlarn sralamasnn
önemli oldu§unu göstermektedir.
A(u, v) says ilk kenar u ikinci kenar v
olan
paralelkenarn i³aretli alan olacaktr. Kenarlar sralama (veya numaralandrma) i³lemine yönlendirme diyece§iz. Buna göre kenarlar
paralelkenar ile
v, u
u, v
olarak sralanm³
olarak sralanm³ paralelkenarlar farkl yönlendirilmi³ pa-
ralelkenarlardr.
³aretli uzunluk, i³aretli alan veya hacim i³aretsiz olanlara göre daha kullan³l ve do§al olanlardr. Bu temay bütün kitap boyunca sk sk görece§iz.
“imdi de
Rn
içinden rastgele alnan
v1 , · · · , vn
vektörlerinin belirledi§i
paralel yüzlünün hacmini hesaplayalm:
β = {e1 , · · · , en } , ei = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0) ,
vi
i = 1, · · · , n
sral tabannda bu
vektörünün koordinat vektörü
halde, her
için
vi = ai1 e1 +· · ·+ain en
[ai1 , · · · , ain ]
olsun. O
olur. Düzlemde yapt§mz
geometrik analiz tamamyla bu durumda da geçerli olacaktr ve dolaysyla e§er
A : Rn × Rn → R
bir hacim fonksiyonu ise
A n-do§rusal
(her de§i³kene göre
do§rusal) ve de§i³meli olacaktr. Bu iki özelli§i defalarca kullanarak

A(v1 , · · · , vi , · · · , vn ) = A 
∑
j
(
=
∑
σ∈Sn
a1j ej , · · · ,
∑
aij ej , · · · ,
j
∑

anj ej 
j
)
sgn(σ) a1σ(1) · · · aiσ(i) · · · anσ(n)
A(e1 , · · · , ei , · · · , en )
32
Yardmc Bilgiler
elde edilir. Burada
Sn n-elemanl {1, · · · , n} kümesinin tüm permütasyonlarsgn(σ) ise σ ∈ Sn permütasyonun i³aretini göster-
nn olu³turdu§u grubu ve
mektedir. O halde, yine birim küpün hacminin ne olaca§na karar verirsek her
paralel yüzlünün hacmini hesaplayabiliriz.
A(e1 , · · · , ei , · · · , en ) = 1
ko³ulunu sa§layan forma
Rn
üzerindeki determinant fonksiyonu denir. Buna
n
göre R üzerinde tanml her de§i³meli
n-do§rusal
form determinant fonksiyo-
nunun bir kat olacaktr.
Rn
n-do§rusal
3
taraftan R
üzerinde tanml de§i³meli
katlar oldu§unu gördük. Di§er
formlarn determinant ve bunun
üzerinde (de§i³meli)
2-form
var
m diye sorabiliriz. Bu sorunun cevabn vermek için önce tensörleri tanmlamalyz.
1.3.2
Tensörler
R de§i³meli bir halka, M , N , P bu halka üzerinde tanml modüller ve F :
M × N → P bilineer bir fonksiyon olsun. F : M × N → P bilineer fonksiyonu
M × N çarpm kümesi üzerindeki çarpm modül yapsyla bir modül homomorzmas de§ildir. Çünkü e§er öyle olsayd her (m, n) ∈ M × N ve r ∈ R
2
için rf (m, n) = f (rm, rn) = rf (m, rn) = r f (m, n) olurdu ki bunun genelde
do§ru olamayaca§ açktr. Di§er taraftan f (rm, n) = rf (m, n) = f (m, rn)
olur. Benzer ³ekilde f (m1 + m2 , n) = f (m1 , n) + f (m2 , n) dir. Bu durumda
istenilen modül yapsn bir bölüm modülü olarak kurabiliriz: M × N çarpm
kümesini taban olarak kabul eden serbest
F (M × N ) =
{ n
∑
}
αi (mi , ni ) | n ∈ N, αi ∈ R, mi ∈ M, ni ∈ N
i=1
R-modülü
üzerinde
∼
denklik ba§nts, a³a§daki ba§ntnn üretti§i denklik
ba§nts olarak tanmlansn:
1. Her
(m, n) ∈ M × N
ve
r∈R
için
(rm, n) ∼ r(m, n) ∼ (m, rn);
2. Her
m, m1 , m2 ∈ M
ve
n, n1 , n2 ∈ N
(m1 + m2 , n) ∼ (m1 , n) + (m2 , n)
ve
için
(m, n1 + n2 ) ∼ (m, n1 ) + (m, n2 ).
Çarpm modülünü bu denklik ba§ntsna (ba§ntnn üretti§i alt modüle) bölerek istedi§imiz modül yapsn elde ederiz:
F (M × N )/ ∼ .
33
Do§rusal Cebir
R-modül M ve N R-modüllerinin R-tensör çarpm
M ⊗R N ile gösterilir. Benzer ³ekilde (m, n) ∈ M × N
snfn m ⊗ n ile gösterece§iz. Bu durumda
Bu
diye adlandrlr ve
elemannn denklik
r(m ⊗ n) = (rm) ⊗ n = m ⊗ (rn),
(m1 + m2 ) ⊗ n = m1 ⊗ n + m2 ⊗ n
ve
m ⊗ (n1 + n2 ) = m ⊗ n1 + m ⊗ n2
olur. Ayn ³ekilde sonlu sayda
R-modülün
tensör çarpm tanmlanabilir:
M 1 ⊗R · · · ⊗ R M n .
Al³trma 30 ise tensör çarpmnn kategorik bir ³ekilde yaplabilece§ini göstermektedir.
F cismi üzerinde tanml n-boyutlu bir vektör uzay olsun. V ⊗k , (k ≤
n), ile V 'nin kendisi ile k defa tensör çarpmn gösterelim. β = {e1 , · · · , en }
V 'nin bir taban ise 1 ≤ i1 , · · · , ik ≤ n olmak üzere
V
bir
Ti1 ,··· ,ik = ei1 ⊗ · · · ⊗ eik
V ⊗k
tensörü olsun. Bu durumda
vektör uzay da sonlu boyutludur ve
{Ti1 ,··· ,ik | 1 ≤ i1 , · · · , ik ≤ n}
V ⊗k 'nn
nk 'dr.
{1, · · · , k} kümesinin permütasyonlarnn olu³turdu§u Sk grubu V ⊗k vektör
uzay üzerine etki eder: Taban elemanlar üzerindeki etki, σ ∈ Sk için,
bu vektör uzaynn bir tabandr. Dolaysyla,
boyutu
σ(Ti1 ,··· ,ik ) = Tiσ(1) ,··· ,iσ(k)
olarak tanmlanr ve do§rusal bir ³ekilde tüm vektör uzayna geni³letilir. Bu
k -tensörler denir. Simetrik
(V ) vektör uzaynn boyutu n + k − 1 elemanl bir
etkinin altnda de§i³mez olan tensörlere simetrik
k
tensörlerin olu³turdu§u Sim
kümenin
k
elemanl alt kümelerinin saysna e³ittir:
(
n+k−1
k
)
.
En az simetrik tensörler kadar önemli olan bir di§er tensör tipi, önceden
de görmü³ oldu§umuz de§i³meli tensörlerdir:
σ ∈ Sk
a ∈ V ⊗k
olmak üzere, e§er her
σ(a) = sgn(σ) a oluyorsa, a tensörüne de§i³meli k -tensörü denir (burada sgn(σ) ile σ permütasyonun i³areti gösterilmi³tir). De§i³meli k k
tensörlerin olu³turdu§u Alt (V ) vektör uzaynn boyutunun da
(
)
n
k
için
34
Yardmc Bilgiler
says oldu§u kolayca görülür.
De§i³meli
k -tensörlere k -form
da denir.
Aslnda a³a§da verilen do§rusal fonksiyonlarn birer iz dü³üm dönü³ümü
(karesi kendisine e³it olan bir dönü³üm) oldu§u kolayca gösterilir:
1)
Sim
: V ⊗k → V ⊗k ,
her
v ∈ V ⊗k
v 7→
için,
1 ∑
σ(v)
k!
σ∈Sk
olarak tanmlanan do§rusal fonksiyon bir iz dü³üm dönü³ümüdür ve görüntüsü
Sim(V
2)
⊗k )
= Simk (V )'dr.
Benzer ³ekilde Alt
: V ⊗k → V ⊗k ,
v 7→
her
v ∈ V ⊗k
için,
1 ∑
sgn(σ) σ(v)
k!
σ∈Sk
olarak tanmlanan do§rusal fonksiyon yine bir iz dü³üm dönü³ümüdür ve görüntüsü Alt(V
V
⊗k )
= Altk (V )
alt uzaydr.
vektör uzaynn dualini
V ∗ = hom(V, F)
ile gösterelim. E§er
β = {e1 , · · · , en }
β ∗ = {f1 , · · · , fn } ise, her 1 ≤ i, j ≤ n için, fi (ej ) =
δij olur. fi1 ⊗ · · · ⊗ fik tensörünün k! Alt operatörü altndaki görüntüsünü
∑
fi1 ∧ · · · ∧ fik = k! Alt(fi1 ⊗ · · · ⊗ fik ) =
sgn(σ) fiσ (1) ⊗ · · · ⊗ fiσ (k)
tabannn dual taban da
σ∈Sk
ile gösterece§iz.
Hatrlatma 1.3.2. E§er
vs =
∑
j
asj ej , s = 1, · · · , k , V
içinde vektörler
ise
(fi1 ∧ · · · ∧ fik )(v1 , · · · , vk ) = det((asil )s,
l=1,··· ,k )
olur.
Yazm konusunda büyük kolaylk sa§layan bu gösterim ³ekli de§i³meli tensörlerin d³ çarpmnn tanmlanabilmesi için de olanak sa§lar:
ve
fj1 ∧ · · · ∧ fjl
fi1 ∧ · · · ∧ fik
gibi iki taban elemannn d³ çarpm
(fi1 ∧ · · · ∧ fik ) ∧ (fj1 ∧ · · · ∧ fjl ) = fi1 ∧ · · · ∧ fik ∧ fj1 ∧ · · · ∧ fjl
olarak tanmlanr. Bu tanm do§rusal bir ³ekilde tüm
⊕k∈N Alt(V ⊗k )
F-cebiri yapabiliriz. Bu cebire V
Λ(V ) ile gösterilir. Bu cebirin ele⊗0 ) ile F cismi gösterilmektedir.
Alt(V
uzayna geni³leterek bu vektör uzayn bir
vektör uzayna ait d³ cebir ad verilir ve
manlarna d³ form da denir. Burada
vektör
A³a§daki özelliklerin kantlar okuyucuya braklm³tr:
35
Do§rusal Cebir
1. Yukarda tanmlad§mz d³ cebirin bir cebir oldu§unu gösteriniz.
2.
ω
bir
k -form ve ν
3.
ω
bir
k -form
ve
bir l-form ise
ν
l-form
bir
ω ∧ ν = (−1)kl ν ∧ ω
ise
ω∧ν =
gösteriniz.
oldu§unu gösteriniz.
(k + l)!
Alt(ω ⊗ ν)
k! l!
oldu§unu
L : V → W F-vektör uzaylar arasnda do§rusal bir fonksiyon ve L∗ :
W ∗ → V ∗ ise bu fonksiyonun duali olsun. Bu durumda dual fonksiyon
4.
d³ cebirler arasnda do§al bir do§rusal fonksiyon verir:
L∗ : Λ(W ) → Λ(V ) , ω 7→ L∗ (ω)
öyle ki her
v1 , · · · , v k ∈ V
için,
L∗ (ω)(v1 , · · · , vk ) = ω(L(v1 ), · · · , L(vk ))
olur.
L∗ (ω)
d³ formuna
ω 'nn L
ile geri çekilmesi denir. Geri çekme
i³leminin d³ çarpm ile yer de§i³tirebilece§ini ve dolaysyla bir cebir
homomorzmas oldu§unu gösteriniz:
L∗ (ω ∧ ν) = L∗ (ω) ∧ L∗ (ν).
L
örten (bire bir) ise
L∗ 'n
bire bir (benzer ³ekilde, örten) oldu§unun
gösterilmesini de okuyucuya al³trma olarak brakyoruz.
1.3.3
Temel Formlar ve Baz Uygulamalar
Temel formlarn en yaygn kullanlan kö³egenle³tirmedir. Operatörlerin veya
matrislerin kö³egenle³tirilmesinin neden önemli oldu§unu anlamak için a³a§da
verilen matrisin kuvvetlerini hesaplamaya çal³alm:
[
A=
0 1
1 1
]
[
2
, A =
1 1
1 2
]
[
3
, A =
1 2
2 3
]
[
4
, A =
2 3
3 5
]
···
bu i³lemi on, yüz veya milyon kez yapmak bilgisayar yardmyla bile oldukça
zor olabilir. Örnek vermek gerekirse,
A100
matrisinin baz bile³enleri
n
samakl saylardr. Benzer ³ekilde, A matrisini sadece
fonksiyonu ile ifade edebilir miyiz? Di§er taraftan,
A
n
21
ba-
de§i³keninin açk bir
kö³egen bir matris olsayd
bu i³lem çok kolay olurdu:
[
A=
λ1 0
0 λ2
]
[
n
, A =
λn1 0
0 λn2
]
.
Sonlu bir vektör uzay üzerinde tanml her operatör uzayn bir taban verildi§inde kare bir matris ile ifade edilebilir. Bu sebepten sadece matrislerin kö³e-
F cisminden seçilmi³ n × n'lik
v ∈ F n vektörü ve bir λ ∈ F için
genle³tirilmesi üzerinde duraca§z. Katsaylar
bir
A
matrisi alalm. E§er sfrdan farkl bir
36
Yardmc Bilgiler
Av = λv
λ
oluyorsa
saysna
A
matrisinin bir özde§eri ve
v ∈ Fn
vektörüne
n
de bu özde§ere kar³lk gelen bir özvektör denir. E§er F vektör uzaynn
A
β = {v1 , · · · , vn } taban varsa, öyle
ki her i için Avi = λi vi , sa§lanyorsa, A matrisine kö³egenle³tirilebilir matris
denir. Bu durumda e§er P sütunlar v1 , · · · , vn vektörlerinden olu³an (taban
−1 AP çarpm
de§i³tirme) matris ise P


λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 


P −1 AP = D =  .
.
. 
..
.
. 
 ..
.
.
.
0 0 · · · λn
matrisinin özvektörlerinden olu³an bir
kö³egen matrisini verir.
Devam etmeden önce çok sk kullanlan ve kantn okuyucuya brakaca§mz bir sonucu hatrlatmak istiyoruz:
T :V →W
Teorem 1.3.3. 1)
olsun. E§er
V
vektör uzaylar arasnda do§rusal bir dönü³üm
sonlu boyutlu bir uzay ise
ba³ka bir deyi³le
V 'nin
dim(V ) = dim(ker T ) + dim(T (V ));
boyutu do§rusal fonksiyonun çekirde§inin ve görüntü-
sünün boyutlar toplamna e³ittir.
2)
A ∈ M (n, n) olmak üzere A : Fn → Fn , v 7→ Av , v ∈ Fn , ile tanmlanan
do§rusal fonksiyon için a³a§daki ko³ullar birbirine denktir:
• det(A) ̸= 0,
• A : Fn → Fn
bir izomorzmadr,
• ker(A) = (0).
Av = λv denklemini (λIn − A)v = 0 olarak yazarsak, v ̸= 0 olmasndan
det(λIn − A) = 0 denklemini elde ederiz. O halde, A matrisinin özde§erleri
fA (λ) = det(λIn − A) polinomunun kökleridir. Derecesi n olan bu polinoma
A matrisinin karakteristik polinomu denir. Cayley-Hamilton Teoremi'ne göre
fA (A) = 0 olur (bkz. Al³trma 35)). Bu ko³ulu sa§layan en küçük dereceli
monik polinoma A matrisinin minimal polinomu denir (bkz. Sonuç 1.3.5).
[
]
0 1
Örnek 1.3.4. Bu bölümün ba³nda ele ald§mz A =
matrisine tek1 1
√
1± 5
2
olarak
rar dönelim. fA (λ) = λ − λ − 1 oldu§undan özde§erler λ1,2 =
2
bulunur. Avi = λi vi denkleminden özvektörler
[
]
[
]
1√
1√
v1 = 1+ 5
ve
v2 = 1− 5
2
2
olarak bulunur. O halde,
[
P =
1√
1+ 5
2
1√
1− 5
2
]
37
Do§rusal Cebir
[
ve
P −1 AP =
√
1+ 5
2
0
olur. Son olarak
P
[
−1
n
A P = (P
−1
[
ve buradan da
An = P
]
0√
1− 5
2
√
AP ) =
( 1+2 5 )n
0
√
1− 5 n
0
( 2 )
√
]
n
( 1+2 5 )n
0
√
1− 5 n
0
( 2 )
]
P −1
elde edilir.
Bu bölümde ³imdi de matrislerin üstel fonksiyonundan bahsedece§iz. Üstel
matrisler do§rusal türevlenebilir denklem sistemleri teorisindeki kullanl³larnn yan sra, geometri ve topolojinin de vazgeçilmez konularndan biri olan
Lie gruplar ve Lie cebirleri konusuna da giri³ yapma imkan vermektedir. Her
x∈R
için,
∞
ex = 1 +
∑ xk
x
x2 x3
+
+
+ ··· =
1!
2!
3!
k!
k=0
seri açlm yardmyla da tanmlanan üstel fonksiyonu matrisler üzerinde de
tanmlayabiliriz:
F gerçel veya karma³k
(m × n)-lik matrislerin
ve t ∈ F says için,
üzerinde tanml
M (n, n)
matrisi
say cismini ve
M (m, n)
bu cisim
vektör uzayn göstersin. Her
∥(tA)k ∥
(|t| ∥A∥)k
≤
k!
k!
oldu§u açktr. Di§er taraftan,
e∥tA∥ =
∞
∑
(|t| ∥A∥)k
k!
k=0
gerçel say dizisi yaknsak oldu§undan Weierstrass
M -testini
∞
In +
∑ (tA)k
tA (tA)2 (tA)3
+
+
+ ··· =
1!
2!
3!
k!
k=0
serisinin de düzgün yaknsak oldu§unu görürüz. Fakat,

λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0

D= .
.
.
..
.
.
 ..
.
.
.
0 0 · · · λn





kullanarak
A ∈
38
Yardmc Bilgiler
kö³egen matrisi için kolayca

e
tD
e λ1 t
0 ···
0
 0 e λ2 t · · ·
0

= .
.
.
.
.
..
.
 ..
.
.
λ
0
0 · · · e nt
oldu§unu görürüz. Dolaysyla
A





kö³egenle³tirilebilir bir matris ise
etA = eP (tD)P
−1
= P etD P −1
elde ederiz (yukardaki ikinci e³itlik, üstel fonksiyonun seri açlmndan kolayca
görülür).
Bu seri sayesinde
exp : R → M (n, n), t 7→ etA ,
³eklinde tanmlanan fonk-
∞ snfndan bir fonksiyondur ve türevi
siyon aslnda C
1.3.4
t 7→ AetA ,
ile verilir.
Örnek Kantlar
Bu bölümde yukarda bahsetti§imiz kanonik formlarn teorisine dair baz basit
gözlemlerde bulunaca§z. Ba³langç olarak a³a§daki sabit katsayl do§rusal
denklem sistemini dü³ünelim:

   
a11 a12 a13
x
0
 a21 a22 a23  y  =  0 .
a31 a32 a33
z
0
Al³trma 33 içinde tanmlanan
Ri ↔ Rj ,
satr de§i³tirme ve
Rj ↔ rRi + Rj
bir satrn herhangi bir katn di§erine ekleme i³lemleri, Gauss yok etme metodundaki satr i³lemlerinden ikisine kar³lk gelir. Ayn i³lemlerin sütunlara uygulanmas ise de§i³kenlerin do§rusal bir izomorzma ile de§i³tirilmesine denk
olacaktr. Örne§in,
(C1 ↔ C1 +3C2 ) i³lemi (x, y, z) de§i³kenlerinin (x, y+3x, z)
de§i³kenleriyle de§i³tirilmesine kar³lk gelir. E§er amacmz çözüm uzayn bulmak de§il de sadece boyutunu hesaplamak ise de§i³kenlerin nasl de§i³ti§inin
takip edilmesine bile gerek yoktur.
“imdi genel bir
A
kare matrisi için
(λIn − A)v = 0
özde§er-özvektör
problemini dü³ünelim:

λ − a11 −a12 · · · −a1n
 −a21 λ − a22 · · · −a2n

λIn − A = 
.
.
.
..
.
.
.

.
.
.
.
−an1
−an2 · · · λ − ann





(∗)
sistemini yukarda bahsetti§imiz satr ve sütun i³lemleri yaparak çözmeye çal³alm. Bu matrisi
F[λ]
polinom halkas (esas ideal bölgesi) üzerinde dü³ünüp
39
Do§rusal Cebir
satr ve sütun i³lemleri yaparak
polinomlar için
d1 | d2 | · · · | dn

d1 0 · · · 0
 0 d2 · · · 0

D= .
.
.
..
.
.
 ..
.
.
.
0 0 · · · dn
matrisine dönü³türebiliriz. Bu matrise
olacak ³ekilde baz
di ∈ F[λ]





(∗∗)
λIn − A
matrisinin Smith Normal
Form'u denir. Uygulad§mz satr ve sütun i³lemleri en fazla determinantn
i³aretini de§i³tirece§i için
d1 d2 · · · dn = ± det(λIn − A) = ±fA (λ)
di sfr polinomu de§ildir.
d1 d2 · · · dn = ± det(λIn − A) = ±fA (λ) ve d1 | d2 | · · · | dn oldu§undan
fA (λ) ile dn polinomlar ayn asal çarpanlara sahiptirler. Aslnda tüm di
karakteristik polinomu olacaktr. O halde hiçbir
polinomlarn monik seçerek
d1 d2 · · · dn = det(λIn − A) = fA (λ)
elde ederiz. Bu durumda
di
polinomlarna
A
matrisinin de§i³mez çarpanlar
denir.
Yukarda elde etti§imiz

d1 0 · · · 0
 0 d2 · · · 0

D= .
.
.
..
.
.
 ..
.
.
.
0 0 · · · dn
matrisine
A





matrisinin temel formu denir. lk önce her matrisin sadece bir ta-
ne temel formu oldu§unu görelim (di polinomlarn monik seçmek kaydyla):
Bunun için,
∆i
ile
nantlarndan olu³an
λIn − A matrisinin tüm i × i'lik alt matrislerinin determiF[λ] içindeki idealin monik üretecini gösterelim. Boyutlar
i × i olan bir matrisin determinantn bir satr veya sütuna göre açt§mzda
(i − 1) × (i − 1)'lik alt matrislerinin determinantlarnn bir do§rusal birle³imini
elde edece§imizden, her i = 1, · · · , n için, ∆i−1 | ∆i olmaldr.
Di§er yandan yukarda kulland§mz satr ve sütun i³lemleri sadece alt
matrislerin yerlerini de§i³tirece§inden bu satr ve sütun i³lemleri
∆i
polinom-
λIn − A ve D matrisi için ayn ∆i 'ler
∆i = d1 · · · di oldu§u kolaylkla görülür.
Buna göre di = ∆i /∆i−1 olur. Ba³ka bir deyi³le, ∆i 'ler tamamen A matrisi ile
tek bir ³ekilde belirlendi§i için A matrisinin bir ve sadece tek bir temel formu
larn de§i³tirmeyecektir. O halde
elde edilecektir. Fakat
D
matrisi için
vardr.
“imdi
i ̸= j
için
λi ̸= λj
olmak üzere,
do§rusal terimlerin çarpm oldu§unu kabul
dn = (λ − λ1 ) · · · (λ − λk )
edelim. Bu durumda her di
farkl
farkl
40
Yardmc Bilgiler
do§rusal terimlerin çarpm olmaldr. Ayrca karakteristik polinomun derecesi
n
r1 + · · · + rk = n
oldu§undan
olacak ³ekilde baz pozitif
ri
tam saylar
için
fA (λ) = (λ − λ1 )r1 · · · (λ − λk )rk
i = 1, · · · , k , için tam olarak ri tane farkl
(λ − λi ) do§rusal terimini içerecektir. (∗) ve (∗∗)
birbirine denk oldu§u için (∗) sisteminde λ yerine λi
olacaktr. Buna göre her bir
dj1 , · · · , djri
polinomu
denklem sistemleri
koyarak
λi
özde§erine kar³lk gelen özvektör uzaynn boyutunun tam olarak
r1 + · · · + rk = n oldu§undan A matrisinin
n
özvektörleri F
vektör uzay için bir taban olu³turur ve dolaysyla A matrisi
ri
oldu§unu görürüz. Son olarak,
kö³egenle³tirilebilir.
Di§er taraftan, e§er
dn
ten giderek
A
kö³egenle³tirilebilir bir matris ise bu admlar ters-
polinomunun farkl do§rusal terimlerin bir çarpm oldu§unu
görürüz. O halde, a³a§daki sonucu kantlam³ olduk:
A
Sonuç 1.3.5.
dn
kare matrisinin kö³egenle³tirilebilmesi için gerek ve yeter ³art
polinomunun farkl do§rusal terimlerin bir çarpm olmasdr.
Aslnda biraz daha dikkatli ilerleyerek kanonik formlarn teorisini kurabiliriz.
F
bir cisim ve
V = Fn
olmak üzere
.
T : V → V, v 7→ T (v) = Av, v ∈ V ,
V
dönü³ümünü ele alalm.
R = F[x]
vektör uzay do§al bir biçimde bir
modülü olarak görülebilir:
.
R × V → V, (f (x), v) 7→ f (x) · v = f (T )(v), (f (x), v) ∈ R × V .
“imdi
ϕ : Rn → V, eR
i = (0, · · · , 1, · · · 0) 7→ ei = (0, · · · , 1, · · · 0), i = 1, · · · , n ,
ile tanmlanan örten
R-modül
homomorzmas bize
Rn / ker ϕ ∼
=V
izomor-
zmasn verir. Bu homomorzmay genel bir eleman üzerinde hesaplarsak
ϕ(p1 (x), · · · , pn (x)) = p1 (T )(e1 ) + · · · + pn (T )(en )
elde ederiz. Ayrca,
V
üzerinde seçti§imiz modül yapsndan dolay izomor-
zmann sol tarafnda bölüm polinom halkasnn bir elemann
sa§ tarafta bir vektöre
T
x
ile çarpmak
ile etki etmeye denk gelecektir:
x · m = T (ϕ(m)), m = (p1 (x), · · · , pn (x)) ∈ Rn / ker ϕ .
Dolaysyla,
halkasnda
x
T
operatörünün
V
üzerindeki etkisini anlamak için bölüm
ile çarpmay anlamak yeterli olacaktr.
Bu i³e giri³meden önce
oldu§unu görelim.
ker ϕ
alt modülünün oldukça tandk bir nesne
41
Do§rusal Cebir
Önerme 1.3.6.
ker ϕ
xIn − A
alt halkas
karakteristik matrisinin sütunlar
tarafndan üretilir.
Kant : Her
i = 1, · · · , n
için,
T (ei ) =
∑
j
aji ej ,
oldu§undan
(−a1i , −a2i , · · · , x − aii , · · · , −ani , ) ∈ ker ϕ
xIn − A
ker ϕ alt
xIn − A karakteristik matrisinin Smith normal formunu kö³egen Kö³e(d1 (x), · · · , dn (x)) matrisi ile gösterelim. Bu durumda, ker ϕ alt modülünün her (0, · · · , di (x), · · · , 0) elemann
içerdi§ini kabul edebiliriz. O halde, W , (0, · · · , di (x), · · · , 0) elemanlarnn
üretti§i alt modül olmak üzere, çekirde§i ker ϕ/W olan, örten bir
elde edilir. Dolaysyla,
karakteristik matrisinin sütunlar
modülünün içinde kalr. Yukarda oldu§u gibi,
ψ : Rn / ker ϕ → Rn /W
R-modül,
F-vektör uzay, homomorzmasn elde ederiz. YuRn / ker ϕ F-vektör uzaynn V = Fn vektör
n
oldu§unu biliyoruz. Di§er taraftan, R /W R-modülü (F-
dolaysyla da
kardaki paragraardan dolay,
uzayna izomork
vektör uzay) için ise
Rn /W ∼
= ⊕ni=1 R/Rdi (x) = ⊕ni=1 F[x]/(di (x)) ∼
= ⊕ni=1 Fdeg(di (x))
yazabiliriz. Son olarak,
d1 d2 · · · dn = det(λIn − A) = fA (λ)
karakteristik polinomu oldu§undan
∑
⊕ni=1 Fdeg(di (x)) ∼
=F
i
deg(di (x))
∼
= Fn
elde ederiz. Buradan, örten
ψ : Fn ∼
= Rn / ker ϕ → Rn /W ∼
= Fn
F-vektör uzay homomorzmasnn bir izomorzma oldu§unu görürüz. O halde,
ker ψ = ker ϕ/W = 0 olmaldr. Böylece kant tamamlanr. 2
Bu iddiann bir sonucu olarak
V ∼
= Rn / ker ϕ ∼
= ⊕ni=1 R/Rdi (x)
yazabiliriz. Ayrca, her bir
di (x) = d(x) = pn1 1 (x) · · · pnk k (x)
polinomunu asal
çarpanlarna ayrrsak
R/d(x) ∼
= ⊕kj=1 F[x]/pj j (x)
n
ise
n
pj j (x) = b(x) = b0 + · · · + bm−1 xm−1 + xm
⟨
⟩
nj
F[x]/pj (x) = 1, x, · · · , xm−1 F vektör uzay üzerinde x ile çarpma
ayr³mn elde ederiz. Ayrca,
42
Yardmc Bilgiler
n
pj j (x)
operatörünün bu tabandaki matris gösterimi olarak

matrisi olan
Cb(x)
0 0 ···
−b0
 1 0 ···
−b1

= .
.
.
..
.
 .. 1
.
0 0 · · · 1 −bm−1
matrisini elde ederiz. E§er,
deg(pj (x)) > 1
rasyonel kanonik formunu verir.
bir deyi³le
b(x) = (x − λ)m
ise





T operatörünün
deg(pj ) = 1 ise, ba³ka
ise bu matris
Di§er taraftan, e§er
x
polinomunun e³
ile çarpma operatörünün
{1, x − λ, · · · , (x − λ)m−1 }
sral tabanndaki matris gösterimi

J(λ)m



=



λ 0 ··· ··· 0
1 λ 0 ··· 0 

0 1 λ ··· 0 

.
.
. 
..
..
.
.
. 
.
.
.
.
.
0 0 ··· 1 λ
Jordan formu olur.
Yukarda elde ettiklerimizden faydalanarak kanonik formlarn temel özelliklerini kolayca görebiliriz.
1) E§er
F-cismi cebirsel kapal ise her kare matrisin Jordan formu vardr: AsfA polinomunu do§rusal çarpanlara ayrlabiliyorsa uygun bir taban
lnda e§er
de§i³tirme sonunda

Jm1
 0

P −1 AP =  .
 ..
0
···
···
0
0
.
.
.
..
.
.
.
0
0
0
Jm2
.





Jmr
Jordan bloklarnn bir kö³egen matrisi ³eklinde yazlabildi§ini gördük. Burada
Jm 'ler
Jordan blok matrislerini göstermektedir,

Jm = J(λi )m
λi
 1

= .
 ..
0
0
λi
···
···
..
..
.
0
1
.

0
0 

. .
. 
.
λi
Teorik önemlerinin yan sra kö³egen matrisler kadar olmasa da Jordan
bloklarn kuvvetlerini veya üstel fonksiyonunu hesaplamak kolaydr ve bu sebeple oldukça kullan³ldr. Örne§in
2×2'lik bir Jordan blok matrisinin kuvvetleri
43
Al³trmalar
a³a§daki gibidir:
[
J=
]
λ 0
1 λ
[
2
, J =
λ2 0
2λ λ2
]
[
,··· , J =
n
λn
0
n−1
nλ
λn
]
.
A ve B benzer iki matris olsun. O halde tersi olan bir P matrisi için,
B = P −1 AP ve λIn − B = P −1 (λIn − A)P olur ve dolaysyla λIn − B
matrisi λIn −A matrisinden satr ve sütun i³lemleriyle elde edilir. Bu durumda,
2)
bu iki matrisin temel formlar ayn olacaktr. (Aslnda bir satr veya sütunu
bir say ile çarpmak determinant da ayn sayyla çarpmak anlamna gelir,
fakat
∆i 'i
monik polinom olarak seçti§imiz için bu durum bir soruna neden
olmayacaktr.)
Di§er taraftan, bu iddiann tersi de do§rudur: Temel formlar ayn olan iki
kare matris benzerdir; ba³ka bir deyi³le, iki matrisin benzer olmas için gerek
ve yeter ³art bu matrislerin temel formlarnn ayn olmasdr. Bunu görmek
için temel formlar ayn olan iki matrisin ayn operatörün farkl iki bazdaki
temsilleri oldu§unu fark etmek yeterlidir. Bu ise yukarda kantlad§mz
V ∼
= Rn / ker ϕ ∼
= ⊕ni=1 R/Rdi (x)
izomorzmasnn açk bir sonucudur.
3) Yine
V ∼
= Rn / ker ϕ ∼
= ⊕ni=1 R/Rdi (x)
fA (λ) = det(λIn − A) = d1 d2 · · · dn karakteristik
n
(⊕i=1 R/Rdi (x)) = 0 e³itli§ini sa§lad§ için fA (A) =
izomorzmasnn dü³ünelim.
polinomu fA (x) ·
0 sonucuna varrz. Bu ise
di (x) | dn (x) oldu§undan
Cayley-Hamilton Teoremi'dir.
Di§er taraftan her
dn (x) · (⊕ni=1 R/Rdi (x)) = 0
elde ederiz. Buradan
dn
polinomunun
A
matrisinin minimal polinomu ol-
du§unu görürüz.
1.4
1.
Al³trmalar
≤ bu küme üzerinde tanml bir ksmi sralama ba§nts
i, j ∈ Λ için i ≤ k ve j ≤ k olacak ³ekilde bir k ∈ Λ
varsa (Λ, ≤) ksmi sralama kümesine bir yönlü küme denir. Bir {Xi }i∈Λ
topolojik uzaylar ailesi alalm, öyle ki,
1) her i ≤ j için sürekli bir
fij : Xi → Xj fonksiyonu verilsin, öyle ki fii = 1Xi sa§lansn; ve
Λ
bir küme ve
olsun. E§er her
2) her
i≤j≤k
için
fik = fjk ◦ fij
e³itli§i sa§lansn.
Bu topolojik uzaylarn ayrk birle³imi üzerinde bir
tanmlayalm:
x ∈ Xi
ve
y ∈ Xj
için
x ∼ y 'dir
∼
denklik ba§nts
ancak ve ancak öyle
44
Yardmc Bilgiler
k ∈ Λ
fjk (y) = z
z ∈ Xk vardr ki i, j ≤ k dir ve hem fik (x) = z hem de
{Xi }i∈Λ topolojik uzaylarnn ayrk birle³imini bu denklik ba§ntsna bölerek elde edilen bölüm uzayna {Xi }i∈Λ ailesinin düz
limiti denir ve limi∈Λ Xi ile gösterilir. Her bir Xi için Xi → limi∈Λ Xi ,
x 7→ [x], x elemannn limit uzayndaki denklik snfna götüren fonksi-
bir
ve
olur.
yonunun sürekli oldu§unu gösteriniz.
Ayrca her bir
durumunda
Xi
fij
fonksiyonun bir topolojik gömme fonksiyonu olmas
uzaylarnn hangi özelliklerinin limit uzayna geçti§ini
inceleyiniz: Hausdor 'luk, tkzlk, ba§lantllk, metriklenebilirlik, vs.
2.
X
X 'in alt uzaylarnn olu³turdu§u aileyi
alt küme ba§nts ile sralayalm: A, B ⊆ X için A ≤ B ancak ve ancak
A ⊆ B . Ayrca bu durumda fAB : A → B , x 7→ x, içerme fonksiyonu
olsun. limA⊆X A = X oldu§unu gösteriniz.
3.
X ⊆ Rn içinde açk bir küme olsun ve X 'in tüm tkz alt kümelerinin
ailesini, Λ = {K ⊆ X | K tkz bir alt uzay}, yine alt küme ba§nts ile
sralyalm. limK∈Λ A = X oldu§unu gösteriniz.
bir topolojik uzay olmak üzere
4. A³a§daki ifadeleri kantlayn.
(a) Herhangi bir küme üzerinde tanml olan rastgele topolojilerin ara
kesitinin de bir topoloji oldu§unu gösteriniz.
(b)
5.
X
β , X 'in alt kümelerinin bir ailesi olsun. β ailesinin üretti§i topoloji β 'y içeren X üzerindeki tüm topolojilerin ara
kesitidir. Dolaysyla bu topoloji β 'y içeren en küçük topolojidir.
bir küme ve
∏
(xk ), xk = (a1k , a2k , · · · , alk , · · · ),
{
0, l ≤ k
l
ak =
,
1, k < l
n∈N [0, 1] çarpm kümesinde
dizisini ele alalm. Bu dizinin çarpm uzaynda yaknsak oldu§unu ama
kutu topolojisinde raksak oldu§unu gösteriniz.
6.
{Xi }i∈I
bir topolojik uzaylar ailesi ve
X = Πi∈I Xi
bu ailenin çarpm
uzay olsun. Bir topolojik uzaydan çarpm uzayna giden bir
f :Y →X
f 'nin
her bile³en
fonksiyonunun sürekli olmas için gerek ve yeter ³art
fonksiyonunun
fi : Y → Xi
sürekli olmasdr. Bu sonucun kutu topolo-
jisi durumunda do§ru olmad§n örnekle gösteriniz.
7.
G hem grup hem de topolojik bir uzay osun. E§er, G×G → G, (g1 , g2 ) →
g1−1 g2 , i³lemi sürekli ise G bir topolojik gruptur denir. G topolojik
grubunun Hausdor olmas için gerek ve yeter ko³ul birim elemandan
olu³an tek elemanl
H≤G
{e} ⊆ G
kümesinin kapal olmasdr. Benzer ³ekilde,
bir alt grup olmak üzere
için gerek ve yeter ko³ul
H
G/H
bölüm uzaynn Hausdor olmas
alt grubunun kapal bir alt küme olmasdr.
45
Al³trmalar
8. Bu al³trmada Önerme 1.1.10 yardm ile bölüm uzaylarnn hangi ³artlar altnda Hausdor olduklarn inceleyece§iz.
X → X/ ∼
X
topolojik uzay ve
P :
bu uzay üzerinde bir bölüm uzay olsun. A³a§daki ifadeleri
kantlaynz:
(a)
P bölüm fonksiyonu açk bir fonksiyon olsun. Bu durumda P × P :
X × X → (X/ ∼) × (X/ ∼) çarpm fonksiyonunun (X/ ∼) × (X/ ∼
) kümesi üzerine koydu§u bölüm uzay topolojisi, X/ ∼ uzaynn
kendisi ile çarpmndan elde edilen çarpm uzay topolojisi ile çak³r.
(b)
(c)
(X/ ∼) × (X/ ∼) çarpm uzaynn kö³egeninin P × P : (X × X) →
(X/ ∼) × (X/ ∼) bölüm fonksiyonu altndaki ters görüntüsü ∼ ⊆
X × X ba§lant alt kümesidir.
P : X → X/ ∼
bölüm fonksiyonunun açk fonksiyon olmas duru-
munda bölüm uzaynn Hausdor olmas için gerek ve yeter ³art
denklik ba§ntsnn
X ×X
∼
çarpm uzay içinde kapal bir alt küme
olmasdr.
9.
(a)
X
P : X → X/ ∼
topolojik uzay ve
uzay olsun.
her
U ⊆X
P
bu uzay üzerinde bir bölüm
fonksiyonunun açk olmas için gerek ve yeter ko³ul
U alt kümesinin ∼ denklik ba§n= {x ∈ X | x ∼ y, baz y ∈ U } açk
açk alt kümesi için
U∼
ts ile geni³lemesinin
olmasdr.
(b)
G, X
uzaynn tüm homeomorzmalarnn olu³turdu§u grubunun
üzerinde ∼ denklik ba§nts x ∼ y ancak ve
y = g(x), ³eklinde tanmlasn. Bu durumda
X/ ∼ bölüm uzay G-yörüngelerinden olu³ur ve X 'in yörünge uzay
diye adlandrlr. P : X → X/ ∼ bölüm fonksiyonunun açk bir
bir alt grubu olsun.
ancak baz
g∈G
X
için
fonksiyon oldu§unu gösteriniz.
X/G bölüm uzaynn
{(x, g(x)) ∈ X × X | x ∈ X, g ∈ G)} alt
(c) Bir önceki al³trmann sonucunu kullanarak
Hausdor olmas için
kümesinin
X ×X
çarpm uzay içinde kapal olmasnn gerek ve
yeter ko³ul oldu§unu gösteriniz.
(d)
X
Hausdor bir uzay ve
G
sonlu bir grup ise
X/ ∼= X/G
yörünge
uzaynn da Hausdor oldu§unu gösteriniz.
10.
P : X → Y
ve
Q : Y → Z
iki bölüm fonksiyonu ise
Q◦P : X → Z
bile³ke fonksiyonunun da bir bölüm fonksiyonu oldu§unu gösteriniz.
11.
f : R → S 1 , f (t) = (cos 2πt, sin 2πt), t ∈ R, fonksiyonun bölüm uzay
1
seviyesinde verdi§i f˜ : R/ ∼→ S fonksiyonunun bir homeomorzma
oldu§unu gösteriniz. Burada R/ ∼ üzerindeki topoloji bölüm uzay to1
1
polojisidir. S üzerindeki bu topoloji ise S 'in düzlemden ald§ alt uzay
topolojisidir.
46
Yardmc Bilgiler
12. Tkz bir
X
uzayndan tanmlanan her sürekli
f :X →Y
fonksiyonun
düzgün oldu§unu gösteriniz.
13. Bu al³trmada önceden ele ald§mz bir örne§i biraz daha derinlemesine
inceleyece§iz (bkz. Örnek 1.1.19):
X = R3 − {(0, 0, 0)} uzay (Öklit topo-
X üzerinde ∼ denklik ba§nts ³u ³ekilde tanmlansn:
(x1 , x2 , x3 ) ∼ (y1 , y2 , y3 ) ancak ve ancak (y1 , y2 , y3 ) = λ(x1 , x2 , x3 ), olacak ³ekilde baz λ ∈ R saylar vardr. X/ ∼ bölüm uzay üç boyutlu
lojisi ile) olsun ve
Öklit uzayndaki do§rularn uzaydr, gerçel projektif düzlem diye adlandrlr ve
RP 2
ile gösterilir.
(a) Bu uzayn iki boyutlu birim küre,
S2,
üzerinde
(x1 , x2 , x3 ) ∼ (−x1 , −x2 , −x3 )
ile tanmlanan denklik ba§ntsndan elde edilen bölüm uzayna homeomork oldu§unu gösteriniz.
(b)
F : S 2 → R6 , F (x1 , x2 , x3 ) = (x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 , x21 , x22 , x23 ) fonksiyo2
6
nunun RP 'nin R içine topolojik bir gömme fonksiyonu verdi§ini
gösteriniz.
(c)
F (x, y, z) = (x2 + yz, y 2 , xy, zx) ile tanmlanan F fonksiyonunun
4
gerçel projektif düzlemin R içine topolojik bir gömme verdi§ini
3
gösteriniz. (Gerçel projektif düzlemin R içine gömülmesi mümkün
de§ildir (bkz. Ünite 5, Al³trma 16).)
14. Yol ba§lantl bir topolojik uzayn ba§lantl oldu§unu gösteriniz. Di§er
taraftan
Rn 'nin
ba§lantl her açk alt kümesinin yol ba§lantl oldu§unu
gösteriniz.
15.
A = (−1, 0) ∪ (0, 1) ⊆ R alt uzay olsun. E§er f : A → R bire bir
f (A) görüntü uzaynn da ba§lantsz oldu§unu
2
gösteriniz. Di§er taraftan, g(A) ⊆ R ba§lantl olacak ³ekilde bire bir
2
sürekli bir g : A → R fonksiyonu bulunuz.
sürekli bir fonksiyon ise
16. Genellikle gerçel saylar kümesinin her aral§nn kardinalitesinin ayn
oldu§unu lisans derslerinde i³lenir. Di§er taraftan,
[0, 1)
ve
(0, 1)
gibi
verilen iki aralk arasnda bire bir e³leme örne§i lisans derslerinde nadiren
verilir:
A = {0, 1/2, 1/3, · · · , 1/n, · · · } ⊆ [0, 1)
ve
B = {1/2, 1/3, · · · , 1/n, · · · } ⊆ (0, 1)
f : [0, 1) → (0, 1) fonksiyonu ³u ³ekilde tanmlansn: x ∈ X −
A ise f (x) = x, f (0) = 1/2 ve n > 1 için f (1/n) = 1/(n+1). Bu fonksiyon
olmak üzere
istenilen e³lemeyi verir. Görüldü§ü gibi bu e³leme fonksiyonunun sonsuz
noktada süreksizli§i vardr. A³a§da, bu durumdan kurtulmann mümkün
olmad§n görece§iz.
47
Al³trmalar
(a)
R'nin
alt uzaylar olarak
[a, b)
ve
(a, b)
aralklarnn homeomork
olmadklarn gösteriniz.
(b)
[0, 1)
ve
(0, 1)
aralklar arasndaki her bire bir e³lemenin sonsuz
noktada süreksizli§i oldu§unu gösteriniz.
17.
f :X→X
ba§lantl ve tkz
fonksiyon ise
bire bir ise
f
f 'nin
X
uzayndan kendisine açk ve sürekli bir
örten oldu§unu gösteriniz. E§er
f
fonksiyonu ayrca
bir homeomorzmadr.
f : (X, d) → (X, d) fonksiyonu her x, y ∈ X için d(f (x), f (y)) =
d(x, y) ko³ulunu sa§lyorsa bu fonksiyona (X, d) metrik uzaynn bir izo-
18. Bir
metrisi denir. Her izometrinin bire bir ve sürekli oldu§unu gösteriniz. E§er
(X, d) tkz bir metrik uzay ise f
izometrisinin ayrca örten ve dolaysyla
bir homeomozma oldu§unu gösteriniz.
19.
Rn
Öklit metrik uzaynn her izometrisinin an bir fonksiyon oldu§unu
gösteriniz.
20.
(a) Örnek 1.1.17'de
R
üzerine koydu§umuz
τ2
topolojisinin metriklene-
bilir oldu§unu bir metrik in³a ederek gösteriniz.
(b)
f : ([0, ∞), τ2 ) → S 1 , f (x) = (cos
2πx
2πx
, sin
),
1+x
1+x
fonksiyonunun
bir homeomorzma oldu§unu gösteriniz.
(c)
R
τ3 topolojisi
β = {(a, b) | a, b ∈ R, ab > 0}
üzerindeki
∪{(a, b) ∪ (c1 , ∞) ∪ (−∞, c2 ) | a, b, c1 , c2 ∈ R, a < 0 < b}
taban ile üretilen topoloji olsun. Bu uzayn düzlemde çizilen sekiz
rakamna homeomork oldu§unu gösteriniz.
21.
(a) Denk metriklerin ayn topolojiyi üretti§ini gösteriniz.
(b)
d1 , X kümesi üzerinde tanmlanan bir metrik olmak üzere her x, y ∈
X için
d1 (x, y)
d2 (x, y) =
1 + d1 (x, y)
ile tanmlanan fonksiyonun da
X
üzerinde bir metrik oldu§unu ve
bu iki metri§in ayn topolojiyi ürettiklerini gösteriniz.
d1
snrl bir
metrik ise bu iki metrik denktir.
(c)
R
kümesi üzerinde ayn topolojiyi veren ve birbirine denk olmayan
iki metrik bulunuz.
22.
(X, d)
˜ bu uzayn bir tamlan³
(X̃, d)
ise, X = {rn | n = 1, 2, · · · }, (rn )
herhangi bir metrik uzay ve
X saylabilir bir küme
X̃ − X içindeki her noktaya yaknsayan bir alt dizisi oldu§unu
olsun. E§er
dizisinin,
gösteriniz.
48
Yardmc Bilgiler
23. Bir metrik uzayn tkz olmas için gerek ve yeter ³art o uzay üzerindeki
her gerçel de§erli sürekli fonksiyonun en büyük (maksimum) de§erinin
olmasdr.
ANALZ
24.
z = x1 + ix2 = (x1 , x2 ) ve w = y1 + iy2 = (y1 , y2 ) alarak verilen
f : C → C, w = f (z) karma³k saylar fonksiyonunu R2 'den R2 'ye
bir
bir
fonksiyon olarak görebiliriz:
F (x1 , x2 ) = (Re(f (x1 + ix2 )), Im(f (x1 + ix2 ))).
Bu durumda
f
fonksiyonu bir
p ∈ C
olarak türevlenebilirdir ancak ve ancak
revlenebilirdir ve
DF (p) : R2 → R2
noktasnda kompleks fonksiyon
F
fonksiyonu ayn noktada tü-
do§rusal dönü³ümü karma³k vektör
uzay dönü³ümüdür. Kantlayn!
25. Bu al³trmada Ters Fonksiyon Teoremi'nin özel halini Ortalama De§er
Teoremi ve temel topoloji bilgileri yardmyla Banach Daraltma Prensibini kullanmadan kantlayaca§z:
ve
x0 ∈
R, f ′ (x0 )
̸= 0,
f : R → R C1
snfndan bir fonksiyon
ko³ulunu sa§layan bir nokta olsun.
(a) Ortalama De§er Teoremi'ni kullanarak
f
fonksiyonun
x0
noktas
etrafnda hep artan veya hep azalan oldu§unu gösteriniz ve bunu
f : (a, b) → (c, d) fonksiyonu bire bir ve örten olacak
x0 ∈ (a, b), y0 = f (x0 ) ∈ (c, d) aralklarnn varl§n kant-
kullanarak
³ekilde
laynz.
(b)
f −1 : (c, d) → (a, b) ters fonksiyonunun y0
noktasnda türevlenebilir
oldu§unu gösteriniz.
26. Kapal Fonksiyon Teoremi'ni kabul ederek Ters Fonksiyon Teoremi'ni
kantlayanz.
27.
(a)
[0, 1] aral§nda tanml sürekli fonksiyonlar uzayn supremum metri§i ile dü³ünelim. Her x ∈ [0, 1] için
∫
1 x
f (t) sin t dt
T (f )(x) = x +
2 0
T : C([0, 1]) → C([0, 1]) fonksiyonunun, her f, g ∈
∥T (f ) − T (g)∥ ≤ 0.5∥f − g∥ sa§lad§n gösteriniz.
∫
1 x
y(x) = x +
y(t) sin t dt denklemini sa§layan tek bir sürekli
2 0
y : [0, 1] → R fonksiyonu oldu§unu gösteriniz.
ile tanmlanan
C([0, 1])
(b)
için
DO‡RUSAL CEBR
49
Al³trmalar
(n×n)'lik matrislerin olu³turduGL+ (n, R), yol ba§lantl oldu§unu gösterece§iz. Herhangi
28. Bu al³trmada determinant pozitif olan
§u alt uzayn,
bir
c∈R
gerçel says için ³u elementer pozitif determinantl matrisleri
dü³ünelim:

 
··· ··· ··· 0
1 0 ··· ··· 0
 0 1
··· ··· ··· 0 
0 ··· 0
 

.
.
.
. 
.
.
.
.
.
.
.
.
. 
..
.
.
 . .
.
.
.
.
.
.
,  . .


··· 1 ··· 0   0 ··· c ··· 0
 .. ..
.
.
. 
.
.
..
..
.
.
. 
.
.
 . .
.
.
.
.
.
.
.
··· ··· 0 1
0 ··· ··· 0 1
1 0
0
 0 1
0

 .. .. . .
 . .
.

 0 ··· c

 .. ..
.
.
 . .
.
0 ··· ···
(ikinci matris için
c>0
alaca§z). “imdi bir
A ∈ GL+ (n, R)





,




alalm ve
her biri yukardaki iki tipten birinden olacak ³ekilde seçilen sonlu saydaki
Ei
elementer matrisleri yardmyla
Er Er−1 · · · E2 E1 A = I˜n
³eklinde yazalm öyle ki,
I˜n
matrisi birim matristen satrlarnn yer
de§i³tirmesi (bir permütasyonu) ve yine baz satrlarnn
−1
ile çar-
plmasyla elde edilmi³ olsun. Bu matrisin determinantnn da pozitif ol-
× 3)'lük bir I˜3


0 1 0
 −1 0 0  .
0 0 1
du§unu gözlemleyiniz. Örne§in, (3
Her
A ∈ GL+ (n, R)
matrisi ³u olabilir:
matrisinin bu ³ekilde bir çarpm olarak yazlabile-
ce§ini kantlaynz.
“imdi de her bir
Ei
matrisinin ve
I˜n
matrisinin, görüntüsü
GL+ (n, R)
içinde kalan sürekli bir e§ri ile birim matrise ba§lanabilece§ini görelim.
kinci tip elementer matris için e§rimiz

1 0 ··· ··· 0
 0 1
0 ··· 0

 .. .. . .
.
.
.
.
 . .
.
.
.

γ(t) = 
 0 · · · ct · · · 0
 .. ..
.
.
..
.
.
 . .
.
.
.
0 ··· ··· 0 1





 , t ∈ [1, 1/c]




ya da
t ∈ [1/c, 1],
olarak seçilebilir. Birinci tip elementer matris için e§ri bulma i³ini size
brakrken yukarda verdi§imiz
³u ³ekilde seçilebilir:
I˜3
matrisini birim matrise ba§layan e§ri

cos tπ/2 sin tπ/2 0
α(t) =  − sin tπ/2 cos tπ/2 0  , t ∈ [0, 1].
0
0
1

50
Yardmc Bilgiler
Genel durumun kantn size brakyoruz. Kantta faydal olacak bir ipucu
verelim:
I˜n
matrisinin içindeki negatif bile³enlerin says
m
olsun. Her
negatif sayy pozitife çevirdikten sonra elde edilen matrisin satrlarnn
yerlerini de§i³tirerek birim matris etmemizi sa§layan permütasyon da
σ olsun. Bu durumda, I˜n matrisinin determinant pozitif oldu§undan
(−1)m sgn(σ) = 1 olur. Dolaysyla, GL+ (n, R) grubu yol ba§lantldr.
Determinant pozitif bir matrisin ilk satrn
−1
ile çarpmak
GL+ (n, R)
−
uzayndan determinant negatif olan matrisler uzayna, GL (n, R), bir
homeomorzma tanmlar. Dolaysyla,
GL(n, R)
birbirine homeomork
iki ba§lantl bile³enden olu³maktadr.
Determinant sfrdan farkl bir matrisin satrlarna Gram-Schmidt operasyonu uygulayarak genel do§rusal gruptan ortogonal matrisler gurubuna örten sürekli bir fonksiyon buluruz (bkz. ayrca 237):
P : GL(n, R) → O(n) .
Bu fonksiyonun ortogonal matrisler grubuna kstlamasnn birim dönü³üm oldu§unu gözlemleyiniz. Bu özelli§e sahip fonksiyonlara küçültme
fonksiyonu ad verilir (bkz. Tanm 4.1.7). Son olarak, küçültme fonksiyonu yardmyla,
O(n)
ortogonal matrisler grubunun biri
SO(n)
olmak
üzere iki ba§lantl bile³enden olu³tu§unu gösteriniz.
29.
f : Rn → Rn C 1
(xn ) ∈ Rn yaknsak bir
dizi olsun. E§er her n > 0 için f (xn ) = xn ise x0 = lim xn noktasnn
da f fonksiyonu için sabit nokta oldu§unu ve λ = +1 saysnn bu nokn
n
tadaki türev fonksiyonunun, Df (x0 ) : R → R , bir özde§eri oldu§unu
snfndan bir fonksiyon ve
gösteriniz.
30. A³a§daki ifadeyi kantlaynz:
R
M ve N bu halka
P R-modülü ve F :
de§i³meli bir halka,
üzerinde tanml modüller olsun. Bu durumda her
M × N → P bilineer bir fonksiyonu için F = G ◦ π olacak ³ekilde sadece
tek bir A R-modülü, π : M ⊗R N → A R-modül homomorzmas ve
G : A → P R-modül homomorzmas vardr.
31. Bu al³trmada tensörlerin geometrik bir uygulamas olarak Hilbert'in
üçüncü problemini ele alaca§z. David Hilbert 1900 ylnda Paris'te düzenlenen Uluslararas Matematik Konferansnda 20. Yüzyl matemati§ine
yön veren 10 problemden olu³an bir liste sundu. Daha sonra liste biraz
daha geni³leyerek 23 probleme çkt. Listenin 8. problemi olan Riemann
Hipotezi, 12. problemi ve Gerçel Cebirsel Düzlem e§rilerinin kongürasyonu problemini de kapsayan 16. problemi halen açk. Geri kalan problemlerin önemli bir ksm tamamen veya ksmen çözülmü³ durumda.
Listenin ilk çözülen problemi ise 3. problem. Bu problem Hilbert'in o zamanlar ö§rencisi olan Max Dehn (Dehn adyla anlan, Dehn Twist, Dehn
Surgery gibi bir çok matematiksel araç ve teknik özellikle dü³ük boyutlu
51
Al³trmalar
topoloji alannda halen yo§un olarak kullanlmaktadr) tarafndan ayn
yl çözüldü. Bu al³trmada bu problemi tantp Dehn'in çözümünü sunaca§z.
Düzlemde ayn alana sahip iki çokgen alalm. Bolyai-Gerwien Teoremi
olarak bilinen sonuca göre bunlardan birini, muhtemelen birden fazla,
do§ru boyunca makas ile kesip farkl ³ekillerde yap³trarak di§erini elde
etmek mümkündür. Hilbert'in 3. problemi ayn sonucun 3-boyutlu çok
yüzlü kat cisimler için do§ru olup olmad§n sormaktadr:
P1
ve
P2
ayn hacme sahip çok yüzlü iki kat cisim olsun. Örne§in bir küp ile bir
düzgün dört yüzlü. Küpü bir bçak yardmyla düzlemler boyunca sonlu
sayda parçaya ayrsak ve yüzleri boyunca tekrar yap³trsak düzgün dört
yüzlüyü elde edebilir miyiz?
Dehn bunun mümkün olmad§n tanmlad§ bir de§i³mez yardmyla
gösterdi. Dehn'in kulland§ kir gerçekten basit. Kat cismi bir düzlem
boyunca kesti§imizi dü³ünelim. E§er kenarlardan biri bu düzlemin içinde kalyorsa bu kenarn uzunlu§u de§i³meyecek fakat bu kenara ait aç,
toplam ayn kalacak ³ekilde, iki parçaya bölünecektir. E§er bir kenar bu
düzlem ile kesi³miyorsa ne bu kenarn uzunlu§u ne de bu kenara ait aç
de§i³ecektir. Yine e§er bu düzlem bir kenar kö³eleri d³nda bir noktada
kesiyorsa bu kenar, uzunluklar toplam ayn kalmak üzere, iki parçaya
ayrlacaktr. Ayrca bu durumda bu iki parçann da açlar de§i³meyecektir. Son olarak, kesme i³lemi sonunda bir yüz iki parçaya ayrlrsa, ayn
uzunlu§a sahip iki yeni kenar ortaya çkacaktr. Bu kenarlara ait açlar
toplam ise
π
olacaktr.
“imdi Dehn de§i³mezini tanmlayabiliriz:
kat cismin ve
bir
e∈E
E
P
sonlu sayda ayrk çok yüzlü
bu cisimlerin tüm kenarlarnn kümesi olsun. Herhangi
kenar için
ℓ(e) ∈ R
Q-vektör
θ(e) ∈ R
R ⊗Q (R/(Qπ))
bu kenarn uzunlu§unu ve
bu kenara ait yüzler arasndaki aç olsun. Bu durumda,
uzay içinde de§er alan Dehn de§i³mezi
. ∑
D(P ) =
ℓ(e) ⊗Q (θ(e) + Qπ) ∈ R ⊗Q (R/(Qπ)),
e∈E
olarak tanmlanr. Bu ifadenin
P
kümesi içinde kalan kat cisimlerin
düzlemler boyunca kesilmesi ile de§i³medi§ini gözlemleyiniz.
Herhangi bir küp için bu de§i³mezin sfr oldu§unu gösteriniz. Son olarak, herhangi bir düzgün dört yüzlü için bu de§i³mezin sfrdan farkl
oldu§unu ve dolaysyla bir küpü kesip yap³trarak düzgün dört yüzlü
elde edemeyece§imizi gösteriniz. Bu konuda daha kapsaml bir okuma
için Dehn-Hadwiger Teoremi ile Dehn-Sydler Teoremi'ne bakabilirsiniz.
Bu problemin yüksek boyutlu (
n ≥ 5)
genellemeleri henüz açk durum-
dadr.
Bu tarihi ve güzel problemi dikkatime sunan Be³ikta³ Atatürk Anadolu
Lisesi ö§rencisi sayn Baran Çetin'e te³ekkür ederim (2014 Aralk ay).
52
32.
Yardmc Bilgiler
R de§i³meli bir halka, (Λ, ≤) yönlü bir küme ve {Mi }i∈Λ
bir
R-modülleri
ailesi olsun, öyle ki,
a) her
i≤j
için bir
fij : Xi → Xj R-modül
homomorzmas olsun; ve
ayrca
b) her
i≤j≤k
için
fik = fjk ◦ fij
e³itli§i sa§lansn.
R-modüllerin direkt toplam üzerinde bir ∼ denklik ba§nts
x ∈ Mi ve y ∈ Mj için x ∼ y 'dir ancak ve ancak öyle bir
k ∈ Λ ve z ∈ Xk vardr ki i, j ≤ k 'dir ve hem fik (x) = z hem de fjk (y) =
z olur. ⊕i∈Λ Mi içinde x ∼ y olmak üzere x − y tipindeki elemanlarn
üretti§i alt modülü D ile gösterelim. Bu durumda ⊕i∈Λ Mi /D bölüm
modülüne {Mi }i∈Λ ailesinin düz limiti denir ve lim Mi ile gösterilir.
“imdi bu
tanmlayalm:
−→
Buna denk bir ba³ka tanm ise ³udur: Bu modüllerin ayrk birle³imi
üzerinde yukardaki
∼ denklik ba§ntsn dü³ünelim. Toplama i³lemini
x ∈ Mi ve y ∈ Mj rastgele iki eleman olmak üzere
sa§layan k endeksi için bu iki elemann toplamn
de ³u ³ekilde yapalm.
i, j ≤ k ko³ulunu
Mk içinde bunlara denk olan elmanlarn toplam olarak tanmlayalm:
.
x + y = fik (x) + fjk (y). Bu ikinci tanmn avantaj direkt limitin grup,
halka ve cisimler için de do§rudan tanmlanabilmesine olanak sa§lamasdr. Bu sayede gruplar için skntl olan direkt toplam i³inden kurtulmu³
oluruz.
(a)
Λ = Z+
m ≤ n ancak ve ancak m|n ksmi sralama
n ∈ Λ için Mn = Zn devirli grubunu ve her m|n için fmn : Mm → Mn , [k] 7→ [nk/m], ile verilen
Z-modül homomorzmasn göstersin. lim Mn limit grubunun Q/Z
kümesi üzerinde
ba§ntsn tanmlayalm. Her
−→
bölüm grubuna (toplama i³lemi ile beraber) izomork oldu§unu gösteriniz.
(b) Yukarda ele ald§mz sorudaki modülleri
zmalar
grubunun
fmn : Mm → Mn , k 7→ nk/m,
Q
Mn = Z
alrsak
ve homomor-
lim Mn
−→
limit
grubuna (toplama i³lemine göre) izomork oldu§u-
nu gösteriniz. E§er
fmn : Mm → Mn
Mn
{k/n | k ∈ Z} ≃ Z
modülünü
alrsak
homomorzmasnn rasyonel saylardaki payda
e³itleme i³lemine kar³lk geldi§ini görebiliriz.
33.
M = Z2
rank iki olan de§i³meli grup ve
N
bu grup içinde
(2, 3) ve (1, 5)
M/N
bölüm grubu
elemanlarnn üretti§i alt grup olsun. Bu durumda
nedir? Sonlu ise kaç eleman vardr? Bu vektörleri satr olarak kabul eden
[
A=
2 3
1 5
]
matrisinin determinantnn bir anlam var m? Bu al³trmada bu sorunun
cevabn bulmann sistematik bir yolunu ö§renece§iz.
53
Al³trmalar
R-modül ve N ⊆ M
M Noetherian'dr ve dolaysyla her alt modülü sonlu üretilir). β = {e1 , · · · , en }
′
M modülünün bir taban
∑ve β = {f1 , · · · , fm } N 'nin bir üreteç kümesi
olsun. A = (aij ), fi =
j aij ej , i = 1, · · · , m ve j = 1, · · · , n, olacak
R
bir esas ideal bölgesi,
M
sonlu üretilen serbest bir
bir alt modül olsun (R bir esas ideal bölgesi oldu§undan
³ekilde bir matris olsun.
(Ci ↔ Cj ) : ei ↔ ej
(Ri ↔ Rj ) : fi ↔ fj
ve
yer de§i³tirme ve
(Ci ↔ Ci − rCj ) : ej ↔ rei + ej
ve
(Rj ↔ rRi + Rj ) : fj ↔ rfi + fj
r ∈ R katn di§erine ekleme i³lemleri üreteçlerin de§i³iminin
A matrisini nasl de§i³tirdi§ini gösterir (Ci ler A matrisinin sütunlar, Ri
bir üreteçin
ler ise satrlardr). Örnek olarak,
(Ci ↔ Ci − rCj ) : ej ↔ rei + ej
i³lemi
β
kümesinde
nin i'inci satrndan
ej 'nin rei + ej ile de§i³tirilmesi sonucunda A matrisij 'inci satrnn r katnn çkarld§n göstermektedir.
Taban de§i³tirme i³lemlerinin gerçekten iddia edilen satr ve sütun i³lemlerine kar³ geldi§ini gösteriniz.
Bu tür satr ve sütun i³lemlerini kullanarak
A
D = (dij )
d11 | d22 | · · · | dkk ̸= 0
di§er tüm dij = 0'dr: d11 R
matrisin sonlu admda bir
matrisine dönü³türebiliriz; öyle ki,
olacak ³ekilde bir
k ≤ min{m, n} vardr ve
aij 'lerin en küçük ortak
halkas içinde tüm
bölenidir (halkamz bir esas
ideal bölgesi oldu§u için bunu yapabiliriz).
A
matrisinde
a11
yerine
d11
elemann getirdikten sonra yine satr ve sütun i³lemleriyle birinci satr
ve sütundaki di§er tüm elemanlar sfr yapabiliriz. Daha sonra matrisin
birinci satr ve sütununa dokunmadan ayn i³lemleri di§er satr ve sütunlara yaparak devam ederiz. Bu i³lemin sonlu admda bitece§i açktr.
Bu i³lemler sonucunda
β = {e1 , · · · , en }
ve
β ′ = {d11 e1 , · · · , dkk ek }
ol-
du§unu kabul edebiliriz. O halde bölüm modülü
(⊕ki=1 R/(dii R)) ⊕ Rn−k
olur.
R = Z ve n = k ise bölüm grubu sonludur ve eleman says
| det(A)| = | det(D)| = d11 · · · dkk saysdr. En ba³ta verdi§imiz örnek
için det(A) = 7 oldu§undan bölüm grubu yedi elemanl tek Z-modül olan
Z/7Z olmaldr.
Son olarak
M (n, n) kare
n-tane farkl özde§eri olan matrislerin olu³turdu§u
n2 içinde açk bir yuvar içerdi§ini gösterece§iz:
alt uzayn M (n, n) = R
D = (dij ), dij = iδij , (i, j = 1, · · · , n), kö³egen matrisini dü³ünelim.
34. Bu al³trmada gerçel (veya karma³k) saylar üzerindeki
matrisler uzay içinde
54
Yardmc Bilgiler
(a)
D
matrisinin karakteristik polinomunun
fD (λ) = (λ − 1) · · · (λ − n)
oldu§unu gösteriniz. Bu polinomun
0.5, 1.5, · · · , n − 0.5, n + 0.5
noktalarnda ald§ de§erlerin i³aretlerinin her seferinde de§i³ti§ini
gözlemleyiniz.
(b) Katsaylar
n'inci
fD (λ)
olacak ³ekilde bir
(c)
ϵ kadar yakn olan
f (λ) polinomunun n tane farkl gerçel kökü
ϵ > 0 saysnn varl§n gösteriniz.
polinomunun katsaylarna
dereceden her
M (n, n) ≃ Rn
2
A ∈ B(D, δ) matrisinin n taB(D, δ) açk yuvarnn varl§n
metrik uzay içinde her
ne farkl özde§eri olacak ³ekilde bir
gösteriniz.
35. Bu al³trmada Cayley-Hamilton Teoremi'nin bir ba³ka kantn görece§iz.
(a) Do§rudan hesap yaparak her kö³egen
fD (D) = 0,
D ∈ M (n, n)
matrisi için
sfr matrisi, oldu§unu gösteriniz. Benzer ³ekilde her
kö³egenle³tirilebilir
B ∈ M (n, n)
matrisi için
fB (B) = 0,
oldu§unu
gösteriniz.
(b)
Φ : M (n, n) → M (n, n), Φ(A) = fA (A), ile tanmlanan fonksiyonun
her bile³eninin A = (aij ) matrisinin aij bile³enlerinin birer polinomu
oldu§unu gösteriniz.
(c) Al³trma 34'in sonucunu kullanarak her
A ∈ M (n, n) için Φ(A) = 0
oldu§unu gösteriniz.
36.
A
bir kare matris olmak üzere
det(eA ) = etrA
oldu§unu gösteriniz (ilk
önce kö³egen bir matris için gösteriniz ve daha sonra e³itli§in her iki
tarafnn da
A'nn
analitik fonksiyonlar olmasn ve kö³egenle³tirilebilir
matrislerin tüm matrisler içinde açk bir yuvar içerdi§ini kullannz).
A
A
izi sfr olan bir kare matris ise e 'nn determinant bir olan bir matris
oldu§unu gösteriniz.
37. Bu al³trmada karakteristik polinomu do§rusal terimlerin çarpm ³eklinde yazlabilen bir matrisin Jordan temel formunun nasl bulunaca§n
görece§iz.
F
cismi üzerinde tanml bir
teristik polinomu,
i ̸= j
için,
λi ̸= λj
A ∈ M (n, n)
olacak ³ekilde
özde§erleri için
fA (λ) = (λ − λ1 )n1 · · · (λ − λk )nk
olsun.
V
ile
Fn
vektör uzayn gösterelim.
matrisinin karak-
λ1 , · · · , λk ∈ F
55
Al³trmalar
(a)
i = 1, 2
T1 T2 = 0
Ti : V → V
ker(T1 ) ∩ ker(T2 ) = (0)
olmak üzere
ve
do§rusal operatörleri için
ise
V = ker(T1 ) ⊕ ker(T2 )
direkt toplam oldu§unu gösteriniz.
(b)
g1 (λ), g2 (λ) ∈ F[λ]
aralarnda asal iki polinom ve
herhangi bir matris olmak üzere
ker(g1 (B)) ∩ ker(g2 (B)) = (0)
gi (B) : V → V
B ∈ M (n, n)
operatörleri için
oldu§unu gösteriniz.
i = 1, · · · , k için Vi = ker(λi In −A)ni olmak üzere A(Vi ) ⊆ Vi
V = V1 ⊕· · ·⊕Vk oldu§unu gösteriniz (pucu : g1 (λ) = (λ−λ1 )n1
g2 (λ) = fA (λ)/g1 (λ) alnz ve tümevarm metodunu kullannz).
(c) Her
ve
ve
i = 1, · · · , k için A'nn Vi alt uzayna kstlan³nn, A|V :
i
Vi → Vi , karakteristik polinomunun (λ−λi )ni oldu§unu gösteriniz.
Buradan Vi vektör uzaynn boyutunun ni oldu§u sonucuna varrz. (pucu : A : V → V do§rusal operatörünün Vi 'lerin tabanlarnn
(d) Her
birle³iminden olu³an bir tabandaki matris gösterimini kullanarak karakteristik polinomunu yaznz).
(e)
(λ − λ0 )n oldu§unu kabul
i
edelim. L = λ0 In − B operatörü olmak üzere Wi = ker(L ) olarak
tanmlansn. O halde, L(Wi ) ⊆ Wi−1 , W0 = (0), W1 = Eλ0 , λ0
n
özde§erine kar³lk gelen özvektör uzay ve Wn = F olur. E§er
v1 , · · · , vk ∈ Wi vektörlerinin denklik snar Wi /Wi−1 bölüm
uzay içinde do§rusal ba§msz bir küme ise 0 ≤ s < i, ve 1 ≤ j ≤
k olmak üzere {Ls (vj )} kümesinin do§rusal ba§msz bir küme
B
matrisinin karakteristik polinomunun
oldu§unu gösteriniz.
Wi /Wi−1 ̸= (0) olacak ³ekilde en büyük i saysn seçelim.
l olsun. Wl uzay içinde denklik snar Wl /Wl−1 bölüm
1
1 vektörleri seçelim. O
uzaynn bir taban olacak ³ekilde v1 , · · · , vk
1
1
1
halde L(v1 ), · · · , L(vk ) kümesi Wl−1 /Wl−2 bölüm uzaynn içinde
1
2
2
do§rusal ba§msz bir küme verir. “imdi de, öyle v1 , · · · , vk ∈ Wl−1
2
“imdi
Bu say
seçelim ki,
L(v11 ), · · · , L(vk11 ), v12 , · · · , vk22
vektörlerinin denklik snar
olsun (k2
=0
Wl−1 /Wl−2
bölüm uzaynn bir taban
olmas elbette mümkündür). Bu ³ekilde devam ede-
rek,
Ll−1 (v11 ), · · · , Ll−1 (vk11 ), Ll−2 (v12 ), · · · , Ll−2 (vk22 ), · · · ,
L(v1l−1 ), · · · , L(vkl−1
), v1l , · · · , vkl l
l−1
vektörlerinin denklik snar
Eλ0 = W1 /W0
bölüm uzay için bir
taban olacak ³ekilde
v11 , · · · , vk11 , v12 , · · · , vk22 , · · · · · · , v1l−1 , · · · , vkl−1
, v1l , · · · , vkl l
l−1
vektörlerini elde ederiz. Bu durumda
56
Yardmc Bilgiler
{v11 , L(v11 ) , · · · , Ll−1 (v11 ),
v21 , L(v21 ) , · · · , Ll−1 (v21 ),
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
vk11 , L(vk11 ) , · · · , Ll−1 (vk11 ),
v12 , L(v12 ) , · · · , Ll−2 (v12 ),
v22 , L(v22 ) , · · · , Ll−2 (v22 ),
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
vk22 , L(vk22 ) , · · · , Ll−2 (vk22 ),
···
···
···
v1l−1 , L(v1l−1 ),
v2l−1 , L(v2l−1 ),
.
.
.
.
.
.
vkl−1
, L(vkl−1
),
l−1
l−1
v1l ,
v2l ,
.
.
.
vkl l },
kümesinin
V = Fn
için bir taban olu³turdu§unu ve
A
matrisinin
bu sral tabanda Jordan bloklar ³eklinde göründü§ünü gösteriniz.
38. Bir matrisin karakteristik polinomu do§al bir ³ekilde matrisin sürekli bir
fonksiyonudur. Di§er taraftan, minimal polinomun matrisin sürekli bir
fonksiyonu olamayaca§n gösteriniz.
39.
(a)
a0 = a1 = 1 ve n ≥ 2 için an+2 = an + an+1 ile tanmlanan
(an ) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, · · · ), Fibonacci dizisinin genel teriminin sadece n cinsinden ifadesini Örnek 1.3.4 yardmyla hesaplayalm: vn =
[an an+1 ]T vektörü ise Avn−1 = vn oldu§unu gösteriniz. Buradan
vn = An v0 yazarak sonucu hesaplaynz.
(b) Bu metodu kullanarak
genel teriminin sadece
(1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, · · · ) periyodik
n cinsinden ifadesini bulunuz (bu
dizisinin
dizi için
kullanaca§nz matrisin özde§erleri karma³k saylar olacaktr).
(c) Jordan temel formunu kullanarak,
an )
ile verilen
hesaplaynz.
(an )
n ≥ 0
dizisinin genel terimini
an+2 = 4(an+1 −
a0 , a1 ve n cinsinden
için,
57
Al³trmalar
(d)
(an ) k 'nc dereceden indirgemeli bir dizi olsun. Ba³ka bir deyi³le öyle c0 , · · · , ck−1 saylar vardr ki her n ≥ 0 için an+k = ck−1 an+k−1 +
· · · + c0 an olur. Yukarda ki gibi vn = [an · · · an+k−1 ]T vektörünü
gösterirse Avn−1 = vn olacak ³ekilde seçilen A matrisinin karaktek
k−1 − · · · − c λ − c oldu§unu
ristik polinomunun fA (λ) = λ − ck−1 λ
1
0
gösteriniz.
n ≥ 1 olan serbest de§i³meli G = Zn grububir N ≥ 1 do§al saysna e³it olan alt gruplarnn
40. Bu al³trmada rank
nun, endeksi verilen
saysn, Smith Normal Form benzeri bir i³lem kullanarak hesaplayaca-
n×n
§z. Boyutlar
olan tam say katsayl bir
A
matrisi alalm.
Bu matrisin satrlarn üreteç kümesi kabul eden alt grubu
H ≤G
H
gösterelim. Al³trma 33'da görmü³ oldu§umuz satr i³lemlerinin
ile
alt
grubunu koruyaca§ açktr.
(a)
A
matrisine sadece satr i³lemleri uygulayarak bu matrisi a³a§da
tarif edilen temel forma dönü³türebiliriz:

d1 d12 · · · d1n
 0 d2 · · · d2n

A∼
= D =  ..
.
.
..
.
.
 .
.
.
.
0
0 · · · dn
D



 .

matrisinin kö³egen elemanlarnn pozitif seçilebilece§ini ve bu
N = d1 · · · dn
0 ≤ dij < dj ko³ulunu
durumda
ko³ulunu sa§lad§n gösteriniz. Ayrca
da eklersek
D
matrisinin
A
matrisi
tarafndan tek bir ³ekilde belirlendi§ini gözlemleyiniz.
(b)
G
serbest de§i³meli grubunun endeksi
yukarda tarif etti§imiz
D
N
gösteriniz. O halde, endeksi
D
ko³ullar sa§layan
(c) Verilen
endeksi
N
N
ve
n
N
olan alt gruplarnn
matrisleriyle bire bir e³lenebilece§ini
olan alt gruplar saymak yukardaki
matrislerini saymaya denktir.
G = Zn grubunun
fn (N ) ile gösterelim. Bu
pozitif tam saylar için,
olan alt gruplarnn saysn
durumda a³a§daki fonksiyonel ba§ntnn do§ru oldu§unu gösteriniz:
fn (N ) =
∑
dn−1 fn−1 (N/d) .
d|N
(d)
f1 (N ) = 1
ve
f2 (N ) =
∑
d
oldu§unu gösteriniz. (Bu konuda yazl-
d|N
m³ oldukça geni³ kapsaml bir çal³ma için [22] numaral referansa
baknz.)
41. Bu al³trmada do§rusal cebir kullanarak Özel Görecelik Kuram'nn önemli bir parças olan Lorentz Dönü³ümleri'ni elde etmeye çal³aca§z.
58
Yardmc Bilgiler
v
Bunun için ilk önce, düz bir yol boyunca sabit
hzyla ilerleyen bir
tren dü³ünelim. Trenin d³nda ve içinde iki ayr gözlemci oldu§unu varsayalm. Trenin üzerinde hareket etti§i yolun
x-ekseni
oldu§unu ve trenin
pozitif eksen boyunca hareket etti§ini kabul edelim. Trendeki gözlemci de uzunluklar ölçebilmek için bir
x′ -ekseni
kullansn. Ayrca trenin
içinde ve d³nda bulunan iki saat yardmyla gözlemciler zaman dilimler-
t
ini ölçüyor olsunlar. Trenin d³ndaki gözlemci zaman
içindeki gözlemci
t′
ile gösterirken
ile göstersin.
Lorentz dönü³ümleri trenin içinde geçen bir olay ile ilgili uzunluk ve
zaman ölçümlerinin d³ardaki gözlemci tarafndan nasl göründü§ünü
ifade eder: Trenin içinde ölçülen bir
∆x′
∆x
′
(∆t , ∆x′ )
uzunlu§u ile
∆t
d³ardaki gözlemci tarafndan
ve
halde, Lorentz dönü³ümü
ikilisinin
ifadesini vermeli:
∆t′
zaman dilimi
olarak ölçülmü³ olsun. O
(∆t, ∆x)
ikilisi cinsiden
(∆t′ , ∆x′ ) = L(∆t, ∆x) .
I³k hz ile ilgili bir deneyi grak ile göstermeye çal³t§mzda gerçekçi
bir grak çizmek çok zordur çünkü ³k hz günlük hayatta kar³la³t§-
c
(ct′ , x′ )
mz hzlara göre çok büyüktür. Bu nedenle zaman eksenini
ile çarparak
(t, x)
(ct, x)
yerine
ve
(t′ , x′ )
yerine de
³k hz
koordi-
natlar ile çal³alm. Yeni koordinatlarda eksenlerin her ikisinin de ayn
birime (metre veya kilometre) sahip oldu§unu gözlemleyiniz. Daha fazla
ilerleyebilmek için iki kabul yapaca§z: Birincisi matematiksel bir kabul.
A)
(ct′ , x′ ) = L(ct, x)
fonksiyonu do§rusaldr.
Her iki koordinat sistemini de
R2
ile e³lersek bu do§rusal dönü³ümü
R2
üzerinde bir do§rusal operatör olarak görebiliriz. Bu operatörün standart
tabandaki matris gösterimi
[
A(v) =
a11 (v) a12 (v)
a21 (v) a22 (v)
]
olsun.
kincisi ise deneylerde tescil edlilmi³ ziksel bir olgu.
B)
I³k hz seçilen koordinat sisteminden ba§mszdr.
Dolaysyla, herhangi bir deney sonucunda her iki gözlemci de ³§n hzn
1
olarak hesaplayacaktr (zaman ³k hz ile çarpt§mz için artk
³k hz bir birimdir). “imdi bir deney hayal edelim: Trenin içindeki bir
vagonun bir ucundan tutulan fenerin ³§nn
∆x′
³§n
c∆t′
zaman aral§nda
kadar yol ald§n kabul edelim. Bu durumda d³ardaki gözlemci
c∆t
zaman aral§nda
her iki gözlemci için de
1
∆x
kadar yol ald§n ölçecektir. I³k hz
olaca§na göre a³a§daki e³itlik do§rudur:
∆x′
∆x
=1=
.
′
c∆t
c∆t
59
Al³trmalar
[1 1]T
Bu e³itlikleri kullanarak
vektörünün
A(v)
matrisinin bir özvek-
x′ -
törü oldu§unu gösteriniz. Ayrca, ayn deneyi feneri negatif
[1 −
yönünde vagonun di§er ucundan tutsaydk
1]T
ekseni
vektörünün de bir
özvektör oldu§unu görürdük. O halde,
[
A(v)
1
1
olacak ³ekilde
]
[
= λ1 (v)
1
1
λ1 (v), λ2 (v)
narak
1
A(v) =
2
[
elde ederiz. Bu arada
]
[
ve
A(v)
]
[
= λ2 (v)
1
−1
]
gerçel özde§erleri vardr. Bu bilgileri kulla-
λ1 + λ2 λ1 − λ2
λ1 − λ2 λ1 + λ2
A(v)
1
−1
]
[
=
γ(v) α(v)
α(v) γ(v)
]
matrisinin simetrik oldu§unu da görmü³
olduk.
Her iki gözlemcinin durumlar birbirine göre simetriktir. Ba³ka bir deyi³le,
−v yönünde haraket ediyor
A(v)−1 = A(−v) olmaldr.
trendeki gözlemciyi duruyor, d³ardakini ise
olarak dü³ünebiliriz. Dolaysyla,
“imdi dönü³ümü matris gösterimini kullanmadan tekrar yazarsak,
c∆t′ = γ(v)c∆t + α(v)∆x
c∆x′ = α(v)c∆t + γ(v)∆x
ve benzer ³ekilde
c∆t = γ(−v)c∆t′ + α(−v)∆x′
c∆x = α(−v)c∆t′ + γ(−v)∆x′
denklemlerini elde ederiz.
“ekil 1.8: Trenin tavanndan çkan ve yerden yansdktan sonra tekrar tavana çarpan
³§n izledi§i yolun d³ardaki gözlemci tarafndan alglan³ ³ekli.
60
Yardmc Bilgiler
Einstein hayali bir deney tasarlayarak
γ(v) fonksiyonunu hesaplam³tr.
h olsun. Tavandaki bir fener-
Deneyi size aktaralm. Vagonun yüksekli§i
den çkan ³k vagonun tabanndaki bir aynadan yansyarak tekrar tavana
çarpsn. Bu durumda vagonun içindeki gözlemciye göre ³§n tavandaki
fenerden çkp tekrar tavana ula³mas
∆t′ = 2h/c
saniye sürecektir.
Di§er taraftan, d³ardaki gözlemci ³§n yukardaki ³ekilde gösterilen
iki e§ik do§ru parças boyunca hareket etti§ini görecektir. Her bir do§ru
parças kenar uzunluklar
dür. O halde,
h
ve
v∆t/2
olan dik üçgenlerin hipotenüsü-
√
2 h2 + v 2 (∆t)2 /4
2D
∆t =
=
c
c
elde edilir. “imdi bu iki denklemi kullanarak
∆t = √
∆t′
1 − (v/c)2
e³itli§ini bulunuz. Di§er taraftan, bu deneyde
γ(−v) = √
narak
1
1 − (v/c)2
1
∆x′ = 0
oldu§unu kulla-
sonucuna ula³nz.
= γ(v) ve I2 = A(v)A(v)−1 = A(v)A(−v)
1 − (v/c)2
e³itliklerini kullanarak α(−v) = −α(v) ve det(A(v)) = 1 oldu§unu
2
2
gösteriniz. Dolaysyla, γ (v) − α (v) = 1 ve buradan da β(v) = v/c
olmak üzere α(v) = ±β(v)γ(v) e³itli§ini elde ediniz.
“imdi,
γ(−v) = √
Hangi i³aretin do§ru oldu§unu tespit etmek için Einstein'n deneyine
tekrar dönelim. Deneyde
0'dr,
∆x
çünkü
∆t′ > 0
ve
∆x′ = 0
de§erlerine kar³lk
∆x >
deney srasnda ³§n yatay olarak ald§ mesafenin
d³ardaki gözlemci tarafndan ölçülen büyüklü§üdür ve ³k d³ardaki
gözlemciye göre pozitif yönde hareket etmektedir. Dolaysyla, yukarda
elde etti§imiz
e³itli§inden
oldu§undan
c∆x = α(−v)c∆t′ + γ(−v)∆x′
α(−v) > 0 oldu§unu görürüz. Son olarak (trenin hz) v > 0
α(v) = −β(v)γ(v) sonucuna varrz. O halde,
[
]
γ(v)
−β(v)γ(v)
A(v) =
−β(v)γ(v)
γ(v)
olur.
Bu matrisin özde§erlerini ve bunlara kar³lk gelen özvektörleri bulunuz.
Lorentz dönü³ümlerinin trenin hznn her zaman ³k hzndan küçük
kald§n öngördü§ünü gözlemleyiniz.
Bu al³trmay bir soruyla tamamlayalm: Hz
ekseni boyunca ve
u
v
olan trenin içinde,
x′ -
hznda yürüyen birinin hznn d³ardaki gözlemci
61
Al³trmalar
tarafndan
u+v
1 + uv/c2
olarak ölçülmesi gerekti§ini kantlaynz.
2
Türevlenebilir Manifoldlar
Bu ünitede ilk önce türevlenebilir manifoldun tanm, manifold örnekleri ve
manifoldlarn yaplarna dair temel özellikler verilecektir. Daha sonra türevlenebilir manifoldlarn te§et uzaylar ve te§et demet yaplarn inceleyece§iz.
Ardndan rank teoremlerini ve manifoldlarn Öklit uzayna gömülmesine dair
sonuçlar verece§iz. Son olarak türevlenebilir formlar ve Stokes Teoremi'ni görece§iz. [15], [2], [39] ve [6] türevlenebilir manifoldlar için yaygn kullanlan
kaynaklardan bazlardr.
2.1
Türevlenebilir Manifoldlar
2.1.1
X
Temel Tanmlar
Hausdor ve ikinci saylabilir (saylabilir bir tabana sahip olan) bir uzay
olsun. E§er
X
her biri
Rn 'nin
açk bir alt kümesine homeomork olan
X 'e n-boyutlu topolojik
X = ∪Uα , ve φα : Uα → Vα , Vα ⊆ Rn , homeomorzmalar
ise {φα : Uα → Vα } ailesine X topolojik manifoldunun bir topolojik atlas
denir. Bu durumda bo³ kümeden farkl her Uα ∩ Uβ ̸= ∅ ara kesiti için
açk alt kümelerinin birle³imi olarak yazlabiliyorsa,
manifold denir.
φβ ◦ φ−1
α : φα (Uα ∩ Uβ ) → φβ (Uα ∩ Uβ )
bile³ke fonksiyonu
tr. E§er
X
Rn 'nin
açk alt kümelerinin bir homeomorzmas olacak-
topolojik manifoldu için, bu bile³ke fonksiyonlarnn hepsi
Ck-
(k ∈ N ∪ {∞}) bu atlasa X topolojik manifoldu üzerinde
C k -snfndan türevlenebilir yap denir. Bu durumda X topolojik manifolduk
na da C -snfndan türevlenebilir manifolddur denir. E§er k = ∞ ise X 'e
ksaca türevlenebilir manifold denir. n saysna X manifoldunun boyutu ve her
snfndan olursa
63
64
Türevlenebilir Manifoldlar
φα : Uα → Vα homeomorzmasna (Uα üzerinde) bir koordinat sistep ∈ Uα olmak üzere φ(p) = (x1 (p), · · · , xn (p)) fonksiyonunun
xi (p) bile³enlerine de koordinat fonksiyonlar denir. Manifoldlar büyük harfbir
mi denir.
lerle, boyutlarn ise manifoldu gösteren harn üzerine küçük harf veya rakam
yazarak gösteririz:
S n , M 4 , R3
V ⊆ Rm açk kümeler ve f : U → V bir
n
m türev
difeomorzma olsun. Bu durumda her p ∈ U için Df (p) : R → R
fonksiyonu do§rusal bir izomorzma oldu§undan n = m olmaldr. Bundan
dolay türevlenebilir manifoldun boyutu iyi tanmlanm³tr. Aslnda f fonksiyonun sadece bir homeomorzma olmas durumunda bile n = m olur. DoHatrlatma 2.1.1.
U ⊆ Rn
vs.
ve
laysyla topolojik manifoldlarn boyutu da iyi tanmldr. Fakat bu sonucun,
birkaç özel durum d³nda (bkz. Al³trma 3), basit saylabilecek bir kant yoktur (tekil homoloji teorisi kullanlarak kantlanabilir).
0
Sfr boyutlu her manifold yerel olarak R = {0}'a homeomork oldu§undan
ayrk topolojiye sahiptir. Di§er taraftan, her manifold ikinci saylabilir oldu§u
için bu ayrk küme saylabilir bir kümedir. Aslnda, sonraki bölümlerde görece§imiz gibi her manifold bir Öklit uzaynn uygun alt uzayna homeomorktir
(bkz. sayfa 80) ve saylamaz ayrk bir küme hiçbir Öklit uzayna gömülemez.
Dolaysyla, manifold tanmndaki ikinci saylabilirlik ko³ulu, manifoldlar Öklit
uzayna gömmeyi amaçlyorsak, vazgeçilemez bir ko³uldur.
Örnek 2.1.2.
Rn
ya da herhangi bir açk alt kümesi
n
boyutlu türevlene-
bilir manifolddur. Aslnda koordinat sistemini birim dönü³üm seçerek tek bir
n Hausdor ve
eleman olan atlas ile manifoldumuzu kaplayabiliriz. Ayrca, R
ikinci saylabilir oldu§u için her alt uzay da Hausdor ve ikinci saylabilirdir.
Hatrlatma 2.1.3. Yukardaki tanmda
Rn
n yazarak n-boyutlu
yerine C
1 karma³k fonksiyonlar ayn
karma³k manifold tanmn elde ederiz. Fakat C
∞
∞ kabul edebiliriz.
zamanda C
olduklar için her karma³k manifoldu C
n
n fonksiyonu C ∞ bir f :
Di§er taraftan, türevlenebilir her f : C → C
2n
2n
R → R
fonksiyonu olarak görebilece§imiz için n-boyutlu karma³k her
∞ bir manifolddur.
manifold aslnda 2n-boyutlu C
Örnek 2.1.4 (Birim Küre). Bu örnekte
Rn+1
S = {(x1 , · · · , xn+1 ) ∈ R
n
n+1
içindeki
|
n+1
∑
x2i = 1}
i=1
birim küresinin türevlenebilir bir manifold oldu§unu görece§iz. Küre Öklit uzaynn bir alt kümesi oldu§u için Hausdor ve ikinci saylabilirdir. Ayrca küre üzerindeki S = (0, · · ·
UN = S n − {N } ve US
, 0, −1) ve N = (0, · · · , 0, 1)
= S n − {S} ile tanmlanan
noktalar etrafnda
açk kümeleri birim
kürenin açk bir örtüsünü vermektedir. “imdi
φ N : UN → Rn ,
φN (x1 , · · · , xn+1 ) = (
x1
xn
,··· ,
)
1 − xn+1
1 − xn+1
65
Türevlenebilir Manifoldlar
ve
φS : US → Rn ,
φS (x1 , · · · , xn+1 ) = (
x1
xn
,··· ,
)
1 + xn+1
1 + xn+1
fonksiyonlarn tanmlayalm. Bu fonksiyonlarn terslerinin
n
φ−1
N : R → UN , y = (y1 , · · · , yn ) 7→ (
2y1
2yn
∥y∥2 − 1
,··· ,
,
)
2
2
1 + ∥y∥
1 + ∥y∥ 1 + ∥y∥2
φS−1 : Rn → US , y = (y1 , · · · , yn ) 7→ (
2y1
2yn
1 − ∥y∥2
,
·
·
·
,
,
)
1 + ∥y∥2
1 + ∥y∥2 1 + ∥y∥2
ve
oldu§u kolayca görülür. O halde,
φN
ve
φS
birim küre üzerinde iki elemanl
bir atlas olu³turur. Bu fonksiyonlar ve tersleri de§i³kenlerin rasyonel ifadeleri
olduklarndan
ve
n
n
φN ◦ φ−1
S : R − {0} −→ R − {0}
n
n
φS ◦ φ−1
N : R − {0} −→ R − {0}
koordinat dönü³üm fonksiyonlar
C ∞ 'durlar.
Dolaysyla
Sn
birim küresi
türevlenebilir manifolddur.
Örnek 2.1.5 (Projektif Uzay). Bir önceki bölümün Al³trma 13'ünde ele
ald§mz gerçel projektif düzlemin do§rudan genellemesi olan gerçel projekn+1 − {(0, · · · , 0)} uzay üzerinde ∼ denklik ba§tif uzay tanmlayaca§z. R
(x0 , · · · , xn ) ∼ (y0 , · · · , yn )'dr ancak ve an(y0 , · · · , yn ) = λ(x0 , · · · , xn ) olacak ³ekilde sfrdan farkl bir λ says
n
vardr. RP
= Rn+1 − {(0, · · · , 0)}/ ∼ ile gösterilen bölüm uzay n + 1ntsn ³u ³ekilde tanmlayalm:
cak
boyutlu Öklit uzaynda merkezden geçen do§rularn uzaydr ve gerçel projek-
(x0 , · · · , xn ) noktasnn bölüm
: · · · : xn ] ile gösterece§iz. Bölüm fonksiyo→ RP n ile gösterelim. Her i = 0, · · · , n
n
için, Ui = {[x0 , · · · , xi , · · · , xn ] ∈ RP
| xi ̸= 0} açk kümesini göstersin
−1
n+1
(π
(Ui ) ters görüntü kümesinin R
− {(0, · · · , 0)} içinde açk oldu§u kon
layca görülür). Yine RP = U0 ∪ · · · ∪ Un oldu§unu görmek kolaydr. Bu açk
tif uzay diye adlandrlr. Sfrdan farkl bir
uzayndaki denklik snfn [x0
n+1 − {(0, · · · , 0)}
nunu π : R
kümeler üzerinde koordinat sistemleri ³u ³ekilde tanmlanr:
φ i : Ui → Rn ,
φi ([x0 : · · · : xn ]) = (
x0
c
xi
xn
, · · · , , · · · ).
xi
xi
xi
(Bu gösterimde üzerinde ³apka bulunan koordinat yok saylmaktadr.) Bu fonksiyonun tersi
n
φ−1
i : R → Ui ,
(y1 , · · · , yn ) 7→ [y0 , · · · , yi−1 , 1, yi+1 · · · , yn ]
66
Türevlenebilir Manifoldlar
ile verilir. Aslnda projektif uzay ayn denklik ba§nts yardmyla birim kürenin
bir bölüm uzay olarak da görülebilir:
RP n = Sn / ∼,
ve dolaysyla projektif uzay tkzdr. Birinci Ünite'deki Al³trma 9 ve Al³trma 13 sayesinde projektif uzay Hausdor 'tur. Projektif uzayn ikinci saylabilir
oldu§u ise genel bir sonucun gere§idir: kinci saylabilir bir uzayn herhangi bir
bölüm uzay da ikinci saylabilirdir (kant tanmlardan kolayca görülür). Ayrca, küredekine benzer ³ekilde tüm koordinat sistemleri birer homeomorzmadr
∞ oldu§undan gerçel projektif uzay bir türevleneve dönü³üm fonksiyonlar C
bilir manifolddur.
Yukardaki örnekte gerçel saylar yerine karma³k saylar kullanlarak karCP n elde edilir. Hemen hemen ayn ³ekilde tanmlanm³
ma³k projektif uzay
olsalar da gerçel ve karma³k projektif uzaylar sahip olduklar geometrik ve topolojik özellikler açsndan çok farkl manifoldlardr.
Türevlenebilir manifoldlar kategorisinin morzmalar türevlenebilir fonk-
f : M → N türevlenebilir manifoldlar arasnda bir fonksiyon
m ve N n manifoldlar üzerindeki
olsun. E§er, srasyla, m ve n boyutlu M
m
n
−1 bile³ke
her φ : U → R
ve ϕ : V → R
koordinat sistemi için ϕ ◦ f ◦ φ
∞ ise f : M → N fonksiyonuna türevlenebilirdir denir. Türevlefonksiyonu C
siyonlardr:
nebilir fonksiyonlarn bile³kelerinin de türevlenebilir oldu§unun gösterilmesini
okuyucuya brakyoruz.
2.1.2
M
Te§et Uzay
türevlenebilir bir manifold,
bu noktann
p∈U
ve
p∈V
olsun. E§er bu iki fonksiyon
p∈M
bir nokta ve
f : U → R, g : V → R
gibi iki açk kom³ulu§unda tanml fonksiyonlar
p ∈ W ⊆ (U ∩ V )
gibi bir açk alt küme
üzerinde birbirine e³itse bu iki fonksiyona denktir diyece§iz. Bu ba§ntnn
p noktasndaki fonksiyon tohumlar denir ve denklik snar
kümesi Gp = {[f ] | f : U → R} ile gösterilir. Aslnda Gp gerçel saylar cismi
üzerinde bir cebir olu³turur: [f ], [g] ∈ Gp rastgele fonksiyonlarn tohumlar
denklik snarna
olmak üzere toplama ve çarpma i³lemleri
[f ] + [g] = [f|U ∩V + g|U ∩V ]
ve
[f ] · [g] = [f|U ∩V · g|U ∩V ]
ile tanmlanr. “imdi
törlerini
Gp
ko³ullar sa§layan bir
denir:
M
manifoldunun bir
p∈M
noktasndaki te§et vek-
cebiri üzerindeki derivasyonlar olarak tanmlayaca§z: A³a§daki
D : Gp → R
fonksiyonuna
Gp
üzerinde bir derivasyon
67
Türevlenebilir Manifoldlar
1. Her
[f ], [g] ∈ Gp
ve
a, b ∈ R
D(a[f ] + b[g]) = a D([f ]) + b D([g])
için
(Do§rusallk);
2. Her
[f ], [g] ∈ Gp
için
D([f ] · [g]) = f (p) D([g]) + g(p) D([f ])
(Leibniz
kural).
Manifoldun
p ∈ M
noktasndaki tüm te§et vektörlerinin (derivasyonlarn)
olu³turdu§u küme toplama ve sabit ile çarpma i³lemleri altnda bir
p∈M
uzay olu³turur. Bu uzaya manifoldun
ve
Tp M
R-vektör
noktasndaki te§et uzay denir
ile gösterilir.
Bu tanm herhangi bir koordinat sistemini kullanmad§ için teorik açdan
daha avantajl olsa da pratikte pek kullan³l de§ildir. “imdi bir koordinat
sistemi yardmyla te§et uzayna bir taban bulaca§z:
Rn
p∈U ⊆M
ve
V ⊆
açk kümeler olmak üzere φ : U → V
bir koordinat sistemi olsun.
φ(q) = (x1 (q), · · · , xn (q)), q ∈ U , ise her i = 1, · · · , n için, Di : Gp → R
derivasyonu xi
yönündeki yönlü türev yardmyla ³u ³ekilde tanmlansn:
p0 = (a1 , · · · , an ) = φ(p) olmak üzere
Di : Gp → R ,
Di ([f ]) =
∂(f ◦ φ−1 )
(p0 ) ,
∂xi
[f ] ∈ Gp .
Bunun iyi tanmlanm³ bir derivasyon oldu§unun gösterilmesini okuyucuya brakyoruz.
Önerme 2.1.6.
Kant :
{D1 , · · · , Dn }
[f ] ∈ Gp
ise
kümesi
p0 ∈ Rn
Tp M
te§et uzaynn bir tabandr.
noktas etrafnda
g = f ◦ φ−1
türevlenebilir
fonksiyonun Taylor açlmn göz önüne alalm,
g(x1 , · · · , xn ) = g(p0 ) +
n
∑
∂g
(p0 )(xi − ai )
∂xi
i=1
+
n
1 ∑ ∂2g
(ξ)(xi − ai )(xj − aj ) ,
2
∂xi ∂xj
i,j=1
ξ , p0 = (a1 , · · · , an ) ile (x1 , · · · , xn ) noktalarn birle³tiren do§ru
D ∈ Tp M bir derivasyon olsun. D(1) = D(1 · 1) =
2D(1) oldu§undan her sabit C ∈ R fonksiyonu için D(C) = 0 elde edilir.
(burada
üzerinde bir noktadr).
Yine Leibniz kuralndan dolay
D((
oldu§u görülür (burada
∂2g
(ξ)(xi − ai ))(xj − aj )) = 0
∂xi ∂xj
( ∂x∂i
2g
∂xj (ξ)(xi
− ai )
ifadesinin de türevlenebilir fonk-
siyon oldu§unu kullanyoruz; bkz. Al³trma 6). Bu durumda,
n
∑
∂g
D([f ]) =
(p0 ) D((xi − ai ))
∂xi
i=1
68
Türevlenebilir Manifoldlar
olmaldr. Di§er taraftan,
Di ([f ]) =
D=
n
∑
∂g
∂xi (p0 ) oldu§undan
D((xi − ai )) Di
i=1
e³itli§ini elde ederiz. Son olarak
{D1 , · · · , Dn }
Di ((xj − aj )) = δij
e³itli§ini kullanarak
kümesinin do§rusal ba§msz ve dolaysyla te§et uzay için bir
taban olu³turdu§unu görürüz.
2
Yukardaki sonuca göre, bir nokta etrafnda koordinat sistemi seçmek bize
o noktadaki te§et uzay için bir taban verecektir. Yukardaki te§et vektörü
gösteriminde vektörün ait oldu§u te§et uzay belirtilmemektedir; bu yüzden
Di ∈ Tp M
te§et vektörünü
∂
|p
∂xi
ile gösterece§iz. O halde, e§er
V ⊆ Rn
açk bir küme,
p∈V
ve
[f ] ∈ Gp
ise
∂f
∂
|p ([f ]) =
(p)
∂xi
∂xi
olur (burada
V
açk kümesi için koordinat sistemini birim fonksiyon olarak
alyoruz).
Φ : Rn → Rm türevlenebilir bir fonksiyon, p ∈ Rn ve q = Φ(p) olsun.
p ∈ Rn noktasnda bir D ∈ Tp Rn te§et vektörü alalm. Bu durumda, [f ] ∈ Gq
m noktasnda bir
için Φ∗ (D)([f ]) = D(f (Φ)) olarak tanmlanan ifade q ∈ R
te§et vektör tanmlar. Aslnda bu ifade bize bir do§rusal fonksiyon verir:
Φ∗ : Tp Rn → Tq Rm ,
D 7→ Φ∗ (D).
“imdi bu do§rusal fonksiyonun matris gösterimini bulalm: lk önce fonksiyonumuzun
Rn
üzerinde
(x1 , · · · , xn )
ve
Rm
üzerinde
(y1 , · · · , ym )
ile verilen
rastgele koordinat sistemleri cinsinden ifadesini
Φ(x1 , · · · , xn ) = (ϕ1 (x1 , · · · , xn ), · · · , ϕm (x1 , · · · , xn ))
olarak yazalm. Buradan
Φ∗ (
∂ϕj
∂
∂
|p )([yj ]) =
|p (yj (Φ)) =
(p)
∂xi
∂xi
∂xi
ve dolaysyla
∑ ∂ϕj
∂
∂
|p ) =
(p)
|q
∂xi
∂xi
∂yj
m
Φ∗ (
j=1
elde edilir. Son olarak, bu açlmdan
nunun
{
β=
∂
∂
|p , · · · ,
|p
∂x1
∂xn
Φ∗ : Tp Rn → Tq Rm
}
ve
′
β =
{
do§rusal fonksiyo-
∂
∂
|q , · · · ,
|q
∂y1
∂ym
}
69
Türevlenebilir Manifoldlar
sral tabanlarndaki matris gösteriminin
daki Jakobiyen matrisi,
Φ
fonksiyonunun
p ∈ Rn
noktasn-
[
]
∂ϕj
=
(p)
,
∂xi
m×n
′
[Φ∗ ]ββ
oldu§unu görürüz (Ayrca bkz. Hatrlatma 1.2.4).
Sonuç olarak,
Φ : Rn → Rm
fonksiyonu bir uzaydan di§erine noktalar
ta³rken bu fonksiyonun türevinin de o noktalardaki te§et vektörleri ta³d§n görmü³ olduk.
Φ∗
te§et fonksiyonunu
Φ′ (p), (dΦ)p
veya
(DΦ)p
ile de
gösterebiliriz.
Baz durumlarda bir fonksiyonun türevini Jakobiyen matrisi kullanmadan
hesaplamak daha pratik olabilir. Bunu açklamadan önce kolay bir gözlemde
bulunaca§z.
v ∈ Tp Rn
bir te§et vektör olsun. O halde
v=
n
∑
i=1
olacak ³ekilde
γ(t) = p + tv ,
ai ∈ R
ai
∂
|p
∂xi
katsaylar bulabiliriz. Bu durumda
fonksiyonun
t=0
noktasndaki türevi
v
γ : (−ϵ, ϵ) → Rn ,
vektörüdür:
∑
d
∂
ai
|p = v = γ ′ (0).
|0 ) =
dt
∂xi
n
D(γ)(0)(
i=1
Ayrca zincir kuralndan
(DΦ)p (v) = (Φ(γ))′ (0)
buluruz. Bu metodun neden kullan³l oldu§unu bir örnek üzerinde görelim.
2
M (n, n) = Rn ve S(n) = Rn(n+1)/2 srasyla gerçel katsayl
n×n-matrisler ve n×n simetrik matrisler uzaylarn göstersin. Φ : M (n, n) →
S(n), Φ(Q) = QT Q, fonksiyonunun Q = Id birim matrisindeki türev fonksiyo-
Örnek 2.1.7.
nunu hesaplayalm. Do§rusal bir uzayn bir noktasndaki te§et uzayn kendisi
TId M (n, n) = M (n, n)
A ∈ M (n, n) te§et vektörü
ile e³leyebiliriz. Bu durumda
alabiliriz. Herhangi bir
alarak
ve
için
TId S(n) = S(n)
γ(t) = Id + tA
Φ(γ(t)) − Φ(γ(0))
t→0
t
(DΦ)Id (A) = (Φ(γ))′ (0) = lim
ve buradan da
Id + tAT + tA + t2 AT A − Id
= A + AT
t→0
t
(DΦ)Id (A) = lim
buluruz:
(DΦ)Id : M (n, n) → S(n) , A 7→ AT + A.
(Bkz. Örnek 2.1.20)
Bundan sonra, tersi söylenmedikçe her manifold türevlenebilir bir manifold ve manifoldlar arasndaki her fonksiyon türevlenebilir bir fonksiyon olarak
kabul edilecektir.
70
Türevlenebilir Manifoldlar
2.1.3
Te§et Demeti
Herhangi bir
M
manifoldunun te§et demeti te§et uzaylarnn birle³imi olarak
tanmlanr:
T∗ M = ∪p∈M Tp M = {(p, v) | p ∈ M, v ∈ Tp M }.
π : T∗ M → M ,
manifold ise T∗ M
Te§et demetinden manifolda giden do§al iz dü³üm fonksiyonu
(p, v) 7→ p, ile tanmlanr. E§er M boyutu n olan bir
boyutu 2n olan bir manifold olur. Aslnda M
C k -snfndan bir manifold
k−1 -snfndan bir manifold olur. Te§et demeti üzerindeki maniise T∗ M C
fold yaps M 'nin koordinat sistemleri kullanlarak olu³turulur. M = ∪α Uα ,
{φα : Uα → Vα }, M manifoldunun bir atlas olsun. Yukardaki gözlemlerimizin
n üzerinde koordinat sistemi ise
³§nda (x1 , · · · , xn ) Vα ⊆ R
φ
fα : T∗ Uα → Vα × Rn ,
(p,
∑
ai
i
fonksiyonu bire bir e³leme verir.
T ∗ Uα
üzerine
M
φ
fα
fonksiyonlarn homeomor-
Uα açk kümelerinin
Rn 'nin açk kümelerinin ayrk birle³iminin
zma yapacak ³ekilde topoloji koyalm.
birle³imi olarak yazarsak manifoldu
∂
|p ) 7→ (φα (p), (a1 , · · · , an ))
∂xi
manifoldunu
bir bölüm uzay olarak görebiliriz:
M = ∪α Uα ≃ ∪˙ α Vα /x ∼ (φβ ◦ φ−1
α )(x).
Burada
'≃'
i³areti ile homeomorzma (aslnda difeomorzma) gösterilmek-
(p, v) ∈ T∗ M noktas için (p, v) ∈ T∗ Uα ∩ T∗ Uβ
ve φ
fα (p, v) = (φα (p), wα ), φ
fβ (p, v) = (φβ (p), wβ ) olmak üzere D(φβ ◦
n
φ−1
)
(w
)
=
w
oldu§undan
te§et demetini Vα × R 'larn ayrk birle³iα
β
φ
(p)
α
α
tedir. Di§er taraftan, bir
minin bir bölüm uzay olarak yazabiliriz:
T∗ M = ∪α T∗ Uα ≃ ∪˙ α Vα × Rn /(x, wα ) ∼ ((φβ ◦ φ−1
α )(x), wβ ),
(henüz te§et demeti üzerinde türevlenebilir yap koymad§mz için
'≃'
ile
sadece homeomorzma kastedilmi³tir). Te§et demeti bu koordinat sistemlerinin
olu³turdu§u
{f
φα : T∗ Uα → Vα ×Rn }
atlas ile türevlenebilir bir manifold olur.
Bu atlas olu³turan koordinat sistemleri, manifoldun koordinat fonksiyonlar ve
onlarn türevlerinden olu³tu§u için
C k -snfndan bir manifoldun te§et demeti
f : M → N türevlenebilir manifoldlarn
T∗ M → T∗ N , (p, v) 7→ (f (p), (Df )p (v)),
C k−1 -snfndan olur. Benzer ³ekilde,
C k -snfndan bir fonksiyonu ise f∗ :
k−1 -snfndan olur.
fonksiyonu da C
Her
genelde
W ⊆ Uα açk kümesi için π −1 (W ) = W × Rn olmasna ra§men
T∗ M = π −1 (M ) M × Rn Kartezyen çarpmna difeomork de§ildir.
Al³trma 17 de bir çarpm manifoldunun te§et uzaynn, çarpmn olu³turan
manifoldlarn te§et uzaylarnn kartezyen çarpm oldu§u gösterilmektedir.
71
Türevlenebilir Manifoldlar
Tanm 2.1.8. 1)
idY
π:X→Y
ko³ulunu sa§layan her
kümeler arasnda örten bir fonksiyon ise
s : Y → X
fonksiyonuna
π : X → Y
π ◦s =
bölüm
fonksiyonunun bir kesiti denir.
2)
M
π : T∗ M → M
bir manifold olmak üzere
fonksiyonunun her kesitine
M
te§et demeti iz dü³üm
manifoldu üzerinde bir vektör alan denir.
Demetin herhangi bir kesiti
s : M → T∗ M , p 7→ (p, f (p)) , p ∈ M,
³eklinde verilsin. Genellikle, gösterimi kötü kullanarak kesitin ilk koordinatn
görmezden gelece§iz kesiti sadece
p 7→ f (p)
olarak yazaca§z.
M = R2 manifoldu üzerinde her vektör alan A(p) = A(x, y)
B(p) = B(x, y) türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere
Örnek 2.1.9.
ve
X(p) = A(p)
X(x, y) = x
∂
∂
|p dönel
−y ∂x |p + x ∂y
³eklindedir.
∂
∂x |p
+y
∂
∂
|p + B(p)
|p
∂x
∂y
∂
∂y |p
merkezcil vektör alanyken
Y (x, y) =
bir vektör alandr.
“ekil 2.1: Düzlem üzerindeki alanlarn birim çembere kstlan³lar
Yukardaki örnek vektör alanlarnn bir koordinat sisteminde nasl görün-
M = ∪α Uα , {φα : Uα → Vα }, M manifoldunun bir
atlas ve s : M → T∗ M bir kesiti (vektör alan) olsun. sα : Vα → T∗ Vα bu
−1
kesitin Vα koordinat sistemindeki ifadesi ise her α, β için, ϕij = φβ ◦ φα
dü§ünü göstermektedir.
olmak üzere
sβ (ϕij (x)) = (Dϕij )x (sα (x))
e³itli§i sa§lanr. Di§er taraftan bu e³itlikleri sa§layan her
toplulu§u manifold üzerinde bir vektör alan belirler.
{sα : Vα → T∗ Vα }
72
Türevlenebilir Manifoldlar
Örnek 2.1.10. 1) Örnek 2.1.5'te ele ald§mz gerçel projektif do§ru iki gerçel
say do§rusunun ayrk birle³iminin bir bölüm uzay olarak yazlabilir:
RP 1 = R ∪˙ R /x ∼ ϕ(x) = 1/x,
x ∈ R − {0}.
O halde, te§et demetini de
T∗ RP 1 = T∗ R ∪˙ T∗ R /(x, v) ∼ (ϕ(x), ϕ′ (x)(v)) = (1/x, −v/x2 ),
(x, v) ∈ R − {0} × R = T∗ (R − {0}), ³eklinde ifade edebiliriz. π : T∗ RP 1 →
RP 1 , [x, v] 7→ [x], te§et demetinin iz dü³üm fonksiyonu olsun. Birinci ve ikinci
koordinat sistemi üzerinde tanmlanan
s1 (x) = (x,
1 + x2
)
2
s2 (x) = (x, −
ve
1 + x2
)
2
yerel kesitlerini dü³ünelim. Gösterimi kötü kullanarak kesitleri
s1 (x) =
1 + x2
2
olarak yazarsak
s2 (x) = −
ve
1 + x2
2
1
s1 (x)
x2
1
1
üzerinde bir s : RP → T∗ RP
s2 (1/x) = −
oldu§undan bu iki yerel kesit
RP 1
kesiti verir
(bkz. Tanm 2.1.8). Dikkat edilirse bu kesitin hiçbir noktada sfr olmad§n
görürüz.
E§er
P : RP 1 × R → RP 1 , ([x], w) 7→ [x],
F : RP 1 × R → T∗ RP 1 ,
ile tanmlanan fonksiyonlar ise
ve
([x], w) 7→ w s([x])
P ([x], w) = π(F ([x], w)) olur. Burada F
{[x]} × R line kstlan³ da
fonksiyonu difeomorzma olmakla beraber, her
do§rusal bir izomorzmadr. O halde, gerçel projektif uzayn te§et demeti bir
çarpm olarak ifade edilebilir.
2) Yukardakine benzer bir ³ekilde karma³k projektif do§runun (karma³k)
te§et demetini de in³a edebiliriz
T∗ CP 1 = T∗ C ∪˙ T∗ C /(x, v) ∼ (ϕ(x), ϕ′ (x)(v)) = (1/x, −v/x2 ),
(x, v) ∈ C − {0} × C = T∗ (C − {0})
(C
R2 yazarak gerçel te§et
1
1
demetinin ifadesini elde edebiliriz). Fakat bu sefer s : CP → T∗ CP
vektör
1+x2
alannn iki tane sfr olacaktr (s1 (x) = −s2 (x) =
polinomlarnn i
2
ve −i olmak üzere iki tane ortak kökü vardr ve 1/i = −i dir). Dolaysyla
yerine
bu te§et demetini, olu³turdu§umuz vektör alann kullanarak bir çarpm olarak
1
2
yazamayz. Aslnda, S = CP projektif uzaynn te§et demetini bir çarpm
olarak yazamamann çok hakl sebepleri vardr. (Bkz. Hatrlatma 5.3.1 (2)
ve
Örnek 5.3.2 (2))
Yukardaki örne§in ilk bölümünde oldu§u gibi te§et demeti çarpm ³eklinde
yazlabilen manifoldlara paralellenebilir manifoldlar denir.
73
Türevlenebilir Manifoldlar
“ekil 2.2:
X1
180◦ -döndürme
◦
üzerinde de 120 -
üzerinde
ile Z2 ve X2
döndürme ile Z3 etkisi vardr. Ayrca
her iki etkinin de bölüm uzay
X1 /Z2 ≃ Y ≃ X2 /Z3
Y 'dir:
“ekil 2.3: Sa§daki örtü uzay soldaki
örtü uzayndan ³i³irilerek elde edilen
iki boyutlu manifoldlarn bir örtü uzaydr. Graarn yüzeylere gömülmü³ oldu§una dikkat ediniz!
2.1.4
X, Y
Bölüm Manifoldlar
olsun. Herhangi bir
her
P : X → Y bu iki uzay arasnda sürekli bir fonksiyon
U ⊆ Y açk kümesinin P −1 (U ) ters görüntü kümesi,
: Vα → U bir homeomozma olacak ³ekilde,
topolojik uzay ve
α∈Λ
için
P|Vα
P −1 (U ) = ∪α∈Λ Vα
bir ayrk birle³imi olarak yazlabiliyorsa
U
fonksiyonu ile tamamen örtülür denir. E§er
bir birle³imi ise
P :X→Y
X
uzayna
Y
açk kümesine
Y
P : X → Y
uzay bu tür açk kümelerin
uzaynn bir topolojik örtü uzay (örtüsü) ve
fonksiyonuna da bir örtü fonksiyonu denir.
Hatrlatma 2.1.11. Yukardaki tanmdan kolayca görülece§i gibi e§er
P :
−1 (y)|, y ∈ Y , (y noktasnn
bir örtü fonksiyonu ise, y 7→ |P
−1 (y), kardinalitesi) fonksiyonu yerel sabit bir fonksiyondur.
üzerindeki lin, P
X → Y
Dolaysyla, e§er
Y
ba§lantl bir uzay ise her noktann üzerindeki lin kar-
dinalitesi ayndr. E§er bu kardinalite sonlu bir say ise bu sayya örtünün
derecesi denir.
Örnek 2.1.12. “ekil 2.2 ve “ekil 2.3'de iki çemberin tek nokta birle³iminin
derecesi iki ve üç olan örtü uzaylarna örnekler verilmi³tir. lk ³ekildeki örtü
uzaylar bir grup etkisinin bölüm uzay olarak yazlabilirse de ikinci ³ekildeki örnekler için bu do§ru de§ildir! Verilen topolojik bir uzayn örtü uzaylar
tamamen bu uzayn temel grubu tarafndan belirlenir ve cisim geni³lemelerinin snandrlmas olarak görülebilecek Galois teoriye çok benzerdir (bkz. [18]
s.56).
Herhangi bir
M
manifoldunun difeomorzmalar kümesi
Dif f (M ) = {f : M → M | f
bir difeomorzmadr}
74
Türevlenebilir Manifoldlar
fonksiyonlarn bile³ke operasyonu altnda bir grup olu³tururlar.
p∈M
p∈U ⊆M
morzma grubunun bir alt grubu olsun. E§er her
için
G bu difeoidG ̸= g ∈ G
g(U ) ∩ U = ∅ olacak ³ekilde
bir açk kom³ulu§u
varsa G grubu M manifoldu üzerinde düzgün süreksiz etki ediyor denir (her
ne kadar her g ∈ G için g : M → M , x 7→ g(x), türevlenebilir bir fonksiyon
olmak üzere
olsa da). Bu ko³ulu sa§layan açk kom³uluklara iyi kom³uluklar denir.
Önerme 2.1.13. E§er bir
G ⊆ Dif f (M )
alt gurubunun
M
manifoldu
üzerindeki etkisi düzgün süreksiz ise bu etki serbest bir etkidir. Ayrca hiç bir
yörüngenin y§lma noktas yoktur ve dolaysyla, her yörünge manifold içinde
kapaldr.
Kant: Etkinin serbest oldu§u düzgün süreksiz etki tanmndan açktr.
“imdi de önermede iddia edilenin tersine manifoldun bir
nn
G·p
q ∈ M
noktas-
gibi bir yörüngesinin y§lma noktas oldu§unu kabul edelim. Etki
g(V ) ∩ V = ∅ olacak ³ekilde bir q ∈ V ⊆ M açk kümesi vardr. q ∈ M noktasna yaknsayan bir
(gn (p)) ⊆ G · p dizisi alalm. O halde, her n ≥ n0 için gn (p) ∈ V olacak
³ekilde bir n0 pozitif tam says vardr. Bu durumda, gn0 (p), gn0 +1 (p) ∈ V
−1
−1
ve dolaysyla gn0 +1 (p) = (gn0 +1 gn )(gn0 (p)) ∈ V ∩ (gn0 +1 gn )(V ) olur. O
0
0
−1
halde, V ∩ (gn0 +1 gn )(V ) ̸= ∅ çeli³kisini elde etmi³ olduk. Y§lma noktas
0
olmayan her küme kapal olaca§ndan her yörünge kapaldr. 2
Yukardaki gösterimi kullanarak devam edelim. E§er G grubu sonlu ise
Ünite 1, Al³trma 9'un sonucuna göre M/G bölüm uzay da Hausdor 'tur.
E§er G grubunun etkisi düzgün süreksiz ve M/G bölüm uzay Hausdor
ise bölüm uzay üzerinde do§al bir türevlenebilir manifold yaps vardr (M
ikinci saylabilir oldu§u için her bölüm uzay da ikinci saylabilirdir): π : M →
M/G, x 7→ π(x) = [x], bölüm uzay fonksiyonu olsun. E§er p ∈ M ise bu
nokta etrafnda bir p ∈ U iyi kom³ulu§u alalm. Bu durumda π|U : U → π(U )
bir homeomorzma olur. U kom³ulu§unu gerekirse biraz küçülterek φU : U →
Rn gibi bir koordinat fonksiyonun tanm kümesi oldu§unu kabul edebiliriz.
E§er U ve V
π(U ) ∩ π(V ) ̸= ∅ ko³ulunu sa§layan iki iyi kom³uluk ise
gU,V (U ) ∩ V ̸= ∅ ve π|−1
◦ π|U = gU,V olacak ³ekilde tek bir gU,V ∈ G vardr.
V
düzgün süreksiz oldu§undan her
g ∈ G
O halde, bile³ke fonksiyonlardan olu³an
ailesi
M/G
yukardaki
için,
{(ϕπ(U ) = φU ◦ π|−1
: π(U ) → Rn )}
U
bölüm uzay üzerinde türevlenebilir bir atlas verir. Gerçekten de
U, V
φU ◦ gV,U ◦ φ−1
V
açk kümeleri için
fonksiyonu
−1
−1
ϕπ(U ) ◦ ϕ−1
π(V ) = φU ◦ π|U ◦ π|V ◦ φV =
C ∞ -snfndandr.
G = Z × Z de§i³meli grubu düzlem üzerine ³u ³ekilde etki
G × R2 → R2 , (m, n) · (x, y) = (x + m, y + n). Bu etkinin serbest, düzgün
Örnek 2.1.14. 1)
etsin:
süreksiz ve bölüm uzaynn da Hausdor oldu§u kolayca görülür. Daha sonra
bu etkinin bölüm uzay üzerinde vermi³ oldu§u do§al türevlenebilir manifold
2
yapsnn torusa, T , difeomork oldu§unu gösteriniz.
2
2) G = Z de§i³meli grubu C − {(0, 0)} manifolduna ³u ³ekilde etki etsin:
75
Türevlenebilir Manifoldlar
Her
n∈Z
(z1 , z2 ) ∈ C2 − {(0, 0)}
ve
için
n · (z1 , z2 ) = (2n z1 , 2n z2 ) .
Bu etkinin de serbest ve düzgün süreksiz oldu§u kolayca görülür. Ayrca bölüm
uzay do§al olarak bir karma³k manifold olur. Ayrca
C2 − {(0, 0)}/Z → S 3 × S 1 , (z1 , z2 ) 7→ (
(z1 , z2 )
, e2πi log2 ∥(z1 ,z2 )∥ )
∥(z1 , z2 )∥
3
1 manifolduna bir difeomorzma
fonksiyonu bu karma³k manifolddan S × S
3
1 türevlenebilir manifoldu ayn zamanda bir
verir. Ba³ka bir deyi³le, S × S
karma³k manifolddur.
leride bu karma³k manifoldun
CN
içine karma³k alt manifold olarak
gömülemeyece§ini görece§iz (bkz. Örnek 2.3.24). Di§er taraftan, bu manifolN
dun CP
içine karma³k alt manifold olarak gömülememesi ise De Rham
kohomoloji bölümünde ele alnacaktr (bkz. Örnek 4.3.10'de).
2.1.5
Rank Teoremleri
f :M →N
p∈M
(Df )p : Tp M → Tf (p) N do§rusal fonksiyonu bire
ise f fonksiyonu p ∈ M noktasnda bir batrma
türevlenebilir manifoldlarn bir fonksiyonu ve
ta olsun. E§er
³ekilde, örten)
bir nokbir (ayn
(ayn ³e-
kilde, örtme) fonksiyonudur denir. E§er fonksiyon manifoldun her noktasnda
batrma (örtme) fonksiyonu ise fonksiyona ksaca batrma (örtme) fonksiyonudur denir. E§er
f :M →N
fonksiyonu bire bir batrma fonksiyonu ise bu
fonksiyona bir alt manifold denir. Bu bire bir batrma fonksiyonu (alt manifold) ayn zamanda görüntüsü üzerine bir homeomorzma ise bu fonksiyona
(türevlenebilir ) gömme fonksiyonu denir. Ba³ka bir deyi³le, türevlenebilir bir
fonksiyon hem topolojik gömme fonksiyonu hem de batrma fonksiyonu ise
bu fonksiyon türevlenebilir gömme fonksiyonu olur. Gömme fonksiyonlarnn
görüntüleri kapal bir alt uzay olaca§ndan
f (M )
görüntü kümesine
N
alt
manifoldunun kapal bir alt manifoldu da denir. Kapal alt manifoldlarn bir
ba³ka karakterizasyonunu Sonuç 2.1.18'de görece§iz.
(Df )p : Tp M → Tf (p) N türev fonksiyonu
örten de§ilse bu noktaya f : M → N fonksiyonunun bir kritik noktas ve
f (p) ∈ N de§erine de bu fonksiyonun bir kritik de§eri denir. N manifoldu içinde bu fonksiyonun kritik de§eri olmayan noktalara ise f : M → N
E§er bir
p∈M
noktasnda
fonksiyonunun bir düzgün de§eri denir.
Hatrlatma 2.1.15. 1) Te§et uzaylarnn boyutlarn kar³la³trarak bir
M →N
bir batrma fonksiyonu için
siyonu için
dim(M ) ≤ dim(N )
ve bir örtme fonk-
oldu§unu görürüz.
N herhangi bir manifold ve M tkz bir manifold ise her
f : M → N fonksiyonu bir topolojik gömme fonksiyonudur.
2)
bir
dim(M ) ≥ dim(N )
f :
sürekli bire
76
Türevlenebilir Manifoldlar
Örnek 2.1.16. 1)
m≥n∈Z
iki tamsay olmak üzere
F : Rm → Rn , (x1 , · · · , xm ) 7→ (x1 · · · , xn ) ,
ile verilen fonksiyona standart örtme fonksiyonu,
(x1 , · · · , xm ) 7→ (x1 · · · , xm , 0 · · · , 0)
ise
batrma fonksiyonu denir.
2
2) f : R → R , t 7→
fakat
3)
f (t) = (t2 , t3 )
n≥m
olmas durumunda
ile verilen fonksiyona da standart
topolojik bir gömme fonksiyonudur
t = 0 noktasnda ne batrma ne de örtme fonksiyonudur.
f : R → R2 , t 7→ f (t) = (et cos t, et sin t) bire bir batrma fonksiyonudur
fakat bir gömme fonksiyonu de§ildir, çünkü görüntü kümesi düzlemin kapal bir
alt kümesi de§ildir.
4) A³a§da görüntüsü ile verilen
f : R → R2
fonksiyonu yine bire bir
batrma fonksiyonudur fakat bir (topolojik) gömme fonksiyonu de§ildir. (Bu
fonksiyonu bir homeomorzma yapacak ³ekilde tanm kümesi üzerine konan
topolojinin Bölüm 1'deki Örnek 1.1.17'de
R
üzerine koydu§umuz
τ2
topolojisi
oldu§unu gösteriniz. Dolaysyla bu topoloji metriklenebilirdir. (Bkz. Bölüm 1,
Al³trma 20.))
“ekil 2.4: Gömme fonksiyonu olmayan 1-1 batrma fonksiyonu
5) Ünite 1, Al³trma 13'de verilen topolojik gömme fonksiyonu,
(x2 + yz, y 2 , xy, zx),
aslnda projektif düzlemin
R4
F (x, y, z) =
içine türevlenebilir bir gö-
mülmesini verir.
6)
MB
Möbius “eridi'ni bir bölüm manifoldu olarak görebiliriz:
R × (0, 1)/(x, y) ∼ (x + 1, 1 − y).
P : R × (0, 1) → M B bölüm fonksiyonu ise,
2
fonksiyonu için f = g ◦ P : R × (0, 1) → R
sa§lar: Her (x, y) ∈ R × (0, 1) için
Bu durumda, e§er
bilir
g : M B → R2
fonksiyonu ³unu
f (x, y) = f (x + 1, 1 − y) .
her türevlenetürevlenebilir
77
Türevlenebilir Manifoldlar
Ba³ka bir deyi³le,
f
fonksiyonu ve
L : R2 → R2 , (x, y) 7→ (x + 1, 1 − y),
f = f ◦ L olur. det(DL) = −1 oldu§undan her (x, y) için
det(Df(x,y) ) = − det(Df(x+1,1−y) ) olur. Bu durumda, R × (0, 1) ba§lantl
oldu§undan det(Df(x,y) ) fonksiyonunun sfr oldu§u noktalar vardr. O halde,
g bir batrma fonksiyonu olamaz. Ba³ka bir deyi³le Möbius “eridi düzleme batdönü³ümü için
rlamaz ve dolaysyla düzleme gömülemez. Di§er taraftan, Al³trma 9 Möbius
3 içine bir gömülmesini verir.
“eridi'nin R
7) Tkz bir uzay üzerindeki gerçel de§erli her fonksiyonun bir en büyük
ve bir de en küçük de§eri vardr. Dolaysyla, türevlenebilir tkz bir manifold
üzerindeki her türevlenebilir gerçel de§erli fonksiyonun en az iki tekil noktas
vardr (aslnda bu noktalarda türev fonksiyonu tamamen sfrdr). Bu durumda
n-boyutlu tkz türevlenebilir bir M manifoldu üzerinde tanml türevlenebilir
n fonksiyonunun da en az iki tekil noktas vardr. Bunu
her f : M → R
n vektörü ekleyerek f (M )
görmek için ilk önce bu fonksiyona sabit bir v ∈ R
kümesinin orijini içermedi§ini kabul edelim (manifoldun tkz oldu§unu burada
da kullanyoruz). “imdi
M → R, p 7→ ∥f (p)∥2 , p ∈ M,
bile³kesini dü³ünelim. Bu fonksiyonun türevini yazarsak bile³ke fonksiyonunun
n
en büyük ve en küçük de§erlerini ald§ noktalarn, aslnda f : M → R
n
fonksiyonunun da tekil noktalar oldu§unu görürüz. Sonuç olarak f : M → R
fonksiyonu bir batrma fonksiyonu olamaz ve dolaysyla
M
kendisi ile ayn
boyutlu Öklit uzayna batrlamaz.
A³a§daki teorem her batrma ve örtme fonksiyonun uygun bir koordinat
sisteminde standart hale geldi§ini göstermektedir.
f : M → N , srasyla m ve n boyutlu, manifoldlarn bir
fonksiyonu olsun. E§er f fonksiyonu bir p ∈ M noktasnda örtme fonksiyonu
ise p ∈ M ve q = f (p) ∈ N noktalar etrafnda öyle
Teorem 2.1.17.
φ1 : U1 → V1
φ2 : U2 → V2
ve
koordinat sistemleri bulabiliriz ki (V1 ⊆ R
φ2 ◦ f ◦ φ−1
1 : V1 → V2 fonksiyonu (x1 , · · ·
standart örtme fonksiyonu olur.
V2 ⊆ Rn olmak üzere)
, xm ) 7→ (x1 · · · , xn ) ile verilen
m
ve
Benzer ³ekilde, e§er f fonksiyonu p ∈ M noktasnda bir batrma fonkφ2 ◦ f ◦ φ−1
: V1 → V2 bile³ke fonksiyonu (x1 , · · · , xm ) 7→
1
(x1 · · · , xm , 0, · · · , 0) ile verilen standart batrma fonksiyonu olacak ³ekilde
siyonu ise
koordinat sistemleri seçebiliriz.
Kant : Her iki ksmn kantlar benzer oldu§u için sadece birinci ksmn
kantn verece§iz. lk önce
p ∈ M
ve
q = f (p) ∈ N
noktalar etrafnda
78
Türevlenebilir Manifoldlar
rastgele
φ1 : U1 → V1
ve
φ2 : U2 → V2 gibi iki koordinat
Rm → Rm , x 7→ x − p,
Bu koordinat sistemlerinin, srasyla,
sitemi seçelim.
ve
Rn → Rn ,
y 7→ y − q do§rusal öteleme fonksiyonlar ile uygun ³ekilde bile³kesini alarak
φ1 (p) = 0 ∈ Rm ve φ2 (q) = 0 ∈ Rn oldu§unu kabul edebiliriz. g = φ2 ◦f ◦φ−1
1
m → T Rn matrisi kabul gere§i örten oldu§u için
fonksiyonu olsun. (Dg)0 : T0 R
0
bu matrisi uygun taban de§i³tirme matrisleriyle çarparak (dolaysyla do§rusal
(Dg)0 (ei ) = fi , i = 1, · · · , n, ve (Dg)0 (ei ) =
0, i = n + 1, · · · , m oldu§unu kabul edebiliriz. Burada {e1 , · · · , em }, Rm 'nin,
n
ve {f1 , · · · , fn }, R 'nin standart tabann göstermektedir. O halde x1 , · · · , xm
ve y1 , · · · , yn elde edilen yeni koordinat sistemleri olmak üzere i = 1, · · · , n
koordinat de§i³iklikleri yaparak)
için
(Dg)0 (
ve
i = n + 1, · · · , m
∂
∂
|0 ) =
|0
∂xi
∂yi
için de
(Dg)0 (
∂
|0 ) = 0
∂xi
G : Rm → Rn+(m−n) , G(x1 , · · · , xm ) = (g(x1 , · · · , xm ), xn+1 , · · · , xm )
ile tanmlanan fonksiyon olsun. Bu durumda (DG)0 = Id, birim matrisi olur
ve dolaysyla Ters Fonksiyon Teoremi'ne göre G fonksiyonu x = 0 noktas
etrafnda bir difeomorzmadr. O halde, G(x1 , · · · , xm ) = (g1 , · · · , gm ) fonkn+(m−n) üzerinde (sfr noktas etrafnda yerel) yeni bir koordinat sisiyonu R
stemi verir. Bu yeni koordinatlar tekrar yi ile gösterelim: yi = gi (x1 , · · · , xm ),
ve i = n + 1, · · · , m için yi = gi (x1 , · · · , xm ) = xi . Son olarak φ1 koordinat
sistemini ϕ = G ◦ φ1 ile de§i³tirirsek
olur.
−1
φ2 ◦ f ◦ ϕ−1 = φ2 ◦ f ◦ φ−1
= g ◦ G−1
1 ◦G
elde ederiz. Buna göre
−1
φ2 ◦ f ◦ ϕ−1
1 (y1 , · · · , yn , · · · , ym ) = g(G (y1 , · · · , ym ))
= g(x1 , · · · , xm ) = (y1 , · · · , yn )
elde edilir.
2
Yukardaki teorem bize alt manifold elde etmenin iki yolunu sunmaktadr.
Sonuç 2.1.18.
görüntü kümesi
her
p∈M
f : Ll → N n bir gömme fonksiyonu ve dolaysyla M = f (L)
N 'nin l-boyutlu kapal bir alt manifoldu olsun. Bu durumda
noktas etrafnda,
M ∩ U = {q ∈ U | xl+1 (q) = · · · = xn (q) = 0}
olacak ³ekilde bir
p∈U ⊆N
açk kümesi ve
φ : U → V ⊆ Rn , q 7→ (x1 (q), · · · , xn (q)),
79
Türevlenebilir Manifoldlar
bir koordinat sistemi vardr. Ayrca,
ve
f :L→M
M l-boyutlu türevlenebilir bir manifolddur
bir difeomorzmadr.
Di§er taraftan, yerel olarak yukardaki ³ekilde ifade edilebilen her kapal
M ⊆N
alt kümesi l-boyutlu bir manifolddur ve bu durumda
M ,→ N
içerme
fonksiyonu bir gömme fonksiyonudur.
Kant : Batrma fonksiyonunun tanmn kullanarak verilen herhangi bir
p0 ∈ L
p = f (p0 ) ∈ N noktalar etrafnda öyle p0 ∈ U0 ⊆ L ve p ∈ U ⊆ N
φ : U → V ⊆ Rn , q 7→ (x1 (q), · · · , xn (q)), koordinat sistemi
ve
açk kümeleri ve
bulabiliriz ki
f (U0 ) = {q ∈ U | xl+1 (q) = · · · = xn (q) = 0} ⊆ M ∩ U
olur. Di§er taraftan,
kümesi
M
f :L→M
bir homeomorzma oldu§undan
f (U0 )
alt
alt uzay içinde açk bir kümedir. Dolaysyla, alt uzay topolojisinin
tanmndan öyle bir
W ⊆N
açk kümesi vardr ki
f (U0 ) = W ∩ M
olur. Ba³ka
bir deyi³le,
f (U0 ) = {q ∈ U | xl+1 (q) = · · · = xn (q) = 0} = M ∩ (U ∩ W )
elde ederiz ve böylece ilk ksmn kant tamamlanr. Di§er iddialarn do§rulu§u
2
tanmlardan kolayca görülür.
f : M m → N n fonksiyonunun q ∈ N gibi
−1 (q) ters görüntü kümesi
bir düzgün de§erini alalm. Bu durumda L = f
M 'nin l = (m − n)-boyutlu bir alt manifoldudur. Ayrca her p ∈ L için
Tp L = ker((Df )p : Tp M → Tq N ) olur.
Sonuç 2.1.19. Herhangi bir
Kant : Yukardaki teoremi (ve kantn) kullanarak
q ∈ N
p ∈ M
noktalar etrafnda öyle koordinat sistemleri seçelim ki
ve
f
f (p) =
bu yerel
(x1 , · · · , xn , · · · , xm ) 7→ (x1 , · · · , xn ) ile verilsin. O halde, bu
−1 (q) kümesi {(0, · · · , 0, x
koordinat sistemlerinde f
n+1 , · · · , xm )} olarak
gözükür ve te§et uzay da iddia edildi§i gibidir. 2
koordinatlarda
Örnek 2.1.20. Burada Örnek 2.1.7'de ele ald§mz
Φ(Q) = QT Q
fonksiyonunun her
Q ∈ GL(n, R)
Φ : M (n, n) → S(n),
noktasnda bir örtme fonk-
siyonu oldu§unu gösterece§iz. Bu fonksiyonun birim matristeki türevi (DΦ)Id :
M (n, n) → S(n) , A 7→ AT +A olarak hesaplanm³t. Bu türev fonksiyonun örT
ten oldu§u kolayca görülür, çünkü her simetrik C matrisi C = C/2+C /2 =
(DΦ)Id (C/2)
olarak yazlr. Benzer ³ekilde bu fonksiyonun herhangi bir
Q
noktasndaki türevi
(DΦ)Q : M (n, n) → S(n) ,
ile verilir. Bunun,
Q ∈ GL(n, R)
A 7→ QT A + AT Q
olmak üzere, örten oldu§unun gösterilmesini
okuyucuya al³trma olarak brakyoruz. Dolaysyla,
açk alt kümesine kstlan³,
Φ| : GL(n, R) → S(n),
Φ
fonksiyonun
GL(n, R)
bir örtme fonksiyonudur.
80
Türevlenebilir Manifoldlar
−1
matrisler kümesi, O(n) = Φ (Id), tüm n × n2
n
matrisler uzay içinde ki, bu R
den ba³ka bir ³ey de§ildir, dim(GL(n, R)) −
dim(S(n)) = n2 − n(n + 1)/2 = n(n − 1)/2-boyutlu bir alt manifolddur ve birim
n × n-ortogonal
O halde,
TId O(n)
matristeki
te§et uzay,
ker((DΦ)Id ) = {A ∈ M (n, n) | AT + A = 0},
ters simetrik matrisler uzay ile e³lenebilir. Birinci bölümün sonunda yer alan
SO(n)
Al³trma 28 bu manifoldun biri
olan iki ba§lantl bile³enden olu³tu§u-
nu göstermektedir.
2.2
Manifoldlarn Gömülmesi
Öklit uzay ve her alt uzay Hausdor ve ikinci saylabilirdir. Bu bölümde boyutu
n
olan türevlenebilir bir
M
manifoldunun, temelde Hausdor ve ikin-
R2n+1
ci saylabilir olmasn kullanarak,
içine gömülebilece§ini gösterece§iz.
Sard teoreminin etkili bir ³ekilde kullanld§ kant ayrca a³a§da bahsedece§imiz birimin ayr³mn da kullanmaktadr. Aslnda
n
boyutlu bir manifold
R2n içine de gömülebilir fakat bunun kant bu kitabn kapsam d³nda kalan
topolojik kirler gerektirmektedir.
2.2.1
Birimin Ayr³m
{Uα }α∈λ
M manifoldunun bir açk örtüsü olsun. A³a§daki ko³ullar
{ρλ : M → [0, 1]}λ∈Λ türevlenebilir fonksiyonlar ailesine M
manifoldunun {Uα }α∈Λ açk örtüsü ile uyumlu bir birimin ayr³m denir:
1) Her λ ∈ Λ için {p ∈ M | ρλ (p) ̸= 0} ⊆ Uα olacak ³ekilde bir α ∈ Λ
ailesine
sa§layan bir
vardr;
p ∈ M noktasnn
V ∩ {p ∈ M | ρλ (p) =
̸ 0} ̸= ∅
2) Her
p ∈ V
öyle bir
açk kom³ulu§u vardr ki
olacak ³ekilde sadece sonlu sayda
λ ∈ Λ
eleman vardr;
3) Her
p∈M
noktas için
∑
ρλ (p) = 1.
λ∈Λ
Yukardaki toplamn endeks kümesi sonsuz dahi olsa
(2)
ko³ulundan dolay
aslnda bu bir sonlu toplamdr.
A³a§daki sonuç kendi ba³na da anlaml olmakla beraber birimin ayr³mnn varlk teoreminin önemli bir parçasdr.
Yardmc Teorem 2.2.1. Ba§lantl her
n ∈ N,
olacak ³ekilde saylabilir bir
olarak yazlabilir:
(Kn )
M
manifoldu
Kn ⊆
Int(Kn+1 ),
tkz alt kümeler dizisinin birle³imi
M = ∪∞
n=1 Kn .
81
Manifoldlarn Gömülmesi
Kant :
p∈M
β
ile
M
manifoldunun saylabilir bir tabann gösterelim. Her
p∈U ∈β
noktas etrafnda bir
açk kom³ulu§u seçelim. Manifoldlar
yerel olarak bir Öklit uzay oldu§undan gerekirse bu kom³ulu§u daha küçük bir
U
kom³uluk ile de§i³tirerek
kabul edebiliriz.
β
açk kümesinin kapan³nn,
kümeleri bir dizi olarak görebiliriz:
(Kn )
U n,
tkz oldu§unu
saylabilir bir küme oldu§u için bu ³ekilde elde edilen açk
(Un ). Bu durumda M = ∪n Un olur. “imdi
K1 = U 1 alalm. K1 ∪ U 2 tkz
tkz alt küme dizisini kurabiliriz:
kümesini sonlu sayda
kapan³larnn birle³imi
tkz kümesi
Km ∪ U m
Un1 , · · · , Unk1 açk kümesi ile örtelim. Bu kümelerin
K2 olsun: K2 = U n1 ∪· · ·∪U nk1 . Benzer ³ekilde Km+1
tkz kümesini örten sonlu saydaki Unm , · · · , Unk
m
açk kümelerinin kapan³larnn birle³imi olsun. Bu dizinin istenilen ko³ullar
sa§lad§ kolayca görülür.
2
Hatrlatma 2.2.2. E§er
için
Kn = M
M
manifoldu tkz ise
K0 = ∅
ve her
n≥1∈N
alabiliriz.
Teorem 2.2.3. Ba§lantl bir
M
{Uα }α∈∆
açk
oldu§u kolayca görülür.
M =
manifoldunun verilen her
örtüsü ile uyumlu bir birimin ayr³m vardr.
{
Kant :
f (x) =
ile tanmlanan
∫∞
−∞ f (t)
dt
f :R→R
−1
e x2
0
+
−1
(x−1)2
fonksiyonun
, x ∈ (0, 1)
, x∈
̸ (0, 1)
C∞
olmak üzere
g(x) =
1
M
∫
x
f (t) dt
−∞
³eklinde tanmlanan fonksiyonun gra§i a³a§daki gibidir. Son olarak
η(x) = g(x) g(3 − x)
0 ≤ η(x) ≤ 1, x ∈ R, η(x) = 0, x ̸∈ (0, 3), ve
η(x) = 1, x ∈ [1, 2] olur.
Br = {x ∈ Rn | ∥x∥2 < r} ile yarçap r > 0 olan açk yuvar gösterelim.
n
2
∞
O halde, ρ : R → R, ρ(x) = η(∥x∥ + 1), ile tanmlanan C -fonksiyonu B1
üzerinde sabit bir de§erini alrken, B2 yuvarnn d³nda sfr de§erini alacaktr.
“imdi {Uα }α∈∆ açk örtüsü ile uyumlu birimin ayr³mn kuralm. lk
ile tanmlanan fonksiyon için
önce bu örtünün elemanlarn koordinat kom³uluklaryla kesi³tirerek her birinin
bir koordinat kom³ulu§u kald§n kabul edebiliriz. Ayrca yukardaki yardmc
teoremde verilen ³ekilde
p ∈ M olsun. O halde, p ∈ Kn − Kn−1 olacak
n ∈ N says vardr (K0 = ∅ alabiliriz). “imdi bu nokta
p ∈ Vp ⊆ Int(Kn+1 ) − Kn−1 olacak ³ekilde bir Vp açk kom³ulu§u
oldu§unu kabul edebiliriz.
³ekilde tek bir
etrafnda
M = ∪∞
n=1 Kn
82
Türevlenebilir Manifoldlar
“ekil 2.5: y=g(x) fonksiyonunun gra§i
seçelim. Bu kom³ulu§u gerekirse küçülterek baz
oldu§unu kabul edebiliriz.
biraz de§i³tirerek ve
Vp
Uα
α∈∆
için
p ∈ Vp ⊆ Uα
üzerinde tanml olan koordinat fonksiyonunu
ϕp : Vp → Rn olacak ³ekilde
−1
ϕp (B2 ) açk kümesini göstersin.
açk kümesini küçülterek
Op =
.
Bu durumda, ρp = ρ◦ϕp : Vp → R bile³ke fonksiyonu [0, 1] aral§nda de§erler
alacaktr. Ayrca bu fonksiyon Op üzerinde pozitif de§erler alrken Vp − Op
üzerinde de tamamen sfr olacaktr. O halde, bu fonksiyonu M − Vp d³nda
∞
sfr olarak tanmlayarak tüm manifold üzerinde tanml C -snfndan bir
yeni bir koordinat fonksiyonu seçelim.
fonksiyon elde ederiz.
K3 tkz kümesi için K3 ⊆ Op1 ∪ · · · ∪ Op2 olacak ³ekilde
p1 , · · · , p2 noktas seçelim. Bu kümelerin tanmndan dolay
her birinin Int(K4 ) kümesinin içinde kald§n kabul edebiliriz. Daha sonra,
K4 − Int(K3 ) ⊆ Op3 ∪ · · · ∪ Op4 ⊆ Int(K5 ) − K2 olacak ³ekilde sonlu sayda
p3 , · · · , p4 noktas seçelim. Tümevarm yöntemiyle her n ≥ 5 do§al says
için, Kn − Int(Kn−1 ) ⊆ Op2n−5 ∪ · · · ∪ Op2n−4 ⊆ Int(Kn+1 ) − Kn−2 olacak
³ekilde sonlu sayda p2n−5 , · · · , p2n−4 noktasnn var oldu§unu görebiliriz.
Vp1 , · · · , Vp2 , Vp3 , · · · , Vp4 , · · · , Vp2n−5 , · · · , Vp2n−4 , · · · açk kümeleri malk önce
sonlu sayda
nifoldun yerel sonlu bir açk örtüsünü verir. Ba³ka bir deyi³le manifoldun her
noktas etrafnda bu listeden sadece sonlu tanesi ile kesi³en bir açk kom³uluk
V1 , · · · , Vn , · · · ve üzerilerinde tanml fonksiyonlar da ρn : Vn → R ile gösterelim. L : M → R
∑
L(p) = n ρn (p), p ∈ M , ile verilen fonksiyon olsun (her p ∈ M için bu topρn
ile de§i³tirerek
lam sonlu bir toplamdr). Son olarak ρn fonksiyonlarn
L
istenilen birimin ayr³mn elde ederiz. 2
bulabiliriz. Bu saylabilir listeyi tekrar adlandrarak
Hatrlatma 2.2.4. Yukardaki kantta
M
manifoldunun verilen her
açk örtüsünün
Vp1 , · · · , Vp2 , Vp3 , · · · , Vp4 , · · · , Vp2n−5 , · · · , Vp2n−4 , · · ·
{Uα }α∈∆
83
Manifoldlarn Gömülmesi
gibi yerel sonlu bir açk inceltilmesi oldu§unu gördük. Aslnda ayn kant topolojik manifoldlar için de geçerlidir. Dolaysyla, her topolojik manifold paratkzdr.
2.2.2
Sard Teoremi
Ω ⊆ Rn
açk bir küme ve
F : Ω → Rm
türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
Türevlenebilir bir fonksiyonun türevleri de sürekli oldu§u için kritik noktalar
kümesi her zaman kapal bir kümedir.
Her
a ∈ Rn
ve
δi > 0, i = 1, · · · , n,
δ = (δ1 , · · · , δn )
ve
için
R(a, δ) = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn | ai − δi < xi < ai + δi }
açk kutusunu göstersin.
R[a, δ]
ile de bu kümenin kapan³ olan
{(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn | ai − δi ≤ xi ≤ ai + δi }
kümesini gösterelim.
C ⊆ Rn
bir alt küme olsun. E§er her gerçel
ϵ>0
says için
C ⊆ ∪∞
k=1 Rk
ve
∞
∑
vol(Rk )
<ϵ
k=1
olacak ³ekilde
(Rk )
denir. Burada
vol(Rk )
snrl kutular dizisi varsa bu alt kümeye ölçümü sfrdr
ile
kutunun hacmi gösterilmi³tir:
∫
vol(Rk )
dx1 · · · dxn = 2n
=
Rk
Teorem 2.2.5.
fonksiyon olsun.
F (C)
Ω ⊆ Rn açk
E§er C ⊆ Ω
n
∏
δi .
i=1
bir küme ve
F : Ω → Rm
türevlenebilir bir
bu fonksiyonun kritik noktalarnn kümesi ise
kritik de§erler kümesinin ölçümü sfrdr.
Kant :
Ω
açk kümesi saylabilir çoklukta açk yuvarn birle³imi olarak
yazlabilir. Her açk yuvar
Rn 'e
difeomork oldu§undan ve saylabilir çok-
lukta ölçümü sfr kümenin birle³iminin de ölçümü sfr olaca§ndan
Ω = Rn
alabiliriz. Kant üç ayr durumda verece§iz.
Durum 1)
n = m.
Yukarda oldu§u gibi her
a ∈ Rn
ve
δ>0
R(a, δ) = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn | ai − δ < xi < ai + δ}
ve
R[a, δ] = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn | ai − δ ≤ xi ≤ ai + δ}
için
84
Türevlenebilir Manifoldlar
olsun.
ddia: Bir
ϵ>0
says vardr ki, her
gerçel says verilsin. Her
R[b, r] ⊆ R[a, δa ]
vol(F (R[b, r]))
a∈C
için öyle bir
δa > 0
için
≤ϵ
vol(R[b, r])
olur.
Kant:
dan
F
F (x) = (f1 (x), · · · , fn (x))
olsun.
a∈C
bir kritik nokta oldu§un-
fonksiyonunun koordinatlarndan birinin bu noktadaki gradyan vektörü
di§er koordinatlarn gradyan vektörlerinin bir do§rusal birle³imi olacaktr. Genellikten hiçbir ³ey kaybetmeden baz
c1 , · · · , cn−1
gerçel saylar için
∇fn (a) = c1 ∇f1 (a) + · · · + cn−1 ∇fn−1 (a)
oldu§unu kabul edebiliriz. Bu durumda
F
fonksiyonunun hacimleri koruyan
L(x1 , · · · , xn−1 , xn ) = (x1 , · · · , xn−1 , xn − c1 x1 − · · · − cn−1 xn−1 )
L ◦ F , ∇fn (a) = 0 oldu§unu kabul
edebiliriz. Öteleme fonksiyonlar da hacimleri korudu§u için a = 0 ve F (0) =
0 oldu§unu kabul edebiliriz. Her x ∈ R[0, 1] için, ∥∇fi (x)∥ ≤ M olacak
³ekilde bir M > 0 gerçel says seçelim. “imdi de her x ∈ R[0, δ0 ] için,
√
∥∇fn (x)∥ ≤ ϵ/(M n−1 nn ) olacak ³ekilde bir 1 > δ0 > 0 says seçelim.
Her x, b ∈ R[0, δ0 ] noktalar için, t 7→ fi (tx + (1 − t)b), t ∈ [0, 1],
do§rusal fonksiyonu ile birle³imini alarak,
fonksiyonuna Analizin Temel Teoremi'ni uygulayarak
∫
1
fi (x) − fi (b) =
(x − b) · ∇fi (sx + (1 − s)b) ds
0
ve buradan da
∫
1
|fi (x) − fi (b)| ≤
∥x − b∥∥∇fi (sx + (1 − s)b)∥ ds
0
elde ederiz. O halde,
x ∈ R[b, r] ⊆ R[0, δ0 ]
olmak üzere her
i = 1, · · · , n − 1
için,
√
|fi (x) − fi (b)| ≤ rM n
ve
√
√
|fn (x) − fn (b)| ≤ rϵ n/(M n−1 nn )
F (R[b, r]) görüntü kümesi
√
√
√ n−1
√
√
√
× [−rϵ n/(M n−1 nn ), rϵ n/(M n−1 nn )])
F (b) + ([−rM n, rM n]
olur. Ba³ka bir deyi³le
çarpm kutusunun içinde kalr. Bu kutunun hacmi ise tam olarak
ϵ 2n r n = ϵ
vol(R[0, r])
saysdr. Dolaysyla iddiann kant tamamlanm³ oldu.
85
Manifoldlarn Gömülmesi
“imdi tekrar teoremin kantna dönelim.
I n = [0, 1] × · · · × [0, 1]
ile
Rn
n birim küpün saylabilir çoklukta ötelenmi³
içindeki birim küpü gösterelim. R
n
kopyasnn birle³imi olarak yazlabilece§i için, f (I ∩C) kümesinin ölçümünün
sfr oldu§unu göstermek teoremi kantlamak için yeterli olacaktr. Kritik noktalar kümesi kapal oldu§undan
In ∩ C
kümesi tkzdr. Rastgele bir
ϵ>0
says alalm. Yukardaki iddiann ko³ullarn sa§layan sonlu tane açk küp ile
In ∩ C
tkz kümesini örtelim. Bu sonlu açk örtünün bir
λ > 0
Lebes-
gue says alalm. Birim küpü paralel hiperdüzlemler ile her bir kenar uzunlu§u
√
λ/(2 n)'den daha küçük olan küplere ayralm. Bu durumda bu küçük küpler-
den kritik küme ile bo³ kümeden farkl bir ³ekilde kesi³en her biri yukarda
buldu§umuz sonlu adet açk küplerden birinin içinde kalacaktr. O halde, elde
etti§imiz yeni küplerin hacimleri toplam birim küpün hacminden fazla olamaz
ve dolaysyla vol(f (I
n ∩C))
≤ϵ
olur. Ba³ka bir deyi³le,
f (I n ∩C)
kümesinin
ölçümü sfrdr.
Durum 2)
n < m.
Bu durumda
F : Rn → Rm
fonksiyonunun tüm
görüntüsü kritik de§erlerden olu³acaktr. Di§er bir deyi³le,
F (Rn ) ⊆ Rm
alt
kümesinin ölçüsünün sfr oldu§unu göstermeliyiz.
G : Rm → Rm ,
G(x1 , · · · , xn , xn+1 , · · · , xm ) = F (x1 , · · · , xn )
ile verilen fonksiyonu dü³ünelim. Bir önceki durumdan
G
fonksiyonunun kritik
de§erler kümesinin ölçüsü sfrdr. Di§er taraftan, bu fonksiyonun türevi hiç bir
noktada örten de§ildir ve bundan dolay
G(Rm ) = F (Rn )
görüntü kümesinin
ölçümü sfrdr.
Durum 3)
n > m.
lk önce
n=m
durumunda kantlad§mz iddiann
bir benzerinin bu durumda da do§ru oldu§unu gösterece§iz. Yukarda oldu§u
gibi
F
fonksiyonunun hacimleri koruyan
L(x1 , · · · , xm−1 , xm ) = (x1 , · · · , xm−1 , xm − c1 x1 − · · · − cm−1 xm−1 )
L ◦ F , ∇fm (a) = 0 oldu§unu kabul
edebiliriz. Öteleme fonksiyonlar da hacimleri korudu§u için a = 0 ve F (0) =
0 oldu§unu kabul edebiliriz.
Fonksiyonumuzun son koordinat olan fm fonksiyonunu yeterince küçültebilmek için Ortalama De§er Teoremi yerine Taylor açlm kullanaca§z. k >
n − m + 1 olacak ³ekilde bir pozitif k tek says seçelim ve ϕ(x1 , · · · , xn ) =
(xk1 , · · · , xkn ) ile tanmlanan ϕ : Rn → Rn fonksiyonunu dü³ünelim. Bu fonksiyon B[0, 1] küpünün türevlenebilir bir homeomorzmasdr. Ayrca zincir
m fonksiyonun kritik de§erlerinin kümesi F ◦ ϕ
kuralndan F : B[0, 1] → R
bile³ke fonksiyonun kritik de§erler kümesinin bir alt kümesidir. Dolaysyla F
yerine F ◦ ϕ ile çal³abiliriz. Bu sayede fm fonksiyonunun x = 0 noktasnda
derecesi en fazla k olan tüm ksmi türevleri sfr olacaktr.
“imdi yine her x ∈ R[0, 1] için, ∥∇fi (x)∥ ≤ M olacak ³ekilde bir M > 0
gerçel says seçelim. Her x, b ∈ R[0, 1] noktalar için
do§rusal fonksiyonu ile bile³kesini alarak,
t 7→ fi (tx + (1 − t)b) , t ∈ [0, 1] ,
86
Türevlenebilir Manifoldlar
fonksiyonuna Analizin Temel Teoremi'ni uygulayarak
∫
1
fi (x) − fi (b) =
(x − b) · ∇fi (sx + (1 − s)b) ds
0
ve buradan da
∫
1
|fi (x) − fi (b)| ≤
∥x − b∥∥∇fi (sx + (1 − s)b)∥ ds
0
elde ederiz. O halde, her
x, b ∈ R[0, 1]
i = 1, · · · m − 1
ve
için,
|fi (x) − fi (b)| ≤ M ∥x − b∥
olur.
fm fonksiyonuna x0 = 0 noktasnda Taylor Teoremi'ni uygulayarak her
x ∈ B[0, 1] için |fm (x)| ≤ C(x)∥x∥k olacak ³ekilde bir C(x) ≥ 0 says
bulabiliriz. Aslnda C(x) fonksiyonunu, C(0) = 0 ko³ulunu sa§layan sürekli
bir fonksiyon olarak seçilebilir (bkz. Önerme 1.2.11). Di§er taraftan C(0) = 0
oldu§undan öyle bir δ0 > 0 says seçebiliriz ki, her 0 < δ ≤ δ0 ve her
x ∈ B[0, δ] için,
2n−m ϵ
√
C(x) ≤
δ k−n+m−1 M m−1 nk
olur. O halde, her
x ∈ B[0, δ]
için,
2 |fm (x)| ≤ 2 C(x)∥x∥k ≤
2n−m+1 ϵ
δ k−n+m−1 M m−1
√
δk
nk
√
nk
olur.
Son olarak bu snrlamalar kullanarak
B[0, δ]
Rn
içindeki hacmi
2n δ n
olan
m içindeki hacmi için
küpünün görüntüsünün R
vol(F (B[0, δ]))
≤ 2m−1 M m−1 δ m−1
ϵ 2n−m+1 δ n−m+1
= ϵ 2n δ n
M m−1
elde edilir. Böylece iddiann kant tamamlanm³ oldu. Kantn geri kalan yine
n=m
durumuna benzer ³ekilde yaplabilir:
sonunda elde edilen, her bir kenar uzunlu§u
n = m durumunun ispatnn
√
λ/(2 n)'den daha küçük olan
küplerden kritik küme ile bo³ kümeden farkl bir ³ekilde kesi³en küpleri, bu
küpleri içeren, merkezi kritik küme üzerinde bulunan ve her bir kenar uzunlu§u
√
λ/ n
olan küplerle de§i³tirelim. Bu son de§i³iklik küplerin hacimlerini
katna çkartacaktr. Dolaysyla, ba³langçta bize verilen
de§i³tirerek ispat tamamlarz.
ϵ
2n
n ile
saysn ϵ/2
2
Yukarda verilen kanta göre de§i³ik yöntemlerin kullanld§ Sard Teoremi'nin
n=2>1=m
durumunda bir ba³ka kantn ayrca verece§iz: Verilen
87
Manifoldlarn Gömülmesi
f : R2 → R fonksiyonunun kritik noktalarnn olu³turdu§u C kümesinden bir p ∈ C noktas alalm. Yukarda yapt§mz gibi öteleme kullanarak
p = (0, 0) ve f (0, 0) = 0 oldu§unu kabul edelim. Ayrca fonksiyonun bu nokbir
tadaki gradyan vektörünün türevinin de örten olmad§n kabul edelim. Ba³ka
bir deyi³le,
q 7→ ∇f (q) = (
fonksiyonunun
p = (0, 0)

D∇(f )(p) = 
∂f
∂f
(q),
(q))
∂x1
∂x2
noktasndaki
∂2f
(p)
∂x21
∂2f
∂x1 ∂x2 (p)
∂2f
∂x1 ∂x2 (p)
∂2f
(p)
∂x22

=
(
A(p) B(p)
B(p) C(p)
)
türev fonksiyonu bir izomorzma olmasn. Bu tipteki kritik noktalarn küme-
C′
sini
ile gösterelim. Rank ko³ulu kapal bir ko³ul oldu§undan
C′
kü-
mesi kapaldr. Alanlar koruyan ortogonal bir koordinat de§i³iminden sonra
B(p) = C(p) = 0 oldu§unu kabul edebiliriz. Ayrca her q ∈ B[0, 1] için,
|A(q)| ≤ M olacak ³ekilde bir M > 0 says seçelim. Rastgele bir ϵ > 0
says alalm. a/b ≤ ϵ/(3M ) olacak ³ekilde pozitif a/b oran seçelim. Her
q = (q1 , q2 ) ∈ B[0, δ] için |B(q)| ≤ ϵ/6 ve |C(q)| ≤ ϵ a/(3b) olacak ³ekilde 0 < δ ≤ 1 says seçelim. δ > 0 says p noktasna ba§l görünse
de A, B, C fonksiyonlar sürekli oldu§undan, tkz bir bölgede noktadan
ba§msz bir ³ekilde belirlenebilir.
0 < a, b ≤ δ olacak ³ekilde
Rp = {(x1 , x2 ) | |x1 | ≤ a, |x2 | ≤ b}
her q = (x1 , x2 ) ∈ Rp noktas için,
Orann yukardaki gibi sabitledi§imiz ve
seçilen
a
ve
b
saylarnn belirledi§i
dikdörtgenini dü³ünelim. Bu durumda
Taylor Teoremi'nden
p
ve
′
öyle bir q noktas vardr ki
q
noktalarn birle³tiren do§ru parças üzerinde
f (q) = f (p) + ∇f (p) · (x1 , x2 ) + A(q ′ )x21 + 2B(q ′ )x1 x2 + C(q ′ )x22
olur. Buradan
|f (q)| ≤ M |x1 |2 + 2|B(q ′ )||x1 x2 | + |C(q ′ )||x22 |
≤ ϵ ab/3 + ϵ ab/3 + ϵ ab/3
= ϵ ab
elde ederiz. O halde,
f (Rp )
kapal aral§nn boyu en fazla
2ϵ ab = ϵ vol(Rp )/2
olur.
Rp
dikdörtgenin her kenarn
oran halen
C′
a/b
olan
N2
N
e³ parçaya bölerek kenar uzunluklar
adet dikdörtgen elde ederiz. Bu dikdörtgenlerden
kümesi ile kesi³en her biri için yukardaki hesab yapabiliriz. Aslnda kritik
nokta bu dikdörtgenlerin merkezi yerine herhangi bir yerinde olabilece§i için
bu küçük dikdörtgenlerden herhangi bir
altndaki görüntüsünün uzunlu§u en fazla
R
2ϵ
dikdörtgeninin
vol(R)
olacaktr.
f
fonksiyonu
88
Türevlenebilir Manifoldlar
[0, 1] × [0, 1] alt kümesine kstlayalm. Her p ∈ C ′
′ tkz
çizdi§imiz bu Rp dikdörtgenlerinin iç bölgeleri C
“imdi fonksiyonu tkz
noktas etrafna
kümesinin açk bir örtüsünü verecektir ve dolaysyla bu dikdörtgenlerden son-
R1 , · · · , Rl , C ′
lu tanesi,
C − C′
C − C′
tkz kümesini örtecektir. Di§er taraftan
kümesindeki kritik noktalar izole noktalardan olu³maktadr. O halde
kümesinin
bu dikdörtgen bölgeler d³nda kalan nokta says sonlu olmaldr.
Ba³ka bir deyi³le bu dikdörtgen bölgeler d³nda kalan kritik noktalar ihmal
edebiliriz.
R1 , · · · , Rl
dikdörtgenlerin çevrelerinin toplam sonlu bir say olacaktr. Bu
ρ>0
kom³ulu§unun, diyelim ki U olsun, f altndaki görüntüsünün ölçümünün ϵ
saysndan küçük oldu§unu kabul edebiliriz. O halde, R1 ∪ · · · ∪ Rl − U küdurumda dikdörtgenlerin çevrelerini olu³turan do§ru parçalarnn bir
mesinin her topolojik birle³eni bu dikdörtgenlerden birinin içinde kalacaktr.
Her topolojik bile³en için bu bile³eni içeren bir dikdörtgen seçelim ve daha
sonra bu dikdörtgeni yeterince küçük e³ parçalara bölelim, öyle ki bu küçük
e³ dikdörtgenlerin kö³egen uzunlu§u
ρ
saysndan da küçük olsun. Bu sayede
U
bu küçük dikdörtgenlerden büyük dikdörtgenin kenarlaryla kesi³enler
mesinin içinde kalacaktr. O halde,
R1 ∪ · · · ∪ Rl − U
kü-
kümesinin, iç bölgeleri
ayrk olan dikdörtgen bölgelerin birle³iminin içinde kald§n kabul edebiliriz.
f (U )
Son olarak,
kant
m=n
2.2.3
ϵ
kümesinin ölçümünün en fazla
durumundaki gibi tamamlayabiliriz.
olaca§n kullanarak
2
Manifoldlarn Gömülmesi
n-boyutlu
Bu bölümde birimin ayr³m ve Sard Teoremi yardmyla
nifoldun
R2n+1
bir ma-
içine gömülebilece§ini gösterece§iz. A³a§daki teoremde bu
sonuç tkzlk ko³ulu altnda kantlanmaktadr. Al³trma 7 ise genel durum
için bir kant sa§lamaktadr.
M n-boyutlu türevlenebilir tkz bir manifold ise düzgün
R2n içine bire bir batrlabilir ve R2n+1 içine gömülebilir.
Teorem 2.2.6.
fonksiyon ile
bir
N do§al says için
p ∈ M noktas etrafnda
ϕp (Up ) ⊆ B(0, 1) olsun.
Kant : lk önce bu manifoldun yeterince büyük bir
RN
içine gömülebildi§ini gösterelim. Bunun için her
ϕp : Up → Rn koordinat sistemi seçelim öyle ki
Ayrca p ∈ Vp ⊆ Up ko³ulunu sa§layan bir Vp açk kümesi üzerinde bir
de§erini, Up kümesi d³nda sfr de§erini ve Up − Vp üzerinde de birden
küçük pozitif de§erler alan türevlenebilir bir ρp : M → [0, 1] fonksiyonu
bir
seçelim. Bu durumda
Φp : M → B(0, 1) ⊆ Rn , p 7→ ρ(p)ϕ(p) ,
fonksiyonu
Vp
Vp1 ∪ · · · ∪ Vpk
M
M =
açk kümesi üzerinde görüntüsüne bir difeomorzmadr.
manifoldu tkz oldu§undan sonlu tane
olacaktr.
N = kn + k
p1 , · · · , p k ∈ M
noktas için
olmak üzere
F : M → RN , p 7→ (Φp1 (p), · · · , Φpk (p), ρp1 (p), · · · , ρpk (p)) ,
89
Manifoldlarn Gömülmesi
ile tanmlanan
F
fonksiyonu bir batrma fonksiyonudur. Bu fonksiyonun bire
M
bir oldu§u ise kolayca görülür.
tkz oldu§u için elde etti§imiz bire bir
batrma fonksiyonu ayn zamanda topolojik ve dolaysyla türevlenebilir bir
gömme fonksiyonudur. O halde, artk
N > 2n + 1
M n ⊆ RN
oldu§unu kabul edebiliriz.
oldu§unu kabul edelim ve ³u fonksiyonlar dü³ünelim:
ψ1 : M × M × R → RN , (x1 , x2 , λ) 7→ λ(x1 − x2 )
ve
(x, v) 7→ Tx M ⊆ Tx RN ∼
= RN .
ψ2 : T∗ M → RN , (x, v) 7→ v,
N
dim(M × M × R) = 2n + 1
dim(T∗ M ) = 2n saylarndan
N içindeki ölçümbüyük oldu§u için bu fonksiyonlarn görüntü kümelerinin R
do§al says
ve
leri sfr olacaktr. O halde, bu iki fonksiyonun görüntü kümelerinin d³nda
bir
v ∈ RN
vardr.
Γv
ile bu vektörü normal vektör kabul eden hiperdüzle-
v
M
mi gösterelim. Fonksiyonlarn ve
vektörünün seçiminden dolay
hiperdüzlemine dik iz dü³ümü
manifoldunun
Γv =
RN −1
RN 'in Γv
içine bire bir
batrma verecektir. Ayrca manifold tkz oldu§u için bu bire bir batrma aslnda bir gömülmedir. Ayn ³ekilde devam ederek
R2n+1
içine gömebiliriz.
N = 2n + 1
N −(2n+1) admda manifoldu
v ∈ RN vektörünü ψ2
oldu§unda da
fonksiyonunun görüntüsü d³ndan seçerek
R2n
içine bir batrma fonksiyonu
elde ederiz. Böylece teoremin kant tamamlanm³ oldu.
2
Yukarda verilen kantn ilk ksm tkz olmayan manifoldlar için genelde
çal³maz çünkü böyle bir manifold sonlu tane koordinat sistemi ile örtülemeyebilir. Ayrca a³a§daki örnekte oldu§u gibi herhangi bir
RN
içine gömülmü³
tkz olmayan bir manifoldun hiçbir hiperdüzleme dik iz dü³ümü (bire bir batrma verse dahi) gömülme olmayabilir.
Di§er taraftan, Al³trma 7 tkzlk ko³ulu olmadan manifodlarn gömülebilece§ini göstermektedir.
Örnek 2.2.7. Her
N > 2
do§al says için düzgün öyle bir
f : R → RN
gömülmesi vardr ki bu gömülmenin hiçbir Γ hiperdüzlemine dik iz dü³ümü
P ◦ f : R → Γ = RN −1 düzgün bir fonksiyon de§ildir. Bunun için RN için-
p0 , p1 , · · · , pn , · · · olarak sralayalm
∥pn+1 ∥ ≥ ∥pn ∥ olsun. Daha sonra p0 noktasn
p1 ve p2 noktalarna birer e§ri ile ba§layalm. Bundan sonra p1 noktasn
p3 noktasna, p3 noktasn p5 noktasna ba§layp devam ederek tüm tek say
endeksli noktalar bu ³ekilde birbirine ba§layalm. Benzer ³ekilde p2 noktasn
p4 noktasna ve bu noktay da p6 noktasna ba§layarak çift say endeksli tüm
noktalar birbirine ba§layalm. Di§er taraftan, pn noktasn pn+2 noktasna
ba§layan e§riyi yarçaplar ∥pn ∥ − 1 ve ∥pn+2 ∥ + 1 olan yuvarlarn arasnda
deki tüm tam say koordinatl noktalar
öyle ki her
n ∈ N
için
kalacak ³ekilde seçelim. Uç uca eklenen bu e§rileri türevlenebilir bir e§ri olarak
N içine düzgün bir gömülmesini
seçebiliriz. Dahas bu e§ri gerçel eksenin R
verir. Bu e§rinin hiçbir hiperdüzleme dik iz dü³ümünün düzgün olmad§nn
gösterilmesini okuyucuya brakyoruz (bkz. Al³trma 11). Di§er taraftan yukarda verilen kanta göre bu e§rinin hemen hemen her hiperdüzleme dik iz
90
Türevlenebilir Manifoldlar
dü³ümü bire bir batrma fonksiyonudur. Dolaysyla, yukarda verdi§imiz kant
tkz olmayan manifoldlarda geçerli olmayacaktr. Tkz olmayan manifoldlarn
gömülmesi i³lemi farkl teknikler gerektirmektedir.
2.3
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
Bu bölümde manifoldlar üzerindeki en temel nesnelerden biri olan türevlenebilir formlar inceleyece§iz. Türevlenebilir formlarn türev ve integrallerini
tanmladktan sonra Analizin Temel Teoremi'nin manifoldlar üzerindeki genellemesi olan Stokes Teoremi'ni verece§iz. Stokes Teoremi'nin geometrik ve
topolojik sonuçlarn ise kitabn ilerleyen bölümlerinde ele alaca§z.
2.3.1
U ⊆ Rn
alann
U
Türevlenebilir Formlar
içinde açk bir küme olmak üzere
T∗ U → U
U
üzerinde
X(p)
gibi bir vektör
te§et demetinin bir kesiti olarak tanmlam³tk:
A1 , · · · , An ,
üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere
X(p) = A1 (p)
∂
∂
|p + · · · + An (p)
|p .
∂x1
∂xn
V = Tp U te§et uzaynn dualini V ∗ = Tp∗ U
ile gösterelim. E§er xi , · · · , xn U açk kümesi üzerinde bir koordinat sistemi
∂
ise
∂xk |p te§et vektörünün Kronecker dualini dxk|p ile gösterelim. O halde,
her 1 ≤ i, j ≤ n için
d
dxi |p (
|p ) = δij
dxj
Verilen bir
p∈U
noktas için
olur. Bu vektör uzayn kote§et uzay diye adlandraca§z. Te§et demetinde
oldu§u gibi kote§et uzaylarnn birle³imi kote§et demetini verecektir.
∪p∈U Tp∗ U
T ∗U =
ile gösterece§imiz kote§et demetinin türevlenebilir bir
ω(p) = a1 (p) dx1 |p + · · · + an (p) dxn |p
kesitine
U
üzerinde bir türevlenebilir
1-form
diyece§iz.
k -tensörlerin olu³turdu§u Altk (Tp∗ U ) vektör uzayde§i³meli k -tensör demeti olarak adlandraca§z. Bu de-
Benzer ³ekilde de§i³meli
larnn birle³imlerini
metin türevlenebilir
∑
ω(p) =
1≤i1 <···<ik ≤n
ai1 ,··· ,ik (p) dxi1 |p ∧ · · · ∧ dxik |p
U üzerinde türevlenebilir bir k -form denir. Tüm k -formlarn uzay
k
ise Ω (U ) ile gösterilir. De§i³meli sfr tensörler uzay ise U üzerindeki türev0
∞
lenebilir fonksiyonlarn olu³turdu§u Ω (U ) = C (U ) vektör uzay olacaktr.
kesitine
Noktasal olarak her
k
Alt
(Tp∗ U )
uzay sonsuz boyutlu olacaktr.
vektör uzay sonlu boyutlu olsa da
Ωk (U )
91
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
Bu noktadan itibaren gösterimi basitle³tirmek için
∂
∂xk
sadece
ve
Örnek 2.3.1.
dxk
R3
∂
|p
∂xk
ve
dxk|p
yerine
yazaca§z.
üzerinde türevlenebilir
ω(x, y, z) = x2 y dx ∧ dy + (z − x) dy ∧ dz + dz ∧ dx
2-formunu
ele alalm. Bu forma iki tane türevlenebilir vektör alan yedirelim:
X(x, y, z) = 3(x + y)
üzere
R3
∂
∂
∂
− ex +
∂x
∂y ∂z
ve
Y (x, y, z) = 2xz
∂
∂
− sin x
∂y
∂z
olmak
üzerinde
ω(X, Y )(x, y, z) = 6x3 yz(x + y) + (z − x)(ex sin x − 2xz) + 3(x + y) sin x,
türevlenebilir fonksiyonunu elde ederiz.
Türevlenebilir formlarn d³ çarpmlar do§rusal cebir ksmnda (Bölüm 1.3)
ω ∈ Ωk (U ) ve ν ∈
(ω ∧ ν)(p) = ω(p) ∧ ν(p), p ∈ U , ile tanmlanr.
birer k ve l form ise
vermi³ oldu§umuz noktasal çarpm ile tanmlanr: Her
Ωl (U ) için
E§er
ω
ve
ω∧ν ∈
ν U üzerinde
Ωk+l (U )
ω ∧ ν = (−1)kl ν ∧ ω
oldu§u kolayca görülür.
ω(x, y, z) = (x + y) dx + y 3 dy − dz
dx + dy − 5xyz dz olsun. Bu durumda
Örnek 2.3.2.
z2
ve
ν(x, y, z) =
(ω ∧ ν)(x, y, z) = (x + y − y 3 z 2 ) dx ∧ dy +
(1 − 5xy 4 z) dy ∧ dz + (5xyz(x + y) − z 2 ) dz ∧ dx
olur. Aslnda
R3
üzerindeki her iki form iki tane bir formun d³ çarpmna
e³ittir (bkz. Al³trma 12).
Bir manifold üzerinde türevlenebilir formlar tanmlamadan önce formlarn
fonksiyonlar altnda nasl davrand§n görelim.
2.3.2
Geri Çekme
L : W1 → W2
vektör uzaylar arasnda do§rusal bir fonksiyon olmak üzere
L∗ : W2∗ → W1∗ gösterelim. O halde, her f ∈ W2∗
ve v ∈ W1
için
= f (L(v)) olur. Bu durumda U ⊆ Rn ve
m
V ⊆ R açk kümeler ve ϕ : U → V türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere
bu fonksiyonun bir p ∈ U noktasndaki türevinin, Dϕp : Tp U → Tϕ(p) V ,
bu fonksiyonun dualini
L∗ (f )(v)
92
Türevlenebilir Manifoldlar
∗ V → T ∗ U ile gösterelim. “imdi V
(Dϕp )∗ : Tϕ(p)
p
k
ω ∈ Ω (V ) k -formu alalm. Bu durumda
dualini
üzerinde tanml bir
.
ϕ∗ (ω)(p)(v) = ω(ϕ(p))((Dϕp )(v)),
p∈U
ve
v ∈ Tp U ,
ile
geri çekmesi denir ve
Rn üzerinde tanmlanan k -forma ω formunun ϕ ile
ϕ∗ (ω) ile gösterilir. Ayrca, geri çekme ve d³ çarpm
noktasal i³lemler olduklar için do§rusal cebir bölümünde görmü³ oldu§umuz
özelliklerden dolay
U ⊆
Rn
ϕ∗ (ω ∧ ν) = ϕ∗ (ω) ∧ ϕ∗ (ν)
olur.
ve f : U → R türevlenebilir bir
(x1 , · · · , xn ) ∈ U için
∑ y =∂ f (x1 , · · · , xn ) ise (y ile R
gösteriyoruz) v =
i vi ∂xi ∈ Tp U olmak üzere
açk bir alt küme olmak üzere
fonksiyon olsun. Her
üzerindeki koordinat
(f ∗ (dy))(v) = dy((Df )p (v)) =
∑ ∂f
vi
∂xi
i
olur. Bu
1-forma f 'nin
diferansiyeli denir ve
df
ile gösterilir.
Bunu kullanarak geri çekme i³lemini pratik bir hesaba dönü³türebiliriz:
F : U → V ⊆ Rm , x∑
7→ F (x) = y = (f1 (x), · · · , fm (x)) türevlenebilir
fonksiyon ve ω =
aI (y) dyI ∈ Ωk (V ) bir k -form olsun. Bu
“imdi
bir
I=(i1 <···<ik )
durumda yukardaki açklamalardan dolay
aI (y)dyI = aI (y)dyi1 ∧ · · · ∧ dyik
ise
F ∗ (aI (y)dyI ) = (aI ◦ F )(x) F ∗ (dyi1 ) ∧ · · · ∧ F ∗ (dyik )
= (aI ◦ F )(x) dfi1 ∧ · · · ∧ dfik
elde ederiz. Dolaysyla,
∑
F ∗ (ω) =
aI (F (x)) dfI
olur.
I=(i1 <···<ik )
Hatrlatma 2.3.3. Son olarak, e§er
U, V ⊆ Rn
ve
ω = a(y)dy1 ∧ · · · ∧ dyn ∈ Ωn (V )
ise
dyi = dfi =
∑ ∂fi
dxj
∂xj
ve dolaysyla
j
ϕ∗ (ω) = a(F (x)) J(
olur.
∂(f1 , · · · , fn )
) dx1 ∧ · · · ∧ dxn
∂(x1 , · · · , xn )
93
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
S 1 = {(x, y, 0) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1} düzlemdeki
x dy − y dx
∈ Ω(R2 − {(0, 0)}) ve
ω=
2π(x2 + y 2 )
Örnek 2.3.4.
olmak üzere
birim çember
F : R3 − S 1 → R2 − {(0, 0)}, (x, y, z) 7→ (x2 + y 2 − 1, z)
³eklinde tanmlanan fonksiyon olsun. Bu durumda
F ∗ (ω) =
(x2 + y 2 − 1) dz − z (2x dx + 2y dy)
∈ Ω(R3 − S 1 )
2π [(x2 + y 2 − 1)2 + z 2 ]
elde ederiz.
Geri çekme i³leminin tanmndan kolayca görülece§i gibi herhangi iki fonksiyonun bile³kesi için
2.3.3
M
(F ◦ G)∗ (ω) = G∗ (F ∗ (ω))
olur.
Manifoldlar Üzerinde Türevlenebilir Formlar
atlas
{φα : Uα → Vα }
manifoldu
olan türevlenebilir bir manifold olsun. Bu durumda,
M = ∪α Uα ≃ ∪˙ α Vα /x ∼ (φβ ◦ φ−1
α )(x)
ve te§et demetini de
T∗ M
= ∪α T∗ Uα
−1
≃ ∪˙ α Vα × Rn /(x, v) ∼ ((φβ ◦ φ−1
α )(x), D(φβ ◦ φα )x (v))
³eklinde ifade edebiliriz. Benzer ³ekilde manifoldun geçi³ fonksiyonlarnn türevlerinin duallerini kullanarak kote§et demetini
T ∗M
= ∪ α T ∗ Uα
∗
−1
≃ ∪˙ α Vα × Rn /(x, (D(φβ ◦ φ−1
α )x ) (ω)) ∼ ((φβ ◦ φα )(x), ω)
ve geri çekme i³lemini kullanarak manifold üzerindeki
k -formlarn
demetini,
denklik ba§ntsn benzer ³ekilde
∗
−1
(x, (D(φβ ◦ φ−1
α )x ) (ω)) ∼ ((φβ ◦ φα )(x), ω)
alarak
Altk (M ) = ∪α
≃ ∪˙ α
k
(Uα )
k
(Vα )/ ∼
Alt
Alt
³eklinde yazabiliriz. Bu vektör demetinin türevlenebilir kesitlerine manifold
k -formlar denir ve bu formlarn olu³turdu§u vektör
k
uzay Ω (M ) ile gösterilir.
üzerindeki türevlenebilir
94
Türevlenebilir Manifoldlar
Örnek 2.3.5.
ϕ : R2 → R4 , ϕ(t1 , t2 ) = (cos t1 , sin t1 , cos t2 , sin t2 )
ile tanm-
lansn. Bu fonksiyonun görüntüsünün torus oldu§u kolayca görülür:
ϕ(R2 ) = T 2 = {(x1 , y1 , x2 , y2 ) ∈ R4 | x21 + y12 = 1 = x22 + y22 }.
ωi =
xi dyi − yi dxi
, i = 1, 2,
2π (x2i + yi2 )
verir. Di§er taraftan,
ifadeleri
ϕ∗ (ωi ) =
dti
2π
ve
T2
1-formlar
üzerinde türevlenebilir
dt1 ∧ dt2
4π 2
ϕ∗ (ω1 ∧ ω2 ) =
dolaysyla
olur. A³a§da üç boyutlu uzay içinde çizilen torus
[(x2 + y 2 + z 2 ) + 3]2 = 16(x2 + y 2 )
denklemi ile verilir.
F (x, y, z) = (
√
x2 + y 2 − 2, z, √
F −1 (x1 , y1 , x2 , y2 ) = (x2 (2 + x1 ), −y2 (2 + x1 ), y1 )
x
x2
+
y2
, −√
fonksiyonlar
y
x2
+ y2
R3
)
ve
ve
R4
içinde yukardaki denklemlerle verilen iki ayr torus arasnda bir difeomorz∗
madr. F (ωi ) geri çekme i³lemlerini okuyucuya al³trma olarak brakyoruz.
“ekil 2.6:
S2
üç boyutlu uzaydaki birim küreyi göstersin. Bu küre üzerinde
2 ise
2-formu ³u ³ekilde tanmlansn: E§er u, v ∈ Tp S
Örnek 2.3.6.
ω
[(x2 + y 2 + z 2 ) + 3]2 = 16(x2 + y 2 )
.
ω(p)(u, v) = (u × v) • p .
E§er
p = (x, y, z), u = (u1 , u2 , u3 )
ve
v = (v1 , v2 , v3 )
olarak verilirse
ω(p)(u, v) = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) • (x, y, z)
olur. Bu durumda
ω = x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy
oldu§unu kolayca görürüz.
95
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
2.3.4
D³ Türev
V ⊆ Rn
ω=
açk bir küme ve
∑
aI (x)dxI ∈ Ωk (V )
bir
k -form
olsun.
I
. ∑
daI (x) ∧ dxI ∈ Ωk+1 (V )
dω =
I
tanmlanan
k + 1-forma ω 'nn
d³ türevi denir. D³ türev i³leminin skça
kullanlan baz özellikleri a³a§daki önermede verilmi³tir.
Önerme 2.3.7.
V ⊆ Rm
açk bir küme ve
1) Her
ω1 , ω2 ∈ Ωk (V )
2) Her
ω ∈ Ωk (V )
ve
için
k, l ∈ N
olsun.
d(ω1 + ω2 ) = dω1 + dω2 'dir.
ν ∈ Ωl (V )
için
d(ω ∧ ν) = dω ∧ ν + (−1)k ω ∧ dν
e³itli§i sa§lanr.
3)
d ◦ d = 0.
Kant : Sadece üçüncü ifadenin ispatn verece§iz. Geri kalann al³trma
olarak okuyucuya brakyoruz. Birinci ifadeden dolay formun
ω = f (x) dx1 ∧ · · · ∧ dxk
³eklinde oldu§unu kabul edebiliriz. O halde,
dω =
∑ ∂f
dxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk
∂xi
i
96
Türevlenebilir Manifoldlar
olur. Bu durumda do§rudan hesap yaparak
d2 (ω) = d(dω)
(
)
∑ ∂f
= d
dxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk
∂xi
i
=
=
=
=
∑ ∂2f
dxj ∧ dxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk
∂xi ∂xj
i,j


∑ ∂2f

dxj ∧ dxi  ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk
∂xi ∂xj
i,j


∑ ∂2f

dxj ∧ dxi  ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk
∂xi ∂xj
i>j


∑ ∂2f
+
dxj ∧ dxi  ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk
∂xi ∂xj
i<j


∑ ∂2f

dxj ∧ dxi  ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk
∂xi ∂xj
i>j


∑ ∂2f
−
dxj ∧ dxi  ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk
∂xi ∂xj
i>j
= 0
elde edilir ve böylece kant tamamlanr.
2
Rn 'nin açk bir U alt kümesi üzerinde tanml
x 7→ F (x) = y = (f1 (x), · · · , fm (x)) türevlenebilir bir
D³ türevin tanmndan
bir
F : U → V ⊆ Rm ,
fonksiyon için
F ∗ (dω) = F ∗ (
∑
daI ∧ dyI ) =
I
elde ederiz. Di§er taraftan
F (daI ) =
m
∑
i=1
=
F ∗ (daI ) ∧ F ∗ (dyI )
I
daI =
m
∑
∂aI
i=1
∗
∑
∂yi
dyi
oldu§undan
∑ ∂aI
∂aI
F (
dyi ) =
(
◦ F ) F ∗ (dyi )
∂yi
∂yi
m
∗
i=1
m
m
n
∑
∑
∑
∂aI
∂aI
∂fi
(
◦ F ) (dfi ) =
(
◦ F)
dxj
∂yi
∂yi
∂xj
i=1
i=1
j=1
97
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
=
n
∑
∂(aI ◦ F )
dxj = d(aI ◦ F ) = d(F ∗ (aI ))
∂xj
j=1
elde ederiz. O halde,
F ∗ (dω) =
∑
d(F ∗ (aI )) ∧ F ∗ (dyI )
I
=
∑
d(F ∗ (aI )) ∧ dfI
I
=
∑
d (F ∗ (aI )dfI )
(Önerme 2.3.7)
I
=
∑
d (F ∗ (aI dyI ))
I
(
(
= d F
∗
∑
= d(F ∗ (ω))
))
aI dyI
I
olur. Ba³ka bir deyi³le, formlar üzerindeki geri çekme ve d³ türev i³lemleri yer
de§i³tirebilir.
D³ türev, bu özelli§i sayesinde manifoldlar üzerindeki formlar için de tanmlanabilir:
ϕ : U1 → V1
ω ∈ Ωk (M ) M
ve ψ : U2 → V2
manifoldu üzerinde verilen bir form olsun. E§er
bu manifold üzerinde iki koordinat sistemi ise
ϕ∗ (d((ϕ−1 )∗ ω)) = (ϕ ◦ ψ −1 ◦ ψ)∗ (d((ϕ−1 )∗ ω))
= (ψ −1 ◦ ψ)∗ (ϕ∗ (d((ϕ−1 )∗ ω)))
= (ψ −1 ◦ ψ)∗ (d((ϕ ◦ ϕ−1 )∗ ω))
= (ψ −1 ◦ ψ)∗ (dω) = ψ ∗ (d((ψ −1 )∗ ω))
olur. Ba³ka bir deyi³le manifold üzerindeki formlar herhangi bir koordinat
sistemi ile Öklit uzayna indirip, burada d³ türevini aldktan sonra tekrar ayn
koordinat sistemi ile manifolda geri çekmek iyi tanml bir i³lemdir.
Hatrlatma 2.3.8. Bu Önerme 2.3.7 herhangi bir manifold üzerindeki formlar
için de do§rudur (bkz. Al³trma 15.)
ω ∈ Ωk (M ) bu manifold
üzerinde bir k -form olsun. E§er dω = 0 ise ω kapal bir k -formdur denir.
k−1 (M ) (k − 1)-form varsa ω formuna
E§er dν = ω olacak ³ekilde bir ν ∈ Ω
2
bir tam formdur denir. Formlar üzerinde d = 0 oldu§undan her tam form
M
türevlenebilir
kapaldr.
n-boyutlu
bir manifold ve
98
Türevlenebilir Manifoldlar
2.3.5
Manifoldlarn Yönlendirilmesi
V sonlu boyutlu gerçel bir vektör
β1 = {v1 , · · · , vn } ve β2 = {w1 , · · · , wn } gibi iki sral
β2
taban için, e§er A = [I]β
taban de§i³tirme matrisinin determinant pozitif
1
bir say ise bu iki sral tabana denktir denir ve β1 ∼ β2 ile gösterilir. E§er
β3 bu uzayn bir üçüncü sral taban ise [I]ββ31 = [I]ββ32 [I]ββ21 ve dolaysyla
Vektör uzaylarnn yönlendirilmesi:
uzay olsun. Bu uzayn
det([I]ββ31 ) = det([I]ββ32 ) det([I]ββ21 )
oldu§undan bu ba§nt bir denklik ba§nts-
dr. Bu ba§ntnn her bir denklik snfna vektör uzaynn bir yönlendirilmesi
denir.
det([I]ββ31 ) = det([I]ββ32 ) det([I]ββ21 ) ve her bir β = {v1 , v2 , · · · , vn }
′
için β ve β = {−v1 , v2 , · · · , vn } tabanlar denk olmadklarndan her
Yine
taban
gerçel vektör uzaynn tam olarak iki tane yönlendirilmesi vardr.
V = {0}
′′ −′′
ve
′′ +′′
bir noktadan olu³an sfr boyutlu bir vektör uzay üzerinde de
olmak üzere iki yönlendirme tanmlayaca§z. Yapay bir tanm
V
V = W1 + W2
gibi görünse de bu tanmn çok hakl geometrik bir gerekçesi vardr:
boyutlu gerçel vektör uzay ve
W1 , W2
bu uzayn
sonlu
olacak
³ekilde alt uzaylar olsun. Her üç uzayn da yönlendirilmi³ oldu§unu dü³ünelim.
W1 ∩ W2
ara kesit vektör uzaynn do§al bir yönlendirilmesi var mdr?
W1 ∩ W2 ara kesit vektör uzaynn en az bir boyutlu oldu§unu
ve W1 ̸= V ̸= W2 kabul edelim. Bu ara kesit uzaynn bir {v1 , v2 · · · , vk }
sral tabann alalm. Bu taban W1 ve W2 yönlendirilmi³ vektör uzaylarnn
lk önce
tabanlarna geni³letelim:
{u1 , · · · , ul , v1 , · · · , vk }
W1
uzaynn ve
{v1 , · · · , vk , ul+1 , · · · , un−k }
de
W2
uzaynn yönlü tabanlar olsun (bu durumda
V n-boyutlu bir uzaydr).
E§er
{u1 , · · · , ul , v1 , · · · , vk , ul+1 , · · · , un−k }
V uzay üzerindeki yönlendirmeyle uyumlu ise arakesit
{v1 , · · · , vk } sral taban ile yönlendirelim. Aksi halde yine
taban
vektör uzayn
{−u1 , · · · , ul , −v1 , · · · , vk }
W1
uzaynn ve
{−v1 , · · · , vk , ul+1 , · · · , −un−k }
de
W2
uzaynn ayn yönlendirmeyi veren tabanlar olacaktr. Fakat bu sefer
{−u1 , · · · , ul , −v1 , · · · , vk , ul+1 , · · · , −un−k }
taban
V
uzay üzerindeki yönlendirmeyle uyumlu olacaktr. Bu durumda ara
kesit vektör uzayn
{−v1 , v2 , · · · , vk }
sral taban ile yönlendirece§iz.
99
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
E§er W1 veya W2 alt uzay V 'ye e³it ise
V 'nin yönlendirmesiyle beraber) W1 ∩ W2 = W1
(diyelim ki
W2 = V
olsun,
olacaktr. Dolaysyla önceki
paragrafta yazd§mz ³eyler yine geçerli olacaktr.
Son olarak
W1 ̸= V ̸= W2 ve dim(W1 ) + dim(W2 ) = n durumuW1 ∩ W2 = {0} veya ba³ka bir deyi³le V =
Yine {u1 , · · · , ul } W1 uzaynn ve {ul+1 , · · · , un } de W2
nu inceleyelim. Bu durumda
W1 ⊕ W2
dir.
uzaynn yönlü tabanlar olsun. Ara kesit uzaynn bir taban olmad§ için,
{u1 , · · · , ul , ul+1 , · · · , un }
sral taban
V
uzaynn yönlendirmesiyle uyumlu
de§ilse bu durumdan kurtulmak mümkün olmayacaktr. ³te tam da bu durumu ifade etmek amacyla tek bir noktadan olu³an vektör uzaynn yönünü
tanmlamak için
′′ +′′ ve ′′ −′′ i³aretlerini kullanaca§z: E§er
{u1 , · · · , ul , ul+1 , · · · , un }
sral taban
V
uzaynn yönlendirmesiyle uyumlu ise
W1
alt uzay
W2
ile
pozitif, uyumlu de§ilse negatif olarak kesi³iyor diyece§iz.
Son olarak, arakesit uzay üzerine bu ³ekilde koydu§umuz yönlendirme
(W1 , W2 )
sral vektör alt uzaylarnn bir fonksiyonudur. Ba³ka bir deyi³le,
bu iki alt uzayn srasn de§i³tirirsek ara kesit üzerindeki yön de§i³ebilir. Do-
W1 ⊕ W2 = V durumunda W1 ∩ W2 = + (art) oldu§u halde
W2 ∩ W1 = − (eksi) olabilir. Aslnda, e§er dim V = n = l + (n − l) =
dim W1 + dim W2 ise
laysyla,
W2 ∩ W1 = (−1)l(n−l) W1 ∩ W2
çünkü
{ul+1 · · · , un , u1 , · · · , ul }
sral tabanndan
sral tabanna geçmek için tam olarak
l(n−l)
{u1 , · · · , ul , ul+1 · · · , un }
tane ard³k ikilinin yer de§i³tir-
mesi gerekir.
Örnek 2.3.9. Her karma³k vektör uzaynn gerçel uzay olarak ele alnd§nda
do§al bir yönlendirilmesi vardr ve bu sayede karma³k manifoldlar türevlene-
V
β = {v1 , · · · , vn } uzayn sral
karma³k bir taban ise βR = {v1 , iv1 , · · · , vn , ivn } ayn uzayn sral gerçel
′
bir taban olur. β = {u1 , · · · , un } ayn uzayn sral ba³ka bir karma³k taban
β′
olsun. A = [I]β karma³k taban de§i³tirme matrisinin her aij bile³eni yerine
2 × 2-lik
(
)
Re(aij ) −Im(aij )
αij =
Im(aij ) Re(aij )
bilir manifoldlar içinde özel bir yere sahiptirler. Bunu ³öyle açklayalm:
sonlu boyutlu bir karma³k vektör uzay olsun.
β′
2n × 2n-lik matris AR = [I]βRR matrisine e³it
2 oldu§unu ³u ³ekilde göreolacaktr. Bu matrisin determinantnn ∥ det(A)∥
biliriz. Yukardaki verdi§imiz 2 × 2-lik matrislerin olu³turdu§u halka, diyelim ki
R ile gösterilsin, karma³k saylar halkasna izomorktir. Ayrca, bu halkann
(
)
a 0
, a∈R,
0 a
matrisi yazarak elde edece§imiz
100
Türevlenebilir Manifoldlar
tipindeki elemanlarnn olu³turdu§u alt halkas ise gerçel saylar halkasna izomorktir.
A
matrisinin determinantn hesaplamak için satr ve sütun i³lemleri
yapalm. Matrisin tersi oldu§u için sonunda bu matrisi

1 0 ···
0
 0 1 ···
0

 .. .. . .
.
.
 . .
.
.
0 0 · · · det(A)





matrisine dönü³türebiliriz. Bu matris i³lemlerinin kar³lklarn
AR
matrisine uygularsak sa§ alt kö³edeki
(
2 × 2-lik
2n × 2n-lik
ksm
Re(det(A)) −Im(det(A))
Im(det(A)) Re(det(A))
)
ve geri kalan ksm birim matris olan matrisi elde ederiz. Dolaysyla,
2
matrisinin determinant ∥ det(A)∥ > 0 olur.
Sonuç olarak
{v1 , · · · , vn }
V
karma³k vektör uzaynn herhangi bir sral karma³k
tabanna kar³lk gelen
βR = {v1 , iv1 , · · · , vn , ivn }
β=
gerçel sral
tabannn gerçel vektör uzayna verdi§i yönlendirme ba³langçta seçti§imiz
{v1 , · · · , vn }
AR
β=
tabanndan ba§mszdr. Bu nedenle bu yönlendirmeye karma³k
yapnn verdi§i kanonik yönlendirme diyece§iz. Karma³k bir vektör uzaynn
her karma³k alt uzaynn da kanonik bir yönlendirmesi olacaktr. Bunun bir
sonucu olarak da
V = W1 ⊕ W2
ko³ulunu sa§layan her
W1 , W2
karma³k
alt uzaylar pozitif olarak kesi³ecektir.
Manifoldlarn yönlendirilmesi:
Verilen bir manifoldun yönlendirilmesi ile, bu manifoldun her noktasndaki
te§et uzaynn, noktaya göre de§i³imi sürekli olan, bir yönlendirmesini seçmek
olarak tanmlayabiliriz. Te§et uzaylar üzerindeki yönlendirmenin noktaya göre
M türevlenebilir bir manifold
α, β ∈ Λ ve her p ∈ φα (Uα ∩ Uβ ) için
det(D(φ−1
α ◦ φβ )p ) > 0 olacak ³ekilde bir {φα : Uα → Vα }α∈Λ atlas varsa
M manifolduna yönlendirilebilir manifold denir. M bu atlas ile yönlendirilebilir manifold olsun ve p ∈ M bir nokta olsun. p ∈ Uα olacak ³ekilde bir
n
koordinat sistemi seçelim. φα : Uα → Vα ⊆ R , φα (p) = (x1 (p), · · · , xn (p)),
∂
∂
ise {
,··· ,
} sral taban Tp M için bir yönlendirme verir. Koordi∂x1
∂xn
nat de§i³im fonksiyonlarnn pozitif determinantl olmasndan dolay p ∈ M
sürekli olmasn ise ³u ³ekilde ifade edece§iz:
olsun. E§er bu manifold üzerinde her
noktasn içeren her koordinat sistemi bu noktada ayn yönlendirmeyi verecektir.
Rn 'nin
her açk kümesi sadece tek bir koordinat sistemi örtülebilece§i için
yönlendirilebilir manifoldlardr.
Ba§lantl her manifold en fazla iki farkl yönlendirmeye sahiptir (bkz. Al³trma 16).
101
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
Örnek 2.3.10. Tüm küreler yönlendirilebilir manifoldlardr. Aslnda türevle-
nebilir bir manifoldu hem kendileri hem de ara kesitleri ba§lantl iki koordinat
sistemi ile örtülebiliyorsa bu manifold yönlendirilebilirdir. Çünkü e§er koordinat de§i³im fonksiyonunun türevinin determinant negatif ise (ara kesit ba§lantl oldu§u için her noktada negatif olacaktr) koordinat sistemlerinden birinin
bir koordinat fonksiyonunu
−1
ile çarpmak koordinat de§i³im fonksiyonunun
türevinin determinantn pozitif yapacaktr.
Yönlendirilebilir manifoldlarn çarpmlarnn da yönlendirilebilir oldu§unun gösterilmesini okuyucuya al³trma olarak brakyoruz (bkz. Al³trma 20).
Dolaysyla, sonlu tane kürenin çarpm da yönlendirilebilir bir manifolddur.
Örnek 2.3.11. Karma³k manifoldlarn do§al yönlendirmeleri vardr ve do-
laysyla her karma³k manifoldlar yönlendirilebilirdir (bkz. Örnek 2.3.9).
Di§er taraftan gerçel projektif uzaylar içinde sadece tek boyutlu olanlar
yönlendirilebilir manifoldlardr. Bunu kantlayabilmek için biraz hazrlk yapmamz gerekiyor. A³a§daki sonuç yönlendirilebilen manifoldlarn bir karakterizasyonunu vermektedir.
Teorem 2.3.12. Boyutu
n
olan türevlenebilir bir
M
manifoldunun yönlen-
dirilebilir olmas için gerek ve yeter ko³ul M üzerinde hiç bir noktada sfr
n
olmayan bir ω ∈ Ω (M ) formunun var olmasdr.
M manifoldunun yönlendirilebilir oldu§unu kabul edelim
{φα : Uα → Vα }α∈Λ yönlendirmeyi veren bir atlas olsun. Rn üzerinde
ν = dx1 ∧ · · · ∧ dxn formunu dü³ünelim. Bu durumda her p ∈ Uα ∩ Uβ
noktas ve bu noktadaki te§et uzaynn her {v1 , · · · , vn } sral taban için
φ∗α (v1 · · · , vn ) ve φ∗β (ν)(v1 · · · , vn ) ayn i³aretli olacaktr. Bu durumda ωα =
φ∗α (ν) diferansiyel formlarn bu atlas ile uyumlu
∑bir birimin ayr³m, {ρα :
M → [0, 1]}, ile toplayarak elde edece§imiz ω =
ρα ωα formu manifoldun
Kant : lk önce
ve
α
hiç bir noktasnda sfr olmayacaktr.
“imdi de manifold üzerinde hiç bir noktada sfr olmayan bir
oldu§unu kabul edelim. Manifoldun verilen her
p ∈ M
ω n-formu
noktas etrafndaki
küçük bir yuvarda tanml öyle bir
q 7→ ϕ(q) = (x1 (q), · · · , xn (q))
koordinat sistemi seçelim ki
rulan atlas
M
ω(
∂
∂
,··· ,
)>0
∂x1
∂xn
üzerinde bir yönlendirme verecektir.
olsun. Bu ³ekilde olu³tu-
2
Aslnda yukardaki kant yönlendirilebilir bir manifold üzerinde yönlendirme seçmek ile bu manifold üzerinde sfr olmayan en yüksek boyutlu bir form
seçmenin ayn ³ey oldu§unu göstermektedir.
ω
sfr olmayan bir form ise
her te§et uzaynn bu form altnda pozitif say veren sral tabann seçerek
102
Türevlenebilir Manifoldlar
manifold üzerinde yönlendirme seçebiliriz. Yönlendirilebilir ve ba§lantl her
manifold üzerinde tam olarak iki tane yönlendirme oldu§u açktr (bkz. Al³trma 16). Üzerinde bir yönlendirilme seçilmi³ manifoldlara yönlendirilmi³ ma-
nifoldlar diyece§iz.
M
yönlendirilmi³ bir manifold ise
−M
ile ayn manifoldu
di§er yönlendirmesiyle gösterece§iz.
M
n-boyutlu iki manifold olsun. Bu manifoldlar
ϕ : M → N fonksiyonun yerel difeomorzma olmas için gerek
n
ve yeter ko³ul M üzerinde hiç bir noktada sfr olmayan bir ω ∈ Ω (N ) formu
∗
n
için ϕ (ω) ∈ Ω (M ) formunun hiç sfr olmamasdr. (Bkz. Al³trma 19).
ki yönlendirilmi³ manifold arasndaki bir ϕ : M → N yerel difeomorzmas M üzerindeki yönlendirmeyi N üzerindeki yönlendirmeye ta³yorsa
ϕ : M → N yerel difeomorzmasna yön koruyan denir. E§er manifoldlarn
n
n
üzerindeki yönlendirmeler νM ∈ Ω (M ) ve νN ∈ Ω (N ) gibi iki tane 2-form
yardm ile veriliyorsa ϕ bu yerel difeomorzmann yön koruyan olmas için
∗
gerek ve yeter ³art ϕ (νN ) = f (x)νM olacak ³ekilde f : M → (0, ∞) bir
ve
N
yönlendirilebilen
arasndaki bir
fonksiyonun var olmasdr.
Örnek 2.3.13. Möbius “eridi,
görmek için,
MB
üzerinde bir
M B , yönlendirilemez bir manifolddur. Bunu
ω 2-formu alalm. M B bir bölüm manifoldu
olarak görebiliriz:
R × (0, 1)/(x, y) ∼ (x + 1, 1 − y) , (x, y) ∈ R × (0, 1).
F : R × (0, 1) → M B bölüm fonksiyonu ise F ∗ (ω) bir
∗
2-form olacaktr. F (ω) = f (x, y) dx ∧ dy formu ³eklinde yazalm. Di§er
∗
taraftan F (ω) 2-formu (x, y) 7→ (x + 1, 1 − y) dönü³ümü altnda de§i³mez
olaca§ için f (x, y) fonksiyonu f (x + 1, 1 − y) = −f (x, y) simetrisine de
sahip olmaldr. Dolaysyla, bu fonksiyon bir (a, b) noktasnda pozitif (veya
negatif ) de§er alyorsa (a + 1, 1 − b) noktasnda da negatif (veya pozitif ) de§er
alacaktr. f (R × (0, 1)) ba§lantl olaca§ndan sfr noktasn içeren bir aralk
olmak zorundadr. Dolaysyla, ω formunun en az bir sfr vardr. O halde,
M B yönlendirilemez bir manifolddur. Hemen hemen ayn kant M B × Rn
Bu durumda, e§er
çarpm manifoldunun da yönlendirilemez oldu§unu gösterir.
Aslnda biraz daha fazlasn kantlam³ durumdayz: E§er türevlenebilir nn−2 'yi bir alt manifold olarak içeriyorsa
boyutlu bir M manifoldu M B × R
n-formunun bu alt manifold üzerinde en az bir sfM yönlendirilemez bir manifolddur. Örne§in, gerçel
bu manifold üzerindeki her
r olacaktr. Dolaysyla,
projektif uzay Möbius ³eridini bir alt manifold olarak içerdi§i için yönlendirilemez bir manifolddur.
Benzer bir ³ekilde,
M
yönlendirilemez bir manifold olmak üzere her
M ×N
çarpm manifoldu da yönlendirilemez bir manifolddur (bkz. Al³trma 20).
Örnek 2.3.14 (Örtü Uzaylar).
G
grubu türevlenebilir ve yönlendirilmi³
M
manifoldu üzerinde difeomorzmalarla serbest ve düzgün süreksiz bir ³ekilde
etki etsin, öyle ki bölüm uzay da manifold olsun (bölüm uzay Hausdor ise
103
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
üzerinde do§al bir türevlenebilir yap olacaktr). E§er
ki her difeomorzma
M
G
grubunun içinde-
üzerindeki yönü korursa bölüm manifoldu üzerinde
do§al bir yönlendirme vardr ve bölüm fonksiyonu bu yönlendirmeyi korur. E§er
baz
g∈G
elemanlar yönü korumazsa (ters çevirirse) bölüm manifoldu yön-
lendirilemez bir manifold olur (bkz. Al³trma 21).
F : Rn → Rn F (x1 , · · · , xn ) = (−x1 , · · · , −xn )
ters kutupsal difeo∗
morzmasn dü³ünelim. ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn formu olmak üzere F (ω) =
n
(−1) ω oldu§u kolayca görülür. Dolaysyla bu fonksiyon sadece çift boyutlu
Öklit uzaylarnda yönü korur.
n
Benzer ³ekilde, R − {0}
üzerinde tanml kapal (bkz. Al³trma 22 ve
Ünite 5, Al³trma 8)
ωS n−1 =
n
∑
(−1)i−1 xi
i=1
formunun
dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 · · · ∧ dxn
(x21 + · · · + x2n )n/2
S n−1
küresine kstlan³nn hiç sfr yoktur ve dolaysyla küF ∗ (ωS n−1 ) = (−1)n ωS n−1
oldu§u için ters kutupsal fonksiyon sadece tek boyutlu kürelerde yönü korur.
re üzerinde bir yönlendirme verir. Fakat bu sefer,
Dolaysyla sadece tek boyutlu gerçel projektif uzaylar yönlendirilebilir manifoldlardr.
Örnek 2.3.15 (Lens Uzaylar). Üç boyutlu küreyi iki boyutlu karma³k birim
S 3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 | ∥(z1 , z2 )∥ = 1}. p ve q
2πi/p
p
asal pozitif tam saylar ve ξ = e
olsun. Bu durumda Z =<
3
devirli grubu S
üzerinde serbest bir ³ekilde etki eder: g(z1 , z1 ) =
kürenin snr olarak görelim:
aralarnda
g > sonlu
(ξz1 , ξ q z2 ).
Grup sonlu oldu§u için bölüm uzay türevlenebilir bir manifolddur.
Grup etkisinin yönü korudu§u kolayca görülebilir. Dolaysyla, bölüm manifoldu
3 üzerindeki yönlendirme sayesinde yönlü bir manifold olur. Aslnda,
da S
∗
g (ωS 3 ) = ωS 3 olur ve dolaysyla bu form bölüm uzay üzerinde de hiç bir
noktada sfr olmayan bir üç form verir. Bu yönlendirilmi³ üç boyutlu bölüm
manifolduna Lens uzay denir ve L(p, q) ile gösterilir.
F : S 3 → S 3 , (z1 , z2 ) 7→ (z1 , z¯2 ) difeomorzmas yönü ters çevirir ve
−1 )(z , z ) = (ξz , ξ p−q z ) olur. Ba³ka bir deyi³le, üç boyutlu
ayrca (F ◦ g ◦ F
1 2
1
2
küre üzerindeki
F
difeomorzmas
−L(p, q)
ile
L(p, p − q)
arasnda yönü
koruyan bir difeomorzma verir.
Bu bölümü a³a§daki sonuçla bitirece§iz.
n-boyutlu yönlendirilebilir
fonksiyon ve p ∈ N bir düzgün
Teorem 2.3.16.
türevlenebilir bir
M
bir manifold, ϕ : M → N
−1
de§er ise ϕ (p) yönlendi-
rilebilir alt manifolddur.
Kant :
Tp N
L = ϕ−1 (p)
bo³ küme olmasn. Her
türev fonksiyonun çekirde§i
Nq ⊆ Tq M bir
yazalm (örne§in, Tq M
Tq L
q∈L
için
D(ϕ)q : Tq M →
te§et uzaydr. Manifoldun te§et de-
Tq M = Tq L ⊕ Nq
metini uygun
alt uzay olmak üzere
³eklinde
vektör uzay üzerine bir iç çarpm koyup
104
Türevlenebilir Manifoldlar
Nq ⊆ Tq M
alt uzayn Tq L alt uzaynn dik tümleyeni olarak seçebiliriz). Bu
(Dϕ)q : Nq → Tp N bir izomorzma olacaktr. Tp N te§et uzaynn {uk+1 , · · · , un } gibi bir yönlendirmesini seçelim. O zaman, bu izomorzma yardmyla Nq vektör uzay üzerine {vk+1 = (Dϕ)q (uk+1 ), · · · , vn =
(Dϕ)q (un )} yönlendirmesini koyabiliriz. Son olarak Tq L uzay üzerine bir
{v1 , · · · , vk } yönlendirmesi koyalm öyle ki, {v1 , · · · , vk , vk+1 , · · · , vn } sral
taban da Tq M = Tq L ⊕ Nq üzerindeki yönlendirme olsun. Bu i³lem noktasal
durumda
olsa da aslnda bir koordinat kom³ulu§unda sürekli bir ³ekilde de yaplabilir:
Uygun koordinat de§i³imleri altnda
ϕ : Rn → Rn−k , (x1 , · · · , xn ) 7→ (xk+1 , · · · , xn )
³eklinde görülecektir. Bu durumda
2
bitirebiliriz.
2.3.6
ui =
∂
|p
∂xi
ve
vi =
∂
|q
∂xi
alarak kant
Stokes Teoremi
Stokes Teoremi en kaba anlamyla, bir manifoldun içinde olanlar anlamak için
bu manifoldun snrnda olanlar anlamann yeterli oldu§unu ifade etmektedir.
Bu teoreminin en çok bilinen hali Analizin Temel Teoremi'dir:
f : [a, b] → R
türevi sürekli bir fonksiyon ise
∫
b
f ′ (x) dx = f (b) − f (a)
a
dω = f ′ (x) dx 1-formunun yine 1-boyutlu I =
[a, b] yönlendirilmi³ manifoldu üzerindeki integrali, ω = f (x) 0-formunun bu
+ −
manifoldun snrn olu³turan 0-boyutlu ∂I = {b , a } manifoldu üzerindeki
olur. Ba³ka bir deyi³le,
integraline e³ittir:
∫
∫
b
dω =
I
′
f (x) dx = f (b) − f (a) =
a
∑
∫
f (x) =
x∈∂I
ω.
∂I
fadesini yukarda vermi³ oldu§umuz Stokes Teoremi'nin özü ifadesinde geçen
terimleri do§ru tanmlamaktan ibarettir. “imdi bu i³i dikkatli bir ³ekilde yapmaya çal³aca§z.
Manifold üzerinde ntegral:
U ⊆ Rn
açk bir küme ve
ω ∈ Ωn (U )
olsun.
E§er bu formun sfrdan farkl oldu§u noktalar kümesi,
supp(ω)
= {p ∈ U | ω(p) ̸= 0} ,
tkz bir kapan³a sahipse bu forma tkz bir kümede desteklenen form denir.
Bu formlarn
gösterilir.
U
Ωn (U )
içinde olu³turdu§u küme bir alt uzaydr ve
üzerindeki her
n-form ω = f (p) dx1 ∧· · ·∧dxn
Ωnc (U )
ile
olarak yazlabildi§i
105
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
sup(ω) = {p ∈ U | f (p) ̸= 0}
için
olacaktr. Bu durumda
ω
formunun
U
açk kümesi üzerindeki integrali
∫
∫
.
f (p) dx1 ∧ · · · ∧ dxn =
ω=
U
U
∫
f (x1 , · · · , xn ) dx1 dx2 · · · dxn
U
Riemann integrali olarak tanmlanr. Formun sfrdan farkl oldu§u küme tkz
bir kümenin içinde kald§ için bu bir belirli integraldir ve sonuç sonlu bir say
olacaktr.
ntegralin bu ³ekilde tanmlanmasnn nedeni
∂
∂
{
,··· ,
}
∂x1
∂xn
lendirmenin
Rn
üzerinde standart yön-
sral taban ile verilmesidir. Ba³ka bir deyi³le,
formlar de§i³kenlerin sralamasna duyarl olduklar için integralleri de ancak
yönlendirilmi³ manifoldlarda tanmlanabilir.
Hatrlatma 2.3.17. Riemann integralinde de§i³kenlerin srasn istedi§imiz
{i1 , · · · , in } = {1, · · · , n} olmak üzere
∫
∫
f (p) dx1 · · · dxn =
f (p) dxi1 · · · dxin .
gibi de§i³tirebiliriz:
U
U
ω
Di§er taraftan, yukardaki tanmda kullanlan
formunun
ω = f (p) dx1 ∧ · · · ∧ dxn
açlmndaki koordinatlarnn sras önemlidir. Örne§in,
da
∫
R2
ω ∈ Ω2c (R2 )
durumun-
∫
f (x1 , x2 ) dx2 ∧ dx1 =
(−f (x1 , x2 )) dx1 ∧ dx2
2
R∫
= −
R2
f (x1 , x2 ) dx1 dx2
olur.
U, V ⊆ Rn
difeomorzma
ϕ = (ϕ1 , · · · , ϕn ) : U → V yönü koruyan bir
ω = f (p) dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∈ Ωn (V ) olsun. Bu durumda
açk kümeler,
ve
Hatrlatma 2.3.3'den dolay
∂(ϕ1 , · · · , ϕn )
dx1 ∧ · · · ∧ dxn
∂(x1 , · · · , xn )
ϕ∗ (ω) = f (ϕ(p))
olaca§ndan
∫
∗
∫
ϕ (ω) =
U
ω
V
e³itli§ini elde ederiz. Ba³ka bir deyi³le yönü koruyan bir difeomorzma ile formu
geri çekmek (koordinat sistemini de§i³tirmek) integralin de§erini de§i³tirmez.
106
Türevlenebilir Manifoldlar
M n-boyutlu yönlendirilmi³ bir manifold ve ω ∈ Ωnc (M )
n
olsun. Ayrca {φα : Uα → Vα ⊆ R }α∈Λ bu yönlendirmeyi veren bir atlas ve
{ρα : M → [0, 1]} bu açk örtü ile uyumlu bir birimin ayr³m olsun. ω 'nn
M manifoldu üzerindeki integrali
∫
∫
. ∑
∗
ω=
(φ−1
α ) (ρα (p) ω)
Tanm 2.3.18.
M
α∈Λ
Vα
olarak tanmlanr.
ntegralini ald§mz formun sfrdan farkl oldu§u kümenin kapan³ tkz
oldu§u için yukardaki toplam aslnda sonlu bir toplamdr. Yine ayn nedenden toplamn her terimi sonlu bir saydr. ntegralin iyi tanml olabilmesi için
bu tanmn seçilen atlas ve onunla uyumlu birimin ayr³mndan ba§msz oldu§unun gösterilmesi gerekmektedir. Ayn yönlendirmeyi veren ba³ka bir atlas
verildi§inde bu iki atlasn açk kümelerini içeren atlas göz önüne alalm. Bu
iki atlasn açk örtüleriyle uyumlu olan birimin ayr³mlar bu yeni atlasn açk
örtüsüyle de uyumlu olacaktr. O halde, integralin iyi tanml oldu§unu göstermek,
{φα : Uα → Vα ⊆ Rn }α∈Λ
atlasyla uyumlu bir ba³ka
{ϱα : M → [0, 1]}
birimin ayr³m için
∑ ∫
α∈Λ
∗
(φ−1
α ) (ρα (p)
ω) =
Vα
∑ ∫
∗
(φ−1
α ) (ϱα (p) ω)
Vα
α∈Λ
oldu§unu kantlamaya denk olacaktr:
∑ ∫
α∈Λ
∗
(φ−1
α ) (ρα (p)
ω) =
Vα
∑ ∫
Vα
α∈Λ
=
∑ ∫
=
=
∑ ∫
Vα
α,β∈Λ
Vβ
∑ ∫
∑ ∫
=
Vβ
∑ ∫
β∈Λ
∗
(φ−1
α ) (ϱβ (p) ρα (p) ω)
∗
(φ−1
β ) (ϱβ (p) ρα (p) ω)
∑
Vβ α∈Λ
∑ ∫
β∈Λ
ϱβ (p)) ρα (p) ω)
β∈Λ
∗
(φ−1
α ) (ϱβ (p) ρα (p) ω)
α,β∈Λ
β∈Λ
=
∑
∑
Vα β∈Λ
α∈Λ
=
∗
(φ−1
α ) ((
Vβ
∗
(φ−1
β ) (ϱβ (p) ρα (p) ω)
∗
(φ−1
β ) ((
∑
ρα (p)) ϱβ (p) ω)
α∈Λ
∗
(φ−1
β ) (ϱβ (p) ω)
107
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
∑
Bu çkarmdaki ilk (benzer ³ekilde son) e³itlik
β∈Λ ϱβ (p)
= 1
ifadesinin
sonucudur. kinci ve altnc e³itlik geri çekme i³leminin toplamsal olmasndan
elde edilmi³tir. Benzer ³ekilde üçüncü ve be³inci e³itlikler integralin toplamsall§nn sonucudur. Dördüncü e³itlik ise integrali alnan formun yönü koruyan
(φα ◦ φ−1
β ) : φβ (Uα ∩ Uβ ) → φα (Uα ∩ Uβ ) difeomorzmas ile geri çekmesi ile
elde edilmi³tir (ϱβ (p) ρα (p) ω formu sadece Uα ∩ Uβ
açk kümesi içinde
sfrdan farkl de§er alabilir).
Sfr Boyutlu Manifold Üzerinde ntegral:
Sfr boyutlu bir manifold
ayrk noktalar kümesidir (bkz. Hatrlatma 2.1.1). Böyle bir manifold üzerinde
′′ +′′
yönlendirme ise her noktaya
M → {+, −}.
σ(p) = +
E§er
veya
+
ise p
′′ −′′
(veya
i³areti koymak demektir:
σ(p) = −
ise
p− )
σ :
yazaca§z.
Bu manifoldun sadece tkz bir kümesi üzerinde sfrdan farkl de§erler alan bir
f : M → R 0-formunun
(fonksiyonunun) integrali ise
∫
∑
f=
M
σ(p) f (p)
p∈M
olarak tanmlanr. Ayrk bir kümenin tkz alt kümeleri sonlu oldu§undan bu
toplam da sonlu bir toplamdr.
M = {a, b} kümesi üzerine dört farkl
{a+ , b+ }, M2 = {a+ , b− }, M3 = {a− , b+ }
Örnek 2.3.19. ki elemanl
dirme koyabiliriz: M1 =
− −
olarak M4 = {a , b }.
Snrl Manifoldlar:
n
Boyutu
yönlenve son
olan yar Öklit uzay
Hn = {(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn | x1 ≤ 0}
olarak tanmlanr. Bu alt uzayn
Rn
içindeki snr ise
∂Hn = {(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn | x1 = 0}
ile gösterilir.
Topolojik manifold tanmna benzer bir ³ekilde, Hausdor ve ikinci saylabilir bir
M
Hn 'nin
uzay, her biri
açk bir alt kümesine homeomork olan
açk alt kümelerinin birle³imi olarak yazlabiliyorsa
M 'e n-boyutlu snrl to{φα : Uα → Vα }
polojik manifold denir. Bu homeomorzmalar kümesini yine
ile gösterece§iz ve
M
topolojik snrl manifoldunun bir topolojik atlas diye
adlandraca§z. E§er bu atlasn her
φα : Uα → Vα
ve
φβ : Uβ → Vβ
koordinat
sistemi için, geçi³ fonksiyonu
φβ ◦ φ−1
α : φα (Uα ∩ Uβ ) → φβ (Uα ∩ Uβ ),
Rn 'nin
açk kümelerinin bir türevlenebilir fonksiyonuna geni³letilebiliyorsa bu
atlasa türevlenebilir bir atlastr diyece§iz.
{p ∈ M |
baz
α
için
kümesi olarak tanmlanr ve
p ∈ Uα
∂M
ve
M
manifoldunun snr
φα (p) = (0, x2 , · · · , xn )}
ile gösterilir.
108
Türevlenebilir Manifoldlar
Önerme 2.3.20. Boyutu
ve
n − 1-boyutlu
n
olan snrl bir manifoldun snr iyi tanmldr
bir manifolddur.
Kant : Önce önermenin ilk ksmnn do§ru olmad§n kabul edelim. Di§er
bir deyi³le, bir koordinat kom³ulu§una göre snrda olan bir nokta bir ba³ka
koordinat kom³ulu§unda snr noktas olmasn. O halde elimizde ³unlarn ol-
f : U ∩Hn →
V ∩
homeomorzma olsun. Ayrca, F : U → V ve G : V → U gibi iki
türevlenebilir fonksiyon vardr öyle ki F|
= f ve G|V ∩Hn = f −1 'dir. Son
U ∩Hn
du§unu kabul edebiliriz:
Hn
U, V ⊆ Rn
iki açk küme olmak üzere bir
olarak
f (p) = q = (y1 , y2 , · · · , yn ) ̸∈ V ∩ ∂Hn
p = (0, x2 , · · · , xn ) ∈ U ∩∂ Hn bir noktas vardr. O halde, y1 <
0 olmaldr. Di§er taraftan, U ∩ Hn üzerinde G ◦ F = id oldu§u için DF (p)
olacak ³ekilde
türev fonksiyonu bir izomorzmadr. Dolaysyla, Ters Fonksiyon Teoremi bize
F
fonksiyonunun
p
noktas etrafnda bir difeomorzma oldu§unu söyler.
Fonksiyon sürekli oldu§u için
V ∩ ∂Hn
p
noktasnn bir açk kom³ulu§u
kümesinin iç bölgesine gönderilir. Ba³ka bir deyi³le,
f −1
F
altnda
fonksiyonu
ilk koordinat negatif olan baz noktalar ilk koordinat pozitif olan noktalara
gönderir. Bu çeli³ki önermenin ilk ksmnn kantn tamamlar.
Snrn bir manifold oldu§unu ise ³u ³ekilde görebiliriz. Türevlenebilir
G
F
ve
fonksiyonlarnn snrdaki noktalar etrafnda birer difeomorzma oldu§unu
F (U ∩ ∂Hn ) = f (U ∩ ∂Hn ) ⊆ V ∩ ∂Hn oldu§unu da biliyoruz. O halde, F|
fonksiyonu manifoldun snr için ihtiyaç
U ∩∂Hn
duydu§umuz koordinat fonksiyonlarn verir. 2
yukarda gördük. Ayrca
Bu önerme hem manifoldun snrnn iyi tanml oldu§unu hem de bu kümenin
(n − 1)-boyutlu bir manifold
∂M ile gösterilir.
oldu§unu gösterir. Bu manifolda
M 'nin
snr
denir ve
Örnek 2.3.21.
Rn
içindeki birim yuvarn snr
S n−1
küresidir.
Örnek 2.3.22. Bir manifoldun snr, snr olmayan bir manifolddur.
Snrl manifoldlarn snrlarndaki noktalarn da te§et uzaylar vardr. Bunu
³u ³ekilde görebiliriz. Aslnda te§et uzaynn iyi tanml olmas konusunda problem olabilecek tek konu, snrdaki noktalarn koordinat sistemleri arasndaki
geçi³ fonksiyonu
∂Hn
uzaynn bir açk kümesinde tanmlyken, bu fonksiyo-
nun tüm Öklit uzay içindeki bir açk kümeye geni³lemesinin alnarak te§et
uzaynn bu geni³leme yardmyla tanmlanyor olmasdr. Fakat bir geçi³ fonksiyonunun birden fazla geni³lemesi olsa da, bunlarn
∂Hn
içinde kalan her
noktadaki türevleri ayn olacaktr. Açkça söylemek gerekirse, geni³lemelerin
herhangi bir snr noktasndaki türevi snrn üzerindeki ve ilk koordinatn negatif oldu§u noktalardaki de§erleri tarafndan tamamen belirlenir. Ba³ka bir
deyi³le, geçi³ fonksiyonun ilk koordinatnn pozitif oldu§u noktalara nasl geni³letildi§i fonksiyonun snr noktalarndaki türevini etkilemez.
109
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
Snr olan manifoldlarn yönlendirilmesi de snr olmayan manifoldlardaki
gibi yaplr. Yönlendirilmi³ snrl bir manifoldun snr do§al bir yönlendirmeye
sahiptir. Örne§in,
X = [a, b]
kapal aral§ bir boyutlu ve snrl bir manifold-
dur. Analizin Temel Teoremi'nin bize önerdi§i üzere bu manifoldun üzerindeki
yönlendirme her noktada
yönlendirme
{a− , b+ }
∂
∂x
vektörü ile verilirse bu manifoldun snrndaki
ile verilir. Genelde ise, yönlendirilmi³ bir manifoldun
snrndaki yönlendirme ³u ³ekilde tanmlanr: lk önce bir
nokta etrafnda bir
φ:U →V ⊆
te§et uzayndaki d³ normal vektörü gösterelim: Ba³ka bir
olmak üzere
p ∈ ∂M ve bu
→
−
N (p) ile Tp M
deyi³le, q = φ(p)
Hn koordinat sistemi alalm.
−
→
∂
N (p) = (Dφ−1 )(q)(
)
∂x1
β = {v1 , · · · , vn−1 } Tp ∂M vektör uzaynn bir sral taban olmak üzere
−
→
′
e§er β = { N (p), v1 , · · · , vn−1 } Tp M vektör uzaynn yönlendirmesi ise snr
manifoldunun p noktasndaki yönlendirme β = {v1 , · · · , vn−1 } sral taban
olsun.
ile tanmlanacaktr.
“ekil 2.7: Manifoldun iki ucundaki yönlendirmelerin ters yönlü oldu§una dikkat ediniz!
Stokes Teoremi:
Artk teoremi ifade ve kantlamak için yeterli alt yapy
olu³turmu³ durumdayz.
M türevlenebilir ,
n−1
Ωc (M ) tkz destekli bir (n −
Teorem 2.3.23 (Stokes Teoremi).
bir manifold ve
ω∈
∫
∫
dω =
M
n-boyutlu yönlendirilmi³
1)-form ise
ω
∂M
e³itli§i sa§lanr.
Kant :
M
{φα : Uα → Vα ⊆ Rn }α∈Λ
{ρα : M → [0, 1]} birimin ayr³m seçelim. ω
üzerindeki yönlendirmeyi veren
atlas ve bununla uyumlu bir
110
Türevlenebilir Manifoldlar
formunun
M
manifoldu üzerindeki integrali
∫
∫
. ∑
∗
ω=
(φ−1
α ) (ρα (p) ω)
M
Vα
α∈Λ
.
ωα = ∑
ρα ω ile ifade edilen formu tanmlayalm.
ve dω =
α∈Λ dωα olur. ntegral i³lemi toplamsal
bir α ∈ Λ için
∫
∫
dωα =
ωα
olarak tanmlanm³t. “imdi
O halde,
ω =
∑
α∈Λ ωα
oldu§undan, sadece key
M
∂M
oldu§unu göstermek teoremi kantlamaya yeterli olacaktr. Ayrca, formlar bir
koordinat sistemi içinde ya³adklar için sadece ³u özel durumu incelemek yeterlidir:
φ : U → V
kümesini
Rn
veya
ω U açk kümesi içinde kalan
(n − 1)-form olsun. Ayrca, V açk
bir koordinat sistemi,
tkz bir küme d³nda sfr de§eri alan bir
Hn
olarak seçebiliriz. O halde,
n
∑
(φ−1 )∗ ω =
ci ∧ · · · ∧ dxn
ai dx1 ∧ · · · ∧ dx
i=1
ve dolaysyla
(φ−1 )∗ (dω) = d((φ−1 )∗ ω) =
n
∑
(−1)i−1
i=1
∂ai
dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn
∂xi
elde ederiz.
φ(U ) = V = Rn
∫
dω =
dω
Durum 1)
∫
M
U
∫
=
n
∑
Rn i=1
n
∑
(−1)i−1
olsun.
∂ai
dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn
∂xi
∫
∂ai
dx1 · · · dxi · · · dxn
Rn ∂xi
i=1
∫
∫ ∞
n
∑
∂ai
i−1
ci · · · dxn
dxi ) dx1 · · · dx
=
(−1)
(
∂x
n−1
i
R
−∞
i=1
∫
n
∑
ci · · · dxn
=
(−1)i−1
( lim ai (x) − lim ai (x)) dx1 · · · dx
=
i−1
(−1)
i=1
Rn−1
xi →∞
xi →−∞
= 0.
Yukardaki limitlerin sfr çkmasnn nedeni
ω
ve dolaysyla
siyonun tkz bir küme d³nda sfr olmasdr. Di§er taraftan,
V
a(x)
kümesi
fonk-
∂Hn
111
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
ile kesi³medi§i için
U ∩ ∂M = ∅
olacaktr ve bu nedenle
∫
ω=0
∂M
integrali de sfrdr.
Durum 2)
φ(U ) = V = Hn
∫
olsun.
∫
dω =
M
dω
∫
U
n
∑
=
=
Hn i=1
n
∑
(−1)i−1
∂ai
dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn
∂xi
∫
i−1
(−1)
i=1
∫
Hn
∫
(
∂ai
dx1 · · · dxi · · · dxn
∂xi
0
∂a1
= (−1)
dx1 ) dx2 · · · dxn
Rn−1
−∞ ∂x1
∫
=
(a1 (0, x2 , · · · , xn ) − lim a1 (x)) dx2 · · · dxn
x1 →−∞
n−1
R
∫
=
a1 (0, x2 , · · · , xn ) dx2 · · · dxn
Rn−1
∫
=
a1 (x) dx2 ∧ · · · ∧ dxn
1−1
∫
∂Hn
=
n
∑
∂Hn i=1
ci ∧ · · · ∧ dxn
ai dx1 ∧ · · · ∧ dx
∫
=
ω
∂M
elde edilir ve dolaysyla kant tamamlanr. Sondan ikinci e³itlikteki toplamn
ilk terimi d³ndaki formlarn tamamen sfr oldu§unu gözlemleyiniz.
Stokes Teoremi'nin Baz Özel Halleri ve Uygulamalar:
2
Bu bölümün
giri³inde Analizin Temel Teoremi'ni Stokes Teoremi'nin bir özel hali olarak
vermi³tik.
Green Teoremi:
∂R
olsun.
R
R
düzlemde snrl bir bölge ve bu bölgenin snr
bölgesini düzlemin
∂
∂
β = { ∂x
, ∂x
}
C =
sral tabannn verdi§i
yönlendirme ile dü³ünürsek, bu bölgenin snr üzerinde verdi§i yönlendirme
R bölgesi üzerinde tanml
ω = f (x, y) dx + g(x, y) dy formunu dü³ünelim. Bu durumda dω =
(gx (x, y) − fy (x, y)) dx ∧ dy olaca§ndan Stokes Teoremi Green Teoremi'ne
saat yönünün tersi olan yönlendirme olacaktr.
bir
112
Türevlenebilir Manifoldlar
dönü³ecektir:
∫
∫
f (x, y) dx + g(x, y) dy =
ω
∫C
C
=
dω
∫R
=
∫R
(gx (x, y) − fy (x, y)) dx ∧ dy
(gx (x, y) − fy (x, y)) dxdy
=
R
“ekil 2.8:
R
bölgesi ve snr düzlemin standart yönlendirmesine sahiptir.
Klasik Stokes Teoremi:
C = ∂S
snr
olsun.
S
S
üç boyutlu uzayda snrl bir yüzey ve bu yüzeyin
yüzeyi
üzerinde seçilen bir
−
→
n
normal vektörü
ile yönlendirilsin ve bu yönlendirmeyi kullanarak snrn da yönlendirelim.
bölgesi yüzeyinde tanml bir
ω = f (x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz
1-formunu
dü³ünelim. Bu durumda
dω = (gx − fy ) dx ∧ dy + (hy − gz ) dy ∧ dz + (fz − hx ) dz ∧ dx
olaca§ndan Stokes Teoremi klasik Stokes Teoremi'ne dönü³ecektir:
∫
∫
f dx + g dy + h dz =
C
ω
∫C=∂S
=
dω
S
∫
=
(gx − fy ) dx ∧ dy
S
+ (hy − gz ) dy ∧ dz + (fz − hx ) dz ∧ dx .
S
113
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
Divergence Teoremi:
D
S = ∂D, türevle∂ ∂ ∂
uzayn standart {
, , }
∂x ∂y ∂z
üç boyutlu Öklit uzaynda snr,
D
nebilir bir yüzey olan bir bölge olsun.
bölgesi
sral taban ile ve snr yüzeyi de bununla uyumlu ³ekilde yönlendirilsin.
ω = f (x, y, z) dy ∧ dz + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dx ∧ dy
2-formunu
dü³ünelim. Bu durumda
dω = (fx + gy + hz ) dx ∧ dy ∧ dz
olaca§ndan Stokes Teoremi Divergence Teoremi'ne dönü³ecektir:
∫
∫
f dy ∧ dz + g dz ∧ dx + h dx ∧ dy =
S
ω
∫
S=∂D
=
dω
∫
D
=
∫D
=
(fx + gy + hz ) dx ∧ dy ∧ dz
(fx + gy + hz ) dxdydz .
D
2.3.7
Disk ve Kürenin Hacimleri
Küre ve diskin hacim formülleri iyi bilinse de pek fazla kaynakta bulunma-
Dn (r) ile Rn
Dn (r) yuvarnn
maktadr. Bu nedenle bu bölümde bu hacimleri hesaplayaca§z.
içindeki
r ≥ 0
yarçapl yuvar gösterelim. Bu durumda
hacmi
∫
Hac
∫
n
(D (r)) =
Dn (r)
dx1 ∧ · · · ∧ dxn =
Dn (r)
olacaktr. “imdi bu integrali hesaplayalm: lk önce her
Hac(D
n
dx1 · · · dxn
n>0
do§al says için
(r)) = An rn
An gerçel saysnn oldu§unu gösterelim. A1 = 2 (hatta,
4π
) oldu§unu biliyoruz. Tümevarm metodu ile kant
A3 =
3
An−1 saysnn var oldu§unu kabul edelim ve bir sonrakinin
olacak ³ekilde bir
A2 = π
ve
yapmak için
varl§n gösterelim: A³a§daki ³ekilden dolay
∫
Hac(D
n
(r)) = 2
r
Hac(D
0
∫
= 2An−1
0
r
n−1
√
( r2 − s2 )) ds
√
( r2 − s2 )n−1 ds
114
Türevlenebilir Manifoldlar
“ekil 2.9:
olur.
s = r sin θ
A(n)
ile
A(n − 1)
arasndaki ili³ki
de§i³ken de§i³imini yaparsak
∫
Hac(D
n
π/2
(cos θ)n dθ
n
(r)) = 2r An−1
0
e³itli§ini elde ederiz. O halde,
.
An = 2An−1
∫
π/2
(cos θ)n dθ
0
olarak tanmlarsak kant bitirmi³ oluruz. “imdi de
.
Bn =
∫
π/2
(cos θ)n dθ
0
B1 = 1 ve B2 = π/4 oldu§unu görürüz.
v = (cos θ)n−1 ve du = cos θ dθ alarak ksmi
saysn hesaplayalm. Kolayca,
Di§er taraftan,
n≥2
için
integral hesab yaparsak
∫
π/2
∫
(cos θ) dθ = (n − 1)
π/2
n
0
elde ederiz. Son olarak
(cos θ)n−2 (sin θ)2 dθ
0
(sin θ)2 = 1 − (cos θ)2
Bn =
yazarak
n−1
Bn−2
n
ba§ntsn buluruz. Bu ba§nty kullanarak kolayca
B2n+1 =
(2n n!)2
(2n + 1)!
ve
oldu§unu görürüz. Hacimleri bulmak için
lanrsak
A2n+1 =
2n+1 π n
1 · 3 · · · (2n + 1)
B2n =
(2n)! π
(2n n!)2 2
An /An−1 = 2Bn
ve
A2n =
ba§ntsn kul-
πn
n!
115
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
elde ederiz.
Rn içindeki yarçap r ≥ 0 olan küreyi gösterirsek bu
n
kürenin hacmi Hac(D (r)) fonksiyonunun r 'ye göre türevi olacaktr. Örne§in,
π 2 r4
4
3
2 3
Hac(D (r)) =
ve Hac(S (r)) = 2π r olur. Yine n-boyutlu birim diskin
2
n
hacmi An 1 = An olurken (n − 1)-boyutlu birim kürenin hacmi ise nAn
S n−1 (r)
ile
olacaktr.
Örnek 2.3.14'te ele ald§mz,
ωS n−1 =
n
∑
(−1)i−1 xi
i=1
S n−1
küresi üzerindeki
dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 · · · ∧ dxn
(x21 + · · · + x2n )n/2
formuna tekrar dönelim. Bu form herhangi bir
A ∈ SO(n)
matrisi altnda
de§i³mezdir (bkz. Al³trma 22):
A∗ (ωS n−1 ) = ωS n−1 .
Ayrca bu form
da
+1
T(1,0,··· ,0) S n−1
∂
∂
,··· ,
} sral tabann∂x2
∂xn
taban SO(n) grubunun elem{
te§et uzaynn
de§erini alr. Bu noktay ve bu sral
anlaryla kürenin herhangi bir noktasna ta³yabilece§imiz için,
∫
S n−1
ωS n−1 = Hac(S n−1 ) = nAn
olacaktr. Dolaysyla,
. ω n−1
ω0,Rn = S
∈ Ωn−1 (Rn − {0})
nAn
formunun birim küre üzerindeki integrali (yönlendirmeye ba§l olarak)
de§erini alacaktr. Aslnda Stokes Teoremi'nden dolay
her tkz (yönlendirilmi³)
M n−1
Rn − {0}
±1
içinde kalan
manifoldu için
∫
ω0,Rn
M
integrali sfr veya
±1
de§erini alr. Daha açkça söylemek gerekirse, integral,
e§er orijin manifoldun snrlad§ tkz bölgenin içindeyse
olur. Bu nedenle
ω0,Rn
formuna
{0} ⊂ Rn
±1,
d³ndaysa sfr
alt manifoldunun geçi³me formu
denir. (Bkz. sayfa 212 ve Ünite 5, Al³trma 8.)
2.3.8
Karma³k Manifoldlar Üzerinde Özel Formlar
zk = xk + iyk ve z̄k = xk − iyk koordinatlar
Cn = R2n karma³k vektör uzay üzerinde
Karma³k Do§rusal Uzay:
ile beraber ele ald§mz
ω=
∑
i∑
dzk ∧ dz̄k =
dxk ∧ dyk
2
n
n
k=1
k=1
116
Türevlenebilir Manifoldlar
türevlenebilir formunu dü³ünelim. Kolayca, her
i
ω l = ( )l l!
2
∑
0≤l≤n
dzk1 ∧ dz̄k1 ∧ · · · ∧ dzkl ∧ dz̄kl
1≤k1 <···<kl ≤n
oldu§u görülür. Bu karma³k vektör uzay içinde
(w1 , · · · , wl ) V
L : V → Cn
uzay alalm.
olsun.
için
l≤n
boyutlu bir
V
alt
alt uzay üzerinde do§rusal bir koordinat sistemi
(z1 , · · · , zj , · · · , zn ) = L(w1 , · · · , wl )
= (a11 w1 + · · · + al1 wl , · · · , a1n w1 + · · · + aln wl )
içerme fonksiyonunun bu koordinatlardaki ifadesi olsun.
matrisinin
k1 , · · · , kl 'inci
durumda
Ak1 ,··· ,kl
ile
A = (aij )
satrlarnn olu³turdu§u alt matrisi gösterelim. Bu
L∗ (dzj ) = a1j dw1 + · · · + alj dwl
ve
L∗ (dz̄j ) = ā1j dw̄1 + · · · + ālj dw̄l
oldu§undan
L∗ (dzk1 ∧ dz̄k1 ∧ · · · ∧ dzkl ∧ dz̄kl )
=
det(Ak1 ,··· ,kl ) det(Ak1 ,··· ,kl )
dw1 ∧ dw̄1 ∧ · · · ∧ dwl ∧ dw̄l
=
∥ det(Ak1 ,··· ,kl )∥2
dw1 ∧ dw̄1 ∧ · · · ∧ dwl ∧ dw̄l
A matrisinin
∥ det(Ak1 ,··· ,kl ∥2 > 0
l
elde edilir. Ayrca
rank
oldu§undan bu alt matrislerden en
az biri için
olmaldr. Sonuç olarak, bir pozitif
CV > 0
says için
i
L∗ (ω l ) = CV ( )l l! dw1 ∧ dw̄1 ∧ · · · ∧ dwl ∧ dw̄l
2
elde ederiz.
V
karma³k vektör uzaynn koordinatlarn
w1 = u1 + iv1 , · · · , wl = ul + ivl
³eklinde yazarak
2l-boyutlu gerçel vektör uzay olarak görebiliriz. Di§er taraf-
tan, Örnek 2.3.9'dan dolay
{
V
∂
∂
,··· ,
}
∂u1
∂ul
karma³k vektör uzaynn te§et uzaynn bir taban oldu§undan
{
∂
∂
∂
∂
,i
,··· ,
,i
}
∂u1 ∂u1
∂ul ∂ul
117
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
kümesi ayn uzayn karma³k yap ile yönlendirilmi³ gerçel bir taban olur. Ayrca karma³k türevlenebilir fonksiyonlar Cauchy-Riemann denklemlerini sa§ladklar için bu sral taban
{
∂
∂
∂
∂
,
,··· ,
,
}
∂u1 ∂v1
∂ul ∂vl
ile ayndr (ayrca bkz. Önerme 6.3.1). Sonuç olarak
L∗ (ω l )(
∂
∂
∂
∂
,
,··· ,
,
)
∂u1 ∂v1
∂ul ∂vl
=
=
=
i
CV ( )l l!
2
dw1 ∧ dw̄1 ∧ · · · ∧ dwl ∧ dw̄l
∂
∂
∂
∂
(
,
,··· ,
,
)
∂u1 ∂v1
∂ul ∂vl
CV l! du1 ∧ dv1 ∧ · · · ∧ dul ∧ dvl
∂
∂
∂
∂
,
,··· ,
,
)
(
∂u1 ∂v1
∂ul ∂vl
CV l! > 0
oldu§unu görürüz. Sadece do§rusal cebir kullanarak elde etti§imiz bu bilginin karma³k manifoldlarn geometri ve topolojisine dair çok önemli sonuçlar
olacaktr. Bunun basit bir örne§i a³a§daki örnekte sunulmaktadr.
Örnek 2.3.24. Elde etti§imiz pozitiik sonucu ve Stokes Teoremi sayesinde
Cn
içindeki her tkz ve karma³k alt manifoldun sfr boyutlu oldu§unu gösteM ⊆ Cn karma³k tkz ve pozitif boyutlu, diyelim ki karma³k boyutu
rece§iz:
0<l≤n
olan, bir alt manifold olsun. Bu alt manifoldu karma³k yapsndan
ω l formu alt manifoldun her
gelen yönlendirme ile dü³ünelim. Bu durumda
noktasndaki karma³k yönlü tabannda pozitif de§er alacaktr. Dolaysyla,
∫
ωl > 0
M
∑n
∑n
dx
∧
dy
=
d(
olur. Fakat di§er taraftan ω =
k
k
k=1 xk dyk ) olarak
k=1
∑n
l
l−1 ) formu
yazlabildi§i için, ν =
k=1 xk dyk olmak üzere, ω = d(ν ∧ ω
tamdr (burada l > 0 kullanlm³tr). “imdi Stokes Teoremi'ni kullanrsak
∫
∫
M
∫
d(ν ∧ ω l−1 ) =
ωl =
0<
M
ν ∧ ω l−1 = 0
∂M =∅
çeli³kisine ula³rz. O halde, alt manifoldun boyutu
2l = 0
syla, Örnek 2.1.14 içinde inceledi§imiz tkz ve karma³k
olmaldr. Dolay-
S1 × S3
manifoldu
karma³k bir alt manifold olarak do§rusal karma³k uzaya gömülemeyecektir.
Karma³k Pro jektif Uzay:
de olu³turdu§umuz
ω
Yukarda
Cn
karma³k vektör uzay üzerin-
formunu do§rudan karma³k projektif uzaya ta³mak
118
Türevlenebilir Manifoldlar
mümkün de§ildir. Karma³k projektif uzay üzerinde do§al bir form yakalamak
için ilk önce iki boyutlu küre üzerindeki hacim formuna bakalm. Örnek 2.3.14
içinde olu³turdu§umuz
S 2 = CP 1
küresinin
ω = x dy ∧ dζ + y dζ ∧ dx + ζ dx ∧ dy
hacim formunu
P −1 : R2 → S 2 − {(0, 0, −1)},
(r, s) 7→ (x, y, ζ) = (
2r
2s
1 − r2 − s2
,
,
)
1 + r2 + s2 1 + r2 + s2 1 + r2 + s2
stereograk iz dü³üm fonksiyonun tersiyle düzleme geri çekelim:
dx =
2(1 − r2 + s2 ) dr − 4rs ds
2(1 − s2 + r2 ) ds − 4rs dr
,
dy
=
(1 + r2 + s2 )2
(1 + r2 + s2 )2
ve
dζ = −
4r dr + 4s ds
(1 + r2 + s2 )2
elde ederiz. Buradan kolayca,
(P −1 )∗ (ω) = 4
dr ∧ ds
dz ∧ dz̄
= 2i
(1 + r2 + s2 )2
(1 + ∥z∥2 )2
S 2 = CP 1 üzerindeki di§er
koordinat sisteminde de ayn ifadeyle verilecektir: z = 1/w koordinat de§i³imi
dw ∧ dw̄
olacaktr. Dolaysyla karma³k projektif
altnda formumuz 2i
(1 + ∥w∥2 )2
do§ru üzerinde bir 2-form elde etmi³ olduk. Bu formun 1/4 katna Fubini-Study
formu denir ve ωF S ile gösterilir. Dolaysyla, Fubini-Study formu yarçap
1/2 olan küre üzerindeki alan formudur ve
∫
ωF S
=1.
S2 π
oldu§unu görürüz (z
= r + is
yazarak). Bu form
Karma³k fonksiyonlar için holomork ve antiholomork d³ türev dönü³ümleri a³a§daki ³ekilde tanmlanr:
∂f =
∑ ∂f
dzi
∂zi
i
ve
¯ =
∂f
∑ ∂f
dz̄i .
∂ z̄i
i
Bu tanm do§al bir ³ekilde karma³k formlara geni³letilir.
yaparak kolayca
ωF S =
i dz ∧ dz̄
i
= ∂ ∂¯ log(1 + ∥z∥2 )
2 (1 + ∥z∥2 )2
2
Do§rudan hesap
119
Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi
oldu§unu görürüz. Fubini-Study formunu homojen koordinatlarda da yazabiliriz.
z = z1 /z0
alarak
ωF S =
i ¯
i
∂ ∂ log(1 + ∥z∥2 ) = ∂ ∂¯ log(1 + ∥z1 /z0 ∥2 )
2
2
=
Son olarak
i ¯
∂ ∂ [log ∥(z0 , z1 )∥2 − log ∥z0 ∥2 ].
2
¯
∂ ∂(log
∥z0 ∥2 ) = ∂ (
ωF S =
oldu§undan
i ¯
∂ ∂ log ∥(z0 , z1 )∥2
2
Cn+1 − {0}
olarak yazabiliriz. Bu formu
üzerinde yazarak
i ¯
∂ ∂ log ∥(z0 , z1 , · · · , zn )∥2
2
ωF S =
CP n
dz¯0
)=0
z¯0
üzerindeki Fubini-Study formunu elde ederiz. Bu ifadenin kantn hesap-
lamalar benzer oldu§undan detaylar okuyucuya al³trma olarak brakyoruz
(bkz. Al³trma 23).
“imdi
M k ⊆ CP n
karma³k boyutu
k
olan bir karma³k alt manifold
olsun. O halde, uygun bir holomork koordinat de§i³imi altnda alt manifoldumuz yerel olarak, örne§in
U0
içinde (z0
=1
alarak)
zi = 0, i = k + 1, · · · , n,
e³itlikleriyle ifade edilir. Geri çekme i³lemi d³ türev ile yer de§i³tirebildi§inden Fubini-Study formunun
M
manifoldunun bu koordinat sistemi üzerindeki
ifadesi
ϕ∗ (ωF S ) =
i ¯
∂ ∂ log(1 + ∥(z1 , · · · , zk )∥2 )
2
olacaktr.
Hatrlatma 2.3.25. Fubuni-Study formunu
n=2
için yerel koordinat siste-
minde hesaplayalm:
ωF S
=
=
=
=
i
2
i
2
i
2
i
2
∂ ∂¯ log(1 + ∥(z1 , · · · , z2 )∥2 )
¯ + ∥(z1 , · · · , z2 )∥2 )
∂(1
)
1 + ∥(z1 , · · · , z2 )∥2
z1 dz¯1 + z2 dz¯2
∂ (
)
1 + z1 z¯1 + z2 z¯2
(1 + z2 z¯2 ) dz1 ∧ dz¯1 + (1 + z1 z¯1 ) dz2 ∧ dz¯2
(1 + z1 z¯1 + z2 z¯2 )2
i z1 z¯2 dz¯1 ∧ dz2 + z2 z¯1 dz¯2 ∧ dz1
+
.
2
(1 + z1 z¯1 + z2 z¯2 )2
∂ (
120
Türevlenebilir Manifoldlar
Buradan,
ωF S ∧ ωF S
i
1
= 2 ( )2
dz1 ∧ dz¯1 ∧ dz2 ∧ dz¯2
2 (1 + z1 z¯1 + z2 z¯2 )3
1
= 2
dx1 ∧ dy1 ∧ dx2 ∧ dy2
2
2
(1 + x1 + y1 + x22 + y22 )3
elde edilir.
(x1 , y1 , x2 , y2 )
Bu formun koordinatlar
R4 üzerindeki integrali
M ⊆ CP n içinde karma³k
olan
yaknsaktr ve pozitif bir sayya e³ittir. Dolaysyla,
boyutu iki olan bir karma³k alt manifold ise
∫
ωF S ∧ ωF S
M
integrali pozitif bir saydr. Benzer sonucun her boyut için geçerli oldu§unun
gösterilmesini okuyucuya al³trma olarak brakyoruz.
2.4
Al³trmalar
1. Tkz bir manifoldun atlasnda en az iki koordinat sistemi oldu§unu gösteriniz.
2. Gerçel projektif do§runun bir boyutlu küreye, karma³k projektif do§runun da iki boyutlu küreye difeomork oldu§unu gösteriniz.
3.
Rn 'nin açk bir alt kümesi R'nin
n = 1 oldu§unu gösteriniz.
açk bir alt kümesine homeomork ise
4. Karma³k boyutu bir olan (dolaysyla gerçel boyutu iki olan)
ma³k manifoldlara Riemann yüzeyleri denir. E§er
yüzeyi ise her analitik
f :Σ→C
Σ
C∞
kar-
tkz bir Riemann
fonksiyonunun sabit oldu§unu göste-
riniz. (pucu: Maksimum Modülüs Prensibini kullannz.)
5.
(a)
M
Türevlenebilir bir manifold ve
küme olmak üzere,
Gp
p ∈ U ⊆ M rastgele bir açk
U kümesi üzerindeki tü-
de§i³meli halkasn,
revlenebilir fonksiyonlar halkasnn uygun bir direkt limiti oldu§unu
gösteriniz:
Gp =
lim
p∈U ⊆M
C ∞ (U, R).
(b) Karma³k bir manifoldun herhangi bir noktasndaki analitik fonksiyon tohumlarnn bu nokta etrafnda tanmlanm³ yaknsak çok
de§i³kenli karma³k kuvvet serileri oldu§unu gösteriniz.
6. Birinci bölümde görmü³ oldu§umuz Taylor Teoremi'ni kullanarak Önerme 2.1.6'nn kantnda kulland§mz a³a§daki ifadenin do§ru oldu§unu
121
Al³trmalar
gösteriniz: Taylor açlm
n
∑
∂g
g(x1 , · · · , xn ) = g(p0 ) +
(p0 )(xi − ai )
∂xi
i=1
+
n
1 ∑ ∂2g
(ξ)(xi − ai )(xj − aj ) ,
2
∂xi ∂xj
i,j=1
olan türevlenebilir fonksiyon için
∂2g
(ξ)(xi − ai )
∂xi ∂xj
ifadesi de türevlenebilir bir fonksiyondur.
7. Bu al³trmada Teorem 2.2.6'y tkz olmayan manifoldlara geni³letece§iz.
Biz kantn ana hatlarn sunaca§z; detaylar okuyucuya brakaca§z. Bunu dört admda yapaca§z. Türevlenebilir
n-boyutlu
bir
M
manifoldu
alalm.
(a) Bu ksmda Poincaré zomorzmas olarak bilinen sonucun (Teorem 4.4.1) kantnn dördüncü admndaki iddiay ve kantn takip
edece§iz. Manifold
Ue
ve
Uo
gibi iki açk kümenin birle³imi olarak
yazlabilir öyle ki,
i.
Ue = ∪k U2k+1
ve
Uo = ∪k U2k
koordinat kom³uluklarnn
birle³imidir;
ii. Her
k ̸= l ≥ 0
tam saylar için,
U2k+1 ∩ U2l+1 = ∅ = U2k ∩ U2l ,
iii. Her
k ≥ 0
tam says için, bir
olacak ³ekilde bir
iv. Her
k≥0
Vk
V k ⊆ Uk
olur;
ve
M = ∪k Vk
açk kümesi vardr;
tam says için, bir
ϕk : M → R n
türevlenebilir bir
ϕk |V görüntüsüne bir difeomorzma
k
ϕk (M − Uk ) = {0}'dr. Ayrca, her k ̸= l ≥ 0 tam saylar
için, ϕk (Vk ) ∩ ϕl (Vl ) = ∅'dir;
∑
∑
ϕe = k ϕ2k : M → Rn ve ϕo = k ϕ2k+1 : M → Rn olmak
2n bir batrma fonksiyonudur.
üzere ϕ = (ϕe , ϕo ) : M → R
fonksiyon vardr, öyle ki
ve
v.
(b)
M üzerinde tanml, gerçel de§erli türevlenebilir düzgün bir ρ :
M → R fonksiyonu vardr. Bunu ³u ³ekilde görebiliriz: M = ∪n Vn ,
V n ⊂ Un ⊆ M , yerel sonlu {Un } açk kümeler ailesi için ρn : M →
−1
[0, 1], türevlenebilir fonksiyonlar bulabiliriz öyle∑
ki, ρn (1) = V n
−1
ve ρn (0) = M − Un olsun. Bu durumda ρ =
n n ρn istenilen
fonksiyonu verir.
122
Türevlenebilir Manifoldlar
(c)
σe =
∑
k
ρ2k
σo =
∑
k
ρ2k+1
fonksiyonlarn tanmlayalm. Bu
durumda,
f : M → R2n+3 , f (p) = (ϕ(p), ρ(p), σe (p), σo (p)) ,
fonksiyonu bir gömme fonksiyonudur. (pucu: Yukarda yaptklarmzdan dolay bu fonksiyonun düzgün bir batrma fonksiyonu oldu§u açktr. Fonksiyonun bire bir oldu§unu ise ³u ³ekilde göstere-
p ∈ V2k0 ve
q ∈ V2l0 ise kolayca k0 = l0 oldu§u görülür. Dolaysyla, p = q
elde edilir. Benzer ³ekilde p ∈ V2k0 +1 ve q ∈ V2l0 +1 durumu da
yaplr. O halde, (p ∈ Vn ⇒ n = 2k0 ) ve (q ∈ Vn ⇒ n = 2l0 + 1)
biliriz.
f (p) = f (q)
olsun. E§er, baz
k0 , l 0
için,
oldu§unu kabul edebiliriz. Bu durumda da, son iki koordinat kullanarak kant tamamlarz.
(d) Son olarak
f : M → R2n+3
gömme fonksiyonunun, ard ardna
iki kere, uygun hiper alt uzaylarn dik iz dü³üm fonksiyonlar ile bile³kesini alarak kant tamamlarz. (Dik iz dü³ümler, bile³kelerinin
çekirde§i
(0, 0, · · · , 0, 1, 0, 0)
vektörünü içermeyecek ³ekilde seçil-
melidir.)
8. Örnek 2.1.20'de ele ald§mz
siyonunun herhangi bir
Q
Φ : M (n, n) → S(n), Φ(Q) = QT Q,
fonk-
noktasndaki türevi
(DΦ)Q : M (n, n) → S(n) ,
A 7→ QT A + AT Q
ile verilir. Bunun örten oldu§unu gösteriniz.
9. Möbius ³eridinin
R3
içine bir gömülmesini veriniz. Möbius ³eridinin
R2
içine gömülemeyece§ini gösteriniz.
10. Determinat bire e³it olan
(n2 − 1)-boyutlu
n × n-matrisler
kümesinin,
SL(n) ⊆ M (n, n),
bir alt manifold ve bu alt manifoldun birim matristeki
te§et uzaynn da izi sfr olan matrislerin olu³turdu§u vektör uzay,
sl(n),
oldu§unu gösteriniz.
11. Örnek 2.2.7'de ele ald§mz e§rinin hiç bir alt uzaya dik iz dü³ümünün
düzgün bir fonksiyon olmad§n gösteriniz.
12.
R3
2-formun iki tane
4 üzerindeki
gösteriniz. R
üzerindeki her
bildi§ini
1-formun d³ çarpm olarak yazla-
ω = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4
2-formunun iki tane 1-formun d³ çarpm olarak yazlamayaca§n gösteriniz.
13. Örnek 2.3.5'de verilen geri çekme i³lemlerini tamamlaynz.
123
Al³trmalar
14. Örnek 2.1.10 içinde
RP 1
için olu³turdu§umuz vektör alannn Ör-
nek 2.1.4'te verilen koordinat sistemleri yardmyla düzlemdeki birim
çembere ta³nd§nda çember üzerinde birim uzunlukta bir vektör alan
olu³turdu§unu gösteriniz.
15. Önerme 2.3.7'in kantn tamamlaynz. Bu önermenin manifoldlar üzerindeki türevlenebilir formlar için de do§ru oldu§unu gösteriniz.
16. Yönlendirilebilir ve ba§lantl her manifoldun iki farkl yönlendirmesi oldu§unu gösteriniz.
17. Sonlu sayda manifoldun Kartezyen çarpmnn herhangi bir noktasndaki te§et uzaynn, çarpm olu³turan manifoldlarn te§et uzaylarnn
kartezyen çarpmna do§al olarak izomork oldu§unu gösteriniz.
18. Her kürenin yönü ters çeviren bir difeomorzmas oldu§unu gösteriniz.
Di§er taraftan,
CP 2
karma³k projektif düzleminin yönü ters çeviren
bir difeomorzmas yoktur. Bu iddiay kantlamak için karma³k projektif
düzlemin kohomoloji halka yapsn kullanabiliriz. Bunu ise 4. Ünite'de
i³leyece§imiz Poincaré zomorzmas yardmyla yapabiliriz.
19.
M
N
ve
yönlendirilebilen
n-boyutlu
ϕ : M → N
iki manifold ve
herhangi bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun yerel difeomorzma olmas
için gerek ve yeter ko³ulun
ω∈
Ωn (M )
formu için
M
üzerinde hiç bir noktada sfr olmayan bir
ϕ∗ (ω)
∈ Ωn (M )
formunun hiç sfr olmamas
oldu§unu kantlaynz.
20.
Mm
ve
Nn
M ×N
iki manifold olmak üzere
çarpm manifoldunun
yönlendirilebilir olmas için gerek ve yeter ko³ul her ikisinin de yönlendirilebilir olmasdr. (pucu: Herhangi bir
q ∈ Nn
Rn 'e
M ×N
noktas etrafnda
q ∈ U ⊆ N koordinat kom³ulu§u alalm. E§er
M × U açk kümesi de yönlendirilebilir bir manifolddur. Bu durumda M × U üzerinde hiç sfr olmayan bir m + n form
bize M ∼
= M × {q} üzerinde hiç sfr olmayan bir m form verecektir.)
difeomork bir
yönlendirilebilir ise
21.
G
grubu türevlenebilir ve yönlendirilmi³
M
manifoldu üzerinde difeo-
morzmalarla serbest ve düzgün süreksiz bir ³ekilde etki etsin, öyle ki
bölüm uzay da manifold olsun. Bu durumda
M/G
G
nun yönlendirilebilir olmas için gerek ve yeter ³art
her difeomorzmann
22. Örnek 2.3.14'de
ωS n−1 =
M
Rn − {0}
n
∑
i=1
bölüm manifoldugrubunun içindeki
üzerindeki yönü korumasdr.
manifoldu üzerinde tanmlanan
(−1)i−1 xi
dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 · · · ∧ dxn
(x21 + · · · + x2n )n/2
formunun kapal oldu§unu ve herhangi bir
A ∈ SO(n)
matrisi altnda
de§i³medi§ini gösteriniz. (Bkz. ayrca Ünite 5, Al³trma 8)
124
Türevlenebilir Manifoldlar
23. Karma³k projektif uzay üzerindeki Fubini-Study formunun, karma³k
projektif do§ru durumunda oldu§u gibi,
ωF S =
i ¯
∂ ∂ log ∥(z0 , z1 , · · · , zn )∥2
2
oldu§unu gösteriniz.
24. Karma³k projektif uzay
CP
n
CP n 'nin
karma³k boyutu
m
karma³k alt manifoldunu alalm. Bu durumda,
olan bir
ωF S
Mm ⊆
karma³k
projektif uzay üzerindeki Fubini-Study formu olmak üzere
∫
ωFmS
M
integrali pozitif bir saydr. Kantlaynz. Ayrca, be³inci ünitede
1
πm
∫
ωFmS
M
pozitif saysnn bir tam say oldu§unu görece§iz (bkz. Ünite 5, Al³trma 15).
25. Bu al³trmada verilen bir manifoldun yönlendirme (ikili) örtü uzayn
kuraca§z: Türevlenebilir ve ba§lantl bir
M̃ = {(p, Op ) | p ∈ M
ve
Op , Tp M
M
manifold için
te§et uzaynn bir yönlendirmesi}
kümesini tanmlayalm. Her gerçel vektör uzaynn iki yönlendirmesi oldu§u için
P : M̃ → M, (p, Op ) 7→ p,
örten fonksiyonunun her li iki noktadan olu³ur. Yine
ϕ : Rn → U ⊆ M
her
M
üzerindeki
koordinat kom³ulu§u görüntüleri ayrk olan iki
fonksiyon verir:
ψ1 : Rn → M̃ , p 7→ (p, {
∂
∂
|p , · · · ,
|p })
∂x1
∂xn
ψ2 : Rn → M̃ , p 7→ (p, {−
M̃
ve
∂
∂
|p , · · · ,
|p }).
∂x1
∂xn
kümesinin bu fonksiyonlar koordinat kom³uluklar olarak kabul eden
türevlenebilir manifold yaps ta³d§n gösteriniz. Ayrca bu türevlenebilir yap ile
P : M̃ → M
iz dü³üm fonksiyonunun türevlenebilir ikili örtü
uzay oldu§unu gözlemleyiniz. Son olarak a³a§daki ifadeleri kantlaynz:
(a)
σ : M̃ → M̃ , (p, Op ) 7→ (p, −Op ), fonksiyonu M̃ üzerinde türevlenebilir bir < σ >≃ Z2 -etkisi tanmlar ve P : M̃ → M bu etkinin
bölüm fonksiyonudur.
125
Al³trmalar
(b)
M̃
manifoldu yönlendirilebilirdir.
(c)
M
M̃
manifoldunun ba§lantl olmamasdr.
(d)
manifoldunun yönlendirilebilir olmas için gerek ve yeter ³art
P : M̃ → M
Q : Ñ → N türevlenebilir manifoldlarn yönf : M → N türevlenebilir bir fonksiyon
olsun. Bu durumda Q ◦ F = f ◦ P olacak ³ekilde tam olarak iki
F : M̃ → Ñ türevlenebilir fonksiyonu vardr.
ve
lendirme örtü uzaylar ve
(e)
p ∈ N, f : N → M
bir fonksiyon, q = f (p) ve q̃ ∈
f = P ◦F
olacak ³ekilde tam olarak tek bir F : N → M̃
N
yönlendirilebilir bir manifold,
P −1 (q) ise
türevlenebilir
ve
F (p) = q̃
türevlenebilir
fonksiyonu vardr.
(f )
P : M̃ → M
örtü uzay (e) ³kknda verilen ko³ulu sa§layan ve
derecesi iki olan tek örtü uzaydr. Kantlaynz.
RP 2 × RP 2
dört
manifoldunun dört tane ba§lantl örtü uzayn bulunuz. Hangisi
yönlendirme ikili örtü uzaydr? (Bu ³k Turgut Önder tarafndan
önerilmi³tir.)
(g) Klein “isesi'nin ikili yönlendirme örtü uzay nedir?
26. Bu al³trmada Sard Teoremi'nin bir uygulamas olarak Morse fonksiyonlarn verece§iz. Daha kapsaml bir okuma için [15, 26, 36] numaral
kaynaklara bakabilirsiniz. Özellikle [36] a³a§daki sonuçlar için ayrntl kantlar içeren ilk Türkçe kaynaktr.
U ⊆ Rn alt kümesi üzerinde tanml ve
f : U → R fonksiyonunun herhangi bir p ∈ U
)
( 2
∂ f
(p)
H(f )(p) =
∂xi ∂xj
n×n
Öklit uzaynn açk bir
lenebilir bir
noktasnda
türevkritik
Hessian matrisinin tersi varsa bu kritik noktaya soysuzla³mam³ kritik
nokta denir. E§er
f
fonksiyonunun tüm kritik noktalar soysuzla³mam³
ise bu fonksiyona Morse Fonksiyonu denir.
(a)
Df : Rn → Rn , x 7→ (
∂f
∂f
(x), · · · ,
(x)),
∂x1
∂xn
türev fonksiyonunun türevinin yukardaki Hessian matrisi ile veril-
D(D(f )) = H(f ). Daha sonra Ters Fonksiyon
Teoremi'ni kullanarak f fonksiyonunun soysuzla³mam³ kritik noktalarnn kümesinin U içinde ayrk bir küme oldu§unu gösteriniz.
di§ini gözlemleyiniz:
(b) Soysuzla³mam³ kritik nokta tanmnn koordinat de§i³imi altnda
korundu§unu gösteriniz. Ba³ka bir deyi³le, e§er
f : U → R
ϕ : V → U
p ∈ U
noktas
fonksiyonunun soysuzla³mam³ bir kritik noktas ve
bir difeomorzma ise
ϕ−1 (p)
noktas da
f ◦ϕ :
126
Türevlenebilir Manifoldlar
V → R
fonksiyonunun soysuzla³mam³ bir kritik noktasdr. Bu
sonucu kullanarak manifoldlar üzerinde soysuzla³mam³ kritik nokta
ve Morse fonksiyonu kavramlarn tanmlaynz.
(c) Tkz bir manifold üzerinde tanml her Morse fonksiyonunun sonlu
sayda kritik noktas oldu§unu gösteriniz.
(d)
M n ⊆ RN
bir alt manifold ve
f :X →R
herhangi bir türevle-
nebilir fonksiyon olsun. Bu durumda Lebesgue ölçümü sfr olan bir
C ⊆ RN
a = (a1 , · · · , aN ) ∈ RN − C
kümesi d³ndan alnan her
vektörü için
fa : X → R , x 7→ f (x) + a1 x1 + · · · + aN xN ,
fonksiyonu bir Morse fonksiyonudur.
(e) Morse Yardmc Teoremi:
p∈U
soysuzla³mam³ bir
f :U →R
türevlenebilir fonksiyonunun
kritik noktasn alalm. Bu durumda bu
nokta etrafnda öyle bir koordinat sistemi vardr ki, fonksiyon bu
koordinat sisteminde
f (x) = f (p) +
ile verilir. Burada
∑
H(f )(p) = (hij )
hij xi xj
matrisi
f
fonksiyonunun
p
noktasndaki Hessian matrisidir.
f : R → R durumunda kantlaynz. Genellikten
bir ³ey kaybetmeden p = 0 = f (0) oldu§unu kabul edelim. O halde,
Taylor Teoremi'nden yeterince küçük bir (−ϵ, ϵ) aral§nda
Bu sonucu sadece
f (x) = ax2 + C(x)x3
a ̸= 0 gerçel says ve C(x) sürekli fonksiyonu
C(x)√ fonksiyonu da türevlenebilir seçilebilir.
1 + xC(x)/a bir koordinat dönü³ümüBu durumda x 7→ x̃ = x
2 ile verilir.
dür ve bu dönü³üm altnda fonksiyonumuz f˜(x̃) = ax̃
olacak ³ekilde bir
bulabiliriz. Aslnda,
Detaylar doldurunuz. Genel durum için [26, 36] numaral kaynaklara bakabilirsiniz.
Durmad§nz sürece ne kadar yava³ yol ald§-
nzn önemi yoktur.
-Konfüçyüs
3
Vektör Alanlar ve Demetleri
Bu ünitede ilk önce vektör alanlarnn tanmlad§ ak³lar inceleyece§iz. Daha
sonra bu ak³lar kullanarak manifoldlarda çe³itli türev alma metotlarn görece§iz. Bunu yaparken jeodezikleri tanmlayp temel özelliklerinden bazlarn
inceleyece§iz. Te§et demeti ile ilgili birçok kavram vektör demetlerine ta³yarak karakteristik snarn tanmlanabilmesi için gerekli alt yapy olu³turmaya
çal³aca§z. Bu ünite konularn içeren temel kaynaklar için [32], [33], [8], [39],
[2] ve [9] numaral referanslara bakabilirsiniz.
3.1
Vektör Alanlarnn ntegralleri ve Lie Türevleri
3.1.1
M
Vektör Alanlarnn ntegralleri
bir manifold ve
(−a, a)
gerçel say do§rusu üzerinde bir aralk olmak üzere
φ : (−a, a) × M → M,
(t, p) 7→ φ(t, p),
a³a§daki ko³ullar sa§layan türevlenebilir bir fonksiyon olsun:
1. Her
t ∈ (−a, a)
sabit de§eri için,
.
φt : M → M , φt (p) = φ(t, p),
bir
difeomorzmadr;
2. Her
p∈M
3. Herhangi
için,
φ0 (p) = p
s, t ∈ (−a, a)
dir;
de§erleri için
s + t ∈ (−a, a)
ise
φs+t = φs ◦ φt
e³itli§i sa§lanr.
Bu durumda
φt , t ∈ (−a, a),
difeomorzmalar ailesine bir parametreli di-
feomorzma ailesi denir. Sadece ilk ko³ulu sa§layan türevlenebilir fonksiyonlar
ailesine ise manifold üzerinde bir izotopi denir.
127
128
Vektör Alanlar ve Demetleri
(−a, a) = R
Hatrlatma 3.1.1. Yukardaki difeomorzma ailesi için, e§er
ise bu aileyi
(R, +)
M
grubundan
manifoldunun difeomorzmalarnn olu³-
turdu§u grubuna bir homomorzma olarak görebiliriz:
Φ : (R, +) → Dif f (M ), t 7→ (φt : M → M ) .
E§er bu grup etkisi periyodik ise, ba³ka bir deyi³le her
φt ,
olacak ³ekilde bir
T >0
t ∈ (R, +),
için
φt+T =
gerçel says varsa bu etki bir çember etkisine
dönü³ür:
Φ : (R, +)/T · Z ≃ S 1 → Dif f (M ), t 7→ (φt : M → M ) .
Her
φ : (−a, a) × M → M, (t, p) 7→ φt (p),
difeomorzma ailesi manifold
üzerinde bir vektör alan belirler:
.
X : M → T∗ M, X(p) = φ̇0 (p) .
Burada
φ̇0 (p)
t 7→ φt (p), t ∈ (−ϵ, ϵ),
ile
gösteriyoruz. E§er difeomorzma ailesi aslnda bir
alan, her
(t, p) ∈ (−a, a) × M
t = 0 anndaki te§etini
(R, +) etkisi ise, bu vektör
e§risinin
için
X(φt (p)) = φ̇t (p)
ko³ulunu sa§lar:
X(φt (p)) = φ̇0 (φt (p)) =
X(p)
vektör alanna
ailesine de
X(p)
φt
d
d
(φs+t (p)) = φ̇t (p) .
|s=0 (φs (φt (p))) =
ds
ds |s=0
izotopisini üreten vektör alan ve
φt
difeomorzma
vektör alannn ak³ da denir.
“imdi bir vektör alannn integralini alarak bu alann üretti§i izotopiyi ya
da ak³ bulmaya çal³aca§z. A³a§daki örnek her vektör alannn integralinin
alnamayabilece§ini göstermektedir.
Örnek 3.1.2.
R
üzerindeki sabit
x 7→ X(x) =
∂
∂x
vektör alannn üretti§i
φ(t, x) = x + t oldu§u kolayca görülür. Dolaysyla, bu vektör alannn
R − {0} üzerine kstlan³ bir ak³ üretmez. Di§er taraftan, yine R − {0}
∂
t
üzerindeki Y (x) = x
vektör alannn integrali bize ϕt (x) = e x ak³n
∂x
ak³n
verir:
Y (ϕt (x)) = Y (et x) = et x
∂
= ϕ̇t (x)
∂x
A³a§daki teorem tkz manifoldlarda her vektör alannn integrallenebilece§ini göstermektedir.
Teorem 3.1.3.
M
tkz bir manifold ise
M
üzerindeki her
bilir bir vektör alannn tek bir
φ : R × M → M,
türevlenebilir ak³ vardr.
(t, p) 7→ φ(t, p),
X(p)
türevlene-
129
Vektör Alanlarnn ntegralleri ve Lie Türevleri
Kant : Manifold üzerinde herhangi bir
p∈M
noktas alalm. Bu nokta
etrafnda bir koordinat sistemi alarak problemi Öklit uzayna ta³yabiliriz. O
halde,
X(φt (p)) = φ̇t (p)
R×
denklemini
Rn
içinde çözmek istiyoruz.
(0, p) ∈ R × Rn
noktasnn
etrafnda kapan³ tkz olan bir açk dikdörtgen alalm. Bu tkz bölge içinde
X(p)
fonksiyonu ikinci de§i³kenine göre Lipschitz olacaktr. Bu dikdörtgeni
(−ϵp , ϵp ) × U açk bir kümesi üzerinde φ :
p ∈ U için φ(0, p) = p ko³ulunu sa§layan
gerekirse küçülterek denklemin
(−ϵp , ϵp ) × U → M
³eklinde, her
tek bir çözümü oldu§unu görürüz. Manifold tkz oldu§u için bu tipteki sonlu
tane açk
U
kümesi manifoldu örtecektir. Bu sonlu saydaki açk kümeye
kar³lk gelen yine sonlu saydaki
φ0 = idM
ϵp > 0'larn
en küçü§ünü alarak denklemin
ba³langç de§erini sa§layan tek
φ : (−ϵ, ϵ) × M → M
çözümünü elde ederiz.
“imdi de çözümün sadece
(−ϵ, ϵ)
aral§ de§il tüm gerçel eksende tanml
oldu§unu gösterece§iz. Bunu yaparken çözümleri birbirine yap³traca§z: Bir
p∈M
noktas,
−ϵ < t1 < ϵ
(t1 − δ, t1 + δ) ⊂ (−ϵ, ϵ)
gerçel says ve
aral§
seçelim. Bu durumda
f : (−δ, δ) → M, f (t) = φt1 +t (p),
ve
q = φt1 (p)
olmak üzere,
g : (−δ, δ) → M, g(t) = φt (q),
fonksiyonlarnn ikisi de ayn ba³langç de§er probleminin çözümü olacaklardr:
ẏ(t) = X(y(t)) ,
O halde, her
t ∈ (t1 − δ, t1 + δ)
elde edilir. Buradan,
ve
y(0) = q .
p∈M
için
φt+t1 (p) = φt (φt1 (p))
∑
∑
−ϵ < si , tj < ϵ ve
si =
tj
i
ko³ulunu sa§layan
j
sonlu sayda gerçel say için
φs1 ◦ · · · ◦ φsk = φt1 ◦ · · · ◦ φtl
sonucuna varrz. “imdi bu sonucu kullanarak çözümü tüm gerçel eksene geni³letebiliriz.
Teorem 1.2.12'in kantnn altndaki paragrafn sonucunu kullanarak her
t0 ∈ R
Ayrca,
için, φt0 : M → M fonksiyonunun
φt0 ◦ φ−t0 = φ0 = idM oldu§undan
φt0 : M → M
sürekli oldu§unu söyleyebiliriz.
130
Vektör Alanlar ve Demetleri
fonksiyonunun aslnda bir homeomorzma oldu§u sonucuna varrz. Denklemden çözümün
t
de§i³kenine göre sonsuz türevlenebilir oldu§u kolayca görülür.
Denklemi
X(φ(t, p)) = φ̇(t, p)
³eklinde yazp çözümün
p
de§i³kenine göre türevlenebilir oldu§unu kabul
edersek
∂φ
= exp
∂p
∫
t
DX(φ(s, p)) ds
0
elde ederiz. Buradan da çözümün türevlenebilir (her de§i³kene göre sonsuz defa
türevlenebilir) oldu§u sonucuna varrz. O halde, sadece çözümün
p
de§i³keni-
ne göre türevlenebilir oldu§unu göstermek yeterlidir. Bunun için yine yerel bir
koordinat sisteminde, dolaysyla Öklit uzaynda oldu§umuzu kabul edebiliriz.
“imdi bir
her
s ̸= 0
(t0 , x0 ) ∈ R × Rn
için
noktas ve
v ∈ T x 0 Rn
birim vektörü seçelim ve
. φ(t0 , x0 + sv) − φ(t0 , x0 )
A(t0 , s) =
s
bölümünü tanmlayalm. lk önce,
φ(t, x)
fonksiyonunun
v
vektörü boyunca
türevlenebilir oldu§unu görelim. Bunun için
lim A(t0 , s)
s→0
limitinin varl§n göstermeliyiz.
kullanarak
limx→x0 a(x) = 0
X(x)
vektör alannn türevlenebilir oldu§unu
olacak ³ekilde bir
a(x)
için
φ̇(t0 , x) = φ̇(t0 , x0 ) + DX(φ(t0 , x0 )) · (φ(t0 , x) − φ(t0 , x0 ))
+a(φ(t0 , x)) ∥φ(t0 , x) − φ(t0 , x0 )∥
oldu§unu biliyoruz. Aslnda,
X(x)
vektör alan türevlenebilir oldu§u için
a(x) fonksiyonun, her tkz
∥a(x)∥ ≤ CT ∥x−x0 ∥, (t0 , x0 ), (t0 , x) ∈ T , e³itsizli§ini
sa§layacak ³ekilde bir CT sabitine sahip oldu§unu görürüz. “imdi x = x0 +sv
alalm ve yukardaki denklemi s ̸= 0 ile bölerek
Taylor Teoremi'ni kullanarak (Önerme 1.2.11)
T ⊆ R×Rn
bölgesi için
Ȧ(t0 , s) = DX(φ(t0 , x0 ))A(t0 , s) + ∥A(t0 , s)∥ a(φ(t0 , x0 + sv))
elde edelim. Bu denklemin
A(t0 , s)
(∗)
ile iç çarpmn alrsak
1d
(∥A∥2 ) = AT DXA + ∥A∥ a · A
2 dt
elde edilir. Bu durumda öyle
(−r, r)
ve
t ∈ (−ϵ, ϵ)
r, K, ϵ > 0
saylar bulabiliriz ki, her
için,
d
(∥A∥2 ) ≤ K(1 + ∥A∥2 )
dt
0 ̸= s ∈
131
Vektör Alanlarnn ntegralleri ve Lie Türevleri
e³itsizli§i sa§lanr. Buradan
d
(ln(1 + ∥A∥2 )) ≤ K
dt
bulunur. “imdi integral alarak ve her
s ̸= 0
için
∥A(0, s)∥ = ∥v∥ = 1
oldu§unu kullanarak
∥A∥2 ≤ 2eKt − 1
A(t, s)
e³itsizli§ini elde ederiz. O halde,
fonksiyonu
(−ϵ, ϵ) × ((−r, r) − {0})
(∗) do§rusal diferansiyel denkleminin
ν(t, s) = ∥A(t, s)∥ a(φ(t, x0 + sv)) katsay fonksiyon-
üzerinde snrldr. Buradan yukardaki
µ(t) = DX(φ(t, x0 )) ve
(−ϵ, ϵ)×(−r, r) üzerinde sürekli oldu§u sonucuna varrz (türevin tanmndan dolay t yeterince küçük oldu§unda a(φ(t, x)) fonksiyonun x ̸= x0
oldu§u durumda sürekli oldu§u açktr). Bu denklemin Y (0, s) = v ba³langç
de§erini sa§layan, (−ϵ, ϵ) × (−r, r) kümesi üzerinde tanml tek çözümünü
Y (t, s) ile gösterelim (s ̸= 0 sabit tutulurken). Çözümün her iki de§i³kene
larnn
göre de sürekli oldu§unu görmek için
Ẏ (t, s) = DX(φ(t, x0 )) · Y (t, s) + ∥A(t, s)∥ a(t, φ(t, x0 + sv))
denklemini
Ẏ (t, s) − µ(t) · Y (t, s) = ν(t, s)
∫t
³eklinde yazalm. Denklemi
Y (t, s) = e
∫t
0
µ(τ ) dτ
e− 0 µ(τ ) dτ integral çarpan yardmyla çözersek
)
(
∫ t
∫ ′
′
′
− 0t µ(τ ) dτ
dt
(∗∗)
ν(t , s) e
v+
0
elde ederiz.
ν(t, s)
sürekli oldu§undan
üzerinde süreklidir. Son olarak, her
Y (t, s) = A(t, s)
Y (t, s) fonksiyonu da (−ϵ, ϵ)×(−r, r)
(t, s) ∈ (−ϵ, ϵ) × ((−r, r) − {0}) için
oldu§undan
φ(t, x0 + sv) − φ(t, x0 )
= Y (t, 0)
s→0
s
lim A(t, s) = lim
s→0
elde edilir. Dolaysyla,
φ(t, x)
fonksiyonunun yönlü türevleri vardr. O hal-
de, bu fonksiyonun türevlenebilir oldu§unu kantlamak için yönlü türevlerinin
Y (t, s) fonksiyo(∗∗)'da verilen ifadesinden dolay µ(t) = DX(t, φ(t, x0 )) ve ν(t, s) =
∥A(t, s)∥ a(φ(t, x0 + sv)) katsay fonksiyonlarnn (t, x0 ) ikilisine göre sürekli oldu§unu görmeliyiz. DX türevlenebilir ve φ(t, x0 ) sürekli oldu§undan
µ(t), (t, x0 ) ikilisinin fonksiyonu olarak süreklidir. Di§er taraftan, A(t, s) =
φ(t, x0 + sv) − φ(t, x0 )
fonksiyonunun s ̸= 0 oldu§u durumda sürekli oldu§u
s
sürekli oldu§unu göstermek yeterli olacaktr. Bunun için ise,
nunun
132
Vektör Alanlar ve Demetleri
açktr. Taylor Teoremi'nden dolay
a(φ(t, x0 + sv))
fonksiyonu da
(t, x0 , s)
üçlüsüne göre süreklidir (bkz. Teorem 1.2.10). Ayrca,
lim a(φ(t, x0 + sv)) = 0
s→0
ve A(t, s) snrl oldu§undan ν(t, s) = ∥A(t, s)∥ a(φ(t, x0 + sv)) fonksiyonu
(t, x0 ) ikilisinin sürekli bir fonksiyonu olacaktr. Böylece kant tamamlanr. 2
Hatrlatma 3.1.4. 1)
Manifoldun tkz olmas ko³ulu vektör alannn tkz
destekli olmas ko³ulu ile de§i³tirilebilir.
I⊆R
2)
açk bir aralk olmak üzere
X : I × M → T∗ M, (t, p) 7→ X(t, p),
zamana ba§l bir vektör alan
I×M
çarpm manifoldu üzerinde bir vektör
alan tanmlar:
Y : I × M → T∗ (I × M ), (t, p) 7→ (
Bu vektör alannn ak³ bir
J ⊆R
∂
+ X(t, p)) .
∂t
aral§ için
φ : J × I × M → I × M, (s, t, p) 7→ (ϕ(s, t, p), θ(s, t, p))
ile veriliyorsa
.
Θ : J × I × M → M, (s, t, p) 7→ Θs,t (p) = θ(s, t, p)
zamana ba§l bir ak³ verir. Bu ak³n a³a§daki özelliklerinin kantlar okuyucuya braklm³tr (bkz. Al³trma 1):
a)
Her
b)
Her
3.1.2
t1 ∈ J , t2 ∈ J ∩ I ve t3 ∈ I için Θt3 ,t2 ◦ Θt2 ,t1 = Θt3 ,t1 'dir.
s, t ∈ J ∩ I için Θs,t ◦ Θt,s = IdM olur.
Lie Türevi
Öklit uzay üzerinde türevlenebilir bir
bir
p∈
Rn noktasndaki, verilen bir
Dv (f )(p) = lim
t→0
f : Rn → R fonksiyonunun herhangi
v ∈ Rn vektörü boyunca yönlü türevi,
f (p + tv) − f (p)
,
t
limiti ile tanmlanr. Bu tanmda kullanlan,
p
noktasndan
v
t 7→ p + tv ,
e§risi Öklit uzaynda,
vektörü boyunca hareket etmemizi sa§layan en do§al yolu
verir. Di§er taraftan ayn e§ri, integrali
φ : R × Rn → Rn ,
fonksiyonu olan
φ(t, p) = p + tv,
X(p) = v , (t, p) ∈ R × Rn ,
sabit vektör alannn ak³ndan
ba³ka bir ³ey de§ildir. O halde, yukardaki yönlü türev
f (φ(t, p)) − f (p)
,
t→0
t
lim
133
Vektör Alanlarnn ntegralleri ve Lie Türevleri
limitine e³ittir.
Bu tanm do§rudan manifoldlara ta³nabilir:
X : M → T∗ M
ve
M
türevlenebilir bir manifold
bu manifold üzerinde integrali
f :M →R
alan olmak üzere, türevlenebilir bir
φ(t, p)
olan bir vektör
fonksiyonunun
X
vektör
alan yönündeki Lie türevi
f (φ(t, p)) − f (p)
,
t→0
t
LX (f )(p) = lim
φ(0, p) = p oldu§undan bu limit p ∈ M
derivasyonunun f fonksiyonundaki de§erine e³ittir:
ile tanmlanr.
noktasndaki
X(p)
LX (f )(p) = X(f )(p) .
Benzer ³ekilde vektör alanlarnn ve diferansiyel formlarn bir vektör alan
boyunca Lie türevini tanmlayabiliriz. Fakat vektör alanlar ve türevlenebilir
formlar gerçel de§erli fonksiyonlar olmadklar için bunlarn
p
ve
φ(t, p)
noktalarndaki de§erlerini
Dφt (p) : Tp M → Tφ(t,p) M
izomorzmas yardmyla kar³la³traca§z.
Y 'nin X
olmak üzere
Y : M → T∗ M
bir vektör alan
boyunca Lie türevi
1
LX (Y )(p) = lim [Dφ−t (φ(t, p)) · Y (φ(t, p)) − Y (p)],
t→0 t
ile tanmlanr.
“ekil 3.1:
“imdi de
formun
X
M
Y
vektör alannn
üzerinde bir
X
vektör alan boyunca Lie türevi
ω ∈ Ωk (M )
vektör alan boyunca Lie türevi,
türevlenebilir
q = φ(t, p)
k -form
alalm. Bu
olmak üzere
1
LX (ω)(p) = lim [φ∗t (q)(ω) − ω](p),
t→0 t
³eklinde tanmlanr.
Tanmlad§mz bu Lie türevlerinin temel özelliklerine
geçmeden önce bir iki tanm vermemiz gerekiyor. Yukardaki gösterimi kullanarak,
X
ve
Y
vektör alanlarn
f :M →R
fonksiyonuna srayla uygulayalm:
134
Vektör Alanlar ve Demetleri
Bu vektör alanlarn yerel bir koordinat sisteminde
Y (p) =
∑
j bj (p)
∂
∂xj
X(p) =
∑
∂
i ai (p) ∂xi
ve
olarak yazalm. Bu durumda kolayca
∑ ∂bj ∂f
∂2f
.
X ◦ Y (f ) = X(Y (f )) =
ai
+ ai bj
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
i,j
elde edilir.
X ◦Y
bile³kesi bir vektör (derivasyon) alan de§ildir (bkz. Al³tr-
ma 2). Di§er taraftan,
(X ◦ Y − Y ◦ X)(f ) =
∑
∂bj
∂aj ∂f
− bi
)
∂xi
∂xi ∂xj
(ai
i,j
oldu§undan
X ◦Y −Y ◦X
fark bir vektör alandr. Bu vektör alann
.
[X, Y ] = X ◦ Y − Y ◦ X
kö³eli parantezi ile gösterece§iz.
Türevlenebilir formlarn Lie türevleri ile ilgili sonuçlara geçmeden önce
türevlenebilir formlarn vektör alanlar boyunca daraltlmasn tanmlayalm:
ω ∈ Ωk (M )
bir
k -form
ve
X, Y1 , · · · , Yk−1
vektör alanlar olmak üzere
iX ω(Y1 , · · · , Yk−1 ) = ω(X, Y1 , · · · , Yk−1 )
denklemi yardmyla
ω 'nn
X
M
üzerinde
iX ω ∈ Ωk−1 (M )
olarak tanmlanan forma
vektör alan boyunca daraltlmas denir. Lie türevi bekledi§imiz
³ekilde çarpm (Leibniz) kuralna uyar:
Önerme 3.1.5.
X
ve
Y
vektör alanlar ve
ω
bir form olmak üzere,
LX (iY ω) = iLX Y ω + iY (LX ω).
Kant :
φt
tam olmasa da
manifold üzerindeki
t'nin
X
vektör alannn ak³ olsun (manifold
sfr etrafndaki küçük bir aral§nda tanml bir ak³
mutlaka vardr). “imdi manifold üzerinde herhangi bir
q = φt (p)
p
noktas alalm ve
olsun. Tanmlar kullanarak
φ∗t (iY ω)(p) = φ∗t (ω(q)(Y (q), · · · ))
= φ∗t (ω(q))(Dφ−t (Y (q)), · · · )
= iDφ−t (Y (φt (p))) φ∗t (ω(q))
ve dolaysyla,
LX (iY ω) =
=
d
|t=0 (φ∗t (iY ω))
dt
)
(
d
|t=0 iDφ−t (Y (φt (p))) φ∗t ω
dt
135
Vektör Alanlarnn ntegralleri ve Lie Türevleri
elde ederiz. E³itli§in son teriminde çarpm ³eklinde bulunan her iki ifade de
p
noktasnda tanml zamana ba§l ifadelerdir. Dolaysyla, bu ifadenin türevini
almak için çarpm kuraln kullanabiliriz. O halde,
(
)
d
LX (iY ω) =
|t=0 iDφ−t (Y (φt (p))) φ∗0 ω + iDφ−0 (Y (φ0 (p)))
dt
= iLX Y ω + iY (LX ω)
olur ve böylece kant tamamlanr.
(
)
d
∗
|t=0 (φt ω)
dt
2
A³a§daki sonuç oldukça teknik olmakla beraber hem ba³ka teoremlerin kantnda hem de bir çok geometrik sonucun elde edilmesinde önemli bir yere
sahiptir.
Önerme 3.1.6.
X
ve
Y
vektör alanlar ve
ω
bir form olmak üzere,
d(iX iY ω) + iX (d iY ω) − iY (d iX ω) − iY iX dω − i[X,Y ] ω = 0.
Kant : Kant yerel bir hesaplamadan ibarettir. fadedeki tüm terimler vektör alanlarnn bilineer fonksiyonlar oldu§u için
X=a
∂
∂xi
Y =b
ve
∂
∂xj
oldu§unu kabul edebiliriz. Takip edilmesini kolayla³trmak için ayrca
ve
ω = f dxi ∧ dxj
b=1
alaca§z. Genel durumun kantn okuyucuya al³trma
olarak brakyoruz (bkz. Al³trma 3). “imdi önermenin ifadesinde yer alan tüm
terimleri hesaplayalm.
lk terim
d(iX iY ω) = −d(af ) = −
∑ ∂(af )
k
∂xk
dxk
olur. kinci terim ise
iX (d iY ω) = iX d(−f dxi ) = −iX
∑ ∂f
∑ ∂f
dxk ∧ dxi =
a
dxk
∂xk
∂xk
k̸=i
k̸=i
olarak hesaplanr. Benzer ³ekilde üçüncü terim
iY (d iX ω) = iY d (af dxj ) = iY
∑ ∂(af )
k̸=j
∂xk
dxk ∧ dxj = −
∑ ∂(af )
k̸=j
∂xk
olur. Di§er taraftan, dördüncü terim
iY iX dω = iY iX
∑
∑ ∂f
∂f
dxk ∧ dxi ∧ dxj =
a
dxk
∂xk
∂xk
k̸=i,j
k̸=i,j
dxk
136
Vektör Alanlar ve Demetleri
[X, Y ] = −
olacaktr. Son olarak
∂a ∂
∂xj ∂xi
oldu§undan be³inci terim
i[X,Y ] ω = i− ∂a
∂
∂xj ∂xi
= −f
f dxi ∧ dxj
∂a
dxj
∂xj
olur. Buradan önermenin do§ru oldu§u kolayca görülür.
2
“imdi bu kavramlar kullanarak Lie türevinin daha pratik ³ekillerini verebiliriz.
Teorem 3.1.7.
M
türevlenebilir bir manifold,
ω ∈ Ωk (M )
vektör alanlar ve
türevlenebilir
X, Y bu manifold üzerinde
k -form olsun. Bu durumda,
a³a§daki e³itlikler sa§lanr:
1.
LX (Y ) = [X, Y ]
2.
LX ω = iX (dω) + d (iX ω)
Kant :
X, Y
(Cartan'n Sihirli Formülü).
vektör alanlarnn yerel bir koordinat sistemindeki açlmlar
a³a§daki gibi olsun:
X=
Ayrca,
X
∑
ai
∂
∂xi
vektör alannn ak³
Y =
ve
φ(t, p)
∑
bi
∂
.
∂xi
ile verilsin. lk önce a³a§daki türevi
hesaplayalm:

d
(Y (φ(t, p))) =
dt |t=0
=
d

dt |t=0
∑
∑
=
i,j
ai
bj (φ(t, p))
j
X(bj )
j
∑

∂ 
∂xj
∂
∂xj
∂bj ∂
∂xi ∂xj
= X ◦Y −
∑
i,j
ai bj
∂2
.
∂xj ∂xi
“imdi teoremin birinci bölümündeki Lie türevini hesaplayabiliriz:
olmak üzere,
q = φ(t, p)
137
Vektör Alanlarnn ntegralleri ve Lie Türevleri
1
LX (Y )(p) = lim (Dφ(−t, q) · Y (q) − Y (p))
t→0 t
d
=
(φ2 (−t, q) · Y (q))
dt |t=0
d
d
= φ2 (0, p) ·
(Y (φ(t, p))) +
(φ2 (−t, φ(t, p))) · Y (p)
dt |t=0
dt |t=0
∑
∂2
= Id(X ◦ Y ) −
ai bj
∂xj ∂xi
i,j
−φ̇2 (0, p) · Y (p) + φ22 (0, p) · φ̇(0, p) · Y (p)
∑
∂2
= X ◦Y −
ai b j
− DX(Y )
∂xj ∂xi
i,j
= X ◦ Y − Y ◦ X.
Son üç e³itli§in elde edilmesinde, bir önceki bölümde verdi§imiz kantn içinde
kulland§mz
∂φ
= exp
∂p
∫
t
DX(s, φ(s, p)) ds
0
p ∈ M noktas için φ2 (0, p) = Id oldu§u
φ22 (0, p) = 0 sonucu kullanlm³tr. Son e³itlik için de,
bu e³itli§inin zamana göre türevini (0, p) noktasnda hesaplayarak elde edilen
e³itli§i kullanlm³tr. lk önce her
ve bundan elde edilen
φ̇2 (0, p)(Y ) = DX(p)(Y ) =
∑
i,j
bi
∑
∂aj d
∂2
=Y ◦X −
ai b j
∂xi dxj
∂xj ∂xi
i,j
ba§nts kullanlm³tr.
ω ∑
formunun derecesi üzerine tümevarm metodu
ile yapaca§z. lk önce, ω =
ci dxi birinci dereceden bir form ve yine
∑
∑ ∂
∂
X =
ai
, Y =
bi
vektör alanlar olsun. Lie türevi için çarpm
∂xi
∂xi
kinci ifadenin kantn
kuraln kullanarak
LX (ω(Y )) = (LX ω)(Y ) + ω(LX (Y ))
ve buradan, yukarda kantlad§mz, bu teoremin ilk ksmn kullanarak
(LX ω)(Y ) = X(ω(Y )) − ω([X, Y ])
e³itli§ini elde ederiz. Do§rudan hesap yaparak
∑
∑
∂ci
∂bi
X(ω(Y )) = X(
ci bi ) =
aj (
bi + ci
)
∂xj
∂xj
i
i,j
138
Vektör Alanlar ve Demetleri
ve
ω([X, Y ]) =
∑
ci (−bj
i,j
∂bi
∂ai
+ aj
)
∂xj
∂xj
sonucuna varrz. Bu durumda
LX (ω)(Y ) =
∑
bi aj
i,j
∂ci
∂ai
+ ci bj
∂xj
∂xj
e³itli§ini buluruz.
“imdi de
d(iX ω)(Y )
d(iX ω)(Y ) = (
ve
iX (dω)(Y )
∑ ∂(ci ai )
i,j
terimlerini hesaplayalm:
dxj )(Y ) =
∂xj
∑
(ai
i,j
∂ci
∂ai
+ ci
) bj ,
∂xj
∂xj
ve benzer ³ekilde
iX (dω)(Y ) = dω(X, Y ) =
∑ ∂ci
(aj bi − ai bj )
∂xj
i,j
elde ederiz. O halde,
(d(iX ω) + iX (dω))(Y ) =
∑
bi aj
i,j
∂ci
∂ai
+ ci bj
= LX ω(Y )
∂xj
∂xj
bulunur ve dolaysyla tümevarmn birinci admn göstermi³ olduk.
Tümevarm admn tamamlamak için derecesi
alalm. Bu durumda
iY ω (k −1)
k>1
olan bir
ω
formu
form olaca§ için sonucun bu form için do§ru
oldu§unu kabul edebiliriz:
LX (iY ω) = d(iX (iY ω)) + iX (d (iY ω)) .
Di§er taraftan bu teoremin kantlad§mz ilk ksm ile Önerme 3.1.5'i kullanarak
LX (iY ω) = i[X,Y ] ω + iY LX ω
e³itli§ini elde ederiz. Bu iki e³itlikten de
iY LX ω = d(iX (iY ω)) + iX (d (iY ω)) − i[X,Y ] ω
LX ω = d(iX ω) + iX (dω) e³itli§i, her Y
LX ω(Y ) = d(iX ω)(Y ) + iX (dω)(Y ) e³itli§inin sa§lanmasna
bulunur. Kolayca görülece§i üzere,
vektör alan için,
denktir. O halde, teoremin kantn tamamlamak için a³a§daki e³itli§in gösterilmesi gerek ve yeterlidir:
d(iX iY ω) + iX (d iY ω) − iY (d iX ω) − iY iX dω − i[X,Y ] ω = 0.
Fakat bu e³itlik zaten Önerme 3.1.6'dan ba³ka bir ³ey de§ildir.
2
Bu bölümü kantn al³trmalara brakaca§mz vektör alanlarnn baz temel özellikleriyle bitirece§iz.
139
Vektör Alanlarnn ntegralleri ve Lie Türevleri
Önerme 3.1.8.
M
X(p)
vektör alanlar alalm. Bu durumda
Y (p)
ve
φt
manifoldu üzerinde integralleri, srasyla,
ve
[X, Y ] kö³eli parantezinin
deyi³le, her t, s ∈ R için
yer de§i³tirmesi için gerek ve yeter ko³ul
üzerinde sfr olmasdr. Ba³ka bir
ψt
olan
bu iki difeomorzmann
manifold
φt ◦ ψs = ψs ◦ φt
olmas
[X, Y ] = 0
ko³uluna denktir.
Vektör alanlar üzerindeki ters de§i³meli kö³eli parantez i³lemi birle³me
özelli§e sahip de§ildir. Yine de bu i³lem a³a§daki özelli§ine sahiptir.
Önerme 3.1.9 (Jacobi E³itli§i).
Y (p)
Z(p)
ve
M
manifoldu üzerinde alnan her
X(p),
vektör alanlar için
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0
e³itli§i sa§lanr.
Jacobi e³itli§ini ve
LX (Y ) = [X, Y ]
(Teorem 3.1.7) Cartan formülünü
kullanarak ³u hesaplar yapalm:
(LX LY − LY LX )Z = LX [Y, Z] − LY [X, Z]
= [X, [Y, Z]] − [Y, [X, Z]]
= [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]]
= −[Z, [X, Y ]]
= [[X, Y ], Z]
= L[X,Y ] Z .
Di§er taraftan, manifold üzerindeki herhangi bir fonksiyon için de
L[X,Y ] (f ) = [X, Y ](f ) = X(Y (f )) − Y (X(f )) = (LX LY − LY LX )(f )
elde edilir. Lie türevinin en genel durumda da bu özelli§e sahip oldu§unun
kantn okuyucuya brakyoruz:
Sonuç 3.1.10.
M
manifoldu üzerinde alnan herhangi iki
X(p)
ve
Y (p)
vektör alan için
L[X,Y ] = LX LY − LY LX
e³itli§i sa§lanr.
Bir
V
vektör uzay üzerinde verilen herhangi bir
v∈V
(V, [ , ])
de§i³meli (ba³ka bir deyi³le, her
Jakobi e³itli§ini de sa§lyorsa
için
[v, v] = 0)
[ , ] : V ×V → V
bilineer i³lemi ayrca
ikilisi Lie cebiri olarak adlandrlr.
Dolaysyla, bir manifold üzerindeki vektör alanlar do§al olarak bir Lie cebiri
olu³tururlar. Manifold üzerine koydu§umuz geometrik yaplar bu Lie cebirinin
baz alt cebirlerini belirler. A³a§da bunun tipik bir örne§ini verece§iz.
140
Vektör Alanlar ve Demetleri
ω türevlenebilir n-boyutlu tam M manifoldu üzerindeki kapal
k -form ve X , ak³ bu formu koruyan bir vektör alan olsun: Her t ∈ R
∗
için, φt (ω) = ω . Bu ko³ul Lie türevinin tanmndan dolay LX (ω) = 0 ko³uluna denktir. Ayrca form kapal oldu§undan bu son ko³ul diX ω = 0 olmasna
Örnek 3.1.11.
bir
denktir. Bu ko³ulu sa§layan vektör alanlar bir vektör uzay olu³tururlar. Ayrca
Önerme 3.1.6'dan dolay bu vektör uzay Lie kö³eli parantezi altnda kapaldr.
Ba³ka bir deyi³le
ω
formunu koruyan vektör alanlar bir Lie alt cebiri olu³-
tururlar.
türevlenebilir manifoldunun her p ∈ M noktasnda
2
olacak ³ekilde kapal bir ω ∈ Ω (M ) formuna manifold üzerinde
Çift boyutlu bir
ω n (p)
̸= 0
bir simplektik yap,
M 2n
(M, ω)
ikilisine ise simplektik manifold denir. Simplektik
yapy koruyan vektör alanlar ise
ω -simplektik
alanlar adn alr. Simplektik
manifoldlar geometri ve topolojinin en zengin çal³ma alanlarndan birisidir.
Bu konudaki en yaygn kaynaklardan birisi [24] numaral referanstr. Simplektik
manifoldlar hem üç hem de dört boyutlu manifoldlar teorilerinde çok önemli
bir paya sahiptir (bkz. [13]).
3.2
Jeodezikler
3.2.1
Jeodezik Denklemi
Bu bölümde her manifoldun üzerine Riemann metri§i konulabilece§ini görece§iz ve bu metrik yardmyla bir takm geometrik hesaplamalar yapaca§z.
Rn }α∈Λ
{ϕα : Uα → Vα ⊆
{ρλ : M → [0, 1]}λ∈Λ
türevlenebilir bir manifold olmak üzere
fold üzerinde yerel sonlu bir atlas ve
uyumlu bir birimin ayr³m olsun.
n
yine R
Rn
M
bu mani-
bu açk örtü ile
üzerindeki her noktann te§et uzayn
ile e³leyerek her bir te§et uzayna bir iç çarpm koymu³ oluruz. Bu
Dϕp : Tp M → Tϕ(p)Rn do§rusal izomorzmas ile Tp M
α ile U
çekelim. g
α üzerindeki bu iç çarpm ailesini gösterelim.
iç çarpm
te§et
uzayna
ki iç
çarpmn negatif olmayan bir do§rusal birle³imi yine bir iç çarpmdr. Bundan
dolay
g=
∑
α gα manifoldun her noktasnda bir iç çarpm verir. Ayrca bu iç
çarpmn katsaylar manifold üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar verir. Açkça
söylemek gerekirse,
ise
∂
}
{
∂xi |p
(x1 , · · · xn )
manifold üzerinde yerel bir koordinat sistemi
yerel taban için Riemann metri§inin bile³enleri
∂
∂
.
gij (p) = g(p)(
)
∂xi |p ∂xj |p
olarak tanmlanr. Bu durumda
g = (gij )
gij : Uα → R
türevlenebilir bir fonksiyondur.
iç çarpmna manifold üzerinde bir Riemann metri§i,
ikilisine de bir Riemann manifoldu denir.
(M, (gij ))
141
Jeodezikler
Türevlenebilir bir
γ : [a, b] → M
∫ b∑
E(γ) =
a
bir e§risi için,
gij (γ(s)) γ̇i (s)γ̇j (s) ds
ij
gerçel saysna bu e§rinin enerjisi,
L(γ) =
∫ b √∑
a
gij (γ(s)) γ̇i (s)γ̇j (s) ds
ij
gerçel saysna ise bu e§rinin uzunlu§u denir. A³a§daki teorem bir Riemann
manifoldu üzerinde enerji fonksiyonelinin kritik noktas olan bir e§rinin,
1, · · · , n,
i=
olmak üzere
γ̈i = −
∑
1 ∑ im l
j
m
g (gjm + glm
− gjl
) γ̇j γ̇l = −
Γijl γ̇j γ̇l
2
l,j
m,l,j
denklem sistemini sa§lad§n göstermektedir. Bu denklemi sa§layan e§rilere
Γijl =
jeodezik denir.
1
2
∑
m
j
m)
l
+ glm
− gjl
g im (gjm
fonksiyonlar Riemann
metri§inin ikinci tip Christoel sembolleri olarak adlandrlr.
A³a§daki teoremin kantnda birçok kitapta bulunan Birinci Varyasyon
Formülü (First Variation Formula) yakla³m yerine Fourier serilerini kullanaca§z. Daha sonra enerji fonksiyonelinin kritik noktalar ile uzunluk fonksiyonelinin kritik noktalarn kar³la³trarak geometrik sonuçlar elde edece§iz. Bu
bölümde a³a§daki teorem hariç Spivak'n (birinci cildindeki baz al³trmalar
yaparak) kitabn ([32]) takip edece§iz.
Teorem 3.2.1.
(M, g) n-boyutlu
bir Riemann manifoldu ve
γ = (γ1 , · · · , γn )
bu manifold üzerinde enerji fonksiyonelinin kritik noktas olan e§ri ise, her
i = 1, · · · , n
için,
γ̈i +
∑
Γijl γ̇j γ̇l = 0
j,l
olur.
Kant : E§rimiz enerji fonksiyonelinin bir kritik noktas oldu§undan e§rinin sadece herhangi bir koordinat sistemi içinde kalan parçasnn de§i³imini
M = Rn olarak alabiliriz. Metri§i
g = (gij ) ile gösterelim. γ = (γ1 , · · · , γn ), s ∈ [0, 1] için, γ(0) = (0, · · · , 0)
ve γ(1) = (1, 0, · · · , 0) noktalarn birle³tiren bir e§ri olsun. γ1 (s) fonksiyonunun [0, 1] aral§nn bir difeomorzmas oldu§unu kabul edelim (türevlenebilir
incelemek yeterlidir. Ba³ka bir deyi³le,
her e§ri için bu tür bir yerel koordinat sistemi vardr; çünkü verilen herhangi
bir
s0 ∈ [0, 1]
de§eri için en az bir
bir aralk üzerinde
X
γi
γ̇i (s0 ) ̸= 0
oldu§una göre
s0
etrafndaki
bir difeomorzma olur).
bu e§rinin açk bir kom³ulu§unda desteklenen ve e§rinin uç noktalarnda
sfr de§eri alan bir vektör alan ve
φ t : Rn → Rn
bu vektör alannn ak³
142
Vektör Alanlar ve Demetleri
.
γ t (s) = φt (γ(s)) γ(s) = γ 0 (s)
olsun. Bu durumda
e§risinin bir de§i³imi
olacaktr. “imdi bu de§i³imin enerjisini yazalm:
1
E(γ ) =
2
∫
1
t
0
∑
(
gij (γ t (s)) γ̇it γ̇jt ) ds.
i,j
Bu durumda
d
d
d
d
d
(γ t (s)) =
(φt (γ(s))) =
X(γ(s)) = DX(γ̇(s))
dt |t=0 ds
dt |t=0 ds
ds
oldu§undan enerji fonksiyonelinin türevi a³a§daki gibi olur:
d
2E(γ t ) =
dt |t=0
∫
1
+
∫
1
0
∑
(
X(gij )(γ(s)) γ̇i γ̇j ) ds
i,j
∑
(
gij (γ(s)) {(DX)i · γ̇ γ̇j + (DX)j · γ̇ γ̇i }) ds.
0
i,j
(DX)i · γ̇ ile (DX) · γ̇ vektörünün i'inci terimini gösteriyoruz.
k ∈ N ve 1 ≤ l ≤ n sabit pozitif tam saylar için X
vektör alann X(x) = X(x1 , · · · , xn ) = (a1 , · · · , an ) olarak seçelim, öyle ki
al (x) = sin kπx1 ve her m ̸= l için am = 0 olsun. Bu durumda birinci
Burada
Herhangi iki
integralin içindeki terim için
∑
X(gij )(γ(s)) γ̇i γ̇j
=
i,j
∑
am (γ(s))
i,j,m
=
∑
al (γ(s))
i,j
=
∑
∂gij
(γ(s)) γ̇i γ̇j
∂xm
∂gij
(γ(s)) γ̇i γ̇j
∂xl
l
sin(kπγ1 (s)) gij
γ̇i γ̇j ,
i,j
elde ederiz. Di§er taraftan, ikinci integraldeki kö³eli parantezin içindeki ifade
ise
(DX)i · γ̇ γ̇j + (DX)j · γ̇ γ̇i = 2
∑
gil (γ(s)) (kπ cos(kπγ1 ) γ̇1 γ̇i )
i
olur.
Enerji fonksiyoneli
0
=
=
t=0
noktasnda kritik de§ere ula³t§ için
d
2E(t)
dt |t=0
∫ 1 ∑
l
sin(kπγ1 (s)) gij
(
γ̇i γ̇j ) ds
0
i,j
1
∫
+2
0
∑
(
gil (γ(s)) (kπ cos(kπγ1 ) γ̇1 γ̇i )) ds
i
143
Jeodezikler
elde ederiz. Terimlerden birini di§er tarafa atp ikinci integrale ksmi türev
uygularsak
∫
1
sin(kπγ1 (s))(
0
∑
∫
= −2
l
gij
γ̇i γ̇j )ds
i,j
1
0
bulunur. Bu e³itlik her
∑
k ∈ N
∑
(
gil (γ(s))(kπ cos(kπγ1 )γ̇1 γ̇i ))ds
0
∫
= 2
teorisi bize
1
i
∑ d
(
[gil (γ(s)) γ̇i ]) (sin(kπγ1 ) ds
ds
i
do§al says için do§ru oldu§undan Fourier
∑ d
[gil (γ(s)) γ̇i ]
ds
l
gij
γ̇i γ̇j = 2
i,j
i
sonucunu verir (bkz. Al³trma 5). “imdi türevi alp terimleri düzenlersek
∑
l
gij
γ̇i γ̇j
= 2(
∑
i,j
ve buradan da
γ̈i gil +
i
∑
γ̈i gil = −
i
∑
(gilj −
i,j
∑
(g ij )
l
g im (gjm
−
m,l,j
j
ifadesine ula³rz. Bu toplamdaki
gilm γ̇m γ̇i )
i,m
elde ederiz. Riemann metri§inin tersini
γ̈i = −
∑
ve
l
1 l
g ) γ̇i γ̇j
2 ij
ile gösterirsek
1 m
g ) γ̇j γ̇l
2 jl
endekslerinin yerlerini de§i³tirirsek
toplam de§i³mez. O halde,
γ̈i = −
∑
1 ∑ im l
j
m
Γijl γ̇j γ̇l
g (gjm + glm
− gjl
) γ̇j γ̇l = −
2
l,j
m,l,j
jeodezik denklemini elde ederiz.
2
(x1 , · · · , xn ) koordinat sistemi seçelim. E§er yi =
olarak tanmlanrsa (x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn ) manifoldun T∗ M
te§et
demeti üzerinde bir koordinat sistemi olu³turur. M üzerindeki türevlenebilir
her γ(s) e§risi te§et demeti üzerinde do§al bir e§ri verir: s 7→ (γ(s), γ̇(s)).
M
manifoldu üzerinde bir
∂
∂xi
Bu durumda ikinci derece jeodezik denklem sistemi a³a§daki birinci derece
sisteme denktir:
{
Aslnda,
T∗ M
ẋi = yi ,∑
y˙i = − l,j Γijl yj yl ; i = 1, · · · , n
manifoldu üzerindeki
X(x, y) = (y1 , · · · , yn , −
∑
l,j
Γ1jl yj yl , · · · , −
∑
l,j
Γnjl yj yl )
144
Vektör Alanlar ve Demetleri
vektör alannn ak³
φs (x, y) = (γ(s, x, y), γ̇(s, x, y))
olacaktr. Dolaysyla,
Expp : Tp M → M, v 7→ γ(1, p, v)
ile tanmlanan üstel fonksiyon türevlenebilir bir fonksiyondur. Vektör alanlarnn teorisinden her
(x, y) ∈ T∗ M
noktasndan ba³layan bir çözüm e§risinin var
oldu§unu biliyoruz fakat bu e§ri tüm gerçel eksende tanml olmayabilir (bkz.
Al³trma 6). Dolaysyla,
Expp
fonksiyonu
Tp M
te§et uzaynn tamamnda
tanml olmayabilir. Fakat, e§er manifold tkz ise tüm te§et uzaynda tanml
olacaktr.
“imdi jeodeziklerin geometrik özelliklerini inceleyece§iz. Bunun için ilk önce
jeodeziklerin e§ri uzunlu§u ile parametrize edildi§ini gösterece§iz.
Yardmc Teorem 3.2.2. E§er
s ∈ [a, b],
γ : [a, b] → M
bir jeodezik ise
˙ ,
∥γ(s)∥
sabittir. Ba³ka bir deyi³le jeodezikler sabit hzl e§ridirler.
Kant : Do§rudan türev alarak ve
l
gij
=
) 1 (
)
1 ( l
i
l
i
gij + glj
gji
− gilj +
+ glij − gjl
2
2
e³itli§ini kullanarak
d
˙ 2
∥γ(s)∥
ds


∑
d 
=
gij (γ(s)) γ̇i γ̇j 
ds
i,j
∑
l
gij
(γ(s)) γ̇l γ̇i γ̇j
=
i,j,l
+
∑
gkj (γ(s)) γ̈k γ̇j +
gik (γ(s)) γ̈k γ̇i
k,i
k,j
=
∑


)
∑
∑1 (
l
i
γ̇j 
gkj (γ(s)) γ̈k +
gij
+ glj
− gilj γ̇i γ̇l 
2
j
k
i,l


)
∑
∑1 (
∑
l
i
+
γ̇i 
gik (γ(s)) γ̈k +
gji
+ glij − gjl
γ̇j γ̇l 
2
∑
i
k
j,l
= 0
elde ederiz. Son admda e§rinin jeodezik oldu§unu kullandk. O halde,
te§et vektörünün boyu e§ri boyunca sabittir. Bu kant tamamlar.
Örnek 3.2.3. Bu örnekte
GL(n, R) ⊆ M (n, R) = R
n2
2
˙ ,
∥γ(s)∥
Lie grubunun üze-
rine homojen bir Riemann metri§i koyaca§z ve daha sonra bu metri§in jeodezikleri ile üstel fonksiyonunu hesaplayaca§z. Manifoldun birim matristeki
TId GL(n, R) = M (n, R)
te§et uzay üzerinde standart iç çarpm alalm:
(· , ·)Id : TId GL(n, R) × TId GL(n, R) → R , (A, B) 7→ tr(At B).
145
Jeodezikler
Herhangi bir
P ∈ GL(n, R)
noktasndaki te§et uzay üzerindeki iç çarpm da
P · : GL(n, R) → GL(n, R), Q 7→ P Q
difeomorzmasnn
P · : TId GL(n, R) → TP GL(n, R), A 7→ P A
P nokv ∈ TId GL(n, R)
türevinin verdi§i do§rusal izomorzma ile tanmlayalm. Dolaysyla,
tasndaki iç çarpm
(· , ·)P
u
ile gösterirsek, her
ve
vektörleri için
(u, v)Id = (P u, P v)P
olur. Ba³ka bir deyi³le,
GL(n, R)
Lie grubu üzerine homojen bir Riemann
metri§i koymu³ olduk. Di§er taraftan,
ϕ : TId GL(n, R) = M (n, R) → GL(n, R),
A 7→ e =
A
∞
∑
An
n=0
n!
A
trA >
fonksiyonu birim matris etrafnda bir koordinat sistemi verir (det(e ) = e
0 oldu§undan eA matrisinin tersi vardr; bkz. Ünite 1, Al³trma 36). Bunu
görmek için bu fonksiyonun türevini hesaplayalm:
TA (TId GL(n, R)) ≃ TId GL(n, R)
DϕA (B) =
elde ederiz.
eA
A ∈ TId GL(n, R)
ve
B∈
için
d
|t=0 (eA+tB ) = eA B
dt
matrisinin tersi oldu§undan bu fonksiyon bir izomorzmadr.
Dolaysyla, bu fonksiyon her nokta etrafnda yerel bir difeomorzma verir.
Ayrca, bu koordinat sisteminde Riemann metri§ini yazarsak
gA (u, v) = (DϕA (u), DϕA (v))eA = (eA u, eA v)eA = (u, v)Id
elde ederiz. Ba³ka bir deyi³le,
TId GL(n, R) = M (n, R)
koordinat sisteminde
standart Öklit metri§ini elde etmi³ oluruz. O halde, bu uzay üzerindeki jeodezikler do§rulardr. Dolaysyla, merkezden geçen
tA e§rileri de GL(n, R)
altndaki görüntüleri, e
manndan geçen jeodeziklerdir. O halde,
ϕ
t 7→ tA
do§rularnn
ϕ
Lie grubunun birim ele-
fonksiyonu Riemann metri§inin
vermi³ oldu§u üstel fonksiyondur.
Örnek 2.1.20'de ortogonal grubun birim matristeki te§et uzaynn
TId O(n) = {A ∈ M (n, n) | AT + A = 0}
ters simetrik matrisler vektör uzay oldu§unu görmü³tük.
GL(n, R)
O(n)
manifoldunu
manifoldundan ald§ Riemann metri§i ile dü³ünelim. Bu durumda
ExpId : TId O(n) → O(n)
146
Vektör Alanlar ve Demetleri
üstel fonksiyonu yine
ExpId (A) = eA =
∞
∑
An
n!
n=0
gibi tanmlanr. Aslnda
görebiliriz.
A
Q = eA
matrisinin ortogonal oldu§unu ³u ³ekilde
matrisi ters simetrik oldu§undan
t
t
Id = e0 = eA+A = eA eA = eA (eA )t = Q Qt
elde ederiz. Özel do§rusal grup
SL(n)
manifoldu için de benzer bir hesap yap-
labilir (bkz. Al³trma 12). Son olarak bir noktay belirtmeliyiz. Matris gruplar
üzerine koydu§umuz metrik homojendir. Ba³ka bir deyi³le, herhangi bir noktay
birim matrise o matrisin tersi ile ta³yarak o noktay birim matris olarak görebiliriz. Dolaysyla, her jeodezik birim matristen geçen bir jeodezi§in bir matris
ile ötelemesidir.
(M, g)
“imdi de genel bir
Riemann manifoldunun üstel fonksiyonunun
s-de§i³kenine göre homojendir; ba³ka
bir deyi³le, e§er γ(s) bir jeodezik ise γ(as), a ̸= 0, e§risi de bir jeodeziktir.
Aslnda, her a ̸= 0 için, γ(s, p, v) ve γ(as, p, v) jeodezikleri ayn ba³langç
de§erlerine sahip olduklarndan γ(as, p, v) = γ(s, p, av) olur. Bunu kullanarak
türevini hesaplayalm. Jeodezik denklemi
D(Expp )0 = IdTp M
oldu§unu görürüz (bkz. Al³trma 13). Buradan,
Expp : Tp M → M
fonk-
siyonun sfr vektörünün bir açk kom³ulu§undan görüntüsüne difeomorzma
oldu§u sonucuna varrz.
Benzer ³ekilde,
F : T∗ M → M × M, (p, v) 7→ (p, Expp (v))
(p, 0)
F (p, 0) = (p, p)
fonksiyonunun
tan,
noktasndaki türevi de birim dönü³ümdür. Di§er tarafoldu§undan
F
bir difeomorzma oldu§unu görürüz. Ba³ka bir
yeterince küçük her
U
(p, 0) noktas etrafnda
deyi³le, p ∈ M noktasnn
fonksiyonunun
kom³ulu§u için, bu kom³uluktaki herhangi iki noktay
birbirine ba§layan bir jeodezik vardr. Bu jeodezik bir ba³langç de§er probleminin çözümü oldu§undan ayn zamanda tektir. Son olarak jeodeziklerin hz
sabit oldu§undan jeodezi§in uzunlu§u ilk hz ile tanmland§ aral§n boyunun
çarpm kadar olacaktr. Dolaysyla, a³a§daki sonucu kantlam³ olduk.
Sonuç 3.2.4. Herhangi bir
(M, g)
noktas alalm. Bu durumda öyle bir
says vardr ki,
U
Riemann manifoldu üzerinde bir
p∈U
açk kom³ulu§u ve
r>0
p∈M
gerçel
içinde ald§mz herhangi iki noktay birbirine ba§layan tek
bir jeodezik vardr ve bu jeodezi§in uzunlu§u
r
gerçel saysndan küçüktür.
Daha fazla ilerleyebilmek için Gauss'un a³a§daki sonucuna ihtiyacmz var.
147
Jeodezikler
Yardmc Teorem 3.2.5 (Gauss'un Yardmc Teoremi). Yukardaki sonucun
ko³ullarn sa§layan
p ∈ U ⊆ M
noktasndan geçen jeodezikler her
ve
r > 0
C<r
için
alalm. Bu durumda
p ∈ U
SC = {Expp (v) | ∥v∥ = C < r}
hiper yüzeylerine diktir.
Kant :
v : R → Tp M , ∥v(t)∥ = C ,
her
t∈R
için, türevlenebilir bir e§ri
olmak üzere,
f (s, t) = Expp (sv(t)) , s ∈ (−1, 1),
fonksiyonunu tanmlayalm. O halde, kantlamamz gereken sonuç tam olarak
<
∂f
∂f
(s, t),
(s, t) >= 0
∂s
∂t
iç çarpmnn sfr oldu§udur. Yardmc Teorem 3.2.2'in kantna benzer ³ekilde
∑
∂ 2 f k ∂f i
∂
∂f ∂f
gik
<
,
> =
∂s
∂s ∂t
∂s∂t ∂s
i,k
+
∑1
i,j,l
ve
elde ederiz. Di§er
2
l
i
(gji
+ glij − gjl
)
∂f j ∂f l ∂f i
∂s ∂t ∂s
∂
∂f ∂f
∂
∂f ∂f
<
,
>= 2
<
,
>
∂t
∂s ∂s
∂s
∂s ∂t
taraftan, ∂f /∂s vektörü s 7→ f (s, t) jeodezi§inin s
ann-
daki te§et vektörü oldu§undan bu vektörün uzunlu§u tüm jeodezik boyunca
sabittir. Dolaysyla, yukardaki her iki türev de sfrdr. Bu durumda,
<
iç çarpm
f (0, t) = p
s
∂f
∂f
(s, t),
(s, t) >
∂s
∂t
de§i³keninden ba§mszdr. Son olarak
ve dolaysyla
∂f /∂t (0, t) = 0
s=0
ba³langç annda,
oldu§undan kant tamamlanr.
2
Hatrlatma 3.2.6. Gauss Yardmc Teoremi ³u ³ekilde genelle³tirilebilir (bkz.
[32], s.489, Al³trma 28 ):
c(s) (M, g)
Riemann manifoldu içinde
dc/ds ̸= 0
ko³ulunu sa§layan herhangi bir e§ri olsun.
N = {Expc(s) (v) | ∥v∥ = sabit, v ∈ Tc(s) M, gc(s) (v, dc/ds) = 0}
ile tanmlanan
M 'nin
alt manifoldu olsun. Bu durumda, e§er
0 ̸= v ∈ Tc(s) M, gc(s) (v, dc/ds) = 0
ko³ulunu sa§layan bir vektör ise γ(t) = Expc(s) (tv) jeodezi§i N alt manifoldunu dik keser. Bu sonucun kant al³trma olarak okuyucuya braklm³tr
(bkz. Al³trma 14).
148
Vektör Alanlar ve Demetleri
Bu önemli yardmc teoremin iki geometrik sonucu a³a§daki gibidir.
Sonuç 3.2.7.
u : [a, b] → (0, r)
v : [a, b] → Tp M , ∥v(s)∥ = 1,
ve
parçal
türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere
c : [a, b] → M , c(s) = Expp (u(s)v(s))
parçal türevlenebilir e§risini tanmlayalm.
∫
Lba (c)
b
=
∥ċ(s)∥ ds
a
Lba (c) ≥ |u(b) − u(a)|
bu e§rinin uzunlu§u olmak üzere
E³itlik sadece ve sadece
u
e³itsizli§i sa§lanr.
v fonksiyonun
p-noktasndan geçen
fonksiyonun artan (veya azalan) ve
c(s)
sabit olmas durumda elde edilir. Bu durumda,
merkezcil bir jeodezi§in bir parçasdr.
Kant : Önceki teoremin gösterimini kullanarak yine
f (s, t) = Expp (sv(t)) , s ∈ (−1, 1),
fonksiyonunu tanmlayalm. O halde,
c(s) = f (u(s), s)
ve dolaysyla
dc
∂f ′
∂f
=
u (s) +
·1
ds
∂u
∂t
elde ederiz. Gauss Yardmc Teoremi'nden
<
∂f ∂f
,
>= 0
∂u ∂t
ve
∥
∂f
∥=1
∂u
oldu§undan
dc 2
∂f
∥ = |u′ (s)|2 + ∥ ∥2 ≥ |u′ (s)|2
ds
∂t
∂f
e³itlik sadece
= 0 ve dolaysyla v ′ (s) = 0
∂t
∥
elde edilir. Ayrca
durumunda sa§lanr. O halde,
∫
b
a
dc
∥ ∥ ds ≥
ds
buluruz. Ayrca, e³itlik sadece
durumunda sa§lanr.
∫
b
olmas
|u′ (s)| ds ≥ |u(b) − u(a)| ,
a
v(s)
sabit ve
u(s)
artan veya azalan olmas
2
Bu sonuçtan kolay bir ³ekilde a³a§daki sonuca varrz.
p ∈ Up ⊆ M , v ∈ Tp M , ∥v∥ ≤ r, ve γ(s) = Expp (sv),
r saysndan küçük olan bir jeodezik olsun (Sonuç 3.2.4'ün
′
kullanyoruz). c : [0, 1] → M p noktasn p = γ(1) noktasna
Sonuç 3.2.8.
s ∈ [0, 1],
uzunlu§u
gösterimini
ba§layan parçal türevli bir e§ri ise
L10 (γ) ≤ L10 (c)
e³itsizli§i sa§lanr. E³itlik sadece
c(s)
e§risi
metrizasyonu olmas durumunda sa§lanr.
γ
jeodezi§inin bir ba³ka para-
149
Jeodezikler
Bu sonuçlar bize jeodeziklerin yerel olarak uzakl§ en aza indiren e§riler
oldu§unu gösterir. Bir
(M, g)
Riemann manifoldu üzerindeki her jeodezik
tüm gerçel eksene geni³letilebilirse bu manifolda jeodezik tam manifold denir.
Riemann metri§i manifold üzerinde de bir metrik tanmlar:
d : M × M → R,
d(x, y) = inf{Lba (c) | c : [a, b] → M, c(a) = x, c(b) = y},
(c
parçal türevlenebilir e§ri olmak üzere). Bu metri§in üretti§i metrik topo-
lojinin manifoldunun üzerindeki topoloji oldu§u Al³trma olarak okuyucuya
braklm³tr (Al³trma 15). (Bkz. [32], s. 428, Teorem 7). Yukardaki yerel
sonucu kullanarak kolayca a³a§daki sonuca varrz (Al³trma 16):
Sonuç 3.2.9.
γ : [a, b] → (M, g)
türevlenebilir bir e§ri olsun. E§er
bir Riemann manifoldu üzerinde parçal
d(γ(a), γ(b)) = Lba (γ)
ise
γ
e§risi bir
jeodeziktir.
Daha fazla ilerlemeden uzunluk ve enerji fonksiyonellerinin kritik noktalarn kar³la³tran bir sonuç verece§iz:
Önerme 3.2.10. 1)
Her parçal türevlenebilir
γ : I → (M, g)
e§risi için
Lba (γ) ≤ (b − a) Eab (γ) , a, b ∈ I ,
e³itsizli§i do§rudur. E³itlik sadece ve sadece
γ
e§risi e§ri uzunlu§u ile para-
metrelendirilmi³ ise sa§lanr.
2)
olsun.
γ : [a, b] → (M, g) L(γ) = d(γ(a), γ(b)) ko³ulunu sa§layan bir jeodezik
Herhangi bir c : [a, b] → (M, g) e§risi c(a) = γ(a), c(b) = γ(b)
ko³ulunu sa§lyorsa
E(γ) =
olur. Dolaysyla,
L(c) = L(γ)
L(c)2
L(γ)2
≤
≤ E(c)
b−a
b−a
E(γ) ≤ E(c)
e³itsizli§i sadece ve sadece
c
e§risinin
ko³ulunu sa§layan bir jeodezik olmas durumunda sa§lanr. Ay-
rca, yeterince küçük jeodezik parçalar enerji fonksiyonelinin en küçük de§eri
ald§ noktalar olur.
Kant :
f, g : [a, b] → R
sürekli fonksiyonlar olmak üzere Schwarz e³itsiz-
li§ini hatrlayalm (bkz. Al³trma 17):
(∫
)2
b
fg
(∫
≤
a
öyle ki, e³itlik sadece ve sadece
f
a
f
ve
oldu§u durumda sa§lanr. Bu durumda,
siyonlar için
) (∫
b
)
b
2
g
2
,
a
g fonksiyonlarnn do§rusal ba§ml
f (s) = ∥γ̇(s)∥ ve g(s) = 1 fonk-
(
)
(
)
Lba (γ) ≤ (b − a) Eab (γ) ,
150
Vektör Alanlar ve Demetleri
elde ederiz. E³itlik ise sadece
f (s) = ∥γ̇(s)∥
fonksiyonun sabit olmas duru-
munda sa§lanr. O halde, ilk ksmn kant tamamlanm³ oldu.
kinci ksmn ilk e³itsizli§i
γ
ve
c
e§rilerinin seçiminden dolaydr. Bu-
radaki ikinci e³itsizlik ise bu önermenin ilk ksmnn sonucudur. Ayrca yine
c e§risi e§ri uzunlu§u ile parametrize edilmi³se do§rudur. Dolaysyla, E(γ) ≤ E(c) e³itsizli§i her zaman do§rudur ve e³itlik sadece
c e§risi L(c) = d(c(a), c(b)) ko³ulunu sa§layan bir jeodezik ise sa§lanr.
ikinci e³itsizlik sadece
Son olarak, jeodezikler e§ri uzunlu§u ile parametrelendirilmi³ ve yerel olarak uzunluk fonksiyonun en küçük de§erini ald§ e§riler olduklar için enerji
fonksiyonelinin de yerel olarak en küçük de§erini ald§ e§rilerdir.
2
Yukardaki sonuçlar iki noktay bile³tiren en ksa e§rinin var olmas durumunda bunun bir jeodezik oldu§unu gösteriyor. A³a§daki teorem ise jeodeziklerin tam manifoldlarda var oldu§unu göstermektedir. Bu teoremin kantn
burada vermeyece§iz (bkz. [32], s. 462, Teorem 18).
Teorem 3.2.11 (Hopf-Rinow-De Rham).
(M, g)
Riemann manifoldunun jeo-
dezik tam olmas için gerek ve yeter ³art manifoldun üzerindeki Riemann metri§i tarafndan üretilen (bkz. Sayfa 149) metri§in tam olmasdr.
Ayrca jeodezik tam bir manifold üzerinde, verilen herhangi iki noktay birbirine ba§layan en ksa uzunlu§a sahip bir jeodezik vardr.
Di§er taraftan herhangi bir
q1 , q 2 ∈ U
U ⊆M
açk kümesi içindeki rastgele seçilen
noktalarn birbirine ba§layan en ksa jeodezik
U
açk kümesinin
içinde kalmayabilir. E§er bir alt küme, herhangi iki noktasn birbirine ba§layan
en ksa uzunlu§a sahip jeodezi§i de içeriyorsa bu kümeye jeodezik konveks
denir. Gauss Yardmc Teoremi bize ³u sonucu verir:
(M, g) bir Riemann manifoldu ve p ∈ M bir nokta olsun.
Bu durumda öyle bir ρ > 0 says vardr ki, Tp M te§et uzayndaki ρ yarçapl
B(0, ρ) yuvarnn Expp : Tp M → M üstel fonksiyonu altndaki görüntüsü
jeodezik konvekstir. Ba³ka bir deyi³le, U = Expp (B(0, ρ)) açk kümesinde
herhangi iki noktay birbirine ba§layan ve tamamen U içinde kalan tek bir
jeodezik vardr. Ayrca bu jeodezik bu iki noktay birbirine ba§layan (M, g)
Teorem 3.2.12.
manifoldu içindeki en ksa e§ridir.
Teoremin kant birçok admdan olu³maktadr. Aslnda kant Spivak I. cildindeki bir problemin çözümünü içermektedir (bkz.[32], s. 490, Al³trma 32).
Spivak'n kitab bu çözümü içermedi§i için burada verece§iz.
Kant : Adm 1)
p∈M
noktasnn bir
U
kom³ulu§unda üstel fonksiyonun
tersinin vermi³ oldu§u koordinat sistemini alalm. Ba³ka bir deyi³le,
{v1 , · · · , vn }
Tp M için bir sral taban ise
q ∈ M noktas için
∑
Exp−1
xi (q)vi
p (q) =
kümesi
yaknndaki) her
(p
β =
noktasnn yeterince
151
Jeodezikler
e³itli§i ile tanmlanan
xi (q)
fonksiyonlarnn olu³turdu§u koordinat sistemini
dü³ünelim.
ddia: Bu koordinat sisteminde tüm
Γkij
Christoel sembolleri
p
noktasnda
sfr de§erini alr.
u = (u1 , · · · , un ) ∈ Tp M vektörü
alalm. xi (γ(s)) = sui olaca§ndan
ddiann kant : Herhangi bir
Expp (su)
jeodezi§ini ele
dxi (γ(s))
|s=0 = ui
ds
elde edilir. Bu durumda
(u1 , · · · , un ) ∈ Tp M
için jeodezik denklemini yazarsak, her
için
∑
0=
γ(s) =
d2 xi (γ(s))
|s=0 = 0
ds2
ve
γ
için
u =
Γkij (p) ui uj
i,j
bulunur ve böylece iddiann kant tamamlanr.
Yukardaki koordinat sistemini kullanrsak, r : U → R, r(q) =
∑
d(p, q) fonksiyonu olmak üzere r(γ(s))2 = k γk2 (s) oldu§u açktr. “imdi
γ(s) e§risinin bir jeodezik oldu§unu kabul edelim ve bu e³itli§in ikinci türevini
Adm 2)
hesaplayalm:
∑
d( k γk2 ) ∑
dγk
d(r(γ(s))2 )
2γk
=
=
ds
ds
ds
k
ve buradan da
d2 (r(γ(s))2 )
ds2
= 2
∑
(
k
d2 γk
γk +
ds2
(
dγk
ds
)2 )


∑ ( dγk )2 ∑
dγi dγj 
= 2
−
Γkij γ k
ds
ds ds
k
i,j,k
buluruz.
Adm 3)
(
)2
∑ dγk
∑ dγi dγj
0≤
=
ds
ds ds
i,j
k
e³itsizli§inin orta terimine Schwarz e³itsizli§ini uygularsak
∑ dγi dγj
0≤
≤
ds ds
i,j
(
∑
k
)(
2
1
∑ ( dγk )2
k
ds
)
≤n
∑ ( dγk )2
k
ds
152
Vektör Alanlar ve Demetleri
ve dolaysyla
∑ ( dγk )2
1 ∑ dγi dγj
0≤
≤
n
ds ds
ds
i,j
k
∥γ̇(0)∥ vektörünü yeterince
K gerçel says bulabiliriz
her γ : [0, 1] → Expp (U ) jeodezi§i ve her k, s için |γk (s)| ≤ K
Christoel sembolleri p noktasnda sfr oldu§undan gerekirse U
elde ederiz. Gerekirse
U
kümesini küçülterek (bu
küçük seçmek anlamna gelecektir) öyle bir pozitif
ki, verilen
olur.
Γki,j
kümesini daha da küçülterek
K max{Γkij (q) | q ∈ U } <
i,j,k
oldu§unu kabul edebiliriz. O halde,
Expp (U )
1
n2
içinde kalan her
γ
jeodezi§i
için
∑
dγi dγj k
{Γkij (q) | q ∈ U }
Γij γk
≤ n K max
i,j,k
ds
ds
i,j,k
∑
1
dγi dγj <
n n2
i,j ds ds ∑
1 dγi dγj =
n ds ds i,j
1 ∑ dγi dγj
=
n
ds ds
∑
dγi dγj i,j ds ds i,j
e³itsizli§i sa§lanr. “imdi yukardaki sonuçlar kullanarak
d2 (r(γ(s))2 )
ds2


∑ ( dγk )2 ∑
dγi dγj 
Γkij γ k
2
−
ds
ds ds
k
i,j,k


∑ ( dγk )2 ∑
k
k dγi dγj 

2
−
Γij γ
ds
ds ds i,j,k
k


∑ ( dγk )2 1 ∑ dγi dγj

2
−
ds
n
ds ds
=
≥
>
k
i,j
≥0
elde ederiz. Dolaysyla,
Ba³ka bir deyi³le,
s=0
d(r(γ(s))2 )
ds
noktasnn etrafnda
d2 (r(γ(s))2 )
>0
ds2
bu aralkta kesin artan bir fonksiyondur.
olur.
153
Jeodezikler
ddia: ϵ > 0 olmak üzere Bϵ = {v ∈ Tp M | ∥v∥ ≤ ϵ} ve
Sϵ = {v ∈ Tp M | ∥v∥ = ϵ} olsun. Bu durumda ϵ > 0 yeterince küçükse
2
ve γ(s), γ(0) ∈ Expp (Sϵ ) ve d(r(γ)) /ds|s=0 = 0 ko³ullarn sa§layan
bir jeodezik ise sadece γ 'ya ba§l bir δ > 0 says vardr öyle ki, her
0 ̸= s ∈ (−δ, δ) için γ(s) ̸∈ Expp (Bϵ ) olur.
Adm 4)
d(r(γ(s))2 )
bu aralkta kesin artan bir
ds
fonksiyon oldu§u için öyle bir δ > 0 says vardr ki, (−δ, 0) aral§nda
d(r(γ))2 /ds|s=0 < 0 ve (0, δ) aral§nda d(r(γ))2 /ds|s=0 > 0 olur. Aslnda
ayn sonuç d(r(γ))/ds için de do§rudur. Böylece iddiann kant tamamlanr.
ddiann kant : Adm 3'den dolay
Adm 5)
q, q ′ , r(q), r(q ′ ) < ϵ0
ddia:
ko³ulunu sa§layan iki nokta ve
2ϵ0 'dan
bu iki noktay birbirine ba§layan (uzunlu§u
olsun. E§er
ϵ0
yeterince küçükse
′
da q noktasnda alr.
ϵ
ϵ0 > 0
ddiann kant :
³ekilde bir
r(γ)
seçelim. Bu durumda
içinde kalr. “imdilik,
r(γ)
küçük olan) bir jeodezik
fonksiyonu en büyük de§erini
yukardaki gibi olmak üzere
γ
γ
q
ya
B(q, 3ϵ0 ) ⊆ Expp (Bϵ ) olacak
Expp (Bϵ ) küresinin
jeodezi§i
fonksiyonun en büyük de§erini uç de§erlerde alma-
d§n kabul edelim. E§rinin tanmland§ aral§ gerekirse öteleyerek en büyük
de§erin
s=0
noktasnda ula³ld§n kabul edelim. O halde,
0=
olur. Diyelim ki,
“imdi
l<ϵ
³ekilde bir
d(r(γ(s)))2
d(r(γ(s)))
|s=0 =
|s=0
ds
ds2
says vardr. Ba³ka bir
γ(0) ∈ Expp (Sl ) olur.
γ(s) ̸∈ Bl , 0 ̸= s ∈ (−δ, δ) olacak
deyi³le, s ̸= 0 için r(γ(s)) > l
r(γ)
fonksiyonu en büyük de§erini iki
l = r(γ(0))
olsun. Bu durumda,
oldu§undan Adm 4'den dolay,
δ >0
çeli³kisini elde etmi³ olduk. O halde,
uç noktasndan birinde almaldr.
Son olarak
ρ = ϵ0
B(p, ρ) = Expp (Bρ )
2
alrsak
olur. Böylece kant tamamlanr.
Hatrlatma 3.2.13. 1)
p ∈ (M, g)
yuvar jeodezik konveks
sabit bir nokta olsun. E§er
geçen her jeodezik tüm gerçel eksene geni³letilebiliyorsa
M
p
noktasndan
manifoldu (jeode-
zik) tamdr (bkz.[32], s. 498, Al³trma 43). Bunu görmek için ilk önce manifol-
p noktasna ba§laExpp : Tp M → M
bölge Tp M içindeki s-
dun her noktasnn (uzunlu§u en küçük olan) bir jeodezik ile
nabildi§ini gösterebiliriz (bkz. Al³trma 18). Dolaysyla,
üstel fonksiyonu örtendir ve
M
içindeki her snrl
nrl bir bölgenin görüntüsü içindedir. O halde,
Tp M
M
içindeki her snrl bölge
içindeki tkz bir bölgenin görüntüsü içindedir. Buradan
M
içindeki her
Cauchy dizisinin yaknsak oldu§unu görürüz. Böylece kant tamamlanr.
2)
(M, g)
rumda öyle bir
tam ama tkz olmayan bir Riemann manifoldu olsun. Bu du-
γ : [0, ∞) → M
jeodezi§i vardr ki, bu jeodezik, üzerinde verilen
her nokta çiftini birbirine ba§layan en ksa e§ridir. Bunu görmek için ilk önce
154
(M, g)
ra bir
Vektör Alanlar ve Demetleri
manifoldunun snrsz oldu§unu göstermeliyiz. Bunu kantladktan son-
p∈M
n tam says için d(p, qn ) ≥ n
qn ∈ M noktas ve bu noktadan geçen ve en ksa uzunlu§a
γn (svn ) : R → M jeodezi§i seçelim, öyle ki, vn ∈ Sϵ ⊆ Tp M ,
küçük bir kürenin içinde kalsn. “imdi v0 ∈ Sϵ vektörü (vn ) dizinoktas sabitleyelim ve her pozitif
olacak ³ekilde bir
sahip bir
yeterince
sinin bu tkz küre içindeki bir alt dizisinin limiti olsun. Arad§mz jeodezi§in
γ(s) = Expp (sv0 )
e§risi oldu§unun gösterilmesini Al³trma 19'de okuyucuya
brakyoruz. (Ayrca bkz.[32], s. 498, Al³trma 44.)
3.2.2
Hacim Eleman ve Yldz Operatörü
Riemann metri§i e§rilerin uzunluklarn hesaplamann d³nda da çok kullan³ldr. Örne§in,
gp = ( , ) : Tp M × Tp M → R
te§et uzay üzerinde simetrik ve
pozitif bilineer form oldu§undan Riemann metri§i te§et demetinden kote§et
demetine do§al bir izomorzma verir:
∪
Tp M −→
p∈M
∪
Tp∗ M,
p∈M
v 7→ v ∗ : Tp M → R, v ∗ (w) = gp (v, w), w ∈ Tp M .
∑
dxi formuna kar³lk gelen vektör alann hesaplayalm:
Örne§in ω =
i bi (x)∑
d
Bu vektör alan X =
i ai dxi , ise her v ∈ Tp M için
w(p)(v) = gp (X(p), v)
olacaktr. O halde,
d
dxj alrsak
v=
bj (p) = ω(
∑
d
d
) = gp (X(p),
)=
gij (p)ai (p)
dxj
dxj
i
olur. Buradan,
ai =
∑
j bj
g ij
ve dolaysyla,
∑
X=
bj g ij
i,j
d
dxi
olarak bulunur.
Örnek 3.2.14.
f : (M, g) → R
türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Bu durum-
da, yukardaki izomorzma altnda
f
df 1-formuna kar³lk gelen vektör alanna
∇f ile gösterilir:
fonksiyonun gradyan vektörü denir ve grad(f ) veya
∇f =
∑
ij
Öklit uzaynda
gij = δij
oldu§undan
g ij
∂f d
.
∂xj dxi
∇f =
∑ ∂f d
∂xi dxi
i
olur.
155
Jeodezikler
Metrik ile elde edilen
. ∑ ij d
T ∗ M −→ T∗ M, dxj 7→ X j =
g
dxi
i
vektör uzay izomorzmas
T ∗M
üzerinde de bir metrik verecektir:
∑
d ∑ lk d
.
(dxj , dxk )T ∗ M = (X j , X k )T∗ M = (
g ij
,
g
)T M
dxi
dxl ∗
i
l
ve buradan
(dxj , dxk )T ∗ M =
∑
g ij g lk gil =
∑
g ij δik = g kj
i
i,l
elde ederiz. Ba³ka bir deyi³le, kote§et vektör demeti üzerindeki metrik te§et
demeti üzerindeki Riemann metri§inin tersinden ba³ka bir ³ey de§ildir.
Bir vektör uzay üzerindeki iç çarpm bu uzayn tensör çarpmlarna do§al
olarak geni³letilebilir.
(V, · )
V ⊗V
iç çarpm uzay ise
üzerindeki iç çarpm
³u ³ekilde tanmlanr:
1
(v1 ⊗ u1 ) · (v2 ⊗ u2 ) = (v1 · v2 ) (u1 · u2 ) .
2
Bu tanm tüm
V ⊗k
k -formlara
ν = h dxk ∧dxl
tensör çarpmlarna ve dolaysyla de§i³meli
geni³letebiliriz. Bir örnek vermek gerekirse,
ω = f dxi ∧dxj
ve
olmak üzere
ω · ν = (f (dxi ⊗ dxj − dxj ⊗ dxi )) · (h (dxk ⊗ dxl − dxl ⊗ dxk ))
= f h (g ik g jl − g il g jk )
ve
ω · ω = (f (dxi ⊗ dxj − dxj ⊗ dxi )) · (f (dxi ⊗ dxj − dxj ⊗ dxi ))
= f 2 (g ii g jj − (g ij )2 )
− (g ij )2 > 0
{dxi , dxj } kümesinin
elde edilir (g
çarpmn
ii g jj
oldu§u açktr, çünkü kote§et uzayndaki iç
gerdi§i alt uzaya kstlamas da bir iç çarpm
verir). Genel durumu al³trmalara brakyoruz (bkz. Al³trma 20).
Hatrlatma 3.2.15. Bu tanm
V ×V
çarpm uzaynda bir iç çarpm vermez.
“imdi d³ formlar üzerinde tanmlad§mz iç çarpm kullanarak yldz operatörünü tanmlayaca§z.
uzaynda alnan herhangi
(V, < · , · >) n-boyutlu yönlendirilmi³ bir iç
v1 , · · · , vn (sral) vektörlerinin belirledi§i
çarpm
paralel
yüzlünün i³aretli hacmi ³u ³ekilde tanmlanr: Bu vektör uzaynn sral ortonormal bir
{e1 , · · · , en }
tabann alalm ve
vi =
∑
j
aij ej
yazalm,
i = 1, · · · , n.
156
Vektör Alanlar ve Demetleri
det(aij ) olarak
{v1 , · · · , vn } sral tabanndan {e1 , · · · , en } sral
tabanna geçi³ matrisidir. E§er (bij =< vi , vj >) bu iç çarpmn v1 , · · · , vn
2 oldu§u kolayca
sral tabanndaki matris gösterimi ise det(bij ) = det(aij )
Daha önce bu vektörlerin belirledi§i cismin i³aretli hacmini
tanmlam³tk.
(aij )
matrisi
görülür (bkz. Al³trma 21).
Buna göre, e§er
x1 · · · , xn
koordinat sisteminde Riemann metri§i
g = (gij )
matrisi ile veriliyorsa hacim formu
√
dvol(M,g) =
det(gij ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn
³eklinde tanmlanr. Ayn açk küme üzerinde bir ba³ka yönlendirilmi³ koordinat sistemi
(y1 , · · · , yn ) = ϕ(x1 · · · , xn )
ise, metri§i
ϕ
yardmyla
y1 , · · · , y n
koordinat sisteminde yazarsak
hij =
1
gij
| det(Dϕ)|
elde ederiz. Di§er taraftan,
dy1 ∧ · · · ∧ dyn = det(Dϕ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn
oldu§undan
√
det(gij ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn =
√
det(hij ) dy1 ∧ · · · ∧ dyn
olur. Dolaysyla, hacim formu iyi tanmldr.
Örnek 3.2.16.
f (x, y)
R3
içinde türevlenebilir bir fonksiyonun gra§i olarak
z =
ile verilen yüzeyi, içinde bulundu§u Öklit uzaynn Riemann metri§i
(x, y) 7→ (x, y, f (x, y))
{(1, 0, fx (x, y)), (0, 1, fy (x, y))},
ile dü³ünelim. Yüzeyin üstünde
alalm. Bu durumda,
koordinat sistemini
kümesi yüzeyin her-
hangi bir noktasndaki te§et uzaynn bir taban olacaktr. Metri§i bu tabanda
yazarsak
(
(gij ) =
1 + fx2 fx fy
fx fy 1 + fy2
)
matrisini elde ederiz. O halde, hacim eleman
dvol =
√
1 + fx2 + fy2 dx ∧ dy
formu olur (genel durum için Al³trma 22'e baknz).
Benzer ³ekilde iki boyutlu ve
r>0
yarçapl kürenin hacim formunu
(θ, ϕ) 7→ (r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ, ) ,
(θ, ϕ) ∈ [0, 2π] × [0, π],
küresel koordinatlarnda yazarsak
dvolSr2 = r2 sin ϕ dθ ∧ dϕ
elde ederiz.
157
Jeodezikler
“imdi Riemann metri§inin formlar üzerinde verdi§i do§al iç çarpm kullanarak yldz operatörünü tanmlayaca§z.
ω∈
∗ω ∈ Ωn−k (M )
Ωk (M )
herhangi bir
raca§mz
(M n , g)
Riemann manifoldunun
formunu alalm. Bu formun yldz olarak adlandformu
ν ∧ ∗ω = (ω · ν) dvol(M,g) , ν ∈ Ωk (M ),
e³itli§i ile tanmlanr. Yldz i³lemi bir vektör uzay homomorzmas verir:
∗ : Ωk (M ) → Ωn−k (M ) .
Bu operatör Riemann metri§ine ba§l olsa da her metrik için
∗(∗ω) = (−1)k(n−k) ω,
e³itli§i sa§lanr. Bunu görmek için verilen
ω ∈ Ωk (M )
p∈M
noktasndaki
Tp M
te§et
uzaynn ortonormal bir tabann alalm ve bu vektörleri te§et uzaynn koordinat eksenleri olarak görelim,
zmasnn
p
x1 · · · , xn . Expp : Tp M → M
yerel difeomor-
noktas etrafnda vermi³ oldu§u koordinat sisteminde Riemann
metri§ini yazarsak
gij (p) = δij
elde ederiz. Buradan, Riemann metri§inin hem
kote§et demetinde hem de türevlenebilir formlarda verdi§i metri§in
p
nokta-
sndaki matris gösterimlerinin birim matrisler oldu§unu görürüz. Bu durumda,
∗(dx1 ∧ · · · ∧ dxk ) = dxk+1 ∧ · · · ∧ dxn
ve
∗(dxk+1 ∧ · · · ∧ dxn ) = (−1)k(n−k) dx1 ∧ · · · ∧ dxk
elde edilir. Di§er taban elemanlar için de ayn hesaplamay yapabiliriz. Dolaysyla,
∗(∗ω) = (−1)k(n−k) ω
e³itli§ini kantlam³ olduk.
R4 Öklit uzaynda yldz operatörünü yazalm. Bu uzay üzerin∂
∂
∂
∂
de { ∂x , ∂x , ∂x , ∂x } tabannn verdi§i yönlendirmeyi alalm. Yukardaki
1
2
3
4
paragraftan dolay
Örnek 3.2.17.
∗(dx1 ∧ dx2 ) = dx3 ∧ dx4
∗(dx1 ∧ dx3 ) = −dx2 ∧ dx4
∗(dx1 ∧ dx4 ) = dx2 ∧ dx3
elde edilir. Benzer ³ekilde
∗dx1 = dx2 ∧ dx3 ∧ dx4
∗dx2 = −dx1 ∧ dx3 ∧ dx4
∗dx4 = −dx1 ∧ dx2 ∧ dx3
olur.
158
Vektör Alanlar ve Demetleri
1-formlarn yldzn yerel ∑
koordinat sistea
dx
formunun
yldz
∗ω
=
i
i
i
i ci dx̂i olsun
(dx̂i ile, daha önceden oldu§u gibi, dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn
∑
n − 1-formunu gösteriyoruz). Tanmdan dolay, her ν = i bi dxi 1-formu
“imdi de genel bir metrik için
minde hesaplayalm.
∑
ω=
için
ν ∧ ∗ω = (ω · ν) dvol(M,g)
sa§lanacaktr. Buradan
√
∑
∑
i−1
ai bj g ij ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn
( (−1) bi ci ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn = ( det(gij )
i
i,j
ν
elde ederiz. Bu e³itlik her
için geçerli oldu§undan
ci = (−1)i−1
√
det gij (
∑
aj g ij )
j
olmaldr. O halde,
verilen bir
∗ω
formunu hesaplam³ olduk. Bu e³itli§i
(n − 1)-formun
ai =
yldz olan
√
det g ij (
1-formu
ai
için çözersek
da hesaplam³ oluruz:
∑
(−1)j−1 cj gij ) .
j
Son olarak
ω = df =
∑
∗(df ) =
∂f
i ∂xi
√
dxi
det gij
alrsak
∑
i
∑ ∂f
(−1)i−1 (
g ij ) dx̂i
∂xi
j
elde edilir.
Örnek 3.2.18 (E. Hopf 'un Teoremi). Türevlenebilir bir
siyonun Laplace'
△f = ∗d ∗ d(f )
f : M → R fonkM = Rn
fonksiyonu olarak tanmlanr.
manifoldunu Öklit metri§i ile dü³ünürsek (gij
△f = ∗d ∗ d(f ) =
= δij )
Laplace operatörünün
∑ ∂2f
i
∂x2i
³eklinde verildi§i görülür. Hopf 'un teoremi, yönlendirilebilen ba§lantl tkz bir
M
manifoldu üzerinde,
△f ≥ 0
ko³ulunu sa§layan fonksiyonlarn sabit
fonksiyonlar oldu§unu söyler. Bu örnekte bu teoremin bir kantn verece§iz
(bkz. [8], s. 85). lk önce, Stokes Teoremi'nden her
için,
∫
∫
△f dvol(M,g) =
M
f : M → R
∫
d(∗df ) =
M
(∗df ) = 0
∂M =∅
fonksiyonu
159
Jeodezikler
oldu§unu görürüz. Di§er taraftan, bize △f ≥ 0 verilmi³ oldu§undan
2
elde ederiz. “imdi de f /2 fonksiyonunun Laplace'n hesaplayalm:
△f = 0
△(f 2 /2) = ∗d ∗ d(f 2 /2)
= ∗d(f ∗ df )
= ∗(df ∧ ∗df + f d ∗ df )
= ∗(df ∧ ∗df ) + f (∗d ∗ df )
= ∥∇f ∥2 + f △f .
Aslnda, son e³itli§in ilk teriminin hesabn biraz daha detayl yapabiliriz: Gradyan vektörünün norm karesi
∥∇f ∥2 = (∇f, ∇f ) = (
∑
g ij
i,j
=
∑
∂f ∂ ∑ kl ∂f ∂
,
g
)
∂xj ∂xi
∂xk ∂xl
k,l
g ij g kl gil
i,j,k,l
=
∑
g ij δik
i,j,k
=
∑
i,j
g ij
∂f ∂f
∂xj ∂xk
∂f ∂f
∂xj ∂xk
∂f ∂f
,
∂xi ∂xj
olarak hesaplanr. Di§er taraftan, yukarda elde etti§imiz
1-formlarn yldznn
ifadesini kullanarak
df ∧ ∗df
√
∑ ∂f
∑
∑ ∂f
dxi ) ∧ ( det(gij )
g ij dx̂i )
(−1)i−1
∂xi
∂xj
i
i
j
√
∑ ∂f
∑
∂f ij
=
det(gij ) (
dxk ) ∧ ( (−1)i−1
g dx̂i )
∂xk
∂xj
i,j
k
√
∑ ∂f ∂f
=
det(gij ) (
g ij ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn
∂xi ∂xj
= (
i,j
= ∥∇f ∥ dvol(M,g)
2
elde ederiz. “imdi teoremin kantn bitirebiliriz:
∫
0 =
∫M
△(f 2 /2)
∫
f (△f ) dvol(M,g) +
∥∇f ∥2 dvol(M,g)
M
M
∫
= 0+
∥∇f ∥2 dvol(M,g) ,
=
M
160
Vektör Alanlar ve Demetleri
e³itli§i bize
∇f = 0
oldu§unu gösterir. Ayrca,
0 = ∇f =
∑
ij
denklemindeki
(g ij )
g ij
∂f d
∂xj dxi
matrisinin tersi oldu§undan, her
i
için
sonucuna varrz. Son olarak manifold ba§lantl oldu§undan
∂f /∂xi = 0
f : M → R
fonksiyonunun sabit olmas gerekti§ini görürüz.
3.3
3.3.1
Vektör Demetleri
Temel Tanmlar
Bu bölümde ele alaca§mz vektör demetleri hem geometrinin hem de topolojinin temel konularndandr. Türevlenebilir bir manifoldun te§et demeti en do§al
vektör demeti örne§idir. Yine te§et demetinden do§rusal cebir yöntemleri ile
elde edilen kote§et demeti de vektör demetlerinin teorisinde çok önemli bir yer
tutar. Vektör demetlerinin tanmn vermeden önce (ko)te§et demetinin tanmn hatrlayalm:
M
atlas
{φα : Uα → Vα }
olan türevlenebilir bir manifold
olsun. Bu durumda, manifoldu
M = ∪α Uα ≃ ∪˙ α Vα /x ∼ (φβ ◦ φ−1
α )(x)
³eklinde yazarsak te§et demetini de geçi³ fonksiyonlarnn türevlerini kullanarak a³a§daki ³ekilde ifade etmi³tik:
T∗ M
= ∪α T∗ Uα
−1
≃ ∪˙ α Vα × Rn /(x, v) ∼ ((φβ ◦ φ−1
α )(x), D(φβ ◦ φα )x (v))
“ekil 3.2: Te§et demetinin koordinat fonksiyonlaryla kurulu³u:
−1
(x, v) ∼ (y, u) = ((φβ ◦ φ−1
α )(x), D(φβ ◦ φα )x (v))
161
Vektör Demetleri
Benzer ³ekilde
T ∗M
= ∪ α T ∗ Uα
∗
−1
≃ ∪˙ α Vα × Rn /(x, (D(φβ ◦ φ−1
α )x ) (ω)) ∼ ((φβ ◦ φα )(x), ω)
kote§et uzayn manifoldun geçi³ fonksiyonlarnn türevlerinin duallerini kullanarak yazm³tk. Son olarak, formlarn geri çekme i³lemini kullanarak manifold
üzerindeki
k -formlarn
demetinin
Altk (M ) = ∪α
≃ ∪˙ α
k
(T ∗ Uα )
k
(Vα ) / ∼
Alt
Alt
³eklinde verildi§ini görmü³tük. Bu yaplarn hepsi a³a§da tanmlayaca§mz
vektör demetlerine birer örnektir.
Tanm 3.3.1.
P : E m+k → M m
a³a§daki özellikleri sa§layan türevlenebilir
manifoldlarn türevlenebilir bir fonksiyonu olsun:
1. Her
2.
M
p∈M
için,
Ep = P −1 (p) k -boyutlu
gerçel vektör uzaydr;
manifoldunun yerel sonlu ve saylabilir bir
{Uα }
açk örtüsü vardr
öyle ki,
a) Her
α
için, bir
b) Her
α
ve
ϕα : P −1 (Uα ) → Uα × Rk
p ∈ Uα
difeomorzmas vardr,
için,
ϕα |Ep : Ep → {p} × Rk
kstlan³ bir vektör uzay izomorzmasdr.
P : E m+k → M m M -manifoldu üzerinde k -boyutlu bir gerçel
demeti olarak adlandrlr. M manifolduna vektör demetinin taban,
manifolduna vektör demetinin toplam uzay ve Ep ters görüntüsüne
m+k → M m fonksiyonuna
demetinin bir lidir denir. Ayrca, P : E
Bu durumda
vektör
m+k
E
vektör
vektör demetinin iz dü³üm fonksiyonu ve
ϕα : P −1 (Uα ) → Uα × Rk
difeomorzmalarna da yerel çarpm fonksiyonlar denir.
Herhangi bir
V
vektör uzay için,
tanmlanan vektör demetine li
P1 : E1 → M
ve
V
E = M × V → M, (p, v) 7→ p
³eklinde
olan a³ikar vektör demeti denir.
P2 : E2 → M
gibi iki vektör demeti arasnda lieri
koruyan ve her lif üzerinde do§rusal bir izomorzma olan bir
F : E1 → E2
difeomorzmasna vektör demeti izomorzmas denir. E§er lieri koruyan bir
F : E1 → E2
türevlenebilir fonksiyonu her bir lif üzerinde bire bir do§rusal
bir dönü³üm verirse
P2 : F (E1 ) → M
bir vektör demeti olur ve bu demet
162
Vektör Alanlar ve Demetleri
P1 : E1 → M
P2 : E2 → M
demetine izomorktir. Bu vektör demetine
vektör demetinin bir alt vektör demeti denir.
Herhangi bir vektör demetinin
ϕα ϕβ −1 (p, v) = (p, ψαβ (p)(v)), (p, v) ∈ (Uα ∩ Uβ ) × Rk
yerel çarpm fonksiyonlarn kullanarak tanmlanan
ψαβ : (Uα ∩ Uβ ) → GL(k, R)
fonksiyonlarn dü³ünelim. Bu fonksiyonlar her
α, β, γ
için, bir çe³it koho-
moloji ko³ulu olan
ψαβ ◦ ψβγ = ψαγ
çember ko³ulunu sa§lar. Bu fonksiyonlara vektör demetinin bir yap fonksiyon-
lar ailesi denir. Di§er taraftan, çember ko³ulunu sa§layan
ψαβ : (Uα ∩ Uβ ) → GL(k, R)
fonksiyonlarn kullanarak bir ba³ka vektör demeti kurabiliriz:
Ẽ =
∪
˙
(Uα × Rk ) / (p, v) ∼ (p, ψαβ (p)(v)) .
Yerel çarpm fonksiyonlarn kullanarak bu vektör demetinin
P : E → M
vektör demetine izomork oldu§unu görebiliriz (bkz. Al³trma 24).
Herhangi bir
P : E → M
vektör demeti için
P ◦ s = idM
ko³ulunu
sa§layan fonksiyona vektör demetinin kesiti denir. “imdi bu demetin bir
s:
M → E kesitini alalm. Bu kesitin yerel ϕα : P −1 (Uα ) → Uα × Rk çarpm
k ile gösterirsek, her
fonksiyonu altndaki yerel ifadesini sα : Uα → Uα × R
α, β
için,
ψαβ (sα ) = sβ
e³itli§i sa§lanr. Bir vektör demetinin kesitlerinin
olu³turdu§u küme do§al bir ³ekilde vektör uzaydr (aslnda bu küme, manifold
üzerinde tanml türevlenebilir fonksiyonlarn olu³turdu§u halka üzerinde bir
Γ(E) ile gösterilir.
P : E → M vektör demetine ait bir ψαβ : (Uα ∩ Uβ ) → GL(k, R) yap
ailesi için ψαβ (Uα ∩Uβ ) ⊆ H ≤ GL(k, R) olacak ³ekilde bir H ≤ GL(k, R) alt
grubu varsa vektör demetinin yap grubu H grubuna indirgenmi³tir denir. Bir
modül olu³turur, bkz. Al³trma 23) ve
vektör demetinin grubu determinant pozitif olan matrisler alt grubuna indirgenebiliyorsa bu vektör demetine yönlendirilebilir vektör demeti denir. Yönlendirilebilir bir manifoldun te§et demeti de yönlendirilebilir (bkz. Al³trma 25).
Hatrlatma 3.3.2. 1)
Yukardaki tanmda
Rk
yerine
Ck
alrsak karma³k
vektör demetlerinin tanmn elde ederiz. Karma³k vektör demetlerinin do§al
bir yönlendirmesi vardr (bkz. s. 166)
163
Vektör Demetleri
P : T(∗ M →
) M kote§et demetleri k = mm
P : Altk (M ) → M ise
-boyutlu gerçel vektör demetidir.
k
P : T∗ M → M
2)
boyutlu, ve
Ayrca,
M
te§et ve
karma³k manifold oldu§unda bu vektör demetleri de do§al olarak
karma³k vektör demetleri olurlar.
Herhangi bir manifold üzerine Riemann metri§i koymak için kulland§mz
3)
metottan yararlanarak verilen bir vektör demeti üzerine iç çarpm koyabiliriz.
Bu durumda vektör demetinin yap grubunu ortogonal grup
O(k)'ye
indir-
geyebiliriz: Vektör demetinin
ϕα : P −1 (Uα ) → Uα × Rk
gibi bir yerel çarpm fonksiyonunu ele alalm. Vektör demetinin lierdeki do§ruk line ta³yalm:
sal izomorzma ile her {p} × R
gp (· , ·) : Rk × Rk → R .
Her
i = 1, · · · , k
için,
si : Uα → Uα × Rk , si (p) = (p, (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0))
türevlenebilir kesitlerini tanmlayalm. Bu kesitlere Gram-Schmidt yöntemini
uygulayarak her lifte ortonormal taban veren
{r1 , · · · , rk }
kesitlerini elde ede-
lim. “imdi yeni bir yerel çarpm fonksiyonu yazalm:
ϕ0α : P −1 (Uα ) → Uα × Rk , (p, v) 7→ (p, gp (v, r1 (p)), · · · , gp (v, rk (p))) .
Gram-Schmidt yönteminin ifadesi analitik oldu§undan bu fonksiyon bir difeomorzma ve çarpm fonksiyonudur. Bu çarpm fonksiyonlarna kar³lk gelen
yap fonksiyonlar
O(k)
de§erli olacaktr. E§er manifold ayn zamanda yön-
lendirilebilir bir manifold ise yap grubunu
SO(k)
grubuna da indirgeyebiliriz.
Benzer ³ekilde, karma³k bir vektör demeti üzerine de her zaman Hermityan bir yap konabilir. Üzerinde metrik olan bir gerçel vektör demetinin yap
grubunu
GL(k, R)'den O(k)'e
indirgeyen metot, benzer ³ekilde, üzerinde Her-
mityan metrik olan bir karma³k vektör demetinin yap grubunu
U (k)'e
GL(k, C)'den
indirger.
Son olarak bu söylediklerimizin basit bir uygulamasn verelim:
S 1 = SO(2)
U (1) =
oldu§undan her karma³k do§ru demeti yönlendirilmi³ bir gerçel
düzlem demeti olarak görülebilir. Tersine, her yönlendirilmi³ bir gerçel düzlem
demeti de bir karma³k do§ru demeti olarak görülebilir.
3.3.2
Vektör Demetleri Üzerinde ³lemler
Bu alt bölümde vektör demetleri üzerindeki i³lemleri inceleyece§iz. Bir manifold üzerindeki vektör demetlerini parametrize edilmi³ (manifoldun noktalar
164
Vektör Alanlar ve Demetleri
ile) vektör uzaylar olarak görebiliriz. O halde, vektör uzaylar üzerindeki tüm
i³lemleri vektör demetlerine ta³yabiliriz. Bu bölümde genelde gerçel vektör
demetleri ile çal³sak da a³a§daki tanmlad§mz tüm yaplar karma³k vektör
demetleri için de geçerlidir.
Ranklar srasyla
k1
ve
k2
olan
E1 → M
ve
E2 → M
iki vektör demeti
alalm. Bu demetlerin ortak bir açk örtü üzerinde verilen yap fonksiyonlar
(i
= 1, 2)
i
ψαβ
: Uα ∩ Uβ → GL(ki , R)
olsun.
Vektör Demetlerinin Toplam : Bu iki vektör demetinin
toplam, herhangi bir
p∈M
E1 ⊕ E2 → M
E1p ⊕ E2p toplam uzay
( 1
)
ψαβ (p)
0
p 7→
2 (p)
0
ψαβ
noktasndaki li
ve
ψαβ : Uα ∩ Uβ → GL(k1 + k2 , R) ,
olan
yap fonksiyonlar ile verilen vektör demeti olarak tanmlanr.
Örnek 3.3.3. Geometri ve topolojide çok önemli bir yer tutan normal demeti
tanmlayalm:
(M, g)
bir Riemann manifoldu ve
L⊆M
bir alt manifold ise
bu alt manifoldun normal demeti
ν(L) = {(p, v) ∈ T∗ M | p ∈ L, gp (v, u) = 0,
for all
u ∈ Tp L} ,
ν(L)'nin T∗ M |L → L vektör demetinin bir alt de(x1 , · · · , xl , · · · , xm ) koordinat sisteminde
L alt manifoldu xl+1 = · · · = xm = 0 denklem sistemiyle verilsin. Bu
∂
∂
,··· ,
) fonksiyonlar T∗ M|L üzerinde bir kodurumda (x1 , · · · , xl ,
∂x1
∂xm
ile tanmlanr. “imdi,
meti oldu§unu görelim. Yerel bir
ordinat sistemi verirler. Yukardaki uyarda yapt§mz gibi bu vektör demetinin
si (p) =
∂
∂xi
kesitlerine Gram-Schmidt yöntemini uygulayarak
r1 , · · · , rm
or-
togonal kesitlerini elde edelim. Gram-Schmidt yönteminin ifadesinden dolay
{r1 , · · · , rl }
taban
T∗ L'nin
geri kalan
{rl+1 , · · · , rm }
ksm da
ν(L)
nor-
mal demetin tabann verir. Dolaysyla,
ν(L)Uα → Uα × Rm−l , (p, v) 7→ (p, gp (v, rl+1 (p)), · · · , gp (v, rm (p)))
istenilen çarpm fonksiyonunu verir.
Aslnda,
T∗ M|L → Uα × Rl ⊕ Rm−l , (p, v) 7→ (p, gp (v, r1 (p)), · · · , gp (v, rm (p)))
T∗ M|L = T∗ L ⊕ ν(L) oldu§unu gösterir.
Bν(L) srasyla T∗ L → L ve ν(L) → L vektör
matrisleriyse T∗ M|L vektör demetinin yap matrisi
(
)
AT∗ L
0
0
Bν(L)
çarpm fonksiyonu
Ba³ka bir deyi³le,
AT∗ L
demetlerinin yap
ve
³eklindedir.
165
Vektör Demetleri
p ∈ M noktasndaki li E1
hom(E1p , E2p ) homomorzmalar
hom(E1 , E2 ) → M ile gösterece§iz. Bu vektör
Homomorzmalar Demeti : Herhangi bir
ve
E2
demetlerinin o noktadaki lierinin
uzay olan vektör demetini
demetinin yap fonksiyonlar
hom(E1 ,E2 )
ψαβ
: Uα ∩ Uβ → GL(hom(Rk1 , Rk2 ), R)
hom(E1 ,E2 )
ψαβ
E2
E1
(p)(L) = ψαβ
(p) ◦ L ◦ (ψαβ
(p))−1
ile verilir. Bunu ³u ³ekilde görebiliriz:
hom(E1 ,E2 )
ψαβ
E1
u = ψαβ
(p)(v),
w = L(v)
ve
ise
E1
E2
(p)(L)((ψαβ
(p))(v)) = ψαβ
(p)(w)
olacaktr.
E2 = M × R a³ikar
vektör demeti alrsak hom(E1 , E2 ) → M demeti E1 → M vektör demetinin
∗
dual demeti olarak adlandrlr ve ksaca E1 → M olarak yazlr.
Tensör çarpmn olu³turan demetlerden ikincisini
E1 ⊗ E2 → M tensör çarpm,
E1p ⊗ E2p tensör çarpm uzay olan ve
Vektör Demetlerinin Tensör Çarpm :
herhangi bir
p∈M
noktasndaki li
ψαβ : Uα ∩ Uβ → GL(k1 k2 , R) ,
1
2
p 7→ ψαβ
(p) ⊗ ψαβ
(p)
yap fonksiyonlar ile verilen vektör demeti olarak tanmlanr.
Karma³k saylar gerçel saylar üzerinde iki boyutlu gerçel vektör uzay
olarak görebiliriz. O halde,
E2 = M × C → M, (p, z) 7→ p,
iki boyutlu a³ikar
vektör demeti ise bu demetin yap fonksiyonlar birim matris ile verilir:
(
2
ψαβ
Bu özel halde,
M
M
: Uα ∩ Uβ → GL(2, R),
p 7→
1 0
0 1
)
.
E1 ⊗ E2 → M 2k1 -boyutlu karma³k vektör demeti olur, E1 →
E1 ⊗C →
vektör demetinin karma³kla³trmas olarak adlandrlr ve ksaca
ile gösterilir.
1 × 1-lik
matrislerin tensör çarpm da
1 × 1-lik
oldu§undan gerçel (ya
da karma³k) bir boyutlu iki vektör demetinin tensör çarpm yine bir boyutlu
olacaktr. Bu i³lem bir manifold üzerindeki do§ru demetlerinin kümesini bir
monoid yapar. Di§er taraftan, yap fonksiyonlar
ψαβ : Uα ∩ Uβ → GL(1, F), (F = R/C)
ile verilen herhangi bir
L→M
gerçel veya karma³k do§ru demetinin dualinin
yap fonksiyonlar
−1
ψαβ
: Uα ∩ Uβ → GL(1, F), (F = R/C)
166
Vektör Alanlar ve Demetleri
ters matrisler ile verilece§inden her do§ru demetinin duali ile tensör çarpm
a³ikar do§ru demeti olacaktr. Dolaysyla, do§ru demetleri kümesi tensör çar-
1 × 1-lik matrisler
SO(1) = {1} oldu§undan
pm altnda bir de§i³meli grup olu³tururlar (çarpma i³lemi
üzerinde de§i³meli bir i³lemdir).
gerçel her
L→M
O(1) = Z2
L⊗L
do§ru demeti için
ve
a³ikar do§ru demetidir. Dolay-
syla, bir manifold üzerindeki gerçel do§ru demetlerinin olu³turdu§u de§i³meli
grup bir
2-gruptur
(birim eleman d³ndaki her elemann mertebesi ikidir).
Determinant Do§ru Demeti:
E→M
rank
k -olan bir gerçel vektör demeti
olsun. Bu demetin
ψαβ : Uα ∩ Uβ → GL(k, R) ,
yap fonksiyonlarnn
det : GL(k, R) → R = GL(1, R)
determinant fonksiyonu
ile bile³keleri,
ψ̃αβ = det ◦ψαβ : Uα ∩ Uβ → GL(k, R) ,
rank bir olan bir vektör demeti tanmlar. Bunu görmek için
ψαβ ◦ ψβγ = ψαγ
çember ko³ulunun determinantn almak yeterlidir. Determinant fonksiyonu bir
grup homomorzmas oldu§undan
ψ̃αβ ◦ ψ̃βγ = ψ̃αγ
e³itli§i elde edilir. Bu vektör demetine
ve genellikle
det(E) → M
E→M
demetinin determinant denir
ile gösterilir. Ayn ³ekilde karma³k vektör de-
metlerinin determinantlarn tanmlayabiliriz. Bir gerçel vektör demetinin yönlendirilebilir olmas yap grubunun
GL+ (k, R)
alt grubuna indirgenmesine
denk oldu§undan yönlendirilebilir vektör demetlerinin determinantlar a³ikar
do§ru demetleridir (bkz. Al³trma 28). Örnek 2.3.9'de her karma³k matrisi determinant pozitif olan gerçel bir matris olarak ele alabilece§imizi görmü³tük.
Ba³ka bir deyi³le
GL(k, C)
GL+ (2k, R)'nin bir alt grubudur. O halde,
yap fonksiyonlarnn GL(k, C) → GL(2k, R)
grubu
bir karma³k vektör demetinin
içerme homomorzmas ile bile³kesini alarak bu vektör demetini gerçel rank
karma³k ranknn iki kat olan yönlendirilmi³ gerçel bir vektör demeti olarak
görebiliriz.
Vektör Demetleri Üzerinde Karma³k Yaplar: “imdi de gerçel bir vek-
tör demetin ne ³ekilde karma³k bir demete dönü³türülebilece§ini görece§iz.
Ba³ka bir deyi³le, rank
2k
olan yönlendirilmi³ gerçel bir vektör demetinin
GL+ (2k, R) yap grubunun
GL(k, C) ⊆ GL+ (2k, R)
R2k
→ R2k
alt grubuna indirgenebilmesini sa§layan bir kriter verece§iz.
karma³k yap ile karesi
J2
= −Id
olan bir
J :
R2k
üzerinde bir
endomorz-
masn anlayaca§z. Her çift boyutlu vektör uzay üzerinde saylamaz çoklukta
167
Vektör Demetleri
karma³k yap oldu§u açktr (bkz. Al³trma 29). Bir vektör demetinin her li
üzerine, noktaya göre de§i³imi türevlenebilir olan, karma³k yaplar koyabildi§imizi dü³ünelim. Ba³ka bir deyi³le,
E → M
2k
rank
olan bir vektör
demeti olmak üzere
hom(E, E) → M
p∈M
demetinin her
için,
Jp2 = −IdE
ko³ulunu sa§layan bir
J : M → hom(E, E) , p 7→ Jp : E → E
kesitinin varl§n kabul edelim. Böyle yaplara vektör demeti üzerinde bir kar-
ma³k yap denir. Karma³k yaplarn varl§ genellikle cevab zor olabilen (cebirsel) topolojik bir problemdir.
“imdi bir karma³k yapnn
indirgedi§ini görelim. Yerel bir
GL+ (2k, R) yap grubunu GL(k, C) grubuna
ϕα : P −1 (Uα ) → Uα × R2k çarpm fonksiyonu
altnda demetin hiç bir noktada sfr olmayan bir
x1 : Uα → Uα × R2k
.
y1 (p) = J(p) ◦ x1 (p) ³eklinde tanmlanan kesiti dü³ünelim.
Jp2 = −Id oldu§undan her p ∈ Uα için, {x1 (p), y1 (p)} kümesi Ep vektör
uzay içinde do§rusal ba§mszdr. Çünkü c1 x1 (p)+d1 y1 (p) = 0 olacak ³ekilde
c1 , c2 ∈ R gerçel saylar varsa, bu denkleme Jp uygulayarak −d1 x1 (p) +
c1 y1 (p) = 0 denklemini elde ederiz. Bu iki denklemden kolay bir ³ekilde (c21 +
d21 ) x1 = 0 elde ederiz. x1 (p) ̸= 0 ³eklinde seçilmi³ oldu§undan c1 = d1 =
0 sonucuna varrz. “imdi bir üçüncü x2 : Uα → Uα × R2k kesiti seçelim
öyle ki, yine her noktada {x1 (p), y1 (p), x2 (p)} kümesi Ep
vektör uzay
.
içinde do§rusal ba§msz olsun (bu kolayca yaplabilir). Benzer ³ekilde, y2 (p) =
J(p) ◦ x2 (p) ile tanmlanan kesit bize yine her noktada do§rusal ba§msz
{x1 (p), y1 (p), x2 (p), y2 (p)} kümesini verecektir. Bunu görmek için baz ci , di
i = 1, 2, gerçel saylar için
kesitini alalm.
c1 x1 (p) + d1 y1 (p)1 + c2 x2 (p) + d2 y2 (p) = 0
oldu§unu varsayalm. Bu denkleme önce
Jp
uygulayarak
−d1 x1 (p) + c1 y1 (p) − d2 x2 (p) + c2 y2 (p) = 0
denklemini elde ederiz. Daha sonra ilk denklemi
c2 ,
ikinci denklemi de
−d2
ile çarpp toplarsak
x2 (p) =
(c1 c2 + d1 d2 )x1 (p) + (c2 d1 − c1 d2 )y1 (p)
c22 + d22
elde ederiz (bir önceki paragraftan dolay
Fakat bu
{x1 (p), y1 (p), x2 (p)}
c22 + d22 ̸= 0
oldu§unu biliyoruz).
kümesinin do§rusal ba§msz olmasyla çeli³ir.
168
Vektör Alanlar ve Demetleri
Bu ³ekilde devam ederek, her noktada do§rusal ba§msz ve
x1 , y1 , · · · , xk , yk
yi = J ◦ xi
olan
kesitlerinin varl§n kabul edebiliriz.
“imdi bu kesitleri kullanarak vektör demetimiz için yeni bir çarpm fonksiyonu yazabiliriz:
ϕ0α : P −1 (Uα ) → Uα × R2k = Ck ,
(p, v) 7→ (p, (a1 (p, v) + ib1 (p, v), · · · , ak (p, v) + ibk (p, v))) ,
öyle ki
ai (p, v), bi (p, v)
gerçel saylar
v = a1 (p, v)x1 (p) + b1 (p, v)y1 (p) + · · · + ak (p, v)xk (p) + bk (p, v)yk (p)
e³itli§inin tek çözümüdür (ai (p, v)
ve
bi (p, v)
fonksiyonlarnn türevlene-
bilir oldu§u bu katsaylarn Kramer kural kullanlarak yazlabilmesinin bir
sonucudur). Bu çarpm fonksiyonlar her noktada karma³k do§rusaldr: E§er
ϕ0α (p, v) = (p, w)
ϕ0α (p, Jp (v)) = (p, iw) olur. Çarpm fonksiyonlarnn
verece§i yap fonksiyonlarnn GL(k, C) de§erli olaca§nn kantn okuyucuya
ise
brakyoruz. Böylece kant tamamlanr.
Vektör Demetinin Geri Çekmesi:
ise
N
f :M →N
türevlenebilir bir fonksiyon
M
f
üzerine
demetinin çarpm ve yap fonksiyonlar
E→N
üzerindeki her vektör demetini bu fonksiyon yardmyla
P : E → N
∗
f (E) → M
ta³yabiliriz:
çekmesi
bir vektör demeti olsun. Bu demetin
ile geri
f ∗ (E) = {(p, v) ∈ M × E | P (v) = f (p)}
ile tanmlanr.
f ∗ (E) → M
demetinin çarpm fonksiyonlarnn uygun ³ekilde
f :M →N
ile bile³kesi ola-
caktr. Ayrca geri çekme i³lemi yukardaki tüm yaplarla uyumludur. Örne§in,
f ∗ (E1 ⊕ E2 ) = f ∗ (E1 ) ⊕ f ∗ (E2 )
E→N
üzerinde metrik veya karma³k
yaplar varsa bu yaplar geri çekme i³lemi ile
demetinde de var olur
olur;
f ∗ (E)
(bkz. Al³trma 30).
Evrensel Demetler: Her gerçel veya karma³k vektör demeti evrensel demet
denilen bir demetin bir fonksiyon ile geri çekmesi ile elde edilebilir. “imdi bunu ayrntlaryla açklayalm:
Bu durumda
kümesini
Fn
F
gerçel veya karma³k say cismini göstersin.
vektör uzaynn tüm
GrF (n, k)
k -boyutlu (k ≤ n)
alt uzaylarnn
ile gösterece§iz. Grassmann manifoldu olarak bilinen bu
küme üzerinde do§al bir manifold yaps vardr. Aslnda, tanmndan dolay
GrF (n, 1) = FP n−1
manifoldu oldu§u açktr. Genel durumda ise bu küme
üzerine topolojik yapy ³u ³ekilde koyaca§z:
k -boyutlu
V = Fn
vektör uzaynn bir
W
V uzay üzerine standart iç çarpm koyalm
β = {v1 , · · · , vn } ortonormal tabann seçelim öyle ki, tabann
ilk k -vektörü {v1 , · · · , vk } W alt uzaynn bir taban olsun. “imdi F = R
olsun. β = {v1 , · · · , vn } ortonormal tabann bir ortogonal matrisin sütunlar
alt uzayn ele alalm.
ve uzayn bir
169
Vektör Demetleri
olarak görebiliriz. Di§er taraftan, hem
W
alt uzaynn hem de bu uzayn
W⊥
W alt uzaynn,
O(n) ortogonal matrisler uzay içinde farkl temsilcilerini verecektir. O halde,
GrR (n, k) kümesi ile O(n)/(O(k) × O(n − k)) bölüm uzay arasnda bire bir
e³leme vardr. Burada herhangi bir (A, B) ∈ O(k) × O(n − k) matris ikilisini
O(n) içinde
[
]
A 0
0 B
ortogonal tümleyeninin ayr ayr tabanlarn de§i³tirmek,
GrR (n, k)
`kö³egen' matrisi olarak görüyoruz. Bu e³leme sayesinde
bir topolojik uzay olarak görebiliriz. Aslnda
GrR (n, 1)
kümesini
durumunda oldu§u
gibi bu topolojik küme üzerinde türevlenebilir bir yap vardr ve bu yapyla
O(n) → GrR (n, k)
fonksiyonu türevlenebilir bir bölüm fonksiyonudur.
Grassmann manifoldu üzerinde do§al bir
k -boyutlu
vektör demeti vardr:
ξk = {(v, V ) | V ∈ GrR (n, k), v ∈ V } → GrR (n, k) , (v, V ) 7→ V .
Projektif uzay özelinde oldu§u gibi,
Rn ≃ Rn × {0} ⊆ Rn+1
gömmesi yard-
myla, Grassmann manifoldlarn iç içe dü³ünebiliriz:
GrR (n, k) → GrR (n + 1, k), V 7→ V × {0} .
Son olarak
n
üzerinden limit alarak
GrR (k) = lim GrR (n, k)
n→∞
Grassman uzayn ve onun üzerindeki (do§al) evrensel
ξ → GrR (k) k -boyutlu
C-cismi üzerinde de
vektör demetini tanmlayabiliriz. Benzer yapy karma³k
kurabilece§imiz açktr.
Herhangi bir
demeti uygun bir
ktir. Buradaki
X topolojik uzay üzerinde verilen k -boyutlu E → X vektör
f : X → GrF (k) fonksiyonu için f ∗ (ξ) demetine izomorf : X → GrF (k) fonksiyonuna E → X vektör demetinin
bir snandrma fonksiyonu denir. Demetler ile demetlerin snandrma fonksiyonlarnn homotopi snar arasnda bire bir e³leme vardr. Bu alt bölümde
ifade etti§imiz sonuçlarn kantlarn burada sunmayaca§z. Bu bilgilerin daha kapsaml ve açk halini [27] nolu referansn 5. Bölümü'nde bulabilirsiniz.
Di§er taraftan,
Al³trma 9
k=1
ve
F=C
durumunda 6. Ünite'nin sonunda bulunan
buradaki sonuçlarn ksmi kantlarn sunmaktadr.
CP 1 ⊆ CP 2 alt manifoldunun
ν(CP 1 ) = CP 2 − {[0 : 0 : 1]} olmak üzere
Örnek 3.3.4. Bu örnekte
hesaplayaca§z.
normal demetini
P : ν(CP 1 ) → CP 1 , [z0 : z1 : z2 ] 7→ [z0 : z1 ]
iz dü³üm fonksiyonunu ele alalm.
U0 = CP 1 − {[0 : 1]}
ve
U1 = CP 1 − {[1 : 0]}
170
Vektör Alanlar ve Demetleri
olmak üzere
ve
P −1 (U0 ) → U0 × C,
[z0 : z1 : z2 ] 7→ ([z0 : z1 ],
z2
)
z0
P −1 (U1 ) → U1 × C,
[z0 : z1 : z2 ] 7→ ([z0 : z1 ],
z2
)
z1
difeomorzmalar rank bir olan bir karma³k vektör demeti tanmlar. Bu demeν(CP 1 ) oldu§undan bu demet projektif do§runun projektif
tin toplam uzay
düzlem içindeki normal demetidir. Bu alt manifoldun tüp kom³ulu§u olarak
normal demetin toplam uzayn alabiliriz. Normal demetin ψ01 : U0 ∩ U1 →
GL(1, C) = C∗ yap fonksiyonu ψ01 ([z0 : z1 : z2 ]) = zz10 ile verilir. O halde,
U0 ∩ U1 açk kümesi üzerinde z = zz01 fonksiyonunu koordinat olarak seçersek
1
yap fonksiyonumuz ψ01 (z) = z olacaktr.
Örnek 3.3.5. Örnek 2.1.10'da ele ald§mz karma³k projektif do§runun kar-
ma³k te§et demetinin in³asn hatrlayalm:
T∗ CP 1 = T∗ C ∪˙ T∗ C /(x, v) ∼ (ϕ(x), ϕ′ (x)(v)) = (1/x, −v/x2 ),
(x, v) ∈ C − {0} × C = T∗ (C − {0}).
1
Buna benzer olarak, her k ∈ Z için, O(k) → CP
bir boyutlu karma³k
vektör demeti
O(k) = C × C ∪˙ C × C /(x, v) ∼ (1/x, v/xk ),
(x, v) ∈ C − {0} × C ³eklinde tanmlanr. Bu durumda
O(2) olur. Di§er taraftan, kote§et demeti ise
te§et demeti,
T∗ CP 1 =
T ∗ CP 1 = (T∗ CP 1 )∗ = O(2)∗ = O(−2)
olacaktr. Ayrca
O(k) → CP 1
vektör demetinin analitik kesitlerinin olu³-
k
turdu§u karma³k vektör uzaynn boyutunun
tam says oldu§u kolayca
k tam saylar için bu demetin hiç analitik kesiti
O(0) = CP 1 × C a³ikar demetinin kesitleri s : CP 1 → C
görülür. Dolaysyla, negatif
yoktur. Son olarak,
³eklindeki fonksiyonlar oldu§u için analitik kesitler sadece sabit fonksiyonlardr.
1
Pozitif k tam saylar için ise O(k) → CP
karma³k do§ru demetinin
bir kesiti
s : CP 1 → O(k), s0 ([z0 : z1 ]) = 1 +
yerel kesitleri ile verilir (aslnda derecesi
z1k
z0k
ve
k -olan
s1 ([z0 : z1 ]) = 1 +
z0k
z1k
her homojen polinom bir kesit
verir; bkz. Al³trma 31).
Son olarak yukardaki örnekte ele ald§mz normal demet
O(1) → CP 1
demetidir. Be³inci ünitede inceleyece§imiz kesi³im teorisi, bu normal demeti
belirleyen
k=1
says ile projektif düzlemde herhangi iki farkl do§runun tek
bir noktada kesi³mesi arasndaki ili³kiyi açklayacaktr. (Bkz. Örnek 5.2.4.2 ve
Örnek 5.2.11.2.)
171
Vektör Demetleri
3.3.3
Vektör Demetleri Üzerinde Ba§lantlar
M
Önceki ksmlarda
X
ba³ka
manifoldu üzerinde tanml bir
vektör alan boyunca
p ∈ M
vektör alannn tek bir
LX Y
Y
vektör alannn bir
Lie türevini tanmlam³tk. “imdi
noktasndaki herhangi bir
v ∈ Tp M
Y
vek-
törü boyunca türevini tanmlamaya çal³alm. Lie türevinin tanmn do§rudan
kullanamayz, çünkü Lie türevi her iki vektör alannn da
açk bir kom³ulu§unda tanml olmasn gerektirir. Oysa
p ∈ M noktasnn
v ∈ Tp M vektörü
sadece bir noktada tanmlanm³tr ve bu vektörü, tanm kümesi bu noktann
açk kom³ulu§u olan bir vektör alanna geni³letmenin do§al bir yöntemi yoktur.
Di§er taraftan, manifold üzerinde Riemann metri§i gibi fazladan bir yap verilirse bu zorlu§un üstesinden gelebiliriz: Bu noktadaki te§et uzaynda tanml
Expp : Tp M → M
yerel
difeomorzmasn dü³ünelim. Her
v ∈ Tp M
vektörü
için,
D(Expp )(v) : Tv (Tp M ) ≃ Tp M → Tq M , q = Expp (v) ,
türev izomorzmasn kullanarak
Y
de§erlerini birbiriyle kar³la³trabiliriz.
daki
Y (q) ∈ Tq M
vektörünün
Y
p
vektörünün
noktasnn etrafndaki
q = Expp (v)
noktasn-
p noktasndaki
.
Ỹ (v) = [D(Expp )(v)]−1 (Y (q))
de§erini bu izomorzma ile
vektörüne ta³yalm. “imdi
Y
vektör alannn
p∈M
noktasnda ve
v ∈ Tp M
vektörü boyunca türevini
. d
∇v Y =
Ỹ (tv)
dt |t=0
ile tanmlayabiliriz.
Teorem 3.3.6.
dinat sistemi ve
ei
ve
(M, g) bir Riemann manifoldu, (x1 , · · · , xn ) bir yerel koorΓkij metri§in bu koordinatlardaki Christoel sembolleri olsun.
d
vektör alann gösterirsek, ej vektör
dxi
ei (p) vektörü boyunca türevi
∑
∇ei ej =
Γkij ek
ile
alannn
p∈M
noktasnda
k
ile verilir.
Kant :
Ỹ (tv) = [D(Expp )(tv)]−1 (Y (q))
denklemini
[D(Expp )(tv)] (Ỹ (tv)) = (Y (Expp (tv)))
³eklinde yazalm ve her iki tarafn
Y = ej
dolay
t'ye göre türevini alalm. Bunun için ilk önce,
ve v = ei (p) oldu§undan Teorem 3.1.7'in kantnn ilk paragrafndan
d
(Y (Expp (tv))) = 0 oldu§u kolayca görülür. O halde,
dt |t=0
d
d
[D(Expp )(tv)] (Ỹ (0)) + [D(Expp )(0)] (
(Ỹ (tv))) = 0
dt |t=0
dt |t=0
172
Vektör Alanlar ve Demetleri
elde ederiz.
D(Expp )(0) = id
Ỹ (0) = Y (p)
ve dolaysyla
oldu§undan
d
d
(Ỹ (tv)) = −(
[D(Expp )(tv)]) (Y (p))
dt |t=0
dt |t=0
d
[D(Expp )(tv)]
dt |t=0
sonucuna ula³rz. O halde, kant tamamlamak için
p ∈ M
revini hesaplamalyz. Bunu yapmak için
y ∈ Tp M
tü-
noktasndan ba³layan ve
vektörü boyunca ilerleyen jeodezi§i
γ(t, p, y) : R → M,
t 7→ γ(t, p, y) = (γ1 (t), · · · , γn (t))
ile gösterelim. O halde,
γ(t, p, y) = γ(1, p, ty) = Expp (ty)
denkleminin
t'ye
göre türevini alarak
γ̇(t, p, y) =
d
(Expp (ty)) = D(Expp (ty)) · y
dt
elde edilir. Tekrar türev alrsak
γ̈(t, p, y) =
buluruz.
rumda
D(Expp (ty))
d
[D(Expp (ty))] · y
dt
matrisini
(∗)
D(ty) = [dlm (ty)]
ile gösterelim. Bu du-
d
d
[D(Expp (ty))] =
(D(ty)) = [∇dlm · y]
dt |t=0
dt |t=0
olur. Di§er taraftan,
yukardaki e³itli§i
∇dlm = (d1lm , · · · , dnlm )
gradyan vektörü olmak üzere
]
[
∑
d
k
[D(ty)] =
dlm yk
dt |t=0
k
³eklinde yazabiliriz. O halde yukardaki
[
γ̈(0, p, y) =
∑
(∗)
(l,m)
t=0
e³itli§ini,
dklm yk ym
km
(l)
³eklinde yazp daha sonra jeodezik denklemini kullanp, her
−
∑
km
k
du§undan dlm
=
Γlkm yk ym =
∑
l
için,
dklm yk ym
km
y = (y1 , · · · , yn ) ∈
l
−Γkm elde ederiz. Son olarak
elde ederiz. Bu e³itlik her
alarak,
]
Tp M
vektörü için do§ru ol-
d
d
(Ỹ (tv)) = −(
[D(Expp )(tv)]) (Y (p))
dt |t=0
dt |t=0
173
Vektör Demetleri
Y = ej = [0, . . . , 0, 1, 0, · · · , 0]t
denkleminde
∇ei ej =
y = v = ei (p)
ve
alarak
d
d
(ẽj (tei (p))) = −(
[D(Expp )(tei (p))]) (ej )
dt |t=0
dt |t=0
= [Γkil ](k,l) [0, . . . , 0, 1, 0, · · · , 0]t
∑
=
Γkij ek ,
k
buluruz ve böylece kant tamamlanr.
Yukarda
2
.
Ỹ (v) = [D(Expp )(v)]−1 (Y (q))
olmak üzere
. d
Ỹ (tv)
∇v Y =
dt |t=0
ile tanmlad§mz türev alma i³lemine
mann ba§lants denir. Bu tanm
tanml bir
tasnda ve
Y
f : M → R fonksiyonuna
v ∈ Tp M vektörü boyunca
(M, g)
Riemann manifoldunun
Rie-
vektör alan yerine manifold üzerinde
uygularsak fonksiyonun
p∈M
nok-
türevini elde ederiz:
∇v f = v(f ) .
Tanmlardan ve kantn içindeki ifadelerden yararlanarak a³a§daki sonucu kolayca elde ederiz.
X, Y, Xi ve Yi (M, g) Riemann manifoldu üzerinde vektör
f : M → R türevlenebilir bir fonksiyonu olsun. Bu durumda
Sonuç 3.3.7.
alanlar ve
a³a§dakiler do§rudur:
1.
∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f ) Y ,
2.
∇f X Y = f ∇X Y ,
3.
∇X1 +X2 Y = ∇X1 Y + ∇X2 Y ,
4.
∇X (Y1 + Y2 ) = ∇X Y1 + ∇X Y2 .
(M, g)
manifoldunun
Γkij
ve
Christoel sembollerine ayrca Riemann ba§lant-
snn Christoel sembolleri de denir.
(M, g) Riemann manifoldu üzerindeki Riemann ba§lantE = T∗ M → M vektör demetinin kesitlerinin olu³turdu§u Γ(E) vektör
∗
∗
uzayndan E ⊗ T M vektör demetinin kesitlerinin olu³turdu§u Γ(E ⊗ T M )
Hatrlatma 3.3.8.
sn
vektör uzayna bir do§rusal fonksiyon olarak görebiliriz:
∇ : Γ(E) → Γ(E ⊗ T ∗ M ), Y 7→ (∇Y : X 7→ ∇X Y ) ,
174
Vektör Alanlar ve Demetleri
öyle ki, her
Y ∈ Γ(E)
ve
f ∈ C ∞ (M )
için,
∇(f Y ) = f ∇Y + Y ⊗ df
Leibniz kural sa§lanr.
Riemann ba§lantsn bu ³ekilde ifade etmek te§et demeti üzerinde tanmlad§mz Riemann ba§lantsn çok daha genel bir kavramn özel hali yapar:
E → M
herhangi bir vektör demeti olmak üzere yukardaki hatrlatmada
verilen Leibniz kuraln sa§layan her do§rusal
∇ : Γ(E) → Γ(E ⊗ T ∗ M )
E → M demeti üzerinde bir ba§lant denir. Vektör deU açk kümesinde x1 , · · · , xn koordinat sisteminde
verilen bir {sα } çatsn (manifoldun U açk kümesi üzerinde tanml ve
d
vektör
her noktada do§rusal ba§msz olan yerel kesitler) alalm. ei (p) =
dxi
homomorzmasna
metinin, manifoldun bir
alanlar için
∇ei sα = Γβiα sβ
e³itli§ini sa§layan
Γβiα : U → R
fonksiyonlarna ba§lantnn bu koordinat sistemindeki Christoel sembolleri
denir.
X =
∑
i ai (p)
ei
ve
∑
s(p) =
α fα (p)
sα (p)
gibi rastgele bir vektör
alan ve kesit alalm. Ba§lantnn özelliklerini kullanarak bu kesitin türevini
∇X s = ∇∑i ai (p)
=
∑
∑
ei
ai (fα ∇ei sα + sα ei (fα ))
iα
=
∑
ai (fα
∑
iα
=
∑
fα sα
α
Γβiα sβ + sα
β
Γβiα
ai fα sβ +
iαβ
∑
∂fα
)
∂xi
X(fα )sα
α
olarak hesaplayabiliriz. Dolaysyla, vektör demeti üzerindeki ba§lant Christoel sembolleri ile tamamen belirlenir.
Bu hesaplamalarn bir sonucu olarak ayn demet üzerindeki iki ba§lantnn
farknn bir tensör oldu§unu görürüz:
(∇1X − ∇2X )(f s) = f ((∇1X − ∇2X )(s)) .
Dolaysyla, bir vektör demeti üzerindeki tüm ba§lantlar, bir tanesini taban
ba§lant olarak seçerek, bir an uzay olarak görebiliriz.
175
Vektör Demetleri
Te§et demetinde oldu§u gibi, çarpm fonksiyonlarn ve birimin ayr³mn kullanarak her vektör demetine bir Riemann metri§i koyabiliriz. Yine benzer ³ekilde bu metri§in Christoel sembollerini yazarak vektör demeti üzerinde bir
ba§lant in³a edebiliriz.
ωαβ ∈ Ω1 (U ) 1-formlar
Yukardaki gösterimi kullanarak baz
için,
∇sα = ωαβ ⊗ sβ
yazabiliriz. Aslnda ba§lanty vektör demetinin kesitlerinin olu³turdu§u vektör
uzaynn homomorzmalarnda de§er alan bir
∑
ω=
1-form
olarak yazabiliriz:
Γβiα s∗α ⊗ sβ ⊗ dxi .
i,α,β
Bu forma ba§lant 1-formu denir.
Vektör demetinin
U
açk kümesi üzerinde bir ba³ka yerel
çatsn alalm. Bu iki çat arasndaki do§rusal taban de§i³tirme
U → GL(r, R)
ile gösterelim:
s′j = s1 g1j + · · · + sr grj =
∑
{s′1 , · · · , s′r }
matrisini g :
sl glj .
l
Bu durumda bu iki çatya kar³lk gelen ba§lant formlar arasndaki ili³ki a³a§daki gibidir.
{s′1 , · · · , s′r } çatsna kar³lk gelen ω̃ = [ω̃jk ]
+
dg e³itli§i sa§lanr (dg ile g fonksiyon
Önerme 3.3.9. Ba§lantnn
1-formu
için
ω̃ =
g −1 ωg
g −1
matrisinin her elemannn d³ türevi alnarak elde edilen matrisi gösteriyoruz).
Kant : Do§rudan tanmlar kullanarak
∇s′j
= ∇(
=
∑
∑
l
=
∑
sl glj )
l
(glj ∇sl + sl ⊗ dglj )
∑
(glj (
ωlk sk ) + sl ⊗ dglj )
l
=
∑
lk
=
∑
k
glj ωlk
sk +
=
sl ⊗ dglj
l
∑
∑
−1
−1
glj ωlk (
s′m gkm
)+
s′m glm
⊗ dglj
m
lk
∑
∑
−1
gkm
ωlk
glj s′m
lkm
+
∑
lm
lm
−1
glm ⊗
dglj s′m
∑∑
∑
−1
−1
=
(
gkm
ωlk glj +
glm
⊗ dglj ) s′m
m
kl
e³itli§ini elde ederiz. Bu kant bitirir.
l
2
176
Vektör Alanlar ve Demetleri
Örnek 3.3.10. Bir manifoldun te§et demeti üzerinde verilen bir
ve
X =
∑
i ai (p) ei
ve
durumda
∇X Y − ∇Y X =
Y =
∑
∑
j bj (p) ej
Γkij (ai bj − aj bi ) ek +
ijk
= [X, Y ] +
∑
∇
ba§lants
gibi iki vektör alan verilsin. Bu
∑
(X(bj ) − Y (aj ))ej
j
Γkij (ai bj − aj bi ) ek
ijk
= [X, Y ] +
∑
(Γkij − Γkji ) ai bj ek ,
ijk
elde ederiz. Bu e³itli§i kullanarak
∑
.
T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] =
(Γkij − Γkji ) ai bj ek
ijk
ile tanmlanan
T (X, Y )
tensörüne ba§lantnn burulma tensörü denir (bkz.
k
Al³trma 32). E§er ba§lant simetrik, ba³ka bir deyi³le, her i, j, k için, Γij =
k
Γji , ise T = 0 oldu§u açktr. Özel halde, tüm Riemann ba§lantlar simetrik
oldu§undan bu ba§lantlarn burulma tensörü sfrdr.
Burulma tensörünün geometrisini bir örnek üzerinde inceleyelim. Koor2 düzleminin te§et demetinde a³a§daki
dinatlar x1 , x2
olan M = R
√
Christoel sembolleri ile verilen ba§lanty alalm: r =
x21 + x22 olmak üzere
1
2
2
2
Γ12 (x1 , x2 ) = cos r , Γ12 (x1 , x2 ) = sin r , ve tüm di§er semboller sfr olsun.
Yine
ei
ile
d
dxi
vektör alann dü³ünürsek,
X = e1
ve
Y = e2
vektör
alanlar olmak üzere
T (X, Y )(x1 , x2 ) = (cos r2 ) e1 + (sin r2 ) e2
olarak hesaplanr. O halde, bu iki vektör alannn burulma tensörü merkezden
geçen do§rular boyunca dönen bir vektör alan verir. Ayrca bu iki vektör alan
için,
[X, Y ] = 0
T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X
∇X Y ̸= ∇Y X 'dir.
oldu§undan
düzlemin her noktasnda
Hatrlatma 3.3.11.
∇, E → M
olur ve dolaysyla
vektör demeti üzerinde herhangi bir ba§lant
olsun. E§er bu ba§lant bir Riemann ba§lants olsayd fonksiyonlar üzerinde
de tanml olurdu ve
f :M →R
∇
sayfa 173). “imdi bize verilen
olmak üzere
∇(f ) = df
ile verilirdi (bkz.
ba§lantsnn da fonksiyonlar üzerinde bir
Riemann ba§lants gibi tanmlanm³ oldu§unu kabul edelim (bkz. Al³trma 33).
∗
Bu durumda ∇ ba§lantsn E → M dual vektör demetine ta³yabiliriz.
Gösterim kolayl§ açsndan ba§lanty dual demet üzerinde de yine
s ∈ Γ(E) ve α ∈ Γ(E ∗ ) birer kesit iseler f
gösterece§iz: E§er
∇ ile
.
= α(s)
manifold üzerinde türevlenebilir bir fonksiyondur. Ba§lantnn Leibniz kuraln
sa§lamasn bekledi§imizden dolay
df = ∇(f ) = ∇(α(s)) = (∇α)(s) + α(∇s)
177
Vektör Demetleri
e³itli§inden dual vektör demeti üzerindeki ba§lantnn Christoel sembollerini
(x1 , · · · , xn ) manifold üzerinde yerel bir kod
ordinat sistemi, ei =
, (s1 , · · · , sk ) vektör demetinin yerel bir çats ve
dxi
(α1 , · · · , αk ) dual vektör demetinin αl (sj ) = δjl ko³ulunu sa§layan bir çatk
s olsun. E§er Γij vektör demetinin bu çatdaki Christoel sembolleri ise,
∑
∇ei sj =
Γkij sk , yukardaki e³itlikten
³u ³ekilde hesaplayabiliriz. Yine
k
0 = ei (αl (sj )) = (∇ei αl )(sj ) + αl (∇ei sj )
∑
= (∇ei αl )(sj ) + αl (
Γkij sk )
∑
= (∇ei αl )(sj ) +
k
Γlij
= (∇ei αl )(sj ) +
∇ei αl = −
elde ederiz. O halde,
demetin Christoel sembolleri
Γ̃kij
∑
j
Γlij αj
ise,
k
Γkij δlk
,
olur. Ba³ka bir deyi³le, dual
∇ei αj =
∑
Γ̃kij αk ,
k
Γ̃kij = −Γjik
olur. Çarpm kuraln tekrar kullanarak ba§lanty bu vektör demetlerinin tensör
çarpmlarna da geni³letebiliriz. Bunun bir uygulamasn a³a§da görelim.
∇
∇g = 0'dr.
Önerme 3.3.12.
s ise
bir
(M, g)
Riemann manifoldunun (Riemann) ba§lant-
Di§er taraftan, bu ko³ulu sa§layan simetrik tek ba§lant
Riemann ba§lantsdr.
∇
{e1 =
d
dx1 , · · · , en
k
yerel çats için ba§lant formunun Christoel sembolleri Γij olsun:
Kant :
Riemann ba§lants olmak üzere
∇ei ej =
∑
d
dxn }
Γ̃kij = −Γjik
ola-
Γkij ek .
Bu durumda, dual vektör demetinin Christoel sembolleri
caktr. Önermenin kantn yapmak için her
ek
için
∑
∇ek (
gij dxi ⊗ dxj ) = 0
ij
=
178
Vektör Alanlar ve Demetleri
oldu§unu göstermeliyiz. Çarpm kuraln uygulayarak
∑
∑
∇ek (
gij dxi ⊗ dxj ) =
[(∇ek gij ) dxi ⊗ dxj
ij
ij
+gij (∇ek dxi ) ⊗ dxj + gij dxi ⊗ (∇ek dxj )]
∑
k
=
gij
dxi ⊗ dxj
+
∑
ij
gij Γ̃lki dxl ⊗ dxj +
ijl
∑
=
−
∑
gij Γ̃lkj dxi ⊗ dxl
ijl
k
gij
dxi ⊗ dxj
ij
gij Γikl
∑
dxl ⊗ dxj −
∑
gij Γjkl dxi ⊗ dxl ,
ijl
ijl
elde ederiz. Bu durumda kantn birinci bölümünü tamamlamak için
k
gij
=
∑
glj Γlki + gil Γlkj
l
oldu§unu göstermek yeterlidir.
∑
glj Γlki + gil Γlkj
=
l
=
=
=
∑
1 ∑ lm i
k
m
g (gkm + gim
− gki
))
2 m
l
∑
1 ∑ lm j
k
m
+
gil (
− gkj
))
g (gkm + gjm
2 m
l
1∑
i
k
m
δjm (gkm
+ gim
− gki
)
2 m
1∑
j
k
m
+
δim (gkm
+ gjm
− gkj
)
2 m
glj (
1 i
1 j
j
k
k
i
(g + gij
− gki
) + (gki
+ gji
− gkj
)
2 kj
2
k
gij
.
Kantn ikinci bölümü okuyucuya al³trma olarak braklm³tr (Al³trma 34).
2
Bu kantn açk bir sonucu a³a§daki gibidir.
P : E → M türevlenebilir manifold üzerinde bir vektör de{xi }, i = 1, · · · , n, manifold üzerinde yerel bir koordinat sistemi ve
{sα }, α = 1, · · · , r, demetin bu koordinat sistemi üzerindeki bir çats olsun.
Sonuç 3.3.13.
meti,
179
Vektör Demetleri
Demet üzerinde bir
g
Γ
metri§i ve bir
ba§lants alalm. Bu durumda
ba§lantsnn metri§i korumas için gerek ve yeter ³art, her
i
gαβ
=
∑
i, α, β
Γ
için,
gγβ Γγiα + gαγ Γγiβ
γ
olmasdr.
Ayrca,
. 1 ∑ γβ i
Γγiα =
g gαβ
2
β
bu denklemin bir çözümünü verdi§inden demet üzerinde seçilen her iç çarpm
için bu iç çarpmla uyumlu bir ba§lantnn var oldu§unu görürüz.
Kant : kinci ifadenin kantn tamamlamak için ba§lant formu için verdi§imiz
Γγiα =
1 ∑ γβ i
g gαβ
2
β
ifadesinin koordinat ve çarpm fonksiyonlarnn seçiminden ba§msz oldu§unu
göstermeliyiz. Bunun için
E
manifoldu üzerine bir Riemann metri§i koyalm
ve bu metrik yardmyla te§et demetini
ker(DP )
ve bunun direkt tümleyeninin
toplam ³eklinde yazalm:
T∗ E = ker(DP : T∗ E → T∗ M ) ⊕ H ≃ E ⊕ H .
Bu yazmda
E
E
ile
ker(DP )
demetini do§al ³ekilde yer de§i³tiriyoruz. Daha
g̃ metri§i
ile de§i³tirelim, öyle ki g̃|E = g olsun ve her (u, v) ∈ ker(DP ) × H için
g̃(u, v) = 0 e³itli§i sa§lansn. Buna göre her i ve α için, g̃iα = 0 olur.
M manifoldunun koordinat seçimi ve demetin bir çarpm fonksiyonu E masonra
manifoldu üzerine koydu§umuz Riemann metri§ini bir
nifoldunun bir koordinat sistemi seçimine kar³lk gelecektir. Dolaysyla, bu
metri§in belirledi§i metrik ba§nts, diyelim ki
˜
∇
olsun,
M
üzerindeki ko-
E demetinin çarpm fonksiyonu seçiminden ba§mszdr.
ker(DP ) ≃ E üzerine dik iz dü³üm fonksiyonu ile birle³iE üzerinde bir ba§lant tanmlayacaktr (bkz. Al³trma 35). E§er Γ̃γiα
ordinat sistemi ile
Bu ba§ntnn
mi
bu ba§ntnn yukarda bahsedilen ³ekilde seçilmi³ bir koordinat sistemindeki
Christoel sembolleri ise
Γ̃γiα =
1 ∑ γβ α
1 ∑ γβ i
β
i
g̃ (g̃iβ + g̃αβ
− g̃iα
g gαβ
)=
2
2
β
olacaktr. Dolaysyla, kant tamamlanr.
β
2
Vektör demetleri üzerindeki metriklerin ve ba§lantlarn e§riliklerini ve kohomolojik özelliklerini Bölüm 6'da ele alaca§z. Fakat daha önce türevlenebilir
formlarda tanmlad§mz d³ türevi, üzerinde bir ba§lant formu verilmi³ olan
180
Vektör Alanlar ve Demetleri
tensör de§erli formlara ta³mamz gerekiyor. E§er
bir form ve
s ∈ Γ(E),
üzerinde bir
∇
ν ∈ Ωr (M )
türevlenebilir
ba§lants verilmi³ olan,
E → M
vektör demetinin bir kesiti ise, bu kesitin d³ türevi ³u ³ekilde tanmlanr:
d∇ : Γ(Ωr (M ) ⊗ E) → Γ(Ωr+1 (M ) ⊗ E) ,
∑
.
d∇ (ν ⊗ s) = dν ⊗ s + (−1)r ν ∧
dxj ⊗ ∇j s .
j
“imdi de bu tanm kullanarak herhangi bir
s=
∑
fk sk
kesiti için
(d∇ ◦∇)(s)
bile³kesini hesaplayalm.
(d∇ ◦ ∇)(s) = d∇ (∇s)
= d∇ (dfk ⊗ sk + fk ∇sk )
(
)
∇ ∂fk
l
= d
dxi ⊗ sk + fk Γik dxi ⊗ sl
∂xi
)
(
∂fl
∇
l
= d
dxi ⊗ sl + fk Γik dxi ⊗ sl
∂xi
)
(
∂fl
∇
l
= d
(
+ fk Γik ) dxi ⊗ sl
∂xi
( 2
)
∂Γlik
∂ fl
∂fk l
=
+
Γ + fk
dxj ∧ dxi ⊗ sl
∂xi ∂xj
∂xj ik
∂xj
)
(
∂fl
l
−
+ fk Γik dxi ∧ dxj ⊗ Γm
jl sm
∂xi
∂Γlik
= fk
dxj ∧ dxi ⊗ sl
∂xj
−fk Γlik Γm
jl dxi ∧ dxj ⊗ sm
(
)
l
∂Γlik
fk ∂Γjk
=
−
dxi ∧ dxj ⊗ sl
2
∂xi
∂xj
)
fk ( m l
l
+
Γjk Γim − Γm
dxi ∧ dxj ⊗ sl
ik Γjm
2
= F ∇ (s)
olarak bulunur. En son admdaki terim e§rilik (formudur),
F ∇ ∈ Γ(Ω2 (M ) ⊗Ω0 (M ) hom(E, E)) ≃ Γ(Ω2 (M ) ⊗ E ∗ ⊗ E) ,
ve
Ωlk
1∑
=
2
ij
olmak üzere
(
∂Γlik ∑ m l
l
−
+
Γjk Γim − Γm
ik Γjm
∂xi
∂xj
m
∂Γljk
F∇ =
∑
kl
ile verilir.
Ωlk s∗k ⊗ sl
)
dxi ∧ dxj
181
Vektör Demetleri
3.3.4
Poincaré Yar Düzlemi
Bu alt bölümde Poincaré Yar Düzlemi'ni tanmlayp bu manifoldun jeodeziklerini belirleyece§iz. Poincaré Yar Düzlemi üzerindeki Riemann metri§i
g(x, y) =
dx ⊗ dx + dy ⊗ dy
y2
ile verilen
H = {(x, y) ∈ R2 | y > 0}
yar düzlemidir. Bu yüzeyin jeodeziklerini incelemeden önce genel bir sonuç
kantlayaca§z (bkz. [32], s. 488, Al³trma 27 ve 41).
γ : [a, b] → (M n , g) türevlenebilir bir e§ri ve
p : [α, β] → [a, b] , t 7→ s = p(t) bir difeomorzma olsun. γ e§risinin bir
jeodezik olmas için gerek ve yeter ³art c = γ ◦ p e§risinin yerel bir koordinat
Yardmc Teorem 3.3.14.
sisteminde
n
∑
dck p′′ (t)
d2 ck
dci dcj
k
=
+
Γ
(c(t))
ij
dt2
dt dt
dt p′ (t)
i,j=1
denklemini sa§lamasdr. Ayrca
c
e§risi
n
∑
dck
d2 ck
dci dcj
=
µ(t)
+
Γkij (c(t))
dt2
dt dt
dt
i,j=1
denklemi sa§layan herhangi bir e§ri ise
c
bir jeodezi§in tekrar parametrize
edilmi³ halidir.
Kant :
ile verilsin.
γ = (x1 , · · · , xn ) ve ci = xi ◦ p olmak üzere c = (c1 , · · · , cn )
lk önce s = p(t) fonksiyonun bir difeomorzma oldu§unu ve
γ(s)'in bir jeodezik oldu§unu kabul edelim. O halde a³a§daki jeodezik denklemi sa§lanr:
∑
dxj
d2 x k
dxi
(s)
(s)
(s) = 0 .
+
Γkij (γ(s))
ds2
ds
ds
i,j
p′ (t)
Di§er taraftan,
̸= 0
oldu§unu kullanarak (p(t) bir difeomorzma
oldu§u için türevi her noktada sfrdan farkldr)
dxk
1 dck
= ′
ds
p (t) dt
elde ederiz. Tekrar türev alarak
d2 xk
ds2
=
1
′
(p (t))2
(
d2 ck
dck p′′ (t)
−
dt2
dt p′ (t)
)
bulunur. Bu ifadeleri yukardaki jeodezik denkleminde yerine koyarsak teoremin ifadesindeki denklemi elde ederiz. Di§er taraftan,
denklemi sa§lyorsa
γ
c
teoremin ifadesindeki
e§risinin bir jeodezik oldu§u kolayca görülür.
182
Vektör Alanlar ve Demetleri
M ′ (y) = µ(y)
kinci ifadenin kant için,
M (y)
fonksiyonu
µ(y)
olmak üzere (ba³ka bir deyi³le,
için bir ters türev fonksiyonu olsun)
∫
t
eM (y) dy
p(t) =
t0
olarak tanmlayalm. Ayrica,
p′ (t) ̸= 0
p(t)
oldu§u için
bir difeomorzmadr.
2
Artk birinci ksm kullanarak kant bitirebiliriz.
“imdi bu yardmc teoremi kullanarak Poincaré Yar Düzlemi'nin tüm jeodeziklerini belirleyebiliriz. Bunu üç admda yapaca§z.
Adm 1)
{e1 =
d
dx , e2
lk önce bu metri§in Christoel sembollerini hesaplayalm.
=
2(∇e1 e1 , e1 ) = ∇e1 (e1 , e1 ) = ∇
oldu§undan
Γ111 = 0
d
dx
1
=0
y2
bulunur. Benzer ³ekilde
2(∇e2 e1 , e1 ) = ∇e2 (e1 , e1 ) = ∇ d
dy
oldu§undan
β =
d
dy } olmak üzere
Γ112 = Γ121 = −1/y
1
2
=− 3
y2
y
elde ederiz. Yine
0 = ∇e1 (e1 , e2 ) = (∇e1 e1 , e2 ) + (e1 , ∇e1 e2 )
Γ211 = −Γ112 = 1/y olarak bulunur. Son olarak benzer ³ekilde,
= −1/y ve Γ122 = Γ212 = Γ221 = 0 olarak hesaplanr. E§rilik tensörünün
e³itli§inden
Γ222
bile³enleri ise a³a§daki gibidir:
2
1
R121
= R212
=−
1
1
2
, R111
= R222
=0.
y2
Ricci tensörü ise ³öyledir (Bölüm 6.1.):
1
y2
=0
1
2
2
R11 = R111
+ R121
= R121
=−
R12
1
2
1
R22 = R212
+ R222
= R212
R21 = 0
1
=− 2 .
y
Son olarak saysal e§rilik ve Gauss e§rilikleri
S=
∑
ij
g ij Rij = −2 , κ = −1
183
Vektör Demetleri
sabitleri olarak hesaplanr.
Adm 2)
C
(c, 0) noktasnda
√ve yarçap R > 0 olan yar çember
t 7→ (t, γ(t)) = (t, R2 − (t − c)2 ) parametrizasyonunu
merkezi
olsun. Bu e§rinin
dü³ünelim. Türev alarak
dγ
(t − c)
= −√
dt
R2 − (t − c)2
d2 γ
R2
=
−
dt2
γ(t)3
ve
e³itliklerini elde ederiz. O halde,
γ ′ (t) γ ′ (t)2
−
t−c
γ(t)
−1
(t − c)2
−
γ(t)
γ(t)3
γ(t)2 + (t − c)2
= −
γ(t)3
−R2
=
γ(t)3
d2 γ
=
dt2
=
elde ederiz. “imdi bu e§rinin bir jeodezik oldu§unu gösterece§iz. Bunun için
yukardaki yardmc teoremin ikinci ksmn kullanaca§z. “imdi
µ(t) = −
alalm ve e§rimizin
2γ ′ (t)
γ(t)
c(t) = (c1 (t), c2 (t)) = (t, γ(t))
koordinatlarnn
n
∑
d2 ck
dck
dci dcj
=
µ(t) , k = 1, 2,
+
Γkij (c(t))
2
dt
dt dt
dt
i,j=1
denklemlerini sa§lad§n gösterelim:
2
∑
d2 c1
dci dcj
+
Γ1ij (c(t))
dt2
dt dt
= −
i,j=1
−1 ′
−1 ′
γ (t) −
γ (t)
γ(t)
γ(t)
= −2
γ′
γ
dc1
µ(t) .
dt
=
Benzer ³ekilde di§er koordinat için de
2
∑
d2 c2
dci dcj
+
Γ2ij (c(t))
2
dt
dt dt
i,j=1
=
γ′
(γ ′ )2
1 (γ ′ )2
−
+ −
t−c
γ
γ
γ
1 (2γ ′ )2
1
−
+
γ
γ
γ
′
= γ µ(t).
dc1
=
µ(t)
dt
= −
184
Vektör Alanlar ve Demetleri
elde ederiz. Ba³ka bir deyi³le uygun ³ekilde parametrize edildiklerinde bu yar
çemberler birer jeodeziktir. Benzer ³ekilde
t 7→ (a, bt), (b > 0),
y -eksenine
paralel do§rular da,
birer jeodeziktir.
p ∈ H herhangi bir nokta ve v ∈ Tp H herhangi bir te§et vektörü
v = (v1 , v2 ) = (0, v2 ) ³eklinde bir vektör ise, bu durumda t 7→
(0, v2 t) jeodezi§i (p, v) ikilisinden geçen tek jeodeziktir. Di§er taraftan, v1 ̸=
0 ise merkezi x-ekseni üzerinde bulunan bir yar çember (p, v) ikilisinin
üzerinden geçecektir. Son olarak, her (p, v) ikilisi tek bir jeodezik belirledi§i
Adm 3)
olsun. E§er
“ekil 3.3: Hiperbolik yar düzlemde çe³itli jeodezikler. Bir ucu
olan ve
p
noktasndan geçen tüm jeodezikler
γ1
(a, b)
açk aral§nda
jeodezi§ine paraleldir.
için Poincaré Yar Düzlemi'nin tüm jeodezikleri yar çemberler ve
y -eksenine
paralel do§rulardr.
Bu jeodeziklerin uzunluklarnn sonsuz oldu§u kolayca görülebilir (bkz.
Al³trma 36). O halde, Hatrlatma 3.2.13.1'den dolay Poincaré Yar Düzlemi tam bir metrik uzaydr.
Al³trma 37 bu düzlemde Öklit'in be³inci kabulünün sa§lanmad§n göstermektedir.
3.3.5
Normal Demet ve Tüp Kom³uluk Teoremi
(M, g)
bir Riemann manifold ve
L ⊆ M
kapal bir alt manifold olsun.
A³a§daki ifade ile tanmlanan
ν(L) = {(p, v) ∈ T∗ M | p ∈ L, gp (v, u) = 0,
te§et vektörler kümesine
denir ve
ν(L)
L
u ∈ Tp L}
M içindeki normal demeti
demet T∗ M
te§et demetinin bir alt
{(p, v) ∈ ν(L) | v = 0} alt kümesi
alt manifoldunun
ile gösterilir. Normal
manifoldudur. Ayrca normal demetin
L'ye
for all
difeomork bir alt manifoldudur (bkz. Örnek 3.3.3 ve Al³trma 38). Bu
alt manifolda
normal demetin sfr kesiti de denir.
Teorem 3.3.15 (Tüp Kom³uluk Teoremi).
kardaki gibi olsun. Bu durumda
L
(M, g), L ⊆ M
sfr kesitinin öyle bir
ν(L) yuL ⊂ U ⊆ ν(L)
ve
185
Vektör Demetleri
Exp : T∗ M → M
açk kom³ulu§u vardr ki,
kstlan³
L⊆V ⊆M
üstel fonksiyonun bu kom³ulu§a
gibi bir açk kom³ulu§a bir difeomorzma verir:
Exp : U −→ V, (p, v) 7→ Expp (v), (p, v) ∈ ν(L) .
E§er
L
ϵ>0
tkz bir manifold ise yeterince küçük
saylar için,
U = {(p, v) ∈ ν(L) | ∥v∥ < ϵ}
³eklinde seçilebilir.
Kant : Örnek 3.3.3'den dolay
te§et uzayn
Tp M
ν(L)
manifoldunun
(p, 0)
noktasndaki
te§et uzay ile e³leyebiliriz:
T(p,0) ν(L) −→ Tp L ⊕ νp (L) ≃ Tp M .
Ayrca yine daha önceki bölümlerden
D(Expp )0 = IdTp M
(p, 0) ∈ ν(L)
oldu§unu biliyoruz (bkz. s. 146). O halde, her
noktas için
DExp(p,0) = IdTp M olacaktr. Bu durumda Ters Fonksiyon Teoremi'nden
Exp : ν(L) → M fonksiyonunun her (p, 0) ∈ ν(L) noktas etrafnda bir
difeomorzma oldu§u sonucuna varrz.
ddia:
L
manifoldunun verilen her tkz
says vardr ki,
Exp : ν(L) → M
K
alt kümesi için öyle bir
ϵK > 0
fonksiyonunun
.
UϵK = {(p, v) ∈ ν(L) | p ∈ K, ∥v∥ < ϵK }
alt kümesine kstlan³ bire birdir.
Kant: Böyle bir saynn var olmamas durumunda
xn , yn ∈ K
olmak üzere
lim ∥vn ∥ = 0 = lim ∥un ∥
n
n
ve
Exp(xn , vn ) = Exp(yn , un )
ko³ullarn sa§layan
lundan dolay
(xn )
(xn , vn ) ̸= (yn , un ) ∈ ν(L)
dizileri vardr. Tkzlk ko³u-
dizisini bir alt dizisi ile de§i³tirerek bu dizinin yaknsak
oldu§unu kabul edebiliriz,
limn xn = x0 ∈ K .
Di§er taraftan,
(yn )
dizisinin
bu alt diziye kar³lk gelen alt dizisinin ba³ka bir alt dizisi de yaknsak ola-
limn xn = x0 ∈ K hem de
Fakat, Exp fonksiyonu sürekli
caktr. O halde, tekrar alt dizilere geçerek hem
limn yn = y0 ∈ K
oldu§unu kabul edebiliriz.
oldu§undan
x0 = Exp(x0 , 0) = lim Exp(xn , vn ) = lim Exp(yn , un ) = Exp(y0 , 0) = y0
n
n
186
Vektör Alanlar ve Demetleri
Exp
elde ederiz. Bu ise
fonksiyonunun yerel olarak bire bir olmas ile çeli³ir
ve böylece iddiann kant tamamlanr.
“imdi de
L
sfr kesitini tkz alt kümelerinin bir birle³imi olarak yazalm:
L = ∪n≥1 Kn , Kn ⊆ Int(Kn+1 ), n ≥ 1.
lk önce
n=1
için bir
ϵ1 > 0
says seçelim, öyle ki
.
U1 = {(p, v) ∈ ν(L) | p ∈ K1 , ∥v∥ < ϵ1 }
alt kümesi üzerinde
ϵ2 > 0
Exp
fonksiyonu bire bir olsun. Daha sonra,
Exp
says seçelim öyle ki, bu sefer
bire bir olsun (burada
Ki , ∥v∥ < ϵi }
Ui
n=2
için
U1 ∪ U2 üzerinde
.
Ui = {(p, v) ∈ ν(L) | p ∈
fonksiyonu
alt kümesi benzer ³ekilde
olarak tanmlanm³tr). Bunun yaplabilece§i yukardaki id-
diann kantna benzer ³ekilde görülebilir. Bu ³ekilde devam ederek öyle bir
ϵn > 0
says seçelim ki
olsun. Dolaysyla,
Exp
Exp
fonksiyonu
U1 ∪ · · · ∪ Un
üzerinde bire bir
fonksiyonu
.
U0 = ∪n≥1 Un ⊆ ν(L)
Ui alt kümeleri ne de U0 birle³imi
n ≥ 1 için, Kn ⊆ Int(Kn+1 ) olkümesi L ⊆ ν(L) alt manifoldunu içerir.
açk alt kümesi üzerinde bire birdir. Ne
açk alt kümelerdir. Di§er taraftan, her
.
U = Int(U0 ) açk alt
olarak, Exp fonksiyonu sfr
du§undan
Son
kesit üzerindeki her nokta etrafnda yerel
olarak bir difeomorzma oldu§undan,
Exp
fonksiyonu
görüntüsüne istedi§imiz difeomorzmay verecektir.
U
açk kümesinden
2
“ekil 3.4: Tüp Kom³uluk
π : T∗ M → M
iz dü³üm fonksiyonunun U ⊆ ν(L) alt manifolduna kstlan³n yine π : U →
L ile gösterelim. Bu durumda P = π ◦ Exp−1 : V → L bile³ke fonksiyonu
³u ³ekilde karakterize edilebilir: Her q ∈ V için, L üzerinde tek bir P(q)
noktas vardr, öyle ki, q noktas L alt manifoldunu dik ³ekilde p noktasnda
kesen ve tamamen V içinde kalan tek bir jeodezik e§ri üzerinde bulunur. Bu
gözlem P iz dü³üm fonksiyonunun a³a§daki geometrik yorumunu verir.
Teorem 3.3.15'in gösterimi kullanarak biraz daha ilerleyebiliriz.
187
Vektör Demetleri
L ⊆ M alt manifoldu ayn zamanda kapal bir alt küme olsun.
q ∈ V ve p ∈ L için, d(p, q) ≥ d(q, P (q)) olur ve e³itlik
sadece p = P (q) olmas durumunda sa§lanr. Ba³ka bir deyi³le, L üzerinde
q noktasna en yakn tek bir nokta vardr ve o nokta P (q) noktasdr.
Sonuç 3.3.16.
Bu durumda her
R = d(q, P (q)) yarçapl kapal
jeodezik yuvar dü³ünelim: B = Expq (B[0, R]), (burada B[0, R] ile Tq M
te§et uzayndaki orijin merkezli ve R yarçapl kapal yuvar gösteriyoruz).
Bu durumda P (q) ∈ B olur. L ∩ B kapal kümesinin q noktasna en yakn
noktas p olsun. “imdi kantn anla³lmasn kolayla³trmak için M manin Öklit uzay oldu§unu kabul edelim. O halde,
foldunun düz metri§e sahip R
e§er R1 = d(p, q) ise B1 = Expq (B[0, R1 ]) yuvar L alt manifolduna p
noktasnda te§et olacaktr. Dolaysyla, p noktasn q noktasna ba§layan
do§ru parças (jeodezik) L alt manifolduna dik olur. Fakat, P fonksiyonunun
tanmndan dolay L üzerinde bu özelli§e sahip tek nokta P (q) noktasdr. Di§er bir deyi³le, p = P (q) olmaldr ve dolaysyla, bu özel durumda
−1 difeomorzmas ile T M te§et
kant tamamlanr. Genel durumda ise Expq
q
uzayna geri gidelim. Bu durumda p noktasn q noktasna ba§layan jeodezik yine bir do§ru parças olacaktr. O halde, yine B[0, R1 ] ⊆ Tq M yuvar
Expq−1 (L) ⊆ Tq M alt manifolduna te§et olur. Ba³ka bir deyi³le, orijinden ç−1
kan do§ru Expq (L) ⊆ Tq M alt manifolduna dik olacaktr. Son olarak Gauss
Yardmc Teoremi uygulayarak p noktasn q noktasna ba§layan jeodezi§in
L alt manifolduna dik oldu§unu görürüz ve kant özel durumda oldu§u ³ekilde
tamamlanr. 2
Kant: lk önce
q
noktas etrafndaki
L ⊆ M = RN Öklit uzaynn bir alt manifoldu olsun. Metrik düz oldu§undan M 'nin jeodezikleri sadece do§rulardr. Dolaysyla, tüp
−1 : V → L iz dü³üm fonksiyonu
kom³uluktan L'ye giden P = π ◦ Exp
Örnek 3.3.17.
aslnda dik iz dü³üm fonksiyonudur.
Teorem 3.3.15'in bir uygulamas olarak ileride çokça kullanaca§mz türevlenebilir fonksiyonlarla yakla³m teoremini kantlayaca§z. Türevlenebilir manifoldlar Öklit uzaylarna gömülebildi§i için manifoldlarn topolojisi metriklenebilirdir. Dolaysyla, iki manifold arasndaki sürekli fonksiyonlarn arasndaki
uzaklktan bahsedebiliriz.
∞
türevlenebilir manifoldlar olmak üzere C (M, N )
0
türevlenebilir fonksiyonlar uzay C (M, N ) sürekli fonksiyonlar uzay içinde
Teorem 3.3.18.
M
yo§undur. Her sürekli
bilir
g:M →N
ve
N
f :M →N
fonksiyonuna homotopik olan bir türevlene-
fonksiyonu vardr. Ayrca iki türevlenebilir fonksiyon sürekli
bir fonksiyon ile homotopik ise bu fonksiyonlar türevlenebilir bir fonksiyon ile
de homotopiktir.
Kant :
N ⊆ν⊆
M ⊆ Rm
ve
N ⊆ Rn
Rn tüp kom³uluklar ve
tüp kom³ulu§un verilen bir
oldu§unu kabul edelim.
M ⊆ µ ⊆ Rm
ve
P : ν → N iz dü³üm fonksiyonu olsun. Bu
q ∈ N noktasndaki kalnl§ en az 2ϵq olsun.
188
Vektör Alanlar ve Demetleri
Ba³ka bir deyi³le,
seçelim.
M
Rn
Öklit uzaynda
B(q, 2ϵq ) ⊆ ν
olacak ³ekilde
ϵq > 0
manifoldunun her birinin kapan³ tkz olan yerel sonlu bir açk
örtüsünü ve bu örtü ile uyumlu bir birimin ayr³mn alalm:
M ⊆ ∪ α Uα ,
ρα : M → R ,
∑
ρα (p) = 1 , p ∈ M.
α
f : M → N sürekli bir fonksiyon olsun. Stone-Weierstrass Teoremi'ni kullam → Rn polinom fonksiyonu seçelim öyle ki, her
narak her α için bir gα : R
p ∈ Uα için ∥f (p) − gα (p)∥ < ϵf (p) olsun (Uα kümesinin kapan³nn
tkz
∑
n
oldu§unu kullanyoruz) (bkz. s. 109, [34]). g : M → R , g(p) =
α ρ(p) gα (p)
toplam fonksiyonu olsun. Üçgen e³itsizli§inden
∥f (p) − g(p)∥ = ∥
∑
ρα (p)(f (p) − gα (p))∥ < (
α
elde ederiz. O halde,
g(M ) ⊆ ν
∑
ρα (p)) ϵf (p) = ϵf (p)
α
olur ve dolaysyla
lenebilir bile³ke fonksiyonundan bahsedebiliriz.
∥f (p) − h(p)∥ < 2ϵf (p)
P
h = P ◦g : M → N
türev-
fonksiyonun geometrik özel-
ϵq > 0,
∞
q ∈ N , saylarn istedi§imiz kadar küçük seçebildi§imiz için, C (M, N ) tü0
revlenebilir fonksiyonlar uzaynn C (M, N ) sürekli fonksiyonlar uzay içinde
liklerinden
oldu§u açktr (bkz. Sonuç 3.3.16).
yo§un oldu§unu kantlam³ olduk. Di§er taraftan, her
t ∈ [0, 1]
için
∥f (p) − [(1 − t)f (p) + th(p)]∥ = ∥t(f (p) − h(p))∥ < 2ϵf (p)
oldu§undan
F : M × [0, 1] → ν,
F (p, t) = (1 − t)f (p) + th(p) ,
(P ◦ F )(p, 0) = f (p) ve
P ◦ F : M × [0, 1] → N bile³ke fonksiyonu
çizgisel homotopisini tanmlayabiliriz. Bu durumda,
(P ◦ F )(p, 1) = h(p)
oldu§undan
istenilen sürekli homotopiyi verir.
G : M × [0, 1] → N fonksiyonu
hi : M → N , i = 1, 2, fonksiyonlar
Teoremin ikinci ksm için, sürekli bir
ile homotopik olan türevlenebilir
alalm. Kant tamamlamak için bu iki türevlenebilir fonksiyonun türevlenebilir
H : M × [0, 1] → N fonksiyonu ile homotopik oldu§unu göstermemiz
gerekiyor. G(p, i) = hi (p) fonksiyonlar türevlenebilir oldu§una göre öyle açk
bir M × {0, 1} ⊆ U ⊆ M × [0, 1] kümesi ve türevlenebilir ϕ : U → N
fonksiyonu vardr ki, her (p, t) ∈ U için, G(p, t) = ϕ(p, t) olur. Teoremin
ilk bölümünde verdi§imiz kant kullanarak G homotopisine istenildi§i kadar
yakn ve homotopik olan türevlenebilir bir ψ : M × [0, 1] → N homotopisi
bulabiliriz. V = M × [0, 1] − M × {0, 1} açk kümesi olmak üzere M × [0, 1]
manifoldunun {U, V } açk örtüsü ile uyumlu bir {ρU , ρV } birimin ayr³m
bir
seçelim. Bu durumda
P ◦ (ρU G + ρV ψ) : M × [0, 1] → N ,
(p, t) 7→ P (ρU (p, t) G(p, t) + ρV (p, t) ψ(p, t)) , (p, t) ∈ M × [0, 1],
istenilen türevlenebilir homotopiyi verecektir.
2
Bu teoremin bir uygulamas için Sayfa 234'e baknz.
189
Al³trmalar
3.4
Al³trmalar
1. Hatrlatma 3.1.4'de verilen vektör alanlarnn ak³lar hakkndaki ifadeleri
kantlaynz.
2. ki vektör alannn bile³kesinin her zaman bir vektör alan olmad§n
örnekle gösteriniz.
3. Önerme 3.1.6'nn kantn genel durum için veriniz.
4. Önerme 3.1.8 ve Önerme 3.1.9'u kantlaynz.
5. Sürekli bir
f : [0, 1] → R
∫
fonksiyonu her
k≥1
tam says için
1
f (x) sin kπx dx = 0
0
e³itli§ini sa§lyorsa bu fonksiyon sabit sfr fonksiyonudur.
6. Standart Riemann metri§i ile dü³ündü§ümüz gerçel eksenden sfr noktasn çkaralm. Bu manifold üzerindeki hiçbir
t∈R
γ(t)
jeodezi§inin tüm
de§erleri için tanml olamayaca§n gösteriniz.
7. Türevlenebilir bir
M
manifoldu üzerinde bir
g -Riemann metri§i alalm.
Bu metri§i koruyan vektör alanlarna Killing vektör alanlar denir. ki
Killing vektör alannn Lie parantezinin de bir Killing vektör alan oldu§unu Sonuç 3.1.10'u kullanarak gösteriniz.
8. Tkz bir
Mn
manifoldu üzerinde sadece iki tane ve soysuzla³mam³ kri-
tik noktas olan bir fonksiyon varsa bu manifoldun
Sn
küresine homeo-
mork oldu§unu gösteriniz ( kinci Ünite'de yer alan Al³trma 26'y ve
Teorem 3.1.3'ü kullannz). Aslnda bu homeomorzma bir nokta haricinde difeomorzma olarak da seçilebilir. Bu sonuç 6. Ünite'de ele alaca§mz
Milnor'un egzotik küreleri konusunun son adm olacak. (ki farkl çözüm
için [25] ve [36] (sayfa 23) numaral kaynaklara baknz.) Bu sonuç Reeb'in
Küre Teoremi diye anlr ve Georges Reeb'in 1946 ylnda yaynlad§ [29]
makalesinin bir sonucudur.
9. Sayfa 118'deki hesaplamalar kullanarak birim küre üzerindeki (R 'den
3
gelen) standart Riemann metri§inin stereograk koordinatlarda
4
dx ⊗ dx + dy ⊗ dy
(1 + x2 + y 2 )2
ile verildi§ini gösteriniz. Bu metri§in merkezden geçen jeodeziklerinin
do§rular oldu§unu gösteriniz. Döndürmelerin (SO(3)'ün elemanlarnn)
metri§i korudu§unu kullanarak kürenin verilen bir noktasndan geçen her
joedezi§in bir büyük çember oldu§unu kantlaynz. Son olarak yarçap
r>0
riniz.
olan kürenin Gauss e§rili§inin her noktada
1/r
oldu§unu göste-
190
Vektör Alanlar ve Demetleri
H = {z ∈ C | Im(z) > 0} Hiperbo. iz + 1
D = {w ∈ C | |w| < 1} birim diski z 7→ w =
z+i
10. Karma³k düzlemin alt uzaylar olan
lik yar düzlem ile
holomork dönü³ümü altnda izomorktir. Analitik fonksiyonlar türevlerinin sfrdan farkl oldu§u yerde aç koruyandr (konformal). Dolaysyla, bu dönü³üm açlar korur. Hiperbolik yar düzlemdeki metri§i bu
dönü³üm ile birim diske ta³rsak
4
dx ⊗ dx + dy ⊗ dy
(1 − x2 − y 2 )2
metri§ini elde ederiz. Hiperbolik düzlemin bu modeline Poincaré Disk
Modeli denir. Bu modelde jeodeziklerin birim çemberi dik açlarda kesen
çemberler oldu§unu gösteriniz. Karma³k analizden hatrlad§nz Möbius transformasyonlar kullanrsanz jeodezik denklemini çözmenize gerek
kalmaz. Poincaré Diski üzerindeki metri§in alan formunu hesaplaynz.
11.
S
üzerinde standart düz metrik (dx
⊗ dx + dy ⊗ dy )
olan düzlemi veya
Al³trma 9'da üzerindeki metri§in açk ifadesini yazd§mz birim küreyi
ya da hiperbolik yar düzlemi (bkz. Bölüm 3.3.4) göstersin. Bu yüzeyin
κS (p)
Gauss e§rili§i, yüzeyin her noktasnda, srasyla
0, 1
dA ile gösterelim. Bu
αi , i = 1, 2, 3, olan her T
Yüzey üzerindeki alan formunu
üzerinde alnan ve iç açlar
ve
−1'dir.
durumda yüzey
jeodezik üçgen
için (kenarlar jeodeziklerin parçalar olan üçgen) için
∫
κ(p) dA = α1 + α2 + α3 − π
T
oldu§unu gösteriniz. Bu sonucu jeodezik çokgenlere geni³letiniz.
Gauss bu sonucu yüzey üzerindeki herhangi bir mtrik için kantlam³tr.
12. Örnek 3.2.3'dekine benzer ³ekilde özel do§rusal grup
SL(n)
manifoldu-
nun jeodeziklerini belirleyiniz.
13. Herhangi bir
(M, g)
Riemann manifoldu üzerindeki bir noktada tanm-
lanan üstel fonksiyonun sfr vektöründeki türevinin birim dönü³üm oldu§unu gösteriniz:
D(Expp )0 = IdTp M
(bkz. s. 146).
14. Hatrlatma 3.2.6'da verilen genelle³tirilmi³ Gauss Yardmc Teoremi'ni
kantlaynz.
kapal yuvar üzerinde bir g Riemann
M, m > 0 pozitif gerçel saylar vardr
γ : [a, b] → U e§risi için
15. Öklit uzayndaki herhangi bir
U
metri§i alalm. Bu durumda öyle
ki, bu yuvar içindeki her
m Le (γ) ≤ Lg (γ) ≤ M Le (γ)
olur. (Burada
Le (γ)
ve
Lg (γ)
ile
γ
e§risinin Öklit ve
g
metriklerine
göre uzunluklar gösterilmi³tir. Ayrca bkz. Teorem 7, s. 428 [32].) Bunun
191
Al³trmalar
bir sonucu olarak bir manifold üzerindeki her Riemann metri§inin ayn
(jeodezik) topolojiyi üretti§ini gösteriniz.
16. Sonuç 3.2.9'u kantlaynz.
17. A³a§daki ifade gerçel saylarn bir
fonksiyonlarn olu³turdu§u,
tanmlar:
.
(f, g) =
∫
b
[a, b]
kapal aral§nda sürekli olan
C([a, b]), vektör uzay üzerinde bir iç çarpm
f (t) g(t) dt, f, g ∈ C([a, b]) .
a
Bu iddiann kantnda açk olmayan tek nokta
(f, f ) = 0 ⇒ f = 0
önermesidir. Bunu görmek için
.
F (s) =
∫
s
f 2 (t) dt, s ∈ [a, b],
a
fonksiyonunun da sabit sfr fonksiyonu oldu§unu gözlemleyip Analizin
Temel Teoremi'ni kullanmak yeterlidir. “imdi Önerme 3.2.10'da kullanlan Schwarz e³itsizli§i iç çarpm uzaylarnn genel bir özelli§i olur.
18. Herhangi bir
(M, g)
Riemann manifoldunun sabit bir
p∈M
noktasn
alalm. Bu noktadan geçen her jeodezi§in tüm gerçel eksende tanmland§n kabul edelim. Bu durumda, manifoldun her
q∈M
noktasnn bu
noktaya uzunlu§u en ksa olan bir jeodezik ile ba§lanabildi§ini gösteriniz.
Bu birkaç admda yaplabilir. lk önce, Riemann metri§inin manifold
d : M × M → R ile gösterelim ve bu metrikte
p'den q 'ya olan uzaklk r = d(p, q) > 0 olsun. Ayrca p ∈ M noktasndaki üstel fonksiyonun B[0, ϵ] ⊂ Tp M yuvarna kstlan³, görüntüsüne
bir difeomorzma olacak ³ekilde bir ϵ > 0 seçelim. Bu yuvarn snr,
.
S(ϵ) = ∂B[0, ϵ] ⊂ Tp M , tkz oldu§u için
üzerinde verdi§i metri§i
d(p0 , q) = d(Expp (S(ϵ)), q)
olacak ³ekilde bir
olacak ³ekilde bir
p0 ∈ S(ϵ)
v ∈ Tp M
Expp (ϵv) = p0
.
Son olarak γ(t) =
noktas seçebiliriz. Ayrca
birim vektörü seçelim.
Expp (tv), t ∈ R jeodezi§i için d(γ(t), q) = r − t oldu§unu gösteriniz.
Böylece, d(γ(r), q) = 0 olaca§ için q = γ(r) elde edilecektir.
Son adm için biraz ipucu verelim:
t0 = sup{t ∈ [0, r] | d(γ(t), q) = r − t}
t0 = r
p1 = γ(t0 ) olsun ve öyle bir δ > 0
saysn tanmlayalm. E§er
ise kant tamamlanr. E§er
seçelim ki
B[p1 , δ]
t0 < r
ise
içindeki herhangi
192
Vektör Alanlar ve Demetleri
iki nokta en küçük uzunlu§a sahip bir jeodezik ile birbirine ba§lanabilsin.
γ([t0 − δ, t0 + δ]) en ksa uzunlu§a sahip bir jeodeziktir.
p2 = γ(t0 + δ) noktas ise d(p, p2 ) ≤ t0 + δ olacaktr, çünkü
γ([0, t0 + δ]) jeodezi§inin uzunlu§u t0 + δ kadardr. Ayrca, d(p, q) = r
oldu§u için d(p2 , q) ≥ r − t0 − δ olur.
Bu durumda
E§er
Di§er taraftan,
d(p1 , q) = r − t0
e³itli§ini ve
d
metri§i için üçgen
e³itsizli§ini kullanarak
r − t0 − δ ≥ d(p2 , q)
elde edilir. Bu ise
t0 'n
seçimi ile çeli³ir. Böylece kant tamamlanr.
19. Hatrlatma 3.2.13.2'nin kantn tamamlaynz.
20. Hatrlatma 3.2.15'e bir örnek veriniz. Ayrca bu hatrlatmann üstünde
iddia edildi§i üzere bir vektör uzay üzerinde verilen bir iç çarpmn tensör
çarpmlara do§al olarak ta³nabilece§ini gösteriniz.
21. Hatrlatma 3.2.15'in altndaki paragraftaki iddiay kantlaynz.
Rn içinde türevlenebilir bir fonksiyonun
= f (x1 , · · · , xn−1 ) ile verilen hiper yüzeyi, içinde
22. Örnek 3.2.16'ya benzer ³ekilde
gra§i olarak
xn
bulundu§u Öklit uzaynn Riemann metri§i ile dü³ünelim. Bu metri§e
kar³lk gelen hacim elemannn
dvol =
√
1 + fx21 + · · · + fx2n−1 dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1
oldu§unu gösteriniz.
P : E → M vektör demetinin tüm kesitlerinin olu³turdu§u
Γ(E) kümesinin C ∞ (M ) halkas üzerinde bir modül olu³turdu§unu
23. Verilen bir
gösteriniz.
24. Verilen bir vektör demetinin yap fonksiyonlarn kullanarak elde edilen
vektör demetinin ba³langçtaki demete izomork oldu§unu gösteriniz.
25. Yönlendirilebilir bir manifoldun te§et vektör demetinin yönlendirilebilir
bir demet oldu§unu gösteriniz.
26. Yönlendirilebilir vektör demetlerinin toplamlarnn da yönlendirilebilir
oldu§unu gösteriniz.
27. Herhangi bir
P :E→M
vektör demeti için
E⊕E → M
demetinin
Q:F →M
H : E → F vektör demetleri izomorzmas
ise H ⊕ H : E ⊕ E → F ⊕ F
yön koruyan bir izomorzmadr (burada E ve F demetlerinin yönlendirilebilir olmas gerekmemektedir!).
do§al bir yönlendirmesi oldu§unu ³u ³ekilde gösteriniz: E§er
bir ba³ka vektör demeti ve
193
Al³trmalar
M manifoldu için, M manifolM × M ve T∗ M manifoldlarnn do§al
Benzer kirler ile her türevlenebilir
du yönlendirilemez olsa dahi,
yönlendirmeleri oldu§unu gösteriniz.
28. Yönlendirilebilir bir vektör demetinin determinantnn a³ikar do§ru demeti oldu§unu gösteriniz.
29. ki ve dört boyutlu gerçel vektör uzaylar üzerindeki tüm karma³k yaplar belirleyiniz. Boyutu
2n ≥ 4
olan bir gerçel vektör uzay üzerinde
saylamaz çoklukta karma³k yap oldu§unu gösteriniz.
30. Vektör demetleri üzerinde inceledi§imiz tüm i³lem ve yaplarn geri çekme
i³lemi ile yer de§i³tirebilece§ini gösteriniz. Örne§in, yönlendirilebilir bir
demet geri çekildi§inde yine yönlendirilebilir bir demet elde edilir. Benzer ³ekilde, demetlerin toplam veya tensör çarpmlarnn geri çekmesi de
demetlerin geri çekmelerinin toplam veya tensör çarpmlardr.
31. Örnek 3.3.5 içinde yapt§mz tüm iddialar kantlaynz.
32. Burulma tensörünün gerçekten bir tensör oldu§unu gösteriniz.
33. Hatrlatma 3.3.11'i göz önünde bulundurarak ³unu kantlaynz:
nifold üzerindeki
∇
ma-
M × R a³ikar vektör demeti üzerinde bir ba§lant
λ ∈ R says vardr öyle ki, her f ∈ C ∞ (M )
olsun. Bu durumda bir
için
∇(f ) = df + λ f
olur. (E§er ba§lant bir Riemann metri§inden elde edilmi³se
λ=0
ol-
du§unu görmü³tük; bkz. s. 173.)
34. Önerme 3.3.12'nin kantn tamamlaynz.
35. Sonuç 3.3.13'ün kantnn içinde bahsedilen dik iz dü³üm yardmyla
tanmlanan ifadenin gerçekten bir ba§lant oldu§unu gösteriniz.
36. Poincaré Yar Düzlemi'nin jeodeziklerinin sonsuz uzunlukta oldu§unu
gösteriniz.
37. Poincaré Yar Düzlem geometrisinin Öklit'in be³inci kabulünü sa§lamad§n gösteriniz (bkz. “ekil 3.3).
38.
L ⊆ M kapal bir alt manifold olmak
üzere ν(L) normal demetinin T∗ M içinde bir alt manifold oldu§unu
gösteriniz. Ayrca normal demetin sfr kesitinin L manifolduna difeo(M, g)
bir Riemann manifoldu ve
mork bir alt manifold oldu§unu gösteriniz.
39.
(M, g)
bir Riemann manifoldu ve
L ⊂ ∂M ,
manifoldun snrnn bir
tkz ve ba§lantl bir bile³eni olsun. Tüp Kom³uluk Teoremi'nin kantn takip ederek a³a§daki ifadeyi kantlaynz: Öyle bir
ϵ > 0
says
194
Vektör Alanlar ve Demetleri
vardr ki, Riemann metri§inin vermi³ oldu§u
fonksiyonunun
U = L × (−ϵ, 0]
Exp : ν(L) → M üstel
V = Exp(U )
alt kümesine kstlan³
görüntüsüne bir difeomorktir.
“ekil 3.5:
Exp : U → V ⊂ M
Bu sonucu kullanarak birer snr bile³enleri difeomork olan iki manifoldu bu snr bile³enleri boyunca birbirine yap³trarak bir ba³ka manifold
elde ederiz. A³a§daki ³ekle (“ekil 3.6)bakarak detaylar yazma i³ini size
brakyoruz.
“ekil 3.6:
M ⊃ L × (−ϵ, ϵ) ∼ L × (−ϵ, ϵ) ⊂ N, (x, t) ∼ (x, −t)
4
De Rham Kohomoloji
Bu ünitede türevlenebilir manifoldlar üzerindeki türevlenebilir formlarn olu³turdu§u De Rham kohomoloji gruplarn hesaplayarak bunlarn baz geometrik
ve topolojik sonuçlarn inceleyece§iz. Homoloji ve kohomoloji teorileri modern
geometri ve topolojinin en etkili araçlarndandr. Aslnda homoloji ve kohomolojiyi topolojik uzaylar kategorisinden de§i³meli gruplar (veya halkalar) kategorisine birer funktor olarak ele alnabilir. Homoloji genellikle sadece de§i³meli
bir grup ya da vektör uzay iken kohomoloji do§al bir ³ekilde halka (cebir)
yapsna sahiptir ve bu sebeple daha etkili bir araçtr. Baz durumlarda kohomoloji, manifoldlar ve daha genelde topolojik uzaylar üzerinde belirli topolojik
veya geometrik yaplarn varl§na engel olarak kar³mza çkar. Bunun d³nda
kohomoloji ve homoloji snandrma problemlerinde de çok kullan³ldr. “öyle ki,topolojik nesneleri kar³la³trmak cebirsel nesnelere nazaran genelde daha
zor bir i³tir. Bu nedenle homoloji ve kohomoloji funktorlar oldukça yararldr.
Bir örnek vermek gerekirse,
R2
ve
R3
topolojik uzaylarnn homeomork
olmadklarn (ko)homoloji kullanmadan kantlamay deneyebilirsiniz (bkz. Sonuç 4.3.15). Bu ve sonraki ünitelerde bunun bir çok örne§ini ayrntl biçimde
ele alaca§z.
De Rham kohomolojinin topolojik manifoldlardaki kar³l§ tekil kohomolojidir. De Rham kohomoloji ile ilgili olarak ele alaca§mz hemen hemen her
konunun tekil kohomolojide kar³l§ vardr. Tekil (ko)homoloji konusunda en
kapsaml ve yaygn kullanlan kitaplardan bazlar [18], [6], [28] ve [12] numaral
referanslardr.
ki, üç ve dört boyutlu türevlenebilir manifoldlarn topoloji ve geometrileri
ayr ayr çal³ma alanlar olu³turmaktadr. Bu konular kapsayan kaynaklardan
birkaç [13], [20] ve [4] numaral referanslardr.
195
196
De Rham Kohomoloji
4.1
De Rham Kohomoloji
4.1.1
De Rham Kohomolojinin Tanm
Her bir
Ak
(k
∈ Z)
de§i³meli bir grup (ya da vektör uzay) olmak üzere
dk−2
dk−1
dk+1
d
k
· · · −−−→ Ak−1 −−−→ Ak −→
Ak+1 −−−→ · · ·
(A∗ , d∗ ) :
³eklindeki bir grup (vektör uzay) homomorzmalar dizisinde herhangi ard³k
iki homomorzmann bile³kesi sfr oluyorsa,
dk+1 ◦ dk = 0, Ak 'lere
zincir
gruplar ve bu diziye de bir zincir yaps denir. Bir zincir yaps için
Im(dk−1
: Ak−1 → Ak ) ⊆ ker(dk : Ak → Ak+1 )
oldu§u kolayca görülür. Bu zincir yapsnn kohomolojisi
. ker(dk : An → Ak+1 )
H k (A∗ , d∗ ) =
Im(dk−1 : Ak−1 → Ak )
bölüm grubu olarak tanmlanr.
Sayfa 97'de türevlenebilir bir
M
ω ∈ Ωk (M )
manifoldu üzerinde tanml bir
k -formunun dω = 0 olmas durumunda kapal form ve dν = ω olacak ³ekilde
k−1 (M ) (k −1)-formunun var olmas durumunda da tam form olarak
bir ν ∈ Ω
2
adlandrld§n görmü³tük. Yine d = 0 oldu§undan her tam formun ayn
zamanda kapal oldu§unu söylemi³tik. Buna göre M manifoldunun üzerindeki
dk−2
dk−1
dk+1
d
k
(Ω∗ (M ), d∗ ) : · · · −−−→ Ωk−1 (M ) −−−→ Ωn (M ) −→
Ωk+1 (M ) −−−→ · · ·
vektör uzay zincir yapsna manifoldun De Rham zincir yaps ve yapnn
k 'inci
kohomolojisine de manifoldun k'inci De Rham kohomolojisi denir. Bu
k (M ) ile gösterilir. Tanmndan anla³laca§ gibi
HDR
k
HDR (M ) manifold üzerindeki kapal k -formlarn olu³turdu§u vektör uzaynn
kohomoloji vektör uzay
tam
k -formlarn
olu³turdu§u vektör uzayna bölümüdür. Ba³ka bir deyi³le,
. ker(dk : Ωk (M ) → Ωk+1 (M ))
k
HDR
(M ) =
Im(dk−1 : Ωk−1 (M ) → Ωk (M ))
manifold üzerinde kapal olup tam olmayan türevlenebilir formlarn uzaydr.
Dolaysyla, e§er bu vektör uzay sfr vektör uzay ise manifold üzerindeki her
k -form tamdr. Kapal bir ω k -formunun
k (M ) ile gösterilir.
[ω] ∈ HDR
kapal
Önerme 4.1.1. Her ba§lantl
Kant :
0 (M )
[ϕ] ∈ HDR
M
olsun.
kohomolojide belirledi§i snf
manifoldu için
ϕ:M →R
kapal bir
her yerel koordinat sisteminde
∑
dim(M )
0 = dϕ =
i
0 (M ) = R
HDR
∂ϕ
dxi
∂xi
0-form
olur.
oldu§undan
197
De Rham Kohomoloji
olacaktr. O halde,
ϕ : M → R
manifoldu ba§lantl oldu§undan
fonksiyonu yerel olarak sabittir. Fakat,
ϕ
M
bir sabite e³it olmaldr. Di§er taraftan,
manifold üzerindeki her sabit fonksiyon kapal bir
0-form
verecektir.
2
k
M manifoldunun sonlu tane topolojik bile³eni varsa, M = ∪˙ i=1 Mi kolayca
n
k
n
her n ≥ 0 için, HDR (M ) = ⊕i=1 HDR (Mi ) oldu§unu görürüz. Dolaysyla,
sfrnc kohomoloji manifoldun ba§lantl bile³enlerinin saysn verir. Böylece kohomolojinin manifoldlarn topolojik özellikleri yanstan cebirsel nesneler
oldu§unun ilk örne§ini görmü³ olduk.
F : M → N türevlenebilir manifoldlarn türevlenebilir bir fonksiyonu
F ∗ ◦ d = d ◦ F ∗ oldu§undan F ∗ kapal formlar kapal, tam formlar
∗ formlar üzerindeki vektör uzay
da tam formlara geri çekecektir. Ayrca F
∗ kohomoloji vektör uzaylar arasnda bir do§rusal
yapsn korudu§undan, F
olsun.
homomorzma verir:
n
n
F ∗ : HDR
(N ) → HDR
(M ) ,
Di§er taraftan,
F∗
[ω] 7→ [F ∗ (ω)] .
d³ çarpm korudu§u için
∗
n
n
∗
F ∗ : HDR
(N ) = ⊕HDR
(N ) → ⊕HDR
(M ) = HDR
(M )
bir
R-cebir
homomorzmasdr:
∗ (N )
[ω], [ν] ∈ HDR
olmak üzere
F ∗ ([ω] ∧ [ν]) = F ∗ ([ω]) ∧ F ∗ ([ν]) .
A³a§daki önermenin kantn okuyucuya al³trma olarak brakyoruz (bkz.
Al³trma 1).
F :M →N
ve
G:N →L
türevlenebilir manifoldlarn tü∗
∗
∗
revlenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda, (G ◦ F ) = F ◦ G olur. Ayrca,
∗
e§er 1M : M → M manifoldun birim fonksiyonu ise 1M homomorzmas da
∗ (M ) kohomoloji cebirinin birim fonksiyonu olur.
HDR
Önerme 4.1.2.
Bu önermenin içeri§i De Rham kohomoloji cebirleri türevlenebilir manifoldlar kategorisinden gerçel saylar üzerindeki cebirlere bir funktor verir ³eklinde
ifade edilebilir.
M n-boyutlu bir manifold ise M üzerindeki her n-form
kapal olacaktr, çünkü M üzerinde sfrdan ba³ka (n + 1)-form yoktur.
2) I ⊆ R açk bir aralk ve ω = f (x) dx I
üzerinde bir 1-form olsun.
O halde, e§er F (x) f 'nin bir ters türevi ise (örne§in, a ∈ I olmak üzere,
∫x
F (x) = a f (t) dt olarak alabiliriz) dF = ω olaca§ndan ω tamdr ve
1
dolaysyla HDR (I) = 0 olur.
3) U düzlemin açk bir alt kümesi ve
Örnek 4.1.3. 1)
ω = f (x, y) dx + g(x, y) dy ∈ Ω1 (U )
198
De Rham Kohomoloji
1-form olsun. dω = (gx − fy ) dx ∧ dy oldu§undan bu
fy = gx ko³uluna denktir. Di§er taraftan, bu formun tam
0
olmas dϕ = ϕx dx + ϕy dy = ω olacak ³ekilde bir ϕ ∈ Ω (U ) fonksiyonun
var olmasna denktir. “imdi bu türevlenebilir formu U kümesi üzerinde bir
bu küme üzerinde bir
formun kapal olmas
diferansiyel denklem gibi görelim:
fx dx + gy dy = 0 .
Diferansiyel denklemler dersinden hatrlayaca§mz gibi e§er
sa ve
U
ω
formu kapaly-
açk kümesi basit ba§lantl (U bölgesinin içinde hiç bo³luk yoksa) ise
bu diferansiyel denklem tam diferansiyel denklem olarak adlandrlr ve çözümü
ϕ(x, y) = C ³eklinde verilir. Dolaysyla, e§er U basit ba§lantl bir küme
1
ise HDR (U ) = 0 olacaktr. Daha sonra tekrar ele alacak olsak da, ϕ(x, y)
fonksiyonunun nasl bulundu§unu gösterelim: U içinde sabit bir p0 ∈ U noktas seçelim. Verilen herhangi p ∈ U noktas için ϕ(p) ³u ³ekilde tanmlanr:
lk önce γ : [a, b] → U , γ(a) = p0 ve γ(b) = p olacak ³ekilde bir e§ri alalm.
de
“imdi
∫
ϕ(p) =
b
γ ∗ (ω)
a
olarak tanmlansn. Green Teoremi'nden (bkz. s. 111) dolay,
ω
kapal
1-form
oldu§u için bu integral bu iki noktay birle³tiren e§rinin seçiminden ba§mszdr.
Son olarak e§riyi a³a§daki ³ekildeki gibi seçerek Analizin Temel Teoremi'nden
ϕx = f ve ϕy = g
γ2 (t)).
oldu§unu kolayca görürüz (ϕx
=f
için
γ1 (t)
ve
ϕy = g
için
“ekil 4.1:
4)
ϕx = f
ve
ϕy = g
oldu§unu görmek için kullanlan e§riler
Daha önceki bölümlerde de ele ald§mz
ω=
formu kapaldr (dω
−1
x dy − y dx
∈ Ω1 (R2 − {(0, 0)})
x2 + y 2
fakat tam de§ildir. Çünkü e§er dϕ = ω
ise
2
olur, fakat bu fonksiyon R − {(0, 0)} kümesinin her
1
2
noktasnda tanml de§ildir. O halde, HDR (R − {(0, 0)}) kohomoloji vektör
uzay sfrdan farkldr (bkz. Önerme 4.1.5 ve Örnek 4.2.5).
ϕ = tan
(y/x) + C
= 0)
199
De Rham Kohomoloji
A³a§daki önerme kapal formlar için bir tam olmama kriteri olu³turur.
M snr olmayan tkz yönlendirilebilir
n
Ω (M ) olsun. E§er ω bir tam form ise
Önerme 4.1.4.
ve
ω∈
n-boyutlu bir manifold
∫
ω=0
M
olur. Dolaysyla,
M
üzerinde integrasyon
∫
∫
n
HDR
(M ) −
→ R,
[ν] 7→
ν
M
iyi tanml bir vektör uzay homomorzmas verir.
bir
∈ Ωn (M ) bir tam form olsun. O halde ω = dν
(M ) formu vardr. “imdi Stokes Teoremi'nden
∫
∫
∫
∫
ω=
dν =
ν= ν=0
Kant : ω
n−1
ν∈Ω
M
M
olacak ³ekilde
∅
∂M
elde ederiz.
kinci ksmn kantn okuyucuya al³trma olarak brakyoruz (bkz. Al³trma 2).
2
Buraya kadar verdi§imiz bilgilerin ³§nda bir boyutlu manifoldlarn kohomolojilerini hemen hemen hesaplam³ durumdayz:
0
0
HDR
(R) = HDR
(S 1 ) = R;
her
k > 1
için
k
k
HDR
(R) = HDR
(S 1 ) = 0
ve
1
HDR
(R) = 0
olur. O
halde, ³u ana kadar hesaplanmam³ tek kohomoloji grubu çemberin birinci
kohomolojisidir:
1
HDR
(S 1 ).
Önerme 4.1.5. Çemberin birinci kohomolojisinden gerçel saylar tanmlanan
∫
∫
I:
1
HDR
(S 1 )
−
→ R,
[ν] 7→
ν ,
S1
integral homomorzmas bir izomorzmadr.
Kant :
ω=
x dy − y dx
∈ Ω1 (S 1 )
2π
P : R → S1,
fonksiyonu ile geri çekersek
formunu
θ 7→ (cos θ, sin θ),
P ∗ (ω) = dθ/(2π)
∫
∫
ω=
S1
0
2π
elde ederiz. Bu durumda
dθ
=1
2π
200
De Rham Kohomoloji
1 (S 1 ) → R
I : HDR
oldu§undan
homomorzmas örtendir. “imdi de bu ho-
ν ∈ Ω1 (S 1 ) için I([ν]) = 0 ol= f (θ) dθ olacak ³ekilde bir f : R → R fonksiyonu seçelim.
ν(P (θ)) = ν(P (θ + 2π)) oldu§undan f fonksiyonu 2π ile periyodiktir: Her
∫ θ
θ ∈ R için, f (θ + 2π) = f (θ). F : R → R, F (θ) =
f (t) dt fonksiyonu f
momorzmann çekirde§ini hesaplayalm:
∗
sun. P (ν)
0
için bir ters türevdir:
dF = F ′ (θ) dθ = f (θ) dθ = P ∗ (ν).
∫ 2π
0 = I([ν]) =
f (t) dt
Di§er taraftan,
0
oldu§undan
∫
θ+2π
F (θ + 2π) =
f (t) dt
∫ θ
∫ θ+2π
=
f (t) dt +
f (t) dt
0
θ
∫ 2π
= F (θ) +
f (t) dt
0
0
= F (θ)
elde ederiz. Ba³ka bir deyi³le,
F̃ :
S1
→R
F (θ)
fonksiyonu
F = F̃ ◦ P
olacak ³ekilde bir
fonksiyonu verir. Buna göre,
P ∗ (dF̃ ) = d(P ∗ (F̃ )) = d(F̃ ◦ P ) = dF = P ∗ (ν)
ve dolaysyla
P ∗ (ν − dF̃ ) = 0
olur. Son olarak,
P : R → S1
yerel olarak her
nokta yaknnda bir difeomorzma oldu§undan son e³itlik ancak
olmas durumunda sa§lanr. Ba³ka bir deyi³le
Böylece kant tamamlanr.
[ν] = [dF̃ ] = 0
ν − dF̃ = 0
olmaldr.
2
Hatrlatma 4.1.6. leride her boyuttaki küre için ayn sonucu kantlayaca§z:
0 (S n ) = H n (S n ) = R
n > 0 olmak üzere HDR
DR
k
n
HDR (S ) = 0'dr. Fakat kant oldukça farkl olacaktr
Örnek 4.1.3'den dolay
1 (D 2 ) = 0
HDR
ve her
k ̸= 0, n
için
(bkz. Örnek 4.3.8).
oldu§unu biliyoruz. Bu sonucu
yukardaki önerme ile birle³tirirsek ilginç geometrik ve topolojik sonuçlar elde
ederiz.
Tanm 4.1.7.
X
A ⊆ X alt uzay ve r : X → A sürekli
x ∈ A için, r(x) = x oluyorsa A alt uzayna
r : X → A fonksiyonuna da küçültme fonksiyonu denir
topolojik bir uzay ve
bir fonksiyon olsun. E§er her
X 'in bir küçültmesi ve
Teorem 4.1.8. Öklit uzayndaki iki boyutlu yuvardan snrna hiçbir türevle-
nebilir
r : D2 → S 1
küçültme fonksiyonu yoktur.
201
Poincaré Yardmc Teoremi
r : D2 → S 1 küçültme
1
2
fonksiyonunun var oldu§unu kabul edelim. Bu durumda, e§er i : S → D
1
1
1
içerme fonksiyonunu gösterirse r ◦ i : S → S
bile³ke fonksiyonu S
çemKant : Kantlamak istedi§imiz iddiann tersine bir
berinin birim fonksiyonu olur. O halde, kohomoloji seviyesinde verilen
1
1
(r ◦ i)∗ : HDR
(S 1 ) = R −→ R = HDR
(S 1 )
homomorzmas da birim dönü³ümdür. Fakat
i∗
1 (D 2 )
HDR
:
→
1 (S 1 )
HDR
1 (D 2 ) = 0
HDR
oldu§undan
homomorzmas da a³ikar olacaktr. Bu durum
yukardaki bile³ke homomorzmasnn birim dönü³üm olmas ile açk bir ³ekilde
çeli³ir. Sonuç olarak böyle bir küçültme fonksiyonu yoktur.
2
“ekil 4.2: Teorem 4.1.8 sayesinde davulun derisi gergin bir ³ekilde kalabiliyor!
Sonuç 4.1.9. Her türevlenebilir
f : D2 → D2
fonksiyonun en az bir sabit
noktas vardr.
f : D2 → D2 sabit noktas olmayan bir fonksiyon
2 için, f (x) ̸= x olur. Her x ∈ D 2 için f (x)
olsun. O halde, her x ∈ D
noktasndan ba³layan ve x noktasndan geçen ³nn diskin snrn kesti§i
2
2
1
noktay r(x) ile gösterelim. Bu ³ekilde tanmlanan r : D → ∂D = S
Kant : Diyelim ki
fonksiyonun türevlenebilir oldu§u kolayca görülür (bkz. Al³trma 3). Ayrca bu
fonksiyonun tanmndan dolay her
bir deyi³le,
r :
D2
→
S1
teoremle çeli³ir. Dolaysyla,
vardr.
x ∈ ∂D2
için,
r(x) = x
olacaktr. Ba³ka
bir küçültme fonksiyonudur. Fakat bu yukardaki
f (x) = x
olacak ³ekilde en az bir
2
x ∈ D2
noktas
Hatrlatma 4.1.10. ki boyutlu disk için kantlad§mz bu sonuç aslnda her
boyuttaki disk için do§rudur. Üst boyutlardaki kant yukarda verdi§imiz kantn
aynsdr. Bir boyutlu disk için ise kant Ara De§er Teoremi'nin basit bir uygulamasdr. Aslnda yukardaki iki sonuç sürekli fonksiyonlara da genellenebilir
(bkz. Örnek 5.1.8).
4.2
Poincaré Yardmc Teoremi
Bu bölümde Poincaré Yardmc Teoremi diye bilinen a³a§daki sonucu kantlayaca§z ve daha sonra da bu sonucun bir kaç uygulamasn verece§iz.
202
De Rham Kohomoloji
Yardmc Teorem 4.2.1.
manifoldu için
I⊆R
bir aralk olmak üzere türevlenebilir her
M
∗
∗
HDR
(M × I) = HDR
(M )
olur.
Pr : M × I → M
Kant :
ilk bile³ene iz dü³üm fonksiyonu ve
a ∈ I
herhangi bir sabit nokta olmak üzere
ia : M → M × I , x 7→ (x, a), x ∈ M,
içerme fonksiyonu olsun. Kantn yerel yapsndan dolay manifoldu bir koordinat kom³ulu§u olarak alaca§z:
koordinatlar ve
t
de
I
M × I = U × I , x1 , · · · , xn , U
üzerindeki
U ×I
k -form ³u iki tipteki terimlerin sonlu bir topsrasyla k − 1 ve k olan toplu endeksler olmak
aral§ üzerindeki koordinat olsun. Bu durumda
çarpm manifoldu üzerindeki her
lamdr:
I
ve
J
uzunluklar
üzere
f (x, t) dxI ∧ dt
g(x, t) dxJ .
ve
“imdi
(∫
P (f (x, t) dxI ∧ dt) = (−1)
k−1
t
)
f (x, s) ds dxI
a
ve
P (g(x, t) dxJ ) = 0
ile tanmlanan
P : Ωk (M × I) → Ωk−1 (M × I)
do§rusal dönü³ümünü dü³ünelim (bu dönü³ümün koordinat sisteminin seçiminden ba§msz oldu§unun gösterilmesini al³trmalara brakyoruz; bkz. Al³trma 4). Bu dönü³üm d³ türev dönü³ümünün tam tersi bir ³ekilde formlarn
derecesini bir azaltmaktadr. Bu integral dönü³ümü d³ türev dönü³ümünün
tersi gibi gözükse de formlardaki hesaplamalar biraz farkl sonuçlar verir. Aslnda do§rudan basit bir hesapla
(d ◦ P + P ◦ d)(f (x, t) dxI ∧ dt) = f (x, t) dxI ∧ dt
ve
(d ◦ P + P ◦ d)(g(x, t) dxJ ) = (g(x, t) − g(x, a)) dxJ
oldu§unu görürüz. Son olarak bu formlar
ile geri çekelim:
ve
O halde her
ia ◦ P r : M × I → M × I
(P r∗ ◦ i∗a )(f (x, t) dxI ∧ dt) = 0
(P r∗ ◦ i∗a )(g(x, t) dxJ ) = g(x, a) dxJ .
ω ∈ Ωk (M × I)
için,
(d ◦ P + P ◦ d)(ω) = ω − (P r∗ ◦ i∗a )(ω)
bile³kesi
203
Poincaré Yardmc Teoremi
olur.
“imdi
ω ∈ Ωk (M × I)
kapal bir form olsun. Bu durumda
[ω] − (P r∗ ◦ i∗a )[ω] = [d(P (ω))] + [P (dω)] = 0
P r∗ ◦ i∗a bile³ke homomorzmas birim dönü³ümdür. Di§er ta(P r ◦ ia ) : M → M fonksiyonu birim fonksiyon oldu§u için i∗a ◦ P r∗
oldu§undan
raftan,
bile³ke homomorzmas da birim dönü³ümdür. Ba³ka bir deyi³le,
k
k
P r∗ : HDR
(M × I) → HDR
(M )
ve
k
k
i∗a : HDR
(M ) → HDR
(M × I)
homomorzmalar birbirlerinin tersidir ve dolaysyla her ikisi de izomorzmadr.
2
Bu sonucu art arda kullanarak a³a§daki sonucu buluruz.
Sonuç 4.2.2. Her
k≥0
M
tam says ve türevlenebilir
manifoldu için
∗
∗
HDR
(M × Rk ) = HDR
(M )
i (Rk ) = 0'dr.
HDR
olur. Ayrca her
i>0
için,
Önerme 4.2.3.
I⊆R
herhangi bir aralk olmak üzere
k
k
i∗a : HDR
(M × I) → HDR
(M )
homomorzmas
Kant :
ω =
a∈I
∑
noktasnn seçiminden ba§mszdr.
fI (x, t) dxI ∧ dt +
∥I∥=k−1
∑
gJ (x, t)dxJ ∈ Ωk (M × I)
∥J∥=k
kapal bir form olsun. O halde
0 = dω =
∑
∑ ∂fI (x, t)
∥I∥=k−1
i
dxi ∧ dxI ∧ dt +
∂xi
∑ ∑ ∂gJ (x, t)
∥J∥=k
+
i
∂xi
dxi ∧ dxJ
∑ ∂gJ (x, t)
dt ∧ dxJ
∂t
∥J∥=k
elde ederiz. “imdi bu formu
(−1)k−1
∑
∥I∥=k−1
∂
∂t
vektör alan ile daraltrsak
∑ ∂fI (x, t)
i
∂xi
dxi ∧ dxI =
∑ ∂gJ (x, t)
dxJ
∂t
∥J∥=k
204
De Rham Kohomoloji
e³itli§ini buluruz. Di§er taraftan,
t-de§i³kenine
t=a
göre
ω
it
formunu
fonksiyonu ile geri çekip
noktasnda türevini alrsak
d
|t=a (i∗t (ω)) =
dt
∑ ∂gJ (x, a)
dxJ
∂t
∥J∥=k
∑
= (−1)k−1
∑ ∂fI (x, a)
∥I∥=k−1
= (−1)k−1 d (
∑
∂xi
i
dxi ∧ dxI
fI (x, a) dxI )
∥I∥=k−1
i∗t (ω) formunun t-de§i³kenine göre türevi
[i∗t (ω)] kohomoloji snf t-de§erinden ba§msz-
ifadesine ula³rz. Ba³ka bir deyi³le,
bir tam formdur. Dolaysyla,
dr.
2
M ve N türevlenebilir manifoldlar, I bir aralk, a, b ∈ I , ve F :
M × I → N türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyona f (x) = F (x, a)
ve g(x) = F (x, b) fonksiyonlar arasnda bir homotopi denir. Bazen sadece f
ve g homotopiktir de denir ve f ≃ g ile gösterilir. f = F ◦ ia ve g = F ◦ ib
oldu§u için yukardaki önermenin bir sonucu olarak
∗
f ∗ = g ∗ : HDR
(N ) → HDR (M )
oldu§unu görürüz.
X, Y
fonksiyonlar olsun. E§er
f : X → Y ve g : Y → X sürekli
f ◦ g ≃ 1Y birim dönü³ümlerine homo-
topolojik uzaylar,
g ◦ f ≃ 1X
ve
topikler ise bu uzaylara homotopi denk uzaylar denir. Yukarda kantlad§mz
M
sonuçlara göre
ve
N
türevlenebilir fonksiyonlar aracl§yla homotopi
denk türevlenebilir manifoldlar ise bu manifoldlarn kohomoloji gruplar izomorktir.
a<c<d<b∈R
Hatrlatma 4.2.4. Rastgele seçilen
gerçel saylar için
her biri içerme fonksiyonun üretti§i homomorzma olan ³u homomorzmalar
dizisini dü³ünelim:
f
g
∗
∗
∗
∗
HDR
(R × M ) −
→ HDR
([a, b] × M ) −
→ HDR
((a, b) × M ) −
→ HDR
([c, d] × M )
Yukarda elde etti§imiz sonuçlara göre
h
g◦f
ve
h◦g
bile³keleri izomorzmadr,
çünkü her ikisi de difeomorzmalara homotopiktir. Dolaysyla,
zmas hem örten hem de bire birdir. Ba³ka bir deyi³le,
g
g
homomor-
bir izomorzmadr.
O halde, bu dizideki tüm homomorzmalar birer izomorzmadr.
Örnek 4.2.5.
I
herhangi bir aralk ve
P : S1 × I → S1
iz dü³üm fonksiyonu
olmak üzere, yukarda kantlad§mz sonuçlar kullanarak,
∗
∗
P ∗ : HDR
(S 1 ) → HDR
(S 1 × I)
205
Poincaré Yardmc Teoremi
homomorzmasnn bir izomorzma oldu§unu görürüz. Ayrca her
n∈N
için
f : S n × (0, ∞) → Rn+1 − {0} , (x, t) 7→ (tx),
bir difeomorzma oldu§undan
k (Rn+1 − {0}) = H k (S n )
HDR
DR
“imdi de Örnek 2.3.13'de ele ald§mz Möbius “eridi'nin,
elde edilir.
M B,
kohomolo-
jisini hesaplayalm:
M B = R × [0, 1]/(x, y) ∼ (x + 1, 1 − y).
C = {(x, y) ∈ M B | y = 1/2} alt manifoldunun çembere difeomork oldu§u
kolayca görülür. f : C → M B , (x, 1/2) 7→ (x, 1/2) içerme ve g : M B → C ,
(x, y) 7→ (x, 1/2) iz dü³üm fonksiyonu olsun. Bu durumda g ◦ f = 1C ve
f ◦ g ≃ 1M B oldu§u görülür:
F : M B × [0, 1] → M B , F ((x, y), t) = (x, t/2 + (1 − t)y),
olarak tanmlanrsa
F ((x, y), 0) = (x, y)
f ◦ g Möbius “eridi'nin
∗ (M B) → H ∗ (C)
f : HDR
DR
dan
∗
ve
F ((x, y), 1) = (x, 1/2)
olaca§n-
birim fonksiyonuna homotopik olacaktr. O halde,
bir izomorzmadr.
Bu bölümde son olarak iki boyutlu kürenin kohomolojisini hesaplayaca§z.
Kullanaca§mz hesaplama yöntemi bir sonraki bölümün temel konusu olaca§
için bu kant ayrca önemlidir.
Teorem 4.2.6. Kürenin ikinci kohomolojisinden gerçel saylara tanmlanan
∫
∫
2
I : HDR
(S 2 ) −
→ R,
[ν] 7→
ν ,
S2
integral homomorzmas bir izomorzmadr.
Kant : Bir önceki bölümde
üzere
ω0 = x dy ∧ dz − y dx ∧ dz + z dx ∧ dy
∫
ω0 = 4π
olmak
S2
oldu§unu
görmü³tük. Dolaysyla, integral homomorzmas örtendir. “imdi de
∫
ω =0
olacak ³ekilde bir
S2
ω ∈ Ω2 (S 2 )
(kapal)
2-formu
alalm. Kantn
tamamlanmas için bu formun tam oldu§unu göstermek yeterlidir. Bunun için
N = {(x, y, z) ∈ S 2 |z > −1/2}
ve
S = {(x, y, z) ∈ S 2 |z < 1/2}
alt
kümelerini dü³ünelim. Her iki alt küme de iki boyutlu yuvara difeomorktir
ve
2 (D 2 ) = 0
HDR
oldu§undan
bu açk kümelere kstlamalar
ve ω|S = dνS olacak ³ekilde
νS ∈ Ω1 (S) 1-formlar vardr. Rt = {(x, y, z) ∈ S 2 |z > t}
olmak üzere her t ∈ (−1/2, 1/2) için
∫
∫
∫
∫
∫
0= ω=
ω+
ω=
dνN +
dνS
tam formdur. Ba³ka bir deyi³le,
νN ∈ Ω1 (N )
kümesi
ω formunun
ω|N = dνN
ve
Rt
S 2 −Rt
Rt
S 2 −Rt
206
De Rham Kohomoloji
oldu§undan Stokes Teoremi'ni kullanarak
∫
νN − νS = 0
z=t
N ∩ S silindirine
giden içerme fonksiyonu kohomolojide izomorzma verdi§i için νN − νS = df
olacak ³ekilde bir f : N ∩ S → R 0-formu vardr. Bu fonksiyonu tüm S alt
e³itli§ini elde ederiz. Di§er taraftan,
z = t
çemberinden
manifoldunun türevlenebilir bir fonksiyonuna geni³letelim. “imdi
.
ν(p) =
formunu tanmlayalm.
{
N ∩S
νN (p)
, p∈N
νS (p) + df (p) , p ∈ S ,
ara kesit kümesi üzerinde
νS + df = νS + (νN − νS ) = νN
oldu§undan
ν
küre üzerinde iyi tanmlanm³ bir
{
dν(p) =
{
=
1-formdur.
Son olarak
dνN (p)
, p∈N
dνS (p) + d2 f (p) , p ∈ S
ω|N (p) , p ∈ N
ω|S (p) , p ∈ S
= ω(p)
oldu§undan kant tamamlanr.
4.3
2
Hesaplamalar ve Uygulamalar
Bu bölümde ilk önce, sadece çemberin ve bir delikli düzlemin kohomolojisini
kullanarak baz topolojik de§i³mezler tanmlayp hesaplamalar yapaca§z. Daha sonra, manifoldlarn kohomolojilerini hesaplamakta çokça kullanlan MayerVietoris dizisi yardmyla baz temel manifoldlarn kohomolojilerini hesaplayaca§z.
4.3.1
Sarlma, Dönme ve Geçi³me Saylar
Poincaré Yardmc Teoremi'nin sonucu olarak
k
k
k
HDR
(R2 − {0}) = HDR
(S 1 × R1 ) ≃ HDR
(S 1 )
oldu§unu biliyoruz. Dolaysyla, bir boyutlu
1
1
HDR
(R2 − {0}) ≃ HDR
(S 1 )
kohomoloji grubu
ω=
f : S 1 → R2 − {0}
x dy − y dx
∈ Ω1 (R2 − {0})
2π (x2 + y 2 )
kapal formuyla üretilir.
türevlenebilir bir fonksiyon ise bu fonksiyonun sarlma
207
Hesaplamalar ve Uygulamalar
∫
f ∗ (ω)
says
ω(f )
ile tanmlanr ve
S1
bir tam saydr ve aslnda
f (S 1 )
ile gösterilir. Bu say her zaman
e§risinin düzlemin merkezi etrafnda kaç
defa sarld§n gösterir. Saat yönünün tersi istikametinde sarlma pozitif, saat
yönünde ise sarlma negatif tam saylara kar³lk gelir. Aslnda
(x, y)
,
∥(x, y)∥
P : R2 − {0} → S 1 , (x, y) 7→
f
iz dü³üm fonksiyonu olmak üzere
S1 → S1
fonksiyonunun sarlma says,
bile³kesinin derecesinden ba³ka bir ³ey de§ildir, çünkü
f
P ◦f :
P ◦f
ile
fonksiyonlar homotopiktir (bkz. Teorem 4.3.22). Ayrca Al³trma 19 kullanlarak
f
fonksiyonun homotopi snfnn sadece sarlma says ile belirlendi§i
kolayca gösterilebilir.
“ekil 4.3 Stokes Teoremi'ni kullanarak bu saynn nasl
hesaplanabilece§ini göstermektedir.
“ekil 4.3a sarlma says iki olan bir e§ri-
nin görüntüsüdür. Bu e§rinin sarlma saysnn gerçekten iki oldu§unu taral
bölgelere Stokes Teoremi'ni uygulayarak görebiliriz: Taral bölgeler orijini içermedi§i için
∫
∫
ω=
dω = 0
∂Ri
Ri
oldu§u açktr. Buradan
∫
f ∗ (ω) =
∫
ω=
S1
C=f (S 1 )
C3
elde edilir. Son iki integral orijin
C4
ve
4 ∫
∑
ω
Ci
i=1
e§rilerinin d³nda kald§ için sfra
e³it olur. Di§er taraftan ilk iki integral Stokes teoreminden dolay yarçap yeterince küçük
Sr1
says
çemberi boyunca integraline e³it olacaktr. O halde, sarlma
∫
f ∗ (ω) =
S1
4 ∫
∑
i=1
∫
ω=2
ω=2
Sr1
Ci
olarak bulunur.
Örnek 4.3.1. Herhangi bir
n∈Z
tam says için,
f : S 1 → S 1 ⊆ R2 − {0} , f (cos θ, sin θ) = (cos nθ, sin nθ) ,
ile tanmlanan fonksiyonun sarlma says n olacaktr: Do§rudan hesap yapa∗
rak f (ω) = nω oldu§u kolayca görülür ve dolaysyla,
∫
ω(f ) =
∫
f (ω) = n
S1
olarak elde edilir.
∗
ω=n
S1
208
De Rham Kohomoloji
(a) Sarlma says iki olan bir e§ri: t ∈ [0, 2π] olmak üzere
x(t) = (3 + sin(t + 10)) cos 2t , y(t) = −(4 + cos(t + 3)) sin 2t
(b) Sarlma saysnn Stokes (Greens') Teoremi'nin yardmyla hesaplanmas
“ekil 4.3
209
Hesaplamalar ve Uygulamalar
γ : S 1 → R2
bir batrma fonksiyonu olsun. Bu fonksiyonun te§et do§rusunu
veren
σ : S 1 → R2 − {0} , σ(θ) = γ̇(θ)
Gauss gönderiminin sarlma saysna
ile gösterilir.
γ
e§risinin dönme says denir ve
Rot(γ)
Dolaysyla, bir batrma fonksiyonun dönme says bu e§rinin
te§etinin e§ri üzerinde hareket ederken saat yönünün tersi istikametinde kaç tur
döndü§ünü söyler. A³a§daki örnekte çe³itli e§rilerin dönme saylar verilmi³tir.
Örnek 4.3.2. 1)
γ : S 1 → R2 , γ(p) = p
birdir (bkz. “ekil 2.1).
1
2
2)
γ : S → R , γ(x, y) = (y, xy)
batrma fonksiyonun dönme says
batrma fonksiyonun dönme says sfr
oldu§u ³ekilden görülür (“ekil 4.4). Bu sayy do§rudan tanmn kullanarak da
γ(θ) = (sin θ, sin θ cos θ) , θ ∈ [0, 2π],
σ(θ) = γ̇(θ) = (cos θ, cos 2θ), buluruz ve dolaysyla
hesaplayabiliriz:
yazarsak
Fonksiyonu
σ ∗ (ω) =
olarak
cos 2θ sin θ − 2 cos θ sin 2θ
dθ
2π (cos2 θ + cos2 2θ)
elde ederiz.
y -eksenine
“ekil 4.4: Te§et vektörler pozitif
hiçbir zaman paralel olmad§ için dönme
says sfrdr.
O halde, e§rinin dönme says
∫
Rot(γ) =
σ ∗ (ω)
S1
∫ 2π
=
∫0 π
=
−π
cos 2θ sin θ − 2 cos θ sin 2θ
dθ
2π (cos2 θ + cos2 2θ)
cos 2θ sin θ − 2 cos θ sin 2θ
dθ
2π (cos2 θ + cos2 2θ)
= 0
olur. En son e³itlik integrali alnan ifadenin tek fonksiyon olmasnn sonucudur.
3)
Kutupsal koordinatlarda
r = sin 3θ , θ ∈ [0, π],
ile verilen e§rinin parame-
trik ifadesi
γ : [0, π] → R2 , γ(θ) = (sin 3θ cos θ, sin 3θ sin θ)
210
De Rham Kohomoloji
gibidir ve “ekil 4.5'den dönme saysnn iki oldu§u kolayca görülür. Hesap yaparsak
σ(θ) = γ̇(θ) = (2 cos 4θ + cos 2θ, 2 sin 4θ − sin 2θ)
olarak buluruz ve dolaysyla
σ ∗ (ω) =
1 14 + 4 cos 6θ
dθ
2π 5 + 4 cos 6θ
elde ederiz. Bu durumda, e§rinin dönme says
∫
Rot(γ) =
=
=
=
=
=
=
σ ∗ (ω)
S1
∫ π
1
14 + 4 cos 6θ
dθ
2π 0 5 + 4 cos 6θ
∫ 6π
14 + 4 cos ϕ
1
dϕ
12π 0 5 + 4 cos ϕ
∫ 2π
3
14 + 4 cos ϕ
dϕ
12π 0 5 + 4 cos ϕ
∫ π
1
14 + 4 cos ϕ
dϕ
4π −π 5 + 4 cos ϕ
∫ ∞
1
18 + 10u2
du
2π −∞ (9 + u2 )(1 + u2 )
2
olarak hesaplanr. Sondan ikinci e³itlik
u = tan(ϕ/2)
de§i³ken dönü³ümü
yardmyla elde edilmi³tir.
“ekil 4.5: Dönme says iki olan bir e§ri:
r = sin 3θ, θ ∈ [0, π].
E§rinin, düzlemde
verilen hemen hemen her vektöre paralel olan tam olarak iki te§et vektörü oldu§una
dikkat ediniz!
3)
Kutupsal koordinatlarda
r = sin 2θ , θ ∈ [0, 2π],
ile verilen e§rinin dönme
saysnn üç oldu§u “ekil 4.6'den kolayca görülür. ntegral ile dönme saysnn
hesaplanmas ise al³trma olarak sizlere braklm³tr (bkz. Al³trma 6).
211
Hesaplamalar ve Uygulamalar
“ekil 4.6: Dönme says üç olan bir e§ri:
r = sin 2θ, θ ∈ [0, 2π].
“ekil 4.7:
Trefoil
dü§ümü:
x(t) = (4 + cos 3t) cos 2t,
y(t) = (4 + cos 3t) sin 2t ve
z(t) = sin 3t, t ∈ [0, 2π]. Bu
2
2
2
2
dü§üm [(x + y + z ) + 15] =
2
2
64(x + y )
ile
verilen
torusun
dr
içinde
(bkz.
boyutlu
resim
7→
(x, y, z)
do§rusal
oturmakta-
Örnek
2.3.5).
ise
ki
dü§ümün
(x, y + 0.5z)
dönü³ümü
altndaki
görüntüsüdür.
A³a§daki önerme dönme saysnn batrma fonksiyonun topolojik özelliklerini
yanstt§nn bir delilidir. Kant için Do Carmo'ya bakabilirsiniz ([9], s. 460,
Teorem 2).
Önerme 4.3.3. E§er herhangi bir batrma fonksiyonu aslnda bir gömme fonk-
siyonu ise bu fonksiyonun dönme says her zaman
1 (R2 − {0}) ≃ R
HDR
±1
olur.
kohomolojisinin son bir uygulamas olarak
S3
içindeki
iki dü§ümün geçi³me saysndan bahsedece§iz. i :
→ S 3 türevlenebilir bir
1
gömme fonksiyonu olsun. Bu gömme fonksiyonunun K = i(S ) görüntüsüne
3
3
3
bir dü§üm denir. K ⊂ S
alt manifoldu f : S → R ve g : S → R gibi iki
S1
türevlenebilir fonksiyonun ortak sfr olsun,
K = {p ∈ S 3 | f (p) = 0 = g(p)} ,
p∈K
.
{∇f (p), ∇g(p), T (p) = i̇(t0 )}
(i(t0 ) = p) kümesi
3
Tp S vektör uzay için pozitif bir taban olsun (bu üçlü sa§ el kuralna uysun).
öyle ki, her
için,
Bu durumda
ωK =
f dg − g df
∈ Ω1 (S 3 − K)
2π (f 2 + g 2 )
212
De Rham Kohomoloji
formuna
K
dü§ümünün geçi³me formu denir. “imdi küreden bir nokta çkar-
tarak dü§ümün
olmak üzere,
R3
Γp
p∈K
∇f (p), ∇g(p)
her bir q ∈ Γp
içinde kald§n kabul edelim.
bu noktadan geçen ve
olan düzlem olsun. Bu düzlem üzerindeki
herhangi bir nokta
vektörlerine paralel
noktasn
q − p = u ∇f (p) + v ∇g(p)
Γp
³eklinde yazarak
u, v do§rusal koordinat sistemini
sistemini f, g : Γp → R fonksiyonlarnn
düzlemi üzerinde
ederiz. Bu do§rusal koordinat
elde
ver-
di§i koordinat sistemi ile de§i³tirelim. Bu fonksiyonlarn do§rusal koordinatlara
göre türevlerinden olu³an Jakobiyen matrisi
J=
∂(f, g)
=
∂(x, y)
(
∇f (p) · ∇f (p) ∇g(p) · ∇f (p)
∇f (p) · ∇g(p) ∇g(p) · ∇g(p)
³eklinde olacaktr. Bu matrisin determinant
0<θ<π
)
iki gradyan vektörü
arasndaki aç olmak üzere
det(J) = ∥∇f (p)∥2 ∥∇g(p)∥2 − (∇f (p) · ∇g(p))2 = ∥∇f (p)∥2 ∥∇g(p)∥2 sin2 θ
olarak elde edilir. Dolaysyla,
x=f
ve
y = g,
u, v
do§rusal
koordinat-
laryla ayn yönlendirmeye sahip bir ba³ka koordinat sistemi verir. Ayrca,
ωK
formunun bu düzleme kstlan³ ise
ωK =
x dy − y dx
∈ Ω1 (Γp − {p})
2π (x2 + y 2 )
formu olacaktr.
E§er
.
j : S 1 → S 3 , L = j(S 1 ), L ∩ K = ∅,
yönlendirilmi³ dü§üm ise
olacak ³ekilde bir ba³ka
∫
ωK
L
gerçel saysna bu iki yönlendirilmi³ dü§ümün geçi³me says denir ve
l(K, L)
ile gösterilir. “ekil 4.8 ve Stokes Teoremi'ni kullanarak bu saynn her zaman
bir tam say oldu§unu görürüz. Bu say
L
dü§ümünün
K
dü§ümü etrafnda
saat yönünün tersi istikametindeki dönme saysndan ba³ka bir ³ey de§ildir.
Yönlendirilmi³ dü§ümlerin geçi³me saysnn simetrik oldu§u kolayca görülür:
l(K, L)
= l(L, K) .
Gauss geçi³me saysn farkl bir ³ekilde tanmlam³tr:
i, j : S 1 → R3
daki ayrk dü§ümler olsun. Bu durumda
ϕ : S 1 × S 1 → R3 − {0}, (s, t) 7→ i(s) − j(t)
ve
ω3 =
x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy
4π (x2 + y 2 + z 2 )3/2
yukar-
213
Hesaplamalar ve Uygulamalar
“ekil 4.8:
L
dü§ümü ile Tre-
foil'in geçi³me saysn Stokes
Teoremi'ni yardmyla bulabiliriz. Bunun için
belli bölümlerini
L dü§ümünün
R3 − K için-
de hareket ettirerek yandaki ³e-
Γp düzleminin içine
itebiliriz. Geçi³me sayn veren
kildeki gibi
integralin bu düzlem içinde kalan ksm ise düzlemin merkezi
etrafndaki sarlma says olacaktr.
∫
olmak üzere
±
S 1 ×S 1
ϕ∗ (ω3 )
gerçel says bu iki dü§ümün geçi³me saysdr (bkz. Al³trma 7).
Hatrlatma 4.3.4. 1)
Bir düzlem ile birbirinden ayrlan iki dü§ümün geçi³-
me saysnn sfr oldu§u kolayca görülür. “ekil 4.9'da verilen örnek ise bunun
tersinin do§ru olmad§n gösterir.
“ekil 4.9: Geçi³me says sfr olan iki dü§üm: l(K, L)
= 0.
K = {p ∈ S 3 | f (p) = 0 = g(p)} ve yeterince küçük ϵ2 + ν 2 > 0
3
için Kϵ,ν = {p ∈ S | f (p) = ϵ, g(p) = ν} ile veriliyorsa (Kϵ,ν
K 'nn bir ötelemesi ise) l(Kϵ,ν , K) geçi³me saysn hesaplayalm.
∫
∫
(f − ϵ) dg − (g − ν) df
l(Kϵ,ν , K) =
ωKϵ,ν =
=0
2
2
K
K 2π ((f − ϵ) + (g − ν) )
2)
integrali açk bir ³ekilde sfra e³ittir, çünkü
K
üzerinde
saylar
dü§ümü
df = dg = 0'dr.
Bu
dü§ümü kendisini kesmeyecek ³ekilde itince geçi³me says sfrdan farkl de§erler alabilir. Aslnda, geçi³me says istedi§imiz tam sayya e³it olacak ³ekilde
dü§ümü itebiliriz (bkz. Al³trma 8).
214
3)
De Rham Kohomoloji
Son olarak geçi³me saysn hesaplamann bir di§er yolunu daha verelim:
K = {p ∈ S 3 | f (p) = 0 = g(p)} ⊂ S 3
dü§ümünün
2
snr T =
L
∂N
dü§ümünü kesmeyen yeterince küçük bir tüp kom³ulu§unun
3
2
2
2
olsun (N = {p ∈ S | f (p) + g (p) ≤ ϵ }). Bu durumda
∫
l(K, L)
=±
T2
ωK ∧ ωL
T 2 torusunu T 2 = Kϵ,0 × S 1 ³eklinde yazalm.
1
l(Kϵ,0 , L) = l(K, L) ve l(K, S ) = ±1 oldu§undan
∫
∫
∫
ωK ∧ ωL = ±
ωL ·
ωK = ±l(K, L) · 1 = ±l(K, L)
olur. Bunu görmek için
T2
S1
Kϵ,0
elde edilir (bkz. Al³trma 8).
Geçi³me saysnn bir genellemesi için 5. Ünite'deki Al³trma 8'e bakabilirsiniz.
4.3.2
Mayer-Vietoris Dizisi
dn−2
dn−1
dn+1
d
n
· · · −−−→ An−1 −−−→ An −→
An+1 −−−→ · · ·
(A∗ , d∗ ) :
n tam
: An−1 → An ) = ker(dn : An → An+1 ) (H n (A∗ , d∗ ) = 0)
n
seviyede tamdr denir. E§er her n için H (A∗ , d∗ ) = 0
³eklindeki bir grup (vektör uzay) zincir yaps olsun. E§er herhangi bir
says için,
Im(dn−1
ise bu yapya
n'inci
ise bu zincire tam zincir denir.
0→A→B→C→0
³eklinde bir tam zincire ksa tam dizi veya yap denir.
Hatrlatma 4.3.5. Yukarda verdi§imiz dizinin daha ksas sadece bir izomor-
zmadr. Ba³ka bir deyi³le,
f
0→A−
→B→0
dizisinin tam olmas için gerek ve yeter ³art
f :A→B
homomorzmasnn
bir izomorzma olmasdr. Benzer ³ekilde,
dn−2
dn−1
d
dn+1
n
· · · −−−→ An−1 −−−→ An −→
An+1 −−−→ · · ·
tam dizisinde
dn−1 = 0 = dn+1
olmas için gerek ve yeter ko³ul
morzmasnn bir izomorzma olmasdr.
dn
homo-
215
Hesaplamalar ve Uygulamalar
Verilen iki
(A∗ , dA
∗)
(B∗ , dB
∗)
ve
zincir yaplar arasndaki bir
f ∗ = (fn : An → Bn )
n
homomorzmalar dizisi her
için,
dB ◦ fn = fn+1 ◦ dA
ko³ulunu sa§lyorsa bu homomorzmalar dizisine zincir fonksiyonu (homomor-
zmas) denir.
f ∗ : (A∗ , dA
∗)
olsun. E§er her
→ (B∗ , dB
∗)
n için
ve
C
g ∗ : (B∗ , dB
∗ ) → (C∗ , d∗ )
fn
gn
f∗
g∗
iki zincir fonksiyonu
0 → An −→ Bn −→ Cn → 0
bir ksa tam dizi oluyorsa
0 → A∗ −→ B∗ −→ C∗ → 0
zincir fonksiyonlar dizisine ksa tam zincir yaplar dizisi denir.
B
f ∗ : (A∗ , dA
∗ ) → (B∗ , d∗ ) zincir fonksiyonu kohomoloji seviyesinde
∗
n
homomorzma verir: f
: H (A∗ ) → H n (B∗ ). Burada tek dikkat edilmesi
gereken nokta her n için
Her
dB ◦ fn = fn+1 ◦ dA
oldu§undan kohomoloji seviyesinde
.
f ∗ ([a]) = [f ∗ (a)]
³eklinde tanmlanan
homomorzmann iyi tanml oldu§udur. Bu basit al³trmay okuyucuya brakyoruz (bkz. Al³trma 9). “imdi bu bölümde çokça kullanaca§mz cebirsel
bir sonucu verelim.
Teorem 4.3.6.
f∗
g∗
0 → A∗ −→ B∗ −→ C∗ → 0
bir ksa tam zincir yaplar dizisi olsun. Bu durumda kohomoloji seviyesinde
f∗
δ
g∗
δ
f∗
··· →
− H n (A∗ ) −→ H n (B∗ ) −→ H n (C∗ ) −
→ H n+1 (A∗ ) −→ · · ·
³eklinde bir uzun tam dizi vardr.
Kant : Kantn büyük bir bölümü a³a§daki ³ekilde bulunan oklar takip
∗
∗
etmekten ibarettir.
f
ve
g
homomorzmalarnn neden iyi tanml oldu§u
ve dizinin tam dizi oldu§unun gösterilmesi okuyucuya braklm³tr. Kantn
içinde açk olmayan tek ksm
δ : H n (C∗ ) → H n+1 (A∗ )
216
De Rham Kohomoloji
ba§lant homomorzmasnn tanmlanmasdr. Bu ksmn kant teoremin geri
kalann kantlanmasnda izlenebilecek yolu da göstermektedir. A³a§daki de§i³meli ³ekli dü³ünelim.
f
g
0 → An−1 −
→ Bn−1 −
→ Cn−1 → 0
↓d
↓d
f
↓d
g
→ Bn −
→ Cn → 0
0 → An −
↓d
↓d
f
↓d
g
→ Bn+1 −
→ Cn+1 → 0
0 → An+1 −
[c] ∈ H n−1 (C∗ ) eleman alalm. g : Bn−1 → Cn−1 örten oldu§u için g(b) = c olacak ³ekilde bir b ∈ Bn−1 vardr. Diyagramn sa§ üst
dikdörtgeni de§i³meli oldu§undan g(d(b)) = d(g(b)) = d(c) = 0 elde edilir. O
halde, f (a) = d(b) olacak ³ekilde bir a ∈ An vardr. a ∈ An elemannn ka2
pal oldu§unu (d(a) = 0) ³u ³ekilde görebiliriz: f (d(a)) = d(f (a)) = d (b) = 0
ve f : An+1 → Bn+1 bire bir oldu§undan d(a) = 0 elde edilir. Son olarak
.
δ([c]) = [a] ³eklinde tanmlanr. Elbette bunun iyi tanml bir homomorzHerhangi bir
ma oldu§unun gösterilmesi de gerekmektedir. Bunu da kantn geri kalan gibi
okuyucuya brakyoruz.
2
Bu cebirsel sonucu manifoldlarn De Rham kohomolojilerini hesaplamak için
kullanaca§z. Mayer-Vietoris dizisi diye adlandrlan bu sonuç iki açk kümesinin birle³imi olarak ifade edilen bir manifoldun kohomolojisini bu alt kümelerinin kohomoloji gruplar cinsinden ifade etmektedir:
manifold ve
M
türevlenebilir bir
M = U ∪ V bu manifoldun iki açk kümenin birle³imi olarak ya: U → M , iV : V → M ve jU : U ∩ V → U , jV : U ∩ V → V
zlm olsun. iU
ile içerme fonksiyonlarn gösterelim.
Teorem 4.3.7. Her
k≥0
tam says için
i∗ ⊕i∗
j ∗ −j ∗
U
V
U
V
0 → Ωk (M ) −−
−−→
Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) −−
−−→
Ωk (U ∩ V ) → 0
dizisi tamdr ve dolaysyla
δ
i∗ ⊕i∗
j ∗ −j ∗
δ
V
V
U
U
k
k
k
k
−−→
HDR
(U ∩ V ) →
− ···
−−→
HDR
(U ) ⊕ HDR
(V ) −−
··· →
− HDR
(M ) −−
³eklinde bir uzun tam dizi vardr.
Kant : Bir önceki teoremden dolay tek yapmamz gereken
i∗ ⊕i∗
j ∗ −j ∗
U
V
U
V
0 → Ωk (M ) −−
−−→
Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) −−
−−→
Ωk (U ∩ V ) → 0
dizisinin tam oldu§unu göstermektir.
217
Hesaplamalar ve Uygulamalar
M = U ∪V
oldu§undan
M
üzerindeki bir formun hem
alt kümelerine kstlamalar sfr ise bu form
Dolaysyla,
i∗U ⊕ i∗V
M
U
hem de
V
üzerinde de sfr olacaktr.
homomorzmas bire birdir.
(iU , iV ) ◦ jU = (iU , iV ) ◦ jV
∗
e³itli§inden dolay Im(iU
∗
taraftan, jU (ωU )
−
⊕ i∗V ) ⊆ ker(jU∗ − jV∗ ) oldu§u kolayca görülür. Di§er
= 0 olacak ³ekilde ωU ∈ Ωk (U ) ve ωV ∈ Ωk (V )
{
ωU (p) , p ∈ U
ω(p) =
ωV (p) , p ∈ V
jV∗ (ωV )
varsa
ω ∈ Ωk (M ) formu için (i∗U ⊕ i∗V )(ω) = (ωU , ωV ) olacaktr.
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
Dolaysyla, ker(jU − jV ) ⊆ Im(iU ⊕ iV ) ve ker(jU − jV ) = Im(iU ⊕ iV ) elde
∗
∗
edilir. Son olarak jU − jV
homomorzmasnn örten oldu§unu gösterelim.
k
Bunun için bir ω ∈ Ω (U ∩ V ) formu alalm. M = U ∪ V
açk örtüsü ile
uyumlu bir {ρU , ρV } birimin ayr³m alalm. ρU fonksiyonu U d³nda
k
sfrdr. Bu durumda, ρU ω ∈ Ω (U ∩ V ) formunun tanm kümesini bu formu
V − (U ∩ V ) üzerinde sfr tanmlayarak geni³letirsek ρU ω formunu Ωk (V )
k
içinde dü³ünülebiliriz. Benzer ³ekilde ρV ω ∈ Ω (U ) olacaktr. O halde,
(jU∗ − jV∗ )(ρV ω, −ρU ω) = (ρU + ρV ) ω = ω e³itli§ini elde ederiz. Ba³ka bir
∗
∗
deyi³le, jU − jV homomorzmas örtendir. 2
ile tanmlanan
Bu kantn ana krini bir önceki bölümde verilen
2 (S 2 ) = R
HDR
sonucunun
kantnda da görmü³tük.
Örnek 4.3.8. Bu örnekte
saplayaca§z. Aslnda
n
n-boyutlu S n
küresinin kohomoloji gruplarn he-
endeksi üzerine tümevarm yöntemi ile
{
k
HDR
(S n )
=
R , k = 0 veya n
0 , di§er hallerde
oldu§unu kantlayaca§z. Aslnda Örnek 4.1.5'de
n=1
durumunu zaten gör-
mü³tük. Fakat kantn bütünlü§ünü bozmamak için bu bilgiyi kullanmayalm.
U = S n − {(0, · · · , 0, −1)} ve V = S n − {(0, · · · , 0, 1)} olmak üzere S n =
U ∪ V olarak yazalm. Bu durumda U ve V alt uzaylar Rn 'e ve U ∩ V ara
n−1 ×R manifolduna difeomork olacaktr. O halde, her k > 0 için
kesiti de S
k
k (V ) ve H k (U ∩V ) = H k (S n−1 ×R) = H k (S n−1 ) olHDR (U ) = 0 = HDR
DR
DR
DR
du§unu görürüz (son e³itlik Poincaré Yardmc Teoremi'nden elde edilir). “imdi
Mayer-Vietoris dizisinin bir parçasn yazalm:
δ
k−1
k−1
k−1
k−1
k
· · · → HDR
(S n ) → HDR
(U ) ⊕ HDR
(V ) → HDR
(S n−1 ) −
→ HDR
(S n ) →
k
k
HDR
(U ) ⊕ HDR
(V ) → · · · .
lk önce,
k=1
durumuna bakalm:
δ
0
0
0
0
1
0 → HDR
(S n ) → HDR
(U ) ⊕ HDR
(V ) → HDR
(S n−1 ) −
→ HDR
(S n ) → 0.
218
De Rham Kohomoloji
1 (S 1 ) = R ve n > 1 için H 1 (S n ) = 0
HDR
DR
Yukardaki diziyi n = 1, k > 1 için tekrar yazarsak
Buradan açk bir ³ekilde
oldu§unu görürüz.
δ
k
0→
− HDR
(S 1 ) → 0
k (S 1 ) = 0
HDR
ve dolaysyla
elde ederiz. O halde, tümevarmn
n = 1
ba³langç ko³ulunun sa§land§n göstermi³ olduk.
n ba§lantl oldu§undan
“imdi n > 1 durumunu ele alalm. S
R
oldu§unu biliyoruz; dolaysyla
k>0
alabiliriz. Bu durumda
0 (S n ) =
HDR
k ̸= n oldu§u
zaman, tümevarm hipotezinden dolay, yukardaki dizi
δ
k−1
k−1
k
· · · → HDR
(U ) ⊕ HDR
(V ) → 0 →
− HDR
(S n ) → 0 · · ·
haline gelecektir. Ba³ka bir deyi³le
n>1
ise dizi
k (S n ) = 0
HDR
olur. Di§er taraftan
k=
δ
k−1
k
0 → HDR
(S n−1 ) →
− HDR
(S n ) → 0 · · ·
δ
k−1
k (S n ) homomorzmas bir izomorzHDR
(S n−1 ) −
→ HDR
n
n
ma olacaktr. Ba³ka bir deyi³le, n > 1 için HDR (S ) = R oldu§unu görürüz.
haline gelece§inden
Böylece kant tamamlanr.
1
1
Daha önce HDR (S ) = R olmasnn baz topolojik sonuçlarn görmü³tük
n için ge(bkz. Teorem 4.1.8, Sonuç 4.1.9). Bu sonuçlarn n-boyutlu küre S
nellemeleri al³trmalarda verilmi³tir (bkz. Al³trma 10 ve 11).
Örnek 4.3.9. Bu örnekte yine tümevarm yöntemiyle
{
k
HDR
(CP n ) =
oldu§unu gösterece§iz.
CP 1 = S 2
R , k = 0, 2, · · · , 2n
0 , di§er hallerde
için bu sonucu yukardaki örnekte gördük.
n > 1 oldu§unu kabul edelim. p = [0 : · · · : 0 : 1] ∈ CP n noktasnn
U = {[z0 : z1 : · · · : zn ] ∈ CP n | zn ̸= 0} kom³ulu§u ve V = CP n − {p}
n
2n
kümeleri açk bir ³ekilde tüm projektif uzay örter. U açk kümesinin C = R
“imdi
manifolduna
[z0 : · · · : zn ] 7→ (z0 /zn , · · · , zn−1 /zn )
fonksiyonu ile difeomork oldu§unu zaten biliyoruz. O halde, U ∩ V ara kesit
2n − {(0, · · · , 0)} = S 2n−1 × R manifolduna difeomorktir. V
kümesi de R
kümesinin kohomolojisini hesaplayabilmek için
Pt ([z0 : · · · : zn ]) = [z0 : · · · : zn−1 : tzn ], t ∈ [0, 1],
ile verilen
Pt : V → V
homotopisini dü³ünelim.
t=1
de§eri için
birim dönü³ümdür. Di§er taraftan,
P0 (V ) = H = {[z0 : · · · : zn ] ∈ CP n | zn = 0} ∼
= CP n−1
P1 = 1V ,
219
Hesaplamalar ve Uygulamalar
i:H→V
Pt : V → V
olur. E§er
Ayrca
i ◦ P0
içerme fonksiyonunu gösterirse
P1 = 1V
fonksiyonu
P0 ◦ i = 1H
olacaktr.
P0 =
H = CP n−1
k (V ) →
i : HDR
birim dönü³ümünden
fonksiyonuna bir homotopi verir. Ba³ka bir deyi³le,
V
ile
∗
homotopi denk manifoldlardr ve dolaysyla, her k için
k (H) bir izomorzmadr.
HDR
n
“imdi, CP = U ∪ V için Mayer-Vietoris dizisini yazalm:
δ
k−1
k
k
k
· · · → HDR
(S 2n−1 ) →
− HDR
(CP n ) → HDR
(U ) ⊕ HDR
(V ) →
k
HDR
(S 2n−1 ) → · · · .
Yine
0 (CP n ) = R
HDR
oldu§u için
k>0
alabiliriz. O halde,
0 < k ≤ 2n − 2
ise dizi
δ
k
k
··· → 0 →
− HDR
(CP n ) → 0 ⊕ HDR
(H) → 0 · · ·
k (CP n ) → H k (H) = H k (CP n−1 )
HDR
DR
DR
³ekilde k = 2n − 1 için dizi
haline gelecektir. Dolaysyla,
izomorzma olur. Benzer
bir
δ
2n−2
2n−1
2n−1
· · · → HDR
(S 2n−1 ) −
→ HDR
(CP n ) → 0 ⊕ HDR
(CP n−1 ) → · · ·
2n−1
n−1
³eklinde olacaktr. Fakat boyutu a³masndan dolay HDR (CP
) = 0 oldu§u
2n−1
n
için HDR (CP ) vektör uzay da sfr olmaldr. Son olarak k = 2n alrsak
dizi
δ
2n−1
2n
0 → HDR
(S 2n−1 ) −
→ HDR
(CP n ) → 0 ⊕ 0 → · · ·
2n (CP n ) = H 2n−1 (S 2n−1 ) = R elde ederiz. Böylece kant
HDR
DR
n−1
tamamlanm³ oldu. Aslnda i : CP
= H → CP n içerme fonksiyonun
kohomolojide, k = 0, 1, · · · , 2n − 2 için, izomorzma verdi§ini de gördük.
olaca§ndan
Örnek 2.3.25'den dolay
∫
CP
olaca§ndan, her
0≤k≤n
için,
n
ωFn S > 0
ωFk S
Aslnda ayn nedenlerden dolay, e§er
manifold ise her
0≤k≤n
kohomoloji grubunun üreteci olacaktr.
i : M n → CP N
bir tkz karma³k alt
için,
2k
2k
i∗ : HDR
(CP N ) → HDR
(M )
homomorzmas bire bir olacaktr. Dolaysyla, her
0≤k≤n
için,
2k (M )
HDR
kohomoloji grubu sfrdan farkldr.
S 3 × S 1 çarpm manifoldunun kohomolojisini
1
3
1
hesaplayaca§z (S 'i düzlemdeki birim çember olarak alalm). U = S × (S −
3
1
3
1
{(−1, 0)}) ve V = S × (S − {(1, 0)}) açk kümeleri olmak üzere S × S =
U ∪V yazabiliriz. Bu durumda U ve V kümeleri S 3 manifolduna ve U ∩V
Örnek 4.3.10. Bu örnekte
220
De Rham Kohomoloji
kümesi de
k
S 3 × {(0, −1), (0, 1)}
manifolduna homotopi denktir. O halde, her
için,
k
k
k
HDR
(U ) = HDR
(S 3 ) = HDR
(V )
ve
k
k
k
HDR
(U ∩ V ) = HDR
(S 3 ) ⊕ HDR
(S 3 )
olur. “imdi Mayer-Vietoris dizisini kullanalm; örne§in ikinci kohomoloji grubunu hesaplamak için,
1
2
2
2
· · · → HDR
(U ∩ V ) → HDR
(S 3 × S 1 ) → HDR
(U ) ⊕ HDR
(V ) → · · ·
yazarsak dizinin bu ksmnn ilk ve son terimleri sfr oldu§u için
2
HDR
(S 3 × S 1 ) = 0
oldu§unu görürüz. Benzer ³ekilde,
{
k
HDR
(S 3
×S )=
1
R , k = 0, 1, 3, 4
0 , di§er hallerde
oldu§unun gösterilmesini al³trma olarak okuyucuya brakyoruz.
Örnek 2.1.14'de tanmlam³ oldu§umuz bu karma³k ve tkz manifoldun
karma³k do§rusal uzaya gömülemeyece§ini görmü³tük (bkz. Örnek 2.3.24). “imdi ise bu manifoldun ikinci kohomoloji grubunun sfr oldu§unu gördük. O halde,
bir önceki örnekten dolay bu manifold ayn zamanda hiç bir karma³k projektif
uzayn da bir alt manifoldu olamaz!
Yukarda kulland§mz tekni§i kullanarak,
{
k
HDR
(S n
×S )=
m
m ̸= n
için
R , k = 0, m, n, m + n
0 , di§er hallerde
ve

 R , k = 0, 2n
k
n
n
R2 , k = n
HDR (S × S ) =

0
, di§er hallerde
oldu§unu görebiliriz (bkz. Al³trma 12). Bir sonraki ünitede görece§imiz Künneth Formülü (bkz. Sonuç 5.3.5) çarpm manifoldlarnn kohomolojilerini hesaplamann oldukça pratik bir metodudur.
Hatrlatma 4.3.11. Bir önceki ünitede gördü§ümüz Tüp Kom³uluk Teore-
mi'ni ve Mayer-Vietoris kohomoloji dizisini kullanarak tkz manifoldlarn kohomolojilerinin sonlu boyutlu oldu§unu gösterebiliriz (bkz. Al³trma 13 ve Sonuç 4.4.4).
221
Hesaplamalar ve Uygulamalar
4.3.3
Tkz Destekli Kohomoloji
M manifoldunun üzerinde tanml tüm tkz destekli türevlek -formlar Ωk (M ) vektör uzay içinde bir alt uzay olu³tururlar. Bu
k
alt uzay Ωc (M ) ile gösterece§iz. Di§er taraftan, M
manifoldunun tkz
k
destekli her ω ∈ Ωc (M ) formunun d³ türevi de tkz destekli olaca§ndan
∗
∗
bu vektör uzaylar d³ türev dönü³ümü ile birlikte (Ωc (M ), d ) zincir yapsHerhangi bir
nebilir
n verir. Bu yapnn kohomolojisine tkz destekli De Rham Kohomoloji denir
ve
Hc∗ (M )
ile gösterilir. E§er manifoldun kendisi tkz ise
ve dolaysyla
∗ (M )
Hc∗ (M ) = HDR
Ωkc (M ) = Ωk (M )
olaca§ndan bu kohomoloji sadece tkz
olmayan manifoldlar açsndan önem ta³r. Örne§in, De Rham kohomolojinin
birbirinden ayramad§ farkl boyutlardaki Öklit uzaylarn bu kohomoloji ile
ayrabiliriz.
Hatrlatma 4.3.12.
f :M →N
türevlenebilir manifoldlarn türevlenebilir
düzgün bir fonksiyonu ise her tkz kümenin ters görüntüsü tkz olacaktr. Do∗
k
k
laysyla, f : Hc (N ) → Hc (M ) iyi tanml bir homomorzma olur. Benzer
³ekilde, e§er
ft : M × [0, 1] → N
türevlenebilir düzgün bir homotopi ise
f0
ve
f1
fonksiyonlarnn kohomolojide
verdikleri homomorzmalar ayn olacaktr.
Örnek 4.3.13.
M =R
manifoldunun tkz destekli kohomolojisini hesapla-
yalm. Gerçel eksen üzerinde d³ türevi sfr olan fonksiyonlarn sadece sabit
fonksiyonlar oldu§unu biliyoruz. Di§er taraftan tkz bir bölgenin d³nda sfr
0
olan tek sabit fonksiyon sfr fonksiyonudur. Ba³ka bir deyi³le, Hc (R) = 0
olur. Birinci kohomolojiyi hesaplamak için ise
∫
R
∫
: Hc1 (R) → R,
[w] 7→
ω,
R
integral homomorzmasn dü³ünelim. Bu homomorzmann iyi tanml ol-
R üzerinde tkz destekli bir ω = f (x) dx
′
formu alalm. E§er bu form için dF = F (x) dx = f (x) dx = ω olacak
0
³ekilde bir F ∈ Ωc (R) varsa yeterince büyük her m gerçel says için
F (m) = 0 = F (−m) olacaktr. O halde,
du§unu ³u ³ekilde görebiliriz:
∫
f (x) dx = 0
R
olacaktr. Dolaysyla, integral homomorzmas iyi tanmldr. Di§er taraftan
e§er
∫
∫
ω=
∫x
R
f (x) dx = 0
R
F (x) = −∞ f (t) dt fonksiyonu dF = ω ko³ulunu sa§layan tkz destekli
bir fonksiyon olacaktr. Dolaysyla, integral homomorzmas bire birdir. Bu
1
homomorzmann örten oldu§u ise kolayca görülür. O halde, Hc (R) = R
olur.
ise
222
De Rham Kohomoloji
Teorem 4.3.14.
M
türevlenebilir bir manifold olmak üzere her
k≥0
tam
says için
Hck+1 (M × R) = Hck (M )
e³itli§i sa§lanr.
Kant :
Poincaré Yardmc Teoremi'nin kantnda oldu§u gibi
U ⊆ M
foldunun her
koordinat sistemi için
U ×R
manifoldu için bir koordinat sistemi verecektir. Ayrca
M
açk kümesi
M ×R
mani-
M ×R
üzerindeki her
form bu tip koordinat sistemlerinde tkz olarak desteklenen formlarn bir toplamdr. Dolaysyla, bu tipteki koordinat sistemlerinde desteklenen formlarla
çal³arak genellikten hiçbir ³ey kaybetmeyiz.
ρ:R→R
tkz destekli ve gerçel eksen üzerindeki integrali bire e³it olan
türevlenebilir bir fonksiyon olsun. “imdi iki tane vektör uzay homomorzmas
tanmlayalm:
Ψ : Ωkc (M ) → Ωk+1
(M × R), Ψ(f (x) dxK ) = ρ(t)f (x) dt ∧ dxK ,
c
ve
Φ : Ωk+1
(M × R) → Ωkc (M ),
c
(∫
)
Φ(f (x, t) dt ∧ dxK ) =
f (x, t) dt dxK ve Φ(f (x, t) dxK ) = 0.
R
Burada
t
M
manifoldu üzerindeki yerel koordinat sistemi
x
ile gösterilirken,
gerçel eksen üzerindeki koordinat göstermektedir. Poincaré Yardmc Teore-
mi'nde oldu§u gibi bu homomorzmalarn iyi tanmll§ gösterilmelidir (bkz.
Al³trma 4).
ρ:R→R
fonksiyonun seçiminden dolay
Φ ◦ Ψ = 1Ωkc (M )
oldu§u kolayca
görülür.
Herhangi bir
ν = g(x) dxK ∈ Ωkc (M )
formu için,
Ψ(dν) = Ψ(dg ∧ dxK )
= ρ(t) dt ∧ dg ∧ dxK
ve buradan da
d(Ψ(ν)) = d(ρ(t)g(x) dt ∧ dxK )
= ρ(t) (dg ∧ dt ∧ dxK )
= −ρ(t) (dt ∧ dg ∧ dxK )
= −Ψ(dν)
elde edilir. Ba³ka bir deyi³le,
zma kohomoloji seviyesinde
verir.
d ◦ Ψ = −Ψ ◦ d olur ve dolaysyla bu homomorΨ : Hck (M ) → Hck+1 (M × R) homomorzmasn
223
Hesaplamalar ve Uygulamalar
“imdi de herhangi bir
ω = f (x, t) dt ∧ dxK ∈ Ωk+1
(M × R)
c
formu için,
Φ(dω) = Φ(d(f (x, t) ∧ dt ∧ dxK ))
= Φ(df ∧ dt ∧ dxK )
∫
= − (df ∧ dxK ) dt
R
ve benzer ³ekilde
(∫
)
d(Φ(ω)) = d ( f (x, t) dt) dxK
R
∫
=
(df ∧ dxK ) dt
R
= −Φ(dω)
elde ederiz. Son olarak e§er
dolay
Φ(ω) = 0
ω = f (x, t) dxK ∈ Ωkc (M × R)
ise, tanmdan
olacaktr. Ayrca,
dω =
∑ ∂f
∂f
dt ∧ dxK +
dxj ∧ dxK
∂t
∂xj
j
(∫
olur. Buradan da
Φ(dω) =
R
)
∂f
dt dxK = 0
∂t
f (x, t) fonksiyonun tkz destekli olmasnn bir sonucud ◦ Φ = −Φ ◦ d oldu§undan bu homomorzma da
k
k
kohomoloji seviyesinde Φ : Hc (M, ×R) → Hc (M ) homomorzmasn verir.
O halde, kohomoloji seviyesinde de Φ ◦ Ψ = 1H k (M ) e³itli§i korunur.
c
elde edilir (son e³itlik
dur). Sonuç olarak yine,
“imdi de
Ψ ◦ Φ = 1Hck+1 (M ×R)
∑
ω=
e³itli§ini göstermeye çal³alm:
∑
fI (x, t) dt ∧ dxI +
gJ (x, t) dxJ ∈ Ωk+1 (M × R)
∥J∥=k+1
∥I∥=k
kapal bir form olsun. O halde
ω − (Ψ ◦ Φ)(ω) =
∑ [
(∫
fI (x, t) − ρ(t)
∥I∥=k
+
∑
R
)]
fI (x, t) dt
dt ∧ dxI
gJ (x, t) dxJ
∥J∥=k+1
)
(∫
hI (x, t) = fI (x, t) − ρ(t) R fI (x, t) dt
her x ∈ M için,
∫
hI (x, t) dt = 0
elde ederiz.
durumda
R
olarak tanmlansn. Bu
224
De Rham Kohomoloji
oldu§undan
∫
HI (x, t) =
t
−∞
fonksiyonu tkz destekli olacaktr. Ayrca
∑ ∂fI
(x, t) dxj ∧ dxI =
∂xj
∥I∥=k
hI (x, s) ds
dω = 0
∑
∥J∥=k+1
oldu§undan
∂gJ
(x, t) dxJ
∂t
olacaktr. Biraz hesap yaparak

d
∑

HI (x, t) dxI  =
∑ [
(∫
fI (x, t) − ρ(t)
∥I∥=k
∥I∥=k
t
∑ (∫
t
R
)
∂hI (x, s)
dt ∧ dxI +
ds dxj ∧ dxI
∂xj
−∞
∥I∥=k
∑
= ω − (Ψ ◦ Φ)(ω) −
gJ (x, t) dxJ
+
∑ (∫
)]
fI (x, t) dt
∥I∥=k
∥J∥=k+1
−∞
∂hI (x, s)
ds
∂xj
)
dxj ∧ dxI
elde ederiz. kinci toplam ayrca inceleyelim:
)
∑ (∫ t ∂fI (x, s) )
∂hI (x, s)
ds dxj ∧ dxI =
ds
∂xj
∂xj
−∞
−∞
∥I∥=k
)
∫
∑ (∫ t
∂fI (x, r)
dxj ∧ dxI +
ρ(s)(
dr)ds dxj ∧ dxI
∂xj
−∞
R
∥I∥=k


∫ t
∑ ∂fI (x, s)

=
dxj ∧ dxI  ds
∂xj
−∞ ∥I∥=k
 
 
∫ t
∫
∑ ∂fI (x, r)
+
ρ(s)  
dxj ∧ dxI  dr ds
∂xj
−∞
R ∥I∥=k


∫ t
∑ ∂gJ

(x, s)dxJ  ds
=
−∞ ∥J∥=k+1 ∂t


∫ t
∫
∑ ∂gJ
+
ρ(s)  (
(x, r) dxJ )dr ds
−∞
R ∥J∥=k+1 ∂t
∑
=
gJ (x, t) dxJ
∑ (∫
∥I∥=k
t
∥J∥=k+1
225
Hesaplamalar ve Uygulamalar
olur. Bunu bir önceki paragraf ile birle³tirirsek
ω − (Ψ ◦ Φ)(ω)
formunun tam oldu§unu görürüz. Ba³ka bir deyi³le,
Ψ ◦ Φ = 1Hck+1 (M ×R)
e³itli§ini kantlam³ olduk. Böylece teoremin kant tamamlanr.
2
Örnek 4.3.13'deki kirleri de kullanarak bu teoremin kolay bir sonucunu hemen
yazabiliriz.
Sonuç 4.3.15. Her
n
do§al says için,
∫
: Hcn (Rn ) −→ R
Rn
integral homomorzmas bir izomorzmadr. Ayrca, her
m ̸= n
do§al says
için
Hcm (Rn ) = 0
olur.
Sonuç 4.3.16. Yönlendirilebilir, ba§lantl her
n-boyutlu M
manifoldu için,
∫
M
: Hcn (M ) −→ R
integral homomorzmas bir izomorzmadr. Özel olarak, e§er
n (M ) = R olur.
HDR
Kant : Manifoldu her biri
Rn
M
tkz ise
difeomork yönlendirilmi³ koordinat sistem-
“ekil 4.10: Sonuç 4.3.16'nn kantnda kulland§mz koordinat sistemleri zinciri.
leri ile kaplayarak manifold üzerindeki her formu bu koordinat sistemleri içinde
tkz olarak desteklenen formlarn toplam olarak yazabiliriz. “imdi iki farkl koordinat sistemi içinde tkz olarak desteklenen iki
i = 0, 1, Vi ∼
=
Rn
∫
M
ω1 = 1
n-form
alalm:
ωi ∈ Ωn (Vi ),
olsun. Bu iki kümeden seçilen iki noktay sürekli
bir e§ri ile ba§layalm. Daha sonra bu e§riyi
U0 = V0 , Um = V1 , Ui ∩Ui+1 ̸= ∅,
226
De Rham Kohomoloji
i = 0, · · · , m − 1,
olacak ³ekilde koordinat sistemleriyle örtelim (e§ri tkz ol-
Hcn (U0 ) = R
du§u için sonlu tane koordinat kom³ulu§u ile bunu yapabiliriz).
U0 ∩ U1 içinde tkz olarak desteklenen bir ν formu vardr ki
[ω0 ] = [ν] ∈ Hcn (M ) olur. Bu ³ekilde devam ederek [ω0 ] = [µ]
∫ olacak ³ekilde
Ul içinde desteklenen bir µ formu vardr. O halde, [ω0 ] = ( M ω0 ) [ω1 ] olur.
Böylece kant tamamlanr. 2
oldu§u için
U ⊆ Rn
Sonuç 4.3.17.
yldz ³eklinde açk bir küme ise
{
Hck (U )
=
R , k=n
0 , di§er hallerde
olur.
Kant : Yukardaki sonuçtan dolay sadece
incelemek yeterlidir.
U
0 ≤ k < n
oldu§u durumu
içinde bir noktay ba³langç noktas seçelim ve bu
B(0, r) yuvar alalm. Herhangi bir ω ∈
1 > a ∈ R, bu formun desteklendi§i tkz K ⊆ U
.
a · K = {ax | x ∈ K} ⊆ B(0, r) ko³ulunu sa§layan bir pozitif
nokta etrafnda yarçap sonlu bir
Ωkc (U ) kapal formu alalm.
kümesi için,
say olsun.
ϕ : U × [a, 1] → U,
ϕt (x) = tx, (x, t) ∈ U × [a, 1],
homotopisi düzgün bir fonksiyon oldu§undan
morzmalar
U
homomorzmay verecektir. Bu durumda,
formunun deste§inin
bu yuvar
Rn 'e
B(0, r)
ϕ1 (x) = idU
ve
difeo-
ϕa (K) ⊆ B(x, r)
difeomork oldu§undan
ω
tam form olmaldr.
U ⊆M
içinde tkz desteklenen her türevlenebilir fonksiyon
olarak geni³letilerek
M
ω
2
açk bir alt küme ise
M −U
üzerine sfr
üzerinde tkz olarak desteklenen bir fonksiyon olarak
Ωkc (U ) vektör uzayn Ωkc (M )'nin
her k için
görülebilir. Dolaysyla,
görebiliriz. O halde,
oldu§undan
yuvar içinde kald§n kabul edebiliriz. Fakat,
Tkz Destekli Yerel Kohomoloji Dizisi.
U
ϕa (x)
kümesinin tkz destekli kohomoloji gruplar arasnda ayn
bir alt uzay olarak
0 → Ωkc (U ) → Ωkc (M ) → Ωkc (M )/Ωkc (U ) → 0
bir tam dizisi vardr. “imdi Teorem 4.3.6' kullanarak kohomoloji seviyesinde
δ
··· →
− Hcn (U ) → Hcn (M ) → Hcn (M, U ) → Hcn+1 (U ) → · · ·
³eklinde bir uzun tam dizi elde ederiz. Bu dizinin içindeki
Hc∗ (M, U )
terimi
(Ω∗c (M )/Ω∗c (U ), d∗ ) zincir kompleksinin kohomolojisidir ve tkz destekli yerel
kohomoloji olarak adlandrlr. Bu dizi özellikle, L ⊂ M bir alt manifold olmak
U = M −L, oldu§u durumda ilginç topolojik sonuçlar verir. Bu topolojik
k
sonuçlara geçmeden önce Hc (M, M − L) kohomolojisini hesaplayalm.
üzere,
227
Hesaplamalar ve Uygulamalar
Teorem 4.3.18.
k≥0
M
manifold ve
L⊆M
için,
bir alt manifold olmak üzere, her
≃
Hck (M, M − L) −
→ Hck (L)
geri çekme homomorzmas bir izomorzmadr.
L ⊆ U ⊆ M ile L alt manifoldunun bir açk tüp kom³ulu§unu
P : U → L bu kom³ulu§un iz dü³üm fonksiyonu olsun (bkz.
Teorem 3.3.15 ve Sonuç 3.3.16). ρ : M → [0, 1], U içinde desteklenen ve L'nin
bir kapal K kom³ulu§unda bire e³it olan türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
Bu kapal kom³ulu§un tümleyenini V = M − K ile gösterelim.
k
“imdi herhangi bir [ν] ∈ Hc (L) snf alalm. Bu durumda
Kant :
gösterelim ve
ω = ρ P ∗ (ν) ∈ Ωkc (M )
L
alt manifolduna kstlamas
kapal bir form olmasa da
çünkü bu küme üzerinde
V
ρ
ν
olan bir
k -form
olur. Bu formun kendisi
açk kümesinin d³nda kapal bir form olacaktr,
fonksiyonu bire e³ittir. O halde,
ω = ρ ω + (1 − ρ) ω
[ω] ∈ Hck (M, M − L) olaca§ndan, i : L → M içerme fonksiyonu
∗
k
k
olmak üzere, i : Hc (M, M − L) → Hc (L) homomorzmas örtendir.
Bu homomorzmann bire bir oldu§unu göstermek için, L alt manifolduk
na kstlamas sfr olan bir [ω] ∈ Hc (M, M − L) kohomoloji snf alalm.
k
Gerekirse U silindirik kom³ulu§unu küçülterek ω ∈ Ωc (U ) oldu§unu kabul
∗
k
k
∗
edebiliriz. P : HDR (U ) → HDR (L) bir izomorzma oldu§undan dν = P (ω)
k−1
k
olacak ³ekilde bir ν ∈ Ω
(U ) formu vardr. Bu durumda ρν ∈ Ωc (Int(K))
formu Int(K) açk kümesi üzerinde halen d(ρ ν) = ω e³itli§ini sa§layacaktr.
k
Ba³ka bir deyi³le, Hc (M, M − L) kohomoloji grubu içinde [ω] = 0'dr ve
böylece teoremin kant tamamlanm³ olur. 2
yazarsak
“imdi tkz destekli kohomolojinin bir sonucu olarak Jordan Kapal E§ri
Teoremi'nin genel halini kantlayabiliriz.
M ⊆ Rn+1
n-boyutlu, ba§lantl, yönlendirilebilir ve
n+1 − M biri snrl di§eri snrsz
tkz bir alt manifold olsun. Bu durumda R
iki bile³enden olu³ur. Her iki bile³enin de kapan³lar snr M olan snrl
Teorem 4.3.19.
içinde
manifoldlardr.
Kant :
U = Rn+1 − M
olmak üzere
· · · → Hcn (Rn+1 ) → Hcn (Rn+1 , U ) → Hcn+1 (U ) → Hcn+1 (Rn+1 ) →
Hcn+1 (Rn+1 , U ) → · · ·
tam dizisini dü³ünelim. Daha önceki hesaplamalar kullanarak
Hcn (Rn+1 ) = 0, Hcn+1 (Rn+1 ) = R
228
De Rham Kohomoloji
ve
Hcn (Rn+1 , U ) = Hcn (M ) = R, Hcn+1 (Rn+1 , U ) = Hcn+1 (M ) = 0
oldu§unu görürüz. O halde,
Hcn+1 (U ) = R2
U = Rn+1 − M açk kümesinin V1 ve V0 gibi
iki ba§lantl bile³eni vardr. M manifoldu tkz oldu§undan yarçap sonlu bir
olmaldr. Ba³ka bir deyi³le,
yuvarn içinde kalacaktr. Di§er taraftan bu yuvarn d³, ba§lantl oldu§undan,
V1
bu iki bile³enden birinin içinde kalacaktr, diyelim ki
snrsz ve
V0
olsun. O halde,
V1
ise snrl olacaktr. Teoremin son bölümünün kantn okuyucuya
al³trma olarak brakyoruz (bkz. Al³trma 14).
Yukardaki teoremde
n=1
2
alalm. O halde, her türevlenebilir kapal
C ⊆ R2
e§risi düzlemi iki parçaya ayrr. Bunlardan biri snrl di§eri ise snrszdr. Bu
klasik sonuç Jordan Kapal E§ri Teoremi olarak bilinir.
L = K1 ∪ · · · ∪ Kr ⊂ R3 = M
birle³imi olsun. U = M − L alalm ve
Örnek 4.3.20.
dü§ümün
r-tane
ayrk türevlenebilir
δ
··· −
→ Hcn (U ) → Hcn (M ) → Hcn (M, U ) → Hcn+1 (U ) → · · ·
tkz destekli yerel kohomoloji dizisini yazalm. Basit bir ³ekilde ³u sonuca varrz:
Hc0 (R3 − L) = 0;
0
Hc1 (R3 − L) = HDR
(L) = Rr ;
1
Hc2 (R3 − L) = HDR
(L) = Rr ;
Hc3 (R3 − L) = Hc3 (R3 ) = R;
Hci (R3 − L) = 0 , i > 3.
K ⊂ Rn
içinde tkz bir alt manifold olsun. Bu durumda
olur, çünkü e§er
taraftan,
K
dim(K) = n
ise
K ⊂ Rn
dim(K) ≤ k − 1
açk bir alt küme olur. Di§er
tkz oldu§u için ayn zamanda kapal bir alt kümedir. Fakat
ba§lantl oldu§undan
K = Rn
elde ederiz ki, bu da
K 'nn
Rn
tkzl§ ile çeli³ir.
“imdi tkz destekli yerel kohomoloji dizisini kullanarak a³a§daki sonucu
kolayca kantlayabiliriz.
Teorem 4.3.21 (Alexander Dualite Teoremi).
2,
K ⊂ Rn ≃ S n −{p} ⊂ S n , n ≥
içinde tkz bir alt manifold olsun. O halde,
Hc0 (Rn − K) = 0;
i−1
Hci (Rn − K) = HDR
(K), i = 1, · · · , n − 1;
229
Hesaplamalar ve Uygulamalar
n−1
Hcn (Rn − K) = HDR
(K) ⊕ R;
ve benzer ³ekilde
Hc0 (S n − K) = 0;
0
Hc1 (S n − K) = HDR
(K)/R;
i−1
Hci (S n − K) = HDR
(K), i = 2, · · · , n − 1;
n−1
Hcn (S n − K) = HDR
(K) ⊕ R.
Tkz Destekli Kohomoloji için Mayer-Vietoris Dizisi.
Bu bölümü t-
kz destekli kohomoloji için Mayer-Vietoris dizisini vererek bitirece§iz. Bu dizi
daha önce De Rham kohomolojisi için verdi§imiz Mayer-Vietoris dizisinden
farkllk gösterir. Bunun nedeni açk bir kümeyi bir manifolda gömen fonksiyonun düzgün bir fonksiyon olmayabilece§i ve dolaysyla da herhangi bir
açk kümesi için
U ⊆M
i∗ : Ωkc (M ) → Ωkc (U )
kstlan³ fonksiyonunun iyi tanml olmayaca§dr. Di§er taraftan, e§er bir manifold
M =U ∪V
³eklinde açk kümelerinin birle³imi olarak yazlabiliyorsa
j −j
i ⊕i
U
V
U
V
0 → Ωkc (U ∩ V ) −−
−−→
Ωkc (U ) ⊕ Ωkc (V ) −−
−−→
Ωkc (M ) → 0
dizisinin tam oldu§u kolayca görülür (iU ,
iV , j U , j V
homomorzmalar içerme
fonksiyonlarnn do§al olarak verdikleri homomorzmalardr). Aslnda sadece
son homomorzmann örten oldu§unun gösterilmesi çok kolay olmayabilir. Bu-
M = U ∪ V açk örtüsüyle uyumlu bir {ρU , ρV } birimin
k
k
ayr³mn seçelim. “imdi her ω ∈ Ωc (M ) için ω = ρU ω + ρV ω , ρU ω ∈ Ωc (U )
k
ve ρV ω ∈ Ωc (V ) olaca§ndan homomorzma örtendir.
nu göstermek için
Bu dizi bize a³a§daki uzun tkz destekli kohomoloji tam dizisini verir:
· · · → Hck (U ∩ V ) → Hck (U ) ⊕ Hck (V ) → Hck (M ) → Hck+1 (U ∩ V ) → · · · .
Bu dizi de fonksiyonlar ile bu fonksiyonlarn tkz destekli kohomolojide verdikleri homomorzmalar ayn yönde gitmektedirler. Bundan dolay tkz destekli
Rham kohomoloji kovaryant funktordur. Di§er taraftan, homomorzmalarn
fonksiyonlarn tersine gitti§i De Rham kohomoloji ise kontravaryant bir funktordur. Her iki kohomolojinin Mayer-Vietoris dizilerini kullanarak bir sonraki
bölümde Poincaré zomorzmas'nn bir kantn verece§iz (bkz. Teorem 4.4.1).
Düzgün Fonksiyonlarn Derecesi.
f : M → N
n-boyutlu,
türevlene-
bilir, yönlendirilmi³ ba§lantl manifoldlarn düzgün bir fonksiyonu olsun. Bu
durumda
f ∗ : Hcn (N ) → Hcn (M )
bir boyutlu gerçel vektör uzaylarnn homomorzmas olacaktr. Manifoldlarn
üzerinde
[ωM ] ∈ Hcn (M )
ve
[ωN ] ∈ Hcn (N )
gibi integralleri bire e³it olan
230
De Rham Kohomoloji
f ∗ ([ωN ]) = λ [ωM ]
olacak ³ekilde seçilen λ ∈ R
f : M → N fonksiyonun derecesi denir ve deg(f ) ile gösterilir. E§er
f : M → M ise her a ∈ Hcn (M ) için f ∗ (a) = deg(f ) a olacaktr.
kohomoloji snar seçelim.
saysna
Aslnda düzgün fonksiyonlarn derecesi tamamen geometrik bir ³ekilde de
tanmlanabilir:
f :M →N
fonksiyonu düzgün oldu§u için
N
içindeki her
noktann ters görüntüsü tkz bir küme olacaktr. Sard Teoremi'ni kullanarak
bu fonksiyonun
M
q∈N
gibi bir düzgün de§erini alalm. Bu durumda
f −1 (q)
manifoldunun sfr boyutlu bir alt manifoldu olacaktr. Bu alt manifold
tkz oldu§u için sonlu sayda noktadan ibarettir.
f −1 (q) = {p1 , · · · , pk }
olsun.
f :M →N
fonksiyonunun türevi her
ca§ndan bu türev fonksiyonun
pi ∈ M
pi
noktasnda izomorzma ola-
noktasndaki (M 'nin yönü sayesinde)
q ∈ N noktasnn yönlendirilmi³ bir tabanna gönderecektir. Bu yönlendirme N manifoldunun bu noktasndaki yönlendirmesiyle
′′ +1′′ , e§er uyumlu
uyumlu ise f fonksiyonun pi noktasndaki yerel derecesi
′′ − 1′′ dir denir ve deg(f ) = +1 veya deg(f ) = −1 olarak yazlr.
de§ilse
pi
pi
yönlendirilmi³ taban
“imdi, bu iki derece kavramnn aslnda ayn oldu§unu gösterelim.
f : M → N n-boyutlu,
Teorem 4.3.22.
türevlenebilir, yönlendirilmi³ ba§-
lantl manifoldlarn düzgün bir fonksiyonu, q ∈ N noktas bu fonksiyonun
−1 (q) = {p , · · · , p } olsun. Bu durumda
düzgün bir de§eri ve f
1
k
deg(f ) =
k
∑
deg(f )pi
i=1
deg(f )
olur ve dolaysyla
Kant : Her
pi
bir tam saydr.
Ui kom³ulu§u
.
f : Ui → f (Ui ) = Vi
noktas etrafnda bir
alalm öyle ki
q ∈ V ⊆ V1 ∩ · · · ∩ Vk ba§lantl açk bir kom³uluk
f −1 (V ) ∩ Ui ara kesiti ile yer de§i³tirerek her
i = 1, · · · , k için, f : Ui → V kstlamasnn bir difeomorzma oldu§unu
n
n
kabul edebiliriz. Her Ui kümesi de ba§lantl olacaktr. ω ∈ Ωc (V ) ⊆ Ωc (N )
integrali bire e³it olan bir form olsun. Bu durumda her i = 1, · · · , k için,
(∫ )
∫
∗
f (ω) = deg(f )pi
ω = deg(f )pi
bir difeomorzma olsun.
olmak üzere
Ui
kümelerini
Ui
V
olacaktr. Son olarak,
∫
∗
deg(f ) =
f (ω) =
M
kant bitirir.
k (∫
∑
i=1
Ui
) ∑
k
f (ω) =
deg(f )pi
∗
i=1
2
A³a§daki teoremin kantn okuyucuya al³trma olarak brakyoruz (bkz. Al³trma 15).
231
Hesaplamalar ve Uygulamalar
Teorem 4.3.23.
f :M →N
ve
g:N →K
ba§lantl, yönlendirilmi³, türev-
lenebilir manifoldlarn düzgün fonksiyonlar olsun. O halde, a³a§daki iddialar
do§rudur.
1. Düzgün homotopiler fonksiyonlarn derecesini korur. Dolaysyla, e§er
M →M
2.
birim fonksiyona homotopik ise
deg(h) = 1
h:
olur.
deg(g ◦ f ) = deg(f ) deg(g)
3. E§er
f
örten de§ilse
f : M → N
deg(f ) = n'dir.
4. E§er
deg(f ) = 0'dr.
yönü koruyan
n-katl
bir örtü uzay foksiyonu ise
Yukardaki teoremde e§er manifoldlardan herhangi biri yönlendirilebilir
de§ilse tam say de§erli derece yerine
mod
2
de§erli dereceden bahsedebi-
liriz. Detaylar Ünite 5 Al³trma 17'da okuyucuya braklm³tr.
Örnek 4.3.24. 1)
f : R → R f (t) = nt, n ∈ Z,
fonksiyonu için
deg(f ) = sgn(n)
oldu§u halde bu fonksiyonun
S 1 = R/Z
çemberi üzerinde verdi§i
f˜ : S 1 → S 1 , eit 7→ eint
fonksiyonun derecesi
n'ye
e³ittir, çünkü bu fonksiyon yönü koruyan
n-katl
bir
örtü uzay fonksiyonudur.
A ∈ M (n, Z)
Benzer ³ekilde
tam say katsayl bir matris ve
ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn
ise kolayca
A∗ (ω) = det(A) ω
oldu§u görülür. Ba³ka bir deyi³le,
A : Rn → Rn
do§rusal dönü³ümü hacim formunu det(A) katna çkarr. Bu dönü³ümün,
n-boyutlu torus T n = Rn /Zn üzerinde vermi³ oldu§u dönü³ümün derecesi de
det(A)'ya e³ittir (bkz. Al³trma 16).
2) P : R → R derecesi n olan bir polinom
fonksiyonu olsun:
P (x) = xn + · · · + a1 x + a0 .
E§er
n
bir çift say ise
lim P (x) = +∞
x→±∞
oldu§u için,
P (x)
fonksiyonu örten de§ildir ve yukardaki teoremden dolay
derecesi sfrdr. “imdi de
P (x)
polinomunun derecesinin tek oldu§unu kabul
edelim. Bu durumda
lim P (x) = +∞
x→+∞
ve
lim P (x) = −∞
x→−∞
232
De Rham Kohomoloji
(a) f0 (x) = x(x + 4)(x − 3)/10
fonksiyonu gra§i hafçe çeki³ti-
(b)
rilerek düzgün bir homotopi ile
Cebirsel derecesi çift say olan bir
f1 (x) = x
polinom fonksiyonu örten olmaya-
homeomorzmas-
ft (x) = (1 −
t ∈ [0, 1].
f (x) = (x4 − 12x2 + 3x)/10.
na dönü³türülebilir:
ca§ için sfr topolojik derecesine
t)f0 (x) + tf1 (x),
sahiptir.
“ekil 4.11
′
polinomu örtendir. Di§er taraftan, P (x) türev fonksiyonu
′
derecesi çift olan bir polinomdur. [−C, C] aral§ P (x) = 0 denkleminin tüm
′
çözümlerini içeren bir aralk olsun. O halde, her x ̸∈ [−C, C] için P (x) > 0
oldu§u için
P (x)
P (x)
P ([−C, C]) aral§nda olacaktr. Dolaysyla, her L ̸∈ P ([−C, C]) de§eri için P (x0 ) = L olacak
′
³ekilde tek bir x0 ∈ R says vardr. Son olarak, P (x0 ) > 0 oldu§undan
deg(P ) = 1 elde edilir. Ba³ka bir deyi³le, monik P (x) polinomunun fonksiyon derecesi bu polinomun derecesinin (mod 2)'deki de§erine e³ittir. Monik
polinomu −1 ile çarparsak derecesini de −1 ile çarpm³ oluruz (bkz. Al³olur. Dolaysyla, bu aral§n d³nda
P (x)
kesin artan bir fonksiyondur.
polinomunun tüm yerel maksimum ve minimum de§erleri
trma 17).
F : C → C F (z) = z n ,
yoktur. Dolaysyla, F (0) = 0
3)
fonksiyonun sfr d³nda hiçbir kritik noktas
d³ndaki her de§er bu fonksiyonun düzgün bir
de§eridir.
F −1 (1) = {ζk = e
2πik
n
| k = 0, · · · , n − 1}
ve karma³k do§rusal fonksiyonlar yönü korudu§undan bu fonksiyonun her bir
ζk
noktasndaki yerel derecesi
“imdi de
P :C→C
+1
derecesi
olacaktr. O halde,
n
deg(F ) = n
olmaldr.
olan bir karma³k polinom fonksiyonu
olsun:
P (z) = z n + · · · + a1 z + a0 .
E§er
|z| ≥ R = 2(1 + |a0 | + · · · + |an−1 |)
233
Hesaplamalar ve Uygulamalar
ise
1 n
1
|z| ≥ R|z|n−1 ≥ (1 + |a0 | + · · · + |an−1 |) |z n−1 |
2
2
≥ |an−1 z n−1 | + · · · + |a1 z| + |a0 |
≥ |an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 |
olur. Bu durumda,
Pt : C × [0, 1] → C, Pt (z) = z n + t(an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 )
homotopisi, her
|z| ≥ R
için,
1
|Pt (z)| ≥ |z|n
2
e³itsizli§ini sa§lar. Ba³ka bir deyi³le,
|Pt (z)| ≤ C ⇒ |z| ≤ max{R,
√
n
2C}
Pt , P0 = F ile P1 = P arasnda düzgün
homotopi olur. Dolaysyla, deg(P ) = deg(F ) = n elde edilir.
Polinomun derecesi pozitif ise yukardaki teoremden dolay P (z) örten
önermesi do§rudur. Bu durumda
bir
olmaldr. Dolaysyla, Cebirin Temel Teoremi'ni kantlam³ olduk.
Benzer bir sonuç kuaterniyon cebiri için Eilenberg ve Niven tarafndan 1944
ylnda kantlanm³tr (bkz. Bölüm 6, Al³trma 20 ve [11]).
f (z) = z ve g(z) = z 2 polinomlarnn
2
dereceleri farkl oldu§u için Pt (z) = tz + (1 − t)z çizgisel homotopisi düzgün
−1
bir fonksiyon olamaz. Gerçekten de, Pt (0) ters görüntüsü snrsz
Hatrlatma 4.3.25. Karma³k
{(z, t) ∈ C × [0, 1] | t(1 − z) = 1}
kümesini içerir.
E§er
g(z) = z 3
seçseydik yukardaki küme
{(z, t) ∈ C × [0, 1] | t(1 − z 2 ) = 1}
olurdu ki, bu küme de tkz de§ildir. Fakat polinomlar gerçel saylara kstlarsak
ayn küme tkz olacaktr.
Örnek 4.3.26. 1)
τ : S n → S n , τ (x) = −x,
ters kutupsal difeomorzmas
sadece tek boyutlu kürelerde yönü korur. Dolaysyla,
deg(τ ) = (−1)n+1
e³itli§i sa§lanr.
2)
(θ, z)
küre üzerindeki kutupsal koordinatlar ve
n∈Z
olmak üzere
f : S 2 → S 2 , (x, y, z) 7→ (Re((x + iy)n ), Im((x + iy)n ), z),
234
De Rham Kohomoloji
fonksiyonunun derecesi n olur. Bunu görmek için, ω =
∗
olmak üzere f (ω) = nω oldu§unu görmek yeterlidir.
dθ ∧ dz
hacim formu
Benzer ³ekilde her m, n ∈ Z tam say çifti için, deg(f ) = m olacak
n
n fonksiyonu vardr. Aslnda yönlendirilmi³ ve tkz her
³ekilde bir f : S → S
manifolddan ayn boyuttaki küreye derecesi bir olan bir fonksiyon vardr (bkz.
Al³trma 18).
3) Her
n>1
tam says için, türevlenebilir her
f : S 2n → CP n
fonksiyo-
nunun derecesi sfrdr: ωF S karma³k projektif uzay üzerindeki Fubini-Study
n
form ise ωF S projektif uzay üzerinde bir hacim formudur. Di§er taraftan,
2
2n
HDR (S ) = 0 oldu§u için
f ∗ ([ωF S ]n ) = (f ∗ ([ωF S ]))n = 0
elde ederiz. Dolaysyla,
deg(f ) = 0
sonucuna varrz.
Aslnda bu örnek bize derecesi sfrdan farkl her
f : M 2n → CP n
fonk-
siyonun kohomolojide bire bir homomorzma verdi§ini gösterir. Dolaysyla,
2k
e§er deg(f ) ̸= 0 ise, her 0 ≤ k ≤ n için, HDR (M ) ̸= 0 olmaldr.
Bir önceki ünitede gördü§ümüz Teorem 3.3.18 sayesinde türevlenebilir tkz manifoldlar arasndaki sürekli fonksiyonlarn derecesini de tanmlayabiliriz.
Boyutlar ayn olan tkz
bir
M
ve
N
türevlenebilir manifoldlar arasnda sürekli
f : M → N fonksiyonu alalm. Teorem 3.3.18
g : M → N fonksiyonuna homotopik
lenebilir bir
bu fonksiyonun türevoldu§unu ve böyle iki
fonksiyonun da türevlenebilir bir homotopi ile birbirine ba§lanabilece§ini göstermi³ti. Dolaysyla, sürekli
f :M →N
fonksiyonun derecesini homotopik
oldu§u herhangi bir türevlenebilir fonksiyonun derecesi olarak tanmlayabiliriz:
.
deg(f ) = deg(g) .
Önerme 4.3.27. Yukardaki
f :M →N
sürekli fonksiyonu yönlendirilmi³
±1'dir.
tkz manifoldlarn bir homeomorzmas ise derecesi
Örten olmayan
sürekli bir fonksiyonun derecesi ise sfrdr. Dolaysyla, bu homeomorzmaya
homotopik her sürekli fonksiyon örten olmaldr.
Kant : Bu homeomorzmaya ve tersine homotopik olan iki türevlenebilir
fonksiyon alalm,
f ≃g:M →N
O halde, türevlenebilir
ve
f −1 ≃ h : N → M .
h◦g : M → M
fonksiyonu
M
manifoldunun birim
fonksiyonuna sürekli ve dolaysyla türevlenebilir bir homotopi ile homotopiktir. “imdi Teorem 4.3.23'ü kullanarak
1 = deg(h ◦ g) = deg(h) deg(g)
ve dolaysyla
tamamlanr.
deg(g) = deg(h) = ±1
elde ederiz. Böylece ilk ksmn kant
235
Hesaplamalar ve Uygulamalar
kinci ksmn kantn ³u ³ekilde yapabiliriz. E§er bir
k : M → N sürekli
N − k(M ) bo³
fonksiyonu örten de§ilse her iki manifold da tkz oldu§undan
olmayan açk bir kümedir. Bu açk küme bir yuvar içerdi§i için (manifoldlar
Öklit uzaylarna gömülü alabiliriz ve dolaysyla onlar metrik uzay olarak kabul
edebiliriz)
k
fonksiyonuna homotopik olan ama örten olmayan bir
l:M →
N türevlenebilir fonksiyonu bulabiliriz. Dolaysyla, Teorem 4.3.23'den
deg(k) = deg(l) = 0 elde ederiz ve böylece kant tamamlanr. 2
dolay
Hatrlatma 4.3.28. “imdi yukardaki önermenin bir uygulamasn görelim.
Türevlenebilir manifoldlarn sürekli fonksiyonlarn türevlenebilir fonksiyonlara
dönü³türme i³lemi baz kayplara neden olabilir. Bunu bir örnek ile açklamaya çal³alm: Birbirine homeomork olup difeomork olmayan dört boyutlu tkz
türevlenebilir manifoldlarn var oldu§unu biliyoruz (bkz. Örnek 3.33, s. 160, [1].
Ayrca bkz. [13]). O halde,
M1
ve
M2
homeomork ama difeomork olmay-
f : M1 → M2
g : M1 → M2 bu homeomorzmaya homotopik türevlenebilir bir fonksiyon ise deg(g) = deg(f ) = ±1
olaca§ndan g fonksiyonu da örten olmaldr. E§er g bir batrma fonksiyonu
ise Ters Fonksiyon Teoremi'nden dolay g her nokta etrafnda yerel bir difeomorzma olmaldr. Fakat f bire bir oldu§undan ve g fonksiyonu da f 'e
istenildi§i kadar yakn seçilebilece§inden g fonksiyonu da bire bir olmaldr.
Ba³ka bir deyi³le, g bir difeomorzma olmaldr. O halde, g fonksiyonun
an tkz, ba§lantl, yönlendirilmi³ türevlenebilir iki manifold ve
bu manifoldlar arasnda bir homeomorzma olsun.
batrma olmad§ noktalar her zaman vardr.
Bu bölümü a³a§daki iki önerme ile bitirece§iz.
Önerme 4.3.29.
f : (Dn , ∂Dn ) → (Dn , ∂Dn ) türevlenebilir bir fonksiyon
= ∂Dn ko³ulu sa§lansn. Int(Dn ) = Dn −∂Dn ≈ Rn
−1 (∂D n )
olsun öyle ki, f
difeomorzmas altnda
deg(∂f : ∂Dn → ∂Dn ) = deg(Int(f ) : Rn → Rn )
olur.
f −1 (∂Dn ) = ∂Dn
Kant : lk önce
ko³ulundan dolay
Int(f ) : Int(Dn ) → Int(Dn )
fonksiyonun iyi tanml ve düzgün bir fonksiyon oldu§unu belirtelim. “imdi,
U = Int(Dn ) ⊆ Dn
açk alt kümesi için tkz destekli kohomoloji dizisini
yazalm:
0 = Hcn−1 (Dn ) → Hcn−1 (Dn , Int(Dn )) → Hcn (Int(Dn )) → Hcn (Dn ) = 0 .
Yukarda yaptklarmzdan dolay
Hcn−1 (Dn , Int(Dn ))
diyagram verir:
≃R
Hcn (Int(Dn )) = Hcn (Rn ) ≃ R
oldu§u için
elde ederiz. O halde bu dizi bize a³a§daki de§i³meli
236
De Rham Kohomoloji
0 −→ Hcn−1 (∂Dn ) −→ Hcn (Int(Dn )) −→ 0
↓ (∂f )∗
↓ Int(f )∗
0 −→ Hcn−1 (∂Dn ) −→ Hcn (Int(Dn )) −→ 0 .
(∂f )∗ = × deg(∂f )
2
Son olarak
Int(f )∗ = × deg(Int(f ))
ve
oldu§undan
kant tamamlanr.
Hatrlatma 4.3.30. Herhangi bir
f : (Dn , ∂Dn ) → (Dn , ∂Dn )
fonksiyonu
alalm. Bu durumda
gt : Dn × [0, 1] → Dn , (x, t) 7→ (1 − t + t∥x∥2 )f (x)
homotopisi a³a§daki özellikleri sa§lar:
1.
g0 = f ;
2. Her
3.
t ∈ [0, 1]
için,
gt |∂Dn = f|∂Dn ;
g1−1 (∂Dn ) = ∂Dn .
O halde, yukardaki önermeden dolay
g1 : (Dn , ∂Dn ) → (Dn , ∂Dn )
fonksiyo-
nu için
deg(∂f : ∂Dn → ∂Dn ) = deg(∂g1 : ∂Dn → ∂Dn )
= deg(Int(g1 ) : Rn → Rn )
elde ederiz. Aslnda bu üç ko³ulu sa§layan her
gt
homotopisi için ayn sonucu
elde ederiz.
Önerme 4.3.31. Derecesi sfr olan her
f : Sn → Sn
fonksiyonu bir sabite
homotopiktir.
Kant :
N
ve
S
hareri birim kürenin kuzey ve güney kutuplarn
göstersin. Genellikten hiç kaybetmeden
oldu§unu kabul edelim.
f
N ∈ Sn
noktasnn bir düzgün de§er
fonksiyonunun derecesi sfr oldu§undan
f −1 (N ) =
{p1 , · · · , pk , q1 , · · · , qk } oldu§unu kabul edebiliriz öyle ki, f fonksiyonu her
bir pi noktas etrafnda yönü koruyan, qi etrafnda da yönü ters çeviren
bir difeomorzma olur. Küre üzerinde standart Riemann metri§ini alalm. p ∈
{p1 , · · · , pk , q1 , · · · , qk } olmak üzere
n
n
n
n
g = Exp−1
N ◦ f ◦ Expp : R ≃ Tp S → R ≃ TN S
orijin etrafnda bir difeomorzma verecektir (her iki te§et uzay üzerindeki
iç çarpm da
Rn
üzerindeki standart iç çarpmdr).
g
fonksiyonun tanml
237
Hesaplamalar ve Uygulamalar
oldu§u bir
B(0, r0 )
yuvar alalm.
ρ([0, r0 /4]) = {0} ve ρ([3r0 /4, r0 ]) = {1}
ρ : [0, r0 ] → [0, 1] fonksiyonu
türev fonksiyonu, t ∈ [0, 1] ve bt (x) =
ko³ullarn sa§layan azalan ve türevlenebilir bir
L = Dg(0) merkezdeki
ρ(t + (1 − t)∥x∥) olmak üzere,
seçelim.
gt : B(0, r0 ) → Rn , x 7→ bt (x) g(x) + (1 − bt (x)) L(x)
homotopisini tanmlayalm. Homotopinin uç noktalar, g1 = g
ve g0 =
ρ(∥x∥) g(x) + (1 − ρ(∥x∥)) L(x) ³eklindedir. Her t ∈ [0, 1] ve ∥x∥ ≥ 3/4 için
gt (x) = g(x) oldu§undan bu homotopi f fonksiyonunu B[0, 3r0 /4] yuvar
d³nda de§i³tirmeyecektir. Di§er taraftan, e§er ∥x∥ ≤ 1/4 ise g0 (x) = L(x)
olur. Ba³ka bir deyi³le, g ve dolaysyla f bu küçük disk içinde homotopi
yardmyla L do§rusal fonksiyonuna dönü³mü³tür.
Sabit bir t ∈ [0, 1] de§eri için Dgt türevini hesaplayalm:
Dgt (x) = L + (g(x) − L) ∇(bt (x)) + bt (x) (Dg(x) − L) .
∥x∥
g(x)−L hem de Dg(x)−L fonksiyonlar
çok küçük de§erler alacaktr, çünkü L = Dg(0) türev fonksiyonudur. O halde,
L do§rusal bir izomorzma oldu§undan gt fonksiyonu orijin etrafnda halen
yeterince küçük oldu§unda hem
bir difeomorzmadr.
g
“imdi, türevin tanmn kullanarak
fonksiyonunu
g(x) = Dg(0)(x) + a(x) ∥x∥
limx→0 a(x) = 0 oldu§undan r0 > 0 yarçapn
L(x) ≥ 2∥a(x)∥∥x∥ olacak ³ekilde seçebilirdik. Bu
herhangi bir x0 noktas için gt (x0 ) = 0 olursa
³eklinde yazalm. Aslnda
x ∈ B(0, r0 )
her
durumda, yuvarn
için,
|bt (x0 )| ∥a(x0 )∥ ∥x0 ∥ ≥ 2 ∥a(x0 )∥ ∥x0 ∥
|bt (x)| ≤ 1
elde ederiz. Di§er taraftan,
olmaldr. Fakat,
yine
x0 = 0
a(x0 ) = 0
x0 = 0 veya a(x0 ) = 0
L(x0 ) = 0 olaca§ndan
t ∈ [0, 1] için 0 de§eri gt
oldu§undan
olmas durumunda da
elde ederiz. Ba³ka bir deyi³le, her
gt−1 (0) = f −1 (0) e³itli§i sa§lanr.
Tüm bunlarn sonucu olarak, f fonksiyonunu bir homotopi ile de§i³tirerek
her bir p ∈ {p1 , · · · , pk , q1 , · · · , qk } noktasnn etrafndaki bir yuvarda do§run ve N ∈ S n noktalar
sal bir fonksiyon ile verildi§ini kabul edebiliriz (p ∈ S
etrafnda Exp (jeodezik sprey) fonksiyonlarnn verdi§i koordinat sistemlerini
için düzgün bir de§erdir ve
alyoruz).
L : Rn → Rn
Bunun için ilk önce L
“imdi do§rusal
de§i³tirece§iz:
operatörünü ortogonal bir operatör ile
operatörünün
L = [C1 C2 · · · Cn ]
matris gösteriminin sütunlarna homotopiler yardmyla Gram-Schmidt i³lemi
uygulayaca§z. Örne§in, matrisin ilk sütununu
t 7→ t
C1
+ (1 − t) C1 , t ∈ [0, 1]
∥C1 ∥
238
De Rham Kohomoloji
homotopisi ile birim vektör yapaca§z. Daha sonra ikinci sütunu
t 7→ C2 − t < C1 , C2 > C1 , t ∈ [0, 1]
homotopisi ile de§i³tirerek birinci sütun ile dik konuma getirece§iz. Daha sonra tekrar ikinci sütunu birim vektöre dönü³türece§iz ve bu ³ekilde devam ederek
L
operatörünü
GL(n, R)
grubu içinde ortogonal bir matrise homoto-
pi ile ba§layaca§z. Önceki paragraarda yapt§mza benzer ³ekilde ilerleye-
f fonksiyonunu bir homotopi
{p1 , · · · , pk , q1 , · · · , qk } noktasnn
rek
ile de§i³tirerek, fonksiyonun her bir
p∈
etrafndaki bir yuvarda ortogonal do§ru-
sal bir dönü³üm ile verildi§ini kabul edebiliriz. Bu noktalarn etrafnda ay-
r0 'larn en küçü§ünü r1
p ∈ {p1 , · · · , pk , q1 , · · · , qk } noktas için
r ayr seçti§imiz
ile gösterelim. O halde, her bir
f|B[0,r ] : B[0, r1 ] → S n
1
kstlan³ izometrik ³ekilde
p
noktasndan geçen jeodezik çemberleri
N
nok-
tasndan geçen jeodezik çemberlere gönderir. Ba³ka bir deyi³le, bu kstlan³
O(n) izometri grubunun elemanlar ile temsil edilirler.
f fonksiyonunu homotopi ile de§i³tirmeye devam edelim öyle ki,
1) B[p, r1 ] yuvarlar üzerinde f hiç de§i³mesin;
2) B[p, 2r1 ]−B[p, r1 ] arasnda f fonksiyonu jeodezikler boyunca yeterince
n de§erini alsn: Her bir
hzl giderek B[p, 2r1 ] yuvarlarnn snrnda S ∈ S
p ∈ {p1 , · · · , pk , q1 , · · · , qk } için, f (∂B[p, 2r1 ]) = {S} olsun (r1 saysn
fonksiyonlar
Bu arada
yeterince küçük seçerek bu yuvarlarn ayrk oldu§unu kabul ediyoruz);
3)
f
fonksiyonu bu yuvarlar d³nda hiç bir zaman
de§erini
− {N } ≃
S noktasna büzülebilece§inden
f fonksiyonun, yuvarlarn d³ndaki bölgede bir homotopi ile de§i³tirilerek
B[p, 2r1 ] yuvarlar d³nda sabit S de§eri ald§n kabul edebiliriz.
n
n fonksiyonu bir noktaya baz γ
Bu durumda f : S → S
i e§rileri ile
n
ba§lanm³ k -tane küreden olu³an bir X bölüm uzayndan S 'e giden sürekli
n
bir fonksiyon verir (bkz. “ekil 4.12). Ayrca π : S → X bölüm fonksiyonu
n
˜
ve f : X → S
ise f 'nin bölüm uzaynda üretti§i fonksiyonu göstersin. O
halde, f = f˜ ◦ π olur. Bölüm uzayndaki her bir küre ters i³aretli iki diski
n
simetrik ³ekilde içermektedir. f˜ fonksiyonu kürenin alt ve üst yarsnda, Di−
n
ve Di+ , birbirine göre ters i³aretli oldu§undan
n
almad§ndan ve S
Rn alt uzay
N ∈ Sn
˜Dn ◦ Ai
n = f
f˜Di−
i+
olacak ³ekilde bir
üzerinde sabit
S
Ai ∈ O(n) − SO(n)
de§erini ald§ndan
matrisi bulabiliriz. Fonksiyon ekvator
Ai
matrisini türevlenebilir bir e§ri ile
(x0 , x1 , · · · , xn ) 7→ (−x0 , x1 , · · · , xn )
dönü³ümünün matrisine ba§layarak
f˜
fonksiyonunu homotopi ile öyle de§i³ti-
rebiliriz ki
f˜(x0 , x1 , · · · , xn ) = f˜(−x0 , x1 , · · · , xn )
239
Hesaplamalar ve Uygulamalar
“ekil 4.12: Bölüm uzaynn temsili resmi
olur. Bu durumda,
t ∈ [0, 1]
ve
(x0 , y) = (x0 , x1 , · · · , xn )
 ˜
f (x0 , y)


 ˜
f (t, y)
Ht (x0 , y) =

f˜(t, y)

 ˜
f (x0 , y)
homotopisi
f˜
t ≤ x0 ≤ 1
0 ≤ x0 ≤ t
−t ≤ x0 ≤ 0
−1 ≤ x0 ≤ t
fonksiyonunu bölüm uzaynn her bir küresinde
alan fonksiyona dönü³türür. Bu srada
görüntüleri homotopi ile de§i³erek
dönü³ürler. Sonuç olarak
f˜
S
f˜
fonksiyonun
noktasndan
ve dolaysyla
altnda görüntü kümesi küre üzerinde
k -tane
,
,
,
,
olmak üzere
S
f
N
γi
N
de§erini
e§rileri üzerindeki
noktasna giden e§rilere
fonksiyonu sürekli bir homotopi
noktasn
N
noktasna ba§layan
e§ri olan bir sürekli fonksiyona dönü³ür. Bu homotopiyi kendisine ye-
terince yakn türevlenebilir bir homotopi ile de§i³tirerek
f
fonksiyonun örten
olmayan bir fonksiyona homotopik oldu§unu görürüz. O halde, son bir türevlenebilir homotopi yardmyla fonksiyonun sabite homotopik oldu§unu görürüz.
2
Bu kantn daha iyi anla³labilmesi için
f : S1 → S1
durumunu ipuçlar
vererek al³trmalara brakaca§z (bkz. Al³trma 19).
f : M → Sn
ba§lantl, tkz ve yönlendirilmi³ bir
n bu
manifolddan küreye derecesi sfr olan türevlenebilir bir fonksiyon ve p ∈ S
Hatrlatma 4.3.32. 1)
fonksiyonun düzgün bir de§eri olsun. Fonksiyonu bir homotopi ile de§i³tirerek
f −1 (p) kümesinin bir Dn ⊆ M diskinin içinde kald§n kabul edebiliriz
(uygun tkz destekli vektör alanlarnn üretti§i ak³larla ters görüntüdeki sonlu
n
n
noktay ortak bir diske ta³yarak yaplabilir). Bu durumda F (M − D ) ̸= S
olaca§ndan fonksiyon bu diskin d³nda bir sabite homotopik olur. O halde,
f fonksiyonu M/(M − Dn ) ≈ S n bölüm uzayndan küreye bir fonksiyon
verir. “imdi yukardaki teoremi kullanarak bu son fonksiyonun ve dolaysyla
f
fonksiyonunun bir sabite homotopik oldu§unu görürüz.
240
De Rham Kohomoloji
f : M → Sn
ba§lantl, tkz ve yönlendirilemeyen bir manifolddan küp ∈ S n bu fonksiyonun düzgün bir de§eri
−1 (p) kümesinin bir
olsun. Yine fonksiyonu bir homotopi ile de§i³tirerek f
Dn ⊆ M diskinin içinde kald§n kabul edebiliriz. Ayrca ters görüntü küme2)
reye türevlenebilir bir fonksiyon ve
sindeki noktalarn i³aretlerini istedi§imiz gibi seçebiliriz, çünkü her noktadan
geçen türevlenebilir ve yönü ters çeviren bir kapal e§ri vardr. Dolaysyla, diskin içindeki noktalarn i³aretlerini uygun ³ekilde seçip fonksiyonu homotopi ile
−1 (p) ters görüntü çiftini eleyebiliriz.
de§i³tirerek verilen herhangi q1 , q2 ∈ f
−1 (p) kümesinin eleman says çift ise sfr,
O halde, fonksiyonun derecesi f
tek ise bir olmaldr.
3) Yukardaki kantlar biraz daha ilerleterek derecesi ayn olan iki
Sn
f2 : M → S n
ve
f1 : M →
fonksiyonun homotopik oldu§unu gösterebiliriz (bkz.
Al³trma 20).
Yukarda bahsetti§imiz sonuçlar için en iyi kitaplardan birisi [15] numaral
kaynaktr.
4.4
Poincaré zomorzmas
Bu bölümde ilk olarak, Poincaré zomorzma Teoremi olarak bilinen ve yönlendirilebilir manifoldlarn, tümleyen boyutlu De Rham kohomoloji vektör uzaylar arasnda do§al bir izomorzmann varl§n gösteren teoremi verece§iz. Daha
sonra, bu izomorzmay kullanarak manifoldlarn topolojilerine dair önemli
sonuçlar kantlayaca§z.
M ba§lantl, yönlendirilmi³, n-boyutlu türevlenebilir bir manifold olsun ve
0 ≤ k ≤ n bir tam say olsun. Bu durumda, her ω ∈ Ωkc (M ) ve ν ∈ Ωn−k (M )
n
formlar için ω ∧ ν ∈ Ωc (M ) formu da tkz destekli olaca§ndan
∫
ω∧ν
M
integrali iyi tanml olacaktr. Aslnda bu integral bize bilineer bir form verir:
∫
n−k
Hck (M ) × HDR
(M ) −→ R,
([ω], [ν]) 7→
ω∧ν .
M
Bu form sayesinde kohomoloji vektör uzaylar ve dualleri arasnda a³a§daki
do§al do§rusal fonksiyonu yazabiliriz:
DM :
k
HDR
(M )
−→
(Hcn−k (M ))∗ ,
∫
ω∧ν .
(DM ([ν])) ([ω]) =
M
A³a§da
DM
Poincaré homomorzmasnn bir izomorzma oldu§unu göste-
rece§iz.
E§er vektör uzaylar sonlu boyutlu ise,
Hck (M )
×
n−k
HDR
(M )
−→ R,
DM 'in
izomorzma olmasnn
∫
([ω], [ν]) 7→
ω∧ν
M
241
Poincaré zomorzmas
bilineer formunun soysuzla³mam³ (dejenere olmayan) olmasna denk oldu§u
kolayca görülür.
Teorem 4.4.1 (Poincaré zomorzmas).
lenebilir
n-boyutlu
M
yönlendirilmi³, ba§lantl, türev-
bir manifold olmak üzere, her
0≤k≤n
için,
∫
k
DM : HDR
(M ) −→ (Hcn−k (M ))∗ ,
ω∧ν
(DM ([ν])) ([ω]) =
M
do§rusal homomorzmas bir izomorzmadr. E§er manifold tkz ise Poincaré
izomorzmas
n−k
k
DM : HDR
(M ) −→ (HDR
(M ))∗
halini alr.
Kanta geçmeden önce sk sk ba³vuraca§mz a³a§daki cebirsel sonucu
verelim (kant kolay oldu§u için okuyucuya braklm³tr, bkz. Al³trma 21).
Yardmc Teorem 4.4.2 (Be³li Yardmc Teorem). Satrlar tam dizi ve için-
deki her bir dikdörtgeni de§i³meli olan
A1 → A2 → A3 → A4 → A5
↓ f1
↓ f2
↓ f3
↓ f4
↓ f5
B1 → B2 → B3 → B4 → B5
vektör uzay ve homomorzmalarnn olu³turdu§u diyagram dü³ünelim. E§er,
f1 , f2 , f4
ve
f5
birer izomorzma ise
f3 'te
bir izomorzmadr.
Teorem 4.4.1'in Kant : Kant be³ admdan olu³maktadr.
Adm 1) Teorem
n−k
0 = (HDR
(M ))∗
M = Rn
için do§rudur:
olaca§ndan sadece
k=n
k ̸= n
oldu§u zaman
durumunu incelememiz yeterlidir.
Manifold üzerinde tkz destekli ve integrali bire e³it bir
0 ̸= [ω] ∈
0 (M ) ≃ R
[1] ∈ HDR
Bu durumda
olacaktr.
Hcn (M )
≃ R
Hck (M ) =
ω
formu seçelim.
eleman kohomolojinin bir üreteci
grubunun üreteci olan ve sabit bir de§erini alan
fonksiyonun kohomoloji snf ise
∫
Rn
ω∧1=1
olaca§ndan bu admn kant tamamlanm³ olur.
Rn
ile bu küme içindeki açk
ve yldz biçimindeki bir kümenin kohomoloji gruplar izomork olaca§ndan
bu adm
Rn
Sonuç 4.3.17).
içindeki her konveks açk küme için de kantlanm³ olur (bkz.
242
De Rham Kohomoloji
Lk (M ) ile (Hck (M ))∗ dualini gösterelim. U, V ⊆ M açk kümeler
üzere U ∪ V
tkz destekli kohomoloji ve De Rham kohomolojisinin
Adm 2)
olmak
duali için Mayer-Vietoris dizilerinin olu³turdu§u ³u diyagram dü³ünelim:
k+1
k
k
k
k
→ HDR
(U ∪ V ) → HDR
(U ) ⊕ HDR
(V ) → HDR
(U ∩ V ) → HDR
(U ∪ V ) →
↓D
↓ D⊕D
↓D
↓D
→ Ln−k (U ∪V ) → Ln−k (U )⊕Ln−k (V ) → Ln−k (U ∩V ) → Ln−k−1 (U ∪V ) · · · .
Tüm dü³ey homomorzmalar Poincaré homomorzmalarn göstermektedir.
Bu admda diyagramdaki tüm dikdörtgenlerin i³aretli-de§i³meli oldu§unu gösterece§iz. lk iki dikdörtgen için kant çok açktr, çünkü tüm yatay fonksiyonlar içerme fonksiyonlarndan elde edilmi³tir.
Son dikdörtgenin i³aretli-de§i³meli oldu§unu görebilmek için ba§lant homomorzmalarnn nasl tanmland§n hatrlamamz gerekmektedir: lk önce
δ : Hcn−k−1 (U ∪ V ) → Hcn−k (U ∩ V )
[ω] ∈ Hcn−k−1 (U ∪ V ) olsun.
Teorem 4.3.6'daki Zig-Zag homomorzmasnn tanmndan ω = ξ − µ olacak
³ekilde srasyla U ve V içinde tkz destekli ξ ve µ formlar vardr, öyle
ki δ([ω]) = [dξ] = [dµ] olur.
homomorzmasnn nasl tanmland§n görelim.
Di§er taraftan,
k+1
k
δ : HDR
(U ∩ V ) → HDR
(U ∪ V )
k (U ∩ V ) snf alalm. Bu du[a] ∈ HDR
n−k−1
b∈Ω
(U ) ve c ∈ Ωn−k−1 (V ) formlar
ise ³u ³ekilde tanmlanr. Herhangi bir
rumda,
a = b−c
olacak ³ekilde,
vardr. Aslnda De Rham kohomolojinin Mayer-Vietoris dizisinin kantndan bu
formlarn sadece
U ∩V
açk kümesinde desteklendi§ini görürüz. Son olarak,
ba§lant homomorzmas
{
.
δ(a) =
db
dc
,
,
U üzerinde
V üzerinde
ile tanmlanr. Bu durumda,
∗
∫
δ (D([a]))([ω]) =
U ∩V
∫
δ(ω) ∧ a =
U ∩V
dξ ∧ (b − c)
olur. Di§er taraftan,
∫
D([δ([a])])([ω]) =
U ∪V
∫
ω ∧ δ(a) =
U ∪V
(ξ − µ) ∧ δ(a)
243
Poincaré zomorzmas
b
olur. Ayrca,
ve
c
formlarnn aslnda
U ∩V
içinde desteklendi§ini
aklmzda tutarak son integrali açarsak
∫
∫
U ∪V
∫
µ ∧ δ(a)
ξ ∧ δ(a) −
U
V
∫
∫
=
ξ ∧ db −
µ ∧ dc
V
∫U
∫
=
ξ ∧ db −
µ ∧ dc
(ξ − µ) ∧ δ(a) =
U ∩V
elde ederiz. “imdi de,
alnan
ξ ∧ db, µ ∧ dc
U ∩V
U ∩V
manifoldunun snrnn olmamasn, integralleri
U ∩V
formlarnn
içinde tkz destekli olduklarn ve
d(ξ ∧ b) = dξ ∧ b + (−1)k ξ ∧ db, d(µ ∧ c) = dµ ∧ c + (−1)k µ ∧ dc
e³itliklerini Stokes Teoremi'nde kullanarak, son integralin
∫
(−1)
∫
k+1
dξ ∧ b − (−1)
∫
k+1
U ∩V
U ∩V
dµ ∧ c = (−1)
oldu§unu görürüz. Bu kant bitirir.
2
O halde, Poincaré homomorzmas
U, V
ve
U ∩V
k+1
U ∩V
dξ ∧ (b − c)
açk kümeleri için birer
izomorzma ise, Adm 2 ve Be³li Yardmc Teorem sayesinde
U ∪V
açk
kümesi için de bir izomorzma oldu§unu görmü³ olduk.
{Uα ⊆ M } açk küme koleksiyonunun her bir
eleman için do§ru ise bu kümelerin U = ∪ Uα
birle³imi için de do§ruk (U ) = Π H k (U ) direkt çarpmna izomorktir. Di§er tarafdur:
HDR
α DR
α
k
k
tan, Hc (U ) = ⊕α Hc (Uα ) direkt toplamna ve dolaysyla, duali de yine
Lk (U ) = Πα Lk (Uα ) direkt çarpmna e³ittir.
Adm 3)
Teorem ayrk bir
Adm 4)
Teorem her
U ⊆ Rn
açk kümesi için do§rudur. Bunun için önce
topolojik bir sonuç kantlayaca§z.
ddia:
Rn
içindeki her açk küme
olarak yazlabilir öyle ki,
U, V
ve
U ve V gibi iki açk kümenin
U ∩ V her biri sonlu tane Rn
birle³imi
içindeki
dikdörtgen bölgenin birle³imi olan açk kümelerin ayrk bir birle³imidir.
ddiann kant: Yardmc Teorem 2.2.1'den dolay her manifold, dolaysyla
da
Rn
yan bir
K1
içindeki her açk küme
(Kn )
Kn ⊆
Int(Kn+1 ),
n ∈ N,
ko³ulunu sa§la-
tkz alt kümeler dizisinin birle³imi olarak yazlabilir. “imdi
tkz kümesini sonlu tane açk dikdörtgen ile örtelim öyle ki her bir dik-
Int(K2 ) içinde kalsn. Bu dikdörtgenler R1 , · · · , Ri1 olsun. Daha
K2 − Int(K1 ) tkz bölgesini örten ve Int(K3 ) içinde kalan sonlu tane
S1 , · · · , Sj1 açk dikdörtgeni seçelim. Bu ³ekilde devam edelim. Son olarak, U
dörtgen
sonra,
244
ve
De Rham Kohomoloji
V
kümelerini
U = ∪Ri
ve
V = ∪Sj
olarak tanmlarsak iddiann kant
tamamlanm³ olur.
R1
ddiay kabul ederek bu admn kantn bitirelim.
n
ise R 'e difeomork olaca§ndan teorem
k
teoremin
R1
açk bir dikdörtgen
için do§rudur (Adm 1). “imdi
tane açk dikdörtgenin birle³imi için do§ru oldu§unu kabul edelim.
A ile gösterelim ve B = Rk+1 bir ba³ka açk dikdörtgen olsun.
A∩B yine k -tane açk dikdörtgenin birle³imi olacaktr. O halde
A, B ve A ∩ B için do§rudur. Son olarak, Adm 2'den dolay teorem
Bu birle³imi
Bu durumda
teorem
A∪B
için de do§ru olur. Dolaysyla, tümevarmdan dolay teorem her sonlu
sayda açk dikdörtgenin birle³imi için kantlanm³ olur. Bu durumda Adm 4,
ddia'nn ve Adm 3'ün bir sonucudur.
Önceki admn içindeki iddiann kantn takip ederek ³unu göste-
Adm 5)
rebiliriz:
M
manifoldu
yazlabilir öyle ki,
U, V
U
ve
V
U ∩V
ve
gibi iki açk kümenin birle³imi olarak
her biri sonlu tane
Rn
içindeki açk
kümenin birle³imi olan açk kümelerin ayrk bir birle³imidir. Bu durumda önceki admlardan dolay, teorem
M =U ∪V
U, V
ve
U ∩V
için do§ru olaca§ndan
için de do§ru olacaktr. Böylece kant tamamlanr.
2
Hatrlatma 4.4.3. Teoremin topolojik sonuçlarna geçmeden önce do§rusal
cebire ait bir önermeyi hatrlayalm: Herhangi bir
V
vektör uzaynn ikinci
dualine izomork olmas için gerek ve yeter ³art bu uzayn sonlu boyutlu olmasdr (bkz. Al³trma 22). O halde, tkz her
M
manifoldu için Poincaré
izomorzmasndan dolay
n−k
k
k
k
HDR
(M ) ≃ (HDR
(M ))∗ ≃ ((HDR
(M ))∗ )∗ ≃ (HDR
(M ))∗∗
sa§lanaca§ndan bu manifoldun tüm kohomoloji vektör uzaylarnn sonlu boyutlu olmas gerekti§ini görürüz (Tüp Kom³uluk Teoremi ve Mayer-Vietoris kohomoloji dizisi bu sonucun ba³ka bir kantn verir; bkz. Hatrlatma 4.3.11 ve
Al³trma 13).
Sonuç 4.4.4. Ba§lantl tkz bir manifoldun tüm De Rham kohomoloji vektör
uzaylar sonlu boyutludur.
Sonuç 4.4.5.
Mn
ba§lantl bir manifold olmak üzere
n (M ) = R
HDR
olmas
için gerek ve yeter ³art manifoldun snrsz, tkz ve yönlendirilebilir olmasdr.
n
E§er manifold tkz de§ilse ya da yönlendirelebilir de§ilse HDR (M ) = 0 olur.
Kant :
Sonuç 4.3.16'ten dolay tkz ve yönlendirilebilir manifoldlar için
n (M ) = R oldu§unu biliyoruz. Manifold yönlendirilebilir ama tkz de§ilse
HDR
n (M ) = 0 sonucunu
Hc0 (M ) = 0 oldu§undan Poincaré izomorzmas bize HDR
verir. E§er manifold yönlendirilebilir de§ilse, yönü ters çeviren bir e§ri boyunca
ilerleyerek bir koordinat diski üzerinde tanml bir formun ters i³aretlisi ile
ayn kohomoloji snfn temsil etti§ini görürüz. Bu durumda yine
n (M ) =
HDR
245
Poincaré zomorzmas
0
elde edilir. Son olarak, e§er manifold yönlendirilebilir snrl ve tkz ise,
yönlendirilebilir tkz ve snrsz
W = M ∪∂M (−M )
manifoldu için (bkz.
Ünite 3, Al³trma 39) Mayer-Vietoris dizisini yazarsak
n−1
n
n
n
· · · → HDR
(∂M ) → HDR
(W ) → HDR
(M ) ⊕ HDR
(−M ) →
n
HDR
(∂M ) = 0 → · · ·
elde edilir. Fakat,
n (M )
HDR
=0
n (W ) ≃ R
HDR
olmas gerekti§ini
n (M ) ≃ H n (−M )
HDR
DR
görürüz. 2
ve
M = R2 − Z2 manifoldunun
2 için
boyutludur. Her (m, n) ∈ Z
Örnek 4.4.6. Tkz olmayan
kohomolojisi sonsuz
ωm,n =
oldu§undan
birinci De Rham
x dy − y dx
∈ Ω1 (M )
2π ((x − m)2 + (y − n)2 )
³eklinde tanmlanan formlar kapaldr ve do§rusal ba§msz bir küme olu³turur1
lar. Aslnda daha fazlasn söyleyebiliriz. Bu manifold için Hc (M ) saylabilir
1
bir tabana sahip sonsuz boyutlu bir vektör uzay iken, HDR (M ) ve bunun
duali taban saylamaz büyüklükte bir vektör uzaydr. Dolaysyla, tkz olman−k
k
∗ izomork olmayabilir (bkz.
yan manifoldlar için Hc (M ) ve (HDR (M ))
Al³trma 23).
M = R2 − {(0, 0)} bir delikli diskin birinci kohomolojisinin
x dy − y dx
oldu§unu görmü³tük. Bu elemann Poincaré
üretecinin ω =
x2 + y 2
√
1
dualini veren ν = DM (ω) ∈ Hc (M ) formu, r =
x2 + y 2 ve ρ : (0, ∞) →
∫
Örnek 4.4.7.
∞
[0, 1],
ρ(r) dr = 1
ko³ulunu sa§layan tkz destekli bir fonksiyon olmak
0
üzere a³a§daki gibidir:
x dx + y dy
ν = ρ(r) dr = ρ(r) √
.
x2 + y 2
Gerçekten de
∫
∫
∞ ∫ 2π
ν∧ω =
M
0
0
ρ(r)
(x dx + y dy) ∧ (x dy − y dx) = 1
2πr3
K = {f = 0, g = 0} ⊆ S 3 ile verilen bir
f dg − g df
1
ωK =
∈ HDR
(S 3 − K) Poincaré
2π(f 2 + g 2 )
olur. Benzer ³ekilde
dü§ümünün
geçi³me formunun
duali
√
f df + g dg
ν = ρ( f 2 + g 2 ) √
∧ ds
f 2 + g2
formunun skaler katdr. Buradaki
çarpmnn metrik dualidir.
ds
1-formu
∇(f ) × ∇(g)
vektör d³
246
De Rham Kohomoloji
k (M )
HDR
De Rham kohomoloji vektör uzay sonlu boyutlu olan
.
k (M ))
k 'nc Betti says bk (M ) = dim(HDR
olarak tanmlanr. E§er M
manifoldunun tüm kohomoloji gruplar sonlu
Tanm 4.4.8.
bir
M
türevlenebilir manifoldunun
boyutlu ise manifoldun Euler karakteristi§i Betti saylarnn
dim(M )
. ∑
χ(M ) =
(−1)k bk (M )
k=0
de§i³meli toplam olarak tanmlanr.
Betti saylar ve dolaysyla Euler karakteristi§i manifoldun difeomorzma
de§i³mezleridir. Mayer-Vietoris tam dizisi kullanlarak elde edilen a³a§daki
sonuç Euler karakteristi§inin aslnda bir çe³it ölçüm oldu§unu göstermektedir.
(Ayrca bkz. Al³trma 25)
Sonuç 4.4.9.
M
türevlenebilir bir manifold ve
U
V bu manifoldun tüm
U ∩ V ve U ∪ V açk
ve
Betti saylar sonlu olan iki açk kümesi olsun. E§er
kümelerinin tüm Betti saylar da sonlu ise
χ(U ∪ V ) = χ(U ) + χ(V ) − χ(U ∩ V )
olur.
Kant : Her terimi sonlu boyutlu ve sadece sonlu tanesi sfr vektör uzayndan farkl olan vektör uzaylarnn bir
δi−1
fi
gi
δ
fi+1
i
· · · −−→ Ai −
→ Bi −
→ Ci −
→
Ai+1 −−−→ · · ·
tam dizisini alalm. Her
Ai
(benzer ³ekilde
B i , Ci
) için
dim(Ai ) = dim(Imfi ) + dim(ker fi )
∑
i
oldu§u açktr. χ(A) =
i (−1) dim(Ai ) olarak tanmlansn (benzer ³ekilde
χ(B) ve χ(C)'yi de tanmlayalm). Yukardaki dizinin taml§ndan dolay
Imδi = ker fi+1 , ker δi = Imgi , ve Imfi = ker gi oldu§unu biliyoruz. Bu
durumda
χ(C) + χ(A)
∑
(−1)i [(dim Imδi + dim ker δi )
=
i
=
+ (dim Imfi + dim ker fi )]
∑
(−1)i [(dim ker fi+1 + dim Imgi )
=
+ (dim ker gi + dim ker fi )]
∑
(−1)i (dim Imgi + dim ker gi )
i
i
+
∑
(−1)i (dim ker fi + dim ker fi+1 )
i
=
χ(B) + 0 = χ(B)
247
Poincaré zomorzmas
elde ederiz. Son olarak U ve V açk kümelerinin Mayer-Vietoris dizisinde
. i
. i
. i
i (V ), ve C =
Ai = HDR
(U ∪ V ), Bi = HDR
(U ) ⊕ HDR
HDR (U ∩ V ), alarak
i
kant tamamlarz. 2
Hatrlatma 4.4.10. Öklit düzleminin a³a§daki ³ekilde verilen açk alt küme-
ve U ∪ V açk kümelerinin
0
1
Euler Karakteristikleri iyi tanml de§ildir, çünkü HDR (U ∩V ) ve HDR (U ∪V )
sonsuz boyutludur (bkz. “ekil 4.13).
leri için
χ(U ) = 1 = χ(V )
“ekil 4.13:
U
V
ve
U ∩V
oldu§u halde
basit ba§lantl olduklar halde birle³im ve kesi³imleri oldukça
karma³k bir topolojiye sahip olabilirler.
Di§er taraftan
U, V, U ∩ U, U ∪ V
açk kümelerinin herhangi üçünün
Euler karakteristikleri iyi tanml ise dördüncünün Euler karakteristi§i de iyi
tanmldr.
Poincaré izomorzmasnn kolay bir sonucunu a³a§da veriyoruz (bkz. Al³trma 24).
Sonuç 4.4.11.
M
tek boyutlu yönlendirilebilir tkz bir manifold ise
χ(M ) = 0
olur.
Bu sonuç yönlendirilemeyen tkz tek boyutlu manifoldlar için de do§rudur.
Kant için biraz daha beklememiz gerekiyor (bkz. Sonuç 5.3.10).
M 4n+2 boyutlu yönlendirilebilir tkz bir manifold ise kolayca
χ(M ) ≡ b2k+1 (M ) oldu§unu görebiliriz. Poincaré izomorzmasnn sonucu
Di§er taraftan
olarak
∫
H
2n+1
(M ) × H
2n+1
(M ) −→ R,
([ω], [ν]) 7→
ω∧ν
M
bilineer formunun soysuzla³mam³ (dejenere olmayan) oldu§unu biliyoruz. Ayrca
(2n + 1)
tek say oldu§u için bu bilineer form ters simetriktir. Son olarak,
sadece çift boyutlu gerçel vektör uzaylar soysuzla³mam³ ters simetrik bilineer form ta³yabildikleri için
sonucu kantlam³ olduk:
b2n+1 (M )
çift say olmaldr. O halde a³a§daki
248
De Rham Kohomoloji
Sonuç 4.4.12.
χ(M )
M
boyutu
4n + 2
olan yönlendirilebilir tkz bir manifold ise
bir çift saydr.
Hatrlatma 4.4.13. Yukardaki sonucun hipotezindeki
ko³ulu kaldrlamaz çünkü (gerçel) dört boyutlu
CP 2
dim(M ) = 4n + 2
karma³k projektif düz-
lemin Euler says üçtür.
4.5
Al³trmalar
1. Önerme 4.1.2'yi kantlaynz.
2. Önerme 4.1.4'ün kantn tamamlaynz.
3. Sonuç 4.1.9'un kantnda tanmlanan
r : D2 → ∂D2 = S 1
fonksiyonun
türevlenebilir oldu§unu gösteriniz.
4. Yardmc Teorem 4.2.1'in kantnda tanmlanan
P : Ωk (M × R) → Ωk−1 (M × R)
do§rusal dönü³ümünün manifold üzerinde seçilen yerel koordinat sisteminden ba§msz oldu§unu ve dolaysyla iyi tanml oldu§unu gösteriniz.
5.
R2 − {(0, 0)}
ω = f (x, y)dx + g(x, y)dy
(x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} için
üzerinde kapal bir
alalm, öyle ki her
|f (x, y)| ≤ √
4
1
x2
+
y2
ve
|g(x, y)| ≤ √
4
1-formu
1
x2
+ y2
e³itsizlikleri sa§lansn. Stokes Teoremi'ni kullanarak bu formun tam oldu§unu gösteriniz.
6. Kutupsal koordinatlarda
r = sin 2θ, θ ∈ [0, 2π], ile verilen e§rinin dönme
saysnn üç oldu§unu gösteriniz.
7. ki ayrk dü§ümün geçi³me saysnn sayfa 212'de Gauss'un tanmlad§
say ile ayn oldu§unu kantlaynz.
8. Hatrlatma 4.3.4.2 ve 4'deki iddialar kantlaynz.
9. Verilen bir
B
f ∗ : (A∗ , dA
∗ ) → (B∗ , d∗ )
zincir fonksiyonunun kohomoloji
seviyesinde homomorzma verdi§ini gösteriniz (bkz. s. 215):
.
f ∗ : H n (A∗ ) → H n (B∗ ) , f ∗ ([a]) = [f ∗ (a)], a ∈ An .
10. Öklit uzayndaki
Dn
→
n-boyutlu
yuvardan snrna hiçbir türevlenebilir
S n−1 küçültme fonksiyonu yoktur (bkz. Teorem 4.1.8).
r :
249
Al³trmalar
11. Her türevlenebilir
f : Dn → Dn
fonksiyonun en az bir sabit noktas
vardr (bkz. Sonuç 4.1.9).
12. Mayer-Vietoris kohomoloji dizisini kullanarak
Sn × Sm
manifoldunun
kohomolojilerini hesaplaynz.
13. Tüp Kom³uluk Teoremi'ni ve Mayer-Vietoris kohomoloji dizisini kullanarak tkz manifoldlarn tüm kohomolojilerinin sonlu boyutlu oldu§unu
kantlayabiliriz. Bunun için manifoldu, diyelim ki
m
lit uzayna gömelim: M
⊆
Mm
Rn . Manifoldu sonlu tane
olsun, bir Ök-
Rn
içinde açk
konveks alt küme ile örtelim, öyle ki bu kümelerin birle³imi manifoldun
bir tüp kom³ulu§unu olu³tursun:
M ⊂ U1 ∪ · · · ∪ UN ⊂ Rn .
O halde, bu
konveks kümelerin birle³iminin kohomolojisi manifoldun kohomolojisine
e³ittir. Son olarak, Mayer-Vietoris dizisini ve tümevarm metodunu kullanarak sonlu tane açk konveks kümenin birle³iminin kohomolojisinin sonlu boyutlu oldu§unu gösteriniz. (Bkz. Hatrlatma 4.3.11 ve Sonuç 4.4.4.)
14. Teorem 4.3.19'un kantn tamamlaynz.
15. Teorem 4.3.23'i kantlaynz.
16. Örnek 4.3.24.1'in içindeki iddiay kantlaynz.
17. Sfrdan farkl gerçel
p(x) = an xn + · · · + a0
polinomlarnn do§rusal
ve
q(x) = bm xm + · · · + b0
ft (x) = (1 − t)p(x) + tq(x), t ∈ [0, 1],
homo-
topisini dü³ünelim. Bu homotopinin düzgün olmas için gerek ve yeter
ko³ulun
deg(p(x)) = deg(q(x)) (mod 2)
ve
an bm > 0
oldu§unu kant-
laynz.
18. Yönlendirilmi³ ve tkz her manifolddan ayn boyuttaki küreye derecesi
bire e³it olan bir fonksiyonun varl§n kantlaynz.
19. Derecesi sfr olan türevlenebilir her
f : S1 → S1
fonksiyonunun bir sabi-
te homotopik oldu§unu gösteriniz. Bunu fonksiyonun düzgün bir de§erinin ters görüntüsünü ele alarak ³u ³ekilde yapnz: Fonksiyonun bir
düzgün de§eri etrafnda küçük bir
ters görüntüsü her biri bu aral§a
saydaki
V1 , · · · , Vk
p ∈ S1
p ∈ U ⊆ S 1 aral§ alalm. Bu aral§n
f fonksiyonu ile difeomork olan sonlu
aralklarndan olu³acaktr. Ayrca aralklarn çember
üzerinde ard³k ³ekilde dizildi§ini kabul edebiliriz. Ard³k
aralklarnn arasnda kalan aral§n, diyelim ki
[ai , bi ]
Vi
ve
Vi+1
olsun, tam orta
qi olarak adlandralm. “imdi f fonksiyonunu hem her bir
[ai , bi ] aral§nda do§rusal bir fonksiyona homotopi edelim.
Elde etti§imiz fonksiyona yine f diyelim. Bu fonksiyon, e§er ard³k Vi
ve Vi+1 aralklarnda ters yerel derecelere sahipse, [ai , ai+1 ] aral§nda
noktasn
Vi
hem de
250
De Rham Kohomoloji
sabit olacaktr. Bu durumda fonksiyonu
Vi ∪ [ai , ai+1 ] ∪ Vi+1
birle³imin-
de yine bir sabite homotopi edebiliriz, öyle ki, homotopinin her adm
U
bu aral§
kümesinin kapan³nn içine gönderir. Fonksiyonun derece-
si sfr oldu§u için bu i³lemi tekrar ederek sonunda sabit bir fonksiyona
ula³rz. Bu sonucu kullanarak çemberden çembere giden fonksiyonlarn
Vi ve Vi+1
oldu§u durum.
“ekil 4.14: Fonksiyonun
srasyla
−1
+1
ve
açk kümeleri üzerindeki yerel derecelerinin
homotopi snarnn bir grup olu³turdu§unu ve grubun tam saylar grubuna,
[f : S 1 → S 1 ] 7→ deg(f ),
derece fonksiyonu ile izomork oldu§unu
kantlaynz.
20. Boyutu
n ≥ 0
olan bir manifold üzerinde tanml ve dereceleri e³it
f1 : M → S n
herhangi iki türevlenebilir (sürekli)
ve
f2 : M → S n
fonksiyonlarnn homotopik olduklarn gösterebiliriz.
21. Be³li Yardmc Teorem olarak bilinen Yardmc Teorem 4.4.2'yi kantlaynz.
22. Herhangi bir
F
cismi üzerinde tanml
V
vektör uzaynn dualine
izomork olmas için sonlu boyutlu olmas gerekti§ini gösteriniz. pucu:
Vektör uzaynn sonsuz elemanl bir
varsa, her
A⊆Λ
β = {vλ | λ ∈ Λ}
Hamel taban
alt kümesi için taban elemanlar üzerinde
{
fA : V → F,
fA (vλ ) =
1 , λ∈A
0 , λ ̸∈ A ,
ile tanmlanan fonksiyonellerin olu³turdu§u saylamaz kümenin dual uzay
içinde do§rusal ba§msz oldu§unu gösteriniz.
23. Örnek 4.4.6'nn içinde geçen iddialar kantlaynz.
24. Tek boyutlu tkz ve yönlendirilebilir bir manifoldun Euler karakteristi§inin sfr oldu§unu gösteriniz.
25.
M
herhangi bir manifold ve
{Li }
bu manifoldun kapal alt manifold-
larnn sonlu bir ailesi olsun, öyle ki, bu aile kesi³imler altnda kapal
olsun ve yine bu ailenin birbirini içermeyen herhangi iki
Li , L j
eleman
251
Al³trmalar
dik kesi³sin (dik kesi³imin tanm için 5. Ünite'ye baknz). Bu ailenin
üretti§i en küçük Boolean cebirinin (ba³ka bir deyi³le
B
kümesinin
elemanlar ile onlarn tümleyenlerinin sonlu birle³imleri) elemanlarnn
topolojik bile³enlerinin olu³turdu§u ailenin üretti§i Boolean cebirini de
B
gösterelim.
M = R2
ve L = x-ekseni olsun. Tek
B = {L} ailesinin üretti§i Boolean cebiri {∅, L, R2 − L, R2 }
halde B üst ve alt yar düzlemleri de içermektedir.
Bu yapy bir örnekle açklayalm:
elemanl
oldu§u
(a)
M = S2
birim küresi ve
B = {S 0 , S 1 }
olmak üzere
B
cebirinin
tüm elemanlarn listeleyiniz. ki boyutlu küre için olu³turdu§unuz
yapy
S n , RP n
ve
CP n
manifoldlarna geni³letiniz.
(b) Euler karakteristi§i açk kümeler üzerinde toplamsal olsa da genelde
M = R ve L = {0}
M = L ∪ (M − L) ayrk birle³imi için
toplamsal de§ildir. Örne§in,
dü³ünelim.
alt manifoldunu
χ(M ) = 1 ̸= 3 = 1 + 2 = χ(L) + χ(M − L)
olur ve dolaysyla Euler karakteristi§i toplamsal de§ildir.
M manifoldun tkz destekli Euler karakteristi§i
. ∑
χc (M ) = i (−1)i Hci (M ) ile tanmlanr (toplamn sonlu olmas
ko³ulu altnda). U ⊆ M açk bir alt küme olmak üzere
. ∑
χc (M − U ) =
(−1)i Hci (M, U )
(c) Herhangi bir
i
ile tanmlanr. “imdi yukardaki örne§i tekrar ele alalm:
χc (M ) = −1 = 1 − 2 = χ(L) + χ(M − L) .
Aslnda tkz destekli yerel kohomoloji dizisi sayesinde kolayca
χc (M ) = χc (U ) + χc (M − U )
oldu§u gösterilebilir.
(d) E§er
χc
B
fonksiyonu
de§er alyorsa,
χc
cebirinin her eleman üzerinde sonlu bir
fonksiyonun bu cebir üzerinde toplamsal oldu§u-
nu gözlemleyiniz.
(e)
A
de§i³meli bir grup ve
E§er her
a ∈ A
için
ϕ:M →A
ϕ−1 (a) ∈ B
herhangi bir fonksiyon olsun.
oluyorsa bu fonksiyonun
M
üzerinde (tkz destekli) Euler karakteristi§ine göre integrali
∫
. ∑
χc (ϕ−1 (a)) a ,
ϕ dχ c =
M
a∈A
toplam olarak tanmlanr (yine toplamn sonlu oldu§u durumda).
A=Z
olmas durumunda
∫
M
1 dχc = χc (M )
oldu§unu gösteriniz.
252
De Rham Kohomoloji
(f )
M
manifoldu gerçel cebirsel bir küme (herhangi bir
de sonlu tane polinomun ortak sfrlarnn kümesi) ise
M
RN içinB cebirini
kümesinin yar cebirsel alt kümelerinin (polinom e³itsizlikleri ile
tanmlanan alt kümeler) ailesi olarak seçebiliriz. Tkz desteki kohomoloji aile üzerinde toplamsal olacaktr. Bunu kullanarak cebirsel
geometrik birçok sonucu elde etmek mümkündür.
Euler karakteristi§inin bir ölçüm olarak kullanlabilece§i üzerine ilk
makale Oleg Viro tarafndan yazlm³tr ([37]). Bu kirlerin birçok
uygulamasn da içeren önemli bir kaynak olarak [16] numaral referans da vermeliyiz. Bu makalelerde bahsedilen integral tekni§inin
birçok uygulamasn bulabilirsiniz.
(g) Biraz cebirsel topoloji bilen okuyucularmza ³u hatrlatmay yapalm: Tkz destekli tekil kohomoloji kullanarak yukarda yaptklarmz CW-kompleks yapsna sahip topolojik uzaylara geni³letebiliriz.
5
Kesi³im Teorisi
Bu ünitede türevlenebilir manifoldlarn topolojik özelliklerini alt manifoldlar
yardmyla anlamaya çal³aca§z. Bunu yapmak için alt manifoldlarn kesi³im
teorisini kullanaca§z. Alt manifoldlarn kesi³im teorisini de Sard Teoremi'nin
bir uygulamas olan dik kesi³im teorisi ile kuraca§z. Alt manifoldlarn kesi³imini kohomoloji snar yardmyla ifade edece§iz ve bunu kullanarak Euler
karakteristik snfn tanmlayaca§z. Euler snfn vektör alanlarnn sfrlar
ile ili³kilendirece§iz. Bu konularla ilgili en iyi kaynaklardan birisi [15] numaral
kitaptr. Euler snfnn Riemannn yüzeylerine uygulamas olarak RiemannHurwitz ve Hurwitz teoremlerini verece§iz. Bu teoremler cebirsel e§riler konusunun da klasik sonuçlardr. Cebirsel geometri konusunda daha kapsaml
kaynaklar için [14], [17] ve [12] numaral referanslara bakabilirsiniz.
5.1
Dik Kesi³im
Tanm 5.1.1.
f : K → M
ve
g : L → M türevlenebilir manifoldlarn
f (p) = g(q) ko³ulunu sa§layan her
türevlenebilir fonksiyonlar olsun. E§er
(p, q) ∈ K × L
ikilisi için
(Df )p (Tp K) + (Dg)q (Tq L) = Tf (p) M
ko³ulu sa§lanyorsa bu iki fonksiyon dik kesi³iyor deriz ve bunu
f tg
³eklinde
gösteririz.
Hatrlatma 5.1.2. 1)
için gerek ve yeter ³art
E§er
f
ve
dim(K) + dim(L) < dim M ise f t g
g fonksiyonlarnn görüntülerinin ortak
olmamasdr:
f t g ⇔ f (K) ∩ g(L) = ∅ .
253
olmas
noktas
254
Kesi³im Teorisi
L = {q1 , · · · , qk } sonlu noktadan olu³an bir manifold ise, f t g
g(qi ) ∈ M noktasnn f için düzgün bir de§er olmasna denktir.
Dolaysyla, bu durumda f t g ise {p ∈ K | f (p) ∈ g(L)} kümesi K içinde
2)
E§er
olmas her
bir alt manifolddur.
Sard Teoremi'nin bir sonucu olan a³a§daki teorem, dik kesi³imin temel
özelliklerini ta³mas açsndan önemlidir. Ksaca söylemek gerekirse teorem
fonksiyonlarn dik kesi³mesinin kararl bir durum oldu§unu göstermektedir.
Teorem 5.1.3.
f : K → Rn
ve
g : L → Rn
türevlenebilir manifoldlarn
C⊆
türevlenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda ölçümü sfr olan öyle bir
Rn kümesi vardr ki, her w ∈ Rn − C için,
.
fw (x) = f (x) + w, x ∈ K,
olmak üzere
E§er
K
fw t g
olur.
tkz bir manifold ve
g : L → Rn
düzgün bir fonksiyon ise
C
kümesi ölçümü sfr olan kapal bir küme olur. Ayrca, bu durumda e§er
n
ba³langçta f t g ise, öyle bir δ > 0 says vardr ki, her w ∈ R , ∥w∥ < δ
fw t g
için, yine
olur.
g − f : K × L → Rn , (g − f )(x, y) = g(y) − f (x), ile tanmlanan
fonksiyonunun kritik de§erlerinin kümesini C ile gösterelim. Bu durumda,
n noktasnn bu fonksiyonun bir kritik de§eri olmas tam
herhangi bir w ∈ R
Kant :
olarak,
D(g − f )(p,q) : T(p,q) K × L → Tw Rn ,
türev fonksiyonunun örten olmad§, fakat
w = g(q) − f (p)
ko³ulunu sa§layan
(p, q) ∈ K × L ikilisinin varl§na denktir. O halde, w ∈ Rn − C
w = g(q) − f (p) ko³ulunu sa§layan her (p, q) ∈ K × L ikilisi için
bir
ise
D(g − fw )(p,q) = (Dg)q − (Dfw )p = (Dg)q − (Df )p = D(g − f )(p,q)
türev fonksiyonu örtendir. Di§er bir deyi³le,
w ∈ Rn − C
ko³ulu
fw t g
ko³uluna denktir.
E§er
g−f
K
tkz bir manifold ve
g : L → Rn
düzgün bir fonksiyon ise
fonksiyonu da düzgün olur. Di§er taraftan,
g−f
fonksiyonunun
kritik noktalar kümesi kapaldr, çünkü her türevlenebilir fonksiyonun kritik
noktalarnn kümesi kapal bir kümedir. O halde, bu kapal kümenin
düzgün fonksiyonu altndaki görüntüsü olan
kapaldr. Son olarak, e§er ba³langçta
f tg
C
ise
kritik de§erler kümesi de
0 ∈ Rn
Rn alt kümesinin d³ndadr. O halde, sfr vektörünün bir
da
C 'nin
d³nda kalacaktr.
g−f
vektörü kapal
B(0, δ)
C⊆
kom³ulu§u
2
Hatrlatma 5.1.4. Yukardaki teoremin ikinci ksmndaki sonucu biraz daha
kuvvetlendirebiliriz.
olsun:
w : K → Rn
a³a§daki ko³ullar sa§layan bir fonksiyon
255
Dik Kesi³im
1) C kümesi
w(K) ∩ C = ∅
yine
g−f
fonksiyonunun kritik de§erler kümesi olmak üzere
olsun;
2) N (f (K)), f (K) görüntü kümesinin tkz bir kom³ulu§u olmak üzere, her
(p, q) ∈ K×(L∩N (f (K))) için, ∥Dw∥p < ∥D(g−f )∥(p,q) e³itsizli§i sa§lansn.
(Aslnda f t g oldu§unu kabul etti§imiz için sfr sabit fonksiyonuna yeterince
C 1 -yakn her fonksiyon bu ³art sa§lar.) Bu durumda, fw = f + w fonksiyonu
g fonksiyonuna yine dik olacaktr.
f : S 1 → R3 , g : S 1 → R3 iki türevlenebilir fonksiyon ve K =
f (S 1 ), L = g(S 1 ) görüntü kümeleri olsun. O halde, yukardaki önermeden
3 kümesi d³ndaki her, w ∈ R − C ,
dolay ölçümü sfr olan tkz bir C ⊆ R
vektörü için K + w = {x + w | x ∈ K} olmak üzere
Örnek 5.1.5.
(K + w) ∩ L = ∅
olur.
C
kümesinin ölçümü sfr oldu§undan
seçilebilir. Ba³ka bir deyi³le,
K
ve
L
w
vektörü istenildi§i kadar küçük
kümelerinden birini istedi§imiz kadar
küçük bir vektör boyunca öteleyerek bu iki kümenin kesi³memesini sa§layabiliriz.
K
“ekil 5.1:
ve
Teorem 5.1.3'de
L
dört ayr noktada kesi³irken
Rn
K +w
ve
L
kesi³miyor.
yerine herhangi bir türevlenebilir manifold alnd§nda
da do§rudur.
Sonuç 5.1.6.
f : K → M
ve
g : L → M türevlenebilir
g : L → M düzgün bir
türevlenebilir fonksiyonlar olsun. E§er
manifoldlarn
fonksiyon ise,
f fonksiyonuna istedi§imiz kadar yakn ve ayn zamanda homotopik öyle bir
fe : K → M fonksiyonu vardr ki fe t g olur.
Ayrca, e§er ba³langçta f t g ise, f fonksiyonuna yeterince yakn her
e
f fonksiyonu da fe t g ko³ulunu sa§lar.
Kant :
M
manifoldunu
Rm 'e
difeomork
kom³uluklar ile örtelim. Daha sonra,
K
f (U k )
bir
Vi(k) 'nin
için a³a§daki ko³ullar sa§layan türevlenebilir
seçelim:
koordinat
manifoldunu her bir elemannn
kapan³ tkz olan yerel sonlu ve saylabilir bir
örtelim öyle ki, her bir
{ϕi : Vi → Rm }
{Uk }, k ∈ N
açk örtüsü ile
içinde kalsn. Yine her bir
ρk : M → [0, 1]
k
fonksiyonlar
256
Kesi³im Teorisi
1. Her
k
için,
f (Supp(ρk ))
2.
k=1
“imdi
ρk (Uk ) = {1}
ve
kapan³ tkz olan ve
için,
{
f1 = fw1 (p) =
Vi(k)
içinde kalan bir alt küme olsun.
ϕ−1
k(i) (ϕk(i) (f (p)) + ρ1 (p)w1 ) , p ∈ Supp(ρ1 ),
f (p)
, p ̸∈ Supp(ρ1 ) ,
g
w1 ∈ R m
U1
³eklinde tanmlanan fonksiyon
ile
di§imiz kadar küçük bir
vektörü seçelim. Yukardaki hatrlatmadan
üzerinde dik kesi³ecek ³ekilde iste-
∥f1 − h∥U 1 < δ ko³ulunu sa§layan her
h : K → M fonksiyonu U 1 üzerinde g 'ye dik olur. O halde, f1 fonksiyonunu U 2 üzerinde yeterince küçük bir vektör ile öteleyerek elde edece§imiz f2
fonksiyonu U1 ∪ U 2 üzerinde g 'ye dik hale gelecektir. U1 ∪ U 2 tkz oldu§u
için ayn oyunu tekrar ederek tanmlayaca§mz f3 fonksiyonu U1 ∪ U2 ∪ U 3
üzerinde g 'ye dik olacaktr. Tümevarm yöntemi ile her n için, U1 ∪ · · · ∪ U n
üzerinde g 'ye dik olan ve f 'ye istedi§imiz kadar yakn bir fn bulabiliriz.
Elde etti§imiz (fn ) fonksiyon dizisinin kurulu³undan dolay, her Un için öyle
bir kn do§al says vardr ki, her k ≥ kn ve p ∈ Un için, fn (p) = fk (p)
δ>0
dolay öyle bir
says vardr ki,
olur. O halde,
fe = lim fk
k
fonksiyonu arad§mz fonksiyondur.
kinci ksmn kant benzer kirlerle yaplabilece§inden okuyucuya al³trma
olarak braklm³tr (bkz. Al³trma 1).
2
Hatrlatma 5.1.2.2'nin bir genellemesi olan a³a§daki teoremde
g : L → M
f tg
fonksiyonunu bir gömme fonksiyonu olarak alaca§z. Ayrca bu durumda,
yerine
f tL
yazaca§z.
f : K → M türevlenebilir bir fonksiyon ve L ⊆ M kapal bir
f t L ise f −1 (L) ⊆ K ters görüntüsü dim(K) +
dim(L) − dim(M ) boyutlu bir alt manifolddur.
−1 (L) ⊆ K ters
Ayrca K snr olan bir manifold ve f|∂K t L ise f
Teorem 5.1.7.
alt manifold olsun. E§er
görüntüsü snr olan bir manifold olur öyle ki,
∂f −1 (L) = (∂K) ∩ f −1 (L)
olur.
Ll ⊆ M m kapal bir alt manifold oldu§u için her q ∈ L noktas
etrafnda M için öyle bir (y1 , · · · , yl , yl+1 , · · · , ym ) koordinat sistemi seçebiliriz ki, L alt manifoldu yl+1 = · · · = ym = 0 denklem sisteminin çözümü
k üzerinde bir (x , · · · , x ) koordinat sistemi seçelim
olur. “imdi de U ⊆ K
1
k
Kant :
öyle ki
(y1 , · · · , ym ) = (f1 (x1 , · · · , xk ), · · · , fm (x1 , · · · , xk )) = f (x1 , · · · , xk )
257
Dik Kesi³im
olsun. O halde, bu koordinat sisteminde
f −1 (L) = {x = (x1 , · · · , xk ) | fl+1 (x) = · · · = fm (x) = 0}
ile verilir. Ayn koordinat sisteminde tanml
g : U → Rm−l ,
fonksiyonunu dü³ünelim.
g:U →
f −1 (L)
x 7→ g(x) = (fl+1 (x), · · · , fm (x)),
f t L
dik kesi³me ko³ulu
0 ∈ Rm−l
noktasnn
Rm−l fonksiyonu için bir düzgün de§er olmasna denktir. Son olarak,
−1 (0) ters görüntümanifoldu bu koordinat sisteminde tam olarak g
süne e³it oldu§undan
f −1 (L) ⊆ K
boyutu
k − (m − l) = k + l − m
olan bir
alt manifolddur. Böylece ilk ksmn kant tamamlanr.
f −1 (L) ∩ (K − ∂K) ve f −1 (L) ∩ ∂K ara
kesitleri srasyla (k + l − m) ve (k + l − m − 1)-boyutlu manifoldlardr. Yine
−1 (L) ∩ ∂K manifoldunun f −1 (L)'nin snr oldu§unu göstermeliyiz.
de f
−1 (L) snr noktas etrafnda koordinat
Bunun için herhangi bir p ∈ ∂K ∩ f
Teoremin ilk ksmndan dolay,
sistemi seçelim:
Hk = {(x1 , x2 , · · · , xk ) ∈ Rk | x1 ≤ 0} .
f|∂K t L
oldu§undan
fl+1 (x), · · · , fm (x)
kenlerine göre ksmi türevlerinden olu³an matrisin rank
bir ³ey kaybetmeden bu matrisin son
x2 , · · · , xk de§i³m − l'dir. Genellikten
fonksiyonlarnn
(m−l)×(m−l)'lik alt matrisinin tersinin
var oldu§unu kabul edebiliriz. Bu durumda
(x1 , · · · , xk ) −→ (x1 , · · · , xl+k−m , fl+1 , · · · , fm )
fonksiyonu bir difeomorzma olur ve dolaysyla da yeni bir koordinat sistemi
tanmlar. Bu yeni koordinat sisteminde
f −1 (L) ≃ g −1 (0)
ters görüntüsü tam
olarak
{(x1 , · · · , xl+k−m , 0 · · · , 0) ∈ Hk } ≃ Hl+k−m
oldu§undan kant tamamlanr.
Örnek 5.1.8. Bu örnekte
2
Dn
diskinden snrna sürekli bir küçültme fonk-
siyonunun var olmad§n gösterece§iz. Tersine böyle bir küçültme fonksiyonun
n
n
n−1 . Bu fonksiyonun türevlenebilir
varl§n kabul edelim: r : D → ∂D = S
n
n−1 yakla³mn alalm. Küçültme fonksiyonu diskin snbir f : D → S
rnda birim fonksiyon oldu§undan türevlenebilirdir ve dolaysyla türevlenebilir
yakla³mnn da snrda birim fonksiyon oldu§unu kabul edebiliriz. Ayrca bu
türevlenebilir yakla³mn da bir küçültme fonksiyonu oldu§unu kabul edebiliriz.
n−1 de§er“imdi bu türevlenebilir küçültme fonksiyonun bir düzgün p ∈ S
−1 (p) snr olan tkz ve 1-boyutlu bir alt
ini seçelim. Bu durumda C = f
manifolddur. Yukardaki teoremi ve
−1 (p) ∩ S n−1 =
kullanarak, ∂C = f
f 'nin snrda birim fonksiyon olmasn
{p} elde ederiz. Fakat bir boyutlu tkz
bir manifoldun snr tek bir noktadan olu³amaz; dolaysyla bu bir çeli³kidir.
n
n
n−1 gibi bir küçültme fonksiyonu yoktur.
O halde, r : D → ∂D = S
258
Kesi³im Teorisi
5.2
Alt Manifoldlarn Kesi³imi ve Poincaré Duali
Bu bölümde alt manifoldlarn kesi³im teorisini kuraca§z. Daha sonra bu teoriyi
kohomoloji ve Poincaré dualli§i ile ili³kilendirece§iz ve son olarak bu teorinin
bir uygulamas olarak baz manifoldlarn kohomoloji cebirlerinin çarpm yaplarn alt manifoldlarn kesi³imleri yardmyla inceleyece§iz.
Manifoldlarn kesi³im teorisini bir önceki bölümde inceledi§imiz dik kesi³im
ve Alt Bölüm 2.3.5 yardmyla olu³turaca§z. Alt Bölüm 2.3.5'de inceledi§imiz vektör uzaylarnn kesi³im teorisini do§rudan te§et uzaylara uygulayarak
alt manifoldlarn kesi³imlerinin yönünü belirleyece§iz:
Ll , K k ⊆ M m
yön-
lendirilmi³ bir manifoldun yönlendirilmi³ kapal alt manifoldlar olsun. E§er
f : L → M ve g : K → M içerme fonksiyonlar dik kesi³iyorsa L ∩ K ara
kesiti M manifoldunun (k + l − m)-boyutlu yönlendirilmi³ bir alt manifoldu
olur. E§er yönlendirmeleri dikkate almazsak L∩K sadece (k +l −m)-boyutlu
bir alt manifold olur.
E§er bu iki alt manifold dik kesi³miyorsa ikisinden birini hafçe oynatarak dik kesi³ir pozisyona getirebiliriz. Farkl oynatmalardan elde edilecek dik
kesi³imlerin temel de§i³mezini a³a§daki önermede açklayaca§z.
f : L → M ve g : K → M iki kapal alt manifold olsun.
fi : L → M , i = 0, 1, f içerme fonksiyonuna homotopik ve g 'ye dik
olan iki fonksiyon olsun. Bu durumda (k + l − m)-boyutlu f0 (L) ∩ g(K) ve
f1 (L) ∩ g(K) alt manifoldlar (k + l − m + 1) boyutlu bir W manifoldunun
snr olurlar. E§er L, K ve M yönlendirilmi³ manifoldlar ise W manifoldu
Önerme 5.2.1.
Ayrca
da yönlendirilmi³ olarak seçilebilir öyle ki,
∂W = (f1 (L) ∩ g(K)) ∪ −(f0 (L) ∩ g(K))
olur.
Kant :
Kant önceki bölümün sonuçlarndan kolayca elde edilir. kinci
f0 ve f1 fonksiyonlarn birbirine ba§layan ve g 'ye
F : K × [0, 1] → M homotopi fonksiyonu seçelim. Bu durumda
W = F −1 (g(K)) olacaktr. Yönlendirmelerle ilgili ifadenin kantn okuyucuya
brakyoruz (bkz. Al³trma 2). 2
ksmn kant için,
dik olan bir
Kapal
K
ve
L
alt manifoldlarndan birinin tkz ve
k+l =m
durumunda ara kesiti saysal bir de§i³mez ile ifade edebiliriz:
olmas
Bir boyutlu,
tkz, ba§lantl snrl bir manifoldun snr iki noktadan olu³ur. E§er manifold yönlendirilmi³ ise snr noktalar da ters i³aretli olarak yönlendirilir. Bu
durumda önceki önermeden ³u sonucu elde ederiz.
Sonuç 5.2.2. Bir önceki önermede oldu§u gibi
larnn boyutlarnn toplam
ve
f1 (L) ∩ g(K)
k +l = m
L
ve
K
kapal alt manifold-
f0 (L)∩g(K)
W ise bir
yönlendirilmi³ ise W
ve ikisinden biri tkz ise,
dik kesi³imleri sonlu sayda noktadan olu³ur.
boyutlu tkz bir manifolddur. Ayrca e§er manifoldlar
259
Alt Manifoldlarn Kesi³imi ve Poincaré Duali
ve dolaysyla snr da yönlendirilmi³ olacaktr.
Int(fi (L), g(K)), i = 0, 1,
ile bu ara kesiti olu³turan noktalarn i³aretli toplamn gösterirsek
Int(f0 (L), g(K)) = Int(f1 (L), g(K))
olur. Yönlendirmeleri dikkate almazsak (örne§in, manifoldlardan biri yönlendirilemiyorsa)
Int(f0 (L), g(K)) ≡ Int(f1 (L), g(K)),
(Z2
(Mod 2)
de§erli kesi³im says) elde ederiz.
Yukardaki sonuçla iyi tanml oldu§unu gösterdi§imiz
f (L)
saysna
Int(K, L)
ve
g(K)
Int(fi (L), g(K))
alt manifoldlarnn kesi³im says denir ve ksaca
ile gösterilir.
Hatrlatma 5.2.3. 1) E§er
K, L
baz özel durumlar d³nda sadece
veya M manifoldu yönlendirilemez ise
(Mod 2) kesi³im saysndan bahsedebiliriz
(bkz. Hatrlatma 5.3.1.3 ve Örnek 5.3.2.3).
2) E§er
K = L
ise
Int(K, K)
saysna
K
alt manifoldunun kendisi ile
kesi³im says denir.
3) Vektör uzaylarnn yönlendirmelerini hatrlayarak
Int(K, L) = (−1)kl Int(L, K)
elde ederiz (m
ve
k
= k + l oldu§unu
Int(K, K) = 0
tek say ise
kabul ediyoruz). Dolaysyla, e§er
m = 2k
olur.
M = T 2 = S 1 × S 1 , L = S 1 × {p} ve K = {q} × S 1
alt manifoldlar olmak üzere L t K = {(p, q)} tek noktada dik kesi³irler.
O halde, Int(L, K) = ±1 olur (yönlendirmelere ba§l olarak i³aret de§i³ir).
Int(L, L) = 0 oldu§u da kolayca görülür (ayrca bkz. Al³trma 3).
2
1
2) M = CP
karma³k projektif düzlemde bir L = CP
do§rusu alalm.
L alt manifoldunun kendisi ile kesi³imini almak için bu do§ruyu biraz oynaÖrnek 5.2.4. 1)
tarak ba³ka bir do§ru elde edelim. ki farkl do§ru tek bir noktada dik kesi³ecektir. Tüm do§rular karma³k yönlendirmeleriyle dü³ünürsek kesi³imin i³areti pozitif olacaktr. Dolaysyla,
Int(L, L) = 1
olacaktr. Örnek 5.2.11.3'de
karma³k homojen polinomlarn sfrlar olarak ifade edilen alt manifoldlarn
kesi³im saysn hesaplayaca§z.
M = RP 2 ve L = RP 1 olsun.
manifold oldu§u için sadece Z2 de§erli kesi³imden
örne§e benzer ³ekilde Int(L, L) = 1 olur. (Bkz.
3) “imdi de gerçel projektif uzay ele alalm:
M
yönlendirilemeyen bir
bahsedebiliriz. Bir önceki
Ayrca Al³trma 16)
2
4) M = S iki boyutlu kürenin üzerindeki herhangi iki tkz e§rinin kesi³imi her
1
2
zaman sfrdr! Aslnda bu HDR (S ) = 0 kohomolojisinin ve Teorem 5.2.6'nn
bir sonucudur.
260
Kesi³im Teorisi
Ll ⊆ M m
Tanm 5.2.5.
yönlendirilmi³ bir manifoldun yönlendirilmi³ ve
kapal bir alt manifoldu olsun. Bu durumda Stokes Teoremi'nden dolay
∫
ϕ:
Hcl (M )
→ R, [ω] 7→
ω,
L
bir homomorzma verir (ω
tkz destekli oldu§u için bu formun kapal
L
alt
manifolduna kstlan³ da tkz desteklidir). O halde,
m−l
DM : HDR
(M ) −→ (Hcl (M ))∗ , (DM ([ν])) ([ω]) =
Poincaré izomorzmasndan dolay bir ve yalnz bir
l
vardr, öyle ki, her [ω] ∈ Hc (M ) için,
∫
m−l
[νL ] ∈ HDR
(M )
snf
ω ∧ νL
L
L⊆M
ω∧ν ,
M
∫
ω = ϕ([ω]) =
olur. Bu forma
∫
M
alt manifoldunun Poincaré duali denir.
l
yönlendirilmi³ bir manifold ve L yönlendirilmi³ kapal
m−l
bir alt manifold olsun. Bu durumda [νL ] ∈ HDR (M ) bu alt manifoldun
m−l ⊆ M alt manifoldu
Poincaré duali olmak üzere, her yönlendirilmi³ tkz K
Teorem 5.2.6.
Mm
∫
için
Int(L, K) =
νL
K
olur.
Kant :
“imdi
M
Kk ⊆ M
= m − l).
K ⊆ M alt
yönlendirilmi³ tkz bir alt manifold olsun (k
manifoldu üzerine bir Riemann metri§i koyalm ve
manifoldunun normal demetine bu metri§i kstlayalm. Tüp Kom³uluk Teoremi'nden normal demetin sfr kesitinin bir
K ⊆U ⊆M
biliyoruz. K
K ⊆ V ⊆ N (K)
açk kom³ulu§unun
alt manifoldunun bir açk kom³ulu§una difeomork oldu§unu
alt manifoldu tkz oldu§undan sfr kesitinin uygun bir
V
kom³ulu§unun
ϵ>0
içinde kalmasn sa§layabiliriz. Normal demeti a³a§daki
gibi yazalm:
N (K) =
∪
˙
α
(Uα × Rm−k )/(x, y) ∼ (x, gαβ (x)(y)), (x, y) ∈ Uα × Rm−k ,
gαβ :
Uα ∩ Uβ → SO(m − k), ³eklinde olsun. Her α için, Uα × Rm−k üzerindeki
(x, y) = (x1 , · · · , xk , y1 , · · · , ym−k ) koordinat sistemini kullanarak ωα = dy1 ∧
· · ·∧dym−k formunu olu³turalm. Geçi³ fonksiyonlar SO(m−k) de§erli oldu§u
∗
için gαβ (ωβ ) = ωα olacaktr. Dolaysyla, bu formlar bize N (K) normal
demeti üzerinde bir ω (m − k)-formu tanmlar. Bu formun kapal oldu§u
kolayca görülür. “imdi a³a§daki ko³ullar sa§layan bir ρ : [0, ∞) → [0, 1]
öyle ki, her iki manifold da yönlendirilmi³ oldu§u için geçi³ fonksiyonlar
fonksiyonu seçelim:
261
Alt Manifoldlarn Kesi³imi ve Poincaré Duali
1) Her
2) her
t ∈ [0, ϵ/2]
t>ϵ
için
ρ(t) = 1,
için
ρ(t) = 0,
ve
olsun.
ρ(∥y∥2 ) : N (K) → [0, 1] türevlenebilir
y = (y1 , · · · , ym−k ) vektörünün normal demetin
O halde,
bir fonksiyondur
ρ(∥y∥2 ) ω
N (K)
formu
ile
üzerindeki iç çarpma göre
y
normunu gösteriyoruz). Ayrca bu fonksiyon sadece
du§undan
(∥y∥
de§i³kenine ba§l ol-
V
üzerinde kapaldr. Form
d³nda
tamamen sfr oldu§undan bu formun difeomorzma altndaki görüntüsü de,
U
d³nda sfr tanmlanarak, tüm
{x0 } ×
normal demetin bir
M
manifolduna geni³letilebilir. Formun
Rm−k li üzerindeki integralinin de§eri
∫
ρ(∥y∥2 ) ω
a=
{x0
1
ρ(∥y∥) ω ∈ Ωm−k (M ) kapal
a
∫
Int(K, L) =
µK
µK =
olsun. “imdi
}×Rm−k
formunu ele alalm ve
L
oldu§unu gösterelim.
K
seçiminden dolay bu form tkz desteklidir:
i0 : L → M
∫
∫
µK =
L
L
µK ∈
it : [0, 1]×L → M
K t i1 (L) olsun. Stokes Teoremi'nden
∫
∫
∫
µK =
i∗0 (µK ) =
i∗1 (µK ) =
i0 (L)
ve
fonksiyonunun
Ωm−k
(M ).
c
içerme fonksiyonunu küçük bir
ile de§i³tirelim öyle ki,
olacaktr.
ρ
manifoldunun tkz olmasndan ve
i1 (L)
L
L
homotopisi
dolay
µK
i1 (L)
alt manifoldlarnn Poincaré duallerinin de ayn olaca§
K
açktr (bkz. Tanm 5.2.5). Dolaysyla,
kesi³tiklerini kabul edebiliriz. Di§er taraftan,
ve
L
L
alt manifoldlarnn dik
kapal ve
K
tkz oldu§undan
L t K = {x1 , · · · , xs }
kümesi sonlu olacaktr. ntegralini ald§mz
nun
U
yardmyla normal demetin sfr kesitinin
V
bir kesi³im noktas bir dik kesi³im oldu§undan
seçerek
µK
formu
K
alt manifoldu-
kom³ulu§u d³nda sfr de§eri alaca§ için integrali difeomorzma
L∩V
manifoldunun her bir
Vj
kom³ulu§una ta³yabiliriz. Her
ϵ>0
saysn yeterince küçük
topolojik bile³enini,
{xj }×Rm−k ∩V
lif parçasnda tanml türevlenebilir bir fonksiyonun gra§i olarak görebiliriz.
Ayrca,
Vj → {xj } × Rm−k ∩ V
difeomorzmasnn yönlendirmeyi korumas için gerek ve yeter ³art
si³im noktasnn
sgn(xj )
xj
ke-
i³aretinin pozitif olmasdr. O halde, yine Stokes
262
“ekil 5.2:
Kesi³im Teorisi
L
K manifoldlarnn xj−1 , xj
−, +, −'dir.
ve
i³areti srasyla
Teoremi'nden
∫
∫
µK =
µK =
L
∑
L∩U
noktalarndaki kesi³im
∫
sgn(xj )
{xj }×Rm−k ∩V
j
µK
∫
elde ederiz. Son olarak
{xj }×Rm−k ∩V
∫
oldu§undan
xj+1
ve
µK =
∑
L
µK = 1
sgn(xj )
= Int(K, L)
j
L
sonucuna varrz. Bu e³itli§i
νL
alt manifoldunun
Poincaré dual formu
yardmyla
∫
∫
Int(K, L) =
V
olarak yazalm. Son olarak,
yazlabildi§i (W
⊆K
µK ∧ νL =
µK =
L
∫
V
kom³ulu§u yerel olarak
açk bir küme olmak üzere) ve yine
∫
{x}×Rm−k ∩V
oldu§undan
µK ∧ νL
M
W × Rl ³eklinde
her x ∈ W için
µK = 1
∫
∫
µK ∧ νL = (−1)kl
V
νL
K
elde ederiz. Böylece kant tamamlanr:
∫
Int(L, K) = (−1)kl Int(K, L) =
νL .
K
2
263
Alt Manifoldlarn Kesi³imi ve Poincaré Duali
Hatrlatma 5.2.7. Yukardaki teoremde olu³turdu§umuz
[ω] ∈ Hcl (M )
her
için,
∫
ϕ([ω]) =
[µL ]
snfnn da
∫
ω ∧ µL
ω=
L
M
e³itli§ini sa§lad§n görmek zor de§ildir. Dolaysyla,
Buna ra§men Teorem 5.2.6'da verilen
[µL ] = [νL ]
olmaldr.
∫
Int(L, K) =
νL
K
özelli§inin
[νL ]
snfn tamamen belirledi§ini göstermi³ de§iliz. Kolayca görü-
lece§i üzere bunun için ³u ifadeyi kantlamak yeterli olurdu: Kapal bir ω ∈
Ωk (M ) fomunun tam olmas için gerek ve yeter ko³ul her tkz K k ⊆ M yön-
∫
K ω = 0 integralinin sfr olmasdr. Fakat bu
k
iddia do§ru de§ildir. Di§er taraftan her f : K → M türevlenebilir fonksiyonu
∫
∗
k sadece yönlendirilmi³
için
K f (ω) = 0 ise ω formu tamdr (burada K
tkz bir manifolddur; M içinde bir alt manifold olmas gerekmiyor). En son
lendirilmi³ alt manifoldu için
yazd§mz iddia tekil homolojinin bir konusudur ve Steenrod Temsil Teoremi
(Representability Theorem) olarak bilinir (bkz. Corollary 15.3, s.49, [7]).
Bundan sonra
L⊆M
alt manifoldunun Poincaré dualini
[µL ]
ile göste-
rece§iz.
Hatrlatma 5.2.8.
ile
F1 : K → M
F : K × [0, 1] → M
sürekli fonksiyonu
F0 : K → M
türevlenebilir gömme fonksiyonlar arasnda bir homotopi
olsun. Bir önceki bölümün sonuçlarn kullanarak, homotopinin uç fonksiyonlarn de§i³tirmeden, homotopiyi türevlenebilir hale getirebiliriz. O halde, homotopinin uç fonksiyonlarnn verdi§i
µF0 (K) = µF1 (K)
Örnek 5.2.9. 1)
F0 (K)
ve
F1 (K)
alt manifoldlar için
olur.
M = Rn
veya
oldu§undan, boyutlarnn toplam
k (M ) = 0
S n ise, her 1 ≤ k < n için HDR
n olan pozitif boyutlu biri tkz di§eri kapal
herhangi yönlendirilmi³ iki alt manifoldun kesi³im says her zaman sfrdr.
2)
M
p ∈ M olmak üzere ∫K = {p}
n (M ) formu için
µK ∈ HDR
M µK =
L = M alt manifoldlar sadece p noktasnda kesi³irler.
tkz ve yönlendirilmi³ bir manifold ve
tek noktadan olu³an bir alt manifold ise
1
olur, çünkü
K
ile
A³a§daki teoremin kantn, yukardaki sonuçlarn kantlarna benzer oldu§undan, okuyucuya brakyoruz.
K k , Ll ⊆ M m dik kesi³en iki kapal alt manifold ve µK ∈
µL ∈ Ωm−l (M ) bu alt manifoldlarn Poincaré dualleri olsun. Bu
2m−k−l (M ) formu da K ∩L alt manifoldunun Poincaré
durumda µK ∧µL ∈ Ω
∗
duali olur. Di§er taraftan, i : K → M
içerme fonksiyonu ise i (µL ) ∈
m−l
HDR (K) kohomoloji snf K ∩ L ⊆ K alt manifoldunun Poincaré duali
Teorem 5.2.10.
Ωm−k (M ) ile
olur.
264
Kesi³im Teorisi
Bu sonuçlar kullanarak baz manifoldlarn kohomoloji halkalarn hesaplayabiliriz.
Örnek 5.2.11. 1)
Σg
ile a³a§daki resimde verilen
g -cinsli
ve yönlendirilebilir oldu§undan
b2 (Σg ) = 1
g olan)
b0 (Σg ) = 1
(genusu
yönlendirilebilen yüzeyi gösterelim. Yüzey ba§lantl oldu§undan
olur. Yüzey d³ normal vektör ile
yönlendirilmi³ olsun. Bu durumda, yüzeyin oklarla yönlendirilmi³ bir boyutlu
αi ve βi , i = 1, · · · , g , alt manifoldlarnn Poincaré dualleri ai = D(αi ), ve
bi = D(βi ), olmak üzere ai aj = bi bj = 0 olur, çünkü bu snara kar³lk gelen
2
alt manifoldlar hiç kesi³miyorlar. Benzer ³ekilde, [ν] ∈ HDR (Σg ) ≃ R manifold üzerindeki integrali bire e³it olan bir üreteç ise, her i, j = 1, · · · , g için,
ai bj = δij ν elde ederiz. O halde, [ai ] ve [bi ] kohomoloji snar do§rusal
ba§mszdrlar. Ba³ka bir deyi³le, b1 (Σg ) ≥ 2g olur. Aslnda, b1 (Σg ) = 2g 'dir.
2
Bunu tümevarm ile hesaplayabiliriz: g = 1 için b1 (Σ1 ) = b1 (T ) = 2 ol2
du§unu biliyoruz. Tümevarm adm için Σg+1 yüzeyini Σg ve Σ1 = T
yüzeylerinin ba§lantl toplam olarak yazalm. Mayer-Vietoris dizisi yardmyla
kant bitirebiliriz (bkz. Al³trma 4). Bu durumda yüzeyin kohomoloji cebiri
∗
HDR
(Σg ) = R[xi , yi ; i = 1, · · · , g]/(xi xj , yi yj , xi yj − δij )
de§i³meli bölüm cebirine izomorktir.
“ekil 5.3: Üç boyutlu Öklit uzay içinde d³ normal vektör ile yönlendirilmi³ cinsi
olan yüzey.
g
Int(αi , βj ) = δij , i, j = 1, · · · , g .
CP n karma³k projektif uzaynn 2n−2 boyutlu alt
n−1
n
2
manifoldunu gösterelim. H = CP
oldu§u kolayca görülür. a ∈ HDR (CP )
bu H alt manifoldun Poincaré dualini göstersin. H alt manifoldunun kendisi
n−2
ile dik kesi³imi H t H = CP
olur. Benzer ³ekilde bu alt manifoldun
kendisi ile k -defa dik kesi³imi de
2)
H = {z0 = 0}
ile
H t · · · t H = CP n−k
olacaktr.
CP 0 = {pt}
tek noktadan olu³an bir alt manifold olaca§ndan
∫
an = 1
CP n
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
265
2k (CP n ) ≃ R
[a]k ∈ HDR
kohomoloji grubunun bir üreteci-
elde edilir. O halde,
dir. Ba³ka bir deyi³le, kohomoloji cebiri
∗
HDR
(CP n ) = R[a]/(an+1 )
polinom cebirine izomorktir.
3)
olsun.
C3
f (z0 , z1 , z2 ) ∈ C[z0 , z1 , z2 ] derecesi d ≥ 1
E§er 0 ∈ C bu polinomun bir düzgün de§eri
olan homojen bir polinom
−1 (0) ters görüntüsü
ise f
içinde karma³k iki boyutlu ve tkz olmayan bir alt manifold olacaktr.
Di§er taraftan, bu manifoldun projektivasyonu
C = {[z0 : z1 : z2 ] ∈ CP 2 | f (z0 , z1 , z2 ) = 0}
karma³k projektif düzlem içinde bir boyutlu bir alt manifold olur (bkz. Al³trma 5). Bu durumda
C 'ye
tekil noktas olmayan derecesi
d
olan karma³k
projektif e§ri denir. Altnc Ünite'de bu karma³k e§rinin cinsi (genusu)
g=
(d − 1)(d − 2)
2
olan yönlendirilebilir yüzey oldu§unu görece§iz. Manifold karma³k oldu§undan
do§al bir yönlendirmesi vardr. Bu karma³k e§rinin rastgele bir karma³k projektif do§ru, diyelim ki
derecesi
d
H
olsun, ile kesi³imi
d
noktadan olu³acaktr (çünkü
olan karma³k bir polinomun genelde tam olarak
d
tane kö-
kü vardr). Bu durumda, karma³k kesi³imler her zaman pozitif oldu§undan
C tH =d
olur. O halde, Teorem 5.2.6'i kullanarak, H alt manifoldunun
∗ (CP 2 ) olmak üzere, C alt manifoldunun Poina ∈ HDR
2
∗
caré dualinin da ∈ HDR (CP ) oldu§unu görürüz. Bu ise dereceleri d1 ve
d2 olan iki e§rinin kesi³iminin d1 d2 olmasn gerektirir (Teorem 5.2.6). Son
Poincaré duali
yazd§mz sonuç cebirsel geometride Bézout Teoremi olarak anlr.
5.3
5.3.1
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
Vektör Demetlerinin Euler Karakteristi§i
k -olan yönlendirilmi³ bir E m+k → M m vektör
demetinin sfr kesitini L ≃ M ile gösterelim. Sfr kesitinin kendisi (aslnda,
e ) ile dik kesi³imi
haf oynatlm³ hali olan L
M
manifoldu üzerinde rank
e⊆L=M ⊆E
K=LtL
2m − (m + k) = m − k
L = M 'nin bir
k (M ) Poincaré
[µK ] ∈ HDR
dualine vektör demetinin Euler karakteristik snf denir ve e(E) ile gösterilir.
Aslnda, s : M → E vektör demetinin türevlenebilir bir kesiti ise bu kesitin s(M ) görüntüsü ile sfr kesitinin dik kesi³imini K alt manifoldu olarak
alabiliriz (Sonuç 5.1.6'dan dolay s kesiti hafçe oynatlarak bu her zaman
olsun. Boyutu
olan
K
manifoldunu
alt manifoldu olarak görürsek bu alt manifoldun
yaplabilir). Bu tanmdan yönlendirilmi³ izomork vektör demetlerinin Euler
snarnn ayn olaca§ açktr.
266
Kesi³im Teorisi
tkz, yönlendirilebilir bir manifold ve E →
m (M ) ≃ R Euler
e(E) ∈ HDr
karakteristik snfn bu snfn manifold üzerindeki integrali ile e³leyebiliriz:
Hatrlatma 5.3.1. 1) E§er
M
rank
k = m
M
olan bir vektör demeti ise
∫
e(E) ↔
e(E) .
M
Bu integralin de§eri olan say vektör demetinin sfr kesitinin kendisi ile dik
kesi³imi olaca§ndan bir tam say olmaldr. Bu tam say vektör demetinin
Euler says olarak adlandrlr. E§er
k = m
bir tek say ise Euler says
kesitin kendisi ile dik kesi³imi oldu§undan bu say sfr olmaldr.
2) Bir vektör demetinin hiç sfr olmayan bir kesiti varsa Euler snf sfrdr.
O halde, paralellenebilir her manifoldun te§et demetinin Euler snf (says)
sfrdr.
3)
Ll ⊆ M 2l
yönlendirilmi³ bir manifoldun yönlendirilemeyen bir tkz alt
manifoldu olsun. Bu alt manifoldun ba³ka bir alt manifold ile kesi³im says
tanml olmasa da kendisi ile kesi³im says iyi tanmldr. Bunu görmek için
Ft : L → M ,
e maniFϵ (L) = L
foldu ile sonlu sayda noktada dik kesi³tirelim. F0 (p) = Fϵ (q) ∈ M bir kesi³im
noktas olsun. Homotopi manifoldu çok az hareket ettirdi§i için p ∈ L ve
q ∈ L noktalarnn ayn koordinat sisteminde kald§n kabul edebiliriz. Bu dubu alt manifoldu, her adm bir gömme fonksiyonu olan bir
t ∈ [0, ϵ],
homotopisi ile çok az hareket ettirerek elde edilen
rumda bu koordinat sistemi üzerine konulan her yönlendirme bu iki noktadaki
Tp L
ve
e
Tq L
te§et uzaylarn yönlendirecektir. Koordinat kom³ulu§u üzerin-
de konan yönlendirmeyi de§i³tirince her iki te§et uzaynn yönlendirmesi ayn
anda de§i³ece§i için
e
Tp L ⊕ Tq L
toplam vektör uzay üzerindeki yönlendirme de§i³meyecektir. Ba³ka bir deyi³le
e
Tp L ⊕ Tq L
toplam vektör uzay koordinat sisteminin yönlendirmesinden ba§msz olarak
bir yönlendirmeye sahiptir. Bu yönlendirmeyi TF0 (p) M te§et uzaynn yönlendirmesi ile kar³la³trarak kesi³im noktasnn i³aretini belirleriz. Bu i³aretlerin
toplam kesi³im saysn verecektir.
E = T∗ T 2 → T 2 te§et demeti olsun.
2
2 kesiti verecektir.
vektör alan sfr olmayan bir s : T → T∗ T
Örnek 5.3.2. 1)
M = T 2 = S 1 ×S 1
ve
d
dθ1
O halde, bu vektör demetinin Euler snf (ve dolaysyla Euler says) sfrdr.
n
Aslnda her T -torusu paralellenebilir oldu§undan te§et demetlerinin Euler
X(θ1 , θ2 ) =
snar sfrdr.
2) Örnek 2.1.10.2'de ele ald§mz karma³k projektif do§runun,
CP 1 = S 2 ,
(karma³k) te§et demetinin Euler saysn hesaplayalm. Daha önce, te§et demetinin
T∗ CP 1 = T∗ C ∪˙ T∗ C /(x, v) ∼ (1/x, −v/x2 ),
267
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
2
s1 (x) = −s2 (x) = 1+x
2
alannn i ve −i olmak üzere
oldu§unu ve
vektör
ifadesi ile verilen
s : CP 1 → T∗ CP 1
iki tane sfr oldu§unu görmü³tük. Bu
fonksiyonlarn sfrlarnn oldu§u noktalardaki türevleri sfrdan farkl oldu§u
için te§et demetinin sfr kesiti bu kesit ile dik kesi³ir. Ayrca, bu demetin sfr
1
kesiti ile yine ayn demetin yukardaki fonksiyonlar ile verilen kesiti T∗ CP
karma³k manifoldunun karma³k alt manifoldlar oldu§undan, her iki kesi³im
1
2
noktasnn i³areti de pozitiftir. O halde, S = CP
iki boyutlu küresinin te§et
demetinin Euler says ikidir. Benzer ³ekilde, Örnek 3.3.5'de tanmlad§mz
O(k) = C × C ∪˙ C × C /(x, v) ∼ (1/x, v/xk ),
(x, v) ∈ C − {0} × C,
mojen polinom kesitinin
Euler says
k≥0
karma³k do§ru demetinin,
k -tane
olmak üzere her ho-
karma³k kökü vardr ve dolaysyla bu demetin
k 'dir.
3) Uyar 5.3.1.3'te tanmlad§mz yönlendirilemeyen manifoldlarn kendisi ile
kesi³im saysna bir örnek verelim. Her
M
manifoldunun
T∗ M
te§et demeti-
nin do§al bir yönlendirmesi vardr (manifold yönlendirilemez olsa bile): Bunu
görmek için manifold üzerinde bir
(x1 , · · · , xn )
koordinat sistemi alalm ve
∂
olmak
üzere
(x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn )
∂xi
fonksiyonlarnn verdi§i koordinat sistemini dü³ünelim. Manifold üzerindeki
T∗ M
te§et demeti üzerinde,
(x1 , · · · , xn )
yi =
koordinat sistemini de§i³tirsek dahi
(x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn )
ko-
ordinat sisteminin verdi§i yönlendirme de§i³mez (bkz. Al³trma 11).
2
2 küresinin ters kutupsal simetriye
“imdi RP
gerçel projektif uzayn S
bölümü olarak görelim. Bu durumda bir önceki örnekte verdi§imiz te§et demeti
kesiti gerçel projektif uzayn te§et demetinin bir kesitini verir. Küre üzerindeki
vektör alannn iki sfr projektif uzayda tek bir sfr noktasna indirgenir. Son
olarak, bölüm fonksiyonu yerel bir difeomorzma oldu§undan kesi³imin i³areti
2
korunur. Ba³ka bir deyi³le, gerçel projektif düzlemin Euler says e(RP ) =
1'dir.
Dolaysyla, bu örnek bize yönlendirilemeyen manifoldlarn Euler snar
olmasa da Euler saylarnn iyi tanml oldu§unu göstermektedir.
4)
“imdi de
RP 2 ⊆ CP 2
alt manifoldunun kendisi ile kesi³im saysn bu-
lalm. Karma³k projektif düzlemi karma³k yapsndan elde etti§imiz yönlendirme ile dü³ünece§iz.
bulunan herhangi bir
(z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ) yerel koordinat sisteminde
p ∈ RP 2 noktasnda karma³k düzlemin te§et uzayn
karma³k yönlendirmesiyle dü³ünelim:
⟨
Tp CP =
2
∂
∂
∂
∂
,
,
,
∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y2
Bu durumda bir alt uzay olarak
⟨
Tp RP =
2
∂
∂
,
∂x1 ∂x2
⟩
⟩
.
268
Kesi³im Teorisi
olacaktr. Karma³k projektif düzlemin her bir te§et uzay aslnda bir karma³k
vektör uzay oldu§undan gerçel projektif düzlemin te§et vektörlerini karma³k
i-saysyla
çarparak normal demetin vektörlerini elde ederiz. Aslnda bu bize
te§et demetinden normal demete bir izomorzma verir:
T∗ RP 2 → νRP 2 ,
(p, v = a
∂
∂
∂
∂
+b
) 7→ (p, iv = a
+b
).
∂x1
∂x2
∂y1
∂y2
Bu vektör demetler izomorzmasn Tüp Kom³uluk Teoremi ile birle³tirerek
2
2
gerçel projektif uzayn te§et demetinden RP ⊆ CP
alt manifoldunun bir
kom³ulu§una difeomorzma elde ederiz. Yönlendirmeleri kar³la³trarak bunun
2
2
yönü de§i³tirdi§ini görürüz. O halde, RP ⊆ CP
alt manifoldunun kendisi
ile kesi³im says
−1'dir.
(Al³trma 12 yönlendirilemeyen yüzeylerin kendileri
ile negatif sayda kesi³ti§i örnekler verecektir).
5) Bir önceki örnekteki hesab bir de alt manifoldu hareket ettirip kendisiyle
do§rudan kesi³tirerek yapalm.
ϕt : CP 2 → CP 2 ,
[z0 : z1 : z2 ] 7→ [z0 : eit z1 : e2it z2 ]
difeomorzma ailesi (bu bir vektör alan ak³dr)
RP 2 = {[z0 : z1 : z2 ] ∈ CP 2 | Im(zi ) = yi = 0, i = 0, 1, 2}
gerçel projektif uzay
RP 2t = {[x0 : eit x1 : e2it x2 ] ∈ CP 2 | xi ∈ R, i = 0, 1, 2}
alt manifolduna gönderir. Bu iki manifold
[1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0], [0 : 0 : 1]
noktalarnda dik kesi³irler. “imdi çok küçük ve pozitif
t-de§erleri
için, bu üç
noktadaki kesi³im saylarn ayr ayr hesaplayalm:
[1:0:0]:
U0 = {z0 ̸= 0}
koordinat kom³ulu§unda parametrizasyonlar
(x1 /x0 , x2 /x0 )
ve
(eit x1 /x0 , e2it x2 /x0 )
ile verilen bu iki alt manifold, üzerindeki koordinatlar
(z1 /z0 , z2 /z0 )
olan
karma³k düzlemde kesi³irler. ki manifoldun bu noktadaki te§et uzaylarn yan
yana koyarsak
(x1 /x0 , x2 /x0 , eit x1 /x0 , e2it x2 /x0 )
koordinatlarna kar³lk gelen vektörleri buluruz. Oysa, ayn noktadaki karma³k
yönlendirme
(x1 /x0 , eit x1 /x0 , x2 /x0 , e2it x2 /x0 )
ile uyumludur. Bu iki yönlendirme ters oldu§undan bu noktadaki kesi³imin i³areti
−1'dir.
269
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
[0:1:0]:
U1 = {z1 ̸= 0}
koordinat kom³ulu§unda ise bu iki alt manifold
(x0 /x1 , x2 /x1 )
ve
(e−it x0 /x1 , eit x2 /x1 )
ile parametrelendirilirler. ki manifoldun bu noktadaki te§et uzaylarn yan yana
koyarsak
(x0 /x1 , x2 /x1 , e−it x0 /x1 , eit x2 /x1 )
koordinatlarna kar³lk gelen vektörleri buluruz. Di§er taraftan, ayn noktadaki
karma³k yönlendirme
(x0 /x1 , −e−it x0 /x1 , x2 /x1 , eit x2 /x1 )
ile uyumludur. Bu iki yönlendirme ayn oldu§undan bu noktadaki kesi³im
[0:0:1]:
Benzer ³ekilde
U2 = {z2 ̸= 0}
manifold
(x0 /x2 , x1 /x2 )
ve
1'dir.
koordinat kom³ulu§unda bu iki alt
(e−2it x0 /x2 , eit x1 /x2 )
ile parametrilendirilir ve üzerindeki koordinatlar
(z0 /z2 , z1 /z2 )
olan karma³k
düzlemde kesi³irler. ki manifoldun bu noktadaki te§et uzaylarn yan yana
koyarsak
(x0 /x2 , x1 /x2 , e−it x0 /x2 , eit x1 /x2 )
koordinatlarna kar³lk gelen vektörleri buluruz. Bu noktadaki karma³k yönlendirme
(x0 /x2 , −e−2it x0 /x2 , x1 /x2 , −e−it x1 /x2 )
ile uyumludur. Bu iki yönlendirme yine ters oldu§undan bu noktadaki kesi³im
−1'dir.
O halde, kesi³im says
−1 + 1 − 1 = −1'dir.
t-de§eri için kesi³imleri hesaplarsak bu üç
−1 ve −1 olurdu, dolaysyla toplam yine
Pozitif yerine negatif (küçük)
noktann i³aretleri srasyla
−1
1,
olarak kalrd.
Yukardaki örneklerin hepsinde te§et demetlerin Euler saylarnn, manifoldlarn Euler karakteristiklerine (Bkz Tanm 4.4.8) e³it oldu§unu gördük.
Poincaré-Hopf Teoremi olarak bilinen Teorem 5.3.9 bunun bir tesadüf olmad§n gösterecektir. Bu teoremin kantn Bott ve Tu'nun Dierential Forms in
Algebraic Topology ([5]) adl kitabndaki kant model alarak yapaca§z. Morse
teoresini (bkz. [26, 36]) kullanan bir kant için Madsen ve Tornehave'nin From
Calculus to Cohomology ([23]) adl kitabna bakabilirsiniz. Bu teorem ayrca,
türevlenebilir manifoldlarn üçgenlenebilir olmasndan faydalanlarak da kantlanabilir. Fakat bizim alt yapmz bu iki yöntem için de uygun de§ildir. Bir
sonraki bölümde Poincaré-Hopf Teoremi'ni kantlamak için ihtiyaç duyaca§mz bir takm sonuçlar görece§iz.
270
Kesi³im Teorisi
5.3.2
Gysin Tam Dizisi
Bu bölümde önceki bölümlerin bir uygulamas olarak verilen yönlendirilmi³
π : E m+r → M m
bir
vektör demetinin tabannn, linin ve toplam uzaynn
kohomolojilerinden olu³an ve Gysin tam dizisi olarak bilinen tam diziyi kuraca§z.
Bu diziyi kurmak için, ilk önce tkz destekli kohomoloji bölümünde
kantlad§mz
Hck+1 (M × R) = Hck (M )
izomorzmasn hatrlayalm (bkz. Teorem 4.3.14). Bu izomorzma, tkz destekli ve gerçel eksen üzerindeki integrali bire e³it olan türevlenebilir
ρ:R→R
bir fonksiyon yardmyla ,
1.
Ψ : Ωkc (M ) → Ωk+1
(M × R), Ψ(f (x) dxK ) = ρ(t)f (x) dt ∧ dxK ,
c
2.
Φ : Ωk+1
(M × R) → Ωkc (M ),
c
∫
Φ(f (x, t) dt ∧ dxK ) = ( f (x, t) dt) dxK
R
homomorzmalar tarafndan verilir.
formunu
Rr
üzerindeki tkz destekli
ve
ve
Φ(f (x, t) dxK ) = 0,
R üzerindeki tkz destekli ρ(t) dt 1ρ(t21 + · · · + t2r ) dt1 ∧ · · · ∧ dtr r-formu
ile de§i³tirerek
Hck+r (M × Rr ) = Hck (M )
izomorzmasn elde ederiz.
Aslnda bu kant bize, bu vektör demetinin dikey tkz destekli kohomolojisi
ile demetin tabannn De Rham kohomolojisi arasnda da bir izomorzma verir:
k+r
k
Hvc
(M × Rr ) = HDR
(M ).
(Dikey tkz destekli kohomoloji grubu, deste§inin her bir lif ile kesi³imi tkz
ω ∈ Ω(E) formlarnn olu³turduklar alt uzay olarak tanmlanr.)
M manifoldunu bu demetin sfr kesiti ve dolaysyla bir alt mar
nifoldu olarak görelim ve [µM ] ∈ HDR (E) ile bu alt manifoldun Poincaré
r
dualini gösterelim (bkz. Teorem 5.2.6). µM ∈ Ω (E) formu kurulu³u itibaryolan
“imdi
la tkz desteklidir ve demetin her bir li boyunca integrali bire e³ittir. Ba³ka
bir deyi³le
bilinen
µM
formuyla d³ çarpm almak bize Thom zomorzmas olarak
π∗
∧µ
k
k
k+r
HDR
(M ) −→ HDR
(E) −−−M
→ Hvc
(E)
izomorzmasn verir. Yukardaki tanmdan dolay bu izomorzmann tersi de
lier boyunca integral alma homomorzmasna kar³lk gelecektir:
∫
r
R
k
k+r
→ HDR
(M ) .
Hvc
(E) −−
Daha detayl bir kant ³u ³ekilde verilebilir. lk önce bu homomorzmalarn
demetin her
ϕα : π −1 (Uα ) → Uα × Rr
271
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
M = ∪ α Uα
çarpmnda bir izomorzma verdi§ini görürüz. Daha sonra
eα = ∪α (Uα × Rr )
E = ∪α U
ve
birle³imine ayn anda Mayer-Vietoris dizisini
uygularz:
k
k
k
k
· · · → HDR
(U ∩ V ) → HDR
(U ) ⊕ HDR
(V ) → HDR
(U ∪ V ) → · · ·
↓ ∧µU ∩V
↓ ∧µU ⊕∧µV
↓ ∧µU ∪V
k+r e
k+r e
k+r e
k+r e
· · · → Hvc
(U ∩ Ve ) → Hvc
(U ) ⊕ Hvc
(V ) → Hvc
(U ∪ Ve ) → · · · .
Buradan, tümevarm metodu ile her sonlu adet
Uα 'nn
birle³imi için sonuç
kantlanm³ olur. Di§er taraftan, her tkz destekli türevlenebilir form böyle
bir sonlu birle³imin içinde desteklenece§inden sonuç
M
manifoldu için de
kantlanm³ olur.
“imdi de bu izomorzmay kullanarak vektör demetleri için Gysin Tam
Dizisi'ni kuralm.
Vektör demeti üzerine bir metrik koyalm ve
π:P →M
ile bu demetin birim küre demetini gösterelim:
P = {(p, v) ∈ E | ∥v∥p = 1} .
E0 = E − M açk alt kümesi ise (M 'yi E demetinin sfr kesiti olarak
E0 = P × R oldu§undan dü³ey homomorzmalar izomorzmalar
alyoruz)
olan a³a§daki diagram de§i³melidir:
−→
k+r
Hvc
(E0 )
∫
↓≃
R
k+r
Hvc
(E)
∫
≃↓
Rr
∫
k+r−1
HDR
(P )
S r−1
−−−−→
k
HDr
(M )
“imdi Gysin Tam Dizisi'ni verebiliriz:
π : E → M türevlenebilir bir M manifoldu üzerinde yönlenr-olan bir gerçel vektör demeti olsun. π : P → M bu demetin
Teorem 5.3.3.
dirilmi³ rank
birim küre demeti olmak üzere a³a§daki dizi tamdr:
∫
π∗
∧e(E)
r−1
π∗
∫
r−1
i−r
i−1
i
i
(M ) −−−−→ HDR
(M ) −→ HDR
(P ) −−S−−→ · · · .
· · · −→ HDR
(P ) −−S−−→ HDR
∫
Burada
r−1
i−r
i−1
(M )
HDR
(P ) −−S−−→ HDR
kar³lk gelirken,
∧e(E)
ile lier üzerinde integral alma i³lemine
i−r
i (M )
(M ) −−−−→ HDR
HDR
vektör demetinin Euler snf ile
d³ çarpm homomorzmasdr.
Kant :
Dördüncü Ünite'de görmü³ oldu§umuz tkz destekli kohomoloji
dizisinin kurulu³undaki kirlerin benzerlerini kullanarak (bkz. s.226)
(E0 , E)
272
Kesi³im Teorisi
ikilisinin dikey tkz destekli kohomoloji dizisini yazalm (ayrca bkz. Al³trma 6):
i
i
i
i+1
· · · → Hvc
(E0 ) → Hvc
(E) → HDR
(M ) → Hvc
(E0 ) → · · · .
“imdi yukardaki de§i³meli diagram kullanarak
i (E)
Hvc
≃
i−r
HDR
(M ) yazarsak dizimiz
∫
π∗
i (E ) ≃ H i−1 (P )
Hvc
0
DR
ve
∧µ
r−1
i−1
i−r
i
· · · −→ HDR
(P ) −−S−−→ HDR
(M ) −−−M
→ Hvc
(E) →
∫
π∗
r−1
i
i
HDR
(M ) −→ HDR
(P ) −−S−−→ · · ·
haline dönü³ür. Son olarak,
µM
kohomoloji snf
i
i
Hvc
(E) → HDR
(M )
homomorzmas altnda
E →M
demetinin Euler snfna gitti§i için (Teo-
rem 4.3.18 ve kantna baknz) bu dizinin
∧µ
i−r
i
i
HDR
(M ) −−−M
→ Hvc
(E) → HDR
(M )
ksm
∧e(E)
i−r
i
HDR
(M ) −−−−→ HDR
(M )
ile de§i³tirilebilir ve böylece kant tamamlanr.
5.3.3
2
Leray-Hirsch ve Künneth Teoremleri
Bu bölümde De Rham kohomoloji için Leray-Hirsch Teoremi'ni ve bunun özel
hali olan Künneth Teoremi'ni verece§iz. Kohomolojileri sonlu boyutlu vektör
uzaylar olan, türevlenebilir bir
nebilir bir
π:P →M
halkasn
F
manifoldunu lif olarak kabul eden türevle-
lif demeti alalm. Bu durumda,
∗ (P )
HDR
kohomoloji
∗
∗
π ∗ : HDR
(M ) → HDR
(P )
halka homomorzmas yardmyla bir
∗ (M )-modülü
HDR
olarak görebiliriz.
Teorem 5.3.4 (Leray-Hirsch Teoremi). Li türevlenebilir bir
F
manifoldu
olan türevlenebilir bir π : P → M lif demeti alalm. E§er her bir life kstlan³
∗ (F ) vektör uzaynn taban olan sonlu bir {x , · · · x } ⊆ H ∗ (P ) kümesi
HDR
1
N
DR
∗
∗
varsa, HDR (P ) taban {x1 , · · · xN } olan serbest HDR (M )-modülüdür.
Kant : Kant Poincaré zomorzmas'nn kantna çok benzerdir ve yine admlardan olu³ur.
Adm 1)
U ⊆ M
lif demetinin üzerine kstlan³ çarpm ³eklinde yazlan,
noktaya homotopi denk olan bir açk alt küme olsun. Bu durumda
.
PU =
273
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
π −1 (U ) → U
PU ≃ U × F açk kümesi F manifolduna
U için do§rudur (burada xi kohomoloji
kstlan³ için
homotopi denk olaca§ndan teorem
snarnn
U
kümesine kstlan³larn alyoruz).
Adm 2) “imdi bir Mayer-Vietoris dizisi yardmyla ³unu kantlayaca§z: E§er
teorem
U, V ⊆ M
ve
U ∩V
açk kümeleri için do§ru ise
U ∪V
açk kü-
mesi için de do§rudur. lk önce Mayer-Vietoris dizilerini tam üçgenler ³eklinde
yazarak a³a§daki de§i³meli prizmay dü³ünelim.
∗
HDR
(PU ∪V )
δP ↗
|
↘ iP
J
∗
∗
HDR
(PU ) ⊕ HDR
(PV )
|
↓
|
|
∗
HDR
(U ∪ V )
|
∗
HDR
(PU ∩V )
↓
P
←−
−
δ ↗
∗
HDR
(U ∩ V )
↘i
↓
∗
∗
HDR
(U ) ⊕ HDR
(V )
J
←
−
Prizmann alt ve üst tabanndaki tam üçgenler Mayer-Vietoris dizilerinin direkt toplamlar alnarak olu³turulmu³tur (bkz. Al³trma 7). Ayrca dü³ey homomorzmalar lif demetinin iz dü³üm fonksiyonu tarafndan belirlenen homomorzmalardr.
∑
∗ (P
∗
ai xi ∈ HDR
U ∪V ), ai ∈ HDR (U ∪ V ), ³eklinde bir
snf alalm ve ω = 0 oldu§unu kabul edelim. O halde, ai = 0 oldu§unu
∑
göstermeliyiz. 0 = iP (ω) =
i(ai )xi oldu§u için hipotezden dolay i(ai ) = 0
∗
elde ederiz. Bu durumda baz bi ∈ HDR (U ∩ V ) snar için ai = δ(bi ) olur.
∑
∗
Buradan, ν =
bi xi ∈ HDR (PU ∩V ) olmak üzere
“imdi
ω =
δP (v) =
∑
δ(bi )xi =
∑
ai xi = ω = 0
ν = JP (µ) ola∗ (P ) ⊕ H ∗ (P ) snf buluruz. Yine hipotezden
µ ∈ HDR
U
DR V
∗ (U ) ⊕ H ∗ (V ) snar vardr. O
bi = J(ci ) olacak ³ekilde ci ∈ HDR
DR
elde ederiz. Diyagramdaki üçgenlerin tam olmasn kullanarak
cak ³ekilde bir
dolay,
halde,
ai = δ(bi ) = J(δ(ci )) = 0
elde ederiz ve böylece bu admn kantnn ilk yarsn bitirmi³ oluruz.
∗ (P
ω ∈ HDR
U ∪V ) snf
∑alalm. Bu
) snar için iP (ω) =
ai xi olur.
Kantn ikinci yars için herhangi bir
durumda, baz
ai ∈
∗ (U )
HDR
⊕
∗ (V
HDR
Buradan,
0 = JP (iP (ω)) =
∑
J(ai )xi
274
Kesi³im Teorisi
J(ai ) = 0 elde ederiz. O halde, üçgenin taml§n tekrar kulla∗ (U ∪ V ) snar için a = i(b ) yazabiliriz. Bu durumda,
b
∈
HDR
i
i
i
∑
∗
ν=
bi xi ∈ HDR (PU ∪V ) snf için
ve dolaysyla
narak baz
iP (ν) =
∑
i(bi )xi =
∑
ai xi = iP (ω)
∑
iP (ω − ν) = 0 elde ederiz. O halde, ω − ν = δP ( i ci xi )
∗ (U ∩ V ) snar bulabiliriz. Son olarak,
ci ∈ HDR
oldu§undan
³ekilde
olacak
∑
∑
∑
∑
ω = ν + δP (
ci xi ) =
bi xi +
δ(ci )xi =
(bi + δ(ci ))xi
i
yazarak ikinci admn kantn bitiririz.
Adm 3)
{Uα ⊆ M } açk
kümelerin U = ∪ Uα
Kolayca görülebilece§i gibi, e§er teorem ayrk bir
kümeler ailesinin her bir eleman için do§ru ise bu
birle³imi için de do§rudur. Ele ald§mz
{x1 , · · · xN }
kümesinin sonlu olmas
bu adm için gereklidir! (bkz. Al³trma 9)
Son olarak,
M
manifoldunu
olarak yazabiliriz öyle ki,
U, V
U
ve
V
ve
U ∩V
gibi iki açk kümenin birle³imi
kümeleri, her biri birinci admda
ele ald§mz açk kümelerin sonlu birle³imi ³eklinde yazlabilen açk kümelerin
ayrk bir birle³imidir (Poincaré zomorzmas'nn, Teorem 4.4.1, kantnn 4.
Adm'ndaki iddiann kantna baknz). Bu durumda önceki admlardan dolay,
teorem
U, V
ve
U ∩V
için do§ru olaca§ndan
olacaktr. Böylece kant tamamlanr.
2
M =U ∪V
için de do§ru
“imdi bu teoremin bir sonucu olarak Künneth Formülü'nü verelim:
M ×N → M
P =
iz dü³üm fonksiyonunu a³ikar bir lif demeti olarak görüp Leray-
Hirsch Teoremi'ni buna uygularsak a³a§daki teoremi elde ederiz.
Sonuç 5.3.5 (Künneth Formülü).
E§er
∗ (N )
HDR
M
ve
N
türevlenebilir manifoldlar olsun.
vektör uzay sonlu boyutlu ise her
k∈N
için,
j
k
i
HDR
(M × N ) ≃ ⊕i+j=k HDR
(M ) ⊗ HDR
(N )
izomorzmas vardr.
Tanm 5.3.6. Tüm kohomoloji vektör uzaylar sonlu boyutlu olan bir
nifoldunun Poincaré serisi
∞
. ∑
PM (t) =
bk (M ) tk
k=0
olarak tanmlanr.
M
ma-
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
275
M m ve N n tüm kohomoloji vektör uzaylar sonlu boyutlu olan
ise M × N çarpm manifoldunun Poincaré serisi, Künneth For-
Örnek 5.3.7.
iki manifold
mülü'nden, iki çarpann Poincaré serilerinin çarpm olarak hesaplanr. Özel
n
1
1 çarpm manifoldunun Poincaré serisi P n (t) =
halde, T = S × · · · × S
T
n
(1 + t) olacaktr.
Künneth Formulü'nde
M ×N → M
iz dü³üm fonksiyonu bize a³ikar lif demeti
yaps verir ve bu yüzden Leray-Hirsch Teoremi'nin ihtiyaç duydu§u kohomoloji snar
M ×N → N
ikinci iz dü³üm fonksiyonu ile lierden geri çekilerek
kolayca elde edilir. Karma³k bir vektör demetinin projektivasyonunun kohomolojisini ifade eden a³a§daki sonucun kantnda ise karma³k projektif uzayn
kohomolojisini veren Fubini-Study formundan yararlanaca§z (bkz. Alt Bölüm
2.3.8):
E → M
rank
k > 0
olan bir karma³k vektör demeti olsun. Bu
vektör demetinin her bir linin projektivasyonunu alalm:
.
P (E) = E − {0} /u ∼ λu, λ ∈ C∗ .
P : P (E) → M li CP k−1 olan bir lif demetidir (bkz. Al³trma 10). E → M demetinin üzerine Hermityan bir iç çarpm koyarak demetin
yap fonksiyonlarnn U (k − 1) de§erli oldu§unu kabul edebiliriz. Dolaysyla,
k−1
demetin bir U × CP
yerel çarpm üzerinde
Bu durumda
ωF S (p, [z0 : z1 : · · · : zk−1 ]) =
i ¯
∂ ∂ log ∥(z0 , z1 , · · · , zk−1 )∥2
2
³eklinde tanmlanan Fubini-Study formu tüm demet üzerinde kapal bir
2-form
verir. Bu formun kuvvetlerinin olu³turdu§u
{1, [ωF S ], · · · , [ωF S ]k−1 }
kümesi her bir lin kohomolojisinin bir tabann verdi§i için Leray-Hirsch Teoremi'ni kullanarak a³a§daki sonucu buluruz.
Sonuç 5.3.8.
∗ (P (E))
HDR
halkas taban
∗
{1, [ωF S ], · · · , [ωF S ]k−1 } ⊂ HDR
(P (E))
alt kümesi olan serbest bir
5.3.4
∗ (M )-modüldür.
HDR
Poincaré-Hopf Teoremi
Teorem 5.3.9 (Poincaré-Hopf ). Türevlenebilir yönlendirilebilir ve tkz her
manifoldun Euler says Euler karakteristi§ine e³ittir.
Kant : Göstermemiz gereken e³itlik te§et demetinin Euler snfnn manifold üzerindeki integralinin manifoldun Euler karakteristi§ine e³it oldu§udur:
∫
χ(M ) =
M
e(T∗ M ) .
276
Kesi³im Teorisi
lk önce, sa§ taraftaki integrali ba³ka bir integral ile de§i³tirece§iz. A³a§daki
f : M → M × M, x 7→ (x, x),
fonksiyonu görüntüsü olan
.
∆ = {(x, x) ∈ M × M | x ∈ M }
kö³egenine bir difeomorzmadr. Dolaysyla,
Df∗ : T∗ M → T∗ ∆ ⊆ T∗ (M × M )
bir izomorzmadr. Di§er taraftan, e§er
ν(∆), ∆ ⊆ M × M
alt manifoldunun
normal demeti ise,
T∗ ∆ → ν(∆), (v, v) 7→ (v, −v)
fonksiyonu yine bir vektör demeti izomorzmasdr. (Bunu görmek için
g
rine herhangi bir
M ×M
Riemann metri§i koyalm. Bu durumda,
üzerinde bir metrik verir. “imdi, kö³egenin her
normal demetin
(w, −w)
(v, v)
(g, g)
M
üze-
çarpm
te§et vektörünün
vektörüne dik oldu§u kolayca görülür.) O halde,
manifoldunun te§et demeti içinde kendisi ile kesi³imi
M
∆ ⊆ M ×M alt manifolm (M × M )
ω ∈ HDR
dunun kendisi ile kesi³imine e³ittir. Ba³ka bir deyi³le, e§er
snf
∆⊆M ×M
alt manifoldunun Poincaré duali ise
∫
∫
M
e(T∗ M ) =
ω,
∆
m (M × M ) snfn hesaplayalm: H ∗ (M ) vektör
ω ∈ HDR
DR
uzaynn bir {ai } tabann alalm. Poincaré izomorzmasn kullanarak ayn
vektör uzaynn öyle bir {bj } tabann bulabiliriz ki, her i, j için
∫
ai ∧ bj = δij
olur. “imdi,
M
olur. “imdi ise
πi : M × M → M , i = 1, 2,
koordinatlara iz dü³üm fonksiyon-
lar olmak üzere, cebirsel topolojide kö³egen yakla³m olarak bilinen sonucu
kantlayaca§z.
ddia: Yukardaki gösterimi kabul edersek
ω=
∑
(−1)deg(ai ) π1∗ (ai ) ∧ π2∗ (bi ) ,
olur.
ddiann kant:
Künneth Teoremi'nden dolay baz
ω=
∑
cij π1∗ (ai ) ∧ π2∗ (bj )
cij
gerçel saylar için
277
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
f :M →M ×M
oldu§unu biliyoruz. Ayrca
üzere,
∫
π1∗ (bl ) ∧ π2∗ (ak ) =
∆
∫
∫M
kö³egen difeomorzmas olmak
f ∗ (π1∗ (bl ) ∧ π2∗ (ak ))
bl ∧ ak
=
M
= (−1)deg(ak ) deg(bl ) δkl
e³itli§ini elde ederiz. Di§er taraftan
duali oldu§undan
∫
π1∗ (bl )
∧
π2∗ (ak )
ω , ∆ ⊆ M ×M
alt manifoldunun Poincaré
∫
π1∗ (bl ) ∧ π2∗ (ak ) ∧ ω
∑ ∫
cij
(π1∗ (bl ) ∧ π2∗ (ak )) ∧ (π1∗ (ai ) ∧ π2∗ (bj ))
M ×M
∑
cij (−1)deg(ai ) (deg(ak )+deg(bl ))
∫
((π1∗ (ai ) ∧ π1∗ (bl ) ∧ π2∗ (ak )) ∧ π2∗ (bj ))
M ×M
∑
cij (−1)deg(ai ) (deg(ak )+deg(bl ))
∫
π1∗ (ai ∧ bl ) ∧ π2∗ (ak ∧ bj )
M ×M
∑
cij (−1)deg(ai ) (deg(ak )+deg(bl )) δil δkj
=
M ×M
∆
=
=
=
=
= clk (−1)deg(al )
(deg(ak )+deg(bl ))
buluruz. Son olarak, bu iki sonucu kar³la³trarak
cij = (−1)deg(ai ) δij
elde ederiz ve böylece iddiann kant tamamlanr.
“imdi teoremin kantn bitirebiliriz:
∫
M
∫
e(T∗ M ) =
=
ω
∫ (∑
∆
(−1)
deg(ai )
∫
∆
=
=
=
∑
∑
∑
(−1)deg(ai )
∫M
M
= χ(M ) .
∧
π2∗ (bi )
)
f ∗ (π1∗ (ai ) ∧ π2∗ (bi ))
ai ∧ bi
(−1)deg(ai )
(−1)deg(ai )
π1∗ (ai )
278
Kesi³im Teorisi
2
Bu teoremi kullanarak örtü uzaylarnn Euler karakteristiklerine dair a³a§daki
sonucu kantlayabiliriz.
Sonuç 5.3.10.
f :M →N
k
tkz ba§lantl manifoldlarn mertebesi
pozitif
tam says olan bir örtü uzay iz dü³ümü olsun. Bu durumda manifoldlarn
Euler karakteristikleri arasnda
Kant :
Yukardaki teoremden dolay
göstermek yeterlidir.
üzere
χ(M ) = k χ(N )
π : T∗ N → N
e³itli§i vardr.
e(T∗ M ) = k e(T∗ N )
oldu§unu
te§et demeti iz dü³üm fonksiyonu olmak
f ∗ (T∗ N ) = {(p, w) ∈ M × T∗ N | f (p) = π(w)} −→ M
te§et demetinin geri çekmesini dü³ünelim. Örtü uzay iz dü³ümü yerel bir difeomorzma oldu§undan
ϕ : T∗ M −→ f ∗ (T∗ N ), (p, v) 7→ (p, Dfp (v)),
(p, v) ∈ T∗ M için,
Dfp : Tp M → Tf (p) N bir vektör uzay izomorzmasdr. “imdi, e§er s : N → T∗ N
sfr kesitini dik kesen bir kesit ise,
∗
∼
se : M → f (T∗ N ) = T∗ M, p 7→ (p, s(f (p))) yine sfr kesitine dik olan bir
kesit verir. f : M → N derecesi k olan yerel bir difeomorzma oldu§undan,
s kesitinin her bir sfrna kar³lk se kesitinin tam olarak k tane ayn i³arete
vektör demeti fonksiyonu bir izomorzmadr, çünkü her
π(Dfp (v)) = f (p)'dir
ve
sahip sfr olacaktr. Son olarak, manifoldlarn Euler saylar bu kesitlerin sfrlarnn i³aretli toplam oldu§undan
2
Hatrlatma 6.1.9.2
e(T∗ M ) = k e(T∗ N )
oldu§unu görürüz.
bu sonucun bir genellemesini verir.
M
manifoldu
üzerine difeomorzmalar yardmyla serbest olarak etki ediyorsa
f : M →
Hatrlatma 5.3.11. Sonlu bir
M/G = N
G
grubu türevlenebilir bir
bölüm uzay aslnda mertebesi
Bu durumda
χ(M ) = k χ(N )
k = |G|
χ(M )
olaca§ndan
olan bir örtü uzay olur.
tam saysnn
k = |G|
bölünebildi§ini görürüz. Bunun bir sonucu olarak çift boyutlu bir küre üzerinde
serbest etkisi olan tek grubun iki elemanl grup oldu§u sonucuna varrz, çünkü
χ(S 2n ) = 2'dir (Z2 grubunun küre üzerindeki p 7→ −p ters kutupsal etkisi
serbest bir etkidir).
Bir ba³ka çarpc örnek daha verelim: Türevlenebilir tkz bir M manifolS 1 (çember) etkisine sahip oldu§unu kabul edelim. Her sonlu
dunun serbest bir
devirli grup çemberin bir alt grubu oldu§undan manifoldun Euler karakteristi§i
tüm pozitif tam saylara kalansz bölünebilmelidir. Bu ise ancak
χ(M ) = 0
olmas halinde mümkündür. Bu gözlemin bir sonucu olarak ³unu söyleyebiliriz:
Her pozitif boyutlu tkz Lie grubu bir çember içerdi§inden Euler karakteristi§i
sfrdr.
279
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
Lefschetz Sabit Nokta Teoremi
5.3.5
f : M → M fonksiyo1M : M →
M , p 7→ p birim dönü³ümüne dik hale getirelim. Bu durumda, f fonksiyonun sabit noktalar, M × M içinde ∆ ⊆ M × M kö³egeni ile f : M → M
Türevlenebilir tkz bir
M
manifoldunun türevlenebilir
nunu ele alalm. Bu fonksiyonu homotopi snf içinde de§i³tirerek
fonksiyonun
Γf = {(p, f (p)) ∈ M × M | p ∈ M }
f 'nin sabit
f t 1M says olarak tanmlanabilir. Bu
f : M → M fonksiyonunun homotopi snf
gra§inin dik kesi³im noktalarna kar³lk gelecektir. Bu nedenle,
noktalarnn i³aretli says sonlu
sayy
Λf
ile gösterelim. Aslnda
ile belirlenen i³aretli sabit nokta says bu fonksiyonun kohomoloji seviyesinde
verdi§i homomorzma yardmyla da hesaplanabilir: Teorem 5.3.9'ün kantnn
bir sonucu olarak a³a§daki teoremi elde ederiz. Teoremin ifadesindeki
terimi kohomoloji seviyesinde tanmlanan
f∗
T r(f ∗ )
do§rusal homomorzmasnn
izini göstermektedir.
Teorem 5.3.12.
Λf =
∑
k
k
(−1)k T r(f ∗ : HDR
(M ) → HDR
(M ))
k
Kant : Teorem 5.3.9'ün gösterimini kullanmaya devam edece§iz.
ω=
∑
kö³egenin Poincaré duali ve
(−1)deg(ai ) π1∗ (ai ) ∧ π2∗ (bi ) ,
ϕ : M → M × M , p 7→ (p, f (p)),
∫
Γf t ∆ = (−1)
dim M
∆ t Γf = (−1)
dim M
∫
ω = (−1)
Γf
saysnn
Λf 'ye
olmak üzere
dim M
ϕ∗ (ω)
M
e³it oldu§unu göstermek teoremin kantn bitirecektir.
f ∗ (bi ) =
∑
λij bj
j
olmak üzere
∑
k
k
(−1)k T r(f ∗ : HDR
(M ) → HDR
(M )) =
k
oldu§u açktr. O halde do§rudan hesap yaparak,
∑
i
(−1)deg bi λii
280
Kesi³im Teorisi
∫
(−1)
∗
dim M
ϕ (ω) =
∑
M
(−1)
dim M −deg(ai )
i
=
∑
∫
(−1)deg(bi )
∑
∫
(−1)
deg(bi )
∑
∫
(−1)deg(bi )
∑
ai ∧ f ∗ (bi )
ai ∧ λij bj
(−1)deg(bi )
M
∑
∑
∫
ai ∧ b j
(−1)deg(bi ) λij
M
ij
=
1∗M (ai ) ∧ f ∗ (bi )
∫
ij
=
ϕ∗ (π1∗ (ai )) ∧ ϕ∗ (π2∗ (bi ))
M
i
=
M
M
i
=
ϕ∗ (π1∗ (ai ) ∧ π2∗ (bi ))
M
i
=
∫
(−1)deg(bi ) λij δij
i
= Λf .
elde edilir ve böylece kant tamamlanr.
Örnek 5.3.13.
M
2
Euler karakteristi§i sfr olmayan bir tkz manifold olsun.
Bu durumda manifoldun özde³lik fonksiyonuna homotopik olan her fonksiyonun
|χ(M )|
en az
5.3.6
tane sabit noktas olacaktr.
Riemann-Hurwitz Teoremi
Bu üniteyi tkz Riemann yüzeylerinin arasndaki analitik fonksiyonlarnn yüzeylerin topolojik de§i³mezleriyle nasl etkile³ti§ini gösteren Riemann-Hurwitz
Teoremi ve tkz Riemann yüzeylerinin otomorzma gruplarnn eleman saylarn snrlayan Hurwitz Teoremi ile bitirece§iz. lk önce analitik fonksiyonlara
f : U → V , 0 ∈ U ∩ V ⊆ C,
dair bir gözlemde bulunaca§z:
arasnda
f (0) = 0,
açk kümeleri
ko³ulunu sa§layan bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun
noktasndaki sfrnn derecesi
d≥1
z=0
olsun. Bu durumda
f (z) = ad z d + · · · + an z n + · · · ,
olacak ³ekilde
an ∈ C, ad ̸= 0,
saylar vardr. Di§er taraftan,
g(z) = ad + · · · + an z n−d + · · · ,
analitik fonksiyonu
g(0) ̸= 0
ko³ulunu sa§lad§ için bu fonksiyonu, sfrn
etrafndaki daha küçük bir açk küme üzerinde, bir
için,
g(z) =
eh(z) ³eklinde yazabiliriz. O halde,
f (z) = (z e
h(z)
d
)d
h(z)
analitik fonksiyonu
281
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
d
olur. Elde edilen bu
e0
denir ve
deg0 (f )
saysna fonksiyonun bu noktadaki ramikasyon endeksi
ile gösterilir.
Aslnda bu say fonksiyonun
yerel derecesidir. Burada
ω=ze
h(z)
d
z=0
noktasndaki
fonksiyonu analitik bir izomor-
zma oldu§undan ³u sonuca varrz: Her analitik fonksiyon, yerel olarak uygun
bir analitik koordinat dönü³ümü altnda,
ω 7→ z 7→ ω d
³eklinde ifade edilebilir.
Ramikasyon endeksinin birden büyük oldu§u noktalarn izole noktalar olaca§
ϕ : Σ 1 → Σ2
açktr. Dolaysyla,
iki tkz Riemann uzay arasnda analitik bir
dönü³üm ise, bu dönü³üm sonlu nokta d³nda yerel bir izomorzmadr. Ba³ka
R = {p1 , · · · , pk } ⊆ Σ2 sonlu nokta kümesi vardr ki,
→ Σ2 − R bir örtü uzaydr. “imdi bir p ∈ R noktas alalm
−1 (p) olsun. Seçti§imiz bu p
ters görüntüsü {q1 , · · · , qr } = ϕ
bir deyi³le, öyle bir
ϕ : Σ1
− ϕ−1 (R)
ve bu noktann
noktasnn etrafndaki küçük bir açk kümede desteklenen bir hacim formunu
yukar çekerek integralini alalm. Fonksiyonun yerel ifadesi
olaca§ndan
N = deg ϕ =
r
∑
deg(ϕ)qi =
i=1
r
∑
z 7→ z d
³eklinde
eqi
i=1
elde ederiz.
“imdi
Σ2
Riemann yüzeyi üzerinde bir
X
vektör alan alalm, öyle
ki, izole noktalardan olu³an sfrlar (vektör alan te§et demetin sfr kesiti ile
dik kesi³sin)
+1
R
kümesini içersin ve bu kümenin her noktasndaki endeksi
olsun. stenilen vektör alann ³u ³ekilde kurabiliriz. lk önce her
noktas etrafnda bu noktay merkez kabul eden ve birbirinden ayrk
p∈R
(x, y)
koordinat sistemleri seçelim. Ayrca, koordinat sistemlerinin yönü Riemann
yüzeyinin karma³k yönü ile ayn olsun. Her bir koordinat sisteminin içinde
tanmlanan
(x, y) 7→ (1 − (x2 + y 2 ))(x, y)
vektör alann birim yuvarn d³nda tamamen sfr olacak ³ekilde tüm Riemann yüzeyine geni³letelim (bkz. “ekil 5.4). Elde etti§imiz bu vektör alanlarnn toplamn
R
kümesinin küçük bir kom³ulu§u d³nda hafçe oynatarak
te§et demetin sfr kesitine dik hale getirelim. Bu vektör alan her bir
p∈R
noktasnda iste§imiz özelliklere sahiptir. O halde, arad§mz vektör alann
elde etmi³ olduk.
ϕ : Σ1 − ϕ−1 (R) → Σ2 − R bir örtü uzay fonksiyonu oldu§undan,
e
Σ1 − ϕ−1 (R) noktasnda Dϕq (X(q))
= X(ϕ(q)) ko³ulunu sa§layan
her
q∈
bir
e : Σ1 − ϕ−1 (R) → T∗ (Σ1 − ϕ−1 (R))
X
X vektör alannn Σ2 − R içinde kalan her
Σ1 − ϕ−1 (R) içinde ayn i³arete sahip tam olarak
e alannn tüm Riemann yüzeyine
N = deg(ϕ) adet sfr vardr. “imdi de X
−1 (R) noktas
geni³letilebilece§ini gösterelim. Bunun için herhangi bir q ∈ ϕ
d
alalm. Fonksiyonun yerel ifadesinin z 7→ ω = z
³eklinde ve X vektör
alann da, bu koordinat sisteminde, X(ω) = ω ile verildi§ini kabul edebiliriz
vektör alan vardr. Ayrca
sfrna kar³lk
e
X
alannn
282
Kesi³im Teorisi
“ekil 5.4: Birim disk üzerinde tanml
(bu noktalarda endeksi
durumda,
e
X(z)
= z/d
+1
(x, y) 7→ (1 − (x2 + y 2 ))(x, y)
z ̸= 0,
olarak seçmi³tik). O halde,
oldu§unu görürüz, çünkü
vektör alan
z 7→ z d
oldu§u
fonksiyonun te§et
uzayda verdi§i do§rusal fonksiyon
Dϕz : Tz C → Tz d C , (z, v) 7→ (z d , dz d−1 v)
ile verilir. “imdi her iki vektör alannn sfrlarnn endekslerini sayarak
χ(Σ1 ) − |ϕ−1 (R)| = deg(ϕ) (χ(Σ2 ) − |R|)
denklemini elde ederiz. Bu sonuç a³a§daki haliyle Riemann-Hurwitz Teoremi
olarak bilinir:
Teorem 5.3.14 (Riemann-Hurwitz Teoremi).
ϕ : Σ 1 → Σ2
iki tkz Riemann
yüzeyi arasnda analitik bir dönü³üm olsun. Bu durumda,
χ(Σ1 ) = deg(ϕ) χ(Σ2 ) −
∑
(eq − 1)
q∈Σ1
e³itli§i her zaman do§rudur.
“imdi de bu teoremin bir sonucu olarak Hurwitz'in bir ba³ka teoremini
verece§iz.
Teorem 5.3.15 (Hurwitz Teoremi).
G ≤ Aut(Σg )
Σg , g ≥ 2 ,
tkz bir Riemann yüzeyi ve
yüzeyin analitik otomorzmalarnn sonlu bir alt grubu olsun.
Bu durumda grubun mertebesi
Kant : Tkz
Σg
|G| ≤ 84(g − 1)
yüzeyinin herhangi bir
e³itsizli§ini sa§lar.
f : Σ g → Σg
homeomorzmas-
nn sonsuz tane sabit noktas olsayd bu sabit noktalarn bir
p ∈ Σg
y§lma
noktas olurdu. E§er bu homeomorzma aslnda bir analitik difeomorzma ise
p ∈ Σg
noktas etrafnda alaca§mz karma³k bir kom³uluk bize sfrlarnn
y§lma noktas olan bir analitik fonksiyon verirdi (örne§in
fonksiyonu). Bu ise
f
g(z) = f (z) − z
otomorzmasnn bu kom³uluk üzerinde ve dolaysyla
tüm yüzey üzerinde birim fonksiyon oldu§unu gösterir. O halde, e§er
f ∈G
283
Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi
sonlu grubunun birim eleman d³nda bir eleman ise
ancak sonlu sayda sabit noktas olabilir. Di§er taraftan,
C ⊂ Σg
de sonlu oldu§undan öyle bir sonlu
Σg − C
O1 , · · · , On
transitif etki etti§i için
G
otomorzmasnn
grubunun kendisi
kümesi vardr ki,
açk yüzeyi üzerinde serbest olarak etki eder.
üzerindeki etkisinin yörüngeleri
f
G
G
grubunun
G
C
grubu
kümesi
olsun. Grup her bir yörüngeye
grubunun yörüngenin tüm noktalarndaki davran³
f ∈ G eleman, herhangi bir
f (z) = z k ile veriliyorsa, f fonksiyonu bu yörüngedeki tüm noktalarda ayn ³ekilde davranacaktr. Buradan Σg /G
benzer olacaktr. Ba³ka bir deyi³le, e§er bir
p1 ∈ O i
noktasnn bir kom³ulu§unda
bölüm uzaynn da bir tkz karma³k türevlenebilir bir yüzey oldu§unu görürüz
Σh = Σg /G
(bkz. Al³trma 13). Diyelim ki,
teoremden dolay,
N = |C|, C
olsun. Bu durumda, yukardaki
kümesinin eleman says olmak üzere,
2 − 2g − N = |G| (2 − 2h − n)
g ≥ 2 ko³ulundan dolay 2 −2h −
ki = |G|/|Oi |, i = 1, · · · , n, saylar olarak
e³itli§ini elde ederiz. Teoremin hipotezindeki
n ̸= 0
oldu§unu görürüz. Ayrca,
tanmlanrsa (yörüngedeki herhangi bir noktann sabitleyicisinin mertebesi)
yukardaki e³itlikten
|G| = 2(g − 1)
2(h − 1) +
1
∑n
i=1 (1
− 1/ki )
elde edilir. Grubun bu yörüngedeki etkisi serbest olmad§ndan
dr. Amacmz
G
ki ≥ 2
olmal-
grubunun mertebesi için bir üst snr bulmak oldu§undan,
2(h − 1) +
n
∑
(1 − 1/ki )
i=1
ifadesinin,
h≥0
ve
ki ≥ 2,
tam saylar olmak üzere, alabilece§i en küçük
n≥4
pozitif de§eri bulmalyz. E§er
ise bu de§er (ancak
h=0
ve
olmas durumunda)
1 1 1 2
1
+ + + =
2 2 2 3
6
ancak h = 0 ve n = 3
−2 +
ve
0≤n≤3
için ise (ve yine
−2 +
olmak üzere)
1 2 6
1
+ + =
2 3 7
42
olarak bulunur. Böylece ispat biter.
2
Örnek 5.3.16. Karma³k projektif düzlemde dördüncü dereceden
x3 y + y 3 z + z 3 x = 0
homojen polinomu cinsi (genusu)
1
(4 − 1)(4 − 2) = 3
2
n=4
284
Kesi³im Teorisi
olan bir Riemann yüzeyi verir (bkz. Örnek 6.2.10). Klein Kuartik (Quartic)
168'dir
olarak bilinen bu yüzeyin otomorzmalar grubunun mertebesi
ve bu
say yukardaki teoremde verilen üst snrdr. Aslnda bu otomorzmalar grubunun mertebesi
168
olan tek basit grup oldu§u bilinmektedir. Klein Kuartik,
hiperbolik geometriden cebirsel geometriye, saylar teoresinden grup teoriye ve
karma³k analize kadar matemati§in bir çok daln ilgilendirmektedir.
5.4
Al³trmalar
1. Sonuç 5.1.6'nn kantn tamamlaynz.
2. Önerme 5.2.1'in kantn tamamlaynz.
p
3. Aralarnda asal herhangi iki
ve
q
tam saylar için
T 2 = R2 /Z2
torusu üzerinde
t 7→ (tp, tq), t ∈ R,
ile parametrize edilen
Cp,q
alt manifoldunu dü³ünelim. Torusun düzle-
min standart yönlendirmesiyle ve
Cp,q
alt manifoldunun da yukarda
verilen parametrizasyonu ile yönlendirildi§ini kabul edelim. Bu ³ekilde
verilen
Cp1 ,q1
ve
Cp2 ,q2
alt manifoldlarnn kesi³im saysn hesaplay-
nz.
4. Mayer-Vietoris dizisini kullanarak cinsi (genusu)
g
olan yönlendirilebilir
yüzeyin kohomoloji cebirini hesaplaynz (bkz. Örnek 5.2.11.1).
5. Projektif karma³k düzlemin homojen bir
f (z0 , z1 , z2 ) ∈ C[z0 , z1 , z2 ]
po-
linomunun sfr olarak tanmlanan
Cf = {[z0 , z1 , z2 ] ∈ CP 2 | f (z0 , z1 , z2 ) = 0}
alt kümesini dü³ünelim. E§er
0∈C
noktas
f : C3 → C
fonksiyonun bir
düzgün de§eri ise bu alt kümenin bir alt manifold oldu§unu gösteriniz.
6. Teorem 5.3.3'nin kantnda kullanlan dikey tkz destekli kohomoloji dizisinin varl§n kantlaynz.
7. Teorem 5.3.4'ün kantnn birinci admnda verilen Mayer-Vietoris tam
üçgenini model alarak herhangi bir
· · · → An → Bn → Cn → An+1 → · · ·
tam dizisini a³a§daki ³ekilde oldu§u gibi bir tam üçgen olarak yazabiliriz.
A∗ = ⊕n An
↗
↘
285
Al³trmalar
C ∗ = ⊕n Cn ←− B ∗ = ⊕n Bn
Bu üçgenin tam oldu§unu gösteriniz. Ba³ka bir deyi³le, her bir homomorzmann çekirde§inin bir önceki homomorzmann görüntüsü oldu§unu
gösteriniz.
8. Bu al³trmada sayfa 115'da
ω0,Rn =
ωS n−1
∈ Ωn−1 (Rn − {0})
nAn
ve sayfa 212'de
ωK =
f dg − g df
∈ Ω1 (S 3 − K)
2π (f 2 + g 2 )
³eklinde tanmlad§mz geçi³me formlarnn arasndaki ili³kiyi ortaya çkartaca§z. lk önce
ω0,Rn
formunun
n−1
HDR
(Rn − {0}) = R
kohomoloji
grubunun üreteci oldu§unu hatrlayalm.
Orijinin a³a§daki türevlenebilir
F : Rk+n → Rn , x = (x1 , · · · , xn+k ) 7→ (f1 (x), · · · , fn (x)), x ∈ Rn+k ,
fonksiyonunun bir düzgün de§eri oldu§unu kabul edelim ve bu düzgün
F −1 (0) ters görüntüsü olan manifoldu K k ile gösterelim.
. ∗
n−1 (Rk+n − K) kapal formu
durumda ωK,Rk+n = F (ω0,Rn ) ∈ Ω
de§erin
Bu
n
df1 ∧ · · · ∧ dfi−1 ∧ dfi+1 · · · ∧ dfn
1 ∑
(−1)i−1 fi
nAn
(f12 + · · · + fn2 )n/2
i=1
ile verilir ve 4. Ünite'de oldu§u gibi
formu olarak adlandrlr.
K ⊂ Rk+n
alt manifoldunun geçi³me
A³a§daki ifadeleri kantlaynz.
(a) Bu al³trmann ba³nda bahsetti§imiz 1-form
ωK =
f dg − g df
∈ Ω1 (S 3 − K),
2π (f 2 + g 2 )
F : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ (f (x, y, z), g(x, y, z))
∗
üzere F (ω0,R2 ) formuna e³ittir.
(b)
fonksiyonu olmak
Ln−1 ⊂ Rk+n − K tkz yönlendirilebilir alt manifold ve n > 1
olsun. E§er L manifoldunu iç K manifoldunu ise d³ bölgesinn+k−1 küresi varsa l(K, L) says sfrdr.
de barndran bir S
n+k−1 küresi içinde
Bunu göstermek için L alt manifoldunu S
n+k−1 homotopisi ile kürenin merkezine
bir ϕ : L × [0, 1] → S
sk³tralm. Homotopinin gömme fonksiyonu olmayan di§er ucu sabit fonksiyon oldu§undan Stokes Teoremi kant tamamlar.
kabulünü nerede kullandk?
n>1
286
Kesi³im Teorisi
(c)
L
yine tkz yönlendirilebilir ve pozitif boyutlu olmak üzere
∫
ωK,Rk+n
L
integralinin bir tam say oldu§unu gösteriniz. Bu say geçi³me says
l(K, L) ile gösterilir. Bunu göstermek için
ϕ : L × [0, 1] → Rk+n − K homotopisi alalm, öyle ki
ϕ(x, 0) fonksiyonu L alt manifoldunun gömme fonksiyonu olsun
ve homotopinin di§er ucu, ϕ(L, 1), K alt manifoldunu d³nda bran+k−1 küresinin içinde kalsn. Böyle bir kürenin varl§n
kan bir S
K = F −1 (0) alt manifoldunun kapal olmasndan söyleyebiliyoruz.
Yine ayn nedenden ϕ homotopisini uçlarn hiç de§i³tirmeden K
olarak adlandrlr ve
yine bir
ile dik kesi³ecek ³ekilde hafçe oynatabiliriz. O halde, homotopinin
görüntüsü
K
ile uçlarnn d³nda kalan sonlu noktada kesi³ecek-
tir. Her bir kesi³im noktas geçi³me saysn
Homotopinin
ϕ(L, 1)
±1
ile de§i³tirecektir.
ucu bir kürenin içinde kald§ndan bir önceki
bölümden dolay kant tamamlanr.
(d)
Kk
ve
Ln−1
geçi³me formlar tanml tkz alt manifoldlar ise
a³a§daki e³itlik do§rudur.
∫
∫
ωK,Rk+n = ±
L
(e)
K = {0} ⊂ R
ωL,Rk+n
K
alt manifoldunun geçi³me formu
ω0,R1 =
fonksiyonudur (0-formudur).
x
2|x|
S 0 = {−1− , 1+ } = ∂[−1,∫ 1]
nifoldunu aralktan ald§ yönlendirme ile dü³ünerek
S0
snr ma-
ω0,R1 = 1
L = {1+ } ⊂ R yönlendirilmi³
∫
alt manifoldu üzerindeki
L ω0,R1 = 1/2 integrali
∫ bir tam say de§ildir. Neden? K = ∂[a, b], ab ̸= 0 olmak üzere,
K ω0,R1 integralini
oldu§unu gösteriniz. Di§er taraftan,
hesaplaynz.
(f )
K = S0 ⊂ R
alt manifoldunun geçi³me formunun
ωS 0 ,R1 =
x2 − 1
2|x2 − 1|
fonksiyonu oldu§unu gösteriniz. Bu formun çe³itli sfr boyutlu yönlendirilmi³ tkz
L⊂R
alt manifoldlar üzerinde integralini hesap-
laynz ve buldu§unuz sonuçlar yorumlaynz.
9. Teorem 5.3.4'ün kantnn üçüncü admndaki
F
manifoldunun kohomolo-
jinin sonlu boyutlu olmamas durumunda do§ru olmayaca§n gösteriniz:
287
Al³trmalar
P = R×F
{U
=
(i
−
1,
i
+
1)}
sonsuz ailesi olmak
i
∑
1
üzere ω =
i∈Z µai kohomoloji snf {µai , µbi | i ∈ N} ⊆ HDR (P ) kü∗
mesinin gerdi§i R ≃ HDR (M )-modülünün bir eleman de§ildir. Neden?
(Burada µL ile L ⊆ F alt manifoldunun Poincaré dualini gösteriyoruz.)
F
a³a§da resmi verilen ve cinsi (genusu) sonsuz olan yüzey ve
a³ikar demet olsun. O halde,
“ekil 5.5: Cinsi sonsuz olan yüzey
10.
E→M
rank
k>0
olan bir karma³k vektör demeti olsun. Bu vektör
demetinin her bir linin projektivasyonunu alarak elde edilen
.
P (E) = E − {0} /u ∼ λu, λ ∈ C∗
bölüm uzaynn, li
CP k−1
olan bir
P : P (E) → M
lif demeti ol-
du§unu gösteriniz. Bu demetin geçi³ fonksiyonlar ile karma³k vektör
demetininkileri kar³la³trnz.
11. Örnek 5.3.2.3'de ifade edilen iddiay kantlaynz. Di§er taraftan, e§er
(x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn )
(x1 , y1 , · · · , xn , yn )
rine
fonksiyonlarnn vermi³ oldu§u yönlendirme yefonksiyonlarnn verdi§i yönlendirmeyi alsaydk
gerçel projektif düzlemin Euler saysnn
e(RP 2 ) = 1
yerine
−1
ola-
ca§n gözlemleyiniz. Bu nedenle te§et demeti üzerindeki `do§ru' yönlendirmenin
(x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn )
fonksiyonlarnn verdi§i yönlendirme
oldu§u sonucuna varyoruz.
12. Cinsi en az iki olan bir yüzey alalm. Bu yüzeyi a³a§daki ³ekilde verilen
Z2 -grup
etkisine bölersek yönlendirilemeyen bir yüzey elde ederiz. Bu
yüzeyin Euler saysnn da negatif oldu§unu gösteriniz (“ekil 5.6).
13. Teorem 5.3.15'un kantnn ilk ksmn kullanarak, tkz bir Riemann yüzeyinin sonlu bir analitik otomorzma grubuna bölümünün de tkz bir
Riemann yüzeyi oldu§unu gösteriniz.
Z2 -grup etϕ(x, y, z) = (−x, −y, −z) ters
“ekil 5.6: Yüzey üzerindeki
kisi
kutupsal fonksiyonu ile verilsin; bu durumda bölüm uzay cinsi
2g + 1
yönlendirilemeyen yüzey olur.
olan
288
Kesi³im Teorisi
14. Fermat e§risi olarak bilinen ve karma³k projektif düzlem içinde
z1n
±
z2n
= 0
≥ 4)
(n
z0n +
denklemiyle tanmlanan yüzeyin tüm karma³k
analitik otomorzmalarn bulunuz. Karma³k e§rinin (Riemann yüzeyinin) derecesinin
n ≤ 3
oldu§u durumlarda otomorzma gurubu sonlu
olur mu? Bu yüzeylerin yönü korumayan gerçel analitik otomorzmalar
var mdr? Bu yüzeyleri elde etti§iniz otomorzma gruplarna bölünce ne
elde ederiz (n
≥ 4)?
15. Ünite 2, Al³trma 24'de iddia edilen a³a§daki ifadeyi kantlaynz: Karma³k projektif uzay
CP n 'nin
karma³k boyutu
karma³k alt manifoldunu alalm. Bu durumda,
m olan bir M m ⊆ CP n
ωF S karma³k projektif
uzay üzerindeki Fubini-Study formu olmak üzere
1
πm
∫
ωFmS
M
integrali pozitif bir tam saydr.
16. Bu al³trmada gerçel projektif düzlemin
R3
içine gömülemeyece§ini
kantlayaca§z. Verece§imiz kant [3] numaral referanstan esinlenilerek
elde edilmi³tir. Yüzeylerin
R3
içine batrmalar ile ilgili daha kapsaml
bir okuma için bu makaleye bakabilirsiniz. lk önce gerçel projektif düzlemin
R3
içine gömüldü§ünü kabul edelim ve bu gömülmü³
RP 2 ⊂ R3
gerçel projektif düzlemin içindeki
RP 1 = {[x0 : x1 : 0] | [x0 : x1 : 0] ∈ RP 2 }
gerçel projektif do§rusunu ele alalm. Örnek 5.2.4'de
nun
RP
Aslnda
2
içindeki kendisi ile kesi³iminin
RP 1
alt manifoldunun
RP 2
1 ∈ Z2
RP 1
alt manifoldu-
oldu§unu görmü³tük.
içindeki tüp kom³ulu§unun Mö-
bius “eridi oldu§u gösterilebilir. Bu Möbius “eridi'ni MB ile gösterelim.
Di§er taraftan, hem
olduklar için
RP 1
RP
1
RP 1
alt
R3
3
manifoldunun R
hem de
manifoldlar yönlendirilebilir
içindeki
N
tüp kom³ulu§u
üzerinde yönlendirilmi³ bir disk demeti olarak görülebilir:
D2 → N → RP 1 .
M B = RP 2 ∩N olacaktr. Disk
◦ döndürelim.
demeti içindeki diskleri yönlendirmelerini kullanarak 90
Bu döndürme i³leminin sonucunda M B alt manifoldunun görüntüsü bir
2
1
′
′
ba³ka, diyelim ki M B olsun, Möbius “eridi'dir ve M B ∩ RP = RP
1
′
alt manifoldudur. “imdi M B içinde RP
ile tek noktada dik kesi³en
2
3
bir C çemberi alalm. O halde, R
manifoldunun C ve RP
alt
Tüp kom³ulu§u yeterince küçük seçersek
manifoldlar bu tek noktada dik kesi³irler. Ba³ka bir deyi³le, bu iki alt
manifoldun
Z2
kesi³im says birdir. Fakat her iki alt manifold da tkz
oldu§u için bunlardan birini herhangi bir vektör boyunca yeterince uzak
289
Al³trmalar
90◦
′
edilen M B
2
ve RP 'yi
(b) MB Möbius “eridi'nin
(a)
RP 2
içindeki
RP 1 'in
döndürülmesiyle elde
1
ve onun içinde RP
kom³u-
lu§u olan MB Möbius “eridi.
tek noktada kesen
C
e§risi.
“ekil 5.7
bir yere ötelersek bu iki manifold kesi³meyecektir ve dolaysyla kesi³im
says aslnda bir de§il, sfrdr. Bu çeli³ki kant tamamlar. Kantn (eksik
buldu§unuz muhtemel) detaylar okuyucuya braklm³tr.
Ayn kant Möbius “eridi'ni içeren iki boyutlu tkz manifoldlarn, ba³ka
bir deyi³le yönlendirilemeyen tkz yüzeylerin,
R3
içine gömülemeyece§i-
3
ni gösterir. Özel durumda Klein “i³esi'de R 'e gömülemez.
Açkca görüldü§ü üzere
RP 3
ve
RP 2 × R
3-boyutlu manifoldlar gerçel
projektif düzlemi bir alt manifold olarak kabul ederler ve dolaysyla yu-
R3
kardaki kantta
Son olarak,
S3
ve
yerine bu iki manifolddan birini koyamayz. Neden?
RP 3
manifoldlarnn difeomork olmad§n kantla-
ynz.
17. Sayfa 231'de ayn boyuta sahip yönlendirilmi³ manifoldlar arasndaki
fonksiyonlar için tanmlanan tam say de§erli derecenin özelliklerini vermi³tik. Bu al³trmada ise bu sonuçlar yönlendirilemeyen manifoldlara
geni³letece§iz.
f : M → N n-boyutlu ba§lantl tkz türevlenebilir maN manifoldu içinde alnan herhangi bir p
nifoldlarn fonksiyonu olsun.
noktasn sfr boyutlu bir alt manifold olarak alarak bu fonksiyonun mod
2
derecesini fonksiyonun bu alt manifold ile
rak tanmlayalm:
.
deg2 (f ) = Int(f (M ), p)
Mod 2
(Mod 2)
kesi³im says ola(bkz. Sonuç 5.2.2).
A³a§daki iddialar kantlaynz.
(a) Homotopiler fonksiyonlarn Mod 2 derecesini korur. Dolaysyla, e§er
h:M →M
(b)
birim fonksiyona homotopik ise
deg2 (h) = 1
olur.
deg2 (g ◦ f ) = deg2 (f ) deg2 (g)
(c) E§er
f
(d) E§er
f :M →N
örten de§ilse
deg2 (f ) = 0'dr.
yönlendirilmi³ manifoldlarn bir fonksiyonu ise,
290
Kesi³im Teorisi
bu fonksiyonun tam say de§erli derecesi ile Mod 2 de§erli derecesi
Mod 2'de birbirine denktir:
deg2 (f ) ≡ deg(f )
(Mod 2).
Bu ve sonraki iki al³trmada Arf de§i³mezini ve bir topolojik uygulamasn verece§iz. Arf de§i³mezini Dye'nn makalesini takip ederek sunaca§z
(bkz. [10]). Aslnda Dye'nn makalesini de basitle³tirece§iz. Dye karakteristi§i iki olan herhangi bir mükemmel (perfect) cisim üzerinde çal³rken
biz kendimizi sadece iki elemanl
18.
(a) ki elemanl
F2
F2
cismine kstlayaca§z.
cismi üzerinde boyutu çift say olan bir
uzay alalm. E§er
Q : V → F2
V
vektör
bir kuadratik form (derecesi iki olan
bir homojen polinom fonksiyon) ise bu form yardmyla a³a§daki
³eklide tanmlanan
.
B : V × V → F2 , B(u, v) = Q(u + v) + Q(u) + Q(v), u, v ∈ V,
fonksiyon (ters) simetrik ve bilineerdir, gösteriniz. (Cismin karak-
B(u, v)
teristi§i iki de§il ise
bu ifadenin yars olarak tanmlanr.
Örne§in bkz. s. 341.) Bu form hem simetrik hem de ters simetriktir.
Ayrca bilineer form soysuzla³mam³ ise (dejenere de§ilse) kuadratik
forma da soysuzla³mam³ diyece§iz.
(b) E§er bilineer form soysuzla³mam³ ise,
{e1 , f1 , · · · , en , fn }
taban vardr ki, her
B(ei , ej ) = B(fi , fj ) = 0
ve
V uzaynn öyle bir β =
i, j = 1 · · · , n, için
B(ei , fj ) = δij
olur. Bu özelli§e sahip tabana bilineer formun bir simplektik taban
denir. Her soysuzla³mam³ bilineer formun bir simplektik taban oldu§unu gösteriniz.
B
bilineer formunu koruyan do§rusal dönü³üm-
lere simplektik dönü³ümler denir:
S : V → V , B(u, v) = B(S(u), S(v)),
her
u, v ∈ V
için.
Bir dönü³ümün simplektik olmas için yeter ve gerek ³art dönü³ümün verilen bir (her) simplektik taban yine bir simplektik tabana götürmesidir. Gösteriniz. Ayrca simplektik dönü³ümler
GL(V )
içinde bir alt grup olu³turur.
(c) Her
w∈V
vektörü için,
Tw : V → V , u 7→ Tw (u) = u + B(u, w) w, u ∈ V,
ile tanmlanan do§rusal fonksiyona bir transveksiyon denir. Transveksiyonlarn simplektik dönü³ümler oldu§unu gösteriniz. Bu al³trmann geri kalannda her simplektik dönü³ümün transveksiyonlarn
sonlu bir çarpm (bile³kesi) oldu§unu görece§iz. Bunu verilen herhangi bir di§er simplektik taban uygun transveksiyonlarla de§i³tirip
β
tabann elde ederek yapaca§z.
291
Al³trmalar
(d)
β′
bilineer formun bir ba³ka simplektik taban olsun. Bu tabann
∑
ai , bi ∈ F2 = {0, 1}, ³eklinde olacaktr.
e1 terimini içeren bir eleman vardr (neden?).
Ba³ka bir deyi³le, a1 = 1 olacak ³ekilde bir taban eleman var′ tabanna T
dr. Bu eleman için ayn zamanda b1 = 1 ise β
f1
transveksiyonunu uygulayalm. Tf1 (e1 +f1 ) = e1 olaca§ için içinde
e1 + f1 toplam olan taban elemannn görüntüsü e1 elemann içerip (a1 = 1) f1 elemann içermeyen (b1 = 0) bir eleman olacaktr.
Bu eleman u olarak adlandralm.
′
Daha sonra elde etti§imiz taban (muhtemelen Tf1 (β ) taban) içinden B(u, v) = 1 olacak ³ekilde bir v taban eleman seçelim (taban
simplektik oldu§unu için bu ³ekilde tek bir eleman vardr). Bu v
eleman β tabanna göre yazld§nda f1 elemann içermek zorundadr. E§er v eleman ayn zamanda e1 'i de içeriyorsa bu tabana
Te1 ◦ Tf1 çarpmn uygulayalm:
her eleman
i (ai ei + bi fi ),
Bu tabann içinde
Tf
Te
1
1
−→
e1 + f1 −→
f1
e1
Tf
1
e1 + f1 −→
Te
1
−→
e1
e1
{u, v} kümesinin transveksiyonlar altndaki görüntü′
′
sünün {e1 + u , f1 + v } kümesi oldu§unu kabul edebiliriz, öyle ki,
′
′
u ve v vektörleri ne e1 ne de f1 terimini içerirler. Ayrca,
B(u, v) = 1 oldu§u için B(u′ , v ′ ) = 0 olmaldr.
oldu§u için
Son olarak bu tabana
Te1 ◦ Te1 +v′ ◦ Tf1 ◦ Tf1 +u′
çarpmn uygularsak elde edilen simplektik taban
{e1 , f1 , u1 , v1 , · · · , un−1 , vn−1 }
³eklinde olur, öyle ki hiçbir
(e)
B
formunun
ui , vi
ne
e1
{u1 , v1 , · · · , un−1 , vn−1 }
ne de
f1
terimini içerir.
kümesinin gerdi§i alt uza-
ya kstlamas da simplektik olacaktr. Dolaysyla, tümevarm me-
β ′ tabanna sonlu tane transveksiyon
{e1 , f1 , · · · , en , fn } tabann elde ederiz.
toduyla,
uygulayarak
β =
(f ) Verilen herhangi bir simplektik taban, bu tabana sonlu tane transveksiyon uygulayarak
β
tabanna dönü³türme i³leminin bir al-
goritmas oldu§unu gördük. Dolaysyla, sral simplektik tabanlar
ile simplektik matrisler arasnda bire bir e³leme oldu§una göre verilen herhangi bir simplektik matrisi transveksiyonlarn sonlu çarpm
³eklinde yazmann bir algoritmasn yazabiliriz.
(g) “u ifadeleri kantlaynz: Her transveksiyonun karesi birim dönü³ümdür. Sfrdan farkl her vektörü eleman olarak kabul eden bir
292
Kesi³im Teorisi
simplektik taban vardr. Dolaysyla, tüm transveksiyonlar, simplektik grup içinde, birbirine e³leniktir. Simplektik grubun herhangi
bir transveksiyon içeren tek normal alt grubu kendisidir. Bu grubun
yaps hakknda neler söyleyebilirsiniz? Küçük bir üreteç listesi nasl
kurulabilir?
Q : V → F2
B : V × V → F2
β = {e1 , f1 , · · · , en , fn } kümesi
19. Bir önceki al³trmann gösterimi kullanarak devam edelim.
soysuzla³mam³ kuadratik formunun Arf de§i³mezi
formu yardmyla ³u ³ekilde tanmlanr:
B
için simplektik bir taban olmak üzere
. ∑
Arf (Q) =
Q(ei ) Q(fi ).
n
i=1
(a) lk önce de§i³mezin iyi tanml oldu§unu görelim. Bunun için
β ′ = {u1 , v1 , · · · , un , vn }
formunun bir ba³ka
B
simplektik tabann
alalm. Bu durumda,
n
∑
Q(ei ) Q(fi ) =
i=1
n
∑
Q(ui ) Q(vi )
i=1
e³itli§ini kantlamalyz. Bir önceki al³trmadan dolay baz
β′
= Tq (β) oldu§unu
i = 1, · · · , n için,
için
q∈V
kabul edebiliriz. Ba³ka bir deyi³le, her
ui = Tq (ei ) = ei + B(ei , q) q
ve
vi = Tq (fi ) = fi + B(fi , q) q
olur. O halde,
Q(ui ) = Q(ei + B(ei , q) q)
= Q(ei ) + Q(B(ei , q) q) + B(ei , B(ei , q) q)
= Q(ei ) + (B(ei , q))2 Q(q) + (B(ei , q))2
= Q(ei ) + (1 + Q(q)) (B(ei , q))2
Q(vi ) = Q(fi ) + (1 + Q(q)) (B(fi , q))2 elde ederiz.
Dolaysyla, e§er Q(q) = 1 ise bu admn kant tamamlanr. O
∑
halde, Q(q) = 0 oldu§unu kabul edelim. E§er q =
i (ai ei + bi fi )
2
2
ise Q(ui ) = Q(ei ) + bi ve Q(vi ) = Q(fi ) + ai olarak hesaplanr.
ve ayn ³ekilde
293
Al³trmalar
Buradan do§rudan hesap yaparak,
n
∑
n
∑
Q(ui ) Q(vi ) =
i=1
(Q(ei ) + b2i ) (Q(fi ) + a2i )
i=1
n
∑
=
Q(ei )Q(fi ) + a2i Q(ei ) + b2i Q(fi ) + a2i b2i
i=1
n
∑
=
Q(ei )Q(fi ) + a2i Q(ei ) + b2i Q(fi ) + ai bi
i=1
n
∑
=
Q(ei )Q(fi ) + Q(ai ei + bi fi )
i=1
n
∑
=
Q(ei )Q(fi ) +
i=1
∑n
ve son olarak
i=1
n
∑
Q(ai ei + bi fi )
i=1
Q(ai ei +bi fi ) = Q(q) = 0
oldu§unu kullanarak
de§i³mezin iyi tanml oldu§unu göstermi³ oluruz.
(b) “imdi de Arf de§i³mezinin denk kuadratik formlar için ayn kald§n
görelim:
Q1
ve
Q2
ayn
V
vektör uzay üzerinde iki denk form
L : V → V do§rusal izomorzmas
Q2 (v) = Q1 (L(v)) e³itli§i sa§lanr. Bu
olsun. Dolaysyla, öyle bir
vardr ki, her
v ∈
için
durumda bu iki forma kar³lk gelen simplektik formlar için
B2 (u, v) = B1 (L(u), L(v)) , u, v ∈ V,
e³itli§i sa§lanr. Dolaysyla, e§er
β = {e1 , f1 , · · · , en , fn } B1
için
bir simplektik taban ise
.
β ′ = L−1 (β) = {L−1 (e1 ), L−1 (f1 ), · · · , L−1 (en ), L−1 (fn )}
kümesi de
B2
için bir simplektik taban olu³turur. O halde,
Arf (Q2 ) =
n
∑
Q2 (L−1 (ei )) Q2 (L−1 (fi ))
i=1
=
n
∑
Q1 (LL−1 (ei )) Q1 (LL−1 (fi ))
i=1
=
n
∑
Q1 (ei ) Q1 (fi )
i=1
= Arf (Q1 )
(c) Yukarda verdi§imiz sonucun tersi de do§rudur:
üzerinde verilen ve Arf de§i³mezleri ayn olan
Q1
V
ve
vektör uzay
Q2
kuadratik
formlarnn denk olduklarnn gösterilmesini size brakyoruz.
294
Kesi³im Teorisi
20. Bu al³trmada admlar halinde dü§ümler için Arf de§i³mezini tanmlayaca§z. lk adm yüzeylerin birinci tekil homolojisinin alternatif bir
tanmn vermek olacak. Daha sonra üç boyutlu Öklit uzaynda verilen
bir dü§ümün herhangi bir Seifert yüzeyinin Arf de§i³mezini tanmlayaca§z. Son olarak da bu de§i³mezin Seifert yüzeyinden ba§msz oldu§unu
ve dolaysyla sadece dü§üm tarafndan belirlendi§ini gösterece§iz.
(a)
S = Σg,1 ⊂ R3
genusu
g
ve bir snr bile³eni olan yönlendirilebilir
yüzey olsun. Örnek 5.2.11'den dolay
alt manifoldlarnn Poincaré dualleri
αi ve βi , i = 1, · · · , g ,
ai = D(αi ), ve bi = D(βi ),
olmak üzere birinci kohomoloji vektör uzaynn
1
HDR
(S) =< ai , bi | i = 1, · · · , g >
taban ile verildi§ini biliyoruz. Bunun kant snr olmayan yüzeyden bir disk çkartlarak Mayer-Vietoris dizisi yardmyla kolayca
yaplabilir.
“ekil 5.8: Üç boyutlu Öklit uzay içinde d³ normal vektör ile yönlendirilmi³ cinsi
S1
Düzlemdeki
direlim ve
L
g
Int(αi , βj ) = δij , i, j = 1, · · · , g .
olan bir snr bile³enli yüzey.
birim çemberini saat yönünün tersi ile yönlen-
ile bu çemberden
S
yüzeyine giden tüm gömme
fonksiyonlarnn kümesini gösterelim:
L = {f : S 1 → S | f
bir gömme fonksiyonudur.}.
H ile taban L olan serbest de§i³meli grubunu gösterelim:


 ∑

H=
ni fi | ni ∈ Z, fi ∈ L, i = 1, · · · , k, 1 ≤ k ∈ Z .


Ayrca
i=1,··· ,k
H
grubu üzerinde
∼
denklik ba§nts ³u ³ekilde tanmlansn:
∑
i=1,··· ,k
ni fi ∼
∑
j=1,··· ,l
mj gj
295
Al³trmalar
⇕
∫
∑
ni
S1
i=1,··· ,k
∫
mj
S1
j=1,··· ,l
“imdi kesi³im saylar
herhangi bir
∑
fi∗ (ω) =
f ∈L
ni = Int(f, αi )
1
gj∗ (ω), ∀ω ∈ HDR
(S).
ve
mi = Int(g, βi )
olan
gömme fonksiyonunun
∑
mi αi − ni βi
i=1,··· ,g
elemanna denk oldu§unu gösteriniz. Bu sonucu kullanarak
bölüm grubunun taban
{αi , βi | i = 1, · · · , g}
meli grup oldu§unu gösteriniz (H
olan serbest de§i³-
grubunun elemanlar ile bu ele-
manlarn denklik snar için ayn gösterimi kullanyoruz).
2g
olan
H/ ∼
Rank
bölüm grubuna yüzeyin tam say katsayl birinci te-
kil homoloji grubu denir ve
Z2
H/ ∼
H1 (S, Z)
ile gösterilir. Ayrca, yüzeyin
katsayl birinci tekil homoloji grubu da
. H1 (S, Z)
H1 (S, Z2 ) =
2H1 (S, Z)
ile tanmlanan
H1 (S, Z2 )
2g
boyutlu
Z2
vektör uzaydr.
vektör uzaynn her elemann temsil eden bir
f ∈ L
gömme fonksiyonu oldu§unu gösteriniz.
(b) Yukarda tanmlad§mz her iki homoloji grubu üzerinde kesi³im
formu tanmlayabiliriz. Kesi³im formu taban elemanlar için
(αi , αj ) = 0 = (βi , βj )
ve
(αi , βj ) = δij ,
her
1 ≤ i, j ≤ g,
için,
³eklinde ve di§er elemanlar için de do§rusallk kullanlarak tanmlanr.
f, g ∈ L gömmesi alalm.
hf ve hg ise
“imdi herhangi iki
E§er bu elemanlarn
homoloji snar srasyla
Int(f, g) = (hf , hg )
oldu§unu gösteriniz. Dolaysyla,
snfn da
f
f
gömme fonksiyonunun homoloji
ile göstermek herhangi bir kar³kl§a yol açmayacaktr.
(c) Yüzey üzerinde bir
f ∈ L, f : S 1 → S ,
gömme fonksiyonu
alalm. Fonksiyonu yüzeyin yönlendirmesini veren
boyunca iterek bir
fe : S 1 → R3
N
vektör alan
gömme fonksiyonu elde ederiz. tme
miktarn sfrdan büyük ama yeterince küçük seçerek
∅
olmasn sa§layabiliriz. Bu fonksiyonun
geçi³me formunu
ωfe
ile gösterelim.
fe(S 1 )
fe(S 1 ) ∩ S =
görüntüsünün
296
Kesi³im Teorisi
“imdi
g∈L
bir ba³ka gömme fonksiyonu ise bu
l(fe, g) =
∫
g
∫
ωfe =
S1
fe
ile
g 'nin
g ∗ (ωfe)
geçi³me saysnn bir tam say oldu§unu biliyoruz. Bu saynn (mod
l(fe, g)
2) de§erini yine
ile gösterelim. Bu saynn fonksiyonlarn
homotopileri altnda de§i³medi§ini gösteriniz. Dolaysyla,
f
ve
g
fonksiyonlarnn dik kesi³ti§ini kabul edebiliriz. Bu durumda
l(fe, g) = l(e
g , f ) + Int(f, g) (mod 2),
oldu§unu gösteriniz.
f, g ∈ L
l(fe, f ) = l(e
g , g) oldu§unu gösteriniz. O halde,
Q : H1 (S, Z2 ) → Z2 , Q(x) = l(e
x, x) fonksiyonu iyi tanmldr.
E§er x homoloji snfn temsil eden gömülmü³ bir çemberi de x
ile gösterirsek Q(x) says x e§risi boyunca yüzeyin kendi etrafnda
“imdi ayn (mod 2) homoloji snfn temsil eden iki
fonksiyonu için
kaç tur (mod 2) döndü§ünü göstermektedir.
“EKL
Bu fonksiyonun her
x, y ∈ H1 (S, Z2 )
Q(x + y) = Q(x) + Q(y) + Int(x, y)
e³itli§ini sa§lad§n ve dolaysyla bir kuadratik form oldu§unu kantlayalm:
∫
Q(x + y) =
x+y
∫
=
x
∫
ωx]
+y
ωx]
+y +
∫
y
ωx]
+y
∫
=
ωxe + Int(x + y, x) +
ωye + Int(x + y, y)
x+y
∫
=
ωxe +
ωye + Int(x + y, x + y)
x+y
x+y
∫
∫
=
ωxe +
ωye + 0
x+y
x+y
∫
∫
∫
∫
=
ωxe + ωxe + ωye + ωye
x+y
∫
x
y
x
y
= Q(x) + Q(y) + Int(x, y).
O halde,
R3
içinde verilen her tek snr bile³enli yönlendirilmi³
yüzeyin Arf de§i³mezini
Arf (Q)
olarak tanmlayabiliriz.
297
Al³trmalar
Son olarak
Arf (Q)
de§i³mezinin yüzeyin yönlendirmesinden ba-
§msz oldu§unu gösteriniz (genelde
l(fe, g)
yönlendirmeden ba§m-
sz de§ildir!).
(d) “imdi de
R3
K
içinde verilen yönlendirilmi³ bir
dü§ümünün
Arf de§i³mezini tanmlayalm. Bunun için ilk önce bu dü§ümü snr
olarak kabul eden yönlendirilmi³ bir
S
yüzeyi alalm. Bu yüzeye
dü§ümün bir Seifert yüzeyi denir. Seifert yüzeyinin varl§nn ka-
K
ntn size brakyoruz (ayrca bkz. [21], s.16).
dü§ümünün Arf
de§i³mezi Seifert yüzeyin Arf de§i³mezi olarak tanmlanr:
.
Arf (K) = Arf (Q).
Son olarak bu saynn dü§ümü snrlayan Seifert yüzeyinin seçimin-
K dü§ümünü
snrlayan iki Seifert yüzeyi alalm: S1 ve S2 , ∂S1 = K = ∂S2 .
Bu yüzeylerin üzerindeki kuadratik formlarmz da srasyla Q1 ve
Q2 olsun. O halde, Arf (Q1 ) = Arf (Q2 ) oldu§unu göstermeliyiz.
lk önce bu iki yüzeyin sadece K dü§ümü boyunca kesi³ti§ini kabul
edelim. Dolaysyla, Σg = S1 ∪ −S2 snr olmayan yönlendirilebilir
tkz bir genus g yüzeydir. Bu al³trmada tek snr bile³enli yüzeyler
den ba§msz oldu§unu göstermeliyiz. Bunun için
için elde etti§imiz tüm sonuçlar snr olmayan tkz yüzeyler için
de geçerlidir. Ayrca
Σg
yüzeyinin üzerindeki kesi³im formu ile
kuadratik form bile³enlerinin formlarnn toplamdr:
O halde,
Arf (Q) = 0
Q = Q1 ⊕ Q2 .
oldu§unu görmeliyiz.
Bunu görmek için ilk önce yüzeyin
R3
içinde üç boyutlu tkz bir
V manifoldunu snrlad§n gözlemleyiniz (bkz. Teorem 4.3.19):
∂V = Σg . Buradan i : Σg → V içerme fonksiyonu olmak üze∗
2
2
re i : HDR (V ) → HDR (Σg ) homomorzmasnn sfr oldu§unu
görürüz. Bunu kullanarak ³u ifadeyi kantlaynz: Σg
yüzeyinin
kesi³im formunun öyle bir
{α1 , β1 , · · · , αg , βg } ⊂ H1 (Σg , Z2 )
simplektik taban vardr ki, her
∫
j = 1, · · · , g
için,
i∗ (a) = 0,
her
1
a ∈ HDR
(V )
için,
i∗ (a) = 0,
her
1
a ∈ HDR
(V )
için,
αj
veya
∫
βj
önermesi do§rudur. Dolaysyla, bu simplektik taban
Q(αj )Q(βj ) = 0,
her
j = 1, · · · , g,
için,
298
Kesi³im Teorisi
ko³ulunu sa§lar. Ba³ka bir deyi³le,
Σg
yüzeyinin
Arf (Q)
de§i³-
mezi sfrdr.
Σg ⊂ R3 ⊂ S 3 olarak ele alalm ve
∂U i = Σg olarak yazalm. Mayer-Vietoris
Bunu kantlamak için yüzeyi
S3
− Σg = U1 ∪ U2 ,
dizisinden
1
1
1
0 → HDR
(U1 ) ⊕ HDR
(U2 ) → HDR
(Σg ) → 0
∂U i = Σg
izomorzmasn elde ederiz. Ayrca,
ko³ulundan dolay
1 (U )
ji : Σg → U i içerme fonksiyonu olmak üzere her a, b ∈ HDR
i
∗
∗
2
1
için ji (a)ji (b) = 0 ∈ HDR (Σg ) ve dolaysyla dim(HDR (Ui )) = g
elde ederiz. Yüzeyler için yapt§mz homoloji tanm Ui için de
geçerlidir ve ji : Σg → U i içerme fonksiyonu bize homoloji gruplar
arasnda homomorzma verir. Sonuç olarak
g
ji ∗ : Z2g
2 ≃ H1 (Σg , Z2 ) → H1 (Ui , Z2 ) ≃ Z2
örten homomorzmalarn elde ederiz, öyle ki
ker(j1 ∗ )∩ker(j2 ∗ ) = 0
dolaysyla
H1 (Σg , Z2 ) ≃ H1 (U1 , Z2 ) ⊕ H1 (U2 , Z2 )
olur. Bu ise ayn zamanda
H1 (Σg , Z2 ) = ker(j1 ∗ ) ⊕ ker(j2 ∗ )
α, β ∈ ker(j1 ∗ ) ⊂ H1 (Σg , Z2 )
∂F2 = β , F1 , F2 ⊂ U 1 olacak
anlamna gelir. E§er
ise
∂F1 = α
ve
ve
Int(α, β) = 1
³ekilde iki yüzey
seçelim! Bu iki yüzey dik ³ekilde sonlu tane ayrk e§ri boyunca kesi³ecektir. E§rilerin uç noktalarnn says çift say olacaktr. Fakat
Int(α, β) = 1 saysna denk olaca§ için bir çeker(j1 ∗ ) ve ker(j2 ∗ ) vektör uzaylarnn
{e1 , · · · , eg } ve {f1 , · · · , fg } tabann alalm. Dolaysyla,
i, j = 1 · · · , g için Int(ei , ej ) = 0 = Int(fi , fj ) olacak-
bu say (mod 2)'de
li³ki elde ederiz. Son olarak,
birer
her
tr. “imdi kesi³im formunun soysuzla³mam³ oldu§unu kullanarak
Al³trma 18'de yapt§mza benzer ³ekilde ve sadece
{f1 , · · · , fg }
tabannn elemanlarn do§rusal toplamlar ile de§i³tirerek öyle bir
{f1 , · · · , fg } taban buluruz ki, her i, j = 1 · · · , g için Int(ei , ej ) =
0 = Int(fi , fj ) ve Int(ei , fj ) = δij olur. Bu Σg yüzeyinin Arf (Q)
de§i³mezinin sfr oldu§unu kantlar.
“imdi de
S1
ve
S2
yüzeylerinin
K
dü§ümünün d³ndaki nok-
talarda da kesi³ti§i durumu ele alalm. Kesi³imin dik oldu§unu kabul ederek kesi³imin
K
d³nda sonlu tane çemberden olu³tu§unu
görürüz. Çünkü bir boyutlu tkz tek manifold çemberdir.
K
d³n-
daki tüm çemberleri her iki yüzeyden de çkartalm ve kalan yüzey
299
Al³trmalar
“ekil 5.9: Yüzeylerin kesi³tikleri çemberler boyunca kesilip farkl ³ekilde yap³trlmas
ile ayrk kapal yüzeylerin olu³turulmasnn bir dü³ük boyutlu temsili resmi.
parçalarn birbiri ile kesi³meyen kapal yüzeyler olu³turacak ³ekilde
tekrar yap³tralm.
Elimizde sonlu sayda tkz ve snr olmayan ayrk yüzey olacaktr.
Bu yüzeyler
R3
içinde oturduklar için yönlendirilebilir yüzeylerdir.
Ba³ka bir deyi³le,
parças
S2
S1
yüzeyinin çemberler çkartldktan sonraki her
yüzeyini hep ayn taraftan kesmektedir; ya hep içinden
ya da hep d³ndan.
“EKL
Kesme ve yap³trma i³lemleri sonucunda olu³an yönlendirilebilir
F1 ∪F2 , Fi ⊂ Si , i = 1, 2,
∂F1 = K ∪C1 ∪· · ·∪Cn olsun. C1 ∪· · ·∪Cn
F2 ve F3 = S2 −F2 olmak üzere iki parçaya
yüzeylerden (sadece) bir tanesi, diyelim ki
K
dü§ümünü içerecektir.
birle³imi
böler.
S2
yüzeyini
F1 yüzeyini S1 yüzeyinin normal vektörü boyunca yüzeyin
F3 yüzeyini de, F1 yüzeyinin S2 yüzeyini C1 ∪ · · · ∪
d³na,
Cn
S2
birle³imi boyunca içinden mi yoksa d³ndan m kesti§ine göre,
yüzeyinin normal vektörü boyunca yüzeyin içine ya da d³na
do§ru hafçe itelim ve elde etti§imiz yüzeyleri snrlarn boyunca
yap³tralm. Bu i³lem sonucunda elde edilen yüzey, diyelim ki
olsun,
K
S3
dü§ümünün bir ba³ka (yönlendirilebilir) Seifert yüzeyi
olacaktr. Ayrca kurulu³u gere§i
Seifert yüzeylerini sadece
K
S3
Seifert yüzeyi
S1
ve
S2
dü§ümü boyunca keser. Dolaysyla,
Arf (Q1 ) = Arf (Q3 ) = Arf (Q2 )
olur ve böylece kant tamamlanr.
Yanl³ bir nota çalmak önemsizdir, tutkusuz
çalmak ise aedilemez.
-Ludwig van Beethoven
6
Karakteristik Snar
Bu ünitede ilk önce Euler snfnn geometrik bir tanmn verece§iz. Daha sonra
Euler snfn kullanarak karma³k vektör demetlerinin Chern snar tanmlayp temel baz örnekleri inceleyece§iz. Son olarak Chern snar yardmyla
gerçel vektör demetlerinin Pontryagin snarn tanmlayp bu snarn topolojik özelliklerine dair örnekler ve Milnor'un 7-boyutlu egzotik küreleri ile
üniteyi bitirece§iz.
6.1
Euler Karakteristik Snf
Bir önceki ünitede Euler snfnn yönlendirilebilir vektör demetlerinin bir de§i³mezi oldu§unu görmü³tük. “imdi de vektör demetleri üzerine koydu§umuz
ba§lant formlarnn e§rili§ini tanmlayaca§z. Daha sonra e§rilik yardmyla
vektör demetlerinin karakteristik snarn ele alaca§z.
Er → M
∇ : Γ(E) → Γ(E ⊗ T ∗ M ) bu demet üzerinde
X, Y manifold üzerinde vektör alanlar ve s
olsun. Son olarak f : M → R manifold üzerinde
bir vektör demeti ve
bir ba§lant olsun. Ayrca
vektör demetinin bir kesiti
türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere
R(X, Y )(f s) = (∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] )(f s)
ifadesini hesaplayalm:
∇X ∇Y (f s) = ∇X (f ∇Y s + Y (f )s)
= f ∇X ∇Y s + X(f )∇Y s + X(Y (f ))s + Y (f )∇X s .
301
302
Karakteristik Snar
Buradan da
(∇X ∇Y − ∇Y ∇X )(f s) = f (∇X ∇Y − ∇Y ∇X )s + [X(Y (f )) − Y (X(f ))]s
= f (∇X ∇Y − ∇Y ∇X )(s) + [X, Y ](f ) s
elde ederiz. Ayrca,
∇[X,Y ] (f s) = f ∇[X,Y ] (s) + [X, Y ](f ) s
oldu§undan
(∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] )(f s) = f (∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] )(s)
buluruz ki, bu bize
R(X, Y ) : Γ(E) → Γ(E) fonksiyonun
∇ ba§lantsnn e§rilik tensörü
du§unu gösterir. Bu tensöre
bir tensör oldenir.
de e§rilik tensörünün bile³enlerini e§rili§in Christoel sembolleri
“imdi
cinsinden
U açk kümesi üzerindeki
s1 , · · · , sr çatsn alalm. Bu du-
hesaplayalm: Vektör demetinin, manifoldun bir
x1 , · · · , xn
rumda
için
koordinat sisteminde verilen bir
ei (p) =
d
dxi
vektör alanlar ve ba§lantnn
e³itli§i sa§lanr. Ayrca
Γkij
∇ei sk = Γlik sl
∑
l
sl
R(ei , ej )(sk ) = rl=1 Rkij
Christoel sembolleri
e³itlikleri ile tanmlanan
l
Rkij
:U →R
fonksiyonlarna e§rilik tensörünün bile³enleri denir. Bu bile³enleri Christoel
sembolleri cinsinden hesaplamak için ilk önce
(∇ei ∇ej )sk =
∑
∇ei (Γm
jk sm )
m
=
∑
m
(ei (Γm
jk ) sm + Γjk ∇ei sm )
m
=
∑ ∂Γm
jk
m
türevini buluruz. Son olarak,
∂xi
[ei , ej ] = 0
sm +
∑
l
Γm
jk Γim sl
ml
e³itli§ini kullanarak,
∑
∑ ∂Γm
∂Γm
jk
l
m l
ik
−
) sm +
(Γm
(
jk Γim − Γik Γjm ) sl
∂x
∂x
i
j
m
ml
(
)
l
l
∑ ∂Γjk
∑
∂Γik
m l
m l
=
(
−
)+
(Γjk Γim − Γik Γjm ) sl ,
∂xi
∂xj
m
R(ei , ej )sk =
l
elde ederiz. Ba³ka bir deyi³le, e§rili§in bile³enleri
l
Rkij
=(
∂Γljk
∂xi
−
∑
∂Γlik
l
m l
)+
(Γm
jk Γim − Γik Γjm )
∂xj
m
303
Euler Karakteristik Snf
ifadesiyle verilir. E§rilik tensörü tanm gere§i ters simetriktir:
l
l
Rkij
= −Rkji
.
Dolaysyla, e§rilik tensörünü kesitler uzaynn endomorzmalarnda de§er alan
bir
2-form
olarak görebiliriz:
R : Γ(E) → Γ(Ω2 (M ) ⊗ E), s 7→ Ω ⊗ s .
Bu durumda,
R(sk ) =
∑
Ωlk ⊗ sl
l
³eklinde yazarsak
1∑ l
Rkij dxi ∧ dxj
2
Ωlk =
i,j
elde ederiz.
E§rilik tensörünün bu ifadesini Hatrlatma 3.3.8'in sonucu ile birle³tirerek,
ω
ba§lant formu olmak üzere,
Ω = dω + ω ∧ ω
e³itli§ini elde ederiz. Bunu görmek için ilk önce
ωkl =
∑
Γlik dxi
i
ba§lant formunun d³ türevini hesaplayalm.
∑
dωkl = d(
Γlik dxi )
∑
=
d(Γlik dxi )
∑ ∂Γl
( ik dxj ∧ dxi )
∂xj
∑ 1 ∂Γljk
∂Γlik
=
(
−
) dxi ∧ dxj .
2 ∂xi
∂xj
=
Di§er taraftan
ω∧ω
terimi
ω = [ωkl ]
matris de§erli 2-formun kendisi ile
matris çarpmdr. Matrislerin bile³enleri form d³ çarpm ile çarplr:

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 l
l
ω∧ω =
 ω1 ω2
  · · · ω1 · · · 
k
···
 · · · ω2 · · · 

k


· · · ωrl 
.
.
. 

.
.
. 

.
.
.
.
· · · ..
· · · ωkr · · ·
.
.
.
304
Karakteristik Snar
matris çarpmnn bile³enleri
(ω ∧ ω)lk =
∑
m
=
∑
l
ωm
∧ ωkm


∑
∑
(

Γlim dxi ) ∧ (
Γm
jk dxj )
m
=
1∑
2
i
j
m l
(Γlim Γm
jk − Γik Γjm ) dxi ∧ dxj
ijm
olarak bulunur.
Hatrlatma 6.1.1. 1) Baz yazarlar
ω
1-formlar matrisini bizim kulland§-
mz formun devri§i olarak alr (bkz. Milnor-Stashe [27], ve Madsen-Tornehave
[23]). Bu durumda
(ω ∧ ω)lk =
∑
l
ωkm ∧ ωm
m
ve dolaysyla
Ω = dω − ω ∧ ω
olur.
2)
Tanmndan dolay e§rilik tensörü vektör alanlar bile³enlerine göre ters
simetriktir:
R(X, Y )s = −R(Y, X)s.
Dolaysyla
R(X, X)s = 0
oldu§undan bir boyutlu manifoldlar üzerindeki
vektör demetlerinin e§rilik tensörleri her zaman sfrdr.
3) Yine ayn nedenden dolay iki boyutlu bir manifold için e§rilik tensörü,
tensörün
l
Rk12
terimleri ile tamamen belirlenir.
Örnek 6.1.2. Karma³k projektif do§ru üzerindeki
O(k) = C × C ∪˙ C × C /(z, v) ∼ (1/z, v/z k ),
(z, v) ∈ C − {0} × C
karma³k do§ru demetini yönlendirilmi³ düzlem demeti
olarak görelim ve bu demet üzerine koyaca§mz bir metri§in e§rili§ini hesaplayalm. Yukardaki her iki yerel çarpm üzerine de
g(z)(u, v) =
Re(u∗ v)
(1 + z ∗ z)k
metri§ini koyalm (Hermityan metri§in gerçel ksmn Riemann metrik olarak
alyoruz). Bu metrik
1 u v
g(z)(w) = g( )( k , k )
z z z
305
Euler Karakteristik Snf
ko³ulunu sa§lad§ndan vektör demeti üzerinde bir iç çarpm verir. Metri§in
bile³enleri
g11 = g22 =
1
(1 + x2 + y 2 )k
ve
g12 = g21 = 0
oldu§undan metrikten elde edilen ba§lant formunun katsaylar da a³a§daki
gibidir:
Γ111 =
1
g2
g2
g1
g11
, Γ222 = 22 , Γ211 = − 11 , Γ122 = − 22
2g11
2g22
2g22
2g11
ve
Γ112 = Γ121 =
2
g11
g1
, Γ212 = Γ221 = 22
2g11
2g22
olur. Do§rudan hesap yaparak ba§lant matrisinin elemanlarn a³a§daki gibi
hesaplarz:
A=
−kx
−ky
, B=
2
2
1+x +y
1 + x2 + y 2
olmak üzere
w11 = Γ111 dx + Γ121 dy = A dx + B dy
w12 = Γ211 dx + Γ221 dy = −B dx + A dy
w21 = Γ112 dx + Γ122 dy = B dx − A dy
w22 = Γ212 dx + Γ222 dy = A dx + B dy
olarak hesaplanr. O halde, e§rilik formu
(
Ω=
Ω11 Ω12
Ω21 Ω22
)
= dw + w ∧ w
(
)
(Bx − Ay ) dx ∧ dy −(Ax + By ) dx ∧ dy
=
(Ax + By ) dx ∧ dy
(Bx − Ay ) dx ∧ dy
)
(
2k
0
dx
∧
dy
2
2
2
(1+x +y )
=
−2k
dx
∧
dy
0
2
2
2
(1+x +y )
olarak hesaplanr. E§er
F = −(Ax + By ) dx ∧ dy =
ise
kapal formunun
2k
dx ∧ dy
(1 + x2 + y 2 )2
F
ik (dz ∧ dz̄)
=
∈ Ω2 (CP 1 )
2π
2π (1 + z ∗ z)2
CP 1
üzerindeki integrali
k
118). O halde, Örnek 5.3.2.2'den dolay bu form
tam saysna e³ittir (bkz. s.
O(k) → CP 1
yönlendirilmi³
iki boyutlu vektör demetinin Euler snfn temsil eder.
Yönlendirilmi³ bir vektör demetinin Euler snfnn, vektör demeti üzerindeki
bir ba§lant formunun e§rilik tensörü ile temsil edilmesi karakteristik snar
306
Karakteristik Snar
teorisinin temel ögelerinden birisidir. Yukardaki örnekte buldu§umuz
Ω
for-
mu boyut ko³ullarndan dolay kapaldr. Sonraki ksmlarda vektör demetleri
için olu³turaca§mz benzeri formlarn kapal oldu§unu ve bu formlarn temsil
etti§i kohomoloji snfnn da vektör demeti üzerinde seçilen ba§lant formundan ba§msz oldu§unu gösterece§iz.
Ba§lant formunun, demetin çats
sj = g s′j
ile de§i³ti§i zaman
ω ′ = g −1 ω g + g −1 dg
ba§nts ile de§i³ti§ini biliyoruz. A³a§daki önerme ba§lant e§rili§inin nasl
de§i³ti§ini göstermektedir.
Önerme 6.1.3. Bir ba§lantnn e§rilik formunun yerel gösterimi çatnn de§i-
³imi altnda a³a§daki gibi davranr:
Ω′ = g −1 Ω g .
Kant :
g −1 g = Id = gg −1
e³itliklerinin türevlerini alarak
dg −1 g + g −1 dg = 0 = dg g −1 + g dg −1
e³itliklerini elde ederiz. Di§er taraftan,
ω′ ∧ ω′
=
ω ′ = g −1 ωg + g −1 dg
oldu§undan
g −1 ωg ∧ g −1 ωg + g −1 ω ∧ dg + g −1 dg ∧ g −1 ωg
+ g −1 dg ∧ g −1 dg
=
g −1 ω gg −1 ∧ ωg + g −1 ω ∧ dg + g −1 dg ∧ g −1 ωg
− dg −1 g ∧ g −1 dg
=
g −1 ω ∧ ωg + g −1 ω ∧ dg + g −1 dg ∧ g −1 ωg − dg −1 ∧ dg
elde ederiz. Benzer ³ekilde,
dω ′ = dg −1 ω g + g −1 dω g − g −1 ω ∧ dg + dg −1 ∧ dg
olur. Dolaysyla,
Ω′ = ω ′ ∧ ω ′ + dω ′
= g −1 (ω ∧ ω) g + g −1 dg ∧ g −1 ω g + dg −1 ∧ ω g + g −1 dω g
= g −1 (ω ∧ ω) g + (g −1 dg g −1 ) ∧ ω g + dg −1 ∧ ω g + g −1 dω g
= g −1 (ω ∧ ω) g − dg −1 ∧ ω g + dg −1 ∧ ω g + g −1 dω g
= g −1 (ω ∧ ω + dω) g
= g −1 Ω g
bulunur.
2
307
Euler Karakteristik Snf
Önerme 6.1.4. Yukardaki vektör demetinin ortonormal yerel bir çats
{sα }
ise bu çatya kar³lk gelen Christoel sembolleri, ba§lant ve e§rilik formu için
Γβiα = −Γαiβ , ωαβ = −ωβα , Ωβα = −Ωαβ
e³itlikleri sa§lanr.
Kant : Çat ortonormal oldu§undan
(sα , sβ ) = δαβ
olur. Buradan,
0 = ∇ei (sα , sβ )
= (∇ei sα , sβ ) + (sα , ∇ei sβ )
∑ γ
=
Γiα (sγ , sβ ) + Γγiβ (sα , sγ )
γ
= Γβiα + Γαiβ
α
Γβiα = −Γiβ
görülür. 2
ve dolaysyla,
kolayca
elde ederiz. Kantn geri kalan e§rili§in ifadesinden
Bu önermenin sonucu olarak e§rilik formunun ortonormal bir çatda manifold üzerindeki 2-formlarn ters simetrik matrisi oldu§unu görürüz. Derecesi
çift say olan formlar de§i³meli bir halka olu³turdu§undan bu matrisin determinant iyi tanmldr. ki ortonormal çat arasndaki
g
taban de§i³tirme matrisi
ortogonaldir. Ayrca çatlar, yönlendirilmi³ bir demetin yönlendirilmi³ çatlar
ise her
x∈M
için,
g(x) ∈ SO(r)
olacaktr.
Ters Simetrik Matrislerin Pfaan:
Bir önceki örnekteki
F 2-formu Ω
e§rilik tensörünün yukardaki yerel çat seçiminden ba§msz olan bir de§i³mezidir. Aslnda
F, Ω
e§rilik formunun Pfaan' olarak bilinen bir de§i³mezi-
Ω = [ωij ]
ters simetrik bir
matris ise
P f af f (Ω) ters simetrik matrisin bile³enlerinin
det(Ω)'nin kareköküdür: (P f af f (Ω))2 = det(Ω).
bir polinomudur.
Kabaca
Tek boyutlu ters
dir. “imdi bunu biraz daha detayl olarak görelim:
simetrik bir matrisin determinant sfr oldu§undan Pfaan' da sfr olarak
(2r − 1) × (2r − 1)-boyutlu ters simetrik bir matris olmak üzere
det(A) = det(AT ) = det(−A) = (−1)2r−1 det(A) = − det(A) oldu§undan
det(A) = 0 olur).
A (2n × 2n)-lik ters simetrik bir matris olsun. Bu matrisin bir λ karma³k
özde§erini ve bu özde§ere ait bir v özvektörünü alalm: Av = λv . Di§er
taraftan, A gerçel katsayl bir matris oldu§undan Av̄ = λ̄v̄ olur. Ayrca A
tanmlanr (A
ters simetrik oldu§undan her özde§er tamamen sanal bir saydr:
λ < v, v > = < λv, v >
= < Av, v >
= < v, A∗ v >
= < v, −Av >
= < v, −λv >
= −λ̄ < v, v >
308
Karakteristik Snar
oldu§undan
yine
A
λ + λ̄ = 0
λ ∈ Ri
elde ederiz. O halde,
olmaldr. Di§er taraftan,
ters simetrik oldu§undan farkl özde§erlere ait özvektörler birbirine dik
olacaktr:
λ 1 < v 1 , v2 > = < λ 1 v 1 , v 2 >
= < Av1 , v2 >
= < v1 , A∗ v2 >
= < v1 , −Av2 >
= < v1 , −λ2 v2 >
= −λ̄2 < v1 , v2 >
= λ2 < v1 , v2 >
λ1 ̸= λ2
Cn vektör
elde ederiz. Son olarak,
³ekilde,
A
matrisinin,
< v1 , v2 >= 0 olmaldr. Benzer bir
uzay içinde {v1 , v2 } vektörlerinin gerdi§i
ise
uzayn dik tümleyeni üzerinde bir operatör tanmlad§n görürüz. Buradan
tümevarm yöntemiyle
A
matrisini kö³egen hale getirebiliriz. Herhangi bir
karma³k özvektörünün gerçel ve sanal ksmlar
λv = Av
v = ξ + iη
ve
λ = ia
v
ise
denkleminden
−aη + ia ξ = ia(ξ + iη) = A(ξ + iη) = Aξ + iAη
elde ederiz. O halde,
{ξ1 , η1 , · · · , ξn , ηn }
Aξ = −aη
ve
Aη = aξ
olur. Son olarak,
gerçel tabanndaki gösterimi

0
a1
 −a1 0

 ..
.
.
 .
.

 0
···
0
···
0
0
···
···
..
.
.
.
0
0
ters simetrik matrisi olur. Bu durumda
says olarak tanmlanr.
Hatrlatma 6.1.5. Örne§in,
(
A=
.
A
0
−an
matrisinin

0
0 

. 
. 
.

an 
0
matrisinin Pfaan'
0 a
−a 0
A
a1 · · · an
gerçel
)
ters simetrik matrisinin Pfaf-
a'dr ve bu P f af f (A) = a∑³eklinde yazlr. Genel olarak A = [aij ]2r×2r
ters simetrik bir matris ve ω =
i<j aij ei ∧ ej ({e1 , · · · , e2r } herhangi bir
vektör uzaynn bir taban olmak üzere) ise P f af f (A) a³a§daki e³itlik yardan'
myla da tanmlanr:
1 r
ω = P f af f (A) (e1 ∧ · · · ∧ e2r ).
r!
Ters simetrik bir matrisin Pfaan', karesi determinant polinomu olan bir ba³ka polinomdur. Bunu görmek için ayn satr ve sütun i³lemlerini yaparak matrisin
a12 = −a21
bile³enleri hariç ilk iki satr ve sütunu tamamen sfr yapalm.
Elde edilen matris yine ters simetrik olacaktr. “imdi tümevarm metodunu
kullanarak kant bitirebiliriz (bkz. Al³trma 1).
309
Euler Karakteristik Snf
Ω = [Ωlk ]
ortonormal bir çatda yazlan e§rilik formu olsun. Ayn tensörü
bir ba³ka ortogonal çatda yazarsak elde edilen matris,
g : M → SO(r)
türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,
Ω′ = g −1 Ωg
olaca§ndan
P f af f (Ω′ ) = P f af f (Ω)
elde ederiz. Ba³ka bir deyi³le,
P f af f (Ω)
yerel ortonormal çatnn seçiminden ba§mszdr.
Örnek 6.1.6.
O(ki ) → CP 1 , i = 1, · · · , n
vektör demetlerini
Pi : M = CP 1 × · · · × CP 1 → CP 1 ,
(p1 , · · · , pn ) 7→ pi ,
Li = P ∗ (O(ki )). Karma³k yaplar
göz ard edersek, E = L1 ⊕ · · · ⊕ Ln → M rank 2n olan yönlendirilmi³
(karma³k yönlendirme ile) bir gerçel vektör demeti olur. Her i = 1, · · · , n
1
için, si : CP
→ O(ki ) demetin sfr kesiti ile dik kesi³en bir kesiti ise
s = (s1 , · · · , sn ) : M → E fonksiyonu da sfr kesiti ile dik kesi³en bir kesit verir ve dolaysyla E → M demetinin Euler says k1 · · · kn çarpmdr.
Di§er taraftan, Örnek 6.1.2'de verilen metri§in uygun çarpmn E üzeri-
iz dü³üm fonksiyonlar ile geri çekelim:
ne koyalm. Metrik çarpm ³eklinde oldu§undan ba§lant formu ve e§rili§i de
çarpm ³eklinde olacaktr:
P f af f (ΩE ) = P f af f (ΩO(k1 ) ) ∧ · · · ∧ P f af f (ΩO(kn ) ) .
Yine Örnek 6.1.2'den dolay
(
1
2π
)n ∫
P f af f (ΩE ) = k1 · · · kn
M
olacaktr.
E§rilikle ilgili çal³mamz biraz daha ilerletelim:
E →M
rank iki olan
yönlendirilmi³ bir vektör demeti olsun. Demet üzerine bir iç çarpm ve bununla
uyumlu bir ba§lant formu koyalm. Yerel bir koordinat sistemi üzerinde seçilen
ortonormal bir çatda ba§lant matrisi ve e§rilik matrisi a³a§daki gibidir:
(
Ω=
Ω11 Ω12
Ω21 Ω22
Dolaysyla,
)
(
=
0
Ω12
−Ω12 0
P f af f (ΩE ) = dω21
)
(
= dω + ω ∧ ω =
0
dω21
−dω21
0
)
.
formu kapal bir formdur. (Bu form, her
kapal form gibi, yerel olarak tamdr. Di§er taraftan, önceki örnekte bu formun
tam olmayabilece§ini gördük.)
310
Karakteristik Snar
“imdi a³a§daki teoremi kantlamak için son bir hazrlk yapaca§z. Yukarda elde etti§imiz
Ω = dω + ω ∧ ω
e³itli§in d³ türevini alalm
dΩ = d2 ω + dω ∧ ω − ω ∧ dω = dω ∧ ω − ω ∧ dω
ve burada
dω
yerine
dω = Ω − ω ∧ ω
koyalm. Böylece a³a§daki sonucu kantlam³ olduk.
Teorem 6.1.7 (Bianchi Özde³li§i).
dΩ = Ω ∧ ω − ω ∧ Ω.
“imdi bu bölümün, Genelle³tirilmi³ Gauss-Bonnet Teoremi ya da ChernGauss-Bonnet Teoremi olarak bilinen, ana sonucunu verebiliriz.
Teorem 6.1.8 (Genelle³tirilmi³ Gauss-Bonnet Teoremi).
bilir bir manifold üzerinde yönlendirilmi³
r-boyutlu
E→M
türevlene-
bir vektör demeti olsun.
Ω
vektör demeti üzerinde verilen herhangi bir metrik ile uyumlu bir ba§lant formunun ortonormal bir tabandaki e§rilik formu olmak üzere
P f af f (Ω)
kapal
bir formdur ve vektör demetinin Euler snf
(
e(E) =
1
√
2π
)r
[P f af f (Ω)]
ile temsil edilir.
Kant : Kant üç admda yapaca§z.
Adm 1) Önce Milnor-Stashe 'in sunumunu takip ederek
P f af f (Ω)
formu-
nun kapal oldu§unu gösterece§iz. Gösterimi basitle³tirmek için, herhangi bir
A = [Alk ] ∈ M (r, Ω2 (M ))
matrisi için
P f af f ([Alk ])
ifadesini ksaca
P ([Alk ])
olarak yazalm. Bu ifadenin ksmi türevlerinden olu³an matrisin devri§ini ³u
³ekilde gösterelim:
[
]
∂P T
.
′l
P (A) = P k =
.
∂Alk
′
Do§rudan hesap yaparak
dP ([Ωlk ])
e³itli§ini buluruz. Dolaysyla,
∑ ( ∂P )
=
∧ dΩlk ,
l
∂Ωk
k,l
dP (Ω) = T r(P ′ (Ω) ∧ dΩ)
matris çarpmnn
izine e³ittir (bkz. Al³trma 2). Bu sonucu Bianchi Özde³li§i ile birle³tirirsek
dP (Ω) = T r(P ′ (Ω) ∧ Ω ∧ ω − P ′ (Ω) ∧ ω ∧ Ω),
(∗)
311
Euler Karakteristik Snf
Ω ∧ P ′ (Ω) = P ′ (Ω) ∧ Ω oldu§unu gösterece§iz.
.
j
Bunun için ilk önce,
= [Ei ] = [δik δjl ] matrisini tanmlayalm (di§er bir
l
deyi³le, [Fk ] ile l'inci satr ve k 'inci sütundaki eleman bire e³it olan ve di§er
l
tüm elemanlar sfr olan matrisi gösteriyoruz). (I + tFk ) matrisinin yeterince
küçük t ∈ R de§erleri için tersi oldu§undan
e³itli§ini elde ederiz. “imdi de
Fkl
P ((I + tFkl )Ω) = P (Ω(I + tFkl ))
e³itli§i sa§lanr. O halde, bu e³itli§in zamana göre türevini alp
yerine koyarsak
t=0
de§erini
T r(P ′ (Ω) ∧ Fkl Ω) = T r(P ′ (Ω) ∧ ΩFkl )
elde ederiz. Açk bir ³ekilde yazmak gerekirse, izlerini ald§mz matrisler ³u
³ekilde olacaktr:
P ′ (Ω) ∧ Fkl Ω


P ′ (Ω) ∧ Fkl Ω = 
çarpm
P1′1 · · · P1′r


0 ··· 0
Ω11 · · · Ω1r

 .
.
.  .
. 
· · · ..   .. 1 ..   .. · · · .. 
Pr′1 · · · Pr′r
0 ··· 0
Ωr1 · · · Ωrr
 ′l k

P 1 Ω1 · · ·
0


.
.
.
.
..
.
= 

.
.
′l
k
0
· · · Pr Ωr
olur. Dolaysyla,
.
.
.
T r(P ′ (Ω) ∧ Fkl Ω) =
∑
Pi′l Ωki
i
elde ederiz. Benzer ³ekilde ikinci terimini de hesaplayarak
r
∑
Pi′l
Ωki
=
i=1
r
∑
Pk′i Ωil
i=1
e³itli§ini elde ederiz. Bu ise tam olarak
Ω ∧ P ′ (Ω) = P ′ (Ω) ∧ Ω
özde³li§ine denktir. Son olarak e§er
kardaki (∗)
.
X = P ′ (Ω) ∧ ω
olarak tanmlanrsa yu-
e³itli§inden
dP (Ω) = T r(P ′ (Ω) ∧ Ω ∧ ω − P ′ (Ω) ∧ ω ∧ Ω)
= T r(Ω ∧ P ′ (Ω) ∧ ω − P ′ (Ω) ∧ ω ∧ Ω)
= T r(Ω ∧ X − X ∧ Ω)
∑
=
Ωlk ∧ Xlk − Xlk ∧ Ωlk
k,l
= 0
312
Karakteristik Snar
elde ederiz (en son e³itlik
Ωlk 'nin 2-form
olmasndan elde edilmi³tir). Böylece
bu admn kant tamamlanm³ oldu.
P f af f (Ω)
Adm 2)
kapal formunun kohomoloji snf vektör demeti üzerinde
seçilen metrikten ba§mszdr: Bunu görmek için,
E→M
üzerinde
gi , i =
0, 1, gibi iki metrik ve bu metrikler ile uyumlu ba§lantlar alalm (Sonuç 3.3.13).
Bu ba§lantlarn e§rilik tensörleri de, srasyla, Ω0 ve Ω1 olsun. lk önce
P : M × (−1, 2) → M, (p, t) 7→ p ,
fonksiyonu yardmyla vektör demetini geri çekelim:
F = P ∗ (E) → M × (−1, 2) .
M × (−1, 2)
U = M × (−1, 3/4), V = M × (1/4, 2)
ρU , ρV birimin ayr³mn alalm. “imdi bunu
F → M × (−1, 2) demeti üzerine a³a§daki iç çarpm koyalm:
çarpm manifoldunun
açk örtüsü ile uyumlu bir
kullanarak
g(p, t) = ρU (p, t) g0 (p) + ρV (p, t) g1 (p) .
M × (−1, 1/4) üzerinde g0 ve M × (3/4, 2) üzerinde de g1 ile
verilecektir. F → M × (−1, 2) demeti üzerindeki bu metri§in e§rilik formu
da Ω ile gösterelim. Son olarak i0 : M → M × (−1, 2), p 7→ (p, 0) ve
i1 : M → M × (−1, 2), p 7→ (p, 1) fonksiyonlar homotopik ve P f af f (Ω)
Bu metrik
kapal oldu§undan
[P f af f (Ω0 )] = i∗0 ([P f af f (Ω)]) = i∗1 ([P f af f (Ω)]) = [P f af f (Ω1 )]
elde ederiz ve böylece bu admn kant tamamlanr.
Adm 3)
(
ν=
1
√
2π
)r
P f af f (Ω)
s:M →E
olsun. Demetin sfr kesiti ile dik kesi³en bir
N m−r = s−1 (0) ⊆ M
kesitini alalm ve
alt manifoldu olarak tanmlansn. O halde, teoremin
kantn tamamlamak için,
[ν]
kohomoloji snfnn
N
alt manifoldunun
Poincaré duali oldu§unu göstermeliyiz. Bunun için herhangi bir
yönlendirilmi³ tkz
K→M
K
manifoldu ve
N
r-boyutlu
i :
manifoldu ile dik kesi³en bir
türevlenebilir fonksiyonu alalm. Bu durumda, Hatrlatma 5.2.7'den
dolay kant tamamlamak için
∫
Int(N, i(K)) =
i∗ ν
K
oldu§unu göstermeliyiz.
i : K → M fonksiyonu ile vektör demetini ve üzerini∗ (E) → K vektör demetinin e§rilik formu
deki yaplar geri çekelim. O halde,
i∗ (Ω),
ve dolaysyla da
∗
i (ν) =
(
1
√
2π
)r
(P f af f (i∗ (Ω)))
313
Euler Karakteristik Snf
i∗ (E) → K ile de§i³tirerek m =
r oldu§unu kabul edebiliriz. Bu durumda N = s−1 (0) ⊆ M sonlu sayda
i³aretli noktadan olu³acaktr. m = r saynn tek olmas durumunda kantlamak
istedi§imiz e³itli§in her iki taraf da sfr oldu§undan m = r saysnn çift
oldu§unu kabul edece§iz. Demetin Euler says e(E) olsun.
m
“imdi bir p ∈ D1 ⊆ M disk kom³ulu§u seçelim öyle ki, disk üzerinde
olmaldr. Ayrca,
E → M
demetini
kesitin sfr olmasn ve vektör demeti disk üzerinde çarpm ³eklinde verilsin.
“imdi bu disk üzerinde bir homotopi kullanarak metri§i standart metrik haline getirelim. Ayrca yine metrikle uyumlu olacak ³ekilde ba§lant formunu
bu disk üzerinde de§i³tirelim öyle ki, diskin snrndan merkeze olan uzakl§n
yarsna gelene kadar ba§lant formu da türevlenebilir bir ³ekilde sfra dönü³sün (Sonuç 3.3.13'un sabit katsayl metrik için vermi³ oldu§u ba§lant sfr
ba§lantsdr). Ba§lant formunun sfr oldu§u diskin üzerinde
ν
formu da
sfr olacaktr. Ayrca bu disk üzerinde kesitin sfr olmad§ndan, diskin snrna kstland§nda, kesiti homotopi ile sabit bir fonksiyona dönü³türebiliriz
(Önerme 4.3.31).
“imdi de Örnek 6.1.6'da
olu³turdu§umuz
E0 → S = (CP 1 )m/2
vektör demetini ele alalm:
k1 = e(E), k2 = · · · = km/2 = 1 olarak seçilsin.
q ∈ D2m ⊆ S diski
Bu manifold üzerinde de yukardaki paragraftaki gibi bir
alalm. Bu disk üzerinde ba§lant formunun sfr oldu§unu kabul edelim. Her
iki vektör demeti de bu diskler üzerinde
Dm × Rm → Dm , (x, v) 7→ x,
a³ikar çarpm ³eklindedir. Bu iki diskin iç noktalar üzerindeki (merkez noktalarn atalm) lieri a³a§daki gibi birbirine yap³tralm:
Int(D1m − {p}) × Rm
∪
˙
Int(D2m − {q}) × Rm /(x, v) ∼ (ϕ(x), v) ,
p=q =0
öyle ki, uygun öteleme fonksiyonlar yardmyla
ϕ : Int(D1m − {0}) → Int(D2m − {0})
ederek
oldu§unu kabul
a³a§daki bile³ke fonksiyonu
olarak tanmlansn,
Int(D1m − {0}) −→ Rm − {0} −→ Rm − {0} −→ Int(D2m − {0}) ,
x 7→ y =
O halde,
−S
ile
S
ma fonksiyonu bize
y
z
x
7→ z =
7→ w =
.
2
1 − ∥x∥
∥y∥
1 + ∥z∥
manifoldunun ters yönlendirilmi³ini gösterirsek bu yap³tr-
M♯ − S
vektör demeti verecektir. Bu demetin
S − D2
üzerine kstlan³ ise
E1 → M ♯ − S
kstlan³ E
ve
toplam manifoldu üzerinde bir
E0
M − D1
üzerine
olacaktr. Ayrca, her iki manifold üzerindeki
kesitleri yap³trarak elde edilen kesitin sfrlarnn cebirsel toplam sfr olacaktr, çünkü
x 7→ ϕ(x)
yap³trma fonksiyonu yönü ters çevirir. “imdi sfrlar
314
Karakteristik Snar
ayr ayr içeren küçük diskler alalm ve daha sonra bu diskleri birbirine ince
tüplerle ba§layarak yeni bir disk elde edelim. Diskin üzerinde vektör demetini bir çarpm ³eklinde yazalm. Daha sonra diskin her bir noktasndaki lini
diskin seçti§imiz bir noktasndaki li ile e³leyelim. Disk kesitin tüm sfrlarn
içerdi§i için, diskin snrnda kesiti küreden küreye derecesi sfr olan bir fonksiyon olarak görebiliriz (Önerme 4.3.29). Bu fonksiyon bir sabite homotopik
oldu§undan vektör demetinin hiç sfr olmayan bir kesitini elde etmi³ oluruz
(Önerme 4.3.31). Bu kesit demetin biri a³ikar do§ru demeti olmak üzere iki
vektör demetinin toplam ³eklinde yazlabilmesi anlamna gelir. Bunu görmek
için vektör demeti üzerinde herhangi bir iç çarpm alalm ve demeti hiç sfr
olmayan kesitin gerdi§i do§ru demeti ile bu kesite dik vektörlerden olu³an demetin direkt toplam olarak yazalm. Bu toplam demetin üzerinde seçti§imiz iç
çarpma kar³lk gelen e§rilik her bir toplamn e§rili§ini ifade eden matrislerin
direkt toplam olacaktr. Fakat (a³ikar) bir do§ru demetinin e§rili§i her zaman
sfrdr. Bu durumda e§rilik matrisinin Pfaan' da sfr olacaktr. Dolaysyla, toplam vektör demeti üzerinde birbirine yap³trlarak elde edilen ba§lant
m-formunun integrali sfr olmaldr. O halde,
)r
1
√
P f af f (Ω)M ♯−S
2π
M ♯−S
)r
)r
∫ (
∫ (
1
1
√
√
P f af f (Ω)M +
P f af f (Ω)S
2π
2π
M
−S
)r
)r
∫ (
∫ (
1
1
√
√
P f af f (Ω)M −
P f af f (Ω)S
2π
2π
M
S
)r
∫ (
1
√
P f af f (Ω)M − e(E)
2π
M
formunun e§rili§inin verdi§i
∫
0 =
=
=
=
(
elde edilir ve kant tamamlanr. En son admdaki
∫ (
S
e³itli§i
1
√
2π
E0 → S = (CP 1 )m/2
)r
P f af f (Ω)S = e(E)
vektör demetinin seçiminin bir sonucudur.
2
Hatrlatma 6.1.9. Euler snfnn önceki bölümde verilen topolojik tanmn-
dan ya da yukardaki teoremin kantnda kullanlan kirlerden yararlanarak
a³a§daki sonuçlar kolayca kantlayabiliriz.
1)
Ei → M , i = 1, 2,
yönlendirilmi³ vektör demetleri ise
e(E1 ⊕ E2 ) = e(E1 ) e(E2 )
olur.
türevlenebilir bir fonksiyon ve E → N yönlendirilmi³ bir
∗
∗
vektör demeti ise e(f (E)) = f (e(E)) olur. Bu bilgiyi kullanarak ³u ilginç
2)
f :M →N
315
Euler Karakteristik Snf
sonuca varrz:
M 2n
yönlendirilmi³ ba§lantl tkz bir manifold ise, her k
f : M → S 2n fonksiyonu
tam says için, derecesi k olan türevlenebilir bir
2n
vardr. O halde, e(T∗ S ) = 2 oldu§undan
f ∗ (T∗ S 2n ) → M
Euler says
2k
olan bir vektör demetidir.
Herhangi bir yönlendirilmi³
3)
E→M
vektör demetinin duali
E∗
ise
e(E ∗ ) = irank(E) e(E)
olur.
Herhangi bir yönlendirilmi³
4)
E→M
vektör demetinin ters yönlüsü
−E
ise
e(−E) = −e(E)
olur. Yönlendirilebilir bir manifoldun Euler snf manifoldun yönlendirmesine
duyarl oldu§u halde Euler says yönlendirmeden ba§mszdr:
∫
−M
∫
e(T∗ (−M )) =
∫
−M
e(−T∗ (M )) =
Ricci E§rili§i ve Saysal E§rilik:
−M
∫
−e(T∗ M ) =
M
e(T∗ M ) .
Riemann tensöründen ba³ka tensör-
ler elde edebiliriz. Bunlardan birincisi Ricci e§rilik tensörüdür ve ³u ³ekilde
tanmlanr:
. ∑
. ∑ k
Rikj .
Ric =
Rij dxi ⊗ dxj , Rij =
ij
k
Bu tensör simetriktir. Bu tensörün metrik izi ³u ³ekilde tanmlanr ve Riemann
manifoldunun saysal e§rili§i adn alr:
. ∑ ij
S = T rg Ric =
g Rij .
ij
Örnek 6.1.10.
Σ ⊆ R3
yüzeyi yerel olarak türevlenebilir bir
f : U → R
fonksiyonun gra§i olsun:
Σ = {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ U } .
Bu durumda yüzeyin te§et demeti üzerinde
(
g=
R3
1 + fx2 fx fy
fx fy 1 + fy2
Öklit uzayndan gelen metrik
)
316
Karakteristik Snar
matrisi ile verilir. Do§rudan hesap yaparak Christofel sembolleri a³a§daki gibi
elde edilir:
fx fxx
1 + fx2 + fy2
fx fyy
=
1 + fx2 + fy2
fx fxy
=
1 + fx2 + fy2
fy fxx
1 + fx2 + fy2
fy fyy
=
1 + fx2 + fy2
fy fxy
= Γ221 =
.
1 + fx2 + fy2
Γ111 =
, Γ211 =
Γ122
, Γ222
Γ112 = Γ121
, Γ212
Buradan Ricci e§rilik tensörünü hesaplayabiliriz:
κ=
2
fxx fyy − fxy
(1 + fx2 + fy2 )2
olmak üzere
1
2
2
R11 = R111
+ R121
= R121
= κ(1 + fx2 )
1
2
1
R12 = R112
+ R122
= R112
= κ(fx fy )
1
2
2
R21 = R211
+ R221
= R221
= κ(fx fy )
1
2
1
R22 = R212
+ R222
= R212
= κ(1 + fy2 ) .
Son olarak saysal e§rilik
S=
∑
g ij Rij = 2κ
ij
olarak elde edilir. Aslnda,
κ
yüzeyin Gauss e§rili§idir ve dolaysyla yüzeyler
için, saysal e§rilik Gauss e§rili§inin tam olarak iki katdr (bkz. Al³trma 4).
E§er te§et demeti için
{e1 = (1, 0, fx ), e2 = (0, 1, fy )}
tensörü a³a§daki gibi olur:
(
Ω=
Bu çaty
Ω11 Ω12
Ω21 Ω22
)
(
= dω + ω ∧ ω = κ
çatsn seçersek e§rilik
fx fy
1 + fy2
−(1 + fx2 ) −fx fy
)
dx ∧ dy .
a = 1 + fx2 + fy2 olmak üzere
}
{
fy
fy
fx
fx
√
e1 − √
e2 , √
e1 + √
e2
a−1
a−1
a2 − a
a2 − a
ortonormal çats ile de§i³tirirsek yeni e§rilik formu
g
−1
√
Ωg = a κ
(
0 1
−1 0
)
dx ∧ dy
ile verilir. Dolaysyla, yüzeyin te§et demetinin Euler snf
e(T∗ Σ) =
2
fxx fyy − fxy
1
P f af f (g −1 Ωg) =
dx ∧ dy
2π
2π (1 + fx2 + fy2 )3/2
317
Euler Karakteristik Snf
(b) Düzlemin üzerindeki standart
Riemann metri§i ötelemeler altn2
2
2
da korundu§u için T = R /Z bö-
(a) Yukardaki tek kulplu kürenin,
lüm uzay üzerinde, Gauss e§rili§i
di§er bir deyi³le torusun yüzeyinin
her noktada sfr olan bir Riemann
büyük bölümünde e§rilik pozitif ol-
metri§i verir. Fakat bu metri§i
du§u halde, Gauss-Bonnet Teore-
torusun üzerine yukardaki ³ekil-
mi'ne göre e§rili§in yüzey üzerin-
de gösterilen yöntemle koyamayz!
deki integrali sfrdr.
(Bkz. Al³trma 7 ve Al³trma 8)
“ekil 6.1
ile temsil edilir.
Bu yüzeyin Gauss e§rili§inin
2
fxx fyy − fxy
κ=
(1 + fx2 + fy2 )2
ile verildi§ini söylemi³tik. Aslnda do§rudan hesap yaparak,
yüzeyin Gauss
σ : U → R3 − {(0, 0, 0)} , σ(x, y) = (fx , fy , −1)
√
.
1 + fx2 + fy2 dx ∧ dy yüzeyin
gönderimi ve dS =
üç boyutlu
uzaydan ald§ alan formu (bkz. Örnek 3.2.16) olmak üzere
ω=
kapal
x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy
∈ Ω2 (R3 − {(0, 0, 0)})
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
2-formu
için
σ ∗ (ω) = κ dS
elde edilir (bkz. Al³trma 5). Di§er taraftan, e§er
Σ, Euler says e(Σ) = 2−2g
olan tkz bir yüzey ise (bkz. Örnek 5.2.11) bir önceki örnek bize Gauss-Bonnet
Teoremi olarak bilinen sonucu verir.
Sonuç 6.1.11 (Gauss-Bonnet Teoremi).
∫
κ dS = 2π χ(Σ) = 4π(1 − g) .
Σ
318
Karakteristik Snar
“imdi yukarda verdi§imiz sonucun de§i³ik kirler içeren bir ba³ka kantn
verece§iz.
Kant : Kant dört admdan olu³maktadr.
Yukardaki gösterimi kullanarak devam edelim. Al³trma 5'den
Adm 1)
dolay
yüzeyin
σ : U → R3 − {(0, 0, 0)} , σ(x, y) = (fx , fy , −1)
√
Gauss gönderimi, dS =
1 + fx2 + fy2 dx ∧ dy yüzeyin
üç boyutlu
uzaydan ald§ alan formu ve
ω=
kapal
x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy
∈ Ω2 (R3 − {(0, 0, 0)})
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
2-formu
olmak üzere yüzeyin Gauss e§rili§i için
σ ∗ (ω) = κ dS
oldu§unu biliyoruz.
Adm 2)
Uzaydaki
Σ ⊆ R3
σ : Σ → R3 − {(0, 0, 0)}
yüzeyinin
Gauss
gönderimini yüzeyin her noktasna o noktadaki te§et uzayn kar³lk getiren
gönderim olarak görebiliriz.
σ(p)
vektörünü boyuna bölersek Gauss gönderimi
σ : Σ → S2
³eklinde de ifade edebiliriz. Aslnda üç boyutlu uzaydaki yönlendirilmi³ düzlemleri, yönlendirilmi³ normal vektörleri ile e³leyerek,
S2
küresini üç boyutlu
uzaydaki yönlendirilmi³ düzlemlerin uzay olarak görebiliriz.
GrR (n, 2)
ile
Rn
içindeki yönlendirilmi³ düzlemlerin uzayn gösterelim (bkz. Sayfa 168). Bu
durumda
GrR (3, 2) = S 2 = CP 1
olur. Kolayca görülece§i üzere
GrR (2, n) = {(u, v) ∈ S n−1 × S n−1 | u⊥v}/ ∼ ,
bölüm kümesi olarak yazlabilir. Buradaki
{
(u1 , v1 ) ∼ (u2 , v2 ) ⇔
ile verilir.
∼
ba§nts
u2 = cos θ u1 − sin θ v1
v2 = sin θ u1 + cos θ v1
,θ ∈ R ,
GrR (n, 2) boyutu 2(n − 2) olan türevlenebilir bir
(n − 1)-boyutlu karma³k projektif uzaya do§al
Bu manifolddan
manifolddur.
bir fonksiyon
vardr:
Φ : GrR (n, 2) → Cn − {0}/ ∼= CP n−1 , [(u, v)] 7→ [u + iv] .
n=3
oldu§u durumda bu fonksiyon bir difeomorzmadr. Bu fonksiyonun açk
bir fonksiyon oldu§u kolayca görülür. Di§er taraftan
GrR (n, 2)
tkzdr, çünkü
319
Euler Karakteristik Snf
tkz bir uzayn bölüm uzaydr. Son olarak karma³k projektif uzay ba§lantl
Φ örten bir fonksiyondur.
F : Σ × [0, 1] → Rn türevlenebilir
oldu§undan
“imdi,
t ∈ [0, 1]
bir fonksiyon olsun, öyle ki, her
için
ft = F (−, t) : Σ → Rn , p 7→ F (p, t) ,
bir batrma fonksiyonu olsun. Dolaysyla, bu fonksiyon
ft
batrmalarnn türevlenebilir bir ailesidir.
σt
Σ
yüzeyinin
Rn
içine
batrmasnn Gauss gönderimini
ile gösterirsek
σt : Σ × [0, 1] → GrR (n, 2)
Φ
türevlenebilir homotopisini elde ederiz. Bu fonksiyonun
ile bile³kesinden
Φ ◦ σt : Σ × [0, 1] → CP n−1
2 (CP n−1 ) karma³k do§ru
a ∈ HDR
Σ ⊂ R3 birinci admdaki yüzey ise
homotopisini elde ederiz.
rali bir olan 2-form ve
üzerindeki integ-
κ dS = σ ∗ (ω) = 4π(Φ ◦ σ0 )∗ (a)
(f0
= id
oldu§unu kabul ediyoruz) olur. Dolaysyla, her
∫
∫
κ dS =
Σ
∫
∗
σ (ω) =
Σ
t ∈ [0, 1]
için
4π(Φ ◦ σt )∗ (a)
Σ
olur.
Σ
Sonuç olarak,
Rn
yüzeyinin
içine iki farkl batrlmas homotopik ise
bu farkl batrmalara kar³lk gelecek olan
∫
κ dS
Σ
integrali de§i³meyecektir. Bir sonraki admda herhangi iki batrmann her zaman homotopik oldu§unu görece§iz (içine batrlan uzayn boyutunun artrlmasna izin verilmesi kaydyla).
Adm 3)
Bu admda üç boyutlu uzaydan yedi veya daha büyük boyutlu
Öklit uzayna derecesi en fazla
d≥1
olan polinom batrmalarn olu³turdu§u
uzayn (yol) ba§lantl oldu§unu gösterece§iz. Derecesi en fazla
d≥1
olan üç
de§i³kenli polinomlarn olu³turdu§u vektör uzaynn boyutu
(
s=
saysdr. Aslnda bu say derecesi
derecesi en fazla
d
)
olan monomiyallerin saysdr. Dolaysyla,
olan üç de§i³kenli bir polinomu
Rs
içinde bir nokta olarak
P = (x0 , y0 , z0 ) ∈
(x, y, z)
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) ile de§i³tirerek P = (0, 0, 0) ∈ R3
görebiliriz. “imdi bir
sistemini
s
3+d
d
R3 noktas alalm.
koordinat
oldu§unu
320
Karakteristik Snar
kabul edebiliriz.
P = (0, 0, 0)
f1 , · · · , fk+3 ∈ Rs (k + 3)-tane
polinom olsun. Bu durumda,
noktasnn
ϕ : (f1 , · · · , fk+3 ) : R3 → Rk+3
fonksiyonu için bir kritik nokta olup olmamas bu polinomlarn sadece do§rusal terimleri ile belirlenir. Kritik nokta olma ko³ulu polinomlarn katsaylar
üzerine
(k + 1)-tane
do§rusal ba§msz ko³ul koyar. Dolaysyla, bu noktay
(f1 , · · · , fk+3 ) fonksiyonlarn olu³turdu§u alt uzayn
s(k+3)
R
içindeki ters boyutu k + 1 olur. E§er,
kritik nokta kabul eden
E = {((x, y, z), f1 , · · · , fk+3 ) ∈ R3 × Rs(k+3) |
rk(D(f1 , · · · , fk+3 )(x,y,z) ) ≤ 2}
olarak tanmlanrsa
π : E → R3 , ((x, y, z), f1 , · · · , fk+3 ) 7→ (x, y, z)
iz dü³üm fonksiyonu örtendir. Bütün lier e³yapldr ve ters boyutlar
(
1
olan
k+3
2
)
-tane do§rusal alt uzayn birle³imidir. Dolaysyla,
k+
R3 'ün
herhangi bir noktasn kritik nokta olarak kabul eden tüm
ϕ : (f1 , · · · , fk+3 ) : R3 → Rk+3
Rs(k+3) içindeki ters boyutu (k +
k ≥ 4 ise R3 uzaynn Rk+3 içine
fonksiyonlarnn olu³turdu§u kümenin
1) − 3 = k − 2
olur. O halde, e§er
polinom batrmalarnn olu³turdu§u açk küme yol ba§lantldr. Dolaysyla,
R3
uzaynn
R7
içine tüm polinom batrmalarnn olu³turdu§u uzay yol
ba§lantldr.
Σ ⊂ R3
a³a§daki yüzey olsun.
π : E → R3
lif demetini
Σ
yüzeyine
kstlayarak
π| : π −1 (Σ) → Σ , ((x, y, z), f1 , · · · , fk+3 ) 7→ (x, y, z)
lif demetini elde ederiz. Bu durumda, yüzey iki boyutlu oldu§u için yukarda söylediklerimizden dolay, bu yüzeyin
R6
içine tüm polinom batrma-
larnn olu³turdu§u uzayn yol ba§lantl oldu§unu söyleyebiliriz. Herhangi iki
fi : Σ → Rm , i = 1, 2, batrma fonksiyonu alalm. n = max{6, m} olmak üzere
Rm ⊆ Rn bir alt uzay olarak dü³ünelim ((x1 , · · · , xm ) 7→ (x1 , · · · , xm , 0, · · · , 0)
içermesiyle). Stone-Weierstrass Yakla³m Teoremi'nden bu iki batrma fonk-
gi : Σ → Rn , i = 1, 2, polinom batrmalar bulabiliriz, öyle ki, her t ∈ [0, 1] için, (1 − t)fi + tgi fonksiyonu da
yüzeyin bir batrmas olur. Bu iki homotopi sayesinde fi yerine gi polinom
batrmalaryla çal³abiliriz. Son olarak g1 ve g2 polinom batrmalar da
2
siyonuna istenildi§i kadar (C )-yakn
homotopiktir. Ba³ka bir deyi³le, bu adm tamamlam³ olduk.
321
Euler Karakteristik Snf
Bu admda ise
Adm 4)
için
Σ
yüzeyinin üç boyutlu uzaya özel bir gömülmesi
∫
κ dS
Σ
integralini hesaplayaca§z. Bu özel gömülmenin görüntüsünü
“ekil 6.2:
σ −1 (p)
ters görüntüsü
g+1
Σg
ile gösterelim.
noktadan olu³maktadr.
2 (S 2 ) = R oldu§u için sadece p = (0, 1, 0) ∈ S 2 noktas etrafndaki küçük
HDR
p ∈ U ⊂ S 2 kom³ulu§unda desteklenen ve [ω] = [ν] ko³ulunu sa§layan bir
ν ∈ Ω2 (S 2 ) formu seçebiliriz. Bu durumda σ ∗ (ν) formu
V1 ∪ · · · ∪ Vg+1 ⊆ Σ0
açk kümesinde desteklenen bir form olacaktr. Her bir
σ| : Vi → U
kstlan³-
nn bir difeomorzma oldu§u kolayca görülür. Ayrca bu difeomorzmalardan
sadece birincisi yön koruyandr ve di§er
g
tanesi ise yönü ters çevirir (bkz.
Al³trma 6).
z -ekseni ile yönlendirilmi³tir. σ| :
1 ve 2 numaral e§rilere gönderdi§i
için yön koruyandr. Di§er taraftan, σ| : Vi → U 2 numaral e§rinin yönünü korurken
1 numaral e§rinin yönünü ters çeviriyor. Dolaysyla, i ≥ 2 için σ| : Vi → U yönü
“ekil 6.3: “ekildeki dört yüzey parças da pozitif
V1 → U 1
ve
ters çevirir.
2
numaral e§rileri yine ayn yönlü
322
Karakteristik Snar
Dolaysysla,
∫
∫
∗
σ ∗ (ν)
σ (ω) =
Σ0
Σ0
=
g+1 ∫
∑
i=1
∫
σ ∗ (ν)
Vi
ν −
=
U
g ∫
∑
ν
U
i=1
= 4π(1 − g)
elde ederiz. Böylece kant tamamlanr.
2
Gauss-Bonnet Teoremi'nin farkl kantlar için [9], [4] ve [23] numaral referanslara da bakabilirsiniz. Özellikle ilk iki kaynak çok daha geometrik kantlar
sunmaktadr.
6.2
Chern Karakteristik Snar
Chern snarn tanmlamann birden fazla yöntemi vardr. Biz Bott ve Tu'nun
Dierential Forms in Algebraic Topology adl kitabndaki yakla³m kullanaca§z ([5]). Kullanaca§mz yöntem Leray-Hirsch Teoremi'nden yararlanmaktadr.
π:E→M
türevlenebilir bir
M
manifoldu üzerinde rank
r olan bir karma³k
bir vektör demeti olsun. Bu demetin Chern snarn Euler snf yardmyla
tanmlayaca§z.
Hatrlatma 3.3.2'de bir manifold üzerindeki karma³k do§ru
demetleri ile yönlendirilmi³
görmü³tük. E§er
r=1
R2
demetleri arasnda bire bir e³leme oldu§unu
ise vektör demeti aslnda bir
L→M
karma³k do§ru
demetidir. Bu karma³k do§ru demetinin birinci Chern snf bu yönlendirilmi³
gerçel düzlem demetinin Euler snf olarak tanmlanr ve
.
c1 (L) = e(LR )
ile gösterilir.
π : L → M n karma³k do§ru demetinin, herhangi iki tanesi
birbiri ile dik kesi³en s0 , · · · , sk kesitlerini alalm. Dolaysyla, e§er 2(k +1) >
n ise bu kesitlerin ortak sfr yoktur. Ba³ka bir deyi³le,
Verilen bir
.
f : M → CP k , p 7→ f (p) = [s0 (p) : · · · : sk (p)],
iyi tanml bir fonksiyondur. Ayrca, her
i = 0, · · · , k
için
Ui = {p ∈ M | si (p) ̸= 0}
açk kümeleri
M
manifoldunu örter. Bu kesitler
L|U → Ui
i
kstlan³n
Ui ×C
çarpm ³eklinde yazabilmemize olanak verir. Kesitleri bu çarpm üzerinde de
323
Chern Karakteristik Snar
yine
si : Ui → Ui × C
olarak ifade edelim. Demetin her bir
Ui
açk kümesine
kstlan³ üzerinde
L|U ≃ Ui × C → Ck+1 − {0},
i
s0 (p)
si−1 (p)
si+1 (p)
sk (p)
(p, v) 7→ (
,··· ,
, 1,
,··· ,
),
si (p)
si (p)
si (p)
si (p)
ile tanmlanan fonksiyonlar tüm demet üzerinde iyi tanml bir
Φ : L → f ∗ (ξk )
karma³k do§ru demeti izomorzmas verecektir. Burada
ξk → CP k
karma³k
projektif uzay üzerinde
ξk = {([z0 : · · · : zk ], (z0 , · · · , zk )) | (z0 , · · · , zk ) ∈ Ck+1 − (0, · · · , 0)}
ile tanmlanan kanonik karma³k do§ru demetidir (demetin iz dü³üm fonksiyo-
([z0 : · · · : zk ], (z0 , · · · , zk )) 7→ [z0 : · · · : zk ] ile verilmektedir). Dolaysyla, M manifoldu üzerindeki her karma³k do§ru demeti, kesitleri yardmyla
k
tanmlanan f : M → CP
fonksiyonu ile tamamen belirlenmektedir. Bu fonkk
n
siyona π : L → M
demetinin bir snandrma fonksiyonu, CP
uzayna ise
nu
karma³k do§ru demetlerinin bir snandrma uzay denir.
Di§er taraftan,
[x0 : · · · : xk ] ∈ CP k , [y0 : · · · : yl ] ∈ CP l
k+l
∑
i=0
i
zi t = (
k
∑
l
∑
xi t )(
y i ti )
i=0
i=0
olmak üzere
i
polinom e³itli§i yardmyla tanmlanan
ϕ : CP k × CP l → CP k+l ,
([x0 : · · · : xk ], [y0 : · · · : yl ]) 7→ [z0 : · · · : zk+l ],
fonksiyonu ele alalm. Sfrdan farkl iki polinomun çarpm da sfrdan farkl
olaca§ için bu fonksiyon iyi tanmldr.
CP k → CP k × CP l , [x0 : · · · : xk ] 7→ ([x0 : · · · : xk ], [1 : 0 : · · · : 0]),
gömme fonksiyonunun
ϕ
ile bile³kesini alrsak
CP k → CP k+l , [x0 : · · · : xk ] 7→ ([x0 : · · · : xk : 0 : · · · : 0]),
i (CP k+l )
a ∈ HDR
i (CP k × CP l ) elde
ϕ∗ (a) = a ⊗ 1 + 1 ⊗ a ∈ HDR
gömme fonksiyonunu elde ederiz. O halde, her
kohomoloji
eleman için
edilir (bkz.
Sonuç 5.3.5).
J : M → M × M, p 7→ (p, p), p ∈ M , ³eklinde verilen içerme
i
∗
i
i
fonksiyonu ise, her u, v ∈ HDR (M ) için, J : HDR (M × M ) → HDR (M )
E§er
kohomoloji homomorzmas olmak üzere,
J ∗ (u ⊗ 1 + 1 ⊗ v) = u + v
324
Karakteristik Snar
e³itli§i sa§lanr.
“imdi
M
L1 → M ve L2 → M gibi iki karma³k
si : M → Li , i = 1, 2, bu demetlerin birer kesiti
manifoldu üzerinde
do§ru demeti alalm. E§er
ise
s : M → L1 ⊗ L2 , p 7→ s1 (p)s2 (p)
fonksiyonu karma³k do§ru demetlerinin tensör çarpmnn bir kesiti olacaktr.
Li → M , i = 1, 2, karma³k do§ru demetlerinin snandrma
f : M → CP k ve g : M → CP l ise ϕ ◦ (f, g) ◦ J :
k+l
M → CP
fonksiyonu da L1 ⊗ L2 tensör çarpmnn bir snandrma
Dolaysyla,
fonksiyonlar, srasyla,
fonksiyonu olur.
Son olarak
x = c1 (ξr ) = e(ξr )
ξr → CP r
kohomoloji snf
kanonik
demetin birinci Chern snf ise Chern (Euler) snfnn do§all§ndan dolay
c1 (L1 ⊗ L2 ) = (ϕ ◦ (f, g) ◦ J)∗ (x)
= (J ∗ ◦ (f ∗ , g ∗ ))(ϕ∗ (x))
= (J ∗ ◦ (f ∗ , g ∗ ))(x ⊗ 1 + 1 ⊗ x))
= J ∗ (f ∗ (x) ⊗ 1 + 1 ⊗ g ∗ (x))
= f ∗ (x) + g ∗ (x)
= f ∗ (c1 (ξk )) + g ∗ (c1 (ξl ))
= c1 (f ∗ (ξk )) + c1 (g ∗ (ξl ))
= c1 (L1 ) + c1 (L2 )
elde edilir.
Hatrlatma 6.2.1.
Li → M , si : M → Li , i = 1, 2,
ve
s : M → L1 ⊗ L2 , p 7→ s1 (p)s2 (p),
yukardaki gibi olsun. E§er bu kesitler hem sfr kesitine hem de birbirlerine dik
−1
−1
−1
iseler s (0) = s1 (0) ∪ s2 (0) alt manifoldlarnn birle³imlerinin Poincaré
duali her iki parçann Poincaré duallerinin toplam olacaktr. Ba³ka bir deyi³le
herhangi bir alt manifoldun bu iki alt manifoldun birle³imi ile kesi³imi ayr ayr
c1 (L1 ⊗L2 ) = e(L1 ⊗L2 ) = e(L1 )+e(L2 ) =
c1 (L1 ) + c1 (L2 ) e³itli§inin daha geometrik bir açklamasdr. Ayrca L ve L∗
∗ tensör
demetlerinin geçi³ fonksiyonlar srasyla φαβ ve φαβ ise L ⊗ L
çarpmnn geçi³ fonksiyonu φαβ · φαβ gerçel ve pozitif de§erli bir fonksiyon
∗
olacaktr. Bu durumda L⊗L a³ikar karma³k do§ru demeti olur. Dolaysyla,
L(M ) ile M üzerindeki karma³k do§ru demetlerinin izomorzma snarnn
kesi³imlerinin birle³imidir. Bu ise,
olu³turdu§u de§i³meli grubu gösterirsek
2
c1 : L(M ) → HDR
(M ), [L] 7→ c1 (L) ,
bir grup homomorzmas olur. Ayrca
ile verilir.
bu grup içinde
L
elemann tersi
L∗
325
Chern Karakteristik Snar
Önerme 6.2.2. E§er
sa§lyorsa
k, n
n-boyutlu M
pozitif tam saylar
2(k + 1) > n + 1
ko³ulunu
manifoldu üzerindeki karma³k do§ru demetlerinin izo-
morzma snarnn olu³turdu§u L(M ) de§i³meli grubu, M manifoldundan
CP k karma³k projektif uzayna giden fonksiyonlarn homotopi snarnn
olu³turdu§u gruba izomorktir:
[M, CP k ] −→ L(M ) , [f : M → CP k ] 7→ f ∗ (ξk ) .
[M, CP k ]
homotopi snarnn bir grup olu³turdu§unun kant, bu önermenin
kantyla birlikte Al³trma 9'de yaplacaktr.
“imdi
1 < r-boyutlu bir π ◦ : E → M
vektör demeti alalm ve bu demetin
projektivasyonunu
CP r−1 → P (E) → M
olu³turalm (bkz. Sonuç 5.3.8
ve üzerindeki paragraf ).
π : P (E) → M iz
p ∈ M için,
dü³üm fonksiyonu yardmyla vektör demetini geri çekelim: Her
Ep = (π ◦ )−1 (p)
vektör uzay olmak üzere
π ∗ (E) = {(lp , v) ∈ P (E) × E | π ◦ (v) = p, p ∈ M, lp ∈ Ep − {0}/(C∗ )}
↓
P (E) .
Bu
r-boyutlu
karma³k vektör demetinin do§al bir alt do§ru demeti vardr:
L = {(lp , v) ∈ π ∗ (E) | v ∈ lp } .
Son olarak
(r − 1)-boyutlu Q → M
karma³k vektör demetini a³a§daki
bölüm demeti olarak tanmlayalm:
0 → L → π ∗ (E) → Q → 0 .
“imdi
2 (P (E))
a ∈ HDR
snf a³a§daki do§ru demetinin birinci Chern snf
olarak tanmlansn:
.
a = c1 (L∗ ) .
Euler snfnn ve dolaysyla birinci Chern snfnn do§all§nn bir sonucu
P (Ep ) line kstlan³nn birinci Chern snf
−a kohomoloji snfnn P (Ep ) line kstlan³ olacaktr. Di§er taraftan,
∗ (P (E)) snarnn her P (E ) line kstlan³lar bu
{1, a, · · · , ar−1 } ⊂ HDR
p
r−1 } külin kohomolojisinin bir vektör uzay tabann verdi§i için {1, a, · · · , a
∗
∗
mesi HDR (P (E)) cebirinin bir HDR (M )-modül tabann verir (Sonuç 5.3.8).
r
∗
∗
Dolaysyla, a ∈ HDR (P (E)) snf, baz c1 (E), · · · , cr (E) ∈ HDR (M ) koolarak
L
do§ru demetinin
homoloji snar için,
ar + c1 (E)ar−1 + · · · + ci (E)ar−i + · · · + cr (E) = 0
326
Karakteristik Snar
ci (E)
olmak üzere tek bir ³ekilde ifade edilir. Bu ³ekilde
olduk.
P (E), L
ve
Q
iyi tanmlanm³tr. Sadece
r=1
durumunda birinci Chern snf için vermi³
oldu§umuz iki tanmn denk oldu§unu görmeliyiz:
demeti ise
snarn tanmlam³
demetleri do§al ³ekilde elde edildi§inden Chern snar
P (E) = M
olacaktr. Buradan yine
E → M bir karma³k do§ru
π ∗ (E) = E = L elde ederiz.
O halde,
a = e((L∗ )R ) = −e(LR ) = −e(ER )
ve buradan da
a + e(ER ) = 0
denklemini buluruz. O halde, ikinci tanmmzdan yine
c1 (E) = e(ER )
buluruz.
Hatrlatma 6.2.3. E§er
P (E) = M × CP
r−1
E → M
a³ikar bir karma³k vektör demeti ise
r
olur ve dolaysyla da a = 0 elde edelir. O halde,
a³ikar bir vektör demetinin tüm Chern snar sfrdr.
6.2.1
Chern Snarnn Özellikleri
Bu bölümde ilk önce toplam Chern snfn tanmlayaca§z. Verilen herhangi
bir
Er → M
karma³k
r-boyutlu
vektör demetinin sfrnc Chern snf her
zaman
0
c0 (E) = 1 ∈ HDR
(M )
olarak (manifoldun her noktasnda
1
de§erini alan sabit fonksiyon) ve toplam
Chern snf ise a³a§daki ³ekilde tanmlanr:
∗
c(E) = c0 (E) + · · · + cr (E) ∈ HDR
(M ) .
Önerme 6.2.4. Chern snar do§al kohomoloji snardr. Ba³ka bir deyi³le,
f :M →N
türevlenebilir bir fonksiyon ve E → N karma³k bir vektör demeti
∗
∗
olmak üzere, her i ∈ N için, ci (f (E)) = f (ci (E)) e³itli§i sa§lanr.
Bu önermenin kant okuyucuya al³trma olarak braklm³tr (bkz. Al³trma 11). Bir sonraki teorem Da§lm Prensibi (Splitting Principle) olarak bilinen
ve kantlarda oldukça kolaylk sa§layan bir sonuçtur.
Teorem 6.2.5 (Da§lm Prensibi). Her
π : E → M r-boyutlu karma³k bir
F (E) manifoldu
vektör demeti için a³a§daki özelliklere sahip bir türevlenebilir
ve
ϕ : F (E) → M
türevlenebilir fonksiyonu vardr:
327
Chern Karakteristik Snar
1.
E →M
demetinin
F (E)
üzerine geri çekilmesi karma³k baz do§ru
demetlerinin toplam olarak yazlabilir:
ϕ∗ (E) = L1 ⊕ · · · ⊕ Lr ;
2.
∗ (M ) → H ∗ (F (E))
ϕ∗ : HDR
DR
homomorzmas bire birdir.
Chern snarnn do§all§ ve Da§lm Prensibi sayesinde Chern snarnn polinomlaryla ilgili bir ifadeyi kantlamak istersek ele ald§mz vektör demetinin
karma³k do§ru demetlerinin bir toplam oldu§unu kabul edebiliriz. Yukardaki
teorem tam olarak bu sebepten dolay Da§lm Prensibi (Splitting Principle)
adn alr. Bu teoremin kant için gerekli alt yapy olu³turmu³ durumdayz.
Kant al³trma olarak okuyucuya braklm³tr (bkz. Al³trma 12).
Teorem 6.2.6 (Whitney Çarpm Formülü).
Ei → M , i = 1, · · · , r
karma³k
vektör demetleri olmak üzere her zaman
c(E1 ⊕ · · · ⊕ Er ) = c(E1 ) · · · c(Er )
e³itli§i sa§lanr.
Ei 'nin bir karma³k do§ru demeti oldu§u
E = L1 ⊕· · ·⊕Lr , do§ru demetlerinin toplam
Kant : Teoremi ilk önce her bir
durumda kantlayalm. O halde,
olsun.
π : P (E) → M
projektivasyon iz dü³ümü olmak üzere yine
.
Ẽ = π ∗ (E) = {(lp , v) ∈ P (E) × E | π ◦ (v) = p, p ∈ M, lp ∈ Ep − {0}/(C∗ )}
↓
P (E),
.
.
L = {(lp , v) ∈ π ∗ (E) | v ∈ lp } ⊆ Ẽ ve L̃i = π ∗ (Li ) olsun. Ayrca si : L → L̃i
i'inci koordinata iz dü³üm fonksiyonunu göstersin. O halde, si ∈ hom(L, L̃i ) =
L∗ ⊗ L̃i demetinin bir kesiti olacaktr. Bu kesitin sfrdan farkl oldu§u açk
kümeyi Vi ile gösterelim:
Vi = {q ∈ P (E) | si (q) ̸= 0} .
L → P (E)
Ẽ = L˜1 ⊕ · · · ⊕ L˜r demetinin bir boyutlu alt demeti
oldu§undan her q ∈ P (E) noktas için en az bir si (q) ̸= 0 olacaktr. Ba³ka
bir deyi³le {V1 , · · · , Vr } kümesi P (E) manifoldu için bir açk örtü olacaktr.
“imdi
do§ru demeti
L∗ ⊗ Ẽ = (L∗ ⊗ L˜1 ) ⊕ · · · ⊕ (L∗ ⊗ L˜r )
karma³k demetini yönlendirilmi³ (karma³k yaps yardmyla) gerçel bir vektör
demeti olarak görelim. O halde,
.
s : P (E) → L∗ ⊗ Ẽ, s(q) = (s1 (q), · · · , sr (q)),
328
Karakteristik Snar
bu gerçel demetin hiç bir noktada sfr de§erini almayan bir kesiti olacaktr.
Ba³ka bir deyi³le, bu demetin Euler snf sfrdr. O halde,
0 = e((L∗ ⊗ Ẽ)R )
= e((L∗ ⊗ L˜1 )R ⊕ · · · ⊕ (L∗ ⊗ L˜r )R )
= e((L∗ ⊗ L˜1 )R ) · · · e((L∗ ⊗ L˜r )R )
= c1 (L∗ ⊗ L˜1 ) · · · c1 (L∗ ⊗ L˜r )
= (c1 (L∗ ) + c1 (L˜1 )) · · · (c1 (L∗ ) + c1 (L˜r ))
= (a + c1 (L˜1 )) · · · (a + c1 (L˜r ))
elde edilir. Burada yine
a = c1 (L∗ )
∗
tan dolay HDR (M ) halkas içinde
snfn göstermektedir. Bu e³itlik do§allk-
0 = (a + c1 (L1 )) · · · (a + c1 (Lr ))
haline dönü³ecektir. “imdi Chern snarnn tanmn hatrlarsak bu son e³itli§in tam olarak
c(E) = Πi (1 + c1 (Li )) = Πi c(Li )
ifadesi oldu§unu görürüz. Dolaysyla, bu özel halin kantn bitirmi³ olduk.
“imdi de genel durumu kantlayalm. Aslnda, sadece
E = E1 ⊕ E2
k ve l
munu kantlamak yeterlidir. Bu iki demetin boyutlar srasyla
duruolsun.
Da§lm prensibi uyarnca
E1 = L1 ⊕ · · · ⊕ Lk
E2 = L′1 ⊕ · · · ⊕ L′l
ve
oldu§unu kabul edebiliriz. O halde,
c(E1 ⊕ E2 ) = c(L1 ⊕ · · · ⊕ Lk ⊕ L′1 ⊕ · · · ⊕ L′l )
= (Πi c(Li )) (Πj c(L′j ))
= c(L1 ⊕ · · · ⊕ Lk ) c(L′1 ⊕ · · · ⊕ L′l )
= c(E1 ) c(E2 )
elde ederiz ve böylece kant tamamlanr.
6.2.2
2
Uygulamalar
lk önce Da§lm Prensibi ile Whitney Çarpm Kural'nn bir sonucunu verelim:
E§er bir karma³k vektör demeti
E = L1 ⊕ · · · ⊕ Lr
³eklinde karma³k do§ru demetlerinin direkt toplam olarak yazlabiliyorsa bu
vektör demetinin
linomu olur:
i'inci
Chern snf
c1 (Li )'lerin i'inci
.
ci (E) = σi (c1 (L1 ), · · · , c1 (Lr )) .
elementer simetrik po-
329
Chern Karakteristik Snar
Dolaysyla,
c1 (E) = c1 (L1 ) + · · · + c1 (Lr ),
∑
c2 (E) =
c1 (Li ) · c1 (Lj ),
i<j
.
.
.
ve son olarak
cr (E) = c1 (L1 ) · · · c1 (Lr )
olur.
Whitney Çarpm Kural'nn bir di§er uygulamas da ³u ³ekildedir:
Önerme 6.2.7.
E → M r-boyutlu
cr (E) = e(ER )
e³itli§i vardr. Ba³ka bir deyi³le, bir karma³k vektör deme-
bir karma³k vektör demeti olmak üzere
tinin en yüksek dereceli Chern snf demetin gerçel vektör demeti olarak ele
alnd§ndaki Euler snfna e³ittir.
Kant : Hem Chern snar hem de Euler snf do§al oldu§undan vektör
demetinin baz do§ru demetlerinin bir direkt toplam oldu§unu kabul edebiliriz:
E = L1 ⊕ · · · ⊕ Lr .
Bu durumda, Whitney Çarpm Kural'n kullanarak
cr (E) = c1 (L1 ) · · · c1 (Lr )
= e(L1 ) · · · e(Lk )
= e(L1 ⊕ · · · ⊕ Lk )
= e(E)
elde edilir ve böylece kant tamamlanr.
2
Rank r > 0 olan bir E → M karma³k vektör demeti alalm. Bu demetin
φαβ : Uα ∩ Uβ → GL(r, C) geçi³ fonksiyonlarnn
.
φαβ : Uα ∩ Uβ → GL(r, C) , φαβ (p) = φαβ (p) ,
karma³k e³lenikleri alnarak elde edilen vektör demetine
e³leni§i denir ve
Ē → M
Önerme 6.2.8.
E → M r-boyutlu
bir karma³k vektör demeti ve
bu demetin e³leni§i olsun. O halde, her
i≥0
için,
ci (Ē) = (−1)i ci (E)
e³itli§i sa§lanr.
E→M
demetinin
ile gösterilir.
Ē → M
330
Karakteristik Snar
Kant :
Sonucun ilk önce herhangi bir
için do§ru oldu§unu görelim.
L̄ = L∗
E = L
karma³k do§ru demeti
c1 (L̄) = −c1 (L)
oldu§undan
oldu§u
açktr. Genel durumda ise Da§lm Prensibi'ni kullanarak vektör demetininin
baz do§ru demetlerinin bir direkt toplam oldu§unu kabul edebiliriz:
E = L1 ⊕ · · · ⊕ Lr .
Bu durumda,
σi i'inci
elementer simetrik polinom olmak üzere
ci (Ē) = ci (L̄1 ⊕ · · · ⊕ L̄r )
= σi (c1 (L̄1 ), · · · , c1 (L̄r ))
= σi (−c1 (L1 ), · · · , −c1 (Lr ))
= (−1)i σi (c1 (L1 ), · · · , c1 (Lr ))
= (−1)i ci (L1 ⊕ · · · ⊕ Lr )
= (−1)i ci (E)
elde ederiz ve böylece kant tamamlarz.
2
Örnek 5.2.11.2'de karma³k projektif uzayn kohomolojisini hesaplam³tk:
H = {z0 = 0}
CP n karma³k projektif uzaynn 2n − 2 boyutlu alt
n
2
manifoldunu ve a ∈ HDR (CP ) bu alt manifoldun Poincaré dualini göstersin.
n
k
2k
Bu durumda, [a] ∈ HDR (CP ) ≃ R kohomoloji grubunun bir üretecidir.
ile
Di§er bir deyi³le, kohomoloji cebiri
∗
HDR
(CP n ) = R[a]/(an+1 )
(de§i³meli) polinom cebirine izomorktir.
CP n
Önerme 6.2.9. Yukardaki gösterimi kabul edersek,
karma³k projektif
uzayn toplam Chern snf
ile verilir. Dolaysyla,
c(T∗ CP n ) = (1 + a)n+1
(
)
n+1
n
∗
ci (T CP ) =
ai
i
kohomoloji snfdr.
n üzerinden tümevarm yöntemiyle yapalm: n = 1 du2
rumunda c1 (T∗ CP ) = e(T∗ S ) = 2a oldu§undan sonuç do§rudur. “imdi
n
n+1
c(T∗ CP ) = (1 + a)
oldu§unu kabul edelim. O halde, kant tamamlamak
n+1
için c(T∗ CP
) = (1 + a)n+2 e³itli§ini göstermemiz gerekiyor. Bunun için,
CP n+1 içinde zn+2 = 0 denklemi ile verilen CP n alt manifoldunu ele alalm.
Bu alt manifoldun normal demetini N ile gösterelim; bu bir karma³k do§ru
Kant : Kant
1
demetidir. Normal demetin birinci Chern snf demetin Euler snf olacaktr.
Dolaysyla, bu Chern snf alt manifoldun kendisi ile dik kesi³iminin Poincaré
duali olacaktr.
CP n
alt manifoldunun kendisi ile kesi³imi
manifoldu olarak alnabilir ve buradan da
c1 (N ) = a
H = {z0 = 0}
elde edilir.
alt
331
Chern Karakteristik Snar
T∗ CP n+1
Di§er taraftan,
te§et demetinin bu alt manifolda kstlan³
T∗ CP n+1 |CP n = N ⊕ T∗ CP n
i : CP n → CP n+1
³eklinde yazabiliriz. O halde,
üzere
içerme fonksiyonu olmak
i∗ (c(T∗ CP n+1 )) = c(T∗ CP n ) c(N ) = (1 + a)n+2
i∗
e³itli§ini elde ederiz. Dolaysyla,
0≤k <n+1
du§undan, her
kohomoloji homomorzmas bire bir ol-
için,
(
∗
ck (T CP
n+1
)
n+2
k
)=
ak
oldu§unu göstermi³ olduk. Kantn tamamlanabilmesi için, son olarak
cn+1 (T∗ CP n+1 ) = (n + 2) an+1
e³itli§ini göstermeliyiz. Fakat yine en yüksek dereceli Chern snf Euler snfna
e³it olaca§ndan
cn+1 (T∗ CP n+1 ) = e(T∗ CP n+1 ) = χ(CP n+1 ) an+1 = (n + 2) an+1
buluruz. Böylece kant tamamlarz.
2
Örnek 6.2.10 (Yanyana Gelme E³itli§i). Örnek 5.2.11'de karma³k projektif
d≥1
uzay içinde derecesi
olan bir karma³k
C = {f = 0} ⊆ CP 2
e§risi
alalm. Yukardaki teoremin kantna benzer ³ekilde
T∗ CP 2 |C = N ⊕ T∗ C
ayr³mn dü³ünelim.
c1 (N ) = e(NR )
N
normal demeti bir karma³k do§ru demeti oldu§undan
bulunur. Buradan
∫
∫
c1 (N ) =
C
elde edilir. (C
C
e(NR ) = C t C = d2
üzerinde karma³k yönlendirme alnarak integrali hesaplyoruz;
ayrca kohomoloji snfnn integrali ile bu snfn bir temsilcisinin integralini
kastediyoruz). Benzer ³ekilde e§rinin te§et demetinin birinci Chern snfnn
e§ri üzerindeki integrali,
∫
C
g≥0
karma³k e§risinin cinsi olmak üzere,
∫
c1 (T∗ C) =
C
e(T∗ C) = χ(C) = 2 − 2g
elde edilir. Di§er taraftan karma³k projektif düzlemin te§et demetinin birinci
Chern snfnn e§ri üzerindeki integrali
∫
∫
c1 (T∗ CP ) =
2
C
∫
a = 3(C t H) = 3d
3a = 3
C
C
332
Karakteristik Snar
olarak hesaplanr. Son olarak, Whitney Çarpm Formülüne göre
c1 (T∗ CP 2 |C ) = c1 (N ) + c1 (T∗ C)
olaca§ndan
3d = d2 + 2 − 2g
e³itli§ini elde edilir. Buradan e§rinin cins saysnn (genusunun) e§rinin derecesi ile ifade edildi§i
g=
(d − 1)(d − 2)
2
Derece Genus Formülü'nü elde edilir.
1
1
Benzer bir formül CP × CP
içindeki cebirsel e§riler için de do§rudur:
kili derecesi
(d1 , d2 )
olan bir
f ∈ C[z0 , z1 , w0 , w1 ]
polinomu alalm, öyle ki
C = {([z0 , z1 ], [w0 , w1 ]) ∈ CP 1 × CP 1 | f (z0 , z1 , w0 , w1) = 0}
karma³k cebirsel e§risinin tekil noktas olmasn.
πi : CP 1 × CP 1 → CP 1 , i = 1, 2, koordinat iz dü³üm fonksiyonlar olmak
üzere
T∗ (CP 1 × CP 1 ) = π1∗ (T∗ CP 1 ) ⊕ π2∗ (T∗ CP 1 )
oldu§u açktr. O halde, Chern snarnn do§all§ndan dolay
c1 (T∗ (CP 1 × CP 1 )) = π1∗ (c1 (T∗ CP 1 )) + π2∗ (c1 (T∗ CP 1 ))
= 2(π1∗ (a) + π2∗ (a))
= 2a1 + 2a2
elde edilir. Poincaré duali
{p0 } × CP 1 ⊆ CP 1 × CP 1
(p0
∈ CP 1
herhangi bir nokta olmak üzere) alt manifoldu olan de Rham ko-
homoloji snfnn
a1
oldu§u kolayca görülür. Benzer ³ekilde,
kohomoloji snf da
CP 1 × {p0 } ⊆ CP 1 × CP 1
altmanifoldunun Poincaré dualidir. O halde,
∫
a1 = C t {p0 } × CP 1 = d2
C
∫
ve benzer ³ekilde
a2 = C t CP 1 × {p0 } = d1
C
bulunur. Dolaysyla,
∫
C
c1 (T∗ (CP 1 × CP 1 )) = 2(d1 + d2 )
a2
de Rham
333
Chern Karakteristik Snar
olur.
Di§er taraftan yukardaki örne§e benzer ³ekilde
T∗ (CP 1 × CP 1 )|C = N ⊕ T∗ C
ayr³mn dü³ünelim.
e(NR )
N
normal (karma³k do§ru) demeti için yine
c1 (N ) =
oldu§undan
∫
∫
c1 (N ) =
C
C
e(NR ) = C t C = 2d1 d2
elde ederiz. Yine yukardaki örne§e benzer ³ekilde
c1 (T∗ (CP 1 × CP 1 )|C ) = c1 (N ) + c1 (T∗ C)
olaca§ndan
2(d1 + d2 ) = 2d1 d2 + 2 − 2g
e³itli§ini buluruz. O halde, e§rinin cinsi
g = (d1 − 1)(d2 − 1)
olur. (Detaylar için Al³trma 13 baknz.)
Derece-Genus (Cins) Formülünün Bir Ba³ka Kant:
Bu bölümü
Derece-Genus Formülleri'ni hesaplamann bir ba³ka yöntemine ayraca§z. Bunu yapmak için karma³k projektif düzlem içindeki derecesi
d>0
olan bütün
cebirsel e§rilerin uzayn inceleyece§iz. Bu sayede ayn dereceye sahip e§rilerden türevlenebilir olanlarn birbirine difeomork oldu§u gösterece§iz. Daha sonra özel bir e§rinin cinsini Riemann-Hurwitz formülü ile hesaplayarak
Derece-Genus formülünü elde edece§iz.
Derecesi
d > 0
olan
f (z0 , z1 , z2 )
homojen polinomlarn olu³turdu§u
vektör uzaynn boyutunun
(
N=
n+k−1
k
)
oldu§unu biliyoruz. Bir polinomu sfrdan farkl bir sayyla çarpmak polinomun
sfr kümesini de§i³tirmedi§inden
B = CP
N −1
CP 2
içindeki derecesi
d
olan her e§riyi
projektif uzay içinde bir nokta olarak görebiliriz. Her bir cebirsel
e§riyi denklemiyle beraber yazarsak
E = {(f, [z0 : z1 : z2 ]) ∈ B × CP 2 | f (z0 , z1 , z2 ) = 0}
cebirsel kümesini elde ederiz.
ise her
f ∈B
içinde belirledi§i
π:E→B
ilk koordinata iz dü³üm fonksiyonu
polinomunun ters görüntüsü bu polinomun projektif düzlem
π −1 (f ) = {f (z) = 0} ⊆ CP 2
e§risidir. Bu e§rinin tekil
334
Karakteristik Snar
noktasnn varl§ e§riyi veren homojen polinomun katsaylarnn bir polinom
denklem sisteminin çözümü olmasna denktir (bkz. Al³trma 15). O halde,
içinde en az bir tekil noktas olan e§rilerin olu³turdu§u
cebirseldir ve dolaysyla
∆⊆B
B
alt kümesi
∆'nn karma³k boyutu B 'nin karma³k boyutundan
B − ∆ kümesi ba§lan-
dü³ük olan alt manifoldlarn bir birle³imidir. O halde,
tl ve açk bir alt manifolddur (cebirsel kümeler denklem sistemlerinin çözüm
kümeleri olduklar için kapaldrlar).
B − ∆ içinden herhangi iki f0 , f1 noktas seçelim. O halde, Σi = {fi =
0}, i = 0, 1, cebirsel e§rilerinin tekil noktalar yoktur. Ba³ka bir deyi³le bu
cebirsel e§riler türevlenebilir ve yönlendirilebilir yüzeylerdir. Bu iki noktay
türevlenebilir bir,
ft , t ∈ [0, 1],
e§risi ile birle³tirelim. Bu e§rinin te§etler-
inin olu³turdu§u vektör alann e§rinin bir tüp kom³ulu§una ta³yp ve vektör
alann manifoldun geri kalanna sfr olarak geni³leterek manifold üzerinde tvektör alan elde edelim. X(f )
ϕ(0, Σ0 ) = Σ0 ve ϕ(1, Σ0 ) = Σ1
E0 = π −1 (B − ∆) türevlenebilir manifoldu
kz destekli bir
ϕ(t, f )
X(f )
ile gösterirsek
“imdi
vektör alann ak³n
olur.
üzerine bir Riemann
metri§i koyalm ve her noktasndaki te§et uzayn
T(f,p) E0 = ker(Dπ(f,p) : T(f,p) E0 → Tf B) ⊕ H(f,p)
dik ayr³mn dü³ünelim.
Dπ(f,p)
le³enine kstlan³ bir izomorzma oldu§undan
cak ³ekilde
E0
üzerinde bir
H(f,p) yatay biDπ(f,p) (X0 (f )) = X(f, p) ola-
do§rusal fonksiyonunun
X0
vektör alan vardr. z dü³üm fonksiyonu
X0 vektör alan da tkz desteklidir. Bu vektör alanΦ(t, (f, p)) ile gösterelim. Her (f, p) ∈ E0 ve t ∈ R için,
π(Φ(t, (f, p))) = ϕ(t, f ) olaca§ndan Φ(1, Σ0 ) = Σ1 elde ederiz. Sonuç olarak, Σ0 ve Σ1 yüzeylerinin difeomork olduklarn kantladk. Ba³ka bir
deyi³le, f ∈ B − ∆ olmak üzere Σf = {f = 0} yüzeylerinin topolojisi yüzeyi
düzgün oldu§undan
nn ak³n
tanmlayan polinomdan ba§mszdr. O halde, özel bir polinom için bu yüzeyin
cins saysn (genusunu) belirlersek kant bitirmi³ olaca§z.
Σd = {z0d + z1d − z2d = 0}
Fermat e§risinin cins saysn hesaplayalm.
P : Σd → CP 1 , [z0 : z1 : z2 ] 7→ [z0 : z1 ] ,
iz dü³üm fonksiyonu,
ξ ∈ C, 1'in d'inci dereceden ilkel bir kökü olmak üzere,
C = {[z0 : z1 ] ∈ CP 1 | z0d + z1d = 0} = {[1 : ξ], · · · , [1 : ξ d−1 ]}
d : 1 tipinde
P −1 (p) tek noktadan olu³ur. O
rak, g(Σd ) = g olmak üzere,
kümesi d³nda
bir fonksiyondur. Ayrca, her
p ∈ C
için,
halde, Riemann-Hurwitz formülünü kullana-
(2 − 2g) − d = d (2 − d)
ve buradan da
g=
(d − 1)(d − 2)
2
335
Pontryagin Karakteristik Snar
elde ederiz.
Derece-Genus formülü cebirsel e§ri ve yüzeylerin topolojileri ile bu e§ri
ve yüzeyleri ifade eden polinomlarn dereceleri arasndaki ili³kinin tipik bir
örne§idir. Bu konuda daha kapsaml bilgi edinmek için [1], [14] ve [17] numaral
referanslara bakabilirsiniz.
6.3
Pontryagin Karakteristik Snar
Türevlenebilir bir manifold üzerindeki gerçel bir
E → M
vektör demeti-
nin Pontryagin snar bu demetin komleksikasyonun Chern snar olarak
tanmlanr.
E→M
rank
k>0
olan gerçel bir demet ise bu demetin a³ikar
karma³k do§ru demeti ile tensör çarpm
k
olan bir karma³k vektör demeti olur.
F = E ⊗R C → M
E
karma³k rank
demetinin
φαβ : Uα ∩ Uβ → GL(k, R) ⊆ GL(k, C)
geçi³ fonksiyonlar gerçel de§erli oldu§undan,
E, F
karma³k ve
demetlerin yap fonksiyonlar ayn olacaktr. Dolaysyla,
F
ve
F
F
e³lenik
karma³k
vektör demetleri izomorktir. Bu durumda,
c2i+1 (F ) = c2i+1 (F ) = (−1)2i+1 c2i+1 (F ) = −c2i+1 (F )
c2i+1 (F ) De Rham kohomoloji snfnn sfr oldu§u görülür.
Dolaysyla, F
demetinin sadece çift Chern snar sfrdan farkl olabilir.
E → M demetinin i'inci Pontryagin snf F = E ⊗R C → M karma³k
i
demetinin 2i'inci Chern snfnn (−1) kat olarak tanmlanr:
olaca§ndan
.
pi (E) = (−1)i c2i (E ⊗R C) .
GL(r, C) ⊆ GL(2r, R)
bir alt grup oldu§undan her karma³k vektör deme-
E→M
ER → M gerçel
tini gerçel bir demet olarak görebiliriz: Açkça söylemek gerekirse e§er
karma³k rank
kar³l§ boyutu
tryagin snar
r > 0 olan bir vektör demeti ise bu demetin
2r olan gerçel bir demettir. ER → M gerçel demetinin PonE → M karma³k demetinin Chern snar cinsinden ifade
edilebilir. Bunun için ilk önce a³a§daki sonucu kantlamalyz:
Önerme 6.3.1.
E → M r-boyutlu
bir karma³k vektör demeti ise bu demetin
gerçel kar³l§nn kompleksikasyonu karma³k vektör demeti olarak
E
ve
E
demetlerinin direkt toplamna izomorktir:
ER ⊗R C ≃ E ⊕ E .
Kant :
Cr
karma³k vektör uzayn, (uk ,
vk
gerçel saylar olmak üzere)
w = (u1 + iv1 , · · · , ur + ivr ) 7→ (u1 , v1 , · · · , ur , vr )
336
Karakteristik Snar
dönü³ümünü kullanarak gerçel
vektörünü bir
z = reiθ
.
CrR = R2r
uzay olarak görelim. Karma³k
ile çarpmak her bir
(
(uk , vk )
)
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
Az = r
z
matrisi ile çarpmaya kar³lk gelir. Bu matrisin özde§erleri
saylardr. Dolaysyla,
Az
matrisini ancak
w
gerçel ikilisini
CrR ⊗R C
ve
z
karma³k
karma³k vektör uzaynda
kö³egenle³tirebiliriz. Bu durumda bu özde§erlere kar³lk gelen özaltuzaylarn
tabanlar
β = {e1 − if1 , · · · , er − ifr }
olur (burada
{e1 , f1 , · · · , er , fr }
n gösteriyoruz). Di§er taraftan,
ile
z
ve
CrR
β = {e1 + if1 , · · · , er + ifr }
vektör uzaynn standart sral taban-
Az matrisinin
{Az }z∈C matris
karma³k says de§i³tikçe
özde§erleri de§i³se de özaltuzaylar de§i³memektedir, çünkü
ailesi de§i³meli matrislerden olu³maktadr.
CrR ⊗R C ≃< β > ⊕ < β >
i
−i
ayr³mnda sol taraftaki uzayn bir vektörünü karma³k
i
bu vektörün sa§ taraftaki iki bile³enini srasyla
ve
says ile çarpmak
ile çarpmaya denk
geldi§inden bu ayr³m
CrR ⊗R C ≃ Cr ⊕ C
r
olarak yazlr. Bir noktadaki lifte yapt§mz bu ayr³mn demet üzerindeki
karma³k yap kullanlarak tüm demet üzerinde de yaplabilece§i açktr. Dolaysyla kant tamamlanr.
2
Her karma³k vektör demetinin sfrnc Chern snf
için
p0 (E) = 1
1
p(E) =
∑
pi (E)
i≥0
ile tanmlanr. E§er
p̃(E) =
∑
(−1)i pi (E)
i≥0
³eklinde tanmlanrsa a³a§daki sonucu elde ederiz.
Sonuç 6.3.2. Her
E→M
karma³k vektör demeti için
p̃(ER ) = c(E) c(E)
e³itli§i sa§lanr.
olarak tanmland§
olur. Chern snfnda oldu§u gibi toplam Pontryagin snf
337
Pontryagin Karakteristik Snar
Örnek 6.3.3.
pi (M )
M
karma³k boyutu
2
olan tkz bir manifold olsun.
ci (M )
srasyla bu manifoldun te§et demetinin Chern ve Pontryagin snar
olmak üzere
1 − p1 (M ) = c(M ) c(M ) = (1 + c1 (M ) + c2 (M ))(1 − c1 (M ) + c2 (M ))
elde edilir. Dolaysyla,
p1 (M ) = c21 (M ) − 2c2 (M ) = c21 (M ) − 2e(M )
olarak hesaplanr. Örnek olarak,
M = CP 2
alrsak, bir önceki bölümün so-
nuçlarndan,
p1 (CP 2 ) = c21 (CP 2 ) − 2e(CP 2 ) = 9a2 − 6a2 = 3a2
bulunur (burada
2 (CP 2 )
a ∈ HDR
snf yine
CP 1
alt manifoldunun Poincaré
dualidir).
Chern snar do§al olduklar için Pontryagin snar da do§aldr ve Whitney Çarpm Kural'na uyarlar:
Önerme 6.3.4.
f : M → N
türevlenebilir manifoldlarn türevlenebilir bir
fonksiyonu olsun. Bu durumda her
E→N
gerçel vektör demeti için
p(f ∗ (E)) = f ∗ (p(E))
e³itli§i sa§lanr. Ayrca
Ei → M , i = 1, 2,
gerçel vektör demetleri ise
p(E1 ⊕ E2 ) = p(E1 ) p(E2 )
olur.
Hatrlatma 6.3.5. Yönlendirilmi³ bir gerçel vektör demetinin Euler ve Pon-
tryagin snar ya da karma³k bir demetin Chern snar aslnda tam say
katsayl tekil kohomolojinin elemanlardr (bkz. [18, 26, 6, 5]). Bir
X
to-
polojik uzaynn tam say katsayl tekil kohomolojisi de§i³meli bir gruptur ve
Hi (X, Z)
ile gösterilir. De§i³meli bir grup mertebesi sonlu elemanlar içerebilir.
Aslnda Euler snf veya Chern snar mertebesi sonlu kohomoloji elemanlar
olan vektör demetleri vardr. Mertebesi sonlu elemanlarn yaratabilece§i kar³klklara bir örnek olarak ³unu verebiliriz: Tekil kohomolojinin elemanlar olarak
ele alnd§nda yukarda verdi§imiz Whitney Çarpm Kural ancak
2p(E1 ⊕ E2 ) = 2p(E1 ) p(E2 )
³eklinde yazld§nda do§ru olur.
Türevlenebilir bir
M
manifoldunun tekil kohomolojisi ile De Rham koho-
molojisi arasndaki ili³ki De Rham Teoremi olarak bilinen
HDR (M ) ≃ Hi (X, Z) ⊗Z R
338
Karakteristik Snar
izomorzmas ile verilir. Bu ünitede ele ald§mz karakteristik snar bu tekil
kohomoloji grubunun elemanlar olarak tanmlanan snarn De Rham izomorzmas altndaki görüntüleridir. Dolaysyla, bizim inceledi§imiz karakteristik
snarn mertebesi sonlu olan ksmlar krplm³tr ve muhtemel bir bilgi kayb mevcuttur.
“imdi bu önermenin bir uygulamasn verelim.
olsun. Bu alt manifoldun normal demetini
N
M m ⊆ Rn
bir alt manifold
ile göstererek,
T∗ Rn|M = T∗ M ⊕ N
vektör demet toplamnn toplam Pontryagin snfn hesaplayalm: Sol taraftaki
demet a³ikar oldu§undan
1 = p(T∗ Rn|M ) = p(M ) p(N )
elde edilir. Ba³ka bir deyi³le,
∗ (M )
HDR
p(M )
halkas içinde
ve
p(N )
eleman-
lar birbirinin çarpmaya göre tersidir. Bunu kullanarak normal demet hakknda
oldukça fazla bilgi edinebiliriz. Bunu bir örnek üzerinde açklayalm.
p1 (CP 2 ) = 3a2 oldu§unu görmü³tük. O halde,
n
e§er CP ⊆ R 'nin bir alt manifoldu ise normal demetin Pontryagin snfnn
∗ (CP 2 ) = R[a]/(a3 ) halkas içinde ³u e³itli§i sa§lad§n görürüz: 1 =
HDR
(1 + 3a2 ) p(N ). Ba³ka bir deyi³le, p(N ) ̸= 1 olmaldr. Di§er taraftan, e§er
Örnek 6.3.6. Önceki örnekte
2
n=5
olsayd
N
demeti bir boyutlu yönlendirilebilir bir vektör demeti olurdu.
Fakat böyle bir demet a³ikar olaca§ndan
n ≥ 6
p(N ) = 1
elde ederdik. O halde,
R6 içine bir
olmaldr. Al³trma 16 karma³k projektif düzlemin
gömülmesini vermektedir.
4
Tamamen benzer bir ³ekilde, CP
n
bul eden bir R
Öklit uzaynn en az
manifoldunu alt manifold olarak ka-
12-boyutlu
oldu§u gösterilebilir (bkz.
Al³trma 18).
Bir sonraki önerme Pontryagin snarnn bazlarnn Euler snfndan do§rudan hesaplanabilece§ini göstermektedir.
2k
pk (E) = e(E)2
Önerme 6.3.7. Rank
demeti için
Kant :
rak
E⊕E
E⊗C
olan bir
E → M
yönlendirilmi³ gerçel vektör
e³itli§i sa§lanr.
(karma³k) vektör demetinin gerçel vektör demeti ola-
demetine izomork oldu§u açktr. Fakat yönlendirmeyi hesaba
katmak için yerel çatlarla çal³alm. Yönlendirilmi³
lendirmeyi veren sral bir yerel
{e1 , · · · , e2k }
E
gerçel demetinin yön-
çatsn alalm. Bu durumda
E ⊗ C karma³k vektör demetinin kanonik yönlendirmesini veren gerçel çat
{e1 , ie1 , · · · , e2k , ie2k } olacaktr (bkz. Örnek 2.3.9). Bu çaty yönlendirilmi³
E ⊕ E demetinin çats olan {e1 , · · · , e2k , ie1 , · · · , ie2k } ile kar³la³trrsak
k(2k−1) = (−1)k olur. Dolaysyla, yönlü
yönlendirmeler arasndaki fark (−1)
339
Pontryagin Karakteristik Snar
gerçel vektör demetleri olarak ³u e³itlik sa§lanr:
E ⊗ C ≃ (−1)k E ⊕ E .
Bu
durumda tanmlardan ve Hatrlatma 6.1.9'dan
pk (E) = (−1)k c2k (E ⊗ C)
= (−1)k e(E ⊗ C)
= (−1)k e((−1)k E ⊕ E)
= e(E ⊕ E)
= e(E) e(E)
elde edilir ve böylece kant tamamlanr.
2
Bu bölümü Pontryagin saylar ile bitirece§iz. Yönlendirilmi³ tkz
M manifoldu alalm. E§er k1 , k2 , · · · , kr ≥ 0
k1 + 2k2 · · · + rkr = n ko³ulunu sa§lyorsa
∫
.
pk1 ,k2 ,··· ,kr (M ) =
pk11 (M ) pk22 (M ) · · · pkr r (M )
boyutlu
bir
4n-
tam saylar
M
integrali ile tanmlanan sayya manifoldun bir Pontryagin says denir. Pontryagin saylar Euler says gibi birer tam saydr (bkz. Al³trma 17). “imdi bu
(4n + 1)-boyutlu yönlendirilmi³ tkz bir W manifoldunun snr
M = ∂W . ξ → M bir boyutlu a³ikar gerçel vektör
demeti olmak üzere T∗ W|M ∼
= T∗ M ⊕ ξ oldu§undan, pi (W )|M = pi (M ) (W
manifoldunun karakteristik snfnn içerme fonksiyonu ile M
manifolduna
manifoldun
oldu§unu kabul edelim:
geri çekilmesi) olacaktr. Bu durumda Stokes teoreminden
∫
pk1 ,k2 ,··· ,kr (M ) =
∫M =∂W
pk11 (M ) pk22 (M ) · · · pkr r (M )
pk11 (W ) pk22 (W ) · · · pkr r (W )
=
∫M =∂W
=
d(pk11 (M ) pk22 (M ) · · · pkr r (M ))
∫W
=
0
W
= 0
elde ederiz. Ba³ka bir deyi³le, yönlendirilmi³ tkz bir manifoldun snr olan
bir manfoldun tüm Pontryagin saylar sfrdr. Aslnda bu teoremin tersi de
do§rudur. Fakat kantn içeri§i bu kitabn kapsamn a³t§ için, burada vermeyece§iz.
4n-boyutlu bir manifold
olsun. Bu manifoldun tüm Pontryagin saylar sfr ise snr, M manifoldunun sonlu saydaki kopyasnn ayrk birle³imi olan, tkz yönlendirilmi³ bir W
Teorem 6.3.8 (René Thom).
M
yönlendirilmi³ tkz
manifoldu vardr.
Karakteristik snar hakknda yazlm³ ve en fazla kabul görmü³ kaynaklar
[27] ve [5] numaral referanslardr.
340
Karakteristik Snar
6.4
7-Boyutlu Egzotik Küreler
Kitabn son bölümünü Milnor'un ünlü 7-boyutlu egzotik kürelerine ayraca§z.
Milnor 1956 yaynlad§ [25] numaral makalesinde 7-boyutlu standart küreye
homeomork olan ama difeomork olmayan manifoldlarn varl§n kantlad ve
bu küreleri egzotik olarak adlandrd (bu kürelerden tam olarak 28 tane oldu§u
Michel Kervaire ile beraber yapt§ 1963 tarihli bir ba³ka makalede gösterildi).
Milnor'a Fields Madalyas kazandran bu çal³ma diferansiyel topolojinin de
do§umu olarak kabul edilir.
Bu bölümün tamamnda
M = M7
türevlenebilir yönlendirilmi³ 7-boyutlu
tkz ve snr olmayan bir manifoldu gösterecek. Bu manifoldun
3
4
HDR
(M ) = 0 = HDR
(M )
ko³ulunu sa§lad§n kabul edece§iz. Ayrca e§er
∂B 8 = M 7
olacak ³ekilde
8 manifoldu varsa bu manifoldun
türevlenebilir ve yönlendirilebilir bir tkz B
snrndaki yönlendirme ile uyumlu olacak ³ekilde yönlendirilmi³ oldu§unu kabul edece§iz. Milnor in³a etti§i kürelerin birbirlerine difeomork olmadklarn
tanmlam³ oldu§u
λ(M )
Yardmc Teorem 6.4.1.
de§i³mezi yardmyla göstermi³tir.
M
ve
B
yukardaki gibi olmak üzere
∫
4
HDR
(B)
→ R , [α] 7→
4
α2 , [α] ∈ HDR
(B),
B
kuadratik formu,
[α]
kohomoloji snfn temsil eden kapal formun seçiminden
ba§mszdr ve dolaysyla iyi tanmldr.
“ekil 6.4: Tkz destekli Mayer-Vietoris kohomoloji dizisinin açk kümeleri
Kant : Kant üç admdan olu³maktadr. Kantn ana hatlarn yazp bo³luklar okuyucuya brakaca§z:
341
7-Boyutlu Egzotik Küreler
4 (B)
[α] = [α′ ] ∈ HDR
Adm 1)
olmak üzere
∫
³eklinde yazalm. O halde,
∫
α′2
2
α =
B
α − α′ = dβ , β ∈ Ω3 (B),
B
e³itli§ini göstermeliyiz. “imdi Stokes Teoremi'ni kullanarak
∫
∫
α −
2
B
′2
∫
(2α′ + dβ) ∧ β
α =
B
M
oldu§unu kolayca gösterilir. Bu durumda yardmc teoremin kantn tamamlamak için
β
Adm 2)
B
M
formunun
üzerinde sfr oldu§unu göstermek yeterlidir.
manifolduna tkz destekli kohomoloji Mayer-Vietoris dizisini
uygulamak için yukardaki ³ekilde görüldü§ü üzere
seçelim. O halde,
U ∩V = M ×(0, 1/2)
U
ve
V = M × (0, 1]
olur. “imdi Teorem 4.3.14'ü kullanarak
k−1
Hck (U ∩ V ) = Hck (M × (0, 1/2)) ≃ Hck−1 (M ) = HDR
(M )
k (B)
Hck (U ∪ V ) = Hck (B) = HDR
açktr. (Aslnda sonuncu e³itlik için U
elde ederiz. Ayrca,
ve
M)
ile
oldu§u
Hck (U ) ≃ Hck (B −
B − M arasnda
düzgün (proper) bir difeomorzma oldu§unun gösterilmesi gerekir. Bu detay
okuyucuya braklm³tr.) “imdi de Teorem 4.3.18'i kullanarak
k
Hck (V, V − M ) ≃ Hck (M ) = HDR
(M )
oldu§unu gözlemleyiniz.
Tkz destekli kohomoloji için yerel kohomoloji dizisini (bkz. sayfa 226)
(V, V − M )
ikilisi için yazalm ve yine
Hck (V ) = 0
kullanarak
k−1
Hck (V − M ) ≃ HDR
(M )
oldu§unu
sonucuna ula³alm.
Adm 3) Bu admda ise tkz destekli kohomoloji Mayer-Vietoris dizisini (bkz.
B = U ∪V
sayfa 229)
birle³imi için yazalm ve daha önceki admlarda elde
etti§imiz sonuçlar kullanarak
3
4
4
· · · → HDR
(M ) → Hc4 (B − M ) → HDR
(B) → HDR
(M ) → · · ·
tam dizisini elde edelim. “imdi
Hc4 (B − M )
≃
3 (M ) = 0 = H 4 (M )
HDR
DR
ko³ulunu kullanrsak
4 (B) izomorzmasn elde ederiz. Bu izomorzma sayesinde
HDR
birinci admda ele ald§mz tüm türevlenebilir formlarn
M = ∂B
snrna
kstlan³larnn sfr oldu§unu kabul edebiliriz. Son olarak, birinci admdan
dolay kant tamamlanr.
B = B8
2
manifoldu üzerinde tanmlad§mz bu formun endeksini
τ (B)
ile gösterece§iz. Kuadratik formun endeksini ³u ³ekilde hesaplayabiliriz. Bu
form bize
4 (B)
HDR
gerçel vektör uzay üzerinde a³a§daki e³itlik yardmy-
la tanmlanan bir simetrik bilineer form verir:
.
< [α], [β] >=
∫
α∧β
B
Q([α]) =< [α], [α] >
olmak üzere
Q([α] + [β]) = Q([α]) + Q([β]) + 2 < [α], [β] > .
ve
342
Karakteristik Snar
Bu simetrik formun herhangi bir tabandaki matris gösterimi simetrik olaca§ndan gerçel saylar üzerinde kö³egenle³tirilebilir. Bu durumda formun endeksi,
τ (B),
elde edilen kö³egen matrisin pozitif özde§erlerinin says ile negatif öz-
de§erlerinin saysnn fark olarak tanmlanr. Tanm gere§i
τ (B)
bir tam
saydr ve manifoldun yönlendirmesine duyarldr:
τ (−B) = −τ (B) .
B
Yine ayn kuadratik form kullanlarak
manifoldunun Pontryagin says
³u ³ekilde tanmlanr:
.
q(B) = Q(p1 (B)) =
∫
p21 (B) .
B
p1 (M ) ile
q(B) bir tam saydr. Milnor'un λ(M )
2q(B) − τ (B) tam saysnn (mod 7)
(Hem birinci Pontryagin snfn hem de bu snf temsil kapal formu
gösteriyoruz.) Sonuç 6.4.7'den dolay
de§i³mezi a³a§daki teorem sayesinde
denklik snf olarak tanmlanr:
.
λ(M ) = 2q(B) − τ (B) (mod 7) .
Teorem 6.4.2.
2q(B) − τ (B)
tam saysnn
nifoldunun seçiminden ba§mszdr ve sadece
λ(M )
(mod 7)
M ile
denklik snf
B
ma-
belirlenir. Dolaysyla,
de§i³mezi iyi tanmldr.
Teoremim kantna geçmeden önce iki önemli sonucunu ele alalm. Diyelim
M dördüncü Betti says sfr olan türevlenebilir yönlendirilmi³ tkz bir
4 (B) = 0. Bu durumda
B manifoldunun snr olsun: M = ∂B ve HDR
2q(B) − τ (B) tam says sfr olaca§ndan λ(M ) = 0 elde edilir. O halde,
ki
a³a§daki sonucu kantlam³ olduk.
Sonuç 6.4.3. E§er
λ(M )
de§i³mezi sfrdan farkl ise
M
manifoldu dördün-
cü Betti says sfr olan türevlenebilir yönlendirilmi³ tkz bir
B
manifoldunun
snr olamaz.
B
manifoldunun (ya da snr olan
de§i³tirirsek,
τ (M )
M
manifoldunun) yönlendirmesini
de§i³mezine benzer ³ekilde,
tinin de§i³ece§i açktr:
λ(−B) = −λ(B).
λ(M )
de§i³mezinin de i³are-
Ba³ka bir deyi³le a³a§daki sonucu
elde etmi³ olduk.
Sonuç 6.4.4. E§er
λ(M )
de§i³mezi sfrdan farkl ise
M
manifoldunun
yönü de§i³tiren bir difeomorzmas yoktur.
Teorem 6.4.2'in Kant: Kant iki admdan olu³maktadr.
Adm 1)
B18
ve
B28
yönlendirilmi³ snrlar
dirilmi³ tkz manifoldlar olsunlar.
B2
M7
olan türevlenebilir yönlen-
manifoldunun yönünü ters çevirerek bu
343
7-Boyutlu Egzotik Küreler
iki manifoldu ortak snrlar boyunca yap³trarak türevlenebilir tkz ve snr
C = B1 ∪∂ −B2
olmayan
manifoldunu elde edelim. Bu manifoldun kesi³im for-
munun endeksi manifoldun Pontryagin saylar cinsinden ³u ³ekilde ifade edilir
(bu formülün kant kitabmzn kapsamn oldukça a³maktadr; bkz. [19], s. 12,
86):
1
τ (C) =
45
Buradan
∫
7p2 (C) − p21 (C) .
C
∫
∫
p21 (C)
45τ (C) + q(C) = 45τ (C) +
C
p2 (C) ≡ 0
=7
(mod 7) .
C
En sondaki denklik Pontryagin saylarnn tam say olmasnn sonucudur. Önerme 6.2.7'den dolay
p2 (C) = c4 (T∗ C ⊗ C) = e((T∗ C ⊗ C)R )
olur. Ba³ka bir
deyi³le, bu Pontryagin says gerçel bir demetin Euler saysdr ve her Euler
says bir alt manifold kesi³imine e³it oldu§u için tam saydr. Di§er Pontryagin says
p21 (B1 )
−
p21 (C) için ise bir sonraki paragrafta kantlayaca§mz p21 (C)
2
p1 (B2 ) e³itli§ini ve Sonuç 6.4.7'yi kullanabiliriz. Buradan da
2q(C) − τ (C) ≡ 0
=
(mod 7)
elde edilir.
Adm 2)
Bu admda yukarda ele ald§mz manifoldlar için
τ (C) = τ (B1 ) − τ (B2 )
ve
q(C) = q(B1 ) − q(B2 )
C = B1 ∪ −B2 manifoldunun bile³enlerinin ortak snr olan M = ∂B1 = −∂B2 alt manifoldunun bir tüp kom³ulu§unu
N = M × (−1, 1) ele alalm ve U = B1 ∪ N , V = −B2 ∪ N açk kümeleri
oldu§unu kantlayaca§z. Bunun için
için tkz destekli Mayer-Vietoris dizisini yazalm:
· · · → Hck (U ∩ V ) → Hck (U ) ⊕ Hck (V ) → Hck (U ∪ V ) → Hck+1 (U ∩ V ) → · · · .
“imdi yine Yardmc Teorem 6.4.1'de oldu§u gibi
i = 1, 2,
ve
Bi
Hck (Bi ∪ N ) ≃ Hck (Bi − M ),
manifoldlarnn üçüncü ve dördüncü De Rham kohomolojile-
rinin sfr oldu§unu hatrlayarak a³a§daki de§i³meli diyagram elde ederiz:
Hc4 (C) ←− Hc4 (B1 − M ) ⊕ Hc4 (B2 − M )
↓
↓
↓
4
4
4
HDR (C) −→
HDR (B1 )
⊕
HDR (B2 )
Bu diyagramdaki tüm oklar birer izomorzmadr. Aslnda yukardaki yatay
izomorzmay yukardaki Mayer-Vietoris dizisinden elde etmeyi size al³trma
olarak brakyoruz. Di§er taraftan, soldaki dü³ey izomorzma ise bir e³itliktir.
Son olarak, di§er iki dü³ey izomorzma da Yardmc Teorem 6.4.1'in kantnn
344
Karakteristik Snar
üçüncü admnn bir sonucudur. Ayrca, yatay izomorzmalar içerme fonksiyon-
4 (C) =
HDR
i = 1, 2, olmak
larnn üretti§i homomorzmalardr. Bu de§i³meli diyagram bize
Hc4 (C) içinden alaca§mz her
üzere
α = β1 + β2
α
snfnn
βi ∈
Hc4 (Bi − M ),
tek bir ³ekilde yazlabilece§ini ve
βi
snarn temsil eden
kapal formlarn desteklerinin birbirinden ayrk seçilebilece§ini göstermektedir.
α2 = β12 + β22 yazabiliriz. O halde, τ (C) = τ (B1 ) − τ (B2 ) e³itli§i kantlanm³ oldu. q(C) = q(B1 ) − q(B2 ) e³itli§i için ise ayrca Pontryagin
snfnn do§al oldu§unu kullanmalyz. Ba³ka bir de§i³le, p1 (C) snfn içerme fonksiyonu yardm ile Bi üzerine geri çekti§imizde p1 (Bi ) snfn elde
ederiz. Böylece kant tamamlanr. 2
Dolaysyla,
S4
R4 -demetleri:
Küresi Üzerindeki
Bu alt bölümde
üzerinde, kuaterniyon çarpm yardmyla tanmlayaca§mz
S 4 birim küresi
R4 -demetlerinin
Euler ve Pontryagin karakteristik snarn hesaplayaca§z. Bu ve bundan sonraki bölümde
H = R4
ile kuaterniyonlar vektör uzayn (do§rusunu) göste-
{e1 , e2 , e3 , e4 } veya
{1, i, j, k}. Bu do§runun tipik bir eleman p = (a, b, c, d) = a + ib + jc +
kd, a, b, c, d ∈ R ³eklinde olup R-vektör uzay yapsna sahiptir. Aslnda
rece§iz. Bu uzay standart yönlendirmesiyle dü³ünelim:
kuaterniyonlar bir cebir olu³turur. ki kuaterniyonun çarpm
i2 = j 2 = k 2 = −1
ve
ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −i, ki = j, ik = −j,
p = (a, b, c, d) =
p = (a, −b,√
−c, −d) = a − ib − jc − kd
√
ve boyu (uzunlu§u veya normu) ||p|| =
pp = a2 + b+ c2 + d2 ³eklinde
1 birim çemberini olu³tururken
tanmlanr. Birim boylu karma³k saylar S
3 birim küresidir. Sfrdan
birim uzunlu§a sahip kuaterniyonlarn kümesi S
çarpm tablosu ile tanmlanr. Karma³k saylarda oldu§u gibi
a + ib + jc + kd
kuaterniyonun e³leni§i
farkl her kuaterniyonun çarpma i³lemine göre tersi vardr ve
p−1 =
1
p
.
=
, p ∈ H∗ = H − {0},
p
||p||2
ile verilir. Ayrca, oldukça kullan³l olan ³u e³itli§i de görelim: Her
için,
p, q ∈ H
pq = q p.
Dört boyutlu küreyi iki kuaterniyon do§runun birle³imi olarak ³u ³ekilde
yazalm:
S 4 = H ∪˙ H/p ∼ ϕ(p) = 1/p , p ∈ H∗ . ϕ
fonksiyonu yönü korudu§u
için kuaterniyonlar üzerine koydu§umuz yönlendirme küreyi de yönlendirecektir. Örnek 2.1.10 içinde birim küreyi
S 2 = CP 1 = C ∪˙ C /z ∼ ϕ(z) = 1/z , z ∈ C − {0},
ve te§et demetini de
T∗ CP 1 = T∗ C ∪˙ T∗ C /(z, w) ∼ (ϕ(z), ϕ′ (z)(w)) = (1/z, −w/z 2 ),
(z, w) ∈ C − {0} × C = T∗ (C − {0}), ³eklinde ifade etmi³tik. Dört boyutlu
kürenin te§et demeti için yine ϕ(p) = 1/p, fonksiyonun türevini hesaplayalm:
345
7-Boyutlu Egzotik Küreler
p ∈ H∗
Sfrdan farkl bir
noktas ve herhangi bir
v ∈ Tp H∗ ≃ H
te§et vektörü
alalm. ³lemler srasnda kuaterniyon cebirinin de§i³meli olmad§n göz önüne
alarak dikkatli olmaya çal³aca§z. Bu durumda,
ϕ′ (p)(v) =
=
=
=
=
=
=
ϕ(p + hv) − ϕ(p)
h7→0
h
(p + hv)/||p + hv||2 − p/||p||2
lim
h7→0
h
[
]
1
1
(p + hv) ||p||2 − (p + hv)p
lim
2
h7→0 ||p + hv||
h||p||2
[
]
1
1
||p||2 − ||p||2 − hvp
lim
h7→0 p + hv
h||p||2
1
1
lim
(−vp)
h7→0 p + hv
||p||2
1
−1
v
lim
h7→0 p + hv
p
1 1
− v
p p
lim
elde ederiz. O halde, te§et demetini
T∗ S 4 = T∗ H ∪˙ T∗ H /(p, v) ∼ (1/p,
1 1
v ) , p ∈ H∗ ,
p p
³eklinde yazabiliriz (türevin önündeki eksi i³aretini kaldrd§mzda yine ayn
demeti elde etti§imizi gözlemleyiniz; çünkü
H∗
içinde
1
ve
−1
noktalarn
birbirine ba§layan bir e§ri vardr).
“imdi Milnor'un
S4
verebiliriz: Herhangi iki
üzerinde ele ald§
h, j
ξh,j → S 4
demetinin tanmn
tam says için
.
ξh,j = H × H ∪˙ H × H /(p, v) ∼ (1/p, ph vpj ) , p ∈ H∗ .
Bu durumda
T∗ S 4 = ξ−1,−1
demetidir (bizim tanmlarmz ve gösterimimiz
Milnor'n orijinal makalesindekilerden biraz farkldr fakat bu durum herhangi
bir kar³kl§a yol açmayacaktr). Hem lif hem de taban kuaterniyon vektör
uzayn standart yönlendirmesiyle dü³ünelim.
Hatrlatma 6.4.5. E§er
h+j ≤ 0
ise, her iki yerel koordinat sisteminde de,
si : H → T∗ H, p 7→ (p, 1 + p−h−j ), i = 1, 2,
pj s1 (p)ph = s2 (1/p)
ifadesi ile verilen yerel kesitler
ξh,j
e³itli§ini sa§lad§ için
demetinin bir kesitini verir. Bu kesiti ve Al³trma 20'in sonucunu kulla-
narak demetin Euler saysnn
−(h + j)
oldu§unun gösterilmesini size al³tre(S 4 ) = 2 gerçe§iyle
ma olarak brakyoruz (bkz. Al³trma 22). Bu sonucun
uyumlu oldu§unu gözlemleyiniz.
346
Karakteristik Snar
h+j > 0
ξh,j demetini
Di§er taraftan,
yardmc olabilir.
durumunda ise küçük bir hileye ba³vurmak
(p, v) 7→ (1/p, ph vpj ) yap³trma
belirleyen
fonksiyonu
(t, (p, v)) 7→ (1/p,
homotopisi yardmyla
ph
pj
v
) , t ∈ [0, 1],
t + (1 − t)||p||h t + (1 − t)||p||j
(p, v) 7→ (1/p,
ph
pj
v
)
||p||h ||p||j
yap³trma fonksiyonuna
homotopiktir. Homotopik yap³trma fonksiyonlarnn izomork demetler verdi§i kolayca gösterilebilir. (Al³trma 9, Adm 2 istenilen izomorzmann nasl
4 almak ankurulaca§nn ip uçlarn verir; al³trmadaki manifoldu M = S
lamak için yeterli olacaktr. Ayrca sayfa 168'de bulunan Evrensel Demetler
ba³l§ altndaki açklamaya da baknz.) Yap³trma fonksiyonunu bu ³ekilde
seçmek bize
p
kuaterniyonunun birim vektör alnabilmesi avantajn vere-
v 7→ u = v koordinat
−1 = p ve
de§i³ikli§iyle tersine çevirelim. Artk p birim boylu oldu§u için p
−j
−h
e³itlikleri sa§lanr. Dolaysyla, vektör demetinin (sadece
ph vpj = p vp
cektir. “imdi her bir lin üzerindeki yönlendirmeyi
lierin) yönünü ters çevirmek yap³trma fonksiyonunu
(p, u) 7→ (1/p, p−j up−h )
ξh,j
−ξh,j = ξ−j,−h .
fonksiyonuna homotopik yapacaktr. Ba³ka bir deyi³le,
de§i³tirince
ξ−j,−h
demetini elde ederiz:
demetinin yönünü
O halde,
h+j >0
durumunda da demetin Euler says yine
e(ξh,j ) = −e(−ξh,j ) = −e(ξ−j,−h ) = −(h + j)
olur.
Yukardaki hatrlatmada kulland§mz tekni§i bu sefer hem taban manifol-
S 4 'ün hem de lin yönünü de§i³tirerek tekrar uygulayalm. Bu durumda,
(p, v) ∈ H∗ × H de§i³kenlerini (q, ṽ) = (p, v) de§i³kenleri ile de§i³tirmek,
ξh,j demetini belirleyen (p, v) 7→ (1/p, ph vpj ) yap³trma fonksiyonunu, ξj,h
j h
demetini belirleyen (q, ṽ) 7→ (1/q, q ṽq ) yap³trma fonksiyonuna homotodu
pik olan bir fonksiyona dönü³türecektir. Dolaysyla, hem tabann hem de lin
yönünü de§i³tirmek
min
p1
ξh,j
demetini
ξj,h 'e
dönü³türür. “imdi de bu de§i³i-
karakteristik snfn nasl etkiledi§ini görelim.
H = R4
linin yönünü
de§i³tirmek bu lin karma³k saylarla tensör çarpmnn do§al yönlendirmesini
de§i³tirmez (bkz. Örnek 2.3.9). Dolaysyla,
ξh,j ⊗R C → S 4
demetini
f : S 4 = H ∪˙ H/ ∼ −→ H ∪˙ H/ ∼= S 4 , p 7→ p,
ξj,h ⊗R C → S 4 demetini elde ederiz. Do§rudan
4 (S 4 ) → H 4 (S 4 ) , f ∗ (a) = −a oldu§u kolayca
: HDR
DR
fonksiyonu ile geri çekersek
hesap yaparak
f∗
347
7-Boyutlu Egzotik Küreler
görülebilir (f
∗ (dx
1
∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 ) = −dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4
oldu§unu
gözlemlemek yeterlidir). O halde,
p1 (ξj,h ) = p1 (f ∗ (ξh,j )) = f ∗ (p1 (ξh,j )) = −p1 (ξh,j )
elde ederiz.
k ∈ Z
= p1 (ξ−1,−1 ) = 0'dr.
Sonuç 6.4.6. Her
p1
(S 4 )
tam says için
p1 (ξk,k ) = 0
olur. Dolaysyla,
Aslnda yukarda yaptklarmz bir adm daha ileri götürebiliriz: Her
H
pq = q p
için,
oldu§undan sabit bir
p ̸= 0
p, q ∈
de§eri için, a³a§daki gibi
tanmlanan
ψ1 : R4 = H → H = R4 , v 7→ vp,
ve
ψ2 : R4 = H → H = R4 , v 7→ vp = p v,
fonksiyonlar do§rusal izomorzmalar uzay içinde homotopik olmasalar da (determinantlarnn i³aretleri terstir) bu do§rusal fonksiyonlarn kompleksikasyonlar
ψ1 ⊗ idC : C4 = H ⊗R C → H ⊗R C = C4 , v 7→ vp,
ve
ψ2 ⊗ idC : C4 = H ⊗R C → H ⊗R C = C4 , v 7→ vp = p v,
karma³k do§rusal izomorzmalar uzay içinde homotopik olacaklardr, çünkü
C∗
içinde
1
noktasn
−1
noktasna ba§layan bir e§ri vardr (bu e§ri
idC ile tensör edildikten sonra,
(p, v) 7→ (1/p, ph vpj ) yap³trma fonksiyonu (p, v) 7→ (1/p, ||p||2 ph−1 vpj−1 )
h−1 vpj−1 ) yap³trma fonksiyonuna homotove dolaysyla (p, v) 7→ (1/p, p
kullanlarak homotopi yazlabilir). O halde,
pik olacaktr. Ayrca, demetin herhangi bir yarsnda lin yönünü de§i³tirmek
kompleksikasyonu de§i³tirmeyece§i için, bu yap³trma fonksiyonu da (idC ile
tensör edildikten sonra)
(p, v) 7→ (1/p, ph−1 vpj−1 )
yap³trma fonksiyonuna homotopik olacaktr. Ba³ka bir deyi³le,
p1 (ξh,j ) = p1 (ξh−1,j−1 )
olur. Son olarak bu formülü defalarca uygulayarak
p1 (ξh,j ) = p1 (ξh−j,0 )
h olan
elde
ederiz. ³imizi bir parça daha kolayla³trmak için derecesi
gh : S 4 = H ∪˙ H/ ∼ −→ H ∪˙ H/ ∼= S 4 , p 7→ ph ,
gh∗ (ξ1,0 ) ≃ ξh,0 oldu§unu gözlemleyiniz (bkz. Al³trma 21). Bu
p1 (ξh,0 ) = p1 (gh∗ (ξ1,0 )) = gh∗ (p1 (ξ1,0 )) = deg(gh )p1 (ξ1,0 ) = hp1 (ξ1,0 )
fonksiyonu için
durumda,
elde ederiz.
348
Karakteristik Snar
p1 (ξ1,0 ) snfn hesaplamak için yine küçük bir hileye ba³vuraca§z.
ξh,j → S 4 demetleri karma³k yap kabul etmeseler de (bkz. Al³trξ1,0 → S 4 demeti üzerinde karma³k yap vardr. Bunu görmek için
“imdi,
Genelde
ma 22)
p, v ∈ H
kuarterniyonlarn
p = a + ib + jc + kd = A + jB , A = a + ib, B = c − di
ve
v = e + if + jg + kh = C + jD , C = e + if, B = g − hi,
³eklinde
C2
içinde karma³k vektörler olarak yazalm. Bu durumda
p·v
kuaterniyon çarpm
[
][
A −B
B A
p · v ←→
C
D
]
karma³k matris çarpmna dönü³ecektir. Bu durumda demetin vektörleri üzerindeki karma³k yap
[
(v, z) 7→
skaler çarpm ile verilebilir.
formun snfn
ν
Pontryagin snf
Dolaysyla,
ξh,j
C
D
S4
]
[
z=
]
Cz
Dz
, z ∈ C,
küresi üzerinde integrali bire e³it olan bir
4-
ile gösterelim. O halde, bu karma³k vektör demetinin birinci
p1 (ξ1,0 ) = −2e(ξ1,0 ) = 2ν
olacaktr (bkz. Sonuç 6.3.2).
demetinin birinci Pontryagin snf ise
p1 (ξh,j ) = p1 (ξh−j,0 ) = 2(h − j)ν
olarak hesaplanr.
Sonuç 6.4.7. Taban ve lier yukardaki ³ekilde yönlendirildi§inde
p1 (ξh,j ) = 2(h − j)ν
Milnor'un Egzotik Küreleri:
h + j = −1
ve
h−j = k
ve
e(ξh,j ) = −(h + j)ν
Verilen herhangi bir
olacak ³ekilde,
h, j
snrn olu³turan
tek tam says için
tam saylar seçelim.
demetinin birim disk demetinin toplam uzayn
S3
k
olur.
Bk8
demetinin toplam uzayn da
ξh,j → S 4
= Bk ve bu manifoldun
Mk = Mk7 = ∂Bk8 → S 4
ile gösterelim. Her iki demet daha önce ele ald§mz ³ekilde yönlendirilmi³
olsunlar. Bu durumda,
Mk
manifoldunun
λ
de§i³mezi a³a§daki gibidir:
Yardmc Teorem 6.4.8. Yukardaki gösterimi kullanrsak
λ(Mk ) = k 2 − 1
olur.
(mod 7)
349
7-Boyutlu Egzotik Küreler
Kant :
Herhangi bir vektör demetinin toplam uzaynn bir noktasndaki
te§et uzay o noktay içeren lin te§et uzay ile o noktann üzerinde bulundu§u
taban noktasnn te§et uzaylarnn direkt toplamdr. Dolaysyla, herhangi bir
(p, [v]) ∈ Bk
π : Bk → S 4
noktas için
T(p,[v]) = Tp S 4 ⊕ T[v] (ξh,j )p
olur. Ba³ka bir deyi³le,
demet projeksiyonun olmak üzere
T∗ Bk = π ∗ (T∗ S 4 ) ⊕ π ∗ (ξh,j ) .
O halde, Whitney Çarpm Kural'ndan,
α = π ∗ (ν)
olmak üzere,
p1 (Bk ) = π ∗ (p1 (T∗ S 4 )) + π ∗ (p1 (ξh,j )) = 0 + 2(h − j)α = 2kα
h + j = −1
olarak hesaplanr. Di§er taraftan,
Euler snf
−(h + j)ν = ν
ddia:
α2 = 1.
∫
oldu§undan
ξh,j
demetinin
olur.
B
ddiann kant:
4 (S 4 ) → H 4 (B ) homomorzmas bir izomorzma
π ∗ : HDR
k
DR
4
olu§u için α ∈ HDR (Bk ) kohomolojinin bir üretecidir. Bu disk demetinin
4
sfr kesitini S ⊂ Bk ile gösterelim. Bu alt manifoldun Poincaré duali ise
4
β ∈ HDR (Bk ) olsun. O halde, β = a α olacak ³ekilde bir a ∈ R says
4 demetinin Euler says 1 oldu§u için bu kesit kendisini
vardr. π : Bk → S
bir noktada keser. Ba³ka bir deyi³le
∫
1 = S4 t S4 =
∫
β2
β=
S4
Bk
∫
α=1
olur. Di§er taraftan, tanm gere§i
∫
oldu§undan
β=α
ve dolaysyla
S4
α2 = 1
elde ederiz.
2
∫
Bk
Bu durumda,
p21 (Bk ) = 4k 2
τ (Bk ) = 1, q(Bk ) =
ve dolaysyla
Bk
λ(Mk ) = 2q(Bk ) − τ (Bk ) = 8k 2 − 1 = k 2 − 1
tamamlanr. 2
(mod 7)
elde edilir ve kant
Artk ana sonucu vererek bu bölümü bitirebiliriz.
k ∈ Z tam says için Mk manifoldu standart
S 7 küresine homeomorktir. Di§er taraftan, e§er k ∈ Z tam says k 2 −
1 ̸= 0 (mod 7), ko³ulunu sa§lyorsa Mk manifoldu standart S 7 küresine
Teorem 6.4.9. Her tek
difeomork de§ildir.
Kant :
Mk
manifoldu,
ξh,j
demetinin içindeki birim küre demetinin
toplam uzay oldu§u için
Mk = H × S 3 ∪˙ H × S 3 /(p, v) ∼ (1/p,
1
ph vpj ) , p ∈ H∗ ,
||p||h+j
350
Karakteristik Snar
³eklinde ifade edilebilir. Fakat bizim durumumuzda
denklik ba§nts
üzerinde
.
(p, v) ∼ (q, u) = (1/p, ||p|| ph vpj )
F : Mk → R
h + j = −1
oldu§undan
halini alr. Milnor manifold
fonksiyonunu ³öyle tanmlyor:
(p, v) 7→ √
Re(v)
1 + ||p||2
ve di§er koordinat sisteminde ise
w=q
1
1
1
= ||p|| pj v ph , ||w|| =
u
p
||p||
olmak üzere
(
√
Re(w)
1 + ||w||2
=
=
=
=
=
=
)
||p|| j
h
p vp
Re
p
√
1
1+
||p||2
(
)
||p|| j
||p|| Re
p v ph
p
√
1 + ||p||2
)
(
Re pj+1 v ph
√
1 + ||p||2
(
)
Re ph+j+1 v
√
1 + ||p||2
( 0 )
Re p v
√
1 + ||p||2
Re(v)
√
.
1 + ||p||2
Bu fonksiyonun sadece iki tane ve soysuzla³mam³ kritik noktasnn oldu§unun
kantn size brakyoruz. O halde, Bölüm 3'deki Al³trma 8,
S7
Mk
manifoldunun
küresine homeomork oldu§unu kantlar.
Teoremin ikinci ksm için ³u ³ekilde ilerleyece§iz.
7
snr oldu§u için Sonuç 6.4.3'den dolay λ(S )
daki yardmc teoremden
tamamlanr.
6.5
2
λ(Mk ) ̸= 0
S7
küresi birim diskin
= 0'dr. Di§er taraftan, yukar-
oldu§unu biliyoruz. Dolaysyla, kant
Al³trmalar
1. Hatrlatma 6.1.5'in son ksmnda bulunan tümevarm admn tamamlaynz.
2. Teorem 6.1.8'in kantnn birinci admndaki
dP ([Ωlk ])
∑ ( ∂P )
∧ dΩlk
=
l
∂Ω
k
k,l
351
Al³trmalar
e³itli§ini kantlaynz.
3. Herhangi bir
Σ
yönlendirilebilir yüzeyi üzerinde verilen
koordinat sisteminde ifade edilen bir
g
(x1 , x2 )
sral
Riemann metri§i alalm ve
Γkij
bu metri§in Christoel sembollerini göstersin. Bu durumda yüzeyin Euler
snf
1
F
=
2π
2π
(
∂Γ122 ∂Γ112
−
∂x1
∂x2
)
dx1 ∧ dx2
ile verilir. Hiperbolik yar düzlem ve Poincaré Diski için yukardaki formu hesaplaynz. “imdi genusu iki olan tkz ve yönlendirilebilir bir yüzey
alalm. Bu yüzeyi Poincaré Diski'nin içinde merkezi diskin merkezinde
ve kenarlar jeodezikler olan e³kenar bir sekizgenin bölüm uzay olarak
görebiliriz. Bunun için sekizgenin büyüklü§ünü öyle ayarlayalm ki iç açlarn toplam
2π
olsun. Bu durumda kenarlar oklarn gösterdi§i yönde
yap³trrsak sekizgenin kö³eleri bize yüzey üzerinde bir iç nokta verir.
Bölüm 3, Al³trma 10 ve 11
bize yüzeyin Euler saysnn
2 − 2g = −2
oldu§unu söyler. Bu örne§i hangi tkz yüzeylere geni³letebilirsiniz?
“ekil 6.5: Poincaré Diski'nin içinde her bir iç açs
π/4
radyan olan düzgün sekizgen;
ayn harerle gösterilen kenarlar oklar yönünde yap³trrsak genusu iki olan yüzeyi
elde ederiz. Sekizgenin alan
4π 'dir!
Aslnda bu yakla³m Gauss-Bonnet Teoremi'nin bir ba³ka kantn verir:
Bunun için iki sonuca ihtiyacmz var. Birincisi Bölüm 3, Al³trma 11'de
özel bir metrik için verilen aç-alan ili³kisinin her Riemann metri§i için
do§ru oldu§unu söyleyen ve Gauss tarafndan kantlanan teorem. Di§eri
ise her yüzeyin bir üçgenleme kabul etti§ini söyleyen ve Rado tarafndan
1925 ylnda kantlanan sonuç.
4. Yüzeyler için saysal e§rili§in Gauss e§rili§inin iki kat oldu§unu gösteriniz.
352
Karakteristik Snar
“ekil 6.6: Torus kenarlar oklar yönünde yap³trlan dikdörtgenin bölüm uzaydr.
Dikdörtgenden disk çkartmak torustan disk çkartmaya kar³lk gelir.
(a) ki dikdörtgenden birer disk
çkartlarak olu³an bölgelerin, (e)
ile
gösterilen
snrlar
(b)
boyunca
Sekizgenin
kenarlar
oklar
yap³trlmasyla elde edilen sekiz-
yönünde yap³trlnca elde edilen
gen.
genus iki yüzey.
“ekil 6.7
5. Örnek 6.1.10'un içinde yer alan
σ ∗ (ω) = κ dS
e³itli§ini kantlaynz.
6. Sonuç 6.1.11'in kantnn 4. admndaki Gauss gönderiminin yerel olarak
yönü korumas veya yönü de§i³tirmesi ile ilgili iddiay kantlaynz.
7. Üç boyutlu Öklit uzayna gömülmü³ her tkz yüzeyin Gauss e§rili§i pozitif olan bir noktas mutlaka vardr, kantlaynz.
8.
P :M →N
türevlenebilir manifoldlarn bir örtü uzay olsun. E§er
üzerinde bir Riemann metri§i varsa bu metri§i
M
üzerine çekebiliriz. Bu durumda
P
P
N
yerel difeomorzmas ile
bir yerel izometri olur. Gauss-
Bonnet Teoremi'ni kullanarak iki boyutlu küre veya torusun herhangi
353
Al³trmalar
sonlu bir örtü uzaynn yine küre veya torus oldu§unu gösteriniz. Di§er
taraftan,
h ≥ 2
zeylerin derecesi
P : Σ g → Σh
olmak üzere
deg(P ) = n
yönlendirilmi³ tkz yü-
olan bir örtü uzay olsun. Al³trma 3'de
Σh üzerine e§rili§i her noktada −1 olan hiperbolik
P : Σg → Σh yerel difeomorzmasn kullanarak Σg
e§rili§i ker noktada −1 olan metri§i olu³turalm. O halde,
önerildi§i gibi
metrik koyalm.
üzerinde de
Gauss-Bonnet Teoremi'nden dolay
1
2 − 2h = χ(Σh ) =
2π
ve
1
2 − 2g = χ(Σg ) =
2π
∫
κΣh dSΣh
Σh
∫
κΣg dSΣg
Σg
1
=−
2π
1
=−
2π
∫
P
1
2π
Alan(Σh )
dSΣg = −
1
2π
Alan(Σg )
Σh
∫
Σg
elde ederiz. Ayrca, yukardaki metrik a³a§dan
oldu§undan,
dSΣh = −
P
ile geri çekilen metrik
yerel difeomorzmas alan koruyandr. Son olarak,
Σh
içinde alnan yeterince küçük her diskin üzerinde ayn alana sahip tam
deg(P ) = n
olarak
tane disk olaca§ndan Alan(Σg )
= n Alan(Σh )
elde
edilir. Bu durumda, daha önce elde etti§imiz
2 − 2g = n(2 − 2h)
g = 1 + n(h − 1)
ya da
formülünü tekrar elde etmi³ olduk.
“imdi
M
üzerinde bir
G-grup etkisi oldu§unu ve örtü uzaynn bir bölüm
uzay oldu§unu kabul edelim:
P : M → M/G = N .
Bu durumda
N
üzerindeki her metrik
M
üzerinde
G-grubunu
izo-
metrilerinin bir alt grubu kabul eden bir metrik verir. Di§er taraftan,
M
üzerindeki bir metrik
G-grubu
altnda de§i³mez ise
metrik verir, öyle ki bu metri§i tekrar
M
N
üzerinde bir
üzerine çekersek yine
M
üzerindeki metri§i elde ederiz.
G-grubunun
G-etkisi altnda
M üzerindeki her
M üzerinde G-de§i³mez
bir metrik bulabiliriz. Aslnda R(M ) ile M
manifoldu üzerindeki
G ile de bu metriklerden
tüm Riemann metriklerinin uzayn ve R(M )
G-grubunu izometrileri olarak kabul edenleri gösterirsek
Son olarak,
sonlu olmas durumunda
metri§in
ortalamasn alarak
R(M ) −→ R(M )G , g 7→
1 ∑
ϕ∗ (g), g ∈ R(M ),
|G|
ϕ∈G
gönderimi bir küçültme fonksiyonudur (R(M ),
M
üzerinde tanml Rie-
mann metrikler kümesinin uygun bir topoloji ile donatld§n kabul ediyoruz).
354
9.
Karakteristik Snar
ϕ : CP r × CP s → CP r+s ,
ve
J : M → M × M, p 7→ (p, p), p ∈ M ,
sayfa 323 ve sonrasnda tanmlanan fonksiyonlar olsun.
.
CP ∞ = lim CP r = ∪r CP r
r≥0
sonsuz birle³imi göstersin. Burada limiti do§al
CP r → CP r+1
içerme
fonksiyonlar yardmyla kuruyoruz (bkz. Bölüm 1, Al³trma 1). E§er
f : M → CP r ⊆ CP ∞
ve
iki fonksiyonun çarpm
ile tanmlanr. Yine
f ·g
g : M → CP s ⊆ CP ∞
iki fonksiyon ise bu
.
f · g = ϕ(f, g)
n = dim M
ve
s, r ≤ k olsun. Bu durumda,
2(k + 1) > n + 1 ko³ulun-
çarpm fonksiyonu Önerme 6.2.2'nin
dan dolay
CP k
içine giden bir fonksiyona homotopiktir; kantlaynz.
Bu i³lemin homotopi snfar üzerinde de§i³meli bir grup olu³turdu§unu
[f : M → CP ∞ ] homotopi snfnn grup i³lemine göre ter[f¯ : M → CP ∞ ] e³lenik fonksiyonunun homotopi snf ile verilir.
gösteriniz.
si
Son olarak Önerme 6.2.2'i a³a§da verilen admlar izleyerek kantlaynz
(ayrca bkz. sayfa 168):
f : M → CP N , p 7→ f (p) = [s0 (p) : · · · : sN (p)] ve g :
M → CP , p 7→ g(p) = [r0 (p) : · · · : rN (p)], verilen bir π : L → M n
Adm 1)
N
karma³k do§ru demetinin iki snandrma fonksiyonunu olsun. Demeti
L|U ≃ Ui × C
i
yerel çarpmlar ³eklinde yazalm. Kesitleri
s i : Ui → C
³eklinde fonk-
siyonlar olarak görelim.
ϕf : Ui → CN +1 − {0} , p 7→ (s0 (p), · · · , sN (p)), p ∈ Ui ,
ve
ϕg : Ui → CN +1 − {0} , p 7→ (r0 (p), · · · , rN (p)), p ∈ Ui ,
fonksiyonlarnn do§rusal homotopisi,
ϕf (p) = −ϕg (p)
e³itli§inin sa§lan-
d§ noktalarda iyi tanml olmayacaktr. Bu zorlu§u a³mak için snandrma fonksiyonlarn sfr kesitleriyle geni³letelim:
f : M → CP 2N +1 , p 7→ f (p) = [s0 (p) : · · · : sN (p) : 0 : · · · : 0]
ve
g : M → CP 2N +1 , p 7→ g(p) = [r0 (p) : · · · : rN (p) : 0 : · · · : 0] .
Ayrca
h : M → CP 2N +1 , p 7→ f (p) = [0 : · · · : 0 : s0 (p) : · · · : sN (p)]
snandrma fonksiyonu tanmlayalm. “imdi
ϕf
fonksiyonuna hem de
ϕg
ϕh
fonksiyonunun hem
fonksiyonuna homotopik oldu§u açktr.
355
Al³trmalar
Son olarak bu homotopilerin
siyonu ile bile³kesini alarak
ξ2N +1 → CP 2N +1 demet iz dü³üm fonkf ve g fonksiyonlarn birbirine ba§layan
homotopiyi elde ederiz. Dolaysyla, her bir karma³k do§ru demeti tek
bir (snandrma fonksiyonu) homotopi snf belirler.
Adm 2) Homotopik
∗
belirledi§i f (ξN ) ve
f : M → CP N ve g : M → CP N fonksiyonlarnn
g ∗ (ξN ) demetlerinin izomork oldu§unu görelim.
Homotopiyi
ft : M → CP N , (p, t) 7→ [s0 (p, t) : · · · : sN (p, t)],
f0 = f , f1 = g
³eklinde yazalm. lk önce
M
oldu§unu kabul edelim. Manifold tkz oldu§u için
lu saydaki
[ai , bi ]
manifoldunun tkz
[0, 1]
aral§n son-
aralklarnn birle³imi olarak yazabiliriz, öyle ki bu
aralklardan herhangi birisi için
M × [a, b] = ∪i Ui × [a, b],
³eklinde yazlr ve her
(p, t) ∈ Ui × [a, b] için si (p, t) ̸= 0 e³itsizli§i
fa∗ (ξN ) ve fb∗ (ξN ) demetlerinin izomork
sa§lanr. Kant bitirmek için
oldu§unu göstermek yeterlidir. Bu iki demet arasndaki izomorzmay
her bir
Ui
açk kümesi üzerinde ³u ³ekilde tanmlayalm:
. si (p, b)
·v .
ψi (p) : fa∗ (ξN )p → fb∗ (ξN )p , v 7→ ψi (p)(v) =
si (p, a)
Di§er taraftan herhangi bir
Ui × {t}
ve
Uj × {t}
t ∈ [a, b]
de§eri için,
ft∗ (ξN )
demetinin
açk kümelerine kstlan³lar arasndaki geçi³
fonksiyonu
. sj (p, t)
·v
v 7→ ψij (p, t)(v) =
si (p, t)
ile verilir. Son olarak
ψj (p, ψij (p, a)(v)) =
sj (p, b)
· v = ψij (p, b)(ψi (p)(v))
si (p, a)
oldu§undan kant tamamlanr. Manifoldun tkz olmad§ durumun kantn okuyucuya brakyoruz.
10. Yukardaki al³trmay gerçel projektif uzay için tekrar ediniz. Bu durum-
RP ∞
[M, RP ∞ ]
da
uzay gerçel do§ru demetlerinin snandrma uzay olacaktr.
homotopi snarnn kümesi bir 2-grup olu³turur. Ba³ka bir
deyi³le birim eleman d³ndaki her elemann mertebesi ikidir.
11. Önerme 6.2.4'ü kantlaynz.
356
Karakteristik Snar
12. Teorem 6.2.5'i kantlaynz. Bunun için ilk önce sayfa 325'de olu³turdu§umuz yaplar hatrlayalm:
π ◦ : E → M 1 < r-boyutlu bir vektör demeti
olmak üzere ve bu demetin projektivasyonunu
CP r−1 → P (E) → M
ile gösterelim. Ayrca
π◦ : E → M
π : P (E) → M
iz dü³üm fonksiyonu yardmyla
vektör demetinin geri çekmesinin
0 → L1 → π ∗ (E) → Q1 → 0
³eklinde bir tam diziye oturdu§unu görmü³tük. Ba³ka bir deyi³le,
π ∗ (E) ≃ L1 ⊕ Q1
Q1 rank
π : P (E) → M iz
karma³k vektör demeti izomorzmasn elde ederiz. Burada
r−1
olan bir karma³k vektör demetidir. Ayrca
dü³üm fonksiyonunun kohomolojide verdi§i bire bir
∗
∗
π ∗ : HDR
(M ) → HDR
(P (E))
homomorzmas yardmyla
∗ (P (E))
HDR
modülü oldu§unu görmü³tük. “imdi de
cebirinin bir serbest
π1 : P (Q1 ) → P (E)
∗ (M )HDR
projekti-
vasyonunu kullanarak benzer ³ekilde
(π ◦ π1 )∗ (E) ≃ π1∗ (L1 ⊕ Q1 ) ≃ π1∗ (L1 ) ⊕ L2 ⊕ Q2
ayr³mn elde ederiz. Ayn nedenlerden dolay kohomoloji seviyesindeki
∗ (M ) → H ∗ (P (Q ))
(π ◦ π1 )∗ : HDR
1
DR
homomorzmasnn bire bir oldu§u
açktr. Bu ³ekilde ilerleyerek elde edece§imiz
E →M
Qr−1
manifoldu
π◦ :
demetini do§ru demetleri toplamna dönü³türecek arad§mz
uzay olacaktr:
ϕk = π1 ◦ · · · ◦ πk , k = 1, · · · , r − 1,
olmak üzere
(π ◦ ϕr−1 )∗ (E) ≃ ϕ∗r−1 (L1 ) ⊕ ϕ∗r−2 (L2 ) ⊕ · · · ⊕ ϕ∗1 (Lr−1 ) ⊕ Lr .
13. Örnek 6.2.10'da
CP 1 × CP 1
içindeki cebirsel e§riler için verilen Derece-
Genus Formülü'nü kantlaynz.
14. Bu al³trmada ³u ana kadar iki farkl kantn sundu§umuz Derece-Genus
Formülü'nün bir di§er kantnn ana hatlarn görece§iz. “ekil 6.8a'daki
dört do§runun denklemleri
li (x, y), i = 1, 2, 3, 4
olsun. Bu durumda
ayn ³ekildeki dört do§ru,
f (x, y) = l1 (x, y) l2 (x, y) l3 (x, y) l4 (x, y)
çarpm polinomu olmak üzere
Bu polinomu ayn zamanda
f (x, y) = 0 denkleminin çözüm kümesidir.
f : R2 → R fonksiyonu olarak görelim ve
357
Al³trmalar
R2 ⊂ C2 ⊂ CP 2 , (x, y) 7→
(x, y) 7→ [x : y : 1], içinde rastgele dört do§rudan olu³an dejenere
R2 ⊂ C2 ⊂ CP 1 × CP 1 ,
(x, y) 7→ (x, y) 7→ ([x : 1], [y : 1]),
içinde ikili derecesi (4, 3) olan de-
kuartik e§ri.
jenere e§ri.
(a)
(b)
“ekil 6.8
Sard Teoremi'ni kullanarak bu fonksiyon için bir
seçelim. O halde,
f (x, y) − ϵ = 0
ϵ>0
düzgün de§eri
denkleminin çözümü bir boyutlu
türevlenebilir bir manifold olacaktr. “imdi bu polinomun homojen halini
F (z0 , z1 , z2 ) = z24 f (z0 /z2 , z1 /z2 ) − ϵz24
olarak yazlr. Hemen hemen her
sinin
CP 2
ϵ > 0
için,
F (z0 , z1 , z2 ) = 0
e§ri-
karma³k projektif düzlemi içinde türevlenebilir bir yüzey
z24 f (z0 /z2 , z1 /z2 ) = 0 dört kar2
2
do§rular R ⊂ RP
⊂ CP 2 içinde
oldu§unu gösteriniz. Di§er taraftan,
ma³k do§runun birle³imidir. Bu
yukardaki ³ekilde kesi³irler. “ekildeki dejenere e§riyi türevlenebilir yapmak için kulland§mz
ϵ>0
saysn yeterince küçük seçerek e§rinin
tekil noktalarnn küçük bir kom³ulu§u d³nda de§i³medi§ini kabul edebiliriz. Di§er taraftan, sadece kesi³im noktalarndan olu³an tekilliklerin
hepsi denklemin yerel olarak
z0 z1 = 0 7→ z0 z1 = ϵ′ ̸= 0
³eklinde de§i³mesi ile yok olurlar. E§rinin topolojisi ³u ³ekilde de§i³ir:
Her kesi³im noktasnn her iki küreden birer disk kom³ulu§u çkarlr ve
olu³an iki snr çemberi bir silindir (z0
z 1 = ϵ′
denklemi karma³k düz-
lem içinde bir silindir belirler) ile birbirine ba§lanr. Ba³ka bir deyi³le,
“ekil 6.8a'daki dört küre (gerçel do§rularn karma³k projektikasyonlar) kesi³im noktalar yaknnda birbirine tüplerle ba§lanr. Olu³an yeni
yüzeyin cins says üç olan yüzey oldu§u açktr! Aslnda Euler says
hesabndan da olu³an yüzeyin cins saysnn üç oldu§u görülebilir. Dört
kürenin birle³iminden tekil noktalarn küçük kom³uluklarn atarsak geriye her biri üç snr bile³enine sahip dört ayrk küre kalr ve bu topolojik
uzayn Euler says
4 · (2 − 3) = −4
olur. Silindirin Euler says sfr
oldu§u için bu delikli küreleri tüplerle ba§lamak Euler saysn de§i³tirmeyecektir. O halde, deformasyon sonucunda olu³an yüzeyin Euler says
358
Karakteristik Snar
−4
ve dolaysyla cins says
−4 = 2 − 2g
g=3
denkleminden
olarak
bulunur.
Hesaplam³ oldu§umuz
g = 3
l1 , l2 , l3
saysnn
ve
l4
do§rular-
nn düzlemde ayrm³ olduklar snrl bölgelerin says oldu§una dikkat
ediniz.
“ekil 6.8b'de ise
R2 ⊂ CP 1 × CP 1
düzleminde koordinat eksenle-
rine paralel toplam yedi do§ru verilmi³tir. Do§rularn denklemlerinin
çarpmlarnn hafçe deforme edilmesi ile elde edilecek (ikili derecesi
(m, n) = (4, 3)
(m − 1)(n − 1) = 6
olan) e§rinin cins says yine
ola-
caktr. “ekil 6.8a'dakine benzer ³ekilde kantlaynz. Tahmin edece§iniz
üzere e§rinin cins says bu do§rularn düzlemde ayrd§ snrl bölgelerin
saysna e³ittir.
15. Karma³k (projektif ) düzlemde derecesi
d≥1
olan genel bir e§ri denkle-
mi alalm. Bu e§rinin tekil noktalar, e§riyi veren polinomun katsaylarn
de§i³ken olarak kabul eden bir polinom denklem sisteminin çözümüdür.
Kantlaynz.
16. Karma³k projektif düzlemin,
CP 2 ,
alt boyutlu
R6
Öklit uzayna gö-
mülebilece§ini gösteriniz. Bunun için karma³k projektif düzlemin
CP 2 = S 5 / ∼= {(z0 , z1 , z2 ) ∈ C3 |
∑
|zi |2 = 1}/ ∼
i
((z0 , z1 , z2 ) ∼ λ(z0 , z1 , z2 ), λ ∈ S 1 ) bölüm uzay
5
6
lk önce ifadesi a³a§da verilen F̃ : S → R ,
modelini kullanabiliriz.
F̃ (z0 , z1 , z2 ) = (|z0 |2 , |z1 |2 , Re(z0 z̄1 ), Im(z0 z̄1 ), Re(z1 z̄2 ), Im(z1 z̄2 )),
fonksiyonunun kürenin her
(z0 , z1 , z2 )
noktasnda
F̃ (z0 , z1 , z2 ) = F ([z0 : z1 : z2 ])
e³itli§ini sa§layan bir
F : CP 2 → R6
fonksiyonu verdi§ini gözlemle-
yiniz. Daha sonra bu fonksiyonun bire bir batrma fonksiyonu oldu§unu
kantlaynz.
17.
M 2n
tkz yönlendirilmi³ bir manifold ve
demeti olsun.
tam saylar
E→M
Pontryagin saylarna benzer ³ekilde
karma³k bir vektör
k1 , k 2 , · · · , k r ≥ 0
k1 + 2k2 · · · + rkr = n ko³ulunu sa§lyorsa
∫
.
ck1 ,k2 ,··· ,kr (E) =
ck11 (E) ck22 (E) · · · ckr r (E)
M
integrali ile tanmlanan sayya
E→M
demetinin bir Chern says denir.
Dolaysyla, Pontryagin saylar o manifoldun te§et demetinin karma³k
cisim ile tensör çarpmnn Chern saylarndan ba³ka bir ³ey de§ildir.
359
Al³trmalar
Üzerinde karma³k yap bulunan çe³itli vektör demetlerinin Chern saylarn hesaplaynz.
Chern saylarnn birer tam say oldu§u bilinmektedir. Baz Chern saylarnn tam say oldu§u açktr; örne§in karma³k do§ru demetlerinin toplam olan demetlerin Chern snar aslnda Euler snarnn bir polinomudur ve dolaysyla bu demetlerin Chern saylar birer kesi³im says
olarak hesaplanabilir. Ba³ka hangi demetler için Chern saylarnn tam
say oldu§u kolayca gösterilebilir?
18.
CP 4
karma³k manifoldunu bir alt manifold olarak kabul eden bir
Öklit uzaynn en az
12-boyutlu
SO(3)
19. Bu al³trmada
oldu§unu gösteriniz.
SO(4)
ve
Rn
gruplarnn topolojisine dair basit
gözlemleri sunaca§z. lk iki ³k için [5] (s.195) numaral kaynaktan yararlandm.
(a) Bir
A ∈ SO(3)
matrisi alalm. Matrisin satrlarn
1
gösterelim. Matrisin determinant
oldu§undan
d³ çarpmna e³ittir. Dolaysyla, matris
belirlenir.
R1
buna dik olan
vektörünü
R2
S2
R1
ve
R1 , R2 , R3 ile
R3 = R1 × R2
R2
ile tamamen
üzerinde bir nokta olarak alrsak,
vektörünü kürenin
R1
noktasndaki te§et uzayda
birim uzunlukta bir vektör olarak dü³ünebiliriz. Ba³ka bir deyi³le,
kürenin te§et uzaynn birim vektör demetinin toplam uzay
SO(3)
manifoldudur:
U (T∗ S 2 ) = {(p, v) ∈ S 2 × Tp S 2 | ||v|| = 1}
= {(p, v) ∈ R3 × R3 | ||p|| = 1 = ||v|| , p · v = 0}
= {(p, v, p × v) ∈ (R3 )3 | ||p|| = 1 = ||v|| , p · v = 0}
= SO(3) .
Dolaysyla,
SO(3)
manifoldunun
R6
içine bir gömülmesini elde
etmi³ olduk.
(b) Her
A ∈ SO(3)
dönme hareketi merkezden geçen bir do§runun
etrafnda olur. Bu do§runun etrafndaki dönme açsn do§runun
üzerindeki noktalarn merkeze olan uzakl§ ile belirleyelim. Dolaysyla, do§runun üzerinde alnan
[−π, π]
aral§, bu do§ruyu eksen
olarak kabul eden tüm dönmeleri verecektir. Aslnda, aralk üzerindeki herhangi bir noktaya kar³lk gelen dönme ³u ³ekilde belirlenir:
Alnan noktann merkeze olan uzakl§
θ ∈ [0, π]
ise bu noktay
merkeze ba§layan ³n etrafnda ve saat yönünün tersi istikametinde
θ
radyanlk dönme arad§mz dönmedir. Böylece
π -yarçapl
kü-
renin iç bölgesinde kalan her nokta tek bir dönme belirler. Ayrca,
bu kürenin üzerindeki
−π
ve
π
dönmeyi verir. Ba³ka bir deyi³le,
ile verilen kar³lkl noktalar ayn
SO(3)
ile
D3 /(p ∼ −p , p ∈ ∂D3 )
360
Karakteristik Snar
bölüm uzay arasnda bire bir e³leme vardr. Fakat bu bölüm uzay
RP 3
gerçel projektif uzaydr. Bu i³lemin bir
ϕ : SO(3) → RP 3
difeomorzmas belirledi§ini gösteriniz.
(c)
S3
küresini birim kuaterniyonlar uzay olarak ele alalm. Bu durum-
f : S 3 → SO(3) fonksiyonu ³u ³eklide tanmlansn: Herhangi
3 vektörünü gerçel ksm sfr olan bir birim
bir v = (a, b, c) ∈ R
kuaterniyon olarak v = ai +bj +ck ³eklinde yazalm. Bu durumda,
p ∈ S 3 birim kuaterniyon olmak üzere f (p) rotasyon matrisi
da
f (p)(v) = pvp−1
ile tanmlansn. Bunun çekirde§i
ker(f ) = {±1}
olan iyi tanml
bir grup homomorzmas oldu§unu gösteriniz. Ayrca
g : S 3 → RP 3 = S 3 /p ∼ −p , p ∈ S 3 ,
ϕ ◦ f = g oldu§unu kantlaynz.
→ SO(3) fonksiyonu derecesi iki olan
bölüm uzayn göstermek üzere
Bunun sonucu olarak,
f:
S3
bir örtü uzaydr.
(d) Sayfa 347'da kuaterniyon çarpmn karma³k matris çarpm olarak
S 3 = SU (2) oldu§unu gösteriniz.
[
]
A = C1 C2 C3 C4 elemann
3
durumda, ψ : SO(4) → S , A 7→
yazm³tk. Bu bilgiyi kullanarak
(e)
SO(4)
grubunun herhangi bir
sütunlar ile ifade edelim. Bu
C1 , iyi
v ∈ S3
tanml örten bir türevlenebilir fonksiyondur. Ayrca, her
vektörünün
ψ −1 (v)
ters görüntüsü bu vektöre dik olan
üç boyutlu Öklit uzaydaki tüm sral ortonormal çatlardan olu³ur.
Dolaysyla,
ψ : SO(4) → S 3
fonksiyonu her bir li
SO(3)
grubuna
izomork olan bir lif demetidir. Aslnda bu demet a³ikar demettir.
Ci = [a b c d]T sütununu a + ib + cj + dk
görelim. C i = a − ib − jc − kd kuaterniyonun
Bunu görmek için her bir
kuaterniyonu olarak
e³leni§ini göstermek üzere
A=
[
C1 C2
Ψ : SO(4) → S 3 × SO(3),
]
[
]
C3 C4 7→ (C1 , C 1 C2 C 1 C3 C 1 C4 ),
istenilen demet izomorzmasn verir. Burada
C 1 Cs , s = 2, 3, 4,
kuaterniyon çarpmlarnn gerçel ksmlar sfrdr ve dolaysyla bu
kuaterniyonlar
edilen
3 × 3'lük
R3
içinde birim vektörler olarak görebiliriz. Elde
matrisin ortogonal oldu§unun gösterilmesini, di§er
detaylarla beraber, size brakyoruz.
(f ) Yukardaki (c) ³kknda ele ald§mz
f : S 3 → SO(3)
fonksiyonunu
kullanarak derecesi yine iki olan bir örtü uzay yazabiliriz:
F : S 3 × S 3 → S 3 × SO(3) , (p, q) 7→ (p, f (q)) .
Ψ−1 ◦ F : S 3 × S 3 → SO(4)
fonksiyonunun açk ifadesini yaznz.
361
Al³trmalar
20. Karma³k saylarda oldu§u gibi kuaterniyon cebirinde tanmlanan
f : H → H, x 7→ xn , x ∈ H,
fonksiyonunun topolojik derecesinin
n
oldu§unu gösteriniz. Aslnda
bu sonuç 1944 ylnda Eilenberg ve Niven tarafndan daha genel haliyle
kantlanm³tr (bkz. [11]). Bunun için ilk önce
i∈H
kuaterniyon say-
snn bu fonksiyonun bir düzgün de§eri oldu§unu ve ters görüntüsünün
tam olarak
n
noktadan olu³tu§unu gösteriniz. Daha sonra her bir ters
görüntü noktasnda fonksiyonun yön koruyan (Jakobyen'in pozitif i³aretli) oldu§unu gösteriniz.
Eilenberg ve Niren bu sonucu ³u ³ekilde genelliyor:
a0 , · · · , an ∈ H∗
s-
frdan farkl kuaterniyon saylar olmak üzere
g : H → H, x 7→ a0 xa1 · · · xan + h(x), x ∈ H,
h(x) derecesi n'den küçük 'monomiyalf fonksiyonuna düzgün bir homotopi
oldu§unu göstererek deg(f ) = deg(g) = n e³it-
fonksiyonunu dü³ünelim öyle ki,
lerden' olu³sun. Bu fonksiyonun
yardmyla homotopik
li§ini kantlaynz.
21.
gh : S 4 = H ∪ H → H ∪ H = S 4 , p 7→ ph , fonksiyonu için gh∗ (ξ1,0 ) ≃ ξh,0
oldu§unu kantlaynz.
22. Dört boyutlu kürenin te§et demetinin üzerinde karma³k yap bulunmad§n gösteriniz. Küre üzerinde tanmlad§mz
−(h + j)
saysnn
ξh,j
demetinin Euler
oldu§unu kantlaynz? Bu demetlerden hangileri
üzerinde karma³k yap olabilir?
23. Karma³k projektif düzlemden 4-boyutlu küreye a³a§daki ifade ile tanmlanan
ξ : CP 2 → S 4 ,
ξ([z0 : z1 : z2 ]) = (
2z̄0 z1 2z̄0 z2 |z1 |2 + |z2 |2 − |z0 |2
,
,
),
||z||2 ||z||2
||z||2
z = (z0 , z1 , z2 ) ∈ C3 karma³k vek+ |z1 |2 + |z2 |2 ile gösteriyoruz. Ayrca
fonksiyonunu dü³ünelim. Burada
törünün boyunu
||z||2
= |z0
|2
küreyi a³a§daki gibi ifade edece§iz:
S 4 = {(w1 , w2 , t) ∈ C × C × R | |w1 |2 + |w2 |2 + t2 = 1}.
Fonksiyonun
recesinin
±1
n
verilen her
ξ([0 : z1 : z2 ]) = (0, 0, 1)
ko³ulunu sa§lad§n ve de-
oldu§unu gösteriniz. Karma³k projektif düzlem üzerinde
tam saysn birinci Pontryagin says olarak kabul eden bir
dört boyutlu gerçel vektör demeti vardr, kantlaynz. Bu demetlerden
hangileri üzerinde karma³k yap olabilir?
362
Karakteristik Snar
24. Yukarda ele ald§mz
ξ1,0 → S 4
demetinin birinci Pontryagin snfn
hesaplamak için do§rudan tanmlar kullanmay deneyebiliriz. Herhangi
π0 : E → S 4 R4 -demetinin birinci Pontryagin snfnn demetin
4
kompleksikasyonunun, π1 : EC → S , ikinci Chern snfnn −1 kat
oldu§unu biliyoruz: p1 (E) = −c2 (EC ) , EC = E ⊗R C. Chern snarn
4 demetinin her bir li CP 3
hesaplamak için ise ilk önce π1 : EC → S
4
olan projektivasyonunu dü³ünmeliyiz: π : P (EC ) → S . Daha sonra
∗
π (EC ) demetinin L → P (EC ) kanonik alt do§ru demetini olu³turup,
bu demetin dualinin birinci Chern snfn
a = c1 (L∗ ) = −c1 (L) ∈
2
4
HDR (P (EC )) olarak yazalm. S küresi üzerinde integrali bire e³it olan
4
bir 4-formun snfn π : P (EC ) → S ile geri çekelim ve her iki snf da ν
∗
ile gösterelim. Leray-Hirsch Teoremi'nden HDR (P (EC )) kohomolojisinin
bir
a³a§daki ³ekilde verildi§ini gösteriniz:
0
2
HDR
(P (EC )) =< 1 >≃ R , HDR
(P (EC )) =< a >≃ R,
4
6
HDR
(P (EC )) =< a2 , ν >≃ R2 , HDR
(P (EC )) =< a3 , aν >≃ R2 ,
8
10
HDR
(P (EC )) =< a2 ν >≃ R , HDR
(P (EC )) =< a3 ν >≃ R.
Demetin Chern snar tamamen
a4 + c1 (EC )a3 + c2 (EC )a2 + c3 (EC )a + c4 (EC ) = 0
denklemiyle tek bir ³ekilde belirlenir. Taban manifoldu
du§undan
c1 (EC ) = c3 (EC ) = c4 (EC ) = 0
S4
küresi ol-
ve dolaysyla
a4 + c2 (EC )a2 = 0
denklemini elde ederiz.
π ∗ (c2 (EC )) = λν , λ ∈ R,
a4 = 0 ise c2 (EC ) = 0
̸= 0 ise c2 (EC )∫ ̸= 0 olur. Ayrca a3
3
snfn temsil eden formu yine a ile gösterirsek
CP 3 a = 1 oldu§unu
5
3
3
biliyoruz. Son olarak a = −c2 (EC )a = −λνa ̸= 0 denkleminden
∫
λ=−
a5
olarak yazlsn. E§er
4
olmaldr. Di§er taraftan, e§er a
P (EC )
elde ederiz. Dolaysyla,
(∫
p1 (E) = −c2 (EC ) = −λν =
)
a5
ν
P (EC )
olarak hesaplanr. Aslnda bu integrali hesaplamak yerine, daha geometrik bir yakla³mla,
2 (P (E ))
a ∈ HDR
C
snfnn Poincaré dualinin kendisi
363
Al³trmalar
ile be³ defa dik kesi³imini hesaplamay dü³ünebiliriz. Bunun için a³a§daki ifade ile verilen
P (EC ) → CP 7
fonksiyonunun bu karma³k do§ru de-
metinin bir snandrma fonksiyonu oldu§unu gözlemleyiniz (bkz. Önerme 6.2.2):
−→ [pj vpk :
(p, [v])
1
v]
1 + ||p||2(h+j)
↓
||
−→ [ṽ :
(q, [ṽ])
||
1 j k
( , [p vp ])
p
Bunu görmek için
CP 7
||q||2(h+j) j k
q ṽq ]
1 + ||q||2(h+j)
uzaynn ikinci kohomolojisinin üreteci olan bir
snfn Poincaré dualinin
z7 = 0
denklemi ile verildi§ini biliyoruz. O
P (EC ) → S 4
içindeki v3 = 0 hi-
halde, bu kohomoloji snfn ve Poincaré dualini geri çekip
demetinin li olan
CP 3 )
ile kesi³tirirsek bu lin
per düzlemini buluruz. Ba³ka bir deyi³le,
molojisinin üretecini geri çekip
CP
3
CP 7
uzaynn ikinci koho-
line kstlarsak bu lin ikinci
kohomolojisinin üreticini buluruz. Di§er taraftan,
P (EC )
uzaynn ikin-
ci kohomolojisinin her eleman herhangi bir life (dolaysyla her bir life)
kstlan³ ile tek bir ³ekilde belirlenir. Dolaysyla, bu fonksiyon gerçekten de arad§mz snandrma fonksiyonudur. “imdi
P (EC ) → CP 7
snandrma fonksiyonunun bir gömme fonksiyonu oldu§unu gösteriniz.
Ayrca, bu durumda hesaplamak istedi§imiz Pontryagin says bu fonk-
CP 7
kesi³imin ±2
siyonun görüntüsü ile
olacaktr. Bu
içindeki bir
CP 2
düzleminin dik kesi³imi
oldu§unu gösteriniz.
25. Gerçel ve karma³k projektif uzaylar, iki boyutlu tkz manifoldlar, kürelerin birbirleriyle çarpmlar, iki boyutlu küre üzerindeki karma³k do§ru
demetlerinin birim çember demetleri gibi kitapta skça ad geçen manifoldlar üzerinde Morse fonksiyonlar bulunuz. Bu fonksiyonlarn kritik
noktalarndaki Hessian matrislerinin endekslerini hesaplaynz. ndeksler
ile manifoldun Betti saylar arasnda bir ili³ki görebiliyor musunuz?
Kaynakça
[1] Dimca Alexandru. Singularities and Topology of Hypersurfaces. SpringerVerlag New York, Inc., 1992. Universitex Series.
[2] Thierry Aubin.
A Course in Dierential Geometry.
matical Society, Providence, Rhode Island, 2000.
American Mathe-
Graduate Studies in
Mathematics, no. 27.
[3] Thomas F. Bancho.
Triple points and surgery of immersed surfaces.
Proc. Amer. Math. Soc., 46(3):407413, December 1974.
[4] Ethan D. Bloch. A First Course in Geometric Topology and Dierential
Geometry. Birkhauser, Boston, 1997.
[5] Raoul Bott ve Loring W. Tu. Dierential Forms in Algebraic Topology.
Springer-Verlag New York, Inc., 1986. Graduate Texts in Mathematics,
no. 82.
[6] Glen E. Bredon. Topology and Geometry. Springer-Verlag New York, Inc.,
1995. Graduate Texts in Mathematics, no. 139.
[7] Pierre E. Conner. Dierentiable periodic maps. Lecture Notes in Math.,
Springer Berlin, 1979, no.738.
[8] Manfredo P. do Carmo. Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston, 1992.
[9] Manfredo P. do Carmo. Diferansiyel Geometri: E§riler ve Yüzeyler. TÜBA, Türkiye Bilimler Akademisi, “enol Form Matbaaclk, Ankara, 2012.
TÜBA Ders Kitaplar no. 8, Birinci Bask, Çeviren: Belgin Korkmaz.
[10] R. H. Dye. On the Arf invariant. J. Algebra, 53:3639, 1978.
[11] Samuel Eilenberg ve Ivan Niven. The fundamental theorem of algebra for
quaternions. Bull. Amer. Math. Soc., 50:246248, 1944.
[12] William Fulton. Algebraic Topology, A First Course. Springer-Verlag New
York, Inc., 1995. Graduate Texts in Mathematics, no. 153.
[13] Robert E. Gompf ve András I. Stipsicz. 4-Manifolds and Kirby Calculus.
American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1999.
duate Studies in Mathematics, no. 20.
365
Gra-
366
KAYNAKÇA
[14] Phillip Griths ve Joseph Harris. Principles of Algebraic Geometry. John
Wiley and Sons, Inc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, 1994.
[15] Victor Guillemin ve Alan Pollack.
Dierential Topology.
AMS Chelsa
Publishing, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island,
2010.
[16] S. M. Gusein-Zade. Integration with respect to the Euler characteristic
and its applications. Russian Math. Surveys, 65(3):399432, 2010.
[17] Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag New York, Inc.,
1977. Graduate Texts in Mathematics, no. 52.
[18] Allen Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.
[19] Friedrich Hirzebruch. Topological Methods in Algebraic Geometry. Classics
in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1995. 3.
Edisyonun 2. düzeltilmi³ basks.
[20] L. Christine Kinsey.
Topology of Surfaces.
Springer-Verlag New York,
Inc., 1997. Undergraduate Texts in Mathematics.
[21] W. B. Raymond Lickorish.
An Introduction to Knot Theory.
Springer
New York, 1997. Graduate Texts in Mathematics, no. 175.
[22] Alexander Lubotzky.
Groups '93 Galway / St Andrews Galway 1993,
volume 2. London Mathematical Society Lecture Note Series, 1993.
[23] Ib Madsen ve Jørgen Tornehave. From Calculus to Cohomology, De Rham
cohomology and characteristic classes. Cambridge University Press, 1997.
[24] Dusa McDu ve Dietmar Salamon. Introduction to Symplectic Topology.
Clarendon Press, Oxford, 1997.
[25] John W. Milnor. On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Ann. of
Math., 64(2):399405, September 1956.
[26] John W. Milnor. Morse Theory. Princeton University Press, Princeton,
New Jersey, 1973. Annals of Mathematical Studies, no. 51.
[27] John W. Milnor ve James D. Stashe. Characteristic Classes. Princeton
University Press and University of Tokyo Press, Princeton, New Jersey,
1974. Annals of Mathematical Studies, no. 76.
[28] James R. Munkres.
Elements of Algebraic Topology.
Publishing Company, Inc., 1984.
Addison-Wesley
367
KAYNAKÇA
[29] Georges Reeb. Sur les points singuliers d'une forme de pfa complètement
intégrable ou d'une fonction numérique. C. R. Acad. Sci. Paris, 222:847
849, 1946.
[30] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, Inc., New York,
1987. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics, 3. Bask.
[31] Michael Spivak. Calculus on Manifolds. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1965.
[32] Michael Spivak. Dierential Geometry. Publish or Perish, Inc., Huston
Texas, 1970. 1. Cilt.
[33] Michael Spivak. Dierential Geometry. Publish or Perish, Inc., Huston
Texas, 1975. 2. Cilt.
[34] Tosun Terzio§lu.
Fonksiyonel Analizin Yöntemleri.
Matematik Vakf:
ODTÜ, Ankara, 1998. no. 9.
[35] Tosun Terzio§lu.
An Introduction to Real Analysis.
Matematik Vakf:
ODTÜ, Ankara, 2008. no. 3.
[36] Sina
2009
Türeli
ve
Matematik
Ferit
Köyü
Öztürk.
Yaz
Morse
Okulu.
Kuram
Ders
notlar.
(http://www.math.boun.edu.
tr/instructors/ozturk/acikders/morse.htm).
[37] Oleg Y. Viro. Some integral calculus based on Euler characteristic. Lecture
Notes in Math., Springer Berlin, 1979, no. 1346, pages 127138, 1988.
[38] Julia
Viro
ve
Oleg
Y.
Viro.
Congurations
of
skew
lines.
ar-
Xiv:math/0611374, 2006.
[39] Frank W. Warner.
Foundations of Dierentiable Manifolds and Lie
Groups. Springer-Verlag New York, Inc., 1983. Graduate Texts in Mathematics, no. 94.
368
KAYNAKÇA
Semboller
(A∗ , d∗ )
(Dϕ)p , Φ′ (p), (dΦ)p
(M, g)
(M 2n , ω)
(V, [ , ])
(X, τ )
(X, d)
(Ω∗ (M ), d∗ )
∗ω
B(x, r)
C 0 ([0, 1])
C ∞ (V, W )
C k (V, W )
DF
DM
Dif f (M )
E(γ)
E1 ⊕ E2 → M
E1 ⊗ E2 → M
Expp : Tp M → M
F∇
F −1
G·p
GrF (n, k)
H ∗ (X, Z)
H k (A∗ , d∗ )
k (M )
HDR
Hck (M )
Hck (M, U )
Int(K, L)
J : M → hom(E, E)
Jm
L(γ)
L(p, q)
L∗ (ω)
zincir yaps, 196
fonksiyonun noktadaki türevi, 69
Riemann manifoldu, 140
simplektik manifold, 140
Lie cebiri, 139
topolojik uzay, 3
metrik uzay, 10
de Rham zincir yaps, 196
formun yldz, 156
x-merkezli,
r>0
yarçapl yuvar, 3
aralkta tanml sürekli fonksiyonlar uzay, 17
sonsuz türevlenebilir fonksiyonlar, 16
k-nc türevi sürekli olan fonksiyonlar, 16
fonksiyonun türevi, 16
Poincaré zomorzmas, 241
difeomorzmalar grubu, 73
e§rinin enerjisi, 140
vektör demetlerinin toplam, 164
vektör demetlerinin tensör çarpm, 165
üstel fonksiyon, 144
e§rilik, 180
fonksiyonun tersi, 18
noktann grup etkisi altndaki yörüngesi, 73
Grassmann manifoldu, 168
Tekil kohomoloji, 337
zincir yapsnn kohomolojisi, 196
k'inci de Rham kohomoloji, 196
tkz destekli kohomoloji, 220
tkz destekli yerel kohomoloji, 226
iki alt manifoldun kesi³im says, 259
vektör demeti üzerinde karma³k yap, 166
m×m
boyutunda Jordan blok matrisi, 42
e§rinin uzunlu§u, 140
Lens uzay, 102
formun geri çekmesi, 35
369
370
Semboller
MB
M ⊗R N
O(n)
P (E)
P : E m+k → M m
PM (t)
P f af f (Ω)
R(X, Y )
l
Rkij
Ric
Rot(γ)
S(n)
SL(n)
Sn
Sk
T (X, Y )
T ∗M
T∗ M
Tp M
T r(f ∗ )
V∗
X(p)
X/ ∼
X/ ∼
X ×Y
Y −B
[X, Y ]
[µL ]
[νL ]
Γ(E)
Γijl
Λf
Möbius ³eridi, 76
R-modüllerin tensör çarpm, 32
(n × n)-lik ortogonal matrisler uzay,
79
vektör demetinin projektivasyonu, 287
vektör demeti, 161
Poincaré serisi, 274
e§rilik formunun Pfaan', 307
e§rilik tensörü, 302
e§rilik tensörünün bile³enleri, 302
Ricci e§rili§i, 315
dönme says, 207
simetrik
(n × n)-lik
matrisler uzay, 69
özel do§rusal grup, 121
n-boyutlu birim küre, 64
permütasyon grubu, simetrik grup, 33
burulma tensörü, 175
kote§et demeti, 93
te§et demeti, 70
bir noktadaki te§et uzay, 67
f∗
do§rusal dönü³ümünün izi, 279
dual vektör uzay, 34
te§et vektör alan, 71
bölüm kümesi, 2
bölüm uzay, 4
iki topolojik uzayn çarpm, 4
iki kümenin fark, 3
Lie kö³eli parantezi, 134
alt manifoldun Poincaré duali, 262
alt manifoldun Poincaré duali, 260
vektör demetinin kesitleri, 162
Christoel sembolleri, 140
fonksiyonun sabit noktalarnn (i³aretli) says, 279
Ωk (U )
Ωnc (U )
Ωlk
Ē
β
χ(M )
deg(f )
deg(f )pi
det(A)
det(E) → M
U
üzerindeki k-formlar uzay, 90
tkz destekli k-formlar uzay, 103
e§rilik formu, 180
karma³k demetin e³leni§i, 329
topolojinin taban, 4
Euler karakteristi§i, 245
düzgün fonksiyonun derecesi, 229
düzgün fonksiyonun yerel derecesi, 230
A
matrisinin determinant, 36
vektör demetinin determinant, 166
371
Semboller
dim(V )
∂
, i = 1, · · · , n
∂xi
hom(E1 , E2 ) → M
hom(V, W )
∫
Mω
κ
ker T
limi∈Λ Xi
lim xn
LX
S
k
Alt (V )
n
Hac (D (r))
n
Hac (S (r))
k
Sim (V )
trA
∇
∇f
ν(L)
ω(f )
ωK
ωF S
∂M
∗
ϕ
∏ (ω)
Xi
△f
φt
bk (M )
c(E)
ci (E)
ck1 ,k2 ,··· ,kr (M )
d(x, y)
dω
d∇
dsup (f, g)
dvol(M,g)
dxi
dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
e(E)
eA
ep
vektör uzaynn boyutu, 36
te§et vektörlerin taban vektörleri, 69
homomorzmalar demeti, 164
Banach uzaylar arasndaki snrl do§rusal
dönü³ümler uzay, 16
formun manifold üzerinde integrali, 105
Gauss e§rili§i, 316
homomorzmann çekirde§i, 36
topolojik uzaylarn düz limiti, 43
bir dizinin limiti, 7
Lie türevi, 132
saysal e§rilik, 315
de§i³meli tensörler uzay, 33
diskin hacmi, 112
kürenin hacmi, 112
simetrik tensörler uzay, 33
matrisin izi, 54
vektör demeti üzerinde ba§lant, 174
fonksiyonun gradyan vektörü, 154
alt manifoldun normal demeti, 184
sarlma says, 207
geçi³me formu, 211, 285
Fubini-Study form, 117
manifoldun snr, 106
formun fonksiyon ile geri çekilmesi, 91
bir topolojik uzay ailesinin çarpm, 4
Laplace operatörü, 158
izotopi, 127
Betti says, 245
toplam Chern snf, 326
Chern snf, 326
Chern says, 358
iki nokta arasndaki uzaklk, 10
formun d³ türevi, 94
vektör demeti üzerinde d³ türev, 179
supremum metri§i, 15
hacim formu, 155
1-form, koordinatn diferansiyeli, 90
koordinat sisteminde k-form, 90
Euler karakteristik snf, 265
matrisin üstel fonksiyonu, 38
ramikasyon endeksi, 280
372
Semboller
f tL
f tg
f ∗ (E) → M
f −1 (U )
fA
fiσ (1) ∧ · · · ∧ fiσ (k)
p(E)
pi (E)
pk1 ,k2 ,··· ,kr (M )
Altk (M )
l(K, L)
CP n
C
D
Hn
Q
RP n
R
Z
Gp
fonksiyon ve alt manifold dik kesi³iyor, 256
dik kesi³en fonksiyonlar, 253
vektör demetinin geri çekmesi, 168
bir kümenin ters görüntüsü, 3
A
matrisinin karakteristik polinomu, 36
d³ çarpm, 34
toplam Pontryagin snf, 336
Pontryagin snf, 335
Pontryagin says, 339
k-formlar demeti, 93
geçi³me says, 212, 285
karma³k projektif uzay, 65
karma³k saylar cismi, 16
Poincaré Disk Modeli, 189
yar Öklit uzay, 106
rasyonel saylar cismi, 52
gerçel projektif uzay, 65
gerçel saylar cismi, 2
tam saylar halkas, 2
fonksiyon tohumlarnn cebiri, 66
Dizin
Açk
Banach
fonksiyon, 45
Daraltma Prensibi, 14
küme, 3
uzay, 16
örtü, 6
Basit grup, 283
yuvar, 10
Batrma fonksiyonu, 75
Ak³
Be³li Yardmc Teorem, 241
vektör alan, 128
Betti saylar, 246
Alan
Bézout Teoremi, 265
i³aretli, 31
Bianchi Özde³li§i, 310
vektör, 128
Bile³en
Alexander Dualite Teoremi, 228
ba§lantl, 10
Alt
e§rilik tensörü, 302
manifold, 75
Bilineer fonksiyon, 30
vektör demeti, 161
Birim küre, 65
Alt dizi
Birimin ayr³m, 80
yaknsak, 11
Birinci Varyasyon Formülü, 141
Alt küme
Boyut
tkz, 6
manifold, 64
topolojisi, 3
Bölüm
Alt manifold
fonksiyonu, 2
kapal, 75
kümesi, 2
Alt örtü, 6
manifoldu, 72
Analitik
topolojisi, 4
fonksiyon, 22
uzay, 4, 74
karma³k vektör demetinin kesitleri, 170
Burulma tensörü, 176
Annulusun kohomolojisi, 204
Ara De§er Teoremi, 8
Cartan'n Sihirli Formülü, 136
Arf De§i³mezi, 292
Cauchy dizisi, 11
A³ikar
Cayley-Hamilton Teoremi, 36, 43, 54
Cebir
demet üzerinde ba§lant, 176
Lie, 138
demetin Christoel sembolleri, 176
Cebirin Temel Teoremi, 233
vektör demeti, 161
Chern
Atlas
topolojik, 63
e³lenik demetin snar, 329
türevlenebilir, 63
karakteristik snar, 322, 335
karma³k projektif uzayn snar, 330
Ba§nt
saylar, 358
sralama, 43
snar, 301
Ba§lant
Christoel sembolleri, 140, 302
a³ikar demet üzerinde, 176
A³ikar demetin, 176
demetlerin tensör çarpmlar üzerinde,
Dual demetin, 176
180
vektör demeti üzerindeki ba§lantnn, 171,
dual demet üzerinde, 176
metrik ile belirlenen, 178
174
Çarpm
Ba§lantl
d³, 34
bile³en, 10
tensör, 33
uzay, 8
topolojisi, 4
373
374
DZN
türev, 94
Çember ko³ulu, 161
Çemberin kohomolojisi, 199
Difeomorzma, 18
ailesi, 127
Çift boyutlu manifoldun Euler karakteristi§i,
247
Diferansiyel Denklemlerin Varlk Teklik Teoremi, 25
Da§lm Prensibi, 326
Dik kesi³im, 253
Daraltma
Disklerin hacmi, 112
fonksiyonu, 14
Divergence Teoremi, 112
katsays, 14
Dizi
Davul, 201
Cauchy, 11
De Rham Teoremi, 337
Fibonacci, 56
De§er
indirgemeli, 56
düzgün, 75, 254
ksa tam, 214
kritik, 75
tam, 214
tkz destekli yerel kohomoloji, 226
De§i³meli
yaknsak, 11
bilineer fonksiyon, 30
tensör, 34
Dizisel tkz, 11
Do§al yönlendirme, 100
De§i³mez
Arf, 292
De§i³mez çarpan, 39
Dönme says, 206
Dönü³üm
dual, 35
Dehn De§i³mezi, 51
Dehn-Hadwiger
Dual
demet üzerinde ba§lant, 176
Teoremi, 51
demetin Christoel sembolleri, 176
Dehn-Sydler
dönü³üm, 35
Teoremi, 51
Poincaré, 265
Demet
uzay, 35
e³lenik, 329
vektör demeti, 165
karma³k do§ru, 323
normal vektör, 164, 184
Dü§üm, 211
geçi³me says, 211
te§et, 70
vektör, 160, 265
Denk metrikler, 11
Düz limit, 43, 52
Düzgün
de§er, 75, 254
Denklem
integral, 26
fonksiyon, 7
jeodezik, 140
fonksiyonun derecesi, 229
nokta, 75
Derece
diskten kendisine fonksiyonun, 235
sürekli fonksiyon, 13
düzgün fonksiyonun, 229
süreksiz etki, 73
fonksiyon, 207
genus formülü, 331, 333, 356
Egzotik küreler, 340
kuaterniyon polinomlar, 233, 361
E§ri
küreden küreye derecesi sfr olan fonksiyonlarn, 236
mod 2, 231, 289
örtünün, 73
polinomlarn topolojik, 231
ters kutupsal fonksiyon, 233
enerjisi, 140
g
genus-
karma³k, 265
sabit hzl, 144
uzunlu§u, 140
E§rilik
formu, 180, 305, 307, 310
Derivasyon, 67
Gauss, 316
Determinant, 28
Ricci, 315
vektör demetlerinin, 166
saysal, 315
tensörü, 302
D³
çarpm, 34
form, 34
form (geri çekme), 35
tensörünün bile³enleri, 302
Enerji
e§rinin, 140
375
DZN
fonksiyoneli, 140
topolojik gömme, 75
türevi, 16
E³itlik
Jacobi, 138
türevlenebilir, 16, 66
Yanyana Gelme, 331
üstel, 144
vektör demeti yap, 161
E³itsizlik
Üçgen, 10
yerel çarpm, 161
yerel derece, 230
E³lenik
demetin Chern snar, 329
vektör demeti, 329
yerel sabit, 10
zincir, 215
Form
Etki
düzgün süreksiz, 73
d³, 34
e§rilik, 180, 305, 307, 310
Euler
gerçel projektif uzayn says, 267
Fubini-Study, 117
karakteristi§i, 246, 265
geçi³me, 102, 114, 122, 285
karakteristi§i, çift boyutlu manifoldun,
kapal, 96, 140, 196
247
karakteristi§i, tek boyutlu manifoldun,
247
manifold üzerinde türevlenebilir, 93
tam, 96, 196
temel, 35
karakteristi§inin verdi§i ölçüm, 246, 250
türevlenebilir, 89
karakteristik snf, 301
vektör alan boyunca daraltma, 134
örtü uzaynn karakteristi§i, 278
says, 267
vektör demeti üzerindeki ba§lant, 175
Formül
snf, 322
Cartan'n Sihirli, 136
snf (torus), 266
derece genus, 331, 333, 356
Künneth, 274
Fark
Riemann-Hurwitz, 334
küme, 1
Whitney Çarpm, 327
Fibonacci dizisi, 56
Fourier serileri, 141
Fonksiyon
Fubini-Study formu, 117
C ∞ snfndan, 16
C k snfndan, 16
Gauss
açk, 45
e§rili§i, 316
analitik, 22
gönderimi, 209
batrma, 75
Yardmc Teoremi, 146
bilineer, 30
Gauss-Bonnet Teoremi, 310, 317
daraltma, 14
Geçi³me
de§i³meli bilineer, 30
derece, 207, 229
formu, 102, 114, 122, 211, 285
says, 206
determinant, 28
Genel do§rusal grup, 144
düzgün, 7
Genus formülü, 331, 333
düzgün sürekli, 13
Gerçel
gömme, 7, 75
homotopik, 204
koordinat, 64
küçültme, 50, 200
Lie türevi, 133
projektif düzlem, 267
Gerçel projektif uzay, 65
Euler says, 267
yönlendirme, 102
Geri çekme
Morse, 124
d³ form, 35
örtme, 75
türevlenebilir form, 91
örtü, 72, 73
vektör demetinin, 168
snandrma, 323
Gömme fonksiyonu, 7, 75
standart batrma, 75
Gradyan vektörü, 154
standart örtme, 75
Green Teoremi, 110
sürekli, 3
Grup
tohumu, 67
basit, 283
376
DZN
difeomorzmalarn olu³turdu§u, 128
temel form, 42, 54
Gysin Tam Dizisi, 270, 271
Kaba topoloji, 3, 4
Hacim
Kapal
diskin, 112
alt manifold, 75
eleman, 154
Fonksiyon Teoremi, 22
i³aretli, 31
form, 96, 140, 196
kürenin, 112
formun kohomoloji snf, 196
Hausdor uzay, 5
Hermityan
küme, 3
Karakteristik
metrik, 304
Chern snar, 335
norm, 16
Euler, 246, 265
Hilbert'in 3. Problemi, 50
polinom, 36
Homeomork, 3
Pontryagin snar, 335
Homeomorzma, 3, 6
Homoloji
tekil, 64, 263, 295
Homomorzma
vektör demeti, 165
Homotopi
snf, 301
Kardinalite, 46
Karma³k
do§ru demeti, 323
g
genus-
e§riler, 265
manifold, 64
denk uzaylar, 204
manifold üzerinde özel formlar, 114
fonksiyonlarn, 204
manifoldun do§al yönlendirmesi, 100
Hurwitz Teoremi, 282
projektif do§ru, 304
nce topoloji, 3
projektif düzlem, 267
ç çarpm
projektif uzay, 65, 116
vektör demeti üzerinde, 163
projektif uzayn Chern snar, 330
ndirgemeli dizi, 56
projektif uzayn kohomolojisi, 264
ntegral
vektör demetleri, 166
denklemi, 26
formlarn manifold üzerindeki, 103
lif boyunca, 270
vektör uzaynda yönlendirme, 98
yüzeylerin Pontryagin snar, 337
Kesi³im
sfr boyutlu manifold üzerinde, 106
kendisi ile, 259
vektör alannn, 128
says, 259
³aretli
alan, 31
hacim, 31
uzunluk, 31
yi kom³uluk, 73
zomorzma
vektör uzay, 98
Kesit
vektör demeti, 162
Ksmi sralama, 43
Killing
vektör alan, 189
Thom, 270
Klein kuartik, 283
vektör demeti, 161
Kohomoloji
zotopi, 127
vektör alannn üretti§i, 128
annulus, 204
çemberin, 199
De Rham, 196
Jacobi e³itli§i, 138
grubu, 196
Jakobiyen
iki boyutlu küre, 205
matrisi, 18, 69
Jeodezik
karma³k projektif uzay, 264
Mayer-Vietoris dizisi, 214
denklemi, 140
Möbius “eridi, 204
en ksa e§ri, 149
snf, 196
konveks küme, 150
tekil, 337
matris gruplarnda, 144
tkz destekli, 221, 270
Jordan
Kapal E§ri Teoremi, 227
tkz destekli yerel, 226
tkz manifold, 220, 244
377
DZN
vektör demeti, 270
Kom³uluk
iyi, 73
Koordinat
Manifold
C k -snfndan,
boyut, 64
fonksiyonu, 64
bölüm, 72
sistemi, 64
integral, 103
Kö³egen, 5
63
alt, 75
karma³k, 64
matris, 36
paralellenebilir, 72
yakla³m, 276
Riemann, 140
Kö³egenle³tirme, 35
snr, 106
Kritik
snrl, 106
de§er, 75
simplektik, 140
nokta, 75
topolojik, 63
nokta (soysuzla³mam³), 124
türevlenebilir, 63
Kuadratik Form
mod 2, 290
Kural
Leibniz, 67
Kutu topolojisi, 4
Kuvvetli topoloji, 3
Küçültme Fonksiyonu Teoremi, 200, 201
Küme
açk, 3
fark, 1
kapal, 3
ölçümü sfr, 83
yönlü, 43
Künneth
Formülü, 274
Teoremi, 272, 274, 276
Küre
birim, 65
egzotik, 340
kohomoloji, 205
Kürelerin hacmi, 112
üzerinde türevlenebilir form, 93
yönlendirilebilen, 99
yönlendirilemeyen, 266
yönlendirilmi³, 101
Manifoldlarn gömülmesi, 80, 88
Matris
gruplar üzerinde jeodezikler, 144
Jakobiyen, 18, 69
kö³egen, 36
simetrik, 69
üstel, 37
Mayer-Vietoris
kohomoloji dizisi, 214
tam dizisi, 273
Metrik
ba§lant, 178
denk, 11
Hermityan, 304
Öklit, 11
Riemann, 140
snrl, 10
supremum, 15
uzay, 10
L'Hopital kural, 25
Laplace operatörü, 158
Lebesgue says, 13
Lefschetz Sabit Nokta Teoremi, 279
Leibniz kural, 67
Lens uzaylar, 102
Metrik uzay
tam, 11
tkz, 11
Metriklenebilir
topoloji, 10
uzay, 10
Leray-Hirsch Teoremi, 272, 322
Minimal polinom, 36
Lie
Morse Fonksiyonu, 124
alt cebiri, 138
cebiri, 138
Möbius “eridi, 76, 101
kohomolojisi, 204
Lie türevi, 132
fonksiyonun, 133
n-do§rusal, 31
vektör alannn, 133
Nokta
Lif boyunca integral, 270
düzgün, 75
Limit
kritik, 75
düz, 52
topolojik, 43
soysuzla³mam³ kritik, 124
Norm
378
DZN
manifoldu, 140
Öklit, 16
metri§i, 140
Normal
demetin sfr kesiti, 184
Riemann metri§inin tersi, 155
vektör demeti, 164, 184
Riemann-Hurwitz
formülü, 334
Normal demet
Teoremi, 280
Projektif do§runun düzlem içinde, 169
Ortogonal grup, 144
Sabit nokta, 14
Öklit metri§i, 11
Sabit Nokta Teoremi, 201
Ölçüm
Sard Teoremi, 83, 230
Euler karakteristi§i, 246, 250
Ölçümü sfr küme, 83
Sarlma says, 206
Say
Örtme fonksiyonu, 75
Betti, 246
Örtü
Chern, 358
açk, 6
dönme, 206
derece, 73
Euler, 267
fonksiyonu, 72, 73
geçi³me, 206
uzay, 73, 101
kendisi ile kesi³im, 259
uzaynn Euler karakteristi§i, 278
kesi³im, 259
Örtü uzay
Lebesgue, 13
topolo jik, 72
yönlendirme, 123
Özde§er, 36
sarlma, 206
Saysal e§rilik, 315
Sembol
Özde³lik
Bianchi, 310
Christoel, 302
Seri
Özel do§rusal grup, 144
Poincaré, 274
Özvektör, 36
Taylor, 24
Snrl metrik, 10
Paralellenebilir manifold, 72
Sfr boyutlu manifold, 64
üzerinde integral, 106
Pfaan, 307
Poincaré
Sfr kesit
normal demetin, 184
Disk Modeli, 190
duali, 265
Snf
zomorzmas, 229, 240
Chern karakteristik, 301, 322
serisi, 274
Euler karakteristik, 301, 322
Yardmc Teoremi, 201
karakteristik, 301
Yar Düzlemi, 181, 190
Poincaré-Hopf Teoremi, 275
Polinom
derecesi, 231
Pontryagin karakteristik, 301
Snandrma
fonksiyonu, 323
uzay, 323
karakteristik, 36
Snr manifoldu, 106
minimal, 36
Snrl manifold, 106
Pontryagin
karakteristik snar, 335
karma³k yüzeylerin snar, 337
snar, 301
Projektif uzay, 65
karma³k, 116
Sralama
ba§nt, 43
ksmi, 43
Simetrik
matrisler uzay, 69
tensör, 33
Simplektik group
Ramikasyon endeksi, 281
mod 2, 290
Rasyonel temel form, 42
Simplektik manifold, 140
Ricci e§rili§i, 315
Sistem
Riemann
ba§lants, 173, 174
koordinat, 64
Standart
379
DZN
batrma fonksiyonu, 75
E. Hopf, 158
örtme fonksiyonu, 75
Gauss'un Yardmc, 146
topoloji, 3
Gauss-Bonnet, 317
Stokes Teoremi, 103, 108, 111
Genelle³tirilmi³ Gauss'un Yardmc, 147
Supremum metri§i, 15
Genelle³tirilmi³ Gauss-Bonnet, 310
Sürekli fonksiyon, 3
Green, 110
Hurwitz, 282
Jordan Kapal E§ri, 227
Taban
te§et uzay, 67
Kapal Fonksiyon, 22
topoloji, 4
Küçültme Fonksiyonu, 200, 201
Künneth, 272, 274, 276
Tam
(metrik) uzay, 11
Lefschetz Sabit Nokta, 279
form, 96, 196
Leray-Hirsch, 272, 322
üçgen, 273
Poincaré zomorzma, 229, 240
Poincaré Yardmc, 201
Tam dizi
Gysin, 270, 271
Poincaré-Hopf, 275
Mayer-Vietoris, 273
Reeb'in Küre, 189
Riemann-Hurwitz, 280
Taylor
açlm, 24
Sabit Nokta, 201
serisi, 24
Sard, 83, 230
Teoremi, 24
Stokes, 103, 108, 111
Taylor, 24
Te§et
demeti, 70
uzay, 67
vektörü, 67
Tek boyutlu manifoldun Euler karakteristi§i,
247
Ters Fonksiyon, 18
Tüp Kom³uluk, 184
Ters Fonksiyon Teoremi, 18
Ters görüntü, 1
Ters kutupsal fonksiyonun derecesi, 233
Thom izomorzmas, 270
Tekil
homoloji, 64, 263, 295
kohomoloji, 337
Temel form, 35
Tkz
alt küme, 6
destekli De Rham kohomoloji, 221
Jordan, 42, 54
destekli form, 103
rasyonel, 42
destekli kohomoloji, 270
Tensörler, 32
destekli yerel kohomoloji, 226
Tensör
destekli yerel kohomoloji dizisi, 226
çarpm, 33
dizisel, 11
de§i³meli, 34
manifoldlarn kohomolojisi, 220, 244
e§rilik, 302
metrik uzay, 11
simetrik, 33
topolojik uzay, 6, 11
Tensör çarpm
vektör demetlerinin, 165
uzay, 6
Tohum
fonksiyon, 67
Teorem
Alexander Dualitesi, 228
Toplam vektör demeti, 164
Ara De§er, 8
Topoloji, 3
Be³li Yardmc, 241
alt küme, 3
Bézout, 265
bölüm, 4
Cayley-Hamilton, 36, 43, 54
çarpm, 4
Cebirin Temel, 233
ince, 3
De Rham, 337
kaba, 3, 4
Dehn-Hadwiger, 51
kutu, 4
Dehn-Sydler, 51
kuvvetli, 3
Diferansiyel Denklemlerin Varlk Teklik,
metriklenebilir, 10
25
Divirgence, 112
miras kalan, 3
standart, 3
380
DZN
taban, 4
Üretilen topoloji, 4
üretilen, 4
Üstel
zayf, 3, 4
Topolojik
fonksiyon, 144
matris, 37
atlas, 63
gömme fonksiyonu, 7, 75
Vektör
limit, 43
alan, 71, 128
manifold, 63
alannn ak³, 128
örtü uzay, 72
alannn integrali, 128
tkz uzay, 11
demeti, 160, 265
uzay, 3
demetinin kesiti, 162
Topolojist sinüs e§risi, 9
homomorzmalarnn demeti, 165
Torus, 93
gradyan, 154
Euler snf, 266
Türevlenebilme, 16
Tüp Kom³uluk Teoremi, 184
Türev
d³, 94
Lie, 132
yönlü, 132
Türevlenebilir
te§et, 67
Vektör alan
Killing, 189
Vektör alan boyunca
formlarn daraltlmas, 134
Lie türevi, 133
Vektör demeti
alt, 161
atlas, 63
analitik kesitleri, 170
fonksiyon, 16, 66
a³ikar, 161
form, 89
determinant, 166
k-form, 89
dual, 165
manifold, 63
geri çekme i³lemi, 168
yap, 63
izomorzmas, 161
Türevlenebilir form
geri çekme, 91
kohomoloji, 270
tensör çarpm, 165
tensör çarpmlar üzerinde ba§lant, 180
Uzay
toplam, 164
ba§lantl, 8
üzerinde ba§lantlar, 171
Banach, 16
üzerinde burulma tensörü, 176
bölüm, 4
üzerinde Christoel sembolleri, 171, 174
dual, 35
üzerinde iç çarpm, 163
gerçel pro jektif, 65
üzerinde metrik ba§lant, 178
Hausdor, 5
üzerinde Riemann ba§lants, 173, 174
homotopi denkli§i, 204
üzerindeki ba§lant formu, 175
karma³k projektif, 65, 116
üzerindeki karma³k yaplar, 166
Lens, 102
yap fonksiyonlar, 161
metriklenebilir, 10
örtü, 73, 101
yönlendirilebilir, 162
Vektör uzay
projektif, 65
kesi³im, 98
snandrma, 323
yönlendirilebilen, 97
te§et, 67
tkz, 6
Whitney Çarpm Formülü, 327
yol ba§lantl, 8
yönlendirme örtü, 123
yörünge, 45
Uzunluk
e§rinin, 140
fonksiyoneli, 140
i³aretli, 31
Üçgen e³itsizli§i, 10
Yaknsak
alt dizi, 11
dizi, 11
Yakla³m
kö³egen, 276
Yanyana Gelme E³itli§i, 331
Yap grubunun indirgenmesi, 162
DZN
Yerel çarpm fonksiyonu, 161
Yerel derece, 230
Yerel sabit fonksiyon, 10
Yldz operatörü, 154, 157
Yönlendirilebilir
manifold, 99
vektör demeti, 162
vektör uzay, 97
Yönlendirilemeyen manifold, 266
Yönlendirilmi³ manifold, 101
Yönlendirme
do§al, 100
gerçel projektif uzay, 102
karma³k vektör uzay, 98
Yönlü
küme, 43
türev, 132
Yörünge uzay, 45
Yuvar
açk, 10
Zayf topoloji, 3, 4
Zincir
fonksiyonu, 215
gruplar, 196
yaps, 196
381