TEKNOLOJ‹N‹N B‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I

T.C. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 2504
AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 1475
TEKNOLOJ‹N‹N
B‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I
Yazarlar
Prof.Dr. Kudret ÖZDAfi (Ünite 1, 2)
Doç.Dr. Süleyman DEM‹R (Ünite 3, 4)
Doç.Dr. Engin TIRAfi (Ünite 5, 6)
Doç.Dr. Murat TANIfiLI (Ünite 7)
Editör
Prof.Dr. Mustafa fiENYEL
ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹
Bu kitab›n bas›m, yay›m ve sat›fl haklar› Anadolu Üniversitesine aittir.
“Uzaktan Ö¤retim” tekni¤ine uygun olarak haz›rlanan bu kitab›n bütün haklar› sakl›d›r.
‹lgili kurulufltan izin almadan kitab›n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay›t
veya baflka flekillerde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.
Copyright © 2012 by Anadolu University
All rights reserved
No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted
in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic, tape or otherwise, without
permission in writing from the University.
UZAKTAN Ö⁄RET‹M TASARIM B‹R‹M‹
Genel Koordinatör
Doç.Dr. Müjgan Bozkaya
Genel Koordinatör Yard›mc›s›
Arfl.Gör.Dr. ‹rem Erdem Ayd›n
Ö¤retim Tasar›mc›s›
Dr. Kadriye Uzun
Grafik Tasar›m Yönetmenleri
Prof. Tevfik Fikret Uçar
Ö¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›z
Ö¤r.Gör. Nilgün Salur
Ölçme De¤erlendirme Sorumlusu
Ö¤r.Gör. Reha Akgün
Kitap Koordinasyon Birimi
Uzm. Nermin Özgür
Kapak Düzeni
Prof. Tevfik Fikret Uçar
Dizgi
Aç›kö¤retim Fakültesi Dizgi Ekibi
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
ISBN
978-975-06-1173-5
1. Bask›
Bu kitap ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ Web-Ofset Tesislerinde 7.500 adet bas›lm›flt›r.
ESK‹fiEH‹R, May›s 2012
iii
‹çindekiler
‹çindekiler
Önsöz ............................................................................................................
vii
Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler ................
2
G‹R‹fi ..............................................................................................................
ÖLÇME ...........................................................................................................
B‹R‹M S‹STEMLER‹ ........................................................................................
SI B‹R‹M S‹STEM‹..........................................................................................
B‹R‹MLER‹N DÖNÜfiTÜRÜLMES‹.................................................................
B‹R DAR AÇININ TR‹GONOMETR‹K ORANLARI ......................................
KARTEZYEN KOORD‹NAT S‹STEM‹ ..........................................................
F‹Z‹KSEL BÜYÜKLÜKLER.............................................................................
VEKTÖRLER...................................................................................................
VEKTÖRLER‹N TOPLAMI .............................................................................
Ayn› Do¤rultulu veya Paralel Vektörlerin Toplam›.....................................
Paralelkenar Kural›........................................................................................
Üçgen Kural›..................................................................................................
‹kiden Fazla Vektörün Toplam› ...................................................................
‹K‹ VEKTÖRÜN FARKI .................................................................................
B‹R VEKTÖRÜN B‹LEfiENLER‹NE AYRILMASI............................................
Özet ...............................................................................................................
Kendimizi S›nayal›m .....................................................................................
Yaflam›n ‹çinden ...........................................................................................
Okuma Parças› ........................................................................................... ..
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................
S›ra Sizde Yan›t Anahtar› ..............................................................................
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ...............................................
3
3
4
5
7
8
9
10
11
12
12
13
14
14
15
16
17
19
20
21
22
22
23
Kinematik ................................................................................. 24
G‹R‹fi ..............................................................................................................
K‹NEMAT‹⁄‹N TEMEL KAVRAMLARI..........................................................
H›z .................................................................................................................
‹vme ...............................................................................................................
DÜZGÜN DO⁄RUSAL HAREKET ................................................................
DÜZGÜN DE⁄‹fiEN DO⁄RUSAL HAREKET ...............................................
SERBEST DÜfiME VE DÜfiEY ATIfi HAREKET‹...........................................
Serbest Düflme Hareketi: .............................................................................
Yukar›dan Afla¤›ya Düfley At›fl Hareketi......................................................
Afla¤›dan Yukar›ya Düfley At›fl Hareketi......................................................
E⁄‹K ATIfi HAREKET‹ .................................................................................
BA⁄IL HAREKET...........................................................................................
Özet................................................................................................................
Kendimizi S›nayal›m......................................................................................
Yaflam›n ‹çinden............................................................................................
25
25
27
29
30
31
35
36
37
38
40
42
44
46
47
1. ÜN‹TE
2. ÜN‹TE
iv
‹çindekiler
Okuma Parças› ..............................................................................................
S›ra Sizde Yan›t Anahtar› ..............................................................................
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ...............................................
3. ÜN‹TE
Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi............................................... 52
G‹R‹fi ..............................................................................................................
D‹NAM‹⁄‹N ‹LG‹ ALANI...............................................................................
KUVVET ........................................................................................................
Temas ve Alan Kuvvetleri.............................................................................
Temel Kuvvetler ............................................................................................
NEWTON’UN B‹R‹NC‹ YASASI ....................................................................
NEWTON’UN ‹K‹NC‹ YASASI .....................................................................
KÜTLE VE A⁄IRLIK ......................................................................................
KÜTLEN‹N ÖLÇÜMÜ ....................................................................................
NEWTON’UN ÜÇÜNCÜ YASASI .................................................................
NORMAL KUVVET VE SÜRTÜNME KUVVET‹ ............................................
DÜZGÜN DA‹RESEL HAREKET‹N D‹NAM‹⁄‹ ............................................
GER‹ ÇA⁄RICI KUVVET ...............................................................................
Özet................................................................................................................
Kendimizi S›nayal›m......................................................................................
Yaflam›n ‹çinden............................................................................................
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................
S›ra Sizde Yan›t Anahtar› ..............................................................................
Yararlan›lan Kaynaklar..................................................................................
4. ÜN‹TE
48
49
49
51
53
53
54
54
55
56
57
60
61
62
64
68
71
73
75
76
77
77
77
Kat› Cisimlerin Statik Dengesi ............................................... 78
G‹R‹fi ..............................................................................................................
KATI C‹S‹MLER‹N DENGE KOfiULLARI.......................................................
Dengenin Birinci Koflulu ..............................................................................
Kuvvetin Döndürme Etkisi: Moment ...........................................................
Dengenin ‹kinci Koflulu................................................................................
A⁄IRLIK MERKEZ‹ ........................................................................................
A¤›rl›k Merkezinin Bulunmas› ......................................................................
KÜTLE MERKEZ‹ ...........................................................................................
Özet ...............................................................................................................
Kendimizi S›nayal›m .....................................................................................
Yaflam›n ‹çinden ...........................................................................................
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................
S›ra Sizde Yan›t Anahtar› ..............................................................................
Yararlan›lan Kaynaklar..................................................................................
79
79
80
83
86
89
91
91
94
95
97
98
98
99
v
‹çindekiler
‹fl, Enerji, Güç ........................................................................... 100
G‹R‹fi ..............................................................................................................
‹fi .................................................................................................................
Do¤ru Boyunca Sabit Bir Kuvvetin Yapt›¤› ‹fl.............................................
Bir Do¤ru Boyunca Kuvvetlerin Yapt›¤› ‹fl: Grafiksel Yaklafl›m ................
ENERJ‹............................................................................................................
Kinetik Enerji (Hareket Enerjisi)...................................................................
Potansiyel Enerji ............................................................................................
Esneklik Potansiyel Enerjisi ..........................................................................
Enerjinin Korunumu......................................................................................
GÜÇ VE VER‹M .............................................................................................
Özet................................................................................................................
Kendimizi S›nayal›m......................................................................................
Yaflam›n içinden............................................................................................
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................
S›ra Sizde Yan›t Anahtar› ..............................................................................
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ...............................................
101
101
102
105
106
106
109
111
113
114
117
118
120
121
121
123
Momentum............................................................................... 124
G‹R‹fi ..............................................................................................................
MOMENTUM .................................................................................................
‹tme ................................................................................................................
Momentumun Korunumu .............................................................................
ÇARPIfiMALAR ...............................................................................................
Esnek Çarp›flma .............................................................................................
Esnek Olmayan Çarp›flma.............................................................................
Özet ...............................................................................................................
Kendimizi S›nayal›m .....................................................................................
Yaflam›n ‹çinden ...........................................................................................
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................
S›ra Sizde Yan›t Anahtar› ..............................................................................
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ...............................................
6. ÜN‹TE
125
125
125
126
128
129
131
135
136
138
139
139
140
Ak›flkanlar Mekani¤i ................................................................ 142
G‹R‹fi ..............................................................................................................
MADDE ..........................................................................................................
YO⁄UNLUK...................................................................................................
BASINÇ VE SIVI BASINCININ DER‹NL‹KLE DE⁄‹fi‹M‹ ..............................
Bas›nç Ölçümleri ...........................................................................................
PASCAL PRENS‹B‹ .........................................................................................
ARCHIMEDES PRENS‹B‹ VE KALDIRMA KUVVET‹....................................
AKIfiKANLARIN KARAKTER‹ST‹⁄‹ VE BAZI ÖZELL‹KLER‹.......................
SÜREKL‹L‹K DENKLEM‹ ...............................................................................
BERNOULLI DENKLEM‹ ...............................................................................
5. ÜN‹TE
143
143
144
146
148
148
150
151
152
153
7. ÜN‹TE
vi
‹çindekiler
Pitot Tüpü ......................................................................................................
V‹SKOZ‹TE ....................................................................................................
SIVILARDA YÜZEY GER‹L‹M KUVVET‹ ......................................................
S›v›larda De¤me Yüzeyi................................................................................
Özet ...............................................................................................................
Kendimizi S›nayal›m .....................................................................................
Yaflam›n ‹çinden ...........................................................................................
Okuma Parças› ........................................................................................... ..
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................
S›ra Sizde Yan›t Anahtar› ..............................................................................
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ...............................................
154
154
155
156
157
158
159
160
161
161
162
Sözlük ................................................................................... 163
Dizin ...................................................................................... 165
Önsöz
Önsöz
‹nsano¤lunun refah› için her geçen gün daha da gelifltirilen teknolojik ürünler
ve bu ürünlerin tasar›m›ndan üretimine kadar geçen süreç, temel bilimlerdeki geliflmelerin bir sonucu olarak ortaya ç›km›flt›r. Bu nedenledir ki, teknolojik süreçlerde ara eleman olarak çal›flt›r›lmak üzere yetifltirilecek kiflilerin, bu temel bilimsel ilkeleri ö¤renmesi oldukça önemlidir.
Elinizdeki bu kitap, ad›ndan da anlafl›laca¤› üzere, teknolojinin bilimsel ilkelerini bu ö¤retim düzeyi için, gerekli oldu¤u kadar›yla vermeyi amaçlamaktad›r. Öte
yandan kitab›n›z, konular› kendi kendinize çal›fl›p ö¤renebilmenize olanak sa¤layacak, uzaktan e¤itimin gerektirdi¤i teknik ve dil kullan›larak yaz›lm›flt›r. Ayr›ca
dersi daha iyi ö¤renmeniz için, e-ö¤renme, e-ders ve e-dan›flmanl›k gibi tekniklerle de sizlere yard›mc› olmaya çal›flaca¤›z.
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri dersi, Meslek Yüksek Okullar›n›n teknik programlar›nda zorunlu olarak okutulmaktad›r. Kitab›n›z bu dersin içeri¤ine uygun olarak haz›rlanm›flt›r. Bu nedenle Meslek Yüksek Okullar›n›n teknik programlar›nda ö¤renim
gören ö¤rencilerimizin de bu kitaptan yararlanabilece¤ini umuyoruz.
Bu kitab›n yaz›m›ndan bas›m›na dek geçen süreç içerisinde eme¤i geçen herkese
teflekkürü bir borç bilirim.
Bu düflüncelerle bafllam›fl oldu¤unuz yüksek ö¤renim hayat›n›zda baflar›lar
dilerim.
Editör
Prof.Dr. Mustafa fiENYEL
vii
1
TEKNOLOJ‹N‹N B‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I
Amaçlar›m›z
N
N
N
N
N
N
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Ölçme kavram›n› ve birim sistemlerini tan›mlayabilecek,
Bir dar aç›n›n trigonometrik oranlar›n› belirleyebilecek,
Üç ve iki boyutlu kartezyen koordinat sistemini aç›klayabilecek,
Skaler ve vektörel fiziksel büyüklükleri ay›rt edebilecek,
Vektörlere iliflkin toplama ve ç›karma ifllemlerini yapabilecek,
Vektörleri bileflenlerine ay›rmak ve bileflenleri belli olan vektörü bulabilecek
bilgi ve becerileri edinmifl olacaks›n›z.
Anahtar Kavramlar
•
•
•
•
•
•
Ölçme
Vektör
SI Birim Sistemi
Dar Aç›n›n Trigonometrik Oranlar›
Vektörlerin Fark›
Üçgen Kural›
•
•
•
•
•
•
Skaler
Birim Sistemleri
Kartezyen Koordinat Sistemi
Vektörlerin Toplanmas›
Paralelkenar Kural›
Birim Sistemleri
‹çindekiler
Teknolojinin Bilimsel
‹lkeleri-I
Ölçme, Birim
Sistemleri ve
Fiziksel Büyüklükler
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
G‹R‹fi
ÖLÇME
B‹R‹M S‹STEMLER‹
SI B‹R‹M S‹STEM‹
B‹R‹MLER‹N DÖNÜfiTÜRÜLMES‹
B‹R DAR AÇININ TR‹GONOMETR‹K
ORANLARI
KARTEZYEN KOORD‹NAT S‹STEM‹
F‹Z‹KSEL BÜYÜKLÜKLER
VEKTÖRLER
VEKTÖRLER‹N TOPLAMI
‹K‹ VEKTÖRÜN FARKI
B‹R VEKTÖRÜN B‹LEfiENLER‹NE
AYRILMASI
Ölçme, Birim Sistemleri ve
Fiziksel Büyüklükler
G‹R‹fi
Bir an için her flehirdeki, her ülkedeki insanlar›n birbirinden farkl› ölçü birimleri
kulland›¤›n› düflününüz. Örne¤in bir toplumda uzunluk ölçmek için metre, di¤erinde arfl›n, bir di¤erinde kar›fl vb birimlerin kullan›ld›¤›n›, a¤›rl›k ölçmek için bir
toplumda kilogram, di¤erlerinde pound, okka, dirhem vb birimlerin kullan›ld›¤›n›
düflünelim. Bu durumda farkl› toplumlardaki insanlar birbirleriyle nas›l anlaflacaklar ve nas›l ticaret yapacaklard›r? Bilimsel etkinliklerini birbirleriyle nas›l paylaflacaklard›r? ‹nsanl›¤›n ortak de¤eri olan uygarl›k nas›l geliflecektir? Görüldü¤ü gibi
bu sorulara olumlu yan›t vermek zordur. Bu sorun ancak bütün toplumlarda ortak
bir birim sistemi kullanmakla çözülebilir. Birim sistemleri toplumlar aras› ticaret ve
bilimde ortak bir dil oluflturur.
ÖLÇME
Herhangi bir fiziksel büyüklü¤ün ölçülmesi demek, o büyüklük cinsinden seçilen
bir birimin ölçülecek büyüklük içinde kaç kez bulundu¤unun say›lmas› demektir.
Yani ölçme, bir sayma ifllemidir. Örne¤in çal›flma masam›z›n uzunlu¤unu ölçmek
isteyelim. Bunun için bir uzunluk birimi seçmemiz gerekir. Seçti¤imiz uzunluk birimimiz kendi kar›fl›m›z olsun. Masay› kar›fllad›¤›m›zda yedi kar›fl geliyorsa, masam›z›n uzunlu¤u yedi kar›flt›r. Bu örnekte bir uzunlu¤u kendi yaratt›¤›m›z bir birim
cinsinden ölçmüfl olduk.
Baflka bir örnek verelim: Çay içti¤imiz barda¤›n kütlesini ölçmek isteyelim. Bunun için bir kütle birimi seçmemiz gerekir. Bu kütle birimi çaya koydu¤umuz kesme flekerlerin birinin kütlesi olsun. fiimdi çay barda¤›n› bir eflit kollu terazinin bir
kefesine koyal›m. Terazinin di¤er kefesine ise kesme flekerleri koyarak teraziyi
dengeye getirelim. Kulland›¤›m›z kesme flekerlerin say›s› on olsun. Bu durumda
çay barda¤›n›n kütlesi on kesme flekeridir deriz. Bu örnekte de kütleyi kendi yaratt›¤›m›z bir birim cinsinden ölçmüfl olduk.
Ölçme, bu ifl için tasarlan›p yap›lan ölçü aletleriyle yap›l›r. fiekil 1.1’de baz› ölçü aletlerini görüyorsunuz. Bunlar birço¤umuzun günlük hayat›m›zda kulland›¤›
ve herkesçe bilinen ölçü aletleridir.
4
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
fiekil 1.1
Çeflitli Ölçü Aletleri.
Kaynak:
(http://tr.wikipedia.
org/wiki/
adresinden
04.03.2009
tarihinde
al›nm›flt›r)
Gördü¤ünüz gibi fiziksel büyüklükler kendi seçti¤iniz birimler cinsinden ölçülebilir. Ama bir de flöyle düflünün. Herkes çeflitli büyüklükleri ölçmek için kafas›na göre birimler seçerse nas›l anlaflaca¤›z? Nas›l ticaret yap›lacak? Bilim adamlar›
nas›l anlaflacaklar? ‹flte bu zorluk çeflitli büyüklükleri ölçmek için herkes taraf›ndan
kabul edilen birimlerin seçilmesine yol açarak birim sistemlerinin do¤mas›na sebep olmufltur.
B‹R‹M S‹STEMLER‹
Birim: Bir büyüklü¤ü ölçmek
için karfl›laflt›rma amac›yla
seçilen ayn› cinsten
büyüklüktür.
Birim Sistemleri: Özellikle
bilimde, bilim insanlar›n›n
aralar›nda kolay iletiflim
kurabilmeleri amac›yla
ortaya konulmufl, az say›da
fiziksel büyüklü¤ü temel
alan ve di¤er fiziksel
büyüklükleri bunlardan
türeten ölçme sistemleridir.
‹ngiliz Birim Sistemi: A.B.D.,
‹ngiltere ve ‹ngiliz uluslar
toplulu¤u ülkelerinde günlük
hayatta kullan›lan bir
sistemdir. Örne¤in
buralardaki marketlerde
meyve, sebze ve et gibi g›da
maddeleri pound birimi
kullan›larak sat›lmaktad›r.
MKSA Birim Sistemi:
Uluslararas› Birim Sistemi
olarak adland›r›lan SI birim
sistemi MKSA birim
sistemine dayand›r›larak
gelifltirilmifltir.
Ölçmenin bir sayma ifllemi oldu¤unu belirtmifltik. Bir büyüklü¤ü ölçmek için karfl›laflt›rma amac›yla seçilen ayn› cinsten büyüklüklere birim denir. Ölçülecek fiziksel büyüklüklerin çoklu¤u ve ayn› zamanda de¤iflik olmalar›, az say›da temel birimlere dayanan birim sistemlerinin kurulmas› gereksinimine yol açm›flt›r.
Keyfi seçilen temel büyüklükler ile tan›mlar› bu temel büyüklüklerden türetilmifl büyüklüklerden oluflan sistemlere birim sistemleri denir. Genel olarak kullan›lan befl önemli birim sistemi vard›r. Bunlar;
• FPS [foot-pound(libre)-saniye] sistemi,
• MKS (metre-kilogram kuvvet-saniye) sistemi,
• CGS (santimetre-gram-saniye) sistemi,
• MKSA (metre-kilogram-saniye-amper) sistemi ve
• SI sistemidir.
FPS Birim Sistemi: ‹ngiliz Birim Sistemi olarak da bilinen bu sistem; uzunlu¤un foot (ft) ile, a¤›rl›¤›n pound (libre, lb) ile ve zaman›n saniye (s) ile ölçüldü¤ü birim sistemidir.
MKS Birim Sistemi: Uzunlu¤un metre (m) , a¤›rl›¤›n kilogram kuvvet (kg-f) ve
zaman›n saniye (s) ile ölçüldü¤ü birim sistemidir.
CGS Birim Sistemi: Uzunlu¤un santimetre (cm), kütlenin gram (g) ve zaman›n
saniye (s) ile ölçüldü¤ü birim sistemidir.
MKSA Birim Sistemi: Giorgi sistemi de denilen bu sistem, uzunlu¤un metre
(m) ile, kütlenin kilogram (kg) ile zaman›n saniye (s) ile ve elektrik ak›m›n›n amper (A) ile ölçüldü¤ü birim sistemidir.
5
1. Ünite - Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler
SI Birim Sistemi: Uzunlu¤un metre (m), kütlenin kilogram (kg), zaman›n saniye (s), madde miktar›n›n mole (mol), termodinamik s›cakl›¤›n derece kelvin (K),
ayd›nlanma fliddetinin candele (cd) ve elektrik ak›m›n›n amper (A) ile ölçüldü¤ü
birim sistemidir. fiimdi bu sistemi biraz ayr›nt›l› olarak ele alaca¤›z.
SI B‹R‹M S‹STEM‹
Uluslararas› Birim Sistemi ad› verilen SI, endüstrisi geliflmifl olan ülkeler baflta
olmak üzere, hemen hemen tüm di¤er ülkelerin kat›l›m›yla 1960 y›l›nda yap›lan
“A¤›rl›klar ve Ölçümler Genel Konferans›nda” tan›mland› ve buna resmi bir statü
verildi. Bilim ve teknolojide kullanmak üzere önerilen SI Birim
genel
SIRASistemi’nin
S‹ZDE
kabulü, bilimsel ve teknik iletiflimi kolaylaflt›rmaya yöneliktir
SI Birim Sistemi, Çizelge 1.1’de verilen yedi tane fiziksel büyüklü¤ü temel
D Ü fi Ü N E L ‹ M
büyüklük ve Çizelge 1.2’de verilen iki fiziksel büyüklü¤ü de yard›mc› büyüklük olarak kabul etmifl ve bunlar›n birimlerini tan›mlam›flt›r.
S O R U
Metre, kilogram, vb birimleri temsil eden harfleri m, kg, s, A, K,D ‹cd,
fleklinde
K K Amol
T
normal metinden farkl› bir karakter kullanarak dik olarak (yat›k de¤il) yazaca¤›z. Buna
dikkat ediniz.
SIRA S‹ZDE
Fiziksel büyüklük
Birimi
Sembolü
AMAÇLARIMIZ
Uzunluk
Metre
m
Kütle
Kilogram
kg
Zaman
Saniye
s
Elektrik ak›m›
amper
A
Termodinamik s›cakl›k
kelvin
K
Ayd›nlanma fiiddeti
Candela
cd
Madde miktar›
mole
mol
Fiziksel büyüklük
Birimi
Sembolü
Aç›
Radyan
rad
Kat› aç› (Uzay aç›)
Steradyan
sr
Uluslararas› Birim Sistemi:
System International d’Units
kelimelerinin k›salt›lm›fl›
olan, (SI) ad› verilen bu
birim sistemi tüm dünyada
bilim alan›nda yayg›n olarak
kabul görmüfl birim
sistemidir. Biz de bu kitapta
SI birim sistemini
kullanaca¤›z.
SI Birim Sistemi, uzunluk,
zaman, kütle, elektrik ak›m›,
termodinamik s›cakl›k,
ayd›nlanma fliddeti ve
SIRA S‹ZDE
madde miktar› olmak üzere
yedi (7) adet fiziksel
büyüklü¤ü temel büyüklük
ve aç› ile uzayDaç›
Ü fi olmak
ÜNEL‹M
üzere iki (2) adet fiziksel
büyüklü¤ü yard›mc›
büyüklük olarak kabul
S O R U
etmifltir.
D‹KKAT
N N
SIRA S‹ZDE
Çizelge 1.1
AMAÇLARIMIZ
SI’›n Temel
Büyüklükleri ve
Birimleri
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
‹NTERNET
SI Birim Sistemi’nde geri kalan bütün fiziksel büyüklükler yukar›daki Çizelge
1.1 ve Çizelge 1.2’de verdi¤imiz temel ve yard›mc› büyüklükler cinsinden ifade
edilir. Bunlara türetilmifl fiziksel büyüklükler ad›n› veriyoruz. Türetilmifl fiziksel
Çizelge 1.2
SI’›n Yard›mc›
Büyüklükleri ve
Birimleri
SI birim sisteminde aç›lar
radyan ile ölçülür. Bir tam
aç› 360°=2π radyand›r.
Benzer olarak 90°= π 2
radyan, 30°= π 6
radyand›r.
6
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Örne¤in h›z, uzunluk ve
zaman temel
büyüklüklerinden türetilmifl
fiziksel büyüklüktür.
büyüklüklerin birimleri de temel büyüklüklerin birimleri cinsinden ifade edilir. Türetilmifl fiziksel büyüklüklerden baz›lar›n› ve bunlar›n birimlerini Çizelge 1.3’de görüyorsunuz. Çizelgenin son sütununda, türetilmifl birimlerin temel birimler cinsinden ifadesi verilmektedir.
Çizelge 1.3
SI’›n Türetilmifl
Büyüklükleri ve
Birimleri
Bir birimin 10 ve 10’un kat›
büyüklüklerine üskat, 1/10
ve 1/10’un kat›
büyüklüklerine askat ad›
verilir. Örne¤in deka (da); on
(10) kat demektir. 1
dekametre (dam); 10 metre
(m)’dir. Bunun gibi mili (m);
binde bir (1/1000) demektir.
1 miligram (mg); (1/1000)
g =0,001 kg =10-3 kg’d›r.
Fiziksel Büyüklük
Birimi
Sembolü ve Tan›m›
Alan
Metrekare
m2=m.m
Hacim
Metreküp
m3=m.m.m
Kuvvet
newton
N=kg m s-2
Bas›nç
pascal
Pa=N/m2=kg m -1 s -2
‹fl
joule
J=N m=kg m2 s-2
Güç
watt
W=J / s=kg m2 s-3
Elektrik Yükü
coulomb
C=A.s
Elektrik Direnci
ohm
Ω= V/A=kg m2 A-2 s-3
Elektriksel S›¤a
farad
F=C/V=A2 s4 kg-1 m-2
Elektriksel Potansiyel
volt
V=kg.m2.A-1.s-2
Manyetik Alan fiiddeti
tesla
T=kg s-2 A-1
‹ndüktans
henry
H=kg m2 A-2 s-2
Radyoaktivite
becqurel
Bq=s-1
SI Birimlerinin Üskat ve Askatlar›: Baz› uygulamalarda fiziksel büyüklükleri ölçmek için SI birimleri çok küçük veya çok büyük kalabilir. Örne¤in güç birimi olan
watt (W), bir enerji santralinin gücünü ölçmek için çok küçüktür. S›¤a birimi olan
farad (F) ise bir kondansatörün s›¤as›n› ölçmek için çok büyüktür. Bu gibi durumlarda SI birim sisteminin üskatlar› veya askatlar› kullan›l›r. Bir birimin 10 ve 10’un
katlar›na üskat, 1/10 ve 1/10’un katlar›na ise askat ad› verilir. Bunlar›n isimleri,
simgeleri ve de¤erleri afla¤›daki Çizelge 1.4’de verilmektedir.
7
1. Ünite - Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler
Üskat
Ad›
Simgesi
Askat
Ad›
Simgesi
1018
Eksa
E
Desi
10-1
d
1015
Peta
P
Santi
10-2
c
1012
Tera
T
Mili
10-3
m
109
Giga
G
Mikro
10-6
µ
106
Mega
M
Nano
10-9
n
103
Kilo
k
Piko
10-12
p
102
Hekto
h
Femto
10-15
f
101
Deka
da
Atto
10-18
A
Çizelge 1.4
SI Birim Sistemi’nin
Üskat ve Askatlar›
Örne¤in bir enerji santralinin gücü 500.000.000 watt (W) ise biz bunu böyle ifade etmek yerine 500 megawatt (MW) olarak ifade ederiz. Mega (M) ön eki bir milyon (1.000.000) kat› ifade etmektedir.
Benzer flekilde s›¤a birimi olan farad (F), radyomuzda kullan›lan bir kondansatörün s›¤as›n› ölçmek için çok büyüktür. Bir kondansatörün s›¤as› 0,000002 farad
(F) ise biz bunu 2 mikrofarad (µF) olarak ifade etmeyi tercih ederiz. Mikro (µ) ön
eki milyonda bir (0,000001) kat› ifade etmektedir.
ÖRNEK
Mor ›fl›¤›n dalga boyu 400 nanometre (nm) dir. Mor ›fl›¤›n dalga boyu kaç metredir?
Çözüm:
1 nm=10-9 m oldu¤una göre 400 nm;
400 nm=400. 10-9=4. 10-7 m dir.
Bir kondansatörün üzerinde 5pF (pikofarad) yazmaktad›r. Bu kondansatörün
SIRA S‹ZDE de¤eri kaç
farad (F)’dir?
B‹R‹MLER‹N DÖNÜfiTÜRÜLMES‹
1
D Ü fi Ü N E L ‹ M
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Biraz önce tan›tt›¤›m›z birim sisteminin birimlerini birbirine dönüfltürmek mümkündür. A.B.D., ‹ngiltere gibi ülkelerde gündelik yaflant›da ‹ngiliz
S O R UBirim Sistemi
kullan›l›r. Buralarda kullan›lan uzunluk ve a¤›rl›k birimleri ile bunlar›n çeflitli katlar›n›n SI birimlerine dönüflümü flöyledir:
D‹KKAT
• 1 inch(in)=1/12 foot= 2,54 cm = 0,0254 m
• 1 foot(ft)=30,48 cm= 0,3048 m
SIRA S‹ZDE
• 1 yard(yd)=3 foot(ft)= 91,44 cm = 0,9144 m
• 1 mile(mi)=1760 yard(yd)= 1609 m
• 1ounce(oz)=1/16 pound(lb)= 28,4 g = 0,0284 kg
AMAÇLARIMIZ
• 1 pound(lb)=0,454 kg= 454 g
• 1 stone = 14 lb=6,35 kg
N N
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
‹NTERNET
8
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
ÖRNEK
Ald›¤›n›z bir flifle yabanc› parfümün üzerinde miktar›n›n 1,7 oz oldu¤u yaz›l›d›r.
Bu parfümün miktar› nedir?
Çözüm:
1 oz 28,4 gram (g) oldu¤una göre 1,7 oz;
1,7 oz=1,7x28,4=48,28 gramd›r.
B‹R DAR AÇININ TR‹GONOMETR‹K ORANLARI
fiekil 1.2’deki bir dik üçgende α aç›s›n›n trigonometrik oranlar› afla¤›daki gibidir:
Bir ABC dik üçgeninde bir dar aç›n›n;
• Sinüsü; karfl› dik kenar uzunlu¤unun hipotenüs uzunlu¤una oran›,
• Kosinüsü; komflu dik kenar uzunlu¤unun hipotenüs uzunlu¤una oran›,
• Tanjant›; karfl› dik kenar uzunlu¤unun komflu dik kenar uzunlu¤una oran›,
• Kotanjant›; komflu dik kenar uzunlu¤unun karfl› dik kenar uzunlu¤una oran› olarak tan›mlan›r. Buna göre fiekil 1.2 dikkate al›nd›¤›nda;
a
c
b
sin β = cos α =
c
a
tan α = cot β =
b
sin α = cos β =
tan β = cot α =
b
a
fiekil 1.2
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
oldu¤u aç›kça görülecektir.
Dikkat ederseniz üçgen dik üçgen oldu¤undan α ve β aç›lar›n›n toplam› 90°dir.
Böyle aç›lara tümler aç›lar denir. Tümler iki aç›dan birinin sinüsü di¤erinin kosinüsüne ve birinin tanjant› di¤erinin kotanjant›na eflittir. Ayr›ca;
tan α =
sin α
cos α
, cot α =
cos α
sin α
ve tan α =
1
cot α
oldu¤una dikkat edelim. Çizelge 1.5’de baz› aç›lar›n sinüs kosinüs de¤erleri verilmifltir. Bunlar› hat›r›n›zda tutman›zda yarar vard›r.
Çizelge 1.5
Baz› Aç›lar›n
Trigonometrik
De¤erleri
Aç›
0°
30°
37°
45°
53°
60°
90°
Sin
0
0,5
0,6
0,71
0,8
0,87
1
Cos
1
0,87
0,8
0,71
0,6
0,5
0
Tan
0
0,57
0,75
1
1,33
1,74
∞
9
1. Ünite - Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler
ÖRNEK
fiekil 1.2’deki α aç›s› 53° ve hipotenüsün uzunlu¤u 20 cm oldu¤una göre a ve b dik
kenarlar›n›n uzunluklar› nedir?
Çözüm:
sinα = a/c idi. Buradan; a= c sinα yazabiliriz. c= 20 cm ve sin53° = 0,8 oldu¤una göre buradan;
a=csinα = 20 cm. 0,8= 16 cm
bulunur. Benzer flekilde cosα=b/c oldu¤undan, buradan b = c cosα yazar›z. c = 20 cm
ve cos53° = 0,6 oldu¤una göre buradan;
b =c cosα= 20 cm. 0,6= 12 cm
bulunur.
SIRAkenar
S‹ZDE uzunlu¤u 6
Bir dik üçgenin bir dar aç›s› 37° ve bu dar aç›n›n karfl›s›ndaki dik
cm’dir. Bu dik üçgenin ve hipotenüsünün uzunlu¤u nedir?
2
D Ü fi Ü N E L ‹ M
KARTEZYEN KOORD‹NAT S‹STEM‹
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Bir noktan›n uzaydaki yerini, bir cismin hangi tarafa do¤ru hareket etti¤ini ifade
S O R U sistemleri reedebilmek için bir referans sistemine gereksinme duyar›z. Koordinat
ferans sistemi görevini görürler. Birbirinden farkl› birçok koordinat sistemi vard›r.
Biz bu kitapta yaln›zca dik koordinat sistemi de denilen kartezyen
sisteD ‹ K Kkoordinat
AT
mini kullanaca¤›z.
Bir küpün veya bir kibrit kutusunun bir köflesinSIRA S‹ZDE
deki üç ayr›t› düflününüz (fiekil 1.3). Bunlar birbirlerine diktir. Bu üç ayr›t gibi bir noktada kesiflen ve
birbirlerine dik olan üç do¤runun oluflturdu¤u sisAMAÇLARIMIZ
teme kartezyen koordinat sistemi denir. Bu sistemde do¤rular›n kesim noktas› O harfiyle gösterilir ve orijin ad›n› al›r. Üç do¤ru ise x, y, z eksenleri
K ‹ T A P
ad›n› al›r. Bu eksenler ikifler ikifler bir düzlem belirtirler: Bunlar xy düzlemi, xz düzlemi, yz düzlemidir. Bir noktan›n x, y, z koordinatlar› s›ras›yla yz,
TELEV‹ZYON
xz, xy düzlemine olan dik uzakl›klard›r (fiekil 1.4):
x: Noktan›n yz düzlemine olan dik uzakl›¤›,
y: Noktan›n xz düzlemine olan dik uzakl›¤›,
‹NTERNET
z: Noktan›n xy düzlemine olan dik uzakl›¤›d›r.
S O R U
D‹KKAT
fiekil 1.3
N N
fiekil 1.4
Z
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
fiekil 1.5
Bir Noktan›n
Kartezyen
Koordinatlar›
P (3,4,5)
z
y
S
x
R
X
Y
0
3
Q
x
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
5
P
SIRA S‹ZDE
Kibrit Kutusu
z
Kartezyen
Koordinat Sistemi
SIRA S‹ZDE
4
y
10
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Bir P noktas›n›n yeri x, y, z koordinatlar› ile verilir. Örne¤in koordinatlar› x=3,
y =4, z=5 olan bir nokta P (3;4;5) fleklinde gösterilir ve yeri fiekil 1.5’deki gibi çizilir.
E¤er inceledi¤imiz noktalar düzlemde ise o zaman 2 boyutlu (düzlemsel) kartezyen koordinat sistemi kullan›l›r. Burada yaln›zca birbirini dik olarak kesen x ve
y eksenleri vard›r ve dolay›s›yla her noktan›n x ve y olmak üzere 2 koordinat› olur.
Bu durumda;
x: Noktan›n y eksenine olan dik uzakl›¤›,
y: Noktan›n x eksenine olan dik uzakl›¤›d›r.
fiekil 1.6’da baz› noktalar›n düzlemsel kartezyen koordinat sisteminde nas›l belirtildiklerini görüyorsunuz.
fiekil 1.6
Düzlemdeki
Noktalar›n Kartezyen
Koordinatlar›
(0,0)
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
SIRA S‹ZDE
D‹KKAT
DSIRA
Ü fi Ü NS‹ZDE
EL‹M
S O R U
AMAÇLARIMIZ
D‹KKAT
K ‹ T A P
SIRA S‹ZDE
TELEV‹ZYON
AMAÇLARIMIZ
3
SIRA S‹ZDE
Sizce bir fiziksel
olay›n gözlenmesi s›ras›nda koordinat sisteminin bafllang›c› nerede
olmal›d›r?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
F‹Z‹KSEL
BÜYÜKLÜKLER
Fizikte kullan›lan büyüklükler genel özellikleri bak›m›ndan skaler ve vektörel büS O R üzere
U
yüklükler olmak
ikiye ayr›l›rlar.
Skaler Büyüklükler: Skaler; bir reel say›d›r. Say›sal büyüklü¤ü ve birimi verilSIRA
S‹ZDE anlam kazanan büyüklüklere skaler büyüklükler denir. Kütle,
di¤inde, tam
olarak
D‹KKAT
hacim, s›cakl›k, zaman, ifl, güç, elektrik ak›m fliddeti, elektrik yükü vb fiziksel büyüklükler, skaler fiziksel büyüklüklere örnek olufltururlar. Skaler fiziksel büyükDSIRA
Ü fi Ü NS‹ZDE
EL‹M
lükleri temsil
eden harfleri, normal yaz› karakterinden ay›rt etmek için farkl› bir karakterle ve yat›k (italik) olarak yazaca¤›z. Örne¤in kütleyi “m ”, hacmi “V ”, zamaS O Ryazaca¤›z.
U
n› “t ” fleklinde
AMAÇLARIMIZ
N N
Skalerleri metin
D ‹ K içinde
K A T veya ayr› olarak yazarken “x , E , p ,...” fleklinde hem farkl› bir harf
karakteriyle,K hem
‹ T de
A Pyat›k (italik) olarak yazaca¤›z. Buradaki amaç onlar› normal yaz›dan
ve di¤er fiziksel büyüklüklerden ay›rt etmektir.
N N
SIRA S‹ZDE
Vektörel
Say›sal büyüklü¤ü ve birimi yan›nda do¤rultu ve yönü
T E L Büyüklükler:
EV‹ZYON
AMAÇLARIMIZ
de verildi¤inde
tam olarak anlam kazanan büyüklüklere vektörel büyüklükler denir. H›z, kuvvet, ivme, kuvvet momenti, elektrik alan, manyetik alan, vb fiziksel
K‹ N‹ T ET RAN EPT
K‹ N T‹ ETR NA E PT
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
11
1. Ünite - Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler
büyüklükler vektörel büyüklüklerdir. Vektörel büyüklükleri normal yaz› karakterinden ay›rt etmek için bunlar› temsil eden harfler bazen yat›k olarak yaz›lan harfin üzerine bir ok çizilerek veya farkl› bir harf karakteriyle kal›n ve koyu (bold)
→
→
olarak yaz›l›r. Örne¤in kuvvet; “F” veya “ F ’’, h›z; “v” veya “ v ”, ivme; “a” ve→
ya “ a ” fleklinde yaz›l›r.
Bir vektörün büyüklü¤ü bir skalerdir. Bir vektörün büyüklü¤ü, vektörü temsil
eden harfi iki çizgi aras›na alarak “ F ” veya “ AB ” fleklinde ya da vektörü temsil
→
→
eden harfin üzerindeki oku kald›rarak yat›k harfle “ F ” fleklinde yaz›l›r. Büyüklük
daima pozitif bir skalerdir. Bir vektörü her zaman bir skaler ile çarpmak mümkünken, bir vektörle bir skaler asla toplanamaz.
fiimdi vektörleri biraz ayr›nt›l› olarak incelemeye bafllayal›m.
SIRA S‹ZDE
Yukar›da verdi¤imiz tan›mlara göre sizce “a¤›rl›k” ve “yo¤unluk” skaler
fiziksel büyüklük
mü, yoksa vektörel fiziksel büyüklük müdür?
4
D Ü fi Ü N E L ‹ M
VEKTÖRLER
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Bir vektör fiekil 1.7’de görüldü¤ü gibi yönlendirilmifl bir do¤ru parças›yla, yani bir
S O R U
okla temsil edilir. Bir vektörü belirten dört özelli¤i vard›r. Bunlar;
• Do¤rultu,
• Yön,
D ‹ K S‹ZDE
KAT
SIRA
• Büyüklük,
• Bafllang›ç ve bitifl (uç) noktas›d›r.
SIRA S‹ZDE
S O R U
D ‹ K KS‹ZDE
AT
SIRA
N N
D Ü fi Ü N E L ‹ M
E¤er vektör A noktas›ndan bafllay›p B noktas›nda sona eriyorsa
biz bu vektörü
AB fleklinde veya seçti¤imiz bir harfle koyu ve dik olarak örne¤in F fleklinde ve-
→
ya yat›k olarak yazd›¤›m›z harfin üzerine bir ok çizerek F fleklinde ifade ederiz.
→
AMAÇLARIMIZ
S O R U
Vektörleri F, p fleklinde koyu ve dik olarak veya AB , F , fleklinde
K D‹ ‹ e¤ik
TK KAA TPve üzeri oklu
olarak yazd›¤›m›za dikkat ediniz.
→
→
SIRA S‹ZDE
TELEV‹ZYON
fiekil 1.7
AMAÇLARIMIZ
Vektörün
Özellikleri
‹NTERNET
K ‹ T A P
SIRA S‹ZDE
Bir Vektörün
AMAÇLARIMIZ
ve Negatifinin
Gösterimi
‹NTERNET
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
→
rüdür (fiekil 1.8). BA fleklinde gösterilen bu vektör AB vektörüyle ayn› büyük→ →
lükte fakat z›t yönde bir vektördür ve BA = – AB fleklinde yaz›l›r.
→
AMAÇLARIMIZ
S O R U
K D‹ ‹ KT K AA TP
N N
Bir Vektörün Negatifi: A noktas›ndan bafllay›p B noktas›nda sona eren AB
→
vektörünün negatifi, B noktas›ndan bafllay›p A noktas›nda sona eren BA vektö-
→
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
LEV‹ZYON
fiekilT E1.8
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
SIRA S‹ZDE
‹NTERNET
12
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Bir Vektörün Bir Skalerle Çarp›m›: Bir vektörle bir skalerin çarp›m› tan›ml›d›r. Bir vektörü bir skalerle çarpt›¤›m›z zaman sonuç, o vektörün o skaler kat› kadar olan yeni bir vektördür. Bu yeni vektörün yönü;
• Skaler pozitif (+) ise orijinal vektör yönünde,
• Skaler negatif (-) ise orijinal vektöre z›t yönde
olur. fiekil 1.9’da v vektörünü ve onun +2 ve -3 skalerleriyle çarp›lmas›yla elde edilen 2v ve -3v vektörlerini görüyorsunuz. Dikkat ederseniz 2v vektörü v vektörüyle ayn› yönde olup onun 2 kat› büyüklü¤e sahipken, -3v vektörü v vektörüyle z›t
yönde olup onun 3 kat› büyüklü¤e sahiptir.
fiekil 1.9
C
Vektörlerin
Skalerle
Çarp›lmas›
v
B
A
v
2v
v
-3v
1
–v
2
Yine fiekil 1.9’de ayr›ca v vektörünü ve onun 1/2 skaleriyle çarp›lmas›yla elde
edilen (1/2)v vektörünü görüyorsunuz. Dikkat ederseniz (1/2)v vektörü, v vektörüyle ayn› yönde olup onun 1/2 kat›, yani yar›s› kadar bir büyüklü¤e sahiptir.
VEKTÖRLER‹N TOPLAMI
Skalerlerin toplam› reel say›lar›n toplam›yla ayn›d›r. Örne¤in 3 kg’l›k bir kütle ile 4
kg’l›k di¤er kütlenin toplam› daima 7 kg’d›r. Ama örne¤in 3 m/s’lik h›zla 4 m/s’lik
h›z›n toplam› her zaman 7 m/s’lik bir h›z etmez. Vektörlerin kendine özgü toplam
kurallar› vard›r. fiimdi bu kurallar› inceleyelim.
Ayn› Do¤rultulu veya Paralel Vektörlerin Toplam›
Toplanacak vektörler paralel veya ayn› do¤rultuya sahipse iki durum söz konusudur.
• Vektörler ayn› yöne sahipse toplam vektör, bu vektörler yönünde ve büyüklü¤ü vektörlerin büyüklüklerinin toplam› kadar olan vektördür.
• Vektörler z›t yöne sahipse toplam vektör, büyük vektör yönünde ve büyüklü¤ü vektörlerin büyüklükleri fark› kadar olan bir vektördür.
fiekil 1.10’da ayn› do¤rultulu vektörlerin toplanmas›yla ilgili yukar›da sözü edilen kurallar de¤iflik örneklerle verilmektedir.
fiekil 1.10
Ayn› Do¤rultulu
Vektörlerin
Toplanmas›
13
1. Ünite - Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler
A vektörünün büyüklü¤ü 4 ve yönü sola do¤ru, B vektörünün büyüklü¤ü 7 ve yönü sa¤a do¤rudur. 3 A-2 B vektörünün büyüklü¤ü ve yönü nedir?
Çözüm:
A’n›n büyüklü¤ü 4 ve yönü sola do¤ru oldu¤una göre, +3A’n›n büyüklü¤ü
3x4=12 ve yönü yine t›pk› A gibi sola do¤rudur. -2B’nin büyüklü¤ü ise 2x7=14 ve
yönü ise B’ye z›t yani sola do¤rudur. 3A ve -2B vektörlerinin her iki de sola do¤ru oldu¤undan; 3A -2B=3A +(-2B) vektörünün büyüklü¤ü 12+14=26 ve yönü sola do¤rudur.
Vektörler her zaman ayn› do¤rultuda veya paralel olmazlar. Ço¤u zaman aralar›nda bir aç› olur. Do¤rultular› aras›nda belirli bir aç› olan iki vektörün toplanmas›
için iki farkl› kural vard›r. Bunlar “Paralelkenar Kural›” ve “Üçgen Kural›” olarak bilinir. fiimdi bunlar› s›ras›yla inceleyelim.
Paralelkenar Kural›
u ve v vektörlerini paralelkenar kural›yla toplayal›m. Bunu yapmak için önce vektörleri bafllang›ç noktalar› çak›flacak flekilde paralel kayd›r›r›z (fiekil 1.11a). Sonra
her bir vektörün ucundan di¤er vektöre paralel çizip OAPB paralelkenar›n› olufl→ →
→ →
tururuz (fiekil 1.11b). Bu paralelkenarda u= OA = BP ve v= OB = AP olur. u+v
→
toplam vektörü oluflan paralelkenar›n köflegeni olan OP vektörü olarak tan›mlan›r
(fiekil 1.11c).
ÖRNEK
fiekil 1.11c’den
görülebilece¤i gibi
→ →
→
OA + AP = OP yani
→
→ →
u+v= OP olup, OB + BP
→
OP
= yani v+u =
dir.
O halde u+v = v+u oldu¤u
aç›kt›r.
Yani vektörleri toplarken s›ra
önemli de¤ildir. Buna vektör
toplam› de¤iflme özelli¤ine
sahiptir denir.
fiekil 1.11
Paralelkenar
Kural›
a
b
c
ÖRNEK
fiekil 1.12a’da görülen iki vektörün toplam›n› bulunuz.
fiekil 1.12
Örnek için
u
v
u+v
u
v
u
v
a
b
14
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Çözüm:
Paralelkenar kural›n› uygulayarak iki vektörden fiekil 1.12b’de görüldü¤ü gibi
bir paralelkenar oluflturursak bu paralelkenar›n köflegeni arad›¤›m›z toplam vektörü verecektir.
Üçgen Kural›
‹ki vektörün toplanmas› için di¤er kural üçgen kural›d›r. Bu kurala göre u ve v
vektörleri birinin bafllang›c› di¤erinin ucuna eklenerek bir üçgen oluflturulur (fiekil
1.13a). Oluflan üçgenin üçüncü kenar› iki vektörün toplam›n› belirtir (fiekil 1.13b).
→
Yani OP vektörü u+v toplam vektörünü verir.
Aralar›nda θ aç›s› bulunan u ve v vektörlerinin R= u + v bileflkesinin R büyüklü¤ü, bu vektörlerinin büyüklükleri u ile v ve θ aç›s› cinsinden;
R = u 2 + v 2 + 2uv cos θ
(1.5)
fleklinde verilir.
SIRA S‹ZDE
5
‹ki vektörünSIRA
büyüklükleri
10 ve 20’dir. Aralar›ndaki aç› 60° oldu¤una göre bu vektörlerin
S‹ZDE
toplam›n›n büyüklü¤ü nedir?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
fiekil 1.13
S Üçgen
O R U Kural›
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
a
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
b
K ‹ az
T Aönce
P
Bu yöntem
gördü¤ümüz paralelkener kural›na eflde¤erdir. Bunun do¤ru oldu¤unu fiekil 1.13b’de görüldü¤ü gibi v+u’yu oluflturmak suretiyle üçgeni paralelkenara tamamlayarak görebiliriz.
TELEV‹ZYON
‹kiden Fazla Vektörün Toplam›
Vektörleri uç uca ekleyerek
ilk‹ Nvektörün
T E R N Ebafllangݍ
T
noktas›n›, sonuncu vektörün
uç noktas›na birlefltirerek
toplam› bulma ifllemi
çokgen kural› olarak bilinir.
Toplanacak vektör say›s› ikiden fazlaysa ilk olarak az önce ö¤rendi¤imiz kuralla‹ N T E R N E T vektörlerden herhangi ikisi toplan›r. Toplam vektörle üçüncü
r›n birini kullanarak
vektör toplan›r ve böylece devam edilir.
Baflka bir yöntemde ise, verilen birçok vektörün toplam›n› bulmak için vektörleri, birinin bafllang›c› di¤erinin ucuna gelecek flekilde uç uca ekleriz. ‹lk vektörün
bafllang›ç noktas›ndan bafllayarak sonuncu vektörün ucuna yönelen vektör bize
toplam vektörü verir. fiekil 1.14’de bu yöntemle üç vektörün toplanmas›n› görüyorsunuz.
15
1. Ünite - Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler
SIRA S‹ZDE
Vektörlerin toplam›n›n birleflme özelli¤ine sahip oldu¤unu yani (a+b)+c=a+(b+c)
oldu¤unu gösteriniz.
D Ü fi Ü N E L ‹ M
6
Ü fi Ü N E L ‹ M
fiekilD1.14
Üç Vektörün
Toplanmas›
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
‹K‹ VEKTÖRÜN FARKI
SIRA S‹ZDE
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹ki vektörün fark› toplama iflleminin özel bir durumudur. ‹ki vektörün u-v fark›;
u-v= u+(-v)
‹NTERNET
fleklinde u ve -v vektörlerinin toplam› olarak tan›mlan›r. Paralelkenar Kural›’n›n
kullan›lmas›yla u ve -v vektörlerinin toplam›;
‹NTERNET
→
u-v= u+(-v) = OQ
olarak bulunur (fiekil 1.15a).
Benzer flekilde v-u=v+(-u) fark› yine Paralelkenar Kural›’n›n kullan›lmas›yla;
→ → →
v-u = v+(-u) = OB + OD = OR
olarak bulunur (fiekil 1.15b).
fiekil 1.15
‹ki Vektörün Fark›
a
b
c
fiekil 1.15c’de görüldü¤ü gibi u ve v vektörleriyle oluflturulan paralelkenar›n
köflegenleri u+v toplam›n› ve u-v fark›n› olufltururlar.
16
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
B‹R VEKTÖRÜN B‹LEfiENLER‹NE AYRILMASI
xy düzleminde yatan bir vektör fiekil 1.16a’da görüldü¤ü gibi yatay ve düfley bileflenlerine ayr›l›r. fiekilde oluflan dik üçgenden A vektörünün yatay Ax bilefleni ile
Ay düfley bileflenlerinin büyüklükleri;
Ax = A cos θ
(1.6)
Ay = A sin θ
(1.7)
olarak bulunur.
ÖRNEK
Bir A vektörünün büyüklü¤ü A=20 ve x ekseniyle yapt›¤› aç› 37° dir. Buna göre A
vektörünün x ve y bileflenlerinin büyüklükleri nedir?
Çözüm: A vektörünün x ve y bileflenlerinin büyüklükleri;
Ay = A sin θ = 20.0,6 = 12
Ax = A cos θ = 20.0,8 = 16
olarak bulunur.
fiekil 1.16
Vektörlerin
Bileflenlerine
Ayr›lmas›
a
SIRA S‹ZDE
b
S‹ZDE
Tersine SIRA
olarak
e¤er bir A vektörünün bileflenlerinin Ax ve Ay büyüklüklerini
biliyorsak, bunlardan hareketle A vektörünün A büyüklü¤ünü ve yatay eksenle
(x ekseniyle) yapm›fl oldu¤u θ aç›s›n›;
D Ü fi Ü N E L ‹ M
A=
S O R U
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Ax2 + A2y
tan θ =
D‹KKAT
(1.8)
Ay
S O R U
Ax
(1.9)
D‹KKAT
fleklinde bulabiliriz (fiekil 1.16b).
SIRA S‹ZDE
ÖRNEK
AMAÇLARIMIZ
N N
SIRA S‹ZDE
Bir A vektörünün yatay ve düfley bileflenlerinin büyüklükleri Ax = 8 ve Ay = 6 d›r.
Buna göre A vektörünün büyüklü¤ü nedir?
AMAÇLARIMIZ
Çözüm:
A vektörünün büyüklü¤ü;
A=
K ‹ T A P
P
AKx2 ‹+T AAy2 =
82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 10
olarak bulunur.
TELEV‹ZYON
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
‹NTERNET
TELEV‹ZYON
7
yapt›¤› aç› 127° dir. Bu vektörün x ve y bileflenlerinin yönü için
Bir vektörünSIRA
+x ekseniyle
S‹ZDE
ne söyleyebilirsiniz.
Vektörler konusunda
‹DNÜTfiEÜRNNE EL ‹TMdaha genifl bilgi sahibi olmak ve interaktif olarak al›flt›rmalar yapmak için http://www.maths.usyd.edu.au/u/MOW/vectors/ sitesinden yararlanabilirsiniz.
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
1. Ünite - Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler
17
Özet
N
AM A Ç
1
N
AM A Ç
2
Ölçme kavram›n› ve birim sistemlerini tan›mlamak.
Herhangi bir fiziksel büyüklü¤ün ölçülmesi demek, o büyüklük cinsinden seçilen bir birimin
ölçülecek büyüklük içinde kaç kez bulundu¤unun say›lmas› demektir. Ölçme, bu ifl için gelifltirilmifl araçlarla yap›l›r.
Keyfi seçilen temel büyüklükler ile, tan›mlar› bu
temel büyüklüklerden türetilmifl büyüklüklerden
oluflan sistemlere birim sistemleri denir. Genel
olarak kullan›lan befl tane önemli birim sistemi
vard›r. Bunlar;
• FPS [foot-pound(libre)-saniye] sistemi,
• MKS (metre-kilogram kuvvet-saniye) sistemi,
• CGS (santimetre-gram-saniye) sistemi,
• MKSA (metre-kilogram-saniye-amper) sistemi
ve
• SI sistemidir.
Bilimsel ve teknik iletiflimi kolaylaflt›rmaya yönelik olarak bir çok ülkenin ortak karar›yla kabul edilen SI Birim Sistemi, uzunluk, zaman, kütle, elektrik ak›m›, termodinamik s›cakl›k, ayd›nlanma fliddeti ve madde miktar› olmak üzere yedi (7) adet fiziksel büyüklü¤ü temel büyüklük
ve aç› ile uzay aç› olmak üzere iki (2) adet fiziksel büyüklü¤ü yard›mc› büyüklük olarak kabul
etmifltir.
Bir dar aç›n›n trigonometrik oranlar›n› belirlemek.
Bir dik üçgende bir dar aç›n›n trigonometrik
fonksiyonlar› flöyledir:
• Sinüs; karfl› dik kenar uzunlu¤unun hipotenüs uzunlu¤una oran› (sinα=a /c).
• Kosinüs; komflu dik kenar uzunlu¤unun hipotenüs uzunlu¤una oran› (cosα=b /c).
• Tanjant; karfl› dik kenar uzunlu¤unun komflu
dik kenar uzunlu¤una oran› (tanα=a /b).
• Kotanjant; komflu dik kenar uzunlu¤unun
karfl› dik kenar uzunlu¤una oran› (cotα=b /a)
(fiekil 1.2).
N
A M A Ç
3
N
AM A Ç
4
Üç ve iki boyutlu kartezyen koordinat sistemini
aç›klamak.
Bir noktada birbirleriyle ikifler ikifler dik olarak
kesiflen üç do¤runun oluflturdu¤u sisteme kartezyen koordinat sistemi denir. Burada kesiflen
do¤rular ise x, y, z eksenleri ad›n› al›r ve bir
noktan›n x, y, z koordinatlar› s›ras›yla yz, xz, xy
düzlemlerine olan dik uzakl›klard›r.
E¤er inceledi¤imiz noktalar düzlemde ise o zaman 2 boyutlu (düzlemsel) kartezyen koordinat
sistemi kullan›l›r. Burada yaln›zca birbirini dik
olarak kesen x vey eksenleri vard›r ve dolay›s›yla her noktan›n x ve y olmak üzere 2 koordinat› olur. Bu durumda x ; noktan›n y eksenine olan
dik uzakl›¤› ve y ; noktan›n x eksenine olan dik
uzakl›¤›d›r.
Skaler ve vektörel fiziksel büyüklükleri ay›rt
etmek.
Fizikte kullan›lan büyüklükler genel özellikleri
bak›m›ndan skaler ve vektörel büyüklükler olmak üzere iki türlüdür. Skaler büyüklükler, say›sal büyüklü¤ü ve birimi verildi¤inde, tam olarak
anlam kazanan büyüklüklerdir. Kütle, hacim, s›cakl›k, zaman, ifl, güç, elektrik ak›m fliddeti, elektrik yükü skaler büyüklüklerdir. Bir de say›sal
büyüklü¤ü ve birimi yan›nda do¤rultu ve yönü
de verildi¤inde tam olarak anlam kazanan büyüklükler vard›r. Bunlara vektörel büyüklükler
denir. H›z, ivme, kuvvet, kuvvet momenti, elektrik alan, manyetik alan bu grupta yer al›r.
18
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
N
A M A Ç
5
Vektörlere iliflkin toplama ve ç›karma ifllemlerini
yapmak
Vektörleri skalerler gibi toplay›p ç›karam›yoruz.
N
AM A Ç
6
Vektörleri bileflenlerine ay›rmak ve bileflenleri belli olan vektörü bulmak.
Bir A vektörünün x ekseni üzerindeki Ax bile-
Vektörlerin kendilerine özgü toplam kurallar›
fleni ile y ekseni yönündeki Ay bilefleni fiekil
vard›r. Kaç tane olursa olsun vektörleri toplamak
1.18’de görüldü¤ü θ gibidir. E¤er A vektörünün
için onlar› büyüklükleri ve yönleri de¤iflmeyecek
büyüklü¤ü ile aç›s›n› biliyorsak Ax ve Ay bile-
flekilde kayd›rarak uç uca ekleriz. Sonra ilk vek-
flenlerinin büyüklükleri;
törün bafllang›ç noktas›ndan bafllay›p sonuncu
vektörün uç noktas›nda sona eren vektörü çizeriz. Bu vektör bize toplam vektörü verir (fiekil
1.17).
Ç›karma ifllemini toplamaya benzeterek yapar›z.
fiöyle ki; u-v fark› demek, u+(-v) demektir. Yani u’ dan v’ yi ç›karmak, u ile -v yi toplamak
Ax = A cos θ
Ay = A sin θ
fleklinde bulunur. Tersine olarak bileflenleri biliyorsak A vektörünün büyüklü¤ü (A ) ile θ aç›s›n›;
A=
Ax2 + Ay2
tan θ =
demektir.
Ay
Ax
olarak buluruz.
x
fiekil 1.17: Vektörlerin
toplam›
fiekil 1.18: Vektörlerin
bileflenleri
19
1. Ünite - Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler
Kendimizi S›nayal›m
1. Afla¤›dakilerden hangisi veya hangileri vektörel fiziksel büyüklüktür?
I) Bas›nç
II) S›cakl›k
III) Kuvvet momenti
IV) Momentum
V) Elektrik ak›m›
a. Yaln›z III
b. Yaln›z V
c. II ve III
d. III ve IV
e. II, IV ve V
2. Afla¤›dakilerden hangisi veya hangileri skaler fiziksel büyüklüktür?
I) H›z
II) Is›
III) ‹vme
IV) Enerji
V) Elektrik yükü
a. Yaln›z IV
b. Yaln›z V
c. II ve IV
d. II ve V
e. II, IV ve V
3. A vektörünün büyüklü¤ü 5 ve yönü kuzeye do¤ru,
B vektörünün büyüklü¤ü 2 ve yönü güneye do¤rudur.
2A +3B vektörünün büyüklü¤ü ve yönü nedir?
a.
b.
c.
d.
e.
14, kuzeye
14, güneye
4, kuzeye
4, güneye
6, kuzeye
4. Bir A vektörü xy koordinat sisteminin orijininden
(4,2) noktas›na ve di¤er bir B vektörü yine orijinden
(-2,5) noktas›na yönelmifltir. A + B vektörünün bafllang›c› orijine tafl›n›rsa ucu afla¤›dakilerden hangi noktaya gelir?
a. (2,7)
b. (6,7)
c. (-6,3)
d. (2,-3)
e. (2,3)
5. Birinin büyüklü¤ü 15, di¤erinin büyüklü¤ü 34 olan
ve yönleri de¤iflebilen iki vektörün toplam› R’dir. R
vektörünün R büyüklü¤ünü afla¤›dakilerden hangisi
do¤ru olarak verir?
a. 19 < R<34
b. R=15 ve R=34
c. 19≤ R ≤ 49
d. 15 ≤ R ≤ 34
e. 19 < R ≤ 49
6. Aralar›nda 60° aç› bulunan birinin büyüklü¤ü 5, di¤erinin büyüklü¤ü 6 olan iki vektörün bileflkesinin büyüklü¤ü nedir?
a. 11
b.
c.
d.
e.
51
61
75
91
7. Bir A vektörünün büyüklü¤ü A = 40 ve x bilefleninin büyüklü¤ü 24 oldu¤una göre y bilefleninin büyüklü¤ü nedir?
a. 16
b. 28
c. 32
d. 34
e. 36
8. fiekil 1.19’daki her kare 1 birimdir. Buna göre
a+b+c+d toplam›n›n büyüklü¤ü afla¤›dakilerden hangisidir?
a. 4 2
b. 5 2
c. 8
d. 6 2
e. 11
a
a
b
b
c
d
c
fiekil 1.19: Soru 8 ve 9 için
d
fiekil 1.20: Soru 10 için
20
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
“
9. fiekil 1.19’daki her kare 1 birimdir. Buna göre a-bc+d vektörünün büyüklü¤ü afla¤›dakilerden hangisidir?
a.
34
b. 2 17
c. 4 17
d. 2 34
e. 3 34
10. fiekil 1.20’deki her kare 1 birimdir. Buna göre
3a+4b+c+d vektörünün büyüklü¤ü afla¤›dakilerden
hangisidir?
a. 2 5
b. 5
c. 4 5
d. 6
e. 8
Yaflam›n ‹çinden
Metrenin Evrim Öyküsü
Uzunluk ölçmenin tarihsel geliflimine bakarsak kullan›lan ilk uzunluk birimlerinin insanlar›n kendi uzuvlar›yla iliflkilendirdi¤i “ayak”, “parmak”, “kar›fl”, “dirsek” gibi birimler oldu¤unu görürüz. ‹nsanlar bazen kulaçlar›n›, bazen ad›mlar›n›, bazen de civarlar›nda bulunan
nesneleri birim kabul edip ölçümler yapm›fllar ve kulland›klar› birimler cinsinden yapt›klar› ölçümleri örne¤in 5 kulaç, 10 ad›m gibi ifade etmifllerdir. ‹lk ça¤larda,
eski M›s›r’da kral’›n dirsek uzunlu¤u yayg›n bir uzunluk
birimi olarak kullan›lm›flt›r. Bugünkü metrik birimlerle
“kral dirse¤i” 46,33 cm’ye denk gelmektedir. Daha sonralar› M.S. 1101 y›l›nda, Kral I. Henry’nin burnundan el
baflparma¤›na kadar olan mesafe “yard” olarak tan›mlanm›flt›r. Yard bugün hala kullan›lan bir uzunluk ölçü
birimidir.
Ticaret ve bilimin geliflmesiyle birlikte birimler her toplumda farkl›l›klar gösterdi¤inden, belli bir sistem ihtiyac› gözlenmeye bafllam›flt›r. Ölçme sisteminin dünya ülkeleri taraf›ndan ortak olarak oluflturulmas› fikri ilk olarak 1528 y›l›nda Frans›z Fizikçi Jean Fernel taraf›ndan
ortaya at›lm›flt›r. Ancak bu durumun ciddiyetle ele al›nmas› 18. Yüzy›l›n son çeyre¤i Frans›z ihtilalinden sonra
olmufltur. Bundan sonra günümüze kadar “metre”nin
evrim öyküsü flu flekilde geliflmifltir:
• 8 May›s 1790, Frans›z Ulusal Meclisi yeni metrenin,
yar›m-periyodu 1 saniye olan bir sarkac›n uzunlu¤una eflit olmas›na karar varm›flt›r.
• 30 May›s 1791, Frans›z Ulusal Meclisi metrenin yeni
tan›m› olarak Frans›z Bilimler Akademisi’nin önerisini kabul etmifltir. Bu öneriye göre 1 metre Paris’ten
geçen meridyenin dörtte bir uzunlu¤unun 10 milyonda biri olarak kabul edilmifltir.
• 1795, Pirinç geçici metre çubuk yap›lm›flt›r.
• 10 Aral›k 1799, Frans›z Ulusal Meclisi, 23 Haziran
1799’da yap›lan ve Ulusal Arflivler’de saklanan platin
metre çubu¤u en son standart olarak belirtmifltir.
• 28 Eylül 1889, ‹lk A¤›rl›klar ve Ölçüler Genel Konferans›, metreyi %10’u iridyum’dan oluflan platin alafl›m› standart bir çubu¤un üzerindeki iki çizgi aras›ndaki mesafenin buzun erime noktas›nda ölçülen de¤eri olarak tan›mlam›flt›r.
1. Ünite - Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler
21
Okuma Parças›
• 6 Ekim 1927, Yedinci A¤›rl›klar ve Ölçüler Genel
Konferans›, platin-iridyum alafl›m› standart çubu¤un
üzerindeki iki merkezî çizginin eksenleri aras›ndaki
0°C’ deki uzakl›¤›n, bu çubuk 1 atmosfer standart
bas›nç alt›ndayken ve birbirinden 571 milimetre mesafedeki iki silindirin üzerinde yatay duruyorken
yap›lan ölçümünü metrenin tan›m› olarak düzeltmifltir.
• 20 Ekim 1960, On birinci A¤›rl›klar ve Ölçüler Genel
Konferans›, metreyi kripton-86 atomunun 2p10 ve
5d5 kuantum seviyeleri aras›ndaki geçiflteki ›fl›man›n
boflluktaki dalga boyunun 1.650.763,73’de biri olarak tan›mlam›flt›r.
• 21 Ekim 1983 - On yedinci A¤›rl›klar ve Ölçüler Genel Konferans›, metrenin tan›m›n› ›fl›¤›n bofllukta
1/299.792.458 saniyede ald›¤› mesafe olarak yapm›flt›r. Metrenin tan›m›na iliflkin bugünkü son durum
budur.
”
Osmanl› Ölçü Birimleri
Uzunluk Ölçüleri
1 Çarfl› arfl›n› 0,6858 m
1 Mimar arfl›n› (Zira) 0,757738 m
1 Rub (urub) 0,0857 m (1/8 Arfl›n)
1 Kerrab (Kirâh) 0,0428 m (1/16 Arfl›n)
1 Endaze 0,6525 m
1 Parmak (1/24 zira) 0,031572 m
1 Hat (1/12 parmak) 0,002631 m
1 Nokta (1/12 hat) 0,000219 m
A¤›rl›k Ölçüleri
1 Çeki (4 Kantar) 225,79832 kg
1 Kantar (44 Okka) 56,44958 kg
1 Batman (6 Okka) 7,69767 kg
1 Okka/K›yye (400 Dirhem) 1,282945 kg
1 Dirhem 3,2073625 g
1 Miskal 4,5819464 g
7 Miskal (10 Dirhem) 32,073625 g
1 Denk (1/4 Dirhem) 0,80184 g
1 K›rat (1/4 denk) 0,20046 g
1 Bu¤day (1/4 k›rat) 0,05011 g
Alan Ölçüleri
1 Hektar = ( 11 Dönüm ) = 10.105,337 m2 = ( 17.600
zirakare )
1 Dönüm = ( 4 Evlek ) = 918,667 m2 = ( 1.600 zirakare ) = ( 40 x 40 zira )
1 Evlek = 229,666 m2 = ( 400 zirakare ) = ( 20 x 20 zira )
1 Zirakare= 0,57416 m2
22
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
1. d
S›ra Sizde 1
Piko öneki 10-12 kat› yani trilyonda biri temsil etmektedir. O halde 5pF=5.10-12 F demektir.
2. e
3. c
4. a
5. c
6. e
7. c
8. b
9. a
10. b
Yan›t›n›z yanl›flsa “Fiziksel Büyüklükler” bafll›kl›
konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Fiziksel Büyüklükler” bafll›kl›
konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Ayn› Do¤rultulu veya Paralel
Vektörlerin Toplam›” bafll›kl› konuyu yeniden
gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Paralelkenar Kural›” bafll›kl›
konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Vektörlerin Toplanmas›”
bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Üçgen Kural›” bafll›kl›
konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Vektörlerin Bileflenlerine
Ayr›lmas›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden
geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “‹kiden Fazla vektörün
Toplam›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden
geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Bir Vektörün Bir Skalerle
Çarp›m›” ve “‹kiden Fazla vektörün Toplam›”
bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Bir Vektörün Bir Skalerle
Çarp›m›” ve “‹kiden Fazla vektörün Toplam›”
bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
S›ra Sizde 2
karfl› dik kenar uzunlu¤u
a
sin37° = ––––––––––––––––––––––– = –––
hipotenüs uzunlu¤u
c
oldu¤undan, buradan;
c=
a
6
=
= 10 cm
sin 37° 0, 6
olarak bulunur.
S›ra Sizde 3
Koordinat sisteminin bafllang›c› olay› gözleyen gözlemcinin bulundu¤u yer olmal›d›r.
S›ra Sizde 4
Bir cismin a¤›rl›¤› o cisme etki eden yerçekimi kuvvetidir. Dolay›s›yla a¤›rl›k yönlü bir büyüklük yani vektördür. Yo¤unluk ise bir cismin birim hacminin kütlesidir
ve yönü yoktur. O halde yo¤unluk bir skalerdir.
S›ra Sizde 5
Vektörlerin büyüklüklerine u ve v, toplam›n büyüklü¤üne R dersek;
R = u 2 + v 2 + 2uv cosθ
yazabiliriz. Verilenleri yerine koyarsak toplam›n büyüklü¤ünü;
R = 10 2 + 202 + 2.10.20.cos 60°
R = 10 2+ 202 + 2.10.20.0.5 =10 7
olarak bulunur.
1. Ünite - Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler
23
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek
Kaynaklar
S›ra Sizde 6
fiekil 1.21’e bakarsan›z, (a+b) ile c’yi toplamakla veya
a ile (b+c)’yi toplamakla ayn› toplam vektörü elde etti¤imiz görürsünüz. Yani her zaman (a+b)+c=a+(b+c)
oldu¤unu görürsünüz.
c
a+c
b
a+b+c
a
a+b
fiekil 1.21 Vektör Toplam›n›n Birleflme Özelli¤i
S›ra Sizde 7
Vektörün +x ekseniyle yapt›¤› aç› 90° ’ den büyük,
180° ’den küçük oldu¤undan dolay› vektör ikinci bölge
vektörüdür. Bu nedenle vektörün x bilefleni –x yönünde, y bilefleni ise +y yönündedir.
Orhun, Ö. ve di¤erleri, Orhun Ö. (Ed) (2007) Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri, Ankara: Nobel Yay›n
Da¤›t›m.
http://www.maths.usyd.edu.au/u/MOW/vectors/
11.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vect.html
11.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r.
http://www.glenbrook.k12.il.us/ gbssci/ Phys/ Class/
vectors/u3l1a.html 11.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r.
TEKNOLOJ‹N‹N B‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I
2
Amaçlar›m›z
N
N
N
N
N
N
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Kinemati¤in temel kavramlar›n› tan›yabilecek,
Düzgün do¤rusal hareketi aç›klayabilecek,
Düzgün de¤iflen do¤rusal hareketi aç›klayabilecek,
Serbest düflme ve düfley at›fl hareketlerini ay›rt edebilecek,
E¤ik at›fl hareketinin eflitliklerini yazabilecek,
Ba¤›l hareketi ifade edebilecek bilgi ve becerileri edinmifl olacaks›n›z.
Anahtar Kavramlar
•
•
•
•
•
•
Yer de¤ifltirme
Al›nan yol
H›z
Sürat
‹vme
Sabit H›zl› Hareket
•
•
•
•
•
Sabit ‹vmeli Hareket
Serbest Düflme
Düfley At›fl
E¤ik At›fl
Ba¤›l hareket
‹çindekiler
Teknolojinin Bilimsel
‹lkeleri-I
Kinematik
• G‹R‹fi
• K‹NEMAT‹⁄‹N TEMEL
KAVRAMLARI
• DÜZGÜN DO⁄RUSAL HAREKET
• DÜZGÜN DE⁄‹fiEN DO⁄RUSAL
HAREKET
• SERBEST DÜfiME VE DÜfiEY ATIfi
HAREKETLER‹
• E⁄‹K ATIfi HAREKET‹
• BA⁄IL HAREKET
Kinematik
G‹R‹fi
Etraf›m›za bakt›¤›m›zda yürüyen insanlardan, yoldan geçen tafl›t araçlar›na, uçan
kufllardan, rüzgarda sallanan a¤aç yapraklar›na kadar bize göre hareket eden pek
çok fleyle karfl›lafl›r›z. Bir nesnenin hareketli olup olmad›¤› o cisme bakan gözlemciye ba¤l› bir durumdur. Örne¤in tepemizden geçen bir uçak, önümüzdeki bahçede top oynayan çocuklar hareket eden nesnelerdir. Ancak uçakla yolculuk yaparken di¤er koltuklarda oturan yolcular bize göre hareketsizdir. Oysa di¤er yolcularla beraber biz, yerdeki bir gözlemciye göre hareket halindeyiz. Yani “duran nesneler hangileridir, hareketli olanlar hangileridir?” sorular›na verilecek yan›tlar tamamen gözlemcinin durumuna ba¤l›d›r. Baflka bir deyiflle, bir cismin hareketli
olup olmad›¤› tamamen gözlemcinin durumuna ba¤l› olan göreceli bir durumdur.
K‹NEMAT‹⁄‹N TEMEL KAVRAMLARI
Fizi¤in hareketi inceleyen dal›na mekanik ad› verilir. Mekanik; kinematik, dinamik ve statik olmak üzere üç dala ayr›l›r. Dinamik; hareketin sebebinden yola ç›karak hareketi inceler. Statik dengedeki cisimleri inceleme konusu yapar. Kinematik ise hareketin hangi sebepten olufltu¤u sorusunun yan›t›n› vermeden yaln›zca
yer de¤ifltirme, h›z ve ivme gibi fiziksel nicelikleri tan›mlay›p, bunlar aras›ndaki
iliflkileri ortaya koyar. Bu ünitede hareketi kinematik bak›fl aç›s›ndan ele alaca¤›z.
Hareket olay›n› anlayabilmek için, bununla ilgili terminolojiyi bilmemiz gerekir.
fiimdi; kinematikle ilgili
• Al›nan yol,
• Yer de¤ifltirme,
• H›z,
• ‹vme
kavramlar›n› tan›tarak bunlar›n tan›mlar›n› verelim.
Al›nan Yol: Bir hareketlinin belirli bir zaman aral›¤›nda kat etti¤i mesafedir ve
metre (m) birimiyle ölçülür. Örne¤in Eskiflehir-Ankara karayolu 240 km’dir. Eskiflehir’den Ankara’ya giden bir otobüs 240 kilometre (km) yol al›r. Al›nan yol skaler
bir fiziksel büyüklüktür.
Yer de¤ifltirme: Yer de¤ifltirme, bir cismin ilk bulundu¤u yeri son bulundu¤u
yere birlefltiren do¤ru parças›n›n uzunlu¤u büyüklü¤ünde ve cismin ilk bulundu¤u yerden son bulundu¤u yere do¤ru yönelmifl bir vektörel büyüklüktür.
Mekanik; kinematik,
dinamik ve statik olmak
üzere üç dala ayr›l›r.
Dinamik; hareketin
sebebinden yola ç›karak
hareketi inceler. Statik ise
dengedeki cisimleri
inceleme konusu yapar.
26
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
fiekil 2.1
Al›nan Yol ve Yer
De¤ifltirme
SIRA S‹ZDE
1
D Ü fi Ü N E L ‹ M
fiekil 2.1’ de A noktas›ndan B
noktas›na bir e¤ri boyunca giden
bir cismi görüyorsunuz. Cismin
Al›nan Yol
ald›¤› yol bir e¤riyle temsil edilmifltir. Yer de¤ifltirme ise A noktas›ndan B noktas›na yönelmifl
A
→
AB vektörüyle gösterilmifltir.
→
AB
Dikkat ederseniz bir noktadan
Yer
De
di¤erine gitmek için al›nan yolu
¤iflt
irm
e
de¤ifltirmek sizin elinizdedir. Yani yolu uzatabilir veya k›saltabilirsiniz. Ama yer de¤ifltirmeyi deB
¤ifltiremezsiniz. Çünkü yer de¤ifltirme daima hareketin bafllad›¤›
nokta A’ dan bafllay›p hareketin bitti¤i nokta B’ de sona eren bir vektördür. Dolay›s›yla yer de¤ifltirmenin büyüklü¤ü AB do¤ru parças›n›n uzunlu¤u kadard›r.
SIRA S‹ZDE
Eskiflehir-Bilecik
kara yolu 80 km dir. Oysa Eskiflehir-Bilecik aras› kufl uçuflu 60 km dir.
Buna göre Eskiflehir’den kalk›p Bilecik’e giden bir otobüs için al›nan yol ve yer de¤ifltirme
ne olacakt›r?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
ÖRNEK
Bir kayakç› fiekil 2.2’de görüldü¤ü gibi ayn› do¤rultu boyunca önce A’ dan B’ ye,
O R U
sonra B’ denS C’
ye ve en sonra C’ den D’ ye kay›yor. Bu kayakç›n›n hareketinin sonunda ald›¤› yol ve yer de¤ifltirmesi nedir?
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
fiekil 2.2
N N
Kayakç›n›n
SIRA
S‹ZDE A’dan
D’ye Hareketi
AMAÇLARIMIZ
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
Çözüm: kayakç›;
‹ N Tye
E R 40
N E Tm +100 m + 40 m=180 m,
A’ dan B’
B’ dan C’ ye 40 m +100 m =140 m ve
C’ dan D’ ye 100 m yol alarak toplam
180 m +140 m +100 m = 420 m yol alm›flt›r.
Yer de¤ifltirme ise cismin ilk bulundu¤u A noktas›ndan, son bulundu¤u D
noktas›na uzanan 140 m uzunlu¤unda sa¤a do¤ru yönelmifl bir vektördür.
27
2. Ünite - Kinematik
H›z
Bir cismin hareketindeki çabuklu¤u veya yavafll›¤› anlatmak için sürat ve h›z kavramlar›n› kullan›r›z. Tafl›t araçlar›nda bulunan takometre (sürat ölçer) arac›n süratini
ölçer. Sürat skaler bir niceliktir ve birimi SI’ da m/s ‘dir. H›z bir vektörel büyüklüktür. Dolay›s›yla h›z bir hareketlinin hem süratini, hem de yönünü ifade eder. Bir
otomobilin h›z›n› tam olarak ifade
edebilmek için hem süratini, hem
de yönünü belirtmek gerekir. Örne¤in “Otomobil 90 km/h h›zla kuzeye do¤ru gidiyor.” dedi¤imiz zax
man hem sürati, hem de yönü belirtti¤imiz için otomobilin h›z›n›
ifade etmifl oluruz.
Bir cisim t1 an›nda apsisi x1
olan P noktas›ndan +x yönünde
harekete bafllas›n ve t2 an›nda apsisi x2 olan Q noktas›na ulafls›n.
Bu olayda geçen zaman ∆t = t2 - t1 ve yer de¤ifltirme ∆x = x2 - x1 dir. Bu cismin
∆t = t2 - t1 zaman aral›¤›ndaki ortalama h›z› vort ile gösterilir ve
vort =
∆x x2 - x1
=
∆t t2 − t1
Takometre: Sürat ölçen bir
alettir. Hareket halindeki
tafl›tlar›n süratini
kilometre/saat (km/h) veya
baz› ülkelerde mil/saat
(mi/h) cinsinden skaler bir
nicelik olarak ölçer.
fiekil 2.3
Ortalama H›z
Ortalama h›z (vort), ∆x
yönünde vektörel bir
büyüklüktür.
(2.1)
eflitli¤iyle verilir. Birim zamandaki yer de¤ifltirme olarak tan›mlanan ortalama h›z
yer de¤ifltirme vektörü yönünde bir vektördür. ‹ki nokta aras›ndaki ortalama h›z›n
yönü, hareketlinin hangi yolu izledi¤inden ba¤›ms›z olarak ilk noktadan son noktaya yönelen vektör, yani yer de¤ifltirme vektörü yönündedir. Ortalama h›z›n büyüklü¤ü ve yönü, hareketlinin hareket boyunca h›z›n›n büyüklü¤ü ve yönü hakk›nda hiçbir bilgi vermez. Sürat veya h›z›n birimi, uzunluk ve zaman için seçilen
birimlere ba¤l›d›r. Örne¤in al›nan yolu veya yer de¤ifltirmeyi kilometre (km) ile ve
zaman› saat (h) ile ölçersek sürat veya h›z›n birimi km/h olur. Ancak SI birim sistemindeki uzunluk birimi metre(m), zaman birimi saniye(s) oldu¤undan sürat ve h›z›n birimi m/s olur:
Sürat (m / s) =
alınan yol (m)
geçen zaman (s )
Hiz (m / s) =
yer degistirme (m)
geçen zaman (s)
Bir boyutlu hareket, bir
do¤ru boyunca gerçekleflen
harekettir.
Bir boyutlu harekette vektör gösterimi yerine (+) ve (-) iflaretlerini kullan›r›z
ve ortalama h›z ba¤›nt›s›n›;
vort =
∆x x2 - x1
=
∆t t2 − t1
(2.2)
olarak yazar›z. Bir do¤ru boyunca gerçekleflen harekette
yönü belirtmek için (+) ve (-)
iflaretlerini kulland›¤›m›z› belirtmifltik. Örne¤in 80 km/h h›zla giden bir otomobil fiekil 2.4’ de görüldü¤ü gibi +x ekseni yönünde gidiyorsa h›z›n› +80 km/h, -x yönünde gidiyorsa h›z›n› -80 km/h olarak al›r›z.
fiekil 2.4
H›z›n Yönünü (+)
ve (-) ‹flaretleriyle
Belirtme
28
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
ÖRNEK
Bir koflucu t =0 an›nda O noktas›ndan harekete geçip 4 saniye koflarak A noktas›na, sonra 6 saniye koflarak B noktas›na, daha sonra 4 saniye koflarak C noktas›na ve son olarak 6 saniye koflarak O noktas›na geri geliyor. fiekil 2.5’ deki her bir
kare 10 metreyi temsil etti¤ine göre koflucunun;
• 10 s deki ortalama süratini ve ortalama h›z›n›
• 20 s deki ortalama süratini ve ortalama h›z›n›
bulunuz.
Çözüm: a) Koflucunun 4s+6s =10s’de kat etti¤i yol 30m+40m =70m’dir. Buna
göre O ’ dan B ’ ye gelinceye kadar geçen 10 saniyelik zaman aral›¤›ndaki ortalama sürat;
Alınan yol
70m
Ortalama sürat =
=
= 7m / s
Geçen zaman 10s
dir. Bu zaman aral›¤›ndaki ortalama h›z ise OB yer de¤ifltirmesinin büyüklü¤ü
→
→
OB =
302 + 402 = 50m
oldu¤undan;
v = OB = 50m = 5m / s
→
∆t
10s
büyüklü¤e sahip ve OB vektörü yönündedir.
→
fiekil 2.5
Bir Koflucunun Yer
De¤ifltirmesinin
Temsili
B
C
b) Koflucunun 20 saniyede tekrar O’ ya dönünceye kadar ald›¤› yol 140 metre
oldu¤undan ortalama sürat;
Ortalama sürat = (Al›nan yol)/(Geçen zaman) = (140m)/(20s) = 7m/s
dir. Bu zaman aral›¤›ndaki ortalama h›z›n büyüklü¤ü ise yer de¤ifltirme s›f›r oldu¤undan;
v=
(0)m
olacakt›r.
10s
=0
29
2. Ünite - Kinematik
Bir kifli fiekil 2.6’da görüldü¤ü gibi bir do¤ru üzerinde A noktas›ndan
sola
do¤ru harekeSIRA
S‹ZDE
te geçip 3 dakika sonra B noktas›na varmakta, sonra geri dönüp 3 dakika daha yürüyerek
6 dakika sonunda C noktas›na gelmekte ve sonra tekrar sola dönüp 4 dakika daha yürüD Ü fi Ü N E L ‹ M
yerek 10 dakika sonunda D noktas›na ulaflmaktad›r. Bu kiflinin 10 dakikal›k zaman aral›¤›nda ortalama sürati ve ortalama h›z› nedir?
S O R U
AMAÇLARIMIZ
‹vme
v2 − v1
t
‹NTERNET
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Bir Kiflinin A’ dan
D’ ye Yer D ‹ K K A T
De¤ifltirmesinin
Temsili
N N
‹vme, bir hareketlinin h›z›n› de¤ifltirme derecesidir. Bir otomobil
K ‹ Tçok
A Ph›zl› gidiyor
olabilir. Fakat bu onun ivmeli olmas›n› gerektirmez. Otomobilin ivmeli olabilmesi için h›zlanmas› veya yavafllamas› veya yönünü de¤ifltirmesi gerekir. Belli bir zaman aral›¤›ndaki bir cismin ortalama ivmesi, bu cismin birim Tzamandaki
E L E V ‹ Z Y O N h›z de¤iflimidir. Bir do¤ru boyunca ν1 h›z›yla giden bir cismin t zaman sonra h›z› ν2 olursa bu zaman aral›¤›ndaki ortalama ivmesi;
aort =
SIRA S‹ZDE
S O R U
fiekil 2.6
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
2
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
‹vme h›z›n büyüklü¤ündeki
K ‹ T A P
veya yönündeki de¤iflimi
anlatmak için kulland›¤›m›z
bir fiziksel kavramd›r.
TELEV‹ZYON
(2.3)
‹NTERNET
olur. SI birim sisteminde ivmenin birimi (m/s)/s = m/s2’dir.
Bir otomobil durdu¤u yerden harekete geçerek, do¤rusal bir yolda 5 saniyede 40
m/s h›za ulafl›yor. Bu otomobilin 5 saniyelik zaman aral›¤›ndaki ortalama ivmesi
nedir?
Çözüm: 5 saniyelik zaman aral›¤›ndaki ortalama ivme;
aort =
v2 − v1
t
=
40m / s
= 8m / s 2
5s
ÖRNEK
‹vmenin (+) iflaretli olmas›
hareketin artan h›zl› ve bir
do¤ru boyunca harekette her
ikisi de vektörel nicelik olan
h›z ve ivmenin ayn› yönlü
olmas› anlam›na gelir.
olur.
ÖRNEK
Bir otomobil 30 m/s h›zla giderken frene bas›larak 6 saniyede durduruluyor. Bu
otomobilin 6 saniyelik zaman aral›¤›ndaki ortalama ivmesi nedir?
SIRA S‹ZDE
SIRAolmas›
S‹ZDE
‹vmenin (-) iflaretli
ise hareketin azalan h›zl› ve
bir do¤ru boyunca harekette
ivmenin h›za z›t
D Üyönde
fi Ü N E L ‹ M
oldu¤u anlam›na gelir.
Çözüm: 6 saniyelik zaman aral›¤›ndaki ortalama ivme;
aort =
olur.
v2 − v1
t
=
0 − 30m / s
=− 5m / s 2
6s
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
D ‹ K K A(+)
T iflaretli iv‹vme, t›pk› h›z gibi vektörel bir büyüklüktür. Bir do¤ru boyunca harekette
me, h›zla ayn› yönde ve h›zland›r›c› bir ivme iken (-)iflaretli ivme h›zla z›t yönde ve yavafllat›c› bir ivmedir.
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
N N
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
30
N N
K ‹ T A P
‹vmenin sabit olmas›
durumunda daima
TaEort
L E=Va‹ Zolur
Y O Nve ortalama
ivme için yazd›¤›m›z Eflitlik
(2.3) sabit ivme için de
geçerli olur.
3
Düzgün do¤rusal hareket
yapan
D Ü fi Übir
N Ecismin
L ‹ M herhangi
bir Szaman
yer
O R aral›¤›ndaki
U
de¤ifltirmesi, hareket bir
do¤ru üzerinde gerçekleflti¤i
S Odaima
R U al›nan yola
için,
D‹KKAT
eflittir.
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
E¤er h›z, eflit zaman aral›klar›nda eflit miktarlarda art›yor veya azal›yorsa ivme
sabittir. ‹vme sabit oldu¤u zaman belli bir zaman aral›¤›ndaki ortalama ivme (aort),
ELEV‹ZYON
bu zamanTaral›¤›n›n
herhangi bir an›ndaki (a) ivmesine eflit olur.
‹vme konusunda
‹ N T E R Ndaha
E T genifl bilgi sahibi olmak ve interaktif olarak al›flt›rmalar yapmak
için http://www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/Class/1DKin/U1L1e.html ve http://www
.maths.usyd.edu.au/u/MOW/vectors/ sitelerinden yararlanabilirsiniz.
‹NTERNET
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Bir tren do¤uya
SIRAdo¤ru
S‹ZDE 30m/s lik bir h›zla giderken, düzgün h›zlanarak 5s içinde 50m/s lik
bir h›za ulafl›yor. Trenin ivmesi nedir?
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü NDO⁄RUSAL
EL‹M
DÜZGÜN
HAREKET
Bir hareketli
bir do¤ru üzerinde eflit zaman aral›klar›nda eflit miktarlarda yer de¤iflD Ü fi Ü N E L ‹ M
tirme yap›yorsa,
do¤rusal hareket yap›yor demektir. Böyle bir harekette
S O R düzgün
U
h›z sabit kal›r. Bu yüzden bu harekete sabit h›zl› hareket de denir.
S O R U
D‹KKAT
Düzgün do¤rusal
h›z sabit kald›¤› için, herhangi bir andaki h›z (anl›k h›z) ile
D ‹ K K Aharekette
T
S‹ZDE
ortalama h›zSIRA
daima
eflit büyüklü¤e sahiptir (ν = νort ).
N N
N N
fiekil 2.7
AMAÇLARIMIZ
Düzgün Do¤rusal
AMAÇLARIMIZ
Hareket
K ‹ T A P
K ‹ T A P
AMAÇLARIMIZ
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
K ‹ T A P
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
0
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
T E L E Vx‹ 1Z=x
Y O0N
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
x
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
Al›nan yol=x-x0
x2=x
‹ N Tfiekil
E R N E2.7’de
T
Bir cisim
görüldü¤ü gibi t1 = 0 an›nda x1 = x0 noktas›ndan v sabit h›z›yla harekete bafllayarak, t2 = t an›nda x2 = x noktas›na vars›n. Bu durumda
‹NTERNET
cismin h›z›n›;
v = ∆x =
∆t
x2 − x1
t2 − t1
=
x − x0
t −0
(2.4)
olarak yazabiliriz. Buradan cismin herhangi bir t an›ndaki x - x0 yer de¤ifltirmesini;
x - x0 = νt
(2.5)
ve konumunu;
x = x0 + νt
(2.6)
olarak yazabiliriz. fiekil 2.8’de düzgün do¤rusal hareket yapan bir cismin konum zaman (a) ve h›z-zaman (b) grafiklerini görüyorsunuz. Konum-zaman grafi¤inin
e¤imi cismin h›z›n›, h›z-zaman grafi¤in alt›nda kalan alan ise cismin t zaman›nda
yapm›fl oldu¤u yer de¤ifltirmeyi, bir baflka deyiflle ald›¤› yolu verir.
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
2. Ünite - Kinematik
AMAÇLARIMIZ
31
D‹KKAT
fiekil 2.8
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
S O R U
Düzgün Do¤rusal
SIRA S‹ZDE
Harekette KonumZaman ve H›zZaman Grafikleri
N N
K ‹ yol
T A P
Alan=Al›nan
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
http://www.inlets.net/ICT/science/displacement_time/index.php# adresli
‹ N T E Rsitede
N E T ileri-geri
sabit h›zla hareket eden cisimlerin konum-zaman ve h›z-zaman grafiklerini animasyon
olarak izleyebilirsiniz.
‹NTERNET
Do¤rusal bir yolda 72 km/h h›zla giden bir kamyon 15 dakika’da ne kadar yol al›r?
ÖRNEK
Çözüm: Kamyonun 15 dakika’da ald›¤› yol, yani yer de¤ifltirmesi; 15 dakika =
1/4 saat oldu¤undan
15 dakika, 1/4 saat eder.
km 1
h =18km
h 4
olur. SI birimlerini kullanarak flöyle bir çözüm de verebiliriz:
x - x0 = νt = 72
72
km 72.1000m
m
=
= 20 ve (1 / 4)saat = 15dakika = 900s
h
3600s
s
oldu¤undan kamyonun 15 dakika’ da ald›¤› yol;
m
x - x0 = νt = 20
900s = 18000 m
s
18000 metre, 18km eder.
olacakt›r.
S‹ZDEharekete geAralar›nda 100m mesafe bulunan iki otomobil, ayn› yöne do¤ru sabitSIRA
h›zlarla
çiyorlar. Öndeki otomobilin h›z› 20 m/s ve arkadakinin h›z› ise 25 m/s oldu¤una göre, arkadaki otomobil öndekine ne kadar zaman sonra ve ne kadar uzakta yetiflir.
4
D Ü fi Ü N E L ‹ M
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
DÜZGÜN DE⁄‹fiEN DO⁄RUSAL HAREKET
S O R U eflit miktarBir do¤ru boyunca hareket eden bir cimin h›z› eflit zaman aral›klar›nda
lar kadar art›yor veya azal›yorsa bu cismin hareketine düzgün de¤iflen do¤rusal
hareket ad› verilir. Düzgün de¤iflen do¤rusal hareket, bir do¤ruD ‹üzerinde
gerçekKKAT
leflen ve ivmenin sabit oldu¤u harekettir. Çizelge 2.1a’daki cismin h›z› her 1s’de
5m/s artarken Çizelge 2.1b’deki cismin h›z› her 1s’de 5m/s azalmaktad›r. ‹vme, biS‹ZDE
rim zamandaki h›z de¤iflimi oldu¤undan bu hareketlerde ivmeSIRA
sabittir.
Bu hareketler h›zlanan veya yavafllayan olmas› durumuna göre;
• Düzgün h›zlanan do¤rusal hareket veya
AMAÇLARIMIZ
• Düzgün yavafllayan do¤rusal hareket
olarak adland›r›l›r..
S O R U
Düzgün de¤iflen do¤rusal
hareket, bir do¤ru üzerinde
D‹KKAT
gerçekleflen ve ivmenin
sabit oldu¤u harekettir.
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
32
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
a
Çizelge 2.1
Düzgün h›zlanan ve
düzgün yavafllayan
do¤rusal hareket
b
Zaman(s)
H›z(m/s)
Zaman(s)
H›z(m/s)
0
20
0
30
1
25
1
25
2
30
2
20
3
35
3
15
4
40
4
10
fiekil 2.9
Düzgün De¤iflen
Do¤rusal Hareket
t1=0:v1=v0
x
O
x1=x0
x2=x
Bir cisim fiekil 2.9’da görüldü¤ü gibi t1 = 0 an›nda x1= x0 konumundan, ν1 = ν0
h›z›yla +x ekseni yönünde sabit bir a ivmesiyle h›zlanmaya bafllayarak t2 = t an›nda x2 = x konumuna ulaflt›¤›nda ν2 = ν h›z›na sahip olsun. Bu cismin ivmesi;
a=
∆v v2 − v1 v − v0
=
=
=
∆t
t2 − t1
t −0
v − v0
t
(2.7)
oldu¤undan, buradan cismin t2 = t an›ndaki ν h›z›n›;
ν = ν0 + at
Sabit ivmeli hareket yapan
bu cismi t - 0 =t zaman
aral›¤›nda (ν0+ν )/2
ortalama h›z›yla sabit h›zl›
hareket yap›yormufl gibi
düflünebiliriz.
(2.8)
olarak yazar›z. Öte yandan cismin t2 - t1 = t - 0 = t zaman aral›¤›ndaki x - x0 yer
de¤ifltirmesi (ald›¤› yol), (ν0+ν )/2 ortalama h›z›yla geçen t zaman›n›n çarp›m›d›r:
Böylece;
x − x0 =
v0 + v
2
t
(2.9)
yazabiliriz. Burada ν h›z› yerine, az önce buldu¤umuz Eflitlik 2.8’ deki de¤erini yerine koyar ve buradan x konumunu çekersek;
1
x = x0 + v0 t + at 2
2
(2.10)
olarak hareketlinin t an›ndaki konumunu veren eflitli¤i elde ederiz.
Son olarak Eflitlik 2.8 ve 2.10 ‘dan t zaman›n› yok edersek,
v 2 = v02 + 2a( x − x0 )
fleklinde zamans›z h›z eflitli¤ini elde ederiz.
(2.11)
33
2. Ünite - Kinematik
Dikkat ederseniz bu eflitlikleri ilk h›za sahip sabit ivmeli h›zlanan cisimler için
elde ettik. E¤er hareket ilk h›za sahip ve yavafllayan hareket olsayd› (2.9),(2.10) ve
(2.11) eflitliklerinde a yerine (-a) koymam›z gerekirdi. Bu nedenle afla¤›daki iflaret
anlaflmas›na uymak kofluluyla bu eflitlikleri hareket ister h›zlanan ister yavafllayan
olsun, cismin ilk h›z› olsun veya olmas›n her durumda kullanabiliriz.
Hareket do¤rultusu üzerinde fiekil 2.10’da görüldü¤ü gibi pozitif
(+) ve negatif (-) yön seçeriz. Konum, h›z ve ivmeyi formülde say›sal olarak yerine koyarken bunlar›;
• Pozitif yönde iseler (+) iflaretli,
• Negatif yönde iseler (-) iflaretli
olarak yazar›z. Ayr›ca;
• Hareket orijinden bafllam›fl ise do¤al olarak x0 = 0,
• ‹lk h›z yok ise ν0 = 0
olarak almam›z gerekir.
fiekil 2.10
Pozitif ve Negatif
Yön
ÖRNEK
‹lk h›z› 10m/s olan bir otomobil sabit ivmeyle 40 m’lik do¤rusal yolu 2 s’de al›yor.
Yolun sonunda otomobilin h›z› ne olacakt›r? Bu otomobilin ivmesi nedir?
Çözüm: Arac›n yer de¤ifltirmesini veren (2.9) eflitli¤inde verilenleri yerine koyar ve buradan son h›z› çekersek;
x − x0 =
40 =
v0 + v
2
10 + v
2
2
t
ν = 30 m/s
buluruz. Otomobilimizin ivmesini (2.8) , (2.10) veya (2.11) eflitliklerinin herhangi
birinden yararlanarak bulabiliriz. Fakat bunlar›n içinde en kolay› (2.8) eflitli¤inden
yararlanmakt›r: Bu eflitlikten otomobilin ivmesi;
ν = ν0 + at
30 m/s = 10 m/s + a (2s)
a = 10 m/s2
olarak bulunur.
SIRA
S‹ZDE
72km/h h›zla giden bir kamyon, 80m ileride önüne ç›kan bir çocu¤a
çarpmamak
için frene bas›yor. Kamyon 4m/s2’lik sabit ivmeyle yavafllad›¤›na göre çocu¤a çarpacak m›d›r?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
fiekil 2.11’de orijinden harekete bafllam›fl, ilk h›z› olmayan ve pozitif yönde sabit ivmeyle h›zlanan bir cismin ivme-zaman, konum-zaman ve h›z-zaman grafikleS O R U
rini görüyorsunuz.
5
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
34
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
fiekil 2.11
Düzgün H›zlanan
Harekette ‹vmeZaman, KonumZaman ve H›zZaman Grafikleri
H›z-zaman grafi¤i birçok bilgiyi içerir. Do¤rusal olan grafi¤in e¤imi sabit olan
ivmeyi verirken grafikle zaman ekseni aras›nda kalan bölgenin alan› da al›nan yolu verir. fiimdi bunu bir örnek üzerinde ele alarak görelim.
ÖRNEK
fiekil 2.12’de h›z zaman grafi¤i görülen cismin 0 -10 saniye zaman aral›¤›ndaki;
a) ‹vmesini,
b) Ald›¤› yolu bulunuz.
fiekil 2.12
Bir Cismin 0-55
Saniyeler
Aras›ndaki H›zZaman Grafi¤i
Çözüm: a) 0 - 10 saniye zaman aral›¤›ndaki grafi¤in e¤imi ivmeyi verir:
a = tan θ =
∆v
∆t
=
60m/s - 0
10s - 0
= 6m / s 2
b) Grafikle zaman ekseni aras›nda kalan bölgenin alan› da al›nan yolu verir. 010 saniye zaman aral›¤›na karfl› gelen dik üçgen fleklindeki bu bölgenin alan›;
x = Alan =
(60m / s)(10s) = 300m
2
olarak al›nan yolu verir.
ÖRNEK
fiekil 2.13’de orijinden +x ekseni yönünde harekete geçen bir cismin h›z-zaman
grafi¤ini görüyorsunuz. Bu cismin çeflitli zaman aral›klar›ndaki h›z›n›, ivmesini
ve hareketini tan›mlay›n›z.
35
2. Ünite - Kinematik
fiekil 2.13
h›z
0
t4
t1
t2
t5
t3
t6
SIRA S‹ZDE
Bir Cismin H›zZaman Grafi¤i
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
zaman
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
Çözüm:
Zaman aral›¤›
H›z
‹vme
0 → t1
+x yönünde, artan
+x yönünde, sabit
t1 → t2
+x yönünde, sabit
S›f›r
t2 → t3
+x yönünde, azalan
-x yönünde, sabit
t3 → t4
-x yönünde, artan
-x yönünde, sabit
t4 → t5
-x yönünde, sabit
S›f›r
t5 → t6
-x yönünde, azalan
+x yönünde, sabit
N N
Hareketin tan›m›
AMAÇLARIMIZ
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
Düzgün h›zlanan
Sabit h›zl›
K ‹ T A P
K ‹ T A P
Düzgün yavafllayan
Düzgün h›zlanan
T ESabit
L E V ‹h›zl›
ZYON
TELEV‹ZYON
Düzgün yavafllayan
‹ N T Eivmeli
R N E T hareket yahttp://www.walter-fendt.de/ph14e/acceleration.htm adresli sitede sabit
pan bir cismin hareketini, de¤iflik ilk h›z ve ivme de¤erleri için animasyon olarak inceleyebilirsiniz
‹NTERNET
SERBEST DÜfiME VE DÜfiEY ATIfi HAREKET‹
Yeryüzü yak›nlar›nda kendi a¤›rl›¤›n›n d›fl›nda baflka hiçbir kuvvete maruz kalmayan bütün cisimler g yerçekimi ivmesiyle sabit ivmeli hareket yapar. Cismin ilk h›z› yoksa veya var ama düfley do¤rultuda ise cisim flu üç hareketten birisini yapar:
• Serbest düflme hareketi,
• Yukar›dan afla¤›ya düfley at›fl hareketi,
• Afla¤›dan yukar›ya düfley at›fl hareketi.
E¤er cisim düfley olmayan bir ilk h›za sahipse o zaman yapt›¤› hareket bir sonraki kesimde ele alaca¤›m›z e¤ik at›fl hareketi olur. fiekil 2.14’de bu hareket tiplerini görüyorsunuz.
fiekil 2.14
At›fl Tipleri
36
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Yerçekimi ivmesi g ile
gösterilir ve Dünya’n›n farkl›
yerlerinde daima yere do¤ru
yönelmifl olup 9,78m/s2 ile
9,82m/s2 aras›nda de¤iflen
de¤erlere sahiptir. Biz bunu
hesaplamalar›m›zda
yaklafl›k olarak 10m/s2
olarak alaca¤›z.
Yeryüzü yak›nlar›nda bu hareketlerden birini yapan bir cismin h›z› her saniyede 9,8m/s artar veya azal›r. Bu h›z de¤iflimini yaratan, yerçekimi ivmesi ad›n› verdi¤imiz ve de¤eri ortalama 9,8 m/s2 ve yönü daima yere do¤ru olan ivmedir. Biz
bunu hesaplamalar›m›zda yaklafl›k olarak 10 m/s2 olarak alaca¤›z.
Bu üç hareket sabit ivmeli do¤rusal hareket olduklar›ndan daha önce ö¤rendi¤imiz sabit ivmeli hareketin eflitliklerini a ivmesi yerine g yerçekimi ivmesini ve x
yatay konumu yerine y düfley konumunu yazmak suretiyle aynen kullanabiliriz:
ν = ν0 + gt
y − y0 =
v0 + v
2
y = y0 + v0 t +
(2.12)
t
(2.13)
1 2
gt
2
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
(2.14)
ν2 = ν02 + 2 g (y - y0)
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Bu eflitlikleri kullanarak problem çözerken seçti¤imiz y ekseni yönündeki büyüklüklerin de¤erlerini (+) iflaretli, y eksenine z›t yöndeki büyüklüklerin de¤erleS O R U
rini ise (-) iflaretli
olarak eflitlikte yerine koymam›z gerekir.
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
Bu formülleriD kullanarak
problem çözerken seçti¤imiz y ekseni yönündeki büyüklüklerin
‹KKAT
de¤erlerini (+) iflaretli olarak, y eksenine z›t yöndeki büyüklüklerin de¤erlerini ise (-)
iflaretli olarak
formülde yerine koymam›z gerekti¤ini unutmay›n›z.
SIRA S‹ZDE
N N
Galileo Galilei: Bu ünlü
bilim adam› hakk›nda genifl
bilgi sahibi olmak için lütfen
AMAÇLARIMIZ
bu ünitenin sonundaki
okuma parças›n› okuyunuz.
K ‹ T A P
Örne¤in serbest düflme hareketi için cismin b›rak›ld›¤› noktay› koordinat bafllang›c› kabul
edip, düfley afla¤›ya do¤ru olan yönü +y ekseni olarak seçersek ilk
AMAÇLARIMIZ
h›z s›f›r (ν0 = 0) al›nmak kofluluyla 2.13, 2.14 ve 2.15 eflitlikleri aynen kullan›l›r.
‹ T A P
SerbestK Düflme
Hareketi:
fiekil 2.15
Bir
T E Serbest
L E V ‹ Z Y ODüflen
N
Cismin ‹lk 4
Saniyesi
‹NTERNET
(2.15)
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
E¤er cisim yüksekçe bir yerden ilk h›zs›z serbest b›rak›l›rsa yapaca¤› hareket serbest düflme olarak adland›r›lan düzgün de¤iflen (h›zlanan) do¤rusal harekettir.
Serbest düflme hareketi ilk olarak ‹talyan bilim adam›
Galileo Galilei taraf›ndan Pisa kulesinden b›rak›lan
cisimlerin hareketi incelenerek matematiksel olarak
formüle edilmifltir. fiekil 2.15’de yüksekçe bir yerden
serbest b›rak›lan bir cismin 1, 2, 3 ve 4 saniyede ulaflt›¤› h›zlar› ve kat etti¤i mesafeleri görüyorsunuz.
2. Ünite - Kinematik
Bir tafl 45m yükseklikteki bir binan›n çat›s›ndan serbest b›rak›l›yor. Bu tafl ne kadar zaman sonra hangi h›zla yere çarpar? (g=10 m/s2).
Çözüm: Hareket do¤rultusunu düfley ve afla¤›ya do¤ru yönelmifl y ekseni olarak seçelim. Koordinat bafllang›c› çat›da olsun. Eflitlik (2.14)’de bilinenleri yerine
koyarsak;
y = y0 + v0 t +
1 2
gt
2
1
+45 = 0 + 0.t + (+10)t 2 ⇒
2
37
ÖRNEK
Tafl›n ilk h›z› s›f›rd›r
(ν0 = 0). y ve g; afla¤›ya
do¤ru yani +y ekseni
yönünde olduklar›ndan
y = +45m ve
g = +10m/s2 olarak
al›nm›flt›r.
t=3s
olarak tafl›n yere düflme süresi bulunur. Tafl yere 3 s’de düfltü¤üne göre Eflitlik
(2.12)’yi kullanarak h›z›;
ν = ν0 + gt
ν = 0 + (+ 10 m/s2) . 3 s = 30 m/s
olarak buluruz.
Yukar›dan Afla¤›ya Düfley At›fl Hareketi
E¤er cisim yüksekçe bir yerden bir ilk h›zla düfley olarak afla¤›ya do¤ru f›rlat›l›rsa
yapaca¤› hareket “yukar›dan afla¤›ya do¤ru düfley at›fl” olarak adland›r›lan düzgün de¤iflen (h›zlanan) do¤rusal harekettir. Bu hareket için de koordinat bafllang›c› cismin at›ld›¤› nokta al›n›p düfley afla¤› yön +y ekseni olarak seçilirse 2.13, 2.14
ve 2.15 eflitlikleri aynen kullan›l›r.
Bir tafl 30m yükseklikteki bir binan›n çat›s›ndan düfley olarak afla¤›ya do¤ru 5
m/s h›zla f›rlat›l›yor. Bu tafl hangi h›zla ve ne kadar zaman sonra yere çarpar?
(g =10 m/s2).
Çözüm: Hareket do¤rultusunu fiekil 2.15’deki gibi düfley ve afla¤› yönü +y ekseni olarak seçelim. Koordinat bafllang›c› çat›da olsun. Eflitlik (2.15)’de bilinenleri
yerine koyarsak tafl›n yere çarpt›¤› andaki h›z›;
ν2 = ν02 + 2g (y -y 0)
ν2 = (+5 m/s2) + 2(+10 m/s2 ) (+30m - 0) = 25 + 600 = 625 (m/s)2
ν = 25 m/s
olarak buluruz. Tafl›n yere çarpma h›z› 25m/s ve ilk h›z› 5m/s oldu¤una göre Eflitlik (2.12)’yi kullanarak tafl›n yere ne kadar zamanda çarpaca¤›n›;
+25m/s= + 5 m/s + (+ 10 m/s2) t
t = 2s
olarak buluruz.
ÖRNEK
38
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
SIRA S‹ZDE
Afla¤›dan
Yukar›ya Düfley At›fl Hareketi
SIRA S‹ZDE
Afla¤›dan yukar›ya düfley
at›fl hareketi yapan cisim,
tepe noktas›na ulaflt›ktan
sonra
D Ü fi Üserbest
N E L ‹ Mdüflme
hareketi yapar.
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
ÖRNEK
AMAÇLARIMIZ
E¤er cisim herhangi bir yerden bir ilk h›zla düfley olarak yukar›ya do¤ru f›rlat›l›rsa
yapaca¤› hareket “afla¤›dan yukar›ya do¤ru düfley at›fl” olarak adland›r›lan düzgün de¤iflen
D Ü fido¤rusal
Ü N E L ‹ M harekettir. Bu hareketi yapan cisim önce düzgün yavafllayan
hareket yaparak tepe noktas›na ulafl›r, sonra serbest düflme hareketi yapmaya bafllar. Bu hareket
için de yer koordinat bafllang›c› al›n›p düfley yukar› yön +y ekseS O R U
ni seçilirse 2.12, 2.14 ve 2.15 eflitliklerinde g yerine -10m/s2 almak gerekir.
D ‹ K K A Tdüfley at›fl hareketinde yerin koordinat bafllang›c› olarak seçildi¤ini,
Afla¤›dan yukar›ya
düfley yukar› yönün +y.ekseni olarak al›nd›¤›n› ve bu kabullerle 2.12, 2.14 ve 2.15 eflitliklerinde g yerine
-10m/s2 almak gerekti¤ini unutmay›n›z.
SIRA S‹ZDE
N N
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
Bir tafl yerden fiekil 2.16’daki gibi 30 m yükseklikteki bir binan›n çat›s›ndan düfley
AMAÇLARIMIZ
olarak yukar›ya
do¤ru 20 m/s h›zla f›rlat›l›yor. Bu tafl›n;
a) 1 saniye sonraki h›z›n› ve yerden yüksekli¤ini,
K ‹ T A P
b) En yüksek noktaya ne kadar zamanda ç›kt›¤›n›,
c) En yüksek noktan›n yerden yüksekli¤ini,
d) 3 saniye sonraki h›z›n› ve yerden yüksekli¤ini,
TELEV‹ZYON
e) Yere
hangi h›zla çarpaca¤›n› bulunuz. (g =10 m/s2).
fiekil 2.16
‹ NAfla¤›dan
T E R N E T Yukar›ya
Düfley At›fl Örne¤i
‹çin
‹NTERNET
Çözüm: Hareket do¤rultusunu fiekil 2.16’daki gibi düfley ve yukar›ya do¤ru yönelmifl y ekseni olarak seçelim. Koordinat bafllang›c› yerde olsun.
a) Eflitlik (2.12)’den tafl›n 1 saniye sonraki h›z›;
H›z›n (+) iflaretli olmas›,
h›z›n y ekseniyle ayn› yönde
yani yukar›ya do¤ru olmas›
anlam›na gelir.
ν = ν0 + gt
ν = +20 m/s + (-10 m/s2) . (1s) = +20m/s - 10m/s
= +10m/s
ve yerden yüksekli¤i Eflitlik 2.14’den;
39
2. Ünite - Kinematik
y = y0 + v0 t +
1 2
gt
2
1
y = 30m + (20m / s) (1s) + (-10) (1s)2 = 30m + 20m + (-5m)
2
= 45m
olarak bulunur.
b) Tafl yukar›ya do¤ru f›rlat›l›nca yavafllayarak yükselir. En yüksek noktaya
ulaflt›¤›nda bir an için durur ve h›z› s›f›r olur. Sonra bu noktadan serbest düflme yaparak h›zlanarak yere düfler. Eflitlik (2.12)’de son h›z yerine s›f›r koyarak tafl›n en
yüksek noktaya ç›kma süresini;
ν = ν0 + gt
0 = +20m / s + (-10m / s 2 ) t ⇒ t = 2s
ν0
‹lk h›z› y ekseniyle ayn›
yönlü oldu¤u için (+)
iflaretli, g yerçekim ivmesi y
ekseniyle z›t yönde oldu¤u
için (-) iflaretli olarak al›nd›.
olarak buluruz.
c) Tafl›n ç›kt›¤› en yüksek noktan›n yerden yüksekli¤ini Eflitlik 2.14’den;
y = y0 + v0 t +
1 2
gt
2
1
y = 30m + (20m / s) (2s) + (-10) (2s) 2 = 30m + 40m + (-20m) = 50m
2
olarak buluruz.
d) Tafl›n 3 s sonraki h›z› ise;
H›z›n (-) iflaretli olmas›,
h›z›n y ekseniyle z›t yönde
yani afla¤›ya do¤ru olmas›
anlam›na gelir.
ν = ν0 + gt
ν = + 20m/s + (-10m/s2) . (3s) = +20m/s - 30m/s
= - 10m/s
ve yerden yüksekli¤i yine Eflitlik 2.14’den;
y = y0 + v0t +
1 2
gt
2
1
y = 30m + (20m / s) (3s ) + (-10) (3s ) 2 = 30m + 60m + (-45m) = 45m
2
olarak bulunur.
e) Tafl›n yere çarpma h›z› Eflitlik 2.15’den;
ν2 = ν02 + 2g (y -y 0)
ν2 = (20)2 + 2(-10) (0-30) = 400 + 600 = 1000
v = 10
10m / s
olarak bulunur.
SIRA f›rlat›l›yor.
S‹ZDE
Bir cisim yerden 10m yüksekten 5m/s h›zla düfley olarak yukar›ya do¤ru
Bu cisim ne kadar zaman sonra at›ld›¤› düzeyden ters yönde (afla¤›ya do¤ru) geçer. (g =10m/s2).
6
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
40
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
E⁄‹K ATIfi HAREKET‹
E¤ik at›fl hareketinin yatay
bilefleni; sabit h›zl› hareket,
düfley bilefleni ise sabit
ivmeli harekettir.
Bir cismin yatayla belirli bir aç› yapacak flekilde f›rlat›lmas›yla oluflan harekete e¤ik
at›fl hareketi denir. E¤ik at›fl hareketinin biri yatay, di¤eri düfley olmak üzere iki bilefleni vard›r. Hareketin yatay bilefleni, bu do¤rultuda ivme olmad›¤› için sabit h›zl› harekettir. Bu bileflen için daha önce ö¤rendi¤imiz sabit h›zl› hareketin formülleri geçerlidir. Hareketin düfley bilefleni ise afla¤›dan yukar›ya düfley at›fl hareketidir. Bu bileflen için de yine daha önce ö¤renmifl oldu¤umuz afla¤›dan yukar›ya düfley at›fl hareketinin formülleri geçerlidir.
fiekil 2.17
E¤ik at›fl hareketi
fiekil 2.17’de yatayla α aç›s› yapacak flekilde ν0 h›z›yla f›rlat›lan bir cismin izledi¤i yörüngeyi, çeflitli zamanlardaki h›z bileflenlerini, ç›kabildi¤i en büyük yüksekli¤i ve at›ld›¤› yerden ne kadar uzakta yere düfltü¤ünü yani menzilini görüyorsunuz. fiimdi bu hareketi yatay ve düfley bileflenleri itibariyle inceleyelim.
Hareketin yatay bilefleninin sabit h›zl› hareket oldu¤unu söylemifltik. Yani hareket boyunca yatay h›z sabit kal›r. H›z için;
νx = ν0x= ν0 cos α = Sabit
νo ilk h›z›n›n yatay bilefleni
hareket boyunca sabittir:
νx = ν0x
(2.16)
ve konum için;
x = νx t = ν0 t cos α
(2.17)
eflitliklerini yazabiliriz.
Hareketin düfley bileflenine gelince; bu afla¤›dan yukar›ya düfley at›fl hareketidir. O halde bu bileflen için daha önce ö¤rendi¤imiz afla¤›dan yukar›ya düfley at›fl
hareketinin formülleri geçerlidir. H›z için;
νy = ν0y - gt
(2.18)
= ν0 sin α - gt
ve konum için;
1
y = y0 + v0 y t − gt 2
2
1
= y0 + v0 t sin α − gt 2
2
eflitliklerini yazabiliriz.
(2.19)
2. Ünite - Kinematik
Yerde duran bir futbol topu futbolcunun aya¤›ndan fiekil 2.17’de görüldü¤ü gibi
yatayla 37°’lik aç› yapacak flekilde 50m/s h›zla ç›k›yor. Hava direncini ihmal ederek bu topun;
a) En yüksek noktaya ç›k›fl zaman›n›,
b) Ç›kt›¤› en yüksek noktan›n yerden yüksekli¤ini,
c) Yere düflünceye kadar geçen zaman› (uçufl süresi),
d) At›ld›¤› yerden yatay olarak ne kadar uzakta (menzil) yere düflece¤ini
e) Yere çarpt›¤› anda h›z›n›n yatay ve düfley bileflenlerini bulunuz. (sin37°=0,6;
cos37°=0,8; g =10m/s2).
Çözüm:
a) En yüksek noktada düfley h›z s›f›r oldu¤undan Eflitlik 2.18’de bunun yerine
s›f›r koyarak geçen zaman› buluruz:
νy = ν0 sin α - g t
0 = (50 m/s) (0,6) - (10 m/s2) t ⇒
t=3s
b) En yüksek noktaya ç›kma süresi olan 3 s’yi Eflitlik 2.19’da yerine koyarak en
yüksek noktan›n yerden yüksekli¤ini buluruz:
1
y = y0 + v0 t sin α − gt 2
2
1
H = 0 + (50m / s)(3s ) (0,6) - (10m / s 2 ) (3s) 2 = 90m - 45m = 45m
2
c) Topun yere düfltü¤ü yerde y=0 oldu¤undan eflitlik 2.19’da y yerine s›f›r koyarak uçufl süresini buluruz:
1
y = y0 + v0 t sin α − gt 2
2
1
0 = 0 + (50m / s) (0,6)t - (10m / s 2 ) t 2 = 30t - 5t 2 ⇒
2
t : t=0
t = 6s
{
Bu çözümlerden t = 0 topun hareket bafllang›c›nda y = 0’da (yerde) oldu¤u zaman›, t = 6 s ise topun yere düfltü¤ü zaman› gösterir.
d) Topun uçufl süresi olan 6 s’yi Eflitlik 2.17’de yerine koyarak x’ in en büyük
de¤erini yani menzili buluruz:
x = R = νxt = ν0x.t = ν0 t cos α
= (50m/s ) (6s) (0,8)
=240m.
41
ÖRNEK
42
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
e) Top yere düfltü¤ü zaman h›z›n yatay ve düfley bileflenleri;
νx = ν0x = ν0cos α
= (50m/s ) (0,8) = 40m/s
H›z›n (-) iflaretli olmas›n›n
nedeni, h›z›n y eksenine z›t
yönde yani afla¤›ya do¤ru
yönelmifl olmas›d›r.
(Yatay h›z)
νy = ν0y - g t
= (50m/s) (0,6) - (10m/s2) (6s) = -30m/s (Düfley h›z)
olur.
SIRA S‹ZDE
7
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E noktaya
L‹M
a) En yüksek
ç›k›fl zaman›n›,
b) Ç›kt›¤› en yüksek noktan›n at›ld›¤› yerden yüksekli¤ini bulunuz. (sin53°=0,8;
cos53°
S O= R0,6;
U g = 10m/s2).
S O R U
BA⁄IL HAREKET
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
Bir top mermisi
SIRA yatayla
S‹ZDE 53° ’lik aç› yapacak flekilde 400m/s h›zla f›rlat›l›yor. Hava direncini ihmal ederek bu merminin;
Bir cisim bir gözlemciye göre zamanla yer de¤ifltiriyorsa bu cisim hareket ediyor
demektir. Bir gözlemciye göre hareketli olan cisim, baflka bir gözlemciye göre haSIRA S‹ZDE
reketsiz olabilir
veya ilk gözlemcinin gördü¤ünden farkl› bir hareket halindeymifl
gibi görülebilir. Örne¤in hareket halindeki bir trende yan yana oturan iki yolcudan
biri di¤erine
göre hareketsizdir. Ama bu yolcular›n her ikisi de peronda bekleyen
AMAÇLARIMIZ
bir kifli için hareketlidir.
Farkl› h›zlarla hareket eden iki gözlemci bir cismin hareketini gözlerse ikisi de
farkl› sonuca
K ‹ ulafl›r.
T A P Örne¤in Kuzeye do¤ru uçan bir uça¤›n hareketi, bat›ya do¤ru
ve güneye do¤ru uçan iki uçaktaki gözlemcilere göre farkl›d›r. Yani bir cismin hareketi, farkl› h›zlara sahip gözlemciler taraf›ndan farkl› alg›lan›r. Bir cismin hareketli bir referans
bir gözlemciye göre hareketine ba¤›l hareket ve bu
T E L E Vsistemindeki
‹ZYON
gözlemciye göre sahip oldu¤u h›za da ba¤›l h›z ad› verilir.
N N
Bir gözlem çerçevesine göre
hareket
K ‹ T halinde
A P olan iki
cisimden birinin di¤erine
göre hareketine ba¤›l
hareket denir.
TELEV‹ZYON
fiekil 2.18
‹ NHareketli
T E R N E T A ve B
Cisimlerinin
Birbirlerine Göre
Ba¤›l H›zlar›
‹NTERNET
43
2. Ünite - Kinematik
fiekil 2.18’de görülen, duran bir gözlem çerçevesine göre hareketli olan A cisminin h›z› vA ve B cisminin h›z› vB olsun. A ’ya göre B ’ nin h›z› (ba¤›l h›z);
vAB = vA - vB
(A ’ ya göre B ’ nin h›z›)
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
ve B ’ye göre A ’nin h›z› ise;
vBA = vB - vA
(B ’ ye göre A ’ nin h›z›)
olur. Burada dikkat edilmesi gereken husus, h›z vektörel bir büyüklük oldu¤unS O R U
dan fark iflleminin vektör hesab› kurallar›na göre yap›lmas› gerekti¤idir.
S O R U
Burada kural fludur: Hareketli cisimlerin h›z vektörlerini, bafllang›çDnoktalar›
çak›flacak
‹KKAT
flekilde kayd›r›n. E¤er A ’ ya göre B ’ nin h›z›n› çizmek istiyorsan›z, A ’ n›n ucundan B ’
nin ucuna giden vektörü çizin. Yok e¤er B ’ ye göre A ’ n›n h›z›n› çizmek istiyorsan›z, B
SIRA S‹ZDE
’nin ucundan A ’n›n ucuna giden vektörü çizin.
Dikkat edilirse; fiekil 2.18’ den
AMAÇLARIMIZ
vAB = - vBA
D‹KKAT
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
oldu¤u görülür.
Hareketli cisimler ayn› do¤rultuda hareket ediyorsa, iki farkl› durum söz konusudur:
T E L E V ‹ Zbüyüklü¤ü,
YON
• Ayn› yönde giden araçlar›n birbirlerine göre ba¤›l h›zlar›n›n
iki
arac›n h›zlar›n›n fark›na eflittir. Yönü ise araçlar›n ortak hareket yönüdür.
• Z›t yönde giden araçlar›n birbirlerine göre ba¤›l h›zlar›n›n büyüklü¤ü, h›zlar›n›n toplam›na eflittir. Yönü ise gözlemcinin bulundu¤u‹ Naraca
T E R N Edo¤rudur.
T
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
ÖRNEK
Do¤uya do¤ru 20 m/s’lik h›zla giden bir otomobil ile 8 m/s’lik h›zla bat›ya giden bir
kamyon yolda karfl›lafl›yorlar. Otomobile göre kamyonun ba¤›l h›z› nedir?
Çözüm: H›z vektörel bir büyüklük oldu¤undan hem büyüklü¤ünün hem de
yönünün bulunmas› gerekir. Araçlar›n hareket yönleri z›t oldu¤undan ba¤›l h›z›n
büyüklü¤ü araçlar›n h›zlar› toplam› kadard›r.
ν0K = ν0 + νK = 20m/s +8m/s = 28m/s.
Otomobile göre kamyonun ba¤›l h›z›n›n yönü ise otomobile do¤rudur.
Kuzeye do¤ru 500 km/h’lik h›zla uçan bir yolcu uça¤›n›n yan›ndanSIRA
ayn›S‹ZDE
yöne do¤ru 800
km/h’lik h›zla bir jet uça¤› geçiyor. Yolcu uça¤›na göre jet uça¤›n›n ba¤›l h›z› nedir?
8
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
44
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Özet
N
A M A Ç
1
N
A M A Ç
2
Kinemati¤in temel kavramlar›n› tan›mak.
Kinemati¤in temel kavramlar› flunlard›r:
Al›nan Yol: Bir hareketlinin belirli bir zaman
aral›¤›nda kat etti¤i mesafedir ve SI birim sisteminde metre (m) ile ölçülür.
Yer de¤ifltirme: Bir cismin ilk bulundu¤u yeri
son bulundu¤u yere birlefltiren vektördür. SI birim sisteminde yer de¤ifltirmenin büyüklü¤ü de
metre (m) ile ölçülür.
Sürat: Birim zamandaki kat edilen mesafe olarak tan›mlan›r. Skaler bir büyüklük olan sürat SI
birim sisteminde t›pk› h›z gibi (m/s) ile ölçülür.
H›z: Birim zamandaki yer de¤ifltirme olarak tan›mlanan vektörel bir büyüklüktür. SI birim sisteminde h›z metre/saniye (m/s) ile ölçülür.
‹vme: Birim zamandaki h›z de¤iflimi olarak tan›mlanan ivme SI birim sisteminde m/s2 ile ölçülen vektörel bir büyüklüktür.
Düzgün do¤rusal hareketi aç›klamak.
Bir cismin bir do¤ru üzerinde eflit zaman aral›klar›nda eflit miktarlar kadar yer de¤ifltirmesi fleklinde yap›lan harekete düzgün do¤rusal hareket
ad› verilir. Böyle bir harekette h›z sabit kal›r. Bu
yüzden bu harekete sabit h›zl› hareket de denilir. Düzgün do¤rusal hareket yapan bir cismin
herhangi bir zaman aral›¤›ndaki yer de¤ifltirmesi,
hareket bir do¤ru üzerinde gerçekleflti¤i için, daima al›nan yola eflittir.
Sabit bir ν h›z›yla düzgün do¤rusal hareket yapan bir cismin herhangi bir t zaman aral›¤›ndaki x - x0 yer de¤ifltirmesi;
x - x0 = νt
ve konumu;
x = x0 + νt
olarak yaz›l›r.
N
A M A Ç
3
Düzgün de¤iflen do¤rusal hareketi aç›klamak.
Bir do¤ru boyunca hareket eden bir cimin h›z›
eflit zaman aral›klar›nda eflit miktarlar kadar art›yor veya azal›yorsa bu cismin hareketine düzgün de¤iflen do¤rusal hareket ad› verilir. Düzgün de¤iflen do¤rusal hareket, bir do¤ru üzerinde gerçekleflen ivmenin sabit oldu¤u harekettir.
Bu hareket h›zlanan veya yavafllayan olmas› durumuna göre;
• Düzgün h›zlanan do¤rusal hareket veya
• Düzgün yavafllayan do¤rusal hareket
ad›n› al›r. Bu harekette ilk h›z› ν0 olan ve x0 ko
numundan harekete geçen bir cismin;
• t an›ndaki ν h›z›: ν = ν0 + at
1 2
• Bulundu¤u konum: x = x0 + v0 t + at
2
• Zamans›z h›z formülü: ν2 = ν02 + 2a (x - x0)
olarak verilir.
N
A M A Ç
4
Serbest düflme ve düfley at›fl hareketlerini ay›rt etmek.
Yeryüzü yak›nlar›nda kendi a¤›rl›¤›n›n d›fl›nda
baflka hiçbir kuvvete maruz kalmayan bütün cisimler, de¤eri 9,8 m/s2 olan yerçekimi ivmesiyle
sabit ivmeli hareket yapar.
• E¤er cisim yüksekçe bir yerden ilk h›zs›z serbest b›rak›l›rsa yapaca¤› hareket serbest düflme olarak adland›r›lan düzgün de¤iflen do¤rusal harekettir.
• E¤er cisim yüksekçe bir yerden bir ilk h›zla
düfley olarak afla¤›ya do¤ru f›rlat›l›rsa yapaca¤› hareket yukar›dan afla¤›ya do¤ru düfley at›fl
olarak adland›r›lan düzgün de¤iflen do¤rusal
harekettir.
• E¤er cisim herhangi bir yerden bir ilk h›zla
düfley olarak yukar›ya do¤ru f›rlat›l›rsa yapaca¤› hareket afla¤›dan yukar›ya do¤ru düfley
at›fl olarak adland›r›lan düzgün de¤iflen do¤rusal harekettir.
2. Ünite - Kinematik
Bu üç hareket sabit ivmeli do¤rusal hareket olduklar›ndan düzgün de¤iflen do¤rusal hareket
eflitliklerini a ivmesi yerine g yerçekimi ivmesini
ve x yatay konumu yerine y düfley konumunu
yazmak suretiyle afla¤›daki gibi aynen kullan›r›z.
Yaln›z bu eflitlikleri kullanarak problem çözerken seçti¤imiz y ekseni yönündeki büyüklüklerin de¤erlerini (+) iflaretli, y eksenine z›t yöndeki büyüklüklerin de¤erlerini ise (-) iflaretli olarak
eflitlikte yerine koymam›z gerekir.
ν= ν0 + gt
y − y0 =
v0 + v
2
t
1
y = y0 + v0 t + gt 2
2
N
A M A Ç
5
ν2 = ν02 + 2g (y - y0)
E¤ik at›fl hareketinin eflitliklerini yazmak.
Bir cismin yatayla belirli bir aç› yapacak flekilde f›rlat›lmas›yla oluflan harekete e¤ik at›fl hareketi denir. E¤ik at›fl hareketinin biri yatay, di¤eri düfley olmak üzere iki bilefleni vard›r. Hareketin yatay bilefleni sabit h›zl› hareket, düfley
bilefleni ise sabit ivmeli harekettir. Bu hareketin eflitlikleri;
νx = ν0x = ν0 cos α = Sabit
x = νx t = ν0 t cos α
νy = ν0 sin α - gt
1
y = y0 + v0 t sin α − gt 2
2
fleklindedir.
N
A M A Ç
6
45
Ba¤›l hareketi ifade etmek
Farkl› h›zlarla hareket eden iki gözlemci, bir cismin hareketini gözlerse ikisi de farkl› sonuca ulafl›r. Örne¤in Kuzeye do¤ru uçan bir uça¤›n hareketi, bat›ya do¤ru ve güneye do¤ru uçan iki uçaktaki gözlemcilere göre farkl›d›r. Yani bir cismin
hareketi, farkl› h›zlara sahip gözlemciler taraf›ndan farkl› alg›lan›r. Bir cismin hareketli bir referans sistemindeki bir gözlemciye göre hareketine ba¤›l hareket ve bu gözlemciye göre sahip oldu¤u h›za da ba¤›l h›z ad› verilir.
46
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Kendimizi S›nayal›m
1. Bir çocuk fiekil 2.19’da görüldü¤ü gibi O noktas›ndan bafllayarak önce 80 m do¤uya, sonra 30 m bat›ya
yürümüfltür. Bu yürüyüflün sonunda çocu¤un ald›¤› yol
ve yer de¤ifltirmesi afla¤›dakilerden hangisinde do¤ru
olarak verilmifltir?
fiekil 2.19
a.
b.
c.
d.
e.
50 m, 50 m do¤uya do¤ru
50 m, 50 m bat›ya do¤ru
110 m, 110 m bat›ya do¤ru
110 m, 50 m do¤uya do¤ru
110 m, 50 m bat›ya do¤ru
2. 25m/s’lik h›zla giden bir otomobilin h›z› kaç km/h’tir?
a. 108
b. 105
c. 90
d. 75
e. 72
4. fiekil 2.12’de görülen h›z-zaman grafi¤i, t= 0 an›nda
orijinden kalkarak +x ekseni yönünde harekete geçen
bir cisme aittir. Bu cisim 55 s an›nda x ekseni üzerinde
nerede bulunur?
a. 550 m
b. 1050 m
c. 1250 m
d. 1500 m
e. 1550 m
5. 10m/s h›zla yükselmekte olan bir balondan bir cisim
b›rak›l›yor. Cisim b›rak›ld›¤› anda balon yerden 50m
yüksekte ise cismin ç›kabilece¤i en yüksek noktan›n
yerden yüksekli¤i afla¤›dakilerden hangisidir?
(g =10m/s2).
a. 51,25 m
b. 52,25 m
c. 52,25 m
d. 51,5 m
e. 55 m
6. fiekil 2.21’de görülen h›z-zaman grafi¤i, t = 0 an›nda orijinden kalkarak +x ekseni yönünde harekete geçen bir cisme aittir. Bu cismin III. bölgedeki ivmesinin
büyüklü¤ü ve yönü nedir?
fiekil 2.21
3. fiekil 2.20’de bir otomobilin h›z-zaman grafi¤i verilmifltir. Bu otomobilin 40 s’de ald›¤› yol kaç metredir?
fiekil 2.20
a.
b.
c.
d.
e.
800
600
500
400
300
a.
b.
c.
d.
e.
1,5 m/s2, +x yönünde
1,5 m/s2, -x yönünde
5 m/s2, -x yönünde
15 m/s2, -x yönünde
15 m/s2, +x yönünde
2. Ünite - Kinematik
“
7. Bir tafl yerden fiekil 2.16’daki gibi 30m yükseklikteki bir binan›n çat›s›ndan düfley olarak yukar›ya do¤ru
40m/s h›zla f›rlat›l›yor. Bu cismin ç›kabilece¤i en yüksek noktan›n yerden yüksekli¤i afla¤›dakilerden hangisidir? (g = 10 m/s2)
a. 105 m
b. 110 m
c. 140 m
d. 120 m
e. 160 m
8. Yerden 105m yükseklikte bulunan ve 10m/s h›zla alçalmakta olan bir balondan bir cisim balona göre 30m/s
h›zla yukar›ya do¤ru f›rlat›l›yor. Bu cismin 5 saniye
sonra yerden yüksekli¤i ve h›z›n›n büyüklü¤ü nedir?
(g=10m/s2).
a. 50 m ve 30 m/s
b. 80 m ve 50 m/s
c. 50 m ve 50 m/s
d. 80 m ve 40 m/s
e. 80 m ve 30 m/s
9. Bir cisim yatay düzlemden, yatayla 37°’lik aç› yapacak flekilde 50m/s h›zla f›rlat›l›yor. Bu tafl›n havada kalma süresi ve yere çarpt›¤› andaki düfley h›z›n›n büyüklü¤ü afla¤›dakilerden hangisidir?
(sin37°=0,6; cos37°=0,8; g=10m/s2).
a. 3s ve 30 m/s
b. 3s ve 60 m/s
c. 6s ve 30 m/s
d. 6s ve 90 m/s
e. 6s ve 60 m/s
10. H›z› 60km/h olan bir trenle h›z› 110km/h olan bir
otomobil kuzey yönünde gidiyorlar. Trene göre otomobilin ba¤›l h›z›n›n büyüklü¤ü ve yönü afla¤›dakilerden
hangisidir?
a. 50 km/h, kuzeye
b. 50 km/h, güneye
c. 60 km/h, kuzeye
d. 170 km/h, kuzeye
e. 170 km/h, güneye
47
Yaflam›n ‹çinden
H›z
H›z, fizikteki bilimsel tan›m› bir yana, genel olarak bir
iflin, bir eylemin gerçeklefltirilmesindeki çabuklu¤u ifade eden bir sözcüktür. Bazen fazlas› hayat›m›z› kolaylaflt›r›r, bazen fazlas› hayat›m›z› tehlikeye atar. Örne¤in
yolcu uçaklar›n›n h›z›n›n yolcu otobüslerininkinin on
kat› civar›nda olmas› yolculuklar›m›z› k›salt›r, bize zaman kazand›r›r. Art›k günlük yaflant›m›z›n vazgeçilmez
bir parças› olan bilgisayarlar›n ifllem yapma h›z›n›n her
geçen gün artmas› en karmafl›k hesaplar›n çok k›sa zamanda yap›lmas›n› sa¤lar. Ama h›z›n fazlas›n›n bizler
için hiç de iyi olmad›¤› durumlar da vard›r. O akflamki
TV haberlerinde o gün meydana gelen trafik kazas›n›n
korkunç görüntüleri yer almaktayd›. Kaza için gösterilen sebep ço¤u zaman oldu¤u gibi afl›r› h›z idi. ‹çerisinde 40 yolcunun bulundu¤u otobüs afl›r› h›z yüzünden
kontrolden ç›km›fl ve flarampole yuvarlanarak birçok
kiflinin hayat›n› kaybetmesine ve yaralanmas›na neden
olmufltu. Ne yaz›k ki bu tür haberler her gün karfl›m›za
ç›kmaktad›r.
Karayollar›nda h›z s›n›rlar› gelifligüzel konulmufl de¤ildir. Örne¤in saatte 72 km h›zla giden bir araç saniyede
20 metre, saatte 105 km h›zla giden araç ise saniyede 30
metre yol al›r. Göz aç›p kapay›ncaya kadar saatte 105
km h›zla giden araç 30 metre gitmifltir bile. Araçlar›n
durma zaman› ve durma mesafesi de arac›n h›z›yla yak›ndan ilgilidir. Örne¤in saatte 72 km h›zla giden bir
araç 5 saniye sonra 50 metre hareketten sonra durabilir. Saatte 144 km h›zla giden araç ise 10 saniyede yaklafl›k 200 metre yol ald›ktan sonra durabilir. Görüldü¤ü
gibi h›z iki kat›na ç›k›nca durma mesafesi dört kat›na
ç›kmaktad›r. Afl›r› h›zdan kaynaklanan hepimizi üzecek
kazalar›n en aza inmesi için sürücülere bu ve benzeri
bilgilerin mutlaka çok iyi ö¤retilmesi, sürücülerinde h›z
s›n›rlar›na uymas› gerekir.
”
48
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Okuma Parças›
Galileo Galilei
http://tr.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei
Galileo Galilei, (15641642). Modern fizi¤in ve
teleskopik astronominin
kurucular›ndan olan ‹talyan bilim adam›.
1564’te ‹talya’n›n Pisa
flehrinde do¤du. Döneminin tan›nm›fl müzikçilerinden
Vincenzo Galilei’nin o¤lu olan Galileo, ilk tahsilini Floransa’da yapt›. 1581’de Pisa Üniversitesi’nde t›p tahsiline bafllad›. Ancak paras›zl›ktan okulu terk etti. 1583’ten
itibaren matemati¤e ilgi duyan Galileo, bu konudaki
çal›flmalar› sayesinde, 1589’da Pisa’ da profesörlük elde
etti.
Sarkac›n, yüzen cisimlerin ve hareketin Aristo fizi¤inden farkl› bir düflünceyle matematiksel olarak ele al›nmas› gerekti¤ine inanan Galileo, Pisa Kulesi’nden a¤›rl›k düflürerek Aristo’nun yanl›fll›¤›n› aç›kça gösterdi. Bu
davran›fl› yafll› profesörlerle anlaflmazl›¤a düflmesine
sebep oldu. 1592’de Pisa’ y› terk ederek, Padova Üniversitesinde bir bölüm olan matematik kürsüsüne geldi.
1597’de pratikte çok faydas› olan pusulay› ticari olarak
piyasaya arz etti. 1600 senesinden hemen sonra ilkel
bir termometre, insan kalp at›fl›n›n ölçümünde kullan›lmak üzere bir sarkaç ve 1604’te serbest düflüflün matematik kanunlar›n› keflfetti. Ancak düzgün ivmeli hareket kavram› hatal›yd›. 1609’da Hollanda’da teleskopun
bulundu¤unu iflitti. Kendisi daha ileri bir alet yaparak
bu el yap›m› teleskopunu ilk kez 1609’da gökyüzüne
çeviren Galilei, Ocak 1610’da bu teleskopla, Jüpiter’in
kendi ad›yla ‘’Galilei uydular›’’ olarak bilinen 4 büyük
uydusunu keflfetti. Bu keflifle katolik kilisesince de desteklenen evrenin merkezinde ‘’Yer’’in bulundu¤u ve
tüm gökcisimlerinin onun etraf›nda döndü¤ü anlay›fl›
y›k›lm›fl oldu. Ay’›n yüzeyini ayr›nt›l› olarak teleskopuyla gözleyen Galilei, Ay’›n yüzeyinin mükemmel bir
küre olmad›¤›n›, göktafl› çarpmalar› sonucu oluflan kraterlerden dolay› girintili-ç›k›nt›l› oldu¤unu gördü. Teleskopuyla Satürn’ü, Samanyolu’nu da gözleyen Galilei, Samanyolu’nun o tarihlerde zannedildi¤i gibi bulutsu
de¤il, milyonlarca y›ld›zdan oluflan bir kuflak oldu¤unu
gördü. Ç›plak gözle görülemeyen pek çok gökcismini
teleskop sayesinde gözleyebilen Galilei, parlakl›k ölçe¤inin de de¤iflmesini ve geliflmesini sa¤lad›. 1610’da ay-
daki da¤lar, y›ld›z kümeleri ve Samanyolu üzerine ilk
tespitlerini yay›nlad›. Bu kitab› çok ilgi uyand›rd› ve
Floransa’da saray matematikçisi olmas›n› sa¤lad›.
1611’de Roma’ya gitti ve oradaki Bilim Akademisi’ne
üye seçildi. Floransa’ya dönüflünde hidrostatik üzerine
pek çok profesörün itiraz›na sebep olan kitab› ile 1613’te
günefl lekeleri üzerine yazd›¤› eserini yay›nlad›. Bu eserinde Kopernik sistemini aç›k bir flekilde müdafaa etti.
Bundan dolay› papazlar›n a¤›r hücumuna u¤rad›.
1615’te bizzat Roma’ya giderek iddias›n› müdafaa etti.
Ancak 1616’da Papa Beflinci Paul taraf›ndan kitaplar›n›
tetkik için bir komisyon kuruldu. Bu komisyon Galileo’nun kitaplar›n› yasaklamad›. Sadece Dünya’n›n döndü¤ü iddias›ndan vazgeçmesini istedi.
Galileo, bir müddet bilimin pratik yönüne döndü, mikroskobu gelifltirdi. Ancak 1618’de üç kuyruklu y›ld›z›n
görülmesiyle kiliseyle münakaflaya girdi. Arkadafl›n›n
Sekizinci Urban olarak Papa seçilmesinden cesaret alarak yazd›¤› “‹ki Kainat Sistemi Üzerine Konuflmalar” adl› eserini 1632’de yay›nlad›. Ancak kitab› daha önce yap›lan uyar›larla çeliflti¤i söylentilerine ra¤men Roma’da
mahkemeye ça¤r›ld›. 1633’te bu kitap yasakland› ve
Kutsal Engizisyon’ca müebbet hapse mahkum edildi.
Cezas› kendi evinde göz hapsine çevrildi. Yetmifl yafl›nda hapsedilen Galileo kör oldu ve 1642 y›l›nda hayat›n› yitirdi.
Günümüzde evrenle ilgili bilinenlerin temelinde Galieo Galilei’nin 400 y›l önce teleskobunu gökyüzüne çevirmifl olmas› gerçe¤i yat›yor. Bu nedenle Birleflmifl Milletler hem bu büyük bilim adam›n› anmak, hem de
onun arac›l›¤›yla geliflen gökbilimini genifl halk kitleleriyle buluflturmak amac›yla Gaileo’ nun ülkesi ‹talya’n›n
teklifi üzere 2009’u ‘’Dünya Astronomi Y›l›’’ (DAY 2009)
ilan etti.
49
2. Ünite - Kinematik
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. d
2. c
3. b
4. a
5. e
6. b
7. b
8. e
9. c
10. a
Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Al›nan Yol” ve “Yer
De¤ifltirme” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “H›z” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Düzgün Do¤rusal Hareket” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Düzgün De¤iflen Do¤rusal Hareket” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Afla¤›dan Yukar›ya Düfley At›fl Hareketi” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Düzgün De¤iflen Do¤rusal Hareket” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Afla¤›dan Yukar›ya Düfley At›fl Hareketi” ve “Ba¤›l Hareket” bafll›kl›
k›sm› tekrar okuyunuz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Yukar›dan Afla¤›ya
Düfley At›fl” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “E¤ik At›fl Hareketi” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Ba¤›l Hareket” bafll›kl›
k›sm› tekrar okuyunuz.
S›ra Sizde 3
Trenin ivmesi;
a=
v2 − v1
t
=
50m / s − 30m / s
= 4m / s 2
5s
olarak bulunur. Bu ivme h›zla ayn› yönde yani h›zland›r›c› bir ivmedir.
S›ra Sizde 4
Otomobiller ayn› anda harekete geçtiklerine göre arkadaki otomobil öndekine yetiflti¤inde her ikisi de ayn› t
zaman› kadar hareket eder ve ayn› konumda bulunurlar (x =x1 =x2 ). O halde her iki otomobilin konumlar›n› eflitleyerek zaman› bulabiliriz:
x1 = x2
x01 + ν1t = x02+ν2t
0+ (25m/s)t=100m+(20m/s)t
t=
100m
(25 - 20)m / s
= 20s
fiekil 2.22
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
S›ra Sizde 1
Al›nan yol otobüsün kat etti¤i mesafe olup 80 km de¤erinde bir skalerdir. Yer de¤ifltirme ise bafllang›c› Eskiflehir’de, ucu ise Bilecik’te olan 60 km uzunlu¤unda bir
vektördür.
S›ra Sizde 2
Adam toplam 3+3+4=10 dakika yürüyerek;
‹lk 3 dakikada sola do¤ru 35m,
‹kinci 3 dakikada sa¤a do¤ru 20m,
Son 4 dakikada sola do¤ru 40m
Yürüyerek toplam 35+20+40= 95m yol alm›flt›r. Buna
göre adam›n ortalama sürati;
Ortalama sürat = (Al›nan yol)/(Geçen zaman)=(95m)/
(10 dakika)= 9,5m/dakika olacakt›r. Adam A noktas›ndan harekete geçerek 10 dakikada D noktas›na ulafl
m›flt›r. Adam›n yer de¤ifltirmesi AD vektörüyle ifade
→
edilir. →
AD = 55m oldu¤undan,
adam›n ortalama h›z›n›n büyüklü¤ü;
ν = 55 m/ 10 dakika = 5,5 m/dakika
ve yönü A’ dan D’ ye do¤ru olacakt›r.
Arkadaki otomobil öndekine yetiflti¤i anda bulundu¤u
konum, baflka bir deyiflle ald›¤› yol;
x1 = x01 + ν1t = x02 + ν2t
x1 = 0 + (25m/s) (20s) = 500m
olacakt›r. Bu anda ayn› yerde bulunan öndeki otomobil ise 400m yol alm›fl olacakt›r.
50
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
S›ra Sizde 5
Önce kamyonun h›z›n› m/s’ye çevirelim:
72
km
1000m
= 72
= 20m / s
h
3600s
Kamyonun duruncaya kadar ald›¤› (x-x0 ) yolunu bulmak için
ν2 = ν02 + 2a (x - x0)
Formülünü kullanal›m. Kamyonun hareket yönünü +
yön seçersek kamyonun ilk h›z› +20m/s, ivmesi -4m/s2
ve durdu¤unda son h›z› s›f›r olaca¤›ndan kamyon duruncaya kadar,
02 = 202 + 2 (-4) (x - x0)
x -x0 = 50m
yol alacakt›r. Frene bas›ld›¤›nda çocuk 80m ileride oldu¤undan, kamyon çocu¤a 30m kala duracak ve çarpma olmayacakt›r.
S›ra Sizde 6
Koordinat bafllang›c›n› yerde ve y eksenini yukar›ya
do¤ru seçelim. Bu durumda y0 =10m g = 100m/s2, ve cisim at›ld›¤› yerden geçerken de y =10m olaca¤›ndan
Eflitlik (2.14)’de bunlar› yerine koyar denklemi çözersek arad›¤›m›z zaman›;
1
y = y0 + v0 t + gt 2
2
1
10 m = 10 m + (5m / s)t + (-10 m / s 2 )t 2
2
0 = 5t − 5t 2 = t (5 − 5t ) ⇒ { t = 0
t = 1s
olarak buluruz. Arad›¤›m›z zaman t =1s’dir. t =0 ise cismin f›rlat›ld›¤› anda da ayn› düzeyden, yani, y0 -y =10m
olan düzeyden geçti¤ini ifade eder.
S›ra Sizde 7
a) En yüksek noktada düfley h›z s›f›r oldu¤undan Eflitlik
2.18’de h›z yerine s›f›r koyarak geçen zaman›;
νy = ν0 sin α + gt
0 = (400m/s) (0,8) + (-10m/s2) t ⇒
t = 32 s
olarak buluruz.
b) En yüksek noktaya ç›kma süresi olan 32 s’yi Eflitlik
2.19’da yerine koyarak en yüksek noktan›n yerden yüksekli¤ini de;
1
y = y0 + v0t sin α + gt 2
2
1
y = H = 0 + ( 400m / s )(32s )(0, 8) + (-10m / s2 )
2
32 s2 = 10240 m - 5120m = 5120 m
olarak buluruz.
S›ra Sizde 8
Araçlar›n hareket yönleri ayn› oldu¤undan ba¤›l h›z›n
büyüklü¤ü araçlar›n h›zlar›n›n fark› kadard›r.
νYJ = νJ - νY = 800km/h - 500km/h = 300km/h.
Yolcu uça¤›na göre jet uça¤›n›n ba¤›l h›z›n›n yönü ise
uçaklar›n ortak hareket yönü olan kuzeye do¤rudur.
2. Ünite - Kinematik
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek
Kaynaklar
Orhun, Ö, Zor, M., ve di¤erleri, Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri, Nobel Yay›n Da¤›t›m, Ankara, 2007.
http://www.glenbrook.k12.il.us/GBSSCI/PHYS/CLASS/
1DKin/U1L1c.html
51
TEKNOLOJ‹N‹N B‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I
3
Amaçlar›m›z
N
N
N
N
N
N
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Kuvvet kavram›n› ifade edilecek,
Do¤adaki kuvvetleri s›n›fland›rabilecek,
Newton yasalar›n› aç›klayabilecek,
Kütle ve a¤›rl›k kavramlar›n› ay›rt edebilecek,
Sürtünme kuvvetinin do¤as›n› aç›klayabilecek,
Konuma göre de¤iflen kuvvetleri tan›yabilecek, bilgi ve becerileri edinmifl
olacaks›n›z.
Anahtar Kavramlar
• Kuvvet
• Newton yasalar›
• Kütle ve a¤›rl›k
• Sürtünme katsay›s›
• Düzgün dairesel hareket
• Yay sabiti
‹çindekiler
Teknolojinin Bilimsel
‹lkeleri-I
Hareketin Dinamik
‹ncelenmesi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
G‹R‹fi
D‹NAM‹⁄‹N ‹LG‹ ALANI
KUVVET
NEWTON’ UN B‹R‹NC‹ YASASI
NEWTON’UN ‹K‹NC‹ YASASI
KÜTLE VE A⁄IRLIK
KÜTLEN‹N ÖLÇÜMÜ
NEWTON’UN ÜÇÜNCÜ YASASI
NORMAL KUVVET VE SÜRTÜNME
KUVVET‹
• DÜZGÜN DA‹RESEL HAREKET‹N
D‹NAM‹⁄‹
• GER‹ ÇA⁄RICI KUVVET
Hareketin Dinamik
‹ncelenmesi
G‹R‹fi
Kinematik ile ilgili olan önceki bölümde cisimlerin bir do¤ru boyunca veya bir
düzlem üzerindeki hareketi incelenmiflti. Yap›lan tart›flmalarda, onlar› harekete geçiren nedene bak›lmaks›z›n cisimlerin davran›fllar› sadece yer de¤ifltirme, h›z ve ivme ba¤›nt›lar› ile tan›mlanm›flt›. Buna göre e¤er cismin ivmesi, bafllang›çtaki konumu ve h›z› biliniyorsa onun gelecekteki herhangi bir anda konumu ve h›z› da kolayl›kla bulunabilirdi. Bu bölümde ise kinematik denklemlerle tan›mlanan hareketin nedenleri araflt›r›lacak, kuvvet ve kütle kavramlar› kullan›larak cisimlerin hareketindeki olas› de¤iflimler incelenecektir. Cisimleri harekete geçiren veya onlar›n
hareketini de¤ifltiren fiziksel mekanizma tart›fl›l›rken, ilk kez Sir Isaac Newton taraf›ndan formüle edilen ve günümüzde Newton yasalar› olarak adland›r›lan üç temel yasa kullan›lacakt›r. Kinematik incelemede oldu¤u gibi, burada da cisim yine
tek bafl›na bir parçac›k olarak ele al›nacakt›r.
D‹NAM‹⁄‹N ‹LG‹ ALANI
Klasik mekani¤in bir dal› olan dinamik, üzerine etki eden kuvvetler bilindi¤inde
cisimlerin hareketinin nas›l olaca¤›n› tan›mlar. Bizim inceleme alan›m›za giren dinami¤in temelleri günümüzden yaklafl›k olarak üç as›r önce Sir Isaac Newton
(1642-1727) taraf›ndan at›lm›flt›r. Klasik mekani¤e bu nedenle Newton mekani¤i
de denir.
Dinami¤in inceleme konusu olan cisimlerin, atom boyutlar›yla(≈10−10 m) karfl›laflt›r›ld›¤›nda çok büyük ve h›zlar›n›n da ›fl›k h›z› yan›nda ( 3×108m/s) çok küçük
oldu¤u unutulmamal›d›r. Zira bu s›n›rlar›n d›fl›na ç›k›ld›¤›nda Newton mekani¤inin
verdi¤i sonuçlar ile cisimlerin hareketine iliflkin gözlem ve deney sonuçlar› birbirleriyle uyuflmaz. Bu durumda cisimlerin hareketini bir dizi özel teori ve yasa ile incelemek gerekir. Örne¤in; atom içindeki elektronlar›n hareketi kuantum mekani¤inin, çarp›flan yüksek enerjili protonlar›n hareketi ise Einstein taraf›ndan ortaya
konulan özel rölativite teorisinin konusudur. Newton mekani¤i, her ne kadar s›n›rlamalar olsa da basitli¤i ve geçerlilik alan›n›n geniflli¤i nedeniyle günlük yaflant›m›zda karfl›laflt›¤›m›z birçok cismin veya sistemin hareketinin incelenmesinde yayg›n olarak kullan›l›r.
54
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
KUVVET
Duran bir cismi harekete
geçiren, hareket eden bir
cismi durduran veya
yavafllatan, hareketin
yönünü de¤ifltiren, cisimler
üzerinde flekil de¤iflikli¤i
yapabilen etkiye kuvvet
denir.
Kuvvet, hem büyüklü¤ü hem
de yönü ile belirlendi¤inden
vektörel bir niceliktir. Bir
cisme uygulanan net
kuvvet(bileflke kuvvet),
cisim üzerindeki ayr› ayr›
itme ve çekme kuvvetlerinin
vektörel toplam›n› ifade
eder.
Dünya’ dan kaynaklanan
kütle çekim kuvveti
(yerçekimi kuvveti)
cisimlerin Dünya’ ya ba¤l›
kalmas›n› sa¤lar ve a¤›rl›k
olarak isimlendirilir.
Günlük yaflant›m›zda havaya f›rlat›lan bir tafl›n bir süre sonra yere düfltü¤ünü, fren
yapan bir otomobilin bir süre sonra durdu¤unu, buz üzerindeki bir k›za¤›n itildi¤inde h›zland›¤›n›, bir yay›n iki ucundan tutulup çekildi¤inde uzayarak gerildi¤ini,
kap›lar›n itildi¤inde mentefleleri etraf›nda döndü¤ünü gözlemleriz.
Aralar›nda ister temas olsun ister olmas›n cisimleri hareket ettiren veya cisimlerin hareketini k›s›tlayan bu tür etkileri kuvvet kavram› ile aç›klamak mümkündür.
Kuvvet, gözle görülmeyen fakat etkileri gözlenen veya hissedilen herhangi bir itmeye veya çekmeye verilen isimdir. Bir cisim üzerine etki eden kuvvet onun nas›l
hareket edece¤ini belirler. Üzerine herhangi bir kuvvet etki etmeden duran bir cisim kendi kendine harekete geçemez. Di¤er taraftan hareket halindeki bir cisim
üzerine etki eden kuvvet ise onu h›zland›rabilir, yavafllatabilir veya yönünü de¤ifltirebilir. Benzer flekilde kuvvet, kap› örne¤inde oldu¤u gibi cisimleri bir eksen etraf›nda döndürebilir veya yay gibi esnek cisimlerin fleklini de de¤ifltirebilir.
Kayna¤› ne olursa olsun kuvvet, hem büyüklü¤ü hem de yönü ile belirlendi¤inden vektörel bir niceliktir. Bir cisme uygulanan net kuvvet(bileflke kuvvet), cisim üzerindeki ayr› ayr› itme ve çekme kuvvetlerinin vektörel toplam›n› ifade eder.
Newton’a göre ister hareketli ister durgun olsun, cisimlerin hareket özellikleri ile
kuvvet kavram› aras›nda yak›n bir iliflki vard›r.
Temas ve Alan Kuvvetleri
Kuvvet, iki cisim aras›nda veya cisimle çevresi aras›ndaki bir tür etkileflimdir. Do¤adaki kuvvetleri etkileflim biçimlerine göre s›n›fland›rmak mümkündür. Bir otomobil fren yapt›¤›nda otomobilin tekerlekleri ile yol aras›ndaki temastan kaynaklanan bir sürtünme kuvvetinin varl›¤›ndan söz edilebilir. Benzer flekilde, duran bir
otomobili itmek için ona temas etmemiz gerekir. Uygulanan kas kuvveti otomobilin konumunu de¤ifltirir. Ayn› kuvvet bu kez esnek bir yay› çekmek için kullan›l›rsa, bu kez yay›n fleklinin de¤iflti¤i görülür. Bir futbolcu aya¤› ile topa vurdu¤unda
ortaya ç›kan kuvvet hem topu harekete geçirir hem de onda geçici bir flekil de¤iflikli¤ine neden olur. Bu örneklerde oldu¤u gibi iki cismin birbirine fiziksel olarak
de¤mesi sonucu ortaya ç›kan kuvvetlere temas kuvvetleri ad› verilir.
Bununla birlikte, kuvvetlerin etki etmesi için mutlaka bir fiziksel temas›n olmas› gerekmez. Günefl’in Dünya’y› kendi çevresinde dönmeye zorlamas›, Ay ile Dünya aras›ndaki etkileflimden dolay› denizler üzerinde gel-git ad› verilen etkilerin
oluflmas› ise kütle çekimi kuvvetinin varl›¤›n› iflaret eder. Benzer flekilde bir çubuk
m›knat›s›n toplu i¤ne gibi metallere yaklaflt›r›ld›¤›nda onlar› kendisine do¤ru çekmesi bir manyetik etkileflimin sonucudur. Aralar›nda fiziki temas olmayan cisimler
aras›ndaki etkileflme kuvvetlerine alan kuvvetleri denir. Dünya’ dan kaynaklanan
kütle çekim kuvveti (yerçekimi kuvveti) cisimlerin Dünya’ ya ba¤l› kalmas›n› sa¤lar ve a¤›rl›k olarak isimlendirilir. Yine bir atomda merkezdeki çekirdek içindeki
pozitif yüklü protonlar ile onun çevresinde dönen negatif yüklü elektronlar aras›ndaki elektrik kuvveti alan kuvvetlerine örnek olarak verilebilir.
Her ne kadar temas kuvvetleri alan kuvvetlerinden farkl› gibi görünse de atomik boyutta temas kuvvetleri asl›nda yükler aras›ndaki elektrik kuvvetlerinden
kaynaklan›r. Bir otomobil ile yol aras›ndaki sürtünme kuvveti, gerçekte atomik boyutta otomobil ve yolu oluflturan atomlar aras›ndaki etkileflimden ortaya ç›kan bir
elektrik kuvvetidir.
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
55
Temel Kuvvetler
Cisimlerle etkileflim biçimi nas›l olursa olsun günlük yaflant›m›z incelendi¤inde
çok say›da kuvvetin varl›¤›ndan söz edilebiliriz. Her ne kadar birbirinden çok farkl› gibi görünse de do¤ada kütle çekim kuvveti, elektro-zay›f kuvvetler ve güçlü çekirdek kuvvetleri olmak üzere üç temel kuvvet bulunur. ‹çinde bulundu¤umuz evreni biçimlendiren bu temel kuvvetler, henüz varl›k nedeni tam olarak aç›klanamam›fl kuvvetlerdir. Di¤er bütün kuvvetler bu temel kuvvetlerden elde edilir.
Türetilmifl kuvvetler ise, varl›klar›n›n do¤as›nda temel kuvvetler bulunan kuvvetlerdir. Örne¤in bir yaydaki gerilme kuvveti temelde moleküller aras›ndaki etkileflmeden kaynaklanan elektrik kuvvetidir.
Kütle çekim kuvveti ile günlük yaflam›n her aflamas›nda karfl›lafl›r›z. Bu temel
kuvvet s›n›f› kütleler aras›nda karfl›l›kl› olarak do¤an çekme kuvvetidir. Y›ld›zlar›n
galaksi içindeki hareketinden bir elman›n dal›ndan düflmesine kadar birçok olayda bu kuvvetin etkisi vard›r. Y›ld›z ve gezegenler gibi büyük kütleli gök cisimleri
aras›nda oldukça etkili olan kütle çekim kuvveti, di¤er kuvvetlerle k›yasland›¤›nda
en zay›f olan kuvvettir. Temel prensipleri 1687 y›l›nda Isaac Newton taraf›ndan tan›mlanm›flt›r. Kütle çekim kuvvetinin fliddeti kütleler aras›ndaki uzakl›¤›n karesinin
tersi ile orant›l› olup çok uzak mesafelerde bile etkisini gösterir.
Kayna¤› itibariyle elektromanyetik kuvvetler ve zay›f çekirdek kuvvetleri elektro-zay›f kuvvetler s›n›f› içerisinde de¤erlendirir. Elektromanyetik kuvvetler,
durgun veya yüklü parçac›klar aras›nda çekme veya itme fleklinde ortaya ç›kan orta fliddetteki kuvvetlerdir. Durgun haldeki yüklerin birbirleriyle etkileflmesinden
kaynaklanan elektrik kuvvetleri ile hareketli yüklerden kaynaklanan manyetik
kuvvetler, 19. yüzy›lda birlefltirilerek elektromanyetik kuvvetler olarak adland›r›lm›flt›r. Çekici veya itici özellik gösterebilirler. Elektromanyetik kuvvetler atomlar›,
molekülleri, kat›lar› ve s›v›lar› bir arada tutar. Kütle çekim kuvvetinden daha fliddetli olan bu kuvvetler asl›nda kütle çekim kuvveti haricindeki bütün kuvvetlerin
kayna¤›d›r. Sürtünme ve gerilme kuvvetleri bu kuvvet türüne örnek olarak verilebilir. Elektromanyetik kuvvetler de kütle çekimi gibi çok uzak mesafeler boyunca
etkili olabilir. Bu kuvvetlerin fliddetleri yine etkileflen parçac›klar aras›ndaki uzakl›¤›n karesinin tersi ile orant›l› flekilde azal›r.
Zay›f çekirdek(nükleer) kuvvetleri k›sa mesafelerde etkili olup fliddeti elektromanyetik kuvvetlerle karfl›laflt›r›ld›¤›nda oldukça düflüktür. Bu kuvvet türü radyoaktif bozunma ad› verilen radyoaktif çekirde¤in baflka bir atomun çekirde¤ine
dönüflme mekanizmas›ndan sorumludur. Örne¤in bu kuvvet, Günefl’teki nükleer
füzyon reaksiyonu sonucunda muazzam bir enerjinin evrene sal›n›m›na neden
olur ve Dünya’da bugün var olan yaflam›n kayna¤›d›r.
fiiddetli çekirdek(nükleer) kuvvetleri di¤er bütün kuvvetlerden fliddetli
olup atom çekirde¤ini oluflturan parçac›klar aras›nda görülür. Bu kuvvetler, proton
gibi atom çekirde¤ini oluflturan parçac›klar› bir arada tutmaktan sorumludur. Genelde çekici karakterde olup baz› durumlarda itici özellik de gösterirler. Çekirdek
içindeki nükleer kuvvetler, elektromanyetik kuvvetten 100 kat daha fliddetlidir. Çekirdek kuvvetleri, atom çekirde¤inin boyutunda (≈10−15 m) etkili olup bunun üstündeki mesafelerdeki etkisi tamamen ihmal edilebilir.
Do¤as› itibariyle farkl› olan bu kuvvetleri birlefltirmek bütün fizikçilerin hayalidir. Antik ça¤lardan beri bilinen kütle çekim kuvvetinin temel prensiplerini ortaya
koymak flüphesiz ki Newton’un en büyük baflar›lar›ndan biridir. Fizik bilimine katk›lar›ndan dolay› 20. yüzy›la damgas›na vuran bir bilim adam› olan Albert Einste-
Do¤adaki temel kuvvetler;
kütle çekim kuvveti, elektrozay›f kuvvetler ve güçlü
çekirdek kuvvetleridir.
56
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
in, kütle çekim kuvvetini di¤er temel kuvvetlerle birlefltirmek istemiflse de baflar›l›
olamam›flt›r. Öte yandan 1980’li y›llar›n ortalar›nda yap›lan deneysel çal›flmalar sonucu birbirlerinden ba¤›ms›z gibi görünen elektromanyetik kuvvetler ile zay›f çekirdek kuvvetlerinin kayna¤›n›n asl›nda ayn› oldu¤u ispatlanm›flt›r. Bugün art›k bu
iki kuvvet çifti elektro-zay›f kuvvet olarak adland›r›lmaktad›r. Bilim adamlar›n›n di¤er temel kuvvetleri birlefltirme çabalar› ise henüz bir sonuca ulaflmam›flt›r.
SIRA S‹ZDE
1
D Ü fi Ü N E L ‹ M B‹R‹NC‹ YASASI
NEWTON’UN
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
Bir pusula i¤nesini
kuzey-güney do¤rultuda tutan kuvvetin kayna¤› temel kuvvetlerden
SIRA S‹ZDE
hangisidir ?
Antik ça¤lardan itibaren baflta gökcisimleri olmak üzere genel anlamda cisimlerin
hareketi ve hareketin
do¤as› insano¤lunun inceleme konusu olmufltur. 16. yüzy›la
S O R U
kadar cisimleri hareket halinde tutabilmek için mutlaka bir kuvvetin uygulanmas›
gerekti¤i düflünülüyordu. Bu kuram›n yanl›fll›¤›n› ilk fark eden Galileo (1564-1642)
D‹KKAT
olmufltur. Örne¤in, buz tutmufl göl yüzeyi gibi pürüzsüz bir zeminde duran bir tafl›
kuvvetlice itti¤imizi düflünelim. Bu durumda tafl›n, üzerine etki eden itme kuvveti
SIRA S‹ZDE
ortadan kalkt›¤›
halde neredeyse h›z›nda hiç bir de¤ifliklik olmadan uzun mesafeler
boyunca kayd›¤›n› gözlemleriz. Benzer gözlemlerden yola ç›kan Galileo, sürtünmesiz yüzeylerde hareket eden cisimlerin hiç durmadan yollar›na devam etmesi gerekAMAÇLARIMIZ
ti¤ini ileri sürmüfltür. Ayr›ca Galileo, cisimlerin hareket halinde iken durmaya veya
h›zlanmaya karfl› direnç gösterme e¤iliminde oldu¤unu da savunmufltur.
Galileo taraf›ndan gelifltirilen bu yaklafl›m daha sonra Newton taraf›ndan genelK ‹ T A P
lefltirilerek 1686 y›l›nda yay›nlanan Do¤a Bilimlerinin Matematik Prensipleri (Philosophia Naturalis Prencipia Mathematica) ya da k›sa ad›yla Principia adl› makalesinde birinci hareket yasas› olarak ifade edilmifltir. Bu yasaya göre; bir cisme d›TELEV‹ZYON
flar›dan bir kuvvet etki etmedikçe, cisim duruyorsa durgun kalmaya devam eder,
hareketli ise sabit bir h›zla do¤rusal hareketini sürdürür.
Newton’un birinci yasas›na göre bir cismin hareketsiz olmas› ile sabit bir h›zla
‹ N T E Raras›nda
NET
hareket etmesi
fiziksel olarak hiç bir fark yoktur. Benzer flekilde cisme etki eden bir kuvvetin bulunmay›fl› ile ayn› cisme bileflkesi s›f›r olan kuvvetlerin etki etmesi durumu aras›nda da bir farktan söz edilemez. Buna göre birinci yasay›,
M A K A Letki
E eden net(bileflke) kuvvet s›f›r ise cisim duruyorsa durgun kalbir cisim üzerine
maya devam eder, hareketli ise h›z›n›n büyüklü¤ünü ve yönünü de¤ifltirmeden
hareketini sürdürür, biçiminde de ifade etmek mümkündür.
Bu yasa günlük gözlemlerimizle çeliflmez. Örne¤in; hareket halindeki bir otomobilin motoru taraf›ndan sa¤lanan itme kuvveti, tekerlekler ve yol aras›ndaki sürtünme kuvveti taraf›ndan etkisiz hale getiriliyorsa otomobil üzerindeki net kuvvet
s›f›rd›r. Dolay›s› ile otomobil sabit bir h›zla yoluna devam edecektir. Öte yandan
e¤er otomobil sürücüsü aya¤›n› gazdan çekerse bu durumda motor taraf›ndan sa¤lanan itme kuvveti ortadan kalkar, fakat sürtünme kuvveti etki etmeye devam
eder. Otomobil üzerindeki net kuvvet art›k s›f›r de¤ildir ve otomobil yavafllayarak
belirli bir süre sonra durur.
Newton’un birinci yasas› ayn› zamanda eylemsizlik yasas› olarak da adland›r›l›r. Eylemsizlik, tan›m itibariyle bir de¤iflikli¤e karfl› direnç göstermedir. Bu yasada bahsedilen eylemsizlik davran›fl› ile hareket halindeki bir cismin yavafllamaya
veya h›zlanmaya, durgun haldeki bir cismin ise harekete geçmeye karfl› direnme
e¤ilimi vurgulan›r. Örne¤in; ayn› malzemeden yap›lm›fl ve ayn› s›rt desen yap›s›na
sahip bir otomobil lasti¤i ile bir kamyon lasti¤ini ele alal›m. Her iki lasti¤i pürüzlü
N N
K ‹ T A P
TBirE Lcisme
E V ‹ Zetki
Y Oeden
N bileflke
kuvvet s›f›r ise, cisim ya
durgun kal›r ya da sabit bir
h›zla hareketini sürdürür.
‹NTERNET
MAKALE
Eylemsizlik, bir de¤iflikli¤e
karfl› direnç göstermedir.
57
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
bir yüzeyde yuvarlamak isterseniz, kamyon lasti¤ini yuvarlamak için daha fazla
gayret göstermeniz gerekir. Fakat lastikler herhangi bir yöntemle harekete geçirilirse, bu kez de kamyon lasti¤ini durdurmak otomobil lasti¤ini durdurmaktan daha zordur. Bu deneyimden yola ç›k›larak, kamyon lasti¤inin otomobil lasti¤ine göre daha fazla eylemsizli¤e sahip oldu¤u söylenebilir.
Bir buluttan b›rak›lan ya¤mur damlas›n›n h›z›n›n serbest düflme hareketi
nedeniyle gittikSIRA S‹ZDE
çe artmas› beklenirken damla neredeyse sabit bir h›zla yere düfler. Niçin?
NEWTON’UN ‹K‹NC‹ YASASI
2
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Newton yasalar› belki de fizi¤in en temel ve en önemli yasalar›ndan biridir. Birinci yasa, üzerine etki eden kuvvetlerin bileflkesi s›f›r oldu¤unda Sbir
davran›O Rcismin
U
fl›n› aç›klar. Bu yasaya göre cisim içinde bulundu¤u durumu sürdürme e¤ilimindedir. Newton’ un ikinci yasas› ise s›f›rdan farkl› bir bileflke kuvvetin cisme etki etD‹KKAT
mesi durumunda cismin davran›fl›n›n nas›l olaca¤›n› tan›mlar. ‹kinci yasa, cisim
üzerine etki eden net kuvvet hangi yönde ise cismin o yönde bir ivme kazanacaSIRA S‹ZDE
¤›n› ifade eder.
Yüzeyi buz tutmufl göl üzerinde itilen bir k›za¤›n tam olmasa bile yaklafl›k olarak sürtünmesiz bir ortamda hareket etti¤i düflünülebilir. E¤er k›za¤a yatay bir F
AMAÇLARIMIZ
kuvveti uygulan›rsa k›zak h›zlanacak, di¤er bir ifadeyle ivmelenecektir. K›zak, bu
kez ilkinin iki kat› kuvvetle itilirse oluflan ivme de ilkinin iki kat› olacakt›r. Bu deneyimi benzer flekilde çok say›da tekrarlamak mümkündür. Bu
tür gözlemlerden
K ‹ T A P
yola ç›karak bir cismin ivmesinin, üzerine etki eden kuvvetle do¤ru orant›l› oldu¤u sonucuna kolayca ulafl›l›r.
Büyüklü¤ü sabit kalmak flart›yla ayn› kuvvetin farkl› kütleli cisimler üzerindeki
TELEV‹ZYON
etkisi nas›ld›r? Yine günlük deneyimlerimizden yararlanarak cisimlerin kazanacaklar› ivmenin kütleleriyle ters orant›l› oldu¤unu söyleyebiliriz. Cismin kütlesi ne kadar
büyükse, cisim sabit büyüklükteki bir kuvvetin etkisi alt›nda o kadar az ivme kazaT E R N E T üzere k›zan›r. Yukar›da verilen örnekte k›za¤a uygulan itme kuvveti sabit‹ Nkalmak
¤›n kütlesi ilkinin iki kat›na ç›kart›l›rsa, k›zak öncekinin yar›s› kadar bir ivmeyle hareket edecektir. Di¤er bir ifade ile kütle artt›¤› için cismi ivmelendirmek zorlaflm›flt›r.
M A K A Laras›ndaki
E
Bir cisme etkiyen net kuvvet F ile cismin m kütlesi ve a ivmesi
de¤iflim ba¤›nt›s› 1687 y›l›nda Newton taraf›ndan tan›mlanm›flt›r. Bugün Newton’ un
ikinci yasas› olarak bilinen bu yasaya göre bir cismin ivmesi, o cisme etki eden
net(bileflke) kuvvetle do¤ru orant›l›, kütlesi ile ters orant›l›d›r.
S O R U
D‹KKAT
N N
F=ma
SIRA S‹ZDE
(3.1)
ba¤›nt›s› ile verilir.
Newton’ un birinci ve ikinci yasas› karfl›laflt›r›ld›¤›nda birinci yasan›n asl›nda
ikinci yasan›n özel bir hali oldu¤u düflünülebilir. E¤er (3.1) eflitli¤inde net kuvvet
F s›f›r olursa ivme a da s›f›r olacakt›r. ‹vmenin s›f›r olmas› cismin h›z›nda bir de¤iflimin olmad›¤› anlam›na gelir. Di¤er bir ifadeyle cisim ya sabit h›zla ilerlemektedir
ya da hareketsizdir. Bu sonuç birinci yasa ile tamamen uyumludur.
Newton’un ikinci yasas› kuvvet birimi ile kütle ve ivme birimlerini birbirlerine
ba¤lar. SI birim sisteminde kuvvet birimi newton (N)’dur. Kütlenin birimi (kg), ivmenin birimi (m/s2) oldu¤una göre; 1 newton (N) , 1 kg kütleli cisme 1 m/s2 ‘lik ivme kazand›ran kuvvetin büyüklü¤üdür, (1 N=1 kg .m/s2). E¤er CGS birim sistemi
kullan›lmak istenirse bu takdirde kuvvetin birimi olarak adland›r›l›r. 1 dyne, 1
gram kütleli cisme 1 cm/s2 ‘lik ivme kazand›ran kuvvetin büyüklü¤üne eflittir.
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
Bir cismin ivmesi, o cisme
etki eden net(bileflke)
kuvvetle do¤ru orant›l›,
M A K A L E Bu
kütlesi ile ters orant›l›d›r.
ifade matematiksel olarak,
58
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
ÖRNEK
3 kg kütleli bir cisme 6 m/s2 ‘lik ivme kazand›ran bir kuvvet, di¤er bir cisme uyguland›¤›nda ise 9 m/s2‘lik ivme kazand›r›yor.
a) Di¤er cismin kütlesini bulunuz.
b) Bu iki kütle birlefltirilirse ayn› kuvvet birleflik cisme ne büyüklükte ivme kazand›racakt›r?
Çözüm:
a) Newton’ un ikinci yasas›ndan m1=3 kg’ l›k kütleye etki eden kuvvetin büyüklü¤ü,
F=m1a1=(3kg) (6m/s2)=18N
olmal›d›r. Bu kuvvet m2 kütleli di¤er bir cisme uyguland›¤›nda 9 m/s2 ivme kazand›rd›¤›na göre,
m2 =
F
18 N
=
= 2 kg
a 2 9 m / s2
bulunur.
b) Ayn› de¤erdeki kuvvet, m1 ve m2 kütleli cisimlerinden oluflan birleflik cisme,
F = (m1 + m2 )a ⇒ a =
F
18 N
=
= 3,6 m / s 2
m1 + m2 2 kg + 3 kg
ivme kazand›racakt›r.
ÖRNEK
10 kg kütleli bir blok sürtünmesiz yatay bir düzlemde durmaktad›r. Blok, fiekil 3.1’
de görüldü¤ü gibi 50 N’luk bir kuvvetle itilirse,
a) Blo¤un ivmesini,
b) Blo¤un 4 s sonraki konumunu ve h›z›n› bulunuz.
Çözüm:
fiekil 3.1
a) Blo¤un itilmesi veya çekilmesi aras›nda fiziksel aç›dan bir fark yoktur. Newton’ un ikinci yasas›ndan,
Sürtünmesiz
düzlemde
hareket eden
blok
a=
F
50 N
=
= 5 m / s2
m 10 kg
bulunur.
b) Blok bafllang›çta hareketsiz oldu¤undan ilk h›z› s›f›rd›r, (v0=0). Blo¤un 4 s
sonraki konumu,
1
1
x = v0 t + at 2 = 0 + (5 m / s 2 )(4 s )2 = 40 m
2
2
bulunur. 4 s sonraki h›z› ise,
59
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
v=v0+at = 0+(5m/s2) (4s)=20 m/s
olacakt›r.
m1 =2 kg ve m2 = 8 kg kütleli iki cisim fiekil 3.2’de görüldü¤ü gibi kütlesi ihmal edilebilir bir makara üzerinden dolanan a¤›rl›ks›z bir ipin iki ucuna as›lm›flt›r.
a) Her iki kütlenin ivmesini,
b) ‹pteki gerilme kuvvetinin büyüklü¤ünü bulunuz.
ÖRNEK
fiekil 3.2
Kütle-makara
sistemi
Çözüm:
a) Cisimlere etkiyen kuvvetler fiekil 3.3’te gösterilmifltir. m2>m1 oldu¤undan m1 kütlesi bir a ivmesi ile
yukar› do¤ru hareket ederken m2 kütlesi de ayn› büyüklükteki z›t yönlü ivme ile afla¤› do¤ru hareket edecektir. ‹p arac›l› ile kütleler birbirleri üzerine eflit ve z›t
yönlü T gerilme kuvvetini uygularlar. Newton’un ikinci yasas› her iki kütle için ayr› ayr› yaz›l›rsa,
T-m1g=m1 a (m1 kütlesi için hareket denklemi)
m2 g-T=m2 a (m2 kütlesi için hareket denklemi)
eflitlikleri elde edilir. Yukar›daki denklemler taraftarafa toplanarak buradan T gerilmesi elenirse, a ivmesi için
a=
m2 - m1
m1 + m2
g
ifadesine ulafl›l›r. Veriler denklemde yerine konularak ivmenin de¤eri,
a=
2m1 m2
m1 + m2
g
ba¤›nt›s›na ulafl›l›r. Buradan gerilme kuvvetinin büyüklü¤ü,
T=
m2=8kg
fiekil 3.3
T
Kütlemakara
sistemi
T
(8 kg) - (2 kg)
(9,8 m / s 2 ) = 5,9 m / s2
(2 kg) + (8 kg)
bulunur.
b) Hareket denklemlerinin herhangi birinde a ivmesi
için bulunan ifade yerine konulursa ipteki T gerilme kuvvetinin büyüklü¤ü için,
T=
m1=2kg
2 (2 kg)(8 kg)
(9,8 m / s2 ) = 31,4 N
(2 kg) + (8 kg)
bulunur.
a
a
60
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
KÜTLE VE A⁄IRLIK
Kütle, cismin do¤as›nda var
olan ve eylemsizli¤i ölçmek
için kullan›lan fiziksel bir
niceliktir.
Kütle cismin içerdi¤i madde
miktar›, a¤›rl›k ise cisme
etkiyen kütle çekimi
kuvvetidir.
Günlük yaflant›m›zdaki gözlemlerimize dayanarak ayn› kuvvetin etkisi alt›ndaki
küçük kütleli bir cismin daha büyük kütleli bir cisme göre daha çabuk h›zland›¤›n› sezgisel olarak tahmin edebiliriz. Ayn› kuvvet uyguland›¤› takdirde bir tenis topu bir futbol topundan daha h›zl› hareket edecektir. Bu durumun tersi de do¤rudur. Örne¤in, al›flverifllerinizde kulland›¤›n›z market arabas›n› dolu iken harekete
geçirmek, bofl iken harekete geçirmekten daha zordur. Di¤er taraftan, e¤er market
arabas› dolu iken bir nedenle harekete geçerse bu kez arabay› durdurmak için bofl
haline göre daha fazla kuvvet uygulamak gerekir.
Verilen örneklerdeki cisimlerin davran›fl› bize tan›m› daha önce verilen eylemsizlik prensibini hat›rlat›r. Eylemsizlik, bir cismin hareketsiz ise hareketsizlik durumunu sürdürmeye, hareketli ise de sahip oldu¤u h›z› korumaya yönelik bir davran›fl›d›r. Kütle büyüdükçe cisimlerin eylemsizli¤i de ayn› oranda artar. Bu nedenle
kütle, cismin do¤as›nda var olan ve eylemsizli¤i ölçmek için kullan›lan fiziksel bir
niceliktir. Bir cismin kütlesi ne kadar büyük ise o kadar az ivme kazanacakt›r. Bir
futbol topunun kütlesi bir tenis topunun kütlesinden daha büyüktür. Dolay›s› ile
eylemsizli¤i daha fazlad›r. Bu nedenle ayn› kuvvetin etkisindeki futbol topu bir tenis topuna göre daha az ivmelenir.
Kütle ve a¤›rl›k, en çok kar›flt›r›lan kavramlar›n bafl›nda yer al›r. Bu nedenle
kütle ve a¤›rl›k aras›ndaki fark› anlamak çok önemlidir. Kütle, bir cismin içerdi¤i
madde miktar› olarak da tan›mlan›r. Cismi oluflturan proton, nötron ve elektron gibi parçac›klar›n miktar›na ba¤l›d›r. Kütle büyüdükçe bu parçac›klar›n miktar› da
artar. Skaler bir nicelik olan kütlenin SI birimi kilogram (kg)’d›r. A¤›rl›k ise cisme
uygulanan kütle çekimi kuvvetidir. Bu nedenle di¤er bütün kuvvetler gibi vektöN) birimi ile ölçülür. Genelde bir cismin a¤›rl›¤›n› gösrel bir niceliktir ve newton (N
termek için W sembolü tercih edilir. Kütlesi m olan bir cisim serbest düflmeye b›rak›l›rsa üzerine yerçekimi kuvveti etki eder. Di¤er bir deyiflle W a¤›rl›¤› nedeniyle düflmeye bafllar. Cisim bu kuvvetin etkisi alt›nda g yerçekimi ivmesi kazan›r.
Newton’ un ikinci yasas›na iliflkin F=ma ifadesinde F yerine , W, a yerine g yaz›l›rsa a¤›rl›k için,
W =mg
(3.2)
eflitli¤i elde edilir. Di¤er bir ifadeyle bir cismin a¤›rl›¤›n› belirlemek için cismin kütlesi ile yerçekimi ivmesi g’ yi çarpmak gerekir. Örne¤in, 30 kg kütleye sahip bir bisikletin a¤›rl›¤›,
W=mg = (30kg) (9,8 m/s2)=294 N
olacakt›r. Yukar›daki eflitlikten anlafl›laca¤› üzere cismin kütlesi artt›kça a¤›rl›¤› da
artar.
Kütle, ayn› zamanda cismin çevresinden ba¤›ms›z ve de¤iflmeyen bir özelli¤idir. Bir cismin kütlesi ister Dünya’ da, isterse de Ay’ da ölçülsün ayn› de¤ere sahiptir. Kütleleri say›sal olarak toplamak veya birbirinden ç›karmak mümkündür.
Fakat kütle asla negatif de¤er alamaz.
Kütlenin aksine bir cismin a¤›rl›¤› bulundu¤u yere göre de¤iflir. A¤›rl›k, Dünya’n›n merkezinden uzaklaflt›kça azal›r. Bunun nedeni kütle çekimi kuvvetinin mesafe artt›kça zay›flamas›d›r. Bu nedenle bir cismin deniz kenar›ndaki a¤›rl›¤›, bir
da¤›n tepesindeki a¤›rl›¤›ndan daha fazlad›r. Örne¤in Ay’da cisimler ile Ay aras›ndaki kütle çekimi kuvveti Dünya’ dakine göre daha zay›ft›r. Bu nedenle bir astro-
61
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
notun Ay’daki a¤›rl›¤› Dünya’daki a¤›rl›¤›n›n alt›da biridir. Bunun yan›nda kütle
çekimi etkisinin ihmal edildi¤i bir uzay arac›nda astronotun a¤›rl›¤› s›f›r olacakt›r.
Bir astronot, Dünya yörüngesindeki Hubble uzay teleskobunu tamirSIRA
etmek
istemektir. AsS‹ZDE
tronot tamir esnas›nda parçalar› yerine monte ederken hangi parçan›n küçük ya da büyük
kütleli oldu¤unu anlayabilir mi?
3
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Kütlesi 2 ton olan bir uzay arac› Mars’a gitmek üzere Dünya’y› terk ediyor. Uzay arac›n›n,
a) Dünya’daki (gd=9,8 m/s2),
S O R U
b) Mars’daki (gm=3,8 m/s2),
c) Gezegenler aras› kütle çekimsiz ortamdaki a¤›rl›¤› nedir?
D‹KKAT
d) Her bir durumda uzay arac›n›n kütlesi nedir?
N N
Çözüm:
SIRA S‹ZDE
a) Uzay arac›n›n kütlesi, problemin çözümünde kullan›lacak birimlerin birbirleriyle uyuflmas› aç›s›ndan kg cinsinden ifade edilmelidir. Buna göre uzay arac›n›n kütleAMAÇLARIMIZ
(3.2) gere¤ince,
si m=2 ton=2000 kg’d›r. Uzay arac›n›n Dünya’daki a¤›rl›¤› eflitlik
WDünya = mgd=(200 kg) (9,8 m/s2)=19600 N
bulunur.
b) Uzay arac›n›n Mars’daki a¤›rl›¤› ise,
WMars = mgm=(2000 kg) (3,8 m/s2)=7600 N
ÖRNEK
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
olacakt›r.
c) Uzay arac› Dünya’dan Mars’a olan yolculu¤u s›ras›nda kütle çekimsiz bölge‹ N T E Rkalmamaktad›r.
NET
de hareket etmekte, herhangi bir kütle çekimi kuvveti etkisinde
Dolays›yla gezegenler aras› bu bölgede uzay arac›n›n a¤›rl›¤›ndan bahsedilemez,
WUzay =0.
SIRA S‹ZDE
MAKALE
d) Kütle, bir cismin çevresinden ba¤›ms›z ve de¤iflmeyen bir özelli¤idir. Uzay
arac›n›n kütlesi ister Dünya’ da, ister bofl uzayda, isterse de Mars’ da ölçülsün ayn› de¤ere sahiptir.
m = mDünya= muzay = mmars= 2 ton=2000 kg
KÜTLEN‹N ÖLÇÜMÜ
Bir cismin kütlesi iki farkl› yöntemle ölçülebilir. Cismin kütlesi, kütleyi ölçmek için
kullan›lan yöntemlerden ba¤›ms›zd›r. Newton’un ikinci yasas›n› ifade eden F=ma
ba¤›nt›s›ndan yararlan›larak hesaplanan kütleye eylemsizlik kütlesi ad› verilir.
Bu amaçla cisim üzerine büyüklü¤ü bilinen bir kuvveti etki ettirilerek cismin kuvvet yönünde kazanaca¤› ivme ölçülür. Daha sonra bu de¤erler eflitli¤inde yerine
konularak kütlenin de¤eri elde edilir.
Kütleyi ölçmek için izlenecek en basit ve en yayg›n olan yol, eflit kollu terazi
kullanmakt›r. Bu amaçla terazinin kefelerinden birine de¤eri bilinmeyen kütle di¤erine de de¤eri bilinen kütleler konulur. Terazi dengeye gelinceye kadar bilinen
kütleler eklenir veya ç›kar›l›r. Denge durumunda her iki kefeye etkiyen yerçekimi
kuvveti ayn› olur. Bu durumda her iki kefedeki kütlelerin de¤eri de ayn› olacakt›r.
Farkl› konumlarda yerçekimi kuvvetinin fliddeti de¤iflse bile kütleler için ayn› de¤erler elde edilir. Bu yöntemle ölçülen kütleye çekim kütlesi denir. Bahsedilen
‹NTERNET
MAKALE
62
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
iki yöntemden hangisi kullan›l›rsa kullan›ls›n bulunulan yerde eylemsizlik kütlesi
ile çekim kütlesi ayn› say›sal sonucu verecektir.
NEWTON’UN ÜÇÜNCÜ YASASI
fiekil 3.4
Etki-tepki
kuvvetleri
Newton’ un birinci ve ikinci yasalar› herhangi bir kuvvetin etkisi alt›ndaki cisimlerin nas›l davranaca¤›n› aç›klar. Üçüncü yasa ise cisimlerin karfl›l›kl› etkileflmelerini
anlat›r. Etki-tepki yasas› da denilen bu yasaya göre; bir A cismi bir B cismine kuvvet uygularsa(etki kuvveti) FAB, B cismi de A
cismine eflit büyüklükte ama z›t yönde bir kuvvet(tepki kuvveti) FBA uygular. Bu ifade matematiksel olarak,
FAB = -FBA
fiekil 3.5
Etki-tepki
kuvvetleri
F
F
SIRA S‹ZDE
DÖ
Ü fiRÜ NNE E
L‹M
K
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
4
(3.3)
fleklinde verilir.
Bu yasay› daha iyi anlamak amac›yla bir an
için fiekil 3.5’te görüldü¤ü gibi ellerinizle bir
duvar› itti¤inizi düflününüz. Bu durumda sizin
taraf›n›zdan duvara bir F kuvveti(etki kuvveti)
uygulanmaktad›r. Newton’ un üçüncü yasas›, duvar›n da
size efl büyüklükte ve z›t yönde bir kuvvet(tepki kuvveti)
uygulayaca¤›n› söyler.
Newton’ un üçüncü yasas› her kuvvetin mutlaka bir
tepki kuvvetinin var oldu¤unu ifade eder. Di¤er bir deyiflle do¤ada kuvvetler çiftler halinde bulunur. Tek bafl›na bir kuvvet olamaz. Bu yasa uygulan›rken etki ve tepki
kuvvetlerinin farkl› cisimler üzerine etki etti¤i unutulmamal›d›r. Her ne kadar etki ve tepki kuvvetlerinin büyüklükleri eflit olsa da etkileflen cisimlerin davran›fllar› kütlelerinden dolay› farkl›l›k gösterebilir.
Dal›ndan koparak
düflmekte olan 200 kütleli bir elma ile Dünya aras›ndaki etki-tepki kuvSIRA S‹ZDE
vetlerini hesaplay›n›z.(Yerçekimi ivmesini kabul ediniz.)
D Ü fi Ü N E L ‹ Mduran 80 kg ve 60 kg kütleli iki astronot birbirlerine uzun bir
Uzayda hareketsiz
halatla ba¤l›d›r. 80 kg kütleli astronot halat yard›m›yla di¤er astronotu 120 N’luk
bir kuvvetle Sçekerse
O R U astronotlar›n nas›l hareket edece¤ini aç›klay›n›z.
Çözüm:
D‹KKAT
Newton’ un üçüncü yasas›na göre her astronot di¤erini 120 N ’luk bir kuvvetle
kendisine do¤ru çeker. m1 = 80 kg kütleli astronotun kazanaca¤› ivme F = m1a1 ba¤›nt›s›ndan,SIRA S‹ZDE
N N
F 120 N
a1 = AMAÇLARIMIZ
=
= 1,5 m / s2 ,
m1 80 kg
bulunur. Benzer
M2 = 60 kg kütleli astronotun kazanaca¤› ivme F=m2 a2 eflitK ‹ T flekilde
A P
li¤inden,
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
‹NTERNET
63
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
a2 =
F 120 N
=
= 2 m / s2
m2 60 kg
elde edilir. Astronotlar birbirlerine 1,5 m/s2 ve 2m/s2 ’lik ivmelerle yaklaflacaklard›r.
fiekil 3.6’da görüldü¤ü gibi m1=4 kg ve m2=6 kg kütleli iki blok sürtünmesiz bir masa üzerinde birbirlerine temas edecek flekilde durmaktad›r. Yatay do¤rultuda 30
N’luk bir F kuvveti m1 kütlesine uygulan›yor.
a) Sistemin ivmesini,
m1
b) ‹ki blok aras›ndaki temas kuvvetini bum2
lunuz.
F
Çözüm:
a) Her iki kütle temas halinde oldu¤u için
ayn› ivme ile kuvvetin uygulama yönünde(sa¤
tarafa do¤ru) hareket ederler. Herbir kütleye
m1
etkiyen yatay kuvvetler fiekil 3.7’ de gösterilmifltir. m1 kütlesi, kendisine etkiyen F kuvF
P’
P
veti nedeniyle m2 kütlesine P kuvveti uygular. Bu durumda m2 kütlesi de Newton’un
üçüncü yasas› gere¤ince m1 kütlesine büyüklü¤ü P kuvvetine eflit fakat z›t yönlü P'
tepki kuvveti uygulayacakt›r. m1 ve m2 kütleleri için ayr› ayr› Newton’un ikinci yasas› yaz›l›rsa,
m1a=F-P'
m2a=P
(m1 kütlesi için hareket denklemi)
(m2 kütlesi için hareket denklemi )
ifadelerine ulafl›l›r. P'=P oldu¤una göre yukar›daki denklemlerin taraf-tarafa toplanmas›yla,
a=
F
m1 + m2
eflitli¤i yaz›labilir. Buradan,
a=
30 N
= 3m / s 2
4 kg + 6 kg
bulunur.
b) Sistemin ivmesinin de¤eri hareket denklemlerinin herhangi birinde yerine
konulursa, temas kuvvetinin büyüklü¤ü,
P = m2 a = (6 kg)(3m / s 2 ) = 18N
elde edilir.
ÖRNEK
fiekil 3.6
Masa
Üzerinde
duran
bloklar
fiekil 3.7
m2
Bloklar ve
kuvvet
diyagram›
64
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Normal kuvvet yüzeye dik
olup ve yüzeyden d›flar›ya
do¤ru yönelmifltir.
fiekil 3.8
Masa
üzerinde
duran
kitap
fiekil 3.9
Masa
üzerinde
duran
kitap
NORMAL KUVVET VE SÜRTÜNME KUVVET‹
Bu ünitenin bafl›nda bahsedilen temas kuvvetleri ile günlük yaflant›m›z›n neredeyse her aflamas›nda karfl›lar›z. Bu tür kuvvetlerin en önemli özelli¤i, cisimlerin birbirleri içerisine girmesini önlemesidir Masa üzerinde duran bir bir kitab› ele alal›m. Kitap a¤›rl›¤› nedeniyle masa üzerine afla¤› yönlü bir kuvvet uygular. Masa da kitab› yukar› do¤ru eflit büyüklükteki bir kuvvetle iter. Bu kuvvete normal kuvvet
denir ve N sembolü ile gösterilir. Normal, yüzeye
dik anlam›na gelir. Normal kuvvet, her zaman yüzeye dik olup cismin yüzeye temas noktas›ndan
d›flar›ya do¤ru yönelmifltir. Bu kuvvet hiçbir zaman cismi çekmez, daima iter. Kitab›n masaya uygulad›¤› afla¤› yönlü W a¤›rl›k kuvveti, masan›n
yukar› yönlü N normal kuvveti nedeniyle dengelenmifltir. Dolay›s› ile kitap üzerindeki net kuvvet s›f›rd›r ve kitap masay› delip geçemez.
Masa üzerindeki kitab› sa¤a do¤ru F kuvveti ile
itip b›rak›rsak ne olur? E¤er masa yeterince uzunsa kitab›n k›sa bir süre hareket edip tekrar durdu¤unu gözlemleriz. Kitap niçin durmufltur? Kitab›n
hareketini engelleyen sebep kitap ile masa aras›ndaki sürtünme kuvvetidir ve f ile gösterilir. Günlük yaflam›n ayr›lmaz bir parças› olan bu kuvvet,
birbirine temas eden iki yüzey aras›ndaki etkileflimden kaynaklan›r.
Sürtünme kuvveti, temas eden yüzeylerin arakesiti do¤rultusunda ve daima hareket yönüne ters
yöndedir. Büyüklü¤ü ise normal kuvvetin büyüklü¤üyle do¤ru orant›l›d›r. Bu oran› veren katsay› sürtünme katsay›s› ad›n› al›r ve genellikle µ ile gösterilir. Sürtünme kuvveti, sürtünme katsay›s› ile normal kuvvetin çarp›m›na eflittir,
f =µN
Sürtünme kuvveti, sürtünme
katsay›s› ile normal kuvvetin
çarp›m›na eflittir.
(3.4)
Büyüklü¤ü sürtünen yüzeylerin cinsine ba¤l› olan sürtünme katsay›s›n› deneysel yolla ölçmek mümkündür. fiekil 3.9’ dan N=W=mg oldu¤u kolayca görülebilir.
Dolay›s›yla kitap ve masadan oluflan bu sisteme etki eden sürtünme kuvveti için,
f = µ N = µ mg
(3.5)
ifadesi yaz›labilir.
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
4
Sürtünme katsay›s›n›n
SIRA S‹ZDE birimi hakk›nda ne söyleyebilirsiniz?
Sürtünme kuvvetinin davran›fl› her ne kadar hareketi engelleyici tarzda olsa da
Ü fi Ü N E L ‹ M
bu kuvvet Dyürümemiz,
koflmam›z, durmam›z veya otomobillerin bir yerden baflka
bir yere ulaflabilmesi için gereklidir. Sürtünmenin az ya da çok olmas› amac›m›za
göre istedi¤imiz
S O R bir
U durumdur. Örne¤in, otomobilin motorunda sürtünmenin çok
olmas› enerji kayb›na yol açt›¤› için istenmez. Di¤er taraftan ise otomobilin daha
k›sa mesafede durmas› için tekerlekler ile yol aras›ndaki sürtünme kuvvetinin büD‹KKAT
yük olmas› arzulan›r.
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
65
fiimdi sürtünme kuvvetinin do¤as›n› daha yak›ndan inceleyelim. Düz bir zemin
üzerinde duran sand›¤› itmeniz gerekti¤ini düflünelim. E¤er tüm gücünüzle itmenize ra¤men uygulad›¤›n›z kuvvet yeterli büyüklükte de¤il ise sand›k harekete geçmeyecektir. Bunun nedeni sand›k ile zemin aras›ndaki sürtünme kuvvetidir. Sand›¤›n hareketine engel olan bu kuvvet, statik sürtünme kuvveti olarak adland›r›l›r ve fs gösterilir.
Statik sürtünme kuvveti sand›¤a uygulanan kuvveti dengelemektedir. Sand›k,
üzerine etkiyen net kuvvet s›f›r oldu¤undan hareket etmez. Ancak yatay yönde uygulanan kuvvet artarsa di¤er bir deyiflle sizinle birlikte baflkalar› da sand›¤› iterse,
sonunda sand›k harekete geçecektir. Sand›k tam harekete geçme s›n›r›nda iken
statik sürtünme kuvveti en büyük de¤erine ulafl›r. Dolays›yla statik sürtünme kuvveti bir yüzeyin di¤er bir yüzey üzerinde kaymas›n› ancak bir s›n›r de¤ere kadar
engelleyebilir,
f s ≤ µs N
(3.6)
Buradaki µs niceli¤ine statik sürtünme katsay›s› denir. Sand›k harekete geçtikten
sonra sürtünme kuvveti, fs’nin maksimum de¤erinden daha düflük bir de¤ere iner.
Sand›¤› itmek art›k daha kolayd›r. Ancak hala itme kuvvetine direnen bir sürtünme
kuvveti vard›r. Bu sürtünme kuvvetine kinetik sürtünme kuvveti denir ve fk ile
temsil edilir. Tahmin edebilece¤iniz gibi kinetik sürtünme katsay›s›n›n büyüklü¤ü,
f k = µk N
(3.7)
eflitli¤i ile verilen bir de¤ere sahiptir. Buradaki µk niceli¤i kinetik sürtünme katsay›s› olarak adland›r›l›r. Genellikle µkde¤eri µs’den daha küçüktür. Çizelge 3.1’ de
çeflitli ortamlardaki sürtünme katsay›lar›n›n yaklafl›k de¤erleri verilmifltir.
E¤er itme kuvveti ile kinetik sürtünme kuvvetinin büyüklükleri eflit ise sand›k
sabit h›zla hareketine devam edecektir. ‹tme kuvveti, kinetik sürtünme kuvvetinden büyük ise sand›¤›n itilen yönde h›zlanaca¤› aç›kt›r. E¤er sand›¤› itmekten vazgeçerseniz, bu kez sand›¤a etki eden sürtünme kuvveti yavafllat›c› bir etki gösterir
ve sand›k sonunda durur.
Statik sürtünme katsay›s›
ƒs
Dinamik sürtünme katsay›s›
ƒk
Çelik üzerinde çelik
0,74
0,57
Çelik üzerinde alüminyum
0,61
0,47
Çelik üzerinde bak›r
0,53
0,36
Kuru beton üzerinde lastik
1,0
0,8
Islak beton üzerinde lastik
0,30
0,25
0,25-0,5
0,2
Ortam
Tahta üzerinde tahta
Cam üzerinde cam
0,9
0,4
Teflon üzerine teflon
0,04
0,04
Çelik üzerine teflon
0,04
0,04
Buz üzerine buz
0,1
0,03
Tablo 3.1
Çeflitli ortamlardaki
sürtünme
katsay›lar›n›n
yaklafl›k de¤erleri
66
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Genel bir yaklafl›mla sürtünme kuvvetinin sürtünen yüzeylerin alan›ndan ba¤›ms›z oldu¤unu söylemek mümkündür. Örne¤in, bir masa üzerindeki tu¤lay›
hangi yüzeyi üzerine yat›r›rsan›z yat›r›n, onu yine yaklafl›k olarak ayn› büyüklükteki bir kuvvetle itebilirsiniz. Ayr›ca sürtünme kuvvetinin büyüklü¤ü, sürtünen yüzeylerin birbirlerine göre ölçülen göreceli h›z›ndan da neredeyse hiç etkilenmez.
Di¤er bir deyiflle, tu¤lay› masa üzerinde h›zl› veya yavafl hareket ettirmenizin sürtünme kuvvetinin büyüklü¤üne etkisi yok denecek kadar azd›r.
Sürtünme kuvvetinin büyüklü¤ü yüzeylerin cinsine(beton, cam, tahta, teflon,...),
s›cakl›¤›na, kirlilik derecesine, cilal› veya pürüzlü olufluna göre de¤iflir. Bir tahta
kafl›¤› teflon bir tava üzerinde hareket ettirmek, çelik bir tava üzerinde hareket ettirmekten daha kolayd›r. Bir otomobil, nispeten daha pürüzsüz olan buzlu yolda
kuru asfalt zemine göre daha fazla kayar. Bu nedenle k›fl›n otomobil tekerleklerine sürtünmeyi art›rmak için zincir tak›l›r. Gösterilen tüm çabalara ra¤men sürtünmenin do¤as› halen tam olarak anlafl›lamam›flt›r.
SIRA S‹ZDE
5
Ü fi Ü N E L ‹ M
Bir adam, Ddüz
bir zemindeki 30 kg kütleli bir sand›¤› yatayla 30°aç› yapan bir iple çekmektedir. Sand›k ile zemin aras›ndaki kinetik sürtünme katsay›s› 0,63 olup,
O Rh›zla
U
sand›k sabitSbir
hareket etmektedir.
a) ‹pteki gerilme kuvvetinin büyüklü¤ünü bulunuz.
2’lik ivme ile hareket etmesi için ipe uygulanmas› gereken F kuvb) Sand›¤›nD ‹2K m/s
KAT
vetinin büyüklü¤ü ne olmal›d›r?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
ÖRNEK
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
N N
fiekil 3.10
Masa
Küzerinde
‹ T A P
duran
kitap
TELEV‹ZYON
K›fl›n, buzluSIRA
bir yolda
S‹ZDE ilerlemeye çal›flan bir otomobilin bagaj›na kaymas›n diye tafl, kum
torbas› vb. konuldu¤unu gözlemleriz. Bu tür bir önlem gerçekten ifle yarayacak m›d›r?
Çözüm: SIRA S‹ZDE
a) ‹pteki gerime kuvvetinin büyüklü¤ü, adam›n sand›¤› çekmek için uygulad›¤› F kuvvetinin büyüklü¤üne eflittir. Sand›k hareket halinde oldu¤u için ƒk=µkN ile
AMAÇLARIMIZ
verilen kinetik sürtünme kuvveti de etki edecektir.
Sürtünme kuvvetinin yönü hareket yönüne terstir.
Problemin çözümü için öncelikle F kuvveti yatay
K ‹ T A P
ve düfley bileflenlerine ayr›l›r. Di¤er kuvvetler de
sand›k üzerinde gösterildikten sonra düfley ve yatay yönlü kuvvetler kendi aralar›nda toplanarak
TELEV‹ZYON
Newton’ un ikinci yasas› yaz›l›r.
Yatay yöndeki kuvvetler için,
‹NTERNET
MAKALE
‹NTERNET
F cos30°−ƒk=ma
ifadesi elde edilir. Öte yandan sand›k sabit h›zla hareket etti¤inden a ivmesi s›f›rd›r. ƒk=µkN Mba¤›nt›s›
A K A L E yerine konularak yukar›daki eflitlik,
F cos30°− µkN = 0
fleklinde yaz›l›r. Düfley yöndeki kuvvetler için ayn› ifllemler tekrar edilirse,
N+F sin30°-mg=0
ve
67
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
N=mg-F sin 30°
elde edilir. Bu de¤er ikinci eflitlikte yerine konularak,
F cos30°-µk (mg-F sin30°)=0
ifadesi yaz›labilir. Buradan F çekilerek,
F=
µkmg
cos 300 + µk sin300
=
0,63(30 kg)(9,8 m / s2 )
cos300 + 0,63sin300
= 156,8 N
bulunur.
b) Sand›¤›n 2 m/s2 ’lik bir ivme ile hareket etmesi durumunda hareket denklemleri,
F cos 300 - f k = F cos 300 - µk N = ma
N + Fsin300 - mg = 0
,
,
olacakt›r. N=mg-F sin30° ifadesi ilk eflitlikte yerine yaz›l›rsa,
F cos 300 - µk (mg - Fsin300 ) = ma
ve
F=
( a + µk g )m
cos 300 + µk sin300
=
[2 m / s2 + 0,63(9,8 m / s2 )] 30kg
cos300 + 0,63sin300
= 207,6 N
bulunur.
500 g kütleli bir kitap e¤imli bir masa üzerine b›rak›lmaktad›r. Kitap ile masa aras›nda,
a) Kinetik sürtünme katsay›s› 0,1 oldu¤unda,
b) Sürtünme olmad›¤›nda kitab›n ivmesini hesaplay›n›z.
Çözüm:
a) Kitap ve masa aras›nda sürtünme olmas›
durumunda kitap üzerine etki eden kuvvetler
fiekil 3.11’ de verilmifltir. Kitap masa yüzeyi
boyunca hareket edecektir. Bu nedenle bu tür
e¤ik düzlem problemlerinde cisme etki eden
kuvvetleri e¤ik düzleme paralel ve e¤ik düzleme dik flekilde bileflenlere ay›rmak problemin
çözümünü kolaylaflt›racakt›r.
Newton’ un ikinci yasas›ndan yararlanarak
e¤ik düzleme paralel kuvvetler için,
ÖRNEK
fiekil 3.11
E¤ik
düzlemde
hareket
68
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
mg sin 30°-ƒk=mg sin30°-µkN =ma
eflitli¤i yaz›labilir. Benzer flekilde e¤ik düzleme dik kuvvetleri için ise,
N-mg cos30°=0
ifadesi elde edilir. Buradan N normal kuvveti,
N=mg cos30°
olarak bulunur. Bu eflitlik ilk denklemde yerine konulursa,
mg sin30°-µk N=mg sin30°-µkmg cos30°=ma
ifadesi elde edilir. Buradan kitab›n ivmesi,
a = g (sin300 - µk cos300 ) = (9,8 m / s2 )(sin300 - 0,1 cos300 ) = 4,1m / s 2
bulunur. Yukar›daki ifadeden görülece¤i gibi ivme kitab›n kütlesine ba¤l› de¤ildir.
b) Masa ile kitap aras›nda sürtünmenin olmad›¤› durumda (ƒk= 0) hareket
denklemleri,
mg sin30°=ma
ve
N-mg cos30°= 0
biçimine dönüflür. Kitab›n kazanaca¤› ivmenin büyüklü¤ü birinci eflitlikten,
0
a = gsin30 = (9,8 m / s 2 ) sin300 = 4,9 m / s2
bulunur. Yukar›daki ifadeden, e¤er yerçekimi ivmesinin de¤eri sabit kabul edilirse ivmenin büyüklü¤ünün sadece e¤im aç›s›na (θ) ba¤l› oldu¤u söylenebilir.
DÜZGÜN DA‹RESEL HAREKET‹N D‹NAM‹⁄‹
fiekil 3.12
Düzgün
dairesel
hareketin
üstten
görünüflü
v
v
a
r
o
a
v
v
Dairesel hareketle do¤ada ve günlük yaflant›m›zda s›kl›kla karfl›lar›z. Örne¤in Ay’ ›n Dünya çevresindeki hareketi veya difllilerin,
makaralar›n, otomobil tekerleklerinin bir mil etraf›nda dönmesi
dairesel harekete örnek olarak verilebilir. Dairesel hareketi anlamak için bir silgiyi ortas›ndan delip bir ipe ba¤lad›¤›m›z› varsayal›m. E¤er ipi bafl›m›z›n üzerinde daireler çizecek flekilde döndürürsek ipin gerginleflti¤ini hissederiz. ‹pte oluflan bu gerilme
kuvveti silginin elimizden kurtulup gitmesini önler. ‹pteki gerileme kuvveti silgiye yatay yönde etkiyen tek kuvvettir. Silgi sabit
bir h›zla dönse dahi bu kuvvet nedeniyle yatay düzlemde bir iv-
69
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
me kazan›r. Bir cismin sabit bir h›zla dairesel bir yörüngedeki bu tür hareketine
düzgün dairesel hareket denir.
‹lk bak›flta dairesel yörüngede sabit h›zla hareket eden bir cismin ivme kazanmas›n›n Newton’ un hareket yasalar›na ters oldu¤u düflünülebilir. Oysa a = ∆v / ∆t
eflitli¤ine göre ivme h›z vektörünün zaman içindeki de¤iflimine ba¤l›d›r. Dairesel
yörüngede hareket eden bir cismin h›z vektörü daima cismin yoluna te¤ettir. Dolay›s› ile cismin h›z› sabit kalsa dahi h›z vektörünün yönü sürekli de¤iflir. Bu nedenle cisim bir ivme kazan›r. Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin h›z› v, dairesel hareketin yar›çap› r olursa cismin kazanaca¤› ivme,
a=
v2
r
(3.8)
2πr
tp
(3.9)
Bir cismin sabit bir h›zla
dairesel bir yörüngedeki
hareketine düzgün dairesel
hareket denir.
ile verilir. Bu ivme dairenin merkezine yönelmifl olup merkezcil ivme olarak adland›r›l›r. E¤er cismin dairesel yörüngede bir tur atmas› için geçen zaman(periyod)
tp bilinirse merkezcil ivme kolayl›kla hesaplanabilir. Cisim, dairesel yörüngedeki
bir turluk hareketi s›ras›nda 2πr yolunu alacakt›r. Bu s›rada tp kadar zaman geçti¤ine göre, cismin h›z›;
v=
ba¤›nt›s›ndan yararlanarak elde edilir. H›z›n de¤eri daha sonra (3.8) eflitli¤inde yerine konularak merkezcil ivme kolayl›kla hesaplanabilir.
F=ma ile verilen Newton’ un ikinci yasas› gere¤ince, kütlesi m olan bir cismin
düzgün dairesel hareket yapabilmesi için gerekli olan kuvvetin büyüklü¤ü,
F =m
v2
r
(3.10)
olarak bulunur. Dairenin merkezine yönelen bu tür kuvvetlere merkezcil kuvvet
denir. Merkezcil kuvvet, daha önce bahsedilen kuvvetlerden farkl› de¤ildir. Burada kullan›lan merkezcil ivme ve merkezcil kuvvet terimleri, dairesel hareket s›ras›nda bu vektörel niceliklerin daire merkezine yönelmifl oldu¤unu belirtmek için
kullan›l›r. Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin h›z› de¤iflmedi¤i için merkezcil kuvvetin büyüklü¤ü de (3.10) eflitli¤i gere¤ince sabit kal›r. Dünya’ n›n çevresinde dönmekte olan bir uyduyu yörüngede tutan yerçekimi kuvveti, viraja giren bir
otomobilin savrulmas›n› önleyen sürtünme kuvveti merkezcil kuvvetlere örnek
olarak verilebilir. Benzer flekilde bir ipin ucuna ba¤lanm›fl bir silginin döndürülmesi s›ras›nda da kastedilen merkezcil kuvvet, ipteki gerilme kuvvetidir.
SIRA
S‹ZDE
Örnekteki silgiyi dairesel yörüngede tutan ip aniden koparsa silginin
nas›l
hareket edece¤ini aç›klay›n›z.
6
2 m uzunlu¤undaki bir ipin ucuna ba¤lanm›fl 500 g kütleli bir tafl yatay bir düzlemde 10 m/s2 h›zla çevrilmektedir. Yerçekimi etkisini ihmal ederek,
S O R U
a) Tafl›n merkezcil ivmesinin,
b) ‹pteki gerilme kuvvetinin de¤erini bulunuz.
D Ü fi Ü N E L ‹ M
AMAÇLARIMIZ
DÖÜ R
fi ÜN
N EEL ‹K
M
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
70
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Çözüm:
a) Tafl›n merkezcil ivmesi (3.8) eflitli¤inden,
a=
v 2 (10 m / s)2
=
= 50 m / s 2
r
2m
bulunur.
b) Gerilme kuvvetinin büyüklü¤ü ise (3.10) eflitli¤i gere¤ince,
F =m
v2
= (0,5 kg)(50 m / s2 ) = 25 N
r
elde edilir.
ÖRNEK
Otomobil lastikleri üretilen bir fabrikada piyasaya sürülecek olan yeni seri lastiklerin performans› dairesel bir pist üzerinde sabit h›zla hareket eden bir otomobil kullan›larak test edilmektedir. Otomobil 50 m yar›çapl› pistin çevresini 20 s‘de dolaflt›¤›na göre,
a) Otomobilin h›z› nedir?
b) ‹vmesi ne kadard›r?
c) Yol ve tekerlekler aras›ndaki statik sürtünme katsay›s› nedir?
fiekil 3.13
Çözüm:
a) Dairesel pistte dönen otomobilin h›z›,
(3.9) eflitli¤i gere¤ince,
Otomobilin
hareketi
v=
2πr 2 (3,14)(50 m)
=
= 15,7 m / s
tp
20 s
bulunur.
b) Otomobilin merkezcil ivmesi (3.8) eflitli¤inden,
a=
fiekil 3.14
N
Otomobile
etkiyen
kuvvetler
fs
v 2 (15,7 m / s )2
=
= 4,9 m / s 2
r
50 m
elde edilir.
c) Otomobile etkiyen kuvvetler flekil 3.14’de gösterilmifltir. Araban›n dairesel yörüngede hareket etmesini sa¤layan merkezcil kuvvet fs statik sürtünme kuvvetidir. Düfley yönlü kuvvetlerden,
N-mg = 0,
W=mg
ve
N=mg
bulunur. Statik sürtünme kuvveti de (3.6) eflitli¤i gere¤ince,
f s = µs N = µs mg
71
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
elde edilir. Benzer flekilde, yatay yöndeki fs statik sürtünme kuvveti merkezcil kuvvet oldu¤undan (3.10) eflitli¤i kullan›larak,
fs = m
v2
r
ifadesi yaz›labilir. Sürtünme kuvvetini ifade eden her iki eflitlik birlefltirilirse,
µs mg = m
v2
r
ba¤›nt›s›na ulafl›l›r. Buradan statik sürtünme katsay›s›n›n de¤eri,
µs =
ν2
(5,7 m / s)2
=
= 0,07
rg (50 m)(9,8 m / s)
bulunur.
GER‹ ÇA⁄RICI KUVVET
Cisimler her zaman sabit büyüklükteki kuvvetlerin etkisi alt›nda hareket etmezler.
Bazen cisimler üzerine etki eden kuvvetin büyüklü¤ü de¤iflebilir. Bu tür bir fiziksel sistem fiekil 3.15’ te gösterilmifltir. Burada
sürtünmesiz yatay bir zemin üzerinde kayabilen bir blok, bir ucu duvara sabitlenmifl sarmal
bir yaya ba¤lanm›flt›r. Yay ilk durumda ne gerilmifl ne de s›k›flt›r›lm›flt›r. Yay ve bloktan oluflan sistemin bu konumuna denge konumu
denir.
Yay, denge konumundan itibaren uzunlu¤u kadar gerilir veya s›k›flt›r›l›rsa blok üzerine
büyüklü¤ü,
F = -kx
fiekil 3.15
Geri
ça¤r›c›
kuvvet
(3.11)
ile verilen bir kuvvet uygular. Eflitlikteki k niceli¤ine yay sabiti ya da kuvvet sabiti ad› verilir. Bu sabit yay›n sertli¤inin bir ölçüdür. Yay sertlefltikçe yay sabitinin
büyüklü¤ü de artar. SI birim sisteminde yay sabitinin birimi newton(N)/metre(m)’
dir. Hooke yasas› olarak da bilinen (3.11) eflitli¤ine göre yay›n uygulad›¤› kuvvet,
yay›n s›k›flma veya gerilme miktar›yla do¤ru orant›l› olarak de¤iflir. Eflitlikteki eksi
iflareti yayda oluflan kuvvetin yay›n gerilme veya s›k›flma do¤rultusuna ters yönde
oldu¤unu gösterir. Örne¤in; fiekil 3.15’ teki blok sa¤a do¤ru çekilirse yay kuvveti
sola do¤ru, blok sola do¤ru çekilirse yay kuvveti bu kez sa¤a do¤ru olacakt›r. Di¤er bir ifadeyle yay kuvveti blo¤u daima denge konumuna geri götürmeye çal›fl›r.
Bu nedenle yay kuvvetine geri ça¤r›c› kuvvet de denir.
Hook yasas›na göre yay›n
uygulad›¤› kuvvet, yay›n
s›k›flma veya gerilme miktar›
ile orant›l›d›r.
72
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
ÖRNEK
fiekil 3.16
Yay›n
denge
durumu
2 kg kütleli bir blok, düfley olarak bir ucundan tavana sabitlenmifl bir yay›n di¤er
ucuna as›lm›flt›r. Yay bu durumda, denge konumuna göre 20 cm uzad›¤›na göre
yay›n kuvvet sabitini bulunuz.
Çözüm:
Yay›n uzama miktar› d ile gösterilsin. Sistem denge durumuna ulaflt›¤›nda yayda oluflan yukar› yönlü F=kd geri ça¤r›c› kuvveti, cismin afla¤› yönlü W=mg a¤›rl›¤›na eflitlenir, F=W.
Buradan,
kd=mg ve k =
bulunur.
mg (2 kg)(9,8 m / s 2 )
=
= 98 N / m
d
0,2 m
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
73
Özet
N
A M A Ç
1
N
AM A Ç
2
Kuvvet kavram›n› ifade etmek.
Duran bir cismi harekete geçiren, hareket eden
bir cismi durduran veya yavafllatan, yönünü de¤ifltiren, cisimler üzerinde flekil de¤iflikli¤i yapabilen etkiye kuvvet denir. Bir cisim üzerine etki
eden kuvvet onun nas›l hareket edece¤ini belirler. Üzerine herhangi bir kuvvet etki etmeden
duran bir cisim kendi kendine harekete geçemez. Di¤er taraftan hareket halindeki bir cisim
üzerine etki eden kuvvet ise onu h›zland›rabilir,
yavafllatabilir veya yönünü de¤ifltirebilir. Benzer
flekilde kuvvet, cisimleri bir eksen etraf›nda döndürebilir veya onlar›n geometrik yap›s›n› da de¤ifltirebilir. Kayna¤› ne olursa olsun kuvvet, hem
büyüklü¤ü hem de yönü ile belirlendi¤inden vektörel bir niceliktir. Bir cisme uygulanan net kuvvet(bileflke kuvvet), cisim üzerindeki ayr› ayr› itme ve çekme kuvvetlerinin vektörel toplam›n›
ifade eder.
Do¤adaki kuvvetleri s›n›fland›rmak.
‹ki cismin birbirine fiziksel olarak de¤mesi sonucu ortaya ç›kan kuvvetlere temas kuvvetleri ad›
verilir. Aralar›nda fiziki temas olmayan cisimler
aras›ndaki etkileflme kuvvetlerine alan kuvvetleri
denir. Günlük yaflant›m›z incelendi¤inde çok say›da kuvvetin varl›¤›ndan söz edilebiliriz. Her ne
kadar birbirinden çok farkl› gibi görünse de do¤ada kütle çekim kuvveti, elektro-zay›f kuvvetler
ve güçlü çekirdek kuvvetleri olmak üzere üç temel kuvvet bulunur. Kütle çekim kuvveti, kütleler aras›nda karfl›l›kl› olarak do¤an çekme kuvvetidir. Elektro-zay›f kuvvetler ise kayna¤› itibariyle
elektromanyetik kuvvetleri ve zay›f çekirdek kuvvetlerini içerir. Elektromanyetik kuvvetler, durgun veya yüklü parçac›klar aras›nda çekme veya
itme fleklinde ortaya ç›kan orta fliddetteki kuvvetlerdir. Zay›f çekirdek kuvvetleri ise k›sa mesafelerde etkili olup radyoaktif çekirde¤in baflka bir
atomun çekirde¤ine dönüflme mekanizmas›ndan
sorumludur. fiiddetli çekirdek kuvvetleri bütün
kuvvetlerden güçlü olup atom çekirde¤ini oluflturan parçac›klar aras›nda görülür.
N
A M A Ç
3
N
AM A Ç
4
N
AM A Ç
5
Newton yasalar›n› aç›klamak.
Newton’ un birinci yasas›na göre bir cisim üzerine d›flar›dan bir kuvvet etki etmedikçe veya etki
eden kuvvetlerin bileflkesi(net kuvvet) s›f›r ise,
cisim duruyorsa durgun kalmaya devam eder,
hareketli ise sabit bir h›zla do¤rusal hareketini
sürdürür. Newton’ un ikinci yasas›; bir cismin ivmesinin o cisme etki eden net(bileflke) kuvvetle
do¤ru orant›l›, kütlesi ile ters orant›l› oldu¤unu
ifade eder. Bu yasa matematiksel olarak F=ma
eflitli¤i ile verilir. Etki-tepki yasas› da denilen
üçüncü yasaya göre; bir A cismi bir B cismine
kuvvet uygularsa(etki kuvveti) , FAB B cismi de
A cismine eflit büyüklükte ama z›t yönde bir kuvvet(tepki kuvveti) FBA uygular. Bu ifade matematiksel olarak, FBA = -FBA fleklinde verilir.
Kütle ve a¤›rl›k kavramlar›n› ay›rt etmek
Kütle, bir cismin içerdi¤i madde miktar› olarak
tan›mlan›r ve eylemsizli¤inin bir ölçüsüdür. Cismi oluflturan proton, nötron ve elektronlar›n miktar›na ba¤l›d›r. F=ma ba¤›nt›s›ndan yararlan›larak hesaplanan kütleye eylemsizlik kütlesi, eflit
kollu terazi ile ölçülen kütleye çekim kütlesi denir. Skaler bir nicelik olan kütlenin SI birimi kg’
d›r. A¤›rl›k ise cisme uygulanan kütle çekimi kuvvetidir. Vektörel bir nicelik olan a¤›rl›k di¤er büN) birimi ile ölçülür.
tün kuvvetler gibi newton(N
Kütle, cismin çevresinden ba¤›ms›z ve de¤iflmeyen bir özelli¤idir. Bir cismin a¤›rl›¤› ise bulundu¤u yere göre de¤iflir.
Sürtünme kuvvetinin do¤as›n› aç›klamak
Sürtünme kuvveti, birbirine temas eden iki yüzey aras›ndaki elektriksel etkileflimden kaynaklan›r. N, cismin temas etti¤i yüzeye iliflkin normal kuvvetin büyüklü¤ü olmak üzere sürtünme
kuvveti ƒ=µN eflitli¤i ile tan›mlan›r. Buradaki µ
niceli¤ine sürtünme katsay› ad› verilir. Sürtünme
kuvvetinin büyüklü¤ü sürtünen yüzeylerin alan›ndan ba¤›ms›z olup, yüzeylerin cinsine(beton,
cam, tahta, teflon,...), s›cakl›¤›na, kirlilik derecesine, cilal› veya pürüzlü olufluna göre de¤iflir.
74
N
AM A Ç
6
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Konuma göre de¤iflen kuvvetleri tan›mak.
Bir cismin sabit bir h›zla dairesel bir yörüngedeki
hareketine düzgün dairesel hareket denir. E¤er
cismin h›z› v, dairesel hareketin yar›çap› r olursa
cismin kazanaca¤› ivme a=v2/r olup merkezcil ivme olarak adland›r›l›r. Kütlesi m olan bir cismin
düzgün dairesel hareket yapabilmesi için gerekli
olan kuvvetin büyüklü¤ü F=mv2/r ile verilir.
Bir yay denge konumundan itibaren uzunlu¤u kadar gerilir veya s›k›flt›r›l›rsa, yayda büyüklü¤ü F= kx ile verilen bir kuvvet oluflur. Burada k, yay sabiti ad› verilen bir nicelik olup yay›n sertli¤inin bir
ölçüdür. Hooke yasas› olarak bilinen bu eflitli¤e
göre yay›n uygulad›¤› kuvvet, yay›n s›k›flma veya
gerilme miktar›yla do¤ru orant›l› olarak de¤iflir.
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
75
Kendimizi S›nayal›m
1. Afla¤›daki kuvvetlerden hangisi di¤erlerinden farkl›d›r?
a. Kütle çekimi kuvveti
b. Sürtünme kuvveti
c. Güçlü çekirdek kuvvetleri
d. Zay›f çekirdek kuvvetleri
e. Elektromanyetik kuvvetler
2. Kütlesi 75 kg olan bir paraflütçü uçaktan atlad›ktan hemen sonra sabit büyüklükteki bir h›za ulafl›r. Bu durumda paraflütçüye etki eden kuvvetler için söylenen afla¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r? (g=10 m/s2 al›n›z.)
a. Paraflütçüye etki eden kuvvetlerin toplam› s›f›rd›r.
b. Paraflütçünün a¤›rl›¤› 750 N’ dur.
c. Paraflütçüye etki eden sürtünme kuvvetinin büyüklü¤ü 750 N’ dur.
d. Paraflütçü 10 m/s2 büyüklü¤ündeki bir ivme ile alçal›r.
e. Paraflütçünün ivmesi s›f›rd›r.
3. Sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerinde hareket edebilen 3 kg kütleli bir blok a¤›rl›ks›z bir iple 2 kg kütleli
di¤er bir blo¤a fiekil 3.17’ de gösterildi¤i ba¤lanm›flt›r.
Sistem bu hali ile serbest b›rak›l›rsa 3 kg kütleli blo¤un
ivmesi kaç olacakt›r? (g =10m/s2 al›n›z.)
a. 1
b. 2
c. 4
d. 5
e. 7
fiekil 3.17 Birbirine ba¤l› iki blok
4. ‹pteki gerilme kuvveti kaç N’ dur ?
a. 4
b. 8
c. 10
d. 12
e. 20
5. Patenleriyle beraber toplam kütlesi 30 kg olan bir
çocuk e¤imli bir buz pistinde kaymaktad›r. E¤er patenlerle buz pisti aras›nda sürtünme olmad›¤›n› varsay›l›rsa, çocu¤un ivmesi kaç olacakt›r? (g =10 m/s2, sin30°
=0,5 ve cos30° =0,8 al›n›z.)
a. 2
b. 4
c. 5
d. 6
e. 8
6. 3 kg kütleli bir blok, sürtünmeli yatay düzlemde hareket etmektedir. Blokla yatay düzlem aras›ndaki kinetik sürtünme katsay›n›n de¤eri 0,1 ise blo¤unun ivmesinin büyüklü¤ü kaç m/s2’dir ? (g =10 m/s2 al›n›z.)
a. 1
b. 2
c. 4
d. 5
e. 6
7. Yatay düzlemde duran 3 kg kütleli bir cisim 12 N büyüklü¤ünde bir kuvvetle itildi¤i zaman 2 m/s2’ lik bir ivme kazanmaktad›r. Cisimle zemin aras›ndaki sürtünme
kuvveti kaç N ’dur?
a. 3
b. 4
c. 6
d. 8
e. 10
8. A¤açtan düflen 300 g kütleli bir elma ile Dünya aras›ndaki etkileflim için afla¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r? (Yerçekimi ivmesini g =10 m/s2 ve Dünya’n›n kütlesini M=6.1024 kg al›n›z.)
a. Elman›n a¤›rl›¤› 3 N’ dur.
b. Elma, Dünya’ ya N’ lik bir ivme ile yaklaflmaktad›r.
c. Dünya, elmay› 3 N’ luk bir kuvvetle kendisine
do¤ru çekmektedir.
d. Elma, Dünya’ y› 3 N’ luk bir kuvvetle kendisine
do¤ru çekmektedir.
e. Elma, Dünya’ ya herhangi bir kuvvet uygulamaz.
76
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
“
9. Yay sabiti 240 N/m olan bir yay› 20 cm s›k›flt›rmak
için kaç N’ luk bir kuvvet uygulamak gerekir?
a. 12
b. 48
c. 120
d. 480
e. 1200
10. 30 kg kütleli bir çocuk 2 m yar›çapl› atl›kar›ncan›n
d›fl taraf›nda ayakta durmaktad›r. Atl›kar›nca 0,4 m/s h›zla dönmekte ise çocu¤un hisseti kuvvetin büyüklü¤ü
kaç N’ dur?
a. 0,4
b. 0,8
c. 1,2
d. 1,6
e. 2,4
Yaflam›n ‹çinden
Ay’la Aram›zda Mesafe Büyüyor
Giderek daha küçük görülecek olan Ay, bir gün bir y›ld›z kadar, daha sonralar› ise hiç görülmeyecek. Bu süreç yüzbinlerce y›l alsa da, bir gün Dünya’ n›n uydusu
olmaktan ç›kaca¤› art›k kesin
olarak biliniyor.
fiu s›ralar Dünya ile Ay aras›ndaki mesafe 384 bin 403
kilometre. Ancak, 1969’ dan
beri yap›lan ölçünler, Ay’ ›n
her y›l 3.8 santimetre uzaklaflt›¤›n› ortaya koyuyor.
Apollo misyonuyla Ay’a giden ve 21 Temmuz 1969’ da
Ay’ ›n yüzeyine 100 aynadan oluflan bir panel b›rakan
ünlü astronotlar Buzz Aldrin ve Neil Armstrong, Ay’ la
Dünya aras›ndaki mesafenin kesin olarak ölçülmesini
sa¤lad›lar.
Teksas’ta bulunan McDonald Gözlemevi’nden, her gün,
ayn› saatte, dakikas›n› aksatmadan, Ay’›n yüzeyindeki
bu aynal› panele bir lazer ›fl›n› gönderiliyor. Panelin aynalar› taraf›ndan yeniden Dünya’ ya yans›t›lan lazer ›fl›n›, gözlemevindeki teleskop ve hassas ölçüm aletleri taraf›ndan yakalan›p, Dünya ile Ay aras›ndaki mesafe ölçülüyor. 40 y›ldan beri, her gün, ayn› saatte yap›lan ölçüm, Ay’ ›n Dünya’ dan yavafl yavafl ama hiç durmadan
uzaklaflt›¤›n› ortaya koyuyor.
NASA, flimdi de New Mexico Çölü’nde yeni bir gözlemevi kurup, bu ölçümü daha da hassas biçimde yapmak için harekete geçti. Apache ad› verilen gözlemevine dev bir teleskop kuruldu. Ay’›n Dünya’dan uzaklaflma h›z›, buradan da s›k› biçimde takip edilecek.
Kaynak: Hürriyet, 20 Mart 2009.
”
3. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi
77
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1.b
2.d
3.c
4.d
5.c
6.a
7.c
8.e
9.b
10.e
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kuvvet Kavram›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Newton’ un Birinci Yasas›”
bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Newton’ un ‹kinciYasas›”
bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Newton’ un ‹kinciYasas›”
bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Newton’ un ‹kinciYasas›”
bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Normal Kuvvet ve Sürtünme
Kuvveti” ile “Newton’ un ‹kinciYasas›” bafll›kl›
konular› yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Normal Kuvvet ve Sürtünme
Kuvveti” ile “Newton’ un ‹kinciYasas›” bafll›kl›
konular› yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Newton’ un ÜçüncüYasas›”
bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Geri Ça¤r›c› Kuvvet” bafll›kl›
konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Düzgün Dairesel Hareketin
Dinami¤i” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
S›ra Sizde 1
Pusula i¤nesi Dünya’ n›n manyetik alan›ndan etkilenir.
Dolay›s› ile pusu i¤nesini kuzey-güney do¤rultuda tutan manyetik kuvvet, temel kuvvetlerden elektro-zay›f
kuvvetler içerisinde yer al›r.
S›ra Sizde 2
Ya¤mur damlas› yeryüzüne do¤ru düflerken a¤›rl›k kuvveti bir süre sonra sürtünme kuvveti taraf›ndan dengelenir. Üzerine etki eden net kuvvet bu andan itibaren
s›f›r oldu¤undan damla sabit h›zla yere düfler.
S›ra Sizde 3
Astronot, Dünya yörüngesindeki Huble uzay teleskobunu tamir ederken nerede ise yerçekimsiz bir ortamda
hareket eder. Bu nedenle monte etti¤i parçalar a¤›rl›ks›z olaca¤› için hangisinin küçük hangisinin büyük kütleli oldu¤unu anlayamaz.
S›ra Sizde 4
Sürtünme katsay›s›, iki kuvvetin birbirine oran› (sürtünme kuvvetinin normal kuvvete oran›) oldu¤u için birimsizdir.
S›ra Sizde 5
Otomobile kaymamas› için tafl, kum torbas› vb. eklemek otomobilin a¤›rl›¤›n› artt›racakt›r. A¤›rl›k, yüzeyin
normal kuvveti taraf›ndan dengelendi¤inden bu durum
normal kuvvetin artmas› anlam›na gelir. Sonuç olarak
yol ile otomobil aras›ndaki sürtünme kuvveti de f=µN
ba¤›nt›s›na göre artar. Otomobil eskisine göre daha az
kayacakt›r.
S›ra Sizde 6
Silgiyi dairesel yörüngede tutan ip aniden koparda silgi üzerine etki eden herhangi bir kuvvet kalmaz. Newton’ un birinci yasas›na göre silgi bu andan itibaren sahip oldu¤u h›z› koruyarak yörüngeye te¤et olan bir
do¤ru boyunca hareket eder.
Yararlan›lan Kaynaklar
Fishbane, P.M., Gasiorowicz, S. Thornton, S. T. Yalç›n,
C.(Çeviri Ed.) (2006). Temel Fizik 2, Ankara: Arkadafl Yay›nevi,
Gettys, W.E., Keller, F., J., Skove, M. J., Akyüz, R.Ö.(Çeviri Ed.) (1995). Fizik, 1.Cilt, ‹stanbul: Literatür Yay›nc›l›k,
Halliday D., Resnick R. (1992). Fizi¤in Temelleri,
1.Cilt: Mekanik ve Termodinamik, Ankara: Arkadafl Yay›nevi,
Nolan, P. J. (1993). Fundamentals of College Physics,
Melbourne: Wm. C. Brown Publishers,
Orhun, Ö. ve di¤erleri, Orhun Ö. (Ed) (2007). Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri, Ankara: Nobel Yay›n Da¤›t›m.
Serway, R.A., Beichner, R.J. Jevett, J., Çolako¤lu, K.(Çeviri Ed.) (2007). Fen ve Mühendislik için Fizik,
Ankara: Palme Yay›nc›l›k,
http://www.knowengg.com
4
TEKNOLOJ‹N‹N B‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I
Amaçlar›m›z
N
N
N
N
N
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Statik denge kavram›n› ifade edebilecek,
Kuvvetin döndürme etkisini tart›flabilecek,
Kat› cisimlerin denge koflullar›n› aç›klayabilecek,
Kat› cisimlerin a¤›rl›k merkezlerini bulabilecek,
Kütle merkezinin yerini belirlelebilecek bilgi ve becerileri edinmifl olacaks›n›z.
Anahtar Kavramlar
• Statik
• Denge
• Moment
• Kat› cisim
• A¤›rl›k merkezi
• Kütle merkezi
‹çindekiler
Teknolojinin Bilimsel
‹lkeleri-I
Kat› Cisimlerin
Statik Dengesi
• G‹R‹fi
• KATI C‹S‹MLER‹N DENGE
KOfiULLARI
• A⁄IRLIK MERKEZ‹
• KÜTLE MERKEZ‹
Kat› Cisimlerin
Statik Dengesi
G‹R‹fi
Üzerine kuvvet uygulanan cisimlerin ivmeli hareketi Newton yasalar›yla kolayl›kla incelenebilir. Oysa denge durumu ad› verilen baz› özel koflullarda üzerlerine
kuvvet etki etse dahi cisimlerin ivmelenmesi istenmez. Denge terimiyle, cisimlerin
ya durdu¤u ya da sabit h›zla hareket etti¤i vurgulan›r. Bu bölümde ise cisimlerin
tamamen durgun kald›¤› özel bir denge durumu incelenecektir.
Mühendislik-mimarl›k uygulamalar›ndan bir makine parças›n›n tasar›m›na var›ncaya kadar günlük yaflam›n hemen hemen her alan›nda dengenin temel prensiplerinden yararlan›l›r. Binalar›n depremden dolay› zarar görmemesi, asma köprülerin trafik yükünden veya rüzgâr etkisinden çökmemesi, fren yapan bir otomobilin balatas›n›n görevini tam olarak yerine getirebilmesi için denge analizinin yap›lmas› gerekir. Noktasal bir parçac›¤›n dengede kalabilmesi için üzerine etkiyen
kuvvetlerin vektörel toplam›n›n s›f›r olmas› yeterli iken, günlük yaflant›m›zda karfl›laflt›¤›m›z herhangi bir cismin denge halinden bahsedebilmek için bu kuvvetlerin
olas› döndürme e¤ilimi de engellenmelidir. Bu nedenle infla edilecek yap›lara veya üretilen parçalara etki eden kuvvetler ve bu kuvvetlerin olas› döndürme etkileri proje aflamas›nda belirlenir. Olumsuz görülen etkenler gerek uygun malzeme seçimi gerekse de tasar›m yoluyla giderilir.
KATI C‹S‹MLER‹N DENGE KOfiULLARI
Daha önce Newton yasalar›ndan bahsederken bir cisme etki eden kuvvetlerin toplam›n›n s›f›r olmas› halinde cismin ya hareketsiz kalaca¤›n› ya da sabit bir h›zla yoluna devam edece¤ini belirtmifltik. Duran veya sabit h›zla hareket eden bir cismin
dengede oldu¤u söylenir. Fakat baz› durumlarda cisimler üzerine etki eden net
kuvvetin s›f›r olmas›, cisimlerin durgun kalmas› için yeterli olmayabilir. Örne¤in,
serinlemek için kullan›lan tavana as›l› bir vantilatörün pervanesi tavana sabitlendi¤i halde bir mil etraf›nda döner, yani hareketlidir.
Fizi¤in statik ad› verilen bölümü, örnekteki vantilatörün pervanesi gibi kat› cisimlerin hareketsizlik koflullar›n› inceler. Kat› cisim, d›fl kuvvetlerin etkisi alt›nda flekil
de¤ifltirmeyen cisim anlam›na gelir. Kurflunkalem silgisi, ekmek hamuru, plastik top
gibi cisimler esnektir ve üzerlerine bir kuvvet uyguland›¤›nda flekil de¤ifltirirler. Bu tür
cisimler bizim tart›flma konumuz d›fl›ndad›r. Statik inceleme ile kuvvetlerin yan› s›ra
bu kuvvetlerin döndürme etkileri de araflt›r›l›r. Üzerine birçok kuvvet etki etmesine
ra¤men bir cisim hareketsiz kal›yorsa bu denge durumu statik denge olarak adland›r›l›r. Statik dengedeki kat› bir cisim hareketsizdir, yani ne yer de¤ifltirir ne de döner.
Statik dengedeki bir cisim
hareketsizdir, yani ne yer
de¤ifltirir ne de döner.
80
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Dengenin Birinci Koflulu
Dengenin birinci kofluluna
göre cisim üzerine etki eden
bileflke kuvvet s›f›r
olmal›d›r.
Kat› bir cismin denge durumunda olabilmesi için temel olarak herhangi bir ivmeye sahip olmamas› gerekir. Di¤er bir ifadeyle ivme s›f›rsa, cisim dengededir. ‹vmesinin s›f›r olmas› durumunda cismin h›z›nda bir de¤iflimin söz konusu olamayaca¤› aç›kt›r. Cisim ya hareketsizdir, ya da sabit h›zla hareket etmektedir.
Statik dengenin analizi mühendislik uygulamalar› için büyük önem tafl›r. Bu nedenle bir bina veya köprü yap›lmadan önce statik projeleri haz›rlan›r. Bu tür bir
statik projede genel prensip yap›y› oluflturan her bir parçaya etki eden net(bileflke) kuvvetin s›f›r olmas›d›r. Bu prensip dengenin birinci koflulu olarak adland›r›l›r
ve matematiksel olarak,
∑F = F1 + F2 + ... + Fn = 0
(4.1)
fleklinde ifade edilir. Eflitlikteki ∑ simgesi “sigma” olarak okunur ve kuvvetlerin
toplanaca¤› anlam›nda kullan›l›r. Kuvvet vektörel bir nicelik oldu¤undan düfley ve
yatay yöndeki bileflenleri cinsinden de yaz›labilir. Bu durumda (4.1) eflitli¤i,
∑Fx = F1x + F2x + ... + Fnx = 0
(4.2)
∑Fy = F1y + F2y + ... + Fny = 0
(4.3)
ve
biçimine dönüflür.
fiekil 4.1
Masa üzerinde
duran kutu
Statik dengedeki cisimlerin en basit
örneklerinden biri olarak fiekil
N
4.1’de görülen masa üzerinde hareketsiz duran bir kutu verilebilir. Kutu
üzerine etki eden kuvvetler, afla¤›
yönlü W yerçekimi kuvveti(a¤›rl›¤›)
ile masan›n kutuya uygulad›¤› yukar›
yönlü N normal kuvvetidir. Kutu masa üzerinde hareketsiz durdu¤una göre, kutunun ivmesi s›f›rd›r. Kutunun
W=mg
ivmesinin s›f›r olmas›n›n nedeni kutu
üzerine etki eden W ve N kuvvetlerinin birbirini dengelemesidir.
Bu durumu aç›klamak üzere, cisimlerin denge haline iliflkin birinci koflulu tan›mlayan (4.1) eflitli¤i kullan›labilir. Kutuya etkiyen kuvvetlerin toplam› için,
∑F = N + W = 0
(4.4)
ifadesi yaz›labilir. E¤er yukar› yönlü kuvvetler pozitif iflaretli, afla¤› yönlü kuvvetler ise negatif iflaretli seçilirse,
N–W=0
(4.5)
N=W
(4.6)
ve
eflitli¤ine ulafl›l›r. Görüldü¤ü üzere masan›n kutuya uygulad›¤› yukar› yönlü N
kuvveti ile, kutunun afla¤› yönlü W a¤›rl›¤› birbirine eflittir.
81
4. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi
Denge durumunu baflka bir örnekle
aç›klamak üzere fiekil 4.2’de görülen m
kütleli cismi ele alal›m. Cisim üzerine, F1,
F2, F3 ve ile gösterilen üç farkl› kuvvet etki etmektedir. Öte yandan bu üç kuvvete ra¤men cisim hareketsiz kal›yorsa, ivmesi s›f›rd›r (a = 0). Bu durumda cisim
statik dengededir. Dengenin birinci kofluluna göre cisim üzerine etkiyen d›fl
kuvvetlerin toplam› s›f›r olmal›d›r:
∑F = F1 + F2 + F3 = 0
fiekil 4.2
Cisme etkiyen kuvvetler ve bileflenleri
y
F1
F1y
F3
-x
F3y
F2x
F3x
F1x
m
x
(4.7)
Yukar›daki eflitli¤i, bu üç kuvvetin x
ve y ekseni yönündeki bileflenleri cinsinden;
∑Fx = F1x + F2x – F3x = 0
(4.8)
∑Fy = F1y + F2y – F3y = 0
(4.9)
F2y
F2
-y
biçiminde de ifade etmek mümkündür. Di¤er bir deyiflle, cismin dengede olabilmesi için cisme etkiyen d›fl kuvvetlerin x ve y ekseni yönündeki bileflenlerinin toplam›n›n da s›f›r olmas› gerekir.
Eflit bölmeli ve sürtünmesiz yatay düzlemde duran M cismine fiekil 4.3’deki gibi F1,
F2, F3 kuvvetleri etki etmektedir. M cisminin hareketsiz kalmas› için uygulanmas›
gereken F4 kuvvetinin yönü ve büyüklü¤ü ne olmal›d›r?
Çözüm:
Eflitlik 4.7 ile ifade edilen dengenin
birinci kofluluna göre M cismi üzerine etkiyen kuvvetlerin toplam› s›f›r olmal›d›r:
fiekil 4.3
M cismi ve
kuvvetler
F1
F1 + F2 + F3 + F4 = 0
F4 kuvvetinin büyüklü¤ü ve yönü bilinmedi¤ine göre bu kuvvetin yatay bilefleni
F4x, düfley bilefleni de F4y ile gösterilsin.
M cisminin bulundu¤u konum sanal bir
koordinat sisteminin merkezi olarak kabul edilerek, dengenin birinci koflulu dört
kuvvetin yatay (x) ve düfley (y) yönündeki bileflenleri cinsinden yaz›l›rsa;
ÖRNEK
M
F2
F3
F1x + F2x + F3x + F4x = –3 – 5 + 5 + F4x = 0,
F1y + F2y + F3y + F4y = 6 – 4 – 2 + F4y = 0,
ve F4x = 3 birim, F4y = 0 bulunur. Di¤er bir ifadeyle, M cisminin hareketsiz kalmas› için sa¤a do¤ru 3 birim büyüklü¤ünde bir F4 kuvveti uygulanmal›d›r.
82
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
ÖRNEK
2 kg kütleli bir top fiekil 4.4’de görüldü¤ü gibi a¤›rl›ks›z bir iple tavana as›lm›flt›r.
Topa yatay yönde uygulanan F kuvveti nedeniyle ip düfleyle 30° aç› yapmaktad›r.
Sistem bu hali ile dengede oldu¤una göre ipteki gerilme kuvveti ile topa uygulan F
kuvvetinin de¤erini bulunuz.
fiekil 4.4
Çözüm:
‹pteki gerilme kuvveti yatay ve düfley bileflenlerine ayr›ld›ktan sonra dengenin birinci flart›ndan,
Dengedeki topa
uygulanan
kuvvetler
∑Fx = F – T sin 30° = 0
ve
F – T sin 30° = 0
elde edilir. Benzer flekilde düfley bileflenler için,
∑Fy = T cos 30° – W = 0
eflitli¤i yaz›l›rsa buradan,
T=
W
cos 30o
=
mg
cos 30o
=
( 2 kg)(9, 8 m / s 2 )
= 22, 8 N
0, 86
bulunur. F kuvvetinin büyüklü¤ü ise,
F = T sin 30° = (22,8 N)(0,5) = 11,4 N
fiekil 4.5
Disk ve üzerine
etkiyen kuvvetler
olmal›d›r.
Buraya kadar verilen örneklerde noktasal bir parçac›k olarak kabul edilen bir
cismin dengede olabilmesi için cisim üzerine etkiyen kuvvetlerin vektörel toplam›n›n s›f›r olmas› gerekti¤i vurgulanm›flt›. Ancak, fiekil 4.5a’da görülen r yar›çapl› bir
disk gibi hacimli bir cismin farkl› noktalar›na vektörel toplamlar› s›f›r olan bir dizi
kuvvetin uygulanmas› durumunda dengenin sa¤lanabilmesi için bu koflul tek bafl›na yeterli de¤ildir.
F
F
r
O
r
r
F
(a)
O
r
F
(b)
fiekil 4.5a incelendi¤inde disk üzerine etkiyen kuvvetlerin vektörel toplam›n›n
gerçekten de s›f›r oldu¤u görülmektedir. Diskin yer de¤ifltirerek ivmelenmesi söz konusu de¤ildir. Dolays›yla dengenin birinci koflulu sa¤lanm›flt›r. Öte yandan disk üze-
4. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi
83
rine etkiyen kuvvetler onu saat yönünde dönmeye zorlamaktad›r. Disk, O ile gösterilen geometrik merkezi etraf›nda ve saat ibreleri yönünde artan bir h›zla dönecektir.
Di¤er taraftan fiekil 4.5a’da görülen kuvvetlerin fiekil 4.5b’deki gibi diskin merkezine uygulanmas› durumunda dengenin birinci koflulunun yine sa¤land›¤›na fakat bu kez diskin dönmeyece¤ine dikkat ediniz. Dolay›s›yla cisim üzerine etkiyen
kuvvetin büyüklükleri yan›nda an›lan kuvvetlerin cisim üzerindeki uygulama noktas› da hareketin do¤as› aç›s›ndan çok önemlidir. Aç›kça bu tart›flma, statik denge
koflullar› incelenirken cisimler üzerine etkiyen kuvvetlerin büyüklükleri ve yönleri yan›nda döndürme etkilerinin de dikkate al›nmas› gerekti¤ini göstermektedir.
Kuvvetin Döndürme Etkisi: Moment
Bir itme veya çekme etkisi olarak tan›mlanan kuvvetin cisimlere bir ivme kazand›rd›¤›n› biliyoruz. Bu bölümde ise kuvvetin cisimler üzerindeki di¤er bir etkisi
olan döndürme etkisinden söz edece¤iz. Kap› ve pencereleri aç›p kapat›rken,
muslu¤u, kap› anahtar›n› veya otomobilin direksiyonunu çevirirken, bir viday› tor- Kuvvetin döndürme etkisine
navida ile s›karken kuvvetin döndürme etkisinden faydalan›r›z. Kuvvetin bu dön- moment denir.
dürme etkisine moment ad› verilir.
fiekil 4.6’da görüldü¤ü gibi bir O noktas› etrafiekil 4.6
f›nda serbestçe dönebilen bir demir çubu¤u ele
Kuvvetin döndürme etkisi
alal›m. Demir çubuk bir ucundan sabitlendi¤i
için di¤er ucuna uygulanan F kuvvetinin etkisiyle dönecektir. Burada kuvvetin çubu¤a dik uygulanmad›¤›na dikkat ediniz. E¤er F kuvveti bileflenlerine ayr›l›rsa kuvvetin çubukla ayn› do¤rultudaki Fp bilefleninin çubu¤u sadece sa¤a do¤ru hareket ettirmeye çal›flt›¤›n› görürüz. Kuvvetin bu bilefleninin çubu¤un döndürülmesine bir
etkisi olmayacakt›r. Çubu¤u as›l döndüren, F
kuvvetinin çubu¤a dik bilefleni Fd’dir.
Genellikle M sembolü ile temsil edilen momentin büyüklü¤ü, kuvvetin çubu¤a
dik olan bilefleninin büyüklü¤ü (Fd) ile kuvvetin uyguland›¤› noktan›n O dönme
noktas›na olan uzakl›¤›n›n (d) çarp›m›na eflittir,
M = Fdd.
(4.10)
Öte yandan, Fd = F sinθ oldu¤una göre yukar›daki eflitli¤i,
M = F d sinθ
(4.11)
biçiminde de yazmak mümkündür.
Vektörel bir nicelik olan momentin birimi N.m’dir. Eflitlik (4.11)’den anlafl›laca¤› üzere moment uygulanan kuvvete ba¤l›d›r. Büyük olan kuvvet daima küçük
olandan daha etkili moment meydana getirir. Yine ayn› eflitlikten momentin kuvvet kolu da denilen d uzakl›¤›na da ba¤l› oldu¤unu görüyoruz. Di¤er bir deyiflle
kuvvetin uyguland›¤› nokta, O dönme noktas›na ne kadar uzaksa moment de o
kadar büyük olacakt›r.
Moment kavram›n› biraz daha ayr›nt›l› incelemek üzere evimizdeki herhangi
bir odan›n kap›s›n› ele alal›m. E¤er odaya girmek için kap›n›n açma koluna bir itme kuvveti uygulan›rsa, kap›n›n menteflelerinin bulundu¤u bir kenar› etraf›nda
dönerek aç›ld›¤› görülür. Kap›n›n menteflelerinden geçen düfley bir eksen etraf›n-
84
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
da dönmesinin nedeni itme kuvvetinin (4.10) eflitli¤ine göre oluflturdu¤u momenttir. Momentin büyüklü¤ü; kap›n›n aç›lma yönünde ve kap›ya dik olarak uygulanan
itme kuvvetinin de¤eri (F) ile itme kuvvetinin uyguland›¤› noktan›n menflelerden
geçen dönme eksenine olan uzakl›¤›n›n (d) çarp›m›na eflittir. Menteflelerden geçen
dönme eksenine yaklaflt›kça bafllang›çtaki ile ayn› büyüklükte bir moment elde
edebilmek için kap›ya dik olarak uygulanmas› gereken kuvvet de¤erleri fiekil
4.7’de ayr›nt›l› olarak gösterilmifltir.
fiekil 4.7
Ayn› büyüklükte
bir moment elde
edebilmek için
kap›ya
uygulanmas›
gereken itme
kuvvetlerinin
dönme eksenine
olan uzakl›kla
de¤iflimi
d
d/2
d/4
Dönme
ekseni
Dönme
yönü
F
F
2F
8F
Kuvvetler cisimleri iki farkl› yönde döndürebilir. Keyfi olarak, e¤er kuvvet cismi saat ibrelerinin tersi yönde çevirmeye çal›fl›yorsa momentin iflareti pozitif (+),
saat ibreleri yönünde çevirmeye çal›fl›yorsa momentin iflareti negatif (-) al›n›r. Bir
cismin üzerindeki net (bileflke) moment elde edilirken pozitif ve negatif iflaretli
momentler cebirsel olarak toplan›r. Net moment pozitif iflaretli ise cisim saat ibrelerinin tersi yönde, negatif iflaretli ise saat ibreleri yönünde dönecektir. Örne¤in,
fiekil 4.6’da Fd kuvveti demir çubu¤u saat ibrelerinin tersi yönünde çevirmeye çal›flt›¤› için oluflan moment pozitif iflaretli al›n›r.
ÖRNEK
fiekil 4.8’de görülen anahtarla bir otomobil motoru üzerindeki c›vata s›k›lmak istenmektedir. Otomobil firmas›n›n teknik katalo¤unda c›vatan›n maksimum 30
N.m de¤erindeki bir momentle güvenli bir flekilde s›k›labilece¤i belirtilmektedir. Motor ustas›n›n bu ifllem için kullanaca¤› anahtar› c›vatan›n merkezinden itibaren,
fiekil 4.8
F1
Anahtar ve c›vata
F2
F3
+
r1
r2
r3
a.
r1 = 5 cm
b.
r2 = 10 cm
c.
r3 = 15 cm
uzakl›kta tutarak çevirmek istemesi
halinde anahtara dik olarak uygulayabilece¤i kuvvetin büyüklü¤ü en
fazla kaç N’dur?
4. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi
85
Çözüm:
Eflitlik 4.10’da verilen moment ifadesinden,
M = F1r1 = F2r2 = F3r3
denklemi kolayl›kla yaz›labilir. Buradan,
a. r1 = 5 cm = 0,05 m oldu¤una göre
F1 =
M 30 N.m
=
= 600 N ,
0, 05 m
r1
b. r2 = 10 cm = 0,1 m ise,
F2 =
M 30 N.m
=
= 300 N ,
r2
0,1 m
c. r3 = 15 cm = 0,15 m verildi¤ine göre
F3 =
M 30 N.m
=
= 200 N
0,15 m
r3
bulunur. Görüldü¤ü gibi motor ustas›n›n fiekil 4.8’de görülen anahtar› kademeli
olarak daha ucundan tutmak istemesi durumunda c›vatay› s›kmak için anahtara
uygulayabilece¤i dik kuvvetin büyüklü¤ü, c›vata merkezinden geçen dönme ekseninden uzaklaflt›kça orant›sal olarak azalmaktad›r. Di¤er bir ifadeyle matematiksel
olarak,
i. r1 → F1,
ii. r2 = 2 r1 → F2 =
iii. r3 = 3 r1 → F3 =
F1
2
,
F1
3
,
ba¤›nt›lar› kolayl›kla yaz›labilir.
Bir çocuk 120 cm geniflli¤indeki bir kap›y› tam ortas›ndan 3 N’luk bir kuvvetle itiyor. ‹tme kuvveti kap›ya dik olarak uyguland›¤›na göre,
a. Oluflan momentin de¤erini bulunuz.
b. Ayn› de¤erde bir moment elde edebilmek için çocuk kap›n›n ucunu kaç N’luk
bir kuvvetle itmelidir?
Çözüm:
a. Çocuk kap›y› tam orta noktas›ndan itti¤ine göre d mesafesi 60 cm’dir. Eflitlik
4.10’dan,
M = Fd d = (0,6 m)(3 N) = 1,8 N.m
bulunur.
ÖRNEK
86
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
b. Ayn› de¤erde bir moment elde edebilmek için çocuk kap›n›n ucunu,
Fd =
M 1, 8 N.m
=
= 1, 5 N
d
1, 2 m
büyüklü¤ündeki bir kuvvetle itmelidir. Dikkat edilirse kap›ya uygulanan kuvvet ilkinin yar›s›d›r.
SIRA S‹ZDE
1
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Dengenin
‹kinci Koflulu
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
A¤›rl›k kald›rmak
suretiyle vücut gelifltirme sporu yapan bir kifli, elindeki a¤›rl›klar› vüSIRA S‹ZDE
cuduna yak›n tutarak m› yoksa uzak tutarak m› daha rahat kald›r›r? Neden?
Fiziksel problemler çözülürken ço¤u zaman cisimler noktasal bir parçac›k olarak
O R U bir durumda statik dengenin sa¤lanmas› aç›s›ndan sadece
kabul edilir.S Böyle
parçac›k üzerine etkiyen net kuvvetin s›f›r olmas› yeterlidir. Dolay›s› ile cisim;
Newton’un birinci
D ‹ K K A T yasas› gere¤ince bafllang›çta durgun ise durgun kalacak, bafllang›çta hareketli ise de sabit h›zla do¤rusal bir yol boyunca hareketine devam
edecektir. SIRA S‹ZDE
Gerçek yaflamdaki cisimlerin belirli bir hacimleri, flekil ve kütle da¤›l›mlar› oldu¤undan onlar› her zaman noktasal bir parçac›k olarak ele almak mümkün olAMAÇLARIMIZ
maz. Bu durumda
hacimsel bir cismin dengede kalabilmesi için sadece üzerine etkiyen kuvvetlerin bileflkesinin s›f›r olmas› yeterli de¤ildir. Statik dengenin sa¤lanabilmesi için cismin ayn› zamanda dönme e¤ilimi de göstermemesi gerekir.
K ‹ T A P
Cisimlerin bir eksen etraf›ndaki olas›
dönme hareketiyle ilgili genel bir denge koflulu elde edebilmek için fiekil 4.9’da görülTELEV‹ZYON
dü¤ü gibi hacimsel bir cisim üzerine eflit
F
büyüklükte fakat z›t yönlü iki kuvvetin uyd1
guland›¤›n› düflünelim. Cisim üzerindeki
‹NTERNET
net kuvvet s›f›r oldu¤u için dengenin birinO
ci flart› sa¤lanm›flt›r. Di¤er taraftan e¤er cisim O noktas›ndan gevflekçe sabitlenmifl
d
M A K A2L E
ise, her iki kuvvet de cismi O noktas› etraF
f›nda döndürmeye çal›flacakt›r. Eflitlik 4.10
gere¤ince, kuvvetlerin cisim üzerindeki
döndürme etkisi kuvvetlerin dönme eksenine olan uzakl›klar›na ba¤l›d›r.
Statik dengedeki bir cismin hiç hareket etmemesi istendi¤ine göre dengenin
ikinci koflulu kendili¤inden ortaya ç›kar. Bir cismin dengede kalabilmesi için üzerine etki eden net kuvvetin s›f›r olmas› yan›nda bu kuvvetlerin döndürme etkilerinin de s›f›r olmas› gerekir. Di¤er bir deyiflle, cisme etkiyen d›fl kuvvetlerin seçilen
herhangi bir noktaya göre momentlerinin vektörel toplam› da s›f›r olmal›d›r. Bu
koflul matematiksel olarak,
N N
K ‹ T A P
fiekil 4.9
Bileflkesi s›f›r olan
T Ez›t
L E yönlü
V ‹ Z Y O Niki kuvvet
‹NTERNET
MAKALE
Dengenin ikinci kofluluna
göre cisme etkiyen d›fl
kuvvetlerin seçilen herhangi
bir döndürme noktaya göre
momentlerinin toplam› s›f›r
olmal›d›r.
∑M = M1 + M2 + ... + Mn = 0
eflitli¤i ile ifade edilir.
(4.12)
87
4. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi
Sonuç olarak bir cismin dengede olabilmesi için iki koflulun sa¤lanmas› gerekir. Eflitlik (4.7)’de tan›mlan birinci koflul cisimlerin yer de¤ifltirme hareketi(öteleme) ile ilgili oldu¤undan öteleme dengesini, dönme hareketiyle ba¤lant›l› olarak
Eflitlik (4.12)’de verilen ikinci koflul ise dönme dengesini ifade eder. Çizelge
4.1’de statik dengenin koflullar› maddeler halinde özetlenmifltir.
Koflul Numaras›
Denge koflulu
Matematiksel ifade
Koflul ad›
I
Cisme etkiyen d›fl
kuvvetlerin toplam› s›f›r
olmal›d›r.
∑F = 0
Öteleme dengesi
II
Cisme etkiyen d›fl
kuvvetlerin seçilen
herhangi bir noktaya göre
momentlerinin toplam›
s›f›r olmal›d›r.
∑M = 0
Dönme dengesi
Çizelge 4.1
Statik dengenin
koflullar›
Hem kuvvet hem de moment 3-boyutlu vektörel nicelikler oldu¤undan (4.7) ve
(4.12) koflullar›ndan toplamda alt› eflitlik elde edilir. Denge problemleri çözülürken bu denklemler uygun flekilde düzenlenirse bilinmeyen nicelikler kolayl›kla
hesaplanabilir.
Kütlesi 15 kg olan 3 m uzunlu¤undaki bir tahterevalliye kütleleri 10 kg ve 5 kg olan
iki kardefl binmektedir. Tahterevallinin dengede durabilmesi için,
a. A¤›r olan kardefl ortadaki destek noktas›ndan ne kadar uza¤a oturmal›d›r?
b. Destek taraf›ndan tahterevalliye uygulan tepki kuvveti kaç N’dur?
Çözüm:
a. Tahterevalli ve çocuklardan oluflan sisteme
etki eden kuvvetler fiekil 4.10’da gösterilmifltir. Tahterevallinin kütlesi M, kardefllerden a¤›r olan›n kütlesi m1, di¤erinin kütlesi
de m2 ile temsil edilmifltir. Kardefllerden a¤›r
olan›n›n destek noktas›ndan ne kadar uza¤a oturaca¤›n› bulabilmek için statik dengenin ikinci flart›ndan yararlan›l›r. Uygun bir
noktaya göre moment al›n›r. Örne¤in, destek noktas›na göre toplam moment s›f›r olmal›d›r:
∑M = (m1g)x – (m2g)d = 0.
Bu eflitlikten a¤›r olan kardeflin destek noktas›ndan uzakl›¤›,
x=
m2
m1
bulunur.
d=
5 kg
(1, 5 m) = 0, 75 m
10 kg
ÖRNEK
fiekil 4.10
Tahterevalliye etki eden kuvvetler
88
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
b. Dengenin birinci flart›na göre tahterevallinin dengede olabilmesi için tahterevalliye uygulanan net kuvvetin s›f›r olmas› gerekir. Kuvvetlerin hepsi düfley
yönlüdür. Bu nedenle yukar› yönlü kuvvetlerden afla¤› yönlü kuvvetler ç›kar›l›rsa,
∑F = N – Mg – m1g – m2g = 0
eflitli¤i yaz›labilir. Buradan, destek taraf›ndan tahterevalliye uygulan tepki kuvvetinin büyüklü¤ü,
N = (M + m1 + m2)g = (15 kg + 10 kg + 5 kg)(9,8 m/s2) = 294 N
bulunur.
ÖRNEK
fiekil 4.11
Dengedeki cisimler
fiekil 4.11’deki kütlesi ihmal edilen eflit bölmeli ve homojen çubu¤un yatay olarak
dengede kalabilmesi için
a. 20 kg kütleli üçüncü cisim nereye as›lmal›d›r?
b. Bu durumda homojen çubu¤u tavana ba¤layan ipteki T gerilme kuvveti kaç
N’dur?
Çözüm:
a. Bu tür problemlerin çözümünde homojen çubu¤un as›ld›¤› noktaya göre moment almak sonuca ulaflmay› kolaylaflt›r›r. Dengenin sa¤lanmas› aç›s›ndan 20
kg kütleli üçüncü cismin A noktas›n›n sa¤ taraf›na as›laca¤› aç›kt›r.
A noktas› referans al›nd›¤›nda; 50
kg kütleli cisim çubu¤u saat ibrelerinin tersi yönde döndürmeye çal›fl›rken A noktas›n›n sa¤›na as›lacak 10
A
B
C D E
F G
kg ve 20 kg kütleli cisimler ise çubu¤u saat ibreleri yönünde döndürme
e¤iliminde olacaklard›r. Dolays›yla
bu problemin çözümü için (4.12)
eflitli¤i ile tan›mlanan dönme dengesi koflulunundan yararlan›labilir.
Yeni as›lacak 20 kg’l›k cismin A
50 kg
10 kg
noktas›na olan uzakl›¤› x ile gösterilsin. Momentler için tan›mlanan iflaret
anlaflmas›ndan yola ç›karak A noktas›na göre net moment yaz›l›rsa,
∑M = [(50 kg)(2 birim) – (10 kg)(4 birim) – (20 kg)(x birim)]g = 0
ve
(50 kg)(2 birim) = (10 kg)(4 birim) + (20 kg)(x birim)
eflitli¤i elde edilir. Buradan,
x=
100 - 40
= 3 birim
20
bulunur. Dolays›yla 20 kg’l›k cisim D noktas›na as›lmal›d›r.
89
4. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi
b. Dengenin birinci koflulunu ifade eden (4.7) ba¤›nt›s› kullan›larak,
T - (50 kg + 10 kg + 20 kg)g = 0
eflitli¤i yaz›labilir. Buradan gerilme kuvvetinin büyüklü¤ü,
T = (50 kg + 10 kg + 20 kg)(9,8 m/s2) = 784 N
elde edilir.
SIRA
S‹ZDE
Sadece bir d›fl kuvvetin etkisinde olan bir cisim dengede olabilir mi?
Neden?
A⁄IRLIK MERKEZ‹
2
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Kat› cisimlerin Newton yasalar›na göre hareketini tan›mlayabilmek veya denge koflullar›S O R U
n› tart›flabilmek için öncelikle ele al›nan cisim üzerine etkiyen kuvvetlerin bilinmesi gerekir. Bu kuvvetlerin bafl›nda ise cismin a¤›rD‹KKAT
W1
l›¤›, yani cisim üzerine etkiyen yerçekimi
kuvveti gelir. Asl›nda a¤›rl›k sadece bir nokSIRA S‹ZDE
taya etkimez, aksine bütün cisim üzerine daWn
¤›lm›flt›r. Fakat fiziksel problemlerin çözüW1 AMAÇLARIMIZ
münde, cismin a¤›rl›¤›n›n a¤›rl›k merkezi ad›
verilen tek bir noktada yo¤unlaflm›fl oldu¤u
W3
kabul edilir.
K ‹ T A P
W
A¤›rl›k merkezi kavram›n›n anlafl›labilmesi
aç›s›ndan kat› cisimlerin fiekil 4.12’de görüldü¤ü gibi de¤iflik kütlelerdeki birçok küçük parTELEV‹ZYON
çac›ktan olufltu¤u düflünülebilir. Bu parçac›klara etkiyen yerçekimi kuvvetleri
(a¤›rl›klar) paralel olup Dünya’n›n merkezine do¤ru yönelmifltir. E¤er kütlesi m
olan cismin n say›da parçac›ktan olufltu¤u kabul edilirse, cismin a¤›rl›¤› W = mg,
‹ N T toplam›d›r,
ERNET
onu oluflturan her bir kütleye etki eden yerçekimi kuvvetlerinin
Ü fi Ü N E L ‹ M
fiekil D4.12
m kütleli cismin
a¤›rl›k merkezi
S O R U
D‹KKAT
N N
W = m1g + m2g + ... + mng = mg.
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
(4.13)
MAKALE
A¤›rl›k merkezi ise cisme etki eden bileflke yerçekimi kuvvetinin
uygulanma
noktas›d›r. Bu noktaya göre yerçekimi kuvvetlerinden kaynaklanan momentlerin
toplam› s›f›rd›r. Dolay›s› ile bir cisim a¤›rl›k merkezinden as›ld›¤›nda dengede kal›r.
Bir cisim hangi noktadan as›l›rsa as›ls›n ipin kendisi veya uzant›s› a¤›rl›k merkezinden geçer. fiekil 4.13’te gösterildi¤i gibi cismin her as›lma durumu için ipin
do¤rultusu çizilirse bu çizgilerin kesiflim noktas› a¤›rl›k merkezini verecektir.
Düzgün geometrik yap›l› baz› cisimlerin a¤›rl›k merkezleri fiekil 4.14’te gösterilmifltir. Çember, daire, küre gibi düzgün geometrik flekillerin a¤›rl›k merkezleri
kendi simetri merkezleridir. ‹nce bir çubu¤un a¤›rl›k merkezi çubu¤un tam ortas›,
kare veya dikdörtgen fleklindeki levhalar›n a¤›rl›k merkezleri ise köflegenlerin kesim noktas›d›r. Benzer flekilde üçgen fleklindeki bir levhan›n a¤›rl›k merkezi kenarortaylar›n›n kesiflim noktas›ndad›r.
MAKALE
A¤›rl›k merkezi, cisme etki
eden bileflke yerçekimi
kuvvetinin uygulanma
noktas›d›r.
Homojen cisim: Her yerinde
ayn› yo¤unlu¤a ve fiziksel
özelliklere sahip cisimdir.
Türdefl cisim: Ayn› cins
maddeden meydana gelen
cisimdir.
90
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
fiekil 4.13
A¤›rl›k merkezinin bulunmas›
L/2
L/2
Homojen ve türdefl bir çubu¤un
a¤›rl›k merkezi, çubu¤un tam orta
noktas›d›r
W
Homojen ve türdefl kare, dikdörtgen
ve paralel kenar fleklindeki
levhalar›n a¤›rl›k merkezi
köflegenlerin kesim noktas›d›r.
O
O
O
W
W
W
fiekil 4.14
Düzgün geometrik yap›l› baz› cisimlerin a¤›rl›k merkezleri
Homojen ve türdefl üçgen fleklindeki
cisimlerin a¤›rl›k merkezi,
kenarortaylar›n kesim noktas› olan
O noktas›d›r. Bu nokta kenardan 1
birim, köflelerden 2 birim uzakl›kta
yer al›r. Üçgen levhan›n eflkenar
üçgen fleklinde olmas› durumda ise
kenarortaylar›n hepsi eflit olur.
Homojen ve türdefl çember, daire ve
küre fleklindeki cisimlerin geometrik
merkezleri ayn› zamanda onlar›n
a¤›rl›k merkezleridir.
O
1
W
r
O
W
Türdefl ve homojen silindir,
dikdörtgen prizma ve küp fleklindeki
cisimlerin a¤›rl›k merkezi, üst ve alt
taban merkezlerini birlefltiren
do¤runun tam orta noktas›d›r.
2
O
r
O
W
r
W
O
O
O
W
W
W
91
4. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi
A¤›rl›k Merkezinin Bulunmas›
Cisimler a¤›rl›k merkezlerinden as›ld›¤›nda dengede kald›¤›na göre, (4.7) ve (4.12)
eflitlikleriyle tan›mlanan denge koflullar›ndan yararlan›larak de¤iflik geometrik yap›ya sahip cisimlerin a¤›rl›k merkezleri kolayl›kla bulunabilir. Cisimlerin a¤›rl›k
merkezleri bulunurken;
i. ‹lk olarak cisim a¤›rl›k merkezi bilinen geometrik parçalara bölünür,
ii. Her bir parçan›n a¤›rl›k merkezinde o parçaya etki eden yerçekimi kuvveti
gösterilir,
iii. Cismin bütünü için (4.7) ve (4.12) eflitlikleriyle tan›mlanan denge koflullar›
yaz›larak a¤›rl›k merkezinin konumu tespit edilir.
Türdefl 10 cm uzunlu¤undaki 4 kg kütleli bir çubukla 20 cm uzunlu¤undaki 8 kg
kütleli di¤er bir çubuk birlefltirilirse düzene¤in a¤›rl›k merkezi çubuklar›n birleflim
noktas›ndan ne kadar uzakta olur ? (g = 10 m/s2 al›n›z)
ÖRNEK
Çözüm:
Çubuklar›n a¤›rl›k merkezleri orta noktalar›d›r.
W1 = m1g = (4 kg)(10 m/s2) = 40 N
fiekil 4.15
Çubuklar›n a¤›rl›k merkezleri
ve
W2 = m2g = (8 kg)(10 m/s2) = 80 N
büyüklü¤ündeki yersçekimi kuvvetleri çubuklar›n orta noktalardan afla¤› do¤ru gösterilir. Sistemin a¤›rl›k merkezi bu iki paralel kuvvetin bileflkesinin uygulanma
noktas›d›r. Sistem bu noktadan as›l›rsa
dengede kal›r. fiekil 4.15’de görülen R bileflke kuvvetinin oldu¤u noktaya göre moment al›narak,
(40 N)(5 + x) = (80 N)(10 – x)
ifadesi yaz›labilir. Buradan x = 5 cm bulunur.
SIRA S‹ZDE
fiekil 4.16’da görülen sistemde kare ve daire biçimindeki iki ince levhadan
yap›lm›fl geoN
N
metrik cisimlerin a¤›rl›klar› s›ras›yla Wk = 60 ve Wd = 30 olarak verilmifltir. ‹ki levhan›n bileflmesiyle oluflan yeni cismin a¤›rl›k merkezinin kare levhan›n
merkezinden olan
D Ü fi Ü N E L ‹ M
uzakl›¤›n› bulunuz.
KÜTLE MERKEZ‹
S O R U
Çok parçac›ktan oluflan sistemlerde kütle merkezinin konumuD‹KKAT
nun bilinmesi sistemin genel hareketinin incelenmesini kolaylaflt›r›r. Bu tür bir sistemde, kütle merkezinin Newton yasalar›na
göre hareketi ile sistemi oluflturan her bir parçac›¤›n genel hareSIRA S‹ZDE
keti paralellik gösterir. Sistemin tüm kütlesi bu noktada toplanm›fl gibi hareket eder.
AMAÇLARIMIZ
3
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
fiekil 4.16
S Ocisim
R U
Kare ve daireden oluflan
O
2a
a O’
N N
Wk=60 N
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
Wd=30 N
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
92
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Bir cismin ya da sistemin tüm kütlesinin topland›¤› varsay›lan noktaya kütle merkezi denir.
Kütle merkezini bulmak için fiekil 4.17’deki gibi
xy-düzleminde bulunan kat› bir cisim ele alal›m.
Bu cismi m1, m2, m3, ..., mn kütlelerine sahip çok
say›da küçük parçac›ktan oluflmufl bir sistem gibi
düflünebiliriz. Böyle bir cismin kütle merkezinin
x-koordinat›,
fiekil 4.17
Kütle merkezinin koordinat›
XM =
m1x1 + m2 x2 + .... + mn xn
m1 + m2 + ... + mn
(4.14)
ba¤›nt›s›ndan bulunur. Kütle merkezinin y-koordinat› ise yukar›daki ifadede x bileflenleri yerine y bileflenleri yaz›larak elde edilir,
YM =
Kütle merkezi, cismin tüm
kütlesinin topland›¤›
varsay›lan noktad›r.
ÖRNEK
m1 y1 + m2 y2 + .... + mn yn
m1 + m2 + ... + mn
(4.15)
Cismin kütle merkezinin koordinatlar› (XM, YM) biçiminde ifade edilir.
Bir cismin a¤›rl›k merkezi, cisim düzgün bir yerçekimi alan› içindeyse onun kütle
merkeziyle çak›fl›r. Bu durumda cismin her bir parças›na etki eden yerçekimi kuvvetlerinin tümü (a¤›rl›k), kütle merkezine etkiyen tek bir mg kuvveti ile temsil edilebilir.
Bu kitapta aksi belirtilmedikçe kütle merkezi ile a¤›rl›k merkezi kavramlar› efl anlaml› olarak kullan›lacakt›r.
Kütleleri s›ras›yla 10 kg, 20 kg ve 30 kg olan üç kütle orijinden itibaren yatay do¤rultuda s›ras›yla 2 m, 5 m, 8 m noktalar›na yerlefltirilmifltir. Sistemin kütle merkezini bulunuz.
Çözüm:
Sistemin kütle merkezinin x-koordinat› (4.14) eflitli¤i kullan›larak,
XM =
m1x1 + m2 x2 + m3 x3
m1 + m2 + m3
=
(10 kg)(2 m) + ( 20 kg)(5 m) + (30 kg)(8 m)
=6m
10 kg + 20 kg + 30 kg
bulunur. Kütlelerin tamam› x-ekseni üzerine yerlefltirildi¤inden y-koordinatlar› s›f›rd›r. Dolay›s›yla (4.15) eflitli¤i gere¤ince kütle merkezinin y-koordinat›,
YM = 0
olmal›d›r. Sistemin kütle merkezinin koordinatlar› (6,0) olarak verilir.
93
4. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi
ÖRNEK
Bükülmüfl homojen bir tel, hangi noktadan as›l›rsa fiekil 4.18’deki gibi dengede kal›r?
Çözüm:
Bükülmüfl tel dört eflit parçadan oluflmaktad›r. Bu tür problemlerin çözümünde
simetri elde etmek sonuca ulaflmay› kolaylaflt›r›r. Bu amaçla tel, fiekil 4.19’da görüldü¤ü gibi iki eflit parçaya ayr›ls›n. ABC telinin kütle merkezi, AB ve CD tellerinin kütle merkezlerini birlefltiren F noktas›d›r. Benzer flekilde CDE telinin kütle
merkezi ise G noktas›d›r. ABC ve CDE tellerinin kütleleri eflit oldu¤una göre, tüm
telin kütle merkezi her iki parçan›n kütle merkezlerini birlefltiren do¤runun tam ortas› olan O noktas›d›r. Tel, ask› ipinin do¤rultusu O noktas›ndan geçecek flekilde
as›l›rsa dengede kal›r.
fiekil 4.18
fiekil 4.19
Kütle merkezinin bulunmas›
Bükülmüfl tel
B
B
A
C
A
F
C
O
D
D
E
G
E
SIRA fiekil
S‹ZDE4.20’de gösAyn› düzlemde bulunan üç kütlenin koordinat sistemindeki konumlar›
terilmifltir. Sistemin kütle merkezinin koordinatlar›n› hesaplay›n›z.
D Ü fi Ü N E L ‹ M
y
S O R U
5
m
4
SIRA S‹ZDE
2m
2
2m
AMAÇLARIMIZ
1
1
2
3
4
5
x
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
fiekil 4.20
Koordinat S O R U
sistemindeki
kütleler
D‹KKAT
D‹KKAT
3
0
4
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
‹NTERNET
MAKALE
MAKALE
94
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Özet
N
A M A Ç
1
N
A M A Ç
2
N
A M A Ç
3
N
A M A Ç
4
Statik denge kavram›n› ifade etmek.
Üzerine birçok kuvvet etki etmesine ra¤men cisim hareketsiz kal›yorsa bu denge durumu statik
denge olarak adland›r›l›r. Bunun için dura¤an
cismin iki denge koflulunu sa¤lamas› gerekir. Di¤er bir deyiflle, statik dengedeki bir cismin ne
yer de¤ifltirme ne de dönme e¤ilimi olmamal›d›r.
Kuvvetin döndürme etkisini tart›flmak.
Kuvvetin döndürme etkisine moment ad› verilir.
Moment M, döndürme etkisi olan kuvvetin büyüklü¤ü (F) ile kuvvetin uyguland›¤› noktan›n
dönme noktas›na olan dik uzakl›¤›n›n (d) çarp›m›na eflittir M = F.d. Büyük olan kuvvet daima küçük olandan daha etkili moment meydana getirir.
Kuvvetin uyguland›¤› nokta, dönme noktas›na ne
kadar uzaksa moment de o kadar büyük olur.
Kat› cisimlerin denge koflullar›n› aç›klamak.
Kat› bir cismin dengede kalabilmesi için birinci
koflul, üzerine etki eden bileflke kuvvetin s›f›r
olmas›d›r ΣF = F1 + F2 + ... + Fn = 0. Dengenin
ikinci koflulu gere¤ince bu kuvvetlerin döndürme etkilerinin yani momentlerinin toplam›n›n
da s›f›r olmal›d›r. Bu koflul matematiksel olarak
ΣM = M1 + M2 + ... + Mn = 0, eflitli¤i ile ifade
edilir.
Kat› cisimlerin a¤›rl›k merkezlerini bulmak.
A¤›rl›k merkezi, cisme etki eden bileflke yerçekimi kuvvetinin uygulanma noktas›d›r. Bu noktaya
göre yerçekimi kuvvetlerinden kaynaklanan momentlerin toplam› s›f›rd›r. Bu nedenle bir cisim
a¤›rl›k merkezinden as›ld›¤›nda dengede kal›r.
Böyle bir cisim hangi noktadan as›l›rsa as›ls›n
ipin kendisi veya uzant›s› a¤›rl›k merkezinden
geçer. Cismin her as›lma durumu için ipin do¤rultusu çizilirse bu çizgilerin kesiflim noktas› a¤›rl›k merkezini verecektir. Cisimlerin a¤›rl›k merkezleri bulunurken; ilk olarak cisim a¤›rl›k merkezi bilinen geometrik parçalara bölünür. Daha
sonra her bir parçan›n a¤›rl›k merkezinde o parçaya etki eden yerçekimi kuvveti gösterilir. Son
olarak, cismin bütünü için (4.7) ve (4.12) eflitlikleriyle tan›mlanan denge koflullar› yaz›larak a¤›rl›k merkezinin konumu tespit edilir.
N
A M A Ç
5
Kütle merkezinin yerini belirlemek.
Bir cismin ya da sistemin tüm kütlesinin topland›¤› varsay›lan noktaya kütle merkezi denir. Kat›
bir cisim; m1, m2, m3, ..., mn kütleleri gibi çok
say›da küçük parçac›ktan oluflan bir sistem gibi
düflünülebilir. Böyle bir cismin kütle merkezinin
x-koordinat›,
m x + m2 x2 + .... + mn xn
XM = 1 1
m1 + m2 + ... + mn
ba¤›nt›s›ndan bulunur. Kütle merkezinin y-koordinat› ise yukar›daki ifadede x bileflenleri yerine
y bileflenleri yaz›larak elde edilir,
YM =
m1 y1 + m2 y2 + .... + mn yn
m1 + m2 + ... + mn
Cismin kütle merkezinin koordinatlar› (XM, YM)
biçiminde ifade edilir.
95
4. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi
Kendimizi S›nayal›m
1. Kuvvetin döndürme etkisine ne ad verilir?
a. Momentum
b. Moment
c. ‹mpuls
d. Bas›nç
e. A¤›rl›k
2. Momentin birimi afla¤›dakilerden hangisidir?
a. kg.m/s
b. kg.m/s2
c. kg.m2/s
d. kg2.m2/s
e. kg.m2/s2
3. I. Cisim üzerine etkiyen net d›fl kuvvet s›f›rd›r.
II. Cisim ivmeli hareket etmektedir.
III. Cisim üzerine etkiyen d›fl kuvvetlerin herhangi
bir noktaya göre momentlerinin vektörel toplam› s›f›rd›r.
Bir cisim dengede ise yukardaki ifadelerin hangileri
do¤rudur?
a. Yaln›z I
b. Yaln›z III
c. I ve III
d. II ve III
e. I, II ve III
4. I. Disk üzerine etkiyen net kuvvet s›f›rd›r.
II. Diske etkiyen kuvvetlerin O noktas›na göre oluflturdu¤u momentlerin toplam› s›f›rd›r.
III. Disk, saat ibreleri yönünde dönme e¤ilimindedir.
IV. Disk, saat ibrelerinin tersi yönünde dönme e¤ilimindedir.
V. Disk statik dengededir.
fiekil 4.21’de r yar›çapl› bir disk üzerine etkiyen kuvvetler gösterilmifltir. Buna göre yukar›daki ifadelerden hangileri do¤rudur?
a. I ve II
b. I,II ve III
c. I, II ve IV
d. I, II ve V
e. I, II, III ve V
2F
r
r
O
F
F
fiekil 4.21:
Diske etkiyen kuvvetler
5. Ayn› düzlemde bulunan üç kütlenin koordinat sistemindeki konumlar› fiekil 4.22’deki gibidir. Buna göre
kütle merkezinin koordinatlar› (xkm, ykm) afla¤›dakilerden hangisidir?
a. (3, 2)
b. (2, 3)
c. (4, 2)
d. (2, 4)
e. (4, 4)
y
5
4
2m
3
4m
2
4m
1
0
1
2
3
4
5
x
fiekil 4.22: Koordinat sistemindeki kütleler
6. A¤›rl›¤› 4 N olan eflit bölmeli çubu¤un uçlar›na fiekil 4.23’te gösterildi¤i gibi 5 N ve 8 N a¤›rl›¤›ndaki cisimler konmufltur. Çubuk bir ucundan bir iple tavana
ba¤land›¤›na göre ipteki gerilme kuvvetinin de¤eri kaç
N’dur?
a. 3
b. 5
c. 7
d. 8
e. 9
5N
4N
8N
fiekil 4.23: Dengedeki çubuk
96
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
7. fiekil 4.24’te görülen homojen ve eflit bölmeli AB çubu¤u dengede oldu¤una göre m kütlesi kaç kg’d›r?
a. 10
b. 20
c. 30
d. 40
e. 50
A
B
9. fiekil 4.26’da görülen sistemde daire fleklinde ince
levhalardan yap›lm›fl geometrik cisimlerin a¤›rl›klar› s›ras›yla W1 = 30 N ve W1 = 10 N olarak verilmifltir. ‹ki
dairesel levhan›n bileflmesiyle oluflan yeni cismin a¤›rl›k merkezinin büyük dairenin merkezinden olan uzakl›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?
a. a/4
b. a/2
c. 3a/4
d. a
e. 4a/3
O
2a
a O’
m
30 kg
fiekil 4.24: Dengedeki çubuk ve üzerindeki a¤›rl›klar
8. fiekil 4.25’te görülen sistem dengededir. x/y oran›
5/2 oldu¤una göre oran› W1/W2 nedir?
a. 2/5
b. 1
c. 2
d. 5/2
e. 5
F
x
y
W1
W2
fiekil 4.25: Dengedeki sistem
W2=10N
W1=30N
fiekil 4.26: Dairelerden oluflan cisim
10. Koordinatlar› metre cinsinden verilmek üzere xydüzlemindeki 2 kg kütleli bir cisim (–5, –4)noktas›na, 3
kg kütleli di¤er bir cisim ise (10,6) noktas›na yerlefltiriliyor. Sistemin (x, y) kütle merkezinin koordinat› afla¤›dakilerden hangisidir?
a. (4, 2)
b. (2, 4)
c. (3, 2)
d. (2, 3)
e. (4, 4)
4. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi
“
97
Yaflam›n ‹çinden
Sol ve Sa¤
Geçenlerde, Amerikal› bir çocuk psikolojisi profesörü,
ço¤u annenin bebe¤ini sol kolunda tuttu¤unu aç›klad›.
Bu sonuca, uzun araflt›rmalardan ve sanat galerilerini
gezdikten sonra ulaflm›flt›. Profesör bulgular›n› alçakgönüllü bir biçimde “daha önce bilimsel eserlerde yer almam›fl do¤a ile ilgili gözlemler olarak de¤erlendiriyordu. Bu olguyu aç›klama çabas›, Scientific American dergisinde, bilinçalt› alg›lama, insanlar aras› iliflkiler ve bebe¤in annesinin kalp at›fllar›n› iflitme gereksinimi ile ilgili baflka düflüncelerin tart›fl›ld›¤› hareketli yaz›flmalara
yol açt›. Çal›flmalar›n› New York’ta sürdüren biri olarak
araflt›rmac›y›, daha az popüler olan Avrupa yay›nlar›n›
izlemedi¤i için elefltirmek zor. Kütüphanede biraz araflt›rma yapm›fl olsayd›, Dr. Andrew Buchanan’›n daha
1862’de, konu ile ilgili parlak yorumlar›n›n yer ald›¤›,
Glasgow Felsefe Derne¤i Toplant› Tutanaklar›na ulaflabilirdi. Buchanan ö¤renimini Glasgow Üniversitesi’nde
yapt› ve 1839’da, fizyoloji, patoloji ve tedavi bilgisini
içeren bir t›p dal› olan ‹laç Kuram› kürsüsüne profesör
olarak atand›. O günlerde kürsü profesörlerine bugün
gösterilen sayg› gösterilmedi¤inden, zor günler geçirdi.
Bu s›fat› tafl›yanlar, hükümet taraf›ndan üniversiteye
zorla kabul ettirilen davetsiz misafirler gibi görülüyordu. Krall›ktan veya üniversiteden hiçbir ücret almad›klar›ndan özel ifl yaparak geçinmek zorundayd›lar ve geçimlerini ancak sa¤layabiliyorlard›. Buchanan, 77 yafl›nda (bask›lara dayanamayarak) emekli olana dek, hem
ö¤retim görevlisi hem de Kraliyet Hastanesi bafl cerrah›
olarak çok yo¤un çal›flm›flt›. Glasgow Üniversitesi tarihçisi Coutts, bu konudaki düflüncesini nazik bir biçimde
flöyle belirtiyordu: “görevinin sonuna do¤ru, yolun sonuna gelmifl biri olarak yafl›n›n etkilerinden tamamen
uzak duram›yordu”, oysa bilimsel yaz›lar› ve Üniversite
Senatosu’na karfl› sözlü sald›r›lar›na bak›lacak olursa,
ihtiyar profesör hâlâ formundayd›.
Sol ve sa¤ konusundaki ilk incelemesinde, ço¤u insan›n
neden dikkat gerektiren veya karmafl›k ifller için sa¤ ellerini, bir fleyleri tafl›rken ya da bir bebe¤i tutarken de sol
ellerini kulland›klar›n› aç›klad›. Sa¤ elin daha fazla kullan›ld›¤› için daha güçlü oldu¤unu ileri sürüyordu. Peki
ama daha fazla kullan›lmas›n›n nedeni nedir? Çünkü vücudun a¤›rl›k merkezi ortada de¤il hissedilir ölçüde sa¤dad›r. Vücut afla¤› yukar› simetrik de olsa, epeyce a¤›r
bir organ olan karaci¤er sa¤ tarafta yer al›r ve genellikle
sol tarafta oldu¤u zannedilen ancak neredeyse merkezde yer alan kalp taraf›ndan dengelenemez. ‹flitilebilir
kalp at›fllar› kalbin üst k›sm›ndan kaynaklan›r. Üst k›s›m
sola yat›k durumdad›r, oysa kalbin geri kalan k›sm› sa¤a
do¤ru uzan›r. Vücudun a¤›rl›k merkezinin sa¤a do¤ru
kaym›fl olmas›n›n baz› ilginç sonuçlan var. Kollar ve gövde soldan sa¤a do¤ru hareket ederse, a¤›rl›k merkezi biraz daha sa¤a do¤ru kayar ve vücudun dengesi bozulur.
(Ayakta dengeli durabilmemiz için, a¤›rl›k merkezimizden geçen dikey çizginin zemine, iki aya¤›m›z›n s›n›rlad›¤› aral›k içinde ulaflmas› gerekir. Tek aya¤›n üzerinde
dengede durmak güç, bazen de imkans›zd›r (bir baca¤›n›z› ve kolunuzu bir duvara iyice yaslay›p di¤er baca¤›n›z› kald›rmay› bir deneyin.). Oysa sa¤ kolla ifl yaparken
oldu¤u gibi, sa¤dan sola do¤ru hareket etmek, a¤›rl›k
merkezini vücut merkezinin yak›n›na getirir, böylece
dengeyi kaybetme tehlikesi olmadan hareket daha büyük bir mesafe boyunca sürdürülebilir.
A¤›r bir yük tafl›mak söz konusu oldu¤unda sol el daha
üstündür. Bir bavul sa¤ elde tafl›nd›¤›nda, a¤›rl›k merkezi do¤al olarak daha da sa¤a kayar ve vücudun ters yöne do¤ru e¤ilerek eski konumuna getirilmesi gerekir.
Oysa yük sol elle tutuldu¤unda a¤›rl›k merkezi sola do¤ru, yani vücudun ortas›na do¤ru kayar ve denge asl›nda
daha da güçlendirilmifl olur. Yük çok a¤›rsa, dengelemek için elbette sa¤a do¤ru e¤ilmek gerekir. Sa¤ elle
baflka ifller yapabilmek için bebe¤in sol kolla tutuldu¤u
da düflünülebilir; fakat solak anneler de bebeklerini sol
kollar›nda tafl›r. Buchanan 1877 y›l›nda, a¤›rl›k merkezinin ayaklar›n taban› ile bafl›n tepesi aras›nda, tam ortadan geçen yatay eksenin yukar›s›nda m› yoksa afla¤›s›nda m› yer ald›¤›n› inceleyerek konuyu tekrar ele ald›. Erkeklerde a¤›rl›k merkezinin genellikle yatay eksenin yukar›s›nda oldu¤u sonucuna vard›; daha ayr›nt›l› hesaplamalar bu konumun sa¤ ellerini kullananlar›n yarar›na
oldu¤unu gösterdi. Öte yandan, “son derece orant›l› bir
vücut biçimi” bahfledilen kad›nlarda a¤›rl›k merkezi, yatay eksenin tam üzerinde veya çok yak›n›ndad›r, bu da
sol eli kullanma e¤ilimini büyük ölçüde art›r›r. Bu sonuç
günümüzde yap›lan çal›flmalar taraf›ndan do¤rulanmad›, ancak Buchanan yine de hakl› olabilirdi; o günlerde
kad›nlar›n vücut biçimleri farkl›yd›.
”
Kaynak: http://www.1001kitap.com/Bilim/Lenihan/bilim_is_basinda/bib1_nedenboyle10.html internet sitesinden 06.01.2012 tarihinde al›nm›flt›r. (Lenihan, J. Çeviri: B›çakç›, B. (1990) Bilim ‹fl Bafl›nda (Science in Action), TÜB‹TAK Popüler Bilim Kitaplar› 113, S.49)
98
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. b
2. e
3. c
4. d
5. a
6. c
7. b
8. a
9. c
10. a
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kuvvetin Döndürme Etkisi:
Moment” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kuvvetin Döndürme Etkisi:
Moment” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kat› Cisimlerin Denge Koflullar›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kat› Cisimlerin Denge Koflullar›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kütle Merkezi” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kat› Cisimlerin Denge Koflullar›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kat› Cisimlerin Denge Koflullar›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kat› Cisimlerin Denge Koflullar›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “A¤›rl›k merkezi” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kütle Merkezi” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
S›ra Sizde 1
A¤›rl›k kald›rmak suretiyle vücut gelifltirme sporu yapan bir kifli, elindeki a¤›rl›klar› vücuduna yak›n tutarak
daha rahat kald›r›r. A¤›rl›klar› vücuduna yak›n tutulmas›, dönme eksenine (omuz eklemine) olan uzakl›¤› (d)
azalt›r. Bu ise yerçekimi kuvvetinin (4.12) eflitli¤i gere¤ince oluflturaca¤› momentin azalmas› anlam›na gelir.
Dolays›yla kifli, a¤›rl›klar› kald›r›rken elindeki a¤›rl›klar›n oluflturdu¤u momenti dengelemek ve yenmek için
daha az kuvvete ihtiyaç duyar.
S›ra Sizde 2
Sadece bir d›fl kuvvetin etkisinde olan bir cisim dengede olamaz. Dengenin birinci kofluluna göre cisim üzerine etkiyen d›fl kuvvetlerin toplam›n›n (net kuvvet) s›f›r olmas› gerekir. Üzerine sadece bir kuvvetin etkimesi durumunda cisim, baflka bir kuvvet taraf›ndan dengelenemeyecektir. Dolays›yla cisim üzerindeki net d›fl
kuvvetin s›f›r olmas› söz konusu de¤ildir. Cisim, Newton’un ikinci yasas› gere¤ince ivmelenerek hareket edecektir.
S›ra Sizde 3
Sistemin a¤›rl›k merkezi Wk ve Wd a¤›rl›k kuvvetlerinin
bileflkesinin uygulanma noktas›d›r. Sistem bu noktadan
as›l›rsa dengede kal›r. fiekil 4.27’de görüldü¤ü gibi bileflke kuvvet konum olarak büyük olan kuvvete daha
yak›nd›r. Bileflke kuvvetin karenin merkezinden olan
uzakl›¤› x ile gösterilsin. R bileflke kuvvetinin oldu¤u
noktaya göre moment al›narak,
(60 N) x = (30 N)(3a – x)
ifadesi yaz›labilir. Buradan x = a bulunur.
2a
O
a O’
x
Wd=30 N
Wk=60 N
R
fiekil 4.27: A¤›rl›k merkezinin konumu
S›ra Sizde 4
Sistemin kütle merkezinin x-koordinat› (4.14) eflitli¤i
kullan›larak,
m x + m2 x2 + m3x3
XM = 1 1
m1 + m2 + m3
=
m 2 + (2 m) 4 + ( 2 m) 5
=4
m + 2m + 2m
bulunur. Benzer flekilde kütle merkezinin y-koordinat›
(4.15) eflitli¤i gere¤ince,
m y + m2 y2 + m3 y3
YM = 1 1
m1 + m2 + m3
=
m 4 + ( 2 m) 1 + ( 2 m) 2
=2
m + 2m + 2m
olacakt›r. Bu sonuçlara göre sistemin kütle merkezinin
koordinat› (4,2) noktas›d›r.
4. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi
Yararlan›lan Kaynaklar
Serway, R.A., Beichner, R.J. Jevett, J., Çolako¤lu, K.(Çeviri Ed.) (2007). Fen ve Mühendislik için Fizik,
Ankara: Palme Yay›nc›l›k,
Fishbane, P.M., Gasiorowicz, S. Thornton, S. T. Yalç›n,
C.(Çeviri Ed.) (2006). Temel Fizik 2, Ankara: Arkadafl Yay›nevi,
Halliday D., Resnick R. (1992). Fizi¤in Temelleri,
1.Cilt: Mekanik ve Termodinamik, Ankara: Arkadafl Yay›nevi,
Gettys, W.E., Keller, F., J., Skove, M. J., Akyüz, R.Ö.(Çeviri Ed.) (1995). Fizik, 1.Cilt, ‹stanbul: Literatür Yay›nc›l›k,
Nolan, P. J. (1993). Fundamentals of College Physics,
Melbourne: Wm. C. Brown Publishers,
Orhun, Ö. ve di¤erleri, Orhun Ö. (Ed) (2007). Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri, Ankara: Nobel Yay›n
Da¤›t›m.
99
5
TEKNOLOJ‹N‹N B‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I
Amaçlar›m›z
N
N
N
N
N
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Fizikte ifl kavram›n› aç›klayabilecek,
‹fl ve enerji aras›ndaki iliflkiyi betimleyebilecek,
Kinetik enerji, potansiyel enerji ve esneklik potansiyel enerjisini tan›mlayabilecek,
Enerjinin korunumu yasas›n› aç›klayabilecek,
Güç ve verim kavramlar›n› tan›mlayabilecek bilgi ve becerileri edinmifl olacaks›n›z.
Anahtar Kavramlar
•
•
•
•
‹fl
Enerji
Enerji Korunumu
Kinetik Enerji
•
•
•
•
Yükseklik Potansiyel Enerjisi
Esneklik Potansiyel Enerjisi
Güç
Verim
‹çindekiler
Teknolojinin Bilimsel
‹lkeleri-I
‹fl, Enerji, Güç
•
•
•
•
G‹R‹fi
‹fi
ENERJ‹
GÜÇ VE VER‹M
‹fl, Enerji, Güç
G‹R‹fi
Günlük konuflmalar›m›zda her türlü bedensel ve zihinsel faaliyetler için ifl yapt›k
deriz. Buradaki ifl kavram› ile fizikte kullan›lan ifl kavram› aras›nda fark vard›r. Örne¤in kitap okurken veya ders çal›fl›rken bir enerji harcamam›za ra¤men fizikte bu
tip aktiviteler ifl olarak tan›mlanmaz. Benzer flekilde enerji kavram› ile güç kavram› da günlük yaflant›m›zda birbirine kar›flt›r›lan kavramlardand›r. Bu ünitemizde ifl
ve enerji kavramlar› üzerinde duraca¤›z ve ard›ndan güç ve verimi tan›mlayaca¤›z
‹fi
fiekil 5.1
Bir cisim, F kuvvetinin etkisi alt›nda yer de¤ifltiriyorsa kuvvet
cisim üzerinde ifl yapm›flt›r denir.
fiekil 5.1’deki gibi A konumunda bulunan bir cisim üzerine,
F gibi bir kuvvet uygulayal›m. Cisim bu kuvvetin etkisiyle r kadar yer de¤ifltirmeye u¤ray›p B konumuna gelmifl olsun. Bu
durumda F kuvvetinin yapt›¤› ifl (W) :
Yatay düzlemde uygulanan kuvvet
etkisiyle hareket eden cisim.
F
α
A
W = Fr cos a
r
B
(5.1)
eflitli¤iyle tan›mlan›r. Burada a, kuvvet (F) ile yerde¤ifltirme (r) vektörleri aras›ndaki aç›d›r. Buna göre;
a) Cismin yer de¤ifltirmesi uygulanan kuvvetle ayn› yönde de¤ifliyorsa a aç›s›
dar aç› olaca¤›ndan, cos a de¤eri pozitif olur, bu nedenle de ifl pozitif de¤er al›r (fiekil 5.2.a).
b) Cismin yer de¤ifltirmesi uygulanan kuvvetin yönüne göre ters yönde ortaya
ç›k›yorsa a aç›s› genifl aç› olaca¤›ndan cos a de¤eri negatif olur, bu nedenle ifl negatif de¤er al›r (fiekil 5.2.b).
c) Cismin yer de¤ifltirmesi ile uygulanan kuvvetin aralar›ndaki aç› dik ise iflten
bahsedilemez (fiekil 5.2.c). Yani a =90° ve cos90= 0 olaca¤›ndan sistem ifl
yapmaz.
Pozitif ifl: Kuvvet ile cismin
yer de¤ifltirmesi ayn› yönlü
ise yap›lan ifl pozitiftir.
Negatif ifl: Kuvvet ile cismin
yer de¤ifltirmesi z›t yönlü ise
yap›lan ifl negatiftir.
102
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
fiekil 5.2
Sabit bir F ve r aras›ndaki aç›ya ba¤l› olarak (a) pozitif, (b) negatif ve (c) s›f›r ifl.
F
(a)
F1
α
F11=Fcosα
r
F
(b)
F
α
F1
α
r
F11= cos α
F
(c)
F
α =90°
r
Joule: ‹fl ve enerji
kavramlar›na aç›kl›k
getirmifl ‹ngiliz fizikçi J.P.
Joule (1818-1889)’n›n ad›n›
anmak üzere ifl birimine
joule ad› verilmifltir.
1N = 105 dyne, 1m = 102 cm
ve 1 joule= 107erg’dir
SI birim sisteminde F(N) ve r (m) olarak al›nd›¤›nda iflin birimi (N.m) veya joule (J)’dur. CGS birim sisteminde F(dyne) ve r (cm) olarak al›nd›¤›nda ise iflin birimi
(dyne.cm) veya erg’dir.
‹fl skaler bir nicelik oldu¤undan, cisim üzerine birden fazla kuvvet uygulanmas› durumunda toplam ifl, her bir kuvvetin yapt›¤› iflin toplam›na eflittir;
W = W1 + W2 + W3 + .......
(5.2)
Do¤ru Boyunca Sabit Bir Kuvvetin Yapt›¤› ‹fl
Sürtünmeli, yatay bir düzlemde fiekil 5. 3’ de görüldü¤ü gibi duran cisim üzerine,
hareket boyunca hem büyüklük hem de yön olarak de¤iflmeden kalan farkl› iki
kuvvet etki etsin. Bu kuvvetlerin etkisi ile cisim yatayda d
fiekil 5.3
kadar yer de¤ifltirsin. fiimdi kuvvetlerin cisim üzerinde yapSürtünmeli yatay bir düzlemde duran
t›¤› toplam ifli bulmaya çal›flal›m. Cisim üzerinde yap›lan
cisme etki eden kuvvetler
toplam ifli bulmak için, öncelikle cisim üzerine etki eden
F2
tüm kuvvetlerin yönlerini ve büyüklüklerini ayr› ayr› belirtN
memiz gerekir. Bu sistemdeki cisim m kütlesinden dolay› g
α
yerçekimi ivmesinden kaynaklanan bir W a¤›rl›¤›na sahipF3
F1
tir. Cismin bu a¤›rl›¤›ndan dolay› da yer düzleminin cisme
W
d
uygulad›¤› N tepki kuvveti oluflur. Son olarak da cisim,
kuvvetlerin etkisi ile hareketlenmesi esnas›nda hareket yö-
103
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
nünün tersine bir FS sürtünme kuvvetine maruz kal›r. Toplam ifli hesaplamak için
cisim üzerine etki eden tüm bu kuvvetlerin yapt›¤› ifli ayr› ayr› hesaplamak sonra
bunlar› cebirsel toplamak en uygun yöntemdir. F1 kuvvet vektörü ile yer de¤ifltirme vektörü d ayn› yönlüdür dolay›s›yla aralar›ndaki aç› 0°’dir. Bu durumda F1 kuvvetinin yapt›¤› ifl;
W1 = F1d cos (0) = F1d
(5.3)
olarak elde edilir. F2 ile d vektörü aras›ndaki aç› ise (kadard›r, bu durumda F2
kuvvetinin yapt›¤› ifl;
W2 = F2d cos i
(5.4)
ifadesiyle verilir. N vektörü ile d vektörü aras›ndaki aç› ise 90°’dir ve N kuvvetinin yapt›¤› ifl;
W3 = Nd cos (90) = 0
(5.5)
olarak bulunur. Son olarak sürtünme kuvvetin yapt›¤› ifli bulal›m. Sürtünme
kuvveti FS ile d vektörü aras›ndaki aç› ise 180°’dir ve bu kuvvetin yapt›¤› ifl ise;
Ws = Fsd cos (180) = Fsd
(5.6)
ba¤›nt›s›yla verilir. Toplam ifl ise Eflitlikler 5.3, 5.4, 5.5 ve 5.6’n›n toplam›d›r;
W = W1 + W2 + W3 + Ws = F1d + F2d cos i 0 - Fsd = d (F1 + F2 cos i - Fs). (5.7)
Görüldü¤ü gibi cisim üzerinde ifl yapan kuvvetler cismin hareketi do¤rultusundaki kuvvet bileflenleridir. Harekete dik do¤rultudaki kuvvet bileflenleri ise, cisim
üzerinde herhangi bir ifl yapmaz.
Durmakta olan m kütleli bir cisim fiekil 5.4’de gösterildi¤i gibi F=100 N büyüklü¤ünde bir kuvvetle sürtünmesiz olarak 100 m çekilmektedir. Bu yolun sonunda
cismin üzerinde yap›lan ifl kaç joule’dür?
Çözüm:
Yap›lan ifl Efl. 5.1 kullan›larak
W = F.d.cos i
yazabiliriz. Soruda verilen say›sal de¤erler kullan›larak yap›lan ifl;
Bir cisim üzerinde
kuvvetlerin ifl yapabilmesi
için kuvvetin cismin
yerde¤ifltirmesi
do¤rultusunda bilefleninin
olmas› gerekir
ÖRNEK
fiekil 5.4
F
i =37°
Sürtünmesiz
düzlemde cisme
etki eden F kuvveti
d=100m
W = F.d.cos i
W = 100.100.cos (37)
W = 100.100.0.8
W = 8000 J
olarak bulunur.
Bir çiftçi odun yüklü k›za¤›, flekildeki gibi yerle 37°’lik aç› yapacak flekilde bir zincirle traktörüne ba¤l›yor. Çiftçi 14700 N a¤›rl›¤›ndaki yüklü k›za¤›, 50 N’luk sabit bir kuvvetle, 20 m’lik mesafeye kadar çekiyor. Bu süreç içinde k›za¤a etki eden
sürtünme kuvveti 3500 N oldu¤una göre yap›lan toplam iflin kaç joule oldu¤unu
bulunuz.
ÖRNEK
104
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
fiekil 5.5
y
Odun yüklü
k›za¤›n çekilmesi
ve üzerine etki
eden kuvvetlerin
diyagram›
N
FT=5000 N
ϕ=37°
FS=3500 N
x
S=20m
W=14,700 N
Çözüm:
Bu problemin çözümün de cisim üzerine etki eden tüm kuvvetler ayr› ayr› ele
al›n›p yapt›klar› ifller hesaplanacakt›r. Toplam ifli bulmak için de, her kuvvetin yapt›¤› ifller toplanacakt›r.
fiekil 5.5.b.’deki diyagramda görüldü¤ü üzere Newton’un III. yasas›na göre cismin a¤›rl›¤› ile yerin cisme uygulad›¤› kuvvet birbirine eflittir (W=N). Hem kuvvetlerin yönü hareket do¤rultusuna dik oldu¤undan hem de kuvvetlerin toplam›n›n s›f›r olmas›ndan dolay›, bu kuvvetler taraf›ndan yap›lan ifl s›f›rd›r. Traktörün
uygulad›¤› FT kuvvetinin yapt›¤› ifl (Efl. 5.1);
WT = F.s.cos {
WT = 5000N.20m.cos (37)
WT = 100000.0,8
WT = 80000 Nm
WT = 80 kJ
olarak hesaplan›r. FS sürtünme kuvvetinin yapt›¤› ifl ise, kuvvet hareket yönünün tersi yönde oldu¤undan dolay› negatif de¤er al›r, yani traktörün k›za¤› çekmek için yapt›¤› iflten pay al›r. Bu durumda FS’nin yapt›¤› ifl için;
Ws = F.s.cos {
Ws = 3500N.20m.cos (180)
Ws = 70000.(-1)
Ws = -70000 N.m
Ws = -70 kJ
yazabiliriz. Kuvvetlerin yapt›¤› toplam ifl ise;
W = WT + Ws + WW + WN
W = 80000 - 70000 + 0 + 0
W = 10 kJ
olarak hesaplan›r.
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
1
Biri di¤erinden
kat daha kuvvetli iki çocuk yerde duran kutuyu, eflit boydaki ip yard›SIRAiki
S‹ZDE
m›yla ayn› uzakl›¤a sürükleyerek götürmek istiyor. Sizce çocuklar›n eflit ifl yapmas› için
kutuyu nas›l çekmeleri gerekir?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
105
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
fiimdiye kadar, bir do¤ru boyunca sabit kuvvetin yapt›¤› iflten bahsedildi. fiimdi de sabit h›zla hareket eden bir arabay› ele alal›m. Acaba bu araba ifl yap›yor mudur? Buna yan›t ararken “sabit h›zl› hareket yapan bir cismin ivmesi var m›d›r?” sorusunu yan›tlamam›z gerekecek. Elbette ki sabit h›zla hareket eden araban›n ivmesi s›f›rd›r. Dolay›s›yla Newton’un II. Yasas› gere¤ince (F=ma) araba üzerine uygulanan net kuvvet te s›f›r olacakt›r. Bu da bize yap›lan iflin s›f›r oldu¤unu gösterir.
Bir Do¤ru Boyunca Kuvvetlerin Yapt›¤› ‹fl: Grafiksel
Yaklafl›m
Bu bölümde bir do¤ru boyunca farkl› zaman veya yerde¤iflmeler boyunca kuvvetlerin yapt›¤› iflin verilen kuvvet-yol grafikleri ile elde edilmesi incelenecektir. Konuyu bir örnek ile anlatmaya çal›flal›m.
Sürtünmesiz yatay düzlem üzerinde bulunan 2 kg’l›k
bir A cismine, fiekil 5.6’daki gibi, 0-2 m aral›¤›nda 10
F(N)
N’luk, 2-6 m aral›¤›nda 20 N’luk ve 6-8 m aral›¤›nda -10
N’luk (- iflareti kuvvetin ters yönde uyguland›¤›n› gösterir), sabit kuvvetler etki etsin. Cismin bafllang›çtaki h›z›
20
s›f›r olsun ve 8 m’lik yolun sonunda yap›lan ifli bulal›m.
Kuvvet-yol grafi¤i verilen sorularda öncelikle bölgele10
re ay›rma ifllemini yapaca¤›z. Bu ifllemde dikkat edilmesi
gereken en önemli nokta, kuvvetin seçti¤imiz bölge boyunca negatif iken pozitif veya pozitif iken negatif de¤er
2
4
almamas›d›r. Bir baflka de¤iflle kuvvet bölgelerimiz bo-10
yunca sadece ya negatif ya da pozitif de¤erler olarak kalacak flekilde seçilmelidir. Bu durumda örne¤imiz için 02 m aral›¤› I. bölge, 2-6 m aral›¤› II. bölge ve 6-8 m aral›¤› da III. bölge olarak belirlenebilir (fiekil 5.7). Bu bölgelerin alan› bize ifli verecektir. Toplam ifl ise bu bölgeler
F(N)
için hesaplanan ifllerin toplam›d›r. S›ras›yla;
I.Bölge için alan;
WI = F1.∆x1
WI = 10. (2 - 0)
WI = 20 J
II.Bölge için alan;
WII = F2.∆x2
WII = 20. (6 - 2)
WII = 80 J
III.Bölge için alan;
WIII = F3.∆x3
WII = -10. (8 - 6)
WII = -20 J
Toplam ifl;
WT = W1 + W2 + W3
WTI = 20 + 80 - 20
WT = 80 J
olarak toplam ifl bulunur.
Kuvvet-yol grafi¤inde kuvvet
e¤risi alt›nda kalan alan
kuvvetin yapt›¤› ifle eflittir.
fiekil 5.6
A cisminin kuvvet
yol grafi¤i
6
8
x(m)
fiekil 5.7
Kuvvet yol
grafi¤inin bölgelere
ayr›lmas›.
20
››.
10
›.
2
-10
4
6
›››.
8
x(m)
106
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
ENERJ‹
Mekanik Enerji: Cismin
kinetik ve potansiyel
enerjisinin toplam›d›r.
‹fl yapabilme yetene¤ine enerji denir. Cisim üzerine yap›lan ifl cismin mekanik
enerji de¤iflimine eflittir (fiekil5.8.). Hareket eden bir cisim, masa üzerindeki bir kitap, bardaktaki su vb. bir cisim veya sistemin mevcut enerjisi varsa, ifl yapabiliyor
demektir. Cisim veya sistem ifl yaparak enerjisini harcar ve bu enerji baflka enerji
flekillerine (›s›, ›fl›k, mekanik, kimyasal, elektrik ve nükleer enerji vb.) dönüflebilir.
Bu nedenle ifl ve enerji birimleri ayn›d›r (joule veya erg). Enerji de ifl gibi skaler bir
büyüklüktür.
fiekil 5.8
Mekanik enerji
diyagram›
MEKAN‹K ENERJ‹
(M.E.=ET=EK=EP)
Hareket Enerjisi
(Kinetik Enerji)
Öteleme Kinetik
Enerjisi
Durgun Enerjisi
(Potansiyel Enerji)
Dönme Kinetik
Enerjisi
EK= 1 1
2
EK= 1 m v2
2
2
I: Eylemsizlik
momenti
: Aç›sal h›z
( =v(
r
Yerçekimi
Kuvvetine
Karfl› yap›lan ifl
Ep=m g h
v2
a
A
vort =
B
v2 + v1
Elektrostatik
q q
Ep=k 1 . 2
d
Kinetik Enerji (Hareket Enerjisi)
m kütleli a ivmeli cismin bir do¤ru boyunca
hareketi.
v1
Ep= 1 k x2
2
Korunumlu
Kuvvetlerde
Genel Çekim
mm
Ep=-G 1. 2
d
fiekil 5.9
Yaylarda
Kinetik enerji, cismin h›z›ndan ötürü sahip oldu¤u
enerjidir. Kinetik enerji cismin sahip oldu¤u h›z›n
do¤rultusundan ba¤›ms›z her zaman pozitif de¤er al›r.
fiekil 5.9’deki gibi yatay bir düzlemde bulunan m kütleli bir cisim sabit a ivmesi ile hareket etsin. Cisim A
noktas›ndan geçerken v1 h›z›na, B noktas›ndan geçerken ise v2 h›z›na sahip olsun. Bu durumda cisim
üzerine yap›lan ifli bulal›m. Öncelikle ortalama h›z
ifadesi,
2
kullan›larak cismin ald›¤› yol
(5.11)
107
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
∆x = vort . ∆t = (
v2 + v1
2
) . ∆t
(5.12)
olarak bulunur. Cismin ortalama ivmesinin büyüklü¤ü ise,
∆v = a.∆t ⇔ a =
v2 − v1
∆t
(5.13)
eflitli¤iyle verilir. Cisim üzerine etki eden kuvvetin büyüklü¤ü Newton’un ikinci yasas› kullan›larak;
F = m.a = m (
v2 − v1
∆t
)
(5.14)
ba¤›nt›s›yla yaz›labilir. Kuvvet ve al›nan yol ayn› do¤rultuda oldu¤u için aralar›ndaki aç› 0° olacakt›r. Böylece Efl. 5.12, Efl. 5.13 ve Efl. 5.14, ifl efllene¤i Efl. 5.1 de
yerine koyuldu¤unda;
W = F .∆x = ( m.a ).∆x
( v − v ) ( v + v ) 

1   2
1
∆t 
W = m. 2
.
 ∆t  

2
1 2 1 2
mv − mv
2 2 2 1
1
W = ∆( mv 2 )
2
W=
(5.15)
ifadesi elde edilir. Bu ifadedeki parantez içindeki terim kinetik enerji ad›n› al›r ve
Ek =
1 2
mv
2
(5.16)
eflitli¤iyle verilir. Böylelikle 5.15 eflitli¤i
W = DEk
(5.17)
eflitli¤ine dönüflür. Bu eflitlik ifl-enerji teoremi olarak bilinir ve cisim üzerinde
yap›lan iflin kinetik enerjisindeki de¤iflim miktar›na eflit oldu¤una veya bir cismin
kinetik enerjisi de¤iflirse cismin üzerinde ifl yap›lm›fl olmas› gerekti¤ini ifade eder.
Efl. 5.16 incelenecek olursa; kinetik enerjinin, kütle ve h›z›n karesiyle do¤ru orant›l› oldu¤una dikkat edilmelidir. Kütle iki kat›na ç›karsa kinetik enerjinin iki kat›na,
h›z iki kat›na ç›karsa kinetik enerjinin dört kat›na ç›kaca¤› aç›kt›r. Daha önce ifl ve
enerjinin skaler büyüklük oldu¤undan bahsedilmiflti. Bu nedenden dolay›, eflit
kütleye sahip iki cisim farkl› yönde h›z› ile ilerlerken yapt›klar› ifl te eflit olacakt›r
(fiekil 5.10).
‹fl-enerji eflitli¤i: yap›lan ifl
cismin bafllangݍ ve son
kinetik enerjilerinin fark›d›r.
W = ∆Ek ⇔ W =
1
2
m( v 2 − v12 )
2
108
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
fiekil 5.10
v
Farkl› cisimlerin
Ek =
1
mv
2
2
kinetik enerjilerinin
karfl›laflt›r›lmas›
m
v
m
Kütle ayn›, h›z ayn›, yön fakl› ise; yap›lan ifl eflittir
m
v
2m
v
Ayn› h›z, iki kat büyük kütle; kinetik enerji iki kat büyük olur.
m
m
v
2v
Ayn› kütle, iki kat h›z; kinetik enerji dört kat büyük olur.
Kinetik enerji de¤iflimi bulunurken ilk ve son h›z de¤erlerinin al›nd›¤›na dikkat
ediniz. H›z›n artma veya azalma biçimi de kinetik enerjiyi de¤ifltirmeyecektir. Efl.
5.17’nin negatif de¤er almas› cismin h›z›n›n azald›¤›n›, cismin üzerinde bileflke
kuvvetlerin yapt›¤› iflin giderek azald›¤›n› gösterir. Bir baflka de¤iflle cisim enerji
kaybediyordur. Efl. 5.17’nin pozitif de¤er almas› ise cismin h›z›n›n artt›¤›n› veya
cismin enerji kazand›¤›n› gösterir.
Birden fazla parçac›ktan oluflan sistemlerde (birden farkl› cisim oldu¤u durumlarda) kinetik enerji sistemi oluflturan her parçac›¤›n›n kinetik enerjileri toplam›d›r.
ÖRNEK
10 m/s h›zla hareket eden 40 kg kütleli bir cismin h›z›n› 20 m/s’ ye ç›karmak için
cisme kaç J’lük enerji vermek gereklidir?
Çözüm:
Soruyu cevapland›rabilmek için Efl. 5.17 ile verilen ifl-enerji eflitli¤ini kullanaca¤›z. Cismin ilk h›z› v1 = 2 m/s, son h›z›n›n v2 = 20 m/s olarak verilmiflti. Bu durumda
1 2 1 2
mv − mv
2 2 2 1
1
1
W = 40.202 − 40.102
2
2
W = ∆Ek =
W = 8000 - 2000
W = 6000 J
olarak bulunur.
109
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
fiekil 5.11.’daki 5 kg’l›k cisim, 1,5 N’luk yatay kuvvet etkisiyle 20 m hareket ederek
A noktas›ndan B noktas›na geliyor. A noktas›ndaki h›z› 2 m/s oldu¤una göre B
noktas›ndaki h›z›n›n kaç m/s oldu¤unu bulunuz.
ÖRNEK
fiekil 5.11
v2=?
v1=2m/s
Bir cismin A
noktas›ndan B
noktas›na yapt›¤›
hareket
cisim
x
A
∆ x=20m
B
Çözüm:
Soruyu cevapland›rabilmek için Efl. 5.17 ile verilen ifl-enerji eflitli¤ini kullanaca¤›z. Cismin ilk h›z› v1=10 m/s, son h›z›n›n v2=20 m/s olarak verilmiflti. Bu durumda
W = DEk
1 2 1 2
mv − mv
2 2 2 1
1
1
1, 5.20 = . 5 . v22 − . 5 . ( 2)2
2
2
1
2
. 5 . v2 = 30 + 10
2
F .∆x =
2,5.v 22 = 40
v22 =
40
= 16
2, 5
v2 = 4 m/s
olarak bulunur.
Sabit h›zla hareket eden bir otomobilde floför aniden frene bast›¤›nda
kinetik
SIRAotomobilin
S‹ZDE
enerjisi de¤iflir mi? E¤er de¤ifliyorsa de¤iflen kinetik enerji ne olmufltur?
Potansiyel Enerji
2
D Ü fi Ü N E L ‹ M
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Potansiyel enerjiyi her an ifl yapabilecek (ifl yapabilme potansiyeline sahip) enerji
S O R U düzene¤in
olarak tarif edebiliriz. Cismin bulundu¤u ortam›n veya ba¤l› bulundu¤u
durumu sonucunda ortaya ç›kar. Potansiyel enerji cismin hareket etti¤i ortamda cisim olsa da olmasa da sürekli bulunan kuvvetlere karfl› yap›lan ifl olarak da tarif
D‹KKAT
edilir. Yerçekiminin oldu¤u bir ortamda, çekim kuvvetinin cisim üzerinde yapt›¤›
ifl, potansiyel enerji olarak tan›mlan›r.
SIRA S‹ZDE
Potansiyel enerji kavram›n› örneklerle aç›klayal›m. Önce yerçekimine
karfl› yap›lan iflin karfl›l›¤› olan ifle örnek verelim. Ev arkadafl›n›zla marketten birer top ald›n›z. ‹kinci katta bulunan evinize siz merdivenleri, arkadafl›n›z
ise asansörü kullaAMAÇLARIMIZ
narak ç›kt› (fiekil 5.12).
Potansiyel enerji: cismin
yere göre konumundan
S O R U
kaynaklanan enerjidir veya
baflka de¤iflle yerçekimi
kuvvetine karfl› yap›lan ifltir.
D‹KKAT
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
110
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
fiimdi elinizdeki top üzerinde yerçekimi kuvvetlerine
karfl› harcanan enerjiyi bulal›m. Topun kütlesini m olarak
al›rsak a¤›rl›¤› mg büyüklü¤üne sahip olacak ve yönü afla¤›ya do¤ru olacakt›r. ‹kinci katta bulunan evinizin yerden
yüksekli¤i de h olarak verilsin. Asansörle de ç›k›lsa merdivenle de ç›k›lsa toplar, yerçekimi vektörünün yönünde
ayn› yüksekli¤e (h) ç›kar›lm›flt›r. Merdivenlerdeki dönüfllerde fazladan gidilen yatay yollar yerçekimi kuvveti vektörü ile 90° aç› yapt›¤›ndan ifl yap›lmaz kabul edilir. ‹fl yap›labilmesi için uygulanan kuvvetin cismin ald›¤› yol do¤rultusunda bilefleni olmas›n› gerekti¤ini hat›rlay›n. Bu durumda yerçekimine karfl› yap›lan ifl her iki durumda da ayn›d›r ve W = mgh olarak verilir. Bu ifl topun kazand›¤› potansiyel enerjiye eflittir ve
fiekil 5.12
Topla birlikte, h yüksekli¤ine, merdiven ve
asansör kullanarak ç›kan iki kifli.
h
h2
Ep = mgh
(5.18)
ba¤›nt›s›yla verilir. Bu enerji m kütleli top üzerinde depolanm›flt›r ve top bu
enerji ile ifl yapma yetene¤ine sahiptir ve cismin yüksekli¤inden dolay› kazand›¤›
bu enerjiye potansiyel enerji denir. Top yukar›dan b›rak›rsak afla¤›ya do¤ru h›zlan›r. Böylece sahip oldu¤u enerji kinetik enerjiye dönüflür. Yere çarpt›¤› an potansiyel enerjinin tümü kinetik enerjiye dönüflmüfl olur.
ÖRNEK
fiekil 5.13
Biri sabit di¤eri
hareketli
makaradan oluflan
sistem
K
m
X
F
2m
Y
h
Makara a¤›rl›¤›n›n ve sürtünme kuvvetinin önemsenmedi¤i fiekil 5.13’teki
sistemde m kütleli cisim sabit h›zla h kadar afla¤›ya
çekiliyor F kuvvetinin yapt›¤› ifl kaç mgh olur?
Çözüm:
Soruyu cevapland›rabilmek için Efl. 5.18 ile verilen potansiyel enerji eflitli¤ini
kullanaca¤›z ve sistemi aflama aflama inceleyece¤iz.
fiekilde görüldü¤ü gibi K noktas› h kadar afla¤›
inerse L noktas› da h kadar, M noktas› 2h kadar yukar› ç›kacakt›r. Y cismine ait potansiyel enerji EP(Y),
X cismine ait potansiyel enerji EP(X) olsun.
h
K
h
L
2h
F
M
2m
m
X
Y
h
∆EP(Y) = 2m.g.2h (pozitif ifl)
∆EP(X) = -m.g.h (negatif ifl)
W = ∆E
W = 4m.g.h - m.g.h
W = 3m.g.h
kuvvetin yapt›¤› ifl olarak bulunacakt›r.
111
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
Da¤a bisikletle ve yürüyerek ç›kan sporculardan bisiklet ile ç›kan daha
SIRAfazla
S‹ZDEzorlan›r. Neden?
3
Esneklik potansiyel
D Ü fi Ü N E L ‹ M
enerjisi: esnek cisimleri
denge konumundan
uzaklaflt›rmak için verilen
S O R U
veya denge konumundan
uzaklaflm›fl esnek cisimleri
tekrar denge konumuna
döndürmek içinDal›nan
‹KKAT
enerjidir.
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Esneklik Potansiyel Enerjisi
Esnek cisimler gergin veya s›k›fl›k konumda iken, cismi eski konumuna getirecek
S O R U olarak isimkuvvetlerin cisim üzerinde yapt›¤› ifl, esneklik potansiyel enerjisi
lendirilir. Bir sünger topu s›k›ld›ktan sonra tekrar eski konumuna gelmesi ya da fiekil 5.14’teki gibi bir yaya F kuvveti uygulan›p x kadar uzat›ld›ktan sonra yay›n esD‹KKAT
ki konumuna gelmesi esneklik potansiyel enerjisine birer örnektir.
SIRA S‹ZDE
W=EP
AMAÇLARIMIZ
F=0
x
F=0
x
F
F (N) = k.x (m)
Sürtünmesiz bir yüzeyde bir yay›n ucunu duvarda sabit bir A noktas›na, di¤er ucunu da bir
cisme ba¤layal›m (fiekil 5.15). Cismi çekerek yay›
x kadar gerelim (yay›n uzamam›fl durumdaki konumunu s›f›r ald›k). Bu durumda yay tekrar eski
konumuna gelmeye çal›fl›r ve yayda F kuvveti do¤ar. Bu kuvvete geri ça¤r›c› kuvvet denir. Geri
ça¤›r›c› kuvvetin uzama miktar›na ba¤l› de¤iflimi
fiekil 5.16’da verilmifltir. Geri ça¤›r›c› kuvvet hakk›nda daha genifl bilgi için Ünite 3’e bak›n›z.
Kuvvetin yapt›¤› ifl germe veya s›k›flt›rma uzunlu¤u ile do¤ru orant›l› oldu¤undan kuvvet-yol grafi¤i do¤rusald›r. Kuvvet-yol e¤risinin alt›nda kalan
alan kuvvetin yapt›¤› ifli verdi¤i bilindi¤inden; fie1
kil 5.16’daki üçgeninin alan› W = kx 2 olarak
2
bulunur. Bu ifl kuvvet sabiti k olan yay›n denge
konumundan x kadar uzaklaflt›¤›nda yayda depolanan esneklik potansiyel enerji de¤iflimine eflit
olur. Bu nedenle esneklik potansiyel enerjisi
1 2
kx
2
fiekil 5.14
N N
SIRA S‹ZDE
F kuvveti etkisi
alt›ndaki bir yaya
ait esneklik
AMAÇLARIMIZ
potansiyel enerjisi
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
x
2F
Eep =
SIRA S‹ZDE
fiekil 5.15
‹NTERNET
‹NTERNET
Sürtünmesiz yatay düzlemde bir yaya ba¤l› m
kütlesinin hareketi
A
x
A
fiekil 5.16
Geri ça¤›r›c›
kuvvetin
uzama
miktar›na
ba¤l› de¤iflimi
F(N)
F(x)=kx
0
x
(5.20)
ile verilir. Yap›lan bu ifl yay›n ucundaki cismin bulundu¤u yere ba¤l›d›r yani ne
gidilen yola ne de o yol boyunca nas›l gidildi¤inden ba¤›ms›zd›r.
x(m)
112
SIRA S‹ZDE
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
4
Efl. 5.20’yi bulurken
neden yerçekimi kuvvetinin yapt›¤› ifl hesaba kat›lmad›?
SIRA S‹ZDE
DÖ
Ü fiRÜ NNE E
L‹M
K
D Ü fi Ü N E L ‹ M
fiekil 5.17
S O R U
S O R U (O noktas›) x kadar
Denge konumundan
s›k›flt›r›lm›fl yay sistemi
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
N N
X
SIRA S‹ZDE
N
M
yatay
L
K
O
AMAÇLARIMIZ
m kütleli fiekil 5.17’de görüldü¤ü gibi x kadar s›k›flt›r›lan yay›n önüne
yerlefltirilmifltir. Cisim serbest kald›ktan sonra K noktas›ndan geçerken ki
kinetik enerjisi 150 J oldu¤una göre
M deki kinetik enerjsi kaç joule dür?
(Sürtünme önemsiz olup, N noktas›
ile O noktas› eflit aral›kl›d›r.)
Çözüm:
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
a
N
M
Denge konumu
a
a
L
yatay
a
K
O
fiekildeki N ile O aras›n›n eflit a
uzunlu¤una bölünmüfl oldu¤unu
düflünelim. Yay 4a s›k›flt›r›ld›¤›nda
yay›n potansiyel enerjisi, yap›lan ifle
eflit olaca¤›ndan;
W = F.∆x ve yay için F = k∆x
‹NTERNET
W = k .(∆x )2 = 16k .a 2 ⇒ ka 2 = E düşünülürse
‹NTERNET
W = 16E
olacakt›r. N noktas›nda toplam enerji, kinetik enerji de¤iflimi s›f›r olaca¤›ndan
potansiyel enerji de¤iflimine eflit olur. Yay serbest kald›¤› an “O” denge noktas›na
kadar potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüflecektir. Soruda K noktas›ndaki kinetik enerji de¤eri 150 J olarak verilmifltir. K noktas›ndaki potansiyel enerjisi bulunacak sonrada M noktas›ndaki kinetik enerji hesaplanacakt›r.
N noktas›ndaki toplam enerji, potansiyel enerji ve kinetik enerji;

W = ∆E , 


W = ∆E P ,
 ∆E P = 16 E


∆E K = 0 


M noktas›nda toplam enerji, potansiyel enerji ve kinetik enerji;
W = ∆E = 16E
∆EP = k.(∆x)2 = k.(3a)2 = 9k a2
k a2 = E ise
∆EP = 9E
∆EK = ∆E - ∆EP = 16E - 9E = 7E
113
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
L noktas›nda toplam enerji, potansiyel enerji ve kinetik enerji;
W = ∆E = 16E
∆EP = k.(∆x)2 = k.(2a)2 = 4k a2
k a2 = E ise
∆EP = 4E
∆EK = ∆E - ∆EP = 16E - 4E = 12E
K noktas›nda toplam enerji, potansiyel enerji ve kinetik enerji;
W = ∆E = 16E
∆EP = k.(∆x)2 = k.(a)2 = k a2
k a2 = E ise
∆EP = E
∆EK = ∆E - ∆EP = 16E - E = 15E
∆EK = 150 J idi
15E = 150 J ⇒ E = 10 J
olur ve böylece M noktas›ndaki kinetik enerji;
∆EK = 7E
∆EK = 7.10 = 70 J
olarak hesaplanm›fl olur.
Enerjinin Korunumu
Enerji ne yoktan var edilebilir ne de varken yok
edilebilir, fakat bir formdan baflka bir forma dönüflebilir. Bu dönüflüm s›ras›nda toplam enerji
daima ayn› kal›r, de¤iflmez. Bir kinetik enerji potansiyel enerjiye ya da sürtünme kuvvetlerin yapt›¤› ifle harcanabilir. Belirli bir h›zla giden arac›n
frene bas›p durmas› s›ras›nda arac›n h›z›ndan dolay› sahip oldu¤u kinetik enerji, sürtünme kuvvetlerinin yapt›¤› ifle dönüflmüfltür. fiimdi ikinci
kata tafl›d›¤›m›z top örne¤imize tekrar dönelim.
Elimizdeki topu pencereden afla¤›ya do¤ru b›rakal›m (fiekil 5.18). Bu durumda pencereden b›rakt›¤›m›z anda ilk h›z› s›f›r olan topumuz herhangi bir düflüflte dahi belirli bir h›za kavuflacakt›r. Baflka bir deyiflle yukar›ya ç›kart›l›rken topa
kazand›r›lan potansiyel enerji kinetik enerjiye
dönüflecektir. Yani topun potansiyel enerjisi azal›rken kinetik enerjisi artacakt›r. Bu durumun tersi de mümkündür. Top düfley ilk h›zla yerden
yukar›ya do¤ru f›rlat›l›rsa, yükseldikçe topun kinetik enerjisi azal›rken potansiyel enerjisi artar.
fiekil 5.18
h yüksekli¤inden b›rak›lan m kütleli bir topun hareketi.
h
h2
v2
v3
114
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Bu durumu flu flekilde ifade edilebiliriz. E¤er potansiyel enerjideki de¤iflim ∆Ep,
kinetik enerjideki de¤iflim ∆Ek olarak tan›mlan›rsa,
∆Ep = - ∆Ek
(5.21)
olmal›d›r. Bafllang›çtaki enerjiler için 1 indisi sondaki enerjiler için 2 indisi kullanarak Efl. 5.21
Ep2 - Ep1 = -(Ek2 - Ek1)
(5.22)
olarak yaz›labilir. Eflitlik 5.22’yi tekrar düzenleyerek
Ep1 + Ek1 = Ep2 + Ek2
(5.23)
ifadesi bulunur. Bu eflitlik mekanik enerjinin korunumu ifadesi olarak bilinir ve
bir durumdaki toplam mekanik enerjinin bir baflka durumdaki toplam mekanik
enerjiye eflit olaca¤›n› ifade eder. Bu ifadeyi fiekil 5.18’deki topun hareketi için daha aç›k yazacak olursak;
1
1
mgh1 + mv12 = mgh2 + mv22
2
2
(5.24)
eflitli¤ini elde ederiz. E¤er sistemde yay da var ise mekanik enerjinin korunum
ifadesi (Efl. 5.23) daha genel olarak
Ep1 + Ek1 + Eep1 = Ep2 + Ek2 + Eep2
(5.25)
fleklinde kullan›l›r.
Enerji korunumu sorular›n› çözerken dikkat edilmesi gereken noktalardan biri
potansiyel enerji için referans noktas›n›n neresinin seçildi¤idir. Genellikle referans
noktas› cisimlerin bulunabilece¤i minimum konum seçilir ama bu flart de¤ildir. Çözülen soru boyunca referans noktas›n›n sabit kalmas› yeterlidir.
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
5
SIRA
S‹ZDE hangi enerji türünü hangi enerji türüne nas›l dönüfltürürler?
Hidroelektrik
santraller
GÜÇ VE VER‹M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Baz› durumlarda yap›lan iflin ne kadar zamanda yap›ld›¤› önem tafl›r. Bu nedenle
güç kavram› ortaya at›lm›flt›r. Güç, birim zamanda yap›lan ifl veya ifl yapma h›z›
S O R UYap›lan ifl W ve iflin yap›ld›¤› süre ∆t ise güç;
olarak tan›mlan›r.
P=
W
D‹KKAT
∆t
N N
eflitliyle SIRA
verilir.
Eflitlik 5.26 ifl ifadesi kullan›larak düzenlenirse,
S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
‹NTERNET
(5.26)
115
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
P=
 ∆r 
F ∆r cos α
= F   cos α = Fv cos α
 ∆t 
∆t
(5.27)
ba¤›nt›s› da türetilebilir. Gücün birimi joule/saniye (J/s) veya watt (W)’d›r. Pratikte güç için beygir gücü (veya buhar beygiri) birimi de kullan›l›r (1 BG=746 W).
Baz› durumlarda ifl-enerji birimi için güç tan›m› kullan›larak (güç x zaman) olarak
verildi¤i de olur, örne¤in watt-saat veya kilowatt-saat ifl-enerji birimleridir.
fiekil 5.19’da gösterilen motorun, 2 kg kütleli bir cismi 5 m/s sabit h›zla yukar› çekerken harcad›¤› güç kaç Watt’t›r? (g = 10 m/s2)
Çözüm:
Soruda verilenleri kullanarak formülde
yerine koymak çözüme ulaflmam›z› sa¤layacakt›r.
W
F .∆x
∆x
P=
=
⇒
= v olduğu için
∆t
∆t
∆t
P = F.v
P = (m.g).v = 2 (kg).10 (m/s2).5 (m/s)
P = 100W
1J/s=1 N.m/s’dir
1 kW- saat=3,6x106 J’dür
ÖRNEK
fiekil 5.19
Sabit h›zla 2kg’l›k cismi çeken motor
sistemi.
P=?
Sabit
Motor
F
5 m/s
2 kg
mg
SIRA S‹ZDE
Sa¤l›kl› yaflam için doktorlar günde 30 dakika yürümenin flart oldu¤unu
ifade etmektedir.
Sizce farkl› kütlelere sahip, ayn› mesafeyi ayn› zamanda yürüyen kiflilerin harcad›¤› enerji ve güç de¤iflir mi?
6
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Elektrikle çal›flan su motoru, kendinden 10 m yüksekte bulunan bir depoya 10 daS O R U
kikada 600 kg su çekiyor. Motorun gücü kaç W’t›r?
Çözüm:
D‹KKAT
Güç ifadesini kullanarak soruyu yan›tlayabiliriz. Suyu yukar›ya ç›karmakla yerçekimine karfl› bir ifl yapar›z ve bu ifl mgh olarak karfl›m›za ç›kar. Sonuçta,
W
P=
∆t
mgh 600.10.10
P=
=
= 100 W
∆t
10.60
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
olarak bulunur.
Bir makinenin verimi, makineden al›nan gücün makineye verilen güce oran›
olarak tarif edilir. Verim h simgesi ile gösterilir ve
ALINAN GÜÇ
η=
VERİLEN GÜÇ
TELEV‹ZYON
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
ÖRNEK
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
(5.28)
‹ N Tkay›plar›
E R N E T nedeniyeflitli¤iyle verilir. Sürtünme, ses, ›fl›k, deformasyon gibi enerji
le al›nan güç hiçbir zaman verilen güce eflit olamaz. Dolay›s›yla verim her zaman
1’den küçüktür.
‹NTERNET
116
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
ÖRNEK
fiekil 5.20
Makara sistemi
F
fiekil 20’deki makara sisteminde P a¤›rl›kl› cisim, F kuvvetiyle sabit h›zla yükseltiliyor. Makaran›n verimi %50 oldu¤una
göre F kuvvetinin büyüklü¤ü
kaç P dir?
P
Çözüm:
Bu soruyu Efl.5.28 kullanarak yan›tlayabiliriz. ‹pin ve yükün yükselme miktar›
makara a¤›rl›¤›ndan ba¤›ms›z oldu¤u unutulmamal›d›r.
η=
2h
F
ALINAN GÜÇ
VERİLEN GÜÇ
50
P.h
=
(yük h ç›karsa, kuvvet ipi 2h çeker.)
100 F.2h
1
P.h
=
⇒ F = P olarak bulunur.
2 F.2h
G
P
SIRA S‹ZDE
7
h
SIRA S‹ZDE olmadan çal›flabilecek bir ayg›t/araç tasarlamak mümkün müdür?
D›fl enerji gereksinimi
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
‹NTERNET
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
117
Özet
N
A M A Ç
1
Fizikte ifl kavram›n› aç›klamak.
Bir cisim üzerine etkiyen F gibi sabit bir kuvvet
cisme ∆r kadar yer de¤ifltirme sa¤l›yorsa yap›lan ifl,
W = F ∆r cos (a)
N
A M A Ç
2
N
A M A Ç
3
ile verilir.
Bir kuvvet kendi ilerleme do¤rultusunda yol al›yorsa ifl yapar. Yap›lan ifluygulanan kuvvetin fliddetine, do¤rultusuna ve yerde¤ifltirmesine ba¤l›d›r. Etkiyen kuvvetin yönü ile yerde¤ifltirme vektörünün yönleri dikkate al›nd›¤›nda ifl negatif veya pozitif büyüklük olarak karfl›m›za ç›kabilir.
‹flin birimi SI birim sistemine göre joule ve CGS
birim sistemine göre erg’dir.
‹fl ve enerji aras›ndaki iliflkiyi betimlemek.
Bir cisme bir kuvvet uyguland›¤›nda, bu kuvvetin ifl yapabilmesi için i) cismin yerde¤ifltirme
yapmas› ii) cismin yerde¤ifltirme do¤rultusunda
uygulanan kuvvetin bir bilefleni olmas› gereklidir. Bir cisim üzerinde yap›lan net ifl ile cisme
enerji aktar›l›r veya cisimden enerji al›n›r. Bir baflka deyiflle, cismin ifl yapabilmesi için enerjiye
gereksinimi vard›r. Bu bak›mdan ifl ve enerji birimleri ayn›d›r.
E yay =
Ek =
1
2
mv
2
eflitli¤iyle verilir. Yerden h kadar yükseklikte bulunan m kütleli bir cismin yere göre sahip oldu¤u potansiyel enerji
Ep = mgh
ifadesiyle, orijinal konumundan x kadar gerilmifl
veya s›k›lm›fl kuvvet sabiti k olan yaydaki esneklik potansiyel enerjisi ise,
2
kx
2
ba¤›nt›s›yla verilir.
N
A M A Ç
4
Enerjinin korunumu yasas›n› aç›klamak.
Bir cisim üzerinde d›fl kuvvetler taraf›ndan yap›lan ifl, cismin kinetik enerjideki de¤iflim miktar›na eflittir ve ifl-enerji eflitli¤iyle,
W = ∆Ek
fleklinde gösterilir. Mekanik enerji korunumlu bir
nicelik olup, birbirinden farkl› iki durumdaki
enerjiler birbirine eflittir;
Ep1 + Ek1 + Eep1 = Ep2 + Ek2 + Eep2
N
A M A Ç
5
Enerji bir formdan baflka bir forma dönüflebilir.
Güç ve verim kavramlar›n› tan›mlamak.
Güç birim zamanda yap›lan ifl miktar› olarak tan›mlan›r ve
P=
W
∆t
= Fv cos(α)
eflitli¤iyle gösterilir. Güç birimi watt’t›r. Verim,
η=
Kinetik enerji, potansiyel enerji ve esneklik potansiyel enerjisini tan›mlamak.
Bir cismin h›z›ndan dolay› sahip oldu¤u enerjiye
kinetik enerji, durumu ve konumundan dolay›
sahip oldu¤u enerjiye potansiyel enerji denir.
Kütlesi m, h›z› v olan cismin kinetik enerjisi
1
ALINAN GÜÇ
VERİLEN GÜÇ
eflitli¤iyle verilir ve makineden al›nan gücün makineye verilen güce oran› olarak tarif edilir.
118
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Kendimizi S›nayal›m
1. Afla¤›daki ifadelerden hangisi enerji birimi olan J’e
eflde¤erdir?
a. kgm/s
b. kgm3/s2
c. kgm2/s2
d. kgm/s2
e. kgm2/s
5. Tavandan as›l› ideal sarmal bir yay›n serbest ucuna
8,0 kg’ l›k bir kütle tak›l›yor. Kütle yay›n ucunda as›l›
duruyorken, yay bafllang›ç durumuna göre 10 cm uzuyor. Bu durumda iken yayda toplanan potansiyel enerji kaç joule’dür?
1
2
2. Sürtünmeli bir düzlemde, durmakta olan m kütleli
bir cisim flekilde gösterildi¤i gibi F=100 N büyüklü¤ünde bir kuvvetle çekilmektedir. 2 m sürüklemenin sonunda cismin üzerine yap›lan ifl 300 J ise sürtünme kuvvetinin büyüklü¤ü kaç N’dur?
m
F
i =37°
d=2m.
a.
b.
c.
d.
e.
100
70
50
25
0
3. Kinetik enerjisi 100 J olan 2 kg kütleli bir cismin h›z› nedir?
a. 50
b. 25
c. 20
d. 10
e. 5
4. Yerden h yüksekli¤inden serbest b›rak›lan bir cismin h/2 yüksekli¤ine geldi¤inde h›z› nedir?
a. gh
b.
7gh
c.
5gh
d.
2gh
e.
gh
10 cm
V=0
a.
b.
c.
d.
e.
1
2
4
8
16
6. fiekildeki gibi kütlesi 4 kg olan bir cisim, yatay sürtünmesiz bir düzlemde h›zla gelerek bir ucu tutturulmufl yay sabiti 100 N/m olan yay›n serbest ucuna çarparak 2 cm s›k›flt›r›yor. Cismin bafllang›çtaki h›z kaç m/s’dir?
v
A
x
A
a.
b.
c.
d.
e.
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
m
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
7. Kütlesi 2 kg olan cisim 10 m/s h›z ile A noktas›ndan
hareketine bafll›yor, d=8 m’lik e¤ri yolu al›yor ve h=2 m
yüksekli¤e ç›k›yor. Ald›¤› yol boyunca cisim üzerine
FS=6 N’luk sürtünme kuvveti etki ediyor. Cisim B noktas›na ulaflt›¤› andaki h›z› kaç m/s olur?
d
B
h
o
m
A
a. 0
b.
2
c.
3
d. 2
e.
5
8. Motorun gücü kaç 4 W olan bir su motoru, kendinden 1 m yüksekte bulunan bir depoya 1 dakikada en
fazla kg su çekebilir?
a. 24
b. 15
c. 8
d. 4
e. 1
119
9. Bir deniz motorunun h›z› 10 m/s iken pervanenin
gücü 50 beygir gücündedir. Motor bu h›zla durdurmak
istenirse ba¤l› oldu¤u ipte kaç N’luk gerilme oluflur? (1
BG=746 W)
a. 5
b. 50
c. 746
d. 3730
e. 5000
10. Verimi %75 olan bir motor derinli¤i 20 m olan artezyen kuyusundan dakikada 45 kg su çekebilmektedir.
Bu motorun gücü kaç W’t›r?
a. 200
b. 175
c. 150
d. 125
e. 100
120
“
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Yaflam›n içinden
4 May›s 2002
7’DEN 77’YE OKUL DIfiI B‹LG‹LER
“Bay Lunapark”› tan›r m›s›n›z?
E¤lence denince, benim akl›ma dönme dolaplar, sal›ncaklar, güldüren aynalar ve korku tünelleri gelir. Babam›nsa tahterevalli, Karagözcü, kukla tiyatrosu ve kay›k
sal›ncaklar...
Ablalar›n›z›n akl›na, çarp›flan otomobiller, dönen uçaklar, dönme dolaplar gelirken; flimdi h›zla de¤iflen teknolojiyle sizlerin akl›na, befl yüz kilometre h›zla giden
uzay otobüsü, kollu makineler, içinden küçük kay›klarla geçilen saydam su borular›, her köfleden size uzay
tabancas›yla atefl eden Fairman’ler, bafllar›n› deliklerden ç›karan tarla fareleri geliyor...
Yani sizin anlayaca¤›n›z, sonunda böyle bir yere gitmek istedi¤imizde hepimizin akl›na o park, yani lunapark geliyor.
Peki hiç düflündünüz mü bu lunapark sözcü¤ünün nereden geldi¤ini? Neden dünyan›n her yerinde e¤lence
yerlerine lunapark denildi¤ini?..
‹flte size lunapark›n k›sac›k öyküsü
Anatoliy Lunaçarskiy bir siyaset adam›. Ayn› zamanda
da baflar›l› bir sanat ve edebiyat tarihçisi. 1905 y›l›nda
ülkesinden Fransa’ya kaçmak zorunda b›rak›l›nca, yaflam›n› sürdürebilmek için kendi ad›n› verdi¤i bir park
kiralam›fl ve bu parkta tam on iki y›l›n› niflan tahtalar›,
sallanan tahta atlar, tahterevallilerle oynayan çocuklara
sandviç satarak geçirmifl.
O memleketine döndükten sonra da, çocuklar Lunaçarskiy’ nin park›n› unutmam›fllar ve bu parka “Luna’n›n
Park›” anlam›nda “Lunapark” demifller.
‹flte bizde de, dünyan›n dört bir köflesinde baflka baflka
isimler tak›lsa da, lunaparklar›n ad› Lunaçarskiy Amca’dan geliyor...
Yazar›nda dedi¤i gibi lunapark her ça¤›n bir neflesi bir
e¤lencesidir. Lunaparklarda kullan›lan mekanik düzeneklerin çal›flmas›nda temel prensip fizik ilkelerinin
kullan›lmas›d›r. Bu bak›mdan lunaparklar adeta bir canl› fizik laboratuvar ortam›n› and›r›r.
Belirli bir eksen etraf›nda dönen düzlem ve bu düzleme sabitlenmifl ziyaretçilerin savrulmas› üzerine kurulu
atl›kar›ncaya binmeyenimiz hemen hemen yoktur. Oturma yerleri zincirlerle bir dönen tablaya ba¤lanan, dönünce bir yelpaze gibi aç›lan uçan sandalye makinesine binmek ise büyüdü¤ümüzün bir göstergesidir sanki.
Bunun yan›nda adrenalin seviyesini oldukça artt›ran,
yükseklere ç›k›p birden inen heyecanl› lunapark treni
ise son y›llar›n en e¤lenceli makinelerindendir. fiimdi
bu trenin çal›flmas›ndaki fiziksel olaylara bir bakal›m.
Tren bir zincir halat yard›m›yla raylar›n tepe noktas›na
ç›kar›l›r. Tepeye yaklaflt›r›ld›¤›nda h›z› yavafllat›l›r ve
durma noktas›na getirilir. Bu noktada iken, trenin potansiyel enerjisi en büyük de¤erdedir. Tren, hafif bir
hareketle alçalan rayda hareket eder ve oldukça h›zlan›r. Dolay›s›yla kinetik enerjisi artar. Bir baflka deyiflle
tepedeyken kazand›¤› potansiyel enerjisi kinetik enerjiye dönüflür. Sürtünmelerden kaynaklanan enerji kayb›
ise trene ba¤l› küçük bir motor yard›m›yla telafi edilir.
Sonuçta lunapark trenimiz asl›nda bir enerji dönüflüm
makinesi olarak çal›fl›r.
”
121
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
1.c
S›ra Sizde 1
‹fl kuvvet ile yerde¤ifltirme vektörünün büyüklü¤ü ile
her iki vektörün aras›ndaki aç›n›n kosinüsü çarp›na
eflittir. Soruda çocuklar›n birisinin di¤erine göre iki kat
kuvvetli oldu¤u ve yerde¤ifltirmenin ayn› uzakl›k oldu¤u bilgisi verilmektedir. Çocuklar›n yapt›¤› ifli ayr›
ayr› yaz›p eflitleyelim. Çocuklardan iki kat kuvvetli
olan›n, kuvvet vektörü ile yerde¤ifltirme vektörü ile
aras›ndaki aç› a, yap›lan ifl W1, di¤erinde ise kuvvet
vektörü ile yerde¤ifltirme vektörü ile aras›ndaki aç› i,
yap›lan ifl W2 olsun.
2.b
3.d
4.e
5.c
6.a
7.b
8.a
9.d
10.a
Yan›t›n›z yanl›flsa “‹fl” bafll›kl› konuyu gözden
geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Do¤ru Boyunca Sabit Bir
Kuvvetin Yapt›¤› ‹fl” bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Kinetik Enerji” bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Potansiyel Enerji” bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Esneklik Potansiyel Enerjisi”
bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Esneklik Potansiyel Enerjisi”
bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Enerji Korunumu” bafll›kl›
konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Güç ve Verim” bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz
Yan›t›n›z yanl›flsa “Güç ve Verim” bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Güç ve Verim” bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.
W1 = Fd cos (a)
W2 = 2Fd cos (i)
W1 = W2
Fd cos (a) = 2Fd cos (i)
cos (a) = 2 cos (i)
Bu eflitli¤in sa¤land›¤› her durumda çocuklar eflit ifl yapar. Bu durumu biraz daha irdeleyelim. Kosinüs fonksiyonu en küçük -1 en büyük 1 de¤erini alabilir. Bu durumda cos (i) de¤eri 0,5’den büyük de¤er alamaz, bir
baflka de¤iflle i aç›s› 60°’den küçük olamaz. Örnek olarak i aç›s› 60° olursa a = 0 olur (fiekil 5.21).
2F
N
F
W
fiekil 5.21: S›ra sizde 1 için örnek durum.
S›ra Sizde 2
Otomobil frene bast›¤› andan itibaren h›z›nda bir azalma olaca¤› aç›kt›r. Kinetik enerji h›z›n karesi ile do¤ru
orant›l›d›r (Efl. 5.13). Bu durumda otomobil frene bast›¤›nda kinetik enerjisi azal›r. Kinetik enerji de¤iflimi ise
ifl-enerji eflitli¤i (Efl. 5.14) ile ifle eflittir. Bu ifli yapan
kuvvet ise sürtünme kuvvetleridir.
122
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
S›ra Sizde 3
Da¤a ç›karken sporcular yerçekimi kuvvetine karfl› ifl
yaparlar. Kütlesi m olan yürüyerek ç›kan sporcu mgh
ile tan›mlanan potansiyel enerji toplar. Bisiklet ile ç›kan
sporcu için toplam kütle yürüyerek ç›kan sporcuya göre daha fazlad›r, bisikletin kütlesi (mB) eklenmifltir. Bu
durumda yerçekimine karfl› yap›lan ifl (m+mB)gh kadard›r. Yani bisikletli olan sporcu t›rmanmak için daha
fazla enerjiye ihtiyaç duyar.
S›ra Sizde 4
Yerçekimi kuvvetinin yönü yay›n uzama vektörü aras›ndaki aç› 90°’dir. Bu durumda yay›n gerilmesine yerçekimi kuvvetinin bir etkisi olmaz. Bu nedenle Efl. 5.17
türetilirken yerçekimi kuvveti hesaba kat›lmas›na gerek
yoktur.
S›ra Sizde 5
Hidroelektrik santrallerde barajlarda toplanan suyun
kullan›ld›¤›n› biliyoruz. Toplanan suyun kütle merkezi
zeminden yüksektedir. Bu durumda su potansiyel enerjiye sahiptir. Baraj›n zemine yak›n yerlerde ise suyun
ak›fl›n› sa¤layacak kapaklar bu kapaklar›n bulundu¤u
yerde ise tribünler bulunur. Su buradan geçerken tribünleri döndürür. Yani suyun sahip oldu¤u potansiyel
enerji, tribünlerin dönmesiyle kinetik enerjiye dönüflür
ve bu kinetik enerjide tribünlerin ba¤l› oldu¤u motorlar
yard›m›yla elektrik enerjisine dönüflür.
S›ra Sizde 6
Güç birim zamanda yap›lan ifl miktar›d›r. Yap›lan ifl ise
harcanan veya depolanan enerji miktar›na eflittir. Efl.
5.24’e göre güç, kuvvet ile h›z vektörünün büyüklü¤ü
ile her iki vektörün aras›ndaki aç›n›n kosinüsü çarp›na
eflittir. Yürüyüfl yapanlar ayn› mesafeyi ayn› zamanda
yürüdüklerine göre h›zlar› ayn›d›r. Fakat kütleleri farkl›
oldu¤u için kuvvet farkl›d›r, kütlesi fazla olan›n daha
fazlad›r. Enerji için ise kütlesi fazla olan›n daha fazla ifl
yapt›¤› hemen söylenebilir. Bu durumda kütlesi fazla
olan kiflilerin harcad›klar› enerji ve güç fazlad›r. Diyet
yapmaya yeni bafllayan kiflilerin kütleleri fazla oldu¤u
için enerji harcama (kilo verme) daha h›zl› olur. Kütleleri azald›kça ayn› mesafeyi yürüdükleri halde ayn› enerji harcanmaz.
S›ra Sizde 7
Enerji gereksinim olmamas› verimin bir veya daha büyük olmas›na karfl› gelir ki bu durum fizikte flu ana kadar öngörülen teoremlere ayk›r›d›r. Verilen güç al›nan
güce eflit olmaz. Halk aras›nda verilen güç ya da enerji
olarak elektriksel veya petrol türevlerinin kuvvetlerinden elde edilen enerji öngörülmektedir. Fakat do¤ada
var olan do¤al kuvvetlerin varl›¤› unutulmaktad›r. Bunlar›n bafl›nda pusulan›n sapt›rmas›n› sa¤layan dünyan›n
manyetik alan kuvveti, sabit m›knat›slar›n manyetik alan
kuvveti, yerçekimi kuvveti ve dünyan›n kendi ekseni
etraf›nda dönmesinden kaynaklanan kuvvet gibi kuvvetler gelir. Bu kuvvetlerin kullan›lmas› verimi artt›r›r.
5. Ünite - ‹fl, Enerji, Güç
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek
Kaynaklar
Halliday, D., Resnick R., Walker, R. J., (2001) Fundamentals of Physics- 6. B., New York: J. Wiley.
Serway, R. A., Beichner, R. J., Jewett, J, çeviri editörü
Çolako¤lu, K., (2007) Fen ve Mühendislik için Fizik, Ankara: Palme Yay›nc›l›k.
123
6
TEKNOLOJ‹N‹N B‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I
Amaçlar›m›z
N
N
N
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Çizgisel momentumu aç›klayabilecek,
Momentumun korunumu yasas›n› tan›mlayabilecek,
Bir do¤ru boyunca çarp›flma olaylar›n› analiz edebilecek, bilgi ve becerileri
edinmifl olacaks›n›z.
Anahtar Kavramlar
• ‹tme
• Momentum
• Momentum Korunumu
• Çarp›flma
‹çindekiler
Teknolojinin Bilimsel
‹lkeleri-I
Momentum
• G‹R‹fi
• MOMENTUM
• ÇARPIfiMALAR
Momentum
G‹R‹fi
Bu ünitemizde cisimlerin hareketlerinden dolay› di¤er cisimler ile etkileflmeleriyle oluflan fiziksel olaylar› analiz edece¤iz. Bu analizler çerçevesinde itme ve momentum kavramlar›n› inceleyece¤iz. Ard›ndan çarp›flma olaylar›n› bu kavramlarla
iliflkilendirece¤iz.
MOMENTUM
Bir cismin kütlesi ile h›z›n›n çarp›m› çizgisel momentum veya k›saca momentum olarak isimlendirilir. Momentum;
r
r
p = mv
(6.1)
eflitli¤iyle gösterilir. Birimi kg.m/s’dir. Momentum vektörel bir niceliktir ve yönü
cismin h›z› yönündedir. Bu bak›mdan cismin momentumunun bilinmesi cismin
hangi yönde hareket etti¤i bilgisini de verir.
‹tme
Bir cismin ivmesinin,
r
r ∆v
a=
∆t
(6.2)
ifadesiyle verildi¤ini daha önceki derslerimizde görmüfltük. Bu ifadeyi Newton’un ikinci yasas›na yerlefltirip düzenlersek;
r
r
r
∆v
F = ma = m
(6.3)
∆t
r
r
F ∆t = m∆v
(6.4)
r
r
elde edilir. Efl. 6.4’ün sol taraf›ndaki I = F ∆t ifadesi itme olarak isimlendirilir. Kuvvet vektörel büyüklük oldu¤undan itme de vektöreldir. ‹tmenin birimi
newton-metre (N.m)’dir. Cisim üzerine etki süresi farkl› olacak flekilde birden fazla kuvvet uyguland›¤›nda, itme, her bir kuvvetin kendi etki süresi ile kuvvetin çarp›mlar›n›n vektörel toplam› olarak düflünülmelidir.
r
r
Cismin bafllang›çtaki h›z› vilk ve son h›z› vson olmak üzere, Efl. 6.4’ün sa¤ tar
raf›ndaki m∆v ifadesini biraz daha aç›k yazal›m;
‹tme: cisme etkiyen kuvvet
ile kuvvetin etki süresinin
çarp›m›d›r.
126
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Bir cisme etki eden itme,
cismin momentumundaki
de¤iflimeye eflittir.
r
r
r
r
r
s
r
r
m∆v = m ( vson − vilk ) = mvson − mvilk = pson − pilk = ∆p
(6.5)
r
Eflitlik 6.5’in sa¤ taraf›ndaki fark ( ∆p ) bize cismin son momentumu ile ilk momentumu aras›ndaki fark› verir. Bu farka momentum de¤iflimi denir. Bu durumda bir cisme etkiyen kuvvetin süresi ile kuvvetin çarp›m› yani itme, momentum de¤iflimini verir. Momentum de¤iflimi bize cismi durdurmak veya hareket ettirmek
için gerekli itmenin büyüklü¤ünü tan›mlar.
Kütlesi 10 kg olan bir cisim, 4 m/s’lik h›zla bir duvara at›l›yor (fiekil 6.1). Top duvarla 0.02 s’lik bir etkileflmeden sonra ayn› h›zla geri dönüyor. Cismin duvar üzerinde oluflturdu¤u ortalama kuvvet kaç N’dur?
ÖRNEK
fiekil 6.1
Duvara çarpan
top
Duvar
v
m
vs=0
r
r
F ∆t = m∆v
r
r
r
F ∆t = m( v − (−v ))
r
r
F ∆t = 2 mv
F .0.02 = 2.10.4
F = 4000 N
Çözüm:
Momentum de¤iflimi hesaplan›rken son momentumdan ilk momentumun fark› al›naca¤›ndan gelifl ve dönüfl h›z yönleri önem tafl›r.
Top duvara çarp›p döndükten sonra, h›z›n›n büyüklü¤ü ayn› olmas›na ra¤men yönünün gelifl h›z›na
ters olaca¤›na dikkat edelim. Bu
durumda momentum de¤iflimi, gelifl momentumunun iki kat› olacakt›r. Efl. 6.5 kullan›larak;
olarak buluruz.
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
ÖRNEK
AMAÇLARIMIZ
1
SIRA
S‹ZDE topuna ve futbol topuna ayn› kuvvetle tekme at›yor. Toplara kaBir sporcu bir
basketbol
zand›rd›¤› momentum ve h›z için ne söyleyebilirsiniz?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Momentumun
Korunumu
Momentumun yönünü ve büyüklü¤ünü de¤ifltirebilmek için h›z›n de¤iflmesi dolaO R U etki eden kuvvetin yönü, etki süresi veya büyüklü¤ü nicelikley›s›yla cisim Süzerine
rinden en az birinin de¤iflmesi gereklidir. Efl. 5.4’ü biraz daha inceleyelim. Bu eflitli¤e göre, itmenin
uygulanan net kuvvetin yönü olmakla birlikte ayn› zamanD ‹ K K A yönü
T
da momentum de¤iflimi yönündedir. Bir baflka deyiflle belirli bir do¤rultuda momentum de¤ifliminden bahsedebilmek için o yönde net bir kuvvet olmas› gerekir.
N N
SIRA S‹ZDE
m=1 kg kütleli bir top h=5 m yükseklikten bafllang›çtaki h›z› vilk=2 m/s olacak flekilde b›rak›l›yor.
Cismin momentumundaki de¤iflimin yönü ve büyüklü¤ü nedir?
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
‹NTERNET
127
6. Ünite - Momentum
fiekil 6.2
Çözüm:
Cismin at›ld›¤› andaki momentumuna Pi
ve yere çarpt›¤› andaki momentumunu PS
olarak gösterelim. Bu momentumlar›n yönlerinin cismin o andaki h›z›n›n yönü do¤rultusunda oldu¤unu gözden kaç›rmayal›m.
Momentum de¤iflimi ise cismin son momentumu ile bafllang›çtaki momentumu aras›ndaki vektörel farkt›r ve itme momentum
de¤iflimine eflittir;
r
r r
r
Ι = ∆P = PSon − Pilk
Düfleyde b›rak›lan
bir cismin hareketi
bafllangݍtaki momentumu
r Cismin
r
Pilk = mvilk olarak verilir ve yönü cismin
h›z› ile ayn›d›r, yani afla¤›ya do¤rudur. Cismin son momentumu için ise son h›za gerek vard›r. Bunun için yerçekimi ivmesi ile
h yüksekli¤inden afla¤›ya düflen cisim için
h=
1 2
gt
2
eflitli¤i yaz›larak t süresi bulunur;
t=
2h
2 ⋅5
=
= 1 s.
g
10
Bu ifade ile son h›z,
vson = vilk + gt = 2 + 10 ⋅ 1 = 12 m/s
olarak bulunur. Bu durumda cismin son momentumu
Pson = mvson = 1 ⋅ 12 = 12 kg m/s
olarak elde edilir. Son momentumun yönü ise yine ilk momentum gibi afla¤›ya
do¤rudur. Bu durumda cismin momentumundaki de¤iflim,
Pson - Pilk = 12 - 2 = 10 kg m/s
olarak karfl›m›za ç›kar. Momentum de¤ifliminin yönü ise afla¤›ya do¤rudur. Örne¤imizde etki eden kuvvet yerçekimi kuvvetidir ve yönü afla¤›ya do¤rudur. Böylelikle momentum de¤ifliminin yönü için bulunan sonuç d›fl kuvvet yönü ile uyum
içindedir.
E¤er seçilen do¤rultuda net bir kuvvet yoksa momentum de¤iflimi olmaz, yani
momentum korunur. Bu durumda Efl. 6.4,
r
r
F ∆t = m∆v = 0
(6.6)
ve Efl. 6.5 kullan›larak,
r s
r
∆p = pson − pilk = 0
s
r
pson = pilk
(6.7)
128
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Örne¤in çarp›flma veya
infilak olaylar› gibi fiziksel
olaylarda e¤er bileflke d›fl
kuvvet s›f›rsa momentum
korunur.
elde edilir. Son momentumun ilk momentuma eflit oldu¤u duruma momentum korunumu denir.
ÖRNEK
Ayn› yükseklikten ayn› ilk h›zlarla fiekil 6.3’deki gibi f›rlat›lan özdefl cisimlerin yere düflünceye kadarki momentum de¤iflimlerini s›ralay›n›z. (g=10m/s2; Sürtünme
yok)
fiekil 6.3
Yatay at›fl yap›lan
cismin hareketi
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
2
Çözüm:
‹tme momentum de¤iflimine
eflit oldu¤undan cisimlerin üzerindeki itmeleri inceleyelim. Cisimlerin üzerine d›fl kuvvet olaV0
rak yerçekimi kuvveti uygulan›r.
Dolay›s›yla momentum de¤iflim
m
yönü etki eden d›fl kuvvet yönünm
V0
de yani afla¤›ya do¤rudur. 1 numaral› durum ile 2 numaral› cih
simlerin hareketleri karfl›laflt›r›ld›I1
I2
¤›nda, 1 numaral› durumdaki cismin uçufl süresi 2 numaral› duYer
rumdan daha fazla oldu¤u aç›kt›r. ‹tme, cisim üzerine etki eden
d›fl kuvvet ile etkime süresinin
r
r
çarp›m› oldu¤undan, Ι = F .∆t , 1 numaral› cisimdeki itme 2 numaral› itmeden, dolay›s›yla momentum de¤iflimi daha büyük olacakt›r.
Uzaydaki çarp›flmalarda
SIRA S‹ZDE momentum korunur mu?
ÇARPIfiMALAR
D Ü ficismin,
Ü N E L ‹ M durmakta olan veya hareketli di¤er bir cisimle etkileflmesine
Hareketli bir
çarp›flma denir. Çarp›flmalar cisimlerin çarp›flmadan önceki ve sonraki do¤rultular›na göre ikiye
E¤er çarp›flma öncesi ve sonras› cisimler ayn› do¤rultuda ise
S O ayr›l›r.
R U
bu merkezi çarp›flma, de¤ilse merkezi olmayan çarp›flma olarak isimlendirilir. Çarp›flmada çarp›flmay› yapan cisimlerin hareketlerinde keskin bir de¤iflme
D‹KKAT
olur. Çarp›flmalar›n flekli nas›l olursa olsun, d›fl kuvvetlerin olmad›¤› çarp›flmalarda
momentum korunur ve cisimlerin çarp›flmadan önceki toplam momentumlar› çarSIRA S‹ZDE
p›flmadan sonraki
toplam momentumlar›na eflittir. D›fl kuvvetin oldu¤u çarp›flma
durumlar›nda ise momentum korunmaz.
r
r
Kütleleri
m1 ve m2 çarp›flmadan önceki h›zlar› v1 ve v2 , çarp›flmadan sonraki
AMAÇLARIMIZ
r
r
h›zlar› v1′ ve v2′ olan iki cismin çarp›flmas›n› düflünelim (fiekil 6.4). Tam çarp›flma
r
an›nda m1 kütleli cismin m2 kütleli cisme uygulad›¤› kuvvet F12 ; m2 kütleli cismin
r
r
r
K ‹ T A P
m1 kütleli cisme
uygulad›¤› kuvvet F21 ise Newton’un III. yasas›na göre F12 = − F21
N N
olmal›d›r. Çarp›flma ∆t süresince meydana gelmifl ise;
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
r
T E L E Vr‹ Z Y O N
F12 ∆t = − F21∆t
‹NTERNET
(6.8)
129
6. Ünite - Momentum
olur. Bu eflitli¤in sol taraf›nda m1 cisminin m2 cismine sa¤ taraf›nda ise m2 cisminin m1 cismine uygulad›¤› itme bulunmaktad›r. Eflitlik 6.4 kullan›larak,
r
r
∆P1 = −∆P2
(6.9)
eflitli¤i yaz›labilir.
fiekil 6.4
Farkl› h›zlara ve
kütleye sahip
cisimlerin esnek
çarp›flmas›
v2
m1
m2
F21
F12
v›1
v›2
m1
m2
Eflitlik 6.9, cisimleri bafllangݍtaki ve son momentum ifadelerini kullanarak,
r
r
r
r
p '1− p1 = −( p '2 − p2 )
(6.10)
veya
r
r
r
r
p1 + p2 = p '1+ p '2
(6.11)
ifadesi elde edilir. Bu ifade cisimlerin çarp›flmadan önceki momentumlar› toplam› ile çarp›flmadan sonraki momentumlar› toplam› birbirine eflit olaca¤› anlam›na gelir. Eflitlik 6.11 cisimlerin h›zlar› ve kütleleri kullan›larak,
r
r
r
r
m1.v1 + m2 .v2 = m1.v1′ + m2 .v2′
(6.12)
eflitli¤iyle de yaz›labilir.
Çarp›flmalar› enerji korunumuna göre esnek ve esnek olmayan çarp›flma ikiye ay›rabiliriz.
Araçlar›n birbirleriyle çarp›flmas› esnek bir çarp›flmad›r?
SIRA S‹ZDE
Esnek Çarp›flma
Toplam momentumun ve
kinetik enerjinin korundu¤u
çarp›flmalar esnek
çarp›flma, toplam
momentumun korunup
enerjinin korunmad›¤›
çarp›flmalar esnek olmayan
çarp›flma diye isimlendirilir.
3
fi Ü N E L ‹ M
Esnek çarp›flmada momentumun yan› s›ra, mekanik enerji deD Ükorunur.
Çarp›flma
s›ras›nda enerji kayb› yoktur. Bu tür çarp›flman›n anlafl›lmas› için bilardo toplar›n›n
S O R U
çarp›flmalar›n› örnek verebiliriz (fiekil 6.5).
AMAÇLARIMIZ
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
SIRA S‹ZDE
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
130
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
fiekil 6.5
Bilardo toplar›
1s
2s
2
1
1
Bu çarp›flmada sürtünme ihmal edildi¤inde
d›fl kuvvet olarak sadece yerçekimi kuvveti vard›r ve bu kuvvetin yönü toplar› çarp›flt›rd›¤›m›z
masa düzlemine diktir; dolay›s›yla toplar›n h›zlar›na herhangi bir katk›s› yoktur. Böylelikle momentum korunur. Enerji ise toplar çarp›flt›¤› andaki deformasyon ihmal edilirse (yine d›fl kuvvet yok) korunur.
2i
2
ÖRNEK
H›zlar› v1=4 m/s ve v2=2 m/s olan, eflit 2 kg kütleli iki top fiekil 6.6’daki gibi birbirlerine do¤ru f›rlat›l›larak esnek çarp›flt›r›l›yorlar. Toplar›n çarp›flmadan sonraki
h›zlar›n› bulunuz.
fiekil 6.6
m1=2 kg
Farkl› h›zlara ve
kütleye sahip
cisimlerin esnek
çarp›flmas›
m2=2 kg
1=
4m/s
2=
v›1
2m/s
v›1
Çözüm:
Burada iki top ayn› kütleye sahip oldu¤undan momentum korunumundan Efl.
6.10’i kullan›rsak;
2.4 - 2.2 = -2v 1′ + 2v 2′
v 1′ - v 2′ = 2
denklemi elde edilir. Enerjinin korunumdan,
1
1
1
1
m1.v12 + m2 .v22 = m1v1′2 + m2 v2′2
2
2
2
2
1 2 1 2 1 2 1
2.4 + 2.2 = 2v1′ + 2v2′2
2
2
2
2
v 1′ 2 - v 2′ 2 = 20
131
6. Ünite - Momentum
eflitli¤i elde edilir. Sonuçta türetilen h›z eflitliklerinin ortak çözümüyle;
v 2′ = 4 m/s v 1′ = -2 m/s
olarak bulunur. Görüldü¤ü gibi eflit kütleli cisimlerin çarp›flmadan sonra h›zlar›n›n büyüklükleri yer de¤ifltirirken, cisimlerin hareket yönleri de tersine dönmüfltür.
Kütleleri eflit olan esnek
çarp›flmalarda cisimler
h›zlar›n› çarp›flma sonunda
de¤ifl tokufl olur.
Esnek Olmayan Çarp›flma
Esnek olmayan çarp›flmada momentum korunsa da, kinetik enerji korunmaz. Çarp›flma s›ras›nda kinetik enerjinin büyük k›sm› ›s›ya dönüfltü¤ünden enerji kayb› olur.
Esnek olmayan çarp›flmay› birkaç farkl› örnekle aç›klayal›m.
i) Ters yönlerde gelen cisimler için;
Bu örnek için, m1=4 kg ve m2=2 kg
kütleli küre fleklindeki iki cismin, s›ras›yla v1=2 m/s ve v2=1 m/s h›zlar›yla fiekil 6.7’de oldu¤u gibi birbirlerine do¤ru hareket ederken esnek olmayan çarp›flma yaparak birbirine yap›fl›k olarak
hareketlerine devam etti¤ini düflünelim ve son h›zlar›n› bulmaya çal›flal›m.
Momentum korundu¤u için Efl.
6.12 kullan›larak,
r
r
r
m1.v1 + m2 .v2 = ( m1 + m2 ) vortak
fiekil 6.7
-
+
1
m1
2
m2
Yatay
Farkl› h›zlara ve
kütleye sahip
cisimlerin esnek
olmayan
çarp›flmas›
ortak
Yatay
m1.v1 - m2.v2 = (m1 + m2) vortak
4.2 - 2.1 = (4 + 2) vortak
vortak = 1 m/s
sonucu elde edilir.
ii) Durmakta olan cisimlere çarpan cisim için;
Bu örnekte m1=6 kg kütleli kürenin, durgun pozisyondaki(v2=v3=0 an›nda)
m2=1 kg ve m3=2 kg kütleli kürelere do¤ru v1=3 m/s h›z›yla giderken, esnek olmayan çarp›flma yaparak üç kürenin yap›fl›k olarak hareketlerine devam etti¤ini düflünelim (fiekil 6.8) ve son h›zlar›n› bulal›m.
fiekil 6.8
m1
1
+
m2
m3
Yatay
ortak
Yatay
m1 kütleli kürenin
durgun m2 ve m3
kütleli kürelere
esnek olmayan
çarp›flmas›
132
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Momentumun korunumundan Efl. 6.12 kullan›larak,
r
r
r
r
m1.v1 + m2 .v2 + m3 .v3 = ( m1 + m2 + m3 ) vortak
m1.v1 + 0 + 0 = (m1 + m2 + m3) vortak
6.3 + 0 + 0 = (6 + 1 + 2) vortak
vortak = 2 m/s
sonucu elde edilir.
iii) Mermi h›z› ölçmekte kullan›lan balistik sarkaç
Bu örnekte de m=5 g kütleli mermi fiekil 6.9’da oldu¤u gibi M=995 g kütleli
durgun olan ahflap balistik sarkaca v=400 m/s h›z› çarpt›r›l›yor ve ahflaba saplan›yor. Mermi ile ahflab›n ç›kabilecekleri maksimum yüksekli¤i bulal›m.
Burada esnek olmayan çarp›flma söz konusu oldu¤undan kinetik enerjide kay›p olsa da momentum ve toplam enerji korunacakt›r.
fiekil 6.9
Mermi h›z›
ölçmekte
kullan›lan balistik
sarkaç
-h
p
m
v
M
vortak
M
m
h
v2=0
Bu nedenle esnek olmayan çarp›flmada momentum korunumu eflitli¤i Efl. 6.12
kullan›larak gereken verileri yerlerine koyarsak;
r
r
r
m.v1 + M .v2 = ( m + M ) vortak
m.v + 0 =(m + M)vortak
0.005.400 + 0 = (0.005 + 0.995)vortak
vortak = 2 m/s
sonucu elde edilir.
Yukar›da toplam enerji korunumundan ve kinetik enerji kayb›ndan bahsedilmiflti. m kütleli mermi M kütleli balistik sarkaca çarp›nca, sarkac› h yüksekli¤ine
kadar yükselterek sisteme potansiyel enerji kazand›rm›fl olur. Is› kayb› ihmal edilirse kinetik enerjideki kay›p potansiyel enerjideki kazanca eflit olacakt›r.
Böylece enerji korunumundan,
EToplam=Ekinetik+Epotansiyel ⇔ Ekinetik=Epotansiyel
133
6. Ünite - Momentum
1
2
( m + M )vortak
= ( m + M ) gh
2
2
vortak
= 2 gh
2
/ 2 g = 4 / 2 ⋅ 10 = 4 / 20 m
h = vortak
sonucuna ulafl›l›r.
Bir topun geri tepmesini momentumun korunumu kavram›n› kullanarak
aç›klay›n›z.
SIRA S‹ZDE
iv) S›k›flmam›fl bir yay›n önündeki takoza saplanan mermi
D Ü fi Ü N E L ‹ M
merminin, sarmal
Bu örnekte yukardaki sarkaca benzer biçimde m=10 g kütleli
yay›n ucuna ba¤l› M=490 g kütleli durgun bir takoza fiekil 5.10’da görüldü¤ü gibi
O R U
v=250 m/s h›z› çarpt›r›larak saplanmas› sa¤lan›yor. Bu çarp›flma Ssonucunda
kuvvet
sabiti (veya yay sabiti) k=50 N/m olan yay› ne kadar s›k›flt›rabilece¤imizi bulal›m.
Burada da bir esnek
D‹KKAT
olmayan çarp›flma söz
konusudur. O nedenle kix
SIRA S‹ZDE
netik enerjide kay›p olaM
cak, momentum ve topm
v
lam enerji korunacakt›r.
AMAÇLARIMIZ
Momentum korunumu
eflitli¤inden (Efl. 6.12),
v2=0
m.v + 0 =(m + M)vortak
4
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
fiekil 6.10
D‹KKAT
S›k›flmam›fl bir
yay›n önündeki
SIRA S‹ZDE
takoza saplanan
mermi
N N
K ‹ T A P
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
ifadesi elde edilir. Bu eflitlikte verilen de¤erler yerine konularak,
0.010.250 + 0 = (0.010 + 0.490)vortak
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
vortak = 5 m/s
‹NTERNET
sonucu elde edilir.
Toplam enerji korunaca¤›ndan, m kütleli mermi M kütleli takoza çarp›nca, takoz x (s›k›flma miktar›) kadar s›k›flacakt›r. Böylece merminin kaybetti¤i kinetik
enerji yaya esneklik potansiyel enerjisi olarak aktar›lacakt›r. Is› kayb› ihmal edilirse kinetik enerjideki kay›p esneklik potansiyel enerjideki kazanca eflit olacakt›r.
Enerji korunumundan;
EToplam=Ekinetik+Epotansiyel ⇔ Ekinetik=Epotansiyel
1
1
2
( m + M )vortak
= kx 2
2
2
1
1
(0.010 + 0.490) ⋅ 52 = 50 x 2
2
2
x = 0.5 m
yaydaki s›k›flma miktar› bulunur.
‹NTERNET
134
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
fiekil 6.11
Durmakta olan
bir takozu delip
geçen mermi
v) Durmakta olan bir takozu delip geçen mermi
fiimdi de yukardaki örne¤e benzer biçimde m=10 g kütleli mermi, M=350 g kütleli durgun bir takoza fiekil 6.11’de görüldü¤ü gibi v=250 m/s h›z› ile gönderilsin
ve mermi takozu delip geçerek hareketine v 1′ =100 m/s h›z› ile devam etsin. Takozun çarp›flmadan sonraki h›z›n› bulal›m.
Bu hareket s›ras›nda
da esnek olmayan çarv ›2
p›flma söz konusudur.
Bu nedenle kinetik enerM
m
v1
m
v ›1
jide kay›p olacak, momentum ve toplam enerYatay
ji korunacakt›r
v2=0
Yeniden momentum
korunumu eflitli¤i (Efl.
6.10) kullan›larak,
m.v1 + 0 = mv 1′ + Mv 2′
0.010.250 + 0 = 0.010 ⋅ 100 + 0.75v 2′
v 2′ = 20 m/s
sonucu elde edilir.
SIRA S‹ZDE
5
Birbirine tutunarak
buz üzerinde dans eden farkl› kütleli iki kifli ellerini aniden b›rak›rSIRA S‹ZDE
sa h›zlar› hakk›nda ne söyleyebiliriz?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
‹NTERNET
6. Ünite - Momentum
135
Özet
N
A M A Ç
1
N
A M A Ç
2
Çizgisel momentumu aç›klamak.
Bir cismin kütlesi ile h›z›n›n çarp›m› o cismin
momentumu olarak isimlendirilir ve
r
r
p = mv
eflitli¤iyle gösterilir.
Momentumun korunumu yasas›n› tan›mlamak.
Cisme etki eden kuvvet ile kuvvetin etki süresir
nin çarp›m›, F ∆t itme olarak isimlendirilir. ‹tme
cismin kuvvete maruz kalmadan önceki ve sonraki momentumlar›n›n fark›na eflittir. Kuvvetin
olmad›¤› do¤rultularda itme s›f›ra eflittir ve dolay›s›yla momentum de¤iflimi de s›f›ra eflit olur.
Momentum de¤ifliminin s›f›r olmas›, cisimlerin
sahip oldu¤u bafllang›çtaki ve sondaki momentumlar›n›n birbirine eflit oldu¤u anlam›na gelir ki
bu durum momentum korunumu olarak bilinir.
N
AM A Ç
3
Bir do¤ru boyunca çarp›flma olaylar›n› analiz
etmek.
Hareketli bir cismin durmakta veya hareketli di¤er cisimle etkileflmesi (çarp›flma) s›ras›nda, ortamdaki d›fl kuvvetlerin olmad›¤› do¤rultularda
momentum de¤iflimi olmaz, momentum korunur. Çarp›flma esnas›nda cismin sahip oldu¤u
kinetik enerji korunuyorsa esnek çarp›flma, korunmuyorsa esnek olmayan çarp›flma olarak
isimlendirilir.
136
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Kendimizi S›nayal›m
1.
3.
Momentum
Yatay
p
m
0
t
3t
1
11
Zaman
Bir cismin momentum-zaman grafi¤i flekildeki gibidir.
0 - t aras›nda cisme etki eden net kuvvet ise, t - 3t aras›ndaki nedir?
r
F
a.
2
r
b. − F
r
c. −2 F
r
F
d. −
2
r
F
e.
3
2. Kütlesi 4 kg olan bir cisim, 2,5 m/s’lik h›zla bir duvara at›l›yor ve ayn› h›zla geri dönüyor. Cismin duvar üzerinde oluflturdu¤u ortalama kuvvet 1000 N’dur. Topun
duvarla etkileflme süresi kaç s’dir?
a. 0,02
b. 0,03
c. 0,04
d. 0,06
e. 0,08
h
2m
fiekildeki m kütleli I. sarkaç h yüksekli¤inden serbest
b›rak›l›nca durmakta olan 2m kütleli II. sarkaca çarp›p
yap›fl›yor. Buna göre; ortak kütle ne kadar yükselir?
a.
b.
c.
d.
e.
h
2
h
3
h
4
h
9
h
16
4.
I
m
K
11
v
m
hmax=?
Yatay
L
K noktas›ndan v h›z›yla geçen m kütleli I. cisim L
noktas›nda durmakta olan m kütleli II. cisme merkezi
esnek çarp›yor. Çarp›flmadan sonra I. cismin ç›kabildi¤i maksimum yükseklik hangi ba¤›nt›yla bulunabilir?
(g: Yer çekim ivmesi, sürtünme yok.)
a.
b.
v
2
v
2
8g
4g
c.
v2
d.
2v
e.
v
3g
2
3g
2
2g
137
6. Ünite - Momentum
5.
m
vK
7.
m
vL
K
L
Kinetik enerjileri EK ve EL olan eflit kütleli K ve L cisimleri flekildeki h›zlarla giderken sürtünmesiz yatay düzlemde merkezi esnek çarp›flma yap›yorlar. Çarp›flmadan
sonra cisimlerin momentumlar›n›n büyüklüklerinin oran›
'
PK
1
=
oldu¤una göre, çarp›flmadan önceki kinetik
'
3
P
L
enerjilerinin oran› kaçt›r?
a. 3
b. 6
c. 9
d. 12
e. 16
m1
›
m1
m2
m2
›
fiekildeki kütleler ve s›k›flt›r›lm›fl yay sistemi, sürtünmesiz yatay düzlem üzerinde hareketsizdir. Kütleleri
birbirine ba¤layan ip yak›ld›¤›nda, yay serbest kal›yor,
m1=6 kg kütleli blok sola do¤ru 8,0 m/s’lik, m2 kütlesi
ise 24,0 m/s’lik h›z kazan›yor. Bu durumda m2 kütlesi
kaç kg olmal›d›r? Yay›n ve ipin kütlesi önemsenmiyor.
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
v2=0
m1+m2
m2
›
v=v
3
Sürtünmesiz yatay düzlemde m1 kütleli cisim, durmakta olan m2, kütleli cisme flekil l deki gibi v h›z› ile
v
saplan›nca ortak kütle flekil ll deki gibi
h›z›yla hare3
m1
ket ediyor. Buna göre,
oran› kaçt›r?
m2
1
a.
3
1
b.
2
c. 1
d. 2
e. 3
8.
6.
m1 v1=v
m1
V1i
V2i
m2
fiekilde görülen m1=4 kg kütleli cisim v1i h›z›yla,
kendisine do¤ru v2i=4 m/s h›zla gelmekte olan m2=10
kg kütleli cisimle kafa kafaya çarp›fl›yor. Çarp›flma sonras› m1 kütlesi gelifl do¤rultusuna ters v1s=2 m/s hareket
ederken m2 kütleli cisim hareket etmeden çarp›flman›n
oldu¤u yerde durdu¤una göre v1i kaç m/s olmal›d›r?
a. 12
b. 10
c. 8
d. 4
e. 2
9. 3 kg kütleli bir tüfe¤in atefllenmesiyle 6 g’l›k bir fiflek
400m/s h›zla tüfe¤i terk ediyor. Tüfe¤in geri tepme h›z›
kaç m/s olur?
a. 0,4
b. 0,6
c. 0,8
d. 1,0
e. 1,2
138
10.
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
m1
V1i
V2i
m2
“
fiekilde görülen m1=4 kg kütleli cisim v1i=2 m/s h›zla, kendisine do¤ru v2i=1 m/s h›zla gelmekte olan m2=2
kg kütleli cisimle kafa kafaya çarp›fl›yor. Çarp›flma sonras› m1 kütlesi hareket etmeden çarp›flman›n oldu¤u
yerde durdu¤una göre m2 kütlesinin h›z› kaç m/s’dir?
a. 0
b. 0,5
c. 1,0
d. 2,0
e. 3,0
Yaflam›n ‹çinden
Uzay Gökerman
Guti’nin momentumu
Önceki gün Galatasaray’›n, dün akflam da Befliktafl’›n rakipleri karfl›s›nda yaflad›klar› s›k›nt›lar bir anlamda ligde bulunduklar› yeri do¤rular
nitelikteydi. Her iki tak›mda da fark› bir ya da
en fazla iki futbolcu sa¤l›yor, onlar tak›m›n kadrosundan ç›kt›klar›nda s›radanlafl›yor, rakiplerine mahkûm oynamaya bafll›yorlar.
Gerçi dün ‹nönü’deki mücadelede Sivasspor’un özellikle ikinci yar› zaman zaman futbolun d›fl›na ç›kan sert
oyunlar›n›n etkili oldu¤unu belirtmemiz gerekiyor.
Schuster büyük bir ihtimalle y›ld›z oyuncusu Guti’yi koruma ad›na çok beklemeden kenara ald›.
Guti, olmad›¤›nda ve oynamad›¤›nda çok s›radan bir
tak›m haline gelen Befliktafl’a renk veren, karakterini
de¤ifltiren, arkadafllar›na nas›l oyun kurulmas›n› gösteren, kazanma hamlesi yapabilen gerçekten büyük bir
yetenek. Guti’nin bitirici, öldürücü ve neredeyse %100
sonuç alan ara paslar› O¤uz Çetin’i hat›rlatt›.
Türkiye’de orta saha oyun kurucu futbolcu anlay›fl›nda
devrim yapan zaman›n›n en önemli oyuncusuydu O¤uz
Çetin. 1989’daki 103 gollün at›lmas›nda, Aykut Kocaman ve R›dvan Dilmen’in futbolculuklar›n›n zirveye tafl›nmas›nda onun ara paslar›n›n ve asistlerinin büyük
etkisi vard›.
fiimdi Befliktafl’ta Guti yap›yor bunu. ‹brahim Üzülmez’e
3. dakikada att›¤› ve golle sonuçlanan ara pas› topun
gitti¤i yer, fliddeti ve arkadafl›n›n topla buluflma zamanlamas› bak›m›nda kusursuz ve Türkiye standartlar›n›n
çok ama çok üzerindeydi.
Türkiye’de birçok oyuncu böyle yerden pas atmak yerine topu havaya kald›rmay› seçiyor, pas at›lan oyuncu
da topa sahip olabilmek için oldukça zaman kaybediyor. Bir ikinci önemli detay topa verdi¤i güç, yani ‹brahim Üzülmez’in onunla buluflma an›ndaki momentumu; hani bazen top futbolcunun aya¤›na oturdu deriz ya bunu sa¤layan fleylerin bafl›nda iflte bu momentum gelir.
Momentum, özellikle kafa vurufllar›nda çok belirleyici
olan çarpma gücüdür.
6. Ünite - Momentum
139
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
Befliktafl’ta Guti’nin yan›nda ona birazc›k olsun ayak
uyduracak ikinci futbolcu yok gibiydi. Bobo att›¤› golün d›fl›nda etkisizdi, Holosko’nun sahadaki varl›¤›n› bile ay›rt edebilmek mümkün de¤ildi. Tabata bir baflka
Nihat; tak›mdan sürekli kopuyor. Hilbert’ten yeteneklerinin ötesinde bir beklenti var. Hilbert, Fink, Ernst çok
düz oyuncular; güçleriyle ayakta kal›yorlar. Onlardan
yarat›c›l›k beklemek büyük bir hayal k›r›kl›¤› yaratacakt›r. Necip için henüz bir kanaat belirtmek yanl›fl olur.
Rakibe yapt›¤› asistin abart›lmamas› gerekti¤ini düflünüyorum. Tuncay fianl› Fenerbahçe’de oynarken böylesi asistlerden bolca yapard›.
Bütün bunlar›n bileflkesini ald›¤›m›zda da ortaya ikinci
yar›daki silik Befliktafl ç›k›yor iflte...
R›za Çal›mbay ikinci devre Befliktafl defans›n›n fazlas›yla ileri ç›kaca¤›n› hesap edip, bir anlamda Manisaspor’un yapt›¤› fleyi denemek istedi. Ancak bu sefer ya
Schuster defans hatt›n›n ileri ç›kmas›n› engelledi ya da
Befliktafl’›n defans oyuncular› inisiyatif kullan›p olas› bir
beraberlikle sonuçlanacak fleyi yapmad›lar.
Befliktafl’›n dörtlü defans blo¤u geride kal›nca bu sefer
Guti ve Tabata’n›n k›r›lganlaflt›rd›¤› orta sahay› biraz da
sertli¤e baflvurarak bir anda ele geçirdi, Sivasspor. Nihat
ve Yusuf de¤ifliklikleri bu anlamda bir önlem de¤il de
Befliktafl’› ileriye tafl›yarak rakibin direncini k›rma hamlesiydi. Ancak tutmad›. Sivasspor yüklendikçe Befliktafl
geriye çekildi, oyun kuramad›, beceriksizleflti. Beraberli¤e biraz Rüfltü, net olarak da kale dire¤i engel oldu.
Son dakikada Sivasspor’un yakalad›¤› gol f›rsat› bir anlamda Befliktafl’›n sezon bafl›ndan bu yana en yumuflak
ve zay›f olan taraf›n› göstermesi bak›m›ndan ö¤reticiydi.
Schuster’in kenardaki duruflundan, hareketlerinden, hal
ve tav›rlar›ndan Befliktafl’tan hiç memnun olmad›¤›n›
anl›yoruz. Bazen oyuncular›n yapamad›¤›, sonland›ramad›¤› pozisyonlar sonras›nda kafas›n› öyle sall›yor ki
ister istemez bu duyguyu al›yorsunuz. Bu tak›ma sadece Guti ve Quaresma’n›n yetmeyece¤ini çok iyi biliyor
olmal›d›r. San›r›m, genç oyuncular üzerinde durmas›n›n nedeni biraz da bu olsa gerek. Bir anlamda kendi
futbolcusunu kendisi yaratma derdinde; bu zaten Befliktafl’›n geleneklerinde de olan bir uygulama de¤il midir? Stoperde denedi¤i genç Ersan’›n Zapotocny’den
çok daha iyi mücadele etti.
Kaynak: http://blog.milliyet.com.tr/Guti_nin_momentumu/Blog/?BlogNo=272300 web sitesinden 14 Aral›k
2011 tarihinde al›nm›flt›r.
1. d
2. a
3. d
4. e
5. c
6. b
7. d
8. c
9. c
10. e
”
Yan›t›n›z yanl›flsa “‹tme” bafll›kl› konuyu gözden
geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “‹tme” bafll›kl› konuyu gözden
geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Esnek Olmayan Çarp›flma”
bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Esnek Çarp›flma” bafll›kl›
konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Esnek Çarp›flma” bafll›kl›
konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Çarp›flmalar” bafll›kl› konuyu
gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Çarp›flmalar” bafll›kl› konuyu
gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Momentum Korunumu”
bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “‹tme” bafll›kl› konuyu gözden
geçiriniz.
Yan›t›n›z yanl›flsa “Momentum Korunumu”
bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.
140
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
S›ra Sizde 1
‹tme, yani etkiyen kuvvet ile etkime süresinin çarp›m›,
her iki top için ayn›d›r. Buna ra¤men toplar›n kütlesi
birbirinden farkl› olaca¤› için cisimlerin momentum de¤iflimleri farkl› olacakt›r. Unutmamal›y›z ki itme momentum de¤iflimine eflittir.
S›ra Sizde 2
Momentum d›fl kuvvetlerin oldu¤u ortamlarda korunmayaca¤›n› söylemifltik. Uzayda her ne kadar net belirgin bir yerçekiminden bahsetmek mümkün olmasa da
bir çekim kuvvetinin olmas› muhtemeldir. Bu nedenle
ihmal edilecek kadar da olsa momentum korunmaz.
S›ra Sizde 3
Araçlar›n birbirleriyle çarp›flmas› s›ras›nda araçlar deformasyon olmad›¤›, bir baflka deyiflle enerjinin harcanmad›¤› tüm çarp›flmalar esnektir. Fakat genelde araçlar
deformasyona u¤rad›¤› için bu tip çarp›flmalar esnek
olmayan çarp›flmalard›r.
S›ra Sizde 4
D›fl kuvvetlerin olmad›¤› do¤rultularda momentumun
korunaca¤›n› söylemifltik. Top atefllendi¤i anda d›fl kuvvet olarak yerçekimi kuvveti vard›r fakat bu kuvvette
merminin ve topun geri tepmesi h›z› ile dik do¤rultudad›r, momentum korunmas› gerekir. Bir baflka de¤iflle
merminin ç›k›fl›nda sahip oldu¤u momentum topun momentumuna eflit ama z›t do¤rultad›r. Topun kütlesi merminin kütlesine göre çok büyük oldu¤undan momentumlar eflit olmas›na ra¤men topun sahip olaca¤› h›z
çok daha küçük olacakt›r.
vy=vSin
TOP
v›
m
vx=vCos
M
v0=0
= ∑ Psonra
&&
∑ Ponce
ur
ur
0= m.v.cosα - (M-m).v ′
Burada sistemin momentumu hareket do¤rultusuna dik
h›z (vy) bilefleninden ba¤›ms›zd›r.
S›ra Sizde 5
Buz üzerinde birbirlerine kenetlenmifl durumda dans
ederlerken bir h›za, dolay›s›yla momentuma sahiptir.
Ellerini b›rakt›klar› anda her iki kiflide belirli bir h›za,
momentuma sahip olur. Bafllangݍtaki momentum her
iki taraf›ndan paylafl›l›r, fakat paylaflma momentum korunumuna göre olacakt›r. Kütlesi hafif olan kiflinin h›z›
daha az, kütlesi a¤›r olan kiflinin h›z› daha h›zl› olacakt›r. Her iki kütlenin momentumlar›n›n toplam› ayr›lmadan önceki momentumlar›na eflittir.
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek
Kaynaklar
Halliday, D., Resnick R., Walker, R. J., (2001) Fundamentals of Physics- 6. B., New York: J. Wiley.
Serway, R. A., Beichner, R. J., Jewett, J, çeviri editörü
Çolako¤lu, K., (2007) Fen ve Mühendislik için Fizik, Ankara: Palme Yay›nc›l›k.
7
TEKNOLOJ‹N‹N B‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I
Amaçlar›m›z
N
N
N
N
N
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Yo¤unluk, bas›nç ve ölçümlerine iliflkin temel kavramlar› aç›klayabilecek,
Pascal, Archimedes prensiplerini aç›klayabilecek,
‹deal ak›flkan koflullar›n› saptayabilecek,
Süreklilik ve Bernoulli denklemlerini tan›yabilecek,
Viskozluk ve yüzey gerilimi kavramlar›n› aç›klayabilecek bilgi ve becerileri
edinmifl olacaks›n›z.
Anahtar Kavramlar
•
•
•
•
•
•
Madde
Yo¤unluk
Bas›nç
Pascal prensibi
Archimedes prensibi
‹deal ak›flkan
•
•
•
•
•
•
Süreklilik denklemi
Bernoulli denklemi
Viskozluk
Yüzey gerilimi
Adhezyon
Kohezyon
‹çerik Haritas›
•
•
•
•
Teknolojinin Bilimsel
‹lkeleri-I
Ak›flkanlar Mekani¤i
•
•
•
•
•
•
•
G‹R‹fi
MADDE
YO⁄UNLUK
BASINÇ VE SIVI BASINCININ
DER‹NL‹KLE DE⁄‹fi‹M‹
PASCAL PRENS‹B‹
ARCH‹MEDES PRENS‹B‹ VE
KALDIRMA KUVVET‹
AKIfiKANLARIN KARAKTER‹ST‹⁄‹
VE BAZI ÖZELLEKLER‹
SÜREKL‹L‹K DENKLEM‹
BERNOULLI DENKLEM‹
V‹SKOZ‹TE
SIVILARDA YÜZEY GER‹L‹M
KUVVET‹
Ak›flkanlar Mekani¤i
G‹R‹fi
Ak›flkanlar Mekani¤i; genelde s›v›, gaz ve bunlar›n d›fl›nda da baz› maddelerin fiziksel davran›fllar›n› inceleyen bir bilim dal›d›r. Günlük hayatta s›v› ya da gaz olarak bildi¤imiz bütün maddeler ak›flkand›rlar. Ak›flkanlar belli bir flekle sahip olmad›klar›ndan kat›lar gibi incelenemezler. Bu nedenle ak›flkanlar söz konusu oldu¤unda kat›lardaki kütle yerine yo¤unluk, kuvvet yerine de bas›nç kavramlar›
kullan›l›r.
MADDE
Madde her yerde ve her fleyin içindedir. Genelde, kat›, s›v› ya da gaz olmak üzere üç duruma ayr›larak s›n›fland›r›l›r. Kat›, s›v› ve gazlar aras›ndaki s›n›r çizgileri
pek keskin olmad›¤›ndan kimi maddelerin s›n›fland›r›lmas› o kadar kesin olmamaktad›r. D›fl kuvvetlerle etkilendiklerinde, kat›lar hacim ve flekillerini büyük
oranda korurlarken s›v›lar yaln›z hacimlerini, gazlar ise ne hacimlerini ne de flekillerini koruyabilirler.
Yukar›daki s›n›fland›rma dördüncü hali de içine alacak flekilde geniflletilebilir.
Bu dördüncü halin özellikleri maddenin di¤er üç halinkinden çok farkl›d›r. Bu hal,
oldukça yüksek s›cakl›klara ulafl›ld›¤›nda oluflmaktad›r. Çok yüksek s›cakl›klarda,
her bir atomu çevreleyen elektronlardan bir veya bir kaç› atomdan kopar. Oluflan
madde, elektrik yüklü serbest parçac›klar›n toplam› fleklindedir (eksi (-) yüklü
elektronlarla, art› (+) yüklü iyonlard›r). Böylece eflit say›da art› (+) ve eksi (-) yüklenmifl ortama (jöle gibi), maddenin di¤er yeni hali plazma ad› verilmektedir. Bu
hal, y›ld›zlarda ve güneflte mevcuttur.
Atom ve moleküllerin belirli kuvvetlerle ve uygun koflullarda bir araya gelmesi madde olarak isimlendirilir. Kat›daki atomlar, özellikle elektriksel kuvvetlerle,
belirli konumlarda bir arada tutulurlar. Kat› atomlar› bu denge konumlar› etraf›nda ›s›sal etkiler nedeniyle titreflim hareketi yaparlar. Fakat düflük s›cakl›klarda bu
titreflim hareketi azd›r ve atomlar hemen hemen hiç hareket etmiyorlarm›fl gibi düflünülebilir. E¤er maddeye ›s› enerjisi verilirse, bu titreflimlerin genli¤i artar. Kat›
d›fl kuvvetler etkisi alt›da s›k›flt›r›l›rsa, bu d›fl kuvvetlerin etkisini ince iç yaylar›n
s›k›flmas› gibi ele almak mümkündür. D›fl kuvvetlerin etkisi kald›r›ld›¤›nda, kat›,
ilk flekil ve boyutlar›na geri dönmektedir. Bu sebeple, bir kat› esneklik özelli¤ine
sahiptir.
Atom ve moleküllerin belirli
kuvvetlerle ve çeflitli
koflullarda bir araya
gelmesi, maddeleri meydana
getirir.
144
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Yap› diziliflleri düzenli olan
kat›lar kristal. Düzensiz olan
kat›lar ise amorf madde
olarak s›n›fland›r›l›r.
Kat›lar; atomlar›n›n düzenli-periyodik veya rastgele yap› dizilifllerine göre, s›ras›yla kristal ya da amorf olarak s›n›fland›r›labilir. Cam amorf bir kat›ya örnek
olup, atomlar› düzensiz olarak yerleflmifllerdir.
Verilen herhangi bir maddenin s›v› hali, kat› halinden daha yüksek s›cakl›kta
bulunur. D›flar›dan yap›lan ›s›sal uyar›lar, maddenin kat› haline göre s›v› halinde
daha etkili olmaktad›r. Sonuç olarak; s›v›daki molekülsel kuvvetler, molekülleri sabit konumlarda tutmaya yeterli de¤ildir ve moleküller s›v› içinde gelifligüzel, rastgele dolafl›rlar.
Gaz halinde ise, moleküller gelifligüzel harekettedir ve moleküller birbirlerine
sadece zay›f kuvvetlerle etki eder. Bir gaz›n molekülleri aras›ndaki ortalama uzakl›klar, moleküllerin boyutlar›yla karfl›laflt›r›ld›¤›nda oldukça büyüktür. Moleküller,
birbirleriyle nadiren çarp›fl›rlar; fakat zamanlar›n›n ço¤unda serbest hareket ederler ve etkileflmeyen parçac›klar gibi davran›rlar.
YO⁄UNLUK
Bir maddenin yo¤unlu¤u (özkütle), birim hacminin kütlesi olarak tan›mlan›r. Yani
kütlesi m, hacmi V olan bir maddenin d yo¤unlu¤u;
d=
Yo¤unluk (Özkütle),
maddeler için, erime
noktas›,genleflme katsay›s›,
özgül ›s›, esneklik ve
çözünürlük nicelikleri gibi
ay›rd edici bir özelliktir.
m
V
(7.1)
fleklinde verilir. Yo¤unluk birimleri; SI sisteminde kg/m3 ve CGS sisteminde ise
g/cm3 dür (1000 kg/m3 = 1 g/cm3).
Çeflitli maddelerin yo¤unluklar› Çizelge 7.1’de örnek olarak verilmifltir ve bu
de¤erler s›cakl›kla az çok de¤iflmektedir. Çünkü her maddenin hacmi s›cakl›kla
de¤iflmektedir. Normal koflullar alt›nda (0 °C’de ve atmosfer bas›nc›nda) özellikle
1
gazlar›n yo¤unluklar›, yaklafl›k olarak kat› ve s›v›lar›n yo¤unlu¤unun
’ine
1000
eflittir. Bu de¤er, belirtilen koflullar alt›ndaki bir gaz›n ortalama moleküler uzakl›¤›n›n, kat› ya da s›v› halindeyken on kez daha büyük oldu¤unu ifade eder. Bir
maddenin ba¤›l yo¤unlu¤u ise; yo¤unlu¤unun, 4°C deki suyun yo¤unlu¤una oran› olarak tan›mlanabilir. Bu tan›mdan dikkat edilece¤i üzere, bir maddenin ba¤›l
yo¤unlu¤u boyutsuz-birimsiz bir fiziksel niceliktir. Örnek olarak bir maddenin ba¤›l yo¤unlu¤u 8 ise, yo¤unlu¤u 8.103 kg/m3 olacakt›r.
Özgül a¤›rl›k ise cismin birim hacminin a¤›rl›¤›d›r.
Özgül A¤›rl›k = A¤›rl›k / Hacim
Özkütlenin yerçekimi ivmesiyle çarp›m› tan›m›ndan yola ç›karak özgül a¤›rl›k
büyüklü¤ünü,
Özgül A¤›rl›k = m
–– g = d . g
V
fleklinde tan›mlayabiliriz.
Kar›fl›mlar›n yo¤unlu¤unu ise; s›ras›yla, eflit hacimlerde kar›flt›r›lan ve eflit kütlelerde kar›flt›r›lan kar›fl›mlar için,
dk =
ve
dk =
d1 + d2
2
2d1 . d2
d1 + d2
, V1 = V2
, m1 = m2
eflitlikleri yard›m›yla belirleyebiliriz.
(7.2)
(7.3)
7. Ünite - Ak›flkanlar Mekani¤i
S›cakl›k (°C)
d (kg/ m3)
Hava
0.0
1.29
Benzen
20.0
879
Su
20.0
998
Su
0.0
1000
Kan
20.0
≈ 1060
Kemik
20.0
1.7-2.0 X 103
Alüminyum
20.0
2700
Demir
20.0
7860
Bak›r
20.0
8920
Kurflun
20.0
11340
C›va
0.0
13600
Malzeme
fiekilde, taflma seviyesine kadar dolu 4 g/cm3 ve 6 g/cm3 özkütleli s›v›lar›n içine
b›rak›lan cisimlerden eflit kütlede s›v›lar taflmaktad›r. Taflan s›v›lar›n meydana getirece¤i kar›fl›m›n özkütlesi kaç g/cm3 olur? ( dcisim = 2 g/cm3)
Çözüm: dk =
2d1 d2
d1 + d2
=
145
Çizelge 7.1
Baz› Maddelerin
Belirli
S›cakl›klardaki
Yo¤unluk De¤erleri
ÖRNEK
2.4.6 48
=
= 4, 8 g/cm3
4 + 6 10
Özkütleleri s›cakl›kla do¤rusal olarak artan X, Y ve Z maddelerinin belli s›cakl›klardaki özkütleleri, X maddesi 50 °C’de, dx= 3 g/cm3, Y maddesi 40 °C’de, dy = 3 g/cm3,
Z maddesi 30 °C’de, dz = 3 g/cm3’dür. Bu maddelerin ayn› s›cakl›ktaki özkütleleri
dx , dy , dz aras›ndaki büyüklük iliflkisi nedir?
ÖRNEK
Çözüm: S›cakl›k de¤iflimi kütleyi etkilemeyip hacmi etkiledi¤inden üç cismin s›cakl›¤›n› da 40 °C’ye getirerek önce hacimlerini sonra da özkütlelerini karfl›laflt›ral›m:
X maddesi 50 °C’den 40 °C’ye so¤utulursa hacmi küçülür ve özkütlesi 3 g/cm3 ’den
büyük olur.
Z maddesi de 30 °C’den 40 °C’ye kadar ›s›t›l›rsa hacmi büyür ve özkütlesi 3 g/cm3 ’den
küçük olur.
O halde ayn› s›cakl›kta özkütleler aras›nda, dx > dy > dz iliflkisi vard›r.
Kütle hacim grafikleri verilen x ve y s›v›lar›ndan eflit hacimlerde al›narak yap›lan
40 cm3 hacimli bir kar›fl›m›n kütlesi kaç gram’ d›r?
m( )
x
y
40
20
0
5
V(cm3)
10
ÖRNEK
146
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Çözüm: Grafikten faydalanarak x ve y s›v›lar›n›n yo¤unlu¤u bulunabilir.
X s›v›s› için: dx = 40/5 = 8 g/cm3
Y s›v›s› için: dy = 40/10 = 4 g/cm3
bulunur. ‹ki s›v›dan eflit hacim al›narak kar›fl›m›n toplam hacmi 4 cm3 verildi¤ine
göre her s›v›dan 20 cm3 hacimde s›v› al›nm›flt›r. Bu s›v›lar›n kütleleri,
m(x) = V(x) . dx = 20.8 = 160 gram
m(y) = V(y) . dy = 20.4 = 80 gram
kütle toplamlar› da; m(x) + m(y) = 160+80 = 240 gram bulunur.
SIRA S‹ZDE
1
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Halk aras›nda
s›k kullan›lan “Zeytin ya¤› gibi üste ç›kt›n” özdeyiflinde oldu¤u gibi,
SIRAçok
S‹ZDE
zeytinya¤› ve su ayn› kaba konulduklar›nda zeytinya¤› üste ç›kar. Bu durumu nas›l aç›klar›z?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
BASINÇ VE SIVI BASINCININ DER‹NL‹KLE DE⁄‹fi‹M‹
Bas›nç
S O =R dik
U kuvvet / yüzey
alan›
KKAT
F ⇒D ‹Bas›nç
P = ––
= dik kuvvet / yüzey alan›
A
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
S O alan
R U bafl›na dik olarak uygulanan kuvvetin büyüklü¤üdür. Bu duBas›nç, birim
rumda P bas›nc›,
(7.4)
N N
0° C’de yerçekimi ivmesinin
9,80665 m/s 2 oldu¤u yerde
K ‹ T(760mm)
A P
76cm
yüksekli¤indeki civa
sütununun a¤›rl›¤›na eflit
miktardaki bas›nç
Tatmosferik
E L E V ‹ Z Ybas›nç
O N olarak
tan›mlanm›flt›r.
‹NTERNET
ÖRNEK
SIRA S‹ZDE
olarak tan›mlan›r
ve bas›nç için SI birimi, metrekare bafl›na newton olup buna
pascal (Pa) ad› verilmifltir:
1 Pa = 1AMAÇLARIMIZ
N / m2
Bas›nç; s›cakl›k ve yo¤unluk gibi, herhangi bir sistemin ana de¤iflkenlerini karakterize eden
yan›nda, özel olarak ak›flkanlar mekani¤i davran›fl›n›
K ‹ Tbüyüklükler
A P
karakterize eden belirli de¤iflkenler de mutlaka vard›r.
Atmosfere aç›k her yüzeye etkiyen aç›k hava bas›nc› en çok üzerinde durulan
bas›nçt›r. Deniz
de¤eri ise; 1.01 x 105 Pa veya 101 kPa olarak belirT E L E V ‹ Zseviyesindeki
YON
lenmifltir. Bir atmosferlik bas›nç, yerçekimi ivmesi 9,80665 m/s2 olarak al›nd›¤›nda 0 °C’de ve 76 cm (760 mm) yüksekli¤indeki c›va sütununun a¤›rl›¤›na eflde¤er
olan bas›nç olarak tan›mlan›r (Bu s›cakl›kta c›van›n yo¤unlu¤u: 13,595 g/cm3’dir).
‹NTERNET
Kütlesi 76 kg olan bir kifli, 152 dm2 toplam taban alan›na sahip kayaklarla kara
bast›¤› zaman yere uygulad›¤› bas›nç kaç pascal ( Pa)’d›r? (g ≅ 10 m/s2)
Kuvvet
Kayakç›n›n a¤›rl›¤› mg
76x10
Çözüm: P = ––––––––––– ⇒ P = ––––––––––––––––– = ––– = –––––––– = 500 Pa
Yüzey Alan›
Kayak taban alan›
A
152x10-2
S›v› içerisindeki bas›nç,
derinlikle de¤iflir.
Bas›nç, tan›mdan da görülece¤i gibi hem kuvvetle hem de kuvvetin uyguland›¤› yüzeyin alan›yla ilgilidir. Ayr›ca bir ak›flkan›n içindeki bas›nç her noktada ayn›
de¤erde de¤ildir. Bir kap içinde durgun halde bulunan ak›flkan› göz önüne alal›m.
Öncelikle, ayn› derinlikteki bütün noktalar›n ayn› bas›nç de¤erinde oldu¤una dikkat etmek gerekir. E¤er s›v› içinde derinliklere göre bas›nç bu durumda olmaz ise,
s›v›n›n herhangi bir belirli eleman› denge durumunda olmayacakt›r.
147
7. Ünite - Ak›flkanlar Mekani¤i
Bir referans noktas›na göre y1 ve y2 yüksekli¤indeki bas›nçlar s›ras›yla; P1 ve
P2 olsun. S›v›n›n yo¤unlu¤u d sabit al›n›rsa,
P2 - P1 = d g ( y2 - y1 )
(7.5)
eflitli¤i bulunur. Kab›n üst yüzeyi aç›ksa H derinli¤indeki bas›nç, atmosfer bas›nc›n› Pa = P2 alarak ve yüksekli¤in H = y2 - y1 oldu¤u düflünülerek,
P = Pa + d g H
(7.6)
fiekil 7.1
Üst Yüzeyi
Atmosfere Aç›k
Olan Bir S›v›n›n
Yüzeyinden H
Derinli¤inde
Bulunan bir
Noktadaki Bas›nç
eflitli¤i bulunur. Yukar›daki eflitli¤e, göre
üst yüzeyi atmosfere aç›k olan bir kap içinde bulunan s›v›n›n H derinli¤indeki P mutlak bas›nc›, Pa atmosfer bas›nc›ndan d g H
kadar daha büyüktür. S›v› bas›nc› daima
kab›n çeperlerine diktir. Çekim alan›n›n s›f›r oldu¤u bir yerde, kat› ve s›v›lar›n a¤›rl›klar›ndan söz edilemeyece¤i için, yapt›klar› bas›nçlar da s›f›r olur. E¤er kab›n üst
yüzeyi atmosfere kapal› ise P mutlak bas›nc› bu durumda,
P=dgH
(7.7)
eflitli¤iyle tan›mlan›r.
ÖRNEK
Bir s›v›n›n 40 cm derinlikte yapt›¤› bas›nç, 50 cm derinli¤indeki suyun yapt›¤› bas›nca eflittir. Suyun yo¤unlu¤u 1 g/cm3 oldu¤una göre s›v›n›n yo¤unlu¤u kaç
g/cm3’tür?
Çözüm: Ps›v› = ds›v› g hs›v› = dsu g h, ⇒ ds›v› g 40cm = (1g/cm3) g 50 cm,
50
ds›v› = ––– = 1,25 g/cm3
40
Ege denizinin yo¤unlu¤u yaklafl›k olarak 1,025 g/cm3 al›nabilir. 30 m dibe dalan bir sünger avc›s›na denizin yapt›¤› bas›nç ne olacakt›r? (yerçekimi ivmesini;
~9,8 m/s2 al›n›z)
ÖRNEK
Çözüm: P= d. H. g ⇒ P = (1025 kg/m3) (30 m) (9,8 m/s2) = 301350 Pa
ÖRNEK
Bir tansiyon ölçümünde verilen 12-8 say›lar›ndan birincisi “büyük” tansiyonu
cmHg (C›va) cinsinden ölçmektedir. Bu hazne bas›nc›n›n kPa cinsinden de¤eri
nedir? (dciva = 13,595.103 kg/m3, g = 9,8 m/s2)
Çözüm: P = d gH = 13,595.103.9,8.12.10-2 = 15,98772 kPa
Derin sularda görülen “vurgun” olay›n›n nedeni sizce nedir?
SIRA S‹ZDE
2
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
148
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Bas›nç Ölçümleri
fiekil 7.2
Bas›nç ölçmek için çeflitli basit düzenekler kullan›l›r. Aç›k kollu manometre ve
c›val› barometre bunlardan ikisidir. Aç›k
kollu manometre, atmosfere aç›k uç s›v›
dolu U-fleklindeki bir boru ve bilinmeyen P bas›nc›ndaki sisteme ba¤l› di¤er
uçtan oluflmaktad›r (fiekil 7.2). d, s›v›n›n yo¤unlu¤u olmak üzere, gaz bas›nc› Pa + d gH olmaktad›r. A noktas›ndaki
bas›nç, B noktas›ndaki bas›nca eflit oldu¤undan bu da bilinmeyen P gaz bas›nc›n› verecektir. Bu durumda mutlak
bas›nç P;
Aç›k Uçlu
Manometre
fiekil 7.3
Toricelli Deneyi
SIRA S‹ZDE
3
P = Pa + d gH
fleklinde tan›mlanabilir.
Yukar›daki eflitlikte P - Pa de¤eri ise
gösterge bas›nc›n› verecektir. Sonuçta,
sistemdeki bas›nç atmosfer bas›nc›ndan
büyükse H pozitif olur, aksine bas›nç
atmosfer bas›nc›ndan küçük ise H negatif olacakt›r.
E. Toricelli taraf›ndan bulunan c›val›
barometre ise; bir ucu kapal› c›va (Hg)
ile doldurulmufl cam bir boru ve bu borunun ters çevrilerek dald›r›ld›¤› c›va dolu bir kaptan oluflmaktad›r (fiekil 7.3).
Borunun kapal› ucunda boflluk olufltu¤undan bas›nç s›f›r olarak al›n›r. Bu durumda d c›van›n yo¤unlu¤u olmak üzere, bas›nc›n de¤eri Pa = d gH olur ve H tüp içindeki c›van›n yüksekli¤idir.
SIRA
S‹ZDE
Dalgݍlar suya
dald›klar›nda
sinüslerine neden hava üfler hiç düflündünüz mü?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
fiekil 7.4
D Ü fi Ü N E L ‹ M
SAyn›
O R UDerinlikte
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
Bulunan
Noktalar›n
Bas›nçlar›
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
K ‹ T A P
TELEV‹ZYON
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
‹NTERNET
PASCAL PRENS‹B‹
Mutlak bas›nç için bulunan sonuç, ayn›
yüksekli¤e sahip olan bütün noktalardaki bas›nc›n ayn› oldu¤unu da ispatlayacakt›r. Buna ilaveten bas›nç kab›n fleklinden de etkilenmez.
S›v› içindeki bas›nc›n sadece s›v›n›n
derinli¤ine ba¤l› olmas›ndan dolay›
fiekil 7.5’de görüldü¤ü gibi s›v›n›n yüzeyine yap›lan bas›nc›n s›v›n›n di¤er bütün noktalar›na aynen iletildi¤i sonucuna var›l›r. Bu ilke ilk kez Frans›z bilgin
Pascal taraf›ndan ortaya at›lm›flt›r ve
Pascal Prensibi olarak bilinir.
149
7. Ünite - Ak›flkanlar Mekani¤i
fiekil 7.5
Pascal prensibinin önemli bir uygulamas› fiekil 7.6’da görülen su cenderesidir.
Su cenderesinde bir F1 kuvveti yüzey alan› A1 olan küçük bir pistona uygulanmaktad›r. Ortaya ç›kan bas›nç s›v› taraf›ndan
yüzey alan› A2 olan daha büyük bir pistona iletilir. Her iki tarafta da bas›nç ayn›
olaca¤› için,
P=
F1
A1
=
F2
A2
F
Pascal Prensibi
S
SIVI
(7.8)
olur. Buna göre F2 kuvveti A2 / A1 çarpan› kadar F1 kuvvetinden büyüktür.
Hidrolik frenler, araba kald›r›c›lar›, hidrolik presler, çatall› kald›r›c›lar gibi
araçlar›n yan› s›ra artezyen kuyular›, su kuleleri ve barajlar da Pascal prensibine
uyarlar.
“Pascal prensibine göre,
kapal› bir kaptaki s›v›ya
uygulanan bas›nçta
oluflacak herhangi bir
de¤ifliklik, kab›n çeperlerine
ve s›v›n›n her noktas›na
de¤iflmeksizin aynen
iletilmektedir”.
fiekil 7.6
Su Cenderesi
ÖRNEK
fiekildeki sistem dengededir. Pistonlar›n a¤›rl›klar› ihmal edilebilir oldu¤una göre,
F1 ve F3 kuvvetleri kaçar newton’dur.
F
F
F
Çözüm: Pascal prensibine göre P1 = P2 = P3 , olaca¤›ndan, 1 = 2 = 3 olur.
S
S
3S
Böylece F1 = F3 = 5 newton bulunur.
Servis istasyonlar›nda kullan›lan araba kald›r›c›lar›n›n çal›flma prensibini
aç›klay›n›z.
SIRA S‹ZDE
Su cenderesi gibi düzenekler
yard›m›yla küçük bir kuvvet
uygulayarak, büyük bir
kuvvet elde etmek
mümkündür.
4
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
150
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
ARCHIMEDES PRENS‹B‹ VE KALDIRMA KUVVET‹
S›v› içinde, taban alan› A olan dikdörtgenler prizmas› fleklindeki cisme, bir bas›nç kuvveti etki etsin. Cismin; yan yüzeylerine etkiyen bas›nç kuvvetleri birbirlerini dengeleyecek, s›v› derinli¤i de¤iflece¤inden alt yüzeye etkiyen bas›nç kuvveti üst yüzeye etkiyeninkinden büyük olacakt›r. Bu duruma ait bas›nç kuvvetinin bileflkesi ise,
AP2 - AP1 = d g ( y2 - y1 ) A
Archimedes prensibine göre
s›v› içindeki cisme, batan
k›sm›n›n hacmi kadar
s›v›n›n a¤›rl›¤›na eflit
büyüklükte düfley
do¤rultuda, s›v›n›n serbest
yüzüne yönelmifl bir
kald›rma kuvveti etki eder.
fiekil 7.7
S›v› ‹çinde
Cisme Etki Eden
Kuvvetler
fiekil 7.8
S›v› ‹çine
B›rak›lan Bir
Cisim ‹çin
Denge Durumlar›
eflitli¤iyle verilir. Burada; (y2 - y1 ) =y cismin yüksekli¤ine eflittir. Bu durumda
AP2 - AP1 = dgyA olur. Bu durumda V=Ay cismin hacmine, (d y A) cismin kütlesine, (d y A) g ise cismin hacmi kadar olan s›v›n›n a¤›rl›¤›na eflittir. Böylece kald›rma kuvvetinin büyüklü¤ü,
Fkald›rma = Vbatan ds›v› g
(7.9)
eflitli¤i ile yaz›labilir. Eflitlik 7.9’dan da görüldü¤ü gibi kald›rma kuvveti, s›v› içerisine bat›r›lan cismin batan k›sm›n›n hacmine eflit miktardaki s›v› a¤›rl›¤›na eflittir.
Böyle bir kald›rma kuvvetinin varl›¤› ilk kez deneysel yöntemle Archimedes taraf›ndan bulunmufltur ve bu sebeple Archimedes Prensibi olarak adland›r›l›r.
S›v› içine b›rak›lan bir cisim böylelikle; s›v›n›n
kald›rma kuvveti ve cismin a¤›rl›¤› fleklinde bafll›ca iki kuvvetin etkisinde kalacakt›r. E¤er kald›rma kuvveti, cismin a¤›rl›¤›ndan büyükse cisim
yüzer ve serbest yüze do¤ru hareket eder. Bir bölümü s›v› d›fl›na taflar böylece kald›rma kuvveti
azal›r ve “Kald›rma Kuvveti ≡ A¤›rl›k” olunca
denge sa¤lan›r.
ds›v› , dcisim s›ras›yla; bir kap içindeki s›v› ve
bir cisme ait özkütleler olmak üzere, s›v› içine
b›rak›lan bir cisim için üç farkl› durum söz konusu olur. dcisim < ds›v› koflulunda cisme uygulanan s›v›n›n kald›rma kuvveti ve cismin a¤›rl›¤›
denge koflulunu sa¤lad›¤›nda cisim yüzeyde yüzer. dcisim = ds›v› koflulunda ise cisim s›v›n›n içinde s›v›n›n kald›rma kuvvetinin
cismin a¤›rl›¤›na eflit oldu¤u durumda yine yüzer. Fakat dcisim > ds›v› koflulunda
ise cisim, s›v›n›n kald›rma kuvveti ile kab›n taban› taraf›ndan cisme uygulanan
düfley yukar› yönlü tepki kuvvetinin, düfley afla¤› yönlü cismin a¤›rl›¤› ile denge
koflulunda ise dibe batar. Bu durumlar fiekil 7.8’de gösterilmifltir.
151
7. Ünite - Ak›flkanlar Mekani¤i
ÖRNEK
Hacim bölmeleri eflit bir K cismi, farkl› iki s›v›da flekilde gösterildi¤i gibi dengede
d
kalm›flt›r. 1 oran› nedir?
d2
Çözüm: fiekildeki sistemde her iki durumda da denge koflulu sa¤land›¤›ndan,
yo¤unluklar oran›;
2Vd1 . g = 3Vd2 . g , ⇒
d1
d2
=
3
2
dir.
S‹ZDE
Buzullar›n, buz da¤lar›n›n hacimlerinin ne kadar› deniz seviyesininSIRA
alt›nda
kal›r?
AKIfiKANLARIN KARAKTER‹ST‹⁄‹ VE BAZI
D Ü fi Ü N E L ‹ M
ÖZELL‹KLER‹
5
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Hareket halindeki s›v›larda ak›fl, iki temel tipten biri ile karakterize edilebilir. S›v›S O R oldu¤u
U
n›n her bir parças› düzgün bir çizgi boyunca ak›yorsa ak›fl›n kararl›
söylenir ve her parçac›¤›n ak›fl çizgisi di¤er çizgileri kesmez. S›v›n›n herhangi bir noktadaki ak›fl h›z› zamanla da sabit kal›r.
D‹KKAT
H›z›n kritik bir de¤eri üzerindeki durum için, s›v›n›n ak›fl› karars›z ya da girdapl› olur. Bu, düzensiz bir ak›flt›r.
SIRA S‹ZDE
Gerçek bir s›v›n›n hareketi kar›fl›k oldu¤u için henüz tam olarak anlafl›lmam›flt›r, bu yüzden yaklafl›m›m›zda baz› kabuller yapaca¤›z. Hareketli, gerçek s›v›lar›n
pek çok özelli¤i ideal bir s›v›n›n davran›fl›n› inceleyerek anlafl›labilir.
‹deal s›v› moAMAÇLARIMIZ
deli için ise afla¤›daki varsay›mlar› yapabiliriz:
• Viskoz Olmayan Ak›flkan: Viskoz olmayan bir s›v›da iç sürtünme ihmal
edilmektedir. Böyle bir s›v› içinde hareket eden cisimK sonuçta
‹ T A P yavafllat›c›
viskozluk kuvvetiyle karfl›laflmayacakt›r.
• Kararl› Ak›fl: Kararl› ak›flta, s›v›n›n her noktas›nda h›z›n›n zamanla sabit
kald›¤› kabul edilmektedir.
TELEV‹ZYON
• S›k›flt›r›lamayan Ak›flkan: S›v›n›n yo¤unlu¤unun zaman içinde sabit kald›¤› kabul edilmektedir.
• Girdaps›z Ak›fl: S›v›n›n, herhangi bir noktaya göre aç›sal momentumu
‹NTERNET
yoksa, bu ak›flkan dönmeyecektir. Yani ak›flkan›n herhangi
bir yerine yerlefltirilen küçük bir çark, kütle merkezi etraf›nda dönmüyorsa ak›flkan dönmüyor demektir (Girdap varm›fl gibi çark dönüyor olsayd›, ak›fl bir dönme
gösterecekti).
S O R U
D‹KKAT
N N
Bir nehirdeki suyun h›zl› ak›fl› esnas›nda kayalar, tafllar ve baflka engellerle
karfl›laflt›¤›nSIRA S‹ZDE
da aniden -beyaz su- fleklini almas› sizce hangi olaya örnek gösterilebilir?
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
Viskoz olmayan, s›v›n›n her
noktas›nda h›z›n›n ve
K ‹ T A P
yo¤unlu¤unun zamanla
sabit kald›¤› girdaps›z
ak›fllar ideal ak›flkan
modeline uyarlar.
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
6
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
152
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
SÜREKL‹L‹K DENKLEM‹
Kütlenin korunumu
prensibinin bir ak›m borusu
içerisinde akmakta olan
kararl› bir ak›fla
uygulanmas›na süreklilik
denklemi denir.
“Madde ne yoktan var edilebilir ne de yok edilebilir” fleklindeki kütlenin korunumu
prensibi, Frans›z kimyac›s›, A.L. Lavaisier taraf›ndan klasik olarak ifade edilmifltir.
(Kütlenin korunumu prensibinin bir uygulamas› da ak›m borusu içinde akmakta olan
kararl› bir ak›flkand›r ve bu ak›flkan›n›n incelenmesi süreklilik denklemi ile olur.) Bu
tan›m; bir ak›m tüpü içerisinde kesitten kesite ak›m›n süreklili¤i anlam›na gelir.
Bir ak›m borusu içerisinde s›k›flabilir bir ak›flkan›n kararl› ak›fl›n› inceleyelim.
(1) kesitinde; kesit alan› A1 ve ak›flkan›n ortalama özkütlesi d1 , (2) kesitinde kesit alan› A2 ortalama özkütlesi ise d2 olsun. fiekil 7.9’da (A1 ∆s1 ) hacmini dolduran ak›flkan kütlesi ∆t zaman aral›¤›nda (A2 ∆s2 ) hacimli konuma geliyorsa, kütle korunumu prensibine göre;
d1 A1 ∆s1 = d2 A2 ∆s2
olmal›d›r.
fiekil 7.9
Kesitleri Farkl›
Borudaki Ak›flkan
Eflitli¤in her iki taraf› ∆t ile bölündü¤ünde birim zaman›ndaki kütlelerin eflitli¤inden;
∆s
= d2 A 2 2
∆t
∆t
∆s 1
∆s2
ve
elde edilir.
ifadeleri (1) ve (2) kesitlerindeki ortalama h›zlar oldu∆t
∆t
¤undan; s›k›flt›r›labilir bir ak›flkan için süreklilik denklemi
d1 A1
∆s1
d1 A1 o1 = d2 A2 o2
olarak elde edilmifl olur. Bu ifadenin gerçek anlam›: kararl› bir ak›flkan ak›m›nda
ak›m borusunun tüm kesitlerinden geçen kütlesel debi olan dA o’nin sabit oldu¤udur. Böylece;
d A o= sabit
(7.10)
yaz›labilir. Özkütle (yo¤unluk) de¤ifliminin ihmal edilebilir s›n›rlarda kald›¤› gaz
ve s›v› ak›mlar›nda yani s›k›flt›r›lamayan ak›flkan ortamlarda (d1 = d2 = sabit ) olaca¤›ndan süreklilik denklemi;
A1 o1 = A2 o2 = sabit
Debi: Birim zamanda
sistemden geçen s›v›
hacmidir. Birimi ise
m3/s’dir.
yani
A o= Q (sabit )
(7.11)
fleklinde ifade edilir. Buradaki Q sembolüne hacimsel debi veya k›saca debi denir.
Eflitlik 7.11’den de görüldü¤ü gibi debi birim zamanda sistemden geçen hacimdir
ve birimi SI’ da m3/s’dir.
153
7. Ünite - Ak›flkanlar Mekani¤i
ÖRNEK
Su, çap› 12 mm’den 9 mm’ye daralan bir boru içerisinde akmaktad›r. Suyun 12 mm
çapl› yüzeyindeki ak›fl h›z› 0,8 m/ s ise, 9 mmçapl› yüzeydeki h›z kaç m/ s’dir?
Çözüm: Süreklilik denklemi yard›m›yla h›z için,
v2 = v1
A1
A2
=
v1
π r12
122
= 0, 8.
= 1, 422 m/s
92
π r22
olarak bulunur.
Bir su hortumu ile bahçe sularken, suyu daha h›zl› ve daha ileriye ak›tmak
için hortumun
SIRA S‹ZDE
ucunun daralt›lmas› gerekir. Bu ifllemi neyle aç›klars›n›z?
BERNOULLI DENKLEM‹
7
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
S›k›flt›r›lamayan ak›flkan ortamlar (d = sabit) için,
1
P + dv 2 + dg.H = sabit
2
(7.12)
D‹KKAT
eflitli¤i, Bernoulli Denklemi olarak tan›mlan›r. Eflitlik 7.12’de H yüksekli¤indeki
bir ak›fl borusunda ν h›z›yla akmakta olan d yo¤unluklu bir s›v›n›n bu noktadaki
SIRA S‹ZDE
bas›nc› P ise, bu büyüklükler aras›ndaki iliflki Bernoulli Denklemi olarak adland›r›l›r. Bernoulli Denklemi ak›flkanlarda enerjinin korunumu ilkesinin bir sonucudur.
Bu nedenle fiekil 7.10’daki bir ak›fl borusu için;
AMAÇLARIMIZ
1
1
P1 + dv12 + dgh1 = P2 + dv22 + dgh2
2
2
D‹KKAT
Ak›flkanlarda enerjinin
korunumu ilkesine
dayanarak, bas›nç, h›z ve
SIRA S‹ZDE
yükseklik aras›ndaki
iliflkiyi
veren eflitlik Bernoulli
Denklemi olarak
adland›r›l›r.
N N
K ‹ T A P
(7.13)
K ‹ T A P
eflitli¤i yaz›labilir.
Yukar›daki eflitli¤in solundaki her bir terim bir bas›nç ifadesi fleklindedir. BernoTELEV‹ZYON
ulli denkleminin birim hacimdeki ak›flkan›n enerjisini gösterir flekilde yeniden düzenlenmesiyle ise, bu denklemin daha ziyade gaz ak›mlar› için kullan›lmas› mümkün olur. Bernoulli denkleminin uygulamalar› aras›nda, Pitot tüpü gösterilebilir.
‹NTERNET
AMAÇLARIMIZ
TELEV‹ZYON
‹NTERNET
fiekil 7.10
Bir Ak›m Çizgisi
Boyunca Daimi,
Sürtünmesiz,
S›k›flt›r›lamaz Ak›fl
SIRA S‹ZDE kullan›ld›Binalar›n su tesisatlar›nda neden binan›n en yüksek yerinde bir su deposunun
¤›n› aç›klay›n›z?
8
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
154
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Pitot Tüpü
Pitot tüpü bir ak›flkan ak›m›n›n herhangi bir noktas›ndaki yerel h›z› ölçmek için
kullan›l›r. L fleklinde bükülmüfl içice iki silindirik borudan, içerdeki borunun iki
ucu aç›k, d›fltaki boru iki taraf›ndan fiekil 7.11’de gösterildi¤i gibi, içteki boru üzerine kapat›lm›fl konumdad›r. D›fltaki borunun arka ucu priz ç›k›fl› b›rak›larak diferansiyel manometrenin bir ucuna ba¤lanm›fl, di¤er ucu ise içteki borunun ç›k›fl›na
irtibatl›d›r. D›fltaki borunun ön taraf›na ise, uçtan itibaren belli mesafede küçük
çapl› delikler aç›lm›flt›r.
fiekil 7.11
Pitot Tüpü
Böyle bir tüp, aç›k ucu ak›fla do¤ru gelecek flekilde bir hava kanal›na yerlefltirilirse içteki boruda, durma bas›nc› dolay›s›yla, toplam bas›nç, d›fltaki boruda ise
ayn› noktadaki statik bas›nç mevcut olacakt›r. Bu durumda diferansiyel manometrenin sa¤ koluna statik bas›nç, sol koluna ise toplam bas›nç etkiyecektir. Bu konumda diferansiyel manometredeki yükseklik fark›ndan kinetik enerji, dolay›s›yla,
kanaldaki hava h›z› belirlenebilir.
Bir uça¤›n kanad›na hareket do¤rultusuna karfl› gelecek flekilde yerlefltirildi¤inde, Pitot tüpü ile uça¤›n h›z›n› ölçmek mümkündür. Tabii ki burada hesaplanacak
h›z; rüzgar h›z› ile kar›fl›k h›zd›r. Gerçek h›z› bulmak için rüzgar h›z›n›, yön ve fliddetine göre hesaba katmak gerekir.
Pitot tüpü ile bir noktadaki dinamik bas›nç direkt olarak ölçülürken, statik ve
toplam bas›nçlar da ölçülebilir. Bunun için, diferansiyel manometrenin sa¤ kolu
prizden ç›kar›l›p atmosfere aç›l›rsa, o noktadaki toplam bas›nç, sol kolu prizden ç›kar›larak atmosfere aç›l›rsa, statik bas›nç okunabilir.
V‹SKOZ‹TE
Bir ak›flkan›n viskozlu¤u var
ise mekanik enerji
korunmaz.
Viskozluk, s›v›daki iç sürtünmenin büyüklü¤ünü tan›mlayabilmek için s›v› ak›fl›nda s›kça kullan›lan bir terimdir. Bu iç sürtünmede, birbirine göre hareket eden s›v›n›n iki komflu tabakas›n›n karfl›laflt›¤› dirençle ortaya ç›kar. Viskozluk sebebiyle
s›v›n›n kinetik enerjisinin bir k›sm› ›s› enerjisine dönüflmektedir. Bu durum sürtünmeli yatay bir yüzey üzerinde kayan bir cismin kinetik enerjisini kaybetme mekanizmas›na benzetilebilir.
155
7. Ünite - Ak›flkanlar Mekani¤i
Ço¤u zaman bir ak›flkandaki korunumsuz kuvvetler pek göz ard› edilemez. Bu
kuvvetler ak›flkan›n mekanik enerjisini azaltarak iç enerjisine aktarmaktad›r. T›pk›,
sürtünme kuvvetlerinin kayan bir blo¤un mekanik enerjisini blok ve de¤di¤i yüzeyin iç enerjilerine aktarmas› gibi. Böylesine kay›p kuvvetleri önemli olan ak›flkanlara viskoz ak›flkanlar denir. Vizkoz ak›flkanlarda mekanik enerji korunmaz. Bernoulli denklemi; bir ak›flkan›n viskozlu¤u var ise, ak›flkan›n mekanik enerjisi korunmayaca¤›ndan geçerli olmaz. Yatay ve düzgün kesitli bir borudan akan viskoz bir ak›flkan›n bas›nc› ak›fl çizgileri boyunca düfler. fiekil 7.12’de gösterilen bu hareket düzenine laminer ak›fl denir. Her tabaka komflular›na bir kuvvet uygular ama d›fl› çevrili olmad›¤›ndan birbirleriyle kar›flmazlar. fiekil 7.12’de üstteki levha düflük ve sabit bir h›zla ak›flkan›n üst k›sm›nda hareket ettirilmekteA
dir. Deneyler ço¤u ak›flkanda ak›flkan h›z›n›n flekildeki
V
gibi iki levha aras›nda hareketli levhadan olan uzakl›kla
I
do¤ru orant›l› olarak de¤iflti¤ini göstermektedir. Levhay›
hareket ettirmek için gerekli
yatay kuvvet bilefleni levhan›n h›z›yla do¤ru orant›l› olan ak›flkanlara ise newtoncul ak›flkanlar denir. Su ve hava yaklafl›k birer newtoncul ak›flkand›r. Süzme bal kavanozdan dökülürken ak›fl›na
dikkat edilecek olursa, üst tabakas› kavanoza de¤en tabakadan daha h›zl› akar (laminer ak›fl). Bunlarda levhay› çekmek için gerekli olan kuvvet h›z›n karesiyle orant›l› olabilir. Yüksek h›zlarda ise ak›fl çevrili olmaya bafllayacakt›r.
Hareketli levha üzerindeki kuvvetin (F ’nin) büyüklü¤ü deneysel olarak hareketli levhan›n yaln›z h›z›yla de¤il ayn› zamanda A alan›yla da do¤ru ve duran levhadan olan l uzakl›¤›yla ters orant›l›d›r:
F=
η Aυ
l
SIVILARDA YÜZEY GER‹L‹M KUVVET‹
Laminer Ak›fl
(7.14)
Burada h; viskozite katsay›s› ad›n› al›r. Birimi SI da Ns/m2 dir.
Vizkozite s›cakl›k ve bas›nçla de¤iflir. Gaz ortamlar›n ve birçok s›v›lar›n viskoziteleri bas›nçla azda olsa artar. Suyun vizkozitesi, 300 °C’n›n alt›nda çok az bir
azalma göstererek, di¤er s›v›lara nazaran farkl› bir davran›fl gösterir. Suda 100 atm
bas›nca kadar viskozitenin bas›nçla çok az de¤iflim göstermesi nedeniyle bu de¤iflim ihmal edilebilir. Gaz ortamlar›n viskozitesi h ise; s›cakl›kla artmaktad›r.
S›v› bal neden suya göre daha yavafl akar?
fiekil 7.12
SIRA S‹ZDE
Viskozite üzerinde s›cakl›k
ve bas›nc›n etkisi vard›r.
9
D Ü fi Ü N E L ‹ M
Moleküller aras›nda mevcut kuvvetlerin bir sonucu olarak s›v›lar›n serbest yüzeylerinde bir bak›ma t›pk› gerilmifl bir lastik zar gibi daima büzülmek ve mümkün
S O ince
R U bir s›v› zar›
olan en küçük yüzeyi almak isteyen bir molekül kal›nl›¤›nda çok
meydana gelir. Bu zar› gergin tutan kuvvetlere yüzey gerilim kuvvetleri denir. Bir
s›v› zar›n›n yüzey gerilim sabiti s›cakl›k ile azal›r. Bu sabit, s›v›Dyüzeyinin
temizli‹KKAT
¤ine ve s›v› yüzeyi ile temasta olan gaz›n cinsine de ba¤l›d›r.
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
N N
SIRA S‹ZDE
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
K ‹ T A P
156
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Kohezyon Kuvveti ⇒ SIVI SIVI ETK‹LEfiMES‹
Gerçek s›v›larda mevcut olan, ancak ideal tan›mlarda ihmal etti¤imiz s›v› partiküllerinin birbirleri aras›ndaki çekme kuvvetine Kohezyon Kuvveti denir. Adhezyon Kuvveti ise; s›v› ile müflterek bir yüzey teflkil eden kat› partikülleri ile s›v› partikülleri aras›ndaki çekim kuvveti olarak tan›mlan›r.
Adhezyon Kuvveti ⇒ SIVI KAP ETK‹LEfiMES‹
S›v›larda De¤me Yüzeyi
‹yi temizlenmifl cam kaplardan birisine su di¤erine c›va döküldü¤ünde s›v›lar›n üst
yüzeyleri gözlenirse özellikle kenarlarda yatay olmad›¤› görülür. Bu yatayl›ktan
ayr›l›fl›n fiekil 7.13’de görüldü¤ü gibi, su için cam kap kenarlar›nda bir yükselme,
c›va için ise bir alçalma fleklinde oldu¤u gözlenir.
fiekil 7.13
S›v›larda De¤me
Yüzeyi
S›v› yüzeyindeki herhangi bir moleküle etkiyen kuvvetleri göz önüne alacak
olursak afla¤›da belirlenmifl etkilerden bahsedebiliriz (1. ve 4.’yü çok küçük olduklar›ndan genellikle ihmal ederiz):
1. Yerçekim Kuvveti
2. Kohezyon (s›v›-s›v› etkili) Kuvveti Fk
3. Adhezyon (s›v›-kat› etkili) Kuvveti Fa
4. S›v› molekülünün temasta oldu¤u gaz (hava) moleküllerince uygulanan
kuvvet
Bileflke kuvvet s›v› yüzeyinde herhangi bir noktada mutlaka s›v› yüzeyine diktir. S›v›-kap iliflkisi düflünüldü¤ünde;
a. Fa > Fk ise bu s›v›lara Kab› Islatan S›v›lar denir. Örnek: Su
b. Fa < Fk ise bu s›v›lara Kab› Islatmayan S›v›lar denir. Örnek: C›va
Bu flekilde farkl› iki s›v› kullanarak çok ince (k›lcal) kal›nl›kta temiz cam borular bu farkl› iki s›v› içine bat›r›l›rsa ince borularda s›v›lar›n yükseklik seviyeleri k›lcall›k denilen olay nedeniyle birbirine göre de farkl›l›k gösterecektir.
SIRA S‹ZDE
10
SIRAsuS‹ZDE
Bir cam yüzeye
ve c›va serpifltirdi¤inizi düflünün. Suyun cam yüzeyinde ask›da kalmas›na ra¤men c›van›n cam yüzeyine hiç bulaflmad›¤›n› gözlemlersiniz, neden?
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S O R U
S O R U
D‹KKAT
D‹KKAT
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
N N
SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
7. Ünite - Ak›flkanlar Mekani¤i
157
Özet
N
A M A Ç
1
Yo¤unluk ve bas›nca iliflkin temel kavramlar›
aç›klamak.
m kütleli, V hacimli bir cismin yo¤unlu¤u, yani
birim hacminin kütlesi
N
A M A Ç
4
m
V
olarak tan›mlan›r ve maddeler için ay›rt edici
bir özeliktir.
A alanl› yüzeye dik olarak etkiyen, büyüklü¤ü
F olan bir kuvvetin yapt›¤› P bas›nc› ise,
d=
P=
P= dHg
N
AM A Ç
2
N
AM A Ç
3
1
P+ d
2
olup, ak›flkan›n yüksekli¤i yo¤unlu¤u ve bulunulan yerdeki yerçekimi ivmesiyle do¤ru orant›l›d›r.
Pascal, Archimedes prensiplerini aç›klamak.
Pascal prensibine göre s›v›lar, üzerlerine yap›lan
bas›nc› s›v›n›n her noktas›na ayn› flekilde aynen
iletirler.
Bir ak›flkan›n içerisinde bulunan bir cisme kald›rma kuvveti etki eder. Bu kald›rma kuvveti,
Archimedes prensibine göre, cismin batan k›sm›n›n hacmi kadar ak›flkan›n a¤›rl›¤›na eflittir.
‹deal ak›flkan koflullar›n› saptamak.
‹deal s›v› modeli için ise afla¤›daki varsay›mlar
yap›l›r:
• Viskoz Olmayan Ak›flkan: Viskoz olmayan bir
s›v›da iç sürtünme ihmal edilmektedir. Böyle
bir s›v› içinde hareket eden cisim sonuçta yavafllat›c› viskozluk kuvvetiyle karfl›laflmayacakt›r.
• Kararl› Ak›fl: Kararl› ak›flta, s›v›n›n her noktas›nda h›z›n›n zamanla sabit kald›¤›n› kabul
edilmektedir.
• S›k›flt›r›lamayan Ak›flkan: S›v›n›n yo¤unlu¤unun zaman içinde sabit kald›¤› kabul edilmektedir.
• Girdaps›z Ak›fl: S›v›n›n, herhangi bir noktaya
göre aç›sal momentumu yoksa, bu ak›flkan
dönmeyecektir.
v 2 + d . g . H = sabit
eflitli¤i bas›nç, h›z ve ivme aras›ndaki iliflkiyi vermektedir, ilk kez Bernoulli ve Euler taraf›ndan
gelifltirildi¤i için bu eflitlikler Bernoulli denklemi
olarak adland›r›l›r.
F
A
fleklindedir.
Ak›flkanlar›n yapt›klar› bas›nç
Süreklilik ve Bernoulli denklemlerini tan›mak.
Kütle korunumu yasas›n›n bir ak›m borusu içerisinde akmakta olan kararl› bir ak›fla uygulanmas›yla süreklilik denklemi elde edilir.
S›k›flt›r›lamayan ak›flkan ortamlar (d = sabit ) için,
N
A M A Ç
5
Viskozluk ve yüzey gerilimi kavramlar›n› aç›klamak.
Bir ak›flkan içinde korunumsuz kuvvetler varsa,
bu kuvvetler ak›flkan›n mekanik enerjisini azaltarak iç enerjisine aktarmaktad›r. Kay›p kuvvetleri
önemli olan bu tür ak›flkanlara viskoz ak›flkanlar
denir.
Moleküller aras›nda mevcut kuvvetlerin bir sonucu olarak s›v›lar›n serbest yüzeylerinde, daima
büzülmek ve mümkün olan en küçük yüzeyi almak isteyen bir molekül kal›nl›¤›nda çok ince bir
s›v› zar› meydana gelir. Bu zar› gergin tutan kuvvetlere yüzey gerilim kuvvetleri denir.
158
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Kendimizi S›nayal›m
1. Viskozite katsay›s›n›n SI birim sistemindeki birimi
nedir?
a. kg/m.s
b. N . s/m
c. N . s2/m2
d. kg . s/m
e. kg/m . s3
2. fiekildeki düzenekte pistona etki eden bas›nç kuvveti; piston I konumundayken FI , II konumundayken
FII , III konumundayken FIII ’tür. Kaptaki s›v›n›n hacmi
de¤iflmedi¤ine göre FI , FII ,FIII , bas›nç kuvvetleri nas›l
de¤iflir?
a. FI = FII > FIII
b. FI > FII = FIII
c. FI < FII < FIII
sıvı
ı ıı
ııı
d. FI > FII > FIII
piston
e. FI = FII =FIII
3. Dikdörtgenler prizmas› fleklinde bir silisyum blo¤unun boyutlar› 120 x 165 x 225 mm, özgül a¤›rl›¤› da
2,59573.104 kg/m2s2’d›r. Silisyum blo¤un kütlesi kaç
kg’d›r? (g = 9,8 m/s2)
a. 118
b. 1,15639
c. 115,639
d. 5,826.107
e. 11,8
4. Su, çap›, 6,35 cm ve ak›fl oran› 0,012 m3/s olan bir
yang›n hortumundan akmaktad›r. Yang›n hortumu, iç
çap› 2,2 cm olan hortum bafl›nda son bulmaktad›r. Suyun ç›k›fl h›z› nedir?
a. 3,8 .10-4 m/s
b. 31,6 m/s
c. 316 m/s
d. 1,2 m/s
e. 0,012 m/s
5. Düfley kesiti flekildeki gibi olan bir kab›n a¤›rl›¤›
önemsiz pistonlar›n›n kesit alanlar› S, 2S, S’ dir. F1 , F2
ve F3 kuvvetleri uyguland›¤›nda bu pistonlar ayn› düzeyde kal›yor. F2 ve F3 kaç newton’dur?
a. F2 =10, F3 =20
b. F2 =15, F3 =60
c. F2 = 60, F3 =15
d. F2 = 20, F3 =20
e. F2 = 20, F3 =10
6. ‹deal s›v› modelinde afla¤›dakilerden hangi varsay›m bulunmamaktad›r?
a. Kararl› ak›fl
b. Newtoncul ak›fl
c. S›k›flt›r›lamayan ak›flkan
d. Girdaps›z ak›fl
e. Viskoz olmayan
7. A¤›rl›¤› G olan cisim su içinde ve ba¤l› oldu¤u ipteki gerilme kuvveti G /6’d›r. Cismin özkütlesi afla¤›dakilerden hangisidir?
a. 3
b. 2
c. 3/2
d. 4/3
e. 6/5
8. fiekildeki U borusunun sa¤ kolunda bulunan d 2
s›v›s›n›n yo¤unlu¤u kaç g/cm3’tür? (d1 =1,8 g/cm3, h1
= 10 cm, h2 = 36 cm)
a. 0,5
b. 0,75
c. 1
d. 1,25
e. 1,5
7. Ünite - Ak›flkanlar Mekani¤i
“
9. Kütle-hacim grafikleri verilen X ve Y s›v›lar›ndan
eflit hacimlerde al›narak yap›lan 40 cm3 hacimli bir kar›fl›m›n kütlesi kaç gram’d›r?
a. 160
Y
m( )
X
b. 240
c. 300
20
d. 320
e. 16
10
0
2
4
V(cm3)
10. A¤›rl›¤› G hacmi 4V olan bir kat› cisim I ve II kaplar›nda flekillerdeki gibi dengededir. I. kaptaki s›v›n›n
özkütlesi 0,8 g/cm3 oldu¤una göre II. kaptaki s›v›n›n
özkütlesi g/cm3 cinsinden nedir?
a. 1,11
b. 2,1
c. 4,2
d. 2,4
e. 1,4
159
Yaflam›n ‹çinden
Buzda¤› (‹ngilizce: Iceberg (Aysberg), Almanca Eisberg) Kuzey ve Güney Kutbu denizlerinde bulunan büyük buz kütlesidir. Devaml› so¤uk olan bölgelerde kar›n üst üste y›¤›lmas›, kardan bir da¤ ve sonra da bir
buz katman› teflekkül ettirir. Bu katman zamanla k›y›ya
do¤ru kayar ve denizde parçalan›r. Böylece muazzam
buz da¤lar› meydana gelir. Uzunluklar› birkaç kilometreyi ve kal›nl›klar› 300 metreyi bulunabilir. Deniz üstünde sallanmadan dururlar. Her y›l Güney Kutbu Antarktika, her boydan binlerce buz da¤› teflkiline sebep
olur. Kuzey kutbundaki Grönland Adas›n›n iki milyon
km2’ye yaklaflan yüzeyi tamamen buz tabakas› ile kapl›d›r. Her sene buradan da 10-15 bin kadar buz da¤› kopar. Buz da¤lar› zamanla meydana gelen çatlak veya
dalgalar›n afl›nd›rmas› ile yerlerinden büyük bir gürültü
ile ayr›l›rlar. Ayr›l›r ayr›lmaz deniz içinde harekete geçerler. Özgül a¤›rl›¤› 0.9 gr/cm3 olan buzda¤›n›n deniz
üstünde görünen k›sm›n›n sekiz veya on kat› su içindedir. Bafl›bofl büyük denizlerde dolaflan bu buz da¤lar›n›n a¤›rl›¤› milyonlarca tonu bulur.
Grönland’dan kopup gelen buz da¤lar› ilkbaharda ve
yaz›n ilk aylar›nda Kuzey Atlas Okyanusunda sefer yapan gemiler için büyük tehlike teflkil ederler. Bunlar›n
yan›nda Kanada’n›n kuzeydo¤u kesiminden gelen buzda¤lar› Labrador Ak›nt›s› ile Yeniel k›y›lar›ndan güneye
do¤ru sürüklenir. Buralardan Golfstream Ak›nt›s›na kap›larak Ekvator’a do¤ru yol al›rlar. Baz›lar› tamamen
erimeden önce 27°’lik arz derecesine kadar ulafl›rlar.
Antarktika buzullar›ndan kopanlar ise kuzeye do¤ru
yol al›rlar. Bunlar Hint ve Büyük Okyanusta çal›flan gemiler için pek tehlike teflkil etmezler. En fazla kuzeye
gidebilen buzda¤›, Avustralya’n›n 100 mil kuzeyine kadar yaklaflabilmifltir.
160
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Okuma Parças›
Buzda¤lar› gemiler için büyük tehlikedir. Zaman›n›n en
büyük transatlantik gemi olan Titanik, 14/15 Nisan
1912’de ilk seferinde gece bir buzda¤›na çarparak parçaland›. Çarp›flmadan 2 saat 40 dakika sonra gemi tamamen batt› ve içinde bulunan 2224 yolcudan 1513’ü
bo¤ulup, 711 kiflisi ancak kurtar›labildi. Bu olay üzerine, buzda¤lar›n›n sebep olaca¤› felaketleri önlemek için
tedbirler al›nd›. ABD’nin k›y› koruma teflkilat›na ait gemiler, Kuzey Atlas Okyanusundaki buzda¤lar›n› gözetleme görevlerini de yaparlar. Ayr›ca Seyir ve Hidrografi Bürosu, Buzda¤lar›n›n bulundu¤u yerleri, bunlardan
emin olan yollar› belirten haritalar yay›nlar. Al›nan bu
tedbirlerden baflka deniz suyu s›cakl›¤› ölçülerek de
buz da¤lar›n›n yerleri bulunabilir. Bu ifllem çok hassas,
santigrat derecenin (°C) birkaç binde birini gösterebilen özel aletlerle yap›l›r. Bugünkü gemiler hassas radarlarla donat›ld›¤›ndan, buzda¤lar› bunlar için büyük tehlike teflkil etmez.
Buzda¤lar›n›n rengi genellikle beyazd›r. Mavi ve yeflil
de olabilir. Güneflli havalarda eriyen k›s›mlar yüzeyde
gölcükler meydana getirir. Sular› tatl›d›r. Bu sebepten
büyük buzda¤lar›ndan istifade edilmesi düflünülmektedir. Su s›k›nt›s› çeken, bilhassa Aden Körfezi devletlerine getirilmesinin yollar› araflt›r›lmaktad›r. Büyük römorklarla konvoy halinde getirilmesi düflünülen buz da¤lar›n›n Aden Körfezine gelmesi tahminen 6-7 ay sürecektir.
Güç gibi görünmesine ra¤men, milyonlarca insan›n susuzluk çekmesi göz önünde tutulursa, gayretli bir çal›flma sonunda netice verece¤i tahmin edilmektedir.
”
Kaynak: http://en.wikipedia.org/wiki/Iceberg
(04.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r)
http://tr.wikipedia.org/wiki/Buzda%C4%9F%C4%B1
(04.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r)
Daniel Bernoulli, (Groningen, 29 Ocak 1700 - Basel, 17
Mart 1782) Hollanda do¤umlu, fakat ço¤unlukla ‹sviçre, Basel’de yaflam›fl matematikçidir.
Leonhard Euler ile beraber adlar›n› verdikleri eflitlikler
üzerinde çal›flm›fllard›r. Bernoulli’nin ilkesi aerodinamikte ciddi kullan›mlar› vard›r.
Daniel Bernoulli, Johann Bernoulli’nin o¤lu ve Jacob
Bernoulli’nin ye¤eni, Nicholaus Bernoulli’nin küçük
kardeflidir. Nicholaus’un buldu¤u olas›l›klar kuram›ndaki bir problem “St. Petersburg problemi” ya da “paradoksu” olarak an›l›r. Daniel, Basel Üniversitesi’nde profesörlük yapm›fl olup, verimli çal›flmalar›n›n ço¤u astronomi, fizik ve hidrodinamikle ilgilidir. “Hydrodinamica” adl› kitab›nda hidrolik bas›nçla ilgili teoremlerini ve
gazlar›n kinetik kuram›n› aç›klam›flt›r. Babas› (Johann)
ve amcas› (Jacob) baya¤› (adi) diferansiyel denklemler
kuram›nda, Daniel ise k›smi diferansiyel denklemler
alan›nda öncü say›lmaktad›r.
Ak›flkanlar dinami¤i konusundaki ilk çal›flmalar›n sahibidir. O zamana kadar akan bir ak›flkan›n enerjisi hakk›nda hiçbir fley bilinmezken; Daniel Bernoulli, akan
ak›flkanlar›n kinetik, bas›nç ve potansiyel enerjilerine
sahip oldu¤unu ve bu enerjilerin birbirine dönüflebildi¤ini göstermifltir. Gelifltirdi¤i formüller halen ak›flkanlar
mekani¤inin temelini oluflturmaktad›r.
Ayr›ca, bir t›p doktoru olan Bernoulli, kan bas›nc›n› ölçen ilk aleti de ak›flkanlar hakk›nda yapt›¤› çal›flmalardan yararlanarak tasarlam›flt›r. Gelifltirdi¤i yöntem 18
yüzy›l›n sonlar›na kadar kullan›lm›flt›r.
Kaynak: http://tr.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli
(04.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r)
7. Ünite - Ak›flkanlar Mekani¤i
161
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
1. a
S›ra Sizde 1
Suyun yo¤unlu¤u, zeytinya¤›n›n yo¤unlu¤undan fazlad›r ve yo¤unlu¤u az olan zeytinya¤›, su ile birleflti¤inde
birbirleriyle kar›flmadan yo¤unluk fark›ndan üste ç›kar.
2. d
3. e
4. b
5. c
6. b
7. e
8. a
9. c
10. d
Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Viskozite ve Birim
Sistemleri” konusunu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Bas›nç” konusunu
gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Yo¤unluk” konusunu
gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Süreklilik Denklemi”
konusunu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Pascal Prensibi”
konusunu gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Ak›flkanlar›n
Karakteristi¤i ve Baz› Özellikleri” konusunu
gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Archimedes Prensibi
ve Kald›rma Kuvveti” konusunu gözden
geçiriniz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Bas›nç ve S›v›
Bas›nc›n›n Derinlikle De¤iflimi” konusunu
gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Yo¤unluk” konusunu
gözden geçiriniz.
Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Archimedes Prensibi
ve Kald›rma Kuvveti” konusunu gözden
geçiriniz.
S›ra Sizde 2
E¤er bas›nc›n derinlikle de¤iflimini düflünecek olursak,
derinlere inildikçe sünger avc›s› üzerindeki d›fl bas›nç
de¤eri artacak ve iç bas›nç d›fl bas›nca eflit olmad›¤›
noktadan itibaren vurgun yiyecektir.
S›ra Sizde 3
Suyun bas›nc› ile sinüslerindeki bas›nc› eflitlemek içindir.
S›ra Sizde 4
Pascal prensibine göre s›v›n›n herhangi bir noktas›na
yap›lan bas›nç di¤er tarafta s›v›n›n her noktas›na aynen
iletildi¤inden, çok küçük kuvvetlerle çok daha büyük
a¤›rl›klar kald›r›labilmektedir. Su cenderesi.
S›ra Sizde 5
E¤er deniz suyunun yo¤unlu¤u yaklafl›k olarak 1024
kg/m3 al›n›rsa, deniz seviyesinin alt›nda kalan k›sm›n
yaklafl›k buz da¤›n›n (Iceberg) %89,6’unun oldu¤u
bulunur.
S›ra Sizde 6
Ak›flkan karakteristi¤i incelendi¤inde bu durum, Düzensiz ak›fla bir örnektir ve ak›fl h›z› farkl›l›¤›ndan kaynaklanmaktad›r.
S›ra Sizde 7
Kütlenin korunumu yasas›n›n gere¤i ak›flkanlarda süreklilik denklemi geçerli olmaktad›r. E¤er eflitli¤i incelerseniz, suyun akt›¤› hortumun kesitini daralt›ld›¤›nda
yani s›k›flt›r›ld›¤›nda toplam kütle de¤erinin korunmas›
için akan suyun h›z›n›n artt›¤› anlafl›lacakt›r.
162
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek
Kaynaklar
S›ra Sizde 8
Bernoulli denklemi, ifl-enerji teoremi göz önüne al›narak türetilebilir. Su flebekesinin da¤›taca¤› su miktar›n›n en uç noktaya ulaflmas› ve gerekli yüksekli¤e ç›kabilmesi, toplam enerji miktar›n›n sabit kalmas›, korunmas›yla ve suyun ilk yüksekli¤ine ç›kmas›yla mümkün olacakt›r.
S›ra Sizde 9
Viskozitesi çok yüksek yani s›v›daki iç sürtünme oldukça büyük oldu¤undan yavafl akacakt›r.
S›ra Sizde 10
Su di¤er maddelerle etkileflirken, adhezyon kuvvetlerinin daha etkili olup su-cam örne¤inde oldu¤u gibi suyun cam› ›slatt›¤› gözlemlenirken, c›va-c›va etkileflmesi yani c›va atomlar› aras›ndaki kohezyon kuvvetleri
çok güçlü etkiliyken c›van›n cam yüzeye bulaflmad›¤›
gözlemlenir.
Buzda¤› (Iceberg) http://en.wikipedia.org/wiki/Iceberg
ve http://tr.wikipedia.org/wiki /Buzda% C4%9F%C4
%B1 adreslerinden 04.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r.
Daniel Bernoulli. http://tr.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli adresinden 04.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r.
Fishbane, P. M., Gasiorowicz, S., Thornton, S. T., Yalç›n,
C. (Ed) (2006). Temel Fizik-2. Ankara: Arkadafl
Yay›nevi.
Frederick J. K., W. Edward G., Malcolm J. S. Çevirenler:
Akyüz, Ö., Gülmez, E., Karao¤lu, B., Nergiz, S., Tepehan, G., Hill, M. (1995). Fizik I. Ankara: Literatür
Yay›nevi.
Halliday, D., Resnick R., Walker, R. J. (2001). Fundamentals of Physics- 6. B. New York: J. Wiley.
Serway, R. A., Beichner, R. J., Jevett, J., Çolako¤lu, K.
(Ed) (2007). Fen ve Mühendislik için Fizik. Ankara: Palme Yay›nc›l›k.
Orhun, Ö. ve di¤erleri. Orhun, Ö. (Ed) (2003). Meslek
Yüksekokullar› ‹çin Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri. ‹stanbul: Bilim Teknik Yay›nevi.
Özdafl, K., Yörüko¤ullar› E. (1990). Uygulamal› Temel
Fizik-1. Eskiflehir: Bilim ve Teknik Yay›nevi.
Özdafl, K. ve di¤erleri (2009), Ed. Mustafa fiENYEL.
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri. Eskiflehir: Anadolu
Üniversitesi Yay›nlar›.
Peres, J., Çeviren: Süray, S. (1954). Ak›flkanlar Mekani¤i I, 2. B. ‹stanbul: ‹TÜ Matbaas›.
Sözlük
163
Sözlük
A
F
A¤›rl›k merkezi: Cisme etki eden bileflke yerçekimi kuvveti-
Ferromanyetik maddeler: Manyetik duygunluk katsay›s›
pozitif ve birden çok büyük olan maddeler.
nin uygulanma noktas›.
A¤›rl›k: Bir cisme uygulanan kütle çekimi kuvveti.
Fisyon: Çekirdek bölünmesi (çekirdek parçalanmas›) olay›.
Ak›m fliddeti: Birim kesitten, birim zamanda geçen yük mik-
Frekans: Birim zamanda oluflan atma say›s›.
tar›.
Füzyon: Çekirdeklerin birleflerek daha a¤›r atom çekirdeklerini meydana getirmesi olay›.
Ak›flkan: S›v›, gaz, plazma gibi maddeleri kapsayan maddenin hallerinin bir alt durumu.
Ampermetre: Bir elektrik devresinde devreye seri ba¤lanarak, devredeki ak›m›n büyüklü¤ünü ölçmeye yarayan
G
Galvanometre: Küçük elektrik ak›mlar›n› ölçmeye yarayan
bir elektriksel alet.
aletler.
H
B
Ba¤›l hareket: Bir gözlem çerçevesine göre her ikisi de hareketli olan cisimlerin birbirlerine göre hareketi.
Ba¤›l h›z: Bir gözlem çerçevesine göre her ikisi de hareketli
olan cisimlerden birinin di¤erine göre h›z›.
Bileflke(net) kuvvet: ‹tme ve çekme uvvetlerin vektörel ola-
Henry: ‹ndüktans›n s› birim sitemindeki birimi.
H›z: Bir cismin birim zamandaki yer de¤ifltirmesi.
‹
‹letken: Maddeyi oluflturan atomun en d›fl yörüngesindeki
elektronlar, kolayl›kla serbest kalabiliyorsa, bu tür mad-
rak toplam›.
delere iletken.
‹ndüksiyon ak›m›: Üreteç olmadan, bir devredeki manyetik
C
ak›y› de¤ifltirerek elde edilen ak›m.
Curie s›cakl›¤›: Ferromanyetik bir malzemenin paramanye-
‹ndüksiyon emk’s›: Üreteç olmadan, bir devredeki manye-
tik bir malzemeye dönüfltü¤ü s›cakl›k de¤eri.
tik ak›y› de¤ifltirerek elde edilen emk’dir.
‹ndüktans: Bir bobindeki ak›m de¤iflimine karfl› koyman›n
D
bir ölçüsü.
Dalgaboyu: Bir dalga tepesi ve bir dalga çukuru aras› toplam
mesafe.
‹vme: Bir cismin h›z›n›n birim zamandaki de¤iflimi.
‹zotop: Proton say›lar› ayn›, nötron say›lar› farkl› olan çekirdekler.
Direnç: Maddelerin serbest elektronlar›n hareketlerine karfl›
gösterdi¤i güçlük.
Diyamanyetik maddeler: Manyetik duygunluk katsay›s› negatif olan maddeler.
J
Jeneratör: Mekanik enerjiyi elektrik enerjisine çeviren bir cihaz.
Düfley at›fl: Düfley olarak afla¤›ya veya yukar›ya do¤ru f›rlat›lan cismin hareketi.
Düzgün de¤iflen do¤rusal hareket: Sabit ivmeli do¤rusal
hareket.
Düzgün do¤rusal hareket: Sabit h›zla yap›lan hareket.
K
Kat› cisim : D›fl kuvvetlerin etkisi alt›nda flekil de¤ifltirmeyen
cisim.
Kütle merkezi: Cismin tüm kütlesinin toplanm›fl gibi düflünüldü¤ü nokta.
E
E¤ik at›fl: Bir cismin yatayla belli bir aç› yaparak f›rlat›lmas›.
Elektrik motoru: Elektrik enerjisini mekanik enerjisine çeviren alet.
Elektrom›knat›s: Elektrik ak›m› kullan›larak demirden elde
edilen m›knat›s.
Eylemsizlik : Bir de¤iflikli¤e karfl› direnç göstermek.
Kütle: Bir cismin içerdi¤i madde miktar›.
M
Madde: Bofllukta yer kaplayan, kütlesi olan her fleye.
Manyetik ak›: Düzgün manyetik alan içine konulan madde yüzeyinden dik olarak geçen manyetik alan çizgi say›s›.
Manyetik dipol momenti: Ak›m tafl›yan bir ilme¤in manyetik dipol momentinin büyüklü¤ü i = IA dir.
164
Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I
Manyetik
geçirgenlik
katsay›s›:
Boflluktaki
de¤eri
Wb/AM olan fiziksel bir sabittir. Madde
içindeki de¤eri boflluktan büyüktür ve i = i0 (1 + iM )
i0
= 4π × 10-7
eflitli¤i ile verilir.
Manyetik moment: Manyetik alan›n döndürme etkisi.
Moment: Kuvvetin döndürme etkisi.
N
Normal kuvvet: Yüzeye dik ve yüzeyden d›flar›ya do¤ru yönelmifl olan kuvvet.
Ö
Ölçme: Bir fiziksel büyüklü¤ün ölçülmesi, o büyüklük cinsinden seçilen bir birimin ölçülecek büyüklük içinde kaç
kez bulundu¤unun say›lmas› ifllemi.
P
Paramanyetik maddeler: Manyetik duygunluk katsay›s› pozitif ve bire yak›n olan maddeler.
Periyot: Ard› ard›na iki atma aras›nda geçen zaman.
S
Serbest düflme: Yüksekçe bir yerden ilk h›zs›z olarak düflmeye b›rak›lan cismin hareketi.
S›¤a: Belli bir potansiyel fark›nda kondansatörün yük biriktirebilmesinin bir ölçüsü.
Skaler: Bir say› ve bir birimle tam olarak ifade edebildi¤imiz
fiziksel büyüklük.
Sürtünme katsay›s›: Sürtünme kuvvetinin normal kuvvete
oran›.
T
Tesla: Manyetik alan›n s› birim sistemindeki birimi.
Transformatör: Bir devredeki voltaj› indirmeye veya yükseltmeye yarayan elektriksel bir alet.
V
Vektör: Bir say› ve bir birimin yan› s›ra bir de yön belirterek
tam olarak ifade edebildi¤imiz fiziksel büyüklük.
Voltmetre: Bir elektrik devresinde devreye paralel ba¤lanarak, devredeki potansiyel fark›n›n büyüklü¤ünü ölçmeye yarayan aletler.
W
Weber: Manyetik ak›n›n s› birim sistemindeki birimi.
Y
Yal›tkan: Metal olmayan kat›lar›n(ametal) ço¤unda elektronlar kolayl›kla serbest kalamazlar. Bu tür maddelere de
yal›tkan.
Yer de¤ifltirme: Bir cismin ilk bulundu¤u konumdan son bulundu¤u konuma uzanan vektör.
Dizin
165
Dizin
B
K
Bas›nç 6, 142, 143, 146-150, 153-155, 157
Kinetik enerji 100, 106-110, 112-114, 117, 129, 131-135, 154
Birim 2-7, 10, 17, 25, 27, 29, 31, 44, 57, 60, 61, 64, 71, 73, 81,
Kuvvet 4, 6, 10, 11, 17, 35, 44, 52-74, 79-89, 91, 92, 94, 101-
83, 88, 90, 102, 106, 114, 115, 117, 125, 144, 146, 152,
105, 107-113, 116, 117, 125-128, 130, 133, 135, 143, 144,
153, 155, 157
146, 149-151, 155-157
Kütle 3-5, 10, 12, 17, 52-63, 67-69, 72-74, 78, 81, 82, 86-89,
C
91-94, 102, 103, 106, 107, 110, 115, 117, 125, 126, 128-
Çarp›flma 124, 125, 128-135
135, 143-146, 150-152, 157
D
M
Dalga Boyu 7
Madde 4, 5, 17, 60, 73, 87, 89, 143-145, 152, 157
Denge 3, 61, 64, 65, 71, 72, 74, 78-83, 86-89, 91, 93, 94, 111,
Malzeme 56, 79
112, 143, 146, 149-151
Direnç 56, 154
Manyetik alan 10, 17, 77, 122
Manyetik kuvvet 55, 56
M›knat›s 54, 122
E
Moment 10, 17, 83-89, 91, 124-130, 132, 133, 151
Elektrik Ak›m 4, 5, 17
Elektrik Alan 10, 17
Enerji 6, 7, 55, 64, 100-102, 106-117, 129-135, 143, 153, 154,
155, 157
Momentum 19, 95, 124-128, 134, 135, 151
O-Ö
Ölçme 2-4, 17
F
R
Füzyon 55
Radyoaktif bozunma 55
G
S
Genleflme 144
S›cakl›k 5, 10, 17, 143-146, 155
Gerilme 55, 59, 66, 68-71, 74, 82, 88, 89
S›¤a 6, 7
Güç 6, 10, 17, 100, 101, 114, 115, 117
SI birim sistemi 2, 4-7, 17, 27, 29, 44, 57, 71, 102, 117
H
Skaler 2, 10-12, 17, 18, 25, 27, 44, 60, 73, 102, 106, 107
Hava 54, 145, 146, 148, 154-156
T
Hooke Yasas› 71, 74
Tesla 6
I-‹
Y
Is› 143, 154
Yer de¤ifltirme 24, 44, 53, 87, 94, 101, 117
Is› enerjisi 143, 154
Ifl›k h›z› 53
‹fl 3, 17, 101-111, 114, 115, 117
‹tme 54-57, 65, 73, 83, 84, 125, 127-129, 135
‹vme 25, 29-31, 35, 40, 44, 53, 57-63, 66-69, 74, 80, 83, 157