Giriş Tanımlar

Maşallah, Ne Kadar Çok Norm Varmış
Zafer ERCAN

Giriş
Bir an için okuyucunun normlu uzay kavramını, en azından tanım seviyesinde bildiğini varsayarak başlayalım. Normlu uzaylar çalışılmaya başlandığında, verilen temel örnekler RN
vektör uzayının, aşağıda standard notasyonları ile gösterilen vetör alt uzaylarında ya da
vektör altuzayına izomorfik olan
R, Rn , l∞ , lp (p > 1), c, c0 , c00 , C([0, 1])
uzaylarda tanımlanan "belirli" normlardır. İlgili okuyucu bu normların neler olduğunu [] de
bulabilir. Bu normlar dışında, hele hele denk olmayan norm tanımlamak oldukça zor olabilir.
Örneğin:
Alıştırma .. RN vektör uzayında bir norm tanımlayınız.
Tahmin ediyorum ki, çoğu okuyucu yakarıdaki alıştırmayı çözmede zorlanacaktır. Bir örnek
bulsa bile " ona denk denk olmayan bir norm daha yazın" sorusu bizi bir yöntem bulmaya
zorlayacaktır.
Sonsuz boyutlu vektör uzaylarda aslında denk olmayan olmayan normlar vardır ki, say say
bitmez! ve çok masumludurlar-onları bela yapan biziz. Bu yazının konusu gerçekten saymakla bitmeyen, yani sonsuz çoklukta normların olduğunu kanıtlamak. Daha doğrusu bir
vektör uzayda tanımlı bütün normlar ya denktir ya da birbirlerine denk olmayan sonsuz
tane norm vardır.

Tanımlar
Bir A kümesinin kardinalitesini |A| ile göstereceğiz. Bir X kümesinden Y kümesine tanımlı
fonksiyonların kümesi Y X ile gösterilir. A ve B kümeleri çin
|AB | = |A||B| ve |A × B| = |A||B|
yazarız. A kümesinin bütün altkümelerinin kümesini P(A) ya da 2X ile göstermek üzere (bu
gösterimin bir nedeni var. Nedir?) |P(A)| = 2|A| yazarız.
Bu yazıda geçen vektör uzaylar, gerçel sayılar üzerinde tanımlı vektör uzaylardır. E bir
vektör uzay olmak üzere, H ⊂ E alt kümesi
P
αi ∈ R, xi ∈ H, ni=1 αi xi = 0 =⇒ α1 = ... = αn = 0
(elbet de i 6= j için xi 6= xj varsayıyoruz!) özelliğinde ise A’ya doğrusal bağımsız ve ilaveten
P
E = { ni=1 αi xi : n ∈ N, αi ∈ R, xi ∈ H}

Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gölköy Kampüsü , Bolu

ise H’ye E vektör uzayının Hamel tabanı denir. A ve B, E vektör uzayının iki Hamel
tabanı ise
|A| = |B|
dir. Bu durumda |A| kardinal sayısına E’nin boyutu denir ve dim(E) ile gösterilir. dim(E)
sonlu ise E’ye sonlu boyutlu, diğer durumda sonsuz boyutlu denir.
Bir E vektör uzayından R’ya tanımlı p fonkiyonu, her x,y ∈ X ve α ∈ R için
(i) p(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
(ii) p(αx) = |α|p(x),
(iii) p(x + y) 6 p(x) + p(y),
özelliklerini sağıyor ise p’ye norm denir. E üzerinde tanımlı normaların kümesini N orm(E)
ile göstereceğiz. N orm(E) noktasal toplama ve pozitif gerçel sayılarla çarpım altında kapalıdır. Yani, p ve q iki norm ise, t(x) = p(x) + q(x) ve α > 0 için u(x) = αp(x) olarak
tanımlanan t ve u fonksiyonları normdur. Bu bize en az bir normu olan sıfırdan farklı vektör
uzayda tanımlı |R| kadar normun olduğunu söyler. Ama bu "ilginç" değildir.
E bir vektör uzayı olmak üzere p, q ∈ N orm(E) verilsin. Bu normlara bağlı
mp(x) 6 q(x) 6 M p(x)
özelliğini sağlayan 0 < m, M ∈ R var ise p ve q normlarına denk normlar denir.
Teorem .. E vektör uzayında p ve q normları için
p ≡ q ⇐⇒ p ve q
normları denktir
olarak tanımlanan ≡, N orm(E) üzerinde bir denklik ilişkisidir. p ∈ norm(E) normunun
denklik sınıfı [p] ile gösterilir.
(X, d) bir metrik uzay olmak üzere, her x ∈ X ve r > 0 için
B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}
kümesine x merkezli ve r yarıçaplı açık küre denir.
τd = {∪i∈I Bi : Bi
bir açık küre} ∪ {∅}
kümesine bu metrik tarafından üretilen topoloji denir. p ve q, X kümesinde farklı metrikler
olmasına karşın τp = τq olabilir.
p, E vektör uzayında bir norm olmak üzere,
dp (x, y) = p(x, y)

Bir vektör uzayın Hamel tabanı ve boyutu için detaylı bilgi Matematik Dünyası’nda yayınlanmak üzere
sunulan Hamel Tabanı ve Boyut Teoremi başlıklı yazıda bulunabilir.

eşitliği ile tanımlanan fonksiyonun bir metrik olduğu bariz. Bu metrik tarafından üretilen
topolojiye p normu tarafından üretilen topoloji diyeceğiz.
Okuyucu aşağıdaki teoremi kanıtlayabilmeli.
Teorem .. E vektör uzayında tanımlı p ve q normları verilsin. Aşağıdakiler denktir.
(i) p ve q normları denktir.
(ii) p ve q normları aynı topolojiyi üretirler.
(iii) p(xn ) → 0 olması için gerekli ve yeterli koşul q(xn ) → 0 olmasıdır.
E = R vektör uzayında, her norm p(x) = α|x| (α > 0)) formunda olmasından dolayı (gösteriniz!), bütün normal denktir. Dolayısıyla R vektör uzayında bütün normlar aynı topolojiyi
üretir. Biraz uğraşla okuyucu aşağıdaki teoremi kanıtlayabilir.
Teorem .. E bir vektör uzayı ve dim(E) < ∞ ise, E’de tanımlı bütün normlar birbirlerine
denktir ve dolayısıyla aynı topolojiyi üretirler.
Doğal soru şu: Yukarıdak teoremdeki ”dim(E) < ∞" koşulu kaldırılabilir mi? Yanıt aşağıdaki
teoremde.

Nihai Amaç
Bu yazının temel amacı, Miyeon Kwon’a [] ait aşağıdaki teoremdir.
Teorem .. E sonsuz boyutlu vektör uzayı olsun.
2dim(E) = |{[p] : p ∈ N orm(E)}|
dir.
Okuyucunun kardinal sayılarla ilgili temel işlemlerini bildiğini varsayıyoruz. Örneğin A,
B ve C kümeleri için,
(i) A sonsuz ise |A| = |A||N| := |A × N|.
(ii) A sonsuz ise |A| = |{B ⊂ A : B
sonlu}|.
(iii) (|A||B| )|C| = |A||B||C| .
Kardinallerle ilgili benzer işlemler Matematik Dünyasının ilgili sayılarında da bulunabilir.
E bir vektör uzayı, A ⊂ E ve A0 = {a ∈ A : a 6= 0} sonlu ise,
P
P
a∈A a :=
a∈A0 a
olarak yazarız.
Teorem .’nin Kanıtı H, E’nin Hamel tabanı olsun. |H| = |H × N| olduğundan
{xin : i ∈ H, n ∈ N}

kümesini de E’nin bir Hamel tabanı yapacak şekilde ayarlayabiliriz. Her ∅ 6= A ⊂ H için
pA : E → R fonksiyonunu
P
P
P
pA ( (i,n) αin xin ) = (i,n)∈A×N n1 |αin | + (i,n)∈(HrA)×N |αin |
(αin ∈ R) ile tanımlıyalım (gerçekten böyle bir fonksiyonun varlığına okuyucu inanmamalı,
göstermeli!) Aşağıdakileri gözlemleyelim:
(i) Her A ⊂ H için PA ∈ N orm(E): Bariz.
(ii) A, B ⊂ H için A 6= B ise PA ve PB normları denk değillerdir, dolayısıyla [PA ] 6= [PB ]:
i ∈ A r B verilsin.
limn→∞ PA (xin ) = 0 ve limn→∞ PB (xin ) = 1
olmasından istenilen elde edilir.
(iii) 2dim(E) 6 |{[p] : p ∈ N orm(E)}|:
2dim(E) = 2|H| = |P(H)|
olmasından dolayı istenilen bariz.
(iv) S ⊂ E bir Hamel taban ise
P
TS = { ni=1 ai si : n ∈ N, ai ∈ Q, si ∈ S}
olmak üzere
|TS | = |S|
dir. Gerçekten,
|TS | = |{A ⊂ S × Q : A sonlu}| = |S × Q| = |S||Q| = |S|.
(v) |N orm(E)| 6 |RTH |:
π : N orm(E) → RTH , π(p) = p|TH
olarak tanımlansın. Yani, π(p), p’nin TH ’a kısıtlanışı. p ∈ N orm(E) için E vektör
uzayını dp (x, y) = ||x − y|| ile tanımlanan metriğe göre E’yi metrik uzay olarak ele
alacak olursak, f : E → R’ye f (x) = ||x|| ile tanımlanan fonksiyon süreklidir. Ayrıca
Q’nın R’de yoğun olduğu, yani R’nin her elemanı, Q’da bir dizinin limiti olduğu dikkate
alınarak π’nin birebir olduğu gösterilmiş olur. Buradan istenilen elde edilir.
α = |{[p] : p ∈ N orm(E)}|
olmak üzere, yukarıdaki işlemler dikkate alınarak
2|H| 6 α 6 |N orm(E)| 6 |RTH | = |R||TH | = |2N ||TH | = |2N||TH | = 2|TH | = 2|H| = 2dim(E) ,
eşitsizliğinden istenilen elde edilir. Kanıt tamamlanmıştır.
Kaynaklar
[] M. Kwon, Dimension, linear functionals, and norms in a vector space, Amer. Math.
Monthly, (), no., -.
[] T. Terzioğlu, Fonksiyonel Analizin Yöntemleri,Matematik Vakfı, .
