TC SELÇUK ÜNİVERİSTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CAUCHY

T.C.
SELÇUK ÜNİVERİSTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
CAUCHY-TOEPLİTZ ve CAUCHY-HANKEL
MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR
Salih ÇELİK
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Konya, 2007
T.C.
SELCUK ~ ~ ~ V E R & T E S I
FEN BEMLERI E N S ~ T U S U
~
S
E L~SANS
K
TEZi
MATEMATIK ANABILIM DALI
Bu lez 24.05.2007 tarihinde w d a k i jiiri &dm
#
/-
oy birligi ile kabul
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
CAUCHY-TOEPLITZ VE CAUCHY-HANKEL
MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR
Salih ÇELİK
Selçuk Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Ali A. SİNAN
2007, 96 sayfa
Jüri: Prof. Dr. Ali A. SİNAN
: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
: Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI
Cauchy-Toeplitz matrislerinin singüler değerleriyle G.Szegö ilgilenmiş ve
bununla ilgili bir problem ortaya koymuştur. Daha sonra bu matrisler Moler’ in
dikkatini çekmiş ve Moler deneysel olarak bu matrislerin singüler değerlerinin π ’ ye
yaklaştığını tespit etmiş, ama bu analitik olarak S. V. Parter tarafından çözülmüştür.
E. E. Trytyshnikov g = 1 / 2 ve h = 1 özel durum için bir alt sınır bulmuştur.
D.Bozkurt bu matrisin genel halinin Euclide normu için bir alt ve üst sınır bulmuştur.
R.
Türkmen genel Cauchy-Toeplitz matrisleri için bir alt ve üst sınır
bulmuştur. Yine aynı şartlar altında Cauchy-Hankel matrisleri için bir üst sınır tespit
etmiştir.Ayrıca , Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin Hadamard
çarpımlarının Euclide normu için bir alt ve üst sınır bulmuştur.
S. Solak genel Cauchy-Toeplitz matrislerinin spektral normu için bir alt ve
üst sınır bulmuştur. Ayrıca , Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin
Hadamard çarpımlarının spektral ve A p normları için birer üst sınır bulmuştur.
ANAHTAR KELİMELER: Matris normu, Cauchy-Toeplitz matrisleri, CauchyHankel
matrisleri, spektral norm, Euclide norm, A p norm, Hadamard çarpım,
Singüler değerler.
ABSTRACT
The Post Graduate Thesis
ON THE BOUNDS FOR THE NORMS OF
CAUCHY-TOEPLITZ AND CAUCHY-HANKEL MATRICES
Salih ÇELİK
Selçuk Üniversty
Graduate School of Natural and Applied Science
Department of Mathematics
Danışman: Prof. Dr. Ali A. SİNAN
2007, 96 page
Jüri: Prof. Dr. Ali A. SİNAN
: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
: Assistant Prof. Dr. Ayşe NALLI
G. Szegö interested in the singular values of Cauchy-Toeplitz matrix and
forward a problem. Later, these matrices attaracted the attention of C. Moler, who
had experimentaly discovered that most of their singular values are clustered near π
Recently S. V. Parter gave an explanation of this phenomenon. E.E. Trytshnikov
obtained a lower bound for the spectral norm of Cauchy-Toeplitz matrix such that
g = 1 / 2 and h = 1 . D. Bozkurt , found a lower and upper bound for the general
condition of Euclidean norm of Cauchy-Toeplitz matrices.
R. Türkmen, established a lower and an upper bound for the spectral norms of
the general Cauchy-Toeplitz matrix.Again in same position that found to upper
bound for the Cauchy-Hankel matrices. İn adition that found a lower and upper
bound for the Cauchy–Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices Hadamard product .
S. Solak found a lower and upper bound for the spectral norm of general
Cauchy- Toeplitz matrices. İn adition that found to upper bound for the spectral and
A p norm of Cauchy–Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices Hadamard product .
KEY WORDS: Matrix norm, Cauchy-Toeplitz matrices, Cauchy-Hankel matrices,
spectral norm, Euclidean norm, A p norm, Hadamard product, Singular values.
ÖNSÖZ
Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
öğretim üyesi Prof. Dr. Ali SİNAN yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen
Bilimler Enstitüsü’ne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur.
Bu çalışma Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin normlarının alt
ve üst sınırları üzerine hazırlanmıştır.Çalışmanın birinci bölümünde matris ve iç
çarpım hakkında genel tanım ve teoremler verildi.İkinci bölümde vektör normları,
matris normları ve normlar arasındaki bağıntılar ile ilgili tanım ve teoremler
verildi.Üçüncü bölümde ise Hadamard çarpım ve özellikleri ile ilgili tanım ve
teoremler verildi.
Dördüncü bölümde Gamma, Psi, Riemann Zeta fonksiyonu verildi. Ayrıca
Cauchy-Toeplitz ve Cauchy Hankel formları, singüler değerler ile ilgili tanım ve
teoremler verildi.
Beşinci ve altıncı bölümde ise çalışmanın esasını teşkil eden Cauchy-Toeplitz
ve Cauchy-Hankel Matrislerinin normları ve Hadamard çarpımları için sınırlar
verilmiştir.
Bu tez çalışmamda anlattığı ders ve verdiği tavsiyeler ile yol gösteren, boş
zamanlarında da bana kapısını açan çok değerli hocam sayın Prof. Dr. Ali SİNAN’ a
teşekkür ederim.
Salih ÇELİK
Konya, 2007
İÇİNDEKİLER
1. GENEL BİLGİLER ……………………………………………………………...1
1.1. Matris…………………………………………………………………………..1
1.2. İç Çarpım ……………………………………………………………………...5
2. NORMLAR ………………………………………………………………………7
2.1. Vektör Normları..……………………………………………………………...7
2.2. Matris Normları..……………………………………………………………..16
2.3. Matris Normu Arasındaki Bağıntılar ………………………………………..24
3. HADAMARD ÇARPIM VE ÖZELLİKLERİ ………………………………..27
4. CAUCHY-TOEPLİTZ ve CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİ …………...34
4.1. Gamma, Psi ve Riemann Zeta Fonksiyonu …………………………………..34
4.2. Cauchy, Hankel ve Toeplitz Formları ………………………………………..36
4.3. Toeplitz Matrislerinin Öz Değerlerinin ve Singüler Değerlerinin Dağılımı …40
5. CAUCHY-TOEPLİTZ ve CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİNİN
NORMLARI İÇİN SINIRLAR…………………………………………………...43
5.1. Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Normları İçin Sınırlar ……………………….43
5.2. Cauchy-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar ………………………..62
6. MATRİSLERİN HADAMARD ÇARPIMLARININ
NORMLARI İÇİN SINIRLAR ………………………………………………..72
6.1. Hadamard Çarpım İle Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel
Matrislerinin
Normları İçin Sınırlar……………………………………..72
6.2. Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Hadamard Çarpımlarının
Normları İçin Sınırlar ………………………………………………………..78
7. SONUÇ ve ÖNERİLER ………………………………………………………..89
KAYNAKLAR ………………………………………………………………….90
1
1.GENEL BİLGİLER
n
Bu
çalışmada
⎡
⎤
1
Tn = ⎢
⎥
⎣ g + (i − j )h ⎦ i , j =1
Cauchy-Toeplitz
ve
n
⎡
⎤
1
Hn = ⎢
Cauchy-Hankel matrislerinin ve bu matrislerin değişik
⎥
(
)
g
i
j
h
+
+
⎣
⎦ i , j =1
formları için Euclidean, Spektral,
p
normları için alt ve üst sınırlar üzerinde duruldu
ve Hadamard çarpım yoluyla elde edilen sınırlarını verdik.Daha sonra bu matrislerin
Hadamard çarpımlarının normları için elde edilen sınırları verdik.
Bu çalışmamızda kullanacağımız temel bilgileri verelim.
1.1. Matris
Günümüzde elemanter matris cebiri, teorik matematik, istatistik için olduğu
kadar sosyoloji, kimya, fizik, elektrik ve bilgisayar mühendisliği gibi çeşitli teknik
alanlar için de gerekli matematiksel bilginin ayrılmaz parçası haline gelmiştir. Matris
kavramı, 19. yüzyıl ortalarından beri bilinmektedir. İngiliz matematikçi Sylvester,
1850 yılında “matris” kavramını kullanmıştır. 1853 yılında İngiliz bilgini Hamilton
“Linear and Vector Functions” isimli çalışmasında matrislerin bazı özelliklerinden
faydalanmış fakat matris ismini kullanmamıştır. Yine bir İngiliz matematikçisi
Cayley, 1858 yılında çok meşhur olan “Memorie On The Theory of Matrices” isimli
çalışmasında Matris Cebirinin modern esaslarını kurmuştur. Daha sonraları Fransız
Laguerre ve Alman Frobenius matrislerle ilgili yeni kavram ve teoremler üzerinde
durmuşlardır.
Tanım 1.1.1. m, n ∈ Z + ve 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n olmak üzere (i, j ) ikililerin cümlesi
M olsun. F herhangi bir cisim,
f :M → F
(i, j ) → f (i, j ) = aij
olmak üzere aij ∈ F değerleri ile
2
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢ .
A=⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎣⎢a m1
a12
a 22
.
.
.
am2
. . . a1n ⎤
. . . a 2 n ⎥⎥
. . . . ⎥
⎥
. . . . ⎥
. . . . ⎥
⎥
. . . a mn ⎦⎥ m×n
(1.1)
şeklinde düzenlenen tabloya matris denir.
Bir matrisi oluşturan değerlere matrisin elemanları denir. Genelde m × n
[ ]
tipindeki bir matris (1.1) ile verilir. ve bu gösterim A = aij
m× n
[ ]
veya A = aij ile de
ifade edilir. Bu gösterimde, aij matrisinin genel elemanlarının gösterimi olup i satırı
ve j ‘de sütunu belirtir. i indisi 1’den m ’ye kadar herhangi bir pozitif tamsayı
değerini alırken, j indisi ise 1’den n ’ye kadar herhangi bir pozitif tamsayı değerini
alabilir. Böylece, i=2 ve j=3 ise aij ; a 23 haline gelir, 2. satır ve 3. sütundaki elemanı
gösterir.
Eğer bir matrisin satır ve sütunları eşit ise, yani m = n ise matrise kare matris
[ ]
denir ve A = aij
n×n
biçiminde gösterilir.
A matrisinin kare matris olması durumunda, a11 , a 22 ,..., a nn elemanları esas
köşegen üzerinde bulunurlar.
Bir matrisin elemanları fonksiyonlar, operatörler ve hatta bir matris de
olabilir. Yani
⎡ 1 (t 2 + 1)dt t 2
⎢⎣ ∫0
⎡ sin θ
3t ⎤ , ⎢
⎥⎦ ⎣− cos θ
cos θ ⎤
sin θ ⎥⎦
ve
⎡
⎢x 2
⎢ x
⎢e
⎢
⎢5
⎣⎢
⎤
x3 ⎥
⎥
d
ln x e 2 x ⎥
dx
⎥
1 ⎥
x+2
x ⎦⎥
x
matrislere birer örnektir. Sonuç olarak matrislerin birer sayısal değer olmadıklarına
dikkat edilmelidir.
3
Tanım 1.1.2.
⎡λ1
⎢0
⎢
⎢.
⎢
A=⎢ .
⎢.
⎢
⎢
⎢0
⎣
0
λ2
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
0⎤
0 ⎥⎥
. ⎥
⎥
. ⎥
. ⎥
⎥
⎥
λ n ⎥⎦
tipindeki n × n matrisine köşegen matris denir ve A = köş (λ1 , λ 2 ,..., λ n ) ile gösterilir.
Tanım 1.1.3. Esas köşegeni üzerinde elemanları 1 ve diğer bütün elemanları 0 olan
köşegen matrise birim matris denir ve I n veya I ile gösterilir.
O halde birim matris
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
In = ⎢.
⎢.
⎢
⎢.
⎢0
⎣
0 0
.
.
.
1 0
0 1
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0
.
.
.
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
.⎥
.⎥
⎥
.⎥
1⎥⎦
şeklinde olur.
Tanım 1.1.4. Bir kare matrisin esas köşegeninin üstündeki (altındaki) elemanlarının
hepsi 0 ise, böyle matrislere alt (üst) üçgen matris denir.
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢⎣ a31
0
a 22
a32
0⎤
0 ⎥⎥ ,
a33 ⎥⎦
⎡a11
⎢0
⎢
⎢⎣ 0
a12
a 22
0
a13 ⎤
a 23 ⎥⎥
a33 ⎥⎦
matrisleri bu matrislere örnektirler.
Tanım 1.1.5. Bir köşegen matrisin esas köşegeni üzerindeki elemanların hepsi
birbirine eşit, diğer elemanları sıfır ise , yani
i = j için aij = λ , i ≠ j için aij = 0
ise böyle matrislere skaler matris denir ve
4
⎡λ 0 0
⎢0 λ 0
⎢
⎢0 0 λ
[λ ] = ⎢⎢ .
⎢.
⎢
⎢.
⎢0 0 0
⎣
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
.⎥
.⎥
⎥
.⎥
λ ⎥⎦
biçiminde gösterilir.
[ ]
Tanım 1.1.6. A = aij , n × n tipinde bir matris olsun . O takdirde
AB = BA = I
olacak şekilde n × n tipinde B matrisi var ise , B ’ye A matrisinin tersi denir ve
B = A −1 şeklinde gösterilir.
Tanım 1.1.7.
[ ]
A = aij
, m × n tipinde bir matris olsun. A matrisinin satır ve
sütunlarının yer değiştirmesiyle elde edilen ve AT ile gösterilen matrise , A
matrisinin transpozesi denir. Yani, i = 1,2,..., m ve j = 1,2,..., n olmak üzere
AT = (a ji )
dir.
Tanım 1.1.8.
n × n tipinde bir A matrise ;
i) AT = A ise simetrik matris
ii) AT = − A ise ters-simetrik matris
iii) AT A = AAT = I n ise ortogonal matris denir.
Örnek 1.1.1.
⎡1 2 3⎤
⎢ 2 1 4⎥
⎥
⎢
⎢⎣3 4 1 ⎥⎦
simetrik matris
a
b⎤
⎡ 0
⎢− a 0 − c ⎥
⎥
⎢
⎢⎣ − b − c 0 ⎥⎦
ters simetrik matris ve
5
2⎤
⎡1 2
1⎢
2 1 − 2⎥⎥
⎢
3
⎢⎣2 − 2 1 ⎥⎦
ortogonal matrislere örnek olurlar.
Uyarı 1.1.1.
1. Bir simetrik matriste, elemanlar matrisin esas köşegenine göre simetrik
dizilmişlerdir.
2. Bir ters-simetrik matriste, esas köşegen elemanları sıfırdır.
3. A bir ortogonal matris ise, AT = A −1 ’dir.
Tanım 1.1.9. Bir A kare matrisinde
determinantında aij ’
aij
elemanları yerine bu matrisin
lere tekabül eden Aij kofaktörleri (işaretli minörleri)
konulduğunda elde edilen matrisin transpozesine, A matrisinin Adjoint’i denir ve A∗
ile gösterilir.
1.2.İç Çarpım
Tanım 1.2.1. V, F cismi üzerinde vektör uzayı olsun. Buna göre
I :V ×V → F
dönüşümü ,
I1) ∀x ∈ V için ( x, x) ≥ 0, ( x, x) = 0 ⇔ x = 0
I2) ∀a ∈ F , ∀x, y ∈ V için (ax, y ) = a ( x, y )
I3) ∀a ∈ F , ∀x, y ∈ V için ( x, y ) = ( y, x), ( x, ay ) = a( x, y )
I4) ∀x, y, z ∈ V için ( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z )
şartlarını sağlıyorsa buna bir iç çarpım denir.
F cismi kompleks sayılar cismi ise ( x, ay ) = a ( x, y ) dır.
Tanım 1.2.2. Bir vektör uzayı üzerinde iç çarpım tanımlanmışsa bu uzaya iç çarpım
uzayı denir.
Ayrıca herhangi bir υ vektörü için uzunluk (veya norm) υ olarak gösterilir
ve
6
υ = (υ,υ)1/2 = (υ12 +υ22+…+υn2)1/2
dır.
Eğer x,y∈ℜn ise, o takdirde xi,yi∈ℜ (1≤ i ≤n ) olmak üzere
x= (x1,x2,…,xn) ve y= ( y1,y2,…,yn ) olarak alabiliriz. Bu durumda x ve y vektörlerinin
iç çarpımı
n
(x,y)= x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn = ∑ xi y i
i =1
şeklinde tanımlanır.
7
2. NORMLAR
ℜ üzerinde tanımlanan mutlak değer fonksiyonu ile; sayıların büyüklükleri,
dizilerin yakınsaklığı, fonksiyonların sürekliliği, limitleri ve verilen bir reel sayı için
bu sayıya en yakın asal ve tamsayıyı bulma gibi yaklaşım problemleri çözülebilir.
Aynı şeyler bir vektör uzayı üzerinde tanımlanan norm için de geçerlidir.V reel
vektör uzayı olmak üzere bu uzayda tanımlanan bir norm ile vektör normlarını
karşılaştırabiliriz. Vektör dizilerinin yakınsaklığı irdelenebilir, dönüşümlerin
sürekliliği ve limitleri çalışılabilir, verilen bir vektör için V vektör uzayının bir alt
uzayı veya bir alt cümlesindeki en yakın elemanını bulmak gibi yaklaşım problemleri
düşünülebilir. Bu problemler genellikle analiz, Lie teori, nümerik analiz, diferansiyel
denklemler, Markov zincirleri, ekonometri, biyoloji ve sosyolojide popülasyon
modellemede, fizik ve kimyada denge durumlarında ortaya çıkar. Ayrıca, normlar;
singüler değer ayrışımında (SVD) Ax=b probleminin analizinde önemli rol oynarlar.
Bu bölümde öncelikle vektör normları üzerinde, daha sonra da matris normları
üzerinde duracağız.
Norm işlemi
,
a
sembollerinden birisi ile gösterilecektir. a ise normun
çeşidini belirten sabittir.
2.1. Vektör Normları
Tanım2.1.1. F reel yada kompleks sayılar cismi ve V, F cismi üzerinde tanımlanmış
vektör uzayı olmak üzere;
. : V→ℜ+∪{0}
v→ v
şeklinde ifade edilen ve
i) Her v ∈ V için ,
i a) v ≠ 0 ise , v > 0 dır,
i b) v=0 olması için gerek ve şart v = 0 olmasıdır,
8
ii) α ∈ F ve v ∈ V için , αv = α v dir,
iii) u, v ∈ V için ,
u + v ≤ u + v dir,
aksiyomlarını sağlayan . dönüşümüne, vektör normu denir.
Yani vektör normu, her x vektörüne karşılık gelen, x şeklinde gösterilen
negatif olmayan bir sayıdır.
Diğer bir ifade ile x vektörünün pozitif bir sayıya dönüştürülmesi işlemine
norm denir.
Tanım 2.1.2. Üzerinde norm tanımlanmış bir vektör uzayına normlu uzay denir.
Teorem 2.1.1. V, F cismi üzerinde tanımlanmış bir normlu uzay ve x,y∈V olmak
üzere
x − y ≤ x− y
dır.
İspat: ( N3) aksiyomunu göz önüne alırsak
x = x− y+ y ≤ x− y + y
ifadesinden
x − y ≤ x− y
(2.1)
eşitsizliğini elde ederiz. Benzer şekilde
y = y−x+x ≤ y−x + x
veya
y − x ≤ y−x
eşitsizliğini yazarız. Halbuki
x − y = − 1( y − x) = − 1 y − x = y − x
olduğundan
y − x ≤ x− y
yazabiliriz. Sonuçta (2.1) ve (2.2) eşitsizliklerinden
x − y ≤ x− y
(2,2)
9
yazılabilir ki ispat tamamlanır.
Teorem 2.1.2. [46] V bir iç çarpım uzayı ve x∈V için
ƒ:x→ x = ( x, x)1 / 2
dönüşümü V üzerinde bir normdur.
İspat:
N1) İç çarpımın birinci aksiyomundan, ∀x∈V için
(x,x)≥0 ve
x = ( x, x )1 / 2
olduğundan x ≥ 0 olur. x = 0 , (x,x)=0 olmasını gerektirir. O halde (x,x)=0 ise
x=0 bulunur. Diğer taraftan x=0 ise (x,x) ve dolayısıyla
x = 0 dır. Böylece
tanımlanan dönüşüm, vektör normunun pozitiflik özelliğini sağlar.
N2) ∀a∈F , ∀x∈V için
ax→ ax = (ax, ax)1 / 2
= [aa ( x, x)]
1/ 2
[
2
= a ( x, x )
]
1/ 2
= a ( x, x ) 1 / 2
=a x
Olur ki homojenlik özelliği de sağlanır.
N3) ∀x,y∈V için
x+y→ x + y = ( x + y, x + y )1 / 2
x+ y
2
= ( x + y, x + y )
=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)
= x
2
+ 2Re(x,y) + y
2
≤ x +2 x y + y
2
2
10
≤(x + y
)
2
Olur ki , buradan üçgen eşitsizliği de sağlanmış olur.
Sonuç olarak;
ƒ:x→ x = ( x, x)1 / 2
Dönüşümü vektör normu özelliklerini sağladığı için V üzerinde bir normdur.
Teorem 2.1.3. (Paralelkenar Kuralı) V bir iç çarpım uzayı olmak üzere u,v∈V için
2
u+v + u−v
2
2
2
= 2( u + v )
dir.
İspat:
2
u+v + u−v
2
= (u + v, u + v) + (u − v, u − v)
=(u,u)+(u,v)+(v,u)+(v,v)+ (u,u)-(u,v)-(v,u)+(v,v)
=2(u,u)+2(v,v)
2
2
= 2( u + v )
olur ve ispat tamamlanır.
Teorem 2.1.4. x ve y herhangi iki vektör olsun. Bu takdirde
( x, y ) ≤ x
2
y
2
(Schwarz Eşitsizliği) eşitsizliği geçerlidir.
İspat. x ve y vektörleri verilsin. İç çarpım tanımını kullanarak
0 ≤ x + αy
2
2
= ( x, x) + ( x, αy ) + (αy, x) + (αy, αy )
2
= x 2 + α ( x, y ) + α ( x, y ) + αα y
2
2
Yazarız. (x,y)=0 ise Schwarz eşitsizliği sağlanmış olur. (x,y)≠0 ise
(2.3)
11
α =−
x
2
2
( x, y )
seçersek , (2.3) ifadesi
4
x
y
2
( x, y )
2
2
2
≥ x
2
2
olur. Buradan
x
4
y
2
x
2
2
2
≥ ( x, y ) 2
2
olup
x
2
y
2
2
2
≥ ( x, y )
2
olur. Her iki tarafın karekökünü alırsak,
x
y
2
2
≥ ( x, y )
olur ki, bu da istenendir.
Teorem 2.1.5. [46] x ve y herhangi iki vektör olsun.
x+ y
2
≤ x2+ y
2
(Üçgen eşitsizliği) eşitsizliği geçerlidir.
İspat:
x+ y
2
2
2
= x 2 + ( x, y ) + ( y , x ) + y
2
= x 2 + 2 Re( x, y ) + y
2
≤ x 2 +2 x
2
y2+ y
≤ ( x 2 + y 2 )2
olur. Her iki tarafın karekökünü alırsak,
2
2
2
2
2
2
12
x+ y
2
≤ x2+ y
2
elde edilir ki, ispat tamamlanır.
Buraya kadar genel anlamda vektör normu tanımı ve özellikleri verildi. Şimdi
de vektör normlarının çeşitlerinden bahsedelim.
a)Toplam normu: x bir vektör olmak üzere
n
x 1 = x1 + x 2 + ... + x n = ∑ xi
i =1
şeklinde tanımlanır.
b)Euclide normu(Frobenius normu): x bir vektör olmak üzere
n
x 2 = ( x1 + x2 + ... + xn )1/ 2 = (∑ xi )1/ 2
2
2
2
2
i =1
olarak tanımlanır.
c) Maksimum normu: x herhangi bir vektör olmak üzere
x
∞
= max xi
i
ile tanımlanır.
(a) ve (b) de verilen normlar genel olarak 1<p<∞ olmak üzere
x
p
= ( x1
p
+ x2
n
p
p
+ ... + x n )1 / p
= (∑ xi )1 / p
p
(2.4)
i =1
Hölder normu (
p
normu) olarak adlandırılır.
Tanım 2.1.3. Eşitlik (2.4) ile verilen Hölder (
normlarının klasik bir sonucu olarak
p
) normuna p-normu da denir. p-
1 1
+ = 1 olmak üzere
p q
( x, y ) ≤ x
p
y
p
13
ile tanımlanan eşitsizliğe Hölder Eşitsizliği denir.
x herhangi bir vektör olmak üzere normlar arasında;
a) x
b) x
c) x
2
∞
∞
≤ x1≤ n x
≤ x
2
2
≤ n x
≤ x1≤nx
∞
bağıntıları mevcuttur.[46]
∞
Teorem 2.1.6. Bir vektör uzayında tanımlanan
x
2
= x12 + x 22 + ... + x n2 ,
x 1 = x1 + x 2 + ... + x n ,
x
∞
= max( x1 , x 2 ,..., x n )
normları arasında
1
x ≤ x
n 1
2
≤ n x
∞
bağıntısı geçerlidir.
İspat:
n
x 1 = ∑ xi
toplamında
i =1
x1 , x 2 ,…, x n
‘lerin en büyüğü
x
∞
ile
tanımlanmıştı. O halde
xi ≤ x
∞
( i=1,2,…,n)
olup
x 1 = x1 + x 2 + ... + x n ≤ x
olur. Diğer taraftan x
∞
∞
+ x
∞
+ ... + x
∞
=nx
∞
(2.5)
normu x1 , x 2 ,…, x n sayılarından x k gibi bir tanesine
eşit olacağından
x
∞
= x k = x1 + x 2 + ... + x n = x 1
elde edilir. (2.5) ve (2.6) ‘dan
(2.6)
14
x
≤ x1≤nx
∞
(2.7)
∞
bulunur. Diğer taraftan
xk
2
2
2
≤ x1 + x 2 + ... x k
2
+ ... + x n
2
olup buradan
x
∞
= x k ≤ x12 + x 22 + ... + x n2 = x
2
(2.8)
olur. O halde
x
2
= x12 + x 22 + ... + x n2
≤ x k2 + x k2 + ... + x k2
olup
x
2
≤ n xk = n x
∞
(2.9)
elde edilir. (2.8) ve (2.9) ‘den
x
∞
≤ x
2
≤ n x
∞
ve (2.7) ile (2.10)’den de
1
x ≤ x
n 1
2
≤ n x
∞
bağıntısı elde edilir ki ispat tamamlanmış olur.
Örnek 2.1.1. x=[1,2,3]T vektörü için yukarıdaki norm özelliklerini sağlatınız.
Çözüm:
x
2
= 12 + 2 2 + 3 2 = 1 + 4 + 9
= 14 ≅ 3,74
x1 =1+ 2 + 3 =6
ve
(2.10)
15
x
∞
= max xi = 3
i
elde edilir. O halde
x
2
≤ x1≤ n x
x
∞
≤ x
⇒ 3.74≤6≤1,73×3,74=6,47 ,
2
≤ n x
2
∞
⇒ 3≤3,74≤1,73×3=5,19
ve
x
∞
≤ x1≤nx
∞
⇒ 3≤6≤3×3=9
olur ki , norm özellikleri gerçeklenmiş olur.
Örnek 2.1.2. x=[1,-2,3,5]T vektörü için yukarıdaki norm özelliklerini sağlatınız.
Çözüm:
x
2
= 12 + (−2) 2 + 3 2 + 5 2 = 1 + 4 + 9 + 25
= 39 ≅ 6,24
x 1 = 1 + − 2 + 3 + 5 = 11
ve
x
∞
= max xi = 5
i
elde edilir. O halde
x
2
≤ x1≤ n x
x
∞
≤ x
2
2
⇒ 6,2≤11≤2×6,2=12,4 ,
≤ n x
∞
⇒ 5≤6,24≤2×5=10
ve
x
∞
≤ x1≤nx
olur ki , norm özellikleri gerçeklenmiş olur.
∞
⇒ 5≤11≤4×5=20
16
2.2. Matris Normları
Tanım.2.2.1. F, reel ya da kompleks sayılar cismi, Mn(F); bileşenleri F cisminin
elemanları olan n-kare mertebeli karesel matrislerin cümlesi olmak üzere ;
. : M n ( F ) → R + ∪ {0}
A→ A
şeklinde ifade edilen ve
i) A∈Mn(F) için,
i a) A≠0 ise, A > 0 dir.
i b) A=0 olması için gerek ve yeter şart A =0 olmasıdır,
ii) a∈F ve A∈Mn(F) için, aA = a A dır,
iii) A,B∈Mn(F) için, A + B ≤ A + B dir,
iv) A,B∈Mn(F) için, AB ≤ A B dir,
aksiyomlarını sağlayan . dönüşüme, matris normu denir.
Tanım 2.2.2. F, reel ya da kompleks sayılar cismi, Mn,m(F); bileşenleri F cisminin
elemanları olan n×m mertebeli matrislerin cümlesi olmak üzere ;
. : M n ,m ( F ) → R + ∪ {0}
A→ A
şeklinde ifade edilen ve
i) A∈Mn,m(F) için,
i a) A≠0 ise, A > 0 dir.
17
i b) A=0 olması için gerek ve yeter şart A =0 olmasıdır,
ii) a∈F ve A∈Mn,m(F) için, aA = a A dır,
iii) A,B∈Mn,m(F) için, A + B ≤ A + B dir,
aksiyomlarını sağlayan . dönüşüme, genelleştirilmiş matris normu denir.
O halde bir matris normu daima genelleştirilmiş matris normudur. Fakat
bunun tersi doğru değildir. Örneğin toplam normu
∑a
ij
genelleştirilmiş bir matris
i, j
normudur, fakat bir matris normu değildir.
Ayrıca x herhangi bir vektör olmak üzere matris normları ile vektör normları
arasında
Ax ≤ A x
şeklinde bir ilişki vardır. Bu eşitsizliği sağlayan A matris normuna , x vektör
normu ile uygundur denir.
Herhangi bir vektör normundan, vektör normuyla uygun olan bir matris
normu
Ax ≤ A x
eşitsizliğinden her x≠0 için sup, en küçük üst sınır olmak üzere
A ≤ sup
x ≠0
olarak elde edilir. Burada z =
Ax
x
x
alırsak, z = 1 olacağından
x
A ≤ sup Az
z =1
eşitliği yazılabilir.
18
Teorem 2.2.1. A bir matris ve z herhangi bir vektör olmak üzere
A = max Az
z =1
ifadesi matris normudur.
İspat: İspat için A normunun, matris normu şartlarını sağladığını göstermemiz
gerekir.
i) A≠0 ise z = 1 olmak üzere Az≠0 olacak şekilde daima bir z vektörü
bulunabilir. Öyle ki A ≥ 0 ’dır.
A=0 ise z = 1 olacak şekilde her z için Az = 0 olmasını gerektirir. z’yi
birim vektör olarak seçersek Az , A matrisinin sütunlarına karşılık gelir. Halbuki A
matrisinin sütunlarının normları sıfırdır. Bu nedenle A matrisinin sütunları sıfırdır,
yani A=0’dır.
ii) Herhangi bir c skaleri için
cA = max cAz
z =1
= c max Az
z =1
=c A
elde edilir.
iii) zo, z 0 = 1 ve ( A + B ) z 0 = A + B
olacak şekilde bir vektör olsun. Bu
takdirde
A + B = ( A + B) z 0
≤ Az 0 + Bz 0
19
≤ A z0 + B z0
≤ A + B
olur.
iv) zo, z 0 = 1 ve ABz 0 = AB olacak şekilde bir vektör ise
AB = ABz 0 = A( Bz 0 )
≤ A Bz 0
≤ A B z0
olur. z 0 = 1 yerine yazılırsa
AB ≤ A B
elde edilir ki bu da istenendir.
Sonuç olarak A = max Az ile tanımlı A , matris normu olur.
z =1
Tanım 2.2.3. A , m×n matris olmak üzere,
m
A 1 = max ∑ aij
j
i =1
ile tanımlanan matris normuna sütun normu denir.
Tanım 2.2.4. A , m×n matris olmak üzere,
A
n
∞
= max ∑ a ij
i
ile tanımlanan matris normuna satır normu denir.
j =1
20
Tanım 2.2.5. A , m×n matris olmak üzere,
A
E
⎛ m
= ⎜∑
⎜ i =1
⎝
2
n
∑a
j =1
ij
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 2
= iz ( A H A) = iz ( AA H )
=
r
∑σ
i =1
2
i
( A)
r: rank
ile verilen norma Euclide normu denir.
Bazen Euclide norm yerine Frobenius normu, Schur norm veya HilbertSchmidt normu ifadeleri de kullanılır.
Tanım 2.2.6. Herhangi bir A matrisinin AT transpozesini alalım. Bu AT matrisinin
elemanlarının her biri yerine elemanın kompleks konjugesini koymakla elde edilen
( ) matrisine A matrisinin hermitian(eşlenik) transpozesi denir ve A
H
yeni AT
ile
gösterilir.
Tanım 2.2.7.
A = ( a ij ) m×n
ve AHA nın özdeğerlerinin kareköküne A’nın
singüler değerleri denir ve
σ ( A) = { λi : λi , AHA nın özdeğerleri }
dir.
Tanım 2.2.8. A , m×n matris ve AH matrisi A matrisinin eşlenik transpozesi olmak
üzere AHA çarpım matrisinin spektral normu denir ve A
2
ile gösterilir. Yani;
A 2 = {λ: λ, AHA’nın mutlak değerce en büyük özdeğerinin karekökü}
A 2 = λ max( A H A) = σ max ( A)
21
olarak tanımlanır.
Tanım 2.2.9. A, m×n matris olmak üzere,
A
P
⎛ m
= ⎜∑
⎜ i =1
⎝
P
n
∑a
j =1
ij
şeklinde tanımlanan norma A matrisinin
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ P
P
(1<p<∞)
normu denir.
Örnek 2.2.1.
⎡ 1 0 − 3⎤
A = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥
⎢⎣− 2 1 2 ⎥⎦
matrisinin normlarını bulunuz.
m
Çözüm: İlk olarak A 1 = max ∑ aij sütun normunu bulalım.
j
i =1
A 1 = max{(1 + 0 + − 2 ), ( 0 + 1 + 1 ), ( − 3 + 0 + 2 )}
=max{3,2,5}=5
olarak bulunur. İkinci olarak A
A
∞
n
∞
= max ∑ a ij satır normunu bulacak olursak,
i
j =1
= max{(1 + 0 + − 3 ), ( 0 + 1 + 0 ), ( − 2 + 1 + 2 )}
=max{4,1,5}=5
elde edilir. A
A
E
E
(
⎛ m
= ⎜∑
⎜ i =1
⎝
2
2
2
n
∑a
j =1
ij
⎞
⎟
⎟
⎠
2
1/ 2
Euclide normu ise
2
2
2
2
2
= 1 + 0 + −3 + 0 + 1 + 0 + −2 + 1 + 2
2
)
= 20 = 4,472136
olur.
A
2
= {λ: λ, AHA’nın mutlak değerce en büyük özdeğerinin karekökü} olduğundan
22
A 2 = 9 + 73 = 9 + 8,5440037 = 17,5440037 = 4,1885563
elde edilir.
Teorem 2.2.2. [46] Genelleştirilmiş bir matris normu daima matrisin elemanlarına
bağımlıdır. Yani ε>0 olmak üzere her i,j için aij − bij < δ iken
A − B <ε
olacak şekilde ε’a bağlı bir δ>0 vardır.
İspat: A ve B , n-kare matrisler olsun. Eij eij=1 ve diğer bütün elemanları sıfır
( Eij=eieTj ) olan bir matris ise
A − B = ∑ (aij − bij )Eij
i, j
olur. m = max Eij
i, j
alırsak matris normunun M1) aksiyomundan m>0 olacaktır. M2)
ve M3) aksiyomlarından da
A − B ≤ ∑ aij − bij Eij ≤ m∑ aij − bij
i, j
i, j
elde edilir. Herhangi bir ε>0 için δ =
ε
mn 2
alalım. Eğer A ve B matrislerini
i,j=1,2,…,n için
aij − bij < δ
olacak şekilde seçersek
A − B < mn 2 = ε
elde ederiz. aij − bij < δ ve A − B ≥ A − B olduğundan
A− B <ε
olur ki, ispat tamamlanır.
23
Teorem 2.2.3. [46] A, n-kare matris, A α ve A
β
genelleştirilmiş iki matris normu
olsun. Sadece normların seçimine bağlı
m≤
Aα
A
≤M
β
olacak şekilde bir m ve M pozitif sayıları mevcuttur.
İspat: Eij , eij=1 ve diğer bütün elemanları sıfır (Eij=eieTj ) olan bir matris olmak
üzere k 2 = max Eij
i, j
α
ve a = max aij olarak seçelim. Matris normunun M2) ve M3)
i, j
aksiyomlarından
A α ≤ ∑ aij Eij
i, j
α
≤ ak 2
(2.11)
olur. a=1 olacak şekilde bütün matrislerin cümlesini ℑ ile gösterip
k1 = min B
B∈ℑ
α
seçersek Teorem (2.3.1.) den B α , B matrisinin elemanlarına bağlı olduğundan
k 1 = B0
α
olacak şekilde bir
B0 ∈ ℑ vardır. M1) aksiyomundan k1>0 ve k1, A
matrisinden bağımsızdır. a n = a ve B ∈ ℑ olmak üzere A matrisini A=anB olarak
seçersek
Aα =aB
α
≥ ak1
(2.12.)
olur. (2.11) ve (2.12) ‘ den
ak1 ≤ A α ≤ ak 2
(2.13)
elde ederiz. Benzer şekilde . β normuna bağlı olarak
ah1 ≤ A β ≤ ah2
(2.14)
24
olacak şekilde h1, h2 pozitif sayıları vardır.(2.13) ve (2.14) eşitsizliklerini taraf tarafa
bölersek
A α k2
k1
≤
≤
h1
B β h2
elde edilir ve m =
k1
k
ve M = 2 dersek ispat tamamlanmış olur.
h1
h2
Tanım 2.2.10. A, n-kare matris olmak üzere A matrisinin mutlak değerce en büyük
özdeğerine A’nın spectral yarıçapı denir ve ρ ( A) ile gösterilir.
O halde herhangi bir λi özdeğeri için λi ≤ ρ ( A) olacaktır ve en az bir i
(1 ≤ i ≤ n) değeri için λi = ρ ( A) olacaktır.
Ayrıca, bir A kare matrisinin spektral yarıçapı, o matrisin normuna eşit veya
küçüktür. Yani;
ρ ( A) ≤ A
dır.
2.3. Matris Normları Arasındaki Bağıntılar
Matris normlarında , . 1 satır normunu , . 2 spektral normunu , . ∞ sütun
normunu bir önceki kısımda görmüştük. Ayrıca A , m×n matrisi için
olsun. Bu durumda bu normlar arasında
1) A 2 ≤ A
2) A
Δ
E
≤ n. A
2
≤ A 2 ≤ m.n . A
Δ
A
Δ
= max aij
25
3) A 2 ≤
1
4)
∞
. A ∞ ≤ A 2 ≤ m. A ∞
n
1
5)
A 1. A
m
. A 1 ≤ A 2 ≤ n. A 1
bağıntıları geçerlidir.[46]
Örnek 2.3.1.
0
2⎤
⎡1
⎢
1
0 ⎥⎥
A=⎢ 4
⎢⎣− 3 − 2 − 1⎥⎦
matrisi için yukarıdaki bağıntıları gekçekleyelim.
Çözüm: Yukarıdaki bağıntılarda verilen normları hesaplarsak
n
A 1 = max ∑ aij = max{(1 + 4 + − 3 ), ( 0 + 1 + − 2 ), ( 2 + 0 + − 1 )}
j
i =1
= max{8,3,3} = 8 ,
n
A
A
∞
E
= max ∑ aij = max{(1 + 0 + 2 ), ( 4 + 1 + 0 ), ( − 3 + − 2 + − 1 )}=6
i
⎛ m
= ⎜∑
⎜ i =1
⎝
j =1
2
n
∑a
j =1
ij
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 2
⎛
= ⎜
⎝
1
2
+
0
2
+
2
2
+
4
2
+
1
2
+
0
2
= 36 =6 ,
A2=
57
13
+
= 3,7749172 + 1,8027756 = 5,5776928
2
2
ve
A
Δ
= max aij = 4
elde edilir.
+
−3
2
+
−2
2
+
−1
2
⎞
⎟
⎠
1 / 2
26
Şimdi bağıntıları gerçekleyelim.
1)
A2≤ A
E
≤ n. A
2
5,5776928 ≤ 6 ≤ 3.(5,5776928)
5,5776928 ≤ 6 ≤ 9,6608473 ,
A
2)
Δ
≤ A 2 ≤ m.n . A
Δ
4 ≤ 5,5776928 ≤ 3.3.4 = 12 ,
3)
A2≤
A 1. A
∞
5,5776928 ≤ 8.6 = 6,9282032 ,
4)
1
n
1
3
. A ∞ ≤ A 2 ≤ m. A ∞
.6 ≤ 5,5776928 ≤ 3.6 ,
5)
1
m
1
3
olarak elde edilir.
. A 1 ≤ A 2 ≤ n. A 1
.8 ≤ 5,5776928 ≤ 3.8 = 13,856406 ,
27
3.HADAMARD ÇARPIM VE ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde, bilinen matris çarpımından daha basit olan bir matris çarpımı
üzerinde duracağız.
[ ]
[ ]
Tanım.3.1. A = aij ∈ M m ,n ve B = aij ∈ M m,n matrisleri verilsin.
[
A B = aij bij
]
şeklinde tanımlanan çarpıma A ve B matrislerinin Hadamard Çarpımı denir.
Hadamard çarpımı için uygun şartlar iki matrisin aynı mertebeye sahip olması
gerektiğidir ve bilinen matris toplamında olduğu gibi karşılıklı aynı indisli
elemanların çarpımı şeklindedir. Hadamard çarpımı alanındaki ilk sonuçlar Issai
Schur tarafından elde edildiği için bu çarpım Schur çarpımı olarak da adlandırılır. Bu
alandaki çalışmaların çoğunluğu Hadamard çarpımı altında pozitif yarı tanımlı
matrislerin durumu ile alakalıdır.
[ ]
Tanım 3.2. A = aij ∈ M m,n matrisi verilsin.
⎛ n
ri ( A) = ⎜⎜ ∑ aij
⎝ j =1
2
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 2
i=1,2,…,m
ve
2⎞
⎛ m
c j ( A) = ⎜ ∑ aij ⎟
⎝ i =1
⎠
1/ 2
j=1,2,…,n
şeklindeki normlara sırayla A matrisinin Euclidean satır ve sütun normları
denir.[46]. Yukarıda tanımlanan ri ( A) , c j ( A) değerlerini,
r1 ( A) ≥ r2 ( A) ≥ ... ≥ rm ( A)
c1 ( A) ≥ c 2 ( A) ≥ ... ≥ c n ( A)
{
} kümesi
AA∗ matrisinin
{c ( A) , c ( A) ,..., c ( A) } kümesi de
A∗ A matrisinin
olarak sıralayalım. Bu durumda r1 ( A) , r2 ( A) ,..., rm ( A)
esas köşegen elemanları ve
2
2
1
2
2
2
2
n
2
28
esas köşegen elemanlarıdır. Ayrıca σ 1 ( A) , A matrisinin en büyük singüler değeri
olmak üzere daima
r1 ( A) ≤ σ 1 ( A)
(3.1)
c1 ( A) ≤ σ 1 ( A)
dır. [46].
Lemma 3.1.1. [46]
A, B ∈ M m ,n
Eğer
ve
D∈Mm
ve E ∈ M n
köşegen
matrisler ise
D( A B) E = ( DAE ) B = ( DA) ( BE )
( AE ) ( DB) = A ( DBE )
dir.
Lemma 3.1.2. [46]
D x = köş ( x1 , x 2 ,..., x n )
(i=1,…,m)
A, B ∈ M m ,n
x∈Cn
ve
olmak üzere AD x B T
olsun. x ∈ C n
vektörü için
matrisinin i. köşegen elemanı
( A B) x vektörünün i. bileşeni ile çakışır.
[ ]
[ ]
İspat. Eğer A = aij , B = aij
[ ]
ve x = x j
ise i=1,…,m için
n
n
j =1
j =1
( AD x B T ) ii = ∑ aij x j bij =∑ aij bij x j = [( A B )x ]i
olur ki, istenendir.
Lemma 3.1.3. [46]
A, B, C ∈ M m ,n olsun. i=1,…,m için ( A B)C T matrisinin i.
köşegen elemanı ( A C ) B T matrisinin i. köşegen elemanı ile çakışır.
Lemma 3.1.4. [46]
A, B, C ∈ M m ,n ve x, y ∈ C n için
(
y ∗ ( A B )x = iz D y∗ AD x B T
)
dir.
İspat. e=[1,1,…,1]T olmak üzere Dxe=x olduğunu göz önüne alarak
[(
)]
(
y ∗ ( A B )x = e T D y∗ ( A B )x = e T D y∗ A B x = iz D y∗ AD x B T
)
olduğu gösterilmiş olur. İkinci eşitlik Lemma 3.1.1 ve Lemma 3.1.2 den elde
edilmiştir.
Örnek 3.1.1.
(
)
x ∗ ( A B )x = iz D x∗ AD x B T = D x∗ AD x B
olduğu açıktır.
29
Tanım 3.3. A, n-kare Hermityen matris olsun. Sıfırdan farklı ∀x ∈ C n vektörü için
x ∗ Ax > 0
ise A matrisine pozitif tanımlı matris denir. Eğer
x ∗ Ax ≥ 0
ise bu takdirde A matrisine pozitif yarı tanımlı matris denir. Eğer A Hermityen
matrisi pozitif tanımlı ise aynı zamanda pozitif yarı tanımlıdır.
Teorem 3.1.1.(Schur Teoremi) Eğer A, B ∈ M n pozitif yarı tanımlı matrisler ise o
zaman A B matrisi de pozitif yarı tanımlıdır. Ayrıca B matrisi pozitif tanımlı ve A
matrisinin köşegen elemanları sıfırdan farklı ise A B pozitif tanımlıdır. Özellikle, A
ve B matrislerinin her ikisi de pozitif tanımlı ise A B pozitif tanımlıdır.
İspat. Lemma 3.1.4 den herhangi bir x ∈ C n için
(
)
x ∗ ( A B )x = iz D x∗ AD x B T
[(
= iz ⎡(A
⎢⎣
= iz B 1 / 2
)
1/ 2
(
T
D x∗ A1 / 2 A1 / 2 D x B 1 / 2
(
Dx B1/ 2
)
) (A
T ∗
1/ 2
)
T
(
]
Dx B1 / 2
)
T
)⎤⎥⎦ ≥ 0
olacağından istenilen bulunmuştur.
Teorem 3.1.2. [46] Herhangi
A, B ∈ M m ,n matrisleri için, σ 1 ( A)
A matrisinin
singüler değeri olmak üzere
σ 1 ( A B ) ≤ σ 1 ( A)σ 1 (B )
dir.
Teorem 3.1.3. [46] Herhangi A, B ∈ M m ,n matrisleri için
⎧r ( A)σ 1 (B ) ⎫
σ 1 ( A B ) ≤ σ 1 ( A)c1 (B ) ≤ ⎨ 1
⎬ ≤ σ 1 ( A)σ 1 (B )
⎩σ 1 ( A)c1 (B )⎭
dir.
İspat. Yalnızca birinci eşitsizliği göstereceğiz. Her x,y birim vektörleri için
σ 1 ( A B ) = max x ∗ ( A B ) y
x ∗ ( A B )y
olduğundan
x∈Cn
ve
değerini hesaplayalım.
x ∗ ( A B )y =
∑x a b
i
i, j
ij ij
yi
y ∈Cn
vektörleri için
30
⎛
≤ ⎜⎜ ∑ xi aij
⎝ i, j
⎛
= ⎜⎜ ∑ xi
⎝ i
2
2
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 2
∑a
⎛
⎜ ∑ bij x j
⎜
⎝ i, j
2
ij
j
⎛
⎞
2
= ⎜ ∑ xi ri 2 ( A)⎟
⎝ i
⎠
2
1/ 2
1/ 2
⎛
2
2⎞
≤ ⎜ ∑ xi r1 ( A) ⎟
⎝ i
⎠
= r1 ( A)c1 (B ) x
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 2
⎛
⎜∑ y j
⎜
⎝ j
∑b
2
⎛
⎞
2
⎜ ∑ y j c 2j ( B ) ⎟
⎜
⎟
⎝ j
⎠
1/ 2
1/ 2
y
2
2
ij
⎛
⎞
2
⎜ ∑ y j c1 ( B ) 2 ⎟
⎜
⎟
⎝ j
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 2
1/ 2
2
olur ki, eşitsizlik elde edilir. Birinci eşitsizliğe Cauchy-Schwarz eşitsizliği denir.
Şimdi de singüler değerlerin toplamı olarak tanımlanan Ky Fan k-normunu
kullanarak teorem 3.1.2 deki eşitsizliğin genel halini verelim.
Teorem 3.1.4. [46] Herhangi A, B ∈ M m ,n matrisleri için
k
k
∑ σ ( A B ) ≤ ∑ σ ( A)σ (B ) ,
i =1
i
i
i =1
i
k=1,…,n
dir.
Teorem 3.1.5. [46] Herhangi A, B ∈ M m ,n matrisleri
A B
2
≤ A A
1/ 2
2
B B
1/ 2
2
≤ A
2
B
2
dir. ( A , A matrisinin eşleniği.)
Teorem 3.1.6. [46] A ∈ M n
matrisi pozitif yarı tanımlı ve B ∈ M n herhangi bir
matris olsun. d i ( A) , A matrisinin köşegen elemanları olmak üzere
k
k
∑ σ ( A B ) ≤ ∑ d ( A)σ (B )
i =1
i
i =1
i
i
k=1,…,n
ve eğer B matrisi de pozitif yarı tanımlı ise
k
k
i =1
i =1
∑ λi ( A B ) ≤ ∑ d i ( A)λi (B ) , k=1,…,n
dir.
31
Teorem 3.1.2. [52] A, B, C ∈ M m ,n olsun. Eğer A = B C ise
A
2
≤ r1 ( A)c1 (C )
dir.
Tanım 3.4.
x = [xi ] ∈ R n
y = [yi ]∈ R n
ve
vektörleri verilsin. Eğer x ve y
vektörlerinin bileşenleri artan sırada olmak üzere
k
k
i =1
i =1
∑ xi ≤ ∑ yi , k=1,2,…,n
ise x vektörü, y vektörü tarafından zayıf bir şekilde majorize edilmiştir denir ve
xα w y şeklinde gösterilir. Hem xα w y hem de
n
n
i =1
i =1
∑ xi = ∑ y i
ise x vektörü, y vektörü tarafından majorize ediliyor denir ve xα y şeklinde ifade
edilir.
Örnek 3.1.2.
A ∈ M n matrisi Hermityen olsun. O zaman A matrisinin köşegen
elemanlarının vektörü, özdeğerlerinin vektörünü majorize eder. Yani,
k
k
i =1
i =1
∑ λi ≤ ∑ aii
k=1,…,n-1
olur. k=n durumunda eşitlik sağlanır.
Lemma 3.1.7. [2] Eğer A, B T ∈ M m,n ise
k
k
i =1
i =1
∏ σ i ( AB ) ≤ ∏ σ i ( A)σ i (B ) , k=1,…,min{m,n}
(3.2)
eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca, zayıf çarpanlanabilir majarizasyon eşitsizliği zayıf
toplanabilir eşitsizliğini ifade eder.
Lemma 3.1.8. [2] Eğer x1 ≥ x 2 ≥ ... ≥ x n ≥ 0 ve y1 ≥ y 2 ≥ ... ≥ y n ≥ 0
değerleri için
k
k
i =1
i =1
∏ xi ≤ ∏ yi , k=1,…,n
(3.3)
eşitsizliği sağlanıyor ise
k
k
∑x ≤ ∑y
i =1
i
i =1
i
, k=1,…,n
(3.4)
32
eşitsizliği de sağlanır.
Tanım 3.1.3. A ∈ M n matrisi verilsin. Eğer A matrisinin en büyük singüler değeri 1
veya 1’den küçük ise A matrisine büzülme matrisi denir. Yani,
σ 1 ( A) ≤ 1
dir.
Lemma 3.1.9.[2] A, B ∈ M n matrisleri verilsin. Bu takdirde A = X ∗Y olacak
şekildeki herhangi X , Y ∈ M r ,n matrisleri için
k
k
i=
i =1
∑ σ i ( A B ) ≤ ∑ ci ( X )ci (Y )σ 1 (B ) , k=1,2,…,n
(3.5)
dir. Buradan şu sonuç çıkar.
k
k
i =1
i =1
∏ σ i ( A B ) ≤ ∏ ci ( X )ci (Y )σ 1 (B ) , k=1,2,…,n
(3.6)
Lemma 3.1.10. [2] Herhangi A, B, C ∈ M n için
[(
) ]
iz[( A B )C ] = iz A C T B T
(3.7)
Lemma 3.1.11. [2] A ∈ M n matrisi λ1 ( A) ≥ λ 2 ( A) ≥ ... ≥ λ n ( A) şartını sağlayan
λ1(A),…,λn(A) öz değerlerine sahip olsun. Bu takdirde
k
k
∏ λ ( A) ≤ ∏ σ ( A)
i
i =1
i
,
k=1,…,n
(3.8)
i =1
dir.
Lemma 3.1.8 den
k
k
i =1
i =1
∑ λi ( A) ≤ ∑ σ i ( A) , k=1,…,n
(3.9)
elde edilir.
Lemma 3.1.12. [2] A, K r , K s ∈ M n matrisleri verilsin.
σ 1 (K r ) = ... = σ r (K r ) , σ 1 (K s ) = ... = σ s (K s ) = 1 , σ r +1 (K r ) = ... = σ n = 0 ve
σ s +1 (K s ) = ... = σ n (K s ) = 0 olsun.Bu takdirde X ∗Y = A olacak şekildeki herhangi
X , Y ∈ M r ,n için
iz[( A K r )K s ] ≤
dir.
min {r , s }
∑ c ( X )c (Y )
i =1
i
i
(3.10)
33
Lemma 3.1.13. [2] B ∈ M n matrisi σ 1 (B ) ≥ σ 2 (B ) ≥ ... ≥ σ n (B ) ≥ 0 sıralı singüler
değerlere sahip olsun. Bu takdirde her Kj bir rank j kısmi izometrisi, β j ≥ 0 ,
(j=1,…,n) ve
n
∑β
j =k
Lemma 3.1.14. [2]
j
= σ k (B ) , k=1,…,n
(3.11)
C ∈ M n ve 1 ≤ k ≤ n şartını sağlayan herhangi bir pozitif k
tamsayısı için
k
∑ σ (C ) = iz (CC )
j =1
olacak şekilde bir C k ∈ M n
i
k
rank k kısmi izometri vardır.
34
4.CAUCHY-TOPLİTZ VE CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİ
Bu bölüm, sonraki bölümler için gerekli temel tanımlardan oluşmaktadır.
Öncelikle, çalışma boyunca kullanılacak olan polygamma fonksiyonu ve onun
özellikleri hakkında kısaca bilgi verelim.
4.1.GAMMA,PSİ VE RİEMANN ZETA FONKSİYONU
Tanım.4.1.1. Gamma fonksiyonu,
∞
Γ( x) = ∫ e −t t x −1 dt
0
olmak üzere,
Ψ ( x) = Psi( x) =
d
{ln[Γ( x)]}
dx
şeklinde tanımlı fonksiyona psi ( veya digamma ) fonksiyonu denir. Psi fonksiyonun
n. Mertebeden türevine de polygamma fonksiyonu denir ve
Ψ ( n, x ) =
dn
dn
(
)
Psi
x
=
dx n
dx n
⎡d
⎤
⎢ dx ln[Γ( x)]⎥
⎣
⎦
şeklinde gösterilir. n≥0 dır. Eğer, n=0 ise
Ψ (0, x) = Psi ( x) =
d
{ln[Γ( x)]}
dx
olur. [51].
x −1
Özellik.4.1.1.
Δf ( x) = f ( x + 1) − f ( x) fark operatörü ve Δ−1 f ( x) = ∑ f (i )
i =0
fark operatörü olmak üzere
Ψ (m, x) =
d
(ln[Γ( x + 1)])
dx m
(m>0)
ters
35
eşitsizliğinin her iki tarafına ileri fark operatörünü uygularsak,
ΔΨ (m, x) =
d
Δ(ln[Γ( x + 1)])
dx m
d
Γ( x + 2)
ln
m
Γ( x + 1)
dx
=
=
d
ln( x + 1)
dx m
=
d ⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
dx m −1 ⎝ x + 1 ⎠
=
(−1) m −1 (m − 1)!
( x + 1) m
olur. Şimdi de her iki yana ters fark operatörünü uygularsak,
⎛ ( −1) m −1 (m − 1)! ⎞
1
m −1
−1 ⎛
⎟
⎜⎜
(
1
)
(
m
1
)!
Ψ (m, x) = Δ−1 ⎜⎜
=
−
−
Δ
m
m
⎟
( x + 1)
⎝ ( x + 1)
⎝
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
elde edilir. Buradan da
⎛ 1
Δ−1 ⎜⎜
m
⎝ ( x + 1)
⎞ (−1) m −1
⎟⎟ =
Ψ (m, x)
⎠ (m − 1)!
x −1
yazılır. Ters fark operatörü Δ−1 f ( x) = ∑ f (i )
şeklinde tanımlı olduğu için (4.1.)
i =0
ifadesi bir asimptotik serinin polygamma cinsinden değerini ifade eder. [57].
Özellik.4.1.2. a∈Ζ+ ,b herhangi bir sayı n∈Ζ+ olmak üzere,
lim Ψ (a, n + b) = 0
n→∞
dır. .[57].
Tanım.4.1.2. s > 1 olmak üzere
∞
1
s
n =1 n
ζ (s) = ∑
fonksiyonuna Riemann’ın zeta fonksiyonu denir.
(4.1.)
36
4.2. CAUCHY,HANKEL VE TOEPLİTZ FORMLARI
Tanım 4.2.1. xi ≠ y j ( xi , y j ∈ C ) ve 1 ≤ i. j ≤ n olmak üzere elemanları
cij =
[ ]
ile tanımlı A = cij
n
1
xi − y j
(4.2)
matrisine Cauchy matrisi denir. [47,84,27].
i , j =1
n
⎡ 1 ⎤
matrisi bir Cauchy matrisi olsun. Şimdi An matrisinin
An = ⎢
⎥
⎣⎢ xi − y j ⎥⎦ i , j =1
determinantı için bir formül verelim. An matrisinin en son satırını önceki satırların
her birinden çıkaralım ve bu işlemi sütunlar için de yapalım. Bunları yaptıktan sonra
(n − 1).
mertebeden An −1 alt matrisini sağdan ve soldan köşegen elemanları ile
çarpalım. Buradan An matrisinin determinantını hesaplarsak
det An = det An −1
1
xn − y n
(xi − xn )( y n − yi )
i =1
i − y n )( x n − y i )
n −1
∏ (x
elde edilir. Sonuçta
det An =
∏ (x
1≤i < j ≤ n
i
− xj )
∏ (y
∏ (x − y )
j
− yi )
1≤i < j ≤ n
i
(4.3)
j
1≤i , j ≤ n
bulunur . xi ≠ x j ve y i ≠ y j ise An matrisi singüler değildir.
z = [z1 ...z n ] ve b = [b1 ...bn ]
T
T
olmak üzere
An z = b
lineer denklem sistemini göz önüne alalım. Bu sistemi Cramer kuralı ile çözersek
(4.3)’e benzer
z = (− 1)
1
det An
n
∏ (x
∑ (− 1) b
k =1
k
k
1≤ i < j ≤ n
i, j ≠k
i
− xj )
∏ (x
1≤i < j ≤ n
i≠k , j ≠
∏ (y
1≤i < j ≤ n
i, j≠
i
− yj)
j
− yi )
37
ifadesi elde edilir. (4.3)’deki det An değeri z ifadesinde yerine yazılıp, gerekli
düzenlemeler yapılırsa
n
u =
∏ (x
i
∏ (y
i
i =1
n
−y
−y
)
(
)
= 1,2,3,..., n )
(4.4)
(k = 1,2,3,..., n )
(4.5)
i =1
i≠
ve
∏ (x
n
vk =
k
− yj )
j =1
∏ (x
n
k
− xj )
i =1
i≠
olmak üzere
z =u
n
∑x
k =1
v k bk
k − y
(
= 1,2,3,..., n )
elde edilir.
Tanım 4.2.2. n ≥ 1 olmak üzere
H n −1 ( x, x ) =
n −1
∑h
i , j =0
i+ j
xi x j
kuadratik formuna Hankel formu denir. Bu forma uyan matrise de
Hankel matrisi denir ve
H n −1 = (hi + j )i , j =0
n −1
(4.6)
olarak gösterilir. [35,48].
Bir Hankel matrisinin açık gösterimi,
H n −1
⎡ h0
⎢h
⎢ 1
⎢ .
⎢
=⎢ .
⎢ .
⎢
⎢ hn
⎢h
⎣ n +1
h1
. . .
hn
h2
. . .
hn +1
.
. . .
.
.
. . .
.
.
hn +1
. . .
.
. . . h2 n − 4
hn + 2
. . . h2 n − 3
hn −1 ⎤
hn + 2 ⎥⎥
. ⎥
⎥
. ⎥
. ⎥
⎥
h2 n − 3 ⎥
h2 n − 2 ⎥⎦
şeklindedir. Buradan görüldüğü gibi Hankel matrisleri simetriktir. Ayrıca sonsuz
mertebeden bir Hankel matrisi de
38
H ∞ = (hi + j )i , j =0
∞
olarak tanımlanır.
Tanım 4.2.3. n ≥ 1 ve t i − j ler kompleks sayılar olmak üzere
Tn −1 ( x, x ) =
n −1
∑t
i , j =0
i− j
xi x j
kuadratik formuna Toeplitz formu denir. Bu forma tekabül eden
Tn −1 = (t i − j )i , j =0
n −1
(4.7)
biçimindeki matrise Toeplitz matrisi denir. [48].
Bir Toeplitz matrisini açık olarak
Tn −1
⎡ t0
⎢t
⎢ 1
⎢ .
⎢
=⎢ .
⎢ .
⎢
⎢t n − 2
⎢t
⎣ n −1
t −1
t0
. . . t −n+ 2
. . . t − n +3
.
. . .
.
.
. . .
.
.
. . .
.
t n −3
t n−2
. . .
. . .
t0
t1
t − n +1 ⎤
t − n + 2 ⎥⎥
. ⎥
⎥
. ⎥
. ⎥
⎥
t −1 ⎥
t 0 ⎥⎦
şeklinde yazılır. Buradan görüldüğü üzere bir Toeplitz matrisinin elemanları esas
köşegene paralel köşegenler boyunca aynıdır. Dolayısıyla bir Toeplitz matrisini,
matrisin ilk satır vektörü ile ilk sütun vektörü temsil eder diyebiliriz.
a 0 , a1 , b1 , a 2 , b2 ,..., a n , bn ,...
katsayıları reel olmak üzere
∞
f ( x ) = a0 + 2∑ r n (a n cos nx + bn sin nx )
(4.8)
n =1
Fourier serisini ele alalım. Bu seri kutupsal koordinatlarda bir harmonik fonksiyonun
açılımıdır. Eğer t i − j = t m ,
t m = a n − ibn ,
t − m = t = a n + ibn
(m = 0,∓1,∓2,...,∓ (n − 1))
olmak üzere t − m = t m ise Tn −1 matrisi hermityen olur ve bu matris
Tn −1 ( x, x ) =
n −1
∑t
i , j =0
i− j
xi x j
hermityen toeplitz formuna karşılık gelir. Ayrıca sonsuz mertebeden bir Toeplitz
matrisi de
39
T∞ = (t i − j )i , j =0
∞
olarak tanımlanır.
Tanım 4.2.4. (4.2) ile verilen Cauchy matrisinde a ve b keyfi sayılar olmak üzere
a
⎛
⎞
⎜ b ≠ 0, ∉ Ζ ⎟ x k = a + kb ve y j = jb alınarak elde edilen
b
⎝
⎠
n
⎡
⎤
1
Tn = ⎢
⎥
⎣ a + (k − j )b ⎦ k , j =1
(4.9)
matrisine Cauchy-Toeplitz matrisi denir.
Tn matrisinin elemanları
1
ts =
2π
π
∫π f (x )e
−isx
(s = 0,∓1,∓2,...,∓ (n − 1))
dx
(4.10)
−
eşitliği elde edilir. Burada f (x ) fonksiyonu
f ( x ) = c(s )e i (a +b (k − j ))x
(4.11)
şeklinde tanımlı ve i ∈ C dir. [84,22,80].
Tanım 4.2.5. (4.2) ile verilen Cauchy matrisinde a ve b keyfi sayılar olmak üzere
a
⎛
⎞
⎜ b ≠ 0, ∉ Ζ ⎟ x k = a + kb ve y j = − jb alınarak elde edilen
b
⎝
⎠
n
⎡
⎤
1
Hn = ⎢
⎥
⎣ a + (k + j )b ⎦ k , j =1
(4.12)
matrisine Cauchy-Hankel matrisi denir.
Hn matrisinin elemanları
1
hs =
2π
π
∫π f (x )e
−isx
dx
( s = 2,3,...,2n)
(4.13)
−
eşitliği ile elde edilir. Burada f ( x ) fonksiyonu
f ( x ) = c(s )e i (a +b (k + j )) x
şeklinde tanımlı ve i ∈ C dir. [84].
(4.14)
40
4.3. Toeplitz Matrislerin Öz Değerlerinin ve Singüler Değerlerinin Dağılımı
f (θ ) ; reel değerli, sınırlı ölçülebilir ve 2π periyotlu bir fonksiyon olmak
üzere Tn [ f ] , Toeplitz matrislerini temsil etsin.
1920’de [69] G. Szegö f (θ ) ∈ L∞ (− π , π ) ( L∞ ölçülebilir sınırlı fonksiyonların
uzayı ) olmak üzere Tn [ f ] ’nin öz değerlerinin dağılımı ile ilgili bir temel teoremi
ispat etmiştir. Fakat basit örnekler göstermiştir ki; f (θ ) reel değerli değil ise bu
sonuç geçerli değildir. Daha sonra S.V. Parter
G.Szegö’nün bu teoreminden yola
çıkarak Tn [ f ] nin singüler değerlerinin dağılımı için bu teoremi genişletmiştir. [61].
f (θ ) ∈ L∞ (− π , π ) olmak üzere f (θ ) ’nın Fourier serisi;
∞
f (θ ) = ∑ c k e ikθ
−∞
olsun. Tn [ f ] de
t ij = c j −i
olmak üzere
Tn [ f ] = (t ij )
i,j=0,1,…,n
ile tanımlı (n + 1) × (n + 1) Toeplitz matrisini göstersin. Eğer f (θ ) reel değerli ise
c k = c − k olup Tn [ f ] hermityen matris olur.
x = ( x0 , x1 ,..., x n ) , y = ( y 0 , y1 ,..., y n )
t
.
t
n
n
.
x(θ ) = ∑ x k e −ikθ , y (θ ) = ∑ y k e −ikθ
k =0
k =0
⎛
n
⎜
ve y ∗ (θ ) , y (θ ) ‘nın kompleks eşleniği ⎜ y ∗ (θ ) = ∑ y k e ikθ
k =0
⎜
⎝
y ∗Tn [ f ]x =
olur ve buradan da
1
2π
π
⎞
⎟
⎟ olsun. Bu durumda
⎟
⎠
∫π y (θ ). f (θ ).x(θ ).dθ
−
∗
(4.15)
41
y∗ x =
1
2π
π
∫π y(θ ).x(θ ).dθ
−
yazılır. f (θ ) reel değerli olduğunda bu formül ile birlikte Tn [ f ] ’in öz değerleri
(λn+1 ≤ λn ≤ ... ≤ λ1 ) ,
m = inf f (θ ) , M = sup f (θ )
(4.15)
olmak üzere
m ≤ λi ≤ M
(4.16)
şeklinde bir dağılıma sahiptir. [61].
Teorem 4.3.1. (Szegö Teoremi).
f (θ ) ∈ L∞ [− π , π ] reel değerli ve m, M değerleri
(4.15) ile tanımlı olsun. F (λ ) ∈ C [m, M ] (sürekli fonksiyonların cümlesi) olmak üzere
1 n +1
1
F (λ j ) =
∑
n →∞ n + 1
2π
j =1
π
lim
∫π F ( f (θ )).dθ
−
dır. Üstelik sabit bir j ≥ 2 için , n → ∞ iken
λi → M , λ n + 2 − j → m
dır. [61,84,77].
Teorem 4.3.2. f (θ ) ∈ L∞ [− π , π ] ve Tn [ f ] nin singüler değerleri
0 ≤ σ n +1 ≤ σ n ≤ ... ≤ σ 1
olsun. Kabul edelim ki ; f 0 (θ ) reel değerli ve R0 (θ ) ’da R0 (θ ) = 1 şartı altında 2π
periyotlu, sürekli periyodik bir fonksiyon olmak üzere
f (θ ) = f 0 (θ ).R0 (θ )
(4.17)
şeklinde yazılabilsin. Bu durumda M = sup f (θ ) ve F (λ ) ∈ C [0, M ] olmak üzere
1 n +1
1
F (σ j ) =
∑
n→∞ n + 1
2π
j =1
lim
π
∫π F ( f (θ ) ).dθ
(4.18)
−
dır. [61,77].
Lemma 4.3.1. A , n × n tipinde kompleks bir matris ve A matrisinin singüler
değerleri de 0 ≤ σ n +1 ≤ σ n ≤ ... ≤ σ 1 olsun. Bu durumda ,
σ k = max min
dim S = k x∈S
dir. Burada S , C n×n nin bir alt uzayıdır. [37,61].
Ax
x
2
2
42
Sonuç 4.3.1. σ j
( j = 1,2,..., n + 1) , Tn [ f ] nin singüler değerleri ve
M = sup f (θ )
olsun. Bu durumda
0≤σ j ≤ M
dir. [61].
(4.19)
43
5.Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar
5.1. Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Normları İçin Sınırlar
Teorem 5.1.1. [13]
n
⎡
⎤
1
Tn = ⎢
⎥
⎣ g + (i − j )h ⎦ i , j =1
şeklinde bir Cauchy-Toeplitz matrisi olsun. O zaman s n > 0 ve s n = O(1 / n ) olmak
üzere
nπ
− s n ≤ Tn ≤
h
nπ
h
dir.
İspat.
1
⎡
⎢
g
⎢
1
⎢
⎢
Tn = ⎢. g + h
.
⎢
.
⎢
1
⎢
⎢⎣ g + (n − 1)h
1
⎡
⎢
g
⎢
h
⎢
1
⎢
⎢ g
1⎢
+1
=
h
h⎢
.
⎢
⎢
.
⎢
1
⎢g
⎢ + (n − 1)
⎣h
olduğu için .
E
1
g −h
1
g
.
.
1
g + (n − 2)h
1
g
−1
h
1
g
h
.
.
1
g
+ (n − 2 )
h
Euclide normu olmak üzere
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1
⎤
g − (n − 1)h ⎥
⎥
1
⎥
g − (n − 2 )h ⎥
⎥
.
⎥
.
⎥
1
⎥
⎥⎦
g
⎤
⎥
g
− (n − 1) ⎥
h
⎥
1
⎥
⎥
g
− (n − 2 ) ⎥
h
⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
1
⎥
g
⎥
h
⎦
1
44
Tn
2
E
⎡
⎛
⎞⎤
⎜
⎟⎥
⎢
n −1
⎜
1 ⎢ n
1
1
⎟⎥
= 2
+ ∑ (n − k )⎜
+
⎟⎥
2
2
2
h ⎢⎛ g ⎞
g
g
k =1
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎢⎜ ⎟
⎜ − k ⎟ ⎟⎟⎥
⎜⎜ h + k⎟
⎢⎣ ⎝ h ⎠
⎝
⎠
⎝h
⎠ ⎠⎥⎦
⎝
dir. Bu nedenle
Tn
2
E
⎡
⎛
⎞⎤
⎜
⎟⎥
⎢
n −1
(
n ⎢ 1
n − k)⎜
1
1
⎟⎥
+
= 2
+∑
⎜
⎟
2
2
2
n
h ⎢⎛ g ⎞
k =1
⎛g
⎞ ⎟⎥⎥
⎜ ⎛⎜ g + k ⎞⎟
⎢⎜ ⎟
⎜ −k⎟ ⎟
⎜ h
⎢⎣ ⎝ h ⎠
⎠
⎝h
⎠ ⎠⎥⎦
⎝⎝
bulunur.
⎞
⎛
⎟
⎜
n −1
(
1
1
1
⎟
n − k)⎜
≤π2
+∑
+
⎜
2
2
2 ⎟
n
k =1
⎛g⎞
⎛g
⎞
⎜ ⎛⎜ g + k ⎞⎟
⎜ ⎟
⎜ − k ⎟ ⎟⎟
⎜
⎝h⎠
⎠
⎝h
⎠ ⎠
⎝⎝ h
olduğu için
Tn
nπ
h
≤
E
elde edilir.
Tn
E
için bir alt sınır elde etmek için ei , birim matrisinin i. sütununu
belirtmek üzere
Tn ei
E
≤ Tn
E
eşitsizliğini kullanacağız. i = [n / 2] alınarak;
Tn ei
Tn ei
2
E
2
E
n
=∑
k =1
1
[g + (k − i )h]2
,
g 1
n + − −1
⎛ i− g − 3
h 2
4 ⎜ h 2
1
1
= 2⎜ ∑
+ ∑
2
h ⎜ k =0 (2k + 1)
(2k + 1)2
k =0
⎝
elde edilir.
∞
1
∑ (2k + 1)
k =0
2
=
π2
8
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
45
olduğu için n → ∞ için Tn e[n / 2 ]
2
E
→
π2
h2
sonucu elde edilir.
⎛
∞
∞
4 ⎜
1
1
+
sn = 2 ⎜ ∑
∑
2
2
h ⎜ ⎡ n g 1 ⎤ (2k + 1)
⎡ n g 1 ⎤ (2k + 1)
k =⎢ − − ⎥
k =⎢ − − ⎥
⎣2 h 2⎦
⎝ ⎣2 h 2⎦
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
olsun. s n ≤ π / h olduğu için
nπ
− sn ≤
h
nπ 2
− s n ≤ Tn
h2
E
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
Teorem 5.1.2. [13]
n
⎡
⎤
1
Tn = ⎢
⎥
⎣ g + (i − j )h ⎦ i , j =1
şeklinde bir Cauchy-Toeplitz matrisi olsun. Bu takdirde
lim Tn−1
n→∞
E
=∞
(5.1)
ve
−1
n
E
T
=
n −1
nπ ⎛⎜ ⎛ 2 g ⎞ ⎞⎟
O ⎜ ⎟
⎜⎝ h ⎠ ⎟
h
⎝
⎠
dir.
İspat: w = (1,...,1) olsun. n → ∞ için
T
Tn−1 w
w
E
→ ∞ olduğunu göstermeliyiz.
E
u m ; U n = köş (u1 , u 2 ,..., u n ) , Vn = köş (v1 , v 2 ,..., v n ) An düzgün bir Cauchy (xi ≠ y j )
matrisi olmak üzere
An−1 = U n AnT Vn
(5.2)
ve
An [u1 ...u n ] = [1...1]
T
T
dir. u m bu şekilde alınırsa,
Tn−1 w = (u1 , u 2 ,..., u n )
T
elde edilir.
g
≥ 2 kabul edelim. Gamma-fonksiyon teorisinden
2h
(5.3)
46
m −1 [ g / 2 h ]
1 ⎞
⎛g ⎞ g
⎛
−
=
i
1− ⎟
⎜
⎟
∏
m −1 ∏ ⎜
2k ⎠
⎠ h
i =1 ⎝ h
k =1 ⎝
m −1
ve
m −1 [ g / 2 h ]
1 ⎞
⎛
⎛g ⎞ g
⎜ + i ⎟ = m −1 ∏ ⎜1 +
⎟
∏
2k ⎠
⎠ h
i =1 ⎝ h
k =1 ⎝
m −1
bulunur. u l =
um
1 l −1 ⎛
1 ⎞ n −l ⎛
1⎞
−
1
⎜
⎟∏ ⎜1 + ⎟ , l = 1,2,..., n ‘den
∏
2 i =1 ⎝ 2i ⎠ i =1 ⎝ 2i ⎠
n −1
n −1
⎡
⎛ ( g / h )n −1 ⎞
⎛
⎞⎤
(
− 1)
1
n −1 2 ⎛ g ⎞
⎟ + O⎜
⎟
=
gh ⎢ ⎜ ⎟ + O⎜⎜
2 ⎟⎥
⎜
⎟
(m − 1)!(n − m )!
⎢⎣ π ⎝ h ⎠
⎝ [g / 2h] ⎠⎥⎦
⎝ [g / 2h] ⎠
elde edilir ki, bu
u m2 =
⎡ 4 ⎛ g ⎞ 2n−2
⎛ ( g / h )2 n − 2
O
+ ⎜⎜
⎢ ⎜ ⎟
[(m − 1)!(n − m )!]2 ⎣⎢ π 2 ⎝ h ⎠
⎝ [g / 2h]
g 2 h 2n−2
⎞
⎛ ( g / h )n − 1 ⎞ ⎤
⎟ + O⎜
⎟
⎟
⎜ [g / 2h]2 ⎟⎥
⎠
⎝
⎠⎦⎥
sonucunu doğurur. Böylece , C1 ve C 2 pozitif sabitler olmak üzere
U m2 ≥
⎛ 4 g 2n
g 2n
g n +1 ⎞
⎜⎜ 2 − C1
⎟
− C 2 n −1
[g / 2h]
h [g / 2h] ⎟⎠
⎝ π
1
[(m − 1)!(n − m )!]2
(5.4)
eşitsizliği elde edilir. (5.2) eşitsizliğinin her iki yanının m üzerinden toplamını alırsak
⎛ 4 g 2n
g 2n
g n +1 ⎞ n
1
⎜
⎟⎟∑
− C 2 n −1
U ≥ ⎜ 2 − C1
∑
[g / 2h]
h [g / 2h] ⎠ m =1 [(m − 1)!(n − m )!]2
m =1
⎝ π
n
2
m
elde edilir. h ≤ 1 , h ≠ 0 ve
g
≥ 2 olduğu için
2h
⎛ 4 g 2n
g 2n
g n +1 ⎞ n
1
⎟⎟∑
− C 2 n −1
→∞
lim⎜⎜ 2 − C1
n→∞
[g / 2h]
h [g / 2h] ⎠ m =1 [(m − 1)!(n − m )!]2
⎝ π
dır. Bu nedenle
Tn−1 w
w
E
≤ Tn−1
E
E
dir ve böylece (5.1) ispatlanmış olur.
(5.2) ‘den
Tn−1 = U nTnT Vn
yazılır. Buradan
Tn−1
E
= U nTnT Vn
E
≤ Un
E
TnT Vn
E
(5.5)
47
dir. Aynı zamanda Teorem 5.1.1.’den
Tn−1
E
nπ
Un
h
≤
E
Vn
(5.6)
E
eşitsizliği elde edilir.. u m ve v k tanımlarından
Un
E
n −1
⎞
⎛
⎜ ⎛ 2g ⎞ 2 ⎟
= O⎜ ⎜
⎟ ⎟ , Vn
⎜⎝ h ⎠ ⎟
⎠
⎝
E
n −1
⎞
⎛
⎜ ⎛ 2g ⎞ 2 ⎟
= O⎜ ⎜
⎟ ⎟
⎜⎝ h ⎠ ⎟
⎠
⎝
(5.7)
bulunur. (5.7)’deki değerleri (5.6)’de yerlerine koyarsak
−1
n
E
T
n −1
nπ ⎛⎜ ⎛ 2 g ⎞ ⎞⎟
O ⎜ ⎟
⎜⎝ h ⎠ ⎟
h
⎝
⎠
=
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
Teorem
[73] 0 < a < 1
5.1.3.
,
1< b∈Z+
ve
a/b∉Z
olmak
üzere
n
⎡
⎤
1
ile tanımlı Cauchy-Toeplitz matrisinin spektral normu için
Tn = ⎢
⎥
⎣ a + (k − j )b ⎦ k , j =1
9π
⎛ πa ⎞
10 b sin ⎜ ⎟
⎝ b ⎠
≤ Tn
2
≤
π
sin (πa )
(5.8)
alt ve üst sınırları geçerlidir.
İspat: Euclid norm tanımından ,
Tn
2
E
⎧⎪ 1 n −1
⎛
1
1
= ⎨n 2 + ∑ (n − s )⎜⎜
+
2
(a + sb )2
⎪⎩ a
s =1
⎝ (a − sb )
⎞⎫⎪
⎟⎬
⎟⎪
⎠⎭
(5.9)
yazılır. Burada sağ toplam ifadelerini polygamma fonksiyonuna bağlı olarak ifade
edersek,
Tn
2
E
⎧ 1
1 ⎛
a ⎞⎫
a ⎞ (a + bn ) ⎛
a⎞ 1 ⎛
a ⎞ (a − bn ) ⎛
⎪n a 2 − b 2 Ψ⎜ n − b ⎟ + b 3 Ψ ⎜1, n − b ⎟ − b 2 Ψ ⎜ n + b ⎟ − b 3 Ψ ⎜1, n + b ⎟⎪
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠⎪
⎪⎪
⎪
=⎨
⎬
⎪ 1
⎪
(a − bn ) Ψ⎛1,1 − a ⎞ + 1 Ψ⎛1 + a ⎞ + (a + bn ) Ψ⎛1,1 + a ⎞
a
⎪+ 2 Ψ ⎛⎜1 − ⎞⎟ −
⎪
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎪⎩ b
⎪⎭
b ⎠ b2 ⎝ b ⎠
b⎠
b3
b3
⎝
⎝
⎝ b⎠
olur. Bu eşitliğin her iki yanını n ile böler ve sağ tarafın n → ∞ için limitini
polygamma fonksiyonun özelliklerinden faydalanarak alırsak,
48
⎧⎪ 1 n −1 ⎛
1
1
s ⎞⎛
lim ⎨ 2 + ∑ ⎜1 − ⎟⎜⎜
+
2
n→∞ a
n ⎠⎝ (a − sb )
(a + sb )2
⎪⎩
s =1 ⎝
⎞⎫⎪
π2
⎟⎬ =
⎟⎪
⎠⎭ b 2 sin 2 ⎛⎜ πa ⎞⎟
⎝ b ⎠
elde ederiz. Dolayısıyla
1
Tn
n
2
E
→
π2
(5.10)
⎛ πa ⎞
b sin ⎜ ⎟
⎝ b ⎠
2
2
yazılır. (5.10) ifadesinin karekökünü alırsak
1
n
olur. Bu eşitsizlik
Tn
E
→
π
(5.11)
⎛ πa ⎞
b sin ⎜ ⎟
⎝ b ⎠
n → ∞ için limit durumunda elde edildiğinden, n’nin küçük
değerleri için (5.11)’in sağ tarafındaki değer Tn
2
değerini çok az geçmektedir.
Bunun için (5.11) eşitsizliğinin sağ tarafındaki ifadeyi 9/10 gibi bir katsayı ile
çarpmak bu sıkıntıyı giderecektir. O halde
9π
⎛ πa ⎞
10 b sin ⎜ ⎟
⎝ b ⎠
1
r
≤ Tn
A
E
≤ A2≤ A
E
den
(5.12)
2
yazılır. Diğer taraftan t m , Tn matrisinin elemanlarını temsil etmek üzere
tm =
1
2π
π
∫π f (x )e
−imx
dx
(m = 0,∓1,∓2,...,∓ (n − 1))
(5.13)
−
olacak şekilde bir f ( x ) fonksiyonu bulmalıyız. O halde (4.10) ve (4.11) den
1
1
tm =
=
a + mb 2π
π
∫π c(m)e
( a + mb )ix
e − mix dx
(5.14)
−
yazılır. Burada c(m ) , m’nin bir fonksiyonudur. A = a + mb alırsak (5.14) den
1
1
=
A 2π
π
∫π c(m)e
−
=
yazılır. Buradan
iAx
e
− mix
c(m )
e i ( A− m ) x
dx =
2πi( A − m )
c(m )
2i sin[( A − m )π ]
2πi ( A − m )
π
,
−π
49
c(m ) =
π ( A − m)
A sin[( A − m )π ]
bulunur ve bu değeri f ( x ) fonksiyonunda yerine yazarsak ,
f (x ) =
π ( A − m)
A sin[( A − m )π ]
e Aix
olur. Bu durumda (4.17) den
f1 ( x ) =
π ( A − m)
A sin[( A − m )π ]
=
π (a + m(b − 1))
(a + mb )sin[((a + m(b − 1))π )]
elde edilir. Burada a, b ve m değerleri için daima
a + m(b − 1)
≤ 1 ve sin[(a + m(b − 1))π ] = sin (aπ )
a + mb
0<
olduğundan
π (a + m(b − 1))
(a + mb )sin[((a + m(b − 1))π )]
≤
π
sin (aπ )
eşitsizliğini elde ederiz. O halde
f (x ) = f1 (x ) ≤
π
sin (aπ )
(5.15)
olur ve (4.19) eşitsizliğinden de
Tn
2
≤
π
sin (πa )
(5.16)
elde edilir. Böylece (5.12) ve (5.16) den teoremin ispatı tamamlanır.
Teorem 5.1.4. [10,14,30] 0 < g / h < 1 ve (1 ≤ p < ∞ ) olmak üzere
n
⎤
⎡
1
Tn = ⎢
Cauchy-Toeplitz matrisinin
⎥
⎣ g + (i − j )h ⎦ i , j =1
Tn
p
p
normu için alt ve üst sınırlar
1/ p
p
⎧⎡
⎤
⎛
⎞
h
g
⎪⎢− ⎜ ⎟ + ζ ⎛⎜ p,− ⎞⎟⎥ , p tek ise
⎪⎢ ⎜⎝ g ⎟⎠
h ⎠⎥
⎝
⎦
⎣
1 ⎪⎪
≥ ⎨
h⎪
1/ p
p
g ⎞⎤
⎛
⎪ ⎡⎛ h ⎞
⎪ ⎢⎜⎜ g ⎟⎟ + ζ ⎜⎝ p,− h ⎟⎠⎥ , p çift ise
⎥⎦
⎪⎩ ⎢⎣⎝ ⎠
50
Tn
p
1/ p
p
⎧⎡
⎤
⎛
⎞
h
g
g
⎛
⎞
⎛
⎞
⎪⎢− ⎜ ⎟ + ζ ⎜ p,− ⎟ + ζ ⎜ p, ⎟⎥ , p tek ise
⎪⎢ ⎜⎝ g ⎟⎠
h⎠
⎝
⎝ h ⎠⎥⎦
⎣
1 ⎪⎪
≤ ⎨
h⎪
1/ p
p
⎡
⎤
⎛
⎞
h
g
g
⎛
⎞
⎛
⎞
⎪
⎪ ⎢⎜⎜ g ⎟⎟ + ζ ⎜⎝ p,− h ⎟⎠ + ζ ⎜⎝ p, h ⎟⎠⎥ , p çift ise
⎥⎦
⎪⎩ ⎢⎣⎝ ⎠
şeklindedir.
İspat: Tn matrisinin
p
normunu alırsak
1/ p
Tn
p
n −1
n−2
n−3
1
⎧ 1
⎫
+
+
+ ... +
p
p
p
p ⎪
⎪n g +
g −h
g − 2h
g − 3h
g − (n − 1)h ⎪
⎪
=⎨
⎬
1
⎪+ n − 1 + n − 2 + n − 3 + ... +
⎪
p
⎪ g + h p g + 2h p g + 3h p
⎪
g + (n − 1)h
⎩
⎭
elde ederiz. Bunu da toplam sembolü ile gösterirsek
p
Tn
p
n −1
⎧⎪ n −1 n − k
n − k ⎫⎪
= ⎨∑
+
∑
p
p ⎬
k =1 g + kh ⎪
⎪⎩ k =0 g − kh
⎭
olur. Bu toplamı
Tn
Tn
p
p
p
p
n −1
n −1
n −1
⎧⎪ n −1
⎫⎪
n
k
n
k
= ⎨∑
−
+
−
∑
∑
∑
p
p
p
p ⎬
k = 0 g − kh
k =1 g + kh
k =1 g + kh ⎪
⎪⎩ k =0 g − kh
⎭
n −1
⎛ n −1
1
1
= n⎜ ∑
+
p
⎜ k =0 g − kh p ∑
k =1 g + kh
⎝
n −1
⎞ ⎛ n −1
k
k
⎟−⎜
+
∑
p
p
⎟ ⎜∑
k =1 g + kh
⎠ ⎝ k =0 g − kh
⎞
⎟
⎟
⎠
şeklinde ayırabiliriz. Bu ifadenin sağ tarafını h parantezine alırsak
Tn
p
⎧ ⎛
⎪ ⎜
1 ⎪ ⎜ n −1
1
= ⎨ n⎜ ∑
h ⎪ k =0 g
⎜
−k
⎪ ⎜⎝
h
⎩
n −1
+∑
p
k =1
⎞ ⎛
⎟ ⎜
k
1
⎟ ⎜ n −1
− ⎜∑
p ⎟
g
k =0 g
+ k ⎟⎟ ⎜⎜
−k
h
h
⎠ ⎝
1/ p
n −1
p
+∑
k =1
⎞⎫
⎟⎪
k
⎟⎪
p ⎟⎬
g
+ k ⎟⎟⎪
h
⎠⎪⎭
(5.17)
olur. (5.17) ifadesinin her iki yanını n − p ile çarparsak
1
Tn
np
p
⎧⎛
⎪⎜
1 ⎪⎜ n −1
1
= p ⎨⎜ ∑
h ⎪⎜ k =0 g
−k
⎪⎜⎝
h
⎩
n −1
p
+∑
k =1
⎛
⎞
⎜
⎟
1
k
⎟ 1 ⎜ n −1
− ⎜∑
p ⎟
n k =0 g
g
⎜
−k
+ k ⎟⎟
⎜
h
h
⎝
⎠
1/ p
n −1
p
+∑
k =1
⎞⎫
⎟⎪
k
⎟⎪
p ⎟⎬
g
+ k ⎟⎟⎪
h
⎠⎪⎭
(5.18)
51
elde ederiz. (5.18)’nın sağ tarafındaki 1 / n ’li ifadesinin n → ∞ için limiti alınırsa,
ifade sıfır olur. Yani
⎛
⎜
1 ⎜ n −1
k
lim ⎜ ∑
n→∞ n
⎜ k =0 g − k
⎜
h
⎝
n −1
+∑
p
k =1
⎞
⎟
k
⎟
=0
p ⎟
g
+ k ⎟⎟
h
⎠
(5.19)
olur. 0 < g / h < 1 olduğundan diğer toplamlar
∞
∑
k =0
1
g
k−
h
p
−h
=
g
p
∞
+∑
k =1
1
g⎞
⎛
⎜k − ⎟
h⎠
⎝
p
(5.20)
∞
∑
k =1
∞
1
g
k+
h
p
=∑
k =1
1
g⎞
⎛
⎜k + ⎟
h⎠
⎝
p
olarak yazılabilir. Riemann –Zeta(veya Hurwitz-Zeta) fonksiyonu tanımından
∞
g⎞
⎛
≤ ζ ⎜ p ,− ⎟
h⎠
⎝
k =1 ⎛
g⎞
⎜k − ⎟
h⎠
⎝
∑
1
(5.21)
p
ve
∞
⎛ g⎞
≤ ζ ⎜ p, ⎟
⎝ h⎠
k =1 ⎛
g⎞
⎜k + ⎟
h⎠
⎝
∑
1
(5.22)
p
olur. O halde (5.19), (5.21) ve (5.22) ifadelerinden
n
−1 / p
Tn
p
1
≤
h
⎛ h
⎜−
⎜ g
⎝
p
g⎞
⎛ g ⎞⎞
⎛
+ ζ ⎜ p,− ⎟ + ζ ⎜ p, ⎟ ⎟
h⎠
⎝ h ⎠ ⎟⎠
⎝
1/ p
elde edilir. Bu da istenen üst sınırdır.
Alt sınırı bulmak için (5.20)’deki ilk iki toplamdan ikincisi ihmal edilirse
⎛
⎜
1⎜ ∞
1
∑
⎜
p
h k =0 ⎛
⎜ ⎜ k − g ⎞⎟
⎜
h⎠
⎝ ⎝
elde edilir. (5.17)’den
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1/ p
≤ n −1 / p Tn
p
52
1
h
⎛⎛ h ⎞ p
⎞
⎜ ⎜ − ⎟ + ζ ⎛⎜ p,− g ⎞⎟ ⎟
⎜ ⎜⎝ g ⎟⎠
h ⎠⎟
⎝
⎝
⎠
1/ p
≤ n −1 / p Tn
p
bulunur. Böylece alt sınırı da tayin etmiş oluruz.
Bu alt ve üst sınırları p’ye göre irdelersek,
Tn
Tn
p
p
1/ p
p
⎧⎡
⎤
⎛
⎞
h
g
⎛
⎞
⎪⎢− ⎜ ⎟ + ζ ⎜ p,− ⎟⎥ , p tek ise
⎪⎢ ⎜⎝ g ⎟⎠
h ⎠⎥
⎝
⎦
⎣
1 ⎪⎪
≥ ⎨
h⎪
1/ p
p
g ⎞⎤
⎛
⎪ ⎡⎛ h ⎞
⎪ ⎢⎜⎜ g ⎟⎟ + ζ ⎜⎝ p,− h ⎟⎥ , p çift ise
⎠⎥⎦
⎪⎩ ⎢⎣⎝ ⎠
1/ p
p
⎧⎡
⎤
⎞
⎛
h
g
g
⎛
⎞
⎛
⎞
⎪⎢− ⎜ ⎟ + ζ ⎜ p,− ⎟ + ζ ⎜ p, ⎟⎥ , p tek ise
⎪⎢ ⎜⎝ g ⎟⎠
h⎠
⎝
⎝ h ⎠⎥⎦
⎣
1 ⎪⎪
≤ ⎨
h⎪
1/ p
p
g⎞
⎪ ⎡⎛ h ⎞
⎛
⎛ g ⎞⎤
⎪ ⎢⎜⎜ g ⎟⎟ + ζ ⎜ p,− h ⎟ + ζ ⎜ p, h ⎟⎥ , p çift ise
⎝
⎠
⎝
⎠⎥⎦
⎪⎩ ⎢⎣⎝ ⎠
olur ve ispat tamamlanır.
Teorem 5.1.5. [84] Herhangi bir n için α n > 0 , α n = O(1 / n ) ve Tn in
g = 1/ 2 , h = 1
özel
durumu
göz
önüne
alınırsa
Tn
matrisi
n
⎤
⎡
⎥
⎢
1
olmak üzere
Tn = ⎢
⎥
⎢ 1 + (i − j ) ⎥
⎥⎦ i , j =1
⎢⎣ 2
π − α n ≤ Tn
2
≤π
dir.
İspat:
Üst sınırın π olduğu C.Moler tarafından iddia edilmiş ve S.V. Parter
tarafından ispanlanmıştır.[61]. Bunun için
~ ⎡0
Tn = ⎢
⎣Tn
TnT ⎤
⎥
0⎦
simetrik matrisini göz önüne alalım. Tˆn ’i açık olarak yazacak olursak
53
⎡
⎢0
⎢
⎢2
⎢
⎢0
ˆ
Tn = ⎢
⎢2
⎢
⎢3
⎢.
⎢.
⎢
⎢⎣ .
2
0
2
3
0
−2
0
−2
0
2
0
0
2
0
−2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
2
3
−
2
⎤
. . .⎥
5
⎥
0 . . .⎥
⎥
2
. . .⎥⎥
3
⎥
0 . . .⎥
⎥
. . . .⎥
. . . .⎥
⎥
. . . .⎥⎦
olur. Tek numaralı satırları imajiner i ile ve çift numaralı satırları imajiner –i ile
çarparak
⎧ 0 , m çift ise
⎩i (2 / m ), m tek ise
αm = ⎨
olacak şekilde
[ ]
A = α i− j
2 n −1
i , j =1
Hermityen Toeplitz matrisini elde ederiz. Yani,
⎧− π , − π ≤ x < 0
f (x ) = ⎨
0≤ x≤π
⎩ π,
(5.23)
olmak üzere
1
αm =
2π
π
∫π f (x )e
−imx
dx
−
yazabiliriz.
w = [w0 ...w2 n −1 ]
T
vektörü için
( Aw, w) =
1
2π
π
∫π w
0
+ w1e ix + ... + w2 n −1e i (2 n −1)x
2
f (x )dx
−
ve
(w, w) =
1
2π
π
∫
2
w0 + w1e ix + ... + w2 n −1e i (2 n −1)x dx
−π
elde edilir. (5.23)’deki f ( x ) ’i kullanarak
54
Tn
bulunur. Tn
2
2
= A 2 = max
w≠ 0
( Aw, w) ≤ π
(w, w)
için bir alt sınır elde etmek için e j , birim matrisinin j. sütununu
göstermek üzere
Tn e j
2
≤ Tn
2
eşitsizliğini kullanalım. [a] , a’nın tam değerini göstermek üzere j = [n / 2] için
2
Tn e j
2
n
=∑
k =1
1
1⎞
⎛
⎜k − j + ⎟
2⎠
⎝
2
n− j
⎛ j −2
1
1
= 4⎜⎜ ∑
+
∑
2
2
⎝ k =0 (2k + 1) k =0 (2k + 1)
⎞
⎟
⎟
⎠
olur.
∞
1
∑ (2k + 1)
k =0
olduğu için n → ∞ için Tn e[n / 2 ]
⎛
∞
2
2
2
=
π2
8
→ π 2 olduğu görülür.
1
∞
1
⎞
⎟
+ ∑
α n = 4⎜⎜ ∑
2
2 ⎟
k =[n / 2 ]−1 (2k + 1)
k = n −[n / 2 ]+1 (2k + 1)
⎝
⎠
alınırsa α n = O(1 / n ) ve α n ≤ π olacağından
π − α n ≤ π 2 − α n ≤ Tn
2
olduğu görülür ki , bu da ispatı tamamlar.
α n için daha iyi tahmin S.V. Parter tarafından Fourier
açılımlarını
kullanılarak elde edilmiştir.[61]
Teorem 5.1.6. [82] 1 < k ∈ Z − {0} olmak üzere g = 1 / k , h = 1 alınarak elde edilen
n
⎤
⎡
⎥
⎢
1
Tn = ⎢
⎥
⎢ 1 + (i − j ) ⎥
⎥⎦ i , j =1
⎢⎣ k
biçimindeki Cauchy-Toeplitz matrisinin spektral normu
55
Tn
2
=
π
sin
π
k
dır.
İspat:
n
⎡
⎤
⎢
⎥
1
Tn = ⎢
⎥
⎢ 1 + (i − j ) ⎥
⎥⎦ i , j =1
⎣⎢ k
biçimindeki Cauchy-Toeplitz matrisini açık olarak yazarsak
1
⎡
⎢
1
⎢
k
⎢
1
⎢
⎢ 1
+1
⎢
k
Tn = ⎢
.
⎢
⎢
.
⎢
.
⎢
1
⎢
⎢1
⎢⎣ k + (n − 1)
1
1
−1
k
1
1
k
.
.
.
1
1
+ (n − 2)
k
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
⎤
⎥
1
− (n − 1) ⎥
k
⎥
1
⎥
⎥
1
− (n − 2 ) ⎥
k
⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
.
⎥
1
⎥
⎥
1
⎥⎦
k
1
olur. Euclides normu tanımından
⎫
⎡
⎤
1⎞
⎛
(
)
−
−
kn
n
ψ
1
1
,
⎪
⎜
⎟
⎢ n −1
⎥
n −1
n−s
n−s ⎥
1 ⎞⎪
k⎠
2
⎛
⎝
⎢
=
−ψ ⎜ n − ⎟
Tn E = ∑
+∑
2
2
⎢ s =0 ⎛ 1
k
k ⎠⎪
⎝
s =1 ⎛ 1
⎞ ⎥
⎞
⎪
+
s
⎢ ⎜ − s⎟
⎥
⎜
⎟
⎪
⎝k
⎠ ⎦⎥
⎠
⎣⎢ ⎝ k
⎪
⎪
(kn − 1)ψ ⎛⎜1,− 1 ⎞⎟
(kn + 1)ψ ⎛⎜1, n + 1 ⎞⎟
⎪
k⎠
k⎠
⎛ 1⎞
⎛1
⎞
⎝
⎝
+ψ ⎜ − ⎟ −
−ψ ⎜ + n ⎟ +
+
⎬ (5.24)
k
k
⎝k
⎠
⎝ k⎠
⎪
⎪
(kn + 1)ψ ⎛⎜1,1 + 1 ⎞⎟
⎪
k⎠
⎛ 1⎞
⎝
⎪
+ ψ ⎜1 + ⎟
⎪
k
⎝ k⎠
⎪
⎪
⎪
⎭
bulunur. (5.24) ifadesinin her iki yanını n’e bölüp n → ∞ için limitini alırsak
56
1
Tn
n →∞ n
⎛π ⎞
= π 2 + π 2 cot 2 ⎜ ⎟
⎝k⎠
2
lim
E
elde edilir. Eşitliğin her iki tarafın karekökünü alırsak
1
Tn
n
E
π
⎛π ⎞
= π 1 + cot 2 ⎜ ⎟ =
⎝ k ⎠ sin π
k
elde edilir.Matris normları arasındaki
1
Tn
n
E
≤ Tn
2
bağıntısından
π
sin
π
≤ Tn
(5.25)
2
k
şeklinde bir alt sınır bulunur.
Üst sınır için
αs =
1
1
+s
k
=
1
2π
π
∫π f (x )e
−isx
dx , [ k ∈ Z + ve s = 0,∓1,∓2,...,∓ (n − 1) ]
−
olacak şekilde bir f ( x ) fonksiyonu bulmalıyız. O halde
1
2π
π
∫π c(s )e
⎛1 ⎞
⎜ + s ⎟ ix
⎝k ⎠
e −isx dx =
−
1
1
+s
k
olacak şekilde bir c(s ) fonksiyonu değeri bulmalıyız. Bu eşitliğin sol tarafındaki
integrali hesaplarsak
1
αs =
2π
e −isx dx
−
1
=
bulunur.
∫π c(s )e
⎛1 ⎞
⎜ + s ⎟ ix
⎝k ⎠
π
π
π
π⎞
c(s ) k ix
c (s ) k ⎛
e dx =
⎜ cos + i sin − cos + i sin ⎟
∫
2π −π
2π i ⎝
k
k
k
k⎠
π
=
π
kc(s )
π kc(s ) π
2i sin =
sin
k
π
k
2πi
57
αs =
1
1
+s
k
olması için
π
c (s ) =
π
⎛1
⎞
⎜ + s ⎟k sin
k
⎝k
⎠
olması gerekir. Buradan
f (x ) =
π
π
⎛1
⎞
⎜ + s ⎟k sin
k
⎝k
⎠
e −isx
olur. f (x ) fonksiyonu , f 1 ( x ) reel değerli ve f 2 ( x ) = 1 olacak şekilde kompleks
değerli f1 ( x ) ve f 2 (x ) fonksiyonlarının çarpımı şeklinde düşünülürse;
. f1 (x ) =
π
ve f 2 ( x ) = e −isx
π
⎛1
⎞
⎜ + s ⎟k sin
k
⎝k
⎠
olur. Her s için
1
1
+s ≥
k
k
olacağından
π
≤
π
⎛1
⎞
⎜ + s ⎟k sin
k
⎝k
⎠
π
1
π
k sin
k
k
≤
π
sin
π
k
olur. Buradan
π
sup f 1 ( x ) =
sin
π
k
olur. O halde
Tn
2
Tn
2
≤ sup f 1 ( x )
olduğundan
≤
π
sin
elde edilir. (5.25) ve (5.26) eşitsizliklerinden
π
k
(5.26)
58
Tn
2
π
=
sin
π
k
bulunur ve böylece teorem ispatlanmış olur.
Teorem 5.1.7. [24] g = 1 / 2 , h = 1 alınarak elde edilen
n
⎡
⎤
2
Tn = ⎢
⎥
⎣1 + 2(i − j ) ⎦ i , j =1
biçimindeki Cauchy-Toeplitz matrisinin
p
normu için, ζ ( p ) ( p > 1) Riemann-Zeta
fonksiyonu olmak üzere
[(2
p
]
− 1)ζ ( p )
1/ p
≤ n −1 / p Tn
p
[
]
≤ 21 / p (2 p − 1)ζ ( p )
1/ p
şeklinde bir alt ve üst sınır vardır.
İspat:
n
⎡
⎤
2
Tn = ⎢
⎥
⎣1 + 2(i − j ) ⎦ i , j =1
matrisini açık olarak yazarsak
⎡
⎢ 2
⎢ 2
⎢
⎢ 3
⎢ 2
Tn = ⎢ 5
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢ .
⎢ 2
⎢
⎣ 2n − 1
−2
−
2
5
2
−
3
−
−2
2
2
3
.
.
.
2
2n − 3
elde ederiz. Şimdi (5.27)’nın
2
3
p
2 ⎤
2n − 3 ⎥
2 ⎥
⎥
−
2n − 5 ⎥
2 ⎥
−
2n − 7 ⎥
⎥
⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
2 ⎥
⎦
. . . −
. . .
2
−2
. . .
.
.
.
2
2n − 5
.
.
.
2
2n − 7
. . .
. . .
. . .
. . .
(5.27)
ei (1 ≤ i ≤ n ) , ℜ n ’in birim
normunu alırsak ,
vektörü olmak üzere
An
p
⎡ n
p⎤
= ⎢ ∑ a ij ⎥
⎣i , j =1
⎦
1/ P
(
⎡ n
= ⎢∑ a1i
⎣ i =1
p
ei
p
+ a 2i
p
ei
p
+ ... + a ni
p
ei
p
)
⎤
⎥
⎦
1/ p
(5.28)
yazabiliriz. (5.28) eşitliğini Tn matrisi için uygularsak , ei (1 ≤ i ≤ n ) n-bileşenli
birim vektör olduğundan normları 1 olup
59
Tn
p
p
p
p
p
p
⎡
⎛2⎞
⎛2⎞
⎛2⎞
⎛ 2 ⎞
⎛ 2 ⎞ ⎤
= ⎢(2n − 1)⎜ ⎟ + (2n − 3)⎜ ⎟ + (2n − 5)⎜ ⎟ + ... + 3⎜
+
⎟
⎜
⎟ ⎥
⎝1⎠
⎝3⎠
⎝5⎠
⎝ 2n − 3 ⎠
⎝ 2n − 1 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
n
⎡
2n − 2 k + 1⎤
= ⎢2 p ∑
p ⎥
⎣ k =1 (2k − 1) ⎦
1/ p
1/ p
elde ederiz. Buradan ,
Tn
Tn
p
p
n −1
n −1
⎤
⎡
1
1
p
2
= ⎢2 p +1 n∑
−
∑
p −1 ⎥
p
k = 0 (2k + 1)
k = 0 (2k + 1)
⎦
⎣
⎡
1
⎛ 2 n −1 1
= ⎢2 p +1 n⎜ ∑ p − p
2
⎝ k =1 k
⎣
2 n −1
1 ⎞
1
1
p⎛
2
−
− p −1
⎟
⎜
∑
∑
p
p −1
2
k =1 k ⎠
⎝ k =1 k
n −1
1/ p
1 ⎞⎤
⎟
∑
p −1 ⎥
k =1 k
⎠⎦
n −1
1/ p
bulunur. Bu ifadenin her iki tarafını n −1 / p ile çarparsak
n
−1 / p
Tn
p
⎡
1
⎛ 2 n −1 1
= ⎢2 p +1 ⎜ ∑ p − p
2
⎝ k =1 k
⎣
1 ⎞ 2 p ⎛ 2 n −1 1
1
⎟−
⎜ ∑ p −1 − p −1
∑
p
n ⎝ k =1 k
2
k =1 k ⎠
n −1
1 ⎞⎤
⎟
∑
p −1 ⎥
k =1 k
⎠⎦
n −1
1/ p
(5.29)
olur. (5.29)’da n → ∞ için limit alınırsa,
lim n
−1 / p
n →∞
Tn
p
⎡
⎛ 2 n −1 1
1
= lim ⎢2 p +1 ⎜ ∑ p − p
n →∞
2
⎝ k =1 k
⎣
1 ⎞ 2 p ⎛ 2 n −1 1
1
⎟−
⎜ ∑ p −1 − p −1
∑
p
n ⎝ k =1 k
2
k =1 k ⎠
n −1
1 ⎞⎤
⎟
∑
p −1 ⎥
k =1 k
⎠⎦
n −1
1/ p
elde edilir.
∞
1 n 1
1
(
)
=
ζ
p
lim
=0
ve
∑
∑
p −1
p
n→∞ n
k =1 k
k =1 k
(5.30)
olduğundan,
n
−1 / p
Tn
⎡
⎤
⎛
1 ⎞
⎟⎟ζ ( p )⎥
≤ ⎢2 p +1 ⎜⎜1 −
⎝ 2p ⎠
⎣
⎦
p
[(
1/ p
]
)
= 21 / p 2 p − 1 ζ ( p )
1/ p
(5.31)
olur. Böylece üst sınır elde edilmiş olur.
Alt sınır için de (5.29) ifadesinden ;
⎡ p ⎛ 2 n −1 1
1
⎢2 ⎜ ∑ p − p
2
⎣ ⎝ k =1 k
n −1
1
∑
p
k =1 k
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
1/ p
⎡
⎛ 2 n −1 1
1
≤ ⎢2 p +1 ⎜ ∑ p − p
2
⎝ k =1 k
⎣
1 ⎞ 2 p ⎛ 2 n −1 1
1
⎟−
⎜ ∑ p −1 − p −1
∑
p
n ⎝ k =1 k
2
k =1 k ⎠
n −1
1 ⎞⎤
⎟
∑
p −1 ⎥
k =1 k
⎠⎦
n −1
olduğundan
n
−1 / p
Tn
p
⎡ ⎛ 2 n −1 1
1
≥ ⎢2 p ⎜ ∑ p − p
2
⎣ ⎝ k =1 k
n −1
1
∑
p
k =1 k
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
1/ p
(5.32)
1/ p
60
olur. (5.30) ve (5.32) eşitsizliklerinden ;
n −1 / p Tn
p
[
]
≥ 21 / p (2 p − 1)ζ ( p )
1/ p
(5.33)
elde edilir. Böylece (5.31) ve (5.33)’den teoremin ispatı tamamlanmış olur.
Teorem 5.1.8. [30] a < b ve a, b ∈ ℜ + olmak üzere
n
⎤
⎡
1
Tn = ⎢
⎥
⎣ a + (i − j )b ⎦ i , j =1
biçimindeki Cauchy-Toeplitz matrisi için
n
−1 / p
Tn
p
⎡ 1
1
a⎞⎤
a⎞
⎛
⎛
≤⎢ p +
Ψ ⎜ p − 1,1 − ⎟ + Ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟ ⎥
p
b⎠⎦
b⎠
( p − 1)!b ⎝
⎝
⎣a
1/ p
(5.34)
n
−1 / p
Tn
p
⎡ 1
⎤
1
1
≥⎢ p +
+
p
p ⎥
2(b − a )
2(b + a ) ⎦
⎣a
1/ p
biçiminde alt ve üst sınır vardır.
İspat:
n
⎤
⎡
1
Tn = ⎢
⎥
⎣ a + (i − j )b ⎦ i , j =1
matrisini açık olarak yazarsak
1
⎡
⎢
a
⎢
1
⎢
⎢ a+b
⎢
1
⎢
⎢ a + 2b
1
Tn = ⎢
⎢ a + 2b
⎢
.
⎢
⎢
.
⎢
.
⎢
1
⎢
⎢ a + (n − 1)b
⎣
1
a −b
1
a
1
a+b
1
a + 2b
.
.
1
a − 2b
1
a −b
1
a
1
a+b
.
.
.
1
a + (n − 2 )b
.
1
a + (n − 3)b
matrisini elde ederiz. (5.35)’nin
p
1
a − 3b
1
a − 2b
1
a −b
1
a
.
.
...
...
...
...
.
.
.
1
...
a + (n − 4 )b
normunu hesaplarsak
1
⎤
a − (n − 1)b ⎥
⎥
1
⎥
a − (n − 2)b ⎥
⎥
1
⎥
a − (n − 3)b ⎥
1
⎥ (5.35)
a − (n − 4 )b ⎥
⎥
⎥
⎥
...
⎥
⎥
1
⎥
⎥
a
⎦
61
p
Tn
p
n
=
a−b
p
+ (n − 1)
+ ... + (n − 1)
1
a−b
1
a+b
p
p
+ (n − 2)
+ (n − 2 )
1
a − 2b
1
a + 2b
p
p
+ (n − 3)
+ (n − 3)
1
a − 3b
1
a + 3b
p
p
+ ... +
+ ... +
1
a − (n − 1)b
p
1
a + (n − 1)b
p
olur. Eşitliğin sağındaki toplamları , toplam sembolü olarak ifade edersek,
Tn
⎡ n n −1
⎛
1
= ⎢ p + ∑ (n − k )⎜
⎜
⎢a
k =1
⎝ kb − a
⎣
p
p
⎞⎤
1
⎟⎥
+
p ⎟
kb + a ⎠⎥⎦
1/ p
elde ederiz. Bu ifade düzenlenirse,
Tn
⎡ n
n −1 ⎛
1
= ⎢ p + n∑ ⎜
⎜
⎢a
k =1 kb − a
⎝
⎣
p
p
⎞ n −1 ⎛
1
1
⎟ − k⎜
+
∑
p ⎟
⎜
kb + a ⎠ k =1 ⎝ kb − a
p
⎞⎤
1
⎟⎥
+
p
kb + a ⎟⎠⎥⎦
1/ p
(5.36)
elde edilir. (5.36) ifadesinin her iki yanını n −1 / p ile çarparsak
n −1 / p Tn
p
⎡ 1 n −1 ⎛
1
= ⎢ p + ∑⎜
⎜ kb − a
⎢a
k =1
⎝
⎣
⎞ n −1 k ⎛
1
⎟−
⎜
+
∑
p ⎟
kb + a ⎠ k =1 n ⎜⎝ kb − a
1
p
⎞⎤
⎟⎥
+
p ⎟
kb + a ⎠⎥⎦
1/ p
1
p
(5.37)
olur. (5.37) eşitliğindeki toplamları Polygamma fonksiyonu ile ifade edersek ,
n −1
⎛
1
∑ ⎜⎜ kb − a
k =1
p
⎝
+
⎞
⎟=
kb + a ⎟⎠
1
p
(− 1) p ⎡− ψ ⎛ p − 1, n − a ⎞ − ψ ⎛ p − 1, n + a ⎞ + ψ ⎛ p − 1,1 − a ⎞ + ψ ⎛ p − 1,1 + a ⎞⎤
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
b⎠
b⎠
b⎠
b ⎠⎥⎦
( p − 1)!b p ⎢⎣ ⎝
⎝
⎝
⎝
elde ederiz. Bu ifadenin n → ∞ için limiti alınırsa,
⎛
1
lim ∑ ⎜
n→∞
⎜ kb − a
k =1
⎝
n −1
p
⎞
(
− 1)
⎟
=
+
p
p
kb + a ⎟⎠ ( p − 1)!b
1
p
⎡ ⎛
a⎞
a ⎞⎤
⎛
⎢ψ ⎜ p − 1,1 − b ⎟ + ψ ⎜ p − 1,1 + b ⎟⎥
⎠
⎝
⎠⎦
⎣ ⎝
ve
n −1
k⎛
1
lim ∑ ⎜
n →∞
⎜ kb − a
k =1 n
⎝
p
+
⎞
⎟=0
p ⎟
kb + a ⎠
1
olur. Elde ettiğimiz bu sonuçları (5.37)’de yazarsak
n
−1 / p
Tn
p
p
⎧1
− 1)
(
≤⎨ p +
( p − 1)!b p
⎩a
şeklinde üst sınırı elde etmiş oluruz.
1/ p
⎡ ⎛
a⎞
a ⎞⎤ ⎫
⎛
−
−
+
−
+
p
p
ψ
1
,
1
ψ
1
,
1
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎬
⎢
b⎠
b ⎠⎥⎦ ⎭
⎝
⎣ ⎝
(5.38)
62
1/ p
n
−1 / p
Tn
p
⎧1
1
1 ⎫
≥⎨ p +
+
⎬
2(b − a ) 2(b + a )⎭
⎩a
dir. Ayrıca (5.37) eşitliğinin sağ tarafında n = 2 alırsak ,
n
−1 / p
Tn
p
⎡ 1 2−1 ⎛
1
≥ ⎢ p + ∑⎜
⎜ kb − a
⎢a
k =1
⎝
⎣
⎞ 2−1 k ⎛
1
⎟−
⎜
+
∑
p ⎟
kb + a ⎠ k =1 2 ⎜⎝ kb − a
1
p
⎞⎤
⎟⎥
+
p ⎟
kb + a ⎠⎥⎦
1/ p
1
p
olur. Bu eşitsizliği düzenlersek
n
−1 / p
Tn
p
⎡ 1
⎤
1
1
≥⎢ p +
+
p
p ⎥
2(b − a )
2(b + a ) ⎦
⎣a
1/ p
(5.39)
elde edilir. Böylece (5.38) ve (5.39)’den teoremin ispatı tamamlanmış olur.
5.2. Cauchy-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar
Teorem 5.2.1. [73,82] 0 < a ∉ Z ve b ∈ Z + olmak üzere
n
⎡
⎤
1
Hn = ⎢
⎥
⎣ a + (k + j )b ⎦ k , j =1
ile tanımlı Cauchy-Hankel matrisinin spektral ve Euclidean normları için
Hn
E
→ ∞ , Hn
2
≤
π
sin (aπ )
(5.40)
sınırları geçerlidir.
İspat: Euclidean norm tanımından ,
Hn
2
E
n −1
⎫
⎧n
s
n−s
= ⎨∑
+
∑
2
2 ⎬
s =1 (a + (s + 1)b ) ⎭
⎩ s =1 (a + (s + 1)b )
⎫
⎧ (a + b ) ⎛
a+b⎞ 1 ⎛
a + b ⎞ (a + b ) ⎛
a+b⎞
⎪
⎪ b 3 ψ ⎜1, n + 1 + b ⎟ + b 2 ψ ⎜ n + 1 + b ⎟ − b 3 ψ ⎜1,1 + b ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪
⎪
⎪ 1 ⎛ a + b ⎞ (2nb + a + b ) ⎛
1 ⎛
a + nb + b ⎞
a + nb + b ⎞⎪
ψ ⎜1, n + 1 +
= ⎨ − 2 ψ ⎜1 +
⎟−
⎟ − − 2 ψ ⎜n +1+
⎟⎬
b ⎠
b
b
b3
b ⎝
⎝
⎠
⎠⎪
⎪ b ⎝
⎪
⎪ (2nb + a + b ) ⎛
a + nb + b ⎞ 1 ⎛ a + nb + b ⎞
1
,
1
1
+
+
+
ψ
ψ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪
⎪+
2
b
b
b3
⎝
⎠ b ⎝
⎠
⎭
⎩
yazılır. a∈Ζ+ ,b herhangi bir sayı n∈Ζ+ olmak üzere,
63
lim Ψ (a, n + b) = 0
n→∞
den
lim Ψ (n + 1 +
n→∞
a+b
)=∞
b
olacağından
Hn
E
→∞
(5.41)
elde edilir. Teoremin diğer iddiasını ispat etmek için öncelikle hs , H n matrisinin
elemanları olmak üzere
hs =
1
2π
π
∫π f (x )e
−isx
( s = 2,3,...,2n)
dx
−
olacak şekilde bir f ( x ) fonksiyonu bulmalıyız. Bu durumda (4.13) ve (4.14) ile
1
1
1
hs =
=
=
a + b(k + j ) a + sb 2π
π
∫π c(s )e
( a + sb )ix
e −isx dx
−
yazılır. Burada c, s’nin bir fonksiyonudur. Bu eşitlikte B = a + b(k + j ) dersek
1
1
=
B 2π
π
∫π c(s )e
iBx
e
− isx
−
=
c (s )
dx =
e i ( B − s )x
2πi (B − s )
π
−π
c (s )
2i sin[(B − s )π ]
2πi(B − s )
elde edilir. Buradan
c (s ) =
π (B − s )
B sin[(B − s )π ]
ifadesini f (x ) fonksiyonunda yerine yazarsak ,
f (x ) =
π (B − s )
B sin[(B − s )π ]
e Bix
olur. (4.17) den
f1 (x ) =
π (B − s )
B sin[(B − s )π ]
=
π (a + s(b − 1))
(a + sb )sin[((a + s(b − 1))π )]
yazarız. Burada a, b ve s değerleri için daima
0<
olduğundan
a + s(b − 1)
≤ 1 ve sin[(a + s (b − 1))π ] = sin (aπ )
a + sb
(5.42)
64
f (x ) = f1 (x ) =
π (a + s(b − 1))
(a + sb )sin[((a + s(b − 1))π )]
≤
π
sin (aπ )
elde ederiz. Sonuç olarak (4.19) den
Hn
2
≤
π
(5.43)
sin (aπ )
yazarız. Böylece (5.41) ve (5.43) ispatı tamamlar.
Teorem 5.2.2. [82] g =
1
, k ∈ Z + ve h = 1 alınarak elde edilen
k
n
⎤
⎡
⎥
⎢
1
Hn = ⎢
⎥
⎢ 1 + (i + j ) ⎥
⎥⎦ k , j =1
⎢⎣ k
Cauchy-Hankel matrisinin spektral normu için
Hn
2
2π
≤
k sin
π
k
üst sınır geçerlidir.
İspat: H n matrisini açık olarak yazarsak
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
Hn = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢1
⎢⎣ k
1
1
1
+2
k
1
1
+3
k
.
.
.
1
1
+3
k
1
1
+4
k
.
.
.
1
+ (n + 1)
1
+ (n + 2 )
k
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
olur. Üst sınır için
hs =
olmak üzere
1
( s = 2,3,4,...,2n)
1
+s
k
⎤
⎥
1
+ (n + 1) ⎥
k
⎥
1
⎥
⎥
1
+ (n + 2 )⎥
k
⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
.
⎥
1
⎥
⎥
1
+ 2n ⎥
k
⎦
1
65
1
2π
π
∫π g (x )e
− isx
dx =
−
1
1
+s
k
olacak şekilde bir g ( x ) fonksiyonu bulmalıyız. Buradan
1
2π
π
∫π c(s )e
⎛1 ⎞
⎜ + s ⎟ ix
⎝k ⎠
1
e −isx dx =
1
+s
k
−
eşitliğini sağlayan c(s ) fonksiyonu bulalım.
c(s ) ⎜⎝ k + s ⎟⎠ix −isx
c (s ) k
c (s ) k k π
e
e
dx
=
e
dx
=
e Ι
−π
2π −∫π
2π −∫π
2π i
π
⎛1
⎞
π
ix
−
c(s ) k ⎛⎜ k
k
−
e
e
2π i ⎜⎝
πi
=
=
ix
πi
⎞
⎟
⎟
⎠
c(s ) k ⎛
π
π
π
π⎞
⎜ cos + i sin − cos + i sin ⎟
k
k
k
k⎠
2π i ⎝
=
kc(s )
π kc(s ) π
2i sin =
sin
k
π
k
2πi
bulunur ve buradan yukarıdaki eşitliği sağlayan c(s ) fonksiyonu
c (s ) =
π
⎛1
⎞ π
k ⎜ + s ⎟ sin
k
⎝k
⎠
elde edilir ve c(s ) fonksiyonuna bağlı olarak da
g (x ) =
π
⎞ π
⎛1
k ⎜ + s ⎟ sin
k
⎠
⎝k
e
⎛1 ⎞
⎜ + s ⎟ ix
⎝k ⎠
bulunur. g ( x ) fonksiyonunu, g 0 ( x ) reel değerli ve g1 ( x ) = 1 olacak şekilde
kompleks değerli g 0 ( x ) ve g1 ( x ) iki fonksiyonun çarpımı olarak yazılırsa;
g 0 (x ) =
π
⎛1
⎞ π
k ⎜ + s ⎟ sin
k
⎝k
⎠
ve
g1 ( x ) = e
⎛1 ⎞
⎜ + s ⎟ ix
⎝k ⎠
66
bulunur. O halde
g1 (x ) = 1
olduğundan yalnız
g 0 (x ) =
π
⎛1
⎞ π
k ⎜ + s ⎟ sin
k
⎝k
⎠
fonksiyonunu maksimum yapan değeri bulmamız yeterli olacaktır. O halde
k
1
1 2
⇒
< =
k k
2
1 + sk
2
1 + sk >
bulunur. Buna bağlı olarak da
g 0 (x ) ≤
2π
k sin
elde edilir. H n
2
π
k
≤ sup g 0 (x ) olduğundan
Hn
2
≤
2π
k sin
π
k
bulunur ki, bu da istenendir.
Teorem 5.2.3. [30,32]
n
⎤
⎡
1
1
Hn = ⎢
matrisinde g = ve h = 1 alındığında
⎥
2
⎣ g + (i + j )h ⎦ k , j =1
n
⎤
⎡
⎥
⎢
1
Hn = ⎢
⎥
⎢ 1 + (i + j ) ⎥
⎥⎦ k , j =1
⎢⎣ 2
biçimindeki Cauchy-Hankel matrisinin
p
normu için, ζ ( p )
( p > 1)
fonksiyonu olmak üzere
Hn
p
⎤
⎡
1⎞
⎛
≤ ⎢1 + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1) − ⎜ 2 p −1 − ⎟ζ ( p ) − ln 2⎥
2⎠
⎝
⎦
⎣
Hn
(
p
)
⎤
⎡⎛
1⎞
1⎞
⎛
≥ ⎢⎜ 2 p − 2 − ⎟ζ ( p − 1) − ⎜ 2 p − 2 − ⎟ζ ( p )⎥
4⎠
2⎠
⎝
⎦
⎣⎝
1/ p
1/ p
Riemann-Zeta
67
olacak şekilde alt ve üst sınır vardır.
İspat:
p
normu tanımından
Hn
p
n −1
⎡ ⎛ n
k
n−k
= ⎢2 p ⎜⎜ ∑
+
∑
p
p
k =1 (2n + 2k + 1)
⎣⎢ ⎝ k =1 (2k + 1)
⎡1 n ⎛
1
1
= 2 ⎢ ∑ ⎜⎜
−
p −1
(2k + 1) p
⎢⎣ 2 k =1 ⎝ (2k + 1)
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠⎦⎥
1/ p
⎞ n −1 ⎛
n−k
⎟ + ∑⎜
p
⎟
⎜
⎠ k =1 ⎝ (2n + 2k + 1)
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠⎥⎦
1/ p
(5.44)
olur. (5.44)’deki toplamları Polygamma fonksiyonu cinsinden ifade edersek ,
n
⎛
k =1
⎝
1
∑ ⎜⎜ (2k + 1)
p −1
⎡ (− 1) p
⎤
3⎞ ⎛
1 ⎞
⎛
ψ ⎜ p − 2, n + ⎟ + ⎜1 − p −1 ⎟ζ ( p − 1)⎥
⎢ p −1
2⎠ ⎝ 2 ⎠
2 ( p − 2 )! ⎝
⎥
⎞ ⎢
1
⎢
⎥
⎟
=
−
p ⎟
⎢
⎥
(2k + 1) ⎠
p
(
− 1)
3⎞ ⎛
1 ⎞
⎢
⎥
⎛
⎢+ 2 p ( p − 1)!ψ ⎜ p − 1, n + 2 ⎟ + ⎜1 − 2 p ⎟ζ ( p )
⎥
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎣
⎦
elde ederiz. Bu ifadenin n → ∞ için limitini alırsak,
⎛
1
1
−
lim ∑ ⎜⎜
p −1
n→∞
(2k + 1) p
k =1 ⎝ (2k + 1)
n
⎞ ⎡⎛
1
1
⎟ = ⎢⎜1 − p −1 ⎞⎟ζ ( p − 1) − ⎛⎜1 − p
⎟ ⎝ 2 ⎠
⎝ 2
⎠ ⎣
⎤
⎞
⎟ζ ( p )⎥ (5.45)
⎠
⎦
olur.
n−k
n −1
lim ∑
n→∞
(2n + 2k + 1) p
k =1
= 0 , ( p > 2)
ve
n −1
lim ∑
n→∞
k =1
n−k
(2n + 2k + 1)
2
=
1
(1 − ln 2)
4
(5.46)
olduğu için (5.45) ve (5.46)’dan
Hn
p
⎡
⎤
1⎞
⎛
≤ ⎢1 + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1) − ⎜ 2 p −1 − ⎟ζ ( p ) − ln 2⎥
2⎠
⎝
⎣
⎦
(
)
üst sınır bulunur. (5.44) ifadesinden
Hn
p
⎡
⎛ n
k
≥ ⎢2 p −1 ⎜⎜ ∑
p
⎝ k =1 (2k + 1)
⎣⎢
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠⎦⎥
1/ p
n ⎛
⎡
1
1
= ⎢2 p − 2 ∑ ⎜⎜
−
p −1
(2k + 1) p
k =1 ⎝ (2k + 1)
⎢⎣
ve (5.45)’den
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠⎥⎦
1/ p
1/ p
(5.47)
68
Hn
⎡⎛
⎤
1⎞
1⎞
⎛
≥ ⎢⎜ 2 p − 2 − ⎟ζ ( p − 1) − ⎜ 2 p − 2 − ⎟ζ ( p )⎥
2⎠
4⎠
⎝
⎣⎝
⎦
p
1/ p
(5.48)
alt sınır bulunur. Böylece (5.47) ve (5.48) eşitsizlikleri ispatı tamamlar.
Teorem 5.2.4. [30,32] c < d ve c, d ∈ R + olmak üzere
n
⎡
⎤
1
Hn = ⎢
⎥
⎣ c − (i + j )d ⎦ k , j =1
matrisinin
Hn
normu için;
p
p
1⎡ 1
c−d
c⎞
c ⎞⎤
⎛
⎛
≤ ⎢
Ψ ⎜ p − 1,2 − ⎟ − Ψ ⎜ p − 2,2 − ⎟ ⎥
d ⎣ ( p − 2 )! ( p − 1)d ⎝
d⎠
d ⎠⎦
⎝
Hn
p
⎡
⎤
1
1
1
≥⎢
+
+
⎥
p
(3d − c ) p (4d − c ) p ⎦
⎣ (2d − c )
1/ p
1/ p
( p > 2)
( p > 2)
alt ve üst sınırları geçerlidir.
İspat: H n matrisini açık olarak yazarsak,
1
⎡
⎢ c − 2d
⎢
1
⎢
⎢ c − 3d
.
Hn = ⎢
⎢
.
⎢
⎢
.
⎢
1
⎢
⎢⎣ c − (n + 1)d
matrisini elde ederiz.
Hn
p
p
+ ... +
=
. . .
. . .
. . .
.
.
1
c − (n + 2 )d
p
normu tanımından
p
+
1
c − 2d
1
c − 3d
1
c − 4d
.
2
c − 3d
n −1
c − (n + 2 )d
p
+
p
+
. . .
. . .
. . .
3
c − 4d
n−2
c − (n + 3)d
p
p
+
+
1
⎤
c − (n + 1)d ⎥
⎥
1
⎥
c − (n + 2 )d ⎥
⎥
.
⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
1
⎥
c − 2nd ⎥⎦
4
c − 5d
p
+ ... +
n−3
c − (n + 4 )d
p
(5.49)
n
c − (n + 1)d
+ ... +
p
1
c − 2nd
p
olur. Eşitliğin sağındaki toplamları, toplam sembolü ile ifade edersek,
Hn
p
⎡ n ⎛
k
= ⎢∑ ⎜
⎢ k =1 ⎜⎝ (k + 1)d − c
⎣
p
⎞ n −1 ⎛
n−k
⎟− ⎜
∑
⎟ k =1 ⎜ (n + k + 1)d − c
⎠
⎝
p
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
1/ p
(5.50)
69
olur. (5.50) ile verilen ifadedeki toplamları Polygamma fonksiyonu cinsinden
yazarsak,
n
k
∑ (k + 1)d − c
k =1
p
⎧ (− 1) p (c − d ) ⎡
d − c ⎞⎤ ⎫
d −c⎞
⎛
⎛
− Ψ ⎜ p − 1, n + 1 +
⎟ + Ψ ⎜ p − 1,1 +
⎟ ⎪
⎪
p +1 ⎢
d ⎠⎥⎦ ⎪
d ⎠
⎝
⎝
⎣
⎪ ( p − 1)! d
⎪
⎪
=⎨
⎬
⎪
⎪
p
⎡ ⎛
d −c⎞
d − c ⎞⎤ ⎪
⎛
⎪+ (− 1)
Ψ ⎜ p − 2, n + 1 +
⎟ − Ψ ⎜ p − 2,1 +
⎟
⎪⎩ ( p − 2)! d p ⎢⎣ ⎝
d ⎠
d ⎠⎥⎦ ⎪⎭
⎝
elde ederiz. Son elde ettiğimiz ifadenin n → ∞ için limiti alınırsa,
n
k
k =1
(k + 1)d − c p
lim ∑
n →∞
=
(− 1) p ⎡ c − d Ψ⎛ p − 1,1 + d − c ⎞ − Ψ⎛ p − 2,1 + d − c ⎞⎤ (5.51)
⎜
⎟
⎜
⎟
d ⎠
d ⎠⎥⎦
( p − 2)!d p ⎢⎣ ( p − 1)d ⎝
⎝
ve
n−k
n −1
lim ∑
n →∞
k =1
(n + k + 1)d − c p
=0
(5.52)
olur. (5.51)’deki bu değeri (5.50)’de yazarsak
Hn
p
⎧ (− 1) p ⎡ c − d
d −c⎞
d − c ⎞⎤ ⎫
⎛
⎛
≤⎨
p
Ψ
−
+
−
Ψ
−
+
p
1
,
1
2
,
1
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎬
⎢
p
d ⎠
d ⎠⎥⎦ ⎭
⎝
⎩ ( p − 2 )! d ⎣ ( p − 1)d ⎝
1/ p
elde ederiz. Bu eşitsizliği düzenlersek,
Hn
c−d
c⎞
1⎧ 1
c ⎞⎫
⎛
⎛
≤ ⎨
Ψ ⎜ p − 1,2 − ⎟ − Ψ ⎜ p − 2,2 − ⎟ ⎬
d ⎩ ( p − 2)! ( p − 1)d ⎝
d⎠
d ⎠⎭
⎝
p
1/ p
(5.53)
üst sınır elde edilmiş olur.
Alt sınır için de (5.50) toplamının sağ tarafında n = 2 alırsak,
Hn
p
⎡ 2 ⎛
k
≥ ⎢∑ ⎜
⎢ k =1 ⎜⎝ (k + 1)d − c
⎣
p
⎞ 2−1 ⎛
2−k
⎟− ⎜
∑
⎟ k =1 ⎜ (2 + k + 1)d − c
⎠
⎝
p
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
1/ p
olur. Bu eşitsizliği düzenlersek
Hn
p
⎡
⎤
1
2
3
≥⎢
+
+
p
(3d − c ) p (4d − c ) p ⎥⎦
⎣ (2d − c )
1/ p
elde edilir. Böylece (5.53) ve (5.54) ‘den teoremin ispatı tamamlanmış olur.
Teorem 5.2.5.[82]
h ≠ 0 , g / h ∉ Z olmak üzere
(5.54)
70
n
⎡
⎤
1
Hn = ⎢
⎥
⎣ g + (i + j )h ⎦ i , j =1
biçimindeki Cauchy-Hankel matrisinde (i + j ) = k (mod n ) yazılırsa
⎡ 1 ⎤
Hn = ⎢
⎥ k = 0,1,2,..., n − 1
⎣ g + kh ⎦ n×n
(5.55)
şeklini alır. (5.55)’deki Cauchy-Hankel matrisi için 2 ≤ p ≤ ∞ ve g, h ∈ R + olmak
üzere
n
−1 / p
Hn
p
⎛ (− 1) p
⎞
≤ ⎜⎜
Ψ ( p − 1, g / h )⎟⎟
p
⎝ ( p − 1)!h
⎠
1/ p
şeklinde bir üst sınır vardır.
İspat: H n matrisi için
1
Hn
n
p
p
n
=∑
s =1
1
g + (s − 1)h
p
dir. Bu eşitliğin sağ tarafını değerlendirirsek
n
1
∑ [g + (s − 1)h]
s =1
=
p
(− 1) p −1 [Ψ ( p − 1, n + g / h ) − Ψ ( p − 1, g / h )]
( p − 1)!h p
ifadesini elde ederiz. a∈Ζ+ ,b herhangi bir sayı n∈Ζ+ olmak üzere,
lim Ψ (a, n + b) = 0
n→∞
den ve yukarıdaki eşitlikten
n
lim ∑
n ←∞
s =1
1
[g + (s − 1)h] p
=
(− 1) p −1 Ψ ( p − 1, g / h )
( p − 1)!h p
eşitliğini elde ederiz. Sonuç olarak
n
−1 / p
Hn
p
⎛ (− 1) p
⎞
≤ ⎜⎜
Ψ ( p − 1, g / h )⎟⎟
p
⎝ ( p − 1)!h
⎠
1/ p
dir.
Teorem 5.2.6. [82] (5.55) deki H n matrisi için h ∈ Z + , g ∈ R + − Z + , h > g , n > 1
olmak üzere
1
ψ (1, g / h ) ≤ H n
h2
2
71
alt sınırı vardır.
İspat: Euclidean norm tanımından
1
Hn
n
2
E
n
=∑
s =1
1
g + (s − 1)h
2
eşitliği yazılır. Bu eşitliğin sağ tarafını Polygamma fonksiyonu cinsinden yazarsak,
n
1
∑ [g + (s − 1)h]
2
s =1
=
1
[Ψ (1, g / h ) − Ψ (1, n + g / h )]
h2
eşitliği yazılır. a∈Ζ+ ,b herhangi bir sayı n∈Ζ+ olmak üzere,
lim Ψ (a, n + b) = 0
n→∞
den ve yukarıdaki eşitlikten
n
lim ∑
n →∞
s =1
1
[g + (s − 1)h]
2
=
1
Ψ (1, g / h )
h2
dir. Buradan da
1
n
Hn
E
=
1
ψ (1, g / h )
h2
dir. Matris normu özelliklerinden ,
1
n
Hn
E
≤ Hn
2
≤ Hn
eşitsizliğinden sonuç olarak
1
ψ (1, g / h ) ≤ H n
h2
ifadesini elde ederiz ve ispat biter.
2
E
72
6. MATRİSLERİN HADAMARD ÇARPIMLARININ NORMLARI İÇİN
SINIRLAR
6.1. Hadamard Çarpım İle Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin
Normları İçin Sınırlar
Teorem 6.1.1. [83]
n
⎛
⎞
2
⎟⎟
Tn = ⎜⎜
(
)
1
2
i
j
+
−
⎝
⎠ i , j =1
matrisi için
1
Tn
n
2
≤π
dir.
⎛
⎞
1
⎟⎟ ve B = (2 ) olmak üzere Tn = A B şeklinde yazarsak
İspat: A = ⎜⎜
⎝ 1 + 2(i − j ) ⎠
Teorem 3.1.2’den
Tn
2
≤ r1 ( A)c1 (B )
yazabiliriz.
r1 ( A) = max
i
n
∑a
j =1
2
ij
⎧
⎪
⎪⎪
=⎨
⎪
⎪
⎩⎪
( n −1) / 2
1
∑ (2k − 1)
k =1
2
+
[n / 2 ]+1
1
∑ (2k − 1)
k =1
2
, n tek
(6.1)
n/2
1
2∑
(2k − 1)2
k =1
ve
c1 (B ) = max
j
olur. (6.1)’deki toplamları hesaplarsak,
n
∑b
i =1
ij
2
=2 n
, n çift
73
⎧
1 ⎛ n ⎞ π 2 1 ⎛ ⎡n⎤ ⎞
− ψ ⎜1,
+ 1⎟ , n tek
⎪ − ψ ⎜1, ⎟ +
4 ⎝ 2 ⎠ 4 4 ⎜⎝ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎟⎠
⎪⎪
r1 ( A) = ⎨
⎪
1 ⎛ n 1⎞ π 2
⎪
− ψ ⎜1, + ⎟ +
, n çift
⎪⎩
4 ⎝ 2 2⎠ 4
(6.2)
ve
c1 (B ) = 2 n
(6.3)
elde edilir. (6.2) ve (6.3)’den
Tn
2
⎧
⎛ ⎡n⎤ ⎞
⎛ n⎞
⎪ n − ψ ⎜1, ⎟ + π 2 − ψ ⎜⎜1, ⎢ ⎥ + 1⎟⎟ , n tek
⎝ 2⎠
⎪⎪
⎝ ⎣2⎦ ⎠
≤ r1 ( A)c1 (B ) = ⎨
⎪
⎛ n 1⎞
⎪
n − 2ψ ⎜1, + ⎟ + π 2
, n çift
⎪⎩
⎝ 2 2⎠
n ile bölüp sağ tarafından n → ∞ için
bulunur. (6.4) eşitsizliğinin her iki yanını
limitini alırsak ve (6.1)’i göz önüne alırsak
1
n
Tn
2
≤π
elde edilir ki, bu da ispatı tamamlar.
Teorem 6.1.2. [83]
n
⎛
⎞
2
⎟⎟
H n = ⎜⎜
⎝ 1 − 2(i + j ) ⎠ i , j =1
matrisi için
1
n
Hn
2
≤
π2
2
−4
dir.
⎛
⎞
1
⎟⎟ olmak üzere H n = A B şeklinde yazarsak
İspat: A = (2 ) ve B = ⎜⎜
⎝ 1 + 2(i − j ) ⎠
Teorem 3.1.2’den
Hn
olacaktır.
2
(6.4)
≤ r1 ( A)c1 (B )
74
n
r1 ( A) = max
∑a
i
j =1
2
ij
=2 n
(6.5)
ve
n
c1 (B ) = max
∑ bij
j
2
n
1
∑ (2k + 1)
=
i =1
k =1
(6.6)
2
olur. (6.6)’deki toplamın değeri
1⎞ π
⎛
c1 (B ) = ψ ⎜1, n + ⎟ +
−1
2⎠ 8
⎝
2
olacaktır. Bu değerleri H n
2
Hn
≤ r1 ( A)c1 (B ) eşitsizliğinde yerlerine yazarsak
⎞
⎛ 1 ⎛
3⎞ π 2
⎜
≤ 4n⎜ − ψ ⎜1, n + ⎟ +
− 1⎟⎟
2⎠ 8
⎠
⎝ 4 ⎝
2
ve buradan
1
n
Hn
2
⎞
⎛ 1 ⎛
3⎞ π 2
≤ 4⎜⎜ − ψ ⎜1, n + ⎟ +
− 1⎟⎟
2⎠ 8
⎠
⎝ 4 ⎝
⎛
= − ψ ⎜1, n +
⎝
3⎞ π 2
−4
⎟+
2⎠ 2
(6.7)
elde edilir.(6.7) eşitsizliğinin sağ tarafından n → ∞ için limitini alınırsa
1
n
Hn
2
π2
≤
2
−4
elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Teorem 6.1.3. [83]
⎡
1
T =⎢
⎣⎢1 / 2 + i −
n
⎤
⎥
j ⎦⎥ i , j =1
(6.8)
ve
n
⎡
⎤
1
H =⎢
⎥
⎣1 / 2 + (i + j ) ⎦ i , j =1
(6.9)
matrisleri için
1
n
Tn
≤ π −4 ,
2
2
1
n
Hn
2
≤
π2
2
−
40
9
75
üst sınırları geçerlidir.
⎡
1
İspat: A = [2]n×n ve B = ⎢
⎢⎣1 + 2 i −
⎤
seçersek T = A B olur. Teorem 3.1.2’den,
⎥
j ⎥⎦ n×n
r1 ( A) = max
i
n
∑a
j =1
2
= 4n
ij
ve
c1 (B ) = max
j
n
∑b
i =1
ij
2
⎧
⎪
⎪⎪
=⎨
⎪
⎪
⎪⎩
2
( n −1) / 2
1
∑ (2s + 1)
s =1
n / 2 +1
1
∑ (2s − 1)
s =1
2
+
2
n / 2 −1
+1
, n tek
(6.10)
1
∑ (2s + 1)
s =1
2
, n çift
elde ederiz. (6.10) eşitliğinin sağ tarafını hesaplarsak,
( n −1) / 2
1
∑ (2s + 1)
s =1
n / 2 +1
1
∑ (2s − 1)
s =1
2
2
=
=
π2
1
− 1 − ψ (1, n / 2 + 1) ,
8
4
π2
1
− ψ (1, (n + 3) / 2 ) ,
8 4
(6.11)
(6.12)
ve
n / 2 −1
1
∑ (2s + 1)
s =1
2
=
π2
1
− 1 − ψ (1, (n + 1) / 2 ) ,
8
4
(6.13)
elde ederiz. Buradan
⎧
⎡π 2
⎤
1
⎪
− 1 − ψ (1, n / 2 + 1)⎥ + 1
2⎢
, n tek
4
⎪⎪
⎣ 8
⎦
c1 (B ) = ⎨
⎪ 2
⎪ π − 1 − 1 [ψ (1, (n + 3) / 2 ) + ψ (1, (n + 1) / 2 )] , n çift
⎪⎩ 4
4
olacaktır. Tn
T
2
2
≤ r1 ( A)c1 (B ) olduğundan dolayı ,
⎧
⎛ ⎡π 2
⎤ ⎞
1
⎪
4n⎜⎜ 2⎢ − 1 − ψ (1, n / 2 + 1)⎥ + 1⎟⎟
, n tek
8
4
⎪
⎣
⎦
⎝
⎠
⎪
≤ r1 ( A)c1 (B) = ⎨
(6.14)
⎪
2
⎪ 4n⎛⎜ π − 1 − 1 [ψ (1, (n + 3) / 2) +ψ (1, (n + 1) / 2)]⎞⎟ , n çift
⎜ 4
⎟
⎪⎩
4
⎝
⎠
76
olur. Eğer (6.3) eşitsizliğinin her iki tarafını
1
n
T
2
⎧
⎪
⎪
⎪
≤⎨
⎪ ⎛ 2
⎪ 4⎜ π
⎪⎩ ⎜⎝ 4
n ile bölersek , bu durumda
⎛ ⎡π 2
⎤ ⎞
1
4⎜⎜ 2⎢ − 1 − ψ (1, n / 2 + 1)⎥ + 1⎟⎟
4
⎦ ⎠
⎝ ⎣8
−1 −
, n tek
(6.15)
1
[ψ (1, (n + 3) / 2) + ψ (1, (n + 1) / 2)]⎞⎟⎟ , n çift
4
⎠
olur. (6.15) eşitsizliğinin sağ tarafındaki ifadenin n → ∞ için limiti alınırsa,
1
n
Tn
≤ π2 −4
2
(6.16)
bulunur.
⎡
⎤
1
seçersek
A = [2]n×n ve B = ⎢
⎥
⎣1 + 2(i + j ) ⎦ n×n
H = A B olur. Teorem
3.1.2’den,
r1 ( A) = max
i
n
∑a
j =1
2
ij
= 4n
ve
n
c1 (B ) = max
∑ bij
j
olur. H n
2
2
n
1
∑ (2s + 3)
=
i =1
s =1
2
=
π2
8
−
10 1
− ψ (1, n + 5 / 2)
9 4
(6.17)
≤ r1 ( A)c1 (B ) eşitsizliğinden,
Hn
2
⎡ π 2 10 1
⎤
≤ r1 ( A)c1 (B ) = 4n ⎢
− − ψ (1, n + 5 / 2 )⎥
9 4
⎣ 8
⎦
bulunur. Benzer şekilde, (6.18) eşitsizliğinin her iki yanı
1
n
Hn
2
(6.18)
n ile bölünürse
⎡ π 2 10 1
⎤
≤ 4⎢
− − ψ (1, n + 5 / 2 )⎥
9 4
⎣ 8
⎦
(6.19)
olur. (6.19)’deki eşitliğin sağ tarafının n → ∞ için limiti alınırsa,
1
n
Hn
2
≤
π2
2
−
40
9
elde edilir. (6.16) ve (6.20)’den ispat tamamlanır.
(6.20)
77
Teorem 6.1.4. [83]
⎡
1
T =⎢
⎢⎣1 / 2 + i −
i)
n
⎤
⎥
j ⎥⎦ i , j =1
matrisi olsun. Bu durumda 2 ≤ p < ∞ olmak üzere
n −1 / p T
[
≤ 2ζ ( p )(2 p − 1) − 2 p
p
]
1/ p
,
n
⎡
⎤
1
H =⎢
⎥
⎣1 / 2 + (i + j ) ⎦ i , j =1
ii)
matrisi için 3 ≤ p < ∞ olmak üzere
H
(
p
)
⎡
⎤
3 2 p −1
≤ ⎢2 P −
ζ ( p ) + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1)⎥
2
⎣
⎦
(
)
1/ p
üst sınırları geçerlidir.
İspat: i)
p
normu tanımından T matrisini yazarsak
p
T
p
n −1
p
⎛ 2 ⎞
p
= 2∑ ⎜
⎟ (n − s ) + n 2
s =1 ⎝ 2 s + 1 ⎠
n −1
⎡ n −1
⎤
s
1
= 2 p ⎢ 2n ∑
−
+ n⎥
2
∑
p
p
s =1 (2 s + 1)
⎣ s =1 (2 s + 1)
⎦
(6.21)
olur. (6.21) eşitsizliğinin her iki tarafını n ile bölersek
1
T
n
p
p
⎡ n −1
⎤
s
1
2 n −1
= 2 p ⎢ 2∑
−
+
1
⎥
∑
p
n s =1 (2 s + 1) p
⎣ s =1 (2 s + 1)
⎦
elde edilir.
s
2 n −1
→0
∑
p
n→∞ n
s =1 (2 s + 1)
lim
ve
2 n −1
1
1
⎛ 2 n −1 1
=
lim
⎜∑ p − p
∑
p
→
∞
n→∞ n
n
2
s =1 (2 s + 1)
⎝ s =1 s
lim
n −1
1
∑s
s =1
p
1
⎞ ⎡
⎛
− 1⎟ = ⎢ζ ( p )⎜1 − p
⎝ 2
⎠ ⎣
olduğu için
n −1 T
olup
p
p
⎧ ⎡
1 ⎞ ⎤ ⎫
⎛
≤ 2 p ⎨2 ⎢ζ ( p )⎜1 − p ⎟ − 1⎥ + 1⎬
⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎭
⎩ ⎣
⎞ ⎤
⎟ − 1⎥
⎠ ⎦
78
n −1 / p T
p
[
(
)
≤ 2ζ ( p ) 2 p − 1 − 2 p
]
1/ p
elde edilir.
ii)
p
normu tanımından H matrisini yazarsak
H
p
p
n −1
⎡ n
⎤
s
n−s
= 2 p ⎢∑
+
∑
p
p ⎥
s =1 (2 s + 2n + 3) ⎦
⎣ s =1 (2 s + 3)
olur.
n −1
lim ∑
n→∞
s =1
s
(2s + 3)
p
= 1−
(
)
3 2 p −1
2 p −1 − 1
(
)
ζ
p
+
ζ ( p − 1)
2 p +1
2p
ve
n−s
n −1
lim ∑
n→∞
s =1
(2s + 2n + 3) p
→0
olduğundan dolayı
H
p
p
(
)
⎡
⎤
3 2 p −1
≤ ⎢2 P −
ζ ( p ) + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1)⎥
2
⎣
⎦
(
)
olur ki, bu da istenendir.
6.2.
CAUCHY-TOEPLİTZ
VE
CAUCHY-HANKEL
MATRİSLERİNİN
HADAMARD ÇARPIMLARININ NORMLARI İÇİN SINIRLAR
Teorem 6.2.1. [83]
n
n
⎛
⎞
⎛
⎞
2
2
⎟⎟
⎟⎟
Tn = ⎜⎜
ve H n = ⎜⎜
matrisleri için
⎝ 1 + 2(i − j ) ⎠ i , j =1
⎝ 1 − 2(i + j ) ⎠ i , j =1
Tn H n
2
π4
≤
2
− 4π 2
eşitsizliği geçerlidir.
İspat: Teorem 3.1.3’den ri (Tn ) = max
i
n
∑ t ij
2
, ci (H n ) = max
j =1
üzere
k
k
i =1
i =1
∑ σ i (Tn H n ) ≤ ∑ ri (Tn )ci (H n ) k = 1,2,..., n
j
n
∑h
i =1
ij
2
olmak
79
olur. Bu eşitsizlik k = 1 özel durumu için
σ 1 (Tn H n ) ≤ r1 (Tn )c1 (H n )
(6.22)
eşitsizliğine dönüşür. Buradan,
r1 (Tn ) = max
i
n
∑t
j =1
⎧
⎪
⎪⎪
=⎨
⎪
⎪
⎩⎪
2
ij
( n −1) / 2
4
∑ (2k − 1)
k =1
2
+
[n / 2 ]+1
4
∑ (2k − 1)
k =1
2
, n tek
(6.23)
n/2
8
∑ (2k − 1)
k =1
, n çift
2
ve
n
c1 (H n ) = max
∑ hij
j
i =1
2
=
n
4
∑ (2k + 1)
k =1
(6.24)
2
elde ederiz. Eğer (6.23) ve (6.24) ‘deki toplamlar hesaplanırsa
( n −1) / 2
4
∑ (2k − 1)
k =1
[n / 2 ]+1
4
∑ (2k − 1)
k =1
n/2
2
8
∑ (2k − 1)
k =1
2
2
2
⎛ n⎞ π
= − ψ ⎜1, ⎟ +
,
⎝ 2⎠ 2
⎛ ⎡n⎤ ⎞ π 2
,
= − ψ ⎜⎜1, ⎢ ⎥ + 1⎟⎟ +
⎝ ⎣2⎦ ⎠ 2
⎛ n 1⎞
= − 2ψ ⎜1, + ⎟ + π 2
⎝ 2 2⎠
ve
n
4
∑ (2k + 1)
k =1
2
3⎞
π2
⎛
= − ψ ⎜1, n + ⎟ − 4 +
2⎠
2
⎝
elde edilir. Böylece
2
⎧
⎛ ⎡n⎤ ⎞ π 2
⎛ n⎞ π
− ψ ⎜⎜1, ⎢ ⎥ + 1⎟⎟ +
⎪ − ψ ⎜1, ⎟ +
⎝ 2⎠ 2
⎪⎪
⎝ ⎣2⎦ ⎠ 2
r1 (Tn ) = ⎨
⎪
⎛ n 1⎞
⎪
− 2ψ ⎜1, + ⎟ + π 2
⎪⎩
⎝ 2 2⎠
, n tek
(6.25)
, n çift
ve
π2
3⎞
⎛
c1 (H n ) = − ψ ⎜1, n + ⎟ − 4 +
2⎠
2
⎝
(6.26)
olur. (6.25) ve (6.26)’deki eşitsizliklerin sağ taraflarının n → ∞ için limitleri alınırsa
80
r1 (Tn ) = π , c1 (H n ) =
π2
2
−4
(6.27)
olarak elde edilir. (6.27)’de elde ettiğimiz değerleri (6.22) de yerine yazarsak,
σ 1 (Tn H n ) ≤ r1 (Tn )c1 (H n ) ≤ π
olur. Aynı zamanda σ 1 (Tn H n ) ≤ Tn H n
Tn H n
2
≤
π2
−4
2
olduğundan
2
π4
2
− 4π 2
bulunur. Bu da ispatı tamamlar.
Sonuç 6.2.1. [83]
n
n
⎛
⎞
⎛
⎞
2
2
⎟⎟
⎟⎟
Tn = ⎜⎜
ve H n = ⎜⎜
matrisleri için
⎝ 1 + 2(i − j ) ⎠ i , j =1
⎝ 1 − 2(i + j ) ⎠ i , j =1
n −1 / p Tn H n
p
[
][
]
≤ 21 / p {(2 p − 1)ζ ( p ) 1 + (2 p − 1)ζ ( p − 1) − (2 p −1 − 1 / 2 )ζ ( p ) − ln 2 }
1/ p
eşitsizliği geçerlidir.
İspat: Teorem 5.1.7. ve 5.2.3.’den
n −1 / p Tn
p
[
]
≤ 21 / p (2 p − 1)ζ ( p )
1/ p
(6.28)
ve
Hn
p
⎡
⎤
1⎞
⎛
≤ ⎢1 + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1) − ⎜ 2 p −1 − ⎟ζ ( p ) − ln 2⎥
2⎠
⎝
⎣
⎦
(
)
1/ p
(6.29)
olur.
Tn H n
p
≤ Tn
p
Hn
(6.30)
p
olduğu için, (6.30)’deki eşitsizliğin her iki tarafını n −1/ p ile çarparsak
n −1 / p Tn H n
p
≤ n −1 / p Tn
p
Hn
p
olur. (6.28) ve (6.29)’den ,
n −1 / p Tn H n
p
[
][
]
≤ 21 / p {(2 p − 1)ζ ( p ) 1 + (2 p − 1)ζ ( p − 1) − (2 p −1 − 1 / 2 )ζ ( p ) − ln 2 }
bulunur ve ispat biter.
1/ p
81
Sonuç 6.2.2. [83]
⎡
1
T =⎢
⎢⎣1 / 2 + i −
n
n
⎤
⎡
⎤
1
matrisleri için
⎥ , H =⎢
⎥
j ⎥⎦ i , j =1
⎣1 / 2 + (i + j ) ⎦ i , j =1
Tn H n
2
≤
⎛ π 2 40 ⎞
π − 4 ⎜⎜
− ⎟⎟
9 ⎠
⎝ 2
(
)
2
üst sınırı geçerlidir.
İspat: Maksimum satır uzunluğu normunun tanımından
r1 (T ) = max
i
n
∑t
j =1
2
ij
⎧
⎡ (n −1) / 2
⎤
1
⎪
+
1
4⎢2 ∑
⎥
2
⎪
s =1 (2 s + 1)
⎣
⎦
⎪
=⎨
⎪ ⎡ n / 2+1
n / 2 −1
⎤
1
1
⎪ 4⎢ ∑
+
∑
2
2 ⎥
⎪⎩ ⎣ s =1 (2s − 1)
s =1 (2 s + 1) ⎦
, n tek
, n çift
ve (6.11), (6.12), (6.13)’den
⎧
⎡π 2
⎤
1
⎪
4⎢ − 1 − ψ (1, n / 2 + 1)⎥
, n tek
4
4
⎪
⎣
⎦
⎪
r1 (T ) = ⎨
⎪ ⎛π 2
⎞
1
⎪ 4⎜
⎟⎟ , n çift
(
(
)
)
(
(
)
)
1
1
,
n
3
/
2
1
,
n
1
/
2
−
−
+
+
+
[
ψ
ψ
]
4
⎪⎩ ⎜⎝ 4
⎠
(6.31)
olur. Benzer düşünce ile, maksimum sütun uzunluğu norm tanımı ve (6.17)’den
n
c1 (H ) = max ∑ hij
j
2
i =1
bulunur. T H
⎧
⎪
⎪
⎪
T H 2 ≤⎨
⎪
⎪
⎪⎩
2
=
n
1
∑ (2s + 3)
s =1
2
π2
=
8
−
10 1
− ψ (1, n + 5 / 2)
9 4
(6.32)
≤ r1 (T )c1 (H ) eşitsizliği, (6.31) ve (6.32)’den
⎡π 2
⎤ ⎡π 2 10 1
⎤
1
4⎢ −1− ψ (1, n / 2 +1)⎥4⎢ − − ψ (1, n + 5 / 2)⎥
4
⎣4
⎦ ⎣8 9 4
⎦
, n tek
⎤
⎞ ⎡π 2 10 1
⎛π 2
1
4⎜⎜ −1− [ψ (1, (n + 3) / 2) +ψ (1, (n +1) / 2)]⎟⎟4⎢ − − ψ (1, n + 5 / 2)⎥ , n çift
4
⎦
⎠ ⎣8 9 4
⎝4
elde edilir. Yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafındaki n → ∞ için limitleri alınırsa
Tn H n
elde edilir. Bu da istenendir.
2
≤
(π
2
⎛ π 2 40 ⎞
− 4 ⎜⎜
− ⎟⎟
9 ⎠
⎝ 2
)
82
Sonuç 6.2.3. [83]
n
⎡
1
T =⎢
⎢⎣1 / 2 + i −
n
−1 / p
T H
n
⎤
⎡
⎤
1
matrislerinin Hadamard çarpımı için
⎥ , H =⎢
⎥
j ⎥⎦ i , j =1
⎣1 / 2 + (i + j ) ⎦ i , j =1
(
p
)
⎡⎛
⎤
⎞
3 2 p −1
≤ ⎢⎜⎜ 2 P −
ζ ( p ) + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1)⎟⎟ 2ζ ( p ) 2 p − 1 − 2 p ⎥
2
⎠
⎣⎝
⎦
(
)
(
(
)
)
1/ p
eşitsizliği geçerlidir.
İspat:
A B ≤ A B eşitsizliğinden yararlanarak
n −1 / p T H
p
≤ n −1 / p T
p
H
p
yazabiliriz.
Teorem 6.1.4’deki(i-ii) istenen elde edilir.
Teorem 6.2.2. [30]
n
n
⎛
⎞
2
⎟⎟
Tn = ⎜⎜
⎝ 1 + 2(i − j ) ⎠ i , j =1
çarpımlarının
p
ve
⎛
⎞
2
⎟⎟
H n = ⎜⎜
⎝ 1 − 2(i + j ) ⎠ i , j =1
matrislerinin
Hadamard
normu için
1/ p
Tn H n
p
⎧ 1 ⎡
1
1⎞ ⎤ ⎛
5 ⎞⎫
⎛
≥⎨
ψ ⎜ p − 1, ⎟ − 1⎥ψ ⎜ p − 1, ⎟⎬
⎢ p
2⎠ ⎦ ⎝
4 ⎠⎭
⎩ ( p − 1)! ⎣ 2 ( p − 1)! ⎝
ve
1/ p
Tn H n
p
⎧ 1
3⎞
1 ⎡
1
1⎞ ⎤ ⎛
5 ⎞⎫
⎛
⎛
≤⎨
ψ ⎜ p − 1, ⎟ +
ψ ⎜ p − 1, ⎟ − 1⎥ψ ⎜ p − 1, ⎟⎬
⎢ p
4 ⎠ ( p − 1)! ⎣ 2 ( p − 1)! ⎝
2⎠ ⎦ ⎝
4 ⎠⎭
⎩ ( p − 1)! ⎝
alt ve üst sınırları vardır.
İspat: Tn ve H n matrislerinin Hadamard çarpımını formüle edersek,
83
Tn
4
⎡
−
⎢
3
⎢
4
⎢
−
⎢
3 .5
⎢
4
−
⎢
5 .7
Hn = ⎢
.
⎢
⎢
.
⎢
⎢
.
⎢
4
⎢−
−
2
1
2 n + 1)
(
)(
n
⎣
4
5
4
−
7
4
−
3 .9
.
4
3 .7
4
9
4
−
11
.
.
.
.
−
(2 n − 3)(2n + 3)
p
...
...
.
4
−
4
(2 n − 5 )(2 n + 5 )
1
1
1
⎡
−
⎢
3
5
3.7
⎢
1
1
1
⎢
−
−
⎢
3.5
7
9
⎢
1
1
1
−
−
−
⎢
5.7
3.9
11
= 4⎢
.
.
.
⎢
⎢
.
.
.
⎢
⎢
.
.
.
⎢
1
1
1
.
−
−
⎢−
(2n − 3)(2n + 3) (2n − 5)(2n + 5)
⎣ (2n − 1)(2n + 1)
elde ederiz. (6.33) ifadesinin
...
. . .
4
⎤
(2 n − 3)(2 n + 1) ⎥⎥
4
⎥
(2 n − 5 )(2 n + 3) ⎥
⎥
4
⎥
(2 n − 7 )(2 n + 5 )⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
4
⎥
(4n − 1) ⎦
1
⎤
(2n − 3)(2n + 1) ⎥⎥
1
⎥
...
(2n − 5)(2n + 3) ⎥
⎥
1
...
⎥ (6.33)
(2n − 7 )(2n + 5)⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
1
. .
⎥
(4n − 1) ⎦
...
normu,
1/ p
Tn H n
p
1
1
1
1
1
⎫
⎧1
⎪
⎪ 3 p + 7 p + ... + (4n − 1) p + 5 p + 9 p + ... + (4n − 1) p
⎪
⎪
= 4⎨
⎬
1
1
1
⎪
⎪+ 1 + ... +
...
+
+
+
⎪⎩ 3 p 7 p
(2n − 3) p (2n + 1) p 3 p 5 p
(2n − 1) p (2n + 1) p ⎪⎭
olur. Bu toplamlar, toplam sembolü ile ifade edilirse,
Tn H n
p
n −1 ⎡⎛
⎧⎪ n
1
1
1
= 4⎨∑
+
+
⎢⎜⎜
∑
p
p
(2s + 1) p
s =1 ⎢
⎪⎩ k =1 (4k − 1)
⎣⎝ (2s − 1)
1/ p
⎤ ⎫⎪
⎞ n− s
1
⎟∑
⎟ (4k + 2s − 1) p ⎥ ⎬
⎥⎦ ⎪⎭
⎠ k =1
elde edilir. Bu eşitlikteki son toplamda s = 1 alırsak, bu denklemin sağ tarafı büyür.
Yani,
Tn H n
p
n −1 ⎡⎛
⎧⎪ n
1
1
1
≤ 4⎨∑
+ ∑ ⎢⎜⎜
+
p
p
(2s + 1) p
s =1 ⎣
⎪⎩ k =1 (4k − 1)
⎢⎝ (2s − 1)
1/ p
⎤ ⎫⎪
⎞ n −1
1
⎟∑
⎟ (4k + 1) p ⎥ ⎬
⎠ k =1
⎦⎥ ⎪⎭
olacaktır. (6.34) eşitsizliği Polygamma fonksiyonu cinsinden ifade edilirse
n
1
∑ (4k − 1)
k =1
p
=
⎡
1
(− 1) p −1ψ ⎛⎜ p − 1, n + 3 ⎞⎟ + (− 1) pψ ⎛⎜ p − 1, 3 ⎞⎟⎤⎥ ,
⎢
4⎠
4 ⎠⎦
2 ( p − 1)! ⎣
⎝
⎝
2p
(6.34)
84
p −1
⎡ 1
⎡ ⎛
1⎞
1⎞
1⎞ ⎤
1 ⎤ (− 1)
⎛
⎛
ψ ⎜ p − 1, n − ⎟ + ψ ⎜ p − 1, n + ⎟ + ψ ⎜ p − 1, ⎟ − 1⎥
+
= p
⎢
∑
⎢
p
p⎥
2⎠
2⎠
2⎠ ⎦
(2s + 1) ⎦ 2 ( p − 1)! ⎣ ⎝
⎝
⎝
s =1 ⎣ (2s − 1)
n−1
ve
n −1
1
∑ (4k + 1)
k =1
p
=
⎡
1
(− 1) p −1ψ ⎛⎜ p − 1, n + 1 ⎞⎟ + (− 1) pψ ⎛⎜ p − 1, 5 ⎞⎟⎤⎥
⎢
4⎠
4 ⎠⎦
2 ( p − 1)! ⎣
⎝
⎝
2p
olur. (6.34) eşitsizliğinde n → ∞ için limitleri alırsak,
(− 1) ψ ⎛ p − 1, 3 ⎞
1
= 2p
⎜
⎟
p
n→∞
4⎠
2 ( p − 1)! ⎝
k =1 (4k − 1)
p
∞
lim ∑
(6.35)
p −1
⎡ 1
⎡ ⎛
(
1 ⎤
1⎞ ⎤
− 1)
lim ∑ ⎢
ψ ⎜ p − 1, n − ⎟ − 1⎥
+
= p
⎢
p
p ⎥
n→∞
2⎠ ⎦
(2s + 1) ⎦ 2 ( p − 1)! ⎣ ⎝
s =1 ⎣ (2s − 1)
∞
(6.36)
ve
∞
lim ∑
n→∞
k =1
1
(4k + 1)
p
=
5⎞
1
⎛
ψ ⎜ p − 1, ⎟
4⎠
2 ( p − 1)! ⎝
(6.37)
2p
elde ederiz. (6.35), (6.36) ve (6.37) ‘yi (6.34)’de yerine yazarsak
1/ p
Tn H n
p
⎫
⎧ 1
3⎞
⎛
⎪
⎪ ( p − 1)!ψ ⎜ p − 1, 4 ⎟ +
⎝
⎠
⎪
⎪
≤⎨
⎬
1
1⎞ ⎤ ⎛
5 ⎞⎪
⎛
⎪ 1 ×⎡
ψ ⎜ p − 1, ⎟ − 1⎥ψ ⎜ p − 1, ⎟
⎪ ( p − 1)! ⎢⎣ 2 p ( p − 1)! ⎝
2⎠ ⎦ ⎝
4 ⎠⎪⎭
⎩
(6.38)
şeklinde bir üst sınır elde edilir.
(6.34) eşitsizliğinin sağ tarafındaki birinci toplamı ihmal edersek
Tn H n
p
⎧⎪ n −1 ⎡⎛
1
1
≥ 4⎨∑ ⎢⎜⎜
+
p
(2s + 1) p
⎪⎩ s =1 ⎣⎢⎝ (2s − 1)
1/ p
⎤ ⎫⎪
⎞ n −1
1
⎟∑
⎟ (4k + 1) p ⎥ ⎬
⎠ k =1
⎦⎥ ⎪⎭
(6.39)
olur. (6.36) ve (6.37) ‘yi (6.39)’de yerine yazarsak
1/ p
Tn H n
p
⎧ 1 ⎡
1
1⎞ ⎤ ⎛
5 ⎞⎫
⎛
≥⎨
ψ ⎜ p − 1, ⎟ − 1⎥ψ ⎜ p − 1, ⎟⎬
⎢ p
2⎠ ⎦ ⎝
4 ⎠⎭
⎩ ( p − 1)! ⎣ 2 ( p − 1)! ⎝
bulunur. Böylece (6.38) ve (6.40)’den teoremin ispatı tamamlanmış olur.[4]
(6.40)
85
Teorem 6.2.3. [30]
n
n
⎡
⎤
1
Tn = ⎢
⎥ ve
⎣ a + (i − j )b ⎦ i , j =1
⎡
⎤
1
Cauchy-Toeplitz
Hn = ⎢
⎥
⎣ c − (i + j )d ⎦ k , j =1
ve
Cauchy-
Hankel matrisleri olsun. a < b , c < d ve a, b, c, d ∈ R + olmak üzere Tn H n
matrislerinin
p
normu için
1/ p
Tn H n
p
⎧
⎫
1
c ⎞
⎛
ψ ⎜ p − 1,1 +
⎟+
⎪ p
⎪
2d ⎠
1 ⎪ a ( p − 1)! ⎝
⎪
≤
⎨
⎬
2d ⎪
⎡ ⎛
1
c + d ⎞⎪
a ⎞⎤ ⎛
a⎞
⎛
ψ p − 1,1 − ⎟ + ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟⎥ψ ⎜ p − 1,1 +
⎟
⎪ b p [( p − 1)!]2 ⎢⎣ ⎜⎝
2d ⎠⎪⎭
b ⎠⎦ ⎝
b⎠
⎝
⎩
ve
1/ p
Tn H n
p
⎧⎪ 1 ⎡
⎤
⎡ 1
1
1
1
1 ⎤ ⎫⎪
≥⎨ p ⎢
+
+
+
⎬
⎥
⎢
p
(4d − c ) p ⎦ (3d − c ) p ⎣ (b − a ) p (b + a ) p ⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ a ⎣ (2d − c )
eşitsizlikleri geçerlidir.
Teorem 6.2.4. [73]
n
⎡
⎤
1
,
Tn = ⎢
⎥
⎣ a + (k − j )b ⎦ k , j =1
n
⎡
⎤
1
Hn = ⎢
⎥
⎣ a + (k + j )b ⎦ k , j =1
Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-
Hankel matrisleri olsunlar. 2 ≤ p < ∞ , b > a ve a, b ∈ R − {0} olmak üzere bu
matrislerin Hadamard çarpımlarının
p
normu için ,
⎫
⎧
(− 1) p
a ⎞
⎛
ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟ +
⎪
⎪
p p p
2b ⎠
⎝
⎪
⎪ ( p − 1)!2 a b
Tn H n p ≤ ⎨
⎬
⎡ ⎛
1
a⎞
a ⎞⎤
a + b ⎞⎪
⎛
⎛
⎪
ψ p − 1,1 − ⎟ + ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟⎥ ×ψ ⎜ p − 1,1 +
⎟
⎪ [( p − 1)!]2 2 p b 2 p ⎢⎣ ⎜⎝
b⎠
b ⎠⎦
2b ⎠⎪⎭
⎝
⎝
⎩
olacak şekilde bir üst sınır vardır.
1/ p
Sonuç 6.2.4. [73] a ∈ R + − Z + ve b ∈ Z + olmak üzere
n
⎡
⎤
1
Tn = ⎢
,
⎥
(
)
a
k
j
b
+
−
⎣
⎦ k , j =1
n
⎡
⎤
1
Hn = ⎢
⎥
⎣ a + (k + j )b ⎦ k , j =1
Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-
Hankel matrislerinin Hadamard çarpımlarının spektral normu için ,
86
Tn H n
≤
2
π2
sin 2 (πa )
olacak şekilde bir üst sınır vardır.
İspat: Teorem 3.1.5.‘den
Tn H n
≤ Tn Tn
2
1/ 2
2
Hn Hn
vardır. Diğer taraftan Teorem 5.1.3.’den Tn
Hn
2
≤
1/ 2
2
≤
2
≤ Tn
2
Hn
(6.41)
2
π
ve Teorem 5.2.1.’den
sin (πa )
π
sin (aπ )
olup (6.41) ifadesi ile birlikte
Tn H n
2
≤ Tn
Hn
2
2
≤
π2
sin 2 (πa )
yazılır ve ispat tamamlanmış olur.
Teorem 6.2.5. [82] 1 < k ∈ Z + olmak üzere
n
n
⎡
⎤
⎡
⎤
k
k
Tn = ⎢
, Hn = ⎢
şeklinde tanımlı Cauchy-Toeplitz ve
⎥
⎥
⎣1 + (i − j )k ⎦ i , j =1
⎣1 + (i + j )k ⎦ i , j =1
Cauchy-Hankel matrislerinin Hadamard çarpımlarının Euclide normu için
Tn H n
E
1⎞
1 ⎞⎡ ⎛
k⎧ ⎛
⎛
≤ ⎨ψ ⎜1,1 +
⎟ ⎢ψ ⎜1,1 − ⎟ + ψ ⎜1,1 +
2k ⎠ ⎣ ⎝
2⎩ ⎝
k⎠
⎝
1/ 2
1 ⎞ ⎤⎫
⎟ +1 ⎬
k ⎠ ⎥⎦ ⎭
ve
Tn H n
E
1 ⎞⎡ ⎛
1⎧ ⎛
≥ ⎨ψ ⎜1,1 +
⎟ ψ ⎜1,1 +
2k ⎠ ⎢⎣ ⎝
2⎩ ⎝
1/ 2
1⎞
1 ⎞⎤ ⎫
⎛
⎟ + ψ ⎜1,1 − ⎟⎥ ⎬
k⎠
k ⎠⎦ ⎭
⎝
olacak şekilde alt ve üst sınır vardır.
İspat: Tn ve H n matrislerinin Hadamard çarpımını yazarsak
87
Tn
⎡
k2
⎢
1 + 2k
⎢
k2
⎢
⎢
(1 + 3k )(1 + k )
Hn = ⎢
.
⎢
⎢
.
⎢
.
⎢
k2
⎢
⎢⎣ (1 + (n + 1)k )(1 + (n − 1)k )
1
⎡
⎢
1 + 2k
⎢
1
⎢
⎢
(1 + 3k )(1 + k )
= k2⎢
.
⎢
.
⎢
.
⎢
1
⎢
⎢ (1 + (n + 1)k )(1 + (n − 1)k )
⎣
⎤
k2
(1 + (n + 1)k )(1 − (n − 1)k ) ⎥⎥
k2
⎥
(1 + (n + 2)k )(1 − (n − 2)k )⎥
⎥
.
⎥
. .
⎥
.
⎥
. .
.
2
⎥
k
⎥
. .
1 + 2nk
⎥⎦
k2
.. .
(1 + 3k )(1 − k )
k2
.. .
1 + 4k
.
.
.
1
⎤
(1 + (n + 1)k )(1 − (n − 1)k ) ⎥⎥
1
⎥
(1 + (n + 2)k )(1 − (n − 2)k )⎥
⎥
.
. .
⎥
.
⎥
. .
.
⎥
1
⎥
. .
⎥
1 + 2nk
⎦
1
.. .
(1 + 3k )(1 − k )
1
.. .
1 + 4k
.
.
.
şeklinde formüle edebiliriz. Euclide normu tanımından
Tn H n
2
E
⎧
⎫
1
1
1
+
+ ... +
⎪
2
2
2
2
2
(1 + 3k ) (1 − k )
[1 + (n + 1)k ] [1 − (n − 1)k ] ⎪⎪
⎪ (1 + 2k )
⎪⎪
⎪⎪
1
1
1
= k 4 ⎨+
+
+
+
...
⎬
2
2
(1 + 4k )2
[1 + (n + 2)k ]2 [1 − (n − 2)k ]2 ⎪
⎪ (1 + 3k ) (1 + k )
⎪
⎪
1
1
+
+
...
⎪+
⎪
⎪⎩ [1 + (n + 1)k ]2 [1 + (n − 1)k ]2
⎪⎭
(1 + 2nk )2
2
şeklinde yazılır. Bu ifadeyi toplam formunda yazarsak
Tn H n
2
E
1
⎧n
+
⎪∑
2
(
)
1
2
ks
+
=
1
s
⎪
= k4⎨
n −1
1
1
⎪ ⎡⎛⎜
+
⎢
∑
2
⎜
⎪ s =1 ⎢ (1 − sk )
(1 + sk )2
⎩ ⎣⎝
⎞⎛ n − s
1
⎟⎜ ∑
⎟⎜ (1 + (2t + s )k )2
⎠⎝ t =1
⎫
⎪
⎪
⎬
⎤
⎞ ⎪
⎟⎥
⎟ ⎪
⎠⎥⎦ ⎭
(6.42)
olur. Bu eşitlikte
n−s
∑ (1 + (2t + s )k )
t =1
n
1
2
<∑
t =1
1
(1 + 2kt )2
olduğundan,
Tn H n
n −1 ⎛
⎡n
1
1
1
⎜
≤ k ⎢∑
+
+
∑
2
2
⎜
(1 + sk )2
s =1 ⎝ (1 − sk )
⎣⎢ s =1 (1 + 2ks )
2
E
⎤
⎞ n
1
⎟∑
⎟ (1 + 2kt )2 ⎥
⎠ t =1
⎦⎥
1/ 2
(6.43)
88
elde edilir. Polygamma fonksiyon özelliğinden
n
1
∑ (1 + 2ks )
s =1
⎛
n −1
1
∑ ⎜⎜ (1 − sk )
⎝
s =1
2
1
+
(1 + sk )2
n
1
∑ (1 + 2kt )
t =1
2
⎡ ⎛
1 ⎞⎤
1 ⎞
⎛
⎢ψ ⎜1,1 + 2k ⎟ − ψ ⎜1, n + 1 + 2k ⎟⎥ ,
⎠
⎝
⎠⎦
⎣ ⎝
1
4k 2
=
2
⎡ ⎛
1⎞
1⎞ ⎤
⎛
ψ ⎜1,1 − ⎟ + ψ ⎜1,1 + ⎟ ⎥
⎢
⎞ 1
k⎠
k⎠ ⎥
⎝
⎟= 2 ⎢ ⎝
⎟ k ⎢ ⎛
1⎞
1 ⎞⎥
⎛
⎠
⎢− ψ ⎜1, n + ⎟ − ψ ⎜1, n − ⎟⎥
k⎠
k ⎠⎦
⎝
⎣ ⎝
1
4k 2
=
ve
⎡ ⎛
1 ⎞⎤
1 ⎞
⎛
⎢ψ ⎜1,1 + 2k ⎟ − ψ ⎜1, n + 1 + 2k ⎟⎥
⎠
⎝
⎠⎦
⎣ ⎝
elde ederiz. n → ∞ için limit alınırsa
∞
1
∑ (1 + 2ks )
s =1
⎛
∞
1
∑ ⎜⎜ (1 − sk )
s =1
⎝
∞
2
+
2
=
1
(1 + sk )
1
∑ (1 + 2kt )
t =1
2
2
=
1 ⎞
1 ⎛
ψ ⎜1,1 + ⎟ ,
2
2k ⎠
4k
⎝
(6.44)
⎞ 1 ⎡ ⎛
1
⎟ = 2 ⎢ψ ⎜1,1 − ⎞⎟ + ψ ⎛⎜1,1 +
⎟ k
k⎠
⎝
⎣ ⎝
⎠
1 ⎞⎤
⎟
k ⎠⎥⎦
(6.45)
1 ⎞
1 ⎛
ψ ⎜1,1 + ⎟
2
2k ⎠
4k
⎝
(6.46)
elde edilir. Bu değerler (6.42) eşitliğinde yerine konulursa
Tn H n
2
E
⎧ 1 ⎛
1 ⎞
1
≤ k ⎨ 2 ψ ⎜1,1 +
⎟+ 4
2k ⎠ 4 k
⎝
⎩ 4k
2
⎡ ⎛
1⎞
⎛
⎢ψ ⎜1,1 − k ⎟ + ψ ⎜1,1 +
⎠
⎝
⎣ ⎝
1/ 2
1⎞ ⎛
1 ⎞⎤ ⎫
⎟ ⎬
⎟ψ ⎜1,1 +
2k ⎠⎥⎦ ⎭
k⎠ ⎝
bulunur. (6.44) , (6.45) ve (6.46)’den
1/ 2
Tn H n
E
1 ⎞⎡ 1 ⎛
1⎞ 1 ⎛
1 ⎞ ⎤⎫
k⎧ ⎛
≤ ⎨ψ ⎜1,1 +
⎟ ⎢ 2 ψ ⎜1,1 − ⎟ + 2 ψ ⎜1,1 + ⎟ + 1⎥ ⎬
2k ⎠ ⎣ k
2⎩ ⎝
k⎠ k
k ⎠ ⎦⎭
⎝
⎝
olur. Böylece Tn H n
E
için bir üst sınır elde ettik.
Alt sınır elde etmek için (6.41) eşitliğinde ilk toplamı ihmal edersek,
⎡ n −1 ⎛
1
1
≥ k ⎢∑ ⎜⎜
+
2
(1 + sk )2
⎣⎢ s =1 ⎝ (1 − sk )
2
Tn H n
E
⎤
⎞ n
1
⎟∑
⎟ (1 + 2kt )2 ⎥
⎠ t =1
⎦⎥
1/ 2
elde ederiz. (6.45) ve (6.46)’den
1/ 2
Tn H n
E
1⎞
1 ⎞⎤ ⎫
1 ⎞⎡ ⎛
1⎧ ⎛
⎛
≥ ⎨ψ ⎜1,1 +
⎟ ⎢ψ ⎜1,1 + ⎟ + ψ ⎜1,1 − ⎟⎥ ⎬
2k ⎠ ⎣ ⎝
2⎩ ⎝
k⎠
k ⎠⎦ ⎭
⎝
elde edilir ve ispat tamamlanır.
(6.47)
89
7. SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu çalışmada , Cauchy-Toeplitz ve Cauchy Hankel matrislerin normlarının
sınırları için yapılan sınır çalışmalarının bir özeti çıkarıldı.Hadamard çarpım
yardımıyla elde edilen Cauchy-Toeplitz ve Cauchy Hankel matrislerin normları için
sınırlar özetlendi.Ayrıca Cauchy-Toeplitz ve Cauchy Hankel matrislerin Hadamard
çarpımları için yapılmış olan sınır çalışmalarının özeti çıkarıldı.
İnterval
matrislerin
Hadamard
çarpımlarının
sınırları
üzerine
çalışılabilir.Toeplitz ve Hankel formuna uyan yeni formda bir matris tanımlayarak
bunun üzerine sınır değerleri araştırması yapılabilir. Ayrıca yapılan bu tezin nümerik
uygulamaları yapılarak sınırların karşılaştırılması yapılabilir.
90
KAYNAKLAR.
1. Altınışık, Ercan.(1991). Doktara tezi, Selçuk Üniversitesi.
2. Ando, T.,Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. (1987). The Singular
Values of a Hadamard Product: A Basic İneguality, Linear and Multilinear
Algebra. 21: 345-365.
3. Apostol, Tom M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory, SpringerVerlag, New York Inc.
4. Barnett, S. (1990). Matrices, Methods and Applications, Clarendon Pres,
Oxford.
5. Belitskii, G.R., Lyubıch, Y.I. 1988. Matrix norms and Their Applications,
Birkha user Verlag, Basel.
6. Ben, A, Shalon,T.(1986) On Inversion of Toeplitz and Close to Toeplitz
Matrices. Linear Algebra and Its Applications 75:173-192.
7. Bini, D., Capovani, M. (1983). Spektral and Computational Properties of
Band
Symmetric
Toeplitz
Matrices.
Linear
Algebra
and
Its
Applications.52/53:99-126.
8. Bozkurt, D., (1994). On the Inverses of Toeplitz and Hankel Matrices, Jour.
Inst. Math. Comp. Sci. (Math. Ser.), Vol:7, No:1,pp:1-9..
9. Bozkurt, D., (1995). Almost Cauchy-Toeplitz Matrislerinin
p
Normları
Üzerine , VIII . Ulusal Matematik Sempozyumu, Çukurova Üniversitesi,
Adana.
10. Bozkurt, D., (1995). Cauchy-Toeplitz Matrislerinin
p
Normları Üzerine ,
Ord. Prof. Dr. Cahit Arf’ın 85. Doğum Günü Onuruna Matematik
Sempozyumu.
11. Bozkurt, D. ve Çelik, H. A.(1996). On the Distributions of the Eigenvalues of
a Non-Symmetric Matrix. The Journal of Interdiscipilinary Studies 9:87-90.
12. Bozkurt, D., (1996). On the Bounds of Cauchy-Toeplitz Matrices. Siberian
J.of Diff. Equations 2:B 125-131.
91
13. Bozkurt, D., (1996). On the Bounds of Cauchy-Toeplitz Matrices. Siberian J.
Diff. Equations Vol:3, No:2, pp:135-142.
14. Bozkurt, D., (1996). On the Bounds of the
Matrices. Proceeding of the
p
Norm of Cauchy-Toeplitz
I . Symposiom on Mathematical and
Computational Applications pp:30-36.
15. Bozkurt, D., (1996). On the
p
Norms of Cauchy-Hankel Matrices. Journal of
Scientific Research Foundation, Vol:1, No:2, pp:27-32.
16. Bozkurt, D., (1996). On the
Norm of Almost Cauchy-Toeplitz Matrices,
p
Tr. J. of Mathematics, 20:545-552.Tübitak..
17. Bozkurt, D., (1996). Genel Cauchy-Hankel Matrislerinin
p
Normları için
Sınırlar. 9. Ulusal Matematik Sempozyumu Bildiri Özetleri (İ.T.Ü.).
18. Bozkurt, D., (1997). On the
p
Norms of Hadamard Product of Cauchy-
Toeplitz Matrices and Cauchy-Hankel Matrices, Linear and Multilinear
Algebra, Vol:45, pp:333-339
19. Bozkurt, D., (1997). Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Normları İçin Sınırlar.
Sakarya Matematik Sempozyumu.
20. Bozkurt, D.,(1998). On the
p
Norms of Cauchy-Toeplitz Matrices.Linear
and Multilinear Algebra Vol. 33:231-236.
21. Bozkurt, D.,(1998). On the
p
Norms of Cauchy-Toeplitz Matrices.Linear
and Multilinear Algebra Vol:44, pp:341-346.
22. Bozkurt, D., (1998). Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Normları için Sınırlar.
11. Matematik Sempozyumu.
23. Bozkurt, D.,(1999). On the
p
Norms of Hadamard Product of Cauchy-
Toeplitz and Cauchy-Hankel Matrices. Linear and Multilinear Algebra
Vol.35:231-236.
24. Bozkurt, D.,(1999). On the
p
Norms of Hadamard Product of Cauchy-
Toeplitz and Cauchy-Hankel Matrices. Linear and Multilinear Algebra
Vol.45:341-346.
25. Bozkurt, D. ve Türen, B. 2000. Lineer Cebir, Sel-Ün Yayınları,Konya.
26. Bozkurt, D. ve Türen, B. 2001. Lineer Cebir, Sel-Ün Yayınları,Konya.
92
27. Calvetti, D., Reichel L. 1997. Factorizations of Cauchy matrices. Journal of
computation and applied mathematics 86:103-123.
28. Civciv, H. (2005). Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin KhatriRao ve Trach-Singh Çarpımlarının Normları Üzerine. Yüksek Lisans Tezi,
S.Ü. Fen Bil. Ent. Konya.
29. Cramer,H. (1946). Mathematical Methods in Statistics, Princeton University
Pres, Princeton
30. Çatak, Ö. (2001). Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin
p
Normları İçin Sınırlar.Yükek Lisans Tezi. S. Ü. Fen Bil. Enst. Konya.
31. Çelik, H.A., Bozkurt, D. (1996). An upper Bound fort he spektral norms of
Non-Negative Symmetric Toeplitz Matrices. The Journal of Interdiscipilinary
Studies 9:91-94.
32. Dal, R.V. ve ark. 1996. Hamiltonian properties of Toeplitz graphs. Discrete
mathematics 159:69-81
33. Fejer, L. (1918). Über die Eindeutigkeit der Lösüng der Linearen Partillen
Differentialgleichung zweiter Ordnung. Math. Zeit 1:70-79.
34. Fuhrmann, P. A. (1986). Remarks on the Inversion of Hankel Matrices.
Linear Algebra and Its Applications 81:89-104.
35. Gantmacher,F.R. 1960, The Theory of Matrices, Volume One, Chelsea
Publishing Company, New York.
36. Garloff, J. 1986. On power-boundness of interval matrices. Journal of
computational and applied mathematics 14:353-360.
37. Golub, G.H., Loan, C.F.V. 1983. Matrix Computations, North Oxford
Academic Publishing.
38. Gunzburger, M. D. (1982).
Stability of Gaussian Elimination Without
Pivoting On Tridiagonal Toeplitz Matrices. Linear Algebra and its
Applications, 45:21-28.
39. Güngör, A. D. (2004). Singüler ve Norm Değerleri İçin Sınırlar. Doktora
Tezi, S.Ü. Fen Bil. Enst. Konya.
40. Hadamard.(1899). Theoreme sur les Series Entieres. Acta. Math. 22:55-63.
41. Heining, G., Rost, K. (1989). Matrix Representation of Toeplitz-plus-Hankel
Matrix Inverse. Linear Algebra and its Applications, 113:65-78.
93
42. Horn, A. on the singular values of a product of completely continuous
operators, Proc. National Acad. Science, 26 (1950),273-275.
43. Horn R.A., ve Johnson C.R. (1985). Matrix Analysis, Cambridge University
Pres.
44. Horn R.A., ve Johnson C.R. , Topics in Matrix Analysis, Cambridge
University Pres, New York , 1987.
45. Horn R.A., ve Johnson C.R. (1990). Matrix Analysis, Cambridge University
Pres.
46. Horn R.A., ve Johnson C.R. (1991). Topics in Matrix Analysis, Cambridge
University Pres, New York.
47. Horn, R.A.,Kıttaneh F. 1998. Two applications of a bound on the Hadamard
product with a Cauchy matrix. The electronic journal of linear albebra 3:4-12.
48. Iohvidov, I.S. 1982. Hankel and Toeplitz Matrices and Forms, BirkHauser,
Boston.
49. Jansson, C., Rohn J. 1999. An Algorithm for checking regularity of interval
matrices. SIAM Journal of matrix analysis and applications. 20:756-776.
50. Johnson, C. R. (1988). Inegualities Relating Unitarily Invariant Norm and the
Numerical Radius. Linear Algebra and its Applications, 23:183-191.
51. Kölbig, K.S. 1972. Programs for computing the logarithm of the gamma
function and the gamma function, for complex arguments, Computer phys.
Comm.4:221-226
52. Mathias, R. (1990).The Spectral Norm of a Nonnegative Matrix, Linear
53. Algebra and its Applications, 131:269-284.
54. Mathias, R.1992. The singular values of the Hadamard product of a positive
semidefinite and a skew-symetric matrix. Linear and multilinear algebra
31:57-70
55. Mathias, R. (1993). The Hadamard operatör norm of a Circulant and
Applications. Siam J. Matrix Aanl. Appl. Vol:14, No:4, 1152-1167.
56. Mayer, G. 1984. On tthe converge of powers of interval matrices. Linear
algebra and its applications 58:201-206.
57. Moenck, R. 1977. On computing closed forms for summations.
Proc.MACSYMA users conf. 225-236.
94
58. Moutard, Th.(1894). Notes sur les Derivees Partielles. J. De L’Ecole
Polytechnigue 64:55-69.
59. Noble, B. 1969. Applied Linear Algebra, Prentice-Hall, New Jersey.
60. Noble, B. And Daniel, J. W. (1998). Applied Linear Algebra , Prentice-Hall
International Inc.
61. Parter, S.V. 1986. On the Distribution of Singular Values of Toeplitz
Matrices. Linear Algebra and Its Applications 139:1-18.
62. Rex, G., Rohn J. 1998. Sufficient conditions for regularity and singularity of
interval matrices. SIAM Journal of matrix analysis and applications.20:437447.
63. Roch, S. And Silbermann, B.1998. A note on Singular Values of Cauchy
Toeplitz Matrices. Linear Algebra and Its Applications 175-176:521-526.
64. Roch, S. And Silbermann, B.1998. A note on Singular Values of Cauchy
Toeplitz Matrices. Linear Algebra and Its Applications 275-276:531-536.
65. Rohn; J. (Technical report no:686) Czech Republic. 1996. Checking
properties of interval matrices.
66. Schur I., Bemerkungen zur Theorie der beschrankten Bilinearformen mit
unendlich vielen Veranderlichen, J. Für reine und Angewandte Math. 130
(1911) , 1-18.
67. Schur I., Bemerkungen zur Theorie der beschrankten Bilinearformen mit
unendlich vielen Veranderlichen, J. Für reine und Angewandte Math. 140
(1911) , 1-28.
68. Scott, Belsin and Steve, Ligh.(1989). Greatest Common Divisors Matrices,
Linear Algebra and Its Application, 118:69-76.
69. Seymour, V. P. (1986). On the Distribution of the Singular Values of Toeplitz
Matrices, Linear Algebra and Its Applications, 80:115-130.
70. Silbermann, B. (1993). On the Limiting Set of Singular Values of Toeplitz
Matrices. Linear Algebra and Its Applications 182:35-43.
71. Sinan, A. A.(1979). Matrislerin Mutlak Değeri En Büyük Olan Öz Değeri
İçin Sınırlar. Doçentlik Tezi, Atatürk Üniversitesi.
72. Smith, H.J.S. (1876). On the value of certain arithmetical determinant. Proc.
London math. Soc., 7:208-212.
95
73. Solak, S. (2001). Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerin Spektral
Normları İçin Sınırlar ve Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel İnterval
Matrislerin Normları , Doktara Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya.
74. Sun, J. 1996. On the variation of the spectrum of a normal matrix. Linear
algebra and its applications 246:215-223.
75. Taşçı, D. (1999). Lineer Cebir, Sel-Ün Yayınları, Konya.
76. Tekin, H. (1996). Cauchy-Toeplitz Matrislerinin
p
Normları için Sınırlar,
Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya.
77. Tilli, P. 1998. Locally Toeplitz sequences:spectral properties and
applications. Linear algebra and its applications 278:91-89.
78. Tilli, P. 1998. Singular values and eigenvector of non-Hermitian block
Toeplitz matrices. Linear algebra and its applications 275:59-89.
79. Tismenetsky, M.(1987). Determinant of Block-Toeplitz Band Matrices.
Linear Algebra and its Applications, 85:165-184..
80. Trench, W.F. 1999. Asymptomatic distribution of the evn and odd spectra of
real symmetric Toeplitz matrices. Linear algebra and its applications 302303:155-162.
81. Türkmen, R. (1999). Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerin
Normları İçin Sınırlar, Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya.
82. Türkmen R., ve Bozkurt D., On the bounds fort he norms of Cauchy-Toeplitz
and Cauchy-Hankel Matrices. Applied Mathematics and Computation 132
(2002) 633-642
83. Türkmen, R. (2003).
Matrislerin Hadamard Çarpımlarının
Normları ve
Singüler Değerleri, Doktora Tezi, S.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya.
84. Tyrtyshnikov,
E.E.
(1991).
Cauchy-Toeplitz
Matrices
and
Some
Applications, Linear Algebra and Its Applications, Vol:149, pp:1-18.
85. Tyrtyhnikov, E.F. 1994. Influence of matrix operations on the distribution of
eigenvalues and singular values of Toeplitz matrices . Linear algebra and its
applications 207:225-249.
86. Visick, G. 2000. A quantitative version of the observation that the Hadamard
product is a principal submatrix of the Kronecker product. . Linear algebra
and its applications 304:45-68.
96
87. Wang, B. and Zhang, F. (1997). Schur Complement and Matrix Inegualities
of Hadamard Products. Linear and Multilinear Algebra Vol:43:315-326.
88. Weyl, H., (1939),.Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a
linear transformation, Proc. National Acad. Science, 25,308-311.
89. Weyl, H., (1949). Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a
linear transformation, Proc. National Acad. Science, 35, 408-411.
90. Z. Xıngzhı, Inegualities For The Singular Values of Hadamard Products
91. Yıldırım M.Ö.E., Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerin Singüler
Değerleri.Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Yüksek Lisans Tezi (2004).
92. Wang, B. and Zhang, F. (1988). Another Prof of a Singular Value Ineguality
concerning Hadamard Products of Matrices. Linear and Multilinear Algebra
Vol:22:341-346.
93. Zhang, F.(2001) Matrix inegualities by means of block matrices.
Mathematical Inegualities and Applications Vol:4,481-490.
94. Zielke, G. 1988. Some remarks on matrix norms, condition numbers and error
estimates for linear equations. . Linear algebra and its applications 110:29-41.
95. Zurhmul, R. 1978. Matrisler ve Mühendislik Problemlerine Uygulamaları,
(Çev:Birkan,İ.İ.T.Ü. İstanbul)