İki Eksenli Gerilme Hali

İki Eksenli Gerilme Hali 1
İki Eksenli Gerilme Hali
Bir cismin herhangi bir P noktasındaki asal gerilmelerden birisi sıfır ise
o noktadaki gerilme hali "iki eksenli gerilme hali"dir.
Düzlem gerilme hali de denir.
Gerilme invaryantları:
2
σ1 ≠ 0
I1 ≠ 0
σ1 0 0
I2 ≠ 0
σ
σ2 ≠ 0
σ2
0 2 0
I
3=0
0 0 0
σ3 = 0
P
(
(
σ1 ≥ σ 2
σ1
3
Literatürde genellikle böyle seçilir.
1
P noktasından geçen bütün yüzeylerdeki eğik gerilme vektörleri aynı düzlem içindedir.
Gerilmelerin içinde bulunduğu düzlem, asal gerilme doğrultularından birine diktir.
Bu doğrultudaki asal gerilme sıfırdır. Diğer asal gerilmeler sıfırdan farklıdır.
Örnek
2
P
σ2
P
P
1
σ1
Kendi düzlemi içindeki kuvvetlere maruz bir levha
İki Eksenli Gerilme Hali 2
Literatürde genellikle z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılır.
2
z
1
3
( (
σ1 0 0
0 σ2 0
0
2 y
2 y
( (
≡
0
0
σ2
3
x
≡
( (
≡
0
σx σy ≠ τxy2
I2 ≠ 0
τyx σy
0
0
0
0
2
σy σ2
σ1
1
P
(
x
σ1
1
0
y'
y
0
σx
(
P
1
x'
σx'
τy'x'
P
0
2
σy'
τyx
τxy
σx' τx'y' 0
τy'x' σy' 0
2
σx' σy' ≠ τx'y'
σy
σx
x'
1
z'
3
1
σx τxy 0
y 2
2
P
z
σx 0 0
0 σy 0
0
0
x
3
1
2
y'
τx'y'
1
x
y 2
2
σ2
2
σy σ2
y
y'
2
x'
T
P
σ1
1
P
σx
x
σ1
1
P
1
P
1
x
Behcet DAĞHAN
İki Eksenli Gerilme Hali 3
İşaret kabulü
Herhangi bir eksen takımında
(+) Pozitif gerilmelerin yönleri
(−) Negatif gerilmelerin yönleri
y
y
σy
σy
τyx
τyx
τxy
σx
σx
x
τxy
τyx
τxy
σx
x
τxy
τyx
σy
σx
σy
İki Eksenli Gerilme Hali 4
Döndürülmüş eksenlerde gerilme bileşenleri (Gerilme Tansörünün Dönüştürülmesi)
Asal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
y
σy
σy'
z-ekseni ve z'-ekseni,
3-ekseni ile çakıştırılmıştır.
y'
τx'y'
y
τyx
τxy
σx
σx
σx
x
τxy
τyx
(σ) =
σy
(
θ
x'
τx'y'
σx'
θ
τxy
σx τxy
τyx σy
(
τxy (A cosθ)
Asinθ
θ
(σ' ) =
(
σx' τx'y'
τy'x' σy'
(
σy
y'
σx (A cosθ)
θ A
x
τyx
x'
τx'y' (A)
Acosθ
σx'
τy'x'
θ
σx' (A)
τyx (Asinθ)
σy (Asinθ)
ΣFx' = 0
→
σx' (A) − σx (A cosθ) cos θ − σy (Asin θ) sin θ − τxy (Acos θ) sin θ − τyx (Asin θ) cos θ = 0
σx' − σx cos2θ − σy sin2θ − τxy cosθ sinθ − τ yx sinθ cosθ = 0
→
σx' = σx cos2θ + σy sin2θ + 2 τxy cosθ sinθ
θ yerine θ+90o yazarak:
σy' = σx sin2θ + σy cos2θ − 2 τxy cosθ sinθ
τyx = τxy
ΣFy' = 0
→
τx'y' = − σx sinθ cosθ + σy sinθ cosθ + τxy (cos2θ − sin2θ)
İki Eksenli Gerilme Hali 5
σx' = σx cos2θ + σy sin2θ + 2 τxy cosθ sinθ
σy' = σx sin2θ + σy cos2θ − 2 τxy cosθ sinθ
τx'y' = − σx sinθ cosθ + σy sinθ cosθ + τxy (cos2θ − sin2θ)
(((
σx'
σy'
=
τx'y'
1 + cos 2θ
cos2θ = –––––––––
2
1 − cos 2θ
2
sin θ = –––––––––
2
2 cosθ sinθ = sin2θ
cos2θ − sin2θ = cos2θ
}
cos2θ
sin2θ
2 cosθ sinθ
sin2θ
cos2θ
−2 cosθ sinθ
−cosθ sinθ
cosθ sinθ
cos2θ − sin2θ
((
σx
σy
τxy
1 (σ + σ ) + ––
1 (σ − σ ) cos 2θ + τ sin 2θ
σx' = ––
y
y
xy
2 x
2 x
1 (σ + σ ) − ––
1 (σ − σ ) cos 2θ − τ sin 2θ
σy' = ––
y
y
xy
2 x
2 x
1 (σ − σ ) sin 2θ + τ cos 2θ
0
− ––
τx'y' =
y
xy
2 x
(((
σx'
σy'
τx'y'
=
1
cos2θ
sin2θ
1
−cos2θ
−sin2θ
0
−sin2θ
cos2θ
( (
1 (σ + σ )
––
y
2 x
1 (σ − σ )
––
y
2 x
τxy
İki Eksenli Gerilme Hali 6
Yüzey normali döndürülmüş eksene paralel olan bir yüzeye etki eden gerilme bileşenlerinin iç çarpım yardımıyla bulunması
→
Gerilme tansörünün, yüzey normali n olan bir yüzeye izdüşümü
y
y'
θ
τyx
T
σy
→
→
n = (n) =
x
→(n)
→
sinθ
→ →
(
σx τyx
τxy σy
Bir tansörün
bir vektör ile iç çarpımı = bir vektör
( ((
Tx
(T) =
σx' cosθ − τx'y' sinθ
=
Ty
cosθ
σx' sinθ + τx'y' cosθ
=
σx' sinθ + τx'y' cosθ
→
θ
τxy cosθ + σy sinθ
Fa
a
→ →
Fa = F • e
β
x
→
→
2
2
τx'y' = − σx sinθ cosθ + σy sinθ cosθ + τxy (cos θ − sin θ)
= (F)T (e)
( (
cosθ
F = F u = (F) = F
sinθ
(F)T = F (cosθ sinθ)
σx' = σx cos2θ + σy sin2θ + 2 τxy cosθ sinθ
→
e = cosβ i + sinβ j
Fa
τxy cosθ + σy sinθ
τyx = τxy
→
→
y
σx cosθ + τyx sinθ
σx cosθ + τxy sinθ
a
F
=
sinθ
→
u = cosθ i + sinθ j
F
=
Ty
→
→
→
σx' cosθ − τx'y' sinθ
Tx
→
= T = σn + τn = (T) =
T = (T) = (σ) • n = (σ)T (n) =
}
( (
(((
(
(( ( (
(
(
((
cosθ
→
θ
σn
τx'y'
τxy
→
n = cosθ i + sinθ j
x'
σx'
τn
σx
→
→
n
Bir vektörün herhangi bir doğrultuya izdüşümü,
vektör ile doğrultu üzerindeki birim vektörün
iç çarpımı (skaler çarpımı) ile bulunabilir.
Benzer şekilde, bir tansörün bir yüzeye izdüşümü de,
tansör ile yüzey normali üzerindeki birim vektörün
iç çarpımı ile bulunabilir.
→
e = (e) =
( (
Fa = F (cosθ cosβ + sinθ sinβ)
cosβ
sinβ
İki Eksenli Gerilme Hali 7
τyx σy
x1
x
(σ' ) =
σ21 σ22
Dönüştürme matrisi
(
(N) =
σx' τx'y'
→
θ11 = θ
x' ekseni ile y ekseni arasındaki açı
→
θ12 = 90o − θ
y' ekseni ile x ekseni arasındaki açı
→
θ21 = 90o + θ
y' ekseni ile y ekseni arasındaki açı
→
θ22 = θ
(N) =
(
n21
n22
( (
=
cosθ11 cosθ12
cosθ21 cosθ22
( (
=
cosθ
sinθ
−sinθ cosθ
(σ') = (N) (σ) (N)
T
σx' τx'y'
τy'x' σy'
σx' τx'y'
τy'x' σy'
n21
n22
(
x2' ekseni ile
x1 ekseni
arasındaki açı
θ21
x2' ekseni ile
x1 ekseni
arasındaki
açının kosinüsü
( (
=
m
n
−n m
→ →
n21 = e2' • e1
x2' ekseni
üzerindeki
birim
vektör
(
x1 ekseni
üzerindeki
birim
vektör
(N)T = (N)−1
Dönüştürme matrisi ortogonal bir matristir.
(
(
n12
İndislerin açıklaması
x' ekseni ile x ekseni arasındaki açı
n12
n11
Doğrultman kosinüsleri
τy'x' σy'
z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılmıştır.
n11
(
}
θ
=
σ11 σ12
→
(σ) =
x1'
x'
θ
( ( (
( (
σx τxy
→
x2'
y' x2 y
( (
( (
=
=
cosθ
sinθ
−sinθ
cosθ
m n
−n m
((
((
σx τxy
τyx σy
σx τxy
τyx σy
((
((
cosθ
−sinθ
sinθ
cosθ
m −n
n
m
(
(
İki Eksenli Gerilme Hali 8
İndis notasyonu ile:
2
2
σij' = Σ Σ nik njl σkl
(i,j = 1,2)
σij' = nik njl σkl
(i,j,k,l = 1,2)
l=1 k=1
veya
i=1
j=1
σ11' = n1k n1l σkl
(k,l = 1,2)
σ11' = n11 n11 σ11 + n11 n12 σ12 + n12 n11 σ21 + n12 n12 σ22
k=1
l=1
k=1
l=2
k=2
l=1
k=2
l=2
i=1
j=2
σ12' = n1k n2l σkl
(k,l = 1,2)
σ12' = n11 n21 σ11 + n11 n22 σ12 + n12 n21 σ21 + n12 n22 σ22
i=2
j=1
σ21' = n2k n1l σkl
(k,l = 1,2)
σ21' = n21 n11 σ11 + n21 n12 σ12 + n22 n11 σ21 + n22 n12 σ22
i=2
j=2
σ22' = n2k n2l σkl
(k,l = 1,2)
σ22' = n21 n21 σ11 + n21 n22 σ12 + n22 n21 σ21 + n22 n22 σ22
İki Eksenli Gerilme Hali 9
σij' = nik njl σkl
(i,j,k,l = 1,2)
σij = nik njl σkl'
(σ' ) = (N) (σ) (N)T
(
σx' τx'y'
τy'x' σy'
( (
( ((
m2
σy'
2
τx'y'
((
−n m
σx'
=
(σ) = (N)T (σ' ) (N)
m n
=
n
−mn
n2
m
2
mn
σx τxy
τyx σy
((
m −n
n
2mn
−2mn
2
m −n
2
m
(
(
( (
σx τxy
m −n
=
τyx σy
(( ( ( ( (
n
σx
σx
m2
σy
σy
2
τxy
τxy
=
n
mn
m
((
n2
m
σx' τx'y'
τy'x' σy'
((
−n m
2
(( (
−mn
σy'
2mn
2
m −n
(
σx'
−2mn
2
m n
τx'y'
}
}
(A)−1
(A)
τy'x' = τx'y'
(i,j,k,l = 1,2)
τyx = τxy
τyx = τxy
τy'x' = τx'y'
İki Eksenli Gerilme Hali 10
Asal gerilmeler ve asal eksen doğrultuları
(σ) =
( (( (
σx τxy
τyx σy
≡
σx' 0
(σ) =
0 σy'
( (
σ1 0
0 σ2
σ1 ≥ σ 2
(Literatürde genellikle böyle seçilir.)
"Döndürülen x' ekseni ne zaman asal eksen ile çakışır?" sorusuna cevap arıyoruz.
σy'
y'
y
σn = σx'
n
σn
σx
θ
σx'
τxy
τyx
σy
Alternatif olarak:
σn
σx'
- Asal gerilmeler normal gerilmedir.
- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.
- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.
- Gerilme hali iki eksenli olduğu zaman iki tane asal gerilme vardır.
x'
θ
x
τn = τx'y' = 0
1 (σ + σ ) + ––
1 (σ − σ ) cos 2θ + τ sin 2θ
σx' = ––
y
y
xy
2 x
2 x
dσ
–––x' = 0
dθ
dσ
–––x' = 0 = − (σx − σy) sin 2θ + 2 τxy cos 2θ
dθ
→
}
σx' = σmax
veya
σx' = σmin
σmax = σ1
σmin = σ2
2 τxy
tan 2θ = –––––––
σx − σ y
Asal eksenler ile
x, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
Asal gerilmenin etki ettiği yüzeyde kayma gerilmesi yoktur. Yani τx'y' = 0
1 (σ − σ ) sin 2θ + τ cos 2θ
τx'y' = − ––
y
xy
2 x
}
2 τxy
tan 2θ = –––––––
σx − σ y
İki Eksenli Gerilme Hali 11
Asal eksenler ile x-y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
θ = θp1
→
→
2 τxy
tan 2θ = –––––––
σx − σ y
→
(σx > σy)
→
(σx < σy)
veya
θ = θp2
Örnekler
2
y'
y
y
y'
x' 1
θ = θp1
σ2
x' 2
θ = θp2
x
σ1
1
σ1
σ2
P
P
σ1
x
σ2
σ2
σ1
İki Eksenli Gerilme Hali 12
τxy
tan 2θ = ––––––––––
1 (σ − σ )
––
y
2 x
R tan 2θ
R sin 2θ
R
τxy
2θ
1
–– (σx − σy)
2
τxy
–––––––––– R
1 (σ − σ )
––
y
2 x
R cos 2θ
τxy
sin 2θ = ––––
R
1 (σ − σ )
––
y
2 x
cos 2θ = ––––––––––
R
1 (σ + σ ) + ––
1 (σ − σ ) cos 2θ + τ sin 2θ
σx' = ––
y
y
xy
2 x
2 x
VEYA
R tan 2θ
R sin 2θ
R=
}
_________________
1 (σ − σ )]2 + τ 2
[––
y
xy
2 x
√
Asal gerilmeleri,
x-y eksenlerindeki gerilme bileşenleri
cinsinden veren bağıntılar:
σx' = σ1
θ = θp1
_________________
1
1 (σ − σ )]2 + τ 2
σ1 = –– (σx + σy) + [––
y
xy
2
2 x
√
σ1 = σ m + R
1 (σ + σ )
σm = ––
y
2 x
τxy
–––––––––– R
1 (σ − σ )
––
y
2 x
1 (σ − σ )
− ––
y
2 x
R
2θ
−τxy
−τxy
sin 2θ = –––––
R
1
− –– (σx − σy)
2
cos 2θ = –––––––––––––
R
R cos 2θ
1 (σ + σ ) + ––
1 (σ − σ ) cos 2θ + τ sin 2θ
σx' = ––
y
y
xy
2 x
2 x
θp2 = θp1 ± 90o
1 (σ + σ )
= ––
2
2 1
}
σx' = σ2
θ = θp2
_________________
1
1 (σ − σ )]2 + τ 2
σ2 = –– (σx + σy) − [––
y
xy
2
2 x
√
σ2 = σ m − R
İki Eksenli Gerilme Hali 13
Gerilme halinin invaryantları
Gerilme tansörünün değişmezleri
(σ) =
(
σ1 0
0
σ2
((
≡
σx τxy
τyx σy
( (
≡
σx' τx'y'
τy'x' σy'
(
Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen eksenler değiştikçe o noktadaki gerilme halini gösteren tansörün bileşenleri
de değişir. Fakat değişmeyen bazı değerler vardır. İşte bu değerlere gerilme halinin invaryantları denir.
Gerilme hali, iki eksenli olduğu zaman iki tane gerilme invaryantı vardır.
Gerilme halinin invaryantlarını x-y eksenlerindeki gerilme bileşenleri cinsinden bulalım:
τxy
τyx
σy−λ
|
→
=0
→
λ2 − I 1 λ + I 2 = 0
→
σx−λ
→
|
Gerilme tansörünün
birinci invaryantı
Gerilme tansörünün
ikinci invaryantı
I1 = σ x + σ y
I2 =
|
σx τxy
τyx σy
I1 ve I2 değerleri, eksen takımı değişse de değişmeyen değerlerdir.
I1 = σ1 + σ2 = σx + σy = σx' + σy'
I2 =
|
σ1 0
0
σ2
||
=
σx τxy
τyx σy
| |
=
σx'
Bu ikinci dereceden denklemin kökleri
asal gerilmeleri verir.
τx'y'
τy'x' σy'
|
|
λ1 = σ 1
λ2 = σ 2
σ1 1
_
I +
σ2 = ––
2 1
__________
1 I )2 − I
(––
2
2 1
√
Asal gerilmeler
gerilme tansörünün özdeğerleridir.
İki Eksenli Gerilme Hali 14
Kayma gerilmesinin ekstremum değerleri ve doğrultuları
"Eksenler döndürülürken hangi yüzeyde kayma gerilmesi ekstremum olur?" sorusuna cevap
arıyoruz.
1 (σ − σ ) sin 2θ + τ cos 2θ
τx'y' = − ––
y
xy
2 x
dτx'y'
––––
=0
dθ
}
τx'y' = (τx'y')max
veya
τx'y' = (τx'y')min
dτx'y'
––––
= 0 = − (σx − σy) cos 2θ − 2 τxy sin 2θ
dθ
→
σx − σ y
tan 2θ = − –––––––
2 τxy
Kayma gerilmesinin ekstremum olduğu yüzeylerin normali ile
x, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
Kayma gerilmesinin ekstremum olduğu yüzeylerde normal gerilme, genellikle, sıfır değildir.
Bu normal gerilmenin değeri:
→
1 (σ + σ ) = ––
1 I
σx' = σm = ––
y
2 x
2 1
Ortalama gerilme
İki Eksenli Gerilme Hali 15
Kayma gerilmesinin ekstremum olduğu yüzeylerin normali ile
x-y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
θ = (θs)max
σx − σ y
tan 2θ = − –––––––
2 τxy
τx'y' = (τx'y')max
→
→
veya
θ = (θs)min
τx'y' = (τx'y')min
tan2θp tan2θs = −1
2θp ± 2θs = 90o
θp ± θs = 45o
Örnekler
σ2
y
y'
σm
2
P
x'
45o
θ = θsmin
2
y
y'
P
1
(τx'y')min
θp1
x
o
45
θp1
σ1
θ = θsmax
x
x'
1
σ2
P
σm
(τx'y')max
P
σ1
İki Eksenli Gerilme Hali 16
R tan 2θ
R sin 2θ
2θ
R
R sin 2θ
R
√
VEYA
R tan 2θ
1 (σ − σ )
––
y
2 x
sin 2θ = ––––––––––
R
− τxy
cos 2θ = ––––
R
1 −σ )
––(σ
2 x y
2θ
_________________
1 (σ − σ )]2 + τ 2
R = [––
y
xy
2 x
Kayma gerilmesinin ekstremum değerlerini, x-y eksenlerindeki gerilme bileşenleri
cinsinden veren bağıntılar:
1
− –– (σx − σy)
θ = (θs)max
τx'y' = (τx'y')max
R cos 2θ
2
sin 2θ = ––––––––––––
_________________
R
1 (σ − σ )]2 + τ 2
1
(τ
)
=
[––
τ
–– (σx − σy)
x'y' max
y
xy
xy
2 x
2
cos
2θ
=
––––
− –––––––––– R
R
τxy
1 (σ − σ ) sin 2θ + τ cos 2θ
(τx'y')max = R
τx'y' = − ––
y
xy
2 x
τxy
1 −σ )
− ––(σ
2 x y
1 (σ − σ )
––
y
2 x
tan 2θ = − ––––––––––
τxy
R cos 2θ
−τxy
1 (σ − σ )
––
y
2 x
− ––––––––––
R
τxy
τx'y' = − ––1 (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ
2
}
}
√
(θs)max = (θs)min ± 90o
θ = (θs)min
_________________
1 (σ − σ )]2 + τ 2
(τx'y')min = − [––
y
xy
2 x
τx'y' = (τx'y')min
√
(τx'y')min = − R
Kayma gerilmesinin ekstremum değerlerini,
asal gerilmeler cinsinden veren bağıntılar:
1 (σ − σ )
(τx'y')max = ––
2
2 1
1 (σ − σ )
(τx'y')min = − ––
2
2 1
İki Eksenli Gerilme Hali 17
Mohr çemberi
Mohr çemberine mahsus işaret kabulü
Mohr çemberi üzerinde bir noktaya karşılık gelen bir yüzeye etki eden gerilme bileşenleri için
(−) Negatif gerilmelerin yönleri
(+) Pozitif gerilmelerin yönleri
n
σ
θ
n
θ
σn
σ
θ
τn
τn
σ = σn
τ = τn
τ
θ
σn
τ
Bazı kaynaklarda bunun tersi seçilir. Bu seçim keyfidir.
Örnekler
y
σy
n y
σ = σx
τ = −τxy
σy > 0
τyx
τxy > 0
σx > 0
σx
σ >0
τxy
τ<0
τyx
σy
τyx > 0
n
x
σ >0
τ>0
τxy
σx
σ = σy
τ = τyx
σx
x
τxy
τyx
σy
İki Eksenli Gerilme Hali 18
Mohr çemberi
Asal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
Mohr çemberi nedir?
- Bir cismin herhangi bir P noktasındaki gerilme halinin grafik gösterilimidir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilmeyi ve bileşenlerini veren grafiktir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilme bileşenleri σ ve τ değer çiftlerine
σ-τ eksen takımında karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen ve döndürülen eksenlerdeki gerilme bileşenlerini veren grafiktir
(x'-y' eksenleri döndürülen eksenlerdir).
Asal olmayan ve sabit tutulan x, y eksenleri keyfi olarak seçilebilir veya problemde verilmiş olabilir.
y'
Mohr çemberi üzerinde bir noktaya
karşılık gelen yüzey
y
n
σx
θ
σσ
τx'y'
σx'
n
τ<0
τn
τxy
x'
→
τyx
σy
1 (σ + σ ) + ––
1 (σ − σ ) cos 2θ + τ sin 2θ
σx' = ––
y
y
xy
2 x
2 x
1 (σ − σ ) sin 2θ + τ cos 2θ
− ––
y
xy
2 x
İşaret kabulüne ve şekle göre bu gerilmenin işareti pozitiftir.
θ
→
x
τx'y' =
0
τ = − τx'y'
Mohr çemberine mahsus işaret kabulümüze ve şekle göre bu gerilmenin işareti negatiftir.
→
Yüzey normali döndürülmüş eksene paralel olan bir yüzeydeki gerilme bileşenlerini
asal olmayan gerilmeler cinsinden veren bağıntılar
{
1 (σ + σ )]2 = [––
1 (σ − σ ) cos 2θ + τ sin 2θ]2
1 (σ + σ ) + ––
1 (σ − σ ) cos 2θ + τ sin 2θ → [σ − ––
σ = ––
y
y
xy
y
y
xy
2 x
2 x
2 x
2 x
τ=
1 (σ − σ ) sin 2θ − τ cos 2θ →
+ ––
y
xy
2 x
0
1 (σ − σ ) sin 2θ − τ cos 2θ]2
τ 2 = [––
y
xy
2 x
+
2 τxy
tan 2θ = –––––––
σx − σ y
1 (σ + σ )] 2 + τ 2 = [––
1 (σ − σ )]2 + τ 2
[σ − ––
x
y
x
y
xy
Asal eksenler ile x, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
Mohr çemberinin denklemi
τ=0
→
2
2
İki Eksenli Gerilme Hali 19
1 (σ + σ )] 2 + τ 2 = [––
1 (σ − σ )]2 + τ 2
[σ − ––
x
y
x
y
xy
2
2
(σ − σm) 2 + τ 2 = R 2
Mohr çemberinin denklemi
1 (σ + σ )
σm = ––
y
2 x
R = τmax =
√ [––12 (σ − σ )] + τ
2
xy
x
y
2
2
θp1
→
1 (σ + σ ) −
σ2 = ––
y
2 x
y
→
2
xy
x
θp2
↓
√ [––12 (σ − σ )] + τ
x
↓
1 (σ + σ ) +
σ1 = ––
y
2 x
√ [––12 (σ − σ )] + τ
1 (σ + σ )
σm = ––
2
2 1
y
2
2
xy
2 τxy
tan 2θ = –––––––
σx − σ y
tan2θp tan2θs = −1
σmax = σ1 = σm + R
θs ± θp = 45o
σmin = σ2 = σm − R
→
(θs)max
→
(θs)min
↓ ↓
1 (σ − σ )
τmax = ––
2
2 1
1 (σ − σ )
τmin = − ––
2
2 1
σx − σ y
tan 2θ = − –––––––
2 τxy
İki Eksenli Gerilme Hali 20
y'
σy'
y
y'
τy'x'
τx'y'
σy
τxy
σx
σ
τ <0
τxy
x'
x
n
τx'y' > 0
τyx
σ
y
n
τyx
σx
x'
σx'
σx
θ
τxy
σ
σ
ττ
θ
τx'y' < 0
τ >0
τxy
x
y'
n
σx
x
τxy
τyx
σy
σy
(σ = σm , τ = τmax )
(σx' = σm , τx'y' =( τx'y' )min)
τ
(σ − σm) 2 + τ 2 = R 2
τn
(σ = σy , τ = τyx)
(σx' = σy , τx'y' =− τyx)
(σ = σ2 ,τ = 0)
(σx' =σ2 ,τx'y' = 0)
(σ,τ)
(σx' ,τx'y' )
2θ
(σ = σ1 , τ = 0)
(σx' = σ1 , τx'y' = 0)
(σ = σx , τ =− τxy )
(σx' = σx , τx'y' = τxy )
τx'y'
σy
σx
τyx
σy
y
τyx
x'
n
n
σ
σn
σx'
σx' = σ
τx'y' = − τ
(σ = σm , τ = τmin )
(σx' = σm , τx'y' =( τx'y' )max)
Behcet DAĞHAN
İki Eksenli Gerilme Hali 21
x' n
x' n
θ = 90
D
σx
θ = θp2
σ2
E
θ = θp2
σ
σ
x
σx
o
σ
τ>0
τxy
σx
C θ
x
τxy
τxy
τyx
σy
τyx
τyx
σy
σx
σy
σ
θ
x
τ>0
τxy
τ
x'
n
θ
τyx
B θ = θp1
σy
τn
D (σ = σy ,τ = τyx)
E (σ = σ2 ,τ = 0)
C (σ,τ)
2θ
σ1
σx
σ
B (σ = σ1 ,τ = 0)
σy
σx'
σy
τx'y'
τyx
σn
A (σ = σx , τ =− τxy )
τyx
A θ=0
τxy
σx
σx
σ
τxy
τyx
σy
σ
τxy
x' n
θ = θp1
x
τ<0
x'
x
n
Behcet DAĞHAN
İki Eksenli Gerilme Hali 22
n x'
y
=
90o
n
y'
x'
y'
x'
n
x
y
n
n
x
=
y'
n
x'
x'
=
x
x'y'
y
y'
n
2
1
45o
45o
x
n
x'
n
0
n
x
45o
x'y'
x'
x'y'
0
Kutup
n
n
x'
x
_
=
0
Behcet DAĞHAN
x'
İki Eksenli Gerilme Hali 23
σx
σy
}
2 τxy
tan 2θ = –––––––
σx − σ y
→
2
1
θp1 veya θp2
σx > σ y →
σx > σ y
τxy > 0
y
→
τxy
verilenler ise
o
45
θ = θp1
θ = θp1
x
θ<0
→ tan 2θ > 0
→
θ>0
0 < θ < 45o
σ2
τ
(σy ,τyx)
σ1
P
σ1
(σ1 ,0)
(σ2 ,0)
2θp1
σ2
σ
2θ < 0
(σx ,−τxy)
Behcet DAĞHAN
İki Eksenli Gerilme Hali 24
σx
σy
}
2 τxy
tan 2θ = –––––––
σx − σ y
→
y
2
→
τxy
verilenler ise
θp1 veya θp2
σx > σ y →
σx > σ y
τxy < 0
→ tan 2θ < 0
→
θ>0
θ = θp1
x
45o
θ<0
1
– 45o < θ < 0
τ
θ = θp1
σ1
P
(σx ,– τxy)
2θ > 0
σ2
σ2
σ1
2θp1
(σ1 ,0)
(σ2 ,0)
(σy ,τyx)
σ
Behcet DAĞHAN
İki Eksenli Gerilme Hali 25
σx
σy
}
2 τxy
tan 2θ = –––––––
σx − σ y
→
y
→
τxy
verilenler ise
2
θp1 veya θp2
σx < σ y →
σx < σ y
τxy < 0
τ
→ tan 2θ > 0
o
45
θ = θp2
θ = θp2
→
x
θ>0
0 < θ < 45o
1
σ1
(σx ,– τxy)
σ2
P
σ2
σ1
2θp2
(σ1 ,0)
(σ2 ,0)
σ
(σy ,τyx)
Behcet DAĞHAN
İki Eksenli Gerilme Hali 26
σx
σy
}
2 τxy
tan 2θ = –––––––
σx − σ y
→
y
→
τxy
verilenler ise
θp1 veya θp2
σx < σ y →
σx < σ y
τxy > 0
→ tan 2θ < 0
x
θ = θp2
→
θ<0
2
o
– 45 < θ < 0
τ
θ = θp2
45o
1
σ2
P
(σy ,τyx)
σ1
(σ1 ,0)
(σ2 ,0)
2θp2
σ1
σ2
σ
(σx ,– τxy)
Behcet DAĞHAN
İki Eksenli Gerilme Hali 27
σ1 ≠ 0
σ2 ≠ 0
τ
σ3 = 0
(
σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 0
σ1 ≥ σ 2
(σm ,τmax)
σ1 > 0
σ2 > 0
(σy ,τyx)
(σ3 ,0)
(σ,τ)
2θ
(σ2 ,0)
(σ1 ,0)
(σx ,−τxy)
(σm ,τmin)
(σ − σm)2 + τ 2 = R 2
z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılmıştır.
σ
(
İki Eksenli Gerilme Hali 28
τ
σ1 ≠ 0
σ2 ≠ 0
(σm , τmax)
σ3 = 0
(
σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 0
σ1 ≥ σ 2
σ1 > 0
(σy , τyx )
(σ,τ)
(σ2 , 0)
(σ3 , 0)
2θ
σ2 < 0
(σ1 , 0)
(σx ,− τxy)
(σ − σm)2 + τ 2 = R 2
(σm , τmin)
z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılmıştır.
σ
(
İki Eksenli Gerilme Hali 29
σ1 ≠ 0
σ2 ≠ 0
τ
σ3 = 0
(
σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 0
σ1 ≥ σ 2
(σm ,τmax)
σ1 < 0
σ2 < 0
(σy , τyx)
(σ,τ)
2θ
(σ2 , 0)
(σ1 , 0)
(σ3 , 0)
(σx ,− τxy)
(σm , τmin)
(σ − σm)2 + τ 2 = R 2
z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılmıştır.
σ
(
İki Eksenli Gerilme Hali 30
x-y eksenleri, asal eksenler ile çakıştırılırsa:
y' 2 y
n
σx = σ 1
σy = σ 2
τxy = 0
σ1
σx
x'
τσ
θ
θ
σx'
τx'y'
σ2
1
x
1 (σ + σ ) + ––
1 (σ − σ ) cos 2θ
σ = ––
2
2
2 1
2 1
1 (σ − σ ) sin 2θ
0
+ ––
τ=
2
2 1
1 (σ + σ )] 2 + τ 2 = [––
1 (σ − σ )]2
[σ − ––
1
2
1
2
2
σy
τ
2
(σ,τ)
2θ
θ
(σ2 ,0)
(σ1 ,0)
σ
σx'
τx'y'
İki Eksenli Gerilme Hali 31
Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimi
θ = 90
φ=0
o
n
Tmin
2
σ1 cos2 θ + σ2 sin2 θ
cosφ = –––––––––––––––––––
–––––––––––––––––
√ σ12 cos2 θ + σ22 sin2 θ
σ2
φ
τ
n
σ1
σ1
φ T
T2 = σ2 + τ2
2
σ2
T
Tmin
σ2
τ = T sinφ
1
σ2
φ
σ = T cosφ
σ2
θ
σ1
τ
T
1
σ1
2
1
n
σ
2
Asal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
σ2
Tmax
σ1
θ
T
θ=0
φ=0
Tmax
σ
σ1
n
σ1
σ2
θ = 90o
θ = – 90o
1 (σ + σ )] 2 + τ 2 = [––
1 (σ − σ )]2
[σ − ––
1
2
1
2
2
2
Behcet DAĞHAN
1
İki Eksenli Gerilme Hali 32
Döndürülen yüzeyin normalinin asal eksenler ile yaptığı açının Mohr çemberi üzerindeki yerleri
o
τ
=
=
(σm ,τmax)
θ
θ = – 90
θ
o
45
–1
35 o
θ = 90o
θ>0
(σ2 ,0)
(σ1 ,0)
θ<0
(σm , τmin)
θ = 90
o
θ = – 90o
θ
θ
=
=
1
– 4 35 o
5o
θ=0
θ = –180o
θ=0
θ = 180o
σ
İki Eksenli Gerilme Hali 33
θ = 90o
θ = – 90o
τ
Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimi
B
Polar koordinatlarda
- T, ekstremum değerlerini etki ettiği yüzeye dik olduğu zaman almaktadır.
- T, yüzeye dik olduğu zaman asal gerilme adını alır.
- T, yüzeye dik olduğu zaman σ ya eşit olur.
- σ, T nin dik bileşeni olduğu için T den büyük olamaz.
Dolayısıyla:
F
2
T
θ
Tmin C
σ2 G
Tmax A
σ1 E
T
Tmin
σ
n
σ2
σ1
D
H
σ1
- Asal gerilmeler normal gerilmedir.
- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.
1
σ2
θ = 90o
θ = – 90o
θ
T
θ = 90o
B
2
Tmax
E
σ1
σ1
θ = 180o
2
Tmin = σ2
T
σ2
n
T
C
D
T 2 = σ12 cos2 θ + σ22 sin2 θ
σ2
θ
Tmax = σ1
θ = –180o
Tmax = σ1
θ=0
Kutup
σ2
Tmin = σ2
T
G
θ=0
T
Tmax
A
σ1
n
σ1
1
σ2
H
- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.
- Gerilme hali iki eksenli olduğu zaman iki tane asal gerilme vardır.
Üçüncüsü sıfırdır.
F
θ = – 90o
Behcet DAĞHAN