x - ahmet elmas

TÜREV
f:(a, b)  R ve xo  (a, b) olmak üzere;
lim
x  xo
f  x   f  xo 
x  xo
limiti bir gerçel sayı ise bu limite
f fonksiyonunun xo daki türev’i denir. f’(xo) ile gösterilir.
x = xo+h olarak alınırsa ;
f ' ( xo )  lim
h 0
f ( x o  h)  f ( x o )
olur.
h
f ( x o  h)  f ( x o )
 f ' ( xo )
h 0
h
f ( x o  h)  f ( x o )
lim
 f ' ( xo )
h 0
h
lim
UYARI: Fonksiyonun xo da türevinin olması için gerek ve
yeter şart, soldan ve sağdan türevlerinin var ve eşit
olmasıdır.
c  R ve x  R için;
f(x) = xn
f(x)=c ise f’(x)=0 dır.
f’(x) = n.xn-1
ise
(cf(x))’ = cf’ (x)
(f(x)  g(x))’ = f’(x)  g’(x)
(f(x).g(x))’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x)
'
 f ( x) 
f ' ( x).g ( x)  f ( x).g ' ( x)

 
g ( x)2
 g ( x) 
 f g x'  f ' g x.g ' ( x)
f  (y
1 '
o
)
1
f ( xo )
'
181
ise
F ( x, y)  0
x  f (t ) ve y  g (t )
Fx'
dy
 '
dx
Fy
ise
dy
dy
 dt
dx
dx
dt
f ( x)  sin x
ise
f ' ( x)  cos x
f ( x)  cos x
ise
f ' ( x)   sin x
f ( x)  tan x
ise
f ' ( x)  1  tan 2 x
f ( x)  cot x
ise
f ' ( x)  (1  cot 2 x)
f ( x)  sec x
ise
f ' ( x)  sec x. tan x
f ( x)  csc x
ise
f ' ( x)   csc x. cot x
f ( x)  arcsin x ise
f ' ( x) 
1
1 x2
f ' ( x)  
f ( x)  arccos x
ise
f ( x)  arctan x
ise f ' ( x) 
f ( x)  arc cot x
ise
1
1 x2
1
1 x2
1
f ' ( x)  
1 x2
f ( x)  a x
ise
f ' ( x)  a x . ln a
f ( x)  e x
ise
f ' ( x)  e x
f ( x)  log a x
ise
f ' ( x) 
1
x. ln a
f ( x)  ln x
ise
f ' ( x) 
1
x
182
Eġitlik, tablo ve grafiği kullanarak fonksiyonların
istenen noktalarındaki TÜREVLERİNİ bulunuz.
f(x) = x2-3x+1
h’(0)=1/2
,
x g(x) g’(x)
0
3
-1
1
2
0
2
4
2
3
1
-3
4
0
3
5
4
-1
6
5
1
7
2
0
h’(3)=h’(4)=-2
h’(5)=6
,
,
h’(6)=-1
1. x=1
d
g(3x-1)=
dx
2. x=3
d
g(x2-5)=
dx
3. x=3
d
g(10-2x)=
dx
4. x=2
d 3
g (x)=
dx
5. x=1
d 2
g (x)=
dx
6. x=3
d
g(f(x))=
dx
7. x=2
d
g(h(x))=
dx
8. x=4
183
d
g(h(x))=
dx
d
h(g(x))=
dx
9. x=4
d
h(g(x))=
dx
10. x=0
11. x=3
d
g(x+h(x))=
dx
12. x=2
d
g(x2+h(x))=
dx
13. x=2
d
f(g(x))=
dx
14. x=1
d
f(x2+g(x))=
dx
15. x=0
d
g(x3+h(x))=
dx
16. x=2
d
f(x2+h(x))=
dx
17. x=0
d
g(sin x)=
dx
18. x=4
d
cos(g(x))=
dx
19. x=5
d
dx
20. x=4
g (x) =
d g ( x)
e =
dx
YANITLAR:
1. 6
2. 18
8. 2
9. 3/2
15. 0
16. 44
3. -6
4. 96
5. 0
6. 0
7. 0
13. 10
14. 6
10. 2
11. 1
12. 0
17. -1
18. 0
19. -1/4
20. 3
Aġağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.
1. x.sin x
2. x.cos x
3. x2sin x
4. x3sin x
5. x3cos x
6. sin x.cos x
7, (x2+3)sin x
8,
9.
1
sin x
x
10. x.ex
11. x3.ln x
12.
1 x
e
x
13. sin x.sin x
14. cos x.cos x
15. ex.ex
x cos x
184
16.
x ( x 3  5)
17.
19.
cos x
x2
20.
22.
sin x
cos x
23.
25.
1  sin x
x
26.
28.
31.
2  cos x
x
x
sin x
sin x
x
x2  3
x2
x7
x
cos x
sin x
ex
29.
x
32.
x 2  3x  2
x5
18.
sin x
x3
21.
x5
x3
24.
x 8
x2
27.
x
2  sin x
30.
ln x
x 1
33. sin(5x+2)
1
x
34. sin5(x2+3)
35. sin x
36. sin
37. cos4(3x-1)
38. cos(x3+7x)
39. cos x
40. cos7ex
41. tan x3
42. sin ex
43. sin(cosx)
44. cos
46. e sin x
47. e ( 7 x 1)
48. e x
49. e tan x
50. e ( x
51. ln(3x+7)
52. ln(x2+3)
53. ln(sin x)
54. ln( 2 
55. ln(tan x)
56. ln(1+x2)
57. ln(7-cos x)
58. (5x+3)3
59. (4x-1)5
60. (3x+2)10
61. (x2+3)7
62. (ex+x)5
63. (2+sin x)5
1
x2
45. e (5 x  4)
1
2
)
185
x)
64. (ex+cos x)8
67.
70.
65. (sin x+cos x)5 66.
x2  5
68.
1
71.
x 5
3
x 5  3x
3  ln x
2  sin x
69.
10  x 2
72.
e x  sin x
YANITLAR:
1. x cos x  sin x
2.  x sin x  cos x
3. x 2 cos x  2 x sin x
4. x 3 cos x  3x 2 sin x
5.  x 3 sin x  3x 2 cos x
6.  sin 2 x  cos 2 x
7. ( x 2  3) cos x  2 x sin x
8.  x sin x 
9.
1
1
cos x  2 sin x
x
x
1
2 x
cos x
10. xe x  e x
1 x 1 x
e  2e
x
x
11. x 2  3x 2 ln x
12.
13. 2 sin x. cos x
14.  2 sin x. cos x
15. 2e 2 x
16.
x .3x 2 
1
2 x
( x 3  5)
17.
x cos x  sin x
x2
18.
x 3 cos x  3x 2 sin x
x6
19.
 x 2 sin x  2 x cos x
x4
20.
( x  2)2 x  ( x 2  3)
( x  2) 2
21.
( x  3)  ( x  5)
( x  3) 2
22.
cos 2 x  sin x x
cos 2 x
186
x
23.
1
2 x
x
( x  7)
25.
x cos x  (1  sin x)
x2
27.
2  sin x  x cos x
(2  sin x) 2
29.
xe  e
x2
x
sin x.
31.
( x  2)  ( x  8)
( x  2) 2
24.
x
26.
28.
30.
 sin 2 x  cos 2 x
sin 2 x
1
x ( sin x) 
(2  cos x)
2 x
x
1
 ln x
x
( x  1) 2
( x  1)
1
 x cos x
2 x
sin 2 x
33. 5. cos(5x  2)
35. cos x .
32.
( x  5)(2 x  3)  ( x 2  3x  2)
( x  5) 2
34. 5. sin 4 ( x 2  3) cos( x 2  3).2 x
1
1
x
36. cos .(
2 x
37.  4 cos 3 (3x  1). sin(3x  1).3
39.  sin x .(
1
2 x
)
1
)
x2
38.  sin( x 3  7 x).(3x 2  7)
40. 7 cos 6 e x .( sin e x ).e x
41. sec 2 x 3 .3x 2
42. cos e x .e x
43. cos(cos x).( sin x)
44.  sin
45. e (5 x  4) .5
46. e sin x . cos x
47. e ( 7 x 1) .7
48. e x .(
49. e tan x . sec 2 x
50. e x .2 x
1
2
187
1
2
.( 3 )
2
x
x
1
)
x2
51.
3
3x  7
52.
2x
x 3
53.
cos x
sin x
54.
1
55.
1
. sec 2 x
tan x
56.
57.
sin x
7  cos x
58. 15.(5 x  3) 2
2
.
1
2 x 2 x
2x
1 x2
59. 20.(4 x  1) 4
60. 30.(3x  2) 9
61. 14 x.( x 2  3) 6
62. 5.(e x  x) 4 (e x  1)
63. 5.(2  sin x) 4 . cos x
64. 8.(e x  cos x) 7 (e x  sin x)
65. 5.(sin x  cos x) 4 (cos x  sin x)
67.
69.
71.
x
x2  5
x
10  x 2
1
2 x 3  ln x
68.
70.
72.
188
66.
cos x
2 2  sin x
5x 4  3
2 x 5  3x
 3x 2
2( x 3  5) x 3  5
e x  cos x
2 e x  sin x
ÖRNEK:
f(x) = 3x2 fonksiyonunun a = 1 için türevi?
f(a)=f(1)=3
f(a+h)=f(1+h)=3(1+h)2=3+6h+h2
f(a+h)-f(a)=6h+3h2
f (a  h)  f (a) 6h  3h 2

 6  3h
h
h
f ' (a)  lim
f ( a  h)  f ( a )
h
f ' (1)  lim
f (1  h)  f (1)
 lim (6  3h)  6
h 0
h
h 0
h 0
f(x)=3x2 nin x=1 deki teğet denklemi : y = f’(a)(x-a) + f(a)
y = 3+6(x-1)
y=6x-3
ÖRNEK:
f(x) = 5x2-2 fonksiyonunun a=1 için türevi?
f(a)=f(1)=3
f(a+h)=f(1+h)=5(1+h)2-2=3+10h+5h2
f(a+h)-f(a)=10h+5h2
f (a  h)  f (a) 10h  5h 2

 10  5h
h
h
f ( a  h)  f ( a )
h
f ' (a)  lim
h 0
f ' (1)  lim
h 0
f (1  h)  f (1)
 lim (10  5h)  10
h 0
h
f(x)=5x2-2 nin x=1 deki teğet denklemi :
y = f’(a)(x-a) + f(a)
y=3+10(x-1)
,
y=10x-7
189
ÖRNEK:
f(x) = x2 fonksiyonunun a=2 için türevi ?
f(a)=f(2)=4
f(a+h)=f(2+h)=(2+h)2=4+4h+h2
f(a+h)-f(a)=4h+h2
f ( a  h)  f ( a ) 4h  h 2

 4h
h
h
f ' (a)  lim
f ( a  h)  f ( a )
h
f ' (2)  lim
f (2  h)  f (2)
 lim (4  h)  4
h 0
h
h 0
h 0
f(x)=x2 nin x=2 deki teğet denklemi :
y = f’(a)(x-a) + f(a)
y=4(x-2)+4
y=4x-4
ÖRNEK:
f(x) = 2 x fonksiyonunun x=3 için türevi ?
f (a  h)  f (a) f (3  h)  f (3)


h
h

6  2h  6 6  2h  6
.

h
6  2h  6
f ' (3)  lim
h 0
6  2h  6
h
2
6  2h  6
f (3  h)  f (3)
2
1
 lim

h 0
h
6  2h  6
6
ÖRNEK:
x2
; x rasyonel.
0
; x irrasyonel
f(x) =
fonksiyonu için f’(0)=0 dır.
190
f ' ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
ÖRNEK:
f(x) = x2 için f’(x) = ?
f(x+h)-f(x) = (x+h)2-x2 = 2hx+h2
f ' ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
 lim (2 x  h)  2 x
h 0
h
ÖRNEK:
f(x) = 5x2-2 için f’(x) = ?
f ( x  h)  f ( x) [5( x  h) 2  2]  (5 x 2  2)

 10 x  5h 2
h
h
f ' ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
 lim (10 x  5h 2 )  10 x
h 0
h
ÖRNEK:
f(x) =
2x
için f’(x) = ?
f ( x  h)  f ( x )

h
f ' ( x)  lim
h 0
2( x  h)  2 x

h
2
2 x  2h  2 x
f ( x  h)  f ( x )
2
1
 lim

h

0
h
2 x  2h  2 x
2x
191
ÖRNEK:
f ( x)  3 x
için f’(x) = ?
3( x  h)  3x
f ( x  h)  f ( x )
3


h
h
3x  3h  3x
f ' ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
3
3
 lim

h

0
h
3x  3h  3x 2 3x
ÖRNEK:
f ( x) 
1
x
için f’(x) = ?
f ( x  h)  f ( x ) 1  1
1 
 

 
h
h xh
x
f ' ( x)  lim
h 0

1
x x  h( x  x  h)
f ( x  h)  f ( x )
1
 lim
h

0
h
x x  h( x  x  h)
1
2x x
TEOREM:
f fonksiyonunun tanım kümesinin bir a elemanı türevi
bulunabiliyorsa , f fonksiyonu bu noktada süreklidir.
SONUÇ: f fonksiyonu x = a noktasında sürekli değil ise ,
f fonksiyonunun x = a için türevi alınamaz.
192
ÖRNEK :
x2 ; x  0
f(x) =
x+1 ; x > 0
fonksiyonunun x=0 da türevli olmadığını gösteriniz.
lim f ( x)  lim x 2  0  f (0)
x 0 
x 0
lim f ( x)  lim ( x  1)  1  f (0)
x 0 
x 0
lim f ( x) yoktur
x0
f fonksiyonu x = 0 da sürekli değildir.
x = 0 da sürekli olmayan f fonksiyonunun
x = 0 da türevi alınamaz.
SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV:
f ' ( x)  lim
f ( x  h)  f ( x )
h
f ' ( x)  lim
f ( x  h)  f ( x )
h
x 0
x 0
NOT:
f fonksiyonunun sol (veya sağ) limitinden
söz edilebilmesi için, fonksiyonun o noktanın solunda
(veya sağında) tanımlı olması gerekir.
TEOREM:
f fonksiyonu açık arılıkta tanımlı ,bu aralıktaki bir x değeri
için türevli olması için gerek ve yeter koşul ;
bu noktada soldan ve sağdan türevlerinin var ve eşit
olmasıdır.
193
ÖRNEK:
f ( x)  x
fonksiyonunun
x = 0 noktasındaki türevini araştırınız?
f ' (0)  lim
f (0  h)  f (0)
h
 lim
 1
h 0
h
h
f ' (0)  lim
f (0  h)  f (0)
h
 lim  1
h

0
h
h
h 0
h 0
f ' (0)  1  1  f ' (0) olduğundan
f ' (0) yoktur.
ÖRNEK:
0
; x<0
x2
; x0
f(x) =
fonksiyonu için
f’(0) = ?
f (0  h)  f (0)
 lim 0  0
h 0
h 0
h
f ( x  h)  f ( x )
f ' (0)  lim
 lim (2 x  h)  0
h 0
h 0
h
f ' (0)  lim
f ' (0)  0  f ' (0) olduğundan
ÖRNEK:
f ( x)  x
2
3
f ' (0)  0
dır.
fonksiyonunun
x=0 noktasındaki türevini araştırınız?
2
3
f ( x  h)  f ( x) f (h)  f (0) h
1


 1
h
h
h
h3
1
f _' (0)  lim 1  
h 0
h3
1
f ' (0)  lim 1  
h 0
h3
f ' (0)      f ' (0)
olduğundan
194
f ' (0) yoktur.
ÖRNEK:
f ( x)  x
1
3
fonksiyonunun
x=0 noktasındaki türevini araştırınız?
1
f (0  h)  f (0)
h3
1
f ' (0)  lim
 lim
 lim 2  
h 0
h 0 h
h 0
h
h3
1
f (0  h)  f (0)
h3
1
f ' (0)  lim
 lim
 lim 2  
h 0
h 0 h
h 0
h
h3
f ' (0)  f ' (0)  
Hareketlinin doğru boyunca t zamanda aldığı yol s ile
gösterildiğinde ;
v(t ) 
ds
 v ' (t )
dt
t anındaki HIZ’ı verir.
ÖRNEK:
dx 4
 4x 3
dx
,
dx123
 123x122
dx
ds 5
 5s 4
ds
,
dw10
 10w 9
dw
TEOREM:
Bir açık aralıkta tanımlı ve bu aralıktaki x=a için türevli
olan f ve g fonksiyonları için ;
cf ,
f g ,
fonksiyonları da
f g ,
x=a
fg
ve
f
g
için türevlidir.
195
( g ' (a)  0 )
(cf )' (a)  cf ' (a)
u  f (x) için
d (cu )
du
dir.
c
dx
dx
ÖRNEK:
d (4 x 6 )
dx 6
4
 4(6 x 5 )  24 x 5
dx
dx
d (21s 3 )
ds 3
 21
 21(3s 2 )  63s 2
ds
ds
5 
d  w4 
4
 4   5 dw  5 4w 3  5w 3
dw
4 dw 4

f

 g  ( a)  f ' ( a)  g ' ( a)
u  f (x)
'
ve
v  g (x) için:
d
du dv
(u  v) 

dx
dx dx
dir.
ÖRNEK:
d
d
d
(3x 4  6 x 5 ) 
(3x 4 )  (6 x 5 )
dx
dx
dx
3
dx 4
dx 5
6
 3(4 x 3 )  6(5 x 4 )  12 x 3  30 x 4
dx
dx
( fg )' (a)  f ' (a) g (a)  f (a) g ' (a)
u  f (x)
ve
v  g (x) için:
196
d
du
dv
(uv) 
vu
dx
dx
dx
dir.
ÖRNEK:
d 3
x (2 x 9  12) = ?
dx
dx 3
d

(2 x 9  12)  x 3 (2 x 9  12)  3x 2 (2 x 9  12)  x 3 (18 x 8 )
dx
dx
11
2
11
 6 x  36 x  18 x  24 x11  36 x 2  12 x 2 (2 x 9  3)
ÖRNEK:
y  x12 (1  x 2 ) için
dy
?
dx
dy d 12
dx12
d

x (1  x 2 ) 
(1  x 2 )  x12 (1  x 2 )
dx dx
dx
dx
11
2
12
11
2
 12 x (1  x )  x (2 x)  2 x (7 x  6)
'
f
f ' (a) g (a)  f (a) g ' (a)
  (a) 
g (a)2
g
u  f (x)
ve
v  g (x) için:
du
dv
vu
d u dx
dx

dx v
v2
dir.
ÖRNEK:
d 3x 3  2 x
?
dx 4  5 x 2

(9 x 2  2)(4  5 x 2 )  (3x 3  2 x)(10 x) 3x 2 (12  5 x 2 )

(4  5 x 2 ) 2
(4  5 x 2 ) 2
197
ÖRNEK:
w
s2
3s 4  2
için
dw
?
ds
ds 2
d
(3s 4  2)  s 2 (3s 4  2)
dw
ds
 ds
4
ds
(3s  2) 2

2s(3s 4  2)  s 2 (12s 3 ) 2s(3s 4  2)

(3s 4  2) 2
(3s 4  2) 2
ÖRNEK:
d 7x6
?
dx 6 x 8  1
d 7x6
d
(6 x 8  1)  7 x 6 (6 x 8  1)
dx
 dx
(6 x 8  1) 2
42 x 5 (6 x 8  1)  7 x 6 (48 x 7 )
42 x 5 (2 x 8  1)


(6 x 8  1) 2
(6 x 8  1) 2
r  Q için ;
dx r
 rx r 1 dir.
dx
ÖRNEK:
1
dx 3
 3x 4
dx

1
2
ds
1
 s
ds
2

1
dx 2 1  2
 x
dx
2
3
2
7
3
4
dw
7
 w3
dw
3
198
ÖRNEK:
d 5
dx 4
20

5
 20 x 5   5
4
dx x
dx
x
ÖRNEK:
1
3
1
d
d
d 2 3 2 3
x x
xx 2 
x  x 
x
dx
dx
dx
2
2
ÖRNEK:

5
7

d 6
d 6
dx 2
15


6
 15 x 2   3
5
2
dx x x dx 2
dx
x x
x
ÖRNEK:
3
1
 
d x2 1 d  x2
1  d  2


 

x  x 2 
dx
dx  x
x
x  dx 

1

3
3 2 1 2 3
1
x  x 
x
2
2
2
2x x
ÖRNEK:


1
1 
2 x x  1  ( x 2  1)( x 2 )
2
d x 1
2

2
dx x  1
( x  1)

3
1
1 2 1 2 3 x x  2x  1
x  x
2
2 x
2
2

2
2
( x  1)
( x  1)
2x x  2x 
y  f (x) fonksiyonu için ;
dy
 f ' ( x) şeklinde gösteriliyordu.
dx
dy  f ' ( x)dx ifadesine y’nin diferansiyeli
199
denir.
y  f (u) ve u  g (x)
dy dy du

dx du dx
u  f (x)
fonksiyonları için ;
dir.
ve
r  Q için ;
du r
du
 ru r 1
dx
dx
ÖRNEK:
ise
F ( x)  ( x 2  1)10
F ' ( x)  ?
F ' ( x)  10( x 2  1) 9 2 x  20 x( x 2  1) 9
ÖRNEK:
ise
F ( x)  (3x 3  x) 7
F ' ( x)  ?
F ' ( x)  7(3x 3  x) 6 (9 x 2  1)
ÖRNEK:
1
ise
F ( x)  (3x 4  5 x) 2
F ' ( x)  ?
1
F ' ( x) 

1
(3x 4  5 x) 2 (12 x 3  5)
2
ÖRNEK:
F ( x)  f ( x 3 )
ise
F ' ( x)  ?
F ' ( x)  3 x 2 f ' ( x 3 )
200
dir.
ÖRNEK:
F ( x)  f (
1
)
x4
ise
F ' ( x)  4 x 5 f ' (
F ' ( x)  ?
1
)
x4
ÖRNEK:
F ( x)  g ( x)
ise
6
F ' ( x)  ?
F ' ( x)  6g ( x) g ' ( x)
5
ÖRNEK:
d
(5 x 4  12 x 2 ) 3  3(5 x 4  12 x 2 ) 2 (20 x 3  24 x)
dx
ÖRNEK:
1
1

d
1
(3x 3  6 x) 2  (3x 3  6 x) 2 (9 x 2  6)
dx
2
ÖRNEK:
d
(1  3x 3 )10  10(1  3x 3 ) 9 (9 x 2 )  90 x 2 (1  3x 3 ) 9
dx
ÖRNEK:
d
ds
3
1
( s  s  1)
4
3
4

7


d 4
3
( s  s  1) 4   ( s 4  s  1) 4 (4s 3  1)
ds
4
ÖRNEK:
d
(4 x 2  1) 23  23(4 x 2  1) 22 (8 x)  184 x(4 x 2  1) 22
dx
201
ÖRNEK:
d
x 5
 x 
(
)  5

dx 1  x
1 x 
4
 1(1  x)  1.x 
5x 4



2
 (1  x) 6
 (1  x)

ÖRNEK:
1
d 3
d 3
x 1  3x 2 
x (1  3x 2 ) 2
dx
dx
1
1

3x 2 (4 x 2  1)
2
2 2
3 1
2
 3x (1  3x )  x (1  3x ) 2 (6 x) 
2
1  3x 2
ÖRNEK:
3
3
1
d 4
3
x (2 x  1) 2  4 x 3 (2 x  1) 2  x 4 (2 x  1) 2 (2)
dx
2
3
 x (11x  4) 2 x  1
ÖRNEK:
3
2
d
w w
d
w

3
6
dw (3w  1)
dw (3w 3  1) 6
1
3
3 2
w (3w 3  1) 6  w 2 (6)(3w 3  1) 5 (9w 2 )
3 w (1  33w 3 )
2


(3w 3  1)12
2(3w 3  1) 7
ÖRNEK:
d ( s  1) 3
3( s  1) 2 (2s  1) 5  ( s  1) 3 (5)(2s  1) 4 (2)

ds (2s  1) 5
(2s  1)10
ÖRNEK:
d
(3 cos x)  3 sin x
dx
ÖRNEK:
d
(5 sec t )  5 sec t. tan t
dt
202
ÖRNEK:
y  sin x eğrisinin
x

3
noktasındaki
teğetinin denklemini yazınız?

 1
mt  f ' ( )  cos 
3
3 2


 3
P( , sin )  P( , )
3
3
3 2
y
3 1

 x  
3
2
3
ÖRNEK:
y  tan x eğrisinin
x

3
noktasındaki
teğetinin denklemini yazınız?




mt  f ' ( )  sec 2  4
3
3

P( , tan )  P( , 3 )
3
3
3
y  3  4( x 

3
)
ÖRNEK:
d
tan x  sec 2 x
dx
olduğunu kanıtlayınız?
d
d sin x cos x. cos x  sin x( sin x)
tan x 

dx
dx cos x
(cos x) 2

cos 2 x  sin 2 x
1

 sec 2 x
2
2
cos x
cos x
ÖRNEK:
d 3
x sin x  3x 2 sin x  x 3 cos x  x 2 (3 sin x  x cos x)
dx
203
ÖRNEK:
d
sin 6 x 3  18 x 2 cos 6 x 3
dx
ÖRNEK:
d
sin x 2  2 x cos x 2
dx
ÖRNEK:
d
cos 3x 4  12 x 3 ( sin 3x 4 )  12 x 3 sin 3x 4
dx
ÖRNEK:
d
tan(sin x)  (cos x) sec 2 (sin x)
dx
ÖRNEK:
d
d
sin(tan 4 3 x 3 )  cos(tan 4 3 x 3 ) tan 4 3 x 3
dx
dx
 cos(tan 4 3 x 3 )4 tan 3 3 x 3
d
tan 3 x 3
dx
 cos(tan 4 3 x 3 )4 tan 3 3 x 3 . sec 2 3 x 3
d
3x 3
dx
 cos(tan 4 3 x 3 ).4 tan 3 3 x 3 . sec 2 3 x 3 .9 x 2
 36 x 2 (sec 2 3 x 3 )(tan 3 3 x 3 ). cos(tan 4 3 x 3 )
204
d
du
sin u  cos u.
dx
dx
d
du
cos u   sin u.
dx
dx
d
du
tan u  sec 2 u.
dx
dx
d
du
cot u   csc 2 u.
dx
dx
d
du
sec u  sec u. tan u.
dx
dx
d
du
csc u   csc u. cot u.
dx
dx
F ( x, y)  0
ise
F'
dy
  x'
dx
Fy
dy
dy
 dt
x  f (t ) ve y  g (t ) ise
dx
dx
dt
ÖRNEK:
f ( x)  x 5
için ;
f ' ( x) =?
ve
f '' ( x) =?
f ( x)  x 5
f ' ( x)  5 x 4
f '' ( x)  20 x 3
f ''' ( x)  60 x 2
f (5) ( x)  120
f ( 6) ( x)  0 …………
f ( n ) ( x)  0
n6
205
f ( 4) ( x)  120 x
ÖRNEK:
y  sin 2 x
y' 2 cos 2 x
y' '  4 sin 2 x
y' ' '  8 cos 2 x
y ( 4)  16 cos 2 x
y (5)  32 cos 2 x
y ( 6)  64 sin 2 x
y ( n )  2 n sin(2 x 
y' 
n
)
2
dy
dx
y' ' 
d  dy  d 2 y
 
dx  dx  dx 2
y' ' ' 
d d2y d3y


dx  dx 2  dx 3
y ( 4) 
y
(n)
n=1,2,3,4, ….
d d3y d4y


dx  dx 3  dx 4
d  d n 1 y  d n y
  n 1   n
dx  dx  dx
ÖRNEK:
y  x 4 için ;
dy
 4x 3 ,
dx
d2y
 12x 2 ,
2
dx
d5y
0 , ....
dx 5
206
d3y
 24 x
dx 3
d4y
 24 ,
dx 4
ÖRNEK:
y
x
için ;
2x  1
y' 
(1)(2 x  1)  x(2)
1

 (2 x  1) 2
2
(2 x  1) 2
(2 x  1)
y' '  (2)(2 x  1) 3 (2)  4(2 x  1) 3
y' ' '  (4)(3)(2 x  1) 4 (2)  24(2 x  1) 4
ÖRNEK:
x2  y2  1
y   1 x2
y  1 x2 ,
y   1 x2 ,
( x 1 )
dy
x

dx
1 x2
( x  1)
dy
x

dx
1 x2
( x  1)
1 3
dy
1
 ,

 2 3  için , dx   3


1
dy
1
3
 ,
 için ,

2

dx
3 
3

dir.
ÖRNEK:
x10  2 xy  y10  0 için y  ?
y  ???????
dy
 ??????
dx
207
ÖRNEK:
x2  y2  1
ise
dy
?
dx
d 2
d1
(x  y 2 ) 
dx
dx
2x  2 y
,
dx 2 dy 2

0
dx
dx
,
dy
x

dx
y
dy
0
dx
1 3
dy
1
 ,

 2 3  için , dx   3


1
dy
1
3
 ,
 için ,

2

dx
3 
3

dir.
ÖRNEK:
x10  2 xy  y10  0
ise
dy
?
dx
d 10
d0
( x  2 xy  y 10 ) 
dx
dx
dx10 d 2 xy dy 10


0
dx
dx
dx
10 x 9  2(1.
(5 y 9  x)
dy
dy
dy
 x )  10 y 9
0
dx
dx
dx
dy
 5x 9  y
dx
dy 5 x 9  y

dx 5 y 9  x
208
ÖRNEK:
x sin xy  1
ise
dy
?
dx
d
d1
x sin xy 
dx
dx
(1) sin xy  x
d
sin xy  0
dx
sin xy  x cos xy.
d
xy  0
dx
sin xy  x cos xy (1. y  x
dy
)0
dx
sin xy  xy cos xy  x 2 cos xy.
dy
0
dx
dy
sin xy  xy cos xy

dx
x 2 cos xy
ÖRNEK:
x2 y2

1
4
9
ise
dy
?
dx
d  x 2 y 2  d1
 

dx  4
9  dx
x 2 dy
 y
0
2 9 dx
dy
9x

dx
4y
209
ÖRNEK:
x 2 y 7  x3 y 2  1
ise
dy
?
dx
d 2 7
d1
(x y  x3 y 2 ) 
dx
dx
2 xy 7  x 2 7 y 6
dy  2 2
dy 
  3x y  x 3 2 y   0
dx 
dx 
(7 x 2 y 6  2 x 3 y )
dy
 3x 2 y 2  2 xy 7
dx
dy x(7 y 5  2 x)

dx y (3x  2 y 5 )
ÖRNEK:
x 2  y 2  1 ise ;
dy
x

dx
y
bulundu ,
d 2 y d dy d  x 
(1) y  xy '
y  xy '

     

2
2
dx dx dx  y 
dx
y
y2
 x
y  x  
2
2
 y   y  x   1

y2
y3
y3
y' '  
y' ' ' 
1
y3
olur.
 x
dy ' ' d
dy
3x
 (  y 3 )  3 y  4
 3 y 4      5
dx dx
dx
y
 y
y' ' '  
3x
y5
210
ÖRNEK:
d
dx
sin y 
dx
dx
dy
y' 
 sec y
dx
sin y  x ise ;
cos y.
dy
1
dx
dy ' d
dy
 sec y  sec y. tan y
 sec y.tan y.sec y
dx dx
dx
 sec 2 y.tan y
y' ' 
y' ' '  sec 2 y(3 sec 2 y  2)
f:[a, b]  R fonksiyonu bu aralıkta sürekli,
(a, b) aralığında türevli olsun.
Bu fonksiyon xo  (a, b) noktasında extremum değerini
alıyorsa, bu nokta için türevi sıfırdır.
ÖRNEK:
f ( x)  3  4 x  3x 3
fonksiyonunu
[-1 , 2] aralığında inceleyiniz?
f ' ( x)  4  9 x 2
f ' ( x)  4  9 x 2  0
9x 2  4  x 2 
4
2
x
9
3
f (1)  2
2 11
Yersel minimum.
f ( ) 
3
9
2
43
f( )
3
9
Yersel (Mutlak) maksimum.
f (2)  13
Mutlak minimum.
211
[a, b] de sürekli, (a, b) de türevli f fonksiyonu için;
f(a) = f(b) ise f’(c) = 0 olacak şekilde  c  (a, b) vardır.
[a, b] de sürekli, (a, b) de türevli f fonksiyonu için;
f ' (c ) 
f (b)  f (a)
ba
olacak şekilde  c  (a, b) vardır.
[a, b] de sürekli, (a, b) de türevli f fonksiyonu için;
x  (a, b) de
f ' ( x)  0 oluyorsa,
fonksiyon [a, b] de sabit değerler alır.
f ve g , [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli fonksiyonlar
olsun.
x  (a, b) için
f ' ( x)  g ' ( x) ise
x  (a, b) için
f ( x)  g ( x)  C dir.
ÖRNEK:
fonksiyonunu inceleyiniz?
f ( x)  x
x1 , x2  R ve x1  x2 için ;
f ( x1 )  x1  x2  f ( x2 ) olduğundan fonksiyon artan.
ÖRNEK:
f ( x)  x 2
fonksiyonunu
(  ,0) ve ( 0.  )
aralıklarında inceleyiniz?
( 0.  ) aralığında 0  x1  x2 olsun.
f ( x2 )  f ( x1 )  x22  x12  ( x2  x1 )( x2  x1 )  0
f ( x1 )  f ( x2 )
olup fonksiyon bu aralıkta artandır.
(  ,0) aralığında
x1  x2  0 olsun.
f ( x2 )  f ( x1 )  x  x12  ( x2  x1 )( x2  x1 )  0
2
2
f ( x2 )  f ( x1 )
olup fonksiyon bu aralıkta azalandır.
212
. f:[a, b]  R fonksiyonu bu aralıkta sürekli,
(a, b) aralığında türevli olsun.
x  (a, b) de f ' ( x)  0 oluyorsa,
fonksiyon bu aralıkta artandır.
f:[a, b]  R fonksiyonu bu aralıkta sürekli,
(a, b) aralığında türevli olsun.
x  (a, b) de f ' ( x)  0
oluyorsa,
fonksiyon bu aralıkta azalandır.
ÖRNEK:
f ( x)  x 4  8 x 2  2
fonksiyonunu inceleyiniz?
f ' ( x)  4 x 3  16 x  4 x( x  2)( x  2)
(,2) için
f ' ( x)  0  f ( x)
azalan.
(2,0)
için
f ' ( x)  0  f ( x)
artan.
(0,2)
için
f ' ( x)  0  f ( x)
azalan.
(2,) için
f ' ( x)  0  f ( x)
artan.
ÖRNEK:
f ( x)  x 3 ( x  2) 4
fonksiyonunu inceleyiniz.
f ' ( x)  4 x 3 ( x  2) 4  x 3 (4)( x  2) 3  x 2 ( x  2) 3 (7 x  6)
(,0) için
f ' ( x)  0  f ( x)
artan.
6
(0, ) için
7
6
( ,2) için
7
f ' ( x)  0  f ( x)
artan.
f ' ( x)  0  f ( x)
azalan.
(2,) için
f ' ( x)  0  f ( x)
artan.
213
f fonksiyonunun kritik noktası x=c olsun. ( f ' (c)  0)
c’den küçük değerler için f ' ( x)  0 ,
c’den büyük değerler için f ' ( x)  0 ise
x=c de fonksiyon yerel maksimum yapar.
c’den küçük değerler için f ' ( x)  0 ,
c’den büyük değerler için f ' ( x)  0 ise
x=c de fonksiyon yerel minimum yapar.
ÖRNEK:
f ( x)  x 4  8 x 2  2
fonksiyonunu inceleyiniz?
f ' ( x)  4 x 3  16 x  4 x( x  2)( x  2)
f ' (2)  f ' (0)  f ' (2)  0
x=-2 , x=0 , x=2
kritik noktalar.
(,2) için f ' ( x)  0  f ( x) azalan. x=-2 yerel minimum
(2,0)
için f ' ( x)  0  f ( x) artan. x=0 yerel maksimum
(0,2)
için f ' ( x)  0  f ( x) azalan. x=2 yerel minimum
(2,) için f ' ( x)  0  f ( x) artan.
ÖRNEK:
f ( x)  x 3 ( x  2) 4
fonksiyonunu inceleyiniz.
f ' ( x)  4 x 3 ( x  2) 4  x 3 (4)( x  2) 3  x 2 ( x  2) 3 (7 x  6)
6
f ' (0)  f ' ( )  f ' (2)  0
7
6
x=0 , x=
, x=2 kritik noktalar.
7
(,0) için f ' ( x)  0  f ( x) artan. x=0 büküm noktası
6
6
(0, ) için f ' ( x)  0  f ( x) artan. x= yerel maksimum.
7
7
6
( ,2) için f ' ( x)  0  f ( x) azalan. x=2 yerel minimum.
7
(2,) için f ' ( x)  0  f ( x) artan.
214
Bir fonksiyon xo da türevli ise bu noktada süreklidir.
f:(a, b)  R fonksiyonu bu aralıkta artan ve türevli ise
türevi pozitiftir.
f:(a, b)  R fonksiyonu bu aralıkta azalan ve türevli ise
türevi negatiftir.
Bir fonksiyonun xo noktasındaki türevi, grafiğine bu
noktadan çizilen teğetin eğimidir.
Bir hareketlinin t1 anındaki hızı,
l (t) fonksiyonunun t1 deki türevidir.
Bir hareketlinin t1 anındaki ivmesi, v(t) fonksiyonunun t1
deki türevidir.
f:[a, b]  R fonksiyonu bu aralıkta sürekli, (a, b)
aralığında türevli olsun.
Bu fonksiyon xo  (a, b) noktasında extremum değerini
alıyorsa, bu nokta için türevi sıfırdır.
İkinci türevin pozitif olduğu aralıkta fonksiyonun
grafiğinde eğrilik yukarıya doğrudur. (konveks)
İkinci türevin negatif olduğu aralıkta fonksiyonun
grafiğinde eğrilik aşağıya doğrudur. (konkav)
Bir eğri parçasının üzerinde alınan bir nokta ile ayrılan
parçalarının bükeylikleri farklı ise bu noktaya bükülme
(dönüm) noktası denir.
Bu noktada fonksiyonun ikinci türevi varsa sıfırdır.
ROLLE TEOREMİ:
[a, b] de sürekli, (a, b) de türevli f fonksiyonu için;
f(a) = f(b) ise f’(c) = 0 olacak şekilde
215
 c  (a, b) vardır.
ORTALAMA DEĞER TEOREMİ:
[a, b] de sürekli, (a, b) de türevli f fonksiyonu için;
f ' (c ) 
f (b)  f (a)
olacak şekilde  c  (a, b) vardır.
ba
L’HOSPİTAL TEOREMİ:
lim f ( x)  0 veya  ve
x a
lim
x a
f ( x)
f ' ( x)
 lim '
g ( x) x a g ( x)
lim g ( x)  0 veya 
x a
dir.
GRAFİK ÇİZİMİ:
Tanım aralığı bulunur.
Asimtotlar bulunur.
f:R  R için; lim  f ( x)  g ( x)   0 ise
x  
g(x) eğrisine, f(x) in asimtotu denir.
g(x) = c ise yatay asimtot.
lim f ( x)   ise x = a düşey asimtot.
x a
y  x 2  ax  b nin asimtotu y  x 
Eksenleri kestiği noktalar bulunur.
Türev alınır. Değişimi incelenir.
Değişim tablosu çizilir.
Tabloya bakılarak grafik çizilir.
216
a
dir.
2
ise
ÖRNEK:
Bir doğru boyunca hareket eden noktanın t (saniye)
zamanına bağlı olarak aldığı yol (metre) f(t)=t3 fonksiyonu
ile verilmiştir. t  1,7 için ;
Yolculuk boyunca ortalama hızı ?
t=5. Saniyedeki hızı ?
t=4. Saniyedeki ivmesi ?
ÇÖZÜM:
f (7)  f (1) 343  1

 57 m / sn
7 1
6
v  f ' (5)  3t 2  3.5 2  75 m / sn
vort. 
a  f '' (4)  6t  6.4  24 m / sn 2
ÖRNEK:
Aşağıdaki koşullarla belirli bir grafik çiziniz.
I.
II.
lim f ( x)  0
x 
f ' (3)  0 ve yalnız x=3 için f’(x)=0
III. Tanımlı olduğu tüm x değerleri için f’’(x) > 0
ÇÖZÜM:
217
ÖRNEK:
f(x) = sin x + cos x + ex
f(999)(x) = ?
ise
ÇÖZÜM:
f ' ( x)  cos x  sin x  e x
f '' ( x)   sin x  cos x  e x
f ''' ( x)   cos x  sin x  e x
f '''' ( x)  sin x  cos x  e x  f ( x)
…………
f ( 4.2493) ( x)  f ''' ( x)  cox  sin x  e x
ÖRNEK:
n  N  için ; f(x) = xn ise f(n)(0) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = n.xn-1
f’’(x) = n(n-1).xn-2
f’’’(x) = n(n-1)(n-2).xn-3
……….
f(n)(x) = n!
olduğundan
(n)
f (0) = n! dir.
ÖRNEK:
f ( x)  1  x 2
eğrisinin x=
1
2
noktasındaki
teğetinin denklemi?
ÇÖZÜM:
1
 2x
mt  f ' ( ) 
2
2 1 x2
1
2  1

1
3
1
4

1
1
y  f ( )  mt ( x  )
2
2
3
1 
1
y

x  
2
2
3
218
ÖRNEK:
Verilenlere göre
lim b  ?
a 0
ÇÖZÜM:
mt  f ' (a)  2a
mn  
1
1
1
x  a 
y  a2  

2a
mt
2a
x=0 için b= a 2 
1
2
1

lim  a 2    0
a 0
2

Aġağıdaki fonksiyonların TÜREVLERİNİ alınız :
1.
y = (x3+7x-1)(5x+2)
2.
y = x-2(4+3x-3)
3.
y = x3ln x
3
2
4.
y = 6 x tan x
5.
y = 5x2+sin x.cos x
219
EN BÜYÜK – EN KÜÇÜK PROBLEMLERİ:
1.
a ve b pozitif tamsayıları için;
a+b=9
ise
a2.b
ifadesinin alabileceği
en büyük değer kaçtır?
A) 72
B) 81
C) 100
D) 108
E) 124
2.
Şekildeki dikdörtgen biçimindeki tarla paralel üç çitle dört
parçaya ayrılacaktır. Çevre ve arada kullanılan çitin toplam
uzunluğu 500 m. olduğuna göre toplam alan en çok kaç metre
kare olabilir?
A) 5000
B) 5400
D)6250
3.
C) 6000
E) 7500
48 metrekarelik malzemeden üstü açık, kare tabanlı
bir prizma yapılacaktır.
Hacmi en çok kaç metreküp olabilir?
A) 24
4.
B) 28
C) 32
D) 36
E) 40
3  metrekarelik malzemeden üstü açık silindir depo
yapılacaktır.
Hacmi en çok kaç  metreküp olabilir?
A) 1/2
B) 2/3
C) 1
220
D) 3/2
E) 2
5.
Boyutları 3 m. ve 4 m. olan dikdörtgen şeklindeki bir
levhanın köşelerinden eşit büyüklükte kareler kesilecektir.
Kalan kısmın yanları yukarıya kıvrılarak üstü açık bir
dikdörtgenler prizması yapılacaktır.
Hacminin en büyük olması için kesilecek karelerin bir kenar
uzunluğu kaç metre olmalıdır?
A) 1/2
B)
D)
6.
7  13
6
7  13
6
C) 2/3
E) 1
Analitik düzlemde (8/9 , 3) noktasından geçen
doğrularla eksenlerin oluşturduğu dik üçgenlerden
hipotenüs uzunluğu en küçük olanın alanı kaç birimkaredir?
A) 6
7.
B) 169/27
y x
C) 55/9
D) 7
E) 6 3
eğrisi üzerinde A(4,0) noktasını en yakın
(x;y) noktasının x apsisi kaçtır?
A) 3
B) 7/2
C) 4
221
D) 9/2
E) 5
8.
Hacmi 20  metreküp olan silindir şeklinde bir depo
yapılacaktır. Taban ve tavanda kullanılacak malzemenin
metrekaresi 10 YTL. , yan yüzde kullanılacak malzemenin
metrekaresi 8 YTL. dir.
Deponun en az paraya yapılabilmesi için yüksekliği kaç
metre olmalıdır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
9.
1 km. genişliğindeki nehrin karşı kıyısında bulunan kişi ,
karşı kıyıda 1 km. uzakta bulunan evine gidecektir. Suda
saatte 2 km. yüzebilen kişi , karada saatte 3 km.
yürüyebilmektedir.
En kısa zamanda eve ulaşabilmesi için karşı kıyıya hangi
noktadan çıkmalıdır?
A)
2
5
B) 1/2
C)
1
5
D) 1/4
E) 2/3
10.
A) 2
B) 5/2
C) 3
222
D) 7/2
E) 4
11.
Bir elma bahçesinde 50 ağaç bulunmakta ve her
ağaçtan bir yılda 800 elma alınmaktadır. Bunlar dışında
bahçeye ekilecek her ağaç için bahçedeki ağaçların yıllık
üretimi 10 ar elma azalacaktır.
Bahçeden en çok üretim yapılması istendiğinde bahçeye
kaç ağaç dikilmelidir?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
12.
y=8-x3 eğrisi üzerinde alınan A(x,y) noktası ve eksenlerle
oluşturulan dikdörtgenin alanı en çok kaç birimkaredir?
A) 6
13.
B) 6 3 2
C) 6 2
D) 8
E) 10
Çevresi 12 cm. olan dikdörtgen şeklindeki levha bir
kenarı etrafında döndürülerek dönel silindir oluşturuluyor.
Oluşturulan silindirin hacmi en çok kaç 
cm3. olabilir?
A) 24
B) 28
C) 32
223
D) 36
E) 40
14.
Tabandan 10 m. yükseklikte bulunan , 20 m. uzunluktaki bir
sinema perdesi duvardan kaç metre uzaklıktan en geniş açı
altında izlenebilir?
A) 10 2
15.
B) 15
C) 5 10
D) 10 3
E) 20
Yarıçapı 2m. olan küre içine yerleştirilebilecek
konilerden hacmi en büyük olanın yüksekliği kaç m.
olmalıdır?
A) 2
16.
B) 8/3
C) 3
D) 10/3
E) 7/2
Eş kenar uzunlukları 4 cm. olan ikizkenar üçgenin
alanını en büyük olması içinTepe açısının ölçüsü kaç derece
olmalıdır?
A) 60
17.
B) 75
y
6
x 3
2
C) 90
D) 105
E) 120
eğrisinin teğetleri içinde eğimi en küçük
olanın eğimi kaçtır?
A) -1
18.
B) -3/4
C) 0
D) 3/4
E) 1
P(x,0) noktasının , A(3,2) ve O(0,0) noktalarından
uzaklıklarının karelerinin toplamı en küçük olduğu
bilindiğine göre x kaçtır?
A) 2/3
B) 1
C) 3/2
224
D) 2
E) 5/2
19.
A noktasından Kuzeye doğru 60 km/s hızla ve B
noktasından A ya doğru 90 km/s hızla aynı anda iki araç
yola çıkıyor.
AC  AB ve |AB|=30 km. ise ;
iki araç arasındaki uzaklık kaç saat sonra
en az olacaktır?
A) 1/4
B) 3/13
C) 2/5
D) 5/12
E) 7/15
20.
Boyutları 6 cm. ve 12 cm. olan dikdörtgen şeklindeki kağıt
EF doğrusu boyunca kıvrılarak B köşesi [AD] üzerine
getiriliyor.
|EF| nin en küçük değeri kaçtır?
A) 7
B) 9 3 /2
C) 8
D) 5 2
E) 9
1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.B 8.D 9.A 10.C 11.C 12.B
13.C 14.D 15.B 16.C 17.B 18.C 19.B 20.B
225
KONU TESTİ:
1.Bir doğru boyunca l  t 3  4t 2  3t
eşitliğine göre yol alan hareketlinin, harekete başladıktan
sonra hızının sıfır olduğu andaki ivmesi nedir?
A) -10
B) -1/3
2.Dikey olarak
C) 0
D) 3
E) 10
50 m/sn ilk hız ile yukarıya fırlatılan bir
cisim t saniye sonunda s = 50t-5t2 yüksekliğe ulaşıyor.
Cismin ulaşabileceği en büyük yükseklik nedir?
A) 5
B) 10
3.y = 2x3-3x2-12x+20
C) 50
D) 125
E) 150
eğrisi üzerinde eğriye teğet olan
doğruların x eksenine paralel olduğu noktalardan birinin
apsisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
4.y = x2+c
B) 1
C) 3/2
D) 2
E) 5/2
eğrisinin y = x doğrusuna teğet olması için
c sabitinin değeri ne olmalıdır?
A) 1/4
B) 1/2
5.y = ax2+bx+c
C) 1
D) 2
E) 4
eğrisi (1, 2) noktasından geçiyor ve
koordinat merkezinde y = x doğrusuna teğet oluyorsa b nin
değeri nedir?
A) -2
6.x2+y2=1
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
çemberinin P (a, b) noktasındaki teğetinin eğimi
nedir?
A) a/b
B) b/a
C) –a/b
226
D) –b/a
E) –ab
7. lim
arctan x
?
x
x 0
A) 0
B) 1/2
8. lim
x 3
x 2  10 x  39
?
x3
A) 16
B) 8
1
x2
9. y  x 2 
C) 1
D) 3/2
E) 2
C) 4
D) 2
E) 1
( x  0 ) fonksiyonunun türevi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 x 
2
x3
B) 2 x 
D) 2 x 
10. y  x 3  1
2
2
x3
3
x
C) 2 x 
3
x
2
 2x3
2
x
E)
fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden
hangisidir?


A) 2 x 3  1


B) 6 x x 3  1


D) 6 x 2 x 3  1
11.x2+xy+y5=3
C) 6x 2
E) 9x 4
eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin eğimi
nedir?
A) -2
12.
B) -1/2
C) 1
D) 2
E) 3
y
x
E) x 2 y 2
1 1
dy
  1 ise
?
dx
x y
A) 
x2
y2
B) 
y2
x2
C)
x
y
227
D)
13. x  2t  3
dy
?
dx
x3
B)
2
3
x2
D)
E)
x2
3
ve y  t 2  1 ise
A) 2x  3
C)
2
x3
14.A(0, 3) ve B(5, -2) noktalarını birleştiren doğru parçasının
y
c
eğrisine teğet olması için c ne olmalıdır?
x 1
A) 1
B) 2
15.y = x2
apsisi
C) 3
D) 4
E) 5
eğrisi boyunca hareket eden bir hareketlinin x
x  2t 2  t  1 denklemini sağlıyor. t  2 için
dy
?
dt
A) 9/22
B) 22/9
2
16. y 
C) 9
D) 22
E) 198
eğrisinin x=10 noktasındaki teğetinin eğimi
x 1
nedir?
A) -27
B) -1/27
17. y  ln sin x 
18.y = x2
D) 1
E) 27
ise y’= ?
A)  . tan x
D)
C) 1/27
C)  . sec x
B)  . cot x

2
. tan x
E)

2
. cot x
parabolü üzerindeki A(1, 1) noktasından parabole
çizilen teğetin üzerinde, değme noktasından itibaren
|AB|=1 birim olacak şekilde bir B noktası alınıyor. B nin ve A
nın apsisleri farkı kaçtır?
A)
1
5
B)
2
5
C)
228
1
5
D)
2
5
E) 1
19.y = 2x+2
doğrusunun, y = x3-6x2+9x+m eğrisinin simetri
merkezinden geçtiği bilindiğine göre m=?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
20.
Yukarıda verilen f fonksiyonu için aşağıdakilerden kaç
tanesi doğrudur?
1.
lim f ( x)  1
2.
4. lim f ( x)  1
5.
x 0 
x 1
lim f ( x)  1
3.
lim f ( x)  1
6. lim f ( x)  0
x 0 
x 1
f (0)  0
x
1
2
7. f(1)=0
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
ax  1
eğrisinin simetri merkezi
bx  c
a
(1, -2) olduğuna göre
=?
c
21. y 
A) -1/2
B) 1/2
C) -2
D) 2
E) 1
C) ln3
D) 2/3
E) 0
4 sin x  1
?
22. lim
x 0 8 tan x  1
A) 1/2
B) 2
1.E 2.D 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C 8.C 9.B 10.D 11.B 12.B
13.B 14.D 15.E 16.B 17.B 18.A 19.D 20.E 21.C 22.E
229
ÇÖZÜMLÜ ALIĠTIRMALAR:
1.
f ( x) 
1
 f ' ( x)  ?
x 1
2.
f(x)=x2+1 eğrisinin (2,5) noktasındaki teğetinin
denklemini yazınız?
3.
f ( x)  4 x  3 cos x  f ' ( x)  ?
4.
f ( x)  x  e x eğrisinin (0,1) noktasındaki teğetinin
denklemini yazınız?
5.
f ( x) 
2
eğrisinin (5,0) noktasından geçen teğetinin
x
denklemini yazınız?
6.
y
7.
f ( x)  e x . sin x  f ' ' ( x)  ?
8.
f ( x)  (9  x 2 ) 3  f ' ( x)  ?
9.
 x 
f ( x)  ln  2
  f ' ( x)  ?
 x  1
10.
f ( x)  x(1  sin 2 x) 3  f ' ( x)  ?
2e x
 y'  ?
x2 1
2
11. x
3
 y 3  2 xy 
12. x
2
 y 2  16 
dy
in (1,1) için değeri nedir?
dx
d2y
?
dx 2
13.
y  (1  x) x 
14.
f ( x)  arctan x  f ' ( x)  ?
1
dy
?
dx
230
15.
f ( x)  kx  sin x fonksiyonunun tersinin olması için k
ne olmalıdır?
16. g(x)=x (x -4)
2
2
bulunuz?
fonksiyonunun kritik noktalarını
17. f(x)=x -12x
3
fonksiyonunun [0,4] aralığındaki
ekstremum noktalarını bulunuz?
18. f(x)=(x-1) (x+2)
2
inceleyiniz?
fonksiyonunun değişimini
19.
f(x)=sin x.cos x fonksiyonunun (0,2  ) aralığında
değişimini inceleyiniz?
20. y=x-ln x
fonksiyonunun değişimini inceleyiniz?
21. f(x)=2x -3x -12x
3
2
inceleyiniz?
22.
f ( x) 
fonksiyonunun değişimini
x3
grafiğinin asimptotlarını bulunuz?
x2 1
23. Çarpımları 192 olan pozitif iki sayının toplamlarının
en küçük değeri kaçtır?
24.
Bir eşkenar üçgen ile bir karenin çevrelerinin toplamı
10 birimdir. Bu düzlemsel bölgelerin alanları toplamı en az
kaç birimkaredir?
25.
231
ÇÖZÜMLER:
1.
f ( x) 
1
0( x  1)  1.1
1
 f ' ( x) 

2
x 1
( x  1)
( x  1) 2
2.
f(x)=x2+1 eğrisinin (2,5) noktasındaki teğetinin
denklemini yazınız?
f’(x)=2x
, mt=f’(2)=2.2=4
y-5=4(x-2)
,
4x-y-3=0
3.
f ( x)  4 x  3 cos x  f ' ( x) 
4.
f ( x)  x  e x eğrisinin (0,1) noktasındaki teğetinin
2
x
 3 sin x
denklemini yazınız?
f’(x)=1+ex ,
y-1=2(x-0) ,
5.
f ( x) 
mt=f’(0)=1+e0=1+1=2
2x-y+1=0
2
eğrisinin (5,0) noktasından geçen teğetinin
x
denklemini yazınız?
2
,
x2
2
2
y    2 ( x  a)
a
a
f ' ( x)  
mt  f ' (a)  
1
a2
2
4
x y 0
2
a
a
(5,0) noktasından geçiyorsa ;
2
4
.5  0   0 ,
2
a
a
8
8
,
x y 0
25
5
6.
y
7.
f ( x)  e x . sin x
10-4a=0
, a=
5
2
8x+25y-40=0
2e x ( x 2  1)  2 x.2e x
2e x

y
'

( x 2  1) 2
x2 1
f ' ( x)  e x . sin x  e x . cos x  e x (sin x  cos x)
f ' ' ( x)  e x (sin x  cos x)  e x (cos x  sin x)
 2e x cos x
232
8.
2
f ( x)  (9  x 2 ) 3
1

4x
2
f ' ( x)  (9  x 2 ) 3 (2 x)  
3
3
3 9  x2
9.
 x 
f ( x)  ln  2

 x  1
1.( x 2  1)  2 x.x
 x2 1
( x 2  1) 2

f ' ( x) 
x
x( x 2  1)
2
x 1
10.
f ( x)  x(1  sin 2 x) 3
f ' ( x)  1(1  sin 2 x) 3  x.3(1  sin 2 x) 2 (2 sin x. cos x)
 (1  sin 2 x) 2 (1  sin 2 x  3x. sin 2 x)
11. x
3
3x 2  3 y 2
 y 3  2 xy 
dy
in (1,1) için değeri nedir?
dx
dy
dy
 2 y  2x
dx
dx
3.12  3.12
dy
dy
 2.1  2.1
dx
dx
dy
 1
dx
d2y
12. x  y  16  2  ?
dx
dy
x
dy

2x  2 y
0
dx
dx y
dy y  x. x
1. y  x.
2
d y
y y2  x2
16
dx 


 3
2
2
2
3
dx
y
y
y
y
2
13.
2
1
x
y  (1  x) 
dy
?
dx
ln(1  x)
x
dy
1
.x  1. ln(1  x)
dx  1  x
y
x2
ln y 
 1
dy
ln(1  x) 

 y

dx
x 2 
 x(1  x)
 1
dy
ln(1  x) 

 (1  x) x 

dx
x 2 
 x(1  x)
1
233
14.
f ( x)  arctan x  f ' ( x)  ?
1
1
2 x
f ' ( x) 

1  x 2 x (1  x)
15.
f ( x)  kx  sin x fonksiyonunun tersinin olması için k
ne olmalıdır?
f(x) ‘in tersinin olabilmesi için ; bire-bir ve örten olmalıdır.
bire-bir olması için ; daima azalan veya daima artan olması
gerekir. Bunun içinde türevi x’in tüm değerleri için daima
negatif veya daima pozitif olmalıdır.
 1  cos x  1 olduğundan
f ' ( x)  k  cos x
k  1  f ' ( x)  0 , k  1  f '  0
dır. k  1 olmalıdır.
f ( x)  kx  sin x fonksiyonu tanımlı olduğu değerler için
örtendir.
16. g(x)=x (x -4)
2
2
bulunuz?
fonksiyonunun kritik noktalarını
g’(x)=2x(x2-4)+x2(2x)=4x3-8x
Türevi sıfır yapan değerler kritik noktalardır.
g’(x)=4x3-8x=0 , 4x(x2-2)=0
x1=0
(0,0)
,
x2= 2
( 2 ,-4)
,
x3=  2
(  2 ,-4) noktaları kritik noktalardır.
17. f(x)=x -12x
3
fonksiyonunun [0,4] aralığındaki
ekstremum noktalarını bulunuz?
Yerel maksimum veya minimum noktalarında türevi sıfır
olacağından ;
f’(x)=3x2-12x=0 , 3x(x-4)=0
x1=0 , x2=4
kritik noktalardır.
x<0
için f’(x) > 0
0 < x < 4 için f’(x) < 0
4<x
için f’(x) > 0 olduğundan
x=0 yerel maksimum
(0,0)
x=4 yerel minimum noktalarıdır. (4,16)
UYARI: Bu noktalar aynı zamanda verilen aralık için mutlak
maksimum ve minimum değerlerini verir.
234
18. f(x)=(x-1) (x+2)
2
inceleyiniz?
fonksiyonunun değişimini
x=0 için y=2 , y eksenini kestiği nokta .
(x-1)2(x+2)=0 , x1,2=1 , x3=-2 x eksenini kestiği noktalar.
( x=1 de teğet )
f’(x)=2(x-1)(x+2)+(x-1)2=3(x-1)(x+1)=0
x1=1 ve x2=-1 kritik noktalar.
x < -1 için f’(x) > 0
ARTAN
x=-1 için f’(-1)=0 , f(-1)=4 maksimum.
-1 < x < 1 için f’(x) < 0 AZALAN
x=1 için f’(1)=0 ,
f(1)=0 minimum.
1 < x için f’(x) > 0
ARTAN
f’’(x)=6x=0 x=0
x < 0 için f’’(x) < 0
x=0 için f’’(0)=0
X > 0 için f’’(x) > 0
konkav.
dönüm noktası.
konveks.
19. f(x)=sin x.cos x
fonksiyonunun (0,2  ) aralığında
değişimini inceleyiniz?
f(x)=sinx.cosx=
1
sin 2 x
2
2x=  ,2 ,3
sin2x=0
x=

x eksenini kestiği noktalar.
f’(x)=cos2x=0
x=
2x=
 3 5 7
4
,
4
,
4
Konkav
,
3
2
 3 5 7
2
,
2
,
2
,
2
kritik noktalar.
4
Konveks Konkav
f’’(x)=-2sin2x=0
2x=  ,2 ,3
2
, ,
,
x=

2
, ,
3
2
235
Konveks
dönüm noktaları .
20. y=x-ln x
y’= 1 
y’’=
1
0
x
,
fonksiyonunun değişimini inceleyiniz?
x=1 kritik nokta
1
x2
x < 1 için f ' (1)  0
AZALAN
f ' (1)  0 VE f ' ' (1)  0 yerel MİNİMUM.
x > 1 için f ' (1)  0 ARTAN
21. f(x)=2x -3x -12x
3
2
inceleyiniz?
fonksiyonunun değişimini
f’(x)=6x2-6x-12=0
x2-x-2=0 , (x+1)(x-2)=0 , x1=-1 , x2=2
f’’(x)=12x-6=0 , x=1/2 Dönüm noktası
f’(-1)=0 , f’’(-1)=-18<0
Maksimum
f’(2)=0 , f’’(2)=18>0
Minimum
22.
x3
f ( x)  2
grafiğinin asimptotlarını bulunuz?
x 1
x2-1=0 , (x-1)(x+1)=0 ,
Düşey asimptotlar.
f ( x) 
x1=1 , x2=-1
x3
x
 x 2
2
x 1
x 1
y=x Eğik asimptot.
23.
Çarpımları 192 olan pozitif iki sayının toplamlarının
en küçük değeri kaçtır?
x.y=192 ,
T=x+y=x+
192
x
x= 8 3 , y= 8 3
y=
192
x
192
0
x2
T=x+y= 8 3 + 8 3 = 16 3
T’=1 
236
24. Bir eşkenar üçgen ile bir karenin çevrelerinin toplamı
10 birimdir. Bu düzlemsel bölgelerin alanları toplamı en az
kaç birimkaredir?
3a+4b=10 ,
b=
10  3a
4
a 2 3  10  3a 


4
 4 
a 3
 10  3a   3 
T’=
 2

0
2
 4  4 
90
2
T=
a=
94 3
olmalıdır.
25.
237