FÄ°Z217 bolum1 10 ekim

TİTREŞİM VE DALGALAR
Periyodik Hareketler:
 Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir.
 Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.
 Genellikle sinüs veya cosinüs fonksiyonları olarak ifade edilen periyodik hareketlere harmonik
hareket denir.
 Parçacığı denge konumuna geri getirmeye çalışan kuvvet, uzanımla orantılı ise bu titreşim
hareketine basit harmonik hareket (BHH) denir.
 Basit harmonik harekette uzanımın zamanla değişimi basit bir sinüs eğrisidir. Bu nedenle basit
harmonik harekete sinüzoidal hareket denir.
Titreşim bir denge noktası etrafındaki mekanik salınımdır. Bu salınımlar bir sarkaçın hareketi gibi
periyodik olabileceği gibi çakıllı bir yolda tekerleğin hareketi gibi rastgele de olabilir. Titreşim
hareketi zamana bağlı y(t) gibi bir fonksiyonla ifade edilebilir.
Dalga: Dalga hareketinin oluşumunun ana kaynağı titreşimdir. Ancak her titreşim dalga hareketi
oluşturmayabilir. Dalga titreşimin bir yerden başka bir yere taşınmasıdır. Bu harekette hem zaman
ilerler hem de konum değişir. Bu nedenle dalga hareketi hem konuma hem de zamana bağlıdır ve y(x,t)
gibi bir fonksiyonla ifade edilebilir.
BÖLÜM 1
1.1. PERİYODİK HAREKET
Bütün titreşen cisimler aynı hareketi defalarca yaparlar. Böyle harekete periyodik
hareket denir. Uzamayan fakat kolayca bükülebilen ve kütlesi ihmal edilebilen bir
ipin ucuna asılmış bir kürecikten oluşan düzeneğe basit sarkaç denir. Şekil
1.1'deki basit sarkaç bir yönde çekilip bakılırsa, ileri ve geri hareket yaparak
titreşir.
Şekil 1.1 Periyodik hareket
yapan bir sarkaç
Titreşimin periyodu, hareketin bir tam salınımı için geçen zamandır. Şekil 1.1'deki sarkacın periyodu,
A’dan C ’ye ve tekrar A 'ya dönmesi için geçen süredir. Bir periyotluk harekete titreşimin devri denir.
Titreşimin frekansı, birim zamanda sistem tarafından tamamlanan titreşim devirlerinin sayısıdır.
Çoğunlukla frekans, saniyedeki devir sayısı (s-1) olarak ifade edilir. Frekansın birimi, SI sisteminde
hertz (Hz) 'dir. Bu birim, saniyedeki devir sayısının diğer bir adıdır (1 Hz = s-1). Periyot T, frekans f ile
gösterilirse, aralarında 𝑓. 𝑇 = 1 bağıntısı vardır. Bu bağıntı bütün periyodik hareketlere uygulanır.
1
Örnek 1.1
Bir harekette frekans 10 Hz 'dir. Bu hareketin periyodu nedir?
Çözüm :
𝑓𝑇 = 1 ⇒ 𝑇 = 1/𝑓 = 1/10 = 0,1 𝑠
Uzanım: Parçacığın titreşim hareketi yaparken herhangi bir t anında denge durumuna ulan uzaklığıdır.
Genlik: Parçacığın titreşim hareketi yaparken denge durumundan itibaren en büyük yer değiştirmesine
genlik denir. Uzanımın maksimum değeri genliktir. Şekil 1.1'deki sarkaç için genlik AB veya BC
uzaklığıdır.
1.2. BASİT HARMONİK HAREKET (BHH)
Bir denge durumu etrafında salınım hareketi yapan ve denge durumuna uzaklığı ile zıt yönde bir geri
çağırıcı kuvvetle orantılı olan maddesel bir noktanın hareketine basit harmonik hareket denir.
Kuvvet sabiti k olan bir yaya bağlı, sürtünmesiz yatay bir düzlemde serbestçe hareket eden ve kütlesi
m olan bir cisim, bir basit harmonik harekete örnek oluşturur (şekil 1.2). Bu tanıma göre, yay-blok
sistemi için geri çağırıcı kuvvet,
F = −kx
olarak yazılır. x: denge durumuna uzaklık (uzanım), k: bir orantı katsayısıdır.
Şekil 1.2 Kütlesi m olan bir cismin basit harmonik hareketi
2
Yay denge konumunda ise (şekil 1.2.b. ve d.) cisim üzerine bir kuvvet uygulanmaz. Eğer cisim sağa
doğru yer değiştirmiş ise (şekil 1.2 a.), yayın cisme uyguladığı kuvvet sola doğru yönelmiştir. Cisim
sola doğru yer değiştirmiş ise, kuvvet sağa doğru yönelmiştir. Kuvvet her iki durumda da F = - k.x ile
verilir. Burada kuvvet, her durumda parçacığı geri getirecek yönde etkimektedir. Onun için bu kuvvete
geri çağırıcı kuvvet denir. Yukarıda gösterilen hareket basit harmonik hareket olup, Şekil 1.2’de bir
tam devir gösterilmiştir.
Düzgün dairesel hareket yapan bir taneciğin yörünge düzleminin bir doğrusu üzerindeki izdüşümünün
hareketi de basit harmonik harekettir (Şekil1.3).
Şekil 1.3 Düzgün dairesel hareket yapan bir taneciğin yörünge düzleminin
bir doğrusu üzerindeki izdüşümünün hareketi basit harmonik harekettir.
Düzgün dairesel hareket yapan bir P noktasının herhangi bir anda x-ekseni üzerindeki izdüşüm
noktasının denge noktasına uzaklığı,
𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃
dır. θ = wt olduğundan,
𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡
𝑑𝑥
olur. Hız,
𝑣=
ivme,
𝑎 = −𝑤 2 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡 = −𝑤 2 𝑥
𝑑𝑡
= 𝑤𝐴𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡
dir. İvme, 𝑎 = −𝑤 2 𝑥 bağıntısında w sabit bir değere sahiptir.
Basit harmonik hareket yapan bir cisimde,
𝑎 = −𝑤 2 𝑥 = −
𝑘
𝑥
𝑚
𝑘
dir. Burada k, kuvvet sabitidir, w açısal hızı ifade eder ve 𝑤 = √𝑚 olarak tanımlanır. A’ noktasının
basit harmonik hareketinin periyodu, 𝑇 =
2𝜋
𝑤
𝑚
= 2𝜋√ 𝑘
olarak bulunur. Bir katının kristal yapısını
oluşturan atomlar da denge konumları etrafında gidiş-geliş hareketi (BHH) yaparlar.
3
Dönme Vektörü ile Basit Harmonik Hareketin (BHH) Tanımlanması:
Basit haronik hareketi (BHH) tanımlamanın en kullanışlı yollarından biri de bu harekete düzgün
dairesel hareketin x (veya y) eksenleri üzerinde izdüşümü olarak bakmakla elde edilir.
⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün O noktası etrafında w açısal hızı ile
Büyüklüğü r olan 𝑂𝑃
A
döndüğünü varsayalım (şekil 1.4). Şekildeki P noktasının +x ekseni ile
yaptığı açıyı
𝜃 = 𝑤𝑡
olarak açısal hıza bağlı yazabiliriz. P noktasının x-ekseni ve y-ekseni üzerindeki izdüşümü için,
sırasıyla
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡
𝑦 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡
(1.1)
(1.2)
İfadelerini yazabiliriz. Hareket –A ile +A arasında, x-ekseninde (1.1) ve y-ekseninde (1.2) ifadesi ile
verilen basit harmonik hareket yapar. A niceliğine hareketin genliği denir.
Düzgün Dairesel Hareketin Polar Koordinatlarda Analizi:
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 vektörü orijinden parçacığın bulunduğu noktaya giden
yer vektörü ve bu vektörün boyunu 𝑟 ve x-ekseninin pozitif
tarafı ile yaptığı açıyı  olarak seçelim.
Bu durumda P noktasının yerini 𝑃(𝑟, ) polar koordinatlarıyla
belirleyebiliriz. Dik koordinatlar ile polar koordinatlar
arasındaki ilişkinin
Şekil 1.5.
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
ve 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃
(1.3)
olduğunu biliyoruz. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 vektörünü
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖̂ + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗̂
(1.4)
yazabiliriz.
Şimdi bu ifadeyi başka bir şekilde ifade etmeye çalışalım.
𝑟 = 𝑥 + 𝑖𝑦
(1.5)
Denklem (1.5)’in aşağıda söylenenleri temsil ettiği varsayılmıştır:
1.
x gibi bir yer değiştirme herhangi bir sınırlayıcı faktör olmaksızın x-eksenine paralel yapılmalıdır.
2.
iy teriminin y-eksenine paralel bir yönde y yer değiştirmesi yaptırması gerektiği anlaşılmalıdır. Bu
eşitlik aslında 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 şeklinde yazılan kompleks niceliğine denktir.
4
Kompleks Sayılar:
Eğer a ve b nicelikleri reel sayılar ise
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏
(1.8)
toplamı KOMPLEX bir sayı olacaktır.
Çağdaş mühendislik alanında yer alan titreşim hareketleri, harmonik salınımlar, sönümlü titreşimler,
değişken akımlar ve dalga olaylarının incelenmesinde uygun bir matematik dilidir.
a) ib niceliğini oluşturmak için, Şekil 1.6’da görüldüğü gibi, x-ekseni boyunca b kadarlık bir
mesafe ilerlenir ve sonra y-ekseni boyunca b uzunluğunda bir yer değiştirme olması için 90°
döndürülür.
b) i2b niceliğini oluşturmak için, önce a-şıkkında olduğu gibi ib oluşturulur ve ona 90°’lik bir
dönme uygulanır. Çünkü i2b = i (ib) şeklinde yazılabilir. Arka arkaya 90°’lik iki dönme
pozitif x-ekseni boyunca b yer değiştirmesini, negatif x-ekseni boyunca –b yer değiştirmesine
döndürmektedir. Buradan cebirsel bir eşitlik elde ederiz: √−1 = 𝑖, i2 = -1
Şekil 1.6.
c) 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 olarak tanımlanıyorsa, iz nedir?
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏
(1.6)
𝑖𝑧 = 𝑖𝑎 + 𝑖 2 𝑏 = 𝑖𝑎 + (−𝑏)
(1.7)
iz vektörünün bileşenleri Şekil-1.7b’de gösterilmiştir. Bileşke vektör iz, z vektörüne 90°’lik bir ilave
dönme ile meydana getirilmiştir.
Şekil 1.7 (a)
Şekil 1.7 (b)
Bu çeşit bir analiz cebir ile geometri arasında uygun bir köprü kurar. Eğer a ve b nicelikleri reel
sayılar ise
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏
(1.8)
5
toplamı KOMPLEX bir sayı olacaktır. Geometrik olarak Şekil 1.7a’dan da açıkça görülebileceği gibi
tan = b/a olacak şekilde x-ekseninden itibaren belli bir  açısı yapan eksen boyunca bir yer
değiştirme söz konusudur.
Bir kompleks sayı ile bir vektörü bu şekilde temsil ederek BHH’i analiz etmek için fiziksel olarak
uygun bir yönteme sahip olmuş olduk. Bu yöntemle bir titreşim hareketi problemini çözdükten sonra,
a ve b değerleri reel olan, 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 şeklinde bir sonuç elde edilir. a istenen nicelik olup b ise ihmal
edilebilir.
KOMPLEX ÜSTEL FONKSİYON VE
BU FONKSİYON İLE BASİT HARMONİK HAREKETİN TANIMLANMASI
Kompleks üstel fonksiyonu tanımlamak ve ele almak titreşim problemlerini kolaylaştırması
bakımından önemlidir. Titreşimlerin analizinde, periyodik yer değiştirme ve bu yer değiştirmenin
zamana göre birinci türevi olan hız ve ikinci türevi olan ivme ile ilgileneceğiz. Hareketi tanımlayan yer
değiştirme, hız ve ivme ifadeleri sinüs ve cosinüs’lü terimleri içerir.
Bunun için Taylor teoremi1 kullanılarak sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının seriye açılımları yapılırsa
𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝜃 −
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 −
𝜃3
3!
𝜃2
2!
+
+
𝜃5
5!
𝜃4
4!
⋯
(1.9)
⋯
(1.10)
ifadeleri elde edilir. Şimdi aşağıdaki toplamı yaparsak
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 1 + 𝑖𝜃 −
-1 yerine i2 yazıp yeniden düzenlenirse,
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 1 + 𝑖𝜃 +
(𝑖𝜃)2
2!
+
(𝑖𝜃)3
3!
𝜃2
2!
+
−𝑖
(𝑖𝜃)4
4!
𝜃3
3!
+
+
𝜃4
4!
(𝑖𝜃)5
5!
+𝑖
𝜃5
5!
⋯
+ ⋯+
(1.11)
(𝑖𝜃)𝑛
𝑛!
(1.12)
ifadesi elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı 𝑒 𝑖𝜃 ’nın seri açılımıdır. Bu durumda eşitlik
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑒 𝑖𝜃
(1.13)
olarak yazılabilir. (EULER eşitliği: Leonhard EULER tarafından 1748’de elde edilmiştir.)
Genellikle 𝑒 𝑖𝜃 ile bir z kompleks sayısının çarpımı, z’nin uzunluğunu değiştirmeden  açısı kadar
dönmesini tanımlar.
1
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑥𝑓 ′ (0) +
𝑥2
2!
𝑓′′0) + ⋯
6
Örneğin BHH için,
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 𝛼)
ve
y= 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡 + 𝛼)
𝑑𝑥
𝑣=
= −𝑤𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡 + 𝛼)
𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑑2 𝑥
𝑎=
=
= −𝑤 2 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 𝛼) = −𝑤 2 𝑥
𝑑𝑡 𝑑𝑡 2
şeklindedir. Diğer taraftan, x ve y’nin x+iy şeklindeki bir toplamı ile ilgileniyorsak aşağıdaki ifadeyi
yazabiliriz.
𝑧 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 𝛼) + 𝑖𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡 + 𝛼) = 𝐴𝑒 𝑖(𝑤𝑡+𝛼)
Bu ifadede x, z’nin reel kısmını göstermektedir. Hız ve ivmeye karşılık elde edilecek vektörler,
𝑑𝑧
= 𝑖𝑤𝐴𝑒 𝑖(𝑤𝑡+𝛼) = 𝑖𝑤𝑧
𝑑𝑡
𝑑2𝑧
= (𝑖𝑤)2 𝐴𝑒 𝑖(𝑤𝑡+𝛼) = −𝑤 2 𝑧
𝑑𝑡 2
olur. Bu üç vektör Şekil 1.8’de gösterilmiştir. Üç vektör arasındaki faz ilişkisinde görüldüğü gibi,
her bir i değeri faz açısında /2 kadarlık bir artışa karşılık gelir.
𝐴
𝑤𝑡 + 𝛼
Şekil 1.8. Vektörlerin reel eksen
üzerindeki izdüşümleri.
a) z yer değiştirme vektörü
b) Hız vektörü
c) İvme vektörü
a)
𝑥
𝑥
𝐴𝑤
𝑤𝑡 + 𝛼 + 𝜋⁄2
𝑣
b)
𝑑𝑥⁄𝑑𝑡
𝑑2 𝑥 ⁄𝑑𝑡 2
𝑤𝑡 + 𝛼 + 𝜋
c)
𝑎
𝐴𝑤
2
7