Akışkanlar Mekaniği

AKIŞKANLAR
MEKANİĞİ
Prof. Dr. M. Tunç ÖZCAN
Tarım Makinaları Bölümü
4
DÜZENLİ AKIMLARDA ENERJİ EŞİTLİĞİ
Enerji, iş yapabilme yeteneğidir. Birimi kgf-m veya
kWh'tir.
Hidrolikte başlıca iki çeşit enerji göz önüne alınır
Birincisi “Potansiyel enerji” ve ikincisi “Kinetik enerjidir.”
Konum Enerjisi
Yerçekimi etkisindeki bir su kütlesinin, bulunduğu (yükseklik)
veya konumu nedeniyle sahip olduğu enerjidir.
Konum enerjisi bir karşılaştırma düzlemine göre belirlenir.. Bu nedenle
konum enerjisi (Z) yükseklik farkı ile belirlenir. Belirli bir karşılaştırma
düzleminden (Z) kadar yüksekte () özgül ağırlığında ve birim hacimdeki
sıvının ağırlığının yarattığı
Es = .V Z
Birim hacimdeki sıvının ağırlığı için suyun konum enerjisi
yüksekliğine eşittir ve "Konum yükü" olarak da adlandırılır.
V=1m3 için eşitlik düzenlenirse
Es= . Z
Aynı sıvı kütlesi
içindeki farklı
noktalar için
aşağıdaki
eşitlikler
yazılabilir.
ESA = .ZA
ESB = .ZB
ESC = .ZC
Basınç Enerjisi
Serbest su yüzeyinden dikkate alınan noktaya
kadarki su sütununun ağırlığına eşit enerji
basınç enerjisidir.
p = .h
Basınç enerjisi.
h = p/ 
"basınç yükü"dür.
Toplam Potansiyel Enerji
Toplam potansiyel enerji o noktanın basınç ve
konum enerjileri toplamına eşittir.
Ep = Eb + Es =  h + .Z =  (h + Z)
Toplam potansiyel yük olarak ifade edildiğinde
Ep = h+Z
(h=p/ )
Ep =Z+p/
Potansiyel yük, hidrolik yük veya statik yük
adlarıyla anılır.
Kinetik Enerji
Akışkanın birim kütlesinin hızı nedeniyle sahip
olduğu iş yapabilme yeteneğidir.
Ek = (½).m.V2
m =  /g
Ek =(½)( /g).V2
Bu eşitlik, birim kütle için ve (m =  /g) eşitliğinde
su için
( =1) yerine konarak düzenleme yapılırsa,
Bu ifadeye "hız yükü" denir
Ek = V2 / 2.g
Toplam Enerji
Sıvıların birim ağırlığının konumu, basıncı ve hızı
nedeniyle sahip olduğu iş yapabilme yeteneğine
"Toplam enerji" denir. Toplam enerji, potansiyel
enerji ile kinetik enerji toplamına eşittir.
E = Ep + Ek
E = Es + Eb + Ek
E = Z + ( p / ) + ( V2 / 2g)
[m = m +(kg/m2)/(kg/m3) + (m/s)2/(m/s2) ]
İdeal Akışkanda Akım Çizgisi Boyunca
Toplam Enerji Eşitliği
İdeal Akışkanda Akım Çizgisi
Boyunca Toplam Enerji Eşitliği
Bir akım çizgisi boyunca hareket
eden silindirik bir sıvı kütlesi
alalım.
Silindirin
tabanı
(dA)alanında ve yüksekliği (dS)
olsun. Özgül ağırlığı () olan bu
sıvı kütlesine taban kısmına (p)
basıncı etkiyorsa tavan kısmına
da (p+dp) basıncı etkiyecektir.Bu
sıvı kütlesine etki eden dış
kuvvetler toplamı kütle ile ivme
çarpımına eşittir (Newton ikinci
kanun).
Bir akım çizgisi boyunca hareket
eden elementer sıvı parçasına
etki eden kuvvetler;
1- Sıvı elemanına ivme verecek
olan kuvvetler elemanın iki
ucundaki basınç kuvvetlerinin
farkıdır. Taban alanına
(F1 =p. dA) kuvveti
Tavan alanına
(F2=p+dp) kuvveti
F= F2 - F1
p . dA - (p + dp) dA =
p . dA - p dA - dp dA = - dp dA
2- Sıvı elemanın ağırlığı (F3)
ve bu ağırlığının hareket
yönündeki bileşeni (FA)'dır.
FA= F3. cos =  dA.dS. cos
Cos  = dz / ds
 = .g
FA=.g.dA.ds(dZ/ds)=.g.dA.dz
Fx = F1 - F2 - FA
Fx =p.dA -(p+dp) dA -g dA dz
= - dpdA - .g.dA.dz
Newton (m) kütlesine (a) kadar ivme veren
kuvvet için aşağıdaki eşitliği geliştirmiştir.
Fx = m.a
m = .dA.ds
a = V (dv/ds)
- dpdA - .g.dA.dz = m.a
- dpdA - .g.dAdz = .dA.ds . V (dv/ds)
bütün terimler (-.dA) ile sadeleştirilir.
(dp/) +(g.dz)+(V.dv) = 0
Bu eşitlik ideal sıvılar için “Euler eşitliği”
olarak bilinir.
(dp/) +(g.dz)+(V.dv) = 0
Bu eşitliğin her terimi (g) ile bölünür, (V dv=dv2/2) eşiti
yerine yazılır ve integrali alınırsa (bu yol Bernouilli adlı
matematikcinin özel çözümüdür).
(dp/g) + d(v2/2g) + g/g dz = 0
fdp/ + fd(v2/2g) + fdz = 0
p/  + V2/2g + Z = sabit
Bu eşitlik ideal sıvılar için
“Bernouilli eşitliğidir”.
Gerçek Akışkanda Akım Çizgisi Boyunca
Toplam Enerji Eşitliği
F4 = sürtünme kuvvetidir.
F4 =  2..r.ds
 = Sıvı kütlesi dış yüzeyinde oluşan
kayma gerilmesi,
r =Silindir sıvı kütlesinin yarıçapı,
ds =Silindir şekilli sıvı uzunluğu
Kesme gerilmesinin oluştuğu
alan (2 r ds) ve birim
uzunluktaki kayma gerilmesi
() ise (F4) şürtünme kuvveti
olarak hareketi engelleyen
yönde bir kuvvet olarak
bu koşullara eklenmiştir.
Toplam enerji eşitliği:
Fx = m.a
Fx = F1-F2-F3-F4
pdA-(p+pdp)dA- g dA dz-  2..r. ds= .ds.dA. V(dv/ds)
-dp.dA -.g.dA.dz - .2..r.ds =.ds.dA.V(dv/ds)
(dA=.r2) değerini eşitlikte yerine koyar ve (-.r2)
ile terimleri sadeleştirirsek
(dp/) + g.dz +V.dv = -(2..ds)/(.r )
Gerçek sıvılar için Euler eşitliğidir.
(dp/) + g.dz +V.dV = -(2..ds)/(.r )
(2..ds/.r) akış halinde oluşan sürtünmeyi ifade
eder. Bu terim (g) ile bölünür ve iki nokta arası için
integrali alınırsa.
/)+1 f 2 dV2/2g +1 f 2 dz = 1 f 2 - (2  ds/ r)
(p2/-p1/)+(V22/2g-V21/2g)+(Z2-Z1)=-2/r(S2 - S1)
1f
2(dp
S2 - S1 = L
(p2/-p1/)+(V22/2g -V12/2g) +(Z2 -Z1)=-2L / r )
(p2/+V22/2g+Z2)=(p1/+V12/2g+Z1) -(2..L/.r)
Gerçek akışkanlar için Bernoulli eşitliğidir.
(p2/+V22/2g+Z2)=(p1/+V12/2g+Z1)-(2..L/.r)
Gerçek akışkanlar için Bernoulli eşitliğidir.
gerçek akışkanların hareketi sırasında sürtünmeler
olduğunu ve sürtünmenin yuttuğu enerjinin toplam
enerjiden giriş koşullarında çıkarılması veya çıkış
koşuların da eklenmesi gerektiği anlaşılır.
Sürtünme kayıpları HL veya hf1-2 ile gösterilir.
HL = 2  L / g r
Z1+p1/+V12/2g = Z2+p2/+V22/2g+HL
Bernoulli eşitliğine göre sıkıştırılamayan ideal bir
akışkanda düzenli akım durumunda konum, basınç ve
kinetik enerji toplamı akım çizgisi boyunca sabittir.
Gerçek akışkanlarda ise bu enerjinin bir kısmı
sürtünme ile kaybolur.
Z
 Konum yükü (m)
p/
 Basınç yükü (m)
V2 / 2g
 Hız yükü (m)
Bu terimlerin toplamına "Toplam Yük" denir.
(H) ile gösterilir.
H = Z + p /  + V2 / 2g
İdeal ve Gerçek Akışkanlarda
Enerji Eğim Çizgisi ve Hidrolik Eğim Çizgisi
Boru akımlarında statik ve dinamik yükleri ölçme
amacıyla ;
Piezometre borusu : Boru zarfına bağlıdır. Statik yükü
veya hidrolik yükü gösterir Bu yüke aynı zamanda
piezometrik yük de denir. ( Z+p/)
Pitot borusu : Akışın belirli bir noktasında ve akışa
dik kesit alanı bulunan kıvrık bir borudur. Akışkanın statik
yükü yanında hareketiyle kazandığı hız yükünü de
gösterir. ( Z+p/+V2/2g)
Manometre
ile
ölçümler:
Boruya
bağlanan
manometreden piezometrik ölçüm yapar
A noktası
HA=ZA +pA/  +VA2/2g
B noktası
HB =ZB +pB/  +VB2/2g
İdeal akışkan
A noktası
HA=ZA+pA/+VA2/2g
B noktası
HB =ZB+pB/+VB2/2g+hL
Gerçek akışkan
Sifonlar
Sifon, "U" biçiminde bükülmüş
borudan
oluşur.
Sifonlarla
depolardan, açık kanallardan su
almak mümkün olmaktadır. Sifon
gövdesinin
bir
kısmı
su
seviyesinin
üzerindedir.
Suyu
depo
seviyesinden
yukarıya
çıkarır ve depo seviyesinden daha
aşağıda bir seviyede boşaltırlar.
Sifonlar depo seviyesi ile sifon
çıkış ağzı arasındaki yükseklik
farkından faydalanarak çalışırlar.
Çalışırken
ek
bir
enerjiye
gereksinim göstermezler.
Boru ekseni (B) noktasında
HEÇizgisinden yukardadır. (B)
noktasındaki akıma sifon akımı
denir.
Burada
basınç
yükü
atmosfer basıncından düşüktür.
buradaki düşük basınç suyun
buharlaşma basıncı altına iner ve
su buharlaşmaya başlar, bunun
sonucu sifon akımı kesilir. sıvıların
ani buharlaşmalarına “kavitasyon”
denmektedir.
HA=ZA + pA/ +VA2 /2g
HC=ZC + pC/  +VC2 /2g
İki eşitlikteki terimleri tek tek
inceleyelim,
ZA = 0 ;
(A) noktası (Z - Z) kıyas
düzlemi üzerindedir.
pA/ = pC /  = 0 ;
(A) ve (C) noktalarında basınç
sıfırdır. Bu iki noktada açık
yüzeylidir. (C) noktası borunun
çıkışımdadır sıvı atmosfer basıncı
etkisine açılmıştır.
VA = 0;
(A)
noktası
serbest
su
yüzeyinde olduğu için hızı sıfır
kabul edilir.
VC0 ; ZC0
ZC = - h2;
(C) noktasında sıvı VC hızıyla
hareket etmektedir. Boru içinde ki
hız da aynıdır. Bu nokta kıyas
düzleminden (h2) kadar aşağıdadır.
0 = - h2 + VC2/2g;
h2 = VC2/2g
Sifonda boru çapı sabittir. Bu
nedenle boruda bütün hızlar eşittir.
(VC) yerine (V) yazarak
V  2.g.h2
. Bu eşitlik Toricelli eşitliği
olarak
bilinmektedir.
Süreklilik
eşitliğinde hız ifadesinin eşitini
yerine koyarak (d) çaplı sifonlar
için sürtünmesiz debi eşitliğini elde
edebiliriz.
Sürtünmeli koşullarda depodan
sifon borusuna giriş kaybınında
dikkate alınması gerekir. Giriş kaybı
Hız yükünün giriş kayıp katsayısı (kg)
ile çarpılmasıyla hesaplanmaktadır.
Bu
kayıp
miktarını
(Hk)
ile
gösterirsek;
HA=ZA + PA/ +VA2 /2g
HC=ZC + PC/  +VC2 /2g +Hk
Hk=kg (VC2 /2g)
0 = - h2 +
VC2/2g
+
kg (VC2
h2 = (1+kg)(VC2/2g)
/2g)
V
2.g.h2
(1  k g )
Sifonda boru çapı sabittir. Bu
nedenle boruda bütün hızlar
eşittir.
Q=A*V süreklilik denkleminde
V  2.g.h2 /(1  kg)
A  D 2 / 4
yazarak sifon debisi aşağıdaki
Eşitlik yardımıyla
hesaplanabilir.
Q  0,785D
2
2.g.h2 /(1  kg)
Sifonun çalışması, o yerin
atmosfer basıncı değerine bağlıdır.
Sifonda oluşacak su hızı (h2 )
yüksekliği ile doğru orantılıdır.
“Faydalı yükseklik” de denen (h2)
yüksekliği arttıkça sifondan akan
suyun hızı da artacaktır.
Ancak (h2) yüksekliği atmosfer
basıncına eşit yüke ulaştıktan
sonra (B) noktasındaki basınç
mutlak sıfıra eşit olur. Bu noktada,
atmosfer basıncı değerine eşit
vakum oluştuğundan bu değerden
sonra artık debi artırılamaz.
Gerçekte ise kavitasyon nedeni ile bu
değere de ulaşılması da olanaksızdır. (B)
noktasındaki vakum değeri akıştaki sıvının
“buhar basıncı” değerine ulaştığı zaman sıvı
buharlaşmaya başlar. Kavitasyon denen bu
olayla sifonda akış durur.
Bu nedenle sifonların depo serbest yüzeyinden
olan yükseklikleri sınırlıdır. Bu sınırı kullanılan sıvın
buhar basıncı ve girişteki kayıplar belirler. Pratikte
sifonların üst yükseklikleri 6 -7 m’yi geçemez. Bu
değer aynı zamanda sifonun kurulu olduğu yerin
deniz seviyesinden yüksekliğine de (rakım) bağlıdır.
(A) ve (B) noktaları için Bernoulli eşitliği
yazılırsa (sürtünmesiz koşullar için)
HA=ZA + pA/ +VA2 /2g
HB=ZB + pB/  +VB2 /2g
0+pA/+0 = h1 +pB /  +VB2/2g
VB = VC
VC2 /2g = h2
VB2 /2g= h2
pA/ = pB /  + h1 + h2
pA/ = p0 / (atmosfer basınç yükü)
pB /  = p0 / - (h1 + h2)
p0 /  = 0 alınırsa sonuç rölatif basınç
olarak elde edilir.
pB /  = - (h1 + h2)
sifondaki rölatif basınç yüküdür.
pB /  = - (h1 + h2)
Kavitasyon olmaması için
sıvının o sıcaklıktaki buhar
basıncı (pBuhar/) değerinin
o noktadaki basınç
değerinden küçük olması
gerekir.
pB /  pBuhar / 
Venturi Borusu
Borular içinde akan sıvıların debilerini ölçmeye
yarayan bir alettir. Venturi borusu daralıp
genişleyen bir boru parçasıdır. Boru daralırken
basınç yükü hız yüküne ve genişlerken hız yükü
basınç yüküne dönüşür. Bu dönüşümün oluştuğu
pek çok su yapısı içinde en verimli çalışanı
(kayıpları en az olanı) venturi borusudur.
Orifisler ve Savaklar
Pitot Borusu
İç içe takılmış iki borudan
oluşur. İçteki boruda akışa dik
bir delik ve dıştaki boruda ise
akışa paralel delikler vardır.
dinamik yük, statik yük
ölçülür. Aralarındaki farktan
ise akışın hız yükü bulunur.
Pitot borusu uç kısmında
akım çizgisi son bulur, hızı
sıfır olur ve taşıdığı kinetik
enerji basınç enerjisine
dönüşür.
Bu noktada (kabarma noktası)
yapılacak bir ölçümde sıvının hem basınç
enerjisi hem de basınç enerjisine
dönüşmüş kinetik enerjisi birlikte elde
edilir.
Z1+p1/+V12/2g = Z2+p2/+V22/2g+k(V22
/2g)
Z1 = Z2 ; V1 = 0 ;
(p1 - p2)/  =V22/ 2g =  h
V2  2. g. h( m /  g )
m= Ölçüm sıvısının özgül ağırlığı
g = Akışı ölçülen sıvının özgül ağırlığı.
h = U manometrede ölçülen sıvı
yüksekliği
Su jetinin koordinatları ile hız ölçümü
V  ( g. X ) / (2.Y )
2
Su jetinin boyutları ile debi tayini