Document

HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
1 / 97
KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ
HRT409
DENGELEMEDE ÖZEL KONULAR
Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT
GÜZ 2013
KOCAELĐ
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
2 / 97
Đçindekiler
Önsöz
Kullanılan Kısaltmalar
Kullanılan Simgeler
01. Giriş
02. Matematik Model ve Amaç Fonksiyonu
2.1 Fonksiyonel Model
2.2 Stokastik Model
2.3 Amaç Fonksiyonu
03. Doğrusal Denklem Çözümleri
3.1 Tam Ranklı Doğrusal Denklem Çözümleri
3.2 Rank Bozukluğu, Genelleştirlmiş Ters ve Psoydo Ters
04. Dolaylı ve Koşullu Ölçüler Dengelemesi
4.1 Dolaylı Ölçület Dengelemesi
4.2 Dolaylı Ölçüler Đçin Alternatif Çıkarım
4.3 Koşullu Ölçüler Dengelemesi
05. Bilinmeyenler Arasında Koşul Denklemleri Bulunan Dolaylı Ölçüler Dengelemesi
06. Bilinmeyenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi
07. Bilinmeyenler Arasında Koşul Denklemeleri Bulunan Bilinmeyenli Koşullu Ölçüler
Dengelemesi
08. Dengeleme Hesabı Türlerinin Karşılaştırılması ve Birbirlerine Dönüşümü
8.1 Dolaylı ve Koşullu Ölçülerin Birbirlerine Göre Üstünlükleri ve Birbirlerine Dönüşümü
8.2 Dengelemenin En Genel Halinin Diğer Dengeleme Türlerine Dönüşümü
09. Ardışık Dengeleme
10. Dinamik Kestirim (Kestirim, Süzgeçleme, Yumuşatma)
10.1 Kalman Filtrelemesi
10.2 Bayes Filtrelemesi
11. Kollokasyon (Kestirim + Süzgeçleme)
12. Jeodezik Ağlarda Duyarlık ve Güven Ölçütleri
12.1 Duyarlık Ölçütleri
12.2 Güven Ölçütleri
12.2.1 Đç Güven Ölçütleri
12.2.2 Dış Güven Ölçütleri
13. Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi
13.1 Model Testi
13.2 Uyuşumsuz Ölçüler Testi
13.3 Parametre Testi
14. Kaynaklar
15. Ekler
15.1 Tets Dağılımlar
15.2 Tablolar
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
3 / 97
ÖNSÖZ
Dr. Orhan KURT
2013
*Legendre, Adrien-Marie (1805), Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes,
http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/algebre/legendre-et-la-methode-des-moindres-carres
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
4 / 97
KULLANILAN KISALTMALAR
EKK
GNSS
En küçük kareler
Global Navigation Satellite System
………………
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
5 / 97
KULLANILAN SĐMGELER
n
u
r
m
f
d
Ölçü sayısı
Tek anlamlı çözüm için gerekli ölçü (bilinmeyen) sayısı
Koşul sayısı, bilinmeyenli koşul denklemi sayısı
Bilinmeyenler arasındaki koşul denklemi sayısı
Serbestlik derecesi
Defekt sayısı
A
B
C
Ky
Qy
P
w
Bilinmeyenlerin katsayılar matrisi
Düzeltmelerin katsayılar matrisi
Bilinmeyenler arasındaki koşul denklemlerinin katsayılar matrisi
Ölçüleri varyans-kovaryans matrisi
Ölçüleri ters ağırlık matrisi
Ölçüleri ağırlık matrisi
Kapanmalar vektörü
σ0
s0
Birim ölçünün öncül kuramsal duyarlığı
Birim ölçünün öncül deneysel duyarlığı
m0
ρ ij
Birim ölçünün soncul duyarlığı
i ve j ölçüleri ararsındaki korealsyon katsayısı
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
6 / 97
HAFTA 1: Dersin Đçeriği ve Kapsamı
1. Giriş
Đçerik
Matematik model oluşturma. Rank defekti ve genelleştirlmiş ters. Dolaylı ve koşullu ölçüler dengelemesi.
Bilinmeyenler arasında koşul denklemleri bulunan dolaylı ölçüler dengelemesi. Bilinmeyenli koşullu ölçüler
dengelemesi. Bilinmeyenler arasında koşul denklemleri bulunan bilinmeyenli koşullu ölçüler dengelemesi. 2B
dönüşümlerin bütün dengeleme modelleri kurulması. Matematik modeller arasındaki ilişkiler. Matematik
modeller ile ardışık kestirimler. Kalman Filtrelemesi. Kollokasyon, prediksiyon ve filtreleme. Bütün
matematik model sonuçlarının analiz edilmesi.
Content
Mathematical modeling. Rank defect and generalized inverse. Observation and condition equation models.
Observation equation model with constraints. Mixed model. Mixed model with constraints. Transformations
in 2D using all mathematical models. Relationship among the all mathematical model. Recursive parameter
estimation for all mathematical models. Kalman filtering. Collocation, prediction and filtering. Analyzing the
results of the all mathematical models.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
7 / 97
HAFTA 2: Matematik Model ve Amaç Fonksiyonu
2. Matematik Model ve Amaç Fonksiyonu
2.1. Matematik model
Bir problemi çözebilmek için yapılan ölçüler ile matematik model oluşturulur. Matematik model iki kısımdan
oluşur. Birincisi, ölçüler ile bilinmeyenler arasındaki geometrik ve fiziksel ilişkileri yansıtan fonksiyonel
modeldir. Đkincisi ise, ölçüler arasındaki cebrik yada fiziksel ilişkileri veya her ikisini birlikte yansıtan
stokastik modeldir.
2.2 Fonksiyonel Model
Mühendislik problemlerinin çoğunda deneysel ölçüler yapılmaktadır. Bu deneysel ölçüler ile elde edilen
sonuçların güvenirliklerini artırmak için gereğinden fazla ölçü yapılır. Eşit ağırlıklı ve korelasyonsuz kabul
edilen ölçüler ön değerlendirmeden geçirildikten sonra, diğer ölçü ve büyüklükler arasındaki geometrik ve
fiziksel özelliklerle fonksiyonel olarak ilişkilendirilir. Bu aşama matematik modelin fonksiyonel kısmını
oluşturur.
Ölçü sayısı (n), bilinmeyen Sayısı (u) ve serbestlik derecesi (f=n-u) olmak üzere; fonksiyonel model aşağıdaki
üç tipte kurulabilir.
x = [ x1
x2 L xu ]T
y = [ y1
T
y2 L yn ]
Γ(y ) = 0
y − Φ( x) = 0
Ψ ( y , x) = 0
Bilinmeyenler
Ölçüler
Ölçüler arasında ilişkilere göre kurulan fonksiyonel model
Bilinmeyenlerin fonksiyonları olan ölçüler ile fonksiyonel model
Ölçüler ve bilinmeyenler ile kurulan fonksiyonel model
Bazı durumlarda kurulan fonksiyonel model ek (m) adet koşul ile desteklenebilir.
Λ( x) = 0
Bilinmeyenler arasında oluşturulan koşul denklemleri
1.2. Stokastik model
Ölçülerin duyarlıklarını, ölçüler arasındaki fiziksel yada cebrik veya her ikisini birlikte yansıtan modeldir.
Σ x = D{x}
Σ y = D{y}
Bilinmeyenlerin varyans-kovaryans matrisi
Ölçülerin varyans-kovaryans matrisi
Not: D{*} ; *’nin parametre grubunun saçılım matrisi operatörüdür. Bu notlarda E{*} da *’nin parametre
grubunun umut değerini gösterecektir.
µ y = E{y}
µ x = E{x}
Ölçülerin umut değeri
Bilinmeyenlerin umut değeri
2.3. Amaç Fonksiyonu
Ölçüler arasındaki tutarsızlıkları gidermek için de amaç fonksiyonlarından yararlanılır. Bunlardan en iyi
bilineni En Küçük Kareler (EKK) amaç fonksiyonudur. EKK amaç fonksiyonu ile edilen ölçüler ve
parametreler, gerçek değer olma olasılıkları en büyük olan değerlerdir.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
8 / 97
Korelasyonsuz ve eşit ağırlıklı alınan normal dağılımlı iki ölçü kümesi y j ~ N ( µ y j , σ y j ) , y k ~ N ( µ y k ,σ y k ) ve
ölçü hataları y j − e µ y j = ε j ~ N (0, σ y j ) , y k − e µ y k = ε k ~ N (0, σ y k ) olmak üzere varyans ve ko-varyans
aşağıdaki bağıntılar ile hesaplanır.
σ y2 j = E{εTj ε j } σ y2k = E{εTk ε k } σ y j y k = E{εTj ε k }
σ y j yk
ρ y j yk = σ
y j σ yk
T
Burada 1,em = [1 1 L 1] bir vektörüdür. Yukarıdaki gibi kendi içerisinde eşit ağırlıklı ve korelasyonsuz
olduğu varsayılan ölçü gruplarını ortalama değerleri, korelasyon katsayıları ve ortalama değerlerinin
varyansları kestirilir. Bu ölçü grupları arasındaki fiziksel ve geometrik ilişkiler ile kurulan yeni model çok
değişkenli (multivariate) model olarak tanımlanır. Ön değerlendirme sonucu elde edilen ölçüler vektörü
T
y = [ y1 y2 L yn ]T , çok değişkenli modelden elde edilecek umut değerleri µ y = µ y1 µ y 2 L µ y n
ile
[
]
gösterilir. Bu modelin gerçek hatalar vektörü is y − µ y = ε olur. Bu ölçü kümesinin varyans-kovaryans matrisi
ön değerlendirme sonuçlarından yararlanarak aşağıdaki şekilde oluşturulur.
 σ 12 σ 12

σ
σ 22
Σ y =  12
L L

σ 1n σ 2 n
L σ 1n 

L σ 2n 
L L

L σ n2 
Normal dağılımlı ölçüler y ~ N (µ y , Σ y ) çok değişkenli olasılık fonksiyonu,
y ~ N (µ y , Σ y )
f (y) =
1
( 2π ) det Σ y
n
e
−
( y −µ y )T Σ−y1 ( y −µ y )
2
= {( 2π ) n det Σ y }−0.5 exp{−( y − µ y )T Σ −y1 ( y − µ y ) / 2}
yada
ε ~ N (0, Σ y )
f (ε) =
1
( 2π ) n det Σ y
e
1
− εT Σ −y1ε
2
= {( 2π ) n det Σ y }−0.5 exp{−εT Σ −y1ε / 2}
şeklinde gösterilir. Bu olasılık fonksiyonunun belli bir aralıkta maksimum değer alabilmesi için, negatif
eksponansiyelin minimum olması gerekir.
( y − µ y )T Σ −y1 ( y − µ y ) = εT Σ −y1ε → min
Σ −y1 =
1
σ 02
EKK amaç fonksiyonu
P ve σ 02 sabit bir değer olduğundan, yukarıdaki amaç fonksiyonu;
εT P ε → min
şeklindeki yaygın olarak bilinen EKK amaç fonksiyonuna dönüşür. Umut değeri E{v} = −ε ( E{yˆ } = µ y ) olan
düzeltmeler vektörü Gerçek hatanın umut değeri olan v = yˆ − y düzeltme değeri kullanılarak da EKK amaç
fonksiyonu aşağıdaki şekilde yazılır.
vT P v → min
Uygulamalar:
y − Φ ( x ) = 0 s 6 − 7 − ( x 7 − x 6 ) 2 + ( y 7 − y 6 ) 2 = 0 y − Φ( x 0 ) = 0
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
9 / 97
Uygulama 1: Hazır beton üreten bir firmada, aynı koşullar altında üretilen kirişlerin bir türüne belli
zaman aralıklarında aynı anda uygulanan 50 adet beton basınç dayanım (f ck) ve donatı çeliği çekme
dayanımı (fyk) testleri yapılmış ve bu test değerleri aşağıda verilmiştir.
i fck[MPa] fyk[MPa]
== ======== ========
1
20.8
407.0
2
17.3
423.1
3
12.9
426.9
4
18.5
424.6
5
19.6
418.8
6
18.9
420.5
7
23.9
428.5
8
20.3
428.5
9
22.4
416.6
10
21.8
415.4
11
18.9
421.8
12
18.1
423.0
13
14.7
418.4
14
26.4
414.0
15
18.7
408.9
16
20.0
419.0
17
22.6
421.4
18
22.2
422.4
19
18.8
410.8
20
21.5
416.6
21
21.2
419.1
22
16.9
434.6
23
26.8
420.9
24
21.2
425.7
25
20.5
416.9
== ======== ========
Min:
12.9
406.6
Max:
26.8
434.6
i fck[MPa] fyk[MPa]
== ======== ========
26
18.2
416.8
27
20.6
406.6
28
17.9
423.6
29
18.3
418.4
30
25.6
423.7
31
22.6
426.0
32
21.5
421.8
33
15.9
414.3
34
19.2
422.7
35
19.4
409.2
36
15.8
419.8
37
22.1
419.2
38
20.8
425.4
39
21.7
418.4
40
14.4
421.3
41
13.3
414.2
42
23.7
421.5
43
24.0
408.6
44
19.5
426.6
45
17.4
411.4
46
19.9
413.3
47
20.2
414.3
48
17.4
414.7
49
21.0
415.2
50
19.6
420.9
== ======== ========
d
bw
Rs
Aφ
s
=
=
=
=
=
470.0
250.0
18.0
10.0
200.0
±2.1
±2.1
±0.9
±0.9
±4.7
mm
mm
mm
mm
mm
1. 50 şer kez ölçülen bu test değerini sınıflara ayırtarak histogramlarını çiziniz. Histogram üzerinde
bu örneklemeye ait normal dağılım fonksiyonunu çiziniz.
2. Her bir test ölçüsünün kesin değerlerini ve kesin değerin standart sapmalarını hesaplayınız.
3. Yapılan testlerin kuramsal ortalamalarının ve kuramsal ortalamanın standart sapmasının güven
aralıklarını hesaplayınız.
4. Yapılan testler arasındaki varyans-kovaryans ve fiziksel korelasyon katsayılar matrislerini
hesaplayınız.
5. V ve M bağıntılarında yer alan fck ve fyk değişkenlerini stokastik, diğer değişkenleri (d , bw , Rs ,
ns=3, Aφ , s) sabit değerler olarak kabul ederek; V ve M büyüklükleri arasındaki korelasyon
katsayısını (ρVM) hesaplayınız. V ve M değerlerinin %95 güvenirlikli, güven bölgelerini belirleyiniz.
 σ 2f
Σ x =  ck
σ fck f yk
σ f ck f yk 
σ 2f yk


δf = G δx
 σ 2V
Σf = G Σ x G = 
σ VM
T
σ VM 

σ 2M 
6. V ve M bağıntılarında yer alan bütün değişkenleri (fck , fyk , d , bw , Rs , Aφ , s) stokastik olarak
kabul ederek; V ve M büyüklükleri arasındaki korelasyon katsayısını (ρVM) hesaplayınız. V ve M
değerlerinin %95 güvenirlikli, güven bölgelerini belirleyiniz.
7. fyk = a + b fck şeklinde verilen doğrusal regresyon modelini hesaplayınız. Bu model için
kestirdiğiniz a ve b katsayılarının %95 güvenirlikle anlamlılıklarını test ediniz.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
10 / 97
BĐLGĐ: BASĐT BĐR KĐRĐŞĐN KESME KUVVETĐ ve EĞĐLME MOMENTĐ HESAPLARI:
Beton basınç dayanım (fck) ve donatı çeliği çekme dayanımı (fyk) değerleri ölçülen tek donatılı bir
kirişin, kesme kuvveti ve eğilme momenti hesapları aşağıdaki bağıntılarla gerçekleştirilir (Şekil 1). {
Not: Kuvvet N (Newton), uzunluklar (mm) ve basınç MPa (N/mm2) olarak alınmıştır }.
h
d
A∅
s
bw
(a)
(b)
Şekil-1. Basit kirişin (a) enine ve (b) boyuna kesiti.
Ölçülenler
fck
fyk
h
d
bw
Rs
ns
As
Aφ
s
VC
VS
V
M
Beton basınç dayanımı (µck=20-25Mpa=N/mm2)
Donatı çeliği çekme dayanımı (µyk=420Mpa=N/mm2)
Kirişin yüksekliği (µh=500mm)
Kirişin faydalı yüksekliği (µd=470mm)
Kirişin genişliği (µbw=250mm)
Çekme donatısının çapı (1φ18mm)
Çekme donatısının sayısı ( 3 )
Çekme donatısının kesit toplam alanı (3φRs)
Etriye kesiti çapı (10mm)
Etriyelerin aralıkları (200mm)
Kesme kuvvetine beton katkısı (N)
Kesme kuvvetine etriye katkısı (N)
Kesme kuvveti (N)
Eğilme momenti (Nmm)
[MPa]
[MPa]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm2]
[]
[mm2]
[mm]
[mm]
[N]
[N]
[N]
[Nmm]
Hesaplananlar:
(a) Fonsiyon değerlerinin Hesaplanması
2
0.59 A s2 f yk
V = Vc + Vs
M = A s f yk d −
Vc = 0.182 b w d f ck
A s = 0.25 n s π R s2 = 0.75 π R s2
Vs =
2 A φ f yk d
b w f ck
δA s = (1.5 π R s ) δR s
s
(b) Fonsiyonların ölçü değerlerine göre doğrusallaştırılması ve hata yayılma kuralı.
 ∂V

 δV   ∂f ck
δM  = 
   ∂M
 ∂f ck







 ∂V 


 ∂f yk 


 ∂M 


 ∂f yk 


 ∂V

 ∂b w
 ∂M   ∂M


 ∂h   ∂b w
 ∂V 


 ∂h 






 ∂V 


 ∂R s 
 ∂M   ∂M 


 ∂d   ∂R s 
 ∂V 


 ∂d 
 ∂V 


 ∂A φ 


 ∂M 


 ∂A φ 


 ∂V  


 ∂s  

 ∂M 


 ∂s 
 δf ck 
 δf 
 yk 
 δh 


 δb w 
 δd 


 δR s 
δA 
 φ
 δs 
δf = F δx
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
 ∂V

 ∂f ck
 ∂V

 ∂f yk


b d
 = 0.091 w
f ck

 2 Aφ d
=

s

2 2
 0.59 A s f yk
 =
b w f ck2

 ∂M

 ∂f yk

 ∂V

 ∂R s
 ∂V 

 = A s f yk
 ∂d 
 ∂V

 ∂f ck
F=
 ∂M
 ∂f ck

δf = F δx
 σ 2V
Σf = F Σ x F = 
σ VM
T
 ∂V  2 f yk d

=
 ∂A φ 
s



1.18 A s2 f yk
 = As d −

b w f ck

 ∂V 


 ∂f yk 


 ∂M 


 ∂f yk 


 ∂V

 ∂b w
 ∂M   ∂M


 ∂h   ∂b w
 ∂V 


 ∂h 
σ VM 

σ 2M 






 ∂V

 ∂b w
 ∂V 

=0
 ∂A φ 


 ∂V 


∂
R
s



 ∂M   ∂M 


 ∂d   ∂R s 
 ∂V 


 ∂d 
σ f2
 yk




Σx = 







 = 0.182 d f ck

2 A φ f yk d
 ∂V 

=−
s2
 ∂s 
 ∂V 

=0
 ∂h 
2 2
 2 A s f yk d 2.36 A s f yk
 =
−
Rs
R s b w f ck







 ∂V

 ∂b w
 ∂V 

=0
 ∂h 
 ∂V 

 = 0
 ∂R s 
2 A φ f yk
 ∂V 

 = 0.182 b w f ck +
s
 ∂d 
 ∂M

 ∂f ck
11 / 97
2 2
 0.59 A s f yk f ck
 =
b 2w f ck

 ∂V 

=0
 ∂s 
 ∂V 


 ∂A 
φ


 ∂M 


 ∂A φ 


 ∂V  


 ∂s  

 ∂M 


 ∂s 
σ f2yk
σ 2h
σ 2w
σ d2
σ 2R s
σ 2Aφ











σs2 
ÇÖZÜM:
(1)
fck’nin Histogramı
fyk’nin Histogramı
(2)
n= 50
n= 50
s0 = ± 3.00 MPa
s0 = ± 5.96 MPa
µfck = 19.90 MPa
µfck = 419.03 MPa
sfck = ± 0.42 MPa
sfck = ± 0.84 MPa
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
12 / 97
(3)
P( 19.07 MPa < µfck <
20.73 MPa )= 0.95
P(
±0.36 MPa < Sfck < ±0.53 MPa )= 0.95
P(417.37 MPa < µfyk < 420.68 MPa )= 0.95
P(
±0.71 MPa < Sfyk < ±1.05 MPa )= 0.95
(4)
Kx = |
|
9.02
-0.49
-0.49 |MPa²
35.52 |
R = -0.03 =%-3
(5)
V =
115086.66 N
Σf = |
|
P(
1036236.58
266512751.94
113091.47 N
< µV <
M =
138210478.61 Nmm
266512751.94 |MPa²
127839422664.97 |
117081.86 N
)= 0.95
P(137509687.68 Nmm< µM < 138911269.54 Nmm)= 0.95
R =
±851.73 N
P(
0.73 = %73
< SV <
±1265.40 N
)= 0.95
P(±299162.31 Nmm< SM <±444457.86 Nmm)= 0.95
(6)
V =
Ky = |
|
P(
115086.66 N
5298614.10
2237414302.29
110575.00 N
< µV <
M =
138210478.61 Nmm
2237414302.29 |MPa²
163640361787186.09 |
119598.33 N
)= 0.95
P( 113137768.07Nmm < µM < 163283189.15 Nmm)= 0.95
P(
R =
0.08 = %8
±1926.00 N < SV <
±2861.41 N )= 0.95
P(±10703349.00Nmm< SM <±15901694.62Nmm)= 0.95
(7)
fyk = 420.1104 - 0.0545 fck
S0 =
Sa =
Ta =
±6.08 MPa
±5.76 MPa
72.92
Sb =
Tb =
Z%95 =
±0.29 MPa
0.19
1.64
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
13 / 97
Uygulama 2: Bağıl yatay hareketlerin izlenebilmesi amacıyla Kuzey Anadolu Fay’ının (KAF) her iki
tarafını kapsayan bir kenar ağı tasarlanmıştır (Şekil−
−1). Đlk yıl gözlemlerin değerlendirmesi sonucu
elde edilen koordinatlar Tablo-1 de verilen ağda, iki yıl sonra gerçekleştirilen kenar ölçüleri EUÖ
ile yapılmış ve bu kenarların projeksiyon yüzeyine indirgenmiş değerleri Tablo-2 de verilmiştir.
Şekil-1. Sürekli Mikro Jeodezik Deformasyon Ağı.
Tablo-1. 0. Yılda Elde Edilen Koordinatlar
NN
x [m]
y [m]
N3 4519717.48 484730.38
N4 4518411.90 494664.12
N6 4502961.03 494662.71
N7 4505182.06 481274.52
Dilim Orta Meridyeni=30o
1. 30 kez ölçülen her bir kenara ait ölçüleri sınıflara ayırarak histogramlarını çiziniz.
2. 30 kez ölçülen her bir kenar ölçülerinin kesin değerlerini ve kesin değerin karesel ortalama
hatalarını hesaplayınız.
3. Ölçülen kenarlar arasındaki korelasyon katsayısını hesaplayınız.
4. 30 kez ölçülen her bir kenar ölçülerinin kesin değerlerinin ve kesin değerlerinin karesel ortalama
hatalarının güven aralıklarını hesaplayınız.
5. N3 ve N4 noktalarında bir değişim olmadığı bilindiğine göre; N6 ve N7 noktalarının
koordinatlarını hesaplayınız.
6. Değerlendirme sonucunda elde edilen KOH nın güven aralığını hesaplayınız.
7. N6 ve N7 nokta koordinatlarının ve nokta konumlarındaki değişimin güven aralıklarını
belirleyiniz.
8. 1−α=0.95 ve 1−α=0.99 güvenle deformasyon miktarlarını (N6 ve N7 nokta konum değişimlerini)
belirleyiniz.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
14 / 97
Tablo-2. Kenar Ölçüleri (Ortalamalar ve Ortalamaların Duyarlıkalrı)
y1
DN
N6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
y2
BN
N7
13571.171
13571.161
13571.164
13571.162
13571.179
13571.175
13571.164
13571.153
13571.185
13571.154
13571.179
13571.165
13571.160
13571.180
13571.161
13571.168
13571.161
13571.186
13571.168
13571.197
13571.170
13571.147
13571.174
13571.167
13571.137
13571.156
13571.151
13571.172
13571.167
13571.168
DN
N6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
y3
BN
N3
19478.955
19478.964
19478.958
19478.959
19478.945
19478.951
19478.991
19478.966
19478.928
19478.970
19478.956
19478.959
19478.942
19478.960
19478.973
19478.982
19478.960
19478.950
19478.989
19478.981
19478.940
19478.958
19478.974
19478.958
19478.943
19479.001
19478.942
19478.968
19478.943
19478.977
DN
N6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
y4
BN
N4
15450.894
15450.897
15450.924
15450.900
15450.897
15450.906
15450.924
15450.886
15450.928
15450.894
15450.911
15450.935
15450.890
15450.873
15450.908
15450.871
15450.893
15450.914
15450.896
15450.888
15450.893
15450.899
15450.908
15450.905
15450.892
15450.910
15450.897
15450.892
15450.902
15450.908
DN
N7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
y5
BN
N3
14940.639
14940.633
14940.621
14940.653
14940.646
14940.629
14940.627
14940.629
14940.609
14940.652
14940.624
14940.642
14940.659
14940.641
14940.645
14940.649
14940.643
14940.642
14940.610
14940.623
14940.637
14940.648
14940.625
14940.636
14940.646
14940.625
14940.629
14940.641
14940.650
14940.632
DN
N7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
BN
N4
18823.170
18823.177
18823.190
18823.179
18823.168
18823.205
18823.177
18823.159
18823.170
18823.192
18823.181
18823.181
18823.191
18823.152
18823.154
18823.128
18823.145
18823.175
18823.164
18823.187
18823.162
18823.180
18823.167
18823.156
18823.186
18823.160
18823.149
18823.184
18823.191
18823.156
ÇÖZÜM:
(1)
HİSTOGRAMLAR
y1-Kenarı
y2-Kenarı
y3-Kenarı
[m
y4-Kenarı
y5-Kenarı
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
15 / 97
(2)
------------------------------------------------j
n
±σ0j[mm]
yj[m]
±σyj[mm]
------------------------------------------------1
30
12.18
13571.16673
2.22
2
30
16.66
19478.96143
3.04
3
30
14.31
15450.90117
2.61
4
30
12.22
14940.63617
2.23
5
30
16.70
18823.17120
3.05
------------------------------------------------(3)
|
|
R = |
|
|
1.00 -0.03 0.10 -0.34 0.04 |
1.00 -0.06 -0.23 -0.25 |
1.00 -0.39 0.33 |
1.00 0.05 |
1.00 |
| 4.95 -0.20 0.55 -1.68 0.31 |mm²
|
9.25 -0.49 -1.58 -2.31 |
6.83 -2.26 2.63 |
Σy = |
|
4.98 0.37 |
|
9.30 |
(4)
P(
P(
P(
P(
P(
13571.16
19478.96
15450.90
14940.63
18823.17
m
m
m
m
m
<
<
<
<
<
µy1
µy2
µy3
µy4
µy5
<
<
<
<
<
13571.17
19478.97
15450.91
14940.64
18823.18
m
m
m
m
m
)
)
)
)
)
=
=
=
=
=
0.95
0.95
0.95
0.95
0.95
P(
P(
P(
P(
P(
1.78
2.43
2.09
1.78
2.44
mm
mm
mm
mm
mm
<
<
<
<
<
σy1
σy2
σy3
σy4
σy5
<
<
<
<
<
2.97
4.07
3.49
2.98
4.08
mm
mm
mm
mm
mm
)
)
)
)
)
=
=
=
=
=
0.95
0.95
0.95
0.95
0.95
(5)
NN
N3
N4
N6
N7
Yukarı [m]
c1
c3
x10
x30
[ ][ ][]
[ ][ ][ ]
ŷ1
y1
v1
ŷ2
y2
v2
̂ ŷ3 = y 3 + v 3
y=
ŷ4
y4
v4
ŷ5
y5
v5
x̂1
x 10
x1
x̂
x
x
x̂ = 2 = 20 + 2
x̂3
x 30
x3
x̂4
x 40
x4
[ ][
Sağa [m]
c2
c4
x20
x40
√( x̂1 x̂3 )2+( x̂2 x̂4 )2
ϕ 1 ( x̂ )
̂
ϕ 2 ( x)
√( x̂1c1 )2+( x̂2c 2)2
̂ Φ ( x̂ )= ϕ 3 ( x̂ ) = √ ( x̂1c3 )2+( x̂2c 4)2
y=
̂
ϕ 4 ( x)
√( x̂3c1 )2+( x̂4 c 2)2
ϕ 5 ( x)
̂
√( x̂3c3 )2+( x̂4 c 4 )2
]
P=σ 20 Σ1
y
σ 0=±1.0 mm
σ̂ 0=±1.73 mm
| 4502960.99963 |m
x = | 494662.67312 |
| 4505182.02793 |
| 481274.48497 |
|
Σx= |
|
|
19.91
31.27 -14.12 26.83
103.79 -33.14 91.55
26.05 -35.19
92.84
|mm²
|
|
|
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
16 / 97
(6)
P(
1.38 mm < s0 <
2.31 mm ) = 0.95
(7)
|
d = |
|
|
-30.37
-36.88
-32.07
-35.03
|mm
|
|
|
|
Kd= |
|
|
19.91
31.27 -14.12 26.83
103.79 -33.14 91.55
26.05 -35.19
92.84
|mm²
|
|
|
P(
P(
4502960.99088 m < x_N6 <
494662.65316 m < y_N6 <
4502961.00837 m ) = 0.95
494662.69309 m ) = 0.95
P(
P(
4505182.01793 m < x_N7 <
481274.46609 m < y_N7 <
4505182.03793 m ) = 0.95
481274.50386 m ) = 0.95
(8)
d = |
|
47.77 |mm
47.21 |
Kd= | 100.58
|
d_N6 = 47.77 mm
d_N7 = 47.21 mm
P(
P(
28.12 mm < d_N6 <
37.03 mm < d_N7 <
41.12 |mm²
27.01 |
m_N6 = ±10.03 mm
m_N7 = ± 5.20 mm
67.43 mm ) = 0.95
57.40 mm ) = 0.95
d_N6 = 28.12 mm
d_N7 = 37.03 mm
P( 21.94 mm < d_N6 < 73.61 mm ) = 0.99
P( 33.83 mm < d_N7 < 60.60 mm ) = 0.99
d_N6 = 21.94 mm
d_N7 = 33.83 mm
Kaynaklar
Ahmet TOPÇU (2011), Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 09 Aralık 2011.
http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/index_dosyalar/Dersler/Betonarme1/Sunular/Betonarme_1_4.pdf
Aydemir ZORBOZAN (2011), Betonarme I Uygulamaları, Örnek 14.
http://www.yildiz.edu.tr/~caydemir/bet1/O14BA1y.pdf
Orhan KURT (2011), Olasılık-Đstatistik Ders Notları, KOÜ, Müh. Fak., Đnşaat Mühendisliği Bölümü.
Polat, Z. (2011), 8. KESME ve BURULMA, Yıldız Teknik Üniversitesi, 09 Aralık 2011.
http://www.yildiz.edu.tr/~hendekci/ZP_Kesme_Burulma_09May09.pdf
Şevket ÖZDEN (2011), Betonarme Ders Notları, KOÜ, Müh. Fak., Đnşaat Mühendisliği Bölümü.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
17 / 97
HAFTA 3: Doğrusal Denklem Çözümleri
3. Doğrusal Denklem Çözümleri
3.1. Tam ranklı doğrusal denklem takımı çözümü
A n,u xu = y n
Matris gösterimi ile Genel Doğrusal Denklem Takımı
n ve u Satır ve sütun sayısı,
A n, u
n*u boyutlu katsayılar matrisi,
xu
u boyutlu bilinmeyenler vektörü,
yn
n boyutlu sabit terimler vektörü,
olmak üzere; genel denklem çözüm üç şekilde gerçekleştirilir.
1) n = u ise det{A} ≠ 0 olmak koşulu ile Tek Anlamlı Çözüm aşağıdaki gibi bulunur.
x u = A u−,1u y u
Bilinmeyenlerin çözümü
2) n < u ise tek anlamlı çözüm için Lagrange Dönüşümü nden yararlanılır.
x u = [ AT ( A AT ) −1 ]u , n y n
Bilinmeyenlerin çözümü
Q u , u = A T ( A A T ) −1 A
Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi
3) m > n ise tek anlamlı çözüm için Gauss Dönüşümü nden yararlanılır.
x u = [( AT A ) −1 AT ]u ,n y n
Bilinmeyenlerin çözümü
Qu , u = ( AT A) −1
Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi
3.2. Rank bozukluğu, genelleştirilmiş ters ve psoydo ters.
3.2.1. Genelleştirilmiş Ters (Generalized Inverse)
rank( nA,n )=n ise A-1A = AA-1 =I vardır. Benzer şekilde tam satır ya da tam sütun ranklı bir dikdörtegen
matrisinde tersi tanımlanabilir.
1) rank( mA,n )=m ( m < n ) olsun rank(A AT)=m olur. A AT (A AT)−1 = (A AT)−1A AT = I m vardır.
•
•
•
•
I m = A AT (A AT)−1 = A { AT (A AT)−1 } = A B
B matrisinin A matrisi ile çarpımı I olur.
n ,m
m
m, n
B matrisine A matrisinin sağ tersi (right inverse) denir.
m, n
n ,m
rank(A C AT) = m ile B = C AT (A C AT)−1 de A matrisinin sağ tersi olduğundan B matrisi tek anlamlı
değildir.
Uygulama 3: Aşağıdaki 2A,3 matrisnin sağ tersini hesaplayınız.
A = 1 0 1 
2 ,3  2 1 0 


rank(A) = 2
 1
B =1 / 6  − 2

3, 2
 5
2
2
− 2 
A B= I
2, 2
2,3 3, 2
2) rank( mA,n )=n ( n < m ) olsun rank(ATA)=n olur. ATA (ATA)−1 = (ATA)−1 ATA = I n vardır.
•
•
•
I n = (ATA)−1 ATA = {(ATA)−1 AT}A = B A
B matrisinin A matrisi ile çarpımı I olur.
n
n ,m
m, n
B matrisine A matrisinin sol tersidir (left inverse) ve sağ ters gibi tek anlamlı değildir.
m, n
n ,m
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
18 / 97
Uygulama 4: Aşağıdaki 2A,3 matrisnin sağ tersini hesaplayınız.
2 3
A = 3 5 


3, 2
1 2
B =1 / 3  7
− 4

rank(A) = 2
2 ,3
−1 − 8 
1
5
B A= I
2, 2
2,3 3, 2
3) 1) ve 2)’de tanımlanan sağ ve sol terslerde çarpım sıraları değiştirilerek yeni tersler elde edilir. Bu tersler
ile elde edilen birim matrislerle olağanüstü (extraordiner) birim matrisler tanımlanır.
3.2.1.1. Genelleştirilmiş Ters (Generalized Inverse)
Bu aşamaya kadar verilen ters tanımları; düzgün kare matris ve tam sütun ya da tam satır rankı dikdörtgen
matrisler için yapılmıştır. Bu başlık altında herhangi ranklı bir dikdörtgen matrisin tersinden bahsedilecektir.
Tanım: A A− A = A koşulunu sağlayan nxm boyutlu A
n ,m
−
matrisine mxn boyutlu A matrisinin genel tersi
denir.
Genelleştirilmiş terslerin özellikleri:
A )=r, m≥n ve r ≤ k ≤ n olsun; rank(
• rank (
m, n
•
•
•
A − )=k olabilecek A − vardır.
1) A ( ATA)−ATA = A
2) ATA ( ATA)−AT = AT
3) AT(A AT)− A AT = AT
3) A AT ( A AT )− A = A
A − A eşgüçlüdür (idempotent matris A2 = A A = A ) ve rank( A − A) = rank( A )
( AT A )− = G , ( A AT )− = F olsun,
1) GT = ( ATA)− , FT = (A AT)−
2) A G AT ve AT F A ; G ve F’nin simetrikliklerinden bağımsız simetriktirler.
3.2.1.2. Refleksif Genelleştirilmiş Ters (Reflexive Generalized Inverse)
−
Tanım: A A − A = A ve A − A A − = A − var ise A matrisine A matrisinin refleksif genelleştirilmiş tersi
r
r
r
r
n ,m
m, n
(refleksive generalized inverse) denir.
Refleksif genelleştirilmiş ters özellikleri:
−
• A Ar A = A
−
matrisine mA,n matrisinin refleksif genelleştirilmiş
•
A −r A A −r = A −r var ise A
•
rank( A −r )=rank(A) var ise A
•
ATA’nın simetrik refleksif tersi olan (ATA) −r pozitif ön tanımlıdır (pozitive semi definit).
n ,m
n ,m
−
r
matrisi mA,n matrisinin refleksif genelleştirilmiş tersidir.
3.2.1.3. Tekil (Singüler) Matrislerin Genel terslerinden Birinin Bulunması
det( A )=0 ise A matrisnin en az bir satır ya da sütunu doğusal bağımlı demektir. Doğrusal bağımlı satır ya
n ,n
n ,n
da sütun, matrisnin son satırına ya da sütununa gelecek şekilde düzenlenirse A− matrisi aşağıdaki gibi elde
edilir.
rank( nA,n ) = r < n, d=n-r (rank bozukluğu, rank defekti)
A
A  r ,r
=
n ,n  A
d ,r
A
r ,d 
A
d ,d 

 A −1
A −  r ,r
=
n ,n
0
 d ,r
0
r ,d 
0
d ,d 

Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
19 / 97
3.2.1.4. Psoydo Ters (Pseudo Inverse)
a) Psoydo tersi A+ = AT ( A AT )− A (ATA )− AT dan hesaplanması
Tanım: mA,n matrisinin bir genel tersi olan A
n ,m
+
matrisi;
•
•
•
•
A A+ A = A
A+ A A+ = A+
( A A+ )T = A A+
( A+ A )T = A+ A
koşullarını sağlıyorsa A matrisinin Psoydo Tersi ya da Moore-Penrose Tersi olarak adlandırılır.
Psoydo matris için aşağıdaki özellikler geçerlidir.
• Herhangi bir matrisin psoydo tersi A+ = AT ( A AT )− A (ATA )− AT ile hesaplanır.
• ( A+ )+ = A
• A matrisi nxn boyutlu düzgün (regüler) bir matris ise; A− = A r− = A+ = A−1 ‘dir.
• ( AT )+ = ( A+ )T
• AT = A ise A+ = ( A+ )T
• A matrisi tam satır ranklı ve B matrisi tam sütun ranklı ise; A+ = AT (A AT )−1 ve B+ = ( BTB )−1 BT ‘dir.
Burada A+ ; A matrisinin sağ tersi ve B+ ; B matrisnin sol tersi olarak da adlandırılır.
• rank( A+ ) = rank( A )
• Simetrik An,n = S D ST matrisinin izi özdeğerler matrisinin izine eşittir. iz( A+ ) = iz( D ).
• Psoydo ters matrisin izi Ann matrisinin genel terslerinden izi minimum olandır. iz( A+ ) = min.
Uygulama 5: Aşağıdaki A matrisinin Psoydo (Moon-Penrose) tersini bulunuz.
2
A =  1 −1
2, 3  − 2
2 − 4

Çözüm: 2A,3 matrisnin birnci satırı –2 ile çarpılır ise ikinci satır elde edileceğinden, rank( 2A,3 )=1< 2 olur.
 1 − 2
1
A AT = 6 
,
rank( A AT ) =1 < 2 olduğundan,(A AT )− =1/6 

4
− 2
0
2
 1 −1
1



1 − 2 ,
rank(ATA ) =1 < 2 olduğundan, (ATA )− =1/5 0
ATA = 5  − 1
 2 − 2
0
4
2
 1 −1
1 − 2 
 −1


−
T
T −
T
T
1 − 2
0
A ( A A ) A = 1/6 
(A A ) A =1/5 0
 2 − 2
0
4
0
 1

A = A ( A A ) A (A A ) A = 1/30  − 1
 2
 1 − 2
Kontrol 1: ( A A+ )T = A A+ = 1/5 
4
− 2
+
T −
T
T
−
T
0
0
0 0
0 0
0 0
− 2
2
− 4 
2
 1 −1

1 − 2 
Kontrol 2: ( A+ A )T = A+ A =1/6  − 1
 2 − 2
4
12   1
 6 −6
Kontrol 3: A A+ A = A = 1/6 
=
12 − 24  − 2
− 12


Kontrol 4: A A A = A = 1 / (6 30) = 

+
+
+
−1
2
2 − 4
6 − 12 
 1 − 2

−6
12 =1/30  − 1
2
 2 − 4 
12 − 24 
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
20 / 97
b) Tekil Değer Ayrıştırması Đle Çözüm
Her hangi bir matris tekil değerlerine ayrıştırılabilir. Đki ortogonal ve bir köşegen matristen oluşan ayrıştırılmış
matrisler yardımı ile Genel ters yada Psoydo Ters kolayca hesaplanabilir. Bir matris ( A n , u ); sütün ortogonal
T
T
T
olan bir Sn ,u ( Su ,n Sn ,u=I u , u ), bir ortogonal matris D u ,u ( D u ,u Du , u=Du , u D u , u=Iu , u ) ve bir köşegen
V u , u matrislerine aşağıdaki şekilde ayrıştırılabilir.
A n , u x u=y n
Doğrusal denklem takımı
T
A n , u=S n , u Vu ,u Du , u
A matrisinin tekil değerlere ayrıştırılması
Bu ayrıştırma sonucunda elde edilen matrisler yardımı ile matrisin genel yada psoydo tersi aşağıda verilen
bağıntılar ile hesaplanabilir.
r =rank{ A n , u }
A
u,n
=Du , u V
1
u,u
A matrisnin rankı
S
T
u, n
V
1
u,u
[
⋯
0
⋯
0
⋯ ⋯
⋯ 1/v uu
[
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
1/ v 11
0
1/v 22
= 0
⋯
⋯
0
0
1/ v 11
0
0
0
1/v 22
0
⋯
⋯
⋯
+
V u , u= 0
0
1 /v rr
0
0
0
⋯
⋯
⋯
0
0
0
A +u , n=Du , u V+u , u STu , n
]
]
0
0
⋯
0
0
⋯
0
d =min { n , u }r=0 Rank defekti sayısı
+
d =min { n , u }r>0
x u=A u , n y n
x u=Au , n y n
Çoğunlukla n ≥ u jeodezik problemlerin çözümde yukarıda verilen bağıntılar kullanılır. n<u olan çözümler
için Press vd., 2002) kaynağında sayfa 65'e bakınız.
3.2.1.5. Simetrik Matrislerin Genelleştirilmiş Tersleri (Generalized Inverses of Simetrical Matrixs)
a) uA,n T nA,u = uN,u simetrik matrisinin rankı rank( uN,u )=rank( uA,n )=r<u ’dur. uN,u matrisin genel tersi aşağıdaki
gibi hesaplanır.
N
A T A N  r ,r
= =
u ,n n ,u u ,u  N
d ,r
N
r ,d 
N
d ,d 

 N −1

−
=  r ,r
u ,u
0
 d,r
N
0
N
r ,d 
= r−
0  u ,u
d ,d 

N − matrisi N matrisinin hem genelleştirilmiş tersidir, hem de refleksif genelleştirilmiş tersidir ( N − ).
u ,u
u ,u r
u ,u
Uygulama 6: Aşağıdaki simetrik N matrisinin genel terslerinden üç tanesini bulunuz.
 1 − 2 −1 
N = − 2
4
2
3,3 
 − 1
2
1 
Çözüm : Birici satırın –2 ile çarpımı ikinci satıra ve –1 ile çarpımı üçüncü satıra eşit çıktığından, ikinci ve
üçüncü satırlar birinci satırla doğrusal bağımlıdır. rank( N ) = 1 < 3, d=3−1=2’dir.
3,3
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları

N− 
=
3,3

1
0
0
0
0
0
0
0
0
N−
3,3


=

21 / 97
0
0
0 1/ 4
0
0
0
0
0

N− 
=
3,3

0
0
0
0
0
0
0
0
1 
Yukarıdaki genel terslere benzer olarak diğer lineer bağımsız elemanlarla altı genel ters daha hesaplanabilir.
b) uN,u matrisi özdeğer ve özvektörlerine ayrıştırılırsa
N =S D ST =  S

u ,r
u ,u
D
  r ,r
S
0
u ,d 
d ,r
0
r ,d 
0

d ,d 
ST 
 r ,u  S D S T
 T  = u ,r r ,r r , u
S 
 d ,u 
D =köşegen[ λ λ ... λ ]
1 2
r
r ,r
S : λ ≠0 (i=1,2,...,r) olan özdeğerlere karşılık gelen öz vektörler.
i
u ,r
rank( rD,r )=r, d=u-r (rank bozukluğu)
N
+
u ,u
S D S
= u ,r r ,r −1 r,u T
Uygulama 7: Uygulama 6’daki 3N,3 matrisinin genel terslerinden biri olan psoydo tersini hesaplayınız.
Çözüm: rank( 3N,3 ) = 1 < 3, d=3−1=2’dir. d=2 adet özdeğer sıfırdırdır. Matrisin karakteristik polinomu
aşağıdaki gibidir.
P(λ) = −λ3 + 6 λ2 = (−λ + 6 ) λ2 = 0 ise λ1 = 6 ve λ2 = λ3 = 0 ‘dır.
6 0 0


D = 0 0 0
0 0 0
λ1 = 6
1 / 6 0 0


D =  0 0 0
 0 0 0
−1
( 3N,3 −λ1 3I,3 ) x1 = 0
 1
 
x1 =  − 2 
 − 1 
N+
3,3
= Sr Dr
− 5

ise − 2
 − 1
x1T x1 = 6
−1
−2
−2
2
−1
2
− 5 
D r−1 = [ 1/6 ]
 x 1  0
 y  0
 1  =   , x1=1 için
 z1  0
 1
 
S r = S1 = 1 / 6  − 2 
 − 1 
− 2
 2

 1
 
S = 1/ 6  − 2  [ 1/6 ] 1/ 6 [1 − 2 − 1] = 1/36
 − 1 
T
r
2
− 5 
 1 −2
− 2
4

 − 1
2
 y1   2 
 y1   − 2
 z  =   ‘den  z  =  
 1  1 
 1   − 1
−1 
2
1 
c) Psoydo ters, simetrik matris aşağıdaki gibi alt matrislere ayrıştırılarak da elde edilebilir.
Q Q 
N N 
N =  r ,r r ,d  ve Q = N + =  r ,r r ,d  olsun. Q = Q T ’dir.
Q Q 
u ,u  N
N
u ,u u ,u
r ,d d , r
 d , r d ,d 
d ,r d ,d 


C =( N N + N N T)−1
r , r r , r r ,d r ,d
r ,r
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
Q
r ,r
22 / 97
= rN,r rC,r rN,r rC,r rN,r
Q
r ,d
Q
d ,d
=
Q N −1 N
r ,r r ,r
r ,d
T N −1 N
= rN
,d r , r r ,d
Uygulama 8: Uygulama 6’deki 3N,3 matrisinin genel terslerinden biri olan psoydo tersini hesaplayınız.
Çözüm : Birici satırın –2 ile çarpımı ikinci satıra ve –1 ile çarpımı üçüncü satıra eşit çıktığından, ikinci ve
üçüncü satırlar birinci satırla doğrusal bağımlıdır. rank( N ) = 1 < 3, d=3−1=2’dir. N matrisi doğrusal
3,3
3,3
bağımlı satır ve sütunlara göre alt matrislere ayrıştırılarak aşağıdaki gibi çözülür.
 1 − 2 −1 
N = − 2
N =[1 ]
N = [− 2 − 1]
N =  4 2
4
2
3,3 
1,1
1, 2
2, 2  2 1 


 − 1
2
1 
C
1,1
Q
1, 2
NN N N
=( 1,1 1,1 + 1, 2 1, 2 T)−1 = (1+5)−1 = 1/6
1,1
Q
NCNCN
= 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 = 1/36
Q N
= 1,1 −1 1, 2 = 1/36 [− 2 − 1]
2, 2
Q
4 2
N N Q
= 1, 2 T 1,1 −1 1, 2 = 1/36 

2 1 
 1 −2
N + = 1/36  − 2
4

3,3
 − 1
2
−1 
2
1 
Ödev: Uygulama 4’de verilen simetrik matris N’nin Psoydo tersini, herhangi bir matrisin psoydo tersini veren
N+ = NT ( N NT )− N (NTN )− NT bağıntısı ile hesaplayınız.
Kaynaklar
Alfred LEICK (1995), GPS Uydu Ölçmeleri, Đkinci Baskı, A Willey, Interscience Publication.
Allan Aasbjerg NĐELSEN (2012), En Küçük Kareler Dengelemesi: Doğrusal ve Doğrusal olmayan Ağılıklı
Regresyon Analizi, Sf.Sy. 53.
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/2804/pdf/imm2804.pdf
Edward M. MIKHAIL, Friedrich E. ACKERMANN (1976), Gözlemler ve En Küçük Kareler, Thomas Y.
Cromell Company, Inc., ISBN: 0-7002-2481-5.
Edward J. Krakiwsky (1994), A Synthesis of Recent Advances in the Method of Least Squares, Department
of Geodesy and Geomatic Engineering, Universtty of New Brunswick, Fredericton, N .B., Canada, Reprinted
August 1976 with Corrections, Latest Reprinting October 1994.
http://gge.unb.ca/Pubs/LN42.pdf
Ergün ÖZTÜRK ve Muzaffer ŞERBETÇĐ (1989), Adjustment, Volume II, Publications of Karadeniz
Technical University, Faculty of Engineering and Architecture, Trabzon, Turkey.
Ergün ÖZTÜRK ve Muzaffer ŞERBETÇĐ (1992), Adjustment, Volume III, Publications of Karadeniz
Technical University, Faculty of Engineering and Architecture, Trabzon, Turkey.
Karl-Rudolf KOCH (1999), Doğrusal modellerde parameter kestirimi ve hipotez testi, Springer-Verlag
Berlin Heidelberg Newyork, ISBN-540-65257-4.
Nico Sneeuw and Friedhem Krumm (2012), Adjustment Theory, Geodätisches Institut, Universität
Stuttgart, September 17, 2012.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
23 / 97
Orhan KURT (2011), Sayısal Çözümleme, Ders Notları, KOÜ, Müh. Fak., Đnşaat Mühendisliği Bölümü.
Paul A. CROSS (1983), Đleri En Küçük Karelerin Konum Belirlemeye Uygulanması, Kuzey Doğu London
Politeknik, ISBN-0-907382-06-1. http://seabedhabitats.files.wordpress.com/2011/10/cross_1994.pdf
Petr Vanicek (1995), Introduction to Adjustment Calculus, Third Corrected Edition, Department of Geodesy
& Geomatics Engineering, University of New Brunswick, Fredericton, N .B., Canada, Latest Reprinting
October 1995, http://gge.unb.ca/Pubs/LN35.pdf
William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brain P. Flannery (2002), Numerical Recipes
in C, The Art of Scientific Computing, Second Edition, Cambridge University Press, United Kingdom, ISBN
0-521-43108-5.
URL
http://en.wikipedia.org/wiki/Singular_value_decomposition (20 Ekim 2013).
http://gge.unb.ca/Pubs/LN42.pdf
http://gge.unb.ca/Pubs/LN35.pdf
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/2804/pdf/imm2804.pdf
http://staff.ulsu.ru/semushin/_index/_pilocus/_gist/docs/mycourseware/15-numeth=ised/2-reading/pdfs/other_books/Rao_C.R.,_H.Toutenberg._Linear_Models.._Least_Squares_and_Al.pdf (17 Eylül 2013).
http://www.google.com.tr/url?
sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=3&ved=0CEIQFjAC&url=http%3A%2F%2Fxa.yimg.com
%2Fkq%2Fgroups%2F23106024%2F753934148%2Fname
%2F451206notes.pdf&ei=rXg3UqTsKseihgemr4GQCg&usg=AFQjCNHdeNYdMou1px659IX4uHc9EijiEg&
sig2=SYUUQ4vLdxCbV-8ZSJ3DXg (17 Eylül 2013)
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
24 / 97
HAFTA 4: Dolaylıa ve Koşullu Ölçüler Dengelemesi
4. Dolaylı ve Koşullu Ölçüler Dengelemesi
4.1 Dolaylı Ölçüler Ölçüler Dengelemesi
Ölçüler bilinmeyenlerin fonksiyonları şeklinde yazılır ve EKK amaç fonksiyonuna göre çözülür.
n
Ölçü sayısı
u
Tek anlamlı çözüm için gerekli ölçü sayısı
f=n-u
Serbeslik derecesi
x̂ = x0 +x
y=
̂ = Φ ( x̂ )
2 1
K y =σ 0 P
Dengeli Ölçüler
Bilinmeyenlerin fonksiyonu ölçüler (Fonksiyonel model)
Stokastik Model
(
y+v=Φ
Φ (x 0 )+
ℓ=yΦ
Φ (x 0)
(
A=
∂ Φ (x̂ )
∂ x̂
∂ Φ (x̂ )
∂ x̂
)
x≈0
Đkinci derceden terimlerin ihmal edildiği Taylor serisi
̂ =x
x
Ötelenmiş gözlemler
)
Bilinmeyenlerin katsayılar matrisi
x=x
̂
v=
= A x
ℓ
x=
=Qx AT P ℓ
P=
=Qy 1
Matematik model
Bilinmeyenler
* Duyarlık Hesapları
√
T
v Pv
f
T
1
Q x= ( A P A )
Q ŷ =A Q x AT
Q v =P1 Q ̂y
m0 =
Bilinmeyenlerin ters ağırlığı
Dengeli ölçülerin ters ağırlığı
Düzeltmelerin ters ağırlığı
4.2 Dolaylı Ölçüler Đçin Alternatif Çıkarım
y+v=Φ
Φ (x 0 )+A x≈0
A x
v
w =0
Qy 1
w = y
Φ ( x0 )
Ω=vT Qy 1 v2 k T ( A x
v
w)
∂Ω =0=2 v T Q1 e+2 k T e=2 0 T e
y
∂v
∂Ω =0=2 k T A e=2 0T e
∂x
[
Qy
A
T
=Q y k ⇒ A x+
+Q y k=
=w
⇒ v=
⇒ A T k=
=0
][ ] [ ]
A k
= w
0
0 x
[][
][ ]
Qk
Qy 1 A Q x w
k =
x
0
Q x AT Qy 1
Qx
N = AT Qy 1 A
Q x= N1
Q k =Qy 1 Qy 1 A Q x AT Qy 1
x=
=Q x AT Qy 1 w
k=
= Qy 1 ( w A x))
v=
=Q y k = A x
w
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
25 / 97
* Duyarlık Hesapları
m0 =
√
1
√
T
v Qy v
k w
=
f
f
T
1
Q x= N
1
1
T 1
Q k =Q y Q y A Q x A Q y
Q v = Q y Q k Q y = Q y A Q x A T
Q ŷ =Q y Q v= A Q x A
T
4.3 Koşullu Ölçüler Dengelemesi
Kolullu ölçüler dengelemesi yönteminde fonksiyonel model, ölçülerin dengeli değerleri arasındaki
matematiksel ve fiziksel ilişkiler üzerine kurulur. Ölçülerin dengeli değerleri dengelemeden önce
bilinmediğinden, dengeli ölçülerin yaklaşık değerlerini yeterince yansıtan ilk ölçüler yardımı ile doğrusal
olmayan dengeli ölçülerin fonksiyonları taylor serisine açılalır. Taylor serisinde ikinci ve daha yüksek
dereceden terimler ihmal edilir ve dengeli ölçülerin diferansiyelleri yerine düzeltmeleri yazılarak düzeltme
koşulldenklemleri oluşturulur.
n
u
f=n-u
Ölçü sayısı
Tek anlamlı çözüm için gerekli ölçü sayısı
Doğrusal bağımsız koşul denklemlerinin sayısı (Serbeslik derecesi)
Ψ ( ŷ ) = Ψ ( y+
+ v))=0
2
K y =σ 0 Q y
(
Ψ (y)+
∂ Ψ ( ŷ )
∂ ŷ
)
Ölçülerin fonksiyonları (Fonksiyonel Model)
Stokastik Model
v≈0
Đkinci derceden terimlerin ihmal edildiği Taylor serisi
ŷ =y
B v + w = 0
Qy
Matematik model
EKK amaç fonksiyonu, düzeltme koşul denklemlerini sağlayacak şekilde Lagrange (Korelat) katsayılarından
yararlanarak genişletilerek koşullu ölçüler dengelemesinin amaç fonksiyonu oluşturulur.
Ω=vT Qy 1 v+2 k T (B v+w)
Lagrange Koşulu
Lagrange koşulu düzeltmelere göre minimum yapılarak koşullu ölçülerin normal denklemelerine ulaşılır.
∂Ω =0
T 1
T
T
= (2 v Q y +2 k B) e=0 e
∂v
v=Q y BT k
Korelat Denklemleri
B Q y BT k+w=0
BQ y BT k
=w
Normal Denklemler
k=(B Q y BT )1 w
Normal Denklemlerin Çözümü (Korelatlar)
v=Q y BT k
Düzeltmeler
y=y+v
̂
Dengeli Ölçüler
φ ( ŷ ) = 0
Sonuç Denetimleri
Normal Denklemler
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
26 / 97
Dengeli ölçülerin fonksiyonlarından yararlanarak duyarlık hesapları yapılır. Dengeleme sonuçları istatistik
yöntemlerle test edilir.
•
Duyarlık Hesapları
1
1
v Qy v=(k BQ y )Q y (Q y B k )
1
T
T
T
T
T
v Q y v=k B Q y B k =k (w)=k w
T
m0 =
√
T
1
T
√
T
v Qy v
k w
=
f
f
T
T 1
Q k =(B Q y B )
Korelatların ters ağırlığı
T
Q v =Q y B Qk B Q y
Düzeltmelerin ters ağırlığı
Q ŷ =Q y Q v
Dengeli ölçülerin ters ağırlığı
Koşullu ölçülerdeki normal denklemelerin boyutu koşul denklemlerinin sayısı (r×r) kadardır. Dolaylı ölçüler
dengelemesinde normal denklemlerin boyutunu bilinmeyen sayısı (u×u) belirler. Dengeleme hesabı cep
hesaplayıcıları ile yapılıyorsa, normal denklemlerin boyutunun dengleme yönteminin seçinde önemli olduğu
unutulmamalı ve hangi dengeleme yönteminde normal denklemlerin boyutu küçük ise o dengeleme yöntemi
seçilmelidir. Dengeleme hesabının dolaylı yada koşullu ölçüler yöntemlerinden herhangi birisi ile yapılması
dengleme sonuçlarını değiştirmediği unutulmmalıdır.
Korelasyonlu ölçülerin dengelenmesinde koşullu ölçüler yöntemi daha hızlı sonuç verir. Çünkü ölçülerin
ağırlık matrisi yerine ters ağırlık matrisi ile koşullu ölçüler dengelemesinin her aşaması hesaplanabilir.
Korelasyonlu ölçülerde tersi alınacak matrisin en büyüğü ölçülerin (n×n) boyutlu ters ağırlık matrisi üzerinde
gerçekleştirlir.
Q y =σ 2
0 Ky
B v + w = 0
Stokastik Model
Qy
Matematik model
Ω=vT Qy 1 v+2 k T (B v+w)
Lagrange Koşulu
v=Q y BT k
Korelat Denklemleri
B Q y BT k=w
Normal Denklemler
k=(B Q y BT )1 w
Normal Denklemlerin Çözümü (Korelatlar)
v=Q y BT k
Düzeltmeler
y=y+v
̂
Dengeli Ölçüler
φ ( ŷ ) = 0
Sonuç Denetimleri
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
27 / 97
Uygulama 9: Bir üçgenin iç açıları ölçülmüş, ölçü değerleri duyarlıkları ile birlikte aşağıdaki tabloda
verilmiştir. Verilenlerden yararlanarak üçgenin iç açılarının dengeli değerlerini;
a) dolaylı ölçüler yöntemine göre,
b) koşullu ölçüler yöntemine göre,
L3
hesaplayınız ve sonuçları tartışınız.
i
1
2
3
Li (g)
40,3522
60,7020
98,9480
mi (cc)
±3
±5
±6
L1 (x)
(y) L
2
a) Dolaylı Ölçüler Denglemesi Đle Çözüm : n=3 u=2
- Bilinmeyenlerin ve bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerinin seçimi
x0 = L1
x
x = x0 + dx
̄ =x 0+ x
y = y0 + dy
y 0 = L2
ℓ+v=Φ
Φ (x )
- Fonksiyonel model oluşturulması
L1 + v 1 = x
L2 + v 2 = y
L3 + v3 = 200g – x - y
v1
1
0
dx
v1 = dx
v2 =
dy
v2 = -dx -dy
-(L1 - x0)
-(L2 - y0)
-{L3 – (200-x0-y0)}
[cc]
0
v2 = 0
1
- 0
dy
v3 − 1 − 1
22
- Stokastik modelin oluşturulması
pii =
c = 32 = 9
1,00 0,00 0,00
c
P =
m i2
0,36 0,00
0,25
v= A x ℓ
ℓ
- Matematik modelin oluşturulması
P
- Normal denklemler oluşturulmsı, çözümü ve bilinmeyenlerin kesindeğerlerinin
hesaplanması
T
T
A P A x A P ℓ =0
− 5,50
1,25 0,25
T
− 2,83
x =Q AT P ℓ=
1
Q=( A P A) =
x - − 5,50 = 0
0,61
[cc]
x = x0 + x =
0,8714 − 0,3571
40,351917
1,7857
[g]
− 7,86
60,701214
- Düzeltmelerin, dengeli ölçülerin hesaplanması ve sonuç denetimleri
− 2,83
[cc]
v= A x ℓ
ℓ = − 7,86
40,351917
L = L + v = 60,701214
− 11,31
T
v P v =62,2286 cc
2
0
K x=m Q
=
54,25 − 22,23
L + v =? Φ ( x )
98,946869
m0 = ±7,89cc
2
- Duyarlık hesapları
[g]
[cc ]
2
Bilinmeyenleri varyans-kovaryans matrisi
111,16
0,8714 − 0,3571 − 0,5143
T
Q̄ℓ = A Q A =
=
1,7857
− 1,4286
Dengeli ölçülerin ters ağırlık matrisi
1,9429
54,24 − 22,23
K ̄ℓ =m20 Q ℓ̄ =
111,16
[cc ]
2
32,02
− 88,93
Dengeli ölçülerin varyans-kovaryans matrisi
120,95
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
28 / 97
b) Koşullu Ölçüler Denglemesi Đle Çözüm
i
1
2
3
n=3
u=2
r=1
Li (g)
40,3522
60,7020
98,9480
mi(cc)
±3
±5
±6
L3
L1 (x)
(y) L
2
Ölçü sayısı
Tek anlamlı çözüm için gerekli ölçü sayısı
Koşul sayısı (serbestlik derecesi)
i=1,2 , ... , n
ℓi = ℓi  v i
Dengeli ölçüler
- Fonksiyonel model oluşturulması
g
  ℓ=0
ℓ1  ℓ2  ℓ3200 =0
- Ölçülere göre doğrusallaştırma
ℓ1 ℓ2 ℓ3 200 g v 1v 2v 3=0
v 1v 2v 322cc =0

 ℓ
∂   ℓ
∂ℓ

v  ... =0
ℓ=ℓ
B v+w=0 Düzeltme koşul denklemleri
- Stokastik modelin kurulması
[]
2
1 m
q i= = i
pi c
c=9 cc 2
q T =[ 1.00 2.78 4.00 ]
[q]=
1
=7.78
p
- Lagrange Fonksiyonu ve Normal Denklemlerin Kurulması
Ω=[ pvv ]2k(v 1+v 2+v 3 )= p1 v 21+ p 2 v 22+ p3 v 232k (v 1+v 2 +v 3 )
∂Ω
=2 pi vi 2 k = 0
∂ vi
1
vi =
k = qi k
pi
Düzeltmeler düzeltme
denklmelere ulaşılır.
i=1,2 ,3
koşul
Korelat denklemleri
denklemelrinde
[]
1
k + w = [q] k + w = 7.78 k +22cc =0
p
k =2.8278
yerine
konulursa,
normal
Normal denklemeler
Korelat
Korelat denklemlerinden düzeltmeler hesaplanır.
v T =[ 2.83 7.86 11.31 ]
ℓT =[ 40.351917 60.701214 98.946869 ]
Düzeltmeler
Dengeli Ölçüler
- Sonuç Denetimleri
ℓ1 + ℓ2 + ℓ3200 g =0 
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
29 / 97
HAFTA 5: v=Ax-l ve Cx+w=0
5. Bilinmeyenler Arasında Koşul Denklemleri Bulunan Dolaylı Ölçüler Dengelemesi
Ölçüler ile bilimeyenler arasındaki fonksiyonel ilişkinin yanı sıra bilinmeyenler arasında da koşullar olabilir.
Bu türden problemler aşağıdaki şekilde dengelenir.
n
u
m
f=n+m-u
Ölçü sayısı
Bilinmeyen saysısı,
Bilinmeyenler arasındaki koşul sayısı
Bilinmeyenler arasındaki koşulların sayısı
x̂ = x0 +x
y=
̂ = y+
+v
Dengeli blinmeyenler
Dengeli ölçüler
y=
̂ = Φ ( x̂ )
Γ (x̂ )=0
Bilinmeyenlerin fonksiyonu ölçüler
Bilinmeyenler arasındaki koşul denklemleri
K y =σ 20 P 1
Stokastik Model
Yukarıdaki verilen fonksiyonel model bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerine göre Taylor serisine açılıp ikinci
daha yüksek dereceden terimler göz ardı edilirse aşağıdaki matematik model elde edilir.
v=A xℓ
ℓ
C x+w=0
Düzeltme denklemleri
Koşul denklmeleri
( )
A = ∂Φ
∂ x̂
̂ =x 0
x
( )
∂Γ
, C = ∂ x̂
̂ =x0
x
Φ (x 0 ) ve w=Γ
Γ (x 0)
, ℓ=LΦ
Düzeltme denklemleri koşul denklemleri ile birlikte EKK'e göre çözebilmek için aşağıdaki Lagrange koşulu
yazılır.
Lagrange koşulu
Ω=(A xℓ
ℓ)T P (A xℓ
ℓ)+2 k T (C x+w)
Ω=x T AT P A x2 ℓT P A x+ ℓT P ℓ+2 k T C x+2 k T w
Lagrange koşulu bilinmeyenlere ve korelatlara göre minimumlaştırılır.
∂Ω =2(xT AT P A ℓT P A+
+ k T C)e=0
∂x
∂Ω =2 eT ( Cx+
+ w )=0
∂k
Minimumlaştırılan denklemler tekrar düzenlenerek normal denklemlere ulaşılır.
[
[
][ ] [ ] [ ]
][ ] [ ]
[][
][ ]
AT P A CT
C
0
N CT
C 0
x + A T P ℓ = 0
k
w
0
x = AT Pℓ
ℓ
k
w
Qx
N1 CT Q k
x =
k
Q k C N1
Qk
A T Pℓ
ℓ
w
Normal Denklemler
N = AT P A
M=
=C N1 CT
Q x =N1N1 CT Q k CN1
Q k =M1
Normal denklemlerden önce bilinmeyenler Gauss algoritması ile indirgenir ve korelatlar hesaplanır. Daha
sonra korelatlardan yararlanarak bilinmeyenler bulunur.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
1
k=
= Qk ( C N
T
A P ℓ + w))
x=
= N 1 ( AT P ℓ CT k )
30 / 97
Korelatlar (Lagrange çarpanları)
Dengeleme bilinmeyenleri
Daha sonra dengeli bilinmeyenler, düzeltmeler ve dengeli ölçüler hesaplanır. Model testi ve uyuşumsuz
ölçülerden önce duyarlık hesapları yapılır.
m0=±
√
T
v Pv
f
Soncul birim ölçünün karesel ortalama hatası
Sonuçların test edilmesinde kullanılan ters ağırlıklar aşağıdaki bağıntılar ile hesaplanır. Korelatlara hata
yayılma kuralı uygulanırsa korelatların ters ağırlığı elde edilir.
Q x=N1 N 1 CT Q k C N1
Bilinmeyenlerin ters ağırlığı
Dengeli ötelenmiş göslemlerden ℓ̂ =A x yararlanarak, dengeli ölçülerin ters ağılık matrisi ve bu matristen
yararlanarak düzeltmelerin düzeltmelerin ters ağırlık matrisi hesaplanır.
Q ̂y =Q ℓ̂ =A Q x AT
Dengeli Ölçülerin ters ağırlık matrisi
1
Q v =Q y Q ̂y =P Q ̂y
Düzeltmelerin ters ağırlık matrisi
Uygulama 10a
10a: Bir dik üçgenin üç kenarı ölçülmüş ölçü değerleri ağırlıkları ile birlikte aşağıda verilmiştir.
Đki dik kenarı birbirine yakın olan bu dik üçgende geçekleştirlen ölçüleri;
a) dolaylı ölçüler yöntemine göre,
b) bilinmeyenler arasında koşul denklemleri bulunan dolaylı ölçülere göre,
dengeleyerek sonuçları irdeleyiniz.
(a) Dolaylı ölçüler dengelemesi ile çözüm.
[] [ ]
ŷ 1
y=
̂ ̂y 2 =Φ
Φ ( x̂ )=
̂y 3
x̂ 1
̂x 2
√ ̂x +̂x
2
1
2
2
[
p1
P=σ K = 0
0
2
0
1
y
0
p2
0
0
0
p3
]
Çözüm:
j
1
2
3
yj [m]
100.01
99.98
141.40
mj [cm]
y3
0.75
0.50
1.50
y1 (x1)
(x2)
y2
u=(dik
2 kenarlar birbirine
f= 1 eşit olsun) bulunan dolaylı ölçüler dengelemesi ile
(b) Bilinmeyenler arasında koşul
1
0
0.7072
A[]
0
1
0.7070
l [cm]
0
0
-1.43
A'PA
ATPl
0.5000 -1.0104
9.4998 -1.0101
Q
x
0.2235 -0.0118
-0.21
-0.0118 0.1059
-0.10
v [cm]
-0.21
-0.10
1.21
[pvv]=
s0=
A'Pv=0
0.0000
0.0000
1.7289 cm2
1.31 cm
4.5002
0.5000
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
31 / 97
[] [ ]
ŷ 1
y=
̂ ̂y 2 =Φ
Φ ( x̂ )=
̂y 3
x̂ 1
̂x 2
√ ̂x +̂x
2
1
[
p1
P=σ K = 0
0
1
y
2
0
2
2
0
p2
0
0
0
p3
]
Γ ( x̂ )= x̂ 1 x̂ 2 =0
A
================
1.0000 0.0000
0.0000 1.0000
0.7070 0.7072
================
y
==========
0.0000
0.0000
-1.4287
==========
N
================
9.4998 0.5000
4.5002
================
n
==========
-1.0101
-1.0104
==========
Nz
========================
9.4998 0.5000 1.0000
0.5000 4.5002 -1.0000
1.0000 -1.0000 0.0000
========================
SN
==
1
2
3
L
======
99.98
100.01
141.40
v
=====
0.87
-2.13
0.53
Qy
========================
0.1111 0.0000 0.0000
0.2500 0.0000
1.0000
========================
C
================
1.0000 -1.0000
================
nz
========
-1.0101
-1.0104
3.0000
========
L+v
========
99.9887
99.9887
141.4053
SN
==
1
2
w
==========
-3.0000
==========
Qz
========================
0.0667 0.0667 0.3333
0.0667 0.0667 -0.6667
0.3333 -0.6667 -2.8334
========================
x0
======
99.98
100.01
x
=====
0.87
-2.13
z
========
0.8653
-2.1347
-8.1633
========
x0+x
========
99.9887
99.9887
Karşılaştırma:
σ0= 1,5 cm
σj [cm] Pj [ ] xj0 [m]
0,75
4
100,01
0,50
9
99,98
σ0=
1,50
1
(a)
(b)
xj [m]
xj [m]
100,0079 99,9887
99,9790 99,9887
0,0131
0,0355
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
32 / 97
Uygulama 10b
10b: Bir üçgenin iç açıları ölçülmüş ölçü değerleri ağırlıkları ile birlikte aşağıda verilmiştir. Bir
açısı dik ve iki kenarı eşit olması istenen bu dik üçgende geçekleştirlen ölçüleri;
a) dolaylı ölçüler yöntemine göre,
b) bilinmeyenler arasında koşul denklemleri bulunan dolaylı ölçüler yöntemine göre,
dengeleyerek sonuçları irdeleyiniz.
σ 20=m20=2.25 c2
j
1
2
3
yj [m]
mj [c]
49.97 1.50
50.01 1.00
100.01 2.50
y1
Pj [ ]
1.00
2.25
0.36
(x1)
y3
(x2) y
2
Çözüm:
(a) Dolaylı ölçüler dengelemesi ile çözüm.
[] [
x̂ 1
ŷ 1
y=
̂ ̂y 2 =Φ
Φ ( x̂ )=
x̂ 2
g
̂y 3
200 x̂ 1 x̂ 2
]
[
p1
P=σ 20 K 1
=
0
y
0
s0=
j
1
2
3
yj [m]
49.97
50.01
100.01
u= 2
A
1
0
-1
Pj [ ]
1.50
1.00
2.50
1
2.25
0.36
A'PA
1.3600
0.3600
0.3600
2.6100
Q
x
0.7632
-0.1053
-0.1053
0.3977
Bilinmeyenler
xj0 [g]
j
1
49.97
2
50.01
Dengeli Ölçüler
yj [g]
j
1
2
3
49.97
50.01
100.01
m0=
xj [c]
0.24
0.11
vj [c]
]
xj0 [m]
49.97
50.01
f= 1
l [c]
v [c]
0.00
0.24
0.00
0.11
-1.00
0.66
[pvv]=
m0=
ATPl
0
1
-1
0
0
p3
1.5 c
mj [c]
[]
0
p2
0
A'Pv=0
0.0000
0.0000
0.2368 c2
0.49 c
0.36
0.36
0.24
0.11
xj [m]
49.9724
50.0111
yj [m]
0.24 49.9724
0.11 50.0111
0.66 100.0166
200.0000
0.49 c
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
33 / 97
(b-1) Bilinmeyenler arasında koşul (taban açıları eşit olsun=dik kenarlar birbirine eşit olsun) bulunan dolaylı
ölçüler dengelemesi ile çözüm.
[] [
x̂ 1
ŷ 1
y=
̂ ̂y 2 =Φ
Φ ( x̂ )=
x̂ 2
g
̂y 3
200 x̂ 1 x̂ 2
]
[
p1
P=σ K = 0
0
2
0
1
y
0
p2
0
0
0
p3
]
Γ ( x̂ )=[ ̂x1 x̂ 2 ]=[ 0 ] ← Taban Açıları eşit olsun
A [ ]
1
0
-1,0000
0
1
-1,0000
l [c]
0,00
0,00
-1,00
Pj [ ]
1
2,25
0,36
Nz
1,3600
0,3600
1
z
x1
0,3600
1
2,6100
-1
-1
0
x2
k
Qz
0,2132
0,2132
0,6333
z
0,2132
0,2132
-0,3667
Bilinmeyenler
xj0 [g]
j
1
2
49,97
50,01
Dengeli Ölçüler
yj [g]
j
1
2
3
49,97
50,01
100,01
m0=
0,6333
-0,3667
-0,7292
xj [c]
2,69
-1,31
vj [c]
2,69
-1,31
-0,37
2,69
-1,31
-2,82
lz
=
n= 3
0,36
m= 1
0,36
4,00
u= 2
f= 2
v [c]
2,69
-1,31
-0,37
[pvv]=
m0=
11,15 c2
2,36 c
xj [m]
49,9969
49,9969
yj [m]
49,9969
49,9969
100,0063
200,0000
2,36 c
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
34 / 97
(b-2) Bilinmeyenler arasında koşul (taban açılarının toplamı 100g olsun = üçüncü açı dik açı olsun) bulunan
dolaylı ölçüler dengelemesi ile çözüm.
[] [
x̂ 1
ŷ 1
y=
̂ ̂y 2 =Φ
Φ ( x̂ )=
x̂ 2
g
̂y 3
200 x̂ 1 x̂ 2
]
[
p1
P=σ K = 0
0
2
0
1
y
0
p2
0
Γ ( x̂ )=[ ̂x 1+ x̂ 2 100 ]=[ 0 ] ← Taban Açılarının toplamı 100
g
A[]
l[c]
1
0
-1
0
1
-1
0,3600
2,6100
1
1
0
0,3077
-0,3077
0,6923
Qz
-0,3077
0,3077
0,3077
0,6923
0,3077
-1,0523
xj [c]
1,38
0,62
Dengeli Ölçüler
yj [g]
j
vj [c]
m0=
1,38
0,62
-1,00
lz
z
x1
x2
k
z
Bilinmeyenler
xj0 [g]
j
1
49,97
2
50,01
49,97
50,01
100,01
olsun
1
2,25
0,36
1
0,3600
1
1
2
3
g
]
Pj[]
0
0
-1
Nz
1,3600
0
0
p3
1,38
0,62
-1,74
=
n= 3
0,36
m= 1
0,36
2,00
u= 2
f= 2
v [c]
1,38
0,62
-1,00
[pvv]=
m0=
3,13 c2
1,25 c
xj [m]
49,9838
50,0162
100,0000
yj [m]
49,9838
50,0162 100,0000
100,0000
200,0000
1,25 c
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
35 / 97
(b-3) Bilinmeyenler arasında koşul (Üçgen, ikizkenear dik üçgen olsun = üçgenin taban açıları eşit olsun +
taban açılarının toplamı 100g) bulunan dolaylı ölçüler dengelemesi ile çözüm.
[] [
x̂ 1
ŷ 1
y=
̂ ̂y 2 =Φ
Φ ( x̂ )=
x̂ 2
g
̂y 3
200 x̂ 1 x̂ 2
Γ ( x̂ )=
[
][]
x̂ 1 x̂ 2
0
=
g
0
x̂ 1+ x̂ 2100
A[]
]
0
1
-1
1
y
0
p2
0
0
0
p3
]
← Taban Açıları eşit olsun
g
← Taban Açılarının toplamı 100 olsun
l[c]
1
0
-1
[
p1
P=σ K = 0
0
2
0
Pj[]
0
0
-1
1
2,25
0,36
Nz
lz
z
x1
1,3600
0,3600
1
1
0,3600
2,6100
-1
1
1
-1
0
0
x2
k1
0
0
k2
2,00
z
0,5000
-0,5000
-0,8125
0,3125
0,5000
0,5000
0,3125
-1,1725
v [c]
3,00
-1,00
-1,00
[pvv]=
m0=
1
0,0000
0,0000
0,5000
0,5000
1
Qz
0,0000
0,0000
-0,5000
0,5000
Bilinmeyenler
xj0 [g]
j
1
49,97
2
50,01
xj [c]
3,00
-1,00
xj [m]
50,0000
50,0000
Dengeli Ölçüler
yj [g]
j
1
49,97
2
50,01
3
100,01
vj [c]
3,00
-1,00
-1,00
yj [m]
50,0000
50,0000
100,0000
200,0000
m0=
3,00
-1,00
-2,63
-0,74
=
n= 3
0,36
m= 2
0,36
u= 2
4,00
f= 3
11,61 c2
1,97 c
1,97 c
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
36 / 97
Uygulama 1 (10 Ekim 2016): Aşağıda ölçüleri verilen
nivelman ağını dolaylı ve koşullu ölçüler yöntemine göre
dengeleyiniz (Oklar nivelman gidiş yönünü göstermektedir).
Rs1
y1
P2
j
NN
Hi [m]
1
P1
15.81750
x10=
15.816
2
P2
17.20980
x20=
17.213
1
Rs1
10.000 =H1
2
Rs2
5.215 =H2
y2
y4
y3
P1
k
1
2
3
4
DN
Rs1
Rs1
P1
P2
∆Hk [m] Sk [km]
7.213
4.0
5.816
2.0
-10.604
2.0
-11.994
1.0
BN
P2
P1
Rs2
Rs2
∆Hk [m]
Sonuç Denetimi
7.20980
7.20980
5.81750
5.81750
-10.60250
-10.60250
-11.99480
-11.99480
Rs2
A) DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ
n=4
yˆ 1 = xˆ 2 − H 1
pk = 1[ km] / S k [ km]
k = 1,2,..., n
yˆ 2 = xˆ1 − H 1
yˆ 3 = H 2 − xˆ1
yˆ 4 = H 2 − xˆ 2
A
0
1
-1
0
1
0
0
-1
1.00
0.00
1.00
0.00
x
x1
x2 -
y
0.0 mm
0.0
=
-3.0
4.0
ATPA
0.00
1.25
Qx
0.00
0.80
f =n−u =2
u=2
xˆ j = x j 0 + x j
j = 1,2,..., u
v
-3.2 mm
1.5
1.5
-0.8
x
x1
=
x2
x
1.50 mm
-3.20
0.25
0
0
0
ATPy
1.5
-4.0
P
0
0.50
0
0
vTPv=
n=
u=
f=
m0 =
[]
0
0
0.50
0
5.4500
4
2
2
1.65
0
0
0
1.00
mm
B) KOŞULLU ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ
yˆ 1 + yˆ 4 + H 1 − H 2 = 0
qk = S k [ km] / 1[ km]
yˆ 2 + yˆ 3 + H 1 − H 2 = 0
1
0
0
1
B Qy BT
5
0
0
4
B
0
1
v
v1
v2
v3
v4
1
0
k
k1
k2
=
=
w
4.000 mm
-3.000
-w
-4.000
3.000
v
-3.2 mm
1.5
1.5
-0.8
k
k1
k2
=
-0.8000
0.7500
Qy
4.00
0
0
0
0
2.00
0
0
0
0
2.00
0
0
0
0
1.00
-kTw= vTPv= 5.4500
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
37 / 97
Uygulama 2 (17 Ekim 2016): Aşağıda ölçüleri verilen GNSS ağını dolaylı
ve koşullu ölçüler yöntemine göre dengeleyiniz.
x̂ 3 = Y3
=
Z3
y1
y= y2
y3
3
4098738.8110
X3
2566699.4720
4146271.1180
y [m]
-1136.1690
-2138.1728
2274.3064
-1113.4375
1465.6040
253.5439
22.7433
3603.7869
-2020.7513
y3
Ky[cm2]
0.1197 0.0186 0.0505
0.0176 0.0128
0.0576
0.0246 0.0106 0.0158
0.0194 0.0091
0.0497
0.5057 0.1770 0.1814
0.2328 0.1061
0.2158
DN BN
1
2
y1
y2
3
1
1
2
3
2
ÇÖZÜM:
A) DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ
1) Yaklaşık Koordinatların Hesaplanması ve Bilinmeyenlerin fonksiyonu ölçüler
x 10 = xˆ 3 − y 1
x= x 20 = xˆ 3 + y 3
x̂ 3
X10
4099874.9800
Y10
2568837.6448
Z10
X20
4143996.8116
4098761.5543
Y20
Z20
2570303.2589
4144250.3667
X3
4098738.8110
Y3
Z3
2566699.4720
4146271.1180
yˆ 1 = − xˆ 1 + 0 + xˆ 3
yˆ 2 = −xˆ 1 + xˆ 2 + 0
yˆ 3 = 0 + xˆ 2 − xˆ
2) Stokastik Model
σ02= 1.00
Qy=
cm2
0.1197 0.0186 0.0505
0
0
0
0
0
0
0.0186 0.0176 0.0128
0
0
0
0
0
0
0.0505 0.0128 0.0576
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0246 0.0106 0.0158
0
0
0
0
0
0
0.0106 0.0194 0.0091
0
0
0
0
0
0
0.0158 0.0091 0.0497
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5057 0.1770 0.1814
0
0
0
0
0
0
0.1770 0.2328 0.1061
0
0
0
0
0
0
0.1814 0.1061 0.2158
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
13.9 -7.0
-7.0 71.3
-10.7 -9.7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
P=Qy-1
38 / 97
-10.7
-9.7
28.9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
61.6
-26.8
-14.7
0
0
0
0
0
0
-26.8
68.0
-3.9
0
0
0
0
0
0
-14.7
-3.9
25.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3.2
-1.6
-1.9
0
0
0
0
0
0
-1.6
6.3
-1.8
0
0
0
0
0
0
-1.9
-1.8
7.1
3) Fonksiyonel Model (Düzeltme Denklemleri)
-1
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
-1
0
0
0
0
A
[ ]
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
X
[cm]
dX1
dY1
dZ1
dX2
dY2
dZ2
0
0
0
0
0
1
0
0
1
-
y
[cm]
0
0
0
-1.18
-1.01
-1.12
0
0
0
=
v
[cm]
-0.18
-0.08
-0.17
0.07
0.07
0.14
-0.93
-0.86
-0.80
4) Normal Denklemeler ve Çözümü
75.56
-33.75
-25.36
-61.62
26.78
14.69
Qx=(ATPA)-1=
-33.75
139.28
-13.67
26.78
-68.03
3.94
0.10
0.02
0.04
0.09
0.02
0.03
-25.36
-13.67
54.39
14.69
3.94
-25.51
0.02
0.02
0.01
0.02
0.02
0.01
ATPA
[ ]
-61.62
26.78
14.69
64.84
-28.35
-16.62
0.04
0.01
0.05
0.04
0.01
0.04
0.09
0.02
0.04
0.11
0.02
0.05
26.78
-68.03
3.94
-28.35
74.33
-5.72
0.02
0.02
0.01
0.02
0.03
0.02
14.69
3.94
-25.51
-16.62
-5.72
32.65
0.03
0.01
0.04
0.05
0.02
0.07
x
[cm]
dX1
dY1
dZ1 =
dX2
dY2
dZ2
dX1
dY1
x= dZ1
dX2
dY2
dZ2
=
ATPy
[cm]
29.22
32.69
7.26
-29.22
-32.69
-7.26
0.18
0.08
0.17
-0.93
-0.86
-0.80
[cm]
5) Duyarlık Hesapları
n=
9
u=
6
f=
3
vTPv= 5.3505
m 0=
1.34
cm2
cm
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
39 / 97
B) KOŞULLU ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ
1) Ölçülerin Fonksiyonu
yˆ 1 − yˆ 2 + yˆ 3 = 0
2) Düzeltme Koşul Denklemleri
v1 − v 2 + v 3 + w = 0
B
v
w
1.18
1
0
0
-1
0
0
1
0
0
v1
0
1
0
0
-1
0
0
1
0
v2
0
0
1
0
0
-1
0
0
1
v3
+
1.01
[cm]
=
1.12
0
0
0
3) Normal Denklemler ve Çözümü
BQyBT
k
-w[cm]
-1.18
0.6500 0.2062
0.2477
k1
0.2062 0.2698
0.1280
k2
0.2477 0.1280
0.3231
k3
T -1
(BQyB ) =
=
-1.01
-1.12
2.46
-1.21
-1.40
k1
-1.21
5.16
-1.12
k= k2
-1.40
-1.12
4.61
k3
-0.1033
=
-2.5338
-2.3834
4) Korelat Denklemleri ve Düzeltmeler
vT = (QyBTk)T = -0.18
-0.08
-0.17
0.07
0.07
0.14
-0.93
-0.86
-0.80
5) Duyarlık Hesapları
n=
9
u=
6
f=
3
-k w= 5.3505 cm2
T
m0 =
1.34
cm
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
40 / 97
Uygulama 3 (24 Ekim 2016): Şekildeki nirengi ağında A ve B noktaları
koordinatları ile verilmiş, şekilde okla gösterilen doğrultular md =±
±7cc ve s1,
s2 kenarları ms=5+2ppm olan bir EUÖ ile ölçülmüştür. C noktasının dengeli
koordinatlarını ve duyarlıklarını, ölçülerin dengeli değerlerini ve
duyarlıklarını dolaylı ve koşullu ölçüler yöntemleri ile hesaplayınız.
N
A
B
C
A
B
x
xA
yA
xB
yB
xC
yC
zA
zB
j
xj
BN
y
k
yk
A
C
B
A
C
C
C
r1
r2
r3
r4
s1
s2
1
2
3
4
5
6
0.0000
64.9272
0.0000
72.6072
1552.127
1455.127
1
2
3
4
B
A
B
x1
x2
x3
x4
s2
s1
DN
335.623
161.472
812.417
1498.464
C
4
1
g
g
g
g
m
m
3
B
2
A
DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ
j : Durulan Nokta (DN)
k : Bakılan Nokta (BN)
Koordinat ve DN’ da Yöneltme Bilinmeyenleri:
DN : x̂ j , ŷ j , ẑ j
BN: x̂k , ŷk
//x
x
tˆ jk
Bilinmeyenlerin Fonksiyonu Ölçüler:
rˆjk + zˆ j = tˆ jk
 yˆ k − yˆ j 
= arctan 

 xˆ k − xˆ j 
2
sˆ jk = ( xˆ k − xˆ j ) + ( yˆ k − yˆ j )
Doğrultu Ölçüleri
2
ẑ j
Kenar Ölçüleri
k
r̂ jk
ŝ jk
Yaklaşık Değerler:
DN : xˆ j = x j 0 + x j , yˆ j = y j 0 + y j , zˆ j = z j 0 + z j
BN : xˆ k = x k 0 + xk , yˆ k = y k 0 + y k
j
y
 yk 0 − y j 0 
t jk 0 = arctan 
 , s jk 0 = ( xk 0 − x j0 ) 2 + ( y k 0 − y j 0 ) 2
x
−
x
 k 0
j0 

∆x jk 0 = s jk 0 ⋅ cos t jk 0 , ∆y jk 0 = s jk 0 ⋅ sin t jk 0
Doğrultu ve Kenar Düzeltme Denklemleri:
vr jk = −a r jk ⋅ x j − br jk ⋅ y j + a r jk ⋅ xk + br jk ⋅ y k − z j − l r jk
ar jk = −
sin t jk 0 ⋅ ρ
s jk 0
[cmcc ] , br
jk
=
cos t jk 0 ⋅ ρ
s jk 0
[cmcc ] , ρ = 6366.20 , l r
jk
= r jk + z j 0 − t jk 0
vs jk = −a s jk x j − bs jk y j + as jk xk + bs jk yk − l s jk
a s jk = cos t jk 0
[ ] , bs jk
= sin t jk 0
[ ] , l s jk
= s jk − s jk 0
[cc] ,
[cm] ,
Stokastik Model:
pr jk =
σ 02
σ r2jk
 cc 2  p = σ 0
 cc 2  , s jk σ 2
s jk
2
 cc 2 
 cm 2 
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
ÇÖZÜM:
y = [ y1
y2
v = [ v1
v2
n =6 , u =4 , f = n−u =2
y3
v3
y4
v4
y5
v5
]T
y6
v6
]
C
Ölçüler vektörü
T
y6
γ
Düzeltmeler vektörü
y5
yˆ = y + v
xˆ = [ xˆ1
41 / 97
y4
Dengeli ölçüler vektörü
xˆ 2
xˆ 3
xˆ 4
]T
y1
Dengeli bilinmeyen vektörü
1) Bilinmeyenlerin fonksiyonu ölçüler
A
Doğrultu ölçüleri
 xˆ − y A 
yˆ 1 = arctan  2
 − xˆ 3
 xˆ1 − x A 
β
α
y3
B
y2
Kenar ölçüleri
yˆ 5 = ( xˆ1 − x A ) 2 + ( xˆ 2 − yˆ A ) 2
 y − yA 
yˆ 2 = arctan  B
 − xˆ 3
 xB − x A 
 y − yB 
yˆ 3 = arctan  A
 − xˆ 4
 x A − xB 
yˆ 6 = ( xˆ1 − x B ) 2 + ( xˆ 2 − yˆ B ) 2
 xˆ − y B 
yˆ 4 = arctan  2
 − xˆ 4
 xˆ1 − x B 
2) Bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri
α = − y1 + y 2
 yB − y A 
β = − y3 + y4
, ( AB) = arctan 
 , ( BA) = ( AB) ± π ,
 xB − x A 
γ = π + y1 − y 2 + y 3 − y 4
 x10   x A + y5 cos{( AB) − α }
 x   y + y sin{( AB) − }
α 
5
x 0 =  20  =  A
 x30  

( AB) − α
  

( BA)

 x40  
j
1
2
3
4
xj0
x10
x20
x30
x40
x
1854.18
482.55
13.2649
278.1921
m
m
g
g
s0 [m]
a
3) Katsayıların Hesaplanması
DN BN y
k
A
C r1
1
0.0000
13.2644
1552.128
-0.85
4.01
2.60
B r2
2
64.9272
78.1921
1419.465
-4.22
1.51
-2.60
A r3
3
0.0000
278.1921
1419.465
4.22
-1.51
-0.39
C r4
4
72.6072
350.7992
1455.125
3.05
3.13
0.39
B
yk
t0 [g]
b
l
A
C s1
5
1552.127
13.2644
1552.128
0.98
0.21
-0.12
B
C s2
6
1455.127
350.7992
1455.125
0.72
-0.70
0.18
pj
cc
1.00
1.00
cc
1.00
1.00
cm
74.61
cc2/cm2
78.31
cc2/cm2
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
42 / 97
4) Düzeltme Denklemleri ve normal denklemler
A
y
x
v
-0.85
4.01
-1
0
x1
-1.80 cc
0
0
-1
0
x2
-0.16
0
0
0
-1
x3
3.05
3.13
0
-1
x4
0.98
0.21
0
0
0.72
-0.70
0
0
-
-2.60 cc
-0.16
=
-3.94
-0.26 cm
=
-0.000260 g
2.60
64.927460
0.39
0.000039
-0.39
72.607161
0.12 cm
1.48
1552.12823 m
-0.18
ATPA
x
0.21 cm
-1.66
-2.44 cc
-0.23
y+v
1455.12522
ATPl
x
121.60
-17.88
0.85
-3.05
x1
-17.88
67.28
-4.01
-3.13
x2
0.85
-4.01
2.00
0.00
x3
1.96
-3.05
-3.13
0.00
2.00
x4
4.10
0.0092
0.0036
0.0032
0.0196
Qx
0.0036
0.0198
0.0382
0.0364
0.0032
0.0382
0.5752
0.0647
53.35
=
ATPl
53.35
-104.76
1.96
4.10
0.0196
0.0364
0.0647
0.5870
-104.76
x =x0+x
1854.18206
482.53341
13.264656
278.192077
m
g
5) Sonuç denetimleri
y
y1
y2
y3
y4
y5
y6
z+r
t(x)
13.264397
13.264397
78.192116
78.192116
278.192116
278.192116
350.799237
s+v
350.799237
s(x)
1552.12823
1552.12823
1455.12522
1455.12522
6) Duyarlık Hesapları
[pvv]= 17.4192 cc2
n=6
u=4
m0=2.95
cc
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
Qy=A Qx AT=
Qv=P-1 - A Qx AT=
0.5752
0.4248
-0.0647
0.0647
0.0111
-0.0243
43 / 97
0.4248
0.5752
0.0647
-0.0647
-0.0111
0.0243
0.4248
-0.4248
0.0647
-0.0647
-0.0111
0.0243
-0.0647
0.0647
0.5870
0.4130
-0.0268
0.0114
0.0647
-0.0647
0.4130
0.5870
0.0268
-0.0114
-0.4248 0.0647 -0.0647
0.4248 -0.0647 0.0647
-0.0647 0.4130 -0.4130
0.0647 -0.4130 0.4130
0.0111 0.0268 -0.0268
-0.0243 -0.0114 0.0114
0.0111
-0.0111
-0.0268
0.0268
0.0111
0.0017
-0.0111
0.0111
0.0268
-0.0268
0.0023
-0.0017
-0.0243
0.0243
0.0114
-0.0114
0.0017
0.0108
0.0243
-0.0243
-0.0114
0.0114
-0.0017
0.0020
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
44 / 97
KOŞULLU ÖLÇÜLER DENGELEMESĐ
ÇÖZÜM:
n =6 , u =4 , f = n−u =2
α = − y1 + y 2
C
β = − y 3 + y 4 γ = π + y1 − y 2 + y 3 − y 4
v β = − v3 + v4
vγ = π + v1 − v2 + v3 − v4
vα = −v1 + v2
y5
1) Đlk doğrusal bağımsız koşul denklemeleri
yˆ 5 ⋅ sin γ
−1
s AB ⋅ sin β
,
yˆ 6 ⋅ sin γ
−1
s AB ⋅ sin α
,
y6
γ
qj =
1
pj
y4
y1
α
B
y3
y2
A
2) Düzeltme koşul denklemleri
β
 cc 
 y ⋅ sin γ

 6366.20   cm 
w1 =  5
− 1 ⋅ ρ [cc ]
,
− cot β ⋅ v β + cot γ ⋅ vγ + 
⋅
v
+
w
=
0

5
1
 s AB ⋅ sin β

 y5 
 cc 
 y ⋅ sin γ

 6366.20   cm 
w2 =  6
− 1 ⋅ ρ [cc ]
,
− cot α ⋅ vα + cot γ ⋅ vγ + 
⋅
v
+
w
=
0

6
2
 s AB ⋅ sin α

 y6 
{
−v )+{
− cot β ⋅ (−v3 + v4 ) + cot γ ⋅ (v1 − v2 + v3 − v4 ) +
6366.20
y5
− cot α ⋅ (−v1 + v2 ) + cot γ ⋅ (v1 − v2 + v3
6366.20
y6
4
} ⋅v
} ⋅v
{
+{
5
+ w1 = 0
6
+ w2 = 0
} ⋅v + w = 0
} ⋅v + w = 0
cot γ ⋅ v1 − cot γ ⋅ v2 + {cot β + cot γ }⋅ v3 − {cot β + cot γ }⋅ v4 +
6366.20
y5
{cot α + cot γ }⋅ v1 − {cot α + cot γ }⋅ v2 + cot γ ⋅ v3 − cot γ ⋅ v4
6366.20
y6
5
6
1
2
Çözüm:
sAB=
α=
β=
γ=
q1
1
q4
1
1419.465 m
64.9272
72.6072
62.4656
q2
1
q3
1
-1.1279
4.1016
-0.6690
0
BT k
-2.60
0.6690
-0.6690
B
1.1279
2.60
1.2833
-1.2833
0.6690
q5
0.0134
g
g
g
q6
0.0128
y+v
0
v
v1
wcc
2.08
v
-2.60
-0.000260
4.3750
v2
6.92
2.60
64.927460
0.39
0.000039
v3 =
0.39
-0.39
v4
-0.39
72.607161
9.19
v5
0.12
1552.12823
-13.96
v6
-0.18
1455.12522
-wcc
BQB T
3.6649
3.2261
k1
3.2261
4.4333
k2
=
-2.08
-6.92
k
2.2415 =
-3.1919
-wcc
Qk
0.7591 -0.5524
-0.5524
0.6275
-2.08
-6.92
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
45 / 97
Duyarlık Hesapları
0.6690 1.2833
-0.6690 -1.2833
QyBT= 1.1279 0.6690
-1.1279 -0.6690
0.0550
0
0 0.0559
Qv= Qy BT Qk Qy BT=
QL= Qy - Qv
0.4248
-0.4248
0.0647
-0.0647
-0.0111
0.0243
0.5752
0.4248
-0.0647
0.0647
0.0111
-0.0243
-0.4248 0.0647 -0.0647
0.4248 -0.0647 0.0647
-0.0647 0.4130 -0.4130
0.0647 -0.4130 0.4130
0.0111 0.0268 -0.0268
-0.0243 -0.0114 0.0114
0.4248 -0.0647 0.0647
0.5752 0.0647 -0.0647
0.0647 0.5870 0.4130
-0.0647 0.4130 0.5870
-0.0111 -0.0268 0.0268
0.0243 0.0114 -0.0114
-0.0111
0.0111
0.0268
-0.0268
0.0023
-0.0017
0.0111
-0.0111
-0.0268
0.0268
0.0111
0.0017
0.0243
-0.0243
-0.0114
0.0114
-0.0017
0.0020
-0.0243
0.0243
0.0114
-0.0114
0.0017
0.0108
Dengeli Ölçülerin Fonksiyonlarının Duyarlığı
F=
-0.0504 0.0504
0.2385 -0.2385
Qx=F QLFT
0
0
0
0
0.9784
0.2069
0.0092
0.0036
0.0036
0.0198
0
0
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
46 / 97
Serbest Ağaların Dengelenmesi
A , B, C
A’, B’, C’
Zorlamasız Dengelemiş Noktalar
Serbest Dengelemiş noktalar
x
xS
Zorlamasız dengelenmiş koordinatlar
Serbest dengelenmiş koordinatlar
x
C’
C
dxC
dyC
dx = x S − x , dxT dx → min
B
* Zorlamasız ve iç zorlamalı (serbest) arasında
Benzerlik dönüşümü
A’
dxB
dxA
x S = xC + k R x
dyA
B’ dy
A
B
y
* Sağ-el koordinat sisteminde 3. eksen etrafında,
cos α
R = R 3 (−α ) = 
 sin α
∂R − sin α
=
∂α  cos α
 xS 
 xC 
− sin α 
ve   =   + k

cos α 
 y S  j  yC 
cos α
 sin α

− sin α   x 
cos α   y 
− cos α 
ve α ≈ 0 olduğundan sin α ≈ 0 ve cos α ≈ 1 den
− sin α 
1 0 
∂R 0 − 1  ∂x S
R=
≈
ve
,

∂α 1 0   ∂R
0 1
 ∂x
x S = x S 0 +  S
 ∂x C
 x
− y 

 ∂R 
 = I , x S 0 = x , k ≈ 1 , R x =   ve 
 x =   den
 ∂α 

 y
 x 

 ∂x 
 ∂x  ∂R 
 dx C +  S  dk + k  S  
 x dα
 ∂k 
 ∂R   ∂α 

1 0 − y j
dx j = x S j − x j = G j t = 
xj
0 1
dxC 
x j  dyC 

 , j = A, B, C
y j   dα 


 dk 
* Đki boyutlu ağlar (doğrultu ağları) için en genel durum p adet nokta için dönüşüm katsayılar matrisinin sütun
normlandırma ile genelleştirilmesi
xM = [ x] / p , y M = [ y ] / p , x j = x j − x M , y j = y j − y M , c = { [ x 2 + y 2 ] }−1 , x j = c x j , y j = c y j ,
j = 1,2,K, p
t T = [dxC
dyC
dα
1 / p

T
 0
dk ] , G = 
− y1

 x1
0
L 1/ p
1/ p L
0
x1
L − yp
y1
L
xp


1/ p 
xp 

y p 
0
dx = x S − x = G t ve x S = x + dx = x + G t
xTS x S = (x + G t )T (x + G t ) = xT x + 2 t T G T x + t T G T G t → min G T = G −1
xTS x S = xT x + 2 t T G T x + t T t → min
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
47 / 97
∂xTS x S
= 0 den G T x + t = 0 ve t = −G T x bulunur
∂t
x S = x − G G T x = (I − G G T ) x = S x , S = I − G G T
x S = S x ve Q S = S Q x ST , S = I − G G T
Kontroller
G T x S = G T (I − G G T ) x = (G T − G T G G T ) x = (G T − I G T ) x = 0 den G T x S = 0 bulunur.
G T x S = 0 , A G = 0 , N G = 0 , G T N = 0T , N G = 0 , Q S G = 0 , G T Q S = 0T
Bilinmeyenler arasında koşul bulunan dolaylı ölçüler dengelemesi ve Serbest Dengeleme
P = σ 02 K −y1
ˆ = Φ(xˆ )
L
S
Ψ(xˆ S ) = G T xˆ S
xˆ S = xˆ + x S , L + v = Φ(xˆ S ) , y = L − Φ(xˆ ) , y + v = Φ(x S )
Matematik Model
v = A xS − y
P
GT xS = 0
{
Ω = arg min{ x
Ω = arg min ( A x S − y )T P ( A x S − y ) + 2k T (G T x S )
}
xS , k
T T
SA P
A x S − 2 y T P A x S + y T P y + 2k T G T x S
}
xS , k
∂Ω
∂Ω
= 0 ve
= 0 dan
∂x S
∂k
AT P A x S − AT P y + G k = 0 ,
GT xS = 0
N = A T P A ve n = AT P y kısaltmaları ile
Normal Denklemler
N
G T

G  x S  n
=
0   k   0 
Normal denklemlerin katsayılar matrisinin tersi aşağıdaki bağıntı ile hesapnır.
Q S + GG T

T
 G
G

0
N + GG T

T
 G
G  I + GG T
=
0   GT
G

I
Q S = (N + GG T ) −1 − GG T
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
 x S  Q S
 k  = G T
  
G
0 
48 / 97
n  Q S n Q S n
T
T T
 0  =  G T n  =  0  , G n = {G A } P y = 0
  
 

Q S = (N + GG T ) −1 − GG T
x S = Q S n ={ (N + GG T ) −1 − GG T } n = (N + GG T ) −1 n
iz{ Q x } > iz{ Q S } → min
v = A xS − y
xˆ S = xˆ + x S
L + v = Φ(xˆ S ) , y = L − Φ(xˆ ) , y + v = Φ(x S )
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
49 / 97
Uygulama 3:
DN BN y
A C r1
B r2
B A r3
C r4
A C s1
B C s2
y1
y2
y3
y4
y5
y6
k
1
2
3
4
5
6
yk
0.0000
64.9272
0.0000
72.6072
1552.127
1455.127
xA
0.85
4.22
4.22
0
yA
-4.01
-1.51
-1.51
0
xB
0
-4.22
-4.22
-3.05
-0.98
0
-0.21
0
0
-0.72
t0 [g]
13.2644
78.1921
278.1921
350.7992
13.2644
350.7992
yB
s0 [m]
1552.128
1419.465
1419.465
1455.125
1552.128
1455.125
a
b
l
pj
-0.85
-4.22
4.22
3.05
4.01
1.51
-1.51
3.13
2.60
-2.60
-0.39
0.39
cc
0.98
0.72
0.21
-0.70
-0.12
0.18
cm
0
1.51
1.51
-3.13
xC
-0.85
0
0
3.05
yC
4.01
0
0
3.13
zA
-1
-1
0
0
zB
0
0
-1
-1
0
0.70
0.98
0.72
0.21
-0.70
0
0
0
0
1.00
1.00
1.00
1.00
cc
74.61
78.31
cc2/cm2
cc2/cm2
y
-1.64 cc
0.00
0.00
-3.78
v
-1.81
1.81
1.35
-1.35
x5
x6
x7
x8
-0.26 cm
1.48
0.16
-0.16
x1
x2
x3
x4
[pvv]=
m0=
2.54
-2.76
-2.11
0.75
-0.42
2.01
-1.00
0.00
x7
-0.82
2.11
-0.75
-3.64
-0.81
1.53
1.57
0.00
-1.00
x8
-1.89
14.21
3.77
Yönelme Bilinmeyenleri Đndirgenmiş Düzeltme Denklemeleri
x3
x4
x5
x6
x7
x8
l
2.11
-0.75
-0.42
2.01 0.00 0.00
-0.82
x1
p
1.00
0.82
1.00
1.89
1.00
x1
-1.69
x2
-1.25
1.69
1.25
-2.11
0.75
0.42
-2.01
0.00
0.00
x2
2.11
-0.75
-0.58
2.32
-1.53
-1.57
0.00
0.00
x3
-2.11
0.75
0.58
-2.32
1.53
1.57
0.00
0.00
x4
-1.89
1.00
-0.98
-0.21
0.00
0.00
0.98
0.21
0.00
0.00
x5
-0.26
74.61
0.00
0.00
-0.72
0.70
0.72
-0.70
0.00
0.00
x6
1.48
78.31
=
x7
x8
NN
A
B
C
x
335.623
812.417
1854.180
1000.740
y
161.47
1498.46
482.55
x'
-665.1170
-188.3230
853.4400
y'
-552.6900
784.3020
-231.6120
714.162
0.0000
0.0000
c= 6.77E-04
x"
y"
-0.4504
-0.3743
-0.1275
0.5311
0.5780
-0.1569
0.5774
0
GT
0.5774
0
0.5774
0
0.3743
-0.4504
0
0.5774
0
0.5774
0
0.5774
-0.5311 -0.1275 0.1569
0.5780
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
50 / 97
86.03
16.15
ATPA
-9.60
16.15
-9.60
12.34
-76.43
-28.49
7.47
-4.41
-1.61
-11.74
-5.86
-4.41
49.75
-45.04
-40.14
49.45
0.4734
-0.1686
0.1345
-0.0477
0.3920
0.2163
0.0043
0.0078
-0.0044
-0.0058
0.0000
-0.0020
-0.1686
0.5362
0.2392
0.3908
-0.0707
0.0730
0.0078
0.0424
-0.0209
-0.0390
0.0131
-0.0034
12.34
-76.43
-28.49
ATPl
30.08
-1.61
-45.04
50.06
32.70
-48.46
-11.74
-40.14
32.70
116.58
-20.96
-5.86
49.45
-48.46
-20.96
54.32
3.29
-88.86
91.13
58.78
-94.42
GGT
0.1345 -0.0477 0.3920 0.2163
0.2392 0.3908 -0.0707 0.0730
0.6154 0.0677 0.2500 -0.3070
0.0677 0.3496 -0.0200 0.2596
0.2500 -0.0200 0.3579 0.0907
-0.3070 0.2596 0.0907 0.6674
Qs=(N+GGT)-1-GGT
-0.0044 -0.0058 0.0000 -0.0020
-0.0209 -0.0390 0.0131 -0.0034
0.0118 0.0177 -0.0074 0.0033
0.0177 0.0379 -0.0119 0.0011
-0.0074 -0.0119 0.0074 -0.0012
0.0033 0.0011 -0.0012 0.0023
x
0.21
-0.23
-0.38
0.78
0.17
-0.54
Qzz
0.2331 -0.2350
-0.2350 0.2821
z
2.22
2.68
Sonuç Denetimleri
z
13.2651384
278.192384
r
-0.000181
64.927381
0.000135
72.607065
z+r = ?
13.264958 g
78.192519
278.192519 g
350.799449
t
13.264958
78.192519
278.192519
350.799449
Kontrol
0.00000000
0.00000000
0.00000000
0.00000000
s
1552.12862 m
1455.12536
1552.12862
1455.12536
0.00000000
-0.00000001
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
51 / 97
HAFTA 6: Ax + Bv + w = 0
6. Bilinmeyenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi
Bazı problemlerin çözümünde kurulan fonksiyonel modelde bilinmeyenler ile ölçüler koşul denklemlerinde
yer alırlar. Bu tip problemlerin EKK yöntemine göre çözümü aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir.
n
u
r
f =ru
Ölçü sayısı
Bilinmeyen sayısı
Bilinmeyenli koşul denklem sayısı
Serbestlik derecesi
T
x̂ =[ x̂1 , x̂2 ,⋯ , x̂u ]
T
y=[ y1 , y 2 ,⋯, y n ]
T
v=[v 1 , v 2 ,⋯, v n ]
Dengeli Bilinmeyenler Vektörü
Ky
Ölçülerin varyans-kovaryans matrisi
Ψ ( x̂ , ŷ ) =0
Bilinmeyenli koşul denklemleri
Ölçüler vektörü
Düzeltmeler vektörü
Kurulan bilinmeyenli koşul denklemlerli ölçülere ve bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerine göre
doğrusallaştırılır.
y=
̂ = y+
+v
x̂ = x0 +x
Dengeli ölçüler
Bilinmeyenlerin dengeli değerleri
( )
Ψ ( x̂ , ŷ ) = Ψ ( x0 , y)) + ∂ Ψ
∂ x̂
x̂ , ŷ = x 0,
( )
x + ∂Ψ
∂ ŷ
y
v + … ≈0
̂ , ̂y = x0, y
x
Doğrusallaştırılmış koşul denkleminde diferansiyeller sonucu elde edilen katsayılar matrislerde,
bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri ve ölçü değerlerinden yararlanarak elde edilen kapanmalar vektörü
yardımıyla bilinmeyenli düzeltme koşul denklemi oluşturulur.
( )
( )
A r××u = ∂ Ψ
∂ x̂
Br ×n = ∂ Ψ
∂ ŷ
̂ , ̂y = x0 , y
x
x̂ , ŷ = x0 , y
w r ×1=Ψ
Ψ (x 0, y)
Bilinmeyenlerin katsayılar matrisi
Düzeltmelerin katsayılar matrisi
Kapanmalar
Ölçülerin varyans-kovaryans matrisi kullanılarak matematik model aşağıdaki şekilde kurulur.
Fonksiyonel Model
Stokastik Model
A x+
+ B v+
+ w=
=0
Qy =σ 2
0 Ky
Matematik model
Bilinmeyenli düzeltme koşul denklemlerinin tek anlamlı çözümü EKK amaç fonksiyonuna eşdeğer olan
Lagrange Fonksiyonu yardımıyla gerçekleştirilir.
Ω =v T Qy 1 v2 k T ( A x+
+ B v+
+w )
Lagrange fonksiyonu
k=[k a , k b ,⋯, k r ]T
Lagrange çarpanları
Lagrange Fonksiyonu düzeltmelere ve bilinmeyenlere göre minumumlaştırılarak normal denklemler
oluşturulur.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
52 / 97
∂ Ω =2 v T Q1 e2 k T B e=0=0T e
y
∂v
∂ Ω =2 k T A e=0=0T e
∂x
Denklemler yeniden düzenlenerek aşağıdaki bağıntılara ulaşılır.
T
Düzeltmeler
v=Qy B k
T
A k =0
Düzeltmeler bilinmeyenli düzeltme koşul denklmelerinde yerine yazılır, korelat koşul denklemleri ve
bilinmeyenler arasındaki koşul denklemeleri normal denklemlerin simetri koşulunu sağlayacak şekilde
düzenlenerek, normal denklemler oluşturulur.
1
B Qy B k+
+ A x+
+ w =0
N k+
+ A x+
+ w=
=0
N=B Qy B
[
Normal denklemler
T
N A
AT 0
][ ] [ ]
k = w
x
0
T
Denklem sistemlerinin çok büyük olmadığı problemlerin çözümü doğrudan aşağıdaki gibi elde edilir.
[]
[
Qk
k
=
T 1
x
Qx A N
N1 A Qx
Qx
][ ]
w
0
M=
= AT N1 A
Qx=M1
Qk =N1N1 A Q x AT N1
x=
=Qx AT N1 w
k=
N1( A x+
+w)
T
v=Qy B k
Bilinmeyenler
Korelatlar
Düzeltmeler
Duyarlık hesapları;
v T Qy1 v=
=k T N k=
=k T w
√
1
v Q y v
m0 =±
r u
T
Qv =Qy BT Qk B Q y
Qŷ =Qy Qv
Uygulama 11: Bir çember üzerinde ölçülerek elde edilen n adet koordinat çifti
(xk,yk)
yandaki
tabloda
verildiğine
göre;
genel
denklemi
2
2
2
(x k a ) +( y k b) =R olan çemberin merkez M(a,b) koordinatlarını ve
R yarıçapını bilinmeyenli koşullu ölçüler yöntemine göre dengeleyiniz.
r=10
n=20
u=3
Bilinmeyenli koşul sayısı
Ölçü sayısı (=2r)
Bilinmeyen sayısı
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
31.39
29.24
23.55
16.53
10.88
8.71
10.85
16.55
23.52
29.22
y
40.02
46.69
50.78
50.80
46.67
40.03
33.33
29.24
29.22
33.31
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
53 / 97
* Bilinmeyen sayısı kadar veriden yararlanarak, bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerinin hesaplanması
(k=1,2,3)
[ xk
yk
A
=====================
31.39 40.02
1.00
29.24 46.69
1.00
23.55 50.78
1.00
=====================
[][
2
2
a
x k+ yk
1] b =
2
c
w
========
1293.47
1517.47
1566.61
========
]
2
, c=
2
R a b
2
2
A-1
=====================
-0.14
0.37 -0.23
-0.20
0.27 -0.07
13.21 -22.34 10.13
=====================
,
R= √ 2c+a +b
2
2
x [m]
========
20.18
40.09
11.21
========
a0=20.1794 m, b0=40.0879 m, R0=11.2108 m
* Matematik Modelin Kurulması
̂ 2 R=0
̂
ψ j ( â , b̂ , R̂ , x̂ j , ŷ j )=√( x̂ j â )2+( ŷ j b)
j=1,2 ,… , r
* Yaklaşık değerlere doğrusallaştırma: j. koordinat çiftine ait doğrusal olmayan bilinmeyenli koşul denklemi
doğrusallaştırılır ise, bilinmeyenli düzeltme koşul denklemi aşağıdaki şekilde oluşturulmuş olur.
[
(x j a 0)
Rj
][ ] [
da
( y j b0 )
( x ja0 )
1 db +
Rj
Rj
dR
][ ]
( y j b0 ) v x
+[ R jR0 ]≈0
Rj
vy
j
j
R j =√ (x j a 0 )2+( y jb 0)2
[
N A
AT 0
][ ] [ ]
k = w
x
0
B'QyB
|
A
|-w[cm]
============================================================|=================|======
1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00|-1.00 0.01 -1.00| 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00|-0.81 -0.59 -1.00| -0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00|-0.30 -0.95 -1.00| 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00| 0.32 -0.95 -1.00|-10.59
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00| 0.82 -0.58 -1.00|-18.24
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00| 1.00 0.01 -1.00|-25.88
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00| 0.81 0.59 -1.00|-30.91
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00| 0.32 0.95 -1.00|-22.82
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00|-0.29 0.96 -1.00|-15.90
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00|-0.80 0.60 -1.00| -8.84
------------------------------------------------------------|-----------------|------1.00 -0.81 -0.30 0.32 0.82 1.00 0.81 0.32 -0.29 -0.80| 0.00 0.00 0.00| 0.00
0.01 -0.59 -0.95 -0.95 -0.58 0.01 0.59 0.95 0.96 0.60| 0.00 0.00 0.00| 0.00
-1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00| 0.00 0.00 0.00| 0.00
============================================================|=================|======
[]
[
Qk
k =
1 T 1
x
M A N
1
1
N A M
Q x
][ ]
w
0
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
54 / 97
Qk
|
|
k
============================================================|=================|=======
0.70 -0.26 -0.16 -0.04 0.06 0.10 0.06 -0.04 -0.16 -0.26|-0.20 0.00 -0.10| 0.4745
-0.26 0.70 -0.26 -0.16 -0.04 0.06 0.10 0.06 -0.04 -0.16|-0.16 -0.12 -0.10|-1.7573
-0.16 -0.26 0.70 -0.26 -0.16 -0.04 0.06 0.10 0.06 -0.04|-0.06 -0.19 -0.10| 1.8589
-0.04 -0.16 -0.26 0.70 -0.26 -0.16 -0.04 0.06 0.10 0.06| 0.06 -0.19 -0.10|-0.7095
0.06 -0.04 -0.16 -0.26 0.70 -0.26 -0.16 -0.04 0.06 0.10| 0.16 -0.12 -0.10| 0.8605
0.10 0.06 -0.04 -0.16 -0.26 0.70 -0.26 -0.16 -0.04 0.06| 0.20 0.00 -0.10| 0.1515
0.06 0.10 0.06 -0.04 -0.16 -0.26 0.70 -0.26 -0.16 -0.04| 0.16 0.12 -0.10|-2.7314
-0.04 0.06 0.10 0.06 -0.04 -0.16 -0.26 0.70 -0.26 -0.16| 0.06 0.19 -0.10| 1.9107
-0.16 -0.04 0.06 0.10 0.06 -0.04 -0.16 -0.26 0.70 -0.26|-0.06 0.19 -0.10| 1.0814
-0.26 -0.16 -0.04 0.06 0.10 0.06 -0.04 -0.16 -0.26 0.70|-0.16 0.12 -0.10|-1.1393
------------------------------------------------------------|-----------------|------0.20 -0.16 -0.06 0.06 0.16 0.20 0.16 0.06 -0.06 -0.16|-0.20 -0.00 -0.00|12.7828
0.00 -0.12 -0.19 -0.19 -0.12 0.00 0.12 0.19 0.19 0.12|-0.00 -0.20 -0.00|-7.8715
-0.10 -0.10 -0.10 -0.10 -0.10 -0.10 -0.10 -0.10 -0.10 -0.10|-0.00 -0.00 -0.10|13.2094
============================================================|=================|=======
-Qx
x[cm]
1
1
1
x=
=( A N A ) A N w
T
T
Qx
==================
0.20 0.00 0.00
0.20 0.00
0.10
==================
x[m]
=========
20.0516
40.0092
11.3429
=========
v=Qy BT k
Qv
| v[cm]
======================================================================================================================|=======
0.70 -0.00 -0.21 -0.16 -0.05 -0.15 0.01 -0.03 -0.05 0.04 -0.10 -0.00 -0.05 -0.04 0.01 0.04 -0.05 0.15 -0.21 0.16| 0.4745
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00|-0.0029
0.46 0.33 -0.06 -0.20 0.04 -0.12 0.02 -0.02 -0.05 -0.00 -0.07 -0.05 -0.02 -0.05 -0.01 0.03 -0.10 0.08|-1.4202
0.24 -0.05 -0.15 0.03 -0.09 0.02 -0.01 -0.04 -0.00 -0.05 -0.03 -0.01 -0.03 -0.01 0.02 -0.08 0.06|-1.0349
0.06 0.20 0.03 -0.07 0.04 -0.03 0.01 0.00 -0.01 -0.01 -0.01 -0.03 0.01 -0.02 -0.01 0.01| 0.5589
0.63 0.08 -0.24 0.13 -0.09 0.04 0.00 -0.05 -0.03 -0.03 -0.09 0.02 -0.06 -0.03 0.02| 1.7729
0.07 -0.21 -0.07 0.05 -0.05 -0.00 -0.01 -0.01 0.01 0.02 -0.01 0.03 -0.02 0.01| 0.2288
0.63 0.20 -0.14 0.15 0.00 0.03 0.02 -0.02 -0.05 0.03 -0.09 0.05 -0.04|-0.6716
0.47 -0.33 -0.21 -0.00 -0.11 -0.08 -0.01 -0.03 -0.01 0.05 -0.07 0.05|-0.7024
0.23 0.15 0.00 0.08 0.06 0.01 0.02 0.01 -0.03 0.05 -0.03| 0.4972
0.70 0.00 -0.21 -0.15 -0.05 -0.15 0.01 -0.04 -0.05 0.04|-0.1515
0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 0.00 -0.00 -0.00 0.00|-0.0008
0.46 0.33 -0.07 -0.20 0.04 -0.13 0.03 -0.02| 2.2121
0.24 -0.05 -0.14 0.03 -0.09 0.02 -0.01| 1.6023
0.07 0.21 0.02 -0.08 0.04 -0.03|-0.6062
0.63 0.07 -0.24 0.12 -0.09|-1.8119
0.06 -0.20 -0.06 0.05| 0.3177
0.64 0.20 -0.15|-1.0337
0.45 -0.34|-0.9116
0.25| 0.6834
======================================================================================================================|=======
√
v T Qy1 v
m0 =±
r u
=
1.76cm
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
55 / 97
HAFTA 7: Ax + Bv + w1= 0 ve Cx+w2 =0
7. Bilinmeyenler Arasında Koşul Denklemeleri Bulunan Bilinmeyenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi
Bazı problemlerin çözümünde kurulan fonksiyonel modelde bilinmeyenler ile ölçülerin koşul denklemleri
yanı sıra bilinmeyenler arasında da bazı kısıtlamalar yer alabilir. Bu tip problemlerin EKK yöntemine göre
çözümü aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir.
n
u
r
m
Ölçü sayısı
Bilinmeyen sayısı
Bilinmeyenli koşul denklemi sayısı
Bilinmeyenler arasındaki koşul sayısı
nr um
T
x=[ x1 , x 2 ,⋯ , x u ]
T
T
y =[ y 1 , y 2 ,⋯, y n ]
v T =[v 1 , v 2 ,⋯, v n ]T
Bilinmeyenler Vektörü
Ky
Ölçülerin varyans-kovaryans matrisi
Ψ ( x̂ , ŷ ) =0
Γ ( x̂ )=0
Bilinmeyenli koşul denklemleri
Bilinmeyenler arasındaki koşul denklemleri
Ölçüler vektörü
Ölçüler vektörü
Kurulan bilinmeyenli koşul denklemlerli ölçülere ve bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerine göre
doğrusallaştırılır.
y=
̂ = y+
+v
x̂ = x0 +x
Dengeli ölçüler
Dengeli bilinmeyenler
( )
Ψ ( x̂ , ŷ ) = Ψ ( x0 , y)) + ∂ Ψ
∂ x̂
( )
Γ ( x̂ ) = Γ (x 0 ) + ∂ Γ
∂ x̂
x̂ , ŷ = x 0, y
( )
x + ∂Ψ
∂ ŷ
v + … ≈0
̂ , ̂y = x0, y
x
x + … ≈0
̂ = x0
x
Doğrusallaştırılmış koşul denkleminde diferansiyeller sonucu elde edilen katsayılar matrislerde,
bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri ve ölçü değerlerinden yararlanarak elde edilen kapanmalar vektörü
yardımıyla bilinmeyenli düzeltme koşul denklemi oluşturulur.
( )
( )
( )
A r××u = ∂ Ψ
∂ x̂
Br ×n = ∂ Ψ
∂ ŷ
Cm××u = ∂ Γ
∂ x̂
̂ , ̂y = x0 , y
x
x̂ , ŷ = x0 , y
̂ = x0
x
Bilinmeyenlerin katsayılar matrisi
Düzeltmelerin katsayılar matrisi
Düzeltmelerin katsayılar matrisi
w 1=Ψ
Ψ (x0, y)
w 2=Γ
Γ (x 0 )
Bilinmeyenli koşul denklemi kapanmaları ( r ×1 )
A x+
+ B v+
+ w=
=0
C x+
+ w 2= 0
Bilinmeyenli düzeltme koşul denklmleri
Dengeleme bilinmeyenleri arasındaki koşul denklemleri
Ölçülerin varyans-kovaryans matrisi kullanılarak matematik model aşağıdaki şekilde kurulur.
Fonksiyonel Model
Stokastik Model
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
56 / 97
A x+
+ B v+
+ w 1= 0
C x+
+ w 2= 0
Qy =σ
2
0
Matematik model
Ky
Bilinmeyenli düzeltme koşul denklemlerinin tek anlamlı çözümü EKK amaç fonksiyonuna eşdeğer olan
Lagrange Fonksiyonu yardımıyla gerçekleştirilir.
Ω=v Qy 1 v2 k T1 ( A x+
+B v+
+ w1)2 k T2 ( C x+
+ w2 )
T
T
k 1 =[ k a , k b ,⋯, k r ] ve k 2 =[ k s , k t ,⋯, k m ]
T
Lagrange fonksiyonu
Lagrange çarpanları
Lagrange Fonksiyonu düzeltmelere ve bilinmeyenlere göre minumumlaştırılır.
∂Ω =2 k T A e2 k T C e=0=0T e
1
2
∂x
∂Ω =2 v T Q 1 e2 k T B e=0=0 T e
ℓ
1
∂v
Denklemler yeniden düzenlenerek aşağıdaki bağıntılara ulaşılır.
v=Qy BT k 1
A T k 1+CT k 2=0
Düzeltmeler
Korelatlar arasındaki koşul denklemleri
Düzeltmeler bilinmeyenli düzeltme koşul denklmelerinde yerine yazılır, korelat koşul denklemleri ve
bilinmeyenler arasındaki koşul denklemeleri normal denklemlerin simetri koşulunu sağlayacak şekilde
düzenlenarek, normal denklmeler oluşturulur.
* Normal Denklemler
[
N A 0
T
T
A 0 C
0 C 0
][ ] [ ]
k1
w 1
=
x
0
k2
w 2
N=B Qy B
T
* Normal Denklemlerin Çözümü
[ ][
Qk
N1 A Qx N1 A M1 CT Qk
k1
Qx AT N1
Q x
M1 CT Qk
x =
k2
Qk CM1 AT N1 Qk C M1
Qk
1
2
2
2
2
2
][ ]
w 1
0
w 2
1
M=
= A N A
H=
= C M1 CT
T
Qk = H1
2
Qx= M1M1 CT Qk CM1
Qk =N1 N1 A Q x AT N1
2
1
v=Qy BT k 1
* Duyarlık Hesapları
f =r+mu
v T Qy 1 v
m0 =±
f
√
T
Qv =Qy B Qk B Qy
Qŷ =Qy Qv
1
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
57 / 97
Uygulama 12: Uygulama 11'de verileri kulanarak çemberin parametrelerini; merkez koordinatları arasında
b=2a ve yarıçapınının R=11.20m olacak şekilde hesaplayınız.
r=10
Bilinmeyenli koşul sayısı
n=20
Ölçü sayısı (=2r)
u=3
Bilinmeyen sayısı
m=2
Koşul sayısı
• Bilinmeyen sayısı kadar veriden yararlanarak, bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerinin hesaplanması
(Uygulama 11'den)
a0=20.1794 m, b0=40.0879 m, R0=11.2108 m
* Matematik Modelin Kurulması: bilinmeyenli düzeltme koşul denklemleri Uygulama 11 ile aynıdır. Koşul
denklemleri aşağıdaki şekilde kurulur.
[
Γ (x̂ )=
[
][
][]
̂
Γ 1 ( â , b̂ , R)
2 a
̂ b̂
= ̂
= 0
̂
̂
0
R11.20
Γ 2( â , b , R)
C= 2 1 0
0 0 1
]
[ ]
w 2= 27.09
1.08
[cm ]
N=BQyBT
A
0
w1
===========================================================|=================|===========|======
1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00|-1.00 0.01 -1.00| 0.00 0.00| 0.00
0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00|-0.81 -0.59 -1.00| 0.00 0.00| -0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00|-0.30 -0.95 -1.00| 0.00 0.00| 0.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00| 0.32 -0.95 -1.00| 0.00 0.00|-10.59
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00| 0.82 -0.58 -1.00| 0.00 0.00|-18.24
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00| 1.00 0.01 -1.00| 0.00 0.00|-25.88
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00| 0.81 0.59 -1.00| 0.00 0.00|-30.91
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00| 0.32 0.95 -1.00| 0.00 0.00|-22.82
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00|-0.29 0.96 -1.00| 0.00 0.00|-15.90
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00|-0.80 0.60 -1.00| 0.00 0.00| -8.84
---------------------------- AT ----------------------------------- 0 ------------ CT ------- 0 --1.00 -0.81 -0.30 0.32 0.82 1.00 0.81 0.32 -0.29 -0.80| 0.00 0.00 0.00| 2.00 0.00| 0.00
0.01 -0.59 -0.95 -0.95 -0.58 0.01 0.59 0.95 0.96 0.60| 0.00 0.00 0.00|-1.00 0.00| 0.00
-1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00| 0.00 0.00 0.00| 0.00 1.00| 0.00
---------------------------- 0T ----------------------------------- C ------------ 0 ------- w2 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00| 2.00 -1.00 0.00| 0.00 0.00|-27.09
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00| 0.00 0.00 1.00| 0.00 0.00| -1.08
===========================================================|=================|===========|======
Qk1
k1
===========================================================|================|===========|=========
0.96 -0.08 -0.09 -0.06 -0.01 0.04 0.08 0.09 0.06 0.02|-0.04 -0.08 0.00| 0.40 1.01| -17.6599
-0.08 0.84 -0.18 -0.12 -0.03 0.08 0.16 0.18 0.13 0.03|-0.08 -0.16 0.00| 0.21 1.01| -18.1285
-0.09 -0.18 0.81 -0.14 -0.03 0.09 0.18 0.20 0.14 0.04|-0.09 -0.18 0.00|-0.07 1.01| -11.9350
-0.06 -0.12 -0.14 0.90 -0.02 0.06 0.12 0.14 0.10 0.03|-0.06 -0.13 0.00|-0.32 1.01| -12.1246
-0.01 -0.03 -0.03 -0.02 1.00 0.01 0.03 0.03 0.02 0.01|-0.01 -0.03 0.00|-0.44 1.00| -9.2968
0.04 0.08 0.09 0.06 0.01 0.96 -0.08 -0.09 -0.07 -0.02| 0.04 0.08 0.00|-0.40 0.99| -10.3070
0.08 0.16 0.18 0.12 0.03 -0.08 0.84 -0.18 -0.13 -0.03| 0.08 0.16 0.00|-0.21 0.99| -14.9236
0.09 0.18 0.20 0.14 0.03 -0.09 -0.18 0.80 -0.14 -0.04| 0.09 0.18 0.00| 0.06 0.99| -12.7960
0.06 0.13 0.14 0.10 0.02 -0.07 -0.13 -0.14 0.90 -0.03| 0.06 0.13 0.00| 0.31 0.99| -15.9831
0.02 0.03 0.04 0.03 0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.03 0.99| 0.02 0.03 0.00| 0.44 1.00| -19.5319
------------------------------------------------------------------ -Qx --------------------- x[cm]
-0.04 -0.08 -0.09 -0.06 -0.01 0.04 0.08 0.09 0.06 0.02|-0.04 -0.08 0.00| 0.40 0.01| -16.6199
-0.08 -0.16 -0.18 -0.13 -0.03 0.08 0.16 0.18 0.13 0.03|-0.08 -0.16 0.00|-0.20 0.01| -6.1449
-0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 0.00|-0.00 -0.00 0.00| 0.00 1.00| -1.0775
--------------------------------------------------------------------------------- Qk2 ------- k2 --0.40 0.21 -0.07 -0.32 -0.44 -0.40 -0.21 0.06 0.31 0.44| 0.40 -0.20 0.00| 1.00 -0.02| -9.1359
1.01 1.01 1.01 1.01 1.00 0.99 0.99 0.99 0.99 1.00| 0.01 0.01 1.00|-0.02 10.00|-142.6865
===========================================================|================|===========|=========
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
58 / 97
Qx
x[m]
================== =========
0.04 0.08 -0.00
20.0132
0.16 -0.00
40.0265
-0.00
11.2000
================== =========
f = 7
m0 = 15.44cm
Qv
======================================================================================================================
0.96 -0.01 -0.06 -0.05 -0.03 -0.08 0.02 -0.06 0.01 -0.01 -0.04 -0.00 -0.06 -0.05 -0.03 -0.08 0.02 -0.06 0.01 -0.01
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00
0.55 0.40 -0.04 -0.14 0.03 -0.10 0.02 -0.01 -0.06 -0.00 -0.10 -0.07 -0.05 -0.13 0.03 -0.10 0.02 -0.02
0.29 -0.03 -0.10 0.02 -0.07 0.01 -0.01 -0.05 -0.00 -0.08 -0.05 -0.03 -0.10 0.02 -0.07 0.01 -0.01
0.07 0.23 0.01 -0.04 0.01 -0.01 -0.03 -0.00 -0.04 -0.03 -0.02 -0.06 0.01 -0.04 0.01 -0.01
0.73 0.04 -0.13 0.02 -0.02 -0.09 -0.00 -0.14 -0.10 -0.06 -0.18 0.04 -0.13 0.03 -0.02
0.09 -0.28 -0.01 0.00 0.02 0.00 0.03 0.02 0.01 0.04 -0.01 0.03 -0.01 0.00
0.81 0.02 -0.01 -0.06 -0.00 -0.10 -0.07 -0.04 -0.12 0.03 -0.09 0.02 -0.01
0.66 -0.47 0.01 0.00 0.02 0.01 0.01 0.02 -0.01 0.02 -0.00 0.00
0.33 -0.01 -0.00 -0.01 -0.01 -0.01 -0.02 0.00 -0.01 0.00 -0.00
0.96 0.00 -0.06 -0.05 -0.03 -0.08 0.02 -0.06 0.01 -0.01
0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00
0.55 0.40 -0.05 -0.13 0.03 -0.10 0.02 -0.02
0.29 -0.03 -0.10 0.02 -0.07 0.01 -0.01
0.08 0.24 0.01 -0.04 0.01 -0.01
0.72 0.04 -0.13 0.03 -0.02
0.08 -0.25 -0.01 0.00
0.82 0.02 -0.01
0.64 -0.48
0.36
======================================================================================================================
v[cm]
======
-17.66
0.11
-14.65
-10.68
-3.59
-11.38
3.91
-11.48
7.59
-5.37
10.31
0.05
12.09
8.75
4.06
12.13
-4.70
15.28
-15.63
11.72
======
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
59 / 97
HAFTA 8: Ax + Bv + w1= 0 ve Cx+w2 =0
8. Dengeleme Hesabı Türlerinin Karşılaştırılması ve Birbirlerine Dönüşümü
8.1 Dolaylı ve Koşullu Ölçülerin Birbirlerine Göre Üstünlükleri ve Birbirlerine Dönüşümü
1. Bilinmeyen sayısı ve koşul (serbestlik derecesi) sayısına göre seçim.
2. Varyans-kovaryans matrisnin tersinin alınması
3. Kolay programlanabilirlik
a) Dolaylı Ölçüler Yönteminden Koşullu Ölçüler Yöntemine Dönüşüm
n
Ölçü sayısı
u
Bilinmeyen sayısı
r=n−u Koşul sayısı (serbestlik derecesi)
boyut{A1} = u × u
boyut{A 2 } = r × u
 v1   A1 
 l1 
 v  =  A  x − l 
 2
 2  2
Birinci grup denklemlerden bilinmeyenler çekilir.
v1 = A1 x − l 1 A1−1v1 = x − A1−1l 1 x = A1−1v1 + A1−1l 1
Bilinmeyenler ikinci grupta yerine yazılır.
{
}
v 2 = A2 x − l 2 v 2 = A2 A1−1v1 + A1−1l − l 2 v 2 = A2 A1−1v1 + A2 A1−1l 1 − l 2
A 2 A1−1 v1 − v 2 + A 2 A1−1l 1 − l 2 = 0 [
B = A 2 A1−1
−I
]
{
ve w = A 2 A1−1l 1 − l 2
}
kısaltmaları ile B v + w = 0 elde edilir.
Uygulama 13: Dolaylı ölçülere göre kurulmuş olan ve aşağıda verilen dengeleme problemini
koşullu ölçülere dönüştürünüz.
 v1   2 − 1
 1
x  
 2 − 1
 1
v  =  − 1

1   − 2  A1 = 
l 1 =   A2 = [1 1] l 1 = [3]

 2 
y
1
− 1
2
v3   1
1   3 
Dolaylı ölçülerden düzeltmeler.
 6 − 2   x  3 
=
− 2
3  y  4 

 v1   2 − 1  17   1 
14
 x   3 / 14 2 / 14  3  17 / 14    
5
1   −  2  =
 y  = 2 / 14 6 / 14  4  = 30 / 14  v2  = − 1
14
 30 
  
  
 v   1
1  14   3 
 3 
− 2 
 − 3
 
 1
Koşullu ölçülere dönüşüm.
[
B = [A A
B = A2 A−1
2
−1
1 1
−1
−1
− I ve w = A2 A1−1l 1 − l 2 nin elde edilmesi. A1 = 
 A2 A1 = [2 3]
1
2


−1
−1
− I = [2 3 − 1] A2 A1 l 1 = [8 ] w = A2 A1 l 1 − l 2 = [5] B v + w = 0
]
]
{
}
{
Dönüştürülmüş koşullu ölçülerden düzeltmeler.
 v1 
5
B v + w = [2 3 − 1] v2  + 5 = 0 k = −( B B T ) −1 w = −
v = BT k =
14
v3 
}
 v1   2 
v  =  3  − 5  = 5
 2     14  14
v3   − 1
− 2
 − 3
 
 1
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
60 / 97
b) Koşullu Ölçüler Yönteminden Dolaylı Ölçüler Yöntemine Dönüşüm
n Ölçü sayısı
u Bilinmeyen sayısı
r=n−u Koşul sayısı (serbestlik derecesi)
x = v1 seçilir boyut{B1} = r × u ve boyut{B 2 } = r × r olur. Đkinci grup düzeltmeler ( v 2 ) aşağıdaki gibi
elde edilir.
[B1
v 
B 2 ]  1  + w = 0 B1x + B 2 v 2 + w = 0 v 2 = −B 2−1 (B1x + w ) v 2 = −B −2 1B1x − B 2−1w
v 2 
Düzeltmeler bilinmeyenlere göre yazılır.
v1 = x
v 2 = −B 2−1B1x − B 2−1w
 v1   I

 0 
 v  = − B −1B  x − B −1w 
2 1
 2 
 2 
 I 
 0 
A =  −1  ve l =  −1  den v = A x − l elde edilir.
− B 2 B1 
B 2 w 
Uygulama 14: Koşullu ölçülere göre kurulmuş olan ve aşağıda verilen dengeleme problemini
dolaylı ölçülere dönüştürünüz.
 v1 
[2 3 − 1] v2  + 5 = 0 v1 = x =  x  , B1 = [2 3] , B2 = [− 1] ve w = [5] olur.
 y
 v3 
B2−1 = [− 1] − B2−1 B1 = [2 3] B2−1 w = [− 5 ]
 v1   1 0 
1 0 
 0
 0








A = 0 1 ve l = 0 den v2  = 0 1 x −  0  olur.


 
 
v3  2 3
 2 3
− 5 
− 5 
Normal denklemler ve çözümü.
 5 6   x   − 10   x   10 / 14 − 6 / 14  − 10  − 10 / 14 
=
6 10   y  =  − 15   y  = − 6 / 14
5 / 14   − 15   − 15 / 14 

  
   
Dönüştürülmüş dolaylı ölçülerden düzeltmeler.
 v1   1 0  − 10   0 
v  = 0 1  14  −   = 5
 2 
  15   0  14
v3  2 3 − 14   − 5 
− 2
 − 3
 
 1
Not: Uygulamalarda aynı örnekler kullanılmıştır. Başlangıç ve dönüştürülmüş dengelemeler
sonucunda aynı düzeltmeler elde edilmiştir. Bilinmeyenlerde aynı değerlerin elde edilmemesinin
nedeni; birinci dolaylı dengelemesinde elde edilen bilinmeyenler ile en sondaki dolaylı ölçüler
dengelemesinde elde edilen bilinmeyenlerin farklı geometrik büyüklüklerden seçilmesinden
kaynaklanmaktadır.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
61 / 97
8.2 Dengelemenin En Genel Halinin Diğer Dengeleme Türlerine Dönüşümü
Bütün dengeleme modelleri genel modelin özel halleridir.
Fonksiyonel Model
Stokastik Model
A x+
+ B v+
+ w 1= 0
C x+
+ w 2= 0
Qy =σ0 Ky
2
Matematik model
=I ) => Bilinmeyenler Arasında Koşul Denklemleri Bulunan Dolaylı Ölçüler
* Genel Model ( B=
Dengelemesi
Fonksiyonel Model
Stokastik Model
v=
= A x+
+ w1
C x+
+ w 2= 0
Qy =σ0 Ky
2
Matematik model
=0 ) => Dolaylı
* Bilinmeyenler Arasında Koşul Denklemleri Bulunan Dolaylı Ölçüler Dengelemesi ( C=
Ölçüler Dengelemesi
Fonksiyonel Model
Stokastik Model
v=
= A x+
+ w1
Qy =σ2
0 Ky
Matematik model
=0 ) => Bilinmeyenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi
* Genel Model ( C=
Fonksiyonel Model
Stokastik Model
A x+
+ B v+
+ w 1= 0
Qy =σ2
0 Ky
Matematik model
=0 ) => Koşullu Ölçüler Dengelemesi
* Bilinmeyenli Koşullu Ölçüler Dengelemesi ( x=
Fonksiyonel Model
Stokastik Model
B v+
+ w 1=0
Qy =σ2
0 Ky
Matematik model
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
62 / 97
HAFTA 9: Ardışık EKK
* Ölçü sayısını fazla olduğu statik problemlerde, bilinmeyenler ve duyarlıkları aşağıdaki şekilde hesaplanır.
[
[ ][ ] [ ]
Qy
Qy = 0
⋯
0
v1
A1
ℓ1
v 2 = A2 =x ℓ 2
⋯
⋯
⋯
ℓp
vp
Ap
1
0
Qy
⋯
0
2
⋯ 0
⋯ 0
⋯ ⋯
⋯ Qy
p
]
Matematik model
* k=1, 2, ..., p ye kadar her k. adımda bilinmeyenler ve diğer parametreler hesaplanır.
k
Nk =∑ A j Qy A j
1
T
k=1, 2, ..., p
j
j=1
k
∑ ATj Qy 1 ℓ j
1
x k =Nk
j
j=1
k
k
∑ v Tj Qy 1 v j=∑ ℓTj Qy 1 ℓj x Tk Nk xk
j
j
j=1
j=1
m0 =
√
k
∑ vTj Qy 1 v j
k
f =∑ n ju
j
j=1
j=1
f
Qx =Nk 1
k
Qv ≈ Qy Ak Qx ATk
k
k
k
v k ≈A k xk ℓk
* k=p de bilinmeyenler ve diğer parametreler hesaplanır.
p
N p=∑ ATj Qy 1 A j
j
j=1
x=Np 1
p
∑ ATj Qy 1 ℓ j
j
j=1
p
v Q v=∑ ℓTj Qy 1 ℓ j x T N p x
1
y
T
j
j=1
√
vT Qy 1 v
m0 =
f
f =nu
Qx=Np 1
Qv =Q y Ak Qx ATk
k
k
k=1, 2, ..., p
v k =Ak x
ℓk
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
63 / 97
p parçaya ayrılmış olan bir dengeleme problemi aşağıdaki genel bağıntılara göre ardışık olarak dengelenir.
Pk = Q y
k =0,1 ,2 ,⋯, p
k
k=0 için;
T
N0 =A 0 P0 A0
n0 =A T0 P0 ℓ
1
x 0=N0 n 0
1
Qx =N0
0
k =1,2 ,⋯, p için;
1
k
k
k
Nk =∑ A P j A j
nk =∑ A Tj P j ℓ j
T
j
T
k
K k =N A P k
j=1
∆ x k =K k (ℓ k Ak xk 1 )
x k = xk 1+ ∆ xk
∆ Q x =K k Ak Qx
Q x =Q x + ∆ Q x
k
k
k
j=1
j=1
k
1
k
k 1
j=1
k
∑ v Tj P j v j=∑ ℓTj P j ℓ j xTk Nk x k
m0 =
√
k
∑ vTj P j v j
j=1
fk
k
f k =∑ n ju
j=1
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
64 / 97
Uygulama 15: 4 epokta 6 uyduya yapılmış kod ölçüleri ile nokta konumlamda satandart dengeleme, alıcı saat
parametresi indirgenmiş standart dengeleme ve alıcı saat parametresi indirgenmiş ardışık dengeleme. Bu
uygulmadaki dengeleme modelelrinde ρij/c süresince uydu koordinatlarının değişimi ve atmosferik etkiler göz
ardı edilmiş, L1 üzerinden kod ölçüleri kullanılmıştır. Bunun amacı okuyucuya daha sade bir model sunarak
okuyucunun seminer konusu olan ardışık dengelemeyi daha iyi kavramasını sağlamaktır (Kurt, 1999).
4.2.c.1. Standart Dengeleme (P=I)
i
==
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
A
==============================================================
dx
dy
dz
dtr1
dtr2
dtr3
dtr4
==== ==== ==== =========== =========== =========== ===========
-.58 .59 -.56 299792458.0
.0
.0
.0
-.52 -.04 -.86 299792458.0
.0
.0
.0
-.42 -.46 -.78 299792458.0
.0
.0
.0
.05 -.84 -.55 299792458.0
.0
.0
.0
-.75 -.62 -.25 299792458.0
.0
.0
.0
-.33 .74 -.59 299792458.0
.0
.0
.0
-.56 .52 -.65
.0 299792458.0
.0
.0
-.48 -.15 -.86
.0 299792458.0
.0
.0
-.31 -.48 -.82
.0 299792458.0
.0
.0
.11 -.78 -.62
.0 299792458.0
.0
.0
-.75 -.64 -.12
.0 299792458.0
.0
.0
-.41 .75 -.51
.0 299792458.0
.0
.0
-.55 .43 -.72
.0
.0 299792458.0
.0
-.44 -.27 -.85
.0
.0 299792458.0
.0
-.20 -.51 -.83
.0
.0 299792458.0
.0
.19 -.71 -.68
.0
.0 299792458.0
.0
-.75 -.66 .01
.0
.0 299792458.0
.0
-.48 .77 -.43
.0
.0 299792458.0
.0
-.54 .33 -.78
.0
.0
.0 299792458.0
-.42 -.39 -.82
.0
.0
.0 299792458.0
-.09 -.55 -.83
.0
.0
.0 299792458.0
.27 -.64 -.72
.0
.0
.0 299792458.0
-.74 -.66 .14
.0
.0
.0 299792458.0
-.54 .77 -.33
.0
.0
.0 299792458.0
ATA
========================
5.5769
-.0041
4.4400
-.0041
8.3541
1.7364
4.4400
1.7364 10.0690
ATL
=========
-658.6448
217.9801
-889.9759
istasyon numrasi:
4
Xo = 4097250.588 Yo = 2568554.168
X = 4097197.670 Y = 2568596.416
dx =
-52.918 dy =
42.248
dTr
dTr
dTr
dTr
1
2
3
4
l
======
163.92
78.36
102.70
12.90
58.13
100.33
30.84
3.76
41.01
-67.45
-15.37
57.49
148.58
89.04
117.14
90.16
87.74
173.76
79.11
48.43
20.17
-27.97
-18.58
33.89
Qx
=======================
.8150
.1560
.4408
.1560
.1586
.1050
.4408
.1050
.7723
Zo = 4146698.165
Z = 4146643.995
dz =
-54.170
pdop =
dx
========
-52.9185
42.2478
-54.1699
1.3
= .0000001187
= -.0000001321
= .0000002442
= -.0000000589
[vv] = 10961.8589 m2
dx
========
-52.9185
42.2478
-54.1699
f = 17
x=m02*Qx
======================
525.52 100.57 284.22
100.57 102.28
67.72
284.22
67.72 497.99
.00
.00
.00
mo = 25.3932 m
.00
.00
.00
.00
.00
.00
.00
.00
.00
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
65 / 97
4.2.c.2. Aıcı Saat Hatası İndirgenerek Yapılan Standart Dengeleme
=======================================
1. Epok -->
97 8 3 14 0
.0000000
=======================================
A
======================
i
dx
dy
dz
l
== ====== ====== ======
========
1 -.5762
.5918 -.5637
163.9214
2 -.5168 -.0401 -.8551
78.3637
3 -.4235 -.4588 -.7811
102.7036
4
.0465 -.8358 -.5471
12.9010
5 -.7466 -.6152 -.2532
58.1350
6 -.3279
.7412 -.5857
100.3345
== ====== ====== ======
========
-2.5446 -.6168 -3.5860
516.3592
.4241
.1028
.5977
-86.0599
=======================================
2. Epok -->
97 8 3 14 15
.0000000
=======================================
A
======================
i
dx
dy
dz
l
== ====== ====== ======
========
7 -.5609
.5150 -.6482
30.8428
8 -.4785 -.1547 -.8644
3.7562
9 -.3113 -.4843 -.8176
41.0098
10
.1131 -.7756 -.6210
-67.4531
11 -.7546 -.6450 -.1204
-15.3652
12 -.4095
.7538 -.5139
57.4944
== ====== ====== ======
========
-2.4017 -.7908 -3.5856
50.2848
.4003
.1318
.5976
-8.3808
=======================================
3. Epok -->
97 8 3 14 30
.0000000
=======================================
A
======================
i
dx
dy
dz
l
== ====== ====== ======
========
13 -.5468
.4263 -.7205
148.5778
14 -.4449 -.2718 -.8533
89.0356
15 -.1984 -.5147 -.8341
117.1401
16
.1867 -.7111 -.6779
90.1594
17 -.7518 -.6592
.0131
87.7367
18 -.4804
.7652 -.4285
173.7606
== ====== ====== ======
========
-2.2357 -.9651 -3.5013
706.4103
.3726
.1609
.5835
-117.7350
=======================================
4. Epok -->
97 8 3 14 45
.0000000
=======================================
A
======================
i
dx
dy
dz
l
== ====== ====== ======
========
19 -.5356
.3270 -.7786
79.1146
20 -.4170 -.3881 -.8219
48.4345
21 -.0880 -.5492 -.8310
20.1666
22
.2657 -.6449 -.7166
-27.9674
23 -.7377 -.6597
.1438
-18.5757
24 -.5389
.7742 -.3320
33.8900
== ====== ====== ======
========
-2.0515 -1.1408 -3.3363
135.0626
.3419
.1901
.5561
-22.5104
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
i
==
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
ind(A)
======================
dx
dy
dz
====== ====== ======
-.1521
.6946
.0340
-.0927
.0627 -.2575
.0006 -.3560 -.1835
.4706 -.7330
.0505
-.3225 -.5124
.3445
.0962
.8440
.0120
-.1606
.6468 -.0506
-.0782 -.0229 -.2668
.0890 -.3525 -.2200
.5133 -.6438 -.0234
-.3544 -.5132
.4772
-.0092
.8856
.0837
-.1742
.5872 -.1370
-.0723 -.1109 -.2698
.1742 -.3538 -.2506
.5593 -.5502 -.0944
-.3792 -.4983
.5967
-.1078
.9261
.1550
-.1937
.5171 -.2226
-.0751 -.1980 -.2658
.2539 -.3591 -.2750
.6076 -.4548 -.1605
-.3957 -.4696
.6998
-.1970
.9643
.2241
l
========
77.8615
-7.6962
16.6437
-73.1589
-27.9249
14.2747
22.4620
-4.6246
32.6290
-75.8339
-23.7460
49.1136
30.8428
-28.6994
-.5950
-27.5756
-29.9983
56.0256
56.6042
25.9241
-2.3439
-50.4778
-41.0862
11.3795
N=ATA
=======================
2.0019 -1.3319 -.9615
-1.3319 7.8143 -.3024
-.9615 -.3024 1.8847
n=ATL
=========
-110.1266
417.0021
-63.9922
Q=N-1
=======================
.8150
.1560
.4408
.1560
.1586
.1050
.4408
.1050
.7723
x=Qn
=========
-52.9185
42.2478
-54.1699
[vv] =
10961.8589
f =
66 / 97
17
mo = 25.3932 m
pdop = 1.32
istasyon numrasi:
4
Xo = 4097250.5880
Yo = 2568554.1680
Zo = 4146698.1650
X
Y
Z
= 4097197.6695
= 2568596.4158
= 4146643.9951
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
67 / 97
4.2.c.3. Alıcı saat hatası indirgenmiş ardışık dengeleme
i. Adım
=================================================
1. Epok -->
97 8 3 14 0
.0000000
=================================================
A
ind(A)
======================
======================
i
dx
dy
dz
l
i
dx
dy
dz
l
== ====== ====== ======
========
== ====== ====== ======
========
1 -.5762
.5918 -.5637
163.9214
1 -.1521
.6946
.0340
77.8615
2 -.5168 -.0401 -.8551
78.3637
2 -.0927
.0627 -.2575
-7.6962
3 -.4235 -.4588 -.7811
102.7036
3
.0006 -.3560 -.1835
16.6437
4
.0465 -.8358 -.5471
12.9010
4
.4706 -.7330
.0505
-73.1589
5 -.7466 -.6152 -.2532
58.1350
5 -.3225 -.5124
.3445
-27.9249
6 -.3279
.7412 -.5857
100.3345
6
.0962
.8440
.0120
14.2747
N=ATA
==========
.3665 -.2102 -.0675
-.2102 2.1252 -.1307
-.0675 -.1307
.2225
n=ATL
========
-35.1746
127.6525
-11.5736
Q=Qo+dQ
==========
3.1696
.3867 1.1895
.3867
.5354
.4320
1.1895
.4320 5.1103
x=xo+dx
=========
-75.8946
49.7387
-45.8463
Q=N-1
==========
3.1696
.3867 1.1895
.3867
.5354
.4320
1.1895
.4320 5.1103
x=Qn
========
-75.8946
49.7387
-45.8463
[vv] = 3185.0138 m2
f = 2
mo = 39.9062 m
ii. Adım
=================================================
2. Epok -->
97 8 3 14 15
.0000000
=================================================
A
ind(A)
======================
======================
i
dx
dy
dz
l
i
dx
dy
dz
l
== ====== ====== ======
========
== ====== ====== ======
========
1 -.5609
.5150 -.6482
30.8428
1 -.1606
.6468 -.0506
22.4620
2 -.4785 -.1547 -.8644
3.7562
2 -.0782 -.0229 -.2668
-4.6246
3 -.3113 -.4843 -.8176
41.0098
3
.0890 -.3525 -.2200
32.6290
4
.1131 -.7756 -.6210
-67.4531
4
.5133 -.6438 -.0234
-75.8339
5 -.7546 -.6450 -.1204
-15.3652
5 -.3544 -.5132
.4772
-23.7460
6 -.4095
.7538 -.5139
57.4944
6 -.0092
.8856
.0837
49.1136
N=ATA
==========
.4290 -.2903 -.1725
-.2903 2.0053 -.1048
-.1725 -.1048
.3574
n=ATL
========
-31.3076
107.6347
-12.5283
[N]
==========
.7955 -.5005 -.2400
-.5005 4.1305 -.2355
-.2400 -.2355
.5799
K
========================================================
-.1461
-.3425
-.1112
.6697
-.3361
.2662
.1336
-.0833
-.1260
-.0627
-.1290
.2673
-.0935
-.6357
-.4767
.2114
.6314
.3630
∆Q=K*A*Qo
===============
-1.5235 -.1428 -.4091
-.1428 -.2514 -.2157
-.4091 -.2157 -2.9749
∆x=K(l-Ax)
==========
5.0450
-4.3506
-6.6160
[n]
========
-66.4822
235.2873
-24.1019
l-A*x
========
-24.2186
-21.6488
46.8303
Q=Qo+∆Q
==========
1.6461
.2439
.7805
.2439
.2840
.2163
.7805
.2163 2.1354
x=xo+∆x
=========
-70.8497
45.3880
-52.4623
[vv] = 6397.9337 m2
f = 7
mo = 30.2323 m
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
68 / 97
iii. Adım
=================================================
3. Epok -->
97 8 3 14 30
.0000000
=================================================
A
ind(A)
======================
======================
i
dx
dy
dz
l
i
dx
dy
dz
l
== ====== ====== ======
========
== ====== ====== ======
========
1 -.5468
.4263 -.7205
148.5778
1 -.1742
.5872 -.1370
30.8428
2 -.4449 -.2718 -.8533
89.0356
2 -.0723 -.1109 -.2698
-28.6994
3 -.1984 -.5147 -.8341
117.1401
3
.1742 -.3538 -.2506
-.5950
4
.1867 -.7111 -.6779
90.1594
4
.5593 -.5502 -.0944
-27.5756
5 -.7518 -.6592
.0131
87.7367
5 -.3792 -.4983
.5967
-29.9983
6 -.4804
.7652 -.4285
173.7606
6 -.1078
.9261
.1550
56.0256
N=ATA
n=ATL
[N]
[n]
==========
========
==========
========
.5342 -.3745 -.2960
-13.4880
1.3297 -.8750 -.5361
-79.9702
-.3745 1.8910 -.0637
103.5123
-.8750 6.0215 -.2992
338.7995
-.2960 -.0637
.5433
-2.9455
-.5361 -.2992 1.1232
-27.0473
K
l-A*x
======================================================== ========
-.1615
-.2584
-.0193
.4622
-.1696
.1467 -15.3407
.0650
-.0750
-.0741
-.0177
-.0862
.1879 -42.9409
-.1818
-.3835
-.2521
.1319
.4273
.2581
14.6620
∆Q=K*A*Qo
∆x=K(l-Ax)
Q=Qo+∆Q
x=xo+∆x
===============
==========
==========
=========
-.5344 -.0535 -.1991
30.7378
1.1117
.1904
.5813
-40.1119
-.0535 -.0831 -.0719
3.5481
.1904
.2009
.1444
48.9361
-.1991 -.0719 -.9292
22.2715
.5813
.1444 1.2063
-30.1908
[vv] = 9022.4464 m2
f =
12
mo = 27.4203 m
iv. Adım
=================================================
4. Epok -->
97 8 3 14 45
.0000000
=================================================
A
ind(A)
======================
======================
i
dx
dy
dz
l
i
dx
dy
dz
l
== ====== ====== ======
========
== ====== ====== ======
========
1 -.5356
.3270 -.7786
79.1146
1 -.1937
.5171 -.2226
56.6042
2 -.4170 -.3881 -.8219
48.4345
2 -.0751 -.1980 -.2658
25.9241
3 -.0880 -.5492 -.8310
20.1666
3
.2539 -.3591 -.2750
-2.3439
4
.2657 -.6449 -.7166
-27.9674
4
.6076 -.4548 -.1605
-50.4778
5 -.7377 -.6597
.1438
-18.5757
5 -.3957 -.4696
.6998
-41.0862
6 -.5389
.7742 -.3320
33.8900
6 -.1970
.9643
.2241
11.3795
N=ATA
n=ATL
[N]
[n]
==========
========
==========
========
.6722 -.4569 -.4254
-30.1564
2.0019 -1.3319 -.9615
-110.1266
-.4569 1.7928 -.0032
78.2026
-1.3319 7.8143 -.3024
417.0021
-.4254 -.0032
.7615
-36.9449
-.9615 -.3024 1.8847
-63.9922
K
========================================================
-.1753
-.2092
.0297
.3535
-.0873
.0886
.0284
-.0710
-.0462
.0058
-.0627
.1458
-.2029
-.2592
-.1382
.0961
.3167
.1875
∆Q=K*A*Qo
===============
-.2967 -.0345 -.1406
-.0345 -.0423 -.0394
-.1406 -.0394 -.4340
[vv] = 10961.8589 m2
istasyon numrasi:
Xo = 4097250.5880
X = 4097197.6695
dx =
-52.9185
∆x=K(l-Ax)
==========
-12.8066
-6.6883
-23.9791
f = 17
4
Yo = 2568554.1680
Y = 2568596.4158
dy =
42.2478
l-A*x
========
16.8112
24.5760
17.1101
Q=Qo+∆Q
==========
.8150
.1560
.4408
.1560
.1586
.1050
.4408
.1050
.7723
x=xo+∆x
=========
-52.9185
42.2478
-54.1699
mo = 25.3932 m
Zo = 4146698.1650
Z = 4146643.9951 pdop = 1.32
dz =
-54.1699
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
69 / 97
HAFTA 11: Dinamik Kestirim (Kestirim, Süzgeçleme, Yumuşatma)
11.1 Kalman Filtrelemesi
Kalman filtreleme; zamana göre değişen parametrelerin kestirimi, süzgeçlemesi ve yumuşatılması için
(smoothing) için kullanılan EKK yöntemidir. Hareketli parametrelerin gelecekteki değerinin hesaplanması
kestirim (prediction), kestirlen değerin ölçüler ile güncellenmesi süzgeçleme (filtering) ve parametrenin
geçmişteki değerinin yeni ölülerle hesaplanması yumuşatma (smooting) olarak adlandırılır.
Ölçme Anı
Birincil Model (BM)
Đkincil Model (ĐM)
Doğrusal BM (B=I)
Φ 1( x̂1, ŷ1) =0
t1
Γ 1, 2 ( x̂1, x̂2) =0
Φ 2 (x̂2, ŷ 2)=0
t2
x 2=G 1, 2 x 1+g 1, 2
A 2 x2 =y 2+ v 2
G k 1, k
g k1, k
d k1, k
Geçiş matrisi
Model hatası
Dinamik parametreler
g=
= Dd
P1= Qy 1
Qg= DQd D T
P2 =Qy 1
1
Doğrusal ĐM
A 1 x 1 = y 1 + v1
tk-1 ⇒ tk (Đkincil modelin katsayılar matrisi)
tk-1 ⇒ tk (Đkincil modelin model hatası)
tk-1 ⇒ tk (Model hatasının bileşenleri)
Pg =Qg 1
2
Yukarıda verilen denklemler arasındaki ilişkiler Lagrange fonksiyonu kulanılarak aşağıdaki şekilde birleştirlir.
T
T
T
Ω= v1 P1 v 1+ v 2 P2 v 2+ g Pg g+
+2k 1 ( A1 x 1 y1 v 1) +2k 2 ( A 2 x 2 y 2 v 2) +2k 3( x 2G 1,2 x1 g1,2 )
Lagrange fonksiyonu düzeltmelere, bilinmeyenlere ve korelatlara göre minimum yapılır. Denklemler
düzenlenerek aşağıdaki standart bağıntılara ulaşılır (Cross, 1983).
Kalman_Süzgecleme( )
{
k =0
N k= A Tk P k A k
1
Qk = Nk
n k= A Tk P k y k
x k =Q k n k
( k =1 ;k ≤ p ; k ++ )
{
x k 1,k = G k1, k x k 1
Qk 1,k = G k1, k Qk 1 GkT1,k +Q g
KESTĐRĐM aşaması
( k
1, k )
K k = Q k 1,k ATk ( Q y + A k Qk 1,k A Tk )1
Kazanç matrisi
x k = x k 1,k + K k ( y k Ak x k1, k )
Qk = ( I
K k A Tk ) Qk 1,k
SÜZGEÇLEME aşaması
v k = Ak x k y k
g k1, k = x k G k1, k x k 1
Düzeltmeler
Model hataları
k
x k 1 = x k
Q k 1 = Qk
}
}
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
70 / 97
Uygulama 16: Đzmit Körfezinde belirli bir hızla yol alan bir gemiye aynı anda üç noktadan uzunluk ölçüsü yapılmıştır.
Ölçülen uzunluklar yataya ve ilgili projeksiyon yüzeyine indirgenmiştir. Verilenlerden yararlanarak geminin izldiği yolu
Kalman filtrelemesi ile belirleyiniz.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
71 / 97
11.2 Bayes Filtrelemesi
Uygulama 17: Đzmit Körfezinde belirli bir hızla yol alan bir gemiye aynı anda üç noktadan uzunluk ölçüsü yapılmıştır.
Ölçülen uzunluklar yataya ve ilgili projeksiyon yüzeyine indirgenmiştir. Verilenlerden yararlanarak geminin izldiği yolu
Bayes filtrelemesi ile belirleyiniz.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
72 / 97
HAFTA 12: Fitreleme+Prediksiyon=Kollokasyon
12. Kollokasyon (Süzgeçleme+Kestirim)
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
73 / 97
HAFTA 13: EKK Sonuçlarının Analizi
13. Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi
13.1 Matematik Model Testi
Foksiyonel ve stokastik modelin her ikisinin birden testini kapsar.
a) Kuramsal Varyans Biliniyorsa
Kuramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönetmelikte verilen bir değer kuramsal varyans
olarak seçilir.
{ }
: E{m }≠ σ
H 0 : E m 02 = σ 02 Sıfır hipotezi
2
0
HS
2
0
Seçenek hipotezi
T=
m 02
vT P v
χ2
=
f
2
2 ~ ( f ,1−α )
σ0
σ0
b) Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa
Kuramsal varyans bilinmiyorsa, denetlenmiş benzer bir problemin sonuçları yada kendi problemimizden
yararlanarak elde edebileceğim bir değer (örneğin Ferrero bağıntısı) model testi yapılabilir.
{ } { }
: E{m }≠ E{m }
H 0 : E m 02 = E m 02 = σ 02
2
0
HS
Sıfır hipotezi
2
0
Seçenek hipotezi
T=
m 02 F
~ ( f ,f ,1−α )
m 02
( m 02 > m 02 )
T=
m 02 F
~ ( f ,f ,1−α )
m 02
( m 02 < m 02 )
13.2 Uyuşumsuz Ölçüler Testi
Model testi geçersiz ise uyuşumsuz ölçüler araştırılır. i. ölçü grubunun kaba hata kestirim değeri ve onun ters
ağırlığı,
∆ i = (Q ∆ P v ) i
b boyutlu i. ölçü grubu
Q ∆ = (P Q v P) ii−1
b boyutlu i. ölçü grubunun ters ağırlığı
i
ile bulunur. i. ölçü grubunun soncul varyansa etkisi aşağıdaki bağıntı ile gösterilir.
T −1
R i = ( P v ) iT (P Q v P) ii−1 (P v) i = ∆ i Q ∆ ∆ i
i
 ∆1 
∆ 
2
∆ = Q∆ P v =  
L
n×1
 
∆ m 
 ( P Q v P)11
 (P v)1 
 ( P Q P)
 ( P v) 
21
2
v

, Pv =
, P Qv P = 

L
 L 
n×1
n× n



(
P
v
)
(P Q v P) m1
m

(P Q v P)12
(P Q v P) 22
L
( P Q v P) m 2
L (P Q v P)1m 
L (P Q v P) 2 m 

L
L

L (P Q v P) mm 
Sıfır hipotezi ve seçenek hipotezi aşağıdaki şekilde kurulur.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
74 / 97
H 0 : E{∆ i } = 0
H S : E{∆ i } ≠ 0
Sıfır hipotezi
Seçenek hipotezi
Kuramsal varyansın bilinmesine ve bilinmemesine göre test aşağıdaki dağılımlarla gerçekleştirilir. Yanılma
olasılığı α ise α0=α/n>0.001 olarak bulunursa α0=0.001 alınabilir.
a) Kuramsal Varyans Biliniyorsa
Kuramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönetmelikte verilen bir değer kuramsal varyans
olarak seçilir.
R
T = 2i ~ χ (2b ,1−α0 )
σ0
Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa
Dengeleme sonunda ede edilen soncul varyanstan yararlanarak uyuşumsuz ölçü testi aşağıdaki gibi yapılır.
T=
Ri
~ F( b ,f ,1−α0 )
b m 02
13.3 Parametre testi
Parametre testi; bilinmeyenler yada bilinmeyenlerin bir fonksiyonunun (örneğin deformasyon analizinde)
anlamlık testi şeklinde olmak üzere, kuramsal varyansın bilinmesi yada bilinmesine göre aşağıdaki şekilde
gerçekleştirilir.
T
x i = ( Q x A P l )i
b boyutlu i. parametre grubu
Q x = (Q xx ) ii
b boyutlu i. ölçü grubunun ters ağırlığı
i
ile bulunur. i. ölçü grubunun soncul varyansa etkisi aşağıdaki bağıntı ile gösterilir.
T
−1
R i = xi Qx xi
i
 x1 
x 
2
x = Qx AT P l =  
L 
u×1
 
 x p 
 (Q x )11
 (Q )
21
Qx =  x

L
u ×u

(Q x ) p1
(Q x )12
(Q x ) 22
L
(Q x ) p 2
L (Q x )1p 
L (Q x ) 2 p 
L
L 

L (Q x ) pp 
Sıfır hipotezi ve seçenek hipotezi aşağıdaki şekilde kurulur.
H 0 : E{x i } = 0
H S : E{x i } ≠ 0
Sıfır hipotezi
Seçenek hipotezi
Kuramsal varyansın bilinmesine ve bilinmemesine göre test aşağıdaki dağılımlarla gerçekleştirilir.
a) Kuramsal Varyans Biliniyorsa
Kuramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönetmelikte verilen bir değer kuramsal varyans
olarak seçil
T=
Ri
2
~ χ ( b ,1−α )
σ 02
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
75 / 97
b) Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa
Dengeleme sonunda ede edilen soncul varyanstan yararlanarak uyuşumsuz ölçü testi aşağıdaki gibi yapılır.
T=
Ri
~ F( b ,f ,1−α )
b m 02
c) Bilinmeyenlerin (Parametrelerin) Fonksiyonlarının Testi
Bilinmeyenlerin (parametrelerin) fonksiyonlarından oluşan vektör h = ϕ( x ) biliniyor ise bu fonksiyon
grubunun anlamlılığı aşağıdaki şekilde test edilir.
h = ϕ( x )
Qh = H Qx H
Bilinmeyenlerin (parametrelerin) fonksiyonu
T
Fonksiyonların ters ağırlık matrisi
r = rank{Q h }
R = h T Q −h 1 h
Fonksiyonların modele etkisi
Kuramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönetmelikte verilen bir değer kuramsal varyans
olarak seçilir.
R
2
~ χ ( r ,1−α )
σ 02
R
T=
~ F( r , f ,1−α )
r m 02
T=
Kuramsal varyans biliniyorsa
Kuramsal varyans bilinmiyorsa
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
76 / 97
Uygulama 18: Aşağıda ortak nokta koordinatları verilen iki farklı sistem arasındaki uygun dönüşüm modelini
belirleyiniz.
== ====
i
NN
== ====
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
== ====
===========
x [m]
===========
22644.3300
12910.4900
18047.3900
15932.9400
18350.3400
16048.4600
10586.0300
25220.8000
16048.6200
12295.5400
===========
===========
y [m]
===========
18214.3000
18011.6900
16776.6700
15231.9600
11587.6400
25654.1800
6135.8000
19608.8700
22850.6500
15852.5900
===========
===========
X [m]
===========
13802.9000
4823.4300
10055.0500
8655.6300
12242.4800
4935.5500
7022.7200
15687.2500
5965.2400
5044.3900
===========
===========
Y [m]
===========
26549.3700
22786.1300
23523.9400
21310.5900
18808.6400
31047.2200
10886.0700
28792.7400
28439.5900
20552.0100
===========
Biliner Dönüşüm Modeli:
v X 
x k
v  =  0
 Y k 
xTk = [1 xk
yk
xk y k ] , aT = [a00
0
x k 
a10
a   X 
b  −  Y 
   k
a01
a11 ] , b T = [b00
b10
b01
b11 ]
Afin Dönüşüm Modeli:
v X 
x k
v  =  0
 Y k 
x Tk = [1 x k
0  a   X 
−
x k  b   Y  k
y k ] , a T = [a00
a10
a01 ] , b T = [b00
b10
b01 ]
2
2
2
2
, µ = a01
λ = a10
+ b10
+ b01
 b10 
 − a01 
 , β = arctan 

 a10 
 b01 
α = arctan 
Benzerlik Dönüşüm Modeli:
1 x k
v X 
 v  = 0 y
k
 Y k 
a00 
0 − y k  a10   X 
−
1 x k   b00   Y  k
 
 b10 
 b10 

 a10 
2
2
α = arctan 
λ = a10
+ b10
vk = Aka − lk
k = 1,2,K, n
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
77 / 97
ÇÖZÜM:
a) Bilineer Dönüşüm modeli:
Qx
21.862 -0.00152276 -0.0012461
8.5177e-08
0
0
0
0
-0.00152276 1.12167e-07 8.62397e-08 -6.22635e-12
0
0
0
0
-0.0012461 8.62397e-08 7.7431e-08 -5.1745e-12
0
0
0
0
8.5177e-08 -6.22635e-12 -5.1745e-12 3.65831e-16
0
0
0
0
0
0
0
0
21.862 -0.00152276 -0.0012461
8.5177e-08
0
0
0
0 -0.00152276 1.12167e-07 8.62397e-08 -6.22635e-12
0
0
0
0 -0.0012461 8.62397e-08 7.7431e-08 -5.1745e-12
0
0
0
0 8.5177e-08 -6.22635e-12 -5.1745e-12 3.65831e-16
x=
a00
a10
a01
a11
b00
b10
b01
b11
=
-570.468
0.930145
-0.367245
-4.83107e-11
1290.88
0.367272
0.930165
-1.04962e-09
UYUSUM TESTI
====== ============== ====== ====== ======
v'Q^v
v'Q^v ======
v[cm]
(Qvv)ii
mv[cm]
Tv[]
Tau
[m2]
2m0^2
F
====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ======
0.58 0.7069 -0.0000
1.36
0.43
0.0002
0.33
0.94 -0.0000 0.7069
1.36
0.69
-----------------------------------------------------------------------------------2
2
1.37 0.7564 -0.0000
1.40
0.98
0.0005
0.90
1.29 -0.0000 0.7564
1.40
0.92
-----------------------------------------------------------------------------------3
3
0.45 0.8606 -0.0000
1.50
0.30
0.0001
0.11
-0.52 -0.0000 0.8606
1.50
0.35
-----------------------------------------------------------------------------------4
4
-3.01 0.8427 -0.0000
1.48
2.03
1.92 0.0011
2.13
-0.55 -0.0000 0.8427
1.48
0.37
-----------------------------------------------------------------------------------5
5
1.03 0.3850 -0.0000
1.00
1.03
0.0003
0.53
-0.11 -0.0000 0.3850
1.00
0.11
-----------------------------------------------------------------------------------6
6
-1.38 0.5276 -0.0000
1.17
1.17
0.0004
0.70
0.14 -0.0000 0.5276
1.17
0.12
-----------------------------------------------------------------------------------7
7
0.65 0.0598 -0.0000
0.39
1.65
0.0007
1.36
-0.01 -0.0000 0.0598
0.39
0.03
-----------------------------------------------------------------------------------8
8
-0.72 0.3551 -0.0000
0.96
0.75
0.0002
0.29
-0.15 -0.0000 0.3551
0.96
0.16
-----------------------------------------------------------------------------------9
9
2.90 0.7309 -0.0000
1.38
2.10
1.92 0.0013
2.41
-0.89 -0.0000 0.7309
1.38
0.64
-----------------------------------------------------------------------------------10
10
-1.87 0.7750 -0.0000
1.42
1.32
0.0005
0.87
-0.12 -0.0000 0.7750
1.42
0.09
-----------------------------------------------------------------------------------Tau(0.025,12)=1.92
F(0.050,2,12)=3.90
t(0.025,11)=2.20
vv= 0.0031 m2
f=12
m0= 1.61 cm
====
SN
====
1
======
NN
======
1
*****Bilineerlik Katsayilari*****
Qf
f
3.65831e-016
0
-4.83107e-011
0
3.65831e-016
-1.04962e-009
Bilineerlik Testi :
R= 30.1789 cm2
T= 5.7993 ~ F(0.978,2,12)= 5.8082
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
78 / 97
b) Afin Dönüşüm modeli:
*****Donusum Parametreleri*****
2.03011 -7.30687e-05 -4.13089e-05
0
0
0
-7.30687e-05 6.19617e-09 -1.82903e-09
0
0
0
-4.13089e-05 -1.82903e-09 4.24024e-09
0
0
0
0
0
0
2.03011 -7.30687e-05 -4.13089e-05
0
0
0 -7.30687e-05 6.19617e-09 -1.82903e-09
0
0
0 -4.13089e-05 -1.82903e-09 4.24024e-09
a00
a10
a01
b00
b10
b01
x=
=
-570.457
0.930144
-0.367245
1291.12
0.367254
0.93015
-570.457
0.930144
-0.367245
1291.12
0.367254
0.93015
UYUSUM TESTI
====== ============== ====== ====== ======
v'Q^v
v'Q^v ======
v[cm]
(Qvv)ii
mv[cm]
Tv[]
Tau
[m2]
2m0^2
F
====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ======
0.59 0.7087 -0.0000
1.76
0.33
0.0002
0.28
1.17 -0.0000 0.7087
1.76
0.67
-----------------------------------------------------------------------------------2
2
1.33 0.7869 -0.0000
1.86
0.71
0.0002
0.27
0.33 -0.0000 0.7869
1.86
0.18
-----------------------------------------------------------------------------------3
3
0.41 0.8893 -0.0000
1.97
0.21
0.0003
0.29
-1.45 -0.0000 0.8893
1.97
0.74
-----------------------------------------------------------------------------------4
4
-3.06 0.8877 -0.0000
1.97
1.55
0.0014
1.58
-1.72 -0.0000 0.8877
1.97
0.87
-----------------------------------------------------------------------------------5
5
0.88 0.7309 -0.0000
1.79
0.49
0.0016
1.86
-3.34 -0.0000 0.7309
1.79
1.87
-----------------------------------------------------------------------------------6
6
-1.33 0.5542 -0.0000
1.56
0.86
0.0005
0.59
1.03 -0.0000 0.5542
1.56
0.66
-----------------------------------------------------------------------------------7
7
0.80 0.4074 -0.0000
1.34
0.60
0.0027
3.09
3.22 -0.0000 0.4074
1.34
2.41
1.92
-----------------------------------------------------------------------------------8
8
-0.62 0.5130 -0.0000
1.50
0.41
0.0009
1.00
2.03 -0.0000 0.5130
1.50
1.35
-----------------------------------------------------------------------------------9
9
2.91 0.7346 -0.0000
1.79
1.62
0.0012
1.36
-0.55 -0.0000 0.7346
1.79
0.31
-----------------------------------------------------------------------------------10
10
-1.90 0.7871 -0.0000
1.86
1.02
0.0005
0.60
-0.72 -0.0000 0.7871
1.86
0.39
-----------------------------------------------------------------------------------Tau(0.025,14)=1.92
F(0.050,2,14)=3.78
t(0.025,13)=2.16
vv= 0.0061 m2
f=14
m0= 2.09 cm
====
SN
====
1
======
NN
======
1
*****Afinlik Parametreleri*****
Qf
1.04364e-008 -1.03398e-024
-1.03398e-024
1.04364e-008
f
-6.69273e-006
8.43903e-006
Afinlik Testi :
R= 111.1587 cm2
T= 12.6724 ~ F(0.990,2,14)= 7.8371
Afin Donusum Parametreleri
L=
1.000021
M=
1.315427
A= 23.939859 g
B= 23.939203 g
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
79 / 97
c) Benzerlik Dönüşüm modeli:
*****Donusum Parametreleri*****
1.35503
-3.69269e-005
1.14904e-015
3.7331e-005
-3.69269e-005
2.19692e-009
-3.7331e-005
3.48563e-025
9.38817e-016
-3.7331e-005
1.35503
-3.69269e-005
3.7331e-005
9.3906e-027
-3.69269e-005
2.19692e-009
-570.47
0.930149
1291.21
0.36725
UYUSUM TESTI
====== ============== ====== ====== ======
v'Q^v
v'Q^v ======
v[cm]
(Qvv)ii
mv[cm]
Tv[]
Tau
[m2]
2m0^2
F
====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ======
3.21 0.8219 0.0000
2.98
1.08
0.0014
0.66
-1.22 0.0000 0.8219
2.98
0.41
-----------------------------------------------------------------------------------2
2
-1.27 0.8643 0.0000
3.05
0.42
0.0005
0.24
1.70 0.0000 0.8643
3.05
0.56
-----------------------------------------------------------------------------------3
3
1.18 0.8965 -0.0000
3.11
0.38
0.0006
0.26
-1.90 -0.0000 0.8965
3.11
0.61
-----------------------------------------------------------------------------------4
4
-2.73 0.8915 -0.0000
3.10
0.88
0.0010
0.46
-1.16 -0.0000 0.8915
3.10
0.38
-----------------------------------------------------------------------------------5
5
4.21 0.8306 -0.0000
2.99
1.41
0.0034
1.58
-3.26 -0.0000 0.8306
2.99
1.09
-----------------------------------------------------------------------------------6
6
-5.73 0.7339 0.0000
2.81
2.04
1.93 0.0045
2.08
0.25 0.0000 0.7339
2.81
0.09
-----------------------------------------------------------------------------------7
7
2.40 0.5560 -0.0000
2.45
0.98
0.0097
4.52
3.70
6.96 -0.0000 0.5560
2.45
2.84
1.93
-----------------------------------------------------------------------------------8
8
2.76 0.7295 -0.0000
2.80
0.99
0.0014
0.63
-1.53 -0.0000 0.7295
2.80
0.54
-----------------------------------------------------------------------------------9
9
-0.20 0.8233 0.0000
2.98
0.07
0.0001
0.06
-0.99 0.0000 0.8233
2.98
0.33
-----------------------------------------------------------------------------------10
10
-3.83 0.8524 0.0000
3.03
1.26
0.0019
0.87
1.15 0.0000 0.8524
3.03
0.38
-----------------------------------------------------------------------------------Tau(0.025,16)=1.93
F(0.050,2,16)=3.70
t(0.025,15)=2.13
vv= 0.0173 m2
f=16
m0= 3.28 cm
====
SN
====
1
======
NN
======
1
Benzerlik Donusum Parametreleri
L=
1.000025
A= 23.939505 g
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
80 / 97
HAFTA 14: Kalite ve Güven Ölçüleri
14. Kalite ve Güven Ölçütleri
14.1 Kalite Ölçütleri
Ağın kalitesini gösteren ölçütlerdir. Bilinmeyenlerin varyans-kovaryans matrislerinden türetilirler.
Σx =
σ 20
Kx =
m 20
χ 2f
χ 2f -Dağılımı
Qx
Qx
=f
m 20
Ff1,f2 =
F-Dağılımı
Q x = ( A TPl A ) −1
ya da
σ 20
m 201
m 202
Test büyüklüğü
Test büyüklüğü
Q x = ( A TPl A ) +
a) Lokal Kalite Ölçütleri
• Koordinat bilinmeyenlerinin ortalama hataları
σ xi = σ 0 q xixi
m xi = m 0 q xixi
z(1−α )
t f ,(1− α )
{p ( ai < xi ≤ bi ) = 1 − α = s}
• Hata elipsi
*Helmert hata elipsi
*Kuramsal güven elipsi ( χ 2 )
*Güven elipsi (F)
• Konum hatası
m pi = m 2xi + m 2yi = m 20 q xixi + q yiyi = m 20 λ A + λ B
• Werkmeister nokta hatası
w pi = m 20 q xixi * q yiyi − q xiyi = m 20 λ A * λ B
• Bağıl (relatif)
*hata elipsi
(d = xk − xi )
*güven elipsi
~
εj = d − d
d=F x
F=
s 20
m 20
Q d = F Q xF T
(aynı σ 2 ' nin)
b) Ağın Tümü Đçin Geçerli Kalite Ölçütleri
• Güven hiperelipsoidi ε = ~
x − x bütün koordinat bilinmeyenleri ile
{
P {(~
x − x)
}
P (~
x − x) T Q x−1(~
x − x) ≤ σ 20 χ u2,(1−α ) = 1 − α
T
Kuramsal güven hiper elipsoidi
}
Q x−1(~
x − x) ≤ k m 20 Fu,f ,(1−α ) = 1 − α
Deneysel güven hiperelipsoidi
(k boyut ile ilgili katsayı k=1,2,3)
2p
• Hacim Ölçütü
det ( Σ x ) = σ 20 ∏ λ i Kuramsal
i=1
2p
det (K x ) = m 20 ∏ λ i Deneysel
i=1
2p
• Varyans Ölçütü
iz ( Σ x ) = σ 20 iz (Q x ) = σ 20 ∑ λ i
Kuramsal
i=1
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
81 / 97
2p
iz ( K x ) = m 20 iz ( Q x ) = m 20 ∑ λ i
Deneysel
iz ( Σ x )
2p
Kuramsal
i=1
σ x,σ y =
• Ortalama koordinat duyarlığı
m x ,m y =
λ max − λ min = min
• Özdeğerler ölçütü
• Ana varyans bileşenleri
bi = s i
iz (K x )
2p
ya da
Deneysel
λ max
=1
λ min
(homojen ve izotrop ağ
yapısı)
λ i (ana bileşen vektörleri) ağın zayıf olan noktaların yönlerini gösterir.
• Ölçüt matrisleri (Kriterium matrisleri, Cx)
µ
≤ 1 olmalı.
B = C −1
x K x B matrisinin en büyük öz değeri max
Hata Elipslerinin Hesaplanması
Ağın kalitesi hakkında bilgi veren hata elipsleri de hesaplanmalıdır.
q
(Q x ) i =  x i x i
q x i y i
q x i yi 
q yi yi 
//x
αi
w i = ± (q xi x i − q yi yi ) 2 + 4 q 2x i yi
a i = ± m 0 (q x i x i + q yi y i + w i ) / 2
b i = ± m 0 (q x i x i + q yi y i − w i ) / 2
bi
ai
(11a)
//y
i
α i = a tan{2q xi yi /(q xi xi − q yi yi )} / 2
Yada varyans-kovaryans matrisleri ile aşağıdaki gibi hesaplanabilir.
m
(K x ) i =  xi xi
 m x i yi
m x i yi 
m yi yi 
(11b)
w i = ± (m xi x i − m yi yi ) 2 + 4 m 2xi yi
a i = ± ( m x i x i + m yi y i + w i ) / 2
b i = ± ( m x i x i + m y i yi − w i ) / 2
α i = a tan{2m xi yi /(m xi xi − m yi yi )} / 2
Hata elipslerinin genişletilmesi ile güven elipsleri elde edilir. Güven bölgeleri Tablo-1 de verilen
çarpanlar yardımıyla genişletilir (Şekil-2).
Tablo-1. Güven elipslerinin güven aralıkları ve güven bölgesini genişletme katsayıları. (
b F{α ,b ,f } , α=:yanılma olasılığı, b=2:boyut, f=4 :serbestlik derecesi)
Güven aralığı (1−α
−α)
−α
Çarpan
%36
%50
%75
%95
1.0000 1.2872 2.000 3.7267
%99
6.000
Noktanın gerçek konumunun (11) bağıntıları ile hesaplanan hata elipslerinin içine düşme olasılığı
0.36 dır ve çarpanı 1.000 değerine karşılık gelir (Şekil-2).
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
82 / 97
Bağıl Hata Elipslerinin Hesaplanması
[
[
[
[
q nn qne qnu
qen q ee qeu
qun que quu
q nn q ne
Qx = ( A P A ) = qen qee
q un que
⋯
⋯
qnn q ne
q en q ee
qun q ue
T
+
q nu
qeu
q uu
qnu
q eu
quu
][
][
][
11
21
p1
qnn qne qnu
qen q ee qeu
qun que quu
q nn qne
qen qee
q un que
⋯
⋯
qnn q ne
q en q ee
qun q ue
q nu
qeu
quu
q nu
q eu
quu
] [
] [
] [
⋯
12
⋯
22
⋯
⋯
⋯
p2
q nn q ne q nu
qen qee qeu
q un que q uu
q nn q ne
q en qee
q un q ue
⋯
⋯
qnn qne
qen q ee
qun que
q nu
qeu
q uu
qnu
qeu
quu
] []
] []
] []
] []
1p
2p
pp
n
e
u
1
n
x= e
u 2
⋯
⋯
n
e
u p
DN: 1 → BN: p
[
1 0
0
0 1 0
0
0 1
F1, p =
Q1,p = F1,p Qx F
T
1,p
] [ ] [ ]]
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⋯
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
p
[
]
[
]
q nn q ne q nu
=Q 1,1+ Qp, p Q1,p Qp ,1= qen qee qeu
q un q ue q uu
1, p
Genelleme : DN:j → BN:k
j
k
F j k =[ 0 ⋯ I ⋯ I ⋯ 0 ]
Q j k= F j k Q x F
1
2
α j k = atan
a j k =±m0
b j k =±m0
√
√
(
T
jk
qnn q ne qnu
=Q j j+Q k k Q j k Q k j = q en q ee q eu
qun q ue quu
2(qne ) j k
[(q nn) j k (q ee ) j k ]
jk
)
((qnn ) j k +(qee ) j k +w j k )
2
w j k =±√ ((q nn) j k (q ee ) j k )2 +4 (q ne )2j k
((q nn) j k +(q ee ) j k w j k )
2
(mh ) jk =(mu ) jk =±m0 √ (q uu) j k
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
83 / 97
14.2 Güven Ölçütleri
Bir jeodezik ağı oluşturan ölçülerin birbilerini denetlemelerini (kısmi serbestlik derecesi), ağın her bir ölçüde
yapılabilecek kaba hata sınır değerlerini (iç güven ölçütü) ve ölçülerde yapılabilecek kaba hataların
koordinatlara etkime katsayılarını (dış güven ölçütü) gösteren ölçütlerdir.
a) Ölçülerin Serbestlik Derecesindeki (Redündanz) Payları
1
P=
=Qy
v=
= A x
ℓ
T
x=
=Q x A P ℓ
Matematik model
Bilinmeyenler
T
v=
=( A Qx A P
I)) ℓ
v=
=( Q̂y P
I)) ℓ
1
v=
=( { P Qv } P
I ) ℓ
v=
= Q v P ℓ
v=
=R ℓ
v=
=( Q̂y P
I)) ℓ
[
r 11 r 12 ⋯
v= r 21 r 22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
r n1 r n2 ⋯
R =Q v P=
= I
Qŷ P
Düzeltmeler
Düzeltmeler
Düzeltmeler
]
r 1n
r 2n ℓ
⋯
r nn
Düzeltmeler
Redündanz matrisi
j=1, 2, ... , n
f =nu+d =iz { R }=∑ r j
Herhangi bir gözlemin kaba hatası ∆j nın bu gözleme ilişkin düzeltme vj ye etkisi ∆vj
[ ][ ] [ ][ ]
0
ℓ1
ℓ2
0
ℓ̊ = ℓ+e j ∆ j = ⋯ + ⋯
∆j
ℓj
⋯
⋯
ℓn
0
[] [
v1
r 11 r 12
v 2 = r 21 r 22
⋯
⋯ ⋯
vn
r n1 r n2
⋯
⋯
⋯
⋯
0
ℓ1
0
ℓ2
= ⋯ + ⋯ ∆j
ℓj
1
⋯ ⋯
ℓn
0
][ ]
r 1n
ℓ1
r 2n ℓ2 +∆
⋯
⋯
ℓn
r nn
Düzeltmeler
v=
̊ =R ℓ̊
v=
̊ =R( ℓ+e j ∆ j)
v=
̊ = R ℓ R e j ∆ j
v=
̊ = v+
+ ∆ v = v
R e j ∆ j
∆ v = R e j ∆ j
j. Kaba hatanın j. ölçüye etkisi
∆ v =( R) j j ∆ j =r j j ∆ j
∆ v =(R)k j ∆ j =r k j ∆ j
j. Kaba hatanın j. ölçüye etkisi
j. Kaba hatanın k. ölçüye etkisi
j
j
j
k
Redündanz payları herhangi bir ölçüde yapılacak kaba hatanın yüzde kaçının bu ölçüye ilişkin düzeltmeye
yansıyacağını gösterirler. Başka bir deyişle redündanz payı bir ölçünün diğer ölçüler yardımı ile kontrol
edilebilir olmasının ölçütüdür. Bu nedenle ölçülerin ölçülerin birbirini kontrol edebilmeleri için fazla ölçü
sayısındaki payların 1=%100’e yakın olmaları istenir.
Genelikle
rjj > 0.5
Zorunlu hallerde rjj > 0.3
Optimum bir ağda 0.30 < rjj < 0.80
olmalıdır
olarak belirlenmelidir
olmalıdır
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
84 / 97
b) Đç Güven Ölçütü
Kaba hatalı ölçü vektörü v̊ , kaba hatalı düzeltmeler vektörü v̊ , j. elemanı 1 olan birim vektörü e j , j.
ölçüdeki kaba hata ∆ j olmak üzere;
R =Q v P
v=
̊ = v
R e j ∆ j
P v=Qv 1
v=
̊ = R e j ∆ jv
T
v̊ Pv v̊ ⇒ min
T
∆ j=q ∆ e j P v
Pv
1
q ∆ =(( e j P Qv P e j )
T
j
j
σ ∆ =σ 0 √ q∆ =σ 0 √( e Tj P Qv P e j )1
j
j
Kestirlen ∆ j büyüklüğünün kaba hatamı yoksa raslantısal hata karakterindemi olduğunun ayırt edilmesi için
istatistik testlere başvurulur.
∆
λ j= σ ∆j ∼ λ{ α , γ ,β,∞ }
Test büyüklüğü
∆
λ j= σ j √ ( e Tj P Qv P e j ) ∼ λ{ α , γ ,β,∞}
0
j
Bir ∆ j kaba hata ise λ j ∼ N(0,1) olması gereken test büyüklüğü dışmerkezli hale dönüşür, dışmerkezlik
parametresi E { λ j }=λ j olarak elde edilir.
∆j ∆j
T
λ j= σ = σ √( e j P Q v P e j )
∆j
0
E { λ j | H 0 }=0
E { λ j | H A }=λ j≠0
Baarda (1968) tarafınndan “data snooping” olarak adlandırılan istatistik test λ j ’nin bir sınır değer k ile
karşılaştırılmasından oluşmaktadır. | λ j |>k ise H 0 geçersizdir. ℓ j ölçüsünde kaba hata vardır.
+k
+k
1
β=1γ=∫ φ A (x)dx=
∫e
√ 2 π k
k
2
(xλ j )
2
φ0 (k)φ0 (k )=1α=s
dx
ϕ0(x)
ϕA(x)
HA :Kaba hata var
HA :Kaba hata var
γ
H0:Kaba hata yok
1−γ
−γ ∝/2
∝/2
−k
Şekil
0
+k
λj
x
λ {α ,γ ,β, ∞} nın dağılımı ve testin gücü.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
85 / 97
Uygulamada ∆i, buna bağlı olarak λi ve γ hesaplanmaz. Bu yol yerine istatistik güven aralıkları α ve γ önceden
seçilir ve bunlara bağlı λ(α, γ) değerlerinin hesaplanması yoluna gidilir. Böylece bulunacak ∆ değeri ile α=1-s
anlamlılık düzeyinde ve γ test gücü ile ortaya çıkarılabilecek ∆i kaba hatası için sınır değerler hesaplanır
(Ayan, 1981).
Tablo 1. λ(α,γ,β,∞) parametre değerleri.
0.001
0.01
α 0.0001
γ
0.70
4.41
3.82
3.10
0.80
4.72
4.13
3.42
0.90
5.18
4.57
3.86
0.05
Tablo 2. w(α,γ,β,∞)=λ2(α,γ,β,∞).
0.0001
0.001
0.01
0.05
2.49
2.79
3.24
19.45
22.28
26.83
6.20
7.78
10.50
14.59
17.06
20.88
9.61
11.70
14.90
λ0 ya da w0’dan yararlanarak her bir ölçü için denetlenebilecek kaba hata sınır değeri hesaplanır.
1. λ0’dan yararlanarak ∆0j’ın hesabı;
λ {0.01, 0.80, 0.20, ∞}=3.42 < λ 0≈ 4.00 < λ{ 0.001, 0.80, 0.20, ∞}=4.13
∆
λ 0= σ0j √ ( eTj P Q v P e j )
0
λ 0 σ0
∆ 0j =
(Lokal) Đç güven ölçütü
T
√(e j PQ v P e j )
2. w0’dan yararlanarak ∆0j’ın hesabı;
R =Q v P
Đdempotent matris ( R R =R 2= R )
T
̊
v̊ T P v=v
P v+∆ j q 1
∆ ∆j
T
T
T
̊
v̊ P v=v
P v+∆ j e j PQv P e j ∆ j
j
m 20=
T
T
v̊ P v̊
v Pv
1
=
+
∆ j eTj P Qv P e j ∆ j
f
f
f
1
T
E { ∆ j e j PQv P e j ∆ j }
f
E { m 20 }=σ 20 +
wj =
∆ j eTj P Q v P e j ∆ j
σ
2
0
=
∆ 2j
σ
2
0
E{
e Tj P Qv Pe j ∼ w { α , γ ,β,∞}=λ2{ α, γ, β,∞}
w {0.01, 0.80, 0.20, ∞}=11.70 < w 0≈16.00 < w {0.001,
∆ 0j = σ 0
∆0j
σj =
√
√
w0
σ0 = σ j √e P e j
T
j
T
e j P Qv P e j
T
m 20
1 ∆ j e j P Qv P e j ∆ j
}=1
+
f
σ20
σ20
0.80, 0.20, ∞}
=17.06
∆ 0j = σ j
√
w0 e Tj P e j
e Tj PQv Pe j
√
w0 e Tj P e j
e Tj P e j
= 4 T
eTj P Q v P e j
e j P Qv P e j
Đç güven ölçütünün bibirine yakın ve küçük sayılardan oluşması beklenir. Ağırlığı eiTPei olan ölçünün
duyarlığı σi= σ0 / (eiTPei)0.5 dan yararlanarak elde edilen birimsiz büyüklük karşılaştırma elemanı olarak
kullanılır. Optimum ağlarda elde edilen iç güven ölçütlerinin
∆0i / σi ≤ 6 ya da 8
olması istenir.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
86 / 97
c) Dış Güven Ölçütü
Herhangi bir ölçüde yapılan ∆j hatasının koordinatlara etkisini ölçmeye yararyan ölçütür.
[ ][ ] [ ][ ]
0
ℓ1
ℓ2
0
ℓ̊ = ℓ+e j ∆ j = ⋯ + ⋯
∆j
ℓj
⋯
⋯
ℓn
0
x=
̊ =Qx AT P ℓ̊
0
ℓ1
0
ℓ2
= ⋯ + ⋯ ∆j
ℓj
1
⋯ ⋯
ℓn
0
x=x+
̊
+ ∆x
T
∆ x =Qx A P e j ∆ j
1 1
1
Σx = 2 Qx
σ0
1
δ j =∆
∆ x Σx ∆ x
2
2
δ j=
1
1
∆ x Qx ∆ x
2
σ0
∆
δ j = σ j √ eTj P1 e j e Tj P Q v P e j
Dış merkezlik parametresinin tanımı
0
Tablo 2’deki değerler ile i. ölçü için elde edilen kaba hatasınır değeri ∆0j den yararlanarak δ0j planlama
aşamsında hesaplanabilir.
∆
δ0j = σ0j √ e Tj P1 e j e Tj PQ v Pe j
Dış merkezlik parametresi
0
Güven Ölçütleri
v=
=R ℓ
v1
r 11 r 12 ⋯
v 2 = r 21 r 22 ⋯
⋯
⋯ ⋯ ⋯
vn
r n1 r n2 ⋯
γ≈% 80
1α≈%99
R =Q v P=
= I
Qŷ P
[] [
Düzeltmeler
][ ]
r 1n
ℓ1
r 2n ℓ2 +∆
⋯
⋯
ℓn
r nn
Düzeltmeler
Testin gücü
Testin güvenirliği
Redündanz matrisi
f =nu+d =iz { R }=∑ r j
j=1, 2, ... , n
Đyi planlanmış ve dengelemenin matematik modelinin doğru kurulduğu bir ağda güven ölçütü değerleri:
0.30 ≤ r j =(R) jj ≤ 0.80
√
√
∆0j
(P) jj
σ j = 4 (P R)
jj
Redündanz payları
√
∆
(P R ) jj
(P) jj
δ0j = σ0j 1
=4
1
0
(P) jj
(P R) jj
≈6 yada 8
(Lokal) Đç Güven Ölçütü
≈8 yada 10
Dış Güven Ölçütü
Đç güven Ölçütleri :
ri ≥ 0.30 ya da 0.50
∆0i /≈ ( 6 ya da 8) mi
Gözlemlerin fazla ölçü sayısındaki payları
Ortaya çıkarılamayan hataların sınır değeri
Dış güven ölçütü :
δ0i ≈ 8 ya da 10
Hatalarin Koordinatlara Etkime Katsayisi
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
87 / 97
Uygulama 18: Yerel bir koordinat sistemine koordinatları ve bağıl koordinat ölçülerin verilen ağın, matematik
modelini test ediniz, kalite ve güven ölçütlerini hesaplayınız.
#
#SN
#==
1
2
3
4
5
6
7
8
#
#SN
#==
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
j
==
01
01
01
01
02
03
03
04
04
05
05
05
05
06
06
06
07
08
08
08
08
j
====
01
02
03
04
05
06
07
08
YAKLASIK NOKTA KOORDINATLARI
nj [m]
ej [m]
uj [m]
========== ========== ==========
9836.15
10978.19
496.60
5306.76
6463.58
729.25
3376.44
10057.59
687.59
6876.88
9538.77
678.60
8822.67
14842.55
923.80
7203.74
16215.73
589.16
3556.73
16057.37
876.57
-110.75
5497.44
813.93
BAZ BILESENLERI ve VARYANS-KOVARYANS MATRISLERI
k
njk [m]
ejk [m]
ujk [m]
m_n[cm] m_e[cm] m_u[cm] r_ne[%]
== ========== ========== ========== ======= ======= ======= =======
03 -6459.712
-920.584
190.973
1.42
0.89
2.65
-33.87
06 -2632.440
5237.552
92.482
0.89
0.67
0.95
-45.97
02 -4529.390 -4514.589
232.605
0.84
0.91
1.30
57.16
07 -6279.437
5079.152
379.967
1.00
0.71
1.04
54.10
03 -1930.272
3594.004
-41.611
1.08
0.78
3.24
10.53
02
1930.311 -3594.041
41.618
0.85
1.03
2.36
44.39
05
5446.202
4784.895
236.254
0.48
1.04
1.98
73.37
02 -1570.120 -3075.231
50.659
0.84
1.21
1.86
0.25
05
1945.807
5303.758
245.286
0.99
1.07
2.77
5.39
02 -3515.876 -8378.974
-194.554
0.95
0.76
1.92
29.66
01
1013.500 -3864.399
-427.209
0.60
1.14
1.75
27.78
07 -5265.931
1214.852
-47.273
1.23
1.10
2.20
4.67
08 -8933.414 -9345.160
-109.773
0.93
0.69
2.06
-15.99
04
-326.866 -6676.958
89.376
0.78
1.11
2.13
14.77
02 -1896.975 -9752.131
140.098
0.67
1.08
1.22
6.74
05
1618.930 -1373.143
334.677
1.03
0.98
1.59
-76.42
02
1750.018 -9593.778
-147.312
0.99
0.77
1.70
-22.38
02
5417.508
966.101
-84.657
0.91
1.39
1.67
22.21
01
9946.859
5480.765
-317.298
0.90
0.70
2.40
-2.05
06
7314.474 10718.216
-224.886
0.84
1.15
1.59
1.35
07
3667.411 10559.996
62.591
1.06
1.26
2.16
14.43
r_nu[%]
=======
4.95
70.69
55.05
-43.91
10.73
17.27
-34.71
-46.01
7.16
1.20
25.41
28.65
-22.10
40.97
-31.19
15.82
-22.12
49.62
-13.57
25.62
-6.08
r_eu[%]
=======
2.33
-19.41
-16.52
-20.76
-39.72
2.38
-3.68
71.96
-10.27
-39.72
37.62
-29.64
-44.97
32.75
-45.41
14.23
-12.53
1.78
71.52
67.18
-33.81
Çözüm:
σ0 = ±1.00 cm
f=42
m0 = ±0.71 cm
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
j NN
== ==
1 01
2 02
3 03
4 04
5 05
6 06
7 07
8 08
Nj[m]
mNj[cm]
========== ======
9836.1522
0.20
5306.7575
0.17
3376.4446
0.23
6876.8729
0.30
8822.6638
0.17
7203.7338
0.22
3556.7237
0.32
-110.7286
0.25
88 / 97
Ej[m]
mEj[cm]
========== ======
10978.1838
0.18
6463.5822
0.20
10057.6116
0.29
9538.7858
0.40
14842.5581
0.19
16215.7112
0.24
16057.3638
0.27
5497.4235
0.23
Uj[m]
mUj[cm]
========== ======
496.6312
0.33
729.2431
0.33
687.5873
0.76
678.5513
0.67
923.8145
0.43
589.1340
0.35
876.5833
0.50
813.9552
0.46
k mD[cm]
Rj[]
∆j[]
δj[]
= ====== ====== ====== ======
x
0.31
0.88
4.43
1.90
1
01
03 y
0.35
0.63
5.16
3.26
z
0.91
0.77
4.57
2.22
-------------------------------------------------x
0.31
0.66
6.06
4.55
2
01
06 y
0.30
0.55
5.65
4.00
z
0.43
0.39
7.00
5.75
-------------------------------------------------x
0.27
0.59
6.94
5.67
3
01
02 y
0.29
0.70
6.28
4.85
z
0.47
0.59
6.66
5.33
-------------------------------------------------x
0.39
0.62
5.89
4.32
4
01
07 y
0.33
0.49
6.04
4.52
z
0.55
0.37
6.92
5.65
-------------------------------------------------x
0.30
0.86
4.32
1.63
5
02
03 y
0.33
0.60
5.21
3.34
z
0.90
0.83
4.54
2.15
-------------------------------------------------x
0.30
0.73
4.74
2.53
6
03
02 y
0.33
0.79
4.57
2.21
z
0.90
0.71
4.79
2.63
-------------------------------------------------x
0.22
0.21
10.66
9.88
7
03
05 y
0.37
0.72
6.66
5.33
z
0.90
0.56
6.00
4.47
-------------------------------------------------x
0.35
0.56
6.83
5.54
8
04
02 y
0.48
0.59
7.42
6.25
z
0.73
0.38
9.25
8.34
-------------------------------------------------x
0.37
0.72
4.72
2.51
9
04
05 y
0.47
0.60
5.21
3.34
z
0.87
0.79
4.54
2.15
-------------------------------------------------x
0.26
0.85
4.40
1.84
10
05
02 y
0.29
0.66
5.01
3.02
z
0.60
0.79
4.62
2.32
-------------------------------------------------x
0.26
0.59
5.17
3.28
11
05
01 y
0.28
0.86
4.43
1.91
z
0.58
0.75
4.65
2.37
-------------------------------------------------x
0.40
0.77
4.64
2.36
12
05
07 y
0.36
0.79
4.56
2.18
z
0.70
0.77
4.68
2.43
-------------------------------------------------x
0.33
0.73
4.92
2.87
13
05
08 y
0.29
0.55
5.87
4.29
z
0.65
0.72
5.23
3.38
j
===
DN
====
BN
====
Maksimum
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
89 / 97
-------------------------------------------------x
0.36
0.50
5.95
4.41
14
06
04 y
0.49
0.61
5.08
3.13
z
0.80
0.68
5.14
3.23
-------------------------------------------------x
0.28
0.61
5.35
3.56
15
06
02 y
0.34
0.77
4.76
2.59
z
0.46
0.62
5.44
3.69
-------------------------------------------------x
0.30
0.70
5.80
4.20
16
06
05 y
0.31
0.59
6.06
4.56
z
0.59
0.71
5.02
3.04
-------------------------------------------------x
0.39
0.66
5.11
3.18
17
07
02 y
0.34
0.58
5.38
3.60
z
0.63
0.72
4.78
2.61
-------------------------------------------------x
0.32
0.69
5.03
3.05
18
08
02 y
0.33
0.88
4.30
1.57
z
0.60
0.69
5.02
3.03
-------------------------------------------------x
0.33
0.73
4.75
2.56
19
08
01 y
0.27
0.47
6.22
4.77
z
0.58
0.82
5.27
3.43
-------------------------------------------------x
0.35
0.66
5.01
3.01
20
08
06 y
0.34
0.76
5.16
3.26
z
0.57
0.58
5.63
3.96
-------------------------------------------------x
0.42
0.69
4.82
2.68
21
08
07 y
0.37
0.81
4.50
2.07
z
0.70
0.77
4.62
2.31
-------------------------------------------------Optimum Ag :
~0.30<Rj<0.80 Aj~6-8 Dj~8-10
Kontrol
: [Rj]= 42 = f
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
90 / 97
15. Excel Fonksiyonlarından Yararlanarak Normal ve Test Dağılımların Sınır Değerlerinin
Bulunması
15.1. Normal Dağılım
x=
y
my
~ N(0,1)
α = NORMSDAĞ( x )
x = NORMSTERS( α )
15.2. t-Dağılımı
x=
y
my
~ t ( α ,f )
α = TDAĞ( x ; f ; 1 )
α/2 = TDAĞ( x ; f ; 2 )
x = TTERS( α ; f )
Tek yanlı teste karşılık olasılık değeri
Çift yanlı teste karşılık olasılık değeri
15.3. χ2-Dağılımı
x=f
m2
σ2
2
~ χ (α
,f )
α = KĐKAREDAĞ( x ; f )
x = KĐKARETERS( α ; f )
15.4. F-Dağılımı
x=
σ12
~ F(α ,f 1,f 2)
σ 22
α = FDAĞ( x ; f1 ; f2 )
x = FTERS( α ; f1 ; f2 )
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
91 / 97
16. Kaynaklar
Alfred LEICK (1995),”GPS Satelite Surveying”, Second Edition, John Wiley & Sons, USA, ISBN 0-471-30626-6.
Edward J. KRAKIWSKY (1975), “A Synthesis of Recent Advances in the Method of Least Squares”, Lecture Notes 42.
http://www2.unb.ca/gge/Pubs/LN42.pdf
Edward M. MIKHAIL and Friedrich E. ACKERMANN (1976), “Observations and Least Squares”, Harper&Row,
Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.
Ekrem ULSOY (1974), “Dengeleme Hesabı, En Küçük kareler Metodu”, ĐDMMA yayınları, Sayı: 87, Đstanbul.
Ekrem ULSOY (1980), “Pratik Matris Hesabı”, ĐDMMA yayınları, Sayı: 91, Đstanbul.
Ergün ÖTÜRK (1987), Jeodezik Ağlarla Duyarlık ve Güven Ölçütleri, Türkiye I. Harita Bilimsel ve Teknik Kurultayı,
23-27 Şubat, 1987, Ankara, 641-699.
Ergün ÖZTÜRK (1991), “Dengeleme Hesabı Cilt 1”, 2. Baskı, KTÜ-MMF, Genel Yay No:119, Fakülte Yaayın
No:38,Trabzon.
Ergün ÖZTÜRK ve Muzaffer ŞERBETÇĐ (1989), “Dengeleme Hesabı Cilt 2”, KTÜ-MMF, Genel Yay No:144,
Fakülte Yayın No:40, Trabzon.
Ergün ÖZTÜRK ve Muzaffer ŞERBETÇĐ (1992), “Dengeleme Hesabı Cilt 3”, KTÜ-MMF, Genel Yay No:144,
Fakülte Yayın No:40, Trabzon.
Gilbert STRANG and Kai BORRE (1997), “Linear Algebra, Geodesy and GPS”, Wellesley-Cambridge Press, ISBN0-9614088-6-3.
Hüseyin DEMĐREL (1977), “En Küçük Kareler Yöntemine Göre Prediksiyon ve Kollokasyon”, Đstanbul Devlet
Mühendislik ve Mimarlık Akademisi, Harita-Kadastro Bölümü, Đstanbul.
Rudolp E. KALMAN (1960), “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems”, Journal of Basic, Vol.
82D, 35-45.
Karl-Rudolf KOCH (1999), “Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models”, Springer-Verlag Berlin
Heidelberg Newyork, ISBN-540-65257-4.
Luca BAGNASCHI (1993), “Application of Adaptive Kalman Filter for the Estimation of Position, Velocity and
Acceleration of a Moving Body from GPS Measurments”, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, Institut für
Geodäsie und Photogrammetrie, Bericht 226.
Orhan KURT (1999), “Ardışık Dengeleme”, Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Seminer Çalışması, Zonguldak.
Paul A. CROSS (1983), “Advanced Least Squares Applied to Positioning-Fixing”, Nort East London Polytechnic,
ISBN-0-907382-06-1. http://seabedhabitats.files.wordpress.com/2011/10/cross_1994.pdf
Tevfik AYAN (1981), Jeodezik Ağların Optimizasyonu, ĐTÜ, Đnşaat Fakültesi, Docentlik Tezi, Đstanbul.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
92 / 97
17. Ekler
17.1 Test Dağılımlar
17.1.1. Normal Dağılım (Normal Distribution)
X
E{X}=µ
X ~ N(µ,σ2)
Rastgele değişken
Umut değer
xi
Rastgele değişkenin gerçekleşeni
E{(X−µ)2}=σ2 Kuramsal varyans
X’in herhangi bir x değerini alma olasılığı
p ( x) =
1  x−µ 
− 

e 2 σ 
1
σ 2π
2
p(x)
X’in a < x ≤ b aralığında bir değer alma olasılığı;
Rastgele değişkenin dağılım fonksiyonun değerini
verir
P( x) =
1
b
σ 2π
a
1  x−µ  2
− 

e 2  σ  dx
∫
P(x)
X’in −∞ < x ≤ ∞ alma olasılığı;
P( x) =
1  x−µ  2
− 

e 2  σ  dx
1
∞
σ 2π
−∞
∫
µ
a
x
b
=1
x=µ−σ ve x=µ+σ değerleri eğrini büküm noktalarıdır.
µ +σ
p(x)
P ( x ) = ∫ p ( x) dx = 0.6827
1 − P( x) = 0.3173 ≅
1
3
P( x) =
∫ p ( x) dx = 0.9545
1 − P( x) = 0.0455 ≅
1
20
∫ p ( x ) dx = 0.9973
1 − P( x ) = 0.0027 ≅
∫ p ( x) dx = 0.9999
1 − P ( x ) = 0.0001 ≅
P( x) =
P(x)
P( x) =
µ -σ
σ
µ
εi = xi − µ
E{ε}=0
E{ (ε−E{ε})2} = E{ε2}=σ2
p (ε ) =
1
σ 2π
−
e
µ − 3σ
µ + 4σ
µ − 4σ
x
1
400
1
10000
Gerçek hata
Gerçek hataların umut değeri
Gerçek Hataların varyansı
ε2
σ
σ
2σ
P (ε ) = ∫ p (ε ) dε = 0.9545
− 2σ
3σ
P (ε ) = ∫ p (ε ) dε = 0.9973
P (ε ) = ∫ p (ε ) dε = 0.9999
− 4σ
µ − 2σ
µ + 3σ
2σ 2
P (ε ) = ∫ p (ε ) dε = 0.6827
−3σ
4σ
µ+σ
µ −σ
µ + 2σ
p(εε)
1
3
1
1 − P(ε ) = 0.0455 ≅
20
1
1 − P (ε ) = 0.0027 ≅
400
1 − P(ε ) = 0.3173 ≅
1 − P ( x ) = 0.0001 ≅
1
10000
P(εε)
-σ
σ
0
σ
ε
Not : 3σ’dan büyük olan düzeltmeler genellikle kaba hatalı olarak kabul edilir.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
93 / 97
17.1. Standartlaştırılmış normal dağılım (Standartized Normal Distribution)
X−µ
σ
x −µ
zi = i
σ
Z=
Standartlaştırılmış (normlandırılmış) rastgele değişken
Standartlaştırılmış (normlandırılmış) rastgele değişkenin gerçekleşeni
E{Z}=µZ=0
Standartlaştırılmış rastgele değişkenin umut değeri
E{(Z−µZ)2)=σZ2=1
Standartlaştırılmış rastgele değişkenin varyansı
Z ~ N(0,1)
z2
−
1
e 2
2π
p(z) =
Standartlaştırılmış rastgele değişkenin olasılık fonksiyonu
a) Standartlaştırılmış z değerinin olasılığı
p(z)
P( z) =
∞
1
2π
∫
−
e
y2
2
dy
Z değişkenin dağılım fonksiyonu
z
{Upper probability integrals (normal distribution) (6210) }
P(z)
0
z
b) α olasılığındaki standartlaştırılmış z değerinin hesaplanması
p(z)
zα :
1
∞
2π
zα
∫ e
−
y2
2
dy = α
{Percentage point (normal distribution)
(6410) }
α
0
zα
Gama Fonksiyonu {Gamma Function Γ(x)
(5250)}
∞
Γ ( n) = ∫ t n −1 e −t dt
(n>0) Gama Fonksiyonu
0
Γ(n) = (n−1) Γ(n−1)
Γ(n) = (n−1) . . . 2 Γ(1)
∞
−t
Γ(1)= ∫ e dt =[ − e −t ] ∞0 =1
0
Γ(n) = (n−1) !
n∈ℕ ve n>0.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
94 / 97
17.2. Test Dağılımları
17.2.1. χ2-Dağılımı ( χ2-Distribution )
Teorem : nx1 boyutlu rastgele vektör XT =[X1, X2,… Xn ], Xi ~ N(0,1)’ye göre normal dağılmış olsunlar,
n
rastgele vektörün kareler toplamı v = XTX = ∑ X i , n serbestlik dereceli χ2−dağılımına sahiptir denir, v~χ2(n)
i =1
ve yoğunluk fonksiyonu,
p (v ) =
1
2
n/2
Γ ( n / 2)
v ( n / 2) −1 e −v / 2
0 < v <∞
diğer v değerleri için p(v) = 0’dır.
p(v)
∞
P(v) = ∫ p (u ) du
v
{Upper probability integrals (χ2 distribution) (6220) }
p(v)
∞
P(v)
v
v
α
vα
v
vα : ∫ p (u ) du = α
vα
{ Percentage point (χ2 distribution)
(6420) }
17.2.2. t-Dağılımı (t-distribution, Student’s t-distribution)
Teorem : y ve u , y~N(0,1) ve u~χ2(k)’ya göre bağımsız olarak dağılsınlar, rastgele değişken x=y/(u/k)1/2
k serbestlik dereceli t-dağılımına sahiptir denir, x~t(k) ve yoğunluk fonksiyonu
p(x)=
Γ ( k 2+1 )
( kπ )1/ 2 Γ ( k2 )
(1 +
x 2 −( k +1) / 2
)
k
−∞ < x < ∞
ya da
x 2 −( k +1) / 2
)
k
p(x)=
(k )1/ 2 B( 12 , k2 )
(1 +
dir. B ( 12 , k2 ) =
Γ ( 12 )Γ ( k2 )
,
Γ ( k 2+1 )
Γ ( 12 ) = π .
p(x)
∞
P( x) = ∫ p (t ) dt
x
{Upper probability integrals (t distribution)
P(x)
x
(6230) }
0
x
p(x)
∞
xα : ∫ p(t ) dt = α
xα
{Percentage point (t distribution)
α
(6430) }
0
xα
x
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
95 / 97
17.2.3. F-Dağılımı (F-distribution, Fisher Dağılımı)
Teorem : u ve v rastgele değişkenleri, u~χ2(m) ve v~χ2(n)’ye göre bağımsız dağılmış olsunlar, bu durumda
w=(u/m)/(v/n) rastgele değişkeninin m ve n serbestlik dereceli F-dağılımına sahip olduğu söylenir. w~F(m,n)
m
n
m −1
Γ ( m2 + n2 )m 2 n 2 w 2
f ( w) =
m+n
2
0< w<∞
Γ ( m2 )Γ ( n2 )(n + mw) 2
ve diğer w değerleri için f(w)=0.
f(w)
∞
F(w) = ∫ f ( x) dx
w
{Upper probability integrals (F distribution)
(6240) }
F(w)
f(w)
w
w
∞
∫ f ( x) dx = α
wα :
wα
{ Percentage point (F distribution)
(6440) }
α
w
wα
Not : χ2-dağılımının serbestlik derecesi büyüdükçe normal dağılıma yaklaşır.
L~N(E{L},E{(L−µ)2}= N(µ,σ)
li (i=1,2,…,n) X rastgele değişkenin gerçekleşeni
εi = li − µ
εi =
Gerçek hatalar
ε ~ N ( µ ε , σ ε ) = N (0,1)
n
v = ∑ ε i2 =
i =1
v=n
s2
σ2
1
σ
2
n
∑εi
2
i =1
s2 =
[εε ] = 1
n
εi li − µ
=
Standartlaştırılmış gerçek hatalar
σ
σ
n
∑εi
n i =1
2
n
n s 2 = ∑ ε i2
i =1
Gerçek hatalardan hesaplandığında χ2 test büyüklüğü
Soncul varyans m02, dengeleme sonucu düzeltmelerden hesaplandığında
v=r
m02
σ
2
Görünen hatalardan hesaplandığında χ2 test büyüklüğü (r=n-u serbestlik derecesi)
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
96 / 97
17.2 Tablolar
Standartlaştırılmış Normal Dağılımın Dağılım Fonksiyonu
φ (z)
s=1-α : Güven bölgesi
α
: Yanılma olasılığı
s
α
0
zs
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
1.30
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
2.20
2.30
2.40
2.50
2.60
2.70
2.80
2.90
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
3.00
0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
HRT409 Dengelemede Özel Konular Ders Notları
97 / 97
χ -Dağılımının Dağılım Fonksiyonu
2
f (χ
χ2s)
f
: Serbestlik derecesi
s=1-α : Güven bölgesi
α
: Yanılma olasılığı
α
s
χ2s
s
0.995 s
0.005
0.010
0.025
0.050
0.950
0.975
0.990
1
2
3
4
5
0.000
0.010
0.072
0.207
0.412
0.000
0.020
0.115
0.297
0.554
0.001
0.051
0.216
0.484
0.831
0.004
0.103
0.352
0.711
1.145
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
5.024
7.378
9.348
11.143
12.832
6.635
9.210
11.345
13.277
15.086
7.879
10.597
12.838
14.860
16.750
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.676
0.989
1.344
1.735
2.156
0.872
1.239
1.647
2.088
2.558
1.237
1.690
2.180
2.700
3.247
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
14.449
16.013
17.535
19.023
20.483
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209
18.548
20.278
21.955
23.589
25.188
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.603
3.074
3.565
4.075
4.601
3.053
3.571
4.107
4.660
5.229
3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
21.920
23.337
24.736
26.119
27.488
24.725
26.217
27.688
29.141
30.578
26.757
28.300
29.819
31.319
32.801
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
5.142
5.697
6.265
6.844
7.434
5.812
6.408
7.015
7.633
8.260
6.908 7.962
7.564 8.672
8.231 9.390
8.907 10.117
9.591 10.851
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
28.845
30.191
31.526
32.852
34.170
32.000
33.409
34.805
36.191
37.566
34.267
35.718
37.156
38.582
39.997
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
8.034 8.897 10.283 11.591
8.643 9.542 10.982 12.338
9.260 10.196 11.689 13.091
9.886 10.856 12.401 13.848
10.520 11.524 13.120 14.611
32.671
33.924
35.172
36.415
37.652
35.479
36.781
38.076
39.364
40.646
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
41.401
42.796
44.181
45.558
46.928
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
11.160
11.808
12.461
13.121
13.787
12.198
12.878
13.565
14.256
14.953
13.844
14.573
15.308
16.047
16.791
15.379
16.151
16.928
17.708
18.493
38.885
40.113
41.337
42.557
43.773
41.923
43.195
44.461
45.722
46.979
45.642
46.963
48.278
49.588
50.892
48.290
49.645
50.994
52.335
53.672
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
20.707
27.991
35.534
43.275
51.172
22.164
29.707
37.485
45.442
53.540
24.433
32.357
40.482
48.758
57.153
26.509 55.758 59.342 63.691 66.766
34.764 67.505 71.420 76.154 79.490
43.188 79.082 83.298 88.379 91.952
51.739 90.531 95.023 100.425 104.215
60.391 101.879 106.629 112.329 116.321
40
50
60
70
80
f
90
100
59.196 61.754 65.647 69.126 113.145 118.136 124.116 128.299
67.328 70.065 74.222 77.929 124.342 129.561 135.807 140.170
f
90
100
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT

Document

Related documents

Products

Support

Document

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib