üçgende yükseklik bağıntıları

DİZİN
Açı
Üçgen
Üçgende açı kenar bağıntıları
Dik üçgen
İkizkenar üçgen
Eşkenar üçgen
Üçgende benzerlik
Üçgende açıortay bağıntıları
Üçgende kenarortay bağıntıları
Üçgende yükseklik bağıntıları
Üçgende özel bağıntılar
Üçgende alan bağıntıları
Çokgenler
Yamuk
Paralelkenar
Eşkenar dörtgen
Dikdörtgen
Kare
Deltoid
Çember ve daire
Uzay geometri
Dik izdüşüm
Katı cisimler alan ve hacimleri
Analitik düzlem ve doğrunun analitik incelenmesi
Çemberin analitik incelenmesi
Konikler
Düzemde vektörler
Uzayda vektörler
Uzayda doğru ve düzlemin denklemi
1
2
4
6
7
8
9
10
12
13
15
16
17
18
21
23
25
25
26
26
27
36
39
42
48
52
54
60
64
69
AÇI
Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimine açı denir.
[BA ve [BC ışınlarına açının kenarları veya kolları denir. Açı yazılırken açının köşesi ortada olacak şekilde yazılır. Şekildeki açı ABC
CBA veya B biçiminde yazılır. Şekildeki açının ölçüsü
m(ABC) = a Veya
s(CBA) = a ile gösterilir.
A
a
B
İç Bölge
Dış Bölge
C
Açı Çeşitleri
Dar Açı
a
0 o < a < 90 o
Dik Açı
a
a = 90 o
Geniş Açı
Doğru Açı
a
Tam Açı
a
90 o < a < 180 o
Komşu Açılar
Köşeleri ve birer kenarları ortak olan ve ortak
iç noktaları bulunmayan iki açıya komşu açılar denir.
Şekilde ABC ve CBD açıları komşu açılardır.
a
a = 180 o
a = 360 o
A
C
B
Tümler (Dikler) Açılar
Ölçüleri toplamı 900 olan iki açıya tümler açılar denir.
Bütünler Açılar
Ölçüleri toplamı 1800 olan iki açıya bütünler açılar denir.
Ters Açılar
Kenarları birbirine zıt ışınlar olan iki açıya ters açılar denir
ve ölçüleri birbirine eşittir.
a ile c ve b ile d ters açılardır.
D
b
c
a
d
Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar
d1 //d2 olmak üzere;
b
a
1-Yöndeş Açılar
d1
c
d
a ile e, b ile f, c ile g, d ile h yöndeş açılardır ve yöndeş açıların
ölçüleri birbirine eşittir.
f
e
2-İç Ters Açılar
d2
g
h
d ile f ve c ile e iç ters açılardır ve ölçüleri birbirine eşittir.
3-Dış Ters Açılar
a ile g ve b ile h dış ters açılardır ve ölçüleri eşttir.
4-Karşı Durumlu Açılar
d ile e ve c ile f karşı durumlu açılardır. d + e = 1800 ,
d1
c + f = 1800dir.
Karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.
d2
2
Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesenle Yaptığı Açılar
d1 // d2 olmak üzere;
1d1
x
z
z=x+y
y
d2
2-
x
d1
a
y
b
t
x+y+z+t=a+b+c+d
z
c
d
d2
3d1
a
a + b + c = 3600
b
c
4b
d2
d1
a
a, b, c, . . . . , k
c
n tane açı
a + b + c + . . . . + k = (n-1).1800
k
d2
Açıortay
D noktası ABC açısının iç bölgesinde bir nokta ve m(ABD) = m(DBC)
ise [BD ışınına ABC açısının açıortayı denir.
Açıortay üzerinde alınan bir nokta açının kollarına eşit uzaklıktadır.
A
N
P
D
B
M
Kolları Birbirine Paralel olan Açılar
a
a
b
a
a
a
a + b = 1800
Kolları Birbirine Dik olan Açılar
a
b
a
a
a + b = 1800
3
C
ÜÇGEN
Düzlemde doğrusal olmayan üç nokta A, B, C olmak üzere [AB] È [BC] È [AC] kümesine üçgen
denir.
1 – İç açırlın ölçüleri toplamı 1800 dir. a + b + c = 1800
A a¢
2 – Dış açılarının ölçüleri toplamı 3600 dir. a¢ + b¢ + c¢ = 3600
a
3 – Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açısının ölçüleri toplamına eşittir.
b¢
b
c
a¢ = b + c,= b¢ a + c, = c¢ a + b
C
B
¢
c
ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ
Açılarına Göre Üçgen Çeşitleri
Dar Açılı Üçgen
Dik Üçgen
Geniş Açılı Üçgen
Bütün açıları
900 den küçüktür.
Kenarlarına Göre Üçgen Çeşitleri
Çeşitkenar Üçgen
A
Bir açısı 900 den büyüktür.
İkizkenar Üçgen
A
Eşkenar Üçgen
A
b
c
B
Bir açısı 900 dir.
b
B
C
a
Kenar uzunlukları
birbirinden farklıdır.
a
b
C
a
Üç kenarı da aynı uzunluktadır.
B
C
a
a
İki kenar uzunluğu
birbirine eşittir.
ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR
Bir üçgenin kenarlarına ve açılarına üçgenin temel elemanları; yükseklik, açıortay, kenarortay ve kenar
orta dikmelerine üçgenin yardımcı elemanları denir.
Yükseklik
A
F
A
E
C
D
ha
ha
H
B
A
hb
hb
B
hc
B
C
C
hc
½AD½=ha, ½BE½=hb, ½CE½=hc
Bir üçgenin üç yüksekliği bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin yükseklik merkezi denir.
Açıortay
Üçgenin herhangi bir iç açısını iki eş parçaya ayıran ışının, köşe ile karşı kenar arasında kalan parçasına
üçgenin o köşesine ait iç açıortayı denir. İç açıortaylar bir nokta da kesişir ; bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
A
I
nA
B
D
C
4
Bir üçgen de bir köşeden çizilen iç açıortay ile
diğer iki köşeden çizilen dış açıortaylar bir noktada
kesişir. Bu nokta da dış teğet çemberinin merkezidir.
Kenarortay
Bir üçgenin kenarlarını iki eş parçaya bölen doğru
parçalarına kenarortayları denir; Kenarortaylar bir noktada kesişir, bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir.
A
Va
Kenar Orta Dikmeleri
Bir üçgenin kenarlarının orta noktalarından çizilen
dik doğrulara üçgenin kenar orta dikmeleri denir.
Bir üçgenin kenar orta dikmeleri bir noktada kesişir; Bu nokta üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.
Özelikler
1-
Vc
C
O
R
a
a
b
G
Vb
B
c
x
c
b
x = a + b +c
x
2-
z
a
a
2
a
0
y = 90 2
a
z=
2
x = 900 +
x
y
3a=
a
a
b
a+b
2
A
4 -
ha
B
a=
a
5 nA
ˆ
ˆ - m(C)
m(B)
A
ha
a
Va
B
C
C
a
2
5
ˆ= - m(C)
ˆ
m(B)
ÜÇGENDE AÇI – KENAR BAĞINTILARI
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri arasındaki sıralama ile bu açıların karşısındaki kenarların uzunlukları arasındaki sıralama aynıdır. Bu önermenin karşıtı da doğrudur.
s(Â) > s(B̂) Û a > b
Üçgen Eşitsizliği
Bir üçgende bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küA
çüktür.
½b – c½ < a < b +c
b
c
½a – c½ < b < a +c
½a – b½ < c < a +b
C
B
a
Dar, Dik ve Geniş Açılı Üçgende Bağıntılar
A
m( Â ) = 900 Û a2 = b2 + c2
b
c
m( Â ) > 900 Û a2 > b2 + c2
B
m( Â ) < 900 Û a2 < b2 + c2
C
a
Kenarortay Bağıntısı
a
2
a
m(Â) > 90 0 Û Va <
2
a
0
m(Â) < 90 Û Va >
2
A
c
Va
m(Â) = 90 0 Û Va =
b
b-c
C
B
2
< Va <
b+c
2
a
Üçgenin İç Bölgesinde Alınan Bir Nokta İçin
a + b + c = 2u olmak üzere;
A
B
b
x
c
y
A
b
c
x
z
C
y
C
B
a
a<x+y<b+c
a
u < x + y + z < 2u
Yardımcı Elemanlarla Kenarlar Arasındaki Bağıntılar
A
ha
B
ha < nA < Va
nA Va
C
Açıortay, kenarortay ve yükseklik uzunlukları, kenar uzunlukları ile ters orantılıdır.
Bir üçgende yüksekliği veya kenarortayı veya açıortayı en uzun olan kenar diğer kenarlardan
daha kısadır.
6
DİK ÜÇGEN
Pisagor Teoremi
m > n ve m, n Î N+ olmak üzere kenarları tamsayı
olan dik üçgenler yandaki
şekildeki gibidir.
A
b
c
B
2
2
b =a +c
2
C
a
2m.n
m2 + n 2
m2 - n2
k Î R + olmak üzere bazı özel dik üçgenler:
5k
3k
13k
5k
4k
8k
12k
17k
15k
Öklid Bağıntıları
A
c
B
p
29k
41k
9k
21k
40k
h2 = p.k
2) c = p.a
2
3) b2 = k.a
C
k
a
20k
24k
1)
b
h
25k
7k
4)
1
1
1
= 2 + 2
2
h
b
c
5) a.h = b.c
300-600-900 Üçgeni 450-450-900 Üçgeni
300
450
a
a 3
2
a 2
a
450
0
a
2
150-750-900 Üçgeni
60
300-300-1200
a
h
300
a 3
4h
a
a
1200
300
150
750
Üçgeni
Kenarortay Bağıntıları
A
1) Hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüs
uzunluğunun yarısına eşittir.
2) 5Va2 = Vb2 + Vc2
Va
B
7
C
İKİZKENAR ÜÇGEN
A
İki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir.
½AB½ = ½AC½ ise [BC] taban, Â açısı tepe açısı olarak adlandırılır.
a
B
Özelikleri
1 – Taban açıları birbirine eşittir.
a
C
A
2 – Tabana ait kenarortay, yükseklik ve tepe açısına ait açıortay aynı doğru parçasıdır.
½AB½ = ½AC½ Û va = ha = nA = AH
b
3 – Eşit kenarlara ait yardımcı elemanların uzunlukları birine eşittir.
b = c Þ Vb Vc=, hb hc=, nB nC=
b
B
C
a H a
2
2
4 – Bir köşeye ait, iç açıortay, kenarortay ve yükseklik elemanlarından herhangi ikisi çakışıyorsa (aynı
doğru parçası ise) verilen üçgen ikizkenardır.
5 – ½AB½ = ½AC½ = b olmak üzere;
A
A
E
E
F
B
B
C
D
b = ½DE½ +½DF½
C
D
b = ½DE½ +½EA½
A
A
E
H
H
E
F
B
D
hb = hc
B
C
=DE + DF
hb = hc
F
A
ha =
E
B
H
D
C
F
DE + DF
2
C
8
=DE - DF
D
EŞKENAR ÜÇGEN
A
Üç kenar uzunluğu birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir.
B
Özelikleri:
1 - Bütün köşelere ait açıortay, kenarortay ve yükseklik aynı doğru parçasıdır.
ha = hb = hc = nA = nB = nC = Va = Vb = Vc =
2 - Alan =
a2 3
4
A
3 -
4 –
x
y
x
z
B
a 3
2
h2 3
3
Alan =
C
a=x+y+z
y
z
h=x+y+z
A
5 -
B
K
M
L
C
ABC eşkenar üçgen
h = ½PK½ + ½PM½ - ½PL½
P
6 O
O
R
r
r=
h
3
R=
9
2h
,
3
600
a
R = 2r
600
a
600
a
C
ÜÇGENDE BENZERLİK
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı açıların ölçüleri eşit ve karşılıklı kenarların uzunlukları orantılı ise bu üçgenlere benzer üçgenler denir.
ˆ ü
ˆ =m D
m A
A
ï
() ()
ï
ˆ = m Eˆ ï
m (B
) ( )ï
ý Û ABC
m ( Cˆ ) = m (Fˆ ) ï
ï
D
B
C
E
F
DEF
ï
a b c
= = = kï
d e f
þ
k Î R+ sayısına üçgenin benzerlik oranları denir. k= 1 ise üçgenler eştir ( ABC @ DEF ) .
Benzer iki üçgenin;
· Karşılıklı yüksekliklerinin oranı
· Karşılıklı kenarortaylarının oranı
· Karşılıklı açıortaylarının oranı
· İç teğet çemberlerinin yarıçaplarının oranı
· Dış teğet çemberlerinin yarıçaplarının oranı
· Çevrel çemberlerinin yarıçaplarının oranı
· Çevrelerinin oranı
DEF ise;
benzerlik oranına eşittir. Yani ABC
Ç ( ABC )
=
=
k dır.
Ç (DEF )
Benzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranın karesine eşittir.
a b c
=
=
d e f
h
=a
hd
ABC
V
=a
Vd
n
=A
nD
DEF Þ
r
=
r¢
A(ABC)
A(DEF)
Temel Orantı Teoremi
A
B
C
Thales teoremi
1A
B
E
2-
= k2
ì AC
BD
=
ï
DF
ï CE
d1 // d2 // d3 Û í
ï AC = BD
ï AE
BF
î
d1
D
C
ra
=
rd
ì AD
AE
=
ï
DB
EC
ï
ï AB
AC
=
[DE] // [BC ] Û ïí
AE
ï AD
ï AB
AC
ï
=
ïî DB
EC
E
D
R
=
R¢
d2
F
d3
E
A
D
B
E
d1
C
D
d1
C
d2
A
B
d2
d1 // d2 Û
AD
AB
=
AE
=
DE
AC 10 BC
TEMEL BENZERLİK TEOREMLERİ
Açı – Açı – Açı (A.A.A) Benzerlik Teoremi
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı açıların ölçüleri eşit ise bu iki üçgen benzerdir.
İkişer açısı eşit olan üçgenlerin üçüncü açıları da eşit olacağından bu teoremi “ Açı – Açı Benzerlik Teoremi” olarak da tanımlayabiliriz.
Kenar – Açı – Kenar (K.A.K) Benzerlik Teoremi
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı birer açılar eş ve bu eş açıları belirten
kenarların uzunlukları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.
Kenar – Kenar – Kenar (K.K.K) Benzerlik Teoremi
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı kenarların uzunlukları orantılı ise bu iki
üçgen benzerdir.
Özelikler
1 –
A
y
D
F
z
x
B
A
B
D
F
H
S
3S
5S
7S
1 1 1
= +
dir.
x y z
C
E
2 -
[AB] // [EF ] // [CD] Û
½AB½ = ½BD½ = ½DF½ = ½FH½= . . . .
½AC½ = ½CE½ = ½EG½ = ½GK½= . . . .
C
A(ABC) = S ise
E
A(BDEC) = 3S
A(DFGE) = 5S
A(FHKG) = 7S
....
....
G
K
11
ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI
A
c
b n x
= =
c m y
b
2
AN = b.c - m.n
2
B
n
m
D
C
x
y
İç Teğet Çember
AD = x.y - b.c
A
½AF½ = ½AE½ = u – a
½BF½ = ½BD½ = u – b
F
E
r
r
½CD½ = ½CE½ = u – c
( u=
a+b+c
)
2
r
B
C
D
Dış Teğet Çemberler
1.
2.
rb
A
3.
1 1 1 1
= + +
r ra rb rc
1 1
1
1
=
+ +
r ha hb hc
ra + rb + rc = r + 4R
rc
C
B
ra
K
A
½BK½ = ½BM½ = u
½AL½ = ½AK½ = u – c
½CM½ = ½CL½ = u – a
L
B
C
M
12
(R:çevrel çemberin yarıçapı)
ÜÇGENDE KENARORTAY
BAĞINTILARI
Bir üçgende üç kenarortay bir noktada kesişir. Bu
noktaya üçgenin ağırlık merkezi (denge noktası) denir.
Ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı, kenara olan
uzaklığının 2 katıdır.
3x
K
x
E
C
D
( u=
b + c – a < 2Va < b + c
b-c
b+c
< Va <
2
2
½Vb – Va½ < Vc < Vb + Va
G
G m
2m k
u < Va + Vb + Vc < 2u
2x
B
n
2½AK½ = 6½KG½ = ½GD½
A
F
2k
2n
a+b+c
)
2
Kenarortay Teoremi
a2
2
2
b
2Vb2 = a2 + c2 2
c2
2Vc2 = b2 + a2 2
3
Va2 + Vb2 + Vc2 = ( a2 + b2 + c2 )
4
A
2Va2 = b2 + c2 Va
B
C
Ağırlık Merkezi Olma Şartı
Aşağıdaki şartlar sağlandığında G ağırlık merkezi olur.
2x
2x
G
2y
x
y
G
x
G
2x
x
Kenarortayların Ayırdığı Bölgelerin Alanlarının Oranları
S S
S
S
S
S GS
S
S
S
S
S
S
G
S
Özelikler
1 – ABC ve DEF üçgenlerinin ağırlık merkezleri aynıdır.
A
F
B
G
D
E
C
13
S
S
3S 3S
S S
S
S
3S S S 3S
3S
3S
A
2 -
m(BGC) = 900 ise
Va2 = Vb2 + Vc2
5a2 = b2 + c2
G
B
C
A
3 -
x2 =
Va
B
2a
C
H x D
4 –
b2 - c2
A
Bı
½AAı½ = ½BBı½ + ½CCı½
G
Aı
Cı
B
C
A
5 G
B
Bı
½AAı½+ ½BBı½ + ½CCı½ = 3½GGı½
C
Aı
Gı
Cı
6 –
a) Bir üçgenin kenarortayları yeni bir üçgen meydana getirir ve bu üçgenin kenarortayları karşılıklı kenar3
üne eşittir.
ların
4
M noktası ADN üçgeninin ağırlık merkezidir ve
3
LN = BC dir.
4
b) Bir üçgenin kenarortaylarından meydana gelen
3
üçgenin alanı verilen üçgenin alanının üne eşittir.
4
14
A
Vc
K
B
Va L
G
D
M
N
Vb
C
ÜÇGENDE YÜKSEKLİK BAĞINTILARI
Bir üçgenin yükseklikleri bir nokta da kesişir bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.
A
1 -
E
F
½AH½.½HD½=½BH½.½HE½=½CH½.½HF½
H
B
C
D
A
2 -
A
3 –
E
H
B
b
c
D
O
B
C
b.c = 2.R.ha
a.b = 2.R.hc
a.c = 2.R.hb
C
½AD½.½DH½=½BD½.½DC½
A
4 -
H
B
D
Çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R
olmak üzere;
½AH½= 2½OOı½
O
Oı
2
2
dir.
AH + BC = 4R2
C
A
Ortik Üçgen (Pedal Üçgeni)
Bir üçgenin yükseklik ayaklarını köşe kabul eden
üçgene ortik üçgen denir.
Yükseklikler ortik üçgenin açıortayları olur.
E
F
B
D
C
Euler Doğrusu:Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi (O), ağırlık merkezi (G) ve diklik merkezi aynı
doğru üzerindedir.
H
çGH ç= 2çGO ç
G
O
15
ÜÇGENDE ÖZEL BAĞINTILAR
Menalaus Teoremi
Bir d doğrusu bir ABC üçgeninin BC, CA ve AB kenarlarını sırası ile D, F ve E noktalarında kesiyorsa
DB CF AE
×
×
= 1 dir.
DC FA EB
A
F
E
Bu teoremin karşıtı da doğrudur.
Bir ABC üçgeninin BC, CA ve AB kenarları üzerinde
DB CF AE
×
×
= 1 olacak şekilde D, F, E noktaları alınırDC FA EB
D
C
B
sa, bu üç nokta aynı doğru üzerinde olur.
Seva Teoremi
d1, d2, d3 bir üçgenin köşelerinden geçmek üzere
A) Doğrular birbirine paralel ise
B) Doğrular bir noktada kesişiyor ise
d1
d3
d1
A
D3
d2
D3
C
B
D1
D2
B
d2
BD1
CD1
×
CD2
AD2
×
AD3
BD3
A
D2
D1
C
d3
=1
Bu teoremin karşıtı da doğrudur. Yani bir ABC üçgeninin BC, CA ve AB kenarları üzerinde
BD1 CD2 AD3
×
×
= 1 olmak üzere D1, D2, D3 noktaları alınırsa AD1, BD2, CD3 aynı bir noktadan geçer
CD1 AD2 BD3
veya birbirlerine paralel olurlar.
Stewart Bağıntısı
c
B
m
D
a
n
d
E
F
D
a2 + c2 + e2 = b2 + d2 + f2
c
P
a
x2 = b2 - mn
C
A
e
f
c2n + b2m - amn
a
b = c ise (ikizkenar üçgen ise)
x2 =
b
x
Carnot Teoremi
B
A
b
C
16
ÜÇGENDE ALAN BAĞINTILARI
a+b+c
, r iç teğet çemberin yarıçapı R çevrel çemberin yarıçapı,
2
ra , rb , rc dış teğet çemberlerin yarıçapları olmak üzere;
Bir
üçgeninde
ABC
u=
a.ha b.hb c.hc
=
=
2
2
2
1
1
1
ˆ
A(ABC) = .a.b.sin Cˆ = .a.c. sinBˆ = .b.c.sin A
2
2
2
A(ABC) = u.r
a.b.c
A(ABC) =
4R
A(ABC) =
A(ABC) = u.(u - a)(u - b)(u - c)
( u - b ) .r=b ( u - c ) .rc
A(ABC) = ( u - a ) .r
=a
A(ABC) = r.ra .rb .rc
Dik Üçgende Alan
A
c
B
b.c
2
A(ABC) = m.n
A(ABC) =
b
m
C
n
H
Eşkenar Üçgende Alan
Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu a ve yüksekliği h ise;
a2 3
h2 3
veya Alan =
dür.
4
3
İki Üçgenin Alanları Oranı
Yükseklik uzunlukları eşit olan iki üçgenin alanları oranı bu yüksekliklere ait taban uzunlukları
oranına eşittir.
Taban uzunlukları aynı olan iki üçgenin alanları oranı yükseklik uzunlukları oranına eşittir.
Birer kenar uzunlukları ve bu kenarlara ait yükseklik uzunlukları eşit olan iki üçgenin alanları
A
A
eşittir.
Alan =
S2
S1
B
h1 D
m
C
n
D
h2
B
S1 m
=
S2 n
A(ABC)
A
c
m
A(BDC)
n
E
D
D
C
A(ADE)= m.n
A(ABC) b.c
=
A
C
A1
Taralı Bölg enin Alanı =
F
A2
G
( a + c ) .h
2
A
x
p
D
E
F
m
A3
B
c
a
h1
h2
L
b
B
h
B
K
C
z
y
E
n
[DE] // [BC], [KL] // [AC],
A ( ABC ) =
(
A1 + A2 + A3
17
x.y.z + m.n.p
a.b.c
A(ABC)
A(DEF)
[FG] // [AB] ise
)
2
=
C
ÇOKGENLER
Düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan A1, A2, … An gibi n tane
(n ³ 3)
noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının birleşimine çokgen denir.
Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir.
Konveks ve Konkav Çokgenler
Bir çokgen içerisinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamı çokgen
içinde kalıyorsa bu tür çokgenlere konveks (dışbükey ) çokgen, doğru parçasının tamamı çokgen içinde
kalmıyorsa bu çokgenlere konkav (içbükey) çokgenler denir.
Konveks çokgenin her bir açısı 1800 den küçük ; konkav çokgenin ise en az bir iç açısı 1800 den
büyüktür.
A
B
B
A
konkav
konveks
Konveks Çokgenin Özelikleri
n kenarlı bir konveks çokgenin:
1 – İç açılarının toplamı (n – 2).1800 dir.
2 – Dış açılarının toplamı 3600 dir.
3 – Bir köşesinden çizilen köşegenlerle çokgen, n – 2 tane üçgene ayrılır.
4 – Bir köşesinden çizilen tüm köşegenlerinin sayısı n – 3 tür.
n(n - 3)
5 – Köşegen sayısı =
dir.
2
6 – Kenar sayısı n olan bir konveks çokgenin çizilebilmesi için 2n – 3 tane elemanı bilinmelidir.
Bu elemanların en az n – 2 tanesi uzunluk, en çok n – 1 tanesi açı olmalıdır.
Yıldızıl
n ³ 5 olmak üzere n köşeli konveks bir çokgenin kenarlarının uzatılmasıyla oluşan şekle yıldızıl
denir. n köşeli bir yıldızılın iç açılarının ölçüleri toplamı (n – 4).1800 dir.
Düzgün Çokgenler
Bütün kenarları ve bütün iç açıları eş olan konveks çokgene düzgün çokgen denir.
Özelikleri:
360 0
dir.
1 – Bir dış açısının ölçüsü
n
(n - 2)180 0
2 – Bir iç açısının ölçüsü
dir.
n
3 – Bir düzgün çokgenin köşeleri bir çemberin üzerindedir. İç teğet ve çevrel çemberlerinin merkezi
çevre . r
aynıdır.
360 0
a=
r
R a
R
18
n
,
Alan =
2
n .a .r
=
2
n . R 2 . sin a
=
2
GENEL DÖRTGENLER
Açı Bağıntıları
C
D
a
A
B
A
B
m + mB̂
2
mB̂ - mD̂
a=
a
D
a
A
a=
C
C
D
D
a=
2
C
A
B
a
B
mĈ + mD̂
- 90 0
2
a=
mB̂ - mD̂
2
Uzunluk Bağıntıları
A
A
d
a
B
a
D
b
c
d
C
c
b
B
a 2 + c2 = b 2 + d 2
D
C
Alan Bağıntıları
| AC | = e , | BD | = f olmak üzere ;
A
B
A
A
a
B
D
A
D
C
B
D
B
C
C
A( ABCD) =
C
a
e.f
2
A( ABCD) =
e.f . sin a
2
Köşegen Bağıntıları
1 – Bir konveks dörtgende köşegenlerin toplamı yarı çevreden büyük, tam çevreden küçüktür.
2 – Bir konveks dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenarın köşeleridir.
R
C
D
Q
S
A
P
B
19
D
a ) | AC | = | BD | ise PQRS dörtgeni eşkenar dörtgendir.(Dikdörtgen ve ikizkenar yamukun kenarlarının orta noktaları eşkenar dörtgenin köşeleridir.)
b ) [AC] ^ [BD] ise PQRS dikdörtgendir.(Eşkenar dörtgen ve deltoidin kenarlarının orta noktaları dikdörtgenin köşeleridir.)
c ) ½AC½=½BD½ ve [AC] ^ [BD] ise PQRS dörtgeni bir karedir.(Karenin kenarlarının orta noktaları bir karenin köşeleridir.)
d ) PQRS dörtgeninin çevresi ABCD dörtgeninin köşegenlerinin uzunlukları toplamına eşittir.
3 – Bir konveks dörtgende köşegenlerin orta noktaları (H ,F) ile karşılıklı iki kenarının orta noktaları
(E,G) bir paralelkenarın köşeleridir.
C
G
D
½EF½+½FG½+½GH½+½HE½=½AD½+½BC½
H
F
A
½AD½=½BC½ise EFGH dörtgeni eşkenar
dörtgendir.
B
E
4 – Konveks bir dörtgenin köşegen uzunlukları e,f ve köşegenlerin orta noktaları P,Q olmak üzere
C
z
D
y
P
t
Q
A
2
B
x
5 -
x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = e 2 + f 2 + 4. PQ
S1
S4
S2
S3
S1 S 4
=
S2 S3
6 – ABCD dörtgeninin kenarlarının orta noktaları
P,Q,R,S ise;
R
C
D
Alan (ABCD)
Alan( PQRS) =
dir.
2
Q
S
A
20
P
B
YAMUK
İki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir.
Paralel olan kenarlara yamuğun tabanları, diğer kenarlara
yamuğun yan kenarları denir. Yan kenarların orta noktaları E ve F
ise [EF] ye orta taban denir. Orta taban yamuğun tabanlarına paraleldir.
Özelikler:
C
D
[AB] // [CD] olmak üzere;
1)
m + mD̂ = 180 0
mB̂ + mĈ = 180 0
A
a+c
2
MN =
c
D
c
2
EM = NF =
E
2
D
1 1 1
= +
x a c
K
m(AKD) = 900 ve
x
D
F
B
C
x
L
O
B
D
C
K
dir.
m(BLC) = 900 dir.
B
D
H
C
C
K
h
A
B
a
A( ABCD) =
B
A
(a + c).h
2
½CK½ = ½KB½ ve [KH] ^ [AD] ise
A( AKD) =
S4
D
E
S3
S1
L
A
Yamuğun Alanı
c
B
a
dir.
a + c - ( b + d)
2
A
N
A
4 ) ABCD yamuğunda [AK], [BL], [CL], [DK]
açı ortaylar ½AB½= a ,½BC½= b, ½CD½= c,
½DA½= d ise [KL] orta taban üzerindedir ve
KL =
F
E
C
M
A
a -c
3 ) [KL] tabanlara paralel ise
½KO½= ½OL½= x ve
C
B
2 ) [EF] orta taban , ½AB½= a , ½CD½ = c ise
EF =
D
S2
A (ABCD)
, A( ABCD) = AD . KH
2
c
S1
S2
A
C
x
F
B
a
S1 = S3
[EF] // [AB], ½EF½= x ve S1 = S2 ise;
S1 = S 2 .S 4
A( ABCD) =
(S
2
+ S4
)
2
x=
21
a 2 + c2
2
Özelikler
1 – ABCD yamuğunun kenar uzunlukları a, b, c, d
ve köşegen uzunlukları e ve f ise
c
D
d
b
e
e + f = b + d + 2ac
2
2
2
2
f
A
F
D
a.h
QE =
a+c
c.h
QF =
a+c
B
a
2 – ½AB½= a, ½CD½= c ve ½EF½= h ise
C
Q
B
A
E
İkizkenar Yamuk
Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan
Yamuğa ikizkenar yamuk denir.
Özelikleri
1 – ½AD½= ½BC½
2 – Taban açıları eşittir.
3 – Karşılıklı açılarının toplamı 1800 olduğu için her
ikizkenar yamuk bir kirişler dörtgenidir
4 – Köşegenler eşit uzunluktadır.
D
b
a
a
B
a
c
D
C
b
A
a
e 2 - b 2 = a.c
H
a
AH = KB =
7 – İkizkenar yamuğun köşegenleri dik kesişiyor
ve yüksekliği h ise
D
C
h=
dir.
B
A
Dik Yamuk
Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.
c
D
C
h
A
C
b
b
A
6 –
e
a+c
ve
2
A( ABCD) = h 2
c
b
c
5 –
b
C
B
a
Bir dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa
D
h 2 = a.c dir.
c
C
h
A
a
22
B
K
a-c
2
B
PARALELKENAR
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir.
Paralelkenarda;
1 – Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
2 – Karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir.
3 – Ardışık açıların toplamı 1800 dir. (a + b = 1800)
4 – Köşegenler birbirini ortalar.
D
5 – ½AC½= e ½BD½= f ise;
(
e2 + f 2 = 2 a 2 + b 2
)
A
6 – Komşu iki iç açıortayın oluşturduğu açı 900 dir.
a
D
b
A
b
a
a
b
a
C
b
B
C
B
a
b
Paralelkenarın Alanı
hb
ha
D
b
b
b
a
A
a
a
A( ABCD) = a.b. sin a
A( ABCD) = a.h a = b.h b
C
B
1
A( ABCD) = AC . BD sin b
2
Özelikleri
1 – P ve Q üzerinde bulundukları kenarların orta noktaları olmak üzere ½AK½=½KL½=½LC½ dir.
D
A
L
K
Q
P
B
Q
D
C
K
A
C
L
B
P
2 – P paralelkenarı bir kenarı üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere;
D
A (ABCD)
S1 + S 2 =
2
S1
A
P
C
S2
S1 + S 2
B
3 – P paralelkenarın iç bölgesinde herhangi bir nokta olmak üzere;
A( ABCD)
S1 + S 2 = S 3 + S 4 =
2
D
S1
A
4 – Köşegenler paralelkenarı 4 eş alanlı bölgeye ayırır.
S=
S4
PS
D
A
23
S2
B
3
S
A(ABCD)
4
C
S
S
C
S
B
5 – P, Q, R, T üzerlerinde bulundukları kenarların orta noktaları olmak üzere
R
D
R
C
D
C
S
S
S
3S
S
S
S
A( ABCD)
A( ABCD)
3S
T S S
T
S=
Q S=
4S
Q
S
S
S
12
20
S
3S
S
S
S
3S
A
S
B
A
B
P
P
D
A
4S
4S
2S
2S
4S
5S
3S
P
C
Q
Q
D
S=
3S
A( ABCD)
24
B
2S
S
A
C
S
3S
6 – P, [AC] köşegeni üzerinde bir nokta ve [EF] // [AB], [KL] // [BC] ise;
K
D
E
A(EPKD) = A(LBFB)
P
S3
S1 = 2 S 2 .S 3
D
S1
D
C
F
S4
S2
A
8–
F
K
S3
E
S1 .S 2 = S 3 .S 4
C
B
L
7 – [EF] // [AB], [KL] // [BC] ise;
S2 S
2
S1
S3
A
A( ABCD)
10
B
P
S1
S=
2S
B
L
C
O
A
AA ¢ + CC ¢ = BB¢ + DD ¢ = 2 OO¢
B
Dı
Aı
Oı
ı
B
Cı
K
9 – [BD] köşegen, A, E, F, K doğrusal ise;
F
D
AE
2
= EF . EK
C
E
A
24
B
EŞKENAR DÖRTGEN
Dört kenarı birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
Özelikleri:
1 – Paralelkenarın tüm özelikleri eşkenar dörtgen için de geçerlidir.
2 – Köşegenler açıortaydır.
3 – Köşegenler birbirine diktir ve birbirini ortalar.
4 – Köşegen uzunlukları e ve f ve bir kenar uzunluğu a ise
e2 + f2 = 4a2 dir.
Eşkenar Dörtgenin Alanı
Bir kenar uzunluğu a, köşegen uzunlukları e ve f olmak üzere
a
D
C
A(ABCD) = a.h
h
A(ABCD) = a2.sinA
a
h
a
e.f
A(ABCD) =
2
A
B
a
a
a
a
a
DİKDÖRTGEN
a
D
Bir açısının ölçüsü 900 olan paralelkenara dikdörtgen denir.
Dikdörtgen özel bir paralelkenar olduğu için paralelkenara
ait tüm özelikleri sağlar.
Dikdörtgenin köşegenleri eşit uzunluktadır ve birbirini ortalar.
C
b
b
A
B
a
p
Özelik:
P noktası dikdörtgenin iç veya dış
bölgesinde herhangi bir nokta olmak üzere
½PA½= x, ½PC½= y, ½PD½= z, ½PB½= t ise
2
2
2
x +y =z +t
2
y
z
D
z
x
dir.
A
25
y
p
t
C
D
C
x
B
A
t
B
KARE
a
D
Kenarları eş olan dikdörtgene kare denir. Kare
dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin tüm özeliklerini taşır.
Köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
Köşegenler birbirini dik ortalar ve açıortaydırlar.
Karenin bir kenar uzunluğu a ise köşegen uzunluğu
a 2 dir.
A(ABCD) = a2
450
450
C
450
450
a
a
450
450
A
450
a
450
B
DELTOİD
İki komşu kenarı birbirine, diğer iki komşu kenarı birbirine eş olan konveks dörtgene deltoid
denir.
Özelikleri:
1 – ½DA½=½DC½, ½BA½=½BC½
2 – [AC] ^[BD]
3 – ½AK½=½KC½
D
A
4 – m(DAB) = m(DCB)
5 – [BD] köşegeni B ve D açılarının açıortaylarıdır.
6 – [BD] köşegeni deltoidin simetri eksenidir.
7 – ½AC½= e, ½BD½= f ise
A(ABCD) =
e.f
2
K
veya
A(ABCD) = ½AB½.½AD½. sin(DAB)
B
26
C
ÇEMBER
Çember: Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan
noktaların kümesine çember denir.
O sabit noktasına çemberin merkezi, ½OA½ =r uzunluğuna da çemberin merkezi denir.
r A
O
A
Teğet: Çemberle bir ve yalnız bir noktada kesişen doğruya
çemberin teğeti denir.
Ortak olan A noktasına teğetin değme noktası denir.
A
Kesen: Çemberi farklı iki noktada kesen doğruya çemberin
keseni denir.
Kiriş:Bir çemberin farklı iki noktasını birleştiren doğru parçasına çemberin kirişi, merkezden geçen kirişe de çemberin
çapı denir. Çemberin en büyük kirişi çaptır.
B
B
r
normal
O
teget
ÇEMBERDE AÇILAR VE YAYLAR
Yay: Çemberin herhangi iki noktası arasında kalan parçasına yay denir.
AB yayı denildiğinde bu yaylardan küçük olan anlaşılır. Büyük olan yayı ifade etmek için büyük yay üzerinde X gibi bir başka nokta alınır ve AXB yayı biçiminde ifade edilir. Bir çember yayının tamamı 3600
dir. AB yayının ölçüsü m(AB) , uzunluğu da ½AB½ şeklinde gösterilir.
X
A
B
Merkez Açı: Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir.
Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
O
a
m(AOB)=m(ACB)= a
A
m(BDC)
2
B
C
A
Çevre Açı: Köşesi çember üzerinde ve kenarları kiriş olan
açıya çevre açı denir.
Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarına eşittir.
m(BAC)= a Þ m(BDC)= 2a veya m(BAC) =
d
D
C
A r
Normal:Çemberde teğete değme noktasında dik olan doğruya
çemberin bu noktadaki normali denir.Normal çemberin merkezinden geçer.
t
a
B
dir.
C
D
Çevre ve Merkez Açının Özelikleri
1- Bir çemberde aynı yayı gören çevre açının ölçüsü, merkez açının ölçüsünün
yarısına eşittir.
a
O
2a
2 – Bir çemberde, aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir.
a
27
a
3 – Bir çemberde, çapı gören çevre açının ölçüsü 900dir.
O
4 – İki veya daha fazla dik üçgenin hipotenüsleri aynı ise bu üçgenlerin köşelerinden bir çember geçer.
O
Teğet-Kiriş Açı
Köşesi çember üzerinde buluna, kenarlarından biri çemberin
teğeti, diğeri de kirişi olan açıya teğet-kiriş açı denir.
Teğet-kiriş açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
m(BDC)
dır.
m(ABC)= a Þ m(BDC)= 2a veya m(ABC) =
B
A
D
C
2
Özelikleri :
1 – Bir çemberde, aynı yayı gören teğet-kiriş açı ile çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir.
B
A
a
a
D
C
B
2 – Bir çemberde, aynı yayı gören teğet-kiriş açının ölçüsü merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir.
a
O
2a
D
A
C
2 – Bir çemberde, aynı yayı gören teğet-kiriş açıların ölçüleri birbirine
eşittir.
a
a
İç Açı
Bir çemberde kesişen iki kirişin oluşturduğu açılardan her birine çemberin iç açısı denir.
Bir çemberde bir iç açının ölçüsü gördüğü yaylar toplamının yarısına eşittir.
A
D
E
a
a
B
C
28
=
m(AB) + m(CD)
2
Dış Açı
Köşesi çemberin dış bölgesinde, kenarları çembere teğet veya çemberin keseni olan açıya çemberin dış açısı denir.
Bir dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısına eşittir.
D
A
a
P
B
C
m(DC) - m(AB)
=
a
a
P
B
2
A
A
a
=
C
C
a
P
B
m(AC) - m(AB)
2
m(ACB) - m(AB)
=
a
2
m(APB) + m(AB)= 1800
Kirişler Dörtgeni
Köşeleri bir çember üzerinde olan dörtgene kirişler dörtgeni denir.
Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının ölçüleri toplamı 1800 dir.
Karşılıklı açılarının ölçüleri toplamı 1800 olan her dörtgen bir kirişler dörtgenidir.
D
d
A
c
f
C
b
a
b
a
q
a + b = 1800 ve q + f = 1800 dir.
a +b + c+ dö
÷
2
ø
æ
= çu
è
Alan(ABCD) = (u - a)(u - b)(u - c)(u - d)
Ptolemy Teoremi:
½AC½= e, ½BD½= f olmak üzere e.f = a.c + b.d dir.
B
Teğet, Kiriş ve Yay özelikleri
1 – Çemberin merkezi ile teğetin değme noktasını birleştiren doğru
parçası teğete diktir.
2 – Bir çembere, dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının
uzunlukları birbirine eşittir (½PA½ = ½PB½). Ayrıca a + q = 900 ve
m(APB) + m(AOB)= 1800 dir.
O
teğet
A
r
q O
q
a
a
P
r
B
3 – Çemberin merkezinden kirişe çizilen dikme kirişi ortalar.
[OH] ^ [AB] Þ ½AH½=½HB½ ve m(AT) = m(TB) dir.
O
A
A
4 – Çemberin merkezinden eşit uzaklıktaki kirişlerin uzunlukları eşittir. Eşit uzunluktaki kirişlerde merkeze eşit uzaklıktadır.
½OK½ = ½OL½ Û ½AB½ = ½CD½
K
B
O
C
29
B
H
T
L
D
A
5– Merkeze yakın olan kiriş, merkeze uzak olan kirişten daha uzundur.
İki kirişten uzun olanı merkeze daha yakındır.
½OH½<½OK½ Û ½CD½>½AB½
K
B
O
H
C
D
A
6 – Çemberde eşit uzunluktaki kirişlerin ayırdığı yayların ölçüleri eşittir.
½AB½ = ½CD½ Û m(AKB) = m(CLD) dir.
K
B
C
D
L
7 – Çemberde paralel kirişlerin ortasında kalan yayların ölçüleri eşittir.
B
A
[AB] // [CD] Û m(AC) = m(BD)
D
C
8 – ½AB½ = ½CD½ ve [AB] // [CD] ise ABCD bir dikdörtgen olur.
A
B
C
D
C
9 – Çemberin içinde alınan bir noktadan geçen en kısa kiriş bu noktadan
geçen çapa dik olan kiriştir.
[AB] ^ [CD] ise [AB] kirişi P den geçen en kısa kiriştir.
O
B
P
D
A
İKİ ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
1 – Kesişmeyen Çemberler
a) Biri diğerinin dışında olan çemberler
b) Biri diğerinin içinde olan çemberler
r1
O1
r1
r2
O1
O2
½O1O2½ > r1 + r2
2 – Teğet Çemberler
a) dıştan teğet çemberler
O1
r1
r2
O2
O2r2
½O1O2½ < r1 - r2
b) İçten teğet çemberler
r1
O1
½O1O2½ = r1 + r2
30
O2 r2
½O1O2½ = r1 - r2
Birbirine içten veya dıştan teğet iki çemberden, birine kesişme noktasında teğet olan doğru
diğer çembere de aynı noktada teğettir.
Bu çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru, değme noktasından geçer.
O2
O1
O1
O2
3 - Kesişen Çemberler
r1
O1
r2
½O1O2½ < r1 + r2
O2
Dik Kesişen Çemberler:
Kesişen iki çemberin yarıçapları kesişim noktalarında
birbirine dik ise bu çemberlere dik kesişen çemberler denir.
r1
O2
O1
d2 = r12 + r22
r2
d
İKİ ÇEMBERİN ORTAK TEĞETLERİ
Aynı düzlemde bulunan ve iki çembere de teğet olan doğruya çemberlerin ortak teğetleri denir.
Ortak Dış Teğetler
İki çemberin merkezini birleştiren doğru parçasını kesmeyen ortak teğetlere ortak dış teğetler
denir.
İki çemberin ortak dış teğetinin, değme noktaları arasında kalan parçasına ortak teğet parçası
denir. Ortak teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
İki çemberin ortak dış teğetlerinin kesim noktası ile çemberlerin merkezi aynı doğru üzerindedir.
B
A
O1
r1
B
O2
A
O1
r2
C
2
O1O2 - r1 - r2
r2
C
D
AB = CD
=
r1
D
2
AB = CD = 2 r1.r2
B
A
O1
O2
O1
O2
C
D
½AB½ = ½CD½
31
O2
Ortak İç Teğetler
İki çemberin merkezini birleştiren doğru parçasını kesen ortak teğetlere ortak iç teğetler denir.
İki çemberin ortak iç teğetlerinin kesim noktası ile çemberlerin merkezleri aynı doğru üzerindedir.
İki çemberin ortak iç teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
D
O1
A
O2
r1
C
B
2
AB = CD
=
r2
O1O2 - r1 + r2
2
Çemberde Kuvvet
P noktası çemberin dışında olmak üzere P noktasının çembere göre kuvveti p ile ifade edilir.
T
p = PT
2
r
= d2 - r2
P
O
d
1- P noktası çemberin dışında ise
T
P
P
A
PT
2
B
A
C
B
D
PA . PB = PC . PD
= PA . PB
2- P noktası çemberin içinde ise
A
D
P
PA . PB = PC . PD
C
B
İki Çemberin Kuvvet Ekseni
İki çembere göre aynı kuvvette olan noktaların oluşturduğu doğruya bu çemberlerin kuvvet ekseni denir.
İki çemberin kuvvet ekseni, bu çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya diktir.
P
A
d1
C
D O1
r1
B
d2
r2
½PA½ = ½PB½
2
PA = PC=. PD
O2
32
d12 - r12 = d22 - r22
1 – Kesişen iki çemberin kuvvet ekseni, ortak kirişi taşıyan doğrudur.
P
B
A
½PA½ = ½PB½
O1
O2
2 – İçten veya dıştan teğet çemberlerin kuvvet ekseni çemberin ortak teğetleridir.
P
P
B
A
A
B
C
O2
O1
C
½PA½ = ½PB½ = ½PC½
3 – Kesişmeyen iki çemberin kuvvet ekseni, ortak iç veya dış teğet parçalarının orta noktalarından geçer.
D
E
C
C
B
L
O1
A
F
O2
G
B
O1
O2
K
A
D
½DE½=½EC½=½AG½=½GB½
½AK½=½KB½=½CL½=½LD½
Özelik:Kuvvet ekseni, yarıçapı küçük olan çemberin merkezine daha yakındır.
Kuvvet Merkezi
Merkezleri doğrusal olmayan üç çembere göre aynı kuvvette olan noktaya bu çemberlerin kuvvet
merkezi denir. Şekildeki çemberlerin kuvvet merkezleri K dır.
O1
O1
O3
O2
K
K
O3
O2
K
K
Teğetler Dörtgeni
Bütün kenarları aynı çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir. Teğetler dörtgeninin
iç açıortayları bir noktada kesişir; bu nokta çemberin merkezidir.
D
t
t
N
r
M z C
z
L
y
O
x
A
x
K
½AB½+½CD½=½AD½+½BC½ = u (u: yarı çevre)
Alan (ABCD) = u.r
y
B
33
Özelik
m
n
r
O
r = m.n
r
Çemberin Uzunluğu
Çemberin uzunluğu (Ç) :
Ç = 2.p.r
r
O
Çember Yayının Uzunluğu
a
AB = 2.p.r.
360 0
B
r
O a
r
Merkez açının ölçüsü a radyan ise
AB = r.a
A
DAİRE
Bir çemberin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine daire denir.
Dairenin alanı:
A = p.r2 dir.
r
O
Daire Diliminin (Kesmesinin) Alanı
O
B
r
m(APB) = a derece ise
a
veya
r
AD = p.r2 .
AD =
a
360 0
AB .r
2
A
Daire Parçasının Alanı
B
r
O a
r
AP = AD - A(AOB)
AP = p.r2 .
A
a
1
- r2 . sin a
3600 2
Daire Halkasının Alanı
AH = p.R2 - pr=2
R
A
AH = p. =AC
O
r
2
AH
p.(R2 - r2 )
AH
æ AB ö
p. ç
÷
è 2 ø
2
veya
B
C
veya
Aynı merkezli O
daire dilimleri
S
3S
5S
7S
34
Dairelerde Benzerlik
O1
Ç: Çevre, A: Alan
2
r2
r1
Ç1 r1 A1 æ r1 ö
= ,
=ç ÷
Ç2 r2 A2 è r2 ø
O2
Özelikler
1 -
S4
O1
r1
T r2
S1
A
B
S2
S1 S4
=
S2 S3
O2
S1 æ r1 ö
=ç ÷
S2 è r2 ø
S3
2
æ AT
çç=TB
è
2
ö
÷÷
ø
2
æ AT ö
ç=
÷
è½TB½ø
2- BLC daire parçasının alanı S1 , AKC daire parçasının alanı S2 olmak üzere
r2
2
S1 æ r1 ö
=ç ÷
S2 è r2 ø
O2
A
O1
B
r1
C
L
K
3- [AB], [AC], [BC] çaplı yarım çemberlerin alanları sırası ile S1 , S2 , S3 ise
A
S3 = S1 + S2 dir.
S2
S1
B
C
S3
4 - ABC üçgeninin kenarlarını çap olarak kabul eden üç yarım daire için
A
A
S2
S1
S1
B
C
B
C
S2
S2 - S1 = A(ABC)
S1 + S2 = A(ABC)
35
UZAY GEOMETRİ
UZAY KAVRAMLARI VE KONUM AKSİYOMLARI
Aksiyom: Farklı iki noktadan geçen bir tek doğru vardır.
Aksiyom: Herhangi bir doğru üzerinde en az iki nokta ve dışında en az bir nokta vardır.
Aksiyom: Aynı doğru üzerinde olmayan farklı üç noktayı üzerinde bulunduran bir tek düzlem vardır.
Aksiyom: Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlemde ise bu doğru üzerindeki bütün noktalarda bu düzlem üzerindedir.
Aksiyom: Farklı iki düzlemin ortak bir noktası varsa bir de ortak doğruları vardır.
Aksiyom: Hepsi aynı düzlemde bulunmayan en az dört nokta vardır.
Yukarıdaki aksiyomlara uzayın konum aksiyomları denir.
Teorem:Uzayda farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır.
Teorem:Uzayda bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir nokta bir tek düzlem belirtir.
Teorem:Uzayda kesişen farklı iki doğru bir tek düzlem belirtir.
Teorem:Bir doğru üzerinde bulunmadığı bir düzlemi keserse arakesit bir tek nokta olur.
Teorem:Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa bu nokta ortak doğru üzerindedir.
Teorem:Farklı iki düzlemin en çok bir ortak doğrusu vardır.
Teorem:Farklı iki düzlem kesişirse, bu düzlemlerin arakesiti bir doğrudur.
PARALELİK AKSİYOMU VE BAZI SONUÇLARI
Teorem:Uzayda paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir.
Aksiyom: Uzayda bir doğru ve dışında bir nokta verildiğinde verilen noktadan geçen, verilen doğruya
paralel bir tek doğru vardır.
Teorem: Paralel iki doğrudan birini bir tek noktada kesen bir düzlem diğer doğruyu da keser.
Teorem:Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru da birbirine paraleldir.
Teorem: Bir düzlemin içindeki doğruya paralel olan ve düzlemin dışında bulunan doğru bu düzleme de
paraleldir.
Teorem: Bir doğru düzleme paralel ise bu doğruyu üzerinde bulunduran ve verilen düzlemi kesen herhangi bir düzlemin arakesit doğrusu verilen doğruya paraleldir.
Bir doğru bir düzleme paralel ise, düzlemdeki bir A noktasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru
bu düzlem içindedir.
Teorem:Bir doğru bir düzleme paralel ise, bu düzlemdeki bir A noktasından geçen ve doğruya paralel
olan doğru düzlemin içindedir.
Teorem: Kesişen iki düzlemin her birine paralel olan doğru, bu düzlemlerin arakesit doğrularına da paralel olur.
b
d // a ve d // b ve a ve a Ç b = d ¢ ise d // d ¢ dir.
d
a
d¢
Teorem: aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirttiği düzlem ilk düzleme paraleldir.
36
Teorem: Uzayda bir düzlem ve bu düzlemin dışında bir nokta verildiğinde, verilen noktadan geçen ve
verilen düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.
Sonuç: Bir düzlemin dışındaki belli bir noktadan geçen ve düzleme paralel olan doğruların hepsi, bu noktadan geçen ve verilen düzleme paralel olan düzlem içindedir.
Sonuç: Paralel iki düzlemin birinin içindeki her doğru diğer düzleme paralel olur.
Sonuç: Paralel iki düzlemden birine paralel olan bir düzlem diğerine de paraleldir.(Aynı düzleme paralel
iki farklı düzlem birbirine de paraleldir.)
Sonuç: Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem diğerini de keser ve arakesit doğruları da birbirine
de paralel olur.
q
a
a
b
b
a // b ise a // b dir.
Teorem: Paralel iki düzlemden birini kesen bir doğru diğerini de keser.
Düzlem Ayırma Teoremi: Her d doğrusu içinde bulunduğu düzlemin d dışındaki noktalarını aşağıdaki
özellikleri sağlayan iki bölgeye (iki yarı-düzleme) ayırır:
1-Bir bölgedeki her A noktasının diğer
A¢
bölgedeki her B noktasıyla belirttiği [AB] doğru
A
parçası d yi bir noktada keser.
d
2- Aynı bölgedeki farklı iki A ve A ¢
B
noktalarının belirttiği [A A ¢ ] doğru parçası bu
bölge içindedir.
Uzay Ayırma Teoremi: Her a düzlemi uzayın a dışındaki noktalarını aşağıdaki özellikleri sağlayan iki
bölgeye (iki yarı-uzaya) ayırır:
1- Bir bölgedeki her A noktasının diğer
A
A¢
bölgedeki her B noktasıyla belirttiği AB doğrusu a düzlemini A ile B arasında bir noktada keP
ser.
2- Aynı bölgedeki farklı A ve A ¢ noktaB
larının belirttiği [A A ¢ ] doğru parçası bu bölgededir.
Bir Doğrunun Bir Düzleme Dikliği
Bir doğru bir düzlemi tek noktada keserse ve düzlemin bu noktadan geçen bütün doğrularına dik
ise doğru düzleme diktir denir.
Temel Diklik Teoremi: bir düzlemin kesişen iki doğrusuna kesişme noktasında dik olan bir doğru, bu
düzleme diktir.
Teorem: Paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğer düzleme de diktir.
Teorem: Aynı doğruya (farklı noktalarda) dik olan iki düzlem birbirine paraleldir.
Teorem: Bir noktadan geçen ve bir doğruya dik olan bir tek düzlem vardır.
Orta Dikme Düzlemi: Uzayda bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve bu doğru parçasına dik
olan düzleme bu doğru parçasının orta dikme düzlemi denir.
37
Teorem: Uzayda bir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi, bu doğru parçasının orta dikme düzlemidir.
Teorem: Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.
Teorem:Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de diktir.
Teorem: Bir düzlemin içinde alınan bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.
Teorem:Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.
Üç Dikme Teoremi:Bir düzlemin dışında bulunan bir noktadan
bu düzleme ve düzlemin içindeki bir doğruya birer dikme çizilirse, iki dikme ayağını birleştiren doğru düzlemin içindeki
doğruya diktir.
A noktası, a düzlemi ve a düzlemi içerisinde d doğrusu
veriliyor. A dan a ya çizilen dikme [AH] d ye indirilen dikme de
[AK] olsun. d ^ HK olur.
A
a
H
K
İki Düzlem Arasındaki Açı
Kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna dik olan herhangi bir düzlemin bu düzlemle arakesit doğrularının belirttiği
açı bu düzlemler arasındaki açıdır.
a
a
İki Düzlemin Dikliği
Kesişen iki düzlemin arasındaki açı dik açı ise bu düzlemler birbirine diktir denir.
Teorem: Bir düzleme dik olan doğruyu içinde bulunduran düzlemler bu düzleme diktir.
Teorem: Paralel iki düzlemden birine dik olan bir düzlem diğer düzleme de diktir.
Teorem: Bir doğru iki düzlemden birine paralel diğerine dik ise bu iki düzlem birbirine diktir.
Teorem: n tane doğru düzlemi en az n + 1 , en fazla
38
n(n + 1)
+ 1 bölgeye ayırır.
2
d
q
b
b
DİK İZDÜŞÜM
DOĞRU ÜZERİNE DİK İZDÜŞÜM
Bir Noktanın Bir Doğru Üzerine Dik İzdüşümü
Düzlemde bir P noktasından x eksenine bir dikme inelim. Bu dikmenin x ekseni üzerindeki ayağına
Pl diyelim. Pl noktasına P noktasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümü denir.
y ekseni yerine, x eksenine dik olmayan, bir başka g doğrusu da alınabilirdi. Bu durumdaki Pl noktasına, P noktasının x ekseni üzerine g doğrusuna paralel izdüşümü denir.
y
g
P
Pl
P
Pl
x
x
/
Düzlemde Bir Doğrunun Başka Bir Doğru Üzerine Dik İzdüşümü
g ve g ı aynı düzlemdeki iki doğru olsunlar. Bu doğruların düzleminde bulunan paralel doğruların
öyle bir ailesini alalım ki bu aile g ve g ı doğrularından hiçbirini kapsamasın. Eğer P, g nin bir noktası ise
paralel doğrular ailesinin P den geçen bir doğrusu g ı yi bir Pı noktasında kesecektir. g nin noktalarının
g ı nin noktaları üzerinde olan bu dönüşümde Pı noktası P nin bir resmidir. Bu nedenle bu dönüşüme “g nin
g ı üzerine paralel izdüşümü” denir. Eğer özel olarak , paralel doğrular ailesi g ı doğrusuna dik olan doğrulardan meydana gelmişse bu dönüşüme “g nin g ı üzerine dik izdüşümü” denir.
P A
B C
g
gı
P ¢ A ¢ B¢ C ¢
DÜZLEM ÜZERİNE İZDÜŞÜM
Uzay Ailesi
Uzayda verilen bir doğru ile bu doğruya paralel olan bütün doğrulardan meydana gelen bir doğru
kümesine “paralel doğruların uzay ailesi” (kısaca “uzay ailesi”) denir.
Uzayın her noktasından,verilen uzay ailesine ait bir tek doğru geçer.
Bir Noktanın Bir Düzlem Üzerine Dik İzdüşümü
Uzayda bir a düzlemi ile bu düzlemin dışında bir A noktası verilmiş olsun.a düzlemini kesen uzay
ailesi verilmiş olsun. Bu paralel doğru ailesinin A dan geçen bir tek doğrusu vardır ve bu doğru a düzlemini bir tek A/ noktasında keser. A/ noktasının A nın resmi olduğu bu dönüşüme “A nın a düzlemi üzerine
bir paralel izdüşümü” denir. Eğer uzay ailesi a düzlemine dik doğrulardan oluşmuş ise bu izdüşüme “dik
izdüşüm” denir.
A
a
A/
39
Düzlem Ailesi
Bir uzay ailesinin aynı bir düzlem içindeki doğrularının kümesine “paralel doğruların düzlem ailesi” (kısaca “düzlem ailesi”)denir.
Verilen bir düzleme paralel sonsuz çoklukta uzay ailesi vardır.
Teorem:Uzayda doğruların bir a düzlemi üzerine dik izdüşümlerinde
a) Paralel doğruların dik izdüşümleri de paraleldir.
b) Paralel eş doğru parçalarının izdüşümleri de paralel eş doğru parçalarıdır.
B
d1
A
d2
a
d1¢
d1¢
a
A¢
D
C
B¢
C¢
D¢
[AB]// [CD] ve AB = CD ise
[A ¢B¢] // [C¢D ¢] ve A ¢B¢ = C¢D ¢ dir .
d1 // d2 Þ d 2¢ // d 2¢
Teorem: Bir kenarı izdüşüm düzlemine paralel olan bir dik açının, dik izdüşümü yine bir dik açıdır.
Teorem: Bir üçgenin paralel iki düzlem üzerindeki dik izdüşümleri eş üçgenlerdir.
A
C
B
A¢
C¢
B¢
A ¢¢
a // b ise
a
A ¢B¢C¢ @ A ¢¢B¢¢C ¢¢
b
C¢¢
B¢¢
Bir Doğrunun Bir Düzlemle Yaptığı Açı
Bir doğrunun bir düzlemle yaptığı açı diye bu doğrunun düzlem üzerindeki dik izdüşümü ile yaptığı dar açıya denir.
d
A
a
/
A
40
Ölçek Açısı
Bir m düzlemi ile m yi bir K noktasında kesen bir d doğrusunun m ile yaptığı a açısı, K dan d ye
dik olan ve m de yatan t doğrusu ile d nin oluşturduğu düzlem n ise a açısı m ile n düzlemlerinin ölçek
açısı adını alır.
n
d
K
a
m
Teorem:Bir doğrunun bir düzlemle yaptığı dar açı , bu doğrunun bu düzlemi deldiği noktadan geçen ve
düzlem içinde kalan bütün doğrularla yaptığı açılardan küçüktür.
a
b
a<b
Teorem: m ve n gibi kesişen iki düzlem arasındaki açı a ve m üzerindeki düzlemsel çokgenin alanı S
olsun. d,Düzlemsel çokgenin n üzerindeki izdüşüm alanı S/ ise S/ = S.cosa dır.
41
KATI CİSİMLER, ALAN VE HACİMLERİ
PRİZMALAR
Prizmatik Yüzey
Düzlemsel bir çokgen ile bunun düzlemine paralel olmayan bir l doğrusu verilmiş olsun. l doğrusuna paralel olan ve çokgenin kenarlarına dayanarak hareket eden bir d doğrusunun oluşturduğu yüzeye
prizmatik yüzey denir.
d
D¢
A¢
l
C¢
B¢
D
A
C
B
Çokgenin köşelerinden l doğrusuna çizilen paralel doğrulara “ yan ayrıtlar” denir. Ardışık iki yan
ayrıtın arasında kalan düzlem parçasına prizmatik yüzeyin “yan yüzeyi” denir. Bir prizmatik yüzeyin bir
düzlemle arakesitine bu prizmatik yüzeyin “ kesiti” denir. Kesit düzlemi yan ayrıtlara dik ise bu kesite
dik kesit denir.
Prizma
Bir prizmatik yüzeyin paralel iki düzlem arasında kalan parçasına prizma denir. Birbirine eş olan
bu iki kesite prizmanın tabanları denir. Prizmalar tabanlarını oluşturan çokgenlerin kenar sayılarına
göre adlandırılırlar.
Teorem: Prizmanın tabana paralel bir kesiti tabana eştir.
Dik Prizma
Yan ayrıtları taban düzlemine dik olan prizmaya dik prizma denir.
Eğik Prizma
Yan ayrıtları taban düzlemine dik olmayan prizmaya eğik prizma denir.
Düzgün Prizma
Tabanları düzgün çokgen olan dik prizmaya düzgün prizma denir.
Paralelyüz
Tabanları paralelkenar olan prizmaya paralelyüz denir.
Paralelyüzde bir köşe ile buna komşu olan yüzde bulunmayan köşeyi birleştiren doğru parçasına
cisim köşegeni denir.
Dik Paralelyüz
Yan ayrıtları taban düzlemine dik olan paralelyüze denir.
Dikdörtgenler Prizması
Tabanları dikdörtgenler olan dik prizmaya dikdörtgenler prizması denir.
d
a
d 2 = a 2 + b2 + c2
c
b
42
Küp
Bütün ayrıtları eşit uzunlukta olan dikdörtgenler prizmasına küp denir.
PRİZMANIN ALNI
Teorem: Eğik prizmanın yanal alanı dik kesit çevresi ile yan ayrıtının uzunluğunun çarpımına eşittir.
D¢
A¢
M
C¢
B¢
K
Yanal Alan = AA ¢ × Ç (MNPK )
N
D
A
P
C
B
1- Dik Prizmanın yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
2- Dikdörtgenler prizmasının bir köşesinden çıkan ayrıtlarının uzunlukları a, b, c ise tüm alanı S =
2( ab + ac + bc ) dir.
3- Bir kenarının uzunluğu a olan bir küpün tüm alanı S = 6a2 dir.
PRİZMANIN HACMİ
Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi
Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi bir köşesinden geçen üç ayrıtının uzunluklarının çarpımına
eşittir.
Dik Prizmanın Hacmi
Taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Eğik Prizmanın Hacmi
Hacim = Taban alanı x Yükseklik
Hacim = Dik kesit alanı x Yan ayrıt yüksekliği
Cavalier ilkesi
Taban alanı ve yükseklikleri eşit olan iki cismin tabanlarına paralel ve tabandan aynı uzaklıktaki
kesitlerinin alanları eşit olursa bu iki cismin hacimleri eşit olur.
PİRAMİTLER
Bir düzlemsel çokgen ile bunun düzlemi dışında bir nokta verilsin. Bu noktayı çokgenin köşeleriyle
birleştirelim. Oluşan üçgensel bölgelerle, çokgensel bölgelerin sınırladığı cisme piramit denir.
T
h
A
E
D
B
C
Düzgün Piramit
Tabanı düzgün çokgen olan ve yükseklik ayağı taban merkezinde bulunan piramide düzgün piramit
denir.
a) Bir düzgün piramidin yan yüzleri birbirine eş ikizkenar üçgenlerden oluşur.
b) Yanal ayrıtlarının uzunlukları eştir.
c) Yanal yüksekliklerin uzunlukları eştir.
43
Düzgün Dörtyüzlü
Altı ayrıtı da aynı uzunlukta olan üçgen piramide düzgün dörtyüzlü denir.
Teorem: Bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesildiğinde
a ) Kesit çokgeni tabana benzerdir.
b ) Kesit alanının taban alanına oranı , bunların tepeden olan uzaklıklarının karelerinin oranına
eşittir.
a / / b ise
T
A¢
B¢
b
H¢
C¢
A
a
H
B
D¢
a)
D
b)
A ¢B¢
AB
=
B¢C¢
BC
=
C¢D¢
CD
=
D¢A ¢
DA
2
A(A ¢B¢C¢D¢ ) TH ¢
=
2
A (ABCD)
TH
C
Teorem: Taban alanları ve yükseklikleri eşit olan piramitlerin hacimleri eşittir.
Teorem: Bir piramidin hacmi , taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir.
Düzgün Piramidin Yanal Alanı: Bir düzgün piramidin yanal alnı taban çevresi ile yan yüksekliği (apotem)
çarpımının yarısına eşittir.
Kesik Piramit: Bir piramit tabanına paralel bir düzlemle kesildiğinde, taban ile düzlem arasında kalan
kısma kesik piramit denir.
Tabanlarının alanları G ve G ¢ ve yüksekliği h olan bir kesik piramidin hacmi;
V=
(
h
G + G¢ + G × G¢
3
)
(h : iki taban arası uzaklık) dir.
SİLİNDİR
Silindirik Yüzey:Düzlemsel bir eğri ile bunun düzlemine paralel olmayan bir l doğrusu verilsin. l doğrusuna paralel olan ve eğriye dayanarak hareket eden bir doğrunun oluşturduğu yüzeye silindirik yüzey
denir.
Silindir: Bir silindirik yüzeyin paralel iki düzlem arasında kalan parçasına silindir denir.
Dik Dairesel Silindir: Ana doğrusu taban düzlemine dik olan dairesel silindire dik dairesel silindir denir.
Y.A = 2 p r/ l
l
r¢
h
Y.A = 2 p r h
V= pr2h
r
44
KONİ
Konik Yüzey: Kapalı bir C eğrisi ile bunun düzlemi dışında bir T noktası verilmiş olsun. T noktasından
geçen ve C eğrisine dayanarak hareket eden bir doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir.
Koni: Bir konik yüzeyin bir kanadı ile bütün ana doğrularını kesen bir düzlem tarafından sınırladığı cisme
koni denir. Koniler tabanlarına göre adlandırılırlar ; dairesel koni, eliptik koni,vs...
T
Eksen
C
eğrisi
Ana doğru
h
r
Dik Dairesel Koni
ni) denir.
Tabanı daire olan ve yüksekliği taban merkezinden geçen koniye dik dairesel koni (dönel ko-
Y=pra
1
V = pr 2 h
3
Yanal alan
r
O
Hacim
a
h
Hacim formülü eğik koni için de geçerlidir.
Koninin Tabana Paralel Kesiti
Bir dairesel koni tabana paralel bir düzlemle kesildiğinde;
a) Kesit eğrisi bir çemberdir.
r
h
=
r¢ h¢
O merkezli r yarıçaplı koninin hacmi V taban alanı G , O ¢ merkezli r ¢ yarıçaplı koninin hacmi
V ¢ taban alanı G ¢ olsun.
b) Kesit dairesinin oranı bunların tepeden olan uzaklıklarının oranına eşittir.
3
V¢ æ h ¢ ö
æ r¢ ö
=ç ÷ =ç ÷
V èhø
èrø
2
h/
3
G¢ æ h¢ ö
æ r¢ ö
=ç ÷ =ç ÷
G èhø
èrø
r ¢ O/
2
r
45
O
h
Dik Dairesel Kesik Koni
Hacim formülü eğik kesik koni için de geçerlidir.
a
h
(
)
Hacmi
1
V = ph r 2 + (r ¢) 2 + r r ¢
3
Yanal alanı
Y = p (r + r ¢ ) a
Tüm alanı
S = p (r + r ¢) a + p r 2 + (r ¢) 2
r¢
r
(
)
KÜRE
Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktaların birleşim kümesine (geometrik yerine)
küre yüzeyi, bu yüzeyle sınırlanan cisme küre denir.
Bir küre yüzeyinin bir düzlemle kesiti çemberdir.
Bir Kürenin Belirli Olması
1- Bir noktadan sonsuz küre geçer. Şayet verilen bir K noktasından geçen kürelerin yarıçapları r
kadar ise merkezlerinin geometrik yeri r yarıçaplı K merkezli küre yüzeyi olur.
2- Verilen iki noktadan geçen sonsuz sayıda küre vardır. Bu kürelerin merkezlerinin geometrik yeri
bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikme düzlemidir.
3- Doğrusal olmayan üç noktadan sonsuz sayıda küre geçer bu kürelerin merkezlerinin geometrik
yeri bu üç noktadan geçen çemberin düzlemine merkezden çıkılan dik bir doğrudur.
4- Aynı bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan yalnız bir küre yüzeyi geçer.(Aynı bir düzlem
içinde bulunmayan dört noktadan eşit uzaklıkta bulunan yalnız bir nokta vardır.)
Teorem: Uzayda bir doğru parçasını dik açı altında gören noktaların geometrik yeri bu doğru parçasını
çap kabul eden bir küre yüzeyidir.
Kürenin Alanı Ve Hacmi
r yarıçaplı kürenin alanı ve hacmi;
S = 4pr 2
V=
4 3
pr
3
Küre Kuşağı ve Küre Tabakası
Bir küre yüzeyinin paralel iki düzlem arasında kalan parçasına küre kuşağı denir.
Küre kuşağı ile düzlemler arasında kalan cisme küre tabakası denir.
S=2prh
r1
O
V=
h
r2
46
(
1
ph 3r12 + 3r22 + h 2
6
)
Küre Kapağı
Bir kürenin bir düzlemle kesilmesi sonucunda elde edilen parçaların her birine küre kapağı
denir.
Küre kapağı ile kesit düzlemi arasında kalan cisme de küre parçası denir.
h
S=2prh
r
O
1
V = ph 2 (3r - h )
3
Küre Kesmesi
Bir AOB daire diliminin kendisini kesmeyen bir çap etrafında döndürülmesinden elde edilen
cisme küre kesmesi denir.
B¢
B
A
A¢
h
1
2
V = S × r = pr 2 h
3
3
O
Küre Dilimi
Bir kürenin, bir çapından geçen iki yarı düzlemle küre arasında kalan cisme küre dilimi denir.
O
r q
Kabuk kısmının alanı
S=
pr 2 q
+ pr 2
90
Hacmi
V=
pr 3q
270
r
47
ANALİTİK DÜZLEM VE DOĞRUNUN
ANALİTİK İNCELENMESİ
ANALİTİK DÜZLEM
Ordinatlar ekseni
y
0 noktasında dik kesişen iki sayı
doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi, üzerinde dik koordinat
sistemi bulunan düzleme de analitik düzlem denir.
I. Bölge
II. Bölge
A(a,b)
b
Orijin
Ordinat
Apsis
a
O
III. Bölge
Apsisler ekseni
x
VI. Bölge
İki Nokta Arasındaki Uzaklık
A(x1, y1), B(x2, y2) noktaları arasındaki uzaklık AB =
Bir Doğru Parçasının Orta Noktası
x + x2
½AK½ = ½KB½ ise x0 = 1
,
2
y0 =
y1 + y2
2
( x 1 -x2 )
2
A(x1 , y1)
[AB] doğru parçası üzerinde bir iç nokta C dış nokta D olsun.
C(x3 , y3)
B(x2 , y2)
D(x4 , y4)
2
K(x0 , y0)
Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen noktaların koordinatları
A(x1 , y1)
+ ( y1 - y2 )
AC
CB
= l = ve
dir.
B(x2 , y2)
AD
BD
m
x3 =
x1 + lx2
1+l
y3 =
y1 + ly2
1+l
x4 =
x1 - mx2
1-m
y4 =
y1 - my2
1-m
ise
Üçgenin Ağırlık Merkezi
Köşelerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan üçgenin ağırlık merkezi G(x0, y0) ise
x + x2 + x3
y + y2 + y3
x0 = 1
, y0 = 1
dir.
3
3
Üçgenin Alan Formülü
Köşelerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan üçgenin alanı
x (y - y3 ) + x2 (y3 - y1 ) + x3 (y1 - y2 )
x0 = 1 2
dir. Veya
2
x1 y1 1
1
A(ABC) = x2 y2 1
2
x3 y 3 1
X3.y2
x1
x2
y1 1
y2 1
x1
y1 1
x2
y2 1
x3
y3 1
X1.y3
X2.y1
X1.y2
X2.y3
X3.y1
A(ABC) =
1
x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 - ( x2 y1 + x3 y2 + x1 y3 )
2
+
A(ABC) = 0 ise A, B, C noktaları doğrusaldır.
48
DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ
Bir Doğrunun Eğimi
y
Bir doğrunun, x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açıya eğim açısı;
eğim açısının, tanjantına da doğrunun eğimi denir ve “m” ile gösterilir.
d1 doğrusunun eğimi; m1 = tan q
d2 doğrusunun eğimi; m2 = tan a
a + b = 1800 olduğundan tan a = - tan b olduğundan dolayı d2 doğrusunun eğimi; m2 = tan a = - tan b alınabilir.
y = mx + n ve y = mx doğrusunun eğimi m; Ax + By + C = 0 doğrusunun
A
eğimi - dir.
B
d1
d2
q
a
b
x
O
İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun eğimi;
y - y1
m= 2
dir.
x2 - x1
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun denklemi;
y - y1 y1 - y2
=
dir.
x - x1 x1 - x2
Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi
A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi;
y – y1 = m(x – x1)
dir.
Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denklemi
y
Eksenleri kestiği noktalar (a, 0) ve (0, b) ise doğrunun
denklemi
x y
+ = 1 dir.
a b
b
a
O
x
Eksenlere Paralel Doğruların Denklemleri
y
y
x=a
y=b
b
a
O
x
x
O
m = tan900 = ¥
Koordinat Eksenlerinin Açıortaylarının Denklemleri
m = tan00 = 0
y
y=x
O
1350
450
x
O
Orijinden Geçen Doğruların Denklemleri
y
y = mx
O
a
y
y = -x
m = tana
x
49
x
İki Doğrunun Kesişme Noktaları
Denklemleri a1x + b1y + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0 olan iki doğrunun kesim noktasının koordinatlaa1x + b1y + c1 = 0
rı
denklem sisteminin çözümüdür.
a2x + b2y + c2 = 0
İki Doğrunun Birbirlerine Göre durumları
d1 K a1 x + b1 y + c1 = 0 üï
ý doğrularıverilsin.
d2 K a2 x + b2 y + c2 = 0 ïþ
a1 b1
1.
¹
ise doğrular bir noktada kesişir.
a2 b2
2.
a1 b1 c1
=
¹
ise doğrular birbirine paraleldir, kesişmezler.
a2 b2 c2
3.
a1 b1 c1
=
=
ise doğrular çakışıktır.
a2 b2 c2
İki Doğrunun Diklik ve Paralellik Koşulları
y = m1x + n1 , y = m1x + n1 doğruları birbirine;
a ) paralel ise m1 = m2
b ) dik ise m1.m2 = -1 dir.
Doğru Demeti
d1
Denklemleri d1: a1x + b1y + c1 = 0 ve d2: a2x + b2y + c2 = 0 olan iki
doğrunun kesim noktasından geçen doğruların tümüne doğru demeti
denir. Doğru demetinin denklemi;
a1x + b1y + c1 + l (a2x + b2y + c2 ) = 0 , l Î R
biçimindedir. l sayısının her farklı değeri için doğru demetindeki bir
doğrunun denklemi elde edilir.
d2
Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı
A(x0, y0)
A(x0, y0) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna olan uzaklığı
ax0 + by0 + c
d=
dir.
a2 + b2
d
ax + by + c = 0
Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık
Birbirine paralel a1x + b1y + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0 doğruları
arasındaki uzaklık;
c -c
dir.
d= 1 2
a2 + b2
d
Kesişen İki Doğrunun Açıortay Doğruları
d2
l1
d1
l2
Denklemleri l1: a1x + b1y + c1 = 0 ve l2: a2x + b2y + c2 = 0
olan doğruların açıortay doğruları d1 ve d2 ise
a x + b1 y + c1 a2x + b2 y + c2
d1 K 1
=
a12 + b12
a22 + b22
d2 K
a1x + b1 y + c1
a +b
2
1
2
1
=-
a2x + b2 y + c2
a22 + b22
dir.
İki Doğru Arasındaki Açı
d1 doğrusunun eğimi m1 ve d2 doğrusunun eğimi m2 olsun. D1 ve d2 doğrularının arasındaki açının
ölçüsü q ise
m - m2
tan q = 1
dir.
1 - m1 .m2
50
SİMETRİ
Noktanın Simetriği
A(x0, y0) noktasının
1. x eksenine göre simetriği
Aı(x0, -y0)
2. y eksenine göre simetriği
Aı(-x0, y0)
3. Orijine göre simetriği
Aı(-x0, -y0)
4. y = x doğrusuna göre simetriği
Aı(y0, x0)
5. y = -x doğrusuna göre simetriği
Aı(-y0, -x0)
6. x = a doğrusuna göre simetriği
Aı(2a-x0, -y0)
7. y = b doğrusuna göre simetriği
Aı(x0, 2b-y0)
8. (a , b) noktasına göre simetriği
Aı(2a-x0, 2b-y0)
9. ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetriğini bulmak için
simetrik nokta Aı(x1, y1) kabul adilip, [AAı] nın orta
noktası C nin doğru üzerinde oluşundan dolayı
x + x1
y + y1
a 0
+b 0
+ c = 0 K (I)
2
2
ve [AAı] nın doğruya dik oluşundan
æ y2 - y1 ö æ a ö
ç
÷ . ç - = ÷ -1
è x2 - x1 ø è b ø
A (x0, y0)
ax + by + c = 0
C
Aı (x1, y1)
denklemleri kurulur ve bu denklemlerin ortak çözümünden x1 ve y1 değerleri bulunur.
Doğrunun Simetriği
ax + by + c = 0 doğrusunun;
1. x eksenine göre simetriği
2. y eksenine göre simetriği
3. Orijine göre simetriği
4. y = x doğrusuna göre simetriği
5. y = - x doğrusuna göre simetriği
6. x = x0 doğrusuna göre simetriği
7. y = y0 doğrusuna göre simetriği
8. A(x0, y0) noktasına göre simetriği
ax - by + c = 0
-ax + by + c = 0
-ax - by + c = 0
ay + bx + c = 0
-ay - bx + c = 0
a(2x0-x) + by + c = 0
ax + b(2y0-y) + c = 0
a(2x0-x) + b(y0-y) + c = 0
51
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Çemberin Denklemi
xOy koordinat düzleminde merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi
(x – a)2 + (y – b)2 = r 2
dir. a = 0 , b = 0 ise çemberin denklemi x2 + y2 = r 2 olur. Bu denkleme çemberin “standart formu” veya
“çemberin merkezil denklemi” denir.yukarıdaki denklemin açılımı yapılarak “çemberin genel denklemi”
elde edilir;
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Çember denklemi bu şekilde verildiğinde M(a,b) merkezinin koordinatları ve r yarıçapı bulunabilir.
A
B
1
a = - = , b - =, r
A2 + B2 - 4C
2
2
2
a, b, c, d, e,f Î R olmak üzere, ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 ikinci derece denkleminin bir
çember belirtebilmesi için
1. x.y li terim olmamalı (c = 0)
2. a = b olmalı
3. a = b = 1 olacak şekilde cebirsel işlemler yapılarak denklem x2 + y2 + Ax + By + C = 0 biçiminki
genel çember denklemi elde edilir burada D = D2 + E2 – 4F > 0 ise çember belirtir.
Üzerindeki Bir Noktadan Çembere Çizilen Teğetin ve Normalin Denklemleri
Normal: Çembere çizilen teğetin değme noktasından teğete çıkılan dik doğruya çemberin normali denir.
y
Teğetin Eğimi: MT
x -a
MT = - 0
y0 - b
Normalin Eğimi: MN ,
y -b
MN = 0
x0 - a
Teğet Denklemi
éx - a ù
y = -ê 0
ú ( x - x0 ) + y0
ë y0 - b û
Normalin Denklemi
éy -bù
y=ê 0
ú ( x - x0 ) + y0
ë x0 - a û
T
normal
M(a,b)
teğet
x
2
2
2
Denklemi x + y = r olan merkezil çemberin üzerindeki (x0, y0) noktasından çizilen teğet ve
normalin denklemleri;
Teğet denklemi
Normal denklemi
2
xx0 + yy0 = r
xy0 – yx0 = 0
Bir Doğru İle Çemberin Birbirlerine Göre Durumları
Denklemi x2 + y2 = r 2 olan çember ile denklemi y = mx + n olan çemberin ortak çözümünden
(1 + m2 ) x2 + 2mnx + n2 - r2 = 0 2. derece denklemi elde edilir. Burada D 4r=2 (1 + m2 ) - 4n2 elde edilir;
D
D
D
D
< 0 ise, doğru ile çemberin ortak noktası yoktur,
> 0 ise, doğru çemberi iki noktada keser,
= 0 ise, doğru çembere teğettir.
= 0 Þ 4r2 (1 + m2 ) - 4n2 = 0 Þ r2 (1 + m2 ) = n2 bağıntısı bulunur. Bu bağıntıya doğrunun çembere
teğet olma koşulu denir.
52
Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti
K(x0,y0)
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ile bu
çemberin dışında bir K(x0 , y0) olsun;
½KT½2 = P değerine K noktasının çembere göre kuvveti denir.
P = x02 + y02 + Ax0 + By0 + C dir.
T
A
M(a,b) B
1 – çember denklemi x2 + y2 = r2 ise kuvvet: P = x02 + y02 - r2
2 - çember denklemi (x - a)2 + (y - b)2 = r2 ise kuvvet: P = (x - a)2 + ( y - b ) - r2 dir.
2
lir.
Kuvvet formülünden faydalanılarak nokta ile çemberin birbirlerine göre durumları tespit edilebia) P > 0 ise nokta çember dışındadır,
b) P = 0 ise nokta çember üzerindedir,
c) P < 0 ise nokta çemberin iç bölgesindedir.
İki Çemberin Kuvvet Ekseni
Kesişen iki çemberin kesim noktalarından geçen doğruya bu çemberlerin kuvvet ekseni denir.
İki çemberin ortak çözümünden elde edilen doğru denklemi bu iki çemberin kuvvet ekseninin
denklemidir.
Üç Çemberin Kuvvet Merkezi
Üç çemberin ikişer kesişiminden
oluşan üç adet kuvvet ekseninin kesim
noktasına bu çemberlerin kuvvet merkR
ezi denir. Şekilde R noktası bu çemberlerin kuvvet merkezidir.
İki Çemberin Dik Kesişme Koşulu
İki çemberin dik kesişme koşulu:
1 – c = a2 + b2 – r2 ve (c¢)2 = (a¢)2 + (b¢)2 - (r ¢)2 olmak üzere
(x - a)2 + (y - b)2 = r2 üï
= ¢ c + c¢
ý Þ 2aa¢ + 2bb
(x - a¢)2 + (y - b¢)2 = r¢2 ïþ
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 üï
2- 2
ý Þ AA¢ + BB¢ = 2(C + C¢)
x + y2 + A¢x + B¢y + C ¢ = 0 ïþ
dir.
O2
O1
Çember Demeti
Denklemleri x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 ve x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 olan iki çemberin kesim
noktaları A ve B olsun A ve B noktalarından geçen çemberlerin tümüne çember demeti denir. Çember
demetinin denklemi x2 + y2 + A1x + B1y + C1 + l( x2 + y2 + A2x + B2y + C2 ) = 0, l Î R dir.
Çemberin Parametrik Denklemleri
0 £ t < 2p olmak üzere;
x = r.cost
y = r.sint
denklemlerine çemberin parametrik denklemleri denir.
Çember merkezil değil ise denklem;
x = a + r.cost
y = b + r.sint
biçiminde olur, bu çemberin merkezi M(a , b) dir.
53
r
t
M(x,y)
KONİKLER
GENEL KONİK TANIMI
K
F
d
H
Düzlemde bir d doğru ve bu doğru üzerinde olmayan bir F noktası verilmiş olsun. F noktasına
olan uzaklığının, d doğrusuna olan uzaklığına oranı sabit olan noktaların geometrik yerine konik denir.
KF
= e
KH
olsun.
i ) e < 1 ise konik elipstir.
ii ) e = 1 ise konik paraboldür.
iii ) e > 1 ise konik hiperboldür.
ELİPS
Düzlemde sabit iki noktaya olan uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların kümesine (geometrik
yerine) elips denir.
y
yedek eksen
B(0,b)
b
/
A
A(a,0)
x
F/
F
B
P(x,y)
/
A
asal eksen
y
a
c F/
F
A
x
B/
B/
a2 = b2 + c2
PF ¢ + PF = AA¢ = 2a
x2
Merkezil elipsin denklemi
a2
+
y2
b2
= 1 dir.
Elipse Üzerindeki Bir Noktadan Çizilen Teğet ve Normalin Denklemi
Denklemi
x2
a2
+
y2
b2
= 1 olan elipse üzerindeki P( x 0 , y 0 ) noktasından çizilen teğet denklemi ;
x0 x
a
2
+
y0 y
b2
=1
Nomal denklemi: y - y 0 =
a 2 y0
b 2 x0
(x - x 0 )
dir. y = mx + n doğrusunun elipse teğet olma şartı;
a 2m2 + b 2 - n2 = 0
dır.
a 2m 2 + b 2 - n 2 > 0 ise doğru elipsi farklı iki nokta da keser,
a 2m 2 + b 2 - n 2 < 0 ise doğru elipsi kesmez.
54
Merkezil Elipsin Parametrik Denklemi
x = a.cosa
y =b.sina
Elipsin Asal ve Yedek Çemberleri
Asal çember denklemi : x 2 + y 2 = a 2
Yedek çember denklemi: x 2 + y 2 = b 2
Elipsin Basıklığı
Elips çemberin basıklaştırılmış şekli olarak tanımlanabilir. Çemberin merkezi ile elipsin merkezi
aynındır. Hatta çemberin merkezinde düşündüğümüz koordinat eksenlerinden biri boyunca , örneğin 0y
ekseni boyunca çemberin yarıçapı a ve b<a olmak üzere b/a oranında çemberin basıklaştırılması ile elips
elde edilir.
Elipsin Dış Merkezliği
odaklar arası uzaklık c
e=
=
oranına elipsin dış merkezliği denir.0<e<1 dir.
asal eksen uzunluğ u a
F/
e = 0 (çember)
F
e = 0,75
e=1
2
c
b
b
æbö
e = = 1 - ç ÷ olduğundan
oranı küçüldükçe elips basıklaşır, = 1 ise çember olur.
a
a
a
èaø
Elipsin Doğrultmanları ve Doğrultman Çemberi
Odaklar eksenine dik olan doğrulardır. x =
denir.
a2
c
, x=-
a2
c
doğrularına elipsin doğrultmanları
Merkezi odakların birinde ve yarıçapı asal eksen uzunluğuna eşit olan çemberlere elipsin doğrultman çemberleri denir. Odaklar 0x ekseni üzerinde ise doğrultman çemberleri;
(x - c )2 + y 2 = 4a 2
,
(x + c )2 + y 2 = 4a 2
Doğrultman çemberleri eksenler üzerinde kesişirler.
Elipsin Parametresi
Odakların birinden geçen ve asal eksene dik olan kirişin uzunluğuna kirişin parametresi (2p) denir. 2p =
2b 2
a
Eksenleri Koordinat Eksenlerine Paralel Olan Elipslerin Denklemleri
Merkezi (h,k) asal ekseni 0x eksenine paralel olan elipsin denklemi;
Üzerindeki P( x 0 , y 0 )
( x - h) 2
( y - k)2
= 1 dir.
a2
b2
( x 0 - h)( x - h) ( y 0- k )( y - k )
= 1 dır.
+
noktasındaki teğet denklemi:
a2
b2
55
+
Elipsin Alanı
A = pab
Elipsin Çevresi
Ç = (a + b).p
Uyarı
1 ) Elipsin köşesel teğetleri, bu köşeden geçen geçen eksenlere diktir.
2 ) Bir elipste dik kesişen teğetlerin kesim noktasının geometrik yeri “Monj Çemberi” dir. Denk2
lemi x + y
2
= a 2 + b 2 dir.
3 ) Bir elipste odakların teğetler üzerindeki dik izdüşümlerinin geometrik yeri asal çemberdir.
Monj Çemberi
r
a
b
4 ) Bir elipse dışındaki bir P(x o , y o ) noktasından iki teğet çizilebilir, teğetlerin değme noktalarının
belirttiği doğruya değme kirişi ya da kutup doğrusu adı verilir. Denklemi
xx o
a2
+
yy o
b2
= 1 dir.
HİPERBOL
Düzlemde sabit iki noktaya olan uzaklıkları farkı sabit olan noktaların geometrik yerine hiperbol
denir.
y Yedek eksen
c
b
P
a
F/(-c,0)
lem
y2
a2
-
x2
b2
x2
c2 = a2 + b2 ,
PF - PF ¢ = 2a ,
a2
F(c,0)
-
y2
b2
=1
x
odaklar
y
Asal eksen
ekseni
= 1 dir.
y
y=-
b
x
a
y=
b
x
a
b
a
56
x
üzerinde
ise
denk-
b
b
x ve y = - x doğrularına hiperbolün asimptotları denir.Odaklar y ekseni üzerinde ise
a
a
a
a
asimptotları y = x ve y = - x olur.
b
b
2
2
2
b
y
y2
x
x
=
1
= 0 yazılarak y = m x asimptot denklemi bulunabilir. Bu yöntem
den
2
2
2
2
a
a
b
a
b
y=
merkezil olmayan hiperbolde de uygulanabilir.
İkizkenar Hiperbol
Eğer a = b ise hiperbole ikizkenar hiperbol denir.denklemi x 2 - y 2 = a 2 dir. İkizkenar
hiperbolün asimptotları birbirine diktir.
Hiperbolün Teğet ve Normalinin Denklemleri
Teğet olma şartı: b 2 + n 2 - a 2 m 2 = 0
Teğet denklemi:
x0 x
a
2
-
y0 y
b2
=1
Normal denklemi: y - y 0 = -
a 2 y0
b 2 x0
(x - x 0 )
Hiperbolün Doğrultmanları ve Dış Merkezliği
Dış merkezliği
x= -
e=
c
a2
, e > 1 dir. Odaklar 0x ekseni üzerinde ise doğrultmanları x =
ve
a
c
a2
dir.
c
Asal ve Yedek Çemberler Doğrultman Çemberler
Asal çember : x 2 + y 2 = a 2
Yedek çember : x 2 + y 2 = b 2
Merkezi odaklardan biri ve yarıçapı 2a olan çembere hiperbolün doğrultman çemberleri denir.
Hiperbolün Parametresi
Odakların birinden geçen ve asal eksene dik olan kirişin uzunluğuna kirişin parametresi (2p) denir. 2p =
2b 2
a
Merkezil Hiperbolün parametrik Denklemi
x = a.secq
y = b.tanq
Kutup Doğrusu
Bir hiperbole dışındaki bir P(x o , y o ) noktasından iki teğet çizilebilir, teğetlerin değme noktalarının belirttiği doğruya değme kirişi ya da kutup doğrusu adı verilir. Denklemi
Ekseni Koordinat Eksenlerine Paralel Olan Hiperbolün Denklemi
Merkezi (h,k) ve asal ekseni 0x eksenine paralel
( x - h)
a
2
2
-
( y - k)
b2
(x 0 , y 0 )
2
xx o
a
2
olan
-
yy o
b2
= 1 dir.
hiperbolün
denklemi
= 1 dir.
noktasındaki teğetinin denklemi
Asimptotlarının eğimi ±
( x 0 - h)( x - h)
a
2
-
( y 0 - k )( y - k )
b2
= 1 dir.
b
dır.
a
Not: Genellikle uygulamada elipste elde edilmiş bir bağıntı da b 2 yerine - b 2 yazarsak “aynı problemin
hiperbol için çözümünü elde ederiz.
57
PARABOL
Bir düzlemde sabit bir noktaya ve sabit bir doğruya eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik
yerine parabol denir.
Sabit noktaya parabolün odağı sabit doğruya parabolün doğrultmanı, odağın doğrultmana olan
uzaklığına da parabolün parametresi denir ve p ile gösterilir.
y
P(x,y)
H
0
P
2
-
PF = PH
y 2 = 2 px
x
P
F ( ,0)
2
y
y
y
P
2
P
2
P
2
P
2
x
x
x
-
y 2 = -2 px
P
2
x 2 = 2 py
P
2
x 2 = -2 py
Teğet ve Normal Denklemleri
y = mx + n doğrusunun y 2 = 2 px parabolüne teğet olma koşulu p = 2mn dir.
Denklemi y 2 = 2 px olan parabole üzerindeki
P (x 0 , y 0 ) noktasından çizilen teğetin denklemi
y 0 y = p( x0 + x ) dır.
Değme Kirişi
Bir parabole dışındaki bir P(x o , y o ) noktasından iki teğetin değme noktalarının belirtti-
ği doğruya değme kirişi ya da kutup doğrusu denir. Denklemi yy o = p(x + x o ) dır.
Ekseni Koordinat Eksenlerine Paralel Olan Parabolün Denklemi
Köşesi A(h,k) ekseni 0x- eksenine paralel olan ve doğrultmanlarının sasğında bulunan parabolün
denklemi
p ö
p
æ
( y - k ) 2 = 2 p( x - h) odağı F ç h + , k ÷ doğrultman denklemi x = h 2 ø
2
è
y
x=h-
k
0
p
2
p ö
æ
Fç h + , k ÷
2 ø
è
h
x
58
Genel Konik Denklemi
A, B, C, D, E, F, Î R olmak üzere x ve y değişkenlerine göre ikinci dereceden
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
denklemi genel konik denklemidir. Bu denklemde ∆ = B2 – 4AC olarak tanımlansın.
1 – ∆ < 0 ise elips, çember, nokta veya boş küme belirtir.
a) A = C ve B = 0 ise çember, nokta veya boş kümedir.
b) A ¹ C ve B ¹ 0 ise elips, nokta veya boş kümedir.
2 – ∆ = 0 ise parabol, paralel veya çakışık iki doğru ya da boş küme belirtir.
a) Denklem çarpanlara ayrılabiliyorsa paralel veya çakışık iki doğru belirtir.
b) Çarpanlara ayrılamıyorsa parabol belirtir.
3 – ∆ > 0 ise hiperbol veya kesişen iki doğru belirtir.
a) Denklem birinci dereceden asal iki çarpana ayrılamıyorsa hiperbol belirtir.
b) Denklem birinci dereceden iki çarpana ayrılabiliyorsa kesişen iki doğru belirtir.
59
DÜZLEMDE VEKTÖRLER
Yönlü Doğru Parçası
[AB] doğru parçası üzerinde eğer yönümüz A dan B ye ise A noktasına başlangıç noktası, B nokuuur
tasına da bitim noktası denir. Böylece ortaya çıkan doğru parçasına “yönlü doğru parçası” denir ve AB
ile gösterilir.
d
B
A
uuur
uuur
AB doğru parçasının üzerinde bulunduğu doğruya AB nin doğrultusu (taşıyıcısı) denir. A ile B
uuu
r
uuur
arasındaki uzaklığa AB nin uzunluğu denir ve AB ile gösterilir.
İki yönlü doğru parçasının taşıyıcı doğruları, aynı veya paralel (yönlü doğru parçalarının doğrultuuuur
uuur
ları aynı), boyları eşit ve yönleri aynı ise bu iki yönlü doğru parçasına eştirler denir. AB ve CD eş ise
uuur uuur
AB º CD biçiminde yazılır. Yönlü doğru parçaları arasındaki eşlik bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
Doğrultuları ve boyları aynı olup yönleri zıt ise vektörlerden biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.
d1
d1 // d2
d2
uuur uuur uuur
C
AB = CD = EF
uuur
uuur uuur
uuur
E
D
AB = - CD , AB = - EF ,
uuur uuur
B
CD = EF
F
A
A
Vektör
uuur
uuur
uuur uuur uuur
AB yönlü doğru parçasına eş olan bütün yönlü doğru parçalarının kümesi [ AB ] = { XY l XY = AB }
uuur
ile gösterilsin. Bu küme bir denklik sınıfıdır. Bu denklik sınıfına, AB yönlü parçası tarafından temsil
edilen “vektör” adı verilir. Bir vektörü göstermek için denklik sınıfına ait yönlü doğru parçalarından herhangi birini seçebiliriz. Çoğu zaman vektörler u, v gibi küçük harfler üzerine ® işareti konularak gösterilir.
Sıfır Vektörü:Başlangıç ve bitim noktaları aynı olan vektöre sıfır vektörü denir. Sıfır vektörünün boyu
bellidir ve 0 birimdir, yönü ve doğrultusu belli değildir.
Vektörlerde Eşitlik:İki vektörün temsilcileri olan doğru parçaları denk iseler bu iki vektöre eşittir denir.
Vektörlerde Toplama
a) Paralelkenar Kuralı
r
v
r r
u+v
r
v
r
u
r
u
b) Uc Uca Ekleme (Poligon) Metodu
r
v
r r
u+v
r
u
r
u
r
c
r
a
r
v
r
b
60
r r r
a+b+c
r
a
r
c
r
b
Özelikleri:
1 – Vektörler kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
2 – Birleşme özeliği vardır.
3 – Toplama işleminin birim elemanı sıfır vektörüdür.
r
r
4 – Toplama işlemine göre her elemanın tersi vardır ve bir u vektörünün tersi -u vektörüdür.
İki Vektörün Farkı
Fark vektörü, bitim noktası hangi vektörün bitim noktası ise, o vektörden diğeri çıkarılarak bulunur.
r
v
r
v
r r
v -u
r r
u-v
r
u
r
u
VEKTÖRLER VE BİLEŞENLERİ
Düzlemde Vektör Nokta Eşleşmesi
Noktalar ve vektörler arasında aşağıdaki iki aksiyom ile bir eşleme kurulabilir
1- Düzlemde iki nokta bir vektör belirtir.
2- Düzlemde bir nokta (başlangıç noktası) tespit edildiğinde diğer noktaların her biri bir vektöre karşılık gelir. Bu vektöre, karşılık geldiği noktanın “konum (yer) vektörü” denir.
Düzlemde Dik koordinat Sistemi
uur
uur
Düzlemde doğrultuları birbirine dik ve boyları 1 er birim olan iki vektör e1 ve e2 olsun. Düzlemin
uur
uur
keyfi bir noktası başlangıç noktası olarak seçilsin bu durumda e1 ve e2 noktalarına k E1 ve E2 noktaları
uur uur
karşılık gelir. Bu şekilde oluşturulan (O; E1, E2) nokta üçlüsü veya (O, e1 , e2 ) üçlüsü düzlemde bir dik
çatı adını alır.
P2
E2
uur
e2
P
uur
O e
1
E1
uuur uuur uuur
OP = OP1 + OP2
uuur
uuur
uuur
OP = k1 OE1 + k2 OE2
P1
Vektörlerde Eşitlik
r
r
a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) verilmiş olsun. Bu vektörlerin eşitliği;
r r
a = b Û a1 b1 ve = a2 b2
=
biçiminde tanımlanır.
Bir Vektörün Uzunluğu
uuur
A(a1, a2) ve B(b1, b2) olmak üzere AB vektörünün uzunluğu;
uuur
2
2
AB = ( a1 - b1 ) + ( a2 - b2 )
biçiminde tanımlanır.
Vektörlerde Toplama İşlemi
r
r
a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) verilmiş olsun. Bu iki vektörün toplamı
r r
a + b (a1=+ b1 , a2 + b2 )
olarak tanımlanır.
ur
Sıfır Vektörü:Sıfır vektörü 0 = (0, 0) olarak tanımlanır.
Teorem:Vektörler kümesi toplama işlemine göre değişmeli gruptur. Yani aşağıdaki özelikleri sağlar.
1 – İki vektörün toplamı yine bir vektördür (kapalılık özeliği).
r r r r r r
2 - a + b + c =a + b + c
r ur ur r r
3 - a+0 = 0+a =a
r
r
r
r
r r ur
4 - a + ( -a) = ( -a) + a = 0
a = ( a1 , a2 ) Þ -a =( -a1 , - a2 ) dir.
r r r r
5 - a+b = b+ a
(
)
(
)
(
)
61
İki Vektörün Farkı
r
r
a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) verilmiş olsun. Bu iki vektörün farkı
r r
a - b (a1=- b1 , a2 - b2 )
olarak tanımlanır.
Bir Reel Sayı İle Bir Vektörün Çarpımı
r
r
r
r
k Î R ve a = (a1 , a2 ) ise k nın a ile çarpımı k.a ile gösterilir ve ka = (ka1 , ka2 ) olarak tanımlanır.
Teorem:k, k1, k2 Î R olmak üzere
r
r r
r
1 - k a + b = ka + kb
r
r
r
2 - ( k1 + k2 ) a= k1 a + k2 a
r
r
3 - ( k1 .k2 ) .a = k1 .k2 .a
r r
4 - 1.a = a
r
r
r
r
Teorem: a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) verilmiş olsun, a = kb ise bu iki vektör paraleldir. Bu durumda
a1 a2
=
= k olur.
b1 b2
(
)
VEKTÖRLERİN LİNEER BİRLEŞİMİ
Birim Vektör: Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir.
r
1
Normlama: Bir vektöre paralel olan birim vektörü elde etme işlemine normlama denir. u vektörünü r
u
r
r
r
r 1
ile çarparak u ya paralel uzunluğu 1 birim olan u0 vektörü elde edilir. u0 = u. r dır.
u
Lineer Bağımlılık
r
r ur
a.u + b.v = 0
Bağıntısı verilsin.
r r
1 – a ve b den en az biri veya her ikisi sıfırdan farklı olabiliyorsa u, v çifti lineer bağımlıdır.
r r
2 – a ve b nin ikisi de ayrı ayrı 0 olmak zorunda ise u, v çifti lineer bağımsızdır.
r r ur
Genel olarak lineer bağımlı vektörler kümesini de benzer şekilde tanımlayabiliriz. u, v, w vek-
{ }
{ }
{
}
törler kümesinin lineer bağımlı olabilmesi için a, b, c den en az biri 0 dan farklı olmak üzere
r
r
ur ur
au + bv + cw = 0 olmasıdır.
ur
ur
Not: 0 vektörü kendisi hariç hiçbir vektöre paralel değildir fakat 0 , her vektöre lineer bağımlıdır.
Not:Düzlemdeki vektörlerden, ikiden fazlası daima lineer bağımlıdır.
Taban (Baz)
Düzlemdeki vektörlerin kümesi için lineer bağımsız olan herhangi iki vektörün oluşturduğu kümeye, düzlemdeki vektörler için bir taban adı verilir. Eğer bir tabandaki vektörler özel olarak
uur
uur
e1 = (1, 0) ve e2 = (0,1) ise bu tabana düzlemdeki vektörler kümesi için standart taban adı verilir.
Vektörlerde İç Çarpma
r r
V = u : u düzlemde bir vektör ve
{
}
: iç çarpma işlemi, olmak üzere
:VXV®R
r r
r r
rr
u, v ® u, v = u.v
( )
işlemi aşağıdaki özelikleri sağlar;
rr rr
(Simetri özeliği)
1 - u.v = v.u
r
r ur
rur
rur
2 – au + bv w = a(uw) + b(vw)
(a, b Î R)
(İki lineerlik özeliği)
r
rr
" u Î V için u.u ³ 0 ü
rr
r ur ïï
3 - u.u > 0 Û u ¹ 0 ý pozitif tanımlılık özeliği.
rr
r ur ï
u.u = 0 Û u = 0 ïþ
Öklid İç Çarpması
r
r
rr
a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) olmak üzere a.b = a1b1 + a2b2 biçiminde tanımlanan işleme iç çarpma işle-
(
)
mi denir.
62
Norm İşlemi
: V ® R+
r
r
a = (a1 , a2 ) ® a
= a12 + a22
Olarak tanımlanan işleme V de norm işlemi denir. Bu tanıma göre;
r
rr
1 - a = a.a
r2
r 2
2 - a = a dir.
r
rr
r r
r
Teorem: a ve b vektörleri arasındaki açı q olmak üzere a.b = a . b .cos q biçiminde tanımlanan işlem
( )
V de bir iç çarpma işlemidir.
Not: Vektörlerde çarpma işleminin birleşme ve sadeleşme özelikleri yoktur.
İki Vektör Arasındaki Açı
r
r
a ve b gibi iki vektör arasındaki açı, bu vektörlerin konum vektörleri arasındaki açı olarak
tanımlanır. Bu açının ölçüsü q olsun ; q bir reel sayıdır ve 0 £ q £ p olarak pozitif yönde ölçülür.
rr
a.b
cos q = r r dır.
a.b
r
b
uur
e2
O
q
uur
e1
r
a
r ur r ur
r r ur
r r
Diklik Şartı: a ¹ 0, b ¹ 0 olmak üzere a.b ¹ 0 Û a ^ b dir.
Schwartz Eşitsizliği
r r
" a, b Î V için
rr
r r
a.b £ a . b
Bir Vektörün Diğer Vektör Üzerine Dik İzdüşümü
r
uuur
r
Şekildeki a vektörünün b vektörü üzerine dik izdüşüm vektörü OA dır.
uuur
r
OA = a cos a
rr
uuur a.b
OA = r
b
rr r
uuur a.b b
OA = r . r
b b
r
a
O
a
A
r
b
63
UZAYDA VEKTÖRLER
Afin Aksiyomlar
1- Uzayda iki nokta bir vektör belirtir (bu noktalara başlangıç ve bitim noktaları denir).
2- Uzayda belli bir nokta başlangıç noktası (orijin) olarak seçildiğinde, uzayın geri kalan her P
uuur
uuur
noktasına bir vektör karşılık gelir. Bu vektör OP ile temsil edilir ve OP vektörüne P noktasının yer (konum) vektörü denir.
uuur uuuur uur
3- Uzayda herhangi P, Q, R noktaları için, PQ + QR = PR bağıntısı vardır.
Bir Vektörün Uzunluğu
uuur
A(a1, a2, a3 ) ve B(b1, b2, b3 ) olmak üzere AB vektörünün uzunluğu;
uuur
2
2
2
AB = (b1 - a1 ) + (b2 - a2 ) + (b3 - a3 ) dır.
Vektörleri Bileşenleri Türünden Toplama
r
r
r r
a = (a1, a2, a3 ) ve b = (b1, b2, b3 ) olmak üzere a + b
( a1 =+ b1 ,
a2 + b2 , a3 + b3 ) dir.
Teorem: Uzayda vektörler kümesi toplama işlemine göre değişmeli gruptur. Yani aşağıdaki özelikleri
sağlar.
1 – İki vektörün toplamı yine bir vektördür (kapalılık özeliği).
r r r r r r
2 - a + b + c =a + b + c
r ur ur r r
3 - a+0 = 0+a =a
r
r
r
r
r r ur
4 - a + ( -a) = ( -a) + a = 0
a = ( a1 , a2 , a3 ) Þ -a =( a1 , - a2 , - a3 ) dir.
r r r r
5 - a+b = b+ a
(
)
(
)
(
)
Bir Vektörün Bir Reel Sayı ile Çarpımının Bileşenler Cinsinden İfadesi
r
r
r
r
K Î R ve a = (a1 , a2 , a3 ) ise k nın a ile çarpımı k.a ile gösterilir ve ka = (ka1 , ka2 , ka3 ) olarak tanımlanır.
Teorem: k, k1, k2 Î R olmak üzere
r
r r
r
1 - k a + b = ka + kb
r
r
r
2 - ( k1 + k2 ) a= k1 a + k2 a
r
r
3 - ( k1 .k2 ) .a = k1 .k2 .a
(
)
Bir Vektörün Standart Taban Vektörleri Türünden İfadesi
x, y, z eksenleri üzerinde yönleri bu eksenlerin pozitif yönlerinde ve boyları 1 er birim olan vekr r r
törler sırasıyla e1 , e2 , e3 ile gösterilir. Bu durumda uzayda bir P noktasının yer vektörü aşağıdaki gibi
olur.
z
z
uuur
r
r
r
OP = xe1 + ye2 + ze3
P
e3
O e2
x
e1
y
y
x
r r r
Bu şekilde tanımlanan e1 , e2 , e3 vektörlerine uzayın standart taban (baz) vektörleri denir.
64
İki vektörün Paralelliği
r
r ur r ur
r
a ¹ 0, b ¹ 0 olmak üzere a = k.b olacak şekilde bir k reel sayısı varsa, bu iki vektör paraleldir
r
r
r
r
r
r
r
r
a
a
a
denir. a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e 3 =ve b b1 e1 + b2 e 2 + b3 e 3 ise 1 = 2 = 3 = k dır.
b1 b2 b3
Öklid İç Çarpması
r
r
rr
a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 ,b3 ) olmak üzere a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 biçiminde tanımlanan işleme iç
çarpma işlemi denir.
Norm İşlemi
r
r
a = (a1 , a2 , a3 ) Þ a =
r
rr
1 - a = a.a
r2
r 2
2 - a = a dir.
a12 + a22 + a32
( )
r
rr
r r
r
Teorem: a ve b vektörleri arasındaki aç q olmak üzere a.b = a . b .cos q biçiminde tanımlanan işlem
V de bir iç çarpma işlemidir.
İki Vektör Arasındaki Açı
r
r
a ve b gibi iki vektör arasındaki açı, bu vektörlerin konum vektörleri arasındaki açı olarak
tanımlanır. Bu açının ölçüsü q olsun ; q bir reel sayıdır ve 0 £ q £ p olarak pozitif yönde ölçülür.
rr
a.b
cos q = r r dır.
a.b
r ur r ur
r r ur
r r
Diklik Şartı: a ¹ 0, b ¹ 0 olmak üzere a.b = 0 Û a ^ b dir.
Schwartz Eşitliği
r r
" a, b Î V için
rr
r r
a.b £ a . b
3
R , 3 boyutlu vektör uzayında
VEKTÖREL ÇARPMA
r
r
iki vektör a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 ,b3 ) olsun bu iki vektörün
vektörel çarpımı determinant fonksiyonu yardımı ile
Ù : R3 ® R3
uur uur uur
e1 e2 e3
r r
r r
a, b ® a Ù b = a1 a2 a3
b1 b2 b3
( )
Biçiminde tanımlanır.
Teorem:R3 de vektörel çarpmanın özelikleri aşağıdaki şekilde tanımlanır.
r r
r r
1 - a Ù b= -b Ù a
r r ur
2 - aÙa =0
r
r
r
r r
r r
3 - a Ù p.b Ù k.c = p. a Ù b + k. a Ù c
r r
r r
r
r r
p.a Ù k.b Ù c p.= a Ù c + k. b Ù c
r r r
rr r rr r
4 - aÙ bÙc
a.c= .b - a.b .c
r r r
rr r rr r
a Ù b Ù c a.c=.b - b.c .a
ur
r r r r r r r r r
5 - aÙ bÙc +bÙ c Ù a + cÙ aÙb = 0
(
(
)
(
)
(
)
( ) (
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
)
)
65
Karma Çarpma
r
r
r
R3 de üç vektör a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 ,b3 ), c = (c1 , c2 ,c3 ) olsun. Bu vektörlerin karma çarpımı;
R3 XR3XR3 ® R
r r r
r r r
a, b, c ® a, b Ù c
(
) (
)
r r r
=
a.(b Ù c)
Determinant fonksiyonu ile, karma çarpma işlemi
(
a1
r r r
r r r
a, b Ù c = a.(b Ù c) = b1
)
c1
a2
b1
c1
a3
b1
c1
biçiminde tanımlanır.
Teorem:
r
r r
r
1 - a Ù b vektörü hem a hem de b vektörüne diktir.
r
r r
r
2 - a ve b vektörleri arasındaki açı q olmak üzere a Ù b
r r
a . b=sin q dır.
r
r r
r
Sonuç: a Ù b değeri a ile b vektörlerinin belirtmiş olduğu paralelkenarın alanıdır.
r r r
Teorem: Herhangi a , b , c vektörlerinin karma çarpımı bu üç vektör üzerine kurulabilen paralelyüzün
hacmine eşittir.
r r r
r r r
Sonuç: a , b , c vektörleri aynı düzlemde yatar (lineer bağımlı) Û det a, b, c = 0 dır.
(
66
)
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMLERİ
UZAYDA DOĞRU DENKLEMİ
Bilinen Bir Noktadan Geçen ve Bilinen Bir Vektöre Paralel Olan Doğrunun Denklemi
r
Bilinen nokta A(x0, y0, z0) ve bilinen bir vektör d = ( d1 , d2 , d3 ) olsun. Doğru üzerinde bir nokta
T(x, y, z) ise
r
uuur
AT = l.d
eşitliğine doğrunun vektörel denklemi denir. Bu denklem bileşenler cinsinden yazılacak olursa,
x = x0 + ld1
y = y0 + ld2
z = z0 + ld3
elde edilir buna da doğrunun parametrik denklemleri denir.bu üç denklemde l yok edilirse,
x - x0 y - y0 z - z0
===
l
d1
d2
d3
elde edilir. Bu denkleme de doğrunun nokta koordinatlarına göre denklemi veya kısaca kartezyen denkr
lemi denir. d vektörüne, kendisine paralel olan doğrunun doğrultman vektörü denir.
Uzayda İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
Bilinen iki noktası A(x0, y0, z0) ve B(x1, y1, z1) olsun. Bu durumda doğrunun denklemi;
x - x0
y-y
z - z0
=== 0
l
dır.
x1 - x0 y1 - y0 z1 - z0
İki Doğrunun Dik Veya Paralel Olması
Uzayda iki doğru, birbirine aykırı da olsalar dik durumlu olabilirler. Uzayda iki doğru aşağıdaki
gibi iseler
x - x0 y - y0 z - z0
x - x0¢ y - y0¢ z - z0¢
===
l
=
=
=k
p
q
r
p¢
q¢
r¢
1 ) p.p¢ + qq¢ + rr¢ = 0 ise iki doğru dik (veya dik durumlu )
p q r
2)
===
a ise iki doğru paraleldir.
p¢ q¢ r¢
UZAYDA DÜZLEMİN DENKLEMİ
Bilinen Bir Noktadan Geçen ve Bilinen Bir Doğrultuya Dik Olan Düzlemin Denklemi
ur
Bilinen nokta A(x0, y0, z0) ve bilinen bir vektör N = ( a, b, c ) vektörü ile verilmiş olsun. Düzlemin
uuur
ur
temsilci bir noktası T(x, y, z) olsun. Buna göre AT vektörü N vektörüne dik olacaktır. Böylece;
uuur ur
AT.N = 0
ur
olarak elde edilen denkleme düzlemin vektörel
N = (a,b, c)
denklemi denir. Bu denklemin bileşenler cinsinden
ifadesiyle en sade hali
ax + by + cz + d = 0
A(x, y, z )
olan x, y, z koordinatlarına göre lineer bir denklem
elde edilir. Bu da düzlemin kartezyen denklemidir.
ur
N vektörüne ise düzlemin normal vektörü veya
kısaca normali adı verilir.
A(x0, y0, z0 )
67
Uzayda Bilinen Bir Doğru İle Bilinen Bir Düzlem Arasındaki Açı
x - x0 y - y0 z - z0
===
l
l L
p
q
r
E
L
ax + by + cz + d = 0
ur
N
Doğru ve düzlem yukarıdaki denklemler ile verilmiş olsun. l doğrusunun E düzlemiyle yaptığı açı diye l nin E üzerindeki dik
izdüşüm doğrusu ile yapmış olduğu açıdır.
cos(90 - q)
sin q =
ur r
N.d
=ur r=
N .d
ur
N
l
900- q
q
E
sin q
ap + bq + cr
a + b + c2 . p2 + q2 + r2
2
2
den sinq bulunur.
r
ur
Tanım: Normali N = ( a, b, c ) olan bir E düzlemi ile doğrultmanı d = ( p, q, r ) olan bir d doğrusu arasındaki
r
ur
açı diye d ile N arasındaki açının tümleyenine denir.
Doğrunun Düzleme Paralel Olma Şartı
Yukarıdaki doğru düzleme paralel ise doğrunun doğrultmanı düzlemin normaline diktir yani
ur r
N.d = 0 dır. buradan paralellik şartı olarak ap + bq + cr = 0 denkleminin sağlanması çıkar.
Doğrunun Düzleme Dik Olma Şartı
r
ur
Yukarıdaki doğru düzleme dik ise doğrunun doğrultmanı düzlemin normaline paraleldir ( N // d ).
r
ur
a b c
l denklemi çıkar.
Öyleyse N = l.d dir. Buradan diklik şartı olarak = = =
p q r
İki Düzlem Arasındaki Açı
E1 . . . . a1x + b1y + c1z + d1 = 0
E2 . . . . a2x + b2y + c2z + d2 = 0
ur
ur
Normalleri N1 ve N2 olan iki düzlem araur
ur
sındaki açı diye, N1 ve N2 arasındaki açının bütünleri olan açıya denir. Bu açı, düzlemler arasındaki ölçek açı olarak adlandırılır.
uur uur
N1 .N2
cos( q)= ur ur
Þ a = 180 - q
N1 . N2
a
ur
N2
E1
q ur
N1
E2
İki Düzlemin Paralellik Şartı
E1 . . . . a1x + b1y + c1z + d1 = 0 ve E2 . . . . a2x + b2y + c2z + d2 = 0 düzlemleri birbirine paralel ise
ur
ur
ur
ur
bunların normalleri olan N1 ve N2 vektörleri de paraleldir. Yani N1 = lN2 dir buradan;
a1 b1 c1
===
l
a2 b2 c2
şartı çıkar.
İki Düzlemin Diklik
E1 . . . . a1x +
ların normalleri olan
şartı çıkar.
Şartı
b1y + c1z +d1 = 0 ve E2 . . . . a2x + b2y + c2z + d2 = 0 düzlemleri birbirine dik ise bunur
ur
ur ur
N1 ve N2 vektörleri de birbirine diktir. Yani N1 .N2 = 0 dir buradan;
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
68
Bir Doğru İle Bir Düzlemin Ortak Noktaları
Denklemi ax + by + cz +d = 0 olan E düzlemi ile ,
x - x0 y - y0
===
p
q
z - z0
r
l olan d doğrusunun
kesim noktasını bulmak için bu iki denklemin ortak çözümü yapılır; Bu çözümden
l=
- ( ax0 + by0 + cz0 + d )
ap + bq + cr
denklemi elde edilir. Eğer;
a) ap + bq + cr ¹ 0 (doğru ile düzlem birbirine paralel değil ise) l nın bir tek değeri vardır yani bir
tek noktaları ortaktır.
b) ap + bq + cr = 0 (doğru düzleme paralel) ve ax0 + by0 + cz0 + d ¹ 0 ((x0, y0, z0) noktası düzlemde
değil) ise kesim noktası yoktur; doğru düzleme paraleldir.
c) Pay ve payda 0 ise doğru düzlem üzerindedir. Kesim noktası sonsuzdur.
Bir Noktanın Bir Düzlemden uzaklığı
P0 = (x0, y0, z0) noktasının E1 . . . . ax + by + cz + d = 0 düzlemine olan uzaklığı
ax0 + by0 + cz0 + d
h=
dir.
a2 + b2 + c2
Uzayda Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı
Uzayda bir P(x, y, z) noktası ve bir d
L
x - x0 y - y0
===
p
q
noktanın doğruya uzaklığı l olsun
uuur
l = AP .sin a
1
l= r
d
r
d = ( p, q, r )
r 2 uuur 2
r uuur
d . AP - d.AP
(
(
z - z0
r
l doğrusu verilmiş olsun. Bu
P(x, y, z)
)
2
l
)
H
a
A(x0, y0, z0)
69