Analiz

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI
Analiz
Cilt 2
Ünite 8-14
T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ
Analiz
Yazar:
Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Editör:
Öğr.Gör.Dr. Mehmet ÜREYEN
Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları
Anadolu Üniversitesine aittir.
"Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın
bütün hakları saklıdır.
İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da
bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt
veya başka şekillerde çoğaltılamaz,
basılamaz ve dağıtılamaz.
Copyright © 1999 by Anadolu University
All rights reserved
No part of this book may be reproduced
or stored in a retrieval system, or transmitted
in any form or by any means mechanical, electronic,
photocopy, magnetic tape or otherwise, without
permission in writing from the University.
Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN
ISBN 975 - 492 - 841 - X
Limit ve Süreklilik
ÜNİTE
8
Yazar
Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• fonksiyonların limiti kavramını öğrenecek,
• limitler hakkındaki teoremleri görecek,
• basit limitlerin hesaplanması tekniğini öğrenecek,
• fonksiyonların sürekliliği kavramı ile tanışacaksınız.
İçindekiler
• Giriş
205
• Fonksiyon Limitinin Tanımı
205
• Limit Özellikleri
211
• Süreklilik
216
• Değerlendirme Soruları
219
Çalışma Önerileri
• Limit ve Süreklilik Kavramlarını iyi öğreniniz
• Çok sayıda fonksiyon örneği alıp limitlerini bulmaya çalışınız
• Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz
• Çok sayıda fonksiyon örneği alıp onun sürekli olup olmadığına karar veriniz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
205
1. Giriş
Geçen ünitede dizilerin limitleri ile tanışmıştık. Bu ünitede fonksiyonların limiti
kavramını ele alacağız. Fonksiyonların limiti kavramı türev, integral gibi kavramların temelini oluşturur. Ünite sonunda sürekli fonksiyonlar konusuna kısaca değineceğiz.
2. Fonksiyon Limitinin Tanımı
A ⊂ IR olmak üzere f: A → IR , y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer x değişkeninin değerleri sabit bir a gerçel sayısına istenildiği kadar yakın ise o zaman bu yaklaşma sembolik olarak x → a gibi gösterilir ve "x değişkeni a ya yaklaşıyor"
şeklinde okunur. y = f(x) fonksiyonunun limitinin varlığı, x değişkeni a ya yaklaştığı zaman f(x) fonksiyon değerlerinin bir gerçel sayıya yaklaşıp yaklaşmamasına
bağlıdır. Örneğin, f(x) = x2 -2 fonksiyonunu ele alalım ve x → 3 olduğunu
varsayalım. x 3 e yakın değerler aldığı zaman f(x) in aldığı değerleri gösteren aşağıdaki tabloyu ele alalım:
x
2,9
3,1
2,99
3,01
2,999
3,001
...
f(x) = x2 -2
6,41
7,61
6,9401
7,0601
6,994001
7,006001
...
Tablodan görüldüğü gibi x değişkeni 3 e ister 3 den küçük değerlerle, isterse 3 den
büyük değerlerle yaklaşsın f(x) = x2 - 2 nin değerleri 7 ye yaklaşmaktadır. İşte
bu durumda x → 3 iken f(x) in limiti 7 dir diyecek ve sembolik olarak
lim (x2 - 2) = 7
x→3
şeklinde göstereceğiz.
A kümesi ve a sayısı verilsin. Eğer merkezi a noktasında olan her (a - δ , a + δ)
açık aralığında b ≠ a , b ∈ A koşullarını sağlayan en az bir b sayısı bulunabiliyorsa, o zaman a noktasına A kümesinin yığılma noktası denir. Bir kümenin yığılma noktası o kümenin elemanı olabilir de, olmayabilir de. Örneğin, a = 0 noktası A
= (0,1) açık aralığının yığılma noktasıdır. Her bir gerçel sayı Q rasyonel sayılar kümesinin yığılma noktasıdır.
f: A → IR fonksiyonu verilsin ve a sayısı A kümesinin yığılma noktası olsun.
Eğer her ε > 0 için bir δ >0 sayısı bulunabiliyor ve 0 < | x - a | < δ eşitsizliğini
sağlayan tüm x ∈ A değerleri için | f(x) - L | < ε eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman x → a iken f(x) in limiti L dir (veya f fonksiyonunun a noktasındaki limiti L dir) denir ve sembolik olarak
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
206
LİMİT VE SÜREKLİLİK
lim f(x) = L veya x→ a iken f(x) → L
x→a
şeklinde gösterilir.
Dizi limitinde olduğu gibi bu tanım da şöyle yorumlanabilir. Her ε > 0 için öyle δ > 0 vardır ki tanım kümesine ait olan ve (a - δ , a + δ) aralığına düşen a
dan farklı tüm x ler için f(x) değerleri (L - ε , L + ε) aralığına düşer.
Şekil 8.1
3
Örneğin, lim x = 8 dir, çünkü her ε > 0 için öyle δ > 0 vardır ki (2 - δ , 2 + δ)
x→2
aralığındaki tüm x ler için x3 ün değerleri (8 - ε , 8 + ε) aralığına düşer (ε verildiğinde δ nın ε a bağlı nasıl seçileceğini tartışmıyoruz).
Şekil 8.2
Tanımdan görüldüğü gibi sabitin limiti kendisidir:
lim c = c .
x→a
Dizilerin limiti ile fonksiyonların limiti arasında sıkı bir ilişki vardır.
lim f(x) = L olması için gerek ve yeter koşul, her xn ∈ A, (n ∈ N) ve
x→a
(xn)
→ a koşulunu sağlayan (xn) dizileri için (f(xn)) → L olmasıdır. lim
Yani,f(x) = L
x→a
olması için gerek ve yeter koşul, tanım kümesinin elemanlarından oluşan ve a ya
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
207
yakınsayan her (xn) dizisine karşılık, fonksiyon değerlerinden oluşan (f(xn)) dizisinin L sayısına yakınsamasıdır.
Örnek:
f: IR → IR, f(x) = x2 - 2 olmak üzere lim f(x) = 7 olduğunu gösterelim.
x→3
Çözüm:
xn ∈ IR için (n ∈ IN) f(xn) = xn2 - 2 dir. Her (xn) → 3 için (xn2 ) → 9 olduğundan
(f (xn)) = (xn2 - 2) → 9 - 2 = 7 dir. Dolayısıylalim (x2 - 2) = 7 dir.
x→3
Örnek:
f: IR → IR , f(x) =
2x + 4 ,
x ≤ 1 ise
5x - 1 ,
x > 1 ise
parçalı tanımlı fonksiyonun x → 1 için limitinin olmadığını gösterelim.
Çözüm:
n ∈ IN için xn = 1 - 1 alalım. Bu durumda (xn) → 1 olduğu açıktır. xn = 1 - 1 < 1
n
n
olduğundan f( xn) = 2 1 - 1 + 4 = 6 -2 ve
n
n
lim f (xn) = lim 6 - 2 = 6 dır.
n→∞
n
n→∞
y
•
6
4
x
-2
1-1
n
1 1+1
n
Şekil 8.3
Buna karşılık, n ∈ IN için
olduğundan
x'n = 1 + 1 alırsak (x'n) → 1 dir. Her n ∈ IN için x'n > 1
n
f( x'n) = 5 x'n - 1 = 5 1 + 1 - 1 = 4 + 5 ve
n
n
'
5
lim f( xn) = lim 4 + = 4 dür.
n→∞
n→∞
n
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
208
Burada tanım kümesinin elemanlarından oluşan ve 1 e yakınsayan farklı iki diziye
karşı gelen fonksiyon dizileri aynı sayıya yakınsamamaktadır. Bu nedenle fonksiyonun x = 1 noktasında limiti yoktur. Bu durum grafikten de açıkça görülmektedir. Grafikten gördüğümüz gibi, x değişkeni 1 e 1 den büyük değerlerle yaklaşırken fonksiyon değerleri 4 e yaklaşmakta, x değişkeni 1 e 1 den küçük değerlerle
yaklaşırken ise fonksiyon değerleri 6 ya yaklaşmaktadır. x → 1 için fonksiyon
değerleri aynı sayıya yaklaşmadığından fonksiyonun limiti yoktur.
?
1) lim x
x→0
2) lim x - 1
x → 1 3x + 5
limitlerini araştırınız.
Cevaplar 1) Yoktur 2) 0 olmalıydı.
Örnek:
lim x = 2
x→4
,
lim lnx = 0 ,
x→1
2
lim x3 = 4
x→8
lim
5
lim ex = 1 ,
,
x→0
x =2
,
lim sinx = 1
,
x → 32
x→π
2
lim (cosx) = -1 ,
x→π
lim cotx = 1 ,
x→π
4
lim tanx - yoktur.
x→π
2
Eğer x değişkeni a ya yaklaşırken onun aldığı değerler a dan küçük kalıyorsa, o
zaman "x değişkeni a ya soldan yaklaşıyor" denir ve bu yaklaşma sembolik
olarak x → a- gibi gösterilir.
Eğer x değişkeni a ya yaklaşırken onun aldığı değerler a dan büyük kalıyorsa, o zaman "x değişkeni a ya sağdan yaklaşıyor" denir ve sembolik olarak x → a+
gibi gösterilir.
x → a- iken f(x) in limiti varsa, bu limite f(x) in a noktasında soldan limiti denir ve
bu limit
lim f(x) gibi gösterilir.
x → a-
x → a+ iken f(x) in limiti varsa, bu limite f(x) in a noktasında sağdan limiti denir ve
bu limit
lim f(x) gibi gösterilir.
x → a+
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
209
lim f(x) limitinin mevcut olması için, a noktasında sağdan ve soldan limitler
mevcut ve birbirine eşit olmalıdır. Yani
x→a
lim f(x) = lim f(x) = L ⇔ xlim
f(x) = L
→a
x → a-
x → a+
dir.
Örnek:
x
x
x→0
lim
ve
lim
x → 0+
x
x
soldan ve sağdan limitleri hesaplayalım.
Çözüm:
x → 0- olması x < 0 , x → 0+ ise x > 0 demektir. x < 0 için |x| = -x , x >
0 için ise
|x| = x olduğundan
x
lim
= lim -x = lim -1 = -1
x
x→0
x → 0- x
x → 0lim +
x→0
x
= lim + x = lim + 1 = 1
x
x→0 x
x→0
bulunur. Soldan ve sağdan limitler eşit olmadığından (-1 ≠ 1) ,
lim
x→0
x
x
limiti
yoktur.
Örnek:
f(x) =
x2
,
x≥1
ise,
-2x + 3
,
x<1
ise
parçalı tanımlı fonksiyonu için
lim f(x) , lim + f(x)
x → 1-
x→1
limitlerini bulalım.
Çözüm:
x < 1 için f(x) = -2x + 3 , x > 1 için f(x) = x2 olduğundan
lim f(x) = lim (-2x + 3) = (-2) . 1 + 3 = 1 ,
x → 1-
x → 1-
lim f(x) = lim + x2 = 1
x → 1+
x→1
dir. Soldan ve sağdan limitler eşit olduğundan lim f(x) limiti var ve 1 dir.
x→1
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
210
?
f(x) =
x2 - 2x
,
x≤ -1
ise,
x+2
,
x> -1
ise
fonksiyonunun x = -1 noktasında soldan ve sağdan limitlerini hesaplayınız.
Cevaplarınız 3 ve 1 olmalıdır.
a → - ∞ ve a → ∞ durumlarında da limit tanımlanabilir. Eğer her ε > 0 için bir ∆ >
0 bulunabiliyor ve x < -∆ eşitsizliğini sağlayan tüm x ler için |f(x) - L| < ε oluyorsa,
o zaman "x → - ∞ iken f(x) in limiti L dir" denir ve
lim f(x) = L gibi yazılır.
x →-∞
ε > 0 için bir ∆ > 0 bulunabiliyor ve x > ∆ eşitsizliğini sağlayan tüm x
ler için |f(x) - L| < ε oluyorsa o zaman "x → ∞ iken f(x) in limiti L dir" denir ve
Eğer her
lim f(x) = L gibi yazılır.
x→∞
f(x) = L (veya lim f(x) = L) olması için x in
Tanımlardan görüldüğü gibi x lim
→-∞
x→∞
aldığı değerler negatif yönde gittikçe çok küçüldüğünde (veya pozitif yönde çok
büyüdüğünde) f(x) in aldığı değerler bir L ye istenildiği kadar yakın olmalıdır.
Örnek:
1)
1
ifadesi 0 a istelim 1 = 0 dır. Çünkü x büyük değerler aldığında x
x
nildiği kadar yakın değerler alır. Aynı sebepten lim 1 = 0 dır. Ayrıca,
x →-∞ x
lim c = 0 (c-sabittir) olur.
x→∞ x
x→∞
2) lim 2x + 3 limitini bulmak için 2x + 3 ifadesini x e bölelim:
x→∞
x
2x + 3 = 2 + 3 , buradan lim 2x + 3 = lim 2 + 3 = 2 + 0 = 2
x→∞
x→∞
x
x
x
x
bulunur.
3)
lim
x →-∞
1 = 0 dır. Çünkü x→ - ∞ iken 1
x-1
x-1
ifadesi negatif değerler ala-
rak sıfıra istenildiği kadar yakın değerler alır. (Burada, x
→ -∞ için kesrin payı sabit kalırken paydası mutlak değerce sınırsız büyümektedir).
?
lim x + 2 ,
x →-4
lim 100 ,
x
x →-∞
lim 5x + 3
x- 2
x→∞
limitlerinin değerleri nedir?
Cevaplarınız 2, 0 ve 5 olmalıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
211
3. Limit Özellikleri
Şimdi limitlerin hesaplanmasında faydalı olan aşağıdaki teoremleri vereceğiz.
1) Eğer
lim f x
x →a
limiti varsa bu limit tekdir.
2) f(x) ve g(x) fonksiyonları verilsin. Eğer x in a ya yakın tüm değerlerinde
f x ≤ g x ise ve xlim
f x , xlim
g x limitleri varsa o zaman
→a
→a
lim f x ≤ xlim
gx
→a
x →a
eşitsizliği sağlanır.
3) f1(x), f2(x), ..., fn(x) fonksiyonları verilsin ve
lim f1 x , xlim
f2 x , ....,
→a
x →a
lim fn x limitleri mevcut olsun. Bu durumda
x →a
lim f1 x ± f2 x ± ... ± fn x
x →a
ve xlim
f1 x . f2 x ... fn x
→a
limitleri de vard ı r ve
lim f1 x ± f2 x ± ... ± fn x = xlim
f1 x ± xlim
f2 x ± ... ± xlim
fn x
→a
→a
→a
x →a
lim f1 x . f2 x ..... fn x = xlim
f1 x . xlim
f2 x ..... xlim
fn x
→a
→a
→a
x →a
dir.
c bir sabit olmak üzere lim c = c olduğundan, son eşitliğin bir sonucu
x →a
olarak, sabitin her zaman limit işaretinden dışarı çıkarılabileceğini söylemek mümkündür:
lim c f x = c xlim
fx .
→a
x →a
4) Eğer pay ve paydanın limiti varsa ve paydanın limiti sıfırdan farklı ise o
zaman kesrin limiti, limitler oranına eşittir: lim g x ≠ 0 olmak üzere,
x →a
lim
x →a
lim f x
fx
= x →a
gx
lim g x
x →a
dir.
5) f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonları verilsin. Eğer x in a ya yakın tüm değerleri
için h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) eşitsizli ği sağlanı yorsa ve lim h x = lim g x = L
x →a
ise o zaman lim f x limiti de vard ı r ve
x →a
lim f x = xlim
h x = xlim
gx = L
→a
→a
x →a
dir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
x →a
212
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Bu teoremlerin ispatı limitin tanımından yararlanarak yapılabilir. Örneğin, 1). yi ispatlamak için x → a iken f(x) in L1 ve L2
lım. O zaman tanıma göre her
limitlerinin var olduğunu varsaya-
ε > 0 için öyle δ1 > 0 vardır ki 0 < |x - a|< δ1 iken
f x - L1 < ε dir ve aynı zamanda öyle δ2 > 0 vardır ki 0 < |x - a| < δ2 iken
2
f x - L2 < ε olur. Eğer δ1 ve δ2 sayılarından küçük olanına δ dersek o zaman
2
0 < |x - a|< δ eşitsizliğini sağlayan her bir x için aynı zamanda|x - a|< δ1 ve|x a|< δ2 eşitsizlikleri de sağlanmış olur. Buna göre mutlak değerin de özelliklerini
kullanırsak,
L1 - L2 = L1 - f x + f x - L2 ≤ L1 - f x + f x - L2
≤ f x - L1 + f x - L2 < ε + ε = ε,
2 2
buradan L1 - L2 < ε
L1 - L2 = 0 , L1 = L2
yazabiliriz. ε keyfi olduğundan |L1 - L2| = 0 veya
olmalıdır. Dolayısıyla varlığı halinde limit tekdir.
Not: Yukarıdaki teoremler a → - ∞ ve a → ∞ için de doğrudur.
Örnek:
lim x2 + 3x -1 = lim x2 + lim 3x - lim 1
1)
x→2
x→2
x→2
x→2
= 4 + 3 lim x - 1 = 4 + 3 . 2 - 1 = 9
x→2
2)
lim
x→4
lim x
x = x→4
x + 1 lim x + 1
x→4
3)
4)
= 2
5
lim sinx . 1 + cosx = limπ sinx . limπ 1 + cosx = 1 . 1 + 0 = 1
x→π
2
lim 2x + 4
3x + 1
x→∞
2 +4
2x + 4 =
x
3x + 1
3 +1
x
x→
2
x→
2
limitini hesaplamak için pay ve paydayı x ile bölelim:
buna göre ,
2 +4
lim 2 + 4
2x + 4 = lim
x =x→∞
x
lim
x→∞
3x + 1 x → ∞ 3 + 1
lim 3 + 1
x→∞
x
x
bulunur.
5)
=
4
2 + xlim
→∞ x
= 2+0 =2
3+0
3
3 + lim 1
x→∞ x
3x2 + 2x + 1 limitini hesaplamak için pay ve paydayı
x2 + 4
bölelim:
lim
x→-∞
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
x2 ile
LİMİT VE SÜREKLİLİK
213
3 +2 + 1
x x2
3x + 2x + 1 =
.
2
x +4
1 + 4
x2
1 = 2 . 0 = 0, lim 1 = 0, lim 4 = 0 olduğunda
lim 2 = 2x lim
x→-∞ x
→-∞ x
x→-∞ 2
x→-∞ 2
x
x
2 + lim 1
lim
3
+
lim
2
x→-∞
x→-∞ x
x→-∞ 2
x
lim 3x + 2x + 1 =
=3+0+0 = 3
x→-∞
2
4
1+0
x +4
lim 1 + x lim
x→-∞
→-∞ 2
x
bulunur.
2
x → a veya x → ± ∞ için f(x) değerleri pozitif yönde sınırsız büyüyorsa fonksiyonunun limiti ∞ dur denir. Benzer şekilde x → a veya x → ± ∞ için f(x) değerleri negatif yönde sınırsız küçülüyorsa, bu durumda fonksiyonun limiti - ∞
dur denir. Örneğin
lim 1 = ∞ ,
x
lim 1 = - ∞ ,
x → 0- x
lim x2 - 4x = ∞
x→∞
dur.
x → 0+
Yukarıdaki 4). ve 5). örneğimizde, sırasıyla x → ∞ veya x → - ∞ için kesirlerin pay
vepaydalarınlimiti ∞ olduğuhaldekesirlerinlimitlerisırasıyla 2/3ve3 tür.Buörneklerde
olduğu gibi x → ± ∞ (veya x → a için) bir kesrin pay ve paydası ∞ olduğunda kesrinlimitininvarlığıveyavarsadeğerikesrebağlıdır.Bunedenle, budurumdasonsuzbölü
∞ şeklinde gösteriyoruz. ∞ /∞
∞
sonsuz belirsizliği vardır diyor ve sembolik olarak ∞ /∞
belirsizliği limit yok demek değildir. Sadece limitin varlığının ve varsa değerinin kesre
bağlı olduğunu ifade eder.
6) lim
x→0
x2 + x limitini bulmak için pay ve paydada x in yaklaştığı değer
3x2 + 4x
olan sıfırı yazarsak pay ve payda sıfır olur. Ancak bu durum limitin olmadığı anlamına gelmez. Limiti bulmak için kesri sadeleştirmek gerekir.
Bunun için
x2 + x = x x + 1 = x + 1
3x + 4
3x2 + 4x x 3x + 4
yazabiliriz. Buradan
lim
x→0
lim x + 1
x2 + x = lim x + 1 = x → 0
=1
2
x → 0 3x + 4
lim
3x
+
4
4
3x + 4x
x→0
elde edilir.
7)
x - 1 limitini bulalım. x → 1 için hem pay hem de payda 0
x -1
olmaktadır. Payı çarpanlara ayırıp kısaltma yaparsak
lim
x→1
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
!
LİMİT VE SÜREKLİLİK
214
x-1 =
x-1
x-1 x+1
x-1
= x+1
olur. Aynı sonuç, pay ve payda, paydanın eşleniği ile genişletilerek de bulunabilir:
x - 1 = x - 1 . x + 1 = x - 1 x + 1 = x + 1.
x-1
x-1
x+1
x-1
Buna göre,
lim
x→1
x - 1 = lim
x→1
x-1
x+1 =2
bulunur.
6). ve 7). örneklerde, sırasıyla x → 0 , x → 1 için pay ve payda 0 a yaklaştığı halde
kesirlerin limitleri 1/4 ve 2 olmaktadır. Bu örneklerden görüldüğü gibi x → a
( veya x → ± ∞) için pay ve payda 0 a yaklaşırsa kesrin limiti kesre bağlıdır. Bu
nedenle, bu durumda da 0 belirsizliği vardır diyoruz. Bu belirsizlik de limitin
0
olmadığı anlamına gelmemekte, sadece limitin varlığının ve değerinin kesre bağlı olduğunu ifade etmektedir.
?
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
4x2 - x , lim
lim
x →-∞
3x2 + 4x x → 8
3
2
x
2x2 - x + 1
x2 + e - 8 , lim x - 9 , limπ sinx - cos2 x , xlim
→∞
x → -3 x + 3
x→
x
4
Cevaplarınız 4/3, 4 + e-1, -6, 2 - 1 ve "∞ " olmalıdır.
2
lim sinx Limitinin Hesaplanması
x
x→0
y
C
B
•
•
x
0
• •
K
A
x
(1,0)
Şekil 8.4
Şimdi, x bir açının radya cinsinden ölçümünü göstermek üzere, lim sinx = 1
x→0 x
olduğunu ispatlayalım. Bunun için merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan birim çemberi ele alalım (Şekil 8.4). BOA açısı x, A noktasında çemberin
teğeti ile OB nin uzantısının kesiştiği nokta C olsun. Şekilden görüldüğü gibi
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
215
AOB üçgen alanı < AOB daire kesmesinin alanı < AOC üçgen alanı ,
BK = sinx, OA = 1, AC = OA . tanx = tanx olduğundan
AOB üçgen alanı = 1 sinx ,
2
AOC üçgen alanı = 1 tanx ,
2
AOB daire kesmesinin alanı =
x . (daire alanı)
2π
=
x . π . 12
= x olur
2π
2
Buradan
1 sinx < 1 x < 1 tanx
2
2
2
veya
sinx < x < sinx
cosx
elde edilir. x dar açı olduğundan sinx > 0 olur ve son eşitsizlikte tarafları sinx e bölersek
1 <
x < 1
cosx
sinx
veya
1 >sinx > cosx
x
olur. Eğer x → 0 ise o zaman cosx → 1 olur ve limitler haklarındaki 5) . teoremden
lim sinx = 1
x
x→0
olduğu sonucu elde edilir.
a ≠ 0 olmak üzere, lim sinax = 1 olduğunu gösteriniz.
x→0
ax
Örnek:
sinx
1) lim tanx = lim cosx = lim sinx = lim sinx . 1
x→0
x→0
x → 0 x cosx
x→0
x
x
x cosx
= lim
x→0
sinx . lim
1 =1.1=1
x x → 0 cosx
2) lim sin2x = lim 2 . sin2x = 2 lim sin2x = 2 . 1 = 2
x→0
x→0
x→0
x
2x
2x
3) lim
x→0
x = lim
1 =
1
=1 = 1
sinx x → 0 sinx lim sinx 1
x→0
x
x
sinax
lim sinax
4) lim sinax = lim sinax/ax . ax = lim a . ax = a . x → 0 ax
x → 0 sinbx
x → 0 sinbx/bx bx
x → 0 b sinbx
b lim sinbx
x→0
bx
bx
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
LİMİT VE SÜREKLİLİK
216
a =. 1 = a
b 1 b
(a ve b sabit gerçel sayılardır ve a ≠ 0, b ≠ 0 dır).
?
2
lim x cotx, lim sin3x , lim sin x
x→0
x→0
x→0
x
x
limitlerini hesaplayınız.
Cevaplarınız 1, 3 ve 0 olmalıdır.
?
lim x sin1 , lim sinx
x x→∞ x
x→0
limitlerini hesaplayınız.
Cevaplarınız her ikisi içinde 0 olmalıydı.
4. Süreklilik
A ⊂ IR olmak üzere f: A → IR fonksiyonu verilsin ve a ∈ A olsun. Eğer
lim f(x) limiti varsa ve bu limit f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki değeri olan
x→a
f(a) ya eşitse, yani
lim f x = f a
x →a
ise y = f(x) fonksiyonu x = a noktasında sürekli dir denir. Aksi halde y = f(x) fonksiyonuna x = a noktasında süreksiz veya sürekli olmayan fonksiyon denir. Böylece fonksiyonun x = a da süreksiz olması için ya
lim f(x)
x→a
limiti mevcut olma-
malı ya da limit mevcut olsa da f(a) ya eşit olmamalıdır.
Not: A kümesi [a,b] kapalı aralığı ise o zaman a ve b noktalarında sağdan ve soldan süreklilikten sözedilebilir. Yani, fonksiyonun a noktasında sürekli olması
lim f x = f a ,
x → a+
b noktasında sürekli olması ise
lim f x = f b
x → b-
anlamlarını taşımaktadır.
Eğer y = f(x) fonksiyonu her bir a ∈ A noktasında sürekli ise o zaman bu fonksiyona A kümesi üzerinde veya A da süreklidir denir.
!
Önceki ünitelerden bildiğimiz polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonlar, üstel ve logaritmik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonlar tanım kümeleri üzerinde sürekli fonksiyonlardır.
Sürekli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı yine süreklidir. Sürekli fonksiyonların oranı ise paydanın sıfır olmadığı noktalarda süreklidir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
217
Örnek:
fx =
x2 + 1 ,
x≥0
ise,
-x + 1 ,
x<0
ise
fonksiyonunun x = 0 da sürekli olduğunu gösterelim.
Çözüm:
f 0 = 02 + 1 = 1 olduğundanlim f x limitinin var olduğunu ve bu limitin
x→0
f 0 = 1 e eşit olduğunu göstermeliyiz. Bunun için sağdan ve soldan limitleri
hesaplayalım.
lim f x = lim + x2 + 1 = 02 + 1 = 1 , lim - f x = lim - -x + 1 = 0 + 1 = 1 ,
x → 0+
x→0
x→0
x→0
sağdan limit soldan limite eşit olduğundan lim f x limiti var ve 1 e eşittir.
x→0
lim f x = 1 = f 0
olduğundan fonksiyon x = 0 noktasında süreklidir.
x→0
Not: Fonksiyonun x = a noktasında sürekli olması, geometrik olarak onun grafiğinin o noktada kesiksiz olmasını gösterir. Yukarıdaki fonksiyonun ve x = 0 noktasında süreksiz olan
gx =
x+1
x2
,
,
x>0
ise
x≤0
ise
fonksiyonlarının grafiklerine dikkat ediniz.
lim g x = lim + x + 1 = 1 , lim g x = lim x2 = 0 olduğundanlim g x
x→0
x→0
x → 0x → 0-
x → 0+
limiti yoktur ve buna göre g(x) fonksiyonu x = 0 da süreksizdir).
Şekil 8.5
3. ünitede öğrendiğimiz f(x) = |x| (mutlak değer) fonksiyonu IR de süreklidir.
f(x) =[x] (tam değer) fonksiyonu ise her bir x = 0, ±1, ±2,......tam sayı noktalarda
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
218
süreksizdir, çünkü tam sayı noktalarda soldan limit sağdan limite eşit değildir.
İşaret fonksiyonu olan f(x) = sgn x fonksiyonu ise x = 0 noktasında süreksizdir. Bu
fonksiyonların grafikleri 3. ünitede verilmişti. Bu grafikleri inceleyerek süreksizlikleri görmeye çalışınız.
Not: Sürekliliğin tanımında a sayısını f(x) fonksiyonunun tanım kümesinin bir
elemanı olarak almıştık. Bu nedenle, genel olarak bir fonksiyon bir noktada tanımlı
değilse, fonksiyonun bu noktada sürekliliği veya süreksizliğinden söz edilmez.
Ancak aşağıdaki gibi özel noktalarda fonksiyonun süreksizliği kavramı yaygın
olarak kullanılmaktadır.
Eğer a sayısı bir f fonksiyonunun tanım kümesine dahil olmayıp bu kümenin bir yığıllim
fx
x→a
ma noktası ise ve
limiti yoksa, a nın tanım kümesinde olmamasına
rağmen f(x) fonksiyonu a noktasında süreksizdir denilir. Örneğin, x = 0 noktası
f x = 1 fonksiyonunun tanım kümesinden olmamasına rağmen, lim 1 limiti bux→0 x
x
lunmadığından bu fonksiyon x = 0 da süreksizdir denilir. Aynı sebepten f(x) = tanx
fonksiyonu için de x = π noktasında süreksizdir denilir.
2
fx
Eğer lim
x→a
limiti varsa ve a sayısı tanım kümesine dahil olmayıp bu kü-
menin bir yığılma noktası ise veya fonksiyon a yığılma noktasında tanımlı fakat
f(a) ≠ lim f x ise o zaman f(x) fonksiyonu a noktasında kaldırılabilir süreksizliğe
x→a
sahiptir denir. Örneğin,
fx =
-x ,
x<0
x ,
x>0
ise,
ise
fonksiyonu x = 0 noktasında süreksizdir, çünkü x = 0 noktası tanım kümesine dahil
değildir.Ancak lim f x = 0 ve x = 0 noktası fonksiyonun tanım kümesinin yıx→0
ğılma noktası olduğundan f fonksiyonunun bu noktadaki süreksizliği kaldırılabilir süreksizliktir. Çünkü f(x) ile sadece x = 0 da farklılık gösteren
gx =
-x ,
x<0
ise,
0 ,
x=0
ise, = x
x ,
x>0
ise,
fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur.
1) f x = |x| mutlak değer fonkisyonunun sürekliliğini tanımdan yararla-
?
narak gösteriniz.
2) f x [x] tam değer fonkisyonunun tam sayı noktalarda süreksizliğini
gösteriniz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Değerlendirme Soruları
1. lim 10 = ?
x→2
A.
B.
C.
D.
E.
-10
0
2
10
Yoktur
2. lim x2 - 4x + 1 = ?
x→3
A.
B.
C.
D.
E.
-3
-2
1
2
3
3. lim
x→1
A.
B.
C.
D.
E.
4. lim
0
1/2
1
2
∞
x→2
A.
B.
C.
D.
E.
x-1 =?
x2 + 1
x2 - 3x + 2 = ?
x-2
-2
0
1
2
Yoktur
2
5. lim x - 3x + 2 = ?
x→∞
x-2
A.
B.
C.
D.
E.
-∞
0
2
∞
1
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
219
220
LİMİT VE SÜREKLİLİK
6.
x -5
=?
x-5
lim
x→1
A. -1
B. - 4
5
C. 0
D. 4
5
E. Yoktur
7.
x→5
A.
B.
C.
D.
E.
8.
x -5
=?
x-5
lim
-1
0
1
5
Yoktur
x -2
=?
x-2
lim +
x→2
A.
B.
C.
D.
E.
9.
-1
0
1
2
Yoktur
x2 + 4 - x2 + 1
lim
x→∞
=?
A. - ∞
B. 0
C. 1
2
D. ∞
E. 1
10. lim
x→∞
x2 + 4 - x
=?
A. - ∞
B. 0
C. 1
2
D. 2
E. ∞
11. lim
h→0
A.
B.
C.
D.
E.
-3
-2
-1
0
1
1+h3-3 1+h2+2
=?
h
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
221
12. lim sinx = ?
x→∞
x2
A.
B.
C.
D.
E.
-∞
-1
0
1
∞
13. lim
π
x→
2
sinx
=?
2 + cosx
A. 0
B. 1
3
C. 1
2
D. 1
E. 3
2
14. lim
x→0
A.
B.
C.
D.
E.
tan3x = ?
x
∞
3
2
1
0
15. lim lnx = ?
x→∞
x
A.
B.
C.
D.
E.
(y.g.: x > e için 1 < lnx < x dir)
-∞
-1
0
1
∞
16. lim + lnx = ?
x→0
x
A.
B.
C.
D.
E.
-∞
-10
-e
0
∞
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
222
LİMİT VE SÜREKLİLİK
17. lim 10 - x = ?
x→∞
A.
B.
C.
D.
E.
-∞
-1
0
1
∞
18. lim xe - x = ?
x→∞
(y . g. : x > 0 için ex > x2 )
A. 0
B. 1
C. 1
2
D. 1
e
E. ∞
19. f x =
2x - a,
x≤1
ise
x + 4,
x>1
ise
parçalı tanımlı fonksiyonun x = 1 noktasında sürekli olması için a sayısı
aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
A. 1
B. 0
C. -1
D. -2
E. -3
20. f x =
a sinx ,
x
x≤0
ise
x - a + 1,
x>0
is
parçalı tanımlı fonksiyonun x = 0 noktasında sürekli olması için a sayısı
aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
A. - 1
2
B. 0
C. 1
2
D. 1
E. 3
2
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. D
2. B
3. A
4. C
11. A 12. C
13. C
14. B
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
5. D
15. C
6. A
16. A
7. E
17. C
8. B
18. A
9. B
19. E
10. B
20. C