(Microsoft PowerPoint - M\374hendislikte \335statistik Metotlar_3mc

Olasılık Kavramı
Mühendislikte İstatistik Yöntemler
OLASILIK KAVRAMI
KÜME KAVRAMI
Birlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme,
Kümede içerilen nesnelere de eleman, öğe veya üye denir.
Kümenin elemanlerı (öğeleri, üyeleri) kesin bir şekilde
tanımlanmış olmalıdır.
S = {s : Türkçe’deki sesli harf}
a∈S
(a, S kümesinin bir öğesidir)
b∉S
(a, S kümesinin bir öğesi değildir)
S = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü}
2
OLASILIK KAVRAMI
Z = {z : Zar atışı sırasında görülen sayıların kümesi}
Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1∈ Z
(1, Z kümesinin bir öğesidir)
7∉ Z
(7, Z kümesinin bir öğesi değildir)
3
OLASILIK KAVRAMI
KÜME KAVRAMI
Hiç bir elemanı olmayan küme boş küme olarak adlandırılır ve Ø işareti
ile gösterilir.
Bir kümenin bütün elemanları diğer bir kümenin de elemanları ise ilk
küme ikinci kümenin bir alt kümesi ‘dir denir ve ⊂ işareti ile
gösterilir.
İki kümenin her ikisinde de bulunan elemanların oluşturduğu küme bu iki
kümenin arakesiti (kesişimi) dir ve I işareti ile gösterilir.
İki kümenin ortak elemanı yoksa bu kümelere ayrık kümeler denilir ve
boş küme L I S = Ø ile gösterilir.
İki kümeden en az birinde bulunan elemanlardan oluşan kümeye bu iki
kümenin bileşimi denir ve U ile gösterilir.
4
KÜME KAVRAMI
Kümeler arası ilişkiler Venn Diyagramı ile gösterilir:
S
H
L
K
SIH
K⊂S
LIS=Ø
H⊄S
S I H = {a,e}
5
KÜME KAVRAMI
S = {s : Türkçe’deki sesli harf}
S = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü}
K = {k : Türkçe’deki kalın sesli harfler}
K = {a, ı, o, u}
H = {h : Türkçe’deki ilk 6 harf}
H = {a, b, c, ç, d, e}
L = {l : Türkçe’deki son 3 harf }
L = {v, y, z}
LIS=Ø
K⊂S
H⊄S
K I H = {a}
S I H = {a, e}
S U H = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü, b, c, ç, d}
S
K
H
L
SIH
KIH
SIKIH
6
OLASILIK KAVRAMI
Olasılık teorisinde bir rastgele olayın meydana gelmesi şansı olasılık
(ihtimal) olarak adlandırılır.
Rastgele değişken X ile, rastgele değişkenin bir gözlem sırasında
aldığı değeri x ile gösterirsek, X = xi rastgele olayının olasılığı pi
olur.
P ( X = xi ) = pi
0 ≤ pi ≤ 1
pi olasılığının değeri 0 ile 1 arasında değişir.
Olasılığın 0 olması sözkonusu olayın hiçbir zaman meydana
gelmeyeceğini, 1 olması ise kesinlikle (her gözlemde) meydana
geleceğini gösterir.
Olasılık 0 dan 1 e doğru arttıkça gözlemler sırasında o olayın görülme
şansı artar, yani olayla saha sık karşılaşılır.
7
OLASILIK KAVRAMI
Örnek: Bir zar atışında 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarından
herbirinin görülme olasılığı 1/6 dır.
Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = P(X=6) = 1/6
P(X=0) = P(X=7) = 0
1 ile 6 arasında herhangi bir sayı görülmesi olasılığı 1 dir.
P(X=1 U X=2 U X=3 U X=4 U X=5 U X=6) = 6(1/6) = 1
8
OLASILIK KAVRAMI
3 veya daha büyük bir sayı görülmesi olasılığı:
Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(X ≥ 3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
veya
P(X ≥ 3) = 4(1/6)= 4/6 = 2/3 dır.
3 ten küçük bir sayının görülmesi olasılığı:
Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(X < 3) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
veya
P(X < 3) = 2(1/6)= 2/6 = 1/3 dır.
9
OLASILIK KAVRAMI
Hileli bir zarda çift sayı gelmesi olasılığı, tek sayı
gelmesi olasılığının iki katı ise:
Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(X =1) = P(X =3) = P(X =5) = p
P(X =2) = P(X =4) = P(X =6) =2 p
3(p) + 3(2p) = 1
⇒
3p + 6p = 1 ⇒
p = 1/9
P(X =1) = P(X =3) = P(X =5) = 1/9
P(X =2) = P(X =4) = P(X =6) =2/9
10
OLASILIK KAVRAMI
- Olasılıkların Toplanması
Birleşik bir olayın ortaya çıkma olasılığı, bu olayı oluşturan basit olayların
olasılıklarının toplanmasıylabulunur.
ÖRNEK: Yukarıda sözünü ettiğimiz tavla zarıyla ilgili örneğe devamvam
edelim. İki zarın birlikte atılışında 4 gelme olayı
A ile gösterilirse, P(A) : 1-3, 3-1, 2-2 basit olayların olasılıklarının
toplanmasına eşit olur:
P(A) =
૚
૜૟
+
૚
૜૟
+
૚
૜૟
=
૜
૜૟
=
૚
૚૛
11
OLASILIK KAVRAMI
Birleşik olaylar, birbirini engelleyen ve engellemeyen
olaylar olmak üzere ikiye ayrılırlar.
- Birbirini Engelleyen Olaylar
ÖRNEK: Bir deste iskambil kağıdı arasından bir defada bir
papaz çekme (B1) ve bir kız çekme (B2) olayları birbirlerini
engelleyentürde olaylardır.
Çünkü bir defada hem papaz hem kız çekme olasılığı
sıfırdır. Bu durum şu şekilde gösterilebilir.
P(B1 I B2) = 0
12
OLASILIK KAVRAMI
ÖRNEK: Yukarıdaki «papaz ve kız» olaylarını bu kez,
«papaz veya kız» olaylarına dönüştürürsek, bu durum
şöyle gösterilir:
P(B1 U B2) = P(B1) +
1
P(B2) =13
+
1
13
=
2
13
Birbirini engelleyen olayların olasılıkların toplamı 1’dir. Bu
şöyle gösterilir:
P(B1) + P(B2) + P(B3) +...... P(Bn) = 1
13
OLASILIK KAVRAMI
- Birbirini Engellemeyen Olaylar
ÖRNEK: Eğer B1B2 olayları birbirini engellemeyen olaylar
ise, B1veya B2’nin ortaya çıkma olasılığı;
P(B1 U B2) = P(B1) + P(B2) - P(B1 I B2) şeklinde gösterilir.
Bir deste iskambil kağıdından 1 vale veya 1 karo çekme
olasılığını bulmak için, 1 vale çekme olayını B1 ile, bir karo
çekme olayını B2 ile gösterirsek, bu olaylar birbirini
engellemediğinden, B1 B2yani karo valesi çekilmesi
olasıdır. Buna göre B1 veya B2’nin ortaya çıkma olasılığı;
P(B1 U B2) =4
52
+
13
52
−
1
52
=
16
52
=
4
13
bulunur.
14
OLASILIK KAVRAMI
Bir olayın olasılığı, gözlem sayısının sonsuza gitmesi
halinde frekansının limit değeri olarak hesaplanır.
lim ni
pi =
N →∞ N
Örneğin, 1500 gün boyunca yapılan gözlemlerde 600
gün yağış düşmediği gözlenmişsse, bu ölçekte günlük
yağış yüksekliğinin 0 olması olasılığı:
P ( X = 0 ) = 600 / 1500 = 0.40 = % 40
15
BASİT VE BİLEŞİK RASTGELE OLAYLARIN OLASILIKLARI
Bir rastgele değişkenin gözlemlerde alabileceği değerlerin tümünden oluşan küme
o değişkenin örnek uzayı’nı oluşturur.
Sadece bir gözlem sırasında rastgele bir değişkenin belirli bir değeri alması basit
rastgele olay’dır.
Birden fazla rastgele olayın bileşiminden oluşanlar ise bileşik rastgele
olaylar’dır.
Örnek uzayındaki basit ve bileşik olayların her birine olasılık uzayında bir nokta
(belli bir olasılık) karşı gelir.
Basit Olay
X = xi
pi
pi
Bileşik Olay
Örnek Uzayı
Olasılık Uzayı
16
BASİT VE BİLEŞİK RASTGELE OLAYLARIN
OLASILIKLARI
A
C
B
AIB
Ayrık iki olayın olasılığı:
P (A U C) = P(A) + P(C)
Ayrık olmayan olayların bileşiminin olasılığı:
P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A I B)
17
BASİT VE BİLEŞİK RASTGELE OLAYLARIN
OLASILIKLARI
Bo
A
Ao
B
AIB
Ayrık olmayan olayların bileşiminin olasılığı:
P (A) = P(A I B) + P(A0)
P (B) = P(A I B) + P(B0)
P (A U B) = P(A0) + P(B0) + P(A I B)
18
İKİ BOYUTLU VE KOŞULLU ÖRNEK UZAYI
X ve Y gibi iki rastgele değişken bir arada
düşünülürse iki boyutlu örnek uzayından söz
edilebilir.
Bir gözlemde X rastgele değişkeni için X = xi olayı
meydana gelirken aynı gözlemde Y rastgele
değişkeni için Y = yj olayı görülüyorsa (xi, yj) gözlem
çifti iki boyutlu örnek uzayında bir noktayı ifade eder.
Koşullu örnek uzayı, verilen bir Y=yj olayının
meydana gelmesi koşuluyla gözlenen X = xi olayları
yeni bir tek boyutlu örnek uzayı oluşturur, bu koşullu
örnek uzayıdır. Buradaki olaylar (X=xi | Y=yj)
şeklinde ifade edilir.
19
İKİ BOYUTLU VE KOŞULLU ÖRNEK UZAYI
Koşullu örnek uzayının hesabı:
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
P(B) ≠ 0 için
Denklem yeniden düzenlenirse:
P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B)
Denklem 3 veya daha fazla olay için yazılırsa:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A | B ∩ C) × P(B | C) × P(C)
A ve B olayları olasılık açısından bağımsız ise denklem:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
20
TOPLAM OLASILIK KURALI
B1
B2
A
A∩
∩B1
A∩
∩B2
B3
A∩
∩B4
B4
A olayının olasılığı:
P( A) = P ( A ∩ B1 ) + P ( A ∩ B2 ) + ... + P ( A ∩ Bn)
A ve B olayları ayrık olaylar olduğundan:
P( A ∩ Bi ) = P ( A | Bi ) × P( Bi )
Bu ifadeler önceki denklemde yerine konursa:
n
P ( A) = P( A | B1 ) × P ( B1 ) + P ( A | B2 ) × P( B2 ) + ... + P ( A | Bn ) × P ( Bn) = ∑ P ( A | Bi ) × P( Bi )
i =1
21
OLASILIK KAVRAMI
- Koşulsuz Olasılık
B1’in önceden ortaya çıkması B2’yi etkilemiyorsa, bu olaylr
bağımsızdır. Bu durumda P(B2/B1) = P(B2) ve
P(B1/B2) = P(B1) olduğundan, kural;
P(B1 ∩ B2) = P(B1). P(B2) biçimini alır.
ÖRNEK: A olayının olma olasılığı 0,5 ve B olayının olma
olasılığı 0,8 ise, her ikisinin birlikte olma olasılığını
hesaplayalım:
A ve B olayları bağımsız olduğundan,
P(A ∩ B) = 0,5 . 0,8 = 0,4’dür.
22
OLASILIK KAVRAMI
-Ağaç Diyagramı
Ağaç diyağramı koşullu ve bağlı olasılıkları göstermek çok
yararlıdır.
23
OLASILIK KAVRAMI
-Bayes Kuramı
Bayes kuramı, bir olayın ortaya çıkmasında birden fazla
bağımsız neden etkili olduğunda, bu nedenlerden
herhangi birinin o olayı ortaya çıkarma olasılığının
hesaplanmasında ve subjektif olasılıklarla ilgili karar
vermede kullanılan bir kuramdır.
Biri etkileyen olay, diğeri etkilenen olay olmak üzere, iki
olay arasındaki ilişkide, etkiliyen olayın olasılığı P(A1),
sonuç olarak ortaya çıkan olayın olasılığı P(B) ile
gösterildiğinde, iki olayın bir arada ortaya çıkma
olasılığının hesaplanmasında kulanılan formülden
yararlanarak, aşğıdaki denklem kurulur.
24
TOPLAM OLASILIK KURALI VE BAYES TEOREMİ
Toplam Olasılık Kuralı:
B1
B2
A
n
P( A) = ∑ P( A | Bi ) × P( Bi )
A∩
∩B1
A∩
∩B2
i =1
A∩
∩B4
B3
B4
Toplam olasılık teoremi kullanılarak, rastgele değişkene ait olayların
olasılıkları için önceki deneyimlerimize dayanarak yaptığımız
tahminleri daha sonra yapılan gözlemlerin sonuçlarına göre
düzeltmekte kullanılan Bayes kuralı tanımlanabilir:
P( Bk | A) =
Bayes Teoremi:
P( Bk ) × P( A | Bk )
n
∑ P( A | Bi ) × P( Bi )
i =1
25
OLASILIK KAVRAMI
-Permütasyon
Permütasyon, birbirinden farklı N nesnenin hepsi veya
bir kısmı alınarak yapılacak çeşitli dizilişlerden her
biridir.
A, B, C harfleriyle simgelenen üç nesne, birbirinden
farklı olarak altı biçimde düzenlenebilir:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Her birdiziliş bir permütasyondur. Birbirinden farklı
N=3 nesneden hepsini alarak elde edilecek
permütasyon sayısı;
PN = N! Eşitliğiyle hesaplanır.
26
OLASILIK KAVRAMI
ÖRNEK: Dört nesneyi simgeleyen A, B, C, D harflerinin
tümünü alarak elde edilecek permütasyon sayısı ve
permütasyonları hesaplayalım:
PN = 4!
P4 = 24 tanedir
Permütasyonlar:
ABCD
BADC
CABD
DBCD
ACBD
BDAC
CBAD
DCBA
ABDC
BCDA
CADB
DACB
ADCB
BDCA
CDAB
DCAB
ACDB
BACD
CBDA
DABC
ADBC
BCAD
CDBA
DBAC
27
OLASILIK KAVRAMI
N tane nesneden bazıları aynıysa, aynı olanların kendi
aralarında yerdeğiştirmesi permütasyonun şeklini
değiştirmez. Örneğin N nesnede a tanesi birbirinin
aynı, b tanesi aynı, c tanesi yine aynı ise, bu N
nesneden elde edilecek permütasyonsayısı;
ÖRNEK: Dört nesne A, A, B ve C harfleriyse, bu dört
harften yapılabilecek permütasyon sayısını hesaplayıp,
permütasyonlarını oluşturunuz.
P4 =
4!
=
2!.1!.1!
12 tanedir.
28
OLASILIK KAVRAMI
Permütasyonlar:
AABC
AACB
BAAC
CAAB
ABAC
CABA
BCAA
ABCA
BACA
CBAA
ACBA
ACAB
Birbirinden farklı n nesneden n tanesi alınarak elde
edilecek permütasyonsayısı ise;
29
OLASILIK KAVRAMI
ÖRNEK: Üç nesne A, B, C harfleriyse, bu harflerden
ikişer tane alınarak elde edilecek permütasyon sayısını
ve permütasyonları oluşturalım.
•Permütasyon sayısı,
Permütasyonlar:
AB, BA, AC, CA, BC, CB
Birbirinden farklı N nesneden n tanesi alınarak ve aynı
nesnenin bir permütasyonda n defa tekrarlanması da
mümkünolduğundapermütasyon sayısı,
30
OLASILIK KAVRAMI
ÖRNEK: Üç nesne A, B, C harfleri olsun. Bu
harflerden ikişer tane alarak ve bir harfin bir
permütasyonunda 2 kez tekrarlanması da dahil olmak
üzere permütasyon sayısını ve permütasyonları
hesaplayalım:
Permütasyonsayısı;
Permütasyonlar:
AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB
31
OLASILIK KAVRAMI
- KOMBİNASYON
Kombinasyon, birbirinden farklı N nesnenin bir kısmını
seçerek ve sıra gözetmeksizin oluşturulan gruplardan her
biridir.
Örneğin üç nesne A, B, C harfleri olsun. Bu üç
nesneden ikişer tane alarak sıra gözetmeksizin
(birbirinden farklı) yapılan üç ayrı kombinasyon
aşağıda gösterilmiştir:
AB, AC, BC
32
OLASILIK KAVRAMI
Permütasyon konusunda da aynı örnek verilmişti ama
orada AB, BA, AC, CA, BC, CB permütasyonları
oluşturulmuştu.
Permütasyonda AB ile BA ayrı birer diziliş olarak kabul
edilmekte fakat kombinasyonda harflerin diziliş
sırasına önem verilmediği için AB ile BA bir
kombinasyon olarak kabul edilmektedir.
Birinden farklı N nesneden n tane alarak elde edilecek
kombinasyon sayısı:
33
OLASILIK KAVRAMI
ÖRNEK: Dört nesne A, B, C, D harfleri olsun. Bu dört
nesneden üç tanesi alınarak oluşturulacak kombinasyon
sayısını hesaplayalım ve kombinasyonları oluşturalım:
Kombinasyon sayısı:
Kombinasyonlar:
ABC, ABD, ACD, BCD
34
OLASILIK KAVRAMI
ÖRNEK: Beş nesne A, B, C, D, ve E harfleri olsun. Bu beş
nesneden (A) ikişer tane alarak, (B) üçer tane alarak, (C)
dörder tane alarak oluşturulacak kombinasyon sayılarını ve
kombinasyonları hesaplayalım.
A. İki harften oluşan kombinasyon sayıs;
Kombinasyonlar:
AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE şeklindedir.
35
OLASILIK KAVRAMI
B. Üç harften oluşan kombinasyon sayısı;
Kombinasyonlar;
ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE
şeklindedir.
C. Dört harften oluşan kombinasyon sayısı;
Kombinasyonlar;
ABCD, ABCE ABDE, ACDE, BCDE şeklindedir.
36