CALCULUS VE TEMELLER*

CALCULUS TEMELLERİ
GAZİ UNİVERSİTESİ
BİLİŞİM ENSTİTÜSÜ
5441314 - SAYISAL ÇÖZÜMLEME DERSİ
HAZIRLAYAN: VEYSEL ALCAN
ÖĞRETİM ÜYESİ: YRD. DOÇ. DR. NURETTİN DOĞAN
CALCULUS TEMELLERİ
 “Calculate” [hesaplamak] sözcüğünü türettiğimiz “calculus” [hesap]
kelimesi Latince’de, bir abaküs üzerindeki taş boncukları sayma
yöntemiyle bağlantılı olarak “çakıl taşı” anlamına gelir. Bu ve bunun
gibi sayısız diğer örnekler matematiğin insan aklının özgür
işleyişinden doğmadığını, tersine uzunca bir toplumsal evrim,
deneme yanılma, gözlem ve deney sürecinin ürünü olduğunu ve
görünüşte soyut karakterli bir bilgi bütünü olarak tedricen ayrışmış
olduğunu gösterir.
CALCULUS TEMELLERİ
Calculus ; limit ve süreklilik, integral, diferansiyal, diziler ve seriler
başlıklarını içerir.
1- LİMİT VE SÜREKLİLİK
 Bir kısım fiziksel ve kimyasal nicelikler birbirlerine fonksiyonel bağlantılar
yardımı ile bağlı olabilir. Eğer değişik nicelikler arasındaki fonksiyonel
bağlantı belli ise,birbirine bağımlı büyüklüklerden birinin belli bir değere
yaklaşması halinde diğerinin hangi değere yaklaşacağının bilinmesi
önemlidir. Bu bizi limit kavramına götürür.
CALCULUS TEMELLERİ
f(x) = 2 x + 2 ve f(x) hesaplanmasında x, 1’e yakın değer alır.
İlk olarak sol
taraftan
x’in 1’e
yaklaştığını farz
edelim
(x < 1).
x
f(x)
0.5
3
0.8
3.6
0.9
3.8
0.95
3.9
0.99
3.98
0.999
3.998
0.9999
3.9998
0.99999
3.99998
Şimdi sağ
taraftan
x’in 1’e
yaklaştığını
farz edelim.
(x > 1).
x
f(x)
1.5
5
1.2
4.4
1.1
4.2
1.05
4.1
1.01
4.02
1.001
4.002
1.0001
4.0002
1.00001
4.00002
Her iki durumda da x , 1’e yaklaşırken f(x) 4’e yaklaşır. Biz bunu;
f(x) = 4 şeklinde ifade edebiliriz.
CALCULUS TEMELLERİ
Grafikte, x 1’e soldan yaklaşırken
y = f(x) 2’ye yaklaşır.İfade biçimi:
limx ->1- f(x) = 2 şeklindedir.
x 1’e sağdan yaklaşırken
y = f(x) 4’e yaklaşır.İfade biçimi:
limx ->1+ f(x) = 4 şeklindedir.
*Sol ve sağ taraftan limit ve f(1)=3, tamamen
faklıdır.
Şekildeki grafik
limx ->1- f(x) = 2 olduğunu gösterir.
x , 1’e sağdan yaklaşırken
y = f(x) 4’e yaklaşır. İfade biçimi:
limx ->1+ f(x) = 4 şeklindedir.
*Sol taraftan limit ve f(1)=2’ye eşittir.
CALCULUS’A GENEL BAKIŞ
Bu grafik , limx ->0- f(x) = 1 ve
limx ->0+ f(x) = 1 olduğunu gösterir.
Bu grafik x’in -2’ye soldan yanaştığında f(x)
sınır olmaksızın küçülür ve limiti yoktur.
*Sol ve sağ taraftan limitler eşittir ve biz
limx ->0 f(x) = 1 olarak ifade edebiliriz.
limx ->2- f(x) = -x’in -2’ye sağdan yanaştığında
f(x) sınır olmaksızın büyür ve limiti yoktur.
limx ->2+ f(x) =+
Bu örnekte x, 0’a yaklaştığı zaman limit
f(0)=1’e eşittir.
* - ve + sembol olup numara değildir. Bu
semboller limit değerinin olmadığını tanımlar.
CALCULUS TEMELLERİ
 Tanım 1.1 f (x ) in x = x0’ı kapsayan bir açık aralıkta tanımlı olduğu
varsayılırsa,
x = x0 ın dışında kendi ise ardından f’in x = x0’da limiti olduğu L
söylenebilir ve buradan aşağıdaki ifade yazılabilir.
(1)
Eğer belirlenen herhangi bir Є > 0 ise buradan δ > 0 bulunur,
her zaman | f (x) − L| < 0 < |x − x0| < δ da olduğu gibi. H’ın artan
gösteriminde x = x0 + h kullanılır, eşitlik (1) gelir.
(2)
CALCULUS TEMELLERİ
 Tanım 1.2 f (x)’in bir açık aralık içeren x = x0’da tanımlı olduğu kabul
edilirse, ardından f ‘in x = x0 da sürekli olduğu söylenebilir.
(3)
 x ∈ S için her noktada sürekli ise f fonksiyonu süreklidir. S bir aralıktır, [a, b]
denebilir ve Cn[a, b] gösterimi kullanılır. Örneğin f (x) = x4/3 fonksiyonu
[−1,1] aralığındadır. Açıkca görüldüğü gibi, f (x) ve f ‘(x) = (4/3)x1/3
[−1, 1] aralığında süreklidir ama f “(x) = (4/9)x−2/3 x = 0 da sürekli
değildir.
CALCULUS TEMELLERİ
 Tanım 1.3 {xn}∞n=1 ‘ın sınırsız bir dizi olduğu varsayılır. Ardından bu
dizinin limiti L olduğu söylenebilir ve aşağıdaki gibi yazılabilir
(4)
Bir dizinin limiti varsa, onun convergent dizi olduğu söylenebilir. Diğer
genel bir gösterim ise “xn → L ve n→∞ gibi” Eşitlik (4) aşağıdaki
ifadeye eşdeğer olur,
(5)
Sonuç olarak
bir hata dizisi görülebilir.
Aşağıdaki teoremler süreklilik ve convergent (yakınsak) dizi
kavramlarına ilişkindir.
CALCULUS TEMELLERİ
 Teorem 1.1. f (x)’in S üzerinde tanımlı olduğu ve x0 ∈ S olduğu kabul
edilirse.Takip eden durum aşağıdaki gibi olduğu farz edilirse .
(6)
(a) f fonksiyonu x0 da sürekli ise
(b) Eğer
ve
olur.
 Teorem 1.2 (Ara Değer Teoremi)
L’nin f (a) ve f (b) aralığında bir sayı olduğu ve f ∈ C[a, b] olduğu kabul
Edilirse buradan c ∈ (a, b) ve f (c) = L olur.
CALCULUS TEMELLERİ
Örnek 1.1 Fonksiyon f (x) = cos(x −1) sürekli [0, 1] üzerinde ve L = 0.8 ∈ (cos(0), cos(1)) sabittir.
f (x) = 0.8 çözümü [0, 1] üzerinde ise c1 = 0.356499 dır. Benzer şekilde f (x) , [1, 2.5] üzerinde sürekli ve
L = 0.8
∈ (cos(2.5), cos(1)). f (x) = 0.8 de çözüm [1, 2.5] üzerinde
c2 = 1.643502 dır. Bu iki durum Şekil 1.1.’de görülmektedir.

Şekil 1.1 Ortalama değer teoremi uygulanmış fonksiyon f (x) = cos(x − 1) [0, 1] üzerinde ve aralık
[1, 2.5].
CALCULUS TEMELLERİ
 Teorem 1.3 (Bir Sürekli Fonksiyon için Aşırı Değer Teoremi) .
f ∈ C[a, b] olduğu kabul edilir. Ardından alt sınır M1 ve üst sınır M2 olur. Bu iki
sayı x1, x2 ∈ [a, b]
(7)
her ne zaman
Bu durum aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir.
(8)
ve
Şekil 1.2
fonksiyonuna [0, 3] aralığı
üzerinde aşırı değer teoremi uygulanmış hali.
CALCULUS TEMELLERİ
 Diferansiyel Fonksiyonlar
 Tanım 1.4. x0 içeren bir açık aralıkta f (x)’in tanımlı olduğu kabul
edilirse, f fonksiyonu x0 da farksal olduğu söylenebilir.
(9)
 Limit bulunduğu zaman f’ (x0) ile gösterilir ve x0 da f ‘in türevi
olarak adlandırılır.
Limiti ifade etmek için h artan gösterimi kullanılır
(10)
CALCULUS TEMELLERİ
 Diferansiyel Fonksiyonlar
 Teorem 1.4 Eğer x = x0 da f (x) diferansiyel ise, o zaman f (x) fonksiyonu
x = x0 da süreklidir. Burada teorem 1.3. takip edilir eğer f fonksiyonu [a,b] kapalı
aralığında diferansiyel ise o zaman aralığın max. ve min. değerleri bulunabilir.
 Örnek 1.2. fonksiyon f (x) = 15x3−66.5x2+59.5x+35dir. [0, 3] aralığı
üzerinde diferansiyeldir.
 Fonksiyonun çözümü f (x) = 45x2 − 123x + 59.5 = 0 x1 = 0.54955 ve
x2 = 2.40601.
f fonksiyonunun [0, 3] aralığı üzerinde maksimum ve minimum değerleri:
min{ f (0), f (3), f (x1), f (x2)} = min{35, 20, 50.10438, 2.11850} = 2.11850
max{ f (0), f (3), f (x1), f (x2)} = max{35, 20, 50.10438, 2.11850} = 50.10438
Bu değerler Şekil 1.2’de görülmektedir.
CALCULUS TEMELLERİ
 Türevlenebilir Fonksiyonlar
 Teorem 1.5 (Rolle Teoremi) f ∈ C[a, b] ve f ‘(x) tüm x ∈ (a, b)
ler için bulunduğu kabul edilir. Eğer f (a) = f (b) = 0, o zaman c sayısı
bulunur with c ∈ (a, b) ile ki f ‘(c) = 0 dır.
 Teorem 1.6 (Orta Değer Teoremi) f ∈ C[a, b] ve f’ (x) in
tüm x ∈ (a, b) ler için bulunduğu varsayılırsa, o zaman c sayısı
bulunur.
 (11)
 Teorem 1.7 (Genelleştirilmiş RolleTeoremi) f ∈ C[a, b]
olduğu kabul edilirse ve f ‘(x), f “(x), . . . , f (n)(x) üzerinde bulunur (a, b)
ve x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b]. Eğer f (x j) = 0 ise j = 0, 1, . . . , n için, o
zamna c sayısı, c ∈ (a, b) ile bulunur. f (n)(c) = 0 gibi.
CALCULUS TEMELLERİ
 Integraller
 Teorem 1.8 (İlk Temel Teorem). Eğer f, [a, b] üzerinde
sürekli ve F, [a, b] f’in antitürevidir, o zaman
(12)
ki orada
dir.
 Teorem 1.9 (İkinci Temel Teorem). Eğer f, [a, b]üzerinde
sürekli ve x ∈ (a, b) ise o zaman
(13)
CALCULUS TEMELLERİ
 Integraller
 Örnek 1.3. Fonksiyon f (x) = cos(x)’a Teorem 1.9 aralık [0, π/2]
üzerinde uygulanırsa; sonuç olarak zincir kuralı ile
 Teorem 1.10 (Integraller için Orta Değer Teoremi).
f ∈ C[a, b] farz edilirse o zaman c sayısı c ∈ (a, b) ile bulunur
f (c) değeri f’in [a, b] aralığında ortalama değeridir.
CALCULUS TEMELLERİ
 Integraller
Şekil 1.3.
Değer Teoreminin uygulanması
 Örnek 1.4 fonksiyon
e [0,2.5] aralığında Integraller için Ortalama
‘a Teorem 1.10 [0,2.5]
aralığında uygulanırsa. f (x)’in anitürevi
f (x) fonksiyonunun [0, 2.5] aralığındaki ortalama değeri
CALCULUS TEMELLERİ
 Integraller
 Teorem 1.11 (Ağırlıklı Integral Ortalama Değer
Teoremi). f’in , g ∈ C[a, b] ve g(x) ≥ 0 için x ∈ [a, b] olduğu kabul
edilirse o zaman c sayısı c ∈ (a, b) ile bulunur. Buradan,
(14)
 Örnek 1.5. f (x) = sin(x) ve g(x) = x2 fonksiyonlarına Teorem 1.11
[0, π/2] aralığı üzerinde uygulanırsa sonuç olarak bir c sayısı elde
edilir ki,
yada
CALCULUS TEMELLERİ
 Seriler
bir dizi olabilir. O zaman
bir sonsuz seridir. n.ci
kısmın toplamı
dır. Sonsuz seriler yakınsarlar, eğer
sadece diziler
bir S limitine yakınsarlarsa, yani
(15)
Eğer bir seri yakınsamıyorsa, ıraksadığı söylenebilir.
Örnek 1.6 sonsuz dizi
ve n.kısmın toplamı
CALCULUS TEMELLERİ
 Seriler
Sonuç olarak sonsuz serinin toplamı
 Teorem 1.12 (Taylor Teoremi)
ve x0 ∈ [a, b] olduğu kabul edilirse o zaman her bir
x ∈ [a, b] için c = c(x) sayısı ortaya çıkar (c’nin değeri x’in değerine
bağlıdır.) x0 ve x aralığında uzanır ki,
(16)
(17)
(18)
CALCULUS TEMELLERİ
 Seriler
 Örnek 1.7 fonksiyon f (x) = sin(x)’e Teorem 1.12 Taylor polinomu Pn(x)
n= 9.dereceden genişletilirse x0 = 0 değerlendirilerek elde edilir.
x = 0 da takip eden türevler ve sayısal değerler fomülde yerine konulursa
CALCULUS TEMELLERİ
 Seriler
[0, 2π] aralığı üzerinde f ve P9 fonksiyonlarına ait grafikler şekil
1.4’de görülmektedir.
CALCULUS TEMELLERİ
 Seriler
 Eğer Pn(x) Taylor polinomunun derecesi n verilirse Teorem 1.12, o zaman
(19)
 Bir polinomun değerlendirilmesi
P(x) Polinomunun derecesi n olsun
(20)
 Horner metodu yada sentetik bölme polinomun değerlendirilmesi için kullanılan
bir tekniktir. Örneğin 5.dereceden polinom aşağıdaki gibi yazılabilir.
CALCULUS TEMELLERİ
 Seriler
 Theorem 1.13 ( Polinom Değerlendirmesi için Horner Metodu)
P(x) polinomunun eşitlik (20)’deki formda olduğu farz edilir ve x = c , P(c) olarak
değerlendirilir. bn = an alınıp hesaplanırsa
O zaman b0 = P(c) olur ve
Ardından
CALCULUS TEMELLERİ
 Seriler
Eşitlik (22)’nin sağ tarafındaki R0 için Q0(x) ve b0 değerleri eşitlik (23) de yerine
yazılırsa
bk sayıları eşitlik (20) ve (24) de xk katsayılarının karşılaştırılması ile elde edilir ve
bunlar tablo 1.1’de görülmektedir.
CALCULUS TEMELLERİ
 Seriler
Tablo 1.1 Horner Metodu için bk katsayıları
CALCULUS TEMELLERİ
 Seriler
Tablo 1.2 Sentetik Bölme İşlemi İçin Horner Tablosu
CALCULUS TEMELLERİ
 Seriler
 Örnek : Sentetik bölme yöntemini kullanarak (Horner metodu) polinom için P(3)’ü bulunuz
Buradan P(3)=17 olarak bulunur.
BÜYÜK “O” KESME HATASI
Dizi tahmini
Açıkçası,
ve
dizilerinin her ikisi sıfıra yakınsar. Ayrıca, bu ilk dizinin ikinci diziye göre
sıfıra daha hızlı yakınsadığı görülmüştür.
Tanım 1
fonksiyonu
ın büyük “0” ı olduğu söylenebilir, eğer
ve
sabit çıkarsa
belirtilir. Öyle ki
olduğunda
dır.
Büyük “O”h gösterimi iyi bilinen temel fonksiyonların
dizilerinin
yakınsaklık vb.) büyüme oranını tanımlarken çok kullanışlıdır. Dizilerin yakınsama oranı benzer
bir şekilde tanımlanabilir.
Tanım 2.
ve
in büyük “0” h dizisi olduğu söylenebilir.
şeklinde belirtilir.Eğer
olursa ve N öyle ki
her zaman .
. iki dizi olduğunu kabul edelim.
Genellikle bir fonksiyon
, fonksiyonu tarafından yaklaşandır ve hata sınırı
ile bilinmektedir. Bu aşağıdaki tanıma yol açar.
BÜYÜK “O” KESME HATASI
Tanım 3.Varsayalım ki
fonksiyonuna
olur olur. ve bir pozitif tamsayı n böylece
ile yaklaşılsın ve gerçek sabit
küçük h için yeterlidir. Dizinin tahmini ile aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz
Bu ilişki
biçiminde yeniden yazılabilir.
notasyonunu
görebiliriz
hata sınırı kısmında durur. Aşağıdaki sonuçlar,iki fonksiyonun basit
kombinasyonlarını tanımlamak için nasıl uygulanacağını gösterir.
ve
ve
varsayılır ki sonra
(i)
(ii)
(iii)
koşuluyla
BÜYÜK “O” KESME HATASI
Büyük ‘O’ Kesme Hatasının Sağlaması , Büyük ‘O’ Kesme
Hatasının İncelenmesi
Taylor polinomu
yaklaşımının derecesi
, ile
belirlenebilir. O zaman artan terimler
kolayca gösterilebilir.
in kuvveti ile terimlerin kısaltılmasına başlanır. Artan terimler
Sıfıra
aynı hız ile yakınsar, h sıfıra yaklaşır. aynı hız ile yakınsar, h
sıfıra yaklaşır . Bu ilişki aşağıdaki şekilde ifade edilir.
küçük h için yeterlidir.Bu nedenle
gösterimi
ın yerinin miktarını verir. Burada M bir sabit gibi davranır.
BÜYÜK “O” KESME HATASI
Teorem (Taylor Polinomu)
Varsayalım ki
fonksiyonu ve onun türevleri
üzerinde sürekli olsun.
Ve
fonksiyonlarının her ikisi
aralığında uzanırsa ve
olursa o zaman
n-inci derece Taylor polinomunun genişlemesi ile ilgilidir. Taylor
polinomunun derecesi n dir
ve
BÜYÜK “O” KESME HATASI
artanın integral formu aşağıdaki gibidir.
ve artan için Lagrange formülü
burada c x‘e bağlıdır ve x0-x arasında bir yerlerde bulunur.
Bir dizinin yakınsamasının düzeni
Nümerik yaklaşımlarda arzu edilen cevaba çok daha fazla yaklaşmak
için sıklıkla dizinin yaklaşımı hesaplanır. Büyük “0” ın tanımlaması için
diziler tanım 2’de verildi ve bir dizi için yakınsama düzeninin
tanımlaması tanım 3’de verilen fonksiyonlar için benzerdir
BÜYÜK “O” KESME HATASI
Tanım 4
ve
farzedilir.
x’e yakınsar, bu
gerçekleşir. Eğer K sabiti oluşursa
in
ile bir dizi olduğu
in yakınsama düzeni ile
öyle ki
n için yeterince büyüktür . Bu yazılarak belirtilir
veya
KARMAŞIK SAYILAR
KARMAŞIK SAYILARA GENEL BAKIŞ
Hiçbir gerçel (reel) sayı kendisiyle çarpıldığında –1 sonucunu veremeyeceğinden –çünkü iki eksinin
çarpımı artı yapar– matematikçiler –1 sayısının karekökünü “imajiner (hayali) sayı” olarak anarlar.
 Artı ve eksinin bu çelişkili bileşimi, kuantum mekaniğinde kesinlikle çok önemli bir rol oynar,
modern bilimin temeli olan bir sürü denklem bu sayıyı içerir.
 Bu matematiğin şaşırtıcı çelişkiler barındırdığı tartışma götürmez. Hoffman bu hususta şunları
söylemek zorunda kalmıştır:
Böylesi bir formülün, katı deneyler dünyasıyla, yani fizik dünyasıyla herhangi bir bağlantısının
olması gerektiğine inanmak güçtür.Yeni fiziğin en derin temelini oluşturacağı ve kendisinden
öncekilere göre bilim ve metafiziğin bağrına çok daha derin biçimde uzanacağı, bir zamanlar
dünyanın yuvarlak olduğu doktrini ne kadar inanılmaz göründüyse o kadar inanılmazdır.
KARMAŞIK SAYILAR
KARMAŞIK SAYILARIN CEBİRİ
Karmaşık sayılar, gerçel sayıların bir genişlemesidir ve ile gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi, gerçel
sayılar kümesini kapsar. Karmaşık sayılar biri gerçel biri sanal olmak üzere iki kısımdan oluşur. Bütün
karmaşık sayılar a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, a + bi biçimde yazılabilir. Burada i, x2 = - 1
denkleminin köklerinden biri, başka bir deyişle -1′in kareköküdür. Kimi zaman özellikle elektrik
mühendisliğinde i yerine, j kullanılır.
Toplama ve Çıkarma
Çarpma
Bölme
Toplama ve çarpma işlemi ise şu şekilde tanımlanır: z1 = (a,b),z2 = (c,d) olmak üzere;
Üstel ifade
KARMAŞIK SAYILAR
 Euler formülünden bir karmaşık sayı
 "Fazör" formunda aşağıdaki gibi yazılmış olabilir
 Burada,
karmaşık katsayısı olarak (veya bazen karmaşık normu) bilinir ve
karmaşık argümanı veya faz olarak bilinir.
Mutlak kare ile tanımlanır , Karmaşık eşlenik ve
hesaplaması olarak tanımlanır.
argüman
KARMAŞIK SAYILAR
KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİSİ
Karmaşık sayılar xy düzleminde
düzlemde
ile temsil edilir.
vektör ile temsil edilirler. Bu karmaşık
Grafikte de görüldüğü gibi çeşitli karmaşık sayı denklemleri xy ekseninde vektörel olarak
yerleştirilmiştir.
Karmaşık sayılar
ve
düzlemde de gösterilebilir.
noktarı xy düzlemine yerleştirildiğinde aşağıdaki gibi bir düzlem elde
eilebilir. Burada elde edilen eşitlikte vektörü
elde edilmiştir.
KARMAŞIK SAYILAR
KARMAŞIK DİZİLER VE SERİLER
Karmaşık bir dizi karmaşık sayıların bir alt kümesi olan pozitif tamsayı ve sonsuz
aralığındaki bir fonksiyondur. Aşağıdaki dizi örneklerine bakacak olursak:
KARMAŞIK FONKSİYONLAR
KARMAŞIK GEOMETRİ SERİSİ
, Bir geometrik dizi olarak adlandırılır ve matematik
alanında en önemli serilerden biridir.
Geometrik Seri: Eğer
ise
serisi
için yakınsar.
Eğer
ise ıraksar.
serisi için
yakınsar.
Eğer
de tanımlanıyorsa
fonksiyonunda
Veya eşdeğeri olan
serisi elde edilir.
ise dizi ıraksar.
KARMAŞIK FONKSİYONLAR
Eğer
olduğunda ise o zaman bütün n ler için
elde edilir.
2. Series.
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
1. Onluk Çarpanlar
10 1
deka (da)
10 -1
desi (d)
10 2
hekto (h)
10 -2
santi (c)
10 3
kilo (k)
10 -3
mili (m)
10 6
mega (M)
10 -6
mikro (u)
10 9
giga (G)
10 -9
nano (n)
10 12
tera (T)
10 -12
piko (p)
10 15
peta (P)
10 -15
femto (f)
10 18
exa (E)
10 -18
atto (a)
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
2. SERİLER
a. Maclaurin Serileri
1. e x = 1 + x + x 2 / 2! + ... + x n / n! + ... tüm x için
2.
sin x = x - x 3 / 3! + x 5 / 5! - x 7 / 7! + ... tüm x için
3.
cos x = 1 - x 2 / 2! + x 4 / 4! - x 6 / 6! + ... tüm x için
4.
ln(1 + x) = x - x 2 / 2 + x 3 / 3 -... + (-1) n+1 x n / n + ...
(-1 < x <= 1) için
5.
tan x = x + (1/3) x 3 + (2/15) x 5 + (17/315) x 7 + …
(-Pi/2 < x < Pi/2) için
6.
arcsin x = x + (1/2) x 3 / 3 + (1.3/2.4) x 5 / 5 + (1.3.5/2.4.6) x 7 / 7 +
… (-1 < x < 1) için
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
a. Maclaurin Serileri
7.
arctan x = x - x 3 / 3 + x 5 / 5 - ... (-1 < x < 1) için
8.
sinh x = x + x 3 / 3! + x 5 / 5! + x 7 / 7! + ... tüm x için
9.
cosh x = x + x 2 / 2! + x 4 / 4! + x 6 / 6! + ... tüm x için
10.
arcsinh x = x - (1/2) x 3 / 3 + (1.3/2.4) x 5 / 5 (1.3.5/2.4.6) x 7 / 7 + ... (-1 < x < 1) için
11.
1 / (1 - x) = 1 + x + x 2 + x 3 + ... (-1 < x < 1) için
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
b. Aritmetik Seriler
12.
Sn = a + (a + d) + (a + 2d)+...+(a + [n-1]d)
= (n/2)[ilk terim+ son terim]
= (n/2)[a + (a+[n - 1]d)
= n(a + [n - 1]d)
c. Geometrik Seriler
13.
Sn = a + a r + a r 2 + a r 3 +...+ a r n-1 = a (1 - r n)/(1 - r)
d. Tamsayı Seriler
14.
1 + 2 + 3 + ... + n = (1 / 2) n (n + 1)
15.
1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = (1 / 6) n (n + 1)(2n + 1)
16.
1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = [ (1 / 2) n (n + 1) ] 2
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
3. FAKTORYEL, PERMUTASYON, KOMBİNASYON
1.
2.
3.
n faktoryel = n ! = n.(n-1).(n-2)...2.1
n nesnesinin r Permutasyonu : n P r = n ! / [ (n - r) ! ]
n nesnesinin r kombinasyonu : n C r = n ! / [ r ! (n - r) ! ]
4. BINOM AÇILIM
. Eğer n pozitif bir tamsayı ise, (x + y) n ifadesini aşağıdaki gibi açabiliriz
(x + y) n = n C 0 x n + n C 1 x n - 1 y + n C 2 x n - 2 y 2 + ... + n C n y n
Genel ifade ise n C r için:
n C r = n ! / [ r ! (n - r) ! ]
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
5. TRİGONOMETRİK FORMÜLLER.
1. cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
2.
cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
3.
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
4.
sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
5.
tan(A + B) = [ tan A + tan B ] / [ 1 - tan A tan B]
6.
tan(A - B) = [ tan A - tan B ] / [ 1 + tan A tan B]
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
5. TRİGONOMETRİK FORMÜLLER.
7.
sin A + sin B = 2 sin [ (A + B) / 2 ] cos [ (A - B) / 2 ]
8.
sin A - sin B = 2 cos [ (A + B) / 2 ] sin [ (A - B) / 2 ]
9.
cos A + cos B = 2 cos [ (A + B) / 2 ] cos [ (A - B) / 2 ]
10.
cos A - cos B = - 2 sin [ (A + B) / 2 ] sin [ (A - B) / 2 ]
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
5. 1 Trigonometrik Fonksiyonların formüllerinin
çıkarılması
11.
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)
12.
2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B)
13.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)
14.
2 sin A sin B = - cos (A + B) + cos (A - B)
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
15.
sin 2A = 2 sin A cos A
16.
cos 2A = cos 2 A - sin 2 A = 2 cos 2 A - 1 = 1 - 2 sin 2 A
17.
sin 3A = 3 sin A - 4 sin 3 A
18.
cos 3A = 4 cos 3 A - 3 cos A
19.
sin 2 A = (1/2) [ 1 - cos 2A ]
20.
cos 2 A = (1/2) [ 1 + cos 2A ]
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
6. TÜREV FORMULLERİ
f (x)
xn
d [f(x)] / dx
nx n - 1
ex
ex
ln (x)
1/x
sin x
cos x
cos x
tan x
cot x
- sin x
sec 2 x
- csc 2 x
sec x
sec x tan x
csc x
- csc x cot x
arcsin x
1 / sqrt (1 - x 2)
arccos x
- 1 / sqrt (1 - x 2)
arctan x
1 / (1 + x 2)
sinh x
cosh x
cosh x
sinh x
tanh x
sech 2 x
coth x
- csch 2 x
sech x
- sech x tanh x
csch x
- csch x coth x
arcsinh x
1 / sqrt [x 2 + 1 ]
arccosh x
1 / sqrt [x 2 - 1 ]
arctanh x
1 / [ 1 - x2 ]
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
7. İNTEGRAL FORMULLERİ
1 - Temel fonksiyonların
integrali
2 - Temel Trigonometrik
fonksiyonların integralleri
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
3– Birden fazla trigonometrik
fonksiyon içeren integraller
4 - Temel trigonometrik
fonksiyonların integralleri
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
5 - Ters trigonometrik
fonksiyonların İntegrali
4 - Temel trigonometrik
fonksiyonların integralleri
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
6 - Üstlü sinüs ve kosinüs
fonksiyonların İntegralleri
7 - Hiperbolik fonksiyonları
içeren integraller
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
8. LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİNİN TABLOSU
Laplace Dönüşümleri Tanımı : f (t) gerçek zaman değişkeninde bir
fonksiyon ve t> = 0 için f’in F(s) Laplace dönüşümü
“s ” karmaşık bir değişkendir. t orijinal olarak ve F (s) hayali
fonksiyonu olarak çağırılır.
 Laplace Dönüşümlerinin Tablosu
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
Laplace Dönüşümlerinin Tablosu
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
9. FOURİER DÖNÜŞÜMLERİ TABLOSU
Fourier Dönüşümleri Tanımı : Eğer f(t) gerçek t zaman
değişkeninde bir fonksiyon ise F (w) Fourier dönüşümü
 t> = 0 için u (t) = 1 ve t <0 için u (t) = 0 (bkz. şekil)
i = sqrt (-1), sanal birim.
MATEMATİK FORMÜLLERİNİN
TABLOLARI
9. FOURİER DÖNÜŞÜMLERİ TABLOSU
İlginize Teşekkürler