Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi, Tork Ve Açısal

Bölüm 10 ve 11
KATI CİSMİN SABİT BİR EKSEN
ETRAFINDA DÖNMESİ
TORK
AÇISAL MOMENTUM
1
AÇISAL YERDEĞİŞTİRME , HIZ ve İVME
z
B

rB
 
rB  rA  her zaman sabit

rA
x
Dönme hareketi ile ilgileniliyorsa cisimlerden KATI
CİSİM diye söz edildiği görülür. O halde katı cisim
denildiğinde neden bahsedildiği de bilinmelidir.
KATI CİSİM: şekli bozulmayan veya cisim
üzerindeki noktalar arasındaki veya parçacık çiftleri
arasındaki uzaklıkları değişmeyen cisimler denir.
Gerçekte bu bölüme kadar yapılan işlerde cisimlerin
katı cisim gibi ele alındığına dikkat ediniz.
A
y
Açısal Yer değiştirme, Ortalama ve Ani Hız
x
Bir parçacık t süresince şekildeki gibi A noktasından B
giderse açısal yer değiştirme
=i + s
   
ortalama açısal hız
 s i
ts  ti
t
d

ani açısal hız  
s
dt


t
ri
s
A (ti=0)
i
y
olarak verilir.
Ortalama Açısal İvme
B (ts=t)
rs
ve
Ani Açısal İvme
d

dt
SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA DÖNME HAREKETİ YAPAN KATI BİR CİSİM ÜZERİNDEKİ HER
BİR NOKTANIN AÇISAL HIZ VE İVMESİ AYNIDIR.
2
DÖNME KİNEMATİĞİ, Sabit Açısal İvmeli Hareket
Dönme hareketine ait kinematik denklemeler tıpkı çizgisel hareketin denklemlerini türetirken
izlenen yolla elde edilebilir.
3
AÇISAL VE DOĞRUSAL NİCELİKLER
Çizgisel hareket ile dönme hareketini tanımlamak için kullanılan nicelikler arasında bir ilişki var mı?
Yandaki şekilde verilen O noktası etrafında dönen bir parçacığın
çizgisel hızı ve açısal hızı arasındaki ilişkiyi elde edelim.
ti=0 da parçacık Pi(r,0) noktasında iken ts=t olduğunda P
noktasına geldiyse parçacığın aldığı yol s=r kadar olacaktır. Buna
göre çizgisel hız
Biçiminde açısal hıza bağlı olarak verilir
ds dr
d
v

r
dt
dt
dt
v  r
Yandaki şekilde verilen O noktası etrafında dönen bir parçacığın
teğetsel ivmesi ile açısal ivmesi arasındaki ilişkiyi elde
edelim.
dv dr
d
at 

r
dt
dt
dt
a t  r
Böylece teğetsel ivme, açısal ivmeye bağlı olarak elde edilmiş
olur.
4
DÖNME KİNETİK ENERJİSİ
Şekilde verildiği gibi bir O noktasından geçen sabit bir eksen
etrafında dönen katı cismin kinetik enerjisini tanımlayalım.
Katı cisim üzerinde kütlesi mi olan bir nokta seçelim ve bu kütle
elemanının kinetik enerjisi:
1
1
Ki  mi vi2  mi (ri )2
2
2
Bu durumda katı cismin dönme kinetik enerjisi, katı cismi oluşturan her bir noktanın kinetik
enerjilerinin toplamına eşit olacaktır:
K D   Ki 
i
1
mi ri2i2

2 i
Katı cisim üzerindeki her bir nokta için i= için toplamın dışına alınabilir.
1
2 2
K D    mi ri 
2 i

1
K D  I 2
2
Burada parantez içindeki ifade eylemsizlik momenti olarak adlandırılır ve I harfi ile gösterilir. SI
birim sisteminde birimi kgm2 dir.
5
EYLEMSİZLİK MOMENTİ
Noktasal parçacıklardan oluşan bir sistemin eylemsizlik momenti:
N tane noktasal parçacıktan oluşan sistemin O noktası
etrafında dönmesi durumunda eylemsizlik momenti
Katı bir cisimden oluşan bir sistemin eylemsizlik momenti:
Katı cismin O noktası etrafında dönmesi durumunda
eylemsizlik momenti
Katı cismin eylemsizlik momenti hesaplanırken dm integral değişkeni cismin geometrisine
bağlı olarak yoğunluk tanımından yararlanılarak yazılır.
Hacimsel bir cisim için  hacimsel yoğunluk
Yüzeysel bir cisim için  yüzeysel yoğunluk
Çizgisel bir cisim için  yüzeysel yoğunluk
dm= dV=dx.dy.dz
dm=dA=dx.dy
dm=dx
dir.
6
PARALEL EKSENLER TEOREMİ
Katı bir cismin kütle merkezinden geçen herhangi bir eksene paralel bir eksene göre
eylemsizlik momentini veren bağıntıya
I=IKM+Md2
paralel eksenler teoremi denir. Bu ifadede d ilgilenilen eksenden kütle merkezinden geçen
eksene olan dik uzaklık, M cismin kütlesidir.
7
TORK
Bir eksen üzerinde bulunan bir cisme bir kuvvet uygulandığında, cisim bu eksen etrafında
dönme eğilimi gösterir. Örneğin menteşelerle çerçeveye tutturulan kapı itilirse menteşelerin
geçtiği eksen etrafında döner.
Uygulanan bu kuvvetin cisim üzerinde gösterdiği etkiye TORK (moment) denir ve vektörel
bir niceliktir ve  harfi ile gösterilir.
Tork’ un büyüklüğü uygulanan kuvvet ile uygulanan kuvvetin doğrultusunun dönme eksenine olan
dik uzaklığın (d) çarpımına karşılık gelir. Bu uzaklığa moment kolu da denir.
Dönme eksenine göre kuvvetin uygulandığı noktayı gösteren konum vektörü r ve kuvvet ile r
arasındaki açı  olmak üzere
Şeklinde de yazılabilir.
Bu son ifade aynı zamanda matematikte iki vektörün vektörel çarpımında elde edilen
vektörün büyüklüğünü veren bağıntıya özdeştir. O halde
NOT:Kitabınızın vektörel çarpma ile ilgili bölümünü inceleyiniz.
8
TORK VE AÇISAL İVEME
Tork ifadesi incelenirse kuvvetin cisim üzerinde bir dönme etkisi oluşturabilmesi için
kuvvetin teğetsel bileşeninin olması gerekir. Teğetsel ivme ve açısal ivme arasındaki ilişki
de bilindiğine göre bir o ekseni etrafında dönen noktasal bir parçacığa etki eden tork’ un
büyüklüğü
 rFt  rmat  rmr  mr 2



şeklinde elde edilir. Mr2 noktasal bir parçacığın eylemsizlik momenti olduğuna göre
elde edilir.
  I
Çizgisel Harekette Tartışılan İŞ, GÜÇ , ENERJİ kavramları burada da aynen geçerlidir.
9
BİR PARÇACIĞIN AÇISAL MOMENTUMU
Noktasal bir parçacığın açısal momentumu, O dönme ekseninden parçacığın bulunduğu
noktaya olan konum vektörü ile o andaki momentum vektörünün vektörel çarpımı olarak
tanımlanmıştır.
  
L r F
Açısal momentum ve tork arasındaki

ilişki



 dp d  
 r  p 
dt dt
 rF r

 dL
 
dt
10