kesirli türevlerin hipergeometrik fonksiyonlara uygulamaları

KESİRLİ TÜREVLERİN HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLARA
UYGULAMALARI
Burçin ÜNAL
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HAZİRAN 2011
ANKARA
iv
KESİRLİ TÜREVLERİN HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLARA
UYGULAMALARI
(Yüksek Lisans Tezi)
Burçin ÜNAL
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Haziran 2011
ÖZET
Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde, önbilgiler ve diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar,
lemmalar ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, kesirli analiz ile ilgili bazı
bilgiler verildikten sonra, Riemann-Liouville ve Weyl kesirli integralleri,
fonksiyonlar için kesirli Leibniz kuralı incelenmiştir. Dördüncü bölüm kesirli
analiz ile ilgili çeşitli uygulamalardan oluşmaktadır. Beşinci bölümde, RiemannLiouville operatörü yardımıyla tanımlanan g-Jacobi fonksiyonları verilmiş ve
bu fonksiyonların bazı özellikleri incelenerek klasik Jacobi polinomları ile
karşılaştırılmıştır. Ayrıca Gauss hipergeometrik fonksiyonlarının kesirli
genişlemeleri verilmiş ve F-Gauss fonksiyonları olarak bilinen bu
fonksiyonların sağladığı diferensiyel denklem ve onun çeşitli özellikleri
araştırılmıştır. Altıncı bölümde, yine Riemann-Liouville operatörü yardımıyla
tanımlanan Laguerre fonksiyonları verilmiş ve bu fonksiyonların bazı
özellikleri incelenerek Laguerre polinomları ile karşılaştırılmıştır. Ayrıca
Kummer diferensiyel denkleminin kesirli analoğunun bir çözümü olarak
Kummer fonksiyonlarının kesirli bir genellemesi incelenmiştir.
Bilim Kodu
: 204.1.025
Anahtar Kelimeler : Riemann-Liouville operatörü, hipergeometrik fonksiyon,
Rodrigues formülü, Kummer fonksiyonu
Sayfa Adedi
: 79
Tez Yöneticisi
: Doç. Dr. Esra ERKUŞ DUMAN
v
APPLICATIONS OF FRACTIONAL DERIVATIVES TO
HYPERGEOMETRIC FUNCTIONS
(M.Sc.Thesis)
Burçin ÜNAL
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
June 2011
ABSTRACT
This thesis consists of six chapters. The first chapter is devoted to the
introduction. In the second chapter, preliminaries, some definitions, lemmas
and theorems used in the other chapters are given. In the third chapter, after
giving some information concerning the fractional calculus, Riemann-Liouville
and Weyl fractional integrals, the fractional Leibniz rule for functions are
investigated. The fourth chapter consists of various applications regarding
the fractional calculus. In the fifth chapter, g-Jacobi functions defined with
the help of the Riemann-Liouville operator are given and some of their
properties are studied and compared with the corresponding properties of
the classical Jacobi polynomials. Furthermore, fractional expansions of the
Gauss hypergeometric functions are given and the differential equation
satisfied by these functions known as F-Gauss functions and its various
properties are analyzed. In the sixth chapter, Laguerre functions defined by
the Riemann-Liouville operator are presented and some of their properties
are investigated and compared with the corresponding properties of the
Laguerre polynomials. Besides, a fractional generalization of the Kummer
function is studied as a solution of a fractional analogue of the Kummer
differential equation.
Science Code : 204.1.025
Key Words :Riemann-Liouville operator, hypergeometric function, Rodrigues
formula, Kummer function
Page Number : 79
Adviser
: Assoc. Prof. Dr. Esra ERKUŞ DUMAN
vi
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım sırasında bilimsel katkıları ile bana yardımcı olan, eğitimim süresince
yardımlarını hiçbir zaman esirgemeyen tez danışmanım ve hocam Doç. Dr. Esra
ERKUŞ DUMAN’ a en içten teşekkür ve saygılarımı sunarım. Ayrıca tez süresince
manevi desteklerinden dolayı arkadaşlarım Bahriye Karaca, Aslıhan Çoşkun’ a,
bana maddi ve manevi her türlü desteği veren aileme en içten teşekkürlerimi ve
şükranlarımı sunarım.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET........................................................................................................................... iv
ABSTRACT................................................................................................................. v
TEŞEKKÜR................................................................................................................ vi
İÇİNDEKİLER……………………………………………………………………...vii
ŞEKİLLERİN LİSTESİ…………………………………………………………….viii
SİMGELER VE KISALTMALAR………………………………………………….ix
1. GİRİŞ....................................................................................................................... 1
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER……………………………………………...4
3. KESİRLİ ANALİZ………………………………………………………………12
3.1. Riemann-Liouville ve Weyl Kesirli İntegralleri……………………………19
3.2. Fonksiyonlar İçin Kesirli Leibniz Kuralı…………………………………...37
4. ÇEŞİTLİ UYGULAMALAR……………………………………………………43
5. g-JACOBI FONKSİYONLARI VE F-GAUSS FONKSİYONLARI…………...49
5.1. g-Jacobi Fonksiyonları……………………………………………………...49
5.2. F-Gauss Fonksiyonları……………………………………………………...60
6. KESİRLİ BASAMAKTAN LAGUERRE FONKSİYONLARI VE KUMMER
FONKSİYONLARI……………………………………………………………...65
6.1. Laguerre Fonksiyonları……………………………………………………..65
6.2. Genelleştirilmiş Kummer Fonksiyonu……………………………………...70
6.3. Genelleştirilmiş Laguerre Fonksiyonu……………………………………...74
KAYNAKLAR……………………………………………………………………...76
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………78
viii
ŞEKİLLERİN LİSTESİ
Şekil
Sayfa
Şekil.2.1. Gamma fonksiyonu eğrisi………………………………………………5
Şekil.3.1. [ 0, 4] aralığında 0 ≤ µ ≤ 2 için f (t ) = t 2 nin kesirli türevi…………….19
Şekil.3.2. f ( t ) = 1 in kesirli grafiği……………………………………………….27
ix
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
Γ( x )
Gamma fonksiyonu
F (α , β ; γ ; x)
Hipergeometrik fonksiyon
(α )r
Pochhammer sembolü
Ln ( x )
Laguerre polinomu
Lαn ( x )
Genelleştirilmiş Laguerre polinomu
FD( r )
Lauricella hipergeometrik fonksiyonu
Φ (2r )
Konfluent hipergeometrik fonksiyonu
F (a; c; x)
Kummer fonksiyonu
Dνz
Riemann-Liouville kesirli türevi
Iν
Riemann-Liouville kesirli integrali
x
W∞α
Weyl kesirli integrali
Pα ( x )
Legendre fonksiyonları
Pn(α , β ) ( x )
Jacobi polinomları
a
a x
1
1. GİRİŞ
Türev için kullanılan
dny
gösterimi ilk olarak Leibniz tarafından verilmiştir. Bir
dx n
fonksiyonun birinci, ikinci, üçüncü, vb. türevlerinin nasıl alındığı bilinmektedir.
Fakat
3 / 2 inci türevi nasıl alınır? Aynı şekilde bir fonksiyon iki yada üç defa
integre edilebilir. Ama 1 / 2 defa integre edilebilir mi? Leibniz 1695’ de L' Hospital'
a sorduğu "Tam sayı dereceden türevler, kesirli dereceden türevlere genişletilebilir
mi?" sorusu kesirli diferensiyelin doğum tarihi olarak gösterilebilir. Leibniz' in
kesirli türevler üzerine ortaya attığı bu soru, 300 yıldan daha fazla bir zamandır
üzerinde çalışılan bir konu olmuştur. Elde edilen sonuç bugün için RiemannLiouville tarafından verilen kesirli basamaktan türev tanımı ile de aynıdır. Bu konuda
ilk uygulamanın yazılması 1823’ de Niels Henrik Abel' e aittir. Abel bir çalışmasında
karşısına çıkan bir integral denklem çözümünde kesirli basamaktan türevleri
uygulamıştır. Abel' in bu güzel çözümü, Liouville' nin dikkatini çekmiş ve ilk olarak
Liouville tarafından kesirli basamaktan türev için mantıklı bir tanım verilmesini
sağlamıştır.
Liouville bu konuyu 1832’ de yayınlanan üç geniş eserinde ve 1855’ e kadar da diğer
bir çok eserlerinde incelemiştir.
Liouville, başlangıç noktası tam basamaktan türevler için iyi bilinen
Dxn e ax = a n e ax ,
n ∈ IN
sonucu ile başlamış ve bu ifadeyi doğal bir yolla keyfi basamaktan türevler için,
Dνx e ax = aν e ax ,
ν ∈ℂ
olarak genişletmiştir. Daha sonra bir f ( x) fonksiyonunu
2
∞
f ( x) = ∑ cm e am x
m =0
şeklinde seriye açmış ve f ( x) in keyfi basamaktan türevinin
∞
Dν f ( x) = ∑ cm aνm e am x
m =0
olduğunu kabul etmiştir. Bu formül Liouville' nin ilk tanımı olarak bilinir. Bu
formülde ν , serinin yakınsak olabileceği değerlere kısıtlandığı için, formülün
dezavantajlarının varlığı aşikardır.
Liouville' nin ikinci metodu a > 0 olmak üzere, x − a biçimindeki fonksiyonlara
uygulanmıştır. Liouville,
∞
Ι = ∫ u a −1e− xu du
0
integralini göz önüne almış bu integrale xu = t dönüşümü uygulayarak
x−a =
1
Ι ( a ) sonucunu elde etmiştir. Böylece bu ifadenin her iki yanına Dν
Γ( a )
operatörünü uygulayarak
( −1)
=
ν
ν
Dx x
−a
Γ(a +ν )
Γ(a)
x − a −ν
sonucunu elde etmiştir. Liouville bu tanımları potansiyel teoride bazı problemlere
uygulamakta başarılı olmuştur.
3
Liouville' nin tanımını bir çok matematikçi zaman zaman yeniden ele alarak daha
genel biçimler elde etmişlerdir. Bunlardan bazıları Emil Post, George Peacock,
William Center, Harold Thayer Davis ve Riemann' dır.
Riemann 1847’ de öğrenci iken yazdığı bir makalede kesirli basamaktan
diferensiyellenme ile ilgili genel bir tanım vermiştir. Şüphesiz onun tanımı yine
Liouville' nin verdiği tanımların bir sonucu olup, daha sonra bu tanımlar
düzenlenerek çeşitli tenkitlerin süzgecinden geçtikten sonra bugün iyi bilinen
Riemann-Liouville integral tanımını ortaya koymuştur.
4
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Tanım2.1 (Gamma fonksiyonu)
z > 0 için
∞
Γ( z ) = ∫ u z −1e− u du
(2.1)
0
biçiminde tanımlanan fonksiyon Gamma fonksiyonu olarak adlandırılır. Bu integral
z > 0 için yakınsaktır
Γ( z + 1) = zΓ( z )
(2.2)
dir. Gerçekten Eş .2.1’ den
∞
−t z
−t z
∞
∞
Γ( z + 1) = ∫ e t dt =  −e t  + z ∫ e −t t z −1dt = zΓ( z )
t =0
0
0
olur. Buradan Γ(1) = 1 dir. z sıfır ya da pozitif tamsayı ise
Γ( z + 1) = z !
dir. Bu sonuç, faktöriyel tanımının Γ fonksiyonunun bir özel hali olduğunu gösterir.
Halbuki bilinmektedir ki Γ( z ) fonksiyonu z ≠ 0, −1, −2,… için tanımlı ve sürekli bir
fonksiyondur. O halde sıfır ve negatif tamsayıların dışındaki tüm reel sayılar için
faktöriyel tanımı geçerlidir ve
z ! = Γ( z + 1)
, z ≠ −1, −2,…
dir. Yine Eş. 2.1 tanımından
5
1
Γ  = π
2
olduğu görülebilir. Ayrıca 0 < z < 1 için,
Γ ( z ) Γ (1 − z ) =
π
sin π z
(2.3)
dir.
Γ ( m)
1
-3
-2
-1
0
1
2
m
Şekil 2. 1. Gamma fonksiyonu eğrisi
Tanım 2.2 (Beta fonksiyonu)
Çoğu adımda Gamma fonksiyonunun değerlerinin belirli kombinasyonları yerine
Beta fonksiyonu olarak adlandırılan bir fonksiyon kullanılabilir.
6
Beta fonksiyonu
1
β ( x, y ) = ∫ t x −1 (1 − t )
y −1
, x > 0, y > 0
dt
(2.4)
0
şeklinde tanımlanır.
β ( x, y ) =
Γ ( x )Γ ( y )
= β ( y, x )
Γ( x + y )
(2.5)
dir.
Tanım 2.3 (Gauss hipergeometrik fonksiyonu)
α , β ve γ lar reel ya da kompleks sabitler olmak üzere Gauss hipergeometrik
fonksiyonu
(α ) r ( β ) r
( γ )r
r =0
∞
F (α , β ; γ ; x) = ∑
xr
,
r!
x <1
(2.6)
(α )r = α (α + 1) ... (α + r − 1)
ifadesi olarak tanımlanır. Burada
Pochhammer
sembolüdür ve (α )0 = 1 dir.
Eş. 2.6’ nın genelleştirilmiş ifadesi
(α1 )r (α 2 )r ... (α p )r
r = 0 ( β1 ) r ( β 2 ) r ... ( β q )
r
∞
p Fq (α1 , α 2 ,...., α p ; β1 , β 2 ,..., β q ; x) = ∑
dir.
xr
r!
,
x <1
7
Tanım 2.4
Gauss diferensiyel denklemi (hipergeometrik denklem),
x (1 − x ) y′′ + γ − (α + β + 1) x  y′ − αβ y = 0
şeklindedir.
Gauss hipergeometrik fonksiyonunun bir integral gösterimi
F ( a, b; c; z ) =
Γ (c)
1
u (1 − u )
Γ (a) Γ (c − a) ∫
a −1
c − a −1
(1 − uz )
−b
du
0
( Re c > Re a > 0,
dir. Beta fonksiyonunun
1
Β ( u, v ) = ∫ t u −1 (1 − t )
v −1
dt
0
tanımından ve bilinen
(α ) r =
Γ (α + r )
Γ (α )
Pochhammer sembolünden
( a )r
( c )r
Γ (a + r )
Γ (a)
Γ ( a + r ) Γ (c)
=
=
Γ (c + r ) Γ (a) Γ (c + r )
Γ (c)
z < 1)
(2.7)
8
olup her iki yan Γ ( c − a ) ile çarpılıp bölünürse
( a )r
( c )r
Γ (a + r ) Γ (c − a)
Γ (c + r )
=
Γ (a) Γ (c − a)
Γ (c )
=
Β ( a + r, c − a )
Β ( a, c − a )
1
=
=
1
c − a −1
u a + r −1 (1 − u )
du
∫
Β ( a, c − a ) 0
Γ (c)
1
u
Γ ( a) Γ (c − a) ∫
a + r −1
(1 − u )
c − a −1
du
0
elde edilir. Böylece hipergeometrik fonksiyonun tanımından
F ( a, b; c; z ) =
1

c − a −1
 ( b )r r a + r −1
z
u
(1 − u ) du 

∑
∫
Γ ( a ) Γ ( c − a ) r = 0  r !

0
Γ (c)
∞
olup, bu ifadede toplam ile integral işleminin sırası değiştirilirse
F ( a, b; c; z ) =
Γ (c)
a −1
∫ u (1 − u )
Γ ( a ) Γ (c − a ) 0
bulunur. (1 − zu )
F ( a, b; c; z ) =
1
−b
 ∞ ( b )r
r
( uz )  du
∑
 r =0 r !

nin binom açılımı kullanılırsa,
Γ (c)
1
u (1 − u )
Γ (a) Γ (c − a) ∫
0
elde edilir.
c − a −1
a −1
c − a −1
(1 − uz )
−b
du
9
Teorem 2.1
Re c > Re ( a + b ) ,
F ( a, b; c;1) =
c ∉ ℤ −0 = {0} ∪ ℤ − için
Γ (c) Γ (c − a − b)
Γ (c − a) Γ (c − b)
dir. Bu formül Gauss formülü olarak bilinir.
İspat
Eş. 2.7’ de, z = 1 alınırsa
F ( a, b; c;1) =
Γ (c)
1
u (1 − u )
Γ (a) Γ (c − a) ∫
a −1
c − a −1
(1 − u )
−b
du
0
=
Γ (c)
1
u (1 − u )
Γ ( a) Γ (c − a) ∫
a −1
c − a −b −1
du
0
=
=
=
Γ (c)
Γ ( a ) Γ (c − a )
Γ (c)
Γ ( a ) Γ (c − a )
Β ( c − a − b, a )
Γ (c − a − b) Γ ( a )
Γ (c) Γ (c − a − b)
Γ (c − b) Γ (c − a )
Γ (c − b)
(2.8)
elde edilir.
Tanım 2.5
FD( r ) , r kompleks değişkenli dördüncü çeşit Lauricella hipergeometrik fonksiyonu,
10
FD( r ) [ a, b1 ,..., br ; c; z1 ,..., zr ] :=
(α )m +...+ m ( b1 )m ... ( br )m
∑
( c )m +...+ m
m ,..., m = 0
∞
1
1
r
1
r
1
r
r
z1m1
z mr
⋯ r
m1 ! mr !
, max { z1 ,..., zr } < 1
olarak tanımlanır [1].
Tanım 2.6
Φ (2r ) , r kompleks değişkenli konfluent hipergeometrik fonksiyon olup,
Φ (2r ) [b1 ,..., br ; c; z1 ,..., zr ] =
( b1 )m ... ( br )m
∑ (c)
m ,..., m = 0
m +...+ m
∞
r
1
1
r
1
r
z1m1
z mr
⋯ r
m1 ! mr !
şeklinde tanımlanır [1].
Tanım 2.7
xy′′ + [ c − x ] y′ − ay = 0
(2.9)
denklemi Kummer diferensiyel denklemi olarak bilinir. Bu denklemin bir çözümü
olan Kummer fonksiyonu
∞
(a) k x k
1 F1 ( a; c; x ) = ∑
k = 0 (c ) k k !
şeklinde ifade edilir [1].
Tanım 2.8 (Çok değişkenli Lagrange polinomları)
g n(
α1 ,...,α r )
( x1 ,..., xr )
çok değişkenli Lagrange polinomları,
(2.10)
11
∏ {(1 − x t ) } = ∑ g
r
−α i
i =1
i
∞
n =0
(α1 ,...,α r )
n
( x1 ,..., xr ) t n
( t < min { x
−1
1
,..., xr
−1
;
(2.11)
})
doğurucu fonksiyon bağıntısıyla tanımlanırlar [11]. 1998 yılında bu polinomların
r = 3 halini Khan ve Shukla daha sonraki yıllarda da r değişkenli Lagrange
polinomlarını bir çok matematikçi çalışmıştır [20]. Burada Eş. 2.11’ den hareketle
g n( 1
α ,...,α r )
 α1 + k1 − 1  α1 + kr − 1 k1 kr

 ... 
 x1 ... xr
k1
k
k1 +...+ kr = n 
 
r

( x1 ,..., xr ) = ∑
yazılabilir. İkinci yandaki binom katsayıları yerine Pochhammer sembolü cinsinden
ifadeleri kullanılarak da
g n(
α1 ,...,α r )
( x1 ,..., xr ) =
elde edilir.
∑
k1 +...+ kr = n
(α1 )k ... (α r )k
1
r
x1k1 xrkr
...
k1 ! kr !
12
3. KESİRLİ ANALİZ
y = f ( x) fonksiyonu için,
Dy = lim
u→ x
f (u ) − f ( x)
u−x
, D=
d
dx
olduğu açıktır. D türev operatörü yardımıyla y = f ( x) fonksiyonunun ardışık
türevlerinin
y ( n ) = D n y = lim
u→ x
f ( n −1) (u ) − f ( n −1) ( x)
u−x
,
( n ∈ IN )
olduğu bilinmektedir. Bir F ( D) operatörü yardımıyla D nin kullanım alanını
genişletmek mümkündür.
F ( Dy ) = F ( y′) = ϕ ( x, y )
ifadesi veya daha genel anlamda
(
)
F x, y, Dy, D 2 y,… , D n y = ϕ ( x, y )
denklemi bir adi diferensiyel denklem tanımlar. Buna karşılık,
F ( D ) y = φ ( x, y )
ifadesi her zaman yukarıdaki anlamda bir adi diferensiyel denklem tanımlamaz.
(3.1)
13
Örneğin,
F ( Dy ) = Dy = y′ = x
,
( x ≥ 0)
adi diferensiyel denklemin genel çözümü
y=
x3
+c
3
,
( x ≥ 0)
dir. Buna karşılık,
F ( D) y = D y = x
denkleminin genel çözümü veya sağladığı herhangi bir fonksiyonu bulmak için her
şeyden önce
D ye açık bir anlam vermek gerekecektir.
Eş. 3.1 ile verilen denklemde y = f ( x) fonksiyonunun x = x0 noktasında analitik
olduğunu kabul edelim. O halde f ( x) , x0 noktasında
∞
f ( x) = ∑ am ( x − x0 )
m
m =0
Taylor serisine sahiptir. Özel olarak x0 = 0 almak genelliği bozmaz. Çünkü x0
noktası her zaman başlangıca kaydırılabilir. Böylece,
∞
f ( x) = ∑ am x m
m =0
14
serisi x = 0 noktası komşuluğunda belirli bir yakınsaklık aralığına sahiptir. Bu
aralıkta serinin terimleri üzerinde çeşitli diferensiyel ve integral işlemleri yapılabilir.
Buradan görülmektedir ki, problem,
∞
F ( D ) y = F ( D ) f ( x ) = ∑ am F ( D ) x m
m=0
yani kısaca
F ( D) x m
ifadesine bir anlam verilebilmesine dönüşmektedir.
a) F ( D ) , D nin bir polinomu veya D nin bir analitik fonksiyonu ise F ( D ) x m in elde
edilmesi kolaydır. Örneğin,
i) F ( D ) = D 3 için D 3 ( x m ) = m ( m − 1)( m − 2 ) x m −3
ii) F ( D ) = cos( D ) için

( cos D ) ( x 2 ) = 1 −


D2 D4
+
−…  ( x 2 ) = x 2 − 1
2! 4!

olur.
b) F ( D ) = Dα , ( 0 < α < 1) olsun. Açıktır ki F ( D ) fonksiyonu D nin tam kuvvetleri
cinsinden bir Taylor serisine açılamaz. O halde,
Dα ( x m )
,
( 0 < α < 1)
15
için bir açıklamaya ihtiyaç vardır. Yani kesirli basamaktan türevler için bir ifade elde
etmek gerekmektedir.
Adi türev tanımından bilinmektedir ki,
D( x m ) = mx m −1
D 2 ( x m ) = m ( m − 1) x m −2
⋮
⋮
D n ( x m ) = m ( m − 1)… ( m − n + 1) x m −n
=
m!
x m −n
m
n
!
−
(
)
=
Γ(m + 1) m −n
x
Γ(m − n + 1)
dır [15]. Yani kısaca
Dn ( xm ) =
Γ(m + 1) m− n
x
Γ(m − n + 1)
(3.2)
dir. Eş. 3.2, m ve n nin tamsayı olmadığı durumlarda da sağlanır. O halde 0 < α < 1
için
Dα ( x m ) =
Γ (m + 1)
x m −α
Γ (m − α + 1)
yazılabilir [8,19]. Kesirli analiz için bilinen bazı özellikler aşağıdaki gibidir.
i) D n (kx m ) = k
=k
m ( m − 1) ... ( m − n + 1)( m − n ) ...3.2.1
( m − n ) ...3.2.1
m!
x m−n
( m − n )!
x m −n
16
=k
Γ(m + 1) m− n
x
Γ(m − n + 1)
= k Dn ( xm )
dir.
ii) D n ( x − m ) =
Γ(− m + 1) − m −n
x
Γ(−m − n + 1)
olup, Eş. 2.2’ den
n
D (x
−m
( −1)
)=
n
m ( m + 1)( m + 2 )… ( m + n − 1) Γ(− m − n + 1)
Γ(− m − n + 1)
x − m −n
= ( −1) (m) n x − m− n
n
= ( −1)
n
Γ ( m + n) − m − n
x
Γ (m)
dir.
iii) m = 0 , n > 0 ve Γ(0) = ∞ olduğundan
D n ( sabit ) = 0
dir.
Tanım3.1.
f
fonksiyonu her sonlu
( a, x )
aralığında sürekli ve integrallenebilir olsun.
m ∈ IN , m − 1 ≤ α < m olmak üzere x > a için reel bir f fonksiyonunun α .
mertebeden Riemann-Liouville kesirli türevi
17
x

dm 
1
m −α −1
(
)
f
t
x
−
t
dt
(
)


a Dx f ( x ) =
dx m  Γ(m − α ) ∫a

α
=
dm
dx m
(
Dx ( m
−
a
−α )
f ( x)
(3.3)
)
şeklinde tanımlanır. Burada m − α > 0 dır [5,6].
Teorem3.1
f (t ) ve g (t ) için
a
Dxµ f (t ) ve
a
Dxµ g (t ) var olsun. O zaman Riemann-Liouville
türevlerinin temel özellikleri aşağıdaki gibidir:
(i) lim a Dxµ f (t ) = f ( m ) (t ) ;
µ →m
(ii) a Dxµ [ λ f (t ) + γ g (t ) ] = λ a Dxµ f (t ) + γ a Dxµ g (t ) ,
(λ , γ ∈ ℂ )
(iii) a Dxµ  a Dνx f (t )  ≠ a Dxµ +ν f (t )
(iv) a Dxµ a Dνx ≠ a Dνx a Dxµ
dır [4,5,6].
Lemma3.1 (Kuvvet fonksiyonun kesirli türevi). Eğer µ ≥ 0 , t > 0 ve α > −1 ise
0
Dtµ t α =
dır [5,6].
Γ(α + 1) α − µ
t
Γ(α − µ + 1)
(3.4)
18
İspat
m − 1 ≤ µ < m , m ∈ IN olduğunda, Eş. 3.3’ den
t

dm 
1
m − µ −1
( t − τ ) τ α dτ 
0 Dt t =
m 
∫
dt  Γ(m − µ ) 0

µ α
dır. τ = t λ değişken değiştirmesi yapılırsa


1


1
d
m − µ −1
m +α − µ
µ α
α


D
t
=
t
λ
1
−
λ
d
λ
(
)
0 t
∫0
Γ(m − µ ) dt m 



β (α +1, m − µ )


m
elde edilir. Burada Beta fonksiyonunun özelliğinden yararlanılarak ve m kez tamsayı
basamaktan türev kullanılarak
Γ(α + 1)Γ(m − µ )
d m m +α − µ
t
0 Dt t =
Γ(m − µ )Γ(m + α − µ + 1) dt m
µ α
=
Γ(α + 1)
Γ(m + α − µ + 1) α − µ
t
Γ(m + α − µ + 1) Γ(α − µ + 1)
=
Γ(α + 1)
(α − µ + 1)m t α − µ
Γ(m + α − µ + 1)
=
Γ(α + 1)
(α − µ + 1)(α − µ + 2 )… (α − µ + m − 1)(α − µ + m ) t α − µ
Γ(m + α − µ + 1)
elde edilir. Eş. 3.4 formülü µ nün negatif değerleri için de elde edilir [5,6,17]. Bu
durumda 0 Dtµ , 0 I t− µ olarak düşünülebilir.
[0, 4]
aralığında, 0 ≤ µ ≤ 2 için f (t ) = t 2 nin kesirli türevinin 3- boyutlu grafiği
Şekil3.1 den görülebilir.
19
Şekil3.1. [ 0, 4] aralığında 0 ≤ µ ≤ 2 için f (t ) = t 2 nin kesirli türevi
3.1. Riemann-Liouville ve Weyl Kesirli İntegralleri
f fonksiyonu, ( a, ∞ ) üzerinde integrallenebilir olsun. n. mertebeden
x t1 t2
tn−1
n
a Ι x f ( x ) = ∫ ∫ ∫ … ∫ f (tn ) dtn dt n −1 … dt 2 dt1
a a a
,
n ∈ IN
(3.5)
a
integrali ele alınsın. Bu integralde integrasyon sırası ve buna bağlı sınırlar
değiştirilsin. Bunun için;
a < t1 < x
t2 < t1 < x
a < t2 < t1
t3 < t2 < x
,....,
,.....,
a < tn −1 < tn −2
tn < tn −1 < x
a < tn < tn−1
a < tn < x
20
sınır değişimleri altında Eş. 3.5 ifadesi
x
Ι f ( x) = ∫
n
x
a
x x xx 


f (tn )  ∫  ∫ … ∫  ∫ dt1  dt2 …  dtn −1 dtn

 tn  tn−1 t3  t2 


 

(3.6)
şeklinde yazılır. Eş. 3.6 ifadesinin sağ tarafı terim terime hesaplanırsa
x
Ι nx f ( x) =
1
n −1
f (tn ) ( x − tn ) dtn
∫
( n − 1)! a
eşitliği elde edilir. Burada ( n − 1)! = Γ(n) kullanılırsa
x
1
n −1
Ι f ( x) =
f (tn ) ( x − tn ) dtn
∫
Γ( n) a
n
x
(3.7)
yazılır [5]. Burada −∞ ≤ a < x < ∞ ve n ∈ IN dir. Gamma fonksiyonu tamsayılar
dışında da tanımlı olduğundan, n
nin tamsayı olmaması durumunda Eş. 3.7
eşitliğinin sağ tarafı için şu tanım verilebilir.
Tanım 3.2
f , ( a, ∞ ) da integrallenebilir ise α > 0 için α . mertebeden, Riemann-Liouville
Ι ≡ a Dx−α integral operatörü
α
a x
a
−α
x
D
x
1
α −1
f ( x ) = a Ι x f ( x) =
f (tn ) ( x − tn ) dtn
∫
Γ(α ) a
α
,
x>a
veya
α
−α
x Db f ( x ) = x Ι b f ( x ) =
b
1
α −1
f (tn ) ( tn − x ) dtn
∫
Γ(α ) x
, x<b
21
biçiminde tanımlanır [4,5,6].
Eş. 3.7’ de −n yerine µ yazılırsa
z
1
− µ −1
f (t ) ( z − t )
dt
0 Dz { f ( z )} =
∫
Γ(− µ ) 0
µ
, Re( µ ) < 0
(3.8)
elde edilir. Eş. 3.8, µ < 0 için yakınsaktır. Eş. 3.8 ile − µ katlı Riemann-Liouville
kesirli integrali tanımlanır.
( m = 1, 2,3,...)
m − 1 < Re( µ ) < m
µ
0 Dz { f ( z )} =
=
için,
dm
D µ −m { f ( z )}
m 0 z
dz
dm
dz m
z


1
− µ + m −1
f (t ) ( z − t )
dt 

∫
 Γ(− µ + m) 0

şeklinde yazılabilir. Eş. 3.8’ de f ( z ) = z λ yazılırsa,
{ }
µ
zλ =
0 Dz
z
1
− µ −1
tλ ( z − t )
dt
∫
Γ( − µ ) 0
olup burada t = zy dönüşümü yapılırsa
µ
0
{ }
Dz z
λ
1
1
− µ −1
=
z λ − µ y λ (1 − y )
dy
∫
Γ(− µ ) 0
z λ −µ
=
B ( λ + 1, − µ )
Γ( − µ )
=
z λ − µ Γ(λ + 1)Γ(− µ )
Γ(− µ ) Γ(λ − µ + 1)
(3.9)
22
=
Γ(λ + 1) λ − µ
z
Γ(λ − µ + 1)
;
dır. Örneğin, Eş. 3.10’ da µ =
1
{ }
2
zλ =
0 Dz
Re(λ ) > −1, Re( µ ) < 0
1
alınırsa
2
Γ(λ + 1) λ − 12
z
1
Γ (λ + )
2
dir ve aynı zamanda Eş. 3.9’ da µ =
2
zλ =
0 Dz
1
1
−1
d
2
D
zλ
0 z
dz
=
1
−
d
2
D
zλ
0 z
dz
{ }
1
, m = 1 ve f ( z ) = z λ alınırsa
2
{ }
{ }


z


1
d  1
−1
λ
2
= 
t
z
−
t
dt
( )

dz   1  ∫0

Γ 
  2 

olup t = ξ z dönüşümü yapıldığında
0
1
2
z
D
{z }
λ
1
1 −1

d  1
−
λ λ
2 z 2 zd ξ
= 
ξ
z
1
−
ξ
(
)

dz  π ∫0

=
1
1

1 d  λ + 12 λ
−
2 dξ
z
ξ
1
−
ξ
(
)


∫0
π dz 

=
1 d  λ + 12 
1 
 z B  λ + 1,  
2 
π dz 

(3.10)
23
1
Γ(λ + 1)Γ  
1  λ − 12
2

=
λ +  z
3
2

Γλ +  π 
2

=
Γ(λ + 1) λ − 12
z
1

Γλ + 
2

elde edilir.
1
Şimdi f (t ) = ( t − a ) 2 ve α =
1
olmak üzere aşağıdaki Riemann-Liouville kesirli
2
integralini göz önüne alalım. Tanım 3.2’ den
−
a
Dx
1
2
x
1
2
x
1
1
1
−
2 ( x − t ) 2 dt
= a I f ( x) =
t
−
a
(
)
1∫
Γ  a
2
, x>a
olarak yazılır. Şayet burada
t = a + ( x − a )τ
şeklinde bir değişken değiştirmesi yapılırsa,
−
1
x
1
2
2
a Dx = a I x f ( x) =
=
=
1
1
1
−
2 ( x − t ) 2 dt
t
−
a
(
)
1∫
Γ  a
2
1
π
1
π
1
1
2
∫ ( x − a) ( x − a)
1
− +1
2
τ
1
2
0
1
1
( x − a ) ∫ τ 2 (1 − τ )
0
−
1
2
dτ
, x>a
(1 − τ )
−
1
2
dτ
24
olup, Beta fonksiyonu yardımıyla
−
1
1
2
2
a Dx = a I x f ( x ) =
1
π
( x − a ) B 
3 1
, 
2 2
3 1
Γ Γ 
1
=
( x − a )  23 12 


π
Γ + 
2 2
=
π
2
( x − a)
elde edilir.
Teorem 3.2
f (t ) ve g (t ) için
I ν f (t ) ve
a x
I ν g (t ) var olsun. O zaman Riemann-Liouville
a x
integrallerinin özellikleri aşağıdaki gibidir:
(i) lim a I νx f (t ) = I xn (t )
ν →n
dir. Burada I xn (n ∈ IN ) n-katlı integral için klasik operatördür.
(ii) a I νx [ λ f (t ) + γ g (t ) ] = λ a I νx f (t ) + γ a I νx g (t ) ,
(iii) a I x µ  a I xν f (t )  = a I x µ +ν f (t ) .
(iv) a I x µ a I xν = a I xν a I x µ
dır [4,5,6].
(λ , γ ∈ ℂ ) .
25
Örnek
, (α , β ) > 0
Ια Ι β f = a Ιαx + β f
a xb x
dir.
Gerçekten, integrasyon sırası değiştirilerek,
α
β
a Ι x a Ι x f ( x) =
x
u
1
1
α −1
β −1
( x − u ) dt
( u − t ) f (t )dt
∫
∫
Γ(α ) a
Γ( β ) a
x
x
1
α −1
β −1
=
f (t )dt ∫ ( x − u ) ( u − t ) f (t )du
∫
Γ(α )Γ( β ) a
t
elde edilir. Eşitliğin sağ yanındaki ikinci integralde y =
u −t
değişken değiştirmesi
x−t
yapılırsa
( x − u) ( x − t)
α −1
∫t ( x − u ) ( u − t ) du = ∫t
(x −t)
x
α −1
α −1
x
β −1
α −1
α −1
 u −t 
= ∫ 1 −

x−t 
0
1
1
= ∫ (1 − y )
α −1
β −1

 x−t  
 ( u − t ) 
  du
x
−
t




(x −t)
α −1
y β −1 ( x − t )
 u −t 


 x−t 
α + β −1
dy
0
= (x −t)
α + β −1
1
∫ (1 − y )
α −1
y β −1dy
0
= B (α , β )( x − t )
α + β −1
=
Γ(α )Γ( β )
α + β −1
(x −t)
Γ(α + β )
dır. Bulduğumuz bu sonucu yukarıda yerine yazarsak
β −1
( x − t ) ( x − t ) dy
β −1
26
α
β
a Ι x a Ι x f ( x) =
1
Γ(α )Γ( β )
α + β −1
f (t ) ( x − t )
dt
∫
Γ(α )Γ( β ) Γ(α + β ) a
x
x
1
α + β −1
=
f (t ) ( x − t )
dt
∫
Γ(α + β ) a
= a I xα + β f ( x )
dır.
Lemma3.2 Sabit fonksiyonun kesirli integrali
I ν1=
0 t
1
tν
Γ(ν + 1)
şeklindedir [5].
İspat
Tanım3.2’ den
t
1
1 
ν −1
ν τ =t

t
−
τ
d
τ
=
−
t
−
τ
(
)
(
)
0 It 1 =
τ =0
Γ(ν ) ∫0
ν Γ(ν ) 
ν
tν
=
ν Γ(ν )
ve burada ν Γ(ν ) = Γ(ν + 1) dır.
27
Şekil3.2. f ( t ) = 1 in kesirli grafiği
Tanım 3.3
α katlı Weyl kesirli integrali
∞
1
α −1
( t − x ) f (t )dt
x W∞ f ( x ) = x Ι ∞ f ( x ) =
∫
Γ(α ) x
α
−∞
α
α
Wx f ( x) = −∞
x
1
α −1
Ι x f ( x) =
( x − t ) f (t )dt
∫
Γ(α ) −∞
α
şeklinde tanımlanır [14].
(3.11)
28
Teorem3.3
f ( z ) , z < p ’ de analitik bir fonksiyon olmak üzere
∞
f ( z ) = ∑ an z n
, z <p
(3.12)
n =0
kuvvet serisine sahip olsun. Bu durumda
{
∞
}
{
µ
z λ −1 f ( z ) = ∑ an 0 Dzµ z λ + n −1
0 Dz
n =0
=
Γ (λ )
}
∞
Γ (λ − µ )
z λ − µ −1 ∑
n =0
an ( λ )n
( λ − µ )n
zn
dir. Burada Re(λ ) > 0 , Re( µ ) < 0 ve z < p dir [1].
İspat
Eş. 3.8 ve Eş. 3.12’ den
0
∞


Dzµ z λ −1 f ( z ) = 0 Dzµ  z λ −1 ∑ an z n 
n =0


{
}
∞
1

− µ −1 λ −1 
=
z
−
t
t
ant n dt
(
)
∑

∫
Γ ( −µ ) 0
 n=0

z
olup, t = ξ z dönüşümü yapılırsa
µ
0
{
Dz z
λ −1
∞
z λ − µ −1

− µ −1 λ −1 
f ( z) =
1
−
ξ
ξ
an z nξ n  dξ
(
)
∑

∫
Γ ( −µ ) 0
 n=0

}
1
29
elde edilir. Dikkat edilirse Re(λ ) > 0 ve Re( µ ) < 0 için
∞
∑a z ξ
n
n =0
n
n
serisi z < p için düzgün yakınsaktır ve
1
µ
λ
∫ ξ (1 − ξ )
−1
− −1
dξ
0
integrali de yakınsaktır. Burada Re(λ ) > 0 ve Re( µ ) < 0 dır. Bu durumda
integrasyon ve toplamın yerleri değiştirilirse
{
}
µ
z λ −1 f ( z ) =
0 Dz
z λ − µ −1 ∞
− µ −1
an z n ∫ ξ λ + n −1 (1 − ξ )
dξ
∑
Γ ( − µ ) n =0
0
1
∞
{
= ∑ an 0 Dzµ z λ + n−1
n=0
=
=
=
Γ (λ + n)
Γ (λ + n − µ )
}
∞
z λ − µ −1 ∑ an z n
n=0
Γ ( λ )( λ )n
∞
Γ ( λ − µ )( λ − µ )n
Γ (λ )
Γ (λ − µ )
∞
z λ − µ −1 ∑ an z n
z λ − µ −1 ∑ an
n =0
n =0
( λ )n
( λ − µ )n
elde edilir ki bu da istenilendir.
Teorem3.4
Re(λ ) > 0 , az < 1 ,
bz < 1 , cz < 1 için,
zn
30
a
{
Dzλ − µ z λ −1 (1 − az )
−α
(1 − bz ) (1 − cz )
−β
−γ
−α
(1 − bz ) (1 − cz )
−γ
} = ΓΓ (( λµ )) z
λ −1
FD(3) [ λ , α , β ; γ ; µ ; az , bz , cz ]
dir [1].
İspat
a
{
Dzλ − µ z λ −1 (1 − az )
λ −µ
= a Dz
−β
}
(3.13)
p
m
n


 λ −1 ∞ (α )m ( az ) ∞ ( β )n ( bz ) ∞ ( γ ) p ( cz ) 
z ∑

∑
∑
m!
n!
p!
m =0
n=0
p =0


∞

(α )m ( β )n ( γ ) p m n p m+ n+ p 
= a Dzλ − µ  z λ −1 ∑
a bc z

m !n ! p !
m ,n, p =0


=
=
=
=
Γ (λ + m + n + p)
Γ (m + n + p + µ )
Γ ( λ )( λ )m+ n + p
Γ ( µ )( µ )m + n + p
Γ (λ )
Γ(µ)
Γ (λ )
Γ(µ)
z
µ −1
z m + n + p + µ −1
∑
(α ) m ( β ) n ( γ ) p
m !n ! p !
m , n , p =0
∞
(α ) m ( β ) n ( γ ) p
m ,n, p =0
m !n ! p !
∑
a mb n c p
a mb n c p
( λ )m+ n+ p (α )m ( β )n (γ ) p ( az )m ( bz )n ( cz ) p
∑
m! n!
p!
( µ )m + n + p
m ,n , p =0
∞
z µ −1 FD(3) [ λ , α , β , γ ; µ ; az , bz , cz ]
elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.
Örnek
1
1−
Γ(1 + 1)
D ( x) = a D ( x) =
x 2
 1 
Γ 1 − + 1
 2 
1
2
x
∞
z m+ n + p + µ −1
31
=
Γ(2) 12
x
3
Γ 
2
=2
x
π
dir.
Örnek
1
d2y
D y = x ise
dx
1
2
= x denklemi için bir çözüm bulalım. Kabul edelim ki bu
denklem
y = kx m
tipinde bir çözüme sahiptir. k ve m yi bulalım.
Γ(m + 1) m − 12
D (kx ) = a Dx (kx ) = k
x
=x
1

Γm + 
2

1
2
m
olup, m =
m
3
ve
2
3 
Γ  + 1
2 
k 
=1
3 1
Γ + 
2 2
eşitliğinden faydalanarak
32
k
31
π =1
22
k=
4
3 π
olup, y =
4
3 π
3
2
x fonksiyonu verilen denklemi sağlar.
Örnek
b > −1 , f ( x) = xb için
0
Dxα f ( x) kesirli türevi ele alalım. m − 1 ≤ α < m , m ∈ IN
için
m
x
1
m −α −1 b

 d  
D
x
u du 
=
( x − u)
0 x
  
∫
 dx   Γ ( m − α ) 0

α
b
olup u = xv dönüşümü yapılır ve Eş. 2.4 Beta fonksiyonu tanımı kullanılırsa
α b
0 Dx x =
1
d 
 
Γ ( m − α )  dx 
m
 m−α + b 1

m −α −1 b
v dv 
(1 − v )
x
∫


0
Γ ( b + 1) Γ ( m − α )  d  m−α +b
1
=
  x
Γ ( m − α ) Γ ( b + 1 + m − α )  dx 
m
=
=
Γ ( b + 1)
Γ ( m − α + b + 1)
Γ ( b + 1 + m − α ) Γ ( m − α + b − m + 1)
Γ ( b + 1)
Γ ( b − α + 1)
x b−α
elde edilir. Burada p ∉ Z 0− için
xb −α
(3.14)
33
Γ ( p + 1)
d  p
x p−m
  x =
Γ ( p − m + 1)
 dx 
m
=
=
p!
x p −m
−
p
m
!
(
)
p ( p − 1) ... ( p − m )( p − m − 1) ...3.2.1
( p − m )( p − m − 1) ...3.2.1
= p ( p − 1) ... ( p − m + 1) x p − m
x p −m
, ( m ∈ IN )
(3.15)
dır. Eş.3.14’ de b = 0 ve herhangi α > 0 için
α
0 Dx c =
cx −α
Γ (1 − α )
elde edilir. Bu yüzden c sabitinin kesirli diferensiyeli sadece α = n nin pozitif
değerleri için sıfırdır.
( Γ (1 − n ) = ∞ )
f ( x) = xα −k , k = 1, 2,...,1 + [α ] ise
0
Diğer yandan herhangi bir α > 0 için eğer
Dxα f ( x) ≡ 0 dır.
Örnek
f ( x) = log x için 0 Ιαx f integralinde u = x (1 − v ) dönüşümü yapılırsa
α
0 Ι x f ( x) =
1
x
( x − u)
Γ (α ) ∫
α −1
log udu
0
=
0
( x − x (1 − v ) )
Γ (α ) ∫
1
α −1
log ( x (1 − v ) ) ( − x ) dv
1
(log x) xα α −1
xα
=
v
dv
+
vα −1 log (1 − v ) dv
Γ (α ) ∫0
Γ (α ) ∫0
1
(log x) xα
xα
α −1
α
v
dv
+
α vα −1 log (1 − v ) dv
Γ (α ) α ∫0
Γ (α ) α ∫0
1
=
1
1
34
xα
xα
log x −
log (1 − v ) d 1 − vα
∫
Γ (α + 1)
Γ (α ) α 0
1
=
(
)
1


xα
α 
=
log x − ∫ log (1 − v ) d 1 − v 
Γ (α + 1) 
0

(
)
1
1

xα
1 − vα 
α
=
dv 
log x − 1 − v log (1 − v ) 0 − ∫
Γ (α + 1) 
1− v

0
(
)
dır. Burada
vx − vy
∫0 1 − v dv = ψ ( y + 1) −ψ ( x + 1)
1
,
( Re x > −1, Re y > −1)
şeklinde ifade edilir ve ψ fonksiyonu
−1
 d 
ψ ( x) =  Γ ( x )    Γ ( x )
 dx 
ile tanımlanır. ψ ( x) için, −ψ (1) = γ = 0,5772157... dir.
Böylece
α
0 Ι x log x =
xα
{log x −ψ (α + 1) +ψ (1)}
Γ (α + 1)
elde edilir. Diğer taraftan m − 1 ≤ Re α < m için,
 d 
α
0 Dx log x = 

 dx 
d 
= 
 dx 
m
m
m −α
0 x
Ι
log x
x


1
m −α −1
log udu 
(x − u)

∫
 Γ ( m − α ) 0

(3.16)
35
olup, u = x (1 − v ) dönüşümü uygulanırsa
m
0


m −α −1
1
1
log
1
x
−
x
−
v
x
−
v
−
x
dv
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)


∫
 Γ ( m − α ) 1

m
0
1


x m −α −1v m −α −1 log x + log (1 − v )  ( − x ) dv 

∫
 Γ ( m − α ) 1

d 
α
0 Dx log x = 

 dx 
 d 
= 
 dx 
m
m −α 1
1
x m−α

 d   ( log x ) x
m −α −1
v
dv
v m−α −1 log (1 − v ) dv 
=  
+
∫
∫
Γ (m −α ) 0
 dx   Γ ( m − α ) 0

d 
= 
 dx 
m
 ( log x ) x m −α 1
( m − α ) v m−α −1dv

∫
 Γ ( m − α + 1) 0
+
 d 
= 
 dx 
m
1

Γ ( m − α )( m − α ) 0

x m −α

m −α −1
∫ ( m − α ) v log (1 − v ) dv 
1

x m−α
x m −α
log
x
−
log (1 − v ) d 1 − v m−α

∫
Γ ( m − α )( m − α ) 0
 Γ ( m − α + 1)
(
d 
= 
 dx 
m
1


 
x m−α
log
x
−
log (1 − v ) d 1 − v m −α  


∫
 Γ ( m − α + 1) 
0
 
d 
= 
 dx 
m


x m −α
m −α
 log x − 1 − v

 Γ ( m − α + 1) 
(
(
)

)

)
1 − v m −α  
( log (1 − v ) ) 0 − ∫ 1 − v dv  
0
 
1
1
x m −α
d 
= 
[ log x −ψ (m − α + 1) +ψ (1)]
 dx  Γ ( m − α + 1)
m
elde edilir. Burada klasik diferensiyel uygulandığında ve sonuç Eş. 3.16 ile
birleştirildiğinde, ∀α ∈ ℂ için
α
0 Dx log x =
x −α
{log x −ψ (1 − α ) − γ }
Γ (1 − α )
bulunur. α = n ∈ IN olması durumunda, sağ yandaki ifade, α → n için limit olarak
ifade edilecektir. Gerçekten
36
lim
α →n
ψ (1 − α )
−n
= ( −1) Γ ( n )
Γ (1 − α )
n
−n
d 
olduğundan   log x = −Γ ( n )( − x ) elde edilir. Ancak α = −n için
 dx 
−n
α
0 Dx log x = 0 Ι x log x =
n
xn 
1
x
log
−


∑
n! 
j =1 j 
klasik sonucu elde edilir. Burada ψ ( x + 1) −ψ ( x) = x −1 yinelemesinden,
n
ψ (n + 1) −ψ (1) = ∑ j −1 olduğu görülebilir.
j =1
Örnek
m − 1 ≤ α < m , m ∈ IN için
m d 
α
x D∞ f ( x ) = ( −1) 

 dx 
m
W∞m −α f ( x)
x
şeklindeki Weyl tanımından, p > 0 için f ( x) = e− px fonksiyonu ele alınsın.
α − px
x
W∞ e
=
1
∞
(u − x )
Γ (α ) ∫
α −1
e− pu du
x
olup, burada u − x =
α − px
x
W∞ e
∞
y
dönüşümü uygulanırsa
p
α −1
 y
=
 
∫
Γ (α ) 0  p 
1
e
 y + px 
− p

 p 
p −1dy
37
=
=
=
∞
e − px
Γ (α ) p
e − px
α
Γ (α ) p α
e − px
pα
∫y
α −1 − y
e dy
0
Γ (α )
,α >0
dır. Buradan p > 0 ve α → m − α alınırsa
m
m d 
α − px
= ( −1)   p −( m −α ) e− px
x D∞ e
 dx 
= ( −1)
m
( −1)
m
pα e − px
, ( m −1 ≤ α < m)
= pα e − px
elde edilir.
3.2 Fonksiyonlar İçin Kesirli Leibniz Kuralı
n
d 
f ve g, z ye göre n-kez diferensiyellenebilir olsun. D =   olmak üzere
 dz 
n
z
∞
n
Dzn [ f ( z ) g ( z )] = ∑   Dzn −k f ( z ) Dzk g ( z ) , n ∈ IN
k =0  k 
(3.17)
ifadesine iki fonksiyonun çarpımının n-inci basamaktan türevi için Leibniz kuralı
denir [6]. Bu kural α nın kesirli değerlerine genişletilebilir. Burada n yerine α
alındığında, f ve g analitik fonksiyonları için
α 
Dz [ f ( z ) g ( z ) ] = ∑   a Dzα − k f ( z ) Dzk g ( z ) , (α ∈ ℂ )
k =0  k 
α
a
∞
(3.18)
38
yazılabilir. Burada α = −ν ve g ( z ) = z n yazılırsa,
a
z
1
D  z f ( z )  =
(z −ξ )
Γ (ν ) ∫a
−ν
z
n
ν −1
ξ n f (ξ )  dξ
, ν >0
ve
∞
n
ξ n =  z − ( z − ξ )  = ∑ ( −1)   z n −k ( z − ξ )
k =0
k 
n
k
k
olduğu dikkate alınırsa
z
1 ∞
ν + k −1
k  n  n−k
−ν
n


D
z
f
(
z
)
=
−
1
z
f (ξ )dξ
(z −ξ )
a
z 
∫
 Γ (ν ) ∑ ( )  k 
k =0
 
a
=
∞
1
∑ ( −1)
Γ (ν )
k
k =0
∞
=∑
 n  n−k
− (ν + k )
f ( z)
  z Γ (ν + k ) a Dz
k 
Γ (ν + k )( −1)
Γ (ν ) k !
k =0
k
Γ ( n + 1)
Γ ( n − k + 1)
z n− k a Dz−ν − k f ( z )
∞
 −ν 
= ∑   Dzk ( z n ) a Dz−ν − k f ( z )
k =0  k 
elde edilir. Eş. 3.18’ in ilginç bir genelleştirilmesi
α
a Dz [ f ( z ) g ( z ) ] =
∞
 α 
∑ k + µ
k =−∞


a
Dzα − k − µ f ( z ) a Dzk + µ g ( z )
(3.19)
şeklinde verilmiştir [2,3]. Burada µ keyfi reel veya kompleks bir sayıdır. Eş. 3.19,
µ = 0 durumunda Eş. 3.18’ e indirgenir.
Eğer Re α < 0 ise o zaman Eş. 3.18 gerçekten kesirli integraller için Leibniz kuralına
karşılık gelir. Ayrıca
39
α
a Dz [ f ( z ) g ( z ) ] =
∞
 α

∑ c  ck + µ 
k =−∞


a
Dzα −ck − µ f ( z ) a Dzck + µ g ( z )
(3.20)
 α 
formunda kesirli Leibniz kuralı da vardır. Burada bilinen 
 tanımı için
 ck + µ 
α , µ ∈ ℂ ve 0 < c ≤ 1 dir. Eş. 3.20; c = 1 için Eş. 3.19’ a ve c = 1 , µ = 0 için Eş.
3.18’ e indirgenir. Eş. 3.19’ un özel bir durumu olarak
f ( z ) = 1 alınıp,
g ( z ), f ( z ) olarak yeniden adlandırılırsa, Re α > −1 , α − µ ∉ ℤ için
α
a Dz f ( z ) =
 α 
∞
∑ k + µ
k =−∞
=


a
Dzα − k − µ (1) a Dzk + µ f ( z )
z
 k +µ
 α 
1
−α + k + µ−1
z
t
dt
−
(
)
 a Dz f ( z )
∑


∫a
Γ
−
+
k
+
α
µ
(
)
k =−∞  k + µ  



∞
z
−α + k + µ


 α 
(z −t)
 Dk +µ f ( z)
= ∑
−

a
z

Γ ( −α + k + µ )( −α + k + µ )
k =−∞  k + µ 
a

∞
 α 
( z − a)
k +µ
= ∑
f ( z)

a Dz
k =−∞  k + µ  Γ ( −α + k + µ )( −α + k + µ )
−α + k + µ
∞
k +µ
α !( z − a )
f ( z)
a Dz
= ∑
k =−∞ ( k + µ ) !(α − k − µ ) !Γ ( −α + k + µ ) ( −α + k + µ )
−α + k + µ
∞
olur. Γ ( z ) Γ (1 − z ) =
π
eşitliği göz önünde bulundurulduğunda z = k + µ − α
sin π z
olmak üzere,
Γ ( k + µ − α ) Γ (1 + α − k − µ ) =
ve
π
sin π ( k + µ − α )
40
sin π ( k + µ − α ) = sin (π k − (α − µ ) π )
= sin π k cos (α − µ ) π − cos π k sin (α − µ ) π
= ( −1)
k +1
sin (α − µ ) π
olduğundan
α
a
Dz f ( z ) =
=
∞
Γ (α + 1)
∑ Γ ( k + µ + 1)
( z − a)
−α + k + µ
π
k =−∞
Γ (α + 1) sin (α − µ ) π
π
( −1) sin (α − µ ) π
( −α + k + µ )
k +1
a
Dzk + µ f ( z )
( z − a)
( −1)
k+µ
f ( z)
∑
a Dz
k =−∞ Γ ( k + µ + 1)(α − k − µ )
−α + k + µ
∞
k
elde edilir.
α
a Dz [ f ( z ) g ( z ) ] =
∞
 α 
∑ k + µ 
k =−∞


a
Dzα −k − µ f ( z ) a Dzk + µ g ( z )
z
α!
−α + k + µ− 1
= ∑
f (t )dt a Dzk + µ g ( z )
(z −t)
∫
k =−∞ (α − k − µ ) !( k + µ ) !Γ ( −α + k + µ ) a
∞
olup
Γ ( −α + k + µ ) Γ (α − k − µ + 1) =
( −1)
π
k +1
sin (α − µ ) π
olduğu bilindiğine göre
Dz [ f ( z ) g ( z )] =
α
a
∞
∑
k =−∞
Γ (α + 1)( −1)
k +1
sin (α − µ ) π
Γ ( k + µ + 1 )π
z
∫(z −t)
a
dır. Burada α = 0 alınırsa sin (α − µ ) π = − sin µπ olu
−α + k + µ− 1
f (t )dt a Dzk + µ g ( z )
41
Γ (1)( −1) sin µπ
k
∞
∑ ( k + µ ) Γ ( k + µ )π ∫ ( z − t )
f ( z) g ( z) =
k =−∞
=
z
sin µπ
π
k + µ− 1
f (t )dt a Dzk + µ g ( z )
a
( −1)
− k+µ
Γ ( k + µ ) a Dz ( ) f ( z ) a Dzk + µ g ( z )
∑
k =−∞ ( k + µ ) Γ ( k + µ )
k
∞
ve buradan
f ( z) g ( z) =
sin µπ
π
∞
∑
k =−∞
( −1)
k a
Dz−( k + µ ) f ( z ) a Dzk + µ g ( z )
µ+k
bulunur.
λ, µ ≥ 0 için,
a
Dx−ν x λ + µ =
Γ ( λ + µ + 1)
Γ ( λ + µ + ν + 1)
x λ + µ +ν
(3.21)
dir. Ayrıca, f ( x) = x µ ve g ( x) = x λ nin çarpımına kesirli integraller için Leibniz
kuralını uygulanırsa, x > 0 ve ν > 0 için,
∞
 −ν  k λ
−ν
λ µ
−ν − k µ
D
x
x
=
∑
a
x
   Dx x   a Dx x 
k
k =0 

(
)
∞
= ∑ ( −1)
k
k !Γ (ν )
k =0
∞
= ∑ ( −1)
k =0
olur ve burada,
Γ (ν + k )
k
 Dxk x λ   a Dx−ν − k x µ 
Γ (ν + k ) Γ ( λ + 1)
k !Γ (ν ) Γ ( λ − k + 1)
xλ −k
Γ ( µ + 1)
Γ ( µ +ν + k + 1)
x µ +ν + k
42
Γ ( −λ + k )
( −1) Γ ( λ + 1)
k
k
= ( −1) ( −1) ( −λ )k =
Γ ( λ − k + 1)
Γ (−λ )
k
olmak üzere,
(
)
−ν
x λ x µ = x µ +ν + k
a Dx
Γ ( µ + 1)
Γ ( −λ + k ) Γ (ν + k ) 1
Γ ( µ + ν + k + 1) k !
k =0
∞
∑
Γ ( −λ ) Γ (ν )
olup sağ tarafı Γ ( µ + ν + 1) ile çarpıp bölersek ve Teorem 2.1 kullanırsak
a
(
)
Dx−ν x λ x µ = x λ+ µ +ν
Γ ( µ + 1)
Γ ( µ + ν + 1)
F ( −λ ,ν ; µ +ν + 1;1)
bulunur. Bu sonuç Eş. 3.21’ de yerine yazılırsa
Γ ( λ + µ + 1)
Γ ( λ + µ + ν + 1)
x λ + µ +ν = x λ+ µ +ν
Γ ( µ + 1)
Γ ( µ + ν + 1)
F ( −λ ,ν ; µ + ν + 1;1)
olup buradan
Γ ( λ + µ + 1)
Γ ( λ + µ + ν + 1)
=
Γ ( µ + 1)
Γ ( µ + ν + 1)
F ( −λ ,ν ; µ + ν + 1;1)
elde edilir. Burada a = −λ , b = ν , c = µ + ν + 1 alınması Eş. 2.8’ i verir
(3.22)
43
4. ÇEŞİTLİ UYGULAMALAR
Örnek
a
Dzµ , z değişkenine göre µ − yüncü basamaktan kesirli türevi gösteren operatör
olmak üzere,
z

1
− µ −1
( z − ξ ) f ( ξ ) dξ ,
( Re ( µ ) < 0)

∫
 Γ ( −µ ) 0
µ
a Dz { f ( z )} = 
 dm
µ −m
( m −1 ≤ Re ( µ ) < m; m ∈ IN )
 dz m a Dz { f ( z )} ,
şeklinde tanımlanır [1]. Buna göre,
a
Dzµ { z λ } =
Γ ( λ + 1)
Γ ( λ − µ + 1)
z λ −µ
,
Re ( λ > −1)
(4.1)
olup buradan,
r
−α 
Γ λ
λ − µ  λ −1
D
z
(1 − x j z ) j  = Γ (( µ )) z µ −1FD( r ) [λ , α1 ,..., α r ; µ ; x1 z,..., xr z ]

∏
a
z
j =1


(4.2)
yazılabilir[1]. Burada FD( ) , r kompleks değişkenli dördüncü çeşit Lauricella
r
hipergeometrik fonksiyonudur.
Eş. 2.11’ in her iki yanı t λ −1 ile çarpılıp Dtλ − µ kesirli türev operatörü uygulanırsa,
a
λ −µ
t
D
∞
 λ −1 r

−α j 
(α1 ,...,α r )
λ −µ 
( x1 ,..., xr ) t n+ λ −1 
t ∏ (1 − x j t )  = a Dt ∑ g n
 n=0

j =1


∞
= ∑ g n(
n =0
α1 ,...,α r )
( x1 ,..., xr ) a Dtλ − µ {t n+λ −1}
44
olur. Bu son eşitliğin sol yanında Eş. 4.2, sağ yanında da Eş. 4.1 göz önünde
bulundurulursa,
Γ (λ )
Γ ( n + λ ) n+µ −1
(α ,...,α )
r
t µ −1 FD( ) [ λ , α1 ,..., α r ; µ ; x1t ,..., xr t ] = ∑ g n 1 r ( x1 ,..., xr )
t
Γ(µ )
Γ (n + µ )
n =0
∞
olup burada da
∞
( λ )n
∑ (µ )
n =0
( λ )k =
Γ (λ + k )
Γ (λ )
özelliğinin kullanılması ile,
(α ,...,α )
g n 1 r ( x1 ,..., xr ) t n = FD( r ) [ λ , α1 ,..., α r ; µ ; x1t ,..., xr t ]
(4.3)
n
( t < min { x
1
−1
,..., xr
−1
})
elde edilir [11]. Eş. 4.3’ de λ = µ alınırsa bu bağıntı, Eş. 2.11 doğurucu
fonksiyonuna indirgenir.
Eş. 4.3’ de λ ve µ parametrelerinin bir çok uygun seçimi ile çok değişkenli
Lagrange polinomlarının başka doğurucu fonksiyonları da bulunabilir. Örneğin,
n

 t   n
lim ( λ ) n    = t
λ →∞
 λ  

;
( n ∈ IN
0
= IN ∪ {0} )
ve
 r 
z
z 
lim  FD( )  a, b1 ,..., br ; c; 1 ,..., r  
a →∞
a
a 


 ∞ ( a ) m +...+ m ( b1 )m ... ( br )m z m1 z mr
1
1
r
1
r
1
= lim  ∑
... r m1 +...+ mr
a →∞
m1 ! mr ! a
( c )m1 +...+ mr
 m1 ,...,mr=0



45
=
( b1 )m ... ( br )m
∑ (c)
m ,..., m
m +...+ m
∞
1
r =0
1
r
1
r
z1m1 zrmr
...
m1 ! mr !
= Φ (2 ) [b1 ,..., br ; c; z1 ,..., zr ]
r
oldukları göz önüne alınsın. Burada Φ (2r ) , r kompleks değişkenli konfluent
hipergeometrik fonksiyonudur. Eğer Eş. 4.3’ de t →
t
λ
ve
λ → ∞ alınırsa, çok
değişkenli Lagrange polinomları için başka bir lineer doğurucu fonksiyonlar sınıfı,
∞
∑ g n(α1 ,...,αr ) ( x1 ,..., xr )
n =0
tn
( µ )n
= Φ (2r ) [α1 ,..., α r ; µ ; x1t ,..., xr t ]
olarak elde edilir [11].
Örnek
(1 − x )
2
D 2 w − 2 xDw + α (α + 1) w = 0
Legendre denkleminin bir çözümü Pα ( x ) Legendre fonksiyonudur. Burada x reel
ve x < 1 dır. Pα ( x ) hipergeometrik fonksiyon cinsinden,
1


Pα ( x ) = F  α + 1, −α ,1; (1 − x ) 
2


,
1− x < 2
olarak verilir. Eğer α negatif olmayan bir n tamsayısı ise, o zaman Pα ( x ) ,
Pn ( x ) =
(
)
1
Dxn x 2 − 1
2 n!
n
n
(4.4)
46
klasik Rodrigues formülü ile ifade edilen Pn ( x ) Legendre polinomudur. Keyfi α
için benzer bir ifade elde edilir. Gerçekten,
∞
α
k α 
xα (1 − x ) = xα ∑ ( −1)   x k
k =0
k 
∞
= xα ∑ ( −1)
k =0
∞
=∑
k =0
=
Γ (α + 1)
k
Γ (α − k + 1)
Γ (k −α )
Γ (−α )
xk
x k +α
∞ Γ k −α
(
) k +α
1
x
∑
Γ ( −α ) k =0
k!
, x <1
olup, Eş. 4.5 ifadesi terim terime diferensiyellenirse ve
0
Dxα xα + k =
Γ (α + k + 1)
Γ ( k + 1)
xk
ifadesi kullanılırsa,
α
α
0 Dx [ x (1 − x ) ] =
α
∞ Γ k −α Γ α +1+ k
(
) (
) k
1
x
∑
Γ ( −α ) k =0
k!
Γ ( k + 1)
Γ ( k − α ) Γ (α + 1 + k ) x k
Γ ( k + 1) k !
k = 0 Γ ( −α )
∞
=∑
olur. Eşitliğin her iki yanı Γ (α + 1) ile çarpılıp bölünürse
Γ ( k − α ) Γ (α + 1 + k ) Γ (α + 1) x k
Γ (α + 1) Γ ( k + 1) k !
k = 0 Γ ( −α )
∞
α
α
0 Dx [ x (1 − x ) ] = ∑
α
(4.5)
47
elde edilir. Burada Γ ( k + 1) = k ! = (1)k =
Γ ( k + 1)
Γ (1)
( −α )k (α + 1)k
(1)k
k =0
∞
α
α
0 Dx [ x (1 − x ) ] = Γ (α + 1) ∑
α
eşitliğinden
xk
k!
= Γ (α + 1) F (α + 1, −α ,1; x )
dır. Eş. 4.4’ de bu son eşitlik göz önüne alınarak,
1


Pα (1 − 2 x ) = F  α + 1, −α ,1; (1 − (1 − 2 x ) )  , x < 1
2


= F (α + 1, −α ,1; x )
=
1
Γ (α + 1)
0
α
Dxα  xα (1 − x ) 


bulunur. Burada t = 1 − 2 x dönüşümü yapılırsa
 1 − t α   1 − t  α 
Pα ( t ) =
1 Dt 
 1 − 
 
Γ (α + 1)
 2    2   
1
=
=
α
α
α
1
Dtα  α (1 − t ) (1 + t ) 
Γ (α + 1)
2

1
1
1
2 Γ (α + 1)
α
1
(
Dtα 1 − t 2
)
α
elde edilir.
Örnek
f (t ) = t λ , λ ≥ 0 ve g (t ) = (1 − t )
−α
olsun. Bu durumda
48
∞
−ν− k
 −ν   k
−α
−α
−ν  λ

D
t
1
−
t
=
Dt (1 − t )   a Dt t λ 
(
)
∑
a t




 k =0  k  

Γ ( −ν + 1)
∞
 Dtk (1 − t )−α   a Dt−ν− k t λ 



k = 0 Γ ( −ν − k + 1) k !
=∑
( −1) Γ (ν + k )  k
−α
=∑
Dt (1 − t )   a Dt


Γ (ν ) k !
k =0
k
∞
−ν− k
tλ 

dır. Burada
Dtk (1 − t )
−α
=
Γ (α + k )
Γ (α )
(1 − t )
−α− k
ve
−ν− k
a
Dt
tλ =
Γ ( λ + 1)
Γ ( λ +ν + k + 1)
t λ+ν + k
olup,
Γ ( λ + 1) λ+ν
−α
t λ (1 − t )−α  =
t (1 − t )
aD

 Γ (α ) Γ (ν )
−ν
t
Γ (α + k ) Γ (ν + k )  t 
∑


k = 0 Γ ( λ + ν + k + 1) k !  t − 1 
∞
k
(4.6)
dır. Eş. 4.6 , Γ ( λ + ν + 1) ile çarpılıp bölünürse
Γ ( λ + 1) λ+ν
−α
t λ (1 − t )−α  =
t (1 − t )
aD

 Γ (λ + ν + 1 )
−ν
t
=
elde edilir.
Γ ( λ + 1)
Γ (λ + ν + 1 )
t λ+ν (1 − t )
−α
Γ (α + k ) Γ (ν + k ) Γ ( λ + ν + 1)  t 
∑


k = 0 Γ (α ) Γ (ν ) Γ ( λ + ν + k + 1) k !  t − 1 
∞
t 

F ν , α , λ + ν + 1;

t −1 

k
49
5. g-JACOBI FONKSİYONLARI ve F-GAUSS FONKSİYONLARI
5.1. g- Jacobi fonksiyonları
Klasik Jacobi polinomları
Pn(α , β ) ( x) = (−2)n (n !) −1 (1 − x)−α (1 + x) − β
dn
(1 − x) n +α (1 + x) n + β  , n ∈ IN
dx n 
(5.1)
şeklindeki Rodrigues formülü ile tanımlanır. Burada α > −1 , β > −1 dir [7]. Bu
bölümün amacı, Eş. 5.1 Jacobi polinomlarına, Eş. 3.3 Riemann-Liouville
operatörünü uygulayarak ve
n ∈ IN
yerine ν ∈ ℝ
yazarak bu poinomları
genişletmektir.
Tanım5.1
g-Jacobi fonksiyonları,
Pν(α , β ) (t ) = (−2) −ν Γ(ν + 1) −1 (1 − t ) −α (1 + t ) − β a Dtν (1 − t )ν +α (1 + t )ν + β  , ν > 0
(5.2)
formülü ile tanımlanır. Burada α > −1 , β > −1 ve a Dtν , Eş. 3.3 Riemann-Liouville
kesirli diferensiyel operatörüdür [9].
Aşağıda klasik Jacobi polinomlarının özelliklerinin analoğu olan g-Jacobi
fonksiyonlarının bazı özellikleri verilmektedir.
50
Teorem5.1
g-Jacobi fonksiyonları için
∞ ν +α

 ν + β 
k
ν −k
Pν(α , β ) (t ) = 2 −ν ∑ 

 ( t − 1) ( t + 1)
k 
k = 0 ν − k  
(5.3)
dır [5]. Burada
α 
Γ(1 + α )
 =
 β  Γ(1 + β ) Γ(1 + α − β )
(5.4)
gösterimi reel parametreli binom katsayılarıdır.
İspat
Eş. 5.2’ de, Eş. 3.20 Leibniz kuralı uygulanırsa ( (1 + τ )
ν +β
nın [ 0,t ] de bütün
türevleri sürekli olduğundan)
Pν(α , β ) (t ) =
(−2)−ν
−α
−β
(1 − t ) (1 + t )
Γ(ν + 1)
 
ν
∑  k  {D ( t + 1)
∞
k =0
ν
 
k
t
+β
}{ D


ν −k
0
t
}
(1 − t )ν +α 


elde edilir. Burada
∞
α 
α
x
+
y
=
(
) ∑   x k yα − k
k =0  k 
genelleştirilmiş binom teoreminden yararlanarak
(5.5)
51
∞ ν +α


ν +α
ν +α − r
ν −k 
ν −k

tν +α −r 
D
1
t
−
=
−1)
(
)
(
∑
0 t
0 Dt



 r =0  r 
∞ ν +α


ν +α − r Γ (ν + α − r + 1) α + k − r
t
= ∑
 ( −1)
r 
Γ(ν + k − r + 1)
r =0 
yazılabilir. Eş. 3.4, Eş. 5.4 ve Eş. 5.5’ den
(α , β )
Pν
(t ) =
( −2 )
−ν
∞

k =0

Γ(ν + 1)
Γ(ν + β + 1)
(t + 1)ν + β −r
(1 − t ) (1 + t ) ∑ 
Γ(ν + 1)
Γ(k + 1)Γ(ν − k + 1) Γ(ν + β − k + 1)
−α
−β
Γ(ν + α + 1)
ν +α − r Γ(ν + α − r + 1) α + k − r 
t
( −1)

Γ(ν + k − r + 1)
r = 0 Γ ( r + 1)Γ(ν + α − r + 1)

∞
×∑
olup fonksiyonun sağ yanı Γ(α + k + 1) ile çarpılıp bölünürse
Pν(α , β ) (t ) = 2 −ν ( t − 1)
−α
∞
Γ(ν + β + 1)
∑ Γ(k + 1)Γ(ν + β − k + 1) ( t + 1)
ν −k
k =0
Γ(ν + α + 1)
Γ(ν − k + 1)Γ(α + k + 1)
Γ(α + k + 1)
r
t α + k − r ( −1)
r = 0 Γ ( r + 1)Γ (α + k − r + 1)
∞
×∑
= 2−ν ( t − 1)
−α
= 2 −ν ( t − 1)
−α
∞
ν + β 
 α + k  α + k −r
ν − k ν + α 
r
t
+
1
(
)
( −1) 

∑


∑
t
k 
k = 0 
ν − k  r =0  r 

∞
ν + β  ν + α 
ν −k
α +k

 ( t + 1) ( t − 1)
k  ν − k 
k =0 
∞
∑
elde edilir.
Jacobi polinomları için iyi bilinen bir çok özellik genel durumda g-Jacobi
fonksiyonları
için
de
verilebilir.
Örneğin
Eş.
5.3
kullanılarak
g-Jacobi
fonksiyonlarının kullanışlı farklı bir gösterimi elde edilir. Bunun için önce aşağıdaki
lemmayı verelim.
52
Lemma5.1 (Vandermonde konvolüsyon formülü) α ∈ IR , β ∈ IR , r ∈ IN için
 α  β   α + β 

s =0 

  r 
r
∑  s  r − s  = 
(5.6)
dir.
İspat:
(1 + x )
β +α
= (1 + x ) (1 + x )
β
α
cebirsel özdeşliği ile Eş. 5.5 binom teoremi kullanılarak parantez içindeki terimler
genişletildiğinde ve
x ’ in kuvvetlerinin katsayıları karşılaştırıldığında istenilen
sonuç elde edilir. Gerçekten,
(1 + x )
β +α
= (1 + x ) (1 + x )
β
α
 β + α  r ∞  β  r ∞ α  s
∑

 x = ∑  x ∑  x
r 
r =0 
r =0  r 
s =0  s 
∞
∞ ∞
 β  α 
= ∑∑    x r + s
r = 0 s = 0  r  s 
∞ r
 β  α  r
= ∑∑ 
  x
r = 0 s = 0  r − s  s 
olup buradan,
 β + α  r  β  α 

 = ∑
 
 r  s =0  r − s  s 
eşitliği elde edilir. Bu da istenilendir.
53
Teorem5.2
g- Jacobi fonksiyonları için
ν + α  
1− t 
Pν(α , β ) (t ) = 
 F  −ν ,ν + α + β + 1; α + 1;

2 
 ν  
∞ ν
  Γ(1 + ν + α + β + k ) Γ(1 + α +ν )  t − 1 
1
=
∑
 


Γ(1 + ν ) k =0  k  Γ(1 + ν + α + β ) Γ(1 + α + k )  2 
(5.7)
k
(5.8)
dir [9]. Burada F ( a, b; c; t ) , Eş. 5.13 Gauss hipergeometrik fonksiyonudur.
İspat
t + 1 = ( t − 1) + 2 şeklinde yazılarak ve Eş. 5.5 binom teoreminden yararlanarak,
∞ ν +α
ν −k

 ν + β 
k
Pν(α , β ) (t ) = 2 −ν ∑ 

 ( t − 1) ( ( t − 1) + 2 )
k 
k = 0 ν − k  
∞  ν +α
∞ ν −k

 ν + β 


k
r ν −k −r 
= 2−ν ∑ 
t
−
1
(
)

∑



 ( t − 1) 2
k 
r 
k = 0 ν − k  
r =0 

∞ r
ν + α ν + β 
k ν − k 
r − k ν − k −r + k
= 2−ν ∑∑ 

 ( t − 1) 
 ( t − 1) 2
k 
r = 0 k = 0 ν − k 
r −k 
r
∞ 
 t − 1  r ν + α  ν + β  ν − k  
= ∑ 



 ∑
r =0 
 2  k =0 ν − k   k   r − k  
elde edilir. Eş. 5.4’ den
(α , β )
Pν
 t − 1 r r

ν + β 
Γ(ν + α + 1)
Γ(ν − k + 1)
( t ) = ∑   ∑



r =0 
 2  k =0 Γ(ν − k + 1)Γ(α + k + 1)  k  Γ(r − k + 1)Γ(ν − r + 1) 
∞
r
∞ 

1
 t − 1  Γ(1 + ν + α ) r ν + β 
= ∑ 

∑



r =0 
 2  Γ(1 + ν − r ) k =0  k  Γ(1 + α + k )Γ(1 + r − k ) 
54
bulunur. Bulduğumuz sonuç Γ(1 + r + α ) ile çarpılıp bölünürse,
(α , β )
Pν
r
 t − 1 r
ν + β   r + α  
Γ(1 + ν + α )
( t ) = ∑  
∑



r =0 
 2  Γ(1 + ν − r )Γ(1 + r + α ) k =0  k   r − k  
∞
elde edilir. İçerideki sonlu toplamda Vandermonde konvolüsyon formülü ve Eş. 5.4
binom katsayıları kullanılırsa
(α , β )
Pν
 t − 1 r
ν + β + r + α  
Γ(1 + ν + α )
( t ) = ∑  


k
r =0 
 
 2  Γ(1 +ν − r )Γ(1 + α + r ) 
∞
olup, eşitliğin sağ yanı Γ(1 +ν ) ile çarpılıp bölünürse
(α , β )
Pν
Γ(1 + ν + α )
Γ(1 + ν + α + β + r ) Γ(ν + 1)  t − 1 
(t ) = ∑


r = 0 Γ (1 + ν − r )Γ (1 + α + r ) Γ (1 + ν + α + β )Γ (1 + r ) Γ (ν + 1)  2 
∞
r
∞
1
Γ(ν + 1)
Γ(1 + ν + α + β + r ) Γ(1 + ν + α )  t − 1 
=
∑


Γ(ν + 1) r = 0 Γ(r + 1)Γ(1 +ν − r ) Γ(1 + ν + α + β ) Γ(1 + α + r )  2 
∞ ν
  Γ(1 + ν + α + β + r ) Γ(1 + α +ν )  t − 1 
1
=
∑
 


Γ(ν + 1) r =0  r  Γ(1 +ν + α + β ) Γ(1 + α + r )  2 
r
bulunur. Son olarak, Eş. 5.4 , Eş. 2.2 ve Eş. 2.6’ dan
Pν(α , β ) ( t ) =
∞
1
Γ(ν + 1) Γ(1 + ν + α + β + r )
∑
Γ(ν + 1) r =0 r !Γ(ν − r + 1) Γ(1 + ν + α + β )
Γ(α + 1) Γ(α + 1 + ν )  1 − t 
r

 (−1)
Γ(α + r + 1) Γ(α + 1)  2 
r
×
=
Γ(ν + α + 1) ∞ Γ(−ν + r ) Γ(1 + ν + α + β + r )
∑
Γ(ν + 1)Γ(α + 1) r =0 Γ(−ν )
Γ(1 + ν + α + β )
Γ(α + 1)  1 − t  1
×


Γ(α + r + 1)  2  r !
r
r
55
ν + α  
1− t 
=
 F  −ν ,1 + ν + α + β ; α + 1;

2 
 ν  
elde edilir.
Teorem5.3 (Diferensiyel denklem)
g-Jacobi fonksiyonları, ikinci mertebeden
(1 − t 2 )
d2y
dy
+  β − α − (α + β + 2 ) t  + ν (ν + α + β + 1) y = 0
2
dt
dt
(5.9)
veya
{
}
d
α +1
β +1
α
β
(1 − t ) (1 + t ) y ' +ν (ν + α + β + 1)(1 − t ) (1 + t ) y = 0
dt
(5.10)
şeklindeki lineer homogen diferensiyel denklemini sağlar [9].
İspat
F ( a, b; c; x ) Gauss hipergeometrik fonksiyonu,
x (1 − x ) y′′ + c − ( a + b + 1) x  y′ − aby = 0
Gauss diferensiyel denklemini sağlar. Buna göre, F ( −ν ,ν + α + β + 1;1 + α ; x )
hipergeometrik fonksiyonu da
x (1 − x )
d2y
dy
+ α + 1 − (α + β + 2 ) x  + ν (ν + α + β + 1) y = 0
2
dx
dx
(5.11)
56
denklemini sağlar. Gerçekten,
x (1 − x )
d2y
dy
+ α + 1 − (α + β + 2 ) x  + ν (ν + α + β + 1) y = 0
2
dx
dx
denkleminden, parametreler arasında
α +1 = c
α + β + 2 = a + b +1
ν (ν + α + β + 1) = −ab
bağıntısı vardır. Buradan
a = −ν
b =ν + α + β +1
c = α +1
olup, denkleme karşılık gelen çözüm
y ( x) = AF ( a, b; c; x ) + B x1−c F ( a − c + 1, b − c + 1; 2 − c; x )
= AF ( −ν ,ν + α + β + 1; α + 1; x ) + B x −α F ( −ν − α − 1,ν + β + 1;1 − α ; x )
şeklinde bulunur. Böylece F ( −ν ,ν + α + β + 1;1 + α ; x ) nin Eş. 5.11 denkleminin
çözümlerinden biri olduğu görülür. Burada x =
1− t
2
ν + α 
alınıp 
 ile çarpılırsa
 ν 
Eş. 5.7 ile verilen Pν(α , β ) (t ) elde edilir. O halde Eş. 5.11’ de x =
yapıldığında, türevler
dy dy dt
dy
=
= −2
dx dt dx
dt
1− t
2
dönüşümü
57
d 2 y d  dy  d  dy 
d  dy 
d2y
=
=
−
2
=
−
2
=
4
dx 2 dx  dx  dx  dt 
dx  dt 
dt 2
olup, bunların Eş. 5.11 denkleminde yerine yazılmasıyla
2
 1 − t  1 + t  d y 
 1 − t    dy 
4
+ α + 1 − (α + β + 2 ) 



   −2  + ν (ν + α + β + 1) y = 0
2
 2  2  dt
 2    dt 

2
+ν (ν + α + β + 1) y = 0
(1 − t ) ddt y +  β − α − (α + β + 2 ) t  dy
dt
2
2
denklemi elde edilir ki böylece Pν(α , β ) (t ) , Eş. 5.9 denklemini sağlar. Bu denklem
(1 − t ) (1 + t )
α
β
ile çarpıldığında Eş. 5.10 şeklinde yazılabilir [10].
Teorem5.4
g-Jacobi fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlar [9]:
(i) lim Pν(α , β ) (t ) = Pn(α , β ) (t ) ;
ν →n
(ii) Pν(α , β ) (−t ) = ( −1) Pν( β ,α ) (t ) ;
ν
ν + α 
(iii) Pν(α , β ) (1) = 
;
 ν 
ν ν + β 
(iv) Pν(α , β ) (−1) = ( −1) 
;
ν


(v)
d (α , β )
1
Pν
(t ) = (ν + α + β + 1) Pν(−α1+1, β +1) (t )
dt
2
58
İspat
(i) Eş. 5.7 formülünden,
ν + α  
1− t 
lim Pν(α ,β ) (t ) = lim 
F  −ν ,ν + α + β + 1;1 + α ;


ν →n
ν →n
2 
 ν  
 n +α  
1− t 
=
= Pn(α , β ) (t )
 F  − n, n + α + β + 1;1 + α ;

2 
 n  
dir.
(ii) Eş. 5.3 formülünden,
∞ ν +α

ν + β 
k
ν −k
Pν(α , β ) (−t ) = 2−ν ∑ 

 ( −t − 1) ( −t + 1)
k 
k = 0 ν − k 
∞ ν +β

ν + α 
ν
ν −k
k
= ( −1) 2−ν ∑ 

 ( t − 1) ( t + 1)
k ν − k 
k =0 
= ( −1) Pν( β ,α ) (t )
ν
dır.
(iii) Eş. 5.3 formülünden,
∞ ν +α

ν + β 
k
ν −k
Pν(α , β ) (t ) = 2 −ν ∑ 

 ( t − 1) ( t + 1)
k 
k = 0 ν − k 
∞ ν +α
ν + α 

 ν + β 
ν
ν −k
k
−ν
= 2 −ν 
t
+
1
+
2
(
)
∑



 ( t − 1) ( t + 1)
k 
k =1 ν − k  
 ν 
olup,
ν + α  ν ν + α 
Pν(α , β ) (1) = 2 −ν 
2 = 

ν


 ν 
59
(iv) Burada (ii) ve (iii) den yararlanarak
Pν(α , β ) (−1) = ( −1) Pν( β ,α ) (1)
ν
ν ν + β 
= ( −1) 

 ν 
dır.
(v) Eş. 5.8’ den
k
∞ ν
  Γ(1 + ν + α + β + k ) Γ(1 + α + ν )  t − 1  
d (α , β )
d  1
Pν
(t ) = 
∑ 

 
dt
dt  Γ(1 +ν ) k =0  k  Γ(1 +ν + α + β ) Γ(1 + α + k )  2  
∞ ν
  Γ(1 + ν + α + β + k ) Γ(1 + α + ν ) d  t − 1 
1
=
∑
 


Γ(1 + ν ) k =0  k  Γ(1 + ν + α + β ) Γ(1 + α + k ) dt  2 
∞ ν
  Γ(1 + ν + α + β + k ) Γ(1 + α + ν ) k  t − 1 
1
=
∑
 


Γ(1 + ν ) k =1  k  Γ(1 + ν + α + β ) Γ(1 + α + k ) 2  2 
k
k −1
ifadesinde k → k + 1 alınırsa
∞
 ν  Γ(1 +ν + α + β + k + 1) Γ(1 + α + ν ) k + 1  t − 1 
d (α , β )
1
Pν
(t ) =
∑




dt
Γ(1 + ν ) k =0  k + 1
Γ(1 + ν + α + β )
Γ(1 + α + k + 1) 2  2 
k
olup, eşitliğin sağ yanını (ν + α + β + 1) ile çarpıp bölersek
∞
d (α , β )
1
ν Γ(ν )
Γ (2 +ν + α + β + k )
Pν
(t ) =
∑
dt
ν Γ(ν ) k =0 Γ(k + 2)Γ(ν − k ) Γ(2 +ν + α + β )
(1 +ν + α + β )Γ (1 + α + ν )  k + 1   t − 1 
×



Γ (2 + α + k )
 2  2 
k
k
1
1 ∞ ν − 1 Γ(2 + ν + α + β + k ) Γ(1 + α + ν )  t − 1 
= (ν + α + β + 1)
∑ 


Γ(ν ) k =0  k  Γ(2 + ν + α + β ) Γ(2 + α + k )  2 
2
60
=
1
(ν + α + β + 1) Pν(−α1+1,β +1) (t )
2
dır.
Eğer ν bir doğal sayı olursa g-Jacobi fonksiyonları, klasik Jacobi polinomlarına
indirgenir ve onların özellikleri değişmeden kalır. Bu yüzden, şu şekilde
sonuçlandırabiliriz ki g-Jacobi fonksiyonları, klasik Jacobi polinomlarının bir
genişlemesidir.
5.2. F-Gauss fonksiyonları
x (1 − x ) y′′ + c − ( a + b + 1) x  y′ − aby = 0
(5.12)
Gauss hipergeometrik diferensiyel denkleminin bir çözümü
∞
(a ) k (b)k x k
(c ) k k !
k =0
F ( a, b; c; x ) = ∑
x <1
,
(5.13)
Gauss hipergeometrik fonksiyonudur[12,13].
Bu kısımdaki amaç Eş. 5.12 diferensiyel denklemini kesirli basamağa genişleterek
Eş. 5.13’ ü genellemek ve
F
Gauss hipergeometrik fonksiyonunun bir
genellemesinin Eş. 5.12’ in bir çözümü olduğunu göstermektir.
Tanım5.2
Kesirli Gauss veya F-Gauss hipergeometrik denklemi,
(
)
Gy = tν 1 − tν y ( 2ν ) +  c − ( a + b + 1) tν  y (ν ) − aby = 0
(5.14)
61
lineer homogen kesirli diferensiyel denklemi ile tanımlanır. Burada
y ( µ ) := Dyµ
,
0 < µ ≤1
dir [9].
Teorem5.5
∞
k
y (t ) = y0t ρ ∑∏
k =0 j =0
g j (ρ )
t kν
f j +1 ( ρ )
,
0 <ν ≤ 1
(5.15)
serisi, Eş. 5.14 denkleminin bir çözümüdür. Burada
f k ( ρ ) :=
Γ(1 + ρ + kν )
Γ(1 + ρ + kν )
+c
Γ(1 + ρ + ( k − 2 )ν )
Γ(1 + ρ + ( k − 1)ν )
(5.16)
g k ( ρ ) :=
Γ(1 + ρ + kν )
Γ(1 + ρ + kν )
+ ( a + b + 1)
+ ab
Γ(1 + ρ + ( k − 2 )ν )
Γ(1 + ρ + ( k − 1)ν )
(5.17)
ve ρ > −1 için
f0 ( ρ ) =
Γ(1 + ρ )
Γ(1 + ρ )
+c
=0
Γ(1 + ρ − 2ν )
Γ(1 + ρ −ν )
denklemi sağlanır [9].
İspat
Eş. 5.14’ ün bir çözümü
(5.18)
62
∞
∞
k =0
k =0
y (t ) := t ρ ∑ yk t kν = ∑ yk t ρ + kν
,
ρ > −1
(5.19)
formunda olsun. Burada Eş. 3.4’ den yararlanarak
∞
Dν y (t ) = ∑ yk
k =0
∞
D 2ν y (t ) = ∑ yk
k =0
Γ(1 + ρ + kν ) ρ + kν −ν
t
Γ(1 + ρ + kν −ν )
Γ(1 + ρ + kν ) Γ(1 + ρ + ν ( k − 1)) ρ + kν − 2ν
t
Γ(1 + ρ + ( k − 1)ν ) Γ(1 + ρ + ( k − 2 )ν )
olup bunlar Eş. 5.14 denkleminde yerlerine yazılıp düzenlenirse
∞
Gy ( t ) = ∑ yk
k =0
∞
∞
Γ(1 + ρ + kν )
Γ(1 + ρ + kν )
t ρ + ( k −1)ν − ∑ yk
t ρ + kν
Γ(1 + ρ + ( k − 2 )ν )
Γ(1 + ρ + ( k − 2 )ν )
k =0
+ c ∑ yk
k =0
∞
∞
Γ(1 + ρ + kν )
Γ(1 + ρ + kν )
t ρ + ( k −1)ν − ( a + b + 1) ∑ yk
t ρ + kν − ab∑ yk t ρ + kν
Γ(1 + ρ + ( k − 1)ν )
Γ(1 + ρ + ( k − 1)ν )
k =0
k =0
elde edilir. Toplam terimler yeniden düzenlenirse
∞
 Γ(1 + ρ + kν )
Γ(1 + ρ + kν )  ρ + ( k −1)ν
Gy ( t ) = ∑ yk 
+c
t
Γ(1 + ρ + ( k − 1)ν ) 
k =0
 Γ(1 + ρ + ( k − 2 )ν )
 Γ(1 + ρ + kν )

Γ(1 + ρ + kν )
− ∑ yk 
+ ( a + b + 1)
+ ab  t ρ + kν
Γ(1 + ρ + ( k − 1)ν )
k =0
 Γ(1 + ρ + ( k − 2 )ν )

∞
∞
= y0 f 0 ( ρ ) t ρ −ν + ∑ [ yk +1 f k +1 − yk g k ] t ρ + kν
k =0
olur. Burada f k ve g k sırasıyla, Eş. 5.16 ve Eş. 5.17’ deki şekildedir. y0 ≠ 0
olduğunda y0 f 0 ( ρ ) = 0 olması için; ρ , Eş. 5.18’ i sağlayacak şekilde seçilmek
zorundadır. Böylece
63
yk +1 =
k
gj
gk
yk = ∏
y0
f k +1
j = 0 f j +1
için görülür ki,
Gy (t ) = 0
dır.
Kesirli Gauss hipergeometrik fonksiyonunun ismini doğrulamak için, Eş. 5.15 ve Eş.
5.13 klasik hipergeometrik serileri arasındaki ilişkiyi görelim.ν = 1 olsun. Eş. 5.18’
den
Γ (1 + ρ )
Γ ( ρ − 1)
+c
Γ (1 + ρ )
Γ( ρ )
=0
sağlanır. Ayrıca Eş. 2.2’ den
ρ Γ( ρ )
ρ Γ( ρ )
+c
=0
Γ( ρ )
( ρ − 2) Γ ( ρ − 2)
ρ ( ρ − 1)( ρ − 2 )( ρ − 3) !
+ cρ = 0
( ρ − 2 )( ρ − 3)!
ρ ( ρ − 1) + cp = 0
ρ ( ρ −1 + c ) = 0
olup,
ρ = 0 veya ρ = 1 − c
64
dır. Eş. 5.15’ de ν = 1 , ρ = 0 ve y0 = 1 alınırsa, Eş. 5.13 elde edilir. Böylece
aşağıdaki tanım yazılabilir.
Tanım5.3
Kesirli Gauss veya F- Gauss hipergeometrik fonksiyonları
ν
F ( a, b; c; t ) = y (t )
(5.20)
olarak tanımlanır. Burada y (t ) , y0 = 1 için Teorem5.5’ deki gibi tanımlanır [9].
Sonuç 5.1
Eş. 2.6 Gauss hipergeometrik fonksiyonu, Eş. 5.20 F-Gauss hipergeometrik
fonksiyonunun bir özel durumudur.
65
6. KESİRLİ BASAMAKTAN LAGUERRE FONKSİYONLARI VE KUMMER
FONKSİYONLARI
6.1. Laguerre Fonksiyonları
Klasik Laguerre polinomları
1 −α x d n n+α − x
 x e 
x e
n!
dx n 
L(nα ) ( x) =
(6.1)
şeklindeki Rodrigues formülü ile tanımlanır. Burada n ∈ IN 0 ve α > −1 dir [7]. Bu
kısımda,
Eş. 6.1’ e Riemann-Liouville operatörü uygulanarak, Laguerre
fonksiyonları olarak bilinen fonksiyonlar tanıtılacaktır[7,12].
Tanım6.1
Laguerre fonksiyonu
Lν(α ) (t ) =
1
et t −α a Dtν e −t tν +α 
Γ(ν + 1)
(6.2)
formülü ile tanımlanır. Burada α > −1 ve n − 1 < ν < n (n ∈ IN ) dir [21].
Teorem6.1
α > −1 , n ∈ IN ve n − 1 < ν < n için, Laguerre fonksiyonları
ν + α  ( −t )
Lν (t ) = ∑ 

k = 0 ν − k  k !
(α )
∞
k
serisi ile açık olarak verilir [21]
(6.3)
66
İspat
e− t , [ 0,t ] aralığında sürekli ve diferensiyellenebilir olduğundan, Eş. 3.20 Leibniz
kuralının Eş. 6.2’ deki kesirli türeve uygulanmasıyla,
∞ ν
 
1
t −α
Lν (t ) =
e t ∑   Dtk e − t 
Γ(ν + 1)
k =0  k 
{
(α )
=
}{ D
0
ν −k
t
}
tν +α 
(ν + α )! α + k
1 t −α ∞
ν!
k
et ∑
t
( −1) e−t
ν!
(ν + α −ν + k )!
k = 0 k !(ν − k ) !
bulunur. Reel parametreli binom katsayılarının
α 
Γ(1 + α )
 =
 β  Γ(1 + β )Γ(1 + α − β )
şeklindeki ifadesinden [6]
(ν + α )! t k
(ν − k )!(α + k )! k !
k =0
k
∞ ν +α

 ( −t )
=
∞
Lν(α ) (t ) = ∑ ( −1)
k
∑ ν − k 
k =0

 k!
elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.
Eş. 6.3 kullanılarak Laguerre fonksiyonlarının kullanışlı ifadeleri elde edilebilir.
Teorem6.2
Eğer α > −1 , n ∈ IN ve n − 1 < ν < n ise Laguerre fonksiyonları
67
ν + α 
Lν(α ) (t ) = 
 1 F1 ( −ν ; α + 1; t )
 ν 
(6.4)
olarak ifade edilebilir. Burada 1 F1 , Eş. 2.10’ da verilen Kummer fonksiyonudur
[10].
İspat
Eş. 6.3’ ü ν !α ! ile çarpıp bölersek
∞
Lν (t ) = ∑
(α )
k =0
(ν + α )!
( −t )
ν !α !
ν !α ! (ν − k ) !(α + k ) ! k !
k
ν (ν − 1)… (ν − k + 1)(ν − k ) !α !
ν + α  ∞
( −t )
=
∑
 ν  k = 0 (ν − k ) !(α + k )(α + k − 1)… (α + 2 )(α + 1) α ! k !
k
ν + α  ∞ (−ν ) ( −ν + 1)… ( −ν + k − 1) t k
=
∑
 ν  k = 0 (α + 1)(α + 2 )… (α + k ) k !
ν + α  ∞ ( −ν )k t k
=
∑
 ν  k =0 (α + 1)k k !
ν + α 
=
 1 F1 ( −ν ; α + 1; t )
 ν 
elde edilir.
Teorem6.1 ve Teorem6.2 birlikte, Kummer fonksiyonunun bazı özellikleri [10],
Laguerre fonksiyonları için daha da ilginç özellikleri verir. Kummer fonksiyonunun
diferensiyel kuralı aşağıdaki gibi elde edilebilir.
68
D 1 F1 ( a; c; z ) =
d ∞ (a )k z k
∑
dz k =0 (c)k k !
(a ) k z k −1
k =1 (c ) k ( k − 1) !
∞
=∑
∞
(a ) k +1 z k
k = 0 (c ) k +1 k !
=∑
a (a + 1) k z k
=∑
k = 0 c (c + 1) k k !
∞
Eş. 6.3,
=
a ∞ (a + 1)k z k
∑
c k =0 (c + 1) k k !
=
a
1 F1 ( a + 1; c + 1; z )
c
Eş. 6.4 ve
Kummer fonksiyonunun diferensiyel kuralı kullanılarak
aşağıdaki teorem kolaylıkla ispatlanabilir.
Teorem6.3
Her n ∈ IN ve n − 1 < ν < n için Laguerre fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlar
[9]:
(i) lim Lν(α ) (t ) = L(nα ) (t ) ;
ν →n
ν + α 
(ii) Lν(α ) (0) = 
 ;
 ν 
(iii) Lν(α ) (t ) = Lν(α+1 ) (t ) − Lν(α−+11) (t ) ;
m
(iv)
∑ Lνα+
k =0
( )
k
)
(α +1)
(t ) = Lν(α+1
(t ) + Lν(α ) (t ) ;
+ m (t ) − Lν
69
(v) Eğer α > 1 ise
m
∑ Lνα+
k =0
(vi)
( )
k
(t ) = Lν(α++m1) (t ) − Lν(α−+11) (t ) ;
d (α )
Lν (t ) = − Lν(α−+11) (t ) = t −1 ν Lν(α ) (t ) − (ν + α ) Lν(α−)1 (t ) 
dt
Bir önceki bölümden, Jacobi fonksiyonlarının hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden
ifadesi [9]
ν + α  
1− t 
Pν(α , β ) (t ) = 
 F  −ν ;ν + α + β + 1; α + 1;

2 
 ν  
şeklindeydi. Ayrıca
(α ) k ( β ) k  t 
lim F (α , β ; γ ; β t ) = lim ∑
 
β →∞
β →∞
k =0 ( γ )k k !  β 
∞
−1
(α ) k
β →∞
k = 0 ( γ )k
∞
= lim ∑
(α ) k
k = 0 ( γ )k
∞
=∑
k
t k ( β )k
k! β k
β ( β + 1) ... ( β + k − 1)
tk
lim
βk
k ! β →∞
= 1 F1 (α ; γ ; t )
olup, bu sonuçtan da yararlanılarak aşağıdaki teorem verilebilir.
Teorem6.4
Laguerre ve Jacobi fonksiyonları arasındaki ilişki
70
(
Lν(α ) (t ) = lim Pν(α , β ) 1 − 2 β −1t
β →∞
)
şeklindedir [21].
İspat:
ν + α  ∞ ( −ν )k (ν + α + β + 1)k t k
lim Pν(α , β ) 1 − 2 β −1t = lim 
∑
β →∞
β →∞
βk
(α + 1)k k !
 ν  k =0
(
)
(ν + α + β + 1)k
ν + α  ∞ ( −ν ) k t k
=
lim
∑
βk
 ν  k =0 (α + 1)k k ! β →∞
ν + α  ∞ ( −ν )k t k
(ν + α + β + 1) ... (ν + α + β + k )
lim
=
∑
βk
 ν  k =0 (α + 1)k k ! β →∞
= Lν(α ) (t )
dır.
6.2. Genelleştirilmiş Kummer fonksiyonu
xy′′ + [ c − x ] y′ − ay = 0
(6.5)
Kummer diferensiyel denkleminin bir çözümü olan Kummer fonksiyonu
∞
(a) k x k
k = 0 (c ) k k !
1 F1 ( a; c; x ) = ∑
(6.6)
şeklinde ifade edilir.
Bu kısımdaki amaç Eş. 6.5 diferensiyel denklemini kesirli basamağa genişleterek
Eş. 6.6’ ü genellemek ve F Kummer fonksiyonunun bir genellemesinin Eş. 6.5’
nın bir çözümü olduğunu göstermektir.
71
Tanım6.2
Kesirli Kummer diferensiyel denklemi,
t µ D 2 µ y (t ) + c − t µ  D µ y (t ) − ay = 0
, 0 < µ ≤1
(6.7)
lineer homogen kesirli diferensiyel denklemi ile tanımlanır [21]. Bu denklem
çözüldüğünde Kummer fonksiyonu kesirli olarak genelleştirilebilir.
Tanım6.3
Genelleştirilmiş Kummer fonksiyonu
µ
1
∞
k −1
F1 ( a; c; t ) = y0 t ρ ∑∏
k =0 j =0
g j (ρ )
f j +1 ( ρ )
t kµ
,
0 < µ ≤1
(6.8)
olarak tanımlanır. Burada
fk ( ρ ) ≡
gk ( ρ ) ≡
Γ (1 + ρ + k µ )
Γ (1 + ρ + ( k − 2 ) µ )
Γ (1 + ρ + k µ )
Γ (1 + ρ + ( k − 1) µ )
+c
Γ (1 + ρ + k µ )
Γ (1 + ρ + ( k − 1) µ )
+a
(6.9)
(6.10)
ve ρ > −1 için
f0 ( ρ ) =
Γ (1 + ρ )
Γ (1 + ρ − 2 µ )
denklemi sağlanır [21].
+c
Γ (1 + ρ )
Γ (1 + ρ − µ )
=0
(6.11)
72
Teorem6.5
µ
Genelleştirilmiş Kummer fonksiyonu
1
F1 ( a; c; t ) , Eş. 6.7 denkleminin bir
çözümüdür [21].
İspat
Eş. 6.7’ nin bir çözümü
∞
∞
k =0
k =0
y (t ) = t ρ ∑ yk t k µ = ∑ yk t ρ + k µ
ρ > −1
,
(6.12)
şeklinde olsun. Burada Eş. 3.9’ dan yararlanarak
∞
D µ y (t ) = ∑ yk
k =0
Γ (1 + ρ + k µ )
t ρ +kµ −µ
Γ (1 + ρ + k µ − µ )
∞
D 2 µ y (t ) = ∑ yk
k =0
Γ (1 + ρ + µ ( k − 1) )
Γ (1 + ρ + k µ )
Γ (1 + ρ + µ ( k − 1) ) Γ (1 + ρ + µ ( k − 2 ) )
t ρ +k µ −2µ
olup bunlar Eş. 6.7 denkleminde yerine yazılırsa
Gy ( t ) = t µ D 2 µ y + c − t µ  D µ y − ay
∞
= ∑ yk
k =0
∞
Γ (1 + ρ + ( k − 2 ) µ )
− ∑ yk
k =0
Γ (1 + ρ + k µ )
Γ (1 + ρ + k µ )
t
ρ + ( k −1) µ
∞
+ c ∑ yk
k =0
∞
Γ (1 + ρ + k µ )
Γ (1 + ρ + ( k − 1) µ )
t ρ + k µ − a ∑ yk t ρ + k µ
Γ (1 + ρ + ( k − 1) µ )
k =0
dir. Toplamlardaki terimler yeniden düzenlenirse
t
ρ + ( k −1) µ
73
∞
 Γ (1 + ρ + k µ )
Γ (1 + ρ + k µ )  ρ +( k −1)µ
Gy ( t ) = ∑ yk 
+c
t
Γ (1 + ρ + ( k − 1) µ ) 
k =0
 Γ (1 + ρ + ( k − 2 ) µ )
∞
 Γ (1 + ρ + k µ )

− ∑ yk 
+ a t ρ +kµ
k =0
 Γ (1 + ρ + ( k − 1) µ )

∞
= y0 f 0 ( ρ )t ρ − µ + ∑ [ yk +1 f k +1 − yk g k ] t ρ + k µ
k =0
elde edilir. Burada f k ve g k sırasıyla, Eş. 6.9 ve Eş. 6.10’ deki gibidir. y0 ≠ 0
olduğunda
y0 f 0 ( ρ ) = 0 olması için; ρ , Eş. 6.11’ i sağlayacak şekilde seçilmek
zorundadır. Böylece
k
gj
gk
yk +1 =
yk = ∏
y0
f k +1
j = 0 f j +1
için görülür ki
Gy (t ) = 0
dır. Genelleştirilmiş Kummer fonksiyonu ismini doğrulamak adına
( a )k
1 F1 ( a; c; x ) = ∑
k = 0 ( c )k
∞
xk
k!
şeklindeki Kummer fonksiyonunun, Eş. 6.8 kesirli Kummer fonksiyonunun özel
durumu olduğunu görebiliriz [9]. Gerçekten, Eş. 6.8’ de, µ = 1 alındığında
1
1
F1 ( a; c; t ) =1 F1 ( a; c; t )
dır.
74
Sonuç olarak, Eş. 6.8 genelleştirilmiş Kummer fonksiyonu daha önceki bölümde
tanımlanan F-Gauss hipergeometrik fonksiyonu ile bağlantılıdır. Gerçekten,
lim
β →∞
µ
(α ) k ( β ) k  t  k
F (α , β ; γ ; β t ) = lim ∑
 
β →∞
k = 0 ( γ )k k !  β 
∞
−1
(α ) k
β →∞
k = 0 ( γ )k
∞
= lim ∑
t k ( β )k
k! β k
(α ) k
k =0 ( γ ) k
( β )( β + 1) ... ( β + k − 1)
tk
lim
βk
k ! β →∞
(α ) k
k =0 ( γ )k
tk
k!
∞
=∑
∞
=∑
= 1µ F1 (α ; γ ; t )
dir.
6.3. Genelleştirilmiş Laguerre Fonksiyonu
Bu kısımda, Eş. 6.3 Laguerre fonksiyonunu genelleştirmek için yukarıdaki benzer
yollar takip edilecektir.
Tanım6.4
Kesirli Laguerre diferensiyel denklemi
t µ D 2 µ y (t ) + α + 1 − t µ  D µ y (t ) −ν y = 0
, 0 < µ ≤1
lineer homogen kesirli denklemi ile tanımlanır [21].
(6.13)
75
Tanım6.5
Genelleştirilmiş Laguerre fonksiyonları
µ
(α )
Lν (t ) = y0 t
ρ
∞
k −1
g Lj ( ρ )
∑∏ f
k =0 j =0
L
j +1
(ρ )
t kµ
0 < µ ≤1
,
(6.14)
olarak tanımlanır [21]. Burada
f kL ( ρ ) ≡
g kL ( ρ ) ≡
Γ (1 + ρ + k µ )
Γ (1 + ρ + ( k − 2 ) µ )
Γ (1 + ρ + k µ )
Γ (1 + ρ + ( k − 1) µ )
+ (α + 1)
Γ (1 + ρ + k µ )
Γ (1 + ρ + ( k − 1) µ )
−ν
ve ρ > −1 için
f 0L ( ρ ) ≡
Γ (1 + ρ )
Γ (1 + ρ − 2 µ )
+ (α + 1)
Γ (1 + ρ )
Γ (1 + ρ − µ )
=0
denklemi sağlanır.
Teorem6.6
µ
Lν(α ) (t ) genelleştirilmiş Laguerre fonksiyonu Eş. 6.13 denkleminin bir çözümüdür
[21].
76
İspat
İspat, Teorem6.5’ e benzer bir şekilde yapılabilir. Teorem6.5’ den
µ
1
F1 ( a; c; t ) ,
Eş. 6.7’ nin bir çözümüdür. Eş. 6.7’ de c = α + 1 , a = −ν yazılırsa Eş. 6.13 elde
edilir. Teorem6.6’ dan
µ
ν + α  µ
Lν(α ) (t ) = 
 1 F1 ( −ν ; α + 1; t )
 ν 
dır. Burada µ = 1 alınırsa Laguerre fonksiyonu elde edilir. Yani,
1
Lν(
α)
dir.
( t ) = Lν(α ) ( t )
77
KAYNAKLAR
1.
Srivastava, H.M., Manocha, H.L., “A Treatise on Generating Functions”,
Halsted Press Wiley, New York, 284-303, (1984).
2.
Osler, T.J., “Leibniz rule for fractional derivatives,generalized and an
application to infinite series”, SIAM J. Appl. Math., 658-674, 18 (1970).
3.
Watanabe, Y., “Notes on the generalized derivative of Riemann-Liouville
and its application to Leibniz’s Formula”, I. and II. Tôhoku Math. J. 34: 827, 28-41, (1931).
4.
Gorenflo, R., Mainardi, F., “Essentials of fractional calculus”, Preprint
submitted to MaPhySto Center, Preliminary Version, 23-28, ( 2000).
5.
Miller, K., Ross, B., “An introduction to the fractional calculus and
fractional differential equations”, John W iley and Sons, 2-124, (1993).
6.
Podlubny, I., “Fractional Differential Equations”, Academic Press, San
Diego, 70-71, (1999).
7.
Chihara, T., “An Introduction to Orthogonal Polynomials”, Gordon and
Breach, 78-83, (1978).
8.
Podlubny, I., “Geometric and physical interpretation of fractional integration
and fractional differentiation”, Fractional Calculus and Applied Analysis,
5(4): 367-386, (2002).
9.
Mirevski, S.P., Boyadjiev, L., Scherer R., “On the Riemann-Liouville
fractional calculus, g-Jacobi functions and F-Gauss functions”, Appl. Math.
Comput. 315-325, 187 (2007).
10. Wang, Z., Guo, D., “Special Functions”, World Scientific, 35-42, (1989).
11. Chan, W.C.C., Chyan, C.J., Srivastava, H. M., “The Lagrange polynomials
in several variables”, Integral Transform. Spec. Funct., 12: 139-148
(2001).
12. Szego, G., , “Orthogonal Polynomials”, American Mathematical Society,
63-102, (1959).
13. Whittaker, E. T., Watson, G.N., “A Course of Modern Analysis, fourth ed.”,
Cambridge, 283 (1935)
14. Hilfer, R., “Applications of Fractional Calculus In Physics”, World
Scientific, 3-52, (1999).
78
15. Crank, J., “The Mathematics of Diffusion”, 2nd ed., Clarendon Pres,
Oxford, 56-65, (1979)
16. Schneider, W.R., Wyss, W., “Fractional diffusion and wave equations”,
J.Math. Phys. 134-144, 30 (1989).
17. Boyadjiev, L., Scherer, R., “Fractional extensions of the temperature field
problem in oil strata”, Kuwait J. Sci. Eng., 31(2): 15-32 (2004).
18. Oldham, K., Spanier, J., “The fractional calculus; theory and applications of
differentiation and integration to arbitrary order, in”, Mathematics in
Science and Engineering, V, Academic Pres, 73-75, 80-92 (1974).
19. Kiryakova, V., “Generalized fractional calculus and applications”, Pitman
Research Notes in Mathematics 301, Longman, Harlow, 19-25, 38-45,
(1994).
20. Erkuş, E., Altın, A., “A note on the Lagrange polynomials in several
variables”, J. Math. Anal. Appl., 338-341, 310 (2005).
21. Mirevski, S.P., Boyadjiev, L., “Computers and Mathematics with
Applications” , 1271-1277, 59 (2010).
79
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: ÜNAL, Burçin
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 05.01.1985 Kozan/ Adana
Medeni hali
: Bekar
Telefon
: 0 (505) 606 88 50
e-mail
: burcinunal0106@hotmail.com
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Lisans
Gazi Üniversitesi
Lise
Yabancı Dil
İngilizce
Mezuniyet tarihi
Matematik Bölümü
2008
Kozan Anadolu Lisesi
2003