Matematik Yöntemler

Matematik Yöntemler
Deneysel Sonuçlara Eğri Uydurulması
Basit Çözümler
Doğru Denklemi – İki Deneye Dayalı Gözlem y
P2(x2,y2)
y=
a
x+
b
• Yapılan bir deneyde, deney değişkeninin iki farklı değeri için, iki farklı gözlem sonucu elde ediliyorsa; gözlemin fonksiyonu ancak bir doğru ile ifade edilebilir. Örneğin, ’e karşılık ve ’ye karşılık ’nin elde edilmesi gibi.
• Bu durumda gibi bir doğrusal fonksiyonun varlığından bahsedebiliriz.
P1(x1,y1)
x
Doğru Denklemi – İki Deneye Dayalı Gözlem
• Sadece iki deney sonucu olduğundan fonksiyonun ve katsayıları
•
• eşitliklerinden bulunabilir. Bu durumda:
•
• Dolayısıyla
•
• Bunun birinci eşitlikte yerine konmasıyla:
•
• İkinci eşitlikte de yerine konursa aynı sonuç elde edilir:
•
• O halde:
•
Doğru Denklemi – İki Deneye Dayalı Gözlem
• Bulunan
denklemi, ve dışında kalan değerlere karşılık gelebilecek değerleriyle ilgili yorum yapmaya yardımcı olabilir.
• Örnek: Yolda giden bir uçağın 0
anında, yol üzerindeki belli bir referans noktadan 10
uzakta olduğu, 1 dakika sonra ise aynı noktadan 17
uzakta olduğu 2 dakikada tespit ediliyor. Uçak referans noktadan ne kadar uzakta olur?
• Bu değişimi ile ifade edebiliriz.
0
·0
10
•
1
·1
17
• Burada:
·
·
7 ve 10
• O halde:
•
7
10
•
2 için 2
7 · 2 10 24 nm
Üç Deneye Dayalı Gözlem
• hem de
bağıntıları ile ifade edilebilir. Ancak, hangi bağıntının kullanılabileceği noktaların durumuna göre belirlenir. Başka fonksiyonların da düşünülmesi mümkündür.
y
P3(x3,y3)
y=
ax
+b
• Yapılan üç deneyde ,
, ,
ve ,
sonuçları elde ediliyor. Bu deneyin sonucu hem
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
x
Üç Deneye Dayalı Gözlem
• Şimdilik doğrusal fonksiyonu bir tarafa bırakarak, değişimin
y
y = ax2+bx+c
ile ifade edilebileceğini kabul edelim. Bu durumda
P3(x3,y3)
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
x
Üç Deneye Dayalı Gözlem
• Üç bilinmeyenli üç lineer denklemden , ve katsayılarını hesaplamak mümkündür.
1
•∆
1
1
• olmak üzere
•
•
•
∆
∆
∆
1
1
1
1
1
1
Üç Deneye Dayalı Gözlem
• Örnek: Yolda giden bir uçağın 0 anında, yol üzerindeki belli bir referans noktadan 10 , 1 dakika sonra aynı noktadan 17
ve 2 dakika sonra ise aynı noktadan 22 uzakta olduğu tespit ediliyor. Uçak 3 dakikada referans noktadan ne kadar uzakta olur?
• Denklemler
·0
·0
10
• ·1
·1
17
·2
22
·2
• Katsayıların çözümü:
•
1
8
10
8
10
•
3
8 · 3 10
• 3
25
Deneysel Sonuçlara Eğri Uydurulması
En Küçük Kareler Yöntemi
En Küçük Kareler Yöntemi
• Şimdi de çok sayıda adet deneyin yapıldığını farz edelim. Bu durumda 1,2, ⋯ , olmak üzere adet ,
veri çifti olacaktır. Bu veri çiftlerinin en yakınından geçen eğrinin fonksiyonu ise olsun. O halde, herhangi bir için gerçek ,
deney sonucu olan ve arasındaki fark:
,
olsun.
• Burada , fonksiyonunun parametreleridir.
En Küçük Kareler Yöntemi
• Bu durumda, farklarının karelerinin toplamını minimize eden kümesi bulunduğunda, deney sonuçlarına en yakın , bulunmuş olur. Yani:
• Örneğin olsun. Bu durumda ve
2
minimum olmalıdır. O halde:
0
sağlanmalıdır.
2
2
• Türevler alındığında:
2
2
2
2
2
2
0
0
En Küçük Kareler Yöntemi
•
Artık iki bilinmeyenli iki lineer denklem vardır. Bunun çözümü:
•
Uyumluluk kontrolü: Bazı durumlarda verilere yakın olduğu düşünülen fonksiyon, verilerle çok uyumlu olmayabilir. Veriler ve yaklaşık fonksiyon arasındaki uyumluluk determinasyon katsayısı ile belirlenir.
•
Determinasyon katsayısı
∆
≡1
•
olmak üzere:
1
∆
•
Burada
1
Determinasyon katsayısının değeri
0
•
1
∆
∑
∑
1
Eğer nin değeri 1’e ne kadar yakın ise yaklaşık fonksiyon deney verilerine o kadar yakındır.
En Küçük Kareler Yöntemi – Örnek
• Yapılan bir deneyin sonuçları tablodaki • Deney sonuçlarına göre sanki gibidir. Bu deney sonuçlarına en uygun doğrusal bir değişim göstermektedir. fonksiyonu bulunuz.
O halde düşünebiliriz.
•
7, ∑
140, ∑
28, ∑
138,3, ∑
27,2
xi
yi
• Bu durumda
1
1,0
140 28
196
∆
2
1,2
28
7
3
2,8
1 138,3 28
4
4,3
1,0536
27,2
7
5
4,8
196
1
6
6,4
140 138,3
0,3286
7
6,7
27,2
196 28
En Küçük Kareler Yöntemi – Örnek
• Şimdi de fonksiyonu doğru olarak kabul etmenin ne kadar uygun olduğuna bakalım.
1
7
3,8857
0,8882
31,9686
≡1
0,8882
31,9686
0,9722
xi
1
2
3
4
5
6
7
yi
1,0
1,2
2,8
4,3
4,8
6,4
6,7
fi
0,7250
1,7786
2,8321
3,8857
4,9393
5,9929
7,0464