Dönme Simetrisi Öğretimi Üzerine
advertisement
Dönme Simetrisi Öğretimi Üzerine Abdulkadir ÖRNEKÇİ* Bir şeklin veya geometrik cismin ekseni etrafında 3600 den daha küçük bir açı kadar dönmesi neticesinde eski halini alabiliyor olması durumu dönme simetrisi olarak adlandırılır. En Küçük Dönme Simetrisi Açısı: Bir şeklin veya cismin eski halini alabilmesi için dönmesi gereken en küçük açıya “en küçük dönme simetrisi açısı” (EKDSA) adı verilir. Dönme simetrisine sahip olan bir şekil veya cisim EKDSA ve o açının katları kadar açı ile döndürüldüğünde eski halini alır. Ayrıca dönme simetrisinde saat yönünde ya da saatin tersi yönde dönülmesinin bir önemi yoktur. Örneğin bir kare, ekseni etrafında en az 900 lik bir açı ile döndürüldüğünde eski halini alır. Yani, kareye ait EKDSA 900 dir. Bir öğretmen olarak derste elime kare şeklinde bir nesne alıp düz bir zemin üzerine koyup; “En az kaç derecelik bir açı ile döndürürsem bu şekil yineeski halini alır?” Şeklinde bir soru sorduğumda aldığım cevap 900 oluyor.Bunu öğrenciler sezgileri ve yaşantıları yardımıyla bilebiliyorlar. İlk şekil olarak kareyi seçmemin esas sebebi de bu. Öğrencilerin çokça kullandıkları, tanıdıkları bir şekli seçerek, verecekleri doğru cevap sayesinde başarı hazzını yaşamalarını sağlamak. EKDSA geometrik cisimlerden dik prizmalar ve dik piramitler için söz konusu olduğunda tabanlarında bulunan çokgenin ne olduğu önemlidir.Örneğin kare dik piramidin tabanında kare olduğundan kare dik piramide ait EKDSA kareninki ile aynı ve 900 dir.Buraya kadar her şey yolunda gidiyor ancak eşkenar üçgene ait EKDSA‟yı sorduğumda aldığım cevap genellikle 600 oluyor. Bu yanılgının üstesinden gelmek için gerçek yaşam durumlarına müracaat ederek şekiller çiziyorum. * 1 Matematik Öğretmeni, Toplu Konut Ortaokulu / ERZURUM Cin Ali‟nin 1. şekildeki eşkenar üçgeni ip bağlayarak çekmesi ve 2.durumdaki hale getirmesi ancak 1200 lik bir dönme ile mümkün olabilecektir. Görüldüğü üzere eşkenar üçgenin bir dış açısının ölçüsü 1200 dir. Şimdi, bu durumu düzgün çokgenler için genelleştirme ve ayrıntıları ile daha kalıcı hale getirme zamanı. Düzgün çokgen biçimindeki bir şekli eski hali ile çakıştırmak (ilk haline getirmek) için en azından bir dış açısı kadar kendi ekseni etrafında döndürmek gereklidir. “n” kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü( 360/n)0 bağıntısı ile bulunur. Tablo 1. Geometik şekil ve cisimlerin en küçük dönme simetri açıları Şekil veya cisim EKDSA Eşkenar üçgen, eşkenar üçgen dik prizma, eşkenar üçgen dik piramit 1200 Kare, kare dik prizma ve kare dik piramit 900 Düzgün beşgen, düzgün beşgen dik prizma, düzgün beşgen dik piramit 720 Düzgün altıgen, düzgün altıgen dik prizma, düzgün altıgen dik piramit 600 “Düzgün n gen”, “düzgün n gen dik prizma”, “düzgün n gen dik piramit” ( 360/n)0 Tablo.1 de görüldüğü üzere bir düzgün çokgenin en küçük dönme simetrisi açısı kenar (veya köşe) sayısı ile ters orantılıdır. Bu durumu öğrencilere açarken köşe kapmaca oynayan çocukları örnek gösteriyorum. Çocuk sayısı ne kadar çok ise bir çocuğun, diğer arkadaşının boş bıraktığı köşeyi kapma için göstereceği çaba azalır. Çünkü köşeler birbirine o kadar yakındır. Düşündürücü soru: Çocuk sayısını daha da artırırsak koşmamız gereken mesafe hakkında ne söyleyebilirsiniz? Bu noktada hayal gücünden yardım alarak bir örnek daha verilebilir.Kare şeklindeki tekerleklere sahip olan araçlarla oldukça sarsıntılı bir yolculuk yapılacağı, tekerleğin şekli düzgün beşgen, ardından düzgün altıgen olursa sarsıntının sürekli azalacağı vurgulanır.Nihayetinde ise tekerleğin daireye dönüşmesi sonucunda sarsıntısız bir yolculuk yapılacağı sınıfça (yeniden) keşfedilir. “Dairenin içine çizilen düzgün çokgenin köşe sayısı sonsuza yaklaşırsa köşeler arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşır” cümlesini ortaokuldan başlayarak tüm sınıf düzeylerinde kullanabiliriz sanırım. Zaten az önce köşe sayısı ile EKDSA arasında ters bir ilişki olduğunu vurgulamıştık. EKDSA= 360/n idi. Burada “n” sonsuza yaklaşırsa EKDSA da 0 (sıfır)‟a yaklaşır.Bu durumda çokgenlerden daireye ve tabanı daire olan dik koni ve dik silindire de geçiş yapılabilir. Düzgün Olmayan Çokgenler: Düzgün çokgenleri, tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaları ve dik piramitleri anlattıktan sonra daireyi ve tabanı daire olan dik koni ve dik silindiri de anlatabildiğimi zannediyorum. Düzgün olmayan çokgenlerden dikdörtgeni “Yukarıdaki kurallara uymamakla birlikte en az 180 lik bir açıyla ekseni etrafında döndürürsek kendisi ile çakışır” şeklinde tarif edebiliriz.Bu hususta bir genelleme amaçlı bir yaklaşım var ki o da 360‟ı eşit kenar sayısına bölmek şeklindedir. 3 Bu yaklaşım dikdörtgende tevafuk bulsa da (360/2=180), diğer çokgenlere genellemek mümkün değildir. Örneğin ikizkenar üçgen dönme simetrisine sahip değildir. Yani kendisi ile çakışması için (en az) tam bir tur döndürmek gereklidir. Bu durum 360/eşit kenar sayısı yaklaşımına uymamaktadır.Dolayısıyla düzgün olmayan her şekli kendi yapısı kapsamında ele almak daha doğru olacaktır.
