E) Hamilton – Jacobi Denklemleri

FEN VE MÜHENDİSLİKTE
MATEMATİK METOTLAR
7. KİTAP
VARYASYON HESABI
J = 0
İÇİNDEKİLER
I.
OPTİMİZASYON
A) Fonksiyon Optimizasyonu : Türev
B) Kısıtlar ve Lagrange Çarpanları
C) Fonksiyonel Optimizasyonu : Euler Denklemleri
D) Hamilton Yaklaşımı
II.
UZAY – ZAMAN’DA EVRİM
A) Lagrange Fonksiyonu
B) Eylem Fonksiyoneli
C) Euler – Lagrange Denklemleri
D) Hamilton Denklemleri
E) Hamilton – Jacobi Denklemleri
EKLER VE NOTLAR
I.
OPTİMİZASYON
A) Fonksiyon Optimizasyonu : Türev
Verilen bir sayı için, belli bir kurala göre başka bir sayı üretmenin “Fonksiyon” olarak
adlandırıldığı görülmüştü. Verilen bir fonksiyon için, gene belli bir kurala göre bir sayı
üretmek ise “Fonksiyonel” olarak adlandırılacaktır. Çok değişkenli fonksiyonlar olduğu
gibi çok fonksiyonlu fonksiyoneller de vardır. Özetle :
Sayı(lar)
 Tek bir sayı
Fonksiyon(lar)
:
 Tek bir sayı
:
Fonksiyon
 xi 
;
Fonksiyonel
;
F  x 
j
i
 F  xi 
 J  Fj  xi  
Bir fonksiyonu optimize etmek, yani minimum ve maksimum değerlerini bulmak için
türevini sıfıra eşitlemek, üzerinde fazla düşünülmeden uygulanan bir işlemdir. Daha derin
bir yaklaşım bizi optimizasyonun yerel bir simetri işlemi olduğu gerçeğine götürür. Simetri,
genel anlamıyla, bazı şeyleri değiştirdiğimiz halde her şeyin aynı kalmasıdır. (1) Belli bir
noktadan çok küçük bir miktarda uzaklaşınca fonksiyon değerinin değişmemesi ise ‘Yerel
Simetri’ olarak yorumlanabilir. Yani
F  x  dx   F  x 
F x 

F  x  dx   F  x 
dx
 0
olma şartının altında işte bu simetri ilkesi yatmaktadır. Doğal olarak uç noktaları da
kontrol etmek gerekir; mesela
F  x  m x  b
gibi lineer bir fonksiyonun türevi sıfır
olmaz ve optimum noktalar uçlarda yer alır. Bu olgunun çok daha genel hali “Lineer
programlama” konusunu oluşturur.
B) Kısıtlar ve Lagrange Çarpanları
f  xi 
fonksiyonunun
n  xi   0
kısıtları altında nasıl optimize edileceği de ilginç
bir konudur. Bu durumda yeni, ancak sayısal olarak
fonksiyon, Lagrange çarpanları olarak adlandırılan
f  xi  ’den farklı olmayan bir
n  ’lar
aracılığıyla
F  xi , n   f  xi  

n n
olarak tanımlanır ve
n
F
 0
xi
&
F
 0
n
olması istenir. Bir örnek olarak
uzunluğunda bir çitle çevrilecek maximum dikdörtgen
alan problemine standart yaklaşım :
alanı
a  x   0
şartını kullanarak
x 
a  x, y   x y
Yeni yaklaşımda ise
denklemlerinden gene
&
4
amax 
fonksiyonunun
olarak yazıp,
2
16
çözümünü elde etmektir.
2x  2 y 
A  x, y   x y    2 x  2 y 
maksimum değerini bulmak için
A
 y  2  0 ,
x


a  x  x   x 
2

 0

A
 x  2   0 , A  2 x  2 y 
y

x  y 
&
4
amax 
kısıtı altında
yazılır ve
 0
2
16
bulunur.
C) Fonksiyonel Optimizasyonu : Euler Denklemleri
Fonksiyonellerin optimizasyonu ise fizik ve matematiğin belki de en temel konusudur; bu
bazen “ J  f  x  
fonksiyonelinin optimizasyonu bize ne verir ? ” bazen de
“ Doğa yasaları nasıl bir
J  f  x  
fonksiyonelinin optimizasyonu sonucu ortaya çıkmış
olabilir ? ” biçiminde incelenir. Önce Brachistochrone benzeri kinematik problemlerde,
sonra klasik mekaniğin “Eylem” fonksiyoneli ile formüle edilmesinde kullanılan bu metot,
geometrik optiğin Fermat ilkesinden, kuantum mekaniğinin yörünge integrali formalizmine
kadar vazgeçilmez bir yaklaşım olarak değerini arttırmıştır. Fonksiyonel optimizasyonu için,
aynen fonksiyonlarda kullanılan mantıkla
J  f  x    f  x    J  f  x  
f  x  biraz değiştirilerek
olması istenir. Bazen de
 J  J  f  x     x   J  f  x   0
  x   f  x
tanımıyla
olarak ifade edilen bu teknik “Varyasyon
hesabı” olarak adlandırılır. Çok genel bir konu olan varyasyon hesabının bu kitapta
sadece
J 
Uç noktalarda

b
a
dx f  y  x  , y  x  ; x 
  a    b  0
özel hali üzerinde durulacaktır.(2)
sağlayan bir varyasyon kullanılarak gerçekleştirilen
y  x   y  x    y  x   y  x    x 
J  0
dönüşümleri altında

b
a
y  x   y  x    x 
ve dolayısıyla
ifadesi
dx  f  y  x     x  , y  x     x  ; x  


dx  f  y  x  , y  x  ; x   0
b
a
f  y   , y    ; x   f  y , y ; x  
biçimini alır.

olarak yazılarak
b
a
 f

f
dx 
 
   0
y 
 y
f
f
dy 
dy 
y
y
sonucuna ulaşılır.
İkinci terimin kısmi integrali alınarak

b
a
f d
f
dx


y  dx
y 
sonucu elde edilen

b
a
b


b
a
a
 f 
d
   
 y  

b
a
dx
d  f 

dx  y  
 f
d  f 
dx 

   0 eşitliği tüm 
dx  y 
 y
geçerli olduğundan Euler denklemi olarak adlandırılan
biçiminde açılması
fonksiyonları için
d  f 
f

 0


dx  y 
y
eşitliğine ulaşılır. Bu denklem veya onun çok bağımsız fonksiyonlu biçimi olan
d  f 
f
 0

 
dx  y j 
y j
varyasyon hesabının temelini oluşturur.
D) Hamilton Yaklaşımı
f  y, y, x 
şartının
fonksiyonunun
d f f

 0
dx y y
J 
xo
dx f  y, y, x 
integralinin optimum olma
Euler denklemi olduğu görülmüştü.
x ’e doğrudan bağlı olmayıp, sadece
metot olan Hamilton yaklaşımında
türev sonucu

x
f  y, y
h 
fonksiyonunun
olduğu özel durumlarda çok yararlı bir
f
y  f
y
dh
d f
f
df

y 
y 
dx
dx y
y
dx
f
tanımından yola çıkılır.
veya
x ’e göre
dh 
f
f
dy 
dy  df
y
y
df 
f
f
dy 
dy
y
y
f
 0
x
bulunur, ancak
olduğuna göre
dh  0
durumunda
olmaktadır.
f
y  f  Sabit
y
olarak da ifade edilen bu denklem yararlı ve kullanışlı bir korunum yasasıdır.
PROBLEMLER
P.I.1 ) Deniz kenarındaki dikdörtgen bir alanın üç yanı
uzunluğunda bir çitle
çevrilmek isteniyor. Maksimum alanın boyutlarını Lagrange çarpanı kullanarak bulun.
P.I.2 ) Bir düzlemde
 x, y 
:  0,0   B, H 
noktaları arasındaki en kısa yolu
bulun.
P.I.3 ) Silindirik bir yüzeyde
 , z 
:  0,0   , H 
noktaları arasındaki en kısa
yolu bulun.
P.I.4 ) Küresel bir yüzeyde
 , 
:  0,0   ,  
noktaları arasındaki en kısa
yolun söz konusu noktalar ile kürenin merkezinden geçen bir düzlemin küreyi kestiği
‘Büyük Daire’ olduğunu gösterin.
P.I.5 ) Brachistochrone problemi :
yerçekimli ortamda
 x, y 
:  0,0   B, H 
noktaları arasında en kısa zamanda yol almayı sağlayacak, sürtünmesiz yolu bulun.
  L 2 , 0
P.I.6 ) Yerçekimli ortamda, eşit yükseklikteki noktalar :

 L

J 
 L 2 , 0 ’dan
uzunluğunda bir ip sarkıtılıyor. İpin potansiyel enerjiyi minimum yapacak
şekilde sarkacağını varsayarak alacağı biçim :
P.I.7 )
ve

b
a
y  y  x  ’i hesaplayın.
dx f  y  x  , y  x  , y  x  ; x 
fonksiyonelini optimize eden Euler
denklemini oluşturun.
P.I.8 )
J 

x
xo
dx   y, y, x 
F2 y  F2 y  Fo y  Q  x 
fonksiyonelinin optimizasyonu
  y, y, x 
Hermitsel LDD ’ini oluşturacak bir
oluşturun.
P.I.9 ) Fermat ilkesi, ışığın ‘En kısa zaman yol’unu seçmesini öngörür. Işığın madde
içindeki hızı,
n : kırılma indisi olmak üzere
c
n
ile verilir. Kırılma indisinin
n  n  y  , sürekli azalan bir fonksiyon olması durumunda,
noktaları arasındaki yörüngenin,
H
bulunur, sonra da
kullanılarak yörünge elde edilir.
y 
H : en üst nokta olmak üzere,
olduğunu gösterin. Bu ara sonuçtan hareketle önce
denkleminden
  L 2 , 0

y
0

dy
H
0
n  y  n H 
2
dy
n2  y   n2  H 
2

 x  L 2
nH 
ve
 L 2 , 0
n2  y   n2  H 
nH 

L
2 n H 
denklemi
n  y   no exp   y 
P.I.10 )
y  x 
arasındaki ışık yörüngesinin
noktasının
H 



L
no L sin
2
 
L
c
2

n sec  L 
2 

1

  L 2 , 0
 cos  x  
2 
n
 cos  L 
 2

durumunda
1

,
 L 2 , 0
ve
noktaları
, yörüngenin en üst
ışığın kaynaktan gözlemciye ulaşma süresinin
olduğunu gösterin.
Işığın düz bir çizgide yol aldığı önyargısı, gözlenen nesnenin, ışığın gözlendiği noktadaki
yörüngesinin eğimi doğrultusunda olduğunu sandırır. Buna göre görülen serap ufuktan açı
olarak ne kadar yüksekte gözlenecektir?
n  y   no 1   y 
P.I.11 )
arasındaki ışık yörüngesinin,
 2L
8
,
  L2
2
 x 
2 4

y  x
ve serap görüntüsü açısı:
II.

  L 2 , 0
ve
 L 2 , 0
noktaları
H : en üst nokta olmak üzere,
1 
  x 
1  1   H  cosh 


 
 1   H 
y  x 
H
durumunda
L
2
ile verildiğini ve
,

 L  1
için
no L
1   H 
c
olduğunu gösterin.
UZAY – ZAMAN’DA EVRİM
A) Lagrange Fonksiyonu
x
exp (i k a) 
t
exp (i w  ) 
xa
t 
biçiminde ifade edilen uzay ötelemeleri ile
biçiminde ifade edilecek zaman ötelemeleri birleştirilerek
x,t
0
w )
exp (i k a ) exp ( i
x  a , t 

[k,w]=
olarak yazılır. Genelde
olmadığı için iki işlemin tek bir üstel fonksiyon olarak birleştirilmesi ancak sonsuz
küçük yerel ötelemeler için geçerlidir.
dx
dt
x,t
exp [ i ( k dx  w dt ) ] 
x  dx , t  dt
veya
x,t
exp [ i ( k v  w ) dt ] 
x  dx , t  dt
denklemi sağdan
  x, t 
çarpılınca
to , t 
 xo , to 
tanımıyla

ket’i ile
fonksiyonunun uzay-zaman’da yerel evrimi elde edilir.
  x, t 
başlangıç noktasından, herhangi bir
ve
v 
aralıkları
N
  xo , to 
noktasına global bir evrim için
 xo , x
parçaya bölünür ve
  x1, t1    x2 , t2   . . .   xN , t N 
gelişimi incelenir. Bu işlem dizisine
geçmeden önce kuantum aksiyomları

p
k
( DeBroglie)
ve

H
w
( Planck-Einstein)
k v w
fiziksel bir içerik kazandırmak yerinde olacaktır.
olarak adlandırılan
yeterince küçük
xo , to exp[
i
L
p v H
1
cinsinden
kullanılarak formalizme
ifadesi, Lagrange fonksiyonu
( p v H ) =
1
L
olarak yazılırsa,
t ’ler için
i
L 1  t 1 ] exp [
elde edilir. Bu noktada
L 2  t 2 ] . . . exp [
N 
ve
 t n
 0
i
L N  t  N ] 
xN , tN
limitleri alınarak, global evrim
operatörü için
N

exp [
n 1
i
L n  t n ]  exp [
i
N

n 1
L n  t n ]
 exp [
i

t
to
L dt ]
Riemann integraline erişilir.(3)
B) Eylem Fonksiyoneli

t
to
L  x, v, t  dt integrali “Eylem” fonksiyoneli olarak adlandırılır ve S
Böylece
S
, Lagrange fonksiyonunun fonksiyoneli, ama
to
ve
ile gösterilir.
t değerlerinin
fonksiyonu olmaktadır.
i 
exp  S 


ifadesinde yer alan
insan ölçeğinden alan MKS sisteminde
önemlidir.
S
fonksiyonelinde
i 
exp  S    xo , to  =   x, t 


10 34
S  
Planck sabitinin, kaynağını
gibi çok, çok küçük bir sayı oluşu
kadar çok küçük bir oynamanın
denkleminde sonucun işaretini değiştireceği ve
x-t
düzleminde çok yakın yolların katkılarının sıfıra toplanacağı sezilmektedir.
Sadece
S ’nin maksimum veya minimum olduğu yörüngelerde bu durum oluşmaz ve
komşu yörüngelerden gelen katkılar birbirini destekler.


t
to
L
 x, v, t  dt
 0 kuralı,
kuantum teorisinden çok önce anlaşılmış ve “Hamilton prensibi” olarak adlandırılmıştır.
C) Euler – Lagrange Denklemleri
Klasik mekaniğin temelini oluşturan bu ilke tek boyutta
L
d L

 0 , veya çok
x
dt v
parçacıklı ve 3-Boyutlu sistemlerde, genelleştirilmiş koordinatlar ve hızlar cinsinden
d L L

 0
dt q j q j
S  S
Euler-Lagrange denklemlerine yol açar. Bu denklemlerin temelinde
oluşu yattığına göre, zaten
S
olan atomik sistemlerde Hamilton
ilkesi ve dolayısıyla klasik mekanik geçerli olamaz.
D) Hamilton Denklemleri
Aynı yaklaşımı 1-Boyutta klasik mekaniğe uygulamak için
 pv  L
olarak yazılan Hamilton fonksiyonunun,
yok edilmesi sonucu
konusunda

p 
L
v
v değişkeninin
tanımıyla
p
H
kullanılarak
H  x, p  olması istenir. Hamilton fonksiyonunun zamana bağlılığı
dH
d  L 
L dv
dL
L dx
L dv
dL






 v 
dt
dt  v 
v dt
dt
x dt
v dt
dt
L dx
L dv
L dx
L dv
L
L




 
x dt
v dt
x dt
v dt
t
t
olur ve
Lagrange fonksiyonunun zamana doğrudan bağlı olmadığı durumlarda
H  Sabit
H  p v L
korunum yasasına erişilir. Gene
tanımından yola çıkarak
H
L
d  L 
H


 v  x ve 

  p , Lagrange denklemlerine eşdeğer
x
x
dt  v 
p
olan Hamilton denklemleri elde edilir. 1-Boyutta ve tek parçacık için oluşturulan bu çok
basit sonuçlar, gerçek hayatta 3-Boyutta
j  1 , 2 , ... , 3 N  K
olan sistemler için
parçacıktan oluşan ve
N
olmak üzere
qj
K
kısıtlaması
genelleştirilmiş ve
bağımsız koordinatlar, hızlar ve momentumlar cinsinden
d L
L

 0
dt q j
q j
L
q j
pj 
;
,
H
 qj
p j

,
H
 pj
q j
denklemlerine genelleşir.
E) Hamilton – Jacobi Denklemleri
S 

t
to
dt L  x, v, t 
S  S  x, t 
tanımından
dS  L dt  p dx  H dt bulunur. Öte yandan
için tamamen matematiksel bir yaklaşım ise
vermektedir. Bu iki denklemin karşılaştırılmasından
p 
dS 
S
x
S
S
dx 
dt
x
t
, H  
S
t
elde edilir. 1-Boyutta harmonik osilatör problemi bu yaklaşımla
S
1  S 
m 2 x2


  
t
2m  x 
2
2
S  x, t 
olur. Üstel bir ifadede yer alacak
fonksiyonu içeren bir Kısmi DD ’in çözümünde değişkenlerin ayrıştırılması metodu
kullanırken çözümü bir çarpım olarak varsaymak doğru olmaz;
S  x, t   X  x   T t 
daha doğru bir yaklaşımdır ve sol yanı sadece zamana, sağ yanı ise sadece uzaya bağlı
dT
1  dX 
m  2 x2



 
dt
2m  dx 
2
2
eşit olması ile mümkündür.
E
denkleminin sağlanması ancak iki tarafın da aynı sabite
olarak seçilen ve Enerji olarak adlandırılan bu sabit ile
1  dX 
m  2 x2

 E


2m  dx 
2
2
dT

 E
dt
,
olmak üzere
S  x, t  
m
x
2
E U  x 
denklemlerine ve
U  x 
 U  x 
  Et
sin 1 


E 


E
m  2 x2
2
çözümüne ulaşılır.
PROBLEMLER
P.II.1 ) 10 m uzunluğundaki bir odayı 10 sn içinde geçen 1 mg kütleli bir sivrisinek
için
S
fonksiyonelinin değerini hesaplayın ve bu değeri
 1034
kg m 2
sn
değerine
oranlayın.
P.II.2 ) Hidrojen atomunun Bohr modeli taban seviyesinde tam bir tur atan bir elektron için
S
fonksiyonelinin değerinin
İpucu : Virial Teoremi :
3
U
olduğunu gösteriniz.
 2
K
 L  3K
EKLER VE NOTLAR
(1) Nobel ödüllü fizikçi Wilczek’in hukuk terimleri arasından seçtiği deyimle “Distinction
without difference”.
(2) Ters bir örnek olarak : Bir kuantum sisteminin taban enerji seviyesi, potansiyel
fonksiyonunun fonksiyonelidir ancak bu Euler denklemi benzeri bir denkleme yol açmaz.
(3) Sayılamayacak kadar sonsuz
 1 
sayıda
noktayı, sayılabilir sonsuz
 o 
sayıda ama sonsuz küçük aralıklarla temsil eden Riemann integrali, matematiğin çok yararlı
bir kandırmacasıdır.