Isaev Rubakov Teoria Grupp I Simmetriy

.
ТЕОРИЯ ГРУПП И СИММЕТРИЙ
А.П. ИСАЕВ
Лаборатория теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова,
ОИЯИ, Дубна
Физический факультет, МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва
В.А. РУБАКОВ
ИЯИ РАН, Москва
Физический факультет, МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва
Аннотация
Дан вводный курс теории симметрий и теории групп. Обсуждается как алгебраическая теория групп, так и теория представлений групп и алгебр Ли. Подробно
рассматриваются представления линейных групп, а также представления группы
Пуанкаре.
1
Содержание
1 Введение
9
2 Конечные и матричные группы. Группы и преобразования.
10
2.1 Группы: основные понятия и определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Определение группы и подгруппы. Примеры. . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Инвариантные подгруппы, смежные классы, фактор-группа. . . 18
2.1.3 Прямое произведение групп, классы сопряженных элементов,
центр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Матричные группы. Линейные, унитарные, ортогональные и симплектические группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Векторные пространства и алгебры. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Матрицы. Детерминант и пфаффиан. . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Матричные группы и группы линейных преобразований GL и SL. 29
2.2.4 Матричные группы, связанные с билинейными и эрмитовыми
формами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.5 Матричные группы O, Sp и U типов. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа. . . . . . 39
2.3.1 Понятие отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Гомоморфизм. Ядро и образ гомоморфизма. . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Точные последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.4 Группы преобразований. Линейные неоднородные группы. . . . 46
2.3.5 Полупрямое произведение групп. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.6 Конформные группы Conf(Rp,q ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Группы и алгебры Ли.
55
3.1 Многообразия. Группы Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1 Гладкие многообразия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.2 Многообразия групп Ли. Примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.3 Многообразия конформных групп Conf(Rp,q ). . . . . . . . . . . . 67
3.1.4 Компактные группы Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.5 Касательные пространства к гладким многообразиям. . . . . . . 73
3.1.6 Мера Хаара. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Алгебры Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.1 Касательные пространства к многообразиям матричных групп
Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.2 Матричные алгебры Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.3 Примеры матричных алгебр Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.4 Касательные пространства к многообразиям матричных групп
Ли (продолжение). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.5 Общее определение алгебр Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.6 Структурные соотношения. Простые и полупростые алгебры Ли.
Прямая сумма алгебр Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.7 Овеществления и вещественные формы комплексных алгебр Ли. 103
2
3.2.8 Метрика Киллинга для алгебры Ли. Критерий полупростоты. . 108
3.2.9 Примеры структурных соотношений для некоторых алгебр Ли. . 111
3.2.10 Вещественные формы алгебр Ли sℓ(n, C), so(n, C) и sp(2r, C). . . 120
3.2.11 Алгебра Ли конформной группы Conf(Rp,q ). . . . . . . . . . . . . 121
3.2.12 Изоморфизмы и автоморфизмы алгебр Ли: примеры. . . . . . . 126
3.2.13 Локально изоморфные группы Ли. Универсальные накрывающие.133
4 Представления групп и алгебр Ли.
138
4.1 Линейные (матричные) представления групп. . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.1.1 Определение представления группы. Примеры. . . . . . . . . . . 138
4.1.2 Регулярные, точные и неточные представления. . . . . . . . . . . 141
4.1.3 Эквивалентные представления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1.4 Характер представления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2 Представления алгебр Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2.1 Определение представления алгебры Ли. . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2.2 Примеры представлений алгебр Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3 Прямое произведение и прямая сумма представлений. . . . . . . . . . . 149
4.3.1 Прямое (тензорное) произведение представлений. Тензоры. . . . 149
4.3.2 Прямая сумма представлений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.4 Приводимые и неприводимые представления. . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.4.1 Определение приводимых и неприводимых представлений. . . . 154
4.4.2 Лемма Шура. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5 Некоторые свойства представлений конечных групп и компактных групп
Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли. 166
4.6.1 Неприводимые представления и характеры групп C3 и S3 . . . . . 166
4.6.2 Свойства характеров конечных групп и компактных групп Ли. . 170
4.6.3 Неприводимые представления и характеры группы SO(2) = U (1).178
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира . . . . . . . . . . . . . . 179
4.7.1 Определение обертывающей алгебры U(A) для алгебры Ли A. . 179
4.7.2 Представления обертывающей алгебры. Операторы Казимира. 181
4.7.3 Ко-умножение для обертывающей алгебры U(A). . . . . . . . . . 190
5 Компактные алгебры Ли.
199
5.1 Определение и основные свойства компактных алгебр Ли. . . . . . . . 199
5.2 Структура компактных алгебр Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.3 Связь компактных алгебр Ли и компактных групп Ли. . . . . . . . . . 206
5.4 Подалгебра Картана. Ранг алгебры Ли. Базис Картана–Вейля. . . . . . 208
5.4.1 Регулярные элементы. Подалгебра Картана и ранг алгебры Ли. 208
5.4.2 Базис Картана–Вейля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.5 Заключительные замечания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6 Однородные пространства. Геометрия на однородных пространствах.216
6.1 Однородные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.2 Примеры однородных пространств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3
6.3
6.4
Модели неевклидовой геометрии Лобачевского. . . . . . . . . . . . . . . 227
Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах. . . . . . . 233
6.4.1 Элементы дифференциальной геометрии на гладких многообразиях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.4.2 Действие группы G на факторпространство G/H. Индуцированные представления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.4.3 Инвариантная метрика на однородных пространствах. . . . . . . 242
6.4.4 Регулярные представления и инвариантные векторные поля на
группах Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.4.5 Операторы Лапласа на группах Ли и однородных пространствах.253
6.4.6 Сферические функции на однородных пространствах. . . . . . . 259
7 Конечномерные представления SU (2) и SL(2, C) и их алгебр Ли.
262
7.1 Конечномерные представления алгебр Ли su(2) и sℓ(2, C) со старшим
весом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.2 Дифференциальная реализация алгебры Ли sℓ(2, C) и представления
со старшим весом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.2.1 Реализация алгебры Ли sℓ(2, C) с помощью дифференциальных
операторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.2.2 Построение представлений со старшим весом для дифференциальных реализаций sℓ(2, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.3 Обозначения Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.3.1 Бра и кет вектора. Координатное и импульсное представление. . 275
7.3.2 Голоморфное и антиголоморфное представление.VRJ . . . . . . 280
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2). . . . . . . . . . 285
7.4.1 Параметризации группы SU (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.4.2 Конечномерные представления групп SL(2, C), SU (2) и SO(3).
Функции Вигнера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.4.3 Сферические функции на S 2 = SU (2)/U (1). Операторы Лапласа на SU (2) = S 3 и SU (2)/U (1) = S 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2) и
его разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Коэффициенты Клебша - Гордана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.5.1 Разложение Клебша-Гордана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.5.2 Выделение неприводимых представлений со старшим весом в
прямом произведении представлений. . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.5.3 Спиновая цепочка Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
7.5.4 Метод вычисления коэффициентов Клебша-Гордана. . . . . . . 313
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.6.1 Тензорные операторы и теорема Вигнера-Эккарта. . . . . . . . . 322
7.6.2 Коэффициенты Рака и 3n-j символы. . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.6.3 6-j символы и ассоциативность произведения представлений. . . 329
7.6.4 Вычисление 6-j символов. Метод Швингера. . . . . . . . . . . . . 336
4
8 Конечномерные представления SU (N ) и SL(N ) и их алгебр Ли.
346
8.1 Группа перестановок (симметрическая группа) Sn . . . . . . . . . . . . . 346
8.2 Прямое произведение определяющих представлений SL(N ). . . . . . . . 353
8.3 Идемпотенты. Разложения Пирса для ассоцитивных алгебр. . . . . . . 357
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга. . . 365
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.378
8.5.1 Элементы Юциса-Мерфи и сплетающие операторы в алгебре
C[Sn ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
8.5.2 Идемпотенты и спектр операторов Юциса-Мерфи. . . . . . . . . 382
8.5.3 Граф Юнга и явное построение идемпотентов eα . . . . . . . . . 389
8.6 Дуальность Шура-Вейля. Формула Вейля для размерностей неприводимых представлений SL(N ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
8.7 Конечномерные неприводимые представления SU (N ). Примеры. . . . 399
9 Группы Лоренца и Пуанкаре и их представления.
403
9.1 Пространство Минковского M. Группы Лоренца и Пуанкаре. Бусты.
Алгебра Ли для группы Пуанкаре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца O(1, 3). Спинорные представления
группы Лоренца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
9.2.1 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
9.2.2 Спиноры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
9.2.3 Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские и
вейлевские спиноры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
9.2.4 Твисторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
9.3 D- мерная алгебра Клиффорда ClD и ее представления. Группы Spin(D).
Алгебра Клиффорда Cl(D−1,1) и ее представления. Группы Spin(D − 1, 1).418
9.4 Уравнение Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные,
вейлевские и майорановские спиноры в многомерии. Ковариантность
уравнения Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
9.5 Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре.
Представления группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Индуцированные представления. Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
10 Приложение 1. Решения некоторых задач.
445
10.1 Задача 7. Разложение в произведение циклов любой перестановки из Sn .445
10.2 Задача 43. Изоморфизм Sp′ (p, q) = Sp(p, q). . . . . . . . . . . . . . . . . 445
10.3 Задача 56. Многообразие группы O(p, q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
10.4 Задача 65. Тождество Кэмпбелла–Хаусдорфа. . . . . . . . . . . . . . . . 447
10.5 Задача 105. Изоморфизмы 1.) so(1, 3) = sℓ(2, C), 2.) so(2, 2) = sℓ(2, R)+
sℓ(2, R) и 3.) so(4, C) = sℓ(2, C) + sℓ(2, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
10.6 Задача 106. Изоморфизм so(5) = usp(4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
10.7 Задача 107. Изоморфизмы so(4, 1) = sp(1, 1) и so(3, 2) = sp(4, R). . . . . 453
10.8 Задача 108. Изоморфизмы 1.) so(6, C) = sℓ(4, C), 2.) so(6) = su(4), 3.)
so(3, 3) = sℓ(4, R), 4.) so(4, 2) = su(2, 2) и 5.) so(1, 5) = sℓ(2, H). . . . . . 454
5
10.9 Задача 145. Оператор Казимира C2 для присоединенного представления su(N ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
10.10 Задачa 153. Найти матрицу r = gab Ta ⊗ Tb для алгебры Ли sl(n, C). . 458
10.11 Задачи 165, 167. SO(3)/SO(2) = S 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
10.12 Задача 181. Получить метрику Фубини-Штуди для CPn . . . . . . . . . 460
(j)
10.13 Задача 216. Доказать формулу (7.4.34) для элементов Dmm′ . . . . . . . 462
10.14 Задача 219. Найти функции ϕ′ , θ′ , ψ ′ в уравнении (7.4.55). . . . . . . . 463
6
План курса Теория групп (6-7 семестры)
1. Группы (определения и примеры). Понятие симметрии. Определение группы, подгруппы, смежные классы, фактор- пространство, инвариантные подгруппы,
фактор- группа, центр, прямое произведение групп, и т.д.
2. Матричные группы (GL(n), SL(n), U(n,m), SU(n,m), O(n,m), SO(n,m), Sp(2n),
Usp(2n), и т.д.). Отображения групп (гомоморфизм, изоморфизм, ядро и образ гомоморфизма, точные последовательности).
3. Многообразия. Группы Ли (ГЛ) и алгебры Ли (АЛ) (общая теория и примеры).
АЛ матричных групп. Комплексные и вещественные АЛ. Вещественные формы ГЛ.
Компактные ГЛ и АЛ. Простые и полупростые АЛ. Универсальные накрывающие
ГЛ. Суммирование и интегрирование на группах. Метрика на ГЛ, мера Хаара.
4. Линейные (матричные) представления групп и АЛ. Примеры представлений,
присоединенные представления АЛ и ГЛ. Прямое произведение и прямая сумма
представлений. Эквивалентные представления. Приводимые и неприводимые представления. Характер представления. Леммы Шура. Элементы теории характеров.
5. Обертывающие АЛ и операторы Казимира. Конечномерные неприводимые представления АЛ sℓ(2) su(2) и ГЛ SU(2) (представления со старшим весом). Ряд КлебшаГордана.
6. Группа перестановок (симметрическая группа) Sn. Определяющее (фундаментальное) и тензорные представления SU(n). Дуальность Шура - Вейля. Диаграммы
Юнга.
7. Однородные и симметрические пространства. Расслоенные пространства. Связности на расслоениях. Примеры: сферы, грассманианы, расслоения Хопфа, ...
8. Гомотопические группы. Элементы гомотопической топологии.
9. Пространство Минковского M. Группы Лоренца и Пуанкаре. Бусты. Алгебра
Ли для группы Пуанкаре. Группа SL(2,C) и группа Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца. Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские
и вейлевские спиноры.
10. D- мерная алгебра Клиффорда Cl(D,0) и ее представления. Группы Spin(D).
Алгебра Клиффорда Cl(1,D-1) и ее представления. Группы Spin(1,D-1). Уравнение
Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские спиноры в многомерии.
11. Индуцированные представления. Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Унитарные представления группы
Пуанкаре. Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре.
12. Базис Картана-Вейля в АЛ. Разложение Картана элементов ГЛ. Корневые
системы, диаграммы Дынкина. Классификация полупростых алгебр и групп Ли.
7
Основная литература
М.Хамермеш, Теория групп и ее применение к физическим проблемам, издательство: Едиториал УРСС, 2002.
Л.С.Понтрягин, Непрерывные группы. Москва, издательство: Наука (1973).
В.А.Рубаков, Классические калибровочные поля. Москва, издательство: Едиториал УРСС (1999).
Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия. Москва,
издательство: Наука, (1979).
П.И.Голод, А.У.Климык, Математические основы теории симметрии, издательство: Регулярная и хаотическая динамика, (2001).
8
1
Введение
Слово симметрия происходит от греческого слова ”συµµϵτ ρια” – совместно измеренное или соразмерное. Можно рассматривать "симметрии как гармонии пропорций"[1]
и обсуждать геометрические понятия симметрии в различных формах, таких как зеркальная симметрия, переносная симметрия, симметрия орнаментов и кристаллов и
т.д. Под операциями симметрии мы понимаем преобразования, при которых объект
или совокупность объектов сохраняет свои свойства (форму, и т.д.). На множестве
всех симметрийных операций, т.е. всех преобразований инвариантности данных объектов, можно ввести естественную операцию композиции (умножения), когда двум
последовательным операциям симметрии сопоставляется новая операция симметрии
из этого же множества. Таким образом мы приходим к определению совокупности
(группы) преобразований симметрий, на котором определена операция умножения.
Теперь можно сформулировать абстрактное математическое определение группы,
которое мы даем в самом начале следующего раздела.
Основоположником теории групп считается Эварист Галуа (1811 - 1832, убит на
дуэли в возрасте 21 года). Занимаясь проблемой разрешимости алгебраических уравнений, он ввел понятия поля, группы и др. и создал то, что сейчас называется ”теорией Галуа”. Группу в этом случае образуют n! перестановок n корней x1 , x2 , . . . , xn
заданного алгебраического уравнения n-ой степени
(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn ) = 0 .
(1.1) algur
Очевидно, что эти перестановки не меняют уравнение (1.1) и таким образом образуют
группу симметрий этого уравнения.
Некоторые разделы книги построены так, что в начале рассматриваются частные
примеры объектов и понятий, используемых в теории групп и симметрий, и только
после этого делается переход к формальному математическому определению этих
объектов и понятий. Такая последовательность изложения – совет Феликса Клейна
из его ”Лекций о развитии математики в XIX столетии” [2].
В данной книге мы старались доказать, или по крайней мере пояснить, все сделанные утверждения. Следует однако отметить, что уровень строгости некоторых
доказательств не расчитан на математически ориентированного читателя.
В основу книги положены лекции, которые читались на кафедрах теоретической и ядерной физики Международного университета г. Дубна в 2006 – 2011 годах, а также на физическом факультете МГУ в 2008-2011 годах. Мы благодарны
А.А.Владимирову, Д.Кирпичникову, О.В.Огиевецкому, A.O.Сутулину, В.О.Тарасову,
С.В. Троицкому и Н.А.Тюрину за многочисленные полезные обсуждения материала,
изложенного в этой книге.
9
2.1 Основные понятия и определения
2
10
Конечные и матричные группы. Группы и преобразования.
В первых разделах этой главы будут введены основные понятия теории групп, которые используются как в теории дискретных групп, так и в теории непрерывных
групп, таких как группы Ли.
2.1
Группы: основные понятия и определения.
2.1.1
Определение группы и подгруппы. Примеры.
Определение 2.1.1 Конечное или бесконечное множество G называют группой,
если в G определена операция умножения, которая сопоставляет каждой паре элементов g1 и g2 из G элемент g3 ∈ G (мы будем писать g1 · g2 = g3 ) и удовлетворяет
свойствам:
а) ассоциативность умножения: для любых трех элементов g1 , g2 , g3 из G выполняется соотношение: (g1 · g2 ) · g3 = g1 · (g2 · g3 );
б) существование единичного элемента e ∈ G, такого, что для всех g ∈ G справедливо g · e = g = e · g;
в) существование обратного элемента, т.е. для каждого элемента g ∈ G существует g −1 ∈ G такой, что g · g −1 = g −1 · g = e.
Определение 2.1.2 Число элементов в группе G называется порядком группы и
обозначается ord(G). Если порядок группы конечен, то группа называется конечной.
Конечные группы, а также группы, множество элементов которых бесконечно, но
счетно, называются дискретными.
Определение 2.1.3 Если все элементы группы G коммутируют друг с другом,
т.е. ∀g1 , g2 ∈ G справедливо g1 · g2 = g2 · g1 , то такая группа называется абелевой.
Примеры групп:
1.) Множество вещественных чисел, из которого удален нуль, R\{0}, образует группу
по отношению к обычному умножению чисел. Число 1 выступает в роли единицы
группы, а обратный элемент к x ∈ R\{0} – это число 1/x.
• Задача 1. Почему из R удалено число 0?
2.) Множество комплексных чисел z, по модулю равных единице, |z| = 1, образует
группу, которая обозначается U (1). Умножение в U (1) – это умножение комплексных
чисел (для всех z1 , z2 ∈ U (1) мы имеем |z1 | = |z2 | = 1, откуда следует, что |z1 z2 | = 1,
и умножение двух элементов из U (1) дает снова элемент из U (1)). Единица в U (1)
– это число z = 1, а обратный элемент к z ∈ U (1) – это z −1 (z −1 ∈ U (1), поскольку
|z −1 | = 1 при |z| = 1).
3.) Группа Z целых чисел {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. В качестве операции умножения в множестве Z выбирают сложение чисел и для группы используют обозначение
(Z, +). Аналогично определяется группа (R, +) вещественных чисел.
2.1 Основные понятия и определения
11
• Задача 2. Какое число в группах (Z, +) и (R, +) играет роль единичного элемента?
4.) Множество целых чисел по модулю целого числа n (т.е. любые два целых числа k
и k+n отождествлены; для таких чисел используется обозначение k mod(n)) образует
циклическую группу Zn относительно сложения чисел по модулю n,
k mod(n) + m mod(n) = (k + m) mod(n) .
Порядок группы Zn , очевидно, равен n.
5.) Циклическая группа Cn преобразований симметрии правильного n-угольника, состоящая из вращений n-угольника вокруг центра O описанной окружности на углы,
кратные 2π/n (см. Рис. 1).
r
2
3
..
.
r
r
1
qO
rn
rn-1
..
.
....
Рис. 1: Вершины правильного n-угольника, вписанного в окружность.
На рисунке 1 вершины правильного n-угольника пронумерованы числами {1, 2, . . . , n},
а все повороты на углы, кратные 2π/n (элементы группы Cn ), соответствуют циклическим перестановкам вершин, или, что то же самое, циклическим перестановкам
n чисел {1, 2, . . . , n}. С точки зрения перестановок вершин поворот gk ∈ Cn на угол
2πk/n против часовой стрелки
{ 1 → k + 1, 2 → k + 2, . . . , n − 1 → k − 1, n → k } ,
(2.1.1) sk1
тождественен повороту gk+n на угол 2π(k + n)/n. Порядок группы Cn равен n, а
умножение в группе Cn определяется как последовательное применение поворотов,
и мы имеем
gk · gm = gk+m .
(2.1.2) gkgm
Единичный элемент – это g0 , а обратный элемент к gk равен g−k . Заметим, что повороту на угол 2πk/n в комплексной плоскости можно сопоставить комплексное число zk = ei2πk/n , равное одному из корней n-ой степени из единицы. Таким образом, группу Cn можно представить как множество всех комплексных чисел z = zk
(k = 0, 1, . . . , n − 1) таких, что z n = 1. В этом представлении умножение элементов
gk ↔ zk определяется как произведение комплексных чисел: zk · zm = zk+m .
Определение 2.1.4 Взаимнооднозначное соответствие ρ: G → G′ между всеми
элементами двух групп G и G′ , которое согласовано с умножением в этих группах,
т.е.
ρ(g1 ) · ρ(g2 ) = ρ(g1 · g2 ) , ∀g1 , g2 ∈ G ,
называется изоморфизмом. В этом случае мы говорим, что группы G и G′ изоморфны друг другу и отождествляем их: G = G′ .
2.1 Основные понятия и определения
12
Например, два числа {+1, −1} образуют циклическую группу C2 , которая изоморфна
группе Z2 , т.е. C2 = Z2 .
• Задача 3. Показать, что если ρ : G → G′ – изоморфизм, то ρ(e) = e′ , где e и
e′ – единицы в G и G′ .
• Задача 4. Показать, что Zn = Cn , т.е. имеется взаимнооднозначное соответствие между элементами группы Zn и элементами группы Cn (например,
в представлении gk ↔ zk ), причем умножение в обеих группах сохраняет
это соответствие.
6.) Группа диэдра1 Dn – группа всех симметрий правильного n угольника (рис.1),
включающая в себя не только все повороты из группы Cn , но и все зеркальные
отражения правильного n-угольника (обозначим этот n-угольник символом ⋆n ) относительно осей симметрии, которые проходят через точку O и какую-либо из его
вершин. Для описания группы Dn расширим группу Cn еще одним преобразованием
(элементом r), которое переводит многоугольник ⋆n на рис. 1 сам в себя. В качестве
такого преобразования r выберем зеркальное отражение относительно вертикальной
оси (1, O), проходящей через точки 1 и O на рис 1. При этом вершина 1 остается
на месте 1 → 1, а остальные вершины переходят друг в друга по правилу 2 ↔ n,
3 ↔ n − 1 и так далее
{ 1 → 1, 2 → n, 3 → n − 1, . . . , n − 1 → 3, n → 2 } .
(2.1.3) sk2
Таким образом, новое преобразование симметрии r, так же как и все повороты из Cn ,
соответствует некоторой специальной перестановке n вершин (чисел {1, 2, . . . , n}).
Повторное зеркальное отражение относительно (1, O) возвращает вершины ⋆n на
свои места, т.е. мы имеем:
r2 = e .
(2.1.4) umnD3
Примем соглашение, при котором умножение преобразований gm · r соответствует
последовательному применению операций сначала отражения r, а затем поворота
gm (”слово” gm · r читается справа налево), т.е. мы имеем следующее действие на
многоугольник ⋆n слева2 : (gm · r) ⋆n = gm (r ⋆n ).
• Задача 5. Вывести тождество
gm · r = r · g−m ,
(2.1.5) ghg
и доказать, что зеркальное отражение rk многоугольника ⋆n относительно
оси (k, O), проходящей через центр O и некоторую вершину k многоугольника, может быть представлено как композиция отражения относительно
оси (1, O) и соответствующих поворотов:
rk = gk−1 · r · g1−k ,
1
(2.1.6) r-k
Слово диэдр в переводе в греческого языка означает двухгранник.
Другое прочтение слова gm · r слева направо, соответствует действию преобразований на многоугольник ⋆n справа: ⋆n · (gm · r), при этом сначала применяется поворот gm , а за тем отражение
r. Такой способ действия для последовательности преобразований рассматривается аналогично и
принципиально не отличается от принятого.
2
2.1 Основные понятия и определения
13
т.е. сначала вершина k с помощью поворота g1−k совмещается с вершиной
1, затем делается отражение относительно вертикальной оси, после чего
вершина k возвращается на место.
Пользуясь соотношениями (2.1.5) и (2.1.6), все элементы3 группы диэдра Dn можно
привести к виду
{gk , r · gk } (k = 0, . . . , n − 1) ,
(2.1.7) elD
и порядок группы Dn равен 2n. Для вращений gm ∈ Dn мы имеем тождество gm =
g1m . Тогда, согласно (2.1.7), любой элемент группы Dn представляется в виде rk g1m
(k = 0, 1; m = 0, 1, . . . , n − 1), и в этом смысле группа Dn порождается только двумя
элементами (g1 , r), которые называются образующими группы Dn и удовлетворяют
соотношениям (2.1.4), (2.1.5) и g1n = e. Такое описание конечной группы в терминах ее образующих называется презентацией и для Dn (a = g1 , b = r) презентация
записывается в виде
Dn :
⟨ a, b | a · b = b · a−1 , b2 = e ,
an = e ⟩ .
(2.1.8) prz
В силу соотношений (2.1.5) группа Dn – неабелева.
• Задача 6. Выписать все элементы и найти порядок дициклической группы
Q2n , заданной с помощью презентации
Q2n :
⟨ a, b | a · b = b · a−1 , b2 = an , a2n = e ⟩ .
7.) Группа всех перестановок n объектов, или симметрическая группа, Sn (смотри
также Раздел 8.1). Группу Sn можно представить как множество взаимнооднозначных отображений набора целых чисел {1, 2, . . . , n} в себя следующего вида
A:
{1 → a1 , 2 → a2 , 3 → a3 , . . . , (n − 1) → an−1 , n → an } ,
(2.1.9) perA
где {a1 , a2 , . . . an } некоторое новое размещение чисел {1, 2, . . . , n}. Порядок группы
Sn равен n!.
Перестановки (2.1.9) удобно записать следующим образом
(
)
1 2 3 ... n − 1 n
A=
.
(2.1.10) perA5
a1 a2 a3 . . . an−1 an
Удобство такой записи заключается в том, что можно как угодно переставлять столбцы в (2.1.10) и при этом перестановка A не меняется. Умножение A·B двух перестановок A и B – их последовательное применение, или, что тоже самое, последовательное
применение отображений, сначала B и потом A:
(
) (
)
1 2 ... n
1 2 ... n
A·B =
·
=
a1 a2 . . . an
b1 b2 . . . b n
3
Для правильных многоугольников с четным числом вершин имеются дополнительные оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон. Можно показать, что преобразования отражений относительно этих дополнительных осей симметрии также сводятся к преобразованиям типа r · gk .
2.1 Основные понятия и определения
(
=
b1 b2 . . . b n
ab1 ab2 . . . abn
14
) (
) (
)
1 2 ... n
1 2 ... n
·
=
.
b1 b2 . . . bn
ab1 ab2 . . . abn
(2.1.11) perAB
Единица – тождественная перестановка {1 → 1, 2 → 2, . . . , n → n}, а обратная перестановка к (2.1.9) очевидно имеет вид
A−1 :
{a1 → 1, a2 → 2, a3 → 3, . . . , an → n} ,
(
или
−1
A
=
a1 a2 a3 . . . an
1 2 3 ... n
(2.1.12) perAm
)
.
(2.1.13) perAm1
Перестановка (i, j), при которой только два числа i и j из {1, 2, . . . , n} переставляются, а остальные не меняют своих мест, называется транспозицией. Очевидно, что
любую перестановку можно осуществить с помощью последовательного применения
нескольких транспозиций, т.е. транспозиции являются образующими группы Sn .
Определение 2.1.5 Перестановки, состоящие из четного (нечетного) числа транспозиций, называются четными (нечетными).
Наконец перестановки, имеющие вид (k ≤ n)
{ a1 → a2 , a2 → a3 , a3 → a4 , . . . , ak−1 → ak , ak → a1 } ,
где оставшиеся (n − k) объектов свои места не меняют, называются циклами длины
k и обозначаются:
(
)
a1 a2 a3 . . . ak ak+1 . . . an
(a1 , a2 , . . . , ak ) ≡
= (a1 , a2 , . . . , ak ) · (ak+1 ) · · · (an ) ,
a2 a3 a4 . . . a1 ak+1 . . . an
(циклы, состоящие из одного элемента, мы будем опускать для упрощения записи). Напомним, что столбцы в перестановке (2.1.10) можно переставлять как угодно,
поэтому циклически переставляемым элементам позволительно находиться на произвольных местах верхней строки, например, циклом является перестановка вида
(
)
a1 a2 a3 a4 a5 a6
= (a1 , a3 , a2 , a4 ) ,
a3 a4 a2 a1 a5 a6
(циклически переставляются первый, третий, второй и четвертый элементы, а остальные остаются на своих местах). Транспозиция (i, j) – это цикл длины 2. Циклы, состоящие из разных символов, не влияют друг на друга и, соответственно, коммутируют
друг с другом, например: (1, 3, 4) · (2, 6, 7, 5) = (2, 6, 7, 5) · (1, 3, 4) ∈ S7 .
⋆
• Задача 7. 4 Показать, что любую перестановку из Sn можно разложить в
произведение циклов, состоящих из разных символов. Разложить в такое
произведение циклов перестановку
(
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
∈ S10 .
(2.1.14) Scycl2
3 6 4 1 2 8 10 5 9 7
4
Решения задач, помеченных звездочкой, приведены в конце книги.
2.1 Основные понятия и определения
15
8.) Группа SO(2) (S и O – начальные буквы в словах: Special Orthogonal) собственных вращений (без отражений) в пространстве R2 – группа симметрий окружности S 1
в R2 . Умножение вращений – их последовательное применение. Группу SO(2) можно рассматривать как континуальный предел циклических групп, SO(2) = lim Cn , и
n→∞
представить ее элементы gϕ ∈ SO(2) (вращения на углы ϕ против часовой стрелки)
в виде матриц
(
)
cos ϕ , − sin ϕ
Oϕ =
, Oϕ · Oψ = Oϕ+ψ ,
(2.1.15) o2
sin ϕ , cos ϕ
которые ортогональны, Oϕ OϕT = I2 (здесь T обозначает транспонирование матрицы, а
I2 – единичная (2 × 2) матрица) и удовлетворяют специальному условию det(Oϕ ) = 1.
• Задача 8. Установить изоморфизм между группами SO(2) и U (1). Указание:
записать преобразование в C: w → w′ = z · w, ∀z ∈ U (1), в виде линейного
преобразования в R2 , положив z = eiϕ и w = x + iy.
9.) Группа O(2) вращений и отражений в пространстве R2 (O – начальная буква
в слове: Orthogonal)– группа симметрии окружности в R2 , включающая как вращения, так и отражения относительно осей симметрии, проходящих через центр окружности. Группу O(2) можно рассматривать как континуальный предел диэдральных
групп, O(2) = lim Dn . Элементы O(2), которые соответствуют поворотам на угол
n→∞
ϕ, представляются в виде матриц (2.1.15), а все элементы, включающие отражения,
можно представить в виде композиции R · Oϕ , где матрица R реализует отражение
относительно вертикальной оси симметрии окружности
(
)
−1 0
R=
, R · Oϕ = O−ϕ · R .
(2.1.16) rrr
0 1
Элемент R ∈ O(2) осуществляет то же преобразование симметрии в R2 , что и элемент
r ∈ Dn . Все элементы O ∈ O(2) удовлетворяют условию ортогональности OOT = I2 ,
однако det(R · Oϕ ) = −1.
10.) Общая линейная группа GL(n, C) (G и L – начальные буквы в словах: General
Linear)– множество всех невырожденных n × n матриц M = ||Mij || (det(M ) ̸= 0) c
комплексными элементами, Mij ∈ C. В качестве группового умножения в GL(n, C)
выбирается умножение матриц.
• Задача 9. Доказать ассоциативность умножения в группе GL(n, C) (одно из
свойств в определении 2.1.1). Зачем требуется невырожденность матриц
M ∈ GL(n, C)? Описать группу GL(1, C).
Аналогично определяется группа GL(n, R) как множество всех невырожденных n×n
вещественных матриц ||Mij || (det(M ) ̸= 0) с вещественными элементами Mij ∈ R и
матричным умножением в качестве групповой операции.
11.) Группа O(n, R) вращений и отражений в n-мерном пространстве Rn (в дальнейшем для краткости мы будем использовать для группы O(n, R) обозначение O(n)) –
2.1 Основные понятия и определения
16
группа симметрии (n − 1)- мерной сферы S n−1 в пространстве Rn . Сферу S n−1 радиуса ρ можно задать как множество точек ⃗x ∈ Rn с координатами {x1 , x2 , . . . , xn },
которые удовлетворяют соотношениям
x21 + x22 + . . . + x2n ≡
n
∑
xi xi = ρ2 .
(2.1.17) sfn
i=1
В дальнейшем знак суммы в подобных формулах будет опускаться, а по повторяющимся индексам всегда (если специально не будет оговорено обратное) будет подразумеваться суммирование. Рассмотрим линейное преобразование
xi → x′i = Oij xj ,
∀⃗x ∈ S n−1 ,
(2.1.18) sfn2
такое, что x′i x′i = ρ2 , т.е. преобразование, переводящее точки сферы (2.1.17) в точки
⃗x ′ этой же сферы. Матрица O для данного преобразования, в силу условия xj xj =
x′i x′i , должна удовлетворять соотношению ортогональности
OT · O = In ,
(2.1.19) ort
где In – единичная n × n матрица. Таким образом, преобразование (2.1.18) c ортогональной матрицей O можно рассматривать как симметрию сферы S n−1 , а группу
O(n) всех таких симметрий можно представить как множество всех n × n ортогональных матриц с групповой операцией в виде матричного умножения. Все аксиомы
группы для множества O(n) выполнены. Действительно, ∀O1 , O2 ∈ O(n) имеем
(O1 · O2 )T · O1 · O2 = O2T · (O1T · O1 ) · O2 = In ,
In ∈ O(n) – единичный элемент и, если O ∈ O(n), то (O−1 )T ·O−1 = In , т.е. O−1 ∈ O(n).
Из условия (2.1.19) следует, что det(O) = ±1, т.е. группа O(n) состоит из двух
подмножеств O+ (n) и O− (n) ортогональных матриц O, удовлетворяющих условиям det(O) = +1 и det(O) = −1, соответственно.
12.) Группа SO(n). Подмножество O(n)+ ортогональных матриц с det(O) = +1,
которое обозначается как SO(n), образует группу (с матричным умножением в качестве групповой операции), т.к. ∀O, O′ ∈ SO(n) имеем det(O · O′ ) = +1, det(O−1 ) = +1
и следовательно (O · O′ ) и O−1 принадлежат SO(n). Группа SO(n) интерпретируется
как группа собственных (без отражений) вращений в пространстве Rn .
• Задача 10. Доказать, что подмножество O− (n) ⊂ O(n) ортогональных n × n
матриц O с условием det(O) = −1 группу не образует. Доказать, что любой
элемент O′ ∈ O− (n) записывается в виде O′ = R · O, где O ∈ SO(n),
а R – любой фиксированный элемент из множества O− (n) (например,
R = diag(−1, 1, . . . , 1)).
Группы R\{0}, Z, Zn = Cn , U (1) = SO(2) и GL(1, C) абелевы. Группа диэдра Dn
(n > 2), дициклическая группа Q2n (n > 1), группа Sn (n > 2) всех перестановок n
элементов, группа O(n) (n = 2, 3, . . .), группа SO(n) (n = 3, 4, . . .) и группы GL(n, R),
GL(n, C) (n = 2, 3, . . .) неабелевы.
2.1 Основные понятия и определения
17
Всю информацию о группах конечного порядка удобно суммировать в виде таблицы умножения или таблицы Кэли (предложена в 1854 г. английским математиком
Артуром Кэли (1821 - 1895)). Например, для группы D5 эта таблица имеет вид
e
g1
g2
g3
g4
r
rg1
rg2
rg3
rg4
e
g1
g2
g3
g4
r
rg1 rg2 rg3 rg4
e
g1
g2
g3
g4
r
rg1
rg2
rg3
rg4
g1
g2
g3
g4
e
rg1
rg2
rg3
rg4
r
g2
g3
g4
e
g1
rg2
rg3
rg4
r
rg1
g3
g4
e
g1
g2
rg3
rg4
r
rg1
rg2
g4
e
g1
g2
g3
rg4
r
rg1
rg2
rg3
r
rg4
rg3
rg2
rg1
e
g4
g3
g2
g1
rg1
r
rg4
rg3
rg2
g1
e
g4
g3
g2
rg2
rg1
r
rg4
rg3
g2
g1
e
g4
g3
rg3
rg2
rg1
r
rg4
g3
g2
g1
e
g4
rg4
rg3
rg2
rg1
r
g4
g3
g2
g1
e
Путем сравнения таблиц Кэли для двух конечных групп можно установить изоморфизм этих групп.
• Задача 11. Установить изоморфизм D3 = S3 .
Из таблицы Кэли видно, что пять элементов {e, g1 , g2 , g3 , g4 } образуют в группе
D5 подмножество C5 , которое само наделено структурой группы. Действительно, согласно таблице Кэли произведение любых двух элементов из подмножества C5 есть
снова элемент из C5 , а также выполняются все другие свойства группы. Очевидно, что то же самое имеет место и для подмножества Cn в группе Dn для любого
n ≥ 2. Напомним, что преобразования из групп Cn и Dn сводятся к специальным
перестановкам n вершин {1, 2, . . . , n}, т.е. образуют подмножества в общей группе
Sn всех возможных перестановок n элементов {1, 2, . . . , n}, причем эти подмножества замкнуты относительно операции умножения, заданной в Sn . Таким образом,
мы приходим к важному понятию подгруппы — “группы в группе”.
Определение 2.1.6 Подмножество H элементов группы G называют подгруппой,
если H является группой относительно введенной в G операции умножения, т.е.
единичный элемент e ∈ H, и для всех элементов h1 , h2 , h из H мы имеем h1 · h2 ∈ H
и h−1 ∈ H.
Примеры подгрупп:
1.) В любой группе G имеются две тривиальные подгруппы – это сама группа G и
подгруппа, состоящая из одного единичного элемента e.
2.) Циклическая группа Cn = Zn – абелева подгруппа в диэдральной группе Dn .
3.) Группы Cn и Dn – подгруппы в группе Sn .
4.) Группа Cn = Zn – подгруппа в группе U (1) = SO(2).
5.) Группы Dn и SO(2) – подгруппы в группе O(2).
6.) Группа SO(n) – подгруппа в группе O(n).
7.) Группа O(n) – подгруппа в группе GL(n, R).
2.1 Основные понятия и определения
18
8.) Группа GL(n, R) – подгруппа в группе GL(n, C).
9.) Группа O(k) – подгруппа в группе O(n) (n > k). Подгруппу O(k) можно вложить
в группу O(n) (n > k) разными способами. Например, можно представить подгруппу
O(k) как подмножество в O(n), образованное блочно-диагональными матрицами Og
вида


0

.. 

g
. 
Og = 
(2.1.20) okon
 , g ∈ O(k) .

0 
0 ... 0 In−k
2.1.2
Инвариантные подгруппы, смежные классы, фактор-группа.
Определение 2.1.7 Пусть H – подгруппа в группе G. Если для любого элемента
g ∈ G и любого элемента h ∈ H справедливо свойство g · h · g −1 ∈ H (это свойство
записывают в виде gHg −1 ⊂ H), то H называется инвариантной подгруппой, или
нормальным делителем в G.
Пример. Подгруппа Cn в группе Dn является инвариантной: ∀h ∈ Cn и ∀g ∈ Dn мы
имеем
g · h · g −1 = h′ ∈ Cn .
(2.1.21) invC
Действительно, этот факт очевиден для g ∈ Cn ⊂ Dn . Если же g ∈ Dn включает в
себя отражение g = r · gk , то g −1 = g−k · r и, пользуясь тождествами (2.1.4) и (2.1.5),
мы получаем
g · gm · g −1 = r · gk · gm · g−k · r = r · gm · r = gn−m ∈ Cn .
• Задача 12. Доказать, что группа SO(n) является инвариантной подгруппой в
O(n).
Инвариантные подгруппы были введены Э. Галуа. Замечательное наблюдение
Э. Галуа заключается в том, что группу можно “делить” на ее инвариантную подгруппу (нормальный делитель) и результат “деления” будет снова группой. Для описания такого деления необходимо ввести понятие смежного класса.
Определение 2.1.8 Левым смежным классом элемента g ∈ G по подгруппе H ⊂
G называется множество всех элементов вида g · h, где h пробегает все элемен- ISA ред.
правка
ты из H, то есть левый смежный класс — это подмножество элементов gH =
{g · h|h ∈ H} в G. Аналогично, подмножество Hg = {h · g|h ∈ H} называется
правым смежным классом элемента g ∈ G по подгруппе H.
Множества левых и правых смежных классов (фактор-множества или фактор-пространства)
группы G по подгруппе H обозначаются G/H и H\G, соответственно.
Пример. Рассмотрим смежные классы группы Dn по подгруппе Cn . Если в качестве
элемента g ∈ Dn мы возьмем элемент из подгруппы Cn , то его левый смежный класс
2.1 Основные понятия и определения
19
g Cn совпадает с множеством e Cn = Cn . Если в качестве элемента g мы возьмем
элемент r · gm , содержащий отражение, то левый смежный класс этого элемента по
подгруппе Cn совпадает с множеством r · Cn . Из (2.1.7) следует, что эти два класса
e Cn и r Cn не пересекаются и исчерпывают всю группу Dn . Аналогично, пользуясь
формулой (2.1.5), легко получить, что Dn расщепляется на два непересекающихся
правых смежных класса Cn e и Cn r, причем Cn e = e Cn = Cn и, согласно (2.1.5),
Cn r = r Cn , т.е. левый и правый смежные классы элемента r ∈ Dn по инвариантной
подгруппе Cn совпадают.
• Задача 13. Описать смежные классы группы O(n) по подгруппе SO(n).
Утверждение 2.1.1 Левые (правые) смежные классы группы G по подгруппе H
либо совпадают, либо не пересекаются. Левый и правый смежные классы одного и
того же элемента g ∈ G по инвариантной подгруппе H совпадают.
Доказательство. Пусть пересечение двух левых смежных классов g1 H и g2 H нетривиально, т.е. существует элемент g ∈ G такой, что g ∈ g1 H и g ∈ g2 H. Это означает,
что существуют элементы h1 , h2 ∈ H такие, что g1 · h1 = g = g2 · h2 . Отсюда вытекает,
′
′
что g1 = g2 · h2 · h−1
1 = g2 · h , где h ∈ H, т.е. g1 ∈ g2 H, g2 ∈ g1 H, и следовательно смежные классы g1 H и g2 H совпадают. Для правых смежных классов это утверждение
доказывается аналогично.
Пусть подгруппа H инвариантна. Тогда, согласно определению инвариантной
подгруппы, ∀g ∈ G мы имеем gHg −1 ⊂ H и g −1 Hg ⊂ H. Умножая эти соотношение
на g соответственно справа и слева, мы получаем gH ⊂ Hg и Hg ⊂ gH, т.е. gH = Hg.
Таким образом, левый и правый смежные классы фиксированного элемента g ∈ G
по инвариантной подгруппе H совпадают.
Пусть H – подгруппа в группе G. Поскольку всякий элемент g ∈ G принадлежит
какому-то смежному классу, а именно, своему смежному классу gH (или Hg), то вся
группа G есть объединение непересекающихся левых (правых) смежных классов по
подгруппе H ⊂ G.
Определение 2.1.9 Количество разных смежных классов в группе G по подгруппе
H называется индексом подгруппы H в G и обозначается indG (H).
• Задача 14. (Tеорема Лагранжа). Доказать, что порядок (число элементов) и индекс подгруппы H в конечной группе G являются делителями
порядка группы G:
ISA формула
ord(G) = ord(H) · indG (H) .
Рассмотрим множество G/H смежных классов группы G по инвариантной подгруппе H и определим произведение двух смежных классов ge1 ≡ g1 H и ge2 ≡ g2 H
элементов g1 и g2 группы G как подмножество в G:
{f1 · f2 |f1 ∈ ge1 , f2 ∈ ge2 } .
(2.1.22) fprod5
2.1 Основные понятия и определения
20
В результате такого произведения мы получаем множество элементов, которое снова
образует смежный класс g]
1 ·g2 , так как в силу определения инвариантной подгруппы
H мы имеем
(g1 H) · (g2 H) = g1 (H g2 )H = g1 (g2 H)H = (g1 ·g2 ) H .
(2.1.23) fprod
Таким образом, на множестве смежных классов G/H, где H — инвариантная подгруппа в G, можно задать групповое произведение. Ассоциативность произведения
(2.1.23) очевидно следует из ассоциативности группового умножения в G. Роль единицы играет смежный класс eH, совпадающий с подгруппой H, а обратный к gH
смежный класc – это g −1 H. Итак, мы доказали:
Утверждение 2.1.2 Смежные классы группы G по инвариантной подгруппе H образуют группу G/H, которая называется факторгруппой.
Пример. Как мы выяснили, группа Dn распадается на два смежных класса ẽ = e·Cn
и r̃ = r ·Cn по инвариантной подгруппе Cn . Таблица Кэли для элементов ẽ, r̃ ∈ Dn /Cn
совпадает с таблицей Кэли для группы C2 :
ẽ · ẽ = ẽ ,
ẽ · r̃ = r̃ · ẽ = r̃ ,
r̃ · r̃ = ẽ ,
Следовательно, Dn /Cn = C2 .
• Задача 15. Какой группе изоморфна факторгруппа O(n)/SO(n)?
Замечание 1. Множество правых смежных классов группы G по инвариантной
подгруппе H также образует группу. Из Утверждения 2.1.1 следует, что группа H\G
изоморфна группе G/H.
Замечание 2. Отметим, что для не инвариантных подгрупп H произведение смежных классов, определенное в (2.1.22), может давать подмножество в G, которое уже
не будет смежным классом, поэтому в этом случае умножение в фактор-множестве
G/H ввести, вообще говоря, нельзя.
Определение 2.1.10 Конечная группа G называется простой, если она не имеет нетривиальных инвариантных подгрупп. Конечная группа G называется полупростой, если она не имеет нетривиальных абелевых инвариантных подгрупп.
Заметим, что понятие простых групп обобщает понятие простых чисел (простые
группы делятся только на тривиальные нормальные делители).
Примеры.
1. Группа Cp = Zp проста, если p – простое число. Действительно, ее порядок равен
ord(Cp ) = p, и из теоремы Лагранжа следует, что в Cp вообще нет нетривиальных
подгрупп.
2. Группа Dn не проста (Dn имеет инвариантную подгруппу Cn ) и не полупроста
(инвариантная подгруппа Cn – абелева).
3. Если группы G1 и G2 просты и неабелевы, то группа G1 × G2 полупроста.
2.1 Основные понятия и определения
21
Замечание 3. Для некоторых бесконечных групп определение простоты отличается
от определения, данного в 2.1.10. Например, группа SO(2n) считается простой, хотя она имеет нетривиальную инвариантную подгруппу, совпадающую с ее центром
{I2n , −I2n }. Мы дадим соответствующее определение простоты для определенного
класса бесконечных групп в разделе 3.2.6.
Замечание 4. Пусть G – конечная группа и a ∈ G. Рассмотрим бесконечную последовательность элементов ak , k = 1, 2, 3, . . .. Среди этих элементов наверняка имеются
совпадающие, иначе группа G имела бы бесконечный порядок. Отсюда следует, что
для любого элемента a ∈ G существует некоторое минимальное положительное целое
число n такое, что an = e и множество элементов {e, ak } (k = 1, 2, . . . , n − 1) образует
подгруппу Cn = Zn в G. Таким образом, с каждым элементом a ∈ G связана некоторая циклическая подгруппа в G, порядок которой определяется делителями порядка
группы G. Последнее утверждение позволяет заниматься классификацией конечных
групп, имеющих фиксированный порядок.
• Задача 16. Доказать, что конечная группа G, имеющая порядок p, где p –
простое число, единственна и G = Zp = Cp .
• Задача 17. Доказать, что если порядок группы G равен 2n, а H – подгруппа
в G порядка n, то H – инвариантная подгруппа в G.
• Задача 18. Найти факторгруппу аддитивной группы целых чисел, кратных 3,
по подгруппе чисел, кратных 15.
2.1.3
Прямое произведение групп, классы сопряженных элементов, центр.
По двум группам G1 и G2 можно построить новую группу G1 × G2 , которая называется прямым произведением групп G1 и G2 . Прямое произведение групп играет
важную роль в теории, т.к. оно позволяет конструировать новые группы и наоборот,
сводить изучение более сложных групп к изучению более простых.
Определение 2.1.11 Пусть G1 и G2 – две группы. Множество всех пар (g1 , g2 ),
где g1 ∈ G1 и g2 ∈ G2 , с покомпонентной операцией умножения
(g1 , g2 ) · (h1 , h2 ) = (g1 · h1 , g2 · h2 ) ,
(2.1.24) mapdr
образует группу G1 × G2 , называемую прямым произведением групп G1 и G2 . Единицей в этой группе служит элемент (e1 , e2 ), где e1 и e2 — единицы в группах G1
и G2 , а обратный элемент к (g1 , g2 ) есть (g1−1 , g2−1 ).
Очевидно, что группа G1 × G2 изоморфна группе G2 × G1 . В группе G1 × G2
имеются две подгруппы, изоморфные G1 и G2 , с элементами {(g1 , e2 ) | g1 ∈ G1 } и
{(e1 , g2 ) | g2 ∈ G2 }, соответственно.
• Задача 19. Доказать, что G1 и G2 – инвариантные подгруппы в G1 × G2 и
установить изоморфизм (G1 × G2 )/G1 = G2 (аналогично, (G1 × G2 )/G2 =
G1 ).
2.1 Основные понятия и определения
22
Отметим, что обычная связь между “делением” и “умножением” для групп отсутствует. А именно, если H – инвариантная подгруппа в G, то G/H – это тоже группа,
но, вообще говоря, G ̸= H × (G/H).
• Задача 20. Пользуясь презентацией (2.1.8), установить изоморфизмы D2 =
Z2 × Z2 и D6 = Z2 × D3 . Установить изоморфизм Zp × Zq = Zpq , где p и
q – взаимно простые числа (p ̸= q). Проверить отсутствие изоморфизма
между группами Z2 ×Z4 и Z8 (т.е. Z2 ×Z4 ̸= Z8 ). Доказать, что Z4 /Z2 = Z2 ,
однако Z4 ̸= Z2 × Z2 .
Обсудим еще одно важное понятие из теории групп.
Определение 2.1.12 Два элемента g1 и g2 из группы G называются сопряженными, если существует g ∈ G такой, что g1 = g · g2 · g −1 . Подмножество элементов
g˜0 = {g · g0 · g −1 |g ∈ G}, где g0 — фиксированный элемент группы G, называется классом сопряженности (или классом сопряженных элементов) элемента g0 в
группе G.
Заметим, что элемент g ∈ G сопряжен сам себе. Если g1 ∈ G сопряжен g2 ∈ G,
то g2 ∈ G сопряжен g1 ∈ G, а если g2 в свою очередь сопряжен g3 ∈ G, то очевидно,
что g1 будет сопряжен g3 . Тем самым на множестве элементов группы G задано
отношение эквивалентности (элементы g1 и g2 – эквивалентны, если они сопряжены)
и классы сопряженных элементов – это классы эквивалентных элементов.
Группа G расслаивается на классы сопряженных элементов, т.к. эти классы или
совпадают, или не пересекаются. Это следует из следующего рассуждения. Пусть
два класса сопряженности g˜0 и g˜1 имеют нетривиальное пересечение, т.е. имеется
элемент g ∈ G, который сопряжен всем элементам из g˜0 и всем элементам из g˜1 . Тогда,
согласно отношению эквивалентности, все элементы g˜0 сопряжены всем элементам
из g˜1 и, следовательно, эти классы совпадают.
Примеры.
1. Единица e группы G образует класс сопряженных элементов, состоящий из одного
элемента.
2. Группа Cn расслаивается на n классов сопряженности {e}, {g1 }, {g2 }, . . . , {gn−1 },
каждый из которых состоит из одного элемента. Действительно, группа Cn – абелева
и ∀g ∈ Cn мы имеем g · gn · g −1 = gn . Такое расслоение группы на классы сопряженности, каждый из которых состоит из одного элемента, справедливо для всех абелевых
групп.
3. Группа D2n+1 расслаивается на n + 2 класса сопряженности {e}, {gk , g−k } (k =
1, . . . , n), {r, r · g1 , . . . , r · g2n }. То, что все несобственные элементы D2n+1 попадают в
один класс сопряженности, следует из соотношения r · gk · (r · gm ) · g−k · r = r · g2k−m
и нечетности порядка группы (2n + 1).
4. Группа D2n расслаивается на n + 3 класса сопряженности {e}, {gn }, {gk , g−k }
(k = 1, . . . , n − 1), {r · g2k }, {r · g2k+1 }.
• Задача 21. Описать классы сопряженных элементов группы O(2).
2.1 Основные понятия и определения
23
5. Любой элемент A группы перестановок Sn представим в виде произведения m
циклов, состоящих из разных символов (смотри Задачу 7):
A = (a1 , a2 , . . . , aλ1 ) (aλ1 +1 , aλ1 +2 . . . , aλ1 +λ2 ) · · · (aλ1 +...+λm−1 +1 , . . . , aλ1 +...+λm ) ,
|
{z
} |
{z
}
|
{z
}
λ1
λ2
(2.1.25) Acyc
λm
где λi – длина i-ого цикла, и все элементы, фигурирующие в правой части, различны:
aα ̸= aβ при α ̸= β. Очевидно, что λ1 + λ2 + . . . + λm = n и, так как все циклы
коммутируют друг с другом, мы можем считать, что λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λm . Каждая
неубывающая последовательность целых положительных чисел (λ1 , λ2 , . . . , λm ) ≡ Λ,
сумма которых равна n, называется разбиением числа n и обозначается Λ ⊢ n. Таким
образом, каждой перестановке из Sn , согласно ее разложению в произведение циклов,
соответствует некоторое разбиение Λ ⊢ n.
Утверждение 2.1.3 Две перестановки, соответствующие одному и тому же разбиению Λ ⊢ n, сопряжены друг другу. Каждому классу сопряженных элементов в
группе Sn соответствует одно и только одно разбиение Λ ⊢ n.
Доказательство. Пусть перестановка B ∈ Sn имеет разложение в произведение того
же числа циклов и с теми же длинами (λ1 , λ2 , . . . , λm ), что и перестановка A ∈ Sn в
(2.1.25):
B = (b1 , b2 , . . . , bλ1 ) (bλ1 +1 , bλ1 +2 . . . , bλ1 +λ2 ) · · · (bλ1 +...+λm−1 +1 , . . . , bλ1 +...+λm ) ,
|
{z
} |
{z
}
|
{z
}
λ1
λ2
BSF
(2.1.26) Bcyc
λm
то есть две перестановки A и B соответствуют одному и тому же разбиению Λ ⊢
n. Докажем, что такие перестановки A и B содержатся в одном и том же классе
сопряженных элементов в Sn . Действительно, перестановка (2.1.25) переводится в
перестановку (2.1.26) с помощью преобразования сопряжения B = T · A · T −1 , где
перестановка T ∈ Sn имеет вид
(
)
a1 a2 . . . aλ1 aλ1 +1 . . . aλ1 +λ2 · · · aλ1 +...+λm−1 +1 . . . aλ1 +...+λm
T =
. (2.1.27) Tcyc
b1 b2 . . . bλ1 bλ1 +1 . . . bλ1 +λ2 · · · bλ1 +...+λm−1 +1 . . . bλ1 +...+λm
Для доказательства этого утверждения заметим, что
T · A · T −1 = T (a1 , . . . , aλ1 ) T −1 · T (aλ1 +1 , . . . , aλ1 +λ2 ) T −1 · · · ,
| {z }
|
{z
}
λ1
λ2
поэтому достаточно проверить равенство T (ak , . . . , ak+λi ) T −1 = (bk , . . . , bk+λi ) только
для одного из циклов. Это легко сделать, если воспользоваться правилом (2.1.11) произведения элементов в Sn . С другой стороны, пусть T — произвольная перестановка
(2.1.27), тогда преобразование сопряжения A → T ·A·T −1 = B переводит перестановку A, соответствующую разбиению Λ ⊢ n, в перестановку B (2.1.26), имеющую то же
самое разбиение в произведение циклов. Таким образом, имеется взаимнооднозначное соответствие между классами сопряженных элементов в группе Sn и элементами
ESF
множества всех разбиений числа n.
2.2 Матричные группы . . .
24
• Задача 22. Перечислить все классы сопряженных элементов в группах S3 и
S4 и найти число элементов в этих классах.
Определение 2.1.13 Элемент g0 из группы G называется самосопряженным (или
центральным), если g·g0 ·g −1 = g0 , ∀g ∈ G. Подмножество Z всех самосопряженных
элементов группы G называется центром группы G.
Другими словами, центр Z группы G образован теми элементами из G, которые
коммутируют со всеми элементами из G:
g · g0 = g0 · g ,
∀g0 ∈ Z ⊂ G, ∀g ∈ G .
• Задача 23. Доказать, что центр Z в группе G образует абелеву инвариантную
подгруппу в G.
Примеры.
1. Центр абелевой группы совпадает с самой группой.
2. Центр группы D2n состоит из двух элементов {e, gn }.
3. Центр группы O(n), n > 2 образован двумя элементами {In , −In }.
4. Центр группы SO(2n), n > 1, также образован двумя элементами {I2n , −I2n },
а центр SO(2n + 1) тривиален, то есть состоит из одного единичного элемента I2n+1 .
2.2
Матричные группы. Линейные, унитарные, ортогональные и симплектические группы.
2.2.1
Векторные пространства и алгебры.
В дальнейшем K будет обозначать поле комплексных чисел или поле вещественных
чисел.
Определение 2.2.1 Векторным (линейным) пространством V(K) над числовым
полем K называется множество объектов (векторов) ⃗x, ⃗y , . . ., которые можно умножать на числа α, β, . . . ∈ K и складывать друг с другом, и при этом результат
будет снова объектом из V(K):
α⃗x + β⃗y = ⃗z ∈ V(K) .
(2.2.1) vect11
Кроме того (V(K), +) – абелева группа с единичным элементом ⃗0 ∈ V(K) :
⃗0 = α⃗x|
α=0 ,
∀⃗x ∈ V(K) ,
который называется нулевым вектором. Требуется также выполнение свойств
(α + β)⃗x = α⃗x + β⃗x ,
α(⃗x + ⃗y ) = α⃗x + α⃗y ,
(αβ)⃗y = α(β⃗y ) .
V(R) называется вещественным, а V(C) — комплексным векторным пространством.
2.2 Матричные группы . . .
25
Определение 2.2.2 Векторное пространство Vn (K) называется n-мерным векторным пространством над полем K, если в Vn (K) существуют n линейно независимых векторов ⃗ek (k = 1, 2, . . . , n) таких, что ∀⃗x ∈ Vn (K) имеет место разложение
⃗x = ⃗ek xk .
(2.2.2) Te5
Числа xk ∈ K называются координатами (или компонентами) вектора ⃗x в базисе
{⃗ek }.
Любое комплексное n-мерное векторное пространство Vn (C) можно рассматривать как 2n - мерное вещественное векторное пространство V2n (R), так как любой
вектор ⃗z ∈ Vn (C) можно представить в виде
⃗z = ⃗ek zk = ⃗ek xk + i ⃗ek yk
(zk = xk + i yk ∈ C , xk , yk ∈ R) ,
(2.2.3) Te5c
и рассматривать 2n векторов {ek , i ek } в качестве базиса в V2n (R). Полученное таким образом вещественное пространство V2n (R) будем называть овеществлением комплексного пространства Vn (C).
С другой стороны, любое n-мерное вещественное векторное пространство Vn (R)
можно превратить в n-мерное комплексное пространство Vn (C), состоящее из векторов ⃗z = ⃗ek zk , где {⃗ek } – базис в Vn (R), а координаты zk ∈ C – комплекные числа.
В этом случае Vn (C) называется комплексификацией Vn (R). Наоборот, если имеется вещественное пространство Vn (R), чья комплексификация совпадает с Vn (C), то
пространство Vn (R) называется вещественной формой пространства Vn (C). У одного
и того же пространства Vn (C) может быть несколько вещественных форм.
В комплексном векторном пространстве Vn (C) определяется операция комплексного сопряжения векторов. Вектор (⃗z )∗ называется комплексно-сопряженным к вектору ⃗z = ⃗ek zk , если он имеет вид (⃗z )∗ = ⃗ek zk∗ , то есть его координаты получаются из
координат вектора ⃗z с помощью комплексного сопряженния.
Определение 2.2.3 Алгеброй A над полем K называется линейное (векторное)
пространство A над полем K, в котором, кроме сложения векторов из A и умножения их на числа из K, определена операция умножения векторов, т.е. операция,
которая любым двум векторам ⃗a, ⃗b ∈ A сопоставляет третий вектор ⃗a · ⃗b ∈ A,
причем эта операция удовлетворяет аксиомам дистрибутивности
⃗a · (α⃗b + β⃗c) = α(⃗a · ⃗b) + β(⃗a · ⃗c) ,
∀⃗a, ⃗b, ⃗c ∈ A ,
(α⃗a + β⃗b) · ⃗c = α(⃗a · ⃗c) + β(⃗b · ⃗c) ,
∀α, β ∈ K .
(2.2.4) distr
Если для умножения выполняется еще и аксиома ассоциативности:
⃗a · (⃗b · ⃗c) = (⃗a · ⃗b) · ⃗c ,
то алгебра A называется ассоциативной. Если K = R, или K = C, то алгебра
называется вещественной, или комплексной. Алгебра A называется n-мерной, если
ее векторное пространство n-мерно.
2.2 Матричные группы . . .
2.2.2
26
Матрицы. Детерминант и пфаффиан.
Пусть A = ||Aij || – комплексная n × n матрица, т.е. Aij ∈ C, ∀i, j = 1, 2, . . . , n. Мы
будем использовать следующие стандартные обозначения:
T
AT = ||AT
ij || , Aij = Aji ,
A∗ = ||A∗ij ||,
A† = (AT )∗ = ||A†ij || , A†ij = A∗ji ,
In = ||δij || ,
где AT , A∗ , A† и In - транспонированная, комплексно-сопряженная, эрмитово-сопряженная и единичная n × n матрицы, соответственно. Матрица A называется симметричной, если AT = A, кососимметричной (антисимметричной), если AT = −A,
эрмитовой, если A† = A, и антиэрмитовой, если A† = −A. На множестве Matn (C)
матриц (n×n) заданы стандартные операции сложения и умножения матриц, а также
операция умножения матрицы на число:
A + B = ||Aij + Bij ||, A · B = ||Aik Bkj ||, α A = ||α Aik || ,
∀A, B ∈ Matn (C) , ∀α ∈ C .
(2.2.5) opM
• Задача 24. Доказать, что множество матриц Matn (C) образует n2 -мерную
комплексную ассоциативную алгебру относительно операций (2.2.5).
Аналогичным образом определяется вещественная алгебра Matn (R) вещественных
матриц n × n.
n
∑
Важными характеристиками матрицы A являются ее след Tr(A) =
Aii и деi=1
терминант
n
∑
det(A) =
εi1 i2 ...in Ai1 1 Ai2 2 · · · Ain n ,
(2.2.6) determ
i1 ,...,in =1
где {εi1 i2 ...in } – набор n компонент антисимметричного тензора (ε-тензора) n-ого
ранга5 . Компоненты εi1 ...in однозначно определяются двумя условиями
n
1. ε12...n = 1 ,
2. εi1 i2 ...ik ...im ...in = − εi1 i2 ...im ...ik ...in ,
(2.2.7) defeps
где в правой и левой части соотношения 2. компоненты ε-тензора отличаются только
перестановкой двух индексов ik и im . Из определения (2.2.7) сразу следует равенство
5
Объект с компонентами εi1 i2 ...in является тензором в том смысле, что он не меняется при ортогональных преобразованиях: εi1 i2 ...in Oi1 j1 · · · Oin jn = εj1 j2 ...jn , где как всегда подразумевается
суммирование по повторяющимся индексам i1 , i2 , . . . , in , и O – любая вещественная ортогональная
матрица, OT · O = In , см. (2.1.19). Для нас тензорный характер объекта εi1 i2 ...in в данном контексте
несущественен.
2.2 Матричные группы . . .
27
нулю всех компонент ε-тензора, у которых хотя бы 2 индекса совпадают и, если все
индексы различны, то имеет место равенство
εi1 i2 ...in = (−1)P (σ) ε12...n = (−1)P (σ) ,
где P (σ) — четность перестановки
(
)
1 2 3 ... n − 1 n
σ=
,
i1 i2 i3 . . . in−1 in
(2.2.8) eeee
(2.2.9) sigma
то есть P (σ) = 0, если перестановка σ четная, и P (σ) = 1, если перестановка σ
нечетная.
−1
Матрица A−1 = ||A−1
= A−1 · A = In .
ij || называется обратной к A, если A · A
Матрица A называется вырожденной, если для нее не существует обратной матрицы
A−1 . В противном случае матрица A назывется невырожденной.
• Задача 25. Пользуясь определениями (2.2.6), (2.2.7) и (2.2.8), доказать равенства
εi1 i2 ...in Ai1 j1 Ai2 j2 · · · Ain jn = det(A) εj1 j2 ...jn ,
εj1 j2 ...jn · εj1 j2 ...jn = n! , εij2 ...jn · εkj2 ...jn = (n − 1)! δik ,
εi1 i2 j3 ...jn · εk1 k2 j3 ...jn = (n − 2)! (δi1 k1 δi2 k2 − δi1 k2 δi2 k1 ) ,


δi1 k1 δi1 k2 . . . δi1 kr
δi k δi k . . . δi kr 
2 1
2 2
2 
εi1 ...ir jr+1 ,...jn · εk1 ...kr jr+1 ...jn = (n − r)! det
,
..
.
 ...
. . . . .. 
δir k1 δir k2 . . . δir kr
1
εi i ...i Ai j Ai j · · · Ain jn εj1 j2 ...jn .
n! 1 2 n 1 1 2 2
• Задача 26. Пусть A и B — матрицы n × n. Доказать тождества
det(A) =
det(A · B) = det(A) det(B) ,
det(A) = det(AT ) ,
(2.2.10) determ1
(2.2.11) pasve
(2.2.12) determ2
(2.2.13) detAB
1
1
εii ...i Ai j · · · Ain jn εjj2 ...jn .
(2.2.14) detam
(n − 1)! det(A) 2 n 2 2
(обратите внимание на порядок индексов в левой и правой частях).
VRJ
(A−1 )ji =
Указание: для доказательства (2.2.13) воспользоваться равенствами (2.2.10),
(2.2.12), а для доказательства (2.2.14) воспользоваться еще и (2.2.11).
Из формулы (2.2.14), которая определяет элементы обратной матрицы A−1 , следует,
что матрица A — невырождена, тогда и только тогда, когда det(A) ̸= 0.
• Задача 27. Пусть A и B — матрицы n × n, ϵ — малый параметр. Показать,
что
[
]
det(A + ϵB) = det(A) · 1 + ϵTr(A−1 B) + O(ϵ2 ) ,
(2.2.15)
и проверить равенства
∂
det(etA ) = Tr(A) · det(etA )
∂t
⇔
det(etA ) = etTr(A) .
(2.2.16) expsp2
2.2 Матричные группы . . .
28
• Задача 28. Пусть g = ||gij || — матрица n × n. Пользуясь формулами (2.2.12)
и (2.2.14), доказать тождество
∂ det(g)
= det(g) · (g −1 )ji .
∂gij
(2.2.17)
(обратите внимание на порядок индексов в правой части).
VRJ
Пусть A = ||Aik || — матрица n × n, а B = ||Bab || — матрица m × m. Прямым
произведением (A ⊗ B) матриц A и B называется композитная матрица n · m × n · m
с элементами
(A ⊗ B)ia,kb = Aik Bab .
(2.2.18) prpr1
У матрицы (A ⊗ B) матричные индексы становятся двойными: ia и kb, и ее можно
представить в виде блочной (n × n) матрицы


A11 ||Bab || A12 ||Bab || . . . A1n ||Bab ||


 A21 ||Bab || A22 ||Bab || . . . A2n ||Bab || 


(A ⊗ B) = 
(2.2.19) prpr2
 ,
..
..
..


.
.
.
.
.
.


An1 ||Bab || An2 ||Bab || . . . Ann ||Bab ||
где каждый блок имеет размер m × m.
• Задача 29. Пусть A и C — матрицы n × n, а B и D — матрицы m × m.
Пользуясь представлением (2.2.19) получить правило произведения двух
матриц (A ⊗ B) и (C ⊗ D):
(A ⊗ B) · (C ⊗ D) = (A · C ⊗ B · D) .
(2.2.20) prvect6
Для четномерной (2n × 2n) кососимметричной матрицы B = −B T кроме детер- VRJ до
конца раздела
минанта и следа можно определить еще одну важную характеристику:
Pf(B) =
1 ∑
εi1 i2 i3 i4 ...i2n−1 i2n Bi1 i2 Bi3 i4 . . . Bi2n−1 i2n ,
2n n! i ,...,i
1
(2.2.21) pfaf
2n
которая называется пфаффианом. Так как матрица B кососимметрична, пфаффиан
(2.2.21) обладает очевидным свойством
Pf(B T ) = (−1)n Pf(B) .
(2.2.22) pfaf71
Утверждение 2.2.1 Пусть A – произвольная матрица (2n × 2n) и B – кососимметричная невырожденная матрица (2n × 2n), тогда для матриц A и B выполня- ISA
ются тождества:
det(A) · Pf(B) = Pf(A · B · AT ) ,
(2.2.23) pfaf77
det(B) = [Pf(B)]2 .
(2.2.24) pfaf55
2.2 Матричные группы . . .
29
Доказательство. Воспользуемся формулами (2.2.10) и (2.2.21), в результате получаем тождество (2.2.23):
det(A) · Pf(B) = 2n1n! εi1 i2 ...i2n (Ai1 j1 Ai2 j2 · · · Ai2n j2n )Bj1 j2 Bj3 j4 · · · Bj2n−1 j2n =
= 2n1n! εi1 i2 ...i2n (Ai1 j1 Bj1 j2 Ai2 j2 ) · · · (Ai2n−1 j2n−1 Bj2n−1 j2n Ai2n j2n ) = Pf(A · B · AT ) .
(2.2.25) pfaf8p
Перейдем теперь к доказательству тождества (2.2.24). Прежде всего отметим,
что любая четномерная кососимметричная невырожденная матрица B представима
в виде
B = Q · J · QT ,
(2.2.26) marazm
где Q — некоторая (2n × 2n) матрица, а J – стандартная кососимметричная блочная
матрица
(
)
0 In
J=
.
(2.2.27) pfaf54
−In 0
Здесь 0 обозначает нулевую (n × n) матрицу. Из представления (2.2.26) следует, что
det(B) = det2 (Q) det(J) ,
(2.2.28) pfaf51
а с учетом (2.2.23) мы получаем
Pf(B) = Pf(Q · J · QT ) = det(Q) Pf(J) .
(2.2.29) pfaf52
∑
Записав элементы матрицы (2.2.27) в виде Jij = np=1 (δp,i δn+p,j −δn+p,i δp,j ) и подставив
их в определения (2.2.10), (2.2.21), легко посчитать:
det(J) = 1 , Pf(J) = (−1)n(n−1)/2 .
Тогда равенства (2.2.28) и (2.2.29) вместе дают (2.2.24).
Следствие. Учитывая свойство (2.2.22), перепишем равенство (2.2.23) для невырожденной кососиммеричной матрицы B следующим образом:
det(B) · Pf(B −1 ) = (−1)n Pf(B) .
(2.2.30) pfaf53
Из сравнения этого равенства с (2.2.24) вытекает тождество
Pf(B −1 ) = (−1)n [Pf(B)]−1 .
2.2.3
Матричные группы и группы линейных преобразований GL и SL.
Пусть T – линейный оператор, действующий в линейном пространстве Vn (K). Это
означает, что T переводит каждый вектор ⃗x ∈ Vn (K) в некоторый вектор T ·⃗x ∈ Vn (K)
и при этом мы имеем T (α⃗x + β⃗y ) = α(T · ⃗x) + β(T · ⃗y ), где ⃗x, ⃗y ∈ Vn (K) и α, β ∈ K.
Линейные операторы T будем также называть линейными преобразованиями пространства Vn (K).
2.2 Матричные группы . . .
30
Рассмотрим множество L линейных операторов T , действующих в Vn (K). На множестве L можно определить сложение операторов и умножение их на числа α, β ∈ K
согласно правилу
(αT1 + βT2 ) · ⃗x = α(T1 · ⃗x) + β(T2 · ⃗x) ,
∀⃗x ∈ Vn (K) ,
(2.2.31) Te1al
то есть множество L обладает структурой векторного пространства. Кроме того, на
множестве L можно определить произведение двух операторов T1 и T2 как оператор
(T1 · T2 ), возникающий в результате их последовательного действия:
(T1 · T2 ) · ⃗x = T1 · (T2 · ⃗x) ∀⃗x ∈ Vn (K) .
(2.2.32) Te1
• Задача 30. Показать, что множество всех линейных операторов L, действующих в линейном пространстве Vn (K), с операциями (2.2.31) и (2.2.32)
образует алгебру.
Определение 2.2.4 Множество L линейных операторов, действующих в линейном пространстве Vn (K), снабженное операциями (2.2.31) и (2.2.32), называется
алгеброй линейных операторов в Vn (K).
Зафиксируем базис {⃗ei } (i = 1, . . . , n) в Vn (K). Оператор T переводит ⃗ei в некоторый вектор из Vn (K), который можно снова разложить по базису ⃗ei
T · ⃗ei = ⃗ek Tki ,
Tki ∈ K .
(2.2.33) Te2
Порядок расстановки индексов i, k у коэффициентов Tki в (2.2.33) выбран так, чтобы
из определения (2.2.32) для произведения (T1 · T2 ) операторов T1 и T2 следовало
стандартное правило произведения для матриц их коэффициентов
(T1 · T2 )ki = (T1 )kj (T2 )ji .
(2.2.34) Te3
Действительно, мы имеем равенства
(T1 · T2 ) · ⃗ei = ⃗ek (T1 · T2 )ki ,
(T1 · T2 ) · ⃗ei = T1 · (T2 · ⃗ei ) = T1 · ⃗ej (T2 )ji = ⃗ek (T1 )kj (T2 )ji ,
(2.2.35) Te4
и из сравнения правых частей этих равенств следует (2.2.34).
Любой вектор ⃗x ∈ Vn (K) можно разложить по базису {⃗ei } в виде (2.2.2). Для
преобразованного вектора ⃗x ′ = T · ⃗x мы имеем
и его компоненты равны
⃗x ′ = T · ⃗x = (T · ⃗ek ) xk = ⃗ei Tik xk ,
(2.2.36) Te6b
x′i = (T · ⃗x)i = Tik xk .
(2.2.37) Te6
Таким образом, для фиксированного базиса в Vn (K), каждому линейному оператору
T в Vn (K) ставится в соответствие n × n матрица ||Tij ||. И наоборот, любая n × n
матрица T = ||Tij || определяет согласно (2.2.33) и (2.2.37) линейный оператор в nмерном векторном пространстве Vn (K).
2.2 Матричные группы . . .
31
• Задача 31. Доказать, что при линейном преобразовании базиса в Vn (K)
⃗ei ′ = ⃗ej Sji ,
(2.2.38) Te6ba
где Sji ∈ K и det(||Sji ||) ̸= 0, матрица линейного оператора T в новом
базисе {⃗ei ′ } будет иметь вид
Tik ′ = (S −1 )im Tmj Sjk .
(2.2.39) Te6a
Почему матрица ||Sij || преобразования (2.2.38) должна быть невырожденной?
Определение 2.2.5 Линейный оператор T ∈ L называется невырожденным, если
из T · ⃗x = 0 следует, что ⃗x = 0.
• Задача 32. Доказать, что T — невырожденный оператор, если и только если
он обратим. Показать, что в любом базисе матрица ||Tij || невырожденного
оператора T невырождена, т.е. det(||Tij ||) ̸= 0, и наоборот.
Рассмотрим подмножество GL в L, состоящее из всех невырожденных линейных
операторов, которые действуют в векторном пространстве Vn (K). Очевидно, что GL
образует группу относительно умножения, введенного в (2.2.32). Группа GL может
рассматриваться как группа ”симметрий” пространства Vn (K), так как элементы этой
группы переводят пространство Vn (K) в пространство Vn (K). Cоответствие (2.2.33)
линейных операторов и матриц устанавливает изоморфизм группы GL и группы
GL(n, K) всех невырожденных (n × n) матриц с элементами из K. Поэтому в дальнейшем эти группы будут отождествляться. Группы GL(n, C) и GL(n, R) уже рассматривались в разделе 2.1.1 в качестве примеров.
В группе GL(n, K) можно выделить подгруппу SL(n, K) специальных линейных
операторов, то есть таких операторов T , которым соответствуют матрицы ||Tij ||,
удовлетворяющие условию det(T ) = 1. Заметим, что это условие не зависит от выбора
базиса в Vn (K) в силу соотношений (2.2.39).
Определение 2.2.6 Группа с невырожденными матрицами в качестве элементов
и матричным умножением в качестве группового умножения называется матричной группой.
Группы линейных операторов SL(n, K) и GL(n, K), группы O(n) и SO(n), рассмотренные в разделе 2.1 – примеры матричных групп.
2.2.4
Матричные группы, связанные с билинейными и эрмитовыми формами.
Итак, матричная группа – это всегда подгруппа одной из групп GL(n, C) или GL(n, R).
Для описания важных матричных групп необходимо снабдить векторное пространство Vn (C) дополнительными структурами, инвариантность которых относительно
ISA
2.2 Матричные группы . . .
32
преобразований (2.2.33) и (2.2.36) будет выделять эти подгруппы. Например, выделение подгруппы SL(n, C) из GL(n, C) связано с требованием инвариантности специальной структуры, заданной на Vn (C), которая называется внешним произведением
n векторов ⃗xi ∈ Vn (C) (i = 1, 2, . . . , n). Явное определение внешнего произведения n
векторов — следующее:
⃗x1 ∧ ⃗x2 ∧ · · · ∧ ⃗xn ≡ εi1 i2 ...in (⃗x1 )i1 (⃗x2 )i2 · · · (⃗xn )in ,
(2.2.40) wedge
где εi1 i2 ...in – компоненты полностью антисимметричного ε-тензора (2.2.7), (2.2.8),
(⃗xi )j – j-я компонента вектора ⃗xi .
• Задача 33. Доказать, что условие инвариантности внешнего произведения (2.2.40)
относительно действия (2.2.36) линейного оператора T
(T · ⃗x1 ) ∧ (T · ⃗x2 ) ∧ · · · ∧ (T · ⃗xn ) = ⃗x1 ∧ ⃗x2 ∧ · · · ∧ ⃗xn ,
∀⃗xi ∈ Vn (C) ,
эквивалентно равенству det(||Tij ||) = 1, где ||Tij || – матрица оператора T .
Для вещественного случая внешнее произведение (2.2.40) c точностью до знака
равно объему n-мерного параллелепипеда, построенного по n векторам ⃗xi ∈ Rn . Поэтому группа SL(n, R) — это группа, которая сохраняет объемы всех таких n-мерных
параллелепипедов в Rn .
Для выделения других подгрупп из группы GL(n, C) рассмотрим дополнительные
структуры на Vn (C), которые называются билинейными и эрмитовыми формами.
Определение 2.2.7 Функция f (⃗x, ⃗y ) ∈ C, где ⃗x, ⃗y ∈ Vn (C), называется билинейной
формой на пространстве Vn (C), если
f (α⃗x + β⃗z, ⃗y ) = αf (⃗x, ⃗y ) + βf (⃗z, ⃗y ) ,
f (⃗x, α⃗y + β⃗z) = αf (⃗x, ⃗y ) + βf (⃗x, ⃗z) ,
где α, β ∈ C. Билинейная форма f (⃗x, ⃗y ) невырождена, если из условия f (⃗x, ⃗y ) = 0,
∀⃗y ∈ Vn (C), следует ⃗x = 0, а из условия f (⃗x, ⃗y ) = 0, ∀⃗x ∈ Vn (C), следует ⃗y = 0.
Пусть {⃗ei } – базис в Vn (C). Тогда, пользуясь разложением (2.2.2), мы получаем
f (⃗x, ⃗y ) = xi Gij yj ,
Gij = f (⃗ei , ⃗ej ) .
(2.2.41) Te7a
• Задача 34. Доказать, что форма f (⃗x, ⃗y ) невырождена, если невырождена матрица G, и наоборот.
Билинейные формы fS и fA называются симметричными и антисимметричными
(или кососимметричными), соответственно, если
fS (⃗x, ⃗y ) = fS (⃗y , ⃗x) , fA (⃗x, ⃗y ) = −fA (⃗y , ⃗x) .
(2.2.42) sas
Множество билинейных форм образует векторное пространство. Любую билинейную
форму f (⃗x, ⃗y ) можно представить в виде суммы симметричной fS и антисимметричной fA билинейных форм
fS (⃗x, ⃗y ) =
1
[f (⃗x, ⃗y ) + f (⃗y , ⃗x)] ,
2
fA (⃗x, ⃗y ) =
1
[f (⃗x, ⃗y ) − f (⃗y , ⃗x)] .
2
2.2 Матричные группы . . .
33
Для этих форм, пользуясь разложением (2.2.2), мы получаем
fS (⃗x, ⃗y ) = xi gij yj ,
fA (⃗x, ⃗y ) = xi cij yj ,
g = 12 (G + GT ) ,
c = 12 (G − GT ) ,
где
gij = fS (⃗ei , ⃗ej ) = gji , cij = fA (⃗ei , ⃗ej ) = −cji .
(2.2.43) Te7b
(2.2.44) Te7c
Требование невырожденности форм fS (⃗x, ⃗y ) и fA (⃗y , ⃗x) эквивалентно невырожденности матриц ||gij || и ||cij ||, откуда, в частности, следует, что форма fA (⃗y , ⃗x) может
быть невырожденной только в четно-мерных пространствах.
• Задача 35. Доказать, что нечетно-мерная кососимметричная матрица ||cij ||
всегда вырождена.
Симметричную билинейную форму в Vn (K) иногда называют скалярным произведе- ISA новая фраза
нием в Vn (K), а невырожденную антисимметричную билинейную форму в Vn (K) —
симплектической формой в Vn (K).
Рассмотрим линейный оператор T в Vn (C), действие которого на произвольный
вектор ⃗x ∈ Vn (C) дается формулой (2.2.36). Условие инвариантности билинейной
формы f (⃗x, ⃗y ) относительно действия оператора T записывается в виде
f (⃗x, ⃗y ) = f (T · ⃗x, T · ⃗y ) ,
∀⃗x, ⃗y ∈ Vn (C) ,
(2.2.45) Te8
и сводится к инвариантности базисных билинейных форм f (⃗ei , ⃗ej ) = f (T · ⃗ei , T · ⃗ej ),
что согласно (2.2.33) эквивалентно соотношениям
Gij = Tki Gkm Tmj
⇒
G = TT · G · T .
(2.2.46) Te7
Утверждение 2.2.2 Множество OG невырожденных комплексных (n × n) матриц ||Tij ||, удовлетворяющих соотношению (2.2.46) c некоторой ненулевой матрицей ||Gij ||, образует подгруппу в матричной группе GL(n, C).
Доказательство. Пусть невырожденные матрицы T1 , T2 принадлежат OG , т.е. удовлетворяют (2.2.46). Тогда невырожденная матрица (T1 ·T2 ) также принадлежит OG :
(T1 · T2 )T · G · (T1 · T2 ) = T2T · (T1T · G · T1 ) · T2 = T2T · G · T2 = G .
Единичная матрица In очевидно содержится в OG . Наконец, если T ∈ OG , то, умножая (2.2.46) слева на (T T )−1 и справа на T −1 , мы получаем (T −1 )T · G · T −1 = G, т.е.
T −1 также содержится в OG .
Заметим, что условие (2.2.46) можно переписать как систему двух соотношений
(G + GT ) = T T · (G + GT ) · T ,
(G − GT ) = T T · (G − GT ) · T ,
(2.2.47) Te77
и если G не обладает специальными свойствами симметрии, то множество матриц
OG (2.2.46) есть пересечение двух множеств Og и Oc , где g – симметричная, а c –
кососимметричная матрицы, определяющие, согласно (2.2.44), симметричную и антисимметричную части билинейной формы f . Из общего Утверждения 2.2.2 следует,
2.2 Матричные группы . . .
34
что множества Og и Oc также образуют группы, а их пересечение Og ∩ Oc дает, вообще говоря, весьма специальную матричную подгруппу OG в Og и в Oc . В дальнейшем
мы в основном будем обсуждать примеры более общих групп Og и Oc , которые связаны с инвариантностью симметричной fS или антисимметричной fA билинейных
форм.
Отметим, что в случае симметричных билинейных форм инвариантность (2.2.45)
для произвольных ⃗x, ⃗y эквивалентна условию fS (⃗x, ⃗x) = fS (T · ⃗x, T · ⃗x), ∀⃗x ∈ Vn (C).
Это следует из очевидного соотношения
2 fS (⃗x, ⃗y ) = fS (⃗x + ⃗y , ⃗x + ⃗y ) − fS (⃗x, ⃗x) − fS (⃗y , ⃗y ) .
(2.2.48) mapa11b
Изложенная выше конструкция прямо переносится на вещественный случай, когда в качестве векторного пространства фигурирует Vn (R), матрица ||Gij || вещественна, а группа OG состоит из вещественных матриц, OG ⊂ GL(n, R). Утверждение 2.2.2 справедливо и в этом случае.
В комплексных векторных пространствах Vn (C) можно определить дополнитель- ISA
Переписал
ную структуру fH (⃗x, ⃗y ), которая называется эрмитовой формой. Инвариантность эр- фразу
митовых форм также приводит к возникновению содержательных примеров матричных групп.
Определение 2.2.8 Функция fH (⃗x, ⃗y ) ∈ C, где ⃗x, ⃗y ∈ Vn (C), называется эрмитовой формой на пространстве Vn (C), если эта функция линейна по второму аргументу:
fH (⃗x, α⃗y + β⃗z) = α fH (⃗x, ⃗y ) + β fH (⃗x, ⃗z) ,
(2.2.49) hers1
и удовлетворяет свойству эрмитовости (ср. с (2.2.42))
fH (⃗x, ⃗y ) = fH∗ (⃗y , ⃗x) .
(2.2.50) hers
Из свойств (2.2.49) и (2.2.50) следует антилинейность (сопряженная линейность) fH
по первому аргументу:
fH (α⃗x + β⃗y , ⃗z) = α∗ fH (⃗x, ⃗z) + β ∗ fH (⃗y , ⃗z) .
(2.2.51) hers2
Матрица ||Hij || базисных эрмитовых форм Hij = fH (⃗ei , ⃗ej ) в силу соотношения
(2.2.50) удовлетворяет условию эрмитовости H† = H. С помощью матрицы ||Hij ||
эрмитова форма представляется в виде fH (⃗x, ⃗y ) = x∗i Hij yj . Инвариантность эрмитовой формы fH (⃗x, ⃗y ) относительно действия оператора T
fH (⃗x, ⃗y ) = fH (T · ⃗x, T · ⃗y )
⇔
fH (⃗ei , ⃗ej ) = fH (T · ⃗ei , T · ⃗ej ) ,
сводится согласно (2.2.33) к обобщенному соотношению унитарности для матриц
||Tij ||:
(2.2.52) Te7u
Hij = Tki∗ Hkm Tmj ⇒ H = T † · H · T ,
(при H = In мы имеем стандартное условие унитарности In = T † · T ).
Утверждение 2.2.3 Множество UH невырожденных комплексных (n×n) матриц
||Tij ||, удовлетворяющих соотношению (2.2.52), где ||Hij || – некоторая эрмитова
матрица, образует подгруппу в матричной группе GL(n, C).
Доказательство. Аналогично доказательству Утверждения 2.2.2.
2.2 Матричные группы . . .
2.2.5
35
Матричные группы O, Sp и U типов.
Используя инвариантность симметричных и антисимметричных билинейных форм, а
также эрмитовых форм, в дополнение к сериям групп GL(n, C) и SL(n, C), мы приходим к определению серий классических групп, которые называются ортогональными ISA ред.
правка
(O), симплектическими (Sp) и унитарными (U ), соответственно.
A. Группы комплексных ортогональных матриц O(n, C) и SO(n, C).
Множество комплексных матриц OG , удовлетворяющих (2.2.46), где G = In , т.е.
множество ортогональных матриц
OT · O = In ,
(2.2.53) Te7o
образует ортогональную группу O(n, C). Подмножество ортогональных матриц, удовлетворяющих (2.2.53), и таких, что det(O) = +1, образует группу специальных
ортогональных матриц SO(n, C), которая является подгруппой в O(n, C).
• Задача 36. Доказать, что все группы комплексных матриц OG , удовлетворяющих (2.2.46), где G – невырожденная симметричная (n × n) матрица,
изоморфны группе O(n, C). Указание: воспользоваться тем, что с помощью комплексного преобразования (2.2.38) базис в Vn (C) всегда приводится к ортонормированному виду относительно скалярного произведения (2.2.41) (невырожденная n × n симметричная матрица ||Gij ||
всегда приводится к виду ||Gij || = diag(1, 1, . . . , 1)).
В качестве примера, иллюстрирующего утверждение Задачи 36, рассмотрим группу
OG комплексных (n × n) матриц, удовлетворяющих (2.2.46), где
(
)
Ip
0
G=
≡ Ip,q , n = p + q .
(2.2.54) HJ
0 −Iq
e таких, что
То есть, рассмотрим множество OIp,q комплексных матриц O
eT · Ip,q · O
e = Ip,q .
O
(2.2.55) Te7co
Комплексная группа OIp,q изоморфна группе O(n, C) и этот изоморфизм устанавливается соотношениями
(
)
Ip
0
−1
e
,
(2.2.56) GJ
O = Sp,q · O · Sp,q , Sp,q =
0 i Iq
e ∈ OIp,q и O ∈ O(n, C).
где O
B. Группы комплексных симплектических матриц Sp(2r, C).
Пусть J – специальная невырожденная кососимметричная (2r×2r) матрица, которую
удобно представить в виде блочной (2 × 2) матрицы
)
(
0 Ir
.
(2.2.57) Te9
J=
−Ir 0
2.2 Матричные группы . . .
36
Здесь 0 обозначает нулевую (r × r) матрицу. Множество OJ комплексных (2r × 2r)
матриц T , удовлетворяющих условию (2.2.46) с G = J:
(
(
)
)
0 Ir
0 Ir
T
T ·
·T =
,
(2.2.58) Te7sp
−Ir 0
−Ir 0
образует симплектическую группу Sp(2r, C).
• Задача 37. Доказать, что все группы Oc комплексных матриц, удовлетворяющих (2.2.46), где G = c – любая невырожденная кососимметричная
(2r × 2r) матрица, изоморфны группе Sp(2r, C). Указание: воспользоваться тем, что любая кососимметричная четномерная 2r × 2r невырожденная матрица ||cij || записывается в виде c = Q · J · QT (смотри
(2.2.26)), где J задана в (2.2.57), а матрица Q невырождена.
• Задача 38. Установить изоморфизм групп Sp(2, C) = SL(2, C).
• Задача 39. Доказать, что любая симплектическая матрица T , удовлетворяющая соотношению (2.2.58), имеет единичный детерминант det(T ) = 1.
Указание: вычислить пфаффиан от обеих частей (2.2.58) и воспользоваться тождеством (2.2.23).
C. Группы комплексных псевдо-унитарных матриц U (p, q) и SU (p, q).
Множество UH комплексных (n × n) матриц U , удовлетворяющих (2.2.52), где в качестве H выбрана матрица Ip,q (2.2.54):
(
)
(
)
Ip
0
Ip
0
†
U ·
·U =
,
(2.2.59) Te7uu
0 −Iq
0 −Iq
образует псевдо-унитарную группу U (p, q). Матрицы U , подчиняющиеся условию
(2.2.59), называются псевдо-унитарными. Подмножество псевдо-унитарных матриц
U таких, что det(U ) = 1, образует в U (p, q) подгруппу специальных псевдо-унитарных
матриц, которая обозначается SU (p, q). Группы SU (p, n − p), как и группа SL(n, R),
являются подгруппами в SL(n, C).
• Задача 40. Доказать, что любая группа комплексных матриц UH , удовлетворяющих (2.2.52), где H – некоторая невырожденная эрмитова (n × n) матрица, изоморфна одной из групп U (p, n − p). Указание: воспользоваться
тем, что невырожденная n × n эрмитова матрица ||Hij || с помощью
унитарного преобразования всегда приводится к диагональной матрице с вещественными диагональными элементами.
Отметим, что любую комплексную матрицу U ∈ U (p, q) можно представить в виде
U = (X + iY ), где X и Y – две вещественные матрицы, которые в силу условий
(2.2.59) должны удовлетворять соотношениям
X T Ip,q X + Y T Ip,q Y = Ip,q ,
X T Ip,q Y − Y T Ip,q X = 0 .
2.2 Матричные группы . . .
37
Эти соотношения можно записать в виде одного условия
(
)T (
)(
) (
)
X Y
Ip,q 0
X Y
Ip,q 0
=
−Y X
0 Ip,q
−Y X
0 Ip,q
(2.2.60) Te10
на вещественные (2p + 2q) × (2p + 2q) матрицы.
D. Унитарные группы U (n) и SU (n).
В частном случае, когда p = n, q = 0 (или p = 0, q = n), из группы U (p, q) мы
получаем группу U (n) = U (n, 0) = U (0, n) унитарных матриц U :
U † · U = In .
При дополнительном условии det(U ) = 1 из группы U (n) выделяется подгруппа
SU (n) = SU (n, 0) = SU (0, n) специальных унитарных матриц.
E. Проективные псевдо-унитарные P SU (p, q) и проективные линейные
P SL(n, K) группы.
В группе SU (p, q), где p + q = n, имеется конечная инвариантная подгруппа матриц
(
)
2πk
Uk = exp i
In (k = 0, 1, . . . , n − 1) .
(2.2.61) psu
n
Действительно, матрицы Uk удовлетворяют (2.2.59) и det(Uk ) = 1, то есть Uk ∈
SU (p, q). Эта подгруппа изоморфна Zn и образует центр в SU (p, q). Фактор-группа
SU (p, q)/Zn называется проективной псевдо-унитарной группой и обозначается P SU (p, q).
• Задача 41. В группе U (p, q) (p + q = n) имеется инвариантная подгруппа матриц, имеющих вид U = exp(iϕ) In , где ϕ ∈ R. Эта подгруппа изоморфна
U (1). Доказать, что
U (p, q)/U (1) = SU (p, q)/Zn = P SU (p, q) .
Группа Zn матриц (2.2.61) образует центр также и в специальной линейной группе
SL(n, C), которая включает в себя SU (p, q) как подгруппу. Фактор группа SL(n, C)/Zn
называется проективной комплексной линейной группой и обозначается P SL(n, C).
У вещественных четномерных групп SL(2n, R) также имеется нетривиальный центр
Z2 = {I2n , −I2n }, а соответствующие фактор-группы SL(2n, R)/Z2 называются проективными вещественными линейными группами и обозначаются P SL(2n, R).
F. Вещественные Sp(2r, R) и унитарные U Sp(2r)(= Sp(r)) симплектические
группы. Группы Sp(p, q).
В группе Sp(2r, C) комплексных симплектических 2r × 2r матриц (см. пункт B.)
имеется несколько важных подгрупп. Первая подгруппа Sp(2r, R) – это множество
вещественных 2r ×2r матриц T , удовлетворяющих условию (2.2.58). Вторая подгруппа USp(2r) – это множество комплексных 2r × 2r матриц T , удовлетворяющих как
условию симплектичности (2.2.58), так и условию унитарности T † · T = In , поэтому
USp(2r) = Sp(2r, C) ∩ U (2r).
2.2 Матричные группы . . .
38
В Sp(2r, C) имеется также еще целая серия подгрупп, которые обозначаются
Sp(p, q) (здесь p + q = r). Эти группы определяются как множества комплексных
2r ×2r матриц T , удовлетворяющих одновременно условию симплектичности (2.2.58)
и условию псевдо-унитарности
(
)
(
)
Ip,q
0
Ip,q
0
†
T ·
·T =
,
(2.2.62) su-pq
0 Ip,q
0 Ip,q
где матрица Ip,q определена в (2.2.54). Соотношение (2.2.58) выделяет группу Sp(2r, C),
а (2.2.62) – группу U (2p, 2q)), поэтому Sp(p, q) = Sp(2r, C) ∩ U (2p, 2q). Очевидно, что
Sp(r, 0) = Sp(0, r) = USp(2r), поэтому группа USp(2r) унитарных симплектических
2r × 2r матриц иногда обозначается просто как Sp(r).
• Задача 42. Установить изоморфизм USp(2) = SU (2).
Определим группу Sp′ (p, q), где p+q = r, как множество комплексных 2r ×2r матриц
T , удовлетворяющих одновременно условию псевдо-унитарности (2.2.62) и нестандартному условию симплектичности (ср. с (2.2.58))
(
)
(
)
0 Ip,q
0 Ip,q
T
T ·
·T =
.
(2.2.63) sp-pq
−Ip,q
0
−Ip,q
0
• Задача 43. *6 Установить изоморфизм Sp′ (p, q) = Sp(p, q).
G. Группы вещественных псевдо-ортогональных матриц O(p, q), SO(p, q) и
P SO(p, q).
Множество вещественных (n × n) матриц O ∈ OG , удовлетворяющих (2.2.46), где
G = Ip,q (2.2.54) и n = p + q, т.е. множество матриц, подчиняющихся условиям
(
)
(
)
Ip
0
Ip
0
T
O ·
·O =
,
(2.2.64) Te7po
0 −Iq
0 −Iq
образует псевдо-ортогональную группу O(p, q). Подмножество псевдо-ортогональных
матриц (2.2.64) таких, что det(O) = 1 образует подгруппу SO(p, q) ⊂ O(p, q) специальных псевдо-ортогональных матриц.
• Задача 44. Доказать, что группа вещественных матриц OG , удовлетворяющих (2.2.46), где G = diag(ϵ1 , . . . , ϵn ) и ϵi > 0 (i = 1, . . . , p), ϵj < 0
(j = p + 1, . . . , n), изоморфна группе O(p, n − p). Указание: рассмотреть преобразование подобия O → D · O · D−1 для матриц O ∈ OG с
диагональными вещественными матрицами D.
• Задача 45. Доказать, что любая группа вещественных матриц OG , удовлетворяющих (2.2.46), где G – некоторая невырожденная вещественная симметричная (n × n) матрица, изоморфна одной из групп O(p, n − p). Указание:
воспользоваться тем, что с помощью ортогонального преобразования
невырожденная вещественная симметричная n × n матрица ||Gij ||
всегда приводится к диагональному виду.
6
Решения задач, которые помечены звездочкой, даны в конце книги, см. Приложение 1.
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
39
Вещественные группы O(p, n − p) являются подгруппами в O(n, C). Точнее, согласно изоморфизму O(n, C) = OIp,n−p (2.2.56), в группе O(n, C) содержится подгруппа,
изоморфная O(p, n − p). Соответственно группы SO(p, n − p) можно рассматривать
как подгруппы в SO(n, C).
Отметим также, что группы U (p, q) псевдоунитарных матриц (2.2.59) всегда вкладываются как подгруппы в группу псевдоортогональных матриц O(2p, 2q). Вложение, в соответствии с (2.2.60), задается соотношениями:
(
)
X Y
U = (X + i Y ) ∈ U (p, q) ⇒
∈ O(2p, 2q) .
(2.2.65) TeUO
−Y X
При этом надо учесть, что множество всех вещественных матриц O, удовлетворяющих соотношениям
)
(
(
)
Ip,q 0
Ip,q 0
T
,
(2.2.66) Te10a
O=
O
0 Ip,q
0 Ip,q
образует группу, изоморфную группе O(2p, 2q).
• Задача 46. Установить изоморфизм группы O(2p, 2q) и группы вещественных
матриц O, удовлетворяющих условию псевдо-ортогональности (2.2.66). Указание: смотри результат Задачи 43.
В группе SO(p, q), где p + q – четное число, имеется центр Z2 = {Ip+q , −Ip+q }.
Поэтому мы можем определить фактор-группу SO(p, q)/Z2 = P SO(p, q), которая
называется проективной псевдоортогональной группой.
H. Группы O(n) и SO(n) вещественных ортогональных матриц.
В частном случае, когда p = n, q = 0 или p = 0, q = n, из псевдо-ортогональной
группы O(p, q) получается уже известная нам группа O(n) = O(n, 0) = O(0, n) ортогональных вещественных матриц O = ||Oij ||, т.е. таких матриц, что
OT · O = In , Oij ∈ R .
При наложении дополнительного условия det(O) = +1 из группы O(n) выделяется
вещественная подгруппа SO(n) = SO(n, 0) ⊂ O(n) специальных ортогональных матриц. Отметим, что с помощью формулы (2.2.60), где q = 0, унитарную группу U (p)
всегда можно вложить в ортогональную группу O(2p).
I. Группы Лоренца и анти-де Ситтера.
В случае, когда p = 1, q = n − 1 (или p = n − 1, q = 1), группа O(1, n − 1) называется
группой Лоренца n-мерного пространства, а группа SO(1, n − 1) – собственной группой Лоренца n-мерного пространства. Важным частным случаем является группа
Лоренца четырехмерного пространства O(1, 3). Группа O(2, n − 2) называется группой анти-де Ситтера n-мерного пространства, а группа SO(2, n − 2) – собственной
группой анти-де Ситтера n-мерного пространства.
2.3
Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
2.3.1
40
Понятие отображения
Преобразования из групп Cn и Dn , примеры которых рассмотрены в пунктах 5-7
раздела 2.1.1, а также перестановки n чисел {1, 2, 3, . . . , n}, представляющие собой
элементы из группы перестановок Sn , можно рассматривать как различные взаимнооднозначные отображения (2.1.9) из множества {1, 2, 3, . . . , n} в то же самое множество. Эти примеры показывают, что понятие группы тесно связано с понятием
отображения, или точнее с понятием множества отображений.
Понятие отображения является центральным для многих разделов математики.
Математическое понятие отображения (mapping) возникло путем абстрагирования
понятия карты или плана (map) города, местности и т.д. В математике под отображением понимают установление соответствия между элементами исходного множества
X и элементами некоторого другого множества Y (образа). Важное требование для
отображения - это невозможность ставить в соответствие одному элементу исходного
множества X два и более различных элементов из Y (см. рис.2 A.). Действительно,
одному объекту на местности не могут соответствовать две разные точки на карте.
В то же время различным элементам исходного множества X может соответствовать
единственный элемент образа (см. рис.2 B.).
X
Y
*
HH
HH
HH
j
A. Не отображение
X
Y
HH
HH
HH
j
*
B. Отображение
Рис. 2: Соответствие между элементами множеств X и Y .
Вернемся к рассмотрению отображения (2.1.9), где в качестве элементов образа Y ISA ред.
правка
возьмем n различных абстрактных символов {a1 , a2 , . . . , an } = Y . Каждому элементу
из исходного множества X = {1, 2, 3, . . . , n} сопоставляется единственный элемент
из образа Y и наоборот. Такое отображение называется взаимнооднозначным (или
биекцией). Очевидно, что взаимнооднозначное отображение обратимо (достаточно
поменять все стрелки в (2.1.9) на обратные).
Рассмотрим теперь другое отображение f : X → Y , заданное следующим образом
f:
{1 → a1 , 2 → a1 , 3 → a3 , 4 → a4 , . . . , n → an } .
(2.3.1) ine
Данное отображение не является взаимнооднозначным. Все множество X отображается в Y лишь на подмножество {a1 , a3 , a4 , . . . , an } ⊂ Y , то есть образом f является
подмножество в Y , причем двум разным элементам {1, 2} из X соответствует единственный элемент a1 ∈ Y (см. рис.2 B.). Данное отображение необратимо, т.е. для
f невозможно определить обратное отображение, так как поворот всех стрелок в
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
41
(2.3.1) приводит к необходимости отобразить один элемент из Y в два различных
элемента из X, что запрещено, (см. рис.2 A.).
В дальнейшем мы будем различать отображение ”на” множество Y , когда в качестве образа выступает все множество Y , и отображение ”в” множество Y , когда в
качестве образа выступает некоторое подмножество в Y (это подмножество может ISA ред.
правка
совпадать с Y ). Взаимно-однозначное отображение X на некоторое подмножество Y ′
в Y называется инъекцией из X в Y .
Другой пример отображения дается таблицей умножения (таблицей Кэли) группы D5 (см. раздел 2.1.1). При этом отображении, обозначим его m, паре элементов
из D5 сопоставляется результат их умножения, т.е. единственный элемент из D5 , приведенный в таблице. Таким образом, умножение m представляется как отображение: ISA ред.
правка
m
D5 × D5 → D5 , где в качестве множеств X и Y мы имеем D5 × D5 и D5 , соответственно. Этот пример иллюстрирует то, как можно абстрактно определить умножение
элементов в любом множестве G, а именно, умножение в G задается как отображение m: G × G → G (т.е. двум элементам из G сопоставляется элемент из G).
Множество X называется областью определения или прообразом отображения
X → Y , а множество тех элементов из Y , на которые отображаются элементы из X,
называется областью значений или образом отображения X → Y .
2.3.2
Гомоморфизм. Ядро и образ гомоморфизма.
Отметим еще один, важный для нас тип отображений. Вспомним, что каждому
линейному оператору T , действующему в Vn (C), мы сопоставляли матрицу ||Tij ||
(2.2.33), причем двум операторам T1 и T2 сопоставлялись матрицы ||(T1 )ij || и ||(T2 )ij ||
так, что произведению операторов (T1 · T2 ) сопоставлялось произведение их матриц
(2.2.34). Тем самым было определено отображение ρ из группы линейных невырожденных операторов, действующих в Vn (C), в группу матриц GL(n, C), и для этого
отображения выполнялось важное свойство ρ(T1 · T2 ) = ρ(T1 ) · ρ(T2 ).
Определение 2.3.1 Отображение ρ группы G в другую группу G′ называют
гомоморфизмом, если оно согласовано с групповой операцией, т.е.
ρ(g1 · g2 ) = ρ(g1 ) · ρ(g2 ) ,
(2.3.2) dhom
для всех g1 , g2 ∈ G. В соответствии с Определением 2.1.4 гомоморфное отображение ρ называется изоморфизмом, если оно является взаимнооднозначным отображением из G на всю группу G′ . Изоморфизм группы G на себя называется автоморфизмом. Отображение ρ называется мономорфизмом, если ρ — инъективный гомоморфизм в G′ , и ρ взаимно однозначно отображает G на некоторое подмножество в G′ . Наконец, гомоморфизм ρ группы G на всю группу G′ называется
эпиморфизмом.
Отметим, что при гомоморфизме ρ : G → G′ справедливо равенство
ρ(e) = e′ ,
(2.3.3) vr-add1
где e и e′ – единицы в G и G′ . Это равенство возникает, если соотношение ρ(e) · ρ(e) =
ρ(e), вытекающее из (2.3.2), умножить на [ρ(e)]−1 .
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
42
Примеры.
1. Примером автоморфизма ρ: Dn → Dn может служить отображение элементов
a ∈ Dn , осуществляемое с помощью преобразования: a → ρ(a) = r a r. Действительно,
ρ — гомоморфизм
ρ(a) · ρ(b) = r · a · r2 · b · r = r · a · b · r = ρ(a · b) ∀a, b ∈ Dn ,
и согласно (2.1.2), (2.1.4) и (2.1.5) он обратим и является изоморфизмом
gk → ρ(gk ) = g−k , r → ρ(r) = r .
2. Примером тривиального гомоморфизма служит отображение G → e′ всех элементов группы G в единичный элемент e′ некоторой другой группы G′ .
Пусть отображение ρ: G → G′ – гомоморфизм из группы G в группу G′ . Подмножество Ker(ρ) элементов из G, отображающихся с помощью ρ в единичный элемент
e′ ∈ G′ , называется ядром гомоморфизма ρ. Подмножество элементов Im(ρ) ⊂ G′ , на
которое отображается группа G при отображении ρ, называется образом гомоморфизма ρ.
Утверждение 2.3.1 1.) Образ Im(ρ) гомоморфизма ρ: G → G′ образует подгруппу
в G′ . 2.) Ядро Ker(ρ) гомоморфизма ρ: G → G′ есть инвариантная подгруппа в G.
Доказательство.
1.) Пусть g1′ , g2′ ∈ Im(ρ) ⊂ G′ , тогда ∃g1 , g2 ∈ G такие, что ρ(g1 ) = g1′ и ρ(g2 ) = g2′ .
Отсюда следует, что
g1′ · g2′ = ρ(g1 ) · ρ(g2 ) = ρ(g1 · g2 ) ,
т.е. g1′ · g2′ ∈ Im(ρ). В силу (2.3.3) e′ ∈ Im(ρ). Наконец, положим в (2.3.2) g2 = g1−1 ,
тогда (2.3.2) дает ρ(e) = ρ(g1 ) · ρ(g1−1 ) и, поскольку ρ(e) = e′ , мы получаем
ρ(g1−1 ) = (ρ(g1 ))−1 = (g1′ )−1 ,
т.е. (g1′ )−1 ∈ Im(ρ), если g1′ ∈ Im(ρ).
2.) Пусть k1 , k2 ∈ Ker(ρ) и e′ – единичный элемент в G′ . Из условий ρ(k1 ) = e′ и
ρ(k2 ) = e′ следует ρ(k1 ·k2 ) = ρ(k1 )·ρ(k2 ) = e′ и поэтому k1 ·k2 ∈ Ker(ρ). Кроме того, в
силу (2.3.3) e ∈ Ker(ρ), и если k ∈ Ker(ρ), то k −1 ∈ Ker(ρ). Последнее справедливо,
так как ∀k ∈ Ker(ρ) выполнено
e′ = ρ(e) = ρ(k · k −1 ) = ρ(k) · ρ(k −1 ) = ρ(k −1 ) .
Таким образом, Ker(ρ) – подгруппа в G. Подгруппа Ker(ρ) – инвариантна, т.к. ∀g ∈
G мы имеем
ρ(g · Ker(ρ) · g −1 ) = ρ(g) · e′ · ρ(g −1 ) = ρ(g · g −1 ) = ρ(e) = e′ ,
следовательно, g · Ker(ρ) · g −1 ⊂ Ker(ρ).
Критерий взаимной однозначности гомоморфизма из группы G в группу G′ дается
следующим утверждением.
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
43
Утверждение 2.3.2 Если ядро Ker(ρ) гомоморфизма ρ : G → G′ тривиально, то
ρ – мономорфизм в G ′ , т.е. группа G изоморфна Im(ρ) ⊂ G′ .
Доказательство. Докажем это утверждение от противного. Пусть ядро гомоморфизма ρ тривиально, т.е. состоит только из одного элемента e: ρ(e) = e′ и ∀g ̸= e
мы имеем ρ(g) ̸= e′ , и пусть ρ – не мономорфизм, т.е. ∃g1 , g2 такие, что g1 ̸= g2 и
ρ(g1 ) = ρ(g2 ). Из последнего соотношения следует, что ρ(g1 · g2−1 ) = e′ , т.е. элемент
g1 · g2−1 ∈ Ker(ρ), а из первого мы имеем g1 · g2−1 ̸= e, что противоречит нашему
первоначальному утверждению о тривиальности ядра Ker(ρ).
Следующая Теорема демонстрирует важность группы перестановок Sn при изучении свойств конечных групп.
Теорема 2.3.3 (Кэли) Любая конечная группа G порядка n изоморфна некоторой
подгруппе группы перестановок Sn .
Доказательство. Пусть {g1 , g2 , . . . , gn } – элементы группы G. Для любого элемента
gi ∈ G определим множество элементов {gi · g1 , gi · g2 , . . . , gi · gn }, которое совпадает с
множеством {g1 , g2 , . . . , gn }, но записано в другом порядке. Действительно, из gk ̸= gm
следует, что gi · gk ̸= gi · gm , т.е. все n элементов {gi · g1 , gi · g2 , . . . , gi · gn } разные
и, следовательно, перечисляют изначальный набор {g1 , g2 , . . . , gn }. Таким образом,
каждому элементу gi сопоставляется перестановка
(
)
g
g
g
.
.
.
g
1
2
3
n
p(gi ) = g ·g g ·g g ·g . . . g ·g
(2.3.4) pgi
i
1
i
2
i
3
i
n
n элементов группы G. Тем самым определено отображение p: gi → p(gi ) из G в
группу Sn , которое является гомоморфизмом. Действительно,
(
) (
)
g
g
g
.
.
.
g
g
g
g
.
.
.
g
1
2
3
n
1
2
3
n
p(gi ) · p(gk ) = g ·g g ·g g ·g . . . g ·g
· g ·g g ·g g ·g . . . g ·g
=
i
(
=
1
i
2
i
3
i
gk ·g1
gk ·g2 . . . gk ·gn
gi · gk ·g1 gi · gk ·g2 . . . gi ·gk ·gn
n
k
) (
1
· g g·g
k
1
1
k
2
k
3
g2 . . . gn
gk ·g2 . . . gk ·gn
k
n
)
= p gi gk .
Образ гомоморфизма p (множество перестановок p(gi )) образует подгруппу в Sn .
Эта подгруппа изоморфна G, т.к. тождественная перестановка p(e) является образом
всего лишь одного единичного элемента e ∈ G и ядро отображения p тривиально.
Согласно Утверждению 2.3.2 это означает, что отображение p – мономорфизм.
2.3.3
Точные последовательности.
Можно установить важную связь между инвариантными подгруппами некоторого
набора групп и гомоморфизмами между этими группами.
Рассмотрим последовательность групп и гомоморфизмов
ρ0
ρ1
ρ2
G0 −→ G1 −→ G2 −→ . . .
(2.3.5) exse
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
44
Образы гомоморфизмов ρi будем также обозначать ρi (Gi ), т.е. ρi (Gi ) = Im(ρi ). Последовательность (2.3.5) называется точной, если образ ρi−1 (Gi−1 ) ⊂ Gi совпадает с
ядром ρi : ρi−1 (Gi−1 ) = Ker(ρi ). Другими словами ρi (ρi−1 (Gi−1 )) = e, причем ρi (g) ̸= e,
если g ∈
/ ρi−1 (Gi−1 ).
Примеры.
1.) Если последовательность
λ
e −→ H −→ G
точна, то λ – мономорфизм (см. Определение 2.3.1) из H в G и H изоморфна своему
образу λ(H) ⊂ G. Это следует из того, что ядро Ker(λ) тривиально, т.к. образом e в
H может быть только один элемент, который совпадает с единицей в H. Проиллюстрируем этот факт с помощью диаграммы
λ G
H
e•
-
-
-e
-
eH
G
2.) Аналогично, если последовательность
µ
G −→ G′ −→ e
точна, то образом гомоморфизма µ оказывается вся группа G′ , так как вся группа
G′ принадлежит ядру второго гомоморфизма G′ → e:
G XXµ
X
G′
XX
zP
PP
PP
q
e′
1•e
:
то есть гомоморфизм µ является эпиморфизмом (см. Определение 2.3.1). С учетом
µ
примера 1.) мы заключаем, что если последовательность (e → G −→ G′ → e) точна,
то µ – изоморфизм, то есть одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом.
Из этих двух примеров также вытекает следующий факт.
Утверждение 2.3.4 Пусть последовательность
µ
e −→ H −→ G −→ G′ −→ e
λ
(2.3.6) exsec
точна. Обозначим λ(H) как H ′ . Тогда H = H ′ – инвариантная подгруппа в G и
фактор-группа G/H изоморфна группе G′ . Это утверждение иллюстрируется следующей диаграммой:
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
H
e•
-
eH
λ
45
G PPµ
PP G′ = G/H
-P
P
P
qP
PP
′ PPP
P
e
P
q
P
′
q
P
1•e
H
1
-
1
Доказательство. Поскольку последовательность (2.3.6) точна, группа H изоморфна H ′ (см. Пример 1. выше), и группа H = H ′ должна быть ядром отображения µ.
Согласно Утверждению 2.3.1, ядро H ′ = H образует инвариантную подгруппу в G.
В силу того, что µ(H ′ ) = e′ , где e′ – единичный элемент в G′ , каждый смежный класс
gH ′ ⊂ G, g ∈ G, отображается в единственный элемент µ(g) ∈ G′ :
µ(gH ′ ) = µ(g) · µ(H ′ ) = µ(g) ,
а образы любых двух разных смежных классов gH ′ и g ′ H ′ (т.е. таких, что g −1 g ′ ∈
/H ′ )
не совпадают: µ(g) ̸= µ(g ′ ), т.к. мы имеем
µ(g −1 )µ(g ′ ) = µ(g −1 g ′ ) ̸= e′ .
Итак, µ – взаимнооднозначное отображение из G/H ′ в G′ . Кроме того, µ – отображение на всю группу G′ (см. Пример 2. выше) и это отображение, очевидно, сохраняет
умножение в фактор-группе G/H ′ . Таким образом, отображение µ устанавливает
изоморфизм между множеством смежных классов G/H ′ (фактор-группой G/H ′ ) и
всей группой G′ :
G/H ′ = G′ .
Вспоминая об изоморфизме H = H ′ , мы заключаем, что если последовательность
(2.3.6) точна, то группа G′ изоморфна факторгруппе G/H.
Определение 2.3.2 Группа G называется расширением группы G′ с помощью группы H, если эти группы образуют точную последовательность (2.3.6).
Примеры.
a.) Пусть G′ = C\0 – мультипликативная группа комплексных чисел с исключенным
нулем. Рассмотрим гомоморфизм µ: GL(n, C) → G′ , ставящий в соответствие матрице A ∈ GL(n, C), ее детерминант, т.е. µ(A) = det(A). Поскольку единицей группы G′
является число 1, ядро отображения µ совпадает с подгруппой SL(n, C) ⊂ GL(n, C).
Рассмотрим последовательность гомоморфизмов
µ
e → SL(n, C) −→ GL(n, C) −→ G′ → e ,
λ
(2.3.7) exseq
где λ – вложение группы SL(n, C) в GL(n, C) как подгруппы. По построению последовательность (2.3.7) точна. Следовательно, согласно Утверждениям 2.3.1 и 2.3.4,
SL(n, C) – инвариантная подгруппа в GL(n, C) и GL(n, C)/SL(n, C) = C\0.
b.) Простейший пример расширения группы G′ с помощью группы H дается прямым
произведением этих групп G = G′ × H. Пример a.) — это частный случай такого
расширения. Более сложный пример расширения – полупрямое произведение групп
G′ и H — будет рассмотрен в разделе 2.3.5.
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
2.3.4
46
Группы преобразований. Линейные неоднородные группы.
Рассмотренная выше (см. Раздел 2.1.1, пункты 5-7) интерпретация преобразований
симметрий из групп Cn , Dn и Sn как взаимно-однозначных отображений (2.1.9) позволяет также ввести абстрактное определение симметрий некоторого множества M .
Определение 2.3.3 Преобразованием симметрии (симметрией) множества M
называется взаимно-однозначное и обратимое отображение ϕ: M → M . Если множество M наделено некоторыми структурами (например, структурой векторного пространства, векторного пространства со скалярным произведением, и так
далее), то симметрия ϕ должна сохранять эти структуры.
На множестве GM всех симметрий ϕ: M → M можно определить умножение двух
симметрий ϕ1 и ϕ2 как отображение ϕ1 · ϕ2 , получающееся в результате последовательного применения отображений ϕ2 и ϕ1 . Множество GM с заданной таким образом
операцией умножения образует группу. Действительно, такое умножение ассоциативно, единичный элемент – это тождественное отображение M → M , а в силу однозначности отображения ϕ: M → M обратное отображение ϕ−1 – тоже симметрия
M.
Будем говорить, что группа G действует на множестве M , если имеется отображение F , которое паре элементов g ∈ G и ξ ∈ M сопоставляет элемент η ∈ M :
(2.3.8) mapa1
η = F (g, ξ) ,
причем для единичного элемента e ∈ G и ∀g1 , g2 ∈ G мы имеем
ξ = F (e, ξ) ,
F (g1 , F (g2 , ξ)) = F (g1 · g2 , ξ) ,
∀ξ ∈ M .
(2.3.9) mapa2
Отсюда в частности следует, что F (g −1 , η) = F (g −1 , F (g, ξ)) = ξ, и отображение
M → M (2.3.8) обратимо для всех g ∈ G. Таким образом, каждому элементу g ∈
G ставится в соответствие отображение F (g, .): M → M , которое обратимо. Если
отображения F (g, ·) сохраняют структуры, имеющиеся в M , то F (g, ·) — симметрии
M и G – подгруппа в группе GM всех симметрий M .
Пусть M – векторное пространство Vn (K) и группа G действует на Vn (K). Действие элемента g ∈ G на вектор ⃗x ∈ Vn (K) можно записать в виде, аналогичном
(2.3.8),
⃗x → ⃗x ′ = F⃗ (g, ⃗x) ,
(2.3.10) mapa3a
и, выбирая некоторый базис в Vn (K), действие (2.3.10) можно переписать в виде
преобразований координат
xi → x′i = Fi (g; x1 , . . . , xn ) ≡ Fi (g, ⃗x) ,
(2.3.11) mapa3
где xi и x′i – координаты векторов ⃗x, ⃗x ′ ∈ Vn (K), а Fi (g; x1 , . . . , xn ) – функции от координат вектора ⃗x для каждого фиксированного g ∈ G. Свойства (2.3.9) для функций
Fi (2.3.11) записываются в виде
(
)
Fj (e, ⃗x) = xj , Fj g1 , F⃗ (g2 , ⃗x) = Fj (g1 · g2 , ⃗x) .
(2.3.12) mapa4
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
47
В дальнейшем будем предполагать, что Fi (g; x1 , . . . , xn ) – достаточно гладкие функции от координат {xi } почти во всех точках ⃗x ∈ Vn (K).
Матричные группы G, которые рассматривались в предыдущем разделе 2.2, дают естественные примеры групп, действующих на векторных пространствах Vn (K).
Действие линейных операторов T ∈ G на вектор ⃗x ∈ Vn (K) записывалось как (2.2.36),
или как линейные однородные преобразования координат (см. (2.2.37)):
xi → x′i = Fi (T, ⃗x) = Tik xk .
(2.3.13) mapa6
Для этих преобразований свойства (2.3.12) очевидно выполняются, что следует из
(2.2.34).
Рассмотрим примеры других групп, которые действуют на векторных пространствах Vn (K), но их действие отличается от линейных однородных преобразований
(2.3.13).
Пусть G – группа линейных операторов T , действующих на Vn (K) согласно (2.2.36).
Рассмотрим линейные неоднородные преобразования вида
⃗x → ⃗x ′ = F⃗ (g, ⃗x) ≡ T · ⃗x + ⃗a ,
(2.3.14) mapa7
где ⃗x, ⃗x ′ , ⃗a ∈ Vn (K), T – линейный оператор из G, а символом g мы обозначили пару
(T, ⃗a). Множество пар g = (T, ⃗a) (множество линейных неоднородных преобразований (2.3.14)) образует группу, которая обозначается IG (здесь I – первая буква в
слове ”inhomogeneous”). Умножение элементов g1 = (T1 , ⃗a1 ) и g2 = (T2 , ⃗a2 ) в линейной
неоднородной группе IG определяется как последовательное применение соответствующих преобразований (2.3.14), и мы получаем:
g1 · g2 = (T1 , ⃗a1 ) · (T2 , ⃗a2 ) = (T1 · T2 , T1 · ⃗a2 + ⃗a1 ) .
(2.3.15) mapa8
Единичный элемент e ∈ IG – это пара (In , ⃗0), где In и ⃗0 – соответственно, единичный
оператор и нулевой вектор в Vn (K), а обратный элемент к g = (T, ⃗a) ∈ IG имеет вид
g −1 = (T −1 , −T −1 · ⃗a). Умножение (2.3.15) согласовано с соотношениями (2.3.12) для
вектор-функции F⃗ (2.3.14).
В некотором выбранном базисе в Vn (K) преобразования (2.3.14) переписываются
в координатной форме
xi → x′i = Fi (g, ⃗x) ≡ Tik xk + ai ,
i = 1, . . . , n ,
(2.3.16) mapa5
где ai , xi , x′i – координаты векторов ⃗a, ⃗x, ⃗x ′ ∈ Vn (K), а ||Tik || – матрица линейного
оператора T ∈ G. Теперь умножение (2.3.15) можно записать в матричном виде, если
представить элементы g = (T, ⃗a) ∈ IG как (n + 1) × (n + 1) матрицы ρ(g):


T11 . . . T1n a1
 ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 
(2.3.17) mapa9
g → ρ(g) = 
 ,
 Tn1 . . . Tnn an 
0 ... 0
1
и тем самым задать отображение ρ из группы IG в множество (n+1)×(n+1) матриц.
Тогда умножение (2.3.15) записывается как матричное соотношение
ρ(g1 · g2 ) = ρ(g1 ) · ρ(g2 ) ,
(2.3.18) mapa10
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
48
которое показывает, что отображение ρ – гомоморфизм.
Отметим, что в группе IG, состоящей из преобразований (2.3.14), (2.3.16), имеются две подгруппы. Одна подгруппа соответствует выбору ⃗a = 0 и сводится к однородным преобразованиям (2.3.13) из группы G. Вторая подгруппа T (Kn ) соответствует
выбору T = In и состоит из преобразований
⃗x → ⃗x ′ = F⃗ (g, ⃗x) ≡ ⃗x + ⃗a
xi → x′i = Fi (g, ⃗x) ≡ xi + ai
=⇒
(i = 1, . . . , n) ,
(2.3.19) mapa5b
которые сдвигают все точки пространства Vn (K) одновременно на один и тот же
вектор ⃗a ∈ Vn (K). Таким образом, имеется взаимнооднозначное соответствие между
элементами группы T (Kn ) и векторами ⃗a ∈ Vn (K). Поэтому группу T (Kn ) можно
отождествить с пространством Vn (K) и, так как группа G действует на пространстве
Vn (K), то она естественным образом действует и на группе T (Kn ). Общее преобразование (2.3.14) из группы IG можно рассматривать как композицию двух преобразований, одного из подгруппы G и одного из подгруппы T (Kn ).
Пусть подгруппа Gf ⊂ IGf – это группа преобразований (2.2.36), сохраняющих
билинейную форму f (⃗x, ⃗y ), то есть для T ∈ Gf имеют место равенства (2.2.45). Тогда ISA обозначения
вообще говоря преобразования (2.3.14) из всей группы IGf , уже не будут сохранять G → Gf
форму f (⃗x, ⃗y ), так как мы имеем
f (⃗x ′ , ⃗y ′ ) = f (T · ⃗x + ⃗a, T · ⃗y + ⃗a) = f (⃗x, ⃗y ) + f (T · ⃗x, ⃗a) + f (⃗a, T · ⃗y ) + f (⃗a, ⃗a) .
Однако преобразования (2.3.14) будут сохранять формы типа f (⃗x − ⃗u, ⃗y −⃗v ), определенные на четырех векторах x, y, u, v ∈ Vn (K). Инвариантность таких форм относительно преобразований (2.3.10) можно положить в основу альтернативного определения групп IGf . Отметим, что если билинейная форма f (⃗x, ⃗y ) симметрична, то для
определения группы IGf (множества преобразований (2.3.14)) достаточно потребовать сохранение ”квадрата интервала”
f (⃗x ′ − ⃗y ′ , ⃗x ′ − ⃗y ′ ) = f (⃗x − ⃗y , ⃗x − ⃗y ) ,
∀⃗x, ⃗y ∈ Vn (K) .
(2.3.20) mapa11
В этом случае инвариантность всех форм f (⃗x −⃗u, ⃗y −⃗v ) следует из тождества (2.2.48).
Пример. Группа IO(p, q), где p+q = n, определяется как множество преобразований
вида (2.3.16)
(2.3.21) mapa12a
xk → x′k = Okj xj + ak ,
где вещественная матрица ||Oij || ∈ O(p, q) удовлетворяет условию (2.2.64)
OT · Ip,q · O = Ip,q ,
(2.3.22) mapa12b
и произведение элементов дается формулой (2.3.15). Очевидно, что преобразования
из группы IO(p, q) сохраняют квадрат интервала (2.3.20), для билинейной формы
f (⃗x, ⃗y ) = xk (Ip,q )kj yj =
p
∑
j=1
x j yj −
p+q
∑
j=p+1
xj yj ,
p+q =n.
(2.3.23) mapa12
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
49
В частном
∑случае p = 3, q = 0 матрицы O – ортогональные, и сохраняется квадрат
расстояния 3j=1 (xj − yj )2 . Таким образом, группа IO(3, 0) ≡ IO(3) – это группа
симметрий трехмерного евклидова пространства R3 , в котором нет выделенной точки ISA ред.
правка
начала координат.
В случае p = 1, q = 3 (или p = 3, q = 1) преобразования (2.3.21), (2.3.22) образуют
группу IO(1, 3), которая является группой симметрий четырехмерного пространства
Минковского, называется группой Пуанкаре и играет важнейшую роль в специальной теории относительности и релятивистской физике.
2.3.5
Полупрямое произведение групп.
Итак, преобразования из группы IG построены как композиции преобразований из
двух ее подгрупп – G и T (Kn ), причем подгруппа G действует и на подгруппе T (Kn ).
Рассмотрение линейных неоднородных групп IG приводит нас к конструкции, которая называется полупрямым произведением двух групп. Данная конструкция требует наличия двух групп G и K, а также действия одной группы на другую.
Группа G действует на группе K, если для каждого g ∈ G определено отображение K → K, которое переводит элемент ξ ∈ K в элемент η ∈ K и записывается в
виде (2.3.8), или более кратко
ξ → η = g(ξ) .
(2.3.24) mapa15
При этом должны выполняться свойства (2.3.9), которые в данных обозначениях
имеют вид
ξ = e(ξ) , g1 (g2 (ξ)) = (g1 · g2 )(ξ) ,
(2.3.25) mapa16
а также свойства, которые диктуются групповой структурой K
g(ξ · η) = g(ξ) · g(η) ,
(2.3.26) mapa17
то есть при действии G на K сохраняется умножение в K (отображение (2.3.24) –
гомоморфизм из K в K).
В качестве примера группы K, на которую действует G, рассмотрим инвариантную подгруппу H в группе G, то есть g H g −1 ⊂ H, ∀g ∈ G. Группа G действует на
свою инвариантную подгруппу K = H следующим образом
ξ → η = g(ξ) = g · ξ · g −1 ,
(2.3.27) mapa30
где g ∈ G и ξ, η ∈ H.
• Задача 47. Проверить свойства (2.3.25) и (2.3.26) для действия группы G,
заданного в (2.3.27).
В частном случае можно взять H = G. Тогда (2.3.27) определяет действие группы G
на себя: G → G. В этом случае действие группы G (2.3.27) называется присоединенным.
Отметим, что преобразования G → G (левое и правое умножение):
1.) ξ → η = g(ξ) = g · ξ ,
2.) ξ → η = g(ξ) = ξ · g −1 ,
∀ξ, η, g ∈ G ,
(2.3.28) mapa30b
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
50
удовлетворяют условиям (2.3.25), но не удовлетворяют (в общем случае) условиям
(2.3.26). Поэтому каждое из преобразований (2.3.28) можно рассматривать только
как действие группы G на множество своих элементов, но не как действие группы G
на группу G.
Пусть группа G действует на группу K. Рассмотрим множество G ◃<K всех пар
(g, ξ), где g ∈ G и ξ ∈ K. Определим на этом множестве умножение следующим
образом
(g1 , ξ1 ) · (g2 , ξ2 ) = (g1 · g2 , ξ1 · g1 (ξ2 )) .
(2.3.29) mapa18
Множество G ◃<K относительно умножения (2.3.29) образует группу, которая называется полупрямым произведением групп G и K.
• Задача 48. Проверить выполнение всех аксиом группы для множества G ◃<K
с умножением (2.3.29). В частности проверить, что обратный элемент к
(g, ξ) имеет вид:
(
)
(g, ξ)−1 = g −1 , g −1 (ξ −1 ) .
(2.3.30) mapa18i
Очевидно, что прямое произведение G × K (см. Определение 2.1.11) получается из
G ◃<K в случае тривиального действия G на K, когда g(ξ) = ξ, ∀g ∈ G и ∀ξ ∈ K.
В этом случае умножение (2.3.29) переходит в умножение (2.1.24). Таким образом,
полупрямое произведение двух групп G ◃<K обобщает конструкцию прямого произведения G × K.
Так же как и в случае прямого произведения G × K, у полупрямого произведения
G ◃<K имеются две подгруппы, изоморфные G и K. Группа, изоморфная G, образована парами (g, eK ) (∀g ∈ G), а группа, изоморфная K, образована парами (eG , ξ)
(∀ξ ∈ K), где eK и eG – единицы в группах K и G, соответственно. Однако, в отличие от прямого произведения групп, элементы подгрупп в G ◃<K в общем случае не
коммутируют друг с другом:
(g, eK ) · (eG , ξ) = (g, g(ξ)) ̸= (eG , ξ) · (g, eK ) = (g, ξ) .
Кроме того, в прямом произведении G × K обе подгруппы G и K инвариантны, а в
полупрямом произведении G ◃<K в общем случае инвариантной оказывается только
подгруппа K. Последнее утверждение следует из равенства
(
) (
)
(g, ξ) (eG , η) g −1 , g −1 (ξ −1 ) = eG , ξ · g(η) · ξ −1 , ∀ξ, η ∈ K , ∀g ∈ G .
Замечание. На множестве пар (g, ξ) можно задать отличное от (2.3.29) произведение
)
(
(2.3.31) mapa18R
(g1 , ξ1 ) · (g2 , ξ2 ) = g1 · g2 , g2−1 (ξ1 ) · ξ2 ,
которое определяет другое полупрямое произведение K>▹ G двух групп G и K. Полупрямое произведение K>▹ G обладает теми же свойствами, что и G ◃<K, поэтому
мы не будем его специально рассматривать.
Примеры.
1.) Линейные неоднородные группы IG, рассмотренные в предыдущем подразделе
2.3.4, представляют собой полупрямое произведение G ◃<T (Kn ) матричной группы
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
51
G и группы трансляций T (Kn ) (обе группы действуют на Vn (K)). Это следует из
сравнения формул (2.3.15) и (2.3.29).
2.) В группе диэдра Dn (см. пример 6 в подразделе 2.1.1) имеются две подгруппы
Z2 = {e, r} и Zn = {g0 = e, g1 , . . . gn−1 }. Группа Z2 действует на группе Zn следующим
образом
e(gk ) = gk , r(gk ) = g−k ,
где k = 0, . . . , n − 1. Рассмотрим группу Z2 ◃<Zn как множество, состоящее из пар
(e, gk ) и (r, gm ), с операцией умножения (2.3.29). Зададим взаимно однозначное соответствие между элементами Z2 ◃<Zn и Dn :
(e, gk ) ↔ gk ,
(r, gk ) ↔ gk · r .
Легко проверить, что это соответствие сохраняет умножение в группах Z2 ◃<Zn
и Dn , и следовательно устанавливает изоморфизм Z2 ◃<Zn = Dn . Напомним, что
Dn /Zn = Z2 . Данный пример является частным случаем более общего утверждения,
которое будет рассмотрено в следующем пункте.
3.) Пусть группа G′ действует на группу K. Тогда из этих двух групп с помощью полупрямого произведения можно построить новую расширенную группу G = G′ ◃<K.
λ
Как мы говорили, группу K можно вложить в G c помощью отображения ξ → (eG , ξ),
которое является мономорфизмом. С другой стороны имеется гомоморфизм µ групµ
пы G на всю группу G′ , который для g ∈ G′ задается с помощью отображения (g, ξ) →
µ
g, для всех ξ ∈ K (отображение µ не взаимно однозначно), причем (eG′ , ξ) → eG′ ,
∀ξ ∈ K, то есть подгруппа (eG′ , K) ⊂ G совпадает с Ker(µ). Таким образом мы
имеем точную последовательность (2.3.6)
µ
e → K → G → G′ → e ,
λ
и согласно Определению 2.3.2 группа G = G′ ◃<K является расширением группы
G′ с помощью группы K. При этом из Утверждения 2.3.4 следует, что K — инвариантная подгруппа в G и G′ = G/K.
2.3.6
Конформные группы Conf(Rp,q ).
Определение 2.3.4 Симметричная билинейная форма f (⃗x, ⃗y ) на вещественном
векторном пространстве Vn (R) называется евклидовой (или положительно определенной), если f (⃗x, ⃗x) > 0 для всех ненулевых векторов ⃗x ∈ Vn (R). Если существуют
вектора ⃗x, ⃗y ∈ Vn (R), для которых f (⃗x, ⃗x) > 0 и f (⃗y , ⃗y ) < 0, то форма f (⃗x, ⃗y ) называется псевдоевклидовой. Пространство Vn (R) с евклидовой (псевдоевклидовой)
формой f (⃗x, ⃗y ) называется евклидовым (псевдоевклидовым).
Рассмотрим пространство Vn (R) с псевдоевклидовой формой f (⃗x, ⃗y ) (2.3.23). В
дальнейшем билинейную форму (2.3.23) будем называть скалярным произведением
и использовать для нее стандартное обозначение (⃗x, ⃗y ) ≡ f (⃗x, ⃗y ). Псевдоевклидово пространство Vn (R) с таким скалярным произведением будем обозначать Rp,q . В
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
52
частном случае q = 0, мы получаем из (2.3.23) положительно определенное скалярное
произведение и соответствующее пространство Vp (R) = Rp – евклидово.
Конформная группа Conf(Rp,q ) – это группа преобразований (2.3.11) в пространстве Rp,q , которые сохраняют квадрат интервала (2.3.20) с точностью до масштабного
скалярного фактора7 . В формуле (2.3.11) функции Fi (g, ⃗x) от координат вектора ⃗x
считаются гладкими почти всюду, а g обозначает набор некоторых параметров (см.
ниже). Иначе говоря, инвариантность (2.3.20) заменяется более слабым условием
(⃗x ′ − ⃗y ′ , ⃗x ′ − ⃗y ′ ) = Λ(⃗x, ⃗y ) (⃗x − ⃗y , ⃗x − ⃗y ) ,
(2.3.32) mapa13
где (⃗x, ⃗y ) – скалярное произведение (2.3.23), а Λ(⃗x, ⃗y ) – некоторый масштабный фактор, который не фиксирован.
Ясно, что конформная группа Conf(Rp,q ) содержит преобразования из группы
IO(p, q) (2.3.21), (2.3.22), так как для этих преобразований, согласно (2.3.20), соотношения (2.3.32) выполняются при Λ(⃗x, ⃗y ) = 1. Кроме того, к классу конформных
преобразований в пространстве Rp,q относятся масштабные линейные преобразования
xi → x′i = Fi (λ, ⃗x) = λ xi , λ ∈ R\0 ,
(2.3.33) mapa19
для которых фактор Λ(⃗x, ⃗y ) в правой части (2.3.32) равен λ2 . Наконец к классу конформных преобразований в Rp,q относятся преобразования инверсии в точке ⃗a ∈ Rp,q :
xi → x′i = Fi (⃗a, ⃗x) =
xi − ai
,
(⃗x − ⃗a)2
(2.3.34) mapa20
где (⃗x − ⃗a)2 = (⃗x − ⃗a, ⃗x − ⃗a), при этом фактор Λ(⃗x, ⃗y ) в (2.3.32) равен
Λ(⃗x, ⃗y ) =
1
(⃗x − ⃗a)2 (⃗y − ⃗a)2
.
(2.3.35) mapa20a
Преобразование (2.3.34) отправляет точку ⃗x = ⃗a в бесконечную точку, а бесконечную
точку переводит в начало координат8 . Композиция двух преобразований инверсии
(2.3.34), в точке начала координат ⃗a = ⃗0 и в точке ⃗a = ⃗b, дает преобразование
(
)
xi /⃗x2 − bi
xi − bi⃗x2
xi → x′i = Fi ⃗b, F⃗ (⃗0, ⃗x) =
=
,
(⃗x/⃗x2 − ⃗b )2
(1 − 2(⃗x, ⃗b ) + ⃗b2⃗x2 )
(2.3.36) mapa26
которое называется специальным конформным преобразованием.
Всевозможные композиции преобразований из IO(p, q) (2.3.21), (2.3.22), масштабных преобразований (2.3.33) и преобразований инверсии (2.3.34) образуют полную
конформную группу Conf(Rp,q ) для p + q > 2. Обоснование этого факта (теорема
Лиувилля) будет дано ниже в подразделе 3.2.11.
7
По определению конформные преобразования в евклидовых векторных пространствах – это
преобразования, которые сохраняют углы между векторами.
8
Строго говоря, преобразования инверсии (2.3.34) определены на пополнении пространства Rp,q ,
к которому добавлены все бесконечно удаленные точки, причем все эти точки отождествены.
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
53
Важный вопрос, который часто возникает в физических задачах — это вопрос о
нахождении инвариантов, которые не меняются при всех преобразованиях из конформной группы Conf(Rp,q ). При наличии четырех векторов ⃗xα ∈ Rp,q (α = 1, . . . , 4)
можно построить два независимых перекрестных отношения
x12 x34
x12 x34
,
,
(2.3.37) mapa20b
x13 x24
x14 x23
√
где xαβ = (⃗xα − ⃗xβ )2 , которые инвариантны относительно преобразований (2.3.21),
(2.3.33), (2.3.34), а следовательно и относительно всех конформных преобразований.
Инвариантность отношений (2.3.37) относительно преобразований (2.3.21), (2.3.33)
очевидна. Инвариантность относительно (2.3.34) следует из явного вида фактора
(2.3.35).
Случай группы Conf(Rp,q ) для p + q = 2 особый и требует отдельного рассмотрения. В двумерном пространстве (R1,1 или R2 ) квадрат интервала всегда можно
переписать в виде
(⃗x − ⃗y , ⃗x − ⃗y ) = (x+ − y+ )(x− − y− ) ,
(2.3.38) mapa21
где x± = x1 ± x2 в псевдоевклидовом случае R1,1 и x± = x1 ± i x2 в евклидовом случае
R2 . Рассмотрим преобразования координат вида
x+ → x′+ = F+ (x+ ) ,
x− → x′− = F− (x− ) ,
(2.3.39) mapa22
где F± – любые мероморфные функции такие, что
(F+ (x+ ))∗ = F− (x− )
(для случая R2 ) ,
(F+ (x+ ))∗ = F+ (x+ ) , (F− (x− ))∗ = F− (x− )
(для случая R1,1 ) ,
(2.3.40) mapa27
то есть в последнем случае функции F± – вещественные. Преобразования (2.3.39) являются конформными, так как сохраняют (2.3.38) с точностью до масштабного фактора. Действительно, для достаточно гладких (почти везде) функций F± (x), разность
F± (x)−F± (y) всегда делится на (x−y), поэтому имеем F± (x)−F± (y) = (x−y) Φ± (x, y),
где явный вид функций Φ± нам не важен. Тогда, делая замену (2.3.39) в правой части
квадрата интервала (2.3.38), мы получаем
(⃗x − ⃗y , ⃗x − ⃗y ) = (x+ − y+ )(x− − y− ) −→
−→ (x+ − y+ )(x− − y− ) Λ(⃗x, ⃗y ) = (⃗x − ⃗y , ⃗x − ⃗y ) Λ(⃗x, ⃗y ) ,
(2.3.41) mapa24
где Λ(⃗x, ⃗y ) = Φ+ (x+ , y+ )Φ− (x− , y− ). Таким образом, преобразования (2.3.39) с мероморфными функциями F± (2.3.40) действительно принадлежат конформной группе
Conf(R1,1 ) (или Conf(R2 )). Так как F± – произвольны (с точностью до ограничений
(2.3.40)), то конформные группы в двумерных пространствах – бесконечномерны.
Отметим важный специальный подкласс конформных преобразований (2.3.39),
который образует подгруппу в конформной группе двумерного пространства Conf(Rp,q )
(p + q = 2). Преобразования из этого подкласса называются дробно-линейными и
имеют вид
)
(
a ± x ± + b±
a± b±
′
,
(2.3.42) mapa25
,
g± =
x± → x± = F (g± , x± ) =
c± d±
c± x± + d±
2.3 Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа.
54
∗
где g± – вещественные матрицы в случае Conf(R1,1 ) и g+
= g− в случае Conf(R2 ). Отметим, что вообще говоря в последнем случае нет необходимости писать два дробнолинейных преобразования, так как одно переходит в другое с помощью комплексного
сопряжения. Преобразования (2.3.42) не меняются, если элементы (g± )ij одновременно растянуть g± → µ± g± c помощью ненулевых параметров µ± (µ± – вещественны
для случая R1,1 и µ∗+ = µ− – для случая R2 ). Зафиксируем µ± , положив
det(g± ) = a± d± − b± c± = 1 ,
при этом µ2± = 1 и дискретный проивол g± → −g± в (2.3.42) все же остается.
• Задача 49. Доказать, что в случае R1,1 дробно-линейные преобразования (2.3.42),
затрагивающие только x+ (или только x− ), образуют группу, изоморфную
PSL(2, R) = SL(2, R)/Z2 , a в случае R2 преобразования (2.3.42) образуют группу, изоморфную PSL(2, C) = SL(2, C)/Z2 . Таким образом, имеют
место вложения
PSL(2, R) × PSL(2, R) ⊂ Conf(R1,1 ) , PSL(2, C) ⊂ Conf(R2 ) .
Замечание 1. Отметим, что кроме (2.3.39) конформная группа в двумерном пространстве очевидно содержит еще преобразования
x+ → x′+ = F− (x− ) ,
x− → x′− = F+ (x+ ) ,
(2.3.43) mapa22d
где F± – любые мероморфные функции, удовлетворяющие (2.3.40). Например, преобразование инверсии (2.3.34) в двумерном пространстве записывается в виде
x+ → x′+ =
1
,
x− − a−
x− → x′− =
1
,
x+ − a+
и очевидно принадлежит преобразованиям типа (2.3.43).
Замечание 2. Дробно-линейные преобразования (2.3.42) из группы Conf(R2 ), как
уже отмечалось выше, записываются как одно комплексное преобразование
z → w(z) =
(
az + b
,
cz + d
(2.3.44) mapa25d
)
a b
где z, w ∈ C и A =
∈ SL(2, C). Так как матрицы A и −A обслуживают
c d
одно и то же преобразование (2.3.44), то такие преобразования задают транзитивное
действие (см. (2.3.10)) группы PSL(2, C) на комплексной плоскости z, пополненной
бесконечно удаленной точкой z = ∞. Функция w(z) – обратима и осуществляет однолистное накрытие комплексной плоскости z, при котором точка z = −d/c переходит
в точку w = ∞, а z = ∞ переходит в w = a/c.
Утверждение 2.3.5 Преобразования (2.3.44) переводят окружности в плоскости
z в окружности в плоскости w (включая окружности бесконечного радиуса – прямые).
3 ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ.
55
Доказательство. Преобразование (2.3.44) для c = 0 сводится к преобразованиям
растяжения z → a · z и сдвига z → z + b, которые очевидно переводят окружности
в окружности. Для того, чтобы продемонстрировать это, достаточно представить
окружность радиуса ρ с центром в точке w в виде w + ρeiϕ , где ϕ ∈ [0, 2π]. При c ̸= 0
преобразование (2.3.44), с учетом ad − bc = 1, записывается в виде
(
)
1
1
w(z) =
a−
,
c
cz + d
то есть, представляет собой композицию преобразований сдвига, растяжения и инверсии z → w = −1/z. Остается показать, что преобразования инверсии также переводят окружности в окружности. Произвольная окружность в плоскости z = x + i y
задается уравнением
A(x2 + y 2 ) + Bx + Cy + D = 0 ,
(2.3.45) mapa25s
где x, y, A, B, C, D ∈ R и значение A = 0 соответствует прямой, то есть окружности
с бесконечным радиусом. Положим w = u + iv, где u, v ∈ R, тогда
z = −1/w
⇒
u
v
x=− 2
, y= 2
,
2
u +v
u + v2
и уравнение (2.3.45), определяющее окружность в плоскости z, переходит в уравнение
D(u2 + v 2 ) − Bu + Cv + A = 0 ,
(2.3.46) mapa25r
которое определяет окружность в плоскости w. Таким образом, преобразование инверсии z → w = −1/z действительно переводит окружности в окружности.
Данное Утверждение понадобится нам ниже при обсуждении неевклидовой геометрии Лобачевского в Разделе 6.3.
3
Группы и алгебры Ли.
Матричные группы, рассмотренные в разделе 2.2, обладают свойствами, присущими
гладким пространствам (многообразиям). Непрерывные группы такого типа называются группами Ли. Свойства этих групп можно исследовать методами дифференциальной геометрии. Например, локальные свойства гладких многообразий определяются их касательными пространствами. В случае групп Ли изучение их касательных
пространств приводит к формулировке одного из основных объектов теории – алгебры Ли. Данная глава как раз и посвящена изложению основных общих фактов из
теории групп и алгебр Ли.
3.1
Многообразия. Группы Ли.
3.1.1
Гладкие многообразия.
Обсуждение групп Ли мы начнем с рассмотрения матричных групп. Пространство
Matn (C) всех комплексных (n×n) матриц ||Mij || можно рассматривать как n2 -мерное
3.1 Многообразия. Группы Ли.
56
комплексное пространство Cn с координатами {Mij }, или как 2n2 -мерное евклидово
2
пространство R2n , координатами которого являются 2n2 вещественных чисел ReMij
и ImMij . Это позволяет ввести в пространстве всех комплексных (n × n) матриц
метрику
(
)1/2
n
∑
|M − M ′ | =
(Mij − Mij′ )∗ (Mij − Mij′ )
,
2
i,j=1
которая определяет расстояние между матрицами M и M ′ . Поэтому на множестве
Matn (C) естественным образом вводится понятие близости матриц: две матрицы
близки, если их разность близка к нулевой матрице. Если мы имеем однопараметрическое семейство матриц M (ϕ) = ||Mij (ϕ)||, где ϕ – действительный параметр, то
можно определить дифференцирование этого семейства по ϕ: элементами матрицы
dM (ϕ)
d
являются производные dϕ
Mij (ϕ) матричных элементов Mij (ϕ).
dϕ
Гладкие семейства матриц представляют собой гладкие поверхности, вложенные
2
в R2n . Например, гладкое семейство матриц M (ϕ), зависящее от одного действи2
тельного параметра ϕ, определяет кривую в R2n , а матрица dMdϕ(ϕ) |ϕ=ϕ0 – задает в
2
R2n касательный вектор к этой кривой (вектор скорости изменения матрицы M (ϕ))
в точке ϕ = ϕ0 .
В качестве примера однопараметрического семейства в пространстве R4 вещественных (2×2) матриц рассмотрим матрицы Oϕ (2.1.15), образующие группу SO(2):
(
) (
)
M11 (ϕ) M12 (ϕ)
cos ϕ − sin ϕ
=
.
(3.1.1) mo2
M21 (ϕ) M22 (ϕ)
sin ϕ cos ϕ
Данное семейство представляет собой единичную окружность (гладкую одномерную
поверхность), вложенную в R4 . Эта окружность лежит на плоскости (x, y) ⊂ R4 :
M11 = M22 ≡ x ,
−M12 = M21 ≡ y ,
и задается уравнением x2 + y 2 = 1.
Из всего вышесказанного следует, что элементы определенных матричных групп
бесконечного порядка (таких, например, как группа SO(2)) могут рассматриваться
как точки, образующие в совокупности некоторое гладкое пространство.
Определение 3.1.1 Группа бесконечного порядка, множество элементов которой
образует гладкое (дифференцируемое) многообразие, называется группой Ли.
Это определение требует введения понятия многообразия, которое формализует понятие гладкого пространства. Строгое определение многообразия было дано в
работах К.Ф. Гаусса, который занимался исследованиями в области геодезии и картографии земной поверхности. Для поверхности земного шара все способы построения
карт сводятся к одной процедуре: к проекции отдельных участков выпуклой земной
поверхности на плоскость. Очевидно, что целиком сферическую поверхность спроецировать на плоскость невозможно. Более того, при проекции больших участков
земной поверхности неизбежно возникают искажения. Чем меньше участки земной
поверхности, тем больше они похожи на плоские куски и, соответственно, меньше
3.1 Многообразия. Группы Ли.
57
искажений на плоских картах. Для того, чтобы путешествовать, пользуясь набором
таких карт (этот набор называется атласом), на большие расстояния, которые не
покрываются одной картой, необходимо иметь некоторое перекрытие для карт, составляющих атлас (см. Рис. 3).
B
-C
A
Рис. 3: Атлас, необходимый для путешествия A → B → C.
Такое перекрытие позволяет узнать, в каком месте мы, покидая местность, соответствующую первоначальной карте, привязываемся к следующей карте. Другими
словами, перекрытия карт нам необходимы для того, чтобы иметь возможность их
сшить и тем самым восстановить все нетривиальное пространство из кусков, подобных плоским. В конце концов, весь сложный объект (например, сфера) получается
склейкой (сшивкой) более простых объектов (локальных карт), однозначно отображающихся на участки плоскости. Если сшивка будет достаточно гладкой, то в результате будет получаться непрерывное, гладкое пространство.
Эта идея (представление сложного пространства как склейки большого числа
простых пространств, ”подобных” плоским) лежит в основе изучения важнейших
геометрических объектов, которые называются многообразиями.
Прежде чем дать определение многообразия напомним, что для метрических пространств M , таких как Rm , подмножество U ⊂ M называется открытым, если вместе
с каждой точкой X ∈ U это подмножество содержит достаточно малый открытый
шар с центром в точке X. При этом открытым шаром радиуса r ∈ R в M с центром
в точке X ∈ M называется множество всех точек Y ∈ M таких, что ρ(X, Y ) < r, где
ρ(X, Y ) – метрика в M (расстояние между точками X и Y в M ).
Теперь дадим определение гладкого многообразия.
Определение 3.1.2 Гладким (бесконечно дифференцируемым) m-мерным вещественным многообразием называется множество точек M , снабженное структурой,
называемой ”атласом”, т.е. множество M покрыто совокупностью своих подмножеств U (α) , называемых ”локальными картами”, так что M = ∪α U (α) . При этом:
1.) Для каждого α установлено взаимнооднозначное отображение ϕ(α) : U (α) → V (α) ,
где V (α) – некоторая открытая область евклидова пространства Rm . Это отобра(α)
жение определяет на множестве U (α) набор функций xk : U (α) → Rm , которые лю[
]
(α)
бой точке P ∈ U (α) сопоставляют набор вещественных чисел xk (P ) = ϕ(α) (P ) k
(k = 1, . . . , m) – координат точки ϕ(α) (P ) ∈ Rm . Эти числа называются локальными координатами точки P .
3.1 Многообразия. Группы Ли.
58
2.) Одна и та же точка P множества M может принадлежать различным локальным картам, P ∈ U (α) ∩U (β) . На пересечении локальных карт U (α) ∩U (β) имеют(α)
(β)
ся уже две системы локальных координат {xk }, {xk }. Требуется, чтобы каждая
из указанных систем локальных координат во всех таких пересечениях U (α) ∩ U (β)
гладко выражалась одна через другую и обратно: функции
[
]
(α) (β)
(β)
(α) (β) −1 (β)
(β)
xk (x1 , . . . , xm ) = ϕ ϕ
(x1 , . . . , xm )
(3.1.2) vr-may11-1
k
должны быть бесконечное число раз дифференцируемы и обратимы. В частности,
функции перехода из одной координатной системы в другую должны быть невырожденными
(
)
(α)
∂xk
det
̸= 0 .
(3.1.3) dxab
(β)
∂xj
Отметим, что для гладкого многообразия M естественным образом определена близость его точек, а именно, две точки M близки, если близки координаты этих точек
в некоторой локальной карте U (α) .
Определение 3.1.3 Отображение f : M1 → M2 одного гладкого многообразия M1
в другое M2 называется r-дифференцируемым, если в локальных координатах на
M1 и M2 оно задается r раз дифференцируемыми функциями. Взаимнооднозначное
непрерывное и обратимое отображение f : M1 → M2 называется гомеоморфизмом.
Если f – гладкое взаимнооднозначное и обратимое отображение M1 → M2 , то
f называется диффеоморфизмом. Два многообразия называются гомеоморфными,
если существует гладкое9 взаимнооднозначное отображение одного на другое.
Например, эллипсоид гомеоморфен сфере, а тор и сфера не гомеоморфны (смотри
Рис. 4). Пространство элементов группы SO(2) гомеоморфно гладкому пространству
окружности S 1 .
-
-
Рис. 4: Гомеоморфные и негомеоморфные поверхности.
Определение 3.1.4 Гладкой кривой на многообразии M , исходящей из точки P ∈
M , называется бесконечно дифференцируемое отображение f : I → M отрезка
I = [0, 1] вещественной оси в многообразие M , такое, что f (0) = P . Кривая f
замкнута, если f (0) = f (1).
9
В дальнейшем мы не различаем гомеоморфные и диффеоморфные многообразия.
3.1 Многообразия. Группы Ли.
59
Определение 3.1.5 Многообразие называется связным, если любые две его точки
можно соединить гладкой кривой. В противном случае говорят о несвязном многообразии.
Определение 3.1.6 Две одномерные замкнутые кривые, лежащие в некотором
многообразии M , называются гомотопными если они могут быть переведены друг
в друга с помощью непрерывных преобразований10 в M . Если все замкнутые кривые
в M гомотопны, то такое многообразие M называется односвязным. Если в M
существует m замкнутых кривых, которые негомотопны друг другу, то такое
многообразие называется m-связным.
Отметим, что две гладкие замкнутые кривые в M могут быть негомотопными друг- ISA поясняющее
предложедругу, но при этом они всегда гомеоморфны.
ние
Определение 3.1.7 Группа Ли G называется m-связной, если ее многообразие mсвязно.
Примеры.
1. Многообразие, состоящее из двух непересекающихся открытых шаров11 в R3 является несвязным. Каждый из шаров представляет собой односвязное многообразие.
2. Окружность S 1 бесконечно-связна, т.к. замкнутая кривая, которая k раз оборачивается вокруг окружности, не может быть непрерывно деформирована в кривую,
оборачивающуюся вокруг окружности n ̸= k раз. Сферы S n (n > 1) – односвязные
многообразия.
3. Вещественное проективное пространство RPn – многообразие, которое состоит
из прямых в Rn+1 , проходящих через точку O начала координат в Rn+1 . Иначе говоря, RPn представляет собой множество ”векторов направлений” в Rn+1 , которые
характеризуются вещественными координатами (x1 , x2 , . . . , xn+1 ), одновременно не
равными нулю, с отождествлением (x1 , . . . , xn+1 ) ∼ (λx1 , . . . , λxn+1 ), ∀λ ∈ R\{0}.
Это пространство можно представить в виде сферы S n в Rn+1 с центром в O и с
отождествленными диаметрально противоположными точками. Если мы рассечем
эту сферу гиперплоскостью x1 = 0, то в сечении мы снова будем иметь сферу S n−1 .
Тогда многообразие RPn можно представить как n-мерный шар (часть сферы S n с
x1 ≤ 0), ограниченный сферой S n−1 , у которой отождествлены диаметрально противоположные точки. Многообразие RPn двухсвязно, так как имеется два типа неэквивалентных замкнутых кривых – обычные кривые внутри n-мерного шара (на сфере
S n с x1 ≤ 0) и кривые, которые соединяют диаметрально противоположные точки
на граничной сфере S n−1 .
Преобразование xi → −xi в Rn+1 переводит точки сферы S n (с центром в O)
в их диаметрально противоположные точки. Это преобразование определяет действие группы Z2 на сфере S n . Тогда очевидно, что S n /Z2 = RPn (понятие факторпространства M/G дано ниже в Определении 6.1.2).
То есть существует гладкое отображение f цилиндра I × S 1 в M , такое, что f (0, S 1 ) совпадает
с первой кривой, а f (1, S 1 ) — со второй.
11
Строго говоря, шар, включающий в себя граничную сферу, не является многообразием, а представляет собой многообразие с краем. Для нас эта тонкость будет несущественна.
10
3.1 Многообразия. Группы Ли.
60
В качестве многообразий (какого-либо числа измерений, скажем m) могут выступать гладкие поверхности M , вложенные в n-мерное евклидово пространство Rn
большего числа измерений n > m. Такое вложение поверхности M в Rn можно задать
с помощью набора независимых уравнений
FA (x1 , . . . , xn ) = 0 ,
(A = 1, 2, . . . , n − m) ,
(3.1.4) vlM
где {xi } – координаты в Rn , а FA – гладкие функции. Точка ⃗x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn
лежит на поверхности M , если ее координаты удовлетворяют уравнениям (3.1.4).
Сделаем бесконечно малый сдвиг xi → x′i = xi + ϵ ai точки ⃗x ∈ M вдоль вектора
⃗a = (a1 , . . . , an ), где ϵ – бесконечно малый параметр. Тогда сдвинутая точка ⃗x ′ будет
снова принадлежать поверхности M : FA (⃗x ′ ) = 0, если
ak
∂
FA (⃗x) = 0 ,
∂xk
∀A .
(3.1.5) kasv
В этом случае ⃗a – касательный вектор к поверхности M в точке ⃗x. Множество всех
векторов ⃗a, удовлетворяющих (3.1.5), образует касательное векторное пространство
T⃗x M к многообразию M в точке ⃗x (общее определение касательных пространств к
многообразию M мы дадим в разделе 3.1.5). Точка ⃗x ∈ M называется неособой, если
⃗ A (⃗x) (A = 1, 2, . . . , n − m), которые перпендикулярны T⃗x M , линейно
все вектора ∂F
независимы. В этом случае размерность касательного пространства T⃗x M равна m.
Поверхность M , заданная уравнениями (3.1.4), называется регулярной, если все ее
точки – неособые. В этом случае M представляет собой m-мерное гладкое многообразие, вложенное в Rn .
Примеры вложенных многообразий.
4. Единичная сфера S n−1 задается в Rn одним уравнением:
x21 + x22 + . . . + x2n − 1 = 0 .
(3.1.6) r.2
Группой инвариантности такого многообразия является группа O(n).
5. Пространство де Ситтера dS n задается в Rn,1 уравнением.
x21 + . . . + x2n − x2n+1 − M 2 = 0 ,
(3.1.7) r.3
где M – ненулевой вещественный параметр. Группой инвариантности такого многообразия является группа де Ситтера O(n, 1) (она же — группа Лоренца (n + 1)мерного пространства Минковского).
6. Пространство анти де Ситтера AdS n (n ≥ 3) задается в Rn+1 уравнением:
x21 + . . . + x2n−1 − x2n − x2n+1 + M 2 = 0 ,
(3.1.8) r.4
где M – ненулевой вещественный параметр. Группой инвариантности многообразия
(3.1.8) является группа анти де Ситтера O(n − 1, 2). В литературе также рассматривается другой вариант пространства с группой инвариантности O(n − 1, 2), который
задается уравнениями
x21 + . . . + x2n−1 − x2n − x2n+1 − M 2 = 0 .
(3.1.9) r.45
3.1 Многообразия. Группы Ли.
61
Выбор знака у M 2 в (3.1.7) и (3.1.8) будет мотивирован ниже в разделе 6.1.
7. Многомерный аналог трехмерного двуполостного гиперболоида задается уравнением (сравните с (3.1.7))
x21 + . . . + x2n−1 − x2n + M 2 = 0 .
(3.1.10) r.44
Это многообразие не является связным, так как две его части с xn > 0 и с xn < 0
разделены гиперплоскостью xn = 0, не принадлежащей гиперболоиду (3.1.10).
• Задача 50. Показать, что все точки поверхностей (3.1.6), (3.1.7), (3.1.8), (3.1.9)
и (3.1.10) – неособые.
3.1.2
Многообразия групп Ли. Примеры.
Итак, группа Ли — это группа, одновременно представляющая собой гладкое многообразие12 .
Определение 3.1.8 Размерностью группы Ли G будем называть размерность многообразия G и обозначать эту размерность dim(G).
Рассмотрим группу Ли G, имеющую размерность dim(G) = n. По определению
группа G является гладким n-мерным многообразием, поэтому в окрестности любой
точки многообразия G, например, единицы e ∈ G, можно ввести локальные координаты, т.е. задать взаимнооднозначное отображение ϕ некоторой локальной карты
(окрестности) U ⊂ G, покрывающей точку e ∈ G, на область V в Rn . Выберем
отображение ϕ так, чтобы точка ϕ(e) совпадала с началом координат в Rn . Таким
образом, каждому элементу g ∈ U ⊂ G ставится в соответсвие n вещественных чисел
⃗x = (x1 , x2 , . . . , xn ) – координат точки ϕ(g) ∈ Rn . Числа (x1 , x2 , . . . , xn ) называются
координатами элемента g, который в этом случае будем обозначать g(⃗x). Единичный
элемент e ∈ G имеет нулевые координаты ⃗0 = (0, 0, . . . , 0), т.е. g(⃗0) = e. Координаты
(x1 , x2 , . . . , xn ) также называются параметрами группы Ли G.
Если два элемента g(⃗x) и g(⃗y ) из окрестности U ⊂ G достаточно близки к единичному элементу e, то их произведение g(⃗x) · g(⃗y ) будет снова лежать в окрестности
U ⊂ G и согласно основному групповому свойству мы получим
(
)
⃗
g(⃗x) · g(⃗y ) = g F (⃗x, ⃗y ) = g(⃗z) .
(3.1.11) ggg
Здесь вектор-функция F⃗ (⃗x, ⃗y ) определяет произведение элементов из достаточно малой окрестности U ⊂ G единицы и содержит всю информацию о локальных свойствах
группы Ли G. Заметим, что если G – группа Ли, то координаты
z i = F i (⃗x, ⃗y ) = F i (x1 , . . . , xn ; y 1 , . . . , y n )
(i = 1, . . . n) ,
(3.1.12) ggz
произведения g(⃗x) · g(⃗y ), должны быть гладкими функциями координат {xi } и {y i }
каждого из сомножителей, так что функции F i могут быть разложены по {xi } и {y i }
в ряд Тейлора до любого порядка.
12
Вообще говоря, можно ослабить требование гладкости и рассматривать непрерывные или r раз
дифференцируемые многообразия, для которых функции перехода (3.1.2) непрерывны или дифференцируемы конечное число раз. Замечательно, что для групп это не дает ничего нового: если
групповое многообразие непрерывно, то оно автоматически является гладким.
3.1 Многообразия. Группы Ли.
62
• Задача 51. Доказать, что соотношения (3.1.12) задают действие (2.3.10), (2.3.11)
группы G на свое многообразие, то есть для функций F i (⃗x, ⃗y ) (3.1.12), которые определяют действие элемента g(⃗x) ∈ G на элемент g(⃗y ) ∈ G, выполняются условия (2.3.12). Доказать, что это действие не есть действие
группы на группу (рассмотреть вопрос о выполнении группового свойства
(2.3.26)).
Далее, из соотношений g(⃗x) · e = g(⃗x) и e · g(⃗y ) = g(⃗y ) следуют условия для
функций (3.1.12): F i (⃗x, ⃗0) = xi и F i (⃗0, ⃗y ) = y i , из которых, в свою очередь, получается
разложение
i
i
F i (⃗x, ⃗y ) = xi + y i + fkj
xk y j + gkjm
xk xj y m + hikjm xk y j y m + O4 ,
(3.1.13) chi0
i
i
, hikjm – некоторые константы, а O4 – обозначает члены четвертого по, gkjm
где fkj
рядка малости по переменным {xi } и {y i }. Формула (3.1.13) играет важную роль при
описании локальных свойств многообразия группы Ли G и будет нами использоваться в дальнейшем.
Примеры. Рассмотрим примеры некоторых групповых многообразий.
1. Многообразие группы всех трансляций в Rn совпадает с самим пространством Rn .
2. Группа U (1) – это множество комплексных чисел z таких, что |z| = 1. Поэтому
многообразие U (1) – это единичная окружность S 1 , вложенная в комплексную плоскость. Поскольку группы U (1) и SO(2) изоморфны, то их многообразия совпадают.
3. Группа GL(n, R) (или GL(n, C)), невырожденных (n×n) матриц A = ||Aij || над полем вещественных R (или комплексных C) чисел представляет собой n2 - мерное (или
2n2 - мерное в комплексном случае) вещественное пространство с координатами {Aij }
(или {Re(Aij ), Im(Aij )}), из которого исключены точки поверхности det(A) = 0. Очевидно, что
dim(GL(n, R)) = n2 , dim(GL(n, C)) = 2n2 .
4. Группа SL(n, R) (или SL(n, C)) вещественных (или комплексных) матриц A =
||Aij ||, задается уравнением det(A) = 1. Это уравнение определяет (n2 − 1)-мерное
2
многообразие в пространстве Rn в случае группы SL(n, R) и (2n2 − 2)- мерное мно2
гообразие в пространстве R2n в случае группы SL(n, C):
dim(SL(n, R)) = n2 − 1 , dim(SL(n, C)) = 2n2 − 2 .
5. Пространство группы U (n) унитарных матриц U задается системой уравнений
U ·U † = I. Матрицы U ·U † и In – эрмитовы, поэтому число независимых вещественных
соотношений в этой системе равно 2 · n(n − 1)/2 + n = n2 . Так как многообразие
2
группы U (n) вкладывается в пространство R2n , а число соотношений, задающих
это многообразие, равно n2 , то размерность U (n) дается формулой
dim(U (n)) = 2n2 − n2 = n2 .
6. Пространство группы SU (n) специальных унитарных матриц U определяется
уравнениями U · U † = I и det(U ) = 1. Для унитарной матрицы имеем | det(U )| = 1, то ISA пояснение
есть det(U ) = eiϕ , поэтому комплексное соотношение det(U ) = 1 фиксирует только
3.1 Многообразия. Группы Ли.
63
один вещественный параметр ϕ. Учитывая результат предыдущего пункта, получаем, что многообразие группы SU (n) имеет размерность
dim(SU (n)) = n2 − 1 .
7. Покажем, что многообразие группы SU (2) – это трехмерная
единичная
сфера S 3 .
)
(
β
Группа SU (2) состоит из 2×2 комплексных матриц U = α
γ δ , удовлетворяющих
соотношению det(U ) = 1 и условию унитарности U † = U −1 :
( ∗ ∗ ) (
)
α∗ γ∗ =
δ −β
⇒ δ = α∗ , γ = −β ∗ .
β δ
−γ α
Отсюда следует, что произвольный элемент U ∈ SU (2) можно единственным образом
представить в виде
(
)
α ∗ β∗
U = −β
,
(3.1.14) msu2
α
где числа α, β ∈ C связаны соотношением |α|2 + |β|2 = 1, вытекающим из условия
det(U ) = 1. Таким образом, каждый элемент SU (2) задается парой комплексных
чисел
α = x0 + ix3 , β = x2 + ix1 (xα ∈ R) ,
(3.1.15) msu2b
связанных условием
|α|2 + |β|2 = x20 + x21 + x22 + x23 = 1 ,
(3.1.16) msu2x
и следовательно имеется взаимнооднозначное соответствие между элементами SU (2)
и точками трехмерной единичной сферы S 3 , вложенной в пространство R4 . Это многообразие – односвязно, т.к. все сферы S n (n > 1) односвязны. Отметим, что представление (3.1.14) (α и β заданы в (3.1.15) и (3.1.16)) можно записать в виде
U=
3
∑
α=0
σ̃α xα ,
3
∑
xα xα = 1 ,
(3.1.17) pauli1
α=0
где σ̃0 = I2 — единичная 2 × 2 матрица, σ̃α = iσα (α = 1, 2, 3), а σα — это матрицы
Паули
)
)
(
(
)
(
1 0
(3.1.18) pauli
,
σ
=
σ1 = 01 10 , σ2 = 0i −i
3
0 −1 .
0
8. Группа вещественных ортогональных матриц O ∈ O(n) и соответствующее мно2
гообразие, вложенное в Rn , задается системой уравнений
O · OT = In .
(3.1.19) son
Поскольку матрицы O · OT и In – симметричны, то число независимых уравнений,
определяющих многообразие O(n), равно n(n + 1)/2. Отсюда следует, что многообразие группы O(n) имеет размерность
dim(O(n)) = n2 − n(n + 1)/2 = n(n − 1)/2 = dim(SO(n)) .
3.1 Многообразия. Группы Ли.
64
Последнее равенство вытекает из того факта, что многообразие группы O(n) состоит
из двух несвязанных частей одинаковой размерности, одна из которых представляет
собой многообразие SO(n) = O+ (n) (множество ортогональных матриц O с условием
det(O) = 1), а вторая часть O− (n) (множество ортогональных матриц O с условием
det(O) = −1) состоит из элементов смежного класса R · SO(n), где R любой фиксированный элемент из O− (n) (см. Задачу 10.).
9. Многообразие группы SO(3) определяется уравнениями (3.1.19):
Oij Okj = δik , (i, k = 1, 2, 3) ,
(3.1.20) so3a
и det(O) = +1. Уравнения (3.1.20) задают ортонормированную систему 3-х векторов:
⃗ i = (Oi1 , Oi2 , Oi3 ), (i = 1, 2, 3), а условие det(O) = +1 говорит о том, что ориентация
O
⃗ i } такая же, как и у векторов ортонормированного базиса
у системы векторов {O
⃗ i } можно получить из системы
I⃗i = (δi1 , δi2 , δi3 ). Ортонормированную систему {O
⃗ 1 , делая поворот в плоскости I⃗1 и O
⃗ 1.
{I⃗i } следующим образом – совместим I⃗1 и O
⃗2 и O
⃗ 3 будут лежать в плоскости векторов I⃗2 и I⃗3 и
Тогда два других вектора O
⃗
⃗ 1 на угол
их можно будет совместить с I2 и I⃗3 некоторым поворотом вокруг оси O
⃗ i } определяется вектором O
⃗1
ψ ∈ [−π, π]. Таким образом, положение векторов {O
и некоторым углом ψ ∈ [−π, π], поэтому каждому элементу из SO(3) мы можем
⃗ 1 , направление которого задается осью O
⃗ 1 , а длина вектора
сопоставить вектор ψ · O
равна углу поворота ψ. В такой параметризации многообразие группы SO(3) — это
шар в R3 с радиусом π, причем диаметрально противоположные точки граничной
⃗ 1 на
сферы этого шара должны быть отождествлены, т.к. повороты вокруг оси O
углы π и −π тождественны. Такое трехмерное многообразие гомеоморфно RP3 и
двух-связно (см. Пример 3 в предыдущем подразделе 3.1.1).
• Задача 52. Написать уравнения, определяющие многообразия симплектических групп Sp(2r, C), Sp(2r, R), U Sp(2r) и найти размерности этих многообразий. В частности доказать, что dim(U Sp(2r)) = dim(Sp(2r, R)).
10. Псевдо-ортогональная группа O(1, 1) – группа Лоренца в двумерном пространстве R1,1 . Преобразования из группы O(1, 1) в двумерном пространстве xi → x′i =
Oij xj (i, j = 1, 2) сохраняют квадратичную форму
x21 − x22 = (x1 + x2 )(x1 − x2 ) ,
(3.1.21) form11
и разбиваются на 4 типа преобразований, которые проще всего записать в терминах
переменных x+ = (x1 + x2 ) и x− = (x1 − x2 ):
I.) x′+ = eϕ x+ , x′− = e−ϕ x− ;
P T.) x′+ = −eϕ x+ , x′− = −e−ϕ x− ;
P.) x′+ = eϕ x− , x′− = e−ϕ x+ ;
T.) x′+ = −eϕ x− , x′− = −e−ϕ x+ ;
(3.1.22) boost
где x′± = (x′1 ± x′2 ) и ϕ ∈ R. Матрицы ||Oij || для этих типов преобразований имеют
вид
(
)
(
)
(
)
(
)
chϕ shϕ
chϕ −shϕ
−chϕ shϕ
−chϕ −shϕ
I:
, P :
, T :
, PT :
,
shϕ chϕ
shϕ −chϕ
−shϕ chϕ
−shϕ −chϕ
(3.1.23) xx11
3.1 Многообразия. Группы Ли.
65
и содержат, соответственно, единичное преобразование I, пространственное отражение P , инверсию времени T и полное отражение P T :
(
)
(
(
(
)
)
)
1 0
1 0
−1 0
−1 0
I=
, P =
, T =
, PT =
,
0 1
0 −1
0 1
0 −1
(мы интерпретируем x1 как временную, а x2 как пространственную координаты).
Преобразования (3.1.23) типа I называются собственными ортохронными и образу↑
ют подгруппу O+
(1, 1) ⊂ O(1, 1). Все остальные типы (3.1.23) представляют собой
↑
правые смежные классы группы O(1, 1) по подгруппе O+
(1, 1):
↓
↑
↑
↑
↓
↑
O+
(1, 1) ≡ O+
(1, 1) · P T , O−
(1, 1) ≡ O+
(1, 1) · P , O−
(1, 1) ≡ O+
(1, 1) · T ,
и, таким образом, многообразие группы O(1, 1) состоит из четырех не связанных
друг с другом компонент, каждая из которых гомеоморфна многообразию группы
↑
O+
(1, 1).
↑
• Задача 53. Доказать, что O+
(1, 1) — инвариантная подгруппа в O(1, 1). Указание: проверить, что левые и правые смежные классы в O(1, 1) по под↑
↑
(1, 1) = Z2 × Z2 .
(1, 1) совпадают. Доказать, что O(1, 1)/O+
группе O+
ISA
новая задача
↓
↑
(1, 1) образует подгруппу соб(1, 1) и O+
Объединение двух смежных классов O+
ственных преобразований O+ (1, 1) = SO(1, 1) ⊂ O(1, 1) (для этих преобразований
↑
↑
(1, 1) (тип I и тип
(1, 1) и O−
det ||Oij || = 1). Объединение двух смежных классов O+
P из (3.1.23)) называется множеством ортохронных преобразований, обозначается
O↑ (1, 1) и тоже образует подгруппу в O(1, 1).
• Задача 54. Доказать, что множество ортохронных преобразований O↑ (1, 1)
образует подгруппу в O(1, 1).
Для функций chϕ, shϕ мы имеем тождество ch2 ϕ − sh2 ϕ = 1, поэтому многообразием подгруппы O+ (1, 1) = SO(1, 1) (тип I и тип P T из (3.1.23)) является гипербола
x2 − y 2 = 1 ,
(3.1.24) xx12
на двумерной плоскости O11 = O22 = x, O12 = O21 = y, вложенной в пространство R4
всех вещественных 2×2 матриц ||Oij ||. Ветвь x ≥ +1 гиперболы (3.1.24) соответствует
↑
собственной ортохронной подгруппе O+
(1, 1) (тип I), а ветвь x ≤ −1 – смежному
↓
классу O+ (1, 1) (тип P T ).
Если сделать замену координат x1 = ct, x2 = x, где c – некоторая положительная
константа (скорость света), и перейти от параметра ϕ к параметру v:
v
chϕ = (1 − v 2 /c2 )−1/2 , shϕ = − (1 − v 2 /c2 )−1/2 ,
c
↑
(1, 1) переписываются в виде преобразований
то преобразования x′i = Oij xj из O+
Лоренца
x−vt
t − v x/c2
x′ = √
, t′ = √
,
(3.1.25) xx16
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
3.1 Многообразия. Группы Ли.
66
которые называются бустами. Новый параметр v интерпретируется как скорость движения новой системы отсчета, причем видно, что параметр |v| всегда должен быть
меньше скорости света c. Если |v| << c, то из (3.1.25) вытекают классические преобразования Галилея x′ = x − (
v t и t′ =
) t, которые образуют линейную неоднородную
1 −v
группу ISO(1) матриц вида
, которая действует в двумерном пространстве
0 1
( )
x
векторов
.
t
11. Многообразие псевдоортогональной группы O(1, n − 1) (группы Лоренца в nмерном пространстве R1,n−1 ) определяется уравнениями (2.2.64) (p = 1, q = n − 1):
Okm ηki Oij = ηmj ,
(m, j = 0, 1, . . . , n − 1) ,
(3.1.26) xx13
где ||ηki || = diag(+1, −1, . . . , −1). Рассмотрим соотношение (3.1.26) для m = 0 = j
2
O00
=1+
n−1
∑
(3.1.27) xx14
Ok0 Ok0 .
k=1
Отсюда следует, что либо O00 ≥ 1, либо O00 ≤ −1. С другой стороны соотношение
(3.1.26) записывается в виде η = OT ηO и, вычисляя детерминант от обеих частей,
мы получаем det(O) = ±1. Таким образом, мы имеем 4 возможности (4 непересекающихся подмножества)
O00 ≥ 1 ,
O00 ≥ 1 ,
O00 ≤ −1 ,
O00 ≤ −1 ,
det(O) = 1 ,
det(O) = −1 ,
det(O) = −1 ,
det(O) = 1 ,
↑
O+
↑
O−
↓
O−
↓
O+
(3.1.28) clasy
↓
↑
образует подгруппу в O(1, n−1), изоморфную SO(1, n−
∪ O+
Подмножество O+ = O+
↑
↑
1). Преобразования из множества O↑ = O+
∪ O−
называются ортохронными.
• Задача 55. Доказать, что множество O↑ ортохронных преобразований образует подгруппу в O(1, n − 1).
↑
Собственные ортохронные преобразования O+
также образуют подгруппу в группе
↑
O(1, n − 1). Это следует из того, что множество O+
является пересечением двух
↑
↑
подгрупп O+ и O . Подгруппа O+ называется собственной ортохронной группой
Лоренца.
Важными представителями для классов (3.1.28) являются преобразования (∀⃗x ∈
R1,n−1 ):
1.) тождественное преобразование: I · ⃗x = ⃗x;
2.) пространственное отражение: (P · ⃗x)i = ηij xj ;
3.) обращение времени: (T · ⃗x)i = −ηij xj ;
4.) полное отражение в пространстве R1,n−1 : (P T · ⃗x)i = −xi .
3.1 Многообразия. Группы Ли.
67
↑
↑
↓
↓
Легко понять, что I ∈ O+
, P ∈ O−
, T ∈ O−
и P T ∈ O+
. Полная группа O(1, n − 1)
состоит из четырех смежных классов:
↑
↑
↑
↑
O(1, n − 1) = (O+
· I) ∪ (O+
· P ) ∪ (O+
· T ) ∪ (O+
· PT) .
(3.1.29) O1n
Элементы из каждого из этих четырех классов образуют связные подмножества, то
есть элементы из каждого класса могут быть переведены друг в друга непрерывными преобразованиями, а сама группа O(1, n − 1) несвязна и состоит из четырех
перечисленных выше компонент.
Таким образом, многообразие группы O(1, n − 1) для n > 2 устроено так же, как
устроено многообразие простейшей из групп такого типа – группы O(1, 1). Разумеется, все сказанное выше о структуре групп O(1, n − 1) в полной мере относится к
группе Лоренца O(1, 3) четырехмерного пространства-времени.
12. Многообразие псевдоортогональной группы O(p, q), где p ≥ 1 и q ≥ 1, определяется уравнениями (2.2.64). Представим O в виде блочной матрицы
(
)
X Y
O=
,
(3.1.30) so-pq1
Z W
где X, Y , Z и W – вещественные матрицы размера p × p, p × q, q × p и q × q,
соответственно. Тогда условия (2.2.64) дают
X T · X = Ip + Z T · Z ,
W T · W = Iq + Y T · Y ,
XT · Y = ZT · W .
(3.1.31) so-pq2
Система этих уравнений может быть использована для выяснения структуры мно- VRN,
гообразия группы O(p, q). Для группы O(p, q) можно определить аналог собственной до конца
ортохронной подгруппы SO↑ (p, q) ⊂ O(p, q), которая представляет собой подмноже- раздела
ство элементов O ∈ O(p, q), таких, что det(O) = +1 и det(X) ≥ 1, det(W ) ≥ 1, где ред. правка
матрицы X и W определены в (3.1.30) (сравните с (3.1.28)). Более того, так же, как
и многообразие O(1, n − 1), многообразие группы O(p, q) состоит из четырех не связанных друг с другом компонент, причем каждая из компонент представляет собой
смежный класс по подгруппе SO↑ (p, q).
• Задача 56. ⋆
Доказать, что многообразие O(p, q), где p ≥ 1 и q ≥ 1,
является объединением четырех не связанных друг с другом многообразий, каждое из которых представляет собой смежный класс по подгруппе
SO↑ (p, q) ⊂ O(p, q). Указание. Докажите сначала, что для матриц,
удовлетворяющих соотношениям (3.1.31), справедливо | det(X)| ≥ 1,
| det(W )| ≥ 1.
3.1.3
Многообразия конформных групп Conf(Rp,q ).
В этом подразделе мы рассмотрим структуру многообразий групп Conf(Rp,q ), которые были введены в подразделе 2.3.6. Напомним, что группа Conf(Rp,q ) образуется
как множество любых композиций 4-х основных преобразований в пространстве Rp,q
(см. подраздел 2.3.6):
3.1 Многообразия. Группы Ли.
68
1.) Преобразования сдвигов из линейной неоднородной группы IO(p, q):
⃗x → ⃗x ′ = ⃗x + ⃗a ,
⃗a, ⃗x ∈ Rp,q .
(3.1.32) mapa12f
2.) Псевдоортогональные преобразования из группы IO(p, q):
⃗x → ⃗x ′ = O · ⃗x ,
O ∈ O(p, q) .
(3.1.33) mapa12g
3.) Масштабные линейные преобразования:
⃗x → ⃗x ′ = λ ⃗x ,
λ ∈ R\0 .
(3.1.34) mapa12h
4.) Преобразования инверсии в точке ⃗a ∈ Rp,q :
⃗x → ⃗x ′ =
⃗x − ⃗a
.
(⃗x − ⃗a)2
(3.1.35) mapa12k
Приведем здесь также для полноты картины:
5.) специальное конформное преобразование (2.3.36)
⃗x → ⃗x ′ =
⃗x − ⃗b(⃗x)2
,
(1 − 2(⃗x, ⃗b) + (⃗b)2 (⃗x)2 )
(3.1.36) mapa12j
которое является композицией двух преобразование инверсии (3.1.35), в точке начала
координат ⃗a = ⃗0 и в точке ⃗a = ⃗b.
Заметим, что преобразования инверсии (3.1.35), как и несобственные вращения
из группы O(p, q), содержащиеся в (3.1.33) (с детерминантом, равным −1), в отличие
от других типов конформных преобразований, никаким непрерывным изменением
параметров ai и Oij не могут быть переведены в тождественное преобразование.
Таким образом, применение одной инверсии (как и одного несобственного отражения из O(p, q)) выводит нас из связной компоненты единицы группы Conf(Rp,q ). С
другой стороны, рассматривая композицию двух преобразований инверсии, то есть
специальное конформное преобразование (3.1.36), мы видим, что это преобразование лежит в связной компоненте единицы группы Conf(Rp,q ), так как предел ⃗b → 0
превращает (3.1.36) в тождественное преобразование. Поэтому применение второй
инверсии возвращает нас в связную компоненту единицы. Таким образом, многообразие группы Conf(Rp,q ) состоит по крайней мере из четырех несвязных компонент
(как у псевдоортогональных групп O(p + 1, q + 1), которые разбиваются на несвязные подмножества (10.3.4)), а преобразование инверсии напоминает преобразование
отражения времени T в псевдоортогональных группах, которое переводит элементы
из ортохронной связной компоненты группы в неортохронную.
Эта аналогия не случайна, сейчас мы установим изоморфизм между группой конформных преобразований Conf(Rp,q ) и группой O(p+1, q+1). Подгруппа преобразований из Conf(Rp,q ), лежащих в связной компоненте единицы, изоморфна собственной
псевдо-ортогональной группе O+ (p + 1, q + 1) = SO(p + 1, q + 1) (см. также подраздел
3.2.11, где мы построим локальный изоморфизм между Conf(Rp,q ) и SO(p+1, q +1)).
3.1 Многообразия. Группы Ли.
69
Утверждение 3.1.1 Конформная группа Conf(Rp,q ) изоморфна группе O(p+1, q+1).
BSF
Доказательство. Для доказательства изоморфизма Conf(Rp,q ) = O(p + 1, q + 1) рассмотрим поaΛ3 Проверхность в Rp+1,q+1
ба
мелкого
2
2
ij
шрифта.
y0 − yn+1 + yi η yj = 0 , i, j = 1, . . . , n ,
(3.1.37) svkon
Мне
не
кажется, что
где n = p + q, ya (a = 0, 1, . . . , n + 1) – координаты в Rp+1,q+1 , а ||η ij || = Ip,q – метрика в под- это лучше.
пространстве Rp,q ⊂ Rp+1,q+1 . Так как уравнение поверхности (3.1.37) можно записать в виде
ya (Ip+1,q+1 )ab yb = 0, то группа преобразований (2.3.13) в Rp+1,q+1 , оставляющая поверхность (3.1.37)
инвариантной, – это псевдоортогональная группа O(p + 1, q + 1). Перепишем уравнение (3.1.37) следующим образом
yi y i = y+ y− ,
(3.1.38) svkon1
где мы воспользовались правилом подъема индексов: y i = η ij yj и положили y+ = yn+1 + y0 и
y− = yn+1 − y0 . Выберем некоторый вектор ⃗x ∈ Rp,q с координатами (x1 , . . . , xn ) и положим
y+ = α ,
y− = α xi η ij xj = α xi xi , yi = α xi ,
(3.1.39)
svkon2
при этом соотношения (3.1.38) будут выполняться автоматически для всех α ∈ R и ∀⃗x ∈ Rp,q .
Зафиксируем теперь следующие 4 матрицы размера (n + 2) × (n + 2)




0 ...
0
0
0
...
0
0
1
1
 a1
 0 O11 . . . O1n 0 
0 





 ..
.
..
..
..
..  ,
..
..  , T2 = 
T1 =  .
(3.1.40) svkon3


.
I
.
.
.
.
n




 an
 0 On1 . . . Onn 0 
0 
ai ai 2a1 . . . 2an 1
0
0
0
0
1


 −1

0 ... 0 0
λ
1 2b1 . . . 2bn bi bi
 0
 0
0 
b1 




 ..


.
..  ,
.
..  , T4 =  ..
T3 =  .
(3.1.41) svkon4

I
I
.
n
n




 0
 0
0 
bn 
0
0 ... 0 λ
0 0 ... 0
1
где λ ∈ R\{0}, (a1 , . . . , an ) и (b1 , . . . , bn ) – два произвольных вектора в Rp,q , ai = η ij aj , bi = η ij bj и
||Oik || ∈ SO(p, q). Подействуем этими матрицами на вектор Rp+1,q+1 с координатами (y+ , y1 , . . . , yn , y− ).
В результате получаем

 


 

y+
y+
y+
y+
 , T2 ·  yi  =  Oik yk  ,
yi + y+ ai
T1 ·  yi  = 
(3.1.42) svkon5
i
i
y−
y− + 2a yi + (ai a )y+
y−
y−

  −1


 

y+
λ y+
y+
y+ + 2bi yi + (bi bi )y−
 .
yi + bi y−
T3 ·  yi  =  yi  , T4 ·  yi  = 
(3.1.43) svkon6
y−
λ y−
y−
y−
Легко проверить, что преобразования (3.1.42), (3.1.43) сохраняют форму
2
yi y i − y+ y− = y02 − yn+1
+ yi y i ,
(3.1.44)
и всевозможные произведения матриц Ti (с различным выбором параметров) образуют группу,
изоморфную SO(p + 1, q + 1). Изоморфизм устанавливается соотношениями Oi = S −1 Ti S, где S –
невырожденная (n + 2) × (n + 2) матрица вида


1 0 ... 0 1
 0
0 


 ..
..  , det(S) = 2 ,
S= .
In
. 


 0
0 
−1 0 . . . 0 1
svkon6a
3.1 Многообразия. Группы Ли.
70
которая переводит вектор (y0 , y1 , . . . , yn , yn+1 ) в вектор (y+ , y1 , . . . , yn , y− ), а матрицы Oi удовлетворяют соотношениям псевдо-ортогональности (2.2.64) и условию специальности
OT Ip+1,q+1 O = Ip+1,q+1 ,
det(O) = 1 ,
и следовательно принадлежат SO(p + 1, q + 1).
Пусть теперь вектор в Rp+1,q+1 с координатами (y+ , y1 , . . . , yn , y− ) задает точку на поверхности
(3.1.37), то есть (y+ , y1 , . . . , yn , y− ) можно представить в виде (3.1.39). Тогда преобразования (3.1.42),
(3.1.43) в терминах переменных α и (x1 , . . . , xn ) переписываются в виде
)
( ) (
)
( ) (
α
α
α
α
T1 ·
=
, T2 ·
=
,
(3.1.45) svkon7
xi
x i + ai
xi
Oik xk
(
T3 ·
α
xi
)
(
=
λ−1 α
λxi
(
)
, T4 ·
α
xi
)
(
)
α 1 + 2bi xi + (⃗x)2 (⃗b)2


 ,
=
xi + bi (⃗x)2


1 + 2(⃗x, ⃗b) + (⃗x)2 (⃗b)2

(3.1.46)
svkon8
где (⃗x)2 = xi xi , (⃗x, ⃗b) = xi bi и для векторов ⃗x эти преобразования совпадают с преобразованиями
(3.1.32) – (3.1.34) и (3.1.36) (необходимо сделать замену параметров bi → −bi ). Таким обоазом,
мы установили взаимнооднозначное соответствие подгруппы конформной группы Conf(Rp,q ), не
включающей инверсию, и группы SO(p + 1, q + 1).
Наконец, рассмотрим еще одно преобразование T5 вектора (y+ , y1 , . . . , yn , y− )


0 0 ... 0 1

 

0
0
y−
y+



.
..  ,
T5 ·  yi  =  yi  , T5 =  ..
(3.1.47) svkon9

I
.
n


y+
y−
0
0
1 0 ... 0 0
которое соответствует преобразованию отражения времени
y0 → −y0 , yi → yi , yn+1 → yn+1 ,
и очевидно также сохраняет форму (3.1.44), но лежит в несобственной компоненте группы O(p +
1, q + 1). В случае, когда вектор (y+ , y1 , . . . , yn , y− ) определяет точку на поверхности (3.1.38), это
преобразование переписывается в виде
)
( ) (
α(⃗x)2
α
T5 ·
=
,
xi
xi /(⃗x)2
и есть не что иное как инверсия (3.1.35) в точке ⃗a = ⃗0. Все произведения преобразований Ti ,
i = 1, . . . , 5 (с разными параметрами), образуют полную ортогональную группу O(p + 1, q + 1), а
построенное только что соответствие устанавливает изоморфизм между Conf(Rp,q ) и O(p + 1, q + 1).
ESF
3.1.4
Компактные группы Ли.
Напомним, что множество M называется компактным, если из любого покрытия M
открытыми множествами всегда можно выделить конечное подпокрытие или, что
эквивалентно, из любой последовательности точек в M можно всегда выделить сходящуюся подпоследовательность точек.
3.1 Многообразия. Группы Ли.
71
Пусть M – многообразие. Если M – метрическое пространство, то M – компактно,
если оно является полным (содержит все свои предельные точки) и покрывается конечным числом открытых шаров радиуса ϵ при сколь угодно малом, но фиксированном ϵ. Перефразируя известное образное выражение Г. Вейля, все точки компактного
многообразия M контролируются конечным числом полицейских, радиус действия
которых равен ϵ. Если многообразие M вложено в евклидово пространство Rn , то M
– компактно, когда оно замкнуто13 и ограничено в Rn , т.е. расстояние между двумя любыми точками M конечно. Последним критерием мы и будем пользоваться в
дальнейшем.
Утверждение 3.1.2 Сфера S n−1 конечного радиуса R, вложенная в Rn , компактна.
Доказательство. Сфера S n−1 радиуса R, вложенная в Rn задается соотношениями
x21 + x22 + . . . + x2n = R2 ,
(3.1.48) sphn1
где (x1 , . . . , xn ) – координаты в Rn . Отсюда следует, что |xi | ≤ R и многообразие
S n−1 – ограничено. Докажем теперь, что S n−1 – замкнуто, то есть любая сходящаяся
(p)
(p)
(p)
последовательность точек ⃗x(p) = (x1 , x2 , . . . , xn ) (p = 1, 2, . . .), лежащих на сфере S n−1 , сходится к точке ⃗x, которая принадлежит сфере (3.1.48) (то есть, условия
(3.1.48) сохраняются при предельном переходе – Теорема Вейерштрасса). Докажем
этот факт от противного. Пусть предельная точка ⃗x для сходящейся последовательности ⃗x(p) ∈ S n−1 , не лежит на сфере (3.1.48), то есть
√
|⃗x| = x21 + x22 + . . . + x2n = R + ϵ ,
(3.1.49) sphn2
где ϵ ̸= 0. По условию сходимости последовательности ⃗x(p) к ⃗x, для любого сколь
угодно малого ϵ существует достаточно большой номер k такой, что для всех p > k
мы имеем |⃗x − ⃗x (p) | < |ϵ|. Однако это противоречит (3.1.49), так как из (3.1.49) и
неравенства треугольника |⃗x − ⃗x (p) | ≥ |⃗x| − |⃗x (p) | мы получаем
|⃗x − ⃗x (p) | ≥ |⃗x| − |⃗x (p) | = |ϵ| .
Таким образом, многообразие S n−1 ⊂ Rn , заданное в (3.1.48), не только ограничено,
но и замкнуто, а следовательно – компактно.
Итак, все сферы S n и гомеоморфные им многообразия – компактны. Все проективные пространства RPn = S n /Z2 также компактны. Пространства де Ситтера
(3.1.7) и анти де Ситтера (3.1.8) – некомпактны, так как они неограничены.
Гипотеза Пуанкаре. Всякое односвязное компактное трëхмерное многообразие без
края гомеоморфно 3-х мерной сфере.
Эта гипотеза была сформулирована А.Пуанкаре в 1904 году, а доказана лишь недавно
(2002 год) российским математиком Г.Я. Перельманом на основе программы, предложенной американским математиком Р. Гамильтоном.
13
Множество M — замкнуто, если оно является дополнением к открытому множеству и таким
образом содержит все свои точки прикосновения. В рассматриваемом случае понятия замкнутости
M в Rn и полноты M являются эквивалентными.
3.1 Многообразия. Группы Ли.
72
Определение 3.1.9 Группа Ли называется компактной (некомпактной) если многообразие этой группы компактно (некомпактно).
Примеры компактных и некомпактных групп Ли.
1.) Группы Ли U (1) = SO(2) и SU (2) – компактны, так как их многообразия S 1
и S 3 – компактны. Группа SO(3) – компактна, так как многообразие SO(3) — это
проективное пространство RP3 (пример 9 из подраздела 3.1.2).
2.) Все вещественные ортогональные группы O(n) – компактны. Многообразие груп2
пы O(n) вложено в n2 -мерное пространство Rn вещественных n × n матриц и определяется уравнениями (3.1.19):
Oij Okj = δik ,
(i, k = 1, . . . , n) .
(3.1.50) sona
Положив в этих соотношениях k = i, получаем (по i суммирования нет)
n
∑
Oij Oij = 1 .
(3.1.51) son1
j=1
Таким образом, каждый элемент Oij принадлежит замкнутому интервалу Oij ∈
[−1, 1] и пространство группы O(n) ограничено. Замкнутость пространства группы
O(n) следует из сохранения соотношений (3.1.50) при предельных переходах (доказательство аналогично приведенному в Утверждении 3.1.2). Таким образом, многообразие группы O(n) не только ограничено, но и замкнуто, а так как это многообразие
2
вложено в евклидово пространство Rn , то оно компактно.
Замечание 1. Возьмем сумму по i в соотношении (3.1.51) и получим
Oij Oij = n .
Таким образом, пространство группы O(n) образует компактное
подмногообразие
√
n2 −1
n2
в компактном многообразии сферы S
⊂ R радиуса n.
3.) Все унитарные группы U (n) – компактны. Пространство группы U (n) унитарных
2
2
матриц U вложено в пространство Cn = R2n и задается системой уравнений
∗
Uij · Ukj
= δik .
(3.1.52) una1
∑
2
Из этих уравнений получаем
j |Uij | = 1 (i фиксировано), откуда следует, что
|Uij | ≤ 1 и многообразие группы U (n) ограничено. Его замкнутость доказывается
так же, как в Утверждении 3.1.2.
Замечание 2. В связи с примерами 2.) и 3.) отметим, что O(n) ⊂ U (n) и U (n) ⊂
O(2n). В последнем случае вложение U (n) в O(2n) осуществляется следующим образом
(
)
X Y
U = (X + i Y ) ∈ U (n) ⇒
∈ O(2n) ,
−Y X
где X, Y – вещественные n×n матрицы, удовлетворяющие условиям X T Y = Y T X,
X T X + Y T Y = In (см. (2.2.60), (2.2.65) и (2.2.66) для случая Ip,q = In ).
4.) Все унитарные симплектические группы U Sp(2r) – компактны. Ограниченность
3.1 Многообразия. Группы Ли.
73
многообразия группы U Sp(2r) следует из того, что U Sp(2r) ⊂ U (2r), а замкнутость
этого многообразия вытекает из сохранения условий унитарности и симплектичности при предельных переходах.
5.) Группы GL(n, K) и SL(n, K) (K – поле комплексных или вещественных чисел) –
некомпактны, так как их многообразия очевидно неограничены и незамкнуты.
6.) Группа O(1, 1) – некомпактна, так как ее многообразие состоит из четырех несвязных одномерных многообразий, два из которых образуют многообразие подгруппы
SO(1, 1) – гиперболу (3.1.24), которая неограничена и незамкнута.
7.) Группы O(n, C), O(p, q), U (p, q), Sp(2r, R) при n > 1 и p, q, r ̸= 0 также некомпактны. Группа O(p, q) – некомпактна, так как она содержит подгруппу O(1, 1), многообразие которой неограничено, поэтому неограничено и многообразие O(p, q). Группы
O(n, C) и U (p, q) некомпактны, так как O(p, q) ⊂ U (p, q) и при p + q = n мы имеем
O(p, q) ⊂ O(n, C). Наконец, группа Sp(2r, R) – некомпактна, так как она содержит
подгруппу Sp(2, R), изоморфную группе SL(2, R), многообразие которой неограничено.
Таким образом, среди перечисленных матричных групп компактны лишь группы
U (n), O(n) и U Sp(2r) и их подгруппы SU (n) и SO(n). Кроме этих и связанных с
ними групп (таких как SU (N )/ZN ) существует конечное число компактных групп
Ли (если не брать в расчет прямые произведения типа SU (N ) × SO(M )).
3.1.5
Касательные пространства к гладким многообразиям.
Определение 3.1.10 Пусть M – гладкое многообразие. Две гладкие кривые f1 : I →
M и f2 : I → M , исходящие из точки P = f1 (0) = f2 (0) (см. определение 3.1.4
2 (t)
гладкой кривой), называются эквивалентными в точке P , если lim f1 (t)−f
= 0
t
t→0
в координатах любой локальной карты. Касательным вектором A к M в точке
P ∈ M , называется класс эквивалентности выходящих из P кривых.
Пусть M – n-мерное гладкое многообразие. Тогда в окрестности U ⊂ M точки
P ∈ M можно ввести локальные координаты {xi } (i = 1, . . . , n), то есть задать
взаимнооднозначное отображение ϕ из U на область V в Rn . Пусть ϕ(P ) соответствует
началу координат ⃗0 в Rn . С помощью отображения ϕ кривая f : I → M , исходящая
из точки P = f (0), будет отображаться в кривую в области V ⊂ Rn
⃗x(t) = ϕ(f (t)) , ⃗x(0) = ⃗0 ,
(3.1.53) gg3a
причем координаты вектора ⃗x(t), задающего образ кривой f вблизи точки P ∈ U ,
можно разложить при малых t
xi (t) = ai t + bi t2 + O(t3 ) ,
(3.1.54) gg1a
где ai и bi – вещественные коэффициенты. Рассмотрим теперь две кривые f1 (t) и
f2 (t), исходящие из точки P = f1 (0) = f2 (0), и их образы вблизи P в координатах
локальной карты U :
xi1 (t) = ai1 t + bi1 t2 + O(t3 ) , xi2 (t) = ai2 t + bi2 t2 + O(t3 ) .
(3.1.55) gg2a
3.1 Многообразия. Группы Ли.
74
Согласно Определению 3.1.10 кривые f1 и f2 эквивалентны в точке P , если ai1 = ai2 .
Таким образом, эквивалентные кривые в U ⊂ M , исходящие из P ∈ M , имеют представления в локальных координатах (3.1.54) с одними и теми же коэффициентами
ai ∈ R (но возможно разными bi и т.д.), а касательный вектор A к M в точке P —
это класс эквивалентности кривых f (t), исходящих из P и имеющих вблизи точки P
одно и тоже представление xi (t) = ai t + O(t3 ) в координатах локальной карты U . Это
означает, что касательный вектор A к M в точке P задается набором вещественных
чисел {ai }
)
( 1
dx
dxn
1
n
(a , . . . , a ) =
,...,
,
(3.1.56) locA
dt
dt t=0
или вектором ⃗a ∈ Rn . Мы будем называть числа {ai } локальными координатами
касательного вектора A к M в точке P . В другой системе координат {x̄i } (связанной
с другим отображением ϕ̄: Ū → Rn , где Ū может быть другой локальной картой,
содержащей P ) касательный вектор A будет иметь другие локальные координаты
( 1
)
dx̄
dx̄n
1
n
(ā , . . . , ā ) =
,
,...,
dt
dt t=0
которые, однако, согласно правилу дифференцирования сложной функции, связаны
с {ai } (3.1.56) преобразованиями
āj = ai
∂ x̄j
.
∂xi xk =0
(3.1.57) gg02
В силу условий (3.1.3) это преобразование ⃗a → ⃗ā обратимо, поэтому если две кривые эквивалентны в точке P в одной локальной системе координат, то они будут
эквивалентны и в любой другой локальной системе координат. Мы заключаем, что
определение 3.1.10 касательных векторов к многообразию M в точке P не зависит
от выбора локальных карт и, таким образом, самосогласовано.
С точки зрения физики кривые f (t) в M можно интерпретировать как траектории
частиц, которые двигаются в M . Параметр t на кривой интерпретируется как время,
а касательный вектор A, заданный в локальной системе координат в (3.1.56), можно
рассматривать как вектор скорости этой частицы в точке P в начальный момент
времени t = 0.
Утверждение 3.1.3 На множестве касательных векторов к M в точке P можно
ввести структуру вещественного векторного пространства.
Доказательство. Рассмотрим две кривые f1 (t) и f2 (t) в U ⊂ M , исходящие из
P и имеющие вблизи точки P (при малых t) представления (3.1.55) в координатах
некоторой локальной карты U . Построим новую кривую f (t), имеющую вблизи точки
P представление в локальных координатах
xi (t) = (ai1 + ai2 ) t + O(t2 ) .
(3.1.58) gg2b
Сумма касательных векторов A1 и A2 к кривым f1 (t) и f2 (t) в точке P определяется как класс эквивалентных кривых f (t), исходящих из P и имеющих в локальных
3.1 Многообразия. Группы Ли.
75
координатах при малых t представление (3.1.58). Таким образом, локальные координаты суммы двух касательных векторов A1 + A2 равны, по определению, сумме
локальных координат векторов A1 и A2 .
Умножение на вещественное число c касательного вектора A в точке P ∈ M к
кривой f (t), исходящей из точки P и заданной согласно (3.1.54), определяется как
касательный вектор к новой кривой f ′ (t) = f (c · t), также исходящей из P . Кривая
f ′ (t) вблизи точки P в координатах локальной карты U будет иметь представление
xi (c t) = c ai t + O(t2 ) .
(3.1.59) gg2f
Поэтому если касательный вектор A к кривой f (t) в точке P имеет локальные координаты ai ∈ R, то касательный вектор c · A, согласно его определению, будет иметь
локальные координаты c · ai ∈ R. Отметим, что нулевой касательный вектор в P
соответствует ”траектории” для неподвижной точки f (0 · t) = P .
Итак, мы определили на множестве всех касательных векторов к многообразию
M в точке P сложение касательных векторов и умножение касательного вектора
на число. В силу (3.1.57) эти определения не зависят от выбора локальной карты.
Пользуясь этими определениями, легко проверить для указанного множества все
аксиомы векторного пространства (см. Определение 2.2.1).
Вещественное векторное пространство, образованное всеми касательными векторами к M в точке P , называется касательным векторным пространством к M в точке
P и обозначается TP (M ). Размерность касательного пространства TP (M ) очевидно
равна размерности многообразия M .
Для нас будет исключительно важным следующий пример.
Пример.
Рассмотрим касательное пространство к многообразию n-мерной группы Ли G в
точке, соответствующей единичному элементу e ∈ G. Пусть U – локальная карта
(окрестность) в G, содержащая точку e ∈ G. Рассмотрим гладкие кривые g(t) в
окрестности U группы G, исходящие из единицы e ∈ U ⊂ G, то есть выберем вещественный параметр t на кривых g(t) так, чтобы g(0) = e. Определим локальные
координаты на U , задав отображение ϕ: U → V ⊂ Rn , причем потребуем чтобы
ϕ(e) = ⃗0 ∈ Rn . Отображение ϕ переводит кривые g(t) в гладкие кривые (3.1.53) в
области V ⊂ Rn . Локальные координаты {xi (t)} точек этих кривых вблизи e ∈ G
(при малых t) будут, как и в общем случае, представляться в виде (3.1.54).
Две кривые g1 (t) и g2 (t) в окрестности U группы G, исходящие из точки e ∈ G,
будем считать эквивалентными в этой точке, если
g1 (t) · g2−1 (t) = g(F (t)) ,
(3.1.60) g1g2
где F (t) = O(t2 ). Это определение согласуется с определением эквивалентных кривых, которое мы дали выше в общем случае. Действительно, кривые g1 (t) и g2 (t) в
координатах локальной карты U имеют представления (3.1.55). С учетом этих представлений и формул (3.1.11), (3.1.13), соотношение (3.1.60) означает, что для эквивалентных кривых g1 (t) и g2 (t) в формулах (3.1.55) мы должны, как и в общем случае,
положить ai1 = ai2 , что и доказывает эквивалентность двух определений.
3.1 Многообразия. Группы Ли.
76
Согласно Определению 3.1.10, класс эквивалентности кривых в G в точке e ∈ G
называется касательным вектором к группе G в точке e.
Далее, в соответствии с общим Утверждением 3.1.3, на множестве касательных
векторов к многообразию группы G в точке e можно ввести структуру вещественного векторного пространства. В данном случае для определения суммы касательных
векторов надо как и ранее рассмотреть две кривые g1 (t) и g2 (t) в U ⊂ G, исходящие
из точки e, и построить новую кривую, лежащую в группе G,
g(t) = g1 (t) · g2 (t) ,
(3.1.61) g1g3
касательный вектор к которой в точке e будем называть суммой касательных векторов A1 и A2 к кривым g1 (t) и g2 (t) в e. Эквивалентность этого определения и определения суммы касательных векторов, которое было дано в общем случае, можно
продемонстрировать следующим образом. Кривой (3.1.61), согласно (3.1.11), (3.1.13)
и (3.1.55), в локальных координатах соответствует кривая (3.1.58), то есть, как и в общем случае, локальные координаты суммы двух касательных векторов A1 +A2 даются суммой локальных координат касательных векторов A1 и A2 . Наконец, умножение
касательного вектора к кривой g(t) в точке e, на вещественное число c определяется
как касательный вектор к новой кривой
g ′ (t) = g(c · t) ,
(3.1.62) g1g4
исходящей из точки e. При этом локальные координаты ai касательного вектора A
к кривой g(t) в точке e перейдут согласно (3.1.59) в локальные координаты c · ai
касательного вектора c · A к кривой g(c · t) в точке e. В частном случае мы получаем,
что нулевой касательный вектор к группе G в точке e соответствует ”кривой” g(0·t) =
e.
Так же как и в общем случае, вещественное векторное пространство, образованное
всеми касательными векторами к многообразию группы Ли G в точке e ∈ G, будем
называть касательным векторным пространством к группе G в точке e и обозначать
его как Te G или как A(G) (имея ввиду, что Te G всегда наделено дополнительной
алгебраической структурой, см. ниже).
Отметим, что определения эквивалентности кривых (3.1.60), суммы касательных
векторов (3.1.61) и умножения касательного вектора на число (3.1.62) в случае группы Ли не требуют явного использования локальных координат, в отличие от ана- VRN
логичных определений, данных выше в случае произвольных многообразий. Кроме ред. правка
того, отметим еще одну особенность касательных пространств к группам Ли. Она
связана с тем, что любую кривую g(t), выходящую из e ∈ G, можно сместить в
кривую g ′ (t), выходящую из любой другой точки g0 ∈ G, с помощью взаимнооднозначных преобразований
g(t) → g ′ (t) = g0 · g(t) или g(t) → g ′ (t) = g(t) · g0 .
(3.1.63) g1g5
При этом эквивалентные кривые в точке e перейдут в эквивалентные кривые в точке g0 . Поэтому имеется взаимнооднозначное соответствие между касательными векторами пространств Te G и Tg0 G, которое устанавливается левыми (или правыми)
сдвигами (3.1.63) на многообразии группы Ли.
3.1 Многообразия. Группы Ли.
77
Замечание 1. Объединение касательных пространств к гладкому многообразию M
во всех его точках T (M ) = ∪P ∈M TP (M ) имеет структуру гладкого многообразия и
называется касательным расслоением многообразия M . Точнее, элементом (точкой)
касательного расслоения является пара (P, A), где P ∈ M , A ∈ TP (M ).
Замечание 2. Пусть на касательном пространстве TP (M ) к n-мернoму многообразию M в точке P задана симметричная невырожденная билинейная форма (скалярное произведение):
f (A, B) = ai gij (⃗x) bj .
(3.1.64) gg2g
Здесь ai и bj (i, j = 1, . . . , n) – локальные координаты касательных векторов A, B ∈
TP (M ), ⃗x = (x1 , . . . , xn ) – локальные координаты точки P в локальной карте U , а
gij (⃗x) = f (Ai , Aj ), где Ai – базисные векторы в TP (M ) с локальными координатами (ai )j = δij . Потребуем, чтобы скалярное произведение (3.1.64) не менялось при
замене локальных координат, то есть ai gij bj = āi ḡij b̄j . Согласно (3.1.57) это означает, что функции gij (xr ) := gij (⃗x) при смене локальных координат xr → x̄r должны
преобразовываться следующим образом
gij (xr ) → ḡij (x̄r ) ,
gkm (xr ) = ḡij (x̄r )
∂ x̄i ∂ x̄j
.
∂xk ∂xm
(3.1.65) gg2h
Локальные координаты в окрестности точки P можно выбрать так, чтобы привести
невырожденную матрицу ||gij || в точке P к виду gij = (Ip,q )ij , при этом скалярное
произведение (3.1.64) на TP (M ) перейдет в скалярное произведение (2.3.23).
Пусть скалярное произведение (3.1.64) задано на всех TP M (∀P ∈ M ) и при
этом элементы матрицы gij (xr ) – гладкие функции от локальных координат xr точек
P , лежащих в одной и той же локальной карте. Пусть в каждой точке P матрица
||gij || приводится заменой локальных координат к одному и тому же стандартно- VRN
му виду gij = (Ip,q )ij (в общем случае одновременно во всех точках P локальной
карты этого сделать нельзя). Если скалярное произведение (3.1.64) обладает всеми вышеуказанными свойствами, то тогда говорят, что на многообразии M задана
псевдориманова метрика gij с сигнатурой (p, q). При q = 0 скалярное произведение положительно определено, и метрика называется римановой. Понятие метрики
на гладких многообразиях M будет нами использоваться ниже, например, при обсуждении конформных преобразований и конформной группы на M , а также при
определении меры Хаара для многообразий групп Ли (смотри следующий раздел).
Разумеется, такое формальное определение метрики согласуется с более интуитивным представлением о том, что метрика определяет расстояние (интервал, в случае псевдоримановой метрики) между близкими точками на многообразии, см. [21]. В
данной карте U близкие точки на многообразии имеют координаты {xi } и {xi + dxi },
а квадрат расстояния (интервала) между ними равен
ds2 = gij dxi dxj .
(3.1.66) ds2
Соотношение (3.1.65) показывает, что расстояние не зависит от выбора локальных
координат.
Замечание 3. Пусть F – гладкое отображение гладкого m-мерного многообразия M
в гладкое n-мерное многообразие N . C помощью F локальные карты U ⊂ M будут
3.1 Многообразия. Группы Ли.
78
e ⊂ N , а эквивалентные кривые в M , исходящие из
отображаться в локальные карты U
точки P ∈ U , будут отображаться в эквивалентные кривые в N , исходящие из точки
e . Поэтому гладкое отображение F : M → N одновременно определяет и
F (P ) ∈ U
отображение FP′ касательных пространств TP (M ) → TF (P ) (N ).
Опишем отображение FP′ в терминах локальных координат. Пусть xi (i = 1, . . . , m)
– локальные координаты в U ⊂ M , X α (α = 1, . . . , n) – локальные координаты в
e ⊂ N , тогда отображение F : U → U
e будет задаваться с помощью гладких функций
U
α 1
m
X (x , . . . , x ). Кривая f (t) ⊂ U , исходящая из точки P и имеющая представление
в локальных координатах (3.1.54), будет с помощью F отображаться в кривую в
e ⊂ N , исходящую из F (P ) и имеющую представление в локальных координатах
U
X α (xi (t)) = X α (ai t + bi t2 + O(t2 )) = X α (0) + ai ∂i X α (0) t + O(t2 ) ,
(3.1.67) difF
где в последнем равенстве мы воспользовались разложением в ряд Тейлора. Из
(3.1.67) видно, что отображение FP′ – линейно, так как переводит касательный вектор
e ∈ TF (p) (N ) c координатаA ∈ Tp (M ) c координатами {ai } в касательный вектор A
α
i
α
′
ми e
a = a ∂i X (0). Кроме того FP зависит только от первого члена в разложении
(3.1.54), то есть FP′ – линейная функция на классах эквивалентных кривых f : I → M ,
исходящих из точки P . Отображение FP′ : Tp (M ) → TF (p) (N ) называется производной
отображения F : M → N в точке P . Отображения FP′ будут нами использоваться,
когда мы будем обсуждать построение представлений алгебр Ли по представлениям
соответствующих групп Ли.
3.1.6
Мера Хаара.
Пусть на групповом многообразии группы Ли G имеется метрика, то есть определен
квадрат расстояния ds2 (g1 , g2 ) между близкими элементами g1 и g2 группы G. Метрика называется правоинвариантной, если для всех g ∈ G и всех близких g1 , g2 из G
справедливо
ds2 (g1 · g, g2 · g) = ds2 (g1 , g2 ) ,
(3.1.68) invm00
то есть метрика инвариантна относительно правых сдвигов gi → gi · g. Соответственно, метрика называется левоинвариантной, если для всех g ∈ G и всех близких
g1 , g2 ∈ G справедливо
ds2 (g · g1 , g · g2 ) = ds2 (g1 , g2 ) .
Покажем, что положительно-определенная инвариантная метрика действительно существует для любой группы Ли. Рассмотрим случай правоинвариантной метрики
(для левоинвариантной метрики построение аналогично). Идея состоит в том, что
для правоинвариантной метрики из (3.1.68) мы получаем
ds2 (g1 , g2 ) = ds2 (e, g2 · g1−1 ) ,
(3.1.69) invm
3.1 Многообразия. Группы Ли.
79
где правая часть очевидно инвариантна относительно правых сдвигов gi → gi · g и
является метрикой вблизи единичного элемента. Поэтому, определяя правоинвариантную метрику в окрестности единицы, ее можно однозначно и инвариантно распространить на всю группу с помощью соотношения (3.1.69).
Более подробно эта конструкция выглядит так. Пусть dim(G) = n и в окрестности
Ug точки g ∈ G задана система локальных координат. Пусть ⃗x = (x1 , . . . , xn ) – координаты элемента g и d⃗x – малое приращение вектора ⃗x. Тогда g(⃗x) и g(⃗y ) = g(⃗x + d⃗x)
– два близких элемента в Ug . Квадрат расстояния между ними равен (ср. с (3.1.66))
ds2 (g(⃗x), g(⃗y )) = ds2 (g(⃗x), g(⃗x + d⃗x)) = aij (⃗x)dxi dxj .
(3.1.70) invm08
Здесь aij (⃗x) – метрический тензор, который по построению должен быть положительно определен. Правоинвариантная метрика aij (⃗x) для произвольной группы Ли G
строится следующим образом. Введем, прежде всего, произвольную положительноопределенную метрику в окрестности единицы:
ds2 (e, g(d⃗t )) = aij (0) dti dtj ,
(3.1.71) invm07a
где ti — локальные координаты в окрестности единицы; считаем, что единице соответствует ⃗t = 0. Отобразим взаимнооднозначным образом окрестность элемента g(⃗x)
в окрестность единицы:
F : g(⃗y ) → g(⃗y ) · g −1 (⃗x) ,
(3.1.72) invm07b
где g(⃗y ) ∈ Ug(⃗x) , т.е. ⃗y близко́ к ⃗x. Такое отображение индуцирует взаимнооднозначное
отображение координат
y i = F i (⃗t, ⃗x) ,
(3.1.73) dec6-11-2
где ti — близкие к нулю координаты элемента
g(⃗t) = g(⃗y ) · g −1 (⃗x) ,
(3.1.74) dec6-11-1
лежащего в окрестности единицы. Отметим, что если элемент g(⃗t), близкий к единичному, принадлежит той же координатной окрестности Ug(⃗x) (как и элементы g(⃗x) и
g(⃗y )), то функции F i (⃗t, ⃗x) совпадают с функциями (3.1.12)14 . Ясно, что xi = F i (⃗0, ⃗x),
а для ⃗y = ⃗x + d⃗x мы имеем
dxi = Rji (⃗x) dtj ,
Rji (⃗x) =
∂ i⃗
F (t, ⃗x)
,
∂tj
⃗t=0
(3.1.75) invm09a
где n × n матрица ||Rji (⃗x)|| обратима. Условие правоинвариантности метрики (3.1.69)
и формулы (3.1.70), (3.1.71) дают
aij (⃗x)dxi dxj = aij (0)dti dtj ,
14
На самом деле в локальной окрестности Ug любого элемента g ∈ G можно выбрать координаты так, что функции (3.1.12) и (3.1.73) будут совпадать. Действительно, все элементы из Ug ,
достаточно близкие к g, с помощью их умножения справа на g −1 можно передвинуть в окрестность Ue единичного элемента. Зададим теперь координаты ⃗x для любого элемента g(⃗x) из Ug так:
g(⃗x) = g ′ (⃗x) · g, где g ′ (⃗x) ∈ Ue и ⃗x – система координат в Ue . После этого (3.1.74) переписывается в
−1
виде g(⃗t) = g ′ (⃗y ) · g ′ (⃗x), где уже все три элемента принадлежат одной локальной координатной
окрестности Ue .
3.1 Многообразия. Группы Ли.
80
поэтому, с учетом (3.1.75), имеем
aij (⃗x) = [R−1 (⃗x)]ki [R−1 (⃗x)]lj akl (0) .
(3.1.76) invm03
Таким образом, матрица aij (0) метрики вблизи единицы однозначно задает матрицу
aij (⃗x) метрики вблизи любого другого элемента g(⃗x) ∈ G и, следовательно, однозначно определяет правоинвариантную метрику на всей группе Ли G.
• Задача 57. Доказать, что матрица левоинвариантной метрики e
aij (⃗x) будет
определяться формулой (сравните с (3.1.76))
e
aij (⃗x) = [L−1 (⃗x)]ki [L−1 (⃗x)]lj akl (0) ,
(3.1.77) invm03L
где
Lij (⃗x) =
∂ i ⃗
F (⃗x, t)
,
∂tj
⃗t=0
(3.1.78) invm03La
а y i = F i (⃗x, ⃗t) — отображение координат, индуцируемое отображением
g(⃗y ) → g −1 (⃗x)g(⃗y ), сравните с (3.1.72).
Замечание 1. Правую часть в (3.1.70) можно рассматривать как инвариантное
скалярное произведение (3.1.64) в касательном пространстве Tg(⃗x) (G) с метрикой
gij (⃗x) = aij (⃗x).
Замечание 2. Метрику aij (⃗x) не обязательно считать положительно определенной.
При этом ds2 нужно рассматривать не как квадрат расстояния между близкими
точками g1 и g2 , а как квадрат интервала в псевдоевклидовом пространстве. Подчеркнем, однако, что положительно определенная правоинвариантная (так же как
и левоинвариантная) метрика существует для любой группы Ли, а использовать ее
или нет — вопрос удобства.
Изложенная выше конструкция для правоинвариантных (и левоинвариантных)
векторных полей, а также для инвариантных метрик, имеет особенно простой вид в
случае матричных групп Ли G. В этом случае определено дифференцирование матриц g ∈ G по параметрам группы. Рассмотрим прежде всего окрестность единицы с
координатами ti и обозначим ∂t∂ i g(⃗t) ⃗t=⃗0 = Xi . Матрицы Xi — это базисные вектора
(образующие матричной алгебры Ли A(G), смотри ниже) в касательном пространстве Te (G) к многообразию группы G в единичном элементе. Для векторов Xi можно
определить скалярное произведение (3.1.64) следующим образом:
aij (⃗0) = −Tr(Xi Xj ) .
(3.1.79) invm09
Это и будут метрические коэффициенты в точке группового многообразия, соответствующей единице группы. В общем случае такая метрика не является положительно
определенной.
Далее, дифференцируя соотношение (3.1.74) по ti и полагая затем ⃗t = ⃗0, получим,
с учетом (3.1.73)
Xi =
∂g(⃗y )
∂
g −1 (⃗x) .
= Rik (⃗y )
g(⃗y )g −1 (⃗x)
i
∂t
∂y k ⃗y=⃗x
⃗t=⃗0
3.1 Многообразия. Группы Ли.
81
Отсюда мы выводим соотношение
[R−1 (⃗x)]ik Xi =
∂g(⃗x)
· g(⃗x)−1 ,
k
∂x
(3.1.80) invm02
которое будет использоваться в дальнейшем.
• Задача 58. Получить лево-инвариантный аналог соотношения (3.1.80)
[L−1 (⃗x)]ik Xi = g(⃗x)−1 ·
∂g(⃗x)
,
∂xk
(3.1.81) invm02L
где матрица Lik (⃗x) определена в (3.1.78).
Соотношение (3.1.80) вместе с (3.1.76) и (3.1.79) дает
(
)
∂g(⃗x)
x)
−1 ∂g(⃗
−1
akl (⃗x) = −Tr
· g(⃗x) ·
· g(⃗x)
∂xk
∂xl
или
[
]
[
]
ds2 = −Tr (dg · g −1 ) · (dg · g −1 ) = Tr dg · dg −1 ,
(3.1.82) invm10
(3.1.83) ds2gg
где dg — разность близких матриц g из группы G. Метрика (3.1.82) очевидно право- и
лево- инвариантна, так как она не меняется при сдвигах g(⃗x) → g(⃗x)·h и g(⃗x) → h·g(⃗x)
для всех h ∈ G, но эта метрика не положительно определена в общем случае. Она
положительно определена только для компактных групп Ли (смотри ниже раздел
5.1).
В случае комплексной матричной группы правоинвариантную метрику, по аналогии с (3.1.83), можно постулировать в виде
[
]
ds2 = Tr (dg · g −1 ) · (dg · g −1 )† .
(3.1.84) oct13c
Эта метрика вещественна и положительно определена, поскольку Tr(A·A† ) = Aij A∗ij ,
но не является в общем случае левоинвариантной, в отличие от (3.1.83).
Для
[
] случая группы SU (N ) метрика (3.1.84) переписывается в виде ds2 = Tr dg · dg † и так
как g † = g −1 , она совпадает с (3.1.83). Таким образом, метрика (3.1.84) для группы SU (N ) положительно определена и инвариантна относительно как левых, так и
правых сдвигов на группе.
• Задача 59. Используя представление (3.1.17), показать, что в случае группы
SU (2) метрика (3.1.84) совпадает со стандартной метрикой на сфере S 3 :
ds2 = dχ2 + sin2 χ (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) .
Указание. Привести метрику к виду ds2 = Tr[dU dU † ] и воспользоваться параметризацией сферы S 3 через сферические углы (χ, θ, ϕ)
x0 = cos χ ,
x1 = sin χ cos θ ,
x2 = sin χ sin θ cos φ ,
x3 = sin χ sin θ sin φ .
(3.1.85) eqz05
3.1 Многообразия. Группы Ли.
82
Используя правоинвариантную метрику на групповом многообразии, можно построить правоинвариантную меру на нем (меру Хаара). В использованных выше
обозначениях элемент объема, записанный в локальных координатах, равен
dµ(g) = |det aij (⃗x)|1/2 dx1 . . . dxn ,
(считаем, что размерность группы равна n). Приведенные выше соображения (смотри (3.1.76)) показывают, что правоинвариантная мера может быть также записана в
виде (с точностью до знака)
dµ(g) = |det aij ( ⃗0 )|1/2 det−1 (||Rij (⃗x)||) dx1 . . . dxn .
(3.1.86) mera01
Следовательно, такая мера — единственная с точностью до численного множителя,
который в наших обозначениях равен |det aij ( ⃗0 )|1/2 . Соответственно согласно (3.1.77)
левоинвариантная мера может быть записана в виде
de
µ(g) = |det aij ( ⃗0 )|1/2 det−1 (||Lji (⃗x)||) dx1 . . . dxn .
(3.1.87) mera01L
• Задача 60. Доказать тождества:
de
µ(g) = dµ(g −1 ) ,
de
µ(g −1 ) = dµ(g) .
Правоинвариантность меры dµ(g) (3.1.86) означает, что dµ(g · h) = dµ(g) для всех
g, h ∈ G, или
∫
∫
f (g · h) dµ(g) =
f (g) dµ(g) ,
(3.1.88) mera02
для любой функции f на группе, где интегрирование идет по всей группе. При выводе
(3.1.88) необходимо воспользоваться тождеством
∫
∫
f (g) dµ(g) =
f (g · h) dµ(g · h) ,
(3.1.89) mera03
которое следует из того, что g ·h пробегает всю группу, когда g пробегает всю группу.
То, что правоинвариантная мера единственна (с точностью до умножения на константу), можно пояснить следующим интуитивным рассуждением. Пусть вблизи единицы группы введены координаты (t1 , . . . , tn ), тогда элемент объема, окружающего
единицу, можно выбрать в виде c dt1 . . . dtn , где c — некоторая константа. Этот объем
определяет вид меры вблизи единицы. Все элементы группы вблизи фиксированного
элемента g можно перенести в окрестность единицы умножением справа на g −1 . При
этом переносе, в случае правоинвариантной меры, объем области вблизи g не изменится и в точности совпадет с объемом области вблизи единицы, то есть величина
этого объема однозначно определяется, если известна константа c. Это и означает
единственность правоинвариантной меры с точностью до одной константы c.
Для матричной группы размерности n, вложенной в SU (N ), пользуясь (3.1.80) и
определением детерминанта (2.2.10), правоинвариантную меру (3.1.86) можно записать (с точностью до умножения на константу) в виде
(
)
∂g
∂g
∂g
n+[ n
−1
−1
−1
]
g · i2 g . . . in g
ϵi1 i2 ...in dx1 dx2 . . . dxn ,
(3.1.90) oct13-5
dµ(g) = i 2 Tr
∂xi1
∂x
∂x
3.1 Многообразия. Группы Ли.
83
где xi — локальные координаты на группе, символ [ n2 ] обозначает целую часть n/2,
а числовой множитель в правой части (3.1.90) выбран согласно требованию вещественности и положительности меры. Отметим, что эта же мера является и левоинвариантной.
• Задача 61. Показать, что мера (3.1.90) вещественна. Указание: воспользо†
∂g
= − ∂x
· g † , которое следует из равенства
ваться соотношением g · ∂g
∂x
g · g † = IN .
• Задача 62. Показать, что мера (3.1.90) не зависит от выбора локальной системы координат xi на групповом многообразии.
• Задача 63. Показать, используя представление (3.1.17), что в случае группы
SU (2) мера (3.1.90) совпадает со стандартной мерой на трехмерной сфере
S 3.
В заключение этого раздела сделаем несколько замечаний по поводу меры Хаара
для компактных групп Ли. Прежде всего, объем компактной группы Ли, определяемый по мере Хаара, конечен. С этим связаны замечательные свойства компактных
групп, а также компактных алгебр Ли, о которых мы будем говорить в разделе 4.6.
Далее, правоинвариантная мера на компактной группе Ли G является одновременно левоинвариантной (и наоборот). Чтобы убедиться в этом, воспользуемся тождеством, аналогичным тождеству (3.1.89),
∫
∫
f (g) dµ(g) =
f (h · g) dµ(h · g) ,
(3.1.91) oct14-1
где h — произвольный элемент группы и d µ(g) — правоинвариантная мера. Поскольку правоинвариантная мера — единственная с точностью до численного множителя,
то для левых сдвигов на группе G выполнено
dµ(h · g) = c(h) dµ(g) ,
(3.1.92) mera04
где c(h) — числовая функция на G. Выберем f (g) = 1 в тождестве (3.1.91); в результате получим
∫
∫
∫
dµ(g) =
dµ(h · g) = c(h)
dµ(g) .
(3.1.93) mera05
∫
Так как интеграл dµ(g) конечен для компактных групп, то из (3.1.93) следует,
что c(h) = 1, и правоинвариантная мера dµ(g) согласно (3.1.92) является также и
левоинвариантной. В дальнейшем в случае компактных групп Ли мы будем говорить
просто об инвариантной мере Хаара.
3.2 Алгебры Ли.
84
3.2
Алгебры Ли.
3.2.1
Касательные пространства к многообразиям матричных групп Ли.
С группами Ли тесно связаны алгебры Ли. Проще всего понять эту связь на примере
матричных групп и алгебр Ли. Общую конструкцию алгебр Ли мы обсудим ниже в
Разделе 3.2.5.
Пусть G – матричная группа Ли, G ⊂ GL(n, C). Рассмотрим гладкую кривую
g(t) на многообразии матричной группы G, проходящую через единицу In ∈ G. Вещественный параметр t на кривой выберем как обычно так, чтобы точка t = 0 соответствовала единице, g(0) = In . Тогда кривая g(t) ∈ G вблизи In (когда t мало,
t2 ≪ t) имеет представление
g(t) = In + t A + O(t2 ) .
(3.2.1) ali1
Согласно Определению 3.1.10, а также определению, данному в (3.1.60), все кривые в
G, эквивалентные g(t) в точке In ∈ G, имеют в этой точке одно и то же представление
(3.2.1) с одной и той же матрицей A. Таким образом, формула (3.2.1) описывает
класс эквивалентных кривых в точке In ∈ G, а матрица A фиксирует этот класс
эквивалентности и задает касательный вектор к многообразию матричной группы
Ли G в точке In ∈ G.
Рассмотрим множество A(G) всех касательных векторов (матриц) A к многообразию матричной группы G в точке In ∈ G.
Утверждение 3.2.1 1.) Множество A(G) образует вещественное векторное пространство. 2.) Если A1 , A2 ∈ A(G), то и [A1 , A2 ] ∈ A(G), где
[A1 , A2 ] = A1 · A2 − A2 · A1
(3.2.2) ali5
– коммутатор двух матриц.
Доказательство. 1.) То, что множество A(G) всех касательных векторов к многообразию группы Ли G в точке In образует вещественное векторное пространство, следует из общего Утверждения 3.1.3, а также из рассмотрения специального примера
касательного пространства Te (G), данного в предыдущем подразделе 3.1.5. Напомним, что структура векторного пространства для Te (G) вводится проще (см. (3.1.61),
(3.1.62)), чем для касательных пространств Tx (M ) в случае общих гладких многообразий M (см. доказательство Утверждения 3.1.3), так как при этом не требуется
определение каких-либо локальных координат в окрестности единичного элемента
G. Еще проще эта структура вводится на Te (G), если группа Ли G — матричная.
В связи с этим нам представляется целесообразным в качестве иллюстрации привести здесь упрощенное доказательсто первой части Утверждения 3.2.1 для случая
матричных групп Ли.
Растянем параметр t → ct у кривой g(t) (3.2.1), где c – действительное число. В
результате возникает новая кривая g ′ (t) = g(ct) на многообразии группы G, которая
вблизи единичного элемента имеет разложение g ′ (t) = In + t c A + O(t2 ) и следовательно, если A ∈ A(G), то и cA ∈ A(G). Далее возьмем две кривые g1 (t) и g2 (t) в G,
3.2 Алгебры Ли.
85
исходящие из In ∈ G и соответствующие двум касательным векторам A1 , A2 ∈ A(G),
g1 (t) = In + tA1 + t2 B1 + O(t3 ) ,
g2 (t) = In + tA2 + t2 B2 + O(t3 ) .
(3.2.3) ali22
Тогда кривая g ′′ (t) = g1 (t) · g2 (t) лежит в G и этой кривой в точке In соответствует
касательный вектор A1 + A2 ∈ A(G), поскольку
g ′′ (t) = (In + t A1 + O(t2 )) · (In + t A2 + O(t2 )) = In + t (A1 + A2 ) + O(t2 ) .
Таким образом, произведение вектора (матрицы) из A(G) на вещественное число и
сумма двух векторов из A(G) снова дают векторы из A(G). Проверка оставшихся
аксиом вещественного векторного пространства для A(G) не составляет труда.
2.) Рассмотрим две неэквивалентные кривые g1 (t) и g2 (t) (3.2.3), проходящие через
In ∈ G и соответствующие касательным векторам A1 , A2 ∈ A(G). Коммутант
g(t) = g1 (s) · g2 (s) · g1−1 (s) · g2−1 (s) ∈ G ,
(3.2.4) comnt
√
где s = sign(t) |t| и sign(t) = ±1 – знак параметра t, определяет кривую в G,
исходящую из In . Действительно, рассмотрим поведение кривой (3.2.4) вблизи единичного элемента (параметр s мал) с точностью до членов третьего порядка по s
g(t) = (In + sA1 + s2 B1 ) · (In + sA2 + s2 B2 ) · (In − s A1 − s2 β1 ) · (In − sA2 − s2 β2 ) ,
(3.2.5) comnt1
где βi = Bi − A2i (i = 1, 2) (так, что матрицы (In − s Ai − s2 βi ) – обратны к матрицам
(In + sAi + s2 Bi ) с точностью до членов порядка s2 = t включительно). Приводя
подобные члены в (3.2.5), получаем
g(t) = In + t [A1 , A2 ] + O(s3 ) .
(3.2.6) comnt2
Таким образом, если A1 , A2 ∈ A(G), то и [A1 , A2 ] ∈ A(G).
3.2.2
Матричные алгебры Ли.
Итак, в касательном пространстве A(G) определены не только операции над векторами, свойственные векторным пространствам, но и умножение (коммутирование)
[A1 , A2 ] двух векторов A1 , A2 ∈ A(G), не выводящее из A(G). При этом операция
коммутации удовлетворяет условиям (2.2.4). Таким образом, векторное пространство
A(G) наделено структурой алгебры (см. Определение 2.2.3).
Определение 3.2.1 Матричные векторные пространства A(G) с дополнительной
операцией умножения в виде коммутатора матриц мы будем называть матричными
алгебрами Ли (общее определение алгебр Ли будет дано ниже).
Поскольку алгебра Ли A(G) представляет собой касательное векторное пространство к групповому многообразию G в точке In , то размерность A(G) совпадает с
размерностью многообразия G.
3.2 Алгебры Ли.
86
Заметим, что при бесконечно малых t элемент (3.2.1) группы G можно представить в виде экспоненты g(t) = exp(tA) ∈ G, где A – элемент алгебры Ли A(G).
Возьмем произведение N таких экспонент
exp(tA) · · · exp(tA) = exp(N tA) .
|
{z
}
(3.2.7) tN
N
Пусть t = s/N , где s – фиксировано и N – большое целое положительное число.
Рассмотрим предел произведения (3.2.7) при N → ∞. В этом пределе в левой части
(3.2.7) стоит произведение элементов группы G, поэтому в правой части мы также
имеем элемент группы G:
exp(N tA) = exp(sA) ,
(3.2.8) aga2
который представляется в виде экспоненты от элемента алгебры Ли, и который,
вообще говоря, не лежит в малой окрестности единичного элемента группы. Таким
образом, если A ∈ A(G), то exp(A) ∈ G. Отметим, однако, что не всякий элемент
группы Ли G (даже из связной компоненты единицы G) можно представить в виде
одной экспоненты от элемента алгебры Ли (см. ниже Задачу 67), хотя он может
представляться в виде произведения нескольких экспонент.
BSF
Для любых двух некоммутирующих операторов A1 и A2 имеет место тождество
Кэмпбелла–Хаусдорфа
exp(A1 ) · exp(A2 ) = exp (F (A1 , A2 )) ,
∞
∑
1
F (A1 , A2 ) =
n+1
n=0
∫ 1
(
)n
dt 1 − et ad(A1 ) · et ad(A2 ) · (A1 + et ad(A1 ) · A2 ) ,
(3.2.9) cemb
(3.2.10) CaH
0
где операторы et ad(A) определяются следующим образом
et ad(A) · B ≡ etA · B · e−tA ,
(3.2.11) CaH2
причем последовательное действие операторов et ad(A) понимается так:
et ad(A1 ) · et ad(A2 ) · · · et ad(Ar ) · B = etA1 (etA2 (· · · (etAr · B · e−tAr ) · · ·)e−tA2 )e−tA1 .
• Задача 64. Доказать равенство
etA · B · e−tA =
∞
∑
tk
[A, [A, . . . , [A, B] . . .] .
|
{z
}
k!
k=0
(3.2.12) CaH3
k
Ряд для F (A1 , A2 ), приведенный в (3.2.10), необходимо рассматривать как формальный. Формула (3.2.10), вычисленная для нескольких первых членов по степеням
A1 , A2 , имеет вид
1
[A1 − A2 , [A1 , A2 ]] + . . . ,
F (A1 , A2 ) = (A1 + A2 ) + 12 [A1 , A2 ] + 12
(3.2.13) CaH1
3.2 Алгебры Ли.
87
• Задача 65. * Доказать тождество Кэмпбелла–Хаусдорфа (3.2.9), (3.2.10).
Проверить формулу (3.2.13), используя равенство (3.2.10) или проверить
(3.2.13) непосредственно, пользуясь разложением экспонент в (3.2.9) в ряд
Тейлора.
Если A1 , A2 ∈ A(G), то тождество (3.2.9) представляет собой другую форму записи соотношений (3.1.13). Так как в правой части (3.2.9) в показателе экспоненты
появляются только коммутаторы (смотри (3.2.10), (3.2.11) и (3.2.12)), относительно
которых алгебра Ли A(G) замкнута, то произведение элементов exp(A1 ) · exp(A2 ) (по
крайней мере для операторов exp(A1 ) и exp(A2 ) достаточно близких к единичному)
снова представляется в виде одной экспоненты exp(A3 ), где A3 = F (A1 , A2 ) ∈ A(G).
Отмеченный выше факт, что не всякий элемент группы Ли G можно представить в виде экспоненты от элемента алгебры Ли, связан с тем, что формальный ряд
(3.2.10) для F (A1 , A2 ) не всегда сходится.
ESF
3.2.3
Примеры матричных алгебр Ли.
В дальнейшем мы будем обозначать алгебры Ли так же, как и соответствующие группы Ли, но при этом использовать прописные буквы. Например, алгебра Ли группы
SU (n) будет обозначаться su(n), алгебра Ли группы Sp(2r) будет обозначаться sp(2r)
и т.д. Напомним, что K обозначает поле комплексных или вещественных чисел.
1. Алгебра Ли so(2) группы SO(2). Рассмотрим кривую Oϕ (3.1.1) около единичного
элемента (для малых углов ϕ)
)
(
.
(3.2.14) info2a
Oϕ = I2 + ϕ i + O(ϕ2 ) , i = 01 −1
0
Сравнивая кривую g(t) = Oϕ |ϕ=at (t – мало и a ∈ R) с (3.2.1), мы заключаем, что
алгебра Ли so(2) состоит из антисимметричных двумерных матриц a i, которые образуют одномерное векторное пространство. Отметим, что любой элемент Oϕ (3.1.1)
группы SO(2) можно представить в виде линейной комбинации матриц I2 и i
(
)
cos ϕ − sin ϕ
= I2 cos ϕ + i sin ϕ .
(3.2.15) eph1
sin ϕ cos ϕ
• Задача 66. Пусть V(K) – некоторое векторное пространство и в нем действует
линейный оператор î такой, что î 2 = −I, где I – единичный оператор в
V(K). Доказать, что имеет место тождество (операторный аналог формулы
Эйлера):
(
)
exp î ϕ = I cos ϕ + î sin ϕ , ϕ ∈ K .
(3.2.16) eph7
Из формулы (3.2.16) следует, что любой элемент Oϕ ∈ SO(2), заданный в (3.2.15),
представляется в виде Oϕ = exp(i ϕ), то есть в виде экспоненты от элемента (i ϕ)
алгебры Ли so(2).
3.2 Алгебры Ли.
88
2. Алгебра Ли sℓ(2, C) группы SL(2, C). Рассмотрим элемент g(t) в группе SL(2, C)
вблизи единицы
(
)
(
)
(
)
2
a11 a12 + O(t2 ) = 1 + ta11
ta12
g(t) = 10 01 + t a
ta21
1 + ta22 + O(t ) , (3.2.17) gsl2
21 a22
где aij ∈ C, а параметр t - мал. Матрица g(t) должна удовлетворять условию
1 = det(g(t)) = 1 + t(a11 + a22 ) + O(t2 ) ,
которое дает связь a11 + a22 = 0. Таким образом, касательное пространство sℓ(2, C)
к группе SL(2, C) в точке I2 – это множество комплексных 2 × 2 матриц вида
(
)
a12
11
A= a
(3.2.18) sl2A
a21 −a11 , Tr(A) = 0 .
Очевидно, что это множество в самом деле образует векторное пространство и операция коммутирования не выводит из этого множества.
Заметим, что если A ∈ sℓ(2, C), то exp(A) ∈ SL(2, C), поскольку (см. (2.2.16))
det(exp(A)) = exp(Tr(A)) = 1 .
Однако не любая матрица из SL(2, C) представима в виде exp(A).
• Задача 67. Доказать, что элемент группы SL(2, C)
(
)
−1 ϕ
, ϕ ∈ C, ϕ ̸= 0 ,
0 −1
принадлежит связной компоненте единицы I2 ∈ SL(2, C) и не имеет представления в виде одной экспоненты exp(A), где A ∈ sℓ(2, C), но может
быть представлен в виде произведения exp(A1 ) · exp(A2 ), где
)
)
(
(
0 −ϕ
1 0
, A1 , A2 ∈ sℓ(2, C) .
, A2 =
A1 = i π
0 −1
0 0
Сходится ли ряд Кэмбелла-Хаусдорфа (3.2.10) для таких A1 и A2 ?
3. Алгебры Ли gl(n, K) и sℓ(n, K). Алгебра Ли gl(n, K) – это пространство Mn (K)
всех (n × n) матриц с элементами из K, а алгебра Ли sℓ(n, K) это множество всех
(n × n) матриц A ∈ Mn (K) с условием Tr(A) = 0. Для вещественных размерностей
этих пространств получаем
dim(gl(n, C)) = 2n2 ,
dim(sℓ(n, C)) = 2(n2 − 1) ,
dim(gl(n, R)) = n2 ,
dim(sℓ(n, R)) = n2 − 1 ,
что, конечно, совпадает с размерностями соответствующих групп Ли, которые были
вычислены в Разделе 3.1.2.
4. Алгебра Ли u(n) группы U (n). Унитарные матрицы U ∈ U (n), близкие к единичной,
U (t) = In + t A + O(t2 ) ,
3.2 Алгебры Ли.
89
должны удовлетворять соотношениям
In = U U † = (In + t A + O(t2 ))(In + t A† + O(t2 )) = In + t (A + A† ) + O(t2 ) . (3.2.19) unli
Отсюда мы имеем
A† = −A ,
(3.2.20) unli1
т.е. алгебра Ли u(n) – это множество всех антиэрмитовых матриц. Отметим, что если
A ∈ u(n), то exp(A) ∈ U (n), поскольку
exp(A)(exp(A))† = exp(A) exp(A† ) = exp(A) exp(−A) = In .
• Задача 68. Доказать, что множество u(n) всех антиэрмитовых n × n матриц
образует вещественное векторное пространство, и для любых двух матриц
A, A′ ∈ u(n) мы имеем [A, A′ ] ∈ u(n), то есть на пространстве u(n) задана операция умножения векторов в виде их коммутатора. Доказать, что
размерность пространства u(n) равна n2 .
VRN
Любую комплексную матрицу A можно представить в виде A = X + i Y , где X, Y –
вещественные матрицы. Тогда (3.2.20) эквивалентно условиям
X T = −X ,
YT =Y ,
(3.2.21) uxy
и алгебру Ли u(n) можно задать как множество пар вещественных матриц (X, Y ),
удовлетворяющих (3.2.21).
• Задача 69. Доказать, что для элементов u(n) в представлении (X, Y ) алгебраическая операция коммутирования имеет вид:
[(X, Y ), (X ′ , Y ′ )] = ([X, X ′ ] − [Y, Y ′ ], [Y, X ′ ] + [X, Y ′ ]) .
5. Алгебра Ли su(n) группы SU (n). Матрицы U ∈ SU (n), помимо условия унитарности, должны удовлетворять соотношению det(U ) = 1. Для матриц близких к
единичной мы получаем
1 = det(I + t A + O(t2 ) . . .) = 1 + t Tr(A) + O(t2 ) .
(3.2.22) det11
Таким образом, для касательных векторов A мы имеем дополнительное условие
Tr(A) = 0 ,
и алгебра Ли su(n) – это множество антиэрмитовых и бесследовых матриц.
• Задача 70. Доказать, что множество su(n) всех антиэрмитовых бесследовых
n × n матриц образует вещественное векторное пространство, и на этом
пространстве задана операция умножения векторов в виде коммутирования матриц. Доказать, что размерность этого векторного пространства
равна n2 − 1. Доказать, что если A ∈ su(n), то exp(A) ∈ SU (n).
VRN
3.2 Алгебры Ли.
90
Замечание. Любую антиэрмитову матрицу можно представить в виде произведения
iA эрмитовой матрицы A на мнимую единицу. Поэтому алгебру Ли группы U (n)
(SU (n)) иногда определяют как векторное пространство эрмитовых (бесследовых)
матриц A с умножением i [. , .], а близкие к единице элементы группы U (n) (SU (n))
записывают в виде
U (t) = In + i A t + O(t2 ) .
В дальнейшем как правило мы не будем придерживаться такого соглашения.
6. Алгебра Ли so(n, K) группы SO(n, K) – это множество антисимметричных матриц
A с элементами из K. Действительно, ортогональные матрицы из SO(n, K), близкие
к единичной, должны удовлетворять соотношению
In = (In + t A + O(t2 ))(In + t AT + O(t2 )) = In + t (A + AT ) + O(t2 ) .
откуда следует
AT = −A .
(3.2.23) liso5
• Задача 71. Доказать, что множество so(n, K) есть векторное пространство
над полем K и на этом пространстве задана операция умножения векторов
в виде коммутирования матриц. Доказать, что вещественные размерности
пространств so(n, R) и so(n, C) равны
dim (so(n, R)) = n(n − 1)/2 , dim (so(n, C)) = n(n − 1) .
Доказать, что если A ∈ so(n, K), то exp(A) ∈ SO(n, K).
7. Алгебра Ли sp(2r, K) группы Sp(2r, K). Для симплектических матриц (2.2.58) близких к единичной имеем
J = (I2r + t AT + O(t2 )) · J · (I2r + t A + O(t2 )) = J + t (AT · J + J · A) + O(t2 ) , (3.2.24) spli
то есть
AT · J + J · A = 0 ,
(3.2.25) spli05
где антисимметричная матрица J задана в (2.2.57). Таким образом, sp(2r, K) — это
множество матриц, удовлетворяющих условию
(
) (
)
0 Ir
0 Ir
T
A
+
A=0.
(3.2.26) spli1
−Ir 0
−Ir 0
Матрицу A можно представить в блочном виде
(
)
X Y
A=
,
Z W
(3.2.27) blA
где X, Y, Z, W - матрицы r × r с элементами из K, которые в силу условия (3.2.26)
удовлетворяют соотношениям
YT =Y ,
ZT = Z ,
X T = −W .
(3.2.28) blA1
3.2 Алгебры Ли.
91
• Задача 72. Доказать, что множество sp(2r, K) есть векторное пространство
над полем K, на котором задана операция умножения векторов в виде
коммутирования матриц. Доказать, что вещественная размерность пространств sp(2r, R) и sp(2r, C) равна
dim (sp(2r, R)) = r(2r + 1) , dim (sp(2r, C)) = 2r(2r + 1) .
Доказать, что если A ∈ sp(2r, K), то exp(A) ∈ Sp(2r, K).
8. Алгебра Ли sp(2r, R)∩so(2r, R) группы Sp(2r, R)∩SO(2r, R). Группа Ли Sp(2r, R)∩
SO(2r, R) определяется как множество вещественных
2r) матриц T , удовле( (2r × )
Ir Ir
творяющих соотношению (2.2.46) с матрицей G =
, или как множество
−Ir Ir
вещественных (2r × 2r) матриц T , удовлетворяющих одновременно паре соотношений (2.2.47), которые в данном случае эквивалентны условию ортогональности
T T · T = I2r и условию симплектичности (2.2.58). Таким образом, алгебра Ли группы
Sp(2r, R) ∩ SO(2r, R) — это множество вещественных матриц A, одновременно подчиняющихся условиям (3.2.23) и (3.2.26). Представим A в блочном виде (3.2.27), где
X, Y, Z, W – вещественные (r × r) матрицы. Тогда условие (3.2.23) дает
X T = −X ,
Z T = −Y ,
W T = −W ,
что вместе с условиями (3.2.28) фиксирует матрицу A в виде
)
(
X Y
, X T = −X , Y T = Y .
A=
−Y X
Тем самым мы установили взаимнооднозначное соответствие
)
(
X Y
↔ (X + i Y ) ,
−Y X
(3.2.29) blA2
(3.2.30) blA3
(3.2.31) blA4
между элементами алгебры Ли sp(2r, R) ∩ so(2r, R) и элементами алгебры Ли u(r)
(3.2.21).
• Задача 73. Доказать, что взаимнооднозначное соответствие (3.2.31) – изоморфизм, т.е. оно сохраняет операцию умножения (коммутирования) в
алгебрах Ли sp(2r, R) ∩ so(2r, R) и u(r).
9. Алгебры Ли sp(p, q). Рассматривая элементы группы Sp(p, q) (см. (2.2.58), (2.2.62)),
близкие к единичным, получаем, что алгебра Ли sp(p, q) – это множество 2r × 2r
(здесь r = (p + q)) комплексных матриц A, удовлетворяющих соотношениям
)
(
)
(
)
) (
(
Ip,q 0
Ip,q 0
0 −Ir
0
Ir
†
T
A, A
=−
A,
(3.2.32) spli4
=
A
Ir 0
0 Ip,q
0 Ip,q
−Ir 0
где матрица Ip,q определена в (2.2.54). Представим A в виде блочной матрицы (3.2.27),
где X, Y, Z, W - комплексные r × r блоки. Из соотношений (3.2.32) следуют условия
W = −X T ,
Z = −Ip,q · Y † · Ip,q ,
(3.2.33) spli5
3.2 Алгебры Ли.
92
YT =Y ,
X † = −Ip,q · X · Ip,q ,
и любой элемент A ∈ sp(p, q) представляется в виде блочной матрицы
(
)
X
Y
A=
,
−Ip,q · Y † · Ip,q −X T
(3.2.34) spli6
(3.2.35) spli7
где две r × r матрицы X и Y , удовлетворяют соотношениям обобщенной антиэрмитовости и симметричности (3.2.34). Пространства таких матриц X и Y имеют
вещественные размерности r2 и (r + 1)r, соответственно. Поэтому
dim(sp(p, r − p)) = (r + 1)r + r2 = r(2r + 1) .
(3.2.36) spli8
• Задача 74. Доказать, что множество матриц sp(p, q) образует вещественное
векторное пространство, на котором задана операция умножения векторов в виде коммутирования матриц. Доказать, что если A ∈ sp(p, q), то
exp(A) ∈ Sp(p, q).
10. Алгебра Ли usp(2r) группы U Sp(2r). Для унитарных симплектических (2r × 2r)
матриц, близких к единичной, кроме соотношения унитарности (3.2.19), имеем еще
условие симплектичности. Поэтому алгебра Ли usp(2r) — это множество sp(2r, C) ∩
su(2r) всех комплексных матриц A, одновременно удовлетворяющих соотношениям
(3.2.20) и (3.2.26), которые можно записать в виде (3.2.32), где вместо матрицы Ip,q
необходимо взять единичную матрицу Ir . Таким образом, usp(2r) = sp(r, 0) = sp(0, r).
Теперь мы можем воспользоваться результатами предыдущего пункта и получить
для произвольного элемента A ∈ usp(2r) представление в виде блочной матрицы
(
)
X
Y
A=
,
(3.2.37) spli9
−Y † −X T
где X и Y – комплексные r × r матрицы, удовлетворяющие условиям
Y T = Y , X † = −X .
(3.2.38) spli9du
Легко проверить, что множество матриц usp(2r) (3.2.37), (3.2.38) образует векторное пространство, замкнутое относительно операции коммутирования. Размерность
этого пространства равна
dim (usp(2r)) = r(2r + 1) ,
(3.2.39) dusp
что следует из (3.2.36). Отметим, что в силу изоморфизма usp(2r) = sp(r, 0) =
sp(0, r), алгебру usp(2r) часто обозначают как sp(r).
Представим комплексные r×r матрицы X и Y в виде X = X0 +iX3 и Y = X2 +iX1 ,
где X0 , X1 , X2 , X3 — вещественнные матрицы, удовлетворяющие, согласно (3.2.38),
условиям
k = 1, 2, 3 .
(3.2.40) spli9d
X0T = −X0 , XkT = Xk ,
3.2 Алгебры Ли.
93
В этом случае элементы A (3.2.37) алгебры Ли usp(2r) записываются следующим
образом
(
)
X0 + iX3 X2 + iX1
A=
= I2 ⊗ X0 + i σk ⊗ Xk ,
(3.2.41) spli9g
−X2 + iX1 X0 − iX3
где ⊗ — прямое произведение матриц, которое определялось в (2.2.19), а σk — матрицы Паули (3.1.18). При этом условия (3.2.40) эквивалентны условию антиэрмитовости
A† = −A для матрицы A (3.2.41).
11. Псевдоортогональные алгебры Ли so(p, q). Алгебра so(p, q) – это множество вещественных (p + q) × (p + q) матриц A, удовлетворяющих соотношениям
AT Ip,q = −Ip,q A ,
(3.2.42) liso7
где матрица Ip,q определена в (2.2.54). Представим A в виде блочной матрицы
(
)
Xp×p Yp×q
A=
,
(3.2.43) liso8
Zq×p Wq×q
тогда условия (3.2.42) дают
T
T
Zq×p = Yp×q
, Xp×p
= −Xp×p ,
T
Wq×q
= −Wq×q .
12. Алгебра so(1, d). Используя результаты предыдущего пункта, получаем, что so(1, d)
– множество вещественных (d + 1) × (d + 1) матриц A, имеющих блочную структуру
(
)
0 Y⃗
A= ⃗T
, W T = −W ,
(3.2.44) liso9
Y W
где Y⃗ = (y1 , y2 , . . . , yd ) – произвольная вещественная d-мерная вектор-строка, Y⃗ T –
соответствующий вектор-столбец, а W – произвольная вещественная кососимметричная матрица d × d. Алгебра so(1, d) называется алгеброй Лоренца в (d + 1)-мерном
пространстве R1,d .
13. Псевдоунитарная алгебра Ли u(p, q) – это множество комплексных (p+q)×(p+q)
матриц A, удовлетворяющих соотношениям
A† Ip,q = −Ip,q A .
(3.2.45) lisupq
Эти соотношения легко получаются из формул (2.2.59), определяющих элементы
U группы U (p, q), если разложить U вблизи единичной матрицы. Псевдоунитарная
специальная алгебра Ли su(p, q) — это подмножество матриц A ∈ u(p, q), удовлетворяющих дополнительному условию Tr(A) = 0.
• Задача 75. Доказать, что (n = p + q)
dim(so(p, q)) =
n(n − 1)
, dim(u(p, q)) = n2 , dim(su(p, q)) = n2 − 1 .
2
Отметим в заключение этого подраздела, что размерности алгебр, которые предлагается найти в приведенных выше задачах, равны размерностям соответствующих
групп Ли, см. в связи с этим раздел 3.1.2. Это, разумеется, согласуется с общим результатом о том, что размерность касательного пространства к многообразию равна
размерности этого многообразия.
3.2 Алгебры Ли.
3.2.4
94
Касательные пространства к многообразиям матричных групп Ли
(продолжение).
BSF
Рассмотрим теперь касательное пространство A(G, g0 ) к матричной группе Ли G
в точке g0 ̸= In , т.е. совокупность касательных векторов A′ ко всем кривым g(t),
исходящим из точки g0 :
g(t) = g0 + tA′ + O(t2 ) .
(3.2.46) ali2
Умножая (3.2.46) справа на g0−1 и сравнивая с (3.2.1), мы устанавливаем взаимнооднозначное соответствие между векторами касательных пространств A(G) и A(G, g0 ):
A = A′ · g0−1
(A ∈ A(G) , A′ ∈ A(G, g0 )) .
(3.2.47) agL
Заметим, что если мы умножим (3.2.46) слева на g0−1 и воспользуемся (3.2.1), то мы
получим другое соответствие между векторами пространств A(G, g0 ) и A(G), так как
вектору A′ ∈ A(G, g0 ) будет соответствовать другой вектор B ∈ A(G)
B = g0−1 · A′ .
(3.2.48) agR
Сравнивая (3.2.47) и (3.2.48), нетрудно увидеть, что два вектора A, B ∈ A(G) связаны
преобразованием подобия A = g0 · B · g0−1 .
• Задача 76. Доказать, что A(G, g0 ) — векторное пространство и если A, B ∈
A(G, g0 ), то [A, B]g0 ∈ A(G, g0 ), где
[A, B]g0 = A · g0−1 · B − B · g0−1 · A ,
(3.2.49) umn
(указание: воспользоваться взаимно-однозначным соответствием (3.2.47),
или (3.2.48), и правилом умножения в A(G)). Проверить, что кососимметричное умножение (3.2.49) векторов в A(G, g0 ) удовлетворяет тождеству
Якоби
[[A, B]g0 , C]g0 + (цикл A → B → C) = 0 .
Формула (3.2.49) совпадает с коммутатором (3.2.2) при g0 = In .
Итак, в касательных векторных пространствах A(G, g0 ) также определены не
только обычные операции над векторами, но и умножение векторов (3.2.49), которое не выводит из A(G, g0 ). Таким образом, векторные пространства A(G, g0 ) также
наделены структурой алгебры Ли.
Рассмотрим произвольную непрерывную кривую g(t) в группе Ли G. В каждой
точке t этой кривой можно определить касательный вектор dg(t)
∈ A(G, g(t)), котоdt
рый соответствует, согласно (3.2.47), (3.2.48) двум векторам A(t) и B(t) из алгебры
Ли A(G):
dg(t)
dg(t) −1
· g (t) , B(t) = g −1 (t) ·
.
(3.2.50) agRL
A(t) =
dt
dt
Вектора A(t) ∈ A(G) и B(t) ∈ A(G) называются, соответственно, право- и лево- инвариантными, т.к. они инвариантны относительно правых g → g · h и левых g → h · g
сдвигов на группе G. Кривая g(t) однозначно определяется своей начальной точкой
3.2 Алгебры Ли.
95
g(t)|t=0 = g0 и совокупностью своих правых (или левых) касательных векторов A(t)
(или B(t)), соответствующих каждой точке кривой. Действительно, дифференциальные уравнения (3.2.50), с указанными начальными данными, имеют решения
(∫ t
)
(∫ t
)
←
→
′
′
′
′
g(t) =P exp
dt A(t ) · g0 , g(t) = g0 · P exp
dt B(t ) .
(3.2.51) aga
0
←
0
→
Здесь P exp и P exp – упорядоченные вдоль кривой g(t) экспоненты, удовлетворяющие для любой точки t̄ ∈ [0, t] соотношениям:
(∫
)
(∫ t
)
(∫ t
)
t̄
←
←
←
dt′ A(t′ ) =P exp
dt′ A(t′ ) P exp
dt′ A(t′ ) ,
P exp
→
0
t̄
(∫ t
(∫
P exp
)
→
dt B(t ) =P exp
′
′
0
0
)
t̄
′
′
dt B(t )
(∫ t
→
P exp
0
)
′
′
dt B(t )
.
t̄
В частности, если g0 = In и вектор A(t) не зависит от t, то есть A(t) = A для всех t,
то (3.2.51) задает одно-параметрическую кривую в группе G
gA (t) = exp (t A) ,
A ∈ A(G) ,
(3.2.52) aga1
которую мы уже рассматривали в (3.2.8), исходя из несколько других соображений.
Заметим, что элементы кривой (3.2.52) удовлетворяют соотношениям
gA (0) = e ,
gA (t) · gA (s) = gA (t + s) ,
∀t, s ∈ R .
(3.2.53) exp00
и следовательно образуют абелеву (так как очевидно, что gA (t) · gA (s) = gA (s) · gA (t)
ESF
для всех t и s) подгруппу в матричной группе Ли G.
3.2.5
Общее определение алгебр Ли.
В предыдущих разделах связь между группами и алгебрами Ли была рассмотрена
на примере матричных групп и алгебр. Здесь мы наметим общую конструкцию и
дадим формальное определение алгебр Ли.
Рассмотрим n-мерную группу Ли G и рассмотрим множество Te (G) касательных
векторов к многообразию группы Ли G в точке, соответствующей единичному элементу e ∈ G. Напомним, что касательным вектором к многообразию группы Ли G
в точке e ∈ G назывался класс эквивалентных кривых g(t), исходящих из e ∈ G.
Как было показано в разделе 3.1.5 на множестве Te (G) можно ввести структуру
векторного пространства. Сложение и умножение на число касательных векторов из
Te (G) определялись по формулам (3.1.61) и (3.1.62), где использовались кривые на
многообразии группы Ли G.
Покажем теперь, что касательное векторное пространство Te (G) наделено структурой алгебры. Построим для этого из двух неэквивалентных кривых g1 (t) и g2 (t),
проходящих через e ∈ G и имеющих представления (3.1.55) в координатах локальной
карты, новую кривую g(t) в виде коммутанта (ср. с (3.2.4)):
g(t) = g1 (s) · g2 (s) · g1−1 (s) · g2−1 (s) ,
(3.2.54) gg4
3.2 Алгебры Ли.
96
√
где s = sign(t) |t| и sign(t) = ±1 – знак параметра t. Обозначим касательные
вектора к кривым g1 (s) и g2 (s) в точке e ∈ G как A1 и A2 , соответственно.
Определение 3.2.2 Касательный вектор к кривой (3.2.54) в точке e ∈ G называется коммутатором касательных векторов A1 ∈ A(G) и A2 ∈ A(G) и обозначается
[A1 , A2 ] ∈ A(G).
Пользуясь формулами (3.1.11) и (3.1.13), а также формулой g −1 (⃗x) = g(⃗x ′ ), где
i k j
(⃗x ′ )i = −xi + fkj
x x + O3 ,
(3.2.55) gg5
(здесь O3 – члены третьего порядка по xi ) и делая вычисления с точностью до членов
третьего порядка по переменным xi1 и xi2 , получаем
( (
))
g(⃗x1 ) · g(⃗x2 ) · g −1 (⃗x1 ) · g −1 (⃗x2 ) = g F⃗ F⃗ (⃗x1 , ⃗x2 ), F⃗ (⃗x ′1 , ⃗x ′2 )
,
где
F
i
(
)
′
′
i
⃗
⃗
F (⃗x1 , ⃗x2 ), F (⃗x 1 , ⃗x 2 ) = F i (⃗x1 , ⃗x2 ) + F i (⃗x ′1 , ⃗x ′2 ) + fjk
F j (⃗x1 , ⃗x2 ) F k (⃗x ′1 , ⃗x ′2 ) + O3 =
i
i
= xi1 + xi2 + fjk
xj1 xk2 + (x′1 )i + (x′2 )i + fjk
(x′1 )j (x′2 )k +
( j
)(
)
i
i
i
+fjk
x1 + xj2 (x′1 )k + (x′2 )k + O3 = fjk
xj1 xk2 − fjk
xj2 xk1 + O3 .
Подставляя сюда (3.1.55) (с заменой параметра t → s) и делая вычисления с точностью до членов порядка O(s3 ), получаем, что вектор [A1 , A2 ] ∈ A(G), касательный
к кривой (3.2.54) в точке e, имеет локальные координаты
i
([A1 , A2 ])i = Cjk
aj1 ak2 ,
i
i
i
Cjk
≡ (fjk
− fkj
),
(3.2.56) gg6
i
i
где aj1 и ak2 – локальные координаты векторов A1 и A2 , а константы Cjk
= −Ckj
называются структурными константами группы Ли G.
Утверждение 3.2.2 Коммутатор [A1 , A2 ] ∈ A(G) двух касательных векторов
A1 , A2 ∈ A(G) удовлетворяет условию кососимметричности
[A2 , A1 ] = −[A1 , A2 ] ,
(3.2.57) gg8
условию линейности (a и b – вещественые числа)
[A1 , a A2 + b A3 ] = a [A1 , A2 ] + b [A1 , A3 ] ,
(3.2.58) gg8a
и тождеству Якоби
[[A1 , A2 ] A3 ] + [[A2 , A3 ] A1 ] + [[A3 , A1 ] A2 ] = 0 ,
∀A1 , A2 , A3 ∈ A(G) .
(3.2.59) gg9
Доказательство. Условия (3.2.57) и (3.2.58) следуют из представления (3.2.56) для
коммутатора [A1 , A2 ] в локальной системе координат.
3.2 Алгебры Ли.
97
Тождество Якоби (3.2.59) мы докажем без явного использования локальной системы координат (нам однако понадобятся условия (3.2.57) и (3.2.58)). Пусть g(t) –
кривая, проходящая через точку e и A – касательный вектор к g(t) в точке e. Введем
в этом случае обозначение
g(t) ≡ g(t; A) .
(3.2.60) gg10
Сделаем в (3.2.54) масштабное преобразование A2 → c A2 (g2 (s) → g2 (c s)), положим cs = t и учтем линейность коммутатора [A1 , A2 ] по второму аргументу. Тогда,
пользуясь обозначением (3.2.60), соотношение (3.2.54) переписывается в виде
g(s; A1 ) · g(t; A2 ) = g(s t; [A1 , A2 ]) · g(t; A2 ) · g(s; A1 ) ,
(3.2.61) gg11
где s и t – произвольные достаточно малые вещественные параметры. Рассмотрим
цепочку равенств
g(s; A1 ) · g(s; A2 ) · g(s; A3 ) = g(s; A1 ) · g(s2 ; [A2 , A3 ]) · g(s; A3 ) · g(s; A2 ) =
= g(s3 ; [A1 , [A2 , A3 ]]) · g(s2 ; [A2 , A3 ]) · g(s; A1 ) · g(s; A3 ) · g(s; A2 ) =
= g(s3 ; [A1 , [A2 , A3 ]]) · g(s2 ; [A2 , A3 ]) · g(s2 ; [A1 , A3 ]) · g(s; A3 ) · g(s; A1 ) · g(s; A2 ),
(3.2.62) gg12
где мы несколько раз воспользовались (3.2.61). Заметим, что здесь в правой части
возникло произведение g(s; A3 ) · g(s; A1 ) · g(s; A2 ), которое совпадает с левой частью
с точностью до циклической перестановки A1 → A3 , A2 → A1 , A3 → A2 . Мы можем
снова применить к произведению g(s; A3 ) · g(s; A1 ) · g(s; A2 ) соотношение (3.2.62) и
при этом получить еще одну циклическую перестановку векторов A1 , A2 , A3 . Делая
эту процедуру два раза, приведем соотношение (3.2.62) к виду
g(s; A1 ) · g(s; A2 ) · g(s; A3 ) =
= { g(s3 ; [A1 , [A2 , A3 ]]) · g(s2 ; [A2 , A3 ]) · g(s2 ; [A1 , A3 ]) · g(s3 ; [A3 , [A1 , A2 ]])·
g(s2 ; [A1 , A2 ]) · g(s2 ; [A3 , A2 ]) · g(s3 ; [A2 , [A3 , A1 ]]) · g(s2 ; [A3 , A1 ]) · g(s2 ; [A2 , A1 ]) } ·
g(s; A1 ) · g(s; A2 ) · g(s; A3 )
(3.2.63) gg13
Заметим, что если делать вычисления с точностью до O(s4 ), то, учитывая (3.2.61),
мы можем переставлять все факторы в правой части (3.2.63) в фигурных скобках
и считать g(s2 ; −A) = g −1 (s2 ; A). Тогда с точностью до O(s4 ) соотношение (3.2.63)
дает
e = g(s3 ; [A1 , [A2 , A3 ]]) · g(s3 ; [A3 , [A1 , A2 ]]) · g(s3 ; [A2 , [A3 , A1 ]]) ,
(3.2.64) gg14
откуда следует (3.2.59).
Замечание 1. Условие (3.2.57) можно также получить без использования локальных координат. Из определения сложения касательных векторов мы имеем равенство
g −1 (t; A) = g(t; −A), справедливое с точностью O(t2 ). Отсюда следует, что (−A) –
касательный вектор в точке e к кривой g −1 (t; A). Пользуясь (3.2.54), получаем
g −1 (t; [A1 , A2 ]) = g(s; A2 ) · g(s; A1 ) · g −1 (s; A2 ) · g −1 (s; A1 ) = g(t; [A2 , A1 ]) . (3.2.65) gg7
3.2 Алгебры Ли.
98
Так как вектор −[A1 , A2 ] ∈ A(G) является касательным к кривой g −1 (t; [A1 , A2 ]),
то из сравнения левой и правой частей (3.2.65) вытекает (3.2.57).
Замечание 2. Коммутатор [A1 , A2 ] двух векторов A1 , A2 ∈ A(G) снова принадлежит
A(G). Кроме того из условий (3.2.57) и (3.2.58) следует, что [A1 , A2 ] линеен по обоим
аргументам. Поэтому коммутатор можно рассматривать как операцию умножения в
векторном пространстве A(G), которое становится алгеброй.
Итак, пространство A(G) не только является векторным пространством (подчеркнем его вещественность), но оно еще снабжено дополнительной операцией умножения [., .], которая удовлетворяет условию кососимметричности (3.2.57) и тождеству
Якоби (3.2.59). Векторное пространство с такой операцией представляет собой алгебру, называемую алгеброй Ли. Таким образом мы приходим к следующему общему
определению алгебры Ли, которое уже никак не опирается на группы Ли (при этом
требование вещественности A(G) может быть ослаблено).
Определение 3.2.3 Алгебра Ли A – это векторное пространство, на котором для
любых двух векторов X, Y ∈ A определена операция умножения:
[X, Y ] ∈ A ,
(3.2.66) defLi0
[X, Y ] = −[Y, X] ,
(3.2.67) defLi5
которая кососимметрична
удовлетворяет тождеству Якоби
[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 (∀X, Y, Z ∈ A) ,
(3.2.68) jacob
и по отношению к этой операции для A выполнены все стандартные аксиомы алгебры. Если A — вещественное (или комплексное) векторное пространство, то A
называется вещественной (или комплексной) алгеброй Ли.
Замечание 3. Умножение в матричных алгебрах A(G, g0 ) зависит от выбора точки
g0 (см. (3.2.2) и (3.2.49)). Поэтому даже в этом случае необходимо сформулировать
такое определение алгебры Ли, которое будет справедливо для любого выбора касательного пространства (точки g0 ). При этом нужно указать лишь исчерпывающий
набор аксиом и свойств умножения в алгебре Ли, не конкретизируя явный вид этого умножения, свойственный для матричных алгебр, что и сделано в Определении
3.2.3.
Замечание 4. В общем случае алгебра Ли не ассоциативна:
[[X, Y ], Z] ̸= [X, [Y, Z]] .
Условие ассоциативности заменяется в алгебре Ли на тождество Якоби (3.2.68). Для
матричных алгебр Ли, когда X, Y, Z - матрицы, а умножение [ . , . ] дается формулой
(3.2.49), кососимметричность (3.2.67) и тождество Якоби (3.2.68) выполняются автоматически.
3.2 Алгебры Ли.
99
Замечание 5. Изложенная в начале этого раздела конструкция, ставящая в соответствие группе Ли ее алгебру Ли, приводит к вещественным алгебрам Ли. Тем не
менее, некоторые такие алгебры могут быть интерпретированы как комплексные алгебры Ли. Мы поясним этот момент подробнее в подразделе 3.2.7. Изучение таких
вещественных алгебр как комплексных алгебр оказывается весьма полезным и плодотворным.
Замечание 6. Кривая g(t) в группе Ли G называется однопараметрической подгруппой в G, если (сравните с (3.2.53))
g(t) · g(s) = g(t + s) ,
∀t, s ∈ R .
(3.2.69) exp001
Из (3.2.69) очевидно следует, что g(0) = e и g(t)−1 = g(−t), а кривая g(t) есть образ
некоторого гомоморфизма из группы трансляций T (R) в G. Подгруппа g(t) – абелева,
так как из соотношений (3.2.69) следует, что g(t) · g(s) = g(s) · g(t), ∀s, t ∈ R. Для
каждого A ∈ A(G) существует единственная однопараметрическая подгруппа gA (t),
имеющая в точке e касательный вектор A. Отображение exp: A(G) → G, задаваемое
соотношениями
exp(A) := gA (t)|t=1 ,
∀A ∈ A(G) ,
называется экспоненциальным отображением.
Замечание 7. В полной аналогии с теорией групп Ли вводятся понятия гомоморфизма, изоморфизма и автоморфизма алгебр Ли.
Определение 3.2.4 Отображение ρ: A → A′ из алгебры Ли A над полем K в
алгебру Ли A′ над полем K будем называть линейным гомоморфизмом, если
ρ(αA + βB) = αρ(A) + βρ(B) ,
ρ([A, B]) = [ρ(A), ρ(B)] ,
(3.2.70) homAL
где A, B ∈ A и α, β ∈ K. Две алгебры Ли A и A′ будем называть изоморфными (и
писать A = A′ ), если имеется взаимнооднозначный и обратимый линейный гомоморфизм ρ, отображающий алгебру Ли A на алгебру Ли A′ . Изоморфизм из алгебры
Ли A в себя называется автоморфизмом алгебры A.
Примеры.
1. Для любой алгебры Ли A можно построить тривиальный линейный гомоморфизм
ρ такой, что ρ(X) = 0 для всех X ∈ A.
2. Пусть A — фиксированный элемент матричной группы GL(n, K). Рассмотрим
отображение ρA из алгебры sℓ(n, K) в себя, заданное формулами
ρA (X) = A · X · A−1 ,
∀X ∈ sℓ(n, K) .
Очевидно, что это отображение взаимнооднозначно и удовлетворяет свойствам (3.2.70),
поэтому ρA — изоморфизм из алгебры sℓ(n, K) в себя (иначе говоря, ρA — автоморфизм sℓ(n, K)).
• Задача 77. Доказать, что отображение ρU : su(n) → su(n), заданное формулами ρU (X) = U · X · U † , где X — любой элемент su(n) и U ∈ SU (n),
является автоморфизмом su(n).
Менее тривиальные примеры изоморфизмов и автоморфизмов алгебр Ли будут
рассмотрены в разделе 3.2.12. Такое рассмотрение требует введения базиса в алгебрах Ли. К этому вопросу мы и переходим.
3.2 Алгебры Ли.
3.2.6
100
Структурные соотношения. Простые и полупростые алгебры Ли.
Прямая сумма алгебр Ли.
Пусть в алгебре Ли A задан базис {Xa } (a, b, d . . . = 1, . . . , dim A). Базисные элементы
{Xa } называются образующими (или генераторами) алгебры Ли A. Произведение
(коммутатор) (3.2.66) двух образующих алгебры Ли A есть некоторый вектор из A,
который можно снова разложить по базису {Xa }:
d
[Xa , Xb ] = Cab
Xd .
(3.2.71) defLi
d
называются структурными константами алгебры Ли, а соотноКоэффициенты Cab
шения (3.2.71) называются структурными (или определяющими) соотношениями для
d
вещественны для вещественных алгебр
алгебры Ли A. Cтруктурные константы Cab
Ли и могут быть комплексными для комплексных алгебр Ли. Очевидно, что структурные константы зависят от выбора базиса {Xa }. Кососимметричность (3.2.67) и
тождество Якоби (3.2.68) в терминах структурных констант имеют вид
d
d
Cab
= −Cba
,
(3.2.72) koso
f
f
f
Cab
Cfgd + Cbd
Cfga + Cda
Cfgb = 0 .
(3.2.73) jac02
Обсудим некоторые важные понятия из теории алгебр Ли, пользуясь их формулировкой в терминах структурных соотношений (3.2.71).
1.) Алгебра Ли A называется абелевой, если [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ A, то есть
d
Cab
=0
∀ a, b, d .
(3.2.74) li01
Абелева группа Ли G имеет абелеву алгебру Ли A(G). Это следует из рассмотрения
коммутанта (3.2.54), (3.2.56).
2.) Подпространство H ⊂ A называется подалгеброй Ли в A, если ∀X, Y ∈ H мы имеем [X, Y ] ∈ H. Подалгебра H определяется набором базисных образующих X1 , . . . Xp
(p ≤ dim A), если
d
Cab
= 0 , (a, b ≤ p, d > p) .
(3.2.75) li02
Любая алгебра A имеет две тривиальные подалгебры. А именно, подалгебру, состоящую из одного нулевого вектора, и подалгебру, совпадающую со всей алгеброй A.
• Задача 78. Доказать, что если H – подгруппа Ли в группе Ли G, то алгебра
Ли A(H) есть подалгебра Ли в A(G).
Пример 1. Подгруппу SU (k) можно вложить в группу SU (n) (k < n) аналогично
тому, как мы вкладывали подгруппу O(k) в группу O(n) (см. (2.1.20)). В этом случае
подалгеброй su(k) в su(n) является векторное пространство блочных матриц
)
(
0k,n−k
w
,
(3.2.76) su22
u=
0n−k,k 0n−k,n−k
где k < n, w ∈ su(k) и 0k,n−k , 0n−k,n−k и 0n−k,k – нулевые матрицы соответствующего
размера. Очевидно, что u† = −u, Tr(u) = 0, т.е. множество матриц (3.2.76) образует
3.2 Алгебры Ли.
101
подпространство в su(n), и это подпространство замкнуто относительно коммутирования.
3.) Инвариантная подалгебра (идеал) N — это подпространство N ⊂ A, такое что
∀X ∈ A справедливо [N, X] ⊂ N . Пусть элементы X1 , . . . Xp (p < dim A) задают
базис в N . Тогда из определения инвариантной подалгебры следует, что
d
Cab
= 0 , (a ≤ p, d > p) .
(3.2.77) li03
• Задача 79. Доказать, что если H – инвариантная подгруппа Ли в группе Ли
G, то алгебра Ли A(H) есть инвариантная подалгебра в A(G).
Пусть A – алгебра Ли, N – ее идеал. Разобьем A на непересекающиеся классы
эквивалентности, считая, что элементы вида X ∈ A и X + Z ∈ A экваивалентны,
если Z ∈ N . На пространстве классов эквивалентности A/N (фактор-пространстве)
естественным образом вводятся операции сложения и умножения на число (они распространяются на классы эквивалентности с представителей в этих классах и не
зависят от выбора представителей), так что A/N – векторное пространство. Более
того A/N – это алгебра Ли. Действительно, для определения коммутатора элементов
R ∈ A/N и S ∈ A/N выберем в них представителей X ∈ R и Y ∈ S, и будем считать
коммутатором [R, S] ∈ A/N класс, которому принадлежит [X, Y ]. Это определение
не зависит от выбора представителей, поскольку для всех Z1 , Z2 ∈ N справедливо
[X + Z1 , Y + Z2 ] = [X, Y ] + Z3 ,
где Z3 = [X, Z2 ] + [Z1 , Y ] + [Z1 , Z2 ] ∈ N , и поэтому задает коммутатор в A/N . Очевидно, что эта алгебраическая операция в A/N обладает всеми свойствами, перечисленными в Определении 3.2.3. Алгебру Ли A/N назавают фактор-алгеброй алгебры
A по ее идеалу N . Отметим, что изложенная конструкция по-существу повторяет
конструкцию фактор-группы Ли G/H, где G – группа Ли, H – ее инвариантная
подгруппа.
Пример 2. Алгебра Ли u(n) имеет две инвариантные подалгебры: su(n) и одномерную абелеву подалгебру u(1), состоящую из матриц iαIn (α ∈ R). Нулевая n × n
матрица принадлежит обеим подалгебрам.
Пример 3. Подпространство A(1) = [A, A] в A, состоящее из всех элементов вида
[X, Y ] (∀X, Y ∈ A), образует инвариантную подалгебру в A, так как [A(1) , A] = A(1) .
Затем можно определить инвариантную подалгебру A(2) = [A(1) , A(1) ] в A(1) и так
далее.
Определение 3.2.5 Алгебра Ли A называется разрешимой, если для некоторого
конечного n ≥ 1 выполняется A(n) = ∅.
4.) Алгебра Ли проста, если она не имеет нетривиальных инвариантных подалгебр.
5.) Алгебра Ли полупроста, если она не имеет нетривиальных абелевых инвариантных подалгебр.
3.2 Алгебры Ли.
102
Замечание. Алгебра Ли u(1) удовлетворяет всем требованиям определений 4.) и
5.). Несмотря на это, алгебру Ли u(1) не относят ни к простым, ни к полупростым
алгебрам Ли.
Пример 4. Алгебра Ли u(n) не проста и не полупроста. Алгебры Ли su(n), sℓ(n, K),
so(n, K) и sp(n, K) – просты. Доказательство простоты алгебр Ли su(n) и sℓ(n, K) мы
дадим ниже в подразделе 3.2.9, где детально обсуждаются их структурные соотношения.
Пример 5. Разрешимая алгебра Ли A (смотри определение 3.2.5) не полупроста,
так как она содержит нетривиальную инвариантную абелеву подалгебру A(n−1) .
6.) Пусть алгебра Ли C разбивается на две свои подалгебры Ли A и B так, что любой
элемент X ∈ C можно представить в виде X = Y + Z, где Y ∈ A и Z ∈ B, то есть C
как векторное пространство есть прямая сумма двух векторных пространств A и B,
и кроме того [Y, Z] = 0 для всех Y ∈ A и всех Z ∈ B. В этом случае алгебру Ли C
называют прямой суммой алгебр Ли A и B и пишут C = A + B.
Прямую сумму двух алгебр Ли A и B можно построить следующим образом.
Пусть A и B — алгебры Ли над одним и тем же полем K, а {XiA } и {XqB } — базисы в них. Построим прямую сумму векторных пространств A и B как линейное
пространство, состоящее из формальных линейных комбинаций вида
∑
∑
ai XiA +
bq XqB ,
(3.2.78) alAB
i
q
где ai , bq ∈ K. Операцию коммутации в этом векторном пространстве определим так:
[ai XiA + bq XqB , ãj XjA + b̃p XpB ] = [ai XiA , ãj XjA ]A + [bq XqB , b̃p XpB ]B
(3.2.79) alAB1
причем коммутаторы в правой части — это коммутаторы в алгебрах A и B. Нетрудно проверить, что такой коммутатор удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли, так
что построенное векторное пространство – алгебра Ли, которая и является прямой
суммой A + B двух алгебр A и B. Ясно, что изучение прямой суммы двух алгебр Ли
сводится к изучению каждой из алгебр в отдельности.
Пример 6. Прямая сумма двух матричных алгебр Ли A и B может быть описана явно. Пусть A и B – две вещественные (или комплексные) матричные алгебры
Ли размерности NA и NB ; {A1 , . . . , ANA } – полный набор генераторов алгебры A и
{B1 , . . . , BNB } – полный набор генераторов алгебры B. Будем считать, что элементы
алгебры A – это матрицы nA × nA , а элементы алгебры B – матрицы nB × nB . Построим набор из (NA + NB ) матриц (nA + nB ) × (nA + nB ) так, что первые NA матриц
имеют блочный вид
)
(
0nA ×nB
Ai
, i = 1, . . . , NA ,
(3.2.80) algA
0nB ×nA 0nB ×nB
где 0k×ℓ – нулевая матрица k × ℓ. Оставшиеся NB матриц выберем в виде
)
(
0nB ×nB 0nA ×nB
, q = 1, . . . , NB .
0nB ×nA
Bq
(3.2.81) algB
3.2 Алгебры Ли.
103
Векторное пространство, натянутое на базис, состоящий из (NA +NB ) матриц (3.2.80)
и (3.2.81), образует алгебру Ли (умножение в этой алгебре есть коммутатор (nA +
nB ) × (nA + nB ) матриц). Эта алгебра, как нетрудно понять, является прямой суммой
A + B алгебр A и B.
• Задача 80. Пусть G = G1 × G2 – прямое произведение матричных групп Ли
G1 и G2 . Показать, что алгебра Ли группы G изоморфна прямой сумме
алгебр Ли A(G1 ) и A(G2 ), то есть
A(G1 × G2 ) = A(G1 ) + A(G2 ) .
Алгебры A(G1 ) и A(G2 ) являются инвариантными подалгебрами Ли в алгебре A(G1 )+
A(G2 ) и если A(G1 ) и A(G2 ) – просты, то A(G1 ) + A(G2 ) – полупростая алгебра Ли.
Определение 3.2.6 Группа Ли G называется простой (полупростой), если ее алгебра Ли проста (полупроста).
Учитывая утверждение Задачи 80, мы заключаем, что прямое произведение G1 × G2
двух простых групп Ли G1 и G2 дает пример полупростой группы Ли. Отметим,
что группа Ли U (1) не относится к простым группам, так как, в соответствии со
сказанным выше, алгебра Ли u(1) не считается простой.
Пример 7. Максимальное подпространство Z в алгебре Ли A такое, что для всех
X ∈ Z справедливо [X, Y ] = 0, где Y любой элемент A, называется центром алгебры
Ли A.
• Задача 81. Доказать, что если группа Ли Z – центр в группе Ли G, то A(Z)
– центр в алгебре Ли A(G).
Центр Z — инвариантная абелева подалгебра в A. Поэтому, если в A имеется нетривиальный центр, то A не проста и не полупроста.
3.2.7
Овеществления и вещественные формы комплексных алгебр Ли.
1. Овеществление комплексных алгебр Ли.
Поясним подробнее, что мы понимаем под интерпретацией вещественной алгебры
Ли как комплексной, см. Замечание 5 в подразделе 3.2.5. Пусть AnC — комплексная
n-мерная алгебра Ли с образующими (X1 , . . . , Xn ) и определяющими соотношениями
(3.2.71). С ней естественным образом ассоциируется вещественная 2n-мерная алгебра
Ли A2n
R с образующими
(Y1 , . . . , Yn , Z1 , . . . , Zn ) = (X1 , . . . , Xn , iX1 , . . . , iXn ) .
VRN до
Задачи 84
(3.2.82) yzxx
А именно, если αa – комплексные параметры и A = αa Xa — вектор в AnC , то соответe в A2n равен [(Re αa )Ya − (Im αa )Za ]. Ясно, что это соответствие
ствующий вектор A
R
взаимнооднозначно. При этом умножение на i в пространстве AnC заменяется на действие в A2n
R линейного оператора J такого, что
J · Ya = Za , J · Za = −Ya
⇒
J 2 = −I2n .
(3.2.83) cstr
3.2 Алгебры Ли.
104
Структурные соотношения в A2n
R получаются из структурных соотношений (3.2.71)
для AnC и имеют вид
(
)
(
)
(
)
(
)
d
d
d
d
[Ya , Yb ] = ReCab
Yd + ImCab
Zd , [Ya , Zb ] = ReCab
Zd − ImCab
Yd ,
(3.2.84) yyzz
(
)
(
)
d
d
[Za , Zb ] = − ReCab
Yd − ImCab
Zd ,
d
d
где Cab
– структурные константы в AnC , а их вещественные и мнимые части Re Cab
d
2n
и Im Cab – структурные константы в AR . Полученную таким образом вещественную
n
алгебру A2n
R мы будем называть овеществлением комплексной алгебры AC .
2n
Пусть теперь четномерная вещественная алгебра AR получена овеществлением
некоторой комплексной алгебры AnC . В этом случае мы будем также говорить, что
вещественная алгебра A2n
R может быть интерпретирована как комплексная алгебра
AnC . Понятно, что не всякая четномерная вещественная алгебра Ли допускает такую
интерпретацию. Четномерная вещественная алгебра Ли A2n
R может интерпретироваться как комплексная, если она обладает комплексной структурой, то есть в A2n
R
существует линейный оператор J (смотри (3.2.83)) такой, что
J 2 = −I2n ,
J ·[A, B] = [J ·A, B] ⇔ J ·[A, B] = [A, J ·B] ,
∀A, B ∈ A2n
R . (3.2.85) yyzz1
• Задача 82. Проверить, что оператор J, заданный в (3.2.83), определяет комплексную структуру для алгебры Ли (3.2.84), то есть для J справедливы
соотношения (3.2.85).
Отметим, что в алгебре A2n
R с комплексной структурой J можно всегда выбрать базис
(Y1 , . . . , Yn , Z1 , . . . , Zn ) так, чтобы выполнялись соотношения (3.2.83).
• Задача 83. Пусть оператор J действует в вещественном 2n-мерном векторном
пространстве VR2n и удовлетворяет J 2 = −I2n . Построить базис (e1 , . . . , en ,
f1 , . . . , fn ) в VR2n , в котором действие оператора J имеет вид J · ea = fa
и J · fa = −ea . Указание. Выбрать любой ненулевой вектор e1 ∈ VR2n и
построить по нему вектор f1 = J · e1 , при этом J · f1 = −e1 . Затем
выбрать линейно независимый от e1 и f1 вектор e2 ∈ R2n и построить
по нему вектор f2 = J · e2 , и так далее.
• Задача 84. Проверить, что, если в алгебре A2n
R с комплексной структурой
J базис (Y1 , . . . , Yn , Z1 , . . . , Zn ) выбран так, что выполняются соотношения (3.2.83), то определяюшие соотношения A2n
R в этом базисе имеют вид
(3.2.84).
Обсудим более подробно, почему наличие комплексной структуры J у вещественной алгебры A2n
R дает возможность интерпретировать ее как комплексную алгебру
AnC . Используя оператор J, можно построить два проектора, которые действуют в
2n
комплексификации A2n
C вещественной алгебры AR :
1
P + = (1 + i J) ,
2
1
P − = (1 − i J) ,
2
(P ± )2 = P ± ,
P∓ · P± = 0 .
(3.2.86) PpPm
3.2 Алгебры Ли.
105
Проекторы P ± раскладывают алгебру A2n
C в прямую сумму двух комплексных подалгебр A(+) и A(−) , где A(±) = P ± A2n
.
Действительно, любой элемент A ∈ A2n
C
C
представим в виде суммы A = P + A + P − A и, пользуясь (3.2.85), легко проверить,
что
[ (+) (+) ]
[
]
[
]
A ,A
⊂ A(+) , A(−) , A(−) ⊂ A(−) , A(+) , A(−) = 0 .
Выберем в алгебре A2n
R базис (Y1 , . . . , Yn , Z1 , . . . , Zn ), для которого выполняются соотношения (3.2.83). Тогда согласно (3.2.83) и (3.2.86) базис в комплексной алгебре
(+)
A(+) состоит из элементов Xa = (Ya + iZa )/2, а в алгебре A(−) – из элементов
(−)
Xa = (Ya − iZa )/2, где a = 1, . . . , n. Поэтому комплексные размерности алгебр A(−)
и A(+) совпадают и равны n. Более того, алгебры A(+) и A(−) связаны между собой
антилинейным взаимнооднозначным отображением ρ: A(−) → A(+) , таким, что
ρ(αa Xa(−) ) = αa∗ Xa(+) ,
αa ∈ C .
(3.2.87) isopm
При этом отображение ρ сохраняет произведение в алгебрах A(−) и A(+) .
• Задача 85. Используя соотношения (3.2.85) и результат Задачи 84, показать,
(−)
(+)
что базисные элементы Xa и Xa комплексных алгебр A(−) и A(+) имеют
структурные соотношения:
(−)
(−)
(+)
d
[Xa(−) , Xb ] = Cab
Xd
d
(+)
, [Xa(+) , Xb ] = C ab Xd
(3.2.88) pxpx
,
d
d
d
d
d
d
где Cab
= ReCab
+ i ImCab
и C ab = ReCab
− i ImCab
. Показать, что отображение ρ, заданное в (3.2.87), согласовано с алгебраическими операциями
(3.2.88).
(−)
(−)
(−)
(−)
Овеществление алгебры A(−) с базисом (X1 , . . . , Xn , iX1 , . . . , iXn ) и овеществ(+)
(+)
(+)
(+)
ление алгебры A(+) с базисом (X1 , . . . , Xn , −iX1 , . . . , −iXn ) совпадают и изоморфны одной и той же алгебре A2n
R . Таким образом, мы показали, что веществен2n
ную алгебру Ли AR с комплексной структурой J всегда можно интерпретировать
как комплексную алгебру A(−) (или A(+) ) размерности n.
• Задача 86. Доказать, что A(−) и A(+) — инвариантные подалгебры в A2n
C и
(−)
2n
(+)
(+)
2n
(−)
имеют место изоморфизмы: A = AC /A и A = AC /A .
В качестве простого примера рассмотрим овеществление алгебры Ли группы
SL(2, C). Любая матрица A ∈ sℓ(2, C) (3.2.18) имеет разложение
A = a12 e+ + a21 e− + 2a11 h ,
где три матрицы
(
)
0 1
e+ =
,
0 0
(
e− =
0 0
1 0
)
,
1
h=
2
aij ∈ C ,
(
1 0
0 −1
(3.2.89) li5
)
,
(3.2.90) li111
образуют базис в sℓ(2, C), комплексная размерность которой, таким образом, равна
трем. Структурные соотношения для образующих sℓ(2, C) имеют вид
[e+ , e− ] = 2 h , [h, e+ ] = e+ , [h, e− ] = −e− .
(3.2.91) eph
3.2 Алгебры Ли.
106
Овеществление алгебры sℓ(2, C), то есть вещественная алгебра Ли A6R группы SL(2, C),
согласно описанной выше процедуре, имеет размерность 6 и ее образующие можно
выбрать следующим образом: первые три образующие совпадают с e+ , e− и h, а aΛ3
оставшиеся три имеют вид
e′+ = i e+ ,
e′− = i e− ,
h′ = i h .
(3.2.92) rsl22
Умножение в алгебре A6R определяется коммутаторами (3.2.91) и коммутаторами,
которые вытекают из представления (3.2.92):
[e′+ , e′− ] = −2 h , [h′ , e′± ] = ∓ e± ,
[e+ , e′− ] = [e′+ , e− ] = 2 h′ , [h′ , e± ] = [h, e′± ] = ± e′± ,
(3.2.93) defA6
а комплексная структура в A6R задается оператором J:
J · e± = e′± ,
J · h = h′ ,
J · e′± = −e± , J · h′ = −h .
Алгебры A(−) и A(+) выделяются из A6C с помощью проекторов P − и P + и мы имеем
−
−
P − · e± = e−
± , P ·h = h ,
+
+
P + · e± = e+
± , P ·h = h ,
P − · e′± = i e−
± ,
P − · h′ = i h− ,
P + · e′± = −i e+
± ,
P + · h′ = −i h+ ,
(3.2.94) AmAp
где мы ввели обозначения
1
′
e−
± = (e± − i e± ) ,
2
1
h− = (h − i h′ ) ,
2
(3.2.95) AmAp1
1
h+ = (h + i h′ ) .
2
(3.2.96) AmAp2
для базисных элементов в алгебре A(−) и
1
′
e+
± = (e± + i e± ) ,
2
для базисных элементов в алгебре A(+) . Теперь вещественная алгебра A6R интерпретируется как комплексная алгебра A(−) (или как A(+) ). Обе алгебры A(−) и A(+)
изоморфны sℓ(2, C).
• Задача 87. Пользуясь (3.2.91) и (3.2.93), показать что образующие (3.2.95) и
(3.2.96) алгебр A(−) и A(+) удовлетворяют коммутационным соотношениям, идентичным соотношениям (3.2.91) для образующих sℓ(2, C). Прове+ +
−
рить, что образующие (e−
± , h ) коммутируют с образующими (e± , h ).
Замечание 1. Подчеркнем, что описанную процедуру интерпретации 2n-мерной вещественной алгебры как комплексной n-мерной алгебры не следует путать с комплексификацией 2n-мерной вещественной алгебры (см. подраздел 2.2.1 по поводу
комплексификации вещественных векторных пространств), в результате которой получается 2n-мерная комплексная алгебра.
Замечание 2. Алгебра A6R – проста, как вещественная алгебра. Ее комплексификация A6C , как мы показали (см. Задачу 87), разлагается в прямую сумму sℓ(2, C) +
3.2 Алгебры Ли.
107
sℓ(2, C), то есть A6C – непростая алгебра Ли. Ниже в разделе 3.2.12 (см. Задачу 105)
мы покажем, что вещественная алгебра Ли A6R изоморфна вещественной алгебре
so(1, 3).
2. Вещественные формы комплексных алгебр Ли.
Напомним, что понятие вещественных форм комплексных векторных пространств
было введено в подразделе 2.2.1.
Пусть в комплексной алгебре Ли AnC можно выбрать базис так, чтобы структурные константы в определяющих соотношениях (3.2.71) были вещественны. Вещественная алгебра Ли AnR с такими же структурными константами называется вещественной формой алгебры AnC . Понятно, что комплексификация AnR — это AnC ,
поэтому данное определение эквивалентно следующему:
Определение 3.2.7 Вещественная алгебра AnR называется вещественной формой
алгебры AnC , если комплексификация AnR совпадает с AnC .
Очевидно, что справедливо также обратное утверждение: если AnR – вещественная
форма алгебры Ли AnC , то структурные константы AnC с тем же базисом, что и в AnR ,
будут вещественными.
2n
Пусть AnC – комплексная алгебра Ли, а A2n
R – ее овеществление. Пусть на AR
задана линейная инволютивная операция σ такая, что σ 2 (X) = X и
σ([X, Y ]) = [σ(X), σ(Y )] ,
∀X, Y ∈ A2n
R .
(3.2.97) li05
Ясно, что соответствующая инволюция σ имеется и на комплексной алгебре AnC , но
она не обязательно линейна, она может быть антилинейной
σ(α X) = α∗ σ(X) ,
∀α ∈ C ,
∀X ∈ AnC .
(3.2.98) li05d
С помощью операции σ любой элемент X ∈ A2n
R можно разложить в сумму
1
1
X = (X + σ(X)) + (X − σ(X)) = X + + X − ,
2
2
где в силу инволютивности и линейности σ мы имеем σ(X ± ) = ±X ± . Поэтому алгебра Ли A2n
R , как векторное пространство, разлагается в сумму двух подпространств
2n
AR = A+ + A− (соответствующих двум собственным значениям ±1 оператора σ).
Для подпространств A+ и A− , пользуясь соотношениями (3.2.97), можно получить
следующие свойства
[A+ , A+ ] ⊂ A+ , [A+ , A− ] ⊂ A− , [A− , A− ] ⊂ A+ .
(3.2.99) li06
Например, первое из этих свойств следует из цепочки равенств
(
)
σ [X + , Y + ] = [σ(X + ), σ(Y + )] = + [X + , Y + ] ⇒ [X + , Y + ] ∈ A+ .
Согласно (3.2.99) вещественное подпространство A+ ⊂ A2n
R образует подалгебру Ли
2n
в AR . Оказывается, что все вещественные формы полупростой комплексной алгебры
3.2 Алгебры Ли.
108
AnC связаны с некоторыми инволюциями σ в A2n
R и получаются именно как подалгебы
A+ в A2n
.
VRN
R
В качестве примера снова рассмотрим комплексную алгебру sℓ(2, C). Одной из вещественных форм алгебры sℓ(2, C) является алгебра Ли sℓ(2, R), возникающая, когда
в (3.2.89) координаты aij выбираются вещественными числами. Эта вещественная
форма выделяется из алгебры sℓ(2, C) с помощью инволюции σ, которая является обычным комплексным сопряжением, то есть для любой комплексной матрицы
A ∈ sℓ(2, C) мы имеем σ(A) = A∗ . На языке вещественной алгебры Ли A6R группы
SL(2, C) линейная инволютивная операция σ задается преобразованием элементов
базиса
σ
(e+ , e− , h, e′+ , e′− , h′ ) −→ (e+ , e− , h, −e′+ , −e′− , −h′ ) .
В рассматриваемом случае подалгебра A+ в sℓ(2, C) по определению образована всеми матрицами вида A + σ(A) = A + A∗ , то есть всеми вещественными и бесследовыми
2 × 2 матрицами, откуда и следует A+ = sℓ(2, R).
VRN
Рассмотрим еще одну инволютивную операцию на sℓ(2, C), которая определяется
для любой матрицы A ∈ sℓ(2, C) как σ(A) = −A† . На языке вещественной алгебры
Ли A6R соответствующая линейная инволютивная операция определяется преобразованиями
σ
(e+ , e− , h, e′+ , e′− , h′ ) −→ (−e− , −e+ , −h, e′− , e′+ , h′ ) .
• Задача 88. Проверить, что для любой комплексной матричной алгебры Ли AnC
всегда имеются две инволютивные операции: σ(A) = A∗ и σ(A) = −A† ,
где A ∈ AnC , для которых выполняются свойства (3.2.97) и (3.2.98).
В рассматриваемом случае подалгебра A+ в sℓ(2, C) по определению образована всеми матрицами вида A + σ(A) = A − A† , то есть всеми антиэрмитовыми бесследовыми
2 × 2 матрицами. Cогласно примеру 5 из подраздела 3.2.3 эта подалгебра — вещественная алгебра Ли su(2). Легко понять, что комплексификация su(2) совпадает с
sℓ(2, C). Таким образом, кроме вещественной формы sℓ(2, R), комплексная алгебра
sℓ(2, C) имеет еще одну вещественную форму — su(2).
Другие примеры выделения вещественных форм с помощью инволюций мы рассмотрим ниже в подразделе 3.2.9, когда будем обсуждать структурные соотношения для матричных алгебр Ли. Классификация всех вещественных форм алгебр Ли
sℓ(n, C), so(n, C) и sp(2r, C) изложена в 3.2.10.
3.2.8
Метрика Киллинга для алгебры Ли. Критерий полупростоты.
d
Пользуясь структурными константами Cab
(3.2.71), в векторном пространстве алгебры Ли A можно определить симметричную метрику
c
d
,
Cbd
gab ≡ Cac
(3.2.100) li04
которая называется метрикой Киллинга.
Сформулируем критерий полупростоты алгебры Ли, данный Э.Картаном.
3.2 Алгебры Ли.
109
Утверждение 3.2.3 Алгебра Ли полупроста, если и только если det(gab ) ̸= 0, то
есть матрица g = ||gab ||, построенная из компонент метрики Киллинга, невырождена.
Докажем достаточность критерия Картана. Будем доказывать это от противного. Пусть алгебра Ли не полупроста, то есть содержит инвариантную абелеву подалгебру, базисные генераторы которой будем нумеровать индексами ā, b̄, . . .. Тогда из
определения (3.2.100) следует, что gāb̄ = 0 и
¯
d
c
d
c̄
d
gab̄ = Cac
Cb̄d
= Cac̄
Cb̄d
= Cac̄
Cb̄c̄d¯ = 0 .
(3.2.101) gcc
Второе и третье равенства в (3.2.101) получаются из (3.2.77), а последнее – из (3.2.74).
Таким образом, при наличии инвариантных абелевых подалгебр блоки gāb̄ , gab̄ и gāb
в матрице g метрики Киллинга равны нулю, а это значит, что det(g) = 0 и достаточность критерия Картана доказана. С другой стороны, если det(g) = 0, то, как показал Картан, алгебра Ли A обязательно содержит инвариантные абелевы подалгебры
(это утверждение эквивалентно необходимости условия det(gab ) ̸= 0). Доказательство
необходимости критерия полупростоты алгебр Ли менее тривиально, чем приведенное выше доказательство достаточности. Мы наметим путь этого доказательства в
Замечании 1 в конце данного раздела.
Метрика Киллинга определяет на алгебре Ли A симметричное скалярное произведение
(A, B) = Aa gab B b , A, B ∈ A ,
(3.2.102) li04h
где Aa , B a — параметры элементов A = Aa Xa , B = B a Xa и по определению мы имеем
gab = (Xa , Xb ) .
(3.2.103) gxx
Скалярное произведение (3.2.102) называется формой Киллинга. Отметим, что это
скалярное произведение не является, вообще говоря, положительно определенным.
• Задача 89. Показать, что скалярное произведение (3.2.102) не зависит от выбора базиса {Xa }.
Для каждого элемента Y ∈ A согласно (3.2.66) можно определить линейный оператор ad(Y ), действующий в алгебре A, следующим образом
ad(Y ) · X = [Y, X] ,
∀X ∈ A .
(3.2.104) liad1a
Действие оператора ad(Y ) в алгебре A называется присоединенным.
Утверждение 3.2.4 Линейный оператор ad(Y ) антисимметричен относительно
скалярного произведения (A, B) (3.2.102), то есть имеет место следующее тождество
([Y, A], B) + (A, [Y, B]) = 0 , ∀A, B, Y ∈ A .
(3.2.105) li04q
3.2 Алгебры Ли.
110
ea с элементами
Доказательство. Рассмотрим (dimA×dimA) матрицы X
d
ea )db = Cab
(X
,
(3.2.106) li04f
где d интерпретируется как номер строки, а b – как номер столбца матрицы. Эти матрицы являются матрицами линейных операторов ad(Xa ) в базисе {Xb }. С помощью
матриц (3.2.106) метрика Киллинга (3.2.100) и тождество Якоби (3.2.73) записываются в виде
ea X
eb ) = gab ,
Tr(X
(3.2.107) li04e
ea , X
eb ] = C d X
ed .
[X
ab
(3.2.108) li04g
d
gdc полностью антисимметричны по индексам
Докажем, что константы Cabc = Cab
a, b, c. Действительно, из (3.2.72) имеем Cabc = −Cbac , а антисимметрия по двум другим индексам Cabc = −Cacb следует из цепочки равенств
(
)
(
)
(
)
d
ed X
ec = Tr [X
ea , X
eb ] X
ec = −Tr X
eb [X
ea , X
ec ] = −Cacb . (3.2.109) li04u
Cabc = Cab
Tr X
Разлагая в левой части (3.2.105) элементы Y, A, B ∈ A по базису {Xa }, получаем
d
d
([Y, A], B) + (A, [Y, B]) = Y a Ab B p (Cab
gdp + Cap
gdb ) = 0 ,
где последнее равенство следует из антисимметрии (3.2.109).
• Задача 90. Пусть AnC — комплексная алгебра Ли, A2n
R — ее овеществление,
n
а A — вещественная форма алгебры AC . Пусть (A, B)C , (A, B)R и (A, B)
соответствующие этим алгебрам формы Киллинга. Доказать что форма
(A, B) является сужением формы (A, B)C :
(A, B) = (A, B)C |A,B∈A .
Пользуясь формулами (3.2.84) доказать, что формы Киллинга (A, B)C и
e B)
e R связаны соотношением
(A,
e B)
e R = 2 Re(A, B)C ,
(A,
eB
e ∈ A2n и A, B ∈ An устанавлигде соответствие между элементами A,
R
C
вается заменой базиса (3.2.82).
Замечание 1. Пусть g = ||gab || – метрика Киллинга алгебры Ли A. Рассмотрим подпространство Ker(g) элементов B ∈ A таких, что (X, B) = 0 для всех X ∈ A. Пусть
метрика Киллинга вырождена, тогда подпространство Ker(g) ⊂ A нетривиально.
Пусть B ∈ Ker(g) и B ̸= 0. Тогда из (3.2.105) получаем
0 = ([Y, A], B) = −(A, [Y, B]) ,
∀A, Y ∈ A ,
и следовательно [Y, B] ∈ Ker(g) для всех Y ∈ A. Отсюда следует, что Ker(g) –
инвариантная подалгебра Ли в A. Инвариантная подалгебра Ker(g) имеет нулевую
метрику Киллинга gab = 0. Можно доказать, что алгебра Ли с метрикой Киллинга
3.2 Алгебры Ли.
111
gab = 0 всегда разрешима, а разрешимые алгебры Ли всегда имеют нетривиальный
абелев идал (смотри Пример 5 в разделе 3.2.6). Поэтому и вся алгебра Ли A (которая
имеет разрешимую инвариантную подалгебру Ker(g)) также содержит нетривиальную абелеву инвариантную подалгебру и, следовательно, A не полупроста. Итак,
если метрика Киллинга вырождена, то алгебра Ли не полупроста (необходимость
критерия Картана).
Пример. Примером неабелевой алгебры Ли с метрикой Киллинга, равной нулю gab =
0, может служить алгебра B+ верхне-треугольных матриц ||aij || (aij = 0, ∀i ≥ j).
Метрика Киллинга для B+ равна нулю, так как в B+ всегда можно упорядочить
d
= 0 для всех d ≤ b. Эта алгебра разрешима и
базисные элементы так, чтобы Cab
абелев идеал в ней одномерен и образован матрицами, у которых отличен от нуля
только один самый верхний правый элемент.
3.2.9
Примеры структурных соотношений для некоторых алгебр Ли.
1. Алгебры Ли sℓ(2, C) и sℓ(2, R). Как мы уже отмечали в разделе 3.2.7, образующими комплексной алгебры sℓ(2, C) и вещественной алгебры sℓ(2, R) являются матрицы
)
)
(
)
(
(
1
0 0
0 1
1 0
, h=
, e− =
,
(3.2.110) li1
e+ =
1 0
0 0
0 −1
2
которые удовлетворяют структурным соотношениям (3.2.91). Вещественная алгебра
Ли A6R (изоморфная so(1, 3), см. подраздел 3.2.12) группы SL(2, C) со структурными
соотношениями (3.2.91) и (3.2.93) представляет собой овеществление комплексной алгебры sℓ(2, C), а алгебры sℓ(2, R) и su(2) — вещественные формы алгебры Ли sℓ(2, C),
см. раздел 3.2.7.
2. Алгебра Ли gl(n, C) – это множество всех комплексных матриц n × n. В качестве
базиса в gl(n, C) можно использовать матричные единицы eij (1 ≤ i, j ≤ n) – матрицы, у которых все элементы равны нулю, кроме одного элемента в i-ой строке и
j-ом столбце, равного единице:
(3.2.111) med1
(eij )km = δik δjm .
Матричные единицы удовлетворяют соотношениям
n
∑
eii = In и
i=1
eij · ekm = δkj eim ,
(3.2.112) mmed
используя которые можно получить определяющие соотношения для gl(n, C):
[eij , ekm ] = δjk eim − δim ejk .
(3.2.113) gln1
Так же, как в предыдущем примере, мы интерпретируем gl(n, C) как комплексную
алгебру Ли.
3.2 Алгебры Ли.
112
3. Алгебра Ли sℓ(n, C), которую мы также интерпретируем как комплексную алгебру
– это векторное подпространство в gl(n, C), т.е. множество всех комплексных n × n
матриц A таких, что Tr(A) = 0. В качестве базиса в пространстве sℓ(n, C) можно
выбрать матричные единицы:
Eij = eij , Fij = eji
i<j,
(3.2.114) hefN
и любые (n − 1) матриц из набора n матриц вида
1∑
ejj , (i = 1, 2, . . . , n) ,
Hi = eii −
n j=1
n
которые связаны одним соотношением
n
∑
(3.2.115) hefN1
Hi = 0. Таким образом, Hi - диагональные
i=1
бесследовые матрицы, а Eij = eij и Fij = eji (i < j) - матричные единицы, имеющие
ненулевые элементы над и под главной диагональю, соответственно. Те же матрицы
(3.2.114) и (n − 1) матриц из (3.2.115) очевидно образуют базис и в вещественной
алгебре Ли sℓ(n, R), откуда становится ясным, что sℓ(n, R) — вещественная форма
комплексной алгебры sℓ(n, C). В качестве инволюции σ на sℓ(n, C), которая выделяет вещественную форму sℓ(n, R) (см. пункт 2 раздела 3.2.7), выбирается обычное
комплексное сопряжение: σ(A) = A∗ , где A ∈ sℓ(n, C).
Из соотношений (3.2.113) следуют коммутационные соотношения для элементов
(3.2.114), (3.2.115) алгебры Ли sℓ(n, C):
[Hi , Hj ] = 0 , [Hi , Ekj ] = (δik − δij )Ekj , [Hi , Fkj ] = (δij − δik )Fkj ,
[Eij , Ekm ] = δjk Eim − δim Ekj , [Fij , Fkm ] = δim Fkj − δkj Fim ,
[Eij , Fkm ] = δjm Eik − δik Emj (j − i > m − k) ,
[Eij , Fkm ] = δjm Fik − δik Fmj (j − i < m − k) ,
[Eij , Fkm ] = δjm δik (Hi − Hj ) (j − i = m − k) .
(3.2.116) glNN
Видно, что мы выделили базис в алгебре Ли sℓ(n, C) такой, что элементы Hi (выберем i = 1, . . . , n − 1) образуют коммутативную подалгебру, а совокупности генераторов {Hi , Ejk } и {Hi , Fjk } определяют подалгебры Ли в sℓ(n, C). Данный базиc
{Hi , Ejk , Fjk } (j < k) в алгебре Ли sℓ(n, C) называется базисом Картана-Вейля. Коммутативная подалгебра Ли H, образованная элементами Hi , называется подалгеброй
Картана. Образующие Hi подалгебры Картана называются элементами Картана, а
образующие Ejk и Fjk называются положительными и отрицательными корневыми
элементами, соответственно. Подалгебра Ли, образованная только элементами Ejk
или только Fjk , называются положительной или отрицательной подалгеброй Бореля
в алгебре sℓ(n, C), соответственно. Базис Картана-Вейля и корневые элементы для
любой полупростой алгебры Ли будут введены в разделе 5.4.2.
Утверждение 3.2.5 Алгебры Ли sℓ(n, C) и sℓ(n, R) – просты.
Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент A ∈ sℓ(n, C)
A=
∑
i̸=j
aij eij +
n−1
∑
i=1
ai Hi ,
(3.2.117) simp1
3.2 Алгебры Ли.
113
где aij , ai ∈ C. Пусть A принадлежит инвариантной подалгебре (идеалу) N ⊂ sℓ(n, C).
Тогда, пользуясь (3.2.113), получаем
∑
[A, Hm ] = (aim eim − ami emi ) = Bm ∈ N ,
i
[Bm , Hk ] = (−akm ekm − amk emk ) = Bm,k ∈ N
(m ̸= k) ,
′
[Bm,k , Hk − Hm ] = 2(akm ekm − amk emk ) = 2Bm,k
∈N ,
′
− Bm,k = 2akm ekm ∈ N , где m ̸= k. Таким образом, либо ekm ∈ N ,
и, наконец, Bm,k
а это значит, что N = sℓ(n, C), так как из элемента ekm , с помощью коммутационных соотношений (3.2.116), можно породить всю алгебру sℓ(n, C), либо akm = 0,
и соответствующего слагаемого нет в линейной комбинации (3.2.117). Повторяя это
рассуждение для всех m и k, m ̸= k, мы получаем, что либо N = sℓ(n, C), либо
элемент A ∈ N (3.2.117) принадлежит подалгебре Картана H. Из любого ненулевого
элемента A ∈ H с помощью второго и третьего соотношений в (3.2.116), можно породить всю алгебру sℓ(n, C). Поэтому снова, либо N = sℓ(n, C), либо A = 0, а тогда
N = ∅. Итак мы доказали, что sℓ(n, C) не содержит нетривиальных инвариантных
подалгебр и, следовательно, sℓ(n, C) – проста.
Алгебра Ли sℓ(n, R) – проста, так как она является вещественной формой алгебры
Ли sℓ(n, C) (если бы sℓ(n, R) была не проста, то при комплексификации, очевидно,
возникала бы также непростая алгебра).
4. Алгебра Ли su(2) — это пространство комплексных 2 × 2 матриц A таких, что
A† = −A и Tr(A) = 0. Представим элемент A ∈ su(2) в виде A = −iX/2, где X † = X
и Tr(X) = 0. Любую матрицу X такого типа можно записать как
(
)
x3
x1 − ix2 = x σ + x σ + x σ ,
X= x +
(3.2.118) ermi
1 1
2 2
3 3
ix2
−x3
1
где xα ∈ R и σα — матрицы Паули (3.1.18). Отметим, что пользуясь явным видом
(3.1.18), можно вывести следующие полезные соотношения для матриц Паули:
σα σβ = δαβ I2 + i εαβγ σγ .
(3.2.119) pauli2
Итак, любой элемент A ∈ su(2) имеет разложение
A = x1 τ1 + x2 τ2 + x3 τ3 ,
τα ≡ −iσα /2 ,
(3.2.120) lisu5
где в качестве базиса в su(2) мы выбрали три антиэрмитовы матрицы τα , нормированные условиями Tr(τα τβ ) = −δαβ /2. Именно потому, что базис τα в алгебре su(2)
строится по матрицам Паули, последние играют важнейшую роль в теории спина в
квантовой механике. Пользуясь тождествами (3.2.119), получаем структурные соотношения для образующих τα :
[τα , τβ ] = εαβγ τγ .
(3.2.121) li4
Заметим, что комплексификация алгебры su(2) (когда в (3.2.120) мы выбираем xα ∈ C) совпадает с алгеброй Ли sℓ(2, C), так как в этом случае разложения
(3.2.120) и (3.2.89) описывают одно и то же векторное пространство. Таким образом, как мы уже отмечали в пункте 2 раздела 3.2.7, алгебра su(2) – вещественная
3.2 Алгебры Ли.
114
форма sℓ(2, C), причем отличающаяся от вещественной формы sℓ(2, R). Напомним,
что в данном случае в качестве инволюции σ, которая выделяет подалгебру su(2) в
sℓ(2, C) выбирается операция σ(A) = −A† .
5. Алгебра Ли su(n) группы SU (n). Напомним, что su(n) — это множество антиэрмитовых бесследовых комплексных n × n матриц A, которые можно представить как
A = −iZ/2, где Z = ||Zij || – бесследовая эрмитова матрица. Очевидно, что такая
матрица Z имеет вид Z = V + iW , где матрицы V = ||Vij || и W = ||Wij || – вещественны и удовлетворяют условиям V T = V , Tr(V ) = 0, W T = −W . В компонентной
записи мы имеем
Zij = Vij + i Wij ,
Vij , Wij ∈ R ,
n
(3.2.122) alliN
∑
Vij = Vji ,
Vii = 0 , Wij = −Wji .
i=1
Разложим матрицу Z (3.2.122) по базисным матрицам
Z=
n−1
∑
ei +
hi H
i=1
∑
(Xij Sij + Yij Sji ) ,
i<j
где в качестве базисных элементов в пространстве всех бесследовых эрмитовых матриц n × n выбираем матрицы
)
(
)1/2 (∑
k
2
ek =
H
ejj − k ek+1,k+1
(k = 1, . . . , n − 1) ,
(3.2.123) alliN5
k(k + 1)
j=1
Sij = eij + eji ,
Sji = i(eji − eij )
(i < j) ,
(3.2.124) alliN55
(i < j) ,
(3.2.125) alliN4
которые эрмитовы
e† = H
e k , S † = Sij ,
H
ij
k
†
Sji
= Sji
и обобщают матрицы Паули (3.1.18) на многомерный случай. В (3.2.123) были снова
использованы матричные единицы eij (1 ≤ i, j ≤ n) (3.2.111), (3.2.112). Нормировка
ek H
e j ) = 2δkj . Отметим, что выбор диагональв (3.2.123) выбрана так, чтобы Tr(H
ных образующих (3.2.123) более удобен чем выбор (3.2.115) с точки зрения описания
вложений su(n − 1) ⊂ su(n) и sℓ(n − 1, C) ⊂ sℓ(n, C).
Теперь любой элемент A = −iZ/2 алгебры Ли su(n) можно представить в виде
A=
n−1
∑
i=1
hi Ti +
∑
(Xij Tij + Yij Tji ) ,
(3.2.126) alliN2
i<j
где в качестве базиса в su(n) выбраны антиэрмитовы матрицы
i
ie
Tk = − H
k (k = 1, . . . , n − 1) , Tij = − Sij ,
2
2
которые нормированы соотношениями
i ̸= j ,
1
1
Tr(Tk Tm ) = − δmk , Tr(Tij Tkm ) = − δik δjm , Tr(Tk Tij ) = 0 .
2
2
(3.2.127) alliN3
(3.2.128) trslN
3.2 Алгебры Ли.
115
Если мы введем для всех образующих (3.2.127) алгебры su(n) общее обозначение
Ta(f ) = {Ti , Tkl } ,
a = 1, . . . , n2 − 1 ,
(3.2.129) genB
то нормировка (3.2.128) запишется в виде
1
(f )
Tr(Ta(f ) · Tb ) = − δab .
2
(3.2.130) trslN1
Структурные соотношения для образующих Ti и Tij алгебры Ли su(n) могут быть
легко получены с помощью равенств (3.2.113). При вычислении структурных соотношений для недиагональных базисных элементов (3.2.124) полезно использовать то,
что они построены из симметричных Sij = eij +eji и антисимметричных Mij = eij −eji
матриц, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Mij , Mkl ] = δjk Mil + δjl Mki + δik Mlj + δil Mjk ,
[Mij , Skl ] = δjk Sil + δjl Ski − δik Slj − δil Sjk ,
(3.2.131) MSsu
[Sij , Skl ] = δjk Mil − δjl Mki − δik Mlj + δil Mjk .
• Задача 91. Воспользовавшись формулами (3.2.131), выписать все структурные соотношения для алгебры su(n) в базисе (3.2.127).
Мы приведем здесь только все ненулевые коммутационные соотношения последней
диагональной образующей Tn−1 = −i(2n(n − 1))−1/2 (In − n enn ) (они понадобятся нам
в дальнейшем):
(
[Tn−1 , Tin ] =
n
2(n − 1)
) 12
(
Tni , [Tn−1 , Tni ] = −
n
2(n − 1)
) 12
Tin ,
i < n . (3.2.132) Tnm1
Вещественные числа Xij , Yij (i < j) и hi (i = 1, . . . , n − 1) являются координатами
вектора A ∈ su(n), заданного в (3.2.126). Количество этих координат очевидно равно
(n2 − 1), что соответствует размерности алгебры Ли su(n).
Иногда удобно переписать элемент (3.2.126) алгебры Ли su(n) в другом базисе
A=
n−1
∑
i=1
hi Ti −
)
i ∑(
Zij Eij + Zij∗ Fij ,
2 i<j
(3.2.133) alliN1
где Zij определены в (3.2.122), а в качестве базисных элементов выбраны матрицы
(3.2.114), которые образуют базис и в sℓ(n, R), и в sℓ(n, C). Таким образом, две вещественные алгебры Ли sℓ(n, R) и su(n) определяют две разные вещественными формы
одной и той же комплексной алгебры sℓ(n, C). Отметим, что в качестве инволюции
σ (см. пункт 2 раздела 3.2.7), которая выделяет подалгебру su(n) в sℓ(n, C) выбирается операция σ(A) = −A† , а подалгебра sℓ(n, R) в sℓ(n, C) выделяется с помощью
другой инволюции σ(A) = A∗ .
3.2 Алгебры Ли.
116
Утверждение 3.2.6 Алгебра Ли su(n) – проста.
Доказательство. Данное утверждение следует из того, что алгебра Ли su(n) – вещественная форма простой комплексной алгебры Ли sℓ(n, C) (см. доказательство
Утверждения 3.2.5).
Рассмотрим простейший, после алгебры su(2) (которая уже была рассмотрена
выше; см. (3.2.89) - (3.2.91)), пример специальной унитарной алгебры Ли su(3). Приe1, H
e 2 и Sij , Sji (1 ≤ i < j ≤ 3), заданных в (3.2.123),
ведем явный вид восьми матриц H
e1, H
e 2 мы
из которых строится базис (3.2.127) для алгебры Ли su(3). Для матриц H
имеем представления
(
)
(
)
1
0
0
1
0
0
1
e 1 = 0 −1 0 ≡ λ3 , H
e 2 = √ 0 1 0 ≡ λ8 ,
(3.2.134) gelm1
H
0 0 0
3 0 0 −2
а недиагональные образующие Sij и Sji (i < j) имеют вид
)
)
(
)
(
(
0 0 0
0 0 1
0 1 0
S12 = 1 0 0 ≡ λ1 , S13 = 0 0 0 ≡ λ4 , S23 = 0 0 1 ≡ λ6 ,
0 1 0
1 0 0
0 0 0
)
)
(
)
(
(
0 0 0
0 0 −i
0 −i 0
≡ λ5 , S32 = 0 0 −i ≡ λ7 .
S21 = i 0 0 ≡ λ2 , S31 = 0 0 0
0 i 0
i 0 0
0 0 0
(3.2.135) gelm2
Пользуясь этими представлениями, мы получаем коммутационные соотношения для
матриц (λ1 , λ2 , . . . , λ8 ):
[λ2 , λ4 ] = i λ6 , (цикл 2 → 4 → 6) , [λ1 , λ4 ] = i λ7 , (цикл 1 → 4 → 7)
[λ1 , λ6 ] = i λ5 , (цикл 1 → 6 → 5) , [λ2 , λ5 ] = i λ7 , (цикл 2 → 5 → 7)
[λ1 , λ2 ] = 2 i λ3 , (цикл 1 → 2 → 3) , [λ3 , λ8 ] = 0 ,
(3.2.136) commst
[λ4 , λ5 ] = 2 i λ9 , (цикл 4 → 5 → 9) , [λ3 , λ4 ] = i λ5 , [λ5 , λ3 ] = i λ4 ,
[λ6 , λ7 ] = 2 i λ10 , (цикл 6 → 7 → 10) , [λ3 , λ7 ] = i λ6 , [λ6 , λ3 ] = i λ7 ,
где для удобства записи мы ввели дополнительные диагональные матрицы
1 √
1 √
λ9 = ( 3λ8 + λ3 ) , λ10 = ( 3λ8 − λ3 ) .
2
2
Восемь матриц λ1 , λ2 , . . . , λ8 называются матрицами Гелл-Манна. Их нормировка выбрана так, что Tr(λi λj ) = 2δij . Удобно выбрать другую нормировку для образующих
τk = −iλk /2, которая соответствует выбору (3.2.127). Матрицы τk удовлетворяют
соотношениям15
{
[τi , τj ] = fijk τk ,
(3.2.137) commgel
[τi , τj ]+ ≡ τi τj + τj τi = − 31 δij − i dijk τk ,
15
Операция [, ]+ , как и произведение матриц, выводят из алгебры Ли, поэтому часть указанных
соотношений нужно воспринимать просто как соотношения между матрицами.
3.2 Алгебры Ли.
117
откуда
1
1
i
τi τj = − δij + fijk τk − dijk τk ,
6
2
2
1
Tr(τk τm ) = − δkm ,
2
причем
(
)
fijk = −2 Tr ([τi , τj ]τk ) , dijk = −2i Tr ([τi , τj ]+ τk ) = 12 Tr λ{i λj λk} ,
−fijk + i dijk = 4 Tr (τi τj τk ) ,
(3.2.138) symfd
где fijk — структурные константы алгебры Ли su(3), и фигурные скобки обозначают
симметризацию по индексам (i, j, k). Константы fijk полностью антисимметричны
по перестановкам индексов i, j, k, а константы dijk полностью симметричны по перестановкам индексов i, j, k, что следует из (3.2.138). Приведем явный вид ненулевых
констант fijk и dijk :
ijk
123
147
156
246
257
345
367
458
678
fijk
1
1/2
−1/2
1/2
1/2
1/2
−1/2
√
√3/2
3/2
ijk
118
146
157
228
247
256
338
344
dijk
√
1/ 3
1/2
1/2
√
1/ 3
−1/2
1/2
√
1/ 3
1/2
ijk
355
366
377
448
558
668
778
888
dijk
1/2
−1/2
−1/2
√
−1/(2√3)
−1/(2√3)
−1/(2√3)
−1/(2√ 3)
−1/ 3
(3.2.139) tafd
• Задача 92. Проверить таблицу (3.2.139). Указание: константы dijk можно найти, вычисляя произведения λk λm для k ≤ m; явные значения fijk следуют
из соотношений (3.2.136).
6. Алгебра Ли so(n, C) – это векторное пространство всех кососимметричных комплексных n × n матриц A таких, что AT = −A. Мы снова интерпретируем so(n, C)
как комплексную алгебру. В качестве базиса в so(n, C) выбираем кососимметричные
матрицы
Mij = eij − eji , 1 ≤ i < j ≤ n .
(3.2.140) so1
Используя (3.2.131), мы получаем структурные соотношения для образующих (3.2.140)
[Mij , Mkl ] = δjk Mil + δjl Mki + δik Mlj + δil Mjk .
(3.2.141) so2
Вещественная форма so(n, R) = so(n) алгебры Ли so(n, C) выделяется с помощью
инволюции σ(A) = A∗ . Поэтому в качестве образующих в so(n) можно выбрать те
же матрицы (3.2.140), для которых выполняются те же структурные соотношения
(3.2.141). Вложение so(n) в su(n) становится очевидным, если сравнить образующие
(3.2.124) и (3.2.140).
Базис для вещественной алгебры Ли so(3) состоит из трех кососимметричных
матриц
1
(3.2.142) so2a
Si = − εijk Mjk = −εijk ejk ,
2
3.2 Алгебры Ли.
118
для которых из (3.2.141) следуют структурные соотношения
(3.2.143) so3
[Si , Sj ] = εijk Sk .
Для наглядности приведем матрицы (3.2.142) явно
(
)
(
)
(
)
0 0 0
0 0 1
0 −1 0
0 0 0
S1 = 0 0 −1
, S2 =
, S3 = 1 0 0
.
0 1 0
−1 0 0
0 0 0
(3.2.144) tro11
Матрицы (3.2.144) генерируют повороты в R3 вокруг соответствующих осей: ⃗e1 =
(1, 0, 0), ⃗e2 = (0, 1, 0) и ⃗e3 = (0, 0, 1), что эквивалентно поворотам в плоскостях (x2 , x3 ),
(x3 , x1 ) и (x1 , x2 ). Это следует из сравнения вида матриц S1 , S2 , S3 и генератора i
двумерного поворота (3.2.14).
• Задача 93. Доказать, что повороты вокруг оси, направленной вдоль единичного вектора ⃗n = (n1 , n2 , n3 ), генерируются матрицей (ni Si ). Пользуясь
экспоненциальным отображением (3.2.8) показать, что любой элемент группы SO(3) представим в виде
O(ψ, ⃗n) = exp (ψ (ni Si )) , −π < ψ ≤ π ,
(3.2.145) ephis
то есть любой элемент SO(3) соответствует вращению в R3 на угол ψ
вокруг оси, направленной вдоль ⃗n (смотри пример 9 из раздела 3.1.2).
Разлагая экспоненту (3.2.145) в ряд, доказать, что
[
(
)]
⃗
exp ψ (⃗n S)
= (δjk − nj nk ) cos ψ − (ni εijk ) sin ψ + nj nk .
jk
7. Алгебра Ли so(p, q) – это векторное пространство всех вещественных n × n (здесь
n = (p + q)) матриц A, удовлетворяющих соотношениям (3.2.42), которые можно
переписать в виде
(η · A)T = −η · A , η ≡ Ip,q .
(3.2.146) liso7p
Таким образом, матрица (η · A) антисимметрична и ее можно разложить по базису
(3.2.140)
η · A = ωij (eij − eji ) ⇒ A = 2 η −1 · ω ,
ω = ωij eij ,
(3.2.147) sopq5
где ωij = −ωji ∈ R. Отсюда следует, что в качестве базиса в пространстве матриц
A ∈ so(p, q) можно выбрать матрицы
Lij = η −1 · (eij − eji ) ,
1≤i<j≤n.
(3.2.148) so1b
Заметим, что правила (3.2.112) для произведения матричных единиц обобщаются
следующим образом
eij · h · ekℓ = hjk eiℓ ,
(3.2.149) mmed2
где h = ||hij || – произвольная n×n матрица. Используя эти правила для образующих
(3.2.148), получаем структурные соотношения для алгебры Ли so(p, q):
[Lij , Lkℓ ] = ηjk Liℓ + ηjℓ Lki + ηik Lℓj + ηiℓ Ljk ,
(3.2.150) so2b
3.2 Алгебры Ли.
119
где
||ηij || = Ip,q ≡ η ,
(3.2.151) so2g
и мы учли, что η −1 = η = η T . В случае p = 1, q = 3 мы имеем η = I1,3 и матрицы
(3.2.148) образуют алгебру Ли so(1, 3) группы Лоренца в четырехмерном пространстве, а формулы (3.2.150) дают структурные соотношения для этой алгебры.
Действие группы SO(p, q) на пространство Rp,q можно записать как однородные
преобразования координат (2.3.13), которые в данном случае удобно представить с
поднятыми и опущенными матричными индексами
xi → (x′ )i = Oij xj ,
O ∈ SO(p, q) ,
(3.2.152) sopq1
где суммирование идет по повторяющимся индексам, один из которых поднят, а второй опущен. Рассмотрим преобразование (3.2.152) для элемента O ∈ SO(p, q), близкого к единичному,
xi → (x′ )i = (δ ij + Aij + . . .) xj = (δ ij + 2 η ik ωkj + . . .) xj ,
(3.2.153) sopq2
где матрица A ∈ so(p, q) была определена в (3.2.147), матрица ||ηij || задана в (3.2.151),
||η ij || с поднятыми индексами обозначает матрицу, обратную к ||ηjk ||: η ij ηjk = δki
(в рассматриваемом случае они совпадают), и согласно (3.2.146) матрица ||ωjk || –
антисимметрична. Представим преобразования (3.2.153) в виде
xi → (x′ )i = (1 + ωkr η ri L̂ij η jk + . . .) xi ,
(3.2.154) sopq3
где операторы L̂ij с учетом антисимметрии ωjk = −ωkj можно записать следующим
образом
L̂ij = (ηim xm ∂j − ηjm xm ∂i ) = xi ∂j − xj ∂i ,
(3.2.155) sopq4
В последнем соотношении мы воспользовались стандартным обозначением ∂m ≡ ∂x∂ m
и соглашением о подъеме и опускании индексов: ηim xm = xi , η im xm = xi . Так как
L̂ij удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям (3.2.150), что и элементы
Lij , то имеется взаимно однозначное соответствие между операторами L̂ij (3.2.155) и
образующими Lij (3.2.148) алгебры Ли so(p, q). Таким образом, алгебра Ли, порождаемая операторами L̂ij , изоморфна so(p, q).
• Задача 94. Проверить явно, что операторы L̂ij (3.2.155) удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.2.150).
Мы воспользуемся представлением (3.2.155) для образующих алгебры Ли so(p, q)
в следующем подразделе 3.2.11.
8. Алгебра Ли sp(2r, K) – векторное пространство (2r × 2r) матриц A = ||Aij ||, с элементами Aij ∈ K. Матрицы A должны удовлетворять соотношениям (3.2.25), которые
можно переписать в виде
(J · A)T = J · A ,
(3.2.156) spli04
3.2 Алгебры Ли.
120
где J — невырожденная антисимметричная вещественная матрица, заданная в (2.2.57).
Таким образом, в качестве образующих алгебры Ли sp(2r, K) можно выбрать матрицы (сравните с (3.2.148))
Mij = J −1 · (eij + eji ) ,
1 ≤ i ≤ j ≤ 2r .
(3.2.157) spli03
Структурные соотношения для образующих (3.2.157) алгебры Ли sp(2r, K) легко выводятся, если воспользоваться свойством J T = −J и соотношениями (3.2.149). В
результате мы получаем (сравните с (3.2.150))
−1
−1
−1
[Mij , Mkℓ ] = Jjk
Miℓ + Jjℓ
Mki + Jik
Mℓj + Jiℓ−1 Mjk .
(3.2.158) spli02
9. Вещественная алгебра Ли sp(p, q) – векторное пространство (2r × 2r) комплексных
матриц A, которые удовлетворяют условиям (3.2.32). Второе соотношение в (3.2.32)
с учетом первого переписывается в виде A = σ(A), где
(
)
(
)
Ip,q 0
0 Ir
−1
∗
, J=
,
(3.2.159) sp-pq4
σ(A) := (I · J) · A · (I · J) ,
I=
−Ir 0
0 Ip,q
и σ задает инволютивный автоморфизм в sp(2r, C), который собственно и выделяет
вещественную форму sp(p, q) в алгебре Ли sp(2r, C).
• Задача 95. Пользуясь базисом {Mkj , i Mkj } для овеществления sp(2r, C), где
Mkj заданы в (3.2.157), построить базис вещественной алгебры sp(p, q) и
выписать структурные соотношения для sp(p, q) в этом базисе.
3.2.10
Вещественные формы алгебр Ли sℓ(n, C), so(n, C) и sp(2r, C).
BSF
В данном разделе мы перечислим все вещественные формы комплексных алгебр Ли
sl(n, C), sp(2r, C) и so(n, C). Некоторые из этих вещественных форм уже обсуждались
в предыдущих подразделах 3.2.3 и 3.2.9.
Вещественные формы алгебры sℓ(n, C), (n > 1).
1. Алгебра Ли sℓ(n, R) (см. пункт 3. раздела 3.2.9).
2. Алгебра Ли su(n) (см. пункт 5. раздела 3.2.3 и пункт 5. раздела 3.2.9).
3. Алгебры Ли su(p, q), (p + q = n, 0 < p ≤ q) (см. пункт 13. раздела 3.2.3).
4. Алгебра Ли su∗ (2r) (при четном n = 2r) – множество всех комплексных (n × n)
матриц A, которые удовлетворяют условию Tr(A) = 0 и представимы в блочном
виде
(
)
D
B
A=
,
(3.2.160) su*
−B ∗ D∗
где B и D – комплексные r × r матрицы, причем Tr(D) + Tr(D∗ ) = 0. На
множестве всех комплексных четномерных 2r×2r матриц M можно определить
инволютивный автоморфизм σ (ср. с (3.2.159)):
σ(M ) = J −1 · M ∗ · J ,
(3.2.161) aut*
где J задана в (3.2.159). Легко проверить, что вид матрицы A (3.2.160) определяется условием σ(A) = A.
3.2 Алгебры Ли.
121
• Задача 96. Проверить, что множество бесследовых матриц (3.2.160) образует
матричную алгебру Ли. Доказать, что dim(su∗ (2r)) = (2r)2 − 1.
Вещественные формы алгебры so(n, C), (n > 1).
1. Алгебра Ли so(n) = so(n, R) (см. пункт 6. раздела 3.2.3 и пункт 6. раздела
3.2.9).
2. Алгебры Ли so(p, q), (p + q = n, 0 < p ≤ q) (см. пункт 7. раздела 3.2.9).
3. Алгебра Ли so∗ (2r) (при четном n = 2r) – множество всех комплексных антисимметричных (n × n) матриц A, которые удовлетворяют условию σ(A) = A,
где σ – автоморфизм (3.2.161). Таким образом, матрицы A ∈ so∗ (2r) представимы в блочном виде (3.2.160), где B и D – комплексные r × r матрицы, причем
D – антисимметрична: DT = −D, а B – эрмитова: B † = B.
• Задача 97. Проверить, что множество матриц so∗ (2r) образует матричную
алгебру Ли. Доказать, что dim(so∗ (2r)) = r(2r − 1).
Вещественные формы алгебры sp(2r, C), (r > 1).
1. Алгебра Ли sp(2r, R) (см. пункт 7. раздела 3.2.3 и пункт 8. раздела 3.2.9).
2. Алгебры Ли sp(p, q), (p + q = r, 0 < p ≤ q) (см. пункт 9. раздела 3.2.3 и пункт
9. раздела 3.2.9).
3. Алгебра Ли usp(2r) = sp(0, r) = sp(r) (см. пункт 10. раздела 3.2.3).
ESF
3.2.11
Алгебра Ли конформной группы Conf(Rp,q ).
Группа Conf(Rp,q ) конформных преобразований в пространстве Rp,q обсуждалась
в подразделе 2.3.6 и в примере 12 раздела 3.1.2. Рассмотрим инфинитезимальную (близкую к единичному элементу) форму конформных преобразований (3.1.32),
(3.1.33), (3.1.34), (3.1.36) из связной компоненты единицы группы Conf(Rp,q ), для
p + q > 2. В результате несложных вычислений получаем
1.) (x′ )i = xi + ai + . . . = (1 + ak ∂k + . . .)xi ,
2.) (x′ )i = xi + 2 η ik ωkj xj + . . . = (1 + 2 ω kj xj ∂k + . . .) xi ,
3.) (x′ )i = xi + λxi + . . . = (1 + λxk ∂k + . . .) xi ,
(3.2.162) conf01
5.) (x′ )i = xi + 2(⃗x, ⃗b) xi − (⃗x)2 bi + . . . =
= (1 + 2(⃗x, ⃗b)(xk ∂k ) − (⃗x)2 (bk ∂k ) + . . .) xi ,
где параметры ai , ω ij , λ, bi – малы, а точками обозначены члены более высокого порядка по этим параметрам. Напомним, что 2.) – это действие (3.2.153) группы SO(p, q)
3.2 Алгебры Ли.
122
на Rp,q . Рассматривая композицию всех преобразований (3.2.162), получаем общий
вид конформного преобазавания, близкого к единичному,
(x′ )i = xi + ϵi (x) + . . . = (1 + ϵk (x) ∂k + . . .)xi ,
(3.2.163) conf04
где
ϵi (x) = ai + 2 η ik ωkj xj + λxi + 2(⃗x, ⃗b) xi − (⃗x)2 bi ,
ϵk (x) ∂k = ai Pi + ωkr η ri η jk Lij + λ D + bm Km ,
(3.2.164) conf05
(3.2.165) conf06
и в качестве базисных элементов в алгебре Ли группы Conf(Rp,q ) мы выбрали операторы
Pm = ∂m , Lmk = xm Pk − xk Pm ,
(3.2.166) conf02
D = xm Pm , Km = 2 xm D − (xm xm ) Pm .
Определяющие (структурные) соотношения для этих базисных элементов имеют вид
[D, Pm ] = −Pm ,
[Kj , Km ] = 0 ,
[D, Km ] = Km , [D, Ljm ] = 0 ,
[Pj , Pm ] = 0 ,
[Pj , Km ] = 2 (ηjm D + Lmj ) ,
[Pj , Lkm ] = ηkj Pm − ηmj Pk ,
[Kj , Lkm ] = ηkj Km − ηmj Kk .
(3.2.167) conf03
К этим соотношениям необходимо добавить коммутационные соотношения для образующих Lkp алгебры so(p, q), которые приведены в (3.2.150).
• Задача 98. Проверить, что операторы (3.2.166) удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.2.167).
Таким образом, элементы (3.2.166) образуют замкнутую алгебру Ли. Это говорит о
том, что любая композиция конформных преобразований (3.1.32), (3.1.33), (3.1.34),
(3.1.36) из связной компоненты единицы группы Conf(Rp,q ) будет приводить к преобразованиям такого же типа.
Покажем теперь, что других конформных преобразований в Rp,q , кроме указанных в (3.1.32), (3.1.33), (3.1.34), (3.1.36) не существует (теорема Лиувилля). Для этого
вначале сформулируем понятие конформных преобразований и конформной группы
на любом многообразии M с метрикой gij (в плоском пространстве Rp,q метрика gij
обозначалась как ηij ).
Пусть на n-мерном многообразии M задана невырожденная метрика gij (см. Замечание 2 в подразделе 3.1.5). При преобразовании локальных координат
xi → x̄i = F i (⃗x) ,
i = 1, . . . , n ,
(3.2.168) conf1
в окрестности U точки P ∈ M метрика gij в точке P преобразуется согласно правилам
(3.1.65). Преобразования локальных координат (3.2.168) называются конформными
в точке P , если метрика gij в точке P при этих преобразованиях меняется следующим
образом (сравните с (2.3.32))
ḡij (⃗x) =
1
gij (⃗x) .
Λ(⃗x)
(3.2.169) conf2
3.2 Алгебры Ли.
123
Множество конформных преобразований (3.2.168), (3.2.169) образует группу Conf(M ),
которая называется конформной группой многообразия M с метрикой gij . Специальный случай группы Conf(Rp,q ), когда M – это псевдоевклидово пространство Rp,q с
метрикой g = η = Ip,q , разбирался ранее в подразделе 2.3.6 (см. также раздел 3.1.3).
Рассмотрим преобразования (3.2.168), (3.2.169) близкие к тождественному
xi → x̄i = F i (⃗x) = xi + ϵi (⃗x) + . . . = (1 + ϵk (⃗x)∂k + . . .) xi ,
Λ(⃗x) = 1 + ϵ(⃗x) + . . . ,
(3.2.170) conf3
(3.2.171) conf3a
где функции ϵi и ϵ малы, а точками обозначены члены более высокого порядка по ϵi и
ϵ. Далее мы везде вместо ⃗x будем писать x, а вместо ⃗x̄ писать x̄. Для преобразования
∂
метрики (3.1.65) мы получаем (∂k = ∂x
k)
gkm (x) = ḡij (x̄) ∂k x̄i ∂m x̄j =
j
+ ∂m ϵj (x) + . . .) =
= (ḡij (x) + ϵp ∂p ḡij (x) + . . .)(δki + ∂k ϵi (x) + . . .)(δm
= ḡkm (x) + ϵp (x) ∂p ḡkm (x) + ḡim (x) ∂k ϵi (x) + ḡkj (x) ∂m ϵj (x) + . . . =
(3.2.172) conf4
= ḡkm (x) − 2 ϵp (x) Γpkm + ∂k ϵm (x) + ∂m ϵk (x) + . . . =
= ḡkm (x) + ∇k ϵm (x) + ∇m ϵk (x) + . . . ,
где мы воспользовались тем, что в членах первого порядка по ϵi можно заменить
ḡij → gij , положили ϵm = gmp ϵp и ввели стандартные обозначения для связности
1
Γpkm (x) = g ps (x)(∂k gsm (x) + ∂m gks (x) − ∂s gkm (x)) ,
g ps (x)gsk (x) = δkp ,
2
и ковариантной производной ∇k ϵm ≡ (∂k ϵm − Γpkm ϵp ) (связности и ковариантные
производные на гладких многообразиях подробно обсуждаются ниже в подразделе
6.4.1). Сравнивая левую и правую части (3.2.172) и пользуясь (3.2.169) и (3.2.171),
получаем
ḡkm (x) − gkm (x) = −∇k ϵm (x) − ∇m ϵk (x) + . . . = −ϵ(x) gkm (x) + . . . ,
или
∇k ϵm (x) + ∇m ϵk (x) = ϵ(x) gkm (x) .
(3.2.173) conf5
Сворачивая соотношение (3.2.173) с g km , можно выразить параметр ϵ через параметры ϵk
2
ϵ(x) = ∇k ϵk (x) .
n
С учетом этого выражения уравнение (3.2.173) переписывается в виде
2
(3.2.174) conf6
∇k ϵm (x) + ∇m ϵk (x) = gkm (x) ∇p ϵp (x) .
n
Это уравнение определяет параметры ϵi (x) преобразований (3.2.170), при которых
последние становятся конформными. Вектор с компонентами ϵi (x), являющийся решением уравнения (3.2.174), называется конформным вектором Киллинга16 .
16
Вектор с компонентами ϵi (x), являющийся решением уравнения (3.2.173) с ϵ(x) = 0 в правой части, называется вектором Киллинга. Вектор Киллинга определяет диффеоморфизм (3.2.170)
M → M , при котором метрика на M не меняется, то есть выполняется (3.2.169) с Λ = 1. Такой
диффеоморфизм называется изометрией.
3.2 Алгебры Ли.
124
Уравнение (3.2.174) можно написать для любой точки P ∈ M . Поэтому (3.2.174)
задает поле конформных векторов Киллинга на всем многообразии M . Не каждое
многообразие M допускает существование такого поля в силу глобальных ограничений на кривизну и топологию M . Далее мы рассмотрим в качестве M плоское пространство Rp,q , где p + q = n, с псевдоевклидовой постоянной метрикой ||gij || = Ip,q .
Утверждение 3.2.7 Общее решение уравнения (3.2.174) для случая пространства
Rp,q с метрикой ||gij || = ||ηij || = Ip,q , где p + q = n > 2, дается конформным вектором Киллинга (3.2.164), то есть все конформные преобразования в Rp,q являются
композицией преобразований (3.2.162).
BSF
Доказательство. Для константной метрики ||gij || = ||ηij || = Ip,q имеем Γpkm = 0 и
соотношения (3.2.174) переписываются в виде
∂k ϵm (x) + ∂m ϵk (x) =
2
ηkm ∂p ϵp (x) .
n
(3.2.175) conf7
Подействуем на обе части этого соотношения сначала производной ∂ k = η ks ∂s , а затем
на получившееся соотношение еще раз производной ∂ m . В результате получаем
(
)
2
2
∂ ϵm =
− 1 ∂m ∂k ϵk ⇒ ∂ 2 ∂ m ϵm = 0 (n ̸= 2) .
(3.2.176) conf8
n
Далее, если мы подействуем на обе части (3.2.175) оператором ∂ 2 = ∂ k ∂k , тогда (c
учетом второго соотношения из (3.2.176)) возникает уравнение
∂k ∂ 2 ϵm + ∂m ∂ 2 ϵk = 0 .
(3.2.177) conf9
Подстановка первого соотношения из (3.2.176) в (3.2.177) и учет основного соотношения (3.2.175) дает
(n − 2) ∂k ∂m (∂l ϵl ) = 0 ⇒ (n − 2)∂k ∂m (∂i ϵj + ∂j ϵi ) = 0 .
Делая перестановки индексов m ↔ j и m ↔ i в последнем равенстве и сравнивая
результаты, окончательно выводим
(n − 2)∂k ∂j ∂i ϵm = 0 ,
∀i, j, k, m .
(3.2.178) conf10
Таким образом, из (3.2.178) следует, что ϵm (x) – полином по {xk } не выше второй
степени и для n > 2 наиболее общее решение для ϵm (x) можно записать в виде
ϵm (x) = am + Tmk xk + bm,pk xp xk ,
(3.2.179) conf11
где am , Tmk , bm,pk = bm,kp – некоторые константы. На эти константы возникают дополнительные ограничения, если решение (3.2.179) подставить в основное уравнение
(3.2.175), определяющее конформные вектора Киллинга для Rp,q . В результате получаем, что коэффициенты am произвольны, а коэффициенты Tmk и bm,pk ограничены
условиями
2
Tmk + Tkm = ηkm (η ij Tij ) ,
n
(3.2.180) conf14
2
ij
bm,kp + bk,mp = ηkm (η bi,jp ) .
n
3.2 Алгебры Ли.
125
Учитывая симметрию bm,pk = bm,kp , эти условия могут быть разрешены следующим
образом
Tmk = 2 ωmk + λ ηmk ,
(3.2.181) conf15
bk,mp = bm ηkp + bp ηkm − bk ηmp ,
где ωmk = −ωkm , коэффициент 2 введен для удобства и параметры ωmk (m < k), λ и
bm – произвольны. Подставляя (3.2.181) в (3.2.179), мы получаем общее решение для
конформного вектора Киллинга в виде
(
)
ϵi (x) = xi + ai + 2 η im ωmk xk + λxi + 2(bm xm )xi − bi (xm xm ) ,
(3.2.182) conf3b
который полностью совпадает с вектором (3.2.162), полученным из преобразований
группы Conf(Rp,q ). Таким образом, композиция преобразований (3.2.162) – это наиболее общий вид конформных преобразований в Rp,q , близких к единичному, и преобразования (3.1.32), (3.1.33), (3.1.34), (3.1.36) исчерпывают все возможные преобразования из Conf(Rp,q ) из связной компоненты единичного элемента.
ESF
Утверждение 3.2.7 эквивалентно утверждению теоремы Лиувилля, которое было
сформулировано в подразделе 2.3.6. В следующем подразделе мы покажем, что алгебру Ли конформной группы Conf(Rp,q ) c образующими (3.2.166) можно отождествить с алгеброй Ли so(p + 1, q + 1).
Из доказательства Утверждения 3.2.7 следует, что случай n = 2 – особый и
общее решение уравнения (3.2.175) для двумерных пространств Rp,q , где p + q = 2,
необходимо искать другим способом. Для двумерного случая уравнения (3.2.175) на
конформные вектора Киллинга записываются в виде
∂1 ϵ2 + ∂2 ϵ1 = 0 , ∂1 ϵ1 = ±∂2 ϵ2 ,
(3.2.183) conf12
где во втором уравнении знак ”+” соответствует случаю R2 , а знак ”−” соответствует
случаю R1,1 . Уравнения (3.2.183) еще более упрощаются
∂ + ϵ− (x) = 0 ,
∂ − ϵ+ (x) = 0 ,
(3.2.184) conf13
если сделать замену
x± = x1 ± x2 = x1 ∓ x2 , ϵ± = ϵ1 ± ϵ2 , для случая R1,1 ;
x± = x1 ± ix2 ,
ϵ± = ϵ1 ± iϵ2 , для случая R2 ;
и воспользоваться обозначением ∂ ± = ∂x∂ ± . Уравнения (3.2.184) означают, что функция ϵ+ (x) зависит только от x+ , а функция ϵ− (x) только от x− . Данное решение
уравнений (3.2.183) соответствует глобальным конформным преобразованиям
x+ → F+ (x+ ) ,
x− → F− (x− ) ,
что полностью согласуется с двумерными конформными преобразованиями (2.3.39),
полученными ранее в подразделе 2.3.6.
3.2 Алгебры Ли.
3.2.12
126
Изоморфизмы и автоморфизмы алгебр Ли: примеры.
В подразделе 3.2.5 мы дали определение гомоморфизма, изоморфизма и автоморфизма алгебр Ли, см. Определение 3.2.4, а также привели простые примеры. Здесь
мы более подробно рассмотрим изоморфизмы и автоморфизмы алгебр Ли и обсудим ряд менее тривиальных примеров таких отображений. Но прежде чем перейти
к примерам, сделаем несколько общих утверждений и замечаний, касающихся гомоморфных и изоморфных отображений алгебр Ли.
Определение 3.2.8 Ядром Ker(ρ) линейного гомоморфизма ρ из алгебры Ли A в
алгебру Ли A′ называется векторное подпространство B ⊂ A, состоящее из всех
элементов A таких, что
ρ(X) = 0 , ∀X ∈ B .
Образом Im(ρ) гомоморфизма ρ называется векторное подпространство C ⊂ A′ , на
которое отображается вся алгебра Ли A.
• Задача 99. Пусть ρ — линейный гомоморфизм из алгебры Ли A в алгебру Ли
A′ . Доказать, что Im(ρ) – подалгебра Ли в A′ , а Ker(ρ) – инвариантная
подалгебра Ли в A. Доказать, что если Ker(ρ) = ∅, то отображение ρ:
A → Im(ρ) – изоморфизм алгебр Ли.
В качестве примера рассмотрим множество ad(A) всех линейных операторов ad(Y ),
∀Y ∈ A, действующих в A согласно формуле (3.2.104). Множество ad(A) образует
алгебру Ли, так как пользуясь (3.2.104) и тождеством Якоби мы получаем
α ad(A) + β ad(B) = ad(αA + βB) ∈ ad(A) ,
[ad(A), ad(B)] = ad([A, B]) ∈ ad(A) ,
∀A, B ∈ A, ∀α, β ∈ K .
(3.2.185) LiAd
Таким образом, мы имеем линейный гомоморфизм ad из алгебры Ли A в алгебру
Ли ad(A) линейных операторов, действующих в A. Алгебра ad(A) называется присоединенной алгеброй Ли для алгебры Ли A.
Утверждение 3.2.8 Для полупростой алгебры Ли A отображение ad из алгебры
Ли A в присоединенную алгебру Ли ad(A) является изоморфизмом.
Доказательство. Убедимся, что для полупростой алгебры A соответствие ad: A →
ad(A), ∀A ∈ A, взаимнооднозначно; это и будет означать, что алгебры adA и A
изоморфны. Образ ad в алгебре линейных операторов присоединенного действия по
определению совпадает с алгеброй adA. С другой стороны, Ker(ad) = 0, поскольку
если adA = 0, то A принадлежит центру алгебры, которого нет, так как A полупроста. Вместе с результатом задачи 99 это и доказывает взаимнооднозначность ad.
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных примеров изоморфизмов и автоморфизмов алгебр Ли.
3.2 Алгебры Ли.
127
1. Установим изоморфизм между алгебрами Ли sℓ(2, R) и su(1, 1). Заменим базис
(3.2.110) в алгебре sℓ(2, R) и выберем образующие
e1 = e+ + e− = σ1 , e2 = e+ − e− = i σ2 , e3 = 2 h = σ3 .
Тогда структурные соотношения (3.2.91) для sℓ(2, R) запишутся в виде
[e3 , e1 ] = 2 e2 , [e2 , e3 ] = −2 e1 , [e1 , e2 ] = −2 e3 .
(3.2.186) eph2R
Алгебра Ли su(1, 1) определяется как множество бесследовых 2 × 2 комплексных
матриц A, удовлетворяющих, в соответствии с (3.2.45), условию A† · σ3 + σ3 · A = 0.
Для любой такой матрицы имеем представление
)
(
ix2
x3 − ix1
= x1 ẽ1 + x2 ẽ2 + x3 ẽ3 ,
A=
x3 + ix1
−ix2
где xi ∈ R, а ẽi — базисные матрицы в su(1, 1), которые удовлетворяют структурным
соотношениям, идентичным (3.2.186). Таким образом, взаимнооднозначное соответствие ei ↔ ẽi устанавливает изоморфизм sℓ(2, R) = su(1, 1).
2. Сравнивая структурные соотношения (3.2.143) для so(3) и структурные соотношения (3.2.121) для su(2), можно установить изоморфизм между алгебрами su(2) и
so(3) задав гомоморфное и взаимно-однозначное линейное отображение ρ: τk ↔ Sk
(k = 1, 2, 3) для их образующих. Такая тождественность алгебр Ли su(2) и so(3) означает, что касательные пространства, а значит и локальные свойства многообразий
групп SU (2) и SO(3) совпадают. Отметим, однако, что группы SU (2) и SO(3) не могут быть изоморфными, так как многообразие группы SU (2) (сфера S 3 ) односвязно,
а многообразие группы SO(3) (многообразие RP3 ) двухсвязно. Более подробно этот
факт будет разбираться в следующем подразделе 3.2.13.
• Задача 100. Установить изоморфизм между алгеброй Ли usp(2) и алгебрами
Ли su(2) = so(3). Установить изоморфизм sℓ(2, R) = so(2, 1).
3. Легко проверить, что отображения sℓ(2, C) → sℓ(2, C):
e+ → e− , e− → e+ , h → −h ,
(3.2.187) autsl2
e+ → −e− , e− → −e+ , h → −h ,
(3.2.188) autsl22
являются автоморфизмами алгебры sℓ(2, C) (3.2.91).
• Задача 101. Доказать, что любое из трех отображений:
(τ1 → τ3 , τ3 → τ1 , τ2 → −τ2 ) ,
цикл (1, 2, 3) ,
(3.2.189) autsu2
задает автоморфизм алгебры su(2) (3.2.121).
• Задача 102. Доказать, что алгебра Ли, заданная структурными соотношениями (3.2.150) с метрикой ||ηij || = diag(ϵ1 , . . . , ϵp+q ), где (ϵ1 , . . . , ϵp+q ) =
σ(+1, . . . , +1, −1, . . . , −1) и σ – любая перестановка (p + q) чисел, изо| {z } | {z }
p
q
морфна алгебре so(p, q).
3.2 Алгебры Ли.
128
4. Алгебра Ли so(p, q), заданная структурными соотношениями (3.2.150), изоморфна
алгебре Ли so(q, p). C учетом утверждения, сформулированного в Задаче 102, этот
изоморфизм устанавливается отображением Lij → −Lij .
5. Алгебра Ли usp(2r), которая была определена как векторное пространство матриц BSF
(3.2.41) с условиями (3.2.40), изоморфна алгебре Ли su(r, H) антиэрмитовых матриц
r × r, элементами которых являются кватернионы. Кватернионами мы будем называть (2 × 2) матрицы a вида
a = a0 I2 + i a j σ j ∈ H ,
(3.2.190) hqq
где a0 , a1 , a2 , a3 ∈ R, σk — как всегда, матрицы Паули, и мы ввели обозначение H
для поля кватернионов. Для эрмитово сопряженного кватерниона получаем: a =
a0 I2 − i aj σj , а произведение a и a пропорционально единице: a a = (a20 + a2k ) I2 .
Пусть P — линейный оператор, который переставляет факторы в прямом произведении двух матриц C ∈ Mat2 и D ∈ Matr : P (D ⊗ C) = C ⊗ D. Оператор P —
обратим. С помощью оператора P матрицы A ∈ usp(2r), заданные в (3.2.41), переписываются как кватернионные r × r матрицы
B = P (A) = X0 ⊗ I2 + i Xk ⊗ σk ,
(3.2.191) spli9gg
с элементами
Bαβ = (X0 )αβ I2 + (Xk )αβ i σk ∈ H ,
α, β = 1, . . . , r .
(3.2.192) quat01
Определим эрмитово сопряжение для матрицы с кватернионными элементами следующим образом: (B † )αβ = B βα . Тогда соотношения (3.2.40), определяющие usp(2r), эквивалентны условию антиэрмитовости B † = −B для кватернионных матриц (3.2.192).
Отсюда, в частности, следует, что Tr(B) = 0. Таким образом, формула (3.2.191)
устанавливает взаимнооднозначное и гомоморфное соответствие между элементами
A ∈ usp(2r) и элементами B ∈ su(r, H). Отметим, что su(r, H) является алгеброй
Ли группы SU (r, H) унитарных кватернионных матриц, то есть r × r матриц U с
элементами Uαβ ∈ H и условиями
U † · U = Ir ⊗ I2 .
(3.2.193) quat01a
• Задача 103. Доказать, что группа SU (r, H) изоморфна группе USp(2r). Указание: сравнить условие унитарности (3.2.193) для U ∈ U (r, H) и
условия симплектичности (2.2.58) и унитарности T † · T = I2r для
T ∈ USp(2r).
ESF
В качестве следующего примера обсудим еще один важный с точки зрения физических приложений изоморфизм алгебр Ли.
Утверждение 3.2.9 Алгебра Ли so(4) изоморфна прямой сумме алгебр su(2)+su(2).
3.2 Алгебры Ли.
129
Доказательство. Элементы алгебры so(4) – это антисимметричные вещественные
4×4 матрицы A с элементами Aµν = −Aνµ . Следуя традиции, принятой в релятивистской физике, будем считать, что индексы пробегают значения µ, ν = 0, 1, 2, 3. Каждой
антисимметричной матрице A можно сопоставить дуальную ей антисимметричную
e с элементами
матрицу A
eµν = 1 εµνλρ Aλρ ,
A
(3.2.194) sasa3
2
где εµνλρ – полностью антисимметричный тензор (2.2.7), причем ε0123 = 1. Говорят,
что антисимметричные матрицы A(+) самодуальны, а A(−) – антисамодуальны, если
g
(+) = A(+) ,
A
g
(−) = −A(−) .
A
(3.2.195) sasa4
Будем помечать самодуальные и антисамодуальные матрицы индексами (+) и (−),
как мы сделали выше. Пусть латинские индексы i, j, k, ... пробегают три значения
(i, j, ... = 1, 2, 3), тогда из соотношений (3.2.194), (3.2.195) следует связь между (ij)и (0, k)- компонентами самодуальных и антисамодуальных матриц:
(+)
(+)
Aij = εijk A0k ,
(−)
(−)
Aij = −εijk A0k ,
εijk = ε0ijk ,
(3.2.196) sasa5
то есть самодуальные и антисамодуальные матрицы имеют только по три независимые компоненты. Очевидно, что множества самодуальных и антисамодуальных
матриц (3.2.195) образуют два трехмерных векторных подпространства в пространстве всех антисимметричных матриц 4 × 4.
Любую антисимметричную 4 × 4 матрицу A всегда можно разложить в сумму ее
самодуальной и антисамодуальной частей:
A = A(+) + A(−) ,
(3.2.197) sasa0
где
)
)
1(
1(
(−)
e
e
A+A , A =
A−A .
(3.2.198) sasa
A =
2
2
То, что матрица A(+) самодуальна, а A(−) – антисамодуальна, очевидно следует из
e
e
равенства A
= A, которое в свою очередь вытекает из формулы (2.2.11) для свертки
двух ε- тензоров. Первое наблюдение состоит в том, что коммутатор самодуальных
(антисамодуальных) матриц — это снова самодуальная (антисамодуальная) матрица,
(+)
[A(+) , B (+) ] = C (+) ,
(3.2.199) sasa1a
[A(−) , B (−) ] = C (−) ,
(3.2.200) sasa1b
а самодуальная и антисамодуальная матрицы коммутируют между собой
[A(+) , B (−) ] = 0 .
(3.2.201) sasa2
Таким образом, алгебра so(4) с помощью разложения (3.2.197) разбивается в прямую сумму двух трехмерных подалгебр (здесь мы пользуемся определением прямой
суммы двух алгебр Ли, которое было дано выше, см. (3.2.78) и (3.2.79)).
3.2 Алгебры Ли.
130
• Задача 104. Пользуясь связью (3.2.196) для компонент (анти)самодуальных
матриц, доказать соотношения (3.2.199), (3.2.200), (3.2.201).
Остается показать, что подалгебры самодуальных и антисамодуальных матриц
изоморфны su(2). Это можно сделать непосредственно, разложив матрицы A(±) по
(±)
соответствующим независимым параметрам A0k (k = 1, 2, 3):
(+)
A(+) = A0k η k ,
(−)
A(−) = −A0k η k ,
(3.2.202) sasa6
где матрицы η k – самодуальны, матрицы η k – антисамодуальны, а их компоненты (в
физике их называют символами т’Хоофта) определяются соотношениями
k
k
ηµν
= −ηνµ
, η kµν = −η kνµ ,
k
ηijk = η kij = εijk , η0j
= δkj ,
η k0j = −δkj .
(3.2.203) hooft
Далее легко проверить, что структурные соотношения для образующих Sk = − 12 η k ,
S k = − 12 η k , записанных в матричном виде
)
)
(
(
(
)
1
i −σ2 0
1
0 −σ1
0 σ3
, S2 =
, S3 =
S1 =
, (3.2.204) sasa7
0 −σ2
2 σ1 0
2 −σ3 0
2
)
)
(
(
(
)
i
1
i −σ2 0
0 σ2
0 I2
S1 =
, S2 =
, S3 =
,
(3.2.205) sasa8
0 σ2
2 σ2 0
2 −I2 0
2
(здесь σi – матрицы Паули (3.1.18)) в точности воспроизводят структурные соотношения (3.2.121) для алгебры su(2):
[Si , Sj ] = εijk Sk ,
[S i , S j ] = εijk S k ,
(3.2.206) sasa9
и кроме того мы имеем [Sk , S j ] = 0 (∀k, j), что согласуется с (3.2.198). Отметим
также ортонормированность образующих Sk , S j (и символов т’Хоофта)
Tr(Sj Sk ) = 14 Tr(η j η k ) = −δjk , Tr(S j S k ) = 14 Tr(η j η k ) = −δjk ,
Tr(S j Sk ) = Tr(η j η k ) = 0 ,
что позволяет обратить соотношения (3.2.202)
(+)
A0k = −4 Tr(A(+) η k ) ,
(−)
A0k = 4 Tr(A(−) η k ) .
Таким образом, изоморфизм между алгеброй матриц A(+) (или A(−) ) и алгеброй su(2)
устанавливается с помощью взаимнооднозначного соответствия
1 (+)
(+)
A(+) = − Ak η k ↔ Ak τk ∈ su(2) ,
2
1 (−)
(−)
A(−) = Ak η k ↔ Ak τk ∈ su(2) ,
2
(±)
где τk – образующие алгебры Ли su(2) (см. (3.2.120)), а Ak (k = 1, 2, 3) – произвольные вещественные параметры.
Наконец, явное взаимнооднозначное соответствие образующих so(4) и образующих su(2) + su(2) можно получить, если переписать антисимметричные матрицы
3.2 Алгебры Ли.
131
(3.2.204), (3.2.205) в терминах матричных единиц. Это соответствие, с точностью до
автоморфизма (3.2.189) алгебры Ли su(2), принимает вид
(
)
(
)
1
1
1
1
M0i + εijk Mjk , S i = −
M0i − εijk Mjk ,
Si = −
2
2
2
2
где Mµν = (eµν − eνµ ) – образующие (3.2.140) алгебры Ли so(4).
• Задача 105. *17 Установить изоморфизмы: 1.) алгебры Ли so(1, 3) и алгебры Ли sℓ(2, C) (как шестимерной вещественной алгебры); 2.) so(2, 2) =
sℓ(2, R) + sℓ(2, R); 3.) so(4, C) = sℓ(2, C) + sℓ(2, C).
Как будет показано ниже, упомянутые в этой задаче алгебры Ли имеют отношение
к алгебрам Ли двумерных конформных групп Conf(R2 ) и Conf(R1,1 ).
Утверждение 3.2.10 Алгебра Ли conf(Rp,q ) конформной группы Conf(Rp,q ) c образующими (3.2.166) при p + q > 2 изоморфна алгебре Ли so(p + 1, q + 1).
Доказательство. Положим p + q = n. Элементы Lij (1 ≤ i < j ≤ n), приведенные
в (3.2.166), образуют подалгебру so(p, q) в алгебре Ли conf(Rp,q ). Поэтому алгебру
Ли conf(Rp,q ) можно рассматривать как расширение алгебры so(p, q), к базисным
элементам которой добавляются дополнительные образующие
Pm = ∂m , D = xm Pm ,
Km = 2 xm D − (xm xm ) Pm ,
(3.2.207) DK
с определяющими соотношениями (3.2.167). Размерность расширенной алгебры очевидно равна
n(n − 1)
(n + 1)(n + 2)
+ 2n + 1 =
,
2
2
как и у алгебры Ли so(p + 1, q + 1). Покажем, что эта расширенная алгебра so(p, q)
с дополнительными образующими (3.2.207) изоморфна алгебре Ли so(p + 1, q + 1).
Генераторы Lab алгебры Ли so(p + 1, q + 1) запишем в виде (3.2.155)
Lab := xa ∂b − xb ∂a = −Lba ,
a, b = 0, 1, 2, . . . , n + 1 ,
(удобно считать первый индекс нулем) и мы имеем (3.2.150)
[Lab , Lcd ] = ηbc Lad + ηda Lbc + ηca Ldb + ηbd Lca ,
(3.2.208) conf16
где a, b, c, d = 0, 1, . . . , n + 1 и диагональная метрика ηab имеет сигнатуру (p + 1, q + 1).
Из (3.2.208), в частности, получаем
[L0j , L0k ] = η00 Lkj ,
[L0j , Ln+1,k ] = ηjk Ln+1,0 ,
[Ln+1,j , Ln+1,k ] = ηn+1,n+1 Lkj ,
где k, j = 1, . . . , p + q. Пусть
η00 = −ηn+1,n+1 ,
17
(3.2.209) conf17
Решения задач, которые помечены звездочкой, даны в конце книги, смотри Приложение 1.
3.2 Алгебры Ли.
132
это означает, что ηij для i, j = 1, . . . , n имеет сигнатуру (p, q) и является метрикой
пространства R(p,q) . Тогда для для комбинаций Lk (ϵ) = (L0k +ϵLn+1,k ), полагая ϵ = ±1
и учитывая антисимметрию Lij = −Lji и (3.2.209), получаем
[Lj (ϵ), Lk (ϵ)] = 0 , [L0,n+1 , Lk (ϵ)] = ϵηn+1,n+1 Lk (ϵ) ,
[Lj (ϵ), Lkm ] = ηjk Lm (ϵ) − ηjm Lk (ϵ) ,
где k, j, m = 1, . . . , n. Выберем ηn+1,n+1 = −1 и сделаем отождествление
Pk := Lk (ϵ)|ϵ=+1 = L0k + Ln+1,k ,
Kk := Lk (ϵ)|ϵ=−1 = L0k − Ln+1,k ,
D := L0,n+1 ,
(3.2.210) conf18
а операторы Lij (i, j = 1, . . . , n) будем считать образующими so(p, q). Непосредственно можно проверить, что операторы (3.2.210) удовлетворяют соотношениям (3.2.167).
Таким образом, формулы (3.2.210) устанавливают изоморфизм so(p + 1, q + 1) =
conf(R(p,q) ).
Замечание. Как было показано в разделе 2.3.6, в двумерном случае q + p = 2 конформные группы Conf(R1,1 ) и Conf(R2 ) бесконечномерны и поэтому их алгебры Ли
очевидно не изоморфны so(2, 2) и so(1, 3). Однако, согласно утверждению, сформулированному в Задаче 49, двумерные конформные группы содержат конечномерные
подгруппы
SL(2, R)/Z2 × SL(2, R)/Z2 ⊂ Conf(R1,1 ) ,
SL(2, C)/Z2 ⊂ Conf(R2 ) ,
алгебрами Ли которых являются соответственно sℓ(2, R)+sℓ(2, R) и sℓ(2, C). Последние в свою очередь изоморфны so(2, 2) и so(1, 3) (смотри Задачу 105).
• Задача 106. * Установить изоморфизм между вещественными алгебрами Ли
so(5) и usp(4).
• Задача 107. * Установить изоморфизмы so(4, 1) = sp(1, 1) и so(3, 2) = sp(4, R).
Отметим, что из изоморфизмов, упомянутых в последних двух задачах, следует изоморфизм для соответствующих комплексных алгебр so(5, C) = sp(4, C).
• Задача 108. * Установить изоморфизм комплексных алгебр Ли so(6, C) =
sℓ(4, C) и изоморфизмы соответствующих вещественных форм: 1.) so(6) =
su(4), 2.) so(3, 3) = sℓ(4, R), 3.) so(2, 4) = su(2, 2) и 4.) so(5, 1) = sℓ(2, H),
где H — поле кватернионов. Показать, что sℓ(2, H) = su∗ (4).
Замечательно, что изоморфизм so(5, 1) = sℓ(2, H) естественно продолжает серию
изоморфизмов so(2, 1) = sℓ(2, R) и so(3, 1) = sℓ(2, C), которые уже были упомянуты
в Задачах 100, 105.
• Задача 109. Описать вещественную форму алгебры Ли so(4, C), которая изоморфна алгебре Ли su(1, 1)+su(2) (см. Задачу 105). Показать, что su(1, 1)+
su(2) = so∗ (4). Описать вещественную форму алгебры Ли so(6, C), которая изоморфна вещественной форме su(1, 3) алгебры sℓ(4, C) (см. Задачу
108). Показать, что su(1, 3) = so∗ (6).
3.2 Алгебры Ли.
133
В заключение этого подраздела подчеркнем, что локальные (и только локальные)
свойства групп Ли удобно изучать, рассматривая соответствующие алгебры Ли. Основные понятия теории групп Ли при этом имеют аналоги в теории алгебр Ли. В
то же время, с геометрической точки зрения алгебры Ли — более простые объекты,
поскольку они являются векторными (линейными) пространствами.
Вообще, многообразия могут иметь одинаковые локальные свойства, но отличаться с глобальной точки зрения. Например, из одной и той же полоски бумаги можно
склеить лист Мёбиуса или обычное кольцо, которые локально совпадают, но глобально представляют собой совершенно разные многообразия.
PP
PP P
PPP
P
P
Аналогично обстоит дело и в теории групп и алгебр Ли: с одной и той же алгеброй Ли могут быть связаны разные группы Ли, многообразия которых отличаются
глобальными свойствами. Один пример мы уже привели: это группы SU (2) и SO(3),
имеющие изоморфные алгебры Ли. Другие примеры даются парами групп с изоморфными алгебрами Ли, упомянутыми в Утверждении 3.2.9, а также в задачах
105, 106, 107, 108. Более подробно эта тема обсуждается в следующем подразделе.
3.2.13
Локально изоморфные группы Ли. Универсальные накрывающие.
В предыдущем подразделе мы показали, что разные группы Ли могут иметь тождественные (изоморфные) алгебры Ли. Такие группы Ли называются локально изоморфными. Локальный изоморфизм групп означает, что некоторые окрестности единиц этих групп изоморфны: в этих окрестностях все элементы каждой из групп
представимы в ”экспоненциальной форме” (3.2.60), так что совпадение алгебр Ли
эквивалентно изоморфизму окрестностей.
Приведем без доказательства следующие утверждения:
(1) Для каждой алгебры Ли A существует единственная односвязная (смотри
определение 3.1.7) группа Ли Ĝ, алгебра Ли которой совпадает с A. Эту группу
называют универсальной накрывающей.
(2) Любая связная группа Ли G, локально изоморфная Ĝ, гомоморфно накрывается универсальной накрывающей группой Ĝ (то есть существует гомоморфизм
Ĝ → G).
(3) Универсальная накрывающая простой (полупростой) компактной группы Ли
компактна. Напомним, что группа U (1) не относится ни к простым, ни к полупростым группам Ли.
Для любой m-связной группы Ли G (смотри определение 3.1.7) ее универсальная накрывающая группа Ĝ гомоморфно отображается на G так, что m различных
элементов из группы Ĝ отображаются в один элемент из G. В этом случае говорят,
3.2 Алгебры Ли.
134
что Ĝ накрывает m раз группу G.
В конце этого подраздела мы покажем, что если G — m-связная группа Ли, а
Ĝ — ее универсальная накрывающая, то группа Ĝ всегда содержит инвариантную
дискретную подгруппу Z порядка m, такую что факторгруппа Ĝ/Z изоморфна G.
В качестве иллюстрации, демонстрирующей накрытие одной группы другой, рассмотрим односвязную группу SU (2) и двухсвязную группу SO(3) (смотри примеры
7 и 9 из раздела 3.1.2). Напомним, что группы SU (2) и SO(3) локально изоморфны, так как их алгебры Ли su(2) и so(3) изоморфны (смотри пример 2 из раздела
3.2.12).
Утверждение 3.2.11 Группа SU (2) дважды накрывает группу SO(3), при этом
SO(3) = SU (2)/Z2 , где Z2 – центр группы SU (2). Соответствующий гомоморфизм
SU (2) → SO(3) дается формулой
1
Oij = Tr(σi U † σj U ) ,
2
где ||Oij || ∈ SO(3), U ∈ SU (2), σi – матрицы Паули (3.1.18).
BSF
Доказательство. Построим явно гомоморфизм SU (2) → SO(3), сопоставляющий
двум элементам SU (2) один элемент из SO(3).
Рассмотрим вещественное векторное пространство X всех бесследовых эрмитовых
(2 × 2) матриц X:
X = X † , Tr(X) = 0 .
(3.2.211) ErTr
Любая матрица X ∈ X представима в виде
(
)
x3
x1 − ix2 = x σ + x σ + x σ ,
X= x +
1 1
2 2
3 3
ix2
−x3
1
x1 , x2 , x3 ∈ R .
(3.2.212) ermit
Матрицы σi образуют базис в трехмерном пространстве X , в котором определено
невырожденное скалярное произведение
(X, Y ) =
1
Tr(X · Y ) ,
2
∀X, Y ∈ X ,
такое, что (σi , σk ) = δik . Пользуясь соотношениями (3.2.212) и xi = (X, σi ), каждому вектору ⃗x ∈ R3 с вещественными координатами (x1 , x2 , x3 ) можно взаимно однозначно сопоставить 2 × 2 матрицу X ∈ X . Это сопоставление иногда называют
отображением Паули. Заметим, что для матриц (3.2.212) имеют место тождества
− det(X) = x21 + x22 + x23 ,
(3.2.213) detx2
X 2 = (x21 + x22 + x23 ) I2 .
(3.2.214) x2
Последнее тождество на самом деле эквивалентно, с учетом равенства (3.2.213), условию Tr(X) = 0.
3.2 Алгебры Ли.
135
• Задача 110. Доказать, что любая 2 × 2 матрица X удовлетворяет характеристическому тождеству
X 2 − Tr(X) X + det(X) I2 = 0 ,
из которого при Tr(X) = 0 и с учетом (3.2.213) следует (3.2.214).
Рассмотрим линейное преобразование в пространстве X :
X → X′ = V X U ,
(3.2.215) trX
осуществляемое с помощью двух невырожденных комплексных 2 × 2 матриц V, U .
При этом на матрицы U и V необходимо наложить дополнительные условия такие,
чтобы преобразованная матрица X ′ в (3.2.215) снова принадлежала X (для всех
X ∈ X ), то есть удовлетворяла соотношениям (3.2.211) и представлялась в виде
(3.2.212). Кроме этого потребуем, чтобы преобразование (3.2.215) сохраняло квадрат
и детерминант матриц:
(X ′ )2 = X 2 ,
det(X ′ ) = det(X) .
(3.2.216) usl2
В этом случае, согласно (3.2.213) и (3.2.214), линейное преобразование xi → x′i (3.2.215)
будет ортогональным преобразованием в R3 , иначе говоря, оно будет преобразованием из группы O(3).
Найдем условия на матрицы V, U , необходимые для выполнения вышеуказанных требований, предъявляемых к преобразованиям (3.2.215). Из (3.2.215), пользуясь
(3.2.214) и (3.2.216), мы получаем
V X = X ′ U −1 ⇒ X ′ (V X) X = X ′ (X ′ U −1 ) X ⇒
X ′ V = U −1 X ⇒ X ′ = U −1 XV −1 ⇒
⇒ XU V = (U V )−1 X ,
(3.2.217) TrX1
где при получении последнего равенства мы снова воспользовались (3.2.215). Из соотношений (3.2.217), с учетом произвольности бесследовой эрмитовой матрицы X
(3.2.212), следуют условия на U и V :
U V = ± I2 ⇒ V = ± U −1 ,
(3.2.218) usl1
• Задача 111. Получить условия (3.2.218) из равенства (3.2.217).
Итак, условия (3.2.214) и (3.2.216) приводят к тому, что преобразование (3.2.215)
зависит только от одной матрицы U и принимает две возможные формы
X → X ′ = − U −1 X U ,
(3.2.219) utr2
X → X ′ = U −1 X U .
(3.2.220) utr
Далее, так как X ′ † = X ′ , то из (3.2.219) и (3.2.220) мы получаем [U U † , X] = 0, а
требование, чтобы это равенство выполнялось для произвольной матрицы X вида
3.2 Алгебры Ли.
136
(3.2.212), эквивалентно условию U U † = αI, где α – произвольный положительный
вещественный параметр. Заметим, что преобразования (3.2.219) и (3.2.220) не меняются при растяжении U → λU , λ ∈ C. Это дает нам право нормировать U так, чтобы
det(U ) = 1 и U U † = I, то есть U ∈ SU (2).
Напомним, что преобразования (3.2.219) и (3.2.220) для U ∈ SU (2) являются
ортогональными преобразованиями вектора ⃗x = (x1 , x2 , x3 ). Ортогональные преобразования вектора ⃗x = (x1 , x2 , x3 ) типа (3.2.219) включают в себя отражение ⃗x → −⃗x
и поэтому определяют преобразования из связной компоненты O− (3) ⊂ O(3), включающей отражения. Далее мы ограничимся рассмотрением только случая преобразований (3.2.220), которые соответствуют собственным вращениям из O+ (3) = SO(3)
и могут быть записаны в эквивалентном виде
X → X′ = U † X U ,
U ∈ SU (2).
(3.2.221) utr1
• Задача 112. Переписать (3.2.221) в виде преобразования xi → x′i = Oij xj и
получить формулу
1
Oij = Tr(σi U † σj U ) ≡ Tij (U ) ,
2
(3.2.222) utr4
которая выражает элементы матрицы ||Oij || ∈ SO(3) через элементы матрицы U ∈ SU (2). Показать, что любое собственное ортогональное преобразование ⃗x → ⃗x′ = O · ⃗x можно представить в виде (3.2.221).
Таким образом, формула (3.2.221) c произвольными матрицами U ∈ SU (2) определяет линейные преобразования трехмерного вектора ⃗x ∈ R3 , которые соответствуют преобразованиям из собственной ортогональной группы SO(3). Тем самым определено соответствие между элементами групп SU (2) и SO(3), или отображение T из
группы SU (2) в группу SO(3), которое задается формулой (3.2.222). Данное отображение есть гомоморфизм группы SU (2) в группу SO(3):
σk Tkj (U1 · U2 ) xj = (U1 U2 )† X (U1 U2 ) = U2† (σi Tij (U1 ) xj ) U2 = σk Tki (U2 ) Tij (U1 ) xj
то есть Tkj (U1 ·U2 ) = Tki (U2 ) Tij (U1 ). Кроме того, согласно (3.2.222) два разных элемента ± U ∈ SU (2) отображаются в один и тот же элемент O ∈ SO(3). Таким образом,
группа SU (2) дважды накрывает группу SO(3). Так как ядро данного гомоморфизма состоит из двух элементов ±I ∈ SU (2), образующих инвариантную подгруппу
Z2 ⊂ SU (2), то точное соответствие между группами SU (2) и SO(3) выражается
ESF
изоморфизмом SU (2)/Z2 = SO(3).
• Задача 113. Доказать, что группа SL(2, R) дважды накрывает группу SO↑ (1, 2)
и имеет место изоморфизм P SL(2, R) ≡ SL(2, R)/Z2 = SO↑ (1, 2). Указание: доказательство проводится аналогично доказательству Утверждения 3.2.11.
Утверждение 3.2.12 Пусть Ĝ – универсальная накрывающая группы G. Имеет
место изоморфизм Ĝ/Z = G, где Z – некоторая дискретная подгруппа центра группы Ĝ. Если Z — группа порядка m, то группа G m-связна.
3.2 Алгебры Ли.
137
Доказательство. Группа G и ее односвязная универсальная накрывающая группа
Ĝ локально изоморфны. Рассмотрим гомоморфизм ρ : Ĝ → G. Пусть Ker(ρ) — ядро
этого гомоморфизма. Покажем прежде всего, что Ker(ρ) — это дискретная инвариантная подгруппа группы Ĝ. Ядро гомоморфизма из одной группы в другую всегда
является инвариантной подгруппой (смотри Утверждение 2.3.1) и ê ∈ Ker(ρ), где ê
единица в Ĝ. Далее, поскольку окрестности единиц в G и Ĝ изоморфны, то в достаточно малой окрестности U ⊂ Ĝ элемента ê нет других элементов из Ker(ρ). Данный
факт справедлив и для любого другого элемента z ∈ Ker(ρ): если бы множество
Ker(ρ) было непрерывно в окрестности элемента z, то взяв два достаточно близких
элемента z и z ′ из Ker(ρ), мы могли бы составить комбинацию z −1 · z ′ ∈ Ker(ρ), которая была бы близка к единице и попадала в U , что невозможно. Итак, Ker(ρ) —
дискретная подгруппа.
Далее, пусть z ∈ Ker(ρ). Тогда для всех ĝ ∈ Ĝ выполнено ĝ · z · ĝ −1 ∈ Ker(ρ)
(поскольку Ker(ρ) – инвариантная подгруппа в G). Множество ĝ · z · ĝ −1 ⊂ Ker(ρ)
c одной стороны связно в силу связности Ĝ, а с другой стороны дискретно в силу
дискретности Ker(ρ), поэтому оно состоит из одного элемента, который очевидно
равен ê·z·ê−1 = z. Таким образом, для всех ĝ ∈ Ĝ и z ∈ Ker(ρ) выполнено ĝ·z·ĝ −1 = z,
то есть Z = Ker(ρ) — подгруппа центра группы Ĝ, и G = Ĝ/Z.
Наконец, если Z – группа порядка m, то многообразие группы G = Ĝ/Z можно
рассматривать как многообразие Ĝ, у которого имеется отождествление m разных
точек, попадающих в один смежный класс по Z. У такого многообразия кроме обычной замкнутой кривой, стягиваемой в точку, имеется еще (m − 1) негомотопных замкнутых криваых, соединяющих разные отождествленные точки. Например, можно
выделить одну из m отождествленных точек и соединить ее с собой (стягиваемая
кривая) или с любой другой оставшейся (m − 1)-ой отождествленной с ней точкой.
Это и показывает, что группа G = Ĝ/Z является m-связной.
Пример обсуждавшейся сейчас ситуации дает известное нам из Утверждения
3.2.11 соотношение SO(3) = SU (2)/Z2 . Двухсвязность SO(3) следует из наличия
двух негомотопных замкнутых кривых в SO(3), которые соответствуют двум кривым в SU (2), исходящим из некоторого элемента U ∈ SU (2): одна из них заканчивается в элементе U – стягиваемая кривая в SO(3), другая заканчивается в элементе
(−U ) ∈ SU (2) – нестягиваемая кривая в SO(3). Другой пример дан в Задаче 113.
В качестве еще одного примера рассмотрим накрытие группы U (1). Группа U (1)
бесконечно связна. Универсальной накрывающей U (1) является группа R действительных чисел по сложению. Соответственно, группа U (1) × U (1) × . . . × U (1), пред|
{z
}
k
ставляющая собой k-мерный тор, накрывается группой трансляций в Rk . В связи с
этим имеет место следующее утверждение, которое мы сформулируем в виде задачи.
• Задача 114. Пусть T (Rn ) — группа трансляций в Rn . Докажите, что всякая
дискретная подгруппа в T (Rn ) образована сдвигами вдоль векторов
a1 · n1 + a2 · n2 + . . . + ak · nk ,
k≤n,
где a1 , . . . , ak — линейно независимые вектора, а n1 , . . . , nk — целые числа.
4 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ.
138
Пользуясь этим фактом, покажите, что всякая абелева группа Ли размерности n — это прямое произведение
U (1) × U (1) × . . . × U (1) ×T (Rn−k ) ≡ [U (1)]k × T (Rn−k ) .
|
{z
}
k
4
Представления групп и алгебр Ли.
4.1
Линейные (матричные) представления групп.
4.1.1
Определение представления группы. Примеры.
Определение 4.1.1 Линейным представлением (или просто – представлением) T
группы G в линейном (векторном) пространстве V называется гомоморфное отображение T : G → Γ из группы G в группу Γ невырожденных линейных операторов,
действующих в пространстве V. Другими словами, представление T каждому элементу g ∈ G ставит в соответствие обратимый линейный оператор T (g) ∈ Γ, и
это сопоставление согласовано с умножением в группе G:
T (g1 · g2 ) = T (g1 ) · T (g2 ) ,
∀g1 , g2 ∈ G .
(4.1.1) repG
Пространство V, в котором действует группа Γ, называется пространством представления. Если V – вещественное (комплексное) пространство, то представление
T называется вещественным (комплексным).
Из (4.1.1) следует, что
T (e) = I ,
T (g −1 ) = (T (g))−1 ,
∀g ∈ G ,
(4.1.2) repG1
где e — единица в G и I – единичный оператор из Γ, соответственно.
Если пространство представления – n-мерное векторное пространство Vn (K) над
полем чисел K, то, в случае K = R, представление T называется n-мерным вещественным, а если K = C, то – n-мерным комплексным. Заметим, что, рассматривая
Vn (C) как V2n (R), любое n-мерное комплексное представление можно преобразовать
в 2n-мерное вещественное представление (обратное утверждение верно не всегда).
Поскольку в пространстве Vn (K) в некотором фиксированном базисе ⃗ei ∈ Vn (K)
имеется взаимнооднозначное соответствие между линейными операторами и (n × n)
матрицами (см. (2.2.33)), то n-мерное представление T можно рассматривать как
отображение в группу (n × n) матриц с коэффициентами из K. При этом каждому
элементу g группы G сопоставляется матрица ||Tij (g)|| ∈ Γ согласно правилу
T (g) · ⃗ei = ⃗ej Tji (g) .
(4.1.3) Te2w
Здесь каждый из n2 коэффициентов матрицы ||Tij (g)|| — это функция на группе G,
причем из (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3) следуют равенства
Tik (g1 )Tkj (g2 ) = Tij (g1 · g2 ) ,
(4.1.4) pred
4.1 Линейные (матричные) представления групп.
139
Tij (g −1 ) = (T (g)−1 )ij , Tij (e) = δij .
(4.1.5) pred1
Таким образом, n-мерное представление T можно воспринимать как гомоморфизм
T : G → Γ из группы G в матричную группу Γ, элементами которой являются (n × n)
матрицы, Γ ⊂ GL(n, K).
Определение 4.1.2 Представление T : G → Γ в линейном пространстве V(C) называется унитарным, если для всех g ∈ G операторы T (g) ∈ Γ унитарны по отношению к некоторой положительно определенной эрмитовой форме fH , заданной в
V(C), т.е.
fH (T (g) · ⃗x, T (g) · ⃗y ) = fH (⃗x, ⃗y ) , ∀⃗x, ⃗y ∈ V(C) .
(4.1.6) pred2
Пусть V(C) — n-мерное пространство с базисом ⃗ei ∈ V(C), ортонормированным относительно формы fH : fH (⃗ei , ⃗ek ) = δik . Тогда формула (4.1.6) эквивалентна, в силу
определения (4.1.3), условию унитарности для матриц операторов T (g):
Tmi (g)∗ T (g)mk = δik
(T (g)† )im T (g)mk = δik .
⇒
Приведем важные для дальнейшего примеры представлений групп Ли G.
1. Тривиальное представление.
У любой группы G имеется тривиальное одномерное представление T :
∀g ∈ G .
T (g) = 1 ,
(4.1.7) triv
2. Определяющее представление.
Пусть G – матричная группа Ли, состоящая из (n × n) матриц g = ||gij ||, например,
SU (n) или SO(n), и пусть Vn – n-мерное векторное пространство с базисом {⃗ei } (i =
1, . . . , n). Определяющее (фундаментальное) представление T — это отображение из
G в множество линейных операторов, действующих в Vn , заданное соотношениями
T (g) · ⃗ei = ⃗ej gji .
(4.1.8) fund
Соответственно, определяющее (фундаментальное) представление T (g) на координаты вектора
⃗ = ψi⃗ei ∈ Vn ,
ψ
(4.1.9) fund2
действует следующим образом:
(
⃗
T (g) · ψ
)
i
= gij ψj .
(4.1.10) fund1
Если все матрицы группы G вещественные, то определяющее представление является вещественным. Впрочем, часто бывает полезным рассматривать комплексное
представление, задаваемое формулами (4.1.8), (4.1.10); мы его тоже будем называть
определяющим, делая оговорки там, где это необходимо. Если же матрицы группы
G комплексные, то определяющее представление — комплексное.
3. Контраградиентное представление (ко-представление) Te.
4.1 Линейные (матричные) представления групп.
140
Пусть T – n-мерное представление, заданное соотношениями (4.1.3). Контраградиентное к T представление Te — это отображение из G в множество линейных операторов, действующих в Vn , заданное соотношениями
Te(g) · ⃗ei = Tij (g −1 ) ⃗ej = (T (g)−1 )ij ⃗ej ,
(4.1.11) cogr
то есть ко-представление реализуется операторами Te(g) = (T (g)−1 )T . Гомоморфность
отображения Te следует из гомоморфности T :
(
)T
Te(g1 ) · Te(g2 ) = (T (g1 )−1 )T · (T (g2 )−1 )T = T (g1 · g2 )−1 = Te(g1 · g2 ) .
На координаты вектора (4.1.9) матрицы ко-представления действуют следующим
образом
(
)
⃗ = ψj (T (g)−1 )ji .
(4.1.12) cogr1
Te(g) · ψ
i
4. Сопряженное представление T ∗ .
Пусть T – m-мерное комплексное представление, заданное соотношениями (4.1.3).
Представление T ∗ , сопряженное представлению T , является отображением из G в
множество линейных операторов, действующих в Vm (C), и задается соотношениями
(
)
∗
∗
∗
∗
⃗
T (g) · ⃗ei = ⃗ej Tji (g) ,
T (g) · ψ
= Tij∗ (g) ψj∗ ,
(4.1.13) conj
i
где ||Tij∗ (g)|| – матрицы, комплексно сопряженные матрицам представления T . Гомоморфность отображения T ∗ очевидна. Соответственно, для представления, сопряженного определяющему (см. предыдущий пример 2), мы получаем
(
)
∗
⃗ ∗ = g∗ ψ∗ .
T ∗ (g) · ⃗ei = ⃗ej gji
,
T ∗ (g) · ψ
(4.1.14) conj1
ij j
i
Отметим, что для вещественного представления T эта конструкция не дает ничего
нового: оно реализовано вещественными матрицами и, следовательно, T ∗ = T .
• Задача 115. Показать, что представление T ∗ унитарной группы U (n), сопряженное определяющему представлению T , совпадает с контраградиентным
представлением Te.
5. Присоединенное представление ad(G) группы Ли G.
Пусть G – матричная группа Ли, состоящая из матриц g = ||gij ||, и A(G) – ее матричная алгебра Ли. Каждому элементу g ∈ G сопоставим линейный оператор ad(g) (ad –
происходит от слова ”adjoint”), действующий на вектор A (матрицу) из касательного
пространства A(G) следующим образом
ad(g) A = g · A · g −1 .
(4.1.15) adG
Матрица g · A · g −1 снова принадлежит касательному пространству A(G), т.к. она
соответствует касательному вектору в точке In ∈ G к кривой h(t) = g · g(t) · g −1 , построенной по кривой g(t), имеющей разложение (3.2.1) при малых t. Таким образом,
4.1 Линейные (матричные) представления групп.
141
формула (4.1.15) задает отображение ad из группы G в множество линейных операторов, действующих в алгебре Ли A(G) как в векторном пространстве. Гомоморфность
отображения ad проверяется следующим образом
ad(g1 · g2 ) A = (g1 · g2 ) · A · (g1 · g2 )−1 = g1 · (g2 · A · g2−1 ) · g1−1 = ad(g1 ) (ad(g2 ) A) .
Общее определение представления ad для любой (не только матричной) группы
Ли G дадим, пользуясь вместо (4.1.15) соотношением
gad(g) A (t) = g · gA (t) · g −1 ,
∀g ∈ G ,
(4.1.16) adGg
где gA (t) – кривая в G, исходящая из единицы вдоль касательного вектора A. То, что
определенное посредством (4.1.16) отображение ad из группы G в алгебру линейных
операторов, действующих в A(G) – гомоморфизм, следует из тождества
g · gA (t) · gB (t) · g −1 = g · gA (t) · g · g −1 · gB (t) · g −1 .
Определение 4.1.3 Представление группы Ли G, контраградиентное к присоединенному представлению, называется ко-присоединенным представлением группы
G.
4.1.2
Регулярные, точные и неточные представления.
Из Теоремы 2.3.3 (Кэли) следует, что любая конечная группа G порядка n всегда
вкладывается в группу перестановок Sn и поэтому всегда имеет n-мерное вещественное представление. Конструкция этого представления следующая. Запишем n элементов группы G в виде вектора (g1 , g2 , . . . , gn ). Действие слева (справа) фиксированного элемента gi ∈ G на этот вектор определяет перестановки его компонент (см.
(2.3.4)):
gi · (g1 , g2 , . . . , gn ) = (gi · g1 , gi · g2 , . . . , gi · gn ) = (gk1 , gk2 , . . . , gkn ) ,
(g1 , g2 , . . . , gn ) · gi = (g1 · gi , g2 · gi , . . . , gn · gi ) = (gr1 , gr2 , . . . , grn ) ,
(R)
(R)
которые можно записать с помощью (n × n)- матриц ||Tjk (gi )|| и ||T̃jk (gi )||:
(R)
gi · gj = gk Tkj (gi ) ,
(R)
(R)
gj · gi = T̃jk (gi ) gk .
(4.1.17) regu5
(R)
Поскольку матрицы ||Tjk (gi )|| и ||T̃jk (gi )|| задают перестановки, все элементы этих
матриц равны либо 0 либо 1 и в каждой строке и каждом столбце имеется лишь по
одному элементу, равному 1, а все остальные элементы равны нулю. Отметим, что
если gi ̸= e, то единицы никогда не попадают на главную диагональ. Отображения
T (R) и T̃ (R) из G в GL(n) являются гомоморфизмами:
(R)
(R)
(R)
(R)
(R)
(R)
Tlk (gm ) Tkj (gi ) = Tlj (gm · gi ) , T̃jk (gi ) T̃kl (gm ) = T̃jl (gi · gm ) ,
(4.1.18) homRR
что следует из ассоциативности умножения в G. Например, для T (R) мы имеем
(R)
(R)
(R)
gm · (gi · gj ) = gm · gk Tkj (gi ) = gl Tlk (gm ) Tkj (gi ) ,
(R)
(gm · gi ) · gj = gl Tlj (gm · gi ) ,
(4.1.19) regu
4.1 Линейные (матричные) представления групп.
142
Сравнивая правые части этих соотношений, мы получаем первое равенство в (4.1.18).
Аналогично проверяется второе равенство в (4.1.18) для T̃ (R) . Гомоморфизмы T (R) и
T̃ (R) (4.1.17) определяют n-мерные вещественные представления группы G, где n – порядок группы. Представления T (R) и T̃ (R) называются левым и правым регулярными
представлениями группы G, соответственно.
• Задача 116. Доказать, что для матриц регулярных представлений T (R) и T̃ (R)
имеют место тождества
(
)T
(
)T
(R)
∀g ∈ G .
T̃ (g) = T̃ (R) (g −1 ) , T (R) (g) = T (R) (g −1 ) ,
Указание. Любая матрица A, задающая перестановку, удовлетворяет
равенству AT = A−1 , которое в свою очередь следует из того, что
любая перестановка записывается в виде произведения транспозиций.
Приведем явный вид 3-х мерного левого регулярного представления T (R) для
группы C3 , которое задается соотношениями (4.1.17):
e · (e, g1 , g2 ) = (e, g1 , g2 ) = (e, g1 , g2 ) T (R) (e) ,
g1 · (e, g1 , g2 ) = (g1 , g2 , e) = (e, g1 , g2 ) T (R) (g1 ) ,
g2 · (e, g1 , g2 ) = (g2 , e, g1 ) = (e, g1 , g2 ) T (R) (g2 )
Видно, что
(
T
(R)
(e) =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
(
,
T
(R)
(g1 ) =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
)
(
, T
(R)
(g2 ) =
0 1 0
0 0 1
1 0 0
)
. (4.1.20) regc3
• Задача 117. Построить изоморфизм T1 : D3 → S3 и гомоморфизм T2 : D4 →
S4 , учитывая то, что элементы групп D3 и D4 можно рассматривать как
перестановки вершин треугольника и квадрата, соответственно. Построить
соответствующие матричные 3 × 3 и 4 × 4 представления для групп D3 и
D4 .
• Задача 118. Построить левое и правое регулярные представления для группы
D3 = S3 .
Определение 4.1.4 Представление T : G → Γ называется точным, если T – мономорфизм из G в Γ, т.е., T – изоморфизм между элементами G и элементами
образа T (G) ⊂ Γ (см. Определение 2.3.1). Представление будет неточным, если более чем один элемент группы G представляется одним и тем же оператором из
Γ.
Если T — точное представление, то ядро гомоморфизма T : G → Γ тривиально.
Наоборот, пусть представление T группы G неточное и пусть H = Ker(T ) – ядро
гомоморфизма T : G → Γ. Тогда T будет точным представлением для факторгруппы
G/H.
4.1 Линейные (матричные) представления групп.
143
• Задача 119. Доказать сделанные утверждения.
В качестве примера рассмотрим гомоморфное отображение T группы O(n) в группу
чисел Γ = {1, −1} (Γ можно воспринимать как подгруппу операторов в одномерном
вещественном векторном пространстве) такое, что
T (g) = det(g) ,
∀g ∈ O(n) .
Этот гомоморфизм T – одномерное неточное представление. Ядро Ker(T ) = SO(n)
нетривиально: как мы знаем O(n)/SO(n) = Z2 . В то же время изоморфизм, задаваемый T ,
T
Z2 = {In · SO(n), R · SO(n)} ←→ Γ = {1, −1} ,
есть точное представление факторгруппы O(n)/SO(n) = Z2 в группе чисел Γ =
{1, −1}.
4.1.3
Эквивалентные представления.
e называются эквивалентДва представления T и Te группы G в пространствах V и V
e
ными, если существует обратимый оператор S: V → V такой, что
Te(g) = S −1 · T (g) · S ,
∀g ∈ G .
(4.1.21) podob1
Тот факт, что новое отображение T̃ (4.1.21) – представление (т.е. гомоморфизм), при
условии, что T - гомоморфизм, следует из цепочки равенств
T̃ (g1 )·T̃ (g2 ) = S −1 T (g1 )S S −1 T (g2 )S = S −1 ·T (g1 )·T (g2 )·S = S −1 ·T (g1 g2 )·S = T̃ (g1 ·g2 ) .
Пусть представления T и Te действуют в одном и том же n-мерном векторном
e В некотором выбранном базисе {⃗ei } ∈ V соотношение (4.1.21),
пространстве V = V.
согласно (4.1.3), переписывается в матричном виде
−1
Teij (g) = Sik
Tkm (g) Smj , ∀g ∈ G ,
(4.1.22) podob
где (n × n) матрицы ||Tij (g)|| соответствуют операторам T (g) в выбранном базисе
{⃗ei }. При переходе (2.2.38) к новому базису ⃗ei ′ ∈ V матрицы операторов T (g) будут
преобразовываться согласно (2.2.39), т.е. перейдут в матрицы ||Teij (g)|| (4.1.22). Таким
образом, преобразование эквивалентности (4.1.22) можно рассматривать как запись
тех же операторов T (g) в новом базисе {⃗ei ′ }, а матрица ||Sij || задает переход (2.2.38)
к новому базису.
Пример. Любой элемент SU (2) в определяющем представлении (4.1.8) имеет вид
(3.1.14) (смотри пример 7 из подраздела 3.1.2). Тогда соответствующий элемент
SU (2) в комплексно сопряженном представлении (4.1.13) будет даваться матрицей
( ∗
)
α β∗
U ∗ = −β
.
(4.1.23) msu2s
α
4.1 Линейные (матричные) представления групп.
144
Теперь легко проверить явно, что любая матрица U (3.1.14) и ее комплексно сопряженная матрица U ∗ (4.1.23) связаны соотношениями
(
)
0 1
∗
−1
U =SUS , S =
.
−1 0
Таким образом, определяющее представление группы SU (2) эквивалентно своему
комплексно сопряженному представлению. Отметим, что для групп SU (N ) с N > 2
аналогичное утверждение несправедливо.
4.1.4
Характер представления.
Для эквивалентных матричных представлений T и T̃ мы имеем тождество следов
(
)
Tr(T̃ (g)) = Tr S −1 · T (g) · S = Tr(T (g)) (∀g ∈ G) .
(4.1.24) tsp
Определим функцию на группе G, зависящую от представления T ,
χT (g) := Tr(T (g)) (∀g ∈ G) ,
которая называется характером представления T и является важнейшей характеристикой представления. Из (4.1.24) очевидно следует, что для эквивалентных представлений T и Te их характеры совпадают, χTe = χT . Для широкого класса групп и их
представлений справедливо и обратное утверждение: если характеры двух представлений совпадают, то эти представления эквивалентны (см. в связи с этим подраздел
4.6.2). Это значительно упрощает выяснение вопроса об эквивалентности двух представлений.
Отметим, что элементы g1 и g2 из одного и того же класса сопряженности (то
есть элементы, связанные соотношением g1 = g · g2 · g −1 , g ∈ G) имеют одинаковое
значение характера χT (g1 ) = χT (g2 ), поэтому характер – это функция на классах
сопряженности группы G. Наконец, для единичного элемента e ∈ G имеем χT (e) = n,
где n – размерность представления T .
Пример. Рассмотрим определяющее представление (4.1.8) группы SL(2, C), которое
дается 2 × 2 комплексными матрицами
(
)
α11 α12
||gij || =
, det(||gij ||) = α11 α22 − α12 α21 = 1 , αij ∈ C .
α21 α22
Для комплексно-сопряженного определяющего представления согласно (4.1.13) имеем
)
( ∗
∗
α11 α12
∗
,
||gij || =
∗
∗
α22
α21
и существуют элементы g ∈ SL(2, C) такие, что их характеры для определяющего и
его комплексно-сопряженного представлений не совпадают
∗
∗
= χ∗ (g) .
+ α22
χ(g) = α11 + α22 ̸= α11
Например, можно выбрать α12 = α21 = 0 и α11 = 1/α22 = ρeiϕ , где ρ2 ̸= 1, ϕ ̸=
πn. Таким образом, характеры для определяющего представления SL(2, C) и его
комплексно-сопряженного представления не совпадают и данные представления группы SL(2, C) не эквивалентны.
4.2 Представления алгебр Ли.
145
• Задача 120. Сравнить характеры для определяющего представления SU (2) и
его комплексно-сопряженного представления.
4.2
Представления алгебр Ли.
4.2.1
Определение представления алгебры Ли.
Определение 4.2.1 Представлением T алгебры Ли A над полем K в пространстве
V(K′ ), K ⊂ K′ , называется гомоморфизм T из A в алгебру линейных операторов,
действующих в V(K′ ), согласованный с операциями в алгебре Ли A, т.е.
T (α A + β B) = α T (A) + β T (B) , α, β ∈ K ,
(4.2.1) repA
T ([A, B]) = [T (A), T (B)] ,
(4.2.2) repAG
где A, B ∈ A и [T (A), T (B)] ≡ T (A) · T (B) − T (B) · T (A).
Отметим, что вещественные алгебры Ли, для которых K = R, могут иметь как вещественные, так и комплексные представления (при этом K′ = R и K′ = C, соответственно). Представления комплексных алгебр Ли — всегда комплексные.
Пусть представление T алгебры Ли A действует в n-мерном векторном пространстве Vn с базисом {⃗ei } (i = 1, . . . , n). В этом случае представление T называется
n-мерным. Представление T каждому элементу A ∈ A сопоставляет как линейный
оператор T (A), действующий в Vn , так и его матрицу, которая определяется согласно
правилу
T (A) · ⃗ei = ⃗ej Tji (A) .
(4.2.3) Te2wA
Определение 4.2.2 Два представления T и Te алгебры Ли A (в пространствах
e соответственно) эквивалентны, если существует обратимый оператор S,
V и V,
e такой, что
действующий из V в V,
Te(A) = S T (A) S −1 ,
∀A ∈ A .
(4.2.4) repAp
Если T : G → Γ – представление группы Ли G в пространстве V, то с его помощью
строится представление T ′ соответствующей алгебры Ли A(G) в пространстве V.
Для этого рассмотрим гладкую кривую g(t) вблизи единичного элемента e ∈ G с
касательным вектором A. Этой кривой соответствует гладкая кривая T (g(t)) в группе
Γ (в образе отображения T ), которая при малых t имеет разложение
T (g(t)) = I + t T ′ (A) + O(t2 ) .
(4.2.5) repAG1
Касательный вектор T ′ (A) к кривой T (g(t)) (4.2.5) есть линейный оператор, действующий в V. Для достаточно гладких отображений T он определяется только вектором
A ∈ A(G), касательным к кривой g(t) (не зависит от выбора кривой g(t), лишь бы она
имела касательный вектор A). Таким образом, формула (4.2.5) задает отображение
T ′ из алгебры Ли A(G) в множество операторов, действующих в V. Это отображение
удовлетворяет всем свойствам (4.2.1), (4.2.2), а следовательно задает представление
4.2 Представления алгебр Ли.
146
алгебры Ли A(G) в пространстве V и является отображением из касательного пространства A(G) в касательное пространство A(Γ). Таким образом, представление T
группы Ли G в пространстве V порождает представление алгебры Ли A(G) в том
же пространстве.
• Задача 121. Проверить, что определенное равенством (4.2.5) отображение T ′
из алгебры Ли A(G) в множество операторов, действующих в V, удовлетворяет свойствам (4.2.1), (4.2.2).
Согласно общему определению (смотри Замeчание 3 в подразделе 3.1.5) отображение T ′ есть не что иное как производная отображения T : G → Γ в точке e ∈ G.
Производную Tg′0 отображения T можно построить в любой другой точке g0 ∈ G,
при этом Tg′0 отображает касательное пространство A(G, g0 ) к многообразию G в
точке g0 в соответствующее касательное пространство A(Γ, T (g0 )) к многообразию Γ
в точке T (g0 ).
В дальнейшем представление T группы Ли и соответствующее представление T ′
ее алгебры Ли мы будем обозначать одним и тем же символом T , если это не будет
приводить к недоразумению.
Пусть T – унитарное представление (см. Определение 4.1.2) группы G в векторном пространстве V(C). Тогда из (4.2.5) следует, что для соответствующего представления алгебры Ли A(G) операторы T (A), для всех A ∈ A(G), антиэрмитовы:
fH (T (A) · ⃗x, ⃗y ) + fH (⃗x, T (A) · ⃗y ) = 0 , ∀⃗x, ⃗y ∈ V(C) .
Если группа Ли Ĝ есть универсальная накрывающая группы Ли G (смотри раздел 3.2.13), то группы Ĝ и G локально изоморфны, то есть имеют изоморфные
(см. Определение 3.2.4) алгебры Ли A(G) = A(Ĝ). При этом группы Ĝ и G, вообще говоря, различны, так как их многообразия отличаются своими глобальными
свойствами. В качестве примера снова приведем группы SU (2) и SO(3), первая из
которых дважды накрывает вторую (смотри раздел 3.2.13), и которые имеют изоморфные алгебры Ли su(2) = so(3). Все представления группы Ли G одновременно
являются и представлениями ее универсальной накрывающей Ĝ. Обратное не верно.
Отсюда ясно, что алгебра Ли A(G) = A(Ĝ), может иметь такие представления, которые получаются с помощью (4.2.5) из представлений группы Ĝ, но не могут быть
получены таким же способом из представлений группы G.
Пусть группа Ĝ накрывает m раз группу G. В этом случае точное неприводимое
представление накрывающей группы Ли Ĝ иногда называется m-значным представлением группы G.
Утверждение 4.2.1 Пусь G — группа Ли, A(G) — ее алгебра Ли и Ĝ — универсальная накрывающая группы G. Тогда всякое конечномерное представление T алгебры
A(G) = A(Ĝ) в пространстве V порождается некоторым представлением универсальной накрывающей, то есть существует такое представление T̄ (Ĝ) в пространстве V, что T̄ (ĝA (t)) = 1 + t · T (A) + O(t2 ), где ĝA (t) — кривая в Ĝ с касательным
вектором A.
4.2 Представления алгебр Ли.
147
Мы поясним справедливость этого Утверждения следующим рассуждением. Для всякого конечномерного представления T алгебры Ли A(G) можно построить, пользуясь экспоненциальным отображением, соответствующую матричную группу G′ . Эта
матричная группа по построению будет локально изоморфна универсальной накрывающей группе Ĝ и следовательно будет гомоморфно накрываться группой Ĝ. Таким
образом, существует гомоморфизм T̄ : Ĝ → G′ , который можно рассматривать как
некоторое представление группы Ĝ. Это представление T̄ группы Ĝ будет определять согласно процедуре (4.2.5) представление алгебры Ли группы Ĝ, которое опять
же по построению будет совпадать с исходным представлением T алгебры Ли A(G),
что и требовалось.
4.2.2
Примеры представлений алгебр Ли.
Приведем важные для дальнейшего примеры представлений алгебр Ли A, которые
естественно связаны с примерами представлений групп Ли из Раздела 4.1.1.
1. Тривиальное представление.
У любой алгебры Ли A имеется тривиальное одномерное представление: T (A) = 0,
∀A ∈ A. Для A = A(G) это представление алгебры Ли, согласно (4.2.5), соответствует
тривиальному представлению (4.1.7) группы Ли G.
2. Определяющее (фундаментальное) представление.
Пусть G – матричная группа Ли, состоящая из матриц (n × n) (например, SU (n),
SL(n, C) или SO(n)) и A(G) – соответствующая матричная алгебра Ли. Пусть Vn
— n-мерное векторное пространство с базисом {⃗ei } (i = 1, . . . , n) и пусть матрица
A = ||Aij || – элемент алгебры Ли A(G). Определяющее представление T задается
соотношениями
T (A) · ⃗ei = ⃗ej Aji .
Это представление алгебры Ли A(G) соответствует определяющему представлению
(4.1.8) группы Ли G. Если матрицы алгебры A(G) вещественные, то можно рассматривать как вещественное определяющее представление, так и комплексное; если же
матрицы алгебры A(G) комплексные, то определяющее представление — комплексное.
3. Представление T ∗ , сопряженное представлению T .
Пусть A – вещественная алгебра Ли и T – ее n-мерное комплексное представление.
Представление T ∗ , как отображение из A в множество линейных операторов, действующих в Vn (C), задается соотношениями
T ∗ (A) ⃗ei = ⃗ej (Tji (A))∗ ,
∀A ∈ A ,
где ||(Tji (A))∗ || – матрицы, комплексно сопряженные матрицам представления T . Для
определяющего представления алгебры Ли A(G) матричной группы G мы получаем
T ∗ (A) ⃗ei = ⃗ej A∗ji .
Отметим, что при попытке построения сопряженного представления T ∗ комплекной
алгебры Ли, мы вместо условия линейности в (4.2.1) столкнулись бы со свойством
антилинейности: T ∗ (αA + βB) = α∗ T ∗ (A) + β ∗ T ∗ (B).
4.2 Представления алгебр Ли.
148
4. Контраградиентное представление (ко-представление) Te.
Пусть T – n-мерное представление алгебры Ли A, заданное соотношениями (4.2.3).
Контраградиентное к T представление Te сопоставляет каждому элементу A ∈ A
линейный оператор Te(A), действующий в Vn и заданный соотношениями
Te(A) · ⃗ei = −Tij (A) ⃗ej .
(4.2.6) cogrA
Таким образом, ко-представление Te реализуется операторами Te(A) = −T (A)T . Гомоморфность отображения Te легко проверяется:
[Te(A1 ), Te(A2 )] = [T (A1 )T , T (A2 )T ] = − ([T (A1 ), T (A2 )])T =
= − ( T ([A1 , A2 ]) )T = Te ([A1 , A2 ]) ,
∀A1 , A2 ∈ A .
Очевидно, что если A = A(G), и T (A) порождается представлением T (G) группы G,
то ко-представление алгебры A(G) порождается ко-представленем (4.1.11) группы
G.
5. Присоединенное представление ad алгебры Ли A.
Присоединенное представление алгебры Ли A — это линейный гомоморфизм ad из
A в алгебру линейных операторов, действующих в самой алгебре Ли A следующим
образом (см. (3.2.104)):
ad(Y ) · X = [Y, X] ,
∀X, Y ∈ A .
(4.2.7) liad1
Отображение ad — гомоморфизм:
(4.2.8) liad2
ad([X, Y ]) = [ad(X), ad(Y )] ,
так как ∀Z ∈ A тождество Якоби (3.2.73) дает:
ad([X, Y ]) · Z = [[X, Y ], Z] = [X, [Y, Z]] − [Y, [X, Z]] = [ad(X), ad(Y )] · Z .
• Задача 122. Доказать тождество:
ad(X) · [A, B] = [ad(X) · A, B] + [A, ad(X) · B] ,
∀X, A, B ∈ A , (4.2.9) liad3
из которого следует, что операторы ad(X) действуют в алгебре Ли A как
операторы дифференцирования (выполнено правило Лейбница).
Если A = A(G), то присоединенное представление алгебры (4.2.7) порождается
присоединенным представлением группы G (4.1.15). Действительно, в случае матричной группы G, если при малом t подставить gX = In + tX + O(t2 ) в (4.1.15), то
мы получим
ad(gX ) · Y = (In + tX + O(t2 )) Y (In − tX + O(t2 )) = Y + t [X, Y ] + O(t2 ) ,
что с учетом (4.2.7) дает
ad(gX ) · Y = Y + t ad(X) · Y + O(t2 ) .
(4.2.10) dec11-11-3
4.3 Прямое произведение и прямая сумма представлений.
149
В общем случае связь между присоединенным представлением группы G и ее алгебры Ли A(G) дает формула (4.1.16), а также определение алгебр Ли, приведенное в
разделе 3.2.5. Формула (4.2.10) остается справедливой, если считать t параметром
вдоль кривой gX (t), определяющей касательный вектор X.
В алгебре Ли A в выбранном базисе {Xa } со структурными соотношениями (3.2.71)
формулы (4.2.7) определяют линейный гомоморфизм ad из A в алгебру матриц размера (dimA × dimA)
ea )d = C d ≡ (ad(Xa ))d ,
ad : Xa → (X
b
ab
b
(4.2.11) liad
ea уже вводились в (3.2.106). Условие гомоморфности (4.2.8) для отобгде матрицы X
ражения (4.2.11) дается формулой (3.2.108). Напомним, что пользуясь представлением (4.2.11), метрику Киллинга (3.2.100) можно записать в виде (3.2.107), то есть
gab = Tr(ad(Xa )ad(Xb )) .
(4.2.12) li04k
Наконец отметим, что для вещественных алгебр Ли присоединенное представление
(4.2.11) всегда вещественное.
Определение 4.2.3 Представление алгебры Ли A, контраградиентное к присоединенному представлению, называется ко-присоединенным представлением алгебры
Ли A.
• Задача 123. Доказать, что присоединенное и ко-присоединенное представления простой (полупростой) алгебры Ли — эквивалентны. Указание: воспользоваться невырожденностью метрики Киллинга и антисимметричностью (3.2.109) структурных констант.
4.3
Прямое произведение и прямая сумма представлений.
Пусть T (1) и T (2) – два представления группы Ли G (или алгебры Ли A). Из этих
представлений с помощью двух процедур, которые называются прямой суммой и
прямым произведением представлений, можно строить новые представления группы
G (или алгебры Ли A).
4.3.1
Прямое (тензорное) произведение представлений. Тензоры.
ISA
Рассмотрим n-мерное и m-мерное векторные пространства Vn (K) и Vm (K) с базисами Назва{⃗ei } (i = 1, . . . , n) и {⃗ϵa } (a = 1, . . . , m) соответственно. Двум векторам ⃗x = xi⃗ei ∈ ние
Vn (K) и ⃗y = ya⃗ϵa ∈ Vm (K) сопоставим (n · m)-мерный вектор ⃗z с координатами
(z1 , z2 , . . . zn·m ) = (x1 y1 , . . . , x1 ym , x2 y1 , . . . , x2 ym , . . . , xn y1 , . . . , xn ym ),
(4.3.1) prvect
который принадлежит (n · m)-мерному пространству Vn·m (K). Вектор ⃗z ∈ Vn·m (K) с
координатами (4.3.1) называется прямым произведением векторов ⃗x и ⃗y и обозначается (⃗x ⊗ ⃗y ). Согласно (4.3.1) вектор (⃗ei ⊗ ⃗ϵa ) имеет координаты
(z1 , z2 , . . . , zn·m ) = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ,
| {z }
(i−1)m+a−1
4.3 Прямое произведение и прямая сумма представлений.
150
и следовательно набор векторов (⃗ei ⊗⃗ϵa ) образует базис в Vn·m (K). Рассмотрим теперь
все вектора вида
⃗v = via (⃗ei ⊗ ⃗ϵa ) ∈ Vn·m (K) , via ∈ K .
(4.3.2) prvect1
Сложение таких векторов и умножение их на число определяется стандартным образом, поэтому все вектора (4.3.2) образуют линейное пространство, которое называется прямым (тензорным) произведением пространств Vn (K) и Vm (K) и обозначается
Vn (K) ⊗ Vm (K). Множество Vn (K) ⊗ Vm (K) как векторное пространство совпадает с
Vn·m (K), однако оно имеет специфические свойства, связанные с преобразованиями
базиса отдельно в сомножителях Vn (K) и Vm (K). Почеркнем еще раз, что размерность пространства Vn (K) ⊗ Vm (K) равна произведению размерностей пространств
Vn (K) и Vm (K).
ISA
Определение 4.3.1 Элементы тензорного произведения r векторных пространств
v ∈ Vn1 (K) ⊗ Vn2 (K) ⊗ · · · ⊗ Vnr (K) ,
(k)
называются тензорами ранга r. Пусть ⃗eik
пространстве Vnk (K). Тогда
(1)
(ik = 1, . . . , nk ) — базисные вектора в
(r)
v = vi1 ,i2 ,...,ir ⃗ei1 ⊗ · · · ⊗ ⃗eir ,
(4.3.3) prvect1t
и vi1 ,i2 ,...,ir ∈ K называются коэффициентами тензора v ранга r.
С точки зрения этого определения любой вектор ⃗x ∈ Vn (K) можно назвать тензором
первого ранга, а вектор (4.3.2) является тензором второго ранга.
Пусть T (1) и T (2) – два представления одной и той же группы G, которые действуют в пространствах Vn (K) и Vm (K), соответственно. Тогда в пространстве Vn (K) ⊗
Vm (K) можно определить представление T (p) = T (1) ⊗T (2) группы G согласно правилу
(
)
(1)
(2)
T (p) (g) · (⃗ek ⊗ ⃗ϵb ) = T (1) (g) · ⃗ek ⊗ T (2) (g) · ⃗ϵb = (⃗ei ⊗ ⃗ϵa ) Tik (g) Tab (g) ,
(1)
(4.3.4) prvect2
(2)
где ||Tik (g)|| и ||Tab (g)|| – (n × n) и (m × m) матрицы представлений T (1) и T (2) :
(1)
T (1) (g) · ⃗ek = ⃗ei Tik (g) ,
(1)
(T (1) (g) · ⃗x)i = Tik (g) xk ,
(2)
(4.3.5) prvect4
(2)
(4.3.6) prv4
T (2) (g) · ⃗ϵb = ⃗ϵa Tab (g) ,
(T (2) (g) · ⃗y )a = Tab (g) yb .
Соответственно, для координат вектора ⃗v (4.3.2) мы получаем преобразования
(
)
(T (p) (g) · ⃗v )ia = T (1) (g) ⊗ T (2) (g) ia,kb vkb =
(4.3.7) prv6
(
)
(1)
(2)
= Tik (g) Tab (g) vkb = T (1) (g) · v · (T (2) (g) )T ia .
Здесь композитная (n · m × n · m) матрица
(
)
(p)
(1)
(2)
||Tia,kb (g)|| = || T (1) (g) ⊗ T (2) (g) ia,kb || = ||Tik (g) Tab (g)|| ,
(4.3.8) prvect5
4.3 Прямое произведение и прямая сумма представлений.
(1)
151
(2)
есть прямое произведение двух матриц ||Tik (g)|| и ||Tab (g)|| (см. (2.2.18)) и, в соответствии с расстановкой координат (4.3.1), записывается в виде блочной (n × n)
матрицы (сравните с (2.2.19))
 (1)

(2)
(1)
(2)
T11 (g)||Tab (g)|| . . . T1n (g)||Tab (g)||


 T (1) (g)||T (2) (g)|| . . . T (1) (g)||T (2) (g)|| 
 21

2n
ab
ab
 ,
T (p) (g) = 
(4.3.9) prvect3


.
.
..
.


...
.


(1)
(2)
(1)
(2)
Tn1 (g)||Tab (g)|| . . . Tnn (g)||Tab (g)||
где каждый блок имеет размер (m × m). Отображение T (p) = T (1) ⊗ T (2) определяет
новое представление группы G, которое называется прямым (или тензорным) произведением представлений T (1) и T (2) . Свойство гомоморфизма для отображения T (p)
следует из гомоморфности отображений T (1) , T (2) и его легко проверить, пользуясь
операторной формой записи
(
) (
)
T (p) (g1 ) · T (p) (g2 ) = T (1) (g1 ) ⊗ T (2) (g1 ) · T (1) (g2 ) ⊗ T (2) (g2 ) =
= T (1) (g1 )T (1) (g2 ) ⊗ T (2) (g1 )T (2) (g2 ) = T (1) (g1 g2 ) ⊗ T (2) (g1 g2 ) = T (p) (g1 g2 ) .
Доказательство этого тождества в матричной форме проводится с использованием
правила (2.2.20) для умножения матриц (A ⊗ B) и (C ⊗ D). Отметим, что характер
представления T (p) = T (1) ⊗ T (2) , согласно (4.3.9), равен произведению характеров
представлений T (1) и T (2) :
χT (p) (g) = χT (1) (g) · χT (2) (g) .
Пример. Рассмотрим два представления группы C3 = Z3 – одномерное представление T (1) :
T (1) (e) = 1 , T (1) (g1 ) = q , T (1) (g2 ) = q 2 ,
q ≡ exp(2πi/3) ,
(4.3.10) 1mrep
и 3-х мерное регулярное представление T (2) = T (R) (4.1.20). Новое представление
T (p) = T (1) ⊗ T (R) – 3-х мерно и согласно (4.3.9) имеет вид




(
)
2πi
4πi
3
3
0
0
e
0
e
0
1 0 0
2πi
4πi
T (p) (e) = 0 1 0 , T (p) (g1 ) =  e 3
0
0  , T (p) (g2 ) =  04πi 0 e 3  .
2πi
0 0 1
0
0
0
0 e 3
e 3
Конструкция (4.3.4), (4.3.7) тензорного произведения двух представлений группы ISA до
ISA конец
G очевидным образом обобщается на случай тензорного произведения любого числа
представлений. Пусть T (α) (α = 1, . . . , r) – представления группы G в пространствах
Vnα (K). Тогда в пространстве Vn1 (K) ⊗ · · · ⊗ Vnr (K) (в пространстве тензоров ранга
(p)
r, смотри Определение 4.3.1) можно задать представление Tr = T (1) ⊗ · · · ⊗ T (r)
группы G согласно правилу
(1)
(r)
Tr(p) (g) · (⃗ei1 ⊗ · · · ⊗ ⃗eir ) = (⃗ej1 ⊗ · · · ⊗ ⃗ejr ) Tj1 i1 (g) · · · Tjr ir (g) ,
∀g ∈ G ,
(4.3.11) prvect2t
4.3 Прямое произведение и прямая сумма представлений.
152
(α)
где ||Tik (g)|| – (nα ×nα ) матрицы операторов T (α) (g). Соответственно, для координат
vi1 ,...,ir тензора (4.3.3) мы получаем преобразования
(p)
(1)
(r)
vi1 ,...,ir → (Tr (g) · v)i1 ,...,ir = Ti1 j1 (g) · · · Tir jr (g) vj1 ,...,jr .
(4.3.12) prv6t
Для дальнейшего нам понадобится следующее определение.
Определение 4.3.2 Тензор v ∈ Vn1 (K) ⊗ · · · ⊗ Vnr (K) называется инвариантным
относительно действия группы G, если при преобразованиях (4.3.11), (4.3.12) для
(p)
его координат мы имеем (Tr (g) · v)i1 ,...,ir = vi1 ,...,ir .
ISA
Пусть G – группа Ли. Вблизи единичного элемента группы G для представления
T = T (1) ⊗ T (2) и кривой gA (t) с касательным вектором A мы имеем разложение
(см. (4.2.5)):
(p)
T (p) (gA (t)) = T (1) (gA (t))) ⊗ T (2) (gA (t))) =
) (
)
= In + t T (1) (A) + O(t2 ) ⊗ Im + t T (2) (A) + O(t2 ) =
(
)
= In ⊗ Im + t T (1) (A) ⊗ Im + In ⊗ T (2) (A) + O(t2 ) ,
(
где A ∈ A(G). Поэтому для алгебры Ли A(G) тензорное произведение двух представлений T (1) и T (2) определяется отображением T (p) вида
(
)
T (p) (A) = T (1) (A) ⊗ Im + In ⊗ T (2) (A) ,
(4.3.13) mrep1
и действует по правилу
( (p)
)
(
)
T (A) · ⃗v ia = T (1) (A) ⊗ Im + In ⊗ T (2) (A) ia,kb vkb =
(1)
(2)
(4.3.14) mrep01
= Tik (A) vka + Tab (A) vib .
(p)
Аналогично для представления Tr
мы получаем формулу:
Tr(p) (A) =
r
∑
= T (1) ⊗ · · · ⊗ T (r) элемента A алгебры Ли A(G)
I(1) ⊗ · · · I(m−1) ⊗ T (m) (A) ⊗ I(m+1) ⊗ · · · I(r) .
(4.3.15) mrep77b
m=1
где Im := T (m) (I).
• Задача 124. Написать аналог формулы (4.3.14) для случая тензора произвольного ранга r > 2.
С точки зрения квантовой механики прямое произведение T (1) ⊗T (2) двух представлений группы G описывает систему, состоящую из двух независимых подсистем (например, спинов), соответствующих представлениям T (1) и T (2) . Тогда формула (4.3.13)
соответствует тому, что в квантовой механике называется правилом сложения спинов
двух подсистем.
Определение (4.3.13) прямого произведения двух представлений без изменений
распространяется на общий случай алгебр Ли A безотносительно к группам Ли.
ISA
нец
ко-
4.3 Прямое произведение и прямая сумма представлений.
4.3.2
153
Прямая сумма представлений.
Из двух векторов ⃗x = xi⃗ei ∈ Vn (K) и ⃗y = ya⃗ϵa ∈ Vm (K) можно построить новый
(n + m)-мерный вектор w
⃗ с координатами {wA } (A = 1, . . . , n + m):
(w1 , w2 . . . , wn+m ) = (x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym ) ,
(4.3.16) prsu2
и, считая все ⃗ei и ⃗ϵa линейно независимыми, рассмотреть всевозможные вектора вида
w
⃗ = ⃗ei xi + ⃗ϵa ya ,
∀xi , ya ∈ K .
(4.3.17) prsu
Эти вектора образуют (n + m)-мерное векторное пространство, которое называется
прямой суммой пространств Vn (K) и Vm (K) и обозначается Vn (K) ⊕ Vm (K).
Пусть, как и в предыдущем пункте 4.3.1, T (1) и T (2) – два представления группы
G, которые действуют в пространствах Vn (K) и Vm (K). Определим линейные операторы T (s) (g), которые действуют в пространстве Vn (K) ⊕ Vm (K) на векторы w
⃗ (4.3.17)
(1)
(2)
в соответствии с действием представлений T и T (4.3.5), (4.3.6):
(1)
(2)
T (s) (g)·w
⃗ = T (1) (g)·⃗x+T (2) (g)·⃗y = ⃗ej Tji (g) xi +⃗ϵb Tba (g) ya ∈ Vn (K)⊕Vm (K) . (4.3.18) prsu1
Согласно (4.3.18), координаты {wA } (4.3.16) вектора w
⃗ преобразуются следующим
образом
( (s)
)
(s)
T (g) · w
⃗ A = TAB (g) wB ,
(s)
где (n + m) × (n + m) матрица ||TAB (g)|| линейного оператора T (s) (g) имеет блочнодиагональную структуру
(
)
(1)
||Tij (g)||
0
(s)
||TAB (g)|| =
.
(4.3.19) pryam
(2)
0
||Tab (g)||
Иногда удобно и сами операторы T (s) (g) представлять как блочные матрицы с операторными коэффициентами
)
( (1)
T (g)
0
(s)
T (g) =
,
(4.3.20) prsu3
0
T (2) (g)
а действие (4.3.18) записывать в виде
(
T
(s)
(g) · w
⃗ =T
(1)
(g) · ⃗x + T
(2)
(g) · ⃗y =
T (1) (g)
0
0
T (2) (g)
) ( )
⃗x
·
.
⃗y
Итак, каждому элементу g группы G мы сопоставили линейный оператор T (s) (g)
(4.3.18), т.е. определили отображение T (s) из группы G в множество линейных операторов, действующих в (n + m)-мерном пространстве Vn (K) ⊕ Vm (K). Таким образом
мы строим новое (n+m)- мерное представление T (s) группы G. Действительно, легко
проверить, что отображение T (s) – гомоморфизм:
)
) ( (1)
( (1)
T (g2 )
0
T (g1 )
0
(s)
(s)
=
T (g1 )T (g2 ) =
0
T (2) (g2 )
0
T (2) (g1 )
4.4 Приводимые и неприводимые представления.
(
=
T (1) (g1 g2 )
0
(2)
0
T (g1 g2 )
154
)
= T (s) (g1 g2 ) .
Здесь мы воспользовались блочно-диагональным представлением (4.3.20) для операторов T (s) (g) и тем фактом, что T (1) и T (2) – представления. Оператор T (s) (g)
(4.3.18), (4.3.20) называется прямой суммой операторов T (1) (g) и T (2) (g) и обозначается T (s) (g) = T (1) (g) ⊕ T (2) (g), а соответствующее новое представление T (s) называется
прямой суммой представлений T (1) и T (2) и обозначается T (1) ⊕ T (2) .
Отметим, что характер представления T (s) = T (1) ⊕T (2) согласно формуле (4.3.19)
равен сумме их характеров:
χT (s) (g) = χT (1) (g) + χT (2) (g) .
Пример. Снова рассмотрим два представления группы C3 – одномерное представление T (1) (4.3.10) и 3-х мерное регулярное представление (4.1.20). Новое представление T (s) = T (1) ⊕ T (R) – 4-х мерно, и матрицы этого представления имеют вид


 2πi

 4πi

1 0 0 0
e 3 0 0 0
e 3 0 0 0
T (s) (e) =  00 10 01 00  , T (s) (g1 ) =  00 01 00 10  , T (s) (g2 ) =  00 00 10 01  .
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
Пусть G – группа Ли. Вблизи единичного элемента группы G для представления
T (s) (4.3.20) мы имеем разложение (см. (4.2.5)):
)
( (1)
T (gA (t)))
0
(s)
=
T (gA (t))) =
0
T (2) (gA (t))
)
(
)
( (1)
In 0
T (A)
0
+ O(t2 ) ,
(4.3.21) psli
=
+t
0 Im
0
T (2) (A)
где T (1) (A) и T (2) (A) — представления алгебры Ли A(G), которые соответствуют
представлениям T (1) (g) и T (2) (g) группы Ли G. Из разложения (4.3.21) следует, что
представление T (s) алгебры Ли A(G), которое соответствуют прямой сумме представлений T (1) и T (2) группы Ли G, определяется следующим образом:
)
( (1)
T (A)
0
(s)
T (A) =
,
(4.3.22) psli1
0
T (2) (A)
т.е. имеет блочно-диагональную форму. Формула (4.3.22) определяет прямую сумму представлений T (1) и T (2) алгебры Ли A(G). Такое определение прямой суммы
представлений распространяется на общие алгебры Ли безотносительно к группам
Ли.
4.4
Приводимые и неприводимые представления.
4.4.1
Определение приводимых и неприводимых представлений.
Представление T (s) (4.3.19) построено из представлений T (1) и T (2) меньшей размерности. Поэтому изучение представления T (s) сводится к изучению представлений
4.4 Приводимые и неприводимые представления.
155
T (1) и T (2) . Заметим, что преобразование подобия (4.1.22) с некоторой фиксированной
(n+m)×(n+m) матрицей S, примененное к матрицам T (s) (g) (4.3.19) для всех g ∈ G,
дает, как мы видели выше, эквивалентное (n + m)-мерное представление, которое,
вообще говоря, уже не будет иметь блочно-диагонального вида (4.3.19). Например,
перестановка (перенумеровка) строк и столбцов является преобразованием подобия,
при этом блочно-диагональная структура (4.3.19) будет потеряна.
С другой стороны, для некоторого заданного матричного представления мы можем попытаться найти преобразование подобия, которое приводит матрицы данного
представления для всех g ∈ G к блочно-диагональному виду и тем самым разбить
это представление в прямую сумму двух или более представлений меньшей размерности. Конечно, такую процедуру удается сделать не для всех представлений. Тем
самым мы приходим к следующему определению.
Определение 4.4.1 Представление T группы G, которое преобразованием подобия (4.1.22) может быть приведено для всех g ∈ G к блочно диагональному виду (4.3.19), называется вполне приводимым (или разложимым). Если матричное
представление T для всех элементов g группы G преобразованием подобия (4.1.22)
приводится к блочному виду
(
) (
)
(1)
||tij (g)|| ||x(g)ib ||
T (1) (g) X(g)
, X(g) ̸= 0 ,
(4.4.1) pryam1
T (g) =
=
(2)
0
T (2) (g)
0
||tab (g)||
(т.е. только нижний левый блок равен нулю), то представление называется приводимым18 . Если таких преобразований подобия не существует, то есть все матрицы
представления T не приводятся одновременно ни к блочно диагональному виду, ни VRN
к виду (4.4.1), то представление T называется неприводимым.
Условие гомоморфизма T (g1 )T (g2 ) = T (g1 g2 ) для приводимого представления (4.4.1)
требует выполнения тождеств
( (1)
) ( (1)
)
T (g1 ) X(g1 )
T (g2 ) X(g2 )
=
(4.4.2) t1t2
0
T (2) (g1 )
0
T (2) (g2 )
) ( (1)
)
( (1)
T (g1 · g2 ) X(g1 · g2 )
T (g1 )T (1) (g2 ) T (1) (g1 )X(g2 ) + X(g1 )T (2) (g2 )
=
=
0
T (2) (g1 )T (2) (g2 )
0
T (2) (g1 · g2 )
Из последнего равенства следует, что отображения
T (1) : G → GL(n)
и
T (2) : G → GL(m) ,
гомоморфны и, следовательно, блоки T (1) (g) и T (2) (g) реализуют представления группы G меньшей размерности чем представление, заданное матрицами T (g). Таким
образом, даже если матричное представление T просто приводимо (не обязательно
вполне приводимо), то из него все равно можно выделить представления T (1) и T (2)
18
Очевидно, что представление будет приводимым и в случае обнуления только верхнего правого
блока, т.к. такое представление эквивалентно представлению (4.4.1). Эти представления связаны
специальным преобразованием подобия – перестановкой строк и столбцов.
4.4 Приводимые и неприводимые представления.
156
меньшей размерности. Основная задача теории представлений заключается в том,
чтобы найти все неприводимые представления, из которых все остальные представления строятся с помощью формул типа (4.3.19) и (4.4.1).
Представление (4.4.1) каждому элементу g ∈ G сопоставляет оператор T (g), действующий в (n + m)-мерном пространстве Vn ⊕ Vm , и определяет преобразования
(n + m)-мерных ”композитных” векторов (⃗x, ⃗y ) → (⃗x′ , ⃗y ′ ), где ⃗x, ⃗x ′ ∈ Vn и ⃗y , ⃗y ′ ∈ Vm .
Данное преобразование в терминах координат векторов (⃗x, ⃗y ) задается матрицами
(4.4.1) и записывается следующим образом
x′i = Tij (g) xj + Xia (g) ya ,
(1)
ya′ = Tab (g) yb .
(2)
Из вида этого преобразования, если положить равными нулю все координаты ya
(a = 1, . . . , m), следует, что подпространство Vn ⊂ Vn ⊕ Vm преобразуется ”само
через себя” при действии операторов (4.4.1). Иными словами, для всех векторов ⃗x
из подпространства Vn в пространстве представления Vn ⊕ Vm и ∀g ∈ G мы имеем
T (g) · ⃗x ∈ Vn .
Определение 4.4.2 Пусть V — пространство представления T группы Ли G, W
– линейное подпространство в V. Оно называется инвариантным подпространством, если для всех ⃗v ∈ W и g ∈ G справедливо
T (g) ⃗v ∈ W ,
т.е. действие любого оператора T (g) не выводит из подпространства W .
Тривиальные инвариантные подпространства — это само V и подпространство, состоящее из одного нулевого вектора.
Определение 4.4.3 (эквивалентное данному в 4.4.1). Представление T группы G
в пространстве V называется неприводимым, если в V не существует нетривиальных инвариантных подпространств для этого представления. Наоборот, если в
V существует нетривиальное инвариантное подпространство, то представление
T называется приводимым.
Определение 4.4.4 (также эквивалентное данному в 4.4.1). Представление T
группы G в пространстве V называется вполне приводимым (или разложимым),
если в V существует два инвариантных подпространства W1 и W2 , таких, что
V = W1 ⊕ W2 .
• Задача 125. Показать, что представление T группы Ли G в пространстве V
неприводимо тогда и только тогда, когда для любого ⃗v ∈ V линейная оболочка элементов вида T (g) · ⃗v , где g пробегает всю группу G, совпадает со
всем V. Линейная оболочка здесь — это линейное подпространство векторов вида
∫
dµ(g) ag T (g) · ⃗v ,
g
где ag — произвольные численные функции на группе (с компактным носителем), а µ(g) — некоторая мера на группе.
4.4 Приводимые и неприводимые представления.
157
Определения, данные в 4.4.1, 4.4.3, 4.4.4 для представлений групп Ли, легко
переформулировать для представлений алгебр Ли.
VRN
Определение 4.4.5 Матричное представление T алгебры Ли A, которое c помощью преобразования подобия (4.2.4) может быть приведено для всех A ∈ A к блочно диагональному виду (4.3.22), называется вполне приводимым или разложимым.
Если матричное представление алгебры Ли A преобразованием подобия (4.1.22) приводится к виду
( (1)
)
T (A) X(A)
T (A) =
, X(A) ̸= 0
(∀A ∈ A) ,
(4.4.3) pryam1al
0
T (2) (A)
(то есть, только нижний левый блок равен нулю19 ), то представление называется
приводимым. Если таких преобразований подобия не существует, то представление называется неприводимым.
Вблизи единичного элемента для приводимого представления (4.4.1) группы G
мы имеем разложение (см. (4.2.5)):
)
( (1)
T (gA (t))) X(gA (t)))
=
T (gA (t)) =
0
T (2) (gA (t))
(
=
In 0
0 Im
)
(
+t
T (1) (A) X(A)
0
T (2) (A)
)
+ O(t2 ) .
(4.4.4) psli2
Напомним, что представления T (1) и T (2) в (4.4.1) задают отображения из группы
G в матричные группы Γ(1) , Γ(2) . В то же время, в правой части (4.4.4) возникают
линейные гомоморфные отображения T (1) и T (2) из касательного пространства A(G)
в касательные пространства A(Γ(1) ), A(Γ(2) ), имеющие смысл производных от отображений T (1) : G → Γ(1) и T (2) : G → Γ(2) в точке, соответсвующей единице в G (см.
Замечание 3 в подразделе 3.1.5). Для вполне приводимого представления группы
G (которое приводится к виду (4.3.19)) в разложении (4.4.4) мы должны положить
X(A) = 0.
Таким образом, стандартная процедура (4.4.4) построения представлений для алгебры Ли A(G), исходя из представлений для группы Ли G, связывает приводимые и
вполне приводимые представления групп Ли G и приводимые и вполне приводимые
представления их алгебр Ли A(G).
Наконец, аналоги определений 4.4.2 – 4.4.4 формулируются для алгебр Ли следующим образом.
Определение 4.4.6 Пусть V — пространство представления T алгебры Ли A,
W – линейное подпространство в V. Оно называется инвариантным подпространством, если для всех ⃗v ∈ W и A ∈ A справедливо условие T (A) ⃗v ∈ W . Представление T алгебры Ли A в пространстве V называется неприводимым, если в V не
19
Преобразованием подобия такую форму приводимого представления можно всегда перевести в
форму, когда только верхний правый блок равен нулю.
4.4 Приводимые и неприводимые представления.
158
существует нетривиальных инвариантных подпространств для этого представления. Представление T алгебры Ли A в пространстве V называется вполне приводимым (разложимым), если в V существует два инвариантных подпространства
W1 и W2 , таких, что V = W1 ⊕ W2 .
В качестве иллюстрации к только что приведенному определению рассмотрим
присоединенное представление ad алгебры Ли (определение дано в пункте 4 раздела
4.2.2).
Утверждение 4.4.1 Присоединенное представление ad алгебры Ли A неприводимо
тогда и только тогда, когда алгебра Ли A проста.
Доказательство. Сначала докажем, что присоединенное представление простой алгебры Ли A неприводимо. Докажем это от противного. Пусть присоединенное представление ad простой алгебры Ли A приводимо. Согласно Определению 4.4.6 это
означает, что в A существует нетривиальное инвариантное подпространство V ⊂ A
такое, что для всех Y ∈ V и всех X ∈ A мы имеем
ad(X) · Y = [X, Y ] ∈ V .
(4.4.5) Ads1
Отсюда следует, что V – инвариантная подалгебра Ли в A, что противоречит изначальному утверждению о простоте алгебры Ли A. С другой стороны, пусть присоединенное представление A неприводимо. Это значит, что в пространстве этого
представления (то есть в самой алгебре Ли A) нет инвариантных подпространств, а
значит A – проста.
Отметим, что Утверждение 4.4.1 справедливо как для вещественных, так и для
комплексных алгебр Ли.
Замечание 1. Комплексные алгебры Ли и их вещественые формы имеют по-существу
одни и те же комплексные представления. Действительно, если задано представление
T (AC ) комплексной алгебры Ли AC , то известны операторы T (Xi ), где Xi – образующие AC . Пусть эти образующие таковы, что структурные константы алгебры AC
вещественны. Тогда вещественная форма AR имеет те же образующие, а операторы
T (Xi ) и их вещественные линейные комбинации очевидным образом задают представление T (AR ). Наоборот, комплексное представление T (AR ) вещественной алгебры Ли AR определяет набор операторов T (Xi ), причем теперь Xi – образующие AR ;
комплексные линейные комбинации операторов T (Xi ) задают представление T (AC )
алгебры AC – комплексификации алгебры AR .
Утверждение 4.4.2 Пусть AC – комплексная алгебра Ли, AR – ее вещественная
форма. Представление T (AC ) неприводимо тогда и только тогда, когда соответствующее комплексное представление T (AR ) неприводимо.
Доказательство. Проведем доказательство от противного. Пусть представление
T (AC ) в комплексном пространстве V неприводимо, а представление T (AR ) приводимо. В силу приводимости T (AR ) существует
нетривиальное
подпространство V1 ⊂ V,
∑
∑
такое, что T (Xi )V1 ⊂ V1 ∀i. Тогда T ( i ai Xi )V1 = i ai T (Xi )V1 ⊂ V1 для всех комплексных ai , что противоречит неприводимости T (AC ). Обратное доказывается аналогично.
4.4 Приводимые и неприводимые представления.
159
Замечание 2. Связь между представлениями комплексной алгебры Ли AnC и
представлениями ее овеществления A2n
R не столь тривиальна, как в случае, обсуждавшемся в Замечании 1. Разумеется, каждому комплексному представлению T алгебры
′
n
A2n
R соответствует единственное представление T алгебры AC , которое строится по
правилу T ′ (Xi ) = T (Yi ), где (Y1 , . . . , Yn , Z1 , . . . Zn ) – набор образующих в A2n
R , см.
(3.2.82). Однако в обратную сторону единственности нет. Пусть базис в комплексной
d
алгебре AnC выбран так, что все структурные константы Cab
— вещественны, то есть
d
n
ImCab = 0. Тогда по представлению T алгебры AC можно построить два неэквивалентных представления алгебры A2n
R :
T1 (Yi ) = T (Xi ) ,
T2 (Yi ) = T (Xi ) ,
T1 (Zi ) = iT (Xi ) ,
T2 (Zi ) = −iT (Xi ) .
(4.4.6) oct2-12-10
(4.4.7) oct2-12-11
• Задача 126. Показать, что (4.4.7) – это действительно представление алгебры
A2n
R , то есть что оно согласовано со структурными соотношениями (3.2.84),
d
= 0.
где ImCab
4.4.2
Лемма Шура.
Важно иметь конструктивный критерий приводимости (или неприводимости) представлений. Такой критерий дается леммой Шура.
Лемма Шура. 4.4.3 1.) Оператор A ̸= 0, коммутирующий со всеми элементами группы G в неприводимом комплексном представлении T : T (g) · A = A · T (g)
(∀g ∈ G), кратен единичному оператору, то есть A = λI (λ ̸= 0).
2.) Пусть T (1) и T (2) — два неэквивалентных неприводимых комплексных представления группы G в n- и m-мерных векторных пространствах Vn , Vm , и A — линейное
отображение Vm → Vn такое, что ∀g ∈ G справедливо T (1) (g) · A = A · T (2) (g) (если
n ̸= m, то A представляется прямоугольной m × n матрицей), тогда A = 0.
Доказательство.
1.) Оператор A ̸= 0, коммутирующий со всеми операторами T (g) (∀g ∈ G) неприводимого комплексного представления в векторном пространстве V, является невырожденным оператором. Убедимся в этом от противного. Пусть существуют ненулевые
вектора ⃗x ∈ V такие, что A⃗x = 0. Эти вектора образуют линейное подпространство
Ker(A) в V. Из условия T (g) · A = A · T (g) следует, что T (g) · A⃗x = A · T (g)⃗x = 0.
Таким образом, если ⃗x ∈ Ker(A), то T (g)⃗x ∈ Ker(A) (∀g ∈ G), т.е. Ker(A) – инвариантное подпространство в V (случай Ker(A) = V исключается, так как в этом
случае A = 0). Следовательно, представление T приводимо, что противоречит условиям Леммы. Итак, мы получили, что у A нет нулевых векторов, т.е. A невырожден
и Ker(A) = ∅.
Так как A невырожден, то существует собственное значение λ ̸= 0 оператора
A с собственными векторами ⃗v , образующими подпространство Ker(A − λI) ⊂ V.
Тогда из условия T (g)(A − λI)⃗v = (A − λI)T (g)⃗v = 0 (∀g ∈ G), следует, что либо
Ker(A − λI) – инвариантное подпространство и следовательно представление приводимо (а это противоречит условиям Леммы), либо (A − λI) = 0, что и требовалось.
4.4 Приводимые и неприводимые представления.
160
2.) Пусть A ̸= 0. Так же, как и в предыдущем пункте мы доказываем, что Ker(A)
– инвариантное пространство в Vm . Аналогично можно показать, что Im(A) образует инвариантное подпространство в Vn . Действительно, ∀⃗x ∈ Vm и ∀g ∈ G мы
имеем T (1) (g) (A⃗x) = AT (2) (g) ⃗x, то есть T (1) (g)Im(A) ⊂ Im(A). Из неприводимости
представлений T (1) и T (2) (и A ̸= 0) следует, что Ker(A) = ∅ и Im(A) = Vn и, следовательно, отображение A : Vm → Vn – изоморфизм, т.е. представления T (1) и T (2)
эквивалентны, а это противоречит условию Леммы. Следовательно A = 0.
Следствие 1. Из Леммы Шура следует, что если существует ненулевая матрица A ̸= λI, такая что T (g) A = A T (g) (∀g ∈ G), то комплексное представление T
приводимо.
Следствие 2. Другим следствием Леммы Шура является то, что все неприводимые конечномерные комплексные представления абелевой (коммутативной) группы
G одномерны. Действительно, для любого представления T такой группы и ∀g, h ∈ G
мы имеем T (g)T (h) = T (h)T (g). Пусть T неприводимо. При фиксированном h оператор T (h) коммутирует со всеми T (g) и в силу неприводимости T мы имеем (Лемма
Шура): T (h) = λ(h)I, где λ(h) — числовая функция на G, а I – единичная матрица.
Это справедливо для любого h, поэтому I = 1 — единичная “матрица” 1 × 1 (иначе
T (h) для всех h распадалось бы в прямую сумму 1 × 1 матриц λ(h) и представление
было бы приводимым), то есть неприводимое представление T одномерно.
Замечание 1. Утверждения леммы Шура, как и приведенные выше их доказательства, справедливы также и для представлений алгебр Ли.
Замечание 2. Комплексность представлений T важна для формулировки утверждений леммы Шура. Это связано с тем, что при доказательстве этой леммы существенно используются собственные подпространства операторов A (т.е. подпространства
Ker(A − λI)) и собственные значения λ, которые и для вещественных A могут быть
комплексными.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий Замечание 2. Вещественное двумерное
представление T абелевой группы U (1) = SO(2), реализованное в виде матриц двумерных вращений Oϕ (3.2.15) в R2 , оказывается неприводимым в категории вещественных представлений, хотя все эти матрицы Oϕ коммутируют с нетривиальной
антисимметричной матрицей A = i (3.2.14). Если же считать, что матрицы (3.2.15)
представления T действуют в комплексном двумерном пространстве C2 , то представление T приводимо (в полном согласии со Следствием 2): все вещественные матрицы
Oϕ (3.2.15) приводятся одновременно к диагональному виду с помощью комплексного преобразования подобия (4.1.22), и в результате представление T расщепляется
в прямую сумму двух одномерных неприводимых, но комплексных, представлений
группы U (1) = SO(2), которые имеют вид
T (1) (Oϕ ) = eiϕ ,
T (1)∗ (Oϕ ) = e−iϕ .
• Задача 127. Найти комплексную 2 × 2 матрицу S такую, что
(
)
( iϕ
)
cos ϕ − sin ϕ
e
0
−1
S
S=
.
sin ϕ cos ϕ
0 e−iϕ
(4.4.8) 2d-o1
(4.4.9) 2d-o2
4.4 Приводимые и неприводимые представления.
161
Заметим, что любое n-мерное комплексное представление в пространстве Cn всегда можно рассматривать как 2n-мерное вещественное представление в R2n . Например, одномерное комплексное представление T (1) (Oϕ ) = eiϕ группы U (1) = SO(2) реализуется как преобразования комплексной плоскости z → eiϕ z. Положив z = x + iy,
где x, y ∈ R, мы можем переписать эти преобразования комплексной плоскости как
двумерные вещественные преобразования
( )
(
)( )
x
cos ϕ − sin ϕ
x
→
.
y
sin ϕ cos ϕ
y
Таким образом, овеществленное неприводимое комплексное представление T (1) (Oϕ )
в точности соответствует двумерному вещественному представлению T , реализованому матрицами Oϕ (3.2.15). Поэтому данное двумерное вещественное представление группы U (1) = SO(2) можно считать идентичным одномерному комплексному представлению T (1) . Далее, любое n-мерное вещественное представление в пространстве Rn всегда можно комплексифицировать, то есть рассматривать его как
n-мерное комплексное представление в пространстве Cn . С точки зрения классификации всех неприводимых и неэквивалентных представлений некоторой группы (или
алгебры Ли), более простым и удобным (например, в силу применимости Леммы
Шура) представляется изучение ее комплексных представлений. Полная классификация комплексных представлений будет частично, в свете всего вышесказанного,
включать в себя и классификацию вещественных представлений, которые важны с
точки зрения приложений в физике.
Следствие 3. Пусть A простая комплексная алгебра Ли, или вещественная форма простой комплексной алгебры Ли. Тогда матрица A, коммутирующая со всеми
матрицами присоединенного представления ad алгебры Ли A
ad(Y ) · A = A · ad(Y ) ,
∀Y ∈ A ,
(4.4.10) xaax
кратна единичной матрице A = λ I.
Для простых комплексных алгебр Ли A это утверждение – прямое следствие Леммы Шура, так как, согласно Утверждению 4.4.1, комплексное представление ad для
таких алгебр A неприводимо. Для простых вещественных алгебр Ли A, для которых присоединенное представление вещественно, утверждение, что A = λ I, может
быть неправильным в силу Замечания 2 (смотри выше). Тем не менее это утверждение справедливо для вещественных форм простых комплексных алгебр Ли. Докажем
его от противного. Пусть матрица A не кратна единичной: A ̸= λ I, и удовлетворяет
условию (4.4.10), где в качестве алгебры A выбрана вещественная форма простой
комплексной алгебры Ли A(C). Выберем базис {Xa } в алгебре A с определяющими
соотношениями (3.2.71) и запишем равенство (4.4.10) в этом базисе
p
d
Y a Cab
Adp = Abd Y a Cad
,
(4.4.11) xaax1
где Y a – вещественные координаты произвольного элемента Y = Y a Xa ∈ A. Из
(4.4.11) следует равенство
d
d
(Y a + i Ye a ) Cab
Apd = Abd (Y a + i Ye a ) Cap
,
∀ Y a , Ye b ∈ R ,
(4.4.12) xaax2
4.4 Приводимые и неприводимые представления.
162
то есть все матрицы присоединенного представления комплексной алгебры Ли A(C)
(которая является комплексификацией A) коммутируют с матрицей A ̸= λ I, что
противоречит простоте алгебры A(C). Следовательно, матрица A, удовлетворяющая
(4.4.11), обязана быть кратной единичной и в случае вещественной формы простой
комплексной алгебры Ли.
Примеры.
1. Матрицы T (g) вполне приводимого представления T группы G с помощью преобразования эквивалентности (4.1.21) приводятся к виду (4.3.19). Матрицы T (g) такого
вида, для всех g ∈ G, коммутируют с блочными матрицами
)
(
λ1 I n
0
, (λ1 ̸= λ2 ) ,
A=
0
λ2 Im
которые не пропорциональны единичной матрице In+m . Данный факт является иллюстрацией к первой части Леммы Шура.
2. Определяющие представления T групп SL(N, C) и SU (N ) неприводимы. Однако тензорные произведения определяющих представлений этих групп оказываются
приводимыми. Рассмотрим представление T ⊗ T группы SU (N ) (дальнейшие рассуждения справедливы и для группы SL(N, C)), действующее в комплексном пространстве VN 2 (C) = VN (C) ⊗ VN (C). Элементы g ∈ SU (N ) в представлении T ⊗ T
осуществляют в пространстве VN 2 (C) преобразование (4.3.7). Согласно Лемме Шура, если T ⊗ T – приводимо, то должен существовать оператор P ̸= λIN ⊗ IN ≡ λIN 2 ,
который действует в пространстве VN 2 (C) и коммутирует со всеми преобразованиями (4.3.7) представления T ⊗ T . Такой оператор действительно существует и равен
оператору перестановки:
P · (⃗v1 ⊗ ⃗v2 ) = (⃗v2 ⊗ ⃗v1 ) , ∀⃗v1 , ⃗v2 ∈ VN (C) ,
P 2 = IN 2 .
(4.4.13) xaax5
Пусть {⃗ei } — базис в пространстве VN (C) и (⃗ei ⊗ ⃗ej ) — базис в VN 2 (C). В этом базисе
оператору P согласно его определению (4.4.13) соответствует матрица с компонентами Pijkr = δjk δir :
P · (⃗ei ⊗ ⃗ej ) = (⃗ej ⊗ ⃗ei ) = (⃗ek ⊗ ⃗er ) Pijkr .
(4.4.14) xaax3
• Задача 128. Проверить, что оператор перестановки P (4.4.13), (4.4.14) коммутирует со всеми операторами представления T ⊗ T , действие которых
задано в (4.3.7).
С помощью оператора P можно построить два проектора P + и P − :
1
1
P + = (IN 2 + P ) , P − = (IN 2 − P ) ,
2
2
P+ P− = 0 ,
(P ± )2 = P ± , P + + P − = IN 2 ,
(4.4.15) xaax37
(4.4.16) xaax37b
которые также коммутируют с действием (4.3.7) и выделяют в VN 2 (C) два инвариант(+)
(−)
ных подпространства Vm+ (C) и Vm− (C). Иными словами, любой вектор w
⃗ ∈ VN 2 (C)
4.4 Приводимые и неприводимые представления.
163
разбивается в сумму w
⃗ =w
⃗ (+) + w
⃗ (−) симметричного P · w
⃗ (+) = w
⃗ (+) и антисиммет(−)
(−)
ричного P · w
⃗
= −w
⃗
векторов:
w
⃗ (+) = P + · w
⃗,
w
⃗ (−) = P − · w
⃗,
(4.4.17) xaax7
причем, так как P коммутирует с действием (4.3.7), подпространства этих векторов
инвариантны относительно всех преобразований представления T ⊗ T .
• Задача 129. Пользуясь разложением (4.3.2) и определением оператора P показать, что компоненты векторов (4.4.17) являются симметричными и антисимметричными тензорами
1
1
(+)
(−)
wij = (wij + wji ) , wij = (wij − wji ) ,
2
2
(4.4.18) xaax4
где wij – компоненты вектора w
⃗ ∈ VN 2 (C). Доказать, что размерности этих
N (N ±1)
представлений равны m± =
.
2
(±)
В действительности подпространства Vm± (C) являются пространствами двух неприводимых представлений группы SU (N ) (или SL(N, C)), так как наряду с единичным
оператором IN ⊗IN имеется всего лишь один нетривиальный оператор, который коммутирует с действием T ⊗T (4.3.7) группы SU (N ) (или SL(N, C)), а именно оператор
перестановки P . Мы будем обсуждать этот факт более подробно в разделе 8.2 из
Главы 8.
Итак мы показали, что тензорное произведение двух определяющих представлений T (для определяющего представления T мы будем также использовать обозначение [N ] в соответствии с его размерностью) разбивается в сумму симметричного
[ N (N2+1) ] и антисимметричного [ N (N2−1) ] неприводимых представлений:
[N ] ⊗ [N ] = [ N (N2+1) ] ⊕ [ N (N2−1) ] .
(4.4.19) xaax17
Более подробно разложение прямого произведения любого числа определяющих представлений групп SU (N ) и SL(N, C) в прямую сумму их неприводимых представлений
будет обсуждаться ниже в Главе 8.
3. Снова рассмотрим определяющее представление [N ] группы SU (N ). Представление, сопряженное к [N ], обозначим как [N̄ ]. Элементы g ∈ SU (N ) действуют на координаты векторов в пространствах этих представлений согласно (4.1.10) и (4.1.14).
Рассмотрим прямое произведение [N ]⊗[N̄ ] этих представлений. Вектора в n2 -мерном
пространстве представления [N ] ⊗ [N̄ ] оказываются тензорами второго ранга с компонентами wij , и их преобразования диктуются формулами (4.1.10) и (4.1.14):
∗
wij → wij′ = gik wkm gjm
⇒
w′ = g · w · g −1 .
(4.4.20) nbn01
В последнем равенстве мы воспользовались безиндексными обозначениями и учли
равенство g † = g −1 для матриц из SU (N ). Из соотношений (4.4.20) и из разложения
)
(
Tr(w)
Tr(w)
δij +
δij ,
wij = wij −
N
N
4.5 Некоторые свойства представлений конечных групп и компактных групп Ли.164
следует, что в пространстве представления [N ] ⊗ [N̄ ] имеется два инвариантных
подпространства: 1.) (N 2 − 1)-мерное подпространство бесследовых матриц (wij −
δij Tr(w)/N ), которое преобразуется (смотри (4.4.20)) по присоединенному представлению группы SU (N ), обозначим его [N 2 − 1]; 2.) одномерное подпространство матриц δij Tr(w), которое реализует тривиальное представление SU (N ), обозначим его
[1]. Из Утверждения 4.4.1 следует, что представление [N 2 − 1] – неприводимо, как
и представление [1], поэтому представление [N ] ⊗ [N̄ ] разлагается в прямую сумму
двух неприводимых представлений
[N ] ⊗ [N̄ ] = [N 2 − 1] ⊕ [1] .
4.5
(4.4.21) nbn02
Некоторые свойства представлений конечных групп и компактных групп Ли.
В этом и следующем разделах мы будем часто пользоваться свойством правой и
левой инвариантности суммирования по конечной группе G
∑
∑
∑
X(g) =
X(g h) =
X(h′ g) , ∀h, h′ ∈ G ,
(4.5.1) hah6
g∈G
g∈G
g∈G
где X(g) произвольная функция на G. Так как для компактных групп Ли G имеется
инвариантная мера интегрирования на G и, кроме того, объем компактной группы
конечен (смотри раздел 3.1.6), то результаты этого раздела, касающиеся конечных
групп, переносятся на случай компактных групп Ли. При этом суммирование по конечной группе необходимо заменить на инвариантное интегрирование по компактной
группе Ли, а порядок конечной группы N заменить на объем V компактной группы
Ли. На самом деле конечные группы можно рассматривать как компакт- ISA Ред.
правка
ные группы Ли, имеющие нулевую размерность. Поэтому в дальнейшем мы
иногда будем пользоваться названием компактная группа в том случае, когда обсуждаемый результат справедлив как для конечных групп, так и для компактных
групп Ли. При этом некоторые доказательства будут даваться только для случая
конечных групп. В соответствии со сказанным выше, данные доказательства легко
обобщаются на случай компактных групп Ли.
Имеет место следующий факт, касающийся представлений конечных групп и компактных групп Ли.
Утверждение 4.5.1 Приводимые представления компактных групп всегда вполне
приводимы.
Доказательство. Пусть G — конечная группа, имеющая порядок N . Рассмотрим
приводимое представление группы G, в котором все матрицы представления имеют
вид (4.4.1). С помощью преобразования эквивалентности (замены базиса) (4.1.22),
где
(
)
1 ∑
In Y
X(g) T (2) (g −1 ) ,
(4.5.2) hah5
S=
, Y =
0 Im
N g∈G
4.5 Некоторые свойства представлений конечных групп и компактных групп Ли.165
представление (4.4.1) приводится к блочно диагональному виду (4.3.19). Действительно, докажем, что
( (1)
)
( (1)
)
T (g) X(g)
T (g)
0
−1
S
S=
.
(4.5.3) dec9-11-1
0
T (2) (g)
0
T (2) (g)
Для этого используем явное выражение
(
)
In −Y
−1
S =
.
0 Im
Тогда равенство (4.5.3) сводится к соотношению
≡ N1
T (1) (g)Y − Y T (2) (g) + X(g) ≡
∑
h∈G
[ (1)
]
T (g)X(h)T (2) (h−1 ) − X(h)T (2) (h−1 )T (2) (g) + X(g) = 0 .
Последнее соотношение действительно является тождеством, в чем можно убедиться,
сделав во втором слагаемом под знаком суммы замену h → gh и воспользовавшись
формулой
X(g1 · g2 ) = T (1) (g1 ) X(g2 ) + X(g1 ) T (2) (g2 ) ,
которая следует из (4.4.2). Доказательство в случае компактных групп Ли проводится абсолютно аналогично.
Из доказанного утверждения следует, что любое представление компактной группы вполне приводимо, то есть раскладывается в прямую сумму неприводимых представлений. Некоторые примеры такого разложения были приведены в конце предыдущего раздела.
Еще одно важное утверждение сотоит в следующем.
Утверждение 4.5.2 Любое представление T компактной группы G эквивалентно
унитарному, то есть в пространстве любого представления группы G существует положительно определенное эрмитово скалярное произведение, относительно
которого операторы представления унитарны.
Доказательство. Пусть V – пространство представления T . Пусть ⃗x, ⃗y ∈ V и ⟨⃗x, ⃗y ⟩1 =
⟨⃗y , ⃗x⟩∗1 – некоторое положительно определенное и эрмитово скалярное произведение
(эрмитова форма) в V. Здесь положительная определенность означает, что ⟨⃗x, ⃗x⟩1 ≥
0 для всех ⃗x ∈ V, и ⟨⃗x, ⃗x⟩1 = 0 только для ⃗x = 0. Тогда форма
⟨⃗x, ⃗y ⟩ :=
1 ∑
⟨T (g) · ⃗x, T (g) · ⃗y ⟩1
N g∈G
(4.5.4) fg6
также положительно определена и является эрмитовым скалярным произведением
в V. Пользуясь инвариантностью суммирования по группе G, легко показать, что
эрмитова форма (4.5.4) инвариантна относительно всех преобразований T (h) в V:
⟨⃗x, ⃗y ⟩ = ⟨T (h) · ⃗x, T (h) · ⃗y ⟩ ,
∀h ∈ G ,
(4.5.5) dec11-11-1
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
166
и, следовательно, T – унитарное представление G по отношению к скалярному произведению (4.5.4).
Еще раз подчеркнем, что возможность “унитаризовать” любое представление компактной группы (как, впрочем, и справедливость Утверждения 4.5.1) связана с возможностью инвариантного суммирования (интегрирования) по такой группе.
Замечание. Для вещественных представлений доказанное утверждение — соотношение (4.5.5) — означает, что в вещественном пространстве представления компактной группы всегда существует положительно определенное скалярное произведение, инвариантное относительно действия группы.
• Задача 130. Доказать Утверждение 4.5.1, исходя из Утверждения 4.5.2. Указание: воспользоваться тем, что ортогональное дополнение, относительно
скалярного произведения (4.5.5), к инвариантному подпространству в пространстве V также является инвариантным подпространством в V.
Утверждение 4.5.3 Пусть G — компактная группа. В случае неприводимого комплексного представления группы G скалярное произведение, в котором это представление унитарно, единственно с точностью до постоянного численного множителя.
Доказательство. Пусть V — пространство неприводимого комплексного представления группы G и в V есть два скалярных произведения ⟨ , ⟩1,2 , относительно которых данное представление унитарно. Пусть ea — базис в V, ортонормированный в
скалярном произведении ⟨ , ⟩1 . Тогда
⟨ea , eb ⟩2 = ηab .
В силу унитарности представления в скалярном произведении ⟨ , ⟩2 для любого
элемента группы выполняется
∗
ηab = ⟨T (g) · ea , T (g) · eb ⟩2 = ⟨Tca ec , Tdb ed ⟩2 = Tca
Tdb ηcd = (T † · η · T )ab ,
где последнее выражение содержит произведение матриц. Далее, поскольку представление унитарно в скалярном произведении ⟨ , ⟩1 , а базис ea ортонормирован
в этом скалярном поизведении, матрица Tab унитарна. Из предыдущего равенства
следует тогда, что
T −1 · η · T = η ,
то есть матрица η коммутирует со всеми матрицами неприводимого комплексного
представления, и по лемме Шура она кратна единичной. Это и доказывает единственность скалярного произведения с точностью до числового множителя.
4.6
Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
4.6.1
Неприводимые представления и характеры групп C3 и S3 .
Все представления в этом подразделе будут рассматриваться как комплексные представления.
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
167
1. Группа C3 . Регулярное представление T (R) задается матрицами (4.1.20). Соответствующие характеры равны
χR (e) = 3 ,
χR (g1 ) = 0 ,
χR (g2 ) = 0 .
(4.6.1) chiR
Поскольку группа C3 абелева, очевидно существует матрица, не пропорциональная
единичной (например, любая из матриц TR (g1 ) или TR (g2 ), кроме, естественно, TR (e)),
которая коммутирует со всеми матрицами регулярного представления (4.1.20). Согласно Лемме Шура, представление (4.1.20) приводимо. Действительно, заметим, что
собственными векторами матриц (4.1.20) оказываются вектора
⃗v1 = (1, 1, 1) , ⃗v2 = (1, q, q 2 ) , ⃗v3 = (1, q 2 , q) ,
(4.6.2) sobv
где q = e2πi/3 . Учтем равенства ⃗v12 = (⃗v2 , ⃗v3 ) = 3, (⃗v1 , ⃗v2 ) = (⃗v1 , ⃗v3 ) = ⃗v22 = ⃗v32 = 0,
которые следуют из тождества q 2 + q + 1 = 0, в свою очередь вытекающего из
q 3 − 1 = (q − 1)(q 2 + q + 1) = 0 .
Составим из векторов (4.6.2) строки и столбцы матриц A и A−1 :
(
)
(
)
1 1 12
1
1
1
1
1 q 2 q2
A = 1 q2 q
, A−1 =
.
3
1 q q
1 q q
(4.6.3) aaa
(R)
Тогда Aij Tjk = λi Aik и матрицы (4.1.20), посредством преобразований подобия
(4.1.22) с S = A−1 (4.6.3), приводятся к виду
)
)
(
)
(
(
1
0
0
1
0
0
1
0
0
.
, T̃ (R) (g1 ) = 0 q 02
, T̃ (R) (g2 ) = 0 q 2 0
T̃ (R) (e) = 0 1 0
0 0 q
0 0 q
0 0 1
(4.6.4) regc31
Таким образом, регулярное представление (4.1.20) вполне приводимо, и равно прямой
сумме трех одномерных неприводимых представлений:
T (R) = I ⊕ Γ ⊕ Γ∗ ,
(4.6.5) sumpr
где I(C3 ) — тривиальное представление, т.е. I(gk ) = 1; Γ(C3 ) — точное представление
Γ(e) = 1 ,
Γ(g1 ) = e2πi/3 = q ,
Γ(g2 ) = e4πi/3 = q 2 (q 3 = 1) ,
(4.6.6) to4
и Γ∗ (C3 ) — комплексно сопряженное представление:
Γ∗ (e) = 1 , Γ∗ (g1 ) = e−2πi/3 = q 2 ,
Γ∗ (g2 ) = e−4πi/3 = q .
(4.6.7) to4z
Ниже, в подразделе 4.6.2, мы покажем, что в регулярном представлении конечной
группы G содержатся все неприводимые неэквивалентные представления G. Таким
образом, представления I, Γ, Γ∗ исчерпывают все неприводимые неэквивалентные
представления C3 .
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
168
Для одномерных представлений T имеем χT (g) = T (g), и таблица характеров
χT (g) для неприводимых представлений группы C3 строится следующим образом
(e)
(g1 )
(g2 )
I(C3 )
χI = 1 χI = 1 χI = 1
Γ(C3 )
χΓ = 1 χΓ = q χΓ = q 2
Γ(C3 )∗ χΓ∗ = 1 χΓ∗ = q 2 χΓ∗ = q
T (R) (C3 ) χR = 3 χR = 0 χR = 0
.
Из первых трех строк этой таблицы сразу же следуют значения для характеров
регулярного представления T (R) (C3 ) (4.6.1), которые, согласно (4.6.5), равны сумме
характеров неприводимых представлений: χR = χI + χΓ + χΓ∗ (см. четвертую строку
в таблице). Заметим, что в результате прямого произведения представлений I(C3 ),
Γ(C3 ) и Γ∗ (C3 ) мы получаем снова неприводимые одномерные представления:
I(C3 ) ⊗ Γ(C3 ) = Γ(C3 ) ,
Γ(C3 ) ⊗ Γ(C3 ) = Γ∗ (C3 ) ,
I(C3 ) ⊗ Γ∗ (C3 ) = Γ∗ (C3 ) ,
Γ(C3 ) ⊗ Γ∗ (C3 ) = I(C3 ) ,
Γ∗ (C3 ) ⊗ Γ∗ (C3 ) = Γ(C3 ) .
Это в частности следует из таблицы умножения характеров:
χΓ χΓ = χΓ∗ ,
χΓ χΓ∗ = χI , χΓ∗ χΓ∗ = χΓ .
Таким образом, мы получаем, что множество неприводимых неэквивалентных представлений {I, Γ, Γ∗ } группы C3 образует абелеву группу C3∗ , изоморфную C3 , в которой в качестве умножения выступает прямое произведение представлений ⊗, тривиальное представление I(C3 ) отождествляется с единичным элементом, а представления Γ(C3 ) и Γ∗ (C3 ) – взаимно обратны по отношению к умножению ⊗. Группа C3∗
неприводимых представлений C3 называется дуальной группой к группе C3 . Для абелевых конечных групп дуальная группа всегда изоморфна исходной (замечательный
результат Л.С.Понтрягина [37]). Для неабелевых групп это не так.
• Задача 131. Построить таблицу характеров для группы C4 и показать, что
C4∗ = C4 .
2. Группа S3 = D3 .
Построим таблицу характеров для неабелевой группы D3 = S3 , элементы которой
обозначим (e, g1 , g2 , r, rg1 , rg2 ). Левое регулярное представление T (R) определяется
из соотношений
g1 · (e, g1 , g2 , r, rg1 , rg2 ) = (g1 , g2 , e, rg2 , r, rg1 ) = (e, g1 , g2 , r, rg1 , rg2 ) · T (R) (g1 ) ,
r · (e, g1 , g2 , r, rg1 , rg2 ) = (r, rg1 , rg2 , e, g1 , g2 ) = (e, g1 , g2 , r, rg1 , rg2 ) · T (R) (r) ,
Соответственно, две образующие g1 и r группы D3 в регулярном представлении принимают вид (точки обозначают нули)




. . . 1 0 0
0 0 1 . . .
 . . . 0 1 0 
 1 0 0 . . . 
 . . . 0 0 1 
 0 1 0 . . . 
(R)
(R)
(4.6.8) regd3
T (g1 ) = 
 , T (r) = 

 1 0 0 . . . 
 . . . 0 1 0 
. . . 0 0 1
0 1 0 . . .
. . . 1 0 0
0 0 1 . . .
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
169
Мы видим, что матрицы этого представления построены из блоков матриц регулярного представления группы C3 (4.1.20). Зная собственные вектора (4.6.2), мы можем сразу же найти одномерные инвариантные подпространства для представления
(4.6.8), которые определяются векторами w
⃗ 1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1) (тривиальное представ(1)
(1)
ление T (gk ) = T (rgk ) = 1) и w
⃗ 2 = (1, 1, 1, −1, −1, −1) (одномерное представление,
различающее четные и нечетные перестановки T (2) (gk ) = 1, T (2) (rgk ) = −1). Можно выделить также два двумерных инвариантных подпространства, натянутых на
вектора
w
⃗ 3± = (1, q, q 2 , ±1, ±q 2 , ±q) = (⃗v2 , ±⃗v3 ) ,
w
⃗ 3± T (R) (g1 ) = q w
⃗ 3± ,
w
⃗ 4± = (±1, ±q 2 , ±q, 1, q, q 2 ) = (±⃗v3 , ⃗v2 ) ⇒
w
⃗ 4± T (R) (g1 ) = q −1 w
⃗ 4± ,
w
⃗ 3± T (R) (r) = ± w
⃗ 4± ,
т.е., кроме двух одномерных представлений T (1) и T (2) мы имеем два неприводимых
представления T (+) и T (−)
(
)
(
)
q 0
0 ±1
(±)
(±)
T (g1 ) =
, T (r) =
,
(4.6.9) regd5
0 q −1
±1 0
которые эквивалентны, так как связаны преобразованием подобия (4.1.22) с матрицей S = diag(1, −1). Выберем теперь матрицу S −1 в виде:


1
1
1
1
1
1
1
1 −1 −1
−1 
 1
q
q2 1
q2
q 
 1
−1
S =
(4.6.10) regd6
 ,
2
q
q2 1
q 2 q2 
 1
1
q
q −1 −q −q
−1 −q 2 −q 1
q
q2
где в каждой строке стоят координаты векторов w
⃗ 1, w
⃗ 2, w
⃗ 3+ , w
⃗ 4+ , w
⃗ 3− , w
⃗ 4− . Тогда
преобразование подобия (4.1.22) c матрицей (4.6.10) для (4.6.8) дает




.
. .
.
1 0 .
1 0 . . .
.
. . 
. 
0 1 .
 0 −1 . . .
. . q 0 . . 
. . 0 1 .
−1 (R)
−1
(R)
. 



S T (g1 ) S = 
 . . 0 q −1 . .  , S T (r) S =  . . 1 0 .
. .




. . .
. q 0−1
. . . . 0 −1
. . .
. 0 q
. . . . −1 0
(4.6.11) regd31
Таким образом, в регулярное представление (4.6.8) входят два неэквивалентных одномерных представления T (1) и T (2) и два двумерных представления T (±) (4.6.9),
которые эквивалентны друг другу. Регулярное представление группы D3 = S3 содержит все неэквивалентные неприводимые представления D3 = S3 (смотри следующий
подраздел 4.6.2). Теперь легко вычислить таблицу характеров для всех неприводимых представлений группы D3 = S3
классы (1, 1, 1) = e
(2, 1)
(3)
предст.
(1)
T (S3 )
χT (1) = 1
χT (1) = 1
χT (1) = 1
(2)
T (S3 )
χT (2) = 1 χT (2) = −1 χT (2) = 1
(+)
T (S3 )
χT (+) = 2
χT (+) = 0 χT (+) = −1
(−)
T (S3 )
χT (−) = 2
χT (−) = 0 χT (−) = −1
(R)
T (S3 )
χR = 6
χR = 0
χR = 0
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
170
где (1, 1, 1), (2, 1), (3) обозначают классы сопряженности в S3 . Здесь числа в скобках
соответствуют длинам циклов, входящим в перестановки, то есть (1, 1, 1) – тождественная перестановка, (2, 1) – нечетные (в которые входят r) перестановки и (3) –
циклические перестановки g1 и g2 (смотри (2.1.1), (2.1.3) и пример 7 в подразделе
2.1.1):
(
)
1
2
3
r = 1 3 2 = (1)(23) , g1 = (123) , g2 = (132) .
(4.6.12) regd51
Более подробно симметрические группы (группы перестановок) Sn , их представления
и классы сопряженности будут обсуждаться ниже в Главе 8.
Отметим факт, который мы наблюдаем для группы D3 = S3 , и который на самом
деле справедлив для неприводимых представлений всех конечных групп. А именно,
каждое неприводимое m-мерное представление конечной группы G входит в регулярное представление ровно m раз. Мы докажем этот факт в следующем подразделе.
4.6.2
Свойства характеров конечных групп и компактных групп Ли.
Большинство результатов этого подраздела, так же как результаты раздела 4.5, справедливы как для конечных групп, так и для компактных групп Ли. Мы по-прежнему
будем давать доказательства для конечных групп, а переносятся они на случай компактных групп так, как описано в начале раздела 4.5. Мы снова будем пользоваться
названием компактная группа в том случае, когда обсуждаемый результат справедлив как для конечных, так и для компактных групп Ли. Если результат относится
только к конечным группам, мы это будем явно указывать.
Пусть T (ν) : G → GL(Nν , C) – все неприводимые неэквивалентные представления
конечной (компактной) группы G, имеющей порядок N (объем V ), в комплексных
векторных пространствах Vν размерности Nν < ∞ (индекс ν перечисляеет неэквивалентные неприводимые представления).
Утверждение 4.6.1 Для конечных групп G выполняется следующее тождество
1 ∑ (ν) −1 (µ)
1 µν
Tiν ,jν (g ) Tkµ ,mµ (g) =
δ δiν ,mµ δkµ ,jν ,
N g∈G
Nν
(kµ , mµ = 1, . . . , Nµ ;
iν , jν = 1, . . . , Nν ) .
Для компактных групп Ли тождество (4.6.13) записывается в виде
∫
1 µν
1
(ν)
(µ)
dµ(g) Tiν ,jν (g −1 ) Tkµ ,mµ (g) =
δ δiν ,mµ δkµ ,jν ,
V
Nν
g∈G
(kµ , mµ = 1, . . . , Nµ ;
(4.6.13) hah4
(4.6.14) hah4k
iν , jν = 1, . . . , Nν ) .
Доказательство. Рассмотрим два набора прямоугольных матриц Akµ ,jν и Biν ,mµ с
элементами:
1 ∑ (ν) −1 (µ)
(Akµ ,jν )iν ,mµ =
T
(g ) Tkµ ,mµ (g) = (Biν ,mµ )kµ ,jν ,
(4.6.15) fg3
N g∈G iν ,jν
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
171
и докажем, что эти матрицы для всех h ∈ G удовлетворяют соотношениям
T (ν) (h) Akµ ,jν = Akµ ,jν T (µ) (h) , T (µ) (h) Biν ,mµ = Biν ,mµ T (ν) (h) .
Действительно, пользуясь (4.5.1), для любого h ∈ G мы имеем
∑ (ν)
(µ)
(ν)
(ν)
Tkν ,iν (h) Tiν ,jν (g −1 ) Tkµ ,mµ (g) =
Tkν ,iν (h) (Akµ ,jν )iν ,mµ = N1
∑ (ν) g∈G−1 (µ)
1
=N
Tkν ,jν (hg ) Tkµ ,mµ (gh−1 h) =
g∈G
∑
(ν)
(µ)
(µ)
(µ)
= N1
Tkν ,jν (f −1 ) Tkµ ,jµ (f ) Tjµ ,mµ (h) = (Akµ ,jν )kν ,jµ Tjµ ,mµ (h) .
(4.6.16) hah3
(4.6.17) hah1
f =gh−1 ∈G
Аналогично,
∑ (µ)
(µ)
(ν)
Tiµ ,kµ (h) (Biν ,mµ )kµ ,jν = N1
Tiµ ,mµ (hg) Tiν ,jν ((hg)−1 h) =
g∈G
∑
(µ)
(ν)
(ν)
1
=N
Tiµ ,mµ (f ) Tiν ,jν (f −1 h) = (Biν ,mµ )iµ ,kν Tkν ,jν (h) .
(4.6.18) hah2
f =hg∈G
В безиндексных обозначениях формулы (4.6.17) и (4.6.18) переписываются в виде
(4.6.16), то есть Akµ ,jν и Biν ,mµ переводят друг в друга (”сплетают”) все матрицы
неприводимых представлений T (µ) и T (ν) . Тогда, согласно Лемме Шура 4.4.3, если
неприводимые представления неэквивалентны, то есть µ ̸= ν, то Akµ ,jν = Biν ,mµ = 0,
а если эквивалентны и µ = ν, то матрицы Akµ ,jν , Biν ,mµ пропорциональны единичным
матрицам. Таким образом, мы имеем
(Akµ ,jν )iν ,mµ = (Biν ,mµ )kµ ,jν = λδ µν δiν ,mµ δkµ ,jν ,
или
1 ∑ (ν) −1 (µ)
T
(g ) Tkµ ,mµ (g) = λδ µν δiν ,mµ δkµ ,jν ,
N g∈G iν ,jν
(4.6.19) fg5
где λ – константа, которую можно найти если положить µ = ν, kµ = jν и просуммировать обе части (4.6.19) по jν . В результате, учитывая очевидный факт
Tiν ,jν (g −1 ) Tjν ,mν (g) = δiν mν ,
(ν)
(ν)
получаем λ = 1/Nν , где Nν – размерность представления T (ν) .
Используя эквивалентность любого представления унитарному, мы можем выбрать ортонормированный базис в пространстве Vν , в котором Tiν ,jν (g −1 ) = (Tjν ,iν (g))∗
и представить (4.6.13) в виде соотношения ортогональности
1 ∑ (ν)∗
1 µν
(µ)
δ δiν ,mµ δkµ ,jν .
(4.6.20) fg8
Tjν ,iν (g) Tkµ ,mµ (g) =
N g∈G
Nν
Введем в пространстве функций на компактной группе (в интересующем нас случае
— характеров) скалярное произведение
1 ∑ ∗
⟨χν , χµ ⟩ =
χ (g) χµ (g) .
(4.6.21) fg10aa
N g∈G ν
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
172
Напомним, что для компактной группы Ли G эта формула имеет вид
∫
1
⟨χν , χµ ⟩ =
dµ(g) χ∗ν (g) χµ (g) .
V
g∈G
Вспоминая определение характера представления χν (g) =
Nν
∑
(ν)
Tii (g), мы получаем из
i=1
(4.6.20) соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений
Tν и Tµ :
⟨χν , χµ ⟩ = δ µν .
(4.6.22) fg10
Пусть χ1 , . . . , χh — характеры всех неэквивалентных неприводимых конечномерных представлений T (1) , . . . , T (h) компактной группы G (h конечно в случае конечных
групп, что будет ясно из дальнейшего, и h бесконечно в случае компактных групп
Ли). Согласно Утверждению 4.5.1 любое конечномерное представление T компактной группы G можно разложить в прямую сумму неприводимых, T = m1 T (1) ⊕ . . . ⊕
mh T (h) , где кратности mi – целые неотрицательные числа. В этом случае характер χ
представления T равен χ = m1 χ1 + . . . + mh χh , а из условия ортогональности (4.6.22)
мы получаем
h
∑
⟨χ, χν ⟩ = mν , ⟨χ, χ⟩ =
m2ν .
(4.6.23) fg10a
ν=1
В случае компактных групп Ли, когда h = ∞, ряд в правой части второй формулы в
(4.6.23) хорошо определен, так как представление T конечномерно и этот ряд должен
обрываться.
Пусть G – конечная группа порядка N и T (R) – левое регулярное представление
(смотри подраздел 4.1.2) группы G:
gi gk =
N
∑
(R)
gm Tmk (gi ) ,
(4.6.24) lrrep
m=1
(R)
где Tmk (gi ) = δm,ki если gi gk = gki . Ясно, что для характера χR регулярного представления мы имеем
χR (e) = N ,
χR (g) = 0
(∀g ̸= e) ,
(4.6.25) chRrep
(R)
где второе соотношение выполняется, так как диагональные элементы Tkk (g) = 0
для всех g ̸= e. Используя этот факт и первую формулу в (4.6.23), мы можем подсчитать, сколько раз каждое неприводимое представление T (ν) конечной группы G
содержится в ее регулярном представлении T (R) :
⟨χR , χν ⟩ =
1
1 ∑ ∗
1
N χν (e) = Nν ,
χR (g) χν (g) = χ∗R (e) χν (e) =
N g∈G
N
N
(4.6.26) krat
то есть каждое неприводимое Nν -мерное представление T (ν) , входит в T (R) ровно Nν
раз (смотри обсуждение в конце Примера 2 в подразделе 4.6.1). Отсюда в частности
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
173
следует, что все неприводимые представления конечной группы G содержатся в ее
регулярном представлении. Зная кратности (4.6.26), можно записать разложение χR
по базису характеров χν неприводимых неэквивалентных представлений, которое в
h
∑
данном случае имеет вид χR =
Nν χν . Из этих формул следует замечательное
ν=1
соотношение, которое связывает между собой размерности Nν всех неприводимых
комплексных представлений T (ν) конечной группы G и ее порядок N :
N = χR (e) =
h
∑
ν=1
Nν χν (e) =
h
∑
Nν2 .
(4.6.27) fg11b
ν=1
Очевидное следствие этого соотношения заключается в том, что число h всех неэквивалентных неприводимых комплексных представлений конечной группы G конечно
и не превосходит числа N = ord(G). Отметим также, что тождество (4.6.27) справедливо и для всех конечномерных (N -мерных) ассоциативных алгебр.
Так как соотношение (4.6.27) выражает целое число N в виде суммы квадратов
целых чисел Nν , то это соотношение позволяет в некоторых случаях угадывать количество и размерности всех неприводимых неэквивалентных представлений конечных
групп G. Например, у абелевых групп G все неприводимые и неэквивалентные представления одномерны, поэтому согласно (4.6.27) их количество равно ord(G) = N .
• Задача 132. Пользуясь формулой (4.6.27), найти размерности всех неприводимых и неэквивалентных представлений группы S3 (указание: необходимо
учесть, что у S3 имеется два одномерных неприводимых и неэквивалентных представления, одно из которых тривиально, а второе сопоставляет
всем нечетным перестановкам −1, а всем четным +1).
Определение 4.6.1 Функция f на группе G называется центральной, если
f (h g h−1 ) = f (g) (∀g, h ∈ G) .
Иначе говоря, центральная функция на группе G – это функция на классах сопряженных элементов в G. Для центральной функции f и некоторого представления T
компактной группы G рассмотрим матрицу
1 ∑
Amk (f, T ) =
f (g)Tmk (g) = ⟨f ∗ , Tmk ⟩ .
(4.6.28) fg11
N g∈G
Утверждение 4.6.2 Если представление T = T (ν) неприводимо и имеет размерность Nν , а также характер χν , то матрица Amk (f, T ) (4.6.28) пропорциональна
единичной и равна
1 ∗
⟨f , χν ⟩ δmk .
(4.6.29) fg13
Amk (f, T (ν) ) =
Nν
Доказательство. Делая в сумме (4.6.28) замену T → T (ν) и преобразование
(ν)
(ν)
g → h−1 · g · h, легко показать, что Trm (h−1 ) Amk Tkj (h) = Arj (для всех h) и, в
соответствии с леммой Шура, мы имеем Amk = λ δmk . Вычисляя след от обеих частей
этого равенства, мы и получаем (4.6.29).
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
174
В дальнейшем нам понадобится понятие групповой алгебры группы G.
Определение 4.6.2 Групповая алгебра K[G] конечной группы G над полем K —
это векторное пространство над полем K, натянутое на элементы группы G как
на базис. Таким образом, произвольный элемент K[G] записывается в виде
∑
a=
αg g (αg ∈ K) ,
(4.6.30) el-ga
g∈G
где коэффициенты αg можно рассматривать как функции α(g) на группе G со значениями в K. Сумма и умножение на число β ∈ K для элементов (4.6.30) определяются следующим образом
∑
∑
∑
∑
a+b=
αg g +
βg g =
(αg + βg ) g , β a =
(βαg ) g ,
g∈G
g∈G
g∈G
g∈G
а умножение элементов (4.6.30) задается групповым умножением в G
∑
∑
∑
∑
(αh βg ) (h · g) =
γg g ,
αh h ·
βg g =
a·b=
h∈G
g∈G
где
γg =
∑
(4.6.31) el-ga2
g∈G
g,h∈G
(4.6.32) el-ga1
αh βh−1 g ,
h∈G
и при получении последнего равенства в (4.6.31) мы воспользовались инвариантностью суммирования на группе.
Мы можем переформулировать определение 4.6.2 групповой алгебры, используя ко- VRN
ординатный язык, то есть рассматривать вместо формальных векторов (4.6.30) их
координатное представление в виде функций αg = α(g), заданных на группе G. Для
определенности положим K = C. Тогда групповая алгебра C[G] группы G эквивалентно определяется как алгебра комплексных функций αg = α(g) на G с умножением (4.6.32). Этот объект вполне определен не только для конечных групп, но и для
компактных групп Ли. При этом, по понятным причинам, необходимо потребовать,
чтобы функции α(g) принадлежали пространству L2 (G, dµ) квадратично интегрируемых (с инвариантной мерой Хаара dµ) комплексных функций на G.
Такой трюк (рассмотрение алгебры функций на G вместо самой группы G) можно использовать для эквивалентного определения регулярных представлений как для
конечных групп (смотри формулы (4.1.17) из раздела 4.1.2), так и для компактных
групп Ли. Для формулировки этого эквивалентного определения заметим прежде
всего, что регулярное представление конечной группы G индуцирует представление
в групповой алгебре; это представление мы тоже будем называть регулярным. А
именно, запишем левое и правое действие фиксированного элемента gi ∈ G на вектора (4.6.30) групповой алгебры следующим образом:
∑
∑
(4.6.33) el-ga3
α(g · gi−1 ) g ,
gi · a =
α(gi−1 · g) g , a · gi =
g∈G
g∈G
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
175
где мы снова воспользовались инвариантностью суммирования на группе. Сравнивая
эти формулы с (4.1.17), мы видим, что
Tkm (gi ) α(gm ) = α(gi−1 · gk ) ,
(R)
(4.6.34) el-ga4
α(gk ) Tekj (gi ) = α(gj · gi−1 ) .
(R)
Из последнего равенства и из свойства Te(R) T (g) = Te(R) (g −1 ), верного для конечных
групп (смотри Задачу 116), следует
(R)
Tejk (gi )α(gk ) = α(gj gi ) .
(4.6.35) el-ga7
Соотношения (4.6.34), (4.6.35) и определяют действие левого и правого регулярных
представлений на групповой алгебре конечной группы, которое реализовано линейными операторами на пространстве функций 20 на группе G и осуществяется левыми
и правыми сдвигами на группе G.
Теперь аналоги формул (4.6.34), (4.6.35) можно положить в основу определения
левого и правого регулярного представления для компактных групп Ли G. Введем линейные операторы T (R) (h) и Te(R) (h), действующие в пространстве функций
L2 (G, dµ) и порождаемые, соответственно, левым и правым сдвигом в G:
[T (R) (h)α](g) = α(h−1 · g) ,
(4.6.36) el-ga5el
[Te(R) (h)α](g) = α(g · h) .
(4.6.37) el-ga5
Отображения T (R) и Te(R) из G в множество линейных операторов, действующих в
пространстве функций на G, и будут левым и правым регулярными представлениями группы G. Эти представления бесконечномерны, так как пространство L2 (G, dµ)
бесконечномерно.
• Задача 133. Доказать, что отображения T (R) и Te(R) , заданные формулами
(4.6.36) и (4.6.37), являются гомоморфизмами из G в группу линейных
операторов, действующих в L2 (G, dµ).
• Задача 134. Доказать, что регулярные представления T (R) и Te(R) компактной
группы G унитарны относительно скалярного произведения в L2 (G, dµ):
∫
(α, β) = dµ(g) α∗ (g) β(g) .
G
Рассмотрим пространство H всех центральных функций на G, см. Определение
4.6.1. Очевидно, характеры {χ1 , . . . , χh } неприводимых представлений принадлежат VRN
этому пространству.
20
Для группы G конечного порядка N пространство комплексных функций на G – это N -мерное
комплексное векторное пространство.
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
176
Утверждение 4.6.3 Характеры {χ1 , . . . , χh } образуют ортонормированный базис
в пространстве H.
Доказательство.21 В соответствии с (4.6.22) функции {χ1 , . . . , χh } образуют ортонормированную систему в H. Нам требуется доказать, что эта система полна, т.е.
любой элемент f ∈ H, ортогональный любому характеру χν , должен равняться нулю. Рассмотрим для такого элемента f матрицу Amk (f ∗ , T ) (4.6.28). Она равна нулю
для любого неприводимого представления T в силу равенства нулю правой части
(4.6.29), так как f ортогонален характеру χT . Поскольку любое представление (в
том числе и регулярное) конечной группы может быть разложено в прямую сумму
неприводимых, мы заключаем что Amk (f ∗ , T (R) ) = 0 и для регулярного представления (4.6.24). В свою очередь это означает, что для всех gk ∈ G справедливо
)
(
N
N ∑
∑
∑
∑
(R)
1
1
∗
∗
f
(g)
g
·
g
=
f
(g)
T
(g)
g
=
Amk (f ∗ , T (R) ) gm = 0 .
m
k
mk
N
N
g∈G
m=1
m=1 g∈G
Отсюда следует, что элемент
∑
(4.6.38) gralg
f ∗ (g) g групповой алгебры C[G] равен нулю и, так
g∈G
как элементы g ∈ G образуют базис в C[G], то f ∗ (g) = 0, или f (g) = 0 для всех g ∈ G.
Итак, любая центральная функция f ∈ H может быть разложена в сумму по
характерам неприводимых и неэквивалентных представлений
f (g) =
h
∑
cν χν (g) .
(4.6.39) fchi
ν=1
Напомним, что элементы g и g ′ из группы G называются сопряженными, если существует элемент h ∈ G такой, что g ′ = hgh−1 . Все элементы группы G разбиваются
на классы C1 , . . . , Ck сопряженных элементов.
Утверждение 4.6.4 Число k всех классов сопряженности группы G равно числу
h неэквивалентных неприводимых представлений группы G.
Доказательство. Рассмотрим произвольную центральную функцию f ∈ H. Она
постоянна на каждом классе Cm : f (Cm ) = λm . Таким образом, любая центральная
функция f определяется k константами {λ1 , . . . , λk }. Это означает, что размерность
пространства H равна k. С другой стороны, согласно Утверждению 4.6.3, размерность H равна числу независимых характеров χ1 , . . . , χh , а это число совпадает с
числом неэквивалентных неприводимых представлений группы G. Это доказывает
равенство k = h.
• Задача 135. Порядок подгруппы четных перестановок A4 ⊂ S4 равен 12. Пользуясь тем, что число классов сопряженности в A4 равно 4 (докажите это,
разлагая четные перестановки в произведение циклов; смотри Утверждение 2.1.3) и формулой (4.6.27), найти размерности всех неприводимых
неэквивалентных представлений группы A4 .
21
Мы даем доказательство этого утверждения для случая конечных групп. С учетом определений
групповой алгебры и регулярного представления для компактных групп, приведенных выше, это
доказательство может быть распространено и на случай компактных групп.
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
177
Пусть fg′ - функция, равная 1 на классе сопряженности Cg′ элемента g ′ ∈ G и равная 0 на других классах сопряженности. Очевидно, что fg′ – центральная функция,
h
∑
которая может быть разложена в сумму по характерам fg′ =
λν χν , где
ν=1
λν = ⟨χν , fg′ ⟩ =
1 ∑ ∗
c(g ′ ) ∗ ′
χ (g ) ,
χν (g) fg′ (g) =
N g∈C
N ν
g′
и c(g ′ ) = dim(Cg′ ). Таким образом, для любого g ∈ G мы получаем
h
∑
c(g ′ ) ∑ ∗ ′
λν χν (g) =
fg′ (g) =
χ (g ) χν (g) =
N ν=1 ν
ν=1
h
{
1 если g ∈ Cg′ ,
0 если g ∈
/ Cg ′ .
(4.6.40) fg14
Последнее равенство – это другой тип условия ортогональности для характеров χν (g)
(ср. с (4.6.22)).
• Задача 136. Построить все неприводимые неэквивалентные представления группы Cn = Zn . Найти аналоги формул (4.6.21) и (4.6.40) для характеров этих
представлений и описать пространство центральных функций на группе
C n = Zn .
Замечание 1. Утверждение 4.6.4 и формула (4.6.40) верны для конечных групп.
Компактная группа Ли имеет бесконечно много неприводимых представлений, поэтому Утверждение 4.6.4 для компактных групп Ли бессодержательно (кроме почти
очевидного следствия, что в группе Ли имеется бесконечно много классов сопряженности).
Замечание 2. Левое и правое регулярные представления (4.6.36) и (4.6.37) компактной группы Ли G — приводимы и унитарны (см. Задачу 134). Разложение этих
представлений в прямую сумму неприводиных и неэквивалентных представлений
группы G можно получить, используя следующую теорему Ф.Петера и Г.Вейля.
Теорема 4.6.5 Пусть {T (ν) } — система всех конечномерных неэквивалентных и
неприводимых представлений компактной группы Ли G (индекс ν – нумерует представления). Тогда любая непрерывная функция f ∈ L2 (G, dµ) на группе G может
(ν)
быть разложена в ряд по матричным элементам Tjk всех представлений {T (ν) }:
f (g) =
∑
(ν)
Cνjk Tjk (g) .
(4.6.41) fg15
ν,j,k
(ν)
Данное утверждение означает, что матричные элементы Tjk образуют полную систему функций в пространстве L2 (G, dµ). Мы не будем приводить здесь доказательство
теоремы Петера–Вейля полностью. Идея доказательства основывается на использовании обобщения соотношения (4.6.20) на случай компактных групп Ли:
∫
1 µν
1
(ν)∗
(µ)
dµ(g) Tjν ,iν (g) Tkµ ,mµ (g) =
δ δiν ,mµ δkµ ,jν .
(4.6.42) fg16
V
Nν
4.6 Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли.
178
Если функция f разлагается в ряд (4.6.41), то эта функция определяется однозначно,
так как коэффициенты Cνjk находятся с помощью формулы (4.6.42). Поэтому остается
доказать, что функций f , ортогональных к (4.6.41), не существует. Другими словами,
∫
(ν)
если выполняются условия dµ(g) f ∗ (g) Tjk (g) = 0 для всех ν, j, k, то f (g) = 0.
Последний факт следует из того, что любое представление компактной группы G, в
том числе и регулярное, разлагается в прямую сумму представлений T (ν) (сравните
с аналогичным рассуждением в доказательстве Утверждения 4.6.3).
4.6.3
Неприводимые представления и характеры группы SO(2) = U (1).
В качестве применения теории характеров рассмотрим пример компактной группы
SO(2) = U (1).
Согласно (4.4.9) двумерное представление Oϕ (2.1.15), (3.2.15) группы SO(2) есть
прямая сумма T (1) (Oϕ ) ⊕ T (1)∗ (Oϕ ) двух одномерных комплексных представлений
T (1) (Oϕ ) = eiϕ и T (1)∗ (Oϕ ) = e−iϕ (см. (4.4.8)). Заметим, что отображение T (1) устанавливает взаимнооднозначное соответствие групп: SO(2) ↔ U (1).
Так как компактная группа SO(2) имеет бесконечный порядок и абелева, то ее
регулярное представление бесконечномерно и распадается на бесконечное число одномерных неэквивалентных неприводимых представлений T (n) , которые нумеруются
целыми числами n:
T (n) (gϕ ) = einϕ , ∀n ∈ Z .
(4.6.43) irrepo2
Очевидно, что характеры представлений (4.6.43) равны χn (ϕ) = einϕ . Согласно
теории характеров (см. предыдущий подраздел 4.6.2) функции χn (ϕ) = einϕ образуют полную систему функций в пространстве всех центральных функций на группе
SO(2). Все функции на группе SO(2) периодичны: f (ϕ) := f (Oϕ ) = f (ϕ + 2π), а в
силу абелевости SO(2) все такие функции центральны. Таким образом, любая периодичная функция f (ϕ) разлагается в ряд по характерам (см. (4.6.39))
f (ϕ) =
∞
∑
cn einϕ ,
(4.6.44) irrepo3
n=−∞
который есть не что иное, как ряд Фурье. В частности формула (4.6.44) показывает, что представления (4.6.43) исчерпывают все неприводимые и неэквивалентные
комплексные представления группы SO(2) = U (1). Условие ортонормируемости (известное из теории рядов Фурье)
∫ 2π
∫ 2π
1
1
imϕ inϕ ∗
e (e ) dϕ =
eimϕ e−inϕ dϕ = δmn
2π 0
2π 0
— это не что иное, как условие ортогональности (4.6.22) для характеров неприводимых представлений. При этом интеграл по ϕ определяет инвариантное интегрирование на группе SO(2) с инвариантной мерой dϕ, а 2π – объем группы SO(2). Мера dϕ
инвариантна, так как она не изменяется при замене координат ϕ → ϕ − θ (группа
SO(2) действует на периодические функции сдвигами T (Oθ ) · f (ϕ) = f (ϕ − θ)).
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
179
В заключение отметим, что, так как неприводимые представления (4.6.43) одномерны, разложение (4.6.44) любой периодической функции (функции на группе SO(2)) можно рассматривать и как пример применения теоремы Петера–Вейля
4.6.5.
4.7
Обертывающая алгебра. Операторы Казимира
4.7.1
Определение обертывающей алгебры U(A) для алгебры Ли A.
Если T — представление алгебры Ли A, то естественно рассмотреть операторы
Ta ≡ T (Xa ) ,
где Xa — образующие (генераторы) алгебры A, удовлетворяющие структурным соотношениям (3.2.71). В физической литературе операторы Ta называют генераторами в
представлении T . Поскольку любой элемент алгебры A представляет собой линейную
комбинацию ее образующих Xa , любой оператор T (A) — это линейная комбинация
операторов Ta . Независимо от того, какое именно представление рассматривается,
операторы Ta удовлетворяют одинаковым по форме соотношениям коммутации
c
[Ta , Tb ] = Cab
Tc ,
(4.7.1) dec13-11-*
c
где Cab
— структурные константы алгебры A. В отличие от элементов самой алгебры A, операторы T (A) можно перемножать (напомним, что произведение операторов
понимается как последовательное действие), при этом важными объектами в теории
представлений алгебр Ли являются полиномы, построенные из операторов Ta . В самой алгебре Ли таких полиномов нет. Таким образом, представление T сопоставляет
алгебре Ли A некоторую ассоциативную алгебру операторов UT (A), состоящую из
всевозможных произведений операторов Ta и их линейных комбинаций. Все алгебры
UT (A) для разных представлений T имеют то общее свойство, что они являются представлениями одной и той же универсальной ассоциативной алгебры U(A), которая
строится по алгебре Ли A однозначно. Конструкцию этой универсальной алгебры
U(A) мы и будем обсуждать в этом разделе.
Построим из алгебры Ли A над полем K новую бесконечномерную ассоциативную
алгебру U(A) над полем K, имеющую в качестве базисных элементов упорядоченные
комбинации
(4.7.2) unob3
Xa1 · Xa2 · Xa3 · · · Xak , (a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ ak ) ,
(ограничение a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ ak здесь существенно!), построенные из образующих Xa
алгебры A и имеющие произвольную длину k = 0, 1, 2, 3, . . .. Элемент нулевой длины
обозначим как I. Любой элемент алгебры U(A) получается как линейная комбинация
(с коэффициентами из K) базисных элементов
{I, Xa , Xa · Xb , Xa · Xb · Xc , . . .} ,
(a ≤ b ≤ c ≤ . . .) .
(4.7.3) unob
Умножение в алгебре U(A) определяется следующим образом:
I · (Xa1 · Xa2 · · · Xak ) = (Xa1 · Xa2 · · · Xak ) · I = Xa1 · Xa2 · · · Xak ,
(4.7.4) unob5
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
(Xa1 · Xa2 · · · Xak ) · (Xb1 · Xb2 · · · Xbr ) = Xa1 · Xa2 · · · Xak · Xb1 · Xb2 · · · Xbr .
180
(4.7.5) unob2
Это умножение очевидно ассоциативно. Для того, чтобы получившийся в правой части (4.7.5) элемент снова принадлежал U(A), его надо привести к упорядоченному
виду (4.7.2). Для этого будем считать, что в U(A) выполняются следующие соотношения
c
[Xa , Xb ] ≡ Xa · Xb − Xb · Xa = Cab
Xc ,
(4.7.6) unob1
c
где Cab
— структурные константы алгебры Ли A. С помощью соотношений (4.7.6)
образующие, стоящие рядом в правой части (4.7.5), можно менять местами, в результате чего выражение в правой части (4.7.5) можно представить в виде линейной
комбинации базисных элементов (4.7.3). Эта процедура и лежит в основе определения бесконечномерной ассоциативной алгебры U(A), получаемой из алгебры Ли A.
Подчеркнем, что умножение в U(A) не имеет прямой связи с умножением (коммутатором) в исходной алгебре A. Тот факт, что алгебра U(A) имеет отношение к алгебре
Ли A, целиком обусловлен соотношениями (4.7.6).
Определение 4.7.1
Бесконечномерная ассоциативная алгебра U(A) с базисом
(4.7.3), умножением (4.7.4), (4.7.5) и дополнительными структурными соотношениями (4.7.6) называется обертывающей алгеброй алгебры Ли A.
Итак, под обертывающей алгеброй U(A) мы понимаем линейное пространство
всех линейных комбинаций мономов (4.7.3), причем линейные комбинации, которые
сводятся друг к другу коммутацией элементов алгебры (4.7.6), отождествляются.
Например, для A, B, C, D ∈ U (A) имеем
A·B·C ·D = A·C ·B·D+A·[B, C]·D = A·C ·B·D+A·D·[B, C]+A·[[B, C], D] , (4.7.7) dec13-11-10
и т.д. В таком линейном пространстве определена операция умножения (4.7.5), а
именно, умножение мономов — это приписывание одного к другому,
(A · B · C) · (D · E) = A · B · C · D · E ,
(4.7.8) dec13-11-11
а умножение их линейных комбинаций производится путем раскрытия скобок,
(αA · B + βC · D) · (γE · F + δG) =
= αγ A · B · E · F + αδ A · B · G + βγ C · D · E · F + βδ C · D · G ,
(4.7.9) dec13-11-12
где α, β, γ, δ ∈ K. Операция умножения согласована с коммутацией в алгебре:
A · B − B · A = [A, B] ,
при этом слева — произведения в обертывающей алгебре, справа — выражение, которое определяется коммутатором (4.7.6) в исходной алгебре Ли. Этими свойствами
обертывающая алгебра определяется полностью.
Польза от введения обертывающей алгебры состоит в следующем. Рассотрим
представление T алгебры A и всевозможные полиномы от генераторов Ta . Как мы
уже говорили, такие полиномы образуют некоторую ассоциативную алгебру UT (A).
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
181
При этом не зависящие от конкретного выбора представления T свойства этой алгебры совпадают со свойствами алгебры U(A). Иначе говоря, каждое представление T
алгебры A определяет гомоморфное отображение из U(A) в UT (A), и исследование
алгебры U(A) позволяет выделить наиболее общие характеристики представлений
алгебры A, смотри в связи с этим раздел 4.7.2.
Здесь нужно сделать замечание. Элементы типа A · B обртывающей алгебры следует воспринимать формально, считая, что про элементы исходной алгебры Ли неизвестно ничего, кроме коммутационных соотношений, даже если эта алгебра описана
явно. Например, для матриц Паули (3.1.18), которые образуют базис в алгебре Ли
su(2) (смотри раздел 3.2.9), справедливо соотношение σ{i σj} = 31 δij σk σk (фигурные
скобки обозначают симметризацию по индексам), однако это соотношение нельзя
считать справедливым в обертывающей алгебре U(su(2)), так как оно не выполняется в других представлениях su(2). Тем более нельзя пользоваться соотношениями
σ{i σj} = δij , которые не выполняются даже для тривиального представления su(2).
4.7.2
Представления обертывающей алгебры. Операторы Казимира.
Поскольку алгебра Ли A гомоморфно отображена (вложена) в свою обертывающую алгебру U(A) как подалгебра линейных комбинаций мономов первого порядка,
каждому представлению T обертывающей алгебры U(A) соответствует представление алгебры Ли A. С другой стороны, каждому представлению T алгебры Ли A
можно сопоставить представление алгебры U(A), то есть гомоморфное отображение U(A) → UT (A), которое задается на базисных элементах (4.7.3) алгебры U(A)
формулами
T (Xa1 · Xa2 · · · Xar ) = T (Xa1 ) · T (Xa2 ) · · · T (Xar ) = Ta1 · Ta2 · · · Tar .
(4.7.10) mrep5
Это действительно представление алгебры U(A), так как операторы Ta ≡ T (Xa )
удовлетворяют соотношениям (4.7.6), если в них заменить Xa → Ta , а алгебра операторов UT (A) в пространстве представления алгебры Ли A обладает свойствами
(4.7.7), (4.7.8), (4.7.9) (с заменой A на T (A), B на T (B) и так далее).
Пусть C — элемент обертывающей алгебры U(A), который коммутирует с образующими Xa алгебры A, а значит и со всей алгеброй U(A). Иначе говоря, элемент
C принадлежит центру Z обертывающей алгебры. Тогда [T (C), T (A)] = 0 для всех
A ∈ U (A) и всех представлений T алгебры U(A). Ecли T — комплексное и неприводимое представление, то, по лемме Шура, оператор T (C) кратен единичному оператору
T (C) = λ · I ,
(4.7.11) oct161
где собственные значения λ зависят от оператора C и являются важной характеристикой представления T .
Определение 4.7.2 Образующие центра Z обертывающей алгебры U(A) называются операторами Казимира алгебры Ли A.
Напомним, что набор образующих некоторой алгебры Z — это минимальный набор
элементов в Z, из которых все остальные получаются алгебраическими операциями
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
182
умножения, сложения и умножения на число. Таким образом, операторы Казимира
составляют минимальный набор независимых элементов, которые коммутируют со
всеми элементами U(A). Можно доказать, что для простой алгебры Ли количество
операторов Казимира равно рангу этой алгебры, смотри ниже Утверждение 4.7.5 ISA
(определение ранга алгебры Ли дано в разделе 5.4). С этим утверждением тесно связано утверждение о том, что собственные значения λ (4.7.11) операторов Казимира
полностью и однозначно характеризуют неприводимые комплексные конечномерные
представления простой алгебры Ли. Поэтому исследование спектра операторов Казимира имеет важное значение в теории представлений алгебр Ли. Далее в этом
разделе мы будем рассматривать для определенности (если специально не оговорено
другое) только простые алгебры Ли A. Многие утверждения этого раздела непосредственно переносятся на случай полупростых алгебр Ли.
Простейшим примером оператора C алгебры A служит квадратичный оператор
Казимира
C2 = gab Xa Xb ,
(4.7.12) kaz-c2
где gab – элементы матрицы, обратной к матрице метрики Киллинга (3.2.100), вычисленной в базисе Xa .
d
по
• Задача 137. Показать, используя антисимметрию величин Cabc = gcd Cab
ab
всем индексам, что C2 = g Xa Xb коммутирует со всеми операторами A
простой алгебры Ли A.
• Задача 138. Показать, что оператор (4.7.12) не зависит от выбора базиса в
A (в частности не зависит от нормировки образующих Xa ).
• Задача 139. Доказать, что операторов Казимира первого порядка (то есть
линейных по Xa ) нет для простых алгебр Ли.
Для алгебры Ли su(2) эта конструкция хорошо известна из квантовой механики:
оператор 2C2 — это оператор квадрата вектора спина,
2C2 = −τα τα =: J 2 ,
(4.7.13) kaz-00
где τα – базисные элементы алгебры su(2), удовлетворяющие (см. (3.2.121))
[τα , τβ ] = εαβγ τγ .
(4.7.14) li4ka
Эрмитовы генераторы i τα интерпретируются как компоненты оператора вектора
спина. Нам уже известны три представления алгебры su(2): тривиальное одномерное представление T0 такое, что T0 (τα ) = 0; определяющее двумерное представление
(3.2.120), реализованное матрицами Паули:
T1/2 (τα ) = −iσα /2 ;
(4.7.15) rsl2
и трехмерное присоединенное (4.2.11) представление T1 , которое согласно (4.7.14)
имеет вид22
[T1 (τα )]βγ = ad(τα )βγ = −ϵαβγ .
(4.7.16) rsl3
22
Можно также воспользоваться изоморфизмом su(2) = so(3) и формулой (3.2.142).
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
183
• Задача 140. Пользуясь (4.7.16), вычислить обратную матрицу метрики Киллинга gαβ для su(2) в базисе τα и доказать, что (4.7.13) согласовано с
(4.7.12).
Соотношение (4.7.11) означает, что квадрат вектора спина J 2 (4.7.13) одинаков для
всех векторов (состояний) пространства неприводимого представления su(2) и равен
некоторому фиксированному значению λ. Удобно представить это значение в виде
λ = j(j + 1), где число j называется спином. Конечномерное и неприводимое представление алгебры su(2) однозначно характеризуется целым или полуцелым неотрицательным спином j (смотри раздел 7.1).
• Задача 141. Проверить, что для определяющего (4.7.15) и присоединенного
(4.7.16) представлений справедливо T1/2 (J 2 ) = 34 I2 и T1 (J 2 ) = 2 I3 , то есть
j = 21 и j = 1, соответственно.
Вернемся к общему случаю и обсудим, каким образом можно построить все операторы Казимира произвольной простой алгебры Ли A. Заметим прежде всего, что
при построении операторов Казимира удобно пользоваться отличным от (4.7.3) базисом в обертывающей алгебре U(A), а именно, искать операторы Казимира в виде
линейных комбинаций симметричных однородных полиномов X{a1 Xa2 . . . Xak } , где
фигурные скобки обозначают симметризацию по всем индексам:
X{a1 Xa2 . . . Xak } =
1 ∑
Xaσ(1) · Xaσ(2) · · · Xaσ(k) .
k! σ
(4.7.17) symX
Здесь сумма идет по всем перестановкам σ ∈ Sk , а индексы (a1 , a2 , . . . , ak ) в (4.7.17)
всегда можно упорядочить так, чтобы (a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ ak ).
BSF
Симметричный полином нулевого порядка — это элемент I. Утверждение о том,
что симметричные полиномы (4.7.17) для k ≥ 0 образуют базис в U(A), нетрудно
доказать индукцией по k. Действительно, при k = 1 элементы (4.7.17) — это набор
линейно независимых исходных генераторов Xa , которые образуют базис в пространстве полиномов первого порядка в U(A). Далее, пусть k > 1 и пусть любой полином в
U(A) порядка (k −1) симметризуется, то есть представляется в виде линейной комбинации симметричных полиномов (4.7.17), имеющих порядок m ≤ k − 1. Рассмотрим
любой моном Xa1 · Xa2 · · · Xak порядка k. Его можно симметризовать с помощью
многократного применения соотношения (4.7.6), при этом моном Xa1 · Xa2 · · · Xak заменяется на симметричный полином (4.7.17) с добавлением линейной комбинации
мономов порядка (k − 1) и ниже, которые возникают за счет применения операции коммутирования(4.7.17) и симметризуются по предположению индукции. Поэтому любой однородный полином порядка k сводится к линейной комбинации симметричных полиномов (4.7.17) порядка k и ниже. С другой стороны, симметричные полиномы X{a1 Xa2 . . . Xak } с различными упорядоченными наборами индексов
(a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ ak ) линейно независимы и не сводятся коммутацией к полиномам
только низшего порядка, а потому все полиномы (4.7.17) любого порядка k = 0, 1, . . .
c упорядоченными индексами (a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ ak ) образуют базис во всей алгебре
ESF
U(A), что и требовалось.
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
184
При коммутации симметричного полинома X{a1 Xa2 . . . Xak } с генераторами Xb
возникает линейная комбинация симметричных полиномов, причем максимальная
степень симметричных полиномов в этой линейной комбинации снова равна k. Поэтому можно предположить, что операторы Казимира представляются в виде однородных линейных комбинаций симметричных полиномов X{a1 Xa2 . . . Xak } , которые
имеют фиксированный порядок k (обоснование этого предположения изложено ниже в разделе 4.7.3). Например, кубичный оператор Казимира имеет вид
C3 = dabc Xa · Xb · Xc
(4.7.18) dec14-11-1
с полностью симметричными числовыми коэффициентами dabc . Выясним, каким требованиям должны удовлетворять коэффициенты dabc . Будем считать, что алгебра Ли
A соответствует группе Ли G, то есть A = A(G) (хотя, как будет показано ниже в
разделе 4.7.3, это условие необязательно). В разделе 4.1.1 (пункт 5.) мы определи- ISA и далее
ли присоединенное представление ad группы G, которое действует в пространстве
A = A(G) следующим образом
ad(g) · Xa = Xb (ad g)ba ,
(4.7.19) kaz-ad1
где g ∈ G и (ad g)ab — матрица оператора присоединенного представления группы,
записанная в базисе Xa ∈ A. Это представление очевидным образом с помощью
соотношений
ad(g) · (Xa1 · · · Xak ) = (Xb1 · · · Xbk ) (ad g)b1a1 · · · (ad g)bkak ,
(4.7.20) kaz-ad3
распространяется на представление ad группы G, которое действует во всей обертывающей алгебре U(A). Тогда условие
[C, A] = 0 ,
A ∈ A(G) ,
можно записать в эквивалентном виде
ad(g) · C = C ,
(4.7.21) kaz-ad2
где g = et A и t малый параметр. Отметим, что определение (4.7.19) и условие (4.7.21)
для матричных групп Ли записываются в более явном виде
g · Xa · g −1 = Xb (ad g)ba , g · C · g −1 = C .
Согласно (4.7.20) присоединенное действие группы G на кубичный оператор Казимира имеет вид
ad(g) · C3 = (ad g)da (ad g)eb (ad g)fc dabc Xd Xe Xf ,
так что требование инвариантности C3 сводится (напомним, что симметризованные
произведения X{d Xe Xf } являются базисными элементами в U(A)) к требованию
(ad g)da (ad g)eb (ad g)fc dabc = ddef .
(4.7.22) oct17-10-1
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
185
Симметричный тензор dabc можно воспринимать как элемент из пространства тензорного произведения трех ко-присоединенных23 представлений, тогда условие (4.7.22)
означает, что этот тензор инвариантен относительно ко-присоединенного действия
группы G. Построить такой тензор можно с использованием какого-либо точного
неприводимого представления T простой алгебры Ли A(G) и метрики Киллинга gad :
(
)
dabc = gad gbe gcf Tr T{d Te Tf } .
(4.7.23) dec14-11-2
Операторы Казимира более высоких порядков (если таковые существуют) стро- ISA
предложение,
ятся аналогично и содержатся в наборе инвариантных элементов:
формула
далее
Ck = da1 ...ak Xa1 · · · Xak ,
и
(4.7.24) kaz-05
где da1 ...ak — симметричные тензоры ранга k, а инвариантность Ck эквивалентна
инвариантности тензора da1 ...ak относительно ко-присоединенного действия группы
G:
(ad g)ba11 (ad g)ba22 · · · (ad g)bakk da1 a2 ...ak = db1 b2 ...bk , ∀g ∈ G ,
(4.7.25) kaz-05g
что обобщает условия (4.7.22). Отметим, что если бы в формуле (4.7.24) тензор da1 ...ak ISA новое утверне был симметричным, то требование Ad-инварианти (4.7.25) этого тензора являлось ждение
бы только достаточным условием инвариантности элемента Ck .
• Задача 142. Пусть элемент g ∈ G в (4.7.25) близок к единичному, то есть
g = etA , где t – мало и A ∈ A(G). Показать, что в этом случае соотношение
(4.7.25) дает условие инвариантности тензора da1 a2 ...ak относительно коприсоединенного действия алгебры Ли A(G):
(ad A)ba11 da1 b2 ...bk + (ad A)ba22 db1 a2 b3 ...bk + . . . + (ad A)bakk db1 ...bk−1 ak = 0 .
(4.7.26) kaz-05h
Доказать прямым вычислением эквивалентность условий [A, Ck ] = 0 и
(4.7.26).
ISA ноСимметричный Ad-инвариантный тензор da1 ...ak в формуле (4.7.24) можно вы- вый абзац
брать в виде (сравните с (4.7.23)):
(
)
Ta = T (Xa ) ,
(4.7.27) kaz-05d
da1 ...ak = ga1 b1 · · · gak bk Tr T{b1 · · · Tbk } ,
где T — точное представление простой алгебры Ли A(G). В качестве такого представления T обычно используют присоединенное представление T = ad, вернее его
матричную реализацию в терминах структурных констант в выбранном базисе Xa . В
этом случае операторы Ck записаны так, что они не зависят от выбора базиса Xa и, в
частности, от нормировки образующих Xa . В случае матричной алгебры A(G) в качестве T иногда берут определяющее представление A(G). При этом при вычислении
собственных значений элемента Ck необходимо следить за нормировкой образующих
Ta или соответственно подбирать нормировку метрики gab .
23
Напомним, что для простых и полупростых групп и алгебр Ли присоединенное и коприсоединенное представления эквивалентны, смотри Задачу 123.
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
186
• Задача 143. Показать, используя только свойства алгебры Ли A (не вводя в
рассмотрение ее группу Ли) и формулу (4.7.26), что полином (4.7.18) с
константами (4.7.23) является оператором Казимира.
В алгебре su(2) существует всего один оператор Казимира — квадратичный. Это
следует из того, что в случае su(2) все Ad-инвариантные симметричные тензоры
da1 ...ak нечетного ранга k равны нулю, а для четного ранга k выражаются через gab .
Для алгебры Ли su(3) используемое в физике определение инвариантного симметричного тензора третьего ранга имеет вид (смотри (3.2.138)):
1
dijk = Tr(λ{i λj λk} ) ,
2
(4.7.28) oct176
где λi — матрицы Гелл-Манна (3.2.134), (3.2.135), которые с точностью до умножения на мнимую единицу являются образующими в определяющем представлении.
Значения компонент dijk для su(3) даны в (3.2.139). Так как в алгебре su(3) существует только один кубичный оператор Казимира (всего, в соответствии с рангом
su(3), операторов Казимира два — квадратичный и кубичный), мы получаем, что
для любого представления T этой алгебры:
Tr(T{i Tj Tk} ) = c3 · dijk ,
(4.7.29) oct175
где численный параметр c3 зависит от представления и является характеристикой
этого представления.
Вернемся к обсуждению квадратичного оператора Казимира C2 простой алгебры
Ли A.
Утверждение 4.7.1 Для простой комплексной алгебры Ли A, как и для всех ее
вещественных форм, существует всего один (с точностью до умножения на число)
квадратичный оператор Казимира C2 .
Доказательство. Пусть C2′ = dab Xa Xb – любой квадратичный оператор Казимира
алгебры A. Тогда dab – инвариантный тензор, удовлетворяющий для всех A ∈ A
условию (4.7.26) при k = 2:
ad(A)ac dcb = −dac ad(A)bc
⇒
ad(A) · d = −d · ad(A)T .
(4.7.30) kaz-05j
Для обратной матрицы метрики Киллинга g−1 = ||gab ||, которая входит в определение
квадратичного оператора Казимира (4.7.12), мы также имеем
ad(A) · g−1 = −g−1 · ad(A)T
⇒
g · ad(A) = −ad(A)T · g .
(4.7.31) kaz-05k
Умножим обе части соотношения (4.7.30) справа на матрицу g и воспользуемся второй формулой из (4.7.31). В результате мы получаем
ad(A) · (d · g) = (d · g) · ad(A) ,
(4.7.32) kaz-05m
то есть матрица d · g = ||dac gcb || коммутирует со всеми матрицами ||ad(A)ab || присоединенного представления алгебры Ли A. Представление ad простой комплексной
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
187
алгебры Ли A комплексно и неприводимо (смотри Утверждение 4.4.1), поэтому согласно первой части Леммы Шура 4.4.3 мы можем утверждать, что произведение
d · g пропорционально единичной матрице: d · g = λ I, или dab = λ gad , что и доказывает единственность (с точностью до умножения на число λ) квадратичного оператора
Казимира (4.7.12) для комплексной алгебры Ли A.
Присоединенное представление ad всех вещественных форм простой комплексной
алгебры Ли A также неприводимо (Утверждение 4.4.1), более того, оно неприводимо и в классе комплексных представлений (иначе A была бы не простой; смотри
Следствие 3 Леммы Шура 4.4.3). Поэтому для вещественных форм алгебры A мы
также имеем d · g = λ I, откуда следует единственность (с точностью до умножения
на число) оператора C2 не только для простой комплексной алгебры Ли A, но и для
всех ее вещественных форм.
Следствие. Для простой комплексной алгебры Ли A и всех ее вещественных форм
существует единственный (с точностью до умножения на число) инвариантный, то
есть удовлетворяющий условию (4.7.30), тензор второго ранга dab , равный обратной
матрице Киллинга gab . Соответственно, существует единственный (с точностью до
умножения на число) инвариантный тензор (d−1 )ab , равный метрике Киллинга gab
алгебры A.
Запишем для C2 формулу (4.7.11) в виде
gab Ta Tb = C2T I(T ) ,
(4.7.33) kaz-17
где T – неприводимое комплексное представление простой алгебры Ли A, I(T ) – единичная матрица в представлении T и C2T – значение оператора C2 , которое характеризует представление T . Найдем значения C2T квадратичных операторов Казимира
для определяющего и присоединенного представлений алгебры A = su(N ). В случае
определяющего представления вычисления проведем в принятой в физике норми(f )
ровке (3.2.130) для антиэрмитовых образующих Ta базиса su(N ). В этом базисе
метрика Киллинга равна gab = −N δab и с учетом перехода к эрмитовым генераторам
(f )
(f )
Ta → iTa мы имеем
1
gab = N δab , gab = δ ab .
N
• Задача 144. Доказать, что для алгебры su(N ) в базисе (3.2.127) с нормировкой (3.2.130) метрика Киллинга равна gab = −N δab . Указание: вычислить
p
d
Cbd
= λ δab , для чего положить
коэффициент λ в формуле gab = Cap
b = a и выбрать индекс a так, чтобы он соответствовал диагональной образующей TN −1 ; далее воспользоваться формулами (3.2.132) для
d
.
вычисления констант Cap
Тогда согласно (4.7.33) для любого представления T алгебры su(N ) значение C2T
оператора C2 определяется формулой
1
Ta · Ta = C2T I(T )
N
(4.7.34) kaz-15
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
188
(подразумевается суммирование по a). Для определяющего (фундаментального) представления, обозначаемого [N ], запишем:
1 (f ) (f )
Ta · Ta = C2f und · IN .
N
(f )
где образующие Ta заданы в (3.2.129). Отсюда, так как размерность [N ] равна N ,
(f )
(f )
(f )
(f )
имеем Tr(Ta · Ta ) = C2f und N 2 , а из (3.2.130) получаем Tr(Ta · Ta ) = (N 2 − 1)/2.
Следовательно,
N2 − 1
C2f und =
.
(4.7.35) kaz-13
2N 2
Отметим, что при N = 2 эта формула дает значение 2C2f und = 3/4 в полном согласии с
результатом Задачи 141. Это же значение (4.7.35) принимает квадратичный оператор
Казимира в сопряженном к определяющему (антифундаментальном) представлении
[N̄ ].
Значение квадратичного оператора Казимира C2 в присоединенном представлении можно вычислить для любой простой алгебры Ли. Для этого запишем формулу
(4.7.33) в виде
gab ad(Xa ) · ad(Xb ) = C2ad I(ad) ,
(4.7.36) kaz-17ad
и возьмем след от обеих ее частей. В результате, пользуясь определением метрики
Киллинга (4.2.12), получаем для всех простых алгебр Ли
C2ad = 1 .
(4.7.37) kaz-12
В частности этот результат справедлив и для алгебры su(N ), и согласуется со значением T1 (J 2 ) для su(2), которое приведено в Задаче 141.
• Задача 145. Вывести значение (4.7.37) квадратичного оператора Казимира
C2 в присоединенном представлении su(N ), воспользовавшись результатом (4.4.21) о том, что тензорное произведение определяющего [N ] и антифундаментального [N̄ ] представлений раскладывается в прямую сумму (комплексифицированного) присоединенного [N 2 − 1] и синглетного [1]
представлений.
Напомним, что согласно Утверждению 4.7.1 для простой комплексной алгебры
Ли A (или ее вещественной формы) имеется всего один, с точностью до нормировки, квадратичный оператор Казимира. Следуя изложенной выше процедуре, можно
получить, что для любого неприводимого представления T алгебры A (или ее вещественной формы) справедливо
Tr(Ta Tb ) = gab ·
C2T · dimT
,
dim(A)
(4.7.38) kaz-10
где dimT — размерность представления T . Действительно, пусть в дополнение к
равенству (4.7.33) мы имеем (инвариантная метрика единственна с точностью до
множителя)
Tr(Ta Tb ) = c2 · gab ,
(4.7.39) kaz-11
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
189
где константа c2 пока не определена. Сворачивая обе части соотношения (4.7.39) с
gab и используя (4.7.33), получаем
C2T · dimT = c2 · dim(A) ,
так что
C2T · dimT
,
(4.7.40) kaz-14
dim(A)
откуда и следует (4.7.38). В частности соотношение (4.7.38) для su(N ) записывается
в виде
C T · dimT
Tr(Ta Tb ) = δab · N 2 2
,
N −1
что согласуется с (4.7.35) для эрмитовых образующих в определяющем представлении с учетом нормировки
1
Tr(Ta Tb ) = δab .
(4.7.41) normT
2
VRJ
c2 =
• Задача 146. Пользуясь структурными соотношениями (3.2.150) и (3.2.158)
pq
выписать структурные константы Cij,
kℓ для алгебр Ли so(p, q) и sp(2r, K)
и вычислить метрику Киллинга для этих алгебр. Найти квадратичные операторы Казимира для so(p, q) и sp(2r, K). Найти их значения для определяющих представлений so(p, q) и sp(2r, K).
• Задача 147. Пользуясь структурными соотношениями (3.2.150) и (3.2.158)
доказать, что элементы
Ck = ηbk a1 La1 b1 ηb1 a2 La2 b2 ηb2 a3 · · · ηbk−1 ak Lak bk ,
Ck′ = Jbk a1 Ma1 b1 Jb1 a2 Ma2 b2 Jb2 a3 · · · Jbk−1 ak Mak bk ,
являются центральными для алгебр U(so(p, q)) и U(sp(2r, K)), соответственно. Показать, что любая перестановка σ образующих Lap bp в Ck и
Map bp в Ck′ оставляет преобразованные элементы σ · Ck и σ · Ck′ центральными (указание: продемонстрировать инвариантность σ·Ck и σ·Ck′ относительно присоединенного действия групп SO(p, q) и Sp(2r, K)). Убедиться
в том, что элементы σ · Ck (и σ · Ck′ ) с нечетными k должны выражаться
через σ · Cr (и σ · Cr′ ) с четными r < k (указание: воспользоваться симметричностью Mab и ηab , антисимметричностью Lab и Jab и тождеством
Tr(AT ) = Tr(A)).
Отметим, что в физической литературе квадратичным коэффициентом Казимира
(иногда — квадратичным оператором Казимира или просто “квадратичным казимиром”) нередко называют именно величину c2 , возникшую в соотношении (4.7.39) и
связанную посредством (4.7.40) со значением оператора Казимира C2T . Величина c2 ,
так же как и C2T , не зависит от выбора базиса в алгебре Ли, но, конечно, зависит от
представления. Например, для алгебры Ли su(N ) мы имеем cf2 und = 1/(2N ), cad
2 = 1.
Аналогично, кубичным коэффициентом Казимира называют число c3 , фигурирующее в (4.7.29).
ISA
новая задача
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
190
• Задача 148. Вычислить сумму значений c2 для симметричного [N (N + 1)/2]
и антисимметричного [N (N − 1)/2] представлений su(N ), которые возникают в разложении (4.4.19) тензорного произведения двух определяющих
представлений [N ].
• Задача 149. Найти кубичный коэффициент Казимира c3 и значение C3T кубичного оператора Казимира в нормировке (4.7.28) для фундаментального, антифундаментального и присоединенного представлений группы SU (3).
Квадратичные операторы Казимира gab Ta Tb для алгебры Ли A в представлениях
T , в которых генераторы Ta реализуются как дифференциальные операторы, называются операторами Лапласа алгебры A. Такие дифференциальные операторы мы
будем обсуждать более подробно в Главе 6.
4.7.3
Ко-умножение для обертывающей алгебры U(A).
BSF
Как мы отмечали в подразделе 4.3.1, определение (4.3.13) прямого произведения
двух представлений очевидным образом распространяется на общий случай алгебр
Ли A безотносительно к группам Ли. Более того, определение (4.3.13) можно распространить и на случай обертывающих алгебр U(A). Ниже мы обсудим возможность
такого обобщения более подробно.
Отметим, что не для всякой алгебы возможно определение процедуры тензорного ISA новый абзац
(прямого) произведения ее представлений. Алгебры, для которых такая процедура
возможна, обладают специальной операцией, называемой коумножением. В данном
разделе мы покажем, что обертывающая алгебра любой алгебры Ли обладает такой операцией и именно поэтому для таких алгебр процедура прямого произведения
представлений всегда возможна.
В начале раздела 4.7.1 мы отметили, что с каждым представлением T алгебры
Ли A можно связать ассоциативную алгебру UT (A). Из определения (4.3.13) прямого
произведения T (p) = T (1) ⊗ T (2) двух представлений T (1) и T (2) следует, что соответствующая ассоциативная алгебра UT (1) ⊗T (2) (A) гомоморфно отображается в прямое
произведение двух ассоциативных алгебр UT (1) (A) и UT (2) (A):
˜ : UT (1) ⊗T (2) (A) → UT (1) (A) ⊗ UT (2) (A) .
∆
(4.7.42) dt1t2
˜ задает правило, согласно которому определяется действие любого
Отображение ∆
элемента X ∈ U (A) (в представлении T (1) ⊗ T (2) ) на прямое произведение двух векто˜ определяемое
ров из пространств представлений T (1) и T (2) . Так как отображение ∆,
по формуле (4.3.13), работает для любых представлений T (1) и T (2) и обе алгебры
UT (1) (A) и UT (2) (A) являются представлениями одной и той же обертывающей ал- VRJ
гебры U(A), то имеется универсальный аналог (4.7.42), который можно записать в
виде
ˆ U(A) ,
∆ : U(A) → U (A) ⊗
(4.7.43) mrep3
ˆ что(для прямого произведения элементов алгебр мы будем использовать символ ⊗,
бы отличать его от прямого произведения линейных операторов или матриц; при
переходе к представлениям это различие пропадает). Иначе говоря, в обертывающей
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
191
алгебре U(A) над полем K наряду с умножением (4.7.5) можно ввести согласованное
с этим умножением гомоморфное отображение (4.7.43) такое, что
∆(A · B) = ∆(A) ∆(B) ,
∆(αA + βB) = α∆(A) + β∆(B) ,
∀A, B ∈ U (A) , ∀α, β ∈ K .
(4.7.44) mrep2d
Отображение ∆ каждому элементу из U(A) ставит в соответсвие некоторый элемент
ˆ U(A). Напомним, что алгебра
прямого произведения обертывающих алгебр U(A)⊗
ˆ
U(A)⊗ U(A) как векторное пространство совпадает с прямым произведением двух
векторных пространств U(A) и образована всеми линейными комбинациями вида
ˆ YB ) со стандартным правилом умножения
αAB (YA ⊗
ˆ YB ) · (β CD YC ⊗
ˆ YD ) = αAB β CD (YA · YC ⊗
ˆ YB · YD ) ,
(αAB YA ⊗
где αAB , β CD ∈ K и YA – базисные мономы (4.7.3) в U(A). Для обертывающей алгебры U(A) отображение ∆ (4.7.43) однозначно фиксируется, если его задать для
единичного элемента I и для образующих алгебры Ли Xa ∈ A:
ˆI,
∆(I) = I ⊗
ˆ I +I⊗
ˆ Xa .
∆(Xa ) = Xa ⊗
(4.7.45) mrep2
Действительно, исходя из определения 4.7.1 алгебры U(A), можно сделать вывод о
том, что отображение ∆ любого элемента из U(A) строится на основе формул (4.7.44)
и (4.7.45). Например,
∆(αXa · Xb + βI) = α∆(Xa ) · ∆(Xb ) + β∆(I) =
ˆ I +I⊗
ˆ Xa ) · (Xb ⊗
ˆ I +I⊗
ˆ Xb ) + βI ⊗
ˆI=
= α(Xa ⊗
ˆ I + Xb ⊗
ˆ Xa + Xa ⊗
ˆ Xb + I ⊗
ˆ Xa · Xb ) + βI ⊗
ˆI.
= α(Xa · Xb ⊗
Вид второго отображения из (4.7.45) очевидным образом извлекается из формулы
(4.3.13), которая определяет прямое произведение двух представлений. Для проверки
гомоморфности отображения ∆, заданного формулами (4.7.45), достаточно убедиться в том, что это отображение сохраняет коммутационные соотношения (4.7.6):
ˆ I +I⊗
ˆ Xa ), (Xb ⊗
ˆ I +I⊗
ˆ Xb )] =
[∆(Xa ), ∆(Xb )] = [(Xa ⊗
d
ˆ I +I⊗
ˆ [Xa , Xb ] = Cab
= [Xa , Xb ] ⊗
∆(Xd ) = ∆([Xa , Xb ]) .
Утверждение 4.7.2 Гомоморфное отображение ∆ (4.7.43), заданное уравнениями
(4.7.44) и (4.7.45), обладает свойством
ˆ 1)∆(X) = (1 ⊗
ˆ ∆)∆(X) ,
(∆ ⊗
∀X ∈ U (A) ,
(4.7.46) comultas
ˆ 1)∆ и (1 ⊗
ˆ ∆)∆ — гомоморфизмы из U(A) в U(A)⊗
ˆ U(A)⊗
ˆ U(A).
где отображения (∆⊗
ˆ 1 – это отображение из U(A)⊗
ˆ U(A) в U(A)⊗
ˆ U(A)⊗
ˆ U(A), которое на
Здесь ∆ ⊗
ˆ
базисный элемент YA ⊗ YC действует так: первый фактор отображается в ∆(YA ), а
второй остается без изменения:
ˆ 1)(YA ⊗
ˆ YC ) = ∆(YA ) ⊗
ˆ YC .
(∆ ⊗
VRJ до
док-ва
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
192
ˆ YC ,
Для элемента ∆(X), разложенного по базису YA ⊗
AC
ˆ YC ,
∆(X) = αX
YA ⊗
(4.7.47) DeX
AC
где αX
∈ K, имеем поэтому
AC
ˆ 1)∆(X) = αX
ˆ YC .
(∆ ⊗
∆(YA ) ⊗
Соответствующим образом понимается и действие (1 ⊗ ∆) в правой части (4.7.46).
Для доказательства свойства (4.7.46) опять же нет необходимости проверять
его для всех YA ∈ U (A), достаточно проверить его для образующих Xa алгебры Ли
A:
ˆ I +I⊗
ˆ Xa ) = (Xa ⊗
ˆ I +I⊗
ˆ Xa ) ⊗
ˆ I +I⊗
ˆI⊗
ˆ Xa =
(∆ ⊗ 1)∆(Xa ) = (∆ ⊗ 1)(Xa ⊗
ˆI⊗
ˆ I +I⊗
ˆ (Xa ⊗
ˆ I +I⊗
ˆ Xa ) = (1 ⊗
ˆ ∆)∆(X) .
= Xa ⊗
ˆ ∆)∆ — гомоморфизм из U(A) в
Проверку того, что отображение (∆ ⊗ 1)∆ = (1 ⊗
ˆ
ˆ
U(A) ⊗ U(A) ⊗ U(A), мы оставляем проделать читателю в качестве самостоятельного
упражнения.
Определение 4.7.3 Отображение ∆ (4.7.43), удовлетворяющее (4.7.44) – (4.7.46),
называется ко-умножением в алгебре U(A). Свойство (4.7.46) называется ко-ассоциативностью ко-умножения ∆.
Ко-умножение удобно использовать, например, в том случае, когда необходимо
записать действие элемента X ∈ U(A) в тензорном произведении нескольких пред- VRJ
ставлений. В качестве примера рассмотрим тензорное произведение двух представлений (4.3.13) и запишем в этом представлении любой элемент X ∈ U (A). Сначала к
элементу X необходимо применить ко-умножение ∆, которое переводит X в элемент
ˆ U(A), то есть ”расщепляет” элемент X на два фактора. При
∆(X) алгебры U(A) ⊗
этом, так как ∆ – гомоморфизм, гарантируется сохранение алгебраических свойств
U(A). После этого к элементу ∆(X) (4.7.47) применяется отображение (T (1) ⊗ T (2) ):
AC
(T (1) ⊗ T (2) ) ∆(X) = αX
T (1) (YA ) ⊗ T (2) (YC ) ,
(4.7.48) TDeX
то есть элементы U(A), стоящие в первом и втором факторах ∆(X), берутся в представлениях T (1) и T (2) , соответственно. Это и есть искомая запись элемента X в
представлении (T (1) ⊗ T (2) ). С другой стороны, можно рассмотреть представление
T (p) = T (1) ⊗ T (2) (4.3.13) алгебры Ли A и распространить его на обертывающую
алгебру U(A), используя формулу (4.7.10). Согласованность двух изложенных только что конструкций требует, чтобы они приводили к одному и тому же результату.
Такое свойство действительно имеет место. Утверждение об эквивалентности двух
подходов можно записать в виде тождества для базисных мономов (4.7.2):
T (p) (Xa1 · Xa2 · · · Xar ) = (T (1) ⊗ T (2) ) ∆(Xa1 · Xa2 · · · Xar ) ,
(4.7.49) mrep6
которое для r = 1 дает:
ˆ I +I⊗
ˆ Xa ) =
T (p) (Xa ) = (T (1) ⊗ T (2) )∆(Xa ) = (T (1) ⊗ T (2) )(Xa ⊗
= T (1) (Xa ) ⊗ IT (2) + IT (1) ⊗ T (2) (Xa ) ,
(4.7.50) mrep6a
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
193
что совпадает с (4.3.13). Соотношение (4.7.49) для всех r становится очевидным, если
его переписать в виде
T (p) (Xa1 ) · T (p) (Xa2 ) · · · T (p) (Xar ) =
(T (1) ⊗ T (2) ) ∆(Xa1 ) · (T (1) ⊗ T (2) ) ∆(Xa2 ) · · · (T (1) ⊗ T (2) ) ∆(Xar ) ,
где мы воспользовались тем, что отображения T (p) , T (1) , T (2) и ∆ — гомоморфизмы. VRJ
Если мы будем рассматривать тензорное произведение трех (или более) пред(p)
ставлений Tk = T (1) ⊗ T (2) ⊗ · · · T (k) , то для записи в этом представлении элемента
X = Xa1 ·Xa2 · · · Xar ∈ U(A) необходимо последовательно ”расщепить” его с помощью
ˆ
ко-умножения ∆ на k факторов (гомоморфно отобразить X в элемент из U(A)⊗k
).
При этом в силу условия ко-ассоциативности (4.7.46) неважно, какой из факторов на
каждом шаге ”расщеплять” с помощью ∆. В результате формула (4.7.49) обобщается
следующим образом:
VRJ,
ф-ла
(p)
Tk = (T (1) ⊗ T (2) ⊗ · · · T (k) ) ∆k−1 ,
(4.7.51) mrep7
где
ˆ 1⊗
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
∆k−1 (X) = (∆ ⊗
| {z· · · 1}) · · · (∆ ⊗ 1 ⊗ 1) (∆ ⊗ 1)∆(X) .
(4.7.52) mrep7a
k−2
В частности для базисного монома мы получаем (сравните с (4.3.15)):
(p)
Tk (Xa ) =
k
∑
(
)
I(1) ⊗ · · · I(m−1) ⊗ T (m) (Xa ) ⊗ I(m+1) ⊗ · · · I(k) ,
VRJ
Im := T (m) (I) .
m=1
(4.7.53) mrep7b
Ко-умножение ∆ (4.7.43) в определенном смысле можно рассматривать как отображение, обратное к отображению умножения m: U(A) ⊗ U(A) → U(A) (тому самому, что ставит в соответствие двум элементам X, X ′ ∈ U (A) их произведение X · X ′ );
стрелка в m по сравнению с (4.7.43) повернута в обратную сторону. При этом отображения m и ∆ согласованы между собой (смотри, например, первое соотношение в
(4.7.44)).
Отметим, что в общем случае любых ассоциативных алгебр U тензорное произведение представлений может быть корректно определено только для алгебр U с
ко-умножением. Если ассоциативная алгебра U не обладает ко-умножением, то формальное построение ее новых представлений как тензорных произведений других
представлений U, вообще говоря, невозможно. Алгебры, обладающие как умножением, так и ко-умножением, называются биалгебрами. Выше, в данном разделе, мы
показали, что обертывающая U(A) любой алгебры Ли A всегда является биалгеброй
с ко-умножением, которое определяется формулами (4.7.44) и (4.7.45).
В качестве примера применения ко-умножения получим альтернативным образом
конструкцию (4.7.24), (4.7.27) операторов Казимира простой алгебры Ли A (при этом
не обязательно считать, что A связана с какой-либо группой Ли G). Рассмотрим
оператор
ˆ Xb ∈ A ⊗
ˆ A ⊂ U (A) ⊗
ˆ U(A) ,
Ĉ = gab Xa ⊗
(4.7.54) kaz-01
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
194
который называется расщепленным (или поляризованным) оператором Казимира
алгебры Ли A.
Утверждение 4.7.3 Оператор Ĉ удовлетворяет условию (которое назывется Adинвариантностью):
[∆(A), Ĉ] = 0 , ∀A ∈ A ,
(4.7.55) kaz-02
где ∆ – ко-умножение (4.7.45), а также подчиняется уравнению
[Ĉ13 , Ĉ23 ] =
1
[Ĉ12 , Ĉ13 − Ĉ23 ] ,
2
(4.7.56) kaz-01yb
где использованы обозначения
ˆ Xb ⊗
ˆI,
Ĉ12 = gab Xa ⊗
ˆI⊗
ˆ Xb , Ĉ23 = gab I ⊗
ˆ Xa ⊗
ˆ Xb .
Ĉ13 = gab Xa ⊗
(4.7.57) kaz-01ya
ˆ U(A) ⊗
ˆ U(A).
Здесь I – единичный элемент в U(A), так что Ĉij ∈ U (A) ⊗
VRJ
Доказательство. Для доказательства справедливости условия (4.7.55) достаточно
его проверить для любой образующей A = Xr алгебры Ли A:
ˆ I +I⊗
ˆ Xr , Ĉ] =
[∆(Xr ), Ĉ] = [Xr ⊗
k
k
ˆ Xb + Crb
ˆ Xk ) = gab gkp (Crap + Crpa )Xk ⊗
ˆ Xb = 0 ,
= gab (Cra
Xk ⊗
Xa ⊗
(4.7.58) kaz-03
где мы воспользовались антисимметричностью (3.2.109) структурных констант. Для
вывода уравнения (4.7.56) докажем сначала соотношение
[Ĉ12 + Ĉ13 , Ĉ23 ] = 0 .
(4.7.59) kaz-01yc
Пользуясь определениями (4.7.57), левую часть (4.7.59) можно записать следующим
образом
ˆ (Xr ⊗
ˆ I +I⊗
ˆ Xr ), I ⊗
ˆ Ĉ] = [gpr Xp ⊗
ˆ ∆(Xr ), I ⊗
ˆ Ĉ] =
[gpr Xp ⊗
ˆ [∆(Xr ), Ĉ] = 0 ,
= gpr Xp ⊗
где при получении последнего равенства мы учли условие (4.7.55). Заметим, что номера 1, 2, 3 в левых частях формул (4.7.57) указывают на те факторы в произведении
ˆ U(A) ⊗
ˆ U(A), в которых оператор Ĉ представлен нетривиально. Переставляя
U(A) ⊗
номера этих факторов и учитывая симметрию Ĉij = Ĉji , соотношение (4.7.59) можно
переписать следующим эквивалентным образом
[Ĉ12 , Ĉ13 + Ĉ23 ] = 0 .
(4.7.60) kaz-01yd
Теперь, комбинируя (4.7.59) и (4.7.60), нетрудно получить (4.7.56).
Очевидно, что произведение любых двух Ad-инвариантных элементов снова будет Ad-инвариантным элементом. Отсюда следует Ad-инвариантность любой степени
расщепленного оператора Казимира Ĉ:
[∆(A), Ĉk ] = 0 ,
∀A ∈ A ,
(4.7.61) kaz-04
где
ˆ U(A) .
ˆ Xb1 · · · Xbk ∈ U (A) ⊗
Ĉk = ga1 b1 · · · gak bk Xa1 · · · Xak ⊗
(4.7.62) kaz-d3
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
195
ˆ U(A) удовлетворяет условию
Утверждение 4.7.4 Пусть элемент Ĉ′ ∈ U(A) ⊗
Ad-инвариантности
[∆(A), Ĉ′ ] = 0 , ∀A ∈ A ,
(4.7.63) kaz-d2
и пусть T – любое представление алгебры A и соответственно U(A). Запишем Ĉ′
в общем виде
ˆ Y B = YB ⊗
ˆ DBC YC ,
Ĉ′ = YB ⊗
(4.7.64) kaz-gen
где DBC ∈ K и YB — базисные элементы в U(A). Тогда элемент
C = YB DBA Tr(T (YA )) ∈ U (A) ,
(4.7.65) kaz-d2z
принадлежит центру алгебры U(A).
ˆI +I⊗
ˆ A,
Доказательство. Для любого элемента A ∈ A мы имеем ∆(A) = A ⊗
′
поэтому условие Ad-инвариантности (4.7.63) для оператора Ĉ переписывается следующим образом
ˆ Y B = −YB ⊗
ˆ [A , Y B ] .
[A , YB ] ⊗
(4.7.66) kaz-06
Подействуем отображением T (представлением алгебры U(A)) на вторые факторы в
обеих частях этого равенства
ˆ T (Y B ) = −YB ⊗
ˆ [T (A) , T (Y B )] ,
[A , YB ] ⊗
(4.7.67) kaz-01ys
и вычислим след от этих вторых факторов, учитывая Tr[T (A), T (Y B )] = 0. В результате мы получаем тождество [A , YB DBA Tr(T (YA ))] = 0 для всех A ∈ A и следовательно элемент C = YB DBA Tr(T (YA )) принадлежит центру алгебры U(A).
• Задача 150. Доказать, что не только (4.7.62), но и все элементы вида
ˆ Xbσ(1) · Xbσ(2) · · · Xbσ(k) ,
Ĉ(σ,k) = ga1 b1 · · · gak bk Xa1 · · · Xak ⊗
(4.7.68) kaz-d1
где σ — произвольная перестановка из Sk , также являются Ad-инвариантными. Указание: проделать вычисления, аналогичные (4.7.58).
Пусть T — точное представление алгебры Ли A. Так как A – проста, то в качестве
T можно, например, взять присоединенное представление. Выберем в качестве Adинвариантного элемента Ĉ′ элемент (4.7.62), тогда, пользуясь Утверждением 4.7.4,
ISA обомы получаем центральные элементы
значение
C̃k = Xa1 · · · Xak g
a1 ...ak
(4.7.69) kaz-07
,
где
g a1 ...ak = ga1 b1 · · · gak bk Tr (Tb1 · · · Tbk ) ,
Tb ≡ T (Xb ) .
(4.7.70) adinv
Центральные элементы (4.7.69) отличаются от операторов Ck , которые были построены в (4.7.24), (4.7.27), тем, что в определении C̃k не проведена полная симметризация
по индексам в коэффициентах g a1 ...ak . Тензор g a1 ...ak обладает только циклической
симметрией по перестановкам индексов (a1 , . . . , ak ), которая связана с циклическим
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
196
свойством Tr, но не обладает полной симметрией, присущей тензору d a1 ...ak (4.7.27).
Однако, выбирая в качестве Ad-инвариантного элемента Ĉ′ элемент (4.7.68) и пользуясь Утверждением 4.7.4, мы получаем, что все элементы
C̃k,σ = g aσ(1) aσ(2) ...aσ(k) Xa1 · Xa2 · · · Xak ,
(4.7.71) kaz-d7
где σ — произвольная перестановка из Sk , также являются центральными. Очевидно, что элементы Ck , заданные в (4.7.24), (4.7.27), выражаются в виде линейной комбинации элементов C̃k,σ . И наоборот, элементы C̃k,σ из (4.7.71) выражаются в виде ISA ред.
правка
линейной комбинации элементов Ck (с произвольными Ad-инвариантными и симметричными тензорами d a1 ...ak ). Это следует из того, что любой полином (4.7.71) можно
разложить по базису симметричных полиномов (4.7.17). Таким образом, набор независимых элементов Ck (4.7.24) содержит в себе полный набор образующих центра Z
алгебры U(A).
Естественный вопрос, который здесь возникает: можно ли любой Ad-инвариантный
симметричный тензор da1 ...ak выразить в виде симметризованных комбинаций тензоров ga1 ...am и их произведений (например так, как это сделано в (4.7.27))? Положительный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.
Утверждение 4.7.5 Для простой алгебры Ли A ранга r24 существует r элементов, построенных из инвариантов (4.7.27), которые образуют базис образующих в
Z ⊂ U (A).
Доказательство этого утверждния (смотри, например, [35], [36]) выходит за рамки
нашей книги. Отметим, что обобщение Утверждения 4.7.5 на случай полупростых
алгебр Ли — очевидно.
Мы поясним Утверждение 4.7.5 на примере матричных простых алгебр Ли A(G). Согласно
рассмотрению, проведенному в предыдущем разделе 4.7.2, любой центральный элемент строится
как полиномиальная функция от инвариантов P (Xa ) = da1 ...ak Xa1 · · · Xak , где da1 ...ak — некоторые
симметричные Ad-инвариантные тензоры. Поэтому задача перечисления образующих центра Z сводится к классификации всех инвариантных и симметричных тензоров da1 ...ak . Все такие тензора
можно перечислить, если перечислить все независимые инвариантные симметрические полиномы
P (ua ) = da1 ...ak ua1 · · · uak , где параметры ua преобразуются по присоединенному представлению
группы G. В свою очередь полиномы P (ua ) удобно рассматривать как скалярные функции P (u)
от матриц u = ua gab Xb ∈ A(G), причем функции P (u) по определению должны быть инвариантны относительно присоединенного действия: u → g · u · g −1 , ∀g ∈ G. Известно, что с помощью
присоединенного действия любой элемент u ∈ A(G) приводится к виду
u=
r
∑
(4.7.72)
vk Hk ,
k=1
где Hk — диагональные образующие A(G) (образующие подалгебры Картана, число которых равно
рангу A(G), см. раздел 5.4). Причем имеются преобразования u → g ·u·g −1 , которые не меняют диагональный вид (4.7.72), но переставляют параметры vk (преобразования из группы Вейля). Таким
образом, функция P (u) переписывается как симметрический полином по переменным {v1 , . . . , vr }.
Хорошо известно, что алгебра симметрических полиномов от r переменных {v1 , . . . , vr } имеет в
качестве образующих r функций, которые называются степенными суммами
Pα (v1 , . . . , vr ) =
r
∑
vkα ,
α = 1, . . . , r .
k=1
24
Определение ранга простой алгебры Ли дано в разделе 5.4.
kaz-ad7
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
197
Каждой степенной сумме Pα (v1 , . . . , vr ) соответствует свой инвариантный полином Pα′ (ua ) (вообще
говоря уже не однородный), которому в свою очередь соответствует свой инвариантный элемент
Pα′ (Xa ) ∈ Z. Эти инвариантные элементы по построению генерируют весь центр Z ⊂ U(A). Таким
образом, число независимых генераторов центра Z ⊂ U(A) равно рангу r алгебры Ли A. Далее
очевидно, что переменные vk связаны с собственными значениями матрицы u, а симметрические
функции от собственных значений матрицы u, как хорошо известно, выражаются через функции
Tr(uk ), которые соответствуют инвариантным элементам (4.7.24), (4.7.27). Поэтому любая образующая центра Z в U(A) может быть построена из центральных элементов Ck , представленных в
(4.7.24), (4.7.27).
Пусть T — точное n-мерное представление алгебры Ли A. Для матричных алгебр
A в качестве T можно выбрать определяющее представление. Центральные элементы
C̃k (4.7.69) в этом случае удобно записать в виде
C̃k = Tr(Lk ) ,
(4.7.73) kaz-d5
где L = gab Ta ⊗ Xb — матрица (n × n) с некоммутативными элементами Lij =
(Ta )ij gab Xb (здесь i, j = 1, . . . , n), которые принадлежат алгебре A. Матрица L не
зависит от выбора базиса в A, несет в себе полную информацию об алгебре Ли A и
получается из расщепленного оператора Казимира (4.7.54), если в нем второй (или
первый) фактор взят в представлении T . Структурные соотношения (4.7.6) для образующих Xa в терминах матриц L записываются следующим образом
[L1 , L2 ] =
1
[ r, L1 − L2 ] ,
2
(4.7.74) kaz-d6
где
L1 = gab Ta ⊗ In ⊗ Xb , L2 = gab In ⊗ Ta ⊗ Xb ,
r = gab Ta ⊗ Tb ⊗ I .
(4.7.75) kaz-d6d
d
Td из (4.7.74) следуют
• Задача 151. Показать, что при условии [Ta , Tb ] = Cab
структурные соотношения (4.7.6) для образующих Xa .
Операторы (4.7.75) — это соответственно элементы Ĉ13 , Ĉ23 и Ĉ12 (4.7.57), у которых
первые два фактора взяты в представлении T . Поэтому уравнение (4.7.74) можно
получить из уравнения (4.7.56), в котором во всех слагаемых надо взять первые два
фактора в представлении T . Следует отметить, что правую часть (4.7.74) можно
записать многими эквивалентными способами, если воспользоваться тождеством
[ r, L1 + L2 ] = 0 ,
(4.7.76) kaz-d9
которое следует из уравнения (4.7.60), в котором снова первые два фактора во всех
слагаемых необходимо ”посадить” в представление T .
• Задача 152. Набор матричных единиц eij (i, j = 1, . . . , n) образует базис в
алгебре Ли gℓ(n, C). Доказать тождество
n
∑
eij ⊗ eji = P ,
i,j=1
где P – оператор перестановки (4.4.14).
(4.7.77) kaz-d8ee
4.7 Обертывающая алгебра. Операторы Казимира.
198
⋆
• Задача 153.
Доказать, что матрица r = gab Ta ⊗Tb для алгебры Ли sℓ(n, C)
(и всех ее вещественных форм, например, для su(n)) имеет вид
(
)
(
)
1
1 i1 i2
i1 i2
i1 i2
r = c2 P − In ⊗ In
⇔ rj1 j2 = c2 δj2 δj1 − δj1 δj2 ,
(4.7.78) kaz-d8
n
n
где (In ⊗ In )ij11ij22 = δji11 δji22 – единичная матрица, (P )ij11ij22 = δji12 δji21 — матрица
перестановки (4.4.14), а коэффициент c2 определен в (4.7.39) и (4.7.40).
• Задача 154. Доказать, что матрица r = gab Ta ⊗ Tb для алгебр Ли so(n, C) и
sp(2r, C) (2r = n) и всех вещественных форм этих алгебр имеет вид
r = αIn ⊗ In + βP + γK ,
где (K)ij11ij22 = ci1 i2 cj1 j2 и матрица ||cjk || — это симметричная метрика η
(3.2.146) для so(n, C) и антисимметричная метрика J (2.2.57) для sp(2r, C);
||cmj || – обратная матрица к ||cjk ||. Вычислить константы α, β, γ, выразив
их через коэффициент c2 (4.7.39).
• Задача 155. Пользуясь формулой (4.7.78), доказать, что соотношения (4.7.74)
и (4.7.76) для sℓ(n, C) можно переписать в виде одного соотношения
R12 (u − v) L1 (u) L2 (v) = L2 (v) L1 (u) R12 (u − v) ,
(4.7.79) kaz-d10
где u, v – произвольные параметры (которые называются спектральными
параметрами) и
R12 (u) := R(u) ⊗ I ,
L1 (u) = u In ⊗ In ⊗ I + L1 ,
R(u) := uIn ⊗ In + c2 P ,
L2 (u) = u In ⊗ In ⊗ I + L2 ,
(операторы L1 и L2 определены в (4.7.75)).
• Задача 156. Показать, что соотношение (4.7.79) переписывается в эквивалентной компонентной форме следующим образом
Rji11ij22 (u − v) Ljk11 (u) Ljk22 (v) = Lij22 (v) Lij11 (u) Rkj11jk22 (u − v) ,
(4.7.80) kaz-d10b
где Rji11ij22 (u) = uδji11 δji22 + c2 δji12 δji21 , Lij11 (u) = uδji11 + Lij11 и ir , jr , kr = 1, . . . , n.
Матрица Rji11ij22 (u), которая приведена в задаче 156, называется R-матрицей Янга.
Если в соотношения (4.7.80) с R-матрицей Янга подставить ряд
1
1
1
Lij (u) = δji + (M1 )ij + 2 (M2 )ij + 3 (M3 )ij + . . . ,
u
u
u
то из (4.7.80) возникает зацепляющаяся цепочка квадратичных коммутационных соотношений на операторы {(Mk )ij }, определяющая бесконечно-мерную алгебру Y (gℓ(n)).
Эта алгебра, с образующими {(Mk )ij }, называется янгианом gℓ(n)-типа. Отметим, что
операторы (M1 )ij коммутируют так же как и образующие Lij алгебры Ли gℓ(n). Подробное обсуждение свойств алгебры Y (gℓ(n)) выходит за рамки нашей книги.
ISA
Новые
предложения
5 КОМПАКТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ.
199
• Задача 157. Доказать, что R-матрица Янга R̂(u) ≡ P · R(u) = uP + c2 In ⊗ In
удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера
R̂12 (u) R̂23 (u + v) R̂12 (v) = R̂23 (v) R̂12 (u + v) R̂23 (u) ,
(4.7.81) kaz-d11
где R̂12 (v) := (R̂(v) ⊗ In ) и R̂23 (u) := (In ⊗ R̂(u)).
Соотношения (4.7.79), (4.7.80) и (4.7.81) лежат в основе построения и исследования
многих нетривиальных квантовых интегрируемых систем.
ESF
5
Компактные алгебры Ли.
5.1
Определение и основные свойства компактных алгебр Ли.
Мы временно прервем рассмотрение представлений групп и алгебр Ли и обсудим
важный класс алгебр Ли – компактные алгебры Ли. С точки зрения последовательности изложения более естественно было бы поместить материал о компактных
алгебрах Ли в конец раздела 3.2 ”Алгебры Ли”. Однако ряд важных фактов, касающихся компактных алгебр Ли, невозможно изложить, не пользуясь понятиями
теории представлений. Поэтому данный раздел идет после обсуждения этих понятий.
Компактные группы Ли (см. Определение 3.1.9) были рассмотрены в подразделе 3.1.4. Компактные алгебры Ли определяются как алгебры Ли, соответствующие
компактным группам Ли. Напомним, что алгебра Ли, построенная как касательное
пространство к многообразию группы Ли, всегда вещественна, поэтому, согласно данному определению, понятие компактности можно ввести только для вещественных
алгебр Ли.
В дальнейшем мы будем пользоваться еще одним определением компактных алгебр Ли, которое не опирается непосредственно на их определение через компактные
группы Ли.
Определение 5.1.1 Алгебра Ли A называется компактной, если она вещественна и в ней существует положительно определенное и невырожденное скалярное
произведение, инвариантное относительно присоединенного действия в A (присоединенное действие в A задается формулами (3.2.104)).
Развернутая форма данного только что определения состоит в том, что вещественная
алгебра Ли A компактна, если в ней имеется билинейная форма (A, B) такая, что
для всех A ∈ A справедливо
(A, A) ≥ 0 ,
(5.1.1) li04qp
причем равенство здесь имеет место только для нулевого элемента A = 0. При этом
для любых трех элементов A, X, Y ∈ A должно выполняться тождество (сравните с
(3.2.105))
([A, X], Y ) + (X, [A, Y ]) = 0 ,
(5.1.2) li04qq
5.1 Определение и свойства компактных алгебр Ли.
200
которое переписывается следующим образом
(ad(A) · X, Y ) + (X, ad(A) · Y ) = 0 ,
(5.1.3) li04qs
где использованы обозначения для присоединенного представления (4.2.7) алгебры
Ли A. Соотношения (5.1.2), (5.1.3) и означают инвариантность скалярного произведения относительно присоединенного действия в алгебре Ли A.
• Задача 158. Сравните соотношения (5.1.2), (5.1.3), записав их в произвольном базисе {Xa } алгебры Ли A, c условиями инвариантности (4.7.30) тензора dab относительно ко-присоединенного действия в алгебре Ли A.
Пусть G — компактная группа Ли, и A(G) — ее вещественная алгебра Ли. Поскольку A(G) — пространство присоединенного представления компактной группы
G, в нем, как и в пространстве любого представления компактной группы, всегда
существует положительно определенное скалярное произведение, инвариантное относительно действия G (см. Замечание к Утверждению 4.5.2 в разделе 4.5). Для
данного скалярного произведения мы имеем
(ad(gA (t)) · X , ad(gA (t)) · Y ) = (X, Y ) ,
(5.1.4) adXY
где gA (t) — кривая в группе с касательным вектором A ∈ A(G) в единичном элементе. Присоединенное представление алгебры Ли и присоединенное представление
ее группы Ли связаны между собой соотношениями (4.2.10), то есть при малых t
справедливо
ad(gA (t))·X = X +t·ad(A)·X +O(t2 ) , ad(gA (t))·Y = Y +t·ad(A)·Y +O(t2 ) . (5.1.5) adXY01
Подстановка (5.1.5) в (5.1.4) при малых t дает (5.1.3), поэтому свойство (5.1.3) действительно выполняется для алгебр Ли компактных групп. Итак, алгебры Ли компактных групп Ли — компактны в смысле определения 5.1.1. Замечательно, что
верно и обратное утверждение: для компактной, в смысле определения 5.1.1, алгебры Ли всегда существует соответствующая ей компактная группа Ли. Последнее
утверждение мы докажем в разделе 5.3. Общий вывод состоит в том, что определение
5.1.1 эквивалентно определению компактных алгебр Ли как алгебр, соответствующих компактным группам Ли.
Наличие в вещественной алгебре Ли положительно определенного скалярного
произведения, инвариантного относительно присоединенного действия соответствующей группы, исключительно важно для теорий калибровочных полей, поэтому именно компактные группы и алгебры Ли используются при построении таких теорий.
Поскольку компактную алгебру Ли всегда можно считать алгеброй Ли некоторой компактной группы Ли, результаты раздела 4.5 имеют свои очевидные аналоги
в теории представлений компактных алгебр Ли (в Разделе 5.3 мы покажем, что всякое представление компактной алгебры Ли A является представлением некоторой
компактной группы Ли G, такой, что A = A(G)).
Утверждение 5.1.1
вполне приводимо.
Приводимое представление компактной алгебры Ли всегда
5.1 Определение и свойства компактных алгебр Ли.
201
Утверждение 5.1.2 Любое представление компактной алгебры Ли эквивалентно
антиэрмитовому.
Первое из этих утверждений означает, что любое конечномерное представление
компактной алгебры Ли раскладывается в прямую сумму неприводимых представлений. Второе – что в пространстве V представления T алгебры A всегда можно
выбрать положительно определенную эрмитову форму так, что
⟨T (A) · ⃗x , ⃗y ⟩ = −⟨⃗x , T (A) · ⃗y ⟩ ,
для всех ⃗x, ⃗y ∈ V и A ∈ A. Мы прокомментируем эти утверждения в разделе 5.3.
Примеры.
1.) В каждой вещественной полупростой алгебре Ли A имеется инвариантное и невырожденное (согласно критерию Картана) скалярное произведение (3.2.102), которое
связано с метрикой Киллинга gab (3.2.100), и которое, учитывая (4.2.12), можно записать в виде25
(X, Y ) = −Tr(ad(X) · ad(Y )) , ∀X, Y ∈ A .
(5.1.6) comp06
Таким образом, если невырожденная метрика Киллинга, а следовательно и невырожденное скалярное произведение (5.1.6), положительно определены, то соответствующая вещественная полупростая алгебра Ли компактна. С другой стороны, утверждение о том, что всякая компактная алгебра Ли имеет положительно определенное
невырожденное скалярное произведение (5.1.6), построенное по метрике Киллинга,
вообще говоря не верно. Например, компактная абелева группа Ли, состоящая из произведения U (1)-факторов: U (1) × U (1) × · · · U (1), имеет по определению компактную
алгебру Ли, однако ее метрика Киллинга равна нулю и соответствующее скалярное
произведение вырождено.
2.) Для матричных вещественных алгебр Ли A инвариантное скалярное произведение – это след:
(A, B) ≡ −2 Tr(A · B) , ∀A, B ∈ A ,
(5.1.7) skpr
что согласуется с определением метрики (3.1.79) для матричной группы Ли в единичном элементе. Знак минус выбран здесь для положительной определенности скалярного произведения (смотри ниже), а коэффициент 2 – для дальнейшего удобства.
Условие инвариантности (5.1.3) для скалярного произведения (5.1.7) выполняется,
что следует из возможности циклической перестановки матриц под знаком следа:
([Y, A], B) = −2Tr((Y · A − A · Y ) · B) = 2Tr(A · (Y · B − B · Y )) = −(A, [Y, B]) .
Нетривиальная часть определения 5.1.1 для матричных алгебр Ли A – это свойство
(5.1.1) положительной определенности для скалярного произведения (5.1.7) в случае
компактных, и только компактных A.
• Задача 159. Показать, что (A, A) = −2Tr(A2 ) положителен для всех ненулевых элементов A из алгебр so(n, R), su(n) и usp(2k). Показать, что
скалярное произведение (A, A) бывает как положительным, так и отрицательным для элементов A алгебр sℓ(2, R) и sℓ(2, C) (последняя рассматривается как шестимерная вещественная алгебра).
25
Для дальнейшего нам удобно изменить знак по сравнению с (3.2.102).
5.1 Определение и свойства компактных алгебр Ли.
202
В компактной матричной алгебре Ли A можно выбрать базисные элементы {Xa }
так, чтобы они образовывали ортонормированный базис. Обычно выбирают нормировку образующих следующим образом (сравните с (3.2.130))
1
Tr(Xa · Xb ) = − δab ,
2
(5.1.8) li04qf
(Xa , Xb ) = δab ,
(5.1.9) li04ff
что соответствует формуле
для скалярного произведения. Такой ортонормированный выбор базиса можно сделать для любой (не обязательно матричной) компактной алгебры Ли A.
• Задача 160. Доказать, пользуясь (5.1.2), что в базисе (5.1.9) структурные константы
p
d
= Cab
(Xp , Xd ) ≡ Cabd ,
Cab
компактной алгебры Ли A антисимметричны по всем трем индексам. Указание: смотри (3.2.109).
Таким образом, для компактной алгебры Ли всегда существует базис, в котором ее
структурные константы полностью антисимметричны. С другой стороны, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 5.1.3 Если структурные константы вещественной полупростой алгебры Ли A могут быть выбраны антисимметричными по всем трем индексам, то
скалярное произведение (5.1.6) для такой алгебры Ли A положительно определено
и A – компактна.
Доказательство. Действительно, если c помощью замены базиса в A структурные константы могут быть сделаны антисимметричными по всем трем индексам,
d
b
d
d
то есть Cab
= −Cad
(антисимметрия Cab
= −Cba
заложена в определении структурных констант), то матрицы операторов присоединенного представления ad(A)
(∀A = Aa Xa ∈ A) будут также антисимметричны (см. (3.2.106))
d
b
ad(A)db = Aa Cab
= −Aa Cad
= −ad(A)bd ,
(5.1.10) comp05
и тогда невырожденное (так как A – полупроста) и инвариантное скалярное произведение (5.1.6), определяемое по форме Киллинга (3.2.102), будет положительно
определенным:
(A, A) = −Tr (ad(A) · ad(A)) = −ad(A)db ad(A)bd = ad(A)db ad(A)db > 0 ,
∀A ̸= 0 .
(5.1.11) comp04
Согласно определению 5.1.1, наличие такого скалярного произведения означает компактность алгебры Ли A.
5.2 Структура компактных алгебр Ли.
5.2
203
Структура компактных алгебр Ли.
Структура компактных алгебр Ли дается следующим важным утверждением.
Утверждение 5.2.1 Всякая компактная алгебра Ли A представима единственным образом в виде прямой суммы некоторого количества абелевых подалгебр u(1)
и простых компактных подалгебр Ли Ai (i = 1, 2, . . . , n)
A = u(1) + . . . + u(1) + A1 + . . . + An .
(5.2.1) decomp
Доказательство. Убедимся прежде всего в том, что всякая абелева инвариантная
подалгебра (абелев идеал) I ̸= ∅ в компактной алгебре Ли A коммутирует со всей
алгеброй, т.е. I содержится в центре Z алгебры Ли A. Пусть X, Y ∈ I и A ∈ A.
Тогда [X, Y ] = 0 и из (5.1.2) следует, что
(5.2.2) comp00
([X, A], Y ) = 0 .
Элемент [X, A] принадлежит I, поскольку X ∈ I и I – идеал. Выберем Y = [X, A],
тогда согласно (5.2.2) мы имеем (Y, Y ) = 0. Так как для компактной алгебры Ли
скалярное произведение невырождено, то Y = [X, A] = 0, ∀X ∈ I, и следовательно
I ⊂ Z, что и требовалось. Из данного утверждения следует, что центр Z в A – это
максимальный абелев идеал в A.
Далее, алгебра A раскладывается в прямую сумму
A = Z + Z⊥ ,
(5.2.3) comp01
где Z ⊥ – ортогональное дополнение в A к центру Z. Векторное пространство Z ⊥
образует подалгебру Ли в A, так как, если A1 , A2 ∈ Z ⊥ и Z ∈ Z, то из (5.1.2) следует
([A1 , A2 ], Z) = −(A2 , [A1 , Z]) = 0
⇒
[A1 , A2 ] ∈ Z ⊥ .
Aлгебра Z ⊥ по построению не содержит абелевых идеалов (иначе Z можно было бы
дополнить), поэтому она полупроста или проста.
Итак, любая компактная алгебра Ли A раскладывается в сумму (5.2.3) своего
максимального абелева идеала Z и полупростой (или простой) подалгебры Ли Z ⊥ .
Обе подалгебры Z и Z ⊥ очевидно компактны.
Полупростую алгебру Ли Z ⊥ можно в свою очередь разложить в прямую сумму
простых алгебр Ли. Действительно, пусть Ā – идеал (инвариантная подалгебра) в
Z ⊥ . Тогда ее ортогональное дополнение Ā⊥ в Z ⊥ также является идеалом в Z ⊥ , так
как если A ∈ Z ⊥ , X ∈ Ā и Y ∈ Ā⊥ , то из (5.1.2) следует, что
(X, [A, Y ]) = −([A, X], Y ) = 0
⇒
[A, Y ] ∈ Ā⊥ .
Инвариантные подалгебры Ā и Ā⊥ коммутируют друг с другом, так как из [Ā, Ā⊥ ] ⊂
Ā⊥ и [Ā, Ā⊥ ] ⊂ Ā следует, что [Ā, Ā⊥ ] = 0. Таким образом, мы получаем разложение
Z ⊥ = Ā + Ā⊥ ,
где Ā и Ā⊥ – полупростые подалгебры в Z ⊥ . Это разложение можно продолжить до
тех пор пока Z ⊥ не разложится в прямую сумму простых подалгебр Āi .
5.2 Структура компактных алгебр Ли.
Единственность разложения
Z⊥ =
204
∑
Āi
(5.2.4) dec11-11-5
i
вытекает из следующего рассуждения. Пусть имеется другое разложение
∑
Z⊥ =
Âα
α
на прямую сумму простых подалгебр. Подпространтсво Āi ∩Âα является подалгеброй
в Z ⊥ и, более того, идеалом в Z ⊥ (поскольку если A ∈ Āi и A ∈ Âα , то для всех
B ∈ Z ⊥ выполнено [A, B] ∈ Āi и [A, B] ∈ Âα ). Следовательно, Āi ∩ Âα — идеал в
Āi , и в силу простоты Āi либо Āi ∩ Âα = Āi и Âα = Āi , либо Āi ∩ Âα = ∅. Это и
доказывает единственность разложения (5.2.4).
Наконец всякая абелева компактная подалгебра Z представляет собой прямую
сумму некоторого количества подалгебр u(1) (число слагаемых равно размерности
алгебры Z). Таким образом, окончательно из (5.2.3) следует разложение (5.2.1).
Замечание 1. Утверждение 5.2.1 обобщается следующим образом. Всякая комплексная алгебра Ли A(C), имеющая в качестве одной из вещественных форм компактную алгебру Ли A (5.2.1), представима единственным образом в виде прямой
суммы максимального абелева идеала Z(C) и полупростой комплексной подалгебры
Ли Z ⊥ (C), которая является комплексификацией полупростой компактной алгебры
Ли Z ⊥ (комплексная алгебра Ли Z ⊥ (C) полупроста, так как она наследует невырожденную метрику Киллинга своей полупростой вещественной формы Z ⊥ ).
В свою очередь комплексная полупростая алгебра Ли Z ⊥ (C) представляется в
виде суммы своих комплексных подалгебр Ли Ai (C), которые являются комплексификацией простых компактных алгебр Ли Ai . Последнее утверждение связано с тем,
что в Z ⊥ (C) имеется инвариантная (в комплексном смысле), невырожденная и положительно определенная эрмитова форма, которая наследуется из невырожденного и
положительно определенного скалярного произведения в Z ⊥ .
Замечание 2. Алгебра Ли A называется редуктивной, если ее присоединенное представление BSF
вполне приводимо (разложимо). Это значит, что пространство присоединенного представления, а
именно сама алгебра A, разлагается как векторное пространство в прямую сумму инвариантных
подпространств Xi
A = X1 + X2 + X3 + . . . ,
(5.2.5) decomp1
и каждое Xi представляет собой пространство неприводимого представления A. Инвариантность
подпространств Xi относительно присоединенного действия A означает, что [A, Xi ] ⊂ Xi , что дает,
в частности, [Xi , Xi ] ⊂ Xi . Таким образом, все подпространства Xi ⊂ A оказываются подалгебрами
Ли в A. С другой стороны из инвариантности двух разных подпространств Xj и Xk следует, что
[Xk , Xj ] ⊂ Xj и [Xj , Xk ] ⊂ Xk , поэтому [Xj , Xk ] = 0 и разложение (5.2.5) представляет собой разложение редуктивной алгебры Ли A в прямую сумму своих подалгебр Ли Xi . Одномерные подалгебры
Xi в разложении (5.2.5) очевидно образуют центр Z в A, а все остальные подалгебры (обозначим их
как Ai ) в (5.2.5) – просты, иначе они не были бы пространствами неприводимых подпредставлений
в присоединенном представлении A. Таким образом, разложение (5.2.5) принимает вид
A = Z + A1 + A2 + . . .
где центр Z – прямая сумма одномерных абелевых подалгебр в A, а
(5.2.6)
∑
i
decomp2
Ai – прямая сумма простых
подалгебр в A. Сравнивая это разложение с разложением (5.2.1) для компактных алгебр Ли, мы
заключаем, что компактные алгебры Ли образуют важный подкласс редуктивных алгебр Ли.
ESF
5.2 Структура компактных алгебр Ли.
205
Прежде чем сформулировать следующее утверждение, заметим, что простая вещественная алгебра Ли A может иметь в качестве своей комплексификации A(C) не
простую комплексную алгебру Ли. В качестве примера приведем простую вещественную алгебру Ли so(1, 3) (изоморфную простой алгебре sℓ(2, C)), комплексификация
которой so(4, C) = sℓ(2, C) + sℓ(2, C) не проста. Однако, если комплексная алгебра
Ли проста, то все ее вещественные формы с необходимостью являются простыми
алгебрами Ли.
Утверждение 5.2.2 Для каждой вещественной формы A простой комплексной
алгебры Ли A(C) существует всего одно (с точностью до умножения на число)
инвариантное скалярное произведение, которое совпадает со скалярным произведением (5.1.6), определяемым по форме Киллинга (3.2.102) алгебры A.
Доказательство. Пусть A — вещественная форма простой комплексной алгебры
Ли A(C) и пусть (X, Y ) – любое инвариантное скалярное произведение в A. Условие
инвариантности (5.1.3) для всех таких скалярных произведений переписывается в
виде
ad(A)ab (Xa , Xd ) = −(Xb , Xc ) ad(A)cd ⇒
(5.2.7) comp07
ad(A)T · η = −η · ad(A) ,
где {Xa } – базис в алгебре Ли A и η = ||(Xa , Xd )||. Поэтому матрица η удовлетворяет
тому же условию инвариантности (4.7.31), что и метрика Киллинга g = ||gab ||. В этом
случае, согласно Следствию к Утверждению 4.7.1 (здесь важно то, что комплексификация алгебры A – простая алгебра), матрица η пропорциональна ||gab || и следовательно инвариантное скалярное произведение (5.1.6) для каждой вещественной
формы простой комплексной алгебры Ли A(C) единственно с точностью до умножения на число.
Если компактная алгебра Ли полупроста, то весь набор инвариантных скалярных
произведений (метрик) описывается следующим образом. Пусть, например,
A = A1 + A2 ,
где A1 и A2 – простые алгебры Ли. Любой элемент X ∈ A имеет вид
X = X1 + X2 ,
X 1 ∈ A1 , X 2 ∈ A 2 .
(5.2.8) comp02
Пусть ( , )1 – инвариантное скалярное произведение в A1 и ( , )2 – инвариантное
скалярное произведение в A2 . Тогда наиболее общее инвариантное скалярное произведение в A имеет вид
(X, Y ) = α1 (X1 , Y1 )1 + α2 (X2 , Y2 )2 ,
(5.2.9) comp03
где для элементов X, Y ∈ A использовано разложение (5.2.8), а α1 , α2 – произвольные
положительные числа. Иными словами, квадратичные инварианты (относительно
присоединенного действия) в A разлагаются в линейные комбинации квадратичных
инвариантов в каждой из простых подалгебр Ai .
5.3 Связь компактных алгебр и групп Ли.
5.3
206
Связь компактных алгебр Ли и компактных групп Ли.
В этом разделе мы окончательно установим связь компактных алгебр Ли с компактными группами Ли. Перед этим необходимо ввести вспомогательную конструкцию.
Рассмотрим множество X (A) линейных операторов X, действующих в алгебре
Ли A и обладающих свойством
X · ([A, B]) = [X · A, B] + [A, X · B] ,
∀A, B ∈ A .
(5.3.1) oct14a
Такие операторы X называются дифференцированиями алгебры Ли A, так как соотношение (5.3.1) выглядит как правило Лейбница для дифференцирования произведения [A, B] в алгебре Ли A.
• Задача 161. Доказать, что множество X (A) дифференцирований X образует
алгебру Ли.
Из сравнения (4.2.9) и (5.3.1) следует, что операторы ad(Y ), где Y ∈ A, являются
дифференцированиями алгебры Ли A. Напомним (смотри (3.2.185)), что множество
операторов ad(Y ), где Y пробегает все элементы алгебры Ли A, образует присоединенную алгебру Ли ad(A).
Утверждение 5.3.1 Для всякой компактной полупростой алгебры Ли A алгебра
Ли дифференцирований X (A) изоморфна присоединенной алгебре Ли ad(A).
Доказательство. Очевидно, что присоединенная алгебра ad(A) вложена в X (A).
Определим в X (A) квадратичную форму
(X1 , X2 ) = −Tr(X1 X2 ) ,
∀X1 , X2 ∈ X (A) .
(5.3.2) xxchi
Эта форма симметрична, но, вообще говоря, может быть вырожденной и не положительно определенной. Однако ее ограничение на подалгебру ad(A) совпадает с
невырожденной и положительно определенной формой Киллинга компактной полупростой алгебры Ли A, поэтому алгебра X (A) как линейное пространство раскладывается в прямую сумму
X (A) = ad(A) + X ⊥ ,
где X ⊥ — ортогональное дополнение к ad(A) в X (A), построенное по форме (5.3.2).
Действительно, каждый элемент Y ∈ X (A) можно представить в виде
Y = (Y, ei ) ei + Y ⊥ , Y ⊥ ≡ Y − (Y, ei ) ei ,
где ei — ортонормированный базис в ad(A). Так как
(Y ⊥ , ej ) = (Y − (Y, ei ) ei , ej ) = 0 ,
для всех j, то Y ⊥ ∈ X ⊥ . Далее, если X ∈ X ⊥ , то для произвольного A ∈ A элемент
[X, adA] также принадлежит X ⊥ , поскольку для всех A, B ∈ A мы имеем
Tr([X, adA] · adB) = Tr(X · [adA, adB]) = 0 .
5.3 Связь компактных алгебр и групп Ли.
207
Здесь мы воспользовались тем, что [ad(A), ad(B)] ∈ ad(A). С другой стороны,
[X, adA] = ad(X · A) .
Это следует из цепочки равенств
(XadA − (adA)X)B = X([A, B]) − [A, XB] = [XA, B] + [A, XB] − [A, XB] = [XA, B] .
Следовательно, оператор Z = ad(X · A) принадлежит как X ⊥ , так и ad(A), поэтому
норма (Z, Z) (понимаемая в смысле формы Киллинга в ad(A)) равна нулю, значит, равен нулю и Z = ad(X · A), то есть (X · A) ∈ Ker(ad). Поскольку согласно
Утверждению 3.2.8 соответствие A → ad(A) для всех элементов A из A – взаимнооднозначно (Ker(ad) тривиален и состоит из одного нулевого элемента), то равен
нулю и элемент (X · A), а поскольку это верно для всех A, то равен нулю и оператор
X. Ортогональное дополнение к ad(A) отсутствует, алгебра X (A) совпадает с ad(A),
и любой оператор, обладающий свойством (5.3.1), совпадает с одним и только одним
оператором из алгебры ad(A).
Теперь сформулируем и докажем основное утверждение этого раздела.
Утверждение 5.3.2 Для всякой компактной алгебры Ли A существует компактная группа Ли G, алгебра Ли которой совпадает с A.
Доказательство. Рассмотрим разложение (5.2.3). Центр Z очевидно является алгеброй Ли произведения компактных групп U (1), поэтому осталось рассмотреть полупростую алгебру Ли A⊥ . Если найдется компактная группа Ḡ, которая имеет своей
алгеброй A(Ḡ) = A⊥ , то алгебра Ли компактной группы G = U (1) ⊗ · · · ⊗ U (1) ⊗ Ḡ
совпадает с алгеброй A и тем самым утверждение будет доказано.
Эта задача о нахождении компактной группы Ли Ḡ решается следующим образом. Рассмотрим все линейные операторы ĝ, которые действуют в A⊥ и обладают
свойствами
(ĝ · A, ĝ · B) = (A, B) ,
(5.3.3) oct14-10-8
[ĝ · A, ĝ · B] = ĝ · [A, B] ,
∀A, B ∈ A⊥ ,
(5.3.4) oct14-10-7
где ( , ) – положительно определенное, невырожденное, инвариантное скалярное произведение в A⊥ . Множество операторов ĝ образует группу Ли G̃ (умножение в ней
— это, как обычно, последовательное действие операторов). В силу (5.3.3) группа G̃
является подгруппой в O(n), где n — размерность алгебры A⊥ , поэтому G̃ — компактна. Далее, из (5.3.4) следует, что элементы X алгебры Ли A(G̃) группы G̃ (тоже
операторы, действующие в A⊥ ) удовлетворяют (5.3.1). Согласно Утверждению 5.3.1
любой такой оператор X представи́м в виде X = ad(C), где C ∈ A⊥ , поэтому алгебра
Ли A(G̃) вкладывается в A⊥ , то есть A(G̃) ⊂ ad(A⊥ ). Наоборот, всякому элементу
C ∈ A⊥ можно поставить в соответствие оператор exp(t · ad(C)) по крайней мере при
малых t (в некотором выбранном базисе в A⊥ оператору ad(C) сопоставляется матрица, тогда exp(t · ad(C)) можно воспринимать просто как экспоненту от матрицы).
Оператор exp(t · ad(C)) обладает свойствами (5.3.3), (5.3.4), поэтому ad(C) ∈ A(G̃),
то есть ad(A⊥ ) ⊂ A(G̃) и следовательно ad(A⊥ ) = A(G̃). Как мы уже отмечали
5.4 Подалгебра Картана. Ранг алгебры Ли. Базис Картана–Вейля.
208
(см. Утверждение 3.2.8), полупростая алгебра Ли A⊥ и ее присоединенная алгебра
ad(A⊥ ) изоморфны, и мы получаем, что алгебра Ли A(G̃) построенной компактной
группы G̃ (5.3.3), (5.3.4) изоморфна A⊥ , иначе говоря, группа G̃ есть искомая компактная группа Ḡ.
Пусть A — компактная алгебра Ли. Она разложима в прямую сумму (5.2.1).
Поэтому в качестве компактной группы Ли, алгеброй которой является A, можно
выбрать
G = U (1) × . . . × U (1) × G1 × . . . × Gn ,
где Gi — компактные простые группы Ли. Более того, группы Gi можно считать
односвязными, т.е. универсальными накрывающими (см. утверждение (3) в начале
раздела 3.2.13). Мы уже знаем, что любое представление алгебры Ai = A(Gi ) порождается представлением универсальной накрывающей Gi , см. Утверждение 4.2.1. Отсюда и из утверждений раздела 4.5 следуют Утверждения 5.1.1, 5.1.2, если учесть,
что при малых t справедливо T (gA (t)) = 1 + t · T (A) + O(t2 ).
Замечание. Пусть группа Ли G некомпактна и пусть T – точное унитарное представление G в векторном пространстве V. Унитарность T означает, что в V существует положительно определенная эрмитова форма, которая инвариантна относительно
действия всех операторов T (g) представления T :
(T (g) · A , T (g) · B) = (A , B) ,
∀A, B ∈ V , ∀g ∈ G .
Если точное унитарное представление T группы G конечномерно26 , то рассуждения
в духе тех, которые использовались при доказательстве Утверждения 5.3.2 приводили бы нас к заключению о том, что группа G должна быть изоморфна компактной группе, что противоречит изначальному предположению о некомпактности G.
Поэтому точные унитарные представления некомпактных групп могут быть только
бесконечномерными.
5.4
Подалгебра Картана. Ранг алгебры Ли. Базис Картана–
Вейля.
В этом разделе мы продолжим изучение структуры компактных алгебр Ли. Согласно Утверждению 5.2.1 любая компактная алгебра Ли есть прямая сумма некоторого
количества абелевых подалгебр u(1) и простых компактных алгебр Ли. Дальнейшее
изучение компактных алгебр Ли связано с более детальным исследованием структуры простых компактных алгебр Ли и их классификацией.
5.4.1
Регулярные элементы. Подалгебра Картана и ранг алгебры Ли.
Пусть A — полупростая компактная алгебра Ли. Выберем элемент A ∈ A и рассмотрим соответствующий оператор ad(A) из присоединенного представления алгебры,
который, напомним, действует в A следующим образом: ad(A)(X) = [A, X] ∀X ∈ A.
26
То есть, T отображает G в матричную группу, которая является подгруппой в компактной
группе U (N ), где N равно размерности T и следовательно конечно.
5.4 Подалгебра Картана. Ранг алгебры Ли. Базис Картана–Вейля.
209
Оператор ad(A) имеет нулевое собственное значение, например, при X = A, которое
в общем случае может быть вырожденным. Для фиксированного A ∈ A множество
AA элементов X ∈ A таких, что [A, X] = 0 , образует подалгебру Ли в A.
• Задача 162. Доказать, что AA действительно образует подалгебру Ли в A.
Размерность подалгебры AA , или другими словами кратность rA нулевого собственного значения оператора ad(A), зависит от выбора элемента A ∈ A. Минимальное значение этой кратности, то есть такое r = rA , что r ≤ rB , ∀B ∈ A, называется рангом алгебры Ли A, а соответствующие элементы A ∈ A, называются
регулярными элементами алгебры Ли A. Если A — регулярный элемент в A, то
подалгебра Ли AA в A называется регулярной подалгеброй. Оказывается, что все
регулярные подалгебры AA для разных регулярных элементов A изоморфны и переводятся друг в друга с помощью внутренних автоморфизмов в A. Имеет место
следующее утверждение, которое мы приводим без доказательства (см. §62 в [37]).
Утверждение 5.4.1 Пусть A — полупростая компактная алгебра Ли (или ее комплексификация), тогда регулярная подалгебра в A коммутативна.
Определение 5.4.1 Коммутативная регулярная подалгебра H в A называется
подалгеброй Картана.
В соответствии со сказанным выше, размерность H равна рангу алгебры A.
Пример. Рассмотрим простую алгебру Ли sℓ(n, C) (комплексификация компактной алгебры su(n)) и выберем два ее элемента: любую бесследовую n × n матрицу
X = xkj ekj ∈ sℓ(n, C) и фисированную матрицу B = e11 −e22 ∈ sℓ(n, C), где ekj — матричные единицы. Условие [B, X] = 0 дает, что все коэффициенты xkj произвольны,
за исключением
x1k = xk1 = 0
∀k ̸= 1 ,
x2k = xk2 = 0
∀k ̸= 2 .
Размерность (кратность rB ) алгебры sℓ(n, C)B равна числу незафиксированных элементов xjk , то есть мы имеем rB = (n − 2)2 + 1. Эта размерность минимальна для
n = 2, 3 и неминимальна для всех n > 3.
• Задача 163. Убедиться в том, что подалгебры sℓ(2, C)B и sℓ(3, C)B , где B =
e11 − e22 , коммутативны.
Чтобы проверить неминимальность rB = (n − 2)2 + 1 в случае n > 3, зафиксируем
n
n
∑
∑
элемент A =
ak ekk , где ak ̸= 0,
ak = 0 и ak ̸= aj для всех k ̸= j. Тогда [A, X] = 0
k=1
k=1
дает условие (ak −aj )xkj = 0 (суммирования по k и j нет), откуда
∑следует, что xkj = 0
для всех k ̸= j, а xkk — произвольны с точностью до условия
xkk = 0. Таким обk
разом, размерность (кратность rA ) алгебры sℓ(n, C)A равна rA = (n − 1) и мы имеем
rB > rA для n > 3. Можно показать, что кратность rA = (n − 1) минимальна и следовательно равна рангу алгебры sℓ(n, C), а соответствующая регулярная подалгебра
(подалгебра Картана) H = sℓ(n, C)A коммутативна и образована всеми бесследовыми
диагональными матрицами. То же можно сказать и про подалгебру Картана алгебры
su(n), только элементы диагональных матриц в этом случае вещественны.
5.4 Подалгебра Картана. Ранг алгебры Ли. Базис Картана–Вейля.
5.4.2
210
Базис Картана–Вейля.
Прежде всего мы приведем отличное от 5.4.1, но эквивалентное ему, определение
подалгебры Картана, которое будет использоваться ниже.
Определение 5.4.2. Пусть A – полупростая алгебра Ли. Выделим в A подалгебру
H с образующими {Hi } (i = 1, 2, . . . , r) такую, что
1. [Hi , Hj ] = 0 (∀i, j) и H – максимальная коммутативная подалгебра в A;
2. матрицы операторов ad(Hi ) одновременно диагонализуемы для всех i путем соответствующего выбора базиса в A.
Такая максимальная коммутативная подалгебра H в A называется подалгеброй
Картана, а размерность подалгебры Картана dim(H) = r называется рангом алгебры Ли A.
Подчеркнем, что в случае компактных алгебр Ли A пункт 2. в Определении 5.4.2
излишен, так как он является следствием пункта 1. и Утверждения 5.1.1.
Далее в этом разделе мы ограничимся рассмотрением полупростых компактных
алгебр Ли A, для которых скалярное произведение
(X, Y ) = −Tr(ad(X) · ad(Y )) ,
X, Y ∈ A ,
связанное с метрикой Киллинга, инвариантно и положительно определено. Компактная алгебра A – вещественна, поэтому структурные константы в любом базисе для A
будут вещественными числами. Выберем базис в A так, чтобы все базисные элементы
алгебры Ли A можно было разбить на две группы
{ Hi } (i = 1, . . . , r) ,
{ Ta } (a = 1, . . . , dim(A) − r) ,
где {Hi } – образующие подалгебры Картана H в A, а элементы Ta образуют ортогональное дополнение H⊥ к H:
(Hi , Ta ) = −Tr (ad(Hi ) · ad(Ta )) = 0 .
(5.4.1) ht
Так как
(Hi , [Hj , Ta ]) = −([Hj , Hi ], Ta ) = 0 ,
то для всех Hj и Ta мы получаем [Hj , Ta ] ∈ H⊥ и, следовательно,
[Hj , Ta ] = hj,ab Tb .
(5.4.2) li3c
Очевидно, что вещественные матрицы hj = ||hj,ab || реализуют (dim(A) − r) – мерное
матричное представление подалгебры Картана H, и мы имеем
[hi , hj ] = 0
(∀i, j) .
(5.4.3) hh0
Из условия (5.4.1), следует, что метрика Киллинга имеет блочно диагональный вид
с двумя блоками, один из которых составлен из элементов
gij = (Hi , Hj ) ,
(5.4.4) mH
5.4 Подалгебра Картана. Ранг алгебры Ли. Базис Картана–Вейля.
211
а второй из
Xab = (Ta , Tb ) = −T r(ad(Ta ) · ad(Tb )) .
(5.4.5) mX
Так как метрика Киллинга невырождена для полупростой алгебры Ли A, то симметричные матрицы ||gij || и X = ||Xab || также невырождены. Кроме того мы имеем
hj,ac Xcb = ([Hj , Ta ], Tb ) = −(Ta , [Hj , Tb ]) = −hj,bc Xca ,
поэтому матрицы ||hj,ab || (j = 1, . . . , r) антисимметричны с точностью до преобразования эквивалентности
(hj · X)T = −hj · X
⇒
hTj = −X −1 · hj · X .
(5.4.6) li3aa
Положим n = (dim(A) − r). Для любой n × n диагонализуемой матрицы h со
свойствами симметрии (5.4.6):
hT = −X −1 · h · X ,
(5.4.7) li3aaa
определим собственные значения α и собственные вектора v следующим образом
vb hba = α va
⇔
v ·h = αv .
(5.4.8) li4r
Тогда справедливо следующее утверждение.
Утверждение 5.4.2. Если α – собственное значение диагонализуемой матрицы h,
обладающей свойством (5.4.7), то (−α) также является ее собственным значением. Если данная матрица h вещественна, то все ее собственные значения α – VRN
чисто мнимые числа.
Доказательство. Для матрицы h имеется характеристическое тождество
∏
(h − αµ 1) = 0 ,
(5.4.9) charh
µ
где 1 – единичная n × n матрица, и произведение берется по всем собственным значениям αµ матрицы h. Для диагонализуемой матрицы h равенство (5.4.9) доказывается
следующим образом. Пусть V – n-мерное
∏ комплексное векторное пространство, в котором действует матрица h. Оператор µ (h − αµ 1) в левой части (5.4.9) равен нулю
при действии на все собственные вектора матрицы h, которые образуют
базис (так
∏
как h — диагонализуема) в пространстве V. Поэтому оператор µ (h − αµ 1) равен
нулю, так как
∏он равен нулю при его действии на любой вектор из V. Наоборот, если оператор µ (h − αµ 1) равен нулю для диагонализуемой матрицы h и некоторого
набора чисел {αµ }, то {αµ } — это набор всех собственных значений матрицы h.
• Задача 164. Доказать последнее утверждение.
Применим транспонирование к обеим частям тождества (5.4.9). Тогда согласно (5.4.7)
мы получаем
∏
∏
∏
(hT − αµ 1) = −X −1 · (h + αµ 1) · X = 0 ⇒
(h + αµ 1) = 0 ,
µ
µ
µ
5.4 Подалгебра Картана. Ранг алгебры Ли. Базис Картана–Вейля.
212
откуда следует, что если {αµ } — набор всех собственных значений матрицы h, то
{−αµ } — это тот же набор. Это и доказывает первое сделанное утверждение.
Введем в пространстве V скалярное произведение
(v, u) = va Xab ub ,
v, u ∈ V ,
(5.4.10) sk-root
которое положительно определено, так как положительно определена метрика Киллинга, построенная из блоков (5.4.4) и (5.4.5). Для матрицы h и скалярного произведения (5.4.10) в силу равенства (5.4.7) выполняется тождество
(v · h, u) = −(v, hT · u) .
(5.4.11) sk-root1
Пусть v — собственный вектор матрицы h с собственным значением α, то есть выполняется (5.4.8). Тогда, пользуясь тем, что h и X — вещественные матрицы и X T = X, VRN
мы выводим соотношения
(v · h, v ∗ ) = α (v , v ∗ ) ,
(v · h , v ∗ )∗ = α∗ (v , v ∗ )∗ = α∗ (v ∗ , v) ,
(v · h , v ∗ )∗ = (v ∗ · h , v) = −(v ∗ , hT · v) = −α (v ∗ , v) .
В последней строчке использовано равенство (5.4.11), и из нее, с учетом второй строчки, мы получаем, что α∗ = −α.
Матрицы hk , заданные в (5.4.2), коммутируют друг с другом, см. (5.4.3), поэтому VRN
эти матрицы диагонализуются одновременно для всех k:
(α)
vb hk,ba = i αk va(α)
⇔
v (α) hk = i αk v (α) .
(5.4.12) li4p
Здесь v (α) — собственные вектора (вообще говоря комплексные), а (i αj ) — собственные значения вещественных матриц ||hj,ab ||. Согласно Утверждению 5.4.2 мы имеем
αj ∈ R. Таким образом, каждый собственный вектор v (α) характеризуется r собственными числами (iα1 , . . . , iαr ) и поэтому каждый v (α) ассоциирован со специальным
вектором α = (α1 , . . . , αr ) в некотором r-мерном вещественном векторном пространстве. Отметим также, что матрицы hj не могут иметь собственные вектора v (α) с
α = (0, . . . , 0), иначе подалгебру H можно было бы дополнить.
Собственные вектора v (α) матриц hj можно нормировать так, чтобы они образовали ортонормированную систему относительно скалярного произведения (5.4.10):
∏
(v (α) , v (β) ) = δα+β,0 ,
δα+β,0 :=
δαj +βj ,0 .
(5.4.13) sk-root2
j
Действительно, ортогональность следует из равенств
iαj (v (α) , v (β) ) = (v (α) hj , v (β) ) = −(v (α) , hTj v (β) ) = −iβj (v (α) , v (β) ) ,
поэтому (v (α) , v (β) ) = 0, если αj ̸= −βj хотя бы для одного j = 1, . . . , r. Далее,
выбирая нормировку комплексных векторов v (α) , можно всегда добиться выполнения
(5.4.13).
5.4 Подалгебра Картана. Ранг алгебры Ли. Базис Картана–Вейля.
213
Пользуясь собственными векторами v (α) , которые образуют полную ортонормированну систему в V, мы можем сделать удобную для нас замену базиса { Ta } в
пространстве H⊥ . Для этого свернем обе части (5.4.2) с собственными векторами
(α)
va и получим
∑
[Hj , Eα ] = i αj Eα , Eα ≡
va(α) Ta .
(5.4.14) li5p
a
⊥
Таким образом, вместо базисных элементов Ta ∈ H ⊂ A мы вводим новые базисные
элементы Eα ∈ H⊥ , которые характеризуются r-мерными вещественными векторами
α = (α1 , . . . , αr ).
Определение 5.4.3. Вектора r-мерного вещественного векторного пространства
Vr с координатами (α1 , α2 , . . . αr ), которые были введены в (5.4.12) и (5.4.14), называются корневыми векторами (или корнями) алгебры Ли A, а пространство Vr
называется корневым векторным пространством.
В соответствии с (5.4.14), корнями также иногда называют корневые базисные образующие Eα .
Здесь следует отметить, что, так как собственные вектора v (α) могут быть комплексными, элементы Eα , строго говоря, являются базисными элементами не в вещественной алгебре Ли A, а в ее комплексификации AC . Однако заметим, что любой
элемент вещественной компактной алгебры Ли A можно записать в виде линейной
комбинации образующих {Hi } (i = 1, . . . , r) подалгебры Картана с вещественными
коэффициентами и корневых образующих {Eα } (где α ∈ Vr — все корневые вектора)
с комплексными коэффициентами. При этом комплексные коэффициенты указанной линейной комбинации должны быть такими, чтобы при ее переразложении по
исходным базисным элементам {Hi , Ta } получалась линейная комбинация {Hi , Ta } VRN
с вещественными коэффициентами. Поэтому и в дальнейшем новый базис {Hi , Eα }
мы будем ассоциировать не только с комплексной алгеброй AC , но и с ее компактной
вещественной формой A.
Определение 5.4.4. Базис алгебры Ли AC , образованный элементами {Hk , Eα }, где
k = 1, . . . , r и α – все корневые вектора в Vr , называется базисом Картана–Вейля.
Заметим, что в присоединенном представлении мы имеем
[adHk , adEα · adEβ ] = i (α + β)k adEα · adEβ .
Вычисляя след от этого равенства, мы получаем
T r(adEα · adEβ ) = 0 ,
для всех корневых векторов α, β ∈ Vr таких, что α + β ̸= 0 (в смысле суммы векторов
(α1 , . . . , αr ) и (β1 , . . . , βr )). Соответственно, из невырожденности метрики Киллинга
следует, что T r(adEα · adE−α ) ̸= 0 ∀α. Выбирая специальным образом нормировку
образующих Eα (что эквивалентно нормировке (5.4.13) для векторов v (α) ), можно
добиться того, чтобы метрика Киллинга имела вид
−Tr (ad(Hk ) · ad(Hj )) = gkj , Tr (ad(Hk ) · ad(Eα )) = 0 ,
−Tr (ad(Eα ) · ad(Eβ )) = δα,−β .
(5.4.15) metrK
5.4 Подалгебра Картана. Ранг алгебры Ли. Базис Картана–Вейля.
214
Далее, из тождеств Якоби мы получаем
[Hk , [Eα , Eβ ]] = i (α + β)k [Eα , Eβ ] .
(5.4.16) li06p
Тогда, если (α + β) — корень, то
(5.4.17) li6
[Eα , Eβ ] = N(α,β) Eα+β ,
где N(α,β) – некоторые ненулевые константы. Если (α + β) не корень и α + β ̸= 0, то
[Eα , Eβ ] = 0. Если же α + β = 0, то из (5.4.16) мы имеем
[Eα , E−α ] = xj Hj ,
(5.4.18) li7
где xi — некоторые константы. Вычислим эти константы для базиса Картана-Вейля,
имеющего нормировку (5.4.15):
xj gjk = −Tr (ad(Hk ) · [ad(Eα ), ad(E−α )]) = −Tr ([ad(Hk ), ad(Eα )] · ad(E−α )) =
= −i αk Tr (ad(Eα ) · ad(E−α )) = i αk ,
то есть xj = ig jk αk ≡ iαj , где g jk — элементы матрицы, обратной к ||gjk ||. Отметим,
что элементы матрицы ||gjk || выражаются через корни следующим образом
∑
∑
α
α
gkj = −Tr(ad(Hk ) · ad(Hj )) = −
Ckα
Cjα
=
αk αj ,
(5.4.19) li7a
α
α
α
где структурные константы Cjα
определяются из (5.4.14), а сумма берется по всем
корням α. Отметим, что из представления (5.4.19) сразу же следует положительная
определенность метрики gkj . Действительно, из∑(5.4.19) для любого вещественного
вектора y ∈ Vr следует неравенство y k gkj y j = α (yα)2 ≥ 0, которое означает, что
вещественное корневое пространство Vr имеет евклидову метрику. Таким образом, в
случае компактных полупростых алгебр Ли корневое пространство Vr всегда вещественно и евклидово.
Итак, определяющие соотношения (3.2.71) для алгебр Ли A и AC в базисе Картана–
Вейля {Hk , Eα } переписываются в виде
[Hi , Hk ] = 0 ,
[Hk , Eα ] = i αk Eα ,
[Eα , Eβ ] = N(α,β) Eα+β ,
[Eα , Eβ ] = 0,
если (α + β) − корень,
(5.4.20) defCB
если (α + β) − не корень и α + β ̸= 0 ,
[Eα , E−α ] = i αk Hk .
(5.4.21) defCB1
Замечание. Иногда для алгебры A удобно вместо образующих Hk и Ta выбирать
образующие H̃k = iHk и T̃a = iTa и считать, что коэффициенты в алгебре – чисто
мнимые числа (см. Замечание в Примере 5 из раздела 3.2.3). Тогда в (5.4.2) структурные константы hj,ab домножаются на i и тоже становятся чисто мнимыми:
h∗j,ab = −hj,ab ,
(5.4.22) li3b
5.5 Заключительные замечания.
215
а положительно определенная метрика (5.4.4) и (5.4.5) задается формулами
gkj = +T r(ad(H̃k ) · ad(H̃j )) ,
Xab = +T r(ad(T̃a ) · ad(T̃b )) .
В этом случае образующие H̃j и T̃a допускают представление в виде эрмитовых операторов H̃j† = H̃j и T̃a† = T̃a . Матрицы hj со свойствами (5.4.6) и (5.4.22) согласно
Утверждению 5.4.2 имеют только вещественные собственные значения α∗ = α и это
согласуется с тем, что hj реализуют представления элементов H̃j . Тогда из v·hj = αj v
и (5.4.22) следует равенство v ∗ · hj = −αj v ∗ , то есть v (−α) = v (α)∗ и в результате для
образующих Картана-Вейля мы имеем соотношения
Ẽα† = Ẽ−α , H̃j† = H̃j ,
(5.4.23) li3au
которые оказываются полезными при изучении свойств базиса Картана-Вейля.
Пример. В качестве примера базиса Картана-Вейля рассмотрим структурные соотношения (3.2.116) для алгебры Ли sℓ(N, C), которая является комплексификацией компактной алгебры Ли su(N ). Сравнивая соотношения (3.2.116) и соотношения
(5.4.20), можно заключить, что элементы Hj ∈ sℓ(N, C) образуют подалгебру Картана в sℓ(N, C), а элементы Eij и Fij соответствуют корневым образующим Eα и
E−α .
5.5
Заключительные замечания.
В заключение этой главы мы сформулируем без доказательства важное утверждение,
которое позволяет сводить изучение структуры комплексных полупростых алгебр Ли
к изучению соответствующих компактных полупростых алгебр Ли.
Утверждение 5.5.1 Всякая комплексная полупростая алгебра Ли AC имеет компактную вещественную форму A, причем единственную. Под единственностью
здесь понимается то, что любые две компактные вещественные формы в AC всегда изоморфны и переводятся друг в друга с помощью некоторого внутреннего автоморфизма в AC .
Как мы обсудили в разделе 5.4.2, для компактной вещественной алгебры A (точнее
для ее комплексификации) всегда можно построить базис Картана-Вейля. Поэтому согласно Утверждению 5.5.1 базис Картана-Вейля может быть построен и для
любой полупростой комплексной алгебры Ли AC (в качестве такового может использоваться базис Картана-Вейля, построенный для ее компактной вещественной
формы). Пользуясь Утверждением 5.5.1, можно также переформулировать вторую
часть Замечания 1 из раздела 5.2 как более сильное утверждение о том, что любая
комплексная полупростая алгебра Ли разлагается в прямую сумму своих инвариантных простых подалгебр Ли. Кроме того, учитывая Утверждение 5.5.1, можно
обобщить Утверждение 5.3.1 следующим образом: любое дифференцирование полупростой комплексной алгебры Ли является внутренним.
Приведем еще один полезный с точки зрения физических приложений факт, который заключается в том, что компактная вещественная форма комплексной полупростой алгебры Ли AC всегда оказывается максимальной компактной подалгеброй
в AC .
6 ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ГЕОМЕТРИЯ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Мы закончим обсуждение компактных алгебр Ли кратким описанием следующего важного результата. Существует полная классификация простых компактных
конечномерных алгебр Ли. А именно, имеются четыре бесконечные серии таких алгебр – унитарные алгебры su(r + 1) (r = 1, 2, . . .), ортогональные алгебры so(2r + 1)
(r = 2, 3, . . .), симплектические алгебры usp(2r) (r = 3, 4, . . .) и ортогональные алгебры so(2r) (r = 4, 5, . . .). Здесь число r совпадает с рангом соответствующей простой алгебры Ли, и в представленном списке мы учли так называемые ”случайные” изоморфизмы: so(3) = usp(2) = su(2), usp(4) = so(5), so(4) = su(2) + su(2) и
so(6) = su(4), о которых шла речь в разделе 3.2.12. Кроме этих четырех серий имеется еще пять исключительных алгебр Ли, которые соответствуют исключительным
группам G2 , F4 , E6 , E7 , E8 (индексы 2, 4, 6, 7, 8 – ранги соответствующих алгебр Ли).
Исключительные алгебры Ли довольно сложно определить как матричные алгебры
Ли над полем вещественных или комплексных чисел. Общепринятый способ описания таких алгебр Ли основан на использовании корневых систем и базиса КартанаВейля.
6
Однородные пространства. Геометрия на однородных пространствах.
ISA На-
6.1
Однородные пространства.
В разделе 2.3.4 мы определили действие (2.3.8), (2.3.9) группы G на множестве (пространстве) M .
Определение 6.1.1 Действие группы G на множестве M называется транзитивным, если для любых двух элементов ξ, η ∈ M всегда существует g ∈ G такой,
что F (g, ξ) = η. Множество M называется однородным пространством по отношению к группе G (или более кратко – однородным пространством группы G), если
G транзитивно действует в M .
Группа GL(n, K) транзитивно действует на пространстве векторов Vn (K), из которого удален нулевой вектор. Группы SO(n) и O(n) транзитивно действуют на сферах
S n−1 с ненулевым радиусом.
Пусть группа G действует в пространстве M не транзитивно, то есть существуют
элементы ξ, η ∈ M такие, что η ̸= F (g, ξ) для всех g ∈ G. Будем говорить, что элемент
ξ ′ ∈ M эквивалентен ξ ∈ M , если ξ ′ = F (g, ξ) для некоторого g ∈ G, причем если ξ
эквивалентен ξ ′ , а ξ ′ эквивалентен ξ ′′ , то, согласно второму соотношению из (2.3.9),
элемент ξ эквивалентен ξ ′′ . Легко понять, что классы эквивалентных элементов в M
(смежные классы) либо не пересекаются, либо совпадают. Каждый смежный класс
по определению представляет собой однородное подпространство в M по отношению
к группе G и иногда называется орбитой группы G в M .
Группа GL(n, K) действует не транзитивно на всем пространстве Vn (K), она разбивает Vn (K) на две орбиты: одна орбита это Vn (K)\⃗0, а вторая орбита состоит из одного нулевого вектора ⃗0. Группы SO(n) и O(n) действуют на Rn не транзитивно, они
звание раздела
6.1 Однородные пространства.
217
расслаивают Rn на орбиты, каждая из которых представляет собой (n − 1)-мерную
сферу некоторого радиуса r ≥ 0.
Определение 6.1.2 Пусть группа G действует в пространстве M . Множество
смежных классов в M по отношению к действию группы G (множество орбит
группы G в M ) будем называть фактор-пространством M/G.
Примеры.
1.) Рассмотрим в качестве множества M саму группу G. Очевидно, что группа G
действует сама на себя левыми и правыми сдвигами (2.3.28) транзитивно. Поэтому
множество G – однородное пространство группы G, которое называется главным.
2.) Пусть H – подгруппа в группе G. Определим, по аналогии с (2.3.28), левое и
правое действие H на множестве G с помощью левого и правого умножения
g1 → g2 = F (h, g1 ) = h · g1 ,
g1 → g2 = F̃ (h, g1 ) = g1 · h−1 ,
∀g1 , g2 ∈ G ,
∀h ∈ H .
По отношению к этим действиям множество G разбивается соответственно на правые или левые смежные классы (смотри Определение 2.1.8 и Утверждение 2.1.1).
Каждый из смежных классов представляет собой подпространство в G, которое по
построению является однородным пространством группы H. Множество всех левых
смежных классов образует фактор-пространство G/H, а множество всех правых
смежных классов образует фактор-пространство H\G. В дальнейшем мы будем рассматривать только случай фактор-пространств G/H (случай фактор-пространств
H\G рассматривается аналогично).
3.) Группа G транзитивно действует слева на свое фактор-пространство G/H. Действительно, любой левый смежный класс g1 H переводится с помощью умножения
слева на элемент g2 ·g1−1 ∈ G в любой другой левый смежный класс g2 H. Поэтому любое фактор-пространство G/H представляет собой однородное пространство группы
G. Ниже мы покажем, что справедливо и обратное утверждение, то есть всякое однородное пространство группы G может быть представлено как фактор-пространство
G/H.
⋆
• Задача 165. Выберем в группе SO(3) подгруппу, изоморфную SO(2), как
группу матриц вида


g 0
0  , g ∈ SO(2) .
Og = 
(6.1.1) so22
0 0 1
Показать, что имеется взаимнооднозначное соответствие между точками
фактор-пространства SO(3) по этой подгруппе и точками двумерной сферы:
SO(3)/SO(2) = S 2 .
6.1 Однородные пространства.
218
Вернемся снова к рассмотрению группы G, которая действует на пространстве
M . Стационарная подгруппа Ha ⊂ G элемента a ∈ M (или подгруппа стабильности
элемента a) состоит из всех элементов h ∈ G, оставляющих a на месте:
F (h, a) = a .
То, что множество таких элементов h — подгруппа, проверяется с помощью (2.3.9);
например, если h1 , h2 ∈ Ha , то
F (h1 · h2 , a) = F (h1 , F (h2 , a)) = F (h1 , a) = a ,
т. е. h1 · h2 ∈ Ha .
• Задача 166. Проверить остальные аксиомы группы для множества Ha .
Утверждение 6.1.1 Пусть M – однородное пространство группы G. Стационарные подгруппы Ha ⊂ G всех точек a ∈ M изоморфны.
Доказательство. Пусть Ha и Hb — соответственно стационарные подгруппы точек
a и b пространства M . Возьмем g ∈ G такой, что b = F (g, a). Рассмотрим элемент
h′ = g · h · g −1 ,
(6.1.2) 3.11b*
где h — любой элемент из Ha . Проверим сначала, что h′ ∈ Hb , т. е. F (h′ , b) = b, если
h ∈ Ha . Действительно, мы имеем
F (h′ , b) = F (g · h · g −1 , F (g, a)) = F (g · h · g −1 · g, a) =
= F (g · h, a) = F (g, F (h, a)) = F (g, a) = b .
Итак, (6.1.2) задает отображение из Ha в Hb . Это отображение взаимнооднозначно,
так как оно обратимо: h = g −1 · h′ · g. Наконец, отображение (6.1.2) – гомоморфизм
(согласуется с групповыми операциями в Ha и Hb ). Например, если h1 , h2 ∈ Ha , то
g · h1 · h2 · g −1 = g · h1 · g −1 · g · h2 · g −1 = h′1 · h′2 ,
где h′1 , h′2 ∈ Hb . Следовательно отображение (6.1.2) — изоморфизм Ha = Hb .
⋆
• Задача 167. Зададим действие группы SO(3) на двумерной сфере S 2 следующим образом. Пусть O — матрица из SO(3), ⃗a — (единичный) вектор
на сфере S 2 с компонентами ai , i = 1, 2, 3. Определим F (O, ⃗a) как вектор ⃗b с компонентами bi = Oij aj . Показать, что такое действие элемента O ∈ SO(3) переводит сферу в сферу. Показать, что SO(3) действует
транзитивно на S 2 , а стационарная подгруппа любой точки сферы S 2 изоморфна SO(2).
Утверждение 6.1.2 Пусть группа G транзитивно действует в пространстве M ,
то есть M — однородное пространство группы G. Тогда имеется взаимнооднозначное соответствие
M = G/H ,
(6.1.3) 3.11g**
где H ⊂ G — стационарная подгруппа любой точки пространства M .
6.2 Примеры однородных пространств.
219
Доказательство. Пусть a — некоторая фиксированная точка в M , и H — ее стационарная подгруппа. Группа G действует транзитивно в M , поэтому для любой точки
b ∈ M существует элемент gb ∈ G такой, что
(6.1.4) 3.11g*
b = F (gb , a) .
Соотношение (6.1.4) при фиксированном a задает отображение из G в M . Легко
понять, что (6.1.4) отображает в точку b не один элемент gb ∈ G, а все элементы
g = gb · h, где h ∈ H, то есть весь смежный класс gb H ∈ G/H, так как мы имеем
F (g, a) = F (gb · h, a) = F (gb , F (h, a)) = b .
Таким образом, соотношение (6.1.4) определяет отображение из G/H в M . Проверим,
что это отображение взаимнооднозначно, то есть двум разным точкам g1 H и g2 H
из G/H не может соответствовать одна и та же точка b из M . Докажем это от
противного. Пусть F (g1 , a) = b = F (g2 , a), тогда мы имеем
a = F (g1−1 , b) = F (g1−1 , F (g2 , a)) = F (g1−1 · g2 , a) ,
то есть g1−1 · g2 ∈ H или g2 ∈ g1 H и смежные классы g1 H и g2 H совпадают, что
противоречит нашему изначальному предположению g1 H ̸= g2 H.
Следствие. Действие G на M называется свободным, если стационарная группа
H ⊂ G любой точки M состоит только из единичного элемента группы G: H = {e}.
Если G действует на M свободно и транзитивно, то M = G, а если свободно и
нетранзитивно, то M расслаивается на обиты, каждая из которых совпадает с G.
• Задача 168. Пусть G — группа Ли, H – ее подгруппа Ли, а M = G/H –
соответствующее однородное пространство. Доказать, что
dim(M ) = dim(G) − dim(H) .
6.2
Примеры однородных пространств.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие соответствие (6.1.3), сформулированное в
Утверждении 6.1.2.
1.) Группа вещественных чисел по отношению к сложению (группа трансляций
в R) действует транзитивно на S 1 :
exp(i2πϕ) → exp (i2π(ϕ + x)) ,
где x ∈ R, а ϕ ∈ [0, 2π) – параметр на S 1 . Стационарная подгруппа любой точки на
S 1 образована целыми числами x ∈ Z ⊂ R, поэтому согласно Утверждению 6.1.2
мы имеем S 1 = R/Z. Очевидное обобщение этого примера — следующее. Группа
трансляций в Rn транзитивно действует на n-мерном торе Tn = |S 1 × ·{z
· · × S}1 :
n
( i 2πϕ1
)
(
)
e
, . . . , ei 2πϕn → ei 2π(ϕ1 +x1 ) , . . . , ei 2π(ϕn +xn ) ,
6.2 Примеры однородных пространств.
220
где (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , а ϕi – параметры на Tn . Стационарная подгруппа любой точки
на Tn изоморфна Zn , поэтому Tn = Rn /Zn .
2.) Еще раз обсудим соответствие SO(3)/SO(2) = S 2 . Любой точке единичной сферы
S 2 сопоставляется единичный вектор
⃗n = (n1 , n2 , n3 ) = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ) ,
(6.2.1) tro33
где ϕ ∈ [0, 2π) и θ ∈ [0, π] – сферические углы. Единичный вектор ⃗n (6.2.1) получается из вектора ⃗e3 = (0, 0, 1) с помощью двух двумерных поворотов — поворота
вокруг оси x2 на угол θ (здесь поворот против часовой стрелки в плоскости (x1 , x3 )
осуществляется от оси x3 к оси x1 ) и поворота вокруг оси x3 на угол ϕ в плоскости
(x1 , x2 ), смотри рисунок:
x3
6
HH
n
⃗
θ
ϕ HH
)
-
x2
x1
Матрицы соответствующих поворотов имеют вид (сравните с (2.1.15))
)
(
)
(
cθ 0 s θ
cϕ −sϕ 0
0 1 0
T2 (θ) =
∈ SO(3) , T3 (ϕ) = sϕ cϕ 0 ∈ SO(3) ,
0
0 1
−sθ 0 cθ
(6.2.2) t123a
где мы использовали краткие обозначения cθ := cos θ и sθ := sin θ. В результате
получаем
(
)
cϕ cθ −sϕ cϕ sθ
T3 (ϕ) · T2 (θ) = sϕ cθ cϕ sϕ sθ
,
(6.2.3) t123b
−sθ
0
cθ
и
( ) (
) (
)
cϕ sθ
0
n1
T3 (θ) · T2 (ϕ) 0 = sϕ sθ
= n2
.
(6.2.4) t123e
1
cθ
n3
Соотношение (6.2.4) демонстрирует транзитивность действия SO(3) на S 2 , а именно,
фиксированная точка ⃗e3 ∈ S 2 с помощью действий (6.2.4) переводится в любые две
точки ⃗n, ⃗n ′ ∈ S 2 , поэтому всегда существует элемент SO(3), который переводит ⃗n в
⃗n ′ . Стационарная подгруппа H⃗e3 точки ⃗e3 ∈ S 2 образована матрицами T3 (ψ) поворотов вокруг оси ⃗e3 (в плоскости (x1 , x2 )), где ψ ∈ [−π, π), и следовательно H⃗e3 = SO(2).
Поэтому, согласно Утверждению 6.1.2, имеем SO(3)/SO(2) = S 2 .
Матрица (6.2.3) однозначно связана с фиксированной точкой ⃗n ∈ S 2 и нумерует
смежные классы в SO(3)/SO(2); она имеет тот же вид, что и матрица (10.11.86)
из решения задач 165, 167. Так как смежные классы из SO(3)/SO(2) покрывают
всю группу SO(3), то мы приходим к заключению, что любой элемент O ∈ SO(3)
представим в виде (параметризация Эйлера)
(
)
cϕ cθ cψ − sϕ sψ , −cϕ cθ sψ − sϕ cψ , cϕ sθ
O = T3 (ϕ) · T2 (θ) · T3 (ψ) = sϕ cθ cψ + cϕ sψ , −sϕ cθ sψ + cϕ cψ , sϕ sθ
, (6.2.5) euler3
−sθ cψ ,
sθ sψ ,
cθ
6.2 Примеры однородных пространств.
221
где переменные (ϕ, θ, ψ) называются углами Эйлера. Углы Эйлера выражаются через
элементы матрицы O ∈ SO(3) следующим образом
cos θ = O33 ,
cos ϕ = √
O13
2
1 − O33
,
O31
cos ψ = √
,
2
1 − O33
где мы учли, что sin θ ≥ 0 при θ ∈ [0, π]. В случае O33 = 1 (это соответствует выбору
θ = 0 или θ = π) нарушается однозначность параметризации (6.2.5) для O ∈ SO(3).
Например, множество точек прямой θ = 0, ϕ + ψ = c в пространстве параметров
(ϕ, θ, ψ) соответствует согласно (6.2.5) одному элементу O = T3 (c) ∈ SO(3).
Замечание. Параметризация (6.2.5) определяется выбором ⃗e3 в качестве вектора, который фик- BSF
сирует стационарную подгруппу H⃗e3 , образованную элементами T3 (ψ), а также параметризацией
пространства SO(3)/SO(2), то есть представлением через сферические углы любой точки ⃗n ∈ S 2
(6.2.1). Иная параметризация получится, например, если записать произвольный вектор ⃗n ∈ S 2
(6.2.1) в виде (sϕ sθ , −cϕ sθ , cθ ), а подгруппу стабильности снова выбрать как H⃗e3 . Тогда представление для элементов SO(3) запишется в виде
O = T3 (ϕ) · T1 (θ) · T3 (ψ) .
(6.2.6)
euler4
Другие параметризации Эйлера группы SO(3), отличные от (6.2.5) и (6.2.6), можно получать заменами базиса в R3 . Все разновидности таких параметризаций эквивалентны, а выбор H⃗e3 в качестве
стационарной подгруппы в SO(3), как мы увидим ниже, удобен с технической точки зрения.
ESF
3.) Сфера S n−1 задается в Rn с помощью соотношений (3.1.6). Преобразования (2.3.13),
где ||Tij || ∈ SO(n), определяют действие группы SO(n) на S n−1 . Это действие транзитивно, так как фиксированная точка ⃗en = (0, . . . , 0, 1) ∈ S n−1 переводится в любую
другую точку (единичный вектор) ⃗x = (x1 , . . . , xn ) ∈ S n−1 преобразованием (2.3.13)
с ортогональной матрицей T , у которой Tkn = xk , то есть последний столбец дается координатами вектора ⃗x ∈ S n−1 . Таким образом, сфера S n−1 – однородное пространство группы SO(n). Стационарная подгруппа любой точки S n−1 изоморфна
SO(n − 1) ⊂ SO(n).
• Задача 169. Доказать, что элементы SO(n), которые стабилизируют точку
⃗en ∈ S n−1 имеют вид


0.
.. 
 Ω
(6.2.7) dsit00

0  , Ω ∈ SO(n − 1) ,
0 ... 0 1
то есть образуют подгруппу SO(n − 1) ⊂ SO(n).
Поэтому, согласно Утверждению 6.1.2, мы имеем
SO(n)/SO(n − 1) = S n−1 .
• Задача 170. Показать, что O(n)/O(n − 1) = S n−1 .
(6.2.8) dsit000
6.2 Примеры однородных пространств.
222
4.) Псевдоортогональная группа SO(p, q), где p + q = n и p ≥ 1, q ≥ 1, действует на
±
(n − 1)-мерных поверхностях Sp,q
, вложенных в Rp,q ,
+
Sp,q
:
2
yk ηkj yj = y12 + . . . + yp2 − yp+1
− . . . − yn2 = +1 ,
−
Sp,q
:
xk ηkj xj = x21 + . . . + x2p − x2p+1 − . . . − x2n = −1 ,
(6.2.9) dsit01
где (x1 , . . . , xn ) и (y1 , . . . , yn ) – координаты в Rp,q , а диагональная метрика η = Ip,q
+
−
определена в (2.2.54). Отметим, что Sp,q
= Sq,p
. Условие псевдоортогональности
(2.2.64) для матриц O ∈ SO(p, q) записывается в виде
Oki ηkj Ojm = ηim ,
(6.2.10) dsit02
и в частности мы имеем Ok1 ηkj Oj1 = 1 и Okn ηkj Ojn = −1. Поэтому вектор-столбец
+
⃗e1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Sp,q
переводится матрицей O ∈ SO(p, q), у которой первый стол+
бец равен Ok1 = yk , в произвольную точку (y1 , . . . , yn ) ∈ Sp,q
, а вектор-столбец
−
⃗en = (0, . . . , 0, 1) ∈ Sp,q переводится матрицей O ∈ SO(p, q), у которой последний
−
столбец равен Okn = xk , в произвольную точку (x1 , . . . , xn ) ∈ Sp,q
. Отсюда следует
±
транзитивность действия SO(p, q) на Sp,q . Подгруппа стабильности H⃗e1 ⊂ SO(p, q)
состоит из матриц


1 0 ... 0
 0.

, Ω ∈ SO(p − 1, q) ,
 ..
Ω 
0
а подгруппа стабильности H⃗en ⊂ SO(p, q) состоит из матриц


0.
.. 
 Ω

0  , Ω ∈ SO(p, q − 1) ,
0 ... 0 1
то есть
H⃗e1 = SO(p − 1, q) , H⃗en = SO(p, q − 1) .
(6.2.11) dsit05
+
−
Учитывая (6.2.11), а также то, что ⃗e1 ∈ Sp,q
и ⃗en ∈ Sp,q
, и пользуясь Утверждением
6.1.2, мы имеем
+
−
SO(p, q)/SO(p − 1, q) = Sp,q
, SO(p, q)/SO(p, q − 1) = Sp,q
,
(6.2.12) dsit03
−
+
. В частности, вспоминая определения пространств де
= Sq,p
что согласуется с Sp,q
Ситтера и анти де Ситтера (3.1.7), (3.1.8) и сравнивая их с поверхностями (6.2.9),
мы получаем
−
SO(n − 1, 2)/SO(n − 1, 1) = Sn−1,2
= AdS n ,
+
SO(n, 1)/SO(n − 1, 1) = Sn,1
= dS n ,
+
SO(n − 1, 2)/SO(n − 2, 2) = Sn−1,2
,
(6.2.13) dsit07
−
SO(n, 1)/SO(n) = Sn,1
.
Отметим, что стационарная подгруппа у пространств AdS n и dS n одинакова и совпадает с SO(n − 1, 1) — группой Лоренца n-мерного пространства. Этот факт говорит
6.2 Примеры однородных пространств.
223
о том, что локально пространства AdS n и dS n устроены как n-мерные пространства
Минковского Rn−1,1 , то есть сигнатура метрики у этих пространств равна (n − 1, 1).
Это мотивирует выбор знака у M 2 в определениях (3.1.7) и (3.1.8).
−
Отметим, что пространство Sn,1
= SO(n, 1)/SO(n) (которое является (n − 1)мерным аналогом двуполостного гиперболоида) локально устроено как n-мерное евклидово пространство Rn . Это пространство несвязно, так как у группы SO(n, 1)
имеются две несвязные друг с другом компоненты SO↑ (n, 1) и SO↓ (n, 1), соответствующие двум разным полостям (n − 1)-мерного двуполостного гиперболоида. Про+
странство Sn−1,2
задается уравнением (3.1.9) и локально устроено как Rn−2,2 .
5.) Нечетномерную сферу S 2n−1 можно задать в комплексном пространстве Cn с
помощью уравнений
z1∗ z1 + . . . + zn∗ zn = 1 ,
(6.2.14) dsit04
где zi – координаты в Cn . Группа U (n) (как впрочем и SU (n)) транзитивно действует на сфере S 2n−1 (6.2.14) с помощью преобразований zk → zk′ = Ukm zm , где
U = ||Ukm || ∈ U (n) (или U ∈ SU (n)). Стационарная подгруппа точки (z1 , . . . , zn ) =
(0, . . . , 0, 1) ∈ S 2n−1 изоморфна U (n − 1) (соответственно SU (n − 1)), где вложение
U (n−1) в U (n) (или SU (n−1) в SU (n)) осуществляется аналогично вложению (6.2.7)
группы SO(n − 1) в SO(n). Поэтому, согласно Утверждению 6.1.2, мы получаем
U (n)/U (n − 1) = SU (n)/SU (n − 1) = S 2n−1 .
(6.2.15) dsit08
В частности для n = 2 мы имеем U (2)/U (1) = SU (2) = S 3 , если вложение U (1) в
U (2) осуществляется по правилу27 , аналогичному (6.2.7).
6.) Вещественное проективное пространство RPn – это множество всех прямых в
Rn+1 , проходящих через начало координат (смотри пример 3 в разделе 3.1.1). С каждой такой прямой можно связать единичный направляющий вектор ⃗n ∈ Rn+1 причем
двум векторам ±⃗n соответствует одна и та же прямая (точка в RPn ). Поэтому, как
мы уже отмечали в разделе 3.1.1, пространство RPn — это сфера S n с отождествленными диаметрально противоположными точками. Отсюда следует, что на множестве
RPn (как и на сфере S n ) транзитивно действует та же группа O(n + 1). Стационарная подгруппа в O(n + 1), которая не меняет направляющий вектор (0, . . . , 0, 1) или
переводит его в эквивалентный (0, . . . , 0, −1), состоит из матриц


0.
.
. 
 Ω

0  , Ω ∈ O(n) , ±1 ∈ Z2 = O(1) .
0 ... 0 ±1
Поэтому согласно Утверждению 6.1.2 мы получаем
RPn = O(n + 1)/(O(n) × O(1)) .
27
Способ вложения здесь оказывается важным, так как при другом вложении U (1) в U (2), а
именно,
( iα
)
e
0
∈ U (1) ⊂ U (2) , α ∈ [−π, π) ,
0 eiα
выполняется другое соотношение U (2)/U (1) = SU (2)/Z2 .
6.2 Примеры однородных пространств.
224
• Задача 171. Доказать, что U (1)/Zn = U (1) для n = 1, 2, 3, . . .. В частности
получить, что RP1 = S 1 .
7.) Пример, рассмотренный в пункте 6.), обобщается следующим образом. Рассмот- BSF
рим пространство Gn,k всех k-мерных гиперплоскостей Vk в Rn (n > k), проходящих
через начало координат в Rn . Каждую гиперплоскость Vk ⊂ Rn можно задать как
векторное пространство, натянутое на k взаимно ортогональных единичных векторов ⃗xi ∈ Rn (i = 1, . . . , k). Иначе говоря, каждой системе (⃗x1 , . . . , ⃗xk ), состоящей из
k ортогональных друг другу и единичных векторов в Rn , соответствует некоторая
точка в Gn,k . Группа O(n) действует на Gn,k с помощью преобразований
(⃗x1 , . . . , ⃗xk ) → (⃗x1 ′ , . . . , ⃗xk ′ ) = (O · ⃗x1 , . . . , O · ⃗xk ) ,
∀O ∈ O(n) .
(6.2.16) dsit06
Действие (6.2.16) транзитивно, так как любая точка Vk ∈ Gn,k , соответствующая
системе (⃗x1 , . . . , ⃗xk ), может быть получена преобразованием
(⃗x1 , . . . , ⃗xk ) = (O · ⃗e1 , . . . , O · ⃗ek ) ,
фиксированной точки Ek ∈ Gn,k , соответствующей системе (⃗e1 , . . . , ⃗ek ). Здесь ⃗em =
(0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) — базисные вектора в Rn , а матрица ||Oij || ∈ O(n) такова, что
| {z }
m−1
Oim = (⃗xm )i , то есть первые ее k столбцов даются координатами векторов (⃗x1 , . . . , ⃗xk ).
Матрицы из O(n), оставляющие точку Ek ∈ Gn,k стабильной при преобразованиях
(6.2.16), имеют вид
(
)
Ω1
0k,n−k
, Ω1 ∈ O(k) , Ω2 ∈ O(n − k) ,
0n−k,k
Ω2
где 0k,m – матрицы k × m, состоящие из нулей. Поэтому стационарная подгруппа
точки Ek ∈ Gn,k изоморфна O(k) × O(n − k) и согласно Утверждению 6.1.2 мы
получаем
Gn,k = O(n)/(O(k) × O(n − k)) .
Пространство Gn,k называется многообразием Грассмана (или грассманианом). Очевидно, что Gn,k = Gn,n−k и Gn+1,1 = RPn .
• Задача 172. Вычислить размерность многообразия Грассмана Gn,k .
8.) Комплексное проективное пространство CPn задается как множество ненулевых
комплексных векторов ⃗z = (z1 , z2 , . . . , zn+1 ) ∈ Cn+1 , в котором произведено отождествление ⃗z ∼ λ⃗z, для всех комплексных λ ̸= 0. Иначе говоря, CPn — это множество
одномерных комплексных ”прямых” в Cn+1 , проходящих через начало координат. Будем считать, что вектора ⃗z нормированы соотношениями zi∗ zi = 1, при этом вектора
⃗z и eiϕ ⃗z соответствуют одной и той же точке CPn . На пространстве таких векторов
ESF
6.2 Примеры однородных пространств.
225
транзитивно действует группа U (n + 1). Выберем точку CPn , которая характеризуется вектором ⃗z = (0, . . . , 0, 1). Стационарная подгруппа этой точки образована
матрицами вида


0.
.. 
 U

0  , U ∈ U (n) , ϕ ∈ R .
0 ... 0 eiϕ
Поэтому согласно Утверждению 6.1.2 мы получаем
CPn = U (n + 1)/(U (n) × U (1)) .
Пользуясь (6.2.15), это соотношение можно переписать в виде
CPn = S 2n+1 /U (1) ,
и в частном случае n = 1 мы имеем знаменитое расслоение Хопфа:
S 2 = S 3 /S 1 = SU (2)/U (1) .
(6.2.17) hopf
9.) Можно обобщить вещественное многообразие Грассмана Gn,k из Примера 7.) и BSF
определить комплексное многообразие Грассмана GCn,k как множество комплексных
k-мерных гиперплоскостей в Cn , проходящих через начало координат. В результате,
так же как и в Примере 8.), мы определяем GCn,k как однородное пространство
GCn,k = GCn,n−k = U (n)/(U (k) × U (n − k)) .
В некоторых физических задачах возникают также однородные пространства симплектических групп
HPn−1 = USp(2n)/(USp(2n − 2) × USp(2)) , GH
n,k = USp(2n)/(USp(2n − 2k) × USp(2k)) ,
которые называются, соответственно, HPn−1 — кватернионным проективным пространством и GH
n,k — кватернионным грассмановым пространством. Поле кватернионов определялось в примере 5. Раздела 3.2.12 (см. также Задачу 108).
10.) Рассмотрим пространство CP2n+1 , которое согласно примеру 8.) задается как
множество векторов ⃗z = (z1 , . . . , z2n+2 ) ∈ C2n+2 с отождествлением ⃗z ∼ λ⃗z, для всех
λ ∈ C\0, или как множество векторов ⃗z ∈ C2n+2 , задающих сферу S 4n+3 : zk∗ zk = 1,
с отождествлением ⃗z ∼ eiϕ⃗z (∀ϕ ∈ R). Заметим, что пару комплексных чисел z1 =
x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 всегда можно реализовать как кватернион (3.2.190):
q(z1 , z2 ) = (x1 + i σ1 y1 ) + (x2 + i σ1 y2 ) i σ3 = x1 + i σ1 y1 + i σ2 y2 + i σ3 x2 ,
(6.2.18) quat02
а умножение чисел z1 и z2 на одно и то же комплексное число λ = λ1 + iλ2 можно
записать как умножение кватерниона (6.2.18) слева на специальный кватернион Λ =
(λ1 + i σ1 λ2 ):
q(λ z1 , λ z2 ) = Λ · q(z1 , z2 ) .
(6.2.19) quat03
6.2 Примеры однородных пространств.
226
Пользуясь формулами (6.2.18) и (6.2.19), пространство CP2n+1 можно представить
как множество кватернионных векторов
⃗q = (q1 , . . . , qn+1 ) ∈ Hn+1 ,
с отождествлением ⃗q ∼ Λ · ⃗q, для всех Λ = (λ1 + i σ1 λ2 ) ̸= 0, или как множество
векторов ⃗q ∈ Hn+1 , задающих сферу S 4n+3 :
n+1
∑
(6.2.20) quat04
q̄α qα = 1 ,
α=1
с отождествлением
⃗q ∼ Λ · ⃗q ,
Λ̄ · Λ = I2 .
(6.2.21) quat05
Отвлечемся пока от пространства CP
и рассмотрим сферу S 4n+3 , заданную
соотношениями (6.2.20). На ней транзитивно действует группа SU (n + 1, H) кватернионных матриц U , удовлетворяющих условию унитарности (3.2.193) (см. пример 5.
в Разделе 3.2.12). Действие группы SU (n + 1, H) на S 4n+3 (6.2.20) задается стандартным образом: qα → Uαβ qβ . Выберем точку на S 4n+3 , которая соответствует кватернионному вектору ⃗q = (0, . . . , 0, I2 ). Стационарная подгруппа в SU (n + 1, H) для этой
точки образована кватернионными матрицами


0.
.. 
 U

0  , U ∈ SU (n, H) ,
0 ... 0 I2
2n+1
образующими подгруппу SU (n, H) ⊂ SU (n + 1, H). Поэтому согласно Утверждению
6.1.2 мы получаем
S 4n+3 = SU (n + 1, H)/SU (n, H) = USp(2n + 2)/USp(2n) ,
где в последнем равенстве мы воспользовались изоморфизмом SU (n, H) = USp(2n),
который был сформулирован в Задаче 103.
Вернемся к пространству CP2n+1 . Так как SU (n + 1, H) транзитивно действует на
S 4n+3 , то группа SU (n+1, H) транзитивно действует и на CP2n+1 , что следует из определения CP2n+1 как множества точек на S 4n+3 (6.2.20) с отождествлением (6.2.21).
Выберем точку на CP2n+1 , заданную вектором ⃗q0 = (0, . . . , 0, Λ), где произвольный
кватернион вида Λ = (λ1 + i σ1 λ2 ) должен удовлетворять соотношению
Λ̄ · Λ = I2
⇒
λ1 = cos ϕ ,
λ2 = sin ϕ .
(6.2.22) quat06
Множество таких Λ ∈ H образует группу U (1). Стационарная подгруппа в SU (n +
1, H) для точки ⃗q0 ∈ CP2n+1 образована кватернионными матрицами


0.
.. 
 U
′
′
′

0  , U ∈ SU (n, H) , Λ = (λ1 + i σ1 λ2 ) ∈ U (1) .
0 ... 0 Λ′
6.3 Модели неевклидовой геометрии Лобачевского.
227
Эти матрицы задают подгруппу SU (n, H) × U (1) ⊂ SU (n + 1, H). Поэтому согласно
Утверждению 6.1.2 мы получаем
CP2n+1 = SU (n + 1, H)/(SU (n, H) × U (1)) = USp(2n + 2)/(USp(2n) × U (1)) .
ESF
11.) Пусть G — группа Ли. Рассмотрим группу G × G и обозначим первую и
вторую группу в этом произведении как GL и GR , чтобы различать их. Элементами
группы GL × GR являются пары (gL , gR ), где gL ∈ GL и gR ∈ GR . В группе GL × GR VRN
имеется подгруппа GV , образованная элементами (g, g), ∀g ∈ G, которая называется диагональной подгруппой. Группа GV очевидно изоморфна G. По определению,
фактор-пространство (GL × GR )/GV состоит из смежных классов по соотношению
эквивалентности
(gL , gR ) ∼ (gL · g, gR · g) .
В каждом смежном классе существует единственный элемент вида (h, e), где h =
gL gR−1 ∈ G и e – единичный элемент в G. Поэтому
(GL × GR )/GV = G .
(6.2.23) gg-gV
Левое действие группы GL ×GR на фактор-пространстве (GL ×GR )/GV определяется
соотношениями
(gL , gR ) · (h, e) = (gL · h, gR ) ∼ (gL · h · gR−1 , e) ,
из которых следует, что группа GL × GR действует на фактор-пространстве (6.2.23)
следующим образом:
h → gL · h · gR−1 .
Отметим, что особенно интересен для физики случай G = SU (n), когда факторпространство (6.2.23) имеет вид [SU (n)L × SU (n)R ]/SU (n)V = SU (n). Этот пример
важен тем, что глобальная группа симметрии SU (n)L × SU (n)R имеется в квантовой хромодинамике с n ароматами безмассовых кварков (киральный предел), и эта
симметрия спонтанно нарушается до диагональной симметрии SU (n)V .
6.3
Модели неевклидовой геометрии Лобачевского.
BSF
Напомним свойства прямых в евклидовой геометрии на плоскости.
• Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
• Две несовпадающие прямые или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.
VRJ
Кроме этого, для прямых на плоскости выполняется пятый постулат Евклида, который в современной трактовке формулируется следующим образом:
• через точку, не лежащую на прямой Λ, проходит не более одной прямой, не
пересекающей Λ.
6.3 Модели неевклидовой геометрии Лобачевского.
228
Неевклидова геометрия Лобачевского основана на отрицании пятого постулата при
сохранении первых двух свойств, перечисленных выше. В данном разделе мы построим, пользуясь методами теории однородных пространств, явные модели геометрии
Лобачевского.
Рассмотрим дробно-линейное преобразование (2.3.44) в комплексной плоскости:
az + b
, z∈C,
(6.3.1) pu-02
cz + d
(
)
a b
с вещественной матрицей A =
∈ SL(2, R), то есть ad − bc = 1. Матрицы
c d
±A определяют одно и то же преобразование (6.3.1), поэтому (6.3.1) задает действие
группы
SL(2, R)/{±I2 } = PSL(2, R) ,
z → w(z) =
на комплексной плоскости C. Группа PSL(2, R) действует на C не транзитивно. Действительно, преобразования (6.3.1) расслаивают C на три орбиты, а именно, переводят действительную ось, а также верхнюю и нижнюю полуплоскости C в себя. Это
с очевидностью следует из равенства
w − w∗ =
z − z∗
.
|c z + d|2
(6.3.2) pu-01
Рассмотрим одну из орбит — верхнюю полуплоскость P = {z ∈ C | Im(z) > 0}, на
которой группа PSL(2, R) действует транзитивно. Найдем стационарную подгруппу
H одной из точек P, например, точки i ∈ P. Из (6.3.1) получаем i = (a i + b)/(c i + d)
откуда следует, что
a=d,
b = −c ,
a 2 + b2 = 1
⇒
a = d = cos ϕ ,
b = −c = sin ϕ .
Таким образом, каждый элемент h стационарной подгруппы H имеет вид
)
(
cos ϕ sin ϕ
,
h=
− sin ϕ cos ϕ
(6.3.3) pu-01a
и следовательно H = SO(2). В результате, согласно Утверждению 6.1.2, мы получаем, что верхнюю полуплоскость P = {z ∈ C | Im(z) > 0} можно взаимнооднозначно
и гладко отобразить на однородное пространство
P SL(2, R)/SO(2) = SO↑ (1, 2)/SO(2) ↔ P ,
(6.3.4) pu-03
где мы учли изоморфизм P SL(2, R) = SO↑ (1, 2), смотри Задачу 113.
Замечание 1. Любая компактная двумерная риманова поверхность (кроме сферы)
диффеоморфна P/Γ, где Γ – дискретная группа движений в P = {z ∈ C | Im(z) > 0},
то есть Γ — дискретная подгруппа в группе P SL(2, R) дробно-линейных преобразований (6.3.1).
Пользуясь тем, что P SL(2, R) нелинейно и транзитивно действует на верхней полуплоскости P = {z ∈ C | Im(z) > 0}, на ней можно построить модель неевклидовой
6.3 Модели неевклидовой геометрии Лобачевского.
229
геометрии Лобачевского, которая называется моделью Пуанкаре. Для этого будем
считать прямыми (Λ-прямыми) в P дуги полуокружностей, у которых (см. рис. 5)
центр, точка A, лежит на вещественной оси. К прямым в P мы также будем относить дуги с бесконечным радиусом, то есть вертикальные прямые, перпендикулярные
вещественной оси.
Две разные Λ-прямые не могут пересекаться в двух разных точках z1 и z2 , что с
очевидностью следует из рис. 5. Кроме того ясно, что всегда существуют две разные
пересекающиеся в одной точке Λ-прямые, которые не пересекают третью Λ-прямую
(на самом деле в ситуации общего положения таких прямых бесконечное число). Таким образом в построенной модели нарушается пятый постулат Евклида и следовательно данная геометрия является примером неевклидовой геометрии Лобачевского.
z2
6
z• 3
z1
α
@
@
@
@•
A
β
•
iy2
•
iy1
0
-
Рис. 5: Λ-прямые в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского.
Для введения метрики на пространстве P с заданными прямыми (Λ-прямыми)
прежде всего заметим, что дробно-линейные преобразования (6.3.1) переводят Λпрямые в Λ-прямые. Действительно, согласно Утверждению 2.3.5 дробно-линейные
преобразования переводят окружности в окружности, а кроме того, они переводят
точки действительной оси в точки действительной оси, откуда и следует сделанное
утверждение. Далее, для четырех точек z1 , z2 , z3 , z4 ∈ P можно определить так называемое двойное отношение
z2 − z3 z1 − z3
(z1 , z2 , z3 , z4 ) =
:
,
(6.3.5) pu-04
z2 − z4 z1 − z4
которое инвариантно относительно любых дробно-линейных преобразований (2.3.44).
• Задача 173. Доказать, что двойное отношение (6.3.5) инвариантно относительно любых дробно-линейных преобразований (2.3.44).
Пусть теперь имеются две точки z1 , z2 ∈ P. Через них проходит единственная Λпрямая. Определим инвариантную функцию
ρ(z1 , z2 ) = ln(z1 , z2 , α, β) ,
(6.3.6) pu-05
где α и β — концевые точки Λ-прямой, проходящей через z1 и z2 (см. рис. 5). Для
трех точек z1 , z2 и z3 , лежащих на одной Λ-прямой, как это изображено на рис. 5,
можно проверить, что
(z1 , z2 , α, β)(z2 , z3 , α, β) = (z1 , z3 , α, β)
⇒
ρ(z1 , z2 ) + ρ(z1 , z2 ) = ρ(z1 , z3 ) .
6.3 Модели неевклидовой геометрии Лобачевского.
230
Кроме того, как мы увидим ниже, (z1 , z2 , α, β) > 1, поэтому ρ(z1 , z2 ) > 0 и мы можем
рассматривать инвариант ρ(z1 , z2 ) как расстояние между двумя точками z1 и z2 в
рассматриваемой модели неевклидовой геометрии на P.
С помощью дробно-линейного преобразования (6.3.1) любая Λ-прямая может быть
отображена на мнимую ось, при этом ее точки α, z1 , z2 , β соответственно отображаются в точки 0, iy1 , iy2 , ∞ на мнимой оси (см. рис. 5) и мы имеем y2 > y1 > 0. Из
инвариантности двойного отношения следует, что
(z1 , z2 , α, β) = (iy1 , iy2 , 0, ∞) =
|y1 + y2 | + |y1 − y2 |
y2
=
,
y1
|y1 + y2 | − |y1 − y2 |
(6.3.7) pu-06
где при получении последнего равенства мы воспользовались тем, что y2 > y1 > 0. Из
|z1 −z2 |
∗ ∗
1/2
(6.3.7) сразу же следует, что (z1 , z2 , α, β) > 1. Заметим, что |z
∗ = (z1 , z1 , z2 , z2 )
1 −z2 |
— инвариант относительно преобразований (6.3.1) и следовательно имеет место равенство
|z1 − z2 |
|y1 − y2 |
=
.
∗
|z1 − z2 |
|y1 + y2 |
Поэтому соотношение (6.3.7) переписывается в удобном виде
(z1 , z2 , α, β) =
|z1 −z2 |
1 + |z
∗
1 −z |
2
|z1 −z2 |
1 − |z
∗
1 −z2 |
.
(6.3.8) pu-07
Подставляя (6.3.8) в (6.3.6), в пределе z1 → z2 мы получаем метрику Пуанкаре на P:
ρ(z1 , z2 ) → d s =
|d z|
d z d z∗
⇒ d s2 =
,
y
y2
(6.3.9) pu-08
где dz = z2 −z1 и y = Im(z1 ) ∼ Im(z2 ). Полуплоскость P, снабженная метрикой (6.3.9)
и расстояниями (6.3.6) между точками, называется моделью Пуанкаре геометрии
Лобачевского.
• Задача 174. Показать, что преобразования (6.3.1) являются изометрией в модели Пуанкаре, то есть не меняют метрику (6.3.9):
d z d z∗
dw dw∗
=
.
(Im z)2
(Im w)2
(6.3.10) dsit36
Напомним, что согласно (6.3.4) и (6.2.13) пространство P диффеоморфно одной
−
+
из полостей двуполостного гиперболоида S2,1
= S1,2
, который можно задать как по2,1
верхность (6.2.9) в R . Далее в этом разделе мы покажем, что метрика Пуанкаре
−
+
(6.3.9) может быть получена из метрики для пространства S2,1
= S1,2
с помощью
взаимнооднозначного соответствия (6.3.4). Мы сделаем это в два шага. Сначала мы
−
построим взаимнооднозначное отображение из S2,1
на единичный круг B: |z| < 1 в
комплексной плоскости C и тем самым определим в B неевклидову метрику. А затем
воспользуемся хорошо известным дробно-линейным отображением единичного круга
B на верхнюю полуплоскость P ⊂ C.
6.3 Модели неевклидовой геометрии Лобачевского.
231
±
Пространства Sp,q
представляются в виде поверхностей (6.2.9) в Rp,q , а их метрики
получаются из псевдоевклидовой метрики плоского пространства Rp,q
2
kj
ds = dxk η dxj =
p
∑
(dxj ) −
2
j=1
p+q
∑
(dxj )2 .
(6.3.11) dsit51
j=p+1
+
−
Так как Sq,p
= Sp,q
, то достаточно рассмотреть одну из поверхностей (6.2.9), скажем
−
Sp,q , которую мы запишем в виде
xa η ab xb − x20 = −1 ,
a, b = 1, . . . , p + q − 1 ,
(6.3.12) dsit50
где ||η ab || = Ip,q−1 . Для параметризации этой поверхности выберем стереографические координаты ka (a = 1, . . . , p + q − 1), которые связаны с координатами Rp,q
соотношениями
2 ka
1 + ⃗k 2
xa =
, x0 =
,
(6.3.13) dsit49
1 − ⃗k 2
1 − ⃗k 2
где ⃗k 2 := ka η ab kb = ka k a . Легко проверить, что переменные (6.3.13) удовлетворяют
(6.3.12). Формулы (6.3.13) задают проекцию поверхности (6.3.12), которая вложена
в Rp,q , на гиперплоскость Rp−1,q , которая определяется соотношением x0 = 0 (см.
рис. 6). Стереографическая проекция (6.3.13) произведена из ”южного полюса”, так
как при ka = 0 (⃗k 2 = 0) мы имеем x0 = 1 и xa = 0, а при ⃗k 2 → ∞ имеем x0 = −1 и
xa = 0.
x0
6
•
@
@
@
@
+1
A
•
A
A
A9
• O
⃗k A
A
A•
@
@
@
p−1,q
R
@
−1
Рис. 6: Стереографическая проекция из ”южного полюса”.
Для дифференциалов координат (6.3.13) получаем
dx0 = 4
k a dka
,
(1 − ⃗k 2 )2
dxa =
2 dka
+ ka dx0 .
1 − ⃗k 2
+
,
Подставляя их в (6.3.11) мы выводим выражение для метрики пространства Sp,q
записанное в стереографических координатах
ds2 = dxa η ab dxb − dx20 = 4
dk a dka
.
(1 − ⃗k 2 )2
(6.3.14) dsit52
6.3 Модели неевклидовой геометрии Лобачевского.
232
Отметим, что метрика в правой части (6.3.14) имеет конформный вид. В частности
−
−
для пространств анти де Ситтера AdS n = Sn−1,2
и де Ситтера dS n = S1,n
(6.2.13)
ab
метрическая матрица ||η || в правой части (6.3.14) должна быть выбрана в виде
η = In−1,1 и η = I1,n−1 , соответственно. Это указывает на то, что пространства AdS n
и dS n локально устроены как n-мерные пространства Минковского (см. обсуждение
после формул (6.2.13)). Если в формуле (6.3.14) выбрать η ab = diag(−1, −1), что
согласно (6.3.12) соответствует сфере S 2 , то для метрики (6.3.14) в этом случае мы
получаем выражение
dz dz ∗
ds2 = −4
,
(6.3.15) dsit5s2
(1 + z z ∗ )2
где z = k1 + ik2 .
• Задача 175. Доказать, что метрика (6.3.11) для поверхности (6.3.12) в коорaΛ2
динатах xa (a = 1, . . . , p + q − 1) записывается в виде
(
)
xa xb
2
ab
ds = dxa η − 2
dxb ,
(6.3.16) dsit50x
x0
где x20 = 1 + xa xa и xa = η ab xb .
Вернемся теперь к тому, как модель Пуанкаре P геометрии Лобачевского, которую мы построили в начале этого раздела, связана (в согласии с взаимнооднознач−
+
ным соответствием (6.3.4)) с геометрией на верхней полости гиперболоида S2,1
= S1,2
:
x20 − x21 − x22 = 1 ,
x0 ≥ 1 .
(6.3.17) dsit48
−
В случае пространства S2,1
мы имеем ||η ab || = diag(1, 1) и согласно (6.3.13) верхняя
полость гиперболоида (6.3.17) x0 ≥ 1 отображается в круг B: ⃗k 2 = k12 + k22 < 1, а
метрика (6.3.14) записывается в виде
ds2 = 4
dz dz ∗
dk12 + dk22
=4
,
(1 − z z ∗ )2
(1 − ⃗k 2 )2
(6.3.18) dsit53
где мы сделали замену переменных z = k1 + ik2 . Дробно-линейные преобразования
z→w=
где
(
U=
a b
b∗ a∗
az + b
,
b∗ z + a∗
a, b ∈ C ,
(6.3.19) dsit55
)
∈ SU (1, 1) ,
a a∗ − b b ∗ = 1 ,
задают транзитивное действие группы P SU (1, 1) = SU (1, 1)/{I2 , −I2 } в единичном
круге B: |z| < 1 (±U обслуживают одно и тоже преобразование (6.3.19)).
• Задача 176. Проверить, что преобразования (6.3.19) являются изометрией в
B, то есть не меняют метрику (6.3.18):
dw dw∗
dz dz ∗
=
.
(1 − z z ∗ )2
(1 − w w∗ )2
(6.3.20) dsit56
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
233
Стационарная подгруппа H ⊂ P SU (1, 1) точки z = 0 согласно (6.3.19) определяется
условиями b = 0, a∗ a = 1 и следовательно H = U (1). Таким образом, мы имеем
взаимно-однозначное соответствие пространств
P SU (1, 1)/U (1) = B ,
которое индуцирует неевклидову метрику (6.3.18) на B. Пространство B с метрикой
(6.3.18) называется конформной моделью неевклидовой геометрии Лобачевского.
Для того чтобы сделать второй шаг в намеченной выше программе и получить
модель Пуанкаре из конформной модели, то есть получить метрику (6.3.9) для верхней полуплоскости P (6.3.4) из метрики (6.3.18) для B, необходимо воспользоваться
отображением единичного круга B на P. Известно, что все дробно-линейные диффеоморфизмы верхней полуплоскости Im z > 0 на единичный круг |w| < 1 задаются
отображением
z−a
w = eiϕ
,
∀a ∈ P ,
(6.3.21) dsit57
z − a∗
которое переводит точку z = a ∈ P в центр w = 0 круга |w| < 1, а вещественную ось
Im z = 0 в окружность |w| = 1. В нашем случае, в силу выбора точки стабильности
(см. вывод равенства (6.3.3)), мы полагаем a = i,
w = eiϕ
z−i
.
z+i
Подставляя это выраженние в правую часть (6.3.20), получаем метрику для верхней
полуплоскости (полуплоскости Пуанкаре)
ds2 = 4
dz dz ∗
dx2 + dy 2
=
4
,
(Imz)2
y2
где z = x + iy и y > 0, которая с точностью до множителя совпадает с (6.3.9).
Замечание 2. В конформной модели B геометрии Лобачевского в качестве прямых
выступают образы Λ-прямых при отображении (6.3.21) из P в B. Так как дробнолинейное преобразование (6.3.21) переводит окружности в окружности (Утверждение 2.3.5) и сохраняет углы ((6.3.21) — конформное преобразование), то прямыми
в конформной модели B оказываются дуги окружностей, концы которых опираются
на граничную окружность |z| = 1 под прямым углом.
ESF
6.4
Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
В этом разделе мы изложим достаточно общий метод получения инвариантных метрик на однородных пространствах G/H, основанный на локальных свойствах группы
Ли G и ее подгруппы Ли H. Пользуясь этими метриками, мы построим инвариантные операторы Лапласа на пространствах G/H и покажем их связь с квадратичными
операторами Казимира алгебры Ли A(G). Но прежде чем перейти к этой теме, нам
будет необходимо определить некоторые понятия, возникающие в дифференциальной геометрии гладких многообразий.
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
6.4.1
234
Элементы дифференциальной геометрии на гладких многообразиях.
Пусть M — гладкое n-мерное многообразие. В каждой точке x ∈ M зададим репер
в касательном пространстве Tx (M ) к M , состоящий из векторов ⃗ea (x) (a = 1, . . . , n),
которые образуют базис в Tx (M ). Любой вектор ⃗v (x) ∈ Tx (M ) можно разложить по
базисным векторам
⃗v (x) = v a (x) ⃗ea (x) .
(6.4.1) difg0
Пусть Ux ⊂ M — локальная координатная окрестность точки x и xµ = (x1 , . . . , xn )
— координаты точки x. Обозначим компоненты базисных векторов ⃗ea (x) в заданной
координатной системе как eµa (x), где µ — индекс, нумерующий компоненты. Тогда
согласно (6.4.1) компоненты векторов ⃗v (x) ∈ Tx (M ) в координатном базисе записываются в виде
v µ (x) = v a (x) eµa (x) .
(6.4.2) difg0a
Будем считать, что при переходе из точки x к близким точкам x + dx, компоненты
eµa (x) и v µ (x) как функции координат меняются достаточно гладко. В этом случае
говорят, что на Ux ⊂ M заданы векторные поля ⃗ea (x) 28 и ⃗v (x).
Выбор другой системы координат xµ → (x′ )µ = f µ (⃗x) в окрестности Ux ⊂ M приводит к преобразованию компонент векторов ⃗ea (x) и ⃗v (x) согласно правилу (3.1.57):
eµa (x) → (e′ )µa (x′ ) =
∂(x′ )µ ν
e (x) .
∂xν a
(6.4.3) difg01
v µ (x) → (v ′ )µ (x′ ) =
∂(x′ )µ ν
v (x) ,
∂xν
(6.4.4) difg01a
′ µ
)
(сравните преобразование dxµ → d(x′ )µ = ∂(x
dxν и формулу (6.4.4)). В касательном
∂xν
пространстве Tx (M ) всегда можно сделать замену базиса ⃗ea (x) с помощью линейного
локального преобразования
eµa (x) → eeµa (x) = Λba (x) eµb (x) ,
(6.4.5) difg02
v a (x) → vea (x) = (Λ−1 )ab (x) v b (x) ,
(6.4.6) difg02a
где матрицы ||Λba (x)|| в общем случае зависят от точки x и принадлежат группе
GL(n, R). Будем считать, что во всех касательных пространствах Tx (M ) имеется скалярное произведение, инвариантное относительно замены координат xµ → (x′ )µ (см.
(3.1.64), (3.1.65)), и базисный репер ⃗ea (x) ∈ Tx (M ) выбран так, чтобы выполнялось
соотношение
(⃗ea (x), ⃗eb (x)) = ηab ,
(6.4.7) difg03
где ηab не зависят от x. В этом случае скалярное произведение любых двух векторов
⃗v , ⃗u ∈ Tx (M ) запишется в виде
(⃗v , ⃗u) = (v a ⃗ea (x), ub ⃗eb (x)) = v a (x) ηab ub (x) .
28
(6.4.8) difg03a
В случае n = 4 совокупность компонент eµa (x) векторных полей ⃗ea (x) называется тетрадой.
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
235
Постоянный тензор ηab может рассматриваться как ”плоская” метрика, одинаковая
во всех касательных пространствах, а (6.4.7) интерпретируется как условие ортонормированности репера ⃗ea (x) ∈ Tx (M ) в каждой точке x. Несмотря на фиксацию ⃗ea (x) с
помощью соотношений (6.4.7), произвол (6.4.5) в выборе базисных векторов частично
все же остается. А именно, матрицы ||Λba (x)|| в (6.4.5) должны теперь удовлетворять
условию
ηab = Λca (x) ηcd Λdb (x) .
(6.4.9) difg03b
Постоянная метрика η = ||ηab || всегда может быть приведена к стандартному виду
η = Ip,q (2.2.54), поэтому условие (6.4.9) выделяет псевдо-ортогональную калибровочную подгруппу O(p, q) в локальной группе GL(n, R). Эта подгруппа — калибровочная
(локальная) в том смысле, что матрицы ||Λba || зависят от точки x.
Матрица ”плоской” метрики ||ηab || и обратная к ней матрица ||η ab || позволяют
поднимать и опускать индексы a, b, . . ., нумерующие базисные вектора в касательных
пространствах Tx (M ) и компоненты векторов ⃗v :
v a (x) = η ab vb (x) , va (x) = ηab v b (x) .
Пользуясь матрицей ||η ab ||, из компонент репера eµa (x) строится тензор
eµa (x) η ab eνb (x) = g µν (x) .
(6.4.10) difg04
Теперь с помощью матрицы ||g µν ||, построенной из компонент тензора (6.4.10), и
обратной к ней матрицы ||gµν || можно поднимать и опускать индексы у компонент
v µ (x) векторов ⃗v ∈ Tx (M ):
v µ (x) = g µν (x) vν (x) , vµ (x) = gµν (x) v ν (x) .
Наряду с репером eµa (x) можно ввести дуальный репер
eaµ (x) = η ab eνb (x) gµν ,
(6.4.11) difg08b
который задает обратную к ||eµa (x)|| матрицу и в соответствии с (6.4.3) и (6.4.5) преобразуется по правилам
eaµ (x) → (e′ )aµ (x′ ) = (∂µ′ xν ) eaν (x) ,
(6.4.12) difg08
eaµ (x) → eeaµ (x) = (Λ−1 )ab (x) ebµ (x) ,
(6.4.13) difg08d
где
∂µ′ xν =
∂xν
.
∂(x′ )µ
Наконец с помощью eµa (x) и eaµ (x) можно заменять индексы типа µ, ν, . . . на индексы
a, b, . . . и наоборот, как это сделано, например, в (6.4.2). Обратная к (6.4.2) замена
имеет вид
(6.4.14) difg08a
v a (x) = v µ (x) eaµ (x) .
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
236
Отметим, что согласно (6.4.3) компоненты gµν при замене координат преобразуются как компоненты метрического тензора (см. (3.1.65)). Более того, скалярное
произведение (6.4.8) с помощью (6.4.11) переписывается в виде (сравните с (3.1.64))
(⃗v , ⃗u) = v a (x) ηab ub (x) = v a (x) eµa (x) gµν (x) eνb (x) ub (x) = v µ (x) gµν (x) v ν (x) ,
поэтому обратная матрица к матрице (6.4.10), которая равна
gµν (x) = eaµ (x) ηab ebν (x) ,
(6.4.15) difg09a
действительно является метрикой в окрестности Ux ⊂ M в заданной системе координат. Подчеркнем, что метрика (6.4.15) инвариантна относительно локальных
(калибровочных) преобразований репера (6.4.13).
Для определения ковариантной производной векторного поля ⃗v (x) в любой точке
многообразия M необходимо ввести на M дополнительную структуру, которая называется связностью. В локальной системе координат ковариантная производная Dµ
записывается следующим образом
Dν v µ (x) = ∂ν v µ (x) + Γµνλ (x) v λ (x) ,
(6.4.16) difg09
где Γµνλ (x) — коэффициенты связности в точке x ∈ M , и мы использовали обозначение
∂ν = ∂/∂xν . Потребуем, чтобы действие ковариантной производной удовлетворяло
правилу Лейбница
(
)
Dν v µ (x) · uλ (x) = (Dν v µ (x)) · uλ (x) + v µ (x) · (Dν uλ (x)) ,
что, вместе с (6.4.16), позволяет определить действие Dν на тензорное поле любого ранга, например, Dν aµλ = ∂ν aµλ + Γµνρ aρλ + Γλνρ aµρ . Ковариантность оператора Dν
(6.4.16) означает, что при замене координат xµ → (x′ )µ компоненты Dν v µ (x) преобразуются однородно:
Dν v µ (x) → ∂ν′ xλ ∂ρ (x′ )µ Dλ v ρ (x) .
(6.4.17) difg10
С учетом (6.4.4) это дает преобразование коэффициентов связности
(Γ′ )µνγ = ∂ν′ xλ ∂γ′ xρ Γξλρ ∂ξ (x′ )µ − ∂ν′ xλ ∂γ′ xρ ∂λ ∂ρ (x′ )µ .
(6.4.18) difg10b
Разложим связность Γµνλ на симметричную и антисимметричную части:
Γµνλ (x) = Γµ(νλ) (x) + Γµ[νλ] (x) ,
(6.4.19) difg10a
где
1
1
Γµ(νλ) = (Γµνλ + Γµλν ) , Γµ[νλ] = (Γµνλ − Γµλν ) .
2
2
µ
Симметричная часть связности Γ(νλ) называется символами Кристоффеля. Заметим,
что последнее слагаемое в правой части (6.4.18) симметрично при замене ν ↔ γ.
Поэтому антисимметричная часть Γµ[νλ] преобразуется однородно как тензор, а неоднородно преобразуются только символы Кристоффеля Γµ(νλ) .
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
237
• Задача 177. Получить из определения (6.4.16) формулу
Dν vµ (x) = ∂ν vµ (x) − Γλνµ (x) vλ (x) .
(6.4.20) difg11
Указание: воспользоваться тождеством Dν (vµ uµ ) = ∂ν (vµ uµ ), и правилом Лейбница для производных ∂ν и Dν .
Аналогично, определим ковариантную производную Dν для компонент v a (x) в виде
a
(x) v b (x) ,
Dν v a (x) = ∂ν v a (x) + ωνb
(6.4.21) difg12
a
(x)|| играет роль калибровочного поля для локальной
где связность ων (x) = ||ωνb
(калибровочной) группы O(p, q). Действительно, условие ковариантности при калибровочных преобразованиях (6.4.6) для производной (6.4.21) записывается в виде
Dν v a → (Λ−1 )ab Dν v b откуда, с учетом (6.4.6), получаем закон преобразования для
ωµ (x)
ω
eµ = Λ−1 ωµ Λ + Λ−1 ∂µ Λ ,
(6.4.22) difg13
который характерен для преобразований калибровочных полей. Отметим, что связность ωµ принимает значения в алгебре Ли so(p, q). Калибровочное поле ωµ (x) для
локальной группы O(p, q) называется спиновой связностью.
Компоненты репера eaµ (x) преобразуются как произведение компонент v a и vµ . В
соответствии с этим и из (6.4.20) и (6.4.21) следует, что ковариантная производная
Dµ от eaν (x) записывается в виде
a b
Dµ eaν (x) = ∂µ eaν (x) − Γλµν eaλ + ωµb
eν .
(6.4.23) difg05
С помощью ковариантной производной (6.4.23) можно определить антисимметричный тензор
1
a
(6.4.24) difg05b
Tµν
= (Dµ eaν (x) − Dν eaµ (x)) + Γλ[µν] eaλ ,
2
который называется кручением. Подставляя в правую часть (6.4.24) выражения для
ковариантной производной (6.4.23), получаем
1
a
a b
a b
Tµν
= (∂µ eaν (x) − ∂ν eaµ (x) + ωµb
eν − ωνb
eµ ) ,
2
(6.4.25) difg05a
то есть кручение зависит от спиновой связности и не зависит от Γµνλ .
Антисимметричные тензоры удобно записывать в виде дифференциальных форм.
Например, с помощью записи через дифференциальные формы соотношение (6.4.25)
можно представить в компактном виде
d ea = T a − ωba ∧ eb ,
(6.4.26) difg15
где использованы обозначения
ea = eaν dxν ,
d ea = ∂µ eaν dxµ ∧ dxν ,
a
T a = Tµν
dxµ ∧ dxν ,
a
ωba = ωµb
dxµ ,
и dxµ ∧ dxν = −dxν ∧ dxµ играет роль базиса в пространстве антисимметричных тензоров. Соотношение (6.4.26) называется первым структурным уравнением Картана.
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
238
Рассмотрим теперь специальные метрические многообразия, для которых потребуем выполнения согласованности двух определений (6.4.16) и (6.4.21) ковариантных
производных, соответствующих обычной и спиновой связности. Это условие согласования имеет вид
Dµ v a = eaν (x) Dµ v ν (x) .
В этом случае с учетом правила Лейбница и (6.4.14) получается, что ковариантная
производная от компонент репера равняется нулю
a b
Dµ eaν (x) = ∂µ eaν (x) − Γλµν eaλ + ωµb
eν = 0 ,
(6.4.27) difg14
и из формулы (6.4.10) следует, что Dµ gνλ = 0. Связность, удовлетворяющая этому
соотношению, называется метрической. Далее потребуем, чтобы кручение (6.4.24)
a
также равнялось нулю: Tµν
= 0, что с учетом (6.4.27) дает Γλ[µν] = 0. В этом случае
a
=0
связность симметрична Γλµν = Γλ(µν) . Симметричная связность при условии Tµν
и Dµ gνλ = 0 называется связностью Леви-Чивита, а метрические многообразия со
связностью Леви-Чивита называются римановыми пространствами. Для связности
Леви-Чивита соотношение (6.4.27) позволяет выразить символы Кристоффеля Γλµν
через компоненты спиновой связности
a b
Γλµν = eλa (∂µ eaν (x) + ωµb
eν ) ,
(6.4.28) difg18
а спиновую связность записать через компоненты репера eaν (x). Для того, чтобы
продемонстрировать последнее утверждение, перепишем сначала условие (6.4.27) в
виде
ωµ,λν − ων,λµ = gλρ (eρa ∂ν eaµ − eρa ∂µ eaν ) .
(6.4.29) difg16
ρ
Спиновая связность ωµ,λν = ωµν
gρλ антисимметрична при перестановке индексов λ ↔
a
ν. Это следует из того, что матрицы ωµ = ||ωµb
|| принадлежат алгебре Ли so(p, q),
то есть удовлетворяют равенствам (3.2.146). Пользуясь этой симметрией и делая
перестановки λ ↔ ν и λ ↔ µ в (6.4.29), мы получаем
2ων,µλ = (ωµ,λν − ων,λµ ) + (ωµ,νλ − ωλ,νµ ) − (ωλ,µν − ων,µλ ) =
= gλρ (eρa ∂ν eaµ − eρa ∂µ eaν ) + gνρ (eρa ∂λ eaµ − eρa ∂µ eaλ ) − gµρ (eρa ∂ν eaλ − eρa ∂λ eaν ) =
(6.4.30) difg17
= eaλ ∂ν eaµ − eaµ ∂ν eaλ + ∂λ gνµ − ∂µ gνλ ,
или
1
ωνa b = eaµ eλb (Cλνµ + Cνλµ − C µλν ) ,
2
(6.4.31) 233*
где
Cµνλ = gµρ (eρa ∂ν eaλ − eρa ∂λ eaν ) .
• Задача 178. Показать, что согласно уравнениям (6.4.28) и (6.4.30) символы
Кристоффеля для связности Леви-Чивита выражаются через метрический
тензор:
1
(6.4.32) difg17b
Γλµν = g λρ (∂ν gρµ + ∂µ gρν − ∂ρ gµν ) .
2
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
239
Пользуясь спиновой связностью (калибровочным полем) ωµ (x) = ||ωµa b (x)|| можно построить ковариантный относительно калибровочных преобразований (6.4.5) и
(6.4.22) тензор напряженности калибровочного поля
a
a
a
d
a
d
Rµν a b = ∂µ ωνb
− ∂ν ωµb
+ ωµd
ωνb
− ωνd
ωµb
= [Dµ , Dν ]a b ,
(6.4.33) difg19
a
где мы воспользовались обозначением Dµa b = δba ∂µ + ωµb
для оператора ковариантa
ной производной (6.4.21). Оператор Dµ b при преобразованиях (6.4.22) преобразуется
ковариантно, Dµ → Λ−1 Dµ Λ, откуда сразу же следует ковариантный закон преобразования для тензора напряженности (6.4.33):
eµν = Λ−1 Rµν Λ .
Rµν → R
(6.4.34) difg20
Связность Леви-Чивита выражается через спиновую связность и наоборот с помощью соотношений (6.4.28). Поэтому в геометрии без кручения мы можем выразить
тензор Rµν a b через символы Кристоффеля. Для этого заметим, что соотношение
(6.4.28) формально совпадает с калибровочным преобразованием (6.4.22) для спиновой связности,
a b
Γλµν = eλa (x) ωµb
eν + eλa (x) ∂µ eaν (x) ,
(6.4.35) difg21
если в качестве элементов матрицы Λ калибровочного преобразования выбрать компоненты репера: Λaν (x) = eaν (x). Поэтому, пользуясь формулами (6.4.33) и (6.4.34), мы
сразу получаем
Rµν λ ρ = eλa (x) Rµν a b ebρ (x) ,
(6.4.36) difg22
где Rµν λ ρ — компоненты тензора кривизны Римана
Rµν λ ρ = ∂µ Γλνρ − ∂ν Γλµρ + Γλµξ Γξνρ − Γλνξ Γξµρ .
(6.4.37) difg23
В общем случае, когда кручение отлично от нуля, кривизна многообразия M
может быть также определена как напряженность калибровочного поля ωµ (x) и выражена через спиновую связность с помощью соотношения (6.4.33). Это соотношение
в терминах дифференциальных форм переписывается в виде второго структурного
уравнения Картана
1
d ω ab + ω ad ∧ ω db = Ra b ,
(6.4.38) difg24
2
где Ra b = Rµν a b dxµ ∧ dxν . Вместе с первым структурным уравнением (6.4.26), второе
структурное уравнение (6.4.37) устанавливает связь репера eµa (x) и спиновой связноa
a
и кривизны Rµν a b .
сти ωµb
с тензорами кручения Tµν
BSF
Замечание. Спиновая связность ωµ (x) на многообразии M принимает значения
в алгебре Ли so(p, q) и является в общем случае SO(p, q) калибровочным полем. С
помощью связности ωµ (x) можно параллельно перенести касательный вектор ⃗v (x)
вдоль любой кривой Cyx ⊂ M , начинающейся в точке x и заканчивающейся в точке
y ∈ M . Такой перенос осуществляется с помощью матрицы
∫
U (Cyx ) = P exp( ωµ (z)dz µ ) ,
(6.4.39) difg25
C
yx
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
240
которая представляет собой упорядоченную вдоль кривой Cyx экспоненту (аналогичная экспонента использовалась в (3.2.51)). Таким образом, для перенесенного в точку
y ∈ M касательного вектора ⃗v ′ (y) мы получаем координаты (v ′ )a (y) = U (Cyx )ab v b (x).
При параллельном переносе вдоль замкнутого стягиваемого контура Cxx вектор ⃗v (x)
будет претерпевать некоторое вращение в Tx (M ) и переходить в новый касательный
вектор ⃗v ′ (x) ∈ Tx (M ). Так как ωµ (z)dz µ ∈ so(p, q), то U (Cxx ) ∈ SO(p, q). Если U1
и U2 — две псевдоортогональные матрицы типа (6.4.39), соответствующие двум за1
2
мкнутым контурам Cxx
и Cxx
, то их произведение U1 · U2 будет снова матрицей типа
1
2
(6.4.39) и будет соответствовать замкнутому контуру Cxx
· Cxx
, который получается
2
1
при последовательном обходе сначала по Cxx
, а потом по Cxx
. Таким образом, множество псевдоортогональных матриц U (Cxx ) для всевозможных замкнутых стягиваемых кривых Cxx образует группу (в общем случае подгруппу в SO(p, q)), которая
называется группой голономии многообразия M .
• Задача 179. Доказать, что группа голономии связного многообразия M не
зависит от выбора точки x ∈ M начала и конца замкнутых стягиваемых
контуров в M .
ESF
6.4.2
Действие группы G на факторпространство G/H. Индуцированные
представления.
Пусть G — вещественная группа Ли и H — ее подгруппа Ли. Напомним, что группу
G можно разбить на левые смежные классы по подгруппе H; множество смежных
классов — это факторпространство G/H. В каждом смежном классе можно выбрать
по одному представителю k ∈ G; разным элементам k соответствуют разные элементы из G/H и наоборот. Совокупность всех элементов k образуют некоторое подмножество K в G и по определению имеется взаимнооднозначное соответствие между
элементами множества K ⊂ G и элементами G/H. Тогда произвольный элемент
g0 ∈ G однозначно записывается в виде
g0 = k · h ,
(6.4.40) mgh01
где h ∈ H.
В примере 3.) Раздела 6.1 мы определили левое действие группы G на свое
фактор-пространство G/H, которое, в связи с однозначностью представления (6.4.40),
можно записать в виде
g · k = k(g, k) · h(g, k) ,
∀k ∈ K , ∀g ∈ G ,
(6.4.41) mgh02
где k(g, k) ∈ K и h(g, k) ∈ H. Таким образом, левое действие элемента g ∈ G на G/H
реализуется как левое действие g на подмножестве K ⊂ G, и это действие сводится
к преобразованию
g
k −→ k(g, k) = g · k · h(g, k)−1 ,
(6.4.42) mgh02a
заданному в (6.4.41). При этом имеют место соотношения
k(g2 , k(g1 , k)) = k(g2 · g1 , k) ,
(6.4.43) mgh02b
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
h(g2 , k(g1 , k)) · h(g1 , k) = h(g2 · g1 , k) ,
241
(6.4.44) mgh02bb
которые получаются из сравнения правых частей равенств
g2 · g1 · k = g2 · k(g1 , k) · h(g1 , k) = k(g2 , k(g1 , k)) · h(g2 , k(g1 , k)) · h(g1 , k) ,
g2 · g1 · k = k(g2 · g1 , k) · h(g2 · g1 , k) .
Соотношение (6.4.43) совпадает со стандартным свойством (2.3.9), которое необходимо для того, чтобы отображение (6.4.42) было действием G на K.
Отвлечемся на время от основного изложения и заметим, что соотношение (6.4.44),
вместе с (6.4.43), говорит нам о том, что функция h(g, k): G × K → H может быть
использована для построения специального представления группы G, которое называется представлением, индуцированным из представления подгруппы H ⊂ G.
Поясним конструкцию индуцированных представлений более подробно.
Пусть задано любое представление подгруппы H ⊂ G в пространстве V, то есть
для любых h ∈ H и v ∈ V задано действие v → h · v ∈ V. Определим представление T
группы G, которое действует в пространстве функций v(k) (k ∈ K), принимающих
значения в V, следующим образом
[
]−1
T (g) · v(k) = h(g −1 , k)
· v(k(g −1 , k)) ≡ vg (k) , ∀g ∈ G .
(6.4.45) ind01
Докажем, что T – гомоморфизм (4.1.1). Действительно,
[
]−1
T (g1 ) · T (g2 ) · v(k) = T (g1 ) · vg2 (k) = h(g1−1 , k)
· vg2 (k(g1−1 , k)) =
[
]−1 [ −1
]−1 ( −1
)
= h(g1−1 , k)
· h(g2 , k(g1−1 , k))
· v k(g2 , k(g1−1 , k)) .
(6.4.46) ind02
С другой стороны, согласно (6.4.45), мы имеем
[ (
)]−1
T (g1 · g2 ) · v(k) = h (g1 · g2 )−1 , k
· v(k((g1 · g2 )−1 , k)) .
(6.4.47) ind03
Правые части (6.4.46) и (6.4.47) совпадают в силу соотношений (6.4.43) и (6.4.44), поэтому равны их левые части и, с учетом произвольности функции v(k), мы получаем
условие гомоморфизма для T : T (g2 ) · T (g1 ) = T (g2 · g1 ). Таким образом, формула
(6.4.45) задает представление G, которое и называется представлением, индуцированным из представления подгруппы H ⊂ G.
Замечание. Возьмем в качестве представления подгруппы H в V тривиальное
представление: v → h · v = v (∀h ∈ H, ∀v ∈ V). В этом случае согласно определению
(6.4.45) мы получаем представление группы G следующего вида
[T (g) · v](k) = v(k(g −1 , k)) .
(6.4.48) ind04
Если подгруппа H тривиальна (состоит из одного единичного элемента e ∈ G), то
любое представление H – тривиально, а K = G. В этом случае формулы (6.4.45) и
(6.4.48) переходят в формулу (4.6.36) для левого регулярного представления G.
Нетривиальные примеры индуцированных представлений будут рассмотрены в
Главе 9.
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
6.4.3
242
Инвариантная метрика на однородных пространствах.
Займемся построением инвариантных метрик на однородных пространствах В интересующих нас случаях (смотри, например, Раздел 6.2) подмножество K ⊂ G, параметризующее элементы в G/H, всегда можно выбрать так, что K будет обладать
структурой гладкого подмногообразия, вложенного в многообразие группы Ли G. В
этом случае на K можно ввести метрику, то есть определить интервал ds2 (k1 , k2 ) для
близких элементов k1 и k2 из K. Например, метрику на подмножестве K ⊂ G можно определить, воспользовавшись метрикой, заданной на всей группе G (см. Раздел
3.1.6). В силу взаимнооднозначного соответствия K ↔ G/H, метрику, заданную на
K, будем в дальнейшем называть метрикой на G/H. Метрика ds2 (k1 , k2 ) на G/H называется инвариантной, если для всех g ∈ G и всех близких k1 , k2 ∈ K справедливо
равенство (сравните с (3.1.68))
ds2 (k1 , k2 ) = ds2 (k(g, k1 ), k(g, k2 )) ,
(6.4.49) mgh03
где элементы k(g, ki ) определяются в (6.4.42). Наша задача — построить инвариантную метрику на G/H = K.
Без ограничения общности можно считать, что подмножество K содержит единичный элемент e ∈ G, который соответствует смежному классу e H = H. Действительно, элемент k0 ∈ K, нумерующий смежный класс eH, должен принадлежать H:
k0 ∈ H. Поэтому, сдвигая одновременно все элементы K → K k0−1 , мы всегда можем
выбрать такое подмножество K, что e ∈ K.
Положим g = k1−1 в (6.4.49), тогда для инвариантной метрики (6.4.49) получаем
ds2 (k1 , k2 ) = ds2 (e, k(k1−1 , k2 )) ,
(6.4.50) mgh04s
где правая часть является метрикой на K вблизи единичного элемента. Таким образом, определяя метрику на K вблизи единичного элемента (то есть, пользуясь лишь
локальными свойствами группы G и ее подгруппы H вблизи единицы) мы можем
потом распространить эту метрику на все однородное пространство K = G/H.
Пусть dim(G) = n и dim(H) = n − d, тогда dim(G/H) = d. В алгебре Ли A(G)
группы G выберем базис
{Y1 , . . . , Yn−d , X1 , . . . , Xd } ,
(6.4.51) mgh04
причем сделаем это таким образом, что Ya (a = 1, . . . , n − d) — образующие алгебры
Ли A(H) подгруппы H в G, а Xα (α = 1, . . . , d) — оставшиеся образующие в A(G).
Тогда согласно (6.4.40) в локальной координатной окрестности Ue единицы e ∈ G
можно выбрать координаты {a1 , ..., an−d , b1 , ..., bd } так, чтобы любой элемент g ∈ G
представлялся в виде
g = k(⃗a) · h(⃗b) = exp(aα Xα ) · exp(ba Ya ) ,
(6.4.52) mgh08
где ⃗b = (b1 , . . . , bn−d ) — параметры подгруппы H, а параметры ⃗a = (a1 , . . . , ad ) — интерпретируются как локальные координаты на однородном пространстве G/H. Согласно (6.4.40) и (6.4.52) подмножество K, параметризующее однородное пространство G/H в окрестности Ue , состоит из всех элементов вида
k(⃗a) = exp(aα Xα ) ∈ K .
(6.4.53) mgh08a
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
243
Определение 6.4.1 Пусть H — подалгебра Ли в алгебре Ли A с базисом (6.4.51),
где {Y1 , . . . , Yn−d } – образующие подалгебры H. Подалгебра H называется ортонормальной в A, если в A можно выбрать базис (6.4.51) такой, что структурные
соотношения имеют вид:
d
[Ya , Yb ] = Cab
Yd ,
(6.4.54) mgh05
β
[Yb , Xα ] = Cbα
Xβ ,
(6.4.55) mgh06
γ
d
[Xα , Xβ ] = Cαβ
Yd + Cαβ
Xγ ,
(6.4.56) mgh07
γ
β
d
d
и Cαβ
— структурные константы.
, Cbα
, Cαβ
где Cab
Соотношения (6.4.54) и (6.4.55) показывают, что присоединенное действие ортонормальной подалгебры H в A разбивает A на два инвариантных подпространства,
то есть задает вполне приводимое представление H.
Утверждение 6.4.1 Пусть A — алгебра Ли, H ее подалгебра Ли и в A имеется
инвариантное невырожденное скалярное произведение. Пусть A⊥ — ортогональное
дополнение к H в A по отношению к данному скалярному произведению. Если A, как
векторное пространство, равно прямой сумме своих векторных подпространств H
и A⊥ , то есть A = H + A⊥ , то подалгебра H ортонормальна в A.
Доказательство. Необходимо доказать возможность выбора базиса (6.4.51) в A, для
которого выполнялись бы структурные соотношения (6.4.54) – (6.4.56). Соотношения
(6.4.54) отражают тот факт, что элементы Ya являются образующими подалгебры H,
а обоснование соотношений (6.4.56) не требуется, так как они записаны в наиболее
общем виде. Остается обосновать соотношения (6.4.55). Воспользуемся тем, что в
алгебре Ли A имеется инвариантное невырожденное скалярное произведение, удовлетворяющее (5.1.2). Выберем элементы Xα в (6.4.51) так, чтобы они принадлежали
A⊥ и образовывали базис в A⊥ , то есть (Ya , Xβ ) = 0, ∀a, β. Тогда для всех Ya ∈ H и
всех Xβ ∈ A⊥ мы имеем
(Ya , [Yb , Xβ ]) = −([Yb , Ya ], Xβ ) = 0 ,
и следовательно [Yb , Xβ ] ∈ A⊥ , что доказывает (6.4.55) для выбранного базиса {Ya , Xβ }
в A.
Замечание 1. Для компактной алгебры Ли A любая ее подалгебра H является ортонормальной. Это следует из того, что в компактной алгебре Ли A всегда имеется
инвариантное невырожденное и положительно определенное скалярное произведение, относительно которого A всегда разбивается в прямую сумму двух своих подпространств A = H + A⊥ , где A⊥ — ортогональное дополнение к H в A относительно
данного скалярного произведения.
Замечание 2. Если алгебра Ли A некомпактна, то не всякая ее подалгебра H является ортонормальной. В качестве примера рассмотрим простую алгебру A = sℓ(2, R)
с базисными элементами {h, e+ , e− } и структурными соотношениями (3.2.91). Выберем одномерную подалгебру Ли H в sℓ(2, R), которая образована элементом Y = e+ ,
а оставшиеся элементы обозначим как X1 = h и X2 = e− . Тогда согласно (3.2.91) мы
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
244
имеем [Y, X1 ] = −Y , что противоречит (6.4.55). Отметим, однако, что если бы мы
выбрали одномерную подалгебру H в sℓ(2, R), связанную с элементом (e+ + e− ), или
с диагональным элементом h, то структурные соотношения (6.4.55) имели бы место.
Пусть A = A(G) — алгебра Ли группы G и H = A(H) — алгебра Ли подгруппы
H ⊂ G. Пусть H — ортонормальная подалгебра Ли в A. В этом случае подгруппа
H будет называться ортонормальной в G. Соотношения (6.4.55) задают линейное
представление подалгебры A(H), и соответственно ее группы Ли H, на векторном
пространстве K, натянутом на образующие Xa ∈ A(G). Выберем подмножество K,
параметризующее пространство G/H так, как это сделано в (6.4.52) и (6.4.53). Тогда
соотношения (6.4.55) приводят к важному следствию
h · K · h−1 ⊂ K
⇔
h · K · h−1 ⊂ K ,
∀h ∈ H ,
(6.4.57) mgh09
которое будет использоваться ниже и будет ключевым при построении инвариантных
метрик на G/H.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только матричных групп Ли G
и таких однородных пространств K = G/H, для которых выполняется свойство
(6.4.57). Это означает, что подгруппа H — ортонормальна в группе G.
Возьмем элемент k(⃗a) (6.4.53), принадлежащий пространству K = G/H и построим матрицу k −1 d k, где d k обозначает дифференциал матрицы k:
d k(⃗a) = d(exp(aα Xα )) = (d aα )
∂
exp(aα Xα ) .
∂aα
Из cоотношения (3.1.81) следует, что k −1 ·d k — касательный вектор29 к G в единичном
элементе, то есть k −1 · d k ∈ A(G) и k −1 · d k можно разложить по базису алгебры Ли
A(G):
k −1 · d k = ϵα Xα + ω b Yb = ϵ + ω ,
(6.4.58) koth
ϵα = Eµα daµ , ω a = ωµa daµ ,
где формы k −1 · d k, ϵ и ω называются формами Маурера–Картана.
Утверждение 6.4.2 При левом действии группы G на пространстве G/H (преобразовании (6.4.42)) формы Маурера–Картана ϵ ∈ K и ω ∈ A(H) преобразуются
следующим образом
g
ϵ → e
ϵ = h(g, k) · ϵ · h(g, k)−1 ∈ K ,
(6.4.59) mgh10
g
ω → ω
e = h(g, k) · ω · h(g, k)−1 − (d h(g, k)) · h(g, k)−1 ∈ A(H) ,
(6.4.60) mgh10b
то есть форма ϵ ∈ K преобразуется однородно, а форма ω ∈ A(H) преобразуется
как связность (6.4.22).
Доказательство. Действие группы G на однородное пространство G/H приводит
к преобразованию касательного вектора k −1 · d k и задает преобразования форм ϵ и
ω:
g
k −1 · d k → k(g, k)−1 · dk(g, k) = e
ϵα Xα + ω
e a Ya = e
ϵ+ω
e.
(6.4.61) mgh10a
29
Более точно здесь надо говорить о кокасательном векторе.
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
245
Подставляя в (6.4.61) выражение для k(g, k) из (6.4.42), получаем
k(g, k)−1 · d k(g, k) = h(g, k) · k −1 · g −1 · d(g · k · h(g, k)−1 ) =
= h(g, k) · k −1 · d(k · h(g, k)−1 ) = h(g, k) · (k −1 · dk) · h(g, k)−1 − dh(g, k) · h(g, k)−1 ,
где мы учли, что h · dh−1 = −dh · h−1 . Отсюда с учетом (6.4.57) следуют преобразования (6.4.59) и (6.4.60).
Согласно (6.4.58) касательный к G вектор k −1 · dk разлагается в сумму двух касательных векторов ϵ и ω, где вектор ω направлен вдоль алгебры Ли подгруппы
H, а вектор ϵ можно интерпретировать как касательный вектор к многообразию
K = G/H. Таким образом, в качестве компонент дуального базисного репера (компонент eaµ в (6.4.11)) на многообразии G/H естественно выбрать компоненты Eµα касательного вектора ϵ = Eµα Xα daµ , тогда присоединенные преобразования (6.4.59) представляют собой калибровочные преобразования репера (6.4.13). Этот выбор определяет инвариантную метрику ds2 на однородном пространстве K = G/H в виде следа
Tr(ϵ · ϵ), который инвариантен относительно преобразований (6.4.59). Таким образом,
мы имеем (ср. с общим определением метрики (6.4.15))
ds2 = Tr(ϵ · ϵ) = daµ gµν (⃗a) daν ,
(6.4.62) mgh11
gµν (⃗a) = Eµα (⃗a) Eνβ (⃗a) ηαβ , ηαβ = Tr(Xα · Xβ ) .
(6.4.63) mgh11a
где
Здесь ”плоская” метрика ηαβ в общем случае, в зависимости от конкретного выбора
группы G и ее ортонормальной подгруппы H, может иметь псевдоевклидову сигнатуру (p, d − p). Элементы ηαβ Eνβ (⃗a)g µν = (ϵα )µ задают репер векторов ⃗ϵα (α = 1, . . . , d)
с компонентами (ϵα )µ , которые образуют базис в касательном пространстве к однородному пространству K = G/H в точке ⃗a.
Отметим, что если мы выберем в качестве H тривиальную подгруппу, состоящую
из одного единичного элемента, то есть G/H = G, то метрика (6.4.62), (6.4.63) совпадает с выражениями (3.1.77), (3.1.82) и (3.1.83) для лево-инвариантной метрики на
группе. При этом матрицы ||Eµα (⃗a)|| являются аналогами матриц ||[L−1 ]ij || из формулы (3.1.77), см. Задачу 57.
Пример 1. Рассмотрим простейшее нетривиальное однородное пространство S 2 =
SU (2)/U (1), которое уже встречалось нам ранее (см. (6.2.17)). В качестве образующих группы SU (2) согласно (3.2.120) выберем три оператора τα = −iσα /2 , где σα
– матрицы Паули. Элементы одномерной ортонормальной подгруппы H = U (1) ⊂
SU (2) задаются экспоненциальным отображением
( −ib
)
e
0
exp(2 b τ3 ) =
,
(6.4.64) kk06
0 eib
где b – параметр подгруппы U (1). Тогда в качестве элементов, параметризующих
однородное пространство SU (2)/U (1), можно выбрать матрицы (см. (6.4.53))
k(a1 , a2 ) = exp(A) ,
(6.4.65) kk01
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
где a1 , a2 ∈ R и
A = −2(a1 τ1 + a2 τ2 ) =
(
0
a2 + ia1
−a2 + ia1
0
)
(
=
0 a
−a∗ 0
246
)
.
(6.4.66) kk02
Для матрицы A выполняется соотношение A2 = −|a|2 I2 , поэтому элементы (6.4.65)
записываются в виде (сравните с представлением (3.1.17))
k(⃗a) = exp(A) = I2 cos |a| + A
sin |a|
= I2 α0 + i(α1 σ1 + α2 σ2 ) ,
|a|
(6.4.67) kk08
где α0 = cos |a| и αm = am sin |a|/|a| (здесь m = 1, 2) — новые координаты на однородном пространстве SU (2)/U (1) = S 2 , связанные соотношением
(α0 )2 + (α1 )2 + (α2 )2 = 1 .
(6.4.68) kk09
Вначале выберем в качестве независимых координат на SU (2)/U (1) = S 2 параметры α1 и α2 и вычислим формы Маурера-Картана и метрику на SU (2)/U (1) = S 2 в
терминах этих координат. Для формы Маурера-Картана (6.4.58) мы получаем выражение
(
)
k(α)−1 d k(α) = ϵ + ω = (I2 α0 − iαm σm ) · d I2 α0 + iαk σk =
(6.4.69) kk10
= iσm (α0 dαm − αm dα0 ) + iσ3 (α1 dα2 − α2 dα1 ) .
Пользуясь равенством α0 dα0 + αm dαm = 0, которое вытекает из (6.4.68), получаем
выражения для форм репера ϵ и связности ω:
)
(
(
)
αm αk
0
ϵ = iσm α δmk +
dαk , ω = iσ3 α1 dα2 − α2 dα1 .
(6.4.70) kk11
0
α
здесь индексы k, m пробегают два значения 1, 2. Согласно определению (6.4.62), инвариантную метрику на однородном пространстве SU (2)/U (1) = S 2 можно записать
в виде
(
)
(1 + (α0 )2 ) m k
2
0 2
ds = Tr(ϵ · ϵ) = − (α ) δmk +
α α dαm dαk = −gmk dαm dαk ,
(α0 )2
(6.4.71) kk12
0
1
2
где функция α (α , α ) определена в (6.4.68).
• Задача 180. Доказать, что метрика g mk , обратная к метрике gmk (6.4.71) имеет вид
)
1 (
(6.4.72) kk13
g mk = 0 2 δ mk − [1 + (α0 )2 ] αm αk .
(α )
Отметим, что явный вид метрики (6.4.71) для сферы S 2 не совпадает с метрикой (6.3.16), которая была построена для всех поверхностей, заданных квадратичными соотношениями вида (6.3.12) и (6.4.68). Это связано тем, что координаты
α
⃗ = (α0 , α1 , α3 ) в (6.4.68) определены с точностью до локальных ортогональных преобразований α
⃗ → O(⃗
α) · α
⃗ , которые меняют явный вид метрики (6.4.71).
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
247
Для того, чтобы получить изложенным выше способом известную метрику для
сферы S 2 (скажем, метрику вида (6.3.15)), мы перейдем к другим координатам при
описании элементов k(⃗a) (6.4.67). Для этого введем новую матрицу Z и определим
новый комплексный параметр z вместо матрицы A и параметра a:
k(⃗a) = exp(A) = I2 cos |a| + A
где
(
Z=
0 z
−z ∗ 0
)
=A
sin |a|
1
=√
(I2 + Z) ,
|a|
1 + |z|2
tg |a|
|a|
⇒
cos |a| = √
1
1 + |z|2
(6.4.73) kk07
.
В терминах новых переменных для формы Маурера-Картана (6.4.58) мы получаем
выражение
(
)
1
1
−1
k(⃗a) d k(⃗a) = ϵ + ω = √
(I2 − Z) · d √
(I2 + Z) .
(6.4.74) kk03
1 + |z|2
1 + |z|2
Здесь ω ∈ u(1) – диагональные матрицы, а ϵ – матрица, имеющая структуру (6.4.66),
поэтому U (1) форма связности ω дается в (6.4.74) четными степенями матрицы Z, а
форма репера ϵ – нечетными. Таким образом, согласно (6.4.74) получаем
ω=−
(dz z ∗ + dz ∗ z)I2 + 2 Z · d Z
(dz ∗ z − dz z ∗ )
=
σ3 ,
2(1 + |z|2 )
2(1 + |z|2 )
ϵ=
dZ
.
(1 + |z|2 )
(6.4.75) kk04
Окончательно, пользуясь выражением для ϵ (6.4.75), инвариантную метрику (6.4.62)
на однородном пространстве SU (2)/U (1) = S 2 можно представить в виде
ds2 = Tr(ϵ · ϵ) = −2
dz dz ∗
.
(1 + |z|2 )2
(6.4.76) kk05
С точностью до постоянного коэффициента метрика (6.4.76) совпадает с метрикой
(6.3.15), полученной в стереографических координатах.
• Задача 181. ∗ Пользуясь формулами (6.4.58) и (6.4.62) получить метрику
Фубини-Штуди
ds2 =
dzi dzi∗
(dzi zi∗ ) (zk dzk∗ )
∂ ∂
−
= dzk dzi∗
ln(1 + |z|2 ) , (6.4.77) mFSh1
2
2
2
1 + |z|
(1 + |z| )
∂zk ∂zi∗
для однородного пространства CPn = U (n + 1)/(U (n) × U (1)), которое
рассматривалось в примере 8.) раздела 6.2.
• Задача 182. Пользуясь определениями (6.4.58) и (6.4.62) построить инвариантную метрику для сфер S k , которые заданы как однородные пространства (6.2.8) и (6.2.15). Указание: воспользоваться методами решения
задачи 181.
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
248
• Задача 183. Построить инвариантную метрику для однородного пространства
(G × G)/GV , где G — матричная группа Ли, а GV — диагональная подгруппа в G × G (смотри пример 11.) в разделе 6.2).
VRN
• Задача 184. Построить инвариантную метрику для пространств де Ситтера и
анти де Ситтера, заданных как однородные пространства в (6.2.13). Указание: воспользоваться методами решения задачи 181.
Итак, метрика на пространстве G/H полностью определяется формой ϵ, которая
возникает в разложении (6.4.58). В конкретных задачах для вычисления форм ϵ и ω, в
случае параметризации (6.4.53), иногда удобно пользоваться тождеством КэмпбеллаПуанкаре (см. уравнение (10.4.11) в Приложении 1.)
Чтобы прояснить геометрический смысл форм ϵ и ω, воспользуемся тождеством
Маурера–Картана
[
]
∂µ (k −1 ∂ν k) − ∂ν (k −1 ∂µ k) = − k −1 ∂µ k , k −1 ∂ν k ,
(6.4.78) tmkar
которое компактно записывается в виде d (k −1 · d k) = −(k −1 · d k) ∧ (k −1 · d k).
• Задача 185. Доказать тождество Маурера–Картана (6.4.78).
Подставляя в тождество Маурера–Картана разложение (6.4.58), мы получаем
d (ϵα Xα + ω b Yb ) = −(ϵα Xα + ω a Ya ) ∧ (ϵβ Xβ + ω b Yb ) =
= − 21 ϵα ∧ ϵβ [Xα , Xβ ] − 12 ω a ∧ ω b [Ya , Yb ] − ω a ∧ ϵβ [Ya , Xβ ] =
d
α
= − 21 ϵα ∧ ϵβ (Cαγ β Xγ + Cαb β Yb ) − 21 ω a ∧ ω b Cab
Yd − ω b ∧ ϵβ Cbβ
Xα ,
что эквивалентно двум уравнениям
1
α
d ϵα = − ϵγ ∧ ϵβ Cγαβ − ω b ∧ ϵβ Cbβ
,
2
(6.4.79) mgh13
1
1
b
d ω b = − ϵγ ∧ ϵδ Cγb δ − ω a ∧ ω d Cad
.
(6.4.80) mgh14
2
2
Напомним, что ϵα выступает в качестве формы дуального репера на G/H. Сравнивая
(6.4.79) с первым структурным уравнением Картана (6.4.26), мы приходим к тому,
α
что ω αβ = ω b Cbβ
необходимо рассматривать как форму спиновой связности. Тогда
уравнение (6.4.80) переписывается в виде
1
α
− ω αγ ∧ ω γβ ,
d ω αβ = − ϵγ ∧ ϵδ Cγb δ Cbβ
2
(6.4.81) mgh16
и оно представляет собой не что иное, как второе структурное уравнение Картана (6.4.38). Таким образом, уравнения (6.4.79) и (6.4.80) позволяют найти тензор
кручения и тензор кривизны на G/H. Сравнивая (6.4.26) и (6.4.79), мы получаем
выражение для коэффициентов кручения:
1
α
= − Eµγ Eνβ Cγαβ .
Tµν
2
(6.4.82) mgh15
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
249
Сравнивая (6.4.81) со вторым структурным уравнением Картана (6.4.38), мы получаем выражение для тензора кривизны на G/H
Rα β = Rµν α β daµ ∧ daν = −ϵγ ∧ ϵδ Cγb δ Cbαβ ⇒ Rµν α β = −Eµγ Eνδ Cγb δ Cbαβ . (6.4.83) mgh17
Замечание 1. Согласно (6.4.55) и (6.4.57) мы имеем представление группы H, которое действует в касательном пространстве Te (K) к многообразию K = G/H в точке,
соответствующей единичному элементу e ∈ K. Действие группы H в этом представлении сохраняет плоскую метрику ηαβ (6.4.63). Это следует из соотношений
β
β
Tr([Yb , Xα ], Xγ ) + Tr(Xα , [Yb , Xγ ]) = 0 ⇒ Cbα
ηβγ + ηαβ Cbγ
=0.
Поэтому группа H в этом представлении реализуется как подгруппа в SO(p, d − p).
Так как связность ω на G/H принимает значения в алгебре Ли A(H), то группа
голономий многообразия G/H (см. определение группы голономий в конце Раздела
6.4.1) должна совпадать с H или быть подгруппой в ней.
Замечание 2. Пусть алгебра Ли A(G) и ее ортонормальная подалгебра A(H) таковы, что сруктурные константы Cγαβ равны нулю, то есть структурные соотношения
(6.4.54) – (6.4.56) для A(G) принимают вид
d
[Ya , Yb ] = Cab
Yd ,
β
[Yb , Xα ] = Cbα
Xβ ,
d
[Xα , Xβ ] = Cαβ
Yd .
(6.4.84) mgh18
Тогда, согласно (6.4.82), кручение на G/H равно нулю и следовательно ковариантная
производная от компонент репера также равна нулю: Dλ Eµα = 0. В этом случае из
формулы (6.4.83) следует, что тензор кривизны для пространства G/H ковариантно
постоянен, Dλ Rµν α β = 0. Пространста с ковариантно постоянным тензором кривизны
называются симметрическими. Таким образом, если группа G и ее подгруппа H таковы, что для их алгебр Ли можно выбрать базис, в котором структурные соотношения
имеют вид (6.4.84), то однородное пространство G/H заведомо оказывается симметрическим пространством. Отметим, что алгебры со структурными соотношениями
(6.4.84) называются Z2 -градуированными алгебрами Ли, так как A(G) = A(0) + A(1) ,
где подпространства A(0) и A(1) натянуты соответственно на образующие Ya и Xα , а
соотношения (6.4.84) записываются в виде
[A(i) , A(j) ] = A(i+j)mod(2) .
Пример 2. Для описания достаточно обширного класса симметрических пространств
рассмотрим группу Ли G, состоящую из матриц (n + k) × (n + k). Пусть алгебра Ли
группы G разбивается на два подпространства A(0) и A(1) , которые состоят из блочных матриц вида
(
(
)
)
0nk
0
B
Ann
nn
nk
∈ A(0) ,
∈ A(1) ,
(6.4.85) mgh51
0kn Dkk
Ckn 0kk
где Ann , Bnk , . . . — ненулевые блоки соответствующего размера (n × n), (n × k), ... , а
0nk — нулевые (n × k) матрицы. Тогда алгебра Ли, обладающая структурой (6.4.85),
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
250
будет иметь коммутационные соотношения вида (6.4.84) и вектора подпространства
A(0) образуют ортонормальную подалгебру Ли в A(G). В этом случае однородное
пространство G/H, где подгруппа H имеет алгебру Ли A(H) = A(0) , является симметрическим пространством. Отсюда в частности следует, что все однородные пространства
SU (n + k)/(SU (n) × SU (k)) , SO(n + k)/(SO(n) × SO(k)) ,
(6.4.86) mgh54
где подгруппы SO(n) × SO(k) и SU (n) × SU (k) вложены в SU (n + k) и SO(n + k)
блочно- диагональным образом (то есть элементы этих подгрупп представляются
в виде матриц типа A(0) (6.4.85)) являются симметрическими пространствами и не
имеют кручения. Все однородные пространства, рассмотренные в разделе 6.2 (в том
числе и пространство SU (2)/U (1), детально обсуждавшееся чуть выше) представляют собой примеры симметрических пространств.
• Задача 186. Доказать, что однородные пространства
(GL × GR )/GV ,
(смотри пример 11. в разделе 6.2) являются симметрическими. Ука(R)
(L)
зание. Пусть Xa и Xa — образующие алгебр Ли групп GL и GR ,
(R)
(L)
соответственно. Тогда Ya = Xa + Xa — образующие диагональной
(R)
(L)
подгруппы GV , и Xa = Xa − Xa . Проверить для {Ya , Xb } выполнение
соотношений (6.4.84).
VRN
• Задача 187. Доказать, что однородные пространства
SO(2n)/U (n) ,
SU (n)/SO(n) ,
SU (2n)/Usp(2n) ,
Usp(2n)/U (n) ,
являются симметрическими. Для этого проверить, что соответствующие
алгебры Ли имеют структуру (6.4.84).
Простейшие однородные пространства с кручением возникают, если рассмотреть
матричную группу Ли G, алгебра Ли которой разбиваются на два подпространства
A(0) и A(1) вида
(
)
(
)
Ann 0nk
0
B
nn
nk
∈ A(0) ,
∈ A(1) .
(6.4.87) mgh55
0kn 0kk
Ckn Dkk
Алгебра Ли A(G), обладающая структурой (6.4.87), будет иметь в общем случае
коммутационные соотношения (6.4.54) – (6.4.56), а элементы подпространства A(0)
образуют ортонормальную подалгебру Ли в A(G). Из-за наличия ненулевых струкγ
турных констант Cαβ
в (6.4.56) соответствующее однородное пространство G/H будет
иметь ненулевое кручение (6.4.82).
• Задача 188. Рассмотреть однородные пространства
SU (n + k)/SU (n) , SO(n + k)/SO(n) ,
где n > k, k ≥ 2 и вычислить для этих пространств коэффициенты кручения (6.4.82).
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
251
• Задача 189. Рассмотреть однородное пространство SU (3)/[U (1) × U (1)], где
подгруппа U (1) × U (1) образована генераторами подалгебры Картана в
алгебре Ли группы SU (3). Вычислить коэффициенты кручения (6.4.82)
для пространства SU (3)/[U (1) × U (1)].
6.4.4
Регулярные представления и инвариантные векторные поля на группах Ли.
VRN
BSF
Рассмотрим пространство гладких функций на n-мерной группе Ли G. Обозначим
эти функции как α(g), где g ∈ G. Операторы Te(R) (h) правого регулярного представления, соответствующие элементам h ∈ G, действуют на функции α(g) следующим
образом (см. формулу (4.6.37))
[Te(R) (h)α](g) = α(g · h) .
(6.4.88) mgh12b
Пусть элемент h лежит в координатной окрестности единичного элемента e ∈ G.
Тогда его можно представить в виде h = exp(ta Xa ), где Xa – образующие алгебры
Ли A(G), а ⃗t = (t1 , . . . , tn ) — параметры элемента h. Разлагая h вблизи единичного
элемента (при малых {ta }), мы получаем, исходя из (6.4.88), формулу
[Te(R) (Xa )α](g) =
∂
α(g · h(⃗t ))
,
∂ta
⃗t=0
(6.4.89) mgh12d
которую можно рассматривать как определение правого регулярного представления
алгебры Ли A(G). Левую и правую часть в (6.4.89) можно воспринимать как функции от ⃗x = (x1 , . . . , xn ) — координат элемента g = g(⃗x) ∈ G в некоторой локальной
координатной карте U ⊂ G, содержащей элемент g. Воспользуемся теперь соотношениями (3.1.78) и g(⃗x) · h(⃗t ) = g(F (⃗x, ⃗t)) (см. формулу (3.1.74) и ее обсуждение), в
результате для (6.4.89) получаем
[Te(R) (Xa ) α](g) =
∂
α(F (⃗x, ⃗t))
= Lm
x) ∂m α(⃗x) ,
a (⃗
∂ta
⃗t=0
(6.4.90) mgh12x
где для краткости мы ввели обозначение α(⃗x) = α(g(⃗x)). Таким образом, правое регулярное представление образующей Xi ∈ A(G) реализуется как дифференциальный
оператор первого порядка (лево-инвариантное векторное поле на G)
Te(R) (Xa ) = Lm
x)∂m ≡ ρL (Xa ) .
a (⃗
(6.4.91) mgh22
Аналогично, для левого регулярного представления (4.6.36) группы Ли G мы
получаем соответствующее представление ее алгебры Ли A(G) в виде:
[T (R) (Xa )α](g) =
∂
= −Ram (⃗x) ∂m α(⃗x) .
α(h−1 (⃗t) · g(⃗x))
∂ta
⃗t=0
(6.4.92) mgh12y
Таким образом, дифференциальные операторы (право-инвариантные векторные поля на G)
T (R) (Xa ) = −Ram (⃗x) ∂m ≡ ρR (Xa ) ,
(6.4.93) mgh26
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
252
реализуют левое регулярное представление алгебры Ли A(G).
Образующие Xa удовлетворяют структурным соотношениям
d
[Xa , Xb ] = Cab
Xd ,
(6.4.94) mgh21
поэтому дифференциальные операторы первого порядка (6.4.91) и (6.4.93) также
подчиняются структурным соотношениям
d
d
[ρL (Xa ) , ρL (Xb )] = Cab
ρL (Xd ) , [ρR (Xa ) , ρR (Xb )] = Cab
ρR (Xd ) .
(6.4.95) mgh20
Это следует из того, что по построению операторы ρL (Xa ) и ρR (Xa ) реализуют представления базисных элементов Xa алгебры Ли A(G).
Пусть T — матричное представление группы Ли G. В этом случае элементы матриц представления ||Tαβ (g)||, где g ∈ G, можно считать числовыми функциями на
группе G. Операторы T (R) (h) левого регулярного представления (4.6.36) действуют
на функции Tαβ (g) следующим образом
[T (R) (h) · Tαβ ](g) = Tαβ (h−1 · g) = Tαγ (h−1 ) Tγβ (g) .
(6.4.96) sff19
Возьмем элемент h ∈ G достаточно близкий к единичному и представим его в виде
h(⃗t) = exp(ta Xa ). Далее, дифференцируя (6.4.96) по ta в точке ⃗t = 0, мы получаем
(сравните с (6.4.92))
[T (R) (Xa ) · Tαβ ](g(⃗x)) = −Tαγ (Xa ) Tγβ (g(⃗x)) = −Ram ∂m Tαβ (g(⃗x)) .
(6.4.97) sff20
Соотношения (6.4.96) и (6.4.97) в частности показывают, что подпространство функций, натянутое на элементы Tαβ (g) как на базис, является инвариантным по отношению к действию левого регулярного представления, поэтому левое регулярное
представление приводимо и содержит в себе все матричные представления T группы
G как подпредставления.
Аналогичные утверждения имеют место и для правого регулярного представления.
• Задача 190. Воспользовавшись определениями правого регулярного представления (6.4.88), (6.4.90) для группы G и ее алгебры Ли A(G), доказать
аналоги соотношений (6.4.96) и (6.4.97):
[Te(R) (h) · Tαβ ](g) = Tαγ (g) Tγβ (h) ,
(6.4.98) sff21
x)) .
Tαγ (g(⃗x)) Tγβ (Xa ) = Lm
a ∂m Tαβ (g(⃗
(6.4.99) sff22
Пусть G — матричная группа Ли и соответственно A(G) — матричная алгебра
Ли. В этом случае мы имеем равенства (3.1.80) и (3.1.81), которые можно переписать
в виде
Xa · g(⃗x) = Ram (⃗x)∂m g(⃗x) ⇔ g(⃗x)−1 · Xa = −Ram (⃗x)∂m g(⃗x)−1 ,
g(⃗x) · Xi = Lm
x)∂m g(⃗x) = ρL (Xk ) g(⃗x) .
i (⃗
(6.4.100) mgh27
(6.4.101) mgh12
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
253
Отметим, что эти равенства представляют собой частные случаи формул (6.4.97) и
(6.4.99), где в качестве T выбрано определяющее представление матричной группы
G.
С помощью равенств (6.4.97) и (6.4.99) можно непосредственно продемонстрировать справедливость структурных соотношений (6.4.95). Например, применяя формулу (6.4.99) дважды, получаем
[T (g(⃗x)) · T (Xa )] · T (Xb ) = ρL (Xa ) [T (g(⃗x)) · T (Xb )] =
= ρL (Xa ) ρL (Xb ) T (g(⃗x)) ,
(6.4.102) mgh19
где для краткости мы опустили матричные индексы. Переставляя в (6.4.102) индексы
a и b и вычитая получившееся равенство из изначального, с учетом соотношений
[T (Xa ) , T (Xb )] = T ([Xa , Xb ]) и (6.4.94) мы приходим к уравнению
(
)
d
[ρL (Xa ) , ρL (Xb )] − Cab
ρL (Xd ) T (g(⃗x)) = 0 ,
из которого с учетом произвольности представления T следует (6.4.95).
• Задача 191. Пользуясь формулами (3.1.80) и (3.1.81) (или (6.4.100) и (6.4.101)),
доказать, что при действии группы Ли G на себя слева и справа:
g(⃗x) → gL−1 · g(⃗x) · gR ,
∀ gL , gR ∈ G ,
компоненты Ram (⃗x) и Lm
x) право- и лево- инвариантных векторных полей
a (⃗
преобразуются следующим образом:
Ram (⃗x) → ad(gL )ab Rbm (⃗x) ,
Lm
x) → ad(gR )ab Lm
x) ,
a (⃗
a (⃗
(6.4.103) mgh26a
где ||ad(g)ab || — матрица присоединенного представления (4.1.15) элемента
g ∈ G в базисе Xa ∈ A(G). Это и оправдывет использование термина
левоинвариантное (или правоинвариантное) векторное поле для ρL (Xa ) =
m
Lm
a ∂m (или ρR (Xa ) = −Ra ∂m ).
ESF
6.4.5
Операторы Лапласа на группах Ли и однородных пространствах.
BSF
Пусть группа Ли G полупроста. Определим невырожденную метрику в алгебре Ли
A(G) стандартным образом: ηab = Tr(ad(Xa ) · ad(Xb )). Квадратичный оператор Казимира C2 (4.7.12) в регулярных представлениях ρL (6.4.91) и ρR (6.4.93) будет записываться в виде дифференциальных операторов второго порядка
x)∂m Ljb (⃗x)∂j ,
∆L ≡ ρL (C2 ) = η ab Lm
a (⃗
∆R ≡ ρR (C2 ) = η ab Ram (⃗x)∂m Rbj (⃗x)∂j .
(6.4.104) mgh24
Эти операторы называются операторами Лапласа на группе G. Из явного вида преобразований (6.4.103) следует, что операторы ∆L и ∆R одновременно являются и
право- и лево- инвариантными.
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
254
Напомним, что на группе G можно определить инвариантную метрику (см. формулы (3.1.76), (3.1.77) и (3.1.79))
gnm (⃗x) = [L−1 (⃗x)]an [L−1 (⃗x)]bm ηab = [R−1 (⃗x)]an [R−1 (⃗x)]bm ηab
⇐⇒
ab
ab
g nm (⃗x) = [L(⃗x)]na [L(⃗x)]m
= [R(⃗x)]na [R(⃗x)]m
.
b η
b η
(6.4.105) mgh23
При этом элементы матриц Lm
x) (или Ram (⃗x)) выступают в качестве компонент реa (⃗
−1
пера em
x)]am (или [R−1 (⃗x)]am ) интерпретируются
a (x); соответственно элементы [L (⃗
a
как компоненты дуального репера em (x). Здесь a – индекс плоского касательного
пространства, а m – индекс, нумерующий компоненты касательных векторов, аналогичный индексу µ (см. Раздел 6.4.1). С помощью метрики (6.4.105) на группе G
строится стандартный оператор Лапласа-Бельтрами
√
1
∆= √
∂n | det(g)| g nm ∂m ,
| det(g)|
(6.4.106) mgh25
где det(g) = det(||gmn ||) = det−1 (||g mn ||).
Утверждение 6.4.3 Для операторов ∆, ∆L и ∆R , действующих в пространстве
функций на группе G, имеет место тождество
∆ = ∆L = ∆R ,
(6.4.107) llrr03
то есть, оператор Лапласа-Бельтрами (6.4.106) и операторы Лапласа ∆L и ∆R
(6.4.104), построенные из лево- и право-инвариантных векторных полей (6.4.91) и
(6.4.93), совпадают.
Доказательство. Операторы ∆L и ∆R (6.4.104) можно записать единым образом
∆′ = η ab enb ∂n em
a ∂m ,
m
m
где em
x) или em
x). Тогда для метрики (6.4.105) имеем gnm = eam ebn ηab ,
a = La (⃗
a = −Ra (⃗
откуда следует, что
| det(g)| = e2 · | det(η)| ,
где e = det ||eam ||. Оператор (6.4.106) в терминах компонент eam переписывается в виде
[
]
1
1
m
ab n
ab
n
n ab m
n ab
(∂n e) eb η + η (∂n eb ) em
∆ = ∂n e eb η ea ∂m =
a ∂m + η eb ∂n ea ∂m =
e
e
]
[
′
= erd (∂n edr ) enb η ab + η ab (∂n enb ) em
a ∂m + ∆ =
(6.4.108) llrr05
]
[
′
∂
+
∆
,
= −edr (∂n erd ) enb η ab + η ab (∂n enb ) em
a m
где мы учли, что erd (∂n edr ) = −(∂n erd ) edr . Векторные поля ρ(Xa ) = em
a ∂m реализуют
представление образующих Xa алгебры Ли A(G) и согласно (6.4.95) мы имеем:
n
d
r
m
n
m
n
d n
[em
a ∂m , eb ∂n ] = Cab ed ∂r ⇒ ea (∂m eb ) − eb (∂m ea ) = Cab ed .
(6.4.109) llrr06
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
255
Свернем обе части второго соотношения в (6.4.109) с ean и учтем свойство антисимметрии (3.2.109) структурных констант Cabd , в результате получаем
a
n
a
ad
(∂n enb ) − em
=0.
b en (∂m ea ) = Cab = Cabd η
Из этого соотношения следует, что выражение в квадратных скобках в (6.4.108) равно
нулю, откуда мы получаем ∆ = ∆′ . Согласно (6.4.105) оператор ∆ (6.4.106) одинаков
m
m
вне зависимости от выбора em
x) или em
x), поэтому соотношение
a = La (⃗
a = −Ra (⃗
′
∆ = ∆ эквивалентно двум равенствам (6.4.107).
Замечание 1. В частности мы доказали, что если векторные поля ρ(Xa ) = em
a ∂m на
некотором многообразии M образуют полупростую алгебру Ли с определяющими
соотношениями (6.4.109) и метрикой ηab , то всегда имеет место тождество, связывающее оператор Лапласа-Бельтрами и квадратичный оператор Казимира:
η ab ena ∂n em
b ∂m =
1
∂n (e enb η ab em
a ) ∂m ≡ ∆ .
e
(6.4.110) llrr09
Замечание 2. Оператор Лапласа ∆ = ρL (C2 ) = ρR (C2 ) (6.4.107) замечателен тем,
что, будучи квадратичным оператором Казимира, он коммутирует с векторными
полями (6.4.91) и (6.4.93):
[ρL (Xa ), ∆] = 0 = [ρR (Xa ), ∆] .
Пример 1. Построим оператор Лапласа ∆ (6.4.107) для группы G = SU (2) (сферы S 3 ). Воспользуемся для этого параметризацией группы SU (2), которая задана в
(3.1.17). Из четырех координат {xα } независимыми будем считать три координаты
⃗x = (x1 , x2 , x3 ). Тогда для g(⃗x) ∈ SU (2) имеем
(
)
xr xm
−1
g(⃗x) ∂m g(⃗x) = (x0 − iσk xk )(∂m x0 + iσm ) = iσr x0 δrm + xk εkmr +
, (6.4.111) examp01
x0
где k, r, m = 1, 2, 3 и мы использовали тождество x0 ∂m x0 +xm = 0. Выберем в качестве
образующих группы SU (2) операторы Xr = iσr , где σr – матрицы Паули. Тогда,
сравнивая (6.4.111) и (6.4.101), мы получаем
(
)
xr xm
−1 r
(L )m = x0 δrm + xk εkmr +
⇒ Lkm (⃗x) = (x0 δkm + xr εkrm ) .
(6.4.112) examp02
x0
Таким образом, правое регулярное представление (6.4.91) для образующих Xk =
iσk ∈ su(2) в терминах лево-инвариантных векторных полей записывается следующим образом
Xk = iσk → ρL (Xk ) = Lkm (⃗x)∂m = x0 ∂k + xr εkrm ∂m ,
(6.4.113) examp03
а для метрики (6.4.105) мы получаем выражение g mr = δ kj Lkm Ljr = (δmr − xr xm ).
Окончательно, с учетом (6.4.113) оператор Лапласа (6.4.104) принимает вид:
∆L = ρL (Xm ) ρL (Xm ) = ∂k2 − (xk ∂k )2 − 2(xk ∂k ) .
(6.4.114) examp04
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
256
• Задача 192. Проверить, что дифференциальные операторы ρL (Xk ) (6.4.113)
удовлетворяют структурным соотношениям su(2):
[ρL (Xk ), ρL (Xm )] = −2 εkmr ρL (Xr ) .
(6.4.115) mgh68
Проверить, что оператор Лапласа (6.4.114) можно представить в стандартном виде (6.4.106), где g nm = (δmn −xn xm ), | det(g)|−1/2 = | det(Lkm )| и Lkm
определены в (6.4.112). Переписать оператор Лапласа (6.4.114) в координатах стереографической проекции (6.3.13) и в сферических координатах
(3.1.85).
Оператор Лапласа ∆ (6.4.107) и (6.4.114) для группы G = SU (2) в другой параметризации (отличной от (3.1.17)), а именно в параметризации углов Эйлера (6.2.5), будет
рассмотрен ниже при изучении представлений группы SU (2) (см. формулу (7.4.62)).
Так как группа G действует слева не только на себя, но и на любое свое однородное пространство G/H, то образующие алгебры A(G) также можно реализовать
как дифференциальные операторы (векторные поля) на однородном пространстве
G/H. При этом построение дифференциальных реализаций алгебры A(G) во многом повторяет изложенную выше конструкцию построения образующих A(G) как
векторных полей на G. Аналогом левого регулярного представления в этом случае
выступает индуцированное представление (6.4.45). Обсудим этот вопрос подробнее.
Рассмотрим множество элементов k = k(⃗a) ∈ G, которые параметризуют однородное пространство G/H, где ⃗a = (a1 , . . . , ad ) — координаты на однородном пространстве в некоторой локальной карте. Выберем ортонормальную подгруппу H в
G и базис в A(G) так, как это сделано в (6.4.54) – (6.4.56), тогда в качестве элементов k(⃗a) в локальной окрестности единицы можно взять элементы (6.4.53). Запишем
уравнение (6.4.41) в виде
g(τ α , ta ) · k(⃗a) = k(ã1 , ..., ãd ) · exp(b̃a (⃗a, τ, t)Ya ) ,
(6.4.116) mgh61
где
g(τ α , ta ) = exp(τ α Xα + ta Ya ) ,
ãβ = ãβ (⃗a, τ, t) и параметры ta , τ α — малы. Рассмотрим простейшее индуцированное представление, заданное в (6.4.48), и перепишем соотношение (6.4.48) с учетом
(6.4.116) в виде
[T (g(−τ α , −ta )) · v](k(⃗a)) = v(k(ã1 , ..., ãd )) ,
(6.4.117) mgh71
где v – гладкая функция на однородном пространстве G/H. Продифференцируем соотношение (6.4.117) по ta и τ α и затем положим ta = 0 = τ α . В результате получаются
соотношения
[T (Yb ) · v](k(⃗a)) = −Rbβ (⃗a)
∂
v(k(⃗a)) ≡ ρ(Yb ) v(k(⃗a)) ,
∂aβ
(6.4.118) mgh28a
[T (Xα ) · v](k(⃗a)) = −Rαβ (⃗a)
∂
v(k(⃗a)) ≡ ρ(Xα ) v(k(⃗a)) ,
∂aβ
(6.4.119) mgh29a
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
257
где матрицы, определяющие право-инвариантные векторные поля, даются формулами
∂ãβ
∂ãβ
β
Rbβ (⃗a) =
,
R
(⃗
a
)
=
,
(6.4.120) mgh72
α
∂tb t=0
∂τ α t=0
и t = 0 обозначает ta = τ α = 0. Таким образом, мы получили представление ρ
алгебры A(G) в виде векторных полей на G/H:
ρ(Yb ) = −Rbβ (⃗a) ∂β ,
ρ(Xα ) = −Rαβ (⃗a) ∂β .
(6.4.121) mgh31
• Задача 193. Пусть группа G — матричная. С помощью дифференцирования
равенства (6.4.116) по tb и τ α в точке tb = 0 = τ α , получить соотношения
d
Yb · k(⃗a) = Rbβ (⃗a) ∂β k(⃗a) + k(⃗a) Rb (⃗a) Yd ,
(6.4.122) mgh28
b
Xα · k(⃗a) = Rαβ (⃗a) ∂β k(⃗a) + k(⃗a) Rα (⃗a) Yb ,
(6.4.123) mgh29
где матрицы R определены в (6.4.120), а для матриц R мы имеем
d
Rb (⃗a) =
∂ b̃d
∂tb
d
, Rβ (⃗a) =
t=0
∂ b̃d
∂τ β
.
t=0
• Задача 194. Выберем k(⃗a) в виде (6.4.53). Доказать, что в этом случае формула (6.4.122) записывается следующим образом:
Yb · k(⃗a) = aα Cbβα ∂β k(⃗a) + k(⃗a) · Yb ,
то есть ρ(Yb ) = −aα Cbβα ∂β .
Пусть алгебра A(G) полупроста, тогда оператор Лапласа на однородном пространстве G/H, соответствующий квадратичному оператору Казимира
C2 = η ab Ya Yb + η αξ Xα Xξ ,
дается формулой
∆G/H = ρ(C2 ) = η ab Raβ (⃗a) ∂β Rbγ (⃗a) ∂γ + η αξ Rαβ (⃗a) ∂β Rξγ (⃗a) ∂γ ,
(6.4.124) mgh30
где ||η ab || и ||η αξ || — матрицы, обратные к матрицам с элементами
ηab = Tr(ad(Ya )ad(Yb )) , ηαβ = Tr(ad(Xα )ad(Xβ )) .
Напомним, что метрика Киллинга на A(G) в рассматриваемом случае имеет вид
(
)
||ηab ||
0
g=
.
0
||ηαβ ||
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
258
• Задача 195. Доказать, что ∆G/H = ∆, то есть оператор (6.4.124) равен стандартному оператору Лапласа-Бельтрами (6.4.106), где метрика gmn на однородном пространстве G/H определена согласно формулам (6.4.58) и
(6.4.62). Указание: воспользоваться Замечанием 1 к Утверждению 6.4.3.
Пример 2. Найдем оператор Лапласа (6.4.124) для однородного пространства S 2 =
SU (2)/U (1). Воспользуемся параметризацией для пространства SU (2)/U (1) с помощью элементов (6.4.67):
k(α) = I2 α0 + iσ1 α1 + iσ2 α2 ,
(6.4.125) mgh62
где параметры α0,1,2 ∈ R удовлетворяют соотношениям (6.4.68) и независимыми координатами на S 2 = SU (2)/U (1) как и прежде мы будем считать параметры α1 , α2 .
Произвольный элемент группы SU (2) из локальной окрестности единицы представим
в экспоненциальной форме g(⃗t ) = exp(itk σk ), а элемент подгруппы U (1) выбираем в
виде (6.4.64), то есть h = exp(−ibσ3 ). Тогда уравнение (6.4.41), (6.4.116) для элемента
g(⃗t ) близкого к единице (при малых параметрах ti и соответственно при малом b)
запишется следующим образом
(I2 + itk σk ) k(α) = k(α̃) (I2 − ibσ3 ) .
(6.4.126) mgh65
что эквивалентно уравнению
k(α) + i(tk σk k(α) + b k(α) σ3 ) = k(α̃) .
(6.4.127) mgh64
Подставим сюда выражение (6.4.125). Сравнивая коэффициенты в (6.4.127) при матрицах I2 , σk , мы вычисляем параметры α̃k и b с точностью до линейных членов по
tk :
)
(
2 2
1 2
α̃1 = α1 + t1 α0 − (αα0) + t2 ααα0 + t3 2 α2 ,
(
)
(α1 )2
α1 α2
2
0
(6.4.128) mgh63
α̃2 = α + t1 α0 + t2 α − α0 − t3 2 α1 ,
b = −t3 + α10 (t1 α2 − t2 α1 ) .
Дифференцируя (6.4.126) по tk и полагая затем tk = 0, мы получаем аналоги соотношений (6.4.122), (6.4.123)
(
)
2
2
X1 · k(α) = α0 ∂1 + αα0 (α1 ∂2 − α2 ∂1 ) k(α) − αα0 k(α) · Y ,
(
)
1
1
(6.4.129) mgh66
X2 · k(α) = α0 ∂2 − αα0 (α1 ∂2 − α2 ∂1 ) k(α) + αα0 k(α) · Y ,
Y · k(α) = −2 (α1 ∂2 − α2 ∂1 ) k(α) + k(α) · Y ,
где ∂m = ∂α∂m для (m = 1, 2) и мы ввели обозначения Xm = iσm , Y = iσ3 для образующих SU (2). Представление для этих образующих в терминах право-инвариантных
векторных полей (6.4.121) согласно (6.4.129) будет иметь вид
)
(
α2
1
2
0
iσ1 → ρ(X1 ) = − α ∂1 + α0 (α ∂2 − α ∂1 ) ,
(
)
1
(6.4.130) mgh67
iσ2 → ρ(X2 ) = − α0 ∂2 − α0 (α1 ∂2 − α2 ∂1 ) ,
α
iσ3 → ρ(X3 ) ≡ ρ(Y ) = 2 (α1 ∂2 − α2 ∂1 ) .
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
259
• Задача 196. Доказать, что операторы ρ(Xk ), полученные в (6.4.130), удовлетворяют структурным соотношениям (6.4.115) для алгебры Ли su(2). Указание: воспользоваться тем, что [α0 , (α1 ∂2 − α2 ∂1 )] = 0.
Оператор Лапласа (6.4.124), соответствующий оператору Казимира для алгебры Ли
su(2) в представлении (6.4.130) дается формулой
∆SU (2)/U (1) = ρ(Xk ) ρ(Xk ) =
1
1 + (α0 )2 m
2
m
∂
−
2
α
∂
−
(α ∂m )2 ,
m
(α0 )2 m
(α0 )2
и представляет собой оператор Лапласа-Бельтрами (6.4.106) на двумерной сфере
(6.4.68), записанный в координатах αm = (α1 , α2 ), с метрикой, полученной для S 2 =
SU (2)/U (1) в (6.4.71), (6.4.72). Пример оператора ∆G/H (6.4.124) для случая однородного пространства G/H = SU (2)/U (1), записанного в других координатах, а именно
в сферических координатах (в параметризации углов Эйлера), будет рассмотрен ниже при изучении представлений группы SU (2) (см. формулу (7.4.62)).
ESF
6.4.6
Сферические функции на однородных пространствах.
Пусть G — компактная группа Ли и H — подгруппа в G. Пусть T (λ) — неприводимое представление группы G размерности Nλ , которое унитарно и действует в пространстве Vλ . Унитарность означает, что в Vλ задано положительно определенное и
инвариантное скалярное произведение такое, что
⟨u | v⟩ = ⟨T (λ) (g) · u | T (λ) (g) · v⟩ ,
∀| u⟩ , | v⟩ ∈ Vλ ,
BSF
∀g ∈ G .
Представление T (λ) группы G одновременно является представлением и для ее подгруппы H ⊂ G, которое в общем случае может быть приводимым, то есть в Vλ могут
содержаться подпространства, инвариантные относительно действия подгруппы H
в представлении T (λ) . Пусть в Vλ имеется такое одномерное инвариантное подпространство Vλ0 , на которое H действует тривиально. В этом случае представление T (λ)
группы G называется представлением класса 1 относительно подгруппы H. Выберем в Vλ ортонормированный базис векторов |λ, m⟩, где m = 0, 1, . . . , Nλ − 1, так,
чтобы первый вектор |λ, 0⟩ был базисным в одномерном подпространстве Vλ0 . Он
инвариантен относительно действия H:
T (λ) (h) |λ, 0⟩ = |λ, 0⟩ ,
∀h ∈ H .
(6.4.131) sff07
В выбранном базисе оператору T (λ) (g) согласно правилу (2.2.33) сопоставляется матрица с элементами
(λ)
(g) = ⟨λ, m| T (λ) (g) |λ, r⟩ .
(6.4.132) sff01a
Tmr
Из соотношения (6.4.131) следует, что матричные элементы
(λ)
Tm0 (g) = ⟨λ, m|T (λ) (g)|λ, 0⟩ ,
m = 0, 1, . . . , Nλ − 1 ,
(6.4.133) sff01
являются функциями на однородном пространстве G/H, так как мы имеем
⟨λ, m|T (λ) (k · h)|λ, 0⟩ = ⟨λ, m|T (λ) (k) · T (λ) (h)|λ, 0⟩ =
= ⟨λ, m|T (λ) (k)|λ, 0⟩ ,
∀h ∈ H .
(6.4.134) sff05
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
260
Выберем элементы k ∈ G, которые параметризуют точки однородного простран(λ)
ства G/H, см. (6.4.40). Функции Tm0 на G/H, заданные в (6.4.133), называются присоединенными сферическими функциями представления T (λ) . Среди этих функций
(λ)
имеется функция T00 , которая инвариантна относительно как правых, так и левых
сдвигов в группе G на элементы h ∈ H, и которая называется зональной сферической
функцией представления T (λ) .
(λ)
Сферические функции Tm0 (k) на G/H составляют пространство Y (λ) некоторого
специального представления группы G. Действительно, используя свойство гомоморфизма для представления T (λ) , а также соотношения (6.4.41) и (6.4.134), мы получаем
(λ) −1
(g ) Tr0 (k) = Tm0 (k(g −1 , k)) .
Tmr
(λ)
(λ)
(6.4.135) sff11
Левую часть этой формулы (а, соответственно, и правую часть) можно рассматривать как результат действия некоторого линейного оператора ρ(g) на пространстве
(λ)
Y (λ) , которое образовано сферическими функциями Tr0 (k):
ρ(g) · Tm0 (k) = Tm0 (k(g −1 , k)) .
(λ)
(λ)
(6.4.136) sff08
Последняя формула определяет некоторое отображение ρ из группы G в множество
операторов, действующих на Y (λ) . Операторы ρ(g), согласно (6.4.136), осуществляют
сдвиги на однородном пространстве G/H: k → k(g −1 , k). Гомоморфность отображения ρ, заданного в (6.4.136), проверяется следующим образом
ρ(g1 ) · ρ(g2 ) · Tm0 (k) = ρ(g1 ) · Tm0 (k(g2−1 , k)) = Tm0 (k(g2−1 , k(g1−1 , k)) =
(λ)
(λ)
(λ)
= Tm0 (k(g2−1 · g1−1 , k)) = ρ(g1 · g2 ) · Tm0 (k) .
(λ)
(λ)
Таким образом, отображение ρ является представлением. На самом деле это представление есть не что иное как конечномерное подпредставление, вложенное в простейший вариант индуцированного представления, что следует из сравнения формулы (6.4.136) с (6.4.48) и (6.4.117)). Для элементов g, близких к единице, операторы ρ(g) (6.4.136) могут быть реализованы как экспоненты от векторных полей
(6.4.121), то есть соответствующие векторные поля реализуют представление алгебры Ли A(G).
• Задача 197. Пользуясь определением (6.4.136) для представления ρ группы
Ли G и равенствами (6.4.118), (6.4.119) и (6.4.135), построить соответствующее представление для алгебры Ли A(G) и доказать соотношения
(λ)
(λ)
(λ)
(λ)
(λ)
(λ)
(λ)
(λ)
ρ(Ya ) · Tm0 (k(⃗a)) = −Raα (⃗a) ∂α Tm0 (k(⃗a)) = −Tmp (Ya ) Tp0 (k(⃗a)) ,
ρ(Xα ) · Tm0 (k(⃗a)) = −Rαβ (⃗a) ∂β Tm0 (k(⃗a)) = −Tmp (Xα ) Tp0 (k(⃗a)) .
(6.4.137) sff12
Пусть подгруппа H в G такова, что все неприводимые представления T (λ) группы
G являются представлениями класса 1 относительно подгруппы H. Такая подгруппа
H называется массивной в G. В этом случае с помощью теоремы Петера–Вейля 4.6.5
6.4 Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах.
261
и ряда (4.6.41) можно доказать, что любая функция f (k) на однородном пространстве
(λ)
G/H разлагается по базисным сферическим функциям Tm0 (k):
∑
∑
(λ)
Cλm ⟨λ, m|T (λ) (k)|λ, 0⟩ ,
(6.4.138) sff02
f (k) =
Cλm Tm0 (k) =
m,λ
m,λ
где элемент k ∈ G параметризует пространство G/H, а Cλm — коэффициенты разложения. Отметим, что все функции (6.4.138), рассматриваемые как функции на
группе G, постоянны на левых смежных классах G/H и образуют подпространство
L2 (G/H, dµ) = ⊕λ Y (λ) в пространстве L2 (G, dµ).
(λ)
Итак, сферические функции Tm0 образуют базис в L2 (G/H, dµ). Более того для
(λ)
базисных функций Tm0 справедливо условие ортогональности. Это условие возникает
(λ)
из соотношений ортогональности (4.6.42), которые для функций Tm0 переписываются
в виде
∫
(ν)∗
(λ)
1
δ λν δm,m′ = V1
dµ(g) Tm 0 (g) Tm′ 0 (g) =
Nν
(6.4.139) sff03
∫
∫
(ν)∗
(λ)
1
dµ(k) dµ(h) J(k, h) Tm 0 (k · h) Tm′ 0 (k · h) ,
=V
где мы положили g = k · h (элемент k ∈ G параметризует G/H и h ∈ H) и заменили
интеграл по группе G на интеграл по фактор-пространству G/H и интеграл по подгруппе H. Для этого мы представили меру dµ(g) на группе G в виде произведения
меры dµ(h) на подгруппе H и меры dµ(k) на однородном пространстве G/H:
dµ(g) = dµ(h) dµ(k) J(k, h) .
Здесь J(k, h) — якобиан преобразования, возникающий при переходе от одних координат элемента g ∈ G к другим координатам этого элемента, которые соответствуют
представлению g = k · h. Учитывая свойство (6.4.134), можно окончательно записать
(λ)
формулу (6.4.139) в виде условия ортогональности для сферических функций Tm0 :
∫
(ν)∗
(λ)
1
1
λν
(6.4.140) sff04
′ =
δ
δ
dµ(k) J(k) Tm 0 (k) Tm′ 0 (k) ,
m,m
Nν
V
∫
где функция J(k) дается интегралом по подгруппе H: J(k) = dµ(h) J(k, h).
Напомним, что для представления T (λ) элементы матриц T (λ) (g) можно рассматривать как функции на группе G и для них справедливы соотношения (6.4.97):
(λ)
(λ)
(λ)
ρR (Xa ) · Tmm′ (g) = −Tmp
(Xa ) Tpm′ (g) ,
(6.4.141) sff10
где ρR (Xa ) = −Ram ∂m . Соотношение (6.4.141) вновь показывает, что левое регулярное
представление приводимо и содержит в себе все неприводимые представления T (λ) .
Далее напомним, что квадратичный оператор Казимира C2 = η ab Xa Xb принимает
фиксированное значение в неприводимом представлении T (λ) (см. формулу (4.7.11)):
T (λ) (C2 ) = c(λ) Iλ .
Тогда, согласно (6.4.141), действие оператора Лапласа ∆ (6.4.107) на все функции
(λ)
(λ)
Tm,m′ (g) = Tm,m′ (g(⃗x)) имеет вид
(λ)
(λ)
(λ)
(λ)
∆ Tm,m′ (g) = Tm,p
(C2 ) Tp,m′ (g) = c(λ) Tm,m′ (g) ,
7 КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ SU (2) И SL(2, C) И ИХ АЛГЕБР ЛИ.262
(λ)
то есть все элементы Tm,m′ (g(⃗x)) — собственные функции оператора Лапласа ∆.
Рассуждая аналогично, можно показать, пользуясь соотношениями (6.4.137), что
(λ)
сферические функции Tm,0 (k(⃗a)), как функции на однородном пространстве G/H,
также являются собственными функциями оператора Лапласа ∆G/H (6.4.124):
(λ)
(λ)
∆G/H Tm,0 (k(⃗a)) = c(λ) Tm,0 (k(⃗a)) .
(6.4.142) sff06
(λ)
Конкретные примеры сферических функций Tm,0 (k(⃗a)), а также аналоги формул
(6.4.140) и (6.4.142), будут построены и изучены для случая однородного пространства G/H = SO(3)/SO(2) = SU (2)/U (1) = S 2 в следующей Главе 7 в Разделе 7.4.3. ESF
7
Конечномерные представления SU (2) и SL(2, C) и
их алгебр Ли.
7.1
Конечномерные представления алгебр Ли su(2) и sℓ(2, C)
со старшим весом.
Мы уже знаем, что у алгебры su(2) с образующими τα (α = 1, 2, 3) и определяющими
соотношениями (3.2.121) имеются по крайней мере три конечномерных представления. Это тривиальное одномерное представление T (0) = T0 , такое что T (0) (τα ) = 0,
определяющее двумерное представление T (1/2) = T1/2 (4.7.15), реализованное матрицами Паули, и трехмерное присоединенное представление T (1) = T1 (4.7.16).
В этом разделе мы покажем, что для алгебры su(2) существует бесконечный набор конечномерных неэквивалентных неприводимых представлений T (j) , которые характеризуются неотрицательными целыми и полуцелыми числами j = 0, 21 , 1, 23 , 2, . . .
(спинами) и имеют размерность (2j + 1). Мы построим эти представления явно. Мы VRN
также убедимся, что построенные представления исчерпывают все конечномерные
неприводимые представления алгебры su(2).
Для начала напомним, что алгебра Ли su(2) является вещественной формой алгебры sℓ(2, C), а образующие τα алгебры su(2) одновременно являются и образую- VRN
щими алгебры sℓ(2, C). Другой базис {e± , h} в алгебре sℓ(2, C) (см. (3.2.110)) связан
с базисом {τα } простыми линейными соотношениями
e± = i τ1 ∓ τ2 , h = i τ3 ,
1
i
τ1 = − (e− + e+ ) , τ2 = (e− − e+ ) ,
2
2
τ3 = −i h ,
(7.1.1) slso
так что структурные соотношения (3.2.91) и (3.2.121) переходят друг в друга. Согласно VRN
Замечанию 1 раздела 4.4.1 имеется взаимнооднозначное соответствие между конечномерными комплексными представлениями алгебры Ли sℓ(2, C) и ее вещественной
формы su(2): если известно представление алгебры sℓ(2, C), то известны (согласно
(7.1.1)) представления образующих τi и, следовательно, представление алгебры su(2),
7.1 Конечномерные представления su(2) и sℓ(2, C) со старшим весом.
263
и наоборот. Отметим, что некоторые комплексные представления алгебры sℓ(2, C)
могут рассматриваться как вещественные представления su(2) той же размерности
(смотри, например, (4.7.16)). Более удобно строить неприводимые комплексные представления для алгебры sℓ(2, C), поэтому в дальнейшем мы сконцентрируемся на рассмотрении представлений именно этой алгебры.
Далее, так как представление алгебры Ли sℓ(2, C) – это гомоморфизм из sℓ(2, C) в
ассоциативную алгебру линейных операторов, действующих в некотором векторном
пространстве V, то задача о построении представлений sℓ(2, C) эквивалентна задаче
о построении представлений обертывающей алгебры U(sℓ(2, C)) (определение обертывающей алгебры для алгебры Ли дано в разделе 4.7). Для обертывающей алгебры
U(sℓ(2, C)) определяющие соотношения (3.2.91) можно записать в виде
e+ e− = 2 h + e− e+ , h e± = e± (h ± 1) .
(7.1.2) li2
В дальнейшем нам понадобится квадратичный оператор Казимира J 2 ∈ U (sℓ(2, C)):
1
J 2 = (e− e+ + e+ e− ) + h2 = e− e+ + h(h + 1) ,
2
(7.1.3) kaz
который получается из (4.7.13) заменой базиса (7.1.1) и который коммутирует со
всеми образующими U(sℓ(2, C)).
• Задача 198. Проверить, что оператор (7.1.3) удовлетворяет соотношениям:
[J 2 , e± ] = 0 ,
[J 2 , h] = 0 .
(7.1.4) j2
Как уже отмечалось в разделе 4.7.2, согласно Лемме Шура образ элемента J 2 в любом неприводимом представлении алгебры Ли sℓ(2, C) пропорционален единичному
оператору.
Пусть векторное пространство V является пространством некоторого представления T алгебры sℓ(2, C). Пространство V можно разложить в прямую сумму подпространств Vλ , нумеруемых собственными значениями λ образующей h 30 , V = ⊕λ Vλ ,
где подпространства Vλ определяются следующим образом
Vλ = {v (λ) ∈ V| h · v (λ) = λ v (λ) } .
Если v (λ) ∈ Vλ , то согласно (7.1.2) мы имеем e+ v (λ) ∈ Vλ+1 и e− v (λ) ∈ Vλ−1 , поскольку
he± v (λ) = e± (h ± 1)v (λ) = (λ ± 1)e± v (λ) .
Таким образом, операторы e+ и e− , действуя на собственные вектора оператора h,
производят новые собственные вектора оператора h, причем собственные значения
соответственно повышаются и понижаются на единицу. Вообще говоря, таким способом из вектора v (λ) можно построить бесконечное число новых собственных векторов
оператора h: ek− v (λ) ∈ Vλ−k и en+ v (λ) ∈ Vλ+n , где k и n – любые целые неотрицательные
30
В дальнейшем, где это не будет вызывать путаницы, мы для упрощения формул будем писать
e± и h вместо T (e± ) и T (h).
7.1 Конечномерные представления su(2) и sℓ(2, C) со старшим весом.
264
числа. При этом, если вектора ek− v (λ) и en+ v (λ) не равны нулю ни при каких n и k,
то пространство представления V будет бесконечномерным, так как вектора ek− v (λ)
и en+ v (λ) имеют разные собственные значения оператора h и поэтому линейно независимы. Последнее свойство — следствие простого утверждения, которое мы сейчас
докажем.
Утверждение 7.1.1 Ненулевые собственные вектора некоторого оператора h, имеющие различные собственные значения, линейно независимы. Другими словами,
пусть v – собственный вектор оператора h с собственным значением ν и vk – набор
собственных векторов оператора h с другими собственными значениями νk ̸= ν для
всех k. Тогда v не может быть представлен как линейная комбинация vk .
Доказательство. Докажем это утверждение от противного. Выделим из набора
собственных векторов vk поднабор линейно
независимых векторов vα ; при этом να ̸= ν
∑
для всех α. Предположим, что v = α dα vα , то есть вектора v, v1 , v2 , .∏
. ., имеющие
разные собственные значения, линейно зависимы.
Построим
оператор
α (h − να ) и
∑
подействуем им на обе∏
части уравнения v = k dα vα . Правая часть обнуляется, а для
левой
части получаем α (ν−να )·v, что равно нулю только если v ≡ 0. Следовательно,
∑
d
α α vα = 0, а это противоречит линейной независимости векторов vα .
Для получения конечномерных представлений алгебры sℓ(2, C) процедура построения собственных векторов оператора h c возрастающими и убывающими собственными значениями должна обрываться, то есть должны выполняться условия
(λ)
(λ)
ek+1
= 0 = en+1
при каких-то фиксированных k и n. Эти условия опреде− v
+ v
ляют размерность V, то есть размерность представления, и, как мы увидим ниже,
однозначно фиксируют собственное значение оператора Казимира (7.1.3). Удобно
начинать построение конечномерного неприводимого представления, начиная с собственного вектора v0 = en+ v (λ) , имеющего наибольшее собственное значение λ + n,
и действуя на него ”понижающим” оператором e− , построить все базисные вектора
пространства V. Эквивалентно, можно начинать с собственного вектора v0 = ek− v (λ) ,
имеющего наименьшее собственное значение λ − k, и действовать на него ”повышающим” оператором e+ .
Определение 7.1.1 Пусть существует такое Vλ ̸= ∅, что для всех ненулевых
векторов v0 ∈ Vλ выполняется Vλ+1 = ∅, то есть
e+ v0 = 0 ,
h v0 = λ v 0 .
(7.1.5) lie33
Вектора v0 ∈ Vλ называются старшими векторами, а их собственное значение λ
называется старшим весом. Представление, которое порождается многократным
действием образующих sℓ(2, C) на старший вектор v0 , называется представлением
со старшим весом. Ненулевые вектора v ∈ Vµ такие, что Vµ−1 = ∅, то есть
hv = µv ,
e− v = 0 ,
(7.1.6) lie33m
называются младшими векторами, а µ – младшим весом. Соответственно представление, которое порождается действием образующих алгебры sℓ(2, C) на v, называется представлением с младшим весом.
7.1 Конечномерные представления su(2) и sℓ(2, C) со старшим весом.
265
Пусть V – пространство неприводимого представления T алгебры sℓ(2, C) со старшим вектором v0 ∈ V и старшим весом λ. Будем порождать из v0 новые вектора,
действуя на него ”понижающими” операторами e− :
vk :=
1 k
e v0 ,
k! −
k = 1, 2, 3, . . . .
(7.1.7) vvkk
Пользуясь (7.1.2), легко проверить следующие формулы
(a) h vk = (1/k!) h ek− v0 = (1/k!) ek− (h − k) v0 = (λ − k) vk ,
(b) e− vk = (1/k!) ek+1
− v0 = (k + 1) vk+1 ,
(c) e+ vk = (1/k!) e+ ek− v0 = (2λ − k + 1) vk−1 (k ≥ 0) ,
(7.1.8) li3
где в последнем равенстве мы полагаем v−1 = 0. Формулы (a) и (b) очевидны. Формула (с) получается, если подействовать на v0 левой и правой частью тождества
e+ ek− = ek− e+ + k ek−1
− (2 h − k + 1) .
(7.1.9) li3a
• Задача 199. Пользуясь соотношениями (7.1.2) вывести тождество (7.1.9).
Из (7.1.8)(a) следует, что все vk ̸= 0 имеют различные собственные значения и, таким
образом, согласно утверждению 7.1.1, являются линейно независимыми.
Пусть V конечномерное пространство dim V < ∞, которое порождается из v0 действием всех образующих sℓ(2, C). Следуя традиции, сменим обозначения и обозначим
старший вес как j (вместо λ). Тогда существует такое наименьшее целое число n ≥ 0,
для которого vn ̸= 0, но vn+1 = 0 и, следовательно, vn+k = 0 ∀k ≥ 1. В этом случае
в качестве базиса в V можно выбрать вектора (v0 , v1 , . . . , vn ) с собственными значениями h: (j, j − 1, j − 2, . . . , j − n) и мы имеем разложение V в сумму одномерных
подпространств
V = Vj ⊕ Vj−1 ⊕ . . . ⊕ Vj−n ⇒ dimV = n + 1 .
(7.1.10) razl
Рассмотрим в этом случае формулу (7.1.8c) для k = n + 1: e+ vn+1 = (2j − n) vn .
Так как vn+1 = 0, vn ̸= 0, то мы заключаем, что j = n2 , то есть старший вес должен
равняться неотрицательному целому или полуцелому числу. Обозначим построенное
конечномерное представление sℓ(2, C) как T (j) .
С другой стороны, пусть старший вес равен неотрицательному целому или полуцелому числу j = n2 , тогда из (7.1.8) (c) следует, что e+ vn+1 = 0 и либо vn+1 = 0 и мы
получаем как и ранее конечномерное представление T (j) , либо vn+1 ̸= 0 и мы имеем
вектор vn+1 , который выступает как новый старший вектор (сравните с (7.1.5)):
e+ vn+1 = 0 ,
h vn+1 = (j − n − 1) vn+1 ,
(7.1.11) rsl4
из которого действием образующих sℓ(2, C) порождается векторное подпространство
V1 ⊂ V, натянутое на вектора vk с k ≥ n + 1. Подпространство V1 по построению (в
силу (7.1.11)) будет инвариантным подпространством в V, то есть представление T
приводимо. Таким образом, только для vn+1 = 0 представление со старшим весом
j = n2 неприводимо.
7.1 Конечномерные представления su(2) и sℓ(2, C) со старшим весом.
266
• Задача 200. Доказать, что представление T (j) со старшим весом j = n2 и
vn+1 = 0, построенное выше, является∑неприводимым. Указание: доказать, что любой ненулевой вектор
k αk vk ∈ V, действуя на него
образующими e+ и e− , можно перевести в любой базисный вектор
vk ∈ V, k = 0, . . . , n, то есть в V нет нетривиальных инвариантных
подпространств.
В дальнейшем мы будем обозначать множество целых неотрицательных чисел
{0, 1, 2, . . .} как Z≥0 .
Итак, представление sℓ(2, C) со старшим весом конечномерно и неприводимо тогда и только тогда, когда старший вес равен j = n/2, где n ∈ Z≥0 . При этом согласно
(7.1.10) пространство представления со старшим весом j = n/2 разлагается в сумму
одномерных подпространств
V = V− n2 ⊕ V− n2 +1 ⊕ . . . ⊕ V n2 ,
(7.1.12) razlo
и его размерность равна n+1. Базис в пространстве V образован векторами vk (7.1.7),
где k = 0, 1, . . . , n. Наконец, собственные значения оператора h на векторах vk равны
n/2 − k = j − k и следовательно мы имеем для спектра этого оператора
Spec(h) : m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j .
(7.1.13) spec-h
Таким образом, собственные значения m – целые, если j – целое, и полуцелые, если
j – полуцелое.
Квадратичный оператор Казимира J 2 (7.1.3) на всех векторах пространства неприводимого представления V имеет одно и то же собственное значение, которое проще
всего подсчитать, если подействовать им на старший вектор:
J 2 v0 = (e− e+ + h(h + 1)) v0 = j(j + 1) v0 .
(7.1.14) 260**
Отсюда в частности следует, что представления T (j) неэквивалентны для разных j,
так как операторы T (j) (J 2 ) = j(j + 1) I2j+1 для разных j = n/2, n ∈ Z≥0 невозможно
свести друг к другу преобразованиями эквивалентности.
Все вышесказанное можно просуммировать в виде следующего утверждения.
Утверждение 7.1.2 Все конечномерные неприводимые представления T (j) для алгебры Ли sℓ(2, C) (или su(2)) являются представлениями со старшим весом j = n2 ,
где n – неотрицательное целое число. Размерность этих представлений определяется старшим весом и равна 2j + 1 = n + 1. Для разных j представления T (j)
неэквивалентны.
Матричное представление алгебры sℓ(2, C) со старшим весом j = n2 в пространстве (7.1.12) задается аналогами формул (2.2.33):
h · vk = vℓ Teℓk (h) , e± · vk = vℓ Teℓk (e± ) ,
где согласно (7.1.8) мы имеем
)
(n
− k δℓk , Teℓk (e+ ) = (n − k + 1)δℓ,k−1 ,
Teℓk (h) =
2
(7.1.15) Te2he
Teℓk (e− ) = (k + 1)δℓ,k+1 , (7.1.16) 260*
7.1 Конечномерные представления su(2) и sℓ(2, C) со старшим весом.
267
где ℓ, k = 0, 1, . . . , n и δℓ,−1 = 0 = δℓ,n+1 . Отметим, что получающиеся таким образом
матрицы Te(h) и Te(e± ) вещественны и следовательно могут быть использованы в качестве вещественных представлений для алгебры sℓ(2, C) (соответствующие представления алгебры su(2) — комплексные для полуцелых j и эквивалентны вещественным
для целых j).
VRN:
OK!
• Задача 201. Пользуясь формулами (7.1.16) выписать 1,2,3 - мерные матричные представления (j = 0, 1/2, 1) образующих h и e± алгебры sℓ(2, C).
Найти соответствующие представления для образующих τα алгебры su(2)
и сравнить их с представлениями (4.7.15) и (4.7.16).
Как мы указывали выше, построенные неприводимые конечномерные представления T (j) алгебры sℓ(2, C) одновременно являются и представлениями алгебры su(2).
В этом случае старший вес j = n2 , где n ∈ Z≥0 , называется спином и соответствует
(2j + 1) мерному неприводимому представлению алгебры su(2) (и, соответственно,
группы SU (2)). Мы знаем, что всякое представление Te алгебры Ли su(2) (как и
любой другой компактной алгебры Ли) эквивалентно антиэрмитовому представлению T . Из формул (7.1.1) следует, что в таком представлении матричные элементы
операторов e± должны обладать свойством
∗
Tℓk (e− ) = Tkℓ
(e+ ) ,
(7.1.17) add-s25-**
однако матричные элементы (7.1.16) этого свойства не имеют. Приведем матрицы
(7.1.16) к виду, соответствующему (7.1.17). Для этого сделаем линейную замену базиса в пространстве V представления T (j) и определим вместо базисных элементов
vk (k = 0, . . . , 2j) новые базисные элементы |j, m⟩ (m = −j, . . . , j − 1, j) следующим
образом
√
√
(j + m)! j−m
· v0 .
(7.1.18) emod
|j, m⟩ := (j + m)!(j − m)! vj−m =
e
(j − m)! −
Для выбранного в (7.1.18) базиса, исходя из равенств (7.1.15) и (7.1.16), мы получаем
следующие матричные представления для образующих e± и h:
h · |j, m⟩ = m |j, m⟩ = |j, m′ ⟩ Tm′ m (h) ,
√
e± · |j, m⟩ = (j ± m + 1)(j ∓ m) |j, m ± 1⟩ = |j, m′ ⟩ Tm′ m (e± ) ,
(7.1.19) Te3he
√
Tm′ m (h) = m δm′ m , Tm′ m (e+ ) = (j + m + 1)(j − m) δm′ ,m+1 ,
√
Tm′ m (e− ) = (j + m)(j − m + 1) δm′ ,m−1 .
(7.1.20) Te4he
где
При этом мы имеем Tm′ m (e+ ) = Tmm′ (e− ), то есть для матриц (7.1.20) с учетом
их вещественности свойство (7.1.17) выполняется, и представление (7.1.20) алгебры
sℓ(2, C) соответствует антиэрмитовому представлению алгебры su(2).
7.1 Конечномерные представления su(2) и sℓ(2, C) со старшим весом.
268
Определим теперь в комплексном пространстве
V представления
T (j) скалярное
∑
∑
произведение ⟨β | α⟩ двух векторов |α⟩ = m αm |j, m⟩ и |β⟩ = m βm |j, m⟩ следующим образом
∑
∗
⟨β | α⟩ =
βm
αm , ⟨α | β⟩ = ⟨β | α⟩∗ ,
(7.1.21) absp
m
(здесь αm , βm ∈ C). Относительно этого скалярного произведения вектора |j, m⟩ ортонормированы
⟨j, m′ |j, m⟩ = δmm′ ,
(7.1.22) absp1
а матричные элементы (7.1.20) записываются, согласно (7.1.19), в виде
⟨j, m′ | h|j, m⟩ = Tm′ m (h) ,
⟨j, m′ | e± |j, m⟩ = Tm′ m (e± ) .
VRN:
ф-ла
(7.1.23) Te7he
(7.1.23)
Для дальнейшего нам удобно ввести дуальное к пространству V пространство
V , которое реализовано как (2j
комплексное векторное пространство
∑ + 1)-мерное
∗
и состоит из векторов ⟨α| =
⟨j,
m
|
α
.
Таким
образом, V ∗ натянуто на базисm
m
ные вектора ⟨j, m |, где m = −j, . . . , j − 1, j. Учитывая формулы (7.1.21) и (7.1.22),
дуальные вектора ⟨α| можно рассматривать как эрмитово сопряженные вектора |α⟩† :
∗
⟨α| = |α⟩† ,
⟨j, m | = | j, m⟩† ,
(7.1.24) Te9he
а скалярное произведение ⟨β | α⟩ интерпретировать как свертку вектора | α⟩ и дуального вектра ⟨β |. Пользуясь формулами (7.1.22), (7.1.23) и (7.1.20) для дуального
базиса мы получаем соотношения
√
⟨j, m| · h = ⟨j, m| m , ⟨j, m| · e± = ⟨j, m ∓ 1| (j ± m)(j ∓ m + 1) .
(7.1.25) Te5he
из которых для базисных векторов следуют выражения
√
(j + m)!
j−m
⟨j, m| =
.
⟨j, j| · e+
(j − m)!(2j)!
(7.1.26) emod1
Здесь ⟨j, j| = |j, j⟩† — дуальный старший вектор, который определяется, согласно VRN
(7.1.5), уравнениями
⟨j, j| · e− = 0 , ⟨j, j| · h = j ⟨j, j| .
(7.1.27) emod2
Соответственно для младшего дуального вектора мы имеем
⟨j, −j| · e+ = 0 ,
⟨j, −j| · h = −j ⟨j, −j| .
(7.1.28) Te6he
Ортонормированность векторов (7.1.22) согласована с формулами (7.1.25), что
можно проверить непосредственно, записав
√
(j + m′ )!
j−m′
⟨j,
j|
·
e
⟨j, m′ |j, m⟩ =
· |j, m⟩ = δm′ ,m ⟨j, j|j, j⟩ = δm′ ,m . (7.1.29) emod3
+
(j − m′ )!(2j)!
Базисные вектора (7.1.18) в представлении T (j) характеризуются двумя числами:
спином j (характеристика представления) и весом m – собственным значениями оператора h = i τ3 (“проекции оператора вектора спина на третью ось”), при этом веса
7.2 Дифференциальная реализация алгебры Ли sℓ(2, C).
269
m могут принимать, согласно (7.1.13), значения m = j, j − 1, . . . , 1 − j, −j. Квадрат
оператора вектора спина в этом представлении равен
T (j) (J 2 ) = −T (j) (τα )T (j) (τα ) = j(j + 1) I2j+1 ,
(7.1.30) Vkaz
что также согласуется с (7.1.14).
• Задача 202. Построить конечномерные представления sℓ(2, C) с младшим весом µ. Доказать, что в этом случае µ = −n/2, где n ∈ Z≥0 . Доказать, что
(2j + 1)-мерные представления sℓ(2, C) со старшим весом j = n/2 и с
младшим весом µ = −n/2 эквивалентны.
Замечание. Представления sℓ(2, C) со старшим весом j ̸= n/2 и младшим весом
µ ̸= −n/2, где n ∈ Z≥0 , являются бесконечномерными. У алгебры Ли sℓ(2, C) имеются также бесконечномерные представления, которые не являются представлениями
со старшим (или младшим) весом, то есть в пространствах этих представлений нет
векторов, которые удовлетворяют (7.1.5) (или (7.1.6)) и которые можно интерпретировать как старший (младший) вектор.
7.2
Дифференциальная реализация алгебры Ли sℓ(2, C) и представления со старшим весом.
7.2.1
Реализация алгебры Ли sℓ(2, C) с помощью дифференциальных операторов.
Группа SL(2, C) действует в двумерном комплексном пространстве C2 . Определим
это действие несколько необычным образом. Зададим C2 как двумерное векторное
пространство всех линейных комбинаций
α1 s + α2 t = αβ uβ ,
αβ ∈ C ,
(7.2.1) dr00
натянутых на две переменные s = u1 и t = u2 как на базис (αβ – координаты вектора в VRN
C2 ). То есть мономы первого порядка s и t выступают в качестве базисных элементов
в пространстве однородных полиномов первого порядка по s и t. Теперь определяющее представление группы SL(2, C) в пространстве полиномов (7.2.1) можно задать
стандартным образом согласно (4.1.8)
(7.2.2) dr01a
T (g) · (s, t) = (s, t) g = (sA11 + tA21 , sA12 + tA22 ) = (s ′ , t ′ ) .
)
(
2
1
A
A
1
1
– элемент группы SL(2, C). Пусть этот элемент имеет экспоЗдесь g = A 1 A 2
2
2
ненциальное представление
g = exp (a1 h + a2 e+ + a3 e− ) ,
(7.2.3) dr01
7.2 Дифференциальная реализация алгебры Ли sℓ(2, C).
270
где ai – параметры группы, а матричные образующие h, e± ∈ sℓ(2, C) даны в (3.2.110).
Тогда, дифференцируя обе части равенства (7.2.2) по каждому из параметров ai и
полагая затем a1 = a2 = a3 = 0, получаем три соотношения
T (e+ ) · u = u · e+ = (0, s) ,
T (e− ) · u = u · e− = (t, 0) ,
T (h) · u = u · h = 21 (s, −t) ,
(7.2.4) pre1
где использовано обозначение для вектора (s, t) = u. Из соотношений (7.2.4) видно,
что T (e+ ), T (e− ) и T (h) можно реализовать как дифференциальные операторы
ê+ := T (e+ ) = s ∂t , ê− := T (e− ) = t ∂s , ĥ := T (h) =
1
(s∂s − t∂t ) .
2
(7.2.5) pre
Эти операторы, по построению, удовлетворяют структурным соотношениям (3.2.91)
для образующих h, e± алгебры Ли sℓ(2, C).
• Задача 203. Проверить, что дифференциальные операторы (7.2.5) удовлетворяют соотношениям (3.2.91).
Отметим еще раз, что преобразования (7.2.2) задают определяющее
( )представление
2
1
группы SL(2, C), а вектора (7.2.1), которые можно записать как α
α2 ∈ C , образуют пространство этого представления.
Данную конструкцию можно обобщить следующим образом. Рассмотрим пространство F гладких функций f (s, t) ≡ f (u) и определим в этом пространстве пред- VRN
ставление группы SL(2, C) с помощью соотношений (сравните с определением правого регулярного представления (6.4.88)):
[T (g) · f ](u) = f (u · g) .
(7.2.6) drg01
Подставляя g в виде (7.2.3) и дифференцируя (7.2.6) по ai в точке a1 = a2 = a3 = 0
мы получаем дифференциальное представление (7.2.5) для образующих алгебры Ли VRN
sℓ(2, C) (сравните с формулами (6.4.90)):
[T (h) · f ](u) = ∂a∂ 1 f (u · g)
ai =0
[T (e+ ) · f ](u) = ∂a∂ 2 f (u · g)
[T (e− ) · f ](u) = ∂a∂ 3 f (u · g)
= 12 (s∂s − t∂t ) f (u) ,
ai =0
ai =0
= s ∂t f (u) ,
(7.2.7) drg02
= t ∂s f (u) .
Таким образом, представление (7.2.5) алгебры Ли sℓ(2, C) соответствует представлению группы Ли SL(2, C), которое задано в (7.2.6).
( )
s̄
Рассмотрим теперь транспонированный к u = (s, t) вектор-столбец ū =
t̄
с компонентами s̄, t̄, которые также образуют векторное пространство однородных
VRN,
полиномов первой степени по переменным s̄ и t̄:
ф-ла
ᾱ1 s̄ + ᾱ2 t̄ = ᾱβ ūβ , ᾱβ ∈ C ,
(7.2.8) dr00a
(7.2.8)
7.2 Дифференциальная реализация алгебры Ли sℓ(2, C).
271
и определим действие группы SL(2, C) в этом пространстве следующим образом
T (g) · ū = g −1 · ū ,
(7.2.9) dr03
где матрица g ∈ SL(2, C) задана в (7.2.2). Это преобразование, очевидно, совпадает
с действием (4.1.11) представления SL(2, C), контргредиентного к определяющему.
Отметим, что преобразование (7.2.9), одновременно с преобразованием (7.2.2), оставляет инвариантным свертку базисных векторов
VRN,
ф-ла
( )
β
s̄
(s, t) t̄ = (ss̄ + tt̄) = u ūβ (β = 1, 2) ,
(7.2.10) dr04
(7.2.10)
которая является функцией от четырех переменных и принадлежит прямому произведению векторных пространств (7.2.1) и (7.2.8). Возьмем в (7.2.9) элемент g в
виде (7.2.3) и продифференцируем обе части (7.2.9) по параметрм ai , положив затем
a1 = a2 = a3 = 0. В результате получаем соотношения
( )
( )
t̄
T (e+ ) · ū = −e+ · ū = − 0 , T (e− ) · ū = −e− · ū = − 0s̄ ,
(7.2.11) sopre1
( )
1
s̄
T (h) · ū = −h · ū = − 2 · t̄ ,
то есть мы снова можем определить T (e± ) и T (h) как дифференциальные операторы
ē+ := T (e+ ) = −t̄ ∂s̄ , ē− := T (e− ) = −s̄ ∂t̄ ,
h̄ := T (h) = 12 (t̄ ∂t̄ − s̄ ∂s̄ ) .
(7.2.12) sopre
Эти операторы, так же как и (7.2.5), образуют алгебру Ли sℓ(2, C), то есть удовлетворяют определяющим соотношениям (3.2.91).
• Задача 204. Проверить, что дифференциальное представление (7.2.12) для
алгебры Ли sℓ(2, C) соответсвует представлению группы Ли SL(2, C) в
пространстве F гладких функций f (ū) (сравните с левым регулярным
представлением (4.6.36)):
[T (g) · f ](ū) = f (g −1 · ū) .
(7.2.13) drg03
VRN:
• Задача 205. Проверить, что дифференциальные операторы (7.2.12), а также
операторы (смотри (4.3.13))
Убрал тривиальность
T(p) (e± ) = (ê± + ē± ) , T(p) (h) = (ĥ + h̄) ,
действующие в пространстве гладких функций f (u, ū) (считаем переменные u = (s, t) и ū = (s̄, t̄) независимыми), удовлетворяют соотношениям
(3.2.91). Доказать, что любые функции вида f (ss̄ + tt̄) являются решениями дифференциальных уравнений
T(p) (e± ) · f (ss̄ + tt̄) = 0 , T(p) (h) · f (ss̄ + tt̄) = 0 .
(7.2.14) sstt
7.2 Дифференциальная реализация алгебры Ли sℓ(2, C).
272
Заметим, что преобразования (7.2.9), (7.2.11) можно получить из (7.2.2), (7.2.4)
если отождествить
s̄ = t , t̄ = −s ⇔ ūα = ϵαβ uβ ,
(7.2.15) otojd
где ϵαβ - антисимметричный тензор 2-ого ранга (2.2.8), ϵ12 = 1. Соответственно, образующие (7.2.5) и (7.2.12) также переходят друг в друга с помощью преобразований
(7.2.15). Эти факты говорят о том, что определяющее и контргредиентное к нему
представления sℓ(2, C) эквивалентны, и достаточно рассматривать только одно из VRN
этих представлений.
Дифференциальная реализация для образующих τα алгебры su(2) получается из
(7.2.5) и (7.2.12) с помощью преобразований (7.1.1).
7.2.2
Построение представлений со старшим весом для дифференциальных реализаций sℓ(2, C).
Действие образующих алгебры sℓ(2, C), реализованных операторами (7.2.5), очевидным образом распространяется на бесконечномерное пространство F функций f (s, t)
от двух переменных s и t. Соответствующие формулы приведены в (7.2.7). Выделим в
пространстве F инвариантные подпространства конечномерных неприводимых представлений sℓ(2, C), пользуясь техникой построения представлений со старшим весом.
Для этого найдем старший вектор v0 (s, t) ∈ F такой, что
ê+ · v0 = 0 ,
ĥ · v0 = j v
=⇒
s ∂ t v0 = 0 ,
(s∂s − t∂t ) v0 = 2 j v0 ,
(7.2.16) stvtj0
где j – старший вес. Решением этих дифференциальных уравнений, с точностью до
произвольного постоянного множителя, является функция
v0 = s2j ∈ F ,
(7.2.17) stvtj
которую мы и будем рассматривать как старший вектор в F. Породим из этой функции, действуя на нее понижающими операторами ê− = t∂s , последовательность векторов, аналогичных (7.1.7):
ê− · v0 = 2j s2j−1 t ⇒ ê2− · v0 = 2j (2j − 1) s2j−2 t ⇒ . . . ⇒
êk− · v0 = 2j (2j − 1) · · · (2j − k + 1) s2j−k tk , . . . .
(7.2.18) stvtj1
При этом на каждом шаге степень s понижается на единицу, а степень t повышается
на единицу, так что все вектора êk− · v0 оказываются мономами одной и той же, общей
по переменным s и t, степени 2j, которая определяется степенью старшего вектора
(7.2.17). Если j = n2 , где n ∈ Z≥0 , то последовательность векторов êk− · v0 оборвется
2j+1
при k = 2j + 1, так как ê−
v0 = 0. В этом случае из старшего вектора v0 (7.2.17)
порождается (2j + 1) базисных векторов
Tmj (s, t) = √
1
sj+m tj−m =: ⟨s, t |j, m⟩ ,
(j + m)!(j − m)!
m = −j, −j + 1, . . . , j ,
(7.2.19) tjm
которые образуют (2j + 1)-мерное пространство V2j+1 неприводимого представления
T (j) алгебр Ли sℓ(2, C) и su(2). Здесь для мономов Tmj (s, t) мы ввели обозначение
7.2 Дифференциальная реализация алгебры Ли sℓ(2, C).
273
⟨s, t |j, m⟩ вместо |j, m⟩, чтобы отличать данную конкретную форму базисных векторов от векторов (7.1.18), которые использовались для абстрактного построения
представления со старшим весом31 . Более подробное описание таких обозначений,
которые чрезвычайно удобны и называются обозначениями Дирака, содержится в
[43] и в разделе 7.3, см. ниже.
Пространство V2j+1 , натянутое на базисные векторы (7.2.19), состоит из всех однородных полиномов от двух переменных (s, t) общей степени 2j (сравните с (7.2.1)):
P2j (s, t) =
j
∑
αm ∈ C ,
αm Tmj (s, t) ,
(7.2.20) p2jst
m=−j
и является конечномерным подпространством в F, инвариантным относительно дей- VRN
ствия алгебры sℓ(2, C) (и su(2)). Подпространство V2j+1 ∈ F будет одновременно
пространством неприводимого представления T (j) не только для алгебры sℓ(2, C) (и
su(2)), но и для соответствующей группы Ли SL(2, C) (и SU (2)), согласно определению представления этой группы, данному в (7.2.6).
Нормировочный множитель в (7.2.19) выбран так, чтобы вектора (7.2.19) образовывали ортонормированный базис по отношению к скалярному произведению
′
′
( T (s, t) , T (s, t) ) = T (∂s , ∂t ) · T (s, t)
(7.2.21) noTT
,
s=t=0
′
где T (s, t) и T (s, t) – любые полиномы из F. Скалярное произведение (7.2.21) эквивалентно скалярному произведению, заданному в (7.1.29), в силу их совпадения на
базисных векторах в соответствующих пространствах представлений (более детальное обоснование такого скалярного произведения содержится ниже в Утверждении
7.3.2 подраздела 7.3.2). Напомним, что индекс m принимает в (7.2.19) целые значения, если j – целое, и полуцелые значения, если j – полуцелое.
В качестве примера приведем функции Tmj (s, t) для значений j = 12 , 1:
1/2
1/2
1.) j = 1/2 (m = ±1/2) ⇒ T−1/2 = t , T1/2 = s ,
√
1
2.) j = 1 (m = −1, 0, 1) ⇒ T−1
= t2 / 2 , T01 = s t ,
√
T11 = s2 / 2 .
1/2
Таким образом, в случае j = 1/2 функции Tm воспроизводят базисные вектора
определяющего представления u = (s, t), которые использовались для построения
дифференциальной реализации (7.2.5). В случае j = 1 мы получаем базисные вектора
для трехмерного присоединенного представления sℓ(2, C).
(j)
со старшим ве• Задача 206. Построить конечномерные представления T
сом для контргредиентного представления алгебры и группы Ли sℓ(2, C)
и SL(2, C), которые заданы в (7.2.12) и (7.2.13). Показать, что базисные
вектора в пространстве этих представлений реализуется однородными мономами типа (7.2.19):
j
Tm = √
31
(−1)j+m
(j + m)!(j − m)!
s̄j−m t̄j+m .
(7.2.22) stjm
В этом разделе для упрощения формул мы будем опускать часть ⟨s, t | в обозначениях ⟨s, t |j, m⟩.
7.2 Дифференциальная реализация алгебры Ли sℓ(2, C).
274
j
Отметим, что при отождествлении (7.2.15) мы имеем T m = Tmj , как и следовало
ожидать.
По построению все вектора (7.2.19) являются собственными векторами для дифференциального оператора ĥ (7.2.5):
ĥ Tmj = m Tmj
⇔
ĥ |j, m⟩ = m |j, m⟩ ,
(7.2.23) stvtj31
(напомним, что в этом разделе мы договорились для краткости опускать часть ⟨s, t|
в обозначенях ⟨s, t|j, m⟩ для векторов (7.2.19)). Кроме того, пользуясь явными формулами для образующих (7.2.5), мы получаем формулы
VRN
√
ê+ |j, m⟩ = (j + m + 1)(j − m) |j, m + 1⟩ ,
(7.2.24) stvtj3
√
ê− |j, m⟩ = (j − m + 1)(j + m) |j, m − 1⟩ .
Формулы (7.2.23) и (7.2.24) совпадают с (7.1.19) и (7.1.20), при этом, как мы уже
говорили, базисные вектора (7.2.19) удовлетворяют условию ортонормированности
(7.1.22) в скалярном произведении (7.2.21). Таким образом, мы воспроизвели в формализме дифференциальных реализаций результаты раздела 7.1.
Те же формулы (7.2.23) и (7.2.24) имеют место и для контргредиентных представлений (7.2.12) и (7.2.22), что следует из эквивалентности (7.2.15).
• Задача 207. Получить обобщения формул (7.2.24):
√
(j ± m + k)!(j ∓ m)!
êk± |j, m⟩ =
|j, m ± k⟩ .
(j ± m)!(j ∓ m − k)!
(7.2.25) stvtj33
BSF
(j)
Рассмотрим прямое произведение T ⊗ T двух неприводимых представлений
(j)
T
и T , действующих в функциональных пространствах с базисами (7.2.19) и
(j)
(7.2.22), соответственно. В качестве базиса в пространстве представления T (j) ⊗ T
j
можно выбрать все мономы вида Tmj (u) T m′ (ū), где m, m′ = −j, . . . , j. Представле(j)
в общем случае приводимо и в его разложении по неприводимым
ние T (j) ⊗ T
представлениям содержится тривиальное одномерное представление. Это представление понадобится нам ниже, при вычислении коэффициентов Клебша-Гордана (см.
(j)
раздел 7.5.4), поэтому мы выделим его из T (j) ⊗ T явно. Для этого рассмотрим
функцию (ss̄ + tt̄)2j , инвариантную относительно преобразований (7.2.6) и (7.2.13)
(смотри также (7.2.14)), где j = n/2 и n ∈ Z≥0 , и разложим ее с помощью формулы
бинома Ньютона:
(j)
(j)
(ss̄ + tt̄)2j =
j
∑
m=−j
(2j)!
(ss̄)j+m (tt̄)j−m = (2j)!
(j+m)!(j−m)!
j
∑
m=−j
j
(−1)j−m T −m Tmj .
(7.2.26) sstt1
Правая часть этого соотношения очевидно является вектором в пространстве пред(j)
ставления T (j) ⊗T алгебры sℓ(2, C) (группы SL(2, C)) и этот вектор — инвариант по
7.3 Обозначения Дирака.
275
отношению к преобразованиям (7.2.6) и (7.2.13) в силу инвариантности левой части VRN
(7.2.26). Таким образом, правая часть (7.2.26) дает нам инвариантную свертку базисj
ных векторов Tmj (7.2.19) и T m (7.2.22) и определяет базисный вектор пространства
(j)
тривиального одномерного подпредставления в T (j) ⊗ T .
ESF
Любой однородный полином P2j (s, t), составленный как линейная комбинация базисных мономов (7.2.19), может быть записан в виде
P2j (s, t) = t2j ϕ2j (z) ,
(7.2.27) pphi
где мы сделали замену переменных s, t → z = s/t, t и определили полином ϕ2j (z)
степени 2j от одной переменной z = s/t. В новых переменных (z, t) операторы ê± , ĥ
(7.2.5) записываются следующим образом
ê+ = zt∂t − z 2 ∂z , ê− = ∂z ,
1
ĥ = z∂z − t∂t ,
2
(7.2.28) pphi03
Так как действие операторов ê± , ĥ на полиномы P2j (s, t) не меняет их степень однородности, то, пользуясь (7.2.27) и (7.2.28), мы можем определить, как эти операторы
действуют в пространстве полиномов ϕ2j (z)
ê± · (t2j ϕ2j (z)) = t2j Tz (e± ) · ϕ2j (z) ,
ĥ · (t2j ϕ2j (z)) = t2j Tz (h) · ϕ2j (z) ,
(7.2.29) pphi04
где
Tz (e+ ) = 2 j z − z 2 ∂z ,
Tz (e− ) = ∂z , Tz (h) = z∂z − j .
(7.2.30) sl24
Таким образом, формулы (7.2.30) задают представление алгебры sℓ(2, C) в простран- VRN
стве полиномов 2j-го порядка от одной переменной z.
• Задача 208. Доказать, что операторы (7.2.30) образуют базис алгебры Ли
sℓ(2, C). Вычислить оператор Казимира J 2 для реализации (7.2.30).
• Задача 209. Для реализации (7.2.30) алгебры Ли sℓ(2, C) найти старший вектор v0 :
e+ v0 = 0 , h v0 = λ v0 ,
доказать, что λ = j, и построить представление T для sℓ(2, C) со старшим весом λ = j. Показать, что T – конечномерное представление, только
если 2j – целое неотрицательное число. Описать в этом случае пространство представления T и найти его размерность. Описать бесконечномерные
представления sℓ(2, C) со старшим весом в случае 2j ̸= Z≥0 .
7.3
Обозначения Дирака.
7.3.1
Бра и кет вектора. Координатное и импульсное представление.
VRN:
Рассмотрим комплексное векторное (конечномерное или бесконечномерное) простран- помеченные мелкие
ство V. Вектора в V будем обозначать как |Ψ⟩, где в качестве Ψ мы можем, вообще правки
по
всему
разделу
7.3 Обозначения Дирака.
276
говоря, использовать несколько символов, индексов, чисел и т.д., характеризующих
данный вектор. Мы уже использовали такие обозначения ранее в (7.1.18) и (7.2.19).
Рассмотрим также дуальное к V комплексное векторное пространство V ∗ линейных VRN
функционалов на V. Будем обозначать вектора из V ∗ как ⟨Φ|. Тогда по определению
каждому ⟨Φ| ∈ V ∗ соответствует функция: V → C, которую обозначим как ⟨Φ|Ψ⟩,
при этом
VRN
⟨Φ|Ψ⟩ ∈ C ,
∀|Ψ⟩ ∈ V .
(7.3.31) dira01
Определение (7.3.31) можно рассматривать с дуальной точки зрения, а именно, каждому вектору |Ψ⟩ ∈ V соответствует линейный функционал: V ∗ → C. Выражение
⟨Φ|Ψ⟩ мы будем называть сверткой двух векторов |Ψ⟩ и ⟨Φ|. Пусть в V задан базис
|α⟩, где индекс α, нумерующий базисные вектора, обозначает в общем случае набор
индексов (мульти-индекс). Индексы, входящие в мульти-индекс α, могут принимать
как непрерывные, так и дискретные значения. Базис векторов ⟨β| в V ∗ называется
дуальным к базису |α⟩ ∈ V, если β обозначает тот же тип мульти-индекса, что и α,
и выполняется условие ортонормированности
VRN
⟨β|α⟩ = δα,β ,
(7.3.32) dira02
где δα,β — произведение символов Кронеккера и дельта-функций от индексов, входящих в α и β, в зависимости от того, принимают ли эти индексы дискретные или
непрерывные значения. Согласно (7.3.32) любые вектора |Ψ⟩ ∈ V и ⟨Φ| ∈ V ∗ разлагаются по соответствующим базисным векторам следующим образом
∑
∑
| Ψ⟩ =
|α⟩⟨α|Ψ⟩ , ⟨Φ | =
⟨Φ| α⟩⟨α| ,
(7.3.33) dira03
α
∑
α
где α обозначает многократный интеграл и многократную сумму по непрерывным
и дискретным индексам, входящим в мульти-индекс α.
Для любого линейного оператора T , действующего в V, мы можем определить
оператор T , который действует в V ∗ , и обратно, согласно правилу
∀|Ψ⟩ ∈ V , ∀⟨Φ| ∈ V ∗ ,
⟨Φ| (T · |Ψ⟩) = (⟨Φ| · T ) |Ψ⟩ ,
(7.3.34) dira05
при этом оператор T действует на V слева, а на V ∗ справа. Из соотношений (7.3.33)
следует, что единичный оператор I, действующий в пространствах V и V ∗ , разлагается по полной системе базисных векторов следующим образом:
VRN
∑
|α⟩ ⟨α| ,
(7.3.35) dira03b
I=
α
а свертка ⟨Φ|Ψ⟩ представляется в виде
∑
⟨Φ|Ψ⟩ =
⟨Φ|α⟩ ⟨α|Ψ⟩ .
(7.3.36) dira03a
α
Линейные операторы T , заданные на пространстве V, имеют ”матричные” представления ⟨β|T |α⟩ (сравните с (2.2.33) и (2.2.37)), которые действуют в пространстве
функций ⟨α|Ψ⟩ (координат вектора |Ψ⟩ ∈ V)
∑
∑
T |β⟩ =
|α⟩ ⟨α|T |β⟩ ⇒ ⟨β|T |Ψ⟩ =
⟨β|T |α⟩ ⟨α|Ψ⟩ ,
(7.3.37) dira03d
α
α
7.3 Обозначения Дирака.
277
где мы воспользовались формулой (7.3.35) для единичного оператора.
Установим взаимно однозначное соответствие между векторами пространств V и
∗
V , потребовав выполнения следующего свойства для свертки
(⟨Φ| Ψ⟩)∗ = ⟨Ψ |Φ⟩ ,
∀|Ψ⟩ ∈ V , ∀⟨Φ| ∈ V ∗ ,
(7.3.38) dira04
где ∗ обозначает комплексное сопряжение. Тогда координаты векторов ⟨Φ| и |Φ⟩
сопряжены друг другу:
(⟨α| Φ⟩)∗ = ⟨Φ |α⟩ ,
(7.3.39) dira06
а свертка (7.3.36) записывается в виде
∑
⟨Φ|Ψ⟩ =
(⟨α|Φ⟩)∗ ⟨α|Ψ⟩ .
(7.3.40) dira07
α
Из соотношений (7.3.33) и (7.3.39) следует, что вектор ⟨Φ| ∈ V ∗ можно рассматривать
как эрмитово сопряженный вектор к |Φ⟩ ∈ V, то есть (|Φ⟩)† = ⟨Φ| , а свертка
⟨Φ|Ψ⟩ ≡ (|Φ⟩)† |Ψ⟩ ,
(7.3.41) dira08
в этом случае интерпретируется как эрмитово скалярное произведение в комплексном пространстве V (см. определение 2.2.8). Для того, чтобы правая часть (7.3.40)
имела смысл, необходимо потребовать квадратичной интегрируемости и суммируемо- VRN
сти для функций ⟨α| Φ⟩ по переменным α. В общем случае квадратичная интегрируемость и суммируемость понимается здесь в классе обобщенных функций. Наконец,
пользуясь (7.3.34) и (7.3.41), определим оператор H † , эрмитово сопряженный к H,
следующим образом
⟨Ψ|H † |Φ⟩ = (⟨Φ|H|Ψ⟩)∗ ⇒ ⟨Φ| · H † = (H · |Φ⟩)† .
Опрератор H, для которого выполняются равенства
H † = H ⇔ ⟨α|H|β⟩ = (⟨β|H|α⟩)∗ ,
называется эрмитовым.
В квантовой механике состояниям квантовой системы соответствуют вектора из
комплексного векторного пространства V и отождествленного с ним дуального пространства V ∗ , а динамическим наблюдаемым данной системы, таким как координата,
импульс, орбитальный момент и т.д., соответствуют эрмитовы операторы, действующие в V. Обозначения ⟨Φ| и |Ψ⟩ для векторов из пространств V ∗ и V были введены
П. Дираком [43], который назвал их бра- и кет- векторами, соответственно. Названия
бра- и кет- происходят от частей ”bra” и ”ket” английского слова ”bracket”.
Выделим из множества всех наблюдаемых квантовомеханической системы полный набор коммутирующих наблюдаемых Hi = Hi† (i = 1, 2, . . .): [Hi , Hj ] = 0. Соб- VRN
ственные значения операторов Hi обозначим как αi , а их собственные вектора как
|α⟩ = |α1 , α2 , . . .⟩:
Hi |α⟩ = αi |α⟩ .
(7.3.42) dira09
7.3 Обозначения Дирака.
278
• Задача 210. Доказать, что собственные значения αi эрмитовых операторов
Hi вещественны и ⟨α′ |α⟩ ∝ δα′ ,α .
VRN
Нормировку собственных векторов |α⟩ наблюдаемых Hi можно подобрать так, чтобы
они удовлетворяли двум условиям: условию ортонормируемости (7.3.32) и условию
полноты (7.3.35).
Пример. Координатное и импульсное представление.
Состояния квантовомеханической частицы в Rd описываются векторами |Ψ⟩ в бесконечномерном комплексном векторном пространстве V с заданным эрмитовым скалярным произведением32 . Динамическим переменным частицы соответствуют операторы в V. Например, координатам d-мерной частицы соответствуют эрмитовы операторы x̂k (k = 1, . . . , d), а компонентам ее импульса – эрмитовы операторы p̂k с
коммутационными соотношениями
[x̂k , x̂j ] = 0 = [p̂k , p̂j ] , [x̂k , p̂j ] = i I δkj ,
(7.3.43) dira10
где I — единичный оператор в V. Алгебра с 2d образующими {x̂k , p̂k } и определяющими соотношениями (7.3.43) называется алгеброй Гейзенберга. Собственные вектора
операторов x̂k и p̂k в V обозначим как |⃗x⟩ и |⃗p⟩:
x̂k |⃗x⟩ = xk |⃗x⟩ , p̂k |⃗p⟩ = pk |⃗p⟩ ,
(7.3.44) dira11
где xk , pk ∈ R – соответствующие собственные значения. Состояния частицы, которые
даются векторами |⃗x⟩ и |⃗p⟩, называются состояниями с определенными координатами
и определенными импульсами, соответственно. Пусть |⃗y ⟩ ∈ V – также собственный
вектор всех операторов x̂k с собственными значениями yk . Тогда, пользуясь коммутационными соотношениями (7.3.43), мы получаем
(
)
x̂k · e−i xk p̂k |⃗y ⟩ = xk e−i xk p̂k + e−i xk p̂k · x̂k |⃗y ⟩ = (xk + yk ) e−i xk p̂k |⃗y ⟩ .
Таким образом, вектор e−i xk p̂k |⃗y ⟩ — собственный вектор операторов x̂k с собственными значениями (xk + yk ):
e−i xk p̂k |⃗y ⟩ = |⃗x + ⃗y ⟩ .
(7.3.45) dira11a
Дифференцируя обе части формулы (7.3.45) по xk и полагая в ней ⃗y = ⃗0, мы получаем
i∂k |⃗x⟩ = i∂k e−i xk p̂k |⃗0⟩ = p̂k |⃗x⟩ ⇒ ⟨⃗x| p̂k = −i∂k ⟨⃗x| .
(7.3.46) dira11b
где ∂k = ∂/∂xk и второе соотношение выводится из первого с помощью эрмитова
сопряжения.
Каждому состоянию |Ψ⟩ соответствует комплексная функция ⟨⃗x|Ψ⟩ ≡ Ψ(⃗x), ко- VRJ
торая представляет собой координатное представление вектора |Ψ⟩ в базисе |⃗x⟩ и называется волновой функцией системы. Такое соответствие взаимнооднозначно. Действие операторов x̂k и p̂k на произвольное состояние |Ψ⟩ в терминах ее волновой
Если такое пространство V является полным (норма задается скалярным произведением), то V
называется гильбертовым.
32
7.3 Обозначения Дирака.
279
функции ⟨⃗x|Ψ⟩ записывается следующим образом (см. (7.3.37)):
∫
⟨⃗x|x̂k |Ψ⟩ = dd x′ ⟨⃗x|x̂k |⃗x′ ⟩⟨⃗x′ |Ψ⟩ = xk ⟨⃗x|Ψ⟩ ,
∫
⟨⃗x|p̂k |Ψ⟩ = dd x′ ⟨⃗x|p̂k |⃗x′ ⟩⟨⃗x′ |Ψ⟩ = −i∂k ⟨⃗x|Ψ⟩ ,
где мы учли условие полноты (7.3.35):
∫
dd x |⃗x⟩⟨⃗x| = I ,
(7.3.47) dira12
(7.3.48) dira13a
и формулы (7.3.44) и (7.3.46). С точки зрения теории представлений, формулы (7.3.47)
определяют дифференциальное координатное представление ρ алгебры Гейзенберга
(7.3.43):
ρ(x̂k ) = xk , ρ(p̂k ) = −i∂k ,
(7.3.49) dira12a
которое действует в пространстве волновых функций ⟨⃗x|Ψ⟩.
• Задача 211. Построить дифференциальное импульсное представление алгебры Гейзенберга (7.3.43), которое действует в пространстве волновых функций ⟨⃗p|Ψ⟩.
Состояние |⃗p⟩ частицы с определенным импульсом pk дается волновой функцией
⟨⃗x|⃗p⟩, которая согласно (7.3.44) и (7.3.47) удовлетворяет уравнениям
−i∂k ⟨⃗x|⃗p⟩ = pk ⟨⃗x|⃗p⟩ .
Решением этих уравнений являются функции
⟨⃗x|⃗p⟩ =
1
exp(ipk xk ) ,
(2π)d/2
(7.3.50) dira15
где нормировочный множитель фиксируется из условия ортонормируемости (7.3.32):
∫
′
⟨⃗p |⃗p⟩ =
dd x ⟨⃗p′ |⃗x⟩⟨⃗x|⃗p⟩ = δ d (p − p′ ) .
(7.3.51) dira13
Здесь мы воспользовались условием полноты (7.3.48). Для волновой функции в импульсном представлении с учетом формулы (7.3.50), мы получаем соотношение
∫
∫
1
d
⟨⃗p|Ψ⟩ =
d x ⟨⃗p|⃗x⟩⟨⃗x|Ψ⟩ =
dd x exp(−ipk xk )⟨⃗x|Ψ⟩ ,
(7.3.52) dira14
(2π)d/2
которое связывает импульсное и координатное представление волновых функций.
Соотношение (7.3.52) является хорошо известным преобразованием Фурье от координатного представления к импульсному.
Еще один пример применения обозначений Дирака мы рассмотрим в следующем
подразделе.
7.3 Обозначения Дирака.
7.3.2
280
Голоморфное и антиголоморфное представление. VRJ
VRJ
Кроме координатного и импульсного представления в квантовой механике часто используют представление Фока и еще два представления, которые называются голоморфным и антиголоморфным. Для формулировки этих представлений вместо x̂k и
p̂k введем новые динамические переменные:
1
ak = √ (i p̂k + x̂k ) ,
2
1
a†k = √ (−i p̂k + x̂k ) ,
2
которые, согласно (7.3.43), коммутируют следующим образом
[
]
[
]
[ak , am ] = 0 , a†k , a†m = 0 , ak , a†m = δkm .
весь раздел
(7.3.53) dira16
(7.3.54) dira17
Эти переменные удобны, например, при рассмотрении d-мерного квантового осциллятора, оператор энергии (гамильтониан) которого записывается в виде
)
d
d (
) ∑
1 ∑( 2
1
†
2
Ĥ =
p̂ + x̂k =
ak ak +
.
2 k=1 k
2
k=1
(7.3.55) dira18
Собственные состояния оператора Ĥ строятся стандартным образом с помощью осцилляторных переменных (7.3.53), которые порождают пространство Фока F. А
именно, вводится нормированный вакуумный вектор |0⟩ ∈ F такой, что
ak |0⟩ = 0 ,
∀k ,
⟨0|0⟩ = 1 .
(7.3.56) dira19a
Соответственно, для сопряженного вектора ⟨0| = (|0⟩)† мы имеем ⟨0| a†k = 0. Далее
строятся нормированные вектора
1
|n1 , n2 , . . . , nd ⟩ = √
(a†1 )n1 · (a†2 )n2 · · · (a†d )nd |0⟩ ,
n1 ! · · · nd !
(7.3.57) dira19
которые образуют базис в пространстве Фока F, то есть любой вектор из F представим в виде
|Ψ⟩ =
∞
∑
ψn1 ,...,nd |n1 , n2 , . . . , nd ⟩ ∈ F ,
ψn1 ,...,nd ∈ C .
n1 ,...,nd =0
Пространство Фока совпадает с пространством всех состояний квантовомеханической частицы в Rd : любое ее состояние можно представить в указанном виде. Согласно (7.3.54), (7.3.57) мы получаем
√
ak |n1 , . . . , nk , . . . , nd ⟩ = nk |n1 , . . . , nk − 1, . . . , nd ⟩ ,
√
a†k |n1 , . . . , nk , . . . , nd ⟩ = nk + 1 |n1 , . . . , nk + 1, . . . , nd ⟩ ,
поэтому операторы ak называются операторами уничтожения, а a†k — операторами
рождения.
7.3 Обозначения Дирака.
281
• Задача 212. Доказать, что вектора (7.3.57) ортонормированы: ⟨k1 , ..., kd |n1 , ..., nd ⟩ =
δk1 n1 · · · δkd nd . Проверить, что эти вектора являются собственными для гамильтониана (7.3.55):
( d
)
∑
1
Ĥ |n1 , n2 , . . . , nd ⟩ =
nk +
|n1 , n2 , . . . , nd ⟩ .
(7.3.58) dira20
2
k=1
Условие полноты (7.3.35) для векторов |n1 , n2 , . . . , nd ⟩ записывается следующим образом
∞
∑
I=
|n1 , n2 , . . . , nd ⟩ ⟨n1 , n2 , . . . , nd | .
(7.3.59) dira20a
n1 ,...,nd =0
где I – единичный оператор в пространстве Фока. Таким образом мы приходим к
представлению Фока алгебры Гейзенберга:
)
)
1 (
1 (
†
†
√
√
x̂k =
ak + ak ,
p̂k =
ak − ak .
2
i 2
Перейдем теперь к построению голоморфного и антиголоморфного представлений. Напомним, что в предыдущем примере для построения координатного и импульсного представлений мы использовали полные системы собственных векторов
(7.3.44) для операторов координаты x̂k и импульса p̂k , соответственно. Для построения (анти)голоморфного представления вводится полная система собственных векторов для операторов уничтожения ak :
ak |z⟩ = zk |z⟩ ,
(7.3.60) dira21
где |z⟩ := |z1 , z2 , . . . , zd ⟩ и zk – комплексные координаты. Вектора |z⟩ называются
когеретными состояниями, и их можно построить следующим образом (здесь и далее
суммирование по k подразумевается):
|z⟩ = exp(zk a†k ) |0⟩ ,
(7.3.61) dira22
где |0⟩ – вакуумное состояние пространства Фока. Соотношение (7.3.60) следует из
(7.3.61) с учетом (7.3.54). Пользуясь представлением (7.3.61), мы получаем
a†k |z⟩ =
∂
|z⟩ .
∂zk
(7.3.62) dira23
• Задача 213. Найти волновые функции ⟨xk |z⟩ когерентных состояний в координатном представлении.
VRJ
Для сопряженных векторов ⟨z ∗ | = (|z⟩)† мы имеем аналогичные соотношения
⟨z ∗ | = ⟨0| exp(zk∗ ak ) , ⟨z ∗ | a†k = z ∗ ⟨z ∗ | , ⟨z ∗ | ak =
∂
⟨z ∗ | .
∗
∂z
(7.3.63) dira24
7.3 Обозначения Дирака.
282
Свертка двух когеретных состояний равна:
⟨z ∗ |w⟩ = ⟨0| exp(zk∗ ak ) |w⟩ = ⟨0| exp(zk∗ wk ) |w⟩ = exp(zk∗ wk ) ,
(7.3.64) dira25
где z, w ∈ C, и мы воспользовались формулой (7.3.60) и соотношением ⟨0|w⟩ = 1,
∀w ∈ C. Отсюда видно, что когерентные состояния |w⟩ и |z⟩ не ортогональны друг
другу. Тем не менее, их можно использовать для построения новых представлений в
квантовой механике. Ключевым здесь является следующее утверждение.
Утверждение 7.3.1 Условие полноты (7.3.59) для когерентных состояний записывается следующим образом (сравните с (7.3.48))
∫
dµ(z, z ∗ ) exp(−zk∗ zk ) |z⟩ ⟨z ∗ | = I ,
(7.3.65) dira26
где мера dµ(z, z ∗ ) определяется в виде
d
d
id ∏
1 ∏
∗
dµ(z, z ) =
dzk dzk = d
dxk dyk ,
(2π)d k=1
π k=1
∗
zk = xk + iyk .
(7.3.66) dira26a
Доказательство. Мы докажем (7.3.65) для одномерного случая d = 1, обобщение на
случай произвольного конечного числа измерений d — тривиально. Подставим определения когерентных состояний (7.3.61), (7.3.63) в левую часть (7.3.65) и перепишем
интеграл в полярных координатах z = ρeiϕ :
∫
∑ (za)n
∗ a† )m
dz ∧ dz ∗ exp(−|z|2 )
|0⟩ ⟨0| (z m!
=
n!
m,n
∫∞
∫ 2π
2 ∑
1
= π1 0 dρ e−ρ
|n⟩ ⟨m| =
ρn+m+1 0 dϕ ei(n−m)ϕ √n!m!
i
π
=
∞
∑
n=0
2
n!
∫∞
0
m,n
dρρ2n+1 e−ρ |n⟩ ⟨n| =
2
∞
∑
(7.3.67) dira27
|n⟩ ⟨n| = I ,
n=0
что и требовалось доказать.
Теперь, так же как и в случаях координатного и импульсного представлений,
вместо вектора состояния |Ψ⟩ можно рассматривать функцию ⟨z ∗ |Ψ⟩ ≡ Ψ(z ∗ ), которая называется волновой функцией в антиголоморфном представлении. Действие
операторов ak и a†k на произвольное состояние |Ψ⟩ в терминах антиголоморфного
представленния записывается в виде (см. (7.3.63))
⟨z ∗ |ak |Ψ⟩ =
∂
⟨z ∗ |Ψ⟩ ,
∂zk∗
⟨z ∗ |a†k |Ψ⟩ = zk∗ ⟨z ∗ |Ψ⟩ ,
(7.3.68) dira28
а скалярное произведение ⟨Φ|Ψ⟩ двух состояний с учетом условия полноты (7.3.65)
выглядит в этом представлении следующим образом:
∫
∫
∗
∗
−zk∗ zk
∗
⟨Φ|Ψ⟩ = dµ(z, z ) e
⟨Φ|z⟩ ⟨z |Ψ⟩ = dµ(z, z ∗ ) e−zk zk (Φ(z ∗ ))∗ Ψ(z ∗ ) . (7.3.69) dira29
7.3 Обозначения Дирака.
283
Таким образом, формулы (7.3.68) определяют антиголоморфное представление ρ̄
алгебры осцилляторов ak и a†k (сравните с (7.3.49))
ρ̄(ak ) =
∂
,
∂zk∗
ρ̄(a†k ) = zk∗ ,
(7.3.70) dira30
действующих в гильбертовом пространстве антиголоморфных функций Ψ(z ∗ ) = ⟨z ∗ |Ψ⟩
со скалярным произведением (7.3.69).
Если в (7.3.65), (7.3.68) и (7.3.69) сделать замену zk∗ ↔ zk , (∀k), то возникает
еще одно полезное представление, которое называется голоморфным. Пространством
голоморфного представления ρ алгебры (7.3.54) является гильбертово пространство
голоморфных функций ⟨z|Ψ⟩ = Ψ(z) ≡ Ψ(z1 , . . . , zd ) со скалярным произведением
∫
∫
∗
∗
−zk∗ zk
∗
⟨Φ|Ψ⟩ = dµ(z, z ) e
⟨Φ|z ⟩ ⟨z|Ψ⟩ = dµ(z, z ∗ ) e−zk zk (Φ(z))∗ Ψ(z) , (7.3.71) dira31
и реализацией алгебры осцилляторов (7.3.54) в виде
ρ(ak ) =
∂
,
∂zk
ρ(a†k ) = zk .
(7.3.72) dira32
Соответственно, условие полноты (7.3.65) в голоморфном представлении записывается так:
∫
dµ(z, z ∗ ) exp(−zk∗ zk ) |z ∗ ⟩ ⟨z| = I ,
(7.3.73) dira26h
а базисные вектора (7.3.57) реализуются следующим образом (сравните с формулой
(7.2.19))
1
⟨z|n1 , . . . , nd ⟩ = √
z1n1 z2n2 · · · zdnd .
(7.3.74) dira32a
n1 ! · · · nd !
Утверждение 7.3.2 Для скалярного произведения (7.3.71) имеет место представление (сравните с (7.2.21))
⟨Φ|Ψ⟩ = Φ(∂1 , . . . , ∂d ) · Ψ(z)|z1 =...=zd =0 ,
(7.3.75) dira32b
где ∂k = ∂/∂zk .
Доказательство. Достаточно доказать тождество (7.3.75) в случае, когда в качестве вектора Φ(z) = ⟨z|Φ⟩ выбран любой базисный вектор (7.3.74). В этом случае,
применяя правило интегрирования по частям, мы имеем
∫
∗
⟨n1 , . . . , nd |Ψ⟩ = dµ(z, z ∗ ) ⟨n1 , . . . , nd |z ∗ ⟩ ⟨z|Ψ⟩ e−zk zk =
∫
=
∫
∑
z1∗n1 · · · zd∗nd
∂1n1 · · · ∂dnd −zk∗ zk
−zk∗ zk
∗
nk
dµ(z, z ) √
⟨z|Ψ⟩ e
= dµ(z, z ) (−1)
⟨z|Ψ⟩ √
e
=
n1 ! · · · nd !
n1 ! · · · nd !
∫
nd
n1
∂1n1 · · · ∂dnd
∗
−zk∗ zk ∂1 · · · ∂d
√
.
(7.3.76) dira32d
⟨z|Ψ⟩ = √
Ψ(z)
= dµ(z, z ) e
n1 ! · · · nd !
n1 ! · · · nd !
z1 =...=zd =0
∗
7.3 Обозначения Дирака.
284
Так как любая голоморфная функция Φ(z) представима в виде ряда по базисным
мономам (7.3.74), то из (7.3.76) следует (7.3.75).
Любой оператор A, действующий в пространстве Фока F, можно с помощью
(7.3.54) записать в нормальной (виковской) форме
∑
(7.3.77) dira33
A=
Aµ,ν (a†1 )n1 · (a†2 )n2 · · · (a†d )nd (a1 )m1 · (a2 )m2 · · · (ad )md ,
µ,ν
где µ и ν — мультииндексы: µ = (m1 , . . . , md ) и ν = (n1 , . . . , nd ) и Aµν ∈ C. Термин
“нормальная форма” означает, что в сумме (7.3.77) в каждом слагаемом все операторы уничтожения стоят справа, а рождения слева. Антиголоморфное представление
удобно для определения виковских символов операторов A, действующих в F. Для
определения такого символа запишем в антиголоморфном представлении действие
оператора (7.3.77) на некоторый вектор |Ψ⟩:
∫
∗
∗
⟨w |A|Ψ⟩ = dµ(z, z ∗ ) e−zk zk ⟨w∗ |A|z⟩ ⟨z ∗ |Ψ⟩ ,
(7.3.78) dira34
где ⟨w∗ |A|z⟩ — ядро оператора A, которое легко вычисляется с помощью (7.3.60) и
(7.3.63):
∗
⟨w∗ |A|z⟩ = A(w∗ , z) ewk zk ,
(7.3.79) dira35
∑
A(w∗ , z) =
Aµ,ν (w1∗ )n1 · (w2∗ )n2 · · · (wd∗ )nd (z1 )m1 · (z2 )m2 · · · (zd )md .
µν
∗
Функция A(w , z) называется виковским (нормальным) символом оператора A, заданого в нормальной форме (7.3.77). Виковские символы полезны в том случае, когда
необходимо привести к нормальной форме (7.3.77) произведение двух операторов A1
и A2 , каждый из которых записан в нормальной форме.
Утверждение 7.3.3 Пусть A1 (w∗ , z) и A2 (w∗ , z) — виковские символы операторов
A1 и A2 , тогда виковский символ оператора A1 · A2 дается соотношением
∫
∗
∗
∗
(A1 · A2 )(w , v) = dµ(z, z ∗ ) e−(zk −wk ) (zk −vk ) A1 (w∗ , z) A2 (z ∗ , v) ,
(7.3.80) dira36
где мера dµ(z, z ∗ ) определена в (7.3.66).
Доказательство. Согласно формуле (7.3.79), которая связывает ядро оператора и
его символ, мы имеем
∗
(A1 · A2 )(w∗ , v) = ⟨w∗ |A1 · A2 |v⟩ e−wk vk =
∫
∗
∗
= dµ(z, z ∗ ) ⟨w∗ |A1 |z⟩⟨z ∗ |A2 |v⟩ e−zk zk −wk vk =
∫
=
∗
∗
∗
∗
dµ(z, z ∗ ) A1 (w∗ , z) A2 (z ∗ , v) ewk zk +zk vk e−zk zk −wk vk ,
что совпадает с (7.3.80).
Итак, с помощью (7.3.80) вычисляется виковский символ для A1 · A2 , по которому
уже не составляет труда записать оператор A1 · A2 в нормальной форме.
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
285
7.4
Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
7.4.1
Параметризации группы SU (2).
Любой элемент A алгебры Ли su(2) можно записать в виде
A = ψ · (nk τk ) = −i
ψ
(n1 σ1 + n2 σ2 + n3 σ3 ) ,
2
(τk = −iσk /2) ,
(7.4.1) lisu2r
где ψ ∈ R, σk – матрицы Паули и ⃗n = (n1 , n2 , n3 ) – единичный вектор в R3 , компоненты которого можно задать с помощью сферических углов ϕ ∈ [0, 2π) и θ ∈ [0, π]: VRN
n1 = sin θ cos ϕ ,
n2 = sin θ sin ϕ ,
n3 = cos θ .
(7.4.2) napr
Экспоненциальное представление для элемента группы SU (2) – унитарной и специальной 2 × 2 матрицы с единичным детерминантом – имеет вид
(
)
ψ
exp(A) = exp(ψ · (nk τk )) = exp −i (nk σk ) .
(7.4.3) usu2a
2
Напомним (смотри раздел 3.2.13), что два элемента ± exp( ψ (nk τk )) группы SU (2)
соответствуют одному элементу группы SO(3) (3.2.145):
O(ψ, ⃗n) = exp (ψ · (nk Sk )) ,
(7.4.4) usu2b
который задает вращение в R3 на угол ψ вокруг оси, направленной вдоль ⃗n. Поэтому
для группы SO(3) достаточно считать, что ψ ∈ [−π, π). В то же время, для группы
SU (2), чтобы покрыть всю сферу S 3 и дважды накрыть группу SO(3), необходимо
(как мы покажем чуть ниже) расширить область изменения параметра ψ в (7.4.3) до
ψ ∈ [−2π, 2π).
Введем обозначение для элементов группы SU (2):
(
)
ψ
U⃗n (ψ) = exp i (ni σi ) .
(7.4.5) usu2
2
Матрицы Паули σi удовлетворяют соотношениям (3.2.119), из которых следуют равенства
(nk σk )2 = ⃗n 2 I2 = I2 ⇒ (i nk σk )2 = −I2 .
(7.4.6) usu26
Поэтому, используя операторную формулу Эйлера (3.2.16), мы получаем для экспоненты (7.4.5) матричное представление
(
)
( )
( )
U⃗n (ψ) = exp i (ni σi ) ψ2 = cos ψ2 + i (ni σi ) sin ψ2 =
)
(
ψ
ψ
ψ
(7.4.7) usu27
+
in
sin
,
(n
+
in
)
sin
cos
3
2
1
2
2ψ
2ψ
,
=
ψ
−(n2 − in1 ) sin 2 , cos 2 − in3 sin 2
которое согласуется с (3.1.14) при выборе расширенного интервала ψ ∈ [−2π, 2π).
Действительно, сужение интервала изменения параметра ψ в (7.4.5) и (7.4.7) до
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
286
ψ ∈ [−π, π) (как для параметризации группы SO(3)) привело бы к дополнительным ограничениям на параметр α в (3.1.14): Re(α) = x0 = cos ψ2 > 0. При этом
покрывается не вся сфера S 3 , заданная в (3.1.16), а только ее половина: x0 > 0.
Элементы группы SO(3) в параметризации углов Эйлера записываются в виде
(6.2.5). В силу соответствия SO(3) = SU (2)/Z2 аналогичную параметризацию можно
использовать и для элементов группы SU (2):
( ϕ
)(
)( ψ
)
θ
θ
i2
i2
sin
e
0
cos
e
0
2
2
ϕ
ψ
U = U⃗e3 (ϕ) · U⃗e2 (θ) · U⃗e3 (ψ) =
= (7.4.8) usu281
− sin 2θ cos 2θ
0 e−i 2
0 e−i 2
(
=
( ) 1
( ) 1
)
sin 2θ ei 2 (ϕ−ψ)
cos 2θ ei 2 (ψ+ϕ) ,
( ) 1
( )
.
1
− sin 2θ ei 2 (ψ−ϕ) , cos 2θ e−i 2 (ψ+ϕ)
(7.4.9) usu28
Матрица (7.4.9) также согласуется с (3.1.14) при определенном выборе областей изменения трех углов ϕ, θ и ψ. Этот выбор важен, например, в случае необходимости
интегрирования по всей группе SU (2) в координатах ϕ, θ и ψ. Напомним, что в случае группы SO(3) область изменения углов Эйлера ϕ, θ и ψ выбирается следующим
образом (см. подробности в примере 2.) в разделе 6.2):
SO(3) :
ψ ∈ [−π, π) , θ ∈ [0, π] ,
ϕ ∈ [0, 2π) .
(7.4.10) su2eu
Для покрытия всей группы SU (2) (сферы S 3 ) с помощью матриц (7.4.9), в случае
стандартной области изменения сферических углов ϕ, θ (7.4.10) мы должны положить
SU (2) :
ψ ∈ [−2π, 2π) , θ ∈ [0, π] , ϕ ∈ [0, 2π) .
(7.4.11) su2ev
При таком изменении углов группа SU (2) дважды накрывает группу SO(3) и эле- ISA новая формументы U⃗e3 (ψ), стоящие в произведении (7.4.8) справа, образуют полную подгруппу ла и ред.
правка
U (1) в SU (2). Последний факт понадобится нам ниже, когда мы будем обсуждать
сферические функции на однородном пространстве SU (2)/U (1).
• Задача 214. Доказать тождество
−1
(ni σi ) = Uθ,ϕ
· σ3 · Uθ,ϕ ,
(7.4.12) eqz
(
)
(
)
где Uθ,ϕ = exp i 2θ σ2 exp i ϕ2 σ3 = U⃗e2 (θ) · U⃗e3 (ϕ) и, согласно (7.4.7), мы
имеем
)
( ϕ
)
(
i2
cos 2θ , sin 2θ
e
,
0
ϕ
, U⃗e3 (ϕ) =
.
(7.4.13) eqz23
U⃗e2 (θ) =
− sin 2θ , cos 2θ
0 , e−i 2
Из соотношения (7.4.12) следует, что любой элемент U⃗n (ψ) ∈ SU (2) (7.4.5) с помощью
преобразования подобия приводится к диагональному виду:
(
)
ψ
−1
U⃗n (ψ) = Uθ,ϕ · exp i σ3 · Uθ,ϕ .
(7.4.14) eqz01
2
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
287
Наконец, укажем еще одну параметризацию элементов группы SU (2), которая
следует из того, что многообразие SU (2) гомеоморфно сфере S 3 . Воспользуемся представлением любого элемента SU (2) в виде (3.1.17) и представим координаты xα с помощью трехмерных сферических углов (χ, θ, ϕ) в виде (3.1.85). Тогда для элементов
U ∈ SU (2), заданных в (3.1.14) и (3.1.17), мы получаем
(
)
cos χ + i sin χ sin θ sin ϕ ,
sin χ (sin θ cos ϕ + i cos θ)
U = xα σ̃α =
, (7.4.15) eqz06
sin χ (− sin θ cos ϕ + i cos θ) , cos χ − i sin χ sin θ sin ϕ
где область изменения сферических углов можно выбрать следующим образом
χ ∈ [−π, π) ,
θ ∈ [0, π] ,
ϕ ∈ [0, 2π) .
В заключение отметим, что имеется простая замена параметров
ψ
= χ , n1 = cos θ , n2 = sin θ cos ϕ , n3 = sin θ sin ϕ ,
2
которая связывает представления (7.4.7) и (7.4.15). Подчеркнем также, что параметризацию элементов SU (2) с помощью трехмерных сферических углов (7.4.15) не
следует путать с параметризацией SU (2) в терминах углов Эйлера (7.4.9).
7.4.2
Конечномерные представления групп SL(2, C), SU (2) и SO(3). Функции Вигнера.
Пользуясь обозначениями s = u1 , t = u2 , введенными в (7.2.1), и выражением (7.2.19)
для базисных векторов Tmj (s, t), любой однородный полином (7.2.20) можно записать
в виде
P2j (s, t) = ψα1 ,α2 ,...,α2j uα1 uα2 · · · uα2j ,
(7.4.16) pjst
где компоненты ψα1 ,...,α2j ∈ C образуют произвольный симметричный (в силу симметричности произведения uα1 · · · uα2j ) тензор ранга 2j. Таким образом, пространство V2j+1 однородных полиномов (7.2.20) эквивалентно пространству симетричных
тензоров ранга 2j.
• Задача 215. Доказать, что связь компонент ψα1 ,...,α2j из (7.4.16) с параметрами αm из (7.2.20) задается формулой
√
(j + m)!(j − m)!
ψ1 , . . . ,1 ,2 , . . . ,2 =
αm .
(2j)!
| {z } | {z }
j+m
j−m
Действие (7.2.6), (7.2.2) группы SL(2, C) (и SU(2)) на базисные мономы uα1 · · · uα2j
имеет вид
α
uα1 · · · uα2j → T (g) · [uα1 · · · uα2j ] = uβ1 · uβ2 · · · uβ2j Aβα1 1 Aβα2 2 · · · Aβ2j2j .
(7.4.17) usu32i
Это действие на произвольный полином (7.4.16), являющийся произвольным вектором в пространстве V2j+1 неприводимого представления T (j) , согласно общей процедуре (2.2.33) и (2.2.37), приводит к преобразованию координат этого вектора, то есть
компонент ψα1 ,...,α2j симметричного тезора ранга 2j:
ψα1 ,...,α2j → [T (j) (g) · ψ]α1 ,...,α2j = Aαβ1 1 · · · Aαβ2j2j ψβ1 ,...,β2j .
(7.4.18) actpsi
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
288
Сравнивая правую часть этого равенства с формулой (4.3.7), мы видим, что про- VRN
странство V2j+1 симметричных тензоров ψ ранга 2j можно вложить в прямое произведение 2-мерных векторных пространств V2 определяющего представления T (1/2) :
V2j+1 ⊂ V2 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ V2 ,
{z
}
|
2j
при этом T (j) (g) действует так же, как тензорное произведение T (1/2) (g) ⊗ · · · ⊗
T (1/2) (g). Другими словами, прямое произведение 2-мерных представлений V2⊗2j приводимо, и в его разложении по неприводимым представлениям содержится представление V2j+1 , реализованное в пространстве симметричных тензоров ранга 2j (мы
будем обсуждать этот факт более подробно ниже в разделах 7.5.2 и 7.5.3).
Аналогично, любой однородный полином степени 2j по переменным (ū1 , ū2 ) =
(s̄, t̄), построенный из базисных мономов (7.2.22), представляется в виде (сравните с
(7.2.8))
α1 ,...,α2j
P 2j (s̄, t̄) = ūα1 ūα2 · · · ūα2j ψ
,
α1 ,...,α2j
где компоненты ψ
∈ C также образуют произвольный симметричный тенα1 ,...,α2j
зор ранга 2j. Согласно (7.2.9) аналоги преобразований (7.4.18) для тензора ψ
имеют вид
ψ
α1 ,...,α2j
→ [T (j) (g) · ψ]α1 ,...,α2j = ψ
β1 ,...,β2j
(A−1 )βα1 1 · · · (A−1 )β2j2j .
α
(7.4.19) actbpsi
Таким образом, симметричный тензор ψ преобразуется контрградиентно по отношению к преобразованиям (7.4.18) тензора ψ, то есть на пространстве симметрич(j)
ных тензоров ψ реализовано представление T , котрградиентное к представлению
T (j) . Здесь следует отметить, что представления T (j) и соответствующие им ко(j)
представления T , как для групы SL(2, C) так и для группы SU (2), оказываются
эквивалентными и переводятся друг в друга с помощью преобразований
εα1 β1 · · · εα2j β2j ψ
β1 ,...,β2j
= ψα1 ,...,α2j ,
что с очевидностью следует из формул (7.2.15). Поэтому далее в этом разделе мы
сконцентрируемся только на рассмотрении неприводимых представлений T (j) .
Итак, однородный полином P2j (s, t) по переменным (s, t) степени 2j после преобразований (7.2.2), (7.2.6) и (7.4.17) останется однородным полиномом степени 2j, то
есть пространство однородных полиномов степени 2j ∈ Z≥0 образует инвариантное
пространство V2j+1 (C) представления T (j) группы SL(2, C). Базис в V2j+1 (C) образован мономами {Tmj (s, t)} (7.2.19), число которых равно (2j + 1), поэтому представление T (j) имеет размерность (2j + 1). Данное представление T (j) группы SL(2, C)
неприводимо, так как в разделе 7.2.2 оно было построено как неприводимое представление алгебры Ли sℓ(2, C) со старшим весом.
Согласно (7.2.2), (7.2.6) и (7.4.17) моном Tmj (s, t) (7.2.19) при действии на него
элемента g = ||Aβα || ∈ SL(2, C) преобразуется в однородный полином степени 2j
следующего вида:
[T (j) (g) · Tmj ](s, t) = Tmj (s ′ , t ′ ) =
(sA11 + tA21 )j+m (sA12 + tA22 )j−m
√
=
(j + m)!(j − m)!)
(7.4.20) usu32
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
=
j+m
∑ j−m
∑
k=0 k′ =0
289
√
(j+m)!(j−m)!
′
′
′
′
(tk+k s2j−k−k ) · (A11 )j+m−k (A12 )j−m−k (A21 )k (A22 )k ,
k!k′ !(j+m−k)!(j−m−k′ )!
(7.4.21) usu33
где мы воспользовались формулой бинома Ньютона. Теперь мы можем представить
полином (7.4.21) в виде линейной комбинации базисных мономов Tmj ′ (s, t) (m′ =
−j, −j + 1, . . . , j − 1, j). Удобно использовать определения
n! = ∞
при n < 0 ,
0! = 1 ,
(7.4.22) may6-1
которые соответствуют аналитическому продолжению факториальной функции как
гамма-функции: n! = Γ(n + 1). При таком определении можно опустить пределы
суммирования в (7.4.21), так как факториалы в знаменателе равны бесконечности
вне пределов суммирования. Если положить m′ = j − k − k ′ , то m′ должно пробегать
все целочисленные значения для целых j и все полуцелые значения для полуцелых
j. Выделяя мономы Tmj ′ (s, t) в (7.4.21), мы получаем
[T
(j)
(g) · Tmj ](s, t) =
j
∑
(j)
Tmj ′ (s, t) Dm′ m (||Aαβ ||) ,
(7.4.23) usu34
m′ =−j
где g = ||Aαβ || и возникшая в правой части (2j + 1) × (2j + 1) матрица с элементами
√
∑ (j+m)!(j−m)!(j+m′ )!(j−m′ )!
′
′
(j)
Dm′ m (g) =
· (A11 )j+m−k (A12 )k−m+m (A21 )k (A22 )j−k−m
k!(j−k−m′ )!(j+m−k)!(k−m+m′ )!
k
(7.4.24) usu35
определяет матрицу неприводимого представления T
для любого g ∈ SL(2, C).
(j)
(j)
Так как T – представление (отображение T – гомоморфизм), то для матриц D(j)
также выполняется свойство гомоморфизма
(j)
(j)
(j)
(j)
Dm
(||Aβα Bαγ ||) = Dm
(||Aβα ||) Dm
(||Bβα ||) ,
1 m2
1 m3
3 m2
(7.4.25) homsu
что в частности следует из формулы (7.4.23). Отметим, что равенство (7.4.25), с уче(j)
том явного вида (7.4.24) матриц Dm′ m , представляет собой набор достаточно нетривиальных тождеств.
Конечномерное представление T (j) группы SL(2, C), построенное в (7.4.23), не
является унитарным, в чем можно убедиться непосредственно, заметив, что матрица
(j)
||Dm′ m (g)|| не унитарна для некоторых g = ||Aαβ || ∈ SL(2, C). Действительно эрмитова
свертка векторов Tmj (s, t) (сравните с (7.2.26))
j
∑
)∗ (|s|2 + |t|2 )2j
(
Tmj (s, t) Tmj (s, t) =
(2j)!
m=−j
(7.4.26) usu36
должна была бы быть инвариантной при преобразованиях (7.4.20), (7.4.23) с уни(j)
тарной матрицей ||Dm′ m (g)||. Однако ясно, что правая часть (7.4.26) не сохраняется
при таких преобразованиях, когда двумерные матрицы g = ||Aαβ || ∈ SL(2, C) не унитарны (неунитарные двумерные преобразования (7.2.2) не сохраняют квадратичную
(j)
форму: |s|2 + |t|2 ̸= |s′ |2 + |t′ |2 ). Тем не менее матрицы ||Dm′ m || с элементами (7.4.24)
обладают рядом замечательных свойств.
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
290
(j)
Утверждение 7.4.1 Матрицы ||Dm′ m (g)|| конечномерных представлений группы
SL(2, C), заданные в (7.4.24), эквивалентны псевдоортогональным матрицам для
целых j и симплектическим матрицам для полуцелых j.
Доказательство. Пользуясь отождествлением (7.2.15), инвариант (7.2.26) можно
переписать в виде
j
∑
j
(−1)j−m Tmj (s1 , t1 ) T−m
(s2 , t2 ) =
(s1 t2 − s2 t1 )2j = (2j)!
m=−j
∑ j
(j)
Tm (s1 , t1 ) ηm,m′ Tmj ′ (s2 , t2 ) ,
= (2j)!
(7.4.27) sstt2
m,m′
где мы определили метрику33
(j)
ηm,m′ = (−1)j−m δm,−m′ ,
(7.4.28) sstt27
для которой имеем
ISA нов.
(j)
(j)
ηm′ ,m = (−1)2m ηm,m′ ,
(j)
формула
(j)
и следовательно она симметрична ηm,m′ = ηm′ ,m для целых j и антисимметрична
(j)
(j)
ηm,m′ = −ηm′ ,m для полуцелых j. В силу инвариантности свертки (7.4.27) относительно преобразований (7.4.23) мы получаем, что метрика (7.4.28) обладает следующим
свойством инвариантности
VRJ
D(j) · η (j) · D(j)T = η (j) ,
(7.4.29) sstt28
(j)
где матрицы ||Dm′ m (g)|| заданы в (7.4.24) и определяют представление T (j) группы
(j)
SL(2, C). Квадрат матрицы метрики ||ηm,m′ || равен
ISA ред.
правка
η (j) · η (j) = (−1)2j I2j+1 ,
(7.4.30) sstt29
поэтому в случае целых j ее собственные значения равны ±1, и при приведении
этой матрицы к диагональному виду она примет стандартный вид (2.2.54). В этом
(j)
случае из условия (7.4.29) следует, что нечетно-мерные матрицы ||Dm′ m (g)|| для всех
g ∈ SL(2, C) эквивалентны псевдоортогональным матрицам. В случае полуцелых j
(j)
четно-мерная антисимметричная матрица ||ηm,m′ || приводится (перестановкой строк
и столбцов) к стандартному виду (2.2.57) и условие (7.4.29) эквивалентно условию
(2.2.58) для симплектических матриц.
Заметим теперь, что вся схема построения конечномерного неприводимого представления для группы SL(2, C), изложенная выше (формулы (7.2.2),(7.4.20) – (7.4.24)),
может быть без изменений применена и для случая группы SU (2) – вещественной
формы группы SL(2, C). Для этого необходимо вместо матрицы g = ||Aαβ || ∈ SL(2, C)
Напомним, что (j − m) всегда принимает целые значения, даже если спин j – полуцелый, и
(j)
поэтому все ненулевые элементы метрики ηm,m′ равны ±1.
33
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
291
в (7.2.2) и (7.4.20) использовать специальную унитарную (2 × 2) матрицу U , представленную, например, в виде (3.1.14). В этом случае вместо (7.2.2) мы имеем
(s ′ , t ′ ) = (s, t) U = (s α − t β ∗ , s β + t α∗ ) ,
(|α|2 + |β|2 = 1) ,
(7.4.31) usu36a
а формулы (7.4.20), (7.4.23) и (7.4.24) записываются следующим образом
∑ j
(j)
Tmj (s ′ , t ′ ) = [T (j) (U ) · Tmj ](s, t) =
Tm′ (s, t) Dm′ m (α, β) ,
(7.4.32) usu37
m′
Dm′ m (α, β) = Dm′ m (U ) = ⟨j, m′ | U |j, m⟩ =
√
∑
(j+m)!(j−m)!(j+m′ )!(j−m′ )!
′
′
k
= (−1) k!(j−k−m′ )!(j+m−k)!(k−m+m′ )! αj+m−k β k−m+m (β ∗ )k (α∗ )j−k−m ,
(j)
(j)
(7.4.33) usu38
k
где суммирование идет по целым k.
• Задача 216. ⋆ Доказать, что элементы Dm′ m (α, β), заданные в (7.4.33),
можно записать в компактном виде
(j)
(
(j)
(j)
Dm′ m (α, β) = Am′ m (α, β)
′
∂
∂y
)j+m′
(y − 1)j+m (y + 1)j−m
,
y=2αα∗ −1
(7.4.34) WigF01
√
2m −j
(j−m′ )!
′
′
(j)
где Am′ m (α, β) = √
· αm +m β m −m и |α|2 + |β|2 = 1.
(j+m′ )!(j−m)!(j+m)!
В (7.4.33) мы использовали дираковские обозначения ⟨j, m′ | U |j, m⟩ для компонент
(j)
матрицы ||Dm′ m (U )||, определяющей элемент U ∈ SU (2) в представлении T (j) . Данные обозначения обсуждались нами в разделе 7.3 и являются чрезвычайно удобными. Например, пользуясь этими обозначениями, соотношения (7.4.32) можно записать как равенства
∑
⟨s′ , t′ |j, m⟩ = ⟨s, t|U |j, m⟩ =
⟨s, t|j, m′ ⟩ ⟨j, m′ | U |j, m⟩ ,
(7.4.35) usu37a
m′
где мы положили (смотри (7.2.19) и (7.4.31))
⟨s ′ , t ′ | = ⟨s, t| U ,
⟨s, t|j, m⟩ = Tm(j) (s, t) .
(7.4.36) usu36b
С учетом (7.3.37) равенство (7.4.35) может быть получено как частный случай более
компактной и универсальной формулы
∑
U |j, m⟩ =
|j, m′ ⟩ ⟨j, m′ | U |j, m⟩ ,
(7.4.37) usu10
m′
где оператор U понимается уже не как (2 × 2) матрица, а как абстрактный эле- VRN
мент группы SU (2). При этом вектора |j, m⟩ также должны рассматриваться как
абстрактные вектора, введенные в (7.1.18). Соотношения (7.4.32), (7.4.35) возникают
из (7.4.37), если обе части этой формулы свернуть с вектором ⟨s, t|, для которого VRJ
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
292
выполняются равенства (7.4.36). Наконец, формула (7.4.25) в дираковских обозначениях принимает следующий вид
∑
⟨j, m1 |U · U ′ |j, m2 ⟩ =
⟨j, m1 |U |j, m3 ⟩ ⟨j, m3 |U ′ |j, m2 ⟩ , ∀U, U ′ ∈ SL(2, C) .
m3
(7.4.38) homsu1
Ясно, что Утверждение 7.4.1 справедливо не только для матриц представле(j)
ний группы SL(2, C), но и для матриц ||Dm′ m (α, β)|| представлений унитарной группы SU (2). Более того, в отличие от случая SL(2, C) конечномерные представления VRN
(7.4.32), (7.4.33) группы SU (2) оказываются унитарными
∑ (j)
(j) ∗
Dmm′ (α, β) Dmm′′ (α, β) = δm′ m′′ ,
m
так как эрмитова свертка (7.4.26) очевидно инвариантна относительно преобразований (7.4.32) (в силу инвариантности квадратичной формы |s|2 + |t|2 , возникшей в
правой части (7.4.26), при всех двумерных унитарных преобразованиях (7.4.31)).
Согласно явной формуле (7.4.33), мы имеем
(j)
(j)
Dm′ m (−α, −β) = (−1)2j Dm′ m (α, β) ,
(7.4.39) usu39a
поэтому для целых j = ℓ элементы (7.4.33) не меняются при замене U → −U и оказываются однозначными функциями на группе SO(3), элементам которой соответствуют пары ±U ∈ SU (2). Это означает, что неприводимые представления (7.4.32),
(7.4.33) группы SU (2) для целых j = ℓ являются одновременно неприводимыми представлениями и для группы SO(3), причем эти представления исчерпывают все конечномерные неприводимые представления SO(3). Действительно, так как SU (2) –
универсальная накрывающая группы SO(3), то все конечномерные неприводимые
представления SO(3) содержатся в множестве конечномерных неприводимых представлений SU (2), которые нумеруются целыми и полуцелыми неотрицательными
числами j. Остается доказать, что представления (7.4.32), (7.4.33) для полуцелых
j не являются представлениями SO(3). Это следует из того, что при полуцелых j
(j)
функции Dm′ m (α, β), согласно (7.4.39), меняют знак при замене U → −U и не могут
быть представлениями группы SO(3) (в обычном смысле34 ).
VRN
При выборе для элементов матрицы (3.1.14) параметризации (7.4.7):
α = cos(ψ/2) + i sin(ψ/2) cos θ ,
β = i sin θ · sin(ψ/2) e−iϕ ,
где мы учли (7.4.2), коэффициенты (7.4.33) записываются в виде
(j)
′
(1−sin2 θ sin2 ψ )j (cos θ−i ctg ψ )m
2
2
Dm′ m (ψ, ⃗n) = eiϕ(m−m ) (−1)m′ (sin θ)m−m
·
′
(cos θ+i ctg ψ
)m′
2
√
)k
( 2
∑
(j+m)!(j−m)!(j+m′ )!(j−m′ )!
sin θ sin2 ψ
· (−1)k k!(j−k−m′ )!(j−k+m)!(k−m+m′ )! 1−sin2 θ sin22 ψ
,
k
34
(7.4.40) usu39
2
В литературе представления T (j) с полуцелыми спинами j иногда называются двузначными
представлениями SO(3).
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
293
а в параметризации углов Эйлера (7.4.9):
1
α = cos (θ/2) ei 2 (ψ+ϕ) ,
1
β = sin (θ/2) ei 2 (ϕ−ψ)
мы имеем
′
Dm′ m (ϕ, θ, ψ) = ⟨j, m′ | U (ϕ, θ, ψ) | j, m⟩ = eim ϕ+imψ dm′ m (θ) =
√
∑ (−1)k (j+m)!(j−m)!(j+m′ )!(j−m′ )! ( θ )2k−m+m′ 2j θ im′ ϕ+imψ
=
tg( 2 )
cos ( 2 ) e
.
k!(j−k−m′ )!(j+m−k)!(k−m+m′ )!
(j)
(j)
(7.4.41) usu40
k
Здесь элементы U (ϕ, θ, ψ) заданы в (7.4.8), и мы выделили в (7.4.41) функции
dm′ m (θ) = ⟨j, m′ |U⃗e2 (θ)| j, m⟩ =
√
(j+m)!(j−m)!(j+m′ )!(j−m′ )! ∑
(−1)k tg2k ( θ2 )
2j θ
,
= cos ( 2 )
′
m−m
k!(j−k−m′ )!(j+m−k)!(k−m+m′ )!
(tg( θ2 ))
k
(j)
(7.4.42) usu40a
которые называются D-функциями Вигнера. Функции (7.4.41) упрощаются в некоторых частных случаях. Например, положим θ = ϕ = 0 в (7.4.41), тогда в силу того,
что tg( 2θ ) = 0 и с учетом значений факториалов в знаменателе, из всей суммы по k
выживет только слагаемое с 2k = m − m′ = 0. В результате мы получаем
⟨j, m′ | U⃗e3 (ψ) |j, m⟩ = Dm′ m (0, 0, ψ) = eimψ δm,m′ ,
(j)
m′ , m = −j, −j + 1, . . . , j .
(7.4.43) usu15
В следующих разделах мы покажем, что сферические функции, присоединенные
функции Лежандра, полиномы Лежандра и Чебышева выражаются через D-функции
Вигнера.
• Задача 217. Получить из (7.4.41) следующие равенства
(j)
Djm =
(
(2j)!
(j+m)!(j−m)!
) 12
tgj−m ( 2θ ) cos2j ( 2θ ) eijϕ+imψ ,
(
) 12
(j)
(2j)!
Dmj = (−1)j−m (j+m)!(j−m)!
tgj−m ( 2θ ) cos2j ( 2θ ) eimϕ+ijψ ,
(j)
(7.4.44) usu15a
(j)
Dm′ m (ϕ, θ, ψ) = D−m −m′ (−ψ, θ, −ϕ) .
7.4.3
Сферические функции на S 2 = SU (2)/U (1). Операторы Лапласа на
SU (2) = S 3 и SU (2)/U (1) = S 2 .
BSF
Материал данного подраздела можно рассматривать как иллюстрацию к общим кон- VRN
струкциям, изложенным в разделах 6.4.4, 6.4.5 и 6.4.6.
(j)
Элементы Dm′ m (U ) = ⟨j, m′ | U | j, m⟩ (7.4.33) матриц неприводимых представлений T (j) группы SU (2) для всех j, согласно теореме Петера-Вейля 4.6.5, образуют
полную систему функций на группе SU (2), то есть на сфере S 3 . Соответственно,
если мы ограничимся только элементами (7.4.33) для целых j = ℓ, то они образуют полную систему функций на группе SO(3) (напомним, что представления T (ℓ) VRN
исчерпывают все конечномерные неприводимые представления SO(3)).
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
294
В дальнейшем в этом разделе мы будем пользоваться параметризацией (7.4.9)
элементов U ∈ SU (2) в терминах углов Эйлера. Элементы U (ϕ, θ, ψ) ∈ SU (2) действуют на базисные вектора |j, m⟩ векторного простанства V2j+1 представления T (j)
согласно (7.4.37), а с учетом (7.4.41) это действие выглядит следующим образом:
|j, m⟩ → U (ϕ, θ, ψ)|j, m⟩ =
j
∑
|j, m′ ⟩Dm′ m (ϕ, θ, ψ) .
(j)
(7.4.45) usu15b
m′ =−j
(j)
Таким образом, функции Dm′ m (ϕ, θ, ψ) образуют полную систему функций на мно- VRN
(j)
гообразии SU (2), то есть сфере S 3 . Отметим, что матрицы ||Dm′ m (U )|| с элементами
(λ)
(7.4.41) являются аналогами матриц ||Tmr (g)|| с элементами (6.4.132), которые рассматривались в разделе 6.4.6, где g = U ∈ SU (2) = G, а индекс λ, нумерующий
представления G, в данном случае соответствует спину j.
В группе SU (2) с элементами (7.4.8) имеется подгруппа H = U (1), образованная
матрицами
( ψ
)
i2
e
0
ψ
U⃗e3 (ψ) =
, ψ ∈ [−2π, 2π) .
0 e−i 2
Все конечномерные представления T (j) для элементов U⃗e3 (ψ) ∈ H = U (1) задаются
(j)
матрицами ||Dm′ m (0, 0, ψ)|| (7.4.43). Для целых j = ℓ представления T (ℓ) подгруппы
U (1) одновременно являются представлениями подгруппы SO(2) ⊂ SO(3), которая
образована элементами (6.2.2) и (7.4.4):
T3 (−ψ) = O(−ψ, ⃗e3 ) = exp(−ψ S3 ) ,
ψ ∈ [−π, π) .
В соответствии с (7.4.43) и (7.4.45), действие любого элемента U = U⃗e3 (ψ) из
подгруппы H = U (1) в представлении T (j) на базисные вектора |j, m⟩ ∈ V2j+1 имеет
вид
∑
U⃗e3 (ψ)|j, m⟩ = jm′ =−j |j, m′ ⟩⟨j, m′ |U⃗e3 (ψ)|j, m⟩ = eimψ |j, m⟩ ,
(7.4.46) usu15f
m ∈ [−j, −j + 1, · · · , j − 1, j] .
Таким образом, представление T (j) абелевой подгруппы H = U (1) ∈ SU (2) (в полном согласии со Следствием 2. к Лемме Шура 4.4.3) приводимо и распадается в
прямую сумму одномерных представлений, число которых равно (2j + 1). Если j
принимает целые значения ℓ, то индекс m у базисных векторов |ℓ, m⟩ ∈ V2ℓ+1 также
принимает целые значения и может равняться нулю. В этом случае среди базисных
векторов |ℓ, m⟩ имеется специальный вектор |ℓ, 0⟩, который в силу (7.4.46) является
инвариантным (стационарным) относительно действия подгруппы H = U (1):
U⃗e3 (ψ)|ℓ, 0⟩ = |ℓ, 0⟩ ,
∀ψ .
(7.4.47) usu15v
Пользуясь этим фактом, мы получаем (см. также формулу (6.4.134) в разделе 6.4.6) VRN
(ℓ)
(ℓ)
Dm0 (U · U⃗e3 ) = ⟨ℓ, m|U · U⃗e3 (ψ)|ℓ, 0⟩ = ⟨ℓ, m|U |ℓ, 0⟩ = Dm0 (U ) ,
(7.4.48) usu15x
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
295
(ℓ)
то есть компоненты Dm0 (U ) оказываются функциями на однородном пространстве
SU (2)/U (1) = SO(3)/SO(2) и, cогласно общей терминологии, принятой в подразделе
6.4.6, называются присоединенными сферическими функциями представления T (ℓ) .
Если элемент U ∈ SU (2) задан в параметризации углов Эйлера, то функции (7.4.48)
записываются в виде
(ℓ)
Dm0 (ϕ, θ) = ⟨ℓ, m|U⃗e3 (ϕ) · U⃗e2 (θ) · U⃗e3 (ψ)|ℓ, 0⟩ = ⟨ℓ, m|U⃗e3 (ϕ) · U⃗e2 (θ)|ℓ, 0⟩ ,
(7.4.49) usu15d
и не зависят от параметра ψ, а зависят только от углов ϕ и θ, которые параметризуют
однородное пространство SU (2)/U (1) = SO(3)/SO(2), то есть сферу S 2 . Функции
(7.4.49) имеют специальное обозначение:
(ℓ)
(ℓ)
Ym(ℓ) (ϕ, θ) := Dm0 (ϕ, θ) = eimϕ dm0 (θ) ,
(7.4.50) usu17s
и называются сферическими функциями или сферическими гармониками. С помо(ℓ)
(ℓ)
щью формулы (7.4.34) функция dm0 (θ), входящая в определение Ym (ϕ, θ), представляется в виде
√
(ℓ − m)!
(ℓ)
dm0 (θ) = √
· Pm(ℓ) (cos θ) ,
(7.4.51) WigF05
(ℓ + m)!
где
( )ℓ+m
1
∂
(ℓ)
2 m/2
Pm (y) = ℓ (1 − y )
(y 2 − 1)ℓ
(7.4.52) WigF06
2 ℓ!
∂y
(ℓ)
называется присоединенной функцией Лежандра. Среди функций Ym (ϕ, θ) имеется
(ℓ)
(ℓ)
функция Y0 (ϕ, θ) = d00 (θ), которая не зависит от ϕ и называется зональной сфе(ℓ)
рической функцией. Согласно (7.4.51) и (7.4.52) мы имеем Y0 (θ) = P (ℓ) (cos θ), где
полиномы
( )ℓ
1
∂
(ℓ)
(ℓ)
P (y) = P0 (y) = ℓ
(y 2 − 1)ℓ ,
(7.4.53) WigF07
2 ℓ! ∂y
называются полиномами Лежандра.
В подразделе 6.4.6 указывалось, что если группа G компактна, а подгруппа
H ⊂ G массивна, то все присоединенные сферические функции на однородном про- VRN
странстве G/H образуют полную систему функций на этом пространстве. Согласно
(7.4.47) все представления T (ℓ) группы SO(3) являются представлениями класса 1
относительно подгруппы SO(2), то есть подгруппа SO(2) массивна в SO(3). Поэто(ℓ)
(ℓ)
му сферические гармоники Ym (ϕ, θ) = Dm0 (ϕ, θ) образуют полную систему функций
на S 2 = SO(3)/SO(2). Положим m1 = m, m2 = 0, m3 = m′ и U ′ = U (ϕ, θ, ψ) в
соотношениях (7.4.38), которые в этом случае записываются в виде
Ym(ℓ) (ϕ′ , θ′ ) = ⟨ℓ, m| U · U⃗e3 (ϕ) · U⃗e2 (θ)|ℓ, 0⟩ = Dmm′ (U ) Ym′ (ϕ, θ) ,
(ℓ)
(ℓ)
(7.4.54) usu16
где U – любой элемент SU (2) и преобразованные углы ϕ′ , θ′ однозначно определяются
из уравнений
U · U⃗e3 (ϕ) U⃗e2 (θ) U⃗e3 (ψ) = U⃗e3 (ϕ′ ) U⃗e2 (θ′ ) U⃗e3 (ψ ′ ) .
(7.4.55) usu17
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
296
Соотношения (7.4.54) являются примерами общих формул (6.4.135) и (6.4.136) для
конкретного случая однородного пространства G/H = SU (2)/U (1) и определяют
специальное представление ρ(ℓ) группы SU (2):
[ρ(ℓ) (U −1 ) · Ym(ℓ) ](ϕ, θ) = Ym(ℓ) (ϕ′ , θ′ ) = Dmm′ (U ) Ym′ (ϕ, θ) .
(ℓ)
(ℓ)
(7.4.56) usu17a
(ℓ)
Из соотношений (7.4.54), (7.4.56) следует, что сферические функции Ym (ϕ, θ) образуют базис в пространствах специальных конечномерных неприводимых представлений ρ(ℓ) группы SU (2), которые нумеруются целыми числами ℓ = 0, 1, 2, . . .. Эти
конечномерные представления эквивалентны представлениям T (ℓ) и вкладываются
как подпредставления в бесконечномерное индуцированное представление SU (2):
[ρ(U −1 ) · f ](ϕ, θ) = f (ϕ′ , θ′ ) ,
(∀U ∈ SU (2) ,
(7.4.57) usu19r
которое действует на всем пространстве гладких функций f (ϕ, θ) на сфере S 2 =
SU (2)/U (1). Напомним, что представления (7.4.56) (так как ℓ – целое) одновременно
являются и неприводимыми представлениями группы SO(3).
• Задача 218. Пользуясь формулами (7.4.25), (7.4.38) и (7.4.50) доказать теорему сложения для сферических функций:
∑ (ℓ)
(ℓ)
P (ℓ) (cos ω12 ) = Y−m (−ϕ1 , θ1 )Ym (ϕ2 , θ2 ) =
∑ im(ϕ1 +ϕm2 ) (ℓ)
(ℓ)
e
P−m (cos θ1 )Pm (cos θ2 ) ,
=
(7.4.58) teo-sL
m
где cos ω12 = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 cos(ϕ1 + ϕ2 ).
• Задача 219. ∗ Пусть элемент U = exp( 2i tk σk ) = exp(−tk τk ) группы SU (2)
близок к единичному, то есть параметры ti – малы. Показать, что функции
ϕ′ , θ′ , ψ ′ в уравнении (7.4.55) в первом порядке по ti равны
ϕ′ = ϕ + (t1 cos(ϕ) − t2 sin(ϕ)) ctg(θ) + t3 + O2 ,
θ′ = θ + t1 sin(ϕ) + t2 cos(ϕ) + O2 ,
′
1
2
(7.4.59) usu18
−1
ψ = ψ + (−t cos(ϕ) + t sin(ϕ)) sin (θ) + O2 .
где символом O2 обозначены члены второго и более порядка по переменным {tk }.
Перед тем, как обсуждать более подробно конечномерные представления (7.4.56),
действующие в пространстве функций на двумерной сфере, рассмотрим левое регулярное представление группы SU (2):
[T (R) (U −1 ) · f ](U (ϕ, θ, ψ)) = f (U · U (ϕ, θ, ψ) = f (U (ϕ′ , θ′ , ψ ′ )) ,
(7.4.60) usu18r
которое действует в пространстве функций на SU (2) с базисом, образованным эле- VRN:
ментами (7.4.41). Положим U = exp(−ti τi ). Дифференцируя (7.4.60) по ti с учетом так?
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
297
(7.4.55), (7.4.59) и затем полагая ti = 0, мы получаем (согласно общей методике, изложенной в разделе 6.4.4, смотри формулу (6.4.92)) представления образующих τi
алгебры su(2) в виде дифференциальных операторов τ̂k ≡ T (R) (τk ):
τ̂1 = cos(ϕ) ctg(θ)∂ϕ + sin(ϕ)∂θ − cos(ϕ) sin−1 (θ)∂ψ ,
τ̂2 = − sin(ϕ) ctg(θ)∂ϕ + cos(ϕ)∂θ + sin(ϕ) sin−1 (θ)∂ψ ,
τ̂3 = ∂ϕ ,
(7.4.61) usu19
которые по построению (см. разделы 3.1.6 и 6.4.4) совпадают с право-инвариантными
векторными полями −Rkj ∂j (3.1.80), (6.4.93) на группе SU (2).
• Задача 220. Проверить, что операторы (7.4.61) образуют базис алгебры su(2),
то есть удовлетворяют структурным соотношениям (3.2.121).
• Задача 221. Доказать, что квадратичный оператор Казимира τ̂k τ̂k (оператор
Лапласа на сфере S 3 ) для образующих (7.4.61) в параметризации углов
Эйлера равен
(
)
1
1
2
2
τ̂k τ̂k =
+
(∂ψ − 2 cos θ ∂ϕ ) ∂ψ . (7.4.62) usu19k
2 ∂ϕ + ctg θ∂θ + ∂θ
sin θ
sin2 θ
Рассмотрим теперь представления (7.4.56) (представления (6.4.136) в случае однородного пространства SU (2)/U (1)), действующие в пространстве сферических функций (7.4.50). Дифференциальная реализация (6.4.121), (6.4.137) для образующих SU (2)
в этом случае имеет вид
τ̂1 = cos(ϕ) ctg(θ)∂ϕ + sin(ϕ)∂θ ,
τ̂2 = − sin(ϕ) ctg(θ)∂ϕ + cos(ϕ)∂θ ,
τ̂3 = ∂ϕ ,
(7.4.63) usu19gh
и может быть также получена дифференцированием соотношений (7.4.57) и (7.4.56)
по параметрам ti с учетом (7.4.55) и (7.4.59). При этом аналоги формул (6.4.137), проистекающие в рассматриваемом случае из (7.4.56) и связывающие матричные представления T (ℓ) образующих τk и их дифференциальные реализации (7.4.63), имеют
вид
∑ (ℓ)
(ℓ)
τ̂k · Ym(ℓ) (ϕ, θ) = −
Dmm′ (τk ) Ym′ (ϕ, θ) ,
m′
(ℓ)
где ||Dmm′ (τk )|| – матрицы образующих τk алгебры Ли su(2) в представлении T (ℓ) . Та
же формула в обозначениях Дирака записывается следующим образом
τ̂k ⟨ℓ, m | U (ϕ, θ, 0) |ℓ, 0⟩ = −⟨ℓ, m | τk · U (ϕ, θ, 0) |ℓ, 0⟩ =
∑
= − ⟨ℓ, m | τk |ℓ, m′ ⟩⟨ℓ, m′ | U (ϕ, θ, 0) |ℓ, 0⟩ .
(7.4.64) usu16f
m′
Отметим, что представление (7.4.63) возникает из формул (7.4.61), если в них положить ∂ψ = 0 и таким образом занулить все производные вдоль кривых на многообразии группы SU (2), которые соответствуют одномерной подгруппе стабильности
U (1).
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
298
Оператор Лапласа (7.4.62) в случае представления (7.4.63) приобретает стандартный вид оператора Лапласа на сфере S 2 (см. общую формулу (6.4.124)):
(
)
1
2
2
τ̂k τ̂k =
∂ + ctg θ∂θ + ∂θ ≡ ∆SU (2)/U (1) .
(7.4.65) usu19gg
sin2 θ ϕ
Выписывая явно для выбранных параметров (x1 , x2 , x3 ) = (ϕ, θ, ψ) соответствующую векторным полям (7.4.61) матрицу


ϕ
− cos ϕ ctg θ , − sin ϕ , cos
sin θ
ϕ 
||Rkj || =  sin ϕ ctg θ , − cos ϕ , − sin
sin θ
−1 ,
0,
0
и вычисляя ее детерминант, получаем det−1 (||Rkj ||) = sin(θ). Поэтому инвариантная VRN
мера Хаара (3.1.86) на группе SU (2), записанная в параметрах Эйлера, равна
dµ(U ) =
1
sin(θ) dϕ dθ dψ ,
16π 2
(7.4.66) mersu
где константа выбрана так, чтобы объем всей группы SU (2) равнялся единице. Со(j)
отношение ортогональности (4.6.20) для матричных элементов Dm′ m (U ) (7.4.41) для
неприводимых представлений T (j) группы SU (2) записываются в виде
∫
( ′
)∗
′
(j)
(j )
dµ(U ) Dm′ m (U ) Dk′ k (U ) = c(j) δ jj δm′ k′ δmk ,
(7.4.67) mersu01
где константу c(j) в (7.4.67) можно вычислить, если зафиксировать j = j ′ , k = m = j,
k ′ = m′ = j и воспользоваться (7.4.44). В этом случае интеграл (7.4.67) сводится к
следующему интегралу для функций Вигнера (область изменения углов Эйлера для
группы SU (2) указана в (7.4.11)):
∫
∫
1 π
1 π
(j)
(j)
dθ sin(θ) djj (θ) djj (θ) =
dθ sin(θ) cos4j (θ/2) = c(j) ,
(7.4.68) mersu02
2 0
2 0
откуда получаем, что
1
c(j) =
.
(7.4.69) coef-c
2j + 1
Из формулы (7.4.67) также следует соотношение ортогональности (см. общую формулу (6.4.139)) для сферических функций (7.4.50):
∫ 2π
∫ π
( ′
)∗
1
′
(ℓ )
dϕ
dθ sin(θ) Ym(ℓ) (ϕ, θ) Ym′ (ϕ, θ) = c(ℓ) δ ℓℓ δmm′ ,
(7.4.70) mersu03
4π 0
0
и соответственно для присоединенных функций Лежандра (7.4.52) и полиномов Лежандра (7.4.53).
• Задача 222. Доказать, что с учетом (7.4.69), (7.4.50) и (7.4.51) из формулы
(7.4.70) следует соотношение ортогональности для присоединенных функций Лежандра:
∫ 1
2
(ℓ + m)! ℓℓ ′
′
δ .
dx Pm(ℓ) (x) Pm(ℓ ) (x) =
(2ℓ + 1) (ℓ − m)!
−1
ISA
новая задача
7.4 Конечномерные представления групп SL(2, C) и SU (2).
299
Отметим, что связь (7.4.64) матричных представлений образующих τk и их дифференциальных реализаций (7.4.63) показывает, что действие дифференциального
(ℓ)
оператора τ̂k на сферические функции Ym (ϕ, θ) эквивалентно действию справа образующей (−τk ) на дуальные вектора ⟨ℓ, m|. В соответствии с этим замечанием замена
(7.1.1) для образующих (7.4.63) приводит к тому, что действие операторов
ê± = i τ̂1 ∓ τ̂2 = e∓iϕ (∓∂θ + i ctg θ∂ϕ ) ,
ĥ = i τ̂3 = i ∂ϕ ,
(7.4.71) usu31
(ℓ)
на Ym (ϕ, θ) определяется соответственно действием образующих (−e± ), (−h) справа на дуальный вектор ⟨ℓ, m|. Таким образом, в согласии с (7.4.54) можно считать, VRN
(ℓ)
что сферические функции Ym (ϕ, θ) образуют базис дуального пространства к пространству представления T (ℓ) для группы SO(3), а операторы (7.4.71) по построению
должны порождать это дуальное пространство из старших или младших векторов,
(ℓ)
(ℓ)
каковыми являются функции Yℓ (ϕ, θ) и Y−ℓ (ϕ, θ), соответствующие ⟨ℓ, ℓ| и ⟨ℓ, −ℓ|.
Выберем в (7.4.41) j = ℓ и положим m′ = ℓ, m = 0, или m′ = −ℓ, m = 0, в результате
получаем
√
√
(2ℓ)! i ℓϕ
(2ℓ)! −i ℓϕ
(ℓ)
(ℓ)
ℓ
ℓ
Yℓ (ϕ, θ) = ℓ
e sin (θ) , Y−ℓ (ϕ, θ) = (−1) ℓ
e
sinℓ (θ) . (7.4.72) usu30
2 (ℓ!)
2 (ℓ!)
(ℓ)
(ℓ)
• Задача 223. Проверить, что функции Yℓ (ϕ, θ) и Y−ℓ (ϕ, θ) (7.4.72) удовлетворяют условиям для старшего и младшего дуального вектора (смотри
(ℓ)
(ℓ)
(7.1.28)): ê− Yℓ (ϕ, θ) = 0, ê+ Y−ℓ (ϕ, θ) = 0.
(ℓ)
• Задача 224. Показать, что функции Ym (ϕ, θ), заданные в (7.4.50), подчиняются уравнениям, вытекающим из (7.1.25):
(ℓ)
(ℓ)
(−ĥ) Ym (ϕ, θ) = m Ym (ϕ, θ) ,
√
(ℓ)
(ℓ)
(−ê− ) Ym (ϕ, θ) = (ℓ + m + 1)(ℓ − m) Ym+1 (ϕ, θ) ,
√
(ℓ)
(ℓ)
(−ê+ ) Ym (ϕ, θ) = (ℓ − m + 1)(ℓ + m) Ym−1 (ϕ, θ) .
(7.4.73) prob5
С учетом автоморфизма (3.2.188) уравнения (7.4.73) можно переписать в более привычном виде (сравните с (7.2.24))
ĥ′ Ym (ϕ, θ) = m Ym (ϕ, θ) ,
√
(ℓ)
(ℓ)
ê′+ Ym (ϕ, θ) = (ℓ + m + 1)(ℓ − m) Ym+1 (ϕ, θ) ,
√
(ℓ)
(ℓ)
ê′− Ym (ϕ, θ) = (ℓ − m + 1)(ℓ + m) Ym−1 (ϕ, θ) ,
(ℓ)
(ℓ)
(7.4.74) prob51
где вместо (7.4.71) мы имеем
ê′± = −e±iϕ (±∂θ + i ctg θ∂ϕ ) ,
ĥ′ = −i τ̂3 = −i ∂ϕ .
(7.4.75) prob57
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
300
• Задача 225. Пользуясь равенствами (7.4.73) или (7.4.74), доказать, что сфе(ℓ)
рические функции Ym являются собственными функциями оператора Лапласа на двумерной сфере ∆SU (2)/U (1) (7.4.65):
∆SU (2)/U (1) Ym(ℓ) (ϕ, θ) = ℓ(ℓ + 1) Ym(ℓ) (ϕ, θ) ,
VRN
∀m ,
то есть проверить соотношение (7.1.30) для данного представления (см.
также общую формулу (6.4.142)).
ESF
7.5
Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2) и его разложение в прямую сумму неприводимых
представлений. Коэффициенты Клебша - Гордана.
7.5.1
Разложение Клебша-Гордана.
Пусть представления T (1) и T (2) группы G неприводимы. Обозначим соответствующие пространства представлений как V1 и V2 . Прямое произведение этих представлений T (1) ⊗T (2) в общем случае приводимо. Пусть группа G компактна. Тогда, согласно
Утверждению 4.5.1, представление T (1) ⊗ T (2) всегда разложимо в прямую сумму по
неприводимым представлениям T (α) группы G, которые действуют в пространствах
представлений Vα (индекс α нумерует неприводимые представления). Таким образом, мы имеем разложение
VRN
V1 ⊗ V2 = ⊕α mα Vα ,
(7.5.1) klg-0
где mα – кратности вхождения неприводимых представлений, эквивалентных T (α) ,
в тензорное произведение представлений T (1) и T (2) . Другими словами, существует
такая обратимая матрица C, с помощью которой все матрицы представления T (1) ⊗
T (2) приводится к блочно-диагональному виду
(
)
C T (1) (g) ⊗ T (2) (g) C −1 = ⊕α mα T (α) (g) ⇒
(7.5.2) klgo
Ĉ : (V1 ⊗ V2 ) → ⊕α mα Vα ,
(7.5.3) klgo1
где g – произвольный элемент G, а Ĉ – обратимый оператор, который соответствует
матрице C и переводит базис пространства (V1 ⊗ V2 ), состоящий из прямого произведения базисных векторов V1 и V2 , в естественный базис пространства ⊕α mα Vα , состоящий из базисных векторов всех слагаемых подпространств Vα . Элементы матрицы C называются коэффициентами Клебша-Гордана. Действие оператора Ĉ (7.5.3),
можно записать в явном матричном виде
∑ (1,d),(2,b)
C(α,c)
|d⟩1 ⊗ |b⟩2 = |c⟩α ,
(7.5.4) klgo2
d,b
где |d⟩1 , |b⟩2 и |c⟩α – нормированные базисные вектора пространств V1 , V2 и Vα ,
соответственно, и индексы d, b, c нумеруют эти базисные вектора. Формула (7.5.4)
называется разложением (или рядом) Клебша-Гордана.
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
301
Проблема построения ряда Клебша-Гордана в теории представлений
групп является одной из самых сложных задач, решение которой известно только для некоторого класса групп и определенных типов представлений.
В этом разделе мы изучим проблему построения ряда Клебша-Гордана для конечномерных представлений T (j) группы SU (2). Эти представления, как мы видели,
соответствуют конечномерным представлениям алгебры Ли su(2) или конечномерным представлениям алгебры Ли sℓ(2, C).
Прежде всего мы обсудим метод нахождения кратностей mα в разложении (7.5.2),
(7.5.3). Пусть мы имеем два неприводимых представления T (j1 ) и T (j2 ) группы SU (2) VRN
или, что то же самое, два неприводимых представления T (j1 ) и T (j2 ) алгебр Ли su(2)
и sℓ(2, C) с определяющими соотношениями (3.2.121) и (3.2.91). Эти представления
действуют в пространствах V2j+1 с базисными векторами |j, m⟩ (7.1.18) c j = j1 и j =
j2 и реализуются в виде (2j1 + 1) и (2j2 + 1)-мерных матриц (7.4.33), соответственно.
В рассматриваемом случае равенство (7.5.2) можно переписать в виде
⊕
(
)
C T (j1 ) (U ) ⊗ T (j2 ) (U ) C −1 =
mj T (j) (U ) ,
∀U ∈ SU (2) .
(7.5.5) tt-t
j
Возьмем элемент U ∈ SU (2) в параметризации (7.4.5): U = U⃗n (ψ). Тогда из (7.5.5)
следует соотношение для характеров:
∑
χ(j1 ) (ψ) · χ(j2 ) (ψ) =
mj χj (ψ) ,
(7.5.6) chit
j
где
j
∑
(
)
χ(j) (ψ) = Tr2j+1 T (j) (U⃗n (ψ)) =
⟨j, m| U⃗n (ψ) |j, m⟩ .
(7.5.7) chit2
m=−j
Утверждение 7.5.1 Характер (7.5.7) не зависит от напрвления ⃗n, а зависит только от угла ψ, и равен
sin(ψ(j + 1/2))
χ(j) (ψ) =
.
(7.5.8) chip
sin(ψ/2)
Угол поворота ψ ∈ [−2π, 2π) характеризует класс сопряженных элементов в группе
SU (2), состоящий из всех элементов U⃗n (ψ) (7.4.5) с фиксированным ψ и произвольным ⃗n.
Доказательство. Преобразованиями подобия (7.4.14) элемент U⃗n (ψ) (7.4.5) с любым
⃗n сводится к элементу U⃗e3 (ψ), который нумерует класс сопряженных элементов. При
этом характер элемента U⃗n (ψ) зависит только от угла ψ и не зависит от ⃗n:
(
)
(
)
χ(j) (ψ) = Tr2j+1 T (j) (U⃗n (ψ)) = Tr2j+1 T (j) (U −1 · U⃗e3 (ψ) · U ) =
(
) ∑
(7.5.9) chit3
⟨j, m| U⃗e3 (ψ) |j, m⟩ .
= Tr2j+1 T (j) (U⃗e3 (ψ)) =
m
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
302
Пользуясь последней формулой и явным видом матрицы (7.4.43) для элемента U⃗e3 (ψ)
в представлении T (j) , мы вычисляем характер (7.5.7) для любого элемента U⃗n (ψ):
χ(j) (ψ) =
∑
⟨j, m| U⃗e3 (ψ) |j, m⟩ =
m
j
∑
eimψ =
m=−j
eiψ(j+1/2) − e−iψ(j+1/2)
,
eiψ/2 − e−iψ/2
(7.5.10) chip1
что и дает (7.5.8).
VRN
Зная явное выражение (7.5.8) для характеров χ(j) всех неприводимых представлений T (j) группы SU (2), мы могли бы получить разложение (7.5.6) и тем самым VRN
вычислить кратности mj воспользовавшись полнотой и ортогональностью функций
χ(j) (ψ) в соответствии с общей теорией характеров компактных групп, изложенной
в Разделе 4.6.2. Однако, здесь мы приведем прямой способ вычисления кратностностей mj в разложении (7.5.6). Подставим функции (7.5.8) в левую часть (7.5.6) и
воспользуемся тождеством
sin(a) sin(b) = sin(a + b − c) sin(c) + sin(a − c) sin(b − c) ,
которое справедливо для любых a, b и c. Тогда левая часть (7.5.6) переписывается VRN
следующим образом
(j1 )
χ
(ψ) · χ
(j2 )
sin(ψ(j1 + 21 )) sin(ψ(j2 + 12 ))
=
(ψ) =
sin2 (ψ/2)
sin(ψ(j1 + j2 + 12 )) sin(ψ j1 ) sin(ψ j2 )
1
1
+
= χ(j1 +j2 ) (ψ) + χ(j1 − 2 ) (ψ) · χ(j2 − 2 ) (ψ) .
2
sin(ψ/2)
sin (ψ/2)
(7.5.11) psip
Второе слагаемое в правой части (7.5.11) может быть снова расписано с помощью
тождества (7.5.11), после чего оно приобретает вид
=
χ(j1 ) (ψ) · χ(j2 ) (ψ) = χ(j1 +j2 ) (ψ) + χ(j1 +j2 −1) (ψ) + χ(j1 −1) (ψ) · χ(j2 −1) (ψ) ,
где к третьему слагаемому в правой части мы снова можем применить (7.5.11) и так
далее. Пусть j1 ≥ j2 (случай j2 ≥ j1 рассматривается аналогично), тогда после (2 j2 )
шагов мы получим, что в последнем квадратичном слагаемом второй сомножитель
будет равен единице: χ(0) (ψ) = 1, после чего процедура оборвется и в результате мы
получим разложение
χ(j1 ) (ψ) · χ(j2 ) (ψ) = χ(j1 +j2 ) (ψ) + χ(j1 +j2 −1) (ψ) + . . . + χ(j1 −j2 ) (ψ) .
(7.5.12) chi05
Сравнивая этот результат с разложением (7.5.6), мы получаем, что в (7.5.6) необходимо положить mj = 1 для |j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2 и mj = 0 для других j. Таким
образом, мы имеем следующее утверждение.
Утверждение 7.5.2 Разложение (7.5.5) прямого произведения двух неприводимых
конечномерных представлений T (j1 ) и T (j2 ) группы SU (2) имеет вид
(
T
(j1 )
⊗T
(j2 )
)
⊕
j1 +j2
=
T (j) ,
j=|j1 −j2 |
что соответствует тождеству характеров (7.5.12).
(7.5.13) chi06
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
303
Данное утверждение эквивалентно тому, что прямое произведение двух базисных
векторов |j1 , m1 ⟩ ⊗ |j2 , m2 ⟩, принадлежащих пространствам представлений T (j1 ) и
T (j2 ) , разлагается в прямую сумму векторов, принадлежащих пространствам представлений T (j) со спином j, который лежит в интервале |j1 − j2 | ≥ j ≥ j1 + j2 . Этот
результат хорошо известен в квантовой механике и называется правилом сложения
спинов j1 и j2 . Справедливость формулы (7.5.13) можно также проверить путем под- VRN
счета размерностей соответствующих пространств представлений, что эквивалентно
проверке тождества:
∑
j1 +j2
(2j1 + 1)(2j2 + 1) =
(2j + 1) .
j=|j1 −j2 |
Замечание. Из формулы (7.5.12) для j1 = j и j2 = 1/2 получаем соотношение
1
1
1
χ(j) · χ( 2 ) = χ(j+ 2 ) + χ(j− 2 ) ,
(7.5.14) chi07
где
χ(0) = 1 ,
χ(1/2) = 2 cos (ψ/2) .
(7.5.15) chi77
Согласно тождеству (7.5.14), которое можно рассматривать как рекуррентное соот1
1
1
ношение χ(j+ 2 ) = χ(j) · χ( 2 ) − χ(j− 2 ) с начальными данными (7.5.15), все функции
χ(j) (ψ), заданные в (7.5.8), являются полиномами P2j (x) степени 2j от переменной
x = cos(ψ/2). Полиномы P2j (x) называются полиномами Чебышева. Ортогональность этих полиномов следует из общего утверждения (4.6.22), которое справедливо
для характеров неприводимых представлений любой компактной группы.
Итак, задача о вычислении кратностей в (7.5.2) решена. Далее задача построе- VRN
ния ряда Клебша-Гордана сводится к явному выделению неприводимых компонент в
прямом произведении представлений T (j) с разными j и вычислению коэффициентов
матрицы C (коэффициентов Клебша-Гордана), фигурирующих в формулах (7.5.2) и
(7.5.4). В следующих разделах мы рассмотрим различные методы, которые используются при решении этих задач в случае конечномерных неприводимых представлений
группы SU (2).
7.5.2
Выделение неприводимых представлений со старшим весом в прямом произведении представлений.
В этом подразделе мы опишем способ выделения неприводимых компонент в прямом произведении представлений T (j) с разными j с помощью метода построения
представлений со старшим весом (смотри раздел 7.1). Этот способ удобен для практических вычислений при не слишком больших значениях j.
Выберем, как это принято в квантовой механике, в качестве образующих алгебры
su(2) эрмитовы операторы Sα (в определяющем представлении мы имеем Sα = i τα =
1
σ ), которые удовлетворяют соотношениям, вытекающим из (3.2.121):
2 α
[Sα , Sβ ] = i εαβγ Sγ (α, β, γ = 1, 2, 3) .
(7.5.16) oprs
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
304
В дальнейшем мы будем пользоваться обозначениями Sx = S1 , Sy = S2 , Sz = S3 и
называть эти образующие компонентами оператора вектора спина.
Рассмотрим двумерное определяющее представление алгебры su(2) (группы SU (2))
и зафиксируем базис в 2-мерном пространстве V этого представления следующим образом:
( )
( )
1
(7.5.17) compos0
| ↑ ⟩ := 0 , | ↓ ⟩ := 01 .
Стрелки здесь соответствуют направлениям вектора спина по отношению к оси z
(вверх и вниз) или, что тоже самое, знаку собственного значения m = ±1/2 оператора VRN
Sz , взятого в определяющем представлении Sz = 1/2σ3 :
Sz | ↑ ⟩ =
1
|↑⟩,
2
1
Sz | ↓ ⟩ = − | ↓ ⟩ .
2
Далее мы пользуемся следующими обозначениями для базисных векторов в пространствах V ⊗ V, V ⊗ V ⊗ V, . . . (здесь V – пространство определяющего представления):
() ()
() ()
() ()
() ()
0
1
1
0
1
1
(7.5.18) compos1
| ↑↑ ⟩ = 0 ⊗ 0 , | ↓↑ ⟩ = 1 ⊗ 0 , | ↑↓ ⟩ = 0 ⊗ 1 , | ↓↓ ⟩ = 01 ⊗ 01 ,
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
0
1
0
1
1
1
| ↑↑↑ ⟩ = 0 ⊗ 0 ⊗ 0 , | ↓↑↓ ⟩ = 1 ⊗ 0 ⊗ 1 , | ↓↑↑ ⟩ = 01 ⊗ 10 ⊗ 10 , . . . (7.5.19) compos2
и так далее. В квантовой механике вектора (7.5.18) и (7.5.19) соответствуют композитным состояниям двух и трех частиц со спином 1/2.
В соответствии с определениями, данными в разделе 4.3.1, действие операторов
компонент вектора спина Sx , Sy , Sz на композитные состояния (7.5.18) определяется
правилами (4.3.13) и (4.3.14), сформулированными для прямого произведения двух
представлений. В рассматриваемом случае мы имеем (смотри (4.3.13)):
∆(Sα ) = Sα ⊗ I + I ⊗ Sα ,
(7.5.20) comult
где I – единичный оператор в V и ∆ – обозначает представление обертывающей
алгебры U(su(2)) в пространстве V ⊗ V. Операторы ∆(Sα ) (7.5.20) применяются к
состояниям (v ⊗ u), где v, u ∈ V, согласно (4.3.14):
∆(Sα )(v ⊗ u) = (Sα ⊗ I + I ⊗ Sα )(v ⊗ u) = (Sα v) ⊗ u + v ⊗ (Sα u) .
(7.5.21) comuv
Напомним, что операторы Sα , действующие на вектора из V, берутся в определяющем представлении. Далее, для определения действия образующих Sα алгебры su(2)
на базисные состояния (7.5.19) в V ⊗ V ⊗ V, которые представляют собой композицию
трех частиц со спином 1/2 (тензорное произведение трех двумерных векторов), мы
пользуемся формулой
∆2 (Sα ) = Sα ⊗ I ⊗ I + I ⊗ Sα ⊗ I + I ⊗ I ⊗ Sα ,
(7.5.22) comult1
где ∆2 – обозначает представление U(su(2)) в пространстве V ⊗ V ⊗ V, и так далее.
Для определения действия операторов спина Sα на состояния n частиц со спином 1/2
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
305
(прямое произведение n двумерных векторов, принадлежащих пространству V ⊗n ) мы
должны воспользоваться представлением (сравните с формулами (4.7.51)-(4.7.53)):
∆
n−1
(Sα ) =
n
∑
Sα(k) ,
(7.5.23) dNS
k=1
где
Sα(k) = I ⊗(k−1) ⊗ Sα ⊗ I ⊗(n−k) .
(7.5.24) dNS1
Отметим еще раз, что правила (7.5.20), (7.5.21) являются ни чем иным как квантовомеханическим правилом суммирования спинов, которое определяет представление T для образующих Sα (компонент оператора вектора спина) алгебры Ли su(2) в
пространстве прямых произведений двух неприводимых представлений T (j1 ) и T (j2 )
алгебры su(2). В этом случае мы имеем (4.3.13), (4.7.50):
(
)
(
)
T (Sα ) (v ⊗ u) = T (j1 ) (Sα ) v ⊗ u + v ⊗ T (j2 ) (Sα ) u ,
(7.5.25) comuvtt
где v и u — вектора из пространств представлений T (j1 ) и T (j2 ) , соответственно.
Применим это правило и правило, вытекающее из (7.5.22), к состояниям (7.5.18) и
(7.5.19). Тогда собственные значения m оператора T (Sz ) на состояниях (7.5.18) равны
1, 0, 0, −1, а на состояниях (7.5.19) равны 3/2, −1/2, 1/2, . . ., соответственно.
Если мы рассмотрим всевозможные тензорные произведения n базисных векторов
(7.5.17), то мы получим базис пространства V ⊗n , в котором реализуется представление su(2) размерности 2n . Соответствующее представление T = ∆n−1 алгебры su(2),
заданное с помощью (4.7.53) и (7.5.23), оказывается приводимым и пространство V ⊗n
разбивается на инвариантные подпространства неприводимых представлений. Для
выделения неприводимых компонент из V ⊗n воспользуемся стандартной процедурой
построения представлений со старшим весом. Введем повышающие и понижающие
операторы S± (аналоги образующих e± ∈ sℓ(2, C), которые заданы в (7.1.2)):
S+ = Sx + iSy , S− = Sx − iSy ,
[S+ , S− ] = 2 Sz , [Sz , S± ] = ±S± .
Здесь Sz – аналог образующей h из (7.1.2). В определяющем представлении имеем
(
)
(
)
0
1
0
0
S+ = 0 0 , S − = 1 0 ,
S+ | ↑⟩ = 0 , S+ | ↓⟩ = | ↑⟩ ,
S− | ↑⟩ = | ↓⟩ , S− | ↓⟩ = 0 .
(7.5.26) spsm
Итак, в этом представлении операторы S+ и S− либо ”переворачивают” спины, либо VRN
уничтожают соответствующие вектора.
Вначале рассмотрим процедуру выделения неприводимых представлений на примере 4-мерного пространства V ⊗2 с базисными векторами (7.5.18). Для удобства эти
вектора мы запишем в виде ”башни” в соответствии с их собственными значениями
m оператора Sz :
| ↑↑ ⟩
m=1
| ↑↓ ⟩ , | ↓↑ ⟩ m = 0
(7.5.27) 4dimir
| ↓↓ ⟩
m = −1
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
306
В дальнейшем собственные значения m оператора Sz будут называться проекцией
спина на ось z. В качестве вектора со старшим весом, согласно определению (7.1.5),
мы можем выбрать состояние | ↑↑ ⟩ с максимальной проекцией m = 1, так как
это состояние уничтожается повышающим оператором, который в соответствии с
(7.5.20) равен ∆(S+ ) = S+ ⊗ I + I ⊗ S+ . Затем, для того чтобы породить из старшего
вектора | ↑↑ ⟩ все пространство неприводимого представления, мы воспользуемся
стандартной процедурой и подействуем на | ↑↑ ⟩ понижающим оператором ∆(S− ) с
учетом (7.5.20) и (7.5.26). В результате получаем
(∆S− ) · | ↑↑ ⟩ = | ↓↑ ⟩ + | ↑↓ ⟩, (∆S− )2 · | ↑↑ ⟩ = 2| ↓↓ ⟩, (∆S− )3 · | ↑↑ ⟩ = 0 .
Таким образом, мы построили три симметричных вектора
| ↑↑ ⟩
(∆S− ) · | ↑↑ ⟩ = | ↓↑ ⟩ + | ↑↓ ⟩
(∆S− )2 · | ↑↑ ⟩ = 2| ↓↓ ⟩
m = 1,
m=0,
m = −1
(7.5.28) 3dimirr
которые определяют базис в инвариантном 3-х мерном подпространстве, вложенном
в 4-х мерное пространство V ⊗2 . Данное 3-х мерное инвариантное пространство соответствует неприводимому представлению su(2) со спином j = 1, что следует из
вычисления собственного значения j(j + 1) для оператора Казимира:
J2 =
1
(S+ S− + S− S+ ) + Sz2 = S− S+ + (1 + Sz )Sz ,
2
(7.5.29) cassp1
на векторах (7.5.28). Напомним, что оператор Казимира (7.5.29) имеет одно и тоже собственное значение j(j + 1) на всех векторах неприводимого представления со
спином j, поэтому достаточно вычислить это собственное значение на любом из данных векторов. Наиболее легко это собственное значение вычисляется для вектора со
старшим (или младшим) весом, и мы имеем
∆(J 2 )| ↑↑ ⟩ = (1 + ∆(Sz )) ∆(Sz )| ↑↑ ⟩ = 2| ↑↑ ⟩ ,
то есть j(j + 1) = 2, что соответствует значению j = 1. Пользуясь обозначениями
|j, m⟩, вектора (7.5.28) после их нормировки можно записать следующим образом:
|1 , 1⟩ = | ↑↑ ⟩ ,
1
|1 , 0⟩ = √ (| ↓↑ ⟩ + | ↑↓ ⟩) ,
2
|1 , −1⟩ = | ↓↓ ⟩ ,
что соответствует разложению Клебша-Гордана (7.5.13) для j1 = j2 = 1/2 и j = 1.
Итак, мы выделили из пространства (7.5.27) трехмерное инвариантное подпространство V3 ⊂ V ⊗2 с базисом (7.5.28). Так как V ⊗2 — четырехмерно, то остается
1-мерное подпространство V1 в V ⊗2 , не входящее в пространство V3 . Очевидно, что
вектор, образующий подпространство V1 , имеет проекцию m = 0 и его можно выделить из V ⊗2 , налагая условие старшего веса, но уже на произвольное состояние с
проекцией m = 0:
∆S+ · (a1 | ↓↑ ⟩ + a2 | ↑↓ ⟩) = 0 .
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
307
Как нетрудно увидеть это условие дает a1 = −a2 . Таким образом, мы находим последний вектор в V ⊗2 (в дополнение к трем векторам (7.5.28)):
1
|0 , 0⟩ = √ (| ↓↑ ⟩ − | ↑↓ ⟩) ,
2
(7.5.30) 1dimirr
который антисимметричен и соответствует одномерному неприводимому представлению со спином j = 0. То, что этот вектор действительно образует тривиальное
одномерное инвариантное подпространство следует из того факта, что ∆S− и ∆Sz
также равны нулю на этом векторе.
Отметим еще раз, что состояния (7.5.28) — симметричные комбинации произведений двумерных векторов (7.5.18), а вектор (7.5.30) – антисимметричен.
Применим ту же процедуру выделения неприводимых представлений в случае
тензорного произведения двух представлений T (j1 ) и T (j2 ) с произвольными j1 и j2 .
Базис в пространстве V2j1 +1 ⊗ V2j2 +1 представления T (j1 ) ⊗ T (j2 ) состоит из векторов
|j1 , m1 ⟩ ⊗ |j2 , m2 ⟩, где mi = −ji , −ji + 1, . . . , ji − 1, ji . Действие операторов Sα на эти
вектора определяется формулой (7.5.25). Вектор |v0 ⟩ = |j1 , j1 ⟩ ⊗ |j2 , j2 ⟩ удовлетворяет
всем требованиям для вектора со старшим весом представления T (j1 +j2 ) :
T (Sz )|v0 ⟩ = (j1 + j2 )|v0 ⟩ , T (S+ )|v0 ⟩ = 0 ,
и следовательно мы имеем
|j1 + j2 , j1 + j2 ⟩ = |j1 , j1 ⟩ ⊗ |j2 , j2 ⟩ .
(7.5.31) tj12a
Подействуем на обе части этого соотношения понижающим оператором T (S− ) и воспользуемся формулами (7.5.25) и (7.1.19), (7.2.24). В результате получаем вектор
√
√
j1
j2
|j1 +j2 , j1 +j2 −1⟩ := √
|j1 , j1 −1⟩⊗|j2 , j2 ⟩+ √
|j1 , j1 ⟩⊗|j2 , j2 −1⟩ , (7.5.32) tj12b
j1 + j2
j1 + j2
где множитель (j1 + j2 )−1/2 введен для нормировки. Этот вектор является линей- VRN
ной комбинацией двух собственных векторов оператора T (Sz ), имеющих собственное значение m = (j1 + j2 − 1). Подействуем теперь на состояние (7.5.32) понижающим оператором T (S− ), в результате мы получим вектор с собственным значением
m = (j1 + j2 − 2) и так далее. Продолжая действовать на получающиеся состояния
понижающими операторами T (S− ), мы породим все базисные вектора пространства
V2(j1 +j2 )+1 неприводимого представления T (j1 +j2 ) .
В пространстве V2j1 +1 ⊗V2j2 +1 имеется еще один, ортогональный к (7.5.32), вектор
|v1 ⟩, имеющий то же собственное значение (j1 +j2 −1) оператора T (Sz ). Будем искать
этот вектор в виде
|v1 ⟩ = α1 |j1 , j1 ⟩ ⊗ |j2 , j2 − 1⟩ + α2 |j1 , j1 − 1⟩ ⊗ |j2 , j2 ⟩ .
(7.5.33) tj12d
Этот вектор, ортогональный к (7.5.32), должен уничтожаться повышающим оператором T (S+ ).
• Задача 226. Доказать, что из соотношения ⟨j1 + j2 , j1 + j2 − 1|v1 ⟩ = 0 следует
тождество T (S+ ) |v1 ⟩ = 0.
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
308
Таким образом, вектор |v1 ⟩ удовлетворяет требованиям:
T (Sz )|v1 ⟩ = (j1 + j2 − 1)|v1 ⟩ ,
T (S+ )|v1 ⟩ = 0 ,
и следовательно является старшим вектором |v1 ⟩ = |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩ представления T (j1 +j2 −1) . Уравнение T (S+ )|v1 ⟩ = 0, условие нормировки ⟨v1 |v1 ⟩ = 1 и требование
вещественности коэффициентов определяет вектор (7.5.33) однозначно (с точностью ISA
небольшое
уточнение
до общего знака, который выбирается по соглашению):
√
√
j1
j2
|v1 ⟩ = |j1 +j2 −1, j1 +j2 −1⟩ = √
|j1 , j1 ⟩⊗|j2 , j2 −1⟩− √
|j1 , j1 −1⟩⊗|j2 , j2 ⟩ .
j1 + j2
j1 + j2
(7.5.34) tj12f
Действуя далее на вектор (7.5.34) понижающими операторами T (S− ), мы породим
все базисные вектора пространства V2(j1 +j2 )−1 представления T (j1 +j2 −1) .
Теперь рассмотрим подпространство в V2j1 +1 ⊗ V2j2 +1 , образованное всеми векторами |j1 , m1 ⟩ ⊗ |j2 , m2 ⟩ с собственным значением m = m1 + m2 = j1 + j2 − 2 оператора
T (Sz ). В этом подпространстве мы можем выделить, решая уравнение T (S+ )|v3 ⟩ = 0,
единственный старший вектор |v3 ⟩ с весом (j1 + j2 − 2). После этого, действуя на |v3 ⟩
понижающими операторами T (S− ), мы получаем инвариантное подпространство в
V2j1 +1 ⊗ V2j2 +1 , соответствующее неприводимому представлению T (j1 +j2 −2) , и так далее. Продолжая данную процедуру мы в конце-концов воспроизведем разложение
прямого произведения представлений T (j1 ) ⊗ T (j2 ) в прямую сумму представлений
T (j) , которое было получено в (7.5.13). Отметим, что при этом формулы (7.5.32) и
(7.5.34) обобщаются следующим образом
∑
|j3 , m⟩ =
|j1 m1 ⟩ ⊗ |j2 m2 ⟩ ⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m⟩ ,
(7.5.35) kgk4z
m1 ,m2
где j3 – любой спин из интервала |j1 − j2 | ≤ j3 ≤ j1 + j2 , а |j3 , m⟩, |j1 m1 ⟩ и |j2 m2 ⟩ —
базисные ортонормированные вектора (смотри (7.1.22)) в пространствах представлений T (j3 ) , T (j1 ) и T (j2 ) , соответственно. В формуле (7.5.35) мы ввели обозначение
⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m⟩ := (⟨j1 m1 | ⊗ ⟨j2 , m2 |) |j3 m⟩ .
(7.5.36) kgk6z
для коэффициентов Клебша-Гордана. В частности константы в правых частях формул (7.5.32) и (7.5.34) дают явные выражения для соответствующих коэффициентов
Клебша-Гордана.
Пример. В заключение этого раздела в качестве примера приведем вычисление ко- ISA
Пример
эффициентов Клебша-Гордана, возникающих при разложении тензорного произведения представлений T (j1 ) ⊗ T (1/2) на неприводимые представления. Согласно Утвер1
1
ждению 7.5.2 мы имеем T (j1 ) ⊗T (1/2) = T (j1 + 2 ) ⊕T (j1 − 2 ) . В качестве старшего вектора
представления T (j1 +1/2) выбираем вектор
|j1 + 1/2 , j1 + 1/2⟩ = |j1 , j1 ⟩ ⊗ |1/2, 1/2⟩ .
(7.5.37) exa-01
Действуя на обе части (7.5.37) оператором
(
)k
T (S−k ) = T (j1 ) (S− ) ⊗ I + I ⊗ T (1/2) (S− ) ,
(7.5.38) exa-05
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
309
получаем
S−k |j1 + 12 , j1 + 12 ⟩ = S−k |j1 , j1 ⟩ ⊗ | 12 , 12 ⟩ + k S−k−1 |j1 , j1 ⟩ ⊗ S− | 12 , 12 ⟩ ,
(7.5.39) exa-02
где мы использовали краткую форму записи: T (j1 ) (S−k ) |j1 , j1 ⟩ ≡ S−k |j1 , j1 ⟩, и так далее.
Теперь, пользуясь (7.2.25), соотношение (7.5.39) переписывается в виде
|j1 + 12 , j1 + 21 − k⟩ =
√
√
1 1
k
= (2j(2j1 +1−k)
|j
,
j
−
k⟩
⊗
|
,
⟩
+
|j1 , j1 − k + 1⟩ ⊗ | 12 , − 12 ⟩ .
1
1
2 2
(2j1 +1)
1 +1)
(7.5.40) exa-03
Старший вектор |v1 ⟩ = |j1 − 12 , j1 − 12 ⟩ представления T (j1 − 2 ) ищем в виде комбинации
(сравните с (7.5.33)):
1
|j1 − 12 , j1 − 21 ⟩ = α1 |j1 , j1 ⟩ ⊗ | 12 , − 21 ⟩ + α2 |j1 , j1 − 1⟩ ⊗ | 12 , 12 ⟩ ,
(7.5.41) exa-04
где коэффициенты α1 , α2 определяются так же как и для вектора (7.5.33) и приведены в (7.5.34) (необходимо положить j2 = 1/2):
√
√
2j1
1
α1 =
, α2 = −
.
(2j1 + 1)
(2j1 + 1)
Снова действуем на обе части уравнения (7.5.41) оператором (7.5.38). В результате с
учетом (7.2.25) получаем для левой и правой частей, соответственно,
√
k!(2j1 −1)!
S−k |j1 − 12 , j1 − 12 ⟩ = (2j
|j1 − 21 , j1 − 12 − k⟩ ,
1 −1−k)!
α2 S−k |j1 , j1 − 1⟩ ⊗ | 12 , 12 ⟩ + α2 k S−k−1 |j1 , j1 − 1⟩ ⊗ S− | 12 , 21 ⟩ + α1 S−k |j1 , j1 ⟩ ⊗ | 12 , − 21 ⟩ =
√
√
(k+1)!(2j1 −1)!
1 1
1 −1)!
= α2
|j1 , j1 − 1 − k⟩ ⊗ | 2 , 2 ⟩ + α2 k k!(2j
|j1 , j1 − k⟩ ⊗ | 12 , − 12 ⟩+
(2j1 −1−k)!
(2j1 −k)!
√
k!(2j1 )!
+α1 (2j
|j1 , j1 − k⟩ ⊗ | 12 , − 12 ⟩ =
1 −k)!
√
√
(2j1 −k)k!(2j1 −1)!
1 1
1 −1)!
= − (2j(k+1)!(2j
|j
,
j
−
1
−
k⟩
⊗
|
,
⟩
+
|j , j − k⟩ ⊗ | 12 , − 12 ⟩ ,
1 1
2 2
(2j1 +1)(2j1 −k−1)! 1 1
1 +1)(2j1 −1−k)!
и окончательно
|j1 − 12 , j1 − 12 − k⟩ =
√
√
(k+1)
(2j1 −k)
1 1
= − (2j
|j
,
j
−
1
−
k⟩
⊗
|
,
⟩
+
|j , j − k⟩ ⊗ | 12 , − 21 ⟩ .
1 1
2 2
(2j1 +1) 1 1
1 +1)
(7.5.42) exa-06
Сворачивая соотношения (7.5.40) и (7.5.42) с вектором ⟨j1 , m1 | ⊗ ⟨ 21 , m2 | и учетывая (7.5.36), мы получаем следующую знаменитую таблицу коэффициентов КлебшаГордана ⟨j1 , m1 ; 21 , m2 |j, m⟩, которая приведена во многих учебниках по квантовой
механике:
m2 = 1/2
m2 = −1/2
(
)1/2 (
)1/2
j1 +m+1/2
j1 −m+1/2
j = j1 + 12
2j1 +1
2j1 +1
(
)1/2 (
)1/2
j1 +m+1/2
j = j1 − 12 − j1 −m+1/2
2j1 +1
2j1 +1
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
7.5.3
310
Спиновая цепочка Гейзенберга
BSF
Пусть V снова обозначает двумерное пространство определяющего представления
алгебры su(2). Задача о выделении неприводимых инвариантных подпространств из
прямого произведения пространств определяющего представления V ⊗n интересна с
точки зрения изучения некоторых квантовых физических систем. Например, пространство V ⊗n можно рассматривать как пространство квантовых состояний модели
спиновой цепочки Гейзенберга, состоящей из n узлов и описываемой оператором (гамильтонианом)
)
n−1 (
n−1
∑
∑
1 (k) (k+1) 1 (k) (k+1)
(k+1)
(k+1)
(k)
(k)
=
, (7.5.43) spinH
Hn =
S+ · S−
+ S− · S+
+ Sz · Sz
Sα · Sα
2
2
k=1
k=1
который действует в пространстве V ⊗n и интерпретируется как оператор энергии
системы. Гамильтониан Hn коммутирует с компонентами оператора вектора полного
спина (7.5.23), что приводит к вырождению спектра энергии.
• Задача 227. Проверить, что гамильтониан (7.5.43) коммутирует с оператораVRN
ми (7.5.23), то есть
n−1
[Hn , ∆ (Sα )] = 0 .
(7.5.44) spinH1
(k)
(k+1)
в
Указание. Воспользоваться тем, что каждое слагаемое Sα · Sα
(7.5.43) является поляризованным оператором Казимира (4.7.54) для
алгебры Ли su(2), и применить формулу (4.7.55).
Таким образом, инвариантные подпространства в V ⊗n , соответствующие неприводимым представлениям алгебры su(2), могут быть выбраны так, что они будут состоять
из векторов (состояний квантовой спиновой цепочки), имеющих одно и то же собственное значение оператора энергии (7.5.43).
Общая процедура выделения инвариантных подпространств из V ⊗n , соответствующих неприводимым представлениям su(2), основана на методе построения представлений со старшим весом (см. предыдущий раздел 7.5.2) и может быть описана
следующим образом. Рассмотрим башню, составленную из базисных векторов в V ⊗n
(1)
| ↑↑ . . . ↑⟩
| {z }
(n)
| ↓↑ . . . ↑⟩ , | ↑↓↑ . . . ↑⟩ . . . , | ↑↑ . . . ↑↓⟩
| {z }
| {z }
| {z }
m = n/2
n
n
)
( n(n−1)
2
n
n
| ↓↓↑ . . . ↑⟩ , | ↓↑↓↑ . . . ↑⟩ . . . , | ↑↑ . . . ↑↓↓⟩
| {z }
| {z }
| {z }
n
n
m = n/2 − 1
m = n/2 − 2
(7.5.45) vtn
n
...
............................................
.......
(n)
| ↑↓ . . . ↓⟩ , | ↓↑↓ . . . ↓⟩ . . . , | ↓↓ . . . ↓↑⟩
| {z }
| {z }
| {z }
m = −n/2 + 1
(1)
| ↓↓ . . . ↓⟩
| {z }
n
n
n
m = −n/2
n
Здесь слева указаны размерности соответствующих подпространств, а именно, подпространство с m = n/2 − k имеет размерность Cnk . Возьмем состояние | ↑↑ . . . ↑⟩, то
| {z }
n
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
311
есть вектор с максимальной проекцией m = n/2, для которого все спины направлены вверх. Это вектор со старшим весом. Действительно, Sz | ↑ . . . ↑⟩ = n2 | ↑ . . . ↑⟩ и
| {z }
| {z }
n
n
оператор
∆n−1 (S+ ) = S+ ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ 1 + 1 ⊗ S+ ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ 1 + . . . + 1 ⊗ · · · 1 ⊗ S+ ≡
|
{z
} |
{z
}
{z
}
|
n
n
n
≡ S+1 + S+2 + . . . + S+n .
(7.5.46) dnsp
(в последней строке мы использовали краткие обозначения (7.5.24)) равен нулю на
этом векторе. Кроме того, этот вектор является собственным для гамильтониана
(7.5.43) с собственным значением энергии E = (n − 1)/4.
Подействуем на | ↑ . . . ↑⟩ понижающим оператором
| {z }
n
∆n−1 (S− ) = S− ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ 1 + 1 ⊗ S− ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ 1 + . . . + 1 ⊗ · · · 1 ⊗ S− ≡
|
{z
} |
{z
}
|
{z
}
n
n
n
≡ S−1 + S−2 + . . . + S−n ,
(7.5.47) dnsm
в результате чего получаем вектор с проекцией m = n/2−1, который представляется
в виде симметричной линейной комбинации всех векторов, каждый из которых имеет
ISA нортолько один из спинов, направленный вниз,
мировка
1
|n/2, n/2 − 1⟩ = √ (| ↓↑ . . . ↑ ⟩ + | ↑↓↑ . . . ↑ ⟩ + . . . + | ↑ . . . ↑↓ ⟩) .
n
(7.5.48) 0up
Здесь в левой части мы использовали стандартное обозначение |j, m⟩ для базисных
векторов пространства представления T (j) и нормировочный множитель выбран так, VRN
чтобы вектор |n/2, n/2 − 1⟩ имел единичную длину. Далее к полученному вектору
применяем снова ∆n−1 (S− ) и так далее. После действия (∆n−1 (S− ))k мы получаем
симметричный вектор с проекцией m = n/2 − k, то есть k спинов направлены вниз.
Процедура остановится на шаге k = n, когда действие ∆n−1 (S− ) на полученное последнее состояние даст нуль, так как все спины в этом состоянии будут направлены
вниз. Построенное таким образом пространство Vn+1 неприводимого представления
T (n/2) имеет размерность (n+1) и все вектора этого пространства — собственные вектора гамильтониана (7.5.43) с одним и тем же собственным значением E = (n − 1)/4.
Отметим, что в пространство Vn+1 входит по одному вектору из подпространств с ISA
уточнение
определенным m, натянутых на вектора из каждой строчки в (7.5.45).
Затем мы берем произвольную комбинацию векторов в V ⊗n с проекцией спина на
ось z, равной m = n/2 − 1 (вторая строчка в (7.5.45)):
|n/2 − 1, n/2 − 1⟩ = a1 | ↓↑ . . . ↑ ⟩ + a2 | ↑↓↑ . . . ↑ ⟩ + . . . + an | ↑ . . . ↑↓ ⟩
(7.5.49) 1up
и налагаем на получившееся состояние условие старшего вектора
∆n−1 (S+ ) |n/2 − 1, n/2 − 1⟩ = 0 .
(7.5.50) 2up
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
312
Условие (7.5.50), с учетом (7.5.26), дает
(7.5.51) 3up
a1 + a2 + . . . + an = 0 ,
что эквивалентно ортогональности вектора (7.5.49) и вектора (7.5.48). Требование того, чтобы состояния (7.5.49) были собственными векторами гамильтониана (7.5.43)
приводит к дополнительным уравнениям на параметры ai . Явные решения дополнительных уравнений определяют (n−1) собственное состояние типа |j, m⟩ = | n2 −1, n2 −
1⟩, каждое из которых называется одно-магнонным состоянием спиновой цепочки и
может использоваться в качестве старшего вектора для стандартного построения инвариантных подпространств представлений T (n/2−1) . Мы не будем здесь выписывать
эти одно-магнонные состояния и их собственные значения, так как данный материал
уже выходит за рамки нашей книги, и отсылаем читателя к специальной литературе
(смотри, например, монографию [47]).
Тем не менее, для пояснения дальнейшей процедуры выделения инвариантных
подпространств в V ⊗n , соответствующих неприводимым представлениям T (n/2−1) ,
мы выберем любые (n − 1) независимых старших векторов среди состояний (7.5.49), VRN
(7.5.51), при этом не требуя, чтобы они были собственными для гамильтониана (7.5.43).
В частности мы можем выбрать a1 = −a2 ai = 0 (∀i > 2), или a2 = −a3 a1 , ai = 0
(∀i > 2), и т.д.. В результате мы получаем (n − 1) различных независимых векторов
со старшим весом m = n/2 − 1 и спином j = n/2 − 1. Из этих старших векторов, в результате действия понижающими операторами (7.5.47), порождаются эквивалентные
(n − 1)-мерные неприводимые представления T (n/2−1) . Действительно, как мы отмечали выше в разделе 7.5.2, антисимметричную комбинацию двух спинов (↓↑ − ↑↓)
можно рассматривать как скаляр (синглетное состояние), поэтому например вектор
(7.5.49) с ak = −ak+1 и ai = 0 (∀i ̸= k, k + 1), который можно записать в виде
)
1 (
1
√ S−k − S−k+1 | ↑ .... ↑⟩ = √ ( | ↑ .... ↑ ↓↑ ↑ ....⟩ − | ↑ .... ↑ ↑↓ ↑ ....⟩ ) ,
| {z }
| {z }
2
2 | {z }
n
k−1
(7.5.52) norm33
k−1
естественно рассматривать как старший вектор | ↑ .... ↑⟩. Далее, мы действуем на век| {z }
n−2
k
тор (7.5.52) понижающими операторами (∆ (S− )) , где k = 1, . . . , n − 2, и в результате, пользуясь (7.5.47) и (7.5.26), порождаем инвариантное (n − 1)-мерное пространство со спином j = n/2−1 как это было описано выше. После чего мы снова выделяем
в пространстве V ⊗n вектора со старшим весом, но уже с проекцией m = n/2 − 2 (третья строчка в (7.5.45)), которые будут ортогональны векторам, полученным ранее
с помощью действия понижающих операторов на (7.5.48) и (7.5.49), (7.5.51). Число новых старших векторов будет равно (n − 1)n/2 − n = (n − 3)n/2. Собственные
состояния гамильтониана (7.5.43) в этом секторе называются двух-магнонными со- VRN
стояниями. Действуя на новые старшие вектора понижающими операторами, мы
порождаем (n − 3)-мерные инвариантные подпространства со спином j = (n/2 − 2),
и так далее.
Таким образом, в пространстве V ⊗n мы получаем инвариантные (2j + 1)-мерные
подпространства V2j+1 представлений T (j) со спинами j = n/2, n/2 − 1, . . . , 0 или
j = n/2, n/2 − 1, . . . , 1/2, в зависимости от того является ли n четным или нечетным
n−1
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
313
числом. Общая формула разложения V ⊗n по инвариантным подпространствам V2j+1
с учетом кратностей имеет вид
V ⊗n = Vn+1 + (n − 1)Vn−1 + n(n−3)
Vn−3 + . . . = Vn+1 +
2
[n/2]
∑
(Cnk − Cnk−1 )Vn−2k+1 ,
k=1
(7.5.53) vnsv
где [n/2] — целая часть числа n/2, и соответствует разложению (аналог формулы
(7.5.1))
[n/2]
∑
(1/2) ⊗n
(n/2)
(7.5.54) vnsv1
(T
) =T
+
(Cnk − Cnk−1 )T (n/2−k) .
k=1
Соотношения (7.5.53) и (7.5.54) позволяют прояснить вопрос о кратностях вырождения собственных значений гамильтониана спиновой цепочки (7.5.43).
• Задача 228. Проверить формулу (7.5.53) подставив в нее размерности соответствующих пространств: dim(V ⊗n ) = 2n и dim(Vn ) = n.
ESF
7.5.4
Метод вычисления коэффициентов Клебша-Гордана.
В этом разделе мы рассмотрим метод получения явных выражений для коэффициентов матрицы C (коэффициентов Клебша-Гордана), фигурирующих в формулах
(7.5.2) и (7.5.4). Данный метод рассматривался Б.Л. Ван-дер-Варденом в [19], смотри
также [8].
Пусть мы имеем два представления T (j1 ) и T (j2 ) группы SL(2, C) (или SU (2)) в
пространствах с базисными векторами Tmj1 и Tmj2 (7.2.19), которые являются мономами степени (2j1 ) и (2j2 ) от переменных uα = (s1 , t1 ) и v α = (s2 , t2 ), соответственно.
Начнем с замечания, что для j1 = j2 = j в прямом произведении T (j) ⊗ T (j) двух
таких представлений содержится одномерное тривиальное представление SL(2, C),
которое реализуется на инвариантном векторе (s1 t2 − s2 t1 )2j . Действительно, функция εαβ uα v β = (s1 t2 −s2 t1 ) инвариантна относительно одновременных преобразований
(7.2.2) векторов (s1 , t1 ) и (s2 , t2 ) с одним и тем же элементом g ∈ SL(2, C). Поэтому
любая степень этой функции: (s1 t2 − s2 t1 )2j также будет инвариантом. Разложение
функции (s1 t2 −s2 t1 )2j в ряд по переменным si и ti дает инвариантную свертку (7.4.27)
для базисных векторов Tmj (s1 , t1 ) и Tmj (s2 , t2 ). Свертка (7.4.27) была записана с помощью инвариантной метрики (7.4.28), которую удобно для дальнейшего представить
в виде:
(j)
ηm,−m′ = (−1)j−m δm,m′ ,
(7.5.55) sstt25
и которая будет играть существенную роль в разделе 7.6.
Вернемся к общему случаю представлений T (j1 ) и T (j2 ) . Рассмотрим еще одно ко- VRJ
(j3 )
группы SL(2, C), реализованное на переменных (s̄3 , t̄3 ), с базисом
представление T
(j3 )
можно
(7.2.22). Тогда в прямом произведении трех представлений T (j1 ) ⊗ T (j2 ) ⊗ T
выделить тривиальное одномерное представление, базисный вектор которого задается инвариантной однородной функцией I, зависящей от 6 переменных {s1 , t1 , s2 , t2 , s̄3 , t̄3 }:
I = (s1 t2 − s2 t1 )n3 (s1 s̄3 + t1 t̄3 )n2 (s2 s̄3 + t2 t̄3 )n1 ,
(7.5.56) confinv
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
314
где n1 , n2 , n3 – целые неотрицательные числа и
n3 = j1 + j2 − j3 ,
n1 = j3 + j2 − j1 ,
n2 = j3 + j1 − j2 .
(7.5.57) confjjj
Действительно, степень однородности по каждой паре переменных (s1 , t1 ), (s2 , t2 )
и (s̄3 , t̄3 ) всех слагаемых полинома, возникающего при разложении (7.5.56), равна
n3 + n2 = 2j1 , n3 + n1 = 2j2 и n1 + n2 = 2j3 , соответственно, а значит вектор (7.5.56)
(j3 )
принадлежит пространству представления T (j1 ) ⊗T (j2 ) ⊗T . Кроме того этот вектор
инвариантен, что следует из инвариантности функций (7.2.26) и (7.4.27), и следовательно он образует пространство одномерного представления SL(2, C).
• Задача 229. Используя дифференциальные реализации (7.2.5) и (7.2.12) для
образующих алгебры Ли sℓ(2, C), проверить условие инвариантности для
I, которое записывается в виде
(1)
(2)
(3)
(ê± + ê± + ē± )I = 0 , (ĥ(1) + ĥ(2) + h̄(3) )I = 0 .
(7.5.58) cfteq
Поскольку инвариант I (7.5.56) является однородным полиномом по s̄3 , t̄3 степени
2j3 , он может быть представлен в виде свертки:
I=
j3
∑
j3
(−1)j3 −m Wmj3 (s1 , t1 ; s2 , t2 ) · T −m (s̄3 , t̄3 ) .
(7.5.59) invdop
m=−j3
Из сравнения этой инвариантной свертки с инвариантом (7.2.26) с необходимостью
следует, что функции Wmj3 , принадлежащие пространству представления T (j1 ) ⊗ T (j2 ) ,
преобразуются так же, как вектора Tmj3 (s3 , t3 ). Таким образом, функции Wmj3 могут
рассматриваться в качестве базисных векторов пространства неприводимого представления, эквивалентного T (j3 ) и вложенного в T (j1 ) ⊗ T (j2 ) .
(j )
(j )
Найдем разложение Wmj3 (s1 , t1 ; s2 , t2 ) по мономам Tm11 (s1 , t1 )·Tm22 (s2 , t2 ), образующим базис в пространстве представления T (j1 ) ⊗T (j2 ) . Чтобы это сделать, рассмотрим
разложение инварианта (7.5.56) в ряд по всем переменным (s1 , t1 , s2 , t2 , s̄3 , t̄3 ), которое
получается с помощью формулы бинома Ньютона:
∑
I=
(−1)k Cnk3 Cnk11 Cnk22 (s1 t2 )n3 −k (s2 t1 )k (s1 s̄3 )n2 −k2 (t1 t̄3 )k2 (s2 s̄3 )n1 −k1 (t2 t̄3 )k1 =
k,k1 ,k2
=
∑
2
(−1)k Cnk3 Cnk11 Cnk22 (sn1 3 +n2 −k−k2 tk+k
) (s2n1 −k1 +k tn2 3 −k+k1 ) (s̄3n1 +n2 −k1 −k2 t̄3k1 +k2 ) ,
1
k,k1 ,k2
(7.5.60) confinv2
где Cnk – биномиальные коэффициенты, и суммирование идет по 0 ≤ k ≤ n3 , 0 ≤ k1 ≤
n1 , 0 ≤ k2 ≤ n2 . На самом деле мы можем считать, что суммирование по k, k1 , k2 не
ограничено, так как согласно (7.4.22) биномиальные коэффициенты равны нулю вне
пределов суммирования. Для выделения в (7.5.60) базисных векторов пространств
(j3 )
(смотри (7.2.19) и (7.2.22)) мы зафиксируем n1 , n2 и
представлений T (j1 ) , T (j2 ) и T
n3 согласно (7.5.57) и сделаем замену переменных суммирования (k1,2 → m1,2 ):
k + k2 = j1 − m1
n3 − k + k1 = j2 − m2
⇒
⇒
0 ≤ j1 − m1 ≤ n3 + n2 ⇒ −j1 ≤ m1 ≤ j1 ,
0 ≤ j2 − m2 ≤ n3 + n1 ⇒ −j2 ≤ m2 ≤ j2 .
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
315
При этом мы имеем
k1 + k2 = j3 − (m1 + m2 ) .
Заметим, что после всех этих замен суммирование по k в (7.5.60) остается, но затрагивает только биномиальные коэффициенты. Поэтому разложение (7.5.60) переписывается следующим образом
(
)
∑ ∑
j2 −n3 −m2 +k j1 −m1 −k
k k
I=
(−1) Cn3 C2j2 −n3
C2j1 −n3
(sj11 +m1 tj11 −m1 ) (sj22 +m2 tj22 −m2 ) (s̄3j3 +m t̄3j3 −m ) =
m1 ,m2
k
∑
= D(j1 , j2 , j3 )
j3
⟨⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j3 , m⟩⟩ (−1)j3 −m Tmj11 Tmj22 T −m ,
(7.5.61) ttbart
m1 ,m2
где m = m1 + m2 ,
∑
m1 ,m2
j1
∑
=
j2
∑
и
m1 =−j1 m2 =−j2
D(j1 , j2 , j3 ) = (j2 + j3 − j1 )!(j1 + j3 − j2 )!(j2 + j1 − j3 )! .
В формуле (7.5.61) мы использовали символы ⟨⟨j1 m1 , j2 m2 |j m⟩⟩ для выражений [19]:
√
∑
(j1 +m1 )!(j1 −m1 )!(j2 +m2 )!(j2 −m2 )!(j3 +m)!(j3 −m)!
k
⟨⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m⟩⟩ = (−1) (j1 −m1 −k)!(j1 −n3 +m1 +k)!(j2 +m2 −k)!(j2 −n3 −m2 +k)!k!(n3 −k)! =
k
=
∑
k
√
(j1 +m1 )!(j1 −m1 )!(j2 +m2 )!(j2 −m2 )!(j3 +m)!(j3 −m)!
(−1)k (j1 −m1 −k)!(j3 −j2 +m1 +k)!(j2 +m2 −k)!(j3 −j1 −m2 +k)!k!(j1 +j2 −j3 −k)! ,
(7.5.62) kgk
которые, как становится ясно, c точностью до нормировки совпадают с коэффици- VRJ
ентами Клебша-Гордана, введенными в (7.5.4). Мы вновь можем опустить пределы
суммирования по k в (7.5.62), так как в силу соглашения (7.4.22) дробь в правой
части (7.5.62) обращается в нуль, если хотя бы один из шести факториалов в знаменателе, скажем, k! или (j1 − m1 − k)! становится бесконечным. Сравнивая инвариант
(7.5.61) с инвариантной сверткой (7.5.59), мы получаем
∑
Wmj3 (s1 , t1 , s2 , t2 ) = D(j1 , j2 , j3 )
Tmj11 Tmj22 ⟨⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j3 , m⟩⟩ .
(7.5.63) kgk4ww
m1 ,m2
m1 +m2 =m
Отметим, что вектор Wmj3 не нормирован относительно скалярного произведения
(7.2.21). Поэтому вместо вектора Wmj3 мы определим нормированный вектор
∑
µ
Tmj11 Tmj22 ⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j3 , m⟩ ,
(7.5.64) kgk4w
Tmj3 (s1 , t1 , s2 , t2 ) = Wmj3 =
D
m ,m
1
2
где µ(j1 , j2 , j3 ) — нормировочный множитель, который будет зафиксирован ниже
(смотри Утверждение 7.5.3), и мы ввели обозначение для коэффициентов КлебшаГордана
⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m⟩ = µ(j1 , j2 , j3 ) ⟨⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m⟩⟩ δm,m1 +m2 .
(7.5.65) kgk46
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
316
То, что это действительно коэффициенты Клебша-Гордана, следует из сравнения
формул (7.5.64) и (7.5.4). С учетом (7.5.64) инвариант (7.5.56), (7.5.59) записывается
в виде
j3
D ∑
j3
I=
(−1)j3 −m Tmj3 (s1 , t1 ; s2 , t2 ) · T −m (s̄3 , t̄3 ) =
(7.5.66) invdop1
µ m=−j
3
=
∑
D
j3
(−1)j3 −m3 Tmj11 (s1 , t1 ) Tmj22 (s2 , t2 ) ⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j3 , m3 ⟩ T −m3 (s̄3 , t̄3 ) .
µ m ,m ,m
1
2
3
(7.5.67) invdop2
Утверждение 7.5.3 Нормировочный коэффициент µ(j1 , j2 , j3 ) в формулах (7.5.64)
и (7.5.65) равен
√
µ(j1 , j2 , j3 ) = 2j3 + 1 ∆(j1 , j2 , j3 ) ,
(7.5.68) chi06mu
где комбинация
VRJ
√
∆(j1 , j2 , j3 ) =
(j1 + j2 − j3 )!(j1 + j3 − j2 )!(j2 + j3 − j1 )!
,
(j1 + j2 + j3 + 1)!
(7.5.69) trKo
называется треугольным коэффициентом.
Доказательство. Рассмотрим инвариантный вектор (7.5.56). Его норма согласно VRJ
(7.2.21) равна
(∂s1 ∂t2 − ∂s2 ∂t1 )n3 · (∂s1 ∂s̄3 + ∂t1 ∂t̄3 )n2 · (∂s2 ∂s̄3 + ∂t2 ∂t̄3 )n1 · I .
(7.5.70) nor2
Для получения этой нормы воспользуемся замечательными тождествами
(∂s2 ∂s̄3 + ∂t2 ∂t̄3 ) · (s1 t2 − s2 t1 )p (s1 s̄3 + t1 t̄3 )q (s2 s̄3 + t2 t̄3 )r =
= r(r + p + q + 1)(s1 t2 − s2 t1 )p (s1 s̄3 + t1 t̄3 )q (s2 s̄3 + t2 t̄3 )r−1 ,
(∂s1 ∂t2 − ∂t1 ∂s2 ) · (s1 t2 − s2 t1 )p = p(p + 1) (s1 t2 − s2 t1 )p−1 ,
(7.5.71) nor3
(7.5.72) nor33
которые выводятся прямым вычислением. Тождества, аналогичные (7.5.71), имеют
место и для действия операторов (∂s1 ∂t2 − ∂s2 ∂t1 ) и (∂s1 ∂s̄3 + ∂t1 ∂t̄3 ) на инвариант I.
Применим (7.5.71) и (7.5.72) для вычисления (7.5.70):
=
=
=
=
(∂s1 ∂t2 − ∂s2 ∂t1 )n1 (∂s1 ∂s̄3 + ∂t1 ∂t̄3 )n2 (∂s2 ∂s̄3 + ∂t2 ∂t̄3 )n1 I
n1 !(n1 +n2 +n3 +1)!
(∂s1 ∂t2 − ∂s2 ∂t1 )n3 (∂s1 ∂s̄3 + ∂t1 ∂t̄3 )n2 (s1 t2 − s2 t1 )n3 (s1 s̄3 + t1 t̄3 )n2
(n2 +n3 +1)!
n1 !(n1 +n2 +n3 +1)! n2 !(n2 +n3 +1)!
· (n3 +1)! (∂s1 ∂t2 − ∂s2 ∂t1 )n3 (s1 t2 − s2 t1 )n3
(n2 +n3 +1)!
n1 !(n1 +n2 +n3 +1)! n2 !(n2 +n3 +1)!
· (n3 +1)! · n3 !(n3 + 1)!
(n2 +n3 +1)!
n1 !n2 !n3 !(n1 + n2 + n3 + 1)!
Итак, нормированный инвариантный вектор равен
I
√
,
n1 !n2 !n3 !(n1 + n2 + n3 + 1)!
(7.5.73) nor4
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
317
а его разложение имеет вид
VRJ
∑
1
j3
(−1)j3 −m3 T̄−m
(s̄3 , t̄3 )Tmj33 (s1 , t1 , s2 , t2 ) ,
3
2j3 + 1 m
n1 !n2 !n3 !(n1 + n2 + n3 + 1)!
3
(7.5.74) nor5
j3
где, напомним, Tm3 (s1 , t1 , s2 , t2 ) — нормированные базисные вектора в подпространстве представления T (j3 ) , вложенного в пространство представления T j1 ⊗ T j2 ; коэффициент в правой части (7.5.74) определяется тем, что она должна представлять
собой нормированный вектор. Сравнивая формулы (7.5.74) и (7.5.66), мы и получаем
коэффициент µ(j1 , j2 , j3 ), который дан в (7.5.68).
√
I
=√
Соотношение (7.5.64), используя обозначения Дирака, переписывается в виде (7.5.35):
∑
|j3 , m⟩ =
|j1 m1 ⟩ ⊗ |j2 m2 ⟩ ⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m⟩ ,
(7.5.75) kgk4
m1 ,m2
где напомним, что j3 – любой спин из интервала |j1 −j2 | ≤ j3 ≤ j1 +j2 , а |j3 , m⟩, |j1 m1 ⟩
и |j2 m2 ⟩ — ортонормированные базисные вектора в пространствах представлений
T (j3 ) , T (j1 ) и T (j2 ) , соответственно. Из соотношений (7.5.75) можно вывести следующее
представление для коэффициентов Клебша-Гордана
⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m⟩ := (⟨j1 m1 | ⊗ ⟨j2 , m2 |) |j3 m⟩ .
(7.5.76) kgk6
Отметим, что в силу очевидной симметрии инварианта (7.5.56):
Ij1 ,j2 ,j3 (s1 , t1 ; s2 , t2 ; s̄3 , t̄3 ) = (−1)j1 +j2 −j3 Ij2 ,j1 ,j3 (s2 , t2 ; s1 , t1 ; s̄3 , t̄3 ) ,
коэффициенты Клебша-Гордана (7.5.76) меняются при перестановке векторов ⟨j1 m1 |
и ⟨j2 , m2 | в правой части (7.5.76) следующим образом
⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m⟩ = (−1)j1 +j2 −j3 ⟨j2 m2 , j1 m1 |j3 m⟩ .
(7.5.77) kgk6a
Отметим также, что для базисного вектора |j3 m⟩ в левой части (7.5.75) и в правой части (7.5.76) иногда полезно использовать более информативное обозначение
|j1 j2 ; j3 m⟩, в котором явно указываются спины j1 и j2 изначальных состояний. Базис в пространстве представления T (j1 ) ⊗ T (j2 ) составленный из векторов |j1 j2 ; j3 m⟩
называется базисом связанных состояний или просто связанным базисом.
Подействуем эрмитовым сопряжением на обе части соотношения (7.5.75) для чего
воспользуемся равенствами (7.1.24). В результате получим равенство
∑
⟨j1 , j2 ; j3 , m| =
⟨j3 m|j1 m1 , j2 m2 ⟩ ⟨j1 m1 | ⊗ ⟨j2 m2 | ,
(7.5.78) kgk45
m1 ,m2
где в силу вещественности коэффициентов Клебша-Гордана (7.5.65) мы имеем
⟨j3 m|j1 m1 , j2 m2 ⟩ = ⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m⟩ .
(7.5.79) kgk47
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
318
Если свернуть обе части (7.5.78) с вектором |j1 , j2 ; j4 , m4 ⟩ и воспользоваться представлением (7.5.76), то получается (с заменой m → m3 ) условие ортогональности для
коэффициентов Клебша-Гордана
∑
⟨j3 m3 |j1 m1 , j2 m2 ⟩ ⟨j1 m1 ; j2 m2 | j4 , m4 ⟩ .
(7.5.80) kgk48
δj3 ,j4 δm3 ,m4 =
m1 ,m2
Далее, рассмотрим оператор
j1∑
+j2
|j1 , j2 ; j3 , m⟩⟨j1 , j2 ; j3 , m|, который действует в
j3 =|j1 −j2 |
(j1 )
пространстве V представления T
⊗ T (j2 ) и, согласно Утверждению 7.5.2, проецирует все состояния из V на состояния, имеющие собственное значение оператора h,
равное m. В пространстве V можно определить другой оператор
∑
∑
(|j1 m1 ⟩ ⊗ |j2 m2 ⟩) (⟨j1 m1 | ⊗ ⟨j2 m2 |) =
|j1 m1 ⟩⟨j1 m1 | ⊗ |j2 m2 ⟩⟨j2 m2 | ,
m1 ,m2
m1 ,m2
m1 +m2 =m
m1 +m2 =m
с точно таким же действием, поэтому мы имеем тождество
∑
j1 +j2
|j1 , j2 ; j3 , m⟩⟨j1 , j2 ; j3 , m| =
j3 =|j1 −j2 |
∑
|j1 m′1 ⟩⟨j1 m′1 | ⊗ |j2 m′2 ⟩⟨j2 m′2 | , (7.5.81) kgk49
m′1 ,m′2
m′1 +m′2 =m
которое позволяет обратить разложение Клебша-Гордана (7.5.75). Действительно,
умножим равенство (7.5.81) справа на вектор |j1 m1 ⟩⊗|j2 m2 ⟩. В результате, пользуясь
сопряженным к (7.5.76) представлением
⟨j3 m|j1 m1 , j2 m2 ⟩ := ⟨j3 m|(|j1 m1 ⟩ ⊗ |j2 m2 ⟩) ,
(7.5.82) kgk61
мы получаем обратное к (7.5.75) разложение Клебша-Гордана
∑
j1 +j2
|j1 , j2 ; j3 m⟩ ⟨j3 m|j1 m1 , j2 m2 ⟩ = |j1 m1 ⟩ ⊗ |j2 m2 ⟩ ,
(7.5.83) kgk5
j3 =|j1 −j2 |
где в силу определения (7.5.65) коэффициентов Клебша-Гордана мы имеем m =
m1 +m2 . Теперь если свернуть обе части равенства (7.5.83) с вектором ⟨j1 m′1 |⊗⟨j2 m′2 |,
то в дополнение к (7.5.80) возникает еще одно условие ортогональности для коэффициентов Клебша-Гордана
∑
j1 +j2
⟨j1 m′1 , j2 m′2 |j3 m⟩ ⟨j3 m|j1 m1 , j2 m2 ⟩ = δm1 m′1 δm2 m′2 ,
j3 =|j1 −j2 |
где опять же следует помнить, что m = m1 + m2 = m′1 + m′2 .
Замечание 1. С учетом переопределения (7.5.57) и отождествления t̄3 = −s3 , s̄3 = t3
(7.2.15), запишем инвариант (7.5.56) в симметричном виде
(−1)j2 −j1 −j3 I = (s1 t2 − s2 t1 )j1 +j2 −j3 (s3 t1 − s1 t3 )j3 +j1 −j2 (s2 t3 − s3 t2 )j3 +j2 −j1 . (7.5.84) confinv4
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
319
Тогда после перенормировки (7.5.73) мы имеем
∑ (j j j )
(−1)j2 −j1 −j3 I
1
2
3
√
=
Tmj11 (s1 t1 )Tmj22 (s2 t2 )Tmj33 (s3 t3 ) .
n1 !n2 !n3 !(n1 + n2 + n3 + 1)! m1 ,m2 ,m3 m1 m2 m3
(7.5.85) confinv5
(
)
j
j
j
где коэффициенты m1 m2 m3 называются 3-j символами Вигнера. По определе1
2
3
нию 3-j символы отличны от нуля только если m1 + m2 + m3 = 0 и связаны согласно (7.5.74), (7.5.64) простыми соотношениями с коэффициентами Клебша-Гордана
(7.5.65):
(
)
j2 −j1 −m3
j1 j2 j3 = (−1)
√
⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 , −m3 ⟩.
(7.5.86) 3jkkg
m1 m2 m3
2j3 + 1
Так как выражение (7.5.84) не меняется (с точностью до замены общего знака) при
любой перестановке трех индексов {1, 2, 3}, или при замене si ↔ ti , то соответствующей симметрией обладает и 3-j символ (7.5.86). В частности, переставляя индексы,
мы имеем
(
) (
) (
)
j
j
j
j1 +j2 +j3
1 j2 j3
2 j1 j3
1 j3 j2
(−1)
,
(7.5.87) 3jinv
m m m = m m m = m m m
1
2
3
2
1
3
1
3
2
где сумма (j1 + j2 + j3 ) в силу соотношений (7.5.57) всегда является целым числом.
Таким образом, 3-j символы (7.5.86) обладают следующими свойствами.
1. Согласно (7.5.87) они не меняются при четной перестановке столбцов
(
) (
) (
)
j1 j2 j3
j3 j1 j2
j2 j3 j1
=
=
m1 m2 m3
m3 m1 m2
m2 m3 m1 ,
и приобретают фазовый множитель (−1)j1 +j2 +j3 при нечетной перестановке столбцов.
2. Из формул (7.5.84), (7.5.85) при замене si ↔ ti также следует, что 3-j символы
приобретают фазовый множитель (−1)j1 +j2 +j3 при изменении знаков всех проекций
mi на противоположные:
(
)
(
)
j1 +j2 +j3
j1 j2 j3
j1
j2
j3
=
(−1)
.
(7.5.88) 3jinv1
m1 m2 m3
−m1 −m2 −m3
3. Если m1 + m2 + m3 ̸= 0, то
(
j1 j2 j3
m1 m2 m3
)
=0.
• Задача 230. Пользуясь соотношениями (7.5.62), (7.5.65), (7.5.68) и (7.5.86),
получить формулу
√
)
(
(−1)j2 −j1 −m2 ∆(j1 ,j2 ,j3 )
(2j1 )!(j2 −m2 )!(j3 −m3 )!
j1 j2 j3
=
δj1 ,−m2 −m3 .
(j1 +j2 −j3 )!(j1 +j3 −j2 )!
(j2 +m2 )!(j3 +m3 )!
j1 m2 m3
(7.5.89) j1-m1
7.5 Прямое произведение конечномерных представлений группы SU (2).
320
Замечание 2. С помощью однородных координат zi = si /ti симметричная форма
(7.5.84) для I переписывается в виде
j1 +j2 −j3
1 2j2 2j3
I = t2j
(z1 − z3 )j3 +j1 −j2 (z2 − z3 )j3 +j2 −j1 ,
1 t2 t3 (z1 − z2 )
а уравнения инвариантности (7.5.58) в этих координатах выглядят следующим образом
3
∑
∂zi I = 0 ,
3
∑
(
i=1
zi ti ∂ti − zi2 ∂zi
)
i=1
)
3 (
∑
1
I=0,
z i ∂z i − t i ∂t i I = 0 .
2
i=1
(7.5.90) cfteq1
При этом инвариантная функция I −1 после соответствующей перенормировки дает
голоморфную часть
G(z1 , z2 , z3 ) =
1
(z1 − z2 )j1 +j2 −j3 (z1 − z3 )j3 +j1 −j2 (z2 − z3 )j3 +j2 −j1
,
(7.5.91) cft1a
выражения для 3-х точечной функции Грина в 2-мерных конформных теориях поля
⟨ ϕ1 (z1 , z̄1 )ϕ2 (z2 , z̄2 )ϕ3 (z3 , z̄3 ) ⟩ =
1
,
|z1 − z2 |∆1 +∆2 −∆3 |z1 − z3 |∆3 +∆1 −∆2 |z2 − z3 |∆3 +∆2 −∆1
где параметры ∆a = 2ja называются конформными размерностями скалярных полей
ϕa (za , z̄a ). Связь (7.5.91) с функциями Грина не случайна, она вытекает из того факта, что 3-х точечные голоморфные функции G(z1 , z2 , z3 ) в двумерных конформных
теориях поля удовлетворяют тождествам Уорда:
3
∑
i=1
∂zi G = 0 ,
3
∑
(
i=1
zi2 ∂zi − zi ∆i
)
)
3 (
∑
∆i
G=0,
z i ∂z i −
G=0,
2
i=1
(7.5.92) cfteq2
которые эквивалентны уравнениям инвариантности (7.5.90) (сравните дифференциальные операторы в (7.5.92) с операторами в (7.2.30)).
Замечание 3. На практике часто необходимо вычислить коэффициенты КлебшаГордана не для всех спинов j1 и j2 в (7.5.5), а только для некоторых фиксированных
и не очень больших значений j1 или j2 . В этом случае бывает полезным подход,
основанный на использовании ”правила сложения спинов” (4.3.13), (4.7.50), (7.5.25),
которое в случае алгебры sℓ(2, C) (алгебры su(2) с учетом связи (7.1.1)) записывается
в виде
T (e± ) = T (j1 ) (e± ) ⊗ 1 + 1 ⊗ T (j2 ) (e± ) ,
T (h) = T (j1 ) (h) ⊗ 1 + 1 ⊗ T (j2 ) (h) . (7.5.93) mrep08
Рассмотрим следующую цепочку равенств
(
)
⟨j1 m1 | ⊗ ⟨j2 m2 | T (j) (e± ) |jm⟩ = (⟨j1 m1 | ⊗ ⟨j2 m2 | T (e± )) |jm⟩ =
(
)
= ⟨j1 m1 | ⊗ ⟨j2 m2 | [T (j1 ) (e± ) ⊗ 1 + 1 ⊗ T (j2 ) (e± )] |jm⟩ =
(7.5.94) racah1
(
)
(
)
= ⟨j1 m1 | T j1 (e± ) ⊗ ⟨j2 m2 | | jm⟩ + ⟨j1 m1 | ⊗ ⟨j2 m2 |T j2 (e± )| |jm⟩ ,
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
321
где мы учли правило сложения спинов (7.5.93). Сравним левую и правую части в
(7.5.94), воспользуемся правилами действия образующих e± на дуальные вектора
(7.1.25) и определением коэффициентов Клебша-Гордана (7.5.76). В результате получаем рекурентное соотношение
√
(j ± m + 1)(j ∓ m) ⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j, m ± 1⟩ =
√
(7.5.95) racah2
= (j1 ∓ m1 + 1)(j1 ± m1 ) ⟨j1 , m1 ∓ 1; j2 , m2 | j, m⟩+
√
+ (j2 ∓ m2 + 1)(j2 ± m2 ) ⟨j1 , m1 ; j2 , m2 ∓ 1| j, m⟩ .
Подставляя в (7.5.94) вместо операторов e± оператор h, мы получаем условие
(m1 + m2 − m)⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j, m⟩ = 0 ,
(7.5.96) racah3
откуда вновь следует, что коэффициент Клебша-Гордана ⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j, m⟩, задан- VRJ
ный в (7.5.76), отличен от нуля только если m = m1 + m2 .
• Задача 231. Рассмотреть матричный элемент ⟨jm| T (j) (e∓ ) (|j1 m1 ⟩ ⊗ |j2 m2 ⟩)
и получить уравнения для обратных коэффициентов Клебша-Гордана (7.5.82):
√
(j ± m + 1)(j ∓ m) ⟨j, m ± 1 |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ =
√
(7.5.97) racah4
= (j1 ∓ m1 + 1)(j1 ± m1 ) ⟨j, m| j1 , m1 ∓ 1; j2 , m2 ⟩+
√
+ (j2 ∓ m2 + 1)(j2 ± m2 ) ⟨j, m| j1 , m1 ; j2 , m2 ∓ 1⟩ ,
(m1 + m2 − m)⟨j, m |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ = 0 .
(7.5.98) racah5
Сравнить эти уравнения с уравнениями (7.5.95), (7.5.96) с учетом условия
(7.5.79).
Возьмем теперь уравнение (7.5.95) с верхним знаком и положим в нем m = j.
Тогда левая часть (7.5.95) исчезает и мы получаем набор соотношений, с пощью
которых находим коэффициенты Клебша-Гордана ⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j, j⟩ c точностью
до общего фактора, определяемого нормировкой и соглашением, что ⟨j1 , j1 ; j2 , j −
j1 |j, j⟩ реален и положителен. Выбирая теперь нижний знак в (7.5.95), мы выражаем
⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j, m−1⟩ через ⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j, m⟩ и, следовательно, пользуясь лестничной процедурой, находим все коэффициенты Клебша-Гордана, начиная с m = j, с
точностью до общего нормировочного множителя.
Метод нахождения коэффициентов Клебша-Гордана, изложенный в этом Замечании, вероятно является наилучшим методом, допускающим обобщение на случай
конечномерных представлений других простых алгебр Ли A, отличных от sℓ(2, C)
и su(2). При этом необходимо иметь аналоги формул (7.1.25) и (7.2.24), где в качестве повышающих (понижающих) операторов должны выступать образующие A,
соответствующие корневым векторам (смотри раздел 5.4.2).
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
322
7.6
Тензорные операторы и 3n-j символы.
7.6.1
Тензорные операторы и теорема Вигнера-Эккарта.
Пусть T – конечномерное представление группы G в пространстве Vn (K). Выберем
в Vn (K) базис ⃗ei (i = 1, . . . , n). Тогда каждому элементу g ∈ G в представлении T
сопоставляется n × n матрица с элементами Tij (g) ∈ K (смотри (4.1.3)):
ISA Весь
раздел
T (g) · ⃗ei = ⃗ej Tji (g) .
Пусть ρ – унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве V.
(T )
Определение 7.6.1 Набор операторов {T̂i } (i = 1, . . . , n), действующих в пространстве V, называется тензорным оператором группы G в представлении T ,
если
(T )
(T )
ρ(g) · T̂i · ρ(g −1 ) = Tij (g) T̂j ,
∀g ∈ G .
(7.6.1) ten-op1
(T )
Если представление T – (не)приводимо, то тензорный оператор {T̂i } называется
(не)приводимым.
Отметим, что в некоторых случаях при введении тензорных операторов требования
конечномерности представления T и унитарности представления ρ можно ослабить.
Здесь мы не будем рассматривать подобные обобщения.
Пусть G – группа Ли и A(G) соответствующая алгебра Ли. Подставляя в (7.6.1)
вместо элемента g ∈ G элементы кривой g(t) = exp(tA), где A ∈ A(G), и затем
дифференцируя обе части соотношения (7.6.1) по t в точке t = 0, мы получаем
определение тензорного оператора на уровне алгебры Ли:
(T )
(T )
[ρ(A) , T̂i ] = Tij (A) T̂j
,
∀A ∈ A(G) .
(7.6.2) ten-op2
Тензорные операторы играют важную роль в квантовой теории и особенно в квантовой теории поля. Например, квантованные поля в релятивистской квантовой теории поля — это тензорные операторы группы Пуанкаре. Мы будем обсуждать этот
пример более подробно в Главе 9. Отметим, что в случае компактных групп Ли G и
их алгебр A(G) в качестве представления ρ обычно рассматривают регулярное представление, которое включает в себя все конечномерные представления G и A(G) и
действует в пространстве V = L2 (G, dµ) квадратично интегрируемых функций на
группе G (смотри задачи 133 и 134 в Разделе 4.6.2).
Рассмотрим неприводимый тензорный оператор {T̂jm } (m = −j, . . . , j − 1, j) группы SU (2) в представлении T (j) , то есть оператор, преобразующийся при действии
алгебры Ли su(2) так же как и базисные элементы (7.2.19) в пространстве неприводимого представления T (j) . В соответствии с соотношениями (7.2.23), (7.2.24) и
(7.6.2) запишем
]
[
(7.6.3) prtop1
ρ(h), T̂jm = m T̂jm ,
] √
[
j
ρ(ê± ), T̂m = (j ± m + 1)(j ∓ m) T̂jm±1 .
(7.6.4) prtop2
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
323
Здесь ρ любое унитарное представление SU (2), которое включает в себя все конечномерные представления T (j) (j = 0, 1/2, 1, 3/2, . . .), например, регулярное представление (7.4.61).
В качестве конкретного примера тензорного оператора группы SU (2) рассмотрим
(ℓ)
сферические гармоники {Ym (θ, ϕ)} (m = −ℓ, . . . , ℓ), которые действуют как операторы в пространстве V всех квадратично интегрируемых функций f (θ, ϕ) на сфере
S 2 (смотри Раздел 6.4.6) следующим образом:
f (θ, ϕ) → f ′ (θ, ϕ) = Ym(ℓ) (θ, ϕ) · f (θ, ϕ) .
При этом, левые части соотношений (7.4.74) записываются в виде коммутаторов
(ℓ)
функции Ym (θ, ϕ) и образующих ĥ′ = ρ(h) и ê′± = ρ(e± ), заданных как дифференциальные операторы (7.4.75) в V, после чего соотношения (7.4.74) приобретают
вид (7.6.3) и (7.6.4).
• Задача 232. Показать, что мономы (7.2.19) могут рассматриваться как тензорные операторы, действующие в пространстве всех функций f (s, t). Переписать соотношения (7.2.24) в виде коммутаторов (7.6.3) и (7.6.4).
По определению (смотри (7.6.3) и (7.6.4)) на тензорных операторах T̂jm , как и на
векторах |j, m⟩, реализуется конечномерное представление T (j) алгебры su(2). Произведение неприводимых тензорных операторов T̂jm1 1 · T̂jm2 2 является новым тензорным оператором (в общем случае приводимым), который преобразуется при действии алгебры su(2) так же как тензорные произведения соответствующих векторов
|j1 , m1 ⟩ ⊗ |j2 , m2 ⟩. Таким образом, для произведения неприводимых тензорных операторов можно использовать аналоги разложений Клебша-Гордана (7.5.64) и (7.5.83):
∑
X̂jm =
T̂jm1 1 · Ûjm2 2 ⟨j1 m1 , j2 m2 |j1 , j2 ; j m⟩ ,
(7.6.5) kgk43
m1 ,m2
m1 +m2 =m
∑
j1 +j2
j1
T̂m
· Ûjm2 2 =
1
X̂jm ⟨j1 , j2 ; j m|j1 m1 , j2 m2 ⟩ ,
(7.6.6) kgk53
j=|j1 −j2 |
где X̂jm , T̂jm1 1 и Ûjm2 2 — тензорные операторы, удовлетворяющие (7.6.3), (7.6.4). Положим j1 = j2 и m = 0, j = 0 в (7.6.5) и учтем вытекающее из (7.5.62), (7.5.65) и (7.5.68)
равенство (сравните с метрикой (7.5.55))
(−1)j1 −m1
⟨j1 m1 , j1 m2 |0, 0⟩ = √
δm ,−m .
2j1 + 1 1 2
В левой части (7.6.5) возникает оператор X̂00 :
j
∑
1
(−1)j−m T̂jm Ûj−m ,
2j + 1 m=−j
X̂00 = √
(7.6.7) kgk44
который естественно рассматривать как инвариантную свертку, с помощью метрики (7.5.55), двух тензорных операторов T̂jm и Ûjm (сравните эту свертку с (7.4.27)).
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
324
В представлении сферических гармоник формула (7.6.7) дает знаменитую теорему
сложения (7.4.58), которая с помощью замены ϕ1 → π − ϕ1 записывается в виде,
аналогичном (7.6.7),
ℓ
(−1) Pℓ (cos w12 ) =
ℓ
∑
(ℓ)
(−1)ℓ−m Ym(ℓ) (θ1 , ϕ1 ) Y−m (θ2 , ϕ2 ) ,
m=−ℓ
где cos w12 = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 cos(ϕ1 − ϕ2 ).
В различных физических задачах возникает необходимость вычисления матричных элементов ⟨j3 m3 |T̂jm2 2 |j1 m1 ⟩ тензорных операторов T̂jm2 2 . Покажем, что эта задача
сводится к задаче о вычислении коэффициентов Клебша-Гордана. Подействуем на
соотношения (7.6.3) и (7.6.4) состояниями ⟨j3 m3 | и |j1 m1 ⟩ слева и справа, соответственно. В результате получаем
(m3 − m1 )⟨j3 m3 |T̂jm |j1 m1 ⟩ = m ⟨j3 m3 |T̂jm |j1 m1 ⟩ ,
[
]
√
⟨j3 m3 | ρ(ê± ), T̂jm |j1 m1 ⟩ = (j ± m + 1)(j ∓ m) ⟨j3 m3 |T̂jm±1 |j1 m1 ⟩ .
(7.6.8) prtop3a
(7.6.9) prtop3
Первое из этих соотношений дает правило отбора: матричный элемент ⟨j3 m3 |T̂jm |j1 m1 ⟩
может не равняться нулю, только если m3 − m1 = m, а второе соотношение с учетом
(7.2.24) сводится к уравнениям
√
(j3 ∓ m3 + 1)(j3 ± m3 )⟨j3 m3 ∓ 1|T̂jm |j1 m1 ⟩ =
√
(7.6.10) prtop4
= (j ± m + 1)(j ∓ m) ⟨j3 m3 |T̂jm±1 |j1 m1 ⟩+
√
+ (j1 ± m1 + 1)(j1 ∓ m1 )⟨j3 m3 |T̂jm |j1 m1 ± 1⟩ .
Уравнения (7.6.8) и (7.6.10) совпадают с уравнениями (7.5.97) и (7.5.98), которые
определяют коэффициенты Клебша-Гордана с точностью до нормировки. Поэтому
ясно, что матричные элементы тензорных операторов и коэффициенты КлебшаГордана пропорциональны друг-другу:
(j3 ||T̂j2 ||j1 )
j2
√
⟨j3 m3 |T̂m
· ⟨j3 m3 | j1 m1 , j2 m2 ⟩ ,
|j
m
⟩
=
1
1
2
2j3 + 1
(7.6.11) ten-kkg
где нормировочный коэффициент (j3 ||T̂j2 ||j1 ) не зависит от m1 , m2 и m3 и называется
в физической литературе приведенным матричным элементом (множитель √2j13 +1
вводится для удобства). Соотношение (7.6.11), связывающее матричный элемент тензорного оператора T̂jm2 2 и коэффициент Клебша-Гордана, является содержанием знаменитой теоремы Вигнера-Эккарта.
7.6.2
Коэффициенты Рака и 3n-j символы.
Матричные элементы тензорных операторов (7.6.11), коэффициенты Клебша-Гордана ISA весь
раздел
(7.5.62) и 3-j символы (7.5.86) можно рассматривать как тензоры 3-его ранга с компонентами, имеющими три индекса m1 , m2 , m3 , которые пробегают значения mk =
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
325
(−jk , −jk + 1, . . . , jk − 1, jk ) (понятие тензора введено в разделе 4.3.1, смотри определение 4.3.1). Каждый из этих тензоров реализуют некоторое представление алгебры
su(2) (группы SU (2)), вложенное в прямое произведение трех представлений со спинами j1 , j2 , j3 .
В силу инвариантности свертки, стоящей в правой части равенства (7.5.85), а ISA
также свертки (7.5.67), относительно преобразований (7.4.23), где g ∈ SU (2), мы
получаем, что 3-j символ (7.5.86) и коэффициенты Клебша-Гордана (7.5.65) обладают
следующими свойствами
)
) (
(
(j1 )
(j2 )
(j3 )
j
j
1 j2 j3
1 j2 j3
,
(7.6.12) 3j-kkg
Dm1 m′ (g) Dm2 m′ (g) Dm3 m′ (g) m′ m′ m′ = m m m
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Dm11 m′ (g) Dm22 m′ (g) ⟨j1 m′1 , j2 m′2 |j3 m′3 ⟩ Dm3′ m3 (g) = ⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m3 ⟩ ,
(j )
(j )−1
(j )
1
3
2
(7.6.13) 3j-kkg1
где по повторящимся индексам идет суммирование. Таким образом, 3-j символы и коэффициенты Клебша-Гордана согласно определению 4.3.2 являются компонентами
инвариантных тензоров третьего ранга. Очевидно, что такие тензоры можно сворачивать друг с другом по индексам mk , соответствующим одному и тому же представлению (со спином jk ), используя при этом инвариантную метрику η (jk ) , заданную в
(7.4.28), (7.5.55). В результате таких сверток возникают новые инвариантные тензоры другого ранга, в том числе и инвариантные скалярные величины.
Следуя этим правилам, мы, например, можем рассматривать правую часть условия ортогональности (7.5.80) как инвариантную свертку 2-х коэффициентов КлебшаГордана, в результате которой возникает инвариантный тензор второго ранга. С учетом (7.5.86) и свойств симметрии (7.5.87), (7.5.88) условие ортогональности (7.5.80)
в терминах 3-j символов переписывается в виде
(
)(
)
∑
(−1)j3 −m3
j
j
j
j
j1 +j2 −m1 −m2
1 j2 j3
1
2
4
(−1)
=
δm3 ,−m4 δj3 ,j4 ,
m1 m2 m3
−m1 −m2 m4
2j3 + 1
m ,m
1
2
(7.6.14) 6-j1
где в правой части стоит тензор второго ранга, пропорциональный инвариантной
(j3 )
метрике ||ηm
||. Если мы положим j4 = j3 и m4 = −m3 в (7.6.14), умножим обе
3 ,m4
j3 −m3
части на (−1)
и просуммируем по m3 , то мы получим полную инвариантную
свертку двух 3-j символов, которая тривиальна и равна единице:
)
) (
j
j
j
j
1
2
3
1 j2 j3
(−1)
−m1 −m2 −m3 =
m m m
m1 ,m2 ,m3
)
( 1 2 3) (
j
j
(j1 )
(j2 )
(j3 )
1 j2 j3
1 j2 j3
= ηm ,m′ ηm ,m′ ηm ,m′ m m m
m′1 m′2 m′3 = 1 ,
1
2
3
1
2
3
1
2
3
∑
3
∑
k=1
(jk −mk )
(
(7.6.15) 6-j1a
(во второй строчке по повторяющимся индексам идет суммирование).
Легко понять, что для произведения трех 3-j символов скалярной инвариантной
свертки не существует, так как невозможно попарно свернуть их девять индексов mk .
Поэтому далее рассмотрим скалярные инвариантные свертки четырех 3-j символов.
Ниже мы продемонстрируем, что существует всего одна такая нетривиальная свертка, которая не тривиализуется с помощью тождеств (7.6.14), и которую в терминах
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
326
коэффициентов Клебша-Гордана можно записать в виде
∑
⟨j1 m1 , j2 m2 |j3 m3 ⟩⟨j5 m5 |j1 m1 , j6 m6 ⟩⟨j6 m6 |j2 m2 , j4 m4 ⟩⟨j4 m4 , j3 m3 |j5 m5 ⟩ .
m1 ,...,m6
(7.6.16) 6-j2
Данная свертка инвариантна относительно преобразований SU (2) и задает скалярную величину. Инвариантность (7.6.16) следует из (7.6.13) и того факта, что каждому вектору ”бра” ⟨jk mk | в (7.6.16) имеется свой вектор ”кет” |jk mk ⟩ и по всем парам
проекций mk идет суммирование. С учетом (7.5.86), (7.5.87) и (7.5.88) инвариант
(7.6.16) с точностью до некоторой тривиальной функции, зависящей только от спинов jk , переписывается в виде инвариантной свертки по всем проекциям mi четырех
3-j символов
6
∑
(
)(
)(
)(
)
(ji −mi )
∑
i=1
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
1
3
2
1
6
5
2
4
6
4 j3
5
(−1)
m −m m
−m −m m
−m −m m
m m −m =
1
m1 ,...,m6
3
2
1
6
{
B(j1 ,...,j6 )
= (−1)
5
j1 j2 j3
j4 j5 j6
2
4
6
4
3
5
}
.
(7.6.17) 6-j2a
В левой части (7.6.17) все свертки по mk осуществляются с помощью инвариантных
метрик (7.5.55). Отметим, что в каждом из 3-j символов в (7.6.17) мы можем делать
перестановку столбцов, пользуясь соотношениями симметрии (7.5.87). При этом левая часть (7.6.17) может домножиться на некоторый знаковый фактор. Этот произвол в знаке учитывается коэффициентом (−1)B(j1 ,...,j6 ) , где B(j1 , ..., j6 ) = 0, 1(mod2).
При определенном выборе (−1)B(j1 ,...,j6 ) (отметим, что (7.6.17) совпадает с формулой (108,2)
{
} для 6-j символа в [20] при выборе B = 2j3 ) скалярные коэффициенты
j1 j2 j3 равны (см. например [32], [20]):
j4 j5 j6
{
}
j1 j2 j3 = ∆(j , j , j )∆(j , j , j )∆(j , j , j )∆(j , j , j )·
1 2 3
1 5 6
4 2 6
4 5 3
j4 j5 j6
(7.6.18) 6-j3
∑
[(k−j1 −j2 −j3 )!(k−j1 −j5 −j6 )!(k−j4 −j2 −j6 )!(k−j4 −j5 −j3 )!]−1
k
· (−1) (k + 1)! (j1 +j2 +j4 +j5 −k)!(j1 +j3 +j4 +j6 −k)!(j2 +j3 +j5 +j6 −k)!
.
k
и называются 6-j символами Вигнера. Это название связано с тем, что величины
(7.6.18) являются функциями от значений шести спинов j1 , . . . , j6 . В формуле (7.6.18)
мы использовали треугольные коэффициенты ∆(j1 , j2 , j3 ), которые были определены
в (7.5.69). Формула (7.6.18) будет получена нами ниже в разделе 7.6.4.
Вместо 6-j символов в спектроскопии часто используются коэффициенты Рака
W (j1 j2 j5 j4 ; j3 j6 ), которые были введены независимо и отличаются от 6-j символов
фазовым множителем
{
}
j
j1 +j2 +j5 +j4
1 j2 j3
W (j1 j2 j5 j4 ; j3 j6 ) = (−1)
.
j j j
4
5
6
При инвариантной свертке большего (чем четыре) числа 3-j символов мы можем
в некоторых случаях получать новые инвариантные объекты, которые не тривиализуются и отличаются от произведения 6-j символов (7.6.18), то есть не распадаются
в произведение инвариантов, состоящих из свертки меньшего числа 3-j символов.
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
327
Для исследования вопроса о тривиальности или нетривиальности различных сверток 3-j символов удобно пользоваться диаграммной техникой, представленной на
рисунках 7, 8. Аналогичная техника была предложена в [32]. На рисунке 8 дано графическое представление для инвариантной метрики (7.4.28), (7.5.55). При использовании данной диаграмной техники следует следить за ориентацией диаграмм: зеркальное отражение диаграммы (относительно какой либо оси), не сводящееся к ее
повороту в плоскости, в общем случае приводит к изменению знака соответствующего выражения (см. вторую строчку на рисунке 7). В качестве примера применения данной техники, на Рис. 9 приведено графическое представление для тождеств
(7.6.14), (7.6.15).
(
j1 m1
=
j2 m2
j1 j2 j3
m1 m2 m3
)
;
j3 m3
j2 m2
j1 m1
= (−1)
j1 +j2 +j3
j2 m2
·
j3 m3
j1 m1
j3 m3
Рис. 7: Графическое представление 3-j символов.
-
j2 m2
j1 m1
= (−1)j1 −m1 δm1 ,−m2 δj1 ,j2 ≡ (−1)2j1 · j1 m1 j2 m2
Рис. 8: Графическое представление инвариантной метрики.
-j1
j3 m3
j m
-j4 4
= (−1)
j1 +j2 +j4
· j3 m3
2
(−1)j1 +j2 +j3 ·
-j1
j4 m4
-j2
-j1
j2
j
= (2j31+1) ·
-
j4 m4
j3 m3
= 1
3
Рис. 9: Графическое представление для тождеств (7.6.14) и (7.6.15).
Рассмотрим теперь произведение четного числа 3-j символов и пусть все их проекции mk попарно засуммированы с помощью инвариантных метрик по правилам,
которые были указаны выше (смотри например (7.6.15) и (7.6.17)). Возникающая
при этом свертка 3-j символов является скалярным инвариантом. Очевидно, что такая скалярная свертка графически изображаются как замкнутый граф все вершины
которого – трехвалентны и соответствуют 3-j символам, а ребра ориентированы, помечены своими спинами jk и соответствуют сверткам по mk с помощью инвариантных
метрик. В таком замкнутом графе очевидно выполняется соотношение 3V = 2E, где
V – число вершин графа (число 3-j символов), а E – число ребер в графе (число спинов j1 , j2 , . . .). Это соотношение означает, что V – обязательно четное число, скажем
V = 2n, тогда E = 3n – делится на 3. Таким образом, в результате свертки 3-j символов могут возникать скалярные инварианты, только если число 3-j символов четно
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
328
и инвариант зависит от 3n спинов j1 , j2 , . . . , j3n . Соответственно данные скалярные
инварианты называются 3n-j символами.
Диаграмная техника позволяет графически представлять свертки большого числа 3-j символов, а также производить с такими свертками различные наглядные
манипуляции и преобразования, применяя, например, соотношения, представленные
на рисунке 9. Продемонстрируем работу этой техники на примере вычисления некоторой инвариантной скалярной свертки четырех 3-j символов (смотри рис. 10). Здесь
мы последовательно использовали сначала первое, а затем второе тождество на рис.
9 и при этом учли равенство (7.4.30).
-j1
j3
-j2
?
j5
j
?
j4
j1 +j2 −j3
= δj3 j4 (−1)2j3 +1 ·
j3
j5
j6
=
(−1)j1 +j2 +j5 +j6
(2j3 +1)
δj3 j4 .
6
Рис. 10: Тривиальная свертка четырех 3-j символов.
Результат, представленный на рис. 10, показывает, что скалярная свертка четырех
3-j символов в левой части рис. 10 является тривиальной. Нетривиальную свертку
(7.6.17) четырех 3-j символов, или 6-j символ, можно изобразить, пользуясь указанной на рис. 7 и 8 диаграммной техникой, в виде тетраэдра (смотри Рис. 11). Отсюда
сразу же следует симметрия 6-j символа относительно специальных перестановок
значений спинов jk , присущая тетраэдру, что также демонстрирует полезность диаграммной техники.
J
J
j16JJJ j
5
j6 J
^
J
j
3
J
HHH
Y
HHJ
j2
H
J
{
=
B(j1 ,...,j6 )
(−1)
·
j1 j2 j3
j4 j5 j6
}
j4
Рис. 11: Графическое представление 6-j символа.
Отметим, что ориентация ребер у графов, соответствующих 3n-j символам, и в
частности у тетраэдра на Рис. 11, является существенной. Например, изменение в
замкнутом графе ориентации ребра, помеченного спином jk , приводит к преобразованию соответствующего инварианта, как это показано на Рис. 12.
6 граф
jk
= (−1)2jk ·
? граф
jk
Рис. 12: Изменение ориентации ребер.
Единственный нетривиальный 9-j инвариант, составленный из шести 3-j символов
и называемый 9-j символом, дается непланарным графом, который изображен на
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
329
Рис. 13. То, что мы не указываем на этом графе направления ребер, учитывается
′′
произвольным фазовым фактором (−1)B в правой части. Пример ”тривиального”
скалярного 9-j инварианта, составленного из шести 3-j символов, рассматривается
ниже в задаче 234 (смотри рис. 19 к этой задаче).
!
!!
!
!
j5
!!
j2 j3
@
@
j4
j1
j7
@
aa @ j8
a @
j9 a
aa
@
a
j6
{
=
B ′′
(−1)
·
j3 j1 j5
j6 j8 j7
j4 j2 j9
}
Рис. 13: Графическое представление 9-j символа (тетраэдр, у которого пара противоположных ребер соединена еще одним ребром j1 ).
7.6.3
6-j символы и ассоциативность произведения представлений.
Замечательным фактом является то, что 6-j символы связаны с условием ассоциативности в тензорной алгебре представлений SU (2):
( (j1 )
)
(
)
T
⊗ T (j2 ) ⊗ T (j3 ) = T (j1 ) ⊗ T (j2 ) ⊗ T (j3 ) .
(7.6.19) assoc
Для того, чтобы пояснить это утверждение, рассмотрим представление T = T (j1 ) ⊗
T (j2 ) ⊗ T (j3 ) , действующее в пространстве V = V2j1 +1 ⊗ V2j2 +1 ⊗ V2j3 +1 , и будем строить связанный базис в векторном пространстве V, примененяя разложение КлебшаГордана. Имеется два способа построения такого базиса, реализуя его через базисные
вектора |j1 , m1 ⟩⊗|j2 , m2 ⟩⊗|j3 , m3 ⟩ ∈ V. Первый способ заключается в том, что сначала мы применим формулу Клебша-Гордана (7.5.83) к произведению |j1 , m1 ⟩ ⊗ |j2 , m2 ⟩
и разложим это произведение по базисным векторам |j1 , j2 ; j4 , m4 ⟩, где m4 = m1 + m2
и |j1 − j2 | ≤ j4 ≤ j1 + j2 , а затем применим формулу Клебша-Гордана к произведению
|j1 , j2 ; j4 , m4 ⟩ ⊗ |j3 , m3 ⟩. В результате мы получаем
|j4 , j3 ; j5 , m5 ⟩ =
∑
=
(|j1 , m1 ⟩ ⊗ |j2 , m2 ⟩) ⊗ |j3 , m3 ⟩⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j4 , m4 ⟩ ⟨j4 , m4 ; j3 , m3 |j5 , m5 ⟩ ,
m1 ,m2 ,m3
(7.6.20) assoc3
где напомним m4 = m1 + m2 и m5 = m1 + m2 + m3 . Аналогично, второй способ
заключается в том, что формула разложения Клебша-Гордана (7.5.83) применяется
сначала к произведению |j2 , m2 ⟩ ⊗ |j3 , m3 ⟩, а потом уже к произведению вектора
|j1 , m1 ⟩ и промежуточного связанного состояния |j2 , j3 ; j6 , m6 ⟩:
|j1 , j6 ; j5 , m5 ⟩ =
∑
=
|j1 , m1 ⟩ ⊗ (|j2 , m2 ⟩ ⊗ |j3 , m3 ⟩) ⟨j2 , m2 ; j3 , m3 |j6 , m6 ⟩⟨j1 , m1 ; j6 , m6 |j5 , m5 ⟩ ,
m1 ,m2 ,m3
(7.6.21) assoc4
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
330
где m6 = m2 +m3 и m5 = m1 +m2 +m3 . Иногда спины промежуточных состояний удобно обозначать как j4 = j12 и j6 = j23 . Здесь и далее, например в левых частях формул
(7.6.20) и (7.6.21), мы используем более информативные обозначения |j4 , j3 ; j5 , m5 ⟩
и |j1 , j6 ; j5 , m5 ⟩ для векторов |j5 , m5 ⟩ связанного базиса. Это сделано для того, чтобы различать вообще говоря несовпадающие вектора |j4 , j3 ; j5 , m5 ⟩ и |j1 , j6 ; j5 , m5 ⟩,
которые получаются с помощью различных промежуточных связанных состояний.
Поясним последнее утверждение более подробно для чего в качестве иллюстрации
рассмотрим произведение трех представлений со спинами j1 = 1/2, j2 = 3 и j3 = 1:
T
(1/2)
⊗T
(3)
⊗T
(1)
↗
(T (5/2) ⊕T (7/2) )⊗T (1)
↘
T (1/2) ⊗(T (2) ⊕T (3) ⊕T (4) )
↘
↗
T (3/2) ⊕ 2T (5/2) ⊕ 2T (7/2) ⊕ T (9/2) .
Согласно разложению, которое получено в правой части этой формулы, имеются два
вектора связанного базиса с квантовыми числами j = 5/2, m = m5 и два вектора с
квантовыми числами j = 7/2, m = m5 . Поэтому пространства связанных состояний,
имеющих такие квантовые числа, оказываются двумерными. В этом случае вектора
типа |5/2, m5 ⟩ и |7/2, m5 ⟩, возникающие в первом подходе (7.6.20) не обязаны совпадать с векторами того же типа из второго подхода (7.6.21) (хотя и принадлежат
одному и тому же двумерному пространству — следствие ассоциативности (7.6.19)),
а могут представляться в виде их линейных комбинаций
|5/2, 1; 5/2, m5 ⟩ = w1 |1/2, 2; 5/2, m5 ⟩ + w2 |1/2, 3; 5/2, m5 ⟩ ,
|7/2, 1; 5/2, m5 ⟩ = w3 |1/2, 2; 5/2, m5 ⟩ + w4 |1/2, 3; 5/2, m5 ⟩ .
(7.6.22) assoc2a
Аналогичные формулы имеют место и для векторов типа |7/2, m5 ⟩. Как мы покажем
ниже, коэффициенты wα в (7.6.22) зависят только от первоначальных спинов j1 , j2 ,
j3 и спинов связанных состояний j4 , j5 и j6 и не зависят от проекции m5 . Кроме
того мы покажем, что коэффициенты wα с точностью до домножения на некоторые
тривиальные функции от спинов jk совпадают с 6-j символами (7.6.18).
Вернемся к обсуждению общего случая. Базисные вектора (7.6.20) и (7.6.21), имеющие одни и те же квантовые числа j5 и m5 , связаны друг с другом, так же как и в
рассмотренном выше частном случае (смотри (7.6.22)), некоторым линейным преобразованием:
∑[ j j j ]
1 2 4
|j4 , j3 ; j5 , m5 ⟩ =
(7.6.23) assoc5
j3 j5 j6 |j1 , j6 ; j5 , m5 ⟩ ,
j6
где в качестве коэффициентов (аналогов wα ) выступают символы, которые согласно
(7.6.23) можно представить в виде матричного элемента
[
]
j
′
1 j2 j4
⟨j1 , j23 ; j5 , m5 |j12 , j3 ; j5 , m5 ⟩ = j j j
δm5 ,m′5 ,
(7.6.24) assoc5b
3
5
6
где j12 = j4 и j23 = j6 .
[
Утверждение 7.6.1 Коэффициенты
не зависят от проекции m5 .
j1 j2 j4
j3 j5 j6
]
в уравнениях (7.6.23) и (7.6.24)
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
331
Доказательство. Учтем, что
|j12 , j3 ; j5 , j5 − 1⟩ = (2j5 )−1/2 e− |j12 , j3 ; j5 , j5 ⟩ ,
и запишем
⟨j1 , j23 ; j5 , j5 − 1|j12 , j3 ; j5 , j5 − 1⟩ = (2j5 )−1 ⟨j1 , j23 ; j5 , j5 |e+ · e− |j12 , j3 ; j5 , j5 ⟩ =
= (2j5 )−1 ⟨j1 , j23 ; j5 , j5 | 2 h |j12 , j3 ; j5 , j5 ⟩ = ⟨j1 , j23 ; j5 , j5 | j12 , j3 ; j5 , j5 ⟩ .
Таким образом, левые части (7.6.24) совпадают при m5 = j5 и m5 = j5 − 1. Доказательство для более низких m5 проводится по индукции.
С учетом соотношений (7.6.20) и (7.6.21) и того, что вектора |j1 , m1 ⟩ ⊗ |j2 , m2 ⟩ ⊗
|j3 , m3 ⟩ образуют базис в V, равенство (7.6.23) переписывается в виде
∑
⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j4 , m4 ⟩ ⟨j4 , m4 ; j3 , m3 |j5 , m5 ⟩ =
[ m4
]
(7.6.25) assoc6
∑ j1 j2 j4 ∑
⟨j
,
m
;
j
,
m
|j
,
m
⟩⟨j
,
m
;
j
,
m
|j
,
m
⟩
.
2
2
3
3
6
6
1
1
6
6
5
5
j j j
j6
3
5
6
m6
При преобразованиях из группы SU (2) левая часть, а также все слагаемые (в сумме
по j6 ) в правой части этого тождества ведут себя как тензоры 4-ого ранга — свертка
j5
этих тензоров с тензорами (−1)j5 −m5 T−m
· Tmj11 · Tmj22 · Tmj33 будет инвариантом. Таким
5
образом, cоотношение (7.6.25) является соотношением между тензорами 4-ого ранга,
которое для дальнейшего удобно переписать в терминах 3-j символов (7.5.86):
(
)(
)
∑
j
j
j
j4 −m4
1 j2
4
4 j3 j5
(−1)
m1 m2 −m4
m4 m3 m5 =
m4
[
]
(
)(
)
∑ √ 2j6 +1 j1 j2 j4 ∑
j
j
j
j6 −m6
2j3
2 j3
6
1 j6 j5
(−1)
.
= (−1)
2j4 +1 j j j
m m −m
m m m
3
j6
5
6
m6
2
3
6
1
6
5
(7.6.26) assoc6b
С помощью диаграмной техники (см. Рис. 7) это соотношение графически изображается так, как показано на рисунке 14 (для дальнейшего нам также удобно сделать
замену индекса суммирования j6 → j6′ ).
j1 m1
j1 m1
j2 m2
j4
2j3
= (−1)
j5 m5
j3 m3
[
]
∑ √ 2j6′ +1 j1 j2 j4
·
2j4 +1 j3 j5 j ′
6
j′
6
j2 m2
′
j5 m5
-j6
j3 m3
Рис. 14: Графическое представление условия ассоциативности (7.6.26).
Если взять диаграмму для тензора 4-ого ранга из правой части соотношения на
Рис. 14, сделать в ней обратную замену j6′ → j6 , отразить эту диаграмму относительно вертикальной оси и получившийся дуальный тензор свернуть (посредством
инвариантных метрик) с тензорами в обеих частях соотношения на Рис. 14, то слева (как это показано на Рис. 15) возникнет инвариант, который изображается как
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
332
{
тетраэдр, то есть инвариант соответствующий 6-j символу
[
j1 j2 j4
j3 j5 j6
}
]
(смотри Рис.
j1 j2 j4
j3 j5 j6′ , умноженных
на скалярные инварианты, которые соответствуют графам, изображенным в левой
части соотношения на Рис. 10. Таким образом, соотношение, представленное на Рис.
14 переписывается в виде равенства для скалярных инвариантов как это показано на
Рис. 15. При этом, в силу соотношения (7.6.14), которое графически представлено на
Рис. 9, скалярный 6-j инвариант из правой части равенства на Рис. 15 вычисляется,
как это показано на Рис. 10, и его явное выражение тривиально и приведено на Рис.
16.
11), а в правой части будет стоять сумма коэффициентов
JJ
j
1
[
]
J
√
j16 j6
j
∑ 2j6′ +1 j1 j2 j4
2
J
2j3
j5
=
(−1)
·
′
j
6
2j4 +1 j3 j5 j
J
]
j
2
6
H
HH
j6′
j3 -j
H
j J
j
4
5
*
H
H
J
′
j6
j3
Рис. 15: Инвариантная скалярная форма соотношения на Рис. 14.
1
j
2
j6
j 3 -
j
j5
j1 +j2 +j3 −j5
′
j6
= (−1)(2j6 +1)
δj6 j6′
Рис. 16: Тривиальный 6-j скалярный инвариант.
Подставляя это выражение на Рис. 16 в правую часть равенства на Рис. 15 и учитывая то, что инвариант, имеющий представление в виде тетраэдра, соответствует 6-j
символу (смотри Рис. 11), мы окончательно переписываем тождество, изображенное
на Рис. 15, в виде
{
}
[
]
j
j
j
j
(−1)j1 +j2 −j3 −j5
B(j1 ...j4 j3 ...j6 )+2(j1 +...+j6 )
1 j2 j4
1
2
4
(−1)
· j j j
=√
· j j j =
(2j6 +1)(2j4 +1)
3 5 6
3 5 6
(7.6.27) assoc10
j
+j
−j
−j
(−1) 1 2 3 5
=√
· ⟨j1 , j6 ; j5 , m5 |j4 , j3 ; j5 , m5 ⟩ .
(2j6 +1)(2j4 +1)
Фактор (−1)2(j1 +...+j6 ) в левой части соотношения (7.6.27) возник из-за того, что диаграмма (тетраэдр) в левой части Рис. 15 является, с точностью до замены j3 ↔ j4 ,
зеркальным отражением относительно вертикальной оси диаграммы (тетраэдра) на
Рис. 11. Пользуясь равенством (7.6.27), условие ассоциативности (7.6.26) (см. Рис.
14) можно переписать в терминах 6-j символов, как это и сделано на Рис. 17.
Таким образом, 6-j символы однозначно определяют коэффициенты в условии ассоциативности (7.6.19) для тензорного произведения трех представлений, представленном в более явном виде на Рис. 17, и поэтому иногда 6-j символы называют
ассоциаторами.
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
333
j1 m1
j1 m1
j2 m2
j4
=
∑
2j3 −B ′
(−1)
{
(2j6 + 1)
j6
j5 m5
j1 j2 j4
j3 j5 j6
}
j2 m2
·
-j6
j5 m5
j3 m3
j3 m3
Рис. 17: Условие ассоциативности (7.6.26), представленное на Рис. 14, переписанное в терминах 6-j символов.
Согласно Утверждению 7.6.1 правая часть в (7.6.27) не зависит от m5 . В соответствии с этим 6-j символ можно определить и так:
{
}
′
∑
(−1)B
j1 j2 j4 = √
⟨j1 , j6 ; j5 , m5 |j4 , j3 ; j5 , m5 ⟩ , (7.6.28) nov21-a
j3 j5 j6
(2j4 + 1)(2j6 + 1)(2j5 + 1) m5
где B ′ = j1 − j2 − j3 + j5 − B(j1 ...j4 j3 ...j6 ). В следующем подразделе мы будем использовать именно это определение.
• Задача 233. Пользуясь той же процедурой, что и при переходе от соотношения на Рис. 14 к скалярному соотношению на Рис. 15, доказать тождество,
(4)
представленное на Рис. 18 и при этом вычислить фазовый фактор (−1)B .
j1 m1
j1 m1
{
Jj
J6
]J
- J
HH j2 m2
j3 m3
j4
H
j5
B (4)
= (−1)
·
j1 j2 j3
j4 j5 j6
}
·
HH
H
j3 m3
j2 m2
Рис. 18: Тождество для свертки трех 3-j символов.
• Задача 234. Доказать, что инвариант, сконструированный из шести 3-j символов и показанный на Рис. 19, не является новым нетривиальным инвари′′′
антом и выражается в виде произведения двух 6-j символов (здесь (−1)B
— некоторый фазовый фактор, зависящий от спинов jk и выбора ориентации ребер на графе в левой части Рис. 19). Указание: воспользоваться
соотношением, представленным на Рис. 18.
Замечание 1. Тождество на Рис. 18 может быть использовано для получения компактного выражения для 6-j символа в виде однократной суммы. Для этого надо
положить
в)этом тождестве m1 = j1 и воспользоваться явным видом 3-j символа
(
j1 j2 j3 , которое приведено в (7.5.89).
j1 m2 m3
ISA Новые задачи
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
j3
@ j
@1
@
j7
j8
j2
j9
334
{
j4
j5
@
j6@
@
= (−1)
B ′′′
·
j7 j8 j9
j2 j3 j1
} {
}
j
7 j8 j9
· j j j
6
5
4
Рис. 19: Свертка шести 3-j символов, дающая ”тривиальный” 9-j инвариант.
Замечание 2. Отметим, что нетривиальный инвариант, соответствующий 9-j символу на Рис. 13, связан с условием ассоциативности для тензорного произведения
четырех представлений (сравните с (7.6.19))
( (j1 )
) (
) (
) (
)
T
⊗ T (j3 ) ⊗ T (j2 ) ⊗ T (j4 ) = T (j1 ) ⊗ T (j2 ) ⊗ T (j3 ) ⊗ T (j4 ) .
(7.6.29) assoc9j
Это условие ассоциативности приводит к некоторому тождеству на 3-j символы, которое графически изображено на Рис. 20 (аналог соотношения представленного на
Рис. 14), где в правой части возникает 9-j символ, а f (j1 , ..., j9 ) – некоторая тривиальная функция от спинов jk , возникающая при переходе от коэффициентов КлебшаГордана к 3-j символам и в частности содержащая фазовые факторы.
j1 m1
j1 m1
j5
j7 m7
j6
@
j2 m2
∑
@
f (j1 , ..., j9 ) ·
=
@
j8 ,j9
j3 m3
@
@
@
j4 m4
{
j3 j1 j5
j6 j8 j7
j4 j2 j9
}
j2 m2
·
j8
j7 m7
j9
j3 m3
@
@
@
@ j4 m4
Рис. 20: Графическое представление условия ассоциативности для определения 9-j
символа.
Осуществляя ту же процедуру, что и при переходе от соотношения на Рис. 14 к соотношению на Рис. 15, мы в левой части соотношения на Рис. 20 получим граф совпадающий с диаграммой для 9-j символа, которая представлена на Рис. 13, а в правой
части получается сумма 9-j символов с тривиальными скалярными инвариантами,
представленными графами, которые вычисляются с помощью формул, приведенных
на Рис. 13.
Замечание 3. Так как 6-j символ является ассоциатором для тензорного произведения трех представлений, что выражается в виде тождества, представленного на
Рис. 17, то 6-j символ автоматически удовлетворяет пентагональному соотношению,
которое вытекает из рассмотрения диаграммы, изображенной на Рис. 21.
Эта диаграмма указывает на эквивалентность
двух путей
перехода
от тензорно)
)
((
го произведения четырех представлений T (j1 ) ⊗ T (j2 ) ⊗ T (j3 ) ⊗ T (j4 ) , которое вычисляется
порядке,
к тензорному произведению тех же представлений
))
( (jв) указанном
( (j )
(j1 )
(j4 )
2
3
, но вычисляемое в противоположном порядке. В этом
T
⊗ T
⊗ T
⊗T
случае говорят, что диаграмма на Рис. 21 — ”коммутативна”. Каждый шаг на этой
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
j1 m1
j2 m2
{
j2
j4
j3
j5
′
j9
j6
}
+
j m
7
335
{
j1
j4
′
j9
j7
j8
j5
}
j2 m2
j3 m3
7
j
′
j9
5
j8
j7 m7
j4 m4
j1 m1
-
′
j9
@
I
@
@
j3 m3
j4 m4
j1 m1
j7 m7
j
j
5
6
j4 m4
j1
j3
j2
j8
j9
′
j9
}
@
j1 m1
j2 m2
j3 m3
{
j2 m2
j1 m1
P
iP
PP
P
{
} P
j1
j6
j2
j7
j9
j5
j7 m7
j2 m2
j9
-
j6
j3 m3
j4 m4
j9
j7 m7
)
{
}
j9
j4
j3
j7
j8
j3 m3
j4 m4
j8
j6
Рис. 21: Пентагональное соотношение для ассоциаторов.
диаграмме – это применение соотношения ассоциативности для тензорного произведения трех представлений, которое изображено на Рис. 17. Сравнивая выражения,
получающиеся в результате этих двух разных путей перехода, мы получаем тождество на 6-j символы, которое называется тождеством Биденхарна – Эллиотта:
{
}{
} ∑
{
}{
}{
}
j1 j2 j9
j9 j3 j8
j2 j3 j9′
j1 j2 j9
j1 j9′ j8
R
′
=
(−1) (2j9 + 1)
,
j6 j7 j5
j4 j7 j6
j4 j5 j6
j3 j8 j9′
j4 j7 j5
′
j9
(7.6.30) BidEll
R
где (−1) — фазовый фактор.
Это тождество имеет замечательную трехмерную геометрическую интерпретацию, если вспомнить, что 6-j символы представляются в виде тетраэдров (смотри
Рис. 11). В данном случае однако удобно представлять (смотри Рис. 22) 6-j символ в
виде тетраэдра, дуального по отношению к тетраэдру, изображенному в левой части
соотношения на Рис. 11. То есть, трех-валентной вершине (3-j символу) тетраэдра
на диаграмме Рис. 11 соответствует грань (треугольник) у дуального тетраэдра на
диаграмме Рис. 22, и наоборот. Пользуясь этим дуальным представлением для 6j символов, тождество Биденхарна – Эллиотта (7.6.30) графически представляется
так, как показано на Рис. 23. Это графическое соотношение можно интерпретировать как одну из перестроек триангуляций трех-мерных пространств, когда склейка
двух тетраэдров, имеющих одну общую грань, (левая часть соотношения на Рис.
23) представляется как склейка трех тетраэдров, имеющих одно общее ребро и каждая пара из этих тетраэдров имеет общую грань (правая часть соотношения на Рис.
23). Данное геометрическое свойство 6-j символов позволяет использовать их при
построении триангулированных версий теории гравитации (гравитация Редже).
• Задача 235. Получить тождество Биденхарна – Эллиотта (7.6.30) вычислив
инвариант, соответствующий диаграмме в левой части Рис. 19, другим
способом. А именно, сначала преобразовать эту диаграмму с помощью
соотношения ассоциативности, которое дано на Рис. 17 (применяя его к
подграфу, содержащему спины j1 , j3 , j7 , j5 , j4 , смотри диаграмму в левой
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
336
j1
H
J HH
j
j
J 6 HH 5
J
j2
j3
J
J j4
J
J
=
e
B
(−1) ·
{
j1 j2 j3
j4 j5 j6
}
Рис. 22: Дуальное графическое представление 6-j символа.
!a
!a
j2 !! aa j
j2 !! aa j
1
1
!
a
!
aa
aa
!! j
!! j
a
9
9
Q
Q
JQ
J
j5
j
5
Q
J Q
J Q
j6
j6
∑
Q j7
j7
R′
′
J QQ
J
Q
= (−1) (2j9 + 1)·
J
J
EE
EE j ′
j9′
j3
j8
j3
j8
9
J
J
j4E
j4E
J
J
J E
J E
E
J
JE
JE
JE
Рис. 23:
(7.6.30).
Графическое представление для тождества Биденхарна – Эллиотта
части Рис. 24) и получить соотношение, представленное на Рис. 24, правая
часть которого снова вычисляется с помощью тождества, изображенного
на Рис. 18. Далее использовать симметрию 6-j символа, присущую тетраэдру.
j3
@ j1
@
@
j7
j8
j2
j9
j4
j5
@
j@
6
@
AA
′A
j9 A
A
{
}
j3 A j5
∑
j
j
j
(5)
1
3
7
= (−1)B (2j9′ + 1)
· j1 @@ j4 A
′
j5 j4 j9
j9′
@ A
j8
@A
j2
A
j@
6
A
@
j9
Рис. 24:
сти.
7.6.4
Преобразование диаграммы на Рис. 19 с помощью условия ассоциативно-
Вычисление 6-j символов. Метод Швингера.
В этом подразделе мы изложим метод вычисления 6-j символов, который использует метод производящих функций, предложенный Ю.Швингером [48] (смотри также [49]). Этот же метод применим и для вычисления 9-j символов [48]. Здесь под
вычислением 3n-j символов мы понимаем получение для них наиболее компактных
выражений, имеющих наименьшее число суммирований.
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
337
1. Функциональное представление.
Умножим тензор
на вектора
∑
⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j4 , m4 ⟩ ⟨j4 , m4 ; j3 , m3 |j5 , m5 ⟩ из левой части (7.6.25)
m4
j5
Tmj11 (s1 , t1 ) , Tmj22 (s2 , t2 ) , Tmj33 (s3 , t3 ) , (−1)j5 −m5 T−m
(S̄, T̄ ) ,
5
(7.6.31) tttt
и просуммируем по проекциям m1 , m2 , m3 , m5 . В результате, с учетом скалярного
произведения (7.2.21) и формулы (7.5.67), мы получаем (с точностью до нормировки)
инвариантный полином по преременным s1 , t1 , s2 , t2 , s3 , t3 , S̄, T̄ вида
I12 = (s1 t2 − t1 s2 )n12 (s1 ∂σ + t1 ∂τ )n1σ (s2 ∂σ + t2 ∂τ )n2σ
×(σt3 − τ s3 )n3σ (σ S̄ + τ T̄ )n4σ (s3 S̄ + t3 T̄ )n34 σ=τ =0 ,
(7.6.32) pol12
где
n12 = j1 + j2 − j12 ,
n1σ = j12 + j1 − j2 ,
n2σ = j12 + j2 − j1 ,
n3σ = j12 + j3 − j5 ,
n4σ = j5 + j12 − j3 ,
n34 = j5 + j3 − j12 .
(7.6.33) nov22-c1
По построению он является однородным полиномом по парам переменных (s1 , t1 ),
(s2 , t2 ), (s3 , t3 ) степени 2j1 , 2j2 , 2j3 , соответственно, то есть при фиксированных S̄,
T̄ принадлежит V(1) ⊗ V(2) ⊗ V(3) , где V(k) ≡ V2jk +1 . По переменным (s1 , t1 ), (s2 , t2 ) он
имеет те же трансформационные свойства, что и полином
I = (s1 t2 − t1 s2 )n12 (s1 s̄ + t1 t̄)n1σ (s2 s̄ + t2 t̄)n2σ ,
то есть он принадлежит подпространству V(12) ⊂ V1 ⊗ V2 представления спина j12
(так как степень однородности I по s̄, t̄ равна 2j12 ). Наконец, инвариантный полином
(7.6.32) имеет степень 2j5 по переменным (S̄, T̄ ) и поэтому имеет место разложение
∑
j5
I12 = N12
(−1)j5 −m5 T̄−m
(S̄, T̄ )Tmj55,j12 (s1 , . . . , t3 )
(7.6.34) nov21-b
5
m5
j5
где T̄−m
(S̄, T̄ ) и Tmj55,j12 (s1 , . . . , t3 ) – нормированные базисные вектора в пространствах
5
V̄(5) и V(5) ⊂ V(12) ⊗ V(3) и N12 – нормировочный коэффициент. Он определяется VRJ
соотношением
2
(2j5 + 1)N12
= (I12 , I12 ) = I12 (ŝ1 , . . . T̄ˆ ) · I12 (s1 , . . . T̄ )|si =ti =S̄=T̄ =0
(7.6.35) nov24-d
где ŝ = ∂s , и т.д.
Аналогично, сворачивая с векторами (7.6.31) тензор
∑
⟨j2 , m2 ; j3 , m3 |j6 , m6 ⟩⟨j1 , m1 ; j6 , m6 |j5 , m5 ⟩ ,
m6
из правой части (7.6.25), сопоставим ему инвариантный полином
I23 = (s2 t3 − t2 s3 )r23 (s2 ∂σ + t2 ∂τ )r2σ (s3 ∂σ + t3 ∂τ )r3σ
×(τ s1 − σt1 )r1σ (σ S̄ + τ T̄ )r4σ (s1 S̄ + t1 T̄ )r14 σ=τ =0 ,
(7.6.36) pol23
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
338
где
r23 = j2 + j3 − j23 ,
r2σ = j23 + j2 − j3 ,
r1σ = j23 + j1 − j5 ,
r3σ = j23 + j3 − j2 ,
r4σ = j5 + j23 − j1 ,
r14 = j5 + j1 − j23
Точно так же, как и в (7.6.34), полином (7.6.36) расскладывается в виде
∑
j5
I23 = N23
(−1)j5 −m5 T̄−m
(S̄, T̄ )Tmj55,j23 (s1 , . . . , t3 ) ,
5
(7.6.37) nov22-c2
(7.6.38) nov21-c
m5
j5
где T̄−m
(S̄, T̄ ) и Tmj55,j23 (s1 , . . . , t3 ) – нормированные базисные вектора в пространствах
5
V̄(5) и V(5) ⊂ V(1) ⊗V(23) , а нормировочный коэффициент N23 вычисляется по формуле,
аналогичной (7.6.35).
Для дальнейшего в (7.6.32) и (7.6.36) удобно сделать замену переменных S̄ → t4 ,
T̄ → −s4 и рассматривать полиномы
I12 = (s1 t2 − t1 s2 )n12 (s1 ∂σ + t1 ∂τ )n1σ (s2 ∂σ + t2 ∂τ )n2σ
×(σt3 − τ s3 )n3σ (σt4 − τ s4 )n4σ (s3 t4 − t3 s4 )n34 |σ=τ =0 ,
I23 = (s2 t3 − t2 s3 )r23 (s2 ∂σ + t2 ∂τ )r2σ (s3 ∂σ + t3 ∂τ )r3σ
×(τ s1 − σt1 )r1σ (σt4 − τ s4 )r4σ (s1 t4 − t1 s4 )r14 |σ=τ =0 .
Теперь формула (7.6.28) с учетом (7.6.34) и (7.6.38) представляется в виде
{
}
′
∑(
)
(−1)B
j1 j2 j12 = √
j5 ,j23
j5 ,j12
T
,
T
=
m
m
5
5
j3 j5 j23
(2j12 + 1)(2j23 + 1)(2j5 + 1) m5
(−1)B
′
(I23 , I12 )
(7.6.39) invve-1
(7.6.40) invve-2
(7.6.41) nov22-a
√
,
=√
(2j12 + 1)(2j23 + 1) (I12 , I12 )(I23 , I23 )
причем скалярное произведение ( , ) нужно понимать так же, как и в (7.6.35).
Утверждение 7.6.2 Инвариантные вектора (7.6.39) и (7.6.40) нормированы следующим образом:
(I12 , I12 ) = µ12
(1 + n12 + n1σ + n2σ )!(1 + n34 + n3σ + n4σ )!
,
(2j12 + 1)
(7.6.42) nov22-k
(1 + r23 + r2σ + r3σ )! (1 + r14 + r1σ + r4σ )!
,
(2j23 + 1)
(7.6.43) nov22-kk
(I23 , I23 ) = µ23
где
µ12 = n12 ! n1σ ! n2σ ! n3σ ! n4σ ! n34 ! , µ23 = r23 ! r1σ ! r2σ ! r3σ ! r4σ ! r14 ! .
(7.6.44) ja1317
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
339
Доказательство. Формула (7.6.43) получается из (7.6.42) соответствующими подстановками, поэтому достаточно вычислить только норму (7.6.42). Запишем по определению
(I12 , I12 ) = I12 (ŝ1 , ..., ŝ4 , t̂1 , ..., t̂4 ) · I12 (s1 , ..., s4 , t1 , ..., t4 ) =
(ŝ1 t̂2 − t̂1 ŝ2 )n12 (ŝ1 ∂ζ + t̂1 ∂θ )n1σ (ŝ2 ∂ζ + t̂2 ∂θ )n2σ (ζ t̂3 − θŝ3 )n3σ (ζ t̂4 − θŝ4 )n4σ (ŝ3 t̂4 − t̂3 ŝ4 )n34
×(s1 t2 − t1 s2 )n12 (s1 ∂σ + t1 ∂τ )n1σ (s2 ∂σ + t2 ∂τ )n2σ (σt3 − τ s3 )n3σ (σt4 − τ s4 )n4σ (s3 t4 − t3 s4 )n34 ,
где подразумевается, что после вычисления всех производных ∂θ , ∂σ , ŝ1 , t̂1 , . . ., необходимо положить все соответствующие переменные θ, σ, s1 , t1 , . . . равными нулю. Подействуем операторами (ŝ1 t̂2 − t̂1 ŝ2 )n12 и (ŝ3 t̂4 − t̂3 ŝ4 )n34 на I12 (s1 , ..., s4 , t1 , ..., t4 ). В
соответствии с (7.5.71) получим
(ŝ3 t̂4 − t̂3 ŝ4 )n34 (ŝ1 t̂2 − t̂1 ŝ2 )n12 · I12 =
n12 ! (1 + n12 + n1σ + n2σ )! n34 ! (1 + n34 + n3σ + n4σ )!
·
=
(1 + n1σ + n2σ )!
(1 + n3σ + n4σ )!
×(s1 ∂σ + t1 ∂τ )n1σ (s2 ∂σ + t2 ∂τ )n2σ (σt3 − τ s3 )n3σ (σt4 − τ s4 )n4σ .
(7.6.45) nov22-h
Осталось вычислить
(ŝ1 ∂ζ + t̂1 ∂θ )n1σ (ŝ2 ∂ζ + t̂2 ∂θ )n2σ (ζ t̂3 − θŝ3 )n3σ (ζ t̂4 − θŝ4 )n4σ
×(s1 ∂σ + t1 ∂τ )n1σ (s2 ∂σ + t2 ∂τ )n2σ (σt3 − τ s3 )n3σ (σt4 − τ s4 )n4σ
= (ŝ1 ∂ζ + t̂1 ∂θ )n1σ (s1 ∂σ + t1 ∂τ )n1σ (ŝ2 ∂ζ + t̂2 ∂θ )n2σ (s2 ∂σ + t2 ∂τ )n2σ
(ζ t̂3 − θŝ3 )n3σ (σt3 − τ s3 )n3σ (ζ t̂4 − θŝ4 )n4σ (σt4 − τ s4 )n4σ .
(7.6.46) st1st2
Для того, чтобы выполнить дифференцирование в (7.6.46) по s1 , t1 , . . . , s4 , t4 , воспользуемся тождествами типа [ŝk ∂ζ + t̂k ∂θ , sk ∂σ + tk ∂τ ] = (∂ζ ∂σ + ∂θ ∂τ ). Тогда выражение
(7.6.46) приводится к виду
n1σ ! n2σ ! n3σ ! n4σ ! × (∂ζ ∂σ + ∂θ ∂τ )n1σ +n2σ (ζσ + θτ )n3σ +n4σ ,
(7.6.47) nov22-i
где согласно (7.6.33) мы имеем n1σ + n2σ = n3σ + n4σ = 2j12 . Наконец, применяя
(7.5.72), мы получаем
(∂ζ ∂σ + ∂θ ∂τ )n1σ +n2σ (ζσ + θτ )n3σ +n4σ = (n3σ + n4σ )! (1 + n3σ + n4σ )! =
= 2j121+1 (1 + n1σ + n2σ )! (1 + n3σ + n4σ )! .
(7.6.48) nov22-j
Собирая появившиеся в (7.6.45), (7.6.47), (7.6.48) множители, мы приходим к результату (7.6.42).
Подставим выражения (7.6.42), (7.6.43) в (7.6.41), в результате чего получим
{
}
′
j1 j2 j12
= (−1)B ∆(j1 , j2 , j12 )∆(j2 , j3 , j23 )∆(j1 , j23 , j5 )∆(j12 , j3 , j5 )
j j j
3
5
23
×
1
(I23 , I12 )
µ12 µ23
(7.6.49) nov22-b
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
340
где ∆(p, q, r) — треугольные коэффициенты, заданные в (7.5.69), и в знаменателе
стоят факторы µ12 и µ23 , фигурирующие в (7.6.42), (7.6.43). Отметим, что с точно- VRJ
стью до замены j3 ↔ j4 произведение ∆-факторов в (7.6.49) совпадает с произведением, приведенным в (7.6.18) (смотри также [20], формула (108.10)).
Замечание. С точки зрения описания симметрий 6-j символа (7.6.41), (7.6.49) оказывается более полезным описывать его не в терминах шести спинов jk , а в терминах
двенадцати неотрицательных целых параметров, фигурирующих в (7.6.33), (7.6.37).
Эти параметры удобно представлять в виде таблицы 3 × 4, которая была введена
Шелепиным [50] и называется R-символом:
n34 r23 r14 n12
r3σ n3σ n1σ r1σ
r4σ n2σ n4σ r2σ
=
R11 R12 R13 R14
R21 R22 R23 R24
R31 R32 R33 R34
{
=
j1 j2 j12
j3 j5 j23
}
.
Например, было показано, что 6-j символ не меняется при произвольной перестановке
строк или столбцов в R-символе.
• Задача 236. Проверить тождества, которые связывают параметры Rαp :
Rαp + Rβq = Rαq + Rβp ,
(α, β = 1, 2, 3; p, q = 1, 2, 3, 4) .
Найти все соотношения типа 2j1 = R13 + R24 = R14 + R23 , которые выражают спины jk через коэффициенты Rαp .
2. Метод производящих функций.
VRJ
Рассмотрим функции
K12 (z12 , ziσ , z34 ) = exp [z12 (s1 t2 − t1 s2 ) + z1σ (s1 ∂σ + t1 ∂τ ) + z2σ (s2 ∂σ + t2 ∂τ )]
× exp [z3σ (σt3 − τ s3 ) + z4σ (σt4 − τ s4 ) + z34 (s3 t4 − t3 s4 )] |σ,τ =0 ,
K23 (w23 , wiσ , w14 ) = exp [w23 (s2 t3 − t2 s3 ) + w2σ (s2 ∂ζ + t2 ∂θ ) + w3σ (s3 ∂ζ + t3 ∂θ )]
× exp [w1σ (θs1 − ζt1 ) + w4σ (ζt4 − θs4 ) + w14 (s1 t4 − t1 s4 )] |ζ,θ=0 .
(7.6.50) ja1301
Коэффициенты их разложений по мономам
n12
n1σ
n2σ
n3σ
n4σ
n34
(z12
· z1σ
· z2σ
· z3σ
· z4σ
· z34
)
,
n12 ! n1σ ! n2σ ! n3σ ! n4σ ! n34 !
r23
r1σ
r2σ
r3σ
r4σ
r14
(w23
· w1σ
· w2σ
· w3σ
· w4σ
· w14
)
,
r23 ! r1σ ! r2σ ! r3σ ! r4σ ! r14 !
(7.6.51) ja1302
совпадают соответственно с векторами I12 и I23 , которые заданы в (7.6.39) и (7.6.40).
Выполним в (7.6.50) дифференцирование по ζ, θ, σ, τ , воспользовавшись стандартными формулами типа ea∂θ F (θ) = F (θ + a)ea∂θ . В результате для функций K12 и K23
получаем формулы:
[
]
[
]
∑
∑
K12 = exp
zpq (sp tq − tp sq ) , K23 = exp
wij (si tj − ti sj ) ,
(7.6.52) ja1303
p<q
i<j
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
341
где i, j, p, q = 1, 2, 3, 4 и наборы переменных таковы:
z : (z12 ; z13 = z1σ z3σ ; z14 = z1σ z4σ ; z23 = z2σ z3σ ; z24 = z2σ z4σ ; z34 ) ,
w : (w12 = w1σ w2σ ; w23 ; w24 = w2σ w4σ ; w13 = w1σ w3σ ; w14 ; w34 = w3σ w4σ ) .
(7.6.53) nov22-l
Теперь выражение
1
(I23 , I12 ) ,
µ12 µ23
(7.6.54) ja1304
где µ12 , µ23 определены в (7.6.44), можно представить как коэффициент при мономе
r23
r1σ
r2σ
r3σ
r4σ
r14
n12
n1σ
n2σ
n3σ
n4σ
n34
(w23
· w1σ
· w2σ
· w3σ
· w4σ
· w14
) · (z12
· z1σ
· z2σ
· z3σ
· z4σ
· z34
),
в разложении производящей функции (7.6.52):
{ [
]
[
]}
∑
∑
K(wij , zpq ) = exp
wij (ŝi t̂j − t̂i ŝj ) ×exp
zpq (sp tq − tp sq )
p<q
i<j
(7.6.55) nov22-n
VRJ
. (7.6.56) nov22-k1
si =ti =0
Напомним, что здесь мы используем обозначение ŝi = ∂si , t̂i = ∂ti . Для дальнейшего
нам удобно доопределить zij и wij при i > j как антисимметричные матрицы ||wij ||
и ||zij || с элементами zij = −zji и wij = −wji .
Утверждение 7.6.3 Рассмотрим d-мерный аналог функции (7.6.56), то есть индексы i, j, p, q пробегают значения {1, 2, . . . , d}, а переменные zij и wij определяют
антисимметричные d-мерные матрицы w = ||wij || и z = ||zij ||. Тогда для d-мерной
функции (7.6.56) имеет место детерминантное представление
K(wij , zpq ) =
1
,
det(Id + w · z)
(7.6.57) ja1305
где Id — единичная d-мерная матрица.
Доказательство. Прежде всего запишем d-мерную функцию K(wij , zpq ), заданную
в (7.6.56), как матричный элемент
K(wij , zpq ) = ⟨Kw |Kz ⟩ ,
(7.6.58) ja1307
где
|Kz ⟩ = exp
( d
∑
)
zij a†i b†j
|0⟩ ,
⟨Kw | = ⟨0|exp
i,j=1
( d
∑
)
wij ai bj
,
(7.6.59) ja1306
i,j=1
а {ai , a†i } и {bj , b†j } – два набора независимых операторов рождения и уничтожения VRJ
для d-мерных осцилляторов (смотри раздел 7.3.2). Воспользуемся условием полноты
(7.3.73) для когерентных состояний |α∗ , β ∗ ⟩ в голоморфном представлении:
ai |α∗ , β ∗ ⟩ = αi∗ |α∗ , β ∗ ⟩ ,
bj |α∗ , β ∗ ⟩ = βj∗ |α∗ , β ∗ ⟩ ,
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
342
и перепишем матричный элемент (7.6.58) в виде:
∫
∗
∗
⟨Kw |Kz ⟩ = dµ(α, α∗ ) dµ(β, β ∗ ) e−αi αi −βi βi ⟨Kw |α∗ , β ∗ ⟩ ⟨α, β|Kz ⟩ =
(
)
∫
∗
∗
∗ ∗
= dµ(α, α ) dµ(β, β ) exp wij αi βj + zij αi βj exp [−αi αi∗ − βi βi∗ ] ,
(7.6.60) ja1308
где мы опустили знаки суммирования по повторяющимся индексам, и мера dµ(α, α∗ )
определена в (7.3.66). Гауссов интеграл (7.6.60) можно вычислить, сделав замену
переменных интегрирования: βi → γi + αk∗ wki , βi∗ → γ̄i + αk zki . В результате получаем
(∫
)
(
)) ( ∫
∗
∗
−γi γ̄i
⟨Kw |Kz ⟩ =
dµ(α, α ) exp −αi (δij + wik zkj )αj
dµ(γ, γ̄) e
, (7.6.61) ja1309
где первый интеграл по αi и αi∗ равен det−1 (I + w z), а интеграл по γi и γ̄i равен
единице.
Замечание. Детерминант det(I + wz) в правой части (7.6.57) представляет собой
весьма примечательный объект. Например, этот детерминант всегда представляется VRJ
в виде квадрата от некоторого четного полинома по переменным wij и zij . Проще
всего это продемонстрировать следующим образом. Пусть A, B, C и D — четыре ISA
d × d матрицы. Для любой 2d × 2d матрицы имеет место следующее тождество
(
)
A B
det
= det(A) det(D − C · A−1 · B) ,
(7.6.62) ja1501
C D
которое следует из очевидного разложения
)
) (
)(
(
A 0
Id
A−1 · B
A B
,
=
C Id
0 D − C · A−1 · B
C D
где 0 – нулевая d × d матрица. Положим A = −Id , B = z, C = w и D = Id , тогда из
(7.6.62) следует, что
(
)
−Id z
det
= det(−Id ) det(Id + w · z) = (−1)d det(Id + w · z) ,
w Id
или, переставляя столбцы в матрице в левой части этого соотношения, мы получаем
(
) [ (
)]2
z −Id
z −Id
.
(7.6.63) ja1502
det(Id + w · z) = det
= Pf
Id w
Id w
)
(
z −Id
— четно-мерная
Здесь мы воспользовались тем, что матрица Z(z, w) =
Id w
и антисимметричная, и поэтому для нее определен пфаффиан и применима формула
(2.2.24). Из равенства
(
)
(
)
Id 0
Id 0
T
Z(−z, −w) =
· Z(z, w) ·
,
0 −Id
0 −Id
и тождества (2.2.29) следует, что Pf (Z(z, w)) = Pf (Z(−z, −w)), то есть Pf (Z(z, w))
— четный полином по переменным wij и zij .
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
343
Утверждение 7.6.4 Пусть w и z две d-мерные антисимметричные матрицы. Тогда имеет место следующая формула

2
[ d2 ]
k
∑
(−1)
(7.6.64) ja1314
det(Id + w · z) = 1 +
w
ei1 ...id−2k · zei1 ...id−2k  ,
(d
−
2k)!
k=1
где [ d2 ] — целая часть d2 и
zei1 ...id−2k =
1
εi ...i
zj j zj j · · · zj2k−1 j2k .
j j j j ...j
2k k! 1 d−2k 1 2 3 4 2k 1 2 3 4
— объект, который естественно назвать неполным пфаффианом.
VRJ
Доказательство. Cоотношение (7.6.64) следует из равенства


[ d2 ]
(
)
k
∑ (−1)
z −Id
Pf
= (−1)n(n+1)/2 1 +
w
ei1 ...id−2k · zei1 ...id−2k  ,
Id w
(d
−
2k)!
k=1
которое получается непосредственно с помощью вычисления пфаффиана по формуле ISA
(2.2.21).
Приведем явные выражения для det(Id + wz) для некоторых первых значений d.
Для d = 2 и d = 3, то есть для случая 2 × 2 и 3 × 3 матриц, мы соответственно имеем
[
]2
∑
2
det(I2 + wz) = [1 − z12 w12 ] , det(I3 + wz) = 1 −
zij wij .
i<j
Эти формулы легко проверяются прямым вычислением. Для 4 × 4 матриц из (7.6.64)
следует формула:
[
]2
∑
det(I4 + wz) = 1 −
zij wij + Pf(z) · Pf(w) ,
(7.6.65) ja1311
i<j
где пфаффиан Pf(z), согласно его определению (2.2.21), равен
1
Pf(z) = εijkm zij zkm = (z12 z34 − z13 z24 + z23 z14 ) .
8
Наконец, для 5 × 5 матриц мы получаем
[
det(I5 + wz) = 1 −
∑
(7.6.66) ja1312
]2
zij wij + zeℓ w
eℓ
,
i<j
где zeℓ = 18 εijkmℓ zij zkm . Например, ze1 = (z23 z45 − z24 z35 + z34 z25 ), сравните с (7.6.66).
3. Выражения для 6-j -символов
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
344
Для вычисления 6-j символов нам необходимо воспользоваться выражением для
детерминанта в правой части (7.6.57) для случая d = 4. В этом случае, пользуясь
(7.6.65) и (7.6.66), мы для производящей функции (7.6.56) получаем
[
]−2
1
K = 1 − zij wij + (z12 z34 − z13 z24 + z23 z14 )(w12 w34 − w13 w24 + w23 w14 )
. (7.6.67) nov22-q
2
Для специальных наборов (7.6.53) переменных zij и wij выражение (7.6.67) упрощается, поскольку z13 z24 = z14 z23 , w12 w34 = w13 w24 . Имеем поэтому
1
K(zij , wij ) = [
(∑
)
]2 .
z
w
1−
+
z
z
w
w
12 34 23 14
i<j ij ij
(7.6.68) ja1315
Это и есть окончательное выражение для производящей функции 6-j -символов. Нас
интересует коэффициент при мономе (7.6.55) в разложении функции K (7.6.68). Запишем
[(
)
]Q
∑
∑
K(zij , wij ) =
(Q + 1)
zij wij − z12 z34 w23 w14
i<j
Q
 [(
)
]Q 


∑
∑
1
=
(Q + 1)!
zij wij − z12 z34 w23 w14
, (7.6.69) ja1316
 Q!

i<j
Q
и разложим функцию, стоящую в фигурных скобках с помощью обобщения биномиального разложения:
∑
[x1 + . . . + xk ]Q =
a1 ,...,ak
a1 +...+ak =Q
Q!
xa11 · · · xakk .
a1 ! · · · ak !
(7.6.70) ja1321
• Задача 237. Доказать формулу (7.6.70) по индукции.
Для общего члена разложения в фигурных скобках в (7.6.69) будем иметь
(
)
∏ (wij zij )aij
(w23 w14 z12 z34 )b
(−1)b ·
·
,
a
!
b!
ij
i<j
где aij (i < j) и b – целые числа, удовлетворяющие соотношению
∑
aij + b = Q .
(7.6.71) nov22-p
i<j
Принимая во внимание соответствие (7.6.53), распишем этот общий член явно
(w1σ w2σ z12 )a12 (w1σ w3σ z1σ z3σ )a13 (w14 z1σ z4σ )a14
·
·
a12 !
a13 !
a14 !
(w23 z2σ z3σ )a23 (w2σ w4σ z2σ z4σ )a24 (w3σ w4σ z34 )a34 (w23 w14 z12 z34 )b
×
·
·
·
.
a23 !
a24 !
a34 !
b!
(−1)b ·
7.6 Тензорные операторы и 3n-j символы.
345
Сравнивая этот общий член с мономом (7.6.55), и учитывая (7.6.71), мы получаем
набор уравнений на параметры aij , b, для которых, вспоминая (7.6.33) и (7.6.37),
находим
b = j1 + j2 + j3 + j5 − Q
a12 = Q − j3 − j12 − j5
a13 = j1 + j3 + j12 + j23 − Q
a14 = Q − j2 − j3 − j23
a23 = Q − j1 − j23 − j5
a24 = j2 + j12 + j23 + j5 − Q
a34 = Q − j1 − j2 − j12
(7.6.72)
Это дает ответ для скалярного произведения (7.6.54)
∑
1
(Q + 1)!
) ,
(−1)Q (∏
(I23 , I12 ) = (−1)j1 +j2 +j3 +j5
µ12 µ23
a ! b!
Q
i<j
ij
и соответственно для 6j-символа (7.6.49):
{
}
′
j1 j2 j12
= (−1)B +j1 +j2 +j3 +j5 ∆(j1 , j2 , j12 )∆(j2 , j3 , j23 )∆(j1 , j23 , j5 )∆(j3 , j12 , j5 )
j j j
3
5
23
×
∑
(Q + 1)!
) .
(−1)Q (∏
a
!
b!
Q
i<j ij
(7.6.73) ja1323
Этот ответ с точностью до замены j3 ↔ j12 (напомним, что j12 = j4 , j23 = j6 ), Q → k
′
и выбора знакового фактора (−1)B +j1 +j2 +j3 +j5 = 1 совпадает с (7.6.18) (смотри также
[20], формула (108.10)).
В заключение отметим, что выбор B ′ = −(j1 + j2 + j3 + j5 ) + mod(2), который
убирает фазовый множитель в (7.6.73), согласно определению B ′ = j1 − j2 − j3 + j5 −
B(..., j4 , j3 , ...) в (7.6.28) дает B(..., j4 , j3 , ...) = 2j1 + 2j5 , что не совпадает с определением в [20] (смотри обсуждение перед формулой (7.6.18)).
8 КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ SU (N ) И SL(N ) И ИХ АЛГЕБР ЛИ.346
8
Конечномерные представления SU (N ) и SL(N ) и
их алгебр Ли.
План.
1. Группа перестановок.
2. Прямое произведение определяющих представлений SU (N ) и SL(N ).
3. Выделение неприводимых представлений, диаграммы Юнга, дуальность ШураВейля.
4. Формула для размерностей Вейля.
5. Разложение представлений SU (N ) по представлениям SU (N − 1).
Все конечномерные неприводимые представления групп SU (N ) и SL(N ) можно
строить как подпредставления в тензорном произведении определяющих представлений T этих групп. При этом оказывается, что неприводимые представления SL(N )
(или SU (N )), которые выделяются из представления T ⊗r , классифицируются c помощью неприводимых представлений симметрической группы Sr . Данная замечательная связь между представлениями линейных групп Ли и симметрической группой называется дуальностью Шура-Вейля. Поэтому прежде чем перейти к изучению
конечномерных неприводимых представлений групп SU (N ) и SL(N ), мы сначала
обсудим некоторые простые факты из теории симметрической группы.
8.1
Группа перестановок (симметрическая группа) Sn .
Определение группы перестановок (симметрической группы) Sn было дано в Примере 7. Раздела 2.1.1. Там же было отмечено, что элементы группы перестановок Sn
удобно представлять в виде
(
)
1 2 3 ... n − 1 n
A=
,
(8.1.1) perm1
a1 a2 a3 . . . an−1 an
где {a1 , a2 , . . . , an } – некоторое новое размещение чисел {1, 2, . . . , n}. Перестановки
также удобно изображать графически. Например, перестановку
(
)
1 2 3 4 5 6 7
∈ S7 ,
(8.1.2) perm1a
3 6 4 1 2 5 7
можно представить в виде косы, состоящей из семи прядей:
•H
•XXX• • •
•
•
•
•
•
•?
1
2
3
4
5
6
HH
XX
@
H
@ XXXXX
H
H
R
@
X
)
)
j
z
X
1
2
•
3
•
4
•
5
6
7
(8.1.3) perm1b
7
В таком представлении коса, соответствующая произведению A·B двух перестановок
A, B ∈ Sn , изображается следующим образом: сначала рисуется коса из n прядей,
соответствующая первой перестановке B, а затем к ней снизу пририсовывается коса
8.1 Группа перестановок (симметрическая группа) Sn .
347
из n прядей, соответствующая второй перестановке A. В результате получается коса,
отвечающая перестановке A · B. Эта процедура соответствует правилу произведения
перестановок, которое было указано в (2.1.11).
Напомним, что циклическими перестановками или циклами (a1 , a2 , . . . , ak ) (∀k ≤
n) мы называем перестановки, которые объекты {a1 , a2 , . . . , ak } переставляют циклически a1 → a2 , a2 → a3 , . . ., ak−1 → ak , ak → a1 , а остальные (n − k) объектов
оставляют неизменными. Для упрощения записи циклы, состоящие из одного элемента, не выписываются. Любая перестановка распадается в произведение циклов
(смотри Задачу 7). Циклы (a, b) длины 2, переставляющие лишь два различных символа, называется транспозициями.
Утверждение 8.1.1 Любой цикл распадается в произведение транспозиций:
(a1 , a2 , . . . , an ) = (a1 , an )(a1 , an−1 ) · · · (a1 , a2 ) .
(8.1.4) tr1
Доказательство. Докажем сначала следующее утверждение (∀k > 2)
(8.1.5) tr2
(a1 , a2 , . . . , ak ) = (a1 , ak )(a1 , a2 , a3 , . . . , ak−1 ) ,
которое проверяется прямым вычислением: (a1 , ak )(a1 , a2 , a3 , . . . , ak−1 ) =
(
) (
) (
)
a1 a2 . . . ak−1 ak
a1 a2 . . . ak−2 ak−1 ak
a1 a2 . . . ak−2 ak−1 ak
=
·
=
.
ak a2 . . . ak−1 a1
a2 a3 . . . ak−1 a1 ak
a2 a3 . . . ak−1 ak a1
Напоминаем, что первой перестановкой считается перестановка, которая стоит справа. Пользуясь графическим представлением (8.1.3), это тождество можно изобразить
в виде
•1
•2 . . . k−2
•k−1
•
•k
@
@
@
@
(a1 , a2 , . . . , ak−1 ) = @
. . . @
@
R
@
R
@
R• •? =
)X • . . . • @
•X
XXX
X
.
. .X
X
(a1 , ak ) =
XXX
9•? . . . •?
z•
•
•? X
a
a1
a2
a
a
ak−2
a
ak−1
a
a1
•
• . . . k−1
••k
@
@
@
@
@
= (a1 , . . . , ak )
@
@
.
.
.
@
R
R
@
R
@
)
•
•
•
•
a2
a
a
a1
a2
ak−1
ak
ak
Применяя (8.1.5) последовательно для k = n, n − 1, . . . , 3:
(a1 , a2 , . . . , an ) = (a1 , an )(a1 , . . . , an−1 ) = (a1 , an )(a1 , an−1 )(a1 , . . . , an−2 ) = . . . ,
мы получаем (8.1.4).
Так как любая перестановка записывается в виде произведения циклов, то из
Утверждения 8.1.1 следует, что любая перестановка представима в виде произведения транспозиций. Более того, любая перестановка записывается в виде произведения соседних транспозиций (k, k + 1) = σk . Это следует из того, что любая транспозиция представляется в виде произведения соседних транспозиций. Последнее утверждение легко пояснить с помощью следующего рассуждения: осуществляя последовательные соседние перестановки, любой объект ai из n объектов {a1 , a2 , . . . , an }
8.1 Группа перестановок (симметрическая группа) Sn .
348
можно поставить на место любого другого элемента aj , а элемент aj переместить
на место ai и при этом остальные объекты останутся на своих местах. Например,
для случая j > i, мы сначала переставляем ai и ai+1 , то есть делаем транспозицию
σi , при этом объект ai будет расположен на (i + 1)-ом месте, а ai+1 встанет на i-ое
место. Потом к новому размещению {ak } применяем соседнюю транспозицию σi+1 ,
чтобы поставить ai на (i + 2)-ое место и так далее. Последняя соседняя транспозиция σj−1 поставит объект ai на j-ое место, а все объекты am (m = i + 1, . . . , j) будут
располагаться на (m − 1)-ом месте. После этого, точно также (с помощью соседних
транспозиций), объект aj с (j − 1)-ого места можно передвинуть влево на i-ое место.
В результате получаем тождество
(i, j) = σi · σi+1 · · · σj−2 · σj−1 · σj−2 · · · σi+1 · σi .
(8.1.6) sigkj
Так как любая перестановка представима в виде произведения транспозиций (смотри Утверждение 8.1.1), то согласно (8.1.6) любую перестановку можно представить
в виде произведения соседних транспозиций σk . Таким образом, мы докозали, что
соседние транспозиции составляют полный набор образующих группы перестановок.
• Задача 238. Проверить формулу (8.1.6), пользуясь правилом произведения
перестановок (2.1.11). Записать перестановку (8.1.2) в виде произведения
соседних транспозиций σi ∈ S7 .
Для группы Sn обычно выбирают один из 2-х наборов образующих:
1.) Набор из всех соседних транспозиций, то есть набор из (n − 1)-ой образующей
σi = (i, i + 1) (i = 1, . . . , n − 1), которые удовлетворяют соотношениям
σi · σj = σj · σi ,
(|i − j| > 1) ,
σi · σi+1 · σi = σi+1 · σi · σi+1 ,
(8.1.7) local
(8.1.8) braid
причем для каждой соседней транспозиции мы имеем
σi2 = e ,
(i = 1, . . . , n − 1) ,
(8.1.9) braid-p
где e — тождественная перестановка. Элементы σi очевидно обратимы: из тождества
(8.1.9) следует, что σi−1 = σi
2.) Набор из двух образующих – первой транспозиции σ1 = (1, 2) и самого длинного
цикла C = (1, 2, . . . , n).
• Задача 239. Доказать соотношения (8.1.8) для соседних транспозиций σi =
(i, i + 1). Доказать, что набор из двух элементов — первой транспозиции
σ1 = (1, 2) и самого длинного цикла C = (1, 2, . . . , n) являются образующими всей группы Sn (указание: использовать соотношения C · σi · C −1 =
σi+1 ).
8.1 Группа перестановок (симметрическая группа) Sn .
349
Если не требовать выполнения тождества (8.1.9), то образующие σi , удовлетворяющие только соотношениям (8.1.7) и (8.1.8), порождают группу Bn , которая называется группой кос. Тождества (8.1.7) и (8.1.8) называются сответственно соотношениями локальности и соотношениями группы кос. Такое название оправдывается тем,
что, например, соотношения (8.1.8) изображаются графически в виде тождественности двух кос, состоящих из трех прядей (линий):
•
i+1
•?
@
R•
• @
i
@
@
σi+1 · σi · σi+1 =
•
•
•
i+2
@
@
R•
@
• @
=
•?
@
@
•
i
@
R•
•? • @
•
где мы воспользовались представлением
•
• ... •
•?
•2?. . . a•
1
σa =
1
i+2
•
σi · σi+1 · σi
•
• ... •
a
2
•
i+1
@
@
R•
@
• @
•?
@
@
=
R•
@
•? • @
@
@
@
R
@
?
a+1
n
@
@
@
@
R
(8.1.10) figas
• . . . n•?
a+1
Отметим, что в случае группы Bn при изображении пересечения линий (прядей косы)
важно, что одна из линий проходит сверху, а другая — снизу, как это изображено на
(8.1.10). В случае группы Sn это не существенно (смотри представление (8.1.3)), так
как в силу соотношения (8.1.9) мы имеем
•
•
•
i
i
i+1
@
@
@
@
R
σi =
•
@
@
=
•
•
•
i+1
= σi−1
@
@
R•
Группа кос Bn , в отличии от группы перестановок Sn , имеет бесконечный порядок.
Это следует из того, что все степени элементов σi , то есть элементы σik ∈ Bn (k =
1, 2, . . .), оказываются нетривиальными и независимыми. Например:
•
i
@
@
σi2
=
•
i+1
@
R•
• @
@
@
@
R•
• @
̸=
i
•
i+1
•
•?
•? = e ,
•?
•?
то есть, коса σi2 ∈ Bn имеет нетривиальное зацепление, которое нельзя распутать.
Графическое представление (8.1.10) для образующих σi ∈ Sn подсказывает для
них важную матричную реализацию T , которая соответственно определяет матричную реализацию всей группы Sn . Сопоставим каждой вершине с номером a (a =
1, . . . , n) на диаграмме (8.1.10) в верхнем ряду индекс ka , а в нижнем ряду – индекс
ja , и пусть индексы ka и ja пробегают N значений: 1, 2, . . . , N . Каждой стрелке, связывающей вершины с индексами ka и jb сопоставим символ Кронекера δjkba . В результате
для транспозиции σa (8.1.10) получаем представление в виде матрицы
k
k
k
k1
k2
kn
a−1
a+1 ka
a+2
n
σa → (T (σa ))k1j1...k
...jn = δj1 · δj2 · · · δja−1 · δja δja+1 · δja+2 · · · δjn .
(8.1.11) matSn
8.1 Группа перестановок (симметрическая группа) Sn .
350
Пусть P — оператор перестановки, заданный в (4.4.13), (4.4.14). Тогда матрица
(8.1.11) соответствует оператору
T (σa ) = IN ⊗ · ⊗ IN ⊗P ⊗ IN ⊗ · ⊗ IN ,
|
{z
}
|
{z
}
a−1
(8.1.12) matSn2
n−a−1
который действует в пространстве VN⊗n тензорного произведения N -мерных векторных пространств VN = CN . Произведению двух перестановок A, B ∈ Sn сопоставляется произведение соответствующих матриц
j1 ...jn
n
n
(T (A · B))k1m...k
= (T (A))k1j1...k
...jn (T (B)) m1 ...mn ,
1 ...mn
(8.1.13) matSn1
поэтому отображение (8.1.11) задает матричное представление группы Sn .
• Задача 240. Проверить, что соотношения группы кос (8.1.8) выполняются для
матричной реализации (8.1.11), (8.1.12).
Напомним (смотри Определение 2.1.5), что перестановки, которые представляются в виде произведения четного (нечетного) числа транспозиций, называются четными (нечетными). При этом следует отметить, что перестановки записываются в
виде произведения транспозиций неоднозначно, так как для транспозиций имеют
место соотношения
(i, j) · (j, k) = (j, k) · (i, k) = (i, k) · (i, j) ,
(i, j) · (k, m) = (k, m) · (i, j)
(i, j)2 = e
(∀ i, j, k) ,
(i ̸= k ̸= j , i ̸= m ̸= j) .
(8.1.14) tr3
• Задача 241. Доказать формулы (8.1.14) для транспозиций (i, j).
Тем не менее видно, что преобразования, использующие соотношения (8.1.14), сохраняют четность перестановки. Четные перестановки образуют подгруппу в группе
перестановок Sn (произведение двух четных перестановок имеет представление в виде произведения четного числа транспозиций и, таким ообразом, снова есть четная
перестановка). Эта подгруппа обозначается An и называется альтернативной (или
знакопеременной) подгруппой. Подгруппа An является инвариантной подгруппой в
группе Sn , так как очевидно, что присоединенное преобразование h → g · h · g −1
(∀g ∈ Sn ) сохраняет четность элементов h.
Напомним (смотри Утверждение 2.1.3), что в группе Sn две перестановки, имеющие одинаковое разложение в произведение циклов (то есть одинаковое количество
циклов и одинаковые длины соответствующих циклов), содержатся в одном и том
же классе сопряженных элементов. Для того, чтобы решить вопрос, входят ли две
перестановки A и B в один и тот же класс сопряженности, удобно расположить все
циклы, входящие в A (или B), слева на право в порядке убывания их длин, пока самый короткий цикл не окажется на последнем месте справа. Если длины всех
циклов λ1 , λ2 , ..., λm и их число одинаковы для перестановок A и B, то эти перестановки принадлежат одному и тому же классу сопряженности, в противном случае
8.1 Группа перестановок (симметрическая группа) Sn .
351
это не так. Таким образом, каждый класс характеризуется последовательностью целых чисел λ = [λ1 , λ2 , . . . , λm ], удовлетворяющих условиям λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λm и
λ1 + λ2 + . . . + λm = km = n. Каждая такая последовательность называется разбиением числа n и обозначается λ ⊢ n. Удобно представлять различные разбиения λ ⊢ n в
виде диаграммы Юнга
m1
λ=
λ(1)
m2
m3
mk
⇔
λ(2)
mk
m2
1
λ = [λm
(1) , λ(2) , . . . , λ(k) ] ,
(8.1.15) qdima01
. . . λ(3)
λ(k)
которая изображает перестановки, имеющие m1 циклов с длиной λ(1) (то есть длины
первых m1 циклов совпадают λ1 = . . . = λm1 и равны λ(1) ), m2 циклов c длиной λ(2) ,
и т.д. Конкретную перестановку, например (2.1.25):
(a1 , a2 , . . . , aλ1 ) (aλ1 +1 , aλ1 +2 . . . , aλ1 +λ2 ) · · · (aλ1 +...+λm−1 +1 , . . . , aλ1 +...+λm ) ,
|
{z
} |
{z
}
{z
}
|
λ1
λ2
λm
можно представить в виде таблицы, заполняя клетки диаграммы Юнга соответствующими элементами
a1
a2 a3 . . . . . . ak1
ak1 +1 ak1 +2 . . . . . . ak2
(8.1.16) Acyc1
...
... ... ...
akm−1 +1 . . . akm
Здесь мы положили k1 = λ1 , k2 = λ1 + λ2 , ... , km = λ1 + ... + λm = n.
Примеры.
1. Рассмотрим группу перестановок S3 . Мы имеем следующие разбиения 3! = 6 перестановок 3-х элементов на 3 различных класса сопряженных элементов:
1. e = (1)(2)(3),
2. (1, 2), (1, 3), (2, 3),
3. (1, 2, 3), (1, 3, 2),
(8.1.17) Acyc5
Соответствующие диаграммы Юнга имеют вид
•
= •• = [13 ] ,
= ••
• = [2, 1] ,
= ••• = [3] .
Согласно (8.1.17) размерности классов [13 ], [2, 1], [3] соответственно равны 1,3,2.
2. Рассмотрим группу перестановок S4 . Мы имеем следующие разбиения 24-х перестановок 4-х элементов на 5 различных классов (# — обозначает их размерность)
1. e = (1)(2)(3)(4)
∈
••
4
•• = [1 ] (#1),
2. (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)
3. (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)
∈
••
2
•
• = [2, 1 ] (#6),
••
•• = [2, 2] (#3),
∈
(8.1.18) dimS4
8.1 Группа перестановок (симметрическая группа) Sn .
4. (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3),
(2, 3, 4), (2, 4, 3) ∈ •••• = [3, 1] (#8),
352
(8.1.19) dimS4a
5. (1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2),
•••• = [4] (#6),
(1, 4, 2, 3), (4, 3, 2, 1) ∈
∑
# = 1 + 6 + 3 + 8 + 6 = 24 = 4! .
Оказывается, что для числа сопряженных элементов класса Kλ ⊂ Sn , где λ =
mk
m2
1
[λm
(1) , λ(2) , . . . , λ(k) ], можно получить общую формулу.
Утверждение 8.1.2 Рассмотрим класс Kλ сопряженных элементов, которые имеmk
m2
1
ют разложение в циклы, соответствующее диаграмме Юнга λ = [λm
(1) , λ(2) , . . . , λ(k) ],
представленной в (8.1.15). Тогда, число |Zλ | перестановок g ∈ Zλ ⊂ Sn таких, что
фиксированный элемент κ ∈ Kλ – стабилен (т.е. g κ g −1 = κ) равно
mk
m2
1
|Zλ | = m1 ! λm
(1) m2 ! λ(2) · · · mk ! λ(k) ,
(8.1.20) zlam
а число элементов в классе Kλ определяется формулой
|Kλ | =
n!
n!
=
mk .
m1
2
|Zλ |
m1 ! λ(1) m2 ! λm
(2) · · · mk ! λ(k)
(8.1.21) klam
Доказательство. Согласно (8.1.15), (8.1.16) перестановка g ∈ Zλ оставляющая элемент κ ∈ Kλ – стабильным, либо переставляет в λ циклы одинаковой длины, либо делает циклическую перестановку элементов внутри цикла. Tо есть, для циклов
i
длины λ(i) , которых mi штук, имеется mi ! способов для первого действия и λm
(i) для
второго действия. Произведение этих чисел дает (8.1.20).
Заметим, что Zλ – подгруппа в Sn . Вся группа Sn действует на κ преобразованием
сопряжения κ → gκg −1 так, что все элементы g из левого смежного класса h · Zλ (для
некоторого фиксированного h ∈ Sn )) переводят κ в один и тот же элемент hκh−1 .
Более того, разные элементы из множества gκg −1 (∀g ∈ Sn ) соответствуют разным
смежным классам по подгруппе Zλ , т.к. из hκh−1 ̸= h′ κh′ −1 следует, что h−1 h′ ∈
/ Zλ .
Т.о., число элементов в классе Kλ равно числу смежных классов в Sn по подгруппе
Zλ и, пользуясь Теоремой Лагранжа (смотри Задачу 14) и формулой (8.1.20), мы
получаем (8.1.21).
Заметим, что формула (8.1.21) имеет нетривиальный комбинаторный смысл, так как
все числа |Kλ | должны быть целыми, а их сумма ∑
по всем разбиениям λ ⊢ n равняется ord(Sn ) = n!, то есть мы имеем тождество
|Zλ |−1 = 1, которое допускает
λ⊢n
вероятностную интерпретацию.
• Задача 242. Посчитать по формуле (8.1.21) размерность классов сопряженности в S4 , которые соответствуют диаграммам [14 ], [2, 12 ], [22 ], [3, 1],
[4] и сравнить эти размерности с размерностями, указанными в (8.1.18),
(8.1.19). Посчитать по формуле (8.1.21) размерность классов сопряженности в S5 , которые соответствуют диаграммам [15 ], [2, 13 ], [22 , 1], [3, 12 ],
[3, 2], [4, 1], [5] и проверить, что сумма этих размерностей равна 5!.
8.2 Прямое произведение определяющих представлений SL(N ).
353
Напомним, что важность группы перестановок заключается в том, что любая конечная группа G порядка n является подгруппой в Sn (это следует из Теоремы Кэли
2.3.3). Поэтому в определенном смысле изучение всех конечных групп порядка n
сводится к изучению различных подгрупп группы перестановок Sn . Напомним также, что число неприводимых представлений конечной группы G совпадает с числом
классов сопряженных элементов в G (смотри Утверждение 4.6.4). На самом деле
эта связь более тесная и имеется взаимно однозначное соответствие между неприводимыми представлениями группы G и ее классами сопряженности. Так как классы
сопряженных элементов в Sn характеризуются диаграммами Юнга λ ⊢ n, то естественно ожидать и мы покажем это ниже, что неприводимые представления симметрической группы Sn также характеризуются диаграммами Юнга с n клетками.
8.2
Прямое произведение определяющих представлений SL(N ).
Пусть T — определяющее представление группы SL(N, C), действующее в N -мерном
комплексном векторном пространстве V = CN . Выберем в V базис {⃗ei } (i = 1, . . . , N ),
тогда действие элемента g = ||g ij || группы SL(N, C) в определяющем представлении
в пространстве V задается стандартным образом согласно (4.1.8)
T (g) · ⃗ei = ⃗ej g ji .
(8.2.1) resun0
⃗ = ψ i ⃗ei ∈ V действие (8.2.1) записывается
Соответственно на координатах вектора ψ
в виде
⃗ i = gi ψj .
ψ i → ψ ′i = [T (g) · ψ]
(8.2.2) resun1
j
Здесь и далее нам удобно размещать ”входящие” (соответствующие строкам) индексы
у матриц сверху, а ”исходящие” (соответствующие столбцам) — снизу.
Рассмотрим теперь тензорное произведение T ⊗r := T ⊗ · · · ⊗ T любого числа
r определяющих представлений T группы SL(N, C). Это представление (согласно
определению тензорного произведения представлений, данному в разделе 4.3.1) сопоставляет каждому элементу g = ||g i j || ∈ SL(N, C) оператор
T ⊗r (g) := T (g) ⊗ · · · ⊗ T (g) ,
{z
}
|
(8.2.3) resun6
r
который действует в тензорном произведении V ⊗r N -мерных векторных пространств
следующим образом
(T ⊗r (g)) · (⃗ei1 ⊗ · · · ⊗ ⃗eir ) = (⃗ej1 ⊗ · · · ⊗ ⃗ejr ) g j1i1 · · · g jrir ,
ψ i1 ...ir → ψ ′i1 ...ir = [(T ⊗r (g)) · Ψ]i1 ...ir = g i1j1 · · · g irjr · ψ j1 ...jr ,
(8.2.4) resun4
где Ψ = ψ j1 ...jr (⃗ej1 ⊗ · · · ⊗ ⃗ejr ) ∈ V ⊗r — тензор r-ого ранга, а ψ j1 ...jr — его координаты.
Единичный оператор IN⊗r в пространстве V ⊗r задается стандартным образом
(IN⊗r ) · (⃗ei1 ⊗ · · · ⊗ ⃗eir ) = (⃗ej1 ⊗ · · · ⊗ ⃗ejr ) δij11 · · · δijrr ,
ψ i1 ...ir → ψ ′i1 ...ir = [(IN⊗r ) · Ψ]i1 ...ir = δji11 · · · δjirr ψ j1 ...jr .
(8.2.5) resun5
8.2 Прямое произведение определяющих представлений SL(N ).
354
Очевидно, что единичный оператор коммутирует со всеми операторами, действующими в пространстве V ⊗r , в том числе и с операторами (T ⊗r (g)), то есть со всеми
элементами g ∈ SL(N, C) в представлении T ⊗r .
Рассмотрим теперь набор операторов s(σ), которые производят перестановку векторов в пространстве V ⊗r :
s(σ) · (⃗v1 ⊗ ⃗v2 ⊗ · · · ⊗ ⃗vr ) = (⃗vσ(1) ⊗ ⃗vσ(2) ⊗ · · · ⊗ ⃗vσ(r) ) ,
(8.2.6) resun7w
где σ обозначает соответствующую перестановку r элементов (1, 2, . . . , r):
(
)
1
2
...
r
σ=
.
σ(1) σ(2) . . . σ(r)
Из определения (8.2.6) следует, что оператор s(σ) имеет следующее матричное представление (сравните с (8.2.5)):
s(σ) · (⃗ei1 ⊗ ⃗ei2 ⊗ · · · ⊗ ⃗eir ) = (⃗eiσ(1) ⊗ ⃗eiσ(2) ⊗ · · · ⊗ ⃗eiσ(r) ) =
r
1
2
= (⃗ej1 ⊗ ⃗ej2 ⊗ · · · ⊗ ⃗ejr ) δijσ(1)
· δijσ(2)
· · · δijσ(r)
= (⃗ej1 ⊗ · · · ⊗ ⃗ejr ) [s(σ)]j1i1......jrir ,
(8.2.7) resun7
ψ i1 ...ir → ψ ′i1 ...ir = [s(σ) · Ψ]i1 ...ir = δji1σ(1) · · · δjirσ(r) ψ j1 ...jr ,
Таким образом, каждому элементу σ группы перестановок Sr сопоставляется оператор s(σ), заданный в (8.2.7). Примером оператора типа (8.2.7) для r = 2 служит
оператор перестановки P , определение которого было дано в (4.4.14). Для r = N в
качестве примера для (8.2.7) можно рассматривать операторы (8.1.11) и (8.1.12).
Пусть T — определяющее представление группы SL(N, C) в пространстве V и
X — SL(N, C)- инвариантный оператор в V ⊗r , то есть оператор, коммутирующий с
действием группы SL(N, C) в представлении T ⊗r :
(
) (
)
X · T ⊗r (g) = T ⊗r (g) · X ,
∀g ∈ SL(N, C) .
(8.2.8) resun8
Утверждение 8.2.1 Любой SL(N, C)- инвариантный оператор X, действующий в
V ⊗r , представляется в виде линейной комбинации операторов (8.2.7):
∑
X=
xσ s(σ) ,
(8.2.9) resun9
σ∈Sr
где xσ — комплексные коэффициенты и сумма идет по всем r! перестановкам σ ∈
Sr .
Доказательство. Инвариантность оператора (8.2.9), или другими словами его коммутативность с действием группы SL(N, C) в представлении T ⊗r , следует из инвариантности каждого из слагаемых в (8.2.9), то есть из инвариантности операторов
s(σ) для всех σ. Действительно, используя представление (8.2.4), мы имеем
[s(σ)] ij11 ...... irjr g j1k1 · · · g jrkr = δji1σ(1) · · · δjirσ(r) g j1k1 · · · g jrkr =
j
j
σ(r)
i1
ir
= δji1σ(1) · · · δjirσ(r) g σ(1)
kσ(1) · · · g kσ(r) = g kσ(1) · · · g kσ(r) =
8.2 Прямое произведение определяющих представлений SL(N ).
355
= g i1j1 · · · g irjr δkj1σ(1) · · · δkjrσ(r) = g i1j1 · · · g irjr [s(σ)]j1k1......jrkr .
Докажем теперь, что любой оператор X, удовлетворяющий (8.2.8), представляется
в виде (8.2.9). Возьмем в качестве элемента g в (8.2.8) диагональную матрицу g =
diag(a1 , . . . , aN ), где ai — произвольные комплексные параметры (без ограничения
общности мы можем считать, что g — элемент группы GL(N, C)). Тогда соотношение
(8.2.8) переписывается в виде
r
(ai1 · ai2 · · · air − ak1 · ak2 · · · akr )X i1k...i
=0,
1 ...kr
(8.2.10) resun10
(суммирования по повторяющимся индексам нет). Так как ai — произвольны, то из
(8.2.10) следует, что все частные решения для коэффициентов оператора X записываются в виде (это можно продемонстрировать, дифференцируя (8.2.10) по параметрам
ai ):
r
X i1k...i
= xσ;i1 ...ir δki1σ(1) · · · δkirσ(r) ,
(8.2.11) resun11
1 ...kr
где xσ;i1 ...ir ∈ C и σ — любая перестановка элементов {1, 2, . . . , r}. Подставим (8.2.11)
в (8.2.8). В результате получаем
(xσ;i1 ...ir − xσ;kσ(1) ...kσ(r) ) g i1kσ(1) · · · g irkσ(r) = 0 ,
и так как g i k — произвольны (с точностью до условия det(g) ̸= 0), то мы получаем
xσ;i1 ...ir = xσ;kσ(1) ...kσ(r) , то есть все коэффициенты xσ;i1 ...ir в (8.2.11) не зависят от
индексов (i1 . . . ir ) и равны некоторой константе xσ . После чего выражение в (8.2.11)
приобретает вид xσ s(σ). Суммируя все такие частные решения по всевозможным
перестановкам σ, мы получаем (8.2.8).
Итак, из Утверждения 8.2.1 следует, что имеется не единичная матрица (8.2.9),
коммутирующая со всеми матрицами представления T ⊗r группы SL(N, C). Таким
образом, согласно Лемме Шура, представление T ⊗r приводимо и в нем можно выделить неприводимые представления.
Пример. Этот пример основан на Примере 2, который был приведен в конце раздела
4.4.2. Рассмотрим тензорное произведение двух определяющих представлений T ⊗ T
группы SL(N, C), то есть рассмотрим случай r = 2. Согласно Утверждению 8.2.1
в пространстве V ⊗ V существует нетривиальный оператор X, для которого имеет
место соотношение
(
) (
)
X · T (g) ⊗ T (g) = T (g) ⊗ T (g) · X ,
∀g ∈ SL(N, C) ,
(8.2.12) ad-inv0
и который в общем случае представляется в виде
X = x0 IN ⊗ IN + x1 P ,
(8.2.13) ad-in01
где x0 , x1 ∈ C – произвольные константы, IN ⊗ IN — единичный оператор и P —
оператор перестановки в V ⊗ V. Построим два проектора (смотри (4.4.15))
P+ =
1
1
(IN ⊗ IN + P ) , P − = (IN ⊗ IN − P ) ,
2
2
(8.2.14) resun12
8.2 Прямое произведение определяющих представлений SL(N ).
356
которые представляют собой частные случаи оператора (8.2.13) и поэтому коммутируют с действием группы SL(N, C). Согласно (4.4.16) операторы P + и P − образуют
полную систему взаимно ортогональных проекторов и, будучи SL(N, C)- инвариантными операторами, они разбивают V ⊗ V на два нетривиальных инвариантных
подпространства (смотри Пример 2 в разделе 4.4.2):
V (+) = P + (V ⊗ V) ,
V (−) = P − (V ⊗ V) .
Таким образом, представление T ⊗ T — приводимо. Инвариантные подпространства
V (+) и V (−) являются подпространствами симметричных и антисимметричных тензоров в V ⊗ V. Обозначим соответствующие подпредставления в T ⊗ T как T (+) и
T (−) .
Утверждение 8.2.2 Представления T (+) и T (−) неприводимы.
Доказательство. Докажем это утверждение от противного. Пусть, например, представление T (+) приводимо (рассуждение в случае приводимости T (−) аналогично), то
есть в его пространстве V (+) имеется нетривиальное инвариантное подпространство
′
V (+) . Определим оператор P +′ , действующий в V ⊗ V и проектирующий на подпро′
′
странство V (+) . Так как V (+) инвариантно, то оператор P +′ должен коммутировать
с действием группы в V ⊗ V, то есть удовлетворять соотношениям (8.2.12), и в то
же время действовать в V (+) нетривиально, чтобы спроектировать на нетривиаль′
ное подпространство V (+) ⊂ V (+) . В силу Утверждения 8.2.1 оператор P +′ должен
строиться из единичного оператора и оператора перестановки, однако эти операторы
действуют на подпространство V (+) тривиально (тождественно с точностью до знака) и поэтому не могут составить оператор P +′ , который выделял бы нетривиальное
подпространство в V (+) .
Пример выделения двух неприводимых представлений T (+) и T (−) , разобранный
нами для случая прямого произведения двух определяющих представлений (r = 2),
подсказывает общий метод, который позволяет выделять неприводимые представления из прямого произведения T ⊗r любого числа r определяющих представлений
T группы SL(N, C). Прежде всего, нам необходимо среди операторов вида (8.2.9)
выделить операторы Pα (индекс α перечисляет эти операторы), которые образуют
полный набор взаимно ортогональных проекторов:
∑
Pα = IN⊗r ,
(8.2.15) resun12b
Pα Pβ = Pα δαβ ,
α
при этом проектора Pα должны быть примитивными, то есть их нельзя разложить
далее в сумму других проекторов. После этого неприводимые представления T (α) в
T ⊗r выделяются с помощью проекторов Pα , а именно инвариантное подпространство
V (α) представления T (α) определяется как
V (α) = Pα · V ⊗r .
Так как проектор Pα коммутирует с действием T ⊗r (g) для всех g ∈ SL(N, C), то
инвариантность подпространства V (α) следует из цепочки равенств:
T ⊗r (g) · V (α) = T ⊗r (g) · Pα · V ⊗r = Pα · T ⊗r (g) · V ⊗r ⊂ V (α) .
8.3 Идемпотенты. Разложения Пирса для ассоцитивных алгебр.
357
Заметим теперь, что операторы s(σ), заданные в (8.2.6) и (8.2.7), определяют
представление s симметрической группы Sr в пространстве V ⊗r . Действительно, легко проверить свойство гомоморфизма для отображения s:
s(σ) · s(σ ′ ) = s(σ · σ ′ )
∀σ, σ ′ ∈ Sr .
Если в качестве перестановок σ выбрать соседние транспозиции σi = (i, i + 1), то
матрицы операторов s(σi ) совпадают с матрицами (8.1.11), которые были построены нами в предыдущем Разделе 8.1. Здесь следует отметить, что операторы (8.2.9)
и (8.2.14) являются линейными комбинациями представлений s(σ) для элементов σ
симметрической группы Sr . Поэтому операторы (8.2.9) и (8.2.14) следует рассматривать как представления элементов групповой алгебры C[Sr ] группы Sr . Понятие
групповой алгебры группы G было дано в Разделе 4.6.2 (смотри Определение 4.6.2).
Подчеркнем, что любое представление группы G одновременно является и представлением ее групповой алгебры C[G], и наоборот, любое представление групповой
алгебры C[G] задает представление группы G.
Итак, группа Sr в представлении s, также как и группа SL(N, C) в представлении
⊗r
T , действует в пространстве V ⊗r , и при этом действие группы Sr коммутирует с
действием группы SL(N, C). Проектора (8.2.15), необходимые для выделения неприводимых представлений группы SL(N, C) из представления T ⊗r (напомним, что T
— определяющее представление SL(N, C)), являются образами s(eα ) некоторых элементов eα групповой алгебры C[Sr ]. В силу равенств (8.2.15) элементы eα должны
удовлетворять соотношениям
eα eβ = δαβ eα ,
e=
s
∑
eα ,
(8.2.16) resun14
α=1
где e — единичный элемент в C[Sr ]. Как мы увидим ниже, элементы eα , которые
называются примимтивными идемпотентами, определяют полностью структуру алгебры C[Sr ] и оказываются основными объектами при построении всех неприводимых
представлений симметрической группы.
8.3
Идемпотенты. Разложения Пирса для ассоцитивных алгебр.
С алгебраической точки зрения все, что было сказано в конце предыдущего раздела
о выделении неприводимых представлений SL(N, C) из представления T ⊗r привело
нас к тому, что в групповой алгебре A = C[Sr ] должны быть построены специальные
элементы eα ∈ A (α = 1, . . . , s), которые обладают свойствами (8.2.16). При этом,
так как речь шла о неприводимых представлениях SL(N, C), то элементы eα должны
быть примитивными, то есть не разложимыми далее в сумму таких же элементов.
В любой ассоциативной алгебре A элементы eα , удовлетворяющие соотношению
e2α = eα , называются идемпотентами 35 . Примитивные идемпотенты eα ∈ A со свой35
Термин ”идемпотент” происходит от латинских слов idem (”тот же самый” ) и potens (”способный”). Этот термин был предложен американским математиком Бенджамином Пирсом (Benjamin
Peirce) в статьях, написанных в 1870-х годах.
8.3 Идемпотенты. Разложения Пирса для ассоцитивных алгебр.
358
ствами (8.2.16) играют важную роль в теории представлений алгебры A. Для конечномерных алгебр A число s примитивных идемпотентов — конечно.
Любая ассоциативная алгебра A действует на свое векторное пространство левыми и правыми умножениями. Возникающие при этом представления алгебры A
называются регулярными. Пользуясь условием полноты для идемпотентов eα (смотри второе соотношение в (8.2.16)), алгебру A можно разложить в сумму ее подпространств Lα и Rα
A=
s
⊕
α=1
A · eα =
s
⊕
Lα ,
A=
α=1
s
⊕
eα · A =
α=1
s
⊕
Rα .
(8.3.1) resun13
α=1
Каждое подпространство Lα (или Rα ) образует инвариантное подпространство в A
по отношению к левому (или соответственно правому) действию алгебры A. То есть,
для любых v ∈ Lα и v ′ ∈ Rα мы имеем
a · v ∈ Lα ,
v ′ · a ∈ Rα ,
∀a ∈ A .
(8.3.2) resun15
Докажем инвариантность для левых подпространств Lα (доказательство инвариантности правых подпространств Rα аналогично). Для этого достаточно проверить, что
не существует элементов a ∈ A, для которых действие a на Lα , то есть произведение
a · eα ̸= 0, не принадлежит пространству Lα :
∑
bβ · e β ,
bβ ∈ A ,
(8.3.3) resun15b
a · eα =
β̸=α
где некоторые из элементов bβ не нулевые. Подействуем на это соотношение справа
идемпотентом eα и воспользуемся соотношением ортогональности (8.2.16). В результате получаем a · eα = 0, что противоречит (8.3.3) в предположении, что некоторые
из bβ не нулевые.
Из (8.3.2) следует, что инвариантные подпространства Lα (и Rα ) являются левыми (и правыми) идеалами в алгебре A, и следовательно подалгебрами в A. Кроме того, подпространства Lα (и Rα ), будучи инвариантными, оказываются пространствами левых (и правых) регулярных подпредставлений алгебры A, а формулы (8.3.1)
показывают, как алгебра A разлагается в прямую сумму пространств своих левых и
правых регулярных подпредставлений.
Обратно, пусть L — любой левый идеал в A, который по определению является
левым инвариантным подпространством в A и реализует пространство подпредставления в левом регулярном представлении. Так как левое регулярное представление
для конечномерной алгебры A вполне приводимо, то A, как векторное пространство,
разлагается в прямую сумму своих левых идеалов
A=
s
⊕
Lα .
(8.3.4) resun16
α=1
Будем считать, что все левые идеалы Lα в разложении (8.3.4) не содержат нетривиальных левых инвариантных подпространств (левых идеалов). Такие левые идеалы
8.3 Идемпотенты. Разложения Пирса для ассоцитивных алгебр.
359
называются простыми. Из∑формулы (8.3.4) следует, что любой элемент A представляется в виде суммы a = α aα , где aα ∈ Lα . В частности для единичного элемента
e ∈ A мы имеем разложение
e=
s
∑
eα ,
eα ∈ Lα .
(8.3.5) resun17
α=1
Рассмотрим элементы eα , возникшие в (8.3.5), более подробно. Так как eβ ∈ Lβ , то
произведение eα · eβ в силу инвариантности Lβ также должно принадлежать Lβ и из
соотношениия
∑
eα = eα · e =
eα · eβ ∈ Lα ,
β
следует, что eα · eβ = 0 для всех α ̸= β и eα · eα = eα , то есть
eα · eβ = δαβ eα .
(8.3.6) resun18
Таким образом, eα — идемпотенты, причем примитивные, так как Lα – простые левые идеалы. Пользуясь соотношениями (8.3.5) и (8.3.6), рассматриваемая алгебра A
может быть разложена в виде (8.3.1).
Разложения (8.3.1) называются соответственно левым и правым разложениями
Пирса. Применяя одновременно левое и правое разложение Пирса, мы получаем
двухстороннее разложение Пирса
A=
s
⊕
α,β=1
s
⊕
eα A eβ =
Aα,β ,
Aα,β := eα A eβ .
(8.3.7) resun19
α,β=1
Подействуем произвольным элементом a ∈ A слева на идемпотент eα и применим к
произведению a · eα правое разложение Пирса. В результате получим формулу
∑
eβ aβα ,
(8.3.8) resun19r
a · eα =
β
где aβα = eβ · a · eα ∈ A — коэффициенты двухстороннего разложения Пирса (8.3.7)
элемента a. Формулу (8.3.8) можно интерпретировать как правило коммутирования
элемента a c идемпотентом eα . Из этой формулы сразу же, с учетом ассоциативности
A, следует матричное правило умножения коэффициентов двухстороннего разложения Пирса
∑
(a · b)βα =
aβγ bγα ,
∀a, b ∈ A .
γ
Определение 8.3.1 Алгебра A называется простой, если она не имеет нетривиальных двухсторонних идеалов. Алгебра A называется полупростой, если она изоморфна прямой сумме простых двухсторонних идеалов.
Отметим, что в любой полупростой алгебре A имеется два важных набора идемпотентов, удовлетворяющих (8.2.16): 1.) примитивные идемпотенты — о которых шла
8.3 Идемпотенты. Разложения Пирса для ассоцитивных алгебр.
360
речь выше; 2.) примитивные центральные идемпотенты — это идемпотенты, которые
принадлежат центру алгебры A. Во втором случае мы имеем
eα A eβ = δα,β eα A = δα,β A eα .
Таким образом, левое, правое, а также двухстороннее разложения Пирса для центральных идемпотентов совпадают и мы получаем
A=
s
⊕
eα A =
α=1
s
⊕
A eα =
α=1
s
⊕
Aα,α ,
(8.3.9) resun20
α=1
где Aα,α — двухсторонние идеалы (инвариантные подалгебры в A). Таким образом,
формула (8.3.9) дает разложение A, как векторного пространства, в прямую сумму ее
инвариантных подалгебр36 . Разложение (8.3.9) аналогично разложению полупростой
алгебры Ли в прямую сумму простых алгебр Ли, которое рассматривалось нами при
доказательстве Утверждения 5.2.1.
Замечание. Система примитивных нецентральных идемпотентов (8.3.5) и (8.3.6)
определяется неоднозначно. Например, мы можем сделать преобразования
eα → e′α = S · eα · S −1 ,
∀α ,
(8.3.10) resun20f
где S – любой обратимый элемент в A, при этом возникает новая система ортогональных примитивных идемпотентов e′α . Отметим, что при преобразованиях (8.3.10)
центральные идемпотенты не меняются.
Пример 1. Рассмотрим матричную алгебру Matn (C) (смотри Задачу 24). Базисными
элементами в Matn (C) являются матричные единицы eij (i, j = 1, . . . , n) с определяющими соотношениями:
eij · ekm = δjk eim ,
(8.3.11) resun23
а в качестве примитивных идемпотентов выступают элементы ei := eii такие, что
(сравните с (8.3.5), (8.3.6)):
n
∑
ei = In , ei · ek = δik ei .
i=1
Тогда, для любго элемента(матрицы) a =
n
∑
aij eij ∈ Matn (C) (aij ∈ C) мы имеем
i,j=1
левое разложение Пирса
a=a·
n
∑
i=1
ei =
n
∑
ai ,
(8.3.12) resun23f
i=1
∑
где ai = nk=1 aki eki — элемент i-ого левого идеала Li , в качестве которого выступает
i-ый столбец матрицы a. Так как в (8.3.12) матрица a была произвольной, то любой
36
Как алгебра, A разлагается в прямое произведение своих инвариантных подалгебр Aα,α
8.3 Идемпотенты. Разложения Пирса для ассоцитивных алгебр.
361
∑
элемент x из левого идеала Li записывается в виде x = k xk eki , xk ∈ C. С учетом
(8.3.11) действие слева образующей ers на x ∈ Li дает
∑
x → ers · x = ers ·
xk eki = xs eri ∈ Li ,
k
и в соответствии со стандартным правилом (2.2.37) мы получаем известное матричное представление (ers )km для образующей ers :
xk → (ers · x)k = (ers )km xm ,
(ers )km = δrk δsm .
Пространства Li для всех i ∈ (1, . . . , n) изоморфны Cn и таким образом изоморфны друг-другу, а соответствующие представления Matn (C)— эквивалентны. Компонентами двухстороннего разложения Пирса (8.3.9) для алгебры Matn (C) являются
одномерные векторные пространства, натянутые на матричные единицы
eii · Matn (C) · ejj = C · eij .
Центр в алгебре Matn (C) тривиален и состоит из матриц, пропорциональных единичной матрице In , поэтому алгебра Matn (C) не имеет нетривиальных двухсторонних
идеалов и следовательно она проста.
Пример 2. Рассмотрим симметрическую группу S2 , состоящую из двух элементов
{e, σ1 }, где e — единичный элемент и σ1 — соседняя транспозиция: σ1 = (1, 2). Взаимно ортогональные примитивные идемпотенты для C[S2 ] имеют вид
e[2] = 21 (e + σ1 ) ,
e[12 ] = 12 (e − σ1 ) ,
e[2] · e[12 ] = 0 , (e[2] )2 = e[2] , (e[12 ] )2 = e[12 ] ,
e[2] + e[12 ] = e .
(8.3.13) reS1
Идемпотенты e[2] и e[12 ] являются центральными, так как очевидно коммутируют с
единственной образующей σ1 . Перестановка σ1 = (1, 2) действует на идемпотенты e[2]
и e[12 ] следующим образом:
σ1 · e[2] = e[2] ,
σ1 · e[12 ] = −e[12 ] ,
(8.3.14) reS2
то есть не меняет знак у e[2] и меняет знак у e[12 ] . Поэтому e[2] и e[12 ] называются
соответственно симметризатором и антисимметризатором в C[S2 ]. В соответствии
с (8.3.13) алгебра C[S2 ] разлагается в прямую сумму двух одномерных двухсторонних
идеалов L[2] и L[12 ] и следовательно имеет всего лишь два неприводимых одномерных
представления, которые определяются согласно (8.3.14):
1.) T[2] (e) = 1 , T[2] (σ1 ) = 1 ;
2.) T[12 ] (e) = 1 , T[12 ] (σ1 ) = −1 .
Эти представления и соответствующие идемпотенты иногда представляются графически как диаграммы Юнга с двумя клетками
T[2] ∼ [2] =
,
T[12 ] ∼ [12 ] =
.
(8.3.15) reS3
8.3 Идемпотенты. Разложения Пирса для ассоцитивных алгебр.
362
Отметим, что идемпотенты (8.3.13) в матричном представлении (8.2.7) дают проектора (8.2.14).
Пример 3. Рассмотрим симметрическую группу S3 и ее презентацию (8.1.7), (8.1.8),
(8.1.9) в терминах двух образующих σ1 , σ2 . В этой презентации шесть элементов группы S3 имеют вид
e , σ1 , σ2 , σ1 σ2 , σ2 σ1 , σ1 σ2 σ1 = σ2 σ1 σ2 .
(8.3.16) resun21b
В качестве взаимно ортогональных примитивных идемпотентов для C[S3 ] можно
выбрать следующие элементы
e[3] = 16 (1 + σ2 + σ1 σ2 )(1 + σ1 ) ,
e[13 ] = 16 (1 − σ2 + σ1 σ2 )(1 − σ1 ) ,
(
)
1
e[2,1]1 = 3 1 − σ2 + ε(1 − σ1 ) σ2 (1 + σ1 ) ,
(
)
e[2,1]2 = 31 (1 − σ1 ) 1 + σ2 − ε σ2 (1 + σ1 ) ,
(8.3.17) resun21
где ε – произвольный параметр и мы для простоты записали элемент e как единицу
1. Действие образующих σi на идемпотенты e[3] и e[13 ] слева и справа дает:
σi · e[3] = e[3] · σi = e[3] , σi · e[13 ] = e[13 ] · σi = −e[13 ] ,
(8.3.18) resun22
поэтому идемпотенты e[3] и e[13 ] являются центральными и называются соответственно симметризатором и антисимметризатором в C[S3 ]. Идемпотенты e[2,1]1 и e[2,1]2
— нецентральны и их зависимость от произвольного параметра ε показывает, что выбор нецентральных примитивных идемпотентов вообще говоря не однозначен (смотри выше Замечание перед Примером 1.).
• Задача 243. Пользуясь соотношениями (8.1.7), (8.1.8) и (8.1.9), проверить
для операторов (8.3.17) выполнение равенств (8.3.18) и (8.2.16). Указание:
воспользоваться проекторными свойствами операторов Pi± = (1 ± σi ):
Pi+ Pi− = 0 ,
Pi± σi = σi Pi± = ±Pi± .
Из (8.3.18) следует, что идемпотенты e[3] и e[13 ] задают одномерные двухсторонние
идеалы в C[S3 ]. Идемпотент e[3] определяет тривиальное одномерное представление
T[3] (σ) = +1 (∀σ ∈ S3 ), а идемпотент e[13 ] определяет одномерное представление:
T[13 ] (σ) = +1 для четных σ ∈ S3 и T[13 ] (σ) = −1 для нечетных σ ∈ S3 . Так как
единица e и идемпотенты e[3] , e[13 ] — центральны, то из разложения единицы
e = e[3] + e[13 ] + e[2,1]1 + e[2,1]2 ,
мы получаем, что сумма
e[2,1]1 + e[2,1]2 =
)
1(
2 − σ1 σ2 − σ2 σ1 =: e[2,1] ,
3
(8.3.19) resun31y
8.3 Идемпотенты. Разложения Пирса для ассоцитивных алгебр.
363
также является центральным идемпотентом и центральное разложение единицы принимает вид e = e[3] + e[13 ] + e[2,1] . Отметим, что, как и ожидалось, центральный идемпеотент e[2,1] не зависит от произвольного параметра ε.
Рассмотрим теперь для примера левый идеал L[2,1]1 , который порождается нецентральным идемпотентом e[2,1]1 . Представим этот идемпотент в виде
1
e[2,1]1 = (e1 + ε e2 ) ,
3
(8.3.20) resun28d
e1 = (1 − σ2 )(1 + σ1 ) , e2 = (1 − σ1 ) σ2 (1 + σ1 ) .
(8.3.21) resun28
где
Действуя на (8.3.20) слева всеми элементами (8.3.16) и используя соотношения
σ1 · e1 = e1 + e2 , σ1 · e2 = −e2 , σ2 · e1 = −e1 ,
σ2 · e2 = e1 + e2 ,
(8.3.22) resun26
получаем, что идеал L[2,1]1 — двумерен и любой элемент x ∈ L[2,1]1 записывается как
линейная комбинация
x = x1 e1 + x2 e2 , x1 , x2 ∈ C .
То есть, элементы e1 и e2 образуют базис в L[2,1]1 . Из соотношений (8.3.22) следует
(согласно стандартному правилу (2.2.33)) двумерное неприводимое представление
группы S3 :
(
)
(
)
1 0
−1 1
T[2,1] (σ1 ) =
, T[2,1] (σ2 ) =
.
(8.3.23) resun25
1 −1
0 1
• Задача 244. Проверить для представления (8.3.23) выполнение структурных
соотношений (8.1.8), (8.1.9). Проверить, что представление (8.3.23) эквивалентно двумерным представлениям T (+) и T (−) , заданным в (4.6.9):
)
)
(
(
0 ±1
0
±q
(±)
(±)
,
, T (σ2 ) =
T (σ1 ) =
±1 0
±q −1 0
где в соответствии с (4.6.12) мы положили σ1 = g1−1 · r · g1 и σ2 = r.
Указание: проверить, что
(
)
1 q −1
−1
(+)
S · T[2,1] (σi ) · S = T (σi ) , S =
(q 3 = 1 , q ̸= 1) .
−1 −q
• Задача 245. Проверить структурные соотношения для образующих e1 , e2 подалгебры (левого идеала) L[2,1]1 :
e1 · e1 = 3 e1 , e2 · e2 = 0 , e1 · e2 = 0 ,
e 2 · e1 = 3 e2 .
(8.3.24) resun27
Указание: воспользоваться формулами (8.3.22), или тождеством (e[2,1]1 )2 =
e[2,1]1 , где элемент e[2,1]1 определен общей формулой (8.3.20) с произвольным параметром ε.
8.3 Идемпотенты. Разложения Пирса для ассоцитивных алгебр.
364
В алгебре C[S3 ] имеется автоморфизм
σ1 → σ2 = S · σ1 · S −1 ,
σ2 → σ1 = S · σ2 · S −1 ,
S ≡ σ1 · σ2 · σ1 ,
(8.3.25) resun29a
при котором
e1 → e3 = (1 − σ1 )(1 + σ2 ) ,
e2 → e4 = (1 − σ2 ) σ1 (1 + σ2 ) ,
(8.3.26) resun29b
а (8.3.22) и (8.3.24) переходят в соотношения
σ2 · e3 = e3 + e4 , σ2 · e4 = −e4 , σ1 · e3 = −e3 ,
e3 · e3 = 3 e3 , e4 · e4 = 0 , e3 · e4 = 0 ,
σ1 · e4 = e3 + e4 ,
e 4 · e3 = 3 e4 .
(8.3.27) resun29
(8.3.28) resun30
Пользуясь соотношениями (8.3.22) и (8.3.27) мы находим, что левый идеал L[2,1]2 ,
который порождается идемпотентом (смотрите (8.3.17))
1
e[2,1]2 = (e3 − ε e2 ) ,
3
(8.3.29) resun30a
также двумерен. Положим для простоты ε = 0. Тогда любой элемент x′ ∈ L[2,1]2
представляется в виде
x′ = x3 e3 + x4 e4 , x3 , x4 ∈ C .
Автоморфизм (8.3.25), (8.3.26) переводит идемпотенты e[2,1]1 и e[2,1]2 друг в друга
(для случая ε = 0) и устанавливает эквивалентность представлений, реализованных
на соответствующих левых идеалах L[2,1]1 и L[2,1]2 .
Рассмотрим теперь двухсторонний идеал L[2,1] , который порождается центральным идемпотентом (8.3.19) и, согласно соотношениям (8.3.22) и (8.3.27), является
четырехмерным, так как произвольный элемент x ∈ L[2,1] записывается в виде
x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x4 e4 .
Структурные соотношения для базисных элементов (e1 , e2 , e3 , e4 ) двухстороннего идеала L[2,1] (инвариантной подалгебры в C[S3 ]) даются соотношениями (8.3.24), (8.3.28)
и перекрестными соотношениями
e1 · e3 = e3 · e1 = 0 ,
e3 · e2 = 3 e2 ,
e2 · e3 = e4 · e1 = 0 ,
e1 · e4 = 3 e4 .
Из этих соотношений следует, что двухсторонний идеал L[2,1] не содержит нетривиальных инвариантных подалгебр (двухсторонних идеалов) и поэтому является простой алгеброй. Матричные коэффициенты двухстороннего разложения Пирса (8.3.7)
для элементов σ1 , σ2 равны (сравните с (8.3.23))
)
)
(
)
(
)
(
(
−e1 e4
e1 0
e1 σ2 e1 e1 σ2 e3
e1 σ1 e1 e1 σ1 e3
.
=3
=3
,
0 e3
e3 σ2 e1 e3 σ2 e3
e3 σ1 e1 e3 σ1 e3
e2 −e3
Вся шестимерная алгебра C[S3 ], базис в которой может быть теперь составлен из
элементов {e[3] , e[13 ] , e1 , e2 , e3 , e4 }, является прямым произведением трех инвариантных простых подалгебр L[3] , L[13 ] и L[2,1] и поэтому C[S3 ] — полупроста. В следующем
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
365
Разделе 8.4 мы продемонстрируем, что предсталения T[3] , T[13 ] и T[2,1]1 ∼ T[2,1]2 и соответствующие центральные идемпотенты e[3] , e[13 ] и e[2,1] графически представляются
в виде диаграмм Юнга
[3] =
,
[13 ] =
,
[2, 1] =
.
По сути дела в последнем примере мы решали ту же задачу, что и в пункте 2
раздела 4.6.1. А именно, мы выделяли неприводимые представления группы S3 из ее
регулярного представления. При этом здесь мы применили метод, отличный от прямого метода, который использовался в разделе 4.6.1. Метод, изложенный здесь для
случая группы S3 и основанный на выделении примитивных ортогональных идемпотентов, оказывается универсальным и применим, как мы увидим в следующем
разделе для групп Sr с любым r > 3.
8.4
Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
В данном разделе мы изложим стандартную схему построения всех примитивных
идемпотентов алгебры C[Sr ] и соответственно изложим способ выделения неприводимых представлений группы Sr из ее регулярного представления. Данное построение принадлежит Юнгу и Фробениусу и позволяет сформулировать явно всю теорию
представлений Sr .
В разделе 8.1 мы показали, что все классы сопряженных элементов в группе Sr
нумеруются разбиениями λ ⊢ r числа r, которые графически представляются как
диаграммы Юнга с r клетками (8.1.15). Напомним, что число классов сопряженных
элементов в конечной группе совпадает с числом неэквивалентных неприводимых
представлений этой группы (смотри Утверждение 4.6.4). Поэтому естественно предположить, что каждому неэквивалентному неприводимому представлению группы Sr
однозначно соответсвует некоторая диаграмма Юнга с r клетками.
Рассмотрим диаграмму Юнга λ ⊢ r и расставим во всех ее r клетках разные номера, как показано в (8.1.16), где km = r и (a1 , . . . , ar ) – некоторая перестановка чисел
(1, 2, . . . , r). Диаграмма Юнга λ с такой расстановкой номеров в клетках называется таблицей Юнга и обозначается Tλ . Если таблица Юнга Tλ получена нумерацией
клеток в диаграмме λ, то в дальнейшем будем говорить, что таблица Tλ имеет форму
диаграммы λ.
e называется дуальной к таблице Юнга Tλ ,
Определение 8.4.1 Таблица Юнга T
λ̃
если она получается из Tλ отражением относительно главной диагонали. При
e , а столбцы Tλ стаэтом строки таблицы Tλ становятся столбцами таблицы T
λ̃
e . Соответственно диаграмма Юнга λ̃ (форма таблицы T
e )
новятся строками T
λ̃
λ̃
называется дуальной к диаграмме Юнга λ (форма таблицы Tλ ).
e :
Например, две таблицы Tλ и T
λ̃
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
Tλ =
5
8 10 7 4
2
9
3
6
,
5
2 11
8
9
e = 10 3
T
λ̃
11 1
7
366
1
,
6
4
являются дуальными друг другу. Соответствующие диаграммы Юнга λ = [5, 4, 2] и
λ̃ = [3, 3, 2, 2, 1] также дуальны друг другу.
Имеется r! способов распределения r чисел (1, 2, . . . , r) в клетках диаграммы λ, то
есть имеется r! разных таблиц Tλ , соответствующих одной и той же диаграмме Юнга
λ. Рассмотрим множество Mλ всех таблиц Tλ , имеющих форму λ. На множестве
Mλ действует группа перестановок Sr . А именно, перестановка σ ∈ Sr действует на
таблицу Tλ так, что ставит в клетку с номером i ∈ {1, . . . , r} новый номер σ(i). При
этом таблица Tλ переходит в новую таблицу σ · Tλ = T′λ ∈ Mλ .
Пусть Tλ — таблица Юнга, где λ = [λ1 , . . . , λm ] – диаграмма Юнга с m строками
и пусть H(Tλ ) — множество горизонтальных перестановок p ∈ Sr , которые переставляют отдельно номера в каждой из строк таблицы Tλ , но не переставляют номера из
разных строк. Очевидно, что H(Tλ ) — подгруппа в группе Sr . Так как горизонтальные перестановки номеров в какой-то одной из строк длиной λk образуют группу
Sλk , то мы имеем
H(Tλ ) = Sλ1 × Sλ2 × · · · × Sλm ⊂ Sr ,
ord(H(Tλ )) = λ1 ! · · · λm ! .
Подгруппа H(Tλ ) называется строчным стабилизатором.
Аналогично можно определить подгруппу V (Tλ ) ⊂ Sr всех вертикальных перестановок номеров в таблице Tλ , то есть таких перестановок q ∈ Sr , которые переставляют номера отдельно в каждом столбце таблицы Tλ , но не переставляют номера из
разных столбцов. Таким образом, мы имеем
V (Tλ ) = Sλ′1 × Sλ′2 × · · · × Sλ′m′ ⊂ Sr ,
ord(V (Tλ )) = λ′1 ! · · · λ′m′ ! ,
где [λ′1 , . . . , λ′m′ ] — длины всех m′ столбцов диаграммы λ. Подгруппа V (Tλ ) называется столбцовым стабилизатором.
Отметим, что если таблица T′λ получается из таблицы Tλ с помощью перестановки
σ ∈ Sr : T′λ = σ · Tλ , то элементы p ∈ H(Tλ ) и q ∈ V (Tλ ) связаны с сответствующими
элементами p′ ∈ H(T′λ ) и q ′ ∈ V (T′λ ) соотношениями
p′ = σ · p · σ −1 ⇒
H(T′λ ) = H(σ · Tλ ) = σ · H(Tλ ) · σ −1 ,
(8.4.1) yng04a
q ′ = σ · q · σ −1 ⇒
V (T′λ ) = V (σ · Tλ ) = σ · V (Tλ ) · σ −1 .
(8.4.2) yng04b
Поясним соотношение (8.4.1) для подгруппы H(Tλ ) (для строчного стабилизатора).
Рассмотрение для столбцового стабилизатора V (Tλ ) проводится аналогично. Возьмем любую, например k-ую, строку в таблице Tλ , в которой располагаются номера
(i1 , i2 , . . . , iλk ). После применения перестановки σ ∈ Sr к таблице Tλ мы получим
таблицу T′λ = σ · Tλ , в k-ой строке которой будут стоять номера (σ(i1 ), . . . , σ(iλk )).
Подействуем на таблицу T′λ горизонтальной перестановкой p′ ∈ H(T′λ ) в результате
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
367
чего возникает таблица p′ · σ · Tλ , в k-ой строке которой произойдет перестановка
содержащихся в ней номеров:
(σ(i1 ), . . . , σ(iλk )) → (σ(ip̄′ (1) )), . . . , σ(ip̄′ (λk ) ))
где p̄′ — перестановка номеров (1, 2, . . . , λk ), соответствующая горизонтальной перестановке p′ . Наконец, применение перестановки σ −1 к таблице p′ · σ · Tλ дает таблицу
σ −1 · p′ · σ · Tλ , в k-ом ряду которой стоят номера (ip̄′ (1) ), . . . , ip̄′ (λk ) ), то есть некоторая
перестановка номеров k-ой строки изначальной таблицы Tλ . Так как в качестве k-ой
строки была выбрана любая из m строк таблицы Tλ , то мы получаем, что перестановка p = σ −1 · p′ · σ действует на Tλ как горизонтальная перестановка из подгруппы
H(Tλ ).
Образуем теперь из элементов p подгруппы H(Tλ ) и элементов q подгруппы V (Tλ )
два оператора
∑
P =
p,
(8.4.3) yng01
p∈H(Tλ )
∑
Q=
(8.4.4) yng02
δq q ,
q∈V (Tλ )
где δq – четность перестановки q, то есть δq = +1, если перестановка q четная и
δq = −1, если перестановка q нечетная. В (8.4.3) сумма берется по всем горизонтальным перестановкам из H(Tλ ), а в (8.4.4) сумма берется по всем вертикальным
перестановкам из V (Tλ ). Операторы P и Q являются элементами групповых алгебр
C[H(Tλ )] и C[V (Tλ )] и называются соответственно горизонтальным симметризатором и вертикальным антисимметризатором таблицы Tλ .
Из определений (8.4.3) и (8.4.4) для операторов P ∈ C[H(Tλ )] и Q ∈ C[V (Tλ )]
следуют соотношения
p·P =P ·p=P ,
∀p ∈ H(Tλ ) ,
q · Q = Q · q = δq Q ,
∀q ∈ V (Tλ ) .
(8.4.5) yng05
Согласно (8.4.1), (8.4.2) эти соотношения означают, что горизонтальные симметризаторы P совпадают для всех таблиц Tλ , которые получаются друг из друга горизонтальными перестановками p: Tλ → p · Tλ и, соответственно, вертикальные антисимметризаторы Q совпадают для таблиц, которые связаны вертикальными перестановками q: Tλ → q · Tλ (в последнем случае мы имеем Q → q · Q · q −1 = δq2 Q).
• Задача 246. Пользуясь (8.4.5), доказать, что операторы P и Q пропорциональны идемпотентам EP = α−1 P и EQ = β −1 Q:
P ·P =αP ,
Q · Q = β Q ⇒ EP2 = EP ,
EQ2 = EQ ,
(8.4.6) yng05a
где α = ord(H(Tλ )) и β = ord(V (Tλ )).
Рассмотрим произведение опрераторов (8.4.3) и (8.4.4), вычисленных для одной
и той же таблицы Tλ ,
∑
∑
Y (Tλ ) = Q · P =
δq q · p .
(8.4.7) yng03
q∈V (Tλ )
p∈H(Tλ )
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
368
Оператор Y (Tλ ) называется симметризатором Юнга таблицы Tλ . Важность симметризаторов Юнга заключается в том, что, как мы покажем ниже, эти операторы
пропорциональны идемпотентам.
• Задача 247. Показать, что симметризаторы Юнга Y (Tλ ) для таблиц Tλ =
T[3] , T[13 ] , T[2,1]1 и T[2,1]2 :
1
T[3] = 1 2 3 ,
T[13 ] = 2 ,
3
2 1
T[2,1]1 = 3
,
2 3
T[2,1]2 = 1
,
пропорциональны идемпотентам (8.3.17) для случая ε = 0.
Сразу же отметим, что можно выбрать другой набор симметризаторов Юнга, построенных в виде произведений: Ye (Tλ ) = P ·Q. Этот набор симметризаторов связан с
набором (8.4.7) некоторым специальным автоморфизмом ϕ в алгебре C[Sr ], при котором любая перестановка σ ∈ Sr заменяется на эту же перестановку, умноженную на
ее четность: σ → σ δσ . Данный автоморфизм переводит симмметризатор P для табe , а антисиммметризатор Q
e для дуальной таблицы T
лицы Tλ в антисимметризатор Q
λ̃
e . Соответственно для симметризаторов
для Tλ переводит в симметризатор Pe для T
λ̃
Юнга мы получаем
e
ϕ(Q · P ) = Pe · Q
⇒
e ).
ϕ(Y (Tλ )) = Ye (T
λ̃
Рассмотрение симметризаторов Юнга Ye (Tλ ) = P · Q принципиально ничем не отличается от рассмотрения симметризаторов (8.4.7). В дальнейшем мы будем изучать
только набор симметризаторов (8.4.7).
Симметризаторы Юнга для разных таблиц Tλ и T′λ , имеющих одну и ту же форму
λ, связанны друг с другом некоторой перестановкой σ номеров в клетках: T′λ = σ ·Tλ ,
поэтому в силу соотношений (8.4.1), (8.4.2) эти симметризаторы выражаются друг
через друга с помощью преобразования эквивалентности
Y (T′λ ) = σ · Y (Tλ ) · σ −1 .
(8.4.8) yng06
Отметим, что из формул (8.4.5) вытекают равенства
q · Y (Tλ ) = Y (Tλ ) δq , Y (Tλ ) · p = Y (Tλ ) ,
∀q ∈ V (Tλ ), ∀p ∈ H(Tλ ) ,
(8.4.9) yng-qp
которые понадобятся нам ниже.
Утверждение 8.4.1 Пусть Tλ и Tλ′ ′ — две таблицы Юнга, соответствующие диаграммам λ ⊢ r и λ′ ⊢ r, причем имеются два различных номера, которые находятся
в одной строке Tλ′ ′ и в одном столбце Tλ . Тогда
Y (Tλ′ ′ ) · Y (Tλ ) = 0 .
(8.4.10) yng17
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
369
Доказательство. В таблицах Tλ′ ′ и Tλ имеются два различных номера, скажем r и
k, которые находятся в одной строке Tλ′ ′ и в одном столбце Tλ . Поэтому транспозиция (r, k) принадлежит одновременно и H(Tλ′ ′ ) и V (Tλ ). Тогда, учитывая тождество
(r, k)2 = e и соотношения (8.4.9), мы получаем
Y (Tλ′ ′ ) · Y (Tλ ) = Y (Tλ′ ′ ) · (r, k)2 · Y (Tλ ) = −Y (Tλ′ ′ ) · Y (Tλ ) ,
откуда следует равенство (8.4.10).
Пусть λ = [λ1 , . . . , λm ] и µ = [µ1 , . . . , µh ] — две диаграммы Юнга λ ⊢ r и µ ⊢ r.
Рассмотрим последовательность чисел (λ1 −µ1 , λ2 −µ2 , . . .). Будем писать λ > µ, если
первая неравная нулю разность λk − µk положительна (то есть λk − µk > 0). Будем
также говорить, что диаграмма µ включена в диаграмму λ и писать µ ⊂ λ, если все
клетки µ содержатся и в λ. Отметим, что λ > µ не означает, что диаграмма µ может
быть включена в диаграмму λ. Например, пусть λ = (3, 1) и µ = (2, 2), тогда λ > µ,
но µ ⊂
/ λ.
Сформулируем теперь основную комбинаторную Лемму.
Лемма 8.4.2 Пусть Tλ и Tλ′ ′ — две таблицы Юнга, имеющие соответственно форму
λ = [λ1 , . . . , λm ] ⊢ r , λ′ = [λ′1 , . . . , λ′k ] ⊢ r ,
и пусть λ′ ≥ λ. Тогда выполняется одно из следующих двух утверждений:
1.) Существуют два различных номера, которые находятся в одной строке Tλ′ ′ и в
одном столбце Tλ .
2.) λ = λ′ и существуют элементы p ∈ H(Tλ ) и q ∈ V (Tλ ), для которых
Tλ′ ′ = Tλ′ = q · p · Tλ .
Доказательство. Предположим, что утверждение 1.) не выполняется. Тогда все
номера, находящиеся в клетках первой строки таблицы Tλ′ ′ должны располагаться
в разных столбцах таблицы Tλ . Поэтому существует элемент q1 ∈ V (Tλ ) такой, что
эти номера будут располагаться в первой строке таблицы q1 · Tλ и следовательно
λ1 ≥ λ′1 . Так как λ′ ≥ λ (то есть λ′1 ≥ λ1 ), то λ′1 = λ1 . Номера, находящиеся в
клетках второй строки таблицы Tλ′ ′ должны снова располагаться в разных столбцах
таблицы Tλ и соответственно в разных столбцах таблицы q1 · Tλ . Поэтому существует
элемент q2 ∈ V (q1 · Tλ ) = V (Tλ ), который не трогает номера в первой строке q1 · Tλ и
располагает номера второй строки Tλ′ ′ во второй строке таблицы q2 ·q1 ·Tλ . В частности
мы имеем λ2 ≥ λ′2 . Опять же, из условия λ′ ≥ λ (с учетом λ′1 = λ1 ) мы получаем
λ′2 = λ2 . Продолжая эту процедуру до последней строки λ′ , мы находим элемент
qk · · · q2 ·q1 такой, что номера последней k-ой строки таблицы Tλ′ ′ будут располагаться
в k-ой строке таблицы qk · · · q1 · Tλ . Поэтому m = k и мы имеем равенство λ = λ′ ,
входящее в утверждение 2. Пусть теперь k — число рядов в диаграмме λ = λ′ и
q = qk · · · q2 · q1 , тогда таблицы q · Tλ и Tλ′ ′ = Tλ′ имеют те же номера в каждом ряду
и следовательно имеется элемент p′ ∈ H(Tλ′ ) такой, что p′ · Tλ′ = q · Tλ . Применим
теперь к таблице Tλ′ = (p′ )−1 · q · Tλ формулу (8.4.1), согласно которой существует
элемент p−1 ∈ H(Tλ ) такой, что
p′ = ((p′ )−1 · q) · p−1 ((p′ )−1 · q)−1 ⇒ p′ = q · p−1 · q −1 .
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
370
Таким образом, мы получаем Tλ′ = (p′ )−1 · q · Tλ = q · p · Tλ .
Следствие 1. Если λ′ > λ, то существуют два номера, которые находятся в одной
строке таблицы Tλ′ ′ и в одном столбце таблицы Tλ . Поэтому, согласно Утверждению
8.4.1 мы имеем Y (Tλ′ ′ ) · Y (Tλ ) = 0.
Следствие 2. Пусть Tλ и Tλ′ — две разные таблицы, имеющие одну и ту же форму
λ и связанные друг с другом некоторой перестановкой g ∈ Sr : Tλ′ = g · Tλ . Тогда,
если элемент g ∈ Sr не представим в виде g = q · p, где q ∈ V (Tλ ) и p ∈ H(Tλ ),
то в таблицах Tλ и Tλ′ имеются два номера, которые находятся в одной строке Tλ′ и
в одном столбце Tλ , то есть согласно Утверждению 8.4.1 выполняется тождество:
Y (Tλ′ ) · Y (Tλ ) = 0. Аналогично, если g не может быть представлен в виде g = p · q, то
существуют два различных номера, которые находятся в одном столбце Tλ′ и в одной
строке Tλ и соответственно мы имеем Y (Tλ ) · Y (Tλ′ ) = 0.
Утверждение 8.4.3 Симметризаторы Юнга (8.4.7), построенные по таблице Tλ ,
имеющей форму λ ⊢ r, пропорциональны идемпотентам. То есть для Y (Tλ ) ∈ C[Sr ]
справедливо соотношение
Y (Tλ ) · Y (Tλ ) = αλ Y (Tλ ) ,
(8.4.11) yng15
где αλ — константа, которая определяется равенством
αλ =
r!
,
f(λ)
(8.4.12) yng15a
и f(λ) — размерность левого идеала (пространства представления группы Sr ), порожденного элементом Y (Tλ ).
Доказательство. Заметим, что из (8.4.9) вытекает тождество q · Y (Tλ ) · p = Y (Tλ ) δq
для всех p ∈ H(Tλ ) и q ∈ V (Tλ ). Обратно, пусть элемент a ∈ C[Sr ] такой, что
q · a · p δq = a ,
(8.4.13) yng09
для всех p ∈ H(Tλ ) и q ∈ V (Tλ ). Покажем, что в этом случае a = αY (Tλ ), где α –
некоторая константа. Любой элемент a ∈ C[Sr ] представим в виде
∑
a=
a(g) g , a(g) ∈ C ,
(8.4.14) yng10
g∈Sr
и если для него выполняются соотношения (8.4.13), то мы имеем:
∑
∑
a=
δq a(g) q · g · p =
δq a(q −1 · g · p−1 ) g .
g∈Sr
(8.4.15) yng11
g∈Sr
Сравнивая коэффициенты при g в левой и правой частях (8.4.15), мы получаем соотношение
a(g) = a(q −1 · g · p−1 ) δq ,
(8.4.16) yng12
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
371
справедливое для всех p ∈ H(Tλ ), q ∈ V (Tλ ) и g ∈ Sr . В частном случае, полагая
g = q · p, мы получаем
a(q · p) = a(e) δq ,
(8.4.17) yng13
и все коэффициенты a(q · p), возникающие в сумме (8.4.14), с точностью до знака
δq совпадают друг с другом. Пусть g не представимо в виде q · p, докажем, что в
этом случае a(g) = 0. Рассмотрим таблицы Tλ и g · Tλ . Так как g ̸= q · p, то согласно
Следствию 2 к Лемме 8.4.2 имеются два номера j и k, которые располагаются в
одной строке g · Tλ и в одном столбце Tλ , поэтому для транспозиции t = (j, k) мы
имеем t ∈ H(g·Tλ ) и t ∈ V (Tλ ) и из соотношений (8.4.1) мы получаем g −1 ·t·g ∈ H(Tλ ).
Положим q = t, p−1 = g −1 · t · g и учтем знак δq = δt = −1 в формуле (8.4.16):
a(g) = a(q −1 · g · p−1 ) δq = −a(g) .
Отсюда следует, что если g ̸= q · p, то a(g) = 0. Учитывая этот факт и соотношение
(8.4.17), формула (8.4.14) переписывается в виде
∑
∑
∑
a=
a(g) g =
δq a(e) q · p = α Y (Tλ ) ,
(8.4.18) yng14
g∈Sr
q∈V (Tλ )
p∈H(Tλ )
где α = a(e).
Для любого элемента x ∈ C[Sr ] рассмотрим произведение a = Y (Tλ ) · x · Y (Tλ ).
Для этого произведения в силу соотношений (8.4.9) выполняется условие (8.4.13),
поэтому мы имеем
Y (Tλ ) · x · Y (Tλ ) = α Y (Tλ ) .
(8.4.19) yng18x
где α – некоторая константа. В частности для x = e мы получаем
Y (Tλ ) · Y (Tλ ) = αλ Y (Tλ ) ,
(8.4.20) yng18
и следовательно элемент E(Tλ ) = αλ−1 Y (Tλ ), пропорциональный симметризатору
Юнга Y (Tλ ), является идемпотентом E(Tλ )2 = E(Tλ ).
Остается показать, что константа αλ в (8.4.11) дается формулой (8.4.12). Левый
идеал LTλ алгебры C[Sr ], который порождается идемпотентом E(Tλ ) (или, что тоже
самое оператором Y (Tλ )), состоит из всех элементов C[Sr ] вида
x · Y (Tλ ) ,
∀x ∈ C[Sr ] .
(8.4.21) yng19
Обозначим размерность LTλ как f(λ) . Выберем полный набор базисных векторов ea
(a = 1, . . . , r!) в C[Sr ] так, чтобы первые f(λ) векторов образовывали базис в LTλ , а
остальные вектора ea (a > f(λ) ) не принадлежали LTλ . Любые вектора в LTλ , в том
числе и базисные векора ea (a ≤ f(λ) ), должны представляться как произведения
(8.4.21), поэтому существуют элементы xa ∈ C[Sr ] (a ≤ f(λ) ) такие, что
ea = xa · Y (Tλ ) ,
1 ≤ a ≤ f(λ) .
(8.4.22) yng20
Теперь вычислим произведение ea · Y (Tλ ) двумя способами. С одной стороны рассмотрим произведение ea · Y (Tλ ) как действие элемента Y (Tλ ) справа на базисный
элемент ea
r!
∑
ea · Y (Tλ ) =
Dab (Y (Tλ )) eb ,
(8.4.23) yng21
b=1
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
372
где ||Dab (Y (Tλ ))|| — матрица элемента Y (Tλ ) в регулярном представлении Sr . Заметим, что симметризатор Юнга (8.4.7) записывается в виде
∑
∑
Y (Tλ ) =
a(g) g = e +
a(g) g ,
g∈Sr
g̸=e
то есть коэффициент a(e) при единичном элементе e равен 1. Поэтому, вспоминая
формулы (4.6.25) для характера регулярного представления конечной группы, мы
получаем
(
)
(
)
Tr D(Y (Tλ )) = Tr D(e) = r! ,
(8.4.24) yng22
где след берется по r!-мерному пространству регулярного представления. С другой
стороны, так как ea · Y (Tλ ) ∈ LTλ , то суммирование в правой части (8.4.23) содержит
только члены с b ≤ f(λ) , поэтому
Dab (Y (Tλ )) = 0 ,
∀b > f(λ) .
(8.4.25) yng23
Из формулы (8.4.22) для всех a ≤ f(λ) мы имеем
ea · Y (Tλ ) = xa · Y (Tλ ) · Y (Tλ ) = αλ xa · Y (Tλ ) = αλ ea .
(8.4.26) yng24
Таким образом, из соотношений (8.4.23) и (8.4.26) следует равенство Dab (Y (Tλ )) =
αλ δab для всех b ≤ f(λ) , что с учетом (8.4.25) дает
(
)
Tr D(Y (Tλ )) = αλ f(λ) .
(8.4.27) yng25
Сравнивая (8.4.24) и (8.4.27), мы получаем (8.4.12).
Следствие. Идемпотент E(Tλ ), пропорциональный симметризатору Юнга Y (Tλ ), –
примитивен. Докажем это от противного. Пусть идемпотент E(Tλ ) не примитивен.
Тогда левый идеал LTλ = C[Sr ] · E(Tλ ) распадается в прямую сумму двух нетривиальных левых идеалов L′Tλ и L′′Tλ , причем существуют элементы x1 , x2 ∈ C[Sr ] такие,
что x1 + x2 = e и
L′Tλ = C[Sr ] · x1 · Y (Tλ ) ,
L′′Tλ = C[Sr ] · x2 · Y (Tλ ) .
Тогда из (8.4.19) следует, что хотя бы одно из произведений Y (Tλ ) · x1 · Y (Tλ ) =
α1 Y (Tλ ) и Y (Tλ ) · x2 · Y (Tλ ) = α2 Y (Tλ ) не равно нулю. Пусть Y (Tλ ) · x1 · Y (Tλ ) =
α1 Y (Tλ ) ̸= 0. Тогда
LTλ = C[Sr ] · Y (Tλ ) = C[Sr ] · Y (Tλ ) · x1 · Y (Tλ ) = C[Sr ] · x1 · Y (Tλ ) = L′Tλ .
То есть, пространство L′Tλ совпадает с пространством LTλ и следовательно идемпотент E(Tλ ) — примитивен.
Пусть в (8.4.19) элемент x таков, что константа α ̸= 0. Тогда, умножая обе части
соотношения (8.4.19) справа и слева на x, мы получаем, что элементы
Y ′ (Tλ ) = Y (Tλ ) · x ,
Y ′′ (Tλ ) = x · Y (Tλ ) ,
снова (как и симметризатор Юнга Y (Tλ )) пропорциональны идемпотентам.
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
373
Утверждение 8.4.4 Пусть симметризаторы Юнга Y (Tλ ) и Y (T′λ ) построены по
разным таблицам Tλ и T′λ , которые имеют одну и ту же форму λ. Тогда левые
регулярные представления в пространствах левых идеалов, порожденных операторами Y (Tλ ) и Y (T′λ ) — эквивалентны. Аналогичное утверждение имеет место и
для правых регулярных представлений.
Доказательство. Доказательство эквивалентности для правых регулярных представлений такое же как и для левых регулярных представлений. Поэтому здесь мы
приведем только доказательство эквивалентности левых регулярных представлений.
Рассмотрим пространство левого идеала LTλ = C[Sr ] · Y (Tλ ), и пусть элементы ea
(a = 1, . . . , f(λ) ) образуют базис в пространстве LTλ . Так как таблицы Tλ и T′λ имеют
одну и ту же форму λ, то существует перестановка σ ∈ Sr такая, что T′λ = σ · Tλ и
соответствующие симметризаторы Юнга связаны соотношением (8.4.8). Тогда любой
элемент в пространстве
LT′λ = C[Sr ] · Y (T′λ ) = C[Sr ] · Y (Tλ ) · σ −1 ,
левого идеала, порожденного оператором Y (T′λ ), представляется в виде линейной
комбинации элементов e′a = ea · σ −1 , которые таким образом образуют базис в пространстве LT′λ . Линейная независимость векторов {e′a } следует из линейной независимости векторов {ea }. Рассмотрим левое регулярное представление ρ в пространстве
LTλ . Матрица элемента x ∈ C[Sr ] в представлении ρ будет, согласно стандартной
процедуре (2.2.33), определяться следующим образом x · ea = eb ρba (x). Аналогично
определяется матрица элемента x ∈ C[Sr ] в левом регулярном представлении ρ′ в
пространстве LT′λ : x · e′a = e′b ρ′ba (x). С другой стороны мы имеем
x · e′a = x · ea · σ −1 = (eb ρba (x)) · σ −1 = e′b ρba (x) ⇒ ρ′ba (x) = ρba (x) .
Таким образом, если в пространстве LT′λ выбрать специальный базис {e′a = ea · σ −1 },
то матрица ρ′ (x) представления любого элемента x ∈ C[Sr ] в этом базисе совпадает с
матрицей ρ(x) в представлении ρ. Cледовательно, левые регулярные представления
ρ и ρ′ , порожденные симметризаторами Юнга Y (Tλ ) и Y (T′λ ) (которые построены по
таблицам, имеющим одну и ту же форму λ), являются эквивалентными.
Выбирая в (8.4.8) горизонтальную перестановку σ = p ∈ H(Tλ ), или вертикальную перестановку σ = q ∈ V (Tλ ), мы получаем
Y (p · Tλ ) = p · Y (Tλ ) ,
Y (q · Tλ ) = δq Y (Tλ ) · q ,
(8.4.28) yng08
что следует из равенств (8.4.9). В соответствии с (8.4.28) левый идеал, порожденный
идемпотентом Y (p·Tλ ), для всех p ∈ H(Tλ ) совпадает с левым идеалом, порожденным
идемпотентом Y (Tλ ), а правый идеал, порожденный идемпотентом Y (q ·Tλ ), для всех
q ∈ V (Tλ ) совпадает с правым идеалом, порожденным Y (Tλ ),
C[Sr ] · Y (p · Tλ ) = C[Sr ] · Y (Tλ ) ,
Y (q · Tλ ) · C[Sr ] = Y (Tλ ) · C[Sr ] .
Поэтому симметризаторы Юнга Y (Tλ ) и Y (p · Tλ ), Y (q · Tλ ), построенные по всем
таблицам типа p · Tλ и q · Tλ , имеющим одну и ту же форму λ, не должны одновременно входить в полную систему независимых примитивных идемпотентов. Один из
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
374
способов исключения зависимых идемпотентов связан с тем, что выбираются только
симметризаторы Юнга Y (Tλ ), которые строятся по так называемым стандартным
таблицам Юнга Tλ .
Определение 8.4.2 Таблицы Tλ , в которых номера клеток возрастают в каждой
строке слева направо и в каждом столбце сверху вниз, называются стандартными
таблицами.
Например, рассмотрим три таблицы Юнга, имеющие одну и ту же форму λ =
[6, 5, 4, 3] ⊢ 18:
5
17 18 13 15 10
5
10 13 15 17 18
1
3
7
12 16 18
6
16
2
12
2
6
8
12 16
2
6
8
14 17
14
3
1
7
1
3
7
14
4
9
11 15
11
9
4
4
9
11
5
10 13
8
p
→
q′
→
.
Первые две таблицы не стандартны, а последняя – стандартна. Понятно, что если
таблица Tλ – стандартна, то любая горизонтальная или вертикальная перестановка
σ переведет ее в нестандартную таблицу σ ·Tλ . Поэтому выбор симметризаторов Юнга, построенных только по стандартным таблицам, приводит к отсутствию лишних
идемпотентов, связанных друг с другом соотношениями (8.4.28).
Замечание 1. Стандартные таблицы Юнга обладают замечательным свойством, а
именно, из стандартной таблицы Tλr с r клетками можно удалить клетку с последним
номером r и в результате снова получить стандартную таблицу Tλr−1 , но уже с (r−1)ой клеткой. Из стандартной таблицы Tλr−1 можно также удалить клетку с последним
номером (r − 1) и снова получить стандартную таблицу Tλr−2 . Продолжая эту процедуру и далее,
из стандарной}таблицы Tλr строится последовательность стандартных
{
таблиц Tλr , Tλr−1 , . . . , Tλ1 , которая заканчивается таблицей Tλ1 , состоящей из одной клетки с номером 1. Рассмотрим теперь последовательность диаграмм Юнга
{λ1 , λ2 , . . . , λr }, которые соответствуют построенным таблицам Tλk (k = 1, . . . , r). В
этой последовательности диаграмм каждая следующая диаграмма содержит предыдущую: λk−1 ⊂ λk . Очевидно, что по последовательности {λ1 , λ2 , . . . , λr } однозначно
восстанавливается изначальная таблица Юнга Tλr . Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между стандартными таблицами Юнга и указанными
выше последовательностями диаграмм Юнга. Это соответствие будет использовано
в следующем Разделе 8.5.
Утверждение 8.4.5 Пусть мы имеем две стандартные таблицы Tλ и Tλ′ , которые имеют одну и ту же форму λ. Тогда либо эти таблицы совпадают, либо существуют два номера, которые находятся в одной строке (столбце) таблицы Tλ
и в одном столбце (строке) Tλ′ .
Доказательство. Так как Tλ и Tλ′ — стандартные таблицы, то номер 1 в этих таблицах располагается в одной и той же клетке: в первой клетке первой строки. Каждую
клетку диаграммы Юнга λ можно задать с помощью двух координат (i, j), где i –
номер строки, а j – номер столбца в λ. Таким образом, номер 1 в таблицах Tλ и Tλ′
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
375
располагается в клетке (1, 1). Сравним нумерацию клеток для двух разных стандартных таблиц Tλ и Tλ′ , имеющих одну и ту же форму λ. Будем проводить сравнение
в каждой строке слева направо, начиная с первой. Пусть первый различающийся
номер возникает в i-ой строке, в клетке (i, j), и он равен k для таблицы Tλ и равен
k ′ для таблицы Tλ′ . Если k ′ > k, то будем говорить, что стандартная таблица Tλ′
доминирует над стандартной таблицей Tλ . Так как все номера в предыдущих клетках в строках с первой по i-ую у таблиц Tλ и Tλ′ совпадали, то номер k в стандартной
таблице Tλ′ должен находиться в одной из последующих строк с номером i′ > i, например в клетке (i′ , j ′ ). Так как k ′ > k и таблица Tλ′ — стандартная, то очевидно, что
j ′ < j, смотри Рис. 25:
j′
j
1
...
s
i
Tλ′
=
i′
k′
k
..
.
Рис. 25: Размещение клеток с номерами k и k ′ в стандартной таблице Юнга Tλ′ .
В силу того, что все предыдущие номера в строках с первой по i-ую совпадали у
таблиц Tλ и Tλ′ , то в строке i в клетке (i, j ′ ) в обеих таблицах располагается один
и тот же номер s (1 ≤ s < k). Таким образом, мы получаем, что два номера k и s
располагаются в одной строке таблицы Tλ и в одном столбце таблицы Tλ′ . Отметим,
что если бы мы выше положили k ′ < k, то рассуждения, аналогичные только что
рассмотренным, привели бы нас к заключению, что два номера k и s располагаются
в одной строке таблицы Tλ′ и в одном столбце таблицы Tλ .
Следствие 8.4.5.1 Если стандартная таблица Tλ′ доминирует над стандартной таблицей Tλ , то существуют два номера в одном столбце Tλ′ и в одной строке Tλ и
следовательно
Y (Tλ ) · Y (Tλ′ ) = 0 .
(8.4.29) yng16
Подчеркнем, что порядок доминирования устанавливается только для стандартных
таблиц имеющих одну и ту же форму.
Пример. В качестве примера рассмотрим порядок доминирования стандартных таблиц, имеющих форму диаграммы Юнга ν = [3, 2]:
1
2
T1,ν = 4
5
3
1
2
, T2,ν = 3
5
4
1
2
, T3,ν = 3
4
5
1
3
, T4,ν = 2
5
4
1
3
, T5,ν = 2
4
5
.
(8.4.30) yng-tbl
Таблицы, располагающиеся правее, доминируют над таблицами, располагающимися
левее. Легко проверить, что утверждение Следствия 8.4.5.1 согласуется с порядком
доминирования, представленном в (8.4.30). Рассмотрим, например, первую и последнюю таблицы. Два номера 1 и 2 находятся в одной строке таблицы T1,ν и в одном
столбце таблицы T5,ν . Заметим, что почти для всех пар таблиц, изображенных в
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
376
(8.4.30), имеется обратная ситуация, а именно, если T′ доминирует над T, то существует пара номеров, которые находятся в одной строке таблицы T′ и в одном столбце
таблицы T. Исключение дается первой T1,ν и последней T5,ν таблицами, представленными на (8.4.30). Действительно, не существует двух номеров, которые находятся в
одном столбце таблицы T1,ν и в одной строке таблицы T5,ν . Напомним, что в этом
случае (смотри Следствие 2 к Лемме 8.4.2) имеются элементы
p = (4, 5)(2, 3) ∈ H(T1,ν ) ,
q = (2, 5) ∈ V (T1,ν ) ,
(8.4.31) yng25z
такие, что T5,ν = q · p · T1,ν .
Замечание 2. Из рассмотрения предыдущего примера и из Утверждений 8.4.1,
8.4.3 следует, что для всех a, b = 1, ..., 5, кроме единственного случая (a = 5, b = 1),
выполняются тождества
Y (Ta,ν ) · Y (Tb,ν ) = αν Y (Tb,ν ) δab .
(8.4.32) yng29
Покажем, что Y (T5,ν ) · Y (T1,ν ) ̸= 0. Рассмотрим общий случай. Пусть стандартная
таблица Tλ′ доминирует над стандартной таблицей Tλ и не существует двух номеров,
находящихся в одной строке Tλ′ и в одном столбце Tλ (например, Tλ = T1,ν и Tλ′ =
T5,ν , смотри (8.4.30)). Тогда согласно Лемме 8.4.2 имеется элемент g = q · p ∈ Sr
такой, что Tλ′ = g · Tλ и следовательно с учетом (8.4.9) мы получаем
Y (Tλ′ ) = g · Y (Tλ ) · g −1 = q · p · Y (Tλ ) · q −1 ⇒
Y (Tλ′ ) · q = q · p · Y (Tλ ) ,
(8.4.33) yng26y
откуда (сравните с (8.4.29)):
Y (Tλ′ ) · Y (Tλ ) = q · p · Y (Tλ ) · q −1 · Y (Tλ ) = q · p · Y (Tλ ) δq αλ ̸= 0 .
(8.4.34) yng26w
• Задача 248. Проверить тождество Y (T5,ν ) · Y (T1,ν ) = −q · p · Y (T1,ν ) αν , где
q и p определены в (8.4.31).
Таким образом, симметризаторы Юнга, построенные по стандартным таблицам Tλ ,
где λ ⊢ r, вообще говоря не образуют набор взаимно ортогональных идемпотентов
в C[Sr ]. В подобных случаях некоторые из симметризаторов Y (Tλ ) должны быть
модифицированы. Рассмотрим следующую модификацию симметризатора Y (Tλ ):
Y (Tλ ) → Ye (Tλ ) = (e − (q · p · q −1 )) · Y (Tλ ) = Y (Tλ ) − Y (T′λ ) · q δq ,
(8.4.35) yng26u
где в последнем равенстве мы воспользовались соотношениями (8.4.33). Тогда вместо
(8.4.34) мы имеем
Y (Tλ′ ) · Ye (Tλ ) = Y (Tλ′ ) · (Y (Tλ ) − Y (T′λ ) · q δq ) =
= q · p · Y (Tλ ) δq αλ − αλ Y (Tλ′ ) · q δq = 0 .
(8.4.36) yng26z
8.4 Представления симметрической группы Sr . Симметризаторы Юнга.
377
Модифицированный симметризатор Ye (Tλ ) пропорционален идемпотенту. Действительно, из определений (8.4.35) и ортогональности Y (Tλ ) · Y (T′λ ) = 0 следует равенство
Ye (Tλ ) · Ye (Tλ ) = (e − (q · p · q −1 )) · Y (Tλ ) · (Y (Tλ ) − Y (T′λ ) · q δq ) =
= (e − (q · p · q −1 )) · Y (Tλ ) αλ = Ye (Tλ ) αλ .
Наконец то, что модифицированный симметризатор Ye (Tλ ) ортогонален остальным
симметризаторам Y (T′′λ ), где T′′λ ̸= (T′λ , Tλ ), вытекает из первоначальной ортогональности и цепочки равенств
Y (T′′λ ) · Ye (Tλ ) = Y (T′′λ ) · (Y (Tλ ) − Y (T′λ ) · q δq ) = 0
(8.4.37) yng27
В качестве примера снова рассмотрим таблицы, представленные в (8.4.30). Для
соответствующих симметризаторов Юнга необходимо сделать единственную модификацию согласно (8.4.35):
Y (T1,ν ) → Ye (T1,ν ) = (e − (24)(35)) · Y (T1,ν ) ,
(8.4.38) yng26
где мы воспользовались тождеством
q · p · q −1 = (25)(45)(23)(25) = (24)(35) ,
и q, p определены в (8.4.31). Ортогональность Y (T5,ν ) · Ye (T1,ν ) = 0 следует из очевидного тождества Y (T5,ν ) · (e − (24)(35)) = 0. Соотношения ортогональности Y (Ta,ν ) ·
Ye (T1,ν ) = 0 для a = 2, 3, 4 получаются из (8.4.37).
• Задача 249. Проверить ортогональность Y (Ta,ν )· Ye (T1,ν ) = 0 для a = 2, 3, 4, 5
с помощью явных вычислений (указание: воспользоваться последним равенством в (8.4.35)). Проверить, что оператор (8.4.38) пропорционален
идемпотенту.
В общем случае рецепт построения всех примитивных, взаимно ортогональных
идемпотентов для Sr заключается в следующем.
1.) Берутся все диаграммы Юнга λ ⊢ r и для каждой диаграммы строятся все стандартные таблицы Юнга Ta,λ (a = 1, ..., f(λ) ).
2.) По каждой стандартной таблице Ta,λ вычисляются горизонтальный симметризатор P , вертикальный антисимметризатор Q, а затем симметризатор Юнга Y (Ta,λ ) =
Q · P.
3.) Для симметризаторов Юнга Y (Ta,λ ) проверяются соотношения (8.4.32) для ν = λ.
Если некоторые из этих соотношений не выполняются, то подбираются факторы
ya ∈ C[Sr ] такие, что для модифицированных симметризаторов
Ye (Ta,λ ) = ya · Y (Ta,λ ) ,
соотношения (8.4.32) при ν = λ будут выполнены.
(8.4.39) yng30a
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
378
В качестве недостатка изложенного выше метода построения примитивных ортогональных идемпотентов для алгебры C[Sr ] следует отметить необходимость подбора модифицированных симметризаторов Юнга (8.4.39). В следующем разделе мы
изложим другой способ построения примитивных ортогональных идемпотентов для
алгебры C[Sr ], причем в рамках этого другого метода, диаграммы и стандартные
таблицы Юнга будут возникать автоматически естественным образом.
В заключении этого раздела приведем две полезные формулы для вычисления
числа f(λ) стандартных таблиц, имеющих форму λ, или, что тоже самое, размерности неприводимого представления Sr , соответствующего диаграмме λ и реализованного на левых идеалах, порожденных симметризаторами Y (Ta,λ ). Первая формула
для f(λ) , которую мы приводим, была получена сравнительно недавно в 1954 году
(Дж.Фрэйм, Дж.Робинсон и Р.Тролл [53]) и называется формулой крюков:
f(λ) =
∏
r!
.
h(i,j)
(8.4.40) yng30
(i,j)∈λ
Здесь в знаменателе стоит произведение по всем клеткам (i, j) диаграммы λ, а h(i,j)
— длина крюка в диаграмме λ для клетки (i, j), то есть число клеток в диаграмме
λ, расположенных правее и ниже клетки (i, j), включая саму клетку (i, j). Вторая
формула была получена ранее Фробениусом и имеет вид
∏
r!
(hi − hj ) ,
(8.4.41) yng30f
f(λ) =
(h1 ! . . . hk !) i>j
где k — число строк в диаграмме λ и hi = hi,1 (i = 1, . . . , k) длины крюков для
клеток в первом столбце λ. В качестве примера вычисления длин крюков рассмотрим
диаграмму µ = [6, 5, 3, 3] ⊢ 17 и поставим в каждой ее клетке вместо стандартных
номеров (1, 2, ..., 17) соответствующие длины крюков:
6 • • •
•
•
⇒
µ
=
9
8 7 4 3 1
7
6 5 2 1
4
3 2
3
2 1
.
(8.4.42) yng31
Мы не будем здесь доказывать формулы (8.4.40) и (8.4.41), их доказательство можно
найти во многих книгах (смотри, например, [51], [52], [54]).
• Задача 250. Вычислить по формулам (8.4.40) и (8.4.41) размерность f(µ) представления группы S17 , соответствующего диаграмме (8.4.42).
8.5
Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
8.5.1
Элементы Юциса-Мерфи и сплетающие операторы в алгебре C[Sn ].
В этом разделе мы построим все неприводимые представления симметрической группы, пользуясь подходом, который был предложен в окончательном виде A. Окуньковым и А. Вершиком [55].
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
379
Мы будем пользоваться презентацией симметрической группы, в которой образующими Sn являются соседние транспозиции σk = (k, k + 1) (k = 1, 2, . . . , n − 1),
удовлетворяющие соотношениям (8.1.7), (8.1.8) и (8.1.9). Определим в групповой алгебре C[Sn ] симметрической группы Sn набор элементов {ym } (m = 1, . . . , n):
y1 = 0 ,
=
m−1
∑
ym =
m−1
∑
σk · · · σm−2 σm−1 σm−2 · · · σk =
k=1
σm−1 · · · σk+1 σk σk+1 · · · σm−1 = (1, m) + (2, m) + . . . + (m − 1, m) ,
(8.5.1) sim02
k=1
m = 2, . . . , n .
Тривиальный элемент y1 = 0 включен в этот набор для удобства. Операторы ym
называются элементами Юциса-Мерфи и играют важную роль в теории представлений симметрической группы. Отметим, что элементы Юциса-Мерфи (8.5.1) можно
задать с помощью индуктивной процедуры
y1 = 0 , ym+1 = σm + σm · ym · σm .
(8.5.2) sim02i
Для иллюстрации выпишем несколько первых элементов ym :
y2 = σ1 ,
y3 = σ2 + σ2 σ1 σ2 , y4 = σ3 + σ3 σ2 σ3 + σ3 σ2 σ1 σ2 σ3 , . . . .
(8.5.3) sim02ex
Из определений (8.5.1), (8.5.2) и соотношений кос (8.1.8) следует, что элементы
ym удовлетворяют следующим тождествам (они понадобятся нам в дальнейшем):
ym+1 · σm = σm · ym + 1 ,
σm · ym+1 = ym · σm + 1 ,
[ym , σi ] = 0 , m ̸= i, i + 1 .
(8.5.4) sim03
(8.5.5) sim03a
Утверждение 8.5.1 Операторы Юциса-Мерфи {y1 , y2 , . . . , yn } образуют полный набор коммутирующих элементов в C[Sn ]:
[yi , yj ] = 0 ,
∀i, j .
(8.5.6) sim03y
Доказательство. Докажем сначала коммутируемость элементов {y1 , y2 , . . . , yn }. Воспользуемся для этого последним представлением из (8.5.1) и для определенности
будем считать, что j > i, тогда
[ i−1
] i−1 [
]
j−1
j−1
∑
∑
∑
∑
[yi , yj ] =
(k, i),
(m, j) =
(k, i),
(m, j) =
m=1
m=1
k=1
k=1
)
i−1
i−1
∑
∑(
=
[(k, i), (k, j) + (i, j)] =
[(i, j), (k, i)] + [(k, i), (i, j)] = 0 ,
k=1
k=1
где мы учли то, что [(k, i), (m, j)] ̸= 0 только, если m = k, i (для случая i < j), и
использовали тождество (k, i) (k, j) = (i, j) (k, i).
Доказательство полноты набора коммутирующих переменных {y1 , y2 , . . . , yn } на
данном этапе нетривиально и мы оставим это утверждение без доказательства.
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
380
• Задача 251. Проверить явно, что [y2 , y3 ] = 0, [y2 , y4 ] = 0 и [y3 , y4 ] = 0,
пользуясь (8.5.3) и соотношениями (8.1.7) – (8.1.9).
Определение 8.5.1 Абелева подалгебра Yn ⊂ C[Sn ], порожденная всеми элементами Юциса-Мерфи {y1 , y2 , . . . , yn }, называется подалгеброй Гельфанда-Цейтлина.
Отметим, что так как алгебра C[Sn ] порождается образующими {σ1 , . . . , σn−2 }, которые образуют подалгебру C[Sn−1 ] ⊂ C[Sn ], и последней образующей σn−1 , то мы
имеем естественное включение друг в друга групповых подалгебр C[Sk ] и соответствующих подалгебр Гельфанда-Цейтлина Yk (k = 2, . . . , n − 1):
C[S2 ] ⊂ C[S3 ] ⊂ · · · ⊂ C[Sn−1 ] ⊂ C[Sn ]
∪
∪
···
∪
∪
Y2
⊂ Y3 ⊂ · · · ⊂ Yn−1 ⊂ Yn
(8.5.7) sim04yy
Определим в алгебре C[Sn ] сплетающие операторы Uk , которые будут чрезвычайно важны для нашего дальнейшего рассмотрения:
Uk = σk · yk − yk · σk = yk+1 · σk − σk · yk+1 = σk (yk − yk+1 ) + 1 ,
k = 1, . . . , n − 1 .
(8.5.8) sim04
Утверждение 8.5.2 Для сплетающих операторов Uk имеют место следующие
тождества
Uk · σk = −σk · Uk ,
[Uk , σm ] = 0
(|k − m| > 1) .
(8.5.9) sim05a
Кроме того, коммутационные соотношения сплетающего оператора Uk с элементами Юциса-Мерфи ym имеют вид:
[Uk , ym ] = 0
Uk · yk = yk+1 · Uk ,
(m ̸= k, k + 1) ,
Uk · yk+1 = yk · Uk ,
(8.5.10) sim05
Наконец, сплетающие операторы Uk удовлетворяют соотношениям группы кос:
Uk · Uk+1 · Uk = Uk+1 · Uk · Uk+1 ,
(8.5.11) sim06
а квадрат оператора Uk принадлежит подалгебре Yn , то есть выражается в виде
функции от элементов yk и yk+1 :
Uk2 = (1 + yk+1 − yk )(1 − yk+1 + yk ) .
(8.5.12) sim07
Доказательство. Первое соотношение в (8.5.9) получается с помощью (8.1.9) следующим образом
Uk · σk = (σk · yk − yk · σk )σk = −σk (σk · yk − yk · σk ) = −σk · Uk .
Второе соотношение в (8.5.9) и первое в (8.5.10) непосредственно следуют из соотношений локальности (8.1.7) и (8.5.5). Докажем второе соотношение в (8.5.10) (третье
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
381
соотношение в (8.5.10) доказывается аналогично). Воспользуемся представлениями
(8.5.2), (8.5.8) и коммутативностью (8.5.6):
yk+1 · Uk = yk+1 · (σk (yk − yk+1 ) + 1) = (σk · yk + 1)(yk − yk+1 ) + yk+1 =
= σk (yk − yk+1 ) yk + yk = Uk · yk .
Cоотношение (8.5.12) получается следующим образом
Uk · Uk = (σk · (yk − yk+1 ) + 1) · Uk = σk · Uk · (yk+1 − yk ) + Uk =
= (yk − yk+1 ) · (yk+1 − yk ) + 1 = (1 + yk+1 − yk ) · (1 − yk+1 + yk ) ,
где мы воспользовались последним представлением из (8.5.8) и равенствами (8.5.10).
Перейдем теперь к доказательству соотношения кос (8.5.11). Преобразуем сначала
правую часть (8.5.11) для чего, учитывая явное выражение (8.5.8) и формулы (8.5.9),
(8.5.10), постараемся протащить все элементы Юциса-Мерфи ym направо:
(
)
Uk+1 · Uk · Uk+1 = σk+1 · (yk+1 − yk+2 ) + 1 · Uk · Uk+1 =
= σk+1 · Uk · Uk+1 · (yk − yk+1 ) + Uk · Uk+1 =
= σk+1 · σk · σk+1 · (yk+1 − yk+2 ) · (yk − yk+2 ) · (yk − yk+1 )+
+σk+1 · σk · (yk − yk+2 ) · (yk − yk+1 ) + (yk+1 − yk+2 ) · (yk − yk+1 )+
(8.5.13) sim06r
+σk+1 · (yk − yk+2 ) + σk σk+1 · (yk+1 − yk+2 ) · (yk − yk+2 )+
+σk · (yk − yk+2 ) + 1 ,
где мы подставили формулу
(
)
Uk · Uk+1 = σk · (yk − yk+1 ) + 1 · Uk+1 = σk · Uk+1 · (yk − yk+2 ) + Uk+1 =
= σk · σk+1 · (yk+1 − yk+2 ) · (yk − yk+2 ) + σk · (yk − yk+2 ) + σk+1 · (yk+1 − yk+2 ) + 1
Пользуясь этой же формулой, соотношениями (8.5.10), а также последним представлением из (8.5.8), мы получаем для левой части (8.5.11):
(Uk · Uk+1 ) · Uk = σk · σk+1 · Uk · (yk − yk+2 ) · (yk+1 − yk+2 )+
+σk · Uk · (yk+1 − yk+2 ) + σk+1 · Uk · (yk − yk+2 ) + Uk =
= σk · σk+1 · σk · (yk − yk+1 ) · (yk − yk+2 ) · (yk+1 − yk+2 )+
+σk · σk+1 · (yk − yk+2 ) · (yk+1 − yk+2 ) + (yk − yk+1 ) · (yk+1 − yk+2 )+
+σk · (yk − yk+2 ) + σk+1 · σk · (yk − yk+1 ) · (yk − yk+2 )+
+σk+1 · (yk − yk+2 ) + 1 ,
Сравнивая правые части в (8.5.13) и (8.5.14), мы получаем (8.5.11).
(8.5.14) sim06le
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
382
Следствие. Согласно (8.5.10) действие сплетающего оператора Uk слева на любую
функцию f (y1 , . . . , yn ) сводится к перестановке двух элементов Юциса-Мерфи yk и
yk+1 :
Uk · f (y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn ) = f (y1 , . . . , yk+1 , yk , . . . , yn ) · Uk .
(8.5.15) sim03f
Это соотношение для любой симметрической функции fs (y1 , . . . , yn ), с учетом последнего представления в (8.5.8) и коммутативности элементов ym переписываются
в виде
[Uk , fs (y1 , . . . , yn )] = 0 ⇒ [σk , fs (y1 , . . . , yn )] · (yk − yk+1 ) = 0 ,
∀k .
На самом деле последнее равенство является следствием более сильного утверждения.
Утверждение 8.5.3 Любая симметрическая функция fs от переменных {y1 , . . . , yn }
принадлежит центру групповой алгебры C[Sn ]:
[σk , fs (y1 , . . . , yn )] = 0 ,
∀k .
(8.5.16) centS
Доказательство. Центральность (8.5.16) симметрической функции fs (y1 , . . . , yn ) следует из того, что любую такую функцию можно, учитывая симметрию по двум переменным yk и yk+1 , записать в виде
fs (y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn ) = f˜(y1 , . . . , yk−1 , (yk · yk+1 ), (yk + yk+1 ), yk+2 , . . . , yn ) ,
после чего следует воспользоваться соотношениями локальности (8.5.5) и равенствами
[σk , yk · yk+1 ] = 0 , [σk , yk + yk+1 ] = 0 ,
которые проверяются непосредственно с помощью индуктивной формулы (8.5.2).
8.5.2
Идемпотенты и спектр операторов Юциса-Мерфи.
Будем теперь искать полный набор примитивных взаимно ортогональных идемпотентов eα , для которых выполнялись бы соотношения (8.3.5), (8.3.6), и кроме того
эти идемпотенты являлись бы собственными векторами операторов Юциса-Мерфи:
(α)
yk · eα = ak eα
(α)
(ak ∈ C)
∀k .
(8.5.17) sim08
Идемпотенты (8.3.13), которые рассматривались в Разделе 8.3 в Примере 2, являются идемпотентами такого типа (сравните (8.5.17) с соотношениями (8.3.14), где
σ1 = y2 ). Построение идемпотентов, удовлетворяющих (8.5.17), эквивалентно тому,
что мы ищем в левом регулярном представлении C[Sn ] базис, в котором операторы
yk диагонализуются одновременно.
Из формулы (8.5.17) следует коммутативность идемпотентов eα и образующих
Юциса-Мерфи {yk }. Действительно, умножим обе части (8.5.17) слева на идемпотент
eβ :
(α)
eβ · yk · eα = δαβ ak eα ,
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
383
и просуммируем по всем α. Учитывая (8.3.5), в результате имеем
(β)
eβ · yk = ak eβ .
(8.5.18) sim08a
Сравнивая это соотношение с (8.5.17), мы получаем [yk , eα ] = 0. Так как элементы Юциса-Мерфи {yk } образуют полный набор коммутирующих операторов в C[Sn ]
(смотри Утверждение 8.5.1), то идемпотенты eα , удовлетворяющие (8.5.17), принадлежат подалгебре Гельфанда-Цейтлина Yn и должны строиться как некоторые
функции от {ym }.
Пример (продолжение Примера 3 из Раздела 8.3). Рассмотрим три взаимно коммутирующих элемента Юциса-Мерфи в C[S3 ]:
y1 = 0 , y2 = σ1 , y3 = σ2 + σ2 σ1 σ2 .
Подействуем элементами y1 , y2 , y3 слева на примитивные идемпотенты (8.3.17). Оказывается, что при определенном значении параметра ε, а именно для ε = 1/2, все
идемпотенты (8.3.17) становятся собственными векторами операторов yk :
(y1 , y2 , y3 ) · e[3] = (0, 1, 2) e[3] ,
(y1 , y2 , y3 ) · e[13 ] = (0, −1, −2) e[13 ] ,
(y1 , y2 , y3 ) · e[2,1]1 = (0, 1, −1) e[2,1]1 ,
(8.5.19) resun31
(y1 , y2 , y3 ) · e[2,1]2 = (0, −1, 1) e[2,1]2 .
Здесь в правых частях в скобках даны собственные значения соответствующих операторов yk .
• Задача 252. Проверить, что идемпотенты (8.3.17) при ε = 1/2 выражаются
через операторы Юциса-Мерфи:
e[3] = 61 (1 + y2 ) · (1 + y3 ) , e[13 ] = 16 (1 − y2 ) · (1 − y3 ) ,
e[2,1]1 = 16 (2 − y3 ) · (1 + y2 ) , e[2,1]2 = 16 (1 − y2 ) · (2 + y3 ) .
(8.5.20) ress3
Рассмотрим теперь следующее размещение целых чисел в верхнем левом углу бесконечомерной матрицы
0 1 2 3 ...
−1 0 1 2 . . .
−2 −1 0 1 . . .
−3 −2 −1 0 . . .
..
..
.. ..
.
.
. . ...
то есть, на главной диагонали стоят нули, на ближайшей к главной диагонали сверху
стоят +1, на ближайшей к главной диагонали снизу стоят −1, и так далее. Другими
словами клетка с координатами (n, m), где n – номер строки, а m – номер столбца
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
384
имеет содержание (m−n). Поместим теперь в этот угол возможные диаграммы Юнга
с тремя клетками. В результате получаем три диаграммы
[3] = 0 1 2 ,
0
[13 ] = −1 ,
−2
[2, 1] =
0 1
.
−1
(8.5.21) resun32
Заметим, что содержание клеток (контент) в этих диаграммах в точности совпадает со спектром коммутирующих операторов yk на соответствующих идемпотентах,
который приведен в формулах (8.5.19). Однако соответствие между диаграммами
Юнга с указанным контентом (8.5.21) и идемпотентами (8.3.17) не является взаимноодназначным, так как двум разным идемпотентам e[2,1]1 , e[2,1]2 соответствует одна
и та же диаграмма [2, 1] с контентом. Для того, чтобы получить взаимно однозначное соответствие, пронумеруем клетки в диаграммах (8.5.21) так, чтобы номера в
клетках возрастали слева направо в каждой строке и сверху вниз в каждом столбце.
Диаграммы Юнга с такой нумерацией клеток называются стандартными таблицами Юнга (смотри Опрелделение 8.4.2 в Разделе 8.4). В результате получаем четыре
стандартные таблицы Юнга с контентом:
1
1
[3] = 0
2
1
3
0
1
0 21
2 , [1 ] = −1 , [2, 1]1 = 3
,
−1
3
−2
3
2
1
0 31
[2, 1]2 = 2
−1
,
(8.5.22) resun33
которые уже взаимно однозначно соответствуют четырем идемпотентам (8.3.17). Соответствие согласно (8.5.19) устанавливается следующим образом: в таблицах (8.5.22)
клетки с номером i и координатами (n, m) выглядят как i m-n и это означает, что
собственное значение оператора yi на соответствующем идемпотенте равно (m − n)
(сравните (8.5.19) и (8.5.22)). Таким образом, примитивные идемпотенты (8.3.17) с
одной стороны ассоциируются со стандартными таблицами Юнга с тремя клетками
и контентом (8.5.22), а с другой стороны, как мы знаем, связаны с неприводимыми
представлениями алгебры C[S3 ] (группы S3 ). Далее мы продемонстрируем эту связь
между стандартными таблицами Юнга, с указанным контентом клеток, и примитивными идемпотентами (неприводимыми представлениями) групповой алгебры C[Sn ]
для общего случая n ≥ 2.
Итак, согласно (8.5.17) каждый примитивный идемпотент eα характеризуется набором своих собственных значений
(α)
(α)
Λ(α) = (a1 , a2 , . . . , a(α)
n ) ∈ Spec(y1 , y2 , . . . , yn ) .
(8.5.23) sim09
Утверждение 8.5.4 Спектр операторов Юциса-Мерфи yj для алгебры C[Sn ] таков,
что
Spec(yj ) ⊂ {Zj } (∀j = 1, 2, . . . , r) ,
(8.5.24) spec
где Zj обозначает набор целых чисел {1 − j, . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , j − 1}.
Доказательство. Мы докажем (8.5.24) по индукции. Из условия (8.1.9) мы имеем
для элемента y2 = σ1 характеристическое тождество:
(y2 − 1)(y2 + 1) = 0 .
(8.5.25) spec3
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
385
Таким образом, Spec(y2 ) = {−1, +1} и следовательно спектр оператора y2 удовлетворяет (8.5.24). Допустим, что спектр yj−1 удовлетворяет (8.5.24) для некоторого j ≥ 3.
Рассмотрим характеристическое уравнение для элемента yj−1 (сравните с (8.5.25)):
∏
(α)
(α)
(yj−1 − aj−1 ) = 0
(aj−1 ∈ Spec(yj−1 )) .
(8.5.26) spec3d
α
Введем обозначение для функции, стоящей в левой части (8.5.26)
)
∏(
(α)
f (yj−1 ) ≡
yj−1 − aj−1 .
α
Используя сплетающие операторы Uj и их свойства (8.5.10), (8.5.12), из уравнения
(8.5.26) мы получаем тождество
0 = Uj · f (yj−1 ) · Uj = f (yj ) · Uj2 = f (yj ) · (1 + yj−1 − yj ) · (1 − yj−1 + yj ) ,
(8.5.27) spec1
которое означает, что
(
) (
)
Spec(yj ) ⊂ Spec(yj−1 ) ∪ Spec(yj−1 ) + 1 ∪ Spec(yj−1 ) − 1 ,
и следовательно доказывает (8.5.24).
Пусть Λ = (a1 , . . . , ai , ai+1 , . . . , an ) — возможный спектр образующих (y1 , . . . , yn )
коммутативной подалгебры Yn , который соответствует некоторому примитивному
идемпотенту eΛ ∈ C[Sn ].
Утверждение 8.5.5 Собственные значения соседних операторов Юциса-Мерфи yi
и yi+1 на одном и том же идемпотенте eΛ не совпадают. То есть, ai ̸= ai+1 для
всех i = 1, . . . , n − 1.
Доказательство. Будем доказывать это утверждение от противного. Пусть для
некоторого примитивного идемпотента eΛ мы имеем ai = ai+1 , то есть
yi · eΛ = yi+1 · eΛ = ai eΛ .
(8.5.28) sim10
Тогда, пользуясь определением (8.5.8) сплетающего оператора Ui , мы получаем
(
)
eΛ · Ui · eΛ = eΛ · σi · (yi − yi+1 ) + 1 · eΛ = eΛ · eΛ = eΛ .
(8.5.29) sim11
С другой стороны мы имеем
eΛ · Ui · eΛ = eΛ · (σi · yi − yi · σi ) · eΛ = eΛ · (σi · ai − ai · σi ) · eΛ = 0 .
Сравнивая это равенство с (8.5.29), мы видим, что в предположении одновременной диагонализуемости всех образующих yk (то есть при выполнении соотношений
(8.5.18)), равенство (8.5.28) может быть справедливым только для eΛ = 0.
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
386
Рассмотрим подалгебру C[Ŝ2 ] в алгебре C[Sn ] с образующими yi , yi+1 и σi (для
фиксированного i ≤ n) и структурными соотношениями (8.1.9), (8.5.4) и (8.5.6):
σi2 = 1 ,
σi · yi+1 = yi · σi + 1 ,
yi · yi+1 = yi+1 · yi .
Исследуем для этой подалгебры все возможные неприводимые представления. Пусть
идемпотент eΛ является общим собственным вектором для yi , yi+1 : yi · eΛ = ai eΛ ,
yi+1 ·eΛ = ai+1 eΛ . Тогда, левое действие образующих C[Ŝ2 ] в базисе v1 = eΛ , v2 = σi ·eΛ
имеет вид
σi · (v1 , v2 ) = (v2 , v1 ) , yi · (v1 , v2 ) = (ai v1 , ai+1 v2 − v1 ) ,
yi+1 · (v1 , v2 ) = (ai+1 v1 , ai v2 + v1 ) ,
и согласно стандартному соглашению (2.2.33) мы получаем двумерное представление
ρ для образующих C[Ŝ2 ]:
(
)
(
)
(
)
0 1
ai −1
ai+1 1
ρ(σi ) =
, ρ(yi ) =
, ρ(yi+1 ) =
.
(8.5.30) abmw1a
1 0
0 ai+1
0 ai
Матрицы ρ(yi ), ρ(yi+1 ) (8.5.30) могут быть одновременно диагонализованы с помощью преобразования эквивалентности y → V −1 · y · V , где
(
)
(
)
−1
1 ai −a1 i+1
1 ai −a
−1
i+1
V =
, V =
.
0
1
0
1
Как результат мы получаем следующее эквивалентное матричное представление
)
( −1
(
)
(
)
1 − (ai −a1i+1 )2
ai −ai+1
ai 0
ai+1 0
, ρ̃(yi ) =
, ρ̃(yi+1 ) =
,
ρ̃(σi ) =
1
0 ai+1
0 ai
1
ai −ai+1
(8.5.31) ah1
которое реализуется в новом базисе
(
)
v1
(v1 , v2 ) V = v1 ,
+ v2 ≡ (vΛ , vΛ′ ) ,
(8.5.32) ah2
ai − ai+1
где ai ̸= ai+1 , иначе матрицы yi , yi+1 не являются диагонализуемыми (смотри Утверждение 8.5.5). Заметим, что только для случая ai+1 = ai ± 1 двумерное представление (8.5.31) приводимо и разлагается в два одномерных представления, для которых
ρ̃(σi ) = ±1, соответственно. Все результаты, полученные выше, мы просуммируем в
виде следующего утверждения [55].
Теорема 8.5.6 Пусть
Λ = (a1 , . . . , ai , ai+1 , . . . , an ) ∈ Spec(y1 , . . . , yn ) ,
(8.5.33) comb
— возможный спектр образующих (y1 , . . . , yn ) коммутативной подалгебры Yn , который соответствует примитивному идемпотенту eΛ ∈ C[Sn ]. Тогда, ai ∈ Zi
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
387
(8.5.24) и
(1) ai ̸= ai+1 для всех i < n;
(2) если ai+1 = ai ± 1, то σi · eΛ = ±eΛ ;
(3) если ai+1 ̸= ai ± 1, то
Λ′ = (a1 , . . . , ai+1 , ai , . . . , an ) ∈ Spec(y1 , . . . , yn ) ,
(8.5.34) lam
и левое действие элементов σi , yi , yi+1 в базисе (vΛ , vΛ′ ), заданном соотношениями
vΛ = eΛ , vΛ′ = σi eΛ +
1
eΛ ,
ai − ai+1
определяется матричным представлением (8.5.31).
Следствие. Комбинации (. . . , ai , ai+1 , , ai+2 , . . .) = (. . . , a, a ± 1, a, . . .) не могут возникать в спектре (8.5.33), так как согласно условию (2) Теоремы 8.5.6 в этом случае
реализуются одномерные предствления σi = ±1 и σi+1 = ∓1, что противоречит соотношению кос (8.1.8).
Отметим, что идемпотенты eΛ и eΛ′ , соответствующие спектрам (8.5.33) и (8.5.34)
и удовлетворяющие условию (3) из Теоремы 8.5.6, связаны преобразованием подобия
Ui · eΛ = eΛ′ · Ui ,
(8.5.35) UeeU
где Ui – сплетающие операторы, заданные в (8.5.8).
Теорема 8.5.7 [55]. Рассмотрим набор Λ = (a1 , . . . , an ) чисел ai ∈ Zi (8.5.24). Тогда
Λ ∈ Spec(y1 , y2 , . . . , yn ), если и только если Λ удовлетворяет следующим условиям
(z ∈ Z):
(1)
(2)
(3)
a1 = 0 ;
ar = z ⇒ {ar + 1, ar − 1} ∩ {a1 , . . . , ar−1 } ̸= ∅ ∀r > 1 , z ̸= 0;
ai = aj = z (i < j) ⇒ {z + 1, z − 1} ⊂ {ai+1 , . . . , aj−1 } .
(8.5.36) con1
Доказательство. Условие (1) следует из тождества y1 = 0.
(2) Согласно пункту (3) Теоремы 8.5.6 спектр (8.5.33) можно трансформировать
следующим образом. Если ar ̸= ar−1 ± 1, то ar и ar−1 можно переставить в Λ и
получить новый допустимый спектр
Λ′ = (a1 , . . . , ar−2 , ar , ar−1 , . . . , an ) ∈ Spec(y1 , . . . , yn ) .
Далее, если ar ̸= ar−2 ± 1, то ar и ar−2 можно переставить в Λ′ и получить Λ′′ =
(. . . , ar , ar−2 , ar−1 , . . .) ∈ Spec(y1 , . . .). Если среди собственных значений {a1 , . . . , ar−1 }
не содержатся собственные значения (ar +1), или (ar −1), то, пользуясь вышеизложенной процедурой, собственное значение ar = z ̸= 0 можно переместить в допустимом
спектре на первое место, что противоречит условию (1).
(3) Без ограничения общности можно считать, что среди {ai+1 , . . . , aj−1 } нет собственных значений, равных z. Рассуждение, аналогичное использованному выше при
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
388
доказательстве условия (2), приводит нас к заключеннию, что одно из собственных
значений {z + 1, z − 1} обязательно содержится среди {ai+1 , . . . , aj−1 }, иначе aj = z
можно было бы переместить на место ai+1 и это противоречило бы условию (1) Теоремы 8.5.6. Пусть (z − 1) ∈ {ai+1 , . . . , aj−1 }, тогда нам необходимо доказать, что
среди {ai+1 , . . . , aj−1 } обязательно присутствует и собственное значение (z + 1) (случай, когда сначала мы имеем (z + 1) ∈ {ai+1 , . . . , aj−1 } рассматривается аналогично).
Данное утверждение может быть доказаны по индукции, если воспользоваться условиями (1) и (3) Теоремы 8.5.6, а также Следствием к этой Теореме. Мы оставляем
читателю довести это достаточно простое, но очень длинное, доказательство до конца в качестве самостоятельного Упражнения (смотри доказательство аналогичной
Теоремы 5.1 в [55]).
Каждая стандартная таблица Юнга Tνn с n клетками определяет возрастающий
набор стандартных таблиц, вложенных друг в друга: Tν1 ⊂ Tν2 ⊂ . . . ⊂ Tνn (смотри Замечание 1 в Разделе 8.4). Припишем каждой клетке с координатами (k, m) в
стандартной таблице Юнга число (m − k), как это сделано, например, для таблицы:
-m
1
0
2
1 42 63
3
−1 5 0 8 1
−2
k ?
(8.5.37) 111
В общем случае для таблицы Tνn i-ая клетка Tνi /Tνi−1 с координатами (k, m) выгля7
i
дит следующим образом: (m−k) , при этом числа ai = (m − k) называются содержанием (или контентом) клетки с номером i. Таким образом, с каждой стандартной
таблицей Юнга Tνn , имеющей n клеток, мы связываем последовательность чисел
(a1 , . . . , an ) такую, что ai = (m−k), если i-ая клетка имеет координаты (k, m). Теперь
можно утверждать, что наборам допустимых собственных значений (8.5.33), удовлетворяющим условиям Теорем 8.5.6 и 8.5.7, однозначно соответсвуют стандартные
таблицы Юнга Tνn с n клетками, в которых проставлено их содержание.
Например, для стандартной таблицы (8.5.37) соответствующий набор чисел имеет
вид (a1 , . . . , a8 ) = (0, 1, −1, 2, 0, 3, −2, 1). Заметим, что этот набор удовлетворяет всем
условиям Теорем 8.5.6 и 8.5.7 и следовательно
(0, 1, −1, 2, 0, 3, −2, 1) ∈ Spec(y1 , . . . , y8 ) .
Окончательно наше утверждение может быть сформулировано следующим образом (Утверждение 5.3 из [55]):
Утверждение 8.5.8 Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством T (n) стандартных таблиц Юнга с n клетками (в которых указано их содержание) и множеством Spec(y1 , . . . , yn ).
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
8.5.3
389
Граф Юнга и явное построение идемпотентов eα
Представим теперь результаты, изложенные в предыдущем подпункте, в несколько
иной графической форме. А именно, представим эти результаты в форме графа Юнга. По определению граф Юнга — это граф с диаграммы Юнга в качестве вершин,
(напомним, что диаграммы Юнга с n клетками ассоциируются с неприводимыми
представлениями Sn ), и ребрами (которые указывают правило ветвления неприводимых представлений). На ребрах ставятся индексы, которые соответствуют кратностям ветвления представлений. В нашем случае в силу невырожденности спектра
операторов Юциса-Мерфи yi (смотри Утверждение 8.5.1) кратности равны 1. Вместо кратностей мы поместим на ребрах графа Юнга, которые идут к диаграммам
Юнга νi с i клетками, собственные значения ai элементов Юциса-Мерфи yi так, чтобы содержанием последней i-ой клетки соответствующей диаграммы νi в вершине
равнялось ai . Такой граф Юнга мы будем называть раскрашенным. В результате
вдоль пути из вершины ∅ графа Юнга к некоторой другой вершине (диаграмме Юнга νn с n клетками) возникает последовательность индексов (a1 , a2 , . . . , an ), стоящих
на ребрах, и эта последовательность дает содержания (контенты) клеток таблицы
Юнга Tνn , имеющей форму диаграммы Юнга νn . В качестве примера рассмотрим
раскрашеный граф Юнга для группы S4 , который имеет вид:
∅
= y1
0
?
t
A −1
1
A
AAU
/
t
t
t
t
A
J −2
1
2
A
J
A
J
−1
A J
^t
AUt t
ttt
t
t
t
B
S
B
S
2
3 S −2
B
S −3
S
1 S
−1 B
0
S S
B
w
S
SS
BBN tt t t
w
t
?
t
t
ttt
t
tt
t
t
tt
t
t
t
= y2
= y3
= y4
Рис. 26: Расскрашенный граф Юнга для S4 .
Путь
•
••
{∅ → • → • • → •
• → •• } ,
0
1
−1
0
(8.5.38) way4
на рисунке 26 соответствует таблице Юнга
1
Tν4 = 3
0 21
,
-1 4 0
(8.5.39) Tnu4
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
390
то есть, форма таблицы (диаграмма Юнга ν4 ) дается формой последней вершины
пути, в то время как номера клеток таблицы показывают в какой последовательности клетки • появляются в вершинах вдоль рассматриваемого пути. Контент клеток соответствует последовательности (a1 , ..., a4 ) = (0, 1, −1, 0) и дается индексами
на ребрах пути. Числа (a1 , ..., a4 ) = (0, 1, −1, 0) являются собственными значениями
элементов Юциса-Мерфи (y1 , y2 , y3 , y4 ), полученными в результате их действия на
примитивный идемпотент e(Tν4 ).
Таким образом, мы ассоциировали стандартные таблицы Юнга Tνn , имеющие
форму диаграммы Юнга с n клетками, во-первых, с элементами множества всех
допустимых спектров Spec(y1 , . . . , yn ) или, что тоже самое, с примитивными ортогональными идемпотентами в алгебре C[Sn ], и, во-вторых, с путями в графе Юнга.
При этом соответствие устанавливается по следующим правилами. Путь, который
мы ассоциируем со стандартной таблицей Юнга Tνn , начинается из верхней вершины ∅ и заканчивается в вершине, пронумерованной диаграммой Юнга νn , имеющей
ту же форму, что и таблица Юнга Tνn . Обозначим через X(n) множество всех путей
длины n, которые начинаются из ∅ идут вниз и заканчиваются диаграммой Юнга с
n клетками (множество путей с n ребрами на раскрашенном графе Юнга).
Утверждение 8.5.9 Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством T (n) стандартных таблиц с n клетками, в которых указано содержание,
множеством Spec(y1 , . . . , yn ) и множеством X(n) всех путей длины n в раскрашенном графе Юнга.
Согласно рассмотрению, данному в Разделе 8.4, размерность неприводимого представления алгебры C[Sn ] (группы Sn ), которое соответствует диаграмме Юнга νn ,
равна числу стандартных таблиц Tνn , имеющих форму νn , или как мы только что
продемонстрировали, числу путей длины n в графе Юнга, которые ведут к этой диаграмме из вершины ∅. Это число дается формулами (8.4.40) и (8.4.41), которые мы
привели в конце Раздела 8.4.
Так как раскрашенный граф Юнга для группы Sn полностью нами описан и
может быть явно построен для любого фиксированного n, то, как мы сейчас покажем,
мы можем вывести явные выражения (в терминах элементов Юциса-Мерфи yk ) для
всех ортогональных примитивных идемпотентов алгебры C[Sn ], используя простую
индуктивную процедуру.
nk −nk−1
Рассмотрим диаграмму Юнга λn = [λn(1)1 , λn(2)2 −n1 , . . . , λ(k)
] с nk рядами и n клетками:
k
∑
n=
(ni − ni−1 ) λ(i) ,
i=1
где n0 = 0. Таким образом, первые n1 рядов в диаграмме λn имеют длину λ(1) , следующие (n2 − n1 ) рядов имеют длину λ(2) и так далее, и наконец последние (nk − nk−1 )
рядов имеют длину λ(k) . Графически такая диаграмма изображается так, как показано на Рис. 27, где (ni , λ(i) ) координаты клеток, соответствующие углам диаграммы
λn .
Рассмотрим любую стандартную таблицу Юнга Tλn , имеющую форму диаграммы, изображенной на Рис. 27. Пусть нам известен примитивный идемпотент e(Tλn ) ∈
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
391
λ
(1)
n1
n1 ,λ(1)
...
λn =
nj−1 ,λ(j−1)
n+1
nj −nj−1
(nj−1 +1,λ(j) +1)
nj ,λ(j)
...
nk −nk−1
nk ,λ(k)
n −nk−1
k
Рис. 27: Диаграмма Юнга λn = [λn(1)1 , λn(2)2 −n1 , . . . , λ(k)
клеткой, имеющей координаты (nj−1 + 1, λ(j) + 1).
] с добавленной (n + 1)-ой
C[Sn ] ⊂ C[Sn+1 ], который соответствует таблице Tλn и такой, что
(y1 , y2 , . . . , yn ) · e(Tλn ) = (0, a2 , . . . , an ) e(Tλn ) ,
(8.5.40) pij10
где (0, a2 , . . . , an ) — содержания клеток таблицы Tλn . Принимая во внимание правило
ветвления, которое следует из раскрашенного графа Юнга для Sn+1 , мы заключаем,
что для оператора e(Tλn ), рассматриваемого уже как элемент алгебры C[Sn+1 ], имеет
место следующее тождество
e(Tλn ) ·
k+1
∏(
)
(r)
yn+1 − an+1 = 0 ,
(8.5.41) pij01
r=1
(r)
где an+1 = (λ(r) − nr−1 ) и мы фиксируем λ(k+1) = n0 = 0. Действительно, в раскрашенном графе Юнга для Sn+1 из вершины с диаграммой λn , изображенной на
(j)
Рис.27, могут исходить только ребра с индексами an+1 (j = 1, . . . , k + 1), которые
являются содержанием возможных новых клеток с координатами (nj−1 + 1, λ(j) + 1)
(j = 1, . . . k + 1), смотри рисунок 27. Это означает, что идемпотент e(Tλn ) определяет подпространство регулярного представления, на котором элемент Юциса-Мерфи
(j)
yn+1 может иметь только собственные значения an+1 (j = 1, . . . , k + 1). Этот факт и
зафиксирован в виде тождества (8.5.41). Пусть новая стандартная таблица Tj,λn+1 получается добавлением к таблице Tλn , имеющей форму диаграммы λn , новой (n+1)-ой
клетки с координатами (nj−1 + 1, λ(j) + 1), смотри Рис.27.
Утверждение 8.5.10 Примитивный ортогональный идемпотент e(Tj,λn+1 ) в алгебре C[Sn+1 ], соответствующий таблице Tj,λn+1 , имеет вид
)
(
(r)
k+1
∏ yn+1 − an+1
).
(
(8.5.42) pij
e(Tj,λn+1 ) = e(Tλn ) ·
(j)
(r)
a
−
a
r=1
n+1
n+1
r̸=j
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
392
Доказательство. В силу тождества (8.5.41) для оператора (8.5.42) мы получаем
(j)
yn+1 · e(Tj,λn+1 ) = an+1 e(Tj,λn+1 ) ,
(8.5.43) pij06
что в соответствии с (8.5.40) дает
(j)
(y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 ) · e(Tj,λn+1 ) = (0, a2 , . . . , an , an+1 ) e(Tj,λn+1 )
Это равенство и соотношение (8.5.43) согласуется с тем, что (n+1)-ая клетка в Tj,λn+1
(j)
имеет координаты (nj−1 + 1, λ(j) + 1) и ее контент соответственно равен an+1 = λ(j) −
nj−1 . Из равенства (8.5.43) с учетом соотношения [e(Tλn )]2 = e(Tλn ) мы получаем,
что оператор (8.5.42) действительно является идемпотентом
e(Tj,λn+1 ) · e(Tj,λn+1 ) = e(Tj,λn+1 ) , e(Tj,λn+1 ) · e(Tj ′ ,λn+1 ) = 0
(j ̸= j ′ ) ,
где таблица Tj ′ ,λn+1 также получается из таблицы Tλn добавлением новой (n + 1)-ой
клетки, но с другими координатами (nj ′ −1 +1, λ(j ′ ) +1). Кроме того для идемпотентов
(8.5.42) мы имеем спектральное разложение (соотношение полноты):
∑
e(Tj,λn+1 ) = e(Tλn ) ,
(8.5.44) pij07
j
в полном соответствии с правилом ветвления представлений.
( )
Используя формулу (8.5.42) и соглашение e 1 = 1 мы можем теперь шаг за
шагом вывести все примитивные взаимно ортогональные идемпотенты.
Пример. Построим с помощью указанной выше процедуры идемпотент, соответствующий стандартной таблице Tν4 , представленной в (8.5.39). Будем двигаться на графе
Юнга (Рис. 26) вдоль пути (8.5.38), который соответствует таблице Tν4 . Первый шаг
0
{∅ → •} — тривиален. На втором шаге к клетке 1 мы добавляем вторую клетку
2 . Это можно сделать двумя возможными способами, как показано звездочками на
рисунке
1 *
∗
поэтому аналог формулы (8.5.41) имеет вид
e( 1 ) · (y2 − 1) · (y2 + 1) = 0 ,
и согласно (8.5.42) мы имеем два идемпотента для C[S2 ] (сравните с (8.3.13))
( )
(1 + y2 )
(1 − y2 )
1
e( 1 2 ) =
,
e
=
,
(8.5.45) pij02
2
2
2
1
Вторая клетка на втором шаге {• → • •} в (8.5.38) стоит в одном ряду с первой, поэтому ее контент равен +1 и соответствующий идемпотент дается оператором e( 1 2 )
8.5 Представления симметрической группы Sr . Подход Окунькова-Вершика.
393
из (8.5.45). На третьем шаге клетка с номером 3 ставится на одном из двух возможных мест (как показано звездами)
1 2 ∗
∗
поэтому аналог формулы (8.5.41) имеет вид
e( 1 2 ) · (y3 − 2) · (y3 + 1) = 0 ,
и согласно (8.5.42) мы снова имеем два идемпотента (сравните с e[2,1]1 и e[3] из (8.5.20))
(
)
(y3 − 2)
(1 + y2 ) (2 − y3 )
1 2
e
= e( 1 2 ) ·
=
·
,
(8.5.46) 3idem
3
(−1 − 2)
2
3
(
)
(y3 + 1)
(1 + y2 ) (1 + y3 )
e 1 2 3 = e( 1 2 ) ·
=
·
.
(2 + 1)
2
3
(8.5.47) 2idem
−1
•
Третья клетка на третьем шаге {• • → •
• } в (8.5.38) становится так, что следующий индепотент должен быть выбран в виде (8.5.46). Наконец на 4-ом шаге клетка
с номером 4 может возникнуть в одном из 3-х мест
1 2 ∗
3 ∗
,
∗
поэтому аналог формулы (8.5.41) имеет вид
(
)
1 2
e
· y4 · (y4 − 2) · (y4 + 2) = 0 .
3
Соответственно мы имеем три идемпотента (с учетом (8.5.46))
(
)
(
)
y4 · (y4 + 2)
1
1 2 4
1 2
e
=e
·
=
(1 + y2 ) · (2 − y3 ) · y4 · (y4 + 2) ,
3
3
2·4
6·8


(
)
1 2
1
y4 · (y4 − 2)
1 2


e 3
=e
·
=
(1 + y2 ) · (2 − y3 ) · y4 · (2 − y4 ) ,
3
2 · (−2 − 2)
6·8
4
(
)
(
)
1
(y4 + 2) · (y4 − 2)
1 2
1 2
=
(1 + y2 ) · (2 − y3 ) · (2 + y4 ) · (2 − y4 ) ,
e
=e
·
3 4
3
2 · (−2)
6·4
(8.5.48) 4idem
0
•
••
Четвертая клетка на последнем шаге { •
• → • • } в (8.5.38) занимает такое место,
что таблица Tν4 из (8.5.39) соответствует идемпотенту (8.5.48).
• Задача 253. Доказать, что полный симметризатор e([n]) и антисимметризатор e([1n ]) для алгебры C[Sn ] записываются в виде (сравните с операторами e([3]) и e([13 ]) из (8.5.20))
e([n]) = n!1 (1 + y2 ) · (1 + y3 ) · · · (1 + yn ) ,
e([1n ]) = n!1 (1 − y2 ) · (1 − y3 ) · · · (1 − yn ) .
8.6 Дуальность Шура-Вейля. Формула Вейля.
8.6
394
Дуальность Шура-Вейля. Формула Вейля для размерностей неприводимых представлений SL(N ).
Напомним, что представление s алгебры C[Sr ], заданное в (8.2.7), действует в пространстве VN⊗r , где VN = CN – пространство определяющего представления T группы
SL(N ). Пусть λ ⊢ r – разбиение числа r (диаграмма Юнга с r клетками). Каждой такой диаграмме Юнга λ соответствует набор стандартных таблиц Юнга Ta,λ ,
(a = 1, . . . , f(λ) ), где число f(λ) дается формулами (8.4.40), (8.4.41). По каждой стандартной таблице строится примитивный идемпотент e(Ta,λ ) ∈ C[Sr ], который порождает пространство неприводимого подпредставления ρa алгебры C[Sr ] в ее в регулярном представлении. Все представления
ρa)(a = 1, . . . , f(λ) ) – эквивалентны друг-другу.
(
С другой стороны, операторы s e(Ta,λ )
действуют как проектора в пространстве
⊗r
VN⊗r тензорного произведения представлений
T)
группы SL(N ) и выделяют в этом
(
пространстве подпространства V (λ) = s e(Ta,λ ) · VN⊗r неприводимых представлений
(λ)
(λ)
Ta группы SL(N ). Опять же все неприводимые представления Ta группы SL(N )
(λ)
для всех a оказываются эквивалентными Ta ≡ T (λ) . Данное взаимно однозначное
соответствие между неприводимыми представлениями алгебры C[Sr ] (группы Sr ) и
неприводимыми представлениями группы SL(N ), действующей в пространстве VN⊗r ,
называется дуальностью Шура-Вейля.
Итак, дуальность Шура-Вейля между симметрической группой Sr и матричной
группой SL(N ) выражается следующим разложением
⊕
Rλ ⊗ V (λ) ,
VN⊗r =
λ⊢r
где λ ⊢ r – разбиение числа r (диаграмма Юнга с r клетками), Rλ — пространство
неприводимого представления группы Sr , которое соответствует диаграмме λ (базисные элементы в пространстве Rλ этого представления нумеруются стандартными
таблицами, имеющими форму λ), V (λ) – пространство неприводимого представления
группы SL(N ), соответствующее диаграмме Юнга λ. Существенно, что действие на
VN⊗r группы Sr в представлении (8.2.7) коммутирует с действием на VN⊗r группы
SL(N ) в представлении T ⊗r . В этом случае говорят, что в пространстве VN⊗r группа
Sr централизует группу SL(N ) и наоборот, группа SL(N ) централизует группу Sr .
Определим операцию Tr(m) – взятия следа в пространстве VN , которое находится
на m-ом месте в произведении VN⊗n = VN ⊗ · · · ⊗ VN . Полный след в пространстве
VN⊗n определяется как последовательное взятие следов во всех пространствах
(8.6.1) map0
Tr = Tr(1) Tr(2) . . . Tr(n) .
Операцию взятия следа Tr(n) можно рассматривать как линейное отображение из
алгебры C[Sn ] в алгебру C[Sn−1 ] элементы которых заданы в соответствующих матричных представлениях s, смотри (8.2.7). В частности мы имеем (X, Y ∈ C[Sn−1 ] в
представлении s):
Tr(n) (X) = X N ,
Tr(n) (X Z Y ) = X Tr(n) (Z) Y ,
⊗(n−1)
Tr(n) (s(σn−1 ) · X · s(σn−1 )) = Tr(n) (X) , Tr(n) (s(σn−1 )) = IN
(8.6.2) map
,
8.6 Дуальность Шура-Вейля. Формула Вейля.
395
Из соотношений (8.5.4) получаем
(yn+1 − τ )σn = σn (yn − τ ) + 1
(8.6.3) dimL01
где τ – произвольный параметр. Перепишем (8.6.3) в виде
1
1
1
=
σn +
⇒
(yn − τ )
(yn+1 − τ )
(yn − τ )(yn+1 − τ )
(
)
1
1
1
1
σn
σn =
+
σn =
(yn − τ )
(yn+1 − τ ) (yn − τ ) (yn+1 − τ )
σn
=
1
(yn+1 − τ )
+
1
1
1
σn
−
2
(yn − τ ) (yn − τ ) (yn − τ ) (yn+1 − τ )
(8.6.4) dimL02
(8.6.5) dimL03
Рассмотрим образ соотношения (8.6.5) в матричном представлении s и возьмем след
Tr(n+1) от левой и правой частей равенства (8.6.5). Тогда с учетом (8.6.2) мы получаем
уравнение
)
(
1
Xn (τ ) = 1 −
· Xn+1 (τ ) ,
(8.6.6) dimL04
(yn − τ )2
где
(
)
1
N
Xn (τ ) = Tr(n)
− 1 , X1 (τ ) = − − 1 .
(yn − τ )
τ
Здесь и далее мы опускаем знак представления s для упрощения формул. Уравнение
(8.6.6) легко решается и мы получаем
(
) (
) n
1
(τ − yk )2
N ∏
1 + Tr(n+1)
= 1+
.
(8.6.7) dimL05
(τ − yn+1 )
τ k=1 (τ − yk + 1)(τ − yk − 1)
Так как согласно (8.5.5) левая часть (8.6.7) коммутирует со всеми σi (i = 1, . . . , n−1),
то правая часть является образом центрального элемента в C[Sn ]. Действительно,
справа стоит симметрическая функция от переменных (y1 , . . . , yn ), поэтому она центральна в C[Sn ] в соответствии с Утверждением 8.5.3.
Обозначим матричное представление s идемпотентов e(Tλ ) следующим образом:
(
)
P (Tλ ) = s e(Tλ ) .
(8.6.8) dimL06
Утверждение 8.6.1 Полный след (8.6.1) от проекторов P (Tλ ) и P (T′λ ), которые
соответствуют двум таблицам Юнга Tλ и T′λ , имеющим одну и ту же форму λ,
равны друг-другу (то есть не зависят от расстановки номеров в клетках диаграммы λ) и равны размерности пространства V (λ) представления T (λ) :
)
(
)
(
(8.6.9) dimL07
Tr P (Tλ ) = Tr P (T′λ ) = dim(V (λ) ) .
Доказательство. Идемпотенты e(Tλ ) и e(T′λ ) соответствующие двум разным стандартным таблицам Tλ и T′λ , имеющим одну и ту же форму λ, связаны несколькими
(
)
преобразованиями подобия типа (8.5.35). Отсюда следует равенство Tr P (Tλ ) =
8.6 Дуальность Шура-Вейля. Формула Вейля.
396
(
)
Tr P (T′λ ) . Так как P (Tλ ) – проектор: P 2 = P , то спектр P (Tλ ) содержит только
собственные значения 0 и +1, причем собственные вектора с собственным значением
+1(лежат)в подпространстве, являющемся образом проектора P (Tλ ). Так как след
Tr P (Tλ ) равен сумме собственных значений оператора P (Tλ ), то эта сумма очевидно равна размерности подпространства, являющимся образом проектора P (Tλ ).
Найдем результат действия центрального элемента (8.6.7) при m = n на проектор
P (Tλn ), соответствующий идемпотенту e(Tλn ) (смотри (8.6.8)), который построен по
таблице Tλn , имеющей форму диаграммы Юнга на Рис. 27. Выберем таблицу Юнга
Tλn , у которой клетки пронумерованы подряд в каждом ряду слева направо, смотри
например таблицу
Tλ11 =
1
2
3
4
6
7
8
9
5
.
10 11
Такие таблицы назывыаются стандартными по рядам. Для таблицы Tλn стандартnk −nk−1
n2 −n1
ной по рядам, имеющей форму диаграммы Юнга λn = [λn(1)1 , λ(2)
, . . . , λ(k)
] с
n клетками (смотри Рис.27), содержания клеток будет соответствовать следующим
собственным значениям операторов Юциса-Мерфи
y1 = 0, y2 = 1, y3 = 2, . . . , yλ(1) −1 = (λ(1) − 2), yλ(1) = (λ(1) − 1),
yλ(1) +1 = −1, yλ(1) +1 = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . , y2λ(1) = (λ(1) − 2),
...............................................................,
yn(1) −λ(1) +1 = −n1 + 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , yn(1) = (λ(1) − n1 ) ,
yn(1) +1 = −n1 , . . . . . . . . . . . . , yn(1) +λ(2) = (λ(2) − n1 − 1) ,
................................................,
yn(1) +n(2) −λ(2) +1 = −n2 + 1, . . . , yn(1) +n(2) = (λ(2) − n2 ) ,
................................................,
yn−λk +1 = −nk + 1, . . . , yn = (λk − nk ) ,
где для краткости мы ввели обозначение n(m) = (nm − nm−1 )λ(m) для числа клеток
в блоке, объединяющем все строки одинаковой длинны λ(m) . Таким образом, для
идемпотента e(Tλn ), построенного по таблице Tλn , имеющей форму диаграммы Юнга
λn , представленной на Рис. 27, мы, после сокращения большого числа факторов в
числителе и знаменателе в правой части, получаем тождество
(
(
))
1
P (Tλn ) 1 + Tr(n+1)
=
(τ − yn+1 )
= P (Tλn )
(τ + N )(τ − (λ(1) − n1 ))(τ − (λ(2) − n2 )) . . . (τ − (λ(k) − nk ))
,
(τ − λ(1) )(τ − (λ(2) − n1 )) . . . (τ − (λ(k) − nk−1 ))(τ + nk )
которое может быть переписано в более компактном виде (n0 := 0)
(
)
(
)
k
1
τ + N ∏ (τ − (λ(j) − nj ))
Tr(n+1) P (Tλn ) ·
= P (Tλn )
−1 .
τ − yn+1
τ + nk j=1 (τ − (λ(j) − nj−1 ))
(8.6.10) qdimon
(8.6.11) qdim11
8.6 Дуальность Шура-Вейля. Формула Вейля.
397
Формула в правой части уравнения (8.6.10) получается, если вычислить действие
оператора, стоящего в правой части (8.6.7), на проектор P (Tλn ) сначала для каждого
прямоугольного блока λ(m) ⊂ λn , все строки которого имеют одинаковую длину λ(m) ,
а число строк равно (nm − nm−1 ). Результат такого вычисления для каждого блока
можно представить графически
λ
(m)
−1
+1
nm −nm−1
=
+1
−1
nm −nm−1 , λ(m)
4
∏
(τ − µi )αi
i=1
n −n
m
m−1
Рис. 28: Прямоугольный блок λ(m) = [λ(m)
] ⊂ λn с четырьмя клетками,
которые имеют содержание µi (i = 1, ..., 4) и в которых указаны индексы αi = ±1,
обозначающие степени факторов (τ − µi )αi . Остальные клетки имеют степени
равные нулю и вклада в правую часть (8.6.10) не дают.
После этого окончательный результат возникает как произведение множителя τ +N
τ
и факторов, указанных на Рис.28, по всем k прямоугольным блокам λ(m), которые
составляют диаграмму λn (смотри Рис.27). Отметим, что на самом деле результат
(8.6.10) не зависит от расстановки номеров в клетках таблицы Tλn (то есть, не обязательно выбирать стандартную таблицу, упорядоченную по рядам), так как функция
от {ym } в правой части (8.6.7) является симметрической и произведение, которое выписано в правой части, интерпретируется просто как произведение по всем клеткам
диаграммы λn .
Подставим в левую часть уравнения (8.6.11) спектральное разложение проектора
P (Tλn ) (смотри (8.5.44), (8.5.43))
∑
P (Tλn ) = j Pj,λn+1 ,
(j)
Pj,λn+1 · yn+1 = Pj,λn+1 (λ(j) − nj−1 ) = Pj,λn+1 an+1 ,
где мы использовали краткое обозначение
(
)
Pj,λn+1 ≡ P (Tj,λn+1 ) = s e(Tj,λn+1 ) ,
для проектора, построенного по таблице Юнга Tj,λn+1 . Напомним, что таблица Tj,λn+1
имеет форму диаграммы Юнга λn+1 (с n + 1 клетками), которая построена из диаграммы Юнга λn добавлением (n+1)-ой клетки в угол с координатами (nj−1 +1, λ(j) +
1) (смотри Рис.27). Операторы Pj,λn+1 проектирует yn+1 на собственные значения:
(j)
an+1 = (λ(j) − nj−1 ) (j = 1, . . . , k), которые возникли в факторах в знаменателе правой части (8.6.10). Принимая это во внимание, мы можем представить уравнение
(8.6.11) как
( k
)
(
)
k
∑
1
τ + N ∏ (τ − (λ(j) − nj ))
Tr(n+1)
Pj,λn+1
−1 .
= P (Tλn )
τ − (λ(j) − nj−1 )
τ + nk j=1 (τ − (λ(j) − nj−1 ))
j=1
(8.6.12) qdim12
8.6 Дуальность Шура-Вейля. Формула Вейля.
398
Сравнивая вычеты в точке τ = (λ(j) − nj−1 ) в обеих частях этого уравнения, мы
получаем тождество
(
)
T r(n+1) Pj,λn+1 =
(8.6.13) qdim13a


k
 (N + λ(j) − nj−1 )(nj − nj−1 ) ∏ ((λ(j) − nj−1 ) − (λ(r) − nr )) 
= P (Tλn ) · 
 .
(nk + λ(j) − nj−1 )
((λ(j) − nj−1 ) − (λ(r) − nr−1 ))
r=1
r̸=j
Утверждение 8.6.2 Для диаграммы Юнга λn и диаграммы λn+1 (которая получается из λn добавлением (n + 1)-ой клетки (nj−1 + 1, λ(j) + 1), смотри Рис.27) имеет
место следующее тождество
∏
hr,m
k
∏ ((λ(j) − nj−1 ) − (λ(r) − nr ))
(nj − nj−1 )
(r,m)∈λn
∏
=
(8.6.14) qdim10
(nk + λ(j) − nj−1 ) r=1 ((λ(j) − nj−1 ) − (λ(r) − nr−1 ))
h′r,m
r̸=j
(r,m)∈λn+1
где n0 ≡ 0, а hr,m и h′r,m — длины крюков для клеток с координатами (r, m) в диаграммах λn и λn+1 , соответственно. Произведения в правой части идут по всем
клеткам диаграмм λn и λn+1 .
Доказательство. Заметим, что длины крюков hr,m и h′r,m для диаграмм λn и λn+1
отличаются только для клеток, у которых r = nj−1 + 1, или m = λ(j) + 1, то есть для
клеток, располагающихся в одном столбце, или в одном ряду с добавочной клеткой
(nj−1 + 1, λ(j) + 1). Поэтому мы имеем
∏
hr,m
λ(j)
nj−1
∏ hr,λ(j) +1 ∏
hnj−1 +1,m
r,m∈λn
∏
.
(8.6.15) qdim14
=
′
′
h
h
h′r,m
n
+1,m
r,λ
+1
j−1
(j)
m=1
r=1
r,m∈λn+1
Далее, если строки с номерами r и r + 1 в диаграмме λn имеют одинаковую длину, то
мы очевидно имеем hr,λ(j) +1 = h′r+1,λ(j) +1 . Аналогично, если столбцы с номерами m и
m+1 в диаграмме λn имеют одинаковую высоту, то мы имеем hnj−1 +1,m = h′nj−1 +1,m+1 .
Поэтому большое число факторов в отношениях в правой части (8.6.15) сократится
и мы, согласно рисунку 27, получим
∏ hr,λ(j) +1
nj−1
h′
r=1 r,λ(j) +1
=
λ(j)
∏
hnj−1 +1,m
h′
m=1 nj−1 +1,m
(λ(1) − λ(j) + nj−1 − n1 )(λ(2) − λ(j) + nj−1 − n2 ) · · · (λ(j−1) − λ(j) )
,
(λ(1) − λ(j) + nj−1 )(λ(2) − λ(j) + nj−1 − n1 ) · · · (λ(j−1) − λ(j) + nj−1 − nj−2 )
=
(λ(j) − λ(k) + nk − nj−1 )(λ(j) − λ(k−1) + nk−1 − nj−1 ) · · · (nj − nj−1 )
.
(λ(j) + nk − nj−1 )(λ(j) − λ(k) + nk−1 − nj−1 ) · · · (λ(j) − λ(j+1) + nj − nj−1 )
Подстановка этих формул в (8.6.15) дает (8.6.14).
Подставим теперь тождество (8.6.14) в формулу (8.6.13). В результате получаем


∏
hr,m
)
(
r,m∈λn


(8.6.16) qdim13
T r(n+1) Pj,λn+1 = P (Tλn ) · (N + λ(j) − nj−1 ) ∏
 .
′
hr,m
r,m∈λn+1
8.7 Конечномерные неприводимые представления SU (N ). Примеры.
399
Далее, вычисляя полный след Tr(. . .), заданный в (8.6.1), от обеих частей уравнения
(8.6.16), мы выводим рекуррентное соотношение
∏
r,m∈λn hr,m
(λn+1 )
(λn )
dim(V
) = dim(V
) [N + λ(j) − nj−1 ] ∏
,
(8.6.17) qdim15
′
r,m∈λn+1 hr,m
где определение dim(V (λ) ) дано в (8.6.9). Рекуррентное соотношение (8.6.17) однозначно решается следующим образом
dim(V (λ) ) =
∏ (N + m − r)
,
hr,m
(8.6.18) weylhk
(r,m)∈λ
где вправой части произведение берется по всем клеткам с координатами (r, m) (r
- номер строки, m – номер столбца) в диаграмме λ и hr,m – длина крюка, соответствующего клетке (r, m). Формула (8.6.18) для размерности представления группы
SL(N ), которое соответствует диаграмме Юнга λn , была впервые получена Г.Вейлем
и называется формулой Вейля, или формулой крюков.
Утверждение 8.6.1 можно обобщить следующим образом.
Утверждение 8.6.3 Пусть ||g ij || ∈ SL(N ). Полный след Tr (определение полного
следа дано в (8.6.1))
)
(
(8.6.19) qdim16
χλn (g) := Tr (g ⊗ · · · ⊗ g) P (Tλn ) ,
{z
}
|
n
не зависит от расстановки номеров в клетках таблицы Tλn (зависит только от
формы диаграммы Юнга λn ) и является характером группы SL(N ) в неприводимом
представлении, соответствующем диаграмме λn .
Пусть матрица g = ||g ij || ∈ GL(N ) — диагонализуема и может быть приведена с помощью преобразования эквивалентности в диагональную матрицу g → X =
diag(x1 , . . . , xn ). Тогда, характер χλn (X) является симметрическим полиномом степени n от n переменных {xi }, который называется полиномом Шура для диаграммы
λn .
8.7
Конечномерные неприводимые представления SU (N ). Примеры.
Так как группа SU (N ) является вещественной формой группы SL(N, C), то вся общая процедура построения конечномерных комплексных представлений SL(N, C),
изложенная в Разделе 8.2, без изменения переносится на случай построения конечномерных комплексных представлений группы SU (N ). Таким образом, конечномерные неприводимые представления группы SU (N ) можно выделять из тензорного
произведения определяющих представлений SU (N ). Выделение осуществляется с
помощью проекторов, которые согласно дуальности Шура-Вейля классифицируются неприводимыми представлениями симметрической группы или соответствующими диаграммами Юнга. При разложении тензорных произведений n определяющих
8.7 Конечномерные неприводимые представления SU (N ). Примеры.
400
представлений SU (N ) в прямую сумму по неприводимым представлениям мы получаем неприводимые представления, которые классифицируются с помощью диаграмм Юнга λn ⊢ n (смотри Рис.27). Действительно, каждой таблице Юнга Tλ , имеющей форму диаграммы Юнга λ с n клетками, сопоставляются тензоры ψTλ ранга
n, определенным образом симметризованные. А именно, компоненты тензоров ψTλ
получаются симметризацией произвольных несимметризованных тензоров ψ следующим образом
(
)i1 i2 ...in
∑
∑
i1 i2 ...in
ψTλ
≡ s(Y (Tλ )) · ψ
=
δq ψ q·p(i1 i2 ...in ) ,
(8.7.1) qdim17
q∈V (Tλ )
p∈H(Tλ )
где оператор Y (Tλ ) задан в (8.4.7), представление s определено в (8.2.7), а q·p(i1 . . . in )
— новый порядок индексов (i1 , i2 , . . . , in ), полученный в результате применения перестановки q · p. Иногда удобно представлять такие тензоры в виде таблицы Юнга
Tλ , в каждой клетке которой с номером k проставлен тензорный индекс ik . Разным
таблицам Юнга Tλ и T′λ , имеющим одинаковую форму диаграммы Юнга λ, соответствуют эквивалентные представления группы SU (N ). Поэтому неэквивалентные
неприводимые представления SU (N ) нумеруются диаграммами Юнга (а не таблицами, которым вообще говоря соответствуют разные тензоры ψTλ и ψT′λ ).
⃗ с координатаНапример, диаграмма с одной клеткой i сопоставляется вектору ψ
i
ми ψ (i = 1, ..., N ) в пространстве VN определяющего представления группы SU (N )
(сравните с (8.2.2)):
ψ i → g ij ψ j g ∈ SU (N ) .
i
Двум диаграммам Юнга с двумя клетками i j , j сопоставляются, соответственно, симметричный ψsij и антисимметричный ψaij тензоры второго ранга:
1
1
(8.7.2) simasim
ψsij = (ψ ij + ψ ji ) , ψaij = (ψ ij − ψ ji ) ,
2
2
которые выделяются из VN ⊗ VN с помощью проекторов (8.2.14) и преобразуются по
правилу (сравните с (8.2.4))
ψsij → g ik g jm ψskm ,
ψaij → g ik g jm ψakm ,
∀g ∈ SU (N ) ,
и так далее.
Размерность неприводимого представления группы SU (N ), которое соответствует диаграмме λn (число независимых компонент определенным образом симметризованного тензора ψ ранга n), также как и в случае представлений группы SL(N, C)
определяется формулой Вейля (8.6.18).
Произведение неприводимых представлений SU (N ).
Рассмотрим тензорное произведение представления, соответствующего произвольной диаграмме Юнга λn , представленной на Рис.27, и определяющего представления,
соответствующего диаграмме Юнга [1] = . Согласно разложению проекторов, которое дается формулой (8.5.44), мы получаем
λn ⊗ [1] =
k+1
∑
j=1
λn+1 (j) ,
(8.7.3) qdim19
8.7 Конечномерные неприводимые представления SU (N ). Примеры.
401
где мы для краткости использовали диаграммы Юнга λ для обозначения соответствующих представлений T (λ) , и λn+1 (j) – обозначает диаграмму λn с добавленной
клеткой с координатами (nj−1 + 1, λ(j) + 1), смотри Рис.27.
Пример.
⊗
⊕
=
⊕
⊕
.
Сопряженное и присоединенное представления SU (N ).
Рассмотрим тензор (N − 1)-ого ранга, который соответствует диаграмме



.
(N −1
.
λ = [1
]= .
(N − 1) .


• Задача 254. Вычислить размерность пространства представления, соответствующего диаграмме λ = [1(N −1) ], с помощью формулы Вейля (8.6.18).
Согласно (8.7.1) этот тензор является полностью антисимметричным и его компоненты ψ i1 i2 ...iN −1 c помощью полностью антисимметричного тензора N -ого ранга ε
можно записать в виде
ψ̄i = εi i1 i2 ...iN −1 ψ i1 i2 ...iN −1 .
Действие группы SU (N ) на тензор ψ̄ согласно (8.2.4) имеет вид
ψ̄i → εi i1 i2 ...iN −1 g ik11 · · · g kNN−1−1 ψ k1 k2 ...kN −1 = εk i1 i2 ...iN −1 ψ i1 i2 ...iN −1 (g −1 )ki ,
i
(8.7.4) qdim18
где мы воспользовались тождеством (2.2.10) и равенством det(g) = 1, ∀g ∈ SU (N ).
Заметим, что свертка (ψ̄i ϕi ), где ϕi – компоненты вектора из пространства определяющего представления SU (N ), инвариантна относительно действия SU (N ). Учитывая условие унитарности g −1 = g † , преобразования (8.7.4) можно записать в виде
ψ̄ → g ∗ · ψ̄. То есть, ψ̄ преобразуется как сопряженное представление к определяющему представлению.
Рассмотрим тензорное произведение сопряженного представления, соответствующего диаграмме [1(N −1) ], и определяющего представления [1]. Согласно формуле
(8.7.3) мы имеем







 ..
..
..
.
(N − 1)
⊗
=
(N
−
1)
⊕
N
.

 .



В терминах компонент соответствующих тензоров эта формула записывается в виде
(
)
1 j i
1 j i
j
j
(8.7.5) meson0
ψ ψ̄k = δk (ψ ψ̄i ) + ψ ψ̄k − δk (ψ ψ̄i ) ,
N
N
8.7 Конечномерные неприводимые представления SU (N ). Примеры.
402
N
где инвариант (ψ i ψ̄i ) соответствует
тривиальному
( j
) представлению [1 ], а бесследовый
j
1 j
i
тензор второго ранга Ak = ψ ψ̄k − N δk (ψ ψ̄i ) соответствует неприводимому представлению [2, 1(N −1) ]. Заметим, что действие группы SU (N ) на матрицу ||Ajk || имеет
вид A → g · A · g −1 . Поэтому тензор ||Ajk ||, реализующий представление [2, 1(N −1) ],
соответствует присоединенному представлению.
Кварки и SU (3) симметрия. Массовые формулы.
В физике элементарных частиц, при рассмотрении унитарной симметрии SU (3),
координатам вектора ψ i = (ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 ) в пространстве определяющего представления
SU (3) сопоставляются три кварка (u, d, s). Т.е. кварки преобразуются по представ¯ s̄) сопоставляются координаты антилению i группы SU (3). Антикваркам (ū, d,
ik
симметричного тензора ψ̄j = εjik ψa (8.7.2) и они преобразуются по сопряженному
i
представлению k группы SU (3). Мезоны – это связанные состояния кварков и
антикварков и их поля преобразуются по неприводимым представлениям, возникающим при прямом произведении кваркового и антикваркового представлений (смотри
(8.7.5))
(
)
1 j i
1 j i
j
j
ψ ψ̄k = δk (ψ ψ̄i ) + ψ ψ̄k − δk (ψ ψ̄i )
(8.7.6) meson
3
3
или в терминах диаграмм Юнга:
⊗
=
⊕
где в правой части первая диаграмма соответствует мезонному синглету (ψi ψ̄ i ) (размерность этого представления
очевидно =)1), а вторая диаграмма соответствует ме(
k
k
зонному октету Mj = ψj ψ̄ − 13 δjk (ψi ψ̄ i ) (размерность этого представления = 8,
т.к. размерность всего представления в левой части равна 3 × 3 = 9). Бесследовая
матрица Mjk сопоставляется октету псевдоскалярных мезонов следующим образом
 π0

Mjk = 

√
+ √η6
2
π+
π−
π
−√
+ √η6
2
K−
K̄ 0
0
K+


K0 

2η
√
− 6
(8.7.7) meson1
Квадратичный по элементам матрицы (8.7.7) (по мезонным полям) SU (3)-инвариант
имеет вид Mjk Mkj и, соответственно, инвариантный массовый член в мезонном лагранm2
жиане был бы L = 2M Mjk Mkj . Т.к. симметрия между u, d кварками, с одной стороны,
и s кварком, с другой стороны, нарушена, то массовый член, учитывающий это нарушение, должен иметь вид
m2M
2
Mjk Mkj + δM
(Mj3 M3j ) .
L = L + δL =
2
′
(8.7.8) meson2
9 ГРУППЫ ЛОРЕНЦА И ПУАНКАРЕ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
403
Подставляя сюда матрицу (8.7.7) мы получаем
L′ =
m2M
2
(
)
( + −
)
2
K K + K̄ 0 K 0 + 46 η 2 =
2(π + π − + K + K − + K̄ 0 K 0 ) + η 2 + π 02 + δM
m2
m2
= 2M (π + π − + π − π + ) + 2M π 02 +
)
(
m2
m2
δ2
4δ 2
+( 2M + M
) K + K − + K − K + + K̄ 0 K 0 + K 0 K̄ 0 + ( 2M + 6M ) η 2 .
2
(8.7.9) meson3
Т.о., мы имеем следующие значения для масс мезонов
2
m2π = m2M , m2K = m2M + δM
,
m2η = m2M +
2
4δM
,
3
(8.7.10) meson4
откуда вытекает соотношение 3m2η + m2π = 4m2K , которое выполняется с хорошей
точностью (mπ = 135 − 140M ev, mK = 494 − 498M ev, mη = 547, 5M ev).
Барионы – это связанные состояния трех кварков и их поля преобразуются по
неприводимым представлениям, возникающим при прямом произведении трех кварковых представлений
⊗
⊗
=(
⊕
)⊗
=
⊕2
⊕
где в правой части первая диаграмма соответствует барионному синглету, вторая
диаграмма соответствует двум барионным октетам (размерность этих представлений = 8), а последняя диаграмма соответствует барионному декуплету (размерность
представления = 10, т.к. в левой части размерность представления равна 33 = 27
и мы имеем 27 − 1 − 2 × 8 = 10). Все эти размерности также легко получить воспользовавшись формулой (8.6.18). Для барионов, состоящих из кварков u, d, s также
можно получить массовые формулы, аналогичные (8.7.10), которые выполняются с
хорошей точностью.
Попытки получить удовлетворительные массовые формулы для адронов (мезонов и барионов), построенных также и из кварков c, b, t, не увенчались успехом. Это
связано с тем, что кварки c, b, t гораздо более массивны чем кварки u, d, s и говорить
об SU (6) симметрии (и ее нарушении) с точки зрения классификации адронов по
их массам, не вполне корректно. Тем не менее идея о том, что все адроны конструируются только из 6 кварков u, d, s, c, b, t (т.е. все мезоны это связанные состояния
кварков и антикварков, а барионы – связанные состояния 3-х кварков) не подвергается сомнению.
9
Группы Лоренца и Пуанкаре и их представления.
9.1
Пространство Минковского M. Группы Лоренца и Пуанкаре. Бусты. Алгебра Ли для группы Пуанкаре.
1. Пространство Минковского M = R1,3 .
Рассмотрим N мерное вещественное векторное (линейное) пространство VN в котором для любых двух векторов ⃗a, ⃗b ∈ VN задано скалярное произведение (⃗a, ⃗b) ∈ R.
9 ГРУППЫ ЛОРЕНЦА И ПУАНКАРЕ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
404
Относительно этого скалярного произведения выберем в пространстве VN ортогональный базис {⃗ei }, (i = 1, . . . , N ), то есть базис, для которого матрица (⃗ei , ⃗ej ) = ηij
диагональна ηij = diag(η1 , η2 , . . . , ηN ). Матрица ηij называется метрикой в пространстве VN . С помощью растяжения базисных векторов ⃗ej → λj ⃗ej мы всегда можем
свести числа ηi к двум значениям ηi = ±1. Напомним, что если все ηi = +1, то пространство VN называется евклидовым, если в наборе {ηj } встречаются как +1 так и
−1, то VN называется псевдоевклидовым.
Многомерное пространство Минковского M — это вещественное N -мерное псевдоевклидово пространство VN = R1,N −1 , в котором имеется базис (⃗e0 , ⃗e1 , . . . , ⃗eN −1 )
такой, что
(⃗ei , ⃗ej ) = 0 (i ̸= j) ,
Матрица
(⃗e0 , ⃗e0 ) = 1 ,
(⃗e1 , ⃗e1 ) = . . . = (⃗eN −1 , ⃗eN −1 ) = −1 .

1 0
0 ... 0
 0 −1 0 . . . 0 




||ηij || = ||(⃗ei , ⃗ej )|| =  0 0 −1 . . . 0 
 .. ..

..
.
..
 . .
. .. 
.
0 0 . . . 0 −1

(9.1.1) mMin
называется метрикой пространства Минковского. Физическое пространство Минковского – это то вещественное четырехмерное псевдоевклидово пространство V4 = R1,3 .
2. Группа Лоренца.
Рассмотрим линейное преобразование базиса в пространстве M = R1,N −1
⃗ej ′ = Λ · ⃗ej = ⃗ek Λkj ,
(9.1.2) preob
при этом метрика будет преобразовываться согласно правилу
ηij′ = (⃗ei ′ , ⃗ej ′ ) = Λki Λnj (⃗ek , ⃗en ) = Λki Λnj ηkn .
(9.1.3) preob1
Отметим, что у матрицы Λki мы будем различать не только верхний и нижний, но и
левый (k) и правый (i) индексы.
Определение 9.1.1 Преобразования (9.1.2) базиса в пространстве Минковского M
называются преобразованиями Лоренца, если они не меняют метрику ηij :
ηij = Λki ηkn Λnj ⇔ η = ΛT η Λ .
(9.1.4) preob2
Заметим, что (9.1.4) переписывается в виде:
η ij = Λi k η kn Λj n ⇔ η −1 = Λ η −1 ΛT ,
(9.1.5) preob2g
где мы ввели обозначение для обратной матрицы (η −1 )jk = η kj .
Рассмотрим вектор ⃗x = xj ⃗ej ∈ M с координатами xj ∈ R. При преобразовании
базиса (9.1.2) координаты этого вектора меняются согласно правилу (2.2.37):
x′ j = Λj k xk .
(9.1.6) preob3
9 ГРУППЫ ЛОРЕНЦА И ПУАНКАРЕ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
405
В силу этих преобразований координаты xj с верхними индексами называются ковариантными. Координаты с нижними индексами
xj = (⃗x, ⃗ej ) = xk ηkj ,
(9.1.7) cocon
согласно (9.1.4) (9.1.6) преобразуются следующим образом
x′j = xk (Λ−1 )kj ,
(9.1.8) preob3v
и называются контравариантными. Соотношение, обратное к (9.1.7), имеет вид
xk = xj (η −1 )jk = xj η kj ,
(9.1.9) cocon2
Таким образом, с помощью метрик ηjk и η kj можно опускать и поднимать индексы у
координат векторов пространства Минковского. Рассматривая прямое произведение
r векторов ⃗x(1) , . . . , ⃗x(r) ∈ M, мы приходим к определению тензора ранга r, компоненты которого задаются как произведения координат векторов ⃗x(1) , . . . , ⃗x(r) :
k ...k
(p+1)
(p+q)
p
tk1p+1 ...k
= ⃗x(1)k1 · · · ⃗x(p)kp · ⃗xkp+1 · · · ⃗xkp+q ,
p+q
где для первых p векторов мы использовали ковариантные координаты, а для последних q = r − p векторов мы выбрали контравариантные координаты.
Определение 9.1.2 Тензором типа (p, q) в пространстве Минковского M называk ...k
ется объект, который задан набором коэффициентов tj11...jqp и который при преобразованиях (9.1.2) базиса в пространстве M преобразуются следующим образом:
tj11...jqp → Λk1s1 · · · Λkpsp tℓ11...ℓqp (Λ−1 )ℓ1j1 · · · (Λ−1 ) qjq .
k ...k
s ...s
ℓ
(9.1.10) TM01
В силу преобразований (9.1.10) два произвольных тензора сворачиваются ковариантно (то есть в результате получается снова тензор), если верхние индексы компонент
одного тензора сворачиваются с нижними индексами компонент другого тензора.
Очевидно, что поднимать и опускать индексы у компонент тензоров можно с помощью метрик ηjk и η kj .
Преобразования (9.1.6), с матрицами Λ, удовлетворяющими (9.1.4), сохраняют
скалярный квадрат (⃗x, ⃗x) = xi ηij xj вектора ⃗x:
(⃗x ′ , ⃗x ′ ) = x′ i ηij x′ j = xk Λi k ηij Λj n xn = x̃k ηkn x̃n ,
и, как было показано в разделе 2.2.5, множество таких преобразований образует
группу O(1, N − 1), которая называется N -мерной группой Лоренца. Структура всех
групп O(1, N − 1) (N > 1) подробно обсуждалась в Примере 11. раздела 3.1.2. В
частности мы получили, что группа Лоренца O(1, N −1) состоит из четырех смежных
классов (3.1.28):
↑
O+
Λ00 ≥ 1 , det(Λ) = 1 ,
↑
O−
Λ00 ≥ 1 , det(Λ) = −1 ,
(9.1.11) clasy5
↓
O−
Λ00 ≤ −1 , det(Λ) = −1 ,
↓
O+
Λ00 ≤ −1 , det(Λ) = 1 ,
9 ГРУППЫ ЛОРЕНЦА И ПУАНКАРЕ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
406
где подмножества
↑
↑
↑
↓
↑
O ↑ = O+
∪ O−
, O + = O+
∪ O+
= SO(1, N − 1) , O+
= O+ ∩ O ↑ ,
образуют соответственно ортохронную, собственную и собственную ортохронную подгруппы в O(1, N − 1).
Рассмотрим специальные преобразования Лоренца, которые не меняют базисные
вектора ⃗e2 , . . . , ⃗eN −1 и нетривиально действуют в плоскости векторов ⃗e0 , ⃗e1 . В этом
случае матрица Λ имеет вид


Λ00 Λ01 0 0 . . . 0
 Λ1 Λ1 0 0 . . . 0 
1

 0
 0 0 1 0 ... 0 


Λ =  ..
..
.. . .
.. .. 
 .
. . . 
.
.


 0 0 ... 0 1 0 
0 0 ... 0 0 1
и мы сводим изучение группы Лоренца к изучению двумерной группы O(1, 1), которая сохраняет форму (3.1.21), и включает в себя преобразования 4-х типов (3.1.22).
Преобразования первого класса I.) (собственные ортохронные преобразования) записываются в виде известных формул для преобразований Лоренца (3.1.25) и называются лоренцевскими бустами (происходит от английского слова ”boost” – сдвиг) в
плоскости (⃗e0 , ⃗e1 ).
↑
– произвольное собственное ортохронное преобразование Лоренца.
Пусть Λ ∈ O+
Тогда Λ можно всегда однозначно разложить в произведение: Λ = B ·R, где B — буст
и R — собственное вращение в (N − 1)-мерном евклидовом пространстве, натянутом
на ⃗e1 , . . . , ⃗eN −1 .
↑
однозначно разлагается в
• Задача 255. Доказать, что произвольное Λ ∈ O+
произведение Λ = B · R буста B и собственного вращения R в RN −1 .
3. Группа Пуанкаре. Группа Лоренца была определена как группа всех преобразований пространства Минковского M, которые оставляют инвариантной метрику
ηkm (т.е., не меняют длины интервалов) и оставляют неподвижной фиксированную
точку O начала системы координат. Если не требовать, от рассматриваемых преобразований, неподвижности какой-либо точки O, а ограничиться только требованием
сохранения интервалов, то мы приходим к преобразованиям, которые образуют группу Пуанкаре. По отношению к действию этой группы, пространство Минковского
однородно (т.е. все точки M равноправны), что соответствует равноправию событий
в теории относительности.
Чтобы описать преобразования этой группы мы рассмотрим наряду с лоренцевскими вращениями (9.1.6) сдвиги всех векторов в M на постоянные вектора ⃗a. Такое
преобразование в координатной записи имеет вид
xm → x̃m = Λmk xk + am .
(9.1.12) puanc
Эти преобразования называются неоднородными (смотри раздел 2.3.4) и образуют
группу IO(1, N − 1), которая называется N -мерной группой Пуанкаре.
9 ГРУППЫ ЛОРЕНЦА И ПУАНКАРЕ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
407
• Задача 256. Проверить, что преобразования (9.1.12) сохраняют интервалы
(⃗y − ⃗x)2 = (y k − xk )(yk − xk ), где ⃗y , ⃗x ∈ M.
Группы IO(p, q) были рассмотрены в конце раздела 2.3.4. Два последовательных
преобразования (9.1.12), обозначим их (Λ, ⃗a) и (Λ′ , ⃗a′ ), определяют композицию этих
преобразований
(Λ′ , ⃗a′ ) · (Λ, ⃗a) = (Λ′ · Λ, Λ′ ⃗a + ⃗a′ ) .
(9.1.13) compos
Этот закон композиции записывается в матричном виде, если воспользоваться матричным представлением (2.3.17) и сопоставить преобразованию (Λ, ⃗a) матрицу
( m
)
Λ n am
ρ(Λ, ⃗a) =
.
(9.1.14) mapa99
0
1
Группа Лоренца O(1, N − 1) и абелева группа T сдвигов (трансляций) xm →
x + am являются подгруппами в группе Пуанкаре IO(1, N − 1). Группа IO(1, N −
1) строится как полупрямое произведение своих подгрупп O(1, N − 1) и T (смотри
Пример 1. в разделе 2.3.5).
m
4. Алгебра Ли группы Пуанкаре. Рассмотрим преобразования Лоренца (9.1.6) с
матрицами Λ, близкими к единичной матрице
k
Λkm = δm
+ ω km + . . . ,
где мы считаем параметры ω km – малыми (то есть рассматриваем преобразования
Лоренца вблизи единичного элемента). Из условий инвариантности метрики (9.1.4)
при таких преобразованиях следует, что
ω ki ηkj + ηik ω kj = 0 ⇒ ωji + ωij = 0 ,
(9.1.15) preob7
где мы определили ωij = ηik ω kj . Теперь матрицу (9.1.14), соответствующую преобразованию из группы Пуанкаре, с учетом условия (9.1.15), можно переписать в виде
ρ(Λ, ⃗a) = IN +1 + emk ω mk + emN am + . . . = IN +1 + 12 M mk ωmk + Pm am + . . . ,
m, k = 0, . . . , N − 1 ,
(9.1.16) preob6
где eBA – матричные единицы:
eDC · eBA = δBC eDA ,
(A, B, C, D = 0, . . . , N ) ,
и мы определили операторы
Pm = emN , M mk = η mn enk − η kn enm ,
(9.1.17) lilo
которые задают базис в алгебре Ли группы Пуанкаре IO(1, N − 1). В N-мерном
случае число независимых операторов Pm равно N , а операторов M mk (в силу их
антисимметрии M mk = −M km ) равно N (N − 1)/2. Эти операторы образуют алгебру
Ли с определяющими соотношениями
[P n , M mk ] = η mn P k − η kn P m ,
(9.1.18) genP
[M nm , M kl ] = η mk M nl − η ln M km − η nk M ml + η lm M kn ,
(9.1.19) lilo2
[P n , P m ] = 0 ,
которые следуют из явного вида (9.1.17).
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
408
• Задача 257. Проверить соотношения (9.1.19), (9.1.18) для операторов (9.1.17).
Формулы (9.1.17) – (9.1.19) справедливы и для общего случая (p + q)-мерных
псевдоевклидовых групп IO(p, q), для которых метрика имеет вид
||ηnm || = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1) ,
| {z } | {z }
p
(p + q = N ) .
q
Определяющее представление для образующих M nm подгруппы SO(p, q) ⊂ IO(p, q)
задается второй формулой в (9.1.17) и мы имеем
(M mk )nj = (η nm δjk − η kn δ mj ) ,
(n, m, k, j = 0, . . . , p + q − 1) .
(9.1.20) deflor
• Задача 258. Доказать, что оператор J 2 = M mn Mmn (квадратичный оператор Казимира) является центральным элементом для алгебры Ли (9.1.19)
группы SO(p, q), то есть [J 2 , M kl ] = 0 (∀k, l). Доказать, что оператор J 2
не является центральным для алгебры Ли группы IO(p, q).
• Задача 259. Доказать, что подгруппа трансляций T является инвариантной
подгруппой в группе IO(p, q) и фактор группа IO(p, q)/T изоморфна группе SO(p, q).
9.2
Группа SL(2, C) и группа Лоренца O(1, 3). Спинорные представления группы Лоренца.
В этом разделе мы будем рассматривать четырех-мерную группу Лоренца O(1, 3),
которая действует в физическом четырех-мерном пространстве Минковского R1,3 .
9.2.1
Группа SL(2, C) и группа Лоренца.
Рассмотрим группу SL(2, C), которая образована унимодулярными комплексными
матрицами
( 1
)
A1 A12
A=
, A11 A22 − A21 A21 = 1 ,
(9.2.1) uni2
A21 A22
где A11 , A12 , A21 , A22 ∈ C. Обратная матрица к матрице (9.2.1) имеет вид
)
(
A22 −A12
−1
.
A =
−A21 A11
(9.2.2) uni2m
Каждому 4-вектору ⃗x ∈ R1,3 с координатами (x0 , x1 , x2 , x3 ) мы сопоставим 2 × 2
эрмитову матрицу
)
( 0
x + x3 x1 − ix2
m
,
(9.2.3) Xx
X = x σm =
x1 + ix2 x0 − x3
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
где мы использовали 4 матрицы σm
(
)
(
)
(
)
(
)
1 0
0 1
0 −i
1 0
σ0 =
, σ1 =
, σ2 =
, σ3 =
,
0 1
1 0
i 0
0 −1
409
(9.2.4) sigm
которые образуют базис в пространстве эрмитовых 2 × 2 матриц. Соответствие xm ↔
X взаимно однозначно, так как имеется обратная формула
1
xm = Tr(X · σm ) ,
2
(9.2.5) xX
которая следует из равенства 12 Tr(σn σm ) = δmn . Отметим однако, что эта формула не
совсем корректна, т.к. связывает объекты с нижним и верхним лоренцевским индексами. Это противоречие будет нами разрешено в следующем подпункте "Спиноры".
Рассмотрим линейное преобразование матрицы X, оставляющее ее эрмитовой:
X → X ′ = A X A† = x′ m σm ,
(9.2.6) prelo2
где A — любая матрица из SL(2, C). Заметим, что это преобразование сохраняет
детерминант матрицы X:
det(X ′ ) = det(A X A† ) = | det(A)|2 det(X) = det(X) .
Так как
det(X) = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 = xm xm ,
то линейное преобразование xm → x′ m (9.2.6) сохраняет длины интервалов в пространстве Минковского (xm xm = x′ m x′m ), и следовательно является преобразованием Лоренца. Более того, преобразования (9.2.6) соответствуют только собственным
ортохронным преобразованиям Лоренца (смотри Задачу 261 ниже).
Отметим, что согласно (9.2.6) две матрицы ±A обслуживают одно и то же преобразование Лоренца из SO↑ (1, 3), т.е. группа SL(2, C) дважды накрывает собственную ортохронную группу Лоренца. Отметим также, что у группы SL(2, C) имеется
3 комплексных параметра (т.е. 6 вещественных параметров) и т.о. размерности многообразий групп SO↑ (1, 3) и SL(2, C) совпадают.
9.2.2
Спиноры.
Группа матриц
) C) естественно действует в пространстве двухкомпонентных
( SL(2,
векторов ξ = ξξ1 , которые представляют собой пару комплексных чисел ξ1 и ξ2 .
2
Такое действие записывается следующим образом
ξα → ξα′ = Aαβ ξβ ,
ξ′ = A ξ .
(9.2.7) spin1
Определение 9.2.1 Вектора ξ в двумерном комплексном пространстве C2 с действием на них группы SL(2, C) (9.2.7) называются ковариантными спинорами (или
просто спинорами).
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
410
Т.о., пространство ковариантных спиноров является пространством определяющего
представления группы SL(2, C).
Определим спинор с верхним индексом η α и его преобразование так, чтобы свертка η α ξα была инвариантна при преобразованиях (9.2.7). Соответствующее преобразование спинора η α имеет вид
η α → η ′ = η β (A−1 )βα ,
α
η ′ = ηA−1 ⇒ η ′ = (A−1 )T η T .
T
(9.2.8) spin2
Спинор с верхним индексом η β , который преобразуется по правилу (9.2.8), будем
называть контрвариантным. Заметим теперь, что матрицы A ∈ SL(2, C) (9.2.1) и
(A−1 )T (матрица A−1 определена в (9.2.2)) связаны между собой преобразованиями
(A−1 )T = E A E −1 ⇒ (A−1 )βα = E αγ Aγδ Eδβ ,
E = ||E αβ || =
(
0 1
−1 0
)
,
E −1 = ||Eαβ || =
(
0 −1
1 0
)
,
E αβ Eβγ = δγα .
(9.2.9) aat
(9.2.10) metr
Для простоты мы не будем указывать знак степени "−1"у элементов Eβγ (с нижними
индексами) обратной матрицы E −1 . На самом деле соотношение (9.2.9) есть следствие
условия det(A) = 1 (см. (2.2.10)):
E γδ Aγα Aδ β = E αβ ,
Aγα Aδ β Eαβ = Eγδ .
Из соотношения (9.2.9) следует, что контрвариантный спинор η α и ковариантный спинор ξα преобразуются (см. (9.2.7), (9.2.8)) по эквивалентным представлениям группы SL(2, C). Т.о., мы всегда спинор с верхним индексом можем перевести в
спинор с нижним индексом (и наоборот) воспользовавшись матрицами E, E −1 :
ηα = −η β Eβα = Eαβ η β , ξ α = E αβ ξβ = −ξβ E βα .
(9.2.11) metr1
Действительно, легко проверить, что Eαβ η β преобразуется как спинор с нижним индексом, если η β преобразуется согласно (9.2.8):
Eαβ η ′ = −η γ (A−1 )γβ Eβα = −Aαδ Eγδ η γ = Aαδ Eδγ η γ ,
β
при этом инвариантная (относительно преобразований группы SL(2, C)) билинейная
форма η α ξα оказывается кососимметричной
η α ξα = η α Eαβ ξ β = −ηα E αβ ξβ = −ξ α ηα .
Каждой матрице A ∈ SL(2, C) можно сопоставить комплексно сопряженную матрицу A∗ ∈ SL(2, C) с помощью которой, как следует из (9.2.7), преобразуется комплексно сопряженный спинор ξα∗
ξ ∗ → ξ ∗ ′ = A∗ ξ ∗ , ξ ∗ ′α = A∗ αβ ξ ∗ β ,
(
A
∗
= ||A∗ αβ || =
A∗ 11 A∗ 12
A∗ 21 A∗ 22
(9.2.12) spin3
)
,
A∗ 11 A∗ 22 − A∗ 12 A∗ 21 = 1 .
(9.2.13) uni4
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
411
Отображение ρ: A → A∗ очевидно является гомоморфизмом SL(2, C) → SL(2, C) и,
т.о., отображение ρ определяет представление группы SL(2, C), которое называется
комплексно сопряженным. Докажем, что это комплексно сопряженное представление не является эквивалентным определяющему представлению (9.2.1). Для этого
надо показать, что для всех матриц A (9.2.1) и их комплексно сопряженных матриц A∗ (9.2.13) не существует фиксированной матрицы V такой, что A∗ = V A V −1 .
Действительно, если бы такая матрица V существовала, то мы всегда имели бы равенство Tr(A) = Tr(A∗ ), что в действительности реализуется не для всех матриц
A ∈ SL(2, C). Отметим, что для унитарных матриц U (3.1.14) мы очевидно имеем
Tr(U ) = Tr(U ∗ ). Более того, из условия унитарности и требования det(U ) = 1 мы
имеем U ∗ = (U −1 )T = EU E −1 , и следовательно для группы SU (2) определяющее и
комплексно сопряженные представления эквивалентны.
В вычислениях удобно индексы у сопряженного представления SL(2, C) отличать от индексов у обычного спинорного представления (дабы не было соблазна их
свернуть друг с другом), поэтому индексы сопряженного представления отмечаются
точкой. Например, для комплексно сопряженного спинора ξα∗ ≡ ξα̇ формулы (9.2.12)
и (9.2.13) переписываются в виде
ξ ∗ → ξ ∗ ′ = A∗ ξ ∗ , ξα̇′ = A∗ α̇β̇ ξβ̇ = ξβ̇ A† α̇ ,
(
)
∗ 1̇
∗ 2̇
A 1̇ A 1̇
A∗ = ||A∗ α̇β̇ || =
.
A∗ 2̇1̇ A∗ 2̇2̇
β̇
(9.2.14) spin5
(9.2.15) uni5
Контравариантные сопряженные спиноры имеют верхний пунктирный индекс и
преобразуются по правилу
ξ α̇ → ξ ′ = ξ β̇ (A∗ )−1 β̇ ,
α̇
α̇
(9.2.16) spin5K
а метрические матрицы имеют такой же вид как и в (9.2.10), (9.2.11)
ηα̇ = −η β̇ Eβ̇ α̇ = Eα̇β̇ η β̇ , ξ α̇ = E α̇β̇ ξβ̇ = −ξβ̇ E β̇ α̇ .
||E α̇β̇ || ≡
(
0 1
−1 0
)
,
||Eα̇β̇ || ≡
(
0 −1
1 0
)
,
E α̇β̇ Eβ̇ γ̇ = δγ̇α̇ .
(9.2.17) metr2
(9.2.18) metr3
Рассмотрим теперь матрицу X (9.2.3). В силу закона преобразования (9.2.6) и
формул (9.2.7), (9.2.14) элементы матрицы X необходимо обозначать Xαβ̇ . Т.к. матрица X построена из матриц σm , то элементы этих матриц также необходимо обозначать как (σm )αβ̇ . Теперь ясно, почему формула (9.2.5) некорректна – две матрицы
Xβ α̇ и (σm )αβ̇ невозможно ковариантно умножить друг на друга, так как при этом надо сворачивать нижние точечные и бесточечные индексы. Для того, чтобы умножать
такие матрицы ковариантно определим набор ”сопряженных” σ-матриц
(σ̃m )α̇α = E α̇β̇ E αβ (σm )β β̇ ,
σ̃m = (σ0 , −σ1 , −σ2 , −σ3 ) ,
σ̃ m = σ̃n g nm = (σ0 , σ1 , σ2 , σ3 ) .
(9.2.19) sopsi
(9.2.20) sopsi2
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
412
• Задача 260. Вывести формулы (9.2.20) из определения (9.2.19). Указание:
записать (9.2.19) в виде
T
σ̃m = E · σm
· E −1 ,
(9.2.21) sopsi1
и воспользоваться тем, что E = iσ2 .
e α̇α = E α̇β̇ E αβ X , с помощью
Рассмотрим соответствующую сопряженную матрицу X
β β̇
которой мы можем устраивать ковариантные произведения
e α̇α = X
e α̇α Xαα̇ = xm xm .
Xαα̇ X
(9.2.22) XtX
Теперь соотношение xm ↔ X (9.2.5) записывается корректной формулой
1
xm = Tr(σ̃ m · X) ,
2
(9.2.23) xXX
так как в обоих ее частях стоят объекты с верхними векторными индексами. Пользуясь формулой (9.2.23), преобразование (9.2.6) можно переписать в виде стандартного
преобразования Лоренца (9.1.6)
)
1 (
1
x′ m = Tr(σ̃ m · X ′ ) = Tr σ̃ m · A · (xn σn ) · A† = Λmn xn ,
2
2
1
Λmn = Tr(σ̃ m · A · σn · A† ) .
2
(9.2.24) LA
• Задача 261. Доказать, что матрица Λ = ||Λmn ||, заданная в (9.2.24), определяет для любого элемента A ∈ SL(2, C) собственное ортохронное преобразование Лоренца (9.1.6), то есть мы имеем
Λ0 0 ≥ +1 ,
det(Λ) = +1 .
Формула (9.2.24) определяет явно гомоморфизм из группы SL(2, C) в собственную
ортохронную группу SO↑ (1, 3), причем два разных элемента ±A ∈ SL(2, C) отображаются в один элемент Λ ∈ SO↑ (1, 3) и следовательно группа SL(2, C) дважды
накрывает SO↑ (1, 3).
Симметричные (по векторным индексам) произведения пары матриц σm (9.2.4) и
σ̃m (9.2.19) удовлетворяют соотношениям
(σm σ̃n + σn σ̃m )αβ = 2 gnm δαβ , (σ̃m σn + σ̃n σm )α̇β̇ = 2 gnm δβ̇α̇ ,
(9.2.25) ssg
и мы имеем
Tr(σn σ̃m ) = 2 gnm ,
Tr(σ̃m σn σ̃k σl ) = 2(gnm gkl − gnl gkm + gnk glm ) ,
(9.2.26) mnkl
и так далее, где первое тождество очевидно следует из определений (9.2.4) и (9.2.19),
а второе доказывается стандартно
Tr(σ̃m σn σ̃k σl ) = Tr(σn σ̃k σl σ̃m ) = Tr(σn σ̃k (2glm − σm σ̃l )) =
(9.2.27) proo
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
413
= 4gnk glm − Tr(σn (2gkm − σ̃m σk )σ̃l ) = 4gnk glm − 4gnl gkm + 4gnm gkl − Tr(σm σ̃n σk σ̃l ) ,
где необходимо воспользоваться равенством Tr(σm σ̃n σk σ̃l ) = Tr(σ̃m σn σ̃k σl ), которое
доказывается с помощью (9.2.21).
Определим новые матрицы σnm и σ̃nm антисимметричные по векторным индексам
n, m:
1
1
(σnm )αβ = − (σn σ̃m − σm σ̃n )αβ , (σ̃nm )α̇β̇ = − (σ̃n σm − σ̃m σn )α̇β̇ .
4
4
(9.2.28) snm2
Эти матрицы обладают свойствами симметрии
(σnm )αβ Eβγ = (σnm )γβ Eβα ,
Eα̇γ̇ (σ̃nm )γ̇β̇ = Eβ̇ γ̇ (σ̃nm )γ̇α̇ ,
(9.2.29) snm3
и кроме того тензор σnm – самодуален, а тензор σ̃nm – антисамодуален (смотри определения в (3.2.198) и (3.2.195)). Заметим, что (i, j, k = 1, 2, 3)
1
σ0i = σi = −σ̃0i ,
2
i
σij = Eijk σk = σ̃ij ,
2
(9.2.30) snm5a
где Eijk – антисимметричный тензор 3-его ранга. Пусть параметры ω nm = −ω mn ∈ R
образуют антисимметричную 4 × 4 матрицу, тогда
i
(ω nm σnm )αβ = (ω 0i σi + Eijk ω jk σi )αβ = (z i σi )αβ ,
2
где мы определили 3 комплексных числа
i
z i = ω 0i + Eijk ω jk .
2
(9.2.31) zo-a
по 6-и вещественным параметрам ω nm = −ω mn . Т.к. матрицы σi (i = 1, 2, 3) образуют
базис в алгебре Ли для группы SL(2, C) (напомним, что алгебру Ли группы SL(2, C)
образуют все двумерные комплексные матрицы a такие, что T r(a) = 0), то мы можем
записать инфинитезимальное преобразования A, A† ∈ SL(2, C) в виде
1
Aαβ = δαβ − (ω nm σnm )αβ + . . . ,
2
1
(A† )α̇β̇ = δ α̇β̇ + (ω nm σ̃nm )α̇β̇ + . . . .
2
(9.2.32) SLor1
Подставляя это представление в (9.2.24), мы получаем
1
1
† m
m
(Λ−1 )m
[Tr(σkl σn σ̃ m ) − Tr(σn σ̃kl σ̃ m )] ω kl + . . . =
n = Tr(Aσn A σ̃ ) = δn −
2
4
1
[Tr(σk σ̃l σn σ̃ m ) − Tr(σn σ̃k σl σ̃ m )] ω kl + . . . = δnm − gnk ω km + . . . ,
8
где мы использовали тождества (9.2.26). Сравнивая это соотношение с инфинитезимальным преобразованием Лоренца (9.1.16), мы устанавливаем точное соответствие
элементов группы SL(2, C) и элементов собственной ортохронной группы Лоренца:
= δnm +
1
m
m
± (1 + ω nm σnm + . . .)αβ = ±Aαβ −→ Λm
n = (δn + ωn + . . .) ,
2
(9.2.33) SLor
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
414
где ωnm = gnk ω km .
Замечание. Почти все элементы A ∈ SL(2, C) представимы в экспоненциальной
форме
A = exp(z i σi ) (z 1 , z 2 , z 3 ∈ C) ,
(9.2.34) exp5
где σi – матрицы Паули. Экспоненциальная форма (9.2.34) покрывает SL(2, C) почти
полностью за исключением комплексной двумерной поверхности в SL(2, C), состоящей из элементов [25]
(
)
(
)
−1
−1 −2ab
a2
−1
1
(9.2.35) exp6
−b
−1 + ab = B
0 −1 B , B ∈ SL(2, C) .
Это следует из того факта, что матрица (9.2.35) недиагонализуема и имеет два совпадающих собственных значения, равных −1, а матрица z i σi либо диагонализуема,
либо, т.к. Tr(z i σi ) = 0, приводится к виду
(
)
(
)
i
1 eu .
z i σi → 00 u
⇒
A
=
exp(z
σ
)
→
i
0
0 1
Заметим, что если A ∈ SL(2, C), то либо A либо −A имеют экспоненциальную форму
(9.2.34).
9.2.3
Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские и вейлевские спиноры.
Составим из двух спиноров ξα и η α̇ (= η α∗ ) (α, α̇ = 1, 2) четырехкомпонентный спинор
(
)
ξα
Ψ=
.
(9.2.36) dirspin
η α̇
Такой би-спинор называется дираковским спинором. На него (согласно расстановке
спинорных индексов) естественным образом действуют 4 × 4 матрицы γm , имеющие
блочную структуру
(
)
γm = σ̃0 σ0m
(9.2.37) dirg
m
Эти матрицы называются дираковскими гамма-матрицами и удовлетворяют определяющему соотношению алгебры Клиффорда:
)
(
β
0
δ
.
(9.2.38) clcl
γm γn + γn γm = 2 gmn I4 , I4 =
0α δ α̇
β̇
Согласно (9.2.32), (9.2.33) преобразования Лоренца действуют на дираковский спинор следующим образом
)
(
1
1 nm ( σnm 0 )
A
0
Ψ = ω nm Σnm Ψ , (9.2.39) SLor2
Ψ → 0 (A−1 )† Ψ ≡ U Ψ ⇒ δΨ = ω
0
σ̃
nm
2
2
где
)
(
1
0
Σnm = − (γn γm − γm γn ) = σnm
0 σ̃nm .
4
(9.2.40) SLor23
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
415
Контрвариантный к (9.2.36) дираковский спинор имеет вид
Ψ = (η α , ξα̇ )
(9.2.41) dirspin1
и, как следствие (9.2.36), (9.2.37), мы имеем Ψ = Ψ† γ0 , где Ψ† = (ξα̇ , η α )37 . Т.о.,
контрвариантный дираковский спинор Ψ (9.2.41) оказывается обычным дираковски
сопряженным спинором к спинору Ψ. Инвариантная, относительно преобразований
(9.2.39), форма имеет вид
(Ψ Ψ) = η α ξα + ξα̇ η α̇ = Ψ† γ0 Ψ .
(9.2.42) invfo
Т.е. преобразование (9.2.39) оказывается инфинитезимальной формой некоторого
унитарного преобразования Ψ → U Ψ, сохраняющего метрику, реализованную матрицей γ0 ,
U † γ0 U = γ0 ⇒ U ∈ Spin(1, 3) ,
и матрицы Σnm – образуют базис в алгебре Ли группы Spin(1, 3), о которой мы будем
говорить в следующей Лекции. Т.к. γ02 = I4 , то у матрицы γ0 имеются собственные
значения
( ±1 и,) с помощью преобразования эквивалентности, ее можно привести к
0 , где I обозначает (2 × 2) единичную матрицу. Отсюда следует, что
виду I0 −I
Spin(1, 3) ⊂ SU (2, 2).
Введем в рассмотрение еще одну гамма-матрицу
(
)
β
I
0
α
γ5 = −iγ0 γ1 γ2 γ3 =
, γ52 = I4 , γ5 γm + γm γ5 = 0 .
0 −I α̇
(9.2.43) dirg5
β̇
Используя матрицу γ5 мы можем определить 2 проектора
1
PL = (I4 + γ5 ) ,
2
1
PR = (I4 − γ5 ) .
2
(9.2.44) prLR
которые удовлетворяют соотношениям
PL PR = PR PL = 0 ,
PL2 = PL ,
PR2 = PR
Действие проекторов PR , PL на дираковский спинор расщепляет его на два би-спинора
)
(
)
(
0
ξα
, ΨR = PR Ψ =
,
(9.2.45) weil
ΨL = PL Ψ =
0
η α̇
которые преобразуются при преобразованиях Лоренца как обычные дираковские
спиноры (9.2.39), что следует из соотношений [Σmn , γ5 ] = 0, [Σmn , PR,L ] = 0. Спиноры (9.2.45) являются дираковской формой двухкомпонентных вейлевских спиноров
ξα , η α̇ и иногда именно эти спиноры ΨL,R называют вейлевскими.
37
Следует отметить, что в определении Ψ матрица γ0 (которая играет роль метрики) только формально совпадает с матрицей Дирака (9.2.37), но имеет другую расстановку точечных и бесточечных
индексов.
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
416
На основе дираковского сопряженния спинора Ψ (9.2.41) можно определить еще
одно преобразование над Ψ, которое снова приводит к определению ковариантного
спинора, преобразующегося согласно (9.2.39)
(
)
(
)
Eαβ 0
T
ηα
∗
ΨC = C γ 0 Ψ = C Ψ =
, C=
.
(9.2.46) charge
ξ α̇
0 E α̇β̇
Этот спинор называется зарядово сопряженным к спинору Ψ.
Рассмотрим дираковский спинор (9.2.36) в частном случае, когда ξα = ηα . Очевидно, что такой 4-х компонентный спинор
(
)
ηα
ΨM =
,
(9.2.47) major1
η α̇
определяется только двумя комплексными числами ηα и преобразуется как дираковский спинор (9.2.39). Спинор ΨM называется майорановским. Замечательным свойством майорановского спинора (9.2.47) является то, что он удовлетворяет тождеству
ΨM = C γ0 Ψ∗M = (ΨM )C ,
т.е. майорановский спинор ΨM равен своему зарядово сопряженному спинору.
Заметим, что вейлевские спиноры (9.2.45) могут совпадать с майорановскими
(9.2.47) только если они нулевые. Этот факт будет отмечен ниже в лекции о многомерных спинорах, где будет показано, что ненулевые майорано-вейлевские спиноры
могут быть определены только в пространствах с размерностью D = 2 mod(8).
9.2.4
Твисторы.
Рассмотрим комплексный спинор Za и его комплексносопряженный спинор Zȧ∗ (a =
1, 2, 3, 4)
(
)
(
)
λα
λ̄α̇
∗
Za =
, Zȧ =
,
(9.2.48) twistor
µα̇
µ̄α
которые образуют определяющее 38 и сопряженное к нему представления группы
SU (2, 2):
Za → Za′ = Aab Zb ,
Zȧ∗ → Z ∗ ′ȧ = Āȧḃ Zḃ∗ (A ∈ SU (2, 2) ,
Ā = A∗ ) .
Контрвариантный спинор Z̄ a преобразуется по правилу
Z̄ a → (Z̄ ′ )a = Z̄ b (A−1 )ba .
38
Следует различать определяющее (стандартное) и фундаметальное представления. Представление группы (или алгебры) Ли называется фундаментальным, если оно неприводимо и его старший
вес является фундаментальным весом. Фундаментальные веса ω1 , ω2 , . . . , ωn , это веса которые определяют базис Λ∗ дуальный к набору простых кокорней Hα1 , . . . , Hαn . Например, фундаментальными представлениями специальной линейной группы SL(N ) являются внешние степени стандартного
представления.
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
417
Этот спинор имеет вид
Z̄ a = (µ̄α , −λ̄α̇ ) ,
Z̄ a = Zȧ∗ g ȧa .
и строится из Zȧ∗ (9.2.48) с помощью инвариантной, относительно преобразований
SU (2, 2), метрики g ȧa
(
)
0 −δβ̇α̇
ȧa
g =
, Āȧḃ g ȧa Aab = g ḃb .
δ αβ
0
Т.о. инвариантная форма (ср. с (9.2.42)) для спиноров Z̄ a , Za равна
(Z̄ a Za ) = µ̄α λα − λ̄α̇ µα̇ .
(9.2.49) spns
Пусть спиноры Za и Z̄ a удовлетворяют каноническим SU (2, 2)- инвариантным
коммутационным соотношениям
[Z̄ a , Zb ] = i δba
⇒ [µ̄α , λβ ] = i δβα ,
[µα̇ , λ̄β̇ ] = i δβ̇α̇ .
(9.2.50) comzz
Тогда генераторы алгебры Ли группы SU (2, 2) ∼ SO(2, 4) можно реализовать, как
квадратичные комбинации осцилляторов (9.2.50), следующим образом (ср. с (??))
1
Pαα̇ = λα λ̄α̇ , K α̇α = µα̇ µ̄α , Mαβ = λ(α µ̄β) , M̄α̇β̇ = µ(α̇ λ̄β̇) , D = (λα µ̄α + µα̇ λ̄α̇ ) .
2
(9.2.51) gsu22
Отсюда в частности следует равенство K m Km = 0.
Рассмотрим релятивистскую безмассовую частицу, состояние которой описывается точкой в фазовом пространстве с координатами {xm , pm } (двигающуюся в пространстве M с 4-мя координатами xm и 4-импульсом pm , pm pm = 0).
Определение 9.2.2 Фундаментальное представление Za (9.2.48) группы SU (2, 2)
называется твистором, если имеется следующая связь между спинорами (9.2.48)
и координатами {xm , pm }
Pαα̇ = λα λ̄α̇ ,
µα̇ = X α̇β λβ , µ̄α = λ̄β̇ X β̇α ,
(9.2.52) twtr
α̇α
X α̇α = xm σ
em
.
(9.2.53) mXP
где мы определили
Pαα̇ = pm σαmα̇ ,
Связь (9.2.52) называется твисторным преобразованием.
Учитывая уравнения (9.2.52) и (9.2.53), мы можем переписать образующие (9.2.51) в
терминах координат {xm , pm }
P = P = pm σ m ,
ek ) = (p x) + (x p) ,
D = 12 (pm xk + xk pm ) Tr(σ m σ
σm σ n σ
ek + 4i~ X =
K + 4i~ X = xm pn xk σ
em σ n σ
ek + 4i~ X = xm (xk pn − i~δnk )e
= 12 xm xk pn (e
σm σn σ
ek + σ
ek σn σ
em ) = 12 xm xk pn ((2gmn − σ
en σm )e
σk + (2gkn − σ
en σk )e
σm ) =
1 m k n
n
2
n
ek + 2gkn σ
em − 2gmk σ
en ) = (2 x (x p) − (x ) p ) σ
en ,
= 2 x x p (2gmn σ
β̇γ
β̇γ
m k
Mαβ = Pαβ̇ X Eγβ + Pβ β̇ X Eγα = p x [(σm σ
ek E)αβ + (σm σ
ek E)βα ] =
m k
k m
m k
= −2p x [(σmk E)αβ + (σmk E)βα ] = 2 (p x − p x ) (σmk )αγ Eγβ ,
M̄α̇β̇ = Eα̇γ̇ X γ̇β Pβ β̇ + Eβ̇ γ̇ X γ̇β Pβ α̇ = 2 (xk pm − xm pk ) Eα̇γ̇ (e
σmk )γ̇β̇ ,
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
418
n
где мы воспользовались сотношениями (9.2.25), (9.2.28), (9.2.29), [xm , pn ] = i~δm
. Т.о.,
действительно алгебра (9.2.51) связана с конформной алгеброй so(2, 4) (см. (9.1.17),
(??)).
В заключении отметим, что инвариант (Z̄ a Za ) (9.2.49) связан со спиральностью
безмассовой частицы, т.к.
1
Wαα̇ = (Z̄ a Za ) Pαα̇ ,
(9.2.54) plubi
2
где матрица Wαα̇ = W m (σm )αα̇ и Wm – координаты вектора Паули-Любанского
1
Wm = Emnkr M̂ nk P̂ r .
2
(9.2.55) plub
Упражнения.
1. Доказать, что операторы σnm образуют алгебру Ли
[σnm , σkl ] = −gnl σmk + gnk σml − gmk σnl + gml σnk ,
которая совпадает с алгеброй Ли группы Лоренца (9.1.19).
2. Доказать, что для четырехмерных матриц γm (9.2.37), образующих алгебру Клифорда (9.2.38), выполняются тождества (указание, см. (9.2.27))
Tr(γm γn ) = 4gmn , Tr(γm γn γk ) = 0 , Tr(γm γn γk γl ) = 4(gmn gkl − gmk gnl + gml gnk ) .
3. Доказать, что если матрица X = xm σm (9.2.3) представима в виде
Xαα̇ = ξα ξα̇ ,
X† = X ,
(9.2.56) twist
то соответствующий 4-вектор с координатами {xm } лежит на световом конусе xm xm =
0. Доказать формулу xm = ξα̇ (σ̃ m )α̇α ξα и расписать ее явно для всех компонент xm
(m = 0, 1, 2, 3) через компоненты спиноров ξα , ξα̇ .
9.3
D- мерная алгебра Клиффорда ClD и ее представления.
Группы Spin(D). Алгебра Клиффорда Cl(D−1,1) и ее представления. Группы Spin(D − 1, 1).
Алгебра Клиффорда ClD и ее представления. Группы Spin(D).
Рассмотрим алгебру Клиффорда ClD для D-мерного евклидова пространства:
Γm Γn + Γn Γn = 2δmn
(9.3.1) cl1
где m, n = 1, 2, . . . , D. Эта алгебра является конечномерной. Пусть пространство
является четномерным D = 2ν (как мы увидим ниже случай нечетномерной алгебры
Cl2ν+1 получается из Cl2ν добавлением одного генератора ΓD+1 , который является
аналогом матрицы γ5 для 4-х мерного случая, см. ниже). Построим для алгебры
(9.3.1) базис, который очевидно должен состоять из единичного элемента 1, самих D
образующих Γm и всех возможных антисимметричных комбинаций образующих Γm
ΓA = {1, Γm , Γmn , Γmnk , Γm1 m2 m3 m4 , . . . , Γm1 ...mD−1 ∼ Γm ΓD+1 , ΓD+1 } ,
(9.3.2) clbas
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
419
где Γm1 ...mk – антисимметричная (для дальнейшего удобства нормированная некоторым образом) комбинация произведения k образующих Γm , например
1
Γmn = (Γm Γn − Γn Γm ) ,
4
ΓD+1 = (−i)ν Γ1 Γ2 · · · ΓD .
Используя определяющие соотношения (9.3.1), набор образующих (9.3.2), после соответствующей перенормировки, можно представить в виде
ΓA = {I, Γm1 , Γm1 Γm2 , Γm1 Γm2 Γm3 , Γm1 Γm2 Γm3 Γm4 , . . . , Γ1 Γ2 · · · ΓD }
(9.3.3) clbas2
где в каждом мономе индексы упорядочены согласно правилу: 0 ≤ m1 < m2 <
m3 < . . . ≤ D − 1 (т.е. мономы упорядочены лексикографически). Теперь вычислим
размерность алгебры (9.3.1). Число элементов типа Γm1 ...mk равно числу сочетаний k
элементов из D, т.е. мы получаем39
k
dim{Γm1 ...mk } = CD
=
D!
.
k!(D − k)!
Т.о. полная размерность D-мерной алгебры Клиффорда ΓD равна
dim(ClD ) =
D
∑
D!
= 2D .
k!(D − k)!
k=0
Это значит, что если бы мы строили матричное представление для ClD , в котором все базисные элементы (9.3.2) были бы независимы, то такое минимальное матричное представление реализовывалось бы 2D/2 -мерными матрицами 2D/2 × 2D/2 =
2ν × 2ν . Раз представление такой размерности минимально, то оно автоматически
будет неприводимым.
Построим явно это 2D/2 -мерное неприводимое представление алгебры (9.3.1). Для
этого разобьем все множество образующих {Γm } на 2 группы, скажем на группы
с четными и нечетными индексами, и рассмотрим следующий набор операторов
{zα , z α } (α = 1, . . . , D/2 = ν)
1
zα = (Γ2α−1 + i Γ2α ) ,
2
1
z α = (Γ2α−1 − i Γ2α ) .
2
(9.3.4) closc
Эти операторы, в силу соотношений (9.3.1), образуют D/2-мерную алгебру фермионных осцилляторов
[zα , zβ ]+ = 0 ,
39
[z α , z β ]+ = 0 (∀α, β) , [zα , z β ]+ = δαβ .
(9.3.5) cl3
Действительно, в качестве первого индекса m1 можно взять любой индекс из D индексов 1, . . . , D, в качестве второго m2 – любой из оставшихся D − 1 индексов, и так
далее. На последнее место – mk остается D − k + 1 возможных индексов. Т.о. мы имеем
D(D − 1) · · · (D − k + 1) возможностей расставить D индексов на k местах. Учитывая
D!
лексикографическое упорядочение k индексов, мы должны поделить число (D−k)!
на число
всех их перестановок k!.
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
420
Займемся построением представления ρ для алгебры (9.3.5). Наиболее естественный
способ – это построение пространства Фока для алгебры (9.3.5), когда операторы
zα мы рассматриваем как операторы уничтожения, а z α – как операторы рождения.
Пусть |0⟩ – вакуумный вектор, т.е.
zα |0⟩ = 0 (∀α = 1, . . . , ν) ,
тогда все пространство представления Фока для алгебры (9.3.5) порождается векторами (k = 0, 1, . . . , ν):
|α1 , . . . , αk ⟩ = z α1 · · · z αk |0⟩ (1 ≤ α1 < α2 < . . . < αk ≤ ν)
(9.3.6) fock
Число таких независимых векторов вычисляется также как и размерность алгебры
Клиффорда и в результате это число равно 2ν = 2D/2 , что совпадает с размерностью, указанной выше, для минимального точного матричного представления алгебры Клиффорда Cl2ν .
Определение 9.3.1 Вектора в пространстве Фока (9.3.6) называются D = 2νмерными спинорами.
В случае ν = 1 представление для (9.3.5) двумерно, т.к. в качестве базисных
элементов мы имеем v1 = |0⟩, v2 = z |0⟩. Далее
zv1 = 0 ,
zv2 = v1 ,
zv1 = v2 ,
zv2 = 0 ,
т.е. в базисе v1 , v2 мы имеем матричное представление:
)
)
(
(
0 1
0 0
, ρ(z) =
,
zvi = vk ρki (z) , zvi = vk ρki (z) ⇒ ρ(z) =
0 0
1 0
(в дальнейшем для простоты мы не будем писать знак гомоморфизма ρ). Соответствующие двумерные гамма-матрицы имеют вид
Γ1 = σ1 ,
Γ2 = σ2 , Γ3 = (−i)Γ1 Γ2 = σ3 ,
(9.3.7) cld2
где Γ3 = σ3 является двумерным аналогом γ5 -матрицы, а 3 матрицы Паули (σ1 , σ2 , σ3 )
являются 3-х мерными гамма-матрицами.
Для произвольного числа ν это представление обобщается следующим образом
(
)
0 1
(9.3.8) 4
zα = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · σ3 ⊗
⊗ 1| · ·{z
· ⊗ 1} ,
{z
}
|
0 0
α−1
(
z α = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · σ3 ⊗
|
{z
}
α−1
0 0
1 0
)
ν−α
⊗ 1| · ·{z
· ⊗ 1} ,
ν−α
(9.3.9) 5
(
)
( )
1
0
где σ3 = 0 −1 , 1 = 10 01 . Данное представление, как и ожидалось, является 2D/2 мерным. Пользуясь условием (9.3.4), гамма-матрицы могут быть выражены через
матрицы zα , z α и соответственно записываются в виде
( )
(9.3.10) cl7
Γ2α−1 = zα + z α = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · σ3 ⊗ 01 10 ⊗ 1| · ·{z
· ⊗ 1} ,
|
{z
}
α−1
ν−α
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
(
)
Γ2α = i(z α − zα ) = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · σ3 ⊗ 0i −i
· ⊗ 1} .
0 ⊗ 1| · ·{z
|
{z
}
421
(9.3.11) cl8
ν−α
α−1
Это 2ν -мерное представление неприводимо; все другие 2ν -мерные представления получаются из него преобразованиями эквивалентности (включая всевозможные перестановки Γ-матриц?). Заметим, что в этом представлении Γ-матрицы унитарны
Γ†n Γn = 1, т.к. Γ†n = Γn . Кроме того мы имеем Γ∗2α−1 = ΓT2α−1 = Γ2α−1 , Γ∗2α = ΓT2α =
−Γ2α , что можно записать единым образом
Γ∗m = ΓTm = (−)m+1 Γm .
Аналог 4-х мерной матрицы Γ5 (9.2.43) имеет вид (ν = D/2)
∏
ΓD+1 = (−i)ν Γ1 · · · ΓD = (−i)ν (Γ1 Γ2 )(Γ3 Γ4 ) · · · (ΓD−1 ΓD ) = να=1 ((−i)Γ2α−1 Γ2α ) =
= (σ3 ⊗ 1 ⊗ · · ·) (1 ⊗ σ3 ⊗ 1 · · ·) · · · (1 ⊗ · · · ⊗ σ3 ) = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · ⊗ σ3 ,
|
{z
}
ν
(9.3.12) g5
Γ2D+1 = 1 ,
[ΓD+1 , Γm ]+ = 0 (∀m = 1, . . . , D) .
Рассмотрим теперь алгебру Клиффорда (9.3.1) в нечетномерном случае D = 2ν +
e в
1. В этом случае мы можем предъявить нетривиальный центральный элемент Γ
Cl2ν+1 :
e = Γ1 · · · Γ2ν Γ2ν+1 , Γ
e2 = (−1)ν = eiπν .
Γ
T.о., неприводимые представления Cl2ν+1 характеризуются двумя возможными собe ±eiπν/2 . Причем, т.к. Γ2
ственными значениями оператора Γ:
2ν+1 = 1, мы имеем в
соответствующем представлении
Γ±
2ν+1 = ∓ exp(
iπν
) Γ1 · · · Γ2ν ,
2
(9.3.13) g5d
т.е. последний генератор Γ±
2ν+1 строится как произведение предыдущих Γm (m =
1, . . . , 2ν) . Следовательно, неприводимые представления для нечетномерной алгебры Cl2ν+1 получается из неприводимого представления для Cl2ν добавлением еще
одной образующей (9.3.12), (9.3.13), а размерности этих представлений совпадают
для D = 2ν и D = 2ν + 1 и равны 2[D/2] , где [D/2] – целая часть числа D/2. Т.к. для
нечетномерного случая D = 2ν + 1 мы имеем равенство 2D = (2ν )2 + (2ν )2 , то, согласно формуле (4.6.27), мы имеем в этом случае 2 неэквивалентных представления
алгебры ClD одинаковой размерности 2ν , которые отличаются знаком у последней
образующей Γ2ν+1 (9.3.13).
Напомним, что в четном числе измерений D = 2ν все 2ν - мерные представления алгебры Клиффорда эквивалентны, т.к. аналог формулы (4.6.27) имеет вид
2D = (2ν )2 и, следовательно, имеется всего лишь одно неприводимое неэквивалентное
представление размерности 2ν . В частности эквивалентность представлений ρ(Γm ) и
±ρ(Γm )∗ обслуживается специальными (2ν × 2ν )- матрицами C, C ′ :
(
) ( ) (
) ( )
0 1 ⊗ 0 −i ⊗ 0 1 · · · = σ ⊗σ ⊗σ ⊗σ ⊗· · · , C 2 = 1 , (9.3.14) cl9
C = 0i −i
⊗
2
1
2
1
0
1 0
i 0
1 0
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
( ) (
) ( ) (
)
0 1 ⊗ 0 −i · · · = σ ⊗σ ⊗σ ⊗σ ⊗· · · ,
C ′ = 01 10 ⊗ 0i −i
⊗
1
2
1
2
0
1 0
i 0
которые, как легко проверить, удовлетворяют соотношениям
C ′ C = (−1)ν C C ′ = (−1)k (i)ν ΓD+1
422
(C ′ )2 = 1 , (9.3.15) cl10
(ν = 2k, 2k + 1) .
Матрицы C, C ′ связаны с гамма-матрицами (9.3.10), (9.3.11) следующим образом
{
(i)k σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ1 ⊗ . . . ⊗ σ2 = (i)k C ′ , ν = 2k;
Γ2 Γ4 · · · Γ2ν =
(i)k σ2 ⊗ σ1 ⊗ σ2 ⊗ . . . ⊗ σ2 = (i)k C , ν = 2k + 1;
{
(−i)k σ2 ⊗ σ1 ⊗ σ2 ⊗ . . . ⊗ σ1 = (−i)k C , ν = 2k;
Γ1 Γ3 · · · Γ2ν−1 =
(−i)k σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ1 ⊗ . . . ⊗ σ1 = (−i)k C ′ , ν = 2k + 1.
Утверждение 9.3.1 Для представления (9.3.10), (9.3.11), (9.3.14) алгебры Cl2ν мы
имеем следующие соотношения
− C Γm C = C ′ Γm C ′ = (−)m+1 Γm = Γ∗m = ΓTm ,
(9.3.16) cl11
C ΓD+1 C = C ′ ΓD+1 C ′ = (−1)ν ΓD+1 .
(9.3.17) cl12
Доказательство. Действительно, рассмотрим равенства (9.3.16) для случая матрицы C (для случая матрицы C ′ рассуждения аналогичны). При коммутировании
матрицы Γ2α−1 c C мы имеем два возможных случая. Когда фактор σ1 из Γ2α−1 попадает 1.) на фактор σ1 из C (в этом случае σ1 из Γ2α−1 при проносе через C знак не
меняет) и 2.) на фактор σ2 из C (в этом случае σ1 из Γ2α−1 при проносе через C знак
меняет). В первом случае число σ3 в Γ2α−1 нечетно, а во втором случае четно. T.o., в
обоих случаях мы имеем Γ2α−1 C = −C Γ2α−1 . Аналогично рассуждая, мы получаем
Γ2α C = C Γ2α , что и доказывает (9.3.16) в случае матрицы C. Соотношения (9.3.17)
очевидны.
Отметим, что если ρ′ (Γm ) – любое 2ν -мерное матричное представление алгебры
ClD , то и ρ′ (Γm )∗ , ρ′ (Γm )T , ρ′ (Γm )† (включая все перестановки матриц ρ′ (Γ1 ), . . . , ρ′ (ΓD+1 ))
также определяют матричные представления ClD , причем все эти представления эквивалентны. В частности для представления (9.3.10), (9.3.11) это следует из (9.3.16).
Определим элементы Γmn = 14 (Γm Γn − Γn Γm ). Элементы Γmn удовлетворяют коммутационным соотношениям для алгебры Ли группы SO(D) (в соотношениях (9.1.19)
необходимо заменить gmn → δmn )
[Γnm , Γkl ] = δmk Γnl − δln Γkm − δnk Γml + δlm Γkn .
(9.3.18) lilo6
Действительно, это соотношение следует из тождеств
[Γnm , Γk ] = δmk Γn − δnk Γm ,
Γn Γl = 2 Γnl + δnl ,
(9.3.19) cl33
которые легко проверяются с помощью (9.3.1).
Пусть X = xm Γm = X † , тогда X 2 = x2 I. Рассмотрим преобразования c помощью
унитарных матриц A:
X → X ′ = A X A−1 = A X A† X ′ = X ′
†
(9.3.20) prspin
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
423
такие, что если X = xm Γm , то X ′ снова представима в виде X ′ = x′ m Γm . В этом
случае мы имеем x2 = x′ 2 . Такие преобразования образуют группу, которая называется Spin(D) и очевидно дважды накрывает SO(D) (±A обслуживают одно и тоже
линейное преобразование координат xm , определяющих матрицу X).
Рассмотрим совокупность матриц вида
A = exp(ω mn Γmn ) ,
(9.3.21) prspin1
где ω mn = −ω mn – вещественные параметры. В силу эрмитовости Γ-матриц мы имеем
Γ†mn = −Γmn и следовательно A† = A−1 , т.е. A– унитарные матрицы. С другой стороны соотношения (9.3.19) гарантируют, что в результате преобразований (9.3.20) c
матрицами (9.3.21) будет выполняться свойство X ′ = x′ m Γm . Следовательно матрицы (9.3.21) принадлежат группе Spin(D). Т.к. алгебра (9.3.18) совпадает с алгеброй
(9.1.19) (для gmn = δmn ), то группа Spin(D) локально изоморфна группе SO(D).
Замечание. Имеется другой индуктивный способ построения представлений алгебры Клиффорда (9.3.1), который приводит к представлениям, отличающимся от
(9.3.10), (9.3.11). Этот способ заключается в том, что если задано 2ν -мерное представление алгебры Cl2ν с образующими {Γ1 , . . . , Γ2ν }, то образующие {Γ′1 , . . . , Γ′2ν+2 }
алгебры Cl2ν+2 могут быть реализованы в виде 2ν+1 -мерных матриц следующим образом
Γ′m = τ2 ⊗ Γm (m = 1, . . . , 2ν) ,
Γ′2ν+1 = τ2 ⊗ ΓD+1 , Γ′2ν+2 = τ1 ⊗ I2ν ,
(9.3.22) cldn
где I2ν – 2ν -мерная единичная матрица, а операторы τi образуют 2-мерную алгебру
Клиффорда
τi τj + τj τi = 2δij (i, j = 1, 2) ,
(например, τ1 = σ1 , τ2 = σ2 , где σ1,2 – матрицы Паули). Если в качестве представления
исходной алгебры Клиффорда для ν = 1 мы выберем эрмитово представление (9.3.7),
то в результате для всех ν мы получаем по индукции эрмитово представление (9.3.22)
(Γ′m )† = Γ′m . С точностью до перестановки образующих и умножения некоторых
из них на i (псевдо-евклидов случай) это представление (для ν = 1) эквивалентно
представлению 4-х мерной алгебры Клиффорда, приведенному в (9.2.37).
Алгебра Клиффорда Cl(D−1,1) . Спинорная группа Spin(D − 1, 1).
Перейдем к рассмотрению псевдоевклидовой метрики gmn = diag(+, −, . . . , −).
Для этого введем матрицы
γ0 = Γ1 , γk = iΓk+1 (k = 1, . . . , D − 1) ,
(9.3.23) Gaga
γm γn + γn γm = 2gmn (m, n = 0, . . . , D − 1) ,
(9.3.24) clg
∗
T
γm
= (−)m gmm γm = (−)m γ0 γm γ0 , γm
= (−)m γm ,
(9.3.25) 12
для которых имеем
†
= gmm γm = γ0 γm γ0 ,
γm
−C γm C = C ′ γm C ′ = (−)m γm ,
(m = 0, 1, . . . , D − 1) .
(9.3.26) 13
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
424
Т.о. из соотношений (9.3.25), (9.3.26) мы имеем равенства
T
γm
= −C γm C = C ′ γm C ′ ,
∗
γm
= −Bγm B −1 ,
B = Cγ0 .
(9.3.27) 13a
(9.3.28) 14
Из соотношения (9.3.28) и его комплексно сопряженного аналога легко вывести равенство γm = B ∗ Bγm (B ∗ B)−1 откуда следует, что
B ∗ B = BB ∗ = ϵ1 ,
(9.3.29) mc1
(т.к. представление γm неприводимо). Константа ϵ является вещественной и масштабным преобразованием матрицы B может быть приведена к ϵ = ±1. Отметим, что в
представлении (9.3.10), (9.3.11), (9.3.14) мы имеем
B = C Γ1 = (−i)σ3 ⊗ σ1 ⊗ σ2 ⊗ σ1 ⊗ . . . ,
B B ∗ = (−1)k+1 1 ⇒ ϵ = (−1)k+1 , (9.3.30) mc
где k определяется из соотношений ν = 2k − 1, 2k.
Группа Spin(D − 1, 1) определяется также как и группа Spin(D) (см. (9.3.21)) а
именно как множество матриц вида
1
A = exp( ω mn γmn ) ,
2
(9.3.31) prspin10
где ω mn = −ω mn – вещественные параметры, совпадающие с параметрами группы
Лоренца, а образующие Γmn алгебры Ли группы Spin(D − 1, 1) имеют вид
1
γmn = (γm γn − γn γm ) ,
4
и удовлетворяют соотношениям
[γnm , γkl ] = gmk γnl − gln γkm − gnk γml + glm γkn ,
(9.3.32) prspin11
(9.3.33) ggmn
которые следуют из тождеств
[γnm , γk ] = gmk γn − gnk γm , γn γl = 2 γnl + gnl .
(9.3.34) cl331
†
В силу свойств (9.3.26) эрмитова сопряжения γ-матриц мы имеем γmn
= −γ0 Γmn γ0 и
следовательно условие унитарности для матриц A (9.3.31) переписывается в виде
A† γ0 A = Aγ0 A† = γ0 ⇒ A−1 = γ0 A† γ0 .
(9.3.35) unit31
Т.е., 2D/2 × 2D/2 - мерные матрицы A принадлежат некомпактной унитарной группе
SU (2D/2−1 , 2D/2−1 ). Доказать! С другой стороны соотношения (9.3.34) гарантируют,
что в результате преобразований
X ′ → AXA−1 ,
(9.3.36) dmersp
c матрицами (9.3.31), где X = xm γm , будет выполняться свойство X ′ = x′ m γm , где
автоматически мы получим инвариантность x′ m gmn x′ n = xm gmn xn . Следовательно
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
425
матрицы (9.3.31) принадлежат группе, которая обозначается Spin(D−1, 1) и которая
(в силу преобразования (9.3.36)) дважды накрывает группу SO(D−1, 1). Т.к. алгебры
Ли (9.1.19) и (9.3.33) совпадают, то группы SO(D − 1, 1) и Spin(D − 1, 1) локально
изоморфны.
Пользуясь соотношением (9.3.35) мы определим дираковское сопряжение ψ для
многомерных спиноров. Инфинитезимальные преобразования спиноров ψ при лоренцевских вращениях, определяемых матрицами (9.3.31), (ωmn = −ωnm ∈ R) имеют
вид
1
δψ = ω mn γmn ψ , γmn = (γm γn − γn γm )/4 ,
(9.3.37) 20
2
†
γmn
= −γ0 γmn γ0 ,
(9.3.38) 20a
что соответствует преобразованиям γ-матриц
δγk = −[ω mn γmn , γk ] = ωk m γm .
(9.3.39) 20b
Ком. соотношения для генераторов γmn (9.3.37) были вычислены в (9.3.33) (ср. с
формулой (9.3.18)). Из (9.3.37) следует, что сопряженный по Дираку спинор ψ = ψ † γ0
преобразуется в виде
(9.3.40) 21
δψ = ψ(−ω mn Lmn )
и соответственно величины типа ψ(γm . . .)ψ преобразуются как тензоры, а преобразования ψ → exp(ω mn Lmn )ψ являются унитарным по отношению к скалярному
произведению ψ 1 ψ2 = ψ1† γ0 ψ2 , что следует из (9.3.35) и (9.3.38).
9.4
Уравнение Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские спиноры в многомерии. Ковариантность уравнения Дирака.
Если спинорное поле ψ(x) удовлетворяет уравнению Дирака (M –масса частицы)
((i∂m − eAm )γ m − M ) ψ = 0 ,
(9.4.1) 15
(согласованному с выбором метрики gmn = (+, −, . . . , −)) то спинорное поле
ψC = B −1 ψ ∗
(9.4.2) positr
(эта формула, как нетрудно увидеть, эквивалентна (9.2.46) c точностью до замены
B → −B; полная эквивалентность достигается при замене спиноров ψ → iψ) соответствует античастице и подчиняется уравнению Дирака (9.4.1), в котором e заменено на
−e. Действительно, после комплексного сопряжения уравнения (9.4.1) и умножения
его слева на B −1 , с учетом (9.3.28), мы получаем
B −1 ((−i∂m − eAm )γ ∗ m − M ) ψ ∗ = ((i∂m + eAm )γ m − M ) B −1 ψ ∗ = 0 .
(9.4.3) 15C
Спинор ψC называется зарядово-сопряженным спинором, а матрица C- матрицей зарядового сопряжения (т.к. с ее помощью определяется зарядово-сопряженный спинор ψC = −C ψ̄ T , ср. с (9.4.2)). Уравнение (9.4.1), описывающее частицу со спином,
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
426
было открыто П.Дираком. Он же заметил, что если у нас есть решение (9.4.1), описывающий частицу с зарядом e, то с помощью преобразования (9.4.2) доказывается
существование нетривиального решения уравнения (9.4.3), описывающего античастицу с зарядом −e. На основании этого наблюдения Дирак предположил, что у
каждой спиновой частицы должен быть партнер, соответствующий античастице с
противоположным зарядом. Например для электрона должна обязательно существовать античастица – позитрон. Вскоре эта, предсказанная им теоретически, частица
была найдена экспериментально.
По определению майорановский спинор (мы ввели эти спиноры при D = 4 выше
в (9.2.47)) описывает частицы совпадающие со своими античастицами ψ = ψC , т.е.
ψ = B −1 ψ ∗ ,
(9.4.4) major
(при этом из (9.4.1) и (9.4.3) следует e = 0). Из уравнения (9.4.4)) и его комплексно
сопряженного аналога легко выводится соотношение ψ = BB ∗ ψ = ϵψ, которое означает, что для существования майорановских спиноров необходимо иметь BB ∗ = +1,
или ϵ = +1. Вычислим ϵ для матрицы B (9.3.28). Имеем
γ0∗ = γ0 = γ0T ,
Cγ0 = −γ0 C ,
C ∗ = (−)k C = C T (ν = 2k − 1, 2k) ,
(9.4.5) 16
откуда сразу следует, что BB ∗ = (−)k Cγ0 Cγ0 = (−)k+1 = ϵ (сравните с (9.3.30)). Т.о.
ϵ = +1 если k нечетно k = 2l + 1 (l = 0, 1, . . .) и соответственно D = 2ν = 2 + 8l, 4 + 8l.
Во всех остальных четномерных случаях (D = 0, 6 mod(8)) имеем ϵ = −1.
Заметим, что параметр ϵ можно записать в виде
(π
)
√
ϵ = − 2 cos
(D + 1) .
4
Замечание 1. Имеют место равенства
B T = ϵB ,
BB † = 1 .
(9.4.6) BB
Действительно, пользуясь (9.3.25), (9.3.26), (9.3.27), (9.3.30) и (9.4.5), мы получаем
T
T
(C γm1 · · · γmp )T = γm
· · · γm
C T = (−)k+p C γmp · · · γm1 =
p
1
= ϵ (−)p−1 (−)
(p−1)p
2
C γm1 · · · γmp = ϵ (−)
(p−1)(p−2)
2
C γm1 · · · γmp ,
(9.4.7) CG
где m1 < m2 < .... < mp . В частности мы имеем (Cγm )T = ϵCγm , откуда с учетом
определения матрицы B (9.3.28) мы получаем первое равенство из (9.4.6)
B T = (C γ0 )T = ϵ C γ0 = ϵ B .
Пользуясь этим равенством и (9.3.29) мы легко выводим второе равенство из (9.4.6).
Замечание 2. При преобразовании подобия для образующих алгебры Клиф′
= U γm U −1 матрица B, согласно (9.3.28), преобразуется по правилу B ′ =
форда γm
∗
−1
U BU . Условие приведения матрицы B к единице U ∗ B = U (чисто мнимое представление для γm и вещественность майорановских спиноров ψ ∗ = Bψ = ψ, см.
(9.4.4)) самосогласовано лишь в случае, когда ϵ = +1. Очевидно, что матрица U
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
427
определена с точностью до домножения слева на произвольную невырожденную
вещественную матрицу R: U → RU . Разлагая матрицу B на мнимую и действительную части B = B1 + iB2 , где B1,2 вещественны и симметричны (ϵ = +1), из
условия унитарности (9.4.6) получаем [B1 , B2 ] = 0. Т.о. B1,2 могут быть одновременно диагонализованы ортогональным преобразованием O и соответственно получить
B = diag(eiβ1 , eiβ2 , . . .). Выбирая затем U ′ = diag(eiβ1 /2 , eiβ2 /2 , . . .) мы приводим B к
единичному виду с помощью матрицы U = U ′ O.
Найдем явный вид преобразования U . Для этого заметим, что матрица B в размерностях d = 2, 4 mod(8) имеет явный вид
(
) (
)
(
)
−i 0
0 1
0 1
′
B=
⊗
⊗B ⊗
⊗ B′ ⊗ · · · ,
(9.4.8) 17
0 i
1 0
1 0
где блоки B ′ равны
(
) (
) (
)
0 −1
0 1
0 1
′
B =
⊗
⊗
, B ′ (B ′ )∗ = 1 .
(9.4.9) 18
1 0
1 0
−1 0
(
)
(
)
−i 0
0 1
Для матриц B1 =
и B2 =
существуют соответствующие матри0 i
1 0
цы U1,2 , которые приводят их к единичному виду:
( iπ/4
)
(
)
e
0
a a∗
U1 = R ·
, U2 =
, a, d ∈ C .
d∗ d
0
e−iπ/4
Т.о. для приведения к единичному виду матрицы B ′ необходимо найти матрицу U3 ,
соответствующую матрице


0
0
0
−1
(
) (
)
 0 0 1 0 
0 −1
0 1

B3 =
⊗
=
 0 1 0 0  .
1 0
−1 0
−1 0 0 0
Эта матрица имеет блочный вид
(
)
(
)
(
)
A B
0 −1
0 −1
∗
∗
U3 =
, B=A
, D=C
,
C D
1 0
1 0
Интересно получить, используя явный вид для матрицы U , явные чисто мнимые
представления для матриц γm (в силу уравнения (9.3.28) для B = 1).
Теперь мы более подробно обсудим свойства спиноров в четномерных пространствах.
Определим майорановское сопряжение ψ (M ) ≡ ψ T C. Легко проверить, что при лоренцевых поворотах спинор ψ (M ) преобразуется также как и ψ (9.3.40). Если спинор ψ
удовлетворяет условию майорановости (9.4.4), то дираковское сопряжение переходит
в майорановское сопряжение:
ψ = ψ † γ0 = ψ T B T γ0 = −ψ T γ0 Cγ0 = ψ T C
(9.4.10) mct
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
428
Другими словами условие майорановости можно представить в виде ψ = ψ (M ) .
Аналогично (9.3.12) определим
γD+1 = (i)ν+1 γ0 · · · γD−1 = σ3 ⊗ σ3 ⊗ · · · ⊗ σ3 ,
2
γD+1
=1,
∗
γD+1
= (−)ν+1 BγD+1 B −1 ,
(9.4.11) G5
γD+1 γm + γm γD+1 = 0 .
С помощью матрицы γD+1 определяются вейлевские спиноры
(γD+1 + 1)ψ = 0
(γD+1 − 1)ψ = 0 .
(9.4.12) weyl
Для майорановских спиноров (9.4.4) из этих условий следует
∗
0 = (γD+1
± 1)ψ ∗ = ((−)ν+1 BγD+1 B −1 ± 1)ψ ∗ = B((−)ν+1 γD+1 ± 1)ψ
Т.о., при ψ ̸= 0, условия (9.4.12) совместны с условием майорановости (9.4.4) только
для случая нечетных ν или (D = 2 mod(4)). Так как майорановские спиноры существуют только при (D = 2, 4 mod(8)), мы заключаем, что ненулевые майорано- вейлевские спиноры могут быть определены только для D = 2, 10, 18, 26, . . . = 2 mod(8).
Добавление 1. Ковариантность уравнения Дирака.
A. Прежде всего уравнение Дирака (9.4.1) должно быть ковариантно по отношению
к преобразованиям группы Лоренца (Пуанкаре). Пусть координаты пространства
Минковского преобразуются по правилам (9.1.16) xn → x̃n = xm (Λ−1 )mn . Тогда преобразованное уравнение Дирака, в силу его ковариантности, должно иметь вид
(
)
γ m (i∂˜m − eÃm (x̃)) − M ψ̃(x̃) = 0 ,
(9.4.13) 15L
(γ-матрицы не преобразуются). Преобразования полей должны быть такими, чтобы это уравнение было эквивалентно (9.4.1). Форма коммутационных соотношений
n
[∂˜m , x̃n ] = δm
диктует преобразование ∂˜m = Λmn ∂n . Т.к. производная ∇m = (i∂˜m −
eÃm (x̃)) должна трансформироваться ковариантно, то мы имеем
(i∂˜m − eÃm (x̃)) = Λmn (i∂n − e An (x))
(9.4.14) dop3a
и соответствующее преобразование калибровочного поля Am имеет вид
Ãm (x̃) = Λmn An (x) .
(9.4.15) dop3
(γ m Λmn (i∂n − e An (x)) − M ) ψ̃(x̃) = 0 ,
(9.4.16) 15Lb
Подставим (9.4.14) в (9.4.13)
и пусть существует оператор S такой, что
Sγ n S −1 = γ m Λmn ,
(9.4.17) dop4s
т.е. (9.4.16) переписывается в виде
S (γ n (i∂n − e An (x)) − M ) S −1 ψ̃(x̃) = 0 .
(9.4.18) 15La
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
429
Инфинитезимальная форма соотношения (9.4.17) для S = 1 + T + . . . эквивалентна
условию
[T, γ n ] = γ m ωmn = γm ω mn = −ω nm γm
Произвол в определении T фиксируется равенством [γ n , T − T ′ ] = 0 и, т.к. представление γ n неприводимо, то T − T ′ = const · I, т.е. T определяется с точностью
до прибавления матрицы, которая пропорциональна единичной матрице. Фиксируем
этот произвол требованием Tr(T ) = 0 (det(S) = 1). Тогда из (9.3.39), т.к. Tr(γmn ) = 0,
следует, что T = 21 ω mn γmn и S = exp( 12 ω mn γmn ) ∈ Spin(D − 1, 1) (см. (9.3.31)), а соотношение (9.4.17) переписывается в виде
1
1
γ m Λmn = exp( ω mn γmn )γ n exp(− ω mn γmn ) .
2
2
(9.4.19) dop4
Теперь, учитывая (9.4.19), для ковариантности уравнения (9.4.13) мы должны потребовать следующее правило преобразования спинорных полей
1
exp(− ω mn γmn )ψ̃(x̃) = ψ(x) .
2
(9.4.20) dop5
Формулу (9.4.20) можно переписать в виде (см. (9.1.16), (9.2.39))
ψ̃(x) = exp( 12 ω mn γmn )ψ(xm Λmn ) = (1 + 12 ω mn γmn + ...)ψ(xn + xm ωmn + ...) =
= (1 + 12 ω mn γmn + xm ωmn ∂n + ...)ψ(x) = (1 + 21 ω mn γmn + 21 ω mn Mmn + . . .)ψ(x) .
(9.4.21) dop6
Т.о., полными генераторами преобразования Лоренца на спинорных полях являются
операторы
1
(tot)
Mmn
= Mmn + γmn = (xm ∂n − xn ∂m ) + (γm γn − γn γm )
4
(9.4.22) Mtot
Вспоминая определяющие соотношения для Mmn (9.1.19) и γmn (9.3.33) и очевидные
(tot)
условия [Mmn , γkl ] = 0, мы получаем, что полный угловой момент Mmn удовлетворяет тем же коммутационным правилам (9.1.19).
Резюмируя все вышесказанное, можно утверждать, что уравнение Дирака (9.4.1)
ковариантно относительно преобразований (9.1.16), (9.4.15) и (9.4.20) при условии
выполнения тождеств (9.4.17).
B. Уравнение Дирака (9.4.1) обладает еще одной, чрезвычайно важной, симметрией.
А именно, оно ковариантно относительно преобразований полей (координаты точки
x пространства Минковского не преобразуются)
ψ(x) → ψ̃(x) = exp(i e α(x)) ψ(x) ,
Am (x) → Ãm = Am (x) − ∂m α(x) ,
(9.4.23) gauge1
где α(x) – скалярные вещественные функции на пространстве Минковского. Эти
преобразования симметрии уравнения Дирака называется калибровочными преобразованиями, а функции α(x) – параметрами калибровочного преобразования. Заметим, что преобразования (9.4.23), в каждой точке xm , образуют абелеву группу U (1).
Поэтому векторные поля Am еще называются абелевыми калибровочными полями, а
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
430
сами преобразования – абелевыми калибровочными преобразованиями. Калибровочные преобразования – локальны, т.к. параметры преобразований α(x) зависят от точки пространства-времени. Отметим, что преобразование вектора электро-магнитного
поля Am (9.4.23) (абелева калибровочного поля) можно записать в виде преобразования ковариантной производной ∇m = i∂m − e Am (x):
∇m → (i∂m − e Ãm (x)) = ei e α(x) (i∂m − e Am (x))e−i e α(x) ,
(9.4.24) gauge2
после чего калибровочная инвариантность тензора напряженности электро- магнитного поля Fmn = [∇m , ∇n ] становится очевидной. Запись калибровочного преобразования в виде преобразования ковариантной производной (9.4.24) удобна тем, что
позволяет сформулировать неабелево обобщение калибровочных преобразований
e m = U (x) ∇m U −1 (x) ,
∇m → ∇
(9.4.25) gauge3
где ∇m = (i∂m − e Aam (x)Ta ), Ta – образующие неабелевой группы Ли G, а U (x) ∈ G.
Добавление 2. Тождества Фирца.
Вычислим след Tr от произвольного произведения γ-матриц, удовлетворяющих алгебре Cl(p,q) с произвольной метрикой gmn (9.3.24). Прежде всего след от произведения
нечетного числа γ-матриц равен нулю. Действительно, пусть mi ̸= D + 1 (∀i):
Tr(γm1 · · · γm2k+1 ) = Tr(γD+1 γD+1 γm1 · · · γm2k+1 ) = Tr(γD+1 γm1 · · · γm2k+1 γD+1 ) =
= −Tr(γD+1 γD+1 γm1 · · · γm2k+1 ) = −Tr(γm1 · · · γm2k+1 ) = 0 .
Здесь мы воспользовались циклическим свойством следа, а затем последней формулой в (9.4.11). Кроме того мы имеем Tr(γD+1 ) = 0, т.к. для четного D = 2ν справедливо
Tr(γD+1 ) = Tr(γ0 γ1 · · · γD−1 ) = Tr(γ1 · · · γD−1 γ0 ) = −Tr(γ0 γ1 · · · γD−1 ) = 0 .
Если мы определим γD+1 так, что gD+1,D+1 = 1, то соотношения (9.3.24) применимы
для всех матриц γ0 , . . . , γD−1 , γD+1 и этот набор матриц очевидно определяет представление алгебры Клиффорда в D + 1 = 2ν + 1 измерениях. Теперь легко (см.
(9.2.27)) вычислить следы от любого произведения четного числа гамма-матриц γm
(m = 0, 1, . . . , D − 1, D + 1)
Tr(γm γn ) = 2ν gmn ,
Tr(γm γn γk γl ) = 2ν (gmn gkl − gmk gnl + gml gnk ) ,
или
Tr(γ1 γ2 γ3 γ4 γ5 γ6 ) = 2ν [(g12 g34 − g13 g24 + g14 g23 )g56 − . . .]
где индексы 1, 2, 3, . . . обозначают m1 , m2 , m3 , . . ., т.е. γ3 := γm3 , g34 := gm3 m4 и т.д.
Рассмотрим набор из 2D матриц (9.3.3) с учетом замены матриц по правилу
(9.3.23). Этот набор образует полную систему матриц в линейном пространстве (2ν ×
2ν ) матриц. Введем набор матриц ΓA с верхним индексом
ΓA = {I, γ m1 , γ m2 γ m1 , γ m3 γ m2 γ m1 , γ m4 γ m3 γ m2 γ m1 , . . .}
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
431
(0 ≤ m1 < m2 < m3 < . . . ≤ D − 1) нормированный таким образом, что
1
Tr(ΓB ΓA ) = δAB ,
ν
2
n1 n2
nk
где δABkk = δm
δ · · · δm
для мономов одинаковой степени k:
1 m2
k
ΓB k = (γ nk γ nk−1 . . . γ n1 ) ,
ΓAk = (γm1 γm2 . . . γmk )
(9.4.26) ggA
и δABlk = 0 в случае мономов разной степени k ̸= l. Теперь для любой (2ν ×2ν ) матрицы
Γ мы имеем
∑
1
1 ∑
Γ=
C A ΓA , C A = ν Tr(ΓA Γ) ⇒ Γ = ν
Tr(ΓA Γ)ΓA ,
2
2
A
A
и т.к. матрица Γ произвольна, то мы получаем условие полноты
δkj δil =
1 ∑ A
1 ∑ A
(Γ
(Γ )1 (ΓA )2 ,
)
(Γ
)
⇒
P
=
kl
A ij
12
2ν A
2ν A
(9.4.27) ident10
где P12 – матрица перестановки (P12 )kl,ij = δkj δil, а индексы 1, 2 – номера векторных
пространств, в которых действуют соответствующие матрицы. Из условия (9.4.27)
следуют тождества
(γ m )kj (γm )il =
=
1 ∑ m A
(γ Γ )kl (γm ΓA )ij =
2ν A
1 ∑ A
1 ∑ m A
m
(Γ
)
(γ
Γ
γ
)
=
(γ Γ γm )kl (ΓA )ij ,
kl
m
A
ij
2ν A
2ν A
(9.4.28) ident12
представляющие собой перезапись, с учетом (9.4.27), очевидных равенств
(γ m )1 (γm )2 P12 = (γm )2 P12 (γ m )2 = (γ m )1 P12 (γm )1 .
(9.4.29) ident11
Сворачивая тождества (9.4.27), (9.4.28) со спинорами, мы получаем D-мерные тождества Фирца
(−1)g ∑
(9.4.30) fi1
(Ψ1 Ψ2 )(Ψ3 Ψ4 ) =
(Ψ1 ΓA Ψ4 )(Ψ3 ΓA Ψ2 ) ,
2ν
A
(Ψ1 γ m Ψ2 )(Ψ3 γm Ψ4 ) =
=
(−1)g ∑
(Ψ1 γ m ΓA Ψ4 )(Ψ3 γm ΓA Ψ2 ) =
2ν
A
(9.4.31) fi2
(−1)g ∑
(−1)g ∑
A
m
(Ψ
Γ
Ψ
)(Ψ
γ
Γ
γ
Ψ
)
=
(Ψ1 γ m ΓA γm Ψ4 )(Ψ3 ΓA Ψ2 ) ,
1
4
3 m A
2
ν
2ν
2
A
A
где g = 0 для коммутирующих и g = 1 для антикоммутирующих спиноров.
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
432
Предложение 9.4.1 Имеет место тождество
D−1
∑
γm ΓAk γ m = (−1)k (D − 2k) ΓAk ,
(9.4.32) pred??
m=0
где выражения ΓAk определены в (9.4.26).
Доказательство. Действительно мы имеем (0 ≤ m1 < m2 < m3 < . . . ≤ D − 1)
D−1
∑
γm ΓAk γ m =
m=0
∑
∑
γm (γm1 γm2 . . . γmk )γ m +
m=m1 ,...,mk
m̸=m1 ,...,mk
= (−1) (D − k) ΓAk + γm1 (γm1 γm2 . . . γmk )γ
k
γm (γm1 γm2 . . . γmk )γ m =
m1
+ . . . + γmk (γm1 γm2 . . . γmk )γ mk =
(во всех слагаемых пронесем γ mn справа на лево до γmn и затем воспользуемся тождеством γmn γ mn = 1)
= (−1)k (D − k) ΓAk + (−1)k−1 γm1 . . . γmk + (−1)k−2 γm2 (γm1 γm3 . . . γmk ) + . . . +
+(−1) γmk−1 (γm1 γm2 . . . γmk−2 γmk ) + γmk (γm1 γm2 . . . γmk−1 ) =
= (−1)k (D − k) ΓAk + k (−1)k−1 γm1 . . . γmk .
Q.E.D.
Используя соотношение (9.4.32), мы можем переписать (9.4.28) в виде
D
∑
1 ∑
(−1)k (D − 2k)
(ΓAk )kl (ΓAk )ij ,
(γ )kj (γm )il = ν
2 k=0
A
m
(9.4.33) ident14
k
и таким образом упростить тождества Фирца (9.4.31). Дальнейшее упрощение этих
тождеств достигается при рассмотрении различных случаев конкретных типов спиноров.
1. Случай вейлевских спиноров. Пусть спиноры ΨK в (9.4.30), (9.4.31) (K =
1, . . . , 4) являются вейлевскими, т.е. удовлетворяют одному из соотношений (9.4.12).
В этом случае ΨK (1 ± γD+1 ) = 0, если (1 ∓ γD+1 )ΨK = 0 (∀K), и, следовательно, для
всех четных p мы имеем
ΨK γm1 γm2 . . . γmp ΨK ′ = 0 (∀p = 2n) ,
где mi = 0, . . . , D − 1.
2. Случай майорановских спиноров. В этом случае ϵ = +1, и пользуясь соотношениями (9.4.7), (9.4.10), мы имеем
ΨK γ(m1 ,...,mp ) ΨK ′ = ΨTK C γ(m1 ,...,mp ) ΨK ′ =
(9.4.34) slmajo
= (−1) ΨTK ′ (C γ(m1 ,...,mp ) )T ΨK = (−1)g+
g
(p−1)(p−2)
2
ΨK ′ γ(m1 ,...,mp ) ΨK
где m1 < m2 < . . . < mp и g = 0 или g = 1 в зависимости от того являются ли
спиноры коммутирующими или антикоммутирующими. Соотношение (9.4.34) удобно
переписать в виде двух тождеств
ΨK γ(m1 ,...,mp ) ΨK ′ = (−1)g ΨK ′ γ(m1 ,...,mp ) ΨK (p = 4k + 1, 4k + 2) ,
ΨK γ(m1 ,...,mp ) ΨK ′ = (−1)g+1 ΨK ′ γ(m1 ,...,mp ) ΨK (p = 4k, 4k + 3) .
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
9.5
433
Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы
Пуанкаре. Представления группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Индуцированные представления. Массивные
и безмассовые представления группы Пуанкаре.
Вектор Паули-Любанскогои и операторы Казимира группы Пуанкаре.
В этой лекции мы следуем изложению, представленному в книгах [25], [24], [26].
Напомним, что алгебра Пуанкаре P задается генераторами P m , M mn , (m, n = 0, ..., 3),
c определяющими соотношениями (9.1.19), (9.1.18). Определим генераторы P̂ m , M̂ mn :
P̂m = −iPm ,
M̂mn = −i Mmn ,
†
так, чтобы они были эрмитовыми операторами P̂m = P̂m† , M̂mn = M̂mn
. При этом
определяющие соотношения (9.1.19), (9.1.18) перепишутся в виде
[P̂n , P̂m ] = 0 ,
[P̂n , M̂km ] = i (gmn P̂k − gkn P̂m ) ,
[M̂nm , M̂kl ] = i(g nk M̂ ml − g mk M̂ nl + g ml M̂ nk − g nl M̂ mk ) ,
(9.5.1) genP2
(9.5.2) genP3
Эта алгебра имеет два оператора Казимира P 2 , W 2 , которые коммутируют со всеми
образующими P̂ m , M̂ mn и, т.о., определяют центр в обертывающей алгебре P:
P 2 = P̂m P̂ m ,
1
W 2 = Wm W m = (M̂ nk M̂nk )(P 2 ) − (M̂ nk P̂k )(M̂nr P̂ r ) ,
2
(9.5.3) centP
где Wm – компоненты вектора Паули-Любанского (9.2.55)
1
Wm = Emnkr M̂ nk P̂ r .
2
(9.5.4) genPPL
Используя (9.5.1), (9.5.2) и (9.5.4), можно вывести соотношения
Wm P̂ m = 0 , [Wm , P̂n ] = 0 ,
(9.5.5) genP4
[M̂mn , Wk ] = i(gmk Wn − gnk Wm ) ,
(9.5.6) genP5
[Wm , Wn ] = i Emnkr W k P̂ r ,
(9.5.7) genP6
с помощью которых легко доказывается центральность оператора W 2 (центральность P̂ 2 очевидна). Соотношения (9.5.5) очевидны. Соотношение (9.5.6) по форме
совпадает с соотношением для [M̂mn , P̂k ] (9.5.1), что естественно, т.к. и P̂k и Wk –
векторы и действие на них образующих M̂mn группы Лоренца должно совпадать
1
1
δω P̂k = [ω mn M̂mn , P̂k ] = iωk n P̂n ⇔ δω Wk = [ω mn M̂mn , Wk ] = iωk n Wn .
2
2
Прямое доказательство (9.5.6) требует некоторых усилий:
[M̂ mn ,
(
)
1
1
Ekhpr M̂ hp P̂ r ] = Ekhpr [M̂ mn , M̂ hp ]P̂ r + M̂ hp [M̂ mn , P̂ r ] =
2
2
(9.5.8) genP7
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
434
)
(
i
mh
np
nh
mp
np
mh
mp
nh
r
hp mr n
nr m
= Ekhpr (g M̂ − g M̂ + g M̂ − g M̂ )P̂ + M̂ (g P̂ − g P̂ ) ,
2
т.е. мы имеем
)
i(
p
p
r
hp
[M̂mn , Wk ] =
(2Ekmpr M̂n + 2Ekpnr M̂m )P̂ + M̂ (Ekhpm P̂n − Ekhpn P̂m ) . (9.5.9) ME
2
Теперь свернем равенство (9.5.9) с произвольными параметрами ω mn = −ω nm :
)
i(
mn
m
m
np r
m
rp
n
ω [M̂mn , Wk ] =
2(ω n Ekmpr + ω p Eknmr )M̂ P̂ + 2ω n M̂ Ekrpm P̂ =
2
и учтем в правой части свойство инвариантности тензора Eknpr относительно преобразований Лоренца: δ(Eknpr ) = ω mn Ekmpr + ω mp Eknmr + ω mr Eknpm + ω mk Emnpr = 0
)
i(
m
m
np r
m
rp
n
=
−2(ω r Eknpm + ω k Emnpr )M̂ P̂ + 2ω n M̂ Ekrpm P̂ = −iω mk Emnpr M̂ np P̂ r =
2
= −iω mn gnk Emqpr M̂ qp P̂ r = iω mn (gmk Wn − gnk Wm ) ,
что и доказывает (9.5.6). Соотношение (9.5.7) и центральность W 2 теперь легко доказывается с помощью второго соотношения (9.5.5) и (9.5.6).
Представления группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Индуцированные представления.
В квантовой теории поля образующие P̂k идентифицируются с операторами энергииимпульса, а образующие M̂nm – с операторами полного углового момента. Т.о. оператор Казимира P̂ 2 (9.5.3) совпадает с оператором квадрата массы. Мы будем характеризовать неприводимые представления алгебры Ли группы Пуанкаре так, что
все состояния (вектора) в этом представлении будут являться собственными векторами оператора P̂ 2 c некоторым фиксированным собств. значением m2 ≥ 0. Вектора
(поля) |Ψ⟩ с разными значениями m2 будут принадлежать разным неприводимым
представлениям (ядро оператора (P̂ 2 − m2 I) – очевидно неприводимо). С физической точки зрения естественно ограничиться рассмотрением только представлений с
положительной энергией ⟨Ψ|P̂0 |Ψ⟩ > 0 для любого ненулевого состояния |Ψ⟩.
Второй оператор Казимира W 2 описывает спин состояний, соответствующих векторам неприводимого представления алгебры Ли группы Пуанкаре. Для того, чтобы
прояснить это утверждение мы рассмотрим важное понятие подгруппы стабильности
группы Пуанкаре (или малой группы Вигнера).
Действие элемента g ≡ g(ak , ω mn ) из собственной группы Пуанкаре на вектор |Ψ⟩
можно определить с помощью экспоненциального отображения
)
(
1 mn
k
(9.5.10) unop
U (g) |Ψ⟩ = exp −i(a P̂k + ω M̂mn ) |Ψ⟩ ,
2
где параметры ak определяют сдвиг координат xk → xk + ak , а параметры ω mn –
лоренцевские вращения координат xk → Λkn xn = (exp ω)kn xn и соответственно операторов импульса (см. (9.5.8))
P̂k → U (g) P̂k U (g)−1 = P̂n (Λ−1 )nk = P̂n (exp(−ω))nk .
(9.5.11) LaOm
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
435
В пространстве неприводимого представления группы Пуанкаре с заданной массой
m и фиксированным собственным значением W 2 рассмотрим подпространство состояний |q⟩ ∈ Vq с определенным 4-х импульсом qk
P̂k |q⟩ = qk |q⟩ ,
(9.5.12) genP8
таким, что
qk q k = m 2
q0 > 0 .
(9.5.13) genP8a
Определим подгруппу Hq в группе Пуанкаре P как набор элементов g ∈ P таких, что
действие g на 4-вектор c координатами qk оставляет этот вектор неизменным (стабильным). Другими словами подгруппа Hq это набор таких преобразований g ∈ P,
что соответствующие операторы U (g) оставляют подпространство Vq инвариантным.
Подгруппу Hq мы будем называть подгруппой стабильности для Vq .
Рассмотрим условие стабильности более детально. В соответствии с (9.5.11) и
(9.5.12) мы получаем, что
P̂n (Λ−1 )nk U (g) |q⟩ = U (g)P̂k U (g)−1 U (g) |q⟩ = qk U (g) |q⟩ ,
т.е. |q ′ ⟩ = U (g) |q⟩, где
qk′ = qn Λnk = qn (exp(ω))nk .
(9.5.14) genP9a
Требование стабильности qk′ = qk приводит к условию qn ω nk = 0, общее решение
которого может быть записано в виде
ωmn = Emnkr q k nr
где nr – координаты произвольного вектора. Т.о. элементы подгруппы стабильности
Hq могут быть записаны в виде
(
)
1
k
k r
mn
U (gq ) = exp −i(a P̂k + Emnkr q n M̂ )
(∀gq ∈ Hq ) .
(9.5.15) genP9
2
Т.к. операторы P̂k и Wr коммутируют друг с другом, то действие элементов U (gq ) на
вектора |q⟩ пространства Vq эквивалентны действию
(
)
1
k
k r
mn
exp −i(a P̂k + Emnkr q n M̂ ) |q⟩ = exp(−i α) exp(−inr Wr ) |q⟩ ,
(9.5.16) genP99
2
где α = ak q k и мы воспользовались равенствами
X s |q⟩ = X s−1 (α + nr Wr )|q⟩ = X s−2 (ak + 21 Emnkr nr M̂ mn )(α + nr Wr )P̂ k |q⟩ =
= X s−2 (α + nr Wr )2 |q⟩ = . . . = (α + nr Wr )s |q⟩ ,
X ≡ (ak P̂k + 21 Emnkr q k nr M̂ mn ) .
Т.е. операторы (9.5.15), при ограничении их действия на Vq , выражаются через вектора Паули-Любанского
exp(−i α) exp(−inr Wr ) .
(9.5.17) genP10
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
436
Вспоминая коммутационные соотношения (9.5.7), мы заключаем, что координаты
вектора Паули- Любанского образуют алгебру Ли при ограничении на пространство Vq , причем эта алгебра Ли (и соответствующая группа Ли Gm ) зависит от того рассматриваем мы массивный случай qk q k = m2 > 0 или безмассовый случай
qk q k = m2 = 0 (ниже мы рассматриваем эти случаи более детально). Фазовый множитель exp(−i α) соответствует группе U (1), т.е. Hq = Gm ⊗ U (1).
Все вектора из Vq описывают состояния частиц с одним и тем же 4-импульсом q и
одинаковым полным спином (собственным значением W 2 ). Следовательно, с физической точки зрения, два любых линейно независимых состояния |1⟩, |2⟩ ∈ Vq должны
соответствовать различной поляризации спина (различной проекции спина) и должны переводиться друг в друга с помощью преобразований из Hq (представление Hq
на Vq неприводимо). Более того для конечного квантового спина, спектр его поляризаций (проекций) конечен. Т.о., для физически мотивированных неприводимых
представлений группы Пуанкаре действие подгруппы Hq на Vq неприводимо, а все
подпространства Vq – конечномерны.
Все множество элементов группы Пуанкаре P (многообразие группы P) расслаивается на множество правых (левых) смежных классов по отношению к подгруппе
Hq . Пространство всех таких смежных классов называется однородным пространством и обозначается P/Hq . Ясно, что точки P/Hq могут быть запараметризованы
преобразованиями Лоренца Λ[p], переводящими 4-импульс q в 4-импульс p, лежащий
на той же массовой поверхности (9.5.12). Согласно (9.5.14) мы имеем
pk = qn (Λ[p])nk .
Соответствующий унитарный оператор U (Λ[p], 0) (9.5.10) (здесь 0 соответствует тривиальному сдвигу) переводит пространство Vq в пространство Vp . В массивном случае
выберем тестовый импульс q в виде q n = (m, 0, 0, 0), тогда удобный кандидат на роль
Λ[p] имеет вид
 0

p /m
pj /m




Λ[p] =  i
 ,
i pj
p
 p /m δ ij +

0
m(m+p )
(p0 , p1 , p2 , p3 ) = (m, 0, 0, 0) Λ[p]T , Λ[p]T gΛ[p] = g ,
√
где i, j = 1, 2, 3, p = (p0 , p⃗), p0 = m2 + p⃗2 . В безмассовом случае мы выберем тестовый импульс в виде q n = (E, 0, 0, E) и соответствующее семейство преобразований
Лоренца Λ[p] может быть выбрано в виде

 p0
p0
(1
+
α)
0
0
(1
−
α)
2E
2E




′
Λ [p] =  i
 ,
i
 p (1 − α) ni (p) mi (p) p (1 + α) 
2E
2E
(p0 , p1 , p2 , p3 ) = (E, 0, 0, E) Λ′ [p]T ,
(Λ′ [p])T gΛ′ [p] = g ,
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
437
√
где p0 = p⃗2 , α = E 2 /⃗p2 и 3-вектора ni , mi – такие, что набор {⃗n, m,
⃗ p⃗/p0 } образует
ортонормальный базис в 3-х мерном пространстве.
Теперь мы кратко изложим схему построения унитарных неприводимых представлений группы Пуанкаре.
1) Зафиксируем тестовый импульс q m , лежащий на массовой поверхности (9.5.13).
При этом мы имеем все конечномерные унитарные представления Tq подгруппы
Hq ⊂ P, которая действует на пространство Vq и состоит из элементов вида (9.5.15),
(9.5.17). Рассмотрим вектора |q, σ, m2 ⟩ такие, что
P̂ n |q, σ, m2 ⟩ = q n |q, σ, m2 ⟩ , P 2 |q, σ, m2 ⟩ = m2 |q, σ, m2 ⟩ ,
W 2 |q, σ, m2 ⟩ = s(s + 1) |q, σ, m2 ⟩ ,
где собственное значение оператора W 2 обозначено s(s + 1), а σ пробегает конечное
число значений спиновых проекций; например, собственных значений одной из компонент вектора W k . Эти вектора образуют базис в пространстве Vq . T.о., ∀Λ ∈ Hq
мы имеем
|q, σ, m2 ⟩ → Tσσ′ (Λ)|q, σ ′ , m2 ⟩
(9.5.18) genP13
2.) С каждой точкой p ̸= q, лежащей на той же массовой поверхности, мы можем
связать свое конечномерное пространство Vp со своим базисом |p, σ, m2 ⟩. Определим
гильбертово пространство H как формальную сумму H = ⊕p Vp , где базисные вектора
|p, σ, m2 ⟩ нормируются по правилу
⟨p, σ, m2 |p′ , σ ′ , m2 ⟩ = p0 δσσ′ δ(⃗p − p⃗ ′ ) .
Такая нормировка эквивалентна скалярному произведению:
∑ ∫ 3
∑ ∫ 3
⟨Ψ|Φ⟩ = σ dp0p⃗ ⟨Ψ|p, σ, m2 ⟩⟨p, σ, m2 |Φ⟩ ∼ σ dp0p⃗ Ψ∗σ (⃗p)Φσ (⃗p) ∼
∫
∑ ∫
∼ σ d3⃗x (Φ∗σ (x) ∂ 0 Φσ (x) − ∂ 0 Φ∗σ (x) Φσ (x)) ∼ d3⃗xρ0 (x) ,
(9.5.19) genP11
(9.5.20) genP12
∫ 3
∫ 3
релятивистских полей Φσ (x) = dp0p⃗ ⟨p, σ, m2 |Φ⟩ eipx ∼ dp0p⃗ Φσ (⃗p) eipx , лежащих на
массовой поверхности (∂ 2 + m2 )Φσ (x) = 0; ρ0 (x) – плотность электрического заряда.
Появление δ- функции и δ- символов в (9.5.19) оправдано стандартным рассуждением
об ортогональности собственных векторов Ψσ , Ψσ′ эрмитова оператора A = A† с
различными собственными значениями σ ̸= σ ′ , т.е.
σ ′ (Ψσ , Ψσ′ ) = (Ψσ , AΨσ′ ) = (Ψσ A† , Ψσ′ ) = (AΨσ , Ψσ′ ) = σ(Ψσ , Ψσ′ ) ⇒
(σ ′ − σ)(Ψσ , Ψσ′ ) = 0, и если σ ̸= σ ′ , то (Ψσ , Ψσ′ ) = 0. Множитель p0 необходим для
Лоренц-ковариантности скалярного произведения, которое связано с интегралом по
плотности ρ0 (x) заряда комплексного поля Φ (9.5.20).
3.) Для заданного семейства преобразований Лоренца Λ[p], которые параметризуют однородное пространство P/Hq , мы имеем унитарные преобразования U (Λ[p], 0)
(здесь 0 - соответствует тривиальным сдвигам), которые связывают базисы пространств Vq и Vp :
|p, σ, m2 ⟩ = U (Λ[p], 0) |q, σ, m2 ⟩ .
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
438
4.) Для каждого преобразования Лоренца (Λ, 0) мы имеем40
U (Λ, 0) |p, σ, m2 ⟩ = U (Λ, 0) U (Λ[p], 0) |q, σ, m2 ⟩ =
= U (Λ · Λ[p], 0) |q, σ, m2 ⟩ = U (Λ[p′ ], 0) U (Λ[p′ ]−1 ΛΛ[p], 0)|q, σ, m2 ⟩ ,
(9.5.21) genP14
где (p′ )n = (Λpn ) = pk Λkn . Заметим, что Λ[p′ ]−1 ΛΛ[p] ∈ Hq , поэтому действие оператора U (Λ[p′ ]−1 ΛΛ[p], 0) на подпространство Vq дается требованием 1) и формулой
(9.5.18). Прямая проверка показывает, что (9.5.21) определяет унитарное представление группы Пуанкаре.
Описанный выше метод это метод индуцированных представлений Вигнера (см.
ниже Дополнение к этой Лекции), примененный к группе Пуанкаре.
Теперь мы отдельно рассмотрим два случая: массивный и безмассовый.
Массивные неприводимые представления группы Пуанкаре
Согласно представленной выше схеме нам необходимо описать все унитарные неприводимые конечномерные представления Tq малой подгруппы Hq в случае, когда тестовый импульс q можно выбрать в виде q k = (m, 0, 0, 0) (m > 0). Т.к. q k σk = mσ0 ,
то преобразования A (9.2.6) этой подгруппы должны удовлетворять соотношениям
(
)
(
)
m 0
m 0
=A
A†
0 m
0 m
откуда следует, что все элементы Hq реализуются унитарными 2-мерными матрицами
A: AA† = I и, т.о., группа Hq совпадает с SU (2).
При ограничении действия операторов Wm = 12 Emnkr M̂ nk P̂ r (9.5.4) на подпространство Vq (q k = (m, 0, 0, 0)) мы получаем следующие значения компонент
W0 = 0 , Wj = mSj (j = 1, 2, 3) ,
(9.5.22) genP15
где мы определили операторы
1
spin
Si = Eijk M̂jk
(i, j, k = 1, 2, 3) ,
2
spin
(M̂jk
– спиновая часть образующих M̂jk ; орбитальная часть (xj P̂k −xk P̂j ) оператора
M̂jk не дает вклада в вектор Паули-Любанского) которые удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Si , Sj ] = i Eijk Sk .
(9.5.23) genP16
Алгебра Ли (9.5.23) совпадает с алгеброй Ли (7.5.16) для группы SU (2) (и как алгебра Ли над полем комплексных чисел совпадает с алгеброй sl(2) (7.1.2)). Все конечномерные неприводимые представления этой алгебры были построены и изучены
в Лекции 11. Напомним, что эти представления характеризуются условием
S12 + S22 + S32 = s(s + 1) I
40
(9.5.24) genP17
В (9.5.21) нетрудно распознать формулу левого действия группы G на однородное пространство
G/H левых смежных классов группы G по подгруппе H. Действительно, для произвольной точки
g ′ ∈ G/H и ∀g ∈ G мы имеем преобразование g ′ → g ′′ ∈ G/H согласно правилу g · g ′ = g ′′ · h, где
h ∈ H.
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
439
где возможные значения s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . . определяют размерность представления 2s + 1. Используя (9.5.22), (9.5.24), мы получаем соотношение
W k Wk = −m2 s(s + 1)I ,
которое определяет спектр спинового оператора в унитарном представлении группы
Пуанкаре. Число s называется спином. Т.е. в массивном случае неприводимые представления группы Пуанкаре классифицируются массой m и спином s (значениями
двух операторов Казимира P̂ 2 и W 2 ).
Безмассовые неприводимые представления группы Пуанкаре
В этом случае для векторов представления |q k ⟩, которые диагонализуют операторы
P̂ k , мы имеем
P̂ k P̂k |q k ⟩ = q k qk |q k ⟩ = 0 .
Для верхней половины светового конуса q k qk = 0, q 0 > 0 мы выберем тестовый
импульс в виде
q k = (E, 0, 0, E) E > 0 .
(9.5.25) genP18
Проанализируем соответствующую подгруппу Hq , преобразования из которой оставляют вектор (9.5.25) инвариантным. Т.к. q k σk = Eσ0 + Eσ3 , то преобразования A
(9.2.6) этой подгруппы должны удовлетворять соотношениям
)
)
(
(
2E 0
2E 0
A†
=A
0 0
0 0
откуда следует, что элементы A ∈ SL(2, C) образующие группу Hq (где q заданы в
(9.5.25)) имеют вид
( iϕ
)
e
w
A=
(w = w0 + iw1 ∈ C, w0 , w1 ∈ R) ,
(9.5.26) genP19
0 e−iϕ
и могут быть переписаны в инфинитезимальной форме
A = 1 + i2ϕM 12 + w0 R1 + w1 R2 ,
где матрицы
M
12
1
=
2
(
1 0
0 −1
)
(
1
, R =
0 1
0 0
)
(
2
, R =
0 i
0 0
)
(9.5.27) genP19b
образуют алгебру Ли движения плоскости
[R1 , R2 ] = 0 ,
[M 12 , R1 ] = −iR2 ,
[M 12 , R2 ] = iR1 .
(9.5.28) genP19a
Чтобы прояснить глобальную структуру этой группы положим w = ze−iϕ , тогда
)
) ( i(ϕ +ϕ ) −i(ϕ +ϕ ) 2iϕ
) ( iϕ
( iϕ
e 1 2 e 1 2 (e 1 z2 + z1 )
e 2 z2 e−iϕ2
e 1 z1 e−iϕ1
,
=
0
e−iϕ2
0
e−iϕ1
0
e−i(ϕ1 +ϕ2 )
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
440
т.е. группа Hq , в безмассовом случае, совпадает с двулистным (±A) накрытием группы движений плоскости. Группа Hq содержит две подгруппы, состоящие из матриц
(
( iϕ
)
)
1 z
e
0
A1 =
, A2 =
(9.5.29) genP20
0 1
0 e−iϕ
и любой элемент A (9.5.26) есть произведение A = A1 A2 , т.е. элемент (9.5.26) соответствует двумерным вращениям на угол ϕ и двумерным сдвигам на комплексное
число z. Подгруппа, порождаемая сдвигами A1 (9.5.29) некомпактна и все ее нетривиальные унитарные представления бесконечомерны. Действительно, оператор Казимира (R1 )2 + (R2 )2 для алгебры (9.5.28) в любом унитарном неприводимом представлении этой подгруппы (т.е. когда Rα = (Rα )† ) имеет вид (R1 )2 + (R2 )2 = µ2 I
(µ2 ≥ 0). Для µ2 > 0 базис |r⟩ в пространстве представления может быть выбран
в виде Rα |r⟩ = rα |r⟩, где точки ⃗r лежат на окружности радиуса µ и, следовательно, спектр операторов Rα непрерывен, а представление бесконечномерно. Т.к. мы
требуем, исходя из физических соображений (см. выше), чтобы представления подгруппы стабильности были конечномерными, то мы выберем для этой подгруппы
тривиальное одномерное представление A1 = 1 (µ = 0). Подгруппа SO(2), порождаемая элементами A2 , компактна и абелева. Поэтому все ее неприводимые унитарные
представления ρn одномерны и имеют вид (см. Лекции 7,8)
( iϕ
)
12
e
0
ρn :
= e(2iϕM ) → einϕ (n = 0, ±1, ±2, . . .) .
(9.5.30) genP21
−iϕ
0 e
Здесь числа n должны быть целыми т.к., в следствии однозначности представлений
(9.5.30), при сдвиге ϕ → ϕ + 2π в левой части (9.5.30) мы должны получать в правой
части (9.5.30) сдвиги фаз на целые кратные 2π. Из (9.5.30), вспоминая определение
генератора M 12 (9.5.27), следует, что спектр M 12 равен (0, ±1/2, ±1, ±3/2, . . .).
Займемся теперь изучением подгруппы Hq в безмассовом случае с несколько иной
точки зрения. Как мы показали ранее подгруппа Hq , при ее действии на подпространство Vq , представляется элементами вида (9.5.16), которые в свою очередь генерируются компонентами Wk вектора Паули-Любанского. При действии на Vq компоненты
Wm принимают вид Wm = 12 Emnkr M̂ nk q r
Wk = E {M̂ 12 , M̂ 32 + M̂ 20 , M̂ 13 + M̂ 01 , −M̂ 12 } = E {M̂ 12 , R̂1 , R̂2 , −M̂ 12 } .
(9.5.31) genP22
Из соотношений (9.5.7) следует, что операторы
M̂ 12 ,
R̂1 = M̂ 32 + M̂ 20 , R̂2 = M̂ 13 + M̂ 01 ,
образуют алгебру Ли группы движений плоскости (9.5.28)
[R̂1 , R̂2 ] = 0 ,
[M̂ 12 , R̂1 ] = −i R̂2 ,
[M̂ 12 , R̂2 ] = i R̂1 .
(9.5.32) genP23
W 2 = −(R̂1 )2 − (R̂2 )2 ⇒ Spec(W 2 ) = −µ2 (µ ∈ R) .
(9.5.33) genP31
Из (9.5.31) следует, что
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
441
Т.е. собственное значение оператора Казимира W 2 , взятое со знаком минус, равно
квадрату длины 2-мерного вектора трансляции, т.е. равно −µ2 ≤ 0, где µ – любое
неотрицательное вещественное число (см. обсуждение этого случая чуть выше).
Вспоминая аргументы о необходимости выбора тривиального представления для
подгруппы трансляций в Hq , мы требуем, чтобы
R̂α |q⟩ = 0 (∀|q⟩ ∈ Vq , α = 1, 2) ⇒ W1 = W2 = 0 ,
(9.5.34) genP24
и, исходя из (9.5.33), мы имеем
W2 = 0 .
(9.5.35) genP30
Теперь из уравнения (9.5.16) мы видим, что Hq действует на Vq как произведение
U (1) фактора и элемента абелевой группы, которая генерируется оператором M̂ 12 .
Т.к. неприводимые представления абелевой группы одномерны, то соответствующее
пространство представления включает только одно нетривиальное состояние |q, λ⟩ ∈
Vq , для которого мы имеем
M̂ 12 |q, λ⟩ = λ|q, λ⟩ ,
(9.5.36) genP34
где λ = n/2 = 0, ±1/2, ±1, ±3/2, . . . (см. (9.5.30)). Квантовое число λ называется
спиральностью.
Из соотношений (9.5.31), (9.5.34), (9.5.36) следует, что в системе, когда тестовый
импульс q выбран в виде (9.5.25), выполняется равенство
Wk |q, λ⟩ = λ Pk |q, λ⟩ .
(9.5.37) Wlam
Т.к. это соотношение записано в ковариантном виде, то оно справедливо и для любого
другого выбора тестового импульса q и следовательно мы имеем точное операторное
равенство
Wk = λ P̂k ,
(9.5.38) genP33
а спиральность λ является Пуанкаре-инвариантной характеристикой безмассовых
частиц. Заметим, что равенство (9.5.38) следует из (9.5.35) и очевидного тождества
Wn P̂ n = 0, а в твисторном описании безмассовых частиц это равенство получается
автоматически (см. (9.2.54)).
Т.о., все безмассовые неприводимые представления группы Пуанкаре (в случае
выполнения условий (9.5.34), (9.5.35)) характеризуются значениями спиральности λ.
Из определения (9.5.4) вектора Wn и формулы (9.5.38), для временной компоненты
k = 0, следует, что λ – собственное значение оператора спиральности
λ̂ =
⃗
⃗ P̂
S
P̂ 0
,
(9.5.39) genP35
spin
spin
где Sa = 12 Eabc M̂bc
(a, b, c = 1, 2, 3) и M̂bc
– спиновая часть образующих M̂bc
(орбитальная часть (xb Pc − xc Pb ) оператора M̂bc не дает вклада в вектор Паулиspin
Любанского). Т.к. здесь M̂bc
– образующие компактной подгруппы SO(3) в группе
Лоренца, то мы, согласно изложенной выше процедуре, можем использовать для
spin
M̂bc
(соответственно для Sa ) конечномерные эрмитовы представления (для остальspin
spin
ных образующих группы Лоренца M̂b0
= −M̂0b
этого сделать нельзя).
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
442
Пример 1. Безмассовые спинорные поля. Спиральность безмассовых спинорных полей можно получить рассматривая безмассовое свободное уравнение Дирака
i∂m γ m ψ(x) = 0. Из этого уравнения, в представлении (9.2.37), (9.2.43) для γ-матриц
Дирака, следуют соотношения
⃗ P⃗
S
1
⃗σ P⃗
ψ
=
∓ψ
⇒
ψ± = ∓ ψ±
±
±
0
0
P
P
2
(
0
P =
√
P⃗ 2
)
,
(9.5.40) opspir
⃗ = 1 ⃗σ , ψ± – 2-х компонентные вейлевские спиноры
где спин S
2
( )
( )
ψ+ = 1 (1 + γ )ψ ,
0 = 1 (1 − γ )ψ ,
5
5
0
ψ
−
2
2
⃗⃗
а оператор SPP0 есть оператор спиральности (см. [27] и формулу (9.5.39)).
Для того чтобы связать определение спиральности λ (9.5.37) – (9.5.39) с формулами (9.5.40), мы вычислим временную компоненту вектора Паули-Любанского (9.5.4)
tot
tot
для случая спинорных генераторов M̂mn = −iMmn
, где Mmn
определены в (9.4.22), а
спиновая часть определяется в (9.2.40), (9.2.30). В этом случае, получаем
(
)
1
σk 0
W0 = P̂k
.
(9.5.41) Wn
0 σk
2
Тогда уравнение (9.5.37) с учетом (9.5.40) записывается в виде
)(
(
(
)
)(
)
(
)
⃗P
⃗
S
ψ+
ψ+
0
ψ+
−1/2
0
0
P
W0
= P0
= P0
.
⃗⃗
ψ−
ψ−
0
+1/2
ψ−
0 S P0
P
Итак, в случае спинорного поля, мы имеем две возможности для значений спиральности ± 12 (каждое из которых соответствует разным неприводимым представлениям
группы Пуанкаре).
Пример 2. Безмассовые векторные поля. Рассмотрим уравнения для безмассовых векторных полей (уравнения Максвелла в пустоте)
∂ m (∂m An (x) − ∂n Am (x)) = 0 .
(9.5.42) maxw
Эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований (9.4.23)
An (x) → An (x) + ∂n c(x), где функция c(x) – параметр преобразования. Общее решение (9.5.42) удобно искать в импульсном представлении, что также естественно и с
точки зрения изучения неприводимых представлений группы Пуанкаре, для которых
диагонализуются операторы импульса P̂m . В результате (9.5.42) и соответствующее
калибровочное преобразование переписываются в виде
k m km An (k) − k m kn Am (k) = 0 ⇒ k 2 An − kn (k, A) = 0 ,
Am (k) → Am (k) + km c(k) ,
(9.5.43) maxw1
(9.5.44) maxw2
где k 2 = k m km и (k, A) = k m Am (k). Для случая k 2 ̸= 0 мы получаем решение
(9.5.43) в виде Am (k) = km c(k) (c(k) – произвольная функция), что соответствует
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
443
чистому калибровочному преобразованию. Т.о., для случая k 2 ̸= 0, уравнения (9.5.43)
не имеют нетривиальных решений.
Пусть теперь k 2 = 0, тогда уравнение (9.5.43) дает условие четырех-мерной поперечности (k m Am ) = 0. Это условие оставляет 3 компоненты у вектора Am независимыми, другими словами имеется 3 линейно независимых вектора, ортогональных (в
4-х мерном смысле) к k m . Один из них сам km , два других – eαm (α = 1, 2) – можно выбрать чисто пространственными и ортогональными (в 3-х мерном смысле) 3-вектору
⃗k и друг другу
(9.5.45) maxw3
eα0 = 0 , eαa ka = 0 , eαa eβa = δ αβ (a = 1, 2, 3) .
Итак, при k 2 = 0 общее решение (9.5.43) имеет вид
Am (k) = km c(k) + eαm bα (k) ,
(9.5.46) maxw4
где c(k) и bα (k) – произвольные функции от ⃗k поскольку k02 = ⃗k 2 , причем продольная компонента km c(k) соответствует калибровочному преобразованию (9.5.44). Два
вектора eαm обычно выбирают в соответствии с возможными спиральностями λ безмассового векторного поля.
Чтобы разобраться с возможными спиральностями λ векторного поля, рассмотрим временную компоненту вектора Паули-Любанского (9.5.4), соответствующую
spin
векторному (определяющему) представлению (9.1.20) образующих M̂mn
,
i
1
(W0 )rj = E0snm P̂ s (M̂ nm )rj = E0snm P̂ s (g mr δjn − g nr δjm ) = i E0snm P̂ s g mr δjn .
2
2
Тогда нулевая компонента равенства (9.5.37), для случая векторного поля Am (k),
записывается следующим образом
(W0 )rj Aj (k) = λ P̂0 Ar (k) ⇒
i
E0snm k s An (k) = λ Am (k) .
k0
(9.5.47) maxw8
Это равенство можно рассматривать как линейное уравнение на вектор-потенциал
Am (k), у которого имеется две нулевые моды (λ = 0) – временной фотон A0m (k) =
||
(a(k), 0, 0, 0) и продольный фотон Am (k) = km c(k), где a(k), c(k) – произвольные
функции. Сворачивая (9.5.47) с k m , или полагая в (9.5.47) m = 0, мы получаем 2
соотношения: 0 = λ (k, A), 0 = λ A0 , которые при λ ̸= 0 приводят к ограничениям
на компоненты Am – к условию поперечности (k, A) = 0 и условию A0 = 0. Т.о., для
выделения мод векторного поля (9.5.46), которые соответствуют ненулевым спиральностям λ, достаточно рассмотреть пространственную проекцию уравнений (9.5.47)
i Eacb k a Ac (k) = λ k0 Ab (k) ⇒ λ̂bc Ac (k) = λ Ab (k) , λ̂bc =
i
Ebac ka .
k0
(9.5.48) maxw5
Т.е. задача о нахождении спиральности λ для безмассового векторного поля свелась
к задаче о спектре 3 × 3 матрицы λ̂bc (9.5.48). Т.к.
)
1 (⃗ 2
(λ̂ )bd = 2 k δbd − kb kd ,
k0
2
(9.5.49) maxw7
9.2 Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления.
444
то, как легко проверить, при условии k02 = ⃗k 2 матрица λ̂ удовлетворяет характеристическому уравнению
λ̂3 − λ̂ = 0 ,
(9.5.50) maxw6
и, следовательно, у матрицы λ̂ имеется 3 собственных значения: λ = 0, ±1. Очевидно, что спиральность λ = 0 соответствует собственному вектору Aa ∼ ka , т.е.
продольному фотону, отвечающему нефизической калибровочной степени свободы
(см. (9.5.46)). Согласно тождеству (9.5.50) компоненты Am , соответствующие спиральностям λ = ±1, выделяются с помощью проекторов
1
Π± = λ̂(λ̂ ∓ 1) ,
2
λ̂ Π± = ± Π± ,
Π2± = Π± ,
которые с учетом (9.5.49) можно представить в явном виде
)
1 (⃗ 2
(Π± )bd = 2 k δbd − kb kd ∓ i k0 Ebad ka .
2k0
Спиральности λ = ±1 соответствуют компонентам
±
A±
a (k) = (Π± )ab Ab (k) = ea b∓ (k) .
Выберем систему координат, в которой km = (E, 0, 0, −E) (9.5.25). Тогда для компо±
нент A±
a (k), b± (k) и векторов em получаем выражения
A+
a (k) =
1
1
((A1 − iA2 ), i(A1 − iA2 ), 0) , A−
((A1 + iA2 ), −i(A1 + iA2 ), 0) .
a (k) =
2
2
1
b± (k) = (A1 ± iA2 ) , e±
m = (0, 1, ±i, 0) .
2
Итак, унитарные представления группы Пуанкаре распадаются на 3 класса:
1. Массивные представления. Собственное значение оператора P̂ 2 = m2 есть действительное положительное число. При этом собственное значение оператора W 2 =
−m2 s(s+1), где s – спин, принимающий целые и полуцелые значения s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . ..
Т.о., данные представления характеризуются массой m > 0 и спином s. Состояния
внутри представления различаются собственными значениями одной из компонент
вектора m1 Wk (9.5.22), например, 3-ей компоненты спина S3 = (−s, −s+1, . . . , s−1, s),
а также непрерывными собственными значениями операторов P̂m . Эти состояния соответствуют частицам с массой m > 0, спином s, трехмерным импульсом p⃗ и проекцией спина S3 (2s + 1 состояний).
2. Безмассовые представления с дискретным спином. Собственное значение оператора P̂ 2 равно нулю, что соответствует частице с нулевой массой m. При этом собственное значение W 2 также равно нулю, т.к. операторы Wn и P̂n пропорциональны
друг другу Wn = λP̂n . Коэффициент пропорциональности λ называется спиральностью и равен ±s, где s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . . – спин представления. Т.о., данные
представления характеризуются массой m = 0 и спином s. Состояния внутри представления различаются значением спиральности λ = ±s и непрерывным импульсом
10 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.
445
p⃗. Примерами частиц из данной категории служат: безмассовые нейтрино со спиральностью ±1/2, фотон со спином 1 и 2-мя состояниями со спиральностью ±1 и
гравитон с двумя состояниями поляризации ±2.
3. Безмассовые представления с непрерывным спином. Собственное значение оператора P̂ 2 равно нулю, но при этом собственное значение оператора W 2 = −µ2 < 0
непрерывно, см. (9.5.33). Этот тип представления описывает частицу с нулевой массой покоя и с бесконечным числом состояний поляризации, характеризуемой непрерывной переменной µ. Такие частицы, по-видимому, в природе не реализуются.
Существуют также тахионные представления с P̂ 2 < 0, но мы такие представления не рассматривали.
10
Приложение 1. Решения некоторых задач.
10.1
Задача 7. Разложение в произведение циклов любой перестановки
из Sn .
Для начала разложим в произведение циклов перестановку (2.1.14). Для этого возьмем элемент 1 из верхней строки (2.1.14). Этот элемент переходит в элемент 3, элемент 3 переходит в 4, а 4 переходит в 1. То есть в перестановке (2.1.14) содержится
цикл (1, 3, 4). Далее, берем из верхней строки любой элемент, не совпадающий с 1, 3
и 4, например элемент 2, который переходит в 6. Проделывая ту же процедуру, что
и выше, мы получаем, что в перестановке (2.1.14) содержится еще и цикл (2, 6, 8, 5).
Далее берем элемент 7, который не возникал в предыдущих циклах, и находим соответствующий ему цикл (7, 10). Окончательно, мы получим
)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
= (1, 3, 4) · (2, 6, 8, 5) · (7, 10) · (9) .
3 6 4 1 2 8 10 5 9 7
Очевидно, что подобную процедуру можно применить и к произвольной перестановке
из Sn , что в результате и будет демонстрировать, что любую перестановку из Sn
можно разложить в произведение циклов, состоящих из различных символов.
10.2
Задача 43. Изоморфизм Sp′ (p, q) = Sp(p, q).
Введем 2r × 2r матрицу S, которую представим в блочном виде
( +
)
P
P−
S=
,
P− P+
где r × r блоки P ± определяются следующим образом
(
)
(
)
Ir + Ip,q
Ir − Ip,q
Ip 0
0 0
+
−
P =
=
, P =
=
,
0 0
0 Iq
2
2
(10.2.1) sss
(10.2.2) pppm
а матрица Ip,q задана в (2.2.54). Блоки P ± обладают свойствами проекторов
P +P + = P + , P −P − = P − , P +P − = P −P + = 0 ,
P + + P − = Ir .
10 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.
446
Матрица S осуществляет перестановку 2q компонент у 2r-мерного вектора, что легко
проверить, воспользовавшись явным видом матрицы S (10.2.1) и проекторов (10.2.2).
Учитывая (10.2.2), получаем S 2 = I2r , а также имеем
)
(
)
(
(
)
(
)
Ip,q 0
Ip,q 0
0
Ip,q
0 Ir
S=
, S
S
S=
.
0 Ip,q
0 Ip,q
−Ip,q 0
−Ir 0
Таким образом, изоморфизм Sp′ (p, q) = Sp(p, q) устанавливается с помощью взаимнооднозначного соответствия T ′ ↔ S T S для элементов этих групп T ′ ∈ Sp′ (p, q) и
T ∈ Sp(p, q).
10.3
Задача 56. Многообразие группы O(p, q).
Рассмотрим уравнения (3.1.31), которые эквивалентны условию псевдоортогональности (2.2.64) Матрицы Z T · Z и Y T · Y – положительно определены, то есть все
их собственные значения λa (Z) и λα (Y ) вещественны и положительны. Последнее
следует из тривиального равенства
⃗v T (Z T · Z)⃗v = (Z ⃗v )T · Z ⃗v ≥ 0 ,
∀⃗v ∈ Rp ,
и аналогичного равенства для матрицы (Y T · Y ). Тогда из первого и второго соотношения в (3.1.31) мы получаем, что
∏
(det(X))2 = det(X T · X) = (1 + λa (Z)) ≥ 1 ,
a
∏
(10.3.3) so-pq3
(det(W ))2 = det(W T · W ) = (1 + λα (Y )) ≥ 1 ,
α
и матрицы X и W обратимы. Кроме того из (10.3.3) следует, что многообразие группы O(p, q), где p ≥ 1 и q ≥ 1, имеет по крайней мере 4 несвязанные компоненты,
которые определяются неравенствами (сравните с (3.1.28))
1. det(X) ≥ 1 , det(W ) ≥ 1 ; 2. det(X) ≤ −1 , det(W ) ≤ −1 ;
3. det(X) ≥ 1 , det(W ) ≤ −1 ; 4. det(X) ≤ −1 , det(W ) ≥ 1 .
(10.3.4) so-pq5
Покажем, что число несвязанных компонент группы O(p, q), где p ≥ 1 и q ≥
1, не может быть более четырех. Любой элемент O (3.1.30) группы O(p, q) можно
непрерывными деформациями привести к виду
)
( ′
X 0p×q
′
,
(10.3.5) so-pq4
O =
0q×p W ′
где 0p×q и 0q×p – нулевые матрицы. Для этого достаточно в (3.1.30) сделать замену
Z → t Z, где t ∈ [0, 1], и найти согласно (3.1.31) соответствующие матрицы X(t), Y (t)
и W (t). В частности из третьего уравнения в (3.1.31), которое переписывается в виде
Y (t) = t [X(t)T ]−1 · Z T · W (t) ,
10 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.
447
видно, что всегда можно найти такое решение, что Y (t)|t=0 = 0. Тогда X ′ = X(0) и
W ′ = W (0). Так как
(X ′ )T · X ′ = Ip , (W ′ )T · W ′ = Iq ,
то есть X ′ , W ′ – ортогональные матрицы, то многообразие матриц (10.3.5), которое
является подмногообразием в O(p, q), состоит из 4-х компонент
1. det(X ′ ) = 1 , det(W ′ ) = 1 ; 2. det(X ′ ) = −1 , det(W ′ ) = −1 ;
3. det(X ′ ) = 1 , det(W ′ ) = −1 ; 4. det(X ′ ) = −1 , det(W ′ ) = 1 ,
которые не связаны друг с другом. Таким образом, число несвязанных друг с другом компонент в O(p, q) не превышает 4-х, и следовательно число таких компонент
в O(p, q), где p ≥ 1 и q ≥ 1, равно четырем. В частности мы получаем, что число несвязанных друг с другом компонент в собственной псевдо-ортогональной групе
SO(p, q), где p ≥ 1 и q ≥ 1, всегда равно двум: компонента 1.) (подгруппа SO↑ (p, q))
и компонента 2.), перечисленные в (10.3.4). Многообразие всей группы O(p, q) очевидно будет представляться как объединение четырех смежных классов (сравните с
(3.1.29))
O(p, q) = (SO↑ (p, q) · Ip+q ) ∪ (SO↑ (p, q) · P ) ∪ (SO↑ (p, q) · T ) ∪ (SO↑ (p, q) · P T ) ,
где
(
P =
Ip 0
0 −Iq
)
(
,
T =
−Ip 0
0 Iq
)
.
Доказательство последнего факта мы оставляем читателю.
10.4
Задача 65. Тождество Кэмпбелла–Хаусдорфа.
Прежде всего докажем равенство
∫ 1
F
dt e(1−t) F (δF ) et F ,
(δ e ) =
(10.4.6) CaH5
0
где δF обозначает вариацию оператора F . Воспользуемся тождеством
d ( −t F t F )
e
δe
= e−t F [δ, F ] et F ,
dt
(10.4.7) CaH7
и тем, что линейный оператор вариации δ действует как дифференцирование
δ(A B) = δ(A) B + A δ(B) ⇒ δ(A) B = δ(A B) − A δ(B) ,
то есть (δA) = [δ, A]. Проинтегрируем обе части (10.4.7) по t от нуля до единицы. В
результате получаем
∫ 1
−F
F
e δe −δ =
dt e−t F [δ, F ] et F .
(10.4.8) CaH8
0
10 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.
448
Умножая обе части (10.4.8) слева на eF мы выводим тождество
∫ 1
F
[δ, e ] =
dt e(1−t) F [δ, F ] et F ,
(10.4.9) CaH9
0
которое эквивалентно (10.4.6).
С другой стороны, воспользовавшись соотношением (3.2.12), формулу (10.4.8)
можно переписать следующим образом
∫ 1
∞
∑
tk
−F
F
e [δ, e ] =
dt
(10.4.10) CaH10
[...[δ, F ], F ], . . . , F ] =
{z
}
|
k!
0
k=0
=
k+1
∞
∑
1
1 − e−ad(F )
[...[δ, F ], F ], . . . , F ] =
[δ, F ] ,
|
{z
}
(k
+
1)!
ad(F
)
k=0
k+1
где мы определили операторы ad(F ):
ad(F ) · A = [F, A] ,
(ad(F ))k · A = [F, [F, . . . , [F , A] ,
|
{z
}
k
и экспонента e−ad(F ) понимается как разложение в ряд. Тождество
e−F (δ eF ) =
1 − e−ad(F )
δF ,
ad(F )
(10.4.11) CaH6a
которое вытекает из (10.4.10), называется тождеством Кэмпбелла–Пуанкаре. Эквивалентная форма тождества Кэмпбелла–Пуанкаре (она получается из (10.4.11) умножением слева на eF , а справа на e−F ) имеет вид
(δeF ) e−F =
ead(F ) − 1
δF .
ad(F )
(10.4.12) CaH6
Тождества (10.4.11), (10.4.12) можно также записать в виде
δF =
ad(F )
e−F (δeF ) ,
−ad(F
)
1−e
δF =
ad(F )
ead(F ) − 1
(δeF ) e−F .
(10.4.13) CaH6b
)
ad(F )
Для возникших в правых частях (10.4.13) операторов 1−ead(F
−ad(F ) и ead(F ) −1 удобно использовать следующие разложения
∞
∞
∑
log(ead(F ) )
−1
ad(F )
(1 − ead(F ) )k ∑ (1 − ead(F ) )k−1
=
=
=
, (10.4.14) CaH6c
ead(F ) − 1
ead(F ) − 1
ead(F ) − 1 k=1
k
k
k=1
∞
∑
ad(F )
(1 − ead(F ) )k−1
ad(F )
=
e
.
1 − e−ad(F )
k
k=1
(10.4.15) CaH6d
Возьмем в качестве F оператор F (t), заданный соотношением
eF (t) = etA1 · etA2 ,
(10.4.16) CaH11
10 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.
449
где A1 и A2 – некоммутирующие элементы. Подействуем на обе части (10.4.16) производной δ ≡ ∂t , умножим справа на e−F (t) и воспользуемся (10.4.12). В результате
получаем
ead(F (t)) − 1
· ∂t F (t) = (A1 + et ad(A1 ) · A2 ) .
(10.4.17) CaH12
ad(F (t))
Если воспользоваться соотношением (10.4.14), то (10.4.17) переписывается в виде
∞
∑
ad(F )
(1 − ead(F ) )n
t ad(A1 )
∂t F = ad(F )
(A1 + e
· A2 ) =
(A1 + et ad(A1 ) · A2 ) . (10.4.18) CaH13
e
−1
n
+
1
n=0
Из (10.4.16) следует, что F (0) = 0 и ead(F (t)) = et ad(A1 ) · et ad(A2 ) . Тогда, интегрируя
обе части соотношения (10.4.18) по t от нуля до единицы, мы получаем тождество
Кэмпбелла–Хаусдорфа в форме (3.2.10).
Отметим, что факторы (1 − et ad(A1 ) · et ad(A2 ) )n , возникающие в сумме в правой
части (10.4.18) (или (3.2.10)), пропорциональны как минимум tn , так как
(1 − et ad(A1 ) · et ad(A2 ) ) = −
∞
∑
m=1
tm
m
∑
k
Cm
(ad(A1 ))m−k · (ad(A2 ))k =
k=0
2
= −t(ad(A1 ) + ad(A2 )) − t2 ((ad(A1 ))2 + 2ad(A1 ) · ad(A2 ) + (ad(A2 ))2 )−
3
− t3! ((ad(A1 ))3 + 3(ad(A1 ))2 ad(A2 ) + 3ad(A1 ) (ad(A2 ))2 + (ad(A2 ))3 ) + O(t3 ) ,
(10.4.19) CaH14
а степень k параметра t в разложении по t в правой части (10.4.18) соответствует
степени k + 1 данного слагаемого по переменным A1 и A2 . Поэтому, если мы хотим
вычислить F с точностью до слагаемых, имеющих степень k по переменным A1 и
A2 , мы должны знать F (t) с точностью до O(tk ). Пользуясь (10.4.18) и (10.4.19)
вычисляем
∂t F (0) = (A1 + A2 ) , ∂t2 F (0) = [A1 , A2 ] ,
1
∂t3 F (0) = [A1 − A2 , [A1 , A2 ]] ,
2
откуда следует разложение (3.2.13).
10.5
Задача 105. Изоморфизмы 1.) so(1, 3) = sℓ(2, C), 2.) so(2, 2) =
sℓ(2, R) + sℓ(2, R) и 3.) so(4, C) = sℓ(2, C) + sℓ(2, C).
1.) Рассмотрим четыре матрицы следующего вида
γ0 = σ1 ⊗ I2 , γ1 = i σ2 ⊗ σ1 ,
γ2 = i σ2 ⊗ σ2 , γ3 = i σ2 ⊗ σ3 ,
(10.5.20) Gam01
где I2 – единичная 2 × 2 матрица, σi – матрицы Паули (3.1.18), а ⊗ – прямое произведение матриц, которое определено в (4.3.8), (4.3.9). Пользуясь (4.3.9) матрицы AII
(10.5.20) можно представить в стандартном виде 4×4 матриц, записанных в блочном
виде,
)
)
(
(
0 σi
0 I2
, i = 1, 2, 3 ,
(10.5.21) Gam01-13
, γi =
γ0 =
−σi 0
I2 0
10 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.
450
где 0 – нулевые 2 × 2 блоки. Матрицы (10.5.20), (10.5.21) называются матрицами
Дирака. Они удовлетворяют соотношениям
γµ γν + γν γµ = 2 gµν I4 ,
(µ, ν = 0, 1, 2, 3) ,
(10.5.22) Gam03
где ||gµν || = I1,3 – метрика пространства Минковского. Построим из γµ (10.5.21) операторы
(
)
σµν 0
1
e
Lµν = (γµ γν − γν γµ ) =
,
(10.5.23) Gam04
4
0 σ
eµν
†
где σµν = −σνµ , σ
eµν = −σµν
и мы имеем (смотри (9.2.30))
1
i
σ0i = −σ̃0i = − σi , σij = σ̃ij = − εijk σk ,
2
2
i, j, k = 1, 2, 3 .
(10.5.24) snm5
Здесь мы воспользовались соотношениями [σi , σj ] = 2iεijk σk (см. (3.2.119)). В силу
eµν (10.5.23) размера (4 × 4), и соответственно (2 × 2)
равенств (10.5.22) матрицы L
матрицы σµν и σ
eµν (10.5.24), образуют алгебры Ли c одинаковыми определяющими
соотношениями
[σµν , σκρ ] = gνκ σµρ + gνρ σκµ + gµκ σρν + gµρ σνκ ,
(10.5.25) Gam04b
которые совпадают с определяющими соотношениями алгебры Ли so(1, 3). Таким
образом, мы имеем гомоморфизм (представление) из so(1, 3) с образующими Lµν
eµν (10.5.23), причем представление
(смотри (3.2.148)) в алгебру Ли с образующими L
(10.5.23) распадается в прямую сумму двух представлений алгебры so(1, 3) с образуeµν (10.5.23)
ющими σµν и σ
eµν (10.5.24). Любой элемент алгебры Ли so(1, 3) в базисе L
можно представить в виде
(
)
A
0
νµ e
ω Lµν =
,
(10.5.26) zoo1
0 −A†
где
i
A = ω νµ σνµ = −(ω 0i σi + εijk ω jk σi ) = z i σi ,
(10.5.27) zoo
2
ω µν – координаты в алгебре so(1, 3) такие, что ω µν = −ω νµ ∈ R, и мы определили три
произвольных комплексных числа (смотри (9.2.31))
i
z i = −(ω 0i + εijk ω jk ) ,
2
i = 1, 2, 3 ,
(10.5.28) zo
по шести вещественным параметрам ω µν . Так как матрицы σi (i = 1, 2, 3) образуют
базис в комплексной алгебре Ли sℓ(2, C), то матрицы (10.5.27) определяют произвольный элемент алгебры sℓ(2, C), а соотношения (10.5.26), (10.5.27) и (10.5.28) задают
отображение so(1, 3) → sℓ(2, C), которое является изоморфизмом. Действительно,
используя (10.5.27) и (10.5.28) (смотри также (10.5.24)), полученное соответствие алгебр Ли so(1, 3) и sℓ(2, C) (как вещественной шестимерной алгебры) можно записать
явно в терминах образующих {Lµν } ∈ so(1, 3) и {σj , iσk } ∈ sℓ(2, C):
1
1
L0j → − σj , Ljk → − εjkm (i σm ) .
2
2
10 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.
451
Это отображение является взаимно однозначным, так как его можно обратить
σj → −2 L0j ,
(i σm ) → −εmjk Ljk .
(10.5.29) zo1
2.) Для доказательства изоморфизма so(2, 2) = sℓ(2, R) + sℓ(2, R) можно воспользоваться методом, который изложен в предыдущем случае. Вместо матриц (10.5.20)
необходимо рассмотреть вещественные матрицы
γ0′ = σ1 ⊗ I2 , γ1′ = σ2 ⊗ σ2 , γ2′ = i σ2 ⊗ σ1 , γ3′ = i σ2 ⊗ σ3 ,
(
или
γ0′ =
0 I2
I2 0
)
(
,
γi′ =
0 σi′
−σi′ 0
(10.5.30) Gam01-22
)
,
i = 1, 2, 3 ,
(10.5.31) Gam01-23
где σ1′ = −iσ2 , σ2′ = σ1 , σ3′ = σ3 – три вещественные образующие алгебры sℓ(2, R),
удовлетворяющие структурным соотношениям
[σi′ , σj′ ] = 2 εijm η mk σk′ ,
||η mk || = diag(1, −1, −1) .
(10.5.32) Gam03-21
Матрицы (10.5.30) удовлетворяют соотношениям (10.5.22) с метрикой gµν = I2,2 . Соответственно аналоги операторов (10.5.23) дают точное представление образующих
алгебры so(2, 2):
(
)
′
(
)
σ
0
1
µν
e′ =
L
γ ′ γ ′ − γν′ γµ′ =
,
(10.5.33) Gam04-22
µν
′
4 µ ν
0 σ
eµν
где
1
′
′
σ0i
= −σ̃0i
= − σi′ ,
2
1
σij′ = σ̃ij′ = − εijm η mk σk′ , (i, j, k, m = 1, 2, 3) .
2
Любой элемент алгебры so(2, 2) в базисе (10.5.33) записывается в виде
)
(
A 0
µν e ′
,
ω Lµν =
0 B
(10.5.34) snm5-22
(10.5.35) Gam04-23
где ω µν = −ω νµ – вещественные координаты в алгебре so(2, 2), а A и B два произвольных независимых элемента алгебры sℓ(2, R):
′
A = ω µν σµν
= −(ω 0i + 12 εjkm η mi ω jk ) σi′ = xi σi′ ,
′
ei σi′ .
B = ω µν σ
eµν
= (ω 0i − 12 εjkm η mi ω jk ) σi′ = x
(10.5.36) Gam04-24
Вместо шести параметров ω µν ∈ R мы определили шесть независимых вещественных параметров xk и x
ek . Таким образом, правая часть (10.5.35) представляет собой
произвольный элемент прямой суммы двух алгебр sℓ(2, R) + sℓ(2, R) (смотри Пример 6 из раздела 3.2.6). С учетом того, что левая часть (10.5.35) – это произвольный элемент so(2, 2), то соотношение (10.5.35) устанавливает изоморфизм so(2, 2) =
sℓ(2, R) + sℓ(2, R).
3.) Изоморфизм so(4, C) = sℓ(2, C) + sℓ(2, C) получается из изоморфизма 2.)
so(2, 2) = sℓ(2, R) + sℓ(2, R) с помощью комплексификации участвующих в нем вещественных алгебр Ли. Изоморфизмы 1.) и 2.), рассмотренные в этой задаче и изоморфизм, сформулированный в Утверждении 3.2.9, являются изоморфизмами между
различными вещественными формами алгебр Ли so(4, C) и sℓ(2, C) + sℓ(2, C)
10 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.
10.6
452
Задача 106. Изоморфизм so(5) = usp(4).
Рассмотрим пять матриц 4 × 4 следующего вида
Γ1 = σ1 ⊗ σ2 ,
Γ2 = σ2 ⊗ σ2 , Γ3 = σ3 ⊗ σ2 ,
Γ4 = I2 ⊗ σ1 ,
Γ5 = Γ1 Γ2 Γ3 Γ4 = I2 ⊗ σ3 ,
(10.6.37) Gam1
где σi – матрицы Паули (3.1.18), а ⊗ – прямое произведение матриц, которое определено в (4.3.8), (4.3.9). Поскольку матрицы Паули эрмитовы, σi† = σi (i = 1, 2, 3), то
все Γk также эрмитовы:
Γ†k = Γk , k = 1, . . . , 5 ,
(10.6.38) Gam2
а из тождеств (3.2.119) следует, что матрицы {Γi } образуют пятимерную алгебру
Клиффорда
Γk Γj + Γj Γk = 2 δkj I4 .
(10.6.39) Gam3
Построим из матриц (10.6.37) операторы
fkj = 1 (Γk Γj − Γj Γk )
M
4
(j, k = 1, . . . , 5) .
(10.6.40) Gam4
Эти операторы, в силу равенств (10.6.39), удовлетворяют коммутационным соотношениям
fij , M
fkl ] = δjk M
fil + δjl M
fki + δik M
flj + δil M
fjk .
[M
(10.6.41) Gam4a
которые совпадают с коммутационными соотношениями (3.2.141) для образующих
fjk , согласно (10.6.38), мы имеем условия аналгебры Ли so(5). Заметим, что для M
тиэрмитовости
f† = −M
fkj , j, k = 1, . . . , 5 .
M
(10.6.42) Gam5
kj
С другой стороны, пользуясь явным видом матриц Паули (3.1.18) и определениями
(10.6.37) можно получить соотношения
ΓT1 = −Γ1 ,
ΓT2 = Γ2 ,
ΓT3 = −Γ3 ,
ΓT4 = Γ4 , ΓT5 = Γ5 ,
(10.6.43) Gam6
которые переписываются в виде
ΓTk C = C Γk ,
где
(10.6.44) Gam7
(
)
0 I2
C = Γ3 Γ1 = i σ2 ⊗ I2 =
(10.6.45) Gam11
−I2 0
– вещественная кососимметричная матрица, входящая в условие симплектичности
(3.2.26) с r = 2. Учитывая (10.6.44), мы получаем для операторов (10.6.40), в дополнение к условию антиэрмитовости (10.6.42), еще и условие симплектичности (3.2.26):
fkj .
fT C = −C M
M
kj
(10.6.46) Gam8
В силу известных свойств алгебры Клиффорда (10.6.39) (смотри Главу ”Группы
Лоренца и Пуанкаре и их представления”) любую комплексную 4 × 4 матрицу A
можно представить в виде
fkj ,
A = z I4 + zi Γi + zkj M
(10.6.47) Gam9
10 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.
453
где z, zk , zkj = −zjk (k, j = 1, . . . , 5) составляют набор из 16 независимых комплексных параметров. Матрицы A ∈ usp(4) удовлетворяет условиям антиэрмитовости и
симплектичности
A† = −A , AT C = −CA .
(10.6.48) Gam10
Из (10.6.38), (10.6.42), (10.6.44) и (10.6.46) следует в этом случае, что z = 0, zk = 0 и
∗
zkj = zkj
, то есть zkj ∈ R. Таким образом, любая матрица A ∈ usp(4) представима в
виде
fkj (ωkj = −ωjk , ωjk ∈ R) ,
A = ωkj M
fkj образуют базис в алгебре Ли usp(4). Наконец, опреи следовательно матрицы M
fkj ↔ Mkj между базисными элементами
деляя взаимно-однозначное соответствие M
fkj ∈ usp(4) (10.6.40) и Mkj ∈ so(5) (3.2.140), которые удовлетворяют одним и тем
M
же определяющим соотношениям (10.6.41) и (3.2.141), мы устанавливаем изоморфизм usp(4) = so(5).
Замечание 1. Отметим, что данное доказательство изоморфизма usp(4) = so(5)
работает и для любого другого 4-х мерного представления (отличного от (10.6.37)41 )
пятимерной алгебры Клиффорда (10.6.39), в котором все Γi эрмитовы (10.6.38). В
любом тако