0 - SABİS

STATİK MUKAVEMET
MESNETLER
Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR
STATİK
Kirişler
Yük Ve Mesnet Çeşitleri
Mesnetler Ve Mesnet Reaksiyonları
1. Kayıcı Mesnetler
2. Sabit Mesnetler
3. Ankastre (Konsol) Mesnetler
4. Üç Yerden Puntalanmış Düzlem Yapılar
5. Uzay Yapılar
6. Büyük Yapılar
2
3
4
Boyu doğrultusundaki eksenine dik kuvvetlerin etkisi altında bulunan çubuğa;
döşemeden gelen yükleri düşey taşıyıcılara aktaran, eğilmeye dayanıklı yapı elemanına
kiriş denir. Kirişler genel olarak ahşap, çelik, betonarme olup, genellikle uzun, doğrusal ve
prizmatik çubuklardır.
Kuvvet etkisindeki bir konstrüksiyon (yapı), rijit bir cisim hareket etmiyorsa
dengededir. Rijit cismin hareketi, ötelenme ya da dönmedir veya ikisinin birleşimi şeklinde
olabilir. Yapının dengede kalabilmesi için, yapıyı döndürmeye veya ötelemeye sebep olan
kuvvet mesnet noktalarındaki tepki kuvvetleri ile dengelenmelidir.
F1
z
F2
F4
F3
y
O
x
5
İki boyutlu bir yapının tamamıyla dengede olabilmesi için;
∑Fx=0 : Bütün yatay kuvvetlerin cebirsel toplamı sıfıra eşit,
∑Fy=0 : Bütün dikey kuvvetlerin cebirsel toplamı sıfıra eşit,
∑M=0 : Bütün kuvvetlerin herhangi bir eksen (nokta) etrafındaki momentlerinin
cebirsel toplamı sıfıra eşit olması demektir.
6
Denge denklemlerinin doğru uygulanabilmesi için, tüm bilinene ve bilinmeyen kuvvetlerin
cisim üzerinde gösterilmesi gerekmektedir. Bu en iyi şekilde serbest cisim diyagramları
(SCD) ile yapılır.
Üstünde cisme etki eden bütün kuvvetler ölçeksiz olarak gösterilir. Bu diyagram cismi,
çevresinden izole edilmiş veya serbest kalmış bir şekilde ana hatlarını, yani bir “serbest
cismi” gösteren bir taslaktır.
Serbest çizim diyagramlarına geçmeden önce, farklı tıpteki mesnetlerde oluşan mesnet
kuvvetlerini, cisimler arasında oluşan kontakt kuvvetlerini inceleyelim. Genel kural olarak
şunu demek mümkündür;
i) Eğer bir mesnet, bir cismin herhangi bir yönde hareket etmesini engelliyorsa, o
mesnet cisim üzerinde o yönde mesnet kuvveti / reaksiyon kuvveti oluşturur.
ii) Eğer dönme engellenmişse, cisme moment etki eder.
7
1. KAYICI MESNETLER
Sadece bilinmeyen bir reaksiyon sağlar ve hareket yönünde pozitif bir açı ile etki eder.
Böylece kayıcı mesnetler, bir doğrultuda lineer harekete ve dönmeye müsaade ederler.
y
A
x
RAy
Kayıcı Mesnet
Şekilden de anlaşılacağı üzere, y yönünde deplasman yoktur yani sıfırdır. Ama y yönünde bir
tepki kuvveti meydana gelir.
8
2. SABİT MESNETLER
Tek noktada sabitlenmiş mesnetler yatay ve düşeyde iki reaksiyon verir dolayısıyla iki
yönde cismin hareketine engel olur. Fakat dönmeyi sağlar.
y
x
RAx
ϴ
RAy
Sabit Mesnet
x ve y yönünde yer değiştirmeler sıfıra eşitken, x ve y yönünde reaksiyon kuvvetleri, RAx,
RAy meydana gelir. ϴ≠0 olduğunda MA olmaktadır.
F
F
F
A
9
B
a
b
c
d
Kayar ve Sabit Mesnetin Birlikte Uygulanması
Sehim oluşmaması için yapılan mesnet çözümü
10
!!!
2. SABİT MESNETLER
11
3. ANKASTRE (KONSOL) MESNETLER
Yönü ve şiddeti bilinmeyen iki reaksiyon ve momenti sağlar (toplam 3 bilinmeyen). Böyle
bir mesnet iki doğrultuda lineer hareketi ve bir eksen etrafında dönmeyi engeller.
y
x
RAx
y
ϴ
MAz
RAx
RAy
Ankastre (Konsol) Mesnet
Burada ise x=y= ϴ≠0’dır ve RAx≠ RAy≠ MA olmaktadır.
Bu mesnetlerin birlikte uygulanmasını şekildeki gibi
görebiliriz.
12
3. ANKASTRE (KONSOL) MESNETLER
13
4. ÜÇ YERDEN PUNTALANMIŞ DÜZLEM YAPILAR
Eğer yapı 3 noktadan sabitlenmiş ise (menteşe gibi) özel bir denge eşitliği daha
yazılabilir, çünkü pim etrafındaki bütün kuvvetlerin momentleri toplamı sıfır olmalıdır. Bu
mesnet reaksiyonunun bilinmeyen bir bileşeninin belirlenmesini sağlar.
Üç yerden puntalanmış kavisli yapı
14
5. UZAY YAPILAR
3 boyutlu bir yapı, uzay yapıdır. Karşılıklı dik yönler, bir uzay yapı için kuvvetlerinin
toplamı, sıfır olmalı ve 3 tane karşılıklı dikey eksen (x, y ve z) etrafındaki kuvvetlerin
momentleri toplamı da sıfır olmalıdır. Bundan dolayı,
∑FX=0
∑FY=0
∑FZ=0
∑MX=0
∑MY=0
∑MZ=0
: X yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra eşittir,
: Y yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra eşittir,
: Z yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra eşittir,
: X ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra eşittir,
: Y ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra eşittir,
: Z ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra eşittir.
15
6. BÜYÜK YAPILAR
Yapının barajda görüldüğü gibi dengeyi sağlaması kendi ağırlığına bağlıdır. Böylece denge
için,
Baraj Duvarı
∑FX=0 : Yükün (T) yatay bileşeninden (TX) kaynaklanan doğrusal yöndeki kayma eğilimi,
yükün arkasındaki tepki kuvveti (P) ve/veya yer ile yapı arasındaki sürtünme kuvveti (R)
tarafından engellemelidir.
∑FY=0
: Yapının ağırlığının (W) ve yükün (T) dikey bileşenleri (TY) yapının
altındaki dikey yukarı yöndeki yer tepkisi (V) ile dengelenmelidir.
∑MO=0 : Dönme merkezi (O) etrafında yükten kaynaklanan döndürme momenti aynı
noktada kendi ağırlığından kaynaklanan yenilenme momenti tarafından dengelenmelidir.
Kütle yapısı döndürmeye karşı güvenlik faktörünü sağlamak için ağırlığı denge için
16
minimum gerekli ağırlıktan daha büyük olacak şekilde
dizayn edilmiştir.
17
18
Aşağıda verilen düzeneğin O noktasındaki momentini hesaplayınız.
19
Aşağıda verilen düzeneğin O noktasındaki momentini hesaplayınız.
20
Aşağıda verilen düzeneğin O noktasındaki momentini hesaplayınız.
21
Aşağıda verilen düzeneğe 800 N luk F kuvveti etki etmektedir. Buna göre F kuvvetinin A, B, C ve D
noktalarına göre momentini hesaplayınız.
22
23
24
25
Şekilde görüldüğü gibi C noktasından asılı olan cisim 80 N ağırlığa sahiptir. Buna göre kablonun
yatay ve dikey çekme kuvvetlerini ve A piminde meydana gelen reaksiyon kuvvetlerini bulunuz. (D
noktasındaki makara sürtünmesizdir.)
26
27
28
29
F1=15t
Yanda verilen şekildeki sistemde mesnet reaksiyonlarını
hesaplayınız.
3m
Çözüm :
Problemin çözümüne başlamadan önce verilen sistem
üzerinde moment alınacak noktaya göre reaksiyonlar
çizilmesiyle başlanmalıdır.
2m
F3=15t
A
y
F1=15t
F2=5t
3m
x
F3=15t
2m
A noktasına göre moment alacağımız için A
noktasında bulunan reaksiyonları hesaplamakla
başlayabiliriz. Önce x-eksenine göre, sonrada yeksenine göre reaksiyonları bulalım.
𝐹𝑥 = 0 ise 𝑅𝐴𝑥 − 𝐹3 = 0
𝑅𝐴𝑥 − 15𝑡 = 0 ise 𝑹𝑨𝒙 = 𝟏𝟓𝒕 bulunur.
𝐹𝑦 = 0 ise 𝑅𝐴𝑦 − 𝐹1 − 𝐹2 = 0
𝑅𝐴𝑦 − 15𝑡 − 5𝑡 = 0 ise 𝑹𝑨𝒚 = 𝟐𝟎𝒕 bulunur. ,
𝑀 = 0 ise
𝐹1 . 0 − 𝐹3 . 2𝑚 + 𝐹2 . 3𝑚 − 𝑀𝐴 = 0
15𝑡. 0 − 15𝑡. 2𝑚 + 5𝑡. 3𝑚 − 𝑀𝐴 = 0
𝑴𝑨 = 𝟏𝟓𝒕. 𝒎 dir.
F2=5t
M
RAx
A
30
RAy
Çözüm :
𝐹𝑥 = 0,
çıkarak,
𝐹𝑦 = 0 𝑣𝑒
𝑀 = 0 bağıntılarından yola
y
F1=10N
5m
F2=10N
F3=6N
5m
F2=10N
x
𝐹𝑥 = 0 ise 𝑅𝐴𝑥 + 𝐹2 = 0
𝑅𝐴𝑥 + 10𝑁 = 0 ise 𝑹𝑨𝒙 = −𝟏𝟎𝑵 bulunur.
3m
RAx
F1=10N
3m
Şekildeki sistem dengede olduğuna göre mesnet reaksiyonlarını
hesaplayınız.
A
F3=6N
𝐹𝑦 = 0 ise 𝑅𝐴𝑦 − 𝐹1 + 𝐹3 = 0
𝑅𝐴𝑦 − 10𝑁 + 6𝑁 = 0 ise 𝑹𝑨𝒚 = 𝟒𝑵 bulunur.
RAy
31
𝑀 = 0 ise
𝐹1 . 0 − 𝐹3 . 5𝑚 + 𝐹2 . 3𝑚 − 𝑀𝐴 = 0
10𝑁. 0 − 6𝑁. 5𝑚 + 10𝑁. 3𝑚 − 𝑀𝐴 = 0
𝑴𝑨 = 𝟎𝑵. 𝒎 dir.
α=20o
Yandaki konsol kirişin mesnet reaksiyonlarını
hesaplayınız.
F1=10N
A
F2=5N
Çözüm :
𝐹𝑥 = 0 ise 𝑅𝐴𝑥 − 𝐹2 − 𝐹1𝑥 = 0
𝑅𝐴𝑥 − 5𝑁 − sin 20 . 10𝑁 = 0 ise 𝑹𝑨𝒙 = 𝟖, 𝟒𝟎𝑵 bulunur.
𝐹𝑦 = 0 ise 𝑅𝐴𝑦 − 𝐹1𝑦 = 0
𝑅𝐴𝑦 − cos 20 . 10𝑁 = 0 ise 𝑹𝑨𝒚 = 𝟗, 𝟒𝟎𝑵 bulunur.
y
F1y
x
RAx
F1=10N
F1x
A
F2=5N
2m
RAy
32
α=
20 o
𝑀 = 0 ise
𝐹1𝑥 . 0 − 𝐹2 . 0 + 𝐹1𝑦 . 2𝑚 − 𝑀𝐴 = 0
3,42𝑁. 0 − 5𝑁. 0 + 9,40𝑁. 2𝑚 − 𝑀𝐴 = 0
𝑴𝑨 = −𝟏𝟖, 𝟖𝟎𝑵. 𝒎 dir.
2m
Şekildeki gibi mesnetlenmiş basit kirişin
mesnet reaksiyonlarını hesaplayınız.
( α=25o )
F1=10N
F2=20N
α=25o
A
1m
2m
Çözüm :
𝐹𝑥 = 0 ise 𝑅𝐴𝑥 − 𝐹2𝑥 = 0
𝑅𝐴𝑥 − 𝑐𝑜𝑠25.20𝑁 = 0 ise 𝑹𝑨𝒙 = 𝟏𝟖, 𝟐𝟎𝑵 bulunur.
𝐹𝑦 = 0 ise 𝑅𝐴𝑦 + 𝑅𝐵𝑦 − 𝐹1 − 𝐹2𝑦 = 0
𝑅𝐴𝑦 + 𝑅𝐵𝑦 − 10𝑁 − 𝑠𝑖𝑛25.20𝑁 = 0 ise 𝑹𝑨𝒚 + 𝑹𝑩𝒚 = 𝟏𝟖, 𝟒𝟓𝑵
bulunur.
𝑀 = 0 ise
𝐹1 . 2𝑚 + 𝐹2𝑦 . 3𝑚 + 𝐹2𝑥 . 0 + 𝑅𝐵𝑦 . 5𝑚 = 0
10𝑁. 2𝑚 − 8,45𝑁. 3𝑚 + 𝑅𝐵𝑦 . 5𝑚 = 0
𝑅𝐵𝑦 = 𝟗𝑵 ve 𝑅𝐴𝑦 = 𝟗, 𝟒𝟓𝑵 olur.
RAx
2m
F1=10N
F2=20N
α=25o
A
RAy
33
B
2m
1m
2m
B
RBy
A noktasından mafsallı eleman B noktasında
sürtünmesiz bir mesnetle desteklenmiştir. A
mafsalındaki yatay ve düşey mesnet kuvvetlerini
bulunuz.
SCD:
34
Çözüm :
35
Verilen kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini O’ya indirgeyiniz. (Birimler cm dir)
36
37
38
39