tel: +90 312 4306750-51 (pbx) belgeç: +90 312

Editörler : Kenan Osmanoğlu
Kerem Köker
KPSS Matematik
ISBN 978-605-4282-58-6
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti’ye aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı, mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
10. Baskı
Yayın-Proje Yönetmeni: Arzu Doğan
Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Gürleyik
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Tuna Matbaacılık A.Ş.
(Ankara-0312-2783484)
YAYINEVİ
DAĞITIM
adakale sokak 4/1 yenişehir-ankara
tel: +90 312 4306750-51 (pbx)
sağlık sokak 17/a yenişehir-ankara
tel: +90 312 4345424
belgeç: +90 312 4313738
gsm: 0506 3451937 - 0541 4345424 - 0533 2055231
e-ileti: siparis@pegem.net
belgeç: +90 312 4354460
gsm: 0506 3451936 - 0541 9104545 - 0533 2055230
e-ileti: pegem@pegem.net
YAZIŞMA
P.K.175 06442 yenişehir-ankara
internet:
SUNU
Değerli Adaylar;
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde
önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla
hazırlanmıştır.
Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;
MATEMATİK
- Temel Kavramlar,
- Sayılar,
- Bölme-Bölünebilme Kuralları,
- Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK,
- Birinci Dereceden Denklemler,
- Rasyonel Sayılar,
- Üslü Sayılar,
- Köklü Sayılar,
- Çarpanlara Ayırma,
- Eşitsizlik – Mutlak Değer,
- Oran – Orantı,
- Problemler,
- Kümeler,
- İşlem - Modüler Aritmetik,
- Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık
- Tablo ve Grafikler
bölümlerinden oluşmaktadır.
Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık
ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir.
Her ünitenin sonunda,
- çıkmış sorular
- çözümlü testler ve
- cevaplı testlere;
kitabın sonunda ise, Matematik ve Geometri’nin tamamını kapsayan 5 deneme sınavına yer verilmiştir.
Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm
meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz.
Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz
bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla
paylaşınız.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker
Ankara
İÇİNDEKİLER
MATEMATİK
1. BÖLÜM
TEMEL KAVRAMLAR ...............................................2
Küme ..........................................................................2
Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .......................2
Kümelerin Gösterilişi................................................2
Boş Küme ..................................................................3
Sayı Kümeleri ............................................................3
Tek - Çift Tamsayılar.................................................4
Tam Sayılarda İşlemler.............................................4
İşlem Önceliği............................................................6
Rasyonel Sayılar .......................................................6
Rasyonel Sayılarda İşlemler ....................................6
Denklemler.................................................................9
Çözüm Kümesi Bulma..............................................9
İkili ..............................................................................10
Sıralama .....................................................................10
Eşitsizlik.....................................................................11
Oran – Orantı .............................................................11
Ortak Paranteze Alma...............................................12
Çözümlü Test – 1 ......................................................13
Cevaplı Test – 1.........................................................17
Cevaplı Test – 2.........................................................19
2. BÖLÜM
SAYILAR ....................................................................22
Sayı Kümeleri ............................................................22
Doğal Sayılar .............................................................23
Tam Sayılar................................................................26
Tek ve Çift Tam Sayılar ............................................27
Pozitif ve Negatif Sayılar ..........................................29
Ardışık Sayılar ...........................................................31
Asal Sayı ....................................................................36
Aralarında Asal Sayılar.............................................36
Basamak Analizi........................................................37
Çözümleme................................................................42
Faktöriyel ...................................................................44
Sayma Sistemleri ......................................................47
Çıkmış Sorular...........................................................54
Çözümlü Test – 1 ......................................................57
Çözümlü Test – 2 ......................................................61
Çözümlü Test – 3 ......................................................65
Çözümlü Test – 4 ......................................................69
Çözümlü Test – 5 ......................................................74
Çözümlü Test – 6 ......................................................79
Cevaplı Test – 1.........................................................83
Cevaplı Test – 2.........................................................85
Cevaplı Test – 3.........................................................87
Cevaplı Test – 4.........................................................89
Cevaplı Test – 5.........................................................91
Cevaplı Test – 6.........................................................93
3. BÖLÜM
BÖLME – BÖLÜNEBİLME KURALLARI ................. 96
Bölme ........................................................................ 96
Bölünebilme Kuralları .............................................. 100
2 ile Bölünebilme................................................ 100
3 ile Bölünebilme................................................ 100
4 ile Bölünebilme................................................ 101
5 ile Bölünebilme................................................ 102
7 ile Bölünebilme................................................ 103
8 ile Bölünebilme................................................ 103
9 ile Bölünebilme................................................ 103
10 ile Bölünebilme ............................................. 105
11 ile Bölünebilme ............................................. 105
Çıkmış Sorular.......................................................... 107
Çözümlü Test - 1 ...................................................... 108
Çözümlü Test - 2 ...................................................... 112
Cevaplı Test - 1......................................................... 116
Cevaplı Test - 2......................................................... 118
4. BÖLÜM
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK...... 121
Asal Çarpanlara Ayırma .......................................... 121
Bir Tam Sayının Bölenleri ....................................... 122
Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı .................. 124
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ......................... 125
En Küçük Ortak Kat (EKOK) ............................. 128
Çıkmış Sorular.......................................................... 133
Çözümlü Test - 1 ...................................................... 134
Çözümlü Test - 2 ...................................................... 139
Çözümlü Test - 3 ...................................................... 143
Cevaplı Test - 1......................................................... 148
Cevaplı Test - 2......................................................... 150
Cevaplı Test - 3......................................................... 152
5. BÖLÜM
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER .................... 155
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler.... 155
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler..... 158
Denklem Sistemi ...................................................... 158
Yok Etme Metodu ............................................... 158
Yerine Koyma Metodu ....................................... 159
Özel Denklemler ....................................................... 160
Çıkmış Sorular.......................................................... 163
Çözümlü Test - 1 ...................................................... 164
Cevaplı Test - 1......................................................... 168
Cevaplı Test - 2......................................................... 170
6. BÖLÜM
RASYONEL SAYILAR ...............................................173
Kesir ve Kesir Türleri................................................173
Kesir .....................................................................173
Basit Kesir ...........................................................173
Bileşik Kesir ........................................................173
Tam Sayılı Kesir ..................................................174
Sabit Kesir ...........................................................175
Denk Kesir ...........................................................175
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ................................176
Toplama İşlemi ....................................................176
Çıkarma İşlemi ....................................................176
Çarpma İşlemi .....................................................176
Bölme İşlemi........................................................177
Kuvvet Alma ........................................................177
İşlem Önceliği .....................................................178
Ondalık Kesirler ........................................................181
Ondalık Sayılarda Dört İşlem ...................................182
Devirli Ondalık Açılımlar ..........................................184
Rasyonel Sayılarda Sıralama...................................185
İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma ........187
Çıkmış Sorular...........................................................188
Çözümlü Test ............................................................190
Cevaplı Test - 1..........................................................194
Cevaplı Test - 2..........................................................196
9. BÖLÜM
ÇARPANLARA AYIRMA........................................... 247
Ortak Parantez Yöntemi .................................... 247
Gruplandırma Yöntemi ...................................... 247
ax2+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması ...... 248
Özdeşlikler ................................................................ 250
İki Kare Farkı....................................................... 250
Tam Kare İfadeler ............................................... 252
III. Dereceden Özdeşlikler ....................................... 255
Çıkmış Sorular.......................................................... 257
Çözümlü Test – 1...................................................... 259
Çözümlü Test – 2...................................................... 263
Cevaplı Test – 1 ........................................................ 267
Cevaplı Test – 2 ........................................................ 267
10. BÖLÜM
Çıkmış Sorular...........................................................208
Çözümlü Test ............................................................209
EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER............................... 272
Eşitsizlikler ............................................................... 272
Özellikleri ............................................................ 272
Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .................................... 275
Kapalı Aralık ....................................................... 275
Yarı Açık Aralık................................................... 275
Açık Aralık........................................................... 276
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ... 276
Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi ............................ 277
Mutlak Değer............................................................. 279
Özellikleri ............................................................ 281
Çıkmış Sorular.......................................................... 285
Çözümlü Test – 1...................................................... 287
Çözümlü Test – 2...................................................... 291
Cevaplı Test – 1 ........................................................ 295
Cevaplı Test – 2 ........................................................ 297
Cevaplı Test – 3 ........................................................ 299
Cevaplı Test - 1..........................................................213
Cevaplı Test - 2..........................................................215
11. BÖLÜM
7. BÖLÜM
ÜSLÜ SAYILAR .........................................................199
Özellikleri .............................................................199
Üslü Sayılarda Dört İşlem ........................................202
Toplama – Çıkarma.............................................202
Çarpma.................................................................203
Bölme ...................................................................205
8. BÖLÜM
KÖKLÜ SAYILAR ......................................................218
Köklü Sayıların Özellikleri........................................218
Köklü Sayılarda Dört İşlem ......................................222
Toplama-Çıkarma................................................222
Çarpma.................................................................223
Bölme ...................................................................224
Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması .......226
Eşlenik (Paydayı Kökten Kurtarma)........................227
İç İçe Sonlu Kökler....................................................229
İç İçe Sonsuz Kökler.................................................230
A ∓ 2 B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması............232
Köklü Sayılarda Sıralama.........................................234
Köklü Sayılarda Denklem Çözme............................235
Çıkmış Sorular...........................................................236
vi
Çözümlü Test -1 ....................................................... 238
Cevaplı Test - 1......................................................... 242
Cevaplı Test - 2......................................................... 244
ORAN – ORANTI ...................................................... 302
Oran ..................................................................... 302
Orantı................................................................... 302
Orantının Özellikleri ........................................... 302
Orantı Türleri ............................................................ 304
Doğru Orantı ....................................................... 304
Ters Orantılı Çokluklar ...................................... 306
Bileşik Orantı ...................................................... 307
Ortalamalar ............................................................... 308
Aritmetik Ortalama............................................. 308
Geometrik Ortalama........................................... 309
Çıkmış Sorular.......................................................... 311
Çözümlü Test - 1 ...................................................... 313
Çözümlü Test - 2 ...................................................... 317
Cevaplı Test - 1......................................................... 322
Cevaplı Test - 2......................................................... 324
14. BÖLÜM
PROBLEMLER...........................................................326
Denklem Kurma Problemleri....................................327
Yaş Problemleri.........................................................333
İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK ............................. 455
İşlem .......................................................................... 456
Yüzde Problemleri.....................................................336
Faiz Problemleri ........................................................338
Kâr – Zarar Problemleri ............................................339
Karışım Problemleri ..................................................342
İşçi Problemleri .........................................................345
Havuz Problemleri.....................................................347
Hareket Problemleri ..................................................348
Çıkmış Sorular...........................................................354
Çözümlü Test - 1 ......................................................362
Çözümlü Test - 2 ......................................................367
Çözümlü Test - 3 ......................................................371
Çözümlü Test - 4 .......................................................376
Çözümlü Test - 5 ......................................................381
Çözümlü Test - 6 ......................................................385
Çözümlü Test - 7 ......................................................389
Çözümlü Test - 8 ......................................................393
Çözümlü Test - 9 ......................................................397
Çözümlü Test - 10 ....................................................402
Çözümlü Test - 11 ....................................................407
Çözümlü Test - 12 ....................................................412
Cevaplı Test – 1.........................................................417
Cevaplı Test – 2.........................................................419
Cevaplı Test – 3.........................................................421
Cevaplı Test – 4.........................................................423
Cevaplı Test – 5.........................................................425
Cevaplı Test – 6.........................................................427
Cevaplı Test – 7.........................................................429
Cevaplı Test – 8.........................................................431
13. BÖLÜM
KÜMELER ..................................................................434
Küme ..........................................................................434
Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .................434
Kümelerin Gösterimi ..........................................434
Küme Çeşitleri.....................................................435
Kümelerde İşlemler.............................................436
Alt Küme ..............................................................439
Küme Problemleri ...............................................441
Çıkmış Sorular...........................................................443
Çözümlü Test - 1 .......................................................444
Çözümlü Test - 2 .......................................................449
Cevaplı Test - 1..........................................................453
İşlem Tabloları .................................................... 459
İşlemin Özellikleri............................................... 459
Modüler Aritmetik..................................................... 462
Modüler Aritmetiğin Özellikleri ......................... 463
Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü............ 467
Çıkmış Sorular.......................................................... 468
Çözümlü Test – 1...................................................... 469
Çözümlü Test – 2...................................................... 474
Cevaplı Test – 1 ........................................................ 479
Cevaplı Test – 2 ........................................................ 481
İçindekiler
12. BÖLÜM
15. BÖLÜM
PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK... 484
Saymanın Temel Kuralları ....................................... 484
Toplama Kuralı ................................................... 484
Çarpma Yolu ile Sayma ..................................... 484
Saymanın Temel İlkesi....................................... 484
Permütasyon (Sıralama).......................................... 486
Tekrarlı Permütasyon ........................................ 487
Dairesel Permütasyon ....................................... 488
Kombinasyon (Gruplama) ...................................... 489
Olasılık....................................................................... 494
Olasılık Fonksiyonu .......................................... 494
Olasılık Hesabı.................................................... 495
Koşullu Olasılık .................................................. 499
Bağımsız ve Bağımlı Olasılık ............................ 500
Çıkmış Sorular.......................................................... 501
Çözümlü Test – 1...................................................... 503
Çözümlü Test – 2...................................................... 507
Çözümlü Test – 3...................................................... 511
Çözümlü Test – 4...................................................... 515
Cevaplı Test – 1 ........................................................ 520
Cevaplı Test – 2 ........................................................ 522
16. BÖLÜM
TABLO VE GRAFİKLER ........................................... 525
Tablo ve Yorumlama ................................................ 525
Grafik ve Yorumlama ............................................... 529
Çizgi Grafik ......................................................... 529
Sütun Grafiği ...................................................... 531
Daire Grafiği........................................................ 531
Çıkmış Sorular.......................................................... 534
Çözümlü Test – 1...................................................... 538
Çözümlü Test – 2...................................................... 541
Cevaplı Test – 1 ........................................................ 544
Cevaplı Test – 2 ........................................................ 547
Deneme - 1 ................................................................ 549
Deneme - 2 ................................................................ 552
Deneme - 3 ................................................................ 556
Deneme - 4 ................................................................ 560
Deneme - 5 ................................................................ 564
Denemelerin Yanıt Anahtarları................................ 568
vii
Temel Kavramlar
Küme
Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı
Kümelerin Gösterilişi
Boş Küme
Sayı Kümeleri
Tek - Çift Tamsayılar
Tam sayılarda İşlemler
İşlem Önceliği
Rasyonel Sayılar
Rasyonel Sayılarda İşlemler
Denklemler
Çözüm Kümesi Bulma
İkili
Sıralama
Eşitsizlik
Oran Orantı
Ortak Paranteze Alma
Çözümlü Test
Cevaplı Testler 1-2
Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Analiz Tablosu
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
“Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek,
kimse “neden?” demeyecek.”
John Von Neumann
KPSS Matematik
TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki
amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yeteneğinin gelişmesini
sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir.
Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır.
Çözüm:
KÜME
A kümesinin elemanlarını yazacak olursak
Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların
oluşturduğu topluluğa küme denir.
Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle
isimlendirilir.
a ∈ A, b ∈ A, {c} ∈ A, {d, e} ∈ A, f ∈ A
olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir.
Dolayısıyla s(A) = 5 bulunur.
ÖRNEK
Örnek:
“Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur.
”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu
kümenin elaman sayısı kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
ÖRNEK
“Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz.
Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak
söylenmemiştir.
KÜMENİN ELEMAN VE ELEMAN
SAYISI
Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin
elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler " ∈ "
sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise " ∉ "
sembolü ile gösterilir.
Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin
eleman sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir.
Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır.
ÖRNEK
1 sayısı A kümesinin elemanı ise 1∈ A
2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise 2 ∉ A
şeklinde gösterilir.
Çözüm:
“PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun.
Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez
yazılacağından
A = {P, E, G, M} olur. Dolayısıyla s(A) = 4 bulunur.
Örnek:
A = {Kerem} kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm:
Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi
inceleyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için
kümenin eleman sayısı s(A) = 1 bulunur.
2)
Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler
belirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak
özellik yöntemi ile gösterilişi denir.
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
1)
ÖRNEK
Liste Yöntemi
Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { }
parantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde
gösterilişi denir.
Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir
elemanıdır.
Yüzden küçük doğal sayıların kümesi
A = {x l x < 100, x ∈ N}
şeklinde gösterilir.
3)
Örnek:
A = {a, b, {c},{d, e}, f } kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 6
2
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Venn Şeması
Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir
şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile
gösterilişi denir.
Örnek:
SAYI KÜMELERİ
A = {a, b, c, d} kümesini venn şeması ile gösterilişi
A
ia
ib
id
1)
Sayma Sayıları Kümesi
{1, 2, 3,.....} kümesine sayma sayıları kümesi ve bu
kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir.
Sayma sayıları kümesi "N+ " ile gösterilir.
ic
2)
BOŞ KÜME
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme
∅ veya { } sembolleri ile gösterilir.
{0, 1, 2, 3,.....} kümesine doğal sayılar kümesi ve bu
kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal
sayılar kümesi "N" sembolü ile gösterilir.
3)
ÖRNEK
“Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu
küme boş kümedir.
Doğal Sayılar Kümesi
Temel Kavramlar
şekildeki gibidir.
Tam sayılar Kümesi
{........, −3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3.......} kümesine tam sayılar
kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı
denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir.
Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade
edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak;
NOT
Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi
değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde
sıralanabilir.
a)
Negatif Tam sayılar Kümesi
Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda
olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların
oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir.
Negatif tam sayılar kümesi " Z − " ile gösterilir.
Z − = {..............., −3, − 2, − 1} dir.
Örnek:
A = {a, b, c} kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse
Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler.
Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı "− 1" dir.
A kümesi değişmez.
A = {a, b, c} = {b, a, c} = {c, a, b} gibi
RAKAM:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere
rakam denir.
SAYI:
Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak
şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.
b)
Pozitif Tam sayılar Kümesi
Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında
olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların
oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir.
Pozitif tam sayılar kümesi " Z + " ile gösterilir.
Z + = {1, 2, 3,.........} dir.
Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler.
Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı "1" dir.
c)
Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif
ya da negatif tam sayı değildir.
4)
Rasyonel Sayılar Kümesi
ÖRNEK
3 hem rakam hem de bir sayıdır.
16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.
348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır.
-7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır.
a ve b birer tam sayı ve b ≠ 0 olsun. İki tam sayının
bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı
denir.
Rasyonel sayılar kümesi "Q" ile gösterilir.
3
KPSS Matematik
ÖRNEK
2 −17 6
,
, , 14, − 1, ... birer rasyonel sayıdır.
5 19 13
b)
Zıt İşaretli Sayıların Toplanması
İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri
büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama,
sayı değeri büyük olanın işareti verilir.
ÖRNEK
5)
İrrasyonel Sayılar Kümesi
Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü
şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
İrrasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.
ÖRNEK
5, 5 −2,
6)
7
,... birer irrasyonel sayıdır.
3
Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi
−65 + 93 işleminde
Sayıların biri ( −) diğeri ( + ) işaretli olduğundan sayı
değeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan
yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 93 > 65 olduğundan
( + ) olur.
Buradan −65 + 93 = 28 bulunur.
ÖRNEK
124 − 175 işleminde
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin
birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir.
Sayılar zıt işaretli ve 175 > 124 olduğundan 175 den 124
çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani ( −) işareti verilir.
Reel sayılar kümesi "R" ile gösterilir.
Buradan 124 − 175 = −51 bulunur.
R = Q ∪ Q' şeklinde ifade edilir.
TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR
a) TEK TAM SAYILAR: n bir tam sayı olmak üzere
2n −1 veya 2n + 1 şeklinde yazılabilen sayılara tek tam
sayı denir. Tek tam sayılar kümesi
{..... − 5, − 3, −1, 1, 3, 5, ...} şeklinde ifade edilir.
b) ÇİFT TAM SAYILAR: n bir tam sayı olmak üzere
2n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift
tam sayılar kümesi {... − 4, − 2, 0, 2, 4, ....} şeklinde ifade
edilebilir.
TAM SAYILARDA İŞLEMLER
UYARI
Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek
işlemin sonucunu değiştirmez.
Yani a − b = −b + a dır.
Örnek:
−354 + 195 işleminde sayıların yerlerinin değişmesi
işlemin sonucunu değiştirmez.
Buradan −354 + 195 = 195 − 354 = −159 bulunur.
NOT
Toplama işlemi:
a)
Aynı işaretli sayıların toplanması
İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı
değerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir.
ÖRNEK
İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işareti aynı
olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir.
ÖRNEK
32 + 14 + 29 işleminde
36 − 73 + 86 − 118 işleminde
Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri
toplanır. Toplamın işareti “+” olur.
iki tane pozitif ( + ) , iki tane negatif ( − ) sayı olduğundan
önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem
düzenlenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır.
Buradan 32 + 14 + 29 = 75 bulunur.
ÖRNEK
36 − 73 + 86 − 118 = 36 + 86 − 73 − 118
= 122 − 191
= −69 bulunur.
−45 − 11 − 73 işleminde
Sayıların hepsi negatif ( −) olduğundan sayı değerleri
toplanır. Toplamın işareti " − " olur.
Buradan −45 − 11 − 73 = −(45 + 11 + 73) = −129 bulunur.
4
Çıkarma İşlemi
Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı
aynen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar
toplanır.
ÖRNEK
UYARI
Çarpma İşlemi
Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler
çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri
çarpılır.
UYARI
Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak
yazılır ve ifade sadeleştirilir.
ÖRNEK
( −84) : (16) = −
84
21
= − (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse)
16
4
( −100) : ( −35) =
Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir.
100 20
(pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse)
=
35
7
Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir.
Kuvvet Alma
Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana
yazılıp çarpılır. Yani an sayısında a taban, n kuvvet
olmak üzere
Yani ( −) ⋅ ( + ) = −
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a şeklinde yazılabilir.
Yani ( + ) ⋅ ( + ) = +
( −) ⋅ ( −) = +
( +) ⋅ ( −) = −
Temel Kavramlar
48 − 19 = 48 + ( −19) = 29
33 − 76 = 33 + ( −76) = −43
141 − ( −214) = 141 + (214) = 355
n tane
ÖRNEK
NOT
Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine
dağıtılırken işaretler çarpılır.
24 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki 2 sayısı 4
kez yan yana yazılıp çarpılır.
Buradan 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 bulunur.
4 tan e
ÖRNEK
ÖRNEK
( −3)3 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki −3
sayısı 3 kez yan yana yazılıp çarpılır.
( −5) ⋅ ( −23) = 115
Buradan ( −3)3 = ( −3) ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) = −27 bulunur.
( −12) ⋅ (11) = −132
(18) ⋅ (12) = 216
3 tan e
NOT
Bölme İşlemi
Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri
bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri
bölünür.
NOT
1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
2) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek
kuvvetleri negatiftir.
ÖRNEK
Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir.
Yani ( + ) : ( + ) = +
( −) : ( −) = +
( −5)4 = 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625
( −2)7 = −27 = −2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = −128
Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir.
Yani ( −) : ( + ) = −
( + ) : ( −) = −
ÖRNEK
( −68) : (17) = −4
(120) : (12) = 10
( −111) : (37) = −3
( −180) : ( −15) = 12
ÖRNEK
( −4)3 + ( −7)2 − ( −5)3 işleminde
negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri
negatiftir.
Buradan ( −4)3 + ( −7)2 − ( −5)3 = ( −64) + (49) − ( −125)
= −64 + 49 + 125
= −64 + 174
= 110 bulunur.
5